Vetores no plano e no espaco

Quando resolvemos um sistema linear obtemos um conjuntosolucao. As perguntas neste caso sao:I Como e esse conjunto solucao?I Como caracteriza-lo e como estuda-lo?

O problema basico a que nos confrontamos e o da visualizacaodo conjunto solucao. O ser humano visualiza coisas por meiode figuras e desenhos. Mas, para desenhar, precisamos dolugar ou papel onde desenhar e uma ideia de escala para quea nossa figura guarde uma certa coerencia.

O plano e o espaco

Quando tratamos de um sistema linear com duas incognitassabemos que o conjunto solucao e formado por elementos daforma (a,b) entao e natural, na hora de desenhar o conjunto,de faze-lo sobre um papel onde o numero a de uma ideia delargura e o numero b de altura. Nosso papel aqui e o planocartesiano

R2 = {(a,b), a,b ∈ R}

O plano e o espaco

Para fazer o desenho tracamos sobre o plano duas retasperpendiculares. Uma delas sera chamada de eixo x e a outrade eixo y . O ponto de intersecao O, que chamamos de origem,tera por coordenadas O = (0,0). Sobre cada uma das retastracamos uma escala, que de preferencia deve ser a mesmapara as duas. Os valores de x positivo sera do lado direito do(0,0) e do y positivo sera acima do O = (0,0).

O plano e o espacoEntao nosso conjunto solucao pode ser representado ali: porexemplo o ponto Q = (a,b) vai corresponder ao ponto que fora interseccao da reta paralela ao eixo y cortando o eixo x novalor correspondente a a e da reta paralela ao eixo x cortandoo eixo y no valor b.

O plano e o espaco

Da mesma forma que para sistemas de duas incognitaspodemos proceder para sisitemas de tres incognitas. So queagora o conjunto solucao possui elementos da forma a,b, cportanto para representa-los somente com altura e largura naoe possivel, precisamos de mais uma magnitude, neste casoprofundidade. Este novo lugar geometrico onde vamosdesenhar nosso conjunto solucao e o espaco cartesiano

R3 = {(a,b, c), a,b, c ∈ R}.

O plano e o espaco

Para desenhar nele, tracamos tres retas perpendiculares, umaque sera chamada de eixo x , outra de eixo y e a terceira deeixo z. As tres retas se intersectam em um ponto quechamamos de origem O. Este ponto O tera coordenadasO = (0,0,0).Analogamente ao caso anterior, sobre cada uma das retastracamos uma escala, que de preferencia deve ser a mesmapara todas.

O plano e o espacoOs valores de x positivo, y positivo e z positivo seraodistribuidos na forma que indica o desenho. Agora, nossoconjunto solucao pode ser representado ali: por exemplo oponto P = (a,b, c) vai corresponder ao ponto que forinterseccao do plano paralelo ao plano correspondente aoseixos xz que corta o eixo y em b e do plano paralelo ao planocorrespondente aos eixos xy que corta o eixo z em c.

Uma solucao de um sistema linear pode ser representada noplano ou no espaco por um ponto no mesmo.Uma vez que sabemos onde desenhar e onde representar oselementos dos conjuntos, temos que ter uma nocao dediferencia entre os objetos representados.

Comecamos por diferenciar pontos. Para diferencia-los bastaver que nao sao iguais. Isto sera feito por meio da distancia.

Definicao

Dados dois pontos P e Q no plano ou espaco, definimos adistancia entre P e Q comoI No plano, se P = (p1,p2) e Q = (q1,q2)

d(P,Q) =√

(q1 − p1)2 + (q2 − p2)2

I No espaco, se P = (p1,p2,p3) e Q = (q1,q2,q3)

d(P,Q) =√

(q1 − p1)2 + (q2 − p2)2 + q3 − p3)2

Vetores

Claramente, decorre da definicao que se d(P,Q) = 0 entaoP = Q.

Se dois pontos A e B no plano como no espaco nao sao iguais,nosso proximo passo e de alguma forma mensurar oudescrever como deve ser o deslocamento de A a para B. Paraisto introduzimos o conceito de vetor.

Definicao:

Um vetor ~u no plano e um par ordenado de numeros reais(a,b).

Analogamente, um vetor ~u no espaco e uma tripla ordenada denumeros reais (a,b, c). As entradas a,b, c recebem o nome decomponentes do vetor.

Denotamos por V2 ao conjunto dos vetores no plano e por V3ao conjunto de vetores no espaco, isto e

V2 = {(a,b), a,b ∈ R} e V3 = {(a,b, c), a,b, c ∈ R}.

Definimos sobre estes espacos duas operacoes: a soma e oproduto por escalar.Dados ~u = (a,b), ~v = (c,d) vetores no plano e α ∈ R definimospor ~u + ~v e α~u aos vetores cujas componentes sao dadas por

~u + ~v = (a + c,b + d), α~u = (αa, αb).

Analogamente ao caso do plano, dados ~u = (a,b, c) e~v = (d ,e, f ) vetores no espaco e α ∈ R definimos

~u + ~v = (a + c,b + e, c + f ) α~u = (αa, αb, αc).

Observamos como a definicao e igual ao caso das matrizes eque, embora esta notacao seja igual a notacao que damospara os pontos, o significado e completamente diferente.

Vetores: PropriedadesOs espacos dos vetores munidos da soma e produto porescalar definidos satisfazem as seguintes operacoes:

i- Comutatividade da soma: ~u + ~v = ~v + ~u.ii- Associatividade da soma: (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w).iii- Existe um unico elemento 0 = (0,0) em V2 (ou

0 = (0,0,0) em V3) tal que ~u + 0 = u.iv- Para cada elemento ~u existe um unico elemento, que

denotamos por −~u, tal que ~u + (−~u) = 0.v- 1~u = ~u.vi- (λ1λ2)~u = λ1(λ2~u).vii- (λ1 + λ2)~u = λ1~u + λ2~u.viii- λ1(~u + ~v) = λ1~u + λ1~v .para quaisquer ~u, ~v , ~w vetores e λ1, λ2 escalares.Vemos assim que o conjunto dos vetores tem uma estrutura deespaco vetorial.

VetoresOs vetores agem no plano e no espaco produzindodeslocamentos. Por exemplo, dado um ponto P = (p1,p2) noplano e um vetor ~v = (v1, v2) o ponto Q obtido ao se deslocardesde P na direcao de ~v e dado por

Q = (p1 + v1,p2 + v2).

Graficamente isto pode ser representado por um segmento dereta orientado

−→PQ com origem em P e extremo em Q.

Desta forma, podemos ver cada ponto P, no plano ou noespaco, como deslocamentos do ponto origem O na direcao dovetor

−→OP, cujas componentes sao dadas precisamente pelas

entradas do ponto, isto e

P = (a,b) ⇒−→OP = (a + 0,b + 0) = (a,b).

P = (a,b, c) ⇒−→OP = (a + 0,b + 0, c + 0) = (a,b, c).

Tambem podemos fazer o caminho contrario, dado dois pontosP = (p1,p2,p3) e Q = (q1,q2,q3) procuramos o vetor

−→PQ que

mensura o deslocamento de P ao ponto Q.Graficamente, o vetor

−→PQ e representado pelo segmento de

reta orientado com origem em P e extremidade em Q.Neste caso e simples fazer a conta e obter

P = (p1,p2), Q = (q1,q2) ⇒−→PQ = (q1 − p1,q2 − p2).

e no espaco

P = (p1,p2,p3), Q = (q1,q2,q3)

⇒−→PQ = (q1 − p1,q2 − p2,q3 − p3).

Definicao

Sejam−→AB (que vai do ponto A ao ponto B) e

−→PQ (que vai do

ponto P ao ponto Q) dois segmentos de reta orientados querepresentam os correspondentes vetores. Dizemos queI os segmentos de reta orientados representam o mesmo

vetor se−→AB =

−→PQ.

I−→AB e

−→PQ sao paralelos se existe um escalar λ ∈ R{0} tal

que−→AB = λ

−→PQ.

Exemplo

Seja ABC um triangulo e sejam P e Q os pontos medios doslados

−→AC e

−→AB respectivamente. Entao o segmento de reta

que une P com Q e paralelo ao lado CB.

A

B

C

Q

P

Exemplo

Vamos resolver isto com vetores. Sabemos que

−→AP +

−→PQ =

−→AQ,

entao−→CB =

−→AB −

−→AC

= 2−→AQ − 2

−→AP

= 2(−→AQ −

−→AP)

= 2−→PQ.

Definicao

I Um vetor ~v e dito uma combinacao linear de vetores{~u1, · · · , ~uk} se existem escalares {λ1, · · · , λk} tais que

~v = λ1~u1 + · · ·+ λk~uk

I Um conjunto de vetores {~u1, · · · , ~uk} e dito linearmnetedependente (l.d) se existem escalares {λ1, · · · , λk}, naotodos simultaneamente nulos, tais que

λ1~u1,+ · · ·+ λk~uk = 0.

Caso contrario dizemos que sao linearmenteindependente (l.i).

Exemplo

Os vetores −→v 1 = (1,1,1) −→v 2 = (2,1,0) e −→v 3 = (2,0,−2) saolinearmente dependentes. De fato

−→v 3 = −2−→v 1 + 2−→v 2.

Exemplo

Os vetores −→v 1 = (1,1,1), −→v 2 = (1,1,0) e −→v 3 = (1,0,1) saolinearmente independentes. De fato, se

α−→v 1 + β

−→v 2 + γ−→v 3 = 0.

Entao α + β + γ = 0α + β = 0α + + γ = 0

Como

det

1 1 11 1 01 0 1

= 1×det(

1 11 0

)+0+1×det

(1 11 1

)= −1 6= 0

Temos que o sistema tem solucao unica, portanto,α = β = γ = 0.

No plano

Todo vetor do plano pode ser escrito unıvocamente comocombinacao linear dos vetores

{~e1 = (1,0), ~e2 = (0,1)}.

Mais ainda, as coordenadas (x , y) de um ponto qualquer doplano P = (x , y), podem ser vistas como as componentes dacombinacao linear, isto e,

−→OP = x ~e1 + y ~e2.

Os eixos coordenados sao os conjuntos

eixo x→ {P,−→OP = x ~e1, x ∈ R}.

eixo y→ {P,−→OP = y ~e2, y ∈ R}.

No espaco

Todo vetor no espaco pode ser escrito unıvocamente comocombinacao linear dos vetores

{~e1 = (1,0,0), ~e2 = (0,1,0), ~e3 = (0,0,1)}.

Mais ainda, as coordenadas (x , y , z) podem ser vistas como ascompenentes da combinacao linear, isto e,

−→OP = x ~e1 + y ~e2 + z ~e3.

Os eixos coordenados sao os conjuntos

eixo x→ {P,−→OP = x ~e1, x ∈ R}.

eixo y→ {P,−→OP = y ~e2, y ∈ R}.

eixo z→ {P,−→OP = z ~e3, z ∈ R}.

No espaco

Analogamente, os planos coordenados podem ser descritos daseguinte forma

plano yz→ {P,−→OP = y ~e2 + z ~e3, y , z ∈ R}.

plano xz→ {P,−→OP = x ~e1 + z ~e3, x , z ∈ R}.

plano xy→ {P,−→OP = x ~e1 + y ~e2, x , y ∈ R}.

Observacao

Determinar se um conjunto de vetores ~u1, · · ·~uk e linearmentedependente e equivalente a determinar se existe uma k−upla(λ1, . . . , λk ) 6= (0, . . . ,0) tais que

λ1 ~u1 + · · ·+ λk ~uk = 0.

Este problema pode ser escrito em forma matricial comoAX = 0 onde

A =

| · · · |~u1 · · · ~uk| · · · |

X =

λ1...λk

.

ObservacaoAssim, por exemplo, o problema de como determinar se umconjunto {~u1, · · · , ~uk} de vetores no espaco e linearmenteindependente ou nao, pode ser tratado da seguinte forma(fazemos aqui o caso do espaco): assuma que

~ui = (ai1,ai2,ai3).

entao a equacao

λ1~u1 + . . .+ λk~uk = 0

pode ser escrita matricialmente (ou como um sistema linear)como a11 · · · ak1

a12 · · · ak2a13 · · · ak3

λ1

...λk

=

000

.

Se o sistema tem solucao unica temos λ1 = λ2 = · · · = λk = 0e, portanto, o conjunto e linearmente independente. Casocontrario, temos solucoes com λi 6= 0 para alguns i ’s. Nesteultimo caso o conjunto e linearmente dependente.

Exemplo

Vamos mostrar agora que dados dois vetores linearmenteindependentes no plano, podemos escrever qualquer outrovetor como combinacao linear deles. O mesmo no espaco, istoe, com tres vetores linearmente independentes podemosdescrever qualquer outro vetor no espaco como combinacaolinear deles.Sejam ~u = (u1,u2) e ~v = (v1, v2) vetores no plano. Entao se~w = (a,b) e um outro vetor queremos saber se existe α, β talque

α~u + β~v = ~w

o que e equivalente a saber se o sistema(u1 v1u2 v2

)(αβ

)=

(ab

).

tem solucao

Exemplo

Em geral, se

det

(u1 v1u2 v2

)6= 0,

sempre vai ter solucao. Mas pedir que o determinante sejadiferente de zero e equivalente a dizer que ~u e ~v saolinearmente independentes. De fato, ao ter determinantediferente de zero, temos que o problema

α~u + β~v = ~0,

tem por unica solucao α = β = 0.Analogamente, tres vetores {~u1, ~u2, ~u3} no espaco que sejamlinearmente independentes nos permitem descrever qualqueroutro vetor como combinacao linear de estes.

Proposicao

I Em V2 o numero maximo de vetores linearmenteindependentes e 2.

I Em V3 o numero maximo de vetores linearmenteindependentes e 3.

Demonstracao:

Assuma que, em V2, temos k vetores lineramenteindependentes que geram V2. Claramente k > 1 pois, pelovisto acima, se ~v = (a,b) 6= (0,0) temos que ~u = (−b,a)satisfaz {~u, ~v} e linearmente independente. Assuma entao quek > 2. Considere o sistema homogeneo associado

(a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

) λ1...λn

=

(00

).

Temos assim k > 2 variaveis e, portanto, o sistema possuivariaveis livres. De onde segue que existem solucoes naonulas, o que e uma contradicao. De fato, se ha solucoes naonulas temos que ~u1, · · · , ~un nao e lineramente independente.O resultado para V3 se prova em forma analoga.