B(e - 3, 0)
§ x = -1
f(-1) = 1 - ln(1 + 1) = 1 - ln 2
C(-1, 1 - ln 2)
Resposta: (B)
8. f(x) = ln(g(x))Df = {x å Dg : g(x) > 0} = ]0, +?[
x å ]0, +?[ § 0 < g(x) < 1
§ ln(g(x)) å ] -?, 0[
Logo,
Resposta: (A)
9. g(x) = ln(f(x))Dg = {x å Df : f(x) > 0}
x å Dg § f(x) > 0
§ 0 < f(x) ≤ 10
§ log(f(x)) å ]-?, log 10]
Resposta: (A)
10. O ponto de coordenadas (0, 3) pertence ao gráfico de f -1, funçãoinversa de f.
Logo, f -1(0) = 3, pelo que f(3) = 0.
f(x) = a - ln x
f(3) = 0 § a - ln 3 = 0 § a = ln 3
Resposta: (B)
11. h(x) = (x2 - 1) * ln(x - 2)
h(x) = 0 § (x2 - 1) * ln(x - 2) = 0
§ x = 3
Resposta: (B)
12. Pág. 108
Resposta: (B)
13. x * 3x - 3x = 0 § x (3x - 3) = 0
Resposta: (A)
§ x = 0 › x = 1
§ x = 0 › 3x - 3 = 0
D = 5x å R : \x2 - 1|> 06 = R \ {-1, 1}
f(x) = ln ‡x2 - 1‡
§ (x = 1 › x = - 1 › x = 3) ‹ x > 2
§ (x = 1 › x = -1 › x - 2 = e0) ‹ x - 2 > 0
§ x2 - 1 = 0 › ln(x - 2) = 0
§ D9g = ]-?, 1]
D9f = ]-?, 0[
=(2e - 4)(1 - ln 2)
2) 0,2
A[ABC] =AB * ordenada de C
2=
‡ (e - 3) - (1 - e) ‡ * (1 - ln 2)2
§ 2x = -2 ‹ x å ]-3, 1[
§ 1 - x = x + 3 ‹ x < 1 ‹ x > -3
f(x) = g(x) § 1 - ln(1 - x) = 1 - ln(x + 3)
Capítulo 5
30
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANOC
EX
MA
12©
Port
oE
dito
ra
Pág. 1061. f (x) = 1 - 3x+a
f (2) = 0 § 1 - 32+a = 0 § 32+a = 1 § 32+a = 30
§ 2 + a = 0 § a = -2
Resposta: (D)
2. g(x) = ex
g(a) = ea; g(2a) = e2a
(g(a))2 = (ea)2= e2a = g(2a)
Resposta: (D)
3.
Resposta: (D)
4. 1 - 0,2 = 0,8
(0,8)3 * c = 0,512 c
Resposta: (C)
5. A(1, 0)
f(x) = 1 - 3x-2
Para x = 1 vem .
•
•
Para x = 0 vem y = 1 - 30-2 = .
•
•
Resposta: (B)
6.
= 4 - 2 = 2
Resposta: (C)
7. f(x) = 0 § 1 - ln(1 - x) = 0 Pág. 107
§ ln(1 - x) = 1 1 - x > 0
§ 1 - x = e x < 1
§ x = 1 - e
A (1 - e, 0)
g(x) = 0 § 1 - ln(x + 3) = 0
§ ln(x + 3) = 1 x + 3 > 0
§ x + 3 = e x > -3
§ x = e - 3
‹
‹
‹
‹
= 2 + 2 + log2(2-2)
= log662 + logœ2
(œ2)2 + log21 1222
log636 + logœ2 2 + log214
A[OABC] =OC + AB
2* OA =
89+
23
2* 1 =
79
OC =89
C10, 892
1 -19=
89
AB =23
B11, 232
y = 1 - 31-2 = 1 - 3-1 =23
§ 1 - x = -13
§ x = 1 +13
§ x =43
e1-x =1
3œe
§ e1-x =1
e13
§ e1-x = e- 1
3
31
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANO
CE
XM
A12
©Po
rto
Edi
tora
21. logab = 3
Resposta: (A)
22.
Resposta: (B)
1.1 Pág. 110
1.2 No dia 5 de Julho estavam doentes 256 pessoas.
1.3 O número de doentes afectados cresce em progressão geométrica derazão 4, sendo N(1) = 4.
N(t) = N(1) * rt-1
N(t) = 4 * 4t-1
Logo, N(t) = 4t.
1.4 N(8) = 48 = 65 536
1.5 N(9) = 49= 262 144 < 106
N(10) = 410 = 1 048 576 > 106
Ao fim de 10 dias.
2.1 f é estritamente crescente.
f(x) = a + 2x
f(0) = 2 § a + 20 = 2 § a + 1 = 2 § a = 1
f(x) = 1 + 2x
g é estritamente decrescente.
g(x) = b + 2-x
g(0) = 1 § b + 2-0 = 1 § b + 1 = 1 § b = 0
g(x) = 2-x
h é estritamente crescente.
h(x) = a + 2x
h(0) = 3 § a + 20 = 3 § a = 2
h(x) = 2 + 2x
i é estritamente decrescente.
i(x) = b + 2-x
i(0) = 4 § b + 2-0 = 4 § b = 3
i(x) = 3 + 2-x
2.2 A recta de equação y = 0 é uma assimptota horizontal quer dográfico da função definida por x 1 2x quer do gráfico da fun-ção definida por x 1 2-x.
Logo, a recta de equacão y = a é uma assimptota do gráfico dafunção definida por x 1 a + 2x e a recta de equação y = b éuma assimptota do gráfico da função x 1 b + 2-x.
Assim, as rectas de equações y = 1, y = 0, y = 2 e y = 3 são assimp-totas dos gráficos das funções f , g, h e i, respectivamente.
Número de diasdecorridos após
1 de Julho
Número de novos
doentes
Total de doentes
afectados
1 3 42 12 163 48 644 192 2565 768 1024
= 3 log31a *3ac * c2 = 3 log3 3 = 3 * 1 = 3
log3(a3b3c3) = log3(abc)3 = 3 log3(abc)
b =3ac
=12 3loga a + loga b4 = 1
2(1 + 3) = 2
logaœab = loga(ab)12 =
12
loga(ab)
14.
Resposta: (A)
15.
Então:
Resposta: (D)
16. b = ca3
Resposta: (A)
17. 3x+1 + 3x+2 = 9 § 3x * 3 + 3x * 32 = 9
§ 3x * 3 + 3x * 9 = 9
§ 12 * 3x = 9
§ 3x = 0,75
Resposta: (A)
18. f(x) = e3x
Logo, o ponto de coordenadas (ln k, k3) pertence ao gráfico de f.
Resposta: (D)
19. f(x) = ex; g(x) = ln x Pág. 109
• f(0) = e0 = 1; C(0, 1)
• g(x) = 0 § ln x = 0 § x = 1; A(1, 0)
• Como vem que
• f(2) = e2; E(2, e2)
• D é o ponto do gráfico de g com ordenada 1:
g(x) = 1 § ln x = 1 § x = e; D(e, 1)
Resposta: (A)
20.
Resposta: (C)
=6 * ln 9
32
= 3 ln 3 = ln 33 = ln 27
A˚ =AB * BC
2=
(9 - 3) * (g(9) - g(3))2
=6(ln 9 - ln 3)
2
A[CED] =CD * h
2=
(e - 0) * (e2 - 1)2
=e(e2 - 1)
2
OB = 2OA = 2 ; B(2, 0)OA = AB
f(ln k) = e3ln k = eln k3
= k3
§ 3x =912
= logaa3 = 3
logab - logac = loga(ca3) - logac = loga1ca3
c 2
logb1œba 2 a=b
= logb1b12
b 2 = logb b12-1
= logb b- 1
2 = - 12
logb15a 2 = logb 5 - logb a = logb 5-1
logb11a 2 = logba
-1 a=b= logbb
-1 = -1
logb(a * b)a=b= logb(b * b) = logbb
2 = 2
logba = 1 § a = b (a > 0 e b > 1)
=12- c
= logaa12 - c
loga1œab 2 = logaœa - logab
loga b = c
3 * 64 = 192 64 + 192 = 256
3 * 256 = 768 256 + 768 = 1024
32
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANOC
EX
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dito
ra
3. Por exemplo, f (-1) = a1 = a e g(-1) = b1 = b. Pág. 111
Como a > b e a imagem de -1 é maior no gráfico I que no gráficoII, o gráfico I representa a função f.
4.1 5x+1 - 2 * 5x = 5x * 5 - 2 * 5x
= 5x(5 - 2)
= 3 * 5x
4.2
(*3)
5.1 2x = 16 § 2x = 24 § x = 4
S = {4}
5.2
5.3 6x = -1 é impossível porque 6x > 0,
S = O
5.4
S = {5}
5.5
§ x(x + 1) = 0 § x = 0 › x + 1 = 0
§ x = 0 › x = - 1
S = {-1, 0}
5.6 5-2x - 25x+2 = 0 § 5-2x = (52)x+2§ 5-2x = 52x+4
§-2x = 2x + 4 § 4x = -4 § x = -1
S = {-1}
5.7 34x - 10 * 32x + 9 = 0
Substituindo na equação 32x por y, vem:
y2 - 10y + 9 = 0
Então, temos:
S = {0, 1}
5.8 4x - 3 * 2x - 4 = 0 § (22)x- 3 * 2x - 4 = 0
§ (2x)2- 3 * 2x - 4 = 0
Substituindo na equação 2x por y, vem:
Então, temos:
§ x = 2
S = {2}
§ x å O › x = 22x = -1 › 2x = 22
§ y = -1 › y = 4
y2 - 3y - 4 = 0 § y =3 ¿ œ9 - 4 * (-4)
2
§ x = 0 › x = 1
§ 2x = 0 › 2x = 232x = 30 › 32x = 32
§ y = 1 › y = 9
§ y =10 ¿ œ100 - 4 * 1 * 9
2
(32x)2 - 10 * 32x + 9 = 0
1152
x
= 5x2
§ 5-x = 5x2
§ -x = x2 § x2 + x = 0
5 * 2x = 160 § 2x =1605
§ 2x = 32 § 2x = 25 § x = 5
A x å R.
S = 552 6
5-x+1 = 5-3x+6 § -x + 1 = -3x + 6 § 2x = 5 § x =52
=3 - 23x * 3
=1
3x+1
13x -
23x * 3
=3
3x * 3-
23x * 3
3- x -2
3x+1 =
5.9 3x + 3-x+1 - 4 = 0 § 3x + 3 * 3-x - 4 = 0
Multiplicando ambos os membros por 3x:
3x * 3x + 3 * 3-x * 3x - 4 * 3x = 0
Substituindo na equação 3x por y vem:
y2 - 4y + 3 = 0
Então, temos:
S = {0, 1}
5.10 8x - 16- 2x2= 0 § (23)x
- (24)- 2x2
= 0
§ 23x - 2- 8x2= 0 § 23x - 2- 8x2
§ 3x = - 8x2 § 8x2 + 3x = 0
§ x (8x + 3) = 0 § x = 0 › 8x + 3 = 0
§ x = 0 › x = -
S =
5.11 2x - 5 * 2-x + 4 * 2-3x = 0
Multiplicando os dois membros por 23x, vem:
2x * 23x - 5 * 2-x * 23x + 4 * 2-3x * 23x = 0
§ 24x - 5 * 22x + 4 * 20 = 0
§ (22x)2- 5 * 22x + 4 = 0
Substituindo na equação 22x por y, vem:
Então, temos:
S = {0, 1}
5.12 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2x = 4095
§ 21 + 22 + 23 + . . . + 2x = 4094
O primeiro membro é a soma dos x primeiros termos de uma pro-gressão geométrica de razão 2 e primeiro termo igual a 2.
Vem, então:
§ 2x = 2048
§ 2x = 211
§ x = 11
S = {11}
§ 2x - 1 =4094
2
§ 2 *(1 - 2x)
-1= 40942 *
1 - 2x
1 - 2= 4094
Sn = a1 *1 - rn
1 - r
§ x = 0 › x = 1
§ 2x = 0 › 2x = 222x = 20 › 22x = 22
§ y = 1 › y = 4
y2 - 5y + 4 = 0 § y =5 ¿ œ25 - 4 * 4
2
5- 38
, 06
38
§ x = 0 › x = 13x = 30 › 3x = 31
§ y = 1 › y = 3
§ y =4 ¿ œ16 - 4 * 3
2
§ (3x)2- 4 * 3x + 3 = 0
§ (3x)2+ 3 * 30 - 4 * 3x = 0
33
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANO
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6.
7.1 0,01 ≤ 10x § 10x ≥ 10-2 § x ≥ -2
S = [-2, +?[
7.2
§ 2x ≤ 22 § x ≤ 2
S = ]-?, 2]
7.3 xex ≥ ex -1 § xex - ex * e-1 ≥ 0
§ ex(x - e-1) ≥ 0ex > 0, Ax å R
7.4 22x - 2x+1 < 0 § (2x)2- 2 * 2x < 0
§ 2x(2x - 2) < 0
§ 2x - 2 < 0
§ 2x < 21
§ x < 1
S = ]-?, 1[
7.5 x * 3x - 27x < 0 § x(3x - 27) < 0
3x - 27 = 0 § 3x = 33
§ x = 3
3x - 27 > 0 § x > 3
S = ]0, 3[
7.6 e2x + ex < 2 § (ex)2+ ex - 2 < 0
Substituindo na equação ex por y, vem: Cálculo auxiliar:
y2 + y - 2 < 0 y2 + y - 2 = 0§ y = - 2 y = 1
Então temos:
S = ]-?, 0[
8.1
8.2
8.3
ex - 1 0 0 § ex 0 e0 § x 0 0
Dh = {x å R : ex - 1 0 0} = R \ {0}
h(x) =x
ex - 1
Dg = {x å R : ex + 1 0 0} = R
g(x) =x
ex + 1
Df = 5x å R : 10x 0 0 ‹1
10x ≥ 06 = R
f(x) = Œ 110x
§ x å R ‹ x < 0 § x < 0ex > -2 ‹ ex < e0
›§ y > -2 ‹ y < 1
x -? 0 3 +?
x - 0 + + +
3x - 27 - - - 0 +
x(3x - 27) + 0 - 0 +
2x > 0, A x å R
!
S = 31e
, +?3
§ x ≥1e
§ x -1e≥ 0 ¡
162x ≥ 4
2x>0§ 16 ≥ 4 * 2x § 2x ≤ 4
x = 4 ‹ y = 2
§ 5x = 4y = 25x = 4
y = 4 - 2§ 52x = 8
y = x - 2§
5x + y = 6x - y = 255
x+y = 56
5x-y = 52 §55x+y - 56 = 0
5x-y - 52 = 0§ 8.4
e2x - ex ≥ 0 § e2x ≥ ex
§ 2x ≥ x
§ 2x - x ≥ 0
§ x ≥ 0
9.1 Pág. 112
9.2
Cálculos auxiliares:
•
•
§ b = 5
•
§ 61 = 63c
§ 3c = 1
9.3
9.4
9.5
9.6
=32+
43- (-3) =
356
=32- 1- 4
32 - log2(2-3)
= log2 232 - log1010
- 43 - log211
82
= log2(23)
12 - log10(10-4)
13 - log21 125
10002log2œ8 - log10
3œ0,0001 - log2 0,125
= 5 - log1616- 3
2 -32= 5 - 1- 3
22 -32= 5
= 5 - log16 (œ16)-3- log33
32= 5 - log16316
124
-3
-32
= log2 25 - log16 4-3 - log3(3
3)12
log232 - log16 164
- log3œ27
= -3 + 2 +14= -
34
= log121122
-3
+ 2 + log4 414
= log12
23 + log131132
2
+ log4ŒŒ4log1
28 + log1
3
19+ log4œ2
=12+ log44
12 =
12+
12= 1
= log2212 + log4œ4log2œ2 + log42
§ c =13
§ 6 = (63)c
log2166 = c § 6 = 216c
log335 = blog3243 = b §
log12
4 = a § 4 = 1122
a
§ 22 = 2-a § -a = 2 § a = -2
= -2 + 5 +13=
103
log12
4 + log3243 + log2166 = a + b + c
= 2 + 0 - 1 = 1
log416 + log31 + log818= log44
2 + log330 + log88
-1
Dm = {x å R : e2x - ex ≥ 0} = R+0
m(x) = œe2x - ex
243 381 327 39 33 31
216 636 66 61
34
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANOC
EX
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Port
oE
dito
ra
10. 1 ≤ log2x ≤ 2 § 21 ≤ x ≤ 22
§ 2 ≤ x ≤ 4
§ x å [2, 4]
11.1
§ x = 3
11.2
§ x = 3
11.3
11.4
11.5
11.6
§ x = 36
12.
= -1 + (-1) = -2
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
14. log2t = x § t = 2x
14.1
14.2
14.3
14.4
= 5 + x +3x2
=5x2
+ 5
= 5 + x + log223x2
= log225+ x + log2(2
3x)12
= log2(25 * 2x) + log2œ(2x)3log2(2
5t) + log2œt3
log2œt = log2œ2x = log2(2x)
12 = log22
x2 =
x2
log2116t 2 = log2124
2x2 = log2 24-x = 4 - x
= log2 24+x = 4 + x
log2(16t) = log2 (16 * 2x) = log2(24 * 2x)
eln a2
+1= e
12
ln a* e1 = eln a
12
* e = a12 * e = eœa
101- log(1x) =10
10log(1x)=
101x
= 10x
loga(logbba) = loga(a) = 1
= x - log22x+x2
= x - (x + x2) = -x2log22x - log2(21+x)
x
31-2 log3x =31
32 log3x=
33log3x2 =
3x2
eln x + ln y = eln x * eln y = xy
log1aa + logb
1b= log1
a11a 2
-1
+ logbb-1
§ œx = 6 ‹ x å R+ \ {1}
logx6 =12
§ x12 = 6 ‹ x å R+ \ {1}
§ x =116
§ x = Œ3 184 = ‹ x å R+ \ {1}
§ x3 = 8-4 ‹ x å R+ \ {1}
§ 1x- 342
-4
= 8-4 ‹ x å R+ \ {1}
logx8 = -34
§ x- 3
4 = 8 ‹ x å R+ \ {1}
§ x2 = 3 ‹ x å R+ \ {1} § x = œ3
logx13= -2 §
13= x-2 ‹ x å R+ \ {1} §
13=
1x2 ‹ x å R+ \ {1}
log8 214 = x § 8x = 2
14 § (23)x = 2
14 § 3x =
14
§ x =112
logx81 = 4 § x4 = 81 ‹ x å R+ \ {1}
logx9 = 2 § x2 = 9 ‹ x å R+ \ {1}
15.1
= ln a + ln b - ln c
15.2
16.1
16.2
17. f(x) = ln x Pág. 113
= ln(e2) = 2 c. q. m.
18. f(x) = ln(-x2 + 24x - 80)
18.1
Logo, Df = ]4, 20[.
-x2 + 24x - 80 > 0 § x å ]4, 20[
§ x = 4 › x = 20
§ x =-24 ¿œ242 - 4 * (-1) * (-80)
-2-x2 + 24x - 80 = 0
Df = {x å R : -x2 + 24x - 80 > 0}
= ln1 ex* ex2
f 1 ex2 + f(ex) = ln1 e
x2 + ln(ex)
§ A =e2 b2
3œa
§ ln A = ln1e2 b2
3œa 2
§ ln A = ln 1 e2
3œa2 + ln b2
§ ln A = ln e2 - ln 3œa + ln b2
§ ln A = ln e2 - ln a13 + ln11
b2-2
ln A = 2 -13
ln a - 2 ln11b2
§ A =3
œab2
œcd3
§ ln A = ln1 a13 b2
(cd3)122
§ ln A = ln1a13 * b22 - ln (cd3)
12
§ ln A = ln1a13 * b22 - 1
2ln (cd3)
§ ln A = ln a13 + ln b2 -
12
(ln c + ln d3)
ln A =13
ln a + 2 ln b -12
(ln c + 3 ln d)
=12
ln a +23
ln b -53
ln c
=12
ln a + ln b -13
ln b -53
ln c
= ln a12 + ln b - 1ln b
13 + ln c
532
= ln(a12 * b) - ln1 3œb * c
532ln A = ln1 a
12 * b
3œb * c532
A =a
12 * b
3œb * c
53
ln A = ln1abc 2 = ln(ab) - ln c
A =abc
35
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANO
CE
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18.2 f(12 - x) = ln[-(12 - x)2 + 24(12 - x) - 80]= ln[-(144 - 24x + x2) + 288 - 24x - 80]= ln(-144 + 24x - x2 + 288 - 24x - 80)
= ln(64 - x2)
f(12 + x) = ln[-(12 + x)2 + 24(12 + x) - 80]= ln[-(144 + 24x + x2) + 288 + 24x - 80]= ln(-144 - 24x - x2 + 288 + 24x - 80)
= ln(64 - x2)
Logo, f(12 - x) = f(12 + x), A x å ]-8, 8[.
19.1
§ x = -2 ln 3
S = {-2 ln 3}
19.2 2e-x + ex = 3
Multiplicando os dois membros por ex, vem:
2e-xex + exex = 3ex§ 2e0 + (ex)2- 3ex = 0
§ (ex)2 - 3ex + 2 = 0
Substituindo na equação ex por y, vem:
y2 - 3y + 2 = 0
Então, temos:
S = {0, ln 2}
19.3 2x + 2x+3 = 27 § 2x + 2x * 23 = 27
§ 2x + 8 * 2x = 27
§ 9 * 2x = 27
§ 2x = 3
§ x = log23
S = {log23}
19.4
Substituindo na equação e2t+1 por y, vem:
Então, temos:
§
S = 5- 126
t = -12
§ 2t + 1 = 0
§ t å O › 2t + 1 = ln1e2t+1 = -2 › e2t+1 = 1
§ y = -2 › y = 1y2 + y - 2 = 0
§ e2t+1 + (e2t+1)2 - 2 = 0e2t+1 + e4t+2 = 2
§ x = 0 › x = ln 2
§ x = ln1 › x = ln2ex = 1 › ex = 2
§ y = 1 › y = 2
§ y =3 ¿ œ9 - 4 * 2
2
§ x = ln1192 § x = ln 3-2
9ex -1 = 0 § 9ex = 1 § ex =19
§ -8 < x < 8
§ -8 < x < 8 ‹ -8 < x < 8
§ -8 < -x < 8 ‹ -8 < x < 8
4 < 12 - x < 20 ‹ 4 < 12 + x < 20
19.5 4(e-0,2x + e0,2x) = 17 § 4e-0,2x + 4e0,2x - 17 = 0
Multiplicando os dois membros por e0,2x vem:
4e-0,2x * e0,2x + 4e0,2x * e0,2x - 17e0,2x = 0 § 4(e0,2x)2- 17e0,2x + 4 = 0
Substituindo na equação e0,2x por y temos:
4y2 - 17y + 4 = 0
Então, temos:
S = {-10 ln 2, 10 ln 2}
19.6 4x3e-x = 2x3e-0,5x § 4x3e-x - 2x3e-0,5x = 0
§ 2x3(2e-x - e-0,5x) = 0
S = {0, 2 ln 2}
19.7 9x + 6 = 5 * 3x § (32)x+ 6 = 5 * 3x
§ (3x)2- 5 * 3x + 6 = 0
Substituindo na equação 3x por y, vem:
y2 - 5y + 6 = 0
Então, temos:
19.8 3e0,02x - 8e-0,02x = 2
Multiplicando os dois membros por e0,02x, temos:
3e0,02x * e0,02x - 8e-0,02x * e0,02x = 2e0,02x
§ 3(e0,02x)2- 2e0,02x - 8 = 0
Substituindo na equação e0,02x por y, vem:
3y2 - 2y - 8 = 0
Então, temos:
§ x = 50 ln 2
S = {50 ln 2}
19.9 log2(2x - 1) - 2 = log2(x - 2)
S = 5726
§ x =72
§ 2x = 7 ‹ x > 2
§ 2x - 1 = 4x - 8 ‹ x > 2
§2x - 1
4= x - 2 ‹ x > 2
§ log212x - 14 2 = log2(x - 2) ‹ x > 2
§ log2(2x - 1) - log222 = log2(x - 2) ‹ 2x - 1 > 0 ‹ x - 2 > 0
§ x å O › 0,02x = ln 2e0,02x = -43› e0,02x = 2
§ y = -43› y = 2
S = {log32, 1}
§ x = log32 › x = 13x = 2 › 3x = 3
§ y = 2 › y = 3
§ x = 0 › x = 2 ln 2
§ x = 0 › 0,5x = ln 2
§ x = 0 › x å O › e0,5x = 2
§ x = 0 › e-x = 0 › 2 - e0,5x = 0
§ x = 0 › e-x(2 - e0,5x) = 0
§ 2x3 = 0 › 2e-x - e-0,5x = 0
§ x = -10 ln 2 › x = 10 ln 2
§ 0,2x = -2 ln 2 › 0,2x = 2 ln 2
§ 0,2x = ln 2-2 › 0,2x = ln 22
§ 0,2x = ln1142 › 0,2x = ln 4e0,2x =
14› e0,2x = 4
§ y =14› y = 4
36
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANOC
EX
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ra
19.10
§ x = 2
S = {2}
19.11 2(ln x)2 + ln x2 = 4
Substituindo na equação ln x por y, vem:
Então, temos:
S = {e-2, e}
19.12
Cálculo auxiliar:
§ x = -1
S = {-1}
19.13
§ x = -1
S = {-1}
19.14
§ x = 4
S = {4}
§ 5 - x = 1 ‹ x < 5
§ 5 - x = e0 ‹ x < 5
§ ln (5 - x) = 0 ‹ x < 5
§ ln15 - xex
* ex2 = 0 ‹ 5 - x > 0
§ ln 15 - xex 2 + ln ex = 0 ‹
5 - xex > 0ln15 - x
ex 2 + x = 0
§ (x = -1 › x = -8) ‹ -3 < x <13
§ x2 + 9x + 8 = 0 ‹ -3 < x <13
§ x2 + 6x + 9 - 1 + 3x = 0 ‹ x > -3 ‹ x <13
§ (x + 3)2 = 1 - 3x ‹ x > -3 ‹ 3x < 1
§ ln (x + 3)2 = ln (1 - 3x) ‹ x + 3 > 0 ‹ 1 - 3x > 0
2 ln (x + 3) = ln(1 - 3x)
§ (x = -2 › x = -1) ‹ x å 4- 95
,13 3
§ 8x2 + 24x + 16 = 0 ‹ x å D
§ 10x + 18 + 5x2 + 9x - 2 + 5x + 3x2 = 0 ‹ x å D
§ (2 + x)(5x + 9) = 2 - 5x - 3x2 ‹ x å D
§ ln[(2 + x)(5x + 9)] = ln (2 - 5x - 3x2) ‹ x å D
ln(2 + x) + ln(5x + 9) = ln(2 - 5x - 3x2)
§ x = -2 › x =13
2 - 5x - 3x2 = 0 § -3x2 - 5x + 2 = 0
= 4- 95
,13 3
= 5x å R : x > -2 ‹ x > -95‹ -2 < x <
136
D = {x å R : 2 + x > 0 ‹ 5x + 9 > 0 ‹ 2 - 5x - 3x2 > 0}
ln (2 + x) + ln (5x + 9) = ln (2 - 5x - 3x2)
§ x = e-2 › x = e(ln x = -2 › ln x = 1) ‹ x > 0
§ (y = -2 › y = 1) ‹ ey > 02y2 + 2y - 4 = 0 ‹ ey > 0
§ 2(ln x)2 + 2 ln x - 4 = 0 ‹ x > 0
§ (x = -3 › x = 2) ‹ x > 0
§ 3x2 + 3x - 18 = 0 ‹ x > 0
§3x2 + 3x
2= 32 ‹ x > 0
§ log31x + 12
* 3x2 = log332 ‹ x > 0
§ log31x + 12 2 + log3(3x) = 2 ‹
x + 12
> 0 ‹ 3x > 0
log31x + 12 2 = 2 - log3(3x) 19.15
§ x > 0
S = ]0, +?[
19.16 ex - 1 < 6e-x
Multiplicando os dois membros por ex, vem:
ex * ex - ex < 6e-xex § (ex)2 - ex < 6
Substituindo na inequação ex por y, temos:
y2 - y - 6 < 0
Então, temos:
ex > -2 ‹ ex < 3
S = ]-?, ln 3[
20.1 f(x) = ln x2
g(x) = 2 ln x
20.2
= ]-?, -1 [∂ ] 0, +?[
g(x) = ln x - ln(x + 1)
= ]0, +?[
Df = ]-?, -1[ ∂ ]0, +?[ e Dg = ]0, +?[
21.1 f(x) = 21-x
Df = R
Logo, f -1 (x) = 1 - log2 x
f -1 : R+ 2"Rx 1 1 - log2x
Df -1 = {x å R : x > 0} = R+
f(x) = y § 21-x = y § 1 - x = log2 y § x = 1 - log2y
Dg = {x å R : x > 0 ‹ x + 1 > 0}
Df = 5x å R : x + 1 0 0 ‹x
x + 1> 06
f(x) = ln1 xx + 12
Df = R \ {0} e Dg = R+
Dg = {x å R : x > 0} = R+
Df = {x å R : x2 > 0} = R \ {0}
§ x < ln 3
§ x å R ‹ x < ln 3
§ y > -2 ‹ y < 3
§ x > -158
‹ x > 0
§ 8x + 15 > 0 ‹ x > 0
§ x2 < x2 + 3x + 5x + 15 ‹ x > 0
§ ln x2 < ln [(x + 5)(x + 3)] ‹ x > 0
§ ln x2 < ln (x + 5) + ln (x + 3) ‹ x > 0
§ ln x2 - ln (x + 3) < ln (x + 5)‹ x > 0 ‹ x + 3 > 0 ‹ x + 5 > 0
2 ln x - ln (x + 3) < ln (x + 5)
x -? -1 0 +?
x - - - 0 +
x + 1 - 0 + + +x
x + 1+ - 0 +
Cálculo auxiliar:
y2 - y - 6 = 0
§ y = -2 y = 3›
37
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANO
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21.2 g(x) = 1 - e2x
Logo, g- 1(x) = ln (1 - x)
2" R
21.3 h(x) = 1 + ln(x - 3)
Logo, h- 1(x) = 3 + ex - 1
2" R
21.4 i(x) = -3 * 2-x
Logo, i - 1(x) = - log2
2" R
21.5 m(x) = ln x2
m não tem inversa por não ser injectiva (por exemplo, m(-1) = m(1)).
21.6 p(x) = 2 ln x
2" R
22. f(t) = 2000 * 2,4kt Pág. 114
22.1 f(5) = 27 000 § 2000 * 2,45k = 27 000
c. q. m. ± k ) 0,59
§ k =15*
ln(13,5)ln(2,4)
§ 5k =ln(13,5)ln(2,4)
§ 5k = log2,41272 2
§ 2,45k =27 0002000
x 1 ex2
p -1 : R
Dp -1 = R
p(x) = y § 2 ln x = y § ln x =y2
§ x = ey2
Dp = R+
x 1 -log21- x32
i -1 : ]-?, 0[
Di -1 = 5x å R : -x3> 06 = ]-?, 0[
1- x32
§ -x = log21- y32 § x = - log21- y
32i(x) = y § -3 * 2-x = y § 2-x = -
y3
Di = R
x 1 3 + ex-1
h -1: R
Dh -1 = R
§ x - 3 = ey-1 § x = 3 + ey-1
h(x) = y § 1 + ln(x - 3) = y § ln(x - 3) = y - 1
Dh = {x å R : x - 3 > 0} = ]3, +?[
x 112
ln(1 - x)
g -1 : ]-?, 1[
Dg -1 = {x å R : 1 - x > 0} = ]-?, 1[
12
§ 2x = ln(1 - y) § x =12
ln(1 - y)
g(x) = y § 1 - e2x = y § e2x = 1 - y
Dg = R
22.2 f (t) = 100 000 § 2000 * 2,40,59* t = 100 000
§ 2,40,59* t = 50
§ 0,59t = log2,4(50)
A população de vermes atingirá os 100 000 elementos ao 8.8 dia.
22.3
= 2,4k
Como k ) 0,59, temos:
2,4k
§ f(t + 1) = f(t) + 0,68 f(t)
A população de vermes aumenta à taxa de 68% por dia.
23. N(t) = A0 * e0,2t
23.1 N(1) = 2000 § A0 * e0,2*1 = 2000
Inicialmente existiam 1637 coelhos.
23.2
= e0,2t+0,2-0,2t
§ N(t + 1) = N(t) + 0,22N(t)
O número de coelhos aumenta 22% por ano.
24.
24.1 O início de 2005 corresponde a t = 2005 - 1970 = 35
Resposta: 77,6%
24.2 P(t) = 15
‹
‹ 1 + 2,9 * e- 0,07t 0 0twwwuwwwv
Condição universal
Portanto, t ) - 9,057Deste modo, temos que 1970 - 9,057 = 1960,943
Resposta: No ano de 1960.
§ t = -1
0,07* ln1 82
43,52
§ -0,07t = ln1 8243,52
§ e-0,07t =82
43,5
§ 43,5 * e-0,07t = 82
971 + 2,9 * e-0,07t = 15 § 97 = 15 + 15 * 2,9 * e-0,07* t
P(35) =97
1 + 2,9e-0,07*35 ) 77,6
P(t) =97
1 + 2,9e-0,07t
N(t + 1)N(t)
= 1,22 § N(t + 1) = N(t) * (1 + 0,22)
= e0,2 ) 1,22
N(t + 1)N(t)
=A0 * e0,2(t+1)
A0 * e0,2t
± A0 ) 1637
§ A0 =2000e0,2
f(t + 1)f(t)
= 1,68 § f(t + 1) = f(t) * (1 + 0,68)
) 1,68) 2,40,59
=2,4kt+k
2,4kt = 2,4kt+k-kt
f(t + 1)f(t)
=2000 * 2,4k(t+1)
2000 * 2,4kt
± t ) 8
§ t =1
0,59*
ln(50)ln(2,4)
38
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANOC
EX
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25. Q(t) = Q0e-0,09t Pág. 115
Q(11) = 8,51
Q0e-0,09*11 = 8,51
g
26. Q(t) = A * e-kt
26.1 1000 anos = 10 séculos
Q(0) = A * e0 = A
Q(10) = A - 0,7A
A * e-k*10 = 0,3A
e-10k = 0,3
-10k = ln(0,3)
26.2 Q(t) = A * e-0,12t
a) 330 anos = 3,3 séculosQ(3,3) = 673
A e-0,12*3,3 = 673
b)
§ -0,12s = ln(0,5)
A substância radioactiva reduz-se a metade em cada período de5,78 séculos.
27. Q(t) = c * 2-0,06t
27.1 Q(10) = 33 § c * 2-0,06*10 = 33
Inicialmente existiam 50 g.
27.2 Seja h a semivida desta substância. Então:
A semivida da substância é igual a 16,7 anos.
§ h =1
0,06± h ) 16,7
§ -0,06h = -1
§ -0,06h = log21122
§ 2-0,06h =12
§ 2-0,06t * 2-0,06h =12* 2-0,06t
§ 2-0,06t-0,06h =12* 2-0,06tc * 2-0,06(t+h) =
12
c * 2-0,06t
Q(t + h) =12
Q(t)
± c ) 50
§ c =33
2-0,6
§ s ) 5,78
§ s =ln(0,5)-0,12
§ e-0,12s =12
§ e-0,12t * e-0,12s =12
e-0,12t
§ e-0,12t - 0,12s =12
e-0,12t
§ 1000e-0,12(t+s) =12* 1000e-0,12tQ(t + s) =
12
Q(t)
A ) 1000 mg
A =673
e-0,396
k ) 0,12
k = -ln(0,3)
10
Q0 ) 22,90
Q0 =8,51e-0,99
27.3
Q(t + 1) = Q(t) * (1 - 0,0407)
Q(t + 1) = Q(t) - 0,0407 Q(t)
0,0407 = 4,07% ) 4,1%
27.4 Q(t) = 50 * 2-0,06t
Q = 50 * 2-0,06t
28. C(t) = 0,5 + 1,2 ln t Pág. 116
28.1 6 min 15 s = 6,25 min
C(6,25) = 0,5 + 1,2 ln(6,25) ) 2,70
A chamada custa 2,70 D.
28.2 C(t) = 4,14 § 0,5 + 1,2 ln t = 4,14
§ 1,2 ln t = 4,14 - 0,5
§ t ) 20,766
§ t ) 20 min 46 s
28.3 Uma chamada durou o tempo t e custou C(t).
A outra chamada durou 3t e custou C(3t).
C(3t) - C(t) = (0,5 + 1,2 ln(3t)) - (0,5 + 1,2 ln t)
= 1,2 ln(3t) - 1,2 ln t
= 1,2 (ln (3t) - ln t)
= 1,2 ln 3 ) 1,32 .
29. N = 10 log10(1012I)
29.1 N = 10 log10(1012I)
c. q. v.
29.2 N = 100
120 + 10 log10I = 100 § 10 log10I = -20
§ log10I = -2
§ I = 10-2
Resposta: I = 0,01 W/m2
N = 120 + 10 log10I
N = 10(12 + log10 I)
N = 10(log10 1012 + log10I)
Æ
= 1,2 ln13tt 2
§ t = e3,641,2
§ ln t =3,641,2
§ t =ln 50 - ln Q
0,06 ln 2
§ t =ln Q - ln 50-0,06 ln 2
§ -0,06t =ln Q - ln 50
ln 2
§ -0,06t =ln1 Q
502ln (2)
§ 2-0,06t =Q50
§ -0,06t = log21 Q502
Q(t + 1)Q(t)
= 0,9593
= 2-0,06 ) 0,9593
= 2-0,06t-0,06+0,06t
Q(t + 1)Q(t)
=c * 2-0,06(t+1)
c * 2-0,06t
39
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANO
CE
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29.3 N(3I) - N(I)
29.4
c. q. v.
29.5
c. q. v.
30. f(x) = ex
g(x) = ln x + c
O gráfico da função g é obtido do gráfico de y = ln x por umatranslação associada ao vector (0, c), com c > 0.
Para que o gráfico de y = ln x + c intersecte o gráfico de y = ex emapenas um ponto, o valor de c tem de ser o mínimo da função hdefinida por h(x) = ex - ln x.
Introduzindo na calculadora gráfica a função y1 = ex - ln x, deter-minou-se o seu mínimo tendo sido obtido o seguinte resultado:
Logo, c ) 2,33.
I(N + 20)I(N)
= 100 § I(N + 20) = 100I(N)
=100,1N * 102 * 10-12
100,1N * 10-12 = 102 = 100
=100,1N +2-12
100,1N * 10-12
I(N + 20)I(N)
=100,1(N+20)-12
100,1N-12
§ I = 100,1N-12
§ log10 I = 0,1 N - 12
§ log10 I =N - 120
10
§ 10 log10 I = N - 120N = 120 + 10 log10 I
= 10 log10 3 ) 4,77
= 10 log1013II 2
= 10(log10(3I) - log10(I))= 10 log10(3I) - 10 log10 I
= 120 + 10 log10(3I) - (120 + 10 log10 I) Pág. 117
31.
31.1 I(E) = 8,6
§ E = 7 * 109,9 kWh
E = 7 * 109,9 kWh ) 5,56 * 1010 kWh
31.2
Aproximadamente, 556 030 dias.
31.3 I(32E) - I(E)
Resposta: 1,0. A uma libertação de energia 32 vezes superiorcorresponde uma diferença de uma unidade na escala de Richter.
32.
32.1 pH = 7,4 § -log10x = 7,4
§ x = 10-7,4
§ x ) 4 * 10-8
A concentração de iões H3O+ no sangue arterial humano é, apro-
ximadamente, igual a 4 * 10-8 mol/dm3.
32.2 Concentração de iões H3O+ no leite: I
Concentração de iões H3O+ no café: 3I
pH do leite - pH do café
) 0,5
A diferença entre o pH do leite e o pH do café é igual a 0,5.
33. Q(t) = ce-kt Pág. 118
33.1 3,5% = 0,035
Q(1) = c - 0,035 c § ce-k *1 = 0,965 c
§ e-k = 0,965
§ -k = ln (0,965)
§ k ) 0,036
= log1013II 2 = log10(3)
= log10(3I) - log10(I)
= -log10I + log10(3I)
= - log10(I) - (- log10(3I))
§ log10 x = -7,4
pH = -log10x
=23
log 32 ) 1,0
=23
log132EE 2
=23
[log(32E) - log(7 * 10-3) - log(E) + log(7 * 10-3)]
=23 3log1 32E
7 * 10-32 - log1 E7 * 10-324
=23
log1 32E7 * 10-32 - 2
3log1 E
7 * 10-32
7 * 109,9
105 = 7 * 104,9 ) 556 030
§ E = 7 * 10-3 * 1012,9
§E
7 * 10-3 = 1012,9
§ log1 E7 * 10-32 = 3
2* 8,6
§23
log1 E7 * 10-32 = 8,6
I(E) =23
log1 E7 * 10-32
33.2 Q(t) = c * e-0,036t
§ x ) 19,2541
§ x ) 19 min 15 s
Em cada período de 19 min 15 s, a quantidade de carbono-11existente reduz-se a metade.
34.
34.1
c. q. m.
34.212 : 2 = 6
A 6 m de profundidade a intensidade da luz é metade da que severifica à superfície.
34.3
Por cada metro que a profundidade aumenta a intensidade da luzreduz cerca de 11%.
35.
35.1
c. q. v.§ 5A = 1
B =256 - 1
1020
§ 5A = 1B = 0,25
§ 5A = 1log2(1 + 1020B) = 8
§ 5A = 11 + 1020B = 28
5L(0) = 0L(1020) = 32
§ 54 log2A = 04 log2(A + 1020B) = 32
L(x) = 4 log2(A + Bx)
§ I(p + 1) = I(p) - 0,11 I(p)
I(p + 1)I(p)
= 0,89 § I(p + 1) = I(p) * (1 - 0,11)
= 10- 1
20 ) 0,89
I(p + 1)I(p)
=12 * 10-
p+120
12 * 10-
p20
= 10-
p+120 +
p20 = 10
-p-1 + p20
§ p ) 6§ -p = 20 log101122
§ -p20
= log101122§ 10
-p20 =
12
I(p) = 6 § 12 * 10-
p20 = 6
I(0) = 12 * 10- 0
20 = 12
§ I = 12 * 10- P
20
§I
12= 10
- P20
§ -P20
= log101 I122
§ P = -20 log101 I122
§ P = -20 *ln1 I
122ln(10)
P = -20
ln 10* ln1 I
122
P = -20
ln 10 (ln I - ln 12)
§ x =ln 2
0,036
§ -0,036x = ln1122§ e-0,036x =
12
§ e-0,036 t * e-0,036x =12
e-0,036 t
§ e-0,036 t - 0,036x =12
e-0,036 t
§ ce-0,036(t +x) =12
ce-0,036 tQ(t + x) =12
Q(t)
35.2
§ x ≥ 721
É necessário produzir, pelo menos, 721 peças.
35.3
Logo, k = -8.
Pág. 11936. L(x) = -37 + 24 ln x, x ≥ 20
36.1L(107) = -37 + 24 ln 107 ) 75,1
A esperança de vida para os indivíduos do sexo masculino nasci-dos em 2007 é de 75,1 anos.
36.2
1900 + 130,974 = 2030,974 (2 c. d.)
A partir do ano 2031.
36.3 L(kx) - L(x) = 10 § [-37 + 24 ln(kx)] - (-37 + 24 ln x) = 10
§ 24 ln(kx) - 24 ln x = 10
§ 24[ln(kx) - ln x] = 10
kx = 1,5 * 100 = 150
Ano de 2050.
37. ln(10p) + 0,14 h = ln (1013)
37.1 ln (1013) - ln(10p) = 0,14h
§ p * e0,14h = 101,3
§ p = 101,3 * e-0,14h c. q. m.
37.2
= e-0,14 ) 0,87
c. q. m.
Logo, a pressão atmosférica diminui cerca de 13% .
§ p(h + 1) = p(h) - 0,13 p(h)
p(h + 1)p(h)
= 0,87 § p(h + 1) = p(h) * (1 - 0,13)
p(h + 1)p(h)
=101,3e-0,14(h+1)
101,3e-0,14 h = e-0,14 h-0,14+0,14 h
§ p =101,3e0,14 h
§101,3
p= e0,14 h
§ ln1101310p 2 = 0,14 h
2000S x = 100
§ ln k =512
§ k = e512 § k ) 1,5
§ ln 1kxx 2 = 10
24
§ lnx >11724
§ x > e11724 § x > 130,974
L(x) > 80 § -37 + 24 ln x > 80 § 24 ln x > 117
2007S x = 107
= 4 log2(4 + x) + 4 * (-2) = 4 log2(4 + x) - 8
= 4 log21142 + 4 log2(4 + x) = 4 log2(4 + x) + 4 log22
-2
= 4 log2[0,25(4 + x) ] = 4[log20,25 + log2(4 + x) ]
L(x) = 4 log2(1 + 0,25x) = 4 log230,251 10,25
+ x24
x å N§ x >27,5 - 1
0,25
§ 1 + 0,25x > 27,5
§ log2(1 + 0,25x) > 7,5
L(x) > 30 § 4 log2(1 + 0,25x) > 30
L(x) = 4 log2(1 + 0,25x)
40
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANOC
EX
MA
12©
Port
oE
dito
ra
¡
37.3 8013 m = 8,013 km
p(8,013) = p(0) * (1 - 0,67)
§ p(8,013) = p(0) - 0,67 * p(0)
A pressão atmosférica decresceu 67%.
38.
38.1 r = 3,3% = 0,033
n = 2 (duas vezes por ano.)
t = 3
O valor acumulado foi de 11 031,75 D.
38.2 10 000 + 0,5 * 10 000 = 15 000
§ 1,01652t = 1,5 § 2t = log1,0165(1,5)
§ t ) 12,388
12,388 anos ) 25 semestres
Pág. 1201. A(t) = 10 + 0,02 t2e-0,02t
B(t) = 10 + 0,04 t2e-0,04t
1.1 a) A(0) = 10 + 0,02 * 02 * e-0,02*0 = 10
B(0) = 10 + 0,04 * 02 * e-0,04*0 = 10
Às 20 h os dois canais tinham a mesma percentagem deaudiências : 10%.
b) A(t) = B(t) § 10 + 0,02t2e-0,02t = 10 + 0,04t2e-0,04t
§ 0,02t2e-0,02t - 0,04t2e-0,04t = 0
§ 0,02t2(e-0,02t - 2e-0,04t) = 0
As duas estações tiveram o mesmo nível de audiências às 20 h 35 min.
§ t = 0 › t ) 34,7
§ t = 0 › t =ln 20,02
§ t = 0 › 0,02 t = ln 2
§ t = 0 › e0,02 t = 2
§ t = 0 › e-0,02 t+0,04 t = 2
§ t = 0 ›e-0,02 t
e-0,04 t = 2
§ t = 0 › e-0,02 t = 2e-0,04 t
§ 0,02 t2 = 0 › e-0,02 t - 2e-0,04 t = 0
§ t =12*
ln(1,5)ln(1,0165)
M = 15 000 § 10 00011 +0,033
2 22 t
= 15 000
M = 10 00011 +0,033
2 22*3
) 11 031,75
M = C 11 +rn2
nt
p(8,013)p(0)
= 0,33 §
p(8,013)p(0)
=101,3 * e-0,14*8,013
101,3 * e-0,14*0 ) 0,33
41
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANO
CE
XM
A12
©Po
rto
Edi
tora
1.2 Introduziram-se na calculadora as funções y1 = 10 + 0,02x2e-0,02x,y2 = 10 + 0,04x2e-0,04x e y3 = 25 com a janela de visualização [0, 240] * [0, 50], tendo-se obtido os seguintes gráficos:
É imediato verificar que o nível de audiências da TVB é sempreinferior a 25% pelo que não cumpre nenhuma das condiçõesenunciadas.
Calculou-se a intersecção dos gráficos de y1 e y3 bem como ovalor máximo de y1 tendo-se obtido os valores indicados.
Podemos então concluir que a TVA cumpre as duas condiçõespois atinge uma audiência máxima de 37,1% e uma audiênciaacima de 25% durante cerca de 156 min, ou seja, 2 h 36 min.
2. d = 101+0,2(m - M)
2.1 d = 101+0,2(0,03-0,6) = 100,886 ) 7,691 parsec
7,691 * 3,26 ) 25
A distância da Terra a Vega é, aproximadamente, igual a 25 anos--luz.
2.2
c. q. p.
2.3 1 parsec 3,26 anos-luz
d parsec 1,6 * 10-5 anos-luz
d ) 4,908 * 10-6 parsec
m = -26,72
M = -26,72 - 5 log
M ) 4,83
14,908 * 10-6
10 2
d =1 * 1,6 * 10-5
3,26
§ M = m - 5 log1 d102
§ -M = -m + 5 log1 d102
§ m - M = 5 log1 d102
§ m - M =1
0,2 log1 d
102
§ 0,2(m - M) = log1 d102§
d10
= 100,2(m-M)d = 101+0,2(m-M) § d = 10 * 100,2(m-M)
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 5
197,6 - 41,5 = 156,1
Pág. 1213. P(t) = aekt (t å R0
+)
3.1 Número de indivíduos existentes no instante inicial: P(0) = a
Número de indivíduos existentes ao fim de n dias: P(n) = aekn
P(n) = rP(0) § aekn = ra
§ ekn = rc. q. m.
3.2 a) Decorrido exactamente um dia (n = 1) o número de indivíduosda estirpe A passou de 500 para 250, ou seja, para metade
.
Então,
Decorridos exactamente seis dias (n = 6) o número de indivíduos da estirpe B passou de 500 para 1000, ou seja, parao dobro (r = 2).
Então, c. q. v.
b) Atendendo aos valores KA e KB encontrados, temos que, t diasapós as 0 h do dia 1 do corrente mês, o número total de indiví-duos das estirpes A e B, existentes na cultura, é dado por:
KB =ln(2)
6) 0,1155
KA =ln11
221
) -0,6931
1r = 122
§ kn = ln r § k =ln rn
Recorrendo à calculadora foi obtido o gráfico da função N, nointervalo [0, 7].
Calculou-se o mínimo de N tendo-se obtido o valor apresen-tado.
Assim, o número total de indivíduos das estirpes A e B atingiu ovalor mínimo 2,216 dias após as 0 h do dia 1 do corrente mês.
Como 2,216 dias ) 2 dias e 5 horas (0,216 * 24 ) 5) podemosconcluir que o número mínimo de bactérias na cultura foi atin-gido às 5 h do dia 3 do corrente mês.
N(t) = 500e-0,6931t + 500e0,1155t
42
PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 5
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA A 12.° ANOC
EX
MA
12©
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