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Capítulo 24
Potencial Elétrico
Potencial Elétrico
Em 2012, Após quatro horas fumando maconha sem parar, uma jovem de 21 anos da região de Zlin, na República Tcheca, subiu no alto de um torre de eletricidade de 12,2 metros de altura. Segundo o jornal "Daily Mail", a moça estava sofrendo alucinações, e pensou que estivesse atravessando uma ponte.
Como é possível que a moça tenha permanecido sobre os cabos de alta tensão sem ser eletrocutada?
FONTE: http://www.dailymail.co.uk/news/article-2162558/Czech-woman-scales-electricity-pylon-hallucinating-super-strength-skunk-cannabis.html
Potencial Elétrico
Os físicos e engenheiros descobriram
experimentalmente que a força elétrica é
conservativa e que, portanto, é possível associar
à força elétrica uma energia potencial elétrica.
A motivação para associar uma energia potencial
a uma força é o fato de que isso permite aplicar a
lei de conservação da energia mecânica a
sistemas fechados que envolvam a força.
FONTE:
http://www.science.marshall.edu/foltzc/10914t6.htm
FONTE:
https://pythonmatplotlibtips.blogspot.com.br/2017/12/draw-
electric-field-lines-with-changing-color.html
Quando uma força eletrostática age entre duas ou mais partículas de um
sistema, podemos associar uma energia potencial elétrica U ao sistema.
Se a configuração do sistema muda de um estado inicial i para um estado
final f, a força eletrostática realiza um trabalho W sobre as partículas. A
variação de energia potencial associada é dada por
Como acontece com qualquer força conservativa, o trabalho realizado pela
força eletrostática é independente da trajetória.
Em geral é usado, como configuração de referência de um sistema de
partículas carregadas, a configuração na qual a distância entre as partículas é
infinita e definimos a energia potencial de referência como sendo zero. Logo
O que leva a
Energia Potencial Elétrica
Exemplo 1. Elétrons estão sendo constantemente arrancados das moléculas de ar da atmosfera por partículas de raios cósmicos provenientes do espaço sideral. Uma vez liberados, esses elétrons estão sujeitos a uma força eletrostática F associada a um campo elétrico E produzido na atmosfera por partículas carregadas já existentes na Terra. Perto da superfície terrestre, este campo elétrico tem um módulo de 150 N/C e aponta para o centra da Terra. Qual a variação de energia potencial elétrica de um elétron livre na atmosfera da Terra quando a força eletrostática faz com que se mova verticalmente para cima de uma distância d = 520 m? (-1,2 x 10-14 J)
A diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f é igual à
diferença entre os potenciais elétricos dos dois pontos. Assim,
Potencial Elétrico O Potencial Elétrico é definido como a energia potencial por unidade
de carga, sendo assim, essa é uma grandeza que independe da carga de
teste
Logo, sendo U0 = 0 no infinito
(Definição de Potencial)
A unidade SI para o potencial elétrico é o volt (V).
A unidade SI para o campo elétrico também pode se redefinida a partir
do volt (V).
Podemos também definir uma unidade de energia que é conveniente
para medições de energia nos domínios atômico e subatômico: um
elétron-volt (eV) é a energia igual ao trabalho necessário para deslocar
uma única carga elementar e, através de uma diferença de potencial de
um volt.
Se uma partícula de carga q é transportada do ponto i para o ponto f, na presença de
um campo elétrico, através da aplicação de uma força, a força aplicada realiza um
trabalho Wap sobre a carga, enquanto o campo elétrico realiza um trabalho W sobre a
mesma carga. A variação K da energia cinética da partícula é dadapor
Suponha que a partícula esteja parada antes e depois do deslocamento. Nesse caso,
Kf = Ki = 0 e
Relacionando o trabalho realizado pela força à variação da energia potencial da
partícula durante o deslocamento, obtemos:
Podemos também relacionar Wap à diferença de potencial elétrico V entre as posições
inicial e final da partícula:
ou
Potencial Elétrico: Trabalho Realizado por uma Força Aplicada
Superfícies Equipotenciais
Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície
equipotencial, que pode ser uma superfície imaginária ou uma superfície real.
Quando uma partícula carregada é deslocada de um ponto para outro de uma
superfície equipotencial, o trabalho total realizado pelo campo elétrico é sempre nulo.
Superfícies Equipotenciais
FONTE: https://uwphysics115helper.wordpress.com/2015/02/15/chapter-20-electric-potential-and-electric-potential-energy/
FONTE: http://www.edtech.engineering.utoronto.ca/object/equipotential-surface
FONTE:
https://www.wolfram.com/mathematica/new-
in-9/built-in-symbolic-tensors/electric-
potential-and-field-of-a-dipole.html
Cálculo do Potencial a Partir do Campo
Logo obtemos:
Assim, a diferença de potencial Vf - Vi entre dois pontos i e f na presença de um campo elétrico é igual ao
negativo da integral de linha do ponto i até o ponto f. Como a força eletrostática é conservativa, todas as
trajetórias levam ao mesmo resultado.
Se Vi = 0, temos:
Esse é o potencial V em qualquer ponto f em relação ao potencial no ponto i. Se o ponto i está no infinito,
esse é o potencial V em qualquer ponto f em relação ao infinito.
Dividindo por q0, temos uma função que independe da carga
de teste
Aplicando a definição
Exemplo: Determinação da Diferença de Potencial a Partir do Campo Elétrico
Exemplo 2: (a) A figura mostra dois pontos i e f na presença de um campo elétrico uniforme E. Os pontos estão sobre a mesma linha de campo elétrico (que não aparece na figura), separados por uma distância d. Determine a diferença de potencial Vf – Vi deslocando uma carga de prova q0 do ponto i ao ponto f ao longo da trajetória indicada, que é paralela à direção do campo.
Exemplo: Determinação da Diferença de Potencial a Partir do Campo Elétrico (continuação)
Exemplo 2: (b) Determine a diferença de potencial deslocando a carga de prova positiva q0 ao longo da trajetória icf na figura.
Potencial Produzido por uma Carga Pontual
Uma partícula positivamente carregada produz um potencial
elétrico positivo. Uma partícula negativamente carregada produz
um potencial elétrico negativo.
Considere um ponto P situado a uma distância R de uma partícula fixa
de carga positiva q. Imagine que uma carga de prova positiva q0 é
deslocada do ponto P até o infinito. Como a trajetória seguida pela
carga de prova é irrelevante, podemos escolher a mais simples: uma
reta que liga a partícula fixa ao ponto P e se estende até o infinito.
Nesse caso, temos:
Fazendo ds = dr e = 0°, obtemos
Onde o módulo do campo elétrico E produzido por uma carga pontual é
dado pela expressão
Potencial Produzido por uma Carga Pontual
Substituindo R por r, finalmente obtemos
Aplicando os limites da integração, temos
Se Vf = 0 (no ∞) e Vi = V (em R). Assim, aplicando o módulo do campo
elétrico no ponto onde se encontra a carga de prova temos
Logo
Uma partícula positivamente carregada
produz um potencial elétrico positivo.
Uma partícula negativamente carregada
produz um potencial elétrico negativo.
Potencial Elétrico devido uma
carga pontual
Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais
Podemos calcular o potencial produzido em um ponto do espaço por
um grupo de cargas pontuais usando o princípio de superposição.
Para isso, calculamos separadamente os potenciais produzidos pelas
cargas no ponto dado e somamos os potenciais. No caso de n cargas,
o potencial é dado por
Potencial devido a n cargas
pontuais
Exemplo: Potencial Total de Várias Partículas Carregadas
Exemplo 3: Considerando V = 0 no infinito, qual o valor do potencial elétrico no ponto P, situado no centro do quadrado de cargas pontuais que aparece na figura abaixo? A distância d = 1,3 m e as cargas são:
q1 = +12 nC q2 = -24 nC q3 = +31 nC q4 = +17 nC
Exercícios
1. Um próton (carga positiva do elétron) se move ao longo de uma linha reta de um ponto a até um ponto b no interior de um acelerador linear, sendo d = 0,50 m a distância percorrida. O campo elétrico é uniforme ao longo dessa linha e possui módulo E = 1,5 x107 V/m no sentido de a para b. Determine (a) a força sobre o próton; (b) o trabalho realizado sobre ele pelo campo elétrico; (c) a diferença de potencial Va – Vb . (2,4 x 10-12 N; 1,2 x 10-12J; 7,5 MV)
2. Duas cargas puntiformes q1 = +12 nC e q2 = -12 nC separadas por uma distância de 10 cm. Com V=0 no infinito, calcule os potenciais nos pontos a, b e c. (-900V; 1930V; 0)
Exercícios
3. A figura abaixo mostra um arranjo de partículas carregadas mantidas fixas, com a = 39 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 = 3,4 pC e q2 = 6 pC. Com V=0 no infinito, qual é o potencial elétrico no centro do retângulo? (2,21 V)
Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico
No ponto P, a carga pontual positiva (que está a uma distância r(+)) produz um
potencial V(+) e a carga negativa (que está a uma distância r(-)) produz um potencial
V(-). Assim, o potencial total no ponto P é
Os dipolos que ocorrem naturalmente têm dimensões reduzidas. Assim,
normalmente estamos interessados em pontos distantes do dipolo, tais que r >> d,
onde d é a distância entre as cargas. Nesse caso, se p = qd,
Potencial devido a um
dipolo elétrico
Momento Dipolar Induzido
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
Para uma distribuição contínua de cargas, podemos obter uma expressão para o
potencial elétrico num ponto P diferenciando o objeto em elementos infinitesimais de
volume. Cada infinitésimo de volume portará uma fração dq da carga q distribuída no
volume total do objeto. O potencial elétrico produzido no ponto P poderá ser
calculado através da superposição do potencial gerado por cada um dos elementos
infinitesimais.
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
(a) Uma barra fina, uniformemente carregada, produz um potencial elétrico V no ponto
P. (b) Um elemento de carga pode ser tratado como uma partícula. (c) O potencial
produzido por um elemento de carga no ponto P depende da distância r. Precisamos
somar os potenciais produzidos por todos os elementos da carga, da extremidade
esquerda (d) à extremidade direita (e) da barra.
Se é a carga por unidade de
comprimento, a carga em dx
é
dq = dx.
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
Aplicando a substituição trigonométrica temos , logo
Aplicando a identidade trigonométrica
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
Assim obtemos os valores A e B
Aplicando uma nova substituição de modo que temos
Esta última integral pode ser resolvida através do método das frações parciais, logo
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
Dessa forma, a integral se torna
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
Logo, temos
Retornando a para a variável x podemos finalmente aplicar os limites de integração
Aplicando os limites de integração, obtemos
Logo
Potencial devido uma linha
de carga
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
Na Figura, considere um elemento de
área constituído por um anel de raio R’ e
largura radial dR’. A carga desse
elemento é dada por
Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas
Potencial devido
um disco
carregado
Fazendo uma mudança para variável u do tipo
Exercícios
4. Na figura abaixo, uma barra de plástico com uma carga uniformemente distribuída Q = -25,6 pC tem a forma de um arco de circunferência R = 3,71 cm e um ângulo central de 120°. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto P, o centro da curvatura da barra? (-6.20 V)
Exercícios
5 . Um disco de plástico de raio R = 64,0 cm é carregado na face superior com uma densidade superficial de cargas uniforme σ = 7,73 fC/m2 e, em seguida, três quadrantes do disco são removidos. A figura abaixo mostra o quadrante remanescente. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial produzido pelo quadrante remanescente no ponto P, que está sobre o eixo central do disco original a uma distância D = 25,9 cm do centro do disco original?
Se tomamos o eixo s como sendo,
sucessivamente, os eixos x, y e z, as
componentes do campo elétrico
passam a ser, respectivamente
Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial
Suponha que uma carga de prova positiva q0 sofra
um deslocamento de uma superfície equipotencial
para a superfície vizinha. O trabalho realizado pelo
campo elétrico sobre a carga de prova durante o
deslocamento é
O trabalho realizado pelo campo elétrico também
pode ser escrito como o produto escalar
Assim,
Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais
A Figura mostra duas cargas pontuais, q1 e q2, separadas por uma distância r. Quando
trazemos a carga q1 do infinito e a colocamos no lugar, não realizamos trabalho porque
não existe uma força eletrostática agindo sobre q1. Quando, porém, trazemos q2 do
infinito e a colocamos no lugar, realizamos um trabalho, já que q1 exerce uma força
eletrostática sobre q2 durante o deslocamento.
O trabalho realizado é q2V, onde V é o potencial criado por q1 no ponto onde
colocamos q2.
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é
igual ao trabalho que deve ser realizado por um agente externo para
montar o sistema, começando com as cargas a uma distância infinita
umas das outras.
Exemplo: Energia Potencial de um Sistema de Três Partículas Carregadas
A figura mostra três carga pontuais mantidas fixas no lugar por forças não especificadas. Qual é a energia potencial elétrica U desse sistema de cargas? Suponha d = 12 cm e que q1 = +q, q2 = -4q e q3 = +2q, onde q = 150 nC. (-17 mJ)
Sabemos que .
para Como o campo elétrico é nulo em todos os pontos de um condutor, Vf = Vi
qualquer par de pontos i e f do condutor.
Potencial de um Condutor Carregado
Centelhamento de um Condutor Carregado Nos condutores não esféricos, uma
carga superficial não se distribui
uniformemente na superfície do
condutor. Em vértices e arestas, a
densidade de cargas superficiais (e,
portanto, o campo elétrico externo,
que é proporcional à densidade de
cargas superficiais) pode atingir
valores muito elevados (poder das
pontas). Nas vizinhanças desses
vértices e arestas, o ar pode se ionizar,
produzindo as centelhas que golfistas
e montanhistas observam na ponta de
arbustos, tacos de golfe e martelos de
alpinismo quando o céu está
carregado.
As centelhas, como o cabelo em pé, podem ser um sinal de que um relâmpago está para
acontecer. Nessas circunstâncias, é mais prudente abrigar-se no interior de uma casca
condutora, local onde o campo elétrico com certeza é zero. Um carro (a menos que se
trate de um modelo conversível ou com carroceria de plástico) constitui uma proteção
quase ideal.
Condutor em um Campo Elétrico
Se um objeto feito de um material
condutor é submetido a um campo
elétrico externo, como mostrado na
Figura, o potencial continua a ser o
mesmo em todos os pontos do objeto.
Os elétrons de condução se
distribuem na superfície de tal forma
que o campo elétrico que produzem
no interior do objeto cancela o campo
elétrico externo.
Além disso, a distribuição de elétrons faz com que o campo elétrico total
seja perpendicular à superfície em todos os pontos da superfície. Se
houvesse um meio de remover o condutor da Figura deixando as cargas
superficiais no lugar, a configuração de campo elétrico permaneceria
exatamente a mesma, tanto para os pontos externos como para os pontos
internos.
