Cap´ıtulo 1.1 - O espaço R2 · ordenados, isto é, que ha´ uma relaçao que determina qual elemento desse conjunto é maior que o outro. Essa propriedade de ordenaçao também

Calculo 2 - Capıtulo 1.1 - O espaco R2 - versao 02/2009 1

Capıtulo 1.1 - O espaco R2

1.1.1 - Os numeros reais1.1.2 - Espaco R2

No curso de Matematica 1, foi estudado o Calculo Diferencial e Integral baseado no conjunto dos numerosreais, R. Neste curso de Matematica 2, faremos esse mesmo estudo com uma classe mais geral, que chamaremosde espaco Rn. Este primeiro capıtulo introduz o caso particular do espaco R2 e estabelece algumas operacoesque podem ser definidas nele.

1.1.1 - Os numeros reais

O conjunto dos numeros reais, R, apresenta diversas caracterısticas que tornam possıvel definir sobre eleconceitos como o de limites, derivadas e integrais. Tal conjunto permite que nele sejam definidas operacoes desoma e de produto com as seguintes propriedades.

Propriedades da soma: para quaisquer elementos α, β e γ reais, temos

S1) α + β ∈ R (o conjunto R e fechado quanto a soma);

S2) α + β = β + α (comutativa);

S3) (α + β) + γ = α + (β + γ) (associativa);

S4) ∃ 0 ∈ R tal que α + 0 = α (existencia do elemento neutro);

S5) para qualquer α ∈ R, existe um −α ∈ R tal que (−α) + α = 0 (existencia de elementos inversos).

Propriedades do produto: para quaisquer elementos α, β e γ reais, temos

P1) α · β ∈ R (o conjunto R e fechado quanto ao produto);

P2) α · β = β · α (comutativa);

P3) α · (β · γ) = (α · β) · γ (associativa);

P4) ∃ 1 ∈ R tal que 1 · α = α (existencia do elemento neutro);

P5) para qualquer α ∈ R, α 6= 0, existe um1

α∈ R tal que

1

α· α = 1 (existencia de elementos inversos).

Propriedade mista: para quaisquer elementos α, β e γ reais, temos

M1) α · (β + γ) = α · β + α · γ (distributiva da soma com relacao ao produto).

Alem dessas propriedades, que sao comuns a conjuntos como o dos numeros racionais Q e dos numeroscomplexos C, os numeros reais tambem apresentam a propriedade adicional de que os seus elementos saoordenados, isto e, que ha uma relacao que determina qual elemento desse conjunto e maior que o outro. Essapropriedade de ordenacao tambem existe para os numeros racionais, mas nao para os complexos.

Uma outra propriedade, que diferencia os numeros reais dos racionais e que, para todo par de numerosreais, existe sempre um numero real entre eles. Isto deixa de ser verdade para os numeros racionais, que podemter entre dois de seus elementos um numero irracional, que nao pertence a esse conjunto. E essa propriedadeque torna possıvel definir limites (chegar o mais proximo possıvel de um numero sem, no entanto, alcanca-lo)e todo o Calculo subsequente, sobre os numeros reais.

Observacao: rigorosamente falando, o conjunto dos numeros reais e um corpo ordenado completo, melhordefinido na Leitura Complementar 1.1.1, que trata da definicao mais formal desse conjunto.


Geometricamente, podemos representar os numeros reais como sendo pontos sobre uma reta ordenada,como na figura a seguir.

. . . . . .-3 -2 -1 0 1 2 31/21/4-3/2 e

√2 π

1.1.2 - Espaco R2

O conjunto R2, que deve ser lido “erre dois”, e o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), onde x e ysao numeros reais, isto e:

R2 = {(x, y) | x, y ∈ R} .

Por pares ordenados entendemos conjuntos tais que (x, y) = (a, b) se, e somente se, x = a e y = b, isto e, aordem em que os elmentos sao escritos e importante. Isto contrasta com a notacao {a, b} de um conjunto, quee equivalente a {b, a}. Os pares ordenados (1, 2), (−1, 0), (1/4, π) sao todos elementos do conjunto R2. Noteque (2, 1) 6= (1, 2) se ambos pertencem ao R2.

a) Representacao geometrica

Da mesma forma como numeros reais podem ser representa-dos como pontos em um reta ordenada, os elementos do espacoR2 podem ser rperesentados como pontos em um espaco euclid-iano. Para isto, representamos um par ordenado (a, b) como oponto de ordenada a e abscissa b (figura ao lado).

E facil notar da figura ao lado que o R2 nao e um conjuntoordenado. Nao podemos, por exemplo, determinar se (1, 2) emaior ou menor que (1, 1). Nao podemos nem definir o conceitode ordem nessas circunstancias.

x

y

a

b b (a, b)

Exemplo 1: represente o par ordenado (3, 2)no plano cartesiano.

Solucao:

x

y

0 1 2 3

1

2 b

Exemplo 2: represente o par ordenado(−2, 1) no plano cartesiano.

Solucao:

x

y

0−2 −1

1b

Exemplo 3: represente o par ordenado(3/2,−1) no plano cartesiano.

Solucao:

x

y

0 1 1, 5 2

−1 b

Exemplo 4: represente o par ordenado(−2,−1) no plano cartesiano.

Solucao:

x

y

0−2 −1

−1b


b) Soma

Tambem podemos definir uma operacao de soma para elementos do R2. Dados dois elementos (a1, a2) e(b1, b2) de R2, entao a soma deles e definida como (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).

Exemplo 1: faca a soma dos elementos (1, 2) e (3,−4) do R2.

Solucao: (1, 2) + (3,−4) = (1 + 3, 2 − 4) = (4,−2).

Exemplo 2: faca a soma dos elementos (−1, 3) e (1,−3) do R2.

Solucao: (−1, 3) + (1,−3) = (−1 + 1, 3 − 3) = (0, 0).

A operacao de soma apresenta as seguintes propriedades, dados os elementos (a1, a2), (b1, b2), (c1, c2) ∈ R2:

S1) (a1, a2) + (b1, b2) ∈ R2 (o conjunto R2 e fechado quanto a soma);

S2) (a1, a2) + (b1, b2) = (b1, b2) + (a1, a2) (comutativa);

S3) [(a1, a2) + (b1, b2)] + (c1, c2) = (a1, a2) + [(b1, b2) + (c1, c2)] (associativa);

S4) ∃ (0, 0) ∈ R2 tal que (a1, a2) + (0, 0) = (a1, a2) (existencia do elemento neutro).

c) Produto por um escalar

Nao podemos definir uma operacao semelhante ao produto entre dois numeros reais para elementos doR2. No entanto, podemo definir a operacao produto por um escalar, que consiste em fazer o produto de umelemento do R2 por um elemento de R. Dado um elemento (a1, a2) ∈ R2 e um elemento α ∈ R, definimos oproduto desse elemento pelo escalar α como α(a1, a2) = (αa1, αa2).

Exemplo 1: faca o produto do elemento (1, 4) do R2 pelo escalar 3 ∈ R.

Solucao: 3(1, 4) = (3 · 1, 3 · 4) = (3, 12).

Exemplo 2: faca o produto do elemento (−4, 12) do R2 pelo escalar 1/4 ∈ R.

Solucao:1

4(−4, 12) =

(

1

4· (−4),

1

4· 12

)

= (−1, 3).

O produto por um escalar apresenta as seguintes propriedades, dados dois elementos (a1, a2), (b1, b2) ∈ R2

e os elementos α, β ∈ R:

P1) α(a1, a2) ∈ R2 (o conjunto R2 e fechado quanto ao produto por um escalar);

P2) α [β(a1, a2)] = (αβ)(a1, a2) (associativa);

P3) para o elemento 1 ∈ R, 1(a1, a2) = (a1, a2) (existencia do elemento neutro).

O produto por um escalar junto com a soma apresenta ainda as seguintes propriedades mistas, dadoselementos (a1, a2), (b1, b2) ∈ R2 e os elementos α, β ∈ R:

M1) α [(a1, a2) + (b1, b2)] = α(a1, a2)+α(b1, b2) (distributiva da soma com relacao ao produto por um escalar);

M2) (α + β)(a1, a2) = α(a1, a2) + β(a1, a2) (distributiva do produto por um escalar com relacao a soma).

Observacao: conjuntos que tem as propriedades de soma e de produto por um escalar que acabamos de des-crever sao chamados espacos vetoriais e sao geralmente estudados em cursos de Algebra Linear. A LeituraComplementar 1.1.2 traz um pouco mais de detalhes sobre isto.

A soma e o produto por um escalar podem ser utlizadas simultaneamente, como no exemplo a seguir.

Exemplo 3: calcule 3(2,−1) + (−5)(−4, 2).

Solucao: 3(2,−1) + (−5)(−4, 2) = 3(2,−1)− 5(−4, 2) = (6,−3) − (−20, 10) = (26,−13).


d) Representacao vetorial

Um outro conjunto de objetos que apresentam exatamente as mesmas propriedades da soma e produto porum escalar validas para o R2 e o conjunto dos vetores em um plano. Vetores podem ser vistos como segmentosde retas orientados (pedacos de retas com um sentido determinado) que nao estao presos a um determinadolugar do espaco (uma definicao mais rigorosa e feita na Leitura Complementar 1.1.3). Podemos representar umvetor no plano como uma seta partindo da origem (0, 0) e terminando em algum ponto (a, b), como na figuraa seguir.

x

y

a

b b

Note que ha uma correspondencia imediata entre um ve-tor que termina no ponto (a, b) com o proprio elemento de(a, b) ∈ R2. Por isso, e comum representarmos elementosdo R2 como vetores no plano. Essa representacao e par-ticularmente util quando queremos mostrar a soma de doiselementos de R2 ou o produto de um elemento do R2 porum escalar geometricamente. Os proximos dois exemplosmostram como essas operacoes podem ser representadas emtermos de vetores em um plano cartesiano.

Exemplo 1: represente vetorialmente os pares ordenados (3, 3) e (4, 1) e a sua soma.

Solucao: os dois pares ordenados estao representados vetorialmente no primeiro grafico a seguir e a sua soma, dadapor (3, 3) + (4, 1) = (7, 4), e representada no segundo grafico a seguir.

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3 (3, 3)

(4, 1)

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

(7, 4)

Exemplo 2: represente vetorialmente o par ordenado (3, 2) e o produto dele pelo escalar 2.

Solucao: o par ordenado (2, 1) e o seu produto pelo escalar 2, 2(3, 2) = (6, 4) estao representados no grafico aseguir.

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

(3, 2)

(6, 4)

Exemplo 3: represente vetorialmente o par ordenado (4, 1) e o produto dele pelo escalar −1.

Solucao: o par ordenado (4, 1) e o seu produto pelo escalar −1, −1(4, 1) = (−4,−1) estao representados no graficoa seguir.

x

y

0−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−1

1 (4, 1)

(−4,−1)

Em termos vetoriais, a soma de dois pares ordenados (a1, a2) e (b1, b2) pode ser vista como o resultado da


chamada regra do paralelogramo dos vetores, que consiste em desenhar representacoes dos dois vetores comsuas origens no mesmo ponto e, a partir daı, desenhar um paralelogramo tomando como lados os dois vetores. Asoma dos dois vetores sera representada, entao, pela diagonal desse paralelogramo. Os vetores no lado esquerdoe abaixo recebem os nomes ~u, ~v e ~s, uma notacao comum quando nos referimos a vetores.

Outra forma de executar graficamente a soma de vetores e colocando um em seguida do outro, como nafigura a direita e abaixo. A resultante parte da origem do primeiro ate a extremidade do segundo.

~u~v

~u

~v

~s

~u~v

~s

Ja o produto por um escalar nao altera a direcao de um vetor, mas somente modifica o seu comprimento e,caso o produto seja por um numero negativo, tambem o seu sentido (como mostrado no exemplo 3).

Observacao: utilizando o produto por um escalar e a soma, podemos, inclusive, gerar todos os elementos doR2 a partir de somente dois elementos desse conjunto, como, por exemplo, os elementos (1, 0) e (0, 1). Isto sefaz escrevendo (a1, a2) = a1(1, 0) + a2(0, 1). Os conjunto desses dois elementos que geram todos os outros echamado de base do espaco R2 e e melhor estudado em cursos de Algebra Linear.

e) Aplicacao

Uma aplicacao de pares ordenados (elementos do R2) em Economia e a compilacao de dados e a suarepresentacao em um plano cartesiano. O conjunto de pares ordenados a seguir mostra o ındice Dow Jones, quemede o desempenho da Bolsa de Valores de Nova Yorque, e o Ibovespa, que mede o desempenho da Bolsa deValores de Sao Paulo, para o mes de setembro de 2008. O primeiro elemento de cada par ordenado correspondeao ındice Dow Jones e o segundo elemento, ao ındice Bovespa:

(11516, 54404), (11532, 53527), (11188, 51408), (11220, 51939), (11510, 50717), (11230, 48435),(11268, 49633), (11433, 51270), (11421, 52392), (10917, 48416), (11059, 49228), (10609, 45908),(11019, 48422), (11388, 53055), (11015, 51540), (10854, 49593), (10825, 49842), (11022, 51828),(11143, 50782), (10365, 46028), (10850, 49541).

Colocados em um plano cartesiano, como mostrado a seguir (primeiro grafico a esquerda), esses paresordenados revelam uma relacao entre os dois ındices, o que fica mais claro quando colocamos, um proximo aooutro, os graficos dos dois ındices com relacao ao tempo, somente nos dias em que houve negociacoes (doisultimos graficos, abaixo e a direita).

Dow Jones

Ibovespa

10.200 10.400 10.600 10.800 11.000 11.200 11.400

45.000

47.000

49.000

51.000

53.000

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

bDia

Dow Jones

2 3 4 5 8 9 10 11 12 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26 29 30

10.200

10.800

11.400

Dia

Ibovespa

2 3 4 5 8 9 10 11 12 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26 29 30

4.500

4.900

5.300


Existem ainda meios mais complexos de se aplicar o espaco R2 a dados economicos ou financeiros. Algumsdesses serao vistos nos proximos dois capıtulos. A Leitura Complementar 1.1.4 mostra como descrever pontosem um plano cartesiano em termos de coordenadas polares.

Resumo

• Espaco R2. O espaco R2 e o conjunto de pares ordenados (x, y) tais que x, y ∈ R (o conjunto dosnumeros reais), ou seja: R2 = {(x, y) | x, y ∈ R}.• Representacao geometrica. Um elemento do R2, ou seja, um par ordenado (a, b), pode serrepresentado graficamente como o ponto de ordenada a e abscissa b em um sistema de coordenadascartesiano, como na figura abaixo.

x

y

a

b b (a, b)

• Soma. Dados dois elementos (a1, a2) e (b1, b2) de R2, entao a soma deles e definida como(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).

• Propriedades da soma. Dados os elementos (a1, a2), (b1, b2), (c1, c2) ∈ R2:

S1) (a1, a2) + (b1, b2) ∈ R2 (o conjunto R2 e fechado quanto a soma);S2) (a1, a2) + (b1, b2) = (b1, b2) + (a1, a2) (comutativa);S3) [(a1, a2) + (b1, b2)] + (c1, c2) = (a1, a2) + [(b1, b2) + (c1, c2)] (associativa);S4) ∃ (0, 0) ∈ R2 tal que (a1, a2) + (0, 0) = (a1, a2) (existencia do elemento neutro).

• Produto por um escalar. Dado um elemento (a1, a2) ∈ R2 e um elemento α ∈ R, definimos oproduto desse elemento pelo escalar α como α(a1, a2) = (αa1, αa2).

• Propriedades do produto por um escalar. Dados dois elementos (a1, a2), (b1, b2) ∈ R2 e oselementos α, β ∈ R:

P1) α(a1, a2) ∈ R2 (o conjunto R2 e fechado quanto ao produto por um escalar);P2) α [β(a1, a2)] = (αβ)(a1, a2) (associativa);P3) para o elemento 1 ∈ R, 1(a1, a2) = (a1, a2) (existencia do elemento neutro).

• Propriedades mistas. Dados elementos (a1, a2), (b1, b2) ∈ R2 e os elementos α, β ∈ R:

M1) α [(a1, a2) + (b1, b2)] = α(a1, a2)+α(b1, b2) (distributiva da soma com relacao ao produto por umescalar);M2) (α + β)(a1, a2) = α(a1, a2) + β(a1, a2) (distributiva do produto por um escalar com relacao asoma).

• Representacao vetorial. Um elemento (a, b) do R2 pode ser representado por meio de um vetor,onde a representacao do vetor e uma seta que parte da origem e que termina nas coordenadas doelemento do R2.

x

y

a

b b


Leitura Complementar 1.1.1 - Numeros reais

Como foi dito no texto principal, os numeros reais pertencem a famılia dos corpos, mais particularmente,ele e um corpo ordenado completo. Nesta leitura complementar, explicaremos o que isto significa, fornecendocom isto uma visao mais aprofundada da definicao desse conjunto numerico.

a) Corpo

Um corpo e basicamente um conjunto cujos elementos se comportam aproximadamente como os numerosreais. Para definir um corpo, precisamos de uma operacao de soma e uma operacao de multiplicacao, de modoque um corpo e um conjunto munido dessas duas operacoes. Por isso, frequentemente designamos um corpo pelosımbolo (K,+, ·). No entanto, e comum designarmos um corpo simplesmente por K. Por exemplo, podemosdesignar o corpo dos reais como (R,+, ·), so que e mais frequente chama-lo simplesmente R.

As operacoes de soma e produto sao definidas de modo que, se a e b pertencem ao conjunto K, entao a + be a · b tambem tem que pertencer ao conjunto K. A definicao completa e feita a seguir.

Definicao 1 - Um conjunto K munido de operacoes de soma e multiplicacao, {K,+, ·}, e um corpose tiver as seguintes propriedades.

Propriedades da soma: para quaisquer elementos α, β e γ desse corpo, temos

S1) α + β ∈ K (o conjunto K e fechado quanto a soma);

S2) α + β = β + α (comutativa);

S3) (α + β) + γ = α + (β + γ) (associativa);

S4) ∃ 0 ∈ K tal que α + 0 = α (existencia do elemento neutro);

S5) para qualquer α ∈ K, existe um −α ∈ K tal que (−α) + α = 0 (existencia de elementos inversos).

Propriedades do produto: para quaisquer elementos α, β e γ desse corpo, temos

P1) α · β ∈ K (o conjunto K e fechado quanto ao produto);

P2) α · β = β · α (comutativa);

P3) α · (β · γ) = (α · β) · γ (associativa);

P4) ∃ 1 ∈ K tal que 1 · α = α (existencia do elemento neutro);

P5) para qualquer α ∈ K, α 6= 0, existe um1

α∈ K tal que

1

α· α = 1 (existencia de elementos inversos).

Propriedade mista: para quaisquer elementos α, β e γ desse corpo, temos

M1) α · (β + γ) = α · β + α · γ (distributiva da soma com relacao ao produto).

Como ilustracao, vamos tentar montar um corpo com o menor numero de elementos possıvel. Como umcorpo tem que ter os numeros 0 e 1, podemos comecar considerando o conjunto {0, 1}, formado somente poresses dois numeros. Este conjunto nao e um corpo, pois nao existe nele a inversa por adicao (o numero −1 naofaz parte desse conjunto). Adicionando −1, temos {−1, 0, 1}, que tambem nao e um corpo, pois, por exemplo,1 + 1 = 2, que nao faz parte do conjunto. Seguindo esse raciocınio, podemos ver que um corpo nao pode serdefinido para um numero finito de elementos caso sejam utilizadas as operacoes usuais de soma e multiplicacao(no entanto, isto pode mudar caso alteremos essas duas operacoes).

Tambem de acordo com essa definicao, o conjunto dos numeros naturais, N = {0, 1, 2, · · · }, munido dasoma e multiplicacao usuais, nao e um corpo, pois nao possui as propriedades S5 e P5. O numero 2, porexemplo, pertence aos naturais, mas sua inversa quanto a soma, −2, ou sua inversa por multiplicacao, −1/2,nao pertencem a esse conjunto.

De forma semelhante, o conjunto dos numeros inteiros, Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }, munido da soma e


multiplicacao usuais, tambem nao e um corpo, pois nao possui a propriedade P5: o numero 2 pertence a Z etambem o seu inverso quanto a soma pertence a Z, mas nao seu inverso quanto a multiplicacao, 1/2.

Ja o conjunto dos numeros racionais e um corpo, pois possui todas as propriedades de soma e de produtonecessarias. Outros exemplos de corpos sao o conjunto dos numeros reais, R, e o conjunto dos numeroscomplexos, C, munidos de suas operacoes soma e produto usuais. O conjunto dos numeros irracionais nao podeser um corpo, pois

√2 ·

√2 = 2, sendo que

√2 pertence a esse conjunto mas 2 nao pertence aos irracionais.

De modo semelhante, o conjunto dos numeros imaginarios puros (nao confundir com o conjunto dos numeroscomplexos) nao e um corpo, pois o numero i =

√−1 pertence a esse grupo, mas o produto i · i = −1, nao.

Chamaremos rotineiramente os elementos de um corpo de escalares.

b) Corpo ordenado

O conjunto dos reais, munido da soma e do produto usuais, alem de ser um corpo apresenta ainda outrasprorpiedades, como a de ser ordenado, o que significa que podemos estabelecer uma relacao de ordem entre seuselementos (por exemplo, 10 e maior que 8). Para podermos definir um corpo ordenado, precisamos primeirodefinir de forma mais rigorosa o que significa uma relacao de ordem.

Definicao 2 - Dada um conjunto K, entao uma relacao ≤ entre dois elementos de K e uma relacaode ordem parcial se, para quaisquer α, β, γ ∈ K tivermos:

O1) α ≤ α (reflexiva);

O2) se α ≤ β e β ≤ α, entao α = β (anti-simetrica);

O3) se α ≤ β e β ≤ γ, entao α ≤ γ (transitiva).

A relacao de ordem necessaria para definir um corpo ordenado tem que ter mais algumas propriedades, oque a caracteriza como uma relacao de ordem total, definida a seguir.

Definicao 3 - Dada um conjunto K, entao uma relacao de ordem parcial ≤ entre dois elementos deK, essa e uma relacao de ordem total se, para quaisquer α, β ∈ K tivermos:

O4) α ≤ β ou β ≤ α (o “ou” utilizado e o inclusivo).

A definicao de um corpo ordenado e dada a seguir.

Definicao 4 - Um corpo {K,+, ·} e um corpo ordenado se existir uma relacao de ordem total α ≤ βentre dois elementos de K tais que:

S1) α ≤ β ⇒ α + γ ≤ β + γ se γ ∈ K (compatıvel com a soma);

S2) se 0 ≤ α e 0 ≤ β, entao 0 ≤ α · β (compatıvel com o produto).

De acordo com esta definicao, o corpo dos numeros complexos, C, nao e um corpo ordenado (qual e maior,2 + i ou 2 − i ?). Ja os corpos Q e R sao corpos ordenados. Corposo ordenados apresentam ainda outraspropriedades decorrentes destas.

c) Limitante superior, supremo e maximo

Para podermos continuar o nosso estudo sobre numeros reais, e necessario agora definir outros conceitos, oque e feito a seguir.

Definicao 5 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relacao de ordem ≤ e umsubconjunto A nao-vazio de K, entao L ∈ K e um limitante superior de A se, para todo x ∈ A,entao x ≤ L.


Exemplo 1: considere um subconjunto de R (um intervalo) dado por [1, 2] = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2}. Um li-mitante superior dele e qualquer elemento de L ∈ R tal que 2 ≤ L.

Exemplo 2: considere um subconjunto de R dado pelo intervalo aberto ]−1,√

2[={

x ∈ R | − 1 < x <√

2}

.

Um limitante superior dele e qualquer elemento de L ∈ R tal que√

2 ≤ L.

Definicao 6 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relacao de ordem ≤ e umsubconjunto A nao-vazio de K, entao L ∈ K e um supremo de A se ele for o menor limitante superiorde A.

Exemplo 3: dado o intervalo [1, 2] ⊂ R, o seu supremo e o numero 2.

Exemplo 4: dado o intervalo ] − 1,√

2[⊂ R, o seu supremo e o numero√

2.

Definicao 7 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relacao de ordem ≤ e umsubconjunto A nao-vazio de K, entao L ∈ K e um maximo de A se ele for um limitante superior deA e L ∈ A.

Exemplo 5: dado o intervalo [1, 2] ⊂ R, 2 e o seu maximo.

Exemplo 6: o intervalo ] − 1,√

2[⊂ R nao tem maximo.

De modo semelhante, podemos definir os conceitos analogos de limitante inferior, ınfimo e mınimo, o que efeito nas definicoes a seguir.

Definicao 8 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relacao de ordem ≤ e umsubconjunto A nao-vazio de K, entao ℓ ∈ K e um limitante inferior de A se, para todo x ∈ A, entaoℓ ≤ x.

Definicao 9 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relacao de ordem ≤ e umsubconjunto A nao-vazio de K, entao ℓ ∈ K e um ınfimo de A se ele for o maior limitante inferior deA.

Definicao 10 - Dado um conjunto parcialmente ordenado K mediante uma relacao de ordem ≤ e umsubconjunto A nao-vazio de K, entao ℓ ∈ K e um mınimo de A se ele for um limitante inferior de Ae ℓ ∈ A.

d) Corpo ordenado completo

Como ja vimos, tanto o corpo dos numeros racionais Q quanto o corpo dos numeros reais R sao corposordenados. Para diferencia-los, precisamos definir uma outra classe de corpos ordenados, que sera definida aseguir.


Definicao 11 - Um corpo ordenado K e um corpo ordenado completo se ele satisfizer o chamadoaxioma do supremo, que diz que todo subconjunto A ∈ K nao-vazio e limitado superiormente admiteum supremo.

Exemplo 1: o conjunto dos numeros racionais munido da soma e do produto usuais, nao e um corpo ordena-do completo. Para mostrar isto, basta um contra-exemplo: consideremos o subconjunto de Q dado porA =

{

x ∈ Q | x ≤√

2}

. Tal subconjunto e limitado superiormente (por exemplo, pelo numero 2 ∈ Q), mas

nao possui supremo, pois ele seria dado pelo numero irracional√

2.

Na verdade, o conceito de corpo ordenado completo limita bastante o tipo de conjunto que satisfaz ascondicoes dessa definicao. Nos assumiremos que existe um corpo ordenado completo e que esse corpo e dadopelo conjunto dos numeros reais munido das operacoes de soma e de produto e da relacao de ordem total ≤.

e) Postulado de Cantor-Dedekind

Seguem agora tres teoremas importantes na determinacao de uma propriedade interessante dos numerosreais e que e relacionada ao conceito de limite. Comecamos mostrando que o conjunto dos numeros naturais,N, nao e limitado superiormente mas e limitado inferiormente pelo numero 0.

Teorema 1 - O conjunto N dos numeros naturais nao e limitado superiormente.

Demonstracao: vamos provar esse teorema por absurdo. Vamos supor que N seja limitado superiormente. Istoimplica que existe um ponto c = sup N. Sendo assim, c e a menor das cotas superiores de N, de modo que c− 1 naopode ser cota superior desse conjunto.

Se este for o caso, existe um n ∈ N tal que c − 1 < n ⇔ c < n + 1, de modo que c nao pode ser cota superior deN. Isto e uma contradicao que mostra que a hipotese esta errada e que N nao pode ser limitado superiormente.

Teorema 2 - O ınfimo do conjunto X ={

1n

; n ∈ N}

e igual a 0.

Demonstracao: temos que provar que 0 e a maior das cotas inferiores de X . Levando em conta que

X =

{

1,1

2,1

3,1

4, · · ·

}

,

0 e uma cota inferior desse conjunto. Resta provar que ele e a maior das cotas inferiores.Tomando um c > 0, vamos mostrar que ele nao pode ser cota inferior de X . Se o fosse, isto implicaria que c < 1

n

para qualquer n ∈ N. No entanto, c < 1

n⇔ 1

c> n para todo n ∈ N. Isto contradiz o teorema 7, que diz que o

conjunto N nao e limitado superiormente. Portanto, 0 e a maior das cotas inferiores de X e, portanto, e o seu ınfimo.

O teorema a seguir auxilia na demonstracao do teorema 4, dos intervalos encaixantes.

Teorema 3 - Dados dois numeros a, b ∈ R+, onde R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}, existe um n ∈ N tal quen · a > b.

Demonstracao: se N nao e limitado, entao sempre podemos obter um n ∈ N tal que n > b

a⇔ n · a > b, pois

a > 0. Isto prova o teorema.

Consideremos agora a reta dos reais. Nessa reta, escolhemos alguns numeros a1, a2, · · · , an, · · · e outrosnumeros b1, b2, · · · , bn, · · · de modo que a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1.


[ [ [ [ ] ] ] ]a1 a2 an−1 an bn bn−1 b2 b1· · · · · · · · ·

Podemos construir com esses numeros os seguintes intervalos: I1 = [a1, b1], I2 = [a2, b2], · · · , In = [an, bn] eassim por diante, sendo cada intervalo menor que o outro. Se prosseguimos indefinidamente, a intuicao nos dizque acabaremos chegando a um intervalo de comprimento zero que se reduz a um unico numero real.

Na verdade, podemos usar esses intervalos encaixantes para definir um numero real qualquer. Por exemplo,podemos dizer que o numero

√2 e o limite dos intervalos encaixantes

I1 = [1, 2] , I2 = [1, 4 , 1, 5] , I3 = [1, 41 , 1, 42] , I4 = [1, 414 , 1, 415] , · · · .

De modo semelhante, o numero 0 pode ser definido como o limite infinito dos intervalos encaixantes

I1 = [−1, 1] , I2 =

[

−1

2,1

2

]

, I3 =

[

−1

3,1

3

]

, I4 =

[

−1

4,1

4

]

, · · · .

O teorema a seguir estabelece essa ideia intuitiva de forma rigorosa.

Teorema 4 - Dada uma sequencia I1 = [a1, b1], I2 = [a2, b2], · · · , In = [an, bn], · · · , tal que

I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · ,

entao existe pelo menos um numero c tal que c ∈ In para todo n ∈ N.

Demonstracao: o fato de um intervalo conter o outro significa que a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1.Sendo assim, o conjunto A = {a1, a2, · · · , an, · · · } e limitado superiormente. Vamos chamar de c o supremo de A(c = sup A), de modo que an ≤ c para todo n ∈ N. Como qualquer bn e cota superior de A, entao c ≤ bn para todon ∈ N. Portanto, an ≤ c ≤ bn para todo n ∈ N, de modo que c ∈ In para todo n ∈ N, o que prova o teorema.

O modo como os intervalos encaixantes foram montados indica que o intervalo In aproxima-se cada vezmais de zero conforme n tende a infinito, ou seja, quando n vai para o infinito, an = bn. Isto nos leva a intuirque, quando n vai para o infinito, havera um unico numero c ∈ [a, b] tal que an = c quando n vai para oinfinito e bn = c quando n vai para o infinito. No entanto, esta afirmacao nao pode ser provada, porque elanao e necessariamente verdadeira, e e dada como um postulado (uma regra que se aceita sem provas) para oconjunto dos numeros reais. Portanto, para numeros reais, vale que an = bn = c quando n vai para o infinito.

Postulado de Cantor-Dedekind - Dada uma sequencia de intervalos encaixantes · · · ⊂ In ⊂ · · · ⊂ I1,onde In = [an, bn] tais que an = bn quando n vai para o infinito, entao existe somente um ponto c tal quec ∈ In para todo n ∈ N.

Note que o que foi provado pelo teorema 4 e que haveria pelo menos um ponto c tal que c ∈ In para todon ∈ N. E outra coisa afirmar que so existe um ponto com tal propriedade.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918): grande matematico russo. Nasceu em Sao Petersburgo,Russia, e mudou-se com sua famılia para a Alemanha quando tinha 11 anos de idade. La estudou filosofia, fısicae matematica. Aos 27 anos interessou-se pela ideia de infinito. Trabalhou com conjuntos infinitos e criou a teoriados conjuntos. Em seus estudos, criou uma hierarquia para os varios tipos de infinito e foi o primeiro a introduzira ideia de numeros transfinitos.


Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916): Richard Dedekind nasceu na cidade de Bruswick, na epocaparte do condado de Braunschweig, na atual Alemanha. Seus primeiros interesses foram as ciencias naturais, masele logo se decepcionou com a falta que elas tinham de uma estrutura logica adequada. Sua atencao voltou-se, entaoa matematica. Estudou com grandes nomes na Universidade de Gottingen e acabou por ensinar no mesmo colegioem que seu pai havia sido professor, em sua cidade natal, onde residiu com uma irma, sendo ambos solteiros, atea sua morte. Quando ensinava Calculo Diferencial e Integral, sentiu que nao havia uma definicao rigorosa do quee um numero real e inventou o chamado corte de Dedekind, pelo qual definia rigorosamente numeros racionais enumeros irracionais. Dedekind tambem fez muitas contribuicoes a diversas outras areas da matematica e a clarezade suas demonstracoes influenciou geracoes de matematicos.


Leitura Complementar 1.1.2 - Espacos vetoriais

Um espaco vetorial e um conjunto V munido de uma operacao de soma e de uma operacao de produto porum escalar, onde o escalar e um elemento pertencente a um determinado corpo K. Por isso, dizemos que oespaco vetorial e um conjunto V sobre um corpo K. Para que V seja um espaco vetorial, e preciso que, se u ev pertencerem a V , entao u + v e αu tambem pertencam a V , onde α ∈ K. Uma definicao mais completa deum espaco vetorial e dada a seguir.

Definicao 2 - Um conjunto V sobre um corpo K e um espaco vetorial munido de operacoes de somae produto por um escalar se ele tiver as seguintes propriedades.

Propriedades da soma: para quaisquer elementos u, v e w pertencentes a V , temos

S1) u + v ∈ V (o conjunto V e fechado quanto a soma);

S2) u + v = v + u (comutativa);

S3) (u + v) + w = u + (v + w) (associativa);

S4) ∃ 0 ∈ V tal que v + 0 = v (existencia do elemento neutro);

S5) para qualquer v ∈ V , existe um −v ∈ V tal que (−v) + v = 0 (existencia de elementos inversos).

Propriedades do produto por um escalar: para quaisquer elementos u e v pertencentes a V eα ∈ K, temos

P1) αu ∈ V (o conjunto V e fechado quanto ao produto por um escalar);

P2) α(βv) = (αβ)v (associativa);

P3) para o elemento 1 ∈ K, 1 · u = u (existencia do elemento neutro).

Propriedades mistas: para quaisquer elementos u e v pertencentes a V e α ∈ K, temos

M1) α(u + v) = αu + αv (distributiva da soma com relacao ao produto por um escalar);

M2) (α + β)v = αv + βv (distributiva do produto por um escalar com relacao a soma).

As propriedades da soma sao internas ao conjunto V . Ja as operacoes envolvendo o produto por um escalarsao externas a V , pois envolvem tambem o corpo K dos escalares. Vamos parar por aqui e explorar melhoresta definicao no proximo capıtulo.

Os elementos de um espaco vetorial, em analogia com o espaco dos vetores, sao chamados de vetores. Deacordo com a definicao 1, um espaco vetorial tem que ter um vetor nulo, que e o elemento neutro quanto asoma, e que representaremos por 0. Ja o elemento neutro quanto ao produto entre vetores nao e necessario aconstrucao de um espaco vetorial. Tentemos montar o menor espaco vetorial possıvel considerando o conjuntocujo unico elemento e o vetor 0: {0}. Apesar desse conjunto nao ser um corpo, ele e um espaco vetorial definidosobre R, pois 0 + 0 = 0, que pertence a {0}, e α · 0 = 0 pertence a {0} para qualquer α ∈ R. Alem disso,o elemento unico desse conjunto apresenta todas as propriedades de um espaco vetorial, como e mostrado aseguir.

Exemplo 1: verifique se o conjunto {0} sobre o corpo R, onde a operacao de soma e definida por 0 + 0 = 0e o produto por um elemento de R (produto por um escalar) e dado por α · 0 = 0 e um espaco vetorial.

Solucao: para que {0} sobre R seja um espaco vetorial, temos que mostar que esse conjunto satisfaz todas aspropriedades necessarias.

• Propriedades da soma: para todo elemento 0 ∈ {0}, temos

S1) 0 + 0 = 0 ∈ {0} (fechado quanto a soma);

S2) 0 + 0 = 0 + 0 (comutativa);

S3) 0 + (0 + 0) = 0 + 0 = (0 + 0) + 0 (associativa);


S4) existe 0 ∈ {0} tal que 0 + 0 = 0 (elemento neutro);

S5) para todo 0 ∈ {0} existe um −0 = 0 ∈ {0} tal que −0 + 0 = 0 (elemento inverso).

• Propriedades do produto: para 0 ∈ {0} e para qualquer elemento α ∈ R, temos

P1) α · 0 = 0 ∈ {0} (fechado quanto ao produto por um escalar);

P2) α(β · 0) = α · 0 = 0 = β · 0 = β(α · 0) (associativa);

P3) para 1 ∈ R, 1 · 0 = 0 (elemento neutro).

• Propriedades mistas: para 0 ∈ {0} e para quaisquer α, β ∈ R, temos

M1) α(0 + 0) = α · 0 = 0 = 0 + 0 = α · 0 + α · 0 (distributiva da soma com relacao ao produto por um escalar);

M2) (α + β)0 = 0 = 0 + 0 = α · 0 + β · 0 (distributiva do produto por um escalar com relacao a soma).

Portanto, {0} sobre R e um espaco vetorial.

Podemos, agora, considerar o conjunto {0, 1} com as operacoes-padrao de soma e produto por um escalar everificar se ele e um espaco vetorial. Isto nao e verdade, pois 1 + 1 = 2 6∈ {0, 1}. Do mesmo modo, o conjunto{−1, 0, 1} tambem nao e um espaco vetorial.

O conjunto N = {0, 1, 2, · · · } dos numeros naturais nao e um espaco vetorial, pois nao tem um elementoinverso quanto a soma para todos os seus elementos. Ja o conjunto Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · } dos numerosinteiros, que tem um elemento inverso quanto a soma para qualquer um de seus elementos, nao e um espacovetorial se ele for definido sobre o corpo R dos reais, pois, por exemplo, 1

2 · 1, onde 12 ∈ R e 1 ∈ Z, nao pertence

a Z, de modo que ele nao e fechado com relacao ao produto escalar. Mesmo que o produto escalar seja definidosobre o corpo Q dos numeros racionais, o conjunto Z nao sera fechado quanto ao produto por um escalar. ComoZ nao e um corpo, nao podemos definir Z sobre Z.

Ja o conjunto Q, quando definido sobre ele mesmo como corpo, e um espaco vetorial, pois ele satisfaz todasas propriedades necessarias para tal. Isto pode ser visto analisando as propriedades de um corpo. Da mesmaforma, o conjunto R sobre R tambem e um espaco vetorial.

Tambem podemos dizer que R2 e um espaco vetorial quando definido sobre o corpo R, o que e demonstradoa seguir.

Exemplo 2: verifique se o conjunto dos pares ordenados, R2 = {(x1, x2) | x1, x2 ∈ R}, sobre o corpo R, eum espaco vetorial, onde a operacao de soma e definida por (a1, a2)+(b1, b2) = (a1 +b1, a2 +b2) e o produtopor um elemento de R (produto por um escalar) e dado por α(a1, a2) = (αa1, αa2).

Solucao: para que R2 sobre R seja um espaco vetorial, temos que mostrar que esse conjunto satisfaz todas aspropriedades necessarias.

• Propriedades da soma: para quaisquer elementos a, b, c ∈ R2, temos

S1) a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2) ∈ R2 (fechado quanto a soma);

S2) a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2) = (b1 + a1, b2 + a2) = (b1, b2) + (a1, a2) = b + a (comutativa);

S3) a + (b + c) = (a1, a2) + [(b1, b2) + (c1, c2)] = (a1, a2) + (b1 + c1, b2 + c2) = (a1 + b1 + c1, a2 + b2 + c2) == (a1 + b1, a2 + b2) + (c1, c2) = [(a1, a2) + (b1, c2)] + (c1, c2) = (a + b) + c (associativa);

S4) existe o par ordenado 0 = (0, 0) tal que, para qualquer a ∈ R2, 0 + a = a (elemento neutro);

S5) para todo a = (a1, a2) existe um −a = (−a1,−a2) tal que (−a) + a = (−a1 + a1,−a2 + a2) = (0, 0) = 0(elemento inverso).

• Propriedades do produto: para quaisquer elementos a, b ∈ R2 e para quaisquer elementos α, β ∈ R, temos

P1) αa = α(a1, a2) = (αa1, αa2) ∈ R2 (fechado quanto ao produto por um escalar);

P2) α(βa) = α(βa1, βa2) = (αβa1, αβa2) = (αβ)(a1, a2) = (αβ)a (associativa) ;

P3) para o numero 1 ∈ R, 1 · a = 1 · (a1, a2) = (a1, a2) = a (elemento neutro).

• Propriedades mistas: para quaisquer a, b ∈ R2 e α, β ∈ R, temos

M1) α(a + b) = α(a1 + b1, a2 + b2) = (α(a1 + b1), α(a2 + b2)) = (αa1 + αb1, αa2 + αb2) = (αa1, αa2) + (αb1, αb2) == αa + αb (distributiva da soma com relacao ao produto escalar);

M2) (α +β)a = ((α + β)a1, (α + β)a2) = (αa1 +βa1, αa2 +βa2) = (αa1, αa2)+ (βa1, βa2) = αa+βa (distributivado produto escalar com relacao a soma).

Portanto, R2 sobre R e um espaco vetorial.


Leitura Complementar 1.1.3 - Vetores

Esta leitura complementar tem o proposito de dar uma definicao mais geometrica e formal de um vetor.Primeiro, e importante perceber que algumas medidas podem ser determinadas completamente por um numero(tambem chamado de escalar), como por exemplo a quantidade de dinheiro em uma conta corrente ou o numerode pessoas em uma quadra de esportes, ou a massa de um corpo. Outras medidas necessitam de mais do queisso, como por exemplo a velocidade de um automovel e a forca exercida sobre um bloco. Ambas nao saobem definidas a nao ser que se indique a sua intensidade (um escalar), sua direcao e seu sentido. Essas tr escaracterısticas sao proprias de um objeto que chamamos de vetor. Para dar uma ideia mais rigorosa do quesao tais objetos, temos, primeiro, que fazer algumas outras definicoes.

a) Reta orientada e segmento orientado

Uma reta orientada, ou eixo e uma reta em que se adota um sentido.Devemos lembar que uma reta e, por definicao, infinita.

Um segmento orientado e um pedaco de uma reta orientada, definidopor dois pontos, A e B, sendo A a origem e B a extremidade do segmentoorientado. Tal segmento orientado e designado AB.

Um segmento orientado AB e um pedaco de reta que esta preso entreos pontos A e B e nao pode ser movido para outro lugar no espaco. Estae uma caracterıstica que tera que ser removida na definicao de vetores. b

b

A

B

Estabelecida uma unidade de medida, o modulo (ou medida) de umsegmento orientado e o comprimento desse segmento segundo aquelaunidade de medida. O modulo de um segmento orientado AB e indicadopor AB.

b

b

A

B

AB

Exemplo 1: o segmento orientado AB ao lado pode ser medido

como tendo modulo AB = 5, 08 cm ou AB = 2′′, depen-dendo se a unidade adotada e o centımetro ou a polegada.

b

b

A

B

Dois segmentos orientados AB e CD tem o mesmo modulo se AB = CD.

Exemplo 2: o segmento orientado AB tem modulo

AB = 3 cm e o segmento orientado CD tem omesmo modulo, CD = 3 cm.

b

b

A

B

b bC D

A direcao de um segmento orientado e a orientacao deste no espaco. Dois segmentos orientados AB e CDtem a mesma direcao se as retas sobre as quais eles se baseiam sao paralelas.

Exemplo 3: os segmentos orientados AB, CD e EF tem a mesma direcao.

b

b

A

B

b

b

C

D

b

b

F

E


Exemplo 4: os segmentos orientados MN , OP e QR nao tem a mesma direcao.

b

b

M

N

b bO P b

b

R

Q

Uma vez estabelecida uma direcao, um segmento orientado pode ter dois sentidos.

Exemplo 5: os segmentos AB e CD tem omesmo sentido.

b

b

A

B

b

b

C

D

Exemplo6: os segmentos EF e GH temsentidos opostos.

b

b

E

F

b

b

H

G

Exemplo 7: os segmentos IJ e KL nao tem a mesma direcao. Portanto, nao podemos comparar os seussentidos.

b

b

I

J

b bK L

Dois segmentos orientados sao equipolentes se eles tiverem o mesmo modulo, a mesma direcao e o mesmosentido. Dados dois segmentos orientados AB e CD equipolentes, escrevemos AB ∼ CD.

Exemplo 8: AB ∼ CD.

b

b

A

B

b

b

C

D

Exemplo9: EF 6∼ GH, pois estes nao temo mesmo modulo.

b

b

E

F

b

b

G

H

Exemplo 10: IJ 6∼ KL, pois estes nao temo mesmo sentido.

b

b

I

J

b

b

L

K

Exemplo11: MN 6∼ OP , pois estes nao tema mesma direcao.

b

b

M

N

b bP O

b) Vetores

Um segmento orientado esta preso a um determinado local do espaco. Para que possamos definir conceitoscomo a soma, precisamos de objetos que nao estejam fixados. A definicao a seguir, baseada em segmentos dereta orientados, consegue fazer isto definindo um novo objeto: o vetor.


Dado um segmento orientado AB, o vetor−−→AB e o conjunto de todos os

segmentos orientados equipolentes a AB, isto e,

−−→AB = {XY | XY ∼ AB}.

Portanto, um vetor e um conjunto de infinitos segmentos orientados, todos commesmo modulo, direcao e sentido. Esses segmentos orientados encontram-se espalhados por todo o espaco. Vetores nao devem ser confundidos comsegmentos orientados, que ocupam um lugar especıfico no espaco.

Um vetor−−→AB pode ser representado por qualquer elemento AB ∈ −−→

AB(lembre-se que um vetor e um conjunto). Desta forma, dado qualquer pontodo espaco, podemos representar um vetor escolhendo um segmento orientadopertencente a ele que tenha sua origem naquele ponto. Esta liberdade deescolha de representacao e o que possibilita a imensa variedade de operacoese aplicacoes dos vetores, como veremos em breve. b

b

A

B

O modulo de um vetor, designado |−−→AB|, e o modulo de qualquer um de seus segmentos orientados. Demodo semelhante, a direcao e o sentido de um vetor sao a direcao e o sentido de qualquer um de seus segmentosorientados.

Vetores no plano podem ser representados como setas partindo da origem em um grafico de eixos cartesianos,como mostrado no texto principal deste capıtulo. Com isto, terminamos nossa definicao de vetores.


Leitura Complementar 1.1.4 - Coordenadas polares

Uma forma de determinar um ponto no plano e por meio de um par ordenado (x0, y0), onde x0 e a coordenadado ponto sobre o eixo x e y0 e a coordenada do ponto no eixo y, sendo que ambos os eixos fazem um angulo de90o entre eles (primeira figura a seguir). Este e o chamado sistema de coordenadas cartesianas. No entanto,ha outras formas de determinar a posicao de um ponto no plano. Uma delas, muito utilizada pela astronomiae pelos militares, sao as coordenadas polares. Nesse tipo de coordenadas, um ponto no plano e determinadopor duas coordenadas (segunda figura a seguir): a primeira e o raio, que e a distancia desse ponto a origem; asegunda e o seu angulo com relacao ao eixo x. Portanto, a posicao de um ponto em um sistema de coordenadaspolares tambem e dada por um par ordenado (r, θ), onde r e o raio e θ e o angulo.

x

y

b

x0

y0

x

y

r

b

θ

Exemplo 1: posicione em um grafico o pontode coordenadas polares (r, θ) = (2, 30o).

Solucao:

x

y

2b

30o

Exemplo 2: posicione em um grafico o pontode coordenadas polares (r, θ) = (1, 135o).

Solucao:

x

y

1

b

135o

Usando um pouco de trigonometria, podemos estabelecer uma relacao entre o sistema de coordenadas carte-siano e o sistema de coordenadas polares. Considerando a primeira figura a seguir, que representa graficamentea posicao de um ponto de coordenadas cartesianas (x, y) e de coordenadas polares (r, θ), observa-se que podemosextrair dela um triangulo retangulo de lados x e y e de hipotenusa r (segunda figura a seguir).

x

y

b

x

y

r

b

θ

r

x

y

·θ

Usando a definicao do cosseno do angulo θ, temos

cos θ =x

r⇔ r cos θ = x ⇔ x = r cos θ .

Portanto, conhecendo θ e v, podemos calcular x. De forma semelhante, usando a definicao do seno do angulo


θ, temos

sen θ =y

r⇔ r sen θ = y ⇔ y = r sen θ .

Assim, pudemos calcular as componentes do vetor sabendo o seu modulo e o seu angulo de inclinacao. A seguir,mostramos alguns exemplos de calculo desse tipo.

Exemplo 1: escreva o ponto de coordenadas polares (3, 60o) em termos de coordenadas cartesianas.

Solucao: x = r cos θ = 3 cos 60o = 3 · 1

2=

3

3; y = r sen θ = 3 sen 60o = 3 ·

√3

2=

3√

3

2.

Exemplo 2: escreva o ponto de coordenadas polares (2,−45o) em termos de coordenadas cartesianas.

Solucao: x = r cos θ = 2 cos (−45o) = 2 ·√

2

2=

√2 ; y = r sen θ = 2 sen (−45o) = 2 ·

√2

2=

√2.

O caminho inverso pode ser feito escrevendo pontos com coordenadas cartesianas em termos de coordenadaspolares. Comecamos escrevendo

x2 + y2 = r2 cos 2θ + r2 sen 2θ = r2( cos 2θ + sen 2θ) .

Usando a identidade trigonometrica cos 2θ + sen 2θ = 1, ficamos com

x2 + y2 = r2 ⇔ r =√

x2 + y2 ,

pois r so pode ser positivo.Dividindo as expressoes x = r cos θ e y = r sen θ uma pela outra, obtemos

y

x=

r sen θ

r cos θ⇔ y

x=

sen θ

cos θ⇔ y

x= tg θ .

Podemos isolar o angulo θ utilizando a funcao inversa da tangente, a funcao arcotangente:

θ = arctgy

x.

Exemplo 3: escreva o ponto de coordenadas cartesianas (1,−1) em termos de coordenadas polares.

Solucao: r =√

x2 + y2 =√

1 + 1 =√

2 ; θ = arctgy

x= arctg

(−1

1

)

= arctg (−1) = −45o.

Exemplo 4: escreva o ponto de coordenadas cartesianas (2, 4) em termos de coordenadas polares.

Solucao: r =√

x2 + y2 =√

4 + 16 =√

20 =√

22 · 5 = 2√

5 ; θ = arctgy

x= arctg

(

4

2

)

= arctg 2 ≈ 63o.


Exercıcios - Capıtulo 1.1

Nıvel 1

Espaco R2

Exemplo 1: represente o elemento (2,−1) do R2 em no plano cartesiano.

Solucao:

x

y

−1

1 20

b

E1) Represente os seguintes elementos do R2 no plano cartesiano.

a) (2, 3). b) (−2, 1). c) (2, 0). d) (−1,−2).

Exemplo 2: represente vetorialmente o elemento (2,−1) do R2 no plano cartesiano.

Solucao:

x

y

−1

1 20

E2) Represente vetorialmente os elementos do R2 do exercıcio E1 no plano cartesiano.

Exemplo 3: determine o elemento do R2 representado vetorialmente abaixo.

x

y

1

2

1 2 30

Solucao: (3, 2).

E3) Escreva os elementos do R2 representados vetorialmente abaixo.

a)

x

y

1

1 20

b)

x

y

−1

1 2 30

c)

x

y

−1

−2 −1 0


Soma

Exemplo 4: faca a soma dos elementos (−1, 2) e (3, 5) do R2.

Solucao: (−1, 2) + (3, 5) = (−1 + 3, 2 + 5) = (2, 7).

E4) Calcule as seguintes somas de elementos do R2.

a) (1, 4) + (3, 2). b) (−1, 6) + (4, 6). c) (−2, 4) + (2,−4).

Produto por um escalar

Exemplo 5: faca o produto do elemento (−3, 4) do R2 pelo numero real 3.

Solucao: 3(−3, 4) = (3 · (−3), 3 · 4) = (−9, 12).

E5) Calcule as produtos dos elementos do R2 dados pelos escalares dados.

a) (1, 3) ∈ R2 por 2 ∈ R. b) (−2, 4) ∈ R2 por −3 ∈ R. c) (2, 6) ∈ R2 por√

3 ∈ R.

Exemplo 6: dados os elementos (−3, 4) e (2,−1) do R2, calcule 3(−3, 4) − 2(2,−1).

Solucao: 3(−3, 4)− 2(2,−1) = (−9, 12)− (4,−2) = (−13, 14).

E6) Efetue as seguintes operacoes:

a) 3(−1, 2) + 4(2, 3). b) −1(3, 5) + 4(0, 6). c) (−1, 3) + 4(2, 5) − 2(3, 1).

Nıvel 2

E1) Encontre os valores de α e β tais que α(1,−2) + β(3,−1) = (−1,−1).

E2) (Leitura Complementar 1.1.4) Um elemento do R2 e dado, em coordenadas polares, por (r, θ) = (4, 30o).Calcule esse elemento em coordenadas cartesianas.

E3) (Leitura Complementar 1.1.4) Um elemento do R2 e dado, em coordenadas cartesianas, por (x, y) = (4, 4).Calcule esse elemento em coordenadas polares.

Nıvel 3

E1) Dado o triangulo ABC abaixo, onde M e o ponto medio do lado AC e N e o ponto medio do lado BC,prove que MN e paralelo a AB e que o seu comprimento e metade do comprimento de AB. Use, para isso, anotacao vetorial de um ponto no plano cartesiano.

A B

C

M N


E2) Dado o triangulo ABC abaixo, onde M e o ponto medio do lado AB, mostre que o comprimento da retaAM e igual a metade da soma dos comprimentos dos lados CA e CB. Use, para isso, a notacao vetorial de umponto no plano cartesiano.

C B

A

M

E3) Prove que as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio. Use, para isso, a notacao vetorial de umponto no plano cartesiano.

E4) (Leitura Complementar 1.1.1) Verifique se os seguintes conjuntos, onde sao definidas as operacoes de somae de multiplicacao, sao corpos:

a) {−1, 0, 1}. b) conjunto N dos numeros naturais. c) conjunto Z dos numeros inteiros.

d) conjunto Q dos numeros racionais.

E5) (Leitura Complementar 1.1.2) Verifique se os seguintes conjuntos, onde sao definidas as operacoes de somae de produto por um escalar (onde o escalar pertence ao conjunto dos numeros reais), sao espacos vetoriais:

a) {0, 1}.b) conjunto de todos os polinomios de grau ≤ n: pn(x) = {a0+a1x+a2x

2+· · ·+anxn | a0, a1, a2, · · · , an ∈ R}.

c) conjunto de todas as matrizes m × n: Mm×n =

a11 · · · a1n

......

am1 · · · amn

| a11, · · · , amn ∈ R

.

d) conjunto Q dos numeros racionais.

E6) (Leitura Complementar 1.1.2) Verifique se os seguintes conjuntos, com as operacoes de soma e multiplicacaopor um escalar dadas, sao espacos vetoriais.

a) Conjunto R com a soma x + y = x + ky, k ∈ R, e o produto por um escalar usual, αx = αx.

b) Conjunto R com a soma x + y = xy e o produto por um escalar αx = xα.

c) Conjunto R2 com a soma (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + kx2, y1 + ky2), onde k ∈ R, e o produto por um escalarusual, α(x1, y1) = (αx1, αy1).

d) Conjunto R2 com a soma usual, (x1, y1)+(x2, y2) = (x1 +x2, y1 +y2), e o produto por um escalar α(x1, y1) == (αx1, 0).

e) Conjunto R2 com a soma (x1, y1)+(x2, y2) = (y1 +y2, x1 +x2) e o produto por um escalar usual, α(x1, y1) == (αx1, αy1).

Respostas

Nıvel 1

E1) a)

x

y

1

2

3

1 20

bb)

x

y

1

−2 −10

b

c)

x

y

1 20

b

, d)x

y

−2

−1

−10

b


E2) a)

x

y

1

2

3

1 20

b)

x

y

1

−2 −10

c)

x

y

1 20

, d)x

y

−2

−1

−10

E3) a) (2, 1). b) (3,−1). c) (−2,−1). E4) a) (4, 6). b) (3, 12). c) (0, 0).

E5) a) (2, 6). b) (6,−12). c)(

2√

3, 6√

3)

. E6) a) (5, 18). b) (−3, 19). c) (1, 21).

Nıvel 2

E1) α = 2 e β = −1. E2) (x, y) =(

2√

3, 2)

. E3) (r, θ) =(

4√

2, 45o)

.

Nıvel 3

E1) Em termos vetoriais, temos que mostrar que−−→MN =

1

2

−−→AB. Utilizando a soma de vetores, sabemos que

−−→MN =

=−−→MC +

−−→CN . Sendo M o ponto medio do lado AC e N o ponto medio do lado BC, entao

−−→MC =

1

2

−→AC e

−−→CN =

1

2

−−→CB.

Portanto,−−→MN =

1

2

−→AC +

1

2

−−→CB =

1

2

(−→AC +

−−→CB

)

=1

2

−−→AB.

E2) Em termos vetoriais, temos que mostrar que−−→CM =

1

2

(−→CA +

−−→CB

)

. Sabemos que−−→AM =

1

2

−−→AB. Pela soma de

vetores,−−→CM =

−→CA +

−−→AM =

−→CA +

1

2

−−→AB. Como

−−→AB =

−−→CB − −−→

BA, entao−−→CM =

−→CA +

1

2

−−→CB − 1

2

−→CA =

1

2

−→CA +

1

2

−−→CB =

=1

2

(−→CA +

−−→CB

)

.

E3) Considere o paralelogramo ABCD abaixo.

A B

CD

Vamos chamar de M o ponto medio da diagonal AC e de N o ponto medio da diagonal BD. Portanto,−−→AM =

1

2

−→AC

e−−→BN =

1

2

−−→BD. Sabemos, tambem, que

−−→AN =

−−→AB +

1

2

−−→BD =

−−→AB +

1

2

(−−→BA +

−−→AD

)

=

(−−→AB − 1

2

−−→AB

)

+1

2

−−→AD =

=1

2

(−−→AB +

−−→AD

)

=1

2

(−−→AB +

−−→BC

)

=1

2

−→AC =

−−→AM . Sendo assim, os pontos M e N coinsidem e as diagonais do paralelo-

gramo cortam-se ao meio.

E4) a) Nao e um corpo. b) Nao e um corpo. c) Nao e um corpo. d) E um corpo.

E5) a) Nao e um espaco vetorial. b) e um espaco vetorial. c) e um espaco vetorial. d) E um espaco vetorial.

E6) a) Nao e um espaco vetorial. b) E um espaco vetorial. c) Nao e um espaco vetorial.

d) Nao e um espaco vetorial. e) Nao e um espaco vetorial.

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Cap´ıtulo 1.1 - O espaço R2 · ordenados, isto é, que ha´ uma relaçao que determina qual elemento desse conjunto é maior que o outro. Essa propriedade de ordenaçao também