UFPB/CT/DEMCINEMÁTICA DAS MÁQUINAS

PROJETO DE MECANISMOS

Prof. Dr. Marcelo Cavalcanti Rodrigues

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1. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE MECANISMOS

1. INTRODUÇÃO

A análise cinemática de Mecanismos consiste na determinação das características cinemáticas de mecanismos já prontos ou em fase de projeto.

As características cinemáticas são: posição, velocidade e aceleração de pontos em mecanismos que se enquadram no modelo de corpo rígido.

A análise cinemática deve ser executada na seguinte seqüência:

Análise de posição Análise de velocidade Análise de aceleração

Usando métodos:

GRÁFICOSRégua, esquadro e

compasso

ANÁLITICOS (VETORIAL)

NUMÉRICOS (COMPUTACIONAIS)

1.1 TIPOS DE MECANISMOS

Existem 2 grupos de mecanismos com elementos mecânico segundo as peculiaridades de movimento transmitido:

1.1.1 Mecanismos de movimento uniforme: Engrenagens, rodas de fricção, acoplamento flexivel.

Acoplamentos flexíveis e magnéticos1.1.2 Mecanismos de movimento periódico: Mecanismos de barras, cames, mecanismos intermitentes.

CAMES

MECANISMOS DE 4 BARRAS

1.1 TIPOS DE MECANISMOS

1.1.3 Mecanismos planos e tridimensionais:

Mecanismos 4 barras a) Plano b) esférico c) espacial

Mecanismos de Cames a) Plano b) esférico c) espacial

1.1 TIPOS DE MECANISMOS

1.1.3 Mecanismos planos e tridimensionais:

Engrenagens não-circulares

Mecanismos Intermitentesa) Roda de Genebra b) Roda estrelada c) Mecanismos de catraca

a) Biela-manivela com roda de Genebrab) Mecanismos de barras com segmentos

de engrenagens

2. GEOMETRIA DO MOVIMENTO

Mecanismos: é uma combinação de corpos rígidos de tal modo compostos e ligados que se movem entre si com movimento relativo definido. Ex: cursor-manivela do motor de combustão interna.

Máquina: mecanismos, ou conjunto de mecanismos que transmite força de uma fonte de potência para a resistência a ser superada. Ex: Motor de combustão interna.

Movimento plano (translação): um corpo tem movimento de translação quando uma reta, definida por dois pontos quaisquer desse corpo fica constantemente paralela a si mesma.

Retilínea: todos os pontos tem trajetórias retas e paralelas. Peça 4 desliza sobre B’ a B”.

Curvilínea: As trajetórias dos pontos são curvas idênticas, paralelas a um plano fixo.

4

BB”

1

B’

3A

2

1 O2

O mecanismo abaixo era usado na ligação de rodas motrizes de locomotiva a vapor. Neste mecanismo a barra 3 tem translação curvilínea e todos os seus pontos determinam trajetórias cicloidais durante o movimento de rolamento das rodas 2 e 4 sobre o trilho 1.

A peça 5 se move em translação retilínea

32

4

5

ROTAÇÃO: cada ponto de um corpo rígido em movimento plano permanece a uma distância constante de um eixo fixo, normal ao plano do movimento, o corpo está em rotação.

Se o corpo gira de um lado para outro dentro de um determinado ângulo, o movimento é de oscilação.

3A

2

1 O2

4

O4

B

Ciclo: quando as peças de um mecanismo, partindo de uma posição inicial, passar por todas as posições possíveis e retornarem a posição inicial, essas peças completaram um ciclo.

Período: o tempo necessário para completar um ciclo é chamado de período.

Fase: posições relativas de um mecanismo em determinado instante durante um ciclo.

Pares de Elementos: são formas geométricas pelas quais dois membros de um mecanismo são articulados de modo que o movimento relativo entre estes sejam coerentes.

Peça: corpo rígido que tem dois ou mais pares de elementos que podem ser articulados a outros corpos para transmitir força ou movimento.

Inversão: Em um mecanismo, se for liberada uma peça que era fixa e outra passar a ser fixa, diz-se que esse mecanismo está invertido. A inversão de um mecanismo não altera o movimento relativo entre suas peças, entretanto modifica seus movimentos absolutos.

Transmissão de Movimento:

a)Contato direto: came e seguidor.

b)Através de elemento intermediário ou biela;

c)Ligação flexível: correia ou corrente.

A figura abaixo mostra a came 2 e o seguidor 3 em contato no ponto P.

A came gira no sentido horário e a velocidade do ponto P considerado como um ponto da peça 2 é o vetor PM2. A linha NN’ é a normal as duas superfícies no ponto P e é conhecida por normal comum, linha de transmissão ou linha de ação.

A tangente comum é TT’. O vetor PM2 é decomposto em duas componentes Pn ao longo da normal comum e Pt2 ao longo da tangente comum.

A came e o seguidor são corpos rígidos e devem permanecer em contato, a componente da velocidade de P3 deve ser igual a componente normal da velocidade de P2.

Conhecendo-se a direção do vetor velocidade P3 e sabendo-se que é perpendicular ao raio O3P e conhecendo-se a sua componente normal, é possível a determinação do vetor velocidade PM3.

Assim, pode-se determinar a velocidade angular do seguidor através da relação V = R. Onde V é a velocidade linear de um ponto que se move ao longo da trajetória de raio R e é a velocidade angular do raio R.

2.1 VELOCIDADE DE DESLIZAMENTO

Analisando mecanismos com contato direto, é necessário determinar a velocidade de deslizamento.

A velocidade de deslizamento é a diferença vetorial (t2t3) entre as componentes tangenciais das velocidades do ponto de contato P dada por Pt2 e Pt3.

Se t2 e t3 estiverem do mesmo lado de P, a velocidade relativa será dada pela diferença dos segmentos Pt3 e Pt2. Se o ponto de contato estiver na linha de centros (ponto K), os vetores PM2 e PM3 serão iguais e mesma direção. Assim as componentes tangenciais serão iguais e a velocidade de deslizamento nula.

As peças estarão em ROLAMENTO PURO (ponto de contato permaneça sobre a linha de centros).

2.2 RAZÃO DE VELOCIDADES ANGULARES

Considere duas peças em contato direto, a partir dos centros O2 e O3, baixam-se perpendiculares a normal comum cruzando-a nos pontos e e f.

Logo,

Como os triângulos PM2n e O2Pe são semelhantes.

Os triângulos PM3n e O3Pf são semelhantes.

Assim,

Com a normal comum cruzando a linha de centros no ponto K, os triângulos O2Ke e O3Kf são semelhantes.

PO

PM

2

22

PO

PM

3

33

2

2

3

3

2

3

PM

PO

PO

PM

eO

Pn

PO

PM

22

2

fO

Pn

PO

PM

33

3

fO

eO

Pn

eO

fO

Pn

3

22

32

3

KO

KO

fO

eO

3

2

3

2

2

3

3. SISTEMAS ARTICULADOS

3.1 MECANISMO DE QUATRO BARRAS

Um dos Mecanismos mais simples e mais úteis. A manivela 2 é a peça acionadora que pode girar ou oscilar. A peça 4 irá oscilar.

Enquanto a peça 2 gira, não ocorre travamento do mecanismo. Se houver travamento, para evitá-lo deve-se ter cuidado com os comprimentos das peças (evitar pontos mortos).

Os pontos mortos ocorrem quando a linha de ação da força motora tiver a mesma direção da peça 4 (linha vermelha A’B’).

Se a peça 2 girar completamente mas a peça 4 for motora, ocorrerão pontos mortos e será necessário o uso de um volante (disco que contém energia de rotação) para evitar a parada.

Exemplo de volante:

VOLANTE

Ângulo de transmissão (): É o ângulo existente entre a peça de ligação 3 e a peça 4. È usado para evitar parada (travamento) do mecanismo.

Aplicando a lei dos Co-senos aos triângulos AO2O4 e ABO4.

e

Logo,

r3

r4

r2

r1

z2

22122

21

2 cos2 rrrrz cos2 4324

23

2 rrrrz

43

22124

23

22

21

4324

23221

22

21

2

cos2cos

cos2cos2

rr

rrrrrr

rrrrrrrr

O ângulo não deve ser inferior a 40° para transmitir grandes forças.Se < 40° o mecanismo tenderá a parar devido ao atrito entre as articulações, e as peças 3 e 4 tenderão a ficar alinhados bloqueando o mecanismo.

3.2 LEI DE GRASHOF

Os mecanismos de quatro barras, que possuem apenas pares rotativos, são divididos em duas classes. classe 1: inclui todos os mecanismos em que um elemento, o de menor dimensão, poderá realizar uma rotação completa em relação aos três elementos. Quando nenhum elemento pode realizar uma rotação completa em relação aos outros três elementos é chamado de mecanismo de classe 2.

A lei de Grashof é utilizada para verificar a classe destes tipos de mecanismos, esta lei diz que: “A soma dos comprimentos do elemento menor e do elemento maior, devem ser menor ou igual a soma dos elementos restantes, para que um ou mais elementos consigam realizar uma rotação completa (360 graus ou movimento circular contínuo cc).

onde: s = elemento menor, l = elemento maior, p, q = elementos restantes

qpls

DADOS:Q2Q4 = 400 mmQ2A = 120 mmQ4B = 340 mmAB = 390 mm

SOLUÇÃO:

730520

390340400120

qpls

Assim, o mecanismo é de classe 1 onde a peça 2 pode realizar rotação completa.

Exercícios para sala de aula.

1. Classifique os mecanismos abaixo seguindo a Lei de Grashof.

DADOS:Q2Q4 = 106 mmQ2A = 30 mmQ4B = 60 mmAB = 64 mm

DADOS:AD = 24 mmAB = 16 mmDC = 16 mmBC = 24 mm

124136

646010630

qpls

4040

24162416

qpls

Classe 2

Classe 1

3.3 MECANISMO CURSOR (biela) - MANIVELA

Esse mecanismo é largamente usado e sua maior aplicação é em motores de combustão interna em compressores de ar. No motor de combustão interna, os gases exercem sua pressão sobre o pistão, transmitida à manivela por intermédio da biela.

Sistema biela-manivel

Pontos mortos

Os pontos mortos PMS e PMI ocorrem em posições extremas do pistão e são superadas pela instalação de um volante no eixo da manivela.

Para um mecanismo cursor manivela, é necessário calcular o deslocamento, velocidade e aceleração do cursor para projetar equipamentos e máquinas que o utilizam para gerar potência. Assim, a equação fornece uma posição relativa e aproximada do curso (x) do mecanismo.

A

4

)cos1()cos1(

coscos

LR

LRLRx

x

R L

L sen = R sen

R cos L cos

22

2222222222222

)/(1cos

)/(1coscoscos

senLR

senLRsenRLLsenRLL

])/(11[)cos1( 22 senLRLRx

Como:

Tem-se:

Pela não linearidade acima,

Onde = t com = cte.

senL

RsenLR

222

2

11)/(1

22

2)cos1( sen

L

RRx

2coscos

22

22

2

L

RR

dt

xda

senL

RsenR

dt

dxV

Ex: R = 50mm e L=200mm.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100RESPOSTA DO MECANISMO CURSOR MANIVELA

Teta2 [graus]

Am

plitu

de d

o cu

rsor

[m

m]

Programa:% MARCELO CAVALCANTI RODRIGUES% DISCIPLINA: CINEMATICA %MECANISMO CURSOR-MANIVELA (TESTE) clear allclose all R=50L=200w=1convrd=pi/180; %graus para radianoconvg=1/convrd; %radianos para grausi=1;%angulo teta4for teta2 = 0:10:360; teta2=teta2*convrd; x = R*(1-cos(teta2))+((R^2)/(2*L))*(sin(teta2))^2; x1(i)=x; teta22(i)=teta2*convg; i=1+i;endfigure(1)plot(teta22,x1), title('RESPOSTA DO MECANISMO CURSOR MANIVELA')grid onxlabel('Teta2 [graus]')ylabel('Amplitude do cursor [mm]‘)

3.4 GARFO ESCOCÊS:

Esse mecanismo é largamente usado para gerar movimento harmônico.Ex: Bomba a vapor, mesa vibratória e geradores de seno e cosseno.

)cos(sin

)(sin

cos

2

lxa

lxv

lx

Como

cos)(cos)0(sin

sin)(sin

0,,

22 lla

llv

t

CD

CD

ANÁLISE VETORIAL

1. MECANISMO CURSOR - MANIVELA

3

4

i

2

k

jr2 r3

rB

2

3

O2

A

B

)sin(cos)sin(cos 33322232 jirjirirrrr BB (1)

De (1), tem-se:

0

sin

cos

0

sin

cos

0

0 33

33

22

22

r

r

r

rr

k

j

i B

(2)

De (2), tem-se:

3322

3322

sinsin0

coscos

rr

rrr

y

x B (3)(4)

Substituindo 3 de (5) na equação (3),

3

2213

sinsin

r

r De (4),

(5)

3

221322

sinsincoscos

r

rrrrB

(6)

ANÁLISE VETORIAL

2. MECANISMO CURSOR – MANIVELA INVERTIDO

Dados: 2 , O2A e O2O4 Determinar: 4 e r4

r1O4

24

4

2

O2

3

A

r1

r4r2

O2O4

A

0

sin

cos

0

0

0

sin

cos

)sin(cos)sin(cos

22

221

44

44

22214444214

r

rr

r

r

jirirjirrrrr

(1)

De (1), tem-se:

2244

22144

sinsin

coscos

rr

rrr

y

x (2)(3)

Dividindo (3) por (2) tem-se:

221

2214

221

224 cos

sintan

cos

sintan

rr

r

rr

r(4)

Substituindo (4) em (3)

4

224 sin

sin

r

r

ANÁLISE VETORIAL

3. MECANISMO QUATRO - BARRAS

Dados: 2 , O2A , AB, O4B, O2O4 Determinar: 3 e 4

42

3

r1

r2

r3

r4

ra

4132 rrrr (1)

De (1), tem-se:

0

sin

cos

0

0

0

sin

cos

0

sin

cos

44

441

33

33

22

22

r

rr

r

r

r

r(2)

De (2), tem-se:

443322

4413322

sinsinsin

coscoscos

rrr

rrrr

y

x (3)(4)

Das eqs (3) e (4), resulta 3 e 4 usando algum método numérico.

Usando o vetor auxiliar ra, tem-se:

222

2221222212221

2121

)sin()cos()sin()cos()sin(cos rrrjrirrjirirr

rrrrrr

a

aa

(5)

221

221

cos

sintan

rr

ra

Usando jrirr ayaxa

Temos também: 34 rrra

3344

3344

33

33

44

44

sinsin

coscos

0

sin

cos

0

sin

cos

0

rrr

rrrr

r

r

r

r

r

ay

ax

ay

ax

(6)

(7)

Elevando (8) e (9) ao quadrado e somando:

(8)(9)

a

a

aa

a

aa

aaa

aaaa

aa

aa

rr

rrr

rr

rrr

rrrrr

rrrrr

rrr

rrr

33

223

241

33

223

24

3

223

2433

2333

23

24

233

244

233

244

2cos)(

2)cos(

)cos(2

)sinsincos(cos2

)sinsin()sin(

)coscos()cos(

(10)

Substituindo 3 em (8) ou (9), tem-se 4.

44

314

44

34344

)cos(cos

)cos(cos)cos(cos

r

r

r

r

r

r

r

rrrr

axa

axaaxa

Ex: considere o mecanismo cursor manivela com excentricidade ao lado.

r2

2

A

r3

Be 3

y

0

sin

cos

22

22

2

r

r

rSabendo que: err 3322 sinsin

Logo:

223

3 sin1

sin rer

(*)

e

3322 coscos rrxB xB

2/13

233

23

2 )sin1(cos1cossin

(1)

A partir de (*): 2/1222

23

33 )sin(

1cos rer

r (**)

Substituindo (**) em (1) e considerando positivo.

2/1222

2322 ])sin([cos rerrxB (2) Então, dado 2 obtém-se xB.

Ex: considere o mecanismo de cursor manivela ao lado.

Cursor manivela no mesmo nível2/1222

2322

2/1222

2322

])sin([cos

])sin([cos

rrrx

rerrx

B

B

4 REPRESENTAÇÃO DE VETORES DE POSIÇÃO

Os vetores de posição entre dois pontos no plano XY serão representados nesta apostila pela letra R seguida de pelo menos dois índices (subscritos), sendo que o primeiro índice é a extremidade final e o segundo índice é o ponto de origem do vetor de posição.

Observe que ou

Note que:

senRRRR

jRiRRDC

yDC

DCxDCy

DCxDCDC

cosˆˆ

)]()[cos(

)(.)cos(_

22222

22

2

2

isenReRR

seniepoiseRR

AOi

AOAO

iiAOAO

oiei 90