1

SOLUÇÕES

SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

INTRODUÇAO

2

1.O ponto A tem 3 de afastamento, que é positivo – o ponto está para a frente do plano frontal, pelo que pode situar-se no 1o

Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. A cota de A é positiva (é 1), pelo que o ponto se situa para cima do plano horizontal. Assimsendo, o ponto A situa-se necessariamente no 1o Diedro (A ∈ 1o Diedro).O ponto B tem –5 de afastamento, que é negativo – o ponto está para trás do plano frontal, pelo que pode situar-se no 2o Die-dro, no SPHP ou no 3o Diedro. A cota de B é negativa (é –3), pelo que o ponto se situa para baixo do plano horizontal. Assimsendo, o ponto B situa-se necessariamente no 3o Diedro (B ∈ 3o Diedro).O ponto C tem 2 de afastamento, que é positivo – o ponto está para a frente do plano frontal, pelo que pode situar-se no 1o

Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. A cota de C é nula (é 0), pelo que o ponto se situa no próprio plano horizontal (a distânciado ponto ao plano horizontal é zero). Assim sendo, o ponto C situa-se necessariamente no SPHA (C ∈ SPHA).O ponto D tem 3 de afastamento, que é positivo – o ponto está para a frente do plano frontal, pelo que pode situar-se no 1o

Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. A cota de D é negativa (é –4), pelo que o ponto se situa para baixo do plano horizontal. As-sim sendo, o ponto D situa-se necessariamente no 4o Diedro (D ∈ 4o Diedro).O ponto E tem afastamento nulo, pelo que é um ponto do plano frontal – a distância do ponto ao plano frontal é zero. No pla-no frontal, o ponto pode situar-se no SPFS, no eixo X ou no SPFI. A cota de E é nula (é 0), pelo que o ponto se situa no planohorizontal. Assim sendo, o ponto E situa-se necessariamente no eixo X (situa-se nos dois planos, pelo que se situa na rectade intersecção dos dois planos, que é o eixo X) – E ∈ eixo X.O ponto F tem –4 de afastamento, que é negativo – o ponto está para trás do plano frontal, pelo que pode situar-se no 2o Die-dro, no SPHP ou no 3o Diedro. A cota de F é positiva (é 4), pelo que o ponto se situa para cima do plano horizontal. Assimsendo, o ponto F situa-se necessariamente no 2o Diedro (F ∈ 2o Diedro).O ponto G tem afastamento nulo, pelo que é um ponto do plano frontal – a distância do ponto ao plano frontal é zero. No pla-no frontal, o ponto pode situar-se no SPFS, no eixo X ou no SPFI. A cota de G é negativa (é –5), pelo que o ponto se situapara baixo do plano horizontal. Assim sendo, o ponto G situa-se necessariamente no SPFI (G ∈ SPFI).O ponto H tem –3 de afastamento, que é negativo – o ponto está para trás do plano frontal, pelo que pode situar-se no 2o Die-dro, no SPHP ou no 3o Diedro. A cota de H é nula (é 0), pelo que o ponto se situa no próprio plano horizontal (a distância doponto ao plano horizontal é zero). Assim sendo, o ponto H situa-se necessariamente no SPHP (H ∈ SPHP).O ponto I tem 2 de afastamento, que é positivo – o ponto está para a frente do plano frontal, pelo que pode situar-se no 1o

Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. A cota de I é positiva (é 2), pelo que o ponto se situa para cima do plano horizontal. Assimsendo, o ponto I situa-se necessariamente no 1o Diedro (I ∈ 1o Diedro).O ponto J tem afastamento nulo, pelo que é um ponto do plano frontal – a distância do ponto ao plano frontal é zero. No planofrontal, o ponto pode situar-se no SPFS, no eixo X ou no SPFI. A cota de J é positiva (é 7), pelo que o ponto se situa paracima do plano horizontal. Assim sendo, o ponto J situa-se necessariamente no SPFS (J ∈ SPFS).O ponto L tem 1 de afastamento, que é positivo – o ponto está para a frente do plano frontal, pelo que pode situar-se no 1o

Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. A cota de L é negativa (é –5), pelo que o ponto se situa para baixo do plano horizontal.Assim sendo, o ponto L situa-se necessariamente no 4o Diedro (L ∈ 4o Diedro).O ponto M tem –7 de afastamento, que é negativo – o ponto está para trás do plano frontal, pelo que pode situar-se no 2o Die-dro, no SPHP ou no 3o Diedro. A cota de M é negativa (é –3), pelo que o ponto se situa para baixo do plano horizontal. Assimsendo, o ponto M situa-se necessariamente no 3o Diedro (M ∈ 3o Diedro).O ponto N tem 1 de afastamento, que é positivo – o ponto está para a frente do plano frontal, pelo que pode situar-se no 1o

Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. A cota de N é nula (é 0), pelo que o ponto se situa no próprio plano horizontal (a distânciado ponto ao plano horizontal é zero). Assim sendo, o ponto N situa-se necessariamente no SPHA (N ∈ SPHA).O ponto O tem –2 de afastamento, que é negativo – o ponto está para trás do plano frontal, pelo que pode situar-se no 2o Die-dro, no SPHP ou no 3o Diedro. A cota de O é positiva (é 5), pelo que o ponto se situa para cima do plano horizontal. Assimsendo, o ponto O situa-se necessariamente no 2o Diedro (O ∈ 2o Diedro).O ponto P tem afastamento nulo, pelo que é um ponto do plano frontal – a distância do ponto ao plano frontal é zero. No pla-no frontal, o ponto pode situar-se no SPFS, no eixo X ou no SPFI. A cota de P é negativa (é –2), pelo que o ponto se situapara baixo do plano horizontal. Assim sendo, o ponto P situa-se necessariamente no SPFI (P ∈ SPFI).

2.O ponto A situa-se no 1o Diedro (ver exercício anterior – ponto A). No 1o Diedro, o ponto A pode situar-se no 1o Octante, noβ1/3 ou no 2o Octante. A distância do ponto A ao SPFS (que é 3 cm) é igual à distância do ponto A ao SPHA (que é também3 cm) – A está equidistante do plano frontal e do plano horizontal. A é, assim, um ponto do β1/3 (A ∈ 1o Diedro, β1/3).O ponto B situa-se no 1o Diedro (ver exercício anterior – ponto A). No 1o Diedro, o ponto B pode situar-se no 1o Octante, noβ1/3 ou no 2o Octante. A distância do ponto B ao SPFS (que é 3 cm) é inferior à distância do ponto B ao SPHA (que é 5 cm),pelo que B está mais próximo do plano frontal do que do plano horizontal – B é, assim, um ponto do 2o Octante (B ∈ 1o Diedro,2o Octante).

(Continua na página seguinte)

2

SOLUÇÕES

O ponto C situa-se no 1o Diedro (ver exercício anterior – ponto A). No 1o Diedro, o ponto C pode situar-se no 1o Octante, noβ1/3 ou no 2o Octante. A distância do ponto C ao SPFS (que é 7 cm) é superior à distância do ponto C ao SPHA (que é 3 cm),pelo que C está mais distante do plano frontal do que do plano horizontal – C é, assim, um ponto do 1o Octante (C ∈ 1o Diedro,1o Octante).O ponto D situa-se no 2o Diedro (ver exercício anterior – ponto F). No 2o Diedro, o ponto D pode situar-se no 3o Octante, noβ2/4 ou no 4o Octante. A distância do ponto D ao SPFS é igual à distância do ponto D ao SPHP (D está equidistante do planofrontal e do plano horizontal), pelo que D é um ponto do β2/4 (A ∈ 2o Diedro, β2/4).O ponto E situa-se no SPFS (ver exercício anterior – ponto J). Note que, situando-se no SPFS, o ponto E não se pode situarem nenhum dos Octantes estudados, pois o SPFS separa o 2o Octante do 3o Octante (E ∈ SPFS).O ponto F situa-se no 2o Diedro (ver exercício anterior – ponto F). No 2o Diedro, o ponto F pode situar-se no 3o Octante, no β2/4

ou no 4o Octante. A distância do ponto F ao SPFS (que é 1 cm) é inferior à distância do ponto F ao SPHP (que é 5 cm), peloque F está mais próximo do plano frontal do que do plano horizontal – F é, assim, um ponto do 3o Octante (F ∈ 2o Diedro, 3o

Octante).O ponto G situa-se no 4o Diedro (ver exercício anterior – ponto L). No 4o Diedro, o ponto G pode situar-se no 7o Octante, noβ2/4 ou no 8o Octante. A distância do ponto G ao SPFI (que é 3 cm) é inferior à distância do ponto G ao SPHA (que é 8 cm),pelo que G está mais próximo do plano frontal do que do plano horizontal – G é, assim, um ponto do 7o Octante (G ∈ 4o Die-dro, 7o Octante).O ponto H situa-se no SPHP (ver exercício anterior – ponto H). Note que, situando-se no SPHP, o ponto H não se pode situarem nenhum dos Octantes estudados, pois o SPHP separa o 4o Octante do 4o Octante (H ∈ SPHP).O ponto I situa-se no 3o Diedro (ver exercício anterior – ponto B). No 3o Diedro, o ponto I pode situar-se no 5o Octante, no β1/3

ou no 6o Octante. A distância do ponto I ao SPFI é igual à distância do ponto I ao SPHP (I está equidistante do plano frontal edo plano horizontal), pelo que I é um ponto do β1/3 (I ∈ 3o Diedro, β1/3).O ponto J situa-se no 2o Diedro (ver exercício anterior – ponto F). No 2o Diedro, o ponto J pode situar-se no 3o Octante, no β2/4

ou no 4o Octante. A distância do ponto J ao SPFS (que é 5 cm) é inferior à distância do ponto J ao SPHP (que é 1 cm), peloque J está mais distante do plano frontal do que do plano horizontal – J é, assim, um ponto do 4o Octante (J ∈ 2o Diedro, 4o

Octante).O ponto L situa-se no 4o Diedro (ver exercício anterior – ponto L). No 4o Diedro, o ponto L pode situar-se no 7o Octante, no β2/4

ou no 8o Octante. A distância do ponto L ao SPHA é igual à distância do ponto L ao SPFI (L está equidistante do plano frontale do plano horizontal), pelo que L é um ponto do β2/4 (L ∈ 4o Diedro, β2/4).O ponto M situa-se no 3o Diedro (ver exercício anterior – ponto B). No 3o Diedro, o ponto M pode situar-se no 5o Octante, noβ1/3 ou no 6o Octante. A distância do ponto M ao SPFI (que é 1 cm) é inferior à distância do ponto M ao SPHP (que é 5 cm),pelo que M está mais distante do plano frontal do que do plano horizontal – M é, assim, um ponto do 6o Octante (M ∈ 3o Die-dro, 6o Octante).O ponto N situa-se no 4o Diedro (ver exercício anterior – ponto L). No 4o Diedro, o ponto N pode situar-se no 7o Octante, noβ2/4 ou no 8o Octante. A distância do ponto N ao SPFI (que é 7 cm) é superior à distância do ponto N ao SPHA (que é 2 cm),pelo que N está mais distante do plano frontal do que do plano horizontal – N é, assim, um ponto do 8o Octante (N ∈ 4o

Diedro, 8o Octante).O ponto O situa-se no 3o Diedro (ver exercício anterior – ponto B). No 3o Diedro, o ponto O pode situar-se no 5o Octante, noβ1/3 ou no 6o Octante. A distância do ponto O ao SPFI (que é 3 cm) é inferior à distância do ponto O ao SPHP (que é 1 cm),pelo que O está mais distante do plano frontal do que do plano horizontal – O é, assim, um ponto do 5o Octante (O ∈ 3o Die-dro, 5o Octante).O ponto P situa-se no SPFI (ver exercício anterior – ponto G). Note que, situando-se no SPFI, o ponto P não se pode situarem nenhum dos Octantes estudados, pois o SPFI separa o 6o Octante do 7o Octante (G ∈ SPFI).O ponto Q situa-se no 1o Diedro (ver exercício anterior – ponto A). No 1o Diedro, o ponto Q pode situar-se no 1o Octante, noβ1/3 ou no 2o Octante. A distância do ponto Q ao SPFS (que é 1 cm) é superior à distância do ponto Q ao SPHA (que é 5 cm),pelo que Q está mais próximo do plano frontal do que do plano horizontal – Q é, assim, um ponto do 2o Octante (Q ∈ 1o Die-dro, 2o Octante).

PROJECÇOES

3

3.a) Centro de Projecção – lâmpada do projector; rectas projectantes – raios luminosos emitidos pela lâmpada; Plano de

Projecção – ecrã.b) Centro de Projecção – lâmpada do projector; rectas projectantes – raios luminosos emitidos pela lâmpada; Plano de

Projecção – parede.c) Centro de Projecção – lâmpada do candeeiro; rectas projectantes – raios luminosos emitidos pela lâmpada; Plano de

Projecção – chão.d) Centro de Projecção – Sol; rectas projectantes – raios luminosos emitidos pelo Sol; Plano de Projecção – muro.

3

SOLUÇÕES

4.Nas alíneas a), b) e c) trata-se ao Sistema de Projecção Cónica ou Central, pois os respectivos Centros de Projecção estãoa uma distância finita – os raios luminosos são rectas concorrentes no Centro de Projecção (a lâmpada). Na alínea d) trata-sedo Sistema de Projecção Paralela ou Cilíndrica, pois o Centro de Projecção – o Sol – está a uma distância que pode serconsiderada como infinita. Os raios luminosos (rectas projectantes) são, assim, paralelos. Por outro lado, tendo em conta queos raios luminosos não são ortogonais ao Plano de projecção (o muro), trata-se necessariamente do Subsistema de Projec-ção Clinogonal (Oblíqua).

5.a) Insere-se no Sistema de Projecção Paralela (pois as rectas projectantes são paralelas entre si), no Subsistema da Pro-

jecção Ortogonal (pois as rectas projectantes são ortogonais ao Plano de Projecção).b) O Centro de Projecção situa-se no infinito, pois as rectas projectantes são paralelas, pelo que são concorrentes num ponto

do infinito.

6.A diferença entre Projecção Oblíqua (ou Clinogonal) e Projecção Ortogonal reside na diferente posição das rectas projec-tantes em relação ao Plano de Projecção. No primeiro caso, as rectas projectantes são oblíquas ao Plano de Projecção. Nosegundo, as rectas projectantes são ortogonais ao Plano de Projecção.

7.O Método da Dupla Projecção Ortogonal (ou Sistema de Monge) é um método de representação baseado no Sistema deProjecção Paralela ou Cilíndrica, na sua variante da Projecção Ortogonal, e fundamenta-se na conjugação de dois Sistemasde Projecção Ortogonal distintos mas complementares. Temos, assim, dois planos de projecção e dois feixes de rectasprojectantes. Cada feixe de rectas projectantes é ortogonal ao respectivo Plano de Projecção. A informação fornecida peloconjunto das duas representações do objecto, à partida, é suficiente para que se verifique o Critério de Reversibilidade.

8.O Sistema Axonométrico é um método de representação incluído no Sistema de Projecção Paralela ou Cilíndrica (as rectasprojectantes são paralelas entre si), independentemente da sua variante, uma vez que o Sistema Axonométrico recorre tanto àProjecção Ortogonal como à Projecção Oblíqua.

9.A perspectiva cavaleira é um método de representação incluído no Subsistema de Projecção Oblíqua – as rectas projec-tantes, paralelas entre si, são oblíquas ao Plano de Projecção, em virtude de um dos planos coordenados ser paralelo ao Pla-no de Projecção. A perspectiva isométrica é um método de representação incluído no Subsistema de Projecção Ortogonal– as rectas projectantes, também paralelas entre si, são ortogonais ao Plano de Projecção, pois nenhum dos planos coorde-nados é paralelo ao Plano de Projecção.

10.Semelhanças – ambos os métodos de representação se inserem no Sistema de Projecção Ortogonal, ou seja, as rectasprojectantes são paralelas entre si e ortogonais ao Plano de Projecção; ambos os sistemas se fundamentam na conjugaçãode vários Planos de Projecção, permitindo mais do que uma representação do objecto.Diferenças – o Método da Dupla Projecção Ortogonal (Sistema de Monge) conjuga, apenas, dois Planos de Projecção fa-cultando-nos, assim, uma dupla representação do objecto (duas projecções); o Método da Múltipla Projecção Ortogonalconjuga três ou mais Planos de Projecção (até um máximo de seis), facultando-nos igual número de representações do ob-jecto (múltiplas projecções).

11.Semelhanças – em ambas as situações se representam as três dimensões do objecto numa única projecção do mesmo, per-mitindo-nos uma percepção empírica da sua forma e volumetria.Diferenças – as perspectivas axonométricas inserem-se no Sistema da Projecção Paralela ou Cilíndrica (as rectas pro-jectantes são paralelas entre si, concorrentes num ponto situado a distância infinita), nas suas variantes Ortogonal e Oblíqua,enquanto a perspectiva cónica se insere no Sistema de Projecção Cónica ou Central (as rectas projectantes são concor-rentes no Centro de Projecção situado a distância finita); dos dois tipos de representação, a perspectiva cónica é aquela quemais se assemelha com a visão real do objecto.

12.a) Centro de Projecção.b) Porque cada olho é um Centro de Projecção. Assim, considerando os dois olhos do observador teríamos dois Centros de

Projecção e, consequentemente, dois feixes de rectas projectantes e duas projecções do objecto no mesmo plano deprojecção (Quadro), o que resultaria na existência de dois Sistemas de Projecção distintos mas partilhando, entre si, omesmo plano de projecção.

4

SOLUÇÕES

Determinação das projecções:Ponto A – a projecção horizontal do ponto (A1) situa-se no SPHA, a2 cm (o afastamento é 2) do eixo X e a projecção frontal do ponto (A2)situa-se no SPFS, a 5 cm (a cota é 5) do eixo X. Após o rebatimentodo Plano Frontal de Projecção sobre o Plano Horizontal de Projecção,A1 situa-se 2 cm abaixo do eixo X e A2 situa-se 5 cm acima do eixo X.Ponto B – a projecção horizontal do ponto (B1) situa-se no SPHP, a3 cm (o afastamento é –3) do eixo X e a projecção frontal do ponto(B2) situa-se no SPFS, a 1 cm (a cota é 1) do eixo X. Após o rebati-mento do Plano Frontal de Projecção sobre o Plano Horizontal deProjecção, B1 situa-se 5 cm acima do eixo X e B2 situa-se 1 cmigualmente acima do eixo X.Ponto C – a projecção horizontal do ponto (C1) situa-se no SPHA, a5 cm (o afastamento é 5) do eixo X e a projecção frontal do ponto(C2) situa-se no SPFS, a 1 cm (a cota é 1) do eixo X. Após o rebati-mento do Plano Frontal de Projecção sobre o Plano Horizontal deProjecção, C1 situa-se 5 cm abaixo do eixo X e C2 situa-se 1 cm aci-ma do eixo X.Ponto D – a projecção horizontal do ponto (D1) situa-se no SPHA, a 3 cm (o afastamento é 3) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (D2) situa-se no SPFI, a 2 cm (a cota é –2) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Pla-no Horizontal de Projecção, D1 situa-se 3 cm abaixo do eixo X e D2 situa-se 2 cm igualmente abaixo do eixo X.Ponto E – a projecção horizontal do ponto (E1) situa-se no SPHP, a 2 cm (o afastamento é –2) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (E2) situa-se no SPFS, a 4 cm (a cota é 4) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Pla-no Horizontal de Projecção, E1 situa-se 2 cm acima do eixo X e E2 situa-se 4 cm igualmente acima do eixo X.Ponto F – a projecção horizontal do ponto (F1) situa-se no SPHP, a 3 cm (o afastamento é –3) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (F2) situa-se no SPFI, a 2 cm (a cota é –2) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Pla-no Horizontal de Projecção, F1 situa-se 3 cm acima do eixo X e F2 situa-se 2 cm abaixo do eixo X.Ponto G – a projecção horizontal do ponto (G1) situa-se no SPHP, a 1 cm (o afastamento é –1) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (G2) situa-se no SPFS, a 2 cm (a cota é 2) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Pla-no Horizontal de Projecção, G1 situa-se 1 cm acima do eixo X e G2 situa-se 2 cm igualmente acima do eixo X.Ponto H – a projecção horizontal do ponto (H1) situa-se no SPHP, a 1 cm (o afastamento é –1) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (H2) situa-se no SPFI, a 4 cm (a cota é –4) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Pla-no Horizontal de Projecção, H1 situa-se 1 cm acima do eixo X e H2 situa-se 4 cm abaixo do eixo X.Ponto I – a projecção horizontal do ponto (I1) situa-se no SPHA, a 1 cm (o afastamento é 1) do eixo X e a projecção frontal doponto (I2) situa-se no SPFI, a 4 cm (a cota é –4) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o PlanoHorizontal de Projecção, I1 situa-se 1 cm abaixo do eixo X e I2 situa-se 4 cm igualmente abaixo do eixo X.

REPRESENTAÇAO DO PONTO E DA RECTA

4

NOTA: Se bem que os dados métricos dos enunciados estejam em centímetros, as soluções aqui apresentadas não consi-deraram o centímetro como unidade. De facto, entende-se que o objectivo da consulta das soluções dos exercícios, nasperspectiva do estudante, deve ser a verificação da correcção dos raciocínios e dos traçados e não a comparação métricados mesmos. Dessa forma, considerou-se de maior utilidade o desenvolvimento dos relatórios e a resolução gráfica dos pro-blemas a uma escala que evite qualquer tentativa de comparação métrica. De qualquer forma, considera-se relevante informarque a escala utilizada nas resoluções apresentadas foi de _, o que significa que a cada centímetro da resolução do aluno cor-responderá 0,5 cm nestas soluções. Por fim, há ainda a dizer que a cada exercício corresponderá uma única resolução, inde-pendentemente do número de alíneas do exercício. A título de exemplo, ao exercício 13, no qual são pedidas as projecçõesde doze pontos, corresponderá uma única resolução na qual estejam as projecções dos doze pontos. De forma semelhante,ao exercício 18, por exemplo, que tem duas alíneas, corresponderá uma única resolução na qual se apresente o que é pedi-do nas duas alienas do exercício.

A ∈ 1o Diedro, 2o Oct;F ∈ 3o Diedro, 5o Oct.;L ∈ 1o Diedro, 1o Oct;

B ∈ 2o Diedro, 4o Oct.;G ∈ 2o Diedro, 3o Oct.;M ∈ 3o Diedro, 5o Oct

C ∈ 1o Diedro, 1o Oct.;H ∈ 3o Diedro, 6o Oct.;

D ∈ 4o Diedro, 8o Oct;I ∈ 4o Diedro, 7o Oct;

E ∈ 2o Diedro, 3o Oct.;J ∈ 2o Diedro, 3o Oct.;

13.Atendendo a que, neste exercício, o objectivo principal consiste na representação dos pontos em Dupla Projecção Ortogonale não apenas na sua localização no espaço, omitir-se-á, aqui, a apresentação dos raciocínios que justificam a localização decada ponto. Para melhor compreender a localização dos pontos que em seguida se apresenta, sugere-se a leitura dos relató-rios dos exercícios 1 e 2.

Localização no espaço:

(Continua na página seguinte)

5

SOLUÇÕES

Determinação das projecções:Ponto A – a projecção horizontal do ponto (A1) situa-seno eixo X (o afastamento é 0) e a projecção frontal doponto (A2) situa-se no SPFS, a 3 cm (a cota é 3) doeixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projec-ção sobre o Plano Horizontal de Projecção, A1 situa-seno eixo X e A2 situa-se 3 cm acima do eixo X.Ponto B – a projecção horizontal do ponto (B1) situa-seno SPHP, a 4 cm (o afastamento é –4) do eixo X e aprojecção frontal do ponto (B2) situa-se no eixo X (acota é 0). Após o rebatimento do Plano Frontal de Pro-jecção sobre o Plano Horizontal de Projecção, B1 situa-se 4 cm acima do eixo X e B2 situa-se no eixo X.Ponto C – a projecção horizontal do ponto (C1) situa-seno eixo X (o afastamento é 0) e a projecção frontal doponto (C2) situa-se igualmente no eixo X (a cota é 0), ou seja, as duas projecções do ponto estão coincidentes, num ponto doeixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Plano Horizontal de Projecção, C1 e C2 situam-se, ambas,num mesmo ponto do eixo X (estão coincidentes), assinalando-se C1 � C2.Ponto D – a projecção horizontal do ponto (D1) situa-se no SPHA, a 2 cm (o afastamento é 2) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (D2) situa-se no SPFS, a 2 cm (a cota é 2) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Pla-no Horizontal de Projecção, D1 situa-se 2 cm abaixo do eixo X e D2 situa-se 2 cm acima do eixo X – as projecções do ponto Dsão simétricas em relação ao eixo X, pois D é um ponto do β1/3.Ponto E – a projecção horizontal do ponto (E1) situa-se no SPHA, a 4 cm (o afastamento é 4) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (E2) situa-se no SPFI, a 4 cm (a cota é –4) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Pla-no Horizontal de Projecção, E1 situa-se 4 cm abaixo do eixo X e E2 situa-se 4 cm igualmente abaixo do eixo X – as duas pro-jecções do ponto E ficam, assim, coincidentes, pois E é um ponto do β2/4.Ponto F – a projecção horizontal do ponto (F1) situa-se no eixo X (o afastamento é 0) e a projecção frontal do ponto (F2) situa-se no SPFI, a 2 cm (a cota é –2) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Plano Horizontal deProjecção, F1 situa-se no eixo X e F2 situa-se 2 cm abaixo do eixo X.Ponto G – a projecção horizontal do ponto (G1) situa-se no eixo X (o afastamento é 0) e a projecção frontal do ponto (G2) situa-se no SPFS, a 1 cm (a cota é 1) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Plano Horizontal de Pro-jecção, G1 situa-se no eixo X e G2 situa-se 1 cm acima do eixo X.Ponto H – a projecção horizontal do ponto (H1) situa-se no SPHP, a 3 cm (o afastamento é –3) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (H2) situa-se no SPFI, a 3 cm (a cota é –3) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Pla-no Horizontal de Projecção, H1 situa-se 3 cm acima do eixo X e H2 situa-se 3 cm abaixo do eixo X – as projecções do ponto Hsão simétricas em relação ao eixo X, pois H é um ponto do β1/3.Ponto I – a projecção horizontal do ponto (I1) situa-se no SPHP, a 2 cm (o afastamento é –2) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (I2) situa-se no SPFS, a 2 cm (a cota é 2) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o PlanoHorizontal de Projecção, I1 situa-se 2 cm acima do eixo X e I2 situa-se 2 cm igualmente acima do eixo X – as duas projecçõesdo ponto I ficam, assim, coincidentes, pois I é um ponto do β2/4.Ponto J – a projecção horizontal do ponto (J1) situa-se no eixo X (o afastamento é 0) e a projecção frontal do ponto (J2) situa-se no SPFS, a 5 cm (a cota é 5) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Plano Horizontal deProjecção, J1 situa-se no eixo X e J2 situa-se 5 cm acima do eixo X.

A ∈ SPFS;G ∈ SPFS;N ∈ 4o Diedro, β2/4;

B ∈ SPHP;H ∈ 3o Diedro, β1/3;O ∈ 3o Diedro, β1/3;

C ∈ eixo X;I ∈ 2o Diedro, β2/4P ∈ SPHA;

D ∈ 1o Diedro, β1/3;J ∈ SPFS;Q ∈ SPFI.

E ∈ 4o Diedro, β2/4;L ∈ 1o Diedro, β1/3;

F ∈ SPFI;M ∈ 2o Diedro, β2/4;

14.Atendendo a que, neste exercício, e tal como no anterior, o objectivo principal consiste na representação dos pontos em Du-pla Projecção Ortogonal e não apenas na sua localização no espaço, omitir-se-á, aqui, a apresentação dos raciocínios quejustificam a localização de cada ponto. Para melhor compreender a localização dos pontos que em seguida se apresenta,sugere-se a leitura dos relatórios dos exercícios 1 e 2.

Localização no espaço:

Ponto J – a projecção horizontal do ponto (J1) situa-se no SPHP, a 2 cm (o afastamento é –2) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (J2) situa-se no SPFS, a 5 cm (a cota é 5) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Pla-no Horizontal de Projecção, J1 situa-se 2 cm acima do eixo X e J2 situa-se 5 cm igualmente acima do eixo X.Ponto L – a projecção horizontal do ponto (L1) situa-se no SPHA, a 3 cm (o afastamento é 3) do eixo X e a projecção frontal doponto (L2) situa-se no SPFS, a 2 cm (a cota é 2) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o PlanoHorizontal de Projecção, L1 situa-se 3 cm abaixo do eixo X e L2 situa-se 2 cm acima do eixo X.Ponto M – a projecção horizontal do ponto (M1) situa-se no SPHP, a 4 cm (o afastamento é –4) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (M2) situa-se no SPFI, a 3 cm (a cota é –3) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Pla-no Horizontal de Projecção, M1 situa-se 4 cm acima do eixo X e M2 situa-se 3 cm abaixo do eixo X.

(Continua na página seguinte)

6

SOLUÇÕES

15.Os pontos B, C, G e J situam-se para a esquerda do Plano dePerfil (plano YZ – πo), pois têm abcissa positiva. Os pontos A, D,F, H, I, L e M situam-se para a direita do Plano de Perfil (planoYZ – πo), pois têm abcissa negativa. O ponto E situa-se no Pla-no de Perfil (plano YZ – πo), pois tem abcissa nula. Ponto A – a sua abcissa é negativa (é –3), pelo que a linha dechamada do ponto se situa 3 cm para a direita do eixo Y � Z.Sobre a determinação das projecções do ponto, ver relatório doexercício 13 (ponto A). Ponto B – a sua abcissa é positiva (é 2), pelo que a linha dechamada do ponto se situa 2 cm para a esquerda do eixo Y �Z.Sobre a determinação das projecções do ponto, ver relatório doexercício 14 (ponto A). Ponto C – a sua abcissa é positiva (é 5), pelo que a linha dechamada do ponto se situa 5 cm para a esquerda do eixo Y � Z.Sobre a determinação das projecções do ponto, ver relatório doexercício 13 (ponto F). Ponto D – a sua abcissa é negativa (é –4), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 4 cm para a direita do eixo Y � Z.Sobre a determinação das projecções do ponto, ver relatório do exercício 13 (ponto B). Ponto E – a sua abcissa é nula (é 0), pelo que a linha de chamada do ponto se sobre o eixo Y � Z. Sobre a determinação dasprojecções do ponto, ver relatório do exercício 13 (ponto D). Ponto F – a sua abcissa é negativa (é –1), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 1 cm para a direita do eixo Y � Z.Sobre a determinação das projecções do ponto, ver relatório do exercício 14 (ponto P). Ponto G – a sua abcissa é positiva (é 6), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 6 cm para a esquerda do eixo Y � Z.Sobre a determinação das projecções do ponto, ver relatório do exercício 14 (ponto F). Ponto H – a sua abcissa é negativa (é –5), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 5 cm para a direita do eixo Y � Z.Sobre a determinação das projecções do ponto, ver relatório do exercício 13 (ponto A). Ponto I – a sua abcissa é negativa (é –3), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 3 cm para a direita do eixo Y � Z.Note que os pontos A e I têm a mesma abcissa, pelo que se situam, ambos, sobre a mesma linha de chamada, tendo-se assi-nalado esse facto convenientemente – Ao � Io. Sobre a determinação das projecções do ponto, ver relatório do exercício 13(ponto E). Ponto J – a sua abcissa é positiva (é 1), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 1 cm para a esquerda do eixo Y � Z.Sobre a determinação das projecções do ponto, ver relatório do exercício 14 (ponto D). Ponto L – a sua abcissa é negativa (é –5), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 5 cm para a direita do eixo Y � Z.Note que os pontos H e L têm a mesma abcissa, pelo que se situam, ambos, sobre a mesma linha de chamada, tendo-se as-sinalado esse facto convenientemente – Ho � Lo. Sobre a determinação das projecções do ponto, ver relatório do exercício 14(ponto I). Ponto M – a sua abcissa é negativa (é –6), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 6 cm para a direita do eixo Y � Z.Sobre a determinação das projecções do ponto, ver relatório do exercício 14 (ponto C).

Ponto L – a projecção horizontal do ponto (L1) situa-se no SPHA, a 1 cm (o afastamento é 1) do eixo X e a projecção frontal doponto (L2) situa-se no SPFS, a 1 cm (a cota é 1) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o PlanoHorizontal de Projecção, L1 situa-se 1 cm abaixo do eixo X e L2 situa-se 1 cm acima do eixo X – as projecções do ponto L sãosimétricas em relação ao eixo X, pois L é um ponto do β1/3.Ponto M – a projecção horizontal do ponto (M1) situa-se no SPHP, a 1 cm (o afastamento é –1) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (M2) situa-se no SPFS, a 1 cm (a cota é 1) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Pla-no Horizontal de Projecção, M1 situa-se 1 cm acima do eixo X e M2 situa-se 1 cm igualmente acima do eixo X – as duas pro-jecções do ponto M ficam, assim, coincidentes, pois M é um ponto do β2/4.Ponto N – a projecção horizontal do ponto (N1) situa-se no SPHA, a 1 cm (o afastamento é 1) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (N2) situa-se no SPFI, a 1 cm (a cota é –1) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Pla-no Horizontal de Projecção, N1 situa-se 1 cm abaixo do eixo X e N2 situa-se 1 cm igualmente abaixo do eixo X – as duasprojecções do ponto N ficam, assim, coincidentes, pois N é um ponto do β2/4.Ponto O – a projecção horizontal do ponto (O1) situa-se no SPHP, a 1 cm (o afastamento é –1) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (O2) situa-se no SPFI, a 1 cm (a cota é –1) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Pla-no Horizontal de Projecção, O1 situa-se 3 cm acima do eixo X e O2 situa-se 3 cm abaixo do eixo X – as projecções do pontoO são simétricas em relação ao eixo X, pois O é um ponto do β1/3.Ponto P – a projecção horizontal do ponto (P1) situa-se no SPHA, a 4 cm (o afastamento é 4) do eixo X e a projecção frontaldo ponto (P2) situa-se no eixo X (a cota é 0). Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Plano Horizontal deProjecção, P1 situa-se 4 cm abaixo do eixo X e P2 situa-se no eixo X.Ponto Q – a projecção horizontal do ponto (Q1) situa-se no eixo X (o afastamento é 0) e a projecção frontal do ponto (Q2) situa-se no SPFI, a 5 cm (a cota é –5) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Plano Horizontal deProjecção, Q1 situa-se no eixo X e Q2 situa-se 5 cm abaixo do eixo X.

7

SOLUÇÕES

16.B situa-se na mesma projectante frontal do ponto A, pelo que a sua cota é igual à de A. Como B sesitua no β1/3, as suas coordenadas são iguais. As coordenadas de B são ( 3; 3). A e B situam-se namesma projectante frontal, pelo que a recta projecta A e B no Plano Frontal de Projecção – asprojecções frontais dos dois pontos estão coincidentes.

As coordenadas de M são iguais, pois M está no β1/3 − as coordenadas de M são ( 4; 4). Os doispontos situam-se na mesma projectante horizontal, pelo que têm o mesmo afastamento – o afasta-mento de N é 4. As coordenadas de N são simétricas, pois N está no β2/4. As coordenadas de N são( 4; –4). Os dois pontos têm as suas projecções horizontais coincidentes, pois a recta projectantehorizontal projecta simultaneamente os dois pontos no Plano Horizontal de Projecção.

17.

Os pontos R e S são simétricos em relação ao Plano Horizontal de Projecção (plano XY - νo),pelo que se situam na mesma recta projectante horizontal – têm o mesmo afastamento e cotassimétricas. O afastamento de S é 3, pelo que R também tem 3 cm de afastamento. A cota de Ré dupla do seu afastamento, pelo que R tem 6 cm de cota. R situa-se no 1o Diedro, pelo que Sse situa no 4o Diedro – as cotas dos dois pontos são simétricas, pelo que a cota de S é –6. Ascoordenadas de R são ( 3; 6) e as de S são ( 3; –6). As projecções horizontais de R e S estãocoincidentes, pois R e S situam-se na mesma projectante horizontal.

19.

18.a) B e A situam-se na mesma projectante frontal, pelo que têm a mesma cota – a cota de B é 1. B

situa-se no β1/3, pelo que as suas coordenadas são iguais − as coordenadas de B são ( 1; 1). Asprojecções frontais de A e B estão coincidentes, pois a recta projecta simultaneamente A e B noPlano Frontal de Projecção.

b) A situa-se no 1o Diedro, pelo que C se situa no 2o Diedro. C é simétrico de A em relação ao Pla-no Frontal de Projecção (plano XZ - ϕo), pelo que A e C se situam na mesma recta projectantefrontal – C tem cota igual a A e afastamento simétrico ao de A. As coordenadas de C são ( 5; –1).Pontos simétricos em relação ao Plano Frontal de Projecção situam-se na mesma recta projec-tante frontal, pelo que as projecções frontais dos dois pontos estão coincidentes.

8

SOLUÇÕES

20.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções dos dois pontos. Em seguidadesenharam-se as projecções da recta. A projecção horizontal da recta – r1 –está definida pelas projecções horizontais dos pontos (passa por A1 e B1). Aprojecção frontal da recta – r2 – está definida pelas projecções frontais dos pon-tos (passa por A2 e B2). Para se determinar as projecções do ponto C, teve-seem conta a condição para que um ponto pertença a uma recta, segundo aqual se tem que as projecções do ponto têm de estar sobre as projecções ho-mónimas (do mesmo nome) da recta. O ponto C pertence à recta, pois a suaprojecção horizontal (C1) está contida na projecção horizontal da recta (r1) e asua projecção frontal (C2) está contida na projecção frontal da recta (r2).

21.

a) As projecções da recta s estão definidas pelas projecções homónimas dos pon-tos R e S (ver relatório do exercício anterior).

b) Para que o ponto A pertença à recta s, as suas projecções têm de estar sobreas projecções homónimas da recta s (ver relatório do exercício anterior). Assim,em primeiro lugar determinou-se a projecção frontal de A (A2) sobre a projecçãofrontal de s (s2) em função da sua cota – A2 situa-se 3 cm acima do eixo X (acota de A é positiva) e pertence a s2. Em seguida, determinou-se a projecçãohorizontal de A (A1), sobre a projecção horizontal da recta s (s1) e na linha dechamada de A2.

22.a) As projecções da recta m estão definidas pelas projecções homónimas dos

pontos G e H (ver relatório do exercício 20).b) O ponto A é o ponto da recta que tem 0 de abcissa (abcissa nula) – a linha

de chamada do ponto A é o próprio eixo Y � Z. O ponto A pertence à recta,pois as suas projecções estão sobre as projecções homónimas da recta (verrelatório do exercício 20). B é o ponto da recta que tem 4 cm de afastamento– B1, a projecção horizontal do ponto B, dista 4 cm do eixo X, para baixodeste (o afastamento de B é positivo). O ponto B pertence à recta, pois temas suas projecções sobre as projecções homónimas da recta (ver relatóriodo exercício 20).

a) Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto P. Em seguida, de-senharam-se as projecções da recta r, em função dos ângulos dados. A pro-jecção frontal da recta (r2) passa pela projecção frontal de P (P2) e faz, com oeixo X, um ângulo de 45º de abertura para a direita (a.d.). Note que o ânguloque a projecção frontal da recta (r2) faz com o eixo X se mediu para cima doeixo X (sentido positivo das cotas). A projecção horizontal da recta (r1) passapela projecção horizontal de P (P1) e faz, com o eixo X, um ângulo de 30º deabertura para a direita (a.d.). Note que o ângulo que a projecção horizontalda recta (r1) faz com o eixo X se mediu para baixo do eixo X (sentido positivodos afastamentos)

b) O ponto A é o ponto da recta com 4 de afastamento – as suas projecções estãosobre as projecções homónimas da recta e a sua projecção horizontal (A1) dista 4cm do eixo X, para baixo do eixo X (o afastamento de A é positivo). O ponto B é oponto da recta com –4 de cota – as suas projecções estão sobre as projecçõeshomónimas da recta e a sua projecção frontal (B2) dista 4 cm do eixo X, para bai-xo do eixo X. Note que B tem –4 de cota e as projecções frontais de pontos comcota negativa situam-se no SPFI, que fica abaixo do eixo X (após o rebatimentodo Plano Frontal de Projecção sobre o Plano Horizontal de Projecção).

23.

9

SOLUÇÕES

24.O ponto P é um ponto do β1/3, pelo que tem coordenadas iguais e projecçõessimétricas em relação ao eixo X – as coordenadas do ponto P são ( 4; 4). As-sim, em primeiro lugar, e a partir dos raciocínios expostos, determinaram-se asprojecções do ponto P. Em seguida desenhou-se a projecção frontal da rectaa (a2), passando por P2 e fazendo, com o eixo X e acima deste (sentido positi-vo das cotas), um ângulo de 45º (a.e.). O enunciado é omisso em relação àprojecção horizontal da recta, mas dá-nos mais um ponto da recta – o pontoQ. Assim, em seguida determinaram-se as projecções do ponto Q, a partir dasua projecção frontal – Q2 tem que estar sobre a2, 1 cm acima do eixo X (Qtem 1 cm de cota e a cota é positiva, pelo que Q2 se situa acima do eixo X).Desenhou-se a projecção horizontal da recta a (a1), passando por P1 e Q1. Emseguida desenharam-se as projecções dos pontos R, S e T, pertencentes àrecta e em função dos dados (as coordenadas dadas). As projecções dos pon-tos R, S e T situam-se sobre as projecções homónimas da recta, pois os trêspontos pertencem à recta (os três pontos verificam a condição para que umponto pertença a uma recta). As projecções de R determinaram-se em fun-ção do afastamento do ponto – R1 (a projecção horizontal de R) situa-se sobrea1, 3 cm abaixo do eixo X (o afastamento de R é positivo). As projecções de Sdeterminaram-se em função do afastamento do ponto – S1 (a projecção hori-zontal de S) situa-se sobre a1, 1 cm acima do eixo X (o afastamento de S énegativo). As projecções de T determinaram-se em função do afastamento doponto – T1 (a projecção horizontal de T) situa-se sobre a1, no eixo X, pois Ttem afastamento nulo. O ponto T situa-se no SPFI.

25.

Sobre a determinação das projecções da recta a, ver relatório do exercício an-terior. As projecções dos pontos A, B e C situam-se sobre as projecções ho-mónimas da recta, pois os três pontos pertencem à recta (os três pontosverificam a condição para que um ponto pertença a uma recta). As projec-ções de A determinaram-se em função da cota do ponto – A2 (a projecçãofrontal de A) situa-se sobre a2, 2 cm acima do eixo X (a cota de A é positiva).As projecções de B determinaram-se em função da cota do ponto – B2 (a pro-jecção frontal de B) situa-se sobre a2, 3 cm abaixo do eixo X (a cota de B é ne-gativa). As projecções de C determinaram-se em função da cota do ponto – C2

(a projecção frontal de C) situa-se sobre a2, no eixo X, pois C tem cota nula. Csitua-se no SPHA.

26.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto P. Em seguida,desenharam-se as projecções da recta r, em função dos ângulos dados. Aprojecção frontal da recta (r2) passa pela projecção frontal de P (P2) e faz,com o eixo X e acima deste (sentido positivo das cotas), um ângulo de 45º deabertura para a esquerda (a.e.). A projecção horizontal da recta (r1) passapela projecção horizontal de P (P1) e faz, com o eixo X e abaixo deste (senti-do positivo dos afastamentos), um ângulo de 30º de abertura para a esquer-da (a.e.). Os pontos R, S e T pertencem à recta, pois todos verificam acondição para que um ponto pertença a uma recta. O ponto R tem afasta-mento nulo, pelo que a sua projecção horizontal (R1) se situa no eixo X, sobrer1. O ponto S tem cota nula, pelo que a sua projecção frontal (S2) se situa noeixo X, sobre r2. O ponto T é o único ponto da recta que tem projecções coin-cidentes (note que T é um ponto do β2/4 e pontos do β2/4 têm as suas projec-ções coincidentes. Assim, T1 situa-se sobre r1, T2 situa-se sobre r2, e T1 e T2

têm de estar coincidentes, pelo que o ponto T é o ponto de concorrência dasduas projecções da recta – T1 � T2 no ponto em que as duas projecções darecta se intersectam.

10

SOLUÇÕES

27. Em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pontos A e B, em funçãodos dados, e desenharam-se as projecções da recta. Em seguida procedeu-se àdeterminação dos pontos notáveis da recta – F (o traço frontal), H (o traço horizon-tal), Q (o traço no β1/3) e I (o traço no β2/4). Todos os pontos têm de ter as suas pro-jecções sobre as projecções homónimas da recta (condição para que um pontopertença a uma recta), para que pertençam efectivamente à recta r. O traço frontal(F) da recta r é o único ponto da recta que tem afastamento nulo, pelo que F1 se si-tua no eixo X. O traço horizontal (H) da recta r é o único ponto da recta que temcota nula, pelo que H2 se situa no eixo X. O ponto Q é o traço da recta r no β1/3 e éo único ponto da recta r que tem projecções simétricas em relação ao eixo X. Paraa determinação de Q recorreu-se a uma recta auxiliar, simétrica de r2 em relação aoeixo X –o ponto em que a recta auxiliar intersecta a projecção horizontal da recta r(r1) é Q1, a projecção horizontal de Q. O ponto I é o traço da recta r no β2/4 e é oúnico ponto da recta que tem projecções coincidentes (ver relatório do exercícioanterior – ponto T).

28.O traço horizontal da recta (dado no enunciado) é um ponto do Plano Ho-rizontal de Projecção – H tem cota nula, pelo que as coordenadas de Hsão ( 3; 2; 0). Assim, em primeiro lugar determinaram-se as projecçõesdos pontos P e H e, em seguida, desenharam-se as projecções da rectam, passando pelas projecções homónimas daqueles pontos. F, o traçofrontal de m, é o ponto da recta m que tem afastamento nulo (F situa-seno Plano Frontal de Projecção – ϕo), pelo que F1 se situa no eixo X. Noteque as projecções de F estão sobre as projecções homónimas da recta m,pois F é um ponto da recta m.

29.

Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto P. Em seguida,desenhou-se a projecção frontal da recta s, passando pela projecção frontaldo ponto P e de acordo com o ângulo dado – s2 passa por P2 e faz, com oeixo X e acima deste, um ângulo de 30º (a.e.). O enunciado é omisso noque respeita à projecção horizontal da recta, mas fornece-nos um dado so-bre o traço horizontal da recta. O traço horizontal (H) da recta tem cota nula,pelo que H2 se situa no eixo X. Sabendo-se que o afastamento de H é –3, épossível determinar a sua projecção horizontal – H1. A projecção horizontalda recta s (s1) passa por H1 e por P1. Em seguida determinaram-se os res-tantes pontos notáveis de s – F (traço frontal da recta), Q (traço da recta noβ1(/3) e I (traço da recta no β2/4) – conforme exposto no relatório do exercício27. Para a determinação de Q recorreu-se a uma recta auxiliar, simétrica des2 em relação ao eixo X – Q1 é o ponto em que a recta auxiliar intersecta s1,a projecção horizontal da recta.

30.Do enunciado conclui-se o seguinte: F, o traço frontal da recta a, que tem 3 de cota,tem necessariamente 0 de afastamento (o traço frontal de uma recta tem afastamentonulo) e I, o traço da recta a no β2/4, que tem –2 de cota, tem necessariamente 2 deafastamento (pontos do β2/4 têm coordenadas simétricas). Assim, as coordenadas deF são ( 2; 0; 3) e as de I são ( –3; 2; –2). As projecções de a ficam definidas pelas pro-jecções homónimas de F e I. H é o traço horizontal de a – H é o ponto da recta quetem cota nula. Para a determinação de Q (traço da recta a no β1/3), recorreu-se a umarecta auxiliar, simétrica de a1 em relação ao eixo X – Q2 é o ponto em que a recta au-xiliar intersecta a2, a projecção frontal da recta a.

11

SOLUÇÕES

31.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pontos R e S. Em se-guida desenharam-se as projecções da recta n, passando pelas projecçõeshomónimas dos pontos R e S. Esta recta tem a particularidade de todos osseus pontos terem a mesma cota, que é 3. O traço frontal (F) da recta n é oseu ponto com afastamento nulo – F1 está no eixo X. O traço da recta n noβ2/4 (I) é o seu ponto com projecções coincidentes – I1 � I2. Tendo em contaque todos os pontos da recta têm 3 de cota, o traço da recta no β1/3 (Q) é oponto da recta n que tem 3 cm de afastamento. Esta recta não intersecta oPlano Horizontal de Projecção (plano XY – νo), ou seja, não tem traço horizon-tal, pois não há nenhum ponto da recta com cota nula. Note que os pontos F,Q e I pertencem à recta n, pois têm as suas projecções sobre as projecçõeshomónimas da recta (condição para que um ponto pertença a uma recta).

32.O traço frontal da recta (dado no enunciado) é um ponto do Plano Frontalde Projecção – F tem afastamento nulo, pelo que as coordenadas de F são( 2; 0; 2). Assim, em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pon-tos T e F e, em seguida, desenharam-se as projecções da recta a, passan-do pelas projecções homónimas daqueles pontos. H (o traço horizontal darecta) é o único ponto da recta a que tem cota nula – H2 situa-se no eixo X.I (o traço da recta a no β2/4) é o ponto da recta a que tem projecções coin-cidentes. Para determinar Q (o traço da recta a no β1/3) desenhou-se umarecta auxiliar, simétrica de a1 em relação ao eixo X. Esta recta auxiliar é pa-ralela a a2, pelo que não é possível determinar as projecções de Q. Conclui-se, então, que a recta não intersecta o β1/3 – a recta é paralela ao β1/3.

33.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto P, pelas quaisse conduziram as projecções homónimas da recta g. A projecção frontal darecta g (g2) passa por P2 e faz, com o eixo X e acima deste, um ângulo de30º (a.e.). Por P1 conduziu-se g1, a projecção horizontal de g, que é paralelaa g2 (no enunciado é referido que as projecções da recta g são paralelas en-tre si, no papel). Determinaram-se os traços frontal e horizontal da recta g –H (o traço horizontal), porque tem cota nula, tem a sua projecção frontal (H2)no eixo X e F( traço frontal), porque tem afastamento nulo, tem a sua projec-ção horizontal (F1) no eixo X. O traço da recta g no β1/3 tem projecções si-métricas em relação ao eixo X – recorreu-se a uma recta auxiliar, simétricade g1 em relação ao eixo X. Q2, a projecção frontal de Q, é o ponto em quea recta auxiliar intersecta g2, a projecção frontal da recta. Não é possível de-terminar nenhum ponto da recta g com projecções coincidentes, pelo quese conclui que a recta g não intersecta o β2/4 – é paralela ao β2/4.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta, em função dos da-dos (ver relatório do exercício 27). Ao nível do percurso da recta, os pontosque separam as partes da recta que se situam em Diedros distintos são os tra-ços da recta nos planos de projecção, pois é nos pontos em que a recta inter-secta os planos de projecção que a recta muda de Diedro. Assim, em seguidadeterminaram-se os traços da recta r nos planos de projecção e percebeu-seque a recta atravessa três Diedros. Analisando-se a localização dos pontos darecta que se situam em cada uma das três partes da recta, conclui-se que: aparte da recta compreendida entre F e H se situa no 1o Diedro (os pontos têmcota e afastamento positivos); a parte da recta que se situa para a esquerdade H está no 4o Diedro (os pontos têm afastamento positivo e cota negativa); aparte da recta que se situa para a direita de F está no 2o Diedro (os pontos têmcota positiva e afastamento negativo). O percurso da recta foi assinaladonuma recta paralela ao eixo X, situada abaixo da figura, na qual se indicaram,previamente, os pontos em que a recta intersecta os planos de projecção. Noque respeita às visibilidades/invisibilidades da recta, teve-se em conta queapenas a parte da recta que se situa no 1o Diedro é que é visível, pelo que aspartes da recta que se situam no 2o e no 4o Diedros são invisíveis.

34.

12

SOLUÇÕES

35.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta, em função dos dados (ver re-latório do exercício 30). Em relação ao percurso ao nível dos Diedros, ver relatório doexercício anterior. Note que, nesta situação, a parte da recta que se situa no 2o Diedro éa que se situa à esquerda do traço frontal da recta e que a parte que se situa no 4o Die-dro é a que se situa para a direita do traço horizontal da recta. Tal como no exercício an-terior, o percurso da recta foi assinalado numa recta paralela ao eixo X, situada abaixoda figura, na qual se indicaram, previamente, os pontos em que a recta intersecta osplanos de projecção. Percurso ao nível dos Octantes: no que respeita aos Octantes,estes são separados pelos planos de projecção e pelos bissectores. Nesse sentido, sãoos traços da recta nos planos de projecção e nos planos bissectores que separam aspartes da recta que se situam em Octantes distintos – note que é nos pontos notáveisda recta que esta muda de Octante. Tenha ainda em conta que, quando a recta muda deDiedro, a recta também muda necessariamente de Octante. Assim, a recta muda de Oc-tante em F, em Q, em H e em I, ou seja, a recta atravessa cinco Octantes distintos. Umavez que para a esquerda do traço frontal (F) da recta não existe mais nenhum ponto notável, a recta não muda de Octante –toda a parte da recta situada à esquerda do seu traço frontal situa-se no 3o Octante (os pontos estão mais próximos do SPFSdo que do SPHP). A parte da recta que está entre o traço frontal (F) e o traço no β1/3 (Q) situa-se no 2o Octante, pois os pontosestão mais próximos do SPFS do que do SPHA. A parte da recta que está entre o traço no β1/3 (Q) e o traço horizontal (H) situa-se no 1o Octante, pois os pontos estão mais próximos do SPHA do que do SPFS. A parte da recta que está entre o traço hori-zontal (H) e o traço no β2/4 (I) situa-se no 8o Octante, pois os pontos estão mais próximos do SPHA do que do SPFI. A parte darecta que está para a direita do traço no β2/4 (I) situa-se no 7o Octante, pois os pontos estão mais próximos do SPFI do que doSPHA. O percurso ao nível dos Octantes assinalou-se numa outra recta paralela ao eixo X, situada abaixo da anterior (a rectaque assinala o percurso ao nível dos Diedros), na qual se indicaram, previamente, os pontos em que a recta intersecta os pla-nos de projecção e os planos bissectores. Invisibilidades e visibilidades: ver exercício anterior e respectivo relatório.

37.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta, em função dos dados(ver relatório do exercício 32). Sobre o percurso ao nível dos Octantes, ver rela-tório do exercício 35. Tenha em conta que o estudo do percurso da recta ao níveldos Octantes deverá ser precedido, sempre, pelo estudo do percurso da rectaao nível dos Diedros, mesmo que este não seja pedido nem apresentado. Assim,nesta situação, a parte da recta que se situa no 1o Diedro é a parte da recta quese situa para a direita do seu traço frontal (F), pois é a parte da recta em que ospontos têm cota e afastamento positivos. A parte da recta que se situa entre otraço frontal (F) e o traço horizontal (H) situa-se no 2o Diedro, pois os seus pontostêm afastamento negativo e cota positiva. Por fim, a parte da recta que se situapara a esquerda do seu traço horizontal (H) situa-se no 3o Diedro, pois os seuspontos têm cota e afastamento negativos. Como se observou anteriormente (verrelatório do exercício 35.), a recta é paralela ao β1/3 – assim, a sua parte situadano 1o Diedro situa-se, na totalidade, no 2o Octante (não intersecta o β1/3, logo nãomuda de Octante nem no 1o Diedro nem no 3o). Assim, à semelhança do expostono relatório do exercício anterior, a recta atravessa apenas quatro Octantes, poisesta recta só tem três dos quatro pontos notáveis. Invisibilidades e visibilida-des: ver exercício 34 e respectivo relatório.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta, em função dosdados (ver relatório do exercício 31). Tendo em conta que esta recta nãotem traço horizontal, a recta n atravessa apenas dois Diedros – o 1o e o2o Diedros, pois todos os seus pontos têm cota positiva (pontos do 3o e4o Diedros têm cota negativa). Assim, em relação ao percurso ao níveldos Diedros, ver relatório do exercício 35 (atendendo a que, neste caso,apenas se indicam dois Diedros na recta que assinala o percurso da rec-ta). Em relação ao percurso ao nível dos Octantes, ver relatório do exer-cício anterior. Note que, dos quatro pontos notáveis, esta recta apenasapresenta três, pelo que a recta muda de Octante apenas três vezes – arecta atravessa, apenas, quatro Octantes. Nesse sentido, neste caso,apenas se indicam quatro Octantes na recta que assinala o percurso darecta (ao nível dos Octantes). Invisibilidades e visibilidades: ver exercí-cio 34 e respectivo relatório.

36.

13

SOLUÇÕES

38.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pontos A e B. Em se-guida, desenharam-se as projecções da recta a, em função dos dados – de-senhou-se a projecção frontal da recta, passando por A2 e com o ângulopretendido. Em seguida, determinou-se F (o traço frontal de a), em função dasua cota e sabendo que o afastamento de F é nulo (a sua projecção horizon-tal situa-se no eixo X) A projecção horizontal da recta passa por A1 e F1. Apartir das projecções da recta a, desenharam-se as projecções da recta b,passando pelas projecções homónimas de B e paralelas às projecções homó-nimas da recta a (rectas paralelas têm as projecções homónimas paralelasentre si) – b1 passa por B1 e é paralela a a1, enquanto que b2 passa por B2 e éparalela a a2.

39.

Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto P. Em seguida, desenha-ram-se as projecções da recta r, passando pelas projecções homónimas do ponto P ecom os ângulos dados – r2 passa por P2 e faz, com o eixo X (e acima deste), um ângu-lo de 50º (a.e.), enquanto que r1 passa por P1 e é paralela a r2. A recta s é concorrentecom r no ponto P, pelo que P pertence, simultaneamente, às duas rectas. Assim, asprojecções da recta s passam também pelas projecções homónimas de P (rectas con-correntes têm as projecções homónimas concorrentes sobre as projecções homóni-mas do ponto de concorrência) – s1 passa por P1 e é perpendicular a r1, enquanto ques2 passa por P2 e faz, com o eixo X e acima deste, um ângulo de 30º (a.e.).

40.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pontos dados – A e B.Em seguida, desenharam-se as projecções da recta m, em função dos dados(ver exercício 28 e respectivo relatório). As projecções da recta n passam pelasprojecções homónimas do ponto B e são paralelas às projecções homónimasda recta m (ver exercício 38 e respectivo relatório). As projecções homónimasdas rectas m e n são paralelas entre si, pois as rectas m e n são paralelas. Emseguida determinou-se o ponto da recta n que tem abcissa nula – o ponto R. Rpertence à recta n, pois tem as suas projecções sobre as projecções homóni-mas da recta n. R é o ponto de concorrência da recta r com a recta n. Em se-guida desenhou-se a projecção frontal da recta r, de acordo com os dados – aprojecção frontal da recta r faz, com o eixo X (e acima deste), um ângulo de30º (a.d.). A recta r é, também, concorrente com a recta m – determinaram-seas projecções do ponto de concorrência das rectas r e m (o ponto S). S deter-minou-se em função da sua projecção frontal – S2 é o ponto de concorrênciade r2 com m2 e S1 situa-se necessariamente sobre m1. A projecção horizontalda recta r fica definida pelas projecções horizontais de R e S.

Em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pontos P e R. Em se-guida, desenharam-se as projecções das rectas a e b, em função dos dados –as projecções homónimas das duas rectas são concorrentes sobre as projec-ções homónimas do ponto de concorrência (P). As projecções da recta a pas-sam pelas projecções homónimas dos pontos P e R. A projecção horizontalda recta b (b1) passa por P1 e faz, com o eixo X (e abaixo deste), um ângulo de30º (a.d.). Sobre b1 determinou-se H1, a projecção horizontal do traço horizon-tal da recta (que tem 2 cm de afastamento) – H2 situa-se no eixo X. A projec-ção frontal da recta b (b2) passa por P2 e por H2. Em seguida,determinaram-se as projecções do ponto da recta b que tem 2 cm de cota – oponto S. Pelas projecções do ponto S conduziram-se as projecções da rectar, paralelas às projecções homónimas da recta a, pois a recta r é paralela àrecta a (rectas paralelas têm as projecções homónimas paralelas entre si).

41.

14

SOLUÇÕES

42.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções das rectas a e b, em funçãodos dados (ver exercício anterior e respectivo relatório). Em seguida, dese-nhou-se a projecção frontal da recta n, que é paralela ao eixo X e se situa 4cm acima deste. A recta n é concorrente com as rectas a e b, pelo que exis-tem dois pontos de concorrência. O ponto A é o ponto de concorrência darecta n com a recta a – o ponto A foi determinado a partir da sua projecçãofrontal (é o ponto de concorrência de n2 com a2) e A1 situa-se sobre a1. O pon-to B é o ponto de concorrência da recta n com a recta b – o ponto B foi igual-mente determinado a partir da sua projecção frontal (é o ponto deconcorrência de n2 com b2) e B1 situa-se sobre b1. A projecção horizontal darecta n fica definida pelas projecções horizontais dos pontos A e B.

43. Em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pontos P e R,em função das respectivas coordenadas. Uma recta horizontal (de ní-vel) é paralela ao Plano Horizontal de Projecção (νo) – todos os seuspontos têm a mesma cota, pelo que a sua projecção frontal é paralelaao eixo X. Assim, a projecção frontal da recta h (h2) passa por P2 e éparalela ao eixo X. Por outro lado, o ângulo que a recta faz com oPlano Frontal de Projecção (ϕo) representa-se, em verdadeira gran-deza, no ângulo que a projecção horizontal da recta faz com o eixo X.Assim, a projecção horizontal da recta h (h1) passa por P1 e faz, como eixo X e abaixo deste, um ângulo de 30º (a.e.). Em seguida dese-nharam-se as projecções da recta n – estas são paralelas às projec-ções homónimas da recta h e passam pelas projecções homónimasdo ponto R. Por fim, determinaram-se os pontos notáveis da recta n– ver exercício 31 e respectivo relatório. A recta n não tem traço hori-zontal, pois a recta n é paralela ao Plano Horizontal de Projecção (νo).A nível do percurso no espaço, a recta atravessa os 1o e 2o Diedros.

44.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pontos A e B,em função das respectivas coordenadas. Uma recta frontal (de frente) éparalela ao Plano Frontal de Projecção (ϕo) – todos os seus pontos têmo mo afastamento, pelo que a sua projecção horizontal é paralela aoeixo X. Assim, a projecção horizontal da recta f (f1) passa por A1 e é pa-ralela ao eixo X. Por outro lado, o ângulo que a recta faz com o PlanoHorizontal de Projecção (νo) representa-se, em verdadeira grandeza, noângulo que a projecção frontal da recta faz com o eixo X. Assim, a pro-jecção frontal da recta f (f2) passa por A2 e faz, com o eixo X e acimadeste, um ângulo de 40º (a.e.). Em seguida desenharam-se as projec-ções da recta f’ – estas são paralelas às projecções homónimas da rec-ta f e passam pelas projecções homónimas do ponto B. Por fim,determinaram-se os pontos notáveis da recta f’. O traço horizontal (H)da recta f’ é o seu ponto com cota nula – H2 está no eixo X. O traço darecta f’ no β2/4 (I) é o seu ponto com projecções coincidentes – I1 � I2.Tendo em conta que todos os pontos da recta têm 3 cm de afastamen-to (o afastamento do ponto B), o traço da recta no β1/3 (Q) é o ponto darecta f’ que tem 3 cm de cota. A recta f’ não tem traço frontal, pois arecta f’ é paralela ao Plano Frontal de Projecção (ϕo). A nível do percur-so no espaço, a recta atravessa os 1o e 4o Diedros – no 1o Diedro, arecta atravessa os 2o e 1o Octantes e, no 4o Diedro, a recta atravessaos 8o e 7o Octantes. Apesar de ser pedido, apenas, o percurso ao níveldos Octantes, é sempre necessário, mesmo que tal não se indique,pensar no percurso ao nível dos Diedros.

15

SOLUÇÕES

46.

Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto A, em função das suascoordenadas. Uma recta horizontal (de nível) é paralela ao Plano Horizontal de Pro-jecção (νo) – todos os seus pontos têm a mesma cota, pelo que a sua projecçãofrontal é paralela ao eixo X. Assim, a projecção frontal da recta h (h2) passa por A2 eé paralela ao eixo X. Por outro lado, o ângulo que a recta faz com o Plano Frontalde Projecção (ϕo) representa-se, em verdadeira grandeza, no ângulo que a projec-ção horizontal da recta faz com o eixo X. Assim, a projecção horizontal da recta h(h1) passa por A1 e faz, com o eixo X e abaixo deste, um ângulo de 45º (a.e.). Emseguida determinou-se o ponto B, o ponto da recta h que tem 3 cm de afastamen-to. A recta v, sendo concorrente com a recta h no ponto B, passa necessariamentepor B – B é um ponto que pertence às duas rectas. A recta v é uma recta vertical(projectante horizontal), pelo que a sua projecção frontal (v2) passa por B2 e é per-pendicular ao eixo X, enquanto que a sua projecção horizontal (v1) é um único pon-to, que está coincidente com B1.

47.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto P, em função das suascoordenadas. A projecção frontal da recta t (t2) é um único ponto (o que se assinalacom parêntesis), que está coincidente com P2, pois P é um ponto da recta. A pro-jecção horizontal de t (t1) é perpendicular ao eixo X e passa por P1. O ponto M é oponto da recta t que tem 2 cm de afastamento – M2, a projecção frontal de M, estácoincidente com a projecção frontal da recta t, pois a recta t é projectante frontal(projecta todos os seus pontos num único ponto, no Plano Frontal de Projecção). Aprojecção frontal da recta r passa por M2, fazendo, com o eixo X (e acima deste), oângulo pretendido – um ângulo de 30º (a.d.). Uma recta passante é uma recta con-corrente com o eixo X. O ponto A é o ponto de concorrência da recta r com o eixoX – o ponto A determinou-se a partir da sua projecção frontal (A2 é o ponto de con-corrência de r2 com o eixo X) e tem as suas projecções coincidentes, no eixo X.Aprojecção horizontal da recta r (r1) está definida por A1 e por M1.

45.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pontos M eN, em função das respectivas coordenadas. A recta v é vertical (ouprojectante horizontal) – a sua projecção frontal (v2) passa por M2

e é perpendicular ao eixo X, enquanto que a sua projecção hori-zontal (v1) é um ponto (o que se assinala com parêntesis) que estácoincidente com M1. A recta t é de topo (ou projectante frontal) – asua projecção horizontal (t1) passa por N1 e é perpendicular aoeixo X, enquanto que a sua projecção frontal (t2) é um ponto (oque se assinala com parêntesis) que está coincidente com N2.Pontos notáveis da recta v: como se trata de uma recta projec-tante horizontal, as projecções horizontais de todos os seus pon-tos estão coincidentes com o seu traço horizontal (e com a própriaprojecção horizontal da recta). Assim, Q (o traço da recta no β1/3)tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X, I (o traçoda recta no β2/4) tem as suas projecções coincidentes e H (o traçohorizontal da recta) é o ponto da recta que tem cota nula (H2 situa-se no eixo X). Pontos notáveis da recta t: como se trata de uma recta projectante frontal, as projecções frontais de todosos seus pontos estão coincidentes com o seu traço frontal (e com a própria projecção frontal da recta). Assim, Q (o traço darecta no β1/3) tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X, I (o traço da recta no β2/4) tem as suas projecçõescoincidentes e F (o traço frontal da recta) é o ponto da recta que tem afastamento nulo (F1 situa-se no eixo X). Visibilidadese invisibilidades da recta v: a recta atravessa o 1o e o 4o Diedros, pelo que a parte invisível da recta é a parte que se situano 4o Diedro (corresponde ao conjunto dos pontos da recta que têm cota negativa). Visibilidades e invisibilidades da rectat: a recta atravessa o 1o e o 2o Diedros, pelo que a parte invisível da recta é aquela que se situa no 2o Diedro (corresponde aoconjunto de pontos da recta que têm afastamento negativo). Posição relativa das duas rectas: as duas rectas são enviesa-das (não complanares).

16

SOLUÇÕES

48.a) Em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pontos A e B, em

função das respectivas coordenadas. Sobre a determinação das projec-ções das rectas v e t, ver exercício 45 e respectivo relatório – pelas pro-jecções de A conduziram-se as projecções homónimas da recta v epelas projecções de B conduziram-se as projecções homónimas da rec-ta t. Note que a projecção horizontal de v é um único ponto, o que se as-sinala com parêntesis. De forma semelhante, a projecção frontal de t éum único ponto, o que se assinala igualmente com parêntesis.

b) Uma recta fronto-horizontal é uma recta em que todos os seus pontostêm o mesmo afastamento e a mesma cota. A recta g é concorrentecom as rectas v e t. O ponto de concorrência da recta g com a recta v (oponto R) tem necessariamente de ter 2 cm de afastamento, pois todosos pontos da recta v têm 2 de afastamento. Este raciocínio permitiu-nosdeterminar, imediatamente, a projecção horizontal de R (R1), mas não asua projecção frontal. A recta g tem, assim, de ter 2 cm de afastamento, o que nos permitiu desenhar a sua projecção hori-zontal – g1. O ponto de concorrência da recta g coma recta t (o ponto S) tem necessariamente de ter 3 cm de cota, pois to-dos os pontos da recta t têm 3 de cota. Este raciocínio permitiu-nos determinar, imediatamente, a projecção frontal de S(S2), mas não a sua projecção horizontal. A recta g tem, assim, 3 cm de cota, o que nos permitiu desenhar a projecção fron-tal da recta g. A partir das projecções da recta g, determinaram-se as projecções em falta dos pontos R e S. Todos os pon-tos da recta g têm o mesmo afastamento e a mesma cota, pois g é simultaneamente paralela ao Plano Frontal de Projecçãoe ao Plano Horizontal de Projecção. Note que a projecção frontal da recta g está 3 cm acima do eixo X e a sua projecçãohorizontal está 2 cm abaixo do eixo X.

a) Em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pontos A e B, emfunção das respectivas coordenadas. As projecções da recta r estão defi-nidas pelas projecções do ponto A e de F, o seu traço frontal (ver exercí-cio 30 e respectivo relatório). As projecções da recta s passam pelasprojecções homónimas de B e são paralelas às projecções homónimas der (as rectas r e s são paralelas) – ver exercício 38 e respectivo relatório.

b) As projecções da recta p desenharam-se de forma imediata, em funçãoda abcissa dada – todos os seus pontos têm a mesma abcissa, o que nospermitiu desenhar imediatamente as projecções da recta (as projecçõessão coincidentes e ambas perpendiculares ao eixo X). No entanto, as pro-jecções de uma recta de perfil não verificam o Critério de Reversibilida-de. Por isso mesmo, uma recta de perfil tem que estar definida por doispontos. Atendendo a que a recta p é concorrente com as rectas r e s, arecta p está definida pelos pontos M e N que são, respectivamente, ospontos de concorrência da recta p com as rectas r e s. Os pontos M e Ndeterminaram-se a partir da abcissa da recta p. A recta p é concorrentecom a recta r no ponto M e é concorrente com a recta s no ponto N.

50.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto M, em função das suas coor-denadas. Em seguida, pela projecção horizontal do ponto M (M1) conduziu-se a projec-ção horizontal da recta r (r1) fazendo, cm o eixo X (e abaixo deste) o ângulo pretendido –35º (a.e.). O ponto de intersecção de r1 com o eixo X é L1, que é a projecção horizontaldo ponto de concorrência da recta r com o eixo X (a recta r é concorrente com o eixo X,pois trata-se de uma recta passante). As projecções do ponto L estão coincidentes, poisé um ponto do eixo X (tem cota e afastamento nulos) – M1 � M2. A projecção frontal darecta r (r2) passa por L2 e por M2. As projecções da recta de perfil determinaram-seimediatamente – estão coincidentes, passam pelas projecções homónimas do ponto M esão perpendiculares ao eixo X. No entanto, as projecções da recta são insuficientes paradefinir completamente a recta, pois as suas projecções não verificam o Critério de Re-versibilidade. Sem qualquer outra informação, a recta p representada é uma recta deperfil qualquer, que passa pelo ponto M (que é o ponto de concorrência das rectas r e p), mas não está garantido que se tratede uma recta passante. Assim, é necessário um outro ponto para definir totalmente a recta. Esse ponto terá de ser o ponto deconcorrência da recta p com o eixo X – o ponto N (recorde que se pretende que a recta p seja uma recta passante, pelo que éconcorrente com o eixo X). A recta p, de perfil, definida pelos pontos M e N, é uma recta de perfil concorrente com a recta rno ponto M e concorrente com o eixo X no ponto N – é uma recta de perfil passante.

49.

17

SOLUÇÕES

51.a) Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta h, e função dos dados.

A projecção frontal da recta (h2) é paralela ao eixo X e situa-se 2 cm acima do eixo X(a recta tem 2 cm de cota). O único dado sobre a projecção horizontal da recta (h1)consiste no ângulo que a recta faz com o Plano Frontal de Projecção – h1 faz, com oeixo X e abaixo deste, um ângulo de 40º (a.e.). O ângulo que a recta h faz com o Pla-no Frontal de Projecção projecta-se, em VG., no ângulo que a sua projecção horizon-tal (h1) faz com o eixo X. Esse dado permite-nos desenhar h1, num sítio qualquer. Emseguida desenhou-se f1, a projecção horizontal da recta f. A recta f é uma recta fron-tal (de frente), pelo que a sua projecção horizontal é paralela ao eixo X e situa-se 3 cmabaixo deste (a recta f tem 3 cm de afastamento). A partir da projecção horizontal darecta f determinou-se a projecção horizontal do ponto de concorrência das duas rec-tas – P1 é o ponto de concorrência de h1 com f1. O ponto P é o ponto de concorrên-cia das duas rectas e, por isso, P2 está sobre h2. Por fim desenhou-se a projecçãofrontal da recta f (f2), passando por P2 e fazendo, com o eixo X (e acima deste), umângulo de 50º (a.d.). O ângulo que a recta f faz com o Plano Horizontal de Projecçãoprojecta-se, em V.G., no ângulo que a sua projecção frontal (f2) faz com o eixo X.

b) O ponto P tem 3 cm de afastamento, pois pertence à recta f e todos os pontos darecta f têm 3 cm de afastamento. Por outro lado, o ponto P tem 2 cm de cota, poispertence à recta h e todos os pontos da recta h têm 2 cm de cota. As coordenadas de P são ( 3; 2).

c) Em primeiro lugar desenhou-se a projecção frontal da recta h’ (h’2), paralela ao eixo X e 4 cm acima deste (a recta h’ é hori-zontal e tem 4 cm de cota). Uma vez que a recta h’ é concorrente com a recta f, a partir das projecções frontais das duasrectas é possível determinar a projecção frontal do ponto de concorrência – o ponto M. M2 (a projecção frontal do ponto M)é, assim, o ponto de concorrência de h’2 com f2. Note que se poderia ter determinado a projecção frontal do ponto M semter desenhado previamente a projecção frontal da recta h’ – M é o ponto da recta f que tem 4 cm de cota. A projecção hori-zontal de M (M1) situa-se sobre f1. Por M1 conduziu-se a projecção horizontal da recta h’ – h’1. Esta é paralela a h1, pois arecta h’ é paralela à recta h (rectas paralelas têm as projecções homónimas paralelas entre si).

52.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pontos A e B, em função das res-pectivas coordenadas, e desenharam-se as projecções da recta r, passando pelas pro-jecções homónimas dos pontos A e B. Em seguida desenhou-se a projecção frontal darecta h – h2. Uma recta horizontal com 0 de cota (cota nula) situa-se no Plano Horizon-tal de Projecção, pelo que a sua projecção frontal se situa no eixo X. O ponto de con-corrência da recta h com a recta r é, assim, um ponto da recta r que tem cota nula – é otraço horizontal da recta r. Determinou-se o traço horizontal da recta r – H. Note queas projecções frontais das duas rectas são concorrentes entre si sobre H2, a projecçãofrontal de H. Por H1, a projecção horizontal de H, conduziu-se h1, a projecção horizontalda recta h, com o ângulo pretendido – um ângulo de 20º (a.d.) com o eixo X, medidoabaixo deste. A recta h situa-se no Plano Horizontal de Projecção e o ponto de con-corrência das duas rectas é o traço horizontal da recta r.

53.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pontos M e N, em função das respec-tivas coordenadas, e desenharam-se as projecções da recta s, passando pelas projecçõeshomónimas dos pontos M e N. Em seguida desenhou-se a projecção horizontal da recta f –f1. Uma recta frontal com 0 de afastamento (afastamento nulo) situa-se no Plano Frontal deProjecção, pelo que a sua projecção horizontal se situa no eixo X. O ponto de concorrênciada recta f com a recta s é, assim, um ponto da recta s que tem afastamento nulo – é o traçofrontal da recta s. Determinou-se o traço frontal da recta s – F. Note que as projecções ho-rizontais das duas rectas são concorrentes entre si sobre F1, a projecção horizontal de F.Por F2, a projecção frontal de F, conduziu-se f2, a projecção frontal da recta f, com o ângulopretendido – um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo X, medido acima deste. A recta f situa-seno Plano Frontal de Projecção e o ponto de concorrência das duas rectas é o traço fron-tal da recta s.

18

SOLUÇÕES

54.a) Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto P, em função das

suas coordenadas, e desenharam-se as projecções da recta s, em função dosdados – s1 passa por P1 e faz, com o eixo X (e a abaixo deste), um ângulo de60º (a.e.), enquanto que s2 passa por P2 e faz, com o eixo X (e acima deste),um ângulo de 30º (a.d.).

b) A recta r é uma recta do β1/3, pelo que o ponto de concorrência das duas rec-tas é necessariamente um ponto do β1/3. Assim, o ponto de concorrência darecta r com a recta s é o traço da recta s no ββ1/3 – o ponto Q. Este determi-nou-se com o recurso a uma recta auxiliar, simétrica de s1 em relação ao eixoX. O ponto de concorrência dessa recta auxiliar com s2 é Q2 – Q1 situa-se so-bre s1. As projecções da recta r são simétricas em relação ao eixo X e passampelas projecções homónimas de Q – r2 passa por Q2 e faz, com o eixo X (e aci-ma deste), um ângulo de 20º (a.e.), tal como r1 passa por Q1 e faz, com o eixoX (e abaixo deste), um ângulo de 20º (a.e.). Note que as duas projecções darecta r são concorrentes entre si num ponto do eixo X, pois a recta r, sendouma recta do β1/3, é necessariamente uma recta passante. O ponto de con-corrência das duas rectas é o traço no ββ1/3 da recta s.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta s, em função dos dados(ver exercício anterior – alínea a) – e respectivo relatório). A recta a é uma recta doβ2/4, pelo que o ponto de concorrência das duas rectas é necessariamente umponto do β2/4. Assim, o ponto de concorrência da recta a com a recta s é o traçoda recta s no ββ2/4 – o ponto I. Este é o ponto da recta s que tem as suas projec-ções coincidentes – I1 � I2. As projecções da recta a são coincidentes e passampelas projecções homónimas de I – a2 (a projecção frontal da recta a) passa porI2 e é perpendicular a s2. A projecção horizontal da recta a (a1) está coincidentecom a2 (a projecção frontal da recta a), pelo que passa necessariamente por I1.Note que as duas projecções da recta a , sendo coincidentes, são necessaria-mente concorrentes entre si num ponto do eixo X, pois a recta a, sendo uma rectado β2/4, é necessariamente uma recta passante. O ponto de concorrência dasrectas s e a é o traço no ββ2/4 da recta s.

56.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pontos M e N, em função das respectivascoordenadas, e desenharam-se as projecções do segmento de recta que tem extremos em M eem N. Em seguida analisou-se a posição do segmento de recta no espaço, em relação aos doisplanos de projecção – o segmento de recta é oblíquo a ambos os planos de projecção, pelo queas duas projecções do segmento estão deformadas. Nesse sentido, não é possível determi-nar a verdadeira grandeza do segmento [MN] nas suas projecções de forma directa, pois o seg-mento não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. A V.G. do segmento de recta não estáem nenhuma das suas projecções.

57.

Em primeiro lugar determinaram-se as projecções dos pontos A e B, em função das suas coorde-nadas e da sua posição no espaço – A e B são dois extremos de um segmento de recta vertical,pelo que se situam necessariamente na mesma recta projectante horizontal (uma recta vertical éuma recta projectante horizontal). Assim, as projecções horizontais dos dois pontos estão neces-sariamente coincidentes. O segmento de recta é paralelo ao Plano Frontal de Projecção e orto-gonal ao Plano Horizontal de Projecção – assim, a sua projecção frontal não apresenta qualquerdeformação enquanto que a sua projecção horizontal (que é um ponto), apresenta a deforma-ção máxima. A verdadeira grandeza (V.G.) do segmento mede-se, então, na sua projecção frontal,pois o segmento é paralelo ao Plano Frontal de Projecção (ϕo), pelo que é essa a projecção quenão tem deformação, tal como nos segmentos de recta frontais (de frente) – uma recta vertical éum caso particular das rectas frontais (de frente).

55.

19

SOLUÇÕES

58.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto P, em função das suascoordenadas, e desenharam-se as projecções da recta f, a recta suporte do segmento,em função dos dados. Uma vez que a recta f é paralela ao Plano Frontal de Projecção, asua projecção frontal não apresenta qualquer deformação. Assim, a verdadeiragrandeza do segmento está na sua projecção frontal, pois o segmento é paralelo ao Pla-no Frontal de Projecção (ϕo). Nesse sentido, sobre a projecção frontal da recta f (f2), apartir de P2, mediram-se os 6 cm (o comprimento do segmento), obtendo-se Q2 sobre f2

– Q é o extremo de menor cota do segmento e Q1 situa-se sobre f1. Note que se medi-ram os 6 cm para baixo de P2, pois no enunciado está expresso de forma inequívocaque o ponto P é o extremo de maior cota do segmento.

Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto R, em função das suas coordenadas, edesenharam-se as projecções da recta t, a recta suporte do segmento, em função dos dados. Aprojecção frontal da recta t é um único ponto, pois trata-se de uma recta projectante frontal. Umavez que a recta t é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, a sua projecção horizontal nãoapresenta qualquer deformação. (trata-se de um caso particular das rectas horizontais). Assim, averdadeira grandeza do segmento está na sua projecção horizontal, pois o segmento é paralelo aoPlano Horizontal de Projecção (νo). Nesse sentido, sobre a projecção horizontal da recta t (t1), apartir de R1, mediram-se os 5 cm (o comprimento do segmento), obtendo-se S1 sobre t1 – S é oextremo de maior afastamento do segmento e S2 está coincidente com (t2) e com R2. Note que aprojecção frontal do segmento de recta é um único ponto – a projecção frontal do segmento apre-senta a deformação máxima. Note ainda que se mediram os 5 cm para baixo de R1, pois noenunciado está expresso de forma inequívoca que o segmento se situa no 1o Diedro e, caso setivessem medido os 5 cm para cima de R1, o ponto S teria afastamento negativo. Tal significaria,então, que o segmento não se situava na totalidade no espaço do 1o Diedro – teria uma parte no 1o

Diedro e uma outra parte no 2o Diedro.

60.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto A, em função das suas coor-denadas, e desenhou-se a projecção frontal da recta h, a recta suporte do segmento.Note que não há dados suficientes para desenhar a projecção horizontal da recta h, poiso enunciado é omisso em relação à projecção horizontal de h. O dado referente à linhade chamada de B permite-nos determinar B2, sobre h2. Uma vez que a recta h é paralelaao Plano Horizontal de Projecção, a sua projecção horizontal não apresenta qualquerdeformação. Assim, a verdadeira grandeza do segmento está na sua projecção horizon-tal, pois o segmento é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção (νo). Nesse sentido, B1

será o ponto da linha de chamada de B que dista 7 cm de A1, com a condição de B sesituar no 1o Diedro (note que é expressamente pedido que o segmento se situe no espa-ço do 1o Diedro). Com o recurso ao compasso, fazendo centro em A1 e com 7 cm deraio (o comprimento do segmento), determinou-se o ponto da linha de chamada de Bque dista 7 cm de A1. Determinando B1, foi possível desenhar h1, a projecção horizontalda recta h, bem como concluir as projecções do segmento de recta [AB].

61.

O ponto P é um ponto do β1/3, pelo que as suas coordenadas são iguais – as coordenadas de Psão ( 2; 2). Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto P, em função das suascoordenadas, e pelas projecções de P conduziram-se as projecções homónimas da recta t, a rectasuporte do segmento [PQ]. A recta t é uma recta projectante frontal, pelo que a projecção frontal deQ está coincidente com a projecção frontal de P – Q2 � P2. A recta t é paralela ao Plano Horizontalde Projecção, pelo que a sua projecção horizontal não apresenta deformação. Assim, sobre t1 ea partir de P1, mediram-se os 4 cm (o comprimento de [PQ]), em verdadeira grandeza, garantindoque o segmento se situa, na totalidade, no espaço do 1o Diedro (ver exercício 59 e respectivo rela-tório). Em seguida desenharam-se as projecções da recta f (a recta suporte do segmento [PR]), emfunção dos dados – as projecções da recta f passam pelas projecções homónimas do ponto P e asua projecção frontal faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. A recta f é paralela ao Plano Frontalde Projecção, pelo que a sua projecção frontal não apresenta deformação. Assim, sobre f2 e apartir de P2, mediram-se os 5 cm (o comprimento de [PR]), em verdadeira grandeza, obtendo R2 egarantindo que o segmento se situa, na totalidade, no espaço do 1o Diedro (ver exercício 58 e res-pectivo relatório). R1 situa-se sobre f1. A partir das projecções dos três vértices do triângulo (P, Q eR), foi possível desenhar as projecções dos três lados da figura – [PQ], [PR] e [QR] – e concluir asua representação. Note que a projecção frontal da figura se reduz a um segmento de recta.

59.

20

SOLUÇÕES

62.Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto A, em função dassuas coordenadas, e desenharam-se as projecções da recta f, a recta suportedo segmento [AB] – as projecções da recta f passam pelas projecções homó-nimas do ponto A e a sua projecção frontal faz, com o eixo X, o ângulo preten-dido. A recta f é paralela ao Plano Frontal de Projecção, pelo que a suaprojecção frontal não apresenta deformação. Assim, sobre f2 e a partir deA2, mediram-se os 5 cm (o comprimento de [AB]), em verdadeira grandeza,obtendo B2 sobre f2 e garantindo que B tem cota inferior a A (ver exercício 58e respectivo relatório). B1 situa-se sobre f1. Em seguida, pelas projecções de Aconduziram-se as projecções homónimas da recta v, a recta suporte do seg-mento [AD]. A recta v é uma recta projectante horizontal, pelo que a projecçãohorizontal de D está coincidente com a projecção frontal de A – D1 � A1. Arecta v é paralela ao Plano Frontal de Projecção, pelo que a sua projecçãofrontal não apresenta deformação. Assim, sobre v2 e a partir de A2, medi-ram-se os 2 cm (o comprimento de [AD]), em verdadeira grandeza, garantindoque D tem cota superior a A. Por fim, pelas projecções de D conduziram-se asprojecções homónimas da recta h, a recta suporte do lado [CD] da figura – aprojecção horizontal da recta h faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. A rectah é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que a sua projecção hori-zontal não apresenta deformação. Assim, sobre h1 e a partir de D1, medi-ram-se os 5 cm (o comprimento de [CD]), em verdadeira grandeza, obtendo C1

sobre h1 e garantindo que C se situa no 1o Diedro. Tenha em conta que, sendopedido que a figura se situe, na totalidade, no 1o Diedro, não pode haver ne-nhum vértice da figura que não se situe no 1o Diedro. C2 situa-se sobre h2. Apartir das projecções dos quatro vértices da figura (A, B, C e D), foi possíveldesenhar as projecções dos quatro lados da figura – [AB], [BC], [CD] e [AD] –e concluir a sua representação.

63.

Em primeiro lugar determinaram-se as projecções do ponto P, em função dassuas coordenadas, e desenharam-se as projecções da recta h, a recta suportedo segmento [PQ] – as projecções da recta h passam pelas projecções homóni-mas do ponto P e a sua projecção horizontal faz, com o eixo X, o ângulo preten-dido. A recta h é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que a suaprojecção horizontal não apresenta deformação. Assim, sobre h1 e a partirde P1, mediram-se os 4 cm (o comprimento de [PQ]), em V.G., obtendo Q1 sobreh1 e garantindo que Q se situa no 1o Diedro. Q2 situa-se sobre h2. Em seguida,desenharam-se as projecções da recta f, a recta suporte do lado [QR] – as pro-jecções da recta f passam pelas projecções homónimas do ponto Q e a suaprojecção frontal faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. A recta f é paralela aoPlano Frontal de Projecção, pelo que a sua projecção frontal não apresentadeformação. Assim, sobre f2 e a partir de Q2, mediram-se os 7 cm (o compri-mento de [QR]), em V.G., obtendo R2 sobre f2 e garantindo que R se situa no 1.o

Diedro (ver exercício 58 e respectivo relatório). R1 situa-se sobre f1. Em seguida,desenharam-se as projecções da recta h’, a recta suporte do lado [RS] – as pro-jecções da recta h’ passam pelas projecções homónimas do ponto R e a suaprojecção horizontal faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. A recta h’ é paralelaao Plano Horizontal de Projecção, pelo que a sua projecção horizontal nãoapresenta deformação. Assim, sobre h’1 e a partir de R1, mediram-se os 4 cm(o comprimento de [RS]), em V.G., obtendo S1 sobre h’1 e garantindo que S temafastamento inferior a R. S2 situa-se sobre h’2. Note que, se a resolução doexercício estiver absolutamente rigorosa, o ponto S tem necessariamente omesmo afastamento de P. A partir das projecções dos quatro vértices da figura(P, Q, R e S), foi possível desenhar as projecções dos quatro lados da figura –[PQ], [QR], [RS] e [PS] – e concluir a sua representação.

21

SOLUÇÕES

64.a) Os pontos A e B são simétricos em relação ao Plano Frontal de Projecção (ϕo), pelo que se

situam na mesma recta projectante frontal – têm cotas iguais e as suas projecções frontaissão coincidentes. Os dois pontos têm 4 cm de cota (que é a cota de A). Uma vez que ospontos são simétricos em relação ao Plano Frontal de Projecção, os seus afastamentossão simétricos. Atendendo a que B tem 4 cm de cota, o seu afastamento é 2 (metade dasua cota) – os dois pontos têm afastamentos simétricos, pelo que o afastamento de A é –2.A situa-se, assim, no 2.o Diedro (como é dado). As coordenadas de A são ( –2; 4) e as de Bsão (2; 4). A partir dos raciocínios expostos, e tendo em conta que as projecções frontaisdos dois pontos estão necessariamente coincidentes, determinaram-se as projecções dosdois pontos.

b) Os pontos A e C são simétricos em relação ao Plano Horizontal de Projecção (νo), pelo quese situam na mesma recta projectante horizontal – têm afastamentos iguais e as suas pro-jecções horizontais são coincidentes. Os dois pontos têm –2 cm de afastamento (que é oafastamento de A). Uma vez que os pontos são simétricos em relação ao Plano Horizontal deProjecção, as suas cotas são simétricas. Atendendo a que A tem 4 cm de cota, a cota de C é–4. As coordenadas de C são ( –2; –4). A partir dos raciocínios expostos, e tendo em contaque as projecções horizontais dos dois pontos estão necessariamente coincidentes, determi-naram-se as projecções do ponto C, atendendo a que se tem C1 � A1.

c) Atendendo a que os pontos A e D se situam na mesma recta projectante frontal, os dois pontos têm, necessariamente, amesma cota – o ponto D tem, assim, 4 cm de cota (o ponto A tem 4 de cota). Por outro lado, uma vez que os dois pontosse situam na mesma recta projectante frontal, os dois pontos têm necessariamente as suas projecções frontais coin-cidentes. O ponto D pertence ao β1/3, pelo tem cota igual ao afastamento (pontos do β1/3 têm coordenadas iguais) – ascoordenadas de D são ( 4; 4). A partir dos raciocínios expostos, determinaram-se as projecções do ponto D, atendendo aque se tem D2 � A2.

d) Atendendo a que os pontos B e E se situam na mesma recta projectante horizontal, os dois pontos têm, necessariamente,o mesmo afastamento – o ponto E tem, assim, 2 cm de afastamento (o ponto B tem 2 de afastamento). Por outro lado, umavez que os dois pontos se situam na mesma recta projectante horizontal, os dois pontos têm necessariamente as suas pro-jecções horizontais coincidentes. O ponto E pertence ao Plano Horizontal de Projecção, pelo tem cota nula (pontos do Pla-no Horizontal de Projecção têm cota nula) – as coordenadas de E são ( 2; 0). A partir dos raciocínios expostos,determinaram-se as projecções do ponto E, atendendo a que se tem E1 � B1.

65.

a) Os pontos R e S são simétricos em relação ao Plano Frontal de Projecção (ϕo), peloque se situam na mesma recta projectante frontal – têm cotas iguais e as suas pro-jecções frontais são coincidentes. Uma vez que os pontos são simétricos em relaçãoao Plano Frontal de Projecção, os seus afastamentos são simétricos. Atendendo a queR tem –4 de afastamento, o afastamento de S é 4. A cota de S é metade do seu afas-tamento, pelo que a cota de S é 2. As coordenadas de S são ( 4; 2). Os dois pontostêm a mesma cota, pelo que a cota de R é 2. As coordenadas de R são ( –4; 2). A par-tir dos raciocínios expostos, e tendo em conta que as projecções frontais dos doispontos estão necessariamente coincidentes (R2 � S2), determinaram-se as projecçõesdos dois pontos.

b) A recta a é uma recta de topo (projectante frontal) e atravessa o 1o e 2o Diedros (verexercício 45 e respectivo relatório). As projecções frontais de todos os seus pontosestão coincidentes num único ponto, que é o traço frontal da recta e que é a própriaprojecção frontal da recta. F (o traço frontal da recta), é o ponto da recta que temafastamento nulo. Q (o traço da recta no β1/3) é o ponto da recta que tem projecçõessimétricas em relação ao eixo X. I (o traço da recta no β2/4) é o ponto da recta que temprojecções coincidentes. Esta recta não tem traço horizontal, pois é paralela ao PlanoHorizontal de Projecção (não intersecta o Plano Horizontal de Projecção) – não há ne-nhum ponto da recta que tenha cota nula. A parte invisível da recta é a parte que sesitua no 2o Diedro, que é o conjunto dos seus pontos que têm afastamento negativo.

c) O ponto A pertence à recta a (tem as suas projecções sobre as projecções homóni-mas da recta) e tem 3 cm de afastamento – A1 situa-se sobre a1 e A2 está coincidentecom a projecção frontal da recta (que é um único ponto) e com as projecções frontaisdos restantes pontos da recta. As projecções da recta f passam pelas projecções ho-mónimas do ponto A. O ângulo que a recta f faz com o Plano Horizontal de Projecçãoprojecta-se em verdadeira grandeza no Plano Frontal de Projecção, no ângulo que f2

faz com o eixo X.

22

SOLUÇÕES

66.A partir do enunciado infere-se que as coordenadas de A são ( 2; 2; 2), pois o pon-to A pertence ao β1/3 (tem cota igual ao afastamento). Assim, em primeiro lugar de-terminaram-se as projecções do ponto A, em função das suas coordenadas, edesenharam-se as projecções da recta f, a recta suporte do segmento [AB] – asprojecções da recta f passam pelas projecções homónimas do ponto A e a suaprojecção frontal faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. A recta f é paralela aoPlano Frontal de Projecção, pelo que a sua projecção frontal não apresenta de-formação. Assim, sobre f2 e a partir de A2, mediram-se os 4 cm (o comprimentode [AB]), em V.G., obtendo B2 sobre f2 e garantindo que B tem cota inferior a A (verexercício 58 e respectivo relatório). B1 situa-se sobre f1. Em seguida, pelas projec-ções de A conduziram-se as projecções homónimas da recta h, a recta suporte dolado [AD] da figura – a projecção horizontal da recta h faz, com o eixo X, o ângulopretendido. A recta h é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que a suaprojecção horizontal não apresenta deformação. Assim, sobre h1 e a partir deA1, mediram-se os 8 cm (o comprimento de [AD]), em V.G., obtendo D1 sobre h1 egarantindo que D se situa no 1o Diedro. Tenha em conta que, sendo pedido que afigura se situe, na totalidade, no 1o Diedro, não pode haver nenhum vértice da figu-ra que não se situe no 1o Diedro. D2 situa-se sobre h2. Por fim, pelas projecçõesde B conduziram-se as projecções homónimas da recta t, a recta suporte do seg-mento [BC]. A recta t é uma recta projectante frontal, pelo que a projecção frontalde C está coincidente com a projecção frontal de B – C2 � B2. A recta t é paralelaao Plano Horizontal de Projecção, pelo que a sua projecção horizontal não apre-senta deformação. Assim, sobre t1 e a partir de B1, mediram-se os 6 cm (o com-primento de [BC]), em V.G., garantindo que o segmento se situa, na totalidade, noespaço do 1o Diedro (ver exercício 59 e respectivo relatório). A partir das projec-ções dos quatro vértices da figura (A, B, C e D), foi possível desenhar as projec-ções dos quatro lados da figura – [AB], [BC], [CD] e [AD] – e concluir a suarepresentação.

REPRESENTAÇAO DO PLANO

5

67.Em primeiro lugar definiu-se o plano α, através das projecções das rectas re s, em função dos dados. Em seguida determinou-se o ponto M, o pontoda recta r que tem 3 cm de cota – M é o ponto de concorrência da recta mcom a recta r. Por M2 conduziu-se m2 (a projecção frontal da recta m), fa-zendo um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo X (medido acima deste). Para de-finir a recta m são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Arecta m é concorrente com a recta r no ponto M, pelo que já temos umponto para definir a recta. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Asrectas m e s são complanares (pois pertencem ao mesmo plano), pelo queou são paralelas ou são concorrentes. As rectas s e m não são paralelas,pois as suas projecções frontais não são paralelas (o que seria necessáriopara que verificassem a condição de paralelismo entre rectas), pelo quesão concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto N.N2 é a projecção frontal de N e é o ponto de concorrência das projecçõesfrontais das duas rectas. A projecção horizontal de N, N1, está sobre s1. Játemos outro ponto para definir a recta. A projecção horizontal da recta m(m1) fica definida por M1 e N1 (a recta m pertence ao plano, pois contémdois pontos do plano). A recta m está definida por dois pontos – os pontosM e N. A recta m contém dois pontos do plano.

23

SOLUÇÕES

68.Em primeiro lugar definiu-se o plano α, através das projecções das rectasr e s, em função dos dados. A partir da posição da linha de chamada dotraço horizontal da recta a é possível localizar H’2 (H’ é o traço horizontalda recta a) – por H’2 conduziu-se a projecção frontal da recta a (a2), para-lela à projecção frontal da recta r (r2), pois a recta a é paralela à recta r (édado no enunciado). É pedida uma recta e para definir uma recta são ne-cessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta a é paralela àrecta r, pelo que já temos a direcção da recta a – é a direcção da recta r.Falta-nos um ponto para definir a recta. As rectas a e s são complana-res, pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. As rectas a e s nãosão paralelas, pois as suas projecções frontais não são paralelas (o queteria de acontecer para que se verificasse a condição paralelismo entrerectas), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concor-rência – o ponto S. S2 é a projecção frontal de S e é o ponto de concor-rência das projecções frontais das duas rectas. A projecção horizontal deS, S1, está sobre s1. Já temos o ponto que os faltava. Por S1 conduz-sea1 (a projecção horizontal da recta a), paralela a r1. A recta a pertence aoplano, pois contém um ponto do plano e é paralela a uma recta do plano– a recta a está definida por um ponto (o ponto S) e por uma direcção (adirecção da recta r). A recta a contém um ponto do plano e é paralela auma recta do plano.

69.

Em primeiro lugar definiu-se o plano α, através das projecções das rectas re s, em função dos dados. Em seguida, por P2 (a projecção frontal do pontoP) conduziu-se g2 (a projecção frontal da recta g), fazendo, com o eixo X, oângulo pedido (um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo X, que se mediu paracima deste). É pedida uma recta e para definir uma recta são necessáriosdois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta passa pelo ponto P (édado no enunciado), pelo que já temos um ponto para definir a recta – fal-ta-nos outro ponto ou uma direcção. As rectas g e r são complanares,pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas, pelo quesão concorrentes – existe um ponto de concorrência, que é o ponto P. Esteraciocínio não nos permitiu determinar nenhum outro ponto da recta. Asrectas g e s são complanares, pelo que ou são paralelas ou são concorren-tes. Não são paralelas, pelo que são concorrentes – existe um ponto deconcorrência, que é o ponto P. Mais uma vez, este raciocínio não nos per-mitiu determinar nenhum outro ponto da recta. Conclui-se, então, que osdados do exercício (as rectas r e s) são insuficientes para determinar a rectag, pelo que há que recorrer a uma recta auxiliar do plano (uma outra rec-ta), recta essa que, também ela, terá de ser definida por dois pontos ou porum ponto e uma direcção. A recta a é a recta auxiliar a que se recorreu –optou-se, na presente situação, por garantir que a projecção frontal da rectaa (a2) fosse paralela à projecção frontal da recta g (g2), mas poderia ter umaoutra posição qualquer. De facto, basta garantir que a recta a não passepelo ponto P, senão teríamos o mesmo problema que nos levou a recorrer àrecta a. A recta a (que é a recta auxiliar) está definida por dois pontos – osseus pontos de concorrência com as rectas r e s (os pontos A e B). No en-tanto, há que recordar que o objectivo do exercício é determinar as projec-ções da recta g, para o que as duas rectas dadas se revelaraminsuficientes. No entanto, já temos três rectas do plano α – as rectas r, s ea. As rectas g e a são complanares, pelo que ou são paralelas ou são con-correntes – não são concorrentes (as suas projecções frontais não são con-correntes), pelo que são necessariamente paralelas. Já temos a direcçãoda recta g – é paralela à recta a. A recta g está, assim, definida por um pon-to (o ponto P) e por uma direcção (a direcção da recta a) – contém um pon-to do plano e é paralela a uma recta do plano. A projecção horizontal darecta g (g1) passa por P1 e é paralela a a1.

24

SOLUÇÕES

70.Em primeiro lugar definiu-se o plano δ, através das projecções das rectas f e f’,em função dos dados. Em seguida desenhou-se h2, a projecção frontal da rectah, em função da cota dada – h2 é paralela ao eixo X e situa-se 2 cm acima deste.É pedida uma recta e para definir uma recta são necessários dois pontos ou umponto e uma direcção. Analisemos a posição da recta h em relação às rectas da-das do plano. As rectas h e f são complanares, pelo que ou são paralelas ou sãoconcorrentes. Não são paralelas, pois as suas projecções frontais não são parale-las (o que teria de se verificar para que fossem paralelas), pelo que são necessa-riamente concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto M. Oponto M determinou-se a partir da sua projecção frontal (que é o ponto de con-corrência de h2 com f2) e M1 situa-se sobre f1. Já temos um ponto para definir arecta. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. As rectas h e f’ são complana-res, pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas, pois assuas projecções frontais não são paralelas, pelo que são necessariamente con-correntes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto N. O ponto N de-terminou-se a partir da sua projecção frontal (que é o ponto de concorrência deh2 com f’2) e N1 situa-se sobre f’1. Já temos outro ponto para definir a recta. Arecta h está definida por dois pontos – os pontos M e N. A recta h contém doispontos do plano.

71.

Em primeiro lugar definiu-se o plano δ, através das projecções das rectas f e f’,em função dos dados. Em seguida desenhou-se f’’1, a projecção horizontal darecta f’’ – f’’1 é paralela ao eixo X e situa-se 1 cm abaixo deste. É pedida umarecta e para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e umadirecção. Analisemos a posição da recta f’’ em relação às rectas dadas do plano.As rectas f’’ e f são complanares, pelo que ou são paralelas ou são concorrentes.Não são concorrentes (as suas projecções horizontais não são concorrentes, oque teria de se verificar para que as rectas fossem concorrentes), pelo que sãoparalelas – já temos a direcção da recta f’’, que é a direcção da recta f. Falta-nos um ponto. As rectas f’’ e f’ são complanares, pelo que ou são paralelas ousão concorrentes. Não são concorrentes (o que se infere das suas projecçõeshorizontais), pelo que são paralelas – têm a mesma direcção, que é também a di-recção da recta f. Este raciocínio não nos permitiu determinar nenhum ponto darecta. Conclui-se, então, que os dados do exercício (as rectas f e f’) são insufi-cientes para determinar a recta f’’, pelo que há que recorrer a uma recta auxi-liar do plano (uma outra recta), recta essa que, também ela, terá de ser definidapor dois pontos ou por um ponto e uma direcção. A recta h é a recta auxiliar aque se recorreu – é uma recta horizontal (de nível), mas poderia ser outra rectaqualquer, à excepção da recta frontal (de frente). De facto, basta garantir que arecta h não seja paralela às rectas f e f’, senão teríamos o mesmo problema quenos levou a recorrer à recta h. A recta h (que é a recta auxiliar) está definida pordois pontos – os seus pontos de concorrência com as rectas f e f’ (os pontos R eS). No entanto, há que recordar que o objectivo do exercício é determinar as pro-jecções da recta f’’, para o que as duas rectas dadas (f e f’) se revelaram insufi-cientes. No entanto, já temos três rectas do plano δ – as rectas f, f’ e h. As rectasf’’ e h são complanares, pelo que ou são paralelas ou são concorrentes – nãosão paralelas (as suas projecções horizontais não são paralelas), pelo que sãonecessariamente concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – oponto T. O ponto T determinou-se a partir da sua projecção horizontal (que é oponto de concorrência de h1 com f’’1) e T2 situa-se sobre h2. Já temos o pontoque nos faltava. A recta f’’ está, assim, definida por um ponto (o ponto T) e poruma direcção (a direcção das rectas f e f’) – contém um ponto do plano e é para-lela a uma recta do plano. A projecção frontal da recta f’’ (f’’2) passa por T2 e éparalela a f2 e a f’2.

25

SOLUÇÕES

72.Em primeiro lugar definiu-se o plano θ, através das projecções das rectas r e p, emfunção dos dados. Em seguida desenhou-se h2, a projecção frontal da recta h, emfunção da sua cota. É pedida uma recta e para definir uma recta são necessáriosdois pontos ou um ponto e uma direcção. As rectas h e r são complanares, peloque ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas (as suas projecçõesfrontais não são paralelas), pelo que são necessariamente concorrentes, pelo queexiste um ponto de concorrência – o ponto P. O ponto P determinou-se a partir dasua projecção frontal (que é o ponto de concorrência de h2 com r2) e P1 situa-sesobre r1. Já temos um ponto para definir a recta. Falta-nos outro ponto ou umadirecção. As rectas h e p são complanares, pelo que ou são paralelas ou são con-correntes. Não são paralelas (as suas projecções frontais não são paralelas), peloque são necessariamente concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência– no entanto, não é possível determinar o ponto de concorrência entre h e p de for-ma directa, pois, com os conhecimentos adquiridos, não é possível determinar asprojecções de outros pontos de uma recta de perfil, para além dos dados, sem orecurso a raciocínios auxiliares (as projecções da recta p não verificam o Critério deReversibilidade). Assim, ainda só temos um ponto para definir a recta h. Conclui-se, então, que os dados do exercício (as rectas r e p) são insuficientes para deter-minar a recta h, pelo que há que recorrer a uma recta auxiliar do plano (umaoutra recta), recta essa que, também ela, terá de ser definida por dois pontos oupor um ponto e uma direcção. A recta h’ é a recta auxiliar a que se recorreu – éuma recta horizontal (de nível), mas poderia ser outra recta qualquer, tendo-se ematenção que teria necessariamente de passar pelo ponto B, da recta de perfil, queé o um dos dois pontos conhecidos da recta de perfil (não poderia passar peloponto A, senão redundaria na situação do exercício 69). A recta h’ (que é a rectaauxiliar) está definida por dois pontos – os seus pontos de concorrência com asrectas r e p (os pontos C e B, respectivamente). Note que, ao passar pelo ponto B,a recta h’ é necessariamente concorrente com a recta p no ponto B. Há que recor-dar que o objectivo do exercício é determinar as projecções da recta h, para o queas duas rectas dadas (r e p) se revelaram insuficientes. No entanto, já temos trêsrectas do plano θ – as rectas r, p e h’. As rectas h e h’ são complanares, pelo queou são paralelas ou são concorrentes – não são concorrentes (as suas projecçõesfrontais não são concorrentes), pelo que são necessariamente paralelas, pelo já te-mos a direcção – a direcção da recta h’. A recta h está, assim, definida por umponto (o ponto P) e por uma direcção (a direcção da recta h’) – contém um pontodo plano e é paralela a uma recta do plano. A projecção horizontal da recta h (h1)passa por P1 e é paralela a h’1.

73.Em primeiro lugar definiu-se o plano δ, através das projecções das rectas r e f, em fun-ção dos dados. Em seguida desenhou-se h2, a projecção frontal da recta h, passandopor P2. É pedida uma recta e para definir uma recta são necessários dois pontos ou umponto e uma direcção. Já temos um ponto – o ponto P. Falta-nos outro ponto ouuma direcção. Note que esta situação é idêntica à do exercício 69 (à excepção da po-sição das rectas), uma vez que a recta h é simultaneamente concorrente com a recta re com a recta f no ponto P. Assim, os dados do exercício são insuficientes para definira recta h, pelo que há que recorrer a uma recta auxiliar do plano, recta essa que,também ela, terá de ser definida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção. Arecta h’ é a recta auxiliar a que se recorreu – é uma recta horizontal (de nível), mas po-deria ser outra recta qualquer, desde que não passasse por P. A recta h’ (que é a rectaauxiliar) está definida por dois pontos – os seus pontos de concorrência com as rectasr e f (os pontos R e S, respectivamente). No entanto, há que recordar que o objectivodo exercício é determinar as projecções da recta h, para o que as duas rectas dadas (re f) se revelaram insuficientes. No entanto, já temos três rectas do plano δ – as rectas r,f e h’. As rectas h e h’ são duas rectas horizontais (de nível) do mesmo plano. Uma vezque rectas horizontais (de nível) de um plano são paralelas entre si, já temos a direc-ção da recta h – é paralela à recta h’. A recta h está, assim, definida por um ponto (oponto P) e por uma direcção (a direcção da recta h’) – contém um ponto do plano e éparalela a uma recta do plano. A projecção horizontal da recta h (h1) passa por P1 e éparalela a h’1. Note que, caso se recorresse ao raciocínio exposto no relatório do exer-cício anterior (analisar a posição das rectas h e h’, em função das suas projecções), seteria chegado à mesma conclusão.

26

SOLUÇÕES

74.Em primeiro lugar definiu-se o plano α, através das projecções das rectas h e h’, emfunção dos dados. Em seguida desenhou-se h’’2, a projecção frontal da recta h’’, emfunção da sua cota. É pedida uma recta e para definir uma recta são necessáriosdois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta h’’ é paralela a h’ e h, pois rectashorizontais (de nível) de um plano são paralelas entre si – já temos a direcção darecta h’’. Falta-nos um ponto para definir a recta. Os dados do plano são insuficien-tes para definir a recta h’’, pelo que é necessário o recurso a uma recta auxiliar,recta essa que, também ela, terá de ser definida por dois pontos ou por um ponto euma direcção. Recorreu-se a uma recta auxiliar frontal (de frente), f, do plano. A rectaf passa por B (que é o seu ponto de concorrência com a recta h’) e é concorrentecom a recta h num ponto C. Note que se optou por conduzir a recta f por um dospontos que já tínhamos, para uma maior economia de traçados. A recta f está defini-da por dois pontos – os pontos B e C. As rectas f e h’’ são complanares, pelo queou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas, pois as suas projecçõesfrontais não são paralelas, pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto deconcorrência – o ponto D. Já temos o ponto de que necessitávamos. A recta h’’está, assim, definida por um ponto (o ponto D) e por uma direcção (a direcção dasrectas horizontais do plano) – a recta h’’ contém um ponto do plano e é paralela auma recta do plano. A projecção horizontal da recta h’’ (h’’1) passa por D1 e é parale-la a h1 e a h’1.

75.

a) O plano ψ foi definido pelas projecções das rectas r e s, em função dos da-dos.

b) A recta h está definida pelos pontos R e S, respectivamente os seus pon-tos de concorrência com as rectas r e s (ver exercício 70 e respectivo re-latório). A recta f contém o ponto B, que é o seu ponto de concorrênciacom s, e é concorrente com r num ponto C (ver exercício 67 e respectivorelatório).

c) As rectas f e h são concorrentes. Justificação: as rectas f e h são com-planares, pois estão, ambas, contidas no plano ψ. Nesse sentido, porquesão complanares, as rectas f e h ou são paralelas ou são concorrentes.As rectas f e h não são paralelas (não têm as projecções homónimas pa-ralelas entre si, pelo que têm direcções diferentes), pelo que são neces-sariamente concorrentes.

d) O ponto de concorrência das rectas f e h é o ponto P, que tem 2 cm decota e 3 cm de afastamento. Justificação: o ponto P tem 2 cm de cota,pois pertence à recta h e todos os pontos da recta h têm 2 cm de cota (arecta h é o lugar geométrico dos pontos do plano ψ que têm 2 cm decota). O ponto P tem 3 cm de afastamento, pois pertence à recta f e to-dos os pontos da recta f têm 3 cm de afastamento (a recta f é o lugargeométrico dos pontos do plano ψ que têm 3 cm de afastamento. O pon-to P pertence necessariamente ao plano. Justificação: qualquer pontodas rectas f e h pertence ao plano, pois trata-se de rectas do plano –uma vez que o ponto P pertence àquelas rectas, o ponto P pertence ne-cessariamente ao plano .

27

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta f. Em seguida desenhou-se h2, a projecção frontal da recta h. Asrectas h e f, porque são concorrentes (é dado no enunciado), têm um ponto em comum. A projecção frontal do ponto deconcorrência (o ponto P) é o ponto de concorrência das projecções frontais das duas rectas – P2 é o ponto de concorrênciade h2 com f2. P1 está sobre f1 e por P1 conduziu-se h1. O plano α já está definido, pelas projecções das duas rectas. São pe-didas as rectas de intersecção do plano α com o β1/3 e o β2/4. Comecemos pela recta de intersecção do plano αα com o ββ2/4

– recta i’. É pedida uma recta e para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta deintersecção entre dois planos é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos.Nesse sentido, para determinar a recta de intersecção do plano α com o β2/4 é necessário determinar pelo menos um pontoque pertença simultaneamente aos dois planos. Determinou-se o ponto Ih, o traço da recta h no β2/4 (o ponto de intersecçãoda recta h com o β2/4). O ponto Ih pertence ao plano α, pois pertence a uma recta do plano – a recta h. O ponto Ih pertence aoβ2/4, pois tem as suas projecções coincidentes. O ponto Ih é, assim, um ponto que pertence aos dois planos, pelo que é umponto da recta de intersecção dos dois planos. Já temos um ponto. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Em seguidadeterminou-se o ponto If, o traço da recta f no β2/4 (o ponto de intersecção da recta f com o β2/4). O ponto If pertence ao pla-no α, pois pertence a uma recta do plano – a recta f. O ponto If pertence ao β2/4, pois tem as suas projecções coincidentes. Oponto If é, assim, um ponto que pertence aos dois planos, pelo que é um ponto da recta de intersecção dos dois planos. Játemos outro ponto. Já temos dois pontos para definir a recta i’ – a recta i’ está definida pelo pontos Ih e If. Note que a rectai’, porque se trata de uma recta do β2/4, tem as suas projecções coincidentes. O raciocínio exposto repetiu-se para a recta i, arecta de intersecção do plano αα com o ββ1/3. É pedida uma recta e para definir uma recta são necessários dois pontos ou umponto e uma direcção. A recta de intersecção entre dois planos é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem si-multaneamente aos dois planos. Nesse sentido, para determinar a recta de intersecção do plano α com o β1/3 é necessáriodeterminar pelo menos um ponto que pertença simultaneamente aos dois planos. Determinou-se o ponto Qh, o traço da rectah no β1/3 (o ponto de intersecção da recta h com o β1/3). O ponto Qh pertence ao plano α, pois pertence a uma recta do plano– a recta h. O ponto Qh pertence ao β1/3, pois tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X. O ponto Qh é, assim,um ponto que pertence aos dois planos, pelo que é um ponto da recta de intersecção dos dois planos. Já temos um ponto.Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Em seguida determinou-se o ponto Qf, o traço da recta f no β1/3 (o ponto de inter-secção da recta f com o β1/3). O ponto Qf pertence ao plano α, pois pertence a uma recta do plano – a recta f. O ponto Qf per-tence ao β1/3, pois tem as suas projecções coincidentes. O ponto Qf é, assim, um ponto que pertence aos dois planos, peloque é um ponto da recta de intersecção dos dois planos. Já temos outro ponto. Já temos dois pontos para definir a recta i –a recta i está definida pelo pontos Qh e Qf. Note que a recta i, porque se trata de uma recta do β1/3, tem as suas projecções si-métricas em relação ao eixo X.

76.

28

SOLUÇÕES

77.

a) Em primeiro lugar desenharam-se as projecções das rectas r e s, em função dos dados – o plano δ está definido pelasprojecções das duas rectas. É pedida a recta de intersecção do plano δδ com o Plano Frontal de Projecção (ϕo) – rectai. Para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta de intersecção entre dois pla-nos é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos. Nesse sentido, paradeterminar a recta de intersecção do plano δ com o Plano Frontal de Projecção é necessário determinar pelo menos umponto que pertença simultaneamente aos dois planos. Determinou-se o ponto Fr, o traço frontal da recta r (o ponto de in-tersecção da recta r com o Plano Frontal de Projecção). O ponto Fr pertence ao plano δ, pois pertence a uma recta do pla-no – a recta r. O ponto Fr pertence ao Plano Frontal de Projecção, pois tem afastamento nulo. O ponto Fr é, assim, umponto que pertence simultaneamente aos dois planos, pelo que é um ponto da recta de intersecção dos dois planos. Játemos um ponto. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Em seguida determinou-se o ponto Fs, o traço frontal da rec-ta s (o ponto de intersecção da recta s com o Plano Frontal de Projecção). O ponto Fs pertence ao plano δ, pois pertencea uma recta do plano – a recta s. O ponto Fs pertence ao Plano Frontal de Projecção, pois tem afastamento nulo. O pontoFs é, assim, um ponto que pertence simultaneamente aos dois planos, pelo que é um ponto da recta de intersecção dosdois planos. Já temos outro ponto. Já temos dois pontos para definir a recta i – a recta i está definida pelos pontos Fr eFs. Note que a recta i, porque pertence ao Plano Frontal de Projecção, tem a sua projecção horizontal no eixo X. Tipo derecta: a recta i é uma recta frontal (de frente) do plano, com afastamento nulo. Justificação: todos os pontos da recta itêm o mesmo afastamento, que é a característica fundamental de uma recta frontal (de frente). Neste caso, todos os pon-tos da recta i têm afastamento nulo.

b) É pedida a recta de intersecção do plano δδ com o Plano Horizontal de Projecção (νo) – recta i’. Para definir uma rectasão necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta de intersecção entre dois planos é o lugar geométricodos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos. Nesse sentido, para determinar a recta de inter-secção do plano δ com o Plano Horizontal de Projecção é necessário determinar pelo menos um ponto que pertença si-multaneamente aos dois planos. Determinou-se o ponto Hr, o traço horizontal da recta r (o ponto de intersecção da rectar com o Plano Horizontal de Projecção). O ponto Hr pertence ao plano δ, pois pertence a uma recta do plano – a recta r.O ponto Hr pertence ao Plano Horizontal de Projecção, pois tem cota nula. O ponto Hr é, assim, um ponto que pertencesimultaneamente aos dois planos, pelo que é um ponto da recta de intersecção dos dois planos. Já temos um ponto.Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Em seguida determinou-se o ponto Hs, o traço horizontal da recta s (o pontode intersecção da recta s com o Plano Horizontal de Projecção). O ponto Hs pertence ao plano δ, pois pertence a umarecta do plano – a recta s. O ponto Hs pertence ao Plano Horizontal de Projecção, pois tem cota nula. O ponto Hs é, as-sim, um ponto que pertence simultaneamente aos dois planos, pelo que é um ponto da recta de intersecção dos doisplanos. Já temos outro ponto. Já temos dois pontos para definir a recta i’ – a recta i’ está definida pelos pontos Hr eHs. Note que a recta i’, porque pertence ao Plano Horizontal de Projecção, tem a sua projecção frontal no eixo X. Tipode recta: a recta i’ é uma recta horizontal (de nível) do plano, com cota nula. Justificação: todos os pontos da recta i’têm a mesma cota, que é a característica fundamental de uma recta horizontal (de nível). Neste caso, todos os pontos darecta i’ têm cota nula.

c) As rectas i e i’ são concorrentes num ponto do eixo X. Justificação: as duas rectas (i e i’), porque são complanares, ousão paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas, pois têm direcções diferentes (uma é horizontal e a outra é frontal),pelo que são necessariamente concorrentes, num ponto que pertence simultaneamente às duas rectas. Tendo em contaque todos os pontos da recta i têm afastamento nulo (ver alínea a) do exercício), o ponto de concorrência tem necessaria-mente de ter afastamento nulo. Tendo em conta que todos os pontos da recta i’ têm cota nula (ver alínea b) do exercício), oponto de concorrência tem necessariamente de ter cota nula. Assim, o ponto de concorrência tem necessariamente cotae afastamento nulos.

29

SOLUÇÕES

78.Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelas projecções das duas rectas(ver relatório do exercício 76). Em seguida passou-se à determinação das rectasde intersecção do plano α com os dois planos de projecção, conforme é pedidono enunciado. É pedida a recta de intersecção do plano αα com o Plano Fron-tal de Projecção (ϕo) – recta i. Para definir uma recta são necessários dois pon-tos ou um ponto e uma direcção. A recta de intersecção entre dois planos é olugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aosdois planos. Nesse sentido, para determinar a recta de intersecção do plano αcom o Plano Frontal de Projecção é necessário determinar pelo menos um pontoque pertença simultaneamente aos dois planos. Determinou-se o ponto F, o traçofrontal da recta h (o ponto de intersecção da recta h com o Plano Frontal de Pro-jecção). O ponto F pertence ao plano α, pois pertence a uma recta do plano – arecta h. O ponto F pertence ao Plano Frontal de Projecção, pois tem afastamentonulo. O ponto F é, assim, um ponto que pertence simultaneamente aos dois pla-nos, pelo que é um ponto da recta de intersecção dos dois planos. Já temos um ponto. Falta-nos outro ponto ou uma di-recção. A recta de intersecção do plano α com o Plano Frontal de Projecção é necessariamente uma recta frontal (de frente)do plano. Atendendo a que rectas frontais (de frente) de um plano são paralelas entre si, a recta i é necessariamente paralelaà recta f, pois são duas rectas frontais (de frente) do mesmo plano – já temos a direcção da recta i. A recta i está definida porum ponto (ponto F) e pela sua direcção (é paralela à recta f). A recta i, porque pertence ao Plano Frontal de Projecção, tem asua projecção horizontal no eixo X. É pedida também a recta de intersecção do plano αα com o Plano Horizontal de Pro-jecção (νo) – recta i’. Para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta de intersecçãoentre dois planos é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos. Nesse senti-do, para determinar a recta de intersecção do plano α com o Plano Horizontal de Projecção é necessário determinar pelo me-nos um ponto que pertença simultaneamente aos dois planos. Determinou-se o ponto H, o traço horizontal da recta f (o pontode intersecção da recta f com o Plano Horizontal de Projecção). O ponto H pertence ao plano α, pois pertence a uma recta doplano – a recta f. O ponto H pertence ao Plano Horizontal de Projecção, pois tem cota nula. O ponto H é, assim, um pontoque pertence simultaneamente aos dois planos, pelo que é um ponto da recta de intersecção dos dois planos. Já temos umponto. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. A recta de intersecção do plano α com o Plano Horizontal de Projecção énecessariamente uma recta horizontal (de nível) do plano. Atendendo a que rectas horizontais (de nível) de um plano são para-lelas entre si, a recta i’ é necessariamente paralela à recta h, pois são duas rectas horizontais (de nível) do mesmo plano – játemos a direcção da recta i’. A recta i’ está definida por um ponto (ponto H) e pela sua direcção (é paralela à recta h). A rectai’, porque pertence ao Plano Horizontal de Projecção, tem a sua projecção frontal no eixo X. Note que as duas rectas (i e i’)são concorrentes entre si num ponto do eixo X (ver alínea c) do exercício anterior).

79.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções das rectas a e b, que definemo plano, em função dos dados. Para que um ponto pertença a um plano, temde pertencer a uma recta do plano (condição para que um ponto pertença aum plano). Não há nenhum ponto pertencente às rectas a e b com as coorde-nadas pretendidas, pelo que é necessário recorrer a uma outra recta do plano(uma recta auxiliar). Sendo conhecidas as coordenadas do ponto A, é neces-sário escolher criteriosamente a recta auxiliar do plano que nos permite de-terminar as projecções do ponto A, pois é necessário garantir previamenteque a recta contenha o ponto. Para tal, a recta auxiliar terá de ser uma rectahorizontal (de nível) do plano com 3 cm de cota (que é a cota do ponto A)ou uma recta frontal (de frente) do plano com 2 cm de afastamento (que éo afastamento do ponto A). No primeiro caso (uma recta horizontal do planocom 3 cm de cota), essa recta é o lugar geométrico dos pontos do plano quetêm 3 cm de cota, ou seja, todos os pontos do plano com 3 cm de cota estãocontidos na recta. No segundo caso (uma recta frontal com 2 cm de afasta-mento), essa recta é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm 2 cm deafastamento, ou seja, todos os pontos do plano com 2 cm de afastamento es-tão contidos na recta. Optou-se pela segunda hipótese – uma recta frontal (defrente) do plano, com 2 cm de afastamento. Determinaram-se as projecçõesda recta f, uma recta frontal (de frente) com 2 de afastamento e pertencente aoplano (ver exercício 70 e respectivo relatório). A recta f está definida por doispontos – os seus pontos de concorrência com as rectas a e b (T e U, respecti-vamente). Todos os pontos da recta f pertencem ao plano e têm 2 de afasta-mento, pelo que o ponto A é o ponto da recta f que tem 3 cm de cota. O pontoA, com 2 cm de afastamento e 3 cm de cota, pertence ao plano, pois pertencea uma recta do plano – a recta f.

30

SOLUÇÕES

80.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções das rectas r e f, que definemo plano, em função dos dados. Para que o ponto R pertença ao plano, tem depertencer a uma recta do plano (condição para que um ponto pertença a umplano). O ponto R não pertence a nenhuma das rectas que define o plano (nãohá nenhum ponto das rectas r e f que tenha as coordenadas pretendidas),pelo que é necessário o recurso a uma outra recta do plano – uma recta auxi-liar. À semelhança do exposto no relatório do exercício anterior, a recta auxiliardeverá ser uma recta horizontal (de nível) do plano com 2 cm de cota ou umarecta frontal (de frente) do plano com 3 cm de afastamento (ver relatório doexercício anterior). Optou-se por recorrer a uma recta horizontal (de nível), h,pertencente ao plano e com 2 cm de cota – a recta h está definida por doispontos (os seus pontos de concorrência com r e f – A e B, respectivamente).A recta h é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm 2 cm de cota, ouseja, todos os pontos da recta h pertencem ao plano e têm 2 cm de cota. Oponto R é o ponto da recta h que tem 3 cm de afastamento. O ponto R, com 3cm de afastamento e 2 cm de cota, pertence ao plano, pois pertence a umarecta do plano – a recta h.

81.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções das rectas a e b, que definem o pla-no, em função dos dados. Sobre a determinação das projecções dos pontos S e T,ver relatórios dos exercícios 79 e 80. Para que os pontos S e T pertençam ao plano,têm de pertencer a rectas do plano. O ponto S pertence a uma recta frontal (de frente)f’, do plano, com –1 de afastamento (o afastamento do ponto S) – a recta f’ está defi-nida pelo seu ponto de concorrência com a recta r (o ponto A) e pela direcção da rec-ta f (rectas frontais de um plano são paralelas entre si). A recta f’ está, assim, definidapor um ponto e uma direcção. Note que a recta f’ tem afastamento negativo. O pontoS é o ponto da recta f’ que tem 3 cm de cota. O ponto T pertence a outra recta frontal(de frente) do plano, f’’, com 4 cm de afastamento – a recta f’’ está definida pelo seuponto de concorrência com a recta r (o ponto B) e pela direcção das rectas f e f’ (rec-tas frontais de um plano são paralelas entre si). A recta f’’ está, assim, definida por umponto e uma direcção. O ponto T é o ponto da recta f’’ que tem –2 de cota.

82.Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas respectivasprojecções, em função dos dados – o plano θ está definido pelas projecçõesde r e P. Em seguida desenhou-se h2, a projecção frontal da recta h, em fun-ção da sua cota. Para definir uma recta são necessários dois pontos ou umponto e uma direcção. As rectas h e r são complanares, pelo ou são parale-las ou são concorrentes. As rectas não são paralelas, pois as suas projecçõesfrontais não são paralelas, pelo que são concorrentes, pelo que existe umponto de concorrência – o ponto S. Já temos um ponto para definir a recta h– falta-nos outro ponto ou uma direcção. Uma vez que os dados do planonão são suficientes para obtermos o que necessitamos de uma forma directa,é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano, rectas essa que, tambémela, tem de ser definida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção. Op-tou-se por se recorrer a uma outra recta horizontal (de nível) do plano, h’, pas-sando pelo ponto P – a recta h’ fica definida pelo ponto P e pelo seu ponto deconcorrência com a recta r (o ponto M). Note que as rectas h’ e r são compla-nares, pelo que são necessariamente paralelas ou concorrentes e, não poden-do ser paralelas, são concorrentes. A recta h’ está definida por dois pontos. Arecta h’ pertence ao plano θ e é uma recta horizontal (de nível) do plano θ. Arecta h é paralela a h’, pois rectas horizontais (de nível) de um plano sãoparalelas entre si – a recta h está definida por um ponto (o ponto S) e uma di-recção (a direcção da recta h’).

31

SOLUÇÕES

83.Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas respecti-vas projecções, em função dos dados – o plano θ está definido pelas pro-jecções de r e P. Para que o ponto A pertença ao plano, é necessário quepertença a uma recta do plano (condição para que um ponto pertença aum plano) – essa recta deverá ser uma recta horizontal (de nível) com 4 cmde cota ou uma recta frontal (de frente) com 2 cm de afastamento (verexercício 79 e respectivo relatório). Optou-se pela segunda hipótese – umarecta frontal (de frente) do plano com 2 cm de afastamento. Desenhou-sef1, a projecção horizontal da recta f, do plano, com 2 cm de afastamento.Para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma di-recção. A recta f é concorrente com a recta r no ponto R – já temos umponto para definir a recta f. Falta-nos outro ponto ou uma direcção – a di-recção das rectas frontais (de frente) do plano, que são paralelas entre si.Para tal, é necessário o recurso a uma recta auxiliar qualquer do plano,recta essa que, também ela, tem de ser definida por dois pontos ou porum ponto e uma direcção. Assim, recorreu-se a uma recta h, horizontal (denível), do plano, passando pelo ponto P, conforme exposto no relatório doexercício 82. A recta h está definida por dois pontos – os pontos P e M (Mé o ponto de concorrência das rectas h e r). As rectas f e h são complana-res, pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas,pois têm direcções diferentes (a recta h é horizontal e a recta f é frontal),pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – oponto N. A recta f fica definida por dois pontos – os pontos R e N. Todosos pontos da recta f têm 2 cm de afastamento e pertencem ao plano – oponto A é o ponto da recta f que tem 4 cm de cota. O ponto A tem 2 cmde afastamento e 4 cm de cota e pertence ao plano, pois pertnce a umarecta do plano – a recta f.

84.

Em primeiro lugar representaram-se os três pontos, pelas respectivas projecções,em função dos dados – o plano α está definido pelas projecções dos três pontos.As projecções da recta p, de perfil, desenharam-se imediatamente. No entanto, arecta de perfil é a única recta cujas projecções não são suficientes para a definir(uma vez que não verificam o Critério de Reversibilidade), sendo necessárias, paraalém daquelas, as projecções de dois dos seus pontos. Assim, atendendo a queos dados do exercício são insuficientes para obter o pretendido, é necessário o re-curso a uma recta auxiliar do plano, recta essa que, também ela, tem de ser defini-da por dois pontos ou por um ponto e uma direcção. Recorreu-se à recta auxiliar f,que passa pelos pontos A e C – a recta f está definida por dois pontos. Como osdois pontos têm o mesmo afastamento, a recta auxiliar (recta f) é uma recta frontal(de frente). As rectas p e f são complanares, pelo que ou são paralelas ou são con-correntes. Não são concorrentes, pois têm direcções diferentes (a recta p é de perfile a recta f é frontal), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de con-corrência – o ponto M. Já temos um ponto para definir a recta p. Falta-nos outroponto. Os dados do exercício são ainda insuficientes para definir a recta p, peloque é necessário o recuso a uma outra recta auxiliar do plano, recta essa que, tam-bém ela, tem de ser definida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção. Re-correu-se à recta auxiliar h, que passa pelos pontos B e C – a recta h está definidapor dois pontos. Como os dois pontos têm a mesma cota, a recta auxiliar (recta h)é uma recta horizontal (de nível). As rectas p e h são complanares, pelo que ou sãoparalelas ou são concorrentes. Não são concorrentes, pois têm direcções diferen-tes (a recta p é de perfil e a recta h é horizontal), pelo que são concorrentes, peloque existe um ponto de concorrência – o ponto N. Já temos outro ponto para de-finir a recta p. A recta p está definida por dois pontos – os pontos M e N.

32

SOLUÇÕES

85.Em primeiro lugar representaram-se os três pontos, pelas respectivas projec-ções, em função dos dados – o plano α está definido pelas projecções dostrês pontos. Para que um ponto pertença a um plano, o ponto tem de perten-cer a uma recta que pertença a um plano (condição para que um ponto per-tença a um plano). Essa recta terá de ser uma recta frontal (de frente) com 3cm de afastamento ou uma recta horizontal (de nível) com 3 cm de cota (verexercício 79 e respectivo relatório). Optou-se pela primeira hipótese – umarecta frontal (de frente) do plano com 3 cm de afastamento – a recta f. Assim,desenhou-se a sua projecção horizontal – f1. Para definir a recta f são neces-sários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Os dados do plano são insu-ficientes para definir a recta f, pelo que é necessário o recurso a uma rectaauxiliar do plano, recta essa que, também ela, tem de ser definida por doispontos ou por uma ponto e uma direcção. Recorreu-se a uma recta f’, frontal(de frente), como recta auxiliar – a recta f’ passa por A e C (que são dois pon-tos que têm o mesmo afastamento – ver relatório do exercício anterior). A rec-ta f’ está definida por dois pontos. As rectas f e f’ são duas rectas frontais (defrente) do plano, pelo que são paralelas – rectas frontais de um plano são pa-ralelas entre si. Já temos a direcção da recta f – falta-nos um ponto. Os dados do plano ainda são insuficientes para definira recta f, pelo que é necessário o recurso a uma outra recta auxiliar do plano, recta essa que, também ela, tem de ser definidapor dois pontos ou por um ponto e uma direcção. Recorreu-se a uma recta h, horizontal (de nível), como recta auxiliar – a rec-ta h passa por B e C (que são dois pontos que têm a mesma cota – ver relatório do exercício anterior). As rectas f e h sãocomplanares, pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Não são concorrentes, pois têm direcções diferentes (a recta hé horizontal e a recta f é frontal), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto D. Já temoso ponto que nos faltava. A recta f é concorrente com a recta h no ponto D e é paralela à recta f’ – a recta f está definida porum ponto (o ponto D) e por uma direcção (a direcção da recta f’). Todos os pontos da recta f pertencem ao plano e têm 3 cmde afastamento (a recta f é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm 3 cm de afastamento). O ponto R é o ponto darecta f que tem 3 cm de cota. O ponto R tem 3 cm de afastamento e 3 cm de cota e pertence ao plano, pois pertence a umarecta do plano – a recta f.

86.Em primeiro lugar representaram-se o ponto C e a recta p, pelas respecti-vas projecções, em função dos dados – o plano está definido pelas projec-ções do ponto C e da recta p. A recta p está definida pelas suasprojecções e pelas projecções dos pontos A e B. Em seguida, desenhou-se a projecção horizontal da recta f, f1, em função do seu afastamento. Épedida uma recta – a recta f. Para definir uma recta são necessários doispontos ou um ponto e uma direcção. As rectas f e p, porque são compla-nares, ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas, pois nãotêm a mesma direcção (a recta p é uma recta de perfil e a recta f é umarecta frontal), pelo que são necessariamente concorrentes, pelo que existeum ponto de concorrência. No entanto, uma vez que as projecções da rec-ta de perfil não verificam o Critério de Reversibilidade, não é possível obter,de forma directa, as projecções do ponto de concorrência das duas rectas.Sendo assim, é necessário raciocinar de forma distinta. De facto, a utilida-de da recta p, para a resolução o presente exercício, é absolutamentenula. Nesse sentido, optou-se por ignorar a recta de perfil e considerar-seque o plano está definido por três pontos não colineares: os pontos A, B eC. Assim, atendendo a que os dados do exercício são insuficientes paraobter o pretendido, é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano,recta essa que, também ela, tem de ser definida por dois pontos ou por um

ponto e uma direcção. Recorreu-se à recta auxiliar r, que passa pelos pontos B e C – a recta r está definida por dois pontos.As rectas f e r são complanares, pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Não são concorrentes, pois têm direcções di-ferentes (a recta r é oblíqua e a recta f é frontal), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – oponto R. Já temos um ponto para definir a recta f. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Os dados do exercício são ain-da insuficientes para definir a recta f, pelo que é necessário o recurso a uma outra recta auxiliar do plano, recta essa que, tam-bém ela, tem de ser definida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção. Recorreu-se à recta auxiliar s, passando por Ae paralela à recta r – a recta s está definida por um ponto (o ponto A) e por uma direcção (é paralela à recta s). As rectas f e ssão complanares, pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Não são concorrentes, pois têm direcções diferentes (a rec-ta s é oblíqua e a recta f é frontal), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto S. Já te-mos outro ponto para definir a recta f. A recta f está definida por dois pontos – os pontos R e S.

33

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se as rectas a e b, pelas respectivas projec-ções, em função dos dados – o plano δ está definido pelas projecções dasduas rectas. O traço frontal do plano δ é a recta de intersecção do plano δcom o Plano Frontal de Projecção (ϕo) – é uma recta frontal (de frente) do pla-no, com afastamento nulo. Para definir uma recta são necessários dois pon-tos ou um ponto e uma direcção. O traço frontal do plano fica definido pelostraços frontais das duas rectas (ver relatório da alínea a) do exercício 77). De-terminaram-se Fa e Fb (dois pontos que pertencem, simultaneamente, ao pla-no δ e ao Plano Frontal de Projecção), conduzindo, por estes, fδδ (o traçofrontal do plano δ) – fδδ fica definido por Fa e Fb (dois pontos). Na representa-ção de fδδ omitiram-se as suas projecções, se bem que se saiba onde elasse situam – a sua projecção frontal é o próprio fδδ e a sua projecção horizontalsitua-se no eixo X. O traço horizontal do plano δ, por sua vez, é a recta deintersecção do plano δ com o Plano Horizontal de Projecção (νo) – é umarecta horizontal (de nível) do plano, com cota nula. Para definir uma recta sãonecessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. O traço horizontal doplano fica definido pelos traços horizontais das duas rectas (ver relatório da

alínea b) do exercício 77). Determinaram-se Ha e Hb (dois pontos que pertencem, simultaneamente, ao plano δ e ao Plano Hori-zontal de Projecção), conduzindo, por estes, hδδ (o traço horizontal do plano δ) – hδδ fica definido por Ha e Hb (dois pontos). Na re-presentação de hδδ omitiram-se as suas projecções, se bem que se saiba onde elas se situam – a sua projecção horizontal é opróprio hδδ e a sua projecção frontal situa-se no eixo X. Os dois traços do plano (fδδ e hδδ) são duas rectas do plano, que são con-

correntes num ponto do eixo X. Recorde que duas rectas de um plano ousão paralelas ou são concorrentes). Os dois traços do plano não são parale-los, pois têm direcções diferentes (fδδ é uma recta frontal e hδδ é uma recta hori-zontal), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência– um ponto do eixo X. Tenha em conta que todos os pontos de fδδ têm afasta-mento nulo e que todos os pontos de hδδ têm cota nula. Assim, o ponto deconcorrência de hδδ com fδδ tem, necessariamente, cota e afastamento nulos(é um ponto do eixo X).

89.Em primeiro lugar representaram-se os três pontos pelas respectivas projecções, emfunção dos dados – o plano φ está definido pelas projecções dos três pontos. O traçofrontal do plano φ é a recta de intersecção do plano φ com o Plano Frontal de Projec-ção (ϕo) – é uma recta frontal (de frente) do plano, com afastamento nulo. Para definiruma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. É necessário,assim, determinar pelo menos um ponto que pertença aos dois planos – um ponto quepertença ao plano φ (tem de pertencer a uma recta do plano) e que pertença ao PlanoFrontal de Projecção (tem de ter afastamento nulo). Os dados do exercício são insufi-cientes para determinar o traço frontal do plano, pelo que é necessário o recurso a umarecta auxiliar do plano, recta essa que, também ela, tem de ser definida por dois pontosou por um ponto e uma direcção. Recorreu-se a uma recta auxiliar do plano – a recta r,que passa por A e B (a recta r está definida por dois pontos). Em seguida determinou-seFr, o seu traço frontal – Fr pertence ao plano φ (pois pertence a uma recta do plano) epertence ao Plano Frontal de Projecção (pois tem afastamento nulo). Já temos um pon-to para definir fφφ. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Os dados do exercício são ainda insuficientes para definir o traçofrontal do plano, pelo que é necessário o recurso a uma outra recta auxiliar do plano, recta essa que, também ela, tem de serdefinida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção. Recorreu-se a uma segunda recta auxiliar do plano – a recta s, quepassa por C e é paralela à recta r (a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Em seguida determinou-se Fs, o seutraço frontal – Fs pertence ao plano φ (pois pertence a uma recta do plano) e pertence ao Plano Frontal de Projecção (pois temafastamento nulo). Já temos outro ponto para definir fφφ. O traço frontal do plano (fφφ) está definido por dois pontos – Fr e Fs.Note que, a partir deste momento, o plano já está definido por duas rectas paralelas, pelo que a determinação do traço hori-zontal do plano (hφφ) se processou conforme exposto no relatório do exercício 87, pelo que se aconselha a respectiva leitura.

88.

87.

Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e s, pelas respectivas projecções, emfunção dos dados – o plano α está definido pelas projecções das duas rectas. O traçofrontal do plano (fαα) é a recta de intersecção do plano α com o Plano Frontal de Pro-jecção e é o lugar geométrico dos traços frontais de todas as rectas do plano α. Otraço horizontal do plano (hαα) é a recta de intersecção do plano α com o Plano Hori-zontal de Projecção e é o lugar geométrico dos traços horizontais de todas as rec-tas do plano α. Sobre a determinação dos traços do plano α, ver relatório do exercícioanterior.

34

SOLUÇÕES

90.Em primeiro lugar representou-se o ponto A, pelas suas projecções, e o plano γ, pelos seustraços, em função dos dados. O plano está definido por duas rectas concorrentes (no pontoA, que é um ponto do eixo X) – as duas rectas concorrentes são os seus traços, que são umarecta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo e uma recta horizontal (de nível) doplano com cota nula. Para definir uma recta, são necessários dois pontos ou um ponto euma direcção. Por outro lado, para que uma recta pertença a um plano, é necessário que osseus traços estejam sobre os traços homónimos do plano (condição para que uma rectapertença a um plano). Esta condição permite-nos obter as projecções do traço frontal darecta r, que tem 4 cm de cota e é um ponto de fγγ. Já temos um ponto para definir a recta – otraço frontal da recta (F). F2, a projecção frontal de F, é um ponto de fγγ e F1, a projecção hori-zontal de F, situa-se no eixo X. O traço frontal da recta r situa-se sobre fγγ, pelo que se verificaa primeira parte da condição para que uma recta pertença a um plano. Por F1 conduziu-se r1

(a projecção horizontal da recta r), com o ângulo pretendido. Para que a recta pertença ao plano γ, o seu traço horizontal (H)também tem de se situar sobre hγγ. Assim, determinou-se H1, que é o ponto de concorrência de r1 com hγγ. H1 é a projecção ho-rizontal de H e H2 (a projecção frontal de H) situa-se necessariamente no eixo X (H é um ponto com cota nula). Já temos outroponto para definir a recta. A partir das projecções frontais dos dois traços da recta (F2 e H2) desenhou-se a projecção frontal darecta r – r2. A recta r está definida por dois pontos. Expõe-se em seguida uma outra forma de raciocinar sobre o problema, deacordo com as aprendizagens anteriores. A recta r é complanar com fγγ, pelo que as duas rectas ou são paralelas ou são con-correntes – como não são paralelas, pois têm direcções diferentes, são necessariamente concorrentes. O ponto de concorrên-cia entre as duas rectas tem afastamento nulo, pois todos os pontos de fγγ têm afastamento nulo – o ponto de concorrência é,pois, o traço frontal de r. Por outro lado, a recta r é também complanar com hγγ, pelo que as duas rectas ou são paralelas ousão concorrentes – como não são paralelas, pois têm direcções diferentes, são necessariamente concorrentes. O ponto deconcorrência entre as duas rectas tem cota nula, pois todos os pontos de hγγ têm cota nula – o ponto de concorrência é, pois, otraço horizontal de r. A recta r fica, assim, definida por dois pontos, que são os seus traços nos planos de projecção – estes si-tuam-se sobre os traços homónimos do plano γ.

Em primeiro lugar representou-se o plano θ, pelos seus traços, em função dos da-dos. Note que os traços de um plano são necessariamente duas rectas concorren-tes num ponto do eixo X. O plano θ fica, assim, definido pelos seus traços, que sãoduas rectas concorrentes do plano (ver relatório do exercício anterior). Para desenharas projecções da recta s, pertencente ao plano, teve-se em conta a condição paraque uma recta pertença a um plano e seguiu-se o raciocínio exposto no relatório doexercício anterior. Note que os dados do enunciado permitiram-nos determinar, deforma imediata, o traço horizontal da recta s (H), que se situa necessariamente so-bre o traço horizontal do plano (hθθ), para que se verifique a condição para que umarecta pertença a um plano. A partir do traço horizontal da recta s foi possível dese-nhar a sua projecção horizontal (s1), pois a posição desta é dada (é perpendicular ahθθ). A partir da projecção horizontal da recta foi possível determinar o traço frontal darecta (F), que tem de se situar necessariamente sobre o traço frontal do plano (fθθ),para que se verifique a condição para que uma recta pertença a um plano. A partirdos dois traços da recta, foi possível determinar a recta – a recta s fica definida pordois pontos, que são os seus traços nos planos de projecção (F e H).

91.

92.Em primeiro lugar desenhou-se o traço frontal do plano, de acordo com os dados. Emseguida, representou-se o traço horizontal do plano, que, no papel, está coincidentecom fαα. Note que se sublinhou que os traços estão coincidentes no papel, pois, narealidade, no espaço, não é possível os dois traços estarem coincidentes, uma vez queestão contidos em planos de projecção distintos – fαα é uma recta frontal (de frente) doplano com afastamento nulo (pertence ao Plano Frontal de Projecção) e hαα é uma rectahorizontal (de nível) do plano com cota nula (pertence ao Plano Horizontal de Projec-ção). Assim, apesar de, no papel, os traços do plano parecerem ser uma única recta,deverá ter-se sempre presente que se trata de duas rectas distintas – duas rectas doplano, que são concorrentes num ponto do eixo X. Assim, à semelhança dos exercíciosanteriores, a determinação das projecções da recta m processou-se em função da veri-ficação da condição para que uma recta pertença a um plano (ver relatório do exercício90). Note que os dados do enunciado permitiram-nos determinar, de forma imediata, otraço frontal da recta m (F), que se situa necessariamente sobre o traço frontal do plano (fαα), para que se verifique a condiçãopara que uma recta pertença a um plano. A partir do traço frontal da recta m foi possível desenhar a sua projecção frontal(m2), pois a posição desta é dada (é perpendicular a fαα). A partir da projecção frontal da recta foi possível determinar o traçohorizontal da recta (H), que tem de se situar necessariamente sobre o traço horizontal do plano (hαα), para que se verifique acondição para que uma recta pertença a um plano. A partir dos dois traços da recta, foi possível determinar a recta – a rectam fica definida por dois pontos, que são os seus traços nos planos de projecção (F e H).

35

SOLUÇÕES

93.Em primeiro lugar representou-se o plano θ pelos seus traços, em função dos dados.Para definir a recta h são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Co-meçou-se por desenhar h2, a projecção frontal da recta h, em função da cota dada.Para que uma recta pertença a um plano, os seus traços têm de se situar sobre os tra-ços homónimos do plano (condição para que uma recta pertença a um plano). A rectah, porque é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, não tem traço horizontal (nãohá nenhum ponto da recta com cota nula), mas tem traço frontal. Nesse sentido, F, otraço frontal da recta h, tem de pertencer a fθθ (para que se verifique a condição paraque uma recta pertença a um plano) – ver exercício 90 e respectivo relatório. Já temosum ponto para definir a recta h. A recta h não tem traço horizontal – no entanto, rectashorizontais (de nível) de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontaldo plano (que é uma recta horizontal do plano com cota nula). Assim, a recta h é ne-cessariamente paralela a hθθ – já temos uma direcção para definir a recta h. A projec-ção horizontal de h, h1 é paralela a hθθ – a recta h está definida por um ponto (F, o seutraço frontal) e por uma direcção (a direcção das rectas horizontais do plano, que é adirecção de hθθ).

Em primeiro lugar representou-se o plano θ pelos seus traços, em função dos dados.Para definir a recta f são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção.Começou-se por desenhar f1, a projecção horizontal da recta f, em função do afasta-mento dado. Para que uma recta pertença a um plano, os seus traços têm de se si-tuar sobre os traços homónimos do plano (condição para que uma recta pertença aum plano). A recta f, porque é paralela ao Plano Frontal de Projecção, não tem traçofrontal (não há nenhum ponto da recta com afastamento nulo), mas tem traço hori-zontal. Nesse sentido, H, o traço horizontal da recta f, tem de pertencer a hθθ (paraque se verifique a condição para que uma recta pertença a um plano) – ver exercício90 e respectivo relatório. Já temos um ponto para definir a recta f. A recta f não temtraço frontal – no entanto, rectas frontais (de frente) de um plano são paralelas entre sie paralelas ao traço frontal do plano (que é uma recta frontal do plano com afasta-mento nulo). Assim, a recta f é necessariamente paralela a fθθ – já temos uma direc-ção para definir a recta f. A projecção frontal de f, f2 é paralela a fθθ – a recta f estádefinida por um ponto (H, o seu traço horizontal) e por uma direcção (a direcção dasrectas frontais do plano, que é a direcção de fθθ).

95.Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e f, pelas respectivas projecções, em fun-ção dos dados. Note que o ponto de concorrência das duas rectas é o traço no β1/3 deambas as rectas. O plano γ fica definido pelas projecções das duas rectas. Em seguidaefectuaram-se os procedimentos necessários à determinação dos traços do plano γ. Otraço horizontal do plano (hγγ) fica definido pelos traços horizontais das duas rectas (verexercício 87 e respectivo relatório) – hγγ está definido por dois pontos. O traço frontal doplano (fγγ) é uma recta – para definir uma recta são necessários dois pontos ou um pontoe uma direcção. Começou-se por determinar, em primeiro lugar, o traço frontal da recta r– F. Já temos um ponto para definir a recta – o ponto F. Falta-nos outro ponto ou umadirecção. A recta f, porque é paralela ao Plano Frontal de Projecção, não tem traço fron-tal. No entanto, atendendo a que rectas frontais (de frente) de um plano são paralelas en-tre si, o traço frontal do plano (fγγ) tem de ser paralelo à recta f, pois fγγ é uma recta frontal(de frente) do plano com afastamento nulo – já temos a direcção de fγγ. Assim, o traçofrontal do plano (fγγ) está definido por um ponto (F) e uma direcção (a direcção das rectasfrontais do plano, que é a direcção da recta f). No entanto, existe uma outra forma de re-solver o exercício. Tenha em conta que os dois traços de um plano são duas rectas doplano que são necessariamente concorrentes num ponto do eixo X. Assim, fγγ e hγγ têm deser concorrentes entre si num ponto do eixo X. Com este raciocínio, para definir o traçofrontal do plano (fγγ) já temos dois pontos – F (o traço frontal da recta r) e o ponto do eixo Xque é o ponto de concorrência dos dois traços do plano. Considerando os dois raciocí-nios expostos, para definir o traço frontal do plano (fγγ) temos, afinal, dois pontos e umadirecção. Assim, o traço frontal do plano (fγγ) contém o traço frontal da recta r (F), é parale-lo à recta f e é ainda concorrente com hγγ no eixo X.

94.

36

SOLUÇÕES

96.Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e h, pelas respectivas projecções, emfunção dos dados. O plano δ fica definido pelas projecções das duas rectas. Em segui-da efectuaram-se os procedimentos necessários à determinação dos traços do planoδ. O traço frontal do plano (fδδ) fica definido pelos traços frontais das duas rectas (verexercício 87 e respectivo relatório) – fδδ está definido por dois pontos. O traço horizon-tal do plano (hδδ) é uma recta – para definir uma recta são necessários dois pontos ouum ponto e uma direcção. Começou-se por determinar, em primeiro lugar, o traço ho-rizontal da recta r – H. Já temos um ponto para definir a recta – o ponto H. Falta-nosoutro ponto ou uma direcção. A recta h, porque é paralela ao Plano Horizontal deProjecção, não tem traço horizontal. No entanto, atendendo a que rectas horizontais(de nível) de um plano são paralelas entre si, o traço horizontal do plano (hδδ) tem de serparalelo à recta h, pois hδδ é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula – játemos a direcção de hδδ. Assim, o traço horizontal do plano (hδδ) está definido por umponto (H) e uma direcção (a direcção das rectas horizontais do plano, que é a direcçãoda recta h). No entanto, existe uma outra forma de resolver o exercício. Tenha em conta que os dois traços de um plano são duasrectas do plano que são necessariamente concorrentes num ponto do eixo X. Assim, hδδ e fδδ têm de ser concorrentes entre sinum ponto do eixo X. Com este raciocínio, para definir o traço horizontal do plano (hδδ) já temos dois pontos – H (o traço horizontalda recta r) e o ponto do eixo X que é o ponto de concorrência dos dois traços do plano. Considerando os dois raciocínios expos-tos, para definir o traço horizontal do plano (hδδ) temos, afinal, dois pontos e uma direcção. Assim, o traço horizontal do plano (hδδ)contém o traço horizontal da recta r (H), é paralelo à recta h e é ainda concorrente com fδδ no eixo X.

97. Em primeiro lugar representaram-se as rectas f e f’, pelas respectivasprojecções, em função dos dados. O plano α fica definido pelas pro-jecções das duas rectas. Em seguida efectuaram-se os procedimentosnecessários à determinação dos traços do plano α. O traço horizontaldo plano (hαα) fica definido pelos traços horizontais das duas rectas(ver exercício 87 e respectivo relatório) – hαα está definido por dois pon-tos. O traço frontal do plano (fαα) é uma recta – para definir uma rectasão necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Os doistraços de um plano são duas rectas do plano que são necessaria-mente concorrentes num ponto do eixo X. Assim, fαα e hαα têm de serconcorrentes entre si num ponto do eixo X. Com este raciocínio, paradefinir o traço frontal do plano (fαα) já temos um ponto – o ponto doeixo X que é o ponto de concorrência dos dois traços do plano. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. As rectas f e f’, porque são para-lelas ao Plano Frontal de Projecção, não têm traço frontal. No entanto,atendendo a que rectas frontais (de frente) de um plano são paralelasentre si, o traço frontal do plano (fαα) tem de ser paralelo às rectas f e f’,pois fαα é uma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo –já temos a direcção de fαα. Assim, o traço frontal do plano (fαα) está de-finido por um ponto (o ponto de concorrência dos dois traços do pla-no, que é um ponto do eixo X) e uma direcção (a direcção das rectasfrontais do plano, que é a direcção das rectas f e f’).

98.Em primeiro lugar representaram-se as rectas h e h’, pelas respectivas pro-jecções, em função dos dados. O plano δ fica definido pelas projecções dasduas rectas. Em seguida efectuaram-se os procedimentos necessários à de-terminação dos traços do plano δ. O traço frontal do plano (fδδ) fica definidopelos traços frontais das duas rectas (ver exercício 87 e respectivo relatório) –fδδ está definido por dois pontos. O traço horizontal do plano (hδδ) é uma recta– para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma di-recção. Os dois traços de um plano são duas rectas do plano que são ne-cessariamente concorrentes num ponto do eixo X. Assim, hδδ e fδδ têm de serconcorrentes entre si num ponto do eixo X. Com este raciocínio, para definir otraço horizontal do plano (hδδ) já temos um ponto – o ponto do eixo X que é oponto de concorrência dos dois traços do plano. Falta-nos outro ponto ouuma direcção. As rectas h e h’, porque são paralelas ao Plano Horizontal deProjecção, não têm traço horizontal. No entanto, atendendo a que rectas hori-zontais (de nível) de um plano são paralelas entre si, o traço horizontal do pla-no (hδδ) tem de ser paralelo às rectas h e h’, pois hδδ é uma recta horizontal (denível) do plano com cota nula – já temos a direcção de hδδ. Assim, o traço ho-rizontal do plano (hδδ) está definido por um ponto (o ponto de concorrênciados dois traços do plano, que é um ponto do eixo X) e uma direcção (a direc-ção das rectas horizontais do plano, que é a direcção das rectas h e h’).

37

SOLUÇÕES

99.Em primeiro lugar representaram-se as rectas f e h, pelas respectivas projecções,em função dos dados. O plano σ fica definido pelas projecções das duas rectas.Em seguida efectuaram-se os procedimentos necessários à determinação dos tra-ços do plano σ. O traço frontal do plano (fσσ) é uma recta – para definir uma rectasão necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Começou-se por de-terminar, em primeiro lugar, o traço frontal da recta h – F. Já temos um ponto paradefinir a recta – o ponto F. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. A recta f, por-que é paralela ao Plano Frontal de Projecção, não tem traço frontal. No entanto,atendendo a que rectas frontais (de frente) de um plano são paralelas entre si, o tra-ço frontal do plano (fσσ) tem de ser paralelo à recta f, pois fσσ é uma recta frontal (defrente) do plano com afastamento nulo – já temos a direcção de fσσ. Assim, o traçofrontal do plano (fσσ) está definido por um ponto (F) e uma direcção (a direcção dasrectas frontais do plano, que é a direcção da recta f). O traço horizontal do plano(hσσ) é uma recta – para definir uma recta são necessários dois pontos ou um pontoe uma direcção. Começou-se por determinar, em primeiro lugar, o traço horizontal da recta f – H. Já temos um ponto paradefinir a recta – o ponto H. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. A recta h, porque é paralela ao Plano Horizontal de Pro-jecção, não tem traço horizontal. No entanto, atendendo a que rectas horizontais (de nível) de um plano são paralelas entre si,o traço horizontal do plano (hσσ) tem de ser paralelo à recta h, pois hσσ é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula– já temos a direcção de hσσ. Assim, o traço horizontal do plano (hσσ) está definido por um ponto (H) e uma direcção (a direc-ção das rectas horizontais do plano, que é a direcção da recta h). No entanto, existe um outro raciocínio para determinar hσσ.Tenha em conta que os dois traços de um plano são duas rectas do plano que são necessariamente concorrentes num pon-to do eixo X. Assim, hσσ e fσσ têm de ser concorrentes entre si num ponto do eixo X. Com este raciocínio, para definir o traçohorizontal do plano (hσσ) já temos dois pontos – H (o traço horizontal da recta f) e o ponto do eixo X que é o ponto de concor-rência dos dois traços do plano. Considerando os dois raciocínios expostos, para definir o traço horizontal do plano (hσσ) te-mos, afinal, dois pontos e uma direcção. Assim, o traço horizontal do plano (hσσ) contém o traço horizontal da recta f (H), éparalelo à recta h e é ainda concorrente com fσσ no eixo X.

100. Em primeiro lugar representou-se o plano, pelos seus traços, em função dos dados – o pla-no está definido pelos seus traços. É pedida uma recta e para definir uma recta são neces-sários dois pontos ou um ponto e uma direcção. É pedida uma recta de maior declivedo plano – as rectas de maior declive de um plano são perpendiculares às rectas horizon-tais (de nível) do plano, o que resulta no facto de as suas projecções horizontais serem per-pendiculares às projecções horizontais das rectas horizontais (de nível) do plano (e ao traçohorizontal do plano). Assim, a projecção horizontal da recta d (uma recta de maior declivequalquer do plano α) terá de ser necessariamente perpendicular a hαα – desenhou-se umarecta qualquer, perpendicular a hαα. Essa recta é d1, a projecção horizontal da recta d. A rec-ta d é uma recta do plano, pelo que tem de verificar a condição para que uma recta perten-ça a um plano, ou seja, os traços da recta têm de estar sobre os traços homónimos doplano. A partir de d1 determinaram-se os traços da recta, o que nos permitiu determinar d2,a projecção frontal da recta d (ver exercício 91 e respectivo relatório). A recta d está definidapor dois pontos – os seus traços nos planos de projecção.

101.Em primeiro lugar representou-se o plano, pelos seus traços, em função dos dados – o planoestá definido pelos seus traços. É pedida uma recta e para definir uma recta são necessáriosdois pontos ou um ponto e uma direcção. É pedida uma recta de maior inclinação doplano – as rectas de maior inclinação de um plano são perpendiculares às rectas frontais (defrente) do plano, o que resulta no facto de as suas projecções frontais serem perpendicularesàs projecções frontais das rectas frontais (de frente) do plano (e ao traço frontal do plano).Assim, a projecção frontal da recta i (uma recta de maior inclinação qualquer do plano α) teráde ser necessariamente perpendicular a fαα – desenhou-se uma recta qualquer, perpendiculara fαα. Essa recta é i2, a projecção frontal da recta i. A recta i é uma recta do plano, pelo quetem de verificar a condição para que uma recta pertença a um plano, ou seja, os traços darecta têm de estar sobre os traços homónimos do plano. A partir de i2 determinaram-se ostraços da recta, o que nos permitiu determinar i1, a projecção horizontal da recta i (ver exercí-cio 90 e respectivo relatório). A recta i está definida por dois pontos – os seus traços nos pla-nos de projecção.

38

SOLUÇÕES

102.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta r, em função dos dados. Emseguida determinaram-se os seus traços nos planos de projecção – F (o traço frontal darecta r) e H (o traço horizontal da recta r). O traço horizontal do plano é uma recta, epara definirmos uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção.O traço horizontal do plano, hσσ, passa necessariamente por H (o traço horizontal da rectar). Já temos um ponto para definir hσσ. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Umavez que a recta r é uma recta de maior declive do plano, sabe-se que a projecção hori-zontal da recta r é perpendicular ao traço horizontal do plano, ou seja, hσσ tem necessa-riamente de ser perpendicular a r1. Já temos a direcção de hσσ. O traço horizontal doplano (hσσ) está definido por um ponto (o traço horizontal da recta r – H) e por uma direc-ção (é perpendicular à projecção horizontal da recta r – r1). O traço frontal do plano éoutra recta e para definirmos uma recta são necessários dois pontos ou um ponto euma direcção. O traço frontal do plano, fσσ, passa necessariamente por F (o traço frontalda recta r). Já temos um ponto para definir fσσ. Falta-nos outro ponto ou umadirecção. Os traços do plano σ são duas rectas que são necessariamente concorrentesnum ponto do eixo X – assim, sabe-se que fσσ é concorrente com hσσ no eixo X – já temosoutro ponto para definir fσσ. O traço frontal do plano (fσσ) está definido por dois pontos – F,o traço frontal da recta r, e o ponto de concorrência de hσσ com o eixo X.

103.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta s, em função dos dados.Em seguida determinaram-se os seus traços nos planos de projecção – F (o traçofrontal da recta s) e H (o traço horizontal da recta s). O traço frontal do plano éuma recta, e para definirmos uma recta são necessários dois pontos ou um pon-to e uma direcção. O traço frontal do plano, fθθ, passa necessariamente por F (otraço frontal da recta s). Já temos um ponto para definir fθθ. Falta-nos outro pon-to ou uma direcção. Uma vez que a recta s é uma recta de maior inclinação doplano, sabe-se que a projecção frontal da recta s é perpendicular ao traço frontaldo plano, ou seja, fθθ tem necessariamente de ser perpendicular a s2. Já temos adirecção de fθθ. O traço frontal do plano (fθθ) está definido por um ponto (o traçofrontal da recta s – F) e por uma direcção (é perpendicular à projecção frontal darecta s – s2). O traço horizontal do plano é outra recta e para definirmos uma rec-ta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. O traço horizontaldo plano, hθθ, passa necessariamente por H (o traço horizontal da recta s). Já te-mos um ponto para definir hθθ. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Os tra-ços do plano θ são duas rectas que são necessariamente concorrentes num pontodo eixo X – assim, sabe-se que hθθ é concorrente com fθθ no eixo X – já temos outroponto para definir hθθ. O traço horizontal do plano (hθθ) está definido por dois pontos– H, o traço horizontal da recta s, e o ponto de concorrência de fθθ com o eixo X.

104.Em primeiro lugar representou-se o plano, pelos seus traços, em função dos dados –o plano está definido pelos seus traços. Para que um ponto pertença a um plano, temde pertencer a uma recta do plano (condição para que um ponto pertença a um pla-no). O ponto P não pertence ao traço frontal do plano (fαα), pois não tem afastamentonulo (fαα é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm afastamento nulo – é umarecta frontal do plano com afastamento nulo). Por outro lado, o ponto P também nãopertence ao traço horizontal do plano (hαα), pois não tem cota nula (hαα é o lugar geo-métrico dos pontos do plano que têm cota nula – é uma recta horizontal do plano comcota nula). Assim, é necessário recorrer a uma outra recta do plano (uma recta auxi-liar), para além dos traços do plano. Sendo conhecidas as coordenadas do ponto P, énecessário escolher criteriosamente a recta auxiliar do plano que nos permite deter-minar as projecções do ponto P, pois é necessário garantir previamente que a rectacontenha o ponto (ver exercício 79 e respectivo relatório). Para tal, a recta auxiliar terá de ser uma recta horizontal (de nível)do plano com 2 cm de cota (que é a cota do ponto P) ou uma recta frontal (de frente) do plano com 3 cm de afastamento(que é o afastamento do ponto P). No primeiro caso (uma recta horizontal do plano com 2 cm de cota), essa recta é o lugargeométrico dos pontos do plano que têm 2 cm de cota, ou seja, todos os pontos do plano com 2 cm de cota estão contidosna recta. No segundo caso (uma recta frontal com 3 cm de afastamento), essa recta é o lugar geométrico dos pontos do planoque têm 3 cm de afastamento, ou seja, todos os pontos do plano com 3 cm de afastamento estão contidos na recta. Optou--se pela primeira hipótese – uma recta horizontal (de nível) do plano, com 2 cm de cota. Determinaram-se as projecções darecta h, uma recta horizontal (de nível) com 2 de cota e pertencente ao plano (ver exercício 93 e respectivo relatório). A recta hestá definida por um ponto e uma direcção – o seu traço frontal (F) e a direcção do traço horizontal do plano (hαα). Todos ospontos da recta h pertencem ao plano e têm 2 de cota, pelo que o ponto P é o ponto da recta h que tem 3 cm de afastamen-to. O ponto A, com 3 cm de afastamento e 2 cm de cota, pertence ao plano, pois pertence a uma recta do plano – a recta h.

39

SOLUÇÕES

105.Em primeiro lugar representou-se o plano, pelos seus traços, em função dos dados – oplano está definido pelos seus traços. Sobre a determinação das projecções dos trêspontos, ver exercício anterior e respectivo relatório. Para determinar as projecções doponto A recorreu-se a uma recta h, horizontal (de nível), do plano, com 1 cm de cota – arecta h é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm 1 cm de cota. Desses pon-tos, o ponto A é o ponto que tem 3 cm de afastamento. Para determinar as projecçõesdo ponto B recorreu-se a uma outra recta horizontal (de nível) do plano, h’, com 2 cm decota – a recta h é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm 2 cm de cota. Des-ses pontos, o ponto B é o ponto que tem 4 cm de afastamento. Para determinar as pro-jecções do ponto C recorreu-se a uma recta frontal (de frente) do plano, f, com 2 cm deafastamento – a recta f é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm 2 cm deafastamento. Desses pontos, o ponto C é o ponto que tem 3 cm de cota. A partir dasprojecções dos três pontos, desenharam-se as duas projecções do triângulo.

106.Em primeiro lugar representou-se o plano, pelos seus traços, em função dos dados – o pla-no está definido pelos seus traços. Sobre a determinação das projecções dos dois pontos,ver exercício 104 e respectivo relatório. Para determinar as projecções do ponto R recor-reu-se a uma recta h, horizontal (de nível), do plano, com 2 cm de cota – a recta h é o lugargeométrico dos pontos do plano que têm 2 cm de cota. Desses pontos, o ponto R é oponto que tem –4 de afastamento. Para determinar as projecções do ponto S recorreu-se auma outra recta horizontal (de nível) do plano, h’, com –3 de cota (salienta-se que h’ temcota negativa) – a recta h’ é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm –3 de cota.Desses pontos, o ponto S é o ponto que tem 2 cm de afastamento. Note que, para deter-minar as projecções do ponto S, se poderia ter recorrido a uma recta frontal (de frente) doplano, com 2 cm de afastamento – o ponto S seria o ponto dessa recta com –3 de cota.

107.Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados. Um pla-no de rampa é a única situação em que os traços de um plano são duas rectas paralelas (sãorectas concorrentes num ponto do infinito). Em seguida desenhou-se g2, a projecção frontalde g, em função da cota dada. Para definir uma recta são necessários dois pontos ou umponto e uma direcção. A direcção da recta g já é conhecida (é uma recta fronto-horizontal),pelo que já temos a direcção – falta-nos um ponto. Os dados do plano são insuficientespara definir a recta g, pelo que é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano, rectaessa que, também ela, tem de ser definida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção.Recorreu-se à recta r, uma recta oblíqua, qualquer, do plano – a recta r está definida por doispontos (que são os seus traços nos planos de projecção, para que a recta verifique a condi-ção para que uma recta pertença a um plano). A recta r e a recta g são complanares, pelo queou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas, pois têm direcções diferentes, peloque são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto P. Já temos um ponto – o ponto que nos faltava.Por P1 conduziu-se g1, paralela ao eixo X. A recta g está definida por um ponto (o ponto P) e uma direcção (é fronto-horizontal).

Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços e pelas projecções do ponto P,em função dos dados. Um plano passante é um plano de rampa que passa pelo eixo X – ostraços do plano (fρρ e hρρ) são, assim, uma única recta, que é o próprio eixo X. Nesta situação,os traços do plano não são duas rectas mas, sim, uma única recta. Como um plano nãopode ser definido por uma única recta (a menos que essa recta seja uma recta de maior decli-ve ou uma recta de maior inclinação do plano), é necessário mais um ponto do plano – o pon-to P. O plano ρ está definido por uma recta (o eixo X) e um ponto – o ponto P. Em seguidaefectuaram-se os traçados necessários à resolução do exercício – em primeiro lugar dese-nhou-se g1, a projecção horizontal de g, em função do afastamento dado. Para definir umarecta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A direcção da recta g já éconhecida (é uma recta fronto-horizontal), pelo que já temos a direcção – falta-nos umponto. Os dados do plano são insuficientes para definir a recta g, pelo que é necessário o re-curso a uma recta auxiliar do plano, recta essa que, também ela, tem de ser definida por dois

pontos ou por um ponto e uma direcção. Recorreu-se à recta r, uma recta oblíqua, qualquer, do plano – a recta r passa peloponto P e é concorrente com o eixo X, pelo que está definida por dois pontos. Note que todas as rectas do plano que não se-jam fronto-horizontais (paralelas ao eixo X) são necessariamente concorrentes com o eixo X. A recta r e a recta g são compla-nares, pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas, pois têm direcções diferentes, pelo que sãoconcorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto A. Já temos o ponto que nos faltava. Por A2 conduziu-seg2, paralela ao eixo X. A recta g está definida por um ponto (o ponto A) e por uma direcção (é fronto-horizontal).

108.

40

SOLUÇÕES

109.Em primeiro lugar representou-se o plano θ pelos seus traços, em função dos dados. Tenhaem conta que o diedro formado pelo plano θ com o Plano Horizontal de Projecção (um die-dro de 45º de abertura à esquerda) se representa, em V.G., no ângulo que o traço frontal doplano (fθθ) faz com o eixo X. Um plano de topo é um plano projectante frontal – as projec-ções de todas as suas rectas e pontos estão sobre o seu traço frontal. Note que todas asrectas pertencentes a θ terão necessariamente a sua projecção frontal sobre o traço frontaldo plano, pois trata-se de um plano projectante frontal (que projecta frontalmente todas assuas rectas e pontos no Plano Frontal de Projecção). Assim, para que os pontos P, Q e Rpertençam ao plano, bastará que as respectivas projecções frontais (P2, Q2 e R2) se situemsobre fθθ, pois dessa forma verificarão, sempre, a condição para que um ponto pertença aum plano. Note que o raciocínio exposto se trata de um raciocínio exclusivo dos planosprojectantes frontais e jamais extensível aos planos não projectantes! Assim, determinaram-se as projecções frontais dos três pontos, sobre fθθ e em função das respectivas cotas e, emseguida, determinaram-se as suas projecções horizontais, em função dos respectivos afas-tamentos. A partir das projecções dos três pontos, desenharam-se as projecções do triân-gulo, cuja projecção frontal se reduz a um segmento de recta (pois o plano é projectantefrontal).

110.

Em primeiro lugar representou-se o plano α pelos seus traços, em função dos dados. Tenhaem conta que o diedro formado pelo plano α com o Plano Frontal de Projecção (um diedro de35º de abertura à esquerda) se representa, em V.G., no ângulo que o traço horizontal do plano(hαα) faz com o eixo X. Um plano vertical é um plano projectante horizontal, pelo que as pro-jecções horizontais de todas as suas rectas e pontos estão sobre o traço horizontal do plano.Note que todas as rectas pertencentes a α terão necessariamente a sua projecção horizon-tal sobre o traço horizontal do plano, pois trata-se de um plano projectante horizontal (queprojecta horizontalmente todas as suas rectas e pontos no Plano Horizontal de Projecção).Assim, as projecções horizontais das rectas i e i’ estão necessariamente coincidentes comhαα – hαα � i1� i’1. A recta i é uma recta do β1/3, pelo que as suas projecções são simétricas emrelação ao eixo X – a projecção frontal da recta i (i2) faz, com o eixo X, um ângulo de 35º deabertura à esquerda (que é o ângulo que i1 faz com o eixo X) e é concorrente com i1 no eixo X(rectas do β1/3 são rectas passantes). A recta i’, por sua vez, é uma recta do β2/4, pelo que assuas projecções estão coincidentes – uma vez que já é conhecida a projecção horizontal darecta (i’1 está coincidente com hαα), a projecção frontal da recta (i’2) tem determinação imedia-ta (i’2 � i’1).

111.Em primeiro lugar representou-se o plano ϕ pelo seu traço horizontal, em função do afasta-mento do plano. Um plano frontal (de frente) é paralelo ao Plano Frontal de Projecção, peloque não tem traço frontal – exactamente por isso, representou-se o seu traço horizontal entreparêntesis. Um plano frontal (de frente) é um plano projectante horizontal – as projecçõeshorizontais de todas as suas rectas e pontos estão sobre o traço horizontal do plano. Noteque todas as rectas pertencentes ao plano ϕ terão necessariamente a sua projecção hori-zontal sobre o traço horizontal do plano, pois trata-se de um plano projectante horizontal(que projecta horizontalmente todas as suas rectas e pontos no Plano Horizontal de Projec-ção). Assim, para que os pontos A, B e C pertençam ao plano, bastará que as respectivasprojecções horizontais (A1, B1 e C1) se situem sobre hϕϕ, pois, dessa forma, verificarão semprea condição para que um ponto pertença a um plano. Sublinha-se que o raciocínio exposto setrata de um raciocínio exclusivo dos planos projectantes horizontais e jamais extensível aosplanos não projectantes! Nesse sentido, determinaram-se as projecções horizontais dos trêspontos, em função das relações de abcissas entre eles, bem como as suas projecções fron-tais, em função das respectivas cotas. A partir das projecções dos três pontos, desenharam-se as projecções do triângulo, cuja projecção horizontal se reduz a um segmento de recta(pois o plano ϕ é projectante horizontal).

41

SOLUÇÕES

112.Em primeiro lugar representou-se o plano ν pelo seu traço frontal, em função da cota doplano. Um plano horizontal (de nível) é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, peloque não tem traço horizontal – exactamente por isso, representou-se o seu traço frontalentre parêntesis. Um plano horizontal (de nível) é um plano projectante frontal – as pro-jecções frontais de todas as suas rectas e pontos estão sobre o traço frontal do plano.Note que todas as rectas pertencentes ao plano ν terão necessariamente a sua projec-ção frontal sobre o traço frontal do plano, pois trata-se de um plano projectante frontal(que projecta frontalmente todas as suas rectas e pontos no Plano Frontal de Projecção).Para que um ponto pertença a um plano horizontal (de nível) basta, assim, que a suaprojecção frontal esteja sobre o traço frontal do plano (ver exercício 109 e respectivo re-latório) – sublinha-se que se trata de um raciocínio exclusivo dos planos projectantesfrontais. Desenharam-se as projecções do ponto A (em função dos dados, e garantindoque A2 se situa sobre fνν) e da recta h, a recta suporte do lado [AB] do triângulo – h2 estácoincidente com fνν, pois o plano ν é projectante frontal e a recta h pertence ao plano ν.Em projecção horizontal, sobre h1 e a partir de A1, marcaram-se os 5 cm, obtendo as projecções de B (note que o segmento[AB] é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que é na sua projecção horizontal que se pode medir a V.G. do seg-mento – ver exercício 59 e respectivo relatório). Por B conduziu-se uma recta de topo, t, que pertence ao plano – o ponto C éo ponto da recta t com afastamento nulo (C é o traço frontal da recta t). A partir das projecções dos três pontos, desenharam-se as projecções do triângulo – a sua projecção frontal reduz-se a um segmento de recta (pois o plano ν, o plano que o con-tém, é projectante frontal).

113.

Em primeiro lugar representou-se o plano π pelos seus traços, em função dos dados – os traços doplano π ficam coincidentes, numa única recta perpendicular ao eixo X. Um plano de perfil é dupla-mente projectante (o plano é simultaneamente projectante frontal e projectante horizontal), pelo queas duas projecções do triângulo se vão reduzir a segmentos de recta. O plano é projectante frontal,pelo que para que os pontos pertençam ao plano, basta que as suas projecções frontais estejam so-bre fππ (ver exercício 109 e respectivo relatório) – sublinha-se que se trata de um raciocínio exclusivodos planos projectantes frontais. Por outro lado, o plano é projectante horizontal, pelo que paraque os pontos pertençam ao plano, basta que as suas projecções horizontais estejam sobre hππ (verexercício 111 e respectivo relatório) – sublinha-se que se trata de um raciocínio exclusivo dos pla-nos projectantes horizontais. Os raciocínios atrás expostos permitiram-nos determinar as projecçõesdos três vértices do triângulo, sobre os traços homónimos do plano. A partir das projecções dos trêspontos, desenharam-se as projecções do triângulo que se reduziram, ambas, e como acima se refe-riu, a segmentos de recta.

114.Em primeiro lugar representaram-se os planos ϕ e ν, pelos sues traços, em funçãodos dados – o plano ν representou-se pelo seu traço frontal (entre parêntesis, poiso plano não tem traço horizontal) e o plano ϕ representou-se pelo seu traço hori-zontal (entre parêntesis, pois o plano não tem traço frontal). A recta i é uma rectaque pertence simultaneamente aos dois planos – é o lugar geométrico dos pontosdo espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos. O plano horizontal (denível) ν é projectante frontal, pelo que as projecções frontais de todas as suas rec-tas têm de estar sobre fνν – nesse sentido, a projecção frontal da recta i (i2) tem deestar sobre fνν, pelo que se tem imediatamente i2 � (fνν), o que nos garante que a rec-ta i pertence ao plano ν. A partir da sua projecção frontal, conclui-se que a recta i énecessariamente uma recta horizontal (de nível). O plano frontal (de frente) ϕ é pro-jectante horizontal, pelo que as projecções horizontais de todas as suas rectastêm de estar sobre hϕϕ – nesse sentido, a projecção horizontal da recta i (i1) tem deestar sobre hϕϕ, pelo que se tem imediatamente i1 � (hϕϕ), o que nos garante que arecta i pertence ao plano ϕ. A partir da sua projecção horizontal, conclui-se que arecta i é necessariamente uma recta frontal (de frente). Assim, a recta i, definida pe-las suas projecções, é uma recta fronto-horizontal que pertence aos dois planos.

42

SOLUÇÕES

115.Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, em funçãodos dados. Uma vez que os traços do plano são simétricos em relação aoeixo X, sabe-se que os dois traços do plano fazem, com o eixo X, ângulosde 60º (a.d.). Em seguida, para determinar as projecções dos pontos pedi-dos, teve-se em conta a condição para que um ponto pertença a uma rec-ta. Sublinha-se que o plano δ é um plano não projectante – nesse sentido,os raciocínios expostos nos exercícios anteriores (exercícios 109, 111, 112e 113) não se aplica na presente situação, pois tratou-se de raciocínios ex-clusivos de planos projectantes. Assim, nesta situação, e como acima sereferiu, é necessário ter em conta a condição para que um ponto pertençaa um plano – o ponto tem de pertencer a uma recta do plano. Há, no en-tanto, que escolher criteriosamente as rectas a utilizar (ver exercícios 79 e104 e respectivos relatórios). Para determinar as projecções do ponto A re-correu-se a uma recta horizontal (de nível) h, do plano, com 4 cm de cota(ver relatório do exercício 93) – a recta h é o lugar geométrico dos pontosdo plano que têm 4 cm de cota e o ponto A é o ponto da recta h que tem 6cm de afastamento. Para determinar as projecções do ponto B recorreu-sea uma outra recta horizontal (de nível) h’, do plano, com 2 cm de cota – arecta h’ é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm 2 cm de cota eo ponto B é o ponto da recta h’ que tem 4 cm de cota. Para determinar asprojecções do ponto C recorreu-se a uma recta frontal (de frente) f, do pla-no, com 2 cm de afastamento (ver relatório do exercício 94) – a recta f é olugar geométrico dos pontos do plano com 2 cm de afastamento e o pontoC é o ponto da recta f que tem 5 cm de cota. A partir das projecções dostrês pontos, desenharam-se as projecções do triângulo.

Em primeiro lugar representou-se o plano α pelos seus traços,que são duas rectas que estão coincidentes apenas no papel(ver relatório do exercício 92). Em seguida, para determinar asprojecções dos pontos pedidos, e à semelhança do exercícioanterior, teve-se em conta a condição para que um ponto per-tença a uma recta. Sublinha-se que o plano α é um plano nãoprojectante – nesse sentido, os raciocínios expostos nos exer-cícios 109, 111, 112 e 113 não se aplica na presente situação,pois tratou-se de raciocínios exclusivos de planos projectan-tes. Assim, nesta situação, como acima se referiu, é necessárioter em conta a condição para que um ponto pertença a um pla-no – o ponto tem de pertencer a uma recta do plano. Há, no en-tanto, que escolher criteriosamente as rectas a utilizar (verexercícios 79 e 104 e respectivos relatórios). Para determinar asprojecções do ponto A recorreu-se a uma recta horizontal (de ní-vel) h, do plano, com 3 cm de cota (ver relatório do exercício 93)– a recta h é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm 3cm de cota e o ponto A é o ponto da recta h que tem 4 cm deafastamento. Para determinar as projecções do ponto B recor-reu-se a uma outra recta horizontal (de nível) do plano, com cotanula – o próprio traço horizontal do plano. Recorde que o tra-ço horizontal do plano é uma recta horizontal (de nível) do planocom cota nula, pelo que não é necessário, para o ponto B, re-correr a uma outra recta do plano, pois o ponto pertence neces-sariamente a uma das rectas que define o plano – o ponto B é oponto de hαα que tem 5 cm de afastamento. Para determinar asprojecções do ponto C recorreu-se a uma recta frontal (de fren-te) f, do plano, com 2 cm de afastamento (ver relatório do exer-cício 94) – a recta f é o lugar geométrico dos pontos do planocom 2 cm de afastamento e o ponto C é o ponto da recta f quetem 4 cm de cota.

116.

43

SOLUÇÕES

117.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta m, em funçãodos dados. Um plano contém uma recta se e só se a recta pertencer aoplano – para uma recta pertencer a um plano, tem de ter os seus traçossobre os traços homónimos do plano (condição para que uma recta per-tença a um plano). Assim, em seguida determinaram-se os traços da rec-ta m nos planos de projecção – F, o seu traço frontal, e H, o seu traçohorizontal. O traço frontal do plano (fρρ) é uma recta – para definir uma rec-ta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Já temosa direcção – o traço frontal de um plano de rampa é necessariamenteuma recta fronto-horizontal. Também já temos um ponto – o traço frontalda recta m (F). Assim, por F conduziu-se uma recta paralela ao eixo X,que é fρρ – fρρ está definido por um ponto e por uma direcção. O raciocíniofoi idêntico para o traço horizontal do plano – o traço horizontal do plano(hρρ) é uma recta e para definir uma recta são necessários dois pontos ouum ponto e uma direcção. Já temos a direcção – o traço horizontal deum plano de rampa é necessariamente uma recta fronto-horizontal.Também já temos um ponto – o traço horizontal da recta m (H). Assim,por H conduziu-se uma recta paralela ao eixo X, que é hρρ – hρρ está defini-do por um ponto e uma direcção.

118.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta m, em função dosdados. Um plano vertical é um plano projectante horizontal, pelo que as pro-jecções horizontais de todas as rectas do plano estão sobre o traço horizontaldo plano. Assim, se o plano γ contém a recta, é porque a recta pertence aoplano γ, pelo que terá de verificar o que acima se expôs. Nesse sentido, dese-nhou-se imediatamente hγγ, o traço horizontal do plano, que está coincidentecom a projecção horizontal da recta m (hγγ � m1), o que nos garante imediata-mente que a recta m pertence ao plano γ (o plano γ contém a recta m). O traçofrontal do plano, fγγ, é uma recta vertical com afastamento nulo, ou seja, é per-pendicular ao eixo X e é concorrente com hγγ num ponto do eixo X – fγγ dese-nha-se imediatamente. Note que, por comparação com a resolução doexercício anterior, nesta situação, e apenas por se tratar de um plano projec-tante, não foi necessária a prévia determinação dos traços da recta. Sublinha-se que os raciocínios expostos são exclusivos dos planos projectanteshorizontais. No entanto, seria possível resolver o exercício pelo processo ex-posto no relatório do exercício anterior, pois esse processo é um processouniversal – os raciocínios aplicáveis aos planos projectantes são raciocíniosparticulares, enquanto que os raciocínios aplicáveis aos planos não projec-tantes (caso da situação do exercício anterior) são raciocínios universais.

119.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta r, em função dos dados. Umplano de topo é um plano projectante frontal, pelo que as projecções frontais de todasas rectas do plano estão sobre o traço frontal do plano. Assim, se o plano α contém arecta, é porque a recta pertence ao plano α, pelo que terá de verificar o que acima se ex-pôs. Nesse sentido, desenhou-se imediatamente fαα, o traço frontal do plano, que estácoincidente com a projecção frontal da recta r (fαα � r2), o que nos garante imediatamenteque a recta r pertence ao plano α (o plano α contém a recta r). O traço horizontal do pla-no, hαα, é uma recta de topo com cota nula, ou seja, é perpendicular ao eixo X e é concor-rente com fαα num ponto do eixo X – hαα desenha-se imediatamente. Note que, porcomparação com a resolução do exercício 117, nesta situação, e apenas por se tratar deum plano projectante, não foi necessária a prévia determinação dos traços da recta. Su-blinha-se que os raciocínios expostos são exclusivos dos planos projectantes frontais.No entanto, seria possível resolver o exercício pelo processo exposto no relatório doexercício 117, pois esse processo é um processo universal – os raciocínios aplicáveisaos planos projectantes são raciocínios particulares, enquanto que os raciocínios apli-cáveis aos planos não projectantes (caso da situação do exercício 117) são raciocíniosuniversais.

44

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções. Emseguida teve-se em conta a condição para que um ponto pertença a um plano – o pontotem de pertencer a uma recta do plano. De facto, para conduzir um plano pelo ponto, énecessário que o ponto pertença ao plano, ou seja, que se verifique a condição para queum ponto pertença a um plano. As únicas rectas que sabemos pertencer ao plano sãoapenas as rectas frontais (de frente), pois é dada a direcção do traço frontal do plano (fγγ)– tenha em conta que rectas frontais (de frente) de um plano são paralelas entre si e pa-ralelas ao traço frontal do plano. Note que não se sabe a direcção de qualquer outra rec-ta do plano, para além das rectas frontais (de frente), pois não se sabe nem a direcçãodas rectas horizontais (de nível) do plano nem das infinitas direcções de rectas oblíquasque o plano pretendido pode conter. As únicas rectas que é possível garantir que perten-çam ao plano são, de facto, as rectas frontais (de frente), pelo que atrás se expôs. Assim,

a recta a que teremos de recorrer para que o ponto pertença ao plano terá de ser, necessariamente, uma recta frontal (defrente). Nesse sentido, pelo ponto A conduziu-se uma recta f, frontal (de frente), do plano (a recta f faz um ângulo de 30º como Plano Horizontal de Projecção, de abertura à direita, que é o ângulo conhecido de fγγ), e determinou-se H, o seu traço hori-zontal. Este procedimento permitiu-nos determinar ambos os traços do plano γ. O traço horizontal do plano, hγγ, é uma rectae para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Já temos os dois pontos – o ponto B,que é o ponto de concorrência dos dois traços do plano, e o traço horizontal da recta r, o ponto H, pelo que hγγ está definidopor dois pontos. O traço frontal do plano, fγγ, é uma recta e para definir uma recta são necessários dois pontos ou um pontoe uma direcção. Já temos ambos – fγγ passa pelo ponto B (que é o ponto de concorrência dos dois traços do plano) e é para-lelo à recta f (faz um ângulo de 30º de abertura à direita com o eixo X, como é pretendido no enunciado), pelo que fγγ está defi-nido por um ponto e uma direcção. Tenha em conta que, nesta situação, seria indistinto começar por determinar o traçofrontal do plano ou começar por determinar o seu traço horizontal. O plano α é o plano pedido, pois os seus traços são con-correntes no ponto B, o seu traço frontal faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo X e ainda contém o ponto A (o ponto A per-tence a uma recta do plano –a recta f).

122.Em primeiro lugar representou-se o ponto A, pelas suas projecções. Um plano de topo éprojectante frontal, pelo que projecta todas as suas rectas e pontos no Plano Frontal deProjecção – as projecções frontais de todos os seus pontos estão sobre o seu traço fron-tal. Dessa forma, se o plano α contém o ponto A, o ponto A pertence ao plano, pelo quetem de se verificar o acima exposto. Assim, por A2, a projecção frontal do ponto A, condu-ziu-se fαα, com o ângulo pedido – tenha em conta que o diedro que um plano de topo fazcom o Plano Horizontal de Projecção se mede no ângulo que o traço frontal do plano fazcom o eixo X. Para a determinação de hαα teve-se em conta que hαα é concorrente com fααnum ponto do eixo X e é perpendicular a este (pois é uma recta de topo). Note que o ra-ciocínio exposto é exclusivo dos planos projectantes frontais – caso se tratasse de umplano não projectante, seria necessário efectuar os procedimentos do exercício anteriorbem como os respectivos raciocínios, expostos no relatório do exercício anterior. Subli-nha-se que os raciocínios são muito distintos dependendo da situação em questão – nocaso dos planos projectantes, trata-se de raciocínios particulares (e, por isso, raciocí-nios não universais), enquanto que, no caso dos planos não projectantes, trata-se de ra-ciocínios gerais (e, por isso, raciocínios universais).

120.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta r, em função dos dados. Para oplano δ conter a recta r, a recta tem de pertencer ao plano. Ora, uma recta pertence a umplano se e só se os seus traços pertencerem aos traços homónimos do plano (condiçãopara que uma recta pertença a um plano). Assim, em primeiro lugar determinaram-se ostraços da recta r nos planos de projecção. Em seguida, teve-se em conta que para que oplano δ contenha a recta, é necessário que fδδ, o traço frontal do plano, passe por F (traçofrontal da recta r) e que hδδ, o traço horizontal do plano, passe por H (traço horizontal darecta r). O traço frontal do plano, fδδ, é uma recta, e para definirmos uma recta são neces-sários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Já temos um ponto – F, o traço fron-tal da recta r. Também já temos a direcção, que é dada no enunciado. Assim, fδδ passapor F e faz, com o eixo X, um ângulo de 60º (a.d.) – fδδ está definido por um ponto e umadirecção. O traço horizontal do plano, hδδ, por sua vez, também é uma recta, e para defi-nirmos uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Já temosdois pontos – hδδ passa por H ( traço horizontal da recta r) e é necessariamente concor-rente com fδδ num ponto do eixo X.

121.

Em primeiro lugar representou-se o ponto P, pelas suas projecções. Um plano frontal (defrente) é projectante horizontal, pelo que projecta todas as suas rectas e pontos no PlanoHorizontal de Projecção – as projecções horizontais de todos os seus pontos estão sobre oseu traço horizontal. Dessa forma, se o plano ϕ contém o ponto P, o ponto P pertence aoplano, pelo que tem de se verificar o acima exposto. Assim, por P1, a projecção horizontal doponto P, conduziu-se hϕϕ, paralelo ao eixo X – tenha em conta que o traço horizontal de umplano frontal (de frente) é uma recta fronto-horizontal com cota nula. Note que o raciocínioexposto é exclusivo dos planos projectantes horizontais – caso se tratasse de um planonão projectante, seria necessário efectuar os procedimentos do exercício 121, bem como osrespectivos raciocínios, expostos no relatório do exercício 121. Sublinha-se que os raciocí-nios são muito distintos dependendo da situação em questão – no caso dos planos projec-tantes, trata-se de raciocínios particulares (e, por isso, raciocínios não universais),enquanto que, no caso dos planos não projectantes, trata-se de raciocínios gerais (e, porisso, raciocínios universais). Tenha ainda em conta que um plano frontal (de frente) não temtraço frontal, pois é paralelo ao Plano Frontal de Projecção – nesse sentido, o traço horizontaldo plano ϕ representou-se entre parêntesis.

45

SOLUÇÕES

123.Em primeiro lugar representou-se o ponto A, pelas suas projecções, bem como o traçofrontal do plano, fρρ, em função dos dados. Em seguida teve-se em conta a condiçãopara que um ponto pertença a um plano – o ponto tem de pertencer a uma recta do pla-no. De facto, para conduzir um plano pelo ponto, é necessário que o ponto pertença aoplano, ou seja, que se verifique a condição para que um ponto pertença a um plano. As-sim, é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano, recta essa que tem de ser de-finida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção. Por outro lado essa recta temde passar pelo ponto A, que é um ponto do plano – já temos um ponto. Falta-nos ou-tro ponto ou uma direcção. Poder-se-ia recorrer a uma recta fronto-horizontal, que é aúnica direcção conhecida das rectas do plano, No entanto, uma recta fronto-horizontaldo plano, a passar por A, pouco ou nada iria contribuir para a resolução do exercício.Nesse sentido, recorreu-se a uma recta oblíqua do plano, recta essa que, para pertencerao plano, tem de ter o seu traço frontal (F) sobre o traço frontal do plano (fρρ) – já temosoutro ponto para definir a recta auxiliar. Assim, a recta r, definida pelo ponto A e peloseu traço frontal (F), é a recta auxiliar a que se recorreu – a recta r está definida por dois pontos. Em seguida determinou-se otraço horizontal da recta r – H. O traço horizontal do plano, hρρ, é uma recta e para definirmos uma recta são necessários doispontos ou um ponto e uma direcção. Os traços de um plano de rampa são, ambos, rectas fronto-horizontais – já temos adirecção do traço horizontal do plano. Falta-nos um ponto. Para que a recta r pertença ao plano, os seus traços têm de per-tencer aos traços homónimos do plano. Nesse sentido, o traço horizontal do plano, hρρ, tem de passar pelo traço horizontal darecta r – já temos o ponto que nos faltava. O traço horizontal do plano ρ, hρρ, está definido por um ponto (H) e por uma direc-ção (é fronto-horizontal). O plano ρ é de rampa (conforme é pedido no enunciado) e contém o ponto A, pois o ponto A perten-ce a uma recta do plano ρ – a recta r.

124.

125.Em primeiro lugar representou-se o plano θ, pelos seus traços, em função dos dados. a) Trata-se de um plano apoiado, pois a “face” do plano que é visível em projec-

ção horizontal é a mesma “face” que é visível em projecção frontal – a mesma“face” é visível em ambas as projecções.

b) Para determinar as projecções da recta r teve-se em conta que para definir umarecta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta r é umarecta passante, pelo que se trata de uma recta do plano que é concorrente com oeixo X. O ponto de concorrência dos traços do plano é o único ponto do plano quepertence ao eixo X. Assim, face ao atrás exposto e ainda atendendo a que as rec-tas passantes têm os seus traços (frontal e horizontal) coincidentes num únicoponto, que é o seu ponto de concorrência com o eixo X, esse ponto terá de ser,necessariamente, o ponto de concorrência dos dois traços do plano. Já temosum ponto para definir a recta. Este raciocínio permitiu-nos, ainda, desenhar a pro-jecção frontal da recta r, a partir do ângulo dado. Para definir a recta r apenas temos o seu ponto de concorrência com o eixoX, pelo que necessitamos de outro ponto ou de uma direcção. Os dados do exercício são insuficientes para definir a recta r,pelo que é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano, recta essa que, também ela, terá de ser definida por dois pon-tos ou por um ponto e uma direcção. Recorreu-se à recta h, do plano, como recta auxiliar – a recta h é uma recta horizontal(de nível), cujas projecções se determinaram de acordo com o exposto no relatório do exercício 93. As rectas r e h são com-planares, pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas, pois têm direcções diferentes, pelo que são ne-cessariamente concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto P. Já temos outro ponto para definir arecta r. A recta r está, assim, definida por dois pontos – o ponto P e o seu ponto de concorrência com o eixo X (e com os doistraços do plano). Tenha em conta que a recta auxiliar poderia ter sido, por exemplo, uma recta paralela à recta r mas não pas-sante – essa recta dar-nos-ia a direcção da recta r que, nesse caso, estaria definida por um ponto e uma direcção.

46

SOLUÇÕES

127.

Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dosdados. a) Trata-se de um plano apoiado, pois a “face” do plano que é visível em projec-

ção horizontal é a mesma “face” que é visível em projecção frontal – a mesma“face” é visível em ambas as projecções.

b) Sobre a determinação das projecções da recta g, ver exercício 107 e respecti-vo relatório. A recta g está definida por um ponto (o ponto P, que é o seu pon-to de concorrência com uma recta auxiliar do plano – a recta r) e por umadirecção (trata-se de uma recta fronto-horizontal).

128.Em primeiro lugar representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados. a) Trata-se de um plano em tensão, pois a “face” do plano que é visível em projecção hori-

zontal não é a mesma “face” que é visível em projecção frontal – em diferentes projec-ções são visíveis “faces” distintas.

b) Para determinar as projecções de A teve-se em conta a condição para que um pontopertença a um plano – o ponto tem de pertencer a uma recta do plano. Nesse sentido,recorreu-se a uma recta auxiliar do plano (a recta r, oblíqua), recta essa que tem de serdefinida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção. A recta r está definida pordois pontos – os seus traços nos planos de projecção, F e H. Os traços da recta perten-cem aos traços homónimos do plano, pelo que a recta pertence ao plano, pois verifica acondição para que uma recta pertença a um plano. A partir das projecções da recta r épossível determinar as projecções do ponto A – o ponto A é o ponto da recta r que tem 2cm de afastamento. O ponto A pertence ao plano, pois pertence a uma recta do plano –arecta r.

126.Em primeiro lugar representou-se o plano γ, pelos seus traços, em função dos da-dos. a) Trata-se de um plano em tensão, pois a “face” do plano que é visível em pro-

jecção horizontal não é a mesma “face” que é visível em projecção frontal – emdiferentes projecções são visíveis “faces” distintas.

b) Sobre a determinação das projecções dos pontos A e B, ver relatórios dosexercícios 79 e 104 – teve-se em conta a condição para que um ponto pertençaa um plano (o ponto tem de pertencer a uma recta do plano), uma vez que setrata de um plano não projectante. Para determinar as projecções do ponto A,recorreu-se a uma recta horizontal (de nível) h, do plano, com 3 cm de cota –essa recta é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm 3 cm de cota e oponto A é o ponto da recta h que tem 1 cm de afastamento. Para determinar asprojecções do ponto B recorreu-se a uma recta f, frontal (de frente), pertencenteao plano e com 4 cm de afastamento – essa recta é o lugar geométrico dospontos do plano que têm 4 cm de afastamento e o ponto B é o ponto da recta fque tem 2 cm de cota. Os pontos A e B pertencem ao plano, pois pertencem arectas do plano.

47

SOLUÇÕES

129.Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e s, pelas respectivasprojecções, em função dos dados. A partir dos dados do enunciado foipossível, ainda, determinar a projecção horizontal do traço frontal darecta pedida (F1) e desenhar a projecção horizontal da recta – m1. É pe-dida uma recta e para definir uma recta são necessários dois pontosou um ponto e uma direcção. A recta m é paralela às rectas r e s (épedido no enunciado), pelo que já temos a direcção da recta. Falta-nos um ponto. Os dados do plano são insuficientes para determinar oponto em falta, pelo que é necessário o recurso a uma recta auxiliar doplano, recta essa que, também ela, tem de ser definida por dois pontosou por um ponto e uma direcção. Recorreu-se a uma recta horizontal(de nível) h, do plano, passando pelos pontos A e C (que têm a mesmacota). Note que o facto de se conduzir a recta h pelos pontos A e C nospermitiu alguma economia de traçados, uma vez que não foi necessáriodeterminar mais pontos para além dos pontos dados. A recta h estádefinida por dois pontos – os pontos A e C que são os seus pontos deconcorrência com as rectas r e s, respectivamente. As rectas m e h sãocomplanares, pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Não sãoconcorrentes, pois têm direcções diferentes (a recta h é horizontal e arecta m é oblíqua), pelo que são necessariamente concorrentes, peloque existe um ponto de concorrência – ponto D, que se determinou apartir da sua projecção horizontal. Já temos o ponto que nos faltava. Aprojecção frontal da recta m (m2) passa por D2 e é paralela a r2 e s2. Arecta m está definida por um ponto (o ponto D) e uma direcção (é pa-ralela às rectas r e s).

Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e s, pelas respectivas projec-ções, em função dos dados. Sobre a determinação das projecções dos pon-tos A, B e C, ver relatórios dos exercícios 79 e 104 – teve-se em conta acondição para que um ponto pertença a um plano (o ponto tem de pertencera uma recta do plano), uma vez que se trata de um plano não projectante.Para determinar as projecções do ponto A, recorreu-se a uma recta horizon-tal (de nível) h, do plano, com 2 cm de cota – essa recta é o lugar geométricodos pontos do plano que têm 2 cm de cota e o ponto A é o ponto da recta hque tem 2 cm de afastamento. Note que a recta h está definida por dois pon-tos – os pontos M e R, que são os seus pontos de concorrência com as rec-tas r e s, respectivamente. Para determinar as projecções do ponto Brecorreu-se a outra recta horizontal (de nível), h’, pertencente ao plano e com3 cm de cota – essa recta é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm3 cm de cota e o ponto B é o ponto da recta h’ que tem 1 cm de afastamen-to. A recta h’ está definida por um ponto e uma direcção – o ponto S (que é oseu ponto de concorrência com a recta r) e a direcção da recta h (rectas hori-zontais de um plano são paralelas entre si). Para determinar as projecções doponto C recorreu-se a outra recta horizontal (de nível), h’’, pertencente aoplano e com 4 cm de cota – essa recta é o lugar geométrico dos pontos doplano que têm 4 cm de cota e o ponto C é o ponto da recta h’’ que tem 5 cmde afastamento. A recta h’’ está definida por um ponto e uma direcção – oponto N (que é o seu ponto de concorrência com a recta r) e a direcção dasrectas h e h’ (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si). Os pon-tos A, B e C pertencem ao plano, pois pertencem a rectas do plano. A partirdas projecções dos três pontos, desenharam-se as projecções do triângulo.

130.

48

SOLUÇÕES

131.Em primeiro lugar representou-se o ponto A, pelas suas projecções, em função dosdados. Em seguida desenharam-se os traços do plano φ, tendo em conta que o planotem de conter o ponto A, pelo que o ponto A tem de pertencer a uma recta do plano (oplano φ é um plano não projectante) – ver exercício 121 e respectivo relatório. Noteque, em função dos dados, as rectas conhecidas do plano são as suas rectas fron-tais (de frente), que são paralelas ao traço frontal do plano, e as suas rectas horizon-tais (de nível), que são paralelas ao traço horizontal do plano. Nesse sentido, peloponto A conduziu-se uma recta frontal (de frente), f, com a direcção de fφφ. Tenha emconta que se poderia ter recorrido, igualmente, a uma recta horizontal (de nível) do pla-no que passasse por A, pois, nesta situação, também é conhecida a direcção das rec-tas horizontais do plano. Determinou-se o traço horizontal da recta f, H, e por Hconduziu-se hφφ, com a direcção dada – hθθ está definido por um ponto e uma direcção(hφφ faz, com o eixo X, um ângulo de 30º, de abertura para a direita). O traço frontal doplano, fφφ, é concorrente com hφφ no eixo X e é paralelo à recta f – fθθ está também defini-do por um ponto e uma direcção (fφφ faz com o eixo X, um ângulo de 45º, de abertura para a direita). Para determinar as pro-jecções da recta d (que é uma recta de maior declive do plano), e sabendo que se trata de uma recta passante, teve-se emconta que as rectas passantes têm os seus traços (frontal e horizontal) coincidentes num único ponto (o ponto em que sãoconcorrentes com o eixo X) – esse ponto terá de ser, necessariamente, o ponto de concorrência dos dois traços do plano.Para definir a recta d são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção – já temos um ponto para definir a recta,que é o ponto de concorrência dos dois traços do plano. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. A projecção horizontalde d desenhou-se imediatamente – d1 passa pelo ponto de concorrência dos dois traços do plano e é perpendicular a hφφ (asrectas de maior declive de um plano têm a sua projecção horizontal perpendicular ao traço horizontal do plano). Sublinha-seque para definir a recta d temos, apenas, um ponto – o seu ponto de concorrência com o eixo X. Tendo em conta que osdados do plano são insuficientes para definir a recta d, é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano, recta essa que,também ela, terá de ser definida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção. Recorreu-se à recta f, do plano (a rectaque nos permitiu determinar os traços do plano), como recta auxiliar (tenha em conta que o plano está definido por três rec-tas – os seus dois traços e a recta f). As rectas d e f são complanares, pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Nãosão paralelas, pois têm direcções diferentes (a recta d é uma recta oblíqua e a recta f é uma recta frontal), pelo que são con-correntes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto P. Já temos outro ponto. A recta d está, assim, definida pordois pontos – o ponto P e o seu ponto de concorrência com o eixo X (e com os dois traços do plano). Um outro processode resolução do exercício seria determinar as projecções de uma outra recta de maior declive do plano, que não fosse pas-sante. Essa recta e a recta d seriam paralelas (teriam a mesma direcção), pelo que, nessa situação, a recta d ficaria definidapor um ponto e uma direcção.

REPRESENTAÇAO DE FIGURAS PLANAS I

6

132.Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, em fun-ção dos dados, e desenhou-se o traço horizontal do plano ϕ, o plano frontal (de frente), quecontém o triângulo (hϕϕ passa pelas projecções horizontais de A e B). O plano ϕ não tem tra-ço frontal, pelo que o seu traço horizontal se representou entre parêntesis. O plano ϕ é pa-ralelo ao Plano Frontal de Projecção, pelo que o triângulo se projecta em verdadeiragrandeza em projecção frontal. Assim, a partir de A2 e B2, as projecções frontais de A e B,construiu-se a projecção frontal do triângulo em verdadeira grandeza, obtendo a projecçãofrontal do vértice C – C2. Tenha em conta que o triângulo se situa no espaço do 1.o Diedro(como é expressamente pedido no enunciado), pelo que C tem de ter cota positiva. Por ou-tro lado, atendendo a que o plano ϕ é um plano projectante horizontal, a projecção hori-zontal do ponto C está necessariamente sobre o traço horizontal do plano, pelo que C1

tem determinação imediata. A partir das projecções dos três vértices do polígono, desenha-ram-se as suas duas projecções. Note que a projecção horizontal do triângulo se reduz aum segmento de recta (ver exercício 111 e respectivo relatório).

49

SOLUÇÕES

133.Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em fun-ção dos dados, e desenhou-se o traço horizontal do plano ϕ, o plano frontal(de frente) que contém a figura (hϕϕ passa pela projecção horizontal de O). Oplano ϕ não tem traço frontal, pelo que o seu traço horizontal se representouentre parêntesis. O plano ϕ é paralelo ao Plano Frontal de Projecção, pelo queo círculo se projecta em verdadeira grandeza em projecção frontal. Assim, fa-zendo centro em O2, a projecção frontal de O, e com 3,5 cm de raio, com ocompasso desenhou-se a circunferência que delimita a figura, em verdadeiragrandeza, obtendo a projecção frontal círculo. Como o plano ϕ é um planoprojectante horizontal, a projecção horizontal do círculo é necessariamenteum segmento de recta do traço horizontal do plano (ver exercício 111). A pro-jecção horizontal do círculo corresponde à projecção horizontal do único diâ-metro que não sofre qualquer deformação – o seu diâmetro fronto-horizontal,que é o diâmetro [AB] (é o único diâmetro que é paralelo ao Plano Horizontalde Projecção e, por isso, não sofre qualquer deformação em projecção hori-zontal – projecta-se em verdadeira grandeza). A projecção horizontal do círcu-lo é, assim, o segmento de recta [A1B1].

134.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e Q, pelas respectivas projecções,em função dos dados, e desenhou-se o traço frontal do plano ν, o plano horizontal (denível) que contém o quadrado (fνν passa pelas projecções frontais de A e Q). O plano νnão tem traço horizontal, pelo que o seu traço frontal se representou entre parêntesis.Como o plano é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, o quadrado projecta-se emverdadeira grandeza em projecção horizontal. O ponto Q é cenro da circunferência cir-cunscrita ao quadrado e A é um vértice do polígono, pelo que AQ é o raio da circunfe-rência circunscrita ao quadrado, que está em verdadeira grandeza em A1Q1 (quadradoprojecta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção). Assim, desenhou-se a cir-cunferência e construiu-se o quadrado, em verdadeira grandeza, em projecção hori-zontal – as projecções frontais dos vértices do quadrado estão necessariamentesobre (fνν), pois trata-se de um plano projectante frontal. Após a determinação das duasprojecções de todos os vértices do polígono, desenharam-se as suas projecções. Oenunciado é omisso em relação à ordem dos vértices, pelo que a ordem escolhida foiarbitrária, mantendo, apenas, a sequência natural dos vértices (os vértices não podemser salteados). A projecção frontal do polígono reduz-se a um segmento de recta.

135.Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em funçãodos dados, e desenhou-se o traço horizontal do plano ϕ, o plano frontal (defrente), que contém o polígono (hϕϕ passa pela projecção horizontal de O). O pla-no ϕ não tem traço frontal, pelo que o seu traço horizontal se representou entreparêntesis. O pentágono projecta-se em verdadeira grandeza no Plano Frontalde Projecção, pois está contido num plano paralelo ao Plano Frontal de Projec-ção. Assim, com o compasso e fazendo centro em O2 (a projecção frontal doponto O), desenhou-se a projecção frontal da circunferência circunscrita aopentágono, com 4 cm de raio. Os dados do enunciado permitiram-nos percebera posição do pentágono – o lado [RS] é o lado oposto ao vértice P e é vertical,sendo P o seu vértice mais à esquerda (o vértice de maior abcissa). Em seguidaconstruiu-se o pentágono em verdadeira grandeza, em projecção frontal, e de-terminou-se a posição dos seus vértices, de acordo cm o enunciado – o vérticeQ é o vértice de maior cota do polígono. As projecções horizontais dos vérticesdo pentágono estão sobre o traço horizontal do plano, pois trata-se de um pla-no projectante horizontal. A partir das projecções dos cinco vértices do pentá-gono, desenharam-se as suas projecções – a projecção horizontal do polígonoreduz-se a um segmento de recta.

50

SOLUÇÕES

136.Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas pro-jecções, em função dos dados, e desenhou-se o traço frontal do plano ν, oplano horizontal (de nível), que contém o hexágono (fνν passa pelas projec-ções frontais de A e B). O plano ν não tem traço horizontal, pelo que o seutraço frontal se representou entre parêntesis. O hexágono projecta-se emverdadeira grandeza no Plano Horizontal de Projecção, pois está contidonum plano paralelo ao Plano Horizontal de Projecção – AB está em verdadei-ra grandeza em A1B1. O hexágono regular é o único polígono em que o raiocircunferência em que se inscreve é igual à medida do seu lado. Assim,construiu-se um triângulo equilátero a partir do segmento [A1B1], obtendo O1

– O1 é a projecção horizontal do ponto O, o centro da circunferência circuns-crita ao polígono, e O2 está sobre fνν, pois trata-se de um plano projectantefrontal. Em projecção horizontal, com o compasso, desenhou-se a circunfe-rência em verdadeira grandeza, com centro em O1 e raio até A1 ou B1, econstruiu-se o hexágono em verdadeira grandeza, em projecção horizontal.Tenha em conta que o hexágono se situa no 1o Diedro (é expressamente pe-dido no enunciado), pelo que foi necessário garantir que o centro da circun-ferência tivesse afastamento positivo. Esse facto garantiu-nos, ainda, quetodos os vértices do hexágono se situam, também, no espaço do 1o Diedro.A partir das duas projecções de todos os vértices do hexágono, desenha-ram-se as duas projecções da figura. A projecção frontal do hexágono re-duz-se a um segmento de recta.

137.

Em primeiro lugar representou-se o ponto A, pelas suas projecções,em função dos dados, e desenhou-se o traço horizontal do plano ϕ, oplano frontal (de frente) que contém o polígono (hϕϕ passa pela projec-ção horizontal de A). O plano ϕ não tem traço frontal, pelo que o seutraço horizontal se representou entre parêntesis. O plano ϕ é paraleloao Plano Frontal de Projecção, pelo que o rectângulo se projecta emverdadeira grandeza em projecção frontal. A diagonal [AC] está contidanuma recta frontal (de frente), pelo que se projecta em verdadeira gran-deza em projecção frontal. Assim, a partir de A2 representou-se o ân-gulo que a diagonal [AC] faz com o Plano Horizontal de Projecção (queé o ângulo que a sua projecção frontal faz com o eixo X) e mediram-seos 8 cm (o comprimento da diagonal) em verdadeira grandeza, a partirde A2, obtendo C2 – C1 está sobre hϕϕ, pois trata-se de um plano pro-jectante horizontal. Note que se teve em conta que o polígono se si-tua no espaço do 1.o Diedro, pelo que C tem de ter cota positiva. Paraa construção do rectângulo, foi necessário, em seguida, desenhar acircunferência circunscrita ao polígono, para o que se determinou oponto médio da diagonal (o ponto M), o que se processou com o re-curso à mediatriz do segmento [AC]. Com o compasso, fazendo centroem M2 e com raio até A2 (ou C2), desenhou-se a circunferência circuns-crita ao polígono, em verdadeira grandeza, em projecção frontal. Olado [AB] do polígono mede 3 cm e projecta-se em verdadeira grande-za em projecção frontal, pelo que, com o compasso, fazendo centroem A2 e com 3 cm de raio, determinou-se B2 sobre a circunferência (àdireita de A, como é expressamente pedido o enunciado). Por B2 e porM2 conduziu-se a projecção frontal da diagonal [BD] do rectângulo, ob-tendo D2 no ponto em que a sua recta suporte corta a circunferência.As projecções horizontais de todos os vértices do polígono estão so-bre o traço horizontal do plano, pois trata-se de um plano projectantehorizontal. A partir das projecções de todos os vértices do polígono,desenharam-se as suas projecções – a projecção horizontal do rectân-gulo reduz-se a um segmento de recta.

51

SOLUÇÕES

138.Em primeiro lugar desenhou-se o traço frontal do plano ν, o plano horizontal (de nível)que contém o polígono e representou-se o ponto R, pelas suas projecções, em funçãodos dados – R2 situa-se sobre fνν e R1 situa-se no eixo X, pois R tem afastamento nulo. Oplano ν não tem traço horizontal, pelo que o seu traço frontal se representou entre parên-tesis. O plano ν é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que o losango se pro-jecta em verdadeira grandeza no Plano Horizontal de Projecção. A diagonal [RT] estácontida numa recta horizontal (de nível), pelo que se projecta em verdadeira grandeza emprojecção horizontal. Assim, a partir de R1 representou-se o ângulo que a diagonal [RT]faz com o Plano Frontal de Projecção (que é o ângulo que a sua projecção horizontal fazcom o eixo X) e mediram-se os 7 cm (o comprimento da diagonal) em verdadeira grande-za, a partir de R1, obtendo T1 – T2 está sobre fνν, pois trata-se de um plano projectantefrontal. Note que se teve em conta que o polígono se situa no espaço do 1.o Diedro,pelo que T tem de ter afastamento positivo. A diagonal [SU] é perpendicular a [RT] e pas-sa pelo seu ponto médio, o ponto M – M determinou-se com o recurso à mediatriz dosegmento [RT]. Sobre a mediatriz de [RT], em projecção horizontal e a partir de M1, me-diram-se 2 cm para cada lado (metade da diagonal [SU], que mede 4 cm), obtendo-se as projecções horizontais de S e de U –as projecções frontais destes pontos estão sobre o traço frontal do plano, pois trata-se de um plano projectante frontal. A partirdas projecções de todos os vértices do polígono, desenharam-se as duas projecções da figura – a projecção frontal do losangoreduz-se a um segmento de recta.

139. Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, em função dos dados. Olado [AB] está contido em fδδ, pois tem afastamento nulo. O lado [AD] está contido em hδδ,pois tem cota nula. O ponto A pertence, assim, aos dois traços do plano, pelo que temcota e afastamento nulos. As projecções de A determinam-se imediatamente – A é o pontode concorrência dos dois traços do plano. AB está contido no Plano Frontal de Projecção(pertence a fδδ), pelo que se projecta em verdadeira grandeza no Plano Frontal de Projecção– A2B2 = 5 cm (que é a medida do lado do polígono), pelo que, sobre fδδ e a partir de A2, semediram os 5 cm, o que os permitiu determinar B2. A projecção horizontal de B determi-nou-se imediatamente, pois B1 está sobre o eixo X (B tem afastamento nulo). AD está con-tido no Plano Horizontal de Projecção, pelo que se projecta em verdadeira grandeza noPlano Horizontal de Projecção – A1D1 = 5 cm (que é a medida do lado do quadrado), peloque, sobre hδδ e a partir de A1, se mediram os 5 cm, o que nos permitiu determinar C1. Aprojecção frontal de C determinou-se imediatamente, pois C2 está no eixo X (C tem cotanula – atendendo a que hδδ é uma recta de topo, tem-se A2 � C2). Um quadrado tem osseus lados paralelos dois a dois, pelo que os lados [AB] e [CD] são paralelos entre si, talcomo os lados [AD] e [BC] são também paralelos entre si. Assim, o lado [BC] está contidonuma recta de topo, t, paralela a hδδ e que passa por B. As projecções da recta t determi-

nam-se imediatamente. Por seu turno, o lado [DC] está contido numa recta frontal (de frente), f, paralela a fδδ e que passa porD. As projecções da recta f determinam-se imediatamente. O ponto C é o ponto de concorrência da recta t com a recta f (asrectas t e f são concorrentes, pois são complanares). A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as duas projecções do polígono – note que a projecção frontal do quadrado se reduz a um segmento de recta, pois o planoδ é um plano projectante frontal.

140.Em primeiro lugar representou-se o plano θ pelos traços, em função dos dados, e desenha-ram-se as projecções da recta v, vertical, a recta que pertence pertencente ao plano e quetem 1 cm de afastamento (a recta v é a recta suporte do lado [MN] do quadrado). Em segui-da determinaram-se as projecções dos pontos M e N, situados na recta v, em função dasrespectivas cotas. O lado do quadrado mede 4 cm – é a diferença das cotas de M e N, queestá em verdadeira grandeza em projecção frontal (a recta v é paralela ao Plano Frontal deProjecção). Os ângulos internos de um quadrado são ângulos rectos, pelo que os lados[MP] e [NO] são perpendiculares ao lado [MN] – o lado [MN] está contido numa recta verti-cal, pelo que os lados [MP] e [NO] estão necessariamente contidos em rectas horizontais(de nível). Assim os lados horizontais (de nível) do quadrado projectam-se em verdadeiragrandeza no Plano Horizontal de Projecção, por serem paralelos a este. A recta v’ é a rectasuporte do lado [OP] e dista 4 cm da recta v (os 4 cm mediram-se em verdadeira grandezasobre hδδ). Os lados [NO] e [MP] são horizontais (de nível), pelo que a cota de O é igual à deN e a cota de P é igual à de M. Estes raciocínios permitiram-nos determinar as projecçõesdos pontos O e P. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-seas duas projecções do polígono – note que a projecção horizontal do quadrado se reduz aum segmento de recta, pois está contido num plano projectante horizontal.

52

SOLUÇÕES

142.

Em primeiro lugar representou-se o plano π, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projec-ções, pertencente ao plano e em função das suas coordenadas. O plano π é duplamente pro-jectante (é simultaneamente projectante frontal e projectante horizontal – ver relatório doexercício 113), pelo que as duas projecções do quadrado se reduzem a segmentos de recta. Adiagonal [PR] é vertical (é paralela ao Plano Frontal de Projecção), pelo que a sua verdadeiragrandeza está em projecção frontal. Assim, sobre fππ e a partir de P2 (a projecção frontal doponto P), mediram-se os 6 cm (o comprimento da diagonal [PR]), obtendo R2, a projecçãofrontal do ponto R. Note que R tem de ter cota superior a P, pois o quadrado está no 1.o Die-dro (caso contrário, o ponto R teria cota negativa e o polígono não se situaria no espaço do 1.o

Diedro). A outra diagonal do quadrado é perpendicular a [PR], pelo que está necessariamen-te contida numa recta de topo que passa pelo ponto médio do segmento [PR] – o ponto M. Oponto M é, ainda, o ponto médio da diagonal [QS], que mede, também ela, 6 cm. A diagonal[QS] projecta-se em verdadeira grandeza no Plano Horizontal de Projecção, pois é paralela aoPlano Horizontal de Projecção (está contida numa recta de topo). A partir da determinação dasprojecções do ponto M, em projecção horizontal, mediram-se 3 cm (metade do comprimentoda diagonal) para cima e para baixo de M1 (a projecção horizontal do ponto M), obtendo asprojecções horizontais dos vértices Q e S do quadrado. Por fim, atendendo a que a diagonal[QS] é de topo (projectante frontal) e que passa pelo ponto M, sabe-se que as projecções fron-tais dos pontos Q e S estão necessariamente coincidentes com a projecção frontal do pontoM (trata-se de pontos situados na mesma recta projectante frontal). A partir das duas pro-jecções de todos os vértices do quadrado, desenharam-se as duas projecções do polígono.Sugere-se a visualização da situação, ou através de um modelo ou através de uma perspecti-va.

141.Em primeiro lugar representou-se o plano π, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suasprojecções, pertencente ao plano e em função das suas coordenadas. O plano π é dupla-mente projectante (é simultaneamente projectante frontal e projectante horizontal – ver re-latório do exercício 113), pelo que as duas projecções da circunferência se reduzem asegmentos de recta. A projecção frontal da circunferência é um segmento de recta – é aprojecção frontal do seu diâmetro vertical, que é o diâmetro que é paralelo ao Plano Frontalde Projecção e que, por isso, não sofre qualquer deformação em projecção frontal. A pro-jecção frontal de O (O2) será o ponto médio do segmento de recta que é a projecção frontalda circunferência. Assim, sobre fππ, a partir de O2, mediram-se 3 cm (para cima e para baixode O2), o que nos permitiu determinar os dois extremos do segmento de recta que é a pro-jecção frontal da circunferência. A projecção horizontal da circunferência é outro segmentode recta – é a projecção horizontal do seu diâmetro de topo, que é o diâmetro que é parale-lo ao Plano Horizontal de Projecção e que, por isso, não sofre qualquer deformação emprojecção horizontal. A projecção horizontal de O (O1) será o ponto médio do segmento derecta que é a projecção horizontal da circunferência. Assim, sobre hππ, a partir de O1, medi-ram-se 3 cm (para cima e para baixo de O1), o que nos permitiu determinar os dois extre-mos do segmento de recta que é a projecção horizontal da circunferência. Sugere-se avisualização da situação, ou através de um modelo ou através de uma perspectiva.

53

SOLUÇÕES

143.Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e o pontoO, pelas suas projecções, pertencente ao plano e em função das suascoordenadas. O ponto O é o ponto de concorrência das duas diagonaisdo polígono e é simultaneamente, o ponto médio de ambas. A diagonal[AC] é vertical, pelo que se projecta em verdadeira grandeza no PlanoFrontal de Projecção (é paralela ao Plano Frontal de Projecção). Assim, apartir de O2, em projecção frontal, mediram-se 4 cm (metade do compri-mento da diagonal) em ambos os sentidos (para cima e para baixo), ob-tendo as projecções frontais de A e C (indistintamente, pois o enunciadoé omisso no que toca à ordem dos vértices). As projecções horizontaisde A e C estão coincidentes com O1, pois estão os três pontos contidosna mesma recta projectante horizontal. A diagonal [BD] é perpendicular a[AC], pelo que está necessariamente contida numa recta horizontal (denível), que é paralela ao Plano Horizontal de Projecção – a diagonal [AC]projecta-se, assim, em verdadeira grandeza no Plano Horizontal de Pro-jecção. A partir de O1, em projecção horizontal e sobre hαα, mediram-se 2cm (metade do comprimento da diagonal [BD]), para os dois lados, ob-tendo-se as projecções horizontais de B e D. Tenha em conta que ospontos B e D têm a mesma cota do ponto O, pois a diagonal [BD], quepassa pelo ponto O, está contida numa recta horizontal (de nível). Assim,as projecções frontais dos pontos B e D situam-se nas respectivas linhasde chamada, com a mesma cota de O. A partir das projecções dos qua-tro vértices do polígono, desenharam-se as duas projecções do losango– a projecção horizontal do polígono reduz-se a um segmento de recta,pois a figura está contida num plano projectante horizontal.

144.

Em primeiro lugar representou-se o plano π, pelos seus traços, e o ponto R, pelas suas pro-jecções, pertencente ao plano e em funçãod as suas coordenadas. O plano π é duplamenteprojectante (é simultaneamente projectante frontal e projectante horizontal – ver relatório doexercício 113), pelo que as duas projecções do rectângulo se reduzem a segmentos de recta.O lado [RS] é de topo (é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção), pelo que se projecta emverdadeira grandeza em projecção horizontal, Assim, a partir de R1, sobre hππ, mediram-se os6 cm (o comprimento do lado [RS]), obtendo-se S1 e garantindo que S se situa no 1.o Diedro(S tem de ter afastamento positivo). S2 � R2, pois os dois pontos situam-se na mesma rectaprojectante frontal. O lado [RU] é perpendicular ao lado [RS], pelo que [RU] está necessaria-mente contido numa recta vertical (que é paralela ao Plano Frontal de Projecção). Assim, olado [RU] projecta-se em verdadeira grandeza no Plano Frontal de Projecção – a partir de R2,sobre fππ, mediram-se os 4 cm (o comprimento do lado [RU]), obtendo-se U2 e garantindo queU se situa no 1.o Diedro (U tem de ter cota positiva). U1 � R1, pois os dois pontos situam-sena mesma recta projectante horizontal. O lado [UT] está contido numa recta de topo (é parale-lo ao lado [RS]), pelo que se tem imediatamente U2 � T2 (os dois pontos estão contidos namesma recta projectante frontal). Por sua vez, o lado [ST] está contido numa recta vertical (éparalelo ao lado [RU]), pelo que se tem imediatamente S1 � T1 (os dois pontos estão contidosna mesma recta projectante horizontal). Determinadas as projecções dos quatro vértices dopolígono, desenharam-se as suas projecções, que se reduzem, ambas, a segmentos de recta.

54

SOLUÇÕES

145.Em primeiro lugar representaram-se os pontos M e A, pelas respectivasprojecções, em função dos dados, e desenharam-se os traços horizon-tais dos planos frontais (de frente) que contêm as duas figuras. O planoϕ é o plano frontal (de frente) que contém o pentágono – hϕϕ passa pelaprojecção horizontal do ponto M. O plano ϕ não tem traço frontal, peloque o seu traço horizontal se representou entre parêntesis. O plano ϕ1 éo plano frontal (de frente) que contém o círculo – hϕϕ1 passa pela projec-ção horizontal do ponto A. O plano ϕ1 não tem traço frontal, pelo que oseu traço horizontal se representou entre parêntesis. Em seguida proce-deu-se à construção das duas figuras, em função dos dados. As duasfiguras projectam-se, ambas, em verdadeira grandeza no Plano Frontalde Projecção, pois os planos que as contêm são paralelos ao PlanoFrontal de Projecção. Construiu-se o quadrado em verdadeira grande-za, em projecção frontal (ver exercício 134 e respectivo relatório). A pro-jecção frontal da circunferência circunscrita ao quadrado tem centro emM2 e tem 4 cm de raio. Através dos dados é ainda possível concluir quea diagonal fronto-horizontal é a diagonal [QS] e, por isso, a diagonal[PR] é vertical – estes raciocínios permitiram-nos concluir a construçãodo polígono e determinar as duas projecções de todos os seus vértices.Em seguida desenhou-se a circunferência que delimita o círculo em ver-dadeira grandeza, em projecção frontal, com centro em A2 (ver exercício 133 e respectivo relatório). A projecção horizontal da cir-cunferência corresponde à projecção horizontal do seu diâmetro horizontal (fronto-horizontal) – o diâmetro [BC]. O plano quecontém o círculo tem afastamento superior ao plano que contém o quadrado, pelo que o círculo oculta parcialmente o quadrado,em projecção frontal (o quadrado está por detrás da circunferência) – em projecção frontal, verifica-se a existência de uma so-breposição. Assim, a parte do quadrado que está por detrás do círculo é invisível. A partir destes pressupostos, desenharam-seas projecções frontais das duas figuras, atendendo às invisibilidades do quadrado, que se representaram a traço interrompido.Em projecção horizontal não há quaisquer invisibilidades, pois não há qualquer sobreposição – não há nenhuma parte de qual-quer das duas figuras, em projecção horizontal, que se represente a traço interrompido.

146.Em primeiro lugar desenhou-se o traço horizontal do plano frontal (de frente) ϕ quecontém o pentágono, em função do seu afastamento, e representou-se o ponto M, pe-las suas projecções, pertencente ao plano e em função da sua cota (tenha em contaque M1, a projecção horizontal de M, se situa sobre hϕϕ, pois o plano ϕ é projectantehorizontal). O plano ϕ não tem traço frontal, pelo que o seu traço horizontal se repre-sentou entre parêntesis. Em seguida procedeu-se à construção do pentágono, em ver-dadeira grandeza, em projecção frontal, pois o plano ϕ é paralelo ao Plano Frontal deProjecção. Assim, a circunferência circunscrita ao pentágono é tangente ao Plano Ho-rizontal de Projecção (plano XY – νo), pelo que, em projecção frontal, a circunferênciatem centro em M2 e é tangente ao eixo X. Em seguida construiu-se o pentágono emverdadeira grandeza, em projecção frontal, de acordo com os dados fornecidos (verexercício 135 e respectivo relatório). Note que se teve em conta a ordem dada noenunciado para os vértices do polígono – A é o vértice de maior cota e B o vértice demenor abcissa (o vértice mais à direita). Em seguida determinaram-se as projecçõesdo ponto P, um dos vértices do triângulo. O vértice P, do triângulo, está na mesmaprojectante frontal de M, pelo que se tem imediatamente P2 � M2. O ponto P é umponto do β1/3, pelo que as suas projecções são simétricas em relação ao eixo X, o quenos permitiu determinar P1, a projecção horizontal de P. Em seguida desenhou-se otraço horizontal do plano ϕ1, o plano frontal (de frente) que contém o triângulo, pas-

sando por P1. O plano ϕ1 não tem traço frontal, pelo que o seu traço horizontal se representou entre parêntesis. O plano ϕ1 éparalelo ao Plano Frontal de Projecção, pelo que o triângulo se projecta em verdadeira grandeza no Plano Frontal de Projecção.Em seguida determinaram-se as projecções do ponto Q, o outro vértice do triângulo que é dado no enunciado. Q2 � A2, pois édado que Q se situa na mesma projectante frontal do ponto A. Por outro lado, Q1 está sobre hϕϕ1, pois o plano ϕ1 é projectantehorizontal. Uma vez que o triângulo se projecta em verdadeira grandeza em projecção frontal, a partir de P2 e Q2, em projecçãofrontal, construiu-se a projecção frontal da figura, garantindo-se que o vértice R se situa à direita do vértice Q (como é expres-samente pedido no enunciado). A projecção horizontal de R situa-se sobre hϕϕ1, pois o plano ϕ1 é projectante horizontal. Por fimanalisaram-se as questões relativas à sobreposição das duas figuras. O triângulo tem afastamento superior ao pentágono, peloque o triângulo oculta parcialmente o pentágono (o pentágono está por detrás do triângulo) – em projecção frontal, verifica-se,assim, a existência de uma sobreposição. A parte do pentágono que está por detrás do triângulo é invisível. A partir destespressupostos, desenharam-se as projecções frontais das duas figuras, atendendo às invisibilidades do pentágono, que se re-presentaram a traço interrompido. Em projecção horizontal não há quaisquer invisibilidades, pois não há qualquer sobreposi-ção – não há nenhuma parte de qualquer das duas figuras, em projecção horizontal, que se represente a traço interrompido.

55

SOLUÇÕES

147.Atendendo a que o centro da circunferência circunscrita ao triângulo tem 3cm de cota, foi possível, de forma imediata, desenhar o traço frontal doplano horizontal (de nível) – o plano ν – que contém o triângulo. O plano νnão tem traço horizontal, pelo que o seu traço frontal se representou entreparêntesis. Em seguida teve-se em conta que a circunferência circunscritaao triângulo é tangente ao Plano Frontal de Projecção, pelo que o afasta-mento do seu centro (o ponto O) é igual ao seu raio – o centro da circunfe-rência é o ponto O que tem, assim, 4 cm de afastamento e 3 cm de cota,que é a cota do plano horizontal (de nível) que contém a figura. O plano ν éparalelo ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que o triângulo se projectaem verdadeira grandeza no Plano Horizontal de Projecção. Assim, com ocompasso, fazendo centro em O1 e com 4 cm de raio, desenhou-se a cir-cunferência circunscrita ao triângulo, em projecção horizontal (que é tan-gente ao eixo X). O lado [AB] do triângulo faz, com o Plano Frontal deProjecção (plano XZ – ϕo), um ângulo de 45º (a.d.) – assim, o diâmetro ini-cial (o diâmetro pelo qual se inicia a construção da figura) faz, com o PlanoFrontal de Projecção, um ângulo de 45º (a.e.). Tenha em conta que o diâ-metro inicial é necessariamente perpendicular a um dos lados do triângu-lo, após a sua construção.Com base nos pressupostos atrás expressos,construiu-se o triângulo em verdadeira grandeza, em projecção horizontal,respeitando o pretendido – B é o vértice de maior afastamento. Em seguidarepresentou-se o plano ν1, o plano horizontal (de nível) que contém o hexá-gono, pelo seu traço frontal, em função da sua cota. O plano ν1 não temtraço horizontal, pelo que o seu traço frontal se representou entre parênte-sis. O vértice D, do hexágono, está na mesma recta projectante horizontaldo ponto O, pelo que se tem imediatamente D1 � O1. A projecção frontaldo ponto D, D2, está sobre fνν1, pois o plano ν1 é projectante frontal. O pon-to Q, que é o centro da circunferência circunscrita ao hexágono, está namesma recta projectante horizontal do vértice B do triângulo, pelo que se tem imediatamente Q1 � B1. A projecção frontal deQ situa-se sobre fνν1, pois o plano ν1 é projectante frontal. O plano ν1 é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que ohexágono se projecta em verdadeira grandeza no Plano Horizontal de Projecção. Assim, em seguida construiu-se o hexágonoem verdadeira grandeza, em projecção horizontal, a partir dos pressupostos anteriores. Com o compasso, fazendo centro emQ1 e raio at+e D1, desenhou-se a projecção horizontal da circunferência circunscrita ao hexágono, em verdadeira grandeza,em projecção horizontal, e efectuaram-se os traçados necessários à construção da projecção horizontal do polígono, inscritona circunferência. Os vértices do hexágono foram nomeados tendo em conta as indicações dadas no enunciado – o vértice Esitua-se à esquerda do vértice D. As projecções frontais de todos os vértices do hexágono situam-se sobre fνν1, pois o plano ν1

é projectante frontal. Por fim analisaram-se as questões relativas à sobreposição das duas figuras. O hexágono tem cota su-perior ao triângulo, pelo que o hexágono oculta parcialmente o triângulo (o triângulo está por baixo do hexágono) – em projec-ção horizontal, verifica-se, assim, a existência de uma sobreposição. A parte do triângulo que está por baixo do hexágono éinvisível. A partir destes pressupostos, desenharam-se as projecções horizontais das duas figuras, atendendo às invisibili-dades do triângulo, que se representaram a traço interrompido. Em projecção frontal não há quaisquer invisibilidades, poisnão há qualquer sobreposição – não há nenhuma parte de qualquer das duas figuras, em projecção frontal, que se representea traço interrompido.

56

SOLUÇÕES

INTERSECÇOES

7

148.Em primeiro lugar representaram-se o plano ϕ, pelo seu traço horizontal, e a recta t, pelas suas pro-jecções, em função dos dados. O plano ϕ não tem traço frontal (é paralelo ao Plano Frontal de Pro-jecção), pelo que o seu traço horizontal se representou entre parêntesis. O ponto de intersecçãoentre uma recta e um plano é um ponto que pertence simultaneamente à recta e ao plano. Assim, aresolução deste exercício passa por determinar um ponto que possamos garantir que pertence àrecta e que pertence ao plano. A recta t é projectante frontal, pelo que projecta todos os seuspontos no Plano Frontal de Projecção – fazendo I2 � (t2), garantimos que o ponto pertence à recta(todos os pontos de uma recta de topo têm a sua projecção frontal coincidente com a projecçãofrontal da recta). O plano ϕ, por seu lado, é projectante horizontal, pelo que projecta todos os seuspontos e rectas no Plano Horizontal de Projecção, sobre o seu traço horizontal. O ponto I é umponto que pertence ao plano ϕ, pelo que I1 tem de se situar sobre hϕϕ, o que nos garante que o pon-to pertence ao plano. Assim, I1, a projecção horizontal do ponto I, é o ponto de intersecção da pro-jecção horizontal da recta t com o traço horizontal do plano (I1 é o ponto de intersecção de t1 comhϕϕ) – I pertence ao plano, pois tem a sua projecção horizontal sobre o traço horizontal do plano. Oponto I, representado pelas suas projecções, é o ponto de intersecção da recta t com o plano ϕ.

Em primeiro lugar representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e a recta v, pelas suasprojecções, em função dos dados. O ponto de intersecção entre uma recta e um plano é umponto que pertence simultaneamente à recta e ao plano. Assim, a resolução deste exercíciopassa por determinar um ponto que possamos garantir que pertence à recta e que pertenceao plano. A recta v é projectante horizontal, pelo que projecta todos os seus pontos noPlano Horizontal de Projecção – fazendo I1 (v1), garantimos que o ponto pertence à recta(todos os pontos de uma recta vertical têm a sua projecção horizontal coincidente com aprojecção horizontal da recta). O plano δ, por seu lado, é projectante frontal, pelo que pro-jecta todos os seus pontos e rectas no Plano Frontal de Projecção, sobre o seu traço fron-tal. O ponto I é um ponto que pertence ao plano δ, pelo que I2 tem de se situar sobre fδδ, oque nos garante que o ponto pertence ao plano. Assim, I2, a projecção frontal do ponto I, éo ponto de intersecção da projecção frontal da recta v com o traço frontal do plano (I2 é oponto de intersecção de v2 com fδδ) – I pertence ao plano, pois tem a sua projecção frontalsobre o traço frontal do plano. O ponto I, representado pelas suas projecções, é o ponto deintersecção da recta v com o plano δ.

150.Em primeiro lugar representaram-se o plano σ, pelos seus traços, e a recta r, pelas suasprojecções, em função dos dados. A recta r é uma recta do β1/3, pelo que tem as suas pro-jecções simétricas em relação ao eixo X. O ponto de intersecção de uma recta com um pla-no é um ponto que pertence simultaneamente à recta e ao plano. Assim, é necessáriodeterminar um ponto que possamos garantir que pertence à recta r e que pertence ao planoσ. O plano σ é projectante frontal, pelo que as projecções frontais de todos os seus pontosestão sobre fσσ – a projecção frontal do ponto I � (I2) tem, assim, de se situar sobre fσσ, o quenos garante que o ponto pertence ao plano σ. Por outro lado, para garantir que o ponto Ipertence à recta r, as projecções do ponto I têm de se situar sobre as projecções homóni-mas da recta r. Assim, a projecção frontal do ponto I, I2, é o ponto de intersecção da pro-jecção frontal da recta (r2) com fσσ, o traço frontal do plano. A partir da projecção frontal doponto determinou-se a projecção horizontal do ponto, sobre a projecção horizontal da recta– I1 está sobre r1. O ponto I pertence à recta, pois tem as suas projecções sobre as projec-ções homónimas da recta. O ponto I pertence ao plano σ, pois tem a sua projecção frontalsobre o traço frontal do plano. O ponto I, representado pelas suas projecções, é o ponto deintersecção da recta r com o plano σ.

149.

57

SOLUÇÕES

151.Em primeiro lugar representaram-se o plano π, pelos seus traços, e a recta m, pelas suasprojecções, em função dos dados. O ponto de intersecção de uma recta com um plano éum ponto que pertence simultaneamente à recta e ao plano. Assim, é necessário deter-minar um ponto que possamos garantir que pertence à recta m e que pertence ao planoπ. O plano π é duplamente projectante. Dessa forma, a projecção frontal do ponto I temde estar sobre fππ tal como a sua projecção horizontal tem de se situar sobre hππ, o quenos permite garantir que o ponto pertence ao plano. Por outro lado, para garantir que oponto I pertence à recta, as projecções do ponto I têm de estar sobre as projecções ho-mónimas da recta. Assim, a projecção frontal do ponto I (I2) é o ponto de intersecção daprojecção frontal da recta m (m2) com o traço frontal do plano (fππ), tal como a projecçãohorizontal do ponto (I1) é o ponto de intersecção da projecção horizontal da recta m (m1)com o traço horizontal do plano (hππ). O ponto I, representado pelas suas projecções, é oponto de intersecção da recta m com o plano π.

Em primeiro lugar representaram-se os planos ν e ϕ, pelos respectivos traços, emfunção dos dados. O plano ϕ não tem traço horizontal (é paralelo ao Plano Hori-zontal de Projecção), pelo que o seu traço frontal se representou entre parêntesis.O plano ϕ não tem traço frontal (é paralelo ao Plano Frontal de Projecção), pelo queo seu traço horizontal se representou entre parêntesis. A recta de intersecção entredois planos é uma recta que pertence simultaneamente aos dois planos – é o lugargeométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois pla-nos. Assim, é necessário garantir que a recta de intersecção entre os dois planos (arecta i) pertença simultaneamente aos dois planos. O plano α é projectante fron-tal (projecta todas as suas rectas e pontos no Plano Frontal de Projecção, no seutraço frontal), pelo que a projecção frontal da recta tem de se situar necessaria-mente sobre o traço frontal do plano – fazendo i2 - (fαα) garante-se que a recta per-tence ao plano α. Por sua vez, o plano ϕ é projectante horizontal (projecta todasas suas rectas e pontos no Plano Horizontal de Projecção, no seu traço horizontal),pelo que a projecção horizontal da recta i tem de se situar sobre o traço horizontaldo plano – fazendo i1 - hϕϕ) garante-se que a recta pertence ao plano ϕ. A partir dassuas projecções conclui-se que a recta i, a recta de intersecção entre os dois pla-nos, é uma recta fronto-horizontal. No entanto, poder-se-ia ter identificado, à par-tida, o tipo de recta resultante da intersecção entre os dois planos, analisando as«famílias» de rectas que cada plano contém. O plano α, horizontal (de nível), con-tém todas as direcções de rectas horizontais (de nível), contém rectas de topo econtém rectas fronto-horizontais (as rectas de topo e as rectas fronto-horizontaissão casos particulares de rectas horizontais). O plano ϕ, frontal (de frente), contémtodas as direcções de rectas frontais (de frente), contém rectas verticais e contémrectas fronto-horizontais (as rectas verticais e as rectas fronto-horizontais são ca-sos particulares das rectas frontais). Uma vez que a recta de intersecção entre doisplanos é necessariamente uma recta da única «família» de rectas comum aos doisplanos, e atendendo a que a única «família» de rectas comum aos dois planos (emfunção do atrás exposto) é a das rectas fronto-horizontais, era possível concluir,previamente, que a recta de intersecção entre os dois planos era uma recta fron-to-horizontal.

152.

58

SOLUÇÕES

153.Em primeiro lugar representaram-se os planos ϕ e α, pelos respectivos traços, em fun-ção dos dados. O plano ϕ não tem traço frontal (é paralelo ao Plano Frontal de Projec-ção), pelo que o seu traço horizontal se representou entre parêntesis. A recta deintersecção entre dois planos é uma recta que pertence simultaneamente aos dois pla-nos – é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aosdois planos. Assim, é necessário garantir que a recta de intersecção entre os dois pla-nos (a recta i) pertença simultaneamente aos dois planos. O plano α é projectantefrontal (projecta todas as suas rectas e pontos no Plano Frontal de Projecção, no seutraço frontal), pelo que a projecção frontal da recta tem de se situar necessariamentesobre o traço frontal do plano – fazendo i2 � fϕϕ garante-se que a recta pertence ao pla-no α. Por sua vez, o plano ϕ é projectante horizontal (projecta todas as suas rectas epontos no Plano Horizontal de Projecção, no seu traço horizontal), pelo que a projec-ção horizontal da recta i tem de se situar sobre o traço horizontal do plano – fazendo i1� hϕϕ) garante-se que a recta pertence ao plano ϕ. A partir das suas projecções conclui-se que a recta i, a recta de intersecção entre os dois planos, é uma recta frontal (defrente). No entanto, poder-se-ia ter identificado, à partida, o tipo de recta resultante daintersecção entre os dois planos, analisando as «famílias» de rectas que cada planocontém. O plano α, de topo, contém diversas direcções de rectas oblíquas (passantese não passantes), contém rectas de topo e contém uma única direcção de rectas fron-tais (de frente) – as rectas frontais que são paralelas ao seu traço frontal. O plano α,frontal (de frente), contém todas as direcções de rectas frontais (de frente), contémrectas verticais e contém rectas fronto-horizontais. Uma vez que a recta de intersecçãoentre dois planos é necessariamente uma recta da única «família» de rectas comumaos dois planos, e atendendo a que a única «família» de rectas comum aos dois planos(em função do atrás exposto) é a das rectas frontais (de frente) paralelas a fαα, era possí-vel concluir, previamente, que a recta de intersecção entre os dois planos era uma rec-ta frontal (de frente), paralela a fαα.

Em primeiro lugar representaram-se os planos ν e θ, pelos respectivos traços, em fun-ção dos dados. O plano ν não tem traço horizontal (é paralelo ao Plano Horizontal deProjecção), pelo que o seu traço frontal se representou entre parêntesis. A recta de in-tersecção entre dois planos é uma recta que pertence simultaneamente aos dois planos– é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos doisplanos. Assim, é necessário garantir que a recta de intersecção entre os dois planos (arecta i) pertença simultaneamente aos dois planos. O plano θ é projectante frontal(projecta todas as suas rectas e pontos no Plano Frontal de Projecção, no seu traçofrontal), pelo que a projecção frontal da recta tem de se situar necessariamente sobre otraço frontal do plano. Por outro lado, o plano ν também é projectante frontal (tambémprojecta todas as suas rectas e pontos no Plano Frontal de Projecção, no seu traço fron-tal), pelo que a projecção frontal da recta i também tem de se situar sobre o traço frontaldo plano. Para que a projecção frontal da recta i se situe, simultaneamente, sobre fθθ esobre fνν, a projecção frontal da recta i tem de ser um ponto – a recta i será, assim, umarecta de topo, cuja projecção frontal é o ponto de intersecção dos traços frontais dosdois planos. A partir da projecção frontal da recta i, foi possível desenhar a sua projec-ção horizontal. Tenha em conta que se poderia ter identificado, à partida, o tipo de rectaresultante da intersecção entre os dois planos, analisando as «famílias» de rectas quecada plano contém. O plano θ, de topo, contém diversas direcções de rectas oblíquas(passantes e não passantes), contém rectas de topo e contém uma única direcção derectas frontais (de frente) – as rectas frontais que são paralelas ao seu traço frontal. Oplano ν, horizontal (de nível), contém todas as direcções de rectas horizontais (de nível),contém rectas de topo e contém rectas fronto-horizontais. Uma vez que a recta de in-tersecção entre dois planos é necessariamente uma recta da única «família» de rectascomum aos dois planos, e atendendo a que a única «família» de rectas comum aos doisplanos (em função do atrás exposto) é a das rectas de topo, era possível concluir, pre-viamente, que a recta de intersecção entre os dois planos era uma recta de topo.

154.

59

SOLUÇÕES

155.Em primeiro lugar representaram-se os planos α e ρ, pelos respectivos traços, em funçãodos dados. A recta de intersecção entre dois planos é uma recta que pertence simultanea-mente aos dois planos – é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simul-taneamente aos dois planos. Assim, é necessário garantir que a recta de intersecção dosdois planos (a recta i) pertença simultaneamente aos dois planos. O plano α é projectantefrontal (projecta todas as suas rectas e pontos no Plano Frontal de Projecção), pelo que aprojecção frontal da recta i tem de se situar necessariamente sobre o traço frontal do plano– fazendo i2 � (fαα) garante-se que a recta i pertence ao plano α. O plano ρ não é projec-tante, pelo que o raciocínio anterior já não é válido para o plano ρ. No entanto, a recta itambém tem de pertencer ao plano ρ, pelo que tem que verificar a condição para que umarecta pertença a um plano em relação ao plano ρ (os traços da recta têm de estar sobre ostraços homónimos do plano ρ). Por outro lado, para definir uma recta são necessários doispontos ou um ponto e uma direcção. Assim, a partir da projecção frontal da recta i (que éconhecida a partir do raciocínio anterior), determinaram-se os traços da recta sobre os tra-ços homónimos do plano ρ. F é o traço frontal da recta e situa-se sobre fρρ. H é o traço hori-zontal da recta e situa-se sobre hρρ. A partir das projecções horizontais dos traços da rectadesenhou-se a projecção horizontal da recta i – i1. A recta i está definida por dois pontos.

Em primeiro lugar representaram-se os planos ν e ρ, pelos respectivos traços, em funçãodos dados. O plano ν não tem traço horizontal (é paralelo ao Plano Horizontal de Projec-ção), pelo que o seu traço frontal se representou entre parêntesis. A recta de intersecçãoentre dois planos é uma recta que pertence simultaneamente aos dois planos – é o lugargeométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos. As-sim, é necessário garantir que a recta de intersecção entre os dois planos (a recta i) per-tença simultaneamente aos dois planos. Por outro lado, para definir uma recta sãonecessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta de intersecção entre umplano horizontal e um plano de rampa é necessariamente uma recta fronto-horizontal,pois é a única «família» de rectas comum aos dois planos. Já temos a direcção da recta– falta-nos um ponto para definir a recta. O plano ν é projectante frontal, a projecçãofrontal da recta tem de se situar sobre o traço frontal do plano – fazendo i2 � (fνν), garante-se que a recta i pertence ao plano ν. A recta i é, assim, uma recta fronto-horizontal do pla-no ρ, com 2 cm de cota (a cota do plano ν). Os dados do exercício são insuficientes paradefinir a recta i, pelo que é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano ρ, recta essaque, também ela, tem de ser definida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção.Recorreu-se a uma recta r, oblíqua, qualquer, pertencente ao plano ρ – a recta r está defi-nida por dois pontos, que são os seus traços (a recta r pertence ao plano ρ, pois tem osseus traços sobre os traços homónimos do plano ρ). As rectas i e r são complanares (per-tencem ambas ao plano ρ), pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Não são para-lelas, pois têm direcções diferentes, pelo que são concorrentes, pelo que existe um pontode concorrência – ponto P. O ponto P determinou-se a partir da sua projecção frontal – P2

é o ponto de concorrência de r2 com i2. Já temos o ponto que nos faltava. Por P1 condu-ziu-se i1, a projecção horizontal da recta i, paralela ao eixo X. A recta i está definida porum ponto (o ponto P) e por uma direcção (é fronto-horizontal).

156.

60

SOLUÇÕES

157.Em primeiro lugar representaram-se os planos δ e ϕ, pelos respectivos traços, em funçãodos dados. O plano ϕ não tem traço frontal (é paralelo ao Plano Frontal de Projecção), peloque o seu traço horizontal se representou entre parêntesis. Tenha em conta que os traçosdo plano δ estão coincidentes unicamente no papel, após o rebatimento do Plano Frontalde Projecção sobre o Plano Horizontal de Projecção – no espaço, os dois traços do planoδ não podem estar coincidentes, pois são duas rectas distintas. De facto, hδδ é uma rectahorizontal (de nível) do plano δ que está contida no Plano Horizontal de Projecção. Por ou-tro lado, fδδ é uma recta frontal (de frente) do plano δ que está contida no Plano Frontal deProjecção. As duas rectas (hδδ e fδδ) são concorrentes entre si num ponto do eixo X. Analise-mos, agora, a resolução do exercício. A recta de intersecção entre dois planos é uma rectaque pertence simultaneamente aos dois planos – é o lugar geométrico dos pontos do es-paço que pertencem simultaneamente aos dois planos. Assim, é necessário garantir que arecta de intersecção entre os dois planos (a recta i) pertença simultaneamente aos doisplanos. Por outro lado, para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto euma direcção. O plano ϕ é projectante horizontal, pelo que projecta todas as suas rec-tas e pontos no seu traço horizontal – fazendo i1 � (hϕϕ), garante-se que a recta pertence aoplano ϕ. A partir da projecção horizontal da recta, é possível depreender que a recta i énecessariamente uma recta frontal (de frente) do plano δ (ou um caso particular das rec-tas frontais, pois é paralela ao Plano Frontal de Projecção). A recta i é, assim, uma rectafrontal (de frente) do plano δ. Atendendo a que rectas frontais (de frente) de um plano sãoparalelas entre e paralelas ao traço frontal do plano, conclui-se que a recta i é necessaria-mente paralela a fδδ – já temos a direcção da recta. Falta-nos um ponto para definir arecta. Para que a recta i pertença ao plano δ, a recta tem de ter o seu traço horizontal so-bre o traço horizontal do plano δ. H é o traço horizontal da recta i e situa-se sobre hδδ. Arecta i está definida por um ponto (o ponto H, que é o seu traço horizontal) e por uma di-recção (é paralela a fδδ).

Em primeiro lugar representaram-se os planos α e θ, pelos respectivos tra-ços, em função dos dados. Os traços do plano θ são paralelos aos traços denome contrário do plano α, o que significa que fθθ é paralelo a hαα e que hθθ éparalelo a fαα. A recta de intersecção entre dois planos é uma recta que per-tence simultaneamente aos dois planos – é o lugar geométrico dos pontosdo espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos. Por outro lado,para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma di-recção. Para pertencer aos dois planos, a recta i tem de verificar a condiçãopara que uma recta pertença a um plano em relação aos dois planos (os tra-ços da recta têm de estar sobre os traços homónimos dos dois planos).Nesse sentido, o traço frontal da recta i (o ponto F) tem de pertencer ao tra-ço frontal do plano α e tem também de pertencer ao traço frontal do plano θ– F (o traço frontal da recta i) é, assim, o ponto de concorrência de fαα com fθθ.Já temos um ponto para definir a recta. Falta-nos outro ponto ou uma di-recção. De forma semelhante, o traço horizontal da recta i (o ponto H) temde pertencer ao traço horizontal do plano α e tem também de pertencer aotraço horizontal do plano θ – H (o traço horizontal da recta i) é, assim, o pon-to de concorrência de hαα com hθθ. Já temos outro ponto para definir a rectai. Os traços da recta são dois pontos da recta – a recta i está definida pordois pontos. A partir das projecções dos seus traços, desenharam-se asprojecções da recta i. Note que a situação exposta se trata do caso geralda intersecção entre planos.

158.

61

SOLUÇÕES

159.Em primeiro lugar representaram-se os planos α e ρ, pelos respectivos traços, emfunção dos dados. A recta de intersecção entre dois planos é uma recta que perten-ce simultaneamente aos dois planos – é o lugar geométrico dos pontos do espaçoque pertencem simultaneamente aos dois planos. Por outro lado, para definir umarecta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Para pertenceraos dois planos, a recta i tem de verificar a condição para que uma recta pertença aum plano em relação aos dois planos (os traços da recta têm de estar sobre os tra-ços homónimos dos dois planos). Nesse sentido, o traço frontal da recta i (o pontoF) tem de pertencer ao traço frontal do plano α e tem também de pertencer ao traçofrontal do plano ρ – F (o traço frontal da recta i) é, assim, o ponto de concorrênciade fαα com fρρ. Já temos um ponto para definir a recta. Falta-nos outro ponto ouuma direcção. De forma semelhante, o traço horizontal da recta i (o ponto H) temde pertencer ao traço horizontal do plano α e tem também de pertencer ao traçohorizontal do plano ρ – H (o traço horizontal da recta i) é, assim, o ponto de concor-rência de hαα com hρρ. Já temos outro ponto para definir a recta i. Os traços da rectasão dois pontos da recta – a recta i está definida por dois pontos. A partir das pro-jecções dos seus traços, desenharam-se as projecções da recta i. Note que a si-tuação exposta se trata do caso geral da intersecção entre planos.

Em primeiro lugar representaram-se os planos γ e ρ, pelos respectivos traços,em função dos dados. Tenha em conta que os traços do plano ρ estão coinci-dentes unicamente no papel, após o rebatimento do Plano Frontal de Projecçãosobre o Plano Horizontal de Projecção – no espaço, os dois traços do plano ρnão podem estar coincidentes, pois são duas rectas distintas. De facto, hρρ éuma recta fronto-horizontal do plano ρ que está contida no Plano Horizontal deProjecção (tem cota nula). Por outro lado, fρρ é outra recta fronto-horizontal doplano ρ, mas que está contida no Plano Frontal de Projecção (tem afastamentonulo). As duas rectas (hρρ e fρρ) são duas rectas paralelas, mas não coincidentes(no espaço). Analisemos, agora, a resolução do exercício. A recta de intersecçãoentre dois planos é uma recta que pertence simultaneamente aos dois planos –é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamenteaos dois planos. Por outro lado, para definir uma recta são necessários doispontos ou um ponto e uma direcção. Para pertencer aos dois planos, a recta item de verificar a condição para que uma recta pertença a um plano em relaçãoaos dois planos (os traços da recta têm de estar sobre os traços homónimosdos dois planos). Nesse sentido, o traço frontal da recta i (o ponto F) tem depertencer ao traço frontal do plano γ e tem também de pertencer ao traço frontaldo plano ρ – F (o traço frontal da recta i) é, assim, o ponto de concorrência de fγγcom fρρ. Já temos um ponto para definir a recta. Falta-nos outro ponto ouuma direcção. De forma semelhante, o traço horizontal da recta i (o ponto H)tem de pertencer ao traço horizontal do plano γ e tem também de pertencer aotraço horizontal do plano ρ – H (o traço horizontal da recta i) é, assim, o pontode concorrência de hγγ com hρρ. Já temos outro ponto para definir a recta i. Ostraços da recta são dois pontos da recta – a recta i está definida por dois pon-tos. A partir das projecções dos seus traços, desenharam-se as projecções darecta i. Note que a situação exposta se trata do caso geral da intersecção entreplanos.

160.

62

SOLUÇÕES

161.Em primeiro lugar representaram-se os planos ψ e ω, pelos respectivos tra-ços, em função dos dados. A recta de intersecção entre dois planos é umarecta que pertence simultaneamente aos dois planos – é o lugar geométricodos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos.Por outro lado, para definir uma recta são necessários dois pontos ou umponto e uma direcção. Para pertencer aos dois planos, a recta i tem deverificar a condição para que uma recta pertença a um plano em relaçãoaos dois planos (os traços da recta têm de estar sobre os traços homóni-mos dos dois planos). Nesse sentido, o traço horizontal da recta i tem depertencer ao traço horizontal do plano ψ e tem também de pertencer aotraço horizontal do plano ω – H (o traço horizontal da recta i) é, assim, oponto de concorrência de hψψ com hωω. Já temos um ponto para definir arecta – falta-nos outro ponto ou uma direcção. De forma idêntica à ex-posta para o traço horizontal da recta, o traço frontal da recta i seria o pon-to de concorrência de fψψ com fωω. Como fψψ e fωω são paralelos, a recta i nãotem traço frontal – a recta i é necessariamente uma recta frontal (de frente). É, pois, uma recta frontal (de frente) que per-tence aos dois planos – a recta i é paralela a fψψ e a fωω, pois rectas frontais (de frente) de um plano são paralelas entre si e para-lelas ao traço frontal do plano. A recta i é, assim, uma recta da única «família» de rectas comum aos dois planos, que é a«família» das rectas frontais (de frente) – as rectas frontais (de frente) do plano ψ são paralelas às rectas frontais (de frente) doplano ω. Já temos a direcção da recta i. A recta i está definida por um ponto (o seu traço horizontal) e uma direcção (a direc-ção das rectas frontais dos dois planos). Uma outra forma de analisar a questão do traço frontal da recta i era considerar queo ponto de concorrência dos traços frontais dos dois planos se situa no infinito (recta paralelas são rectas concorrentes numponto do infinito), pelo que a recta i seria concorrente com os traços frontais dos dois planos nesse ponto (situado no infinito),pelo que seria igualmente paralela àqueles – este raciocínio permite-nos, também, perceber que a recta i é uma recta frontal(de frente).

Em primeiro lugar representaram-se os planos ψ e α, pelos respectivos traços,em função dos dados. A recta de intersecção entre dois planos é uma recta quepertence simultaneamente aos dois planos – é o lugar geométrico dos pontos doespaço que pertencem simultaneamente aos dois planos. Por outro lado, paradefinir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção.Para pertencer aos dois planos, a recta i tem de verificar a condição para queuma recta pertença a um plano em relação aos dois planos (os traços da rectatêm de estar sobre os traços homónimos dos dois planos). Nesse sentido, otraço frontal da recta i tem de pertencer ao traço frontal do plano ψ e tem tam-bém de pertencer ao traço frontal do plano α – F (o traço frontal da recta i) é, as-sim, o ponto de concorrência de fψψ com fαα. Já temos um ponto para definir arecta – falta-nos outro ponto ou uma direcção. De forma idêntica à expostapara o traço frontal da recta, o traço horizontal da recta i seria o ponto de con-corrência de hψψ com hαα. Como hψψ e hαα são paralelos, a recta i não tem traço ho-rizontal – a recta i é necessariamente uma recta horizontal (de nível). É, pois,uma recta horizontal (de nível) que pertence aos dois planos – a recta i é paralelaa hψψ e a hαα, pois rectas horizontais (de nível) de um plano são paralelas entre si eparalelas ao traço horizontal do plano. A recta i é, assim, uma recta da única«família» de rectas comum aos dois planos, que é a «família» das rectas horizon-tais (de nível) – as rectas horizontais (de nível) do plano ψ são paralelas às rectashorizontais (de nível) do plano α. Já temos a direcção da recta i. A recta i estádefinida por um ponto (o seu traço frontal) e uma direcção (a direcção das rectashorizontais dos dois planos). Uma outra forma de analisar a questão do traçohorizontal da recta i era considerar que o ponto de concorrência dos traços hori-zontais dos dois planos se situa no infinito (recta paralelas são rectas concorren-tes num ponto do infinito), pelo que a recta i seria concorrente com os traçoshorizontais dos dois planos nesse ponto (situado no infinito), pelo que seriaigualmente paralela àqueles – este raciocínio permite-nos, também, perceberque a recta i é uma recta horizontal (de nível).

162.

63

SOLUÇÕES

163.Em primeiro lugar representaram-se as rectas h e f, pelas respecti-vas projecções, em função dos dados – o plano está representadopelas projecções das duas rectas que o definem. Tenha em contaque o ponto P (o ponto de concorrência das duas rectas) tem deter 3 cm de cota (a cota da recta h) e 4 cm de afastamento (o afas-tamento da recta f), pois o ponto P, sendo o ponto de concorrênciadas duas rectas, é um ponto que pertence simultaneamente àsduas rectas. Assim, uma vez que todos os pontos da recta h têm 3cm de cota, o ponto P tem de ter 3 cm de cota. Por outro lado,uma vez que todos os pontos da recta f têm 4 cm de afastamento,o ponto P tem de ter 4 cm de afastamento. O ângulo que a recta hfaz com o Plano Frontal de Projecção está, em verdadeira grande-za, no ângulo que a projecção horizontal da recta faz com o eixo X.O ângulo que a recta f faz com o Plano Horizontal de Projecção,por seu lado, está em verdadeira grandeza no ângulo que a projec-ção frontal da recta faz com o eixo X.

a) É pedida uma recta (a recta de intersecção do plano θθ com o ββ1/3) e para definir uma recta são necessários dois pontosou um ponto e uma direcção. A recta de intersecção entre dois planos é o lugar geométrico dos pontos do espaço quepertencem simultaneamente aos dois planos. Nesse sentido, para determinar a recta de intersecção do plano θ com o β1/3

é necessário determinar pelo menos um ponto que pertença simultaneamente aos dois planos. Determinou-se o ponto Q,o traço da recta h no β1/3 (o ponto de intersecção da recta h com o β1/3). O ponto Q pertence ao plano θ, pois pertence auma recta do plano – a recta h. O ponto Q pertence ao β1/3, pois tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X.O ponto Q é, assim, um ponto que pertence aos dois planos, pelo que é um ponto da recta de intersecção dos dois pla-nos. Já temos um ponto para definir a recta. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Em seguida determinou-se oponto Q’, o traço da recta f no β1/3 (o ponto de intersecção da recta f com o β1/3). O ponto Q’ pertence ao plano θ, poispertence a uma recta do plano – a recta f. O ponto Q’ pertence ao β1/3, pois tem as suas projecções simétricas em relaçãoao eixo X. O ponto Q’ é, assim, um ponto que pertence aos dois planos, pelo que é um ponto da recta de intersecção dosdois planos. Já temos outro ponto. Já temos dois pontos para definir a recta i’ – a recta i’ está definida pelos pontos Q eQ’. Note que a recta i’, porque se trata de uma recta do β1/3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X.

b) É pedida uma recta (a recta de intersecção do plano αα com o ββ2/4) e para definir uma recta são necessários dois pontosou um ponto e uma direcção. A recta de intersecção entre dois planos é o lugar geométrico dos pontos do espaço quepertencem simultaneamente aos dois planos. Nesse sentido, para determinar a recta de intersecção do plano θ com o β2/4

é necessário determinar pelo menos um ponto que pertença simultaneamente aos dois planos. Determinou-se o ponto I,o traço da recta h no β2/4 (o ponto de intersecção da recta h com o β2/4). O ponto I pertence ao plano θ, pois pertence auma recta do plano – a recta h. O ponto I pertence ao β2/4, pois tem as suas projecções coincidentes. O ponto I é, assim,um ponto que pertence aos dois planos, pelo que é um ponto da recta de intersecção dos dois planos. Já temos umponto. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Em seguida determinou-se o ponto I’, o traço da recta f no β2/4 (o pontode intersecção da recta f com o β2/4). O ponto I’ pertence ao plano θ, pois pertence a uma recta do plano – a recta f. Oponto I’ pertence ao β2/4, pois tem as suas projecções coincidentes. O ponto I’ é, assim, um ponto que pertence aos doisplanos, pelo que é um ponto da recta de intersecção dos dois planos. Já temos outro ponto. Já temos dois pontos paradefinir a recta i’’ – a recta i’’ está definida pelos pontos I e I’. Note que a recta i’’, porque se trata de uma recta do β2/4,tem as suas projecções coincidentes. Note ainda que as rectas i’ e i’’ são necessariamente duas rectas concorrentesnum ponto do eixo X. Tal encontra a sua justificação no facto de as duas rectas serem complanares. Assim, ou são parale-las ou são concorrentes. Não são paralelas, pois têm direcções diferentes, pelo que são necessariamente concorrentes.Tendo em conta que todos os pontos da recta i’ pertencem ao β1/3, o ponto de concorrência das duas rectas tem de per-tencer ao β1/3. Por outro lado, tendo em conta que todos os pontos da recta i’’ pertencem ao β2/4, o ponto de concorrênciadas duas rectas tem de pertencer ao β2/4. Assim, as duas rectas são concorrentes num ponto que pertença simultanea-mente ao β1/3 e ao β12/4 – um ponto do eixo X.

64

SOLUÇÕES

164.Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e s, pelas res-pectivas projecções, em função dos dados – o plano está repre-sentado pelas projecções das duas rectas que o definem. Sobrea determinação das rectas de intersecção do plano α com osplanos bissectores, ver exercício anterior e respectivo relatório.Salienta-se, no entanto, que, neste exercício, se optou por deter-minar em primeiro lugar a recta i’’, a recta de intersecção do pla-no α com o β2/4 (ver alínea b) do exercício anterior e respectivorelatório) – a recta i’’ está definida por dois pontos (os traços noβ2/4 das duas rectas que definem o plano). Em seguida, para de-terminar a recta i’, bastou-nos determinar o traço da recta r noβ1/3. De facto, atendendo a que as rectas i’ e i’’ são necessaria-mente duas rectas concorrentes num ponto do eixo X, a recta i’ficou igualmente definida por dois pontos – o ponto Q, o traçoda recta r no β1/3 (ver alínea a) do exercício anterior), e o pontoda concorrência das rectas i’ e i’’ (que é o ponto de concorrênciada recta i’’, já determinada, com o eixo X).

Em primeiro lugar representaram-se as rectas h e r, pelas respectivas pro-jecções, em função dos dados – o plano está representado pelas projec-ções das duas rectas que o definem. Sobre a determinação das rectas deintersecção do plano α com os planos bissectores, ver exercício 163 erespectivo relatório. Salienta-se, no entanto, que, neste exercício, se op-tou por determinar em primeiro lugar a recta i’, a recta de intersecção doplano α com o β1/3 (ver alínea a) do exercício 163 e respectivo relatório) –a recta i’ está definida por dois pontos (os traços no β1/3 das duas rectasque definem o plano). De facto, há a referir que não é possível determinaro traço da recta r no β2/4 – uma vez que as duas projecções da recta r sãoparalelas entre si (no papel, apenas), não é possível determinar ponto al-gum da recta que tenha projecções coincidentes. Assim, conclui-se que arecta r não intersecta o β2/4 – a recta r é, assim, paralela ao β2/4. A ausên-cia do traço no β2/4 da recta r causa-nos algum problema na determina-ção da recta de intersecção do plano α com o β2/4, uma vez que não épossível usar os raciocínios expostos na alínea b) do relatório do exercício163. No entanto, uma vez que as rectas i’ e i’’ são necessariamente con-correntes num ponto do eixo X, é possível definir a recta i’’ por dois pon-tos – o traço da recta h no β24 (o ponto I) e o ponto de concorrência dasrectas i e i’’. A recta i’’ é concorrente com a recta i’ num ponto do eixo X econtém I, o traço da recta h no β2/4 – a recta i’’ está definida por dois pon-tos. Note que a recta r e a recta i’’, porque são complanares (pertencemambas ao plano α), ou são paralelas ou são concorrentes. Não são con-correntes, pois todos os pontos da recta i’’ pertencem ao β2/4 (e ao planoα) e não há nenhum ponto da recta r que pertença ao β2/4, pelo que asduas rectas são necessariamente paralelas.

165.

65

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representou-se o plano γ pelos seus traços, em fun-ção dos dados. Em seguida efectuaram-se os procedimentos neces-sários à determinação das rectas de intersecção do plano γ com osplanos bissectores – ver exercício anterior e respectivo relatório. Tenhaem conta que nesta situação se utilizou, como recta auxiliar, uma rectahorizontal (de nível) h, do plano – a recta h está definida por um ponto(o seu traço frontal, F) e uma direcção (é paralela a hγγ pois rectas hori-zontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço hori-zontal do plano).

166.Em primeiro lugar representou-se o plano θ pelos seus traços, em funçãodos dados. Os traços do plano θ são concorrentes num ponto do eixo X – oponto A.a) É pedida uma recta (a recta de intersecção do plano θθ com o ββ2/4) e

para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e umadirecção. A recta de intersecção entre dois planos é o lugar geométricodos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos.Assim, necessitamos, pelo menos, de um ponto que pertença simulta-neamente aos dois planos. O ponto de concorrência dos traços do pla-no (o ponto A) é um ponto do eixo X – todos os pontos do eixo Xpertencem ao β2/4. O ponto A é, assim, um ponto que pertence ao planoθ e ao β2/4, pelo que é um ponto comum aos dois planos – o ponto A éum ponto da recta de intersecção dos dois planos. Já temos um pontopara definir a recta i. Falta-nos outro ponto ou uma direcção para de-finir a recta. Os dados do exercício são insuficientes para definir a rectai, pelo que é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano, rectasessa que, também ela, tem de ser definida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção. Recorreu-se a uma recta au-xiliar do plano – uma recta frontal (de frente), f. A recta f está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H) e por umadirecção (é paralela a fθθ, pois rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano). Emseguida determinou-se o traço da recta f no β2/4 – o ponto I. O ponto I pertence ao plano θ, pois pertence a uma recta doplano – a recta f. O ponto I pertence ao β2/4, pois tem as suas projecções coincidentes. O ponto I é, assim, um ponto quepertence simultaneamente aos dois planos, pelo que é um outro ponto da recta de intersecção entre os dois planos. A rec-ta i fica definida por dois pontos – os pontos A e I.

b) É pedida uma recta (a recta de intersecção do plano θθ com o ββ1/3) e para definir uma recta são necessários dois pontosou um ponto e uma direcção. A recta de intersecção entre dois planos é o lugar geométrico dos pontos do espaço quepertencem simultaneamente aos dois planos. Assim, necessitamos, pelo menos, de um ponto que pertença simultanea-mente aos dois planos. O ponto de concorrência dos traços do plano (o ponto A) é um ponto do eixo X – todos os pontosdo eixo X pertencem ao β1/3. O ponto A é, assim, um ponto que pertence ao plano θ e ao β1/3, pelo que é um ponto co-mum aos dois planos – o ponto A é um ponto da recta de intersecção dos dois planos. Já temos um ponto para definir arecta i’. Falta-nos outro ponto ou uma direcção para definir a recta. Em seguida determinou-se o traço da recta f no β1/3

– o ponto Q. O ponto Q pertence ao plano θ, pois pertence a uma recta do plano – a recta f. O ponto Q pertence ao β1/3,pois tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X. O ponto Q é, assim, um ponto que pertence simultanea-mente aos dois planos, pelo que é um outro ponto da recta de intersecção entre os dois planos. A recta i’ fica definida pordois pontos – os pontos A e Q.

167.

66

SOLUÇÕES

168.Em primeiro lugar representou-se o plano α pelos seus traços, em funçãodos dados. Tenha em conta que os traços do plano α estão coincidentesunicamente no papel, após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção so-bre o Plano Horizontal de Projecção – no espaço, os dois traços do plano αnão podem estar coincidentes, pois são duas rectas distintas. De facto, hαα éuma recta horizontal (de nível) do plano α que está contida no Plano Hori-zontal de Projecção. Por outro lado, fαα é uma recta frontal (de frente) do pla-no α que está contida no Plano Frontal de Projecção. As duas rectas (hαα e fαα)são concorrentes entre si num ponto do eixo X – o ponto A.a) É pedida uma recta (a recta de intersecção do plano αα com o ββ2/4) e

para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e umadirecção. Sobre a determinação da recta i, ver relatório da alínea a) doexercício 166.

b) É pedida uma recta (a recta de intersecção do plano αα com o ββ1/3) epara definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e umadirecção. Sobre a determinação da recta i’, ver relatório da alínea b) doexercício 166. A recta i’ é uma recta de perfil passante.

Em primeiro lugar representou-se o plano ρ pelos seus traços, em funçãodos dados. É pedida uma recta (a recta de intersecção do plano ρρ com oββ1/3) e para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto euma direcção. A recta de intersecção de um plano de rampa com o β1/3 énecessariamente uma recta fronto-horizontal, pois a única «família» derectas comum a dois planos de rampa é a «família» das rectas fronto-hori-zontais (a recta de intersecção entre dois planos é sempre uma recta daúnica «família» de rectas comum aos dois planos). Tenha em atenção que oβ1/3 é um plano passante e qualquer plano passante é um plano de rampa,o que justifica o raciocínio atrás exposto. Já temos a direcção da recta i –trata-se de uma recta frontal. Falta-nos um ponto para definir a recta i. Osdados do exercício são insuficientes para definir a recta i, pelo que é ne-cessário o recurso a uma recta auxiliar do plano, recta essa que, tambémela, tem de ser definida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção.Recorreu-se a uma recta r, obliqua, qualquer, do plano – a recta r está defi-nida por dois pontos (os seus traços nos plano de projecção, que se situamsobre os traços homónimos do plano ρ). Em seguida determinou-se o pon-to Q, o traço da recta r no β1/3. O ponto Q pertence ao plano ρ, pois per-

tence a uma recta do plano – a recta r. O ponto Q pertence ao β1/3, pois tem as suas projecções simétricas em relação ao eixoX. O ponto Q é, assim, um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β1/3, pelo que é um ponto da recta de inter-secção dos dois planos. Já temos o ponto que nos faltava. A recta i está definida por um ponto (o ponto Q) e por uma direc-ção (é fronto-horizontal). Em seguida efectuaram-se os procedimentos e os raciocínios necessários à determinação da rectade intersecção do plano ρρ com o ββ2/4 – é pedida uma recta e para definir uma recta são necessários dois pontos ou umponto e uma direcção. A recta de intersecção de um plano de rampa com o β2/4 é necessariamente uma recta fronto-hori-zontal, pois a única «família» de rectas comum a dois planos de rampa é a «família» das rectas fronto-horizontais. Tenha ematenção que o β2/4 é um plano passante e qualquer plano passante é um plano de rampa, o que justifica o raciocínio atrás ex-posto. Já temos a direcção da recta i’ – trata-se de uma recta frontal. Falta-nos um ponto para definir a recta i’. Deter-minou-se o ponto I, o traço da recta r no β2/4. O ponto I pertence ao plano ρ, pois pertence a uma recta do plano – a recta r.O ponto I pertence ao β2/4, pois tem as suas projecções coincidentes. O ponto I é, assim, um ponto que pertence simulta-neamente ao plano ρ e ao β2/4, pelo que é um ponto da recta de intersecção dos dois planos. Já temos o ponto que nos fal-tava. A recta i’ está definida por um ponto (o ponto I) e por uma direcção (é fronto-horizontal).

169.

170.Em primeiro lugar representou-se o plano ρ pelos seus traços, em funçãodos dados. Tenha em conta que os traços do plano ρ estão coincidentesunicamente no papel, após o rebatimento do Plano Frontal de Projecçãosobre o Plano Horizontal de Projecção – no espaço, os dois traços do pla-no ρ não podem estar coincidentes, pois são duas rectas distintas. De fac-to, hρρ é uma recta fronto-horizontal do plano ρ que está contida no PlanoHorizontal de Projecção (tem cota nula). Por outro lado, fρρ é outra rectafronto-horizontal do plano ρ, mas que está contida no Plano Frontal de Pro-jecção (tem afastamento nulo). As duas rectas (hρρ e fρρ) são duas rectas pa-ralelas, mas não coincidentes (no espaço). Analisemos, agora, osprocedimentos necessários à resolução do exercício. Sobre a determina-ção da recta i’, a recta de intersecção do plano ρρ cm o ββ2/4, ver relatóriodo exercício anterior. Sobre a determinação da recta de intersecção do plano ρρ com o ββ1/3, há alguns aspectos a referir.Note que a recta auxiliar a que se recorreu (a recta r) não tem traço no β1/3, o que significa que a recta r é paralela ao β1/3. Defacto, qualquer que seja a recta auxiliar do plano ρ a que se recorra, essa recta nunca intersectará o β1/3, pelo que se concluique não há nenhum ponto do plano ρ que pertença ao β1/3, ou seja, o plano ρ não intersecta o β1/3 – o plano ρ é paralelo aoβ1/3. Assim, a recta i (a recta de intersecção do plano ρ com β1/3) é uma recta imprópria – os dois planos intersectam-se se-gundo uma recta que se situa no infinito, pois os dois planos são paralelos.

Em primeiro lugar definiu-se o plano α pelos seus traços, em função dos dados. O planoα é projectante horizontal, pelo que as projecções horizontais de todas as suas rectase pontos estão sobre o traço horizontal do plano. A recta de intersecção entre dois pla-nos é o lugar geométrico dos pontos o espaço que pertencem simultaneamente aosdois planos. A recta de intersecção do plano αα com o ββ1/3 (recta i), porque pertenceao plano α, terá a sua projecção horizontal sobre o traço horizontal do plano – fazendoi1 � hαα, garante-se que a recta i pertence ao plano α. Rectas do β1/3 têm as suas projec-ções simétricas em relação ao eixo X. Assim, desenhando uma recta simétrica de i1 emrelação ao eixo X, obtém-se imediatamente a projecção frontal da recta i – i2. A recta ipertence ao plano α, pois tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço hori-zontal do plano, e pertence ao β1/3, pois tem as suas projecções simétricas em relaçãoao eixo X – a recta i é a recta de intersecção dos dois planos. A recta de intersecçãodo plano αα com o ββ2/4 (recta i’), porque pertence ao plano α, terá igualmente a sua pro-jecção horizontal sobre o traço horizontal do plano – fazendo i’1 � hαα, garante-se que arecta i’ pertence ao plano α. Rectas do β2/4 têm as suas projecções coincidentes. Assim,fazendo i’2 � i’1 � hαα, obtém-se imediatamente a projecção frontal da recta i’ – i’2. Arecta i’ pertence ao plano α, pois tem a sua projecção horizontal coincidente com o tra-ço horizontal do plano, e pertence ao β2/4, pois tem as suas projecções coincidentes – arecta i’ é a recta de intersecção dos dois planos.

172.Em primeiro lugar definiu-se o plano λ pelos seus traços, em função dos dados. Oplano λ é projectante frontal, pelo que as projecções frontais de todas as suas rec-tas e pontos estão sobre o traço frontal do plano. A recta de intersecção entre doisplanos é o lugar geométrico dos pontos o espaço que pertencem simultaneamenteaos dois planos. A recta de intersecção do plano λλ com o ββ1/3 (recta i), porquepertence ao plano λ, terá a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano – fa-zendo i2 � fλλ, garante-se que a recta i pertence ao plano λ. Rectas do β1/3 têm assuas projecções simétricas em relação ao eixo X. Assim, desenhando uma recta si-métrica de i2 em relação ao eixo X, obtém-se imediatamente a projecção horizontalda recta i – i1. A recta i pertence ao plano λ, pois tem a sua projecção frontal coinci-dente com o traço frontal do plano, e pertence ao β1/3, pois tem as suas projecçõessimétricas em relação ao eixo X – a recta i é a recta de intersecção dos dois planos.A recta de intersecção do plano λλ com o ββ2/4 (recta i’), porque pertence ao planoλ, terá igualmente a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano – fazendo i’2� fλλ, garante-se que a recta i’ pertence ao plano λ. Rectas do β2/4 têm as suas pro-jecções coincidentes. Assim, fazendo i’1 � i’2 � fλλ, obtém-se imediatamente a pro-jecção horizontal da recta i’ – i’1. A recta i’ pertence ao plano λ, pois tem a suaprojecção frontal coincidente com o traço frontal do plano, e pertence ao β2/4, poistem as suas projecções coincidentes – a recta i’ é a recta de intersecção dos doisplanos.

67

SOLUÇÕES

171.

68

SOLUÇÕES

173.Em primeiro lugar representaram-se os três planos pelos respectivos traços, emfunção dos dados. O plano ν não tem traço horizontal (é paralelo ao Plano Hori-zontal de Projecção), pelo que o seu traço frontal se representou entre parêntesis.O plano ϕ não tem traço frontal (é paralelo ao Plano Frontal de Projecção), peloque o seu traço horizontal se representou entre parêntesis.a) Em primeiro lugar determinou-se a recta i, a recta de intersecção do plano ϕ

com o plano ν – a recta i é uma recta fronto-horizontal que pertence aos doisplanos (ver exercício 152 e respectivo relatório). A projecção frontal da recta iestá sobre o traço frontal do plano ν, pois o plano ν é projectante frontal – i2 �fνν). A projecção horizontal da recta i está sobre o traço horizontal do plano ϕ,pois o plano ϕ é projectante horizontal – i1 � (hϕϕ). Em seguida determinou-se arecta i’, a recta de intersecção do plano ν com o plano α. A recta i’ é uma rec-ta horizontal (de nível) do plano α (ver exercício 157 e respectivo relatório, con-siderando que se trata, neste caso, da intersecção entre um plano horizontal eum plano oblíquo). A projecção frontal da recta i’ está sobre o traço frontal doplano α, pois o plano α é projectante frontal – i’2 � fνν). A recta i’ está definidapor um ponto (o seu traço frontal, que é o ponto de concorrência de fνν com fαα)e por uma direcção (é paralela a hαα, pois rectas horizontais de um plano sãoparalelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano). As rectas i e i’ sãocomplanares (estão, ambas, contidas no plano ν) e não são paralelas, peloque são concorrentes – são concorrentes no ponto I. O ponto I é, assim, a fi-gura geométrica resultante da intersecção dos três planos.

b) Interpretação do resultado obtido: os três planos intersectam-se num pontopróprio.

Em primeiro lugar representaram-se os três planos pelos respectivos traços, em função dos dados. Em primeiro lugar determi-nou-se a recta de intersecção do plano α com o plano ρ – a recta i (ver exercício 155 e respectivo relatório). A projecção fron-tal da recta i está sobre o traço frontal do plano α, pois o plano α é projectante frontal – i2 � fαα). Tendo em conta que a recta ipertence ao plano ρ, a recta tem de verificar a condição para que uma recta pertença a um plano em relação ao plano ρ – osseus traços têm de se situar sobre os traços homónimos do plano ρ. A recta i está definida por dois pontos, que são os seustraços nos planos de projecção – H (traço horizontal) e F (traço frontal). Em seguida determinou-se a recta de intersecção doplano α com o plano δ – a recta i’. A projecção frontal da recta i’ está sobre o traço frontal do plano α, pois o plano α é projec-tante frontal – i’2 � fαα). Tendo em conta que a recta i’ pertence ao plano δ, a recta tem de verificar a condição para que umarecta pertença a um plano em relação ao plano δ – os seus traços têm de se situar sobre os traços homónimos do plano δ. Arecta i’ está definida por dois pontos, que são os seus traços nos planos de projecção – H’ (traço horizontal) e F’ (traço fron-tal). As duas rectas (recta i e recta i’) estão coincidentes, pelo que a figura geométrica resultante da intersecção entre os trêsplanos é uma única recta. Interpretação do resultado obtido: os três planos intersectam-se segundo uma recta própria.

174.

69

SOLUÇÕES

175.Em primeiro lugar representaram-se os três planos pelos respectivos tra-ços, em função dos dados. O plano ν não tem traço horizontal (é parale-lo ao Plano Horizontal de Projecção), pelo que o seu traço frontal serepresentou entre parêntesis. Em primeiro lugar determinou-se a recta i,a recta de intersecção do plano ν com o plano α. A recta i é uma rectahorizontal (de nível) do plano α. A projecção frontal da recta i está sobreo traço frontal do plano ν, pois o plano ν é projectante frontal – i2 � fνν). Arecta i está definida por um ponto (o seu traço frontal, F, que é o pontode concorrência de fνν com fαα) e por uma direcção (é paralela a hαα, poisrectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traçohorizontal do plano). Em seguida determinou-se a recta i’, a recta de in-tersecção do plano ν com o plano θ. A recta i’ é uma recta horizontal (denível) do plano θ. A projecção frontal da recta i’ está sobre o traço frontaldo plano ν, pois o plano ν é projectante frontal – i’2 � fνν). A recta i’ estádefinida por um ponto (o seu traço frontal, F’, que é o ponto de concor-rência de fνν com fθθ) e por uma direcção (é paralela a hθθ, pois rectas hori-zontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontaldo plano). As rectas i e i’ são complanares (estão, ambas, contidas noplano ν) e não são paralelas, pelo que são concorrentes – são concorrentes no ponto I. O ponto I é, assim, a figura geométri-ca resultante da intersecção dos três planos – os três planos intersectam-se num ponto próprio.

Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados– o plano α está representado pelos seus traços e o plano δ está represen-tado pelas projecções das rectas que o definem. É pedida uma recta (arecta de intersecção entre os dois planos) para definir uma recta são ne-cessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta de intersec-ção entre dois planos é uma recta que pertence simultaneamente aos doisplanos – é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simul-taneamente aos dois planos. O plano α é projectante horizontal, pelo queprojecta horizontalmente todas as suas rectas e pontos no Plano Horizon-tal de Projecção, no seu traço horizontal – as projecções horizontais de to-das as rectas contidas no plano estão sobre hαα. Assim, a projecçãohorizontal da recta i (a recta de intersecção entre os dois planos) tem deestar sobre hαα, pelo que se tem imediatamente i1 � hαα. A recta i é uma rec-ta do plano δ, pelo que é complanar com as rectas h e f, que definem oplano δ. As rectas i e f são complanares, pelo que ou são paralelas ou sãoconcorrentes. Não são paralelas, pois as suas projecções horizontais nãosão paralelas, pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto deconcorrência – o ponto M. Já temos um ponto para definir a recta – falta-nos outro ponto ou uma direcção. As rectas i e h são complanares, pelo

que ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas, pois as suas projecções horizontais não são paralelas, pelo quesão concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto N. Já temos outro ponto para definir a recta i – a rec-ta i está definida por dois pontos (os pontos M e N). Um outro raciocínio para determinar a recta i seria em determinar ospontos em que o plano α intersecta as rectas que definem o plano δ, como em seguida se expõe. O plano α intersecta a rectaf no ponto M. O ponto M pertence ao plano δ, pois pertence a uma recta do plano – a recta f. O ponto M pertence ao plano α,pois tem a sua projecção horizontal sobre o traço horizontal do plano (o plano α é projectante horizontal). O ponto M é, assim,um ponto que pertence simultaneamente aos dois planos, pelo que é um ponto da recta de intersecção entre os dois planos.Já temos um ponto para definir a recta – falta-nos outro ponto ou uma direcção. O plano α intersecta a recta h no pontoN. O ponto N pertence ao plano δ, pois pertence a uma recta do plano – a recta h. O ponto N pertence ao plano α, pois tem asua projecção horizontal sobre o traço horizontal do plano (o plano α é projectante horizontal). O ponto N é, assim, um pontoque pertence simultaneamente aos dois planos, pelo que é um ponto da recta de intersecção entre os dois planos. Já temosoutro ponto para definir a recta – a recta i está definida por dois pontos (os pontos M e N).

176.

70

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados –o plano ν está representado pelo seu traço frontal e o plano θ está repre-sentado pelas projecções dos três pontos que o definem. O plano ν nãotem traço horizontal (é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção), pelo queo seu traço frontal se representou entre parêntesis. É pedida uma recta (arecta de intersecção entre os dois planos) para definir uma recta são ne-cessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta de intersec-ção entre dois planos é uma recta que pertence simultaneamente aos doisplanos – é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simul-taneamente aos dois planos. O plano ν é projectante frontal (projecta fron-talmente todas as suas rectas e pontos no Plano Frontal de Projecção), peloque a projecção frontal da recta de intersecção dos dois planos tem de es-tar sobre o traço frontal do plano – fazendo i2 � (fνν), garante-se que a recta ipertence ao plano ν. Este raciocínio, no entanto, não nos permitiu determi-nar nenhum ponto da recta nem sequer a sua direcção. De facto, os dadosdo plano θ são insuficientes para definir a recta i, pelo que é necessário orecurso a uma recta auxiliar do plano, recta essa que, também ela, tem deser definida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção. Recorreu-seà recta r, que passa pelos pontos A e B, como recta auxiliar – a recta r estádefinida por dois pontos. O plano ν corta a recta r no ponto M. O ponto Mpertence ao plano ν, pois tem a sua projecções frontal sobre fνν. O ponto Mpertence ao plano θ, pois pertence a uma recta do plano – a recta r. O pon-

to M é, assim, um ponto comum aos dois planos, pelo que é um ponto da recta de intersecção entre os dois planos. Já te-mos um ponto para definir a recta – falta-nos outro ponto ou uma direcção. Os dados do plano θ são ainda insuficientespara definir a recta i, pelo que é necessário o recurso a uma outra recta auxiliar do plano, recta essa que, também ela, tem deser definida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção. Recorreu-se à recta s, que passa pelos pontos B e C, comorecta auxiliar – a recta s está definida por dois pontos. O plano ν corta a recta s no ponto N. O ponto N pertence ao plano ν,pois tem a sua projecções frontal sobre fνν. O ponto N pertence ao plano θ, pois pertence a uma recta do plano – a recta s. Oponto N é, assim, um outro ponto comum aos dois planos, pelo que é outro ponto da recta de intersecção entre os dois pla-nos. Já temos outro ponto para definir a recta. A recta i está definida por dois pontos – os pontos M e N.

177.Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – oplano ϕ está representado pelo seu traço horizontal e o plano α está representa-do pelas projecções das rectas que o definem. O plano ϕ não tem traço frontal(é paralelo ao Plano Frontal de Projecção), pelo que o seu traço horizontal se re-presentou entre parêntesis. Sobre a determinação da recta de intersecção dosdois planos, ver exercício anterior e respectivo relatório, pois o plano ϕ é um pla-no projectante horizontal. A recta i está definida por dois pontos – os pontos Ae B, que são os pontos em que o plano ϕ corta as rectas a e b, que definem oplano α.

178.

71

SOLUÇÕES

179.Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – oplano θ está representado pelos seus traços e o plano α está representadopelas projecções dos três pontos que o definem. Sobre a determinação darecta de intersecção dos dois planos, ver exercício anterior e respectivo rela-tório, pois o plano α é um plano projectante frontal. Note que as rectas auxi-liares do plano θ a que se recorreu foram uma recta horizontal (de nível) h euma recta frontal (de frente) f. A recta h foi definida pelos pontos A e C, quetêm a mesma cota. A recta f foi definida pelos pontos B e C, que têm o mes-mo afastamento.

Em primeiro lugar representaram-se os dois planos pelos respectivos traços, emfunção dos dados. É pedida uma recta (a recta de intersecção entre os dois pla-nos) e para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e umadirecção. A recta de intersecção entre dois planos é uma recta que pertence si-multaneamente aos dois planos – é o lugar geométrico dos pontos do espaçoque pertencem simultaneamente aos dois planos. Por outro lado, a recta de in-tersecção entre dois planos é uma recta que pertence à única «família» de rectascomum aos dois planos. A única «família» de rectas comum a dois planos derampa é a «família» das rectas fronto-horizontais, pelo que a recta de intersecçãodo plano ρ com o plano σ é necessariamente uma recta fronto-horizontal. Játemos a direcção da recta i – falta-nos um ponto para definirmos a recta i. Osdados do exercício são insuficientes para determinar o ponto que nos falta, peloque é necessário o recurso a um plano auxiliar. Nesse sentido, recorreu-se a umplano auxiliar α, de topo (projectante frontal), e determinaram-se as rectas de in-tersecção do plano ρ com os planos ρ e σ. A recta a é a recta de intersecção doplano auxiliar α com o plano ρ – a recta a está definida por dois pontos (os seustraços nos planos de projecção) e determinou-se a partir do caso geral da inter-secção entre planos. A recta b é a recta de intersecção do plano auxiliar α com oplano σ – a recta b está definida por dois pontos (os seus traços nos planos deprojecção) e determinou-se a partir do caso geral da intersecção entre planos.As rectas a e b são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar α– as rectas a e b ou são paralelas ou são concorrentes. Como não são paralelas,pois têm direcções diferentes, são necessariamente concorrentes – o ponto I é oponto de concorrência das rectas a e b e é o ponto comum aos três planos. Oponto I pertence aos três planos, pelo que o ponto I pertence simultaneamenteaos planos ρ e σ – I é, necessariamente, um ponto da recta de intersecção dosplanos ρ e σ. Já temos o ponto que nos faltava. A recta i é a recta fronto-hori-zontal que passa por I – a recta i está definida por um ponto e uma direcção.

180.

72

SOLUÇÕES

181.Em primeiro lugar representaram-se os dois planos pelos respectivos traços, emfunção dos dados. Note que os traços do plano α estão coincidentes apenas nopapel, após o rebatimento do Plano Frontal de Projecção sobre o Plano Hori-zontal de Projecção – no espaço, os traços do plano α não podem estar coinci-dentes, pois hαα é uma recta fronto-horizontal com cota nula (situa-se no PlanoHorizontal de Projecção) e fαα é uma recta fronto-horizontal com afastamento nulo(situa-se no Plano Frontal de Projecção). Sobre a determinação da recta de inter-secção dos dois planos, aconselha-se a leitura do relatório do exercício anterior,uma vez que os dois exercícios são semelhantes. O plano auxiliar a que se recor-reu foi o plano γ, vertical (projectante horizontal). A recta a é a recta de intersec-ção do plano auxiliar γ com o plano α – a recta a está definida por dois pontos (osseus traços nos planos de projecção). A recta b é a recta de intersecção do planoauxiliar γ com o plano θ – a recta b está definida por dois pontos (os seus traçosnos planos de projecção). O ponto I é o ponto de concorrência das rectas a e b eé o ponto comum aos três planos. O ponto I pertence aos três planos, pelo que oponto I pertence simultaneamente aos planos α e θ – I é, necessariamente, umponto da recta de intersecção dos planos α e θ. A recta i é a recta fronto-horizon-tal que passa por I – a recta i está definida por um ponto e uma direcção.

Em primeiro lugar representaram-se os dois planos pelos respecti-vos traços, em função dos dados. Sobre a determinação da rectade intersecção dos dois planos, aconselha-se a leitura do relatóriodo exercício 180, uma vez que os dois exercícios são semelhantes.O plano auxiliar a que se recorreu foi o plano α, vertical (projectantehorizontal). A recta a é a recta de intersecção do plano auxiliar θcom o plano ρ – a recta a está definida por dois pontos (os seus tra-ços nos planos de projecção). A recta b é a recta de intersecção doplano auxiliar α com o plano σ – a recta b está definida por doispontos (os seus traços nos planos de projecção). O ponto I é o pon-to de concorrência das rectas a e b e é o ponto comum aos trêsplanos. O ponto I pertence aos três planos, pelo que o ponto I per-tence simultaneamente aos planos ρ e σ – I é, necessariamente,um ponto da recta de intersecção dos planos ρ e σ. A recta i é arecta fronto-horizontal que passa por I – a recta i está definida porum ponto e uma direcção. Tenha em conta que, na situação particu-lar deste exercício, a projecção horizontal da recta i fica coincidentecom o traço frontal do plano σ.

182.

73

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se os dois planos pelos respecti-vos traços, em função dos dados. Note que os traços do plano δestão coincidentes apenas no papel, após o rebatimento do PlanoFrontal de Projecção sobre o Plano Horizontal de Projecção – noespaço, os traços do plano δ não podem estar coincidentes, poishδδ é uma recta horizontal (de nível) com cota nula (situa-se no PlanoHorizontal de Projecção) e fδδ é uma recta frontal (de frente) comafastamento nulo (situa-se no Plano Frontal de Projecção). Para de-terminar a recta pedida (a recta de intersecção entre os dois pla-nos) teve-se em conta que para definir uma recta são necessáriosdois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta de intersecçãoentre dois planos é uma recta que pertence simultaneamente aosdois planos – é o lugar geométrico dos pontos do espaço que per-tencem simultaneamente aos dois planos. O ponto T é um pontoque pertence simultaneamente aos dois planos, pois é o ponto deconcorrência dos dois traços de cada um dos dois planos – já te-

mos um ponto para definir a recta i. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Os dados do exercício são insuficientes paradeterminar o ponto que nos falta, pelo que é necessário o recurso a um plano auxiliar. Nesse sentido, recorreu-se a um planoauxiliar ϕ, frontal (de frente), que é um plano projectante horizontal, e determinaram-se as rectas de intersecção do plano ϕcom os planos γ e δ. A recta a é a recta de intersecção do plano auxiliar ϕ com o plano γ – a recta a está definida por um pon-to (o seu traço horizontal, H) e pela sua direcção (é paralela a fγγ). Tenha em conta que a recta a é uma recta frontal (de frente)do plano γ e que rectas frontais (de frente) de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é umarecta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo. A recta b é a recta de intersecção do plano auxiliar ϕ com o plano δ –a recta b está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H’) e pela sua direcção (é paralela a fδδ) – ver exercício 157 e res-pectivo relatório. As rectas a e b são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar ϕ – as rectas a e b ou são pa-ralelas ou são concorrentes. Como não são paralelas, pois têm direcções diferentes, são necessariamente concorrentes – oponto I é o ponto de concorrência das rectas a e b e é o ponto comum aos três planos. O ponto I pertence aos três planos,pelo que o ponto I pertence simultaneamente aos planos γ e δ – I é, necessariamente, um ponto da recta de intersecção dosplanos γ e δ. Já temos outro ponto para definir a recta i. A recta i fica definida por dois pontos – os pontos T e I. Note que orecurso a um plano auxiliar nos permitiu determinar um ponto comum aos dois planos dados.

183.Em primeiro lugar representaram-se os dois planos pelos respectivos tra-ços, em função dos dados. É pedida uma recta (a recta de intersecção entreos dois planos) e para definir uma recta são necessários dois pontos ouum ponto e uma direcção. A recta de intersecção entre dois planos é umarecta que pertence simultaneamente aos dois planos – é o lugar geométricodos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos. Oponto M é um ponto que pertence simultaneamente aos dois planos, pois éo ponto de concorrência dos dois traços de cada um dos dois planos – játemos um ponto para definir a recta i. Falta-nos outro ponto ou uma di-recção. Os dados do exercício são insuficientes para determinar o pontoque nos falta, pelo que é necessário o recurso a um plano auxiliar. Nessesentido, recorreu-se a um plano auxiliar ν, horizontal (de nível), que é umplano projectante frontal, e determinaram-se as rectas de intersecção doplano ν com os planos α e θ. A recta a é a recta de intersecção do planoauxiliar ν com o plano α – a recta a está definida por um ponto (o seu traçofrontal, F) e pela sua direcção (é paralela a hαα). Tenha em conta que a rectaa é uma recta horizontal (de nível) do plano α e que rectas horizontais (de ní-vel) de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal (de nível) do planocom cota nula. A recta b é a recta de intersecção do plano auxiliar ν com o plano θ – a recta b está definida por um ponto (oseu traço frontal, F’) e pela sua direcção (é paralela a hθθ). Tenha em conta que a recta b é uma recta horizontal (de nível) doplano θ. As rectas a e b são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar ν – as rectas a e b ou são paralelas ousão concorrentes. Como não são paralelas, pois têm direcções diferentes, são necessariamente concorrentes – o ponto I é oponto de concorrência das rectas a e b e é o ponto comum aos três planos. O ponto I pertence aos três planos, pelo que oponto I pertence simultaneamente aos planos α e θ – I é, necessariamente, um ponto da recta de intersecção dos planos α eθ. Já temos outro ponto para definir a recta i. A recta i fica definida por dois pontos – os pontos M e I. Note que o recurso aum plano auxiliar nos permitiu determinar um ponto comum aos dois planos dados.

184.

74

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se os dois planos pelos respectivos traços, em função dos dados. É pedida uma recta (arecta de intersecção entre os dois planos) e para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direc-ção. A recta de intersecção entre dois planos é uma recta que pertence simultaneamente aos dois planos – é o lugar geomé-trico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos. O ponto de concorrência de hαα com hγγ é H, otraço horizontal da recta i, pois trata-se do caso geral da intersecção entre planos – ver exercício 158 e respectivo relatório. Oponto H é, assim, um ponto que pertence simultaneamente aos dois planos, pelo que já temos um ponto para definir a rectai – falta-nos outro ponto ou uma direcção. Uma vez que os traços frontais dos dois planos não são concorrentes entre sinos limites do papel, o recurso ao caso geral da intersecção entre planos não nos permite determinar mais nenhum ponto.Assim, tendo em conta que os dados do exercício são insuficientes para definir a recta i, é necessário o recurso a um planoauxiliar. Nesse sentido, recorreu-se a um plano auxiliar ν, horizontal (de nível), que é um plano projectante frontal, e determina-ram-se as rectas de intersecção do plano ν com os planos α e γ. Tenha em conta que o recurso a um plano horizontal (de ní-vel) se deveu ao facto de os traços horizontais dos planos serem concorrentes nos limites do papel. Nesse sentido, as rectasde intersecção do plano auxiliar com os dois planos serão rectas horizontais (de nível) e, à semelhança dos traços horizontaisdos dois planos, deverão ser concorrentes entre si nos limites do papel, o que poderia não ocorrer caso se tivesse recorrido aum plano frontal (de frente) como plano auxiliar – as rectas de intersecção com os dois planos seriam rectas frontais e pode-riam, à semelhança dos traços frontais dos dois planos, não serem concorrentes nos limites do papel. A recta a é a recta deintersecção do plano auxiliar ν com o plano α – a recta a está definida por um ponto (o seu traço frontal, F) e pela sua direc-ção (é paralela a hαα). Tenha em conta que a recta a é uma recta horizontal (de nível) do plano α e que rectas horizontais (de ní-vel) de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal (de nível) do planocom cota nula. A recta b é a recta de intersecção do plano auxiliar ν com o plano γ – a recta b está definida por um ponto (oseu traço frontal, F’) e pela sua direcção (é paralela a hγγ). Tenha em conta que a recta b é uma recta horizontal (de nível) doplano γ. As rectas a e b são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar ν – as rectas a e b ou são paralelas ousão concorrentes. Como não são paralelas, pois têm direcções diferentes, são necessariamente concorrentes – o ponto I é oponto de concorrência das rectas a e b e é o ponto comum aos três planos. O ponto I pertence aos três planos, pelo que oponto I pertence simultaneamente aos planos α e γ – I é, necessariamente, um ponto da recta de intersecção dos planos α eγ. Já temos outro ponto para definir a recta i. A recta i fica definida por dois pontos – os pontos H e I. Note que o recurso aum plano auxiliar nos permitiu determinar um ponto comum aos dois planos dados.

185.

75

SOLUÇÕES

186.Em primeiro lugar representaram-se os dois planos pelos respectivos tra-ços, em função dos dados. É pedida uma recta (a recta de intersecção en-tre os dois planos) e para definir uma recta são necessários dois pontosou um ponto e uma direcção. A recta de intersecção entre dois planos éuma recta que pertence simultaneamente aos dois planos – é o lugar geo-métrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos doisplanos. A compreensão dos raciocínios deste exercício passa pelo correctoentendimento da resolução do exercício anterior. De facto, enquanto, noexercício anterior, é possível determinar, directamente e a partir dos dados,um ponto da recta de intersecção dos dois planos (o seu traço horizontal,H), já nesta situação tal não é possível. Assim, enquanto, na situação ante-rior, já tínhamos um ponto para definir a recta e foi necessário determinaroutro ponto, já na presente situação tal não se verifica, pois não temosponto algum. Por outro lado, na situação anterior (tal como nas outras an-teriores), a determinação do ponto em falta processou-se com o recurso aum plano auxiliar, ou seja, o recurso a um plano auxiliar permite-nos deter-minar um ponto da recta de intersecção dos dois planos. Assim, na pre-sente situação, há que recorrer a dois planos auxiliares para, dessa forma,se determinarem dois pontos da recta de intersecção dos dois planos. As-sim, os dados do exercício são insuficientes para determinar qualquer ele-mento que nos permita definir a recta i, pelo que é necessário o recurso a um plano auxiliar. Nesse sentido, recorreu-se a umplano auxiliar ν, horizontal (de nível), que é um plano projectante frontal, e determinaram-se as rectas de intersecção do plano νcom os planos λ e δ. A recta a é a recta de intersecção do plano auxiliar ν com o plano λ – a recta a está definida por um ponto(o seu traço frontal, F) e pela sua direcção (é paralela a hλλ). A recta b é a recta de intersecção do plano auxiliar ν com o plano δ– a recta b está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’) e pela sua direcção (é paralela a hδδ). As rectas a e b são compla-nares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar ν – as rectas a e b ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas(pois têm direcções diferentes), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto I (que é o pon-to comum aos três planos). O ponto I pertence aos três planos, pelo que o ponto I pertence simultaneamente aos planos λ e δ– I é, necessariamente, um ponto da recta de intersecção dos planos λ e δ. Já temos um ponto para definir a recta i – falta-nos outro ponto ou uma direcção. Os dados do exercício são ainda insuficientes para definir a recta i, pelo que é necessárioo recurso a um outro plano auxiliar. Nesse sentido, recorreu-se a um outro plano auxiliar ν1, horizontal (de nível), que é um planoprojectante frontal, e determinaram-se as rectas de intersecção do plano ν1 com os planos λ e δ. A recta c é a recta de intersec-ção do plano auxiliar ν1 com o plano λ – a recta c está definida por um ponto (o seu traço frontal, F’’) e pela sua direcção (é pa-ralela a hλλ). A recta d é a recta de intersecção do plano auxiliar ν1 com o plano δ – a recta d está definida por um ponto (o seutraço frontal, F’’’) e pela sua direcção (é paralela a hδδ). As rectas c e d são complanares, pois estão ambas contidas no plano au-xiliar ν1 – as rectas c e d ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas (pois têm direcções diferentes), pelo que sãoconcorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto I’ (que é o ponto comum aos três planos). O ponto I’ perten-ce aos três planos, pelo que o ponto I’ pertence simultaneamente aos planos λ e δ – I’ é, necessariamente, um outro ponto darecta de intersecção dos planos λ e δ. Já temos outro ponto para definir a recta i. A recta i fica definida por dois pontos – ospontos I e I’. Note que o recurso a dois planos auxiliares nos permitiu determinar dois pontos comuns aos dois planos dados.

187.Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – o plano θestá definido pelos seus traços e o plano ρ está definido pelo eixo X e pelo ponto P.É pedida uma recta (a recta de intersecção entre os dois planos) e para definir umarecta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta de inter-secção entre dois planos é uma recta que pertence simultaneamente aos dois planos– é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aosdois planos. O plano θ é projectante frontal, pelo que projecta todas as suas rectase pontos no Plano Frontal de Projecção, no seu traço frontal. Assim, qualquer rectaque pertença ao plano θ tem necessariamente de ter a sua projecção frontal sobre otraço frontal do plano, pelo que fazendo i2 � fθθ se garante que a recta i pertence aoplano θ. Falta garantir que a recta i também pertence ao plano ρ. A recta i será a rec-ta do plano ρ que tiver a projecção frontal já determinada, pelo que a recta i é, neces-sariamente, uma recta passante, pelo que já temos um ponto para definir a recta –o ponto de concorrência da recta i com o eixo X (que é o ponto de concorrência dosdois traços do plano θ). O ponto de concorrência de fθθ e hθθ é, assim, um ponto quepertence simultaneamente ao plano θ e ao plano ρ (é um ponto do eixo X e qualquerplano passante contém o eixo X – todos os pontos do eixo X pertencem a qualquer plano passante). Falta-nos outro pontoou uma direcção. Tenha em conta que o plano θ contém o ponto P e o ponto P é, também, um ponto do plano passante (oplano passante está definido pelo eixo X e pelo ponto P). O ponto P é, assim, um ponto que pertence simultaneamente aoplano θ e ao plano ρ, pelo que já temos outro ponto para definir a recta i. A recta i fica definida por dois pontos – o ponto P eo ponto do eixo X que é o ponto de concorrência dos dois traços do plano θ.

76

SOLUÇÕES

188.Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – oplano ν está definido pelo seu traço frontal (o plano ρ não tem traço horizon-tal) e o plano ν está definido pelo eixo X e pelo ponto P. É pedida uma recta(a recta de intersecção entre os dois planos) e para definir uma recta são ne-cessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta de intersecçãoentre dois planos é uma recta que pertence simultaneamente aos dois planos– é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamen-te aos dois planos. O plano ν é projectante frontal, pelo que projecta todasas suas rectas e pontos no Plano Frontal de Projecção, no seu traço frontal.Assim, qualquer recta que pertença ao plano ν tem necessariamente de tera sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pelo que fazendo i2 �(fνν) se garante que a recta i pertence ao plano ν. Falta garantir que a recta itambém pertence ao plano ρ. A recta i será a recta do plano ρ que tiver a pro-jecção frontal já determinada, pelo que a recta i é, necessariamente, uma rec-ta fronto-horizontal, pelo que já temos a direcção da recta i. Falta-nos umponto para definir a recta i. Note que, a partir desta etapa, o problema con-siste em determinar as projecções de uma recta fronto-horizontal do plano ρ, com a cota do plano horizontal (de nível). Os da-dos do exercício são insuficientes para definir a recta i, pelo que é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano ρ, rectaessa que, também ela, tem de ser definida por dois pontos ou por um ponto e uma direcção. A recta r é uma recta passantedo plano ρ, que está definida por dois pontos – o seu ponto de concorrência com o eixo X (trata-se de uma recta passante) eo ponto P (que é um ponto do plano ρ). As rectas r e i são complanares (estão ambas contida no plano ρ), pelo que ou são pa-ralelas ou são concorrentes. Não são paralelas, pois têm direcções diferentes (a recta r é obliqua e a recta i é fronto-horizon-tal), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto I. Note que o ponto I é, também, o pontode intersecção do plano ν com a recta r, pelo que I é um ponto que pertence simultaneamente aos dois planos. Já temos oponto que nos faltava. A recta i está definida por um ponto (o ponto I) e por uma direcção (é fronto-horizontal). Tenha em con-ta que uma outra forma de analisar o problema seria atender a que a recta de intersecção entre dois planos é uma recta quepertence à única «família» de rectas comum aos dois planos. Ora, a única «família» de rectas comum a um plano de rampa ea um plano horizontal (de nível) é a «família» das rectas fronto-horizontais, pelo que a recta de intersecção do plano ρ com oplano ν é necessariamente uma recta fronto-horizontal.

Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados –o plano δ está definido pelos seus traços e o plano ρ está definido pelo eixoX e pelo ponto P. É pedida uma recta (a recta de intersecção entre os doisplanos) e para definir uma recta são necessários dois pontos ou um pontoe uma direcção. A recta de intersecção entre dois planos é uma recta quepertence simultaneamente aos dois planos – é o lugar geométrico dos pon-tos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos. O plano δé projectante frontal, pelo que projecta todas as suas rectas e pontos noPlano Frontal de Projecção, no seu traço frontal. Assim, qualquer recta quepertença ao plano δ tem necessariamente de ter a sua projecção frontalsobre o traço frontal do plano, pelo que fazendo i2 � fδδ se garante que arecta i pertence ao plano δ. Falta garantir que a recta i também pertence aoplano ρ. A recta i será a recta do plano ρ que tiver a projecção frontal já de-terminada, pelo que a recta i é, necessariamente, uma recta passante, peloque já temos um ponto para definir a recta – o ponto de concorrência darecta i com o eixo X (que é o ponto A). O ponto A (o ponto de concorrênciade fδδ e hδδ) é, assim, um ponto que pertence simultaneamente ao plano δ eao plano ρ (é um ponto do eixo X e qualquer plano passante contém o eixoX – todos os pontos do eixo X pertencem a qualquer plano passante). Fal-

ta-nos outro ponto ou uma direcção. Note que, a partir desta etapa, o problema consiste em determinar as projecções deuma recta passante do plano ρ, com a projecção frontal já determinada. Os dados do exercício são insuficientes para definir arecta i, pelo que é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano ρ, recta essa que, também ela, tem de ser definida pordois pontos ou por um ponto e uma direcção. A recta g é uma recta fronto-horizontal do plano ρ, que está definida por umponto (o ponto P, que pertence ao plano ρ) e uma direcção (é fronto-horizontal). As rectas g e i são complanares (estão ambascontida no plano ρ), pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas, pois têm direcções diferentes (a recta ié obliqua e a recta g é fronto-horizontal), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto I. Arecta i fica definida por dois pontos – os pontos A e I.

189.

77

SOLUÇÕES

190.Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados –o plano α está definido pelos seus traços e o plano ρ está definido pelo eixoX e pelo ponto P. É pedida uma recta (a recta de intersecção entre os doisplanos) e para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto euma direcção. A recta de intersecção entre dois planos é uma recta quepertence simultaneamente aos dois planos – é o lugar geométrico dos pon-tos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos. O ponto T éum ponto do eixo X, pelo que é um ponto do plano ρ (o plano ρ contém oeixo X e todos os pontos do eixo X pertencem ao plano ρ). O ponto T, porsua vez, é o ponto de concorrência dos dois traços do plano α, pelo que T é,também, um ponto do plano α. O ponto T é, assim, um ponto que pertencesimultaneamente aos dois planos, pelo que T é, já, um ponto da recta de in-tersecção dos dois planos – já temos um ponto para definir a recta i. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Os dados do exercício são insuficientespara definir a recta i, pelo que é necessário o recurso a um plano auxiliar. Re-correu-se a um plano auxiliar ν, horizontal (de nível) e passando pelo pontoP, de forma a garantir que a recta de intersecção do plano ν com o plano ρtenha uma determinação directa. Em seguida determinaram-se as rectas deintersecção do plano ν (o plano auxiliar) com os planos α e ρ. A recta a é arecta de intersecção do plano auxiliar ν com o plano α – a recta a está defini-da por um ponto (o seu traço frontal, F) e pela sua direcção (é paralela ahαα).A recta b é a recta de intersecção do plano auxiliar ν com o plano ρ (ver exercício 188 e respectivo relatório) – a recta bestá definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é fronto-horizontal). As rectas a e b são complanares, pois estãoambas contidas no plano auxiliar ν – as rectas a e b ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas (pois têm direc-ções diferentes), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto I (que é o ponto comum aostrês planos). O ponto I pertence aos três planos, pelo que o ponto I pertence simultaneamente aos planos α e ρ – I é, neces-sariamente, um ponto da recta de intersecção dos planos α e ρ. Já temos o ponto que nos faltava para definir a recta i. Arecta i está definida por dois pontos – os pontos T e I.

Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados –o plano α está definido pelos seus traços e o plano ρ está definido pelo eixoX e pelo ponto P. É pedida uma recta (a recta de intersecção entre os doisplanos) e para definir uma recta são necessários dois pontos ou um pontoe uma direcção. A recta de intersecção entre dois planos é uma recta quepertence simultaneamente aos dois planos – é o lugar geométrico dos pon-tos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos. A recta deintersecção entre dois planos é uma recta que pertence à única «família» derectas comum aos dois planos. A única «família» de rectas comum a doisplanos de rampa (um plano passante é um plano de rampa que contém oeixo X) é a «família» das rectas fronto-horizontais, pelo que a recta de inter-secção do plano ρ com o plano ρ é necessariamente uma recta fronto-ho-rizontal. Já temos a direcção da recta i – falta-nos um ponto para definira recta i. Os dados do exercício são insuficientes para definir a recta i, peloque é necessário o recurso a um plano auxiliar. Recorreu-se a um plano au-xiliar α, de topo, e passando pelo ponto P, de forma a garantir que a rectade intersecção do plano α com o plano ρ tenha uma determinação directa.Em seguida determinaram-se as rectas de intersecção do plano α (o planoauxiliar) com os planos ρ e σ. A recta a é a recta de intersecção do plano

auxiliar α com o plano ρ – a recta a está definida por dois pontos (ver exercício 187 e respectivo relatório). A recta b é a rectade intersecção do plano auxiliar α com o plano σ e está definida por dois pontos, que são os seus traços nos planos de pro-jecção (rata-se do caso geral da intersecção entre planos – ver exercício 158 e respectivo relatório). As rectas a e b são com-planares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar α – as rectas a e b ou são paralelas ou são concorrentes. Não sãoparalelas (pois têm direcções diferentes), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto I(que é o ponto comum aos três planos). O ponto I pertence aos três planos, pelo que o ponto I pertence simultaneamente aosplanos ρ e σ – I é, necessariamente, um ponto da recta de intersecção dos planos ρ e σ. Já temos o ponto que nos faltavapara definir a recta i. A recta i está definida por um ponto (o ponto I) e por uma direcção (é fronto-horizontal).

191.

78

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – o plano α está definido pelos seus traços e o pla-no ρ está definido pelas projecções das rectas h e h’. É pedida uma recta (a recta de intersecção entre os dois planos) e paradefinir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta de intersecção entre dois planos é umarecta que pertence simultaneamente aos dois planos – é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simulta-neamente aos dois planos. Os dados do exercício são insuficientes para definir a recta i, pelo que é necessário o recurso a umplano auxiliar. Recorreu-se a um plano auxiliar ϕ, frontal (de frente), que é um plano projectante horizontal, e determinaram-seas rectas de intersecção do plano ϕ com os planos α e δ. Com vista a uma maior economia de traçados, e atendendo a queos pontos A e B têm o mesmo afastamento, conduziu-se o plano ϕ pelos pontos A e B. A recta a é a recta de intersecção doplano auxiliar ϕ com o plano α – a recta a está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H) e pela sua direcção (é paralelaa fαα). Tenha em conta que a recta a é uma recta frontal (de frente) do plano α e que rectas frontais (de frente) de um plano sãoparalelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo. Arecta b é a recta de intersecção do plano auxiliar ϕ com o plano δ – a recta b está definida pelos pontos A e B, que são ospontos de intersecção do plano auxiliar ϕ com as rectas h e h’, respectivamente. As rectas a e b são complanares, pois estãoambas contidas no plano auxiliar ϕ – as rectas a e b ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas (pois têm direc-ções diferentes), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto I (que é o ponto comum aostrês planos). O ponto I pertence aos três planos, pelo que o ponto I pertence simultaneamente aos planos α e δ – I é, neces-sariamente, um ponto da recta de intersecção dos planos α e δ. Já temos um ponto para definir a recta i – falta-nos outroponto ou uma direcção. Os dados do exercício são ainda insuficientes para definir a recta i, pelo que é necessário o recursoa um outro plano auxiliar. Nesse sentido, recorreu-se a um outro plano auxiliar ϕ1, frontal (de frente), que é outro plano projec-tante horizontal, e determinaram-se as rectas de intersecção do plano ϕ1 com os planos α e δ. A recta c é a recta de intersec-ção do plano auxiliar ϕ1 com o plano α – a recta c está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H’) e pela sua direcção (éparalela a fαα). A recta d é a recta de intersecção do plano auxiliar ϕ1 com o plano δ – a recta d está definida por dois pontos,os pontos M e N, que são os pontos de intersecção do plano ϕ1 com as rectas h e h’, respectivamente. As rectas c e d sãocomplanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar ϕ1 – as rectas c e d ou são paralelas ou são concorrentes. Não sãoparalelas (pois têm direcções diferentes), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto I’(que é o ponto comum aos três planos). O ponto I’ pertence aos três planos, pelo que o ponto I’ pertence simultaneamenteaos planos α e δ – I’ é, necessariamente, um outro ponto da recta de intersecção dos planos α e δ. Já temos outro pontopara definir a recta i. A recta i fica definida por dois pontos – os pontos I e I’. Note que o recurso a dois planos auxiliares nospermitiu determinar dois pontos comuns aos dois planos dados. Tenha em conta que, com vista a uma ainda maior economiade traçados, seria ainda mais conveniente que os planos auxiliares a que se recorreu fossem planos horizontais (de nível) con-tendo as rectas h e h’. De facto, se o primeiro plano auxiliar contivesse a recta h, por exemplo, aquela seria, imediatamente, arecta de intersecção desse plano auxiliar com o plano δ, o que evitaria a determinação da recta b. Por outro lado, se o segun-do plano auxiliar contivesse a recta h’, por exemplo, aquela seria, imediatamente, a recta de intersecção desse plano auxiliarcom o plano δ, o que evitaria a determinação da recta d. Os restantes raciocínios manter-se-iam.

192.

79

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – o plano θ está definido pelas projecções das rec-tas r e s e o plano γ está definido pelas projecções das rectas h e f. É pedida uma recta (a recta de intersecção entre os doisplanos) e para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A recta de intersecção entre doisplanos é uma recta que pertence simultaneamente aos dois planos – é o lugar geométrico dos pontos do espaço que perten-cem simultaneamente aos dois planos. Os dados do exercício são insuficientes para definir a recta i, pelo que é necessário orecurso a um plano auxiliar. Recorreu-se a um plano auxiliar ν, horizontal (de nível), que é um plano projectante frontal, e deter-minaram-se as rectas de intersecção do plano ν com os planos θ e γ. Com vista a uma maior economia de traçados, condu-ziu-se o plano ν pela recta h, que define o plano γ. A recta h é, mediatamente, a recta de intersecção do plano auxiliar ν com oplano γ. A recta n é a recta de intersecção do plano auxiliar ν com o plano θ – a recta a está definida pelos pontos M e N, quesão os pontos de intersecção do plano auxiliar ν com as rectas r e s, respectivamente. As rectas h e n são complanares, poisestão ambas contidas no plano auxiliar ν – as rectas h e n ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas (pois têmdirecções diferentes), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto I (que é o ponto co-mum aos três planos). O ponto I pertence aos três planos, pelo que o ponto I pertence simultaneamente aos planos θ e γ – Ié, necessariamente, um ponto da recta de intersecção dos planos θ e γ. Já temos um ponto para definir a recta i – falta-nosoutro ponto ou uma direcção. Os dados do exercício são ainda insuficientes para definir a recta i, pelo que é necessário orecurso a um outro plano auxiliar. Nesse sentido, recorreu-se a um outro plano auxiliar ν1, horizontal (de nível), que é outro pla-no projectante frontal, e determinaram-se as rectas de intersecção do plano ν1 com os planos θ e γ. Com vista a uma maioreconomia de traçados, conduziu-se o plano ν1 pelo ponto C. A recta a é a recta de intersecção do plano auxiliar ν1 com o pla-no γ – a recta a está definida por um ponto (o ponto E, que é o ponto de intersecção do plano ν1 com a recta f) e pela sua di-recção (é paralela à recta h, pois a recta h e a recta a são, ambas, rectas horizontais do plano γ e rectas horizontais de umplano são paralelas entre si). A recta b é a recta de intersecção do plano auxiliar ν1 com o plano θ – a recta b está definida porum ponto (o ponto C, que é o ponto de intersecção do plano ν1 com a recta s) e pela sua direcção (é paralela à recta n, pois arecta n e a recta b são, ambas, rectas horizontais do plano θ e rectas horizontais de um plano são paralelas entre si). As rectasa e b são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar ν1 – as rectas a e b ou são paralelas ou são concorrentes.Não são paralelas (pois têm direcções diferentes), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – oponto I’ (que é o ponto comum aos três planos). O ponto I’ pertence aos três planos, pelo que o ponto I’ pertence simultanea-mente aos planos θ e γ – I’ é, necessariamente, um outro ponto da recta de intersecção dos planos θ e γ. Já temos outroponto para definir a recta i. A recta i fica definida por dois pontos – os pontos I e I’.

193.

80

SOLUÇÕES

194.Em primeiro lugar representaram-se a recta t, pelas suas projecções, e o plano α,pelos seus traços, em função dos dados. O ponto de intersecção entre uma rectae um plano é um ponto que pertence simultaneamente à recta e ao plano. O pontoI tem, pois, de pertencer simultaneamente à recta t e ao plano α. A recta t éprojectante frontal, pelo que projecta todos os seus pontos no Plano Frontal deProjecção, num único ponto – fazendo I2 � (t2) garante-se que o ponto I pertenceà recta. Falta garantir que o ponto I pertença ao plano α. Nesse sentido, o pontotem que verificar a condição para que um ponto pertença a um plano – o pontotem de pertencer a uma recta que pertença ao plano. Para tal, há que recorrer auma recta auxiliar do plano que contenha forçosamente o ponto. Nesse sentido,a projecção frontal da recta auxiliar tem de conter a projecção frontal do ponto I,pelo que por I2 se conduziu r2, qualquer – r2 é a projecção frontal de uma recta r,auxiliar, pertencente ao plano e que contém o ponto I com certeza. Para a recta rpertencer ao plano α, tem de ter os seus traços sobre os traços homónimos doplano (condição para que uma recta pertença a um plano). A partir dos traços de rdesenhou-se r1, a sua projecção horizontal. A recta r pertence ao plano e está definida por dois pontos – os seus traços nosplanos de projecção. Como I2 está sobre r2, e porque o ponto I pertence à recta r (para pertencer ao plano), a projecção hori-zontal do ponto, I1, tem de se situar sobre a projecção horizontal da recta, r1 (condição para que um ponto pertença a umarecta). O ponto I pertence ao plano, pois pertence a uma recta do plano – a recta r. Está garantido que o ponto I pertence aoplano. Uma vez que já se tinha garantido que o ponto I pertencia à recta t, o ponto I é assim, o ponto de intersecção da rectat com o plano α, pois pertence simultaneamente à recta e ao plano.

Em primeiro lugar representaram-se a recta t, pelas suas projecções, e o plano ρ, pe-los seus traços, em função dos dados. Sobre a determinação do ponto de intersec-ção da recta t com o plano ρ, ver exercício anterior e respectivo relatório.

196.Em primeiro lugar representaram-se a recta v, pelas suas projecções, e o plano δ, pelosseus traços, em função dos dados. O ponto de intersecção entre uma recta e um plano éum ponto que pertence simultaneamente à recta e ao plano. O ponto I tem, pois, de per-tencer simultaneamente à recta v e ao plano d. A recta v é projectante horizontal, peloque projecta todos os seus pontos no Plano Horizontal de Projecção, num único ponto –fazendo I1 � (v1) garante-se que o ponto I pertence à recta. Falta garantir que o ponto Ipertença ao plano δ. Nesse sentido, o ponto tem que verificar a condição para que umponto pertença a um plano – o ponto tem de pertencer a uma recta que pertença ao pla-no. Para tal, há que recorrer a uma recta auxiliar do plano que contenha forçosamente oponto. Nesse sentido, a projecção horizontal da recta auxiliar tem de conter a projecçãohorizontal do ponto I. Recorreu-se a uma recta frontal (de frente) do plano δ, conduzindof1 por I1 – f1 é a projecção horizontal de uma recta f, auxiliar, pertencente ao plano e quecontém o ponto I com certeza. Para a recta f pertencer ao plano δ, tem de ter os seustraços sobre os traços homónimos do plano (condição para que uma recta pertença a um plano). H, o traço horizontal da rec-ta f, situa-se sobre hδδ. A recta f é uma recta frontal (de frente) do plano δ, pelo que tem de ser paralela a fδδ – rectas frontais (defrente) de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal (de frente) do planocom afastamento nulo. A recta f pertence ao plano e está definida por um ponto e uma direcção. Como I1 está sobre f1, e por-que o ponto I pertence à recta f (para pertencer ao plano), a projecção frontal do ponto, I2, tem de se situar sobre a projecçãofrontal da recta, f2 (condição para que um ponto pertença a uma recta). O ponto I pertence ao plano, pois pertence a uma rec-ta do plano – a recta f. Está garantido que o ponto I pertence ao plano. Uma vez que já se tinha garantido que o ponto I per-tencia à recta v, o ponto I é assim, o ponto de intersecção da recta v com o plano δ, pois pertence simultaneamente à recta eao plano.

195.

81

SOLUÇÕES

197.Em primeiro lugar representaram-se a recta h, pelas suas projecções, e o planoα, pelos seus traços, em função dos dados. O ponto de intersecção entre umarecta e um plano é um ponto que pertence simultaneamente à recta e ao plano.Nem o plano δ nem a recta h são projectantes, pelo que é necessário recorrerao método geral da intersecção de rectas com planos, que se executou emtrês etapas, a saber: 1. pela recta h conduziu-se um plano auxiliar (o plano ν,que é um plano projectante frontal), que a contém – o plano ν é um plano hori-zontal(de nível); 2. determinaram-se as projecções da recta i, a recta de inter-secção do plano α com o plano ν – a recta i é uma recta horizontal (de nível) doplano α e está definida por um ponto (o seu traço frontal, F) e uma direcção (éparalela a hαα, pois rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e parale-las ao traço horizontal do plano); 3. o ponto de concorrência (ou intersecção) darecta i com a recta h (que são complanares, pois estão ambas contidas no pla-no ν) é o ponto I – I é, assim, o ponto de intersecção da recta h com o plano α.Tenha em conta que o ponto I pertence à recta h (pois tem as suas projecçõessobre as projecções homónimas da recta h) e pertence ao plano α (pois perten-ce a uma recta do plano, que é a recta i). Nesse sentido, o ponto I é o ponto deintersecção da recta h com o plano α, pois pertence simultaneamente à recta he ao plano α.

Em primeiro lugar representaram-se a recta r, pelas suas projecções, e oplano ρ, pelos seus traços, em função dos dados. O ponto de intersec-ção entre uma recta e um plano é um ponto que pertence simultanea-mente à recta e ao plano. Nem o plano ρ nem a recta r são projectantes,pelo que é necessário recorrer ao método geral da intersecção de rec-tas com planos, que se executou em três etapas, a saber: 1. pela recta rconduziu-se um plano auxiliar (o plano α, que é um plano projectante ho-rizontal), que a contém – o plano α é um plano vertical; 2. determinaram-se as projecções da recta i, a recta de intersecção do plano ρ com oplano α – a recta i é uma recta oblíqua do plano ρ e está definida por doispontos (os seus traços nos planos de projecção, F e H’); 3. o ponto deconcorrência (ou intersecção) da recta i com a recta r (que são compla-nares, pois estão ambas contidas no plano α) é o ponto I – I é, assim, oponto de intersecção da recta r com o plano ρ. Tenha em conta que oponto I pertence à recta r (pois tem as suas projecções sobre as projec-ções homónimas da recta r) e pertence ao plano ρ (pois pertence a umarecta do plano, que é a recta i). Nesse sentido, o ponto I é o ponto de in-tersecção da recta r com o plano ρ, pois pertence simultaneamente àrecta r e ao plano ρ.

199.Em primeiro lugar representaram-se a recta f, pelas suas projecções, e o planoρ, pelos seus traços, em função dos dados. O ponto de intersecção entre umarecta e um plano é um ponto que pertence simultaneamente à recta e ao plano.Nem o plano ρ nem a recta f são projectantes, pelo que é necessário recorrerao método geral da intersecção de rectas com planos, que se executou emtrês etapas, a saber: 1. pela recta f conduziu-se um plano auxiliar (o plano α,que é um plano projectante frontal), que a contém – o plano α é um plano detopo; 2. determinaram-se as projecções da recta i, a recta de intersecção doplano ρ com o plano α – a recta i é uma recta oblíqua do plano ρ e está definidapor dois pontos (os seus traços nos planos de projecção); 3. o ponto de con-corrência (ou intersecção) da recta i com a recta f (que são complanares, poisestão ambas contidas no plano α) é o ponto I – I é, assim, o ponto de intersec-ção da recta f com o plano ρ. Tenha em conta que o ponto I pertence à recta f(pois tem as suas projecções sobre as projecções homónimas da recta f) e per-tence ao plano ρ (pois pertence a uma recta do plano, que é a recta i). Nessesentido, o ponto I é o ponto de intersecção da recta f com o plano ρ, pois per-tence simultaneamente à recta f e ao plano ρ.

198.

82

SOLUÇÕES

200.Em primeiro lugar representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e a recta g, pelas suas pro-jecções, em função dos dados. O ponto de intersecção entre uma recta e um plano é umponto que pertence simultaneamente à recta e ao plano. Assim, é necessário determinar umponto que possamos garantir que pertence à recta g e que pertence ao plano γ. O plano g éprojectante horizontal, pelo que as projecções horizontais de todos os seus pontos estãosobre hg – a projecção horizontal do ponto I (I1) tem, assim, de se situar sobre hγγ, o que nosgarante que o ponto pertence ao plano γ. Por outro lado, para garantir que o ponto I pertenceà recta g, as projecções do ponto I têm de se situar sobre as projecções homónimas da rectag. Assim, a projecção horizontal do ponto I, I1, é o ponto de intersecção da projecção hori-zontal da recta (g1) com hg, o traço horizontal do plano. A partir da projecção horizontal doponto determinou-se a projecção frontal do ponto, sobre a projecção frontal da recta – I2 estásobre g2. O ponto I pertence à recta, pois tem as suas projecções sobre as projecções homó-nimas da recta. O ponto I pertence ao plano γ, pois tem a sua projecção horizontal sobre otraço horizontal do plano. O ponto I, representado pelas suas projecções, é o ponto de inter-secção da recta g com o plano γ.

201.Em primeiro lugar representou-se o plano α pelos seus traços, em função dos dados. a) É pedida uma recta (a recta de intersecção do plano αα com o ββ1/3) e para defi-

nir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. A rec-ta de intersecção entre dois planos é o lugar geométrico dos pontos do espaçoque pertencem simultaneamente aos dois planos. Assim, necessitamos, pelo me-nos, de um ponto que pertença simultaneamente aos dois planos. O ponto deconcorrência dos traços do plano é um ponto do eixo X – todos os pontos doeixo X pertencem ao β1/3. Esse ponto é, assim, um ponto que pertence simulta-neamente ao plano α e ao β1/3, pelo que é um ponto comum aos dois planos – oponto de concorrência dos traços do plano é um ponto da recta de intersecçãoentre os dois planos. Já temos um ponto para definir a recta i’. Falta-nos outroponto ou uma direcção para definir a recta. Os dados do exercício são insufi-cientes para definir a recta i’, pelo que é necessário o recurso a uma recta auxiliardo plano, recta essa que, também ela, tem de ser definida por dois pontos ou porum ponto e uma direcção. Recorreu-se à recta h, uma recta horizontal (de nível)do plano α. A recta h está definida por um ponto (o seu traço frontal, F) e poruma direcção (é paralela a hαα, pois rectas horizontais de um plano são paralelasentre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal doplano com cota nula). Em seguida determinou-se o traço da recta h no β1/3 – oponto Q. O ponto Q pertence ao plano α, pois pertence a uma recta do plano – a recta h. O ponto Q pertence ao β1/3, poistem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X. O ponto Q é, assim, um ponto que pertence simultaneamenteaos dois planos, pelo que é um outro ponto da recta de intersecção entre os dois planos. A recta i’ fica definida por doispontos – o ponto Q e o ponto de concorrência dos dois traços do plano α.

b) É pedida uma recta (a recta de intersecção do plano α com o ββ2/4) e para definir uma recta são necessários dois pontosou um ponto e uma direcção. A recta de intersecção entre dois planos é o lugar geométrico dos pontos do espaço quepertencem simultaneamente aos dois planos. Assim, necessitamos, pelo menos, de um ponto que pertença simultanea-mente aos dois planos. O ponto de concorrência dos traços do plano é um ponto do eixo X – todos os pontos do eixo Xpertencem ao β2/4. Esse ponto é, assim, um ponto que pertence simultaneamente ao plano α e ao β2/4, pelo que é umponto comum aos dois planos – o ponto de concorrência dos dois traços do plano β é um ponto da recta de intersecçãoentre os dois planos. Já temos um ponto para definir a recta i’. Falta-nos outro ponto ou uma direcção para definir arecta. Em seguida determinou-se o traço da recta h no β2/4 – o ponto I. O ponto I pertence ao plano α, pois pertence auma recta do plano – a recta h. O ponto I pertence ao β2/4, pois tem as suas projecções coincidentes. O ponto I é, assim,um ponto que pertence simultaneamente aos dois planos, pelo que é um outro ponto da recta de intersecção dos doisplanos. A recta i’ fica definida por dois pontos – o ponto I e o ponto de concorrência dos dois traços do plano α. A recta i’é uma recta de perfil passante.

83

SOLUÇÕES

202.Em primeiro lugar representaram-se os planos α, δ e ρ, pelos respectivos tra-ços, em função dos dados. Em seguida determinou-se a recta a, a recta deintersecção do plano ρ com o plano α – a recta a está definida por dois pon-tos, que são os seus traços nos planos de projecção (tratou-se do caso ge-ral da intersecção entre dois planos). Em seguida determinou-se a recta b, arecta de intersecção do plano ρ com o plano δ – a recta b está igualmentedefinida por dois pontos, que são os seus traços nos planos de projecção(tratou-se novamente do caso geral da intersecção entre dois planos). Asrectas a e b são complanares (pertencem, ambas, ao plano ρ) e são concor-rentes no ponto I. A figura geométrica resultante da intersecção dos três pla-nos é o ponto I – trata-se de um ponto próprio (um ponto situado adistância finita).

Em primeiro lugar representaram-se os planos ν, ϕ e ρ, pelos seus traços, emfunção dos dados. O plano ν está representado unicamente pelo seu traço fron-tal (que se assinalou devidamente entre parêntesis), pois não tem traço horizon-tal (o plano ν é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção). O plano ϕ estárepresentado unicamente pelo seu traço horizontal (que se assinalou devida-mente entre parêntesis), pois não tem traço frontal (o plano ϕ é paralelo ao Pla-no Frontal de Projecção). Em seguida determinou-se a recta a, a recta deintersecção do plano ν com o plano ϕ – a recta a é uma recta fronto-horizontal,que está imediatamente definida pelas suas duas projecções, pois trata-se daintersecção entre um plano projectante frontal e um plano projectante horizon-tal. Em seguida determinou-se a recta b, a recta de intersecção do plano ν como plano ρ (ver exercício 156 e respectivo relatório) – a recta b é outra recta fron-to-horizontal, que está definida pela sua direcção (é fronto-horizontal) e por umponto (o ponto I). Tenha em conta que para a determinação da recta b foi ne-cessário o recurso a uma recta auxiliar do plano ρ – a recta r. As rectas r e b,porque são complanares (estão, ambas, contidas no plano ρ), ou são paralelas

ou são concorrentes. Não são paralelas, pois têm direcções diferentes, pelo que são concorrentes, pelo que existe um pontode concorrência – o ponto I. As rectas a e b são paralelas – são rectas concorrentes num ponto do infinito. Esse ponto é oponto comum aos três planos. Os três planos intersectam-se, assim, num ponto do infinito (um ponto impróprio). Discussãodo resultado obtido: a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos é um ponto impróprio.

204.Em primeiro lugar representaram-se a recta r, pelas suas projecções, e o plano ρ,pelos seus traços, em função dos dados. Note que os traços do plano ρ estãocoincidentes apenas no papel, após o rebatimento do Plano Frontal de Projecçãosobre o Plano Horizontal de Projecção – no espaço, os traços do plano ρ não po-dem estar coincidentes, pois hρρ é uma recta fronto-horizontal com cota nula (si-tua-se no SPHA) e fρρ é uma recta fronto-horizontal com afastamento nulo(situa-se no SPFI). O ponto de intersecção entre uma recta e um plano é um pon-to que pertence simultaneamente à recta e ao plano. Nem o plano ρ nem a recta rsão projectantes, pelo que é necessário recorrer ao método geral da intersec-ção de rectas com planos, que se executou em três etapas, a saber: 1. pela rec-ta r conduziu-se um plano auxiliar (o plano α, que é um plano projectantehorizontal), que a contém – o plano α é um plano vertical; 2. determinaram-se asprojecções da recta i, a recta de intersecção do plano ρ com o plano α – a recta ié uma recta oblíqua do plano ρ e está definida por dois pontos (os seus traçosnos planos de projecção, F e H’); 3. o ponto de concorrência (ou intersecção) darecta i com a recta r (que são complanares, pois estão ambas contidas no plano α) é o ponto I – I é, assim, o ponto de inter-secção da recta r com o plano ρ. Tenha em conta que o ponto I pertence à recta r (pois tem as suas projecções sobre as pro-jecções homónimas da recta r) e pertence ao plano ρ (pois pertence a uma recta do plano, que é a recta i). Nesse sentido, oponto I é o ponto de intersecção da recta r com o plano ρ, pois pertence simultaneamente à recta r e ao plano ρ.

203.

84

SOLUÇÕES

205.Em primeiro lugar representaram-se a recta r, pelas suas projecções, e o pla-no α, pelos seus traços, em função dos dados. Note que os traços do planoα estão coincidentes apenas no papel, após o rebatimento do Plano Frontalde Projecção sobre o Plano Horizontal de Projecção – no espaço, os traçosdo plano α não podem estar coincidentes, pois hαα é uma recta horizontal (denível) com cota nula (situa-se no Plano Horizontal de Projecção) e fαα é umarecta frontal (de frente) com afastamento nulo (situa-se no Plano Frontal deProjecção). O ponto de intersecção entre uma recta e um plano é um pontoque pertence simultaneamente à recta e ao plano. Nem o plano α nem a rectar são projectantes, pelo que é necessário recorrer ao método geral da inter-secção de rectas com planos, que se executou em três etapas, a saber: 1.pela recta r conduziu-se um plano auxiliar (o plano γ, que é um plano projec-tante horizontal), que a contém – o plano γ é um plano vertical; 2. determina-ram-se as projecções da recta i, a recta de intersecção do plano α com oplano γ – a recta i é uma recta oblíqua do plano α e está definida por doispontos (os seus traços nos planos de projecção, F e H); 3. o ponto de con-corrência (ou intersecção) da recta i com a recta r (que são complanares, poisestão ambas contidas no plano γ) é o ponto I – I é, assim, o ponto de inter-secção da recta r com o plano α. Tenha em conta que o ponto I pertence àrecta r (pois tem as suas projecções sobre as projecções homónimas da rec-ta r) e pertence ao plano α (pois pertence a uma recta do plano, que é a rectai). Nesse sentido, o ponto I é o ponto de intersecção da recta r com o planoα, pois pertence simultaneamente à recta r e ao plano α.

206.Em primeiro lugar representaram-se a recta f, pelas suas projecções, e oplano ρ, em função dos dados – o plano ρ está definido pelo eixo X e pelasprojecções do ponto R. O ponto de intersecção entre uma recta e um pla-no é um ponto que pertence simultaneamente à recta e ao plano. Nem oplano ρ nem a recta f são projectantes, pelo que é necessário recorrer aométodo geral da intersecção de rectas com planos, que se executouem três etapas, a saber: 1. pela recta f conduziu-se um plano auxiliar (oplano ϕ, que é um plano projectante horizontal), que a contém – o plano ϕé um plano frontal (de frente); 2. determinaram-se as projecções da recta i,a recta de intersecção do plano ϕ com o plano ρ – a recta i é uma rectafronto-horizontal do plano ρ e está definida por um ponto (o ponto P, que éo ponto de intersecção do plano ϕ com uma recta auxiliar do plano ϕ – arecta r) e pela sua direcção (é uma recta fronto-horizontal, pois a única «fa-mília» de rectas comum a um plano frontal e a um plano de rampa é a «fa-mília» das rectas fronto-horizontais); 3. o ponto de concorrência (ouintersecção) da recta i com a recta f (que são complanares, pois estão am-bas contidas no plano ϕ) é o ponto I – I é, assim, o ponto de intersecçãoda recta f com o plano ρ. Tenha em conta que o ponto I pertence à recta f(pois tem as suas projecções sobre as projecções homónimas da recta f) epertence ao plano ρ (pois pertence a uma recta do plano, que é a recta i).Nesse sentido, o ponto I é o ponto de intersecção da recta f com o planoρ, pois pertence simultaneamente à recta f e ao plano ρ. Tenha ainda em conta que a dificuldade acrescida deste exercíciotem a ver com a determinação da recta i, a recta de intersecção do plano ϕ (o plano auxiliar) com o plano ρ (o plano passante).Para definir a recta i são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Uma vez que o plano ϕ é um plano projec-tante horizontal, sabe-se imediatamente que a projecção horizontal da recta i (a recta de intersecção entre os dois planos) temde estar sobre hϕϕ. Por outro lado, atendendo a que o plano passante é um plano de rampa e que a única “família” de rectascomum a um plano de rampa e a um plano frontal (de frente) é a «família» das rectas fronto-horizontais, já se sabe a direcçãoda recta i – trata-se de uma recta fronto-horizontal. Falta-nos um ponto para definir a recta. A recta i é, assim, a recta fronto-horizontal do plano ρ que tem a projecção horizontal já determinada. Os dados do exercício são insuficientes para definir arecta i, pelo que é necessário o recurso a uma recta auxiliar do plano, recta essa que, também ela, tem de ser definida pordois pontos ou por um ponto e uma direcção. Recorreu-se a uma recta auxiliar r, do plano ρ – trata-se de uma recta passante,que contém o ponto R. A recta r está definida por dois pontos (o ponto R e o seu ponto de concorrência com o eixo X, poistrata-se de uma recta passante). As rectas r e i são complanares (estão ambas contidas no plano ρ) e não são paralelas (têmdirecções diferentes), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto P. Já temos o pontoque nos faltava. A recta i está definida por um ponto (o ponto P) e por uma direcção (é fronto-horizontal).

85

SOLUÇÕES

REPRESENTAÇÕES DE SÓLIDOS I

8

207.Representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas pelas projecções, e o plano ν, oplano horizontal (de nível) que contém a base do sólido, pelo seu traço frontal. Construiu-se o triângulo da base em verdadeira grandeza, em projecção horizontal (garantindo queo triângulo se situa no 1o Diedro), e determinaram-se as projecções de O, o seu centro. Apirâmide é regular, pelo que o seu eixo é ortogonal ao plano da base – está contidonuma recta vertical (projectante horizontal). A altura da pirâmide é a distância do seu vér-tice ao plano da base, medida perpendicularmente a este. Como o eixo é ortogonal aoplano da base, a altura da pirâmide pode medir-se sobre a recta suporte do eixo. A alturada pirâmide é O�V� e projecta-se em verdadeira grandeza no Plano Frontal de Projecção,pois o segmento [OV] é paralelo ao Plano Frontal de Projecção. V está, assim, 6 cm aci-ma do plano ν, pelo que tem 8 cm de cota – note que se V estivesse abaixo de O, a pirâ-mide não estaria no 1o Diedro. A partir das projecções de todos os vértices do sólidodesenharam-se os seus contornos aparentes – o contorno aparente horizontal é[A1B1C1] e o contorno aparente frontal é [A2V2B2C2]. Em projecção horizontal, o únicovértice que não integra o contorno aparente é V, que é visível (por ser o vértice de maiorcota), bem como todas as arestas que nele convergem. Desenhou-se a projecção hori-zontal da pirâmide, na qual não há invisibilidades a registar. Em projecção frontal, exis-tem duas arestas que não integram o contorno aparente – a aresta lateral [CV], que évisível, e a aresta da base [AB] que está oculta pelas arestas [AC] e [BC] da base, peloque também não há quaisquer invisibilidades a registar. A pirâmide está representada pe-las suas projecções.

Representou-se o ponto O, pelas suas projecções, e o plano ϕ, o plano frontal(de frente) que contém a base de maior afastamento do sólido, pelo seu traçohorizontal. O raio da circunferência circunscrita ao hexágono da base é 3 cm,pois é igual ao lado do hexágono. Para que duas faces do prisma estejam con-tidas em planos horizontais (de nível), o hexágono da base terá de ter dois la-dos horizontais (fronto-horizontais). Construiu-se o hexágono [ABCDEF], dabase, em verdadeira grandeza, em projecção frontal, e nomearam-se os seusvértices, de forma arbitrária, em sequência. O prisma tem 5 cm de altura, peloque o plano ϕ1, o plano frontal (de frente) da base de menor afastamento, dista5 cm (a altura do sólido) do plano ϕ – o plano ϕ1 tem, assim, 1 cm de afasta-mento. O prisma é regular, pelo que as suas arestas laterais, bem como o seueixo, são ortogonais aos planos das bases – estão contidas em rectas de topo(projectantes frontais). A base de menor afastamento, o hexágono[A’B’C’D’E’F’], está definida pelos pontos de intersecção das rectas suportedas arestas laterais com o plano ϕ1 (o plano da base de menor afastamento dosólido). A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-seos seus contornos aparentes – o contorno aparente horizontal é[A1B1C1D1D’1C’1B’1A’1] e o contorno aparente frontal é [A2B2C2D2E2F2]. Emprojecção frontal, a base de maior afastamento é visível e a de menor afasta-mento é invisível – as arestas da base de menor afastamento estão ocultas pe-las arestas correspondentes da base de maior afastamento. As faces lateraissão todas invisíveis, pois estão contidas em planos projectantes frontais. Assim

sendo, desenhou-se a projecção frontal do sólido, na qual não há lugar à representação de invisibilidades. Em projecçãohorizontal, as arestas das duas bases que não integram o contorno aparente são invisíveis, mas estão ocultas pelas arestasdaquelas bases que integram o contorno aparente. De forma idêntica, as arestas laterais [FF’] e [EE’], que são as arestas late-rais de menor cota, são invisíveis em projecção horizontal, mas estão ocultas pelas arestas laterais [BB’] e [CC’], respectiva-mente, que são visíveis (são as arestas laterais de maior cota). Assim sendo, desenhou-se a projecção horizontal do sólido,na qual também não há lugar à representação de quaisquer invisibilidades.

208.

86

SOLUÇÕES

209.A partir dos dados representou-se o plano ν, que contém a base do sólido, peloseu traço frontal, e o ponto Q, pelas suas projecções, e construíram-se as pro-jecções do pentágono da base e do vértice. Note que o lado [CD] do pentágonoé necessariamente fronto-horizontal, pois o ponto A é o ponto em que a cir-cunferência circunscrita à base é tangente ao Plano Frontal de Projecção. Apartir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os respec-tivos contornos aparentes. O contorno aparente frontal é [B2V2E2D2C2]. Emprojecção frontal, as arestas laterais [CV] e [DV] são visíveis, por serem asarestas de maior afastamento (pertencem à parte visível do sólido, em projec-ção frontal). Já a aresta lateral [AV], em projecção frontal é invisível, pois é aaresta de menor afastamento (pertence à parte invisível do sólido, em projecçãofrontal). A base é invisível, em projecção frontal, pois está contida num planoprojectante frontal. O contorno aparente horizontal é [A1B1V1C1D1E1]. Emprojecção horizontal, a base é visível na sua totalidade, pois contém todos osvértices de maior cota. As arestas laterais [AV], [EV] e [DV] são, assim, invisíveisem projecção horizontal, pois pertencem à parte invisível do sólido, em projec-ção horizontal. Recorde que o contorno aparente de um sólido separa a partedo sólido que é visível daquela que é invisível. Tenha em conta que a pirâmidetem 6 cm de altura – a diferença das cotas de V e do plano ν.

210.Representaram-se os ponto A e C, pelas respectivas projecções e desenhou-seo traço horizontal do plano ϕ, o plano frontal (de frente) que contém o quadrado[ABCD], cujas projecções se construíram imediatamente, em função dos dados.Em seguida representou-se o plano ϕ1 pelo seu traço horizontal - ϕ1 é o planofrontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do prisma e está a 5cm (a altura do prisma) do plano ϕ, pelo que tem 6 cm de afastamento. Dese-nharam-se as projecções da recta e, a recta suporte do eixo do prisma, de acor-do com os dados fornecidos – a recta e contém o ponto O, o centro doquadrado [ABCD], e as suas projecções fazem, com o eixo X, os ângulos dados.As arestas laterais do prisma estão contidas em rectas paralelas à recta e, peloque se desenharam imediatamente as rectas suporte das arestas laterais do só-lido. Os vértices do quadrado [A’B’C’D’], da base de maior afastamento do pris-ma, são os pontos de intersecção das rectas suporte das arestas laterais dosólido com o plano ϕ1, o plano da sua base de maior afastamento. Por umaquestão de rigor, tenha em conta que o quadrado [A’B’C’D’] tem necessaria-mente os seus lados paralelos aos lados correspondentes do quadrado [ABCD].A partir das projecções de todos os vértices do prisma, desenharam-se os res-pectivos contornos aparentes. O contorno aparente frontal é[A’2B’2C’2C2D2A2]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não inte-gram o contorno aparente – os vértices B e D’. O vértice D’ pertence à base demaior afastamento (a base [A’B’C’D’] é visível em projecção frontal, por ser a demaior afastamento), pelo é visível, bem como todas as arestas que nele conver-gem. Já o vértice B pertence à base de menor afastamento do prisma (a base[ABCD] é invisível em projecção frontal, por ser a base de menor afastamento),pelo que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. O contor-no aparente horizontal é [A1B1C1C’1B’1A’1]. Em projecção horizontal, existem duas arestas laterais que não integram o con-torno aparente horizontal – as arestas [BB’] e [DD’]. A aresta lateral [BB’] é a aresta de maior cota (pertence à parte visível dosólido), pelo que é visível em projecção horizontal. Já a aresta lateral [DD’] é a aresta de menor cota (pertence à parte invisíveldo sólido), pelo que é invisível em projecção horizontal. As arestas das bases que não integram o contorno aparente são invi-síveis, mas estão ocultas pelas arestas das bases que são visíveis, pelo que não há mais invisibilidades a registar em projec-ção horizontal. As bases são, ambas, invisíveis em projecção horizontal, pois estão contidas em planos projectanteshorizontais.

87

SOLUÇÕES

211.Representou-se o ponto A, pelas suas projecções, e o plano frontal (de frente) ϕ, pelo seutraço horizontal (contendo o ponto A). A verdadeira grandeza do segmento [AB] está noPlano Frontal de Projecção, pois o segmento é paralelo a este, o que nos permitiu determi-nar o ponto B. Construiu-se o triângulo [ABC] em verdadeira grandeza em projecção frontal,e determinou-se o seu centro – o ponto O. Em projecção frontal é possível determinar, ime-diatamente, o quarto vértice do sólido, pois o tetraedro toma a forma aparente de uma pirâ-mide triangular regular, pelo que o seu eixo está contido numa recta ortogonal ao plano dabase, que é uma recta de topo (projectante frontal) – tem-se, então, V2 � O2 (V2 é a projec-ção frontal do quarto vértice do sólido). O problema na projecção do tetraedro é que, ape-sar da sua forma aparente de uma pirâmide triangular regular, não se sabe a sua altura, peloque não é possível localizar o vértice V no espaço pelos raciocínios utilizados na projecçãode pirâmides. Assim sendo, há que ter em conta que, uma vez que se trata de um poliedroregular, todas as suas arestas são iguais, ou seja, têm o mesmo comprimento. Analisandodetalhadamente as arestas em falta (as arestas [AV], [BV] e [CV]), já determinadas em pro-jecção frontal, percebe-se que a aresta [CV] é horizontal (de nível), pelo que se projecta emverdadeira grandeza no Plano Horizontal de Projecção. Assim, em projecção horizontal, de-terminou-se V1, na mesma linha de chamada de V2, e tal que C�1�V�1� = A�C� = A�B� = B�C� . Noteque o comprimento das arestas é 4 cm, que é o comprimento de todos os lados do triângu-lo [ABC] que é uma face do sólido. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os contornos apa-rentes das suas projecções. O contorno aparente frontal é [A2B2C2]. Em projecção frontal, o vértice V é o único que nãointegra o contorno aparente, sendo o vértice de maior afastamento do sólido, pelo que é visível, bem como todas as arestasque nele convergem. Em projecção frontal não há quaisquer invisibilidades. O contorno aparente horizontal é [C1A1V1]. Emprojecção horizontal, as arestas do triângulo [ABC] que não integram o contorno aparente são invisíveis, mas estão ocultas,pelo que não invisibilidades a registar nestas arestas. Já a aresta [BV] é também invisível, pois pertence à parte invisível do só-lido, mas está oculta pela aresta [AV], pelo que, em projecção horizontal, também não há quaisquer invisibilidades a assinalar.

212.Representou-se o ponto A, pelas suas projecções, e o plano frontal (de fren-te) ϕ que contém o quadrado – ϕ representou-se pelo seu traço horizontal(contendo A1). A verdadeira grandeza do segmento [AB] e da amplitude doângulo que o segmento faz com o Plano Horizontal de Projecção está noPlano Frontal de Projecção, pois o segmento é paralelo a este. Determinou-se o ponto B e construiu-se o quadrado [ABCD] em verdadeira grandeza,em projecção frontal. Como a face [ABCD] do sólido é frontal (de frente), asarestas ortogonais ao plano frontal (de frente) estão contidas em rectas detopo (projectantes frontais). Em seguida, representou-se o plano frontal (defrente) ϕ’ que contém a face de maior afastamento do cubo – o quadrado[A’B’C’D’]. A distância entre os dois planos é 5 cm – a medida da aresta docubo. Determinaram-se os vértices do quadrado [A’B’C’D’]. A partir das pro-jecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornosaparentes – o contorno aparente horizontal é [B1C1D1D’1C’1B’1] e o con-torno aparente frontal é [A’2B’2C’2D’2]. Em projecção frontal, a face demaior afastamento é visível e a de menor afastamento é invisível – as ares-tas da face de menor afastamento estão ocultas pelas arestas correspon-dentes da face de maior afastamento. As restantes faces são todasinvisíveis, pois estão contidas em planos projectantes frontais. Assim sendo,desenhou-se a projecção frontal do sólido, na qual não há lugar à repre-sentação de invisibilidades. Em projecção horizontal, existem apenas doisvértices que não integram o contorno aparente horizontal – os vértices A eA’. Estes são invisíveis, pois são os vértices de menor cota do sólido, bemcomo todas as arestas que neles convergem. As arestas [AB], [AD], [A’B’] e[A’D’] dos quadrados [ABCD] e [A’B’C’D’] não integram o contorno aparentee são invisíveis, mas estão ocultas pelos lados daqueles quadrados que in-tegram o contorno aparente, pois as figuras estão contidas em planos pro-jectantes horizontais. A outra aresta que converge nos vértices A e A’ é aaresta [AA’], que é invisível. A aresta [CC’], por ser a aresta de maior cota, évisível.

88

SOLUÇÕES

213.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da pirâmide, em função dos dados (verexercício 207 e respectivo relatório). Para determinar as projecções do ponto P é necessáriodesenhar as projecções de uma geratriz qualquer da superfície lateral do sólido. Para que Pseja visível em ambas as projecções, será necessário que P se situe numa face lateral queseja visível em ambas as projecções. Todas as faces laterais são visíveis em projecção hori-zontal. As faces visíveis em projecção frontal são as faces [ACV] e [BCV] – o ponto P deverásituar-se numa destas faces, pois a face [ABV] é invisível em projecção frontal. Optou-se porse situar o ponto P na face lateral [BCV]. O ponto M é um ponto da aresta [BC] da base. Ageratriz g está contida face lateral [BCV] do sólido e está definida pelos pontos M e V (todasas geratrizes contêm o vértice da pirâmide), sendo visível em ambas as projecções. O pontoP é um ponto qualquer da geratriz g, pelo que satisfaz o pretendido.

214.Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, e oplano horizontal (de nível) que contém a base do sólido, pelo seu traço frontal e contendoos pontos A e B. Em seguida determinaram-se as projecções de todos os vértices do sóli-do (ver relatório do exercício 207). Note que a cota do vértice da pirâmide tem de ser infe-rior à cota do plano da base, para que o vértice seja invisível em projecção horizontal. Apartir das projecções de todos os vértices do sólido desenharam-se os seus contornosaparentes – o contorno aparente horizontal é [A1B1C1] e o contorno aparente frontal é[A2V2B2]. Em projecção horizontal, o único vértice que não integra o contorno aparente éV, que é invisível (por ser o vértice de menor cota), bem como todas as arestas que neleconvergem. Desenhou-se a projecção horizontal da pirâmide, sendo que as arestas late-rais [AV], [BV] e [CV] são invisíveis. Note que a base é visível. Em projecção frontal, exis-te um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C, que é invisível (por ser ovértice de menor afastamento), bem como todas as arestas que nele convergem. As ares-tas [AC] e [BC] da base são invisíveis, mas estão ocultas pela aresta [AB], pelo que não serepresentam as suas invisibilidades. Já a aresta lateral [CV] é invisível em projecção fron-tal. A partir das projecções do sólido, passou-se ao pedido nas alíneas a) e b).a) O segmento [RS] é um segmento horizontal (de nível) – a recta horizontal (de nível) h

tem 4 cm de cota e é a recta suporte do segmento [RS]. Os pontos R e S são os pon-tos de concorrência de h com as arestas [AV] e [BV], respectivamente (a recta h estádefinida por dois pontos – os pontos R e S). A partir dos dois extremos do segmento,desenharam-se as suas projecções, assinalando convenientemente as suas invisibili-dades. O segmento está contido na face lateral [ABV], que é visível em projecção fron-tal e invisível em projecção horizontal. O segmento [RS] é, assim, visível em projecçãofrontal e invisível em projecção horizontal. Note que o segmento [RS] é o lugar geomé-trico dos pontos da face lateral [ABV] que têm 4 cm de cota.

b) Todos os pontos da face lateral [ABV] que têm 4 cm de cota estão contidos no seg-mento de recta [RS] – o ponto T é, assim, o ponto do segmento [RS] que tem 4,5 cmde afastamento. Análise das invisibilidades do ponto T: tal como o segmento [RS], oponto T é visível em projecção frontal e invisível em projecção horizontal.

89

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representou-se o ponto Q, pelas suas projecções, e o plano frontal (de frente) ϕ, pelo seu traço horizontal(contendo o ponto Q). Em seguida, construiu-se o pentágono em verdadeira grandeza, em projecção frontal, de acordo comos dados e desenharam-se as projecções do polígono. O plano frontal (de frente) ϕ1, que contém a base de maior afastamen-to do prisma, está a 6 cm (altura do prisma) do plano ϕ, pelo que o plano ϕ1 tem 7 cm de afastamento. As arestas laterais dosólido, bem como o seu eixo, estão contidas em rectas horizontais (de nível), cujas projecções se desenharam em função doângulo dado. Os vértices da base de maior afastamento do prisma, o pentágono [A’B’C’D’E’], são os pontos de intersecçãodas rectas suportes das arestas laterais com o plano da base de maior afastamento do sólido – o plano ϕ1. Por uma questãode rigor, tenha em conta que o pentágono [A’B’C’D’E’] tem necessariamente os seus lados paralelos aos lados correspon-dentes do pentágono [ABCDE]. A partir das projecções de todos os vértices do prisma, desenharam-se os respectivos con-tornos aparentes. O contorno aparente frontal é [A’2E’2D’2C’2C2B2A2]. Em projecção frontal, existem três vértices que nãointegram o contorno aparente – os vértices B’, D e E. O vértice B’ pertence à base de maior afastamento do sólido (que é visí-vel em projecção frontal), pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. Os vértices D e E pertencem àbase de menor afastamento do sólido (que é invisível em projecção frontal), pelo que são invisíveis, bem como todas as ares-tas que neles convergem. Note que as arestas [CD] (da base) e [DD’] (lateral) são invisíveis, mas estão ocultas pelas arestas[CC’] e [C’D’], respectivamente, que fazem parte do contorno aparente frontal (e, portanto, são visíveis). O contorno aparentehorizontal é [B1A1E1E’1A’1B’1]. Em projecção horizontal, existem quatro vértices que não integram o contorno aparente – osvértices C, D, C’ e D’. Estes são invisíveis, por serem os vértices de menor cota do sólido, bem como todas as arestas queneles convergem. As arestas das bases, [BC], [CD], [DE], [B’C’], [C’D’] e [D’E’] são invisíveis, mas estão ocultas pelas arestasdo contorno aparente, por estarem contidas em planos projectantes horizontais. Já as arestas laterais [CC’] e [DD’] são invisí-veis e não estão ocultas, pelo há que representar as suas invisibilidades. Por fim, a aresta lateral [AA’] é visível, por ser a ares-ta lateral de maior cota. Depois desenhadas as projecções do sólido, efectuaram-se os traçados necessários à determinaçãodo ponto P, que é um ponto da face lateral [ABB’A’] (a única face lateral do prisma que é visível em ambas as projecções). Emprimeiro lugar desenharam-se as projecções de uma recta f, frontal (de frente), com 5 cm de afastamento e contida no planoque contém a face [BAA’B’]. A recta f está definida pelos pontos M e N, respectivamente os seus pontos de concorrência comas arestas [BB’] e [AA’]. O segmento de recta [MN] é o lugar geométrico dos pontos da face lateral [ABB’A’] que têm 5 cm deafastamento. O ponto P é o ponto do segmento [MN] que tem 6 cm de cota.

215.

90

SOLUÇÕES

216.Em primeiro lugar representou-se o plano de perfil π, pelos seus traços, e oponto A, pelas suas projecções, pertencente a π. Em seguida desenharam-se as projecções do quadrado [ABCD]. A diagonal [AC] é de topo, pelo quea diagonal [BD] é vertical. A diagonal [AC] projecta-se em verdadeira gran-deza no Plano Horizontal de Projecção, pois é paralela a este. A diagonal[BD] projecta-se em verdadeira grandeza no Plano Frontal de Projecção,pois é paralela a este. O ponto O é o ponto médio das duas diagonais – é oponto de concorrência das duas diagonais. A altura do prisma é 8 cm, peloque π1, o plano de perfil que contém a base mais à direita, está a 8 cm doplano π. Uma vez que se trata de um prisma regular, as arestas laterais dosólido e o seu eixo são ortogonais aos planos das bases – as arestas late-rais estão contidas em rectas fronto-horizontais. Os vértices do quadrado[A’B’C’D’], a base mais à direita, são os pontos de intersecção das rectassuporte das arestas laterais com o plano π1. O contorno aparente frontal é[B2B’2C’2D’2D2C2B2]. Em projecção frontal, existem dois vértices que nãointegram o contorno aparente – os vértices A e A’. Estes são invisíveis, bemcomo todas as arestas que neles convergem. As arestas [AB], [AD], [A’B’] e[A’D’], das bases, são invisíveis mas estão ocultas pelas arestas das basesque integram os contorno aparente, em virtude de as bases estarem conti-das em planos projectantes frontais. A aresta lateral [AA’] é invisível, masestá oculta pela aresta lateral [CC’], que é visível. Em projecção frontal nãohá invisibilidades a representar. O contorno aparente horizontal é[A1A’1B’1C’1C1B1]. Em projecção horizontal, existem também dois vérticesque não integram o contorno aparente – os vértices D e D’. Estes são invisíveis, por serem os vértices de menor cota do sóli-do, bem como todas as arestas que neles convergem. As arestas [AD], [CD], [A’D’] e [C’D’], das bases, são invisíveis, mas es-tão ocultas pelas arestas das bases que integram o contorno aparente, em virtude de as bases estarem contidas em planosprojectantes horizontais. A aresta lateral [DD’] é invisível, por ser a aresta de menor cota, mas está oculta pela aresta [BB’],que é visível, Em projecção horizontal também não há invisibilidades a registar. A partir das projecções do prisma, efectuaram-se os traçados necessários à determinação das projecções do ponto P. As faces laterais [AA’B’B] e [AA’D’D] são as faces in-visíveis em projecção frontal. [AA’D’D] e [CC’D’D’] são as faces invisíveis em projecção horizontal. [AA’D’D] é, assim, a faceinvisível em ambas as projecções, pelo que o ponto P terá de pertencer a esta face (que está contida num plano de rampa).Desenharam-se as projecções de uma recta r, contida no plano que contém a face [AA’D’D]. A recta r está definida pelospontos M e N que são os pontos de concorrência de r com as arestas [DD’] e [AA’], respectivamente. O ponto P é o ponto dosegmento [MN] que tem 3 cm de afastamento.

217.traços do plano que contém a face [BCV], considerou-se que o plano estádefinido por três pontos não colineares – os pontos B, C e V, precisamente.Assim, há que conduzir, por estes pontos, duas rectas auxiliares do plano(ver exercício 89). Os pontos B e C têm a mesma cota, pelo que estão con-tidos numa recta horizontal (de nível) do plano – por B e C conduziu-se umarecta h, horizontal (de nível), que está definida por dois pontos, e determi-nou-se o seu traço frontal – F. Por V conduziu-se uma outra recta horizontal(de nível), h’, paralela a h (rectas horizontais de um plano são paralelas en-tre si) – a recta h’ está definida por um ponto (o ponto V) e uma direcção (adirecção de h). Determinou-se o traço frontal de h’ – F’. O traço frontal doplano, fαα está definido por F e F’. O traço horizontal do plano hαα é concor-rente com fαα num ponto do eixo X e é paralelo às rectas h e h’ (rectas hori-zontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal doplano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula). Note que sepoderia ter resolvido o exercício com outras rectas do plano, pois pelos trêspontos é possível passar diversas rectas do plano. A escolha das rectasusadas teve a ver com o facto de estas permitirem um nível de rigor bastan-te razoável.

91

SOLUÇÕES

218.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da pirâmi-de, em função dos dados (ver exercício 209 e respectivo re-latório). Sobre a determinação dos traços do plano, verrelatório do exercício anterior. As rectas auxiliares a que serecorreu foram duas rectas horizontais (de nível) – uma rectah, que passa por D e D, e uma recta h’, que passa por V e éparalela a h.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do prisma,em função dos dados (ver exercício 215 e respectivo relató-rio). Sobre a determinação dos traços do plano, ver relatóriodo exercício 217, com a diferença que, nesta situação, te-mos quatro pontos do plano. Recorreu-se a uma recta auxi-liar frontal (de frente) f, que passa por D’ e E’ edeterminou-se o seu traço horizontal – H. Em seguida reco-reu-se a uma recta auxiliar horizontal (de nível) h, que passapor D e D’, e determinou-se o seu traço frontal – F. As duasrectas são concorrentes no ponto D. O traço frontal do pla-no, f?, passa por F e é paralelo à recta f (rectas frontais deum plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontaldo plano, que é uma recta frontal do plano com afastamentonulo). O traço horizontal do plano, hαα, passa por H, é concor-rente com fαα num ponto do eixo X e é paralelo à recta h.Note que se poderia ter recorrido a outras rectas do plano,pois pelos quatro pontos é possível passar uma quantidadeconsiderável de rectas do plano. A escolha das rectas usa-das teve a ver com o facto de estas permitirem um nível derigor bastante razoável.

219.

92

SOLUÇÕES

220.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do prisma, emfunção dos dados (ver exercício 216 e respectivo relatório). O pla-no que contém a face [AA’D’D] do prisma é necessariamente umplano de rampa, pois contém rectas fronto-horizontais e não éprojectante. Note que os únicos planos que contêm rectas fronto-horizontais são os planos de rampa (passantes ou não), os planoshorizontais (de nível) e os planos frontais (de frente). As duas últi-mas hipóteses estão postas de lado, pois o plano não é projectan-te – trata-se, pois, de um plano de rampa. Recorreu-se a umarecta oblíqua qualquer do plano – a recta r. Esta está definida pordois pontos – os pontos de concorrência com as arestas [AA’] e[DD’] (ver relatório do exercício 216). Determinaram-se os traçoshorizontal (H) e frontal (F) da recta r e por aqueles conduziram-seos traços homónimos do plano, que são rectas fronto-horizontais(são paralelos às arestas laterais [AA’] e [DD’]).

Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, e o traço horizontal do plano ϕ (o plano da base do sóli-do), contendo o ponto O. Em seguida, com o recurso ao compasso, fazendo centro em O2 e com 3 cm de raio, desenhou-se aprojecção frontal da circunferência que delimita a base, em verdadeira grandeza, e determinou-se a sua projecção horizontal(ver exercício 133). O cone é de revolução, pelo que o seu eixo é ortogonal ao plano da base – o eixo do cone está contidonuma recta de topo. A altura do cone é a distância do seu vértice ao plano da base, medida ortogonalmente a este. Como oeixo é ortogonal ao plano da base, a altura do cone pode medir-se sobre a recta suporte do eixo. A altura do cone é O�V� e pro-jecta-se em verdadeira grandeza no Plano Horizontal de Projecção, pois o segmento [OV] é paralelo ao Plano Horizontal deProjecção. V está, assim, a 7 cm do plano ϕ, pelo que V tem 8 cm de afastamento. A partir das projecções da base do cone edo seu vértice, desenharam-se os respectivos contornos aparentes. O contorno aparente frontal é a própria circunferênciaque delimita a base. O vértice do cone é visível em projecção frontal, pois tem afastamento superior à base. Uma vez que umcone não tem arestas laterais e não há nenhuma geratriz da sua superfície lateral que se distinga das outras, a projecçãofrontal do cone reduz-se, assim, a um círculo e um ponto. O contorno aparente horizontal do cone integra as geratrizes quecontêm os pontos A e B (os pontos de maior e menor abcissa da base) e a semicircunferência da base cujos extremos inferio-res são precisamente A e B. As geratrizes [AV] e [BV] são chamadas de geratrizes do contorno aparente horizontal. Umavez que não há arestas laterais num cone e que não há mais nenhuma geratriz da superfície lateral do sólido que se distinga(para além das do contorno aparente), a projecção horizontal do cone reduz-se, assim, a um triângulo. Tenha em conta quenãoé necessária a identificação dos pontos da base que correspondem às geratrizes do contorno aparente horizontal.

221.

93

SOLUÇÕES

222.Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, e o traçofrontal do plano ν (o plano da base superior do sólido), contendo o ponto O. Emseguida, com o recurso ao compasso, fazendo centro em O1 e com 3 cm de raio,desenhou-se a projecção horizontal da circunferência que delimita a base, emverdadeira grandeza, e determinou-se a sua projecção frontal. Em seguida repre-sentou-se o plano ν1, o plano da base inferior do sólido, que está 8 cm (a alturado sólido) abaixo do plano ν (a altura do cilindro é a distância entre os planos dasduas bases, medida ortogonalmente àqueles) – o plano ν1 tem 1 cm de cota. Tra-ta-se de um cilindro de revolução, pelo que as suas geratrizes, tal como o seueixo, são ortogonais aos planos das bases – estão contidas em rectas verticais. Oponto Q é o centro da base inferior e é o ponto de intersecção da recta suportedo eixo do cilindro com o plano ν1. Desenharam-se as duas projecções da baseinferior (as projecções horizontais das duas bases estão coincidentes). O contor-no aparente horizontal é a própria circunferência que delimita a base superior(que é visível, pois a base inferior é invisível). Uma vez que um cilindro não temarestas laterais e não há nenhuma geratriz da sua superfície lateral que se distingadas outras em projecção horizontal, a projecção horizontal do cilindro reduz-se,assim, a um círculo. O contorno aparente frontal do cilindro integra as geratrizesque contêm os pontos A e A’, B e B’ (os pontos de maior e menor abcissa dasduas bases) e as semicircunferências de maior afastamento das bases cujos ex-tremos são precisamente A e B (da base superior) e A’ e B’ (da base inferior). Asgeratrizes [AA’] e [BB’] são chamadas de geratrizes do contorno aparente fron-tal. Uma vez que não há arestas laterais num cilindro e que não há mais nenhumageratriz da superfície lateral do sólido que se distinga (para além das do contornoaparente), a projecção frontal do cilindro reduz-se, assim, a um rectângulo. Te-nha em conta que não é necessária a identificação dos pontos das bases quecorrespondem às geratrizes do contorno aparente frontal.

223.a) Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e V, pelas respectivas

projecções, e o traço horizontal do plano ϕ (o plano da base do sólido),contendo o ponto O. Em seguida, com o recurso ao compasso, fazendocentro em O2 e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a projecção frontal dacircunferência que delimita a base, em verdadeira grandeza, e determi-nou-se a sua projecção horizontal. A partir das projecções da base e dovértice do sólido desenharam-se os seus contornos aparentes. O contor-no aparente horizontal do cone integra as geratrizes [AV] e [BV] (A e Bsão os pontos de maior e menor abcissa da base) e a semicircunferênciada base cujos extremos inferiores são precisamente A e B. A projecçãohorizontal do cone é o triângulo [A1V1B1]. Para determinar o contornoaparente frontal do sólido foi necessário, em primeiro lugar, determinarrigorosamente as rectas tangentes à circunferência que delimita a baseque passam por V2, através do traçado das rectas tangentes a uma cir-cunferência que passam por um ponto exterior – os pontos C e D são, as-sim, os pontos de tangência. As geratrizes do contorno aparentefrontal têm extremos em C e D – são as geratrizes [CV] e [DV]. O contor-no aparente frontal é, assim, [CVDC] – note que o arco que integra ocontorno aparente frontal é o arco maior CD. Em projecção frontal, o arcomenor CD é invisível, pois a base do sólido é invisível. Sublinha-se quenão é necessária a representação das geratrizes [AV] e [BV] em projec-ção frontal (por não haver nada, em projecção frontal, que distinga estasgeratrizes das restantes) e, pelo mesmo motivo para a projecção horizon-tal, não é necessária, em projecção horizontal, a representação das geratrizes [CV] e [DV].

b) Como se referiu na alínea anterior, as geratrizes do contorno aparente horizontal são [AV] e [BV]. Ao contrário da alínea ante-rior, nesta alínea são expressamente pedidas as duas projecções daquelas geratrizes, sendo esse o motivo por que aquelasse apresentam. Em projecção frontal, a geratriz [AV] é invisível (situa-se na parte invisível da superfície lateral do cone, em pro-jecção frontal) e a geratriz [BV] é visível (situa-se na parte visível da superfície lateral do cone, em projecção frontal).

c) Como se referiu na alínea a), as geratrizes do contorno aparente frontal são [CV] e [DV]. Ao contrário da alínea a), nesta alíneasão expressamente pedidas as duas projecções daquelas geratrizes, sendo esse o motivo por que aquelas se apresentam.Em projecção horizontal, a geratriz [DV] é invisível (situa-se na parte invisível da superfície lateral do cone, em projecção hori-zontal) e a geratriz [CV] é visível (situa-se na parte visível da superfície lateral do cone, em projecção horizontal).

94

SOLUÇÕES

a) Em primeiro lugar representou-se o ponto Q, pelas suas projecções, e o traço horizontal do plano ϕ (o plano da base demenor afastamento do sólido), contendo o ponto Q. Em seguida, com o recurso ao compasso, fazendo centro em Q2 ecom 3 cm de raio, desenhou-se a projecção frontal da circunferência que delimita a base, em verdadeira grandeza, e deter-minou-se a sua projecção horizontal. Em seguida representou-se o plano ϕ1, o plano da base de maior afastamento do só-lido, que está a 6 cm (a altura do sólido) do plano ϕ (a altura do cilindro é a distância entre os planos das duas bases,medida ortogonalmente àqueles) – o plano ϕ1 tem 8 cm de afastamento. Trata-se de um cilindro oblíquo – desenharam-seas projecções da recta r, a recta suporte do eixo do sólido, de acordo com os ângulos das suas projecções dados noenunciado (a recta r passa por Q). O ponto Q’ é o centro da base de maior afastamento e é o ponto de intersecção da rec-ta r com o plano ϕ1. Desenharam-se as duas projecções da base de maior afastamento. O contorno aparente horizontaldo cilindro integra as geratrizes que contêm os pontos A e A’, B e B’ (os pontos de maior e menor abcissa das duas bases)e as semicircunferências superiores das bases, cujos extremos são precisamente A e B (da base de menor afastamento) eA’ e B’ (da base de maior afastamento). As geratrizes [AA’] e [BB’] são as geratrizes do contorno aparente horizontal. Aprojecção horizontal do cilindro reduz-se ao paralelogramo [A1B1B’1A’1]. Para determinar o contorno aparente frontal dosólido foi necessário, em primeiro lugar, determinar rigorosamente as rectas tangentes às circunferências que delimitamas bases que são paralelas ao eixo do sólido (à recta r), através do traçado das rectas tangentes a uma circunferência para-lela a uma recta dada – os pontos C e C’, D e D’ são, assim, os pontos de tangência às duas bases. As geratrizes do con-torno aparente frontal são as geratrizes [CC’] e [DD’]. O contorno aparente frontal é, assim, [CBDD’A’C’]. Em projecçãofrontal, o arco CAD é invisível, pois a base de menor afastamento do sólido é invisível. Já o arco C’B’D’ é visível, pois abase de maior afastamento do cilindro é visível. Sublinha-se que não é necessária a representação das geratrizes [AA’] e[BB’] em projecção frontal (por não haver nada, em projecção frontal, que distinga estas geratrizes das restantes) e, pelomesmo motivo para a projecção horizontal, não é necessária, em projecção horizontal, a representação das geratrizes[CC’] e [DD’].

b) Como se referiu na alínea anterior, as geratrizes do contorno aparente horizontal são [AA’] e [BB’]. Ao contrário da alíneaanterior, nesta alínea são expressamente pedidas as duas projecções daquelas geratrizes, sendo esse o motivo por queaquelas se apresentam. Em projecção frontal, a geratriz [AA’] é invisível e a geratriz [BB’] é visível – a geratriz [AA’] situa-sena parte invisível (em projecção frontal) da superfície lateral do cilindro e a geratriz [BB’] situa-se na parte visível (em projec-ção frontal) da superfície lateral do cilindro.

c) Como se referiu na alínea a), as geratrizes do contorno aparente frontal são [CC’ e [DD’]. Ao contrário da alínea a), nestaalínea são expressamente pedidas as duas projecções daquelas geratrizes, sendo esse o motivo por que aquelas se apre-sentam. Em projecção horizontal, a geratriz [CC’] é invisível e a geratriz [DD’] é visível – a geratriz [CC’] situa-se na parte in-visível (em projecção horizontal) da superfície lateral do cilindro e a geratriz [DD’] situa-se na parte visível (em projecçãohorizontal) da superfície lateral do cilindro.

224.

95

SOLUÇÕES

a) Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do eixo do cone e do seu vértice. O cone é recto e o eixo é vertical, peloque a base existe num plano ortogonal ao eixo – a base está contida num plano horizontal (de nível). Uma vez que a base éinvisível em projecção horizontal, o plano da base tem cota inferior ao vértice V. O cone tem 7 cm de altura e o vértice tem8 cm de cota, pelo que o plano ν, o plano que contém a base, tem 1 cm de cota. Determinou-se em seguida o ponto de in-tersecção do eixo do sólido com o plano ν – o ponto O, que é o centro da base. Em seguida, com o compasso, fazendocentro em O1, desenhou-se a circunferência que delimita a base, em projecção horizontal, em verdadeira grandeza, tan-gente ao eixo X (a base é tangente ao Plano Frontal de Projecção). A partir das projecções da base e do vértice do sólido,desenharam-se as duas projecções do cone (ver exercício 221).

b) A geratriz ficou definida a partir do ângulo que a sua projecção horizontal faz com o eixo X – g1 passa por V1, fazendo oângulo pretendido com o eixo X. O ponto A é o ponto da geratriz que se situa na base do cone – a geratriz g fica definidapor dois pontos (A e V). O segmento [AV] é invisível em projecção frontal, pois está na parte invisível (em projecção frontal)da superfície lateral do sólido.

c) O lugar geométrico pretendido é uma circunferência da superfície do cone – é a figura resultante da intersecção da superfí-cie lateral do sólido com um plano horizontal (de nível) ν1, com 5 cm de cota. O centro dessa circunferência é o ponto Q (oponto de intersecção do eixo com o plano ν1) e o seu raio é Q�B�, sendo B o ponto de intersecção do plano ν1 com a gera-triz mais à direita do contorno aparente frontal. Determinado o centro e o raio da circunferência, desenharam-se as projec-ções do lugar geométrico pedido. Note que a circunferência é visível em projecção horizontal, na sua totalidade.

225.

96

SOLUÇÕES

a) Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e V, pelas respectivas projecções, e o traço frontal do plano ν (o plano dabase do sólido), contendo o ponto O. Em seguida, com o recurso ao compasso, fazendo centro em O1 e com 3,5 cm deraio, desenhou-se a projecção horizontal da circunferência que delimita a base, em verdadeira grandeza, e determinou-se asua projecção frontal (que é um segmento de recta sobre fνν). A partir das projecções da base e do vértice do sólido dese-nharam-se os seus contornos aparentes (ver exercício 223 e respectivo relatório). Tenha em conta que as geratrizes docontorno aparente horizontal foram determinadas rigorosamente a partir do traçado das rectas tangentes a uma circunfe-rência que passam por um ponto exterior – são as rectas tangentes à projecção horizontal da base que passam por V1.

b) Como a base do cone é horizontal (de nível), foi necessário determinar, previamente, o lugar geométrico dos pontos da su-perfície lateral do cone que têm 4 cm de cota, que é uma circunferência resultante da intersecção da superfície lateral dosólido com um plano horizontal (de nível) ν1, com 4 cm de cota. Essa circunferência tem centro no ponto O (que é o pontode intersecção do eixo com ν1) e o seu raio é O�A�, sendo A o ponto de intersecção do plano ν1 com a geratriz mais à es-querda do contorno aparente frontal do sólido. Tenha em consideração que, na representação do cone em Dupla Projec-ção Ortogonal (efectuado na alínea anterior) não foi necessária a representação da projecção horizontal da geratriz mais àesquerda do contorno aparente frontal. De facto, e de acordo com o exposto no relatório do exercício 223, as geratrizes docontorno aparente frontal do cone não se distinguem, em projecção horizontal, das restantes geratrizes, pelo que não exis-te a necessidade de as representar em projecção horizontal. No entanto, para determinar o ponto A (o ponto em que o pla-no ν1 corta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal), foi necessário determinar, previamente, aprojecção horizontal dessa geratriz – é a geratriz que contém o ponto mais à esquerda da base do sólido (ver alínea b) dorelatório do exercício 223). Após se desenharem as duas projecções da circunferência que é o lugar geométrico dos pontosda superfície lateral do cone que têm 4 cm de cota, determinaram-se as projecções do ponto P. O ponto P é o ponto des-sa circunferência que tem 1 cm de afastamento e é visível em projecção horizontal (como é expressamente pedido noenunciado). Note que existem dois pontos da circunferência com 1 cm de afastamento – das duas soluções possíveis, P éo ponto mais à esquerda, pois o ponto mais à direita é invisível em projecção horizontal. As projecções do ponto P estãosobre as projecções homónimas da circunferência determinada previamente.

226.

97

SOLUÇÕES

a) Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e Q, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida,com o recurso ao compasso, fazendo centro em Q1, desenhou-se a projecção horizontal da base superior do cilindro, tan-gente ao eixo X (a base superior é tangente ao Plano Frontal de Projecção, pelo que, em projecção horizontal, é tangenteao eixo X). As bases do cilindro têm, assim, 3 cm de raio, que é o afastamento do ponto Q. Assim, com o compasso, fa-zendo centro em O1 e com 3 cm de raio, desenhou-se a projecção horizontal da base inferior do sólido. Em seguida, sendoconhecida a direcção das geratrizes do cilindro (são paralelas ao eixo do sólido, que passa pelos pontos O e Q), determi-naram-se rigorosamente as geratrizes do contorno aparente horizontal, a partir do traçado das rectas tangentes a uma cir-cunferência que são paralelas a uma recta dada – são as rectas tangentes às duas bases que são paralelas ao segmento[O1Q1]. Determinadas aquelas geratrizes, concluiu-se a construção da projecção horizontal do cilindro, atendendo a que abase superior é visível na sua totalidade (é a base de maior cota) e que a base inferior é invisível na sua totalidade (parte docontorno da base integra o contorno aparente horizontal do sólido, mas a outra parte é invisível, pois está oculta pelo sóli-do). A projecção frontal do cilindro é um paralelogramo, em que dois dos seus lados são as projecções frontais das duasbases do sólido e os outros dois lados são as projecções frontais das duas geratrizes do contorno aparente frontal (quesão paralelas a [O2Q2]).

b) Para determinar as projecções da geratriz g determinou-se, previamente, um ponto de uma base (a base inferior) que fossevisível em ambas as projecções – o ponto M. Pelas projecções do ponto M conduziram-se as projecções homónimas dageratriz g, paralelas às projecções correspondentes do eixo e das geratrizes dos contornos aparentes – a geratriz g estádefinida por um ponto e uma direcção. O ponto M’ é o ponto da base superior que pertence à geratriz g, que é uma gera-triz que satisfaz o pedido, pois é visível em ambas as projecções.

c) Como as bases do cilindro são horizontais (de nível), o lugar geométrico pretendido é uma circunferência da superfície late-ral do cilindro – é a figura resultante da intersecção da superfície lateral do sólido com um plano horizontal (de nível) com 4cm de cota (o plano ν2). O centro dessa circunferência é o ponto C, que é o ponto em que o plano ν2 corta o eixo do cilin-dro. O raio dessa circunferência é 3 cm, pois é o raio do cilindro. No entanto, optou-se por determinar geometricamente oraio dessa circunferência. Assim, o raio dessa circunferência é C�A�, sendo A o ponto em que o plano ν2 corta a geratrizmais à esquerda do contorno aparente frontal do sólido. Tenha em consideração que, na representação do cilindro em Du-pla Projecção Ortogonal (efectuado na alínea a) deste exercício) não foi necessária a representação da projecção horizontalda geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal. De facto, e de acordo com o exposto no relatório do exercício224, as geratrizes do contorno aparente frontal do cilindro não se distinguem, em projecção horizontal, das restantes gera-trizes, pelo que não existe a necessidade de as representar em projecção horizontal. No entanto, para determinar o pontoA (o ponto em que o plano ν2 corta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal), foi necessário determinar,previamente, a projecção horizontal dessa geratriz – é a geratriz que contém os pontos mais à esquerda das duas bases dosólido (ver alínea c) do relatório do exercício 224). A partir do centro e do raio da circunferência (o lugar geométrico pedi-do), desenharam-se as suas projecções. Tenha em conta que essa circunferência (o lugar geométrico pretendido) é tangen-te às geratrizes do contorno aparente horizontal, sendo a partir daí que se estabelecem as invisibilidades da figura. Nessesentido, recorde que as geratrizes do contorno aparente (horizontal ou frontal, consoante o caso) separam fisicamente aparte visível do sólido da sua parte invisível. Por esse facto é que é a partir dos pontos de tangência às geratrizes do con-torno aparente horizontal que se observam as invisibilidades da figura pedida (em projecção horizontal).

227.

98

SOLUÇÕES

228.Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dosdados. As duas projecções da esfera são círculos com 3 cm de raio e centros nas res-pectivas projecções do centro da esfera. Assim, a projecção horizontal da esfera é aprópria projecção horizontal do seu círculo máximo horizontal (de nível) – é um círculocom 3 cm de raio e centro em O1. Por outro lado, a projecção frontal da esfera é aprópria projecção frontal do seu círculo máximo frontal (de frente) – é um círculo com 3cm de raio e centro em O2. Tenha em conta que os pontos de maior e de menor abcis-sa do círculo máximo frontal da esfera são, também, os pontos de maior e de menorabcissa do círculo máximo horizontal da esfera, o que se assinalou com as respectivaslinhas de chamada. O círculo máximo de perfil da esfera é um círculo contido num pla-no de perfil que contém o centro da esfera. Como um plano de perfil é duplamenteprojectante, as duas projecções desse círculo reduzem-se a segmentos de recta – aprojecção horizontal do círculo máximo de perfil corresponde à projecção horizontaldo diâmetro de topo da esfera e a projecção frontal do círculo máximo de perfil cor-responde à projecção frontal do diâmetro vertical da esfera (ver exercício 141 e res-pectivo relatório).

a) Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados. As duas projecções da esferasão círculos com 3 cm de raio e centros nas respectivas projecções do centro da esfera. Assim, a projecção horizontal daesfera é a própria projecção horizontal do seu círculo máximo horizontal (de nível) – é um círculo com 3 cm de raio e centroem O1. Por outro lado, a projecção frontal da esfera é a própria projecção frontal do seu círculo máximo frontal (de frente) –é um círculo com 3 cm de raio e centro em O2. Tenha em conta que os pontos de maior e de menor abcissa do círculo má-ximo frontal da esfera são, também, os pontos de maior e de menor abcissa do círculo máximo horizontal da esfera, o quese assinalou com as respectivas linhas de chamada.

b) Para responder ao pedido e necessário, em primeiro lugar, determinar o lugar geométrico dos pontos da superfície esféricacom 6 cm de cota ou o lugar geométrico dos pontos da superfície esférica com 2 cm de afastamento. Optou-se pela pri-meira hipótese – o lugar geométrico dos pontos da esfera com 6 cm de cota é a figura resultante da intersecção da superfí-cie esférica com um plano horizontal (de nível) ν, com 6 cm de cota. Essa figura é uma circunferência da superfície esférica,tem centro no ponto O (que é o ponto de intersecção do plano ν com o diâmetro vertical da esfera) e o seu raio é O�A�, sen-do A um dos pontos em que o plano ν corta o círculo máximo frontal da esfera – tenha em conta que a projecção horizon-tal do círculo máximo frontal da esfera corresponde, afinal à projecção horizontal do diâmetro fronto-horizontal da esfera. Apartir do centro e do raio, desenhou-se a circunferência (que corresponde ao lugar geométrico pretendido). O ponto P é umponto desta circunferência com 2 cm de afastamento. Existem duas soluções, pois há dois pontos nessa circunferênciacom 2 cm de afastamento – O ponto P é o ponto mais à direita (é pedido o ponto com a abcissa mínima).

229.

99

SOLUÇÕES

230.E primeiro lugar, representaram-se os pontos A e Q, pelas respectivas projec-ções, em função dos dados. E seguida efectuaram-se os traçados necessáriosà construção das projecções dos dois sólidos. O quadrado [ABCD] está conti-do no Plano Horizontal de Projecção, pelo que todos os seus vértices têm cotanula. Por outro lado, atendendo a que o lado [AB] é fronto-horizontal e mede 4cm, determinaram-se imediatamente as projecções do segmento [AB] (aten-dendo a que A se situa à esquerda de B). Sendo dado, no enunciado, que olado [AB] é uma aresta da face de menor afastamento do cubo, sabe-se queos vértices C e D, do quadrado, têm necessariamente afastamento superior aA e a B, o que nos permitiu concluir a construção das projecções do quadrado[ABCD] e, em seguida, as projecções do cubo. A partir dos dados sobre ocone de revolução, desenharam-se s suas projecções – ver exercício 221 erespectivo relatório. O enunciado refere expressamente que os sólidos não seinterpenetram, mas que se ocultam. Analisando detalhadamente esta questão,observa-se que, em projecção horizontal, o cone oculta parcialmente o cubo,uma vez que o sólido que tem maior cota é o cone. Por outro lado, em projec-ção frontal é o cubo quem oculta parcialmente o cone, uma vez que o sólidocom maior afastamento é o cubo. A partir destas observações, representaram-se as invisibilidades referidas a traço interrompido, como é convencional.

a) Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e C, pelas respectivas pro-jecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à construção dasprojecções do quadrado [ABCD] e da pirâmide, a partir dos restantes da-dos (a altura do sólido). Atendendo a que a base é visível em projecção ho-rizontal (como é expressamente referido no enunciado), o vértice dapirâmide terá de ser invisível, pelo que terá de ter cota inferior à base. Ovértice da pirâmide tem 1 cm de cota, pois a pirâmide tem 6 cm de altura ea base está contida num plano horizontal (de nível) 7 cm de cota. O contor-no aparente horizontal é a projecção horizontal do próprio quadrado dabase – é o quadrado [A1B1C1D1]. Em projecção horizontal, existe um únicovértice que não integra o contorno aparente horizontal – o vértice V, que éinvisível em projecção horizontal, bem como todas as arestas que nele con-vergem, por ser o vértice de menor cota. O contorno aparente frontal é opolígono [B2V2D2A2]. O único vértice que não integra o contorno aparentefrontal é o vértice C, que é invisível em projecção frontal, bem como todasas arestas que nele convergem. Nesse sentido, a aresta lateral [CV] é invisí-vel em projecção frontal. Já as arestas [BC] e [CD] da base, que são igual-mente invisíveis em projecção frontal, estão ocultas pelas arestas [AB] e[BC] da base, pelo que não há invisibilidades na representação daquelasarestas. A aresta lateral [AV] é visível, pois A é o vértice de maior afasta-mento do sólido (todas as arestas que convergem no ponto A são visíveis).

b) Sobre a determinação dos traços do plano que contém a face lateral [ABV],ver exercício 217 e respectivo relatório. Recorreu-se a duas rectas do planoda face [ABV] – a recta h, horizontal (de nível), que passa por A e por B

(está definida por dois pontos) e a recta h’, paralela à recta h, que passa por V (está definida por um ponto e uma direc-ção). Determinaram-se os traços frontais das rectas h e h’ – F e F’, respectivamente. O traço frontal do plano, fαα, passa porF2 e por F’2 (está definido por dois pontos). O traço horizontal do plano, hαα, é concorrente com fαα no eixo X e é paralelo àsrectas h e h’, pois rectas horizontais (de nível) de um plano são paralelas entre si e são paralelas ao traço horizontal do pla-no, que é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula – hαα está, assim, definido por um ponto e uma direcção.

c) Em primeiro lugar determinaram-se as projecções de uma geratriz g, qualquer, da superfície piramidal que limita lateral-mente a pirâmide e que esteja contida na face [CDV] do sólido – a geratriz g está definida por dois pontos (V e M). O pontoV é o vértice da pirâmide e o ponto M é um ponto qualquer da aresta [CD] da base. O ponto P é um ponto qualquer da ge-ratriz g, situado entre M e V, para que esteja contido na face lateral do sólido (a parte da geratriz g que pertence efectiva-mente à face lateral [CDV] da pirâmide é o segmento [MV]).

231.

100

SOLUÇÕES

232.a) Em primeiro lugar representaram-se o ponto V e a recta suporte do eixo

do cone, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em segui-da representou-se o plano frontal (de frente) ϕ, que contém a base docone, pelo seu traço horizontal – o plano ϕ tem 7 cm de afastamento,pois o vértice tem 1 cm de afastamento e o cone tem 6 cm de altura (1 +6 = 7). Uma vez que o cone se situa no espaço do 1o Diedro, a base docone não pode ter afastamento negativo. O centro da base é o ponto deintersecção da recta suporte do eixo com o plano ϕ – o ponto O. Este foideterminado através da intersecção entre uma recta não projectante (arecta suporte do eixo do sólido) e um plano projectante horizontal (o pla-no ϕ). Em seguida desenhou-se a circunferência que delimita a base docone em projecção frontal, em verdadeira grandeza, com centro em O2 ecom 3 cm de raio, e desenharam-se as projecções do cone (ver exercício223 e respectivo relatório). A projecção horizontal do cone reduz-se a umtriângulo. As geratrizes o contorno aparente frontal do cone foram de-terminadas pelo processo rigoroso para a determinação das rectas tan-gentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior – asrectas que são tangentes à projecção frontal da base e que passam porV2.. Note que, nesta situação, a base do sólido é visível (tem afastamentosuperior ao vértice do sólido), pelo que em nenhuma das projecções docone há lugar à representação de invisibilidades.

b) Como a base está contida num plano frontal (de frente), o lugar geométri-co pretendido é a figura da secção produzida na superfície lateral dosólido por um plano frontal (de frente) ϕ1, com 4 cm de afastamento –essa figura é uma circunferência da superfície lateral do cone, contidano plano ϕ1. O centro dessa circunferência é o ponto Q (que é o ponto de intersecção do plano ϕ1 com o eixo do cone) e oseu raio é O�A�, sendo A o ponto em que o plano ϕ1 corta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal do só-lido. Tenha em conta que apenas se tinha a projecção horizontal desta geratriz – para a determinação do ponto A foi ne-cessário, antes de mais, determinar a projecção frontal desta geratriz e só depois foi possível determinar a projecçãofrontal do ponto A (A2), sobre a projecção frontal da geratriz. Em seguida, com o compasso, fazendo centro em Q2 e comraio até A2, desenhou-se a projecção frontal da circunferência, em verdadeira grandeza – a projecção horizontal reduz-se aum segmento de recta. Por fim representaram-se as invisibilidades da figura pedida, com o traçado convencional. Noteque as invisibilidades da figura existem a partir dos pontos em que a circunferência é tangente às geratrizes do contornoaparente frontal (ver alínea c) do relatório do exercício 227).

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e V, pelas respectivas pro-jecções, e conduziu-se o traço horizontal do plano frontal (de frente) ϕ quecontém a base do sólido – hϕϕ passa por A1, pois A é um vértice da base e oplano ϕ é projectante horizontal. Atendendo a que se trata de uma pirâmi-de regular, o seu eixo está contido numa recta ortogonal ao plano ϕ, ouseja, uma recta de topo (projectante frontal). Assim sendo, tem-se O2 � V2,sendo O o centro da circunferência circunscrita ao quadrado da base. Oponto O é um ponto da base, pelo que pertence ao plano ϕ – O1, a projec-ção horizontal do ponto O, situa-se sobre hϕϕ. A partir das projecções doponto O desenhou-se a circunferência circunscrita ao polígono em verda-deira grandeza, em projecção frontal (passando por A2), e construiu-se oquadrado, também em projecção frontal, em verdadeira grandeza, determi-nando-se as projecções dos seus vértices. Tenha em conta que as pro-jecções horizontais de B, C e D se situam sobre hϕϕ, pois o plano ϕ éprojectante horizontal. A partir das projecções de todos os vértices da pirâ-mide, determinaram-se os seus contornos aparentes. O contorno aparen-te frontal é a própria projecção frontal do quadrado. O vértice da pirâmide,em projecção frontal, é invisível (por ser o vértice de menor afastamento),bem como todas as arestas que nele convergem. O contorno aparentehorizontal é a figura [D1C1B1V1]. O único vértice que não integra o contor-no aparente horizontal é A, que é invisível (bem como todas as arestas quenele convergem), por ser o vértice de menor cota. A aresta lateral [AV] é in-visível, e a aresta lateral [CV] é visível.

233.

101

SOLUÇÕES

234.Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta g, em fun-ção dos dados, e determinaram-se as projecções dos pontos A e V,pertencentes à recta. Pelo ponto A conduziu-se o plano horizontal (denível) que contém a base, pois A é um ponto da base. Atendendo aque se trata de um cone de revolução (recto), o seu eixo é ortogonalao plano da base, pelo que está contido numa recta vertical (projectan-te horizontal). Assim sendo, tem-se O1 � V1, sendo O o centro dabase. O ponto O é um ponto da base, pelo que pertence ao plano ν –O2, a projecção frontal do ponto O, situa-se sobre fνν. Com o compas-so, fazendo centro em O1 e raio até A1, desenhou-se a circunferênciaque delimita a base do sólido em verdadeira grandeza, em projecçãohorizontal, e determinou-se a sua projecção frontal. A partir das pro-jecções da base e do vértice, desenharam-se as projecções do cone.Note que a projecção horizontal do cone se reduz a um círculo (que é aprojecção horizontal da base, que é visível) e um ponto (que é o vérticee que é invisível).

Em primeiro lugar representou-se o plano π, pelos seus traços, o plano de perfil que contém a base do sólido. Atendendo aque a base do cone é tangente aos dois planos de projecção e que tem 3 cm de raio, o seu centro, o ponto O, tem 3 cm decota e 3 cm de afastamento, o que nos permitiu determinar as projecções do ponto O. As duas projecções da base reduzem-se a segmentos de recta (ver exercício 133 e respectivo relatório). Uma vez que se trata de um cone de revolução (recto), oseu eixo está contido numa recta ortogonal ao plano da base, que é uma recta fronto-horizontal, que é paralela aos dois pla-nos de projecção e que passa por O. A altura do cone projecta-se, assim, em verdadeira grandeza nos dois planos de projec-ção, o que nos permite determinar as projecções do vértice V, do sólido. As duas projecções do cone reduzem-se atriângulos. As geratrizes do contorno aparente horizontal são as geratrizes que contêm os pontos de maior e menor afasta-mento da base do cone. As geratrizes do contorno aparente frontal são as geratrizes que contêm os pontos de maior e me-nor cota da base do cone. Sugere-se a visualização da situação no espaço.

235.

102

SOLUÇÕES

236.Em primeiro lugar representaram-se, pelos seus traços, os planos de perfilque contêm as bases do sólido e que distam, entre si, 8 cm (a altura do ci-lindro). As bases do cilindro têm 3 cm de raio. A base mais à direita do sóli-do é tangente ao Plano Frontal de Projecção, pelo que o seu centro, oponto Q, tem 3 cm de afastamento, o que nos permitiu determinar Q1, asua projecção horizontal. A base mais à esquerda do cilindro é tangente aoPlano Horizontal de Projecção, pelo que o seu centro, o ponto O, tem 3 cmde cota, o que nos permitiu determinar O2, a sua projecção frontal. Umavez que são conhecidos os ângulos das projecções da recta r, a recta su-porte do eixo do cilindro, por Q1 conduziu-se r1, a projecção horizontal darecta r, e por O2 conduziu-se r2, a projecção frontal da recta r. O1 é o pon-to de intersecção de r1 com o plano π, o plano da base mais à esquerda.Q2 é o ponto de intersecção de r2 com o plano π’, o plano da base mais àdireita. Determinados os centros das duas bases, foi possível desenhar assuas projecções que se reduzem, ambas, a segmentos de recta (ver exer-cício 133 e respectivo relatório). Atendendo a que as geratrizes do cilindrosão paralelas à recta r, desenharam-se as duas projecções do sólido. Asgeratrizes do contorno aparente frontal são as geratrizes que contêm ospontos de maior e de menor cota das duas bases. As geratrizes do con-torno aparente horizontal são as geratrizes que contêm os pontos demaior e menor afastamento das duas bases. Sugere-se a visualização dasituação no espaço.

PROCESSOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES I

9

237.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do segmento, de acordo com os dados. Para transformar o segmento [AB]num segmento de recta horizontal (de nível) com 2 cm de cota, é necessário substituir o Plano Horizontal de Projecção por umoutro plano (plano 4), paralelo ao segmento. Será, assim, criado um novo diedro de projecção, que tem, em comum com odiedro de projecção anterior, o Plano Frontal de Projecção (plano 2) – o plano que se manteve. Analisemos detalhadamente asalterações, relativas às projecções e às coordenadas dos pontos, que se verificarão no novo diedro de projecção, por compa-ração à situação no diedro de projecção inicial (note que de um diedro para o outro se mantém o Plano Frontal de Projecção).No que respeita às projecções, mantêm-se as projecções frontais dos pontos e do segmento de recta (que existem no pla-no de projecção que se mantém) e alteram-se as projecções horizontais (que passarão a ser as projecções no novo planode projecção – o plano 4). No que respeita às coordenadas, mantêm-se os afastamentos dos seus pontos (que estão refe-renciados ao plano de projecção que se mantém) e alteram-se as cotas (que passam a ser 2 cm, pois as cotas anteriores es-tavam referenciadas ao plano substituído). O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção do plano 2 (o plano de projecçãoque se mantém) com o plano 4 (o novo plano de projecção), o que se assinalouconvenientemente com 2/4. Como o plano 4 é paralelo ao segmento, o eixo X’ éparalelo a [A2B2] e está a 2 cm deste (a nova cota do segmento). As linhas de cha-mada dos pontos A e B, no novo diedro de projecção, são perpendiculares aoeixo X’. A4 é a projecção de A no plano 4 e determinou-se em função do seuafastamento (que se manteve) – a distância de A4 ao eixo X’ é igual à distância deA1 ao eixo X (que é 2 cm – o afastamento de A). B4 é a projecção de B no plano 4e determinou-se em função do seu afastamento (que se manteve) – a distância deB4 ao eixo X’ é igual à distância de B1 ao eixo X (que é 1 cm – o afastamento deB). No novo diedro de projecção, o segmento está paralelo ao plano 4 (está trans-formado num segmento de recta horizontal) e a sua verdadeira grandeza está nasua projecção no plano 4 – a verdadeira grandeza de A�B� é A�4�B�4�.

103

SOLUÇÕES

238.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do segmento, de acordo com os da-dos. Para transformar o segmento [AB] num segmento de recta frontal (de frente) com3 cm de cota, é necessário substituir o Plano Frontal de Projecção por um outro plano(plano 4), paralelo ao segmento. Será criado um novo diedro de projecção, que tem,em comum com o diedro de projecção anterior, o Plano Horizontal de Projecção (plano1) – o plano que se manteve. Em seguida há que analisar as alterações, relativas àsprojecções e às coordenadas dos pontos, verificadas no novo diedro de projecção, porcomparação à situação no diedro de projecção inicial. Note que de um diedro para ooutro se mantém o Plano Horizontal de Projecção. No que respeita às projecções,mantêm-se as projecções horizontais dos pontos e do segmento de recta (que exis-tem no plano de projecção que se mantém) e alteram-se as projecções frontais (quepassarão a ser as projecções no novo plano de projecção – o plano 4). No que respei-ta às coordenadas, mantêm-se as cotas dos pontos (que estão referenciados ao pla-no de projecção que se mantém) e alteram-se os afastamentos (que passam a ser 3cm, pois os afastamentos anteriores estavam referenciados ao plano substituído). O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de inter-secção do plano 1 (o plano de projecção que se mantém) com o plano 4 (o novo plano de projecção), o que se assinalou con-venientemente com 1/4. Como o plano 4 é paralelo ao segmento, o eixo X’ é paralelo a [A1B1] e está a 3 cm deste (o novoafastamento do segmento). As linhas de chamada dos pontos A e B, no novo diedro de projecção, são perpendiculares aoeixo X’. A4 é a projecção de A no plano 4 e determinou-se em função da sua cota (que se manteve) – a distância de A4 aoeixo X’ é igual à distância de A2 ao eixo X (que é 4 cm – a cota de A). B4 é a projecção de B no plano 4 e determinou-se emfunção da sua cota (que se manteve) – a distância de B4 ao eixo X’ é igual à distância de B2 ao eixo X (que é 2 cm – a cota deB). No novo diedro de projecção, o segmento está paralelo ao plano 4 (está transformado num segmento de recta frontal) e asua verdadeira grandeza na sua projecção no plano 4 – a verdadeira grandeza de A�B� é A�4�B�4�.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta f, em função dos dados. Em seguida, para transformar a recta fnuma recta vertical, e atendendo a que uma recta vertical é uma recta frontal (de frente) que é ortogonal ao Plano Horizontalde Projecção, é necessário substituir o Plano Horizontal de Projecção por um novo plano de projecção (plano 4), que tem deser ortogonal à recta f. Analisemos em seguida as alterações que se verificarão no novo diedro de projecção, por comparaçãoà situação no diedro de projecção inicial. Note que, de um diedro para o outro, se mantém o Plano Frontal de Projecção. Noque respeita às projecções, mantêm-se as projecções frontais (que se situam no plano de projecção que se manteve) e al-teram-se as projecções horizontais (que se situam no plano de projecção que será substituído e, assim, serão substituídaspor novas projecções). No que respeita às coordenadas, mantêm-se os afastamentos (que são referenciados ao plano quese mantém) e alteram-se as cotas (que são referenciadas ao plano que se substitui). O novo eixo X (o eixo X’) é, agora, a rec-ta de intersecção do Plano Frontal de Projecção (plano 2) com o plano 4 (o que se assinalou convenientemente com 2/4) e éperpendicular a f2. Em seguida, determinou-se a projecção do ponto A no plano 4 – A4 (ver relatório do exercício 237). Nonovo diedro de projecção, a recta f é uma recta projectante horizontal (recta vertical), pelo que a sua projecção no plano 4 éum único ponto que está necessariamente coincidente com a projecção de A no plano 4, pelo que se tem (f4) � A4 – noteque se assinalou, com o recurso a parêntesis, o facto de a nova projecção da recta f ser um ponto.

239.

104

SOLUÇÕES

240.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta h, em função dos da-dos. Em seguida, para transformar a recta h numa recta de topo, e atendendo aque uma recta de topo é uma recta horizontal (de nível) que é ortogonal ao PlanoFrontal de Projecção, é necessário substituir o Plano Frontal de Projecção porum novo plano de projecção (plano 4), que tem de ser ortogonal à recta h. Anali-semos em seguida as alterações que se verificarão no novo diedro de projecção,por comparação à situação no diedro de projecção inicial. Note que, de um die-dro para o outro, se mantém o Plano Horizontal de Projecção. No que respeitaàs projecções, mantêm-se as projecções horizontais (que se situam no planode projecção que se manteve) e alteram-se as projecções frontais (que se si-tuam no plano de projecção que será substituído e, assim, serão substituídaspor novas projecções). No que respeita às coordenadas, mantêm-se as cotas(que são referenciadas ao plano que se mantém) e alteram-se os afastamentos(que são referenciados ao plano que se substitui). O novo eixo X (o eixo X’) é,agora, a recta de intersecção do Plano Horizontal de Projecção (plano 1) com o plano 4 (o que se assinalou convenientemen-te com 1/4) e é perpendicular a h1. Em seguida, para determinar a projecção da recta h no plano 4, foi necessário recorrer aum ponto qualquer da recta – assim, determinaram-se as projecções de um ponto A, qualquer, pertencente à recta. Em se-guida determinou-se a projecção do ponto A no plano 4 – A4 (ver relatório do exercício 238). No novo diedro de projecção, arecta h é uma recta projectante frontal (recta de topo), pelo que a sua projecção no plano 4 é um único ponto que está ne-cessariamente coincidente com a projecção de A no plano 4, pelo que se tem (h4) � A4 – note que se assinalou, com o re-curso a parêntesis, o facto de a nova projecção da recta h ser um ponto.

Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta r, a recta suporte do segmento, em função dos dados. Em seguida,percebeu-se que não é possível determinar, de forma directa, as projecções do segmento, pois mesmo sabendo o compri-mento do segmento (no espaço), a recta r não é paralela a nenhum dos planos de projecção (é oblíqua aos dois planos deprojecção), pelo que a verdadeira grandeza do segmento não se situa em nenhuma das suas projecções. Assim, em primeirolugar, é necessário transformar r, a recta suporte de [RS], numa recta frontal (de frente), que se projecta em verdadeira grande-za no Plano Frontal de Projecção, ou numa recta horizontal (de nível), que se projecta em verdadeira grandeza no Plano Hori-zontal de Projecção. Optou-se pela primeira hipótese – transformar a recta r numa recta frontal (de frente). Para obter as novasprojecções da recta r recorreu-se a dois pontos da recta – o ponto R (que é o ponto dado) e um outro ponto, P, qualquer. As-sim, substituiu-se o Plano Frontal de Projecção por um novo plano de projecção – o plano 4. Mantiveram-se as projecçõeshorizontais (que se situam no plano de projecção que se manteve) e as projecções frontais foram substituídas (que se situamno plano de projecção que foi substituído). Mantiveram-se as cotas (que são referenciadas ao plano de projecção que se man-teve) e alteraram-se os afastamentos (que são referenciados ao plano de projecção que se substituiu). Determinaram-se asprojecções dos pontos R e P no plano 4 (ver relatório do exercício 238) e desenhou-se r4, a projecção da recta r no plano 4.No novo diedro de projecção, a recta r é uma recta frontal (de frente), pelo que as verdadeiras grandezas podem medir-se nasua projecção no plano 4. Sobre r4, a partir de R4, mediram-se os 4 cm, obtendo S4, a projecção do ponto S no plano 4 – S éo outro extremo do segmento pretendido. A projecção horizontal do ponto S, S1, tem determinação imediata, pois está sobrer1, a projecção horizontal da recta r, que se manteve. A partir de S1 determinou-se S2, a projecção frontal do ponto S (no die-dro de projecção inicial), sobre r2, na mesma linha de chamada de S1. Determinadas as projecções do ponto S, desenharam-se as projecções do segmento [RS] no diedro de projecção inicial. Note que se teve em conta que o segmento se situa no 1o

Diedro, pelo que o ponto S tem necessariamente de se situar para a direita do ponto R – caso se situasse para a esquerda,após a inversão do processo (o regresso ao diedro de projecção inicial), o ponto S teria cota negativa e, assim, o segmento jánão se situaria no 1o Diedro, como é expressamente pedido no enunciado.

241.

SOLUÇÕES

242.Em primeiro lugar representaram-se os pontos P e Q, pelas respectivasprojecções, em função dos dados. Em seguida representou-se o planoα, de topo, pelos seus traços, passando pelos pontos P e Q – uma vezque o plano α é um plano projectante frontal, sabe-se que o seu traçofrontal, fαα, contém necessariamente as projecções frontais dos pontosP e Q (fαα passa por P2 e Q2). O traço horizontal do plano, por sua vez, éuma recta de topo que é concorrente com fαα no eixo X. Após a determi-nação dos traços do plano α, foi possível determinar as projecções doponto R, pertencente ao plano – R2, a sua projecção frontal, situa-senecessariamente sobre fαα, pois o plano α é projectante frontal. A partirdas projecções dos três pontos, desenharam-se as projecções do triân-gulo. Em seguida, para determinar a verdadeira grandeza do triângulo[PQR], é necessário transformar o plano α num plano paralelo a um dosplanos de projecção. Nesta situação há que transformar o plano α numplano horizontal (de nível), pois um plano horizontal (de nível) é um pla-no projectante frontal, tal como o plano a (que é um plano de topo) –um plano horizontal (de nível) é um caso particular dos planos projec-tantes frontais. Para tal, é necessário substituir o Plano Horizontal deProjecção por um novo plano de projecção (plano 4), paralelo ao plano α. No que respeita às projecções, manter-se-ão asprojecções frontais (que se situam no plano de projecção que se manteve) e alterar-se-ão as projecções horizontais (quese situam no plano de projecção substituído e, por isso, serão substituídas por novas projecções). No que respeita às coorde-nadas, manter-se-ão os afastamentos (que são referenciados ao plano de projecção que se manteve) e alterar-se-ão ascotas (que são referenciadas ao plano de projecção que se substituiu). O novo eixo X (o eixo X’) é a recta de intersecção doPlano Frontal de Projecção (plano 2) com o plano 4 (o que se assinalou convenientemente com os números 2/4) e é paraleloa fαα. Determinaram-se as projecções dos pontos P, Q e R no plano 4 (ver relatório do exercício 237), obtendo-se as projec-ções do triângulo no novo diedro de projecção – a verdadeira grandeza do triângulo está na sua projecção no plano 4, pois oplano α, no novo diedro de projecção, está paralelo ao plano 4. No novo diedro de projecção, o plano α é um plano horizontal(de nível), pelo que a verdadeira grandeza do triângulo está no triângulo [P4Q4R4].

243.Em primeiro lugar, representou-se o plano γ pelos seus traços, em funçãodos dados. Em seguida, uma vez que a diagonal [AC] do rectângulo estácontida no B1/3, sabe-se que [AC] é um segmento da recta de intersecçãodo plano γ com o B1/3. Assim, determinou-se a recta i, a recta de intersec-ção do plano γ com o B1/3 (ver exercício 171 e respectivo relatório). Deter-minaram-se as projecções dos pontos A e C, em função dos dados,pertencentes à recta i. Em seguida, construíram-se as projecções do rec-tângulo, em função dos dados. O lado [AB] é vertical, pelo que se temimediatamente A1 � B1. O lado [BC] é horizontal (de nível), pelo que B e Ctêm a mesma cota, o que nos permitiu determinar a projecção frontal de B– B2. O lado [CD] é vertical (pois é paralelo ao lado [AB]), pelo que se temimediatamente C1 � D1. O lado [AD] é horizontal (pois é paralelo ao lado[BC]), pelo que A e D têm a mesma cota, o que nos permitiu determinar aprojecção frontal de D – D2.A partir das duas projecções de todos os vérti-ces do polígono, desenharam-se as duas projecções do rectângulo. Orectângulo não se projecta em verdadeira grandeza em nenhum dos pla-nos de projecção, pois o plano γ (o plano que o contém) não é paralelo anenhum dos planos de projecção. Assim, para determinar a verdadeiragrandeza do polígono há que transformar o plano γ num plano paralelo aum dos planos de projecção. Atendendo a que o plano γ é um plano pro-jectante horizontal, e que um plano projectante horizontal paralelo a umdos planos de projecção é necessariamente um plano frontal (de frente),há que transformar o plano γ num plano frontal (de frente). Para tal, é ne-cessário substituir o Plano Frontal de Projecção por um novo plano de projecção (plano 4), paralelo ao plano γ. No que respei-ta às projecções, manter-se-ão as projecções horizontais (que se situam no plano de projecção que se mantém) ealterar-se-ão as projecções frontais (que se situam no plano de projecção que se substitui e que serão substituídas por no-vas projecções). No que respeita às coordenadas, manter-se-ão as cotas (que são referenciadas ao plano de projecção quese mantém) e alterar-se-ão os afastamentos (que são referenciados ao plano de projecção que se substitui). O novo eixo X(o eixo X’) é a recta de intersecção do Plano Horizontal de Projecção (plano 1) com o plano 4 (o que se assinalou convenien-temente com os números 1/4) e é paralelo a hγ. Em seguida determinaram-se as projecções dos pontos A, B, C e D no plano4 (ver relatório do exercício 238), obtendo-se as projecções do rectângulo no novo diedro de projecção – a verdadeira grande-za do rectângulo está na sua projecção no plano 4, pois o plano γ está paralelo ao plano 4. No novo diedro de projecção, oplano γ é um plano frontal (de frente), pelo que a verdadeira grandeza do rectângulo está no rectângulo [A4B4C4D4].

105

106

SOLUÇÕES

244.Em primeiro lugar representou-se o plano δ pelos seus traços, em funçãodos dados, e determinaram-se as projecções dos pontos A e B, perten-centes ao plano (as projecções horizontais dos pontos têm de se situarsobre hδδ, pois o plano d é projectante horizontal). O plano δ não é para-lelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o triângulo não se pro-jecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção – asduas projecções do triângulo estarão deformadas. Assim, e de acordocom o enunciado, é necessário transformar previamente o plano δ numplano frontal (de frente) com 2 cm de afastamento, seguindo-se os pro-cedimentos expostos no relatório do exercício anterior. O eixo X’ fica pa-ralelo a hδδ e a 2 cm deste. No novo diedro de projecção (formado entre oPlano Horizontal de Projecção e o plano 4), o plano δ é um plano frontal(com 2 cm de afastamento), pelo que o triângulo se projecta em verda-deira grandeza no plano 4 (o plano δ está paralelo ao plano 4). A partirde A4 e de B4 construiu-se a projecção do triângulo no plano 4, em ver-dadeira grandeza, determinando-se C4. A projecção horizontal de C, C1, determina-se directamente sobre hδδ, pois o plano, nonovo diedro de projecção, é ainda um plano projectante horizontal. A projecção frontal do vértice C determina-se em funçãoda sua cota, que se mantém (as cotas são referenciadas ao plano de projecção que se manteve, pelo que se mantêm as co-tas). Assim sendo, por C1 conduziu-se uma linha perpendicular ao eixo X (no diedro de projecção inicial), que é a linha de cha-mada do ponto C no diedro de projecção inicial e sobre a qual se situará C2. A distância de C4 ao eixo X’ é a cota de C, quese mantém – transportou-se a cota de C para o diedro de projecção inicial, medida a partir do eixo X inicial, obtendo-se C2, aprojecção frontal de C. A partir das projecções dos três vértices do polígono (no diedro de projecção inicial), desenharam-seas projecções do triângulo (no diedro de projecção inicial).

Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e s, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta s é concor-rente com o eixo X (no ponto R), pois trata-se de uma recta passante.a) Trata-se de um plano de topo (um plano projectante frontal), pois as projecções frontais das duas rectas estão coinciden-

tes.b) Para transformar o plano θ num plano horizontal (de nível) com 2,5 cm de cota, é necessário substituir o Plano Horizontal

de Projecção por um novo plano de projecção – o plano 4 – paralelo ao plano θ. Uma vez que se mantém o Plano Frontalde Projecção, as projecções frontais mantêm-se (situam-se no plano de projecção que se manteve) e as projecções hori-zontais são substituídas (situam-se no plano de projecção que se substituiu). No que respeita às coordenadas, os afasta-mentos mantêm-se (são referenciados ao plano de projecção que se manteve) e as cotas alteram-se (são referenciadas aoplano de projecção que se substituiu). Representou-se o eixo X’, paralelo a r2 � s2 e a 2,5 cm destas. Tenha em conta que,como se trata de um plano projectante frontal, o traço frontal do plano θ (que não se determinou) está necessariamentecoincidente com as projecções frontais das duas rectas. Assim, o facto de o novo eixo X (o eixo X’) se situar a 2,5 cm der2 � s2 garante que o plano, quando transformado num plano horizontal (de nível), terá 2,5 cm de cota. Em seguida deter-minou-se a projecção do ponto P (o ponto de concorrência das duas rectas) no plano 4 – P4. Para definir as novas projec-ções das duas rectas (as projecções das rectas no plano 4), recorreu-se a mais um ponto de cada recta. O ponto F é otraço frontal da recta r e o ponto R é o traço frontal da recta s (note que R é o ponto de concorrência da recta s com o eixoX). Os afastamentos mantêm-se (são referenciados ao plano de projecção que se manteve) e os pontos F e R têm afasta-mento nulo, pelo, no novo diedro de projecção, os pontos F e R mantêm o afastamento nulo – as projecções de F e R noplano 4 (F4 e R4) situam-se no eixo X’. As projecções das rectas r e s no plano 4 estão, ambas, definidas por dois pontos –r4 está definida por P4 e por F4 e s4 está definida por P4 e por R4.

245.

107

SOLUÇÕES

246.Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, em funçãodos dados. Em seguida, desenharam-se as projecções do eixo de rotação (recta e), vertical epassando pelo ponto B. O eixo da rotação é uma recta vertical, pelo que a rotação do ponto Ase processa num plano horizontal (de nível), que é um plano ortogonal ao eixo da rotação (os ar-cos da rotação estão contidos em planos ortogonais ao eixo da rotação). Nesse sentido, o pon-to A, na sua rotação, mantém a cota. Assim, por A2 conduziu-se uma recta paralela ao eixo X,que corresponde ao traço frontal do plano horizontal (de nível) que contém o arco da rotação doponto A, e cuja representação (fνν) se omitiu, para simplificar a resolução gráfica. Em seguida de-terminou-se o centro do arco da rotação do ponto A, que é o ponto O – O é o ponto de inter-secção do eixo da rotação (recta e) com o plano horizontal (de nível) que contém o arco darotação do ponto A (trata-se da intersecção entre uma recta projectante horizontal e um planoprojectante frontal). O arco da rotação projecta-se em verdadeira grandeza no Plano Horizontalde Projecção, pois está contido num plano paralelo ao Plano Horizontal de Projecção. Assim,com o compasso, fazendo centro em O1 e raio O�1�A�1�, desenhou-se um arco com 60º de amplitu-de, no sentido dos ponteiros do relógio, em cujo extremo se situa A’1, a projecção horizontal doponto A rodado (A’ é o ponto A, após a sua rotação). A projecção frontal do ponto A’, A’2, estásobre a linha paralela ao eixo X que passa por A2 e que corresponde a fνν (o traço frontal do pla-no horizontal que contém o arco da rotação do ponto A). O ponto A’, representado pelas suasprojecções, é o ponto A após a rotação pedida no exercício.

247.Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, em funçãodos dados. Em seguida, desenharam-se as projecções do eixo de rotação (recta e), de topo epassando pelo ponto A. O eixo da rotação é uma recta de topo, pelo que a rotação do ponto Bse processa num plano frontal (de frente), que é um plano ortogonal ao eixo da rotação (os ar-cos da rotação estão contidos em planos ortogonais ao eixo da rotação). Nesse sentido, o pon-to B, na sua rotação, mantém o afastamento. Assim, por B1 conduziu-se uma recta paralela aoeixo X, que corresponde ao traço horizontal do plano frontal (de frente) que contém o arco darotação do ponto B, e cuja representação (hϕϕ) se omitiu, para simplificar a resolução gráfica. Emseguida determinou-se o centro do arco da rotação do ponto B, que é o ponto O – O é o pontode intersecção do eixo da rotação (recta e) com o plano frontal (de frente) que contém o arco darotação do ponto B (trata-se da intersecção entre uma recta projectante frontal e um plano pro-jectante horizontal). O arco da rotação projecta-se em verdadeira grandeza no Plano Frontal deProjecção, pois está contido num plano paralelo ao Plano Frontal de Projecção. Assim, com ocompasso, fazendo centro em O2 e raio O�2�B�2�, desenhou-se um arco com 90º de amplitude, nosentido contrário ao dos ponteiros do relógio, em cujo extremo se situa B’2, a projecção frontaldo ponto B rodado (B’ é o ponto B, após a sua rotação). A projecção horizontal do ponto B’,B’1, está sobre a linha paralela ao eixo X que passa por B1 e que corresponde a hϕϕ (o traço hori-zontal do plano frontal que contém o arco da rotação do ponto B). O ponto B’, representado pe-las suas projecções, é o ponto B após a rotação pedida no exercício.

108

SOLUÇÕES

248.Em primeiro lugar representaram-se os pontos P, Q e A, pelas respectivas projec-ções, em função dos dados, e desenharam-se as projecções do segmento de recta[PQ]. Em seguida, desenharam-se as projecções do eixo de rotação (recta v), verti-cal e passando pelo ponto A. O eixo da rotação é uma recta vertical, pelo que a ro-tação dos pontos do segmento se processa em planos horizontais (de nível), quesão os planos ortogonais ao eixo da rotação. Nesse sentido, todos os pontos dosegmento, na sua rotação, mantêm as respectivas cotas. Assim, por P2 e Q2, asprojecções frontais dos extremos do segmento, conduziram-se rectas paralelas aoeixo X, que correspondem aos traços frontais dos planos horizontais (de nível) quecontêm os arcos da rotação daqueles pontos. Em seguida determinou-se o centrodo arco da rotação do ponto P, que é o ponto R – R é o ponto de intersecção doeixo da rotação (recta e) com o plano horizontal (de nível) que contém o arco da ro-tação do ponto P. O arco da rotação do ponto P projecta-se em verdadeira grande-za no Plano Horizontal de Projecção, pois está contido num plano paralelo ao PlanoHorizontal de Projecção. Assim, com o compasso, fazendo centro em R1 e raioR�1�P�1�, desenhou-se um arco com 80º de amplitude, no sentido dos ponteiros do re-lógio, em cujo extremo se situa P’1, a projecção horizontal do ponto P rodado. Aprojecção frontal do ponto P’, P’2, está sobre a paralela ao eixo X que passa porP2, para que se mantenha a sua cota. O ponto P’, representado pelas suas projec-ções, é o ponto P após a rotação pedida no exercício. Em seguida determinou-se ocentro do arco da rotação do ponto Q, que é o ponto S – S é o ponto de intersecção do eixo da rotação com o plano horizon-tal (de nível) que contém o arco da rotação do ponto R. O arco da rotação do ponto R projecta-se em verdadeira grandeza noPlano Horizontal de Projecção. Assim, com o compasso, fazendo centro em S1 e raio S�1�Q�1�, desenhou-se outro arco com 80ºde amplitude, no sentido dos ponteiros do relógio, em cujo extremo se situa Q’1, a projecção horizontal do ponto Q rodado. Aprojecção frontal do ponto Q’, Q’2, está sobre a paralela ao eixo X que passa por Q2, para que se mantenha a sua cota. Oponto Q’, representado pelas suas projecções, é o ponto Q após a rotação pedida no exercício. Por fim desenharam-se asprojecções do segmento [P’Q’], que é o segmento [PQ] após a rotação pedida.

249.Em primeiro lugar representaram-se o ponto A e a recta r, pelas respectivas projecções,em função dos dados. Para transformar a recta r numa recta horizontal (de nível), é neces-sário efectuar uma rotação na qual sejam as cotas dos pontos que se vão alterar, manten-do-se os seus afastamentos. Nesse sentido, os arcos da rotação dos pontos da recta rtêm de estar contidos em planos frontais (de frente), para que se mantenham os afasta-mentos, pelo que o eixo de rotação é necessariamente uma recta de topo (o eixo da ro-tação é ortogonal aos planos que contêm os arcos da rotação). Desenharam-se asprojecções de um eixo qualquer, de topo – recta e. Em seguida determinaram-se as pro-jecções do ponto que nos permite rodar a recta – o ponto P é o ponto da recta r tal que osegmento [OP] é simultaneamente perpendicular ao eixo de rotação e e à recta r, sendo Oo centro da rotação do ponto P. Note que O é o ponto de intersecção do eixo da rotaçãoe com o plano frontal (de frente) que contém o ponto P e que contém o arco da rotaçãodo ponto P. Por simplificação da leitura da resolução gráfica, à semelhança do exposto norelatório do exercício 247, omitiu-se a identificação do plano frontal (de frente) que contemo arco da rotação do ponto P – hϕϕ. Para transformar a recta r numa recta horizontal (de ní-vel), a sua projecção frontal, r2, após a rotação, tem de ficar paralela ao eixo X. Assim,porque o segmento [OP] é perpendicular à recta r, o segmento [OP] tem de rodar até ficar vertical, ou seja, tem de rodar até aprojecção horizontal de P (P1), após a rotação, ficar coincidente com O1. O arco da rotação do ponto P projecta-se em V.G. noPlano Frontal de Projecção. Com o compasso, fazendo centro em O2 e raio até P2, desenhou-se a projecção frontal do arcoda rotação de P até à vertical que passa por O2 e na qual se situa P’2 – P’1 fica imediatamente coincidente com O1. O ponto P’é o ponto P rodado. Efectuada a rotação de [OP], sabe-se que a projecção frontal da recta r, após a rotação (r’2), passa porP’2 e é perpendicular a [O2P’2], sendo r’ a recta r rodada. Note que, pelo exposto, r’2 fica paralela ao eixo X, que era o preten-dido. Neste momento, já temos um ponto para definir a recta r’ – o ponto P’. Falta-nos outro ponto. Efectuemos a rotação doponto A. O ponto Q é o centro da rotação de A. O arco da rotação do ponto A projecta-se em V.G. no Plano Frontal de Projec-ção. Com o compasso, fazendo centro em Q2 e raio até A2, desenhou-se a projecção frontal do arco da rotação de A até r’2,sobre a qual se situa A’2, sendo A’ o ponto A rodado. A rotação do ponto A processa-se ao longo de um outro plano frontal(de frente), pelo que A’1, a projecção horizontal do ponto A rodado, está na paralela ao eixo X que passa por A1 (ver relatóriodo exercício 247). A projecção horizontal da recta r rodada, r’1, está definida por A’1 e P’1. Note que r’1 e r1 não são paralelasentre si, embora o pareçam.

109

SOLUÇÕES

250.Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta h, em função dos dados. Paratransformar a recta h numa recta de topo, é necessário efectuar uma rotação na qual se-jam os afastamentos dos pontos que se vão alterar, mantendo-se as suas cotas. Assim, osarcos de rotação dos pontos da recta h estão contidos em planos horizontais (de nível),para que se mantenham as cotas, pelo que o eixo de rotação é necessariamente umarecta vertical (o eixo da rotação é ortogonal aos planos que contêm os arcos de rotação).Desenharam-se as projecções de um eixo qualquer, vertical – recta e. Em seguida determi-naram-se as projecções do ponto que nos permite rodar a recta – o ponto P é o ponto darecta h tal que [OP] é simultaneamente perpendicular ao eixo de rotação e e à recta h, emque O é o centro da rotação do ponto P. Note que O é o ponto de intersecção do eixo derotação e com o plano horizontal (de nível) que contém P e que contém o arco da rotaçãodo ponto P. Note que a rotação da recta se processa nesse plano horizontal (de nível). Noentanto, omitiu-se a representação desse plano horizontal (de nível). Para transformar arecta h numa recta de topo, a sua projecção horizontal, h1, após a rotação, tem de ficarperpendicular ao eixo X. Assim, porque o segmento [OP] é perpendicular à recta h, o seg-mento [OP] tem de rodar até ficar paralelo ao eixo X. O arco da rotação do ponto P projecta-se em V.G. no Plano Horizontal deProjecção. Com o compasso, fazendo centro em O1 e raio até P1, desenhou-se a projecção horizontal do arco da rotação deP até à linha horizontal que passa por O1 e na qual se situa P’1 – P’2 mantém a cota de P2. O ponto P’ é o ponto P rodado.Efectuada a rotação de [OP], sabe-se que a projecção horizontal da recta h, após a rotação (h’1), passa por P’1 e é perpendi-cular a [O1P’1], sendo h’ a recta h rodada. Note que, pelo exposto, h’1 fica perpendicular ao eixo X, que era o pretendido. Arecta h’ já é uma recta de topo, pelo que a sua projecção frontal é um ponto. Uma vez que o ponto P’ é um ponto da recta h’,tem-se (h’2) � P’2, sendo h’2 a projecção frontal da recta h, na sua nova posição (após a rotação).

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da recta h, em função dos dados. Para transformar a recta h numa rectafronto-horizontal, é necessário efectuar uma rotação na qual sejam os afastamentos dos pontos que se vão alterar, mantendo-se as suas cotas. Assim, os arcos de rotação dos pontos da recta h estão contidos em planos horizontais (de nível), para quese mantenham as cotas, pelo que o eixo de rotação é necessariamente uma recta vertical (o eixo da rotação é ortogonal aosplanos que contêm os arcos de rotação). Desenharam-se as projecções de um eixo qualquer, vertical – recta e. Em seguidadeterminaram-se as projecções do ponto que nos permite rodar a recta – o ponto P é o ponto da recta h tal que [OP] é simul-taneamente perpendicular ao eixo de rotação e e à recta h, em que O é o centro da rotação do ponto P. Note que O é o pontode intersecção do eixo de rotação e com o plano horizontal (de nível) que contém P e que contém o arco da rotação do pontoP. Note que a rotação da recta se processa nesse plano horizontal (de nível). No entanto, omitiu-se a representação desse pla-no horizontal (de nível). Para transformar a recta h numa recta fronto-horizontal, a sua projecção horizontal, h1, após a rotação,tem de ficar paralela ao eixo X. Assim, porque o segmento [OP] é perpendicular à recta h, o segmento [OP] tem de rodar atéficar perpendicular ao eixo X. O arco da rotação do ponto P projecta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. Com ocompasso, fazendo centro em O1 e raio até P1, desenhou-se a projecção horizontal do arco da rotação de P até à vertical quepassa por O1 e na qual se situa P’1 – P’2 fica imediatamente coincidente com O2. O ponto P’ é o ponto P rodado. Efectuada arotação de [OP], sabe-se que a projecção horizontal da recta h, após a rotação (h’1), passa por P’1 e é perpendicular a [O1P’1],sendo h’ a recta h rodada. Note que, pelo exposto, h’1 fica paralela ao eixo X, que era o pretendido. A recta h’ já é uma rectafronto-horizontal. A projecção frontal da recta h, após a rotação (h’2), fica coincidente com h2, pois a rotação da recta h pro-cessou-se no plano horizontal (de nível) que contém a recta h – h’2 � h2.

251.

110

SOLUÇÕES

252.Em primeiro lugar representou-se o segmento de recta pelas suas projecções, em funçãodos dados. Para transformar o segmento [PQ] num segmento de recta horizontal (de nível), énecessário efectuar uma rotação na qual sejam as cotas dos pontos que se vão alterar, man-tendo-se os seus afastamentos. Assim, os arcos de rotação dos pontos do segmento estãocontidos em planos frontais (de frente), pelo que o eixo da rotação é uma recta de topo (verrelatório do exercício 249). Desenharam-se as projecções de um eixo qualquer, de topo –recta e. Em seguida, determinaram-se as projecções do ponto que nos permite rodar o seg-mento – o ponto T é o ponto do segmento, tal que [OT] é simultaneamente perpendicular aoeixo de rotação e e ao segmento [PQ], sendo O o centro da rotação do ponto T. Para trans-formar o segmento de recta [PQ] num segmento de recta horizontal (de nível), [P2Q2], a pro-jecção frontal de [PQ], após a rotação, tem de ficar paralelo ao eixo X. Assim, porque osegmento [OT] é perpendicular a [PQ], o segmento [OT] tem de rodar até ficar vertical (ver re-latório do exercício 249). O ponto T’ é o ponto T rodado. Efectuada a rotação de [OT], sabe-se que a projecção frontal da recta suporte do segmento, após a rotação, passa por T’2 e éperpendicular a [O2T’2], pelo que fica paralela ao eixo X, que era o pretendido. Em seguidarodaram-se os pontos P e Q ao longo dos planos frontais (de frente) que os contêm, em tor-no dos respectivos centros de rotação, de forma a que P’2 e Q’2 fiquem sobre a projecçãofrontal da recta suporte do segmento, ou seja, até que P’2 e Q’2 fiquem sobre a paralela aoeixo X que passa por T’2. A e B são os centros dos arcos de rotação de P e Q, respectivamente. Asa projecções horizontaisdos pontos P e Q, após as respectivas rotações (P’1 e Q’1) determinaram-se conforme exposto no relatório do exercício 249.O segmento de recta [P’Q’] está paralelo ao Plano Horizontal de Projecção (é horizontal) e é o segmento de recta [PQ] rodado.Como o segmento, agora, já está paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, a verdadeira grandeza de P�Q� está na projecçãohorizontal do segmento [P’Q’] – é P�’�1�Q�’�1�.

253.Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta r, a recta suportedo segmento [AB], de acordo com os dados. A recta r é passante, peloque é concorrente com o eixo X – o ponto P é o ponto de concorrência darecta r com o eixo X. Uma vez que a recta não é paralela a nenhum dosplanos de projecção, o segmento de recta não se projecta em verdadeiragrandeza em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o re-curso a um processo geométrico auxiliar para obter o segmento em ver-dadeira grandeza e, depois, determinar as suas projecções. Nesse sentido,há que transformar previamente a a recta r numa recta frontal (de frente) ounuma recta horizontal (de nível). Optou-se pela primeira hipótese – recor-reu-se a uma rotação para transformar a recta r numa recta frontal (de fren-te). Para tal, o eixo de rotação tem de ser uma recta vertical, pois asalterações processam-se ao nível dos afastamentos, pelo que os pontosmanterão as suas cotas – assim, os arcos da rotação estão contidos emplanos horizontais (de nível), que são ortogonais ao eixo da rotação. Esco-lheu-se um eixo da rotação vertical de modo a que o ponto a rodar seja oponto A – nesse sentido, o segmento [OA] é simultaneamente perpendicu-lar à recta r e ao eixo de rotação e (sendo O o centro da rotação do pontoA). O é o ponto de intersecção do eixo de rotação e com o plano horizontal(de nível) que contém o ponto A e que contém o arco da rotação do pontoA. Para transformar a recta r numa recta frontal (de frente), a sua projecçãohorizontal, r1, após a rotação, tem de ficar paralela ao eixo X. Assim, porque o segmento [OA] é perpendicular à recta r, o seg-mento [OA] tem de rodar até ficar de topo, ou seja, tem de rodar até se ter A’2 � O2, sendo A’ o ponto A rodado. Efectuada arotação de [OA], sabe-se que a projecção horizontal da recta r, após a rotação (r’1), passa por A’1 e é perpendicular a [O1A’1],sendo r’ a recta r rodada, o que significa que r’1 fica paralela ao eixo X, que era o pretendido. Neste momento, já temos umponto para definir a recta r’ – o ponto A’. Falta-nos outro ponto. Efectuemos a rotação do ponto P, o ponto de concorrência darecta r com o eixo X, que tem cota nula. Rodou-se o ponto P ao longo do plano horizontal que o contém (que é o próprio PlanoHorizontal de Projecção), de forma a P’1 ficar sobre r’1, sendo P’ o ponto P rodado. P’2, a projecção frontal do ponto P rodado,está no eixo X, pois o ponto P tem cota nula. A projecção frontal da recta r rodada, r’2, está definida por A’2 e P’2. A recta r, nasua nova posição, é paralela ao Plano Frontal de Projecção, pelo que é uma recta frontal (de frente). Assim, o segmento [AB],porque está contido na recta r, já se projecta em verdadeira grandeza em projecção frontal, pois é paralelo ao Plano Frontal deProjecção. Dessa forma, e atendendo a que o ponto A é o extremo superior do segmento, sobre r’2, a partir de A’2, marcaram-se os 5 cm (o comprimento do segmento), obtendo-se B’2, sendo B’ o ponto B rodado (garantindo que A é o extremo superiordo segmento, o ponto B tem de ter cota inferior a A). Note que, para a resolução do exercício (a determinação das projecçõesdo segmento [AB] na sua posição inicial), não é necessária a determinação de B’1. A partir de B’2 obteve-se B2, a projecçãofrontal do ponto B, directamente sobre r2 e com a mesma cota, pois a rotação do ponto B também se processa num plano hori-zontal (de nível). A projecção horizontal de B, B1, tem determinação imediata a partir de B2, pois B1 tem de se situar sobre r1.Determinadas as projecções do ponto B, desenharam-se as projecções do segmento [AB].

111

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representou-se o plano q, pelos seus traços, e determinaram-se as projecções dos pontos A, B e C, perten-centes a θ. O plano θ é projectante frontal, pelo que as projecções frontais dos pontos A, B e C têm de se situar sobre fθθ. Apartir das projecções dos três vértices do polígono, desenharam-se as projecções do triângulo. O triângulo não se projecta emverdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção, pois o plano γ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção.Assim, para determinar a verdadeira grandeza do triângulo, através de uma rotação, há que rodar o plano θ até ficar paralelo aum dos planos de projecção. O plano θ é um plano projectante frontal e o único plano projectante frontal que é paralelo a umplano de projecção é um plano horizontal (de nível). Assim, há que rodar o plano θ até o transformar num plano horizontal (denível) – a única hipótese possível para que tal se verifique é rodá-lo em torno de um eixo de topo. Trata-se de uma rotação naqual são as cotas dos pontos que se vão alterar, mantendo-se os seus afastamentos, pelo que os arcos da rotação dos pon-tos do plano θ estarão contidos em planos frontais (de frente). Nesse sentido, desenharam-se as projecções de um eixo detopo, e, de tal forma que o seja ponto C o ponto que nos permite rodar o plano – para tal, o segmento [OC] é simultaneamen-te ortogonal ao plano e ao eixo de rotação, sendo O o centro da rotação do ponto C. Para transformar o plano θ num planohorizontal (de nível), o seu traço frontal, fθθ, após a rotação, tem de ficar paralelo ao eixo X. Assim, porque o segmento [OC] éperpendicular a fθθ, o segmento [OC] tem de rodar até ficar vertical (ortogonal ao eixo X), à semelhança do efectuado no exercí-cio 249 – o ponto C tem de rodar até se ter C’1 � O1, sendo C’ o ponto C rodado. Tenha em conta que a rotação do ponto Cse processou num plano frontal (de frente), pelo que o ponto C manteve o seu afastamento. Efectuada a rotação de [OC],sabe-se que o traço frontal do plano, fθθ, após a rotação (fθθ’), passa por C’2 e é perpendicular a [O2C’2], ou seja, fica paralelo aoeixo X, que era o pretendido. O plano θ’ (que é o plano θ rodado), já é um plano horizontal (de nível), pelo que está paralelo aoPlano Horizontal de Projecção. Em seguida rodaram-se os pontos A e B, em arcos com a mesma amplitude e no mesmo sen-tido do arco da rotação do ponto C, de modo a que A’2 e B’2 se situem sobre fθ’, sendo A’ e B’ os pontos A e B rodados. Ospontos A e B rodaram em planos frontais (de frente), à semelhança de C, pelo que mantiveram os seus afastamentos, o quenos permitiu determinar A’1 e B’1. Determinadas as projecções dos três pontos, após a rotação do plano θ, e atendendo que,na sua nova posição, o plano é um plano horizontal (de nível), o triângulo projecta-se em verdadeira grandeza no Plano Hori-zontal de Projecção – a verdadeira grandeza do triângulo [ABC] está no triângulo [A’1B’1C’1].

254.

112

SOLUÇÕES

255.Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projec-ções, em função dos dados. Em seguida representou-se o plano γ, vertical, pelosseus traços, passando pelos pontos A e B – uma vez que o plano γ é um planoprojectante horizontal, sabe-se que o seu traço horizontal, hγγ, contém necessaria-mente as projecções horizontais dos pontos A e B (hγ passa por A1 e B1). O traçofrontal do plano, por sua vez, é uma recta vertical que é concorrente com hγ noeixo X. Após a determinação dos traços do plano γ, foi possível determinar asprojecções do ponto C, pertencente ao plano – C1, a sua projecção horizontal, si-tua-se necessariamente sobre hγγ, pois o plano γ é projectante horizontal. A partirdas projecções dos três pontos, desenharam-se as projecções do triângulo. Otriângulo não se projecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de pro-jecção, pois o plano γ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. O planoγ é um plano projectante horizontal e o único plano projectante horizontal que éparalelo a um plano de projecção é um plano frontal (de frente). Assim, há que ro-dar o plano γ até o transformar num plano frontal (de frente) – a única hipótesepossível para que tal se verifique é rodá-lo em torno de um eixo vertical. Trata-sede uma rotação na qual são os afastamentos dos pontos que se vão alterar, man-tendo-se as suas cotas, pelo que os arcos da rotação dos pontos do plano γ es-tarão contidos em planos horizontais (de nível). Nesse sentido, desenharam-se as projecções de um eixo vertical, e, de talforma que o seja ponto C o ponto que nos permite rodar o plano – para tal, o segmento [OC] é simultaneamente ortogonal aoplano e ao eixo de rotação, sendo O o centro da rotação do ponto C. Para transformar o plano γ num plano frontal (de frente),o seu traço horizontal, hγγ, após a rotação, tem de ficar paralelo ao eixo X. Assim, porque o segmento [OC] é perpendicular ahγ, o segmento [OC] tem de rodar até ficar de topo (ortogonal ao eixo X), à semelhança do efectuado no exercício 251 – oponto C tem de rodar até se ter C’2 � O2, sendo C’ o ponto C rodado. Tenha em conta que a rotação do ponto C se proces-sou num plano horizontal (de nível), pelo que o ponto C manteve a sua cota. Efectuada a rotação de [OC], sabe-se que o traçohorizontal do plano, hγγ, após a rotação (hγγ’), passa por C’1 e é perpendicular a [O1C’1], ou seja, fica paralelo ao eixo X, que erao pretendido. O plano γ’ (que é o plano γ rodado), já é um plano frontal (de frente), pelo que está paralelo ao Plano Frontal deProjecção. Em seguida rodaram-se os pontos A e B, em arcos com a mesma amplitude e no mesmo sentido do da rotação doarco da rotação do ponto C, de modo a que A’1 e B’1 se situem sobre hγγ’, sendo A’ e B’ os pontos A e B rodados. A e B roda-ram em planos horizontais (de nível), à semelhança do ponto C, pelo que mantiveram as suas cotas, o que nos permitiu deter-minar A’2 e B’2. Determinadas as projecções dos três pontos, após a rotação do plano γ, e atendendo a que, na sua novaposição, o plano é um plano frontal (de frente), o triângulo projecta-se em verdadeira grandeza no Plano Frontal de Projecção– a verdadeira grandeza do triângulo [ABC] está no triângulo [A’2B’2C’2].

Em primeiro lugar representou-se o plano θ pelos seus traços, em função dos dados. Para transformar um plano de topo numplano horizontal (de nível), através de uma rotação, as alterações processam-se ao nível das cotas dos pontos, mantendo-seos seus afastamentos, pelo que os arcos da rotação estão contidos em planos frontais (de frente) – o eixo da rotação é ne-cessariamente uma recta de topo (uma recta ortogonal aos planos que contêm os arcos da rotação). Nesse sentido, dese-nharam-se as projecções de um eixo e, de topo, qualquer. Em seguida determinou-se um ponto A, qualquer, situado no traçofrontal do plano (fθθ), sendo A o ponto que nos permite rodar o plano, pois o segmento [OA] é simultaneamente ortogonal aoplano θ e ao eixo (sendo O o centro da rotação do ponto A). Para que o plano θ se transforme num plano horizontal (de nível),é necessário que fθθ rode até se transformar numa recta frontal paralela ao Plano Horizontal de Projecção (uma recta fronto-ho-rizontal), o que se processa conforme exposto no relatório do exercício 254. O ponto A tem de rodar de modo a que [O2A2] fi-que perpendicular ao eixo X, ou seja, até que se tenha A’1 � O1. Uma vez que fθθ é perpendicular a [O2A2], após a rotaçãomantém-se a perpendicularidade, pelo que fθθ’ (que é perpendicular a [O2A’2]) fica paralelo ao eixo X, que era o pretendido.Note que o arco da rotação do ponto A (que está contido num plano frontal) está contido no próprio Plano Frontal de Projec-ção, pois A tem afastamento nulo. O plano θ é, agora, após a rotação, um plano horizontal (de nível), logo está paralelo ao Pla-no Horizontal de Projecção – não tem traço horizontal. O traço horizontal do plano θ, que era uma recta de topo do plano θcom cota nula antes da rotação, transforma-se agora numa recta de topo do plano, com a cota que do plano θ, após a rota-ção. Nesse sentido, representaram-se as duas projecções de hθ’, apesar de tal não ser necessário.

256.

113

SOLUÇÕES

257.Em primeiro lugar representou-se a recta a, pelas suas projecções, em funçãodos dados. Uma vez que as duas rectas têm as suas projecções horizontais coin-cidentes, sabe-se imediatamente que b1 está coincidente com a1 – b1 � a1. So-bre a recta b é dado um ponto – o ponto B. A partir do afastamento do ponto B,desenharam-se as suas projecções – B1 tem de se situar sobre b1, pois B é umponto da recta b. A partir da projecção frontal do ponto B foi possível desenhar aprojecção frontal da recta b, que é paralela à recta a.a) Trata-se de um plano vertical (um plano projectante horizontal), pois as pro-

jecções horizontais das duas rectas estão coincidentes.b) Para transformar um plano vertical num plano frontal (de frente), as alterações

processam-se ao nível dos afastamentos dos pontos, mantendo-se as suascotas – nesse sentido, os arcos da rotação estão contidos em planos horizon-tais (de nível), pelo que o eixo de rotação é uma recta vertical. Desenharam-seas projecções de um eixo vertical, e, de modo a que o ponto A seja o ponto arodar – o segmento [OA] é simultaneamente ortogonal ao plano e ao eixo darotação, sendo O o centro da rotação do ponto A. O ponto A rodou de modo aque [OA’] fique de topo, ou seja, até se ter A’2 � O2. O ponto A tem de rodar de modo a que [O1A1] fique perpendicular aoeixo X, ou seja, até que se tenha A’2 � O2. Uma vez que a recta na qual estão coincidentes as projecções horizontais dasduas rectas é perpendicular a [O1A1], após a rotação mantém-se a perpendicularidade, pelo que aquela recta (que é perpen-dicular a [O1A’1]) fica paralela ao eixo X, que era o pretendido – este procedimento garante que o plano d se tornou num pla-no frontal (de frente). Já temos a projecção horizontal das duas rectas, após a rotação – a’1 � b’1. Para definir a recta a, nasua nova posição, necessitamos de um outro ponto da recta (para definir uma recta são necessários dois pontos ou umponto e uma direcção). Nesse sentido, representou-se um ponto C, qualquer, pertencente à recta a. O ponto C rodou até C’1se situar sobre a’1. Uma vez que a rotação do ponto C se processou num plano horizontal (de nível), o ponto C manteve acota, pelo que C’2 tem determinação imediata. A partir de C’2, é possível desenhar a’2, que fica definida por A’2 e por C’2 (arecta a’ está definida por dois pontos) De forma semelhante, para definir a recta b, na sua nova posição, necessitamos igual-mente de um ponto da recta, uma vez que a recta b é paralela à recta a e, assim, já temos a direcção (para definir uma rectasão necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção). Recorreu-se ao ponto B, que define a recta b (e é dado no enun-ciado). O ponto B rodou de forma idêntica à descrita para o ponto C – o ponto B rodou até B’1 se situar sobre b’1. Uma vezque a rotação do ponto B se processou num plano horizontal (de nível), o ponto B manteve a cota, pelo que B’2 tem deter-minação imediata. Obtendo as projecções do ponto B’ (que é o ponto B rodado), é possível desenhar b’2, paralela a a’2, poisas rectas a e b são paralelas (a recta b’ está definida por um ponto e uma direcção).

258.Em primeiro lugar representou-se o plano θ, pelos seus traços, bemcomo os pontos A, B e C, pelas respectivas projecções e pertencentesao plano θ, em função dos dados (ver exercício 254 e respectivo relató-rio), o que nos permitiu desenhar as projecções do triângulo. Sobre asetapas e raciocínios necessários à resolução do exercício, e uma vezque se trata de uma situação muito idêntica à do exercício 254, acon-selha-se o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com aleitura do relatório daquele exercício. Realmente, a única diferença en-tre este exercício e o exercício 254 consiste no facto de, agora, ser es-pecificada a cota pretendida para o plano θ, após a sua rotação. Talimplica, basicamente, uma criteriosa escolha do eixo da rotação. Defacto, uma vez que se pretende transformar o plano θ num plano hori-zontal (de nível) com 3 cm de cota, o eixo de rotação escolhido tem denos garantir que, no final, o plano fique com a cota pretendida. Assim,se bem que houvesse outras hipóteses, a mais fácil é a situação apre-sentada, que consiste num eixo de rotação contido no Plano Horizontalde Projecção (com cota nula) e a 3 cm do plano θ. De facto, uma vezque a relação entre o plano e o eixo de rotação é fixa, o plano θ estarásempre a 3 cm do eixo de rotação. Por outro lado, uma vez que o eixotem cota nula (é uma recta do Plano Horizontal de Projecção), no final,após a rotação, o plano θ terá necessariamente 3 cm de cota (que é adistância ao eixo da rotação) que é, afinal, o pretendido. Uma outra di-ferença em relação ao exercício 254, consiste no facto de esta situação nos obrigar a determinar um ponto P, do plano, quenos permita rodar o plano até este ficar horizontal (de nível), pois o raciocínio acima descrito para a determinação do eixo darotação não é compatível com a localização arbitrária do eixo da rotação, de modo a usar um dos vértices do triângulo comoo ponto a rodar. Com vista a uma maior simplificação e economia de traçados, optou-se por escolher um ponto P, do traçofrontal do plano – o ponto P roda no próprio Plano Frontal de Projecção, que é o plano frontal (de frente) que contém o pontoe o seu arco de rotação (ver exercício 256 e respectivo relatório).

114

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B pelas suas projecções e desenharam-se as projecções do segmento[AB]. O segmento não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que não se projecta em verdadeira grandeza em ne-nhum dos planos de projecção. Nesse sentido, para determinar a sua verdadeira grandeza, é necessário o recurso a um pro-cesso geométrico auxiliar que, tal como é expressamente pedido no enunciado, será o rebatimento do plano projectantehorizontal do segmento para o Plano Frontal de Projecção. Assim, conduziu-se, pelo segmento, um plano vertical α (um planoprojectante horizontal). Em seguida identificou-se a charneira do rebatimento – a identificação da charneira do rebatimento de-verá preceder sempre a execução de um rebatimento. Rebatendo o plano projectante horizontal de [AB] (o plano α) para oPlano Frontal de Projecção, a charneira é a recta de intersecção dos dois planos – a charneira é o traço frontal do plano α (fα).Assim sendo, a charneira (o eixo de rotação) é o traço frontal do plano, fαα, que roda sobre si próprio, pelo que se tem fαα � e2

� fααr. A projecção horizontal da charneira é um ponto (a charneira é uma recta vertical). O traço horizontal do plano, hαα, roda

até ao eixo X, pelo que se tem hααr � X. O eixo de rotação (charneira do rebatimento) é uma recta vertical, pelo que os arcosdo rebatimento estão contidos em planos horizontais (de nível) e projectam-se em verdadeira grandeza no Plano Horizontal deProjecção. Em seguida, efectuou-se o rebatimento de cada um dos pontos. Para o rebatimento do ponto A, conduziu-se umalinha horizontal por A2, que corresponde ao traço frontal do plano horizontal (de nível) que contém o arco do seu rebatimento –Ar terá a cota de A. Em seguida, fez-se centro em e1 e, com raio até A1, desenhou-se a projecção horizontal do arco do rebati-mento de A, rodando-se (rebatendo-se) A1 até ao eixo X (onde se situa hααr

). A partir do extremo do arco (que se situa no eixoX) conduziu-se uma linha perpendicular ao eixo X até à linha horizontal que passa por A2 – o ponto de intersecção das duas li-nhas é Ar. Em seguida repetiu-se o processo para o ponto B. Em primeiro lugar conduziu-se uma linha horizontal por B2, quecorresponde ao traço frontal do plano horizontal (de nível) que contém o arco do seu rebatimento – Br terá a cota de B. Em se-guida, fez-se centro em e1 e, com raio até B1, desenhou-se a projecção horizontal do arco do rebatimento de B, rodando-se(rebatendo-se) B1 até ao eixo X (onde se situa hααr

). A partir do extremo do arco (que se situa no eixo X) conduziu-se uma linhaperpendicular ao eixo X até à linha horizontal que passa por B2 – o ponto de intersecção das duas linhas é Br. A�r�B�r� é a verda-deira grandeza do segmento [AB], que está rebatido no Plano Frontal de Projecção.

259.

115

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B pelas suas projecções e desenharam-se as projecções do segmento[AB]. O segmento não se projecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção. Para determinar a sua verda-deira grandeza, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar que, tal como é expressamente pedido no enuncia-do, será o rebatimento do plano projectante horizontal do segmento para o plano frontal (de frente) que contém o ponto B.Assim, conduziu-se, pelo segmento, um plano vertical α (um plano projectante horizontal). Em seguida representou-se o planofrontal (de frente) ϕ que contém o ponto B, para o qual se irá processar o rebatimento do plano α. Note que, rebatendo o pla-no α para um plano frontal (de frente), as verdadeiras grandezas situam-se no Plano Frontal de Projecção, pois os objectos re-batidos estão num plano que é paralelo ao Plano Frontal de Projecção. Em seguida identificou-se a charneira do rebatimento –a identificação da charneira do rebatimento deverá preceder sempre a execução de qualquer rebatimento. Rebatendo o pla-no projectante horizontal de [AB] (o plano a) para o plano ϕ (o plano frontal que contém o ponto B), a charneira do rebatimentoé a recta de intersecção dos dois planos – a charneira do rebatimento é a recta e, que é uma recta vertical (uma recta projec-tante horizontal), comum aos dois planos. A projecção horizontal da charneira é um ponto. A charneira do rebatimento é umarecta vertical, pelo que os arcos do rebatimento estão contidos em planos horizontais (de nível) e projectam-se em verdadeiragrandeza no Plano Horizontal de Projecção. O ponto B é um ponto da charneira, pelo que é fixo – roda sobre si próprio. As-sim, tem-se imediatamente Br � B2. Note que, ao contrário da situação do exercício anterior, em que Br estava no Plano Fron-tal de Projecção (razão pela qual não se representaram as projecções de Br), nesta situação Br está no espaço, no plano ϕ.Assim sendo, nesta situação, Br tem efectivamente duas projecções – Br1 e Br2

. No entanto, usualmente, não se representamas projecções de Br. De facto, uma vez que se pretende determinar a verdadeira grandeza do segmento, representa-se, ape-nas, a projecção na qual aquela existe, que é em projecção frontal, omitindo que se trata de uma projecção (por questões desimplificação de traçado), razão porque se indica, apenas, Br onde deverá estar Br22

. O rebatimento do ponto A processou-sede forma idêntica à exposta no relatório do exercício anterior. Para o rebatimento do ponto A, conduziu-se uma linha horizon-tal por A2, que corresponde ao traço frontal do plano horizontal (de nível) que contém o arco do seu rebatimento – Ar terá acota de A. Em seguida, fez-se centro em e1 e, com raio até A1, desenhou-se a projecção horizontal do arco do rebatimento deA, rodando-se (rebatendo-se) A1 até ao hϕϕ (que é onde se situa hααr, apesar de tal não se ter indicado). A partir do extremo doarco (que se situa em hϕϕ) conduziu-se uma linha perpendicular ao eixo X até à linha horizontal que passa por A2 – o ponto deintersecção das duas linhas é Ar. Ar situa-se no espaço, no plano ϕ, pelo que tem duas projecções. No entanto, à semelhan-ça do referido para o ponto B, não se representam as projecções de Ar, indicando-se apenas Ar onde deveria estar a sua pro-jecção frontal (porque a verdadeira grandeza está na projecção frontal). O segmento [ArBr] está, agora, contido num planofrontal (de frente), pelo que se projecta em verdadeira grandeza no Plano Frontal de Projecção. A�r�B�r� é a verdadeira grandezado segmento [AB], que se encontra rebatido num plano frontal (de frente). Comparação com a resolução do exercício ante-rior: o rebatimento efectuado neste exercício apresenta a vantagem de se ter de rebater apenas um ponto (o ponto A), aocontrário do exercício anterior, em que foi necessário rebater dois pontos (os dois extremos do segmento). De facto, rebaten-do o plano α para um plano que contém um dos extremos do segmento, esse extremo é imediatamente um ponto da charnei-ra, pelo que é fixo (roda sobre si próprio), estando imediatamente rebatido.

260.

116

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se os pontos P e Q, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida repre-sentou-se o plano δ, de topo, pelos seus traços, passando pelos pontos P e Q – uma vez que o plano δ é um plano projectan-te frontal, sabe-se que o seu traço frontal, fδδ, contém necessariamente as projecções frontais dos pontos P e Q (fδδ passa porP2 e Q2). O traço horizontal do plano, por sua vez, é uma recta de topo que é concorrente com fδδ no eixo X. Após a determina-ção dos traços do plano δ, foi possível determinar as projecções do ponto R, pertencente ao plano – R2, a sua projecção fron-tal, situa-se necessariamente sobre fδδ, pois o plano δ é projectante frontal. A partir das projecções dos três pontos,desenharam-se as projecções do triângulo. O triângulo não se projecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos deprojecção, pois o plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Assim, para determinar a verdadeira grandeza dotriângulo é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar, que, tal como é expressamente pedido no enunciado,será o rebatimento do plano δ para o Plano Horizontal de Projecção. Em seguida identificou-se a charneira do rebatimento – aidentificação da charneira do rebatimento deverá preceder sempre a execução de qualquer rebatimento. Rebatendo o planoδ para o Plano Horizontal de Projecção, a charneira é a recta de intersecção dos dois planos – a charneira do rebatimento é otraço horizontal do plano d (hδδ). O traço horizontal do plano δ (a charneira do rebatimento) roda sobre si próprio, pelo que setem hδδ � e1 � hδδr. A projecção frontal da charneira é um ponto, pois trata-se de uma recta de topo. O traço frontal do plano,fδδ, roda até ao eixo X, pelo que se tem fδδr � X. O eixo da rotação (a charneira do rebatimento) é uma recta de topo, pelo queos arcos do rebatimento estão contidos em planos frontais (de frente) e projectam-se em verdadeira grandeza no Plano Fron-tal de Projecção. Em seguida processou-se o rebatimento de cada um dos pontos. Para o rebatimento do ponto P, conduziu-se uma linha horizontal por P1, que corresponde ao traço horizontal do plano frontal (de frente) que contém o arco do seurebatimento – Pr terá o afastamento de P. Em seguida, fez-se centro em e2 e, com raio até P2, desenhou-se a projecção fron-tal do arco do rebatimento de P, rodando-se (rebatendo-se) P2 até ao eixo X (onde se situa fδδr). A partir do extremo do arco(que se situa no eixo X) conduziu-se uma linha perpendicular ao eixo X até à linha horizontal que passa por P1 – o ponto de in-tersecção das duas linhas é Pr. Em seguida repetiu-se o processo para o ponto Q. Em primeiro lugar conduziu-se uma linhahorizontal por Q1, que corresponde ao traço horizontal do plano frontal (de frente) que contém o arco do seu rebatimento – Qr

terá o afastamento de Q. Em seguida, fez-se centro em e2 e, com raio até Q2, desenhou-se a projecção frontal do arco do re-batimento de Q, rodando-se (rebatendo-se) Q2 até ao eixo X (onde se situa fδδr). A partir do extremo do arco (que se situa noeixo X) conduziu-se uma linha perpendicular ao eixo X até à linha horizontal que passa por Q1 – o ponto de intersecção dasduas linhas é Qr. Por fim repetiu-se o processo para o ponto R. Em primeiro lugar conduziu-se uma linha horizontal por R1,que corresponde ao traço horizontal do plano frontal (de frente) que contém o arco do seu rebatimento – Rr terá o afastamentode R. Em seguida, fez-se centro em e2 e, com raio até R2, desenhou-se a projecção frontal do arco do rebatimento de R, ro-dando-se (rebatendo-se) R2 até ao eixo X (onde se situa fδδr). A partir do extremo do arco (que se situa no eixo X) conduziu-seuma linha perpendicular ao eixo X até à linha horizontal que passa por R1 – o ponto de intersecção das duas linhas é Rr. Apartir de Pr, Qr e Rr, desenhou-se o triângulo [PrQrRr], que é a verdadeira grandeza do triângulo [PQR], que está rebatido noPlano Horizontal de Projecção.

261.

117

SOLUÇÕES

262.Em primeiro lugar representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e os pontosP, Q e R, pelas respectivas projecções, em função dos dados, conforme ex-posto no relatório do exercício anterior. O triângulo não se projecta em verda-deira grandeza em nenhum dos planos de projecção, pelo que a determinaçãoda sua verdadeira grandeza passa necessariamente pelo recurso a um pro-cesso geométrico auxiliar que, tal como é expressamente pedido no enun-ciado, será o rebatimento do plano δ para o Plano Frontal de Projecção.Assim, em primeiro lugar identificou-se a charneira do rebatimento – a identifi-cação da charneira do rebatimento deverá preceder sempre a execução dequalquer rebatimento. Pretende-se rebater o plano δ para o Plano Frontal deProjecção, pelo que a charneira do rebatimento é a recta de intersecção dosdois planos – a charneira do rebatimento é o traço frontal do plano δ (fδδ). Noteque, na situação do exercício anterior, a charneira era uma recta projectante,o que não se verifica nesta situação – a charneira, nesta situação, não é umarecta projectante. O traço frontal do plano δ (que é a charneira) roda sobre sipróprio, pelo que se tem imediatamente fδδ � e2 � fδδr

. A projecção horizontalda charneira, e1, está no eixo X (e1 � X), pois a charneira, nesta situação, éuma recta frontal (de frente) com afastamento nulo. O traço horizontal doplano, hδδ, faz um ângulo recto (90º) com fδδ, no espaço, sendo que, em rebati-mento, esse ângulo está em verdadeira grandeza – assim, hδδr

faz, com fδδr, um

ângulo de 90º (a V.G. do ângulo que hδδ faz com fδδ). Identificada correctamente a charneira e representados os traços do planoδ em rebatimento, analisemos, agora, a questão do rebatimento de cada ponto. Note que, nesta situação, os arcos do rebati-mento não se projectam em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção. De facto, uma vez que a charneira éuma recta frontal (de frente), e atendendo a que os arcos do rebatimento estão contidos em planos ortogonais à charneira,nesta situação os arcos do rebatimento estão contidos em planos de topo ortogonais a fδδ – esses planos não são paralelos anenhum dos planos de projecção, pelo que os arcos do rebatimento não se projectam em verdadeira grandeza as suas pro-jecções horizontais serão arcos de elipses). Há, então que contornar a situação, pois não se poderão desenhar os arcos do re-batimento. Nesse sentido, há a registar que, neste rebatimento, o raio do arco do rebatimento de cada ponto énecessariamente o afastamento desse ponto. Assim, no rebatimento do ponto P, por exemplo, o raio do seu arco do rebati-mento é o próprio afastamento de P. Comecemos por desenhar uma recta perpendicular à charneira, passando por P2 – essarecta corresponde ao traço frontal do plano de topo (ortogonal à charneira) que contém o arco do rebatimento do ponto P.Uma vez que o arco do rebatimento do ponto P está contido nesse plano, Pr terá de se situar sobre essa perpendicular àcharneira. O centro do arco do rebatimento é o próprio P2 – Pr situar-se-á sobre a perpendicular à charneira que passa por P2,tal que P�2�P�R� é o raio do arco do rebatimento, ou seja, P�2�P�R� é o afastamento do ponto P. Para tal, transportou-se o afasta-mento do ponto P para hδδ, através de uma recta frontal (de frente) do plano, obtendo H, o traço horizontal da recta f sobre hδδ.Com o recurso ao compasso, fazendo centro no ponto de concorrência de hδδ com fδδ (que é o ponto de hδδ que é fixo, pois éum ponto da charneira) e com raio até H1, transportou-se o afastamento de H (que é o afastamento do ponto P) para hδδr

, ob-tendo Hr sobre hδδr

. Note que o arco desenhado não tem correspondência directa no espaço, sendo um mero arco de trans-porte. Por Hr conduziu-se fr, paralela a fδδr

(rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal doplano, no espaço, em projecção e em rebatimento). O ponto de intersecção de fr com a perpendicular à charneira que passapor P2 é Pr. Repetiu-se o processo para os pontos Q e R, obtendo-se Qr e Rr. Para uma maior simplificação da resolução grá-fica do problema, omitiram-se as representações das rectas frontais (de frente) que passam por Q e R (em projecções e emrebatimento), bem como dos seus traços horizontais. Assim, para rebater o ponto Q desenhou-se uma recta perpendicular àcharneira, passando por Q2 – essa recta corresponde ao traço frontal do plano de topo (ortogonal à charneira) que contém oarco do rebatimento de Q. Qr terá de se situar sobre essa perpendicular à charneira. O centro do arco do rebatimento é Q2 –Qr situar-se-á sobre a perpendicular à charneira que passa por Q2, tal que Q�2�Q�r� é o raio do arco do rebatimento (Q2Qr é oafastamento do ponto Q). Para tal, transportou-se o afastamento do ponto Q para hδδ, através de uma paralela ao eixo X (quecorresponde à projecção horizontal de uma recta frontal do plano que passa por Q), obtendo um ponto sobre hδδ (que corres-ponde ao traço horizontal da recta frontal). Com o recurso ao compasso, fazendo centro no ponto de concorrência de hδδ comfδδ e com raio até ao ponto determinado sobre hδδ, transportou-se o afastamento de Q para hδδr

, obtendo um ponto sobre hδδr.

Por esse ponto conduziu-se uma linha paralela a fδδr– o ponto de intersecção dessa linha com a perpendicular à charneira que

passa por Q2 é Qr. Por fim, para rebater o ponto R desenhou-se uma recta perpendicular à charneira, passando por R2 – Rr

terá de se situar sobre essa perpendicular à charneira. O centro do arco do rebatimento de R é R2 – Rr situar-se-á sobre a per-pendicular à charneira que passa por R2, tal que R�2�R�r� é o raio do arco do rebatimento (R�2�R�r� é o afastamento do ponto R).Para tal, transportou-se o afastamento do ponto R para hδδ, através de uma paralela ao eixo X, obtendo um ponto sobre hδ.Com o recurso ao compasso, fazendo centro no ponto de concorrência de hδδ com fδδ e com raio até ao ponto determinado so-bre hδδ, transportou-se o afastamento de R para hδδr

, obtendo um ponto sobre hδδr. Por esse ponto conduziu-se uma linha para-

lela a fδδr– o ponto de intersecção dessa linha com a perpendicular à charneira que passa por R2 é Rr. A partir de Pr, Qr e Rr,

desenhou-se o triângulo [PrQrRr], que é a verdadeira grandeza do triângulo [PQR], que está rebatido no Plano Frontal de Pro-jecção.

118

SOLUÇÕES

263.Em primeiro lugar, representou-se o plano α pelos seus traços e determinou-se arecta de intersecção do plano a com o β1/3, uma vez que os pontos A e B são doispontos comuns aos dois planos (são necessariamente dois pontos da recta de in-tersecção entre os dois planos). Em seguida determinaram-se as projecções dospontos A e B, pertencentes à recta i, em função das coordenadas dadas no enun-ciado. Tenha em conta que as projecções dos pontos A e B se poderiam ter deter-minado apenas em função das suas coordenadas – uma vez que se trata depontos do β1/3, sabe-se que têm coordenadas iguais, pelo que A tem 2 cm de cotae de afastamento, assim como B tem 5 cm de afastamento e de cota. Em seguidadeterminaram-se as projecções do ponto C – o lado [AC] do triângulo é vertical (éprojectante horizontal), pelo que se tem imediatamente C1 � A1. Por outro lado, Ctem a mesma cota de B, pois o lado [BC] é horizontal (de nível), o que nos permitiudeterminar C2. A partir das projecções dos três vértices do polígono, desenharam-se as projecções do triângulo. O plano α, que contém o triângulo, não é paralelo anenhum dos planos de projecção, pelo que o triângulo não se projecta em verda-deira grandeza em nenhum dos planos de projecção – as duas projecções dotriângulo apresentam deformação. Assim, a determinação da verdadeira grandezado triângulo passa, necessariamente, pelo recurso a um processo geométricos au-xiliar que, como é expressamente pedido no enunciado, será o rebatimento doplano α para o plano frontal (de frente) que contém o lado [AC] do triângulo. As-sim, em primeiro lugar representou-se o plano ϕ, o plano frontal (de frente) para o qual se irá processar o rebatimento do planoα. O plano ϕ foi representado pelo seu traço horizontal – hϕϕ. Em seguida, determinou-se a charneira do rebatimento, que é arecta de intersecção dos dois planos – o plano α (o plano a rebater) e o plano ϕ (o plano para o qual se processa o rebatimen-to). A charneira do rebatimento é, assim, a recta vertical que passa por A e C – é a recta suporte do lado [AC] do triângulo. Otriângulo em rebatimento, após o rebatimento do plano α, estará contido no plano ϕ, pelo que se projectará em verdadeiragrandeza em projecção frontal (no Plano Frontal de Projecção). Assim, e uma vez que A e C são dois pontos da charneira, osdois pontos são fixos (rodam sobre si próprios), pelo que se tem imediatamente A2 � Ar e C2 � Cr. Este rebatimento permitiu-nos, assim, economizar o rebatimento destes dois pontos. Para rebater o plano α basta, então, rebater o ponto B. O arco dorebatimento do ponto B está contido num plano horizontal (que é um plano ortogonal à charneira), pelo que se projecta emverdadeira grandeza no Plano Horizontal de Projecção – com centro em e1 e raio até B1, com o compasso desenhou-se umarco de circunferência de B1 até hϕϕ, que é a projecção horizontal do arco do rebatimento de B, obtendo-se Br no Plano Frontalde Projecção, com a mesma cota do ponto B. A verdadeira grandeza do triângulo [ABC] está no triângulo [ArBrCr].

264.Em primeiro lugar, representou-se o plano α e desenharam-se as projecções dotriângulo [ABC], conforme exposto no relatório do exercício anterior, pelo que seaconselha a sua leitura. Mais uma vez, e atendendo a que o plano α, que contémo triângulo, não é paralelo a nenhum dos planos de projecção (as duas projec-ções do triângulo apresentam deformação), a determinação da verdadeira gran-deza do triângulo passa pelo recurso a um processo geométrico auxiliar que,como é expressamente pedido no enunciado, será o rebatimento do plano α parao plano horizontal (de nível) que contém o lado [BC] do triângulo. Assim, em pri-meiro lugar representou-se o plano ν, o plano horizontal (de nível) para o qual seirá processar o rebatimento do plano α. O plano ν foi representado pelo seu traçofrontal – fνν. Em seguida, determinou-se a charneira do rebatimento, que é a rectade intersecção dos dois planos – o plano α (o plano a rebater) e o plano ν (o pla-no para o qual se processa o rebatimento). A charneira do rebatimento é, assim,a recta horizontal (de nível) que passa por B e C – é a recta suporte do lado [BC]do triângulo. Note que a charneira do rebatimento tem determinação imediata,pois trata-se da intersecção entre um plano projectante horizontal e um planoprojectante frontal. O triângulo em rebatimento, após o rebatimento do plano α,estará contido no plano ν, pelo que se projectará em verdadeira grandeza emprojecção horizontal (no Plano Horizontal de Projecção). Assim, e uma vez que Be C são dois pontos da charneira, os dois pontos são fixos (rodam sobre si pró-prios), pelo que se tem imediatamente B1 � Br e C1 � Cr. Este rebatimento per-mitiu-nos, assim, economizar o rebatimento destes dois pontos. Para rebater o plano α basta, então, rebater o ponto A. Oarco do rebatimento de A está contido num plano vertical ortogonal a hαα, que não é paralelo a nenhum dos planos de projec-ção – o arco do rebatimento do ponto A não se projecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção. No en-tanto, sabe-se que Ar se situará numa perpendicular à charneira do rebatimento, que corresponde ao traço horizontal doplano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento. Por outro lado, sabe-se ainda que o arco do rebatimentode A tem centro em C e que o raio do arco do rebatimento de A é a distância de A ao plano α (a distância d assinalada nodesenho). Assim, Ar determina-se em projecção horizontal, sobre a perpendicular à charneira que passa por A1 tal que A�r�A�1� =d. A verdadeira grandeza do triângulo [ABC] está no triângulo [ArBrCr].

119

SOLUÇÕES

265.Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B pelas suas projecções e desenharam-se asduas projecções do segmento [AB]. O segmento [AB] não se projecta em verdadeira grandeza emnenhum dos planos de projecção, pois não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Assimsendo, a determinação da sua verdadeira grandeza passa, necessariamente, pelo recurso a umprocesso geométrico auxiliar que, de acordo com os conteúdos recentes, será o rebatimento doplano de perfil que contém o segmento. Assim sendo, em primeiro lugar há que conduzir, pelo seg-mento, um plano π, de perfil (um plano auxiliar, pois apenas se rebatem planos). Em qualquer dosrebatimentos possíveis do plano de perfil, a charneira será sempre uma recta projectante (ortogo-nal a um dos planos de projecção), pelo que os arcos do rebatimento existem, sempre, em planosparalelos a um dos planos de projecção. Optou-se por efectuar o rebatimento do plano π para oPlano Frontal de Projecção. O primeiro passo consiste na identificação da charneira do rebatimentoe dos traços do plano em rebatimento. Efectuando o rebatimento de π para o Plano Frontal de Pro-jecção, a charneira é fππ (é a recta de intersecção do plano a rebater com o plano para o qual se pro-cessa o rebatimento), que roda sobre si próprio, pelo que se tem imediatamente fπ � e2 � fππr. Otraço horizontal do plano em rebatimento, hππr, fica no eixo X, pelo que se tem X � hδδr. Como acharneira é uma recta vertical, os arcos do rebatimento estão contidos em planos horizontais (de nível), pelo que se projectamem verdadeira grandeza no Plano Horizontal de Projecção. Com centro em e1 e raio até A1, rodou-se A1 até ao eixo X (onde sesitua hππr), obtendo A1r (que não se representou, por não ser necessário). O ponto A manteve a sua cota ao longo do rebati-mento, pois rodou num plano horizontal (de nível), facto que nos permitiu obter Ar (com o recurso a uma linha horizontal quepassa por A2). Repetiu-se o processo para B, obtendo Br. O segmento, rebatido no Plano Frontal de Projecção, está em ver-dadeira grandeza – A�r�A�1� é, assim, a verdadeira grandeza de A�B�. Note que a determinação da verdadeira grandeza do seg-mento se poderia ter processado com o recurso a qualquer um dos outros dois processos geométricos auxiliares – amudança do diedro de projecção ou a rotação.

266.Em primeiro lugar representaram-se os pontos M e N, pelas suas projecções, e desenha-ram-se as projecções da recta p. Em seguida representou-se a projecção frontal do pontoK, K2, em função da sua cota. Não é possível determinar a projecção horizontal do ponto K,K1, de forma directa, pois a recta de perfil é a única recta cujas projecções não verificam oCritério de Reversibilidade, ou seja, em que a condição para que um ponto pertença auma recta é condição necessária mas não suficiente para que o ponto pertença, efectiva-mente, à recta. Assim, nesta situação, não basta que as projecções do ponto se situem so-bre as projecções homónimas da recta para que o ponto pertença à recta. Há, pois, querecorrer a raciocínios e/ou a procedimentos auxiliares, para determinar K1, a projecção hori-zontal do ponto K. O processo mais rápido e mais fácil é, efectivamente, rebater a recta, re-batendo o plano de perfil que a contém. Assim conduziu-se, pela recta p, um plano de perfilπ. Optou-se por rebater π para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira é hππ (é a rectade intersecção do plano π com o Plano Horizontal de Projecção), que é uma recta de topo,pelo que os arcos do rebatimento estão contidos em plano frontais (de frente) e projectam-se em verdadeira grandeza no Plano Frontal de Projecção. A charneira é hπ e fπ roda até aoeixo X, pelo que se tem imediatamente hππ � e1 � hππr

e X � fππr. A projecção frontal da char-

neira é um ponto (pois trata-se de uma recta de topo). Rebateram-se os pontos M e N. Parao rebatimento de M fez-se centro em e2 e raio até M2, com o compasso, e desenhou-se aprojecção frontal do arco do rebatimento de M, em verdadeira grandeza, até ao eixo X,onde se situa fππr

. O ponto M, no seu rebatimento, manteve o afastamento, pois o arco doseu rebatimento está contido num plano frontal (de frente), o que nos permitiu determinar Mr – Mr situa-se na linha horizontalque passa por M1. Repetiu-se o processo para o ponto N, obtendo Nr. A recta p rebatida, pr, passa por Mr e Nr. Em seguidarebateu-se o ponto K, fazendo centro em e2 e raio até K2 e desenhando a projecção frontal do arco do seu rebatimento, como compasso. Determinou-se Kr, sobre pr – K é um ponto da recta p. Por Kr conduziu-se uma linha horizontal (que correspon-de ao traço horizontal do plano frontal que contém o arco do seu rebatimento), o que nos permitiu determinar K1, a projecçãohorizontal do ponto K, sobre p1. A este processo, ou seja, à determinação das projecções de pontos de um plano a partir doseu rebatimento, chama-se inversão do rebatimento do plano (ou contra-rebatimento), pois consiste, precisamente, no pro-cesso contrário ao do rebatimento propriamente dito. Note que a determinação das projecções do ponto C se poderia ter pro-cessado com o recurso a qualquer um dos outros dois processos geométricos auxiliares – a mudança do diedro deprojecção ou a rotação.

120

SOLUÇÕES

267.Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B, pelas suas projecções, edesenharam-se as projecções da recta p. Em seguida representou-se a projec-ção horizontal do ponto C, C1, em função do seu afastamento. Não é possíveldeterminar a projecção frontal do ponto C (C2) de forma directa, pois a recta deperfil é a única recta cujas projecções não verificam o Critério de Reversibili-dade (ver relatório do exercício anterior). Para obter as projecções do ponto C,é necessário, entre outras hipóteses, rebater a recta, rebatendo o plano de perfilque a contém. As outras hipóteses consistem no recurso a uma mudança dodiedro de projecção ou a ma rotação. No entanto, optou-se por recorrer aorebatimento do plano de perfil que contém a recta p. Assim, conduziu-se, pelarecta p, um plano de perfil π, que se rebateu conforme exposto no relatório doexercício anterior. Após o rebatimento do plano p e da recta p, conduziu-se, porC1, uma linha horizontal (que corresponde ao traço horizontal do plano frontalque contém o arco do seu rebatimento), determinando-se Cr sobre pr. Em se-guida, inverteu-se o rebatimento de C, conduzindo, por Cr, uma perpendicularao eixo X até ao próprio eixo X, a partir do qual, com centro em e2, se dese-nhou a projecção frontal do arco do seu rebatimento (em sentido contrário aodos arcos do rebatimento de A e B) até p2, onde se situa C2. A este processo,ou seja, à determinação das projecções de pontos de um plano a partir do seurebatimento, chama-se inversão do rebatimento do plano.

Em primeiro lugar, representaram-se os pontos M e N, pelas suas projecções, e desenharam-se as projecções da recta p. Emseguida representaram-se a projecção frontal do traço horizontal da recta, H2, em função da sua cota (que é nula), e a projec-ção horizontal do traço frontal da recta, F1, em função do seu afastamento (que é nulo). Não é possível determinar as outrasprojecções dos traços da recta (H1 e F2), de forma directa, pois, tal como se referiu no relatório do exercício 266, a recta deperfil é a única recta cujas projecções não verificam o Critério de Reversibilidade. Assim, entre outras hipóteses (a mudançado diedro de projecção ou a rotação), optou-se por rebater a recta, através do rebatimento do plano de perfil que a contém,conduzindo-se, para o efeito, um plano de perfil π pela recta p. Optou-se por rebater o plano π para o Plano Horizontal de Pro-jecção, identificando-se imediatamente a charneira (ver relatório do exercício 266). Rebatendo o plano π e a recta p, conformeexposto no relatório do exercício 266, os traços da recta, em rebatimento, estão sobre os traços homónimos do plano, em re-batimento (a condição para que uma recta pertença a um plano, é que os traços da recta estejam sobre os traços homónimosdo plano, o que se verifica no espaço, em projecções e em rebatimento). Assim, Fr está sobre fππr

e Hr está sobre hππr. Note

que Fr e Hr se poderiam ter determinado através das suas projecções já conhecidas, conforme exposto nos relatórios dosexercícios 266 e 267, para os pontos K e C, respectivamente. O ponto H, o traço horizontal da recta, é um ponto da charneira(é um ponto de hππ), pelo que é um ponto fixo (roda sobre si próprio) – assim sendo, tem-se imediatamente Hr � H1. Para obteras projecções de F, o traço frontal da recta, é necessário inverter o rebatimento do plano, conforme se expôs no relatório doexercício 267. Assim, o arco do rebatimento do ponto F tem centro em e2, ou seja, é concêntrico com os arcos dos rebatimen-tos de M e N, e gira em sentido contrário ao daqueles, obtendo-se, assim, F2 sobre p2.

268.

121

SOLUÇÕES

269.Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B e a recta p, pelasrespectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, para determi-nar os pontos notáveis da recta p, e uma vez que as projecções da rectade perfil não verificam o Critério de Reversibilidade, é necessário o re-curso ao rebatimento da recta p (entre outras hipóteses), rebatendo oplano de perfil que a contém. Assim, conduziu-se, pela recta p, um planode perfil π. Em seguida efectuou-se o rebatimento do plano π para o Pla-no Frontal de Projecção – a charneira é fππ e os arcos do rebatimento es-tão contidos em planos horizontais (de nível), pois a charneira é umarecta vertical. Após a identificação da charneira do rebatimento e dos tra-ços do plano em rebatimento, rebateram-se os pontos A e B e dese-nhou-se a recta p, rebatida (pr passa por Ar e Br – ver exercício 266 erespectivo relatório). Os traços da recta p nos planos de projecção, emrebatimento, são os pontos Hr e Fr, que são os pontos de intersecção depr com hππr

e fππr, respectivamente (ver exercício 268 e respectivo relatório).

Para determinar os traços da recta p nos planos bissectores, é necessá-rio, em primeiro lugar, determinar as referências, em rebatimento, que nospermitem obter aqueles pontos. Essas referências são, precisamente, asrectas de intersecção do plano π com os planos bissectores, ou seja, asrectas i e i’ – ir e i’r são, em rebatimento, as rectas de intersecção do pla-no p com o β1/3 e o β2/4, respectivamente. Tenha em conta que se consi-derou serem i e i’ as rectas de intersecção do plano π com o β1/3 e o β2/4,respectivamente, não se tendo representado as suas projecções, mas,antes, tendo-se representado as mesmas directamente em rebatimento.Note que as rectas ir e i’r são concorrentes entre si num ponto do eixo X. Note ainda que as rectas ir e i’r são as bissectrizesdos quatro ângulos rectos formados entre fππr

e hππr. A distinção entre uma (ir) e a outra (i’r) faz-se principalmente por perceber

que, sendo a recta ir, em rebatimento, a recta de intersecção do plano π com o β1/3, e sendo A e B dois pontos do 1o Diedro, arecta ir tem necessariamente de passar pela quadrante do plano em que se situam Ar e Br. O ponto Qr é o ponto de intersec-ção de pr com ir. O ponto Ir é o ponto de intersecção de pr com i’r. Qr e Ir são os traços da recta p no β1/3 e no β2/4, em rebati-mento. Invertendo o rebatimento do plano π, determinaram-se as projecções dos pontos notáveis da recta p. Tenha em contaque o ponto I tem as suas projecções coincidentes e que o ponto Q tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X.Considera-se relevante referir, ainda, que é desnecessária a identificação das rectas ir e i’r como as rectas de intersecção doplano π com os planos bissectores – de facto, para a resolução do exercício basta desenhá-las como as bissectrizes dos qua-tro ângulos rectos formados entre fππr

e hππr.

270.Em primeiro lugar representou-se o ponto R, pelas suas projecções, em função dos da-dos. Em seguida teve-se em conta que dois pontos simétricos em relação ao eixo X se si-tuam na mesma recta de perfil passante (são equidistantes do eixo X), pelo que se situamno mesmo plano de perfil. Assim, em primeiro lugar conduziu-se, pelas projecções doponto R, as projecções de uma recta de perfil p, passante, e um plano de perfil π, quecontém o ponto e a recta. Em seguida, e uma vez que as projecções de rectas de perfilnão se verificam o Critério de Reversibilidade, recorreu-se ao rebatimento do plano deperfil p (entre outras hipóteses). Optou-se por rebater o plano π para o Plano Frontal deProjecção – a charneira do rebatimento é fπ e os arcos do rebatimento estão contidos emplanos horizontais (de nível), pois a charneira é uma recta vertical. Rebateu-se o ponto R,desenhando-se, em seguida, a recta p rebatida – pr passa por Rr e é concorrente com oeixo X. Os pontos R e T são equidistantes do eixo X, pelo que Tr se situa sobre pr, simé-trico de Rr em relação ao eixo X – as coordenadas de são T ( –2; –4). Invertendo o rebati-mento (contra-rebatendo o plano), obtiveram-se as projecções do ponto T. Note que oarco do rebatimento do ponto T tem a mesma amplitude do arco do rebatimento do pontoR, mas gira em sentido contrário. É possível, também, através de meros raciocínios, de-terminar as coordenadas do ponto T e desenhar imediatamente as suas projecções, semo recurso ao rebatimento atrás exposto. No entanto, há que ter sempre em conta que osdois pontos se situam numa mesma recta de perfil (passante), ou seja, as projecções dosdois pontos situam-se na mesma linha de chamada.

122

SOLUÇÕES

271.Em primeiro lugar representaram-se o ponto A e a recta p, pelas respectivas pro-jecções. A recta p, cujas projecções não verificam o Critério de Reversibilidade,está definida por um ponto (o ponto A) e pela sua direcção (o ângulo que a rectafaz com o Plano Horizontal de Projecção). A projecção frontal do ponto P determi-na-se directamente, em função da sua cota. Para determinar a projecção horizon-tal do ponto P é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar, pois asprojecções da recta de perfil não verificam o Critério de Reversibilidade. É ne-cessário, então, o recurso a um processo geométrico auxiliar – entre as diversashipóteses, optou-se pelo rebatimento do plano de perfil que contém a recta p. As-sim, conduziu-se, pela recta p, um plano de perfil π. Optou-se ainda por rebater oplano π para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira é hπ (que é uma rectade topo) e os arcos do rebatimento estão contidos em planos frontais (de frente).Após a identificação da charneira do rebatimento e dos traços do plano em rebati-mento, rebateu-se o ponto A – pr passa necessariamente por Ar. Já temos umponto para definir a recta pr – falta-nos outro ponto (à semelhança das situaçõesanteriores) ou uma direcção (que é o caso da presente situação). A informaçãorespeitante à direcção da recta refere-se ao ângulo que a recta faz com o PlanoFrontal de Projecção – esse ângulo está contido no plano π e será necessaria-mente o ângulo que a recta faz com fππ, o traço frontal do plano de perfil. Assim,por Ar conduziu-se pr, fazendo, com fππr

, um ângulo de 60º. Tenha em conta queexistem duas hipóteses para a recta pr passar por Ar e fazer um ângulo de 60ºcom fππr

– no entanto, apenas na hipótese apresentada se garante que o traço hori-zontal da recta tenha afastamento positivo (na outra hipótese, o traço horizontal darecta teria afastamento negativo). A recta pr é a recta p rebatida. Em seguida reba-teu-se o ponto P, obtendo-se Pr sobre pr. Invertendo o rebatimento, obteve-se P1,a projecção horizontal do ponto P (ver exercício 266 e respectivo relatório).

272.Em primeiro lugar representou-se o ponto M, pelas suas projecções, em fun-ção dos dados, e desenharam-se as projecções das duas rectas. As projec-ções da recta p desenharam-se imediatamente, o que nos permitiurepresentar o ponto N, pelas suas projecções e pertencente à recta p – a rec-ta p está, assim, definida por dois pontos. Uma vez que a recta r é uma rectapassante, desenhou-se a sua projecção horizontal, passando por M1 e com oângulo dado, o que nos permitiu determinar o ponto P, que é o ponto deconcorrência da recta r com o eixo X. A projecção frontal da recta r está defi-nida por P2 e por M2. Para determinar os traços do plano α, é necessário de-terminar os traços das duas rectas nos planos de projecção. Os traços darecta r estão coincidentes com o ponto P, pelo que os dois traços do planosão concorrentes no ponto P – já temos um ponto para definir qualquer dosdois traços do plano α. É necessário, em seguida, determinar os traços darecta p nos planos de projecção – F e H. Estes determinaram-se com o re-curso ao rebatimento do plano de perfil que contém a recta, pois as projec-ções da recta de perfil não verificam o Critério de Reversibilidade. Ostraços da recta p nos planos de projecção determinaram-se com os procedi-mentos efectuados no exercício 268 (ver respectivo relatório). A partir da de-terminação dos traços da recta p foi possível desenhar os traços do plano α.O traço frontal do plano, fαα, está definido por F e por P (está definido por doispontos). O traço horizontal do plano, hαα, está definido por H e por P (estáigualmente definido por dois pontos). Tenha em conta que este exercício sepoderia ter resolvido sem o recurso a qualquer processo geométrico auxiliar.De facto, com o recurso a uma recta auxiliar do plano α (uma recta paralela àrecta r e passando pelo ponto N, por exemplo), seria possível determinar ostraços do plano α, sem o recurso a qualquer processo geométrico auxiliar.

123

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, em função dos dados, e construíram-seas projecções do triângulo [ABC] (garantindo que o vértice C é o vértice mais à direita do polígono). Em seguida, e atendendoa que um tetraedro se assemelha a uma pirâmide triangular regular, determinou-se o ponto O, o centro da base, e, em segui-da, a projecção horizontal do quarto vértice do tetraedro – o vértice D. De facto, uma vez que a face [ABC] do sólido é hori-zontal (de nível), o eixo do sólido relativo a essa face (o segmento [OD]) está contido numa recta vertical (projectantehorizontal), pelo que se tem imediatamente O1 � D1. A partir da projecção horizontal de D, D1, já se têm as projecções hori-zontais de todos os vértices do sólido, pelo que é possível concluir, imediatamente, a construção da projecção horizontal dotetraedro (ver exercício 211). O problema reside, agora, na construção da projecção frontal do sólido, para o que é necessáriodeterminar a cota do vértice D, que nos permitirá determinar D2. Note que, em situações anteriores semelhantes à apresenta-da (ver exercício 211), a determinação do quarto vértice do sólido passou, sempre, pelo facto de uma das arestas que contêmesse vértice se projectar em verdadeira grandeza num dos planos de projecção, por ser, precisamente, paralela a um dos pla-nos de projecção. Ora, isso não se verifica neste caso – de facto, nesta situação, todas as arestas que contêm o vértice D (asarestas [AD], [BD] e [CD]) são oblíquas aos dois planos de projecção, pelo que não se projectam em verdadeira grandezaem nenhum deles. Assim, e uma vez que a determinação do vértice D passa, necessariamente, pelo facto de todas as ares-tas do sólido serem iguais (terem o mesmo comprimento), há que obter uma dessas arestas em verdadeira grandeza, o que,como noutras situações se referiu, implica forçosamente o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo pro-cesso do rebatimento, rebatendo um plano que contenha uma daquelas arestas do sólido. Assim, em primeiro lugar conduziu-se um plano auxiliar por uma das arestas do sólido que contêm o vértice D – a aresta [AD]. O plano α é o plano projectantehorizontal da aresta [AD]. E seguida rebateu-se o plano α para o Plano Frontal de Projecção – a charneira é fαα e os arcos dorebatimento estão contidos em planos horizontais (de nível). Efectuando o rebatimento do plano α, obteve-se Ar e Or – Dr temde se situar na vertical que passa por Or (e que corresponde ao eixo do sólido relativo à face [ABC], em rebatimento), tal queA�r�D�r� seja a medida da aresta do sólido, ou seja, tal que A�r�D�r� = A�B� = B�C� = A�C�. Uma vez que os segmentos [AB], [AC] e [BC]estão em verdadeira grandeza em projecção horizontal, ter-se-á que A�r�D�r� = A�1�B�1� = B�1�C�1� = A�1�C�1�. Assim, com o compasso, fa-zendo centro em Ar e raio A�1�B�1�, por exemplo, obteve-se Dr sobre a linha vertical que passa por Or. Uma vez que os arcos dorebatimento estão contidos em planos horizontais (de nível), o ponto D mantém a sua cota, pelo que a determinação de D2 éimediata –conduzindo, por Dr, uma linha horizontal (que corresponde ao traço frontal do plano horizontal que contém o arcodo seu rebatimento), determinou-se D2, na linha de chamada de D1. A partir das projecções frontais de todos os vértices dosólido desenhou-se o seu contorno aparente frontal, que é [A2D2C2]. O vértice B não integra o contorno aparente e é invisí-vel (por ser o vértice de menor afastamento), bem como todas as arestas que nele convergem. As arestas [AB] e [BC] (da face[ABC]) estão ocultas pela aresta [AC], pelo que não se representam as suas invisibilidades, o mesmo não acontecendo com aaresta [BD], cuja invisibilidade se representou convenientemente.

273.

124

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, em função dos dados, e construíram-seas projecções do triângulo [ABC]. Note que se garantiu que o triângulo se situa no espaço do 1o Diedro – o vértice C tem deter afastamento superior a A e a B. Em seguida, e atendendo a que um tetraedro se assemelha a uma pirâmide triangular re-gular, determinou-se o ponto O, o centro da base, e, em seguida, a projecção horizontal do quarto vértice do tetraedro (o vér-tice D), o que nos permitiu concluir a construção da projecção horizontal do sólido (ver exercício anterior e respectivorelatório). À semelhança do exercício anterior, o problema reside, agora, na construção da projecção frontal do sólido, para oque é necessário determinar a cota do vértice D, que nos permitirá determinar D2. Tal como na situação do exercício anterior,todas arestas que contêm o vértice D (as arestas [AD], [BD] e [CD]) são oblíquas aos dois planos de projecção, pelo que nãose projectam em verdadeira grandeza em nenhum deles. Assim, e uma vez que a determinação do vértice D passa, neces-sariamente, pelo facto de todas as arestas do sólido serem iguais, há que obter uma dessas arestas em verdadeira grandeza,o que implica forçosamente o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo processo do rebatimento, rebaten-do um plano que contenha uma daquelas arestas do sólido. Note que caso se optasse por recorrer a um plano projectante ho-rizontal que contivesse a aresta [AD] ou a aresta [BD], a resolução seria em tudo semelhante à resolução do exercício anterior.Assim, optou-se por uma situação ligeiramente diferente – atendendo a que a aresta [CD] do sólido é de perfil, optou-se porrebater esta aresta, rebatendo o plano de perfil que a contém. Assim, em primeiro lugar conduziu-se, pela aresta [CD], um pla-no de perfil π. Em seguida optou-se por rebater o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fππ e os arcos dorebatimento estão contidos em planos horizontais (de nível). Efectuando o rebatimento do plano π, obteve-se Cr e Or – Dr temde se situar na vertical que passa por Or (e que corresponde ao eixo do sólido relativo à face [ABC], em rebatimento), tal queA�r�D�r� seja a medida da aresta do sólido, ou seja, tal que A�r�D�r� = A�B� = B�C� = A�C�. Uma vez que os segmentos [AB], [AC] e [BC]estão em verdadeira grandeza em projecção horizontal, ter-se-á que A�r�D�r� = A�1�B�1� = B�1�C�1� = A�1�C�1�. Assim, com o compasso, fa-zendo centro em Cr e raio A�1�B�1�, por exemplo, obteve-se Dr sobre a linha vertical que passa por Or. Uma vez que os arcos dorebatimento estão contidos em planos horizontais (de nível), o ponto D mantém a sua cota, pelo que a determinação de D2 éimediata – conduzindo, por Dr, uma linha horizontal, determinou-se D2, na linha de chamada de D1. A partir das projecçõesfrontais de todos os vértices do sólido desenhou-se o seu contorno aparente frontal, que é [A2C2B2D2]. A única aresta invisí-vel do sólido é a aresta [AB], que está oculta pelas arestas [AC] e [BC], pelo que não há lugar à representação de invisibilida-des.

274.

125

SOLUÇÕES

REPRESENTAÇÕES DE FIGURAS PLANAS II

10

275.Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas suas projec-ções, bem como o plano γ, pelos seus traços, contendo os dois pontos.Uma vez que o plano γ é projectante frontal, sabe-se que as projecçõesfrontais dos dois pontos têm de estar sobre fγγ – este raciocínio permitiu-nos desenhar fγγ, passando por A2 e B2. O traço horizontal do plano é umarecta de topo do plano, que é concorrente com fγγ no eixo X. Em seguida,atendendo a que o triângulo está contido num plano de topo (que não éparalelo a nenhum dos planos de projecção), ambas as projecções da fi-gura estão deformadas, pelo que é necessário o recurso a um processogeométrico auxiliar. Como é expressamente pedido no enunciado, recor-reu-se ao processo da mudança do diedro de projecção. Para obter otriângulo em verdadeira grandeza através da mudança do diedro de pro-jecção, é necessário transformar o plano γ num plano horizontal (de nível) –ver exercício 242 e respectivo relatório. Efectuando a mudança do diedrode projecção, obtiveram-se as projecções dos pontos A e B no plano 4(A4 e B4), no novo diedro de projecção. No novo diedro de projecção o pla-no γ é um plano horizontal (de nível) – é paralelo ao plano 4. Assim, o triân-gulo projecta-se em verdadeira grandeza no plano 4. A partir de A4 e B4 construiu-se a projecção do triângulo no plano 4, emverdadeira grandeza, obtendo-se C4, bem como a projecção frontal do ponto C – C2 situa-se sobre fγγ, uma vez que se manti-veram as projecções frontais e, no novo diedro de projecção, o plano γ é ainda um plano projectante frontal. Para determinar aprojecção horizontal do ponto C (a projecção de C no plano 1, no diedro de projecção inicial), teve-se em conta que, na mu-dança do diedro de projecção efectuada, se mantiveram os afastamentos, pelo que C1 se determinou, precisamente, em fun-ção do afastamento de C (a distância de C1 ao eixo X é igual à distância de C4 ao eixo X’). Determinadas as duas projecçõesdo ponto C, desenharam-se as projecções do triângulo, no diedro de projecção inicial.

276.Em primeiro lugar representaram-se os pontos Q e S, pelas respec-tivas projecções, bem como o plano δ, pelos seus traços, contendoos dois pontos. Uma vez que o plano δ é projectante horizontal,sabe-se que as projecções horizontais dos dois pontos têm de es-tar sobre hδδ – este raciocínio permitiu-nos desenhar hδδ, passandopor Q1 e S1. O traço frontal do plano é uma recta vertical do plano,que é concorrente com hδδ no eixo X. Em seguida, atendendo a queo quadrado está contido num plano vertical (que não é paralelo anenhum dos planos de projecção), ambas as projecções da figuraestão deformadas, pelo que é necessário o recurso a um processogeométrico auxiliar. Como é expressamente pedido no enunciado,recorreu-se ao processo do rebatimento. Efectuou-se o rebatimen-to do plano δ para o Plano Frontal de Projecção – a charneira é fδδ eos arcos do rebatimento existem em planos horizontais (de nível).Após a identificação da charneira do rebatimento e dos traços doplano em rebatimento, rebateu-se o plano δ, obtendo Qr e Sr. Emseguida, construiu-se o quadrado em verdadeira grandeza, em re-batimento, obtendo Rr e Tr. Invertendo o rebatimento, obtiveram-seas projecções de R e T. O arco do contra-rebatimento do ponto Rtem a amplitude dos arcos dos rebatimentos de Q e S, é con-cêntrico com estes e gira em sentido contrário – a cota de R mantém-se, pois o arco do seu rebatimento está contido numplano horizontal (de nível). Determinando R1 sobre hδδ, obtém-se R2 na mesma linha de chamada de R1 e com a cota de Rr

(pois, no rebatimento efectuado, os pontos mantêm a sua cota). Repetiu-se o processo para o ponto T. A partir das duas pro-jecções dos pontos Q, R, S e T, desenharam-se as projecções do quadrado.

126

SOLUÇÕES

277.Em primeiro lugar representou-se o plano θ, pelos seus tra-ços, bem como o ponto A, pelas suas projecções, perten-cente ao plano. Uma vez que o plano θ é um planoprojectante frontal, sabe-se que a projecção frontal de A (A2)tem necessariamente de se situar sobre fθθ. Em seguida, aten-dendo a que o polígono está contido num plano de topo (quenão é paralelo a nenhum dos planos de projecção), ambas asprojecções da figura estão deformadas, pelo que é necessá-rio o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-sepelo rebatimento do plano θ, pelo rigor que proporciona epela facilidade de execução (recorde que o processo do re-batimento é o mais vantajoso para a resolução de problemasdeste tipo). Rebateu-se o plano θ para o Plano Horizontal deProjecção – a charneira é hθθ e os arcos do rebatimento estãocontidos em planos frontais (de frente). Após a identificaçãoda charneira do rebatimento e dos traços do plano em rebati-mento, rebateu-se o plano θ, obtendo Ar. Por Ar conduziu-seuma recta rr, sendo a recta r a recta suporte do lado [AB] dafigura – rr faz um ângulo de 50º com fθθ (em verdadeira gran-deza), que é o ângulo pedido. Tenha em conta que este ân-gulo apenas se pode medir em rebatimento (em V.G.), pois,em projecções, o ângulo sofre deformação, tal como o hexá-gono, uma vez que o plano que contém o ângulo (o plano θ)não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Em seguida, mediram-se os 3 cm (a medida do lado [AB]) sobre rr, a partirde Ar, garantindo que o ponto B se situe no 1o Diedro e com cota inferior a A (Br tem de estar mais próximo de hθθr do que Ar,pois os pontos do plano θ que têm cota nula situam-se em hθθ). Note que havia duas hipóteses para marcar o ângulo de 50º apartir de Ar, mas que a outra hipótese não garantiria que B tivesse cota inferior a A, como é expressamente pedido no enun-ciado, nem garantiria, sequer, que o hexágono se situasse no espaço do 1o Diedro na totalidade. A partir de Ar e Br construiu-se o hexágono em verdadeira grandeza, em rebatimento, obtendo os restantes vértices do polígono, em rebatimento. Emseguida inverteu-se o rebatimento do plano θ, obtendo-se as projecções de todos os vértices do hexágono, a partir das quaisse desenharam as duas projecções do polígono.

278.Em primeiro lugar representou-se o plano de perfil π, que contém o polígo-no, pelos seus traços, bem como o ponto Q, pelas suas projecções, per-tencente ao plano. Tendo em conta que o plano π é duplamenteprojectante, as projecções do ponto Q têm de se situar sobre os traços ho-mónimos do plano. Em seguida, atendendo a que o pentágono está conti-do num plano de perfil (que não é paralelo a nenhum dos planos deprojecção), ambas as projecções da figura estão deformadas, pelo que énecessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo re-batimento do plano π, pelo rigor que proporciona e pela facilidade de exe-cução. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – acharneira é fππ e os arcos do rebatimento estão contidos em planos horizon-tais (de nível). Após a identificação da charneira do rebatimento e dos tra-ços do plano em rebatimento, rebateu-se o plano π, obtendo Qr. Comcentro em Qr e com 3 cm de raio desenhou-se a circunferência circunscritaao pentágono, em verdadeira grandeza, em rebatimento, e construiu-se opentágono, inscrito na circunferência e atendendo aos dados. Note que éreferido que o lado de maior afastamento é vertical (paralelo a fππ). Assim,em rebatimento, o lado mais distante de fππr

tem de ser paralelo a fππr. Em se-

guida nomearam-se os vértices do pentágono, em rebatimento, seguindoas indicações dadas no enunciado – o lado vertical é [RS] e R tem cota su-perior a S. A partir do pentágono em verdadeira grandeza, inverteu-se o re-batimento do plano π, obtendo-se as projecções de todos os vértices dopolígono, bem como as projecções da figura que se reduzem, ambas, asegmentos de recta (o pentágono apresenta a deformação máxima em am-bas as projecções, pois o plano π é duplamente projectante).

127

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representou-se o plano λ, pelos seus traços, bem como o ponto Q, pelas suas projecções, pertencente aoplano. Uma vez que o plano λ é um plano projectante horizontal, sabe-se que a projecção horizontal do ponto Q (Q1) tem ne-cessariamente de se situar sobre hλλ. Em seguida, atendendo a que o círculo está contido num plano vertical (que não é para-lelo a nenhum dos planos de projecção), ambas as projecções da figura estão deformadas – note que a projecção horizontaldo círculo será um segmento de recta (o plano é projectante horizontal) e a sua projecção frontal será uma elipse. Assim, énecessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano λ, pelo rigor que proporciona epela facilidade de execução. Rebateu-se o plano λ para o Plano Frontal de Projecção – a charneira é fλλ e os arcos do rebati-mento estão contidos em planos horizontais (de nível). Após a identificação da charneira do rebatimento e dos traços do planoem rebatimento, rebateu-se o plano λ, obtendo Qr. Com centro em Qr e com 3 cm de raio, desenhou-se a circunferência quedelimita a figura, em verdadeira grandeza, em rebatimento. Para construir a elipse que é a projecção frontal da circunferên-cia, são necessários oito dos seus pontos, bem como o rectângulo envolvente e, se possível, os seus dois eixos. Entre a cir-cunferência e a elipse (que é a sua projecção frontal), existe uma relação homológica que tem, por eixo, a charneira dorebatimento (fλλ), pelo que há que inscrever a figura num quadrado de lados paralelos ao eixo de homologia. Desenhou-se oquadrado circunscrito à circunferência, em verdadeira grandeza, e desenharam-se as suas medianas e as suas diagonais. Ospontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado (os pontos A, B, C e D) são, imediatamente, quatro pontos dacircunferência que nos ajudarão a desenhar a elipse – as suas projecções frontais serão quatro pontos da elipse. Os pontosem que a circunferência corta as diagonais do quadrado são mais quatro pontos cujas projecções frontais serão os outrosquatro pontos que nos permitirão o desenho da curva da elipse. O diâmetro [AC] da circunferência, por ser paralelo ao eixode homologia, não sofre redução, pelo que corresponderá ao eixo maior da elipse. Por sua vez, o diâmetro [BD], por ser per-pendicular ao eixo de homologia, é o diâmetro que sofre maior redução, pelo que corresponderá ao eixo menor da elipse. In-verteu-se o rebatimento, obtendo-se as projecções do quadrado circunscrito à circunferência – a projecção horizontal doquadrado é um segmento de recta, que corresponde à projecção horizontal do círculo, e a projecção frontal do quadrado éum rectângulo, no qual se inscreverá a elipse. Desenharam-se as medianas e as diagonais do rectângulo, que são concor-rentes entre si sobre Q2 – tenha em conta que as medianas do rectângulo são as projecções frontais das medianas do quadra-do e as diagonais do rectângulo são as projecções frontais das diagonais do quadrado. Os pontos em que as medianas seapoiam nos lados do rectângulo são, imediatamente, as projecções frontais dos pontos A, B, C e D – A2, B2, C2 e D2. Estasprojecções frontais são, imediatamente, quatro pontos da elipse (são os vértices da elipse). [A2C2] é o eixo maior da elipsee [B2D2] é o eixo menor da elipse. Os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado foram transportadospara as projecções frontais daquelas, através de linhas horizontais (que correspondem aos planos horizontais que contêm osarcos dos seus rebatimentos), obtendo-se, assim, as projecções frontais de mais quatro pontos da elipse. A partir dos oitopontos determinados desenhou-se a elipse. No desenho da curva, teve-se em conta que a elipse é necessariamente tan-gente aos lados do rectângulo em A2, B2, C2 e D2.

279.

128

SOLUÇÕES

280.Em primeiro lugar representou-se o plano θ pelos seustraços, em função dos dados. Em seguida, uma vezque o círculo é tangente aos dois planos de projecção,poder-se-ia ter determinado directamente as projec-ções do ponto Q, o centro da figura, garantindo que Qesteja à mesma distância dos dois traços do plano,mas optou-se por uma situação diferente e mais rigoro-sa. Atendendo a que o círculo está contido num planode topo (que não é paralelo a nenhum dos planos deprojecção), ambas as projecções da figura estão defor-madas – note que a projecção frontal do círculo seráum segmento de recta (o plano é projectante frontal) ea sua projecção horizontal será uma elipse. Assim, énecessário o recurso a um processo geométrico auxi-liar. Optou-se pelo rebatimento do plano θ, pelo rigorque proporciona e pela facilidade de execução. Reba-teu-se o plano θ para o Plano Horizontal de Projecção –a charneira é hθθ e os arcos do rebatimento estão conti-dos em planos frontais (de frente). Após a identificaçãoda charneira do rebatimento e dos traços do plano emrebatimento, rebateu-se o plano θ. Em seguida, umavez que o círculo é tangente aos dois planos de pro-jecção, a circunferência que o delimita é necessaria-mente tangente aos dois traços do plano. Assim, emrebatimento, determinou-se Qr, equidistante de fθθr

e dehθθr

(a 4 cm de ambos, que é o raio do círculo), e dese-nhou-se a circunferência que delimita a figura, tangenteaos dois traços do plano (em rebatimento). Em seguida,inverteu-se o rebatimento, conforme exposto no relató-rio do exercício anterior, e desenharam-se as duas pro-jecções da figura.

281.Em primeiro lugar representou-se o plano θ, pelos seus tra-ços, e o ponto A, pelas suas projecções, pertencente ao planoθ, em função dos dados. Uma vez que o plano θ é um planoprojectante frontal, sabe-se que a projecção frontal do pontoA (A2) tem necessariamente de se situar sobre fθθ. Note que oponto A é um ponto de fθθ, pois tem afastamento nulo. Em se-guida, atendendo a que o polígono está contido num plano detopo (que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção),ambas as projecções da figura estão deformadas, pelo que énecessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Op-tou-se pelo rebatimento do plano θ, pelo rigor que proporcio-na e pela facilidade de execução. Rebateu-se o plano θ para oPlano Horizontal de Projecção – a charneira é hθθ e os arcos dorebatimento estão contidos em planos frontais (de frente).Após a identificação da charneira do rebatimento e dos traçosdo plano em rebatimento, rebateu-se o plano θ, obtendo Ar.Sobre o ponto B, sabe-se que dista 5 cm do ponto A (a medi-da do lado do quadrado) e que é um ponto do traço horizontaldo plano, pois tem cota nula. Assim, em rebatimento, com orecurso ao compasso, fazendo centro em Ar e com 5 cm deraio, determinou-se Br sobre hθθr

– tenha em conta que, em re-batimento, o lado [AB] está em verdadeira grandeza, o quenos permitiu medir directamente o lado do quadrado a partirde Ar. Em seguida, a partir de Ar e de Br, construiu-se o qua-drado em verdadeira grandeza, em rebatimento. Invertendo-se o rebatimento, obtiveram-se as projecções de todos osvértices do polígono, a partir das quais desenharam as duasprojecções do quadrado. Note que o ponto B é um ponto dacharneira, pelo que é fixo (roda sobre si próprio).

129

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representou-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto R, pelas suas projecções, pertencente a γ, em funçãodos dados. Uma vez que o plano γ é um plano projectante horizontal, sabe-se que a projecção horizontal do ponto R (R1) temnecessariamente de se situar sobre hγγ. Tenha em conta que o ponto R é um ponto de fγγ, pois tem afastamento nulo. Em segui-da, atendendo a que o segmento [RS] tem as suas projecções paralelas entre si, e que a sua projecção horizontal está neces-sariamente sobre hγγ (o plano é projectante frontal), sabe-se que [R2S2] tem de ser paralelo a hγγ, para que o segmento tenha assuas projecções paralelas entre si, conforme é expressamente pedido no enunciado. Este raciocínio permitiu-nos determinaras projecções do ponto S imediatamente, pois S tem cota nula – é um ponto de hγγ. A partir das projecções do lado [RS], eatendendo a que o polígono está contido num plano vertical (que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), ambasas projecções da figura estão deformadas, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelorebatimento do plano γ, pelo rigor que proporciona e pela facilidade de execução. Rebateu-se o plano γ para o Plano Frontalde Projecção – a charneira é fγγ e os arcos do rebatimento estão contidos em planos horizontais (de nível). Após a identificaçãoda charneira do rebatimento e dos traços do plano em rebatimento, rebateu-se o plano γ, obtendo Rr e Sr. Tenha em contaque o ponto R é um ponto fixo, pois situa-se na charneira (roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente Rr � R2. Apartir de Rr e Sr construiu-se o triângulo em verdadeira grandeza, em rebatimento, obtendo-se Tr. Inverteu-se o rebatimento,obtendo-se as projecções de T. A partir das duas projecções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as duas projec-ções do polígono.

282.

130

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A e D, pelas suas projecções, pertencentes aoplano α. Uma vez que o plano α é projectante horizontal, sabe-se que as projecções horizontais dos dois pontos têm neces-sariamente de se situar no traço horizontal do plano – A1 e D1 situam-se sobre hαα. Em seguida, uma vez que o hexágono dabase não se projecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção (pois o plano que o contém não é paraleloa nenhum dos planos de projecção), recorreu-se ao rebatimento do plano α para a determinação das projecções do hexágonoda base. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Frontal de Projecção – a charneira é fαα. Identificou-se a charneira e ostraços do plano, em rebatimento. Em seguida construiu-se o hexágono em verdadeira grandeza, em rebatimento, e inverteu-se o rebatimento, obtendo-se as projecções da base do sólido. Note que, em rebatimento, se determinou previamente o cen-tro do hexágono, o ponto O, cujas projecções também se determinaram, pois o eixo da pirâmide passa pelo ponto O. Apirâmide é regular, pelo que o seu eixo está contido numa recta ortogonal ao plano da base (o plano α). Assim, pelo ponto Oconduziu-se uma recta h, ortogonal ao plano α – a recta h, horizontal (de nível), passando por O e ortogonal ao plano α, é arecta suporte do eixo do sólido, sendo que h1 é perpendicular a hαα. Como a pirâmide é regular, a sua altura corresponde aocomprimento do seu eixo, que se projecta em verdadeira grandeza no Plano Horizontal de Projecção, pois a recta h é paralelaao Plano Horizontal de Projecção. Assim, a partir de O1, sobre h1, mediram-se os 7 cm (a altura da pirâmide), obtendo-se V1, aprojecção horizontal do vértice da pirâmide – V2 está sobre h2. Note que se teve em atenção o facto de a pirâmide se situar noespaço do 1o Diedro – V tem de ter afastamento positivo. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os contornos aparentes. O contorno aparente frontal é [A2B2C2D2V2F2]. O vértice E é invisível em projecção frontal (porser o vértice de menor afastamento), bem como todas as arestas que nele convergem – as arestas [DE], [EF] e [EV]. As arestas[AV], [BV] e [CV] são visíveis, em projecção frontal, pois separam faces visíveis (em projecção frontal). O contorno aparentehorizontal é [B1C1D1E1V1]. Em projecção horizontal, os vértices A e F são invisíveis, por serem os vértices de menor cota,pelo que as arestas [AV] e [FV] são invisíveis. As arestas [DV] e [CV] são visíveis, em projecção horizontal, pois separam facesvisíveis em projecção horizontal. Tenha em conta que as arestas [EF], [AF] e [AB], da base, são invisíveis em projecção hori-zontal, mas estão ocultas pelas arestas da base que são visíveis.

REPRESENTAÇÃO DE SÓLIDOS II

11

283.

131

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, e o plano δ, pelos seus traços, contendoaqueles pontos. Uma vez que o plano δ é projectante horizontal, o seu traço horizontal contém as projecções horizontais da-queles pontos – hδδ passa por A1 e por B1. O traço frontal do plano, fδδ, é uma recta vertical do plano que é concorrente com hδδno eixo X. Tenha em conta que A é um ponto de fδδ, pois tem afastamento nulo, e B é um ponto de hδδ, pois tem cota nula. Emseguida, para obter as projecções do quadrado [ABCD], da base, foi necessário recorrer a um rebatimento, pois o plano δ nãoé paralelo a nenhum dos planos de projecção. Em seguida, uma vez que o quadrado [ABCD] não se projecta em verdadeiragrandeza em nenhum dos planos de projecção (pois o plano que o contém não é paralelo a nenhum dos planos de projecção),recorreu-se ao rebatimento do plano δ para a determinação das projecções do quadrado. Optou-se por rebater o plano δ parao Plano Frontal de Projecção – a charneira é fδδ. Identificou-se a charneira e os traços do plano, em rebatimento. O prisma éregular, pelo que as suas arestas laterais são ortogonais ao plano da base – estão contidas em rectas horizontais (de nível),cujas projecções horizontais são perpendiculares a hδδ. Em seguida, representou-se o plano δ1 (o plano da outra base do sóli-do), sendo que este é o plano paralelo ao plano δ que dista 6 cm (a altura do prisma) do plano δ, garantindo, ainda, que o pris-ma se situa na totalidade no espaço do 1o Diedro. O plano δ1 é projectante horizontal e está representado, apenas, pelo seutraço horizontal, pelo que se recorreu a parêntesis para assinalar esse facto, à semelhança dos planos frontais (de frente) ehorizontais (de nível), porque estes só têm um traço – (hδδ1

). O quadrado [A’B’C’D’], que é a outra base do prisma, determinou-se através dos pontos de intersecção do plano δ1 com as rectas suporte das arestas laterais do sólido. Note que os lados doquadrado [A’B’C’D’], em projecção frontal, são necessariamente paralelos aos lados correspondentes do quadrado [ABCD].A partir das projecções de todos os vértices do prisma, desenharam-se os seus contornos aparentes, em ambas as projec-ções. O contorno aparente frontal é [B2C2D2D’2A’2B’2]. Em projecção frontal, existem dois vértices que não integram o con-torno aparente frontal – o vértice A, que é invisível (por ser o vértice de menor afastamento), bem como todas as arestas quenele convergem, e o vértice C’, que é visível (por ser o vértice de maior afastamento), bem como todas as arestas que neleconvergem. Assim, as arestas [AB], [AD] e [AA’] são invisíveis. Por seu lado, as arestas [C’D’], [B’C’] e [CC’] são visíveis. Ocontorno aparente horizontal é [A’1D’1C’1C1D1A1]. Em projecção horizontal, a aresta [BB’] é invisível, por ser a aresta demenor cota, e a aresta [DD’] é visível, por ser a aresta de maior cota. Tenha em conta que os vértices B e B’, do prisma, sãoos vértices de menor cota do sólido e, por isso, são invisíveis, bem como todas as arestas que neles convergem. Assim, asarestas [AB] e [BC] (da base [ABCD]) e [A’B’] e [B’C’] (da base [A’B’C’D’]) são invisíveis, mas estão ocultas por arestas daque-las bases que são visíveis.

284.

132

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, e o plano α, pelos seus traços, contendoaqueles pontos. Uma vez que o plano α é projectante frontal, o seu traço frontal contém as projecções frontais daqueles pon-tos – fαα passa por A2 e por B2. O traço horizontal do plano, hαα, é uma recta de topo do plano que é concorrente com fαα no eixoX. Tenha em conta que B é um ponto de fαα, pois tem afastamento nulo. Em seguida, uma vez que o hexágono da base não seprojecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção (pois o plano que o contém não é paralelo a nenhumdos planos de projecção), recorreu-se ao rebatimento do plano α para a determinação das projecções do hexágono da base.Optou-se por rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira é hαα. Identificou-se a charneira e os traçosdo plano, em rebatimento. Em seguida construiu-se o hexágono em verdadeira grandeza, em rebatimento, e inverteu-se o re-batimento, obtendo-se as projecções da base do sólido. Note que, em rebatimento, se determinou previamente o centro dohexágono, o ponto O, cujas projecções também se determinaram, pois o eixo da pirâmide passa pelo ponto O. A pirâmide éregular, pelo que o seu eixo está contido numa recta ortogonal ao plano da base (o plano α). Assim, pelo ponto O conduziu-se uma recta f, ortogonal ao plano α – a recta f, frontal (de frente), passando por O e ortogonal ao plano α, é a recta suportedo eixo do sólido, sendo que f2 é perpendicular a fαα. Como a pirâmide é regular, a sua altura corresponde ao comprimento doseu eixo, que se projecta em verdadeira grandeza no Plano Frontal de Projecção, pois a recta f é paralela ao Plano Frontal deProjecção. Assim, a partir de O2, sobre f2, mediram-se os 7 cm (a altura da pirâmide), obtendo-se V2, a projecção frontal dovértice da pirâmide – V1 está sobre f1. Note que se teve em atenção o facto de a pirâmide se situar no espaço do 1o Diedro –V tem de ter cota positiva. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os contornos aparentes. Ocontorno aparente frontal é [C2D2E2F2V2]. Em projecção frontal, os vértices A e B são invisíveis, por serem os vértices demenor afastamento, pelo que as arestas [AV] e [BV] são invisíveis. As arestas [EV] e [DV] são visíveis, em projecção frontal,pois separam faces visíveis em projecção frontal. Tenha em conta que as arestas [AF], [AB] e [BC], da base, são invisíveis emprojecção frontal, mas estão ocultas pelas arestas da base que são visíveis. O contorno aparente horizontal é[A1B1C1D1E1V1]. Em projecção horizontal, o vértice F é invisível, por ser o vértice de menor cota, pelo que as arestas [FV],[AF] e [EF] são invisíveis. As arestas [BV], [CV] e [DV] são visíveis, em projecção horizontal, pois separam faces visíveis emprojecção frontal.

285.

133

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representou-se o plano θ, o plano da base inferior, pelos seus traços, bem como o ponto A, pelas suas pro-jecções, pertencente ao plano θ. Uma vez que o plano θ é projectante frontal, sabe-se que a projecção horizontal do ponto Atem necessariamente de se situar no traço frontal do plano – A2 situa-se sobre fθθ. Em seguida, uma vez que o quadrado[ABCD] não se projecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção (pois o plano que o contém não é para-lelo a nenhum dos planos de projecção), recorreu-se ao rebatimento do plano θ para a determinação das projecções do qua-drado. Optou-se por rebater o plano θ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira é hθθ. Identificou-se a charneira e ostraços do plano, em rebatimento. O ponto A é um ponto da charneira, pelo que roda sobre si próprio – assim, sendo, tem-seimediatamente Ar � A1. Tenha em conta que só foi possível determinar o ponto B em rebatimento, em função tanto do seuafastamento como da sua distância ao ponto A (que é o comprimento do lado do quadrado). A partir de Ar e Br, construiu-seo quadrado em rebatimento e inverteu-se o rebatimento, determinando as projecções dos restantes vértices do quadrado e asprojecções do próprio quadrado. A partir das projecções do quadrado, efectuaram-se os traçados necessários à construçãodas projecções do prisma. O prisma é regular, pelo que as suas arestas laterais estão contidas em rectas ortogonais ao planoda base – estão contidas em rectas frontais (de frente), cujas projecções frontais são perpendiculares a fθθ. Em seguida, repre-sentou-se o plano α (o plano da outra base do sólido), sendo que este é o plano paralelo ao plano θ que dista 7 cm (a alturado prisma) do plano θ. O plano a é projectante frontal e está representado, apenas, pelo seu traço frontal, pelo que se recorreua parêntesis para assinalar esse facto, à semelhança dos planos frontais (de frente) e horizontais (de nível), porque estes sótêm um traço – (fa). O quadrado [A’B’C’D’], que é a outra base do prisma, determinou-se através dos pontos de intersecçãodo plano α com as rectas suportes das arestas laterais do sólido. Note que os lados do quadrado [A’B’C’D’], em projecçãohorizontal, são necessariamente paralelos aos lados correspondentes do quadrado [ABCD]. A partir das projecções de todosos vértices do prisma, desenharam-se os seus contornos aparentes, em ambas as projecções. O contorno aparente frontalé [A2D2C2C’2D’2A’2]. Em projecção frontal, a aresta [BB’] é invisível (por ser a aresta de menor afastamento) e a aresta [DD’] évisível (por ser a aresta de maior afastamento). Tenha em conta que os vértices B e B’, do prisma, são os vértices de menorafastamento do sólido e, por isso, são invisíveis, bem como todas as arestas que neles convergem. Assim, as arestas [AB] e[BC] (da base [ABCD]) e [A’B’] e [B’C’] (da base [A’B’C’D’]) são invisíveis, mas estão ocultas por arestas daquelas bases quesão visíveis. O contorno aparente horizontal é [A’1D’1D1C1B1B’1]. Em projecção horizontal, existem dois vértices que nãointegram o contorno aparente horizontal – o vértice A, que é invisível (por ser o vértice de menor cota), bem como todas asarestas que nele convergem, e o vértice C’, que é visível (por ser o vértice de maior cota), bem como todas as arestas quenele convergem. Assim, as arestas [AB], [AD] e [AA’] são invisíveis. Por seu lado, as arestas [C’D’], [B’C’] e [CC’] são visíveis.

286.

134

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representou-se o plano de perfil π, pelos seus traços, bem como os pontos A e B, pelas suas projecções,pertencentes ao plano, em função dos dados. Tendo em conta que o plano π é duplamente projectante, as projecções dospontos A e B têm de se situar sobre os traços homónimos do plano. Em seguida, uma vez que o triângulo [ABC] não se pro-jecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção (pois o plano que o contém não é paralelo a nenhum dosplanos de projecção), recorreu-se ao rebatimento do plano π para a determinação das projecções do triângulo. Optou-se porrebater o plano π para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira é hππ. Identificou-se a charneira e os traços do plano, emrebatimento. Rebateu-se o plano, rebatendo os pontos A e B – a partir de Ar e Br, construiu-se o triângulo em V.G., em rebati-mento, o que nos permitiu determinar Cr. Note que se teve em conta que o ponto C tem de ter cota e afastamento positivos,para que a pirâmide se situe no espaço do 1o Diedro. Note ainda que se determinou o ponto O (o centro do triângulo) em re-batimento, pois este ponto é necessário à construção das projecções da pirâmide. Em seguida inverteu-se o rebatimento, de-terminando, dessa forma, as projecções de C e de O, bem como as projecções do triângulo. A pirâmide é regular, pelo que oseu eixo é ortogonal ao plano π – o eixo da pirâmide está contido numa recta fronto-horizontal g. Pelas projecções de O (ocentro do triângulo) conduziram-se as projecções homónimas da recta g, a recta suporte do eixo do sólido. Como a pirâmideé regular, a sua altura corresponde ao comprimento do seu eixo, que se projecta em verdadeira grandeza nos dois planos deprojecção, pois a recta g é paralela a ambos. Assim, a partir das projecções de O mediram-se os 6 cm (a altura da pirâmide),obtendo-se as projecções de V, o vértice da pirâmide, sobre as projecções homónimas da recta g (note que se garantiu que ovértice se situa à esquerda da base. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornosaparentes. O contorno aparente frontal é [B2C2V2]. Em projecção frontal, o vértice A é invisível (bem como toda sãs arestasque nele convergem), por ser o vértice de menor afastamento, pelo que as arestas [AV], [AB] e [AC] são invisíveis. No entanto,as arestas [AB] e [AC] estão ocultas pela aresta [BC], que é visível. A única invisibilidade a assinalar em projecção frontal é,assim, a da aresta [AV]. O contorno aparente horizontal é [A1C1B1V1]. Em projecção horizontal, não há lugar à representaçãode invisibilidades, pois o vértice C é visível (bem como todas as arestas que nele convergem), por ser o vértice de maior cota.

287.

135

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representou-se o plano de perfil π, pelos seus traços, bem como o ponto A, pelas suas projecções, perten-cente ao plano, em função dos dados. Tendo em conta que o plano π é duplamente projectante, as projecções do ponto Atêm de se situar sobre os traços homónimos do plano. Note que o plano π é o plano que contém a base mais à direita do pris-ma Em seguida, uma vez que o quadrado [ABCD] não se projecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projec-ção (pois o plano que o contém não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), recorreu-se ao rebatimento do plano πpara a determinação das projecções do quadrado. Optou-se por rebater o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a char-neira é fππ. Após a identificação da charneira do rebatimento e dos traços do plano em rebatimento, rebateu-se o plano π, ob-tendo Ar. Tenha em conta que o ângulo que o lado [AB] faz com o Plano Horizontal de Projecção está contido no plano π – é oângulo que o lado [AB] faz com hππ. Esse ângulo não se projecta em V.G., pois o plano que o contém (o plano π) não é paraleloa nenhum dos planos de projecção. No entanto, em rebatimento, esse ângulo já está em verdadeira grandeza. Assim, por Ar

conduziu-se uma recta fazendo um ângulo de 60º com hππ (em verdadeira grandeza), que é o ângulo pedido – Br situa-se sobrefππr

, pois B tem afastamento nulo (é um ponto de fππ). Note que havia mais hipóteses para marcar o ângulo de 60º a partir de Ar,mas essas hipóteses fariam com que B tivesse cota negativa ou não tivesse afastamento nulo. A partir de Ar e Br, construiu-seo quadrado em V.G., em rebatimento e inverteu-se o rebatimento, obtendo-se as projecções do quadrado. Em seguida, repre-sentou-se o plano π’, o plano que contém a base mais à esquerda do sólido – a distância do plano π’ ao plano π é 6 cm (a al-tura do sólido). O prisma é regular, pelo que as suas arestas laterais estão contidas em rectas ortogonais ao plano π – rectasfronto-horizontais. Os vértices do quadrado [A’B’C’D’], o quadrado da base mais à esquerda do sólido, determinaram-se atra-vés dos pontos de intersecção do plano π’ com as rectas suportes das arestas laterais do sólido. A partir das projecções detodos os vértices do prisma, desenharam-se os seus contornos aparentes. O contorno aparente frontal é [A2D2C2C’2D’2A’2].Em projecção frontal, a aresta [BB’] é invisível (por ser a aresta de menor afastamento) e a aresta [DD’] é visível (por ser a ares-ta de maior afastamento). O contorno aparente horizontal é [D’1D1C1B1B’1C’1]. Em projecção horizontal, a aresta [AA’] é in-visível (por ser a aresta de menor cota) e a aresta [CC’] é visível (por ser a aresta de maior cota).

288.

136

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representou-se o plano de perfil π, pelos seus traços, bem como o ponto A, pelas suas projecções, perten-cente ao plano, em função dos dados. Tendo em conta que o plano π é duplamente projectante, as projecções do ponto Atêm de se situar sobre os traços homónimos do plano. Note que o plano π é o plano que contém a base mais à direita do pris-ma Em seguida, uma vez que o quadrado [ABCD] não se projecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projec-ção (pois o plano que o contém não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), recorreu-se ao rebatimento do plano πpara a determinação das projecções do quadrado. Optou-se por rebater o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a char-neira é fππ. Após a identificação da charneira do rebatimento e dos traços do plano em rebatimento, rebateu-se o plano π, ob-tendo Ar. Tenha em conta que o ângulo que o lado [AB] faz com o Plano Horizontal de Projecção está contido no plano π – é oângulo que o lado [AB] faz com hππ. Esse ângulo não se projecta em V.G., pois o plano que o contém (o plano π) não é paraleloa nenhum dos planos de projecção. No entanto, em rebatimento, esse ângulo já está em verdadeira grandeza. Assim, por Ar

conduziu-se uma recta fazendo um ângulo de 30º com hππ (em verdadeira grandeza), que é o ângulo pedido – sobre o lado doângulo mediram-se os 4 cm (o comprimento de [AB]) e determinou-se Br. Note que havia mais hipóteses para marcar o ângulode 30º a partir de Ar, mas essas hipóteses fariam com que B tivesse não se situasse no 1o Diedro, o que tem de se verificar,para que o prisma se situe no 1o Diedro. A partir de Ar e Br, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento e inverteu-se orebatimento, obtendo-se as projecções do quadrado. Em seguida, representou-se o plano π’, o plano que contém a face maisà direita do sólido – a distância do plano π’ ao plano π é 4 cm (a medida das arestas do cubo, que são todas iguais). As ares-tas do sólido que não são de perfil estão contidas em rectas ortogonais ao plano π – rectas fronto-horizontais. Os vértices doquadrado [A’B’C’D’], o quadrado da face mais à direita do sólido, determinaram-se através dos pontos de intersecção do pla-no π1 com as rectas suportes das arestas fronto-horizontais do sólido. A partir das projecções de todos os vértices do cubo,desenharam-se os seus contornos aparentes. O contorno aparente frontal é [A2B2C2C’2B’2A’2]. Em projecção frontal, a ares-ta [DD’] é invisível (por ser a aresta de menor afastamento) e a aresta [BB’] é visível (por ser a aresta de maior afastamento). Ocontorno aparente horizontal é [D’1D1C1B1B’1C’1]. Em projecção horizontal, a aresta [AA’] é invisível (por ser a aresta demenor cota) e a aresta [CC’] é visível (por ser a aresta de maior cota).

289.

137

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representou-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto A, pelas suas projecções, pertencente ao plano γ.Uma vez que o plano γ é projectante horizontal, sabe-se que a projecção horizontal do ponto tem necessariamente de se si-tuar no traço horizontal do plano – A1 situa-se sobre hγγ. Em seguida, considerando que o lado [AB] é vertical (projecta-se emverdadeira grandeza no Plano Frontal de Projecção), foi possível determinar as projecções do ponto B – B1 � A1 (pois situam-se na mesma recta projectante horizontal) e B2 dista 6 cm (a medida da aresta do sólido) de A2. Em seguida, uma vez que otriângulo [ABC] não se projecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção (pois o plano que o contém nãoé paralelo a nenhum dos planos de projecção), recorreu-se ao rebatimento do plano γ para a determinação das projecções doquadrado. Optou-se por rebater o plano γ para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fγγ. Após a identificação da char-neira do rebatimento e dos traços do plano em rebatimento, rebateu-se o plano γ, obtendo Ar e Br. A partir de Ar e Br cons-truiu-se o triângulo em verdadeira grandeza e inverteu-se o rebatimento, obtendo-se as projecções da face [ABC] do sólido.Note que, em rebatimento, se determinou previamente o centro do triângulo, o ponto O, cujas projecções também se determi-naram, pois o eixo do tetraedro relativo à face [ABC] passa por O e é ortogonal ao plano γ. Em seguida desenharam-se asprojecções da recta h, a recta suporte do eixo – a recta h, horizontal (de nível), passa por O e é ortogonal ao plano γ (h1 é per-pendicular a hγγ). Uma vez que se trata de um tetraedro, e que a construção das suas projecções passa, necessariamente,pelo igual comprimento de todas as suas arestas (ver exercício 211 e respectivo relatório), é necessário estudar atentamenteas arestas que não estão contidas no plano γ – as arestas [AD], [BD] e [CD], sendo D o quarto vértice do sólido. Destas ares-tas, constata-se que a aresta [CD] é horizontal (de nível), pelo que se projecta em verdadeira grandeza no Plano Horizontal deProjecção (pois é paralela a este). Assim, em projecção horizontal, com o recurso ao compasso e fazendo centro em C1, de-terminou-se D1 sobre h1, tal que C�1�D�1� = A�C� = A�B� = B�C�. Note que o comprimento das arestas foi determinado necessariamen-te em rebatimento, aquando da construção do triângulo [ABC] em verdadeira grandeza, que é uma face do sólido. A partir dadeterminação de D1, sobre h1, determinou-se D2, sobre h2 e na linha de chamada de D1. Note ainda que se garantiu que o só-lido se situa no espaço do 1o Diedro. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os contornosaparentes das suas projecções. O contorno aparente frontal é [A2B2C2D2]. Em projecção frontal, duas das faces do sólidosão visíveis e as outras duas são invisíveis. Existe uma única aresta invisível em projecção frontal, que é a aresta [AB]. O con-torno aparente horizontal é [B1C1D1]. Em projecção horizontal, não há lugar à representação de invisibilidades, pois as ares-tas invisíveis estão ocultas pelas arestas visíveis.

290.

138

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se o ponto O e a recta h, pelas respectivas projecções, bem como o plano de perfil π, pelosseus traços, contendo o ponto O, em função dos dados. Tendo em conta que o plano π é duplamente projectante, os traçosdo plano π contêm as projecções homónimas do ponto O. Em seguida, determinou-se o traço frontal da recta h, que é o vérti-ce da pirâmide, pelo que se tem F � V. Tendo em conta que o aresta lateral [AV], da pirâmide, é fronto-horizontal, o vértice Atem determinação imediata, pois é o ponto de intersecção da recta fronto-horizontal que passa por V com o plano π. Assimsendo, O�A� é o raio da circunferência circunscrita ao pentágono [ABCDE]. Uma vez que o pentágono [ABCDE] não se projectaem verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção (pois o plano que o contém não é paralelo a nenhum dos planosde projecção), recorreu-se ao rebatimento do plano π para a determinação das projecções da figura. Optou-se por rebater oplano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fππ. Após a identificação da charneira do rebatimento e dos traçosdo plano em rebatimento, rebateu-se o plano π, obtendo Ar e Or. O ponto A é um ponto da charneira, pelo que se tem imedia-tamente Ar � A2. Com o compasso, fazendo centro em Or e raio até Ar, desenhou-se a circunferência circunscrita ao polígo-no, em V.G. (em rebatimento), e efectuaram-se os traçados necessários à construção do pentágono. Em seguida inverteu-se orebatimento e determinaram-se as projecções do pentágono e dos seus vértices. A partir das projecções de todos os vérticesda pirâmide, desenharam-se os seus contornos aparentes. O contorno aparente frontal é [B2C2D2E2V2]. Em projecção fron-tal, existe um único vértice que não integra o contorno aparente – o vértice A, que é invisível (por ser o vértice de menor afas-tamento), bem como todas as arestas que nele convergem A aresta lateral [AV] é invisível, em projecção frontal, e as arestaslaterais [CV] e [DV] são visíveis. O contorno aparente horizontal é [A1B1C1V1]. Em projecção horizontal, não há lugar à repre-sentação de invisibilidades, pois as arestas invisíveis estão ocultas pelas arestas visíveis.

291.

139

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar, representaram-se o ponto V e a recta f, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida,atendendo a que se trata de uma pirâmide regular, sabe-se que o comprimento do seu eixo corresponde à altura da pirâmide– uma vez que o eixo está contido na recta f, que é paralela ao Plano Frontal de Projecção, o eixo da pirâmide projecta-se emverdadeira grandeza no Plano Frontal de Projecção. Assim, a partir de V2, sobre f2, mediram-se os 7 cm (a altura da pirâmide)e determinou-se O2, a projecção frontal do centro da base (o ponto O) – O1 está sobre f1. Atendendo, mais uma vez, a que setrata de uma pirâmide regular, sabe-se que o plano da base é ortogonal à recta f (a recta suporte do eixo) – trata-se de umplano de topo, que contém o ponto O. Assim, determinaram-se imediatamente os traços do plano θ, o plano da base, fazendofθθ perpendicular a f2. O quadrado não se projecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção, pois o planoque o contém (o plano θ) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processogeométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano θ. Rebateu-se o plano θ para o Plano Horizontal de Projecção (acharneira foi hθθ), obtendo-se Or. Em rebatimento, em verdadeira grandeza, com centro em Or, desenhou-se a circunferênciacircunscrita ao polígono (com 3,5 cm de raio) e desenhou-se o quadrado nela inscrito, atendendo ao ângulo que o lado [AB]faz com o Plano Frontal de Projecção. Note que o ângulo que o lado [AB] faz com o Plano Frontal de Projecção está contidono plano θ e é o ângulo que o lado [AB] faz com o traço frontal do plano, fθθ. Esse ângulo está, assim, em verdadeira grandezano ângulo que [ArBr] faz com fθθr

e, para o obtermos, desenhou-se a diagonal [ArCr], do quadrado em rebatimento, fazendo umângulo de 75º com fθθr

(75º = 30º + 45º – são os 30º do ângulo que o lado [AB] faz com fθθ mais os 45º do ângulo que o lado[AB] faz com a diagonal [AC]). Construiu-se o quadrado em rebatimento e inverteu-se o rebatimento, obtendo-se as projec-ções da figura e dos seus vértices. A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornosaparentes. O contorno aparente frontal é [A2D2C2V2]. Em projecção frontal, existe um único vértice que não integra o contor-no aparente – o vértice A, que é invisível (por ser o vértice de menor afastamento), bem como todas as arestas que nele con-vergem A aresta lateral [AV] é invisível, em projecção frontal, e a aresta lateral [DV] é visível. O contorno aparente horizontalé [A1B1V1D1]. Em projecção horizontal, existe um único vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C, que é visível(por ser o vértice de maior cota), bem como todas as arestas que nele convergem. As arestas [BC], [CD] e [CV] são, assim, vi-síveis. A aresta lateral [AV] é invisível, uma vez que A é o vértice de menor cota.

292.

140

SOLUÇÕES

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA DE PERFIL COM UM PLANO

12

293.Em primeiro lugar representaram-se a recta p e os pontos A e B, pelasrespectivas projecções, bem como o plano α, pelos seus traços, emfunção dos dados. É pedido o ponto de intersecção da recta p com oplano α, que é um ponto que pertence simultaneamente à recta e aoplano. Uma vez que se trata da intersecção entre uma recta não pro-jectante com um plano projectante horizontal, a projecção horizontaldo ponto I (o ponto de intersecção), I1, tem determinação imediata – I1

situa-se sobre hαα, o que nos garante que o ponto I pertence ao plano(I1 é o ponto de intersecção de hαα com a projecção horizontal da rec-ta). O ponto tem, agora, de pertencer à recta p cujas projecções nãoverificam o Critério de Reversibilidade. Assim, para determinar a pro-jecção frontal do ponto I (I2), é necessário o recurso a um processogeométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano de perfil quecontém a recta. Pela recta p, conduziu-se um plano de perfil π, que serebateu para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fππ, peloque os arcos do rebatimento estão contidos em planos horizontais (denível). Rebateram-se os pontos A e B, obtendo pr passando por Ar eBr. Em seguida, transportou-se o ponto I para pr, através da sua pro-jecção horizontal, obtendo-se Ir sobre pr. Uma vez que o arco do re-batimento do ponto I está contido num plano horizontal (de nível),sabe-se que I mantém a sua cota, pelo que I2 tem determinação ime-diata, sobre p2 – com o recurso a uma linha horizontal passando porIr, determinou-se I2 sobre p2. O ponto I, representado pelas suas pro-jecções, é o ponto de intersecção da recta p com o plano α.

294.Em primeiro lugar representaram-se a recta p e o ponto P, pelas respecti-vas projecções, bem como o plano ϕ, pelo seu traço horizontal, em fun-ção dos dados. É pedido o ponto de intersecção da recta p com o planoϕ, que é um ponto que pertence simultaneamente à recta e ao plano.Uma vez que se trata da intersecção entre uma recta não projectantecom um plano projectante horizontal, a projecção horizontal do ponto I (oponto de intersecção), I1, tem determinação imediata – I1 situa-se sobrehϕϕ, o que nos garante que o ponto I pertence ao plano (I1 é o ponto deintersecção de hϕϕ com a projecção horizontal da recta). O ponto tem,agora, de pertencer à recta p cujas projecções não verificam o Critério deReversibilidade. Assim, para determinar a projecção frontal do ponto I(I2), é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-sepelo rebatimento do plano de perfil que contém a recta. Pela recta p,conduziu-se um plano de perfil π, que se rebateu para o Plano Frontal deProjecção – a charneira foi fππ, pelo que os arcos do rebatimento estãocontidos em planos horizontais (de nível). Rebateu-se o ponto P, obtendoPr. Salienta-se que, nesta situação, a recta p está definida por um ponto(o ponto P) e uma direcção (é dado o ângulo que a recta faz com o PlanoHorizontal de Projecção), ao contrário da situação do exercício anterior,em que a recta estava definida por dois pontos. O ângulo que a recta pfaz com o Plano Horizontal de Projecção está contido no plano π e é oângulo que a recta p faz com hππ, o traço horizontal do plano de perfil quea contém. Esse ângulo, em rebatimento, está em verdadeira grandeza noângulo entre pr e hππr

. Assim, por Pr conduziu-se pr fazendo, com hππr, um

ângulo de 40º, garantindo-se, ainda, que o traço horizontal da recta p (que não se determinou, mas que seria o ponto de inter-secção de pr com hππr

) tem afastamento positivo (para se situar no SPHA). Em seguida, transportou-se o ponto I para pr, atra-vés da sua projecção horizontal, obtendo-se Ir sobre pr. Uma vez que o arco do rebatimento do ponto I está contido numplano horizontal (de nível), sabe-se que I mantém a sua cota, pelo que I2 tem determinação imediata, sobre p2 – com o recur-so a uma linha horizontal passando por Ir, determinou-se I2 sobre p2. O ponto I, representado pelas suas projecções, é o pon-to de intersecção da recta p com o plano α.

141

SOLUÇÕES

295.Em primeiro lugar representaram-se a recta p e os pontos A e B,pelas respectivas projecções, bem como o plano ρ, pelos seus tra-ços, em função dos dados. É pedido o ponto de intersecção darecta p com o plano ρ, que é um ponto que pertence simultanea-mente à recta e ao plano. Uma vez que nem o plano nem a rectasão projectantes, é necessário recorrer ao método geral da in-tersecção de rectas com planos, que se executou nas três eta-pas que em seguida se apresentam. 1. Pela recta p conduziu-seum plano auxiliar (o plano π, que é um plano de perfil). 2. Determi-nou-se a recta i, a recta de intersecção do plano ρ com o plano π.A recta i é uma recta de perfil do plano ρ e está definida por doispontos, que são os seus traços nos planos de projecção – F e H(note que se tratou do caso geral da intersecção entre planos). 3.O ponto de intersecção da recta i com a recta p (que são compla-nares, pois estão ambas contidas no plano π) é o ponto I (o pontode intersecção da recta p com o plano ρ). Uma vez que as projec-ções de uma recta de perfil não verificam o Critério de Reversibili-dade (as rectas i e p são, ambas, rectas de perfil), a determinaçãodo ponto I passa, necessariamente, pelo recurso a um processogeométrico auxiliar – o do rebatimento do plano π, por exemplo.Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charnei-ra foi fππ), obtendo-se pr (definida por Ar e por Br) e ir (definida porFr e Hr). Note que F é um ponto da charneira, pelo que se tem ime-diatamente Fr � F2. Em rebatimento, determinou-se Ir, que é oponto de concorrência de pr com ir – invertendo o rebatimento, de-terminaram-se as projecções do ponto I. O ponto I, representadopelas suas projecções, é o ponto de intersecção da recta p com oplano π.

296.Em primeiro lugar representaram-se a recta p e os pontosA e B, pelas respectivas projecções, bem como o plano α,pelos seus traços, em função dos dados. É pedido o pontode intersecção da recta p com o plano α, que é um pontoque pertence simultaneamente à recta e ao plano. Uma vezque nem o plano nem a recta são projectantes, é neces-sário recorrer ao método geral da intersecção de rectascom planos, que se executou nas três etapas que em se-guida se apresentam. 1. Pela recta p conduziu-se um planoauxiliar (o plano π, que é um plano de perfil). 2. Determinou-se a recta i, a recta de intersecção do plano α com o planoπ. A recta i é uma recta de perfil do plano α e está definidapor dois pontos, que são os seus traços nos planos de pro-jecção – F e H (note que se tratou do caso geral da inter-secção entre planos). 3. O ponto de intersecção da recta icom a recta p (que são complanares, pois estão ambascontidas no plano π) é o ponto I (o ponto de intersecção darecta p com o plano α). Uma vez que as projecções de umarecta de perfil não verificam o Critério de Reversibilidade(as rectas i e p são, ambas, rectas de perfil), a determina-ção do ponto I passa, necessariamente, pelo recurso aum processo geométrico auxiliar – o do rebatimento do pla-no π, por exemplo. Rebateu-se o plano π para o Plano Hori-zontal de Projecção (a charneira foi hππ), obtendo-se pr

(definida por Ar e por Br) e ir (definida por Fr e Hr). Note queH é um ponto da charneira, pelo que se tem imediatamenteHr � H1. Em rebatimento, determinou-se Ir, que é o pontode concorrência de pr com ir – invertendo o rebatimento,determinaram-se as projecções do ponto I. O ponto I, re-presentado pelas suas projecções, é o ponto de intersec-ção da recta p com o plano α.

142

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se a recta p e os pontos M e N, pelas respectivas projecções, bem como o plano θ, pelosseus traços, em função dos dados. Note que os traços do plano θ estão coincidentes apenas no papel, pois, na realidade, noespaço, não é possível os dois traços estarem coincidentes, uma vez que estão contidos em planos de projecção distintos –fθθ é uma recta frontal (de frente) do plano com afastamento nulo (pertence ao Plano Frontal de Projecção) e hθθ é uma recta ho-rizontal (de nível) do plano com cota nula (pertence ao Plano Horizontal de Projecção). Assim, apesar de, no papel, os traçosdo plano serem uma única recta, deverá ter-se sempre presente que se trata de duas rectas distintas – duas rectas do plano,que são concorrentes num ponto do eixo X. É pedido o ponto de intersecção da recta p com o plano θ, que é um ponto quepertence simultaneamente à recta e ao plano. Uma vez que nem o plano nem a recta são projectantes, é necessário recor-rer ao método geral da intersecção de rectas com planos, que se executou nas três etapas que em seguida se apresen-tam. 1. Pela recta p conduziu-se um plano auxiliar (o plano π, que é um plano de perfil). 2. Determinou-se a recta i, a recta deintersecção do plano θ com o plano π. A recta i é uma recta de perfil do plano θ e está definida por dois pontos, que são osseus traços nos planos de projecção – F e H (note que se tratou do caso geral da intersecção entre planos). 3. O ponto de in-tersecção da recta i com a recta p (que são complanares, pois estão ambas contidas no plano π) é o ponto I (o ponto de inter-secção da recta p com o plano θ). Uma vez que as projecções de uma recta de perfil não verificam o Critério deReversibilidade (as rectas i e p são, ambas, rectas de perfil), a determinação do ponto I passa, necessariamente, pelo recur-so a um processo geométrico auxiliar – o do rebatimento do plano π, por exemplo. Rebateu-se o plano π para o Plano Hori-zontal de Projecção (a charneira foi hππ), obtendo-se pr (definida por Mr e por Nr) e ir (definida por Fr e Hr). Note que H é umponto da charneira, pelo que se tem imediatamente Hr � H1. Em rebatimento, determinou-se Ir, que é o ponto de concorrên-cia de pr com ir – invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do ponto I. O ponto I, representado pelas suasprojecções, é o ponto de intersecção da recta p com o plano θ.

297.

143

SOLUÇÕES

Em primeiro lugar representaram-se a recta p e o ponto P, pelas respectivas projecções, bem como o plano ρ, pelos seus tra-ços, em função dos dados. Note que os traços do plano ρ estão coincidentes apenas no papel, pois, na realidade, noespaço, não é possível os dois traços estarem coincidentes, uma vez que estão contidos em planos de projecção distintos –fρρ é uma recta fronto-horizontal do plano com afastamento nulo (pertence ao Plano Frontal de Projecção) e hρρ é uma rectafronto-horizontal do plano com cota nula (pertence ao Plano Horizontal de Projecção). Assim, apesar de, no papel, os traçosdo plano serem uma única recta, deverá ter-se sempre presente que se trata de duas rectas distintas, se bem que paralelas. Épedido o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ, que é um ponto que pertence simultaneamente à recta e ao plano.Uma vez que nem o plano nem a recta são projectantes, é necessário recorrer ao método geral da intersecção de rectascom planos, que se executou nas três etapas que em seguida se apresentam. 1. Pela recta p conduziu-se um plano auxiliar(o plano π, que é um plano de perfil). 2. Determinou-se a recta i, a recta de intersecção do plano ρ com o plano π. A recta i éuma recta de perfil do plano ρ e está definida por dois pontos, que são os seus traços nos planos de projecção – F e H (noteque se tratou do caso geral da intersecção entre planos). 3. O ponto de intersecção da recta i com a recta p (que são com-planares, pois estão ambas contidas no plano π) é o ponto I (o ponto de intersecção da recta p com o plano ρ). Uma vez queas projecções de uma recta de perfil não verificam o Critério de Reversibilidade (as rectas i e p são, ambas, rectas de perfil), adeterminação do ponto I passa, necessariamente, pelo recurso a um processo geométrico auxiliar – o do rebatimento doplano π, por exemplo. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi fππ), obtendo-se pr e ir. A recta iestá definida por Fr e Hr. Note que F é um ponto da charneira, pelo que se tem imediatamente Fr � F2. A recta pr está definidapor um ponto (Pr) e por uma direcção (o ângulo que a recta faz com o Plano Horizontal de Projecção), ao contrário da situaçãodo exercício anterior, em que a recta estava definida por dois pontos. O ângulo que a recta p faz com o Plano Horizontal deProjecção está contido no plano π e é o ângulo que a recta p faz com hππ, o traço horizontal do plano de perfil que a contém.Esse ângulo, em rebatimento, está em verdadeira grandeza no ângulo entre pr e hππr

. Assim, por Pr conduziu-se pr fazendo,com hππr

, um ângulo de 60º, garantindo-se, ainda, que o traço frontal da recta p (que não se determinou, mas que seria o pontode intersecção de pr com fππr

) tem cota positiva (para se situar no SPFS). Em rebatimento, determinou-se Ir, que é o ponto deconcorrência de pr com ir – invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do ponto I. O ponto I, representado pe-las suas projecções, é o ponto de intersecção da recta p com o plano θ. Uma diferença deste exercício em relação aos exercí-cios anteriores consiste no rebatimento de H, o traço horizontal da recta i – note que H tem afastamento negativo, pelo que oarco do seu rebatimento surge-nos noutro local, mas note que roda no mesmo sentido do arco do rebatimento do ponto P.

298.