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(1)
Circuito RC
Processo de carga do capacitor até Vc = .
Como C q/Vc a carga de equilíbrio é C.Como variam Vc, i e q durante a carga?
Aplicando a Lei das Malhas no sentido horário
+
-
i
0C
qiR
RRC
q
dt
dq ou
Equação diferencial linear
não homogênea de primeira
ordem com coeficientes
constantesSolução (particular + homogênea): q = qp + qh
0 qdt
dqVejamos. Solução da equação homogênea:
dtq
dq
t
t
q
q
dtq
dq
00
21ln CtCq
Circuitos elétricos oscilantes
qh = K e-t
(2)
Circuito RC
+
-
i
Uma solução particular pode ser quando
dq/dt =0 ou seja no equilíbrio, com o
capacitor já carregado. Neste caso qp =
C
Agora podemos determinar K substituindo nossas soluções e aplicando a
condição inicial q(t=0) = 0 :
tKeCq KC 0 CK
Logo teremos:
teCq
1 e ?
)exp(1
RC
tCq
(3)
Circuito RC
+
-
i
)exp(1
RC
tCq
Assim na carga do capacitor teremos:
E a tensão?
)exp(1
RC
t
C
qVc
E a corrente?
RC
t
eRdt
dqi
E na descarga do capacitor? Qual é a
equação e como resolver?
+
-
i
(4)
Circuito RC
Na descarga do capacitor a equação é:
0RC
q
dt
dqEquação diferencial linear
homogênea de primeiro
grau com coeficientes
constantes
Solução: q = K e-t
Agora podemos determinar
K da condição inicial e da
substituição:
RC
t
eqq
0
E a tensão? RC
t
c eC
qV
0
E a corrente? RC
t
eRC
q
dt
dqi
0O sinal menos significa que a
carga diminui.
q
t
qo
O
(5)
Circuito RL
Vamos considerar o circuito da figura (na posição b)
e queremos determinar a corrente através do indutor.
Vamos considerar I(t=0) = I0
A solução para a corrente no indutor é:
Aplicando a Lei das Malhas temos: 0 Ridt
diL 0 i
L
R
dt
di
dti
di
t
t
i
i
dti
di
00
21ln CtCi teKi
tL
R
eIi
0 R
L
t
eIi
0
A queda de tensão no resistor é:t
L
R
R eRIiRV
0
A potência dissipada no resistor é:
A energia dissipada no resistor é: )1(21
2
2
0
2
t
R eIRL
W
t
R dtPW
0
𝑃 = 𝑉𝑅𝑖 = 𝑖2𝑅 = 𝐼02𝑅𝑒−
2𝑅𝐿 𝑡
(6)
Circuito RL
Vamos considerar o circuito da figura (na posição a)
e queremos determinar a corrente através do indutor.
A solução para a corrente no indutor é:
Aplicando a Lei das Malhas temos:
0 Ridt
diL 0 i
L
R
dt
di
tL
R
eR
i 1
(7)
Circuito LC
A equação é: 0C
q
dt
diL 0
2
2
LC
q
dt
qd
Esta equação é idêntica à do sistema massa-mola!!!
k
m
Portanto podemos estabelecer uma analogia entre as grandezas elétricas
e as mecânicas!!! (e utilizar todos os resultados já obtidos)
(8)
Circuito LCMassa - Mola
22
2
1
2
1kxmvE
C
qLiE
22
1 22
02
2
kxdt
xdm 0
2
2
C
q
dt
qdL
x q
v i
m L
1/k C
𝜔0 =𝑘
𝑚𝜔0 =
1
𝐿𝐶
Analogias
(9)
Circuito RLC
A equação é: 0C
qRi
dt
diL 0
2
2
LC
q
dt
dqR
dt
qd
Esta equação é idêntica à do sistema massa-mola
com amortecimento b onde R equivale a b/m!!!
02
2
kxdt
dxb
dt
xdm
/ 2 ( ) co sbt m
mx t x e t
Suporte rígido
Elasticidade, k
Massa, m
Palheta
Amortecimento, b
m
bt
mex 2
2
0
02
1'
m
b
(10)
Circuito RLC com fonte AC
Finalmente no caso das oscilações
forçadas temos a equação :
VC
qRi
dt
diL
Esta equação é idêntica à do sistema
massa-mola forçado!!! Agora F é V
Resposta em frequência
Vamos estudar em detalhe o circuito acima, que é equivalente ao massa
mola forçado com amortecimento (mais simples de se trabalhar
experimentalmente).
Vamos considerar a força externa (tensão externa) harmônica e sua
amplitude complexa:
𝑉 𝑡 = 𝑉0cos(𝜔𝑡 − 𝛾) 𝑉 𝜔 = 𝑉0𝑒𝑗𝛾
(11)
Circuito RLC com fonte AC
Vamos considerar, para simplificar, que =0,
portanto:
Vamos considerar que a amplitude da tensão AC (V0) é constante e que
podemos variar a frequência () e vamos estudar como variam a
amplitude e a fase da corrente induzida no circuito por esta tensão
alternada.
No caso do oscilador mecânico em geral, a corrente corresponde á
velocidade do oscilador. Separadamente vamos estudar a carga no
capacitor que corresponde ao deslocamento no sistema mecânico.
A equação da amplitude complexa para o circuito elétrico é:
−𝑗𝜔𝐿𝐼 + 𝑅𝐼 + 𝑗1
𝜔𝐶𝐼 = 𝑉0 = 𝑉
𝑉 𝜔 = 𝑉0
Onde colocamos todo em função de I (e não de q).
(12)
Circuito RLC com fonte AC
−𝑗𝜔𝐿𝐼 + 𝑅𝐼 + 𝑗1
𝜔𝐶𝐼 = 𝑉0 = 𝑉
Esta equação diz que a o produto da amplitude complexa da corrente e
de certo numero complexo Z é igual á tensão externa, onde Z pôde ser
escrito como:
𝐼(−𝑗𝜔𝐿 + 𝑅 + 𝑗1
𝜔𝐶) = 𝑉0 = 𝑉
𝑅 − 𝑗(𝜔𝐿 −1
𝜔𝐶) = 𝑍
Assim definimos a impedância: 𝑍(𝜔) =𝑉(𝜔)
𝐼(𝜔)
Sua inversa é a admitância 𝑌 𝜔 =𝐼 𝜔
𝑉 𝜔=
1
𝑍(𝜔)
(13)
Circuito RLC com fonte AC
−𝑗𝜔𝐿𝐼 + 𝑅𝐼 + 𝑗1
𝜔𝐶𝐼 = 𝑉0 = 𝑉
Nos estamos interessados na amplitude e na fase da corrente
𝐼(−𝑗𝜔𝐿 + 𝑅 + 𝑗1
𝜔𝐶) = 𝑉0 = 𝑉
𝐼 = 𝐼0𝑒𝑗𝛽
Considerando a impedância
neste caso como sendo: 𝑍 = 𝑍0𝑒𝑖𝜙
E a fase será:
𝑍0 = 𝑅2 + 𝜔𝐿 −1
𝜔𝐶
2
𝜙 = 𝑡𝑔−1 −𝜔𝐿 −
1𝜔𝐶
𝑅
Assim para a amplitude e fase da corrente temos:
𝐼0 =𝑉0𝑍0
=𝑉0
𝑅2 + 𝜔𝐿 −1𝜔𝐶
2𝛽 = −𝜙 = 𝑡𝑔−1
𝜔𝐿 −1𝜔𝐶
𝑅
(14)
Circuito RLC com fonte AC
Vamos analisar a resposta do circuito
𝐼0 =𝑉0𝑍0
=𝑉0
𝑅2 + 𝜔𝐿 −1𝜔𝐶
2 𝛽 = −𝜙 = 𝑡𝑔−1𝜔𝐿 −
1𝜔𝐶
𝑅
Quando temos =0 a corrente é I0=0 (o capacitor interrompe o circuito)
Quando temos =∞ a corrente é I0=0 (o indutor bloqueia o circuito)
Entre estes dois valores teremos um máximo!
Este máximo é Im=V0/R e acontece quando: 𝜔 =1
𝐿𝐶≡ 𝜔0
A frequência na qual acontece o máximo de amplitude é chamada de
frequência de ressonância (é a mesma frequência das oscilações livres
sem amortecimento)
(15)
Circuito RLC com fonte AC
Vamos analisar a resposta da circuito
𝐼0 =𝑉0𝑍0
=𝑉0
𝑅2 + 𝜔𝐿 −1𝜔𝐶
2𝛽 = −𝜙 = 𝑡𝑔−1
𝜔𝐿 −1𝜔𝐶
𝑅
A corrente está defasada respeito da tensão por β
Na ressonância β=0
Nos limites de =0,∞ temos que β=-/2 e /2
Portanto a corrente corre atrás da tensão para 0 e corre afrente da
tensão para >0
Vamos ver graficamente estes comportamentos. Para isso primeiro
normalizamos a frequência /0 e resistência D R0C = R/0L
(esta resistência normalizada é interpretada como a relação entre a
amplitude da tensão no resistor, capacitor e indutância na ressonância)
(16)
Circuito RLC com fonte AC
O inverso desta resistência normalizada é o fator de qualidade Q !!!
Q = 1/D = 0L/R
Em termos destas grandezas normalizadas teremos:
𝑍 ≡ −𝑗𝜔𝐿 + 𝑅 + 𝑗1
𝜔𝐶= 𝑅
𝑗
𝐷Ω1 − Ω2 − 𝑗𝐷Ω
/0
D R0C = R/0L (esta igualdade a menos do
sinal, é valida na ressonância).
𝐼 = 𝐼0𝑒𝑗𝛽 = 𝐼𝑚
−𝑗𝐷Ω
1 − Ω2 − 𝑗𝐷Ω
𝐼0𝐼𝑚
=𝐷Ω
1 − Ω2 2 + (𝐷Ω)2
𝛽 = 𝑡𝑔−1Ω2 − 1
𝐷Ω
Todo isto é valido para o sistema massa-mola considerando as
correspondências entre as grandezas.
Vamos ver agora o gráfico do comportamento...
(17)
Circuito RLC com fonte AC
No eixo y teremos a razão das
amplitudes (Io/Im ou v0/vm) vs
para diferentes valores de D (de
0,125 até 4).
Para frequências muito menores que a de ressonância (<<1) a amplitude
é proporcional à frequência (Io/ImD) . Neste caso a constante elástica k
é quem fornece a principal força de oposição (pois C está correlacionado
com k!).
No outro limite, (>>1) a massa inercial M é quem controla a resposta e
a amplitude é inversamente proporcional à frequência (Io/ImD/) (pois L
está correlacionado com M).
E na ressonância?
𝐼0𝐼𝑚
=𝐷Ω
1 − Ω2 2 + (𝐷Ω)2
𝐼0 =𝑉0𝑍0
=𝑉0
𝑅2 + 𝜔𝐿 −1𝜔𝐶
2
(18)
Circuito RLC com fonte AC
Na ressonância as forças reativas
da mola e da massa inercial se
cancelam! E somente a resistência
limita a velocidade! (ao valor
vm=F0/R), senão a velocidade (ou
corrente) vai para ∞
Perto da ressonância teremos que
Ω ≈ 1 e
𝑣0𝑣𝑚𝑎𝑥
≈𝐷
1 − Ω2 2 + 𝐷2
Este valor da amplitude é reduzido
de 1 (na ressonância) para1
2
quando (1 − Ω2) = ∓𝐷Na figura de baixo temos a
dependência da fase da velocidade.
(19)
Circuito RLC com fonte ACExercícios (do K. Ingard, páginas 53-64)
1. Desenvolver a mesma análise feita para a velocidade, agora para o
deslocamento (equivalente da carga no capacitor) de um sistema
massa-mola forçado com amortecimento R. Obter a dependência da
amplitude e da fase das oscilações do deslocamento em função da
frequência . Utilize como ponto de partida a equação do
movimento 𝑀 ሷ𝜉 + 𝑅 ሶ𝜉 + 𝑘𝜉 = 𝐹0 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 .Encontre as equações normalizadas, para a variável , utilizando
seu valor para a frequência =0 como fator de normalização
(/=0) e utilizando a frequência normalizada Ω ≡𝜔
𝜔0onde 𝜔0 =
𝑘
𝑀
Desenhe e analise qualitativamente o comportamento da amplitude
normalizada do deslocamento e da sua fase com a variação da
frequência normalizada da força externa.
Orientações no livro Waves and oscillations de K. Ingard página
58.
(20)
Circuito RLC com fonte ACExercícios
2. No caso da análise da velocidade (corrente) do sistema massa-mola
forçado, sem amortecimento, desenhar num gráfico𝑣
𝑣0𝑣𝑠 Ω (um
gráfico no plano complexo) no lugar de fazer dois gráficos no
plano real (um para a amplitude e outro para a frequência, como
fizemos na nossa análise durante a aula).
Demonstrar que o caminho percorrido partindo de =0 até =∞ é
um circulo de diâmetro unidade centrado no eixo x
3. Repetir a análise do exercício 2 para o caso do deslocamento
normalizado /=0.