Capitulo4 deflexaode vigas

CAPÍTULO 4:DEFLEXÃO DE VIGAS

Prof. Romel Dias Vanderlei

Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil

Curso de Engenharia Civil

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.1 Equação Diferencial da Linha Elástica

� Linha Elástica é a curva que representa o eixo da viga após a deformação.

Linha Elástica A deflexão “v” éo deslocamento de qualquer ponto no eixo da viga.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Quando a viga é flexionada, ocorrem em cada ponto ao longo do eixo uma deflexão (v) e uma rotação (θ).

� O ângulo de rotação “θ” é o ângulo entre o eixo “x” e a tangente à curva da linha elástica.


dθθθθ dθθθθ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Da figura vemos que:

dsd =θρ .

dθ em radianos

ds

dk

θρ

== 1

dθθθθ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Da figura vemos que:

θtgdx

dv =

=dx

dvarctgθ

=

=

ds

dvsen

ds

dx

e

θ

θcos :

dθθθθ

Inclinação da Linha Elástica

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Vigas com Pequenos Ângulos de Rotação: θ�0

dxds ≈

θθ ≈tg

Logo, fazendo:

radianos. em sendo , θθ=→dx

dv

Equação válida para pequenas rotações2

21

dx

vdk ==

ρ

dx

dk

θρ

==→ 1

2

2

dx

vd

dx

d =θ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

zz

A

AA

x

IE

MkMIkEMdAykE

MdAyykEMydA

⋅=→=⋅⋅→=⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅→=⋅⋅

∫

∫∫

2

)(σ


� Para materiais elástico lineares (Lei de Hooke):

ykyE xx ⋅=⋅=⋅=ρ

εεσ 1 e x

Logo:Equação Diferencial da Linha Elástica

zEI

M

dx

vd =2

2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Convenções de Sinais:� (1)Eixos:

� (2) Deflexão:

� (3) Rotações:

� (4) Curvatura k:


x(+)

y(+)

v(+)

θ e dx

dvx

y(+)

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Convenções de Sinais:

� (5) Momentos:

� (6) Carregamentos:


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Equações Adicionais:

qdx

Mq

dx

dVV

dx

dM −=−==2

2d e ;

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Vigas Não Prismáticas : seção variável com x.

Mdx

vdxEI =⋅→

2

2

)(

Vdx

dM =

qdx

dV −=

)(2

2

xEI

M

dx

vd =

Vdx

vdxEI

dx

d =

⋅→

2

2

)(

qdx

vdxEI

dx

d −=

⋅→

2

2

2

2

)(

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Vigas Prismáticas: rigidez (EI) �� constante� Momento Fletor:

VvEIVdx

vdEIV

dx

dMzz =′′′⋅→=⋅→=

3

3

MvEIMdx

vdEI

EI

M

dx

vdzz

z

=′′⋅→=⋅→= 2

2

2

2

qvEIqdx

vdEIq

dx

dVzz −=⋅→−=⋅→−= ''''

4

4

� Força de Cisalhamento:

� Carregamento:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Condição de Contorno: relativas às deflexões e rotações nos apoios.

0 e 0 ==→ Mv

0 e 0 ==→ Mv

0 e 0 =′=→ vv

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Condição de Contorno: relativas às deflexões e rotações em vigas biapoiadas.

==′′=→===′′=→=

0M pois 0v e 0

0M pois 0v e 0 0

vLx

vx

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Condição de Contorno: relativas às deflexões e rotações em vigas engastadas.

==′′′→===′′→=

=′=→=

0V pois 0

0M pois 0

0v e 0 0

vLx

vLx

vx

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Condição de Continuidade:

No ponto C:

( ) ( )CBAC vv ′=′

( ) ( )CBAC vv =

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Exemplo1: Determine a equação da Linha Elástica para a viga abaixo. Determine também a deflexão máxima δmáx e os ângulos de rotação θAe θB nos apoios.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


a) Expressão para o Momento Fletor:

Reações de apoio:

Momento Fletor:

2

LqRR VBVA

⋅==

2

2222x

qx

qLxxqx

qLM ⋅−⋅=⋅⋅−⋅=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


b) Equação da Linha Elástica:

2''

22x

qx

qLMvEIz ⋅−⋅==⋅

21

43

4634CxC

xqxqLvEI z +⋅+⋅−⋅=⋅

dxxq

dxxqL

dxvEI z ⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅ 2''

22

[.(dx)]

∫∫∫ ⋅−⋅=⋅ dxxq

dxxqL

dxvEIz2''

22� 1ª integração

( ) ∫∫

+⋅−⋅=⋅ 1

32'

3222C

xqxqLvEIz � 2ª integração

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Condições de Contorno: (I)(II)

0 0 =→= vx

0 2

L e 0 =′→==→= vxvLx

0000000 (I) 22 =→++−=∴=→= CCvx

24 .

24.

24120

0..24

.12

00 (II)

3

11

4

1

44

143

qLCLC

qLLC

qLqL

LCLq

LqL

vLx

−=→+=+−=

++−=∴=→=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


deflexãoCxCxq

xqL

vEI z 2412 21

43 →+⋅+⋅−⋅=⋅

⋅+⋅−⋅= x

Lxx

L

EI

qv

z 2424

1

12

343

� Linha Elástica

⋅+⋅−⋅= x

qLx

qx

qL

EIv

z 242412

1 343

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


rotaçãoCxq

xqL

vEI z 64 1

32 →+⋅−⋅=′⋅

θrotaçãoL

xxL

EI

qv

z

246

1

4

332 →

−⋅−⋅=′

−⋅−⋅=′

2464

1 332 qL

xq

xqL

EIv

z

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� c) Deflexão máxima x = L/2:

zmáx

zmáx

zmáx

EI

qLv

LLL

EI

qv

LLLLL

EI

qv

⋅−=

−−=

⋅−

⋅−

⋅=

384

5

4838496

224224

1

212

4

444

343

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� d) Ângulos de rotação: θA e θB

zAA EI

qLvx

24 0

3

−=′∴=→θ

zBB EI

qLvLx

24

3

=′∴=→θ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Exemplo 2: Calcular a deflexão e a inclinação (rotação) do ponto D indicado na viga representada abaixo, adotando E = 10GPa.

KNqL

RR VBVA 12,32

20,52,1

2=×===

3m

1,2kN/m

DB

2,2m

A

6cm

16cm

� a) Reações de apoio:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� b) Equação diferencial da linha elástica:

43

2

2

3

1

4

32

2

1

3

21

2

1

''''

26242,1

262,1

22,1

2,1

2,1

CxCx

Cx

Cx

vEI

CxCx

Cx

vEI

CxCx

vEI

CxvEI

qvEI

z

z

z

z

z

+⋅+⋅+⋅+⋅−=⋅

+⋅+⋅+⋅−=′⋅

+⋅+⋅−=′′⋅

+⋅−=′′′⋅−=−=⋅

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� c) Condições de Contorno:

� (I)

� (II)

� (III)

� (IV)

12,312,30 1 =⇒′′′==→= CvKNVx A

000 2 =⇒′′==→= CvMx A

060,22

=′→== vL

x

03,702

6,212,3

6

6.22,10 33

23

−=⇒+⋅+⋅+⋅−= CCx

000 4 =⇒=→= Cvx A

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� d) Rotações e deflexões:

( )

( )xxxEI

v

xxEI

v

mkNEI

mbh

I

m

kNGPaE

z

z

z

z

⋅−⋅+⋅−=

−⋅+⋅−⋅=′

⋅=

=×==

×==

−

03,752,005,0.1

03,756,12,01

8,204

10.048,212

16,006,0

12

101010

34

23

2

4533

26

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� e) Deflexão e Rotação no Ponto D:

( )

( ) mv

radv

mx

234

323

1065,52,203,72,252,02,205,08,204

1

109,703,72,256,12,22,08,204

1

20,2 Para

−

−

×−=×−×+×−⋅=

×−=−×+×−⋅=′

=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Exemplo 3: Determine a equação da Linha Elástica para uma viga engastada mostrada abaixo. Determine também θB e δB na extremidade livre.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Reações de apoios:

qLRVA =2

2qLMA =

22

2222

2

xqqLx

qLM

xqxqLx

qLM

−+−=

−+−=

� a) Momento Fletor na viga:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� b) Equação da Linha Elástica:

DeflexãoCxCxLxxL

EI

qv

RotaçãoCxx

LxL

EI

qv

xLx

L

EI

qv

qxqLx

qLMvEI

z

z

z

z

→

+⋅+−+−⋅=

→

+−⋅+⋅−⋅=

−+−⋅=′′

−+−==⋅

∫∫

∫∫

21

4322

1

32'

22

22''

2464

622

22

22

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Condição de Contorno:� (I)

� (II)

00 ' =→= vx

00 =→= vx

( ) 0 0000 (I) 11 =⇒+−+−⋅= CCEI

q

z

( ) 0 0000 (II) 22 =⇒+−+−⋅= CCEI

q

z

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Rotação:

zBBB EI

qLvLxv

6

3

−=′∴=→′=θ

( )22'

32

2'

336

622

xLxLEI

qxv

xx

Lx

L

EI

qv

z

z

−+−⋅=

−⋅+⋅−⋅=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Deflexão:

( )222

4322

4624

24

1

64

xLxLEI

qxv

xxL

xL

EI

qv

z

z

−+−⋅=

⋅−⋅+⋅−⋅=

zBBB EI

qLvLxv

8

4

−=∴=→=δ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Exemplo 4: Determine a equação da Linha Elástica, os ângulos de rotação θA e θB nos apoios, a deflexão máxima δmáx e a deflexão δCno ponto médio.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Reações de apoio:

L

aPR

L

bPR VBVA

⋅=⋅= e

( ) L)x(a

a)x(0

≤≤−⋅−⋅=

≤≤⋅=

axPxL

PbM

xL

PbM

� a) Momentos Fletores:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� b) Equação da Linha Elástica:

( ) L)x(a

a)x(0

≤≤−⋅−⋅=′′⋅

≤≤⋅=′′⋅

axPxL

PbvEI

xL

PbvEI

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Integrando temos: Rotações

2

22

12

2

)(

2

2

CaxP

xL

PbvEI

CxL

PbvEI

+−⋅−⋅=′⋅

+⋅=′⋅

42

33

313

6

)(

6

6

CxCaxP

xL

PbvEI

CxCxL

PbvEI

+⋅+−⋅−⋅=⋅

+⋅+⋅=⋅

� Integrando novamente: Deflexões

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Condição de Contorno:� (I)

� (II)

� (III)

� (IV)

00 =→= vx

0=→= vLx

diresq vvax ′=′→=

diresq vvax =→=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Condição de Contorno:

42

33

6

)(

60 0 (II) CLC

aLP

L

PbLvLx +⋅+−⋅−=∴=→=

0 00 (I) 3 =⇒=→= Cvx

212

22

1

2

2

)(

22 (III) CCC

aaP

L

PbaC

L

Pbaax =⇒+−−=+→=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


( )

( ) 122

2

222

42

32

6

6

066

(II)

CbLL

PbC

LCbLPb

CLCPbPbL

=−⋅−=

⋅−=−⋅

=+⋅+−

0 6

)(

66 (IV)

4411421

42

33

1

3

=⇒+⋅=⋅⇒+⋅=⋅

+⋅+−−=⋅+→=

CCaCaCCaCaC

CaCaaP

L

PbaaC

L

Pbaax

� Condição de Contorno:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Deflexões:( )

( ) a)x(0 6

66

1

222

223

≤≤+−⋅=

−⋅−⋅=

bLxLEI

Pbxv

xbLL

Pb

L

Pbx

EIv

( ) L)x(a 6

)(

6

3222 ≤≤−⋅−−−⋅−=

EI

axPxbL

LEI

Pbxv

( ) ( )

⋅−⋅−−⋅−⋅= xbL

L

PbaxP

L

Pbx

EIv 22

23

666

1

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Rotações:( )

( ) a)x(0 36

62

1

222

222

≤≤−−⋅−=′

−⋅−⋅=′

xbLLEI

Pbv

bLL

Pb

L

Pbx

EIv

( ) ( )L)x(a

23

6

2222' ≤≤−⋅−−−⋅−=

EI

axPxbL

LEI

Pbv

( ) ( )

−⋅−−⋅−⋅=′ 22

22

622

1bL

L

PbaxP

L

Pbx

EIv

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


( )( )LEI

bLPabv

bLLEI

Pbv

xv

A

A

AA

6

6

0

22

+−=′

−⋅−=′

=→′=θ� Cálculo de θA:

)()( bLbL −⋅+

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


( ) ( )EI

aLPLbL

LEI

Pbv

Lxv

B

BB

23

6

2222 −−−−⋅−=′

=→′=θ

( )

+−−⋅−=′ b

L

bL

EI

Pbv B 3

2

2

22

LEI

aLPabv

L

LbbL

EI

Pbv

B

B

6

)(

3

32

2

22

+⋅=′

−+⋅=′

� Cálculo de θB:(b)

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Deflexão máxima δmáx:� Ponto de máximo �

( )b)(a

39

336

)( para

23

22

22

22222

1

≥⋅−⋅−=

+−

−⋅−⋅=

==

LEI

bLPbv

bLbLbL

LEI

Pbv

xxv

máx

máx

máxmáxδ

( )

3

036

0

22

1

222

bLx

xbLLEI

Pb

v

−=

=−−⋅−

=′

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Deflexão no ponto médio x = L/2:

( ) b)(a 4348

412

262

2

L xpara

22

222

222

≥+−⋅=

+−⋅=

+−

⋅⋅

=

==

bLEI

Pbv

bLL

EI

Pbv

bLL

LEI

LPb

v

v

C

C

C

CCδ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.2 Vigas Estaticamente Indeterminadas

� São vigas em que o número de reações excede o número de equações de equilíbrio da estática.

3 reações2 equações

Estaticamente Indeterminadas

0.2

.0

00

00

=+−⇒=

=−+⇒=

=⇒=

∑

∑∑

LRL

qLMM

qLRRF

HF

BAA

BAY

Ax

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� São necessárias equações adicionais para obter todas as reações.

� O número de reações em excesso ao número de equações de equilíbrio é chamado de Grau de Hiperestaticidade .

� Grau = (nº Reações) – (nº Equações)

� Assim, a viga analisada é hiperestática de grau 1.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� As equações adicionais podem ser obtidas considerando as deformações da estrutura.

� Logo, pode-se usar uma das três equações diferenciais da linha elástica:

qvEI

QvEI

MvEI

z

z

z

−=⋅

=′′′⋅=′′⋅

''''

� O procedimento para resolução é o mesmo usado para vigas isostáticas.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Como exemplo, analisaremos a viga anterior determinando as rotações e deflexões da viga.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� b) Equações de equilíbrio:� (1)

� (2)


� a) Estaticidade da estrutura:

dasdesconheci reações 3 , ,

0

→=

VbVAA

A

RRM

H

equilíbrio de equações 2 0 e 0 →== ∑∑ MFY

,

Grau = 3 – 2 = 1 � Estrutura estaticamente indeterminada de grau 1

2

2qLLRM

qLRR

VBA

VBVA

=⋅+

=+

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� c) Equação no momento fletor:� Reação redundante � reação em excesso que pode ser

liberada da estrutura, porém, deixando-a estável e estaticamente determinada.

� Escolhemos RVB como reação redundante, e as outras reações serão escritas em função desta.

( )2

.22

2222

2

qxLR

qLxRqL

qxMxRM

LRqL

M

RqLR

VBVBAVA

VBA

VBVA

−

−−⋅−=−−⋅=

⋅−=

−=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� d) Equação diferencial da Linha Elástica:

( )22

22 qxLR

qLxRqLMvEI VBVBz −

⋅−−⋅−==′′⋅

( ) 1

322

622C

qxxLR

qLxRqLvEI VBVBz +−⋅

⋅−−⋅−=′⋅

( ) 21

4223

24226CxC

qxxLR

qLxRqLvEI VBVBz +⋅+−⋅

⋅−−⋅−=⋅

� Integrando:

� 3 incógnitas � C1, C2 e RVB

� São necessárias 3 condições de contorno

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� e) Condições de contorno:� (I)� (II)

� (III)

00 ' =→= vx00 =→= vx0=→= vLx

00000 )( 11 =⇒+−−=→ CCI

000000 )( 22 =⇒++−−=→ CCII

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


2424660

43434 qLLRqLLRqL VBVB −+−−=

83

24

1

4

1

6

1

2

1

6

1 43 qLR-qLLR VB

VB −=∴

−−⋅=

−⋅

8

3qLRVB =

( )24226

0 4223 qLL

LRqLL

RqL(III) VBVB −⋅

⋅−−⋅−=→

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� f) Rotações e Deflexões:

−⋅

⋅−−⋅

−⋅=68

3

228

31 322' qx

xLqLqLxqL

qLEI

vz

−⋅

⋅−−⋅

−⋅=2428

3

268

31 4223 qxxL

qLqLxqLqL

EIv

z

( )22' 815648

xxLLEI

qxv

z

⋅−⋅+−⋅=

( )222

25348

xxLLEI

qxv

z

⋅+⋅−⋅−=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� g) Reações nos apoios:

88

3

22

222 qLL

qLqLLR

qLM VBA =⋅−=⋅−=

8

5

8

3 qLqLqLRqLR VBVA =−=−=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.3 Método da Superposição

� Em uma viga submetida a várias cargas, os deslocamentos em um ponto qualquer pode ser obtido somando-se algebricamente os deslocamentos, no mesmo ponto, correspondente à cada carga agindo isoladamente.

� Exemplo 1:P

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

( )z

qB EI

qLv

8

4

−=

( )z

qB EI

qL

6

3

−=θ


P

( )z

PB EI

PLv

3

3

−=

( )z

PB EI

PL

2

2

−=θ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

( ) ( )zz

PBqBB EI

PL

EI

qLvvv

38

33

−−=+=

( ) ( )zz

PBqBB EI

PL

EI

qL

26

23

−−=+= θθθ


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Exemplo 2:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

( )z

qC EI

qLv

384

5 4

−= ( )z

PC EI

PLv

48

3

−=

( ) ( )z

qBqA EI

qLvv

24

3

=′=′− ( ) ( )z

PBPA EI

PLvv

16

2

=′=′−


( ) ( )

BAPBqBB

PAqAA

PCqCc

vv

vv

vv

θθθθ

δ

=−

′+′=

′+′=

+=

)()(

)()(

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

zzBA EI

PL

EI

qL

1624

23

+==− θθ

zzC EI

PL

EI

qL

48384

5 34

−−=δ


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Exemplo 3: Determine δB e θA


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

PF

aPaFMA

⋅=

=⋅−=∑

3

2

03

2


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Viga Engastada:

( )EI

qbv qB 8

4

=

( )EI

Fbv FB 3

3

=

+−=

+−=

EI

Pb

EI

qb

EI

Fb

EI

qbB 9

2

838

3434

δ


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Viga Apoiada:

aEI

Pb

aEI

qb

aB

9

2

8

34

1 +== δθ

( )EI

Pa

EIa

aa

aaP

EIL

bLPab

⋅=

⋅

+⋅

⋅

⋅=

⋅+⋅=

81

4

6333

2

6

2

2θ

EI

Pa

aEI

Pb

aEI

qbA 81

4

9

2

8

234

21 −−−=−−= θθθ


θ1θ2 δB

P

a

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Exemplo 4: Determinar θA ; δB ; θC ; θD e δD


10 kN/m

20 kN/m30 kN

20 kN

AB C D

3m3m 2m

10 kN/m

20 kN/m30 kN

40 kN

AB C

3m3m

60kNm

20 kN

2m

C D

� Sistema Equivalente:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Rotação em A:

EI

ML

EI

PL

EI

qL

EI

qLA +−−−=

16128

3

24

233

θ

EI

ML

EI

PL

EI

qL

EI

qLB 1648768

5

384

5 2344

+−−−=δ

� Flecha em B:


EIEIEIEIEIA

125,148

6

660

16

630

128

6103

24

610 233

−=×+×−××−×−=θ

EIEIEIEIEIB

125,253

16

660

48

630

768

6105

384

6105 2344

−=×+×−××−××−=δ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Rotação em C:

EI

ML

EI

PL

EI

qL

EI

qLC 316384

7

24

233

−+++=θ


EIEIEIEIEIC

875,76

3

660

16

630

384

6.107

24

610 233

=×−×+×+×+=θ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Flecha em D:

EIEILCD

750,1532

875,76' =×=×= θδ

EIEIEID

333,73

3

220

8

210 34'' −=×−×−=δ


θC δ’D

θ’D

δ’’ D

EIEIEIDDD

417,80750,153333,73''' =+−=+= δδδ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

EIEIEID

333,53

2

220

6

210 23' −=×−×−=θ


θC δ’D

θ’D

δ’’ D

EIEIEICDD

542,23875,76333,53' =+−=+= θθθ

� Rotação em D :

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

4.4 Método da Superposição Aplicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas

� Exemplo 5: Determine as reações dos apoios da viga abaixo usando o Método da Superposição.

� a) Estaticidade:� Grau = 4(eq.) – 3(reações) = 1 � Hiperestática� Reação Redundante RVB

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� b) Equação de Equilíbrio:

VBVAVBVAY RqLRqLRRF −=⇒=−+∴=∑ 00

LRqL

MqL

LRMM VBAVBAA ⋅−=⇒=−⋅+∴=∑ 2 0

20

22


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� c) Compatibilidade de deslocamento:

( ) ( ) 0=+VBRBqB δδ


8

3 0

38

34 qLR

EI

LR

EI

qLVB

VB =⇒=⋅+−

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� d) Reações dos apoios:

8

3qLRVB =

88

3

22

222 qLL

qLqLLR

qLM VBA =⋅−=⋅−=

8

5

8

3 qLqLqLRqLR VBVA =−=−=


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� a) Estaticidade:� 4 - 3 = 1 � Hiperestática RVB � Reação Redundante

� Exemplo 6: Determinar:a) a reação em cada apoio;b) a declividade da linha elástica na extremidade A.


q

AB C

2L/3 L/3

L

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� b) Equações de Equilíbrio:

00 =⇒=∑ HCX RF

3

2

22.

3

2.0

2VB

VCVCVBA

RqLR

qLLR

LRM −=∴=+⇒=∑

VBVCVAVCVBVAY RqLRRqLRRRF −=+∴=++⇒=∑ 0


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� c) Compatibilidade de deslocamento:


C

q

AB

2L/3 L/3

A

RVB

C

2L/3 L/3

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

( )( )

9

4

273

2

33

2

63 222

2 L

EI

LRLLL

L

LEI

LR

VBVB

RB VB⋅⋅=

−

−⋅⋅

⋅−−=δ

( ) ( )323 224

xLxLEI

qxv q +−⋅−=

3

2 onde

Lx =

( ) ( )222

6xbL

LEI

Pbxv

VBR −−⋅−=3

2 onde

Lx =


( )EI

qLLLLL

L

EI

qqB

4323 01132,0

3

2

3

22

3

2

24−=

+

−⋅⋅−=δ

( )EI

LRVBVB B

3

01646,0⋅⋅=δ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Sabendo-se que δB = 0 e

( ) ( )VBRBqBB δδδ +=

VBVCVA RqLRR −=+

qLqLqLqLRVA ⋅=⋅−⋅−= 271,00413,0688,0

qLqLqLRqL

R VBVC ⋅=⋅−=−= 0413,0688,0

3

2

23

2

2

qLREI

LR

EI

qLVB

VB ⋅=⇒⋅⋅+⋅−= 688,001646,001132,00

34


� Logo:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� d) Declividade no apoio A:

( ) ( )VBRAqAA θθθ +=

( )EI

qLqA 24

3

−=θ

( ) ( )LEI

LL

LLR

LEI

bLPab VB

RA VB 6333

2

6

+⋅

⋅

⋅=+⋅=θ

( )EI

qL

LEI

LqL

VBRA

3

3

03398,0

6

278

688,0⋅=

⋅⋅

=θ


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� d) Declividade no apoio A:

EI

qL

EI

qL

EI

qLA

333

00769,003398,0

24⋅−=⋅+−=θ


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Aplicações

� Aplicação 1: Sabendo que a viga AE é um perfil laminado de aço S310x47,3, que q = 50kN/m, a = 1,5m e E = 200GPa, determinar: (a) a declividade em B; (b) a deflexão no centro C da viga.Perfil S310x47,3 � A = 6032mm2; Ix = 90,7x106mm4;

Iy = 3,9x106mm4

q

A B

2a aa

D EC

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Aplicações

� Aplicação 2: Para a viga em balanço com carregamento mostrado, determine a declividade e a deflexão nos pontos B e D.

q

a a a

A B C D

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Aplicações

� Aplicação 3: A viga em balanço tem seção circular com diâmetro de 45mm e está submetida ao carregamento mostrado. Determine a inclinação e a deflexão nos pontos B e C. Considera E = 200GPa.

2,6kN/m

0,75m 0,25m

AB

C

0,6kN

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Aplicações

� Aplicação 4: Para o carregamento mostrado na figura, sabendo-se que as vigas AC e BD têm mesma rigidez àflexão, determine a reação em B.

10kN/m

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Capitulo4 deflexaode vigas