CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANÁLITICA ... Velocidade: A velocidade indica movimento de um corpo, assim, se um corpo possui uma velocidade diferente de zero, este corpo está se

08/03/2013 Cálculo Vetorial.

Professor: Wildson Cruz

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANÁLITICA









• Consideremos uma reta r e sejam A e B dois pontos de r

• Ao segmento de reta AB, podemos associar 2 sentidos : de A para B e de B para A

• Escrevemos AB para representar o segmento de reta AB associado com o sentido de A para B



• AB é o segmento orientado de origem A e extremidade B

• BA é o segmento orientado de origem B e extremidade A

• Chamamos BA , oposto de AB

• Se A = B então o segmento orientado AB = BA é o segmento nulo, denotado por AA = 0



• Definida uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado, pode-se associar um número real não negativo que é a sua medida em relação a esta unidade

• A medida do segmento AB é denotada por med(AB)

• Os segmentos nulos têm medida igual a zero.

med(AB) = med(BA)



• Dados dois segmentos orientados não nulos AB e CD, dizemos que eles têm mesma direção, se as retas suportes destes segmentos são paralelas ou coincidentes

• Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados, se eles têm a mesma direção

• Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários, mas têm a mesma direção

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Cálculo Vetorial. Professor: Wildson Cruz





• O segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado CD se:

Ambos têm mesma medida (comprimento, módulo) e mesma direção e mesmo sentido ou se ambos são segmentos nulos

E ainda podemos dizer que AB é equipolente a CD se os pontos médio de AD e BC coincidem.

• Denota-se: AB ~ CD

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B

A

D

C

M



1. AB ~ AB (reflexiva)

2. Se AB~CD então CD~AB (simétrica)

3. Se AB~CD e CD~EF então AB~EF (transitiva)



4. Se AB~CD então BA~DC

5. Se AB~CD então AC~BD



• Estudaremos neste tópico as grandezas vetoriais, suas operações, propriedades e aplicações.

• O estudo é justificado pelo fato de, na natureza, se apresentarem 2 tipo de grandezas, as escalares e as vetoriais.

• Trabalharemos inicialmente com os vetores no plano e no espaço (local onde vivemos).



Cálculo Vetorial

É aquela que necessita em sua definição explicitar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida.

Exemplos:

a) Massa: um corpo com 50 kg de massa → 50 é o módulo da grandeza e kg (quilograma) é a unidade de medida.

b) Temperatura: a temperatura do ambiente é de 3ºC → 3 é o módulo da grandeza e ºC (grau Celsius) a unidade de medida.



• É aquela que necessita em sua definição explicitar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida, direção e sentido.

Exemplos:

a) Força: A força aplicada em um corpo, possui uma intensidade (módulo), numa direção e em sentido.

Na figura;

Uma força de intensidade 20N (Newtons), na direção horizontal com sentido para direita.

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b) Velocidade: A velocidade indica movimento de um corpo, assim, se um corpo possui uma velocidade diferente de zero, este corpo está se deslocando com uma certa velocidade, numa determinada direção e num determinado sentido.

Por exemplo: Uma bola sendo lançada para o alto com uma velocidade de 12m/s (metros por segundo), assim a direção é vertical com sentido para cima e módulo igual a 12.





O vetor é uma classe de elementos matemáticos ao qual se atribui 3 características: módulo, direção e sentido.

a

-------------A-----------------------------------------------B------- r

Notação:

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Origem do vetor

Reta suporte

Extremidade do vetor

• Chamamos vetor determinado por um segmento orientado AB, ao conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB

• O vetor determinado por AB, indicamos por AB = a





• Módulo: é o tamanho do vetor (seu comprimento) e será denotado por :|u|=u =|AB| • Direção: é dada pela reta suporte que sustenta o vetor. • Sentido: é indicado pela seta do vetor.

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Módulo: É representado graficamente através

do tamanho do vetor ou através de um valor

numérico acompanhado de unidade.

Direção: É a reta que dá suporte ao vetor e

pode ser informada através de palavras como:

horizontal, vertical, etc.

Sentido: É a orientação do vetor dada pela seta

e também pode ser informada através de

palavras como: para esquerda, para direita, do

ponto A para o ponto B, para baixo, etc.

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Exemplo 1:

A

Módulo: 3 cm

3 cm Direção: Vertical

Sentido: Para cima

Vetor A

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Exemplo 2:

Módulo: 5,5 cm

Direção: Horizontal

Sentido: Para esquerda

Vetor B B

• Vetores Iguais

Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se AB~CD

• Vetor nulo

Os segmentos nulos por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por 0.



• Vetores Opostos

• Dado um vetor v = AB, chamamos o vetor BA oposto de AB e indicamos por -AB ou -v



• Vetor Unitário



Um vetor u é unitário se |u| = 1. • Versor

Versor de um vetor não nulo v é unitário de mesma direção e mesmo sentido de v.

• Decorre da propriedade 6 de equipolência a implicação:

Se AB = CD então AC = BD





•Vetores Ortogonais Dizemos que dois vetores não-nulos são ortogonais, se podem ser representados por segmentos orientados ortogonais, e indicamos por u _v • O vetor Nulo é ortogonal a qualquer outro

vetor no espaço

• Vetores colineares

Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. Assim, u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a mesma reta ou a retas paralelas.



• Vetores coplanares

Se os vetores não nulos u, v e w (o número de vetores não importa) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano 𝜋, podemos dizer que são coplanares.

•

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Vetores coplanares Vetores não coplanares



Transferimos para os vetores a linguagem geométrica usada para segmentos. Exemplos: a) O comprimento, a direção e o sentido de um vetor são o comprimento, a direção e o sentido de qualquer um dos segmentos orientados que o representa. b) Ao se falar de vetores, as palavras comprimento, módulo e norma são sinônimos. Assim se u for representado por um segmento orientado que, numa unidade prefixada, tiver comprimentos 5, dizemos que o “comprimento de u é 5” ou “o módulo de u é 5” ou ainda, “a norma de u é 5” e usamos a notação | u | =5 Atenção!!! u é um vetor e | u | é um número real.



Decida se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras e justifique a sua resposta:

a) Vetores paralelos sempre têm colinearidade.

b) Dois vetores podem ser não coplanares.

c)Também para vetores é necessário distinguir a palavra “perpendicular” e “ortogonal”.

d) Se as retas AB e CD forem reversas, AB e CD não são coplanares.

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Dados um ponto A e um vetor v, existe um único ponto B tal que AB = v. O ponto B é a soma do ponto A com o vetor v, Indicado por A + v



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Regra do Polígono Sejam os vetores abaixo:

A

B C D

Vamos iniciar com o vetor C, poderíamos

iniciar com qualquer um deles, veja como se

utiliza a regra do polígono:

C

D

A

B Soma

Após terminarmos

ocorre a formação de

um polígono.

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Regra do Paralelogramo Sejam os vetores abaixo:

B

Vamos fazer “coincidir” o início dos dois vetores:

A

A

B

Vamos fazer traços paralelos

aos lados opostos.

Soma = A + B

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Teorema de Pitágoras

Não importa a regra utilizada, se tivermos dois

vetores perpendiculares entre si, teremos o

mesmo vetor resultante e seu módulo pode

ser determinado utilizando o TEOREMA DE

PITÁGORAS:

Regra do Polígono:

A A

B

B

Regra do Paralelogramo:

S

S

S2 = A2 + B2

• Dados um ponto A e um vetor v, existe um único ponto B tal que AB = v. O ponto B é a soma do ponto A com o vetor v, Indicado por A + v



• 1. A + 0 = A

• 2. (A – v ) + v = A

• 3. Se A+ v =B+ v então A = B

• 4. Se A+ u= A+ v, então u = v

• 5. A + AB = B



• Considere dois vetores u e v , e um ponto qualquer A. Sejam B = A +u e C = B + v

O vetor s = AC é chamado vetor soma de u e v e indicamos por s = u + v





• Observemos que o vetor s =u+ v independe do ponto A. De fato, se considerarmos outro ponto A’ obteremos B’ =A’ + u e C’= B’+ v

• Assim, AB = A’B’ e BC = B’C’



• Usando a propriedade 1 de Vetores , concluímos que : AA’ = BB’ e BB’ = CC’

• AA’ = CC’ e portanto AC = A’C’



(1) u + v = v + u ( comutativa )



(2) (u + v) + w = u + (v + w) ( associativa )



(2) (u + v) + w = u + (v + w) ( associativa)



(3) u + 0 = u ( elemento neutro )

(4) u +(-u)= 0 ( elemento oposto )

• Indicamos o vetor u + (- v) por u - v.



• Notemos que u – v ≠ v - u



• Dados a R* e v ≠ 0 , chamamos produto de a por v, o vetor w = av , que satisfaz as condições:

1. | w | = | a | | v |

2. A direção de w é a mesma da v

3. O sentido de w é igual ao de v se a >

0, e contrário ao de v se a < 0

• Se a = 0 ou v = 0, o produto a v é o vetor nulo





• Se a ≠ 0 , o produto 1/a v é indicado por v/a. Se v ≠ 0, é fácil mostrar que v/| v | é o versor de v

• vº = v/| v |

• portanto v =| v | v°



• Considere u e v vetores quaisquer, a e b números reais quaisquer

• (1) a(b v) = (ab) v

• (2) a(u + v) = au + av

• (3) (a + b)v = av + bv

• (4) 1 v = v



Dados u, v e w, encontre 2u -3v + 1/2w

u

w

v



Dados u, v e w, encontre 2u -3v + 1/2w

u

w

v

2u

-3v

w/2



O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD, Sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB. Encontre

AD+AB

BA+DA

AC-BC

A N B

M C D



AN+BC

MD+MB

BM-1/2DC

A N B

M C D



AD+AB=AC

BA+DA=CD+DA=CA

AC-BC=AC+CB=AB

AN+BC=AN+NM=AM

MD+MB=MD+DN=MN

BM-1/2DC=BM+MD=BD

A N B

M C D



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