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ANHAGUERA EDUCACIONAL

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

ALEXSANDRO SODRE DE FREITAS – RA : 1570211311

CARLOS EDUARDO CORREIA DELAMONICA – RA : 1569228993

DEZYRE MIKAELA DA SILVA ALBUQUERQUE – RA : 672333545

ELISALDO BARBOSA – RA: 159085455

VANESSA REGINA DE PAULA – RA : 8691249570

MAIKON DOS SANTOS JESUS – RA : 1572197974

CONCEITO DA DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO

CUIABÁ- MT

2015

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ANHAGUERA EDUCACIONAL

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

ALEXSANDRO SODRE DE FREITAS – RA : 1570211311

CARLOS EDUARDO CORREIA DELAMONICA – RA : 1569228993

DEZYRE MIKAELA DA SILVA ALBUQUERQUE – RA : 672333545

ELISALDO BARBOSA – RA: 159085455

MAIKON DOS SANTOS JESUS – RA : 1572197974

VANESSA REGINA DE PAULA – RA : 8691249570

CONCEITO DA DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO

Trabalho apresentado à Faculdade de Engenharia

Civil da Anhanguera Educacional , para obtenção de

Nota parcial da disciplina de Cálculo 2 , sob orientação

Do prof. Esp. Gilson Bispo Batista

CUIABÁ- MT

2015

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ATPS CÁLCULO 2

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação.

Esta atividade é importante para que você possa verificar a aplicação da derivada inserida em conceitos básicos da física. A noção intuitiva de movimento, velocidade, aceleração é algo intrínseco a todos, já que é algo natural. No entanto, quando visto sob um olhar crítico científico, pode se observar as leis da física, em que as operações matemáticas e regras de derivação básica estão intimamente ligadas a essas leis.Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOSPasso 1 (Aluno)

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com . Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo.

Alexsandro RA:1570211311

Carlos Eduardo RA:1569228993

Dezyre RA:672333545

Elisaldo RA : 159085455

Maikon RA:1572197974

Vanessa RA :8691249570

Somatória dos RA`s = 18a=18m/s2 a=18t-4

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s=3t2-2t2 a=18.1,222-4s`=9t2-4t a=18m/s2v=9t2-4tv`=18t-4t

Velocidade instantânea

É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea ou simplesmente velocidade como sendo:Podemos falar também de uma rapidez instantânea, que seria o módulo do vetor velocidade em um dado instante de tempo.

Aceleração média e instantânea

Aceleração é a taxa de variação da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretações em situações mais globais (aceleração média) e em situações mais locais (aceleração instantânea). Elas são definidas como:(aceleração média)(aceleração instantânea)* Velocidade instantânea

Fica claro que, quanto menor é o intervalo de tempo t2 - t1, mais precisa é a descrição dada pela velocidade média. Se o tempo for de dez anos, alguém podería ter conhecido o mundo todo antes de voltar para casa nesse período (e parecería à velocidade média que ele quase não se deslocou). Mas se o tempo foi de um segundo, a pessoa não pode ter feito tanta coisa assim. Isso nos leva a desejar a formulação do conceito de "velocidade instantânea", ou seja, algo análogo à velocidade média, mas com uma precisão infinita. Para aumentar a precisão da velocidade, é preciso considerar tempos cada vez menores, ou seja, valores de t2 arbitrariamente próximos de t1. Assim, usamos a operação matemática conhecida como "limite": a velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando t2 tende a t1. Ou seja:A operação acima descrita é chamada uma "derivada". Se temos uma função qualquer f(t), então a derivada de f(t) no ponto t1 é:Ou, se definirmos t2 = t1+h,Assim, fica claro que a velocidade instantânea v(t1) é a derivada da função x(t) no ponto t1. Ou seja, A velocidade instantânea é a derivada temporal da posição.Em outras palavras, a velocidade é a taxa de variação da posição: quanto maior a velocidade, mais rápido a posição varia. Se a velocidade for positiva, a posição muda no sentido que foi definido como positivo para a posição (veja a seção "Partículas e o movimento sobre uma reta") . Se for negativa, a posição muda no sentido inverso: o que foi definido negativo para a posição.

* Relação entre velocidade média e velocidade instantânea

Este trecho supõe que o leitor entenda o conceito de integral. A partir da equaçãoPodemos integrar os dois lados em relação a t, de modo a obterCom a condição v(0) = v0, fica claro que C = v0, ou sejaE sabemos que

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Então, integrando os dois últimos membros, temosAgora, substituindo isso na definição da velocidade médiatemosTambém podemos exprimir este resultado em relação à velocidade instantânea.Que é uma relação interessante, e expande o significado físico da velocidade média.Série HarmônicaA série harmónica é definida conforme:Esta série é convergente como consequência do teste da série alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural.Se se definir o n-ésimo número harmónico tal queentão Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integralcujo valor é ln(n).Mais precisamente, se considerarmos o limite:onde γ é a constante Euler-Mascheroni, pode ser provado que:O único Hn inteiro é H1.A diferença Hm - Hn onde m>n nunca é um inteiro.Jeffrey Lagarias provou em 2001 que a hipótese de Riemann é equivalente a dizer:em que σ(n) é a soma dos divisores positivos de n. (Ver An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly, volume 109 (2002), páginas 534-543.)A série harmónica generalizada, ou série-p, é (qualquer uma) das sériespara p um número real positivo. A série é convergente se p > 1 e divergente caso contrário. Quando p = 1, a série é harmónica. Se p > 1 então a soma das série é ζ(p), i.e., a função zeta de Riemann em ordem a p.Este raciocínio pode-se estender ao teste de convergência das séries.Constante de Euler-MascheroniA constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como olimite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.que pode ser condensada assim :em que E(x) é a parte inteira de x.A demonstração da existência de um tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral.As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial para determinados valores deAs 100 primeiras decimais dessa constante sãoγ≈0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graças ao método de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.

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Conclusão

Podemos desenvolver a etapa 1 e 2 para aprimorarmos nossos conhecimentos.Pesquisamos e calculamos a velocidade instantânea, aceleração média e instantânea em nosso trabalho.Aprendemos que a constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números.Podemos ver a série harmônica na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG.

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Bibliografia

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Física I. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007pt.wikipedia.org

HUGHES- Hallet ; Gleason; McCallum. PLT .178 , de Calculo .3ª ed. Rio de Janeiro : LTC, 2011,