VI.1

CAPÍTULO VI: HIDRODINÂMICA

Aula 01

Equação de Euler

Hipóteses Simplificadoras para a dedução da Equação de Bernoulli

Equação de Bernoulli

Significado dos termos da Equação de Bernoulli

Representação gráfica dos termos da Equação de Bernoulli

Potência da Corrente

Aplicações imediatas da Equação de Bernoulli

Exercícios

VI.2

6.1 - Conceituação

Hidrodinâmica é a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o movimento das partículas

fluidas levando em consideração as forças intervenientes em tais movimentos.

6.2 - Objetivo

Determinação da Equação de Euler (equação 6.1) e da Equação de Bernoulli (equação 6.2) para

os fluidos ideais.

0=dZ+g

VdV+

γ

dp (6.1)

22

222

12

211 Z

g

VpZ

g

Vp

constante (6.2)

VI.3

6.3 - Equação de Euler ao longo de uma linha de corrente

A equação de Euler resulta da aplicação da 2ª Lei de Newton ao movimento de partículas

fluidas em escoamento.

Relaciona a pressão, a velocidade e a posição de uma partícula em movimento ao longo de uma

linha de corrente, em uma única equação analítica.

6.3.1 - Dedução da Equação de Euller

Para a dedução da equação de Euller aplica-se a Segunda Lei do Movimento de Newton que,

para o caso específico do tubo de corrente da Figura 6.1, basta se perceber que Numa linha de

corrente de fluido em movimento o somatório das forças de contato, com as forças de campo - ou

gravitacionais - deve igualar-se às forças inerciais agindo na partícula em movimento na própria

linha de corrente.

Observação: as forças inerciais são as relacionadas ao movimento da partícula, podendo retardar ou

acelerar o movimento, de acordo com as oscilações na magnitude das velocidades. Essas forças

podem ser estimadas pela Segunda Lei de Newton do movimento, ou seja:

dt

VddmFd

(6.3)

VI.4

Em um escoamento permanente e unidimensional (Figura 6.1), considere um filamento de

corrente BC, de comprimento elementar dl.

No prisma elementar da Figura 6.1, aplicando a Segunda

Lei do Movimento de Newton, tem-se:

sendWdAdPPPdAdLdt

dVdA ... (6.4)

Ou após desenvolver a equação 6.4:

0 dZdP

gVdV

(6.5)

Figura 6.1 – Representação de um tubo de corrente de dimensões elementares usado para deduzir a equação de Euler.

dA : área da seção transversal em 1 e 2;

P : pressão unitária em 1;

dpP : pressão unitária em 2;

Z : cota do ponto 1;

dZZ : cota do ponto 2;

ângulo entre a linha de corrente [1-2] e o plano horizontal;

dW : peso do prisma elementar;

dL : comprimento do prisma elementar;

: peso específico do fluido.

VI.5

6.4 – Equação de Bernoulli para fluidos ideais

Na dedução da equação de Bernoulli para os fluidos ideais, as seguintes hipóteses devem ser

consideradas:

i. O escoamento do fluido se faz sem atrito, não sendo consideradas as ações da viscosidade.

ii. O escoamento é permanente.

iii. O escoamento se dá ao longo de um tubo de corrente de dimensões infinitesimais.

iv. O fluido é incompressível.

Para se chegar a equação de Bernoulli, basta integrar a Equação de Euller entre dois pontos

subseqüentes de uma linha de corrente do escoamento.

Figura 6.2 – Linha de corrente isolada de um escoamento qualquer para dedução da equação de Bernoulli.

VI.6

0γ

dPdZ

g

VdV2

Z

1Z

2P

1P

2V

1V (6.6)

A equação 6.7 traduz o Princípio de Conservação da Energia, para fluidos em movimento, cujo

teorema atribui-se a Daniel Bernoulli (1700-1782) e pode ser assim enunciado:

“Ao longo de uma linha de corrente é constante a soma das energias cinética,

piezométrica e geométrica ou potencial.”

Aspecto relevante: é importante destacar que cada um dos termos da equação de Bernoulli

representa uma forma da energia. Normalmente, atribui-se também a esses termos a denominação de

carga (com dimensão de comprimento).

P

: Energia piezométrica ou de pressão ou carga de pressão

g

V

2

2 : Energia cinética ou de velocidade ou carga dinâmica

Z : Energia de posição, ou potencial ou carga geométrica ou de posição

CteZP

g

VZ

P

g

V

2

2

2

2

1

1

2

1

22

(6.7)

VI.7

6.4.1 - Representação gráfica dos termos da Equação de Bernoulli para os fluidos ideais

Figura 6.8: representação gráfica dos termos da Equação de Bernoulli para os fluidos ideais.

VI.8

6.4.2 – Aplicações Imediatas da Equação de Bernoulli

São aplicações que, de forma simples, possibilita calcular a

velocidade e a vazão. Nessas aplicações a característica marcante é

que a velocidade (ou a vazão) é obtida indiretamente através de

uma grandeza mensurável

6.4.2.1.Principais Aplicações

i) Princípio de Torriceli: )(hfV

ii) Tubo de Pitot/Prandtl: fV (Pressão de Estagnação - Pressão

Estática)

iii) Tubo de Venturi: fV (Pressão Estática)

VI.9

VI.10

VI.11

Tubo de Venturi

4

f

2

Dd1

1dr

drΔh2g

V

4

f

2

Dd1

1dr

drΔh2g

V

VI.12

DIFERENÇAS E SEMELHANÇAS ENTRE OS PRINCIPAIS INSTRUMENTOS

DE MEDIÇÕES DE VELOCIDADES PITOT

VELOCIDADE DADA PELA DIFERENÇA ENTRE A PRESSÃO ESTÁTICA E UMA DE

STAGNAÇÃO

MEDE A VELOCIDADE EM CADA LINHA DE CORRENTE DO ESCOAMENTO

TRAÇA O PERFIL DE VELOCIDADE

POSSIBILITA MEDIR A VELOCIDADE MÉDIA E A MÁXIMA DO ESCOAMENTO

FAZ-SE NECESSÁRIO DOIS FUROS NA TUBULAÇÃO PARA A TOMADA DE PRESSÕES

GERA MENOR TURBULÊNCIA E MENOR PERDA SE COMPARADA AO VENTURI

É MAIS INDICADO PARA CONDUTOS FORÇADOS

PRANDTL

O PRINCIPIO FÍSICO É O MESMO. DIFERE APENAS NA TOMADA DE PRESSÕES

A EQUAÇÃO ANALÍTICA É A MESMO QUE SE USA PARA O PITOT

VENTURI A VELOCIDADE É DADA POR UMA DIFERENÇA DE PRESSÃO ESTÁTICA

FORNECE APENAS A VELOCIDADE MÉDIA

NÃO TRAÇA O PERFIL DE VELOCIDADE

NÃO FORNECE A VELOCIDADE MÁXIMA

PROMOVE MAIOR PERDA DE CARGA

TEM APLICAÇÕES MAIS ABRANGENTES – CONDUTOS LIVRES OU FORÇADOS.

VI.13

Exemplo 1

VI.14

Exemplo 2

VI.15

VI.16

Exemplo 3 Um fluido escoa em regime permanente pelo conduto da Figura 7.1. Considerando que

todas as perdas do escoamento são iguais a 25% da energia cinética do jato na seção de

diâmetro maior, determine: a carga cinética na seção de diâmetro menor. Na seção maior

o diâmetro é D e na menor o diâmetro vale d. Considere o fluido incompressível e o

escoamento permanente. São dados: dro/dr = 2,0; d/D = 0,84; H = 0,6266 m. dados:

dr-densidade relativa do fluido transeunte; dro – densidade relativa do fluido

manométrico.

VI.17

Exemplo 4

Peso específico do ar: 1,2 kgf/m3; Peso específico do mercúrio: 13600 kgf/m3

VI.18

Exemplo 5

VI.19

Exemplo 6

Fonte:Franco Brunetti (2008, pag.108)

VI.20

Exemplo 7 Em um tubo de seção variável, com diâmetros D1 = 250 mm e D2 = 500 mm, a

vazão é de 350 litros de água por segundo. Sabendo que a carga piezométrica em

(1) é de 6,5 m.c.a e desprezando a perda de energia, solicita-se: traçar a linha

energética.