capitulo_1_2

FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 1

Dinâmica de EstruturasDinâmica de Estruturas

Licenciatura em Engenharia Civil

RAIMUNDO DELGADO RAIMUNDO DELGADO ANTÓNIO ARÊDE ANTÓNIO ARÊDE

FEUP FEUP –– DEC DEC -- EstruturasEstruturas


1. INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE ESTRUTURAS1. INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE ESTRUTURAS1. INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE ESTRUTURAS

1.1 INTRODUÇÃO

Acção Dinâmica: Varia a grandeza, direcção e ponto de aplicação com o tempo.

Resposta Dinâmica: Tensões, deslocamentos, velocidades e acelerações que também variam com o tempo

Tipos de Análise

DETERMINÍSTICA - a lei de variação da acção com o tempo é conhecida

ESTOCÁSTICA – a acção não é completamente conhecida, mas pode ser definida em termos estatísticos

x1(t)

x2(t)

xn(t)

t1

t(s)

t(s)

t(s)

Acelerograma

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 2 4 6 8 10 12 14 16

t (s)

a (c

m/s

2)

P

t(s)

Os problemas dinâmicos diferem dos estáticos porque:

a solicitação varia com o tempo

ocorrem forças de inércia devidas à aceleração

PPEstático Dinâmico


1.2 MODELOS DE ANÁLISE

EXPERIMENTAL (modelo físico experimental)

ANALÍTICA (modelo matemático)

Análise de uma estrutura:

Sistema Físico Real Solução Matemática

Fidedigna

Modelo

Matemático

Designação simbólica para sistema idealizado que inclui todas as hipóteses simplificativas

Tipos de Modelos Matemáticos

MODELOS CONTÍNUOS MODELOS DISCRETOS

z (t)12z (t)

3z (t)

Deformada totalmente conhecida

Deformada conhecida em alguns pontos

z(x,t)


Redução de Problemas Contínuos a um Sistema com 1 Grau de Liberdade

z

z

Este tipo de problema pode ser descrito pelo seguinte modelo esquemático:

A formulação do problema conduzirá a um sistema de equações diferenciais, cuja resolução permite a obtenção da resposta.

1.3 ÂMBITO DO CURSO

SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE

Modelos matemáticos de sistemas de 1 g.l.

Vibrações livres com e sem amortecimento

Resposta a solicitações periódicas

Resposta a uma solicitação dinâmica qualquer

Análise vibratória pelo método de Rayleigh

Resposta a solicitações sísmicas

k

c mF(t)


SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE

Modelos matemáticos de sistemas com vários g.l.

Vibrações livres sem amortecimento.

Frequências e modos de vibração

Resposta a uma acção dinâmica qualquer.

Método da sobreposição modal

Resposta a solicitações sísmicas

ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS E PONTES

Aspectos regulamentares da acção sísmica.

Análise através de espectros de resposta

Distribuição de acções horizontais em edifícios.

Análise plana simplificada

Análise tridimensional

1.4 BIBLIOGRAFIA

DYNAMICS OF STRUCTURES

Ray W. Clough and Joseph Penzien

McGraw-Hill, 2nd Ed., 1993

STRUCTURAL DYNAMICS. Theory and Computation

Mario Paz

Chapman & Hall, 4th Ed., 1997

STRUCTURAL DYNAMICS. An Introduction to Computer Methods

Roy R. Craig Jr.

John Willey & Sons, 1981

DYNAMICS OF STRUCTURES. Theory and Applications to Earthquake Engineering

Anil K. Chopra

Prentice Hall, International Edition, 1995


2.1 CARACTERIZAÇÃO DE UM SISTEMA COM UM GRAU DE

LIBERDADE

As características da mola são descritas pela relação entre a força F e o deslocamento y da extremidade da mola.

(1) Comportamento LINEARykF =

(2) Comportamento NÃO - LINEARdyykdF )(=

F

(1)

y

(2)

2. MODELOS MATEMÁTICOS DOS SISTEMAS COMUM GRAU DE LIBERDADE

2. MODELOS MATEMÁTICOS DOS SISTEMAS COM2. MODELOS MATEMÁTICOS DOS SISTEMAS COMUM GRAU DE LIBERDADEUM GRAU DE LIBERDADE

No domínio elástico a mola “é um armazém de energia” !!

dyFdW =

2

00 21 DkdyykdyFW

DD=== ∫∫

Energia de deformação

Essa energia pode ser dissipada por mecanismos de amortecimento. O modelo normalmente utilizado para caracterizar o amortecimento é o de AMORTECEDOR VISCOSO LINEAR, em que a força de amortecimento fa é dada por:

vcfa =velocidade

coeficiente de amortecimento

F

F

yDdy


Aplicando a 2ª Lei de NEWTON, a equação de movimento de uma partícula escreve-se:

aceleração relativa medida em relação a um referencial inercial

aF m=∑

massa da partícula

Para os problemas de dinâmica de estruturas é útil introduzir o conceito de força d’Alembert ou de força de inércia:

af mi −=

que não é mais do que a força fictícia em conjunto com a qual o sistema fica em equilíbrio. Obtém-se assim a EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DINÂMICO:

0Ff =+∑i

Força de inércia e Momento das forças de inércia:

f(t)

yu(t)

k

c m

2.2 FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO2.2.1 Aplicação das Leis de Newton a um sistema discreto

Considere-se o eixo y e o deslocamento uem relação a esse eixo.

As forças actuantes sobre o corpo devem estar em equilíbrio.

0tffff eai =+−−− )(

)(tfukucum =++ &&&

Equação Fundamental da Dinâmica de Estruturas

f =-mai

a

b

c

G

ma

IGα

ma

αya

xa

y

x

α+=α )(12

22 cbmIG

fi f(t)

fe

af


Exemplo: Derivar a equação do movimento para pequenos deslocamentos do seguinte corpo rígido.

0MO =∑

0IsenlPM O =θ−θ−− θ&&

Mas

θ=+= θθ kMlmII GO e 2

0senlPklmIG =θ+θ+θ+ θ&&)( 2∴

2.2.2 Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais

Esta formulação tem particular interesse quando se aplica a um conjunto de corpos rígidos ligados entre si.

P.T.V. : Para um qualquer deslocamento virtual do sistema, o trabalho virtual das forças reais mais o das forças de inércia deve ser nulo.

0WWifreaisf =δ+δ .

Exemplo: Seja o seguinte corpo rígido.

A coordenada generalizada que caracteriza a configuração do corpo é θ. Assim, no deslocamento virtual δθ o trabalho virtual das forças reais e das de inércia é:

δθ−δθ−=δ lflfW epr 43

δθδθδ lMlfW Gifi−−=

2

0WWifr =δ+δ

l

G

kθ

θθ

MθO

fntf

P

G

m untm u

l

l/2 l/2

P

p

Pδθθ MG

if

f e

pf


Mas

12

e 2

; ; 2

2

θ=θ=θ=θ== &&&&&& lmIMlmflkflpf GGieP

donde

0lmllmllkllp =δθθ+δθθ+δθθ+δθ &&&&12224

32

2

83

3

22

2 lPlklm −=θ+θ&&∴

2.3 ASSOCIAÇÃO DE CORPOS EM SISTEMAS DE UM GRAU DE

LIBERDADE GENERALIZADO

Podem ser de dois tipos:

Sistemas em que a deformação elástica está concentrada em elementos de mola

Sistemas com elasticidade distribuída e em que as deformações podem ser contínuasatravés de toda a estrutura

2.3.1 Sistemas com Deformação Elástica Concentrada em Elementos de Mola

uluv

lu

uv δ=δ⇒=

δδ 2

2

02

402

22

2 =−+−⇔=δ−δ+δ−δ umluNukfuumvNufuf e

&&&&

fulNkum =

−+∴ 4

2&&

Obs: Neste caso a força axial de compressão reduz a rigidez do sistema

l

G

12

2lmIG =

fm m

NG 21G

k

vδ

uδu /2

u/2u/2

/2u

l/2 l/2

δ δu

2δv

uδ

u

m u/2m u/2

uδ

δv


2.3.2 Sistemas com Elasticidade Distribuída

Consideram-se estruturas contínuas mas em que a deformada é de determinado tipo.

Caracteriza-se a deformada da estrutura num instante t, por um parâmetro (coordenada generalizada) que multiplica a função de forma que se admitiu para a deformada.

)()(),( xtutxu ψ=

função de forma

coordenada generalizada ou deslocamento generalizado

Exemplo: Barra encastrada, solicitada axialmente na extremidade.

lxtutxu )(),( =

O Princípio dos Trabalhos Virtuais permite escrever:

intfir WWW δ=δ+δ

Trabalho de deformação interna

O campo dos deslocamentos virtuais é caracterizado por δu e portanto

ulxxu δ=δ )(

( ) uPluPWr δ=δ=δ

( ) ( )∫ δρ−=δl

fi dxxutxuAW0

,&& maslxtutxu )(),( &&&& =

donde

( ) ( ) ( ) utulAdxxutulAdxu

lxtu

lxAW

ll

fi δρ−=δρ−=δρ−=δ ∫∫ &&&&&&30

220

Assim:

PA

x

ρ u(x,t) u(t)


∫ δεσ=δVint dVW

( ) ( )tulEtu

ldxdudxAdV =σ==ε= ;1;mas

ulδ=δε 1

donde

( ) ( ) ( ) utulAEAdxtu

ltu

lEW

l

int δ=δ=δ ∫01

Finalmente

( ) ( ) PtulAEtulA =+ρ

&&3

Um sistema de flexibilidade distribuída, e que é caracterizado apenas por um parâmetro (a coordenada generalizada u(t)) conduz a uma equação de equilíbrio dinâmico idêntica à obtida para um sistema discreto mais simples.

Para o caso geral em que )()(),( xtutxu ψ=

( ) ( ) ( ) **** ftuktuctum =++ &&&

em que

massa generalizada( ) ( )∫ ψ=l

dxxxmm0

2*

( ) ( )∫ ψ=l

dxxxcc0

2* amortecimento generalizado

∫

ψ=

l a dxdxdAEk

0

2*

∫

ψ=

l f dxdxd

IEk0

2

2

2*

rigidez generalizada (axial, flexão)

( ) ( )∫ ψ=l

dxxtxpf0

* , força generalizada

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