CAPÍTULO 3 –DINÂMICA DOS FLUIDOS … 1 capÍtulo 3 –dinÂmica dos fluidos elementar –equaÇÃo de bernoulli–2ª parte universidade federal de goiÁs engenharia civil e de

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CAPÍTULO 3 – DINÂMICA DOS FLUIDOS ELEMENTAR – EQUAÇÃO

DE BERNOULLI – 2ª PARTE

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS

Prof. Eliane Justino

3.6 – EXEMPLOS DA APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI

� Se o escoamento puder ser modelado como invíscido, incompressível ese o regime for permanente, tem-se para a Equação de Bernoulli entredois pontos que pertencem a mesma linha de corrente , (1) e (2):

� 3.6.1 – JATO LIVRE

� Descreve a descarga de líquidos para a atmosfera de um grandereservatório.

� Como mostrado na Figura a seguir.

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3.6.1– JATO LIVRE

� Escoamento Vertical no Bocal de um Tanque

3.6.1– JATO LIVRE

� Aplicando a Equação de Bernoulli entre (1) e (2):

� Considerando que a referência está na saída do jato

� O reservatório é de grande porte – V1 ≈ 0 – Conservação da Massa .

� p1 = p2 = 0 – estão expostos à pressão atmosférica e consideraremos apressão relativa, sendo assim os valores de p1 e p2 são nulos.

� Portanto:

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3.6.1– JATO LIVRE

� Para se provar que p2 = 0, ou seja esta submetido a pressão atmosférica,pode-se aplicar F = m.a na direção normal a linha de corrente entre ospontos (2) e (4).

� Se as linhas de correntes na seção de descarga do bocal são retilíneas (R= ∞) segue que p2 = p4, analise a Equação abaixo.

� Como (2) é um ponto arbitrário no plano de descarga do bocal, segue que apressão neste plano é igual a atmosférica.

3.6.1 – JATO LIVRE

� Note que a pressão precisa ser constante na direção normal às linha decorrente porque não existe componente da força peso ou umaaceleração na direção horizontal.

� O escoamento se comporta como um jato livre, com a pressão uniformee igual a atmosférica (p5 =0 ), a jusante do plano de descarga do bocal.

� Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (5),considerando a referência no ponto (5), tem-se:

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� H é a distância entre a seção dedescarga do bocal e ponto (5)


� Considerando agora um jato horizontal

EscoamentoEscoamentoEscoamentoEscoamento HorizontalHorizontalHorizontalHorizontal nonononoBocalBocalBocalBocal dededede umumumum TanqueTanqueTanqueTanque

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� A velocidade na linha de centro do escoamento V2, será um poucomaior que V1, e um pouco menor do que a do fundo, V3, devido adiferença de elevação.

� V1 < V2 < V3

� A velocidade na linha de centro do escoamento representa bem avelocidade média do escoamento se d << h.

� Se o contorno do bocal não é suave, veja figura a seguir, o diâmetro dojato, dj, será menor que o diâmetro do orifício, dh.

� Este efeito, conhecido como vena contracta , é o resultado dainabilidade do fluido de fazer uma curva de 90º.


� Como as linhas de corrente no plano de saída são curvas ( R < ∞), apressão não é constante entre as linhas de corrente. Note que énecessário um gradiente infinito de pressão para que seja possível fazeruma curva com raio nulo (R = 0).

EfeitoEfeitoEfeitoEfeito dadadada VenaVenaVenaVena ContractaContractaContractaContracta numnumnumnumOrifícioOrifícioOrifícioOrifício comcomcomcom BordaBordaBordaBorda pontudapontudapontudapontuda

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� A pressão mais alta ocorre ao longo da linha de centro em (2) e a maisbaixa, p1 = p3 = 0, ocorre na periferia do jato.

� Assim, as hipóteses de que a velocidade é uniforme, que as linhas decorrentes são retilíneas e que a pressão é constante na seção de descarganão são válidas.

� Entretanto, elas são no plano da vena contracta (seção a – a).

� A hipótese de velocidade uniforme é válida nesta seção desde que dj << h.

� O formato da vena contracta é função do tipo de geometria da seção dedescarga.


� Algumas configuraçõestípicas estãomostradas na Figuraao lado juntamentecom os valores típicosexperimentais docoeficiente decontração, Cc.

� Este coeficiente édefinido pela relaçãoAj/Ah onde Aj é a áreada seção transversaldo jato na venacontracta e Ah é a áreada seção de descargado tanque.

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3.6.1 – ESCOAMENTOS CONFINADOS

� São caso de escoamentos em que a pressão não pode ser determinadaa priori, como acontece no caso de jato livre, visto que, a pressão emque estes escoamentos estão submetidas é diferente da pressãoatmosférica.

� EXEMPLO: Escoamento em bocais e nas tubulações que apresentamdiâmetro variáveis.

� Onde a velocidade média do escoamento varia, porque a área deescoamento não é constante.

� Para solucionar este tipo de problema é utilizado o conceito deConservação da Massa (ou Equação da Continuidade) juntamentecom a equação de Bernoulli.

3.6.1 – ESCOAMENTOS CONFINADOS� Será utilizado uma Derivação a partir de argumento intuitivos para

obtenção da Equação da Conservação da Massa Simplificada:

� Considere um escoamento de um fluido num volume fixo, tal como umtanque, que apresenta apenas uma seção de alimentação e uma seçãode descarga, como mostrado na Figura abaixo:

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� Se o escoamento ocorre em regime permanente, de modo que nãoexiste acumulo de fluido no volume, a taxa com que o fluido escoa parao volume precisa ser igual a taxa com que o fluido escoa do volume (deoutro modo a massa não seria conservada).

� A vazão em massa na seção de descarga:

� Onde Q é a vazão em volume (m3/s).

� Se a área da seção de descarga é A e o fluido escoar na direçãonormal ao plano da seção com velocidade média V, a quantidade defluido em volume que passa pela seção no intervalo de tempo δt éexpressa por:


� Ou seja, igual a área da seção de descarga multiplicada pela distânciapercorrida pelo escoamento (Vδt).

� Assim, sendo a vazão em volume dada por Q = A.V, tem se para vazãoem massa:

� Para que a massa no volume considerado permaneça constante, avazão em massa na seção de alimentação deve ser igual àquela naseção de descarga.

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� Se a seção de Alimentação for (1) e a de descarga (20, tem-se:

� Assim, a conservação da massa exige que:

� Se a massa específica do fluido permanecer constante, ρ1 = ρ2, aEquação se torna;


� Por exemplo, se a área da seção de descarga é igual a metade da áreada seção de alimentação, segue que a velocidade media na seção dedescarga é igual ao dobro daquela na seção de alimentação.

� EXEMPLO 3.7 – pág. 109

� A Figura a seguir mostra um tanque (diâmetro D = 1,0 m) que éalimentado com um escoamento de água proveniente de um tubo queapresenta d, igual a 0,1m. Determine a vazão em volume Q, necessáriopara que o nível da água (h) permaneça constante e igual a 2 m.

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EXEMPLO 3.7 – pág. 109


� SOLUÇÃO

� Se modelarmos o escoamento como invíscido, incompressível e emregime permanente, a aplicação da Equação de Bernoulli entre ospontos (1) e (2) resulta em:

(1)

� Admitindo que p1 = p2 = 0, z1 = h e z2 = 0, tem-se

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� Note que o nível d’água pode permanecer constante (h = constante)porque existe uma alimentação de água no tanque. Da Equação daConservação da massa, que é adequada para escoamentoincompressível, requer que Q1 = Q2, onde Q = A.V. Assim, A1.V1 = A2.V2,ou:

(2)

� Assim:

(3)


� Combinando as Equações (1) e (3), obtém-se

� e:

� Neste exemplo nós não desprezamos a energia cinética da água notanque (V1 ≠ 0). Se o diâmetro do tanque é grande em relação aodiâmetro do jato (D >> d), A Eq. (3) indica que V1 << V2 e a hipótese deV1 = 0 será adequado

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� O erro associado com esta hipótese pode ser visto a partir da relaçãoentre a vazão calculada admitindo que V1 ≠ 0, indicada por Q, e aquelaobtida admitindo que V1 = 0, denotada por Q0. Essa relação é dada por:

� A Figura a seguir mostra o gráfico dessa relação funcional. Note que 1 <Q / Q0 ≤ 1,01 se 0 < d / D < 0,4.


� Assim, o erro provocado pela hipótese de V1 = 0 é menor do que 1%nesta faixa de relação de diâmetros.

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EXEMPLO 3.8 – pág. 110� A Figura abaixo mostra o esquema de uma mangueira de diâmetro D = 0,03 m

que é alimentada, em regime permanente, com ar proveniente de um tanque. Ofluido é descarregado no ambiente através de um bocal que apresenta seção dedescarga, d, igual a 0,01 m. Sabendo que a pressão no tanque é constante eigual a 3,0 kPa (relativa) e que a atmosfera apresenta pressão e temperatura,padrões, determine a vazão em massa e a pressão na mangueira.

EXEMPLO 3.8 – pág. 110� SOLUÇÃO:

� Se nós admitirmos que o escoamento ocorre em regime permanente éinvíscido e incompressível, nós podemos aplicar a equação de Bernoulliao Longo da Linha de Corrente que passa por (1), (2) e (3). Assim:

� Se nós admitirmos que z1 = z2 = z3 (a mangueira está na horizontal),que V1 = 0 (o tanque é grande) e que p3 = 0 (jato livre), tem-se que:

� e

(1)

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� A massa específica do ar no tanque pode ser obtida com a Lei doGases Perfeito (utilizando temperatura e pressão absolutas). Assim:

� Assim, nós encontramos que:

e


� Note que o valor de V3 independe do formato do bocal e foideterminado utilizando apenas o valor de p1 e as hipóteses envolvidasna Equação de Bernoulli. A carga de pressão no tanque, p1/γ = (3000Pa)/(9,8 m/s2) (1,26 kg/m3) = 243 m, é convertida em carga develocidade V3

2/2g = (69,0 m/s2)/ (2 x 9,8 m/s2) = 243 m.

� Observe que, apesar de termos utilizado pressões relativas naEquação de Bernoulli (p 3 = 0), nós utilizamos a pressão absolutapara calcular a massa específica do ar com a Lei dos GasesPerfeitos.

� A pressão na mangueira pode ser calculada utilizando a Eq. (1) e aEquação da conservação de massa.

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� Assim:

� E da Eq. (1):

� A pressão na mangueira é constante e igual a p2 se os efeitos viscososnão forem significativos. O decréscimo na pressão de p1 a p2 acelera oar e aumenta sua energia cinética de zero no tanque até um valorintermediário na mangueira e finalmente até um valor máximo na seçãode descarga.

EXEMPLO 3.8 – pág. 110� Como a velocidade do ar na seção de descarga do bocal é nove vezes

maior que na mangueira, a maior queda de pressão ocorre do bocal (p1= 3 kPa, p2 = 2,96 kPa e p3 = 0).

� Como a variação de pressão de (1) para (3) não é muito grande emtermos absoluto, (p1 – p3)/ p1 = 3,0/101 = 0,03, temos que a variação namassa específica do ar não é significativa. (veja equação dos gasesperfeito).

� Assim, a hipótese de escoamento incompressível é razoável para esteproblema.

� Se a pressão no tanque fosse consideravelmente maior ou se os efeitosviscosos forem importantes, os resultados obtidos neste exercícios nãosão adequados.

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� Em muitos casos a combinação dos efeitos de energia cinética, pressãoe gravidade são importantes no escoamento. O Exemplo 3.9 ilustra umadestas situações.

� A Figura a seguir mostra o escoamento de água numa redução. Apressão estática em (1) em (2) são medidas com um manômetro em Uinvertido que utiliza óleo, densidade igual a SG, como fluidomanométrico. Nestas condições, determine a leitura no manômetro (h).


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� SOLUÇÃO:

� Se admitirmos que o regime de operação é o permanente e que oescoamento é incompressível e invíscido, nós podemos escrever aEquação de Bernoulli do seguinte modo:

� A Equação da conservação da massa pode fornecer uma segundarelação entre V1 e V2 se admitirmos que os perfis de velocidade sãouniformes nestas duas seções. Deste modo:


� Combinando as duas últimas Equações:

(1)

� Esta diferença de pressão é medida pelo manômetro e pode serdeterminada com os conceitos desenvolvidos no Cap. 2. Assim:

� Ou

(2)

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� As Equações (1) e (2) podem ser combinadas para fornecer:

� Mas como V2 = Q/A2.

� A diferença de elevação z1 – z2 não aparece na equação porque otermo de variação de elevação na Equação de Bernoulli é canceladopelo termo referente a variação de elevação na equação de manômetro.


� Entretanto, a diferença de pressão p1 – p2 é função do ângulo θ porcausa do termo z1 – z2 da Eq. (1).

� Assim, para uma dada vazão em volume, a diferença de pressão p1 – p2medida no manômetro variará com o θ mas a leitura do manômetro, h, éindependente deste ângulo.

� Geralmente, um aumento de velocidade é acompanhado por umadiminuição na pressão.

� Por exemplo, a velocidade média do escoamento de ar na regiãosuperior de uma asa de avião é maior do que a velocidade média doescoamento na região inferior da asa. Assim, a força liquida a pressãona região inferior da asa é maior do que aquela na região superior daasa e isto gera a força de sustentação na asa.

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CAVITAÇÃO

� Se a diferença entre estas velocidades é alta, a diferença entre aspressões também pode ser considerável, isto pode introduzir efeitoscompressíveis nos escoamentos de gases, e a cavitação nosescoamento de líquidos.

� A Cavitação ocorre quando a pressão no fluido é reduzida a pressão devapor e o líquido evapora.

� Pressão de Vapor, pv, é a pressão em que as bolhas de vapor seformam num líquido, ou seja, é a pressão em que o líquido muda defase.

� Esta pressão depende do tipo de líquido e da temperatura.

CAVITAÇÃO

� EXEMPLO: A água evapora a 100º C na atmosfera padrão, 1,013 bar, ea 30º C quando a pressão no líquido é igual a 4,24 kPa (abs), ou seja:

� pv = 4,24 kPa (abs) - a 30º C

� pv = 101,3 kPa (abs) - a 100º C

� É possível identificar a produção de Cavitação num escoamento delíquido utilizando a Equação de Bernoulli.

� EXEMPLO: Se a velocidade do fluido aumenta, por uma redução daárea disponível para o escoamento, a pressão diminuirá.

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CAVITAÇÃO� Distribuição de Pressão e Cavitação Numa Tubulação com Diâmetro

Variável;

CAVITAÇÃO

� Esta diminuição de pressão, necessária para acelerar o fluido narestrição, pode ser grande o suficiente para que a pressão no líquidoatinja o valor da sua pressão de vapor.

� EXEMPLO: Cavitação pode ser demonstrada numa mangueira dejardim.

� Se o bocal de borrifamento for estrangulado obtém-se uma restrição daárea de escoamento, de modo que a velocidade da água nesta restriçãopoderá ser relativamente grande, se formos diminuindo a área deescoamento, o som produzido pelo escoamento de água mudará, umruído bem definido é produzido a partir de um certo estrangulamento,este som é provocado pela Cavitação.

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CAVITAÇÃO

� A Ebulição ocorre na Cavitação (apesar da temperatura ser baixa) e,assim, temos a formação de bolhas de vapor nas zonas de baixapressão.

� Quando o fluido escoa para uma região que apresenta pressão maisalta (baixa velocidade), as bolhas colapsam.

� Este processo pode produzir efeitos dinâmicos (implosões) que causamtransientes de pressão na vizinhança das bolhas. Acredita-se quepressões tão altas quanto 690 MPa ocorrem neste processo.

� Se as bolhas colapsam próximas de uma fronteira física elas podem,depois de um certo tempo, danificar a superfície na área de cavitação.

CAVITAÇÃO� A Figura abaixo mostra a cavitação nas pontas de uma hélice. Neste

caso, a alta rotação da hélice produz uma zona de baixa pressão naperiferia da hélice. Obviamente, é necessário projetar e utilizaradequadamente os equipamentos para eliminar os danos que podemser produzidos pela cavitação.

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EXEMPLO 3.10 – pag. 114� A Figura a seguir mostra um modo de retirar água a 20º C de um grande

tanque. Sabendo que o diâmetro da mangueira é constante, determinea máxima elevação da mangueira, H, para que não ocorra Cavitaçãono escoamento de água na mangueira. Admita que a seção dedescarga da mangueira está localizada a 1,5 m abaixo da superfícieinferior do tanque e que a pressão atmosférica é igual a 1,13 bar.

EXEMPLO 3.10 – pag. 114

� SOLUÇÃO:� Nós podemos aplicar a Equação de Bernoulli ao longo da linha de

Corrente que passa por (1), (2) e (3) se o escoamento ocorre em regimepermanente, é incompressível e invíscido. Nestas condições:

(1)

� Nós vamos utilizar o fundo do tanque como referência. Assim, z1 = 4,5m, z2 = H e z3 = -1,5 m. Nós também vamos admitir que V1 = 0 (tanquegrande), p1 = 0 (tanque aberto), p3 = 0 (jato livre).

� A Equação da continuidade estabelece que A2V2 = A3V3. Como odiâmetro da mangueira é constante, temos que V2 = V3. Assim avelocidade do fluido na mangueira pode ser determinada com a Eq. (1),ou seja;

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� A utilização da Eq (1) entre os pontos (1) e (2) fornece a pressão naelevação máxima da mangueira, p2.

� A Tab. B.1 do Apêndice mostra que a pressão de vapor da água a 20º Cé igual a 2,338 kPa (abs). Assim, a pressão mínima na deve ser igual a2,338 kPa (abs) para que ocorra cavitação incipiente no escoamento.

� A análise da Figura deste Exercício e da Eq. (2) mostra que a pressãomínima do escoamento na mangueira ocorre no ponto de elevaçãomáxima.

(2)(2)(2)(2)


� Como nós utilizamos pressões relativas na Eq. 1 nós precisamosconverter a pressão no ponto (2) em pressão relativa, ou seja, p2 =2,338 – 101,3 = - 99 kPa. Aplicando este valor na Eq. (2), temos:

� Note que ocorrerá a formação de bolhas em (2) se o valor de H formaior do que o calculado e, nesta condição, o escoamento no sifãocessará.

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� Poderíamos ter trabalhado com pressões absolutas (p2 = 2,338 kPa e p1= 101,3 kPa) em todo o problema e é claro que obteríamos o mesmoresultado. Quando mais baixa a seção de descarga da mangueira maiora vazão e menor o valor permissível de H.

� Nós também poderíamos ter utilizado a Equação de Bernoulli entre ospontos (2) e (3) com V2 = V3 e obteríamos o mesmo valor de H. Nestecaso não seria necessário determinar V2 como a aplicação da equaçãode Bernoulli entre os pontos (1) e (3)..

� Os resultados obtidos neste Exemplo são independentes do diâmetro edo comprimento da mangueira (desde que os efeitos viscosos nãosejam importantes). Observe que ainda é necessário realizar um projetomecânico da mangueira (ou tubulação) para assegurar que ela nãocolapse devido a diferença entre pressão atmosférica e a pressão noescoamento.

3.6.3 – MEDIÇÃO DE VAZÃO

� Muitos dispositivos foram desenvolvidos a partir da Equação deBernoulli, para medir velocidade de escoamento e vazões em massa,um exemplo disto é o Tubo de Pitot.

� Há também os dispositivos utilizados, na medição de vazões emvolume em tubos, condutos e canais abertos.

� Considerando medidores de vazão “ideais”, ou seja, aqueles onde osefeitos viscosos e de compressibilidade não são levados emconsideração. O objetivo disto é entender o princípio básico deoperação destes medidores de vazão.

� Um modo eficiente de medir a vazão em volume em tubos é instalaralgum tipo de restrição no tubo e medir a diferença entre as pressõesna região de baixa velocidade e alta pressão (1) e a de alta velocidadee baixa pressão (2).

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3.6.3 – MEDIÇÃO DE VAZÃO� A Figura abaixo mostra três tipos de comuns de medidores de vazão:


� A operação de cada um é baseada no mesmo princípio – um aumentode velocidade provoca uma diminuição na pressão.

� A diferença entre eles é uma questão de custo, precisão e como suacondição ideal de funcionamento se aproxima da operação ideal.

� Admitindo que o escoamento entre os pontos (1) e (2) é incompressível,invíscido e horizontal (z1 = z2). Se o regime de escoamento épermanente, a Equação de Bernoulli fica restrita a:

(1)

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� Note que o efeito da inclinação do escoamento pode serincorporado na Equação incluindo a mudança de elevação z 1 – z2na Equação de Bernoulli.

� Admitindo que os perfis de velocidade são uniforme em (1) e (2), aEquação de Conservação da massa, pode ser rescrita como:

(2)

� Combinando as Equações (1) e (2), tem-se a seguinte expressão para avazão em volume teórica :


� Assim para uma dada geometria do escoamento (A1 e A2) a vazão emvolume pode ser determinada se a diferença de pressão p1 – p2 formedida.

� A vazão real, Q real, será menor que o resultado teórico porqueexiste várias diferenças entre o mundo real e aquele modific adopelas hipóteses utilizadas na obtenção da Equação para a vaz ãoem volume real, estas diferenças dependem da geometria dosmedidores e podem ser menor do que 1% ou tão grande quanto40%.

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� Querosene (densidade = SG = 0,85) escoa no medidor Venturimostrado na Figura abaixo e a vazão em volume varia de 0,005 a 0,050m3/s. Determine a faixa de variação da diferença de pressão medidanestes escoamento (p1 – p2).


� SOLUÇÃO:

� Admitindo que o escoamento é invíscido, incompressível e que o regimeé permanente, a relação entre a variação de pressão e a vazão podeser calculada com a Equação:

� Tem-se:

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� A massa específica do querosene é igual a:

� A diferença de pressão correspondente a vazão mínima é:

� Já a diferença de pressão correspondente a vazão máxima é:


� Assim:

� Estes valores representam as diferenças de pressão que seriamencontradas em escoamentos incompressíveis, invíscidos e em regimepermanente.

� Os resultados ideais apresentados são independentes da geometria domedidor de vazão – um orifício, bocal ou medidor Venturi.

� A Equação:

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� Mostra que a vazão em volume varia com a raiz quadrada da diferençade pressão.

� Assim, como indicam os resultados do Exemplo 3.11, um aumento de10 vezes na vazão em volume provoca um aumento de 100 vezes nadiferença de pressão

� Esta relação não linear pode causar dificuldade nas medição de vazãose a faixa de variação for muito larga.

� Tais medições podem requere transdutores de pressão com uma faixamuito ampla de operação.

� Um modo alternativo para escapar deste problema é a utilização de doismanômetros em paralelo – um dedicado a medir as baixas vazões eoutro dedicado a faixa com vazões mais altas.

MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS

� Outros medidores de vazão, baseados na Equação de Bernoulli, sãoutilizados para medir vazão em canais abertos tais como as calhas ecanais de irrigação.

� Dois destes dispositivos de medida, a comporta deslizantes e overtedouro de soleira delgada, serão analisados sob a hipótese de queo escoamento é invíscido, incompressível e que o regime é opermanente.

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MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS - COMPORTAS

� A comporta mostrada na Figura abaixo é muito utilizada para controlare medir vazão em canais abertos.

Comporta Comporta Comporta Comporta Deslizante Deslizante Deslizante Deslizante


� A vazão em volume, Q, é função da profundidade de escoamento deágua a montante da comporta, z1, da largura da comporta, b e da suaabertura, a.

� Aplicando a Equação de Bernoulli e a Equação da Conservação deMassa (Continuidade) entre os pontos (1) e (2) pode oferecer uma boaaproximação da vazão real neste dispositivo,

� Admitindo que os perfis de velocidade são suficientemente uniformes amontante e a jusante da comporta.

� Aplicando a Equações de Bernoulli e da Continuidade entre (1) e (2)que estão localizados na superfície livre do escoamento tem-se

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e

� Como os dois pontos são superficiais, tem-se que p1 = p2 = 0.Combinando as Equações, resulta:


� No caso limite onde z1 >> z2, esta Equação fica reduzida a:

� Neste caso limite a energia cinética do fluido a montante dacomporta é desprezível e a velocidade do fluido a jusante dacomporta é igual a de uma queda livre com uma altura igual (z 1 –z2) ≈≈≈≈ z1.

� O mesmo resultado pode ser obtido a partir da Equação de Bernoullientre os pontos (3) e (4) e utilizando p3 = γZ1 e p4 = γz2 porque as linhasde correntes nestas sessões são retas.

� Nesta formulação, em vez de temos as contribuições da energiapotencial em (1) e (2) encontra-se as contribuições da pressão em (3) e(4).

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� Como o fluido não pode fazer uma curva de 90º e, também encontra-seuma vena contracta que induz um coeficiente de contração, Cc = Z2/amenor que 1.

� O valor típico de Cc é aproximadamente igual a 0,61 para 0 < a/z1 <0,20.

� Mas o valor do coeficiente de contração cresce rapidamente quando arelação a/z1 aumenta.


� A água escoa sob a comporta deslizante mostrada na Figura abaixo.Estime o valor da vazão em volume de água na comporta por unidadede comprimento de canal.

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� SOLUÇÃO:

� Nós vamos admitir que o escoamento é incompressível, invíscido e queo regime de escoamento é o permanente. Assim, nós podemos aplicar aEquação:

� Obtém-se, Q/b, ou seja vazão em volume por unidade de comprimentodo canal, dada por:


� Neste caso nós temos que z1 = 5,0 m e a = 0,8 m. Como a/z1 = 0,16 <0,20, vamos admitir que Cc o coeficiente de contração, é igual a 0,61.Assim, z2 = Cc .a = 0,61 x 0,8 = 0,488 m e a vazão por unidade decomprimento do canal é:

� Se nós considerarmos que z1 >> z2 e desprezarmos a energia cinéticado fluido a montante da comporta, encontramos:

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� Neste caso, a diferença entre as vazões calculadas dos dois modos nãoé muito significativa porque a relação entre as profundidades érazoavelmente grande (z1/z2= 5,0/0,488 = 10,2).

� Este resultado mostra que muitas vezes é razoável desprezar aenergia cinética do escoamento a montante da comporta emrelação àquela a jusante da comporta.

MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS ABERTOS – VERTEDOR0

� Um outro dispositivo utilizado para medir a vazão em canais abertos é overtedoro.

� A Figura abaixo mostra um vertedoro retangular de soleira delgadatípico.

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� Neste tipo de dispositivo a vazão de líquido sobre o vertedoro é funçãoda altura do vertedoro, Pw, da largura do canal, b e da carga d’águaacima do topo do vertedoro, H.

� A aplicação da Equação de Bernoulli pode fornecer um resultadoaproximado para a vazão nestas situações, mesmo sabendo que oescoamento real no vertedoro é muito complexo.

� Os campos de pressão e gravitacional provocam a aceleração do fluidoentre os pontos (1) e (2) do escoamento, ou seja, a velocidade varia deV1 para V2.

� No ponto (1) a pressão é p1 = γ h, enquanto que no ponto (2) a pressãoé praticamente igual a atmosférica p2 = 0.


� Na região localizada acima do topo do vertedoro (seção a – a) apressão varia do valor atmosférico na superfície superior até o valormáximo na seção e de novo para o valor atmosférico na superfícieinferior.

� Tal distribuição de pressão combinada com as linhas de corrente curvasproduz um perfil de velocidade não uniforme na seção a – a.

� A distribuição de velocidade nesta seção só pode ser determi nadaexperimentalmente ou utilizando recursos teóricos avança dos..

� Analisando o problema de um modo mais simples, admitindo que oescoamento no vertedoro é similar ao escoamento num orifício comlinhas de correntes livres.

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� Se a hipótese for válida, pode-se esperar que a velocidade média sobreo vertedoro é proporcional a (2.g.H)1/2 e que a área de escoamento parao vertedoro é proporcional a H. b. Assim:

� Onde C1 é uma constante que precisa ser determinada.

� C1 – geralmente é determinada por via experimental.


� Água escoa sobre um vertedor triangular como mostrado na Figuraabaixo. Determine a dependência funcional entre a vazão em volume,Q, e a profundidade H utilizando um procedimento baseado na Equaçãode Bernoulli. Se a vazão em volume é Q0, quando H = H0, estime qual éa vazão quando a profundidade aumenta para H = 3 H0.

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SOLUÇÃO:

� Se admitirmos que o escoamento é invíscido, incompressível e queocorre em regime permanente nós podemos utilizar a equação:

� Com esta, estima-se a velocidade média do escoamento sobre acomporta triangular.

� Deste modo nós obtemos que a velocidade média é proporcional a(2gH)1/2.

� Também vamos admitir que a área de escoamento, para umaprofundidade H, é H(H.tan(θ/2).


� A combinação destas hipótese resulta em:

� Onde C2 é uma constante que precisa ser determinadaexperimentalmente.

� Se triplicarmos a profundidade (de H0 para 3H0), a relação entre asvazões é dada por:

� Note que a vazão em volume é proporcional a H5/2 no vertedorotriangular enquanto que no retangular é proporcional a H3/2.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

� Exercício 3.2 – pág 130 – Modificado.

� A água escoa em regime permanente nobocal mostrado na Figura abaixo. O eixo desimetria do bocal está na vertical e adistribuição de velocidade neste eixo édada por V = 10 (1+ z) k m/s. Admitindo queos efeitos viscosos são desprezíveis.Determine (a) o gradiente de pressãonecessário para produzir este escoamento(em função de z). (b) se a pressão na seção(1) é de 340 kPa, determine a pressão naseção (2) (I) integrando o gradiente depressão obtido na parte (a) e (II) aplicandoa Equação de Bernoulli, ρH20 = 998 kg/m3.


� EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 02020202 - A água escoa sobre um vertedoro triangular como mostradona figura abaixo. Determine qual é a vazão que passa neste vertedoro,sabendo que a altura de lâmina d’água acima deste é de 2,0 m e que oângulo de abertura, θ = 30º. Considere o coeficiente de contração dovertedoro igual a 0,50.

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� EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 03030303 - E se o vertedoro fosse trapezoidal, como mostrado naFigura abaixo, com l = 1,5 m e fosse mantido mesmo valor de lâminad’água do exercício anterior, H = 2,0 m. Considere o coeficiente decontração do vertedoro igual a 0,72.


� EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 04040404 - A água escoa sobre uma comporta deslizante comomostrada na Figura abaixo. Estime o valor de vazão em volume de água nacomporta.

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CAPÍTULO 3 –DINÂMICA DOS FLUIDOS … 1 capÍtulo 3 –dinÂmica dos fluidos elementar –equaÇÃo de bernoulli–2ª parte universidade federal de goiÁs engenharia civil e de