Capítulo 16 – Dinâmica dos fluidos16.1 – Conceitos gerais do escoamento dos fluidosHidrodinâmica: fluidos em movimento. Como descrever?

Abordagem de Lagrange: seguir o movimento de cada partícula do fluido.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

Abordagem de Euler: descrever os campos de velocidades e densidades em cada ponto do espaço e no tempo.

Leonhard Euler (1707-1783)

),,,(),,,,( tzyxvtzyx

Adotaremos a abordagem de Euler

Fluidos ideais: modelo aproximado para os fluidos reais. Mais simples, porém com resultados ainda úteis.

Características dos fluidos ideais

1. Escoamento estacionário (ou uniforme): velocidade do fluido em um dado ponto do espaço não muda com o tempo

),,(),,,( zyxvtzyxv

Campo de velocidades

Isto não quer dizer que a velocidade de uma

partícula seja constante!

2. Fluido incompressível: densidade ρ constante

3. Escoamento não-viscoso: sem atrito, sem dissipação, sem molhar (“água seca”)4. Escoamento irrotacional: cada “elemento de fluido” tem momento angular zero – uma partícula viajaria no fluido sem girar

16.2 – Linhas de corrrente e equação da continuidade

Campo de velocidades

Linhas de corrente: linhas tangentes à velocidade do fluido em cada ponto

- No escoamento estacionário, as linhas de corrente coincidem com as trajetórias das partículas- Linhas de corrente nunca se cruzam: isto levaria a uma indefinição da velocidade da partícula no ponto de cruzamento

Tubo de corrente: superfície formada por todas as linhas de corrente que passam por uma curva fechada C

Visualização das linhas de corrente em um túnel de vento

Equação da continuidade

Porção do tubo de corrente

1mMassa que vai entrar no tubo no intervalo de tempo t

2mMassa que vai sair do tubo no intervalo de tempo t

111 Vm tvA 111 tvAm 2222

Escoamento estacionário: 21 mm

tvAtvA 222111 222111 vAvA constante Av

Se o fluido for incompressível: 221121 vAvA

Equação da continuidade

constanteAvR (vazão) Unidades SI: m3/s

A equação da continuidade é uma conseqüência imediata da conservação da

massa(futuramente, veremos na Física outras equações de continuidade que surgem devido à conservação de outras grandezas: carga, energia, etc)

Aplicações em engenharia de tráfego

Fluxo em uma bifurcação com o trânsito engarrafado

v1

v2

v2

v2<v1 !!!

16.3 – Equação de Bernoulli Daniel Bernoulli (1700-1782)

Vamos aplicar a conservação da energia ao escoamento do fluido:

Δm

(tempo t) (tempo t+Δt)

Teorema trabalho-energia cinética: KW

21

22 2

1

2

1vmvmK Variação de energia cinética:

21

222

1vvVK

Δm

pg WWW

Trabalho:

12 yyVmghWg

Δm

Trabalho devido ao peso

Trabalho devido à pressão

Trabalho devido ao peso:

2211 xFxFWp

Trabalho devido à pressão:

VppWp 21

Δm

222111 xApxAp

KWW gp Teorema trabalho-energia:

21

221221 2

1vvVyyVgVpp

Δm

Equação de Bernoulli

constante 2

1ou 2 gyvp

22221

211 2

1

2

1gyvpgyvp

Casos especiais:

1. Fluido em repouso )0( 21 vv

Equação de Bernoulli2

2221

211 2

1

2

1gyvpgyvp

2211 gypgyp 2121 yygpp (equação da hidrostática)

y

1y

2y

1p

2p

2. Altura constante )0( 21 yy

222

211 2

1

2

1vpvp

1

23

Pela equação de continuidade: 12 vv Como regra geral para campos vetoriais, a

magnitude do campo é maior onde as linhas de campo são mais densas

Onde a pressão é maior?

Pressão é maior onde a velocidade é menor e vice-versa!

21 pp

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Janelas quebradas pelo vento…

dentro fora

ventojanela

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F

Furo no tanque d’água