Cap. 5 ___

___ 76___

Capítulo 5 MÉTODOS DE DETECÇÃO ALTERNATI-VOS

5.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo são apresentados métodos de detecção de outliers, alternativos ao mé-

todo baseado no teste das razões de verosimilhanças referido no capítulo anterior. A

primeira estratégia de diagnóstico consiste no estudo do comportamento dos resíduos

em presença de contaminação segundo uma metodologia desenvolvida por Rosado

(1984). Lee e Hui (1993), no contexto de um modelo AR(p), propuseram uma estra-

tégia de detecção de outliers aditivos com base nos elementos da diagonal da matriz de

projecção, designadas como medidas de alavanca ("leverages"). A técnica de diagnós-

tico consegue ainda identificar outliers inovadores e é particularmente eficaz quando

estão presentes múltiplos e consecutivos outliers.

Outro método de detecção no quadro dos modelos autoregressivos AR(p), relati-

vamente simples de implementar consiste nas estatísticas Q, propostas por Abraham e

Chuang (1989), as quais constituem uma medida do efeito da eliminação das observa-

ções outlier no valor estimado dos resíduos. Uma vantagem destas estatísticas traduz-

se na possibilidade não só de detectar mas também distinguir um AO de um IO. Os

autores propuseram ainda um procedimento, em quatro etapas, para modelar as séries

temporais em presença de outliers, no qual um processo ARMA(p,q) é aproximado

por um AR(p+q).

Cap. 5 ___

___ 77___

Uma outra perspectiva directamente relacionada com a anterior, embora diferente,

consiste na detecção de outliers influentes. Isto porque um outlier pode ou não afectar

consideravelmente as estimativas dos parâmetros do modelo, como sejam os coeficien-

tes ARMA e a variância do ruído. Nesse sentido, apresentamos um conjunto de méto-

dos e medidas de diagnóstico de observações influentes.

Como vimos no capítulo 2, a presença de outliers numa série pode ter efeitos dra-

máticos no valor estimado das autocorrelações, particularmente em séries temporais de

curta duração, o que pode ter implicações nefastas na fase de identificação do modelo

da metodologia de Box e Jenkins. Nessas circunstâncias, Chernick, Downing e Pike

(1982) propuseram, antes de iniciada a metodologia, o cálculo da matriz da função de

influência das autocorrelações de modo a identificar outliers influentes.

Peña (1990) no quadro dos modelos ARMA, apresentou estatísticas indicadoras de

AO e IO que têm forte influência no valor dos coeficientes estimados, as quais se ba-

seiam na substituição das observações discordantes por valores interpolados. Estas

medidas de diagnósticos são particularmente eficazes na detecção de outliers isolados.

No entanto a existência de múltiplos e consecutivos outliers coloca problemas aos

métodos de detecção. Isto porque o efeito de um único outlier num grupo pode ser

ocultado pelo efeito de outros outliers situados na vizinhança. Este comportamento

pode ser visto como uma forma de "masking". Nesse sentido, Yatawara e Lin (1994)

propuseram uma estatística de diagnóstico de observações influentes que permite de-

tectar múltiplos outliers.

Num extenso artigo Bruce e Martin (1989) propuseram duas medidas de diagnós-

tico para os modelos ARMA, baseadas na eliminação de observações e medição da al-

teração nas estimativas dos parâmetros. O diagnóstico DV mede as alterações na va-

riância estimada do ruído, e o diagnóstico DC mede a alteração nos coeficientes

ARMA estimados em presença de outliers. É ainda proposto uma estratégia de detec-

ção baseada num procedimento de eliminação iterativa, em presença de múltiplos e

Cap. 5 ___

___ 78___

consecutivos outliers. Por último, Ledolter (1990) aplicou às séries temporais as medi-

das de deslocamento da verosimilhança introduzidas por Cook (1986, 1987), as quais

medem a influência das perturbações nas estimativas dos parâmetros pela alteração

provocada no logaritmo da função de verosimilhança. Com base nelas Ledolter (1990)

propôs uma estatística simples de diagnóstico das observações influentes.

5.2 UM TESTE SIMPLES DE DISCORDÂNCIA

Como vimos anteriormente, o comportamento dos resíduos, obtidos a partir da estima-

ção pelo método dos MQ dos parâmetros do modelo subjacente à série temporal, pode

ser um indicador da presença de outliers, numa etapa preliminar de diagnóstico.

Um critério introduzido por Rosado (1984) designado por Método GAN (método

baseado no Modelo Generativo com Alternativa Natural como modelo de discordân-

cia) permite introduzir um alto grau de objectividade na resolução de problemas com

outliers, em particular nos testes de homogeneidade que, em última análise, podem

conduzir à rejeição ou aceitação de uma observação da amostra. Nesse trabalho, o au-

tor aborda o estudo das observações discordantes com formulação do problema de

detecção de outliers para uma distribuição especificada à priori baseado em critérios de

máxima verosimilhança.

No caso de uma amostra de observações x ,...,x1 n pertencentes a uma população

X com distribuição normal em que se supõe conhecido o parâmetro µ podemos for-

mular as seguintes hipóteses em termos de modelo de discordância por σ :

- H0 é a hipótese de homogeneidade, isto é, as observações x ,...,x1 n são provenientes

de uma população X com distribuição N( , )µ σ

Cap. 5 ___

___ 79___

- H j é a hipótese alternativa com xj observação discordante, ou seja, xj tem distribui-

ção N( , )µ σ′ para algum j n= 1,...., .

O autor estudou os casos em que os parâmetros σ e ′σ são ou não conhecidos

(i) σ e ′σ conhecidos

Considerando σ e ′σ e conhecidos, sob a hipótese nula de homogeneidade das obser-

vações, teremos,

( ) ( ) ( )L fi

n

i n ii

n

0 1 2

2

1

1

2

1

2= = − −

= =

∑Π x x, , expµ σσ π σ

µ (5.1.1)

e, sob a hipótese alternativa H j ,

( ) ( ) ( )L f fj

i ji j

n n

i j

i j

= ′ =′

−−

+

−

′

≠ − ≠∑Π x x

x x, , , , expµ σ µ σ

σ σ π

µσ

µσ

1

2

1

21

2 2

.

(5.1.2)

O método GAN propõe então, a estatística de detecção de outliers,

( )Sj

j= ′ −

−

maxσ σ

µσ

2 2

2x se σ σ< ′ (5.1.3)

ou

( )Sj

j= − ′

−

min σ σ

µσ

2 2

2x se ′ <σ σ . (5.1.4)

Cap. 5 ___

___ 80___

Sendo no primeiro caso S c> a região de regeição do teste de homogeneidade nas

observações x ,...,x1 n e no segundo caso S c< . Os pontos críticos são obtidos a partir

de

( )( )′ = −−c Fn

χ α12

1 11 se σ σ< ′

e

( )( )′ = − −−c Fn

χα

12

1 11 1 se ′ <σ σ .

É de referir que este modelo vai salientar como candidato a outlier uma observação

vulgarmente não considerada. Trata-se de x( )µ , a observação mais próxima de µ , no

caso em que ′ <σ σ . Quando ′ >σ σ os candidatos a outlier são os usualmente estu-

dados x( )1 e x n( ) .

(ii) σ conhecido e ′σ desconhecido

Sob estas condições para os parâmetros de dispersão e sob H0 temos,

( ) ( )L n ii

n

0 2

2

1

1

2

1

2= − −

=

∑σ π σ

µexp x , (5.1.5)

e, o máximo da função de verosimilhança sob H j ,

( )�

�

exp�

L jn n

i j

i j

=′

−−

−

−

′

− ≠∑1

2

1

2

1

21

2 2

σ σ π

µσ

µσ

x x

, (5.1.6)

com ′ = −∃σ µx j estimador de máxima verosimilhança para ′σ sob H j .

O teste de homogeneidade, nesta situação, conduz-nos à estatística

Cap. 5 ___

___ 81___

Sj

j

j=−

−

max expσ

µ

µσx

x1

2

2

. (5.1.7)

Sendo S c> a região de regeição. Neste caso, somos novamente conduzidos ao

estudo da observação x( )µ , para além das observações tradicionalmente estudadas x( )1

e x n( ) .

(ii) σ e ′σ desconhecidos

Este é o caso mais próximo da realidade no estudo de discordância de outliers por σ .

Assim sob a hipótese nula teremos que estimar σ2 por,

( ) ( )�σ µ µ2 2

1

21= − =

=∑

nsi

i

n

x (5.1.8)

e sob a hipótese alternativa estimamos σ2 por,

( ) ( )�σ µ µ2 2 21

1=

−− =

≠∑

nsi

i jjx (5.1.9)

e ′σ 2 por,

( )′ = −σ µ22

x j . (5.1.10)

Os máximos da função de verosimilhança sob a hipótese nula e alternativa, são res-

pectivamente,

Cap. 5 ___

___ 82___

( )( )

� expLs

nn0

1

2 2= −

µ π (5.1.11)

e

( )( ) ( )

� expLs

nj

j j

n n=−

−

−

1

2 21

x µ µ π. (5.1.12)

Deste modo, obtemos a estatística,

( )

( )( )

( )S

j

j

ii

j

ii

n

=−

−

−−

−

∑ ∑

−

minx

x

x

x

µ

µ

µ

µ

2

2

1

22

2

1

2

1 (5.1.13)

Sendo S c< a respectiva região de rejeição. Mendes (1993) construiu tabelas dos

pontos críticos para a estatística. Neste caso as observações candidatas a outlier são

x( )µ , x( )1 e x n( ) .

Considerando que numa série temporal xt ( )t n= 1, ... , , cujo modelo subjacente é

um ARMA(p,q), os et são variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas

( )N 0 2,σ , podemos assim numa primeira fase de diagnóstico identificar outliers

através do estudo da série dos resíduos aplicando o Método GAN. Há no entanto que

ter em atenção que um outlier pode afectar o valor de mais do que um resíduo, dada a

correlação que existe entre as observações, como vimos nos capítulos 2 e 3.

Nomeadamente no caso de múltiplos e consecutivos outliers, esta distorção poderá ser

significativa afectando a análise.

Cap. 5 ___

___ 83___

Exemplo 5.1

No intuito de ilustrar a aplicação do Método, consideremos o seguinte exemplo em

que o processo subjacente à série segue um modelo AR(1):

x x et t t= +−0 5 1. ,

e os et ´s são variáveis aleatórias iid ( )N 0 012, . .

Foi simulada uma série de dados com n = 100 na qual foi introduzido um outlier

aditivo com efeito ω = 1 em T = 50. Na figura 5.1 temos a série dos residuos que se

obtem da estimação dos parâmetros do modelo.

Fig. 5.1 - Série dos resíduos

Aplicando o programa (veja-se ponto 7.2.1) que nos permite calcular o valor da

estatística (5.1.13) obtemos o seguinte "output":

Cap. 5 ___

___ 84___

*********************************************** DETECÇÃO DE OUTLIERS ********************************************** OBSERVAÇÃO RESÍDUO ESTATÍSTICA 50 1.107 .000002 30 -.001 .000871 16 .003 .003610 VALOR CRITICO A 5% .00006

VALOR CRITICO A 1% .00001

Assim no resíduo correspondente à observação T = 50, obtemos como era de espe-

rar um valor bastante reduzido. Neste caso, como o valor da estatística é inferior ao

valor crítico, considerando quer um nível de confiança a 5% ou a 1%, temos uma indi-

cação que o resíduo é proveniente de uma observação outlier.

5.3 MEDIDAS DE ALAVANCA DA AMOSTRA

Vimos no capítulo 2 que dada uma colecção de observações z z zn1 2, ,..., , considerando

que zt segue um modelo AR(p), pode-se representar o processo como

z et t t= +′x φ . (5.3.1)

com ( )x t t t t pz z z=′

− − −1 2, , ... , e ( )φ =′

φ φ1 , ... , p . Considerando as n observações,

temos ( )n p− equações

Z X e= +φ , (5.3.2)

onde ( )Z =′

+z zp n1 , ... , , ( )e=′

+e ep n1 , ... , e

Cap. 5 ___

___ 85___

X

x

x

x

=

=

−

+

− − −

+′

+′

′

z z z

z z z

z z z

p p

p p

n n n p

p

p

n

1 1

1 2

1 2

1

2

...

...

...

0 0 / 0 0.

Então o estimador dos mínimos quadrados de φ é dado por

( )�φ = ′ ′−X X X Z1 , (5.3.3)

e os valores ajustados são dados por

( )� �Z X X X X X Z HZ= = ′ ′ =−φ 1 , (5.3.4)

com ( )H X X X X= ′ ′−1 . A matriz dos resíduos é obtida considerando ( )R I H Z= − .

Vamos chamar a H matriz de projecção, análoga àquela considerada na regressão

linear. Designamos o elemento da diagonal da matriz H , htt , por ht em que

( )ht t t= ′ ′ −x X X x1 (5.3.5)

Os elementos fora da diagonal de H , são designados por hij .

Lee e Hui (1993) no contexto de um modelo AR(p), sugeriram um procedimento

de detecção de outliers com base no estudo dos elementos da diagonal da matriz de

projecção, conhecidas como medidas de alavanca da amostra.

Os elementos da diagonal da matriz H apresentam as seguintes propriedades im-

portantes:

Cap. 5 ___

___ 86___

(i) 0 1≤ ≤ht

(ii) Supondo que ht é elevado (próximo de 1 ). Como

h h ht t tj

t j

= +≠∑2 2 ,

então htj

t j

2 0≠∑ → ou htj → 0, ∀ ≠j t , quando ht → 1.

Na forma escalar, pode-se escrever

∃z h z h zt t t tj

t jj= +

≠∑ .

Segue-se que ∃zt é dominado pelo termo h zt t quando ht → 1. Então, ht pode ser

interpretado como uma medida do efeito alavanca induzido em ∃zt por zt .

(iii) Considerando que quando n → ∞, ( )np

− ′ → ∑1 X X , em que ∑ é a matriz de

covariâncias de x t . Defina-se

dt t t= ′ ∑−x x1 , t p n= +1,..., (5.3.6)

em que dt corresponde à distância de Mahalanobis entre x t e o vector nulo (ou no

caso geral o vector média dos x t `s). Como,

nhn

dt t t

p

t= ′′

→

−

xX X

x1

quando n → ∞.

Cap. 5 ___

___ 87___

Então com n elevado, examinar os ht `s equivale a examinar os dt `s. Deste modo,

ht pode ser considerado uma escala aproximada (dividindo por n) da distância de

Mahalanobis entre x t e o vector nulo.

Para a detecção de outliers em processos AR(p), dada a dependência que se veri-

fica entre as observações, é a o posição relativa de z z zt t t p, ,...,− − +1 1 no espaço de di-

mensão p que nos interessa e não apenas a posição de zt . Consequentemente, deve-

mos estudar o afastamento do vector ( )x t t t t pz z z=′

− − −1 2, , ... , , como base de detecção

das observações outlier.

A discussão do ponto (ii) sugere que se utilize ht para detectar o vector outlier x t .

Recorde-se que ( )ht t t= ′ ′ −x X X x1 . Supondo que zt −1 é discordante, essa observação

afectará x x xt t t p, ,...,+ + −1 1 e como tal h h ht t t p, ,...,+ + −1 1 serão empolados. Então, se ht −1

apresenta um valor reduzido (z z zt t t p− − − −2 3 1, ,..., não são outliers) e ht é elevado, pode-

se identificar zt −1 como um possível outlier.

No caso de outliers consecutivos, uma sequência de ht `s terá valores distorcidos. O

número exacto de outliers será no entanto difícil de determinar por inspecção.

Dado que dt tem uma distribuição χ( )p2 quando a distribuição do ruído é Gaussiana,

Hau e Hau e Tong citados por Lee e Hui (1993) sugeriram, como instrumento de de-

tecção de outliers, a construção do gráfico da série temporal dos nht `s e a sua compa-

ração com o valor critico a 5% da distribuição de referência.

Contudo, segundo Lee e Hui (1993), o gráfico da série temporal dos nht `s é inade-

quado para avaliar com precisão o efeito alavanca. Deste modo, sugeriram um proce-

dimento de detecção de outliers com base num simples exame dos ht `s.

No entanto, ht não pode ser quantificado pela distribuição de referência χ( )p2 . De

facto, a distribuição conjunta dos ht `s é intratável. Para ultrapassar esta dificuldade,

Cap. 5 ___

___ 88___

Lee e Hui (1993) propuseram um dispositivo gráfico que permite identificar as obser-

vações outliers com base nas estatísticas ordenadas dos ht `s em conjunto com um en-

velope construído por simulação. O procedimento de diagnóstico consiste nas seguin-

tes etapas:

(i) Estimar ∃φ e ∃σ2 a partir da série observada (contaminada) e calcular as medidas

de alavanca da amostra;

(ii) Simular m pseudo colecções de dados (de Z ) baseados nos ∃φ e ∃σ2 estimados;

(iii) Para cada colecção, calcular os ( )n p− valores ordenados das estatísticas ala-

vanca h i( ) ;

(iv) Colocar num gráfico o máximo e o mínimo de cada estatística de ordem das

m réplicas em conjunto com os valores da amostra ordenados.

O envelope simulado formado pelos dois vectores ( )n p− de estatísticas de ordem

de máximos e mínimos é construído para ajudar na interpretação das alavancas da

amostra. Na ausência de outliers, espera-se que os valores da amostra se situem dentro

dos limites do envelope. Outliers potenciais surgirão à direita, no gráfico, como distan-

tes pontos isolados. Se algum dos valores observados cair fora dos limites do enve-

lope, rejeitamos a hipótese de que não existem outliers. Normalmente são necessários

valores de m= 19 simulações para testar o máximo efeito alavanca observado a um ní-

vel de significância de aproximadamente 5% .

Num modelo AR(p) com k outliers consecutivos nos períodos T T T k, ,...,+ +1 , a

sequência h h hT T T k p+ + + + −1 2 1, ,..., será considerada significativa pelo envelope. Conse-

quentemente, o número exacto de outliers, k , e a sua localização T T T k, ,...,+ +1 po-

de ser determinada.

Segundo Lee e Hui (1993), o procedimento é eficaz na detecção de outliers aditi-

vos em modelos autoregressivos, embora a técnica proposta se aplique também a ou-

Cap. 5 ___

___ 89___

tliers inovadores. O método, segundo os autores, é particularmente eficaz quando es-

tão presentes múltiplos e consecutivos outliers.

Para testar as medidas de alavanca, nomeadamente verificar o seu comportamento

em presença de múltiplos AO e de um IO, consideremos os seguintes exemplos em que

o processo subjacente à série segue o modelo AR(1) do exemplo 5.1:

Exemplo 5.2

Foi simulada uma série de dados com n = 100 na qual foram introduzidos dois outliers

aditivos com efeito ω = 1 em T = 50 e T = 51.

Na figura 5.2 temos a série contaminada resultante da introdução dos dois AO. Os

estimadores dos mínimos quadrados são ∃ .φ = 0 523 e ∃ .σ = 0 087. Na figura 5.3 temos o

gráfico dos resíduos. Como se pode ver temos três resíduos com valores elevados r50,

r51, r52. Assim, poderíamos concluir erradamente que z52 é um outlier, se apenas consi-

derássemos os resíduos como método de diagnóstico. Este efeito é o chamado efeito

de "smearing".

Fig. 5.2 - Série contaminada

Cap. 5 ___

___ 90___

Fig. 5.3 - Resíduos estimados

Resíduos estimados t resíduos

45 -.023779 46 -.003035 47 .052419 48 .213965 49 -.100583 50 1.164655 51 .537776 52 -.555507 53 .030746 54 .066102 55 .003463

Examinando as medidas de alavanca da amostra, ht , na figura 5.4, verificamos que

o período 52 contribui com o valor mais elevado h52 0 34= . , ocorrendo o segundo

mais elevado em h51 0 28= . . Deste modo, x52 51= z e x51 50= z poderão ser considera-

dos outliers.

Cap. 5 ___

___ 91___

Fig. 5.4 - Medidas de alavanca

O gráfico do envelope simulado é dado na figura 5.5. Confirma-se que h51 e h52

apresentam valores significativos comparativamente aos máximos obtidos nas 19 simu-

lações. Finalmente, como os ht `s são reduzidos para t ≤ 50 e t ≥ 53, identificamos com

sucesso por este método, duas observações outlier consecutivas, z50 e z51.

Fig. 5.5 - Envelope simulado

Cap. 5 ___

___ 92___

Exemplo 5.3

No caso da série simulada contaminada com um outlier inovador, o seu efeito corres-

ponde também a 1 introduzido em T = 50 (veja-se a figura 5.6).

Os estimadores dos mínimos quadrados são ∃ .φ = 0 52 e ∃ .σ = 0 086. Na figura 5.7

temos o gráfico dos resíduos, como se pode verificar temos apenas um valor elevado

r50. Repare-se que neste caso não se verifica o efeito de "smearing".

Fig. 5.6 - Série contaminada

Fig. 5.7 - Resíduos estimados

Cap. 5 ___

___ 93___

Resíduos estimados t resíduos

45 .090897 46 .064747 47 -.088082 48 .096685 49 -.100465 50 1.048394 51 -.001448 52 -.102744 53 .031166 54 .065620 55 -.003416

Examinando as medidas de alavanca, ht , na figura 5.8, verificamos que o período

51 contribui com o valor mais elevado, h52 0 1752= . , no entanto temos ainda o período

52 com um valor bastante significativo, h52 0 17= . . Deste modo, x51 50= z poderá

eventualmente ser considerado uma observação outlier, e ficamos na dúvida acerca de

x52 51= z .

Fig. 5.8 - Medidas de alavanca

O gráfico do envelope simulado é dado na figura 5.9. Confirma-se que h51 pode ser

considerado significativo relativamente aos máximos das 19 simulações. Por outro

Cap. 5 ___

___ 94___

lado, poderíamos ainda concluir erradamente que z51 é também um outlier dado que

h52 apresenta um valor significativo.

Fig. 5.9 - Envelope simulado

Em conclusão o método das medidas de alavanca funciona relativamente bem na

detecção de múltiplos e consecutivos AO e de um IO isolado. Embora neste último ca-

so com algumas reservas.

5.4 ESTATÍSTICAS Q

5.4.1 Construção das estatísticas Q

Na regressão linear assume-se que as observações zt são independentes. Uma observa-

ção pode ser eliminada sem afectar as seguintes e a eliminação de uma equação em

(5.3.2) equivale a eliminar uma observação. No contexto das séries temporais, isso já

não é verdade. Uma observação suspeita, zT , está envolvida não só numa equação mas

nas p+1 equações consecutivas de (5.3.2). Então pode ser necessário eliminar não só

uma mas p+1 equações.

Cap. 5 ___

___ 95___

Suponha-se que existe uma observação suspeita em t T= . A matriz X e os vecto-

res Z e R podem-se decompor como se segue:

( )

( )X

X

X

X

=

− ××

− − ×

1

2

3

T p p

k p

n T k p

,

( )

( )Z

Z

Z

Z

=

− ××

− − ×

1

2

3

1

1

1

T p

k

n T k

,

( )

( )R

R

R

R

=

− ××

− − ×

1

2

3

1

1

1

T p

k

n T k,

onde k é o numero de equações a eliminar. Os resíduos, R , podem-se exprimir na

forma decomposta como

R

I H H H

H I H H

H H H

Z

Z

Z

=− − −− − −− − −

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3I

, (5.4.1)

em que

( )H X X X Xij i j i j= ′ ′ =−1 1 2 3, , , . (5.4.2)

Seguindo a sugestão de Drapper e John (1981) para situações de regressão, os au-

tores consideram as estatísticas

Cap. 5 ___

___ 96___

( )Qk T( ) = ′ −−

R I H R2 22

1

2 (5.4.3)

e

( )AP Q RSSk T k T( ) ( )= − −1 22I H , (5.4.4)

onde RSS é a soma do quadrado dos resíduos. Quando k = 1, ′ =R2 rT , e quando

k p= +1, ( )′ = +R2 r rT T p, . .. , . Qk T( ) pode ser decomposto em dois termos:

( )Qk T( ) *� �= ′ + −

′R R2 2 φ φ

( )( )× ′ + ′ −X X X X1 1 3 3� �

*φ φ

= +Q Qk T k T1 2( ) ( ) , (5.4.5)

onde ( ) ( )�*φ = ′ + ′ ′ + ′

−X X X X X Z X Z1 1 3 3

1

1 1 3 3 é o estimador de φ após a eliminação de k

equações.

Por simulação os autores concluíram que as estatísticas Qk , Qk1, e Qk 2 são indica-

dores úteis dos outliers. Dado que o comportamento amostral de AP é difícil de in-

terpretar, consideraram apenas as estatísticas Q.

Em situações práticas a posição de outlier pode não ser conhecida. Deste modo, o

procedimento de detecção sugerido requer que Qk t( ) , Qk t1( ) e Qk t2( ) sejam calculados

para todos os ( )t p p n k= + + − +1 2 1, , ... , , e isto implica ( )n k p− − +1 inversões da

matriz ( )I H− 22 , o que pode constituir um problema. Se os elementos fora da diagonal

da matriz ( )I H− 22 , − hij , são reduzidos em valor absoluto, os autores propõem que se

considere a seguinte aproximação, na qual não é exigida nenhuma inversão da matriz:

( )Q r hk t i ii t

t k

( ) ≈ −=

+ −

∑ 21

1 . (5.4.6)

Cap. 5 ___

___ 97___

Esta aproximação é geralmente adequada para grandes amostras. Uma vez obtido

Qk t( ) , Qk t2( ) pode ser calculado subtraindo Qk t1 2 2( ) = ′R R de Qk t( ) . Veja-se que quando

k = 1 (eliminando uma observação) o valor exacto e a aproximação são os mesmos.

5.4.2 Comportamentos das estatísticas Q em presença de outliers

Consideremos os modelos paramétricos geradores de outliers. Para um outlier aditivo

temos

(AO) z xt t tT= + ωξ( ), (5.4.7)

onde ω é uma constante e xt segue um modelo AR(p). Alternativamente pode-se con-

siderar o modelo para um outlier inovador

(IO) ( )( )z B et t tT= +−φ ωξ1 ( ) (5.4.8)

As estatísticas definidas em (5.4.3) e (5.4.4) são funções dos rt `s e dos

( )[ ]h i t t ki = + −, ... , 1 . O seu comportamento é diferente para os outliers aditivos e

inovadores. Assim, podem ser usadas não apenas para detectar mas também para dis-

tinguir um AO de um IO.

Um AO suspeito no período t T= afectará zT através de ω em (5.4.3) e conse-

quentemente rT i+ por ( )φ ω φi oi p= =0 1 1, , ... , ; . Um IO afectará rT por ω em (5.4.7)

e assim zT i+ por ( )ψ ωi i = 0 1, ,... , onde ψ i é o coeficiente de Bi em

ψ φ ψ ψ( ) ( )B B B B= = − − −−11 2

21 Λ .

Consideremos um processo AR(1). Supondo k = 1; então

H22 12

12

2= = − −=∑h z zT T tt

n, ( )Q r z zT T T tt

n

12

12

12

2

1

1( ) = − − −=

−

∑ , Q rT T112

( ) = , e

Cap. 5 ___

___ 98___

( )( )Q r z z r h hT T T tt T T T T122

12

12 2 1( ) = = −− −≠∑ . Q11 depende apenas de rT , enquanto que

Q1 e Q12 dependem de rT e de hT , contudo hT é relativamente reduzido comparado

com 1, e o comportamento de Q1 é dominado por rT . Por outro lado, ( )h hT T1− é

uma função monótona de hT e é uma medida da distância de X 2 ao centro do elipsóide

formado por ( )′ + ′X X X X1 1 3 3 . Assim o comportamento de Q12 depende de r zT T2

12

− .

Se o outlier em t T= é um AO, então rT e rT+1 são afectados, e assim Q T11( ),

Q T11 1( )+ , Q T1( ) e Q T1 1( )+ são mais elevados comparados com os restantes. Por outro lado,

Q T12( ) e Q T12 1( )+ são influenciados pelo outlier em t T= , embora muitas vezes o mais

elevado seja o último, dado que rT+1 e zT são afectados pelo outlier.

Se o outlier é do tipo IO, então apenas rT é afectado, o que implica que Q T1( ) e

Q T11( ) são mais elevados comparados com os outros. O comportamento de Q T12( ) é

menos fiável, dado que as observações z zT n,..., são todas afectadas.

O comportamento das estatísticas para processos de ordem superior ( )p⟩1 é similar

e está sumariado na Tabela 5.1. Em geral, segundo Abraham e Chuang (1989), expe-

riências de simulação indicam que Qk (ou Qk1) é mais útil para detectar outliers do que

Qk2 .

Cap. 5 ___

___ 99___

Estatísticas IO AO

Q11, Q1 eliminando uma equação ( )k = 1 .

Valores elevados em t T= e reduzidos os res-tantes.

Os valores em t T T T p= + +, ,...,1 são afec-tados.

Q12, eliminando uma equa-ção ( )k = 1 .

Os valores em t T T= +, ,...1 são afec-tados (pouco fiáveis).

Os valores em t T T T p= + +, ,...,1 são afec-tados.

Q p( )+1 1, Q p( )+1 , eliminando

p+1 equações

( )k p= +1 .

Valores elevados em t T p T p T= − − +, ,..., ,1 e reduzidos os restantes.

Os valores em t T p T p T p= − − + +, ,...,1 são afectados, com o maior valor em t T= .

Q p( )+1 2, eliminando p+1

equações ( )k p= +1 .

Os valores em t T p T= − ,..., ,... são afectados (pouco fiáveis).

Os valores em t T p T p T p= − − + +, ,...,1 são afectados, com o maior valor em t T= .

Tabela 5.1 - Comportamentos das estatísticas Q considerando um outlier em t T=

Exemplo 5.4

Consideremos o exemplo de Abraham e Chuang (1989) em que o modelo de base é um

AR(1)

x x et t t= +−0 5 1. ,

e os et ´s são variáveis aleatórias iid ( )N 0 1, .

Simulámos duas séries de dados com n = 100, e foram introduzidos respectiva-

mente um AO e um IO no momento T = 80 de efeito ω = 4 5. . Calculámos então as

estatísticas Q, respectivamente, Qk T( ) e Qk T2( ), correspondendo à eliminação de uma

observação k = 1 e k p= + =1 2 observações.

Cap. 5 ___

___ 100___

(AO)

´

Fig. 5.10 - Estatística Q t1( )

Fig. 5.11 - Estatística Q t12( )

Cap. 5 ___

___ 101___

Fig. 5.12 - Estatística Q t2( )

Fig. 5.13 - Estatística Q t22( )

No caso da série contaminada pelo AO, Q1 80( ) e Q1 81( ) apresentam valores elevados

(figura 5.10). Por outro lado, Q12 80( ) tem um valor reduzido e Q12 81( ) é bastante elevado

(figura 5.11). Segundo os autores, este comportamento indicia a presença de um AO.

É de notar ainda que com k = 2, ou seja eliminando 2 observações, Q2 79( ) , Q2 80( ) e

Q2 81( ) apresentam valores elevados (figura 5.12), bem como Q22 80( ) e Q22 81( ) (figura

5.13).

Cap. 5 ___

___ 102___

(IO)

Fig. 5.14 - Estatística Q t1( )

Fig. 5.15 - Estatística Q t12( )

Cap. 5 ___

___ 103___

Fig. 5.16 - Estatística Q t2( )

Fig. 5.17 - Estatística Q t22( )

Na série contaminada com um IO, como seria de esperar, Q1 80( ) e Q12 80( ) apresentam

valores elevados. No entanto, Q t12( ) apresenta outros valores elevados o que indica que

este gráfico é menos fiável na identificação de outliers (como aliás é referido pelos

autores). Com k = 2 temos Q2 79( ) e Q2 80( ) elevados. Este é um comportamento típico

dos IO.

Cap. 5 ___

___ 104___

5.4.3 Distribuições assintóticas

Para identificar a localização dos outliers, Abraham e Chuang (1989) introduziram as

estatísticas max ( )t k tQ , max ( )t k tQ 1 e max ( )t k tQ 2 , dai que seja necessário identificar as

suas propriedades amostrais. As distribuições exactas da amostra são difíceis de

identificar, deste modo apela-se à teoria das grandes amostras.

Se não houver outliers, ∃φ converge em probabilidade para ( )φ φ φ� p → e

∃σ σ2 2p → , com ( ) ( )�σ 2 2

1= − −= +∑ z z n ptt p

n. Os resíduos rt convergem em proba-

bilidade para et e os elementos da matriz H convergem para 0 à medida que n aumen-

ta. Então

Q Q ek tp

k t ii t

t k

k12

12 2

( ) ( )*

( ) → = ≈=

+ −

∑ σ χ (5.4.9)

e

Q Qk tp

k t( ) ( )* → , Qk t

p2 0( ) → ,

max max( ) ( )*

tk t

p

tk tQ Q1 → ,

e

max max( ) ( )*

tk t

p

tk tQ Q → , (5.4.10)

onde χ( )k2 representa a distribuição do qui-quadrado com k graus de liberdade. Se

k = 1, então { }Qk t( )* é uma sequência de variáveis χ( )1

2 iid, e é uma sequência de variá-

veis dependentes χ( )k2 para k ≥ 2.

Caso 1: k = 1. Considere-se ( )F1 . como a função de distribuição acumulada de

σ χ21

2( ) e ( )( )[ ]τ τ= −m F Cm1 1 , com m n p= − e Cm( )τ é um valor critico. Então

( ) ( )Pr max exp( )*

tt mQ C1 ≤

→ −τ τ à medida que m→ ∞ . (5.4.11)

Cap. 5 ___

___ 105___

Dado um nível de significância α, o valor critico ( )C τ pode ser obtido considerando

( ) ( )( )( )C F mm kτ α= + −−1 1 1ln . (5.4.12)

Também max ( )t

tQ11 e max ( )t

tQ1 têm a mesma distribuição assintótica que max( )*

ttQ1 .

Caso 2: k ≥ 2. Seja ( )Fk . a função de distribuição acumulada de σ χ2 2( )k . Então

( ) ( )Pr max exp( )*

tk t mQ C v≤

→ −τ τ , (5.4.13)

onde, para algum ( )v v0 1< ≤ e para cada τ > 0, ( )( )[ ]m F Cm1− →τ τ à medida que

m n p k= − − + → ∞1 . Dado um nível de significância α, temos ( )τ α= − −ln 1 v , e o

valor critico ( )Cm τ pode ser obtido por

( ) ( )( ) ( )( )C F vmm τ α= + −−1

1 1 1ln . (5.4.14)

Agora max ( )t

k tQ 1 e max ( )t

k tQ têm a mesma distribuição assintótica que max( )*

tk tQ em

(5.4.13).

5.4.4 Com p desconhecido

As estatísticas de diagnóstico foram obtidas sob a hipótese de que a ordem p do pro-

cesso é conhecida. Contudo na prática, pode não ser este o caso. Então uma estratégia

bastante comum é ajustar um processo de ordem superior. Vejamos então qual o com-

portamento das estatísticas Q quando um ( )AR p p p* *, ⟩ é ajustado aos dados.

Supondo que ( )Z =′

+ +z z zp p n1 2, , ... ,

Cap. 5 ___

___ 106___

X0 0

B C* =

e

VA 0

0 C=

−

,

onde

B =

− − +

+ −

− − −

z z z

z z z

z z z

p p p p

p p p p

n n n p

* * *

* * *

...

...

...

...

1 1

1

1 2

0 0 0,

C =

−

− +

− − −

z z

z z

z z

p p

p p

n p n p

*

*

*

...

...

...

...

1

1 2

1

0 0,

e

A =

− −

z z

z z

p

p p p

...

...

...* *

1

1

0 0 .

Então os estimadores dos MQ de ( )φ =′

φ φ1 , ... , p obtêm-se como em (5.3.3) , e os

estimadores dos MQ de ( ) ( )φ φ φ* , . .. , , ... , ,*= = ′ ′+φ φ φ φ1 1 2p p p são dados por

( )�* * * *φ = ′ − ′X X X Z1

. (5.4.15)

Seja agora ( )�( )φ φN = ′ ′

′0 , onde 0 é um vector ( )*p p− ×1 de zeros. Então

( )� �*( )

* *φ φ= − ′′ −N X X V R

1, com o vector de resíduos do verdadeiro modelo dado por

R Z X= − ∃φ . Segue-se que ( )� �* * * * *z zt t t= + ′′ ′ − ′x X X X V R

1 e

Cap. 5 ___

___ 107___

( )r rt t t* * * * *= + ′ ′ − ′x X X X R

1 ( )*t p⟩ , onde ∃*zt é o valor ajustado e rt

* é resíduo corres-

pondente à estimativa ∃*φ , e ( )x t t t pz z* , ... , *=

′− −1 . Segundo os autores, pode-se de-

monstrar que ( )r r nt t p* /= + −Ο 1 2 para t p> * . Espera-se então que os resíduos do ver-

dadeiro e do modelo estimado se comportem da mesma maneira para t p> * .

O comportamento das estatísticas Q depende, neste caso, de rt* e de H22

* (ou de ht*

quando são usadas aproximações). Então Qk , Qk1, e Qk2 têm basicamente o mesmo

comportamento que aquela da tabela 5.1, com p substituído por p* .

5.4.5 Um procedimento iterativo de estimação

Abraham e Chuang (1989) propõem ainda um procedimento iterativo em quatro etapas

para modelar séries temporais na presença de outliers na qual um processo ARMA é

aproximado por um processo AR, com detecção e ajustamento dos outliers.

Se zt segue um processo ARMA(p,q), este processo pode ser representado por

uma aproximação autoregressiva

z z et i t ii

p

t= +−=∑π

1

*

, (5.4.16)

para um qualquer desfasamento p* . Se o processo é puramente autoregressivo p p* = .

Caso contrário os coeficientes π são obtidos a partir de

( )( )( )π

φθ

BB

B=

e, por causa da invertibilidade de ( )θ B , estes coeficientes decaem e tornam-se prati-

camente 0 para algum desfasamento p* .

Cap. 5 ___

___ 108___

Deste modo, supondo que o modelo subjacente à série temporal é um ARMA(p,q)

esse processo pode ser aproximado por um AR(p+q). Na prática, para detecção de

outliers, os autores descobriram que esta pode ser uma boa aproximação.

Assim a estratégia de construção do modelo, proposto pelos autores, começa com

a estimação de um processo AR de ordem suficientemente elevada, propondo os se-

guintes procedimentos de construção do modelo, baseados nos métodos de detecção

de outliers referidos anteriormente:

Etapa 1

Usar uma qualquer técnica de selecção de modelos para identificar uma primeira tenta-

tiva de ordem ( )′ ′p q, , a qual pode não coincidir com a verdadeira ordem ( , )p q . Esco-

lha-se p p q* ⟩ ′ + ′ .

Etapa 2: Detecção dos outliers.

Estime-se ( )� � , ... , � *π =′

π π1 p pelo método dos MQ e calcule-se Qk (e/ou Qk2) para

k = 1 e k p= +* 1. Determine-se o outlier e o seu tipo baseado nos gráficos de Qk

(e/ou Qk1, Qk2). Os testes de significância baseados no máximo destas estatísticas

podem também ser usadas. Se não houver outliers vamos para a etapa 4; caso

contrário vamos para a etapa 3.

Etapa 3: Limpando a série.

Seja T a posição do outlier identificado na etapa 2. Se o outlier é do tipo AO, elimine-

se ( )T p− * equações até T de (5.1.2) para obter as estimativas %π . Ajustemos então a

Cap. 5 ___

___ 109___

T-ésima observação, considerando-a um valor omisso, usando a média estimada de zT

condicional a todas as outras observações, ( )E z z t TT t , ≠ ; ou seja, substituímos zt por

%z zt t= , t T≠

( )= ++ −=

∑ ~*

η j t j t jj

p

z z1

, t T= , (5.4.17)

com

( )~~ ~ ~

~, ... ,

*

*

*ηπ π π

πj

j i i ji

p

ii

pj p=

−

+=

+=

=

∑∑

1

2

11

1 .

Por outro lado, se o outlier for do tipo IO, elimine-se a T-ésima equação de (5.4.)

para estimar %π , e ajustar as observações como se segue:

%z zt t= , t T⟨

= −z rt t%, t T=

= − −z rt t T T% %ψ , t T⟩ , (5.4.18)

onde %rt é o resíduo correspondente à estimativa %π e %ψ j é o coeficiente de Bj em

( )1 11 22

1

1

− − − = − − −−

~ ~ ~ ~*

*

ψ ψ π πB B B Bp

p/ / .

Etapa 4: Especificação

Use-se a série limpa na especificação e estimação dos parâmetros do modelo final.

Cap. 5 ___

___ 110___

5.5 DIAGNÓSTICO BASEADO NA FUNÇÃO DE INFLUÊNCIA DAS AUTO-

CORRELAÇÕES

Chernick, Downing e Pike (1982) sugeriram que deveriam ser procurados outliers in-

fluentes examinando a matriz da função de influência das autocorrelações estimadas. O

parâmetro, S, pode ser considerado dependente da função de distribuição F , S F( ).

A função de influência de um estimador depende do parâmetro a estimar, do vector de

observações cuja influência está a ser medida e da sua função de distribuição de pro-

babilidades, e é dada segundo Hampel (1974), pela equação seguinte quando o limite

da direita existe

( )( )( )( ) ( )[ ]

I F S F xS F x S F

, , lim=− + −

→ε

ε εδε0

1. (5.5.1)

Neste equação, x é o ponto de interesse no espaço das observações, ε é um número

real positivo e δx é a função de distribuição que tem toda a sua massa de probabilida-

des concentrada no ponto x.

Consideremos uma série temporal discreta z z zn1 2, ,..., . Seja { }I j k, a matriz da fun-

ção de influência das autocorrelações do tipo n m× , em que n é o número de observa-

ções e m é o desfasamento (m deverá ser consideravelmente menor que n), cujo ele-

mento de ordem ( )j k, é uma função de

( )( )I H y yk j j k, , ,ρ + , (5.5.2)

em que yi é a observação estandardizada ( )y zi i= − µ σ , µ e σ são a média e o des-

vio padrão de zi , ρk é a autocorrelação de ordem k e H é a função de distribuição bi-

variada de ( )y yj j k, + com média nula, variância unitária e covariância ρk . Os autores

argumentam que o elemento de ordem ( )j k, da função de influência é dado por

Cap. 5 ___

___ 111___

( )

y yy y

j j k

k j j k

++

−+ρ 2 2

2, (5.5.3)

Deste modo com base na expressão anterior, pode-se calcular a influência de qualquer

par de observações, desfasadas k períodos, na estimativa de ρk . Quando ρk , σ , e µ

não são conhecidos, podem ser usadas estimativas.

Definindo

Uy y y y

j k

j j k

k

j j k

k, =

+

++

−

−

+ +

1 12

ρ ρ (5.5.4)

e

Vy y y y

j k

j j k

k

j j k

k, =

+

+−

−

−

+ +

1 12

ρ ρ . (5.5.5)

É fácil de ver que

( ) ( )1

22

2 2

− = −+

++

ρρ

k j k j k j j k

k j j kU V y y

y y, ,

e portanto

( )( ) ( )I H y y U Vk j j k k j k j k, , , , ,ρ ρ+ = −1 2 . (5.5.6)

Para um processo Gaussiano estacionário com µ , σ e ρk todos conhecidos, U j k, e Vj k,

são independentes ( )N 0 1, . Deste modo a distribuição de ( )( )I H y yk j j k, , ,ρ + é de fácil

tratamento pois resulta de uma constante por um produto de variáveis aleatórias nor-

mais. Esta distribuição pode então ser usada para determinar quais os valores da fun-

Cap. 5 ___

___ 112___

ção de influência invulgarmente elevados em termos absolutos face a um determinado

valor crítico.

Com base na forma como o outlier influencia as autocorrelações, os autores propu-

seram então um procedimento visual de detecção. Assim, na matriz da função de in-

fluência { }I j k, as estimativas da função excedendo em valor absoluto o valor crítico

deverão substituídas por ( )+ ou ( )− dependendo do sinal da estimativa. As outras ob-

servações são deixadas em branco.

Fig. 5.18 - Matriz da função de influência das autocorrelações

Considere-se o exemplo da figura 5.18. A observação yt influencia várias estimativas

da autocorrelação com desfasamentos diferentes. Surge no cálculo de cada elemento

na linha t da matriz e também nos elementos da diagonal das linhas anteriores come-

çando na coluna 1 da linha t −1 e continuando para cima e para a direita. Um outlier

terá, pois, uma influência positiva ou negativa muito grande em cada estimativa da

autocorrelação. Em consequência, se muitas das observações na linha t e na diagonal

superior ( ) ( )[ ]t t− −11 2 2, , , .... são elevados em valor absoluto, concluímos que yt é um

outlier, como é o caso que se verifica no exemplo.

Cap. 5 ___

___ 113___

5.6 MEDIDAS DE INFLUÊNCIA DE PEÑA

Peña (1982, 1990) construiu estatísticas indicadoras das observações, nomeadamente

outliers aditivos e inovadores, que têm forte influência no valor dos coeficientes

ARMA estimados. Estatísticas essas que se baseiam na substituição das observações

discordantes por valores interpolados. No artigo de Peña (1982) é considerado um

processo AR(p), no artigo de (1990) as estatísticas propostas são generalizadas a um

modelo ARMA(p,q).

5.6.1 Para outliers aditivos

Suponha-se que xt segue um processo ARMA(p,q) e considere-se a aproximação au-

toregressiva dada por

x x et i t ii

p

t= +−=∑ π

1

*

,

para um qualquer desfasamento p* .

Assumindo agora que ocorre um outlier aditivo no período T , como vimos ante-

riormente, o modelo paramétrico para um AO é dado por

z xt t tT= + ωξ( )

ou seja, em vez de observarmos xt , observamos zt , onde z xt t= ( )t T≠ e z xT T= + ω .

Cap. 5 ___

___ 114___

Seja ( )π ( ) ,( ) ,( ), . .. , *T T p T

=′

π π1 o vector de parâmetros considerando que está pre-

sente um outlier, ou seja, retirando a cada observação o efeito provocado pela sua pre-

sença. Uma estimativa de π ( )T , assumindo a aproximação autoregressiva, é dada por

( )� � � � �( )π T y y y= ′

−′X X X Y

1

, (5.6.1)

com

�� � ... �

� � ... �

* *

*

X y

p p

n n n p

x x x

x x x

=

−

− − −

1 1

1 2

0 0 / 0 e ��

�

*

Y =

+x

x

p

n

1

0 ,

onde ∃x zt t= para t T≠ e ∃ ∃( )x zT T= − ω .

Considerando xT como um valor omisso, a sua estimativa é dada por

( )� �( )

*

x z zT j T j T jj

p

= ++ −=

∑η1

, (5.6.2)

onde

∃∃ ∃ ∃

∃

,( ) ,( ) ,( )

,( )

*

*ηπ π π

πj

j T i T i j Ti

p

i Ti

p=

−

+

+=

=

∑

∑1

2

1

1

. (5.6.3)

Da relação ∃ ∃( )ω = −z xT T pode-se concluir que, dados os parâmetros, uma estimativa do

outlier aditivo é dada pela diferença entre os dados observados e o seu óptimo de in-

terpolação, ∃( )x T , o qual pode ser interpretado como a melhor estimativa de xT usando

toda a informação amostral. É de notar que o cálculo de ∃( )x T é efectuado aplicando

coeficientes de ponderação à nova série

Cap. 5 ___

___ 115___

( )s j z zT j T j= ++ − . (5.6.4)

Estas ponderações são tais que −η j é o j -ésimo coeficiente da função geradora

( ) ( ) ( )π π πj B F21∑ −

e, então, pode ser interpretado como o coeficiente da função de

autocorrelação inversa do processo.

O sistema de equações dado por (5.6.1) e (5.6.2) tem de ser resolvido iterativa-

mente. Começando com um valor inicial ( )�( )π T 0 para ∃( )π T , as ponderações η j podem

então ser calculadas obtendo-se ( )�ω 0 . Este valor é usado para calcular

( ) ( )� �( )x zT T0 0= −ω , o que conduz a uma nova estimativa ( )�( )π T 1 . O processo é repeti-

do até à convergência.

Seja ∃π o estimador de π , assumindo que não existem outliers . Então

( )�π = ′ − ′X X X Zz z z

1,

onde a matriz X z e o vector Z correspondem aos dados observados e têm a mesma

estrutura de ∃X y e ∃Y e os mesmos valores excepto no período T . Claro que as colec-

ções de dados são idênticas se ∃( )x zT T= . Então,

X X Mz y= +∃ ∃ω , (5.6.5)

onde a matriz M é dada por

M 0 I 0′× − × × − −=

p T p p p p n p T* * * * * *( ) ( ); ; , (5.6.6)

0a b× é uma matriz nula rectangular, Ip p* *× é a matriz identidade. Por outro lado,

Cap. 5 ___

___ 116___

Z Y V= +∃ ∃ω , (5.6.7)

onde a matriz V pode-se decompor em

V 0 0′ ′− − ×

′− − ×= ( ) ( )* *; ;T p n p T1 1 11 . (5.6.8)

Para relacionar ∃( )π T e ∃π , vamos decompor as matrizes X z e ∃X y e os vectores Z e

∃Y de mesmo modo que em (5.6.6) e (5.6.8). Se considerarmos que

( ) ( ) ( )[ ]X X X Xz z z z′ ′ ′ ′= 1 2 3 onde

X z

p

T T p

z z

z z

′

− −

=

( )

...

...

*

*

11

1

0 / 0 ,

X z

T T p

T p T

z z

z z

′− +

+ −

=

( )

...

...

*

*

21

1

0 / 0 ,

e

X z

T p T

n n p

z z

z z

′+ +

− −

=

( )

...

...

*

*

31

1

0 / 0 ,

então

( ) ( ) ( )( )� � � �X X X X I X Xy y z z z z′ ′ ′= + − +ω ω2 2 2

= −′X X Az z T∃ω , (5.6.9)

Cap. 5 ___

___ 117___

onde ( ) ( )A X X IT z z= + −′2 2 �ω é uma matriz simétrica com ( )a a s i z zij ji T i T i= = = ++ −

e a z xii T T= + ∃( ) . Além do mais, decompondo o vector Z em

Z = + + + + +

′z z z z z z

p T T T p T p n* * *,..., ; ,..., ; ,...,1 1 1

=′′ ′ ′Z Z Z( ) ( ) ( )1 2 3 .

Então, de (5.6.5) e (5.6.7), ( ) ( )� � � �X Y X M Z Vy z′ ′

= − −ω ω e, como M V 0′ = ,

M Z Z′ = ( )2 e X Vz T T pz z′

− −= 1 ,..., * ,

∃ ∃ ∃X Y X Z Sy z T′ ′= − ω , (5.6.10)

onde ( ) ( )( )ST s s p′ = 1 , ... , * e ( )s j são dados por (5.6.4). Exprimindo os parâmetros es-

timados ∃( )π T como uma função dos dados observados, pelas equações anteriores,

( )X X A X Z Sz z T T z T′ ′− = −� � �( )ω ωπ , o que nos leva a

( ) ( )� � � �( ) ( )π π πT z z T T T= − −′ −

ω X X S A1

. (5.6.11)

Sendo ∃aT i+ os resíduos da estimação (5.6.1),

( )� � � � �, , * *a z z z zT i T i T T i i T T p T i p+ + + − + −= − − − − − −π π ω π1 1 / /

e ∃bT i− os resíduos para trás

∃ ∃ ∃ ∃, , ,* *b z z z zT i T i T T i i T T p T T i p− − − − − += − − − −π π π1 1Λ Λ .

Cap. 5 ___

___ 118___

Se considerarmos ∃ ∃ ∃ ,...,∃ ∃* *ET T T T p T p

a b a b′+ − + −= + +1 1 , então ∃ ∃

( )E S AT T T T= − ππ é um

vector de pseudo-resíduos e como tal (5.6.11) pode ser escrito como

( )� � � �( )π πT z z T= − ′ −

ω X X E1

. (5.6.12)

Uma maneira de medir a influência da observação zT é relacioná-la com a alteração

na estimativa dos parâmetros quando se assume que a observação é um outlier. Como

∃π e ∃( )π T são vectores, a forma usual de medir a sua distância é construir uma métrica

usando uma matriz semidefinida positiva relevante. Nomeadamente, a matriz de va-

riância de ambos os vectores estimados e construir uma distância de Mahalanobis. En-

tão

( )( ) ( )( )

D TpAO

T z z T=

− −′

′� � � �

�

( ) ( )

*

π π π πX X

σ 2 , (5.6.13)

onde a distância é dividida pela dimensão dos vectores envolvidos, p* , e pela variância

do ruído de modo a estandardizar a medida.

A estatística (5.6.13) pode ser também interpretada como medindo a alteração no

vector de previsão em um passo adiante. Usando os parâmetros estimados assumindo

que não existem outliers, o vector previsão é dado por ∃ ∃Z X= zπ , e usando os parâme-

tros estimados assumindo que existe um outlier aditivo em T , ∃ ∃( )Z XT z T= ππ . A dis-

tância Euclidiana entre os dois vectores de previsão é

( ) ( ) ( ) ( )( )� � � � � � � �( ) ( )Z Z Z Z X X− − = − −

′ ′′

T T T z z Tπ π π π , (5.6.14)

Cap. 5 ___

___ 119___

então ( )D TAO pode ser interpretada como uma medida estandardizada da distância

entre os vectores de previsão em um passo adiante construída com os vectores ∃π e

∃( )π T .

Usando (5.6.12), a estatística pode ser escrita como

( )( )

D TpAO

T z z T=

′ ′�

�

� �

*

ωσ

2

2

E X X E, (5.6.15)

deste modo a estatística de influência depende de dois factores; o primeiro mede o

efeito do outlier relativo ao desvio padrão do ruído, o segundo mede o valor relativo

da observação antes e depois do outlier.

A razão de verosimilhança para testar outlier aditivos, referida no capítulo 4, é as-

sintóticamente equivalente a

( )

λω

σ πAO T

i

,

�

� �

22

2 2 1=∑ − ,

então ( )D TAO pode ser escrita como função desta estatística,

( ) ( )( )

D TpAO

AO T

i

T z z T= ∑′ ′λ

π,

*�

� �2

2

E X X E. (5.6.16)

5.6.3 Para outliers inovadores

Considerando que existe um IO no período T , o modelo para outliers inovadores pode

ser representado por uma aproximação autoregressiva

z et t I tT

t= + +′x π ( )( )ωξ , (5.6.17)

Cap. 5 ___

___ 120___

em que ( )π ( ) ,( ) ,( ), .. . , *I I p I

=′

π π1 representa o vector de parâmetros assumindo que

existe um outlier inovador com um efeito ω e ( )x t t t pz z=

′− −1 , ... , * . Este é um modelo

linear com uma variável "dummy". Sendo ∃π o usual estimador com ω = 0, então

( )� � �( )π πI z z T= + ′ −ω X X x

1 (5.6.18)

e

∃ω = rT , (5.6.19)

onde r zT T T= − ′x ∃π .

A alteração na estimativa dos parâmetros provocada pela presença de um IO no

período T pode ser medida por

( )( ) ( )( )

D TpIO

I z z I=

−′

−′� � � �

�

( ) ( )

*

π π π πX X

σ 2 , (5.6.20)

a estatística pode ainda ser escrita como

( )( )D T

p

r

h

h

hIOT

T

T

T

=− −

1

1 1

2

2*�σ

, (5.6.21)

onde ( )hT T z z T= ′ ′ −x X X x

1 é a medida da distância entre o vector no período da inter-

venção xT e o vector nulo, é pois a medida de alavanca referida no capítulo 5. Esta

estatística pode ser interpretada como o produto de dois termos; o primeiro

( )r hT T2 2 1

1σ− −− é o resíduo estandardizado no período da observação; o segundo,

Cap. 5 ___

___ 121___

( )h hT T11

−−

, representa a distância de xT à origem. ( )D TIO pode-se também exprimir

como uma função da razão de verosimilhança, usada para testar os outliers inovadores:

( )( )

D Tp

h

hIO

IO T T

T

=−

λ ,

*

2

21

, (5.6.22)

onde λ ω σIO T,∃ ∃= é a razão para testar se a T-ésima observação é um outlier inovador.

É de notar que ( )D TIO depende apenas dos valores relativos de p* observações antes

da intervenção [os regressores em t T= , ( )xT T T pz z=

′− −1 , ... , * ] em contraste com

( )D TAO que depende também das observações depois da perturbação.

5.7 AS ESTATÍSTICAS Ci j( )

Yatawara e Lin (1994) propuseram uma estatística de diagnóstico de observações in-

fluentes que permite detectar conjuntos de observações. Estatística essa, construída de

modo a evitar o efeito "masking" provocado pela existência de múltiplos e consecuti-

vos outliers.

Lawrance citado por Yatawara e Lin (1994), no quadro dos modelos de regressão,

propôs a seguinte medida da influência do i -ésimo caso após a eliminação do j -ésimo

caso

( )( )( )C psi j i j j j j i j j( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( )� � � � /= − ′ −β β β βX X 2 , (5.7.1)

onde ∃( , )β i j é uma estimativa dos parâmetros de regressão linear β após a eliminação

do i -ésimo e j -ésimo caso, s2 é a variância dos resíduos e X ( )j é a matriz de obser-

vações X sem a linha j .

Cap. 5 ___

___ 122___

Os autores adoptaram o esquema sugerido por Lawrance, aplicando-o às séries

temporais, no quadro dos modelos autoregressivos AR(p). Após simplificações, Ci j( )

pode-se representar, recorrendo aos elementos da matriz H referida no capítulo 5,

como

( ) ( )[ ]{ }C h h h hi j ij i i ij( )

~/

~= − − +−

1 122

2

( )[ ]× ′ + ′ ′r h r r pi ij j i2

2

1~

/ / (5.7.2)

onde ( )( )~/h h h hij ij i j= − −1 1 (alavanca conjunta), ( )hij i j= ′ −x X X x1 [( , )i j -ésimo

elemento fora da diagonal de H ], ′= −r r s hi i i/ 1 (i -ésimo resíduo estandardizado) e

( )x i i i i pz z z=′

− − −1 2, , ... , .

A estatística Ci j( ) é uma função dos rt `s e de hij . Deste modo, múltiplos AO em

t T T Tl= 1 2, ,..., , ( )l = 1 2, ,... afectarão os resíduos r r r rT T T Tl l1 21 1 1 2+ + + +,..., ,..., , ,... por ω

[veja-se (5.4.7)] . De modo similar, múltiplos IO afectarão e e eT T Tl1 2, ,..., por ω e como

tal as observações z z z zT T T Tl l1 21 1 1 2+ + + +,..., ,..., , ,... [veja-se (5.4.8)]. Então Ci j( ) é afectado

pelos outliers.

Em situações práticas a posição dos outliers pode não ser conhecida. Então Ci j( )

deverá ser calculada para todos os ( )t p p n p= + + − +1 2 1, , ... , . Para identificar a po-

sição dos outliers deverá considerar-se a estatística max( )Ci j , dada por

( )

( ) ( )max

/~

( )( )

( )

( )i

i j

i i ij

jj i j

i jj i jCh h h

p h hr h r=

− +

− −× +

1

1 1

2

2 22

2

σ. (5.7.3)

Em que ( )hkl i k i i l( ) ( ) ( )= ′−

x X X x1

.

Cap. 5 ___

___ 123___

A distribuição amostral exacta de max( )Ci j não é conhecida. Recorrendo à teoria

das grandes amostras, Yatawara e Lin (1994) demonstraram que para um dado j fixo,

max ( )i i jC tem uma distribuição assintótica Cχ( )12 , em que

( )[ ]( )

( ) ( )Ch h h h

p h h

j j jj i jj i

jj i j

=− + +

− −

1 1

1 1

2 22

2 22

( ) ( )

( )σ (5.7.4)

é uma constante para um dado i fixo. Então a significância de um valor max( )i i jC

pode ser testado para um valor critico apropriado da distribuição do qui-quadrado.

A estatística Ci j( ) deverá, no entanto, ser utilizada em conjunto com outro método

de detecção. Isto porque a estatística funciona como um teste à observação ( )i após a

eliminação da observação outlier ( )j . Necessitamos pois, previamente, de detectar o

outlier correspondente à observação ( )j por um outro método de diagnóstico.

5.8 DIAGNÓSTICOS DV e DC

5.8.1 Estimativas dos parâmetros ARMA com dados omissos

Para o cálculo das medidas de influência de Bruce e Martin (1989), necessitamos de

estimar os coeficientes da série temporal, ( )β ,=′

φ φ θ θ1 1, ... , , ... ,p q ou a variância do

ruído σ2, com e sem o efeito outlier. Estas ultimas baseiam-se na substituição das ob-

servações outlier por valores interpolados, considerando as observações outlier como

omissas. Este procedimento corresponde ao utilizado por Peña (1990), no cálculo das

estimativas dos coeficientes ARMA, ∃( )π T (considerando uma aproximação autore-

gressiva), na presença de um AO.

Considerando que a T-ésima observação, zT , é uma observação outlier. As estima-

tivas dos coeficientes ARMA podem-se obter tratando a T-ésima observação como

Cap. 5 ___

___ 124___

um parâmetro desconhecido x T( ) , obtendo-se a sua estimativa ∃( )x T e calculando as es-

timativas ∃( )β T e ∃( )σ T2 a partir da colecção de dados na qual a observação zT é substituí-

da por ∃( )x T . Com os coeficientes da série temporal dados, ( )β ,=′

φ φ θ θ1 1, ... , , ... ,p q ,

a estimativa da observação eliminada no período T é dada, como anteriormente, por

( ) ( )�( )x z zT j T j T jj

β = ++ −≥

∑η1

(5.8.1)

ρ ηj j= − é a autocorrelação inversa de ordem j do processo. Já que a estimativa em

(5.8.1) sendo uma soma ponderada das observações adjacentes, é função de coeficien-

tes da série temporal deverá ser utilizado um procedimento iterativo para determinar,

para cada período temporal omitido T , as estimativas de máxima verosimilhança ∃( )x T ,

∃( )β T e ∃ ∃( )σ T tt

nn r2 1 2

1= −

=∑ . Os resíduos ∃rt utilizam ∃( )β T e são obtidos após a substituição

da T-ésima observação por ∃( )x T .

5.8.2 Diagnóstico para os coeficientes (DC)

Se a observação zT tiver uma influência excessiva na estimativa ∃β então isso revela-se

sob a forma de uma diferença substancial entre ∃β e ∃( )β T . Os autores definem então a

influência empírica da observação zT sobre os coeficientes como

( ) ( )EIC T n T= − −� �( )β β . (5.8.2)

A influência empírica ( )EIC T é um vector de dimensão h p q= + , e como tal, é difícil

de interpretar. Deste modo, seguindo a aproximação para a regressão linear, os autores

consideram um diagnóstico baseado na forma quadrática da função de influência em-

pírica, nomeadamente

Cap. 5 ___

___ 125___

( ) ( ) ( )DC Tn

T T= ′ −1 1EIC C EIC� , (5.8.3)

onde ∃C é uma estimativa da matriz de covariância C de ∃β .

Sob condições de regularidade em que ∃β é assintóticamente normal

( ) ( )� , ( )β β β− →n hN 0 C ,

em que ( )C β é a matriz de covariância assintótica, a qual está relacionada com a ma-

triz de informação assintótica, ( )I β , por

( ) ( )C Iβ β− =1. (5.8.4)

Se ∃( )I β é um estimador consistente de ( )I β , então

( ) ( )( )n h� � �

( )β β β β β− ′ − →I χ 2 , (5.8.5)

Um estimador de ( )I β é a informação esperada avaliada pelos estimadores de máxima

verosimilhança, ( )I �β . Usando esta expressão, temos o diagnóstico para os coeficientes

( ) ( ) ( ) ( )DC Tn

T T= ′1

EIC I EIC�β

( ) ( )( )= − ′ −n T T� � � � �

( ) ( )β β β β βI . (5.8.6)

Embora a distribuição de ( )DC T não seja conhecida, a utilização da distribuição

χ( )h2 permite-nos visualizar ( )DC T numa escala familiar. Assim, um método grosseiro

para avaliar se uma observação zT é influente é verificar se o p-value baseado na dis-

tribuição de referência χ( )h2 é inferior a 0 5. (e não 0 05. , veja-se Cook e Weisberg

Cap. 5 ___

___ 126___

(1982)). Este procedimento não é no entanto um teste de significância, servindo ape-

nas como indicador da influência.

5.8.3 Diagnóstico para a variância do ruído (DV)

A influência da observação zT pode também ser mediada pela avaliação do seu efeito

sobre o estimador da variância do ruído, ∃σ2. Bruce e Martin (1989) definem a influên-

cia empírica de uma observação zT sobre a variância do ruído por

( ) ( )EIC T n T= − −� �( )σ σ2 2 , (5.8.7)

Sob condições de regularidade, ∃σ2 é assintóticamente normal:

( ) ( )� ,( )σ σ σT n N2 2 40 2− → (5.8.8)

Então

n

21

2

2

2

12

�

( )

σσ

χ−

→ .

Deste modo, os autores propõem o seguinte diagnóstico para a variância do ruído

( )DV Tn

T

= −

21

2

2

2�

�( )

σσ

. (5.8.9)

Com a distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade, χ( )12 , como distribuição de

referência. Então, suspeitamos que uma observações zT é influente se o p-value para

( )DV T é inferior a 0 5. usando a distribuição χ( )12 .

Cap. 5 ___

___ 127___

A maior diferença entre o coeficiente DC para séries temporais e os diagnósticos

usuais dos coeficientes de regressão é o efeito de "smearing" de um outlier isolado ou

de um grupo de outliers a períodos adjacentes. Usando o diagnóstico para coeficientes,

um dado outlier pode ser considerado influente devido a um outlier num período adja-

cente. Por exemplo, no caso AR(p), um outlier isolado implica que DC apresente valo-

res significativos p períodos antes e depois da ocorrência do outlier. Então a interpre-

tação do diagnóstico DC não é tão clara como no caso da regressão. Em contraste, ar-

gumentam os autores, o diagnóstico para a variância do ruído ostenta efeitos

"smearing" muito mais reduzidos e muitas vezes negligenciáveis. Deste modo DV

apresenta melhores propriedades que DC, sendo por isso preferível a sua utilização.

5.8.4 Diagnóstico para múltiplos e consecutivos outliers

No caso de observações independentes, a estratégia de diagnóstico assenta, num dado

período, na eliminação de uma única observação. No entanto, a situação das séries

temporais difere do caso das observações independentes pois: (i) a estrutura impõe-se

por ordem temporal e (ii) observações influentes muitas vezes surgem na forma de

grupos de outliers estendendo-se por múltiplas observações. É então imperativo procu-

rar grupos influentes e não apenas observações isoladas.

Neste sentido Bruce e Martin (1989) propuseram medidas de diagnósticos com k

observações eliminadas. Considere-se { }A T T Tk= 1 2, , ... , uma subcolecção arbitrária

de { }1 2, ,... ,n , e ∃( )β A o estimador com as observações z zT Tk1,..., consideradas omissas.

Se alguma das observações da subcolecção A tiver uma influência excessiva na esti-

mativa ∃( )β A então isso revela-se sob a forma de uma diferença substancial entre ∃β e

∃( )β A .

O diagnóstico com k observações eliminadas para os coeficientes é dado por

Cap. 5 ___

___ 128___

( ) ( ) ( ) ( )DC An

A A= ′1

EIC I EIC�β

( ) ( )( )= − ′ −n A A� � � � �

( ) ( )β β β β βI . (5.8.10)

O diagnóstico com k observações eliminadas, para a variância do ruído é

( )DV An

A

= −

21

2

2

2�

�( )

σσ

. (5.8.11)

Neste caso, com múltiplos e consecutivos outliers, os autores propuseram uma estra-

tégia de diagnóstico que permite identificar a dimensão do grupo de outliers influentes

assente na eliminação iterativa de k observações e calculo dos diagnósticos.

Consideremos A Ak t= , consistido em k períodos de tempo centrados em

( )[ ] [ ]( )t t k t k: , ... ,− − +1 2 2 , onde y representa o maior inteiro menor ou igual a y.

Para um qualquer k , t é o ponto mais próximo à direita do centro do grupo Ak t, . Para

simplificar a notação representamos ( )DC Ak t, , ( )DV Ak t, , respectivamente por

DC k t( , ), ( )DV k t, . Para grupos situados no final da série, onde ( )[ ]t k≤ −1 2 ou

t n k> − 2 , ( )DC k t, e ( )DV k t, são calculados com o grupo truncado.

Em presença de uma observação influente isolada os coeficientes de diagnóstico

apresentam o seguinte padrão de comportamento: k −1 valores de ( )DV k, . ao redor

da localização do outlier isolado em T são significativos e têm aproximadamente o

mesmo valor que ( )DV k T, . Isto corresponde ao que intuitivamente se poderia esperar

de um outlier isolado: a eliminação do grupo que inclui esse outlier tem o mesmo

efeito que teria a sua eliminação.

Comportamento similar ocorre em presença de um grupo de outliers. Em geral,

para um grupo de k0 outliers centrados em T , verifica-se a seguinte propriedade dos

grupos (PG):

Cap. 5 ___

___ 129___

Para k k≥ 0, existem k k− +0 1 subconjuntos Ak t, que contêm o grupo e ao eliminar

esses subconjuntos, o valor de ( )DV k t, é sensivelmente o mesmo e significativo (o

p-value associado é inferior a 0 5. ).

Então, julgamos se um grupo influente centrado em T , é do tamanho k0 1≥ se

( )DV k T0 , é significativo, e se verifica a PG. Se ( )DV k T0 , é significativo mas a PG

falha, então temos uma indicação que está presente um grupo extenso de outliers. Isto

providência uma estratégia para identificar o tamanho do grupo de observações in-

fluentes.

Calcule-se os diagnósticos "leave-k -out" para sucessivos k = 1 2, ,... até que o va-

lor de ( )DV k t, não aumente significativamente para nenhum t . O tamanho do

grupo será estimado pelo primeiro valor de k menos um.

5.9 MEDIDAS DE DESLOCAMENTO DA VEROSIMILHANÇA

Considerando zT como uma observação outlier temos três deslocamentos possíveis da

verosimilhança com interesse, segundo Ledolter (1990). O primeiro mede o desloca-

mento quando ambos, os coeficientes da série temporal ( )β ,=′

φ φ θ θ1 1, ... , , ... ,p q e a

variância σ2, têm interesse:

( ) ( ) ( )[ ]LD L LT T Tβ β β, �, � � , �( ) ( )σ σ σ2 2 22= −

= − + −

n n

s

T

T

T

log�

� �( )

( )

( )

σσ σ

2

2

2

2 1 . (5.9.1)

Cap. 5 ___

___ 130___

Onde ∃( )β T e ∃( )σ T2 são calculados pelo processo descrido no ponto 6.4.1. Obtemos a úl-

tima expressão após a substituição das estimativas no logaritmo da função de verosimi-

lhança condicional ( ) ( ) ( )L n ett

nβ, / log /σ σ σ2 2 2 2

12 1 2= − − =∑constante . A estima-

tiva da variância s T( )2 é calculada com ∃( )β T , mas utiliza todas as observações, incluindo

zT , para obter os resíduos. É diferente de ∃( )σ T2 , a qual utiliza a mesma estimativa dos

coeficientes da série temporal mas substitui a T-ésima observação por ∃( )x T .

O segundo diagnóstico mede o deslocamento quando apenas os coeficientes da sé-

rie temporal β têm interesse:

( ) ( ) ( )[ ]LD L L s nsT T T

T

β β β= − = −

2 2 2

2

2�, � � , log

�

( ) ( )( )

σσ

. (5.9.2)

O terceiro diagnóstico mede o deslocamento quando apenas σ2 tem interesse:

( ) ( ) ( )[ ]LD L LT Tσ σ σ2 2 22= −�, � �, �( )β β

= − + −

n n

T T

log�

�

�

�( ) ( )

σσ

σσ

2

2

2

2 1 . (5.9.3)

Exemplo 5.5 : Processo AR(1)

Considerando um processo AR(1), as autocorrelações inversas são dadas por

( )ρ φ φ121= − + e ρ j = 0 para j > 1. A observação no período T é substituída por

( ) ( )�( )x z zT T Tφφφ

=+

++ −1 2 1 1 (5.9.4)

o qual é uma soma ponderada das duas observações adjacentes. A estimativa ∃( )φ T é

obtida minimizando-se

Cap. 5 ___

___ 131___

( ) ( )[ ] ( )[ ]σ φ φ φ φ φ φ21

2

1

2

1

2

1

1( ) � �( ) ( )

,

= − + − + −

− + −

≠ +∑

nz z z x x zt t T T T T

t T T

(5.9.5)

e a estimativa de σ2 a partir de ( )� �( ) ( )σ σ φT T2 2= . Nos cálculos deve ser utilizado um

procedimento iterativo. O deslocamento da verosimilhança é obtido substituindo as es-

timativas de ∃( )φ T e ∃

( )σ T2 conjuntamente com ( )s z z nT t T tt

n

( ) ( )�2

1

2

1= − −=∑ φ e a

estimativa de máxima verosimilhança ∃φ = −= −=∑ ∑z z zt tt

n

tt

n

11 12

1 e

( )� �σ φ21

2

1= − −=∑ z z nt tt

n a partir da colecção completa de observações nas equações

anteriores.

O deslocamento conjunto da verosimilhança quando ambos, β e σ2, têm interesse é

um limite superior da soma dos deslocamentos da verosimilhança individuais,

( ) ( ) ( )LD LD LDT T Tβ β+ ≤σ σ2 2, (5.9.6)

Após a substituição das expressões anteriores, a desigualdade (5.9.6) traduz-se em

log�

� � �

�

�

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

s sT T

T

T

T T

2 2

2 2

2

2

2

2

σσ σ σ

σσ

≤ − .

Como s T T( ) ( )∃ ∃2 2 2≥ ≥σ σ , então a s bT T T= ≥ = ≥( ) ( ) ( )

∃ ∃ ∃2 2 2 2 1σ σ σ , esta desigualdade é ver-

dadeira pois ( )log a b a b≤ − para a b≥ ≥ 1.

Foi observado por Bruce e Martin (1989) que a estimativa da variância do ruído é

mais sensível aos outliers que as estimativas dos coeficientes ARMA. Então é razoável

considerar o deslocamento da verosimilhança em ordem a σ2 como um diagnóstico

possível de outliers. O deslocamento em (5.9.3) pode-se escrever como

Cap. 5 ___

___ 132___

( )LD n nTT T

σσσ

σσ

22

2

2

21 1 1= − + −

+ −

log

�

�

�

�( ) ( )

≈ − −

− −

+ −

n n

T T T

�

�

�

�

�

�( ) ( ) ( )

σσ

σσ

σσ

2

2

2

2

22

211

21 1

( )= −

=

nDV T

T21

2

2

2�

�( )

σσ

(5.9.7)

o qual é o diagnóstico para a variância do ruído considerado por Bruce e Martin

(1989).

As equações (5.9.3) e (5.9.7) mostram que

W nTT

( )( )

�

�= −

σσ

2

2 1 , (5.9.8)

é um elemento fundamental do deslocamento da verosimilhança para a variância do

ruído. Compara duas estimativas da variância do ruído; uma é calculada com todas as

observações disponíveis, enquanto a outra considera a T-ésima observação como um

parâmetro adicional.

Segundo Ledolter (1990), ( )[ ]n n WT−1 / ( ) tem uma distribuição ( )F n1 1, − , e se n é

suficientemente elevado, WT( ) tem uma distribuição χ( )12 .

5.10 CONCLUSÃO

Em conclusão, as medidas de diagnostico apresentadas são de certo modo complemen-

tares e deverão ser utilizadas consoante as necessidades do utilizador e da informação

Cap. 5 ___

___ 133___

que se tem acerca da série a analisar. Podemos começar por analisar os resíduos se-

gundo a metodologia de Rosado (1984), a qual constitui uma metodologia relativa-

mente fácil de implementar. Outro método de detecção de outliers bastante acessível,

no contexto de um modelo AR(p), consiste na utilização das designadas medidas de

alavanca. Se suspeitamos que estão presentes múltiplos e consecutivos outliers esta

técnica de diagnóstico é particularmente adequada. Na presença de AO e IO o método

de detecção baseado nas estatísticas Q será talvez o mais adequado, pois permitem

não só detectar mas também distinguir um AO de um IO. Em presença de séries tem-

porais cujo processo subjacente é um ARMA(p,q), pode-se sempre utilizar a aproxi-

mação autoregressiva AR(p* ) e aplicar então estes métodos de detecção.

Se o nosso objectivo consiste na detecção de outliers influentes, pode-se começar a

análise da série temporal e antes da etapa da identificação do modelo na metodologia

de Box-Jenkins, pelo cálculo da matriz da função de influência das autocorrelações,

como uma fase prévia de identificação de observações influentes. Numa fase posterior

pode-se calcular as estatísticas de Peña (1990) as quais permitem identificar os AO e

IO que têm forte influência no valor dos coeficientes ARMA estimados. Como medi-

das alternativas de influência temos o diagnóstico DC de Bruce e Martin (1989) que

mede a alteração da variância do ruído estimada em presença de outliers e as medidas

de deslocamento da verosimilhança.

Na presença de múltiplos e consecutivos outliers pode-se utilizar a estatística de

diagnóstico de Yatawara e Lin (1994) a qual permite detectar conjuntos de observa-

ções ou pode-se seguir uma estratégia de detecção baseada num procedimento de eli-

minação iterativa proposta por Bruce e Martin (1989).