CEXMA12RESCp05P03004220052609

B(e - 3, 0)

§ x = -1

f(-1) = 1 - ln(1 + 1) = 1 - ln 2

C(-1, 1 - ln 2)

Resposta: (B)

8. f(x) = ln(g(x))Df = {x å Dg : g(x) > 0} = ]0, +?[

x å ]0, +?[ § 0 < g(x) < 1

§ ln(g(x)) å ] -?, 0[

Logo,

Resposta: (A)

9. g(x) = ln(f(x))Dg = {x å Df : f(x) > 0}

x å Dg § f(x) > 0

§ 0 < f(x) ≤ 10

§ log(f(x)) å ]-?, log 10]

Resposta: (A)

10. O ponto de coordenadas (0, 3) pertence ao gráfico de f -1, funçãoinversa de f.

Logo, f -1(0) = 3, pelo que f(3) = 0.

f(x) = a - ln x

f(3) = 0 § a - ln 3 = 0 § a = ln 3

Resposta: (B)

11. h(x) = (x2 - 1) * ln(x - 2)

h(x) = 0 § (x2 - 1) * ln(x - 2) = 0

§ x = 3

Resposta: (B)

12. Pág. 108

Resposta: (B)

13. x * 3x - 3x = 0 § x (3x - 3) = 0

Resposta: (A)

§ x = 0 › x = 1

§ x = 0 › 3x - 3 = 0

D = 5x å R : \x2 - 1|> 06 = R \ {-1, 1}

f(x) = ln ‡x2 - 1‡

§ (x = 1 › x = - 1 › x = 3) ‹ x > 2

§ (x = 1 › x = -1 › x - 2 = e0) ‹ x - 2 > 0

§ x2 - 1 = 0 › ln(x - 2) = 0

§ D9g = ]-?, 1]

D9f = ]-?, 0[

=(2e - 4)(1 - ln 2)

2) 0,2

A[ABC] =AB * ordenada de C

2=

‡ (e - 3) - (1 - e) ‡ * (1 - ln 2)2

§ 2x = -2 ‹ x å ]-3, 1[

§ 1 - x = x + 3 ‹ x < 1 ‹ x > -3

f(x) = g(x) § 1 - ln(1 - x) = 1 - ln(x + 3)

Capítulo 5

30

PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO

EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANOC

EX

MA

12©

Port

oE

dito

ra

Pág. 1061. f (x) = 1 - 3x+a

f (2) = 0 § 1 - 32+a = 0 § 32+a = 1 § 32+a = 30

§ 2 + a = 0 § a = -2

Resposta: (D)

2. g(x) = ex

g(a) = ea; g(2a) = e2a

(g(a))2 = (ea)2= e2a = g(2a)

Resposta: (D)

3.

Resposta: (D)

4. 1 - 0,2 = 0,8

(0,8)3 * c = 0,512 c

Resposta: (C)

5. A(1, 0)

f(x) = 1 - 3x-2

Para x = 1 vem .

•

•

Para x = 0 vem y = 1 - 30-2 = .

•

•

Resposta: (B)

6.

= 4 - 2 = 2

Resposta: (C)

7. f(x) = 0 § 1 - ln(1 - x) = 0 Pág. 107

§ ln(1 - x) = 1 1 - x > 0

§ 1 - x = e x < 1

§ x = 1 - e

A (1 - e, 0)

g(x) = 0 § 1 - ln(x + 3) = 0

§ ln(x + 3) = 1 x + 3 > 0

§ x + 3 = e x > -3

§ x = e - 3

‹

‹

‹

‹

= 2 + 2 + log2(2-2)

= log662 + logœ2

(œ2)2 + log21 1222

log636 + logœ2 2 + log214

A[OABC] =OC + AB

2* OA =

89+

23

2* 1 =

79

OC =89

C10, 892

1 -19=

89

AB =23

B11, 232

y = 1 - 31-2 = 1 - 3-1 =23

§ 1 - x = -13

§ x = 1 +13

§ x =43

e1-x =1

3œe

§ e1-x =1

e13

§ e1-x = e- 1

3

31

PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 5

EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANO

CE

XM

A12

©Po

rto

Edi

tora

21. logab = 3

Resposta: (A)

22.

Resposta: (B)

1.1 Pág. 110

1.2 No dia 5 de Julho estavam doentes 256 pessoas.

1.3 O número de doentes afectados cresce em progressão geométrica derazão 4, sendo N(1) = 4.

N(t) = N(1) * rt-1

N(t) = 4 * 4t-1

Logo, N(t) = 4t.

1.4 N(8) = 48 = 65 536

1.5 N(9) = 49= 262 144 < 106

N(10) = 410 = 1 048 576 > 106

Ao fim de 10 dias.

2.1 f é estritamente crescente.

f(x) = a + 2x

f(0) = 2 § a + 20 = 2 § a + 1 = 2 § a = 1

f(x) = 1 + 2x

g é estritamente decrescente.

g(x) = b + 2-x

g(0) = 1 § b + 2-0 = 1 § b + 1 = 1 § b = 0

g(x) = 2-x

h é estritamente crescente.

h(x) = a + 2x

h(0) = 3 § a + 20 = 3 § a = 2

h(x) = 2 + 2x

i é estritamente decrescente.

i(x) = b + 2-x

i(0) = 4 § b + 2-0 = 4 § b = 3

i(x) = 3 + 2-x

2.2 A recta de equação y = 0 é uma assimptota horizontal quer dográfico da função definida por x 1 2x quer do gráfico da fun-ção definida por x 1 2-x.

Logo, a recta de equacão y = a é uma assimptota do gráfico dafunção definida por x 1 a + 2x e a recta de equação y = b éuma assimptota do gráfico da função x 1 b + 2-x.

Assim, as rectas de equações y = 1, y = 0, y = 2 e y = 3 são assimp-totas dos gráficos das funções f , g, h e i, respectivamente.

Número de diasdecorridos após

1 de Julho

Número de novos

doentes

Total de doentes

afectados

1 3 42 12 163 48 644 192 2565 768 1024

= 3 log31a *3ac * c2 = 3 log3 3 = 3 * 1 = 3

log3(a3b3c3) = log3(abc)3 = 3 log3(abc)

b =3ac

=12 3loga a + loga b4 = 1

2(1 + 3) = 2

logaœab = loga(ab)12 =

12

loga(ab)

14.

Resposta: (A)

15.

Então:

Resposta: (D)

16. b = ca3

Resposta: (A)

17. 3x+1 + 3x+2 = 9 § 3x * 3 + 3x * 32 = 9

§ 3x * 3 + 3x * 9 = 9

§ 12 * 3x = 9

§ 3x = 0,75

Resposta: (A)

18. f(x) = e3x

Logo, o ponto de coordenadas (ln k, k3) pertence ao gráfico de f.

Resposta: (D)

19. f(x) = ex; g(x) = ln x Pág. 109

• f(0) = e0 = 1; C(0, 1)

• g(x) = 0 § ln x = 0 § x = 1; A(1, 0)

• Como vem que

• f(2) = e2; E(2, e2)

• D é o ponto do gráfico de g com ordenada 1:

g(x) = 1 § ln x = 1 § x = e; D(e, 1)

Resposta: (A)

20.

Resposta: (C)

=6 * ln 9

32

= 3 ln 3 = ln 33 = ln 27

A˚ =AB * BC

2=

(9 - 3) * (g(9) - g(3))2

=6(ln 9 - ln 3)

2

A[CED] =CD * h

2=

(e - 0) * (e2 - 1)2

=e(e2 - 1)

2

OB = 2OA = 2 ; B(2, 0)OA = AB

f(ln k) = e3ln k = eln k3

= k3

§ 3x =912

= logaa3 = 3

logab - logac = loga(ca3) - logac = loga1ca3

c 2

logb1œba 2 a=b

= logb1b12

b 2 = logb b12-1

= logb b- 1

2 = - 12

logb15a 2 = logb 5 - logb a = logb 5-1

logb11a 2 = logba

-1 a=b= logbb

-1 = -1

logb(a * b)a=b= logb(b * b) = logbb

2 = 2

logba = 1 § a = b (a > 0 e b > 1)

=12- c

= logaa12 - c

loga1œab 2 = logaœa - logab

loga b = c

3 * 64 = 192 64 + 192 = 256

3 * 256 = 768 256 + 768 = 1024

32



EX

MA

12©

Port

oE

dito

ra

3. Por exemplo, f (-1) = a1 = a e g(-1) = b1 = b. Pág. 111

Como a > b e a imagem de -1 é maior no gráfico I que no gráficoII, o gráfico I representa a função f.

4.1 5x+1 - 2 * 5x = 5x * 5 - 2 * 5x

= 5x(5 - 2)

= 3 * 5x

4.2

(*3)

5.1 2x = 16 § 2x = 24 § x = 4

S = {4}

5.2

5.3 6x = -1 é impossível porque 6x > 0,

S = O

5.4

S = {5}

5.5

§ x(x + 1) = 0 § x = 0 › x + 1 = 0

§ x = 0 › x = - 1

S = {-1, 0}

5.6 5-2x - 25x+2 = 0 § 5-2x = (52)x+2§ 5-2x = 52x+4

§-2x = 2x + 4 § 4x = -4 § x = -1

S = {-1}

5.7 34x - 10 * 32x + 9 = 0

Substituindo na equação 32x por y, vem:

y2 - 10y + 9 = 0

Então, temos:

S = {0, 1}

5.8 4x - 3 * 2x - 4 = 0 § (22)x- 3 * 2x - 4 = 0

§ (2x)2- 3 * 2x - 4 = 0


Então, temos:

§ x = 2

S = {2}

§ x å O › x = 22x = -1 › 2x = 22

§ y = -1 › y = 4

y2 - 3y - 4 = 0 § y =3 ¿ œ9 - 4 * (-4)

2

§ x = 0 › x = 1

§ 2x = 0 › 2x = 232x = 30 › 32x = 32

§ y = 1 › y = 9

§ y =10 ¿ œ100 - 4 * 1 * 9

2

(32x)2 - 10 * 32x + 9 = 0

1152

x

= 5x2

§ 5-x = 5x2

§ -x = x2 § x2 + x = 0

5 * 2x = 160 § 2x =1605

§ 2x = 32 § 2x = 25 § x = 5

A x å R.

S = 552 6

5-x+1 = 5-3x+6 § -x + 1 = -3x + 6 § 2x = 5 § x =52

=3 - 23x * 3

=1

3x+1

13x -

23x * 3

=3

3x * 3-

23x * 3

3- x -2

3x+1 =

5.9 3x + 3-x+1 - 4 = 0 § 3x + 3 * 3-x - 4 = 0

Multiplicando ambos os membros por 3x:

3x * 3x + 3 * 3-x * 3x - 4 * 3x = 0

Substituindo na equação 3x por y vem:

y2 - 4y + 3 = 0

Então, temos:

S = {0, 1}

5.10 8x - 16- 2x2= 0 § (23)x

- (24)- 2x2

= 0

§ 23x - 2- 8x2= 0 § 23x - 2- 8x2

§ 3x = - 8x2 § 8x2 + 3x = 0

§ x (8x + 3) = 0 § x = 0 › 8x + 3 = 0

§ x = 0 › x = -

S =

5.11 2x - 5 * 2-x + 4 * 2-3x = 0

Multiplicando os dois membros por 23x, vem:

2x * 23x - 5 * 2-x * 23x + 4 * 2-3x * 23x = 0

§ 24x - 5 * 22x + 4 * 20 = 0

§ (22x)2- 5 * 22x + 4 = 0


Então, temos:

S = {0, 1}

5.12 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2x = 4095

§ 21 + 22 + 23 + . . . + 2x = 4094

O primeiro membro é a soma dos x primeiros termos de uma pro-gressão geométrica de razão 2 e primeiro termo igual a 2.

Vem, então:

§ 2x = 2048

§ 2x = 211

§ x = 11

S = {11}

§ 2x - 1 =4094

2

§ 2 *(1 - 2x)

-1= 40942 *

1 - 2x

1 - 2= 4094

Sn = a1 *1 - rn

1 - r

§ x = 0 › x = 1

§ 2x = 0 › 2x = 222x = 20 › 22x = 22

§ y = 1 › y = 4

y2 - 5y + 4 = 0 § y =5 ¿ œ25 - 4 * 4

2

5- 38

, 06

38

§ x = 0 › x = 13x = 30 › 3x = 31

§ y = 1 › y = 3

§ y =4 ¿ œ16 - 4 * 3

2

§ (3x)2- 4 * 3x + 3 = 0

§ (3x)2+ 3 * 30 - 4 * 3x = 0

33



CE

XM

A12

©Po

rto

Edi

tora

6.

7.1 0,01 ≤ 10x § 10x ≥ 10-2 § x ≥ -2

S = [-2, +?[

7.2

§ 2x ≤ 22 § x ≤ 2

S = ]-?, 2]

7.3 xex ≥ ex -1 § xex - ex * e-1 ≥ 0

§ ex(x - e-1) ≥ 0ex > 0, Ax å R

7.4 22x - 2x+1 < 0 § (2x)2- 2 * 2x < 0

§ 2x(2x - 2) < 0

§ 2x - 2 < 0

§ 2x < 21

§ x < 1

S = ]-?, 1[

7.5 x * 3x - 27x < 0 § x(3x - 27) < 0

3x - 27 = 0 § 3x = 33

§ x = 3

3x - 27 > 0 § x > 3

S = ]0, 3[

7.6 e2x + ex < 2 § (ex)2+ ex - 2 < 0

Substituindo na equação ex por y, vem: Cálculo auxiliar:

y2 + y - 2 < 0 y2 + y - 2 = 0§ y = - 2 y = 1

Então temos:

S = ]-?, 0[

8.1

8.2

8.3

ex - 1 0 0 § ex 0 e0 § x 0 0

Dh = {x å R : ex - 1 0 0} = R \ {0}

h(x) =x

ex - 1

Dg = {x å R : ex + 1 0 0} = R

g(x) =x

ex + 1

Df = 5x å R : 10x 0 0 ‹1

10x ≥ 06 = R

f(x) = Œ 110x

§ x å R ‹ x < 0 § x < 0ex > -2 ‹ ex < e0

›§ y > -2 ‹ y < 1

x -? 0 3 +?

x - 0 + + +

3x - 27 - - - 0 +

x(3x - 27) + 0 - 0 +

2x > 0, A x å R

!

S = 31e

, +?3

§ x ≥1e

§ x -1e≥ 0 ¡

162x ≥ 4

2x>0§ 16 ≥ 4 * 2x § 2x ≤ 4

x = 4 ‹ y = 2

§ 5x = 4y = 25x = 4

y = 4 - 2§ 52x = 8

y = x - 2§

5x + y = 6x - y = 255

x+y = 56

5x-y = 52 §55x+y - 56 = 0

5x-y - 52 = 0§ 8.4

e2x - ex ≥ 0 § e2x ≥ ex

§ 2x ≥ x

§ 2x - x ≥ 0

§ x ≥ 0

9.1 Pág. 112

9.2

Cálculos auxiliares:

•

•

§ b = 5

•

§ 61 = 63c

§ 3c = 1

9.3

9.4

9.5

9.6

=32+

43- (-3) =

356

=32- 1- 4

32 - log2(2-3)

= log2 232 - log1010

- 43 - log211

82

= log2(23)

12 - log10(10-4)

13 - log21 125

10002log2œ8 - log10

3œ0,0001 - log2 0,125

= 5 - log1616- 3

2 -32= 5 - 1- 3

22 -32= 5

= 5 - log16 (œ16)-3- log33

32= 5 - log16316

124

-3

-32

= log2 25 - log16 4-3 - log3(3

3)12

log232 - log16 164

- log3œ27

= -3 + 2 +14= -

34

= log121122

-3

+ 2 + log4 414

= log12

23 + log131132

2

+ log4ŒŒ4log1

28 + log1

3

19+ log4œ2

=12+ log44

12 =

12+

12= 1

= log2212 + log4œ4log2œ2 + log42

§ c =13

§ 6 = (63)c

log2166 = c § 6 = 216c

log335 = blog3243 = b §

log12

4 = a § 4 = 1122

a

§ 22 = 2-a § -a = 2 § a = -2

= -2 + 5 +13=

103

log12

4 + log3243 + log2166 = a + b + c

= 2 + 0 - 1 = 1

log416 + log31 + log818= log44

2 + log330 + log88

-1

Dm = {x å R : e2x - ex ≥ 0} = R+0

m(x) = œe2x - ex

243 381 327 39 33 31

216 636 66 61

34



EX

MA

12©

Port

oE

dito

ra

10. 1 ≤ log2x ≤ 2 § 21 ≤ x ≤ 22

§ 2 ≤ x ≤ 4

§ x å [2, 4]

11.1

§ x = 3

11.2

§ x = 3

11.3

11.4

11.5

11.6

§ x = 36

12.

= -1 + (-1) = -2

13.1

13.2

13.3

13.4

13.5

13.6

14. log2t = x § t = 2x

14.1

14.2

14.3

14.4

= 5 + x +3x2

=5x2

+ 5

= 5 + x + log223x2

= log225+ x + log2(2

3x)12

= log2(25 * 2x) + log2œ(2x)3log2(2

5t) + log2œt3

log2œt = log2œ2x = log2(2x)

12 = log22

x2 =

x2

log2116t 2 = log2124

2x2 = log2 24-x = 4 - x

= log2 24+x = 4 + x

log2(16t) = log2 (16 * 2x) = log2(24 * 2x)

eln a2

+1= e

12

ln a* e1 = eln a

12

* e = a12 * e = eœa

101- log(1x) =10

10log(1x)=

101x

= 10x

loga(logbba) = loga(a) = 1

= x - log22x+x2

= x - (x + x2) = -x2log22x - log2(21+x)

x

31-2 log3x =31

32 log3x=

33log3x2 =

3x2

eln x + ln y = eln x * eln y = xy

log1aa + logb

1b= log1

a11a 2

-1

+ logbb-1

§ œx = 6 ‹ x å R+ \ {1}

logx6 =12

§ x12 = 6 ‹ x å R+ \ {1}

§ x =116

§ x = Œ3 184 = ‹ x å R+ \ {1}

§ x3 = 8-4 ‹ x å R+ \ {1}

§ 1x- 342

-4

= 8-4 ‹ x å R+ \ {1}

logx8 = -34

§ x- 3

4 = 8 ‹ x å R+ \ {1}

§ x2 = 3 ‹ x å R+ \ {1} § x = œ3

logx13= -2 §

13= x-2 ‹ x å R+ \ {1} §

13=

1x2 ‹ x å R+ \ {1}

log8 214 = x § 8x = 2

14 § (23)x = 2

14 § 3x =

14

§ x =112

logx81 = 4 § x4 = 81 ‹ x å R+ \ {1}

logx9 = 2 § x2 = 9 ‹ x å R+ \ {1}

15.1

= ln a + ln b - ln c

15.2

16.1

16.2

17. f(x) = ln x Pág. 113

= ln(e2) = 2 c. q. m.

18. f(x) = ln(-x2 + 24x - 80)

18.1

Logo, Df = ]4, 20[.

-x2 + 24x - 80 > 0 § x å ]4, 20[

§ x = 4 › x = 20

§ x =-24 ¿œ242 - 4 * (-1) * (-80)

-2-x2 + 24x - 80 = 0

Df = {x å R : -x2 + 24x - 80 > 0}

= ln1 ex* ex2

f 1 ex2 + f(ex) = ln1 e

x2 + ln(ex)

§ A =e2 b2

3œa

§ ln A = ln1e2 b2

3œa 2

§ ln A = ln 1 e2

3œa2 + ln b2

§ ln A = ln e2 - ln 3œa + ln b2

§ ln A = ln e2 - ln a13 + ln11

b2-2

ln A = 2 -13

ln a - 2 ln11b2

§ A =3

œab2

œcd3

§ ln A = ln1 a13 b2

(cd3)122

§ ln A = ln1a13 * b22 - ln (cd3)

12

§ ln A = ln1a13 * b22 - 1

2ln (cd3)

§ ln A = ln a13 + ln b2 -

12

(ln c + ln d3)

ln A =13

ln a + 2 ln b -12

(ln c + 3 ln d)

=12

ln a +23

ln b -53

ln c

=12

ln a + ln b -13

ln b -53

ln c

= ln a12 + ln b - 1ln b

13 + ln c

532

= ln(a12 * b) - ln1 3œb * c

532ln A = ln1 a

12 * b

3œb * c532

A =a

12 * b

3œb * c

53

ln A = ln1abc 2 = ln(ab) - ln c

A =abc

35



CE

XM

A12

©Po

rto

Edi

tora

18.2 f(12 - x) = ln[-(12 - x)2 + 24(12 - x) - 80]= ln[-(144 - 24x + x2) + 288 - 24x - 80]= ln(-144 + 24x - x2 + 288 - 24x - 80)

= ln(64 - x2)

f(12 + x) = ln[-(12 + x)2 + 24(12 + x) - 80]= ln[-(144 + 24x + x2) + 288 + 24x - 80]= ln(-144 - 24x - x2 + 288 + 24x - 80)

= ln(64 - x2)

Logo, f(12 - x) = f(12 + x), A x å ]-8, 8[.

19.1

§ x = -2 ln 3

S = {-2 ln 3}

19.2 2e-x + ex = 3

Multiplicando os dois membros por ex, vem:

2e-xex + exex = 3ex§ 2e0 + (ex)2- 3ex = 0

§ (ex)2 - 3ex + 2 = 0

Substituindo na equação ex por y, vem:

y2 - 3y + 2 = 0

Então, temos:

S = {0, ln 2}

19.3 2x + 2x+3 = 27 § 2x + 2x * 23 = 27

§ 2x + 8 * 2x = 27

§ 9 * 2x = 27

§ 2x = 3

§ x = log23

S = {log23}

19.4

Substituindo na equação e2t+1 por y, vem:

Então, temos:

§

S = 5- 126

t = -12

§ 2t + 1 = 0

§ t å O › 2t + 1 = ln1e2t+1 = -2 › e2t+1 = 1

§ y = -2 › y = 1y2 + y - 2 = 0

§ e2t+1 + (e2t+1)2 - 2 = 0e2t+1 + e4t+2 = 2

§ x = 0 › x = ln 2

§ x = ln1 › x = ln2ex = 1 › ex = 2

§ y = 1 › y = 2

§ y =3 ¿ œ9 - 4 * 2

2

§ x = ln1192 § x = ln 3-2

9ex -1 = 0 § 9ex = 1 § ex =19

§ -8 < x < 8

§ -8 < x < 8 ‹ -8 < x < 8

§ -8 < -x < 8 ‹ -8 < x < 8

4 < 12 - x < 20 ‹ 4 < 12 + x < 20

19.5 4(e-0,2x + e0,2x) = 17 § 4e-0,2x + 4e0,2x - 17 = 0

Multiplicando os dois membros por e0,2x vem:

4e-0,2x * e0,2x + 4e0,2x * e0,2x - 17e0,2x = 0 § 4(e0,2x)2- 17e0,2x + 4 = 0

Substituindo na equação e0,2x por y temos:

4y2 - 17y + 4 = 0

Então, temos:

S = {-10 ln 2, 10 ln 2}

19.6 4x3e-x = 2x3e-0,5x § 4x3e-x - 2x3e-0,5x = 0

§ 2x3(2e-x - e-0,5x) = 0

S = {0, 2 ln 2}

19.7 9x + 6 = 5 * 3x § (32)x+ 6 = 5 * 3x

§ (3x)2- 5 * 3x + 6 = 0


y2 - 5y + 6 = 0

Então, temos:

19.8 3e0,02x - 8e-0,02x = 2

Multiplicando os dois membros por e0,02x, temos:

3e0,02x * e0,02x - 8e-0,02x * e0,02x = 2e0,02x

§ 3(e0,02x)2- 2e0,02x - 8 = 0

Substituindo na equação e0,02x por y, vem:

3y2 - 2y - 8 = 0

Então, temos:

§ x = 50 ln 2

S = {50 ln 2}

19.9 log2(2x - 1) - 2 = log2(x - 2)

S = 5726

§ x =72

§ 2x = 7 ‹ x > 2

§ 2x - 1 = 4x - 8 ‹ x > 2

§2x - 1

4= x - 2 ‹ x > 2

§ log212x - 14 2 = log2(x - 2) ‹ x > 2

§ log2(2x - 1) - log222 = log2(x - 2) ‹ 2x - 1 > 0 ‹ x - 2 > 0

§ x å O › 0,02x = ln 2e0,02x = -43› e0,02x = 2

§ y = -43› y = 2

S = {log32, 1}

§ x = log32 › x = 13x = 2 › 3x = 3

§ y = 2 › y = 3

§ x = 0 › x = 2 ln 2

§ x = 0 › 0,5x = ln 2

§ x = 0 › x å O › e0,5x = 2

§ x = 0 › e-x = 0 › 2 - e0,5x = 0

§ x = 0 › e-x(2 - e0,5x) = 0

§ 2x3 = 0 › 2e-x - e-0,5x = 0

§ x = -10 ln 2 › x = 10 ln 2

§ 0,2x = -2 ln 2 › 0,2x = 2 ln 2

§ 0,2x = ln 2-2 › 0,2x = ln 22

§ 0,2x = ln1142 › 0,2x = ln 4e0,2x =

14› e0,2x = 4

§ y =14› y = 4

36



EX

MA

12©

Port

oE

dito

ra

19.10

§ x = 2

S = {2}

19.11 2(ln x)2 + ln x2 = 4

Substituindo na equação ln x por y, vem:

Então, temos:

S = {e-2, e}

19.12

Cálculo auxiliar:

§ x = -1

S = {-1}

19.13

§ x = -1

S = {-1}

19.14

§ x = 4

S = {4}

§ 5 - x = 1 ‹ x < 5

§ 5 - x = e0 ‹ x < 5

§ ln (5 - x) = 0 ‹ x < 5

§ ln15 - xex

* ex2 = 0 ‹ 5 - x > 0

§ ln 15 - xex 2 + ln ex = 0 ‹

5 - xex > 0ln15 - x

ex 2 + x = 0

§ (x = -1 › x = -8) ‹ -3 < x <13

§ x2 + 9x + 8 = 0 ‹ -3 < x <13

§ x2 + 6x + 9 - 1 + 3x = 0 ‹ x > -3 ‹ x <13

§ (x + 3)2 = 1 - 3x ‹ x > -3 ‹ 3x < 1

§ ln (x + 3)2 = ln (1 - 3x) ‹ x + 3 > 0 ‹ 1 - 3x > 0

2 ln (x + 3) = ln(1 - 3x)

§ (x = -2 › x = -1) ‹ x å 4- 95

,13 3

§ 8x2 + 24x + 16 = 0 ‹ x å D

§ 10x + 18 + 5x2 + 9x - 2 + 5x + 3x2 = 0 ‹ x å D

§ (2 + x)(5x + 9) = 2 - 5x - 3x2 ‹ x å D

§ ln[(2 + x)(5x + 9)] = ln (2 - 5x - 3x2) ‹ x å D

ln(2 + x) + ln(5x + 9) = ln(2 - 5x - 3x2)

§ x = -2 › x =13

2 - 5x - 3x2 = 0 § -3x2 - 5x + 2 = 0

= 4- 95

,13 3

= 5x å R : x > -2 ‹ x > -95‹ -2 < x <

136

D = {x å R : 2 + x > 0 ‹ 5x + 9 > 0 ‹ 2 - 5x - 3x2 > 0}

ln (2 + x) + ln (5x + 9) = ln (2 - 5x - 3x2)

§ x = e-2 › x = e(ln x = -2 › ln x = 1) ‹ x > 0

§ (y = -2 › y = 1) ‹ ey > 02y2 + 2y - 4 = 0 ‹ ey > 0

§ 2(ln x)2 + 2 ln x - 4 = 0 ‹ x > 0

§ (x = -3 › x = 2) ‹ x > 0

§ 3x2 + 3x - 18 = 0 ‹ x > 0

§3x2 + 3x

2= 32 ‹ x > 0

§ log31x + 12

* 3x2 = log332 ‹ x > 0

§ log31x + 12 2 + log3(3x) = 2 ‹

x + 12

> 0 ‹ 3x > 0

log31x + 12 2 = 2 - log3(3x) 19.15

§ x > 0

S = ]0, +?[

19.16 ex - 1 < 6e-x

Multiplicando os dois membros por ex, vem:

ex * ex - ex < 6e-xex § (ex)2 - ex < 6

Substituindo na inequação ex por y, temos:

y2 - y - 6 < 0

Então, temos:

ex > -2 ‹ ex < 3

S = ]-?, ln 3[

20.1 f(x) = ln x2

g(x) = 2 ln x

20.2

= ]-?, -1 [∂ ] 0, +?[

g(x) = ln x - ln(x + 1)

= ]0, +?[

Df = ]-?, -1[ ∂ ]0, +?[ e Dg = ]0, +?[

21.1 f(x) = 21-x

Df = R

Logo, f -1 (x) = 1 - log2 x

f -1 : R+ 2"Rx 1 1 - log2x

Df -1 = {x å R : x > 0} = R+

f(x) = y § 21-x = y § 1 - x = log2 y § x = 1 - log2y

Dg = {x å R : x > 0 ‹ x + 1 > 0}

Df = 5x å R : x + 1 0 0 ‹x

x + 1> 06

f(x) = ln1 xx + 12

Df = R \ {0} e Dg = R+

Dg = {x å R : x > 0} = R+

Df = {x å R : x2 > 0} = R \ {0}

§ x < ln 3

§ x å R ‹ x < ln 3

§ y > -2 ‹ y < 3

§ x > -158

‹ x > 0

§ 8x + 15 > 0 ‹ x > 0

§ x2 < x2 + 3x + 5x + 15 ‹ x > 0

§ ln x2 < ln [(x + 5)(x + 3)] ‹ x > 0

§ ln x2 < ln (x + 5) + ln (x + 3) ‹ x > 0

§ ln x2 - ln (x + 3) < ln (x + 5)‹ x > 0 ‹ x + 3 > 0 ‹ x + 5 > 0

2 ln x - ln (x + 3) < ln (x + 5)

x -? -1 0 +?

x - - - 0 +

x + 1 - 0 + + +x

x + 1+ - 0 +

Cálculo auxiliar:

y2 - y - 6 = 0

§ y = -2 y = 3›

37



CE

XM

A12

©Po

rto

Edi

tora

21.2 g(x) = 1 - e2x

Logo, g- 1(x) = ln (1 - x)

2" R

21.3 h(x) = 1 + ln(x - 3)

Logo, h- 1(x) = 3 + ex - 1

2" R

21.4 i(x) = -3 * 2-x

Logo, i - 1(x) = - log2

2" R

21.5 m(x) = ln x2

m não tem inversa por não ser injectiva (por exemplo, m(-1) = m(1)).

21.6 p(x) = 2 ln x

2" R

22. f(t) = 2000 * 2,4kt Pág. 114

22.1 f(5) = 27 000 § 2000 * 2,45k = 27 000

c. q. m. ± k ) 0,59

§ k =15*

ln(13,5)ln(2,4)

§ 5k =ln(13,5)ln(2,4)

§ 5k = log2,41272 2

§ 2,45k =27 0002000

x 1 ex2

p -1 : R

Dp -1 = R

p(x) = y § 2 ln x = y § ln x =y2

§ x = ey2

Dp = R+

x 1 -log21- x32

i -1 : ]-?, 0[

Di -1 = 5x å R : -x3> 06 = ]-?, 0[

1- x32

§ -x = log21- y32 § x = - log21- y

32i(x) = y § -3 * 2-x = y § 2-x = -

y3

Di = R

x 1 3 + ex-1

h -1: R

Dh -1 = R

§ x - 3 = ey-1 § x = 3 + ey-1

h(x) = y § 1 + ln(x - 3) = y § ln(x - 3) = y - 1

Dh = {x å R : x - 3 > 0} = ]3, +?[

x 112

ln(1 - x)

g -1 : ]-?, 1[

Dg -1 = {x å R : 1 - x > 0} = ]-?, 1[

12

§ 2x = ln(1 - y) § x =12

ln(1 - y)

g(x) = y § 1 - e2x = y § e2x = 1 - y

Dg = R

22.2 f (t) = 100 000 § 2000 * 2,40,59* t = 100 000

§ 2,40,59* t = 50

§ 0,59t = log2,4(50)

A população de vermes atingirá os 100 000 elementos ao 8.8 dia.

22.3

= 2,4k

Como k ) 0,59, temos:

2,4k

§ f(t + 1) = f(t) + 0,68 f(t)

A população de vermes aumenta à taxa de 68% por dia.

23. N(t) = A0 * e0,2t

23.1 N(1) = 2000 § A0 * e0,2*1 = 2000

Inicialmente existiam 1637 coelhos.

23.2

= e0,2t+0,2-0,2t

§ N(t + 1) = N(t) + 0,22N(t)

O número de coelhos aumenta 22% por ano.

24.

24.1 O início de 2005 corresponde a t = 2005 - 1970 = 35

Resposta: 77,6%

24.2 P(t) = 15

‹

‹ 1 + 2,9 * e- 0,07t 0 0twwwuwwwv

Condição universal

Portanto, t ) - 9,057Deste modo, temos que 1970 - 9,057 = 1960,943

Resposta: No ano de 1960.

§ t = -1

0,07* ln1 82

43,52

§ -0,07t = ln1 8243,52

§ e-0,07t =82

43,5

§ 43,5 * e-0,07t = 82

971 + 2,9 * e-0,07t = 15 § 97 = 15 + 15 * 2,9 * e-0,07* t

P(35) =97

1 + 2,9e-0,07*35 ) 77,6

P(t) =97

1 + 2,9e-0,07t

N(t + 1)N(t)

= 1,22 § N(t + 1) = N(t) * (1 + 0,22)

= e0,2 ) 1,22

N(t + 1)N(t)

=A0 * e0,2(t+1)

A0 * e0,2t

± A0 ) 1637

§ A0 =2000e0,2

f(t + 1)f(t)

= 1,68 § f(t + 1) = f(t) * (1 + 0,68)

) 1,68) 2,40,59

=2,4kt+k

2,4kt = 2,4kt+k-kt

f(t + 1)f(t)

=2000 * 2,4k(t+1)

2000 * 2,4kt

± t ) 8

§ t =1

0,59*

ln(50)ln(2,4)

38



EX

MA

12©

Port

oE

dito

ra

25. Q(t) = Q0e-0,09t Pág. 115

Q(11) = 8,51

Q0e-0,09*11 = 8,51

g

26. Q(t) = A * e-kt

26.1 1000 anos = 10 séculos

Q(0) = A * e0 = A

Q(10) = A - 0,7A

A * e-k*10 = 0,3A

e-10k = 0,3

-10k = ln(0,3)

26.2 Q(t) = A * e-0,12t

a) 330 anos = 3,3 séculosQ(3,3) = 673

A e-0,12*3,3 = 673

b)

§ -0,12s = ln(0,5)

A substância radioactiva reduz-se a metade em cada período de5,78 séculos.

27. Q(t) = c * 2-0,06t

27.1 Q(10) = 33 § c * 2-0,06*10 = 33

Inicialmente existiam 50 g.

27.2 Seja h a semivida desta substância. Então:

A semivida da substância é igual a 16,7 anos.

§ h =1

0,06± h ) 16,7

§ -0,06h = -1

§ -0,06h = log21122

§ 2-0,06h =12

§ 2-0,06t * 2-0,06h =12* 2-0,06t

§ 2-0,06t-0,06h =12* 2-0,06tc * 2-0,06(t+h) =

12

c * 2-0,06t

Q(t + h) =12

Q(t)

± c ) 50

§ c =33

2-0,6

§ s ) 5,78

§ s =ln(0,5)-0,12

§ e-0,12s =12

§ e-0,12t * e-0,12s =12

e-0,12t

§ e-0,12t - 0,12s =12

e-0,12t

§ 1000e-0,12(t+s) =12* 1000e-0,12tQ(t + s) =

12

Q(t)

A ) 1000 mg

A =673

e-0,396

k ) 0,12

k = -ln(0,3)

10

Q0 ) 22,90

Q0 =8,51e-0,99

27.3

Q(t + 1) = Q(t) * (1 - 0,0407)

Q(t + 1) = Q(t) - 0,0407 Q(t)

0,0407 = 4,07% ) 4,1%

27.4 Q(t) = 50 * 2-0,06t

Q = 50 * 2-0,06t

28. C(t) = 0,5 + 1,2 ln t Pág. 116

28.1 6 min 15 s = 6,25 min

C(6,25) = 0,5 + 1,2 ln(6,25) ) 2,70

A chamada custa 2,70 D.

28.2 C(t) = 4,14 § 0,5 + 1,2 ln t = 4,14

§ 1,2 ln t = 4,14 - 0,5

§ t ) 20,766

§ t ) 20 min 46 s

28.3 Uma chamada durou o tempo t e custou C(t).

A outra chamada durou 3t e custou C(3t).

C(3t) - C(t) = (0,5 + 1,2 ln(3t)) - (0,5 + 1,2 ln t)

= 1,2 ln(3t) - 1,2 ln t

= 1,2 (ln (3t) - ln t)

= 1,2 ln 3 ) 1,32 .

29. N = 10 log10(1012I)

29.1 N = 10 log10(1012I)

c. q. v.

29.2 N = 100

120 + 10 log10I = 100 § 10 log10I = -20

§ log10I = -2

§ I = 10-2

Resposta: I = 0,01 W/m2

N = 120 + 10 log10I

N = 10(12 + log10 I)

N = 10(log10 1012 + log10I)

Æ

= 1,2 ln13tt 2

§ t = e3,641,2

§ ln t =3,641,2

§ t =ln 50 - ln Q

0,06 ln 2

§ t =ln Q - ln 50-0,06 ln 2

§ -0,06t =ln Q - ln 50

ln 2

§ -0,06t =ln1 Q

502ln (2)

§ 2-0,06t =Q50

§ -0,06t = log21 Q502

Q(t + 1)Q(t)

= 0,9593

= 2-0,06 ) 0,9593

= 2-0,06t-0,06+0,06t

Q(t + 1)Q(t)

=c * 2-0,06(t+1)

c * 2-0,06t

39



CE

XM

A12

©Po

rto

Edi

tora

29.3 N(3I) - N(I)

29.4

c. q. v.

29.5

c. q. v.

30. f(x) = ex

g(x) = ln x + c

O gráfico da função g é obtido do gráfico de y = ln x por umatranslação associada ao vector (0, c), com c > 0.

Para que o gráfico de y = ln x + c intersecte o gráfico de y = ex emapenas um ponto, o valor de c tem de ser o mínimo da função hdefinida por h(x) = ex - ln x.

Introduzindo na calculadora gráfica a função y1 = ex - ln x, deter-minou-se o seu mínimo tendo sido obtido o seguinte resultado:

Logo, c ) 2,33.

I(N + 20)I(N)

= 100 § I(N + 20) = 100I(N)

=100,1N * 102 * 10-12

100,1N * 10-12 = 102 = 100

=100,1N +2-12

100,1N * 10-12

I(N + 20)I(N)

=100,1(N+20)-12

100,1N-12

§ I = 100,1N-12

§ log10 I = 0,1 N - 12

§ log10 I =N - 120

10

§ 10 log10 I = N - 120N = 120 + 10 log10 I

= 10 log10 3 ) 4,77

= 10 log1013II 2

= 10(log10(3I) - log10(I))= 10 log10(3I) - 10 log10 I

= 120 + 10 log10(3I) - (120 + 10 log10 I) Pág. 117

31.

31.1 I(E) = 8,6

§ E = 7 * 109,9 kWh

E = 7 * 109,9 kWh ) 5,56 * 1010 kWh

31.2

Aproximadamente, 556 030 dias.

31.3 I(32E) - I(E)

Resposta: 1,0. A uma libertação de energia 32 vezes superiorcorresponde uma diferença de uma unidade na escala de Richter.

32.

32.1 pH = 7,4 § -log10x = 7,4

§ x = 10-7,4

§ x ) 4 * 10-8

A concentração de iões H3O+ no sangue arterial humano é, apro-

ximadamente, igual a 4 * 10-8 mol/dm3.

32.2 Concentração de iões H3O+ no leite: I

Concentração de iões H3O+ no café: 3I

pH do leite - pH do café

) 0,5

A diferença entre o pH do leite e o pH do café é igual a 0,5.

33. Q(t) = ce-kt Pág. 118

33.1 3,5% = 0,035

Q(1) = c - 0,035 c § ce-k *1 = 0,965 c

§ e-k = 0,965

§ -k = ln (0,965)

§ k ) 0,036

= log1013II 2 = log10(3)

= log10(3I) - log10(I)

= -log10I + log10(3I)

= - log10(I) - (- log10(3I))

§ log10 x = -7,4

pH = -log10x

=23

log 32 ) 1,0

=23

log132EE 2

=23

[log(32E) - log(7 * 10-3) - log(E) + log(7 * 10-3)]

=23 3log1 32E

7 * 10-32 - log1 E7 * 10-324

=23

log1 32E7 * 10-32 - 2

3log1 E

7 * 10-32

7 * 109,9

105 = 7 * 104,9 ) 556 030

§ E = 7 * 10-3 * 1012,9

§E

7 * 10-3 = 1012,9

§ log1 E7 * 10-32 = 3

2* 8,6

§23

log1 E7 * 10-32 = 8,6

I(E) =23

log1 E7 * 10-32

33.2 Q(t) = c * e-0,036t

§ x ) 19,2541

§ x ) 19 min 15 s

Em cada período de 19 min 15 s, a quantidade de carbono-11existente reduz-se a metade.

34.

34.1

c. q. m.

34.212 : 2 = 6

A 6 m de profundidade a intensidade da luz é metade da que severifica à superfície.

34.3

Por cada metro que a profundidade aumenta a intensidade da luzreduz cerca de 11%.

35.

35.1

c. q. v.§ 5A = 1

B =256 - 1

1020

§ 5A = 1B = 0,25

§ 5A = 1log2(1 + 1020B) = 8

§ 5A = 11 + 1020B = 28

5L(0) = 0L(1020) = 32

§ 54 log2A = 04 log2(A + 1020B) = 32

L(x) = 4 log2(A + Bx)

§ I(p + 1) = I(p) - 0,11 I(p)

I(p + 1)I(p)

= 0,89 § I(p + 1) = I(p) * (1 - 0,11)

= 10- 1

20 ) 0,89

I(p + 1)I(p)

=12 * 10-

p+120

12 * 10-

p20

= 10-

p+120 +

p20 = 10

-p-1 + p20

§ p ) 6§ -p = 20 log101122

§ -p20

= log101122§ 10

-p20 =

12

I(p) = 6 § 12 * 10-

p20 = 6

I(0) = 12 * 10- 0

20 = 12

§ I = 12 * 10- P

20

§I

12= 10

- P20

§ -P20

= log101 I122

§ P = -20 log101 I122

§ P = -20 *ln1 I

122ln(10)

P = -20

ln 10* ln1 I

122

P = -20

ln 10 (ln I - ln 12)

§ x =ln 2

0,036

§ -0,036x = ln1122§ e-0,036x =

12

§ e-0,036 t * e-0,036x =12

e-0,036 t

§ e-0,036 t - 0,036x =12

e-0,036 t

§ ce-0,036(t +x) =12

ce-0,036 tQ(t + x) =12

Q(t)

35.2

§ x ≥ 721

É necessário produzir, pelo menos, 721 peças.

35.3

Logo, k = -8.

Pág. 11936. L(x) = -37 + 24 ln x, x ≥ 20

36.1L(107) = -37 + 24 ln 107 ) 75,1

A esperança de vida para os indivíduos do sexo masculino nasci-dos em 2007 é de 75,1 anos.

36.2

1900 + 130,974 = 2030,974 (2 c. d.)

A partir do ano 2031.

36.3 L(kx) - L(x) = 10 § [-37 + 24 ln(kx)] - (-37 + 24 ln x) = 10

§ 24 ln(kx) - 24 ln x = 10

§ 24[ln(kx) - ln x] = 10

kx = 1,5 * 100 = 150

Ano de 2050.

37. ln(10p) + 0,14 h = ln (1013)

37.1 ln (1013) - ln(10p) = 0,14h

§ p * e0,14h = 101,3

§ p = 101,3 * e-0,14h c. q. m.

37.2

= e-0,14 ) 0,87

c. q. m.

Logo, a pressão atmosférica diminui cerca de 13% .

§ p(h + 1) = p(h) - 0,13 p(h)

p(h + 1)p(h)

= 0,87 § p(h + 1) = p(h) * (1 - 0,13)

p(h + 1)p(h)

=101,3e-0,14(h+1)

101,3e-0,14 h = e-0,14 h-0,14+0,14 h

§ p =101,3e0,14 h

§101,3

p= e0,14 h

§ ln1101310p 2 = 0,14 h

2000S x = 100

§ ln k =512

§ k = e512 § k ) 1,5

§ ln 1kxx 2 = 10

24

§ lnx >11724

§ x > e11724 § x > 130,974

L(x) > 80 § -37 + 24 ln x > 80 § 24 ln x > 117

2007S x = 107

= 4 log2(4 + x) + 4 * (-2) = 4 log2(4 + x) - 8

= 4 log21142 + 4 log2(4 + x) = 4 log2(4 + x) + 4 log22

-2

= 4 log2[0,25(4 + x) ] = 4[log20,25 + log2(4 + x) ]

L(x) = 4 log2(1 + 0,25x) = 4 log230,251 10,25

+ x24

x å N§ x >27,5 - 1

0,25

§ 1 + 0,25x > 27,5

§ log2(1 + 0,25x) > 7,5

L(x) > 30 § 4 log2(1 + 0,25x) > 30

L(x) = 4 log2(1 + 0,25x)

40



EX

MA

12©

Port

oE

dito

ra

¡

37.3 8013 m = 8,013 km

p(8,013) = p(0) * (1 - 0,67)

§ p(8,013) = p(0) - 0,67 * p(0)

A pressão atmosférica decresceu 67%.

38.

38.1 r = 3,3% = 0,033

n = 2 (duas vezes por ano.)

t = 3

O valor acumulado foi de 11 031,75 D.

38.2 10 000 + 0,5 * 10 000 = 15 000

§ 1,01652t = 1,5 § 2t = log1,0165(1,5)

§ t ) 12,388

12,388 anos ) 25 semestres

Pág. 1201. A(t) = 10 + 0,02 t2e-0,02t

B(t) = 10 + 0,04 t2e-0,04t

1.1 a) A(0) = 10 + 0,02 * 02 * e-0,02*0 = 10

B(0) = 10 + 0,04 * 02 * e-0,04*0 = 10

Às 20 h os dois canais tinham a mesma percentagem deaudiências : 10%.

b) A(t) = B(t) § 10 + 0,02t2e-0,02t = 10 + 0,04t2e-0,04t

§ 0,02t2e-0,02t - 0,04t2e-0,04t = 0

§ 0,02t2(e-0,02t - 2e-0,04t) = 0

As duas estações tiveram o mesmo nível de audiências às 20 h 35 min.

§ t = 0 › t ) 34,7

§ t = 0 › t =ln 20,02

§ t = 0 › 0,02 t = ln 2

§ t = 0 › e0,02 t = 2

§ t = 0 › e-0,02 t+0,04 t = 2

§ t = 0 ›e-0,02 t

e-0,04 t = 2

§ t = 0 › e-0,02 t = 2e-0,04 t

§ 0,02 t2 = 0 › e-0,02 t - 2e-0,04 t = 0

§ t =12*

ln(1,5)ln(1,0165)

M = 15 000 § 10 00011 +0,033

2 22 t

= 15 000

M = 10 00011 +0,033

2 22*3

) 11 031,75

M = C 11 +rn2

nt

p(8,013)p(0)

= 0,33 §

p(8,013)p(0)

=101,3 * e-0,14*8,013

101,3 * e-0,14*0 ) 0,33

41



CE

XM

A12

©Po

rto

Edi

tora

1.2 Introduziram-se na calculadora as funções y1 = 10 + 0,02x2e-0,02x,y2 = 10 + 0,04x2e-0,04x e y3 = 25 com a janela de visualização [0, 240] * [0, 50], tendo-se obtido os seguintes gráficos:

É imediato verificar que o nível de audiências da TVB é sempreinferior a 25% pelo que não cumpre nenhuma das condiçõesenunciadas.

Calculou-se a intersecção dos gráficos de y1 e y3 bem como ovalor máximo de y1 tendo-se obtido os valores indicados.

Podemos então concluir que a TVA cumpre as duas condiçõespois atinge uma audiência máxima de 37,1% e uma audiênciaacima de 25% durante cerca de 156 min, ou seja, 2 h 36 min.

2. d = 101+0,2(m - M)

2.1 d = 101+0,2(0,03-0,6) = 100,886 ) 7,691 parsec

7,691 * 3,26 ) 25

A distância da Terra a Vega é, aproximadamente, igual a 25 anos--luz.

2.2

c. q. p.

2.3 1 parsec 3,26 anos-luz

d parsec 1,6 * 10-5 anos-luz

d ) 4,908 * 10-6 parsec

m = -26,72

M = -26,72 - 5 log

M ) 4,83

14,908 * 10-6

10 2

d =1 * 1,6 * 10-5

3,26

§ M = m - 5 log1 d102

§ -M = -m + 5 log1 d102

§ m - M = 5 log1 d102

§ m - M =1

0,2 log1 d

102

§ 0,2(m - M) = log1 d102§

d10

= 100,2(m-M)d = 101+0,2(m-M) § d = 10 * 100,2(m-M)


197,6 - 41,5 = 156,1

Pág. 1213. P(t) = aekt (t å R0

+)

3.1 Número de indivíduos existentes no instante inicial: P(0) = a

Número de indivíduos existentes ao fim de n dias: P(n) = aekn

P(n) = rP(0) § aekn = ra

§ ekn = rc. q. m.

3.2 a) Decorrido exactamente um dia (n = 1) o número de indivíduosda estirpe A passou de 500 para 250, ou seja, para metade

.

Então,

Decorridos exactamente seis dias (n = 6) o número de indivíduos da estirpe B passou de 500 para 1000, ou seja, parao dobro (r = 2).

Então, c. q. v.

b) Atendendo aos valores KA e KB encontrados, temos que, t diasapós as 0 h do dia 1 do corrente mês, o número total de indiví-duos das estirpes A e B, existentes na cultura, é dado por:

KB =ln(2)

6) 0,1155

KA =ln11

221

) -0,6931

1r = 122

§ kn = ln r § k =ln rn

Recorrendo à calculadora foi obtido o gráfico da função N, nointervalo [0, 7].

Calculou-se o mínimo de N tendo-se obtido o valor apresen-tado.

Assim, o número total de indivíduos das estirpes A e B atingiu ovalor mínimo 2,216 dias após as 0 h do dia 1 do corrente mês.

Como 2,216 dias ) 2 dias e 5 horas (0,216 * 24 ) 5) podemosconcluir que o número mínimo de bactérias na cultura foi atin-gido às 5 h do dia 3 do corrente mês.

N(t) = 500e-0,6931t + 500e0,1155t

42



EX

MA

12©

Port

oE

dito

ra

Documents

CEXMA12RESCp05P03004220052609