Capítulo I Séries Numéricas - Sistemas de Informação · é uma progressão geométrica. A série geométrica representa-se, habitualmente, por: 0 n n ar f

Capítulo I

Séries Numéricas

Capitulo I – Séries 2

Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica

1. SÉRIES NÚMERICAS

DEFINIÇÃO 1

Sendo 1 2, ,..., ,...nu u u uma sucessão numérica, chama-se série numérica de termo geral nu à

expressão

1 2 ... ...nu u u

que habitualmente se escreve

1

n

n

u

ou simplesmente 1

n

n

u

Para determinar a soma de uma série, usa-se a chamada sucessão de somas parciais.

DEFINIÇÃO 2

Associada a uma série, existe a sucessão de somas parciais definida por

1 1

2 1 2

3 1 2 3

1 2 3

.

.

.

... .n n

s u

s u u

s u u u

s u u u u

DEFINIÇÃO 3

Uma série 1

n

n

u

quanto à sua natureza, pode ser convergente ou divergente.

Será Convergente se a sucessão das somas parciais a ela associada for convergente, e isto

sucede quando lim nn

S

for um valor finito e determinado. Será Divergente se a sucessão das

somas parciais a ela associada for divergente, e isto sucede quando lim nn

S

for um valor

infinito ou indeterminado.

No caso da série ser convergente, o valor de lim nn

S

é a soma da série.

No caso da série ser divergente, não existe soma da série, como é obvio.



₪ EXEMPLO 1

Dada a série 1

1

( 1)n n n

, determine a sua natureza e, caso seja convergente, calcule a sua

soma.

RESOLUÇÃO:

A Sucessão associada à série é:

1

2

3

4

1

2

1 1

2 6

1 1 1

2 6 12

1 1 1 1

2 6 12 20

..................................

1 1 1 1 1...

2 6 12 20 1n

s

s

s

s

sn n

Efectuando as operações acima indicadas, obtemos:

1

2

3

4

1

2

2

3

3

4

4

5

..................................

1n

s

s

s

s

ns

n

Vejamos então se existe e é finito o lim nn

S

.

lim lim 11

nn n

nS

n

.

Como o lim nn

S

existe e é finito, podemos afirmar que a série é convergente e portanto é

possível determinar a sua soma que será o valor do lim nn

S

, ou seja 1.



₪ EXEMPLO 2

Dada a série 1n

n

, determine a sua natureza e, caso seja possível, determine a sua soma.

RESOLUÇÃO:


1

2

3

4

1

1 2

1 2 3

1 2 3 4

..................................

1 2 3 4 ...n

s

s

s

s

s n

Efectuando as operações acima indicadas, obtemos:

1

2

3

4

1

1

3

6

10

..................................

. .1

22

nn

s

s

s

s

soma dos n primeiros termos de uma p an

s n u un


S

.Temos: 2

lim lim2

nn n

n nS

.

Então, podemos afirmar que a série é divergente e que não é possível determinar a sua soma .

₪ EXEMPLO 3

Dada a série 1

1

2

nn




RESOLUÇÃO:


1

2 2

3 2 3

4 2 3 4

2 3 4

1

2

1 1

2 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

..................................

1 1 1.

1 1 1 1 1 2 2 2...12 2 2 2 2

1 12

2

n

n n

s

s

s

s

Soma dos n primeiros termos

s de uma progressão geometrica

de razão


S

.Temos: 1

1 1

2 2lim lim 11

2

n

nn n

S .

Então, podemos afirmar que a série é convergente e que a sua soma é lim nn

S

, ou seja 1 .

₪ EXEMPLO 4

Dada a série 1

2

n

n


RESOLUÇÃO:




1

2

2

2 3

3

2 3 4

4

2 3 4

2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

..................................

2 2 .22 2 2 2 ... 2

1 22

nn

n

s

s

s

s

Soma dos n primeiros termos

s de uma progressão geometrica

de razão


S

.Temos: 1lim lim 2 2

n

nn n

S .

Então, podemos afirmar que a série é divergente e que por isso não é possível calcular a sua

soma.

1.1 ALGUMAS PROPRIEDADES DAS SÉRIES

Se duas séries 1

n

n

u

e 1

n

n

v

convergem e têm somas respectivamente U e V, então:

i) 1

n n

n

u v

, soma de 1

n

n

u

e 1

n

n

v

, converge e tem soma U+V.

ii)

1

,n

nu , converge e tem soma U.

Se a série 1

n

n

u for convergente e a série 1

n

n

b for divergente, a soma de 1

n

n

u e

1

n

n

b , 1

n n

n

u b , é divergente.

Se duas séries 1

n

n

a e 1

n

n

b divergem, 1

n n

n

a b , soma de 1

n

n

a e 1

n

n

b , pode não

divergir.



1.2 EXEMPLOS DE ALGUMAS SÉRIES

1.2.1 SÉRIE GEOMÉTRICA

Chama-se Série geométrica a 0

n

n

u

, onde nu é uma progressão geométrica. A série

geométrica representa-se, habitualmente, por:

0

n

n

ar


1

2

2

3

2 3

4

2 3

..................................

... n

n

s a

s a ar

s a ar ar

s a ar ar ar

s a ar ar ar ar

Vê-se facilmente que nS é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de

razão r , que será portanto: 11

1 1

nn

n

a ra ar rS

r r

.

Para identificar a natureza da série, teremos que analisar o lim nn

S

, que depende de r.

Vejamos:

i) Se 11

1, lim lim1

n

nn n

a rr temos S

r

ii) 11

1, lim lim1 1

n

nn n

a r ar temos S

r r

iii) 11

1, lim lim1

n

nn n

a rr temos S

r

iv) 1

1 11, lim lim

2

n

nn n

ar temos S

não existe.



Concluímos então que a série geométrica 0

n

n

ar

é convergente se e só se 1r e neste caso

a sua soma é 1

aS

r

.

₪ EXEMPLO 5

a) Determine a natureza da série 1

1

2

3nn

.

b) Determine, caso seja possível a sua soma.

RESOLUÇÃO

Podemos usar dois métodos:

1º método:

a) Usando as propriedades das séries, temos:

11

2

3nn

=1 1

1 2 12

3 3 3 3

n nn n

. Ora, 1

1

3

nn

é uma série geométrica de razão 1

13 , logo

convergente.

b) A soma de uma série geométrica de razão r e cujo primeiro termo é a, é 1

a

r. No nosso

caso, teremos então a soma da série 1

1

3

nn

igual a

1

131 2

13

. Como a série que nos é dada é

1

2 1

3 3

nn

, a sua soma será 2 1 1

3 2 3 .

2º Método:

a) A Sucessão associada à série é:



1 2

2 2 3

3 2 3 4

2 3 4 1

2

3

2 2

3 3

2 2 2

3 3 3

..................................

2 2 2 2...

3 3 3 3n n

s

s

s

s

Ora, nS nada mais é do que a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de

razão 1

3. Então

2 1

2 2 1

3 3 31

13

n

nS

. Calculemos lim nn

S

:2 1

2 2 1

13 3 3lim lim1 3

13

n

nn n

S

(

valor finito) logo, a série é convergente.

b) A sua soma será: 2 1

2 2 1

13 3 3lim lim1 3

13

n

nn n

S

.

1.2.2 .SÉRIE DE DIRICHLET OU SÉRIE DE RIEMMAN

Chama-se série de Dirichlet à série

1

1

n n

.

Esta série é uma série divergente, se 1 e convergente se 1 .

Se 1 , a série toma o nome de série harmónica.

₪ EXEMPLO 6

Determine a natureza da série 3

1

1

n n

.



RESOLUÇÃO

A série dada é convergente, pois é uma série de Dirichlet, com 3 1 .

1.2.3 SÉRIE DE MENGOLI OU SÉRIE TELESCÓPICA

Consideremos a série 1

n

n

a

.

Se for possível decompor o termo geral numa diferença tal que n n n pa u u , à série

1

n n p

n

u u

dá-se o nome de Série de Mengoli ou Série Telescópica.

A série de Mengoli 1

n n p

n

u u

será convergente se a sucessão nu o for, ou seja se

lim nn

u k

, sendo k um valor finito e determinado. Neste caso a soma da série será dada por:

1 2 ... limp nn

s u u u p u

.

₪ EXEMPLO 7

Determine a soma da série 1

1

1 2

n n n

.

RESOLUÇÃO

Vamos tentar decompor o termo geral numa subtracção de duas fracções, usando a seguinte

regra:

“Na primeira fracção colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o

último e na segunda colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o

primeiro”.

1

1 2 1 2

A B

n n n n



Deste modo, vem:

1 A(n 2) A(n 1) , logo A 1 e B 1 . Então:

1

1

1 2n n

=

1

1 1

1 2n n

Ora, 1

1 1

1 2n n

nada mais é do que uma série de Mengolli, onde p=1.

Já sabemos que uma série de Mengolli é convergente se a sucessão nu for. Neste caso

concreto temos lim nn

u

=

1lim

1n n =0, logo a sucessão nu é convergente e a soma da

série dada será então:

1

1 11. lim

1 2nu

n

.

₪ EXEMPLO 8

Caso seja possível, determine a soma da série 1

1, 1

3 6n

nn n n

.

RESOLUÇÃO

Vamos tentar decompor o termo geral numa subtracção de duas fracções, usando a seguinte

regra:

“Na primeira fracção colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o

último e na segunda colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o

primeiro”.

1

3 6 3 3 6

A B

n n n n n n n



Deste modo, vem:

1 A(n 6) Bn , logo 1 1

A e B6 6

. Temos então:

1

1

1 2n n

=

1

1 1

6 6

3 3 6n n n n

Ora, 1

1 1

6 6

3 3 6n n n n

nada mais é do que uma série de Mengolli, onde p=3.

Já sabemos que uma série de Mengolli é convergente se a sucessão nu for. Neste caso

concreto temos lim nn

u

=

1

6lim3n n n

=0, logo a sucessão nu é convergente e a soma da

série dada será então:

1 2 3

13. lim

3nu u u

n n

ou seja

1 1 1

6 6 6 01 1 1

4 10 18

1.3. CONDIÇÃO NECESSÁRIA DE CONVERGÊNCIA DE UMA SÉRIE

A Condição necessária para que a série 1

n

n

u

seja convergente é que lim 0nn

u

. Isto

significa que:



Dada a série 1

n

n

u

, se:

lim 0nn

u

, a série é divergente

lim 0nn

u

, a série poderá ser convergente ou divergente

₪ EXEMPLO 9


21

5 3

6 1n

n

n

.

RESOLUÇÃO

Calculemos lim nn

u

.

2

2

5 3 5lim lim 0

6 1 6n

n n

nu

n

.

Uma vez que não obedece à condição necessária de convergência podemos afirmar que a série

é divergente.

₪ EXEMPLO 10


1

n n

.

RESOLUÇÃO

Calculemos lim nn

u

.

1lim lim 0nn n

un

.

Nada podemos concluir pela análise do termo geral. Mas, 1

1

n n

é a série harmónica, de que já

se falou anteriormente e já se afirmou ser divergente.



1.4 SOMA OU SUBTRACÇÃO DE UM NÚMERO FINITO DE TERMOS A UMA

SÉRIE

Não se altera a natureza de uma série, somando-lhe ou subtraindo-lhe um número finito de

termos.

₪ EXEMPLO 11

Determinar a natureza da série 1+2+3+1

1

2nn

.

RESOLUÇÃO

Consideremos apenas a série 1

1

2nn

. É uma série geométrica de razão 1

12

r , logo

convergente.

A soma da série 1

1

2nn

é

1

2 11

12

.

Adicionando a este valor os restantes termos da série dada, ou seja 1, 2 e 3, vamos obter

1+1+2+3=7 , um valor finito. Podemos então dizer que a série 1+2+3+1

1

2nn

também é

convergente.

1.5 CONVERGÊNCIA DE SÉRIES DE TERMOS NÃO NEGATIVOS

Vamos em seguida estudar vários critérios de convergência de séries. Consideraremos apenas

séries de termos não negativos, ou seja séries de termos nulos ou positivos.



1.5.1.CRITÉRIO GERAL DE COMPARAÇÃO

(1º CRITÉRIO DE COMPARAÇÃO)

Se, para qualquer n N , se tem 0 n na b ,

i) Se 1

n

n

b

é convergente, 1

n

n

a

também é convergente.

ii) Se 1

n

n

a

é divergente, 1

n

n

b

também é divergente

iii)

1.5.2 COROLÁRIO DO CRITÉRIO GERAL DE COMPARAÇÃO

( 2º CRITÉRIO DE COMPARAÇÃO)

Sejam as séries 1 2

1 1

n n

n n

S a e S b

i) Se lim 0,n

nn

ak

b , as séries são da mesma natureza.

ii) Se lim 0n

nn

a

b , e se a série nb é convergente, também a série 1S é convergente.

iii) Se lim n

nn

a

b , e se a série nb é divergente, também a série 1S é divergente.

Para se aplicar o critério geral de comparação assim como o seu corolário, é necessário

relacionar a série dada com qualquer outra série da qual se conheça a natureza. As séries que

se utilizam habitualmente para fazer essa comparação são as Séries Geométricas, Séries de

Mengoli e Séries de Dirichlet, já anteriormente mencionadas.

₪ EXEMPLO 12

Estude a natureza da série 1

5

n n

.



RESOLUÇÃO

Sabemos que: 1 5

n n e que a série

1

1

n n

(série harmónica) é divergente. Então, aplicando o

critério geral de comparação( 1º critério de comparação) , podemos imediatamente concluir

que 1

5

n n

também é divergente.

₪ EXEMPLO 13

Estude a natureza da série 2

1

1

3n n

.

RESOLUÇÃO

Sabemos que 2 2

1 1

3n n

. Conhecemos também a natureza da série

21

1

n n

que é uma série

de Dirichlet com 2 , por isso convergente. Então, 2

1

1

3n n

convergente.

₪ EXEMPLO 14

Determine a natureza da série 3 2

2

1

lnn n n

.

RESOLUÇÃO

Sabemos que 3

2

1

n n

é convergente pois é uma série de Dirichlet com 3 .

Como 3 2

3

1

lnlim 01n

n n

n

,pelo corolário do critério geral de comparação concluimos que a

série 3 2

2

1

lnn n n

é também convergente.

₪ EXEMPLO 15


3

2

n

n n

u

u

, sabendo que a série

1

n

n

u

é convergente.



RESOLUÇÃO

Se a série 1

n

n

u

é convergente, então obrigatóriamente lim 0nn

u

( pela cond. nec. de

convergência) .Usando o corolário do critério geral de comparação, temos que :

3

2 3 3lim lim 0,

2 2

n

n

n nn n

u

u

u u

Sendo assim, as séries são da mesma natureza, logo convergentes.

1.5.3 CRITÉRIO DA RAZÃO OU CRITÉRIO DE DÁLEMBERT


n

n

u

, de termos não negativos. Se:

1

11

1

1, ´

1, ´lim

1 , ´

1 ,

n

n

nn

nn

n

n

n

u e convergente

u e divergenteu

u

u e divergente

nada se pode concluir

O critério de DÁlembert está especialmente indicado quando no termo geral da série

aparecem factoriais, potências ou produtos sucessivos.

₪ EXEMPLO 16


1 3 5 2 3

2 4 6 2 2n

. . ...( n )

. . ...( n )

.



RESOLUÇÃO

No termo geral da série estão presentes produtos sucessivos, estando portanto indicada a

utilização do critério de DÁlembert. Temos então:

1

1 3 5 2 5

2 4 6 2 4 2 51

1 3 5 2 3 2 4

2 4 6 2 2

n

n n nn

. . ... n

. . ... nu nlim lim lim

. . ... nu n

. . ... n

Logo, a série é Divergente.

₪ EXEMPLO 17

Determine a natureza das séries dadas abaixo, aplicando o critério de DÁlembert.

a)1

3n

n n!

b) 1

2

1n

n

n !

c)

2

1

3

n

n !

n!

RESOLUÇÃO

a) Aplicando o critério de DÁlembert temos:

1

1 3 30 1

1 3 1

n

n

nn n nn

u n!lim lim lim

u n ! n

.

Logo, a série dada é convergente.

b) Aplicando o critério de DÁlembert temos:

1

2

3

2 13 30 1

2 2 2 21

n

n n n nn

n

n ! n !u n nlim lim lim lim

nu n ! n nn !

Logo, a série dada é convergente.



c) Aplicando o critério de DÁlembert temos:

2

1

2

3 1 3 1 3 2 3 3

3 1 11

n

n n nn

n ! n! n n nulim lim lim

u n ! n nn !

Logo, a série dada é divergente.

1.5.4. CRITÉRIO DA RAIZ


n

n

u

, de termos não negativos. Se:

1

1

1

1, ´

1, ´lim

1 , ´

1 ,

n

n

nn n

nn

n

n

u e convergente

u e divergenteu

u e divergente

nada se pode concluir

O critério da raiz está especialmente indicado nos casos em que todos os factores do termo

geral estão elevados pelo menos ao expoente n.

₪ EXEMPLO 18


1

1n

n n

.

RESOLUÇÃO

Aplicando o critério da raiz, temos:

1 1 10 1

11 1

n

n nnn nn n n nlim u lim lim lim

nn n

Logo, a série 1

1

1n

n n

é convergente.



₪ EXEMPLO 19

Determine a natureza da série

22

21

3

8 9

n

n

n

n

.

RESOLUÇÃO


2 2 22 2

2 2

3 3 3 91

8 9 8 9 8 64

n

n nn

n n n

n nlim u lim lim

n n

Logo, a série é convergente.

₪ EXEMPLO 20

Determine a natureza da série

2

1 3

n

n

n

n

.

RESOLUÇÃO


2

1 11

33 31

n

n n

n nn

n n n n

n nlim u lim lim lim

n n e

n

Logo, a série é convergente.

1.5.5.CRITÉRIO DO INTEGRAL

Seja f: ,1 uma função Contínua e Decrescente onde para cada n ,

nu f n .

A série de termo geral nu e o integral 1

f x dx

são da mesma natureza.



OBSERVAÇÃO 1

Este critério permite concluir que a série de Dirichlet 1

1

n

e o integral 1

1dx

x

são da

mesma natureza.

₪ EXEMPLO 21

Estude a natureza das séries abaixo, recorrendo ao critério do integral.

a) 2

1

1

4n

b) 1

1

2 1n

RESOLUÇÃO

a) Consideremos a função 2

1

4f x

x . Esta função é continua e decrescente em

1, , então a série 2

1

1

4n

é da mesma natureza que o integral 2

1

1

4dx

x

. Vejamos então

qual é a natureza do integral:

2 2

11 1

1 1 1 1

4 4 4 4

tt

t tdx lim dx lim

x x x

O integral é convergente e então, pelo critério do integral, concluimos que a série 2

1

1

4n

também é convergente.

b) Consideremos a função 1

2 1f x

x

. Esta função é contínua e decrescente em 1, ,

então a série 1

1

2 1n

é da mesma natureza que o integral

1

1

2 1dx

x

.

Vejamos então qual é a natureza do integral 1

1

2 1dx

x

12

11 1

1 12 1

2 1 2 1

t t

t tdx lim dx lim x

x x



O integral é divergente e então, pelo critério do integral, concluímos que a série 1

1

2 1n

também é divergente.

1.6 SÉRIES ALTERNADAS

DEFINIÇÃO 4

Chama-se série alternada a toda a série cujos termos são alternadamente positivos e

negativos. A sua forma é

1

1 0n

n n

n

u , u

.

Por exemplo, 1

1 2 3 4... 1

2 3 4 5 1

n

n

n

n

, e

n

n

n n1

cos

1 3 são séries

alternadas.

Para fazer o estudo da convergência deste tipo de séries é muito útil o critério de Leibniz, que

diz o seguinte:

1.6.1 CRITÉRIO DE LEIBNIZ

Dada a série alternada 1

1 0

n

n n

n

u , u , se nu for decrescente e se 0

n

nlim u ,

então a série é convergente.

₪ EXEMPLO 22

Determinar a natureza da série

1

1

1

n

n n.

RESOLUÇÃO:

A série dada é uma série harmónica alternada

1

1

1

n

n n. Pelo critério de Leibniz, podemos

afirmar que é convergente, pois :



1 1

1

10

n

a )n n

b )limn

₪ EXEMPLO 23

Verifique se a série

1

1 3

4 1

n

n

n

n

é convergentes ou divergente.

RESOLUÇÃO

É uma série alternada, por isso, para estudar a sua natureza, vamos recorrer ao critério de

Leibniz. Verificamos que a 2ª condição deste não é satisfeita, ou seja 3 3

04 1 4n

nlim

n

.

Então, por este critério, nada podemos concluir. Mas, se recorrermos à condição necessária de

convergência, vemos que 1 3

4 1

n

n

nlim

n

não existe, logo a série é divergente.

1.6.2 CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA SIMPLES

Consideremos as séries 1 1

n n

n n

u e u

.

TEOREMA 1

Se 1

n

n

u

converge também 1

n

n

u

converge.

DEFINIÇÃO 5

Se uma série 1

n

n

u

e a série dos seus módulos, 1

n

n

u

, são ambas convergentes, a série

1

n

n

u

diz-se ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE.



DEFINIÇÃO 6

Se a série dos módulos, 1

n

n

u

, é divergente e a série 1

n

n

u

é convergente, a série 1

n

n

u

diz-se SIMPLESMENTE CONVERGENTE.

₪ EXEMPLO 24

Verifique se as séries são absolutamente convergentes, ou simplesmente convergentes

a)

1

1n

n n

b)

3

1

1n

n n

RESOLUÇÃO

a) Vamos analisar a série dos módulos:

Sabemos que

1 1

1 1n

n nn n

e já vimos que esta série é divergente ( série harmónica).

Vamos ver se

1

1n

n n

é convergente ou divergente, aplicando o critério de Leibniz. Ora,

10

nlim

n e nu é decrescente pois 1

1 1

1

n n, u u

n n, então

1

1n

n n

é

convergente. Podemos então concluir que

1

1n

n n

é simplesmente convergente, pois a série

dos módulos diverge e

1

1n

n n

converge.

b) Vamos analisar a série dos módulos:

Sabemos que

3 31 1

1 1n

n nn n

. Esta série é convergente (série de Dirichlet com 1 .

Como a série dos módulos é convergente, pelo teorema 1.7.2.1, podemos afirmar que a série

dada é convergente.



Conclusão: A série

31

1n

n n

é absolutamente convergente, pois tanto a série dos módulos

como ela própria são convergentes.

OBSERVAÇÃO 2

Série Absolutamente Convergente Série Convergente.

MAS A RECÍPROCA NÃO É VERDADEIRA

1.7. CRITÉRIO DA RAIZ E CRITÉRIO DE DÁLEMBERT PARA SÉRIES DE

TERMOS POSITIVOS E NEGATIVOS

1.7.1CRITÉRIO DA RAIZ


n

n

u

, de termos positivos e negativos, mas não alternada. Se:

1

1

1

1, ´

lim 1 ´

´

n

n

nn n

nn

n

n

u e absolutamente convergente

u u e divergente

u e divergente

1.7.2.CRITÉRIO DE DÁLEMBERT


n

n

u

, de termos positivos e negativos, mas não alternada. Se:



1

1

1

1

1, ´

lim 1, ´

, ´

n

n

nn

nnn

n

n

u e absolutamente convergente

uu e divergente

u

u e divergente

ESTRATÉGIAS NA ESCOLHA DO CRITÉRIO A EFECTUAR PARA DETERMINAR A NATUREZA DE

UMA SÉRIE

Foram expostos aqui vários critérios para determinar a natureza de uma série. A destreza em

escolher e aplicar os vários critérios, consegue-se apenas com a prática. A seguir serão

apresentados um conjunto de procedimentos para escolher um critério adequado.

A estratégia deverá ser a seguinte:

1) O n-ésimo termo da série tende a zero? Se não tende, a série é divergente

(Condição necessária de convergência)

2) A série é uma série conhecida? ( geométrica, Mengolli, Dirichlet)

3) É uma série alternada?

4) Pode-se comparar com uma das séries conhecidas?

5) Pode-se aplicar o critério de DÁlembert, da raiz ou do integral?

Aplicando as estratégias para determinar a natureza das séries, determine a convergência ou

divergência das séries abaixo:

a) 1

1

5 3n

n

n

b)

1 5

n

n

c) 2

1

n

n

ne

d) 1

1

5 3n n

e) 1

31

5 3

n

n n

f) 1

!

5nn

n

g) 1

1

5 3

n

n

n

n

Solução

a) Condição nec. de Convergência: 1 1lim 0

5 3 5n

n

n

, logo a série é Divergente

b) Série geométrica: razão menor que 1, logo convergente.



c) Critério do Integral. Série convergente

d) Teste de Comparação: Comparar com a série harmónica:

1

15 3lim 0,1 5n

n

n

, logo as

séries são da mesma natureza, por isso, divergentes.

e) Série alternada(analisar a série dos módulos, que é div. E em seguida aplicar o

critério de Leibniz), concluindo finalmente que é Convergente.

f) Critério de DÁlembert (o termo geral tem factoriais). Divergente.

g) Critério da raiz ( o termo geral está elevado ao expoente n). Convergente.

EXERCÍCIOS I

1 – Determine a sucessão das somas parciais e, caso seja possível, a soma de cada uma das

seguintes séries:

a) 1

1

2nn

b) 1

2n

n

c) 1

ln1n

n

n

d) 5

1

4 n

n

e) 1

1 1

1

n n n

2 - Considere a série numérica 2 2n

n

C

.

a) Mostre que é convergente qualquer que seja o valor da constante C .

b) Determine o valor da constante C de modo que a série tenha por soma 1.

3 – a) Verifique se 2

3

22

25 , 1

1

n n

n

x xx x para x

x

b) Considere 1

n

n

u uma série geométrica de razão 2

1

1 a com \ 0a . Sabendo

que a soma da série é 1, calcule o termo geral da série.

4 – Diga para que valores de a e b as séries 1

5

1

n

nn b

e

1

1

n

n

a

são convergentes e

calcule a soma de cada uma das séries para os valores encontrados.



5 – Usando as propriedades das séries, determine, caso seja possível, a natureza das séries

abaixo:

a) 1

1 3

3 2

n

nn

b) 1

1 2

2 1 2

nn n n

c) 1

1 1

4n n nn

6- Determine a natureza das séries de Mengoli:

a) 1

1

1n n n

b)

21

2

5 4n n n

c)

22

1

1n n

d)

1

2

1 2n n n n

e) 1

1

3 3 9n n n

f) 2

1

2 2 4n n n

g) 1

1

4 3 4 1

n n n

7 – Determine a natureza das séries, analisando o seu termo geral:

a) 2

21

5 3 3

7 2 6n

n n

n n

b)

1

1

2 1

n

n

n c)

2

21 7 4

n

n

n

d) 2

1 3 2n

n

n

e)

1

1

1 2

n

n

n f)

4

1

11

n

n n

8 – Aplicando o 1º critério de comparação, classifique as séries abaixo

a) 2 2

1 1

1 1ln 1

n n

comparar comn n

b) 2

1 1

1 1

!

n n

comparar comn n

c) 2

1 1

1

1 1

n n

ncomparar com

n n d)

2 1

1 1

lnn n

comparar comn n

e) 1 1

1 2 2

5 5

n n

n n

comparar comn

f)1

, 1

n

n

dd

n 1

1

n

comparar comn

9 – Estude, aplicando o 2º critério de comparação, a natureza das séries abaixo:

a) 2

4 21

5 3

2 3n

n n

n n

b)

21

1

1

n n n

c) 2

51

2 3

5

n

n n

n d)

1

1

2 1

nn



e) 3

1

1

3n

n senn

n

f)

3 21

4

3n n

g)

1

1n

n n

h) 2

1

1

n

n

n

i) 2

2

1

n

n

n n

j) 2

1

1

n

n n k) 3

1

1

5n n

l)

5 22

1

lnn n n

m) 5

1 4

n

n

n n)

1

2

1 3

n

nn

o) 1

1

n

senn

p) 2

6 21

1

1

n

n n

n n

10- Mostre que a série

1 1

32

n

nan

n é convergente, sendo na o termo geral de uma série

convergente.

11 – O que pode concluir quanto à natureza da série 1

n

n

a

?

a) 1 7

n

nn

alim

a b) 1 1

n

nn

alim

a c) 1 0 99

n

nn

alim .

a d)

1

2

n

nn

alim

a

12 – Estude a natureza das seguintes séries:

a) 1

2

1 2

n n n n

b)

11

3.2 1

2 1

n

nn

n n

n n

c) 1

1 3

3 2

n

nn

d) 1

1 2

2 1 2

nn n n

13 – Recorrendo ao critério de DÁlembert, determine a natureza das seguintes séries:

a)

3

1

2 !

!n

n

n

b)

1

1.3.5... 2 1

2.4.6... 2n

n

n

c)

1

!

n

nn

n

n

d) 1

, 0 1

n

n

bb

n e)

1

!, 0

nn

nd

d f)

1

!n

nn

n

n



g)2 1

0

2

3

n

nn

n

h)

2

1

!

2 !

n

n

n i)

1

2.4... 2 2

1.5... 4 1

n

n

n j)

1

n

n

n

n!

14 – Aplicando o critério da raiz, determine a natureza das séries abaixo

a) 1

1

3

n

n

n

n b)

2

1

3 1

5 1

n

n

n

n c)

1

4 1

4 3

n

n

n

n

d)

2

1 1

n

n

n

n e)

1

1

1 5

nn

n

f)

3

1

4

1

n

n

n

n

15 – Discuta a natureza da série 1

11

n

n

n

kn

, k .

16 – Recorrendo ao critério do integral, mostre que a série abaixo é divergente.

1 4 3 4 1n

n

n n

17 – Recorrendo ao critério de Leibniz determine a natureza das séries abaixo:

a)

1

1n

n n

b)

1

1

3

n

n

n

n

c)

1

1n

nn n

18 -. Utilize a série 0

3 11

1

n

n

n

n n

para mostrar que uma série pode ser simplesmente

convergente e não ser absolutamente convergente.

19 - Estude quanto à convergência simples e absoluta as séries

a)

1

3 1( 1)n

n

n

n

b)

1

1( 1)

2

n

n

n

n

n

c)

21

( 1)1

n

n

n

n

d) 1

2 11

1

n

n

n

n n

e)

2

21

14

n

n

n

n

f) 1

6 11

n

n

n

n



20- Determine a natureza das séries abaixo indicadas:

a)

12

3 )5

(sen

n n

b)

1

2

2nn

senn

c)

13 32

3

n n

n d)

12

3

n

n

n

e)

1

!5

nn

n

n

n f)

1n

nn g) 1

tan( ) sen2 3n n n

h)

12 )ln1(

1

n nn i)

1 !

5

n

n

n j)

1

32

nn

n

n k)

112

!

nn

n

l)

22 2

)1(

n

n

n

n m)

3

1

n

nn

e

n

n)

2

1

log

1

n

n

n

o) 21

1 11

3 5

n

n n n

p)

1 !2

!

n n

n q)

1

1

1

ln 1

n

n n

r) 2

1 1

1 1n n n

s) 1

5

1

n

n

n

n !

t)

1

1 2

4 1

n

n

( ) n

n

u) 0

3 21

4 3

nn

n

n

n

x)

1

1

1

4

n

n

n

n

y)

1

2

1 3n n n n

z)2

1

1 11

n

n n n

a1)

41 3

cos

n

n

n

b1)3 2 2

1

1 4

2 2n nn

c1)2

1

1

2n n n

d1)

1

, 1n

n

dd

n

d2) 1

11

n

n n

d3) 2

1!

nn

n

n

n

e1)

11

3.2 1

2 1

n

nn

n n

n n

f1)

1

1 2

2 1 2nn n n

g1) 1

3

5

n

nn n

h1)

5 2

51

1 3

2 7

n

n n

nn i1)

2

21

2 ! 2

3

nn

nn

n

n

j1) 1

1

11

nn

n

k1) 3

7

71

14 3

n

n

n

n

n

l1)

10

31 52 1n

n

n

m1) 2

1

n

nn

e

n

n1) 2

1

1n

n

nn

e

n

o1) 2 1

0

2

3

n

nn

n



21- Determine os valores inteiros positivos de K que tornam a série

2

1

!

!n

n

kn

convergente.

22- Considere a série numérica 1

3 n

n

k

.

a) Mostre que a série é convergente para todo o valor da constante k.

b) Determine o valor da constante k de modo que a série tenha soma 1.

Capítulo II

Séries de Potências

Capitulo II – Séries de potências 34


2. SÉRIES DE POTÊNCIAS

DEFINIÇÃO 7

Uma série de potências de (x-a) é uma série da forma:

0n

n

n axa = ...)(...)(2

210 n

n axaaxaaxaa

DEFINIÇÃO 8

Uma série de potências de x , é uma série da forma:

n

n

n xa

0

= ......2

210 n

n xaxaxaa

( É o caso particular das série de potências de (x-a) onde se considera a = 0)

2.1 SÉRIE DE POTÊNCIAS DE X

Já vimos que uma série de potências de x é uma série da forma

n

n

n xa

0

= ......2

210 n

n xaxaxaa

Para que valores de x será a série de potências n

n

n xa

0

convergente?

Não há qualquer dúvida que para x = 0 a série é convergente, vejamos:

n

n

n xa

0

= 0210 0...00 aaaaa n ,

reduzindo-se ao primeiro termo.



Para determinar para que outros valores de x a série convergirá, pode aplicar-se o critério de

DÁlembert ou o Critério da Raiz à série dos módulos. Vejamos o exemplo abaixo:

₪ EXEMPLOS 25

1Determinar a natureza da série de potências

0

1

1n

n

n

x

RESOLUÇÃO

Vamos considerar a série dos módulos:

0

1

1n

n

n

x. Aplicando o critério de DÁlembert, temos:

2

2

1 1

11 12lim lim lim lim2 2 2

1

n

n

n nn n n n

xx nx n nn x x

x n x n n

n

Se 1x 1,1x , a série

0

1

1n

n

n

x é absolutamente convergente .

Se 1x a série 1

1

0

n

x n

n

é divergente.

Se x= 1 teremos que fazer uma análise pontual.

Se x=1 temos 0

1

1n n

que é uma série divergente (compara-se com

n

1) .

Se x=-1 temos 1

0

( 1)

1

n

n n

que é uma série alternada simplesmente convergente pelo critério

de Leibniz.

Conclusão: A série é convergente para 1,1x



₪ EXEMPLO 26

Determinar a natureza da série de potências

0 !n

n

n

x.

RESOLUÇÃO


0 !n

n

n

x. Aplicando o critério de DÁlembert, temos

1

1 ! 1( 1)!lim lim lim lim 0

( 1)! 1 1

!

n

n

n nn n n n

x

x n xnx

x n x n n

n

Conclusão: x , a série é convergente, pois 0<1.

₪ EXEMPLO 27

Determinar a natureza da série de potências n

nnx

n

0 2

!.

RESOLUÇÃO


0 2

!

n

n

nx

n. Aplicando o critério de DÁlembert, temos

1

11

1

( 1)!1 ! 22lim lim lim 1 lim 1

! 2 ! 2 2

2

nnn

n

n nn n n nn

n

nx n x x

x n nn n x

x

Conclusão: A série é divergente . Só é convergente quando x=0 (neste caso, reduz-se ao

primeiro termo).



TEOREMA 2

Para toda a série de potências

n

n

n xa

0

existe um número real r , chamado raio de convergência (que pode ser zero, qualquer outro

número finito, ou infinito), tal que:

- A série é absolutamente convergente se rx

- A série é divergente se rx

- Em x r a série pode ser convergente ou divergente.

OBSERVAÇÃO 3

O raio de convergência pode ser determinado da seguinte forma:

1

lim

n

nn

ar

a ou ainda

1lim

n n

n

ra

₪ EXEMPLO 28

Determinar o raio de convergência da série de potências n

n

n x

0

4 .

RESOLUÇÃO

Segundo a definição anterior, n

nn a

r1

lim

. No caso presente temos 4

1

4

1lim

n nnr . O

raio de convergência será então 4

1.



DEFINIÇÃO 9

Chama-se Intervalo de Convergência da série n

n

n xa

0

ao conjunto de pontos x para os quais a

série de potências converge. Habitualmente é representado por I(r).

O Intervalo de convergência pode ser:

se r

0 se r = 0

rr, ou rr, ou rr, ou rr, , se ,0r

₪ EXEMPLO 29

Determinar o intervalo de convergência da série de potências n

n

n x

0

4 .

RESOLUÇÃO

Já vimos no exemplo anterior que o raio de convergência é 4

1.Então pelo teorema anterior a

série será convergente para 4

1: xx . Analisemos agora os extremos do intervalo:

Vejamos quando x = 4

1, temos

0 0

14 1

4

nnn

n n

que é uma série divergente uma vez

que o limite do termo geral é diferente de zero.

Vejamos quando x = - 4

1, temos

00

14

14

n

n

n

n

n que é uma série divergente uma

vez que o limite do termo geral não existe.



CONCLUSÃO: O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA DA SÉRIE n

n

n x

0

4 É

4

1,

4

1.

EXERCÍCIOS II

1. a) Defina série de potências de x.

b) Defina raio e intervalo de convergência de uma série de potências de x e diga como se

calculam.

2. Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de

potências:

a)

0

3n

nn x b)

12

5

n

n

n

xn

c)

1

11

n

nn

n

x d)

0 2

!

n

n

nx

n

e)

0

1

11

n

nn

n

x f)

1 !1

2

n

nn

n

x g)

nn

n 2

nx

n !

h)

2 logn

n

n

x

i)

2 1

21

2

3 2

n n

n

x

n

j)

03 2

3

n

nn

n

x k)

0

2

!21

n

nn

n

x l)

n

n

xn

n

0 !2

!3

m) nn

x n

n

n

22

1

log1

n)

12

1 12...5.3.1

...3.2.11

n

n

nx

n

n o)

0 3nn

nx

p)

1

2.4.6... 2

4.7.10... 3 1

n

n

nx

n

q)

0

1 ! n

n

n x

r) 1

0

2

1

n n

n

x

n

3 - Provar que se a série de potências n

n

n xc

0

tem raio de convergência r, então a série

n

n

n xc 2

0

tem raio de convergência r .

4 – Se 0

4n

n

n

c

for convergente, as séries que se seguem são convergentes?

a) 0

2n

n

n

c

b) 0

4n

n

n

c



5 - Prove que a série

1 3n

sen nx

n n

é absolutamente convergente para x .

6- Se k for um inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série

0

k

n

n

n!x

kn !

.

2.2. SÉRIES DE POTÊNCIAS DE (x-a)

Já vimos que uma série de potências de (x-a) é uma série da forma:

0n

n

n axa = ...)(...)(2

210 n

n axaaxaaxaa

Para séries de potências de (x-a)

n

n axa , os teoremas e propriedades anteriormente

apresentados para as séries de potências de x são adaptados substituindo x por (x-a). Assim:

TEOREMA 3

Para toda a série de potências

nn

n axa

0

existe um número real r (que pode ser zero, qualquer outro número finito, ou infinito), tal que:

- A série é absolutamente convergente se rax

- A série é divergente se rax

- Em rax a série pode ser convergente ou divergente.



OBSERVAÇÃO 4:

Chama-se Intervalo de Convergência da série n

n

n axa )(0

ao conjunto de pontos x para os

quais a série converge. Habitualmente é representado por I(r) .

O intervalo de convergência pode ser:

se r

a se r = 0

rara , ou rara , ou rara , ou rara , , se ,0r

₪ EXEMPLO 30

Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências

0 42

1

n

n

n

x

RESOLUÇÃO

Partindo da definição de 1

lim

n

n

n a

ar , temos:

11

62

42

1lim

62

142

1

lim

n

n

n

nrnn

.

CONCLUSÃO: O RAIO DE CONVERGÊNCIA É 1.



Vejamos agora qual é o intervalo de convergência. Pelo teorema 2.3.1, a série será

absolutamente convergente para 11 x , então temos :

–1< x-1<1 e portanto 0 < x <2.

Podemos então afirmar que a série é absolutamente convergente no intervalo 2,0 .

Temos que analisar agora a natureza da série nos extremos do intervalo:

Se x = 2 a série ficará

0 42

1

n n que é uma série divergente (comparação com a série

divergente

1

1

n n ).

Se x = 0 a série ficará

0 42

1

n

n

nque é uma série alternada. Para estudar a sua natureza

teremos que recorrer ao critério de Leibniz uma vez que a série dos módulos diverge .

Aplicando o critério de Leibniz, concluímos que a série é simplesmente convergente em x= 0,

pois

i) 042

1lim

nn

ii) na é decrescente pois, 062

1

42

1

nn

( 01 nn aa ).

Estando satisfeitas estas duas condições, podemos afirmar que a série é simplesmente

convergente quando x=0.

Conclusão: o intervalo de convergência é 2,0 .



₪ EXEMPLO 31

Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de

potências n

n

xn

0

3 .

RESOLUÇÃO

Partindo da definição de r temos: 1

lim

n

n

n a

ar .

Como nan , temos .11

lim

n

nr

n

CONCLUSÃO: O RAIO DE CONVERGÊNCIA É 1.

Passemos à determinação do intervalo de convergência:

Pelo teorema 2.3.1 a série será absolutamente convergente para 13 x , portanto, –1< x-3

<1 , logo 2< x <4.

Se x = 2 a série ficará 0

1

n

n

n

que é uma série alternada divergente.

.Se x = 4 a série ficará 0n

n

que é uma série divergente(cond. nec. conv)

Podemos então afirmar que a série é absolutamente convergente no intervalo 4,2 .



EXERCÍCIOS III

1.a) Defina série de potências de (x-a).

b) Defina raio e intervalo de convergência de uma série de potências de (x-a) e diga como se

calculam.

2 . Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de

potências:

a)

2 1

2!

n

n

n

xn b)

0 42

32

n

n

n

x c)

0 2

3

nn

nx

d)

1

111

n

nn

n

x e)

0

2

!12

1

n

nn

n

x f)

0

54

3

n

n

n

x

g)

1

2n

nxn h)

n

nn

xn

510

!1

0

i)

2

1

2 1

1 3

nn

nn

x

j)

0

21

2

n

n

nn

x

n

k)

1

2n

nn

x

n

l)

1

2 1n

n

n! x

m)

0

1 ! 4

10

n

nn

n x

n)

0 7 6 3

n

nn

x k

n

o)

1

3n

n

x

n

p) 0

1n

n

n x

q)

1

1

1

n

n

x

n n

r)

2

1

4 1n

n

x

n

s)

10

2

3

n

nn

n x

t)

1

3 2

3

n

nn

x

n

u) 3

0

5n

n

n x



2.3 REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES POR MEIO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS

Há funções que podem ser representadas por séries de potências, como por exemplo

2 3

0

11 1

1

n

n

f ( x ) x x x ... x , para xx

(1

1 x representa a soma da série de

potências 0

1n

n

x , para x

).

Se uma determinada função admitir representação em série de potências, em torno de um

ponto a, então ela será da forma

0

nn

n

f af ( x ) x a , para x a r ( raio de convergência da série )

n!

A esta série chama-se Série de Taylor da função f centrada em a .

OBSERVAÇÃO 5:

0

nn

n

f ax a

n!

representa f(x) por uma série de potências de (x-a), cujo domínio é o

intervalo de convergência ,I(r), da série.

0

nn

n

f ax a

n!

diz-se desenvolvimento de f segundo as potências de (x-a) em I(r).

Para o caso especial de a=0, a série de Taylor ficará:

0

0n

n

n

ff ( x ) x , para x r ( raio de convergência da série )

n!

que tem o nome de Série de Mac-Laurin.



OBSERVAÇÃO 6

0

0n

n

n

fx

n!

representa f(x) por uma série de potências de x, cujo domínio é o intervalo de

convergência, I(r), da série .

0

0n

n

n

fx

n!

diz-se desenvolvimento de f segundo as potências de x em I(r).

TEOREMA 4

Uma função que admite representação em série de potências no intervalo rr, é contínua

nesse intervalo, assim como uma função que admite representação em série de potências em

rara , é também contínua nesse intervalo.

₪ EXEMPLO 32

Considere a função 1

1f x

x

. Represente-a através de uma série de potências de x e diga

em que intervalo é válido esse desenvolvimento.

RESOLUÇÂO

Vamos achar a derivada de ordem n da função 1

1f x

x

, pois já sabemos que

f(x)=

0

0n

n

n

fx

n!

, para x r .



2

3

4

1

1

1

1

1

2

1

6

1

1

n

n

f xx

f xx

f xx

f xx

.

.

.

n!f x

x

agora facilmente calculamos 0n

f : 0n

f n! .

Então temos f(x)=

0

0n

n

n

fx

n!

, ou seja 0

n

n

f x x

, que será o desenvolvimento de

1

1f x

x

em série de potências de x. Falta saber agora qual é o intervalo em que este

desenvolvimento é válido. Vejamos:

O intervalo de convergência da série 0

n

n

x

é 11, , logo o intervalo em que o

desenvolvimento acima é válido é 11, .

CONCLUSÃO: O DESENVOLVIMENTO DE 1

1f x

x

, EM SÉRIE DE POTÊNCIAS DE X É:

0

n

n

f x x

,

VÁLIDO PARA 11x , .

TEOREMA 5

i) Se a série

0n

n

n xa tem raio de convergência r, então as séries

1

1

n

n

n xna e

x

n

n

n 0 0

a t dt

terão raio de convergência r.



ii) Se a série

0

)(n

n

n bxa tem raio de convergência r, então as séries

1

1)(n

n

n bxna e

x

n

n

0 n 0

a ( t b) dt

terão raio de convergência r.

Ou seja:

Se derivarmos ou primitivarmos todos os membros de uma série de potências de intervalo I(r),

obtemos uma série de potências cujo interior do intervalo é o mesmo.

₪ EXEMPLO 33

Desenvolver em série de potências de x a função 1f ( x ) ln( x ) .

RESOLUÇÃO

Sabemos de um exemplo anterior que x1

1 n

n

x

0

, para 1x , e sabemos também que

x

xf

1

1, então

0n

nxxf (válido para 1x ). Pelo teorema 2.4.2 temos que

n 1

n 0

xf ( x ) ln(1 x)

n 1

( integraram-se todos os termos da série

0n

nx ),válido para

1x .

EXERCÍCIOS IV

1 . Desenvolva em série de potências de x as funções de expressões analíticas indicadas e

determine os intervalos de convergência das séries obtidas.

a) x1

1 b)

x1

1 c)

21

1

x d)

21

1

x

e) x3

1 f)

2)1(

1

x g)

2)1(

1

x h)

x41

1

i) x

x

32 j) xe k)

2

3 x l) ln 3 x



2. Desenvolva

a) ln(x) segundo potências de (x-1)

b) xe segundo potências de x

c) xe segundo potências de (x+2)

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Capítulo I Séries Numéricas - Sistemas de Informação · é uma progressão geométrica. A série geométrica representa-se, habitualmente, por: 0 n n ar f