CAPITULO 8 Flexão Resistência dos Materiais DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Resistência dos Materiais

CAPITULO 8

Flexão

Resistência dos Materiais

DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial


Sumário: Flexão

Competências: Determinar o diagrama de esforços internos de flexão e cortantes. Relacionar as

tensões com as deformações. Relacionar as tensões normais com os esforços de flexão e propriedades

geométricas dos corpos deformáveis. Calcular as tensões relacionadas com a flexão pura, carregamento

axial excêntrico, flexão simétrica e assimétrica para diferentes geometrias. Perceber o significado físico

de linha neutra e superfície neutra. Determinar a localização da linha neutra. Desenhar a distribuição dos

vectores tensão na secção transversal do corpo solicitado.



Esforços internos de flexão e cortantes

Flexão pura

Equação matemática para cálculo das tensões normais

Distribuição das tensões normais nos corpos solicitados

Superfície neutra e linha neutra

Carregamento axial excêntrico

Flexão simétrica e não simétrica

Momentos de Inércia e eixos principais de Inércia

Diagramas de Esforços Internos Cortantes e de Flexão

• A determinação das tensões normais e tangenciais máximas requer a identificação dos esforços internos cortantes e de flexão máximos.

• Os esforços internos cortantes e de flexão num ponto podem ser determinados seccionando a viga pela secção transversal correspondente e realizando uma análise de equilíbrio estático na porção da viga à esquerda ou à direita desse ponto, tal como ilustrado nas figuras (a) e (b) (Método das Secções).

• Convenção de sinais positivos para os esforços cortantes V e V’ e esforços de flexão M e M’:



Para a viga de madeira e para o carregamento indicado, desenhe os diagramas de esforços internos cortantes e de flexão.

Método das Secções:

• Considerando a viga como um corpo rígido, determine as forças reactivas nos apoios.

• Represente graficamente a distribuição dos esforços internos cortantes e de flexão em função do comprimento da viga.

• Seccione a viga junto aos apoios e pontos de aplicação de cargas. Aplique as equações de equilíbrio estático nos diagramas de corpo livre assim obtidos, de modo a determinar os esforços internos cortantes e de flexão.

Exercício Resolvido 1



• Cálculo das reacções nos apoios:

kNRkNRMF DBBy 1446:0

• Análise de equilíbrio estático:

00m0kN200

kN200kN200

111

11

MMM

VVFy

mkN500m5.2kN200

kN200kN200

222

22

MMM

VVFy

0kN14

mkN28kN14

mkN28kN26

mkN50kN26

66

55

44

33

MV

MV

MV

MV





• Representação gráfica dos esforços internos cortantes e de flexão:

xwV

xwVVVFy

0:0

D

C

x

xCD dxwVV

wdx

dV

• Relação entre carregamento e esforço cortante:

221

02

:0

xwxVM

xxwxVMMMMC

D

C

x

xCD dxVMM

Vdx

dM

• Relação entre esforço cortante e esforço de flexão:



Relação entre Carregamento, Esforço Cortante e Esforço de Flexão

• Aplique a relação entre carregamento e esforço cortante para representar o diagrama de esforços internos cortantes.

• Aplique a relação entre esforço cortante e esforço de flexão para representar o diagrama de esforços internos de flexão.




Para a viga e para o carregamento indicado, represente os diagramas de esforços internos cortantes e de flexão.

Método Gráfico:

• Considerando a viga como um corpo rígido, determine as forças reactivas nos apoios.

kips18

kips12kips26kips12kips200

0F

kips26

ft28kips12ft14kips12ft6kips20ft240

0

y

y

y

A

A

A

D

D

M

dxwdVwdx

dV



• Cálculo das reacções nos apoios:

• Representação gráfica do diagrama de esforços internos cortantes:

dxVdMVdx

dM



• Representação gráfica do diagrama de esforços internos de flexão:

Exercício de Esforços Internos 1

Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas de esforços cortantes (V) e de esforços de flexão (M) utilizando os seguintes métodos:

a) método das secções;

b) método gráfico.



8 kN

12 kN.m

2 kN/m

1 m 1 m 1 m 2 m 2 m

Exercício de Esforços Internos 2

Para o carregamento indicado na figura represente os diagramas de esforços cortantes (V) e de esforços de flexão (M) utilizando os seguintes métodos:

a) método das secções;

b) método gráfico.



Flexão Pura

Flexão Pura: Membros prismáticos sujeitos a dois momentos, iguais e de sentidos opostos, actuando no mesmo plano longitudinal.



Outros Tipos de Carregamento

• Princípio da Sobreposição: Combinar as tensões originadas pela carga com as tensões provocadas pela flexão pura.

• Carregamento excêntrico: Um carregamento axial excêntrico à secção considerada, origina esforços internos equivalentes a uma força normal e a um momento flector.

• Carregamento transversal: Uma carga concentrada na extremidade livre A origina esforços internos equivalentes a uma força igual, e de sentido oposto, e a um momento flector.



Análise das Tensões na Flexão Pura

MdAyM

dAzM

dAF

xz

xy

xx

0

0

• O momento flector M consiste em duas forças iguais e de sentidos opostos.

• A soma das componentes dessas forças em qualquer direcção é igual a zero.

• O momento flector, em relação a qualquer eixo perpendicular ao seu plano, é sempre o mesmo.

• O momento flector, em relação a qualquer eixo contido no seu plano, é igual a zero.



Deformações na Flexão Pura Barra prismática que contém um plano de simetria, em flexão pura:

• a barra permanece simétrica em relação ao plano;

• flecte uniformemente formando um arco de circunferência;

• qualquer secção plana perpendicular ao eixo da barra permanece plana;

• a linha AB diminui de comprimento e a linha A’B’ aumenta;

• deve existir uma superfície neutra, paralela às faces superior e inferior, para a qual o comprimento não varie;

• tensões e deformações são negativas (compressão) acima da superfície neutra, e positivas (tracção) abaixo dela.



Deformações na Flexão Pura

Considere uma barra prismática de comprimento L.

Depois da deformação, o comprimento da superfície neutra permanece igual a L. Nas outras secções,

mx

mm

x

c

y

cρ

c

yy

L

yyLL

yL

or

e)linearment varia(extensão



Tensões e Deformações no Regime Elástico

• Para um material homogéneo,

e)linearment varia(tensãom

mxx

c

y

Ec

yE

• A partir da estática,

dAyc

dAc

ydAF

m

mxx

0

0

A linha neutra passa pelo centro geométrico da secção.

• Do equilíbrio estático,

I

Myc

yS

M

I

Mcc

IdAy

cM

dAc

yydAyM

x

mx

m

mm

mx

em doSubstituin

2



resistente módulo

inércia de momento

c

IS

IS

M

I

Mcm

Ahbhh

bh

c

IS

613

61

3121

2

Tensões e Deformações no Regime Elástico





Propriedades dos Perfis

Deformações numa Secção Transversal

• A deformação da barra submetida à flexão é medida pela curvatura da superfície neutra.

EI

M

I

Mc

EcEccmm

11

yy

xzxy

caanticlásti curvatura 1



Uma peça de máquina de ferro fundido fica submetida à acção do momento flector M = 3 kN.m. Sabendo-se que E = 165 GPa e desprezando o efeito da curvatura das arestas do perfil, determinar:

(a) as máximas tensões de tracção e compressão;

(b) o raio da curvatura.




Calcular a localização do centro geométrico da secção e o momento de inércia.

mm 383000

10114 3

A

AyY

3

3

3

32

101143000

104220120030402

109050180090201

mm ,mm ,mm Area,

AyA

Ayy

49-3

2312123

121

231212

m10868 mm10868

18120040301218002090

I

dAbhdAIIx



• Calcular as máximas tensões de tracção e compressão.

49

49

mm10868

m038.0mkN 3mm10868

m022.0mkN 3

I

cM

I

cMI

Mc

BB

AA

m

MPa 0.76A

MPa 3.131B

• Calcular a curvatura.

49- m10868GPa 165

mkN 3

1

EI

M

m 7.47

m1095.201 1-3



I

My

A

P

xxx

flexãocentrada força

Carregamento Axial Excêntrico num Plano de Simetria

• Carregamento excêntrico,

PdM

PN

• Os resultados só são válidos quando as condições de aplicação do princípio da sobreposição e de Saint-Venant forem satisfeitas.



N

A peça mostrada é feita de ferro fundido e tem tensões admissíveis de 30 MPa à tracção e de 120 MPa à compressão. Determinar a maior força P que pode ser aplicada à peça.

Do exercício resolvido 3,

49

23

m10868

m038.0

m103

I

Y

A




• Força e momento flector aplicados em C.

flector momento 028.0

centrada força

m028.0010.0038.0

PPdM

P

d

• Máxima força que pode ser aplicada.

kNPMPaP

kNPMPaP

B

A

0.771201559

6.7930377

kN 0.77P

• Sobreposição.

P

PP

I

Mc

A

P

PPP

I

Mc

A

P

BB

AA

155910868

038.0028.0

103

37710868

022.0028.0

103

93

93



Flexão Fora do Plano de Simetria

• Em geral, a linha neutra da secção não coincide com eixo do momento flector.

• Não podemos supor que a barra vá flectir no plano de simetria.

• A linha neutra da secção transversal coincide com o eixo do momento flector.

• Permanecem simétricas e flectem no plano de simetria.




•

inérciadeprodutoIdAyz

dAc

yzdAzM

yz

mxy

0ou

0

MMMF zyx 0

•

linha neutra passa pelo centro geométrico.

dAy

dAc

ydAF mxx

0ou

0

•

define a distribuição de tensões.

inérciademomentoIIc

Iσ

dAc

yyMM

zm

mz

Mou



• Decompor o vector M em dois vectores, segundo z e y,

sincos MMMM yz

• Sobrepor,

y

y

z

zx I

zM

I

yM

• Obtém-se,

tgI

I

z

ytg

I

zM

I

yM

I

zM

I

yM

y

z

yzy

y

z

zx

sincos

0

• Aplicação do princípio da sobreposição.




Um momento flector de 1600 lb.in é aplicado a uma viga de madeira de secção rectangular, num plano que forma um ângulo de 30º com a vertical. Determinar:

(a) A tensão máxima na viga;

(b) O ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal.




• Determinar a tensão máxima na viga.

psi

in

ininlb

I

zM

psiin

ininlb

I

yM

inininI

inininI

inlbinlbM

inlbinlbM

4y

y

4z

z

4y

4z

y

z

5.6099844.0

75.0800

6.452359.5

75.11386

9844.05.15.3

359.55.35.1

80030sin1600

138630cos1600

2

1

3121

3121

• A maior tensão de tracção devida ao carregamento combinado ocorre em A.

5.6096.45221max psi1062max



• Determinar o ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal.

143.3

309844.0

359.5

tgin

intg

I

Itg

4

4

y

z

o4.72



Caso Geral de Carga Excêntrica

• A força excêntrica é equivalente a um sistema constituído por uma força centrada e dois momentos flectores.

PbMPaM

P

zy centrada força

• Aplicando o princípio da sobreposição,

y

y

z

zx I

zM

I

yM

A

P

• Se x = 0, obtém-se a equação de uma

recta, que representa a linha neutra da secção.

A

Pz

I

My

I

M

y

y

z

z



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