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Capítulo 3: Álgebra Binária Booleana

O Conceito de Função

O conceito de variável e de função de uma variável nos é familiar. O campo de uma variável, isto é, o intervalo de valores que pode ser assumido por uma variável x, pode ser especificado de inúmeras maneiras. Por exemplo, x pode variar sobre o campo dos reais de menos até mais infinito; ou x pode ser restrita ao intervalo de -17 a -4; ou pode ainda ser restrita a valores inteiros de 1 a 10 e assim por diante.

Uma função é uma regra através da qual se determina o valor de uma segunda variável (dependente) “y” a partir do valor da variável (independente) “x”, sendo esta dependên-cia representada por “y = f(x)”.

Exemplo. Seja uma função matemática descrita por: y = 5x2 + 3. A relação funcional entre x e y pode ser dada por: X y = f(x) 0 3

1 8

2 23

3 48

As variáveis dependente (y) e independente (x) não precisam ser numéricas como na tabela a seguir, onde são descritos os significados das luzes de um semáforo: X y = f(x) Verde Prossiga

Amarelo Devagar

Vermelho Pare

Tipos de Função

As funções são classificadas como contínuas, quando podem assumir quaisquer valores dentro de um dado intervalo e discretas, caso só possam assumir alguns valores, como as funções booleanas usadas nos computadores.

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Funções Booleanas

Em sistemas digitais como no caso dos computadores, encontramos variáveis que são particulares no sentido de só poderem assumir dois valores, geralmente denominados verdadeiro e falso, aos quais se associam os números binários 1 e 0. Este tipo de variável é denominado variável binária ou lógica, e as funções algébricas definidas para as variáveis binárias são conhecidas como álgebra booleana, em homenagem a Charles Boole, que no século XIX desenvolveu a álgebra das variáveis binárias. Uma variável lógica é uma variável que tem três propriedades:

• A variável lógica só pode assumir um de dois valores possíveis;

• Os valores são expressos por afirmações declarativas, como no exemplo do semáforo;

• Os dois valores possíveis, expressos por afirmações declarativas, devem ser tais que, com base em raciocínio humano, ou seja, com base na lógica, sejam mutuamente exclusivos.

Suponha que o semáforo do exemplo anterior, só pudesse estar “verde” ou “vermelho”. Neste caso, a variável “x” da tabela do semáforo seria uma variável lógica. As hipóteses possíveis seriam:

• “O semáforo está verde”, o que seria representado por “x = verde” ou;

• “O semáforo está vermelho”, representado por “x = vermelho”. Devido à mútua exclu-sividade, ao afirmarmos que “x = vermelho” também estamos dizendo que “x = não- verde”.

Com variáveis lógicas podemos representar qualquer coisa: temperatura, pressão, distân-cia, velocidade, tempo, etc. Ao se considerar a relação funcional entre variáveis do ponto de vista matemático, não nos interessa o que é representado por elas. Assim, devemos dar aos dois valores possíveis de uma variável lógica, nomes que permitam considerar a variável independentemente do que ela possa representar:

Seja a versão simplificada da tabela do exemplo do semáforo:

X Y = f(X) X Y = f(X) Verde Prossiga -> a qual é equivalente a: -> 1 1

Vermelho Pare 0 0

“X” é a variável lógica independente e “Y” é a variável lógica dependente. Os valores 1 e 0 na tabela da direita são atribuídos arbitrariamente no caso de “X” para as cores “verde” e “vermelho”; e no caso da variável “Y” para os comandos “prossiga” e “pare”. Normalmente associamos ao valor 1 as idéias de verdadeiro, positivo, ativo, etc; e ao valor 0 as idéias de falso, inativo, etc.

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Funções Booleanas Básicas Existem várias funções booleanas, mas apenas umas popucas são necessárias para expressar a maioria dos problemas. No caso de funções com apenas uma variável independente temos: função negação função coincidência

X Y = não(X) X Y = (X) 1 0 1 1

0 1 0 0

Na função coincidência, Y assume o valor de X sempre. Na função negação ocorre o contrário. Vamos agora considerar o caso em que “Y” é função das variáveis booleanas “X” e “Z”. Neste caso, as duas funções mais comuns são:

função e função ou

X Z Y = (X e Z) X Z Y = (X ou Z)

0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

Na função “e” Y só assume o valor 1 caso as variáveis X, Z sejam simultaneamente iguais a 1 (X e Z iguais a 1); Na função “ou” Y assume o valor 1 caso X seja 1 ou Z seja1 ou ambos.

Expressões Booleanas

Usando funções booleanas podemos escrever expressões matemáticas representando situ-ações que envolvam uma tomada de decisão. Seja por exemplo a questão:

“João irá ao cinema mas apenas se conseguir um carro emprestado e Maria também puder ir.”

Para transformarmos esta sentença em um problema matemático devemos associar a cada afirmação uma variável booleana para depois compormos a função que a representa. • Variável X = empréstimo do carro. Como X só pode assumir dois valores, vamos estipular que:

X = 1 significa que João conseguiu o empréstimo do carro. X = 0 significa que ninguem emprestou o carro para João.

• Variável Z = compania da Maria. De forma análoga ao caso anterior podemos estipular que:

Z = 1 significa que Maria irá ao cinema. Z = 0 significa que Maria não poderá ir.

• Variável Y = ida de João ao cinema

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Y = 1 significa que João irá ao cinema. Y = 0 significa que João não poderá ir.

Sabemos que Y depende de X e Z, logo Y = f(X,Z). Montando uma tabela com todas as possibilidades descobrimos que a relação entre X,Z,Y é: Y = (X e Z)

X Z Y = f(X,Z) SIGNIFICADO 0 0 0 João não irá ao cinema porque está sem carro e Maria não pode ir.

0 1 0 João não irá ao cinema porque está sem carro.

1 0 0 João não irá ao cinema porque Maria não pode ir.

1 1 1 João irá ao cinema com Maria usando um carro emprestado.

As linguagens de programação de computadores possuem formas de escrever expressões como a do exemplo acima (ou bem mais complexas), as quais podem ser avaliadas pelo computador. Desta forma, usando álgebra booleana em um computador é possível criar programas que resolvam problemas que possuam uma solução lógica.

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FUNÇÕES BOOLEANAS - Estudo Completo A notação 0 e 1 A = 0 ==> A = F | ou tensões elétricas, geralmente A = 1 ==> A = V | 0 V e +5 V. 0 e 1 são valores lógicos de uma variável (não são números). Funções Lógicas a) a função AND Z = A AND B ou Z = A ∧ B ou Z = AB (A e B) Imagine o seguinte circuito:

Convenções: chave aberta = 0 chave fechada = 1 lâmpada apagada = 0 lâmpada acesa = 1 A tabela verdade é o mapa onde se coloca todas as possíveis situações com seus respectivos resultados. A tabela reflete o modo como a função se comporta perante todas as situações possíveis: CHAVE A CHAVE B CHAVE C aberta aberta apagada aberta fechada apagada fechada aberta apagada fechada fechada acesa ou: A B Z=f(A,B) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

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A porta and é um circuito que executa a função AND:

Pode-se descrever a função AND para qualquer número de entradas. A saída Z permanecerá no estado 1 se, e somente se, as N entradas forem iguais a 1 e permanecerá no estado 0 nos demais casos. O número de situações possíveis (número de linhas da tabela verdade) é igual a 2N, onde N é o número de variáveis. b) a função OR Z = A + B ou Z = A ∨ B (A ou B) Imagine o seguinte circuito:

Tabela Verdade: A | B | Z = A + B --------------------------------- 0 | 0 | 0 0 | 1 | 1 1 | 0 | 1 1 | 1 | 1 Porta Lógica OR:

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c) a função NOT (complemento) A função NOT, ou função complemento, inverte o estado da variável. Z = ¬A (não A) A | Z = A ------------------ 0 | 1 1 | 0 Bloco Lógico que executa a função NOT = inversor

d) a função NAND A função NAND é a função AND combinada com a função NOT. Z = ¬(A ∧ B) Tabela verdade: A | B | Z = ¬(A ∧ B) ----------------------- 0 | 0 | 1 0 | 1 | 1 1 | 0 | 1 1 | 1 | 0 Porta Lógica:

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e) a função NOR A função NOR é a função OR combinada com a função NOT. Z = ¬(A ∨ B) Tabela Verdade: A | B | Z = ¬(A ∨ B) ----------------------- 0 | 0 | 1 0 | 1 | 0 1 | 0 | 0 1 | 1 | 0 Porta Lógica:

f) a função XOR - Exclusive-Or Z = A ⊕ B Z = 1 quando A ou B, na exclusão da outra variável, tiver valor lógico 1. Tabela Verdade: A | B | Z = A ⊕ B ----------------------- 0 | 0 | 0 0 | 1 | 1 1 | 0 | 1 1 | 1 | 0 Porta Lógica:

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g) a função X-NOR - Exclusive-Nor A função Exclusive-Nor é a função Exclusive-Or combinada com a função NOT. Z = ¬(A ⊕ B) Tabela Verdade: A | B | Z = ¬(A ⊕ B) ----------------------- 0 | 0 | 1 0 | 1 | 0 1 | 0 | 0 1 | 1 | 1 Porta Lógica:

h) a função Implicação Z = A → B (A implica B) Considere o seguinte exemplo: usa-se a variável A para representar a afirmação: "Está chovendo", isto é, quando está chovendo A = V e quando não está, A = F. Usa-se B para representar a afirmação "As pessoas estão usando guarda-chuvas". Suponha que se deseje escrever uma equação lógica que diga que A implica B, ou seja, que a ocorrência da chuva implica o uso do guarda-chuva. Se introduzir-se a variável Z = A → B, Z será relacionada a A e B pela seguinte maneira: (Tabela Verdade) A | B | Z = A → B ---------------------- 0 | 0 | 1 0 | 1 | 1 1 | 0 | 0 1 | 1 | 1 Se a situação com respeito a A e B for consistente com a idéia de que A implica B, então Z será verdadeira. A única possibilidade que não é consistente com a idéia de A implicar B é que A seja verdadeiro e B seja falso. Neste caso, B será falso.

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Teoremas da Álgebra de Boole Variáveis Lógicas => só dois valores Sistema binário de numeração => só dois dígitos Para definir uma função: 1) Expressão lógica: Z = A ∨ (B ∧ C), 2) Tabela Verdade, ou 3) A função é definida como tendo valores 1 nas linhas 3,4,5,6 e 7 da coluna Z de uma

tabela verdade de três variáveis. linha no. A B C Z 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 Propriedades das funções lógicas: 1) Comutatividade: Z = A ∧ B = B ∧ A AND Z = A ∨ B = B ∨ A OR Z = A ⊕ B = B ⊕ A XOR 2) Associatividade: Z = (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C) AND Z = (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C) OR Z = (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C) XOR 3) Princípio da Dualidade Se trocarmos os sinais ∨ (OR) e ∧ (AND) entre si e trocarmos os 0s e 1s entre si, teremos substituído a equação original por outra igualmente válida. Ex.: 0 ∧ 0 = 0 => 1 ∨ 1 = 1

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Teoremas: 1. ¬¬A = A 2. A ∨ 0 = A 3. A ∨ 1 = 1 4. A ∨ A = A 5. A ∨ ¬A = 1 6. A ∧ 1 = A 7. A ∧ 0 = 0 8. A ∧ A = A 9. A ∧ ¬A = 0 10. A ∨ (A ∧ B) = A 11. A ∧ (A ∨ B) = A 12. (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) = A 13. (A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B) = A 14. A ∨ (¬A ∧ B) = A ∨ B 15. A ∧ (¬A ∨ B) = A ∧ B 16. A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) 17. A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) 18. (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ C) = (A ∨ C) ∧ (¬A ∨ B) 19. (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C) = (A ∧ C) ∨ (¬A ∧ B) 20. (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ C) ∨ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ C) 21. (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C) ∧ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C) A equação (17) indica que a álgebra de variáveis lógicas é distributiva: A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ou pode ser fatorado um fator comum: (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) = A ∧ (B ∨ C) \ / | fator comum ---------- Exercício:Mostrar o Teorema 21 através da tabela-verdade.

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Funções de Duas Variáveis Existem 16 funções de duas variáveis. As funções f0 e f15 não são funções de A e B. As funções f3, f5, f10 e f12 são funções de uma variável (f10 e f12 são funções NOT). A seguir a relação de todas as funções de duas variáveis, a partir da tabela verdade para duas variáveis (A e B). As funções são também expressas usando apenas as funções AND, OR e NOT (as expressões são demonstradas usando uma tabela verdade. Por exemplo, f6: A B ¬A ¬B ¬A ∧ B A ∧ ¬B (¬A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 ou seja, (¬A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) = A ⊕ B. As 16 funções: A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Função f0 0 0 0 0 f = 0 f1 0 0 0 1 f = A ∧ B (and) f2 0 0 1 0 f = ¬(A → B) = A ∧ ¬B f3 0 0 1 1 f = A f4 0 1 0 0 f = ¬(B → A) = ¬A ∧ B f5 0 1 0 1 f = B f6 0 1 1 0 f = A ⊕ B = (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) f7 0 1 1 1 f = A ∨ B (or) f8 1 0 0 0 f = ¬(A ∨ B) (nor) f9 1 0 0 1 f = ¬(A ⊕ B) = (¬A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B) f10 1 0 1 0 f = ¬B f11 1 0 1 1 f = B → A = A ∨ ¬B f12 1 1 0 0 f = ¬A f13 1 1 0 1 f = A → B = ¬A ∨ B f14 1 1 1 0 f = ¬(A ∧ B) (nand) f15 1 1 1 1 f = 1

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Teoremas de De Morgan (1) o complemento de um produto lógico (AND) de variáveis é igual a soma lógica (OR) dos complementos de cada variável. ¬(A ∧ B ∧ C ∧ ...) = ¬A ∨ ¬B ∨ ¬C ∨ ... (2) o complemento de uma soma lógica (OR) de variáveis é igual ao produto lógico (AND) dos complementos de cada variável. ¬(A ∨ B ∨ C ∨ ...) = ¬A ∧ ¬B ∧ ¬C ∧ ... (1) é dual a (2) => Princípio da Dualidade. Exercício: Mostrar que f2 (A ∧ ¬B) é o complemento de f13 (¬A ∨ B) através de De Morgan.

Diagramas de Venn O diagrama de Venn divide o espaço em regiões mutuamente exclusivas => útil para visualizar geometricamente os teoremas da álgebra boolena. a) A ∨ ¬A = 1 => o 1 representa o universo de interesse.

b) (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) = 1

c) A ∨ B = (A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ B)

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Interseção : A ∧ B União: A ∨ B Os diagramas de Venn dividem o universo (o retângulo) em 2n áreas identificáveis diferentes, onde n é o número de variáveis. No esquema a) 1 variável => 21 = 2 áreas b) e c) 2 variáveis => 22 = 4 áreas Os diagramas de Venn são úteis quando se deseja a visualização geométrica de funções booleanas, podendo também ser usados para estabelecer ou verificar teoremas algébricos booleanos. d) Diagrama de Venn de 3 variáveis => 23 = 8 áreas

Exercício.: Usar um diagrama de Venn para verificar o teorema da equação (19), isto é, (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C) = (A ∧ C) ∨ (¬A ∧ B) Exercício: Mostrar o Teorema 18 através de diagramas de Venn.

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Exemplos de aplicação dos teoremas da Álgebra de Boole Uma operação lógica que une duas variáveis lógicas, como a função AND, etc., é muitas vezes denominada de conetivo. Funções de mais de duas variáveis são formadas pela aplicação repetida destes conetivos de duas variáveis. Os teoremas booleanos servem para simplificar expressões algébricas: Ex. 1: Simplificar w = xy + ¬(yx)z w = xy + ¬(xy)z pois AB = BA (comutatividade) Se v = xy => w = v + ¬vz pois a função de variáveis lógicas é uma variável lógica. w = v + z pois A + ¬AB = A + B (teo. 14) w = xy + z Ex. 2: Simplificar w = x (¬x + y) w = x (¬x + y) = xy A (¬A + B) = AB (teo. 15) ou w = x (¬x + y) = x¬x + xy A (B + C) = AB + AC = 0 + xy A¬A = 0 = xy A + 0 = A Ex. 3: Simplificar w = ¬x ( x + y) + ¬z + zy w = ¬x(x+y)+¬z+zy = ¬x(x+y)+¬z+y A + ¬AB = A + B (¬A = z) w = x¬x+¬xy+¬z+y = ¬xy+¬z+y A(B+C) = AB+AC e ¬AA=A¬A=0 w = y+¬xy+¬z = y+y¬x+¬z A+B = B+A; AB = BA w = y + ¬z A + AB = A Exemplos da aplicação dos teoremas de De Morgan: Ex. 4: Simplificar v = ¬(w + w¬x + yz) v = ¬(w+w¬x+yz) = ¬w . ¬(w¬x) . ¬(yz) Teo. de De Morgan v = ¬w (¬w + ¬¬x)(¬y + ¬z) Teo. de De Morgan v = ¬w (¬w + x)(¬y + ¬z) ¬¬A = A v = ¬w (¬y + ¬z) A(A+B) = A, A = ¬w ou: v = ¬(w + w¬x + yz) = ¬(w + yz) A + AB = A v = ¬(w + yz) = ¬w . ¬(yz) Teo. de De Morgan v = ¬w (¬y + ¬z) Teo. de De Morgan

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Ex. 5: Simplificar v = ¬{w [(x+y(z+¬w))]} v = ¬{w [(x+y(z+¬w))]} = ¬w + ¬[x + y(z+¬w)] De Morgan v = ¬w + ¬x . ¬[y(z + ¬w)] De Morgan v = ¬w + ¬x [¬y + ¬(z + ¬w)] De Morgan v = ¬w + ¬x (¬y + ¬zw) De Morgan e ¬¬A = A v = ¬w + ¬x.¬y + ¬x.¬z.w A (B + C) = AB + BC v = ¬w + ¬x.¬y + ¬x.¬z A + ¬AB = A + B (A = ¬w) v = ¬w + ¬x(¬y + ¬z) AB + AC = A (B + C) Os exemplos seguintes ilustram o uso dos teoremas (20) e (21): Ex. 6: Simplificar v = wx + x¬y + yz + x¬z v = wx + x¬y + yz + x¬z + xy Teo. (20) v = wx + x(¬y + y) + yz + x¬z AB + AC = A(B + C) v = wx + x + yz + x¬z ¬A + A = 1 e A . 1 = A v = x + yz + x¬z A + AB = A v = x + yz A + AB = A Ex. 7: Simplificar v = (w + x + y)(w + ¬x + y)(¬y + z)(w + z) v = (w + y)(¬y + z)(w + z) (A+B)(A+¬B) = A A = w + y, B = x v = (w + y)(¬y + z) Teo. (21) Exemplos adicionais Como foi visto, afirmações e condições relativamente complexas podem ser expressas sob a forma de expressões algébricas booleanas. A partir daí usamos os teoremas da álgebra booleana para encontrar expressões mais simples e equivalentes, ilustrando assim, como o conceito de variável lógica e sua álgebra associada é usado para executar um processo de raciocínio lógico. Ex. 1: Uma estudante consulta o catálogo da universidade e fica sabendo que pode se matricular em determinada disciplina somente se ela satisfizer uma das seguintes condições: 1. Já completou sessenta créditos e é uma estudante de Análise de Sistemas regularmente

matriculada; 2. Completou sessenta créditos e é uma estudante de Análise e tem o consentimento do

Instituto de Informática; 3. Completou menos de sessenta créditos e é uma estudante de Análise com matrícula

especial;

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4. É uma estudante regularmente matriculada e tem o consentimento do Instituto; 5. É uma estudante de Análise e não tem o consentimento do Instituto. Encontre uma expressão mais simples que indique a possibilidade de a estudante matricular-se na disciplina. SOLUÇÃO: Introduzimos as variáveis w, x, y, z e v para representar as seguintes situações: w = a estudante completou sessenta créditos; x = a estudante é aluna de Análise de Sistemas; y = a estudante tem matrícula regular; z = a estudante tem o consentimento do Instituto; v = a estudante pode se matricular na disciplina. Ou seja, se y = V ou y = 1 => a estudante tem matrícula regular, ou se y = F ou y = 0 => a estudante tem matrícula especial. Quando as variáveis w, x, y e z assumem valores tais que v = verdadeiro, a estudante pode se matricular. A especificação de quando isto ocorre pode ser feita pela equação algébrica lógica: v = wxy + wxz + ¬wx¬y + yz + x¬z A simplificação, usando os teoremas de álgebra booleana: v = wxy + wxz + ¬wx¬y + yz + x¬z v = wxy + ¬wx¬y + yz + x(¬z + zw) v = wxy + ¬wx¬y + yz + x(¬z + w) v = wxy + ¬wx¬y + yz + x¬z + xw v = wx(y + 1) + ¬wx¬y + yz + x¬z v = wx + ¬wx¬y + yz + x¬z v = x(w + ¬w.¬y) + yz + x¬z v = x(w + ¬y) + yz + x¬z v = xw + x¬y + yz + x¬z A expressão é idêntica à do exemplo 6 do sub-ítem anterior, portanto: v = x + yz Assim, a estudante poderá se matricular na disciplina (v = 1) se for uma aluna de Análise (x = 1) ou se simultaneamente tiver matrícula regular (y = 1) e consentimento do Instituto (z = 1).

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Ex. 2: Há cinco livros v, w, x, y e z, numa prateleira. Você deve selecionar alguns entre eles de modo a satisfazer todas as condições a seguir: 1. Selecionar v ou w ou ambos; 2. Selecionar x ou z ou não ambos; 3. Selecionar v e z juntos ou nenhum dos dois; 4. Se selecionar y também deve selecionar z; 5. Se selecionar w também deve selecionar v e y. SOLUÇÃO: A expressão que satisfaz todas as condições é dada por u: u = (v + w)(x ⊕ z)¬(v ⊕ z)(y → z)(w → vy) Transformando nas expressões equivalentes usando somente as funções AND, OR e NOT: u = (v + w)(x¬z + ¬xz)(vz + ¬v.¬z)(¬y + z)(¬w + vy) u = (vz + ¬vw¬z)(x¬z + ¬xz)(¬y + z)(¬w + vy) u = (v¬wz + vyz)(x¬y.¬z + ¬x.¬yz + ¬xz) u = v¬w.¬x.¬yz + v¬w.¬ xz + v¬xyz u = v¬xz (¬w.¬y + ¬w + y) u = v¬xz (¬w + y) Devemos selecionar v e z e rejeitar x e, ao mesmo tempo, se rejeitarmos w, não importa se selecionamos ou rejeitamos y.

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Diagramas de Circuitos Lógicos Existe uma correspondência entre uma expressão lógica e um diagrama de portas lógicas. Por exemplo considere a expressão simplificada do exemplo anterior: u = v¬xz(¬w + y)

Agora como ficaria a implementação em circuitos lógicos da expressão original, sem a simplificação ? u = (v + w)(x¬z + ¬xz)(vz + ¬v.¬z)(¬y + z)(¬w + vy) A simplificação de expressões lógicas, como acabou-se de ver, leva a uma implementação física, através de circuitos lógicos, bem mais econômica (no exemplo acima foram economizadas oito portas lógicas, sem contar os inversores). Simplificação de Circuitos Lógicos: Mapeamento Consideremos a expressão booleana Z = A.¬B + ¬A.B + A.B. Um diagrama lógico dessa expressão (figura 6.1 a) e da expressão simplificada (figura 6.1 b) a seguir:

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(a) circuito lógico não simplificado

(b) circuito lógico simplificado

(c) tabela verdade A | B | Z ----------------- 0 | 0 | 0 0 | 1 | 1 1 | 0 | 1 1 | 1 | 1 Figura 6.1 Notar que devem ser usadas seis portas, contando os inversores, para implementar esse circuito lógico, que executa a lógica detalhada na tabela verdade acima (figura 6.1c). Do exame da tabela verdade, e determinado que uma única porta OR de 2 entradas executará a função. Verifica-se que a porta OR mostrada acima (figura 6.1b) será o

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método mais simples de executar esta lógica. Os circuitos lógicos das figuras (6.1a) e (6.1b) executam exatamente a mesma função lógica. Obviamente um projetista escolheria o circuito mais simples, e menos dispendioso, mostrada na figura (6.1b). A simplificação obtida foi feita pelo simples exame da tabela verdade e pelo reconhecimento do padrão OR. Porém, existem métodos sistemáticos de simplificação, além dos já vistos, e de obtenção da expressão algébrica de uma função lógica através da tabela verdade. Expressões booleanas de soma-de-produtos Considere a seguinte tabela verdade (figura 6.2a) de três variáveis (A, B e C). Observe que só duas combinações de variáveis irão gerar uma saída 1. Estas combinações são mostradas nas quinta e oitava linhas da tabela verdade: (a) A B C | Z -------------------------------------- 0 0 0 | 0 0 0 1 | 0 0 1 0 | 0 0 1 1 | 0 1 0 0 | 1 ⇒ A.¬B.¬C 1 0 1 | 0 1 1 0 | 0 1 1 1 | 1 ⇒ A.B.C (b) Expressão booleana: Z = A. ¬B. ¬C + A.B.C (c) Circuito lógico AND-OR

Figura 6.2

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Da quinta linha, dizemos que uma entrada "um A E um não B E um não C irá gerar uma saída 1". Isto é mostrado do lado da linha, como a expressão booleana A.¬B.¬C. A outra combinação de variáveis que irá gerar uma saída 1 é mostrada na oitava linha. Nessa linha se lê que "um A E um B E um C irá gerar uma saída 1". A expressão booleana equivalente é mostrada do lado da linha como A.B.C. Estas duas combinações possíveis são depois submetidas juntas a uma operação OR para formar a expressão booleana completa da tabela verdade. A expressão completa é mostrada na figura 6.2b. Esta expressão é chamada de soma-de-produtos de uma expressão booleana. É conhecida também como forma de termos mínimos. O diagrama lógico da figura 6.2c executa a lógica desta função. Expressões booleanas de produto-de-somas Considere a tabela verdade OR da figura 6.3b. A expressão booleana desta tabela verdade pode ser escrita de duas formas. A primeira é a expressão de soma-de-produtos a partir dos 1s de saída da tabela verdade, como já visto no item anterior. Cada 1 na coluna de saída torna-se um termo a ser submetido a uma operação OR na expressão de termos mínimos. A expressão de termos mínimos para a tabela verdade é mostrada na figura 6.3c como Z = ¬A.B + A.¬B + A.B. A segunda forma de se obter a expressão lógica é a forma de termos máximos ou produto-de-somas. Este tipo de expressão é desenvolvida a partir dos 0s na coluna de saída da tabela verdade. Para cada 0 na coluna de saída, é desenvolvido um termo submetido a uma operação OR. Notar que a variáveis de entrada são invertidas e depois submetidas a uma operação OR. A expressão de termos máximos para a tabela verdade OR é mostrada na figura 6.3a. A expressão de termos máximos para a tabela verdade OR é mostrada como Z = A + B. Para a tabela verdade da figura 6.3, a expressão booleana de termos máximos revela-se a mais simples. Tanto as expressões de termos mínimos quanto as de termos máximos descrevem a lógica da tabela verdade na fig. 6.3. (a) Expressão booleana de termos máximos: Z = A + B (b) Tabela verdade OR A B | Z ------------------------------------ 0 0 | 0 ⇒ Inverte as variáveis ⇒ A + B 0 1 | 1 ⇒ ¬A .B 1 0 | 1 ⇒ A. ¬B 1 1 | 1 ⇒ A. B (c) Expressão boolena de termos mínimos: Z = ¬A.B + A.¬B + A.B

Figura 6.3