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Christiane Mázur Lauricella
Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 exercícios resolvidos
Copyright© Editora Ciência Moderna Ltda., 2011.Todos os direitos para a língua portuguesa reservados pela EDITORA CIÊNCIA MODERNA LTDA.De acordo com a Lei 9.610, de 19/2/1998, nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Editora.
Editor: Paulo André P. MarquesSupervisão Editorial: Aline Vieira MarquesCopidesque: Paula Regina PilastriCapa: Cristina Satchko HodgeDiagramação: Tatiana NevesAssistente Editorial: Vanessa Motta
Várias Marcas Registradas aparecem no decorrer deste livro. Mais do que simplesmente listar esses nomes e informar quem possui seus direitos de exploração, ou ainda imprimir os logotipos das mesmas, o editor declara ����������� ����������������������������� ���������������������������do dono da Marca Registrada, sem intenção de infringir as regras de sua utilização. Qualquer semelhança em nomes próprios e acontecimentos será mera coincidência.
FICHA CATALOGRÁFICA
LAURICELLA, Christiane Mázur Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 exercícios resolvidosRio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2011
1. Matemática.I — Título
ISBN: 978-85-399-0113-5 CDD 510
Editora Ciência Moderna Ltda.R. Alice Figueiredo, 46 – Riachuelo Rio de Janeiro, RJ – Brasil CEP: 20.950-150 Tel: (21) 2201-6662 / Fax: (21) [email protected] 08/11
SumárioSumárioSumárioSumárioSumário
IntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntrodução ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... VIIVIIVIIVIIVII
Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1
Derivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma VariávelDerivadas de Funções Simples de uma Variável ..................................................................................................................................................................................................................................................... 11111
Exercícios Propostos – Capítulo 1. ....................................................................................... 25
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1. ................................................................ 26
Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2
Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma VariávelDerivadas de Funções Compostas de uma Variável .................................................................................................................................................................................................................. 2929292929
Exercícios Propostos – Capítulo 2. ....................................................................................... 56
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2. ................................................................ 57
Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3
Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas VariáveisDerivadas Parciais de Funções de duas Variáveis ............................................................................................................................................................................................................................ 5959595959
Exercícios Propostos – Capítulo 3. ....................................................................................... 73
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3. ................................................................ 74
Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4
Integrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7777777777
Exercícios Propostos – Capítulo 4. ....................................................................................... 93
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4. ................................................................ 94
I VI VI VI VI V Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5
Integrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 9797979797
Exercícios Propostos – Capítulo 5. ..................................................................................... 108
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5. .............................................................. 109
Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6
Integrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da Substituição .......................................................................................................................................................................................................................................................... 111111111111111
Exercícios Propostos – Capítulo 6. ..................................................................................... 129
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 6. .............................................................. 130
Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7
Integrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por Partes ......................................................................................................................................................................................................................................................................... 131131131131131
Exercícios Propostos – Capítulo 7. ..................................................................................... 148
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7. .............................................................. 149
Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8
Integrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais Definidas ............................................................................................................................................................................................................................................................................................. 151151151151151
Exercícios Propostos – Capítulo 8. ..................................................................................... 159
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8. .............................................................. 160
Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9
Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de Integração ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 161161161161161
Exercícios Propostos – Capítulo 9 ...................................................................................... 196
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9 ............................................................... 197
VVVVVSumárioSumárioSumárioSumárioSumário
Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10
Integrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de VariávelIntegrais Duplas – Mudança de Variável ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ 199199199199199
Exercícios Propostos – Capítulo 10 .................................................................................... 234
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10 ............................................................ 235
IntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntrodução
Este trabalho não pretende ser mais um livro de Cálculo Diferencial e Integral. Suaintenção é auxiliar os interessados, por meio de exemplos, a aprenderem a resolverderivadas e integrais. Em cada exemplo há uma conversa com o leitor, na qual, emlinguagem simples e direta, descreve-se o passo a passo de todas as etapas envolvi-das na resolução de derivadas e integrais.
A estrutura da organização do texto é baseada em três grandes blocos: o dasderivadas, o das integrais simples e o das integrais duplas, conforme mostrado noquadro abaixo.
Inicialmente, são feitos exemplos com resoluções detalhadas de derivadas de funçõessimples de uma variável, incluindo o uso de propriedades de derivação relativas àsoma, ao produto e ao quociente de funções bem como ao produto de uma constantepor uma função. Em seguida, há soluções minuciosas de derivadas de funções com-postas. Finalizando o bloco das derivadas, são abordadas várias situações envolven-do funções de duas variáveis.
As integrais chamadas de “diretíssimas da tabela”, ou imediatas, são as que estão emtabelas básicas de integração ou que, para serem resolvidas, dependem de duas pro-priedades algébricas fundamentais das integrais. As integrais denominadas de “dire-
DERIVADAS
INTEGRAIS SIMPLES
INTEGRAIS DUPLAS
Derivadas de funções simples de uma variávelDerivadas de funções compostas de uma variávelDerivadas parciais de funções de duas variáveisIntegrais diretíssimas da tabelaIntegrais diretas da tabelaMétodo da integração por substituiçãoMétodo da integração por partesIntegrais definidasIntegrais duplas e regiões de integraçãoMudança de variável nas integrais duplas
VIIIVIIIVIIIVIIIVIII Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
tas da tabela” são as que, por desenvolvimentos da função a ser integrada, chegam aum caso previsto em tabelas básicas de integração. Os métodos de integração porsubstituição e por partes são utilizados em diversos exemplos. O bloco das integraissimples é concluído com as integrais definidas.
Finalmente, são realizadas integrais duplas em vários tipos de domínios de integraçãoe, também, integrais duplas resolvidas por meio de mudanças de variáveis.
Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1Capítulo 1
Derivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções SimplesDerivadas de Funções Simplesde uma Vde uma Vde uma Vde uma Vde uma Variávelariávelariávelariávelariável
A derivada da função y = f (x), em relação à sua única variável independente x, pode serindicada por:
y f x D dydx
df xx
, ,x= = = =( ) ( )
.
Sendo f (x) e g (x) duas funções da variável x e k uma constante, temos as seguintespropriedades das derivadas:
D1. f x g x f x g x �ou�d f x g x
dxdf xdx
dg xdx
, ,( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ),±( ) = ±
±( )= ± .
D2. k.f x k.f x �ou�d k.f xdx
k df xdx
,( ) ( )( )
. ( ),( ) =( )
= .
D3. f x .g x f x g x f x g x �ou�d f x g x
dxdf x, ,( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )
( ). ( ) ( ),( ) = +( )
=ddx
g x f x dg xdx
. ( ) ( ). ( )+ .
D4. f xg x
f x g x f x g xg x
�ou�d f x g x, ,( )
( )( ). ( ) ( ). ( )
( )
( ). ( ),⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
( )2(( )
=−
( )dx
df xdx
g x f x dg xdx
g x
( ) . ( ) ( ). ( )
( ) 2
Essas propriedades são enunciadas como descrito abaixo.
D1. A derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ousubtração) das derivadas das funções. Isso também é válido para mais de duasfunções.
22222 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
D2. A derivada do produto (multiplicação) de uma constante por uma função éigual ao produto da constante pela derivada da função. Essa constante podeser qualquer número real.
D3. A derivada do produto (multiplicação) de duas funções é igual à soma daderivada da primeira função multiplicada pela segunda função com a primeirafunção multiplicada pela derivada da segunda função.
D4. A derivada do quociente (divisão) de duas funções é igual à subtraçãoentre a derivada da função do numerador multiplicada pela função do denomi-nador e a função do numerador multiplicada pela derivada da função do deno-minador, sendo “toda” essa subtração dividida pela função do denominadorelevada ao quadrado. Inclui-se a condição da função do denominador ser dife-rente de zero.
Sendo k e n constantes, as derivadas das principais funções simples de uma vari-ável estão mostradas na tabela a seguir. A primeira delas refere-se à derivada dafunção constante que é zero (também lida como “a derivada da constante é igual azero”).
Tabela de derivadas (funções simples)
33333Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável
Exemplo 1.1. Derive f (x) = x5.
Esse é um dos casos mais simples de uso da tabela de derivadas. Temos de derivar, emrelação à variável x, uma função do tipo “base x elevada à 5ª potência”, lida apenascomo “x elevado ao expoente 5” ou “x elevado a 5”.
Vamos usar a seguinte regra da tabela de derivadas:
x ' dxdx
n.xnn
n( ) = = −1 .
44444 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
No caso, n vale 5 (n = 5). Ou seja, a derivada de “x elevado a 5” é “5 multiplicado por xelevado a 5 − 1”, resultando em “5 vezes x elevado a 4”, conforme segue.
f x x dxdx
x x, ,( ) = ( ) = = =−5
55 1 45 5
Exemplo 1.2. Derive y = x−7
Este também é um caso de uso direto da tabela de derivadas. Temos de derivar, emrelação à variável x, a função dada por “x elevado a −7”.
Vamos usar a seguinte regra da tabela de derivadas:
x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 .
No caso, n vale −7 (n = −7). Ou seja, a derivada de “x elevado a −7” é “−7 multiplicadopor x elevado a −7 −1”, resultando em “−7 vezes x elevado a −8”, conforme segue.
y x dxdx
x xx x
, ,= ( ) = = − = − = − = −−
−− − −7
77 1 8
8 87 7 7 1 7
Lembre-se que, subtraindo 1 de −7, temos −8 e não −6! Ou seja, a
derivada de x −7 em relação à variável x é −7x −8 e não −7x −6.
Na “transformação” de −7x −8 em −78x
não usamos qualquer regra de
derivação: apenas aplicamos a equivalência xx
xx
aa
− −= → =1 188
.
Exemplo 1.3. Derive f (x) = x 5/6.
Temos de derivar, em relação à variável x, a função dada por “x elevado à fração 5/6”.
Usamos a seguinte regra da tabela de derivadas:
x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 .
55555Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável
No caso, n vale 56
. Ou seja, a derivada de “x elevado a 56
” é “a fração 56
multiplicada por
x elevado à subtração 56
− 1”, resultando em 56
“ vezes x elevado a −16
”, conforme segue.
f x x dxdx
x xx x x
,( ),
= ( ) = = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= = = =− −56
56 5
6 116
16
16 6
56
56
561 5
6
56
Lembre-se que, para subtrair 1 de 5/6, devemos fazer:561 5 1 6
65 66
16
− = − = − = −..
Na “transformação” de 56
16x
− em 5
6
561
6 6x x= não usamos
qualquer regra de derivação, apenas aplicamos as equivalênci-
as: xx
xx
aa
− −= → =1 11
616
e x x x x xba ba= → = =
16 16 6 .
Exemplo 1.4. Derive f x x( ) .= 1
5
Para podermos usar a tabela na derivação da função f xx
( ) = 15 , antes devemos
“prepará-la”, de modo que a base x fique no numerador, sem que haja alteração da
função original.
Sabemos que:
1 15
5
xx
xxn
n= → =− −
Escrevendo f xx
( ) = 15 como f (x) = x−5, podemos utilizar a seguinte regra da tabela de
derivadas:
x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 .
66666 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Ou seja,
f xx
x dxdx
x xx x
,,
,( ) = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= ( ) = = −( ) = − = − = −−−
− − −1 5 5 5 1 55
55
5 1 66 6
Observe que n, indicado na regra de derivadas, é −5 e não 5!Lembre-se que, subtraindo 1 de −5, temos −6 e não −4. Ou seja,a derivada de x −5 em relação à variável x é −5x −6 e não −5x −4!
Exemplo 1.5. Derive f x x( ) .=
Para podermos usar a tabela na derivação da função raiz quadrada de x, antes devemosescrevê-la como “base x elevada a um expoente numérico”.
Sabemos que:
x x x x xba ba= → = =12 1
2
Escrevendo a raiz quadrada de x como “x elevado ao expoente ½”, podemos usardiretamente a seguinte regra da tabela de derivadas, com n = 1/2:
x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1
Ou seja,
f x x x dxdx
x x x, , ,
( ) = ( ) = ( ) = = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=−− −1
2
12 1
2 11 22
112
12
12
2212
12 12
121 1
2
1
2
12
= = = =x x x x
77777Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável
De agora em diante, podemos aplicar xx
( ) =, 12 na deriva-
ção da função f x x( ) .=
Exemplo 1.6. Derive f x x( ) .= 23
Este exemplo é muito parecido com o exemplo 1.5. Sendo assim, antes de usarmos atabela, vamos escrever a função raiz cúbica de x ao quadrado como “base x elevada aoexpoente 2/3”.
Vejamos:
x x x xba ba= → =23 2
3
Em seguida, usamos diretamente a seguinte regra da tabela de derivadas:
x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1
Ou seja,
f x x x dxdx
x x x,, ,
( ) = ( ) = ( ) = = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=−−
23 23
23 2
3 12 332
323
23
−−= =
13
13 3
2
3
23x x
Exemplo 1.7. Derive f (x) = x −3 + x3.
Temos de derivar, em relação à variável x, a soma de “x elevado a −3” com “x elevado a 3”.
Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D1, que afirmaque a derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração)das derivadas das funções:
f x g x f x g x �ou�d f x g x
dxdf xdx
dg xdx
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±
±( )= ±
88888 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Ou seja,
f x x x dxdx
dxdx
x x, , , ,( ) = +( ) = + = ( ) + ( )−
−−3 3
3 33 3
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme segue.
(x -3)’ = -3x -3-1 = -3x -4, pois x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 e, no caso, n = -3.
(x3)’ = 3x3-1 = 3x2, pois x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 e, no caso, n = 3.
Logo,
f ’(x) = (x −3 + x3)’ = (x −3)’ + (x3)’ = −3x −4 + 3x 2
A derivada já foi finalizada, mas ainda podemos escrever −3x −4 como −34x
. Sendo assim,
f ’(x) = (x −3 + x3)’ = −3x −4 + 3x 2 = −34x
+ 3x 2
Exemplo 1.8. Derive f (x) = 4x3
Temos de derivar, em relação à variável x, a constante 4 multiplicada por x elevado aocubo. Ou seja, trata-se da derivação do produto da constante k = 4 pela função x3.
Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade D2, que afirma que derivadado produto (multiplicação) de uma constante por uma função é igual ao produto daconstante pela derivada da função:
k.f x k.f x �ou�d k.f xdx
k df xdx
( ) ( )( ) ( ), ,( ) =
( )=
Ou seja,
f x d xdx
x x, , ,( ) ( )= = ( ) = ( )4 4 4
33 3
99999Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável
Agora, usando a regra
xdxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 ,
para n = 3, temos que:
f x x x x, , ,( ) = ( ) = ( ) = ( ) =−4 4 4 3 123 3 3 1 2x
Exemplo 1.9. Derive f x x( ) .= +7 5
Antes de derivarmos a função
f xx x
( ) = + = +7 5 7 5 1 ,
vamos escrevê-la como f (x) = 7 + 5x −1. Isso não altera a função original, pois, se
1x
xaa= − então
1 11
1
x xx= = − .
Agora, começamos a derivada aplicando as propriedades D1 e D2, dadas, respectiva-mente, por:
f x g x f x g x � � k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e .
Ou seja,
f x xx
dxx x, , , , , ,
( ) = +( ) =+( )
= ( ) + ( ) = ( ) + ( )−−
− −7 57 5
7 5 7 511
1 1d
1010101010 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Cada uma das derivadas anteriores pode ser resolvida diretamente pela tabela, conformesegue.
(7)’ = 0, pois ( ),kdkdx
= = 0 (a derivada da constante é zero) e, no caso, k = 7.
x x xx
− − − −( ) = − = − = −1 1 1 221 1 1,
, pois xdxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 e, no caso, n = −1.
Logo,
f x x xx
, , , ,( ) = +( ) = ( ) + ( ) = ( ) + −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= −− −7 5 7 5 0 5 1 51 12 2x
Exemplo 1.10. Derive y = 8 + cos x
Temos de derivar a soma de 8 com o cosseno de x.
Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D1 abaixo:
f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±
Ou seja,
f x xd x
dxx, , , ,( ) cos
coscos= +( ) =
+( )= ( ) + ( )8
88
Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por:
( ),k dkdx
= = 0 (a derivada da constante é zero) e cos cos,x d xdx
x( ) = = −sen .
Vejamos:
f x x x x x, , , ,( ) cos cos= +( ) = ( ) + ( ) = ( ) + −( ) = −8 8 0 sen sen
1111111111Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável
Observe que o cosseno de x, indicado por cosx, é uma funçãotrigonométrica, ou seja, não é a multiplicação de “alguma coi-sa” por x!
Exemplo 1.11. Derive f (x) = 5 tgx + 3 senx.
Temos de derivar, em relação à variável x, a soma do quíntuplo da tangente de x com otriplo do seno de x. Ou seja, a soma da tangente de x multiplicada pela constante 5 como seno de x multiplicado pela constante 3.
Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar as propriedades D1 e D2,dadas, respectivamente, por:
f x g x f x g x k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e
Ou seja,
f x tgx senx tgx senx tgx senx, , , , , ,( ) ( )= + = ( ) + ( ) = ( ) + ( )5 3 5 3 5 3
Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por
( ) xdx
dtgxtgx 2, sec== e xdx
dsenxsenx cos)( , ==
Logo,
f x tgx senx tgx senx tgx senx, , , , , ,( ) ( ) sec= + = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) =5 3 5 3 5 3 5 22 3x + cos x
Observe que a tangente de x, indicada por tgx, o seno de x,indicado por senx, o cosseno de x, indicado por cosx, e asecante ao quadrado de x, indicada por sec2x, são funçõestrigonométricas, ou seja, não são multiplicações de “algumacoisa” por x!
1212121212 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exemplo 1.12. Derive y = e xx + 17.
Temos de derivar, em relação à variável x, a soma do “número e elevado a x” com “xmultiplicado pela constante 1/7”.
Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar as propriedades D1 e D2abaixo:
f x g x f x g x k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e
Ou seja,
y e x e x e xx x x,,
,,
,( )= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ( ) + ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= +17
17
17
Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por:
e dedx
e x dxdx
xx
x( ) = = ( ) = =, ,e 1
Logo,
y e x e x e x e ex x x x x,,
,,
,( ) .= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ( ) + ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= + = + = +17
17
17
171 1
7
Observe que o número neperiano e é um número irracional, muitas vezes aproximadopor 2,72.
Exemplo 1.13. Derive t x x x( ) ln arccos .= − +3 2 5x
Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D2,
f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± , expandida para o caso da soma/subtração de três fun-
ções da variável x: 3x
, 2 1n x e 5 arccos x. Ou seja,
1313131313Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável
t x x xx
x x,, ,
,( ) ln arccos ln arccos= − +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− ( ) + ( )3 2 5 3 2 5x
,,
Agora, para as três derivadas acima, vamos aplicar a propriedade (k.f (x))’ = k.f ’ (x):
t xx
x xx
x,,
, ,,
,( ) ln arccos ln ar= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− ( ) + ( ) = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− ( ) +3 2 5 3 1 2 5 cccos ,x( )
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente por regras da tabela,conforme segue.
1 1 1 11 1 1 22x
x x xx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ( ) = − = − = −− − − −,
,( ) . , pois x dx
dxn.xn
nn( ) = = −, 1 e, no caso, n = −1.
ln ,xx
( ) = 1
arccos ,xx
( ) = −
−
1
1 2
Finalizando a derivada:
t xx
x xx x
,,
, ,( ) ln arccos== ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− ( ) + ( ) = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− ⎛⎝⎜
⎞⎠
3 1 2 5 3 1 2 12 ⎟⎟ + −
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = − − −
−5 1
1
3 2 5
12 2 2.
x x x x
Exemplo 1.14. Derive h (x) = 3x + arctgx
Este exemplo trata da derivada da soma de duas funções da variável x: as funções 3x
(exponencial de base 3) e arctgx (arcotangente de x). Inicialmente, vamos aplicar a pro-priedade D1, relativa à derivada da soma de funções: f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± .
Ou seja,
h x arctgx arctgxx x, , , ,( ) ( )= +( ) = ( ) +3 3
Cada uma das duas derivadas acima pode ser resolvida diretamente por regras databela, conforme segue.
1414141414 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
(3x)’ = 3x 1n 3, pois a d adx
a axx
x( ) = =, ( ) ln e, no caso, a = 3
arctgxd arctgxdx x
( ) =( )
=+
, 11 2
Finalizando a derivada:
h x arctgxx
x x, , ,( ) ( ) ln= ( ) + = ++
3 3 3 11 2
Observe que 3x não é a multiplicação de 3 por x. Trata-se dafunção de “base 3 elevada ao expoente x”.
Exemplo 1.15. Derive h(x) = x2 cos x.
Queremos derivar a multiplicação de duas funções da variável x: a função do segun-do grau x2 multiplicada pela função trigonométrica cosx. Então, vamos começar aresolução aplicando a propriedade D3, referente à derivada do produto de duasfunções:
(f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x)
Ou seja, a derivada do produto (multiplicação) da função x elevado ao quadrado (x2)pela função cosseno de x (cosx) é igual à soma da derivada de x elevado ao quadrado,multiplicada pelo cosseno de x, com x elevado ao quadrado multiplicado pela derivadade cosseno de x, conforme segue.
h’ (x) = (x2 cos x)’ = (x2)’ cos x + x2 (cos x)’
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conformesegue.
(x2)’ = 2x2−1 = 2x1 = 2x, pois xdxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 e, no caso, n = 2.
(cos x)’ = − senx
1515151515Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável
Finalizando a derivada:
h’(x) = (x2)’ cos x + x2 (cos x)’ = 2x cos x + x2 (−senx) = 2x cos x − x2 senx
Já terminamos a derivada, mas, ainda, podemos colocar x em evidência na subtraçãoacima. Logo,
h’(x) = 2x cos x − x2 senx = x (2cos x − xsenx)
Exemplo 1.16. Derive h(x) = cos x.senx.
Precisamos derivar a multiplicação de duas funções da variável x: as funçõestrigonométricas cos x e senx. Vamos iniciar a resolução aplicando a propriedade D3,referente à derivada do produto de duas funções: (f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x).
Vejamos:
h’(x) = (cos x.senx)’ = (cos x)’.senx + cos x.(senx)’
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conformesegue.
(cos x)’ = − senx(senx)’ = cos x
Finalizando a derivada:
h’(x) = (cos x.senx)’= (cos x)’.senx + cos x.(senx)’= − senx.senx +cos x.cos x = cos2 x − sen2x
Exemplo 1.17. Derive h(x) = x5 ex.
Temos de derivar a multiplicação de duas funções da variável x: a função x5 multiplica-da pela função exponencial de base e (ex). Vamos iniciar a resolução aplicando a propri-edade D3, referente à derivada do produto de duas funções:
(f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x)
Vejamos:
h’(x) = (x5 ex)’ = (x5)’ ex + x5 (ex)’
1616161616 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conformesegue.
(x5)’ = 5x5-1 = 5x4, pois xdxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 e, no caso, n = 5.
(ex)’ = ex
Finalizando a derivada:
h’(x) = (x5 ex)’ = (x5)’ ex + x5 (ex)’ = 5x4 ex + x5 ex
A derivada já foi terminada, mas podemos “melhorar” a resposta final colocando x4.ex
em evidência:
h’(x) = 5x4 ex + x5 ex = x4 ex (5 + x)
Exemplo 1.18. Derive y = 3 arccosx + x2 ex.
Inicialmente, temos de derivar a soma de duas funções da variável x: a função 3arccos xsomada com a função x2 ex. Vamos começar aplicando a propriedade D1, referente àderivada da soma de duas funções: f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±
Vejamos:
y dydx
x x e x x ex x, , ,arccos arccos,= = +( ) = ( ) + ( )3 32 2
Como a função é formada pelo produto da constante k = 3 pela função arcocosseno de x,podemos aplicar a propriedade D2, que trata da derivada do produto de uma constantepor uma função: (k.f (x))’ = k.f ’ (x)
Ou seja,
y dydx
x x e x x e x xx x, , , ,arccos arccos arccos,= = +( ) = ( ) + ( ) = ( ) +3 3 32 2 22ex( ),
Há duas parcelas presentes na derivada acima.
1717171717Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável
A primeira parcela, correspondente ao triplo da derivada da função arcocosseno de x,é obtida diretamente da tabela, na qual consta que
arccosarccos,x
d xdx x
( ) =( )
= −
−
1
1 2 .
Logo,
3 3 1
1
3
12 2arccos ,x
x x( ) = −
−
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = −
−
A segunda parcela, correspondente ao produto de x elevado ao quadrado pelaexponencial de base e (e elevado ao expoente x), deve ser, inicialmente, resolvida pelouso da propriedade D3 a seguir: (f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x).
Vejamos:
( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’
A derivada de x2, em relação à variável x, é ( x2 )’ = 2x2−1 = 2x1 = 2x, pois, de acordo coma tabela,
x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 .
A derivada de ex, em relação à variável x, é ex, pois, de acordo com a tabela,
e dedx
exx
x( ) = =,
.
Ou seja,
( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’ = 2xex + x2 ex
A derivada do produto x2 ex já foi terminada na linha anterior, mas ainda podemoscolocar xex em evidência na soma 2xex + x2 ex:
( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’ = 2xex + x2 ex = xex (2 + x)
1818181818 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Finalizando a derivada de y = 3 arccosx + x2 ex:
y dydx
x x ex
xe xx x, , ,arccos= = ( ) + ( ) = −
−+ +( )3 3
122
2
Exemplo 1.19. Derive h x xx
( ) .=+
2
1
Precisamos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função x2, no numerador,e a função x + 1, no denominador. Então, vamos iniciar a resolução aplicando a propri-edade D4, referente à derivada do quociente de duas funções:
f xg x
f x g x f x g xg x
( )( )
( ). ( ) ( ). ( )( )
, , ,⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
( )2
No caso, a derivada da divisão de f(x) = x2 por g(x) = x + 1 é igual à subtração entre aderivada de f (x) = x2 multiplicada por g(x) = x+1 e f (x) = x2 multiplicada pela derivada deg(x) = x + 1, sendo essa subtração dividida pela função g(x) = x + 1 elevada ao quadrado.
Vejamos:
h x xx
x x x xx
,, , ,
( )( ) .
( )=
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
( ) + − ( ) +( )+
2 2 2
21
1 1
1
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela ou pelapropriedade D1, referente à derivada da soma de duas funções, conforme segue.
(x2)’ = 2x2-1 = 2x1 = 2x, pois x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1
(x + 1)’ = (x)’ + (1)’ = 1 + 0 = 1
Finalizando a derivada:
h x xx
x x x xx
x x,
, , ,
( )( ) .
( )
( )=
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
( ) + − ( ) +( )+
=( ) + −2 2 2
21
1 1
1
2 1 xxx
x x xx
x xx
2
2
2 2
2
2
2
1
12 2
121
( ) ( )+
= + −+
= ++
.
( ) ( ) ( )
1919191919Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável
A derivada já foi terminada, mas, ainda, podemos colocar x em evidência no numeradordo quociente:
h x x xx
x xx
, ( )( ) ( )
= ++
=+( )
+
2
2 2
21
21
Exemplo 1.20. Derive t xx xsenx
( ) .= −3 6
Vamos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função x3 − 6x, no numerador,e a função senx, no denominador. Começamos a resolução aplicando a propriedade D4,referente à derivada do quociente de duas funções:
f xg x
f x g x f x g xg x
( )( )
( ). ( ) ( ). ( )( )
, , ,⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
( )2
Vejamos:
t x x xsenx
x x senx x x senx
senx,
, , ,
( ) = −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−( ) − −( )( )( )
3 3 3
2
6 6 6
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida pela tabela ou pelas propriedadesD1 (relativa à derivada da soma de duas funções) e D2 (referente à derivada do produ-to de uma constante por uma função), conforme segue.
(x3 − 6x)’ = (x3)’ − (6x)’ = (x3)’ − 6 (x)’ = 3x2 − 6.1 = 3x2 − 6
(senx)’ = cos x
Finalizando a derivada:
t x x xsenx
x x senx x x senx
senx,
, , ,
( ) = −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−( ) − −( )( )( )
=3 3 3
2
6 6 6 33 6 62 3
2
x senx x x xsen x
−( ) − −( )( )cos
2020202020 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Observe que a função seno ao quadrado de x pode ser escritacomo (senx)2 ou como sen2x. Nesse caso, é o seno que está aoquadrado, e não o argumento x.
Exemplo 1.21. Derive t xxex
( ) .=−
7
3Queremos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função x7, no numerador,e a função ex − 3, no denominador. Começamos a resolução aplicando a propriedadeD4, referente à derivada do quociente de duas funções:
f xg x
f x g x f x g xg x
( )( )
( ). ( ) ( ). ( )( )
, , ,⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
( )2
Vejamos:
t x xe
x e x e
ex
x x
x
,, , ,
( ). .
=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
( ) −( ) − −( )−( )
7 7 7
23
3 3
3
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida pela tabela ou pela propriedade D1(relativa à derivada da soma de duas funções), conforme segue.
(x7)’ = 7x7-1 = 7x6
(ex − 3)’ = (ex)’ − (3)’ = ex − 0 = ex
Finalizando a derivada:
t x xe
x e x e
e
x ex
x x
x
x,
, , ,
( ).
=−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
( ) −( ) − −( )−( )
=−(7 7 7
2
6
3
3 3
3
7 3)) − ( )−( )
=−( ) −
−( )x e
e
x e x e
e
x
x
x x
x
7
2
6 7
23
7 3
3
2121212121Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável
Exemplo 1.22. Derive yxx
= sec .
Vamos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função sec x, no numerador,e a função x, no denominador. Começamos a resolução aplicando a propriedade D4,referente à derivada do quociente de duas funções:
f xg x
f x g x f x g xg x
( )( )
( ). ( ) ( ). ( )( )
, , ,⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
( )2
Vejamos:
y dydx
xx
x x x xx
,, , ,
sec sec . sec .= = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
=( ) − ( ) ( )
2
Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conformesegue.
sec sec sec,x d xdx
x.tgx( ) = =
x dxdx
, = =1
Finalizando a derivada:
y dydx
xx
x x x xx
x.tgx x,, , ,
sec sec sec sec sec= = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
=( ) − ( )( )
=( ) −
2
xxx
x x.tgx xx
( )( )= −1
2 2
.sec sec
A derivada já foi terminada, mas ainda podemos colocar a secante de x em evidência nasubtração presente no numerador. Vejamos:
y dydx
xx
x x.tgx xx
x xtgxx
,,sec .sec sec sec ( )= = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= − = −2 2
1
2222222222 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Observe que a função secante de x, indicada por sec x, não serefere ao produto de “alguma coisa” por x. Sendo assim, não háqualquer sentido em “cancelar” x do numerador com x do de-nominador no quociente sec x
x.
Exemplo 1.23. Derive 2 cos3�y x � �= � �� �
Para resolvermos a derivada do exemplo 1.23, não precisamos aplicar a propriedade D3,referente à derivada a multiplicação de duas funções.
Isso porque cos3�� �� �� �
, lido como cosseno de PI sobre 3, é uma constante, sen-
do ocos cos 60 0,5.3�� � = =� �� �
Vale lembrar, também, que não há qualquer sentido em pensar em cos3�� �� �� �
como amultiplicação de “cos” por 3
� .
Voltando à derivada de
2 cos3�y x � �= � �� �
, ou 2cos
3�y x� �� �= � �� �� �� �
,
temos a situação de uma constante, cos3�� �� �� �
, multiplicada por uma função da variável
x, x2. Pela propriedade D2, a derivada do produto (multiplicação) de uma constante k
por uma função é igual ao produto da constante k pela derivada da função. No caso, k
é cos3�� �� �� �
.
Vejamos:
( ),
,, 2 2cos cos3 3� �y x x
� �� � � �� � � �= =� �� � � �� � � �� � � �� � � �� �
2323232323Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável
Vimos que
(x2)’ = 2x 2-1 = 2x1 = 2x, pois xdxdx
n.xnn
n( ) = = −,.1
Logo,
( ) ( ),
,, 2 2cos cos cos 2 2 cos3 3 3� � � �y x x x x
3� �� � � � � �� � � � � � � �= = = =� �� � � � � �� � � � � � � �
� � � � � � � �� � � � � �� �
Exemplo 1.24. Derive yxe
=3
5
Para resolvermos a derivada do exemplo 1.24, não precisamos aplicar a propriedade D4,referente à divisão de duas funções.
Isso porque e5, lido como “e elevado a 5”, é uma constante, visto que e é um númeroirracional, aproximado por 2,72.
Se e5 é uma constante, então 15e também é uma constante.
Reescrevendo y xe
=3
5 como y = 15e
x3, temos de derivar uma constante, 15e
, multipli-
cada por uma função da variável x, x3. Pela propriedade D2, a derivada do produto
(multiplicação) de uma constante k por uma função é igual ao produto da constante k
pela derivada da função. No caso, k é 15e
.
Vejamos:
y xe e
x,,
,=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ( )
3
5 531
Vimos que (x3)’ = 3x 3-1 = 3x2, pois xdxdx
n.xnn
n( ) = = −,.1
Logo,
y xe e
xe
x xe
,,
,=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ( ) = ( ) =
3
5 53
52
2
5
1 1 3 3
2424242424 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exemplo 1.25. Derive y = (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3).
O exemplo 1.25 solicita a derivada da multiplicação de duas funções da variável x: afunção (3x5 − 6x3) multiplicada pela função (5x10 − 4x3). Logo, vamos começar a deriva-da usando a propriedade D3, referente à derivada a multiplicação de duas funções:
(f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x)
Ou seja,
y’ = ((3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3))’ = (3x5 − 6x3)’.(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3)’
Prosseguindo com a derivada de y = (3x5 − 6x3)(5x10 − 4x3), devemos derivar, em relaçãoà variável x, as funções (3x5 − 6x3) e (5x10 − 4x3). Para derivá-las, vamos usar as propri-edades D1 e D2 (respectivamente f x g x f x g x � � k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e )e a regra
x dxdx
n.xnn
n( ) = = −,.1
Vejamos:
(3x5 − 6x3)’ = (3x5 )’ − (6x3)’ = 3(x5 )’ − 6(x3)’ = 3.5x4 − 6.3x2 = 15x4 − 18x2
(5x10 − 4x3)’ = (5x10 )’ − (4x3)’ = 5(x10 )’ − 4(x3)’ = 5.10x9 − 4.3x2 = 50x9 − 12x2
Finalizando a derivada original:
y’ = (3x5 − 6x3)’.(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3)’
y’ = (15x4 − 18x2).(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(50x9 − 12x2)
A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, podemos fazer as seguintes“distributivas”:
y’ = 15x4.5x10 +15x4 (−4x3) −18x2.5x10−18x2 (−4x3)+3x5.50x9+3x5 (−12x2) −6x3.50x9−6x3 (−12x2)
Agora, utilizamos a regra de multiplicação de potências de mesma base, escrita comoxa.xb = xa+b e enunciada como “mantém-se a base e somam-se os expoentes”.
2525252525Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável
Logo,
y’ = 75x14 − 60x7 − 90x12 + 72x5 + 150x14 − 36x7 − 300x12 + 72x5
y’ = 225x14 − 390x12 − 96x7 + 144x5
Exercícios Propostos – Capítulo 1.Exercícios Propostos – Capítulo 1.Exercícios Propostos – Capítulo 1.Exercícios Propostos – Capítulo 1.Exercícios Propostos – Capítulo 1.
Exercício 1.1. Derive f (x) = x8
Exercício 1.2. Derive y = x − 6
Exercício 1.3. Derive f (x) = x3/5
Exercício 1.4. Derive f x x( ) = 1
7
Exercício 1.5. Derive f x x( ) = + 2
Exercício 1.6. Derive f x x( ) = 45
Exercício 1.7. Derive f x xx( ) = +154
Exercício 1.8. Derive f (x) = 7x6
Exercício 1.9. Derive f (x) = 12 + 5x4
Exercício 1.10. Derive y = 3 + senx
Exercício 1.11. Derive f (x) = 5 cos x + 3 cot gx
Exercício 1.12. Derive y x x= +ln 25
Exercício 1.13. Derive t x xe arcsenxx( ) = − +6 5 7
Exercício 1.14. Derive h(x) = 9x + tgx
Exercício 1.15. Derive h(x) = x3 senx
2626262626 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exercício 1.16. Derive h(x) = (ex − 5) cos x
Exercício 1.17. Derive h(x) = 2x3 ex
Exercício 1.18. Derive h xxx
( ) =+
5
2 3
Exercício 1.19. Derive t xx x
x( )
cos= −2 7
Exercício 1.20. Derive xexxt−
=4
)(4
Exercício 1.21. Derive yxx
=sec
Exercício 1.22. Derive y = 7 arcsenx + x3 senx
Exercício 1.23. Derive yx
e= cos3
Exercício 1.24. Derive ���
���=
5. πsenxy
Exercício 1.25. Derive y = (4x2 − 7x5).(x9 − 3x4)
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 1.
Exercício 1.1. f ’(x) = 8x7
Exercício 1.2. y x, = −6
7
Exercício 1.3. f xx
, ( ) = 3
5 25
Exercício 1.4. f xx
, ( ) = −78
2727272727Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma VariávelCapítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável
Exercício 1.5. f xx
, ( ) = 12
Exercício 1.6. f xx
, ( ) = 455
Exercício 1.7. f xx
x, ( ) = − +5 463
Exercício 1.8. f ’(x) = 42x5
Exercício 1.9. f ’(x) = 20x3
Exercício 1.10. y’ = cos x
Exercício 1.11. f ’(x) = −5 senx − 3cos sec2 x
Exercício 1.12. y x, = +1 2
5
Exercício 1.13. t x xe
xx, ( ) = − − +
−
6 5 7
12 2
Exercício 1.14. h’(x) = 9x 1n 9 + sec2 x
Exercício 1.15. h’(x) = x2 (3senx + x cos x)
Exercício 1.16. h’(x) = ex cos x − (ex − 5)senx
Exercício 1.17. h’(x) = 2x2 ex (3 + x)
Exercício 1.18. h xx xx
, ( )( )
=+( )
+
3 5
3
4 2
2 2
Exercício 1.19. t xx x x x senx
x, ( ) ( ) cos ( )
cos= − + −2 7 72
2
2828282828 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exercício 1.20.( )( )2
43,
444)(
x
xx
eexexxt
−+−=
Exercício 1.21. yxtgxx
,
sec= −1
Exercício 1.22. yx
x senx x x, ( cos )=−
+ +7
13
2
2
Exercício 1.23. 3,
esenxy −=
Exercício 1.24. ���
���=
521, πsen
xy
Exercício 1.25. y’ = − 98x13 + 44x10 + 189x8 − 72x5
Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2Capítulo 2
Derivadas de Funções Compostas de umaDerivadas de Funções Compostas de umaDerivadas de Funções Compostas de umaDerivadas de Funções Compostas de umaDerivadas de Funções Compostas de umaVVVVVariávelariávelariávelariávelariável
Vamos “escolher” duas funções simples quaisquer de uma única variável x, por exemplo,as funções f (x) = cos x e u(x) = x3. Com essas duas funções, podemos “criar” váriasoutras funções por meio de operações de soma, subtração, multiplicação, divisão eproduto de constante por função. Vejamos alguns exemplos:
• h1 (x) = f (x) + u(x) = cos x + x3
• h2 (x) = 5 f (x) − 2u(x) = 5cos x − 2x3
• h3 (x) = f (x).u(x) = (cos x).x3 = x3 cos x
• h x f xu x
xx
x4 33 0( ) ( )
( )cos ,= = ≠
Se quiséssemos derivar as funções acima, usaríamos as propriedades D1, D2, D3 e D4e a tabela de derivadas, vistas no capítulo 1.
Também é possível “associarmos” as funções f (x) = cos x e u(x) = x3 não apenas pormeio das operações de soma, subtração, multiplicação e divisão, ou seja, de mododiferente do que feito acima. Poderíamos fazer uma composição entre elas, gerando,por exemplo, a função composta f (u(x)), lida como “f de u de x” e escrita como
f (u(x)) = f (x3) = cos(x3) = cos x3.
3030303030 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Para derivarmos a função f (u(x)) = cos x3, precisamos usar a chamada “regra doencadeamento”, também conhecida como “regra da cadeia”, conforme segue abaixo.
f u x df u xdx
dudx
dfdu
u x f u( ( )) ( ( )) . ( ). ( ), , ,( ) = = =
No caso da função f (u(x)) = cos x3, temos que:
u(x) = x3 → u’(x) = 3x2
f (u) = cosu → f ’(u) = − senu
(f (u(x)))’ = (cos x3)’ = u’(x).f ’(u) = 3x2 (− senu) = 3x2 (− senx3) = − 3x2 senx3
Há uma maneira mais “rápida” de fazermos essa derivada, usando a seguinte regra dederivação para a função composta (cosu)’ = − u’(x).senu . Ou seja,
(cos x3)’ = − (x3)’. senx3 = − 3x2 senx3
A tabela das derivadas das funções compostas é apresentada a seguir.
Tabela de derivadas (funções compostas)
3131313131Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável
Exemplo 2.1. Derive f (x) = (x2 + 1)50.
Temos de derivar uma função composta dada por u = u (x) = x2 + 1 e f (u) = u50.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.un-1.
3232323232 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Sendo, no caso, n = 50 e u = x2 + 1, a derivada da função f (x) = (x2 + 1)50 em relação àvariável x é:
f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)50 −1 = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)49
Agora, vamos derivar, em relação à variável x, a soma x2 + 1. Aplicando a propriedadeD1 vista no capítulo 1, enunciada como “a derivada da soma é a soma das derivadas”,temos que:
f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)49 = 50 ((x2)’ + (1)’)(x2 + 1)49
Vimos que a derivada de x2 em relação à variável x é (x2)’ = 2x2-1 = 2x, pois, de acordocom a tabela de derivadas,
x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 , com n = 2.
Também vimos que a derivada da constante k = 1 em relação à variável x é zero, pois, deacordo com a tabela de derivadas,
k dkdx
( ) = =, 0 .
Logo,
f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)50 −1 = 50 ((x2)’ + (1)’)(x2 + 1)49 = 50(2x + 0)(x2 + 1)
f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50(2x)(x2 + 1)49 = 100x (x2 + 1)49
Exemplo 2.2. Derive f (x) = (x3 + 1)−50.
Queremos derivar uma função composta dada por u = u (x) = x3 + 1 e f (u) = u−50 .
Da tabela de derivadas de funções compostas, vamos usar a seguinte regra:
(un)’ = n.u’.u n−1.
3333333333Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável
Sendo, no caso, n = − 50 e u = x3 + 1, a derivada de f (x) = (x3 + 1)−50 em relação àvariável x é:
f ’(x) = ((x3 + 1)−50)’ = − 50(x3 + 1)’(x2 + 1)−50 −1 = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51
Agora, vamos derivar, em relação à variável x, a soma x3 + 1. Como a derivada da somade duas funções é igual à soma das derivadas dessas funções, temos que:
f ’(x) = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51 = − 50((x3)’ + (1)’)(x3 + 1)−51
A derivada de x3 em relação à variável x é (x3)’ = 3x3−1 = 3x2, pois, de acordo com a tabelade derivadas,
x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 , com n = 3.
A derivada da constante k = 1 em relação à variável x é zero, pois, de acordo com atabela de derivadas,
k dkdx
( ) = =, 0 .
Logo,
f ’(x) = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51 = − 50((x3)’ + (1)’)(x3 + 1)−51 = − 50(3x2 + 0)(x3 + 1)−51
f ’(x) = − 150 x2 (x3 + 1)−51
Acabamos a derivada. Mas, como
mm
xx
aa
− −= → +( ) =
+( )1 1 1
13 51
3 51 ,
podemos escrever a resposta final assim:
f x x x xx
x
x, ( ) = − +( ) = −
+( )= −
+( )−
150 1 150 1
1
150
12 3 51 2
3 51
2
3 51
3434343434 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exemplo 2.3. Derive f (x) = (x3 − x4)5.
Temos de derivar uma função composta dada por u = u (x) = x3 − x4 e f (u) = u5.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n−1.
Sendo, no caso, n = 5 e u = x3 − x4, a derivada da função f (x) = (x3 − x4)5 é:
f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)5−1 = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)4
Ainda temos de derivar, em relação à variável x, a diferença (subtração) x3 − x4. Jávimos, no capítulo 1, que a derivada da subtração de duas funções é a subtração dasderivadas dessas funções. Sendo assim, temos que:
f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)4 = 5((x3)’ − (x4)’)(x3 − x4)4
De acordo com a tabela, a derivada de x3 em relação à variável x é (x3)’ = 3x3−1 = 3x2 e aderivada de x4 em relação à variável x é (x4)’ = 4x4−1 = 4x3, pois
x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 .
Logo,
f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5((x3)’ − (x4)’)(x3 − x4)4 = 5(3x2 − 4x3)(x3 − x4)4
A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, podemos colocar x2 emevidência:
f ’(x) = 5(3x2 − 4x3)(x3 − x4)4 = 5x2 (3 − 4x)(x3 − x4)4
Exemplo 2.4. Derive f x x x( ) .= −( )6 534
Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = x6 − x5 e f u u( ) =34 .
Vamos utilizar a seguinte regra da tabela de derivadas de funções compostas:
(un)’ = n.u’.u n−1.
3535353535Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável
Como, no caso, n = 34
e u = x6 − x5 , a derivada da função f x x x( ) = −( )6 534 é:
f x x x x x x x x x x,,
, ,( )= −( )⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= −( ) −( ) = −( ) −−6 5
34 6 5 6 5
341 6 5 63
434
xx x x x x53 44 6 5 6 5
143
4( ) = −( ) −( )
− −,
Sabemos que a derivada da subtração de duas funções é igual à subtração das deriva-das dessas funções e que a derivada de funções do tipo f (x) = xn é
x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 .
Logo, a derivada, em relação à variável x, da diferença x6 − x5 é 6x5 − 5x4, pois
(x6 − x5)’ = (x6)’− (x5)’ = 6x6−1 − 5x5−1 = 6x5 − 5x4.
Sendo assim, prosseguindo com a derivada do exemplo 2.4 temos que:
f x x x x x x x x x x,,
,( ) = −( )⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= −( ) −( ) = −( ) −−
6 534 6 5 6 5
14 5 4 63
4346 5 xx5
14( )−
Já terminamos as derivadas. Mas podemos “melhorar” a expressão acima. Vejamos:
f x x x x x x xx x
x,
,
( ) = −( )⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= −( ) −( ) =−( )−
6 534 5 4 6 5
14
5 4
6
346 5 3
4
6 5
−−( )=
−( )−x
x x
x x514
5 4
6 54
34
6 5
Fizemos o seguinte:
mm
x xx x
aa
−−
= → −( ) =−( )
1 16 514
6 514
e
m m x x x x x xba ba= → −( ) = −( ) = −6 5
14 6 5 1
4 6 54 .
3636363636 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar x4 em evidência:
f xx x
x x
x x
x x, ( ) =
−( )−
=−( )
−
34
6 5 3 6 5
4
5 4
6 54
4
6 54
Exemplo 2.5. Derive y = 1n(3x3 − 7x)
Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = 3x3 − 7x e f (u) = 1n u.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ln,
,
u uu
( ) = .
Ou seja,
y x xx xx x
, ,,
ln= −( )( ) =−( )−
3 73 7
3 73
3
3
Vimos que a derivada da subtração de duas funções é a subtração das derivadasdessas funções, a derivada de f (x) = xn é
x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1
e a derivada de f (x) = x é
x dxdx
( ) = =, 1 .
Por isso, a derivada de 3x3 − 7x, em relação à variável x, é 9x2 − 7, pois
(3x3 − 7x)’ = (3x3)’ − (7x)’ = 3(x3)’ − 7(x)’ = 3(3x2) − 7(1) = 9x2 − 7.
Logo,
y x xx xx x
x xx x
x, ,
, , , ,
ln= −( )( ) =−( )−
=( ) −( )
−=
( )3 7
3 7
3 7
3 7
3 7
33
3
3
3
3
3 −− ( )−
=( )− ( )
−= −
−
7
3 7
3 3 7 1
3 79 73 73
2
3
2
3
xx x
xx x
xx x
,
3737373737Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável
Observe que a função 1n(3x3 − 7x), lida como o logaritmoneperiano de 3x3 − 7x, não é a multiplicação de “alguma coisa”por 3x3 − 7x!
Exemplo 2.6. Derive y = 1n (cos x).
Precisamos derivar uma função composta dada por u = u (x) = cos x e f (u) = 1n u, lidacomo o logaritmo neperiano do cosseno de x.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ln,
,
u uu
( ) = .
Ou seja,
y xx, ,,
ln coscoscos
= ( )( ) =( )
x
Segundo a tabela, a derivada do cosseno de x, em relação à variável x, é
cos (cos ),x d xdx
senx( ) = = − .
Logo,
y xxx
senxx
, ,,
ln coscoscos cos
= ( )( ) =( )
= −
A derivada já foi acabada. Como, da trigonometria, temos que o quociente entre “oseno e o cosseno é a tangente”, escrevemos:
y x senxx
tgx, ,ln cos
cos= ( )( ) = − = −
3838383838 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exemplo 2.7. Derive y = 1n (x + 1n x).
Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = x + 1n x e f (u) = 1n u.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ln,
,
u uu
( ) = .
Ou seja,
y x xx xx x
, ,,
ln lnlnln
= +( )( ) =+( )+
A derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas dessas funções, a deriva-da de f (x) = x é
x dxdx
( ) = =, 1
e a derivada de f (x) = 1n x é
lnln,x
d xdx x
( ) =( )
= 1 .
Logo, a derivada da soma x + 1n x, em relação à variável x, é
x x x xx
+( ) = ( ) + ( ) = +ln ln, , , 1 1.
Logo,
y x xx xx x
xx x
, ,,
ln lnlnln ln
= +( )( ) =+( )+
=+
+
1 1
A derivada já foi terminada. Para escrevermos a resposta final, podemos “fazer a con-ta” do numerador da fração:
y x x xx x
xx
x xxx x x
xx x x
, ,ln ln
ln ln.
ln ln= +( )( ) =
+
+=
+
+= +
+= +
+(1 1 1
1 1 1))
3939393939Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável
Exemplo 2.8. Derive f (x) = sen (3x − 2)
Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = 3x − 2 e f (u) = senu.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu) = u’ cos u.
Ou seja,
f ’(x) = (sen (3x − 2))’ = (3x − 2)’ cos (3x − 2)
Agora, para derivarmos 3x − 2 em relação à variável x, usamos as propriedades D1 e D2vistas no capítulo 1:
D1. f x g x f x g x � �d f x g x
dxdf xdx
dg xdx
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±
±( )= ±ou ;
D2. k.f x k.f x �ou�d k.f xdx
k df xdx
( ) ( )( )
. ( ), ,( ) =( )
= .
Ou seja,
(3x − 2)’ = (3x)’ − (2)’ = 3(x)’ − (2)’
A derivada de x em relação a x é 1 e a derivada da constante 2 é zero. Logo,
(3x − 2)’ = 3(x)’ − (2)’ = 3.1 − 0 = 3
Finalizando a derivada:
f ’(x) = (3x − 2)’ cos (3x − 2) = 3 cos (3x − 2)
Observe que a função trigonométrica sen (3x − 2), lida comoo seno de 3x − 2, não é a multiplicação de “alguma coisa”por 3x − 2!
4040404040 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exemplo 2.9. Derive f (x) = senx2.
Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = x2 e f (u) = senu.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu)’ = u’ cos u .
Ou seja,
f ’(x) = (senx2)’ = (x2)’ cos x2
Ainda precisamos derivar x2 em relação à variável x. Como
x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1 ,
então (x2)’ = 2x 2 − 1 = 2x.
Logo,
f ’(x) = (senx2)’ = (x2)’ cos x2 = 2x cos x2
Exemplo 2.10. Derive f (x) = sen2x.
Podemos escrever a função f (x) = sen2x como f (x) = (senx)2. Assim, fica claro que temosa função seno de x elevada ao quadrado, lida também como seno ao quadrado de x, enão o seno do argumento x elevado ao quadrado.
Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = u2.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n −1.
Sendo, no caso, n = 2 e u = senx, a derivada da função f (x) = sen2x = (senx)2 é:
f ’ (x) = ((senx)2)’ = 2(senx)’(senx)2 − 1 = 2(senx)’(senx)1 = 2(senx)’ senx
A derivada do seno de x, em relação à variável x, é
senx d senxdx
x( ) = =, ( ) cos .
4141414141Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável
Logo,
f ’ (x) = ((senx)2)’ = 2(senx)’ senx = 2 cos x senx
Exemplo 2.11. Derive f (x) = sen (senx).
Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = senu, lidacomo o seno do seno de x. Não se trata da multiplicação do seno de x pelo seno de x.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu)’ = u’ cos u.
Ou seja,
f ’(x) = (sen (senx))’ = (senx)’cos (senx)
Para terminarmos, precisamos fazer a derivada do seno de x, em relação à variávelx, que é
senx d senxdx
x( ) = =, ( ) cos .
Logo,
f ’(x) = (sen (senx))’ = cosx cos(senx)
Exemplo 2.12. Derive f (x) = e x5− 7
Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = x5 − 7 e f (u) = eu.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu.
Logo,
f ’(x) =(e x5− 7)’ = (x5 − 7)’e x5− 7x
Agora, para derivarmos x5 − 7 em relação à variável x, usamos a propriedade D1 vistano capítulo 1 (“a derivada da soma é a soma das derivadas”):
(x5 − 7)’ = (x5)’ − (7)’
4242424242 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
A derivada de x5 em relação à variável x é 5x5 − 1 = 5x4, pois
x dxdx
n.xnn
n( ) = = −, 1
e, no caso, n = 5. A derivada da constante 7 é zero. Logo,
(x5 − 7)’ = (x5)’ − (7)’ = 5x4 − 0 = 5x4
Finalizando:
f ’(x) =(e x5− 7)’ = (x5 − 7)’e x5− 7x = 5x4 e x5− 7x
Exemplo 2.13. Derive f (x) = e e x
Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = e x e f (u) = e u, ou seja, a“exponencial da exponencial”.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu.
Logo,
f ’(x) = (e e x)’ = (e x )’e e x
A derivada de e x em relação à variável x é e x.
Logo,
f ’(x) = (e e x)’ = (e x )’e e x = e x e e x
Já terminamos a derivada. Para a resposta final, lembramos que “o produto de potênci-as de mesma base é a base elevada à soma dos expoentes”, ou seja,
ma.mb = ma+b → e x e e x = e x+e x.
Sendo assim,
f ’(x) = (e e x)’ = e x e e x = e x+e x
4343434343Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável
Exemplo 2.14. Derive y = sec(x2 + 4x)
Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = x2 + 4x e f (u) = secu.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (secu)’ = u’sec utgu.
Logo,
y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (x2 + 4x)’ sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x).
Agora, para derivarmos x2 + 4x em relação à variável x, usamos as propriedades D1 e D2vistas no capítulo 1:
(x2 + 4x)’ = (x2)’ + (4x)’ = (x2)’ + 4(x)’
A derivada de x2 em relação à variável x é 2x e a derivada de x em relação à variável x é 1.
Logo,
(x2 + 4x)’ = (x2)’ + (4x)’ = (x2)’ + 4(x)’ = 2x + 4.1 = 2x + 4
A derivada fica assim:
y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (x2 + 4x)’ sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) = (2x + 4) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x)
Já terminamos a derivada, mas, ainda, podemos colocar a constante 2 em evidência:
y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (2x + 4) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) = 2(x + 2) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x)
Exemplo 2.15. Derive y = 5senx
Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = au, com a = 5.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (au)’ = u’au. 1n a
Logo,
y’ = (5senx)’ = (senx)’ 5senx 1n 5
A derivada de senx em relação à variável x é cosx.
4444444444 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Logo,
y’ = (5senx)’ = (senx)’ 5senx 1n 5 = (cosx)5senx 1n 5
Exemplo 2.16. Derive y = 7e x
Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = ex e f (u) = au, com a = 7.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (au)’ = u’au. 1n a.
Logo,
y’ = ( 7e x)’ = (ex)’7e x 1n 7
A derivada de ex em relação à variável x é ex.
Logo,
y’ = ( 7e x)’ = (ex)’7e x 1n 7 = ex 7e x 1n 7
Exemplo 2.17. Derive h(x) = x5 esenx
Inicialmente, vamos aplicar a regra da derivada do produto de duas funções (a funçãox5 multiplicada pela função esenx), ou seja, a regra D3 vista no capítulo 1:
D3. (f (x). g(x))’ = f ’(x). g(x) + f (x). g’(x) ou d f x g xdx
df xdx
g x f x dg xdx
( ). ( ) ( ) . ( ) ( ). ( )( )= + .
No caso, temos que:
h’(x) = (x5 esenx)’ = (x5)’ esenx + x5 (esenx)’
Agora, vamos prosseguir com as derivadas, em relação à variável x, das funçõesx5 e esenx.
A função x5 é uma função simples de x, cuja derivada é (x5)’ = 5x5−1 = 5x4.
Já a função esenx é uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = eu.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu.
4545454545Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável
Logo,
(esenx)’ = (senx)’esenx = cos x esenx
Finalizando a derivada:
h’(x) = (x5 esenx)’ = (x5)’ esenx + x5 (esenx)’ = 5x4 esenx + x5 cos x esenx
A derivada já foi terminada, mas ainda é possível simplificarmos a resposta colocando“x4 vezes e elevado ao seno de x” em evidência:
h’(x) = 5x4 esenx + x5 cos x esenx = x4 esenx (5 + x cos x)
Exemplo 2.18. Derive y = tgx5.1n (3x2 + 8)
Vamos começar este exemplo aplicando a regra da derivada do produto de duas fun-ções (a função tangente de x5 multiplicada pela função logaritmo neperiano de 3x2 + 8),ou seja, a regra D3 vista no capítulo 1:
D3. (f (x). g(x))’ = f ’(x). g(x) + f (x). g’(x) ou d f x g xdx
df xdx
g x f x dg xdx
( ). ( ) ( ) . ( ) ( ). ( )( )= + .
No caso, temos que:
y’ = (tgx5.1n (3x2 + 8))’ = (tgx5)’.1n (3x2 + 8) + tgx5.(1n (3x2 + 8))’
Agora, vamos prosseguir com as derivadas, em relação à variável x, das funções tgx5
e 1n (3x2 + 8).
A função tgx5 é uma função composta dada por u = u(x) = x5 e f (u) = tgu.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (tgu)’ = u’sec2 u.
Logo,
(tgx5)’ = (x5)’sec2 x5 = 5x4 sec2 x5
A função (3x2 + 8) é uma função composta dada por u = u(x) = 3x2 + 8 e f (u) = 1n u.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ln,
,
u uu
( ) = .
4646464646 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Logo,
ln,
, , , ,
3 83 8
3 8
3 8
3 8
3 0
32
2
2
2
2
2
2xxx
xx
xx
+( )( ) =+( )+
=( ) + ( )
+=
( ) + ( )+88
3 23 8
63 82 2=
+=
+. xx
xx
Finalizando a derivada:
y tgx x tgx x x x x, , ,.ln . ln sec ln= ( ) +( ) + +( )( ) = ( ) +(5 2 5 2 4 2 5 23 8 3 8 5 3 8)) +
+tgx x
x5
2
63 8
Exemplo 2.19. Derive yesenx
x x
=−7 8
4 .
Iniciamos a resolução deste exemplo aplicando a regra da derivada do quociente deduas funções (a função “base e elevada ao expoente x7 − 8x” dividida pela função“seno de x4”), ou seja, a regra D4 vista no capítulo 1:
D4. f xg x
f x g x f x g xg x
� �d f x g x( )
( )( ). ( ) ( ). ( )
( )
( ). ( ), , ,⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
( )2ou
(( )=
−
( )dx
df xdx
g x f x dg xdx
g x
( ) . ( ) ( ). ( )
( ) 2
No caso, temos que:
y esenx
e senx e senx
senx
x x x x x x
,
,, ,
=⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
( ) − ( )− − −77 7
8
4
8 4 8 4
4(( )2
Para concluirmos a derivada, precisamos derivar, em relação à variável x, as funçõesex7−8x e senx4.
A função ex7−8x é uma função composta dada por u = u(x) = x7 − 8x e f (u) = eu.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu.
4747474747Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável
Logo,
(ex7− 8x)’ = (x7 − 8x)’ex7− 8x = ((x7)’ − (8x)’)ex7− 8x = (7x6 − 8)ex7− 8x
A função senx4 é uma função composta dada por u = u(x) = x4 e f (u) = senu.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu)’ = u’cos u.
Logo,
(senx4)’ = (x4)’ cos x4 = 4x 3 cos x4
Finalizando a derivada:
y esenx
e senx e senx
senx
x x x x x x
,
,, ,
=⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
( ) − ( )− − −77 7
8
4
8 4 8 4
4(( )=
−( )( ) − ( )− −
2
6 8 4 8 3 4
2 4
7 8 47 7
x e senx e x x
sen x
x x x x cos
A derivada já foi terminada, mas ainda é possível simplificarmos a resposta colocando“e elevado a x7 − 8x” em evidência:
y esenx
x e senx e x xx x x x x x
,
, cos=
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
−( )( ) −− − −77 7
8
4
6 8 4 8 37 8 4 44
2 4
8 6 4 3 4
2 4
7
7 8 4( )=
( ) −( ) −⎡⎣ ⎤⎦−
sen x
e x senx x x
sen x
x x cos
Observe que podemos escrever a função seno ao quadrado dex elevado a 4 como (senx4)2 ou como sen2x4.
Exemplo 2.20. Derive y x x arctg x x= + + −( )5 3 44 2 3 .
Começamos este exemplo usando a regra da derivada da soma de duas funções (afunção “5 vezes a raiz quadrada de 3x4 + x2” mais a função “arcotangente de x3 − 4x”),ou seja, a regra D1 vista no capítulo 1:
D1. f x g x f x g x � �d f x g x
dxdf xdx
dg xdx
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ±
±( )= ±ou .
4848484848 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
No caso, temos que:
y x x arctg x x x x arctg x x,, , ,
= + + −( )( ) = +( ) + −( )( )5 3 4 5 3 44 2 3 4 2 3
Aplicando a regra da derivada de uma constante multiplicada por uma função para aparcela que contém a raiz quadrada de 3x4 + x2, ou seja, a regra D2 vista no capítulo 1:
D2. k.f x k.f x �ou�d k.f xdx
k df xdx
( ) ( )( )
. ( ), ,( ) =( )
= .
No caso, temos que:
y x x arctg x x x x arctg x x,, , , ,
= +( ) + −( )( ) = +( ) + −( )( )5 3 4 5 3 44 2 3 4 2 3
A função 3 4 2x x+ é uma função composta dada por u = u(x) = 3 x4 + x2 e f (u) = u .
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que u uu
( ) =, ,
2.
Logo,
33
2 3
3
2 3
3 4 24 2
4 2
4 2
4 2
4 2
3
x xx x
x x
x x
x x
x x+( ) =
+( )+
=( ) +( )
+=
( )+( ),, , ,
22 3
12 2
2 3
2 6 1
2 3
6 1
34 2
3
4 2
2
4 2
2
4 2x xx xx x
x x
x x
x x
x x+= +
+=
+( )+
=+( )
+
A função arctg(x3 − 4x) é uma função composta dada por u = u(x) = x3 − 4x e f (u) = arctgu.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que arctguuu
( ) =+
,,
1 2 .
Logo,
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )23
2
23
,,3
23
,,3
23
,3,3
4143
414
414
4144
xxx
xxxx
xxxx
xxxxxxarctg
−+−=
−+−=
−+−=
−+−=−
4949494949Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável
Finalizando a derivada:
( ) ( )( ) ( )( )
( )( )23
2
24
2
23
2
24
2,3
,24,
4143
3165
4143
3165435
xxx
xxxx
xxx
xxxxxxarctgxxy
−+−+
++=
−+−+��
�
����
�
++=−++=
Exemplo 2.21. Derive .xx eey +=
Temos de derivar, inicialmente, a função dada pela soma de duas funções de x: afunção xe , lida como raiz quadrada de xe , e a função xe , lida como e elevado à raizquadrada de x.
Vamos, então, aplicar a propriedade D1, ( ) )()()()( ,,, xgxfxgxf ±=± . No caso,
( ) ( ) ( ),,,, xxxx eeeey +=+=
Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funções compostasde x: xe e xe .
A derivada de xe , em relação à variável x, é:
( ) ( )x
xx
eee
2
,,
= , pois ( )u
uu2
,,= , sendo, no caso, u = ex.
Da tabela de derivadas de funções simples, temos que a derivada de ex é ex.
Ou seja,
( ) ( )x
x
x
xx
ee
eee
22
,,
==
A derivada de xe , em relação à variável x, é:
( ) ( ) xx exe,,
= ,
pois (eu)’ = u’eu, sendo, no caso, xu = .
5050505050 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Da tabela de derivadas de funções simples, temos que a derivada de x é x2
1 .
Ou seja,
( ) ( )x
eex
exex
xxx
221,,
===
Finalizando a derivada da função xx eey += :
( ) ( ) ( )x
ee
eeeeeyx
x
xxxxx
22
,,,, +=+=+=
A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar aconstante ½ em evidência:
( ) ���
����
�+=+=+=
xe
ee
xe
eeeey
x
x
xx
x
xxx
21
22
,,
Exemplo 2.22. Derive .57
3 3
����
�� ++= xesenxy
Temos de derivar uma função composta dada por 3
5)( 3 xesenxxuu ++== ef (u) = u7.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n−1.
Sendo, no caso, n = 7 e 3
5)( 3 xesenxxuu ++== , a derivada da função
73 3
5 ����
�� ++= xesenxy é:
173
,3
,73, 333
5.575−
����
�� ++�
���
�� ++=��
�
����
�����
�� ++= xxx esenxesenxesenxy
63
,3
,73, 333
5.575 ����
�� ++�
���
�� ++=��
�
����
�����
�� ++= xxx esenxesenxesenxy
5151515151Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável
Para prosseguirmos, temos de derivar, em relação à variável x, a função
����
�� ++
3
53 xesenx .
Vamos aplicar, inicialmente, a propriedade D1, ( ) )()()()( ,,, xgxfxgxf ±=± , vistoque a função a ser derivada é formada pela soma de duas funções de x, as funçõessenx3 e 3
5 xe+ .
Vejamos:
( ),
,3,
3 33
55 ����
�� ++=�
���
�� ++ xx esenxesenx
Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funções compostas dex, as funções senx3 e 3
5 xe+ .
A derivada de senx3, em relação à variável x, é:
(senx3)’ = (x3)’ cos x3 = 3x2 cos x3,
pois (senu)’ = (u)’cos u, sendo, no caso, u = x3.
A derivada de 3
5 xe+ , em relação à variável x, é:
( )3
33
52
55,,
x
xx
e
ee+
+=����
�� + ,
pois ( )u
uu2
,,= , sendo, no caso, u = 5 + ex3.
Ainda temos de derivar 5 + ex3 em relação à variável x. Vamos aplicar, novamente, apropriedade D1, ( ) )()()()( ,,, xgxfxgxf ±=± :
A derivada da constante 5, em relação à variável x, é zero, ou seja, (5)’ = 0
A derivada da função ex3, em relação à variável x, é (ex3)’ = (x3)’ex3 = 3x2ex3, pois (eu)’ = (u)’eu.
5252525252 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Concluindo a derivada de 3
5 xe+ :
( ) ( ) ( )3
3
3
3
3
3
3
33
52
3
52
30
52
5
52
5522,,,,
x
x
x
x
x
x
x
xx
e
ex
e
ex
e
e
e
ee+
=+
+=+
+=+
+=����
�� +
Finalizando derivada da função 7
3 3
5 ����
�� ++= xesenxy :
63
,3
,73, 333
5.575 ����
�� ++�
���
�� ++=��
�
����
�����
�� ++= xxx esenxesenxesenxy
( )6
3,
,3,7
3, 333
5.575 ����
�� ++���
����
�����
�� ++=��
�
����
�����
�� ++= xxx esenxesenxesenxy
63
232
,73, 3
3
33
5.52
3cos375 ����
�� ++���
����
�
++=��
�
����
�����
�� ++= x
x
xx esenx
e
exxxesenxy
A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar 3x2 emevidência:
6332
,73, 3
3
33
552
cos3.75 ����
�� ++���
����
�
++=��
�
����
�����
�� ++= x
x
xx esenx
e
exxesenxy
6332
,73, 3
3
33
552
cos215 ����
�� ++���
����
�
++=��
�
����
�����
�� ++= x
x
xx esenx
e
exxesenxy
Exemplo 2.23. Derive y = cossec(x5 − 7x) + cot g(ex)
Temos de derivar, inicialmente, a função dada pela soma de duas funções de x: asfunções trigonométricas cossec(x5 − 7x) e cot g(ex).
Vamos, então, aplicar a propriedade D1, relativa à derivada da soma de duas funções:f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± . Ou seja,
5353535353Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável
y’ = (cossec(x5 − 7x) + cot g(ex))’ = (cossec(x5 − 7x))’ + (cot g(ex))’
Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funções compostas dex, (x5 − 7x) e cot g(ex).
A derivada de cossec (x5 − 7x), em relação à variável x, é:
(cossec(x5 − 7x))’ = − (x5 − 7x)’ cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x), pois
(cossec u) = u’ cossec u.cot gu.
Visto que
(x5 − 7x)’ = (x5)’− (7x)’ = (x5)’− 7(x)’ = 5x4 − 7.1 = 5x4 − 7,
a derivada original fica:
(cossec(x5 − 7x))’ = − (x5 − 7x)’ cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x)
(cossec(x5 − 7x))’ = − (5x4 − 7) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x)
Podemos escrever − (5x4 − 7) como + (− 5x4 + 7) = (7 − 5x4). Sendo assim:
(cossec(x5 − 7x))’ = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x)
A derivada de cot g(ex), em relação à variável x, é:
(cot g(ex))’ = − (ex)’ cossec2(ex), pois
(cot gu)’ = − (u)’ cossec2(u).
Visto que (ex)’ = ex, a derivada da cotangente do exemplo 2.23 fica:
(cot g(ex))’ = − (ex)’ cossec2(ex) = − ex cossec2(ex)
Finalizando derivada da função y = cossec(x5 − 7x) + cot g(ex):
y = (cossec(x5 − 7x) + cot g(ex))’ = (cossec(x5 − 7x))’ + (cot g(ex))’
y = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) + (− ex cossec2(ex))
y = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) − ex cossec2(ex)
5454545454 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exemplo 2.24. Derive y = arccos(senx).
A primeira observação a ser feita é a de que não há multiplicações na função y = arccos(senx),lida como o arcocosseno do seno de x.
Se enxergarmos a função u = u(x) como u = senx, temos de derivar uma função com-posta dada por f (u) = arccosu.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ( )2
,,
1arccos
uuu
−−= .
Ou seja,
( )( ) ( )( )2
,,,
1arccos
senxsenxsenxy
−
−==
Visto que (senx)’ = cos x e que (senx)2 = sen2x, a derivada do exemplo 2.24 fica:
( )( )
1coscos
coscos
1cos
1
)()(arccos222
,,, −=−=−=
−−=
−
−==xx
xx
xsenx
senx
senxsenxy
Exemplo 2.25. Derive y = cos5 (1n (x4 + x2)).
Assim como no exemplo anterior, a primeira observação a ser feita é a de que nãohá multiplicações na função y = cos5 (1n (x4 + x2)), que também pode ser escritacomo y = (cos (1n (x4 + x2)))5. Essa função é lida como o cosseno a quinta do logaritmoneperiano da soma x4 + x2.
Se enxergarmos a função u = u(x) como u = cos(1n (x4 + x2)), temos de derivar umafunção composta dada por f (u) = u5.
Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n−1.
Sendo, no caso, n = 5 e u = cos(1n (x4 + x2)), a derivada da função y = (cos(1n(x4 + x2)))5 é:
( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 1524,24,524, lncoslncos5lncos −++=+= xxxxxxy
( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )424,24,524, lncoslncos5lncos xxxxxxy ++=+=
5555555555Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável
Visto que
( )( )( ) ( )( )244424 lncoslncos xxxx +=+ :
( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )244,24,524, lncoslncos5lncos xxxxxxy ++=+=
Para prosseguirmos, temos de derivar, em relação à variável x, a função cos(1n (x4 + x2)).Vamos aplicar a seguinte regra de derivação da função composta: (cosu)’ = − u’ senu.
Ou seja,
( )( )( ) ( )( ) ( )( )24,24,24 lnlnlncos xxsenxxxx ++−=+
Agora, precisamos derivar, em relação à variável x, a função 1n (x4 + x2). Vamos aplicarseguinte regra de derivação da função composta: ( )
uuu
,,ln = .
Vejamos:
( )( ) ( ) ( ) ( )24
3
24
,2,4
24
,24,24 24ln
xxxx
xxxx
xxxxxx
++=
++=
++=+
A derivada de 1n (x4 + x2) já foi concluída, mas, ainda, podemos fazer as seguintessimplificações, colocando 2x em evidência no numerador e x2 em evidência nodenominador:
( )( ) ( )( )
( )( )1
122112224ln 2
2
22
2
24
3,24
++=
++=
++=+
xxx
xxxx
xxxxxx
Finalizando derivada da função y = cos5 (1n (x4 + x2)):
y x x x x x x sen x,, ,
cos ln cos ln ln ln= +( )( )( ) +( )( )= − +( )( )5 54 2 4 4 2 4 2 4 ++( )( )( ) +( )( )x x x2 4 4 2cos ln
( )( ) ( )( )2442424
3, lncosln245 xxxxsen
xxxxy +��
�
����
�+��
�
����
�++−=
5656565656 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
( )( ) ( )( )2442424
3, lncosln245 xxxxsen
xxxxy ++���
����
�++−=
( )( ) ( )( ) ( )( )24424
22
2, lncosln
11225 xxxxsen
xxxxy ++��
�
����
�++−=
( )( ) ( )( )244242
2, lncosln
11210 xxxxsen
xx
xy ++��
�
����
�++−=
Exercícios Propostos – Capítulo 2.Exercícios Propostos – Capítulo 2.Exercícios Propostos – Capítulo 2.Exercícios Propostos – Capítulo 2.Exercícios Propostos – Capítulo 2.
Exercício 2.1. Derive f (x) = (x5 − 7)60.
Exercício 2.2. Derive f (x) = (x5 + x6)3.
Exercício 2.3. Derive f (x) = (x8 + 3)− 63.
Exercício 2.4. Derive ( ) .74)( 545 += xxf
Exercício 2.5. Derive .32 52 ���
��� += x
xy
Exercício 2.6. Derive y = 1n(2x + 3x2).
Exercício 2.7. Derive ( ).2ln += xy
Exercício 2.8. Derive y = 1n(ex + x2).
Exercício 2.9. Derive f (x) = cos(3x − 2).
Exercício 2.10. Derive f (x) = cos x3.
Exercício 2.11. Derive f (x) = cos3 x.
5757575757Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma VariávelCapítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável
Exercício 2.12. Derive f (x) = cos(ex).
Exercício 2.13. Derive f (x) = ecosx.
Exercício 2.14. Derive f (x) = e4x − 5x3.
Exercício 2.15. Derive .)( 32+= xexf
Exercício 2.16. Derive h (x) = senx esenx.
Exercício 2.17. Derive y = cotgx3 1n(cosx + 5).
Exercício 2.18. Derive .2
56 2
senxey
xx−
=
Exercício 2.19. Derive ( ).3arccos747 32 xxxy −++=
Exercício 2.20. Derive ( ).528 33 2 xxarcsenxxy −++=
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2.
Exercício 2.1. ( )5954, 7300)( −= xxxf
Exercício 2.2. ( )( )2654, 653)( xxxxxf ++=
Exercício 2.3. ( )648
7,
3504)(+
−=x
xxf
Exercício 2.4. 5 5
4,
7416)(
+=
xxxf
Exercício 2.5. 4
22
, 323110 ���
��� +���
��� +−= x
xx
xy
Exercício 2.6. )32()31(2,
xxxy
++=
Exercício 2.7. ( )221,
+=
xxy
5858585858 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exercício 2.8. 2, 2
xexey x
x
++=
Exercício 2.9. ( )233)(, −−= xsenxf
Exercício 2.10. 32, 3)( senxxxf −=
Exercício 2.11. xsenxxf 2, cos3)( −=
Exercício 2.12. xxseneexf −=)(,
Exercício 2.13. senxexf xcos, )( −=
Exercício 2.14. 354, )154()( xxexxf −−=
Exercício 2.15. 32
3,
2
+=
+
xxey
x
Exercício 2.16. h’ (x) = esenx cosx(1 + senx).
Exercício 2.17. ( )5cos
cot.5cosln.seccos33
322,
+−+−=
xgxsenxxxxy .
Exercício 2.18. ( )22
2256, cos)53(2
2
xsenxxsenxxey
xx −−=−
.
Exercício 2.19. 23
2
2,
)3(119
7428
xxx
xxy
−−−−
+= .
Exercício 2.20. 23
2
3 22,
)52(156
)8(3)4(2
xxx
xxxy
−−−+
++= .
Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3Capítulo 3
Derivadas Parciais de Funções de duasDerivadas Parciais de Funções de duasDerivadas Parciais de Funções de duasDerivadas Parciais de Funções de duasDerivadas Parciais de Funções de duasVVVVVariáveisariáveisariáveisariáveisariáveis
Vamos pensar em uma função que tenha “duas entradas”, ou seja, uma função de duasvariáveis, as variáveis x e y, indicada por z = f (x, y).
Podemos calcular a derivada de z = f (x, y) apenas em relação à variável x, indicada por
xyxfou
xz
∂∂
∂∂ ),(
,
lida como “deo z deo x”. Nesse caso, imaginamos que a variável y “atua como umaconstante”.
Podemos, também, calcular a derivada de z = f (x, y) apenas em relação à variável y,indicada por
yyxfou
yz
∂∂
∂∂ ),(
,
lida como “deo z deo y”. Nesse caso, imaginamos que a variável x “atua como umaconstante”.
Exemplo 3.1. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x5 + y5.
Para derivarmos z = f (x, y) = x5 + y5 em relação à variável x, imaginamos que a variávely é uma constante e, consequentemente, y5 também é uma constante. Aplicando a
6060606060 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
propriedade D1 do capítulo 1, que afirma que a derivada da soma de duas funções éigual à soma das derivadas dessas funções, temos que:
( ) ( ) ( )xy
xx
xyx
xyxf
xz
∂∂+
∂∂=
∂+∂=
∂∂=
∂∂ 5555),(
Já vimos que a derivada de x5 em relação à variável x é 5x5−1 = 5x4.
A derivada de y5 em relação à variável x é equivalente à derivada de uma constante emrelação à variável x, ou seja, é zero.
Sendo assim,
( ) ( ) ( ) 445555
505),( xxxy
xx
xyx
xyxf
xz =+=
∂∂+
∂∂=
∂+∂=
∂∂=
∂∂
Para derivarmos z = f (x, y) = x5 + y5 em relação à variável y, imaginamos que a variávelx é uma constante e, consequentemente, x5 também é uma constante. Aplicando apropriedade D1 do capítulo 1, que afirma que a derivada da soma de duas funções é asoma das derivadas dessas funções, temos que:
( ) ( ) ( )yy
yx
yyx
yyxf
yz
∂∂+
∂∂=
∂+∂=
∂∂=
∂∂ 5555),(
A derivada de x5 em relação à variável y é equivalente à derivada de uma constante emrelação à variável y, ou seja, é zero.
A derivada de y5 em relação à variável y é 5y5−1 = 5y4.
Sendo assim,
( ) ( ) ( ) 445555
550),( yyyy
yx
yyx
yyxf
yz =+=
∂∂+
∂∂=
∂+∂=
∂∂=
∂∂
Exemplo 3.2. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x5 y5.
Para derivarmos z = f (x, y) = x5 y5 em relação à variável x, imaginamos que a variável yé uma constante e, consequentemente, y5 também é uma constante. Aplicando a pro-
6161616161Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis
priedade D2 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de uma constante poruma função é igual ao produto da constante pela derivada da função, temos que:
( ) ( )xxy
xyx
xyxf
xz
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂ 5
555.),(
Já vimos que a derivada de x5 em relação à variável x é 5x5−1 = 5x4. Sendo assim,
( ) ( ) ( ) 54455
555
55.),( yxxyxxy
xyx
xyxf
xz ==
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂
.
Para derivarmos z = f (x, y) = x5 y5 em relação à variável y, imaginamos que a variável xé uma constante e, consequentemente, x5 também é uma constante. Aplicando a pro-priedade D2 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de uma constante poruma função é o produto da constante pela derivada da função, temos que:
( ) ( )yyx
yyx
yyxf
yz
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂ 5
555.),(
Já vimos que a derivada de y5 em relação à variável y é 5y5−1 = 5y4. Sendo assim,
( ) ( ) ( ) 45455
555
55.),( yxyxyyx
yyx
yyxf
yz ==
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂
.
Exemplo 3.3. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 7x2y + 5y3 1n x.
Para derivarmos z = f (x, y) = 7x2y + 5y3 1n x em relação à variável x, imaginamos que avariável y “funciona” como constante. Se a variável y é considerada constante, então7y e 5y3 também “funcionam” como constantes. Vamos aplicar as propriedades D1 e D2do capítulo 1:
D1. A derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ousubtração) das derivadas das funções. Isso também é válido para mais de duasfunções.
D2. A derivada do produto (multiplicação) de uma constante por uma função éigual ao produto da constante pela derivada da função. Essa constante podeser qualquer número real.
6262626262 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
No caso, temos que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
xyxxy
xxy
xyx
xxyyx
xyxf
xz
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂+∂=
∂∂=
∂∂ ln57ln57ln57),( 3
23232
A derivada de x2 em relação à variável x é 2x2−1 = 2x.
A derivada de 1n x em relação à variável x é x1
.
Sendo assim,
( ) ( ) ( )xyxy
xyxy
xxy
xxy
xyxf
xz 3
332 5141527ln57),( +=+=
∂∂+
∂∂=
∂∂=
∂∂
Para derivarmos z = f (x, y) = 7x2y + 5y3 1n x = 7x2y + 5 (1n x)y3 em relação à variável y,imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Se a variável x é consideradaconstante, então 7x2 e 5 1n x também “funcionam” como constantes. Aplicando aspropriedades D1 e D2 do capítulo 1, temos que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )yyx
yyx
yxy
yyx
yxyyx
yyxf
yz
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂+∂=
∂∂=
∂∂ 3
23232
ln57ln57ln57),(
A derivada de y em relação à variável y é 1.
A derivada de y3 em relação à variável y é 3y3−1 = 3y2.
Sendo assim,
( ) ( ) ( ) ( ) xyxyxxyyx
yyx
yyxf
yz ln1573ln517ln57),( 2222
32 +=+=
∂∂+
∂∂=
∂∂=
∂∂
Exemplo 3.4. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny.
Para derivarmos z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny em relação à variável x, imaginamos quea variável y “funciona” como constante. Se a variável y é considerada constante,então 3y e 2seny também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedadesD1 e D2 do capítulo 1, temos que:
6363636363Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxseny
xxy
xxseny
xxy
xxsenyxy
xyxf
xz
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂+∂=
∂∂=
∂∂ 2cos32cos32cos3),(
A derivada de cos x em relação à variável x é − senx.
A derivada de x em relação à variável x é 1.
Sendo assim,
( ) ( ) ( ) ( ) senyysenxsenysenxyxxseny
xxy
xyxf
xz 231232cos3),( +−=+−=
∂∂+
∂∂=
∂∂=
∂∂
Para derivarmos z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny em relação à variável y, imaginamos quea variável x “funciona” como constante. Se a variável x é considerada constante,então 3cosx e 2x também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedadesD1 e D2 do capítulo 1, temos que:
A derivada de y em relação à variável y é 1.
A derivada de seny em relação à variável y é cos y.
Sendo assim,
∂∂
= ∂∂
=∂ ( )
∂+
∂ ( )∂
= ( ) + ( ) =zy
f x,yy
xyy
xsenyy
x x y( ) cos cos cos3 2 3 1 2 3ccos cosx x y+ 2
Exemplo 3.5. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3.
Para derivarmos z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3 em relação à variável x, imaginamos quea variável y “funciona” como constante. Se a variável y é considerada constante,então 3y4 e 8seny3 também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedadesD1 e D2 do capítulo 1, temos que:
∂∂
= ∂∂
=∂ −( )
∂=
∂ ( )∂
−∂z
xf x,yx
y x xsenyx
y xx
xseny( ) cos cos3 8 3 84 2 3 4 2 33( )∂x
∂∂
=∂∂
=∂ +( )
∂=
∂ ( )∂
+∂ ( )
∂=z
yf x,yy
y x xsenyy
y xy
xsenyy
( ) cos cos3 2 3 233 2cos x
yy
xsenyy
∂ ( )∂
+∂ ( )
∂
6464646464 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
( ) ( )xxseny
xxy
xyxf
xz
∂∂−
∂∂=
∂∂=
∂∂ 3
24 8cos3),(
A derivada de cos x2 em relação à variável x é − (x2)’ senx2 = − 2xsenx2. Trata-se deuma função composta que, segundo tabela dada no capítulo 2, é derivada por(cos u)’ = − u’senu. No caso, u = x2 e u’ é a derivada de u em relação à variável x, ouseja, u’ = 2x.
A derivada de x em relação à variável x é 1.
Sendo assim,
( ) ( ) ( ) ( )18238cos3),( 32432
4 senyxsenxyxxseny
xxy
xyxf
xz −−=
∂∂−
∂∂=
∂∂=
∂∂
324 86),( senysenxxyx
yxfxz −−=
∂∂=
∂∂
Para derivarmos z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3 em relação à variável y, imaginamos quea variável x “funciona” como constante. Se a variável x é considerada constante,então 3cosx2 e 8x também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedadesD1 e D2 do capítulo 1, temos que:
∂∂
= ∂∂
=∂ −( )
∂=
∂ ( )∂
−∂z
yf x,yy
y x xsenyy
y xy
xseny( ) cos cos3 8 3 84 2 3 4 2 332
4 3
3 8( )
∂=
∂ ( )∂
−∂ ( )
∂yx
yy
xsenyy
cos
A derivada de y4 em relação à variável y é 4y4−1 = 4y3.
A derivada de seny3 em relação à variável y é (y3)’cosy3 = 3y2 cosy3. Trata-se de uma funçãocomposta que, segundo tabela dada no capítulo 2, é derivada por (senu)’ = u’ cos u. Nocaso, u = y3 e u’ é a derivada de u em relação à variável y, ou seja, u’ = 3y2.
Sendo assim,
∂∂
= ∂∂
=∂ ( )
∂−
∂ ( )∂
= ( ) −zy
f x,yy
xyy
xsenyy
x y x y( ) cos cos3 8 3 4 8 324 3
2 3 22 3
3 2 2 312 24
cos
( ) cos cos
y
zy
f x,yy
y x xy y
( )∂∂
= ∂∂
= −
6565656565Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis
Exemplo 3.6. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = e8x3+y5.
A derivada de z = f (x, y) = e8x3+y5 em relação à variável x é indicada por:
( )x
ex
yxfxz yx
∂∂=
∂∂=
∂∂ + 538),(
Para derivarmos e8x3+y5 em relação à variável x, imaginamos que a variável y “funciona”como constante e, consequentemente, y5 também “funciona” como constante. Sendoassim, a derivada de y5 em relação à variável x é zero.
Além disso, trata-se de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo2, é derivada por (eu)’ = u’eu. Ou seja, a derivada de e8x3+y5 em relação à variável x é
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 5353535353 82828,5,38,5,38,53 24.03.888)8( yxyxyxyxyx exexeyxeyxeyx +++++ =+=+=+=+
Logo,
( ) 53853
28
24),( yx
exx
ex
yxfxz yx
+
=∂
∂=∂
∂=∂∂ +
A derivada de z = f (x, y) = e8x3+y5 em relação à variável y é indicada por:
( )y
ey
yxfyz yx
∂∂=
∂∂=
∂∂ + 538),(
Para derivarmos e8x3+y5 em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona”como constante e, consequentemente, 8x3 também “funciona” como constante. Sendoassim, a derivada de 8x3 em relação à variável y é zero.
Além disso, trata-se de uma função composta que, segundo tabela dada no capítulo 2,é derivada por (eu)’ = u’eu. Ou seja, a derivada de e8x3+y5 em relação à variável y é
( ) ( )( ) ( ) 53535353 84848,5,38,53 5508)8( yxyxyxyx eyeyeyxeyx ++++ =+=+=+ .
Logo,
( ) 53853
48
5),( yx
eyy
ey
yxfyz yx
+
=∂
∂=∂
∂=∂∂ +
6666666666 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exemplo 3.7. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = ey3 1n(5x2 + 6x).
Para derivarmos z = f (x, y) = ey3 1n(5x2 + 6x) em relação à variável x, imaginamos que avariável y “funciona” como constante. Logo, ey3 também “funciona” como constan-te. Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, ou seja, a derivada do produto deuma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função,temos que:
( )( ) ( )( )x
xxex
xxex
yxfxz y
y
∂+∂=
∂+∂=
∂∂=
∂∂ 65ln65ln.),( 22
33
A derivada de 1n(5x2 + 6x) em relação à variável x é
( )xx
xxxxx
65610
6565
22
,2
++=
++ ,
pois 1n(5x2 + 6x) é uma função composta de x que, segundo a tabela dada no capítulo2, é derivada por
( )uuu
,,ln = .
No caso, u = 5x2 + 6x e u’ é a derivada de u em relação à variável x, ou seja,
u’ = (5x2 + 6x)’ = (5x2)’ + (6x)’ = 5(x2)’ + 6(x)’ = 5(2x) + 6(1) = 10x +6.
Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x:
( )( )���
���
++=
∂+∂=
∂∂=
∂∂
xxxe
xxxe
xyxf
xz yy
6561065ln),(
2
233
Podemos colocar a constante 2 em evidência no numerador e x em evidência no deno-minador:
���
���
++=��
�
����
�++=�
��
���
++=
∂∂=
∂∂
65352
)65()35(2
65610),(
333
2 xx
xe
xxxe
xxxe
xyxf
xz y
yy
6767676767Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis
Para derivarmos z = f (x, y) = ey3 1n(5x2 + 6x) em relação à variável y, imaginamos que avariável x “funciona” como constante. Logo, 1n(5x2 + 6x) também “funciona” comoconstante. Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, ou seja, a derivada do produtode uma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função,temos que:
( )( ) ( ) ( )y
exxy
xxey
yxfyz yy
∂∂+=
∂+∂=
∂∂=
∂∂
33
65ln65ln.),( 22
A derivada de ey3 em relação à variável y é (y3)’ey3 = 3y2 ey3, pois ey3 é uma funçãocomposta de y que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é derivada por (eu)’ = u’eu. Nocaso, u = y3 e u’ é a derivada de u em relação à variável y, ou seja, u’ = (y3)’ = 3y2.
Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )xxeyeyxxy
exxy
yxfyz yy
y
65ln3365ln65ln),( 22222 333
+=+=∂
∂+=∂
∂=∂∂
Exemplo 3.8. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = arctg(10x3 +3y4).
Para derivarmos z = f (x, y) = arctg(10x3 + 3y4) em relação à variável x, imaginamosque a variável y “funciona” como constante. Logo, 3y4 também “funciona” comoconstante.
Essa derivada parcial é indicada por:
( )( )x
yxarctgx
yxfxz
∂+∂=
∂∂=
∂∂ 43 310),(
A derivada de arctg(10x3 + 3y4) em relação à variável x é
( )243
2
243
,43
)310(130
)310(1310
yxx
yxyx
++=
+++
,
pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, éderivada por ( ) 2
,,
1 uuarctgu+
= . No caso, u = 10x3 + 3y4 e u’ é a derivada de u em relaçãoà variável x, ou seja, u’ = (10x3 + 3y4)’ = (10x3)’ + (3y4)’ = 10(x3)’ + (3y4)’ = 10(3x2) + (0) = 30x2.Lembre-se que a derivada de 3y4 em relação à variável x é zero.
6868686868 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x:
( )( )243
243
)310(130310),(
yxx
xyxarctg
xyxf
xz
++=
∂+∂=
∂∂=
∂∂
Para derivarmos z = f (x, y) = arctg(10x3 +3y4) em relação à variável y, imaginamos que avariável x “funciona” como constante. Logo, 10x3 também “funciona” como constante.
Essa derivada parcial é indicada por:
( )( )y
yxarctgy
yxfyz
∂+∂=
∂∂=
∂∂ 43 310),(
A derivada de arctg(10x3 +3y4) em relação à variável y é
( )
243
3
243
,43
)310(112
)310(1310
yxy
yxyx
++=
+++
,
pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é
derivada por ( ) 2
,,
1 uuarctgu+
= . No caso, u = 10x3 +3y4 e u’ é a derivada de u em relação
à variável y, ou seja, u’ = (10x3 + 3y4)’ = (10x3)’ + 3(y4)’ = (0) + 3(4y3) = 12y3. Lembre-se que
a derivada de 10x3 em relação à variável y é zero.
Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y:
( )( )243
343
)310(112310),(
yxy
yyxarctg
yyxf
yz
++=
∂+∂=
∂∂=
∂∂
Exemplo 3.9. Calcule as derivadas parciais de .2),( 33 yxsenyxyxfz
++==
A derivada parcial de 332),(
yxsenyxyxfz
++== em relação à variável x é indicada por:
xyx
senyx
xyxf
xz
∂
���
����
�+
+∂=
∂∂=
∂∂ 33
2),(
6969696969Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis
Para prosseguirmos com essa derivada, utilizamos a propriedade D4 vista no capítulo1, relativa à derivação do quociente (divisão) de duas funções:
( ) ( ) ( ) ( )
( )233
3333
33 .2.22),(
yxx
yxsenyxyxxsenyx
xyx
senyx
xyxf
xz
+∂+∂+−+
∂+∂
=∂
���
����
�+
+∂=
∂∂=
∂∂
Sabemos a que derivada da soma das funções é a soma da derivada de duas funções(propriedade D1 do capítulo 1) e que a derivada do produto de uma constante poruma função é o produto da constante pela derivada da função (propriedade D2 docapítulo 1). Sendo assim:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
senyxx
xseny
xx
xsenyx
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂+∂ 222
( ) ( ) ( )xy
xx
xyx
∂∂+
∂∂=
∂+∂ 3333
A derivada de x em relação à variável x é 1.A derivada de seny em relação à variável x é 0.A derivada de x3 em relação à variável x é 3x2.A derivada de y3 em relação à variável x é 0.
Logo,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20)1(2222 =+=∂
∂+∂
∂=∂
∂+∂
∂=∂+∂
xseny
xx
xseny
xx
xsenyx
( ) ( ) ( ) 223333
303 xxxy
xx
xyx =+=
∂∂+
∂∂=
∂+∂
Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )233
233
233
3333
322.2.2
yxxsenyxyx
yxx
yxsenyxyxxsenyx
xz
++−+=
+∂+∂+−+
∂+∂
=∂∂
( ) ( )( )233
233 232yx
senyxxyxxz
++−+=
∂∂
7070707070 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
A derivada parcial de 332),(
yxsenyxyxfz
++== em relação à variável y é indicada por:
yyx
senyx
yyxf
yz
∂
���
����
�+
+∂=
∂∂=
∂∂ 33
2),(
Para prosseguirmos com essa derivada, utilizamos a propriedade D4 vista no ca-pítulo 1, relativa à derivação do quociente (divisão) de duas funções:
( ) ( ) ( ) ( )
( )233
3333
33 .2.22),(
yxy
yxsenyxyxysenyx
yyx
senyx
yyxf
yz
+∂+∂+−+
∂+∂
=∂
���
����
�+
+∂=
∂∂=
∂∂
Sabemos que a derivada da soma das funções é a soma da derivada de duas funções(propriedade D1 do capítulo 1) e que a derivada do produto de uma constante poruma função é o produto da constante pela derivada da função (propriedade D2 docapítulo 1). Sendo assim:
( ) ( ) ( )y
senyyx
ysenyx
∂∂+
∂∂=
∂+∂ 22
( ) ( ) ( )yy
yx
yyx
∂∂+
∂∂=
∂+∂ 3333
A derivada de 2x em relação à variável y é 0.A derivada de seny em relação à variável y é cosy.A derivada de x3 em relação à variável y é 0.A derivada de y3 em relação à variável y é 3y2.
Logo,
( ) ( ) ( ) yyy
senyyx
ysenyx coscos022 =+=
∂∂+
∂∂=
∂+∂
7171717171Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis
Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
( )233
233
233
3333
32cos.2.2
yxysenyxyxy
yxy
yxsenyxyxysenyx
yz
++−+=
+∂+∂+−+
∂+∂
=∂∂
( ) ( )( )233
233 23cosyx
senyxyyyxyz
++−+=
∂∂
Exemplo 3.10. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x3 y4 1n(x2 + y2).
Para derivarmos z = f (x, y) = x3 y4 1n(x2 + y2) em relação à variável x, imaginamos quea variável y “funciona” como constante. Logo, y4 “funciona” como uma constante quemultiplica x31n(x2 + y2).
Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, enunciada como “a derivada do produtoda constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função”,temos que:
( )( ) ( )( )x
yxxyx
yxyxx
yxfxz
∂+∂=
∂+∂=
∂∂=
∂∂ 223
42243 lnln),(
Para prosseguirmos com a derivada parcial de z em relação à variável x, temos de usara propriedade D3 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de duas funçõesé igual à soma do produto entre a derivada da primeira função e a segunda função como produto entre a primeira função e a derivada da segunda função. Vejamos:
( )( ) ( ) ( )( )�
��
∂
+∂++∂
∂=∂
+∂=∂
∂=∂∂
xyxxyx
xxy
xyxxy
xyxf
xz 22
3223
4223
4 lnln)(ln),(
A derivada de x3 em relação à variável x é 3x3−1 = 3x2.
A derivada de 1n(x2 + y2) em relação à variável x é
( )2222
,22 2yx
xyxyx
+=
++
,
7272727272 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, éderivada por ( ) .ln
,,
uuu = No caso, u = x2 + y2 e u’ é a derivada de u em relação à variável
x, ou seja, u’ = (x2 + y2)’ = (x2)’ + (y2)’ = 2x +0 = 2x. Lembre-se que a derivada de y2 emrelação à variável x é zero.
Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x:
( ) ( )( ) ( ) ( ) �
��
���
����
�+
++=�
��
∂
+∂++∂
∂=∂
∂=∂∂
2232224
22322
34 2ln3lnln)(),(
yxxxyxxy
xyxxyx
xxy
xyxf
xz
( ) �
��
+
++=∂
∂=∂∂
22
42224 2ln3),(
yxxyxxy
xyxf
xz
A derivada parcial em relação à variável x já foi terminada, mas, para darmos a respostafinal, ainda podemos “colocar x2 em evidência”:
( ) ( ) �
��
+
++=�
��
+
++=∂
∂=∂∂
22
22242
22
22224 2ln32ln3),(
yxxyxyx
yxxyxxy
xyxf
xz
Para derivarmos z = f (x, y) = x3 y4 1n(x2 + y2) em relação à variável y, imaginamos que avariável x “funciona” como constante. Logo, x3 “funciona” como uma constante quemultiplica y4 1n(x2 + y2).
Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, enunciada como “a derivada do produtoda constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função”,temos que:
( )( ) ( )( )y
yxyxy
yxyxy
yxfyz
∂+∂=
∂+∂=
∂∂=
∂∂ 224
32243 ln.ln.),(
Para prosseguirmos com a derivada parcial de z em relação à variável y, temos de usara propriedade D3 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de duas funçõesé igual à soma do produto entre a derivada da primeira função e a segunda função como produto entre a primeira função e a derivada da segunda função. Vejamos:
( )( ) ( ) ( ) ( )( )�
��
∂
+∂++∂
∂=∂
+∂=∂
∂=∂∂
yyxyyx
yyx
yyxyx
yyxf
yz 22
4224
3224
3 lnlnln),(
7373737373Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis
A derivada de y4 em relação à variável y é 4y4−1 = 4y3.
A derivada de 1n(x2 + y2) em relação à variável y é
( )2222
,22 2yx
yyxyx
+=
++
,
pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, éderivada por ( ) .ln
,,
uuu = No caso, u = x2 + y2 e u’ é a derivada de u em relação à variável
y, ou seja, u’ = (x2 + y2)’ = (x2)’ + (y2)’ = 0 + 2y = 2y. Lembre-se que a derivada de x2 emrelação à variável y é zero.
Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) �
��
���
����
�+
++=�
��
∂
+∂++∂
∂=∂
∂=∂∂
2242233
22422
43 2ln4lnln),(
yxyyyxyx
yyxyyx
yyx
yyxf
yz
( ) �
��
+
++=∂
∂=∂∂
22
52233 2ln4),(
yxyyxyx
yyxf
yz
A derivada parcial em relação à variável y já foi terminada, mas, para darmos a respostafinal, ainda podemos “colocar 2y3 em evidência”:
( ) ( ) �
��
+
++=�
��
+
++=∂
∂=∂∂
22
22233
22
22233 ln22ln22),(
yxyyxyx
yxyyxyx
yyxf
yz
Exercícios Propostos – Capítulo 3.Exercícios Propostos – Capítulo 3.Exercícios Propostos – Capítulo 3.Exercícios Propostos – Capítulo 3.Exercícios Propostos – Capítulo 3.
Exercício 3.1. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x7 + y8.
Exercício 3.2. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x3 y11.
Exercício 3.3. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 4x3y + 5x5 1n y.
7474747474 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exercício 3.4. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5x2 cos y + 3 ysenx.
Exercício 3.5. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 7y5 cos x3 − 4x2 seny4.
Exercício 3.6. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = e9y3 + e3x5.
Exercício 3.7. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = e9y3+ 3x5.
Exercício 3.8. Calcule as derivadas parciais de .),( 22 yxyxfz +==
Exercício 3.9. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = ex3+ 5x 1n (3y2 + 8).
Exercício 3.10. Calcule as derivadas parciais de .3
6),(4
5���
����
�+== yxarcsenyxfz
Exercício 3.11. Calcule as derivadas parciais de .45cos2),( 24 yx
senxyyxfz++==
Exercício 3.12. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5x2y5 1n(3x2 + y4).
Exercício 3.13. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = xy7 + cot g(x2 + x4).
Exercício 3.14. Calcule as derivadas parciais de .1
sec),( 2
3
���
����
�+
==x
yyxfz
Exercício 3.15. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5cos x + seny.
RRRRRespostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.espostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.espostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.espostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.espostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3.
Exercício 3.1. 76 87 y
yfex
xf =
∂∂=
∂∂
Exercício 3.2. ∂∂
= ∂∂
=fx
x y e fy
x y3 112 11 3 10
7575757575Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas VariáveisCapítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis
Exercício 3.3. ∂∂
= +( ) ∂∂
= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
fx
x y x y fy
x xy
2 2 32
12 25 4 5ln e
Exercício 3.4. ∂∂fx = 10x cos y + 3y cosx e ∂
∂fy
= − 5x2 seny + 3 senx
Exercício 3.5. ∂∂fx = − 21x2 y5 senx3 − 8 xseny 3 e ∂
∂fy
= 35y4 cos x3 − 16x2 y3 cos y4
Exercício 3.6. ∂∂fx = 15x4 e3x5 e ∂
∂fy
= 27y2 e9y3
Exercício 3.7. ∂∂fx = 15x4 e9y3+ 3x5 e ∂
∂fy
= 27y2 e9y3+ 3x5
Exercício 3.8. ∂∂
=+
∂∂
=+
fx
xx y
fy
yx y2 2 2 2
e
Exercício 3.9. ∂∂
= + + ∂∂
=+
++f
xx y f
yyey
x xx x
( ) .ln( )3 5 3 8 63 8
2 5 25
2
33
e e
Exercício 3.10. 245
3
245
4
3613
4
361
30
���
����
�+−
=∂∂
���
����
�+−
=∂∂
yx
yyfe
yx
xxf
Exercício 3.11.
∂∂
=+( ) − +( )
+( )∂∂
=−f
xx x y x y senx
x y
fy
seny x5 4 4 2 5
4
24 2 3
4 2 2
4cos cose
++( ) − +( )+( )
4 8 2 5
4
2
4 2 2
y y y senx
x y
cos
Exercício 3.12.
( ) ( ) ( ) ( ) ���
����
�
+++=
∂∂
���
����
�
+++=
∂∂
242
44242
242
2425
343ln55
333ln10
yxyyxyx
yfe
yxxyxxy
xf
7676767676 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exercício 3.13. ( ) ( ) 642237 7seccos42 xyyfexxxxy
xf =
∂∂++−=
∂∂
Exercício 3.14.
∂∂
= −
+( ) +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
∂∂
=+
fx
xy
x
yx
tg yx
fy
yx
2
1 1 133
2 2
3
2
3
2
2
2sec e
11 1 1
3
2
3
2( ) +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟sec y
xtg y
x
Exercício 3.15. ∂∂fx = (− senx)5cos x + seny.1n 5 e ∂
∂fy
= (cos y)5cos x + seny.1n 5
Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4Capítulo 4
Integrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da TIntegrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela
Podemos pensar na integração como o processo contrário da derivação, também co-nhecido como antiderivação.
Vejamos um exemplo: dada a função f (x) = x2, queremos determinar outra função,chamada de F(x), cuja derivada seja f (x) = x2, ou F’(x) = f (x). Em outras palavras,queremos achar a função F(x) que é a primitiva (integral) de f (x) = x2.
Será que F(x) poderia ser a função “x elevado ao cubo”, ou seja, F(x) = x3 ?
A derivada de F(x) = x3 é a função 3x3, pois
213, 33)( xxdxdFxF === − .
Ou seja, a derivada de F(x) = x3 não é exatamente x2, mas é “quase isso”.
Vamos tentar a função 3
)(3xxF = ?
A derivada de3
3
31
3)( xxxF ==
é a função x2, pois
( ) 2213,3,3
, 3313
31
31
3)( xxxxx
dxdFxF ====��
�
����
�== −
.
7878787878 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Ou seja, a derivada de3
)(3xxF = é exatamente x2.
Será que existe outra função F(x), além de3
)(3xxF = , cuja derivada seja f (x) = x2?
Vamos tentar 53
)(3
+= xxF . A derivada de 53
)(3
+= xxF também é a função x2, pois
( ) 2213,,3,3
, 33103
315
35
3)( xxxxx
dxdFxF ==+=+��
�
����
�=��
�
����
�+== −
,
lembrando que a derivada da constante 5 é zero.
Poderíamos ter testado, por exemplo,43
3)(
3
−= xxF e, novamente, obteríamos comoderivada f (x) = x2.
Pensando em termos mais gerais, qualquer função do tipo CxxF +=3
)(3
, sendo Cuma constante, tem como derivada f (x) = x2. A constante C pode ser qualquer númeroreal (positivo, negativo, inteiro, fracionário, racional ou irracional).
O processo descrito anteriormente é chamado de integração indefinida, ou apenasintegração. A integral indefinida da função f (x) = x2 é indicada por
� � +== Cxdxxdxxf3
)(3
2 .
Lemos que a integral de “x elevado ao quadrado” é “x elevado ao cubo, sobre 3”, maisa constante de integração C.
A integral indefinida de uma função f (x) é indicada por � += CxFdxxf )()( . A funçãoF(x) é dita primitiva de f (x).
Vejamos...
• � � +== Cxdxdx 1 ,pois a derivada de x + C, em relação à variável x, é 1.
7979797979Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela
• � � +== − Cxdxxdxx
ln1 1 ,
pois a derivada de 1n|x|+ C , em relação à variável x, é x1 .
• � ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
, pois a derivada de Cnxn
++
+
1
1
, em relação à variável x, é
nn
xn
xn =+
+ −+
1)1( 11
.
• � += Cedxe xx , pois a derivada de ex, em relação à variável x, é ex.
• � +−= Cxsenxdx cos , pois a derivada de − cos x, em relação à variável x, é− (− senx) = senx.
• � += Csenxxdxcos , pois a derivada de senx, em relação à variável x, é cos x.
• � += Ctgxxdx2sec , pois a derivada de tgx, em relação à variável x, é sec2 x.
• � +−= Cgxxdx cotseccos 2 , pois a derivada de − cot gx, em relação à variávelx, é cos sec2 x.
• � += Cxtgxdxx sec.sec , pois a derivada de sec x, em relação à variável x, ésec x.tgx.
• � +−= Cxgxdxx seccoscot.seccos , pois a derivada de − cos sec x, em relaçãoà variável x, é − (− cos sec x) = − (− cos sec . cot gx) = cos sec x . cot gx.
Seguindo o raciocínio anterior, podemos elaborar a tabela de integrais imediatas quesegue.
8080808080 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Tabela de integrais imediatas
Há duas propriedades designadas como P1 e P2 que podem ser usadas para resolverintegrais:
• P1. � � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( ,
• P2. � �= dxxfkdxxfk )(.)(. , sendo k uma constante.
A propriedade P1 afirma que a integral da soma (ou subtração) de duas funções é igualà soma (ou subtração) das integrais de cada uma das funções. Essa propriedade tam-bém é válida para mais de duas funções.
A propriedade P2 afirma que a integral de uma constante multiplicada por uma funçãoé igual à constante multiplicada pela integral da função.
Nos exemplos que seguem, chamaremos de “integrais diretíssimas da tabela” as queestão na tabela de integrais imediatas ou que, para serem resolvidas, dependem daspropriedades P1 e P2.
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Exemplo 4.1. Calcule .5� dxx
Esse é um dos casos mais simples de uso diretíssimo da tabela de integrais. Temos deintegrar uma função do tipo “base x elevada à 5ª potência”, lida apenas como “xelevado a 5”.
Da tabela, temos que
� ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
.
No caso, n = 5. Ou seja, a integral de “x elevado a 5” é “x elevado a 5 + 1, dividido por5 + 1”, resultando em “x elevado a 6, dividido por 6”, além da constante de integração,conforme segue.
� +=++
=+
CxCxdxx615
6155
Exemplo 4.2. Calcule .7� − dxx
Esse também é um caso de uso diretíssimo da tabela. Temos de integrar “x elevado a − 7”.
Da tabela, temos que
� ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
.
No caso, n = − 7. Ou seja, a integral de “x elevado a − 7” é “x elevado a − 7 + 1, divididopela soma − 7 + 1”, resultando em “x elevado a − 6, dividido por − 6”, além da constantede integração, conforme segue.
Cx
CxCxdxx +−=+−
=++−
=�−+−
−6
6177
61
617
8282828282 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Lembre-se que, somando 1 a − 7, temos − 6 e não − 8! Ou seja,
a integral de x −7 é 6
6
−
−x . Na “transformação” de 6
6
−
−x em 661
x−
não usamos qualquer regra de derivação: apenas aplicamos a
equivalência 61 xx
x aa →= −− .
Exemplo 4.3. Calcule .65
� dxx
Temos de integrar “x elevado à fração 5/6”. Usamos a seguinte regra da tabela:
� ++
=+
.1
1
Cnxdxx
nn
No caso, 65=n . Ou seja, a integral de “x elevado a
65 ” é “x elevado a 1
65 + , dividido
pela soma 165 + ”, resultando em “x elevado a
611 , dividido por
611 ”, além da constante
de integração, conforme segue.
CxCxCxCxdxx +=+=++=++
=�+
+
116
611
66516
56
116
116
6516
5
65
Lembre-se que, para somar 5/6 com 1, devemos fazer:
611
665
66.151
65 =+=+=+ .
1x
=6
8383838383Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela
Exemplo 4.4. Calcule .)( 33� +− dxxx
Temos de integrar a soma de “x elevado a − 3” com “x elevado a 3”.
Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade P1, que afirma que a integralda soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das integraisdas funções:
.)()())()((� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf
Ou seja,
� � �+=+ −− dxxdxxdxxx 3333 )(
Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por
.1
1
� ++
=+
Cnxdxx
nn
Logo,
� � � ++−=++−
=++
++−
=+=+−++−
−− Cxx
CxxCxxdxxdxxdxxx42
1421313
)(4
2
4213133333
Observe que se integrarmos duas funções, cada uma delas“gera” sua constante de integração. Quando somamos as inte-grais dessas duas funções, temos a soma das constantes deintegração. Como a soma de duas constantes resulta, sempre,em uma constante, podemos expressar essa soma como uma“única” constante C.
Exemplo 4.5. Calcule .)37( 4� + dxx
Temos de integrar a soma de 7 com o triplo de “x elevado a 4”. Ou seja, a soma de 7 comx4 multiplicado pela constante 3.
8484848484 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as propriedades P1 e P2, as quais, respecti-vamente, afirmam que:
• a integral da soma (ou da subtração) de duas funções é igual à soma (ousubtração) das integrais das funções (P1);
• a integral do produto (multiplicação) de uma constante k por uma função éigual à constante k multiplicada pela integral da função (P2).
Ou seja,
� � �� � +=+=+ dxxdxdxxdxdxx 444 3737)37(
Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por
� ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
e .� += Cxdx
Vejamos:
CxxCxxCxxdxxdxdxx ++=++=++
+=+=+� � �+
537
537
143737)37(
551444
Exemplo 4.6. Calcule .)cos8(� + dxx
Temos de integrar a soma de 8 com o cosseno de x.
Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e .)(.)(.� �= dxxfkdxxfk
Ou seja,
� � �� � +=+=+ xdxdxxdxdxdxx cos8cos8)cos8(
8585858585Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela
Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:
� += Cxdx e .cos� += Csenxxdx
Logo,
� � � ++=+=+ Csenxxxdxdxdxx 8cos8)cos8(
Exemplo 4.7. Calcule .)3sec5( 2� + dxsenxx
Temos de integrar a soma do quíntuplo da secante ao quadrado de x com o triplo doseno de x. Ou seja, a soma da secante ao quadrado de x multiplicada pela constante 5com o seno de x multiplicado pela constante 3.
Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e .)(.)(.� �= dxxfkdxxfk
Ou seja,
� � �� � +=+=+ senxdxxdxsenxdxxdxdxsenxx 3sec53sec5)3sec5( 222
Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:
� += Ctgxxdx2sec e � +−= Cxsenxdx cos
Vejamos:
� � � +−=+−+=+=+ CxtgxCxtgxsenxdxxdxdxsenxx cos35)cos(353sec5)3sec5( 22
Exemplo 4.8. Calcule .71
� ���
��� + dxxex
Temos de integrar a soma do “número neperiano e elevado a x” com “x multiplicadopela constante 1/7”.
8686868686 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Ou seja,
� � �� � +=+=���
��� + xdxdxexdxdxedxxe xxx
71
71
71
Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:
� += Cedxe xx e � ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
Vejamos:
CxeCxeCxexdxdxedxxe xxxxx ++=++=++
+=+=���
��� +� � �
+
142.
71
11.
71
71
71 2211
Exemplo 4.9. Calcule .seccos1 2� ���
��� +− dxxx
x
Temos de integrar x1
“menos” x “mais” a cossecante ao quadrado de x.
Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( ,
expandida para o caso de três funções.
Ou seja,
� � � �+−=���
��� +− xdxdxxdx
xdxxx
x212 seccos1seccos1
8787878787Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela
Desse modo, chegamos a três integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:
� � +== − Cxdxxdxx
ln1 1 , � ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
e � +−= Cgxxdx cotseccos 2
Vejamos:
� � � � +−−=+−=���
��� +− Cgxxxxdxdxxdx
xdxxx
xcot
2lnseccos1seccos1 2
212
Exemplo 4.10. Calcule .9
52� −
dxx
Temos de integrar a função 222 31
91
xx −=
− multiplicada pela constante 5. Veja
que escrevemos a constante 9 como 32 a fim de nos “adequarmos” a um caso presente
na tabela de integrais.
Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a seguinte propriedade:
� �= dxxfkdxxfk )(.)(. .
Ou seja,
� � −=
−dx
xdx
x 222 315
95
Desse modo, temos uma integral diretíssima da tabela, resolvida por:
.122� +�
��
���=
−C
axarcsendx
xa
Vejamos:
� � +���
���=
−=
−Cxarcsendx
xdx
x 35
315
95
222
8888888888 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exemplo 4.11. Calcule .)23(� +− dxx
Temos de integrar a soma da constante − 3 com a função exponencial de base 2 (“2elevado a x” ou 2x).
Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Ou seja,
� � �� � +−=+−=+− dxdxdxdxdx xxx 2323)23(
Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:
� += Cxdx e � += Caa
dxa xx
ln1
Vejamos:
� � �� � ++−=+−=+−=+− Cxdxdxdxdxdx xxxx 2.2ln
132323)23(
Observe que, na parcela dada por 2 elevado a x, ou 2x, o núme-ro 2 não é uma constante que multiplica uma função: o número2 é a própria base da função exponencial.
Exemplo 4.12. Calcule .cot.seccos4� �
��
��� + dxgxx
xPodemos escrever
� ���
��� + dxgxx
xcot.seccos4
8989898989Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela
como
� ���
��� + dxgxx
xcot.seccos14 .
Vamos integrar a soma de x1 , multiplicado pela constante 4, com o produto da cossecante
de x pela cotangente de x.
Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades:
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Ou seja,
� � �� � +=+=���
��� + gxdxxdx
xgxdxxdx
xdxgxx
xcot.seccos14cot.seccos4cot.seccos4
Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por:
� � +== − Cxdxxdxx
ln1 1 e � +−= Cxgxdxx seccoscot.seccos
Vejamos:
� � �� � +=+=���
��� + gxdxxdx
xgxdxxdx
xdxgxx
xcot.seccos14cot.seccos4cot.seccos4
� +−=���
��� + Cxxdxgxx
xseccosln4cot.seccos4
Embora o produto da cossecante pela cotangente possa pare-cer complicado, a integral desse produto está na tabela deintegração. Ou seja, a integral de cosecx.cotgx é diretíssimada tabela!
9090909090 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exemplo 4.13. Calcule .16
72� −
dxx
Podemos escrever
.4
174
716
722222 � �� −
=−
=−
dxx
dxx
dxx
Ou seja, temos de integrar a constante 7 multiplicada pela função 22 41−x . Pela
propriedade P2, que afirma que a integral do produto de uma constante por uma função
é o produto da constante pela integral da função, a constante 7 pode ser “colocada
fora da integral”.
Ou seja,
.4
174
1716
722222 ��� −
=−
=−
dxx
dxx
dxx
Da tabela de integrais, temos que:
� +−+=−
Caxxdxax
22
22ln1
No caso, a = 4. Logo,
CxxCxxdxx
dxx
+−+=+−+=−
=− �� 16ln74ln7
417
167 222
222
Exemplo 4.14. Calcule .5
82� −
dxx
Podemos escrever
( ) ( ) .5
185
85
8222 22� � �
−=
−=
−dx
xdx
xdx
x
9191919191Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela
Veja que escrevemos a constante 5 como “a raiz quadrada de 5 elevada ao quadrado( )255 = ”. Como veremos a seguir, fizemos isso para nos “adequarmos” a um caso
presente na tabela de integrais imediatas.
Ou seja, temos de integrar a constante 8 multiplicada pela função ( ) 22
5
1
x− . Pelapropriedade P2, que afirma que a integral do produto de uma constante por uma funçãoé o produto da constante pela integral da função, a constante 8 pode ser “colocadafora da integral”.
Ou seja,
( ) ( ) .5
185
185
8222 22� ��
−=
−=
−dx
xdx
xdx
x
Da tabela de integrais, temos que:
� +−+=
−C
axax
adx
xaln
211
22
No caso, 5=a . Logo,
( ) 55ln
54
55ln
5218
5
185
822 2 −
+=−+=
−=
−� � xx
xxdx
xdx
x
Exemplo 4.15. Calcule .2
cos�
+ dxxsenx
Podemos escrever:
( ) .cos21
2cos
�� +=+ dxxsenxdxxsenx
Ou seja, temos de integrar a constante 21
multiplicada pela soma senx + cos x.
Vamos aplicar as seguintes propriedades:
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e .)(.)(.� �= dxxfkdxxfk
9292929292 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Ou seja,
( ) ( ) ( )� � ��� +=+=+=+ xdxsenxdxdxxsenxdxxsenxdxxsenx cos21cos
21cos
21
2cos
Da tabela de integrais, temos que:
� +−= Cxsenxdx cos e � += Csenxxdxcos
Logo,
( ) ( ) Csenxxxdxsenxdxdxxsenx ++−=+=+� � � cos
21cos
21
2cos
Há como sabermos se o resultado da integral indefinida está certo?Sim!
Como a integração é o processo inverso da derivação, se derivarmos o resultado daintegral devemos chegar à função que tínhamos de integrar!
Vejamos o caso do exemplo 4.15: integramos a função
2cos)( xsenxxf +=
e obtivemos a função
( ) CsenxxxF ++−= cos21)( .
Vamos conferir se a derivada de F(x) resulta em f (x).
Como a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das funções,podemos escrever:
( ) ( ) ( ),,,
, cos21cos
21)( CsenxxCsenxxxF +�
��
��� +−=�
��
��� ++−=
9393939393Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela
Lembrando que a derivada da constante é zero e usando novamente que a derivada dasoma de duas funções é igual à soma das derivadas das funções, temos o seguinte:
( ) ( ) ( )( ),,,, cos210cos
21)( senxxsenxxxF +−=++−=
As derivadas das funções cosseno e seno são obtidas diretamente da tabela de deri-vadas:
( ) ( )( ) ( ) )(2
coscos21cos
21)(, xfxsenxxsenxxsenxxF =+=+=+−−=
Conclusão: a integral realmente está correta!
Ou seja, verificamos que a derivada de F(x) é exatamente a f (x).
Exercícios Propostos – Capítulo 4.Exercícios Propostos – Capítulo 4.Exercícios Propostos – Capítulo 4.Exercícios Propostos – Capítulo 4.Exercícios Propostos – Capítulo 4.
Exercício 4.1. Calcule .11� dxx
Exercício 4.2. Calcule .4� − dxx
Exercício 4.3. Calcule .43
� dxx
Exercício 4.4. Calcule .)45( 52� +− dxxx
Exercício 4.5. Calcule .)15( 3� −− dxx
Exercício 4.6. Calcule .)12(� + dxsenx
Exercício 4.7. Calcule .)cos5seccos3( 2� + dxxx
Exercício 4.8. Calcule .312 2� �
��
��� + dxxex
9494949494 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exercício 4.9. Calcule .sec18 2� ���
��� +− dxx
xx
Exercício 4.10. Calcule .4
62� −
dxx
Exercício 4.11. Calcule .)7( 7� + dxxx
Exercício 4.12. Calcule ..sec2� �
��
��� + dxtgxx
x
Exercício 4.13. Calcule .16
32� −
dxxx
Exercício 4.14. Calcule .2
52� +
dxx
Exercício 4.15. Calcule ( ) .7� + dxe xx
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 4.
Exercício 4.1. Cx +12
12
Exercício 4.2. Cx
+−331
Exercício 4.3. Cx +7
4 47
Exercício 4.4. Cxx
++−3
25 6
Exercício 4.5. Cxx
+−− 225
Exercício 4.6. 12x − cos x + C
Exercício 4.7. − 3 cot gx + 5 senx + C
Exercício 4.8. Cxex ++9
23
9595959595Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da TCapítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabelaabelaabelaabelaabela
Exercício 4.9. 4x2 − 1n|x| + tgx + C
Exercício 4.10. Cxarcsen +���
���
26
Exercício 4.11. Cxx ++8
77ln
1 8
Exercício 4.12. 2 1n|x| + sec x + C
Exercício 4.13. .4
sec43 Cxarc +�
��
���
Exercício 4.14. ���
����
�=+�
��
���
22
225
225 xarctgCxarctg + C
Exercício 4.15. .77ln
1 Ce xx ++
Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5Capítulo 5
Integrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da TIntegrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela
Neste capítulo, são feitos exemplos de integrais que, após desenvolvimentos da fun-ção a ser integrada, chegam a uma situação prevista na tabela de integrais imediatas.Neste trabalho, essas integrais são chamadas de “integrais diretas da tabela”.
Exemplo 5.1. Calcule .15� dx
x
Para podermos usar a tabela na integração da função 51x
, antes devemos “prepará-la”,de modo que a base x fique no numerador, sem que haja alteração na função original.
Sabemos que:
1 15
5
xx
xxn
n= → =− −
Ou seja,
� � −= dxxdxx
55
1
Escrevendo 51x como x−5, podemos usar diretamente a seguinte regra da tabela de
integrais:
� ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
9898989898 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Ou seja,
Cx
Cx
CxCxdxxdxx
+−=+−=+−
=++−
==� �−+−
−44
4155
5 411.
41
4151
Observe que, no caso, n, indicado na regra de integração, é − 5e não 5!
Exemplo 5.2. Calcule .� dxx
Para podermos usar a tabela para integrar a função raiz quadrada de x, antes devemosescrevê-la como “base x elevada a um expoente numérico”.
Sabemos que:
212 1 xxxxx a
ba b ==→=
Ou seja,
� �= dxxdxx 21
Escrevendo a raiz quadrada de x como x elevado a 1/2, podemos usar diretamente aseguinte regra da tabela:
� ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
Logo,
CxCxCxCxdxxdxx +=+=++=++
==� �+
+
32
23
22112
1
2323
221
121
21
9999999999Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela
Observe que n, indicado na regra de integração, é a constante ½.
Exemplo 5.3. Calcule .3 2� dxx
Este exemplo é muito parecido com o exemplo 5.2. Sendo assim, antes de usarmos atabela, devemos escrever a função raiz cúbica de x ao quadrado como “base x elevadaao expoente 2/3”.
Vejamos:
323 2 xxxx a
ba b =→=
Ou seja,
� �= dxxdxx 323 2
Podemos usar diretamente a seguinte regra da tabela de integrais, com n igual a 2/3:
� ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
Logo,
CxCxCxCxdxxdxx +=+=++=++
==� �+
+
53
35
33213
23
53
53
3213
2
323 2
Exemplo 5.4. Calcule .)3( 2� + dxx
Não há regra na tabela que mostre como integrar uma função cuja base seja compostapor uma soma (no caso, a soma 3 + x) elevada a um expoente numérico.
100100100100100 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Inicialmente, podemos desenvolver essa soma ao quadrado como “o quadrado doprimeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo” e,depois, separarmos essas três parcelas em três integrais independentes.
Vejamos:
2222222 69.3.23)3(2)( xxxxxbababa ++=++=+→++=+
Ou seja,
�� ++=+ dxxxdxx )69()3( 22
Podemos, então, usar as propriedades P1 (ampliada para o caso da soma de três fun-ções) e P2 abaixo:
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(. .
Ou seja,
� � � � � � �� ++=++=++=+ dxxdxxdxdxxxdxdxdxxxdxx 21222 6969)69()3(
Agora, chegamos a três integrais presentes na tabela de integrais imediatas, resolvi-das pelas seguintes regras:
� ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
e � += Cxdx
Logo,
CxxxCxxxdxxdxxdxdxx +++=+++=++=+ � � �� 339
326969)3(
32
32212
Exemplo 5.5. Calcule .)3( 23� + dxxx
Este exemplo parte do que já foi feito no exemplo 5.4, ou seja, do desenvolvimento de(3 + x)2 para obtermos três parcelas que se somam. Inclui-se, após o desenvolvimento,
101101101101101Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela
a multiplicação de cada uma das três parcelas por x3. Depois disso, chegaremos a trêsintegrais independentes, que podem ser resolvidas diretamente pela tabela.
Vejamos:
2222222 69.3.23)3(2)( xxxxxbababa ++=++=+→++=+
Multiplicando-se x3 por (3 + x)2 = 9 + 6x + x2:
54332313323132323 696969)69()3( xxxxxxxxxxxxxxxx ++=++=++=++=+ ++
Ou seja,
�� ++=+ dxxxxdxxx )69()3( 54323
Podemos, então, usar as propriedades P1 (ampliada para o caso da soma de três fun-ções) e P2 abaixo:
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(. .
Logo,
� � � �� ++=++=+ dxxdxxdxxdxxxxdxxx 54354323 69)69()3(
� � �� ++=+ dxxdxxdxxdxxx 54323 69)3(
Agora, chegamos a três integrais presentes na tabela de integrais imediatas, resolvi-das pelas seguintes regras:
� ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
e � += Cxdx
Logo,
CxxxCxxxdxxdxxdxxdxxx +++=+++=++=+ � � �� 656
49
656
4969)3(
65465454323
102102102102102 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Observe que seria um grande erro resolvermos esse exemplomultiplicando a integral de x3 pela integral de (3 + x)2, pois não hápropriedade que permita que a integral do produto de duas fun-ções seja escrita como o produto das integrais de cada função.
Exemplo 5.6. Calcule .952
5
�− dxx
xx
Antes de resolvermos a integral deste exemplo, precisamos escrever a função a serintegrada (ou seja, 5x − 9x5, dividido por x2) em uma subtração de duas parcelas. Depoisdisso, chegaremos a duas integrais independentes, que podem ser resolvidas direta-mente pela tabela.
Vejamos:
31252125212
5
22
5
9595959595 xxxxxxxxxx
xx
xxx
−=−=−=−=− −−−−−
No desenvolvimento acima, lembramos que o produto (multiplicação) de potências demesma base é a base elevada à soma das potências. Por exemplo, x1 e x-2 possuem amesma base x. Logo, o produto de x1 e x −2 é igual à base x elevada à soma de 1 com − 2,ou seja, x elevado a − 1.
Ou seja,
� � −=− − dxxxdxx
xx )95(95 312
5
Feito isso, podemos usar as seguintes propriedades:
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Ou seja,
� � � � �� −=−=−=− −−− dxxdxxdxxdxxdxxxdxx
xx 3131312
5
9595)95(95
103103103103103Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela
Agora, podemos resolver as duas integrais acima utilizando as seguintes regras databela:
� ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
e � � +== − Cxdxxdxx
ln1 1
Logo,
� � � +−=−=− − Cxxdxxdxxdxx
xx4
9ln59595 431
2
5
Observe que seria um grande erro resolvermos esse exemplodividindo a integral de 5x - 9x5 pela integral de x2, pois não hápropriedade que permita que a integral do quociente (divisão)de duas funções seja escrita como o quociente das integraisde cada função.
Exemplo 5.7. Calcule .)5(2
2
� ���
����
�+
− dxex
x x
Antes de resolvermos a integral desse exemplo, precisamos desenvolver o quadradoda diferença (x − 5) e escrever o resultado desse desenvolvimento, dividido por x2,como uma subtração de três parcelas. Depois disso, chegaremos a quatro integraisindependentes, incluindo a integral da exponencial de base e (“e elevado a x”), quepodem ser resolvidas diretamente pela tabela.
Vejamos:
251055..2)5(2)( 2222222 +−=+−=−→+−=− xxxxxbababa
Dividindo-se (x − 5)2 = x2 − 10x + 25 por x2:
221221222
2
2
2
2
2
251012510125102510)5( −−−− +−=+−=+−=+−
=− xxxxx
xxx
xx
xxx
xx
212
2
25101)5( −− +−=− xxx
x
104104104104104 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Ou seja,
�� ++−=���
����
�+
− −− dxexxdxex
x xx )25101()5( 212
2
Feito isso, vamos usar as seguintes propriedades:
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Ou seja,
� � � � �� ++−=++−=���
����
�+
− −−−− dxedxxdxxdxdxexxdxex
x xxx 21212
2
25101)25101()5(
� � � �� ++−=���
����
�+
− −− dxedxxdxxdxdxex
x xx 212
2
2510)5(
Agora, utilizamos as seguintes regras para resolvermos as integrais anteriores:
� ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
, � � +== − Cxdxxdxx
ln1 1 e � += Cedxe xx
Logo,
� � � �� ++−
+−=++−=���
����
�+
− −−− Cexxxdxedxxdxxdxdxe
xx xxx
125ln102510)5( 1
212
2
Cex
xxdxex
x xx ++−−=���
����
�+
−�
25ln10)5(2
2
Exemplo 5.8. Calcule .cos53
2� ���
����
�+ dxx
x
Antes de resolvermos este exemplo, precisamos reescrever a função a ser integrada.
Vejamos:
xxxx
xx
xx
cos5cos5cos5cos5 323
32
3
3 2
33
2 +=+=+=+−
105105105105105Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela
No desenvolvimento anterior, foram feitas as seguintes equivalências:
3 2
33
255xxn
mnm
a
aa =→=
32
3 2 xxmm ab
a b =→=
32
3211 −− =→= x
xm
mc
c
Ou seja,
� � +=���
����
�+
−dxxxdxx
x)cos5(cos5 3
2332
Feito isso, podemos usar as seguintes propriedades:
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Ou seja,
� � �� � � +=+=+=���
����
�+
−−−xdxdxxxdxdxxdxxxdxx
xcos5cos5)cos5(cos5 3
233233
2332
As integrais acima são resolvidas pelas seguintes regras da tabela:
� ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
e � += Csenxxdxcos
Logo,
CsenxxCsenxxCsenxxdxxx
++=+++−
=+++−
=���
����
�+
+−+−
�3
15
3325
1325cos5 3
1
33
32
313
2
332
CsenxxCsenxxdxxx
++=++=���
����
�+� 33
31
332 53
135cos5
106106106106106 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
No desenvolvimento anterior, foi feita a seguinte equivalência:
33 131
xxxmm a bab
==→=
Exemplo 5.9. Calcule .5� �
��
��� − dx
xxx
Precisamos “preparar” a função a ser integrada a fim de chegarmos a uma situaçãoprevista na tabela de integrais.
Inicialmente, vamos escrever a raiz quadrada de x como x elevado a 21
, pois
212 1 xxx == .
Também vamos fazer o seguinte:
.5155 11
−== xxx
Vejamos:
( ).55 1121 −−=�
��
��� − xxx
xxx
Podemos aplicar a propriedade distributiva e usar que o produto de potências demesma base é igual à base elevada à soma dos expoentes. Ou seja,
( ) 21
23
221
221
12112
112112
11121
555555 −−+
−+−− −=−=−=−=−=���
��� − xxxxxxxxxxxxx
xxx
Logo,
dxxxdxx
xx �� ����
�� −=�
��
��� −
−2
12
355
107107107107107Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela
Agora, podemos usar as seguintes propriedades:
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Ou seja,
dxxdxxdxxdxxdxxxdxx
xx ������−−−
−=−=����
�� −=�
��
��� − 2
12
32
12
32
12
35555
As integrais acima são resolvidas pela seguinte regra da tabela de integração:
� ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
Finalmente:
CxxCxxdxxdxxdxx
xx ++−
−+
=++−
−+
=−=���
��� −
+−++−+
−
���2
215
22312
1512
355 221
223
12112
3
21
23
CxxCxxCxxdxx
xx +−=+−=+−=���
��� −�
21
21
21
105
21
255
2
215
25
5 25
25
25
Exemplo 5.10. Calcule .4� �
��
��� − dxx
π
Vamos analisar a função a ser integrada: trata-se da diferença ou subtração x − 4,dividida pela constante π (um número irracional muitas vezes aproximado por 3,14).Podemos fazer o seguinte:
πππππ4144
−=−=− xxx
Ou seja, temos a seguinte igualdade:
�� ���
��� −=�
��
��� − dxxdxx
πππ414
108108108108108 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Aplicando a propriedade P1, enunciada como “a integral da soma (ou subtração) deduas funções é a soma (ou subtração) das integrais das funções”, temos que:
���� −=���
��� −=�
��
��� − dxxdxdxxdxx
πππππ41414
Como 1, 4 e π são constantes, então os quocientes π1
e π4
também são constantes.Sendo assim, podemos utilizar a propriedade P2, enunciada como “a integral doproduto de uma constante por uma função é o produto da constante pela integral dafunção”. Vejamos:
�������� −=−=−=���
��� −=�
��
��� − dxdxxdxxdxdxxdxdxxdxx
πππππππππ414141414 1
As integrais acima são resolvidas pela seguinte regra da tabela de integração:
� ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
e � += Cxdx
Finalmente:
CxxCxxCxxdxdxxdxx+−=+−=+−
+=−=�
��
��� − +
��� πππππππππ4
24
214
111414 2211
1
Exercícios Propostos – Capítulo 5.Exercícios Propostos – Capítulo 5.Exercícios Propostos – Capítulo 5.Exercícios Propostos – Capítulo 5.Exercícios Propostos – Capítulo 5.
Exercício 5.1. Calcule .17� dx
x
Exercício 5.2. Calcule .3� dx
x
Exercício 5.3. Calcule .5 3� dxx
Exercício 5.4. Calcule .)5( 22� + dxx
109109109109109Capítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da TCapítulo 5 - Integrais Simples - Diretas da Tabelaabelaabelaabelaabela
Exercício 5.5. Calcule .)5( 24� − dxxx
Exercício 5.6. Calcule .463
52
�+ dxx
xx
Exercício 5.7. Calcule .)4(3 23� + dxx
x
Exercício 5.8. Calcule .)5( 2
� ���
����
� −− dx
xxsenx
Exercício 5.9. Calcule � ���
����
�+ .4
5 3dxsenx
x
Exercício 5.10. Calcule � ��
���
� +− .cos7 dxexx
x
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5.
Exercício 5.1. Cx
+−
661
Exercício 5.2. Cx +6
Exercício 5.3. Cx+
85 5
8
Exercício 5.4. Cxxx+++ 25
310
5
35
Exercício 5.5. Cxxx ++−73
5576
5
Exercício 5.6. Cxx ++3
4ln63
Exercício 5.7. Cxx
x +���
��� −− 2
88ln3
Exercício 5.8. Cxxxx +−+−− ln25102
cos2
110110110110110 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exercício 5.9. Cxx +− cos10 52
Exercício 5.10. Cesenxx x ++−14
Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6Capítulo 6
Integrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da SubstituiçãoIntegrais Simples - Método da Substituição
O método da substituição trata da mudança de variável na integral.
Suponha que seja possível, pela utilização das propriedades P1 e P2 e da tabela deintegração dadas no capítulo 4, resolver a seguinte integral: .)(� duuf
Imagine que u seja uma função de x, ou seja, u = u(x). Temos que a derivada de u = u(x),em relação à variável x, é
dxxuduxudxdu )()( ,, =→=
Assim, por substituição, temos de resolver integrais do tipo
�� = duufdxxuxuf )()()).(( ,
Exemplo 6.1. Calcule � + .2)3( 52 xdxx
Seria possível “enxergarmos” uma função e sua derivada no exemplo 6.1?
Se chamarmos a soma x2 + 3 de u, sendo u uma função de x, u = u(x), temos que:
( ) ( ) ( ) xdxduxdxduxxx
dxduxxuu 2202333)( ,,2,22 =→=→+=+=+=→+==
112112112112112 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Concluímos que o exemplo 6.1 trata de uma integral formada por u elevado ao expoente5 e pela derivada da função u, possibilitando o uso do método da substituição. Afunção x2+3 é substituída por u e 2xdx é substituído por du, conforme segue.
� �=+ duuxdxx 552 2)3(
Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a 5:
� ++
=+
Cnuduu
nn
1
1
Ou seja,
� � +=++
==++
CuCuduuxdxx615
2)3(615
552
Agora, retornamos com a variável x:
CxCuduuxdxx ++=+==+� � 6)3(
62)3(
626552
Observe que, se tivéssemos chamado (x2 + 3)5 de u, não have-ria sucesso na substituição. A derivada de (x2 + 3)5, segundo atabela de derivadas de funções compostas vista no capítulo 2,é 5.(2x).(x2 + 3)4 =10x.(x2 + 3)4 e não apenas 2x.
Exemplo 6.2. Calcule .)3( 52� + xdxx
Este exemplo é muito parecido com o 6.1. Se fizermos da mesma maneira do exemploanterior, e chamarmos a soma x2 + 3 de u, sendo u uma função de x, u = u(x), temos que:
( ) ( ) ( ) xdxduxdxduxxx
dxduxxuu 2202333)( ,,2,22 =→=→+=+=+=→+==
113113113113113Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição
A “falta” da constante 2, ou seja, o fato de termos apenas xdx e não 2xdx na integraloriginal, não compromete o sucesso da substituição, pois xdx equivale a du/2, confor-me segue.
� � �==+ duuduuxdxx 5552
21
2)3(
Como a constante ½ multiplica a função, continuamos a integração usando a propriedade:
� �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Ou seja,
�� � � ===+ duuduuduuxdxx 55552
21
21
2)3(
Agora, usamos a seguinte regra da tabela de integrais, com n igual a 5:
� ++
=+
Cnuduu
nn
1
1
Logo,
CuCuduuduuduuxdxx +=+====+� � � � 126.
21
21
21
2)3(
6655552
Retornamos com a variável x:
CxCuCuduuduuduuxdxx ++=+=+====+� � � � 12)3(
126.
21
21
21
2)3(
626655552
Exemplo 6.3. Calcule .)12(
574
3
� −dx
xx
Inicialmente, vamos usar a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. para reescrever a inte-gral a ser resolvida:
��� −=
−=
− 74
3
74
3
74
3
)12(5
)12(5
)12(5
xdxxdx
xxdx
xx
114114114114114 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Se chamarmos a subtração 2x4 − 1 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:
u = u(x) = 2x4 − 1
( ) ( ) ( ) dxxdudxxduxxxxdxdu 3333,,4,4
88804.21212 =→=→=−=−=−=
A função 2x4 − 1 é substituída por u e x3dx é substituído por du/8, conforme segue.
� � �� ==−
=− 7774
3
74
3
.81585
)12(5
)12(5
udu
u
du
xdxxdx
xx
Usando novamente a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. e utilizando a equivalência
77
1 −= uu ,
temos que:
� � �� −− ===−
duuduuududx
xx 77
774
3
85
815.
815
)12(5
Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a −7:
� ++
=+
Cnuduu
nn
1
1
Logo,
Cu
CuCuduudxx
x +−=+−
=++−
==−
−+−−�� 6
6177
74
3
485
685
1785
85
)12(5
Agora, retornamos com a variável x:
Cx
Cu
dxx
x +−
−=+−=−� 64674
3
)12(485
485
)12(5
115115115115115Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição
Exemplo 6.4. Calcule � +dx
xx
538
2
Inicialmente, vamos usar a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. para reescrever aintegral a ser resolvida:
� �� +=
+=
+ 538
538
538
222 xxdx
xxdxdx
xx
Escrevendo 2 122 )53(53 +=+ xx como 212 )53( +x :
( )�� �+
=+
=+ 2
1222 538
538
538
x
xdxxxdxdx
xx
Se chamarmos a soma 3x2 +5 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:
u = u(x) = 3x2 +5
( ) ( ) ( ) xdxduxdxduxxxxdxdu =→=→=+=+=+=
66602.35353 ,,2,2
A função 3x2 +5 é substituída por u e xdx é substituído por du/6, conforme segue.
( )� � � �==+
=+ 2
12
12
122 61868
538
538
u
du
u
du
x
xdxdxx
x
Usamos novamente a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. e escrevemos 2
1
211 −
= uu
:
� � � �−−
===+
duuduuu
dudxx
x 21
21
212 3
461.8
618
538
Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a −1/2:
� ++
=+
Cnuduu
nn
1
1
116116116116116 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Logo,
� � +===++−=++−==
+
+−+−
−CuuuCuCuduudx
xx
38
12.
34
21.
34
221.
34
121.
34
34
538 2
12
12
2112
1
21
2
Agora, retornamos com a variável x:
� ++=+=+
CxCudxx
x 5338
38
538 2
2
Exemplo 6.5. Calcule .55 6
� − dxex x
Podemos escrever a integral deste exemplo como .)( 5555 66
�� −− = dxxedxex xx
Seria possível enxergarmos uma função e sua derivada no exemplo 6.5?
Se chamarmos a subtração x6 − 5 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x),temos que:
( ) ( ) ( ) dxxdudxxduxxxdxduxxuu 555,,6,66
666555)( =→=→=−=−=→−==
Concluímos que o exemplo trata de uma integral formada pela exponencial de base e,elevada à função u = x6 − 5, e pela derivada de u, com exceção da constante 6, possibi-litando o uso do método da substituição. A função x6 − 5 é substituída por u e x5dx ésubstituído por du/6, conforme segue.
�� �� === −− dueduedxxedxex uuxx
61
6)( 5555 66
Usamos a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. :
���� === −− dueduedxxedxex uuxx
61
61)( 5555 66
Continuamos a integração usando a seguinte regra:
� += Cedue uu
117117117117117Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição
Logo,
Cedueduedxxedxex uuuxx +==== � � �� −−
61
61
6)( 5555 66
Agora, retornamos com a variável x:
CeCedxex xux +=+= −−� 555 66
61
61
Observe que, se tivéssemos chamado ex6−5 de u, não haveriasucesso na substituição. A derivada de ex6−5, segundo a tabe-la de derivadas de funções compostas vista no capítulo 2, é6x5ex6−5 e não apenas 6x5.
Exemplo 6.6. Calcule .cos 2� dxxx
Podemos escrever a integral deste exemplo como .)(coscos 22 �� = xdxxdxxx
Seria possível enxergarmos uma função e sua derivada no exemplo 6.6?
Se chamarmos x2 de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:
( ) xdxduxdxduxxdxduxxuu =→=→==→==
222)( ,22
Concluímos que o exemplo trata de uma integral formada pelo cosseno de x2, indicadopor u, e pela derivada de u, com exceção da constante 2, possibilitando o uso dométodo da substituição. A função x2 é substituída por u e xdx é substituído por du/2,conforme segue.
� � �==2
)(cos)(coscos 22 duuxdxxdxxx
118118118118118 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Usamos a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. :
� � � �=== ududuuxdxxdxxx cos21
2)(cos)(coscos 22
Continuamos a integração utilizando a seguinte regra:
� += Csenuuducos
Logo,
� � � � +==== Csenuududuuxdxxdxxx21cos
21
2)(cos)(coscos 22
Agora, retornamos com a variável x:
dxsenxCsenudxxx 22
21
21cos� =+=
Observe que, se tivéssemos chamado cosx2 de u, não haveriasucesso na substituição. A derivada de cosx2, conforme dadopela tabela de derivadas de funções compostas do capítulo2, é(2x).(−1)senx2 = −2x.senx2 e não apenas 2x.
Exemplo 6.7. Calcule � + dxxsen )7( π
Se chamarmos 7x + π de u, sendo u uma função de x e π um número irracional (constante)que vale, aproximadamente, 3,14, temos que:
( ) ( ) ( ) dxdudxduxxdxduxxuu =→=→=+=+=+=→+==
77707777)( ,,, πππ
Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pelo seno de u = 7x + π e peladerivada de u, com exceção da constante 7, possibilitando o uso do método da substitui-ção. A função 7x + π é substituída por u e dx é substituído por du/7, conforme segue.
119119119119119Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição
��� ==+ senududusenudxxsen71
7)7( π
Usamos a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. para colocarmos a constante k=1/7que multiplica a função “fora” da integral:
� �� ==+ senudusenududxxsen71
71)7( π
Continuamos a integração usando a seguinte regra:
� +−= Cusenudu cos
Logo,
CuCusenududusenudxxsen +−=+−===+ � �� cos71)cos(
71
71
7)7( π
Agora, retornamos com a variável x:
CxCudxxsen ++−=+−=+� )7cos(71cos
71)7( ππ
Observe que, se tivéssemos chamado sen(7x + π) de u, nãohaveria sucesso na substituição. Pela tabela de derivadas defunções compostas vista no capítulo 2, a derivada de sen(7x + π)é 7.cos(7x + π) e não apenas 7.
Exemplo 6.8. Calcule .cos.� xdxsenx
Seria possível enxergarmos uma função e sua derivada no exemplo 6.8?
Se chamarmos senx de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:
( ) xdxduxsenxdxdusenxxuu coscos)( , =→==→==
120120120120120 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pelo seno de x, indicado poru, e pela derivada de u, possibilitando o uso do método da substituição. A função senxé substituída por u e cosxdx é substituído por du, conforme segue.
� � �== duuuduxdxsenx 1cos.
Continuamos a integração usando a seguinte regra, com n igual a 1:
� ++
=+
Cnuduu
nn
1
1
Logo,
CuCuduuuduxdxsenx +=++
===+
� � � 211cos.
2111
Agora, retornamos com a variável x:
CxsenCsenxCuxdxsenx +=+=+=� 22)(
2cos.
222
Observe que não utilizamos as regras de integração de cossenode x ou de seno de x para resolvermos a integral do exemplo 6.8.
Exemplo 6.9. Calcule .)cos3( 5� +
dxx
senx
Se chamarmos 3 + cosx de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:
u = u(x) = 3 + cos x
( ) ( ) ( ) senxdxdusenxdxdusenxxxdxdu =−→−=→−+=+=+= )(0cos3cos3 ,,,
121121121121121Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição
Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pela soma 3 + cos x, indicadapor u, e pela derivada de u, a menos da constante −1, possibilitando o uso do métododa substituição. A soma 3 + cos x é substituída por u e senxdx é substituído por − du,conforme segue.
�� � −=−=+ 555 )1(
)cos3( udu
ududx
xsenx
Usamos a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. :
� � �−=−=+
duuu
dudxx
senx555
1)1()cos3(
Escrevemos 51u como u−5:
� � � −−=−=+
duuududx
xsenx 5
55)cos3(
Continuaremos a integração usando a seguinte regra, com n igual a − 5:
� ++
=+
Cnuduu
nn
1
1
Logo,
� � +=+−
−=++−
−=−=+
−+−− C
uCuCuduudx
xsenx
4
4155
5 41
415)cos3(
Agora, retornamos com a variável x:
Cx
Cu
dxx
senx ++
=+=+� 445 )cos3(4
141
)cos3(
Observe que não utilizamos as regras de integração de cossenode x ou de seno de x para resolvermos a integral do exemplo 6.9.Além disso, se tivéssemos chamado (3 + cos x)5 de u, e nãoapenas 3 + cos x, não haveria sucesso na resolução da integralpor substituição.
122122122122122 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exemplo 6.10. Calcule .� tgxdx
Visto que a tangente é o quociente entre o seno e o cosseno, podemos escrever aintegral deste exemplo como
�� = dxx
senxtgxdxcos
Se chamarmos cosx de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x), temos que:
( ) senxdxdusenxdxdusenxxdxduxxuu =−→−=→−==→== ,coscos)(
Concluímos que o exemplo trata de uma integral composta pelo cos x, indicado por u, e peladerivada de u, a menos da constante − 1, possibilitando o uso do método da substituição.A função cos x é substituída por u e senxdx é substituído por − du, conforme segue.
� ��−==
ududx
xsenxtgxdxcos
Usamos a propriedade � �= dxxfkdxxfk )(.)(. :
�� �� −=−==udu
ududx
xsenxtgxdxcos
Continuamos a integração usando a seguinte regra:
� � +== − Cuduuduu
ln1 1
Logo,
� � �� +−=−=−== Cuduuu
dudxx
senxtgxdx ln1cos
123123123123123Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição
Agora, retornamos com a variável x:
CxCutgxdx +−=+−=� coslnln
Observe que não utilizamos as regras de integração de cossenode x ou de seno de x para resolvermos a integral do exemplo 6.10.
Exemplo 6.11. Calcule .cos2� xdx
Antes de resolvermos a integral, vamos usar a seguinte equivalência trigonométrica:
22cos
21
22cos1cos2 xxx +=+=
Ou seja,
�� ���
��� += dxxxdx
22cos
21cos2
Podemos, então, usar as seguintes propriedades:
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Ou seja,
� � � � �� +=+=���
��� += xdxdxdxxdxdxxxdx 2cos
21
21
22cos
21
22cos
21cos2
Assim, temos duas integrais a serem resolvidas. A primeira é diretíssima da tabela e asegunda é resolvida por substituição, conforme segue.
124124124124124 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Primeira integral:
� += )( tabeladaadiretíssimCxdx
Segunda integral:
� �� +=+=== CxsenCsenuududuuxdx 221
21cos
21
2cos2cos
A segunda integral foi resolvida chamando-se 2x de u, por meio da seguinte substituição:
( ) dxdudxduxdxduxxuu =→=→==→==
22222)( ,
Logo,
� � � � �� +=+=���
��� += xdxdxdxxdxdxxxdx 2cos
21
21
22cos
21
22cos
21cos2
Cxsenxxdx +���
���+=� 2
21
21
21cos2
Cxsenxxdx ++=� 241
21cos2
Exemplo 6.12. Calcule .3� xdxsen
Antes de resolvermos a integral, podemos escrever o seno ao cubo de x como oproduto do seno de x pelo seno ao quadrado de x:
�� = xdxsensenxxdxsen 23 .
Agora, podemos usar a seguinte identidade trigonométrica:
xxsenxxsen 2222 cos11cos −=→=+
125125125125125Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição
Substituindo o seno ao quadrado de x por 1 menos o cosseno ao quadrado de x, temos:
� ��� −=−== senxdxxdxxsenxxdxsensenxxdxsen ).cos1()cos1(. 2223
Assim, temos de resolver a integral:
� − senxdxx).cos1( 2
Esta integral pode ser resolvida pela seguinte substituição:
( ) senxdxdusenxdxdusenxxdxduxxuu =−→−=→−==→== ,coscos)(
Ou seja,
� �� −−=−= ))(1()cos1( 223 duusenxdxxdxsen
Pelas propriedades abaixo, temos que:
� � �±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e � �= dxxfkdxxfk )(.)(.
� � �� −−=−−=−= duuduusenxdxxdxsen )1())(1().cos1( 2223
� � � �� +−=+−= duududuududxsen 223 1
Sabemos que:
� ++
=+
Cuuduu
nn
1
1
e � += Cudu
Sendo assim, as duas integrais finais são resolvidas pelo uso diretíssimo da tabela:
CuuCuuduududxsen ++−=++
+−=+−= � ��+
312
31223
126126126126126 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Voltando com a variável x, visto que u = cos x, concluímos a integração do seno aocubo de x:
CxxCxxCuudxsen +−=++−=++−=� cos3
cos3
coscos3
3333
Exemplo 6.13. Calcule .5� dxexex
Se chamarmos o ex “situado” no expoente de u, sendo u uma função de x, ou seja, u = u(x),temos que:
( ) dxedueedxduexuu xxxx =→==→== ,)(
Fazendo a mudança de variáveis:
�� = dudxe uxex
55
Chegamos a uma integral presente na tabela, conforme segue:
� += Caa
dxa uu
ln1
No caso, a = 5. Logo,
� += Cdu uu 55ln
15
Agora, retornamos com a variável x:
CCdudxexx euuxe +=+== �� 5
5ln15
5ln155
Exemplo 6.14. Calcule .4
cos2� −
dxxsen
x
Antes de aplicarmos o método da substituição, vamos escrever a seguinte igualdade:
( ) .cos2
14
cos222 �� −
=−
xdxsenx
dxxsen
x
127127127127127Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição
Agora, vamos chamar seno de x de u e calcular a derivada de u em relação à variável x:
( ) xdxduxsenxdxdusenxxuu coscos)( , =→==→==
Fazendo a mudança de variáveis:
( ) ��� −=
−=
−du
uxdx
senxdx
xsenx
22222 21cos
21
4cos
Chegamos a uma integral presente na tabela, conforme segue:
� +−+=
−C
uxux
adx
ualn
211
22
No caso, a = 2. Logo,
( ) CuuC
uudu
uxdx
senxdx
xsenx +
−+=+
−+=
−=
−=
− ��� 22ln
41
22ln
2.21
21cos
21
4cos
22222
Agora, retornamos com a variável x:
CsenxsenxC
uudx
xsenx +
−+=+
−+=
−� 22ln
41
22ln
41
4cos
2
Exemplo 6.15. Calcule .� + dxe xex
A função a ser integrada pode ser desenvolvida em um produto. Vejamos: eex+x = eex ex,pois ma+b = ma mb. Ou seja, “voltamos” a regra que afirma que “o produto de potênciasde mesma base é a base elevada à soma dos expoentes”.
Assim, as integrais � + dxe xex
e � dxee xex
são equivalentes. Logo �� =+ dxeedxe xexe xx
Se chamarmos o ex “situado” no expoente de u, sendo u uma função de x, ou seja,u = u(x), temos que:
( ) dxedueedxduexuu xxxx =→==→== ,)(
128128128128128 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Fazendo a mudança de variáveis:
��� ==+ duedxeedxe uxexe xx
Da tabela de integrais sabemos que
� += Cedue uu .
Logo
Ceduedxeedxe uuxexe xx
+=== ��� +
Agora, retornamos com a variável x:
CeCeduedxeedxexxx euuxexe +=+=== ��� +
Pela aplicação do método da substituição, podemos expandir a tabela de integraisimediatas, dada no capítulo 4, obtendo a tabela de integrais ampliada abaixo.
Tabela ampliada de integrais
129129129129129Capítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da SubstituiçãoCapítulo 6 - Integrais Simples - Método da Substituição
Exercícios Propostos – Capítulo 6.Exercícios Propostos – Capítulo 6.Exercícios Propostos – Capítulo 6.Exercícios Propostos – Capítulo 6.Exercícios Propostos – Capítulo 6.
Exercício 6.1. Calcule .)1( 62� + xdxx
Exercício 6.2. Calcule .)23( 62� + xdxx
Exercício 6.3. Calcule .)2(
795
4
� −dx
xx
Exercício 6.4. Calcule .44
32� +
dxx
x
Exercício 6.5. Calcule .133 4
� − dxex x
Exercício 6.6. Calcule .2� dxxsenx
Exercício 6.7. Calcule .)cos(� − dxx π
Exercício 6.8. Calcule .cos.3� xdxxsen
Exercício 6.9. Calcule .)1(
cos4� −
dxsenx
x
Exercício 6.10. Calcule .cot� gxdx
Exercício 6.11. Calcule .2� xdxsen
Exercício 6.12. Calcule .cos3� xdx
Exercício 6.13. Calcule .7 23
� dxxx
Exercício 6.14. Calcule .cos2� − senxdxe x
130130130130130 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exercício 6.15. Calcule .cos9 2� +
dxx
senx
Respostas dos ERespostas dos ERespostas dos ERespostas dos ERespostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 6.xercícios Propostos – Capítulo 6.xercícios Propostos – Capítulo 6.xercícios Propostos – Capítulo 6.xercícios Propostos – Capítulo 6.
Exercício 6.1. Cx+
+14
)1( 72
Exercício 6.2. Cx+
+42
)23( 72
Exercício 6.3. Cx
+−
−85 )2(40
7
Exercício 6.4. Cx+
+2
23 2
Exercício 6.5. Ce x +−13 4
121
Exercício 6.6. Cx +− 2cos21
Exercício 6.7. Cxsen +− )( π
Exercício 6.8. Cxsen+
4
4
Exercício 6.9. Csenx
+−
−3)1(3
1
Exercício 6.10. Csenx +ln
Exercício 6.11. Cxsenx +− 241
21
Exercício 6.12. Cxsensenx +−3
3
Exercício 6.13. Cx
+7ln3
7 3
Exercício 6.14. Ce x +−cos2
Exercício 6.15. Cxarctg +���
��
3cos
31
Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7Capítulo 7
Integrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por PartesIntegrais Simples – Integração por Partes
O método da integração por partes consiste em “desenvolver” a integral de udv comoa subtração entre o produto u.v e a integral de vdu, conforme segue.
�� −= vduvudvu .
Se tivermos a função u = u(x), podemos determinar du = u’(x)dx, visto que
)(, xudxdu = .
Se tivermos dv, podemos determinar v = v(x), visto que �= dvv .
Em geral, esse método é adequado para as situações em que a integral de vdu é maisfácil do que a integral de udv.
Observação: quando substituímos �= dvv em � vdu , não usamos, nesse momento, aconstante de integração vinda da integral de dv.
Exemplo 7.1. Calcule .� dxxex
Façamos as seguintes equivalências:
( ) dxdudxduxdxduxxuu =→=→==→== 11)( ,
132132132132132 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Cedxedvvdxedv xxx +===→= � �
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
�� −= dxexedxxe xxx
Prosseguimos utilizando a seguinte regra da tabela de integrais imediatas Cedxe xx +=� :
Cexedxexedxxe xxxxx +−=−= ��
A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar ex em evidência para dar a res-posta final:
CxeCexedxxe xxxx +−=+−=� )1(
Exemplo 7.2. Calcule .)73( 2� − dxex x
Façamos as seguintes equivalências:
( ) ( ) ( ) dxduxxdxduxxuu 3301.3737373)( ,,, =→=−=−=−=→−==
dxedv x2=
Logo,
Cedxedvv xx +=== � � 22
21
,
visto que, segundo a tabela ampliada de integrais dada no capítulo 6,
Cedxe xx +=� αα
α1
,
com α igual a 2.
133133133133133Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
�� −−=− dxeexdxex xxx 321
21)73().73( 222
Podemos, então, usar a seguinte propriedade:
� �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Ou seja,
dxeexdxeexdxex xxxxx ��� −−=−−=− 22222
23)73(
213
21
21)73().73(
Utilizamos, novamente, a seguinte regra da tabela ampliada de integrais imediatas
Cedxe xx +=� αα
α1
,
com α igual a 2:
Ceexdxeexdxex xxxxx +−−=−−=− �� 22222
21.
23)73(
21
23).73(
21).73(
Ceexdxex xxx +−−=−� 222
43)73(
21).73(
A integral já foi acabada, mas podemos colocar xe2
21
em evidência:
CxeCxeCxedxex xxxx +���
��� −=+��
�
����
����
��� +−=+�
��
��� −−=−� 2
17321
23143
21
23)73(
21).73( 2222
134134134134134 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exemplo 7.3. Calcule .� − dxxe x
Façamos as seguintes equivalências:
( ) dxdudxduxdxduxxuu =→=→==→== 11)( ,
dxedv x−=
Logo,
CeCedxedxedvv xxxx +−=+−
==== −−−− �� � 11
11
,
visto que, segundo a tabela ampliada de integrais, dada no capítulo 6,
Cedxe xx +=� αα
α1
,
com α igual a −1.
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
( ) ��� −−−−− +−=−−−= dxexedxeexdxxe xxxxx
Usamos, novamente, que Cedxe xx +−= −−� :
Cexedxexedxxe xxxxx +−−=+−= −−−−− ��
A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar −e−x em evidência para dar aresposta final:
( ) CxeCexedxxe xxxx ++−=+−−= −−−−� 1
135135135135135Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes
Exemplo 7.4. Calcule .cos)35(� − xdxx
Façamos as seguintes equivalências:
dxdudxduxxuu 5535)( =→=→−==
Csenxxdxdvvxdxdv +===→= � �coscos
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
�� −−=− dxsenxsenxxxdxx 5)().35(cos).35(
Podemos, então, usar a seguinte propriedade:
� �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Ou seja,
� �� −−=−−=− senxdxsenxxdxsenxsenxxxdxx 5)35(5)()35(cos)35(
Finalizamos utilizando a seguinte regra da tabela de integrais Cxsenxdx +−=� cos :
xsenxxCxsenxxxdxx cos5)35()cos(5)35(cos)35( +−=+−−−=−� + C
Exemplo 7.5. Calcule .7)12(� + xdxsenx
Façamos as seguintes equivalências:
dxdudxduxxuu 2212)( =→=→+==
dv = sen7xdx
136136136136136 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Logo,
Cxxdxsendvv +−=== � � 7cos717 ,
visto que, segundo a tabela ampliada de integrais dada no capítulo 6,
Cxsendxxsen +−=� αα
α 1,
com α igual a 7.
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
��−−�
��
��� −+=+ dxxxxxdxsenx 2)7(cos
717cos
71)12(7).12(
Podemos, então, usar a seguinte propriedade:
� �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Ou seja,
��−−�
��
��� −+=+ dxxxxxdxsenx 2)7(cos
717cos
71)12(7).12(
�� ++−=+ xdxxxxdxsenx 7cos727cos)12(
717).12(
Utilizamos a seguinte regra da tabela ampliada de integrais
Cxsenxdx +=� αα
α 1cos ,
com α igual a 7.
137137137137137Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes
Cxsenxxxdxsenx +++−=+� 7.71.
727cos)12(
717).12(
Cxsenxxxdxsenx +++−=+� 74927cos)12(
717).12(
Exemplo 7.6. Calcule � xdxln
Façamos as seguintes equivalências:
dxx
duxdx
duxxuu 11ln)( =→=→==
Cxdxdvvdxdv +===→= � �
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
� � � +−=−=−= Cxxxdxxxdxx
xxxxdx lnln1)(lnln
A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar x em evidência para dar a respos-ta final:
� −=−= )1(lnlnln xxxxxxdx
Exemplo 7.7. Calcule .ln2� xdxx
Façamos as seguintes equivalências:
dxx
duxdx
duxxuu 11ln)( =→=→==
CxCxdxxdvvdxxdv +=++
===→=+
� � 312
31222
138138138138138 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
�� �� −=−== dxxxxdxx
xxxdxxxxdxx33
)(ln133
)(ln)(lnln2333
22
�� −= dxxxxxdxx 23
2
31
3)(lnln
Podemos, então, usar a seguinte propriedade:
� �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Ou seja,
� � �� −=−== dxxxxdxxxxdxxxxdxx 23
23
22
31ln
331
3)(ln)(lnln
Continuamos a integração usando a seguinte regra:
� ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
Logo,
� � +−=−= Cxxxdxxxxxdxx33
1ln33
1ln3
ln33
23
2
A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar x3/3 em evidência para dar aresposta final:
CxxCxxxxdxx +���
��� −=+−=� 3
1ln33
.31ln
3ln
3332
139139139139139Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes
Exemplo 7.8. Calcule .ln� xdxx
Como a raiz quadrada de x pode ser expressa como x elevado ao expoente meio, vamos
escrever: .lnln 21
�� = xdxxxdxx
Agora, vamos fazer as seguintes equivalências:
dxx
duxdx
duxxuu 11ln)( =→=→==
CxCxCxCxdxxdvvdxxdv +=+=++=++
===→=
++
� � 232
3221
121
21
21
32
23
22112
1
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
( ) ���� −=−== dxx
xxxdxx
xxxxdxxxdxx2
3
23
23
23
21
32ln
321
32
32lnlnln
A divisão de x3/2 por x = x1 “contida” na integral a ser resolvida pode ser desenvolvidacomo:
21
223
)1(2312
3
1
23
23
xxxxxx
xx
x =====−
−+− .
Ainda não fizemos a integral, apenas aplicamos as seguintes propriedades:
11
11 −− =→= xx
mm
aa e 2
1)1(2312
3xxxxmmm baba ==→= −+−+ .
Ou seja,
���� −=−== dxxxxdxx
xxxxdxxxdxx 21
232
3
23
21
32ln
32
32ln
32lnln
140140140140140 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Podemos, então, usar a seguinte propriedade:
� �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Logo,
��� −=−= dxxxxdxxxxxdxx 21
23
21
23
32ln
32
32ln
32ln
Prosseguimos a integração utilizando a regra � ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
para 21=n :
CxxxCxxxdxxxxxdxx +−=+−=−= +
+
+
+
��221
221
23
121
121
23
21
23
32ln
32
32ln
32
32ln
32ln
CxxxCxxxxdxx +−=+−=� 23
232
3
23
32.
32ln
32
233
2ln32ln
Já terminamos a integração por partes, mas, ainda, podemos colocar 23
32 x em evidên-
cia para expressarmos a resposta final:
CxxCxxxxdxx +���
��� −=+−=� 3
2ln32
32.
32ln
32ln 2
32
32
3
Exemplo 7.9. Calcule .5ln
3� dxxx
Antes de começarmos a integral precisamos preparar a função a ser integrada daseguinte maneira:
( ) .ln51ln
51
5ln 3
33 �� � −== dxxxdxx
xdxxx
Podemos colocar o fator 51
que multiplica a função “para fora da integral”, pois
� �= dxxfkdxxfk )(.)(. . Vejamos:
( ) ( )��� −− == dxxxdxxxdxxx 333 ln
51ln
51
5ln
141141141141141Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes
Agora, vamos fazer as seguintes equivalências:
dxx
duxdx
duxxuu 11ln)( =→=→==
Cx
CxCxdxxdvvdxxdv +−=+−
=++−
===→=−+−
−− � � 2
21333
21
213
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
( ) ( ) ���
��� +−=�
��
��� −−−== ���� − dx
xxx
xdx
xxxxdxxxdx
xx
22223
31
21ln
2)1(
511
21
2)1(ln
51ln
51
5ln
Podemos desenvolver a função a ser integrada:
3312122
1111 −+ ==== x
xxxxxx .
Note que ainda não fizemos a integral, apenas aplicamos as seguintes propriedades:
31212 xxxxmmm baba ==→= ++ e 33
11 −− =→= xx
mm
aa .
Ou seja,
���
��� +−=�
��
��� +−= ��� − dxxx
xdx
xxx
xdx
xx 3
2223 21ln
2)1(
511
21ln
2)1(
51
5ln
Podemos, então, usar a seguinte propriedade:
� �= dxxfkdxxfk )(.)(.
Logo,
���
��� +−= �� − dxxx
xdx
xx 3
23 21ln
2)1(
51
5ln
142142142142142 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Continuamos a integração utilizando a regra � ++
=+
Cnxdxx
nn
1
1
para n = − 3:
Cxxx
Cxxx
dxxxx
dxxx +��
�
����
�−
+−=+���
����
�+−
+−=���
��� +−=
−+−−�� 22
1ln2
)1(51
1321ln
2)1(
51
21ln
2)1(
51
5ln 2
2
13
23
23
Cx
xx
Cx
xx
dxxx +�
��
��� −−=+�
��
��� −+−=� 22223 2
121ln
2)1(
51
21
21ln
2)1(
51
5ln
Deixamos a constante C “fora” dos parênteses porque uma constante multiplicada por1/5 continua sendo uma constante.
Já terminamos a integração por partes, mas, ainda, podemos colocar 221x
− em evidên-cia para expressarmos a resposta final:
Cxx
Cxx
dxxx +�
��
��� +−=+�
��
��� +−=� 2
1ln10
121ln
2)1(
51
5ln
223
Exemplo 7.10. Calcule � dxex x2
Façamos as seguintes equivalências:
xdxduxdxduxxuu 22)( 2 =→=→==
Cedxedvvdxedv xxx +===→= � �
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
�� −= xdxeexdxex xxx 2. 22
Podemos, então, usar a seguinte propriedade:
� �= dxxfkdxxfk )(.)(.
143143143143143Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes
Ou seja,
��� −=−= dxxeexxdxeexdxex xxxxx 22 222
Caímos em uma integral que deve ser resolvida novamente por partes. Esta integral jáfoi feita no exemplo 7.1:
Cexedxexedxxe xxxxx +−=−= ��
Logo,
xxxxxxxxx exeexexeexdxxeexdxex 22)(22 2222 +−=−−=−= ��A integral já foi acabada, mas ainda podemos colocar ex em evidência para dar a res-posta final:
( )2222 222 +−=+−=� xxeexeexdxex xxxxx
Exemplo 7.11. Calcule .cos2� xdxx
Façamos as seguintes equivalências:
( ) xdxduxxdxduxxuu 22)( ,22 =→==→==
Csenxxdxdvvxdxdv +===→= � �coscos
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
�� −= xdxsenxsenxxxdxx 2cos 22
Podemos, então, usar a seguinte propriedade:
� �= dxxfkdxxfk )(.)(.
144144144144144 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Ou seja,
��� −=−= xsenxdxsenxxxdxsenxsenxxxdxx 22cos 222
Caímos em uma integral que deve ser feita novamente por partes: a integral do produtode x pelo seno de x. Vamos resolvê-la:
dxdtdxdtdxdtxt =→=→=→= 11
Cxsenxdxdzzsenxdxdz +−===→= � � cos
�� −= zdtztdzt .
��� ++−=+−=−−−= Csenxxxxdxxxdxxxxsenxdxx coscoscos)cos()cos(.
Logo,
Csenxxxsenxxsenxxxsenxxxdxx +−+=+−−=� 2cos2)cos(2cos 222
Exemplo 7.12. Calcule � xdxx 2sec
Como a integral da secante ao quadrado de x é diretíssima da tabela, � += Ctgxxdx2sec ,no uso do método da integração por partes vamos chamar essa função de dv. A funçãou = u(x) é, então, u = u(x) = x. Vejamos:
( ) dxdudxduxdxduxxuu =→=→==→== 11)( ,
Ctgxxdxdvvxdxdv +===→= � � 22 secsec
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
�� −= tgxdxxtgxxdxx 2sec
145145145145145Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes
A integral da tangente de x foi feita no exemplo 6.10 e consta da tabela ampliada deintegrais:
xtgxdx cosln−=� .
Logo,
( ) CxxtgxCxxtgxxdxx ++=+−−=� coslncoslnsec2
Exemplo 7.13. Calcule � xdx3sec
Vamos começar escrevendo a secante ao cubo de x como o produto da secante de xpela secante ao quadrado de x: sec3 x = sec x sec2 x. Logo,
�� = xdxxxdx 23 secsecsec
Agora, chamamos a secante ao quadrado de x de dv. A função u = u(x) é, então,u = u(x) = sec x. Vejamos:
( ) xtgxdxduxtgxxdxduxxuu secsecsecsec)( , =→==→==
Ctgxxdxdvvxdxdv +===→= � � 22 secsec
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
���� −=−== xdxxtgxtgxxtgxdxtgxxtgxxdxxxdx 223 secsecsecsecsecsecsec
Agora, vamos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:
1sec1sec 2222 −=→+= xxtgxtgx
Substituindo a equivalência acima na integral:
( ) ( )��� −−=−−= xdxxxxtgxxdxxxxtgxxdx secsecsec1secsecsecsec 323
146146146146146 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Podemos “separar” a integral da subtração das funções sec3 x e sec x na subtração dasintegrais de sec3 x e sec x, conforme a propriedade P1 vista no capítulo 4:
( ) ( )���� −−=−−= xdxxdxxtgxxdxxxxtgxxdx secsecsecsecsecsecsec 333
Usando a propriedade distributiva para “retirarmos” os parênteses:
��� +−= xdxxdxxtgxxdx secsecsecsec 33
Como a integral da secante de x está na tabela ampliada de integrais:
� ++= Ctgxxxdx seclnsec .
Também podemos “passar” a integral da secante ao quadrado de x do lado direito parao lado esquerdo da igualdade como soma.
Ou seja,
Ctgxxxtgxxdxxdx +++=+ �� seclnsecsecsec 33
Ctgxxxtgxxdx +++=� seclnsecsec2 3
“Passando” a constante 2 “dividindo” para o lado direito da equação, finalizamos aintegral:
( ) Ctgxxxtgxxdx +++=� seclnsec21sec3
Exemplo 7.14. Calcule ( )� dxsenxx lncos
Temos que: ( ) ( )( )�� = xdxsenxdxsenxx coslnlncos .
Façamos as equivalências abaixo para usarmos o método da integração por partes:
( ) ( ) dxsenx
xdusenx
xsenxsenxsenx
dxdusenxxuu coscos)ln()ln()(
,, =→===→==
Csenxxdxdvvxdxdv +===→= � � coscos
147147147147147Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes
Veja que, para derivarmos o logaritmo neperiano do seno de x, utilizamos a regra dacadeia, pois tínhamos uma função composta.
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
( ) ( ) ( ) ��� −== dxsenx
xsenxsenxsenxxdxsenxdxsenxx cos)ln(cos)ln(lncos
Simplificando a função a ser integrada, ficamos apenas com a integral do cosseno de x,que é diretíssima da tabela:
( ) Csenxsenxsenxxdxsenxsenxdxsenxx +−=−= �� )ln(cos)ln(lncos
A integral já foi acabada, mas, ainda, podemos colocar o seno de x em evidência:
( ) ( ) Csenxsenxdxsenxx +−=� 1)ln(lncos
Exemplo 7.15. Calcule ( )� dxx 2ln
Temos que: ( ) �� = xdxxdxx ln.lnln 2 .
Façamos as equivalências abaixo para usarmos o método da integração por partes:
( ) dxx
dux
xdxduxxuu 11lnln)( , =→==→==
Cxxxdxdvvxdxdv +−===→= � � )1(lnlnln
Para integrarmos a função 1n x, utilizamos o resultado do exemplo 7.6:
� −=−= )1(lnlnln xxxxxxdx .
148148148148148 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
ln ln .ln ln ln ln ln lnx dx x xdx x x x x xxdx x x x( ) = =( ) −( )− −( ) = −∫ ∫ ∫
2 1 1 1 1(( )− −( )∫ ln x dx1
Podemos “separar” a integral da subtração das funções 1n x e 1n a subtração dasintegrais de 1n x e 1, conforme a propriedade P1 vista no capítulo 4:
( ) ( ) ( ) ( ) ��� �� +−−=−−−= dxxdxxxxdxxdxxxxdxx ln1lnln1ln1lnlnln 2
Da tabela de integrais temos que � += Cxdx e do exemplo 7.6 sabemos que
� −=−= )1(lnlnln xxxxxxdx .
Logo,
( ) ( ) ( ) ( ) Cxxxxxxdxxdxxxxdxx ++−−−=+−−= ��� 1ln1lnlnln1lnlnln 2
Já terminamos a integral, mas podemos colocar x em evidência:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) CxxxxCxxxxxxdxx ++−−−=++−−−=� 11ln1lnln1ln1lnlnln 2
( ) ( )( ) ( )( ) CxxxxCxxxxdxx ++−−=+++−−=� 2ln1lnln11ln1lnlnln 2
Exercícios Propostos – Capítulo 7.Exercícios Propostos – Capítulo 7.Exercícios Propostos – Capítulo 7.Exercícios Propostos – Capítulo 7.Exercícios Propostos – Capítulo 7.
Exercício 7.1. Calcule � dxxe x5
Exercício 7.2. Calcule � − dxxe x 12
Exercício 7.3. Calcule � − dxex x4)2(
Exercício 7.4. Calcule � +− dxex x 3)15(
149149149149149Capítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por PartesCapítulo 7 - Integrais Simples - Integração por Partes
Exercício 7.5. Calcule � + xdxx cos)8(
Exercício 7.6. Calcule � − xdxx 3cos)47(
Exercício 7.7. Calcule � − xdxsenx 2)15(
Exercício 7.8. Calcule � dxx3
ln
Exercício 7.9. Calcule � + xdxx ln)12(
Exercício 7.10. Calcule � xdxx ln3
Exemplo 7.11. Calcule � senxdxx2
Exercício 7.12. Calcule � dxex x22
Exercício 7.13. Calcule � xtgxdxx sec
Exercício 7.14. Calcule � xdxsene x 54
Exercício 7.15. Calcule ( )� dxxsenx cosln
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7.
Exercício 7.1. Cxe x +���
��� −
51
51 5
Exercício 7.2. Cxe x +���
��� −−
21
21 12
Exercício 7.3. Cxe x +���
��� −
49
41 4
Exercício 7.4. ( ) Cxe x +−+ 653
Exercício 7.5. Cxsenxx +++ cos)8(
Exercício 7.6. Cxxsenx +−���
��� − 3cos
943
347
150150150150150 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exercício 7.7. − Cxsenxx ++���
��� − 2
452cos
215
Exercício 7.8. ( ) Cxx +−1ln3
Exercício 7.9. ( ) Cxxxxx +−−+2
ln2
2
Exercício 7.10. Cxx +���
��� −
41ln
4
4
Exemplo 7.11. − x2 cos x + 2xsenx + 2 cos x + C
Exercício 7.12. Cxxe x +���
��� +−
21
21 22
Exercício 7.13. x sec x − 1n|sec x + tgx| + C
Exercício 7.14. ( ) Cxxsene x +− 5cos554411 4
Exercício 7.15. cos x(1 − 1n(cos x)) + C
Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8Capítulo 8
Integrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais DefinidasIntegrais Simples – Integrais Definidas
A integral definida de uma função contínua f (x) em um intervalo que contenha a e b,desde x = a até x = b, é dada por:
� � −====
=
b
a
ba
bx
ax
aFbFxFdxxfdxxf )()()()()(
Na expressão acima, F(x) é uma primitiva de f (x), x = a é o extremo inferior da integrale x = b é o extremo superior da integral.
Vale o seguinte:
� �−=b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
Exemplo 8.1. Calcule .2
1
2� dxx
A integral indefinida relativa ao exemplo 8.1 pode ser feita pelo uso diretíssimo databela, ou seja,
CxCxdxx +=++
=+
� 312
3122
152152152152152 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,com extremo inferior x=1 e extremo superior x=2:
37
31
38
3)1(
3)2(
3
232
1
32
1
2 =−=−=�
��
=�
xdxx
Exemplo 8.2. Calcule .1
2
2� dxx
Pelo exemplo 8.1, já resolvemos a integral indefinida referente à função x ao quadra-do. A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida noexemplo, com extremo inferior x = 2 e extremo superior x = 1:
37
38
31
3)2(
3)1(
3
231
2
31
2
2 −=−=−=�
��
=�
xdxx
Poderíamos, também, ter aproveitado o resultado do exemplo 8.1 da seguinte maneira:
37
372
1
21
2
2 −=���
���−=−= �� dxxdxx
Exemplo 8.3. Calcule .234
1� �
��
��� + dx
x
Façamos a seguinte integral indefinida:
� � � �� ++=+=+=���
��� + Cxxdxdx
xdxdx
xdx
x2ln32132323
Sendo assim:
[ ] ( ) ( ) 64ln320.384ln31.21ln34.24ln32ln323 4
1
4
1
+=−−+=+−+=+=���
��� +� xxdx
x
153153153153153Capítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais Definidas
Exemplo 8.4. Calcule � +1
0
)2( dxxx
Façamos a seguinte integral indefinida:
� � � �� ++=+++
=+=+=++
CxxCxxxdxdxxxdxdxxdxxx 22
32121
21
232
212
122)2(
� ++=+ Cxxdxxx 22
3
32)2(
Sendo assim, desde x = 0 até x = 1:
35
3321
32)0(
3)0(2)1(
3)1(2
32)2( 2
232
231
0
2231
0
=+=+=���
����
�+−��
�
����
�+=�
��
+=+� xxdxxx
Exemplo 8.5. Calcule �2
0
cosπ
xdx
A integral indefinida relativa a este exemplo pode ser feita pelo uso diretíssimo databela, ou seja,
� += Csenxxdxcos
Aplicando-se os extremos indicados, temos que:
[ ] 10102
cos 20
2
0
=−=−==� sensensenxxdx πππ
Exemplo 8.6. Calcule .)cos6(0� +π
dxx
A integral indefinida relativa a esse exemplo é
� � � �� ++=+=+=+ Csenxxxdxdxxdxdxdxx 6cos6cos6)cos6(
154154154154154 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
A integral indefinida é
[ ] ππππππ
6)00()06()00.6()6(6)cos6( 00
=+−+=+−+=+=+� sensensenxxdxx
Exemplo 8.7.Calcule �−
+1
1
23 )3( dxxx
No exemplo 5.5, vimos que
Cxxxdxxx +++=+� 656
49)3(
65423
Agora, podemos fazer facilmente a integral definida, desde x = −1 até x = 1:
���
����
� −+−+−−���
����
�++=�
��
++=+
−−� 6
)1(5
)1.(64
)1.(96)1(
5)1.(6
4)1.(9
656
49)3(
6546541
1
6541
1
23 xxxdxxx
512
61
56
49
61
56
49
61
56
49
61
56
49)3(
1
1
23 =−+−++=���
��� +−−�
��
��� ++==+�
−
dxxx
Exemplo 8.8. Calcule � −
2
174
3
)12(5 dx
xx
No exemplo 6.3, vimos que
Cx
dxx
x +−
−=−� 6474
3
)12(485
)12(5
A partir desse resultado, temos que:
� ���
����
�−
−−
−=�
��
−
−=�
��
−
−=−
2
16464
2
164
2
16474
3
)11.2(1
)12.2(1
485
)12(1
485
)12(485
)12(5
xxdx
xx
� ���
����
� −=���
����
� −−=���
����
�−−=
−
2
16
6
6
6
6674
3
31131
485
31311
485
)1(1
)31(1
485
)12(5 dx
xx
155155155155155Capítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais Definidas
Exemplo 8.9. Calcule �−
−1
1
55 6
dxex x
No exemplo 6.5, vimos que
Cedxex xx += −−� 555 66
61
Assim, a integral definida referente ao exemplo 8.9 é calculada da seguinte maneira:
[ ] ( ) ( ) 061
61
61
61 445)1(511
15
1
1
51
1
55 66666
=−=−==�
�� = −−−−−
−−
−
−
−
−� eeeeeedxex xxx
Exemplo 8.10. Calcule �π
π2
2cos xdx
No exemplo 6.11, vimos que
Cxsenxxdx ++=� 241
21cos2
Agora, podemos fazer facilmente a integral definida:
( )444
2222.
41
2.
212
41
212
41
21cos
22
2 πππππππππ
π
π
π
sensensensenxsenxxdx −−+=���
��� +−�
��
��� +=�
�� +=�
442cos
2
2 ππππ
π=−=� xdx
Exemplo 8.11. Calcule �2
0
6 dxx
Da tabela ampliada de integrais, vimos que
� += Caa
dxa xx
ln1
.
156156156156156 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Fazendo a igual a 6, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao exemplo 8.11:
� += Cdx xx 66ln
16
A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,com extremo inferior x = 0 e extremo superior x = 2:
( ) ( )6ln
351366ln
1666ln
166ln
16 022
0
2
0
=−=−=�
�� =
=
=�
x
x
xx dx
Se aproximarmos o logaritmo neperiano de 6 por 1,79, temos que
95,16ln
3562
0
≅=� dxx.
Esses cálculos foram feitos com o auxílio da calculadora.
Exemplo 8.12. Calcule �π
0
2 3sec xdx
Da tabela ampliada de integrais, vimos que
� += Ctgaxa
axdx 1sec2 .
Fazendo a igual a 3, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao exemplo 8.12:
� += Cxtgxdx 3313sec2
A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,com extremo inferior x = 0 e extremo superior x = π:
( ) ( ) 0003103
313
313sec
00
2 =−=−=�
�� =
=
=� tgtgxtgxdx
x
x
πππ
157157157157157Capítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais Definidas
Exemplo 8.13. Calcule �8
0
2π
xdxtg
Da tabela ampliada de integrais, vimos que
� +−= Caxa
tgaxdx cosln1.
Fazendo a igual a 2, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao exemplo 8.13:
� +−= Cxxdxtg 2cosln212
A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,com extremo inferior x = 0 e extremo superior x = π/8:
���
����
� −−=���
����
� −−=�
�� −=
=
=� 0cosln
4cosln
210.2cosln
8.2cosln
212cosln
212
8
0
8
0
ππππ x
x
xxdxtg
22ln
210
22ln
211ln
22ln
212
8
0
−=���
����
�−−=�
��
����
�−−=�
π
xdxtg
Exemplo 8.14. Calcule � −2
1
53 dxe x
Da tabela ampliada de integrais, vimos que
� += ++ Cea
dxe baxbax 1.
Fazendo a igual a 3 e b igual a − 5, podemos calcular a integral indefinida relacionada aoexemplo 8.14:
� += −− Cedxe xx 5353
31
158158158158158 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,com extremo inferior x = 1 e extremo superior x = 2:
( ) ( ) ���
��� −=−=−=�
�� = −−−
=
=
−−� 22151.352.3
2
1
532
1
53 131
31
31
31
eeeeeeedxe
x
x
xx
Exemplo 8.15. Calcule � −
5
422 3
1 dxx
Da tabela ampliada de integrais, vimos que
� +−+=−
Caxxa
dxax
2222
ln11.
Fazendo a igual a 3, podemos calcular a integral indefinida relacionada ao exemplo 8.15:
� +−+=−
Cxxdxx
2222
3ln31
31
A partir da integral indefinida, podemos resolver a integral definida pedida no exemplo,com extremo inferior x = 4 e extremo superior x = 5:
����
�� −+−−+=�
�� −+=
−
=
=� 2222
5
4
225
422
344ln355ln313ln
31
31 x
x
xxdxx
( ) ( )74ln45ln319164ln9255ln
31
315
422
+−+=−+−−+=−� dx
x
( )74ln9ln31
315
422
+−=−� dx
x
Como 9 e 74 + são positivos, podemos “tirar” os módulos:
( )( )74
9ln3174ln9ln
31
315
422 +
=+−=−� dx
x
159159159159159Capítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais DefinidasCapítulo 8 - Integrais Simples - Integrais Definidas
Lembre que
( )74
9ln74ln9lnlnlnln+
=+−→=−baba .
Exercícios Propostos – Capítulo 8.Exercícios Propostos – Capítulo 8.Exercícios Propostos – Capítulo 8.Exercícios Propostos – Capítulo 8.Exercícios Propostos – Capítulo 8.
Exercício 8.1. Calcule �3
2
3dxx
Exercício 8.2. Calcule �3
2
1 dxx
Exercício 8.3. Calcule � ���
��� −
5
1
32 dxx
Exercício 8.4. Calcule � −1
0
)3( dxxx
Exercício 8.5. Calcule �2
0
π
senxdx
Exercício 8.6. Calcule � +π
0
)34( dxsenx
Exercício 8.7. Calcule �−
+1
1
22 )45( dxxx
Exercício 8.8. Calcule � −
3
233
2
)1(6 dx
xx
Exercício 8.9. Calcule �−
−1
1
24 5
dxex x
Exercício 8.10. Calcule �2
3
2
π
π
xdxsen
160160160160160 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8.Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8.
Exercício 8.1. 465
Exercício 8.2. 23ln2ln3ln =−
Exercício 8.3. 21n 5 − 12
Exercício 8.4. 23
Exercício 8.5. 1
Exercício 8.6. 4π + 6
Exercício 8.7. 15346
Exercício 8.8. 33124627
Exercício 8.9. ���
��� − 3
1151
ee
Exercício 8.10. 4π
Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9Capítulo 9
Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de IntegraçãoIntegrais Duplas e Regiões de Integração
A integral dupla da função de duas variáveis z = f (x, y), sobre determinada região R doplano xOy, é indicada por ��
R
dxdyyxf ),( .
Há duas propriedades, designadas por I1 e I2, similares às propriedades P1 e P2 vistasno capítulo 4 e referentes às integrais de funções de uma variável, que podem serusadas para resolver integrais duplas:
• I1. ������ ±=±RRR
dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ),(),()),(),(( ;
• I2. ���� =RR
teconsumaksendodxdyyxfkdxdyyxfk tan,),(),(. .
Conforme será visto nos exemplos a seguir, o cálculo da integral dupla está relaciona-do com as integrais definidas.
Exemplo 9.1. Calcule ��R
dxdy5 , sendo { }2020:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .
A região R corresponde ao quadrado esboçado na figura 9.1.
162162162162162 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Figura 9.1. Região { }2020:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .
Vamos usar a propriedade I2 e escrever a constante 5 como um fator de multiplicaçãoda integral dupla, ou seja, “colocamos a constante 5 que multiplica a função para forada integral”:
������ ==RRR
dxdydxdydxdy 1555
Escrevendo a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração:
� �����=
=
=
=
==2
0
2
0
15155y
y
x
xRR
dxdydxdydxdy
Optamos em fazer, primeiramente, a integração simples em relação à variável x. A inte-gral indefinida da função f (x, y) = 1, em relação à variável x, é diretíssima da tabela eresulta em x, além da constante de integração: � += Cxdx1 . Para os extremos dadospela região R, temos o que segue abaixo.
[ ] ����� �����=
=
=
=
=
=
=
=
==
=
=
=
=
==−==���
����
�==
2
0
2
0
2
0
2
0
20
2
0
2
0
2.525)02(5515155y
y
y
y
y
y
y
y
xx
y
y
x
xRR
dydydydyxdydxdxdydxdy
����=
=
=
=
==2
0
2
0
110105y
y
y
yR
dydydxdy
Agora, precisamos fazer a integral simples da função 1 em relação à variável y.
163163163163163Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
A integral indefinida da função f (x, y) = 1, em relação à variável y, é diretíssima da tabelae resulta em y, além da constante de integração: � += Cydy1 . Para os extremosdados pela região R, temos o que segue.
[ ]���=
=
== =−===
2
0
20 20)02(10101105
y
y
yy
R
ydydxdy
Logo, o resultado da integral dupla do exemplo 9.1 é 20.
Poderíamos, alternativamente, ter iniciado a integração pela variável y. Chegaríamosao mesmo resultado, ou seja, 20. Vejamos:
5 5 1 5 1 50
2
0
2
0
2dxdy dxdy dy dx y dxR R y
y
x
x
∫∫ ∫∫ ∫∫= =⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = [ ]
=
=
=
=
=
=
y
y == − = = ==
=
=
=
=
=
=
=
=∫ ∫ ∫ ∫x
x
x
x
x
x
x
x
x
xdx dx dx dx
0
2
0
2
0
2
0
2
05 2 0 5 2 5 2 10( ) .
==
=
=
=
=
∫
∫∫ ∫= = [ ] = − =
2
0
2
0
25 10 1 10 10 2 0 20dxdy dx xR x
x
x
x ( )
Exemplo 9.2. Calcule�� +R
dxdyyx )53( , sendo { }1020:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .
A região R corresponde ao retângulo esboçado na figura 9.2.
Figura 9.2. Região { }1020:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .
Escrevendo a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região de integração:
� ���=
=
=
=
+=+1
0
2
0
)53()53(y
y
x
xR
dxdyyxdxdyyx
164164164164164 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Optamos em fazer, primeiramente, a integração simples em relação à variável x. Paraintegrarmos a função 3x + 5y em relação à variável x, pensamos que y representa umaconstante. Se a variável y é interpretada, momentaneamente, como constante, o pro-duto 5y também representa uma constante. Segundo a tabela de integrais, a integralindefinida de 5y, em relação à variável x, é 5yx e a integral indefinida de 3x = 3x1, emrelação à variável x, é
CxCxCx +=+=++
+2
211
23
23
113 ,
além das constantes de integração.Como “a integral da soma é a soma das integrais” (propriedade I1):
Cyxxdxyxdxydxxdxdxyx ++=+=+=+ � �� �� 5235353)53( 2 .
Para os extremos dados pela região R, temos que
dyyxxdydxyxdxdyyxx
x
y
y
y
y
x
xR
2
0
1
0
21
0
2
0
523)53()53(
=
=
=
=
=
=
=
=�� ��� �
�� +=��
�
����
�+=+
( )����=
=
=
=
+=�
��
���
����
�+−��
�
����
�+=+
1
0
1
0
22
106)0(52)0(3)2(5
2)2(3)53(
y
y
y
yR
dyydyyydxdyyx
Agora, temos de fazer uma integral simples: a integral da função 6 + 10y, em relação àvariável y. Segundo a tabela de integrais, a integral indefinida de 6, em relação àvariável y, é 6y e a integral indefinida de 10y = 10y1, em relação à variável y, é
CyCyCy +=+=++
+2
211
52
1011
10 ,
além das constantes de integração.
Como “a integral da soma é a soma das integrais”:
Cyyydydydyy ++=+=+ � �� 256106)106( .
165165165165165Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Para os extremos dados, temos que
( ) [ ] ( ) ( ) 11)0(5)0(6)1(5)1.(656106)53( 2210
21
0
=+−+=+=+=+ ==
=
=���
yy
y
yR
yydyydxdyyx
Poderíamos, alternativamente, ter iniciado a integração pela variável y. Para integrar-mos a função 3x + 5y, em relação à variável y, pensamos que x representa uma constan-te. Se a variável x é interpretada, momentaneamente, como constante, o produto 3xtambém representa uma constante. Segundo a tabela de integrais, a integral indefinidade 3x, em relação à variável y, é 3xy e a integral indefinida de 5y = 5y1, em relação àvariável y, é
CyCyCy +=+=++
+2
211
25
25
115 ,
além das constantes de integração.
Como “a integral da soma é a soma das integrais”:
Cyyxydyxdydyyx ++=+=+ � �� 2
25353)53( .
Para os extremos dados pela região R, temos que
dxyxydxdyyxdxdyyxy
x
x
x
x
x
y
yR
1
0
2
0
22
0
1
0 253)53()53(
=
=
=
=
=
=
=
=�� ��� �
�� +=�
��
����
�+=+
����=
=
=
=
���
��� +=�
��
���
����
�+−��
�
����
�+=+
2
0
2
0
22
253
2)0(5)0(3
2)1(5)1(3)53(
x
x
x
xR
dxxdxxxdxdyyx
Agora, temos de fazer uma integral simples: a integral da função 253 +x , em relação à
variável x. Segundo a tabela de integrais, a integral indefinida de 3x, em relação àvariável x, é
CxCxCx +=+=++
+2
211
23
23
113
166166166166166 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
e a integral indefinida de 25
, em relação à variável x, é x25
, além das constantes deintegração.
Como “a integral da soma é a soma das integrais”:
Cxxdxxdxdxx ++=+=���
��� + � �� 2
523
253
253 2
.
Para os extremos dados pela região R, temos que
���
����
�+−��
�
����
�+==�
�� +=�
��
��� +==+ ���
=
=
=
= 2)0(5
2)0(3
2)2(5
2)2(3
25
23
253)53(
222
0
2
0
2x
x
x
xR
xxdxxdxdyyx
( ) 11056)53( =−+=+��R
dxdyyx
Exemplo 9.3. Calcule �� −R
dxdyxyy )2( 32 , sendo { }2132:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .
A região R corresponde ao quadrado esboçado na figura 9.3.
Figura 9.3. Região { }2132:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .
Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região deintegração:
�� � �=
=
=
=
−=−R
y
y
x
x
dxdyxyydxdyxyy2
1
3
2
3232 )2()2(
167167167167167Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Para integrarmos a função 2y2 − xy3 em relação à variável x, inicialmente pensamos quey representa uma constante. Se a variável y é interpretada, momentaneamente, comoconstante, o produto 2y2 também representa uma constante e o produto xy3 representax multiplicado pela, neste momento, “constante” y3. A integral de 2y2, em relação àvariável x, é 2y2 x + C. A integral de xy3 = y3 x1, em relação à variável x, é
CxyCxy +=++
+
211
23113 .
Como a integral da subtração de duas funções é a subtração das integrais das funções:
Cxyxydxxydxydxxyy +−=−=− � �� 222)2(
2323232 .
Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que
� ���
���
�� ���
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
���
����
�−=��
�
����
�+−−=−
�
��
���
����
�−−��
�
����
�−=−
�
��
−=��
�
����
�−=−
2
1
2
1
3232
3232
2
1
232
23232
3
2
2
1
232
2
1
3
2
3232
25224
296)2(
2)2()2(2
2)3()3(2)2(
22)2()2(
y
y
y
yR
y
yR
x
x
y
y
y
y
x
xR
dyyydyyyyydxdyxyy
dyyyyydxdyxyy
dyxyxydydxxyydxdyxyy
Agora, temos de fazer uma integral simples: a integral da função
323
2
252
252 yyyy −=−
em relação à variável y. Ou seja,
� �� � �� −=−=���
����
�−=��
�
����
�− dyydyydyydyydyyydyyy 32
32
32
32
252
252
252
252
Cyydyyy +−=���
����
�−� 42
53
22
52433
2
Cyydyyy +−=���
����
�−� 8
53
22
52433
2
168168168168168 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Continuando com a integral �� −R
dxdyxyy )2( 32 :
2
1
432
1
3232
85
32
252)2(
=
=
=
=�
��
−=��
�
����
�−=− ���
y
y
y
yR
yydyyydxdyxyy
24113
85
3210
316
8)1(5
3)1(2
8)2(5
3)2(2)2(
434332 −=+−−=��
�
����
�−−��
�
����
�−=−��
R
dxdyxyy
Também poderíamos ter iniciado a integração pela variável y. Para integrarmos a fun-ção 2y2 − xy3 em relação à variável y, pensamos que x representa uma constante. Se avariável x é interpretada, momentaneamente, como constante, o produto xy3 represen-ta y3 multiplicado por uma constante. A integral de 2y2, em relação à variável y, é
CyCy +=++
+
32
122
312
.
A integral de xy3, em relação à variável y, é
Cxyyx +=+
+
413
413
.
Como a integral da subtração de duas funções é a subtração das integrais das funções:
Cxyydyyxdyydyxydyydyxyy +−=−=−=− � � � �� 43222)2(
43323232 .
Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que
dxxyydxdyxyydxdyxyyy
y
x
x
x
x
y
yR
2
1
3
2
433
2
2
1
3232
432)2()2(
=
=
=
=
=
=
=
=�� ��� �
��
−=�
��
����
�−=−
dxxxdxdyxyyx
xR���=
=���
����
����
����
�−−��
�
����
�−=−
3
2
434332
4)1(
3)1(2
4)2(
3)2(2)2(
� ���=
=
=
=
���
��� −=�
��
��� +−−=−
3
2
3
2
32
415
314
4324
316)2(
x
x
x
xR
dxxdxxxdxdyxyy
169169169169169Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Agora, precisamos fazer uma integral simples: a integral da função 415
314 x− , em rela-
ção à variável x. Vejamos:
143
154
143
154
143
154
143
154 2
12
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − = − = −∫ ∫x dx dx xdx dx x dx x x. ++ = − +∫∫∫ C x x C14
3158
2
Continuando com a integral �� −R
dxdyxyy )2( 32 :
���=
=
=
=�
��
−==�
��
��� −=−
3
2
3
2
232
815
314
415
314)2(
x
x
x
xR
xxdxxdxdyxyy
24113
215
328
813514
8)2(15
3)2(14
8)3(15
3)3(14)2(
2232 −=+−−=��
�
����
�−−��
�
����
�−=−��
R
dxdyxyy
Exemplo 9.4. Calcule ��R
xsenydxdy , sendo ���
��� ≤≤≤≤ℜ∈=
3051:),( 2 πyexyxR .
A região R corresponde ao retângulo esboçado na figura 9.4.
Figura 9.4. Região ���
��� ≤≤≤≤ℜ∈=
3051:),( 2 πyexyxR .
Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região deintegração:
� ���=
=
=
=
=3
0
5
1
)(πy
y
x
xR
xdxdysenyxsenydxdy
170170170170170 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Para integrarmos a função xseny = (seny) x em relação à variável x, inicialmente pensamosque y representa uma constante. Se a variável y é interpretada, momentaneamente,como constante, então seny também representa uma constante. A integral indefinidade xseny = (seny) x, em relação à variável x, é
( ) ( ) ( ) CxsenyCxsenyCxseny +=+=++
+2
211
21
221.
Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que
[ ] [ ]dysenydyxsenydyxdxsenysenydxdyxy
y
x
x
y
y
y
y
x
xR��� ���
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−==���
����
�=
3
0
22
5
1
3
0
23
0
5
1
)1()5(21)(
21)()(.
πππ
dysenydysenysenydxdyxy
y
y
yR����
=
=
=
=
==3
0
3
0
122421)(.
ππ
Agora, vamos fazer uma integral simples: a integral da função seny em relação à variá-vel y. Essa integral está na tabela e é − cos y + C. Sendo assim, para os extremos dadospela região R, temos que
[ ] [ ] ���
��� −−=−=−== =
===
=
=��� 0cos
3cos12cos12cos1212. 3
03
0
3
0
ππππ
yy
yy
y
yR
yydysenysenydxdyx
62112
221121
2112. =�
��
��� −−=�
��
��� −−=�
��
��� −−=��
R
senydxdyx
Exemplo 9.5. Calcule �� +R
dxdyyx
5, sendo R o quadrado [0,2]x[1,3].
A região R corresponde ao quadrado esboçado na figura 9.5. Essa região também podeser escrita como { }3120:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR
171171171171171Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Figura 9.5. Região { }3120:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yexyxR .
Podemos aplicar a propriedade I2, que permite que a integral de uma constante multi-plicada por uma função seja expressa como a constante multiplicada pela integral dafunção e escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região deintegração:
� �����=
=
=
= +=
+=
+
3
1
2
0
15155 y
y
x
xRR
dxdyyx
dxdyyx
dxdyyx
Precisamos resolver, inicialmente, a seguinte integral:
� +dx
yx1
.
Como estamos integrando em relação à variável x, pensamos que y representa, momen-taneamente, uma constante. Sendo assim, temos que
( ) Cyxdxyx
++=+� ln1
Fazendo a integral definida:
( )[ ] ( ) ( ) ( ) yyyyyxyx
xx
x
x
ln2ln0ln2lnln1 20
2
0
−+=+−+=+=+
==
=
=�
172172172172172 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Prosseguindo com a integral dupla:
( )( )� ����=
=
=
=
=
=
−+=���
����
�
+=
+
3
1
3
1
2
0
ln2ln5155 y
y
y
y
x
xR
dyyydydxyx
dxdyyx
( ) ���
����
�−+=
+ ����=
=
=
=
3
1
3
1
ln2ln55 y
y
y
yR
ydydyydxdyyx
Conforme visto no capítulo 7, as integrais � ydyln e � + dyy)2ln( são resolvidaspelo método da integração por partes. Vejamos:
?ln =� ydy
dyy
duydy
duyu 11ln =→=→=
Cydydvvdydv +===→= � �
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
� � � +−=−=−= Cyyydyyydyy
yyyydy lnln.1.).(lnln
Fazendo a integral definida desde y = 1 até y = 3:
[ ] ( ) ( ) 23ln3133ln311ln133ln3lnln 31
3
1
−=+−=−−−=−= ==
=
=� y
y
y
y
yyyydy
?)2ln( =+� dyy
( ) dyy
duydy
duyu+
=→+
=→+=2
12
12ln
Cydydvvdydv +===→= � �
173173173173173Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Aplicando o método da integração por partes:
�� −= vduvudvu .
� � � ++
−+=+
−+=+ Cdyy
yyydyy
yyydyy2
)2ln(.2
1.)).2(ln()2ln(
?2
=+� dy
yy
Façamos a seguinte substituição:
dydzdydzzyeyz =→=→−=+= 122
� ��� � �� −=���
��� −=�
��
��� −=�
��
��� −=−=
+dz
zdzdz
zdz
zdz
zzzdz
zzdy
yy 1211212122
2
� �� ++−+=+−=−=+
Cyyczzdzz
dzdyy
y )2ln(22ln21212
Logo,
( )� � ++−+−+=+
−+=+ Cyyyydyy
yyydyy )2ln(22)2ln(2
)2ln()2ln(
Cyyyydyy +++−−+=+� )2ln(22)2ln()2ln(
� +−−++=+ Cyyydyy 2)2ln()2()2ln(
Fazendo a integral definida desde y = 1 até y = 3:
( ) ( )�=
=
−−++−−−++=+3
1
12)12ln()21(32)32ln()23()2ln(y
y
dyy
�=
=
−−=+−−=+3
1
23ln35ln533ln355ln5)2ln(y
y
dyy
174174174174174 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Finalizando a integral dupla original:
( ))23ln3()23ln35ln5(5ln)2ln(55 3
1
3
1
−−−−=���
����
�−+=
+ � ���=
=
=
=
y
y
y
yR
ydydyydxdyyx
( )23ln323ln35ln555 +−−−=+��
R
dxdyyx
( ) ( ) 6
5
6
565
35ln5
35ln53ln5ln53ln65ln555 =���
����
�=−=−=
+��R
dxdyyx
Observe que, nas etapas finais, já depois de termos acabadode resolver a integral, usamos as propriedades de logaritmoscitadas abaixo.
6
565
65
35ln3ln5lnlnlnln
3ln3ln65ln5ln5lnln.
=−→=−
==→=
dcdc
ebba a
Exemplo 9.6. Calcule �� +
R
yx dxdyxe2
, sendo R o retângulo [0,1]x[−1,1].
A região R corresponde ao retângulo esboçado na figura 9.6. Essa região também podeser escrita como { }1110:),( 2 ≤≤−≤≤ℜ∈= yexyxR
Figura 9.6. Região { }1110:),( 2 ≤≤−≤≤ℜ∈= yexyxR .
175175175175175Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Antes de começarmos a resolver a integral, vamos usar que ab+c = ab .ac → ex2+y = ex2 .ey
para “preparar” a função. Sendo assim,
���� =+
R
yx
R
yx dxdyexedxdyxe22
Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região deintegração:
� �����=
=
=
−=
+ ==1
0
1
1
222x
x
y
y
yx
R
yx
R
yx dydxexedxdyexedxdyxe
Vamos resolver, inicialmente, a integral da função xex2 e y em relação à variável y. Comoestamos integrando em relação à variável y, pensamos que x representa, momentanea-mente, uma constante e, consequentemente, xex2 também representa uma constante.Ou seja,
Cexedyexedyexe yxyxyx +== ��222
.
Sendo assim, temos que
� �� �����=
=
=
−=
=
=
=
−=
+
���
����
�===
1
0
1
1
1
0
1
1
2222x
x
y
y
yxx
x
y
y
yx
R
yx
R
yx dxdyexedydxexedxdyexedxdyxe
A integral de e y, em relação à variável y, é obtida diretamente da tabela: Cedye yy +=� .Para os extremos da integral em questão:
[ ] ( ) ( ) ���� ���=
=
−=
=
−=
=
=−=
=
=
=
−=
+ −=−==���
����
�=
1
0
111
0
111
0
11
1
0
1
1
22222x
x
xx
x
xx
x
yy
yxx
x
y
y
yx
R
yx dxxeeedxeexedxexedxdyexedxdyxe
Agora, temos de fazer a integral da função xex2 em relação à variável x. Essa integral éresolvida pelo método da substituição, conforme explicado no capítulo 6.
Façamos a seguinte substituição:
xdxduxdxduxdxduxu =→=→=→=
2222
176176176176176 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Ou seja,
CeCedueduexdxedxxe xuuuxx +=+==== ����222
21
21
21
2
A integral definida fica:
[ ] ( ) ( ) ( )121
21
21
21 0101
1
0
1
02222
−=−=−==�=
=
=
= eeeeeedxxex
x
x
xxx
Finalizando a integral dupla original:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )11211
211
21 11
1
0
11 22
−���
��� −=−−=−−=−= −−
=
=
−+ ��� ee
eeeeeeedxxeeedxdyxex
x
x
R
yx
Exemplo 9.7. Calcule �� −R
dxdyyx )( , sendo R o semicírculo x2 + y2 ≤ 1, com x ≥ 0.
A região R corresponde ao semicírculo esboçado na figura 9.7. Essa região tambémpode ser escrita como { }222 1110:),( xyxexyxR −+≤≤−−≤≤ℜ∈=
Figura 9.7. Região { }222 1110:),( xyxexyxR −+≤≤−−≤≤ℜ∈= .
177177177177177Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Devemos lembrar o que segue.
• A equação x2 + y2 = 12 corresponde à circunferência de raio 1 com centro naorigem (0,0).
• A equação x2 + y2 = 12, na condição x ≥ 0, corresponde à semicircunferênciade raio 1 com centro na origem (0,0), que ocupa o 1º e o 4º quadrantes doplano xOy.
• A equação x2 + y2 = 12, na condição x ≥ 0, corresponde a duas funções:21 xy −+= , para 0 ≤ y ≤ 1, e 21 xy −−= , para −1 ≤ y ≤ 0, conforme indica-
do na figura 9.7.
Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região deintegração:
� ���=
=
−+=
−−=��
�
�
��
�
�−=−
1
0
1
1
2
2
)()(x
x
xy
xyR
dxdyyxdxdyyx
Precisamos resolver, inicialmente, a integral da função (x − y) em relação à variável y.Como estamos integrando em relação à variável y, pensamos que x representa, momen-taneamente, uma constante e, consequentemente, a função (x − y) representa a função“constante menos y”. A integral de x, em relação à variável y, é xy e a integral de y = y1,em relação à variável y, é
CyCy +=++
+
211
211
.
Visto que a integral da subtração de duas funções é igual à subtração das integrais dasfunções, temos que
� � � +−=−=− Cyxyydyxdydyyx2
)(2
.
Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que
�� ���=
=
−+=
−−=
=
=
−+=
−−=
�
��
−=�
�
�
�
��
�
�−=−
1
0
1
1
21
0
1
1
2
2
2
2 2)()(
x
x
xy
xy
x
x
xy
xyR
dxyxydxdyyxdxdyyx
178178178178178 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
( ) ( ) ( )���=
= ��
��
�
��
�
�
��
�
� −−−−−−��
�
�
��
�
� −−−=−1
0
22
2
22
2
211
211)(
x
xR
dxxxxxxxdxdyyx
( ) ( )���=
=���
����
� −+−+−−−=−1
0
22
22
211
211)(
x
xR
dxxxxxxxdxdyyx
����=
=
=
=
−=−=−1
0
21
0
2 2112)(x
x
x
xR
xdxxdxxxdxdyyx
Agora, temos de fazer a integral da função xx 21 2− em relação à variável x. Essaintegral é resolvida pelo método da substituição, conforme explicado no capítulo 6.
Façamos a seguinte substituição:
xdxduxdxduxdxduxu 2221 2 =−→−=→−=→−=
Ou seja,
( ) CxCuxdxx
CuCuCuduuduuduuxdxx
+−−=+−=−
+−=++−=++
−=−=−=−=−
�
� � ��+
+
2322
32
23
221
121
212
132
3221
23
22112
1)(21
A integral definida fica:
( ) ( ) ( ) ( )3210
32)0(1)1(1
321
3221 2
32232
1
0
232
1
0
2 =−−=�
�� −−−−=�
�� −−=−
=
=
=
=�
x
x
x
x
xxdxx
Finalizando a integral dupla original:
32)()(
1
0
1
1
2
2
=��
�
�
��
�
�−=− � ���
=
=
++=
−−=
x
x
xy
xyR
dxdyyxdxdyyx
179179179179179Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Exemplo 9.8. Calcule ��R
dxdyxy2
, sendo R a região do primeiro quadrante limitada pelacircunferência com centro na origem (0,0) e raio igual a 3.
Como xyxy21
2= , aplicando a propriedade I2, podemos escrever a integral “colocando
o fator de multiplicação ½ fora da integral”:
������ ==RRR
xydxdyxydxdydxdyxy21
21
2
A circunferência de centro na origem (0,0) e raio igual a 3 tem equação x2 + y2 = 32. Noprimeiro quadrante, temos x ≥ 0 e y ≥ 0, e a função correspondente ao arco de circun-ferência é 29 xy −= , conforme ilustrado na figura 9.8.
Figura 9.8. Região do 1º quadrante do plano xOy limitadapela circunferência de centro na origem e raio 3.
A região R também pode ser escrita como { }22 9030:),( xyexyxR −≤≤≤≤ℜ∈= .
Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região deintegração:
� �������=
=
−=
=��
�
�
��
�
�===
3
0
9
0
2
21
21
21
2
x
x
xy
yRRR
dxxydyxydxdyxydxdydxdyxy
180180180180180 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Precisamos resolver, inicialmente, a integral da função xy em relação à variável y. Comoestamos integrando em relação à variável y, pensamos que x representa, momentanea-mente, uma constante e, consequentemente, a função xy representa o produto de y poruma constante.
A integral de xy = xy1, em relação à variável y, é
CxyCyxCyx +=+=++
+2
211
21
211.
Sendo assim, para os extremos dados, temos que
[ ]��� ���=
=
−==
=
=
−=
=
=
=
−=
=
=�
�� =�
�
�
�
��
�
�=
3
0
90
23
0
9
0
23
0
9
0
222
21
21
21
21
21
2
x
x
xyy
x
x
xy
y
x
x
xy
yR
dxyxdxxydxxydydxdyxy
( ) ( ) ( )�����=
=
=
=
=
=
−=−=�
�� −−=
3
0
33
0
23
0
22
2 9419
41)0(9
21.
21
2
x
x
x
x
x
xR
dxxxdxxxdxxxdxdyxy
Agora, temos de fazer a integral da função (9x − x3) em relação à variável x. Essaintegral é resolvida diretamente pela tabela, usando-se as propriedades I1 e I2 dadasno capítulo 4. Vejamos:
( ) ���
����
�−=−= �����
=
=
=
=
=
=
3
0
33
0
3
0
3 9419
41
2
x
x
x
x
x
xR
dxxxdxdxxxdxdyxy
���
��� −=��
�
����
����
����
�−−��
�
����
�−=�
��
−=
=
=�� 4
8129.9
41
4)0(
2)0(9
4)3(
2)3(9
41
429
41
2
42423
0
42 x
xR
xxdxdyxy
1681
481162
41
2=�
��
��� −=��
R
dxdyxy
Exemplo 9.9. Calcule �� −
R
y dxdye2
, sendo R o triângulo de vértices (0,0), (0,1) e (1,1).
A região R corresponde ao triângulo esboçado na figura 9.9. Essa região também podeser escrita como { }2R (x, y) : 0 x 1 e x y 1= ∈ ℜ ≤ ≤ ≤ ≤
181181181181181Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Figura 9.9. Região { }110:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yxexyxR .
Devemos lembrar o que segue abaixo.
• A reta que passa pelos pontos (0,0) e (1,1) corresponde à função y = x.
• Na região triangular ilustrada na figura 9.9, a variável x varia desde x = 0até x = 1, enquanto a variável y varia desde y = x até y = 1 (reta vertical dealtura y = 1).
Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região deintegração:
� ���=
=
=
=
−−
���
����
�=
1
0
122
x
x
y
xy
y
R
y dxdyedxdye
Precisaríamos resolver, inicialmente, a integral da função e−y2 em relação à variável y.No entanto, essa integral não é direta da tabela e não pode ser resolvida pelos méto-dos da substituição ou da integração por partes.
Há alguma alternativa para chegarmos a uma integral mais fácil de ser resolvida?
Sim, podemos reescrever a região de integração. Se fizermos uma rotação da figura 9.9,obteremos a região B mostrada na figura 9.10.
Nesse caso, a região B pode ser escrita como { }100:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yeyxyxB .
182182182182182 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Figura 9.10. Região { }100:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= yeyxyxB .
Se começarmos a integral pela variável x:
� �� ���=
=
=
=
−−−���
����
�==
1
0 0
222y
y
yx
x
y
B
y
R
y dydxedxdyedxdye
Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável x, pensamos que yrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função e−y2 tam-bém representa “uma constante que pode ser colocada para fora da integral”. Sendoassim, segundo a propriedade I2 vista no capítulo 4, temos que �� −− = dxedxe yy 22
,sendo que tivemos a “vantagem” de ficar com uma integral diretíssima da tabela. Ou seja,
� �� �� �� ���=
=
=
=
−=
=
=
=
−=
=
=
=
−−−���
����
�=�
��
����
�=�
��
����
�==
1
0 0
1
0 0
1
0 0
122222
y
y
yx
x
yy
y
yx
x
yy
y
yx
x
y
B
y
R
y dydxedydxedydxeedxdye
Temos de fazer a integral da função 1 em relação em relação à variável x. Essa integralé resolvida diretamente pela tabela, pois “a integral de 1 em relação à variável x é x”.Vejamos:
[ ] ( )� � �� ���=
=
=
=
=
=
−−==
−=
=
=
=
−− =−==���
����
�=
1
0
1
0
1
00
1
0 0
22222
01y
y
y
y
y
y
yyyxx
yy
y
yx
x
y
R
y ydyedyyedyxedydxedxdye
183183183183183Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Agora, a integral a ser resolvida é a integral de y em relação à variável y, que é feita pelométodo da substituição. Ou seja,
[ ] ( ) ���
��� −=−−=−== −=
=−
=
=
−− ��� eeeeydyeydxdye
y
yy
y
y
y
R
y 1121
21
21 011
0
1
0
222
Em resumo:
� ��� ���
��� −== −−
eedxdye
B
y
R
y 112122
Exemplo 9.10. Calcule ��R
dxdysenx3 , sendo { }22 010:),( xyexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .
A região R corresponde à área colorida em cinza na figura 9.11.
Figura 9.11. Região { }22 010:),( xyexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .
Podemos escrever a integral dupla sobre R com os extremos dados pela região deintegração:
dxdysenxdxdysenxx
x
xy
yR� ���=
=
=
=��
�
�
��
�
�=
1
0 0
33
2
184184184184184 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que xrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senx3 tam-bém representa “uma constante que pode ser colocada para fora da integral”. Sendo assim,segundo a propriedade I2 vista no capítulo 4, temos que �� = dysenxdysenx 33 . Ou seja,
dxdysenxdxdysenxdxdysenxdxdysenxxy
y
x
x
xy
y
x
x
x
x
xy
yR��
�
�
��
�
�=
��
�
�
��
�
�=
��
�
�
��
�
�= ����� ���
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
222
0
1
0
3
0
1
0
31
0 0
33 1
Precisamos fazer a integral da função 1 em relação em relação à variável y. Essaintegral é resolvida diretamente pela tabela, pois “a integral de 1 em relação à variá-vel y é y”. Vejamos:
[ ] ( )( ) ( )�������=
=
=
=
==
=
=
=
=
=
=
=−==��
�
�
��
�
�=
1
0
231
0
2230
1
0
3
0
1
0
33 012
2 x
x
x
x
xyy
x
x
xy
y
x
xR
dxxsenxdxxsenxdxysenxdxdysenxdxdysenx
A integral a ser resolvida agora pode ser feita pelo método da substituição, conformevisto no capítulo 6.
Façamos a seguinte substituição:
dxxdudxxduxdxduxu 2223
333 =→=→=→=
Ou seja,
( )� �� +−=+−=+−==���
���= CxCuCusenududusenudxxsenx 323 cos
31cos
31cos
31
31
3)(
A integral definida fica:
[ ] ( ) ( ) ( )1cos13111cos
310cos1cos
31cos
31)( 1
03
1
0
23 −=−−=−−=−= ==
=
=�
xx
x
x
xdxxsenx
Finalizando a integral original:
( )1cos1313 −=��
R
dxdysenx
185185185185185Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Exemplo 9.11. Calcule ( )�� +R
dxdyxyx2 , sendo { }232 10:),( xyxexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .
A região R é a área colorida em cinza na figura 9.12.
Figura 9.12. Região { }232 10:),( xyxexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .
Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1, que são as abscissas dos pontosde intersecção entre as funções y1 = x3 e y2 = x2 (fazendo x3 = x2, obtemos que x = 0 oux = 1). A variável y varia desde y1 = x3 até y2 = x2. Sendo assim, podemos escrever:
( ) dxdyxyxdxdyxyxx
x
xy
xyR� ���=
=
=
=��
�
�
��
�
�+=+
1
0
22
2
3
)(
186186186186186 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que xrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função x2 tam-bém representa uma constante. A função x.y é primeiramente interpretada como oproduto da variável y por uma constante.
A integral de x2, em relação à variável y, é
�� +== Cyxdyxdyx 222 .
A integral de xy, em relação à variável y, é
�� +== Cyxdyyxxydy2
21 .
Visto que a integral da soma de duas funções é igual à soma das integrais das funções,temos que
� � � ++=+=+ .2
)(2
222 Cyxyxxydydyxdyxyx
Para os extremos dados pela região R:
( ) �� ���=
=
=
=
=
=
=
=�
��
+=
��
�
�
��
�
�+=+
1
0
22
1
0
22
2
3
2
3 2)(
x
x
xy
xy
x
x
xy
xyR
dxyxyxdxdyxyxdxdyxyx
( ) ( )���=
= ��
���
���
����
�+−�
��
����
�+=+
1
0
2332
22222
22)(
x
xR
dxxxxxxxxxdxdyxyx
���=
=
++���
����
�−−+=+
1
0
2.332
2.2222
22)(
x
xR
dxxxxxxxdxdyxyx
���=
=���
����
�−−+=+
1
0
65
442
22)(
x
xR
dxxxxxxxdxdyxyx
����=
=
=
=���
����
�−−=��
�
����
�−−+=+
1
0
754
1
0
75
542
2222)(
x
x
x
xR
dxxxxdxxxxxdxdyxyx
187187187187187Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Do capítulo 4, sabemos que:
� � �� � �� −−=−−=���
����
�−− dxxdxxdxxdxxdxxdxxdxxxx 754
754
754
21
21
2222
CxxxCxxxdxxxx +−−=++
−+
−+
=���
����
�−−
+++
� 821
621
51721
1521
1422
865171514754
Prosseguindo com a integral definida:
1
0
8651
0
7542
821
621
522)(
=
=
=
=�
��
−−=��
�
����
�−−=+ ���
x
x
x
xR
xxxdxxxxdxdyxyx
24013
240152048)(
161
121
51
8)0(.
21
6)0(.
21
5)0(
8)1(.
21
6)1(.
21
5)1()(
2
8658652
=−−=+
−−=�
��
���
����
�−−−��
�
����
�−−=+
��
��
R
R
dxdyxyx
dxdyxyx
Exemplo 9.12. Calcule ��R
xydxdy2 , sendo { }xyxexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= 22 10:),( .
Aplicando a propriedade I2, podemos escrever:
���� =RR
xydxdyxydxdy 22
A região R é a área colorida em cinza na figura 9.13.
188188188188188 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Figura 9.13. Região { }xyxexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= 22 10:),( .
Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1, que são as abscissas dos pontosde intersecção entre as funções y1 = x2 e xy =2 (fazendo xx =2 , obtemos x = 0 oux = 1). A variável y varia desde y1 = x2 até xy =2 . Sendo assim, podemos escrever:
� �����=
=
=
=��
�
�
��
�
�==
1
0 2
222x
x
xy
xyRR
dxxydyxydxdyxydxdy
Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que xrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função x.y éinterpretada como o produto da variável y por uma constante. Sendo assim,
.21
2112
2111 CxyCyxCyxdyyxxydy +=+=+
+==
+
��
Ou seja,
[ ]��� �����=
=
==
=
=
=
=
=
=
=
=
���
���=
��
�
�
��
�
��
�� =
��
�
�
��
�
�==
1
0
21
0
21
0
2
22 212
212222
x
x
xyxy
x
x
xy
xy
x
x
xy
xyRR
dxyxdxxydxxydyxydxdyxydxdy
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )������=
=
=
=
=
=
=
=
−=−=−=����
�� �
���
�� −=
1
0
521
0
41111
0
41
0
222
21.22
x
x
x
x
x
x
x
xR
dxxxdxxxxxdxxxxdxxxxxydxdy
189189189189189Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Agora, temos de resolver, em relação à variável x, a integral da diferença x2 − x5. Essaintegral equivale, em relação à variável x, à subtração entre a integral de x2 e a integralde x5, que são resolvidas diretamente pela tabela.
Vejamos:
( ) CxxCxxdxxdxxdxxx +−=++
−+
=−=−++
� � � 631512
6315125252
Finalizando a integral original:
( )61
612
61
31
6)0(
3)0(
6)1(
3)1(
632
63631
0
631
0
52 =−=−=���
����
�−−��
�
����
�−=�
��
−=−=
=
=
=
=���
x
x
x
xR
xxdxxxxydxdy
Exemplo 9.13. Calcule ( )�� −R
dxdyxyx 32 , sendo R x,y x x y x= ∈ℜ ≤ ≤ ≤ ≤ −{ }( ) :2 0 1 2e.
A região R é a área colorida em cinza na figura 9.14.
Figura 9.14. Região { }xyxexyxR −≤≤≤≤ℜ∈= 210:),( 2 .
190190190190190 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1. A variável y varia desde xy =1 atéy2 = 2 − x. Sendo assim, podemos escrever:
( ) ( )� ���=
=
−=
=���
����
�−=−
1
0
222 33
x
x
xy
xyR
dxdyxyxdxdyxyx
Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que xrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, x2 representauma constante e 3xy representa o produto da variável y por uma constante.
A integral de x2 em relação à variável y é
�� +== Cyxdyxdyx 222 .
A integral de 3xy em relação à variável y é
�� +== Cyxdyyxxydy2
3332
1 .
Visto que a integral da subtração de duas funções é igual à subtração das integrais dasfunções, temos que
� � � +−=−=− .2
33)3(2
222 Cyxyxxydydyxdyxyx
Sendo assim, para os extremos dados pela região R, temos que
( ) ( ) �� ���=
=
−=
=
=
=
−=
=��
�
�
��
�
��
��
−=�
��
����
�−=−
1
0
222
1
0
222
2333
x
x
xy
xy
x
x
xy
xyR
dxyxyxdxdyxyxdxdyxyx
( ) ���=
=���
����
����
����
�−−��
�
����
� −−−=−1
0
22
222
2)(3)(
2)2(3)2(3
x
xR
dxxxxxxxxxdxdyxyx
( ) ( )���=
=���
����
����
��� −−��
�
����
� +−−−=−1
0
212
2322
23
244323
x
xR
dxxxxxxxxxxdxdyxyx
191191191191191Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
( ) ( )���=
=
+
���
����
����
����
�−−��
�
����
� +−−−=−1
0
22
1432322
23
23121223
x
xR
dxxxxxxxxdxdyxyx
( ) ���=
=���
����
�+−−+−−=−
1
0
22
532322
23
236623
x
xR
dxxxxxxxxdxdyxyx
( ) ���=
=���
����
�+−−−−=−
1
0
22
53322
23
23683
x
xR
dxxxxxxxdxdyxyx
( ) ���=
=���
����
�−−−−++=−
1
0
253322
2 62
322
3163x
xR
dxxxxxxxdxdyxyx
( ) � ���=
=
=
=
���
��� −−−=��
�
����
�−−−=−
1
0
1
0
25322
5322 6
25
2196
25
2193
x
x
x
xR
dxxxxxdxxxxxdxdyxyx
Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável x. Essa integral édiretíssima da tabela. Vejamos:
( )1
0
27
243
1
0
125243
2
273
85
619
1252
642
532
193
=
=
=
=
+
��
���
−−−=
��
���
+−−−=−��
x
x
x
xR
xxxxxxxxdxdyxyx
( )1
0
272
432
723
85
6193
=
=�
��
−−−=−��
x
xR
xxxxdxdyxyx
( ) ���
����
�−−−−��
�
����
�−−−=−�� 2
7243
272
432 )0(
72)0(3
8)0(5
6)0(19)1(
72)1(3
8)1(5
6)1(193
R
dxdyxyx
( )168125
336250
3369610082101064
723
85
61932 −=−=−−−=−−−=−��
R
dxdyxyx
Exemplo 9.14. Calcule ��R
ydxdyx cos4 sendo R a região limitada pelo gráfico da parábola
y = x2 e por x = 1 e y = 0.
Se aplicarmos a propriedade I2 vista no capítulo 4, podemos escrever:
���� =RR
ydxdyxydxdyx cos4cos4
192192192192192 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
A região R, que pode ser escrita como { }22 010:),( xyexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= , é aárea colorida em cinza indicada na figura 9.15.
Figura 9.15. Região { }22 010:),( xyexyxR ≤≤≤≤ℜ∈= .
Na região R, a variável x varia desde x = 0 até x = 1. A variável y varia desde y = 0 atéy = x2. Sendo assim, podemos escrever:
� �����=
=
=
=��
�
�
��
�
�==
1
0 0
2
cos4cos4cos4x
x
xy
yRR
dxydyxydxdyxydxdyx
Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável y, pensamos que xrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função x.cos yé interpretada como o produto de uma constante pela função cosseno de y.
A integral de x.cos y, em relação à variável y, é
�� +== Cxsenyydyxydyx coscos. .
193193193193193Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Sendo assim, para o caso em estudo, temos que
[ ]( )�� �����=
=
==
=
=
=
=
=��
�
�
��
�
�==
1
00
1
0 0
22
4cos4cos4cos4x
x
xyy
x
x
xy
yRR
dxsenyxdxydyxydxdyxydxdyx
( ) ( ) ������=
=
=
=
=
=
=
=
==−=−=1
0
21
0
21
0
21
0
2 )(440404cos4x
x
x
x
x
x
x
xR
xdxsenxdxxsenxdxsenxxdxsensenxxydxdyx
Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável x, feita pelométodo da substituição, conforme visto no capítulo 6.
Façamos a seguinte substituição:
xdxduxdxduxdxduxu =→=→=→=
2222
Ou seja,
( )� �� +−=+−=+−==���
���= CxCuCusenududusenuxdxsenx 22 cos
21cos
21cos
21
21
2)(
A integral definida fica:
[ ] ( ) ( ) ( )1cos12111cos
210cos1cos
21cos
21)( 1
02
1
0
2 −=−−=−−=−= ==
=
=�
xx
x
x
xxdxsenx
Finalizando:
( ) ( )1cos121cos121.4)(4cos4
1
0
2 −=−== ���=
=
x
xR
xdxsenxydxdyx
194194194194194 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exemplo 9.15. Calcule ��R
dxdyy3
3
sendo R a região limitada por y = x − 6 e x = y2.
Sabendo que 33
31
3yy
= e que a integral do produto de uma constante por uma funçãoé igual ao produto da constante pela integral da função (propriedade I2), podemosescrever:
������ ==RRR
dxdyydxdyydxdyy 333
31
31
3
Vamos calcular os pontos I1 e I2 que são as intersecções entre y = x − 6 e x = y2. Vejamos:
y = x − 6 e x = y2 → y = y2 − 6 → y2 − y − 6 = 0
Vamos utilizar a fórmula de Báskaras para resolver a equação do segundo grau acima.
Δ = b2 − 4.a.c = (− 1)2 − 4.(1).(− 6) = 1 + 24 = 25
Logo, os pontos I1 e I2 têm, respectivamente, ordenadas iguais a y1 = − 2 e y2 = 3.
A abscissa correspondente a y1 = − 2 é x1 = (− 2)2 = 4. Logo, I1 = (4,− 2).
A abscissa correspondente a y2 = 3 é x2 = (3)2 = 9. Logo, I2 = (9,3).
Na região R, a variável y varia desde y = − 2 até y = 3. A variável x varia desde a funçãox1 = y2 até a função x2 = 6 + y.
Essa região R, que pode ser escrita como , éa área colorida em cinza na figura 9.16. No gráfico a seguir, utilizamos o eixo x como oeixo vertical e o eixo y como o eixo horizontal.
195195195195195Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Figura 9.16. Região { }632:),( 22 +≤≤≤≤−ℜ∈= yxyeyyxR .
Sendo assim, podemos escrever:
� �����=
−=
+=
=��
��
�
==
3
2
633
3
231
31
3
y
y
yx
yxRR
dydxydxdyydxdyy
Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável x, pensamos que yrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função y3 éinterpretada como uma constante. A integral de y3 em relação à variável x é
Cxydxydxydxy +=== ��� 3333 1 .
Ou seja,
[ ] ( ) ( )( )��� �����=
−=
=
−=
+=
=
=
−=
+=
=
−+==��
��
�
==
3
2
233
2
633
2
633
3
631
31
31
31
3 2
2
y
y
y
y
yxyx
y
y
yx
yxRR
dyyyydyxydydxydxdyydxdyy
( ) ( )����=
−=
=
−=
−+=−+=3
2
5433
2
233
6316
31
3
y
y
y
yR
dyyyydyyyydxdyy
196196196196196 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável y, feita pelaaplicação das propriedades P1 e P2, dadas no capítulo 4, e da tabela de integraisimediatas. Ou seja,
( )3
2
6543
2
6543
2
5433
6523
31
6546
316
31
3
=
−=
=
−=
=
−=�
��
−+=�
��
−+=−+= ���
y
y
y
y
y
yR
yyyyyydyyyydxdyy
���
����
����
����
� −−−+−−���
����
�−+=�� 6
)2(5
)2(2
)2(36)3(
5)3(
2)3(3
31
3
6546543
R
dxdyy
���
��� +−+++−=�
��
��� ++−−+=�� 6
647295
322432
4824331
664
532
248
6729
5243
2243
31
3
3
R
dxdyy
9125
30332516502925
31
6665
5275
2195
31
3
3
=���
��� −+=�
��
��� −+=��
R
dxdyy
Exercícios Propostos – Capítulo 9Exercícios Propostos – Capítulo 9Exercícios Propostos – Capítulo 9Exercícios Propostos – Capítulo 9Exercícios Propostos – Capítulo 9
Exercício 9.1. Calcule ��R
dxdy4 , sendo { }5311:),( 2 ≤≤≤≤−ℜ∈= yexyxR .
Exercício 9.2. Calcule �� +R
dxdyyx )32( , sendo { }1131:),( 2 ≤≤−≤≤ℜ∈= yexyxR .
Exercício 9.3. Calcule �� −R
dxdyxyx )5( 42 , sendo { }5211:),( 2 ≤≤≤≤−ℜ∈= yexyxR
Exercício 9.4. Calcule ��R
senydxdyx.2 , sendo ���
��� ≤≤≤≤ℜ∈=
6041:),( 2 πyexyxR .
Exercício 9.5. Calcule �� +R
dxdyyx
2, sendo R o quadrado [1,2]x[0,1].
Exercício 9.6. Calcule ��R
xydxdyye3 , sendo R o retângulo [1,3]x[0,1].
Exercício 9.7. Calcule ��R
senxydxdyy3
, sendo R o retângulo [ ] �
�� ππ ,
21,0 x .
Exercício 9.8. Calcule �� ���
��� +
R
dxdyyx2
, sendo { }xyxexyxR 220:),( 22 ≤≤≤≤ℜ∈= .
197197197197197Capítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de IntegraçãoCapítulo 9 - Integrais Duplas e Regiões de Integração
Exercício 9.9. Calcule �� −
R
y dxdye2
8 , sendo R a região limitada por y = 4x, y = 4 e x = 0.
Exercício 9.10. Calcule ( )�� −−R
dxdyyx823 , sendo R a região limitada por y = 4 e y = x2.
Exercício 9.11. Calcule ( )��R
dxdyyxseny2 , sendo R a região limitada por x = 0, 2π=y
e y = x2.
Exercício 9.12. Calcule ��R
xdxdyxy ln3 , sendo R o retângulo [1,2]x[−1,1].
Exercício 9.13. Calcule ��R
dxdyy2
5 , sendo R a região limitada por y = 3x − 2 e y = x2.
Exercício 9.14. Calcule ��R
xsenydxdy sendo R a região limitada pelo gráfico da parábolay = x2 e por x = 1 e y = 0.
Exercício 9.15. Calcule �� ���
����
�
R
dxdyyx
22 sendo R a região limitada por y = x, x
y 1= e x = 2
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9
Exercício 9.1.16.
Exercício 9.2. 16.
Exercício 9.3. 10.
Exercício 9.4. ( )322
15 − .
Exercício 9.5. 1627ln2 .
Exercício 9.6. e3 − 3e + 2.
Exercício 9.7. ���
��� +
21
31 π
.
198198198198198 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exercício 9.8. 1538
.
Exercício 9.9. 1 − e−16.
Exercício 9.10. 5448
.
Exercício 9.11. π − 2.
Exercício 9.12. 0.
Exercício 9.13. 1.
Exercício 9.14. ( )1121 sen− .
Exercício 9.15. 9.
Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10Capítulo 10
Integrais Duplas – Mudança de VIntegrais Duplas – Mudança de VIntegrais Duplas – Mudança de VIntegrais Duplas – Mudança de VIntegrais Duplas – Mudança de Variávelariávelariávelariávelariável
Suponha que tenhamos dificuldades para resolver a seguinte integral: .),( dxdyyxfR��
Se for possível resolvê-la por meio de uma mudança de variáveis, teremos o seguinte:
( ) dudvJvufdxdyyxfBR
)(.),(),( ϕϕ���� =
Na igualdade acima,
• ϕ(u, v) = (x, y) é a transformação que leva as variáveis (x, y) até as variáveis (u, v);
• J(ϕ) é o jacobiano da transformação ϕ(u, v) = (x, y);
• a região B, nas variáveis (u, v), é a região relacionada com a região R nas variáveisoriginais (x, y).
Na mudança de variáveis na integral dupla, temos de fazer o que segue abaixo.
• Trocar (x, y) por (u, v), sendo x uma função das variáveis u e v (x = x(u, v)) ey uma função das variáveis u e v (y = y(u, v)).
• Chamar de (x, y) = ϕ(u, v) a transformação que leva (x, y) a (u, v).
• Calcular o jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(u, v).
• Substituir dxdy em dxdyyxfR
),(�� por J(ϕ)dudv, ou seja, dxdy = |J(ϕ)|dudv.
200200200200200 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Para calcularmos o jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(u, v), precisamos dasderivadas parciais de x e de y em relação às variáveis u e v, pois
���
���
∂∂
∂∂−�
��
���
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=uy
vx
vy
ux
vy
uy
vx
ux
J ..)(ϕ
Muitas vezes, a mudança de coordenadas na integral dupla é feita com coordenadaspolares, conforme veremos em vários exemplos. Essa mudança de variáveis é tal que(x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ), ou seja, x = ρ.cosθ e y = ρ.senθ .
As derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ são:
θρθρθ
θθρ
θρ
θρθρθ
θθρ
θρ
cos.)(cos.1.
.)(coscos.1cos.
==∂∂==
∂∂→=
−=−=∂∂==
∂∂→=
yesensenyseny
sensenxexx
O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:
ρρθθρθρθρϕ
θθρθθρθρθθρθ
θρ
θρϕ
==+=+=
−−=−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
1.)(coscos)(
)).(.(cos.cos.cos..cos
)(
2222 sensenJ
sensensen
senyy
xx
J
Na mudança de variáveis utilizando coordenadas polares, temos que:
dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ
Seguem algumas revisões úteis para uso em casos de mudanças de variáveis utilizan-do coordenadas polares.
A equação da circunferência de raio r com centro na origem (0,0), ilustrada na figura10.1, é x2 + y2 = r2.
201201201201201Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
Figura 10.1. Circunferência de raio r com centro na origem (0,0).
A circunferência de raio r com centro na origem (0,0) limita o círculo de mesmo raio rcom centro na origem, conforme ilustrado na figura 10.2. A inequação referente aocírculo de raio r que passa pela origem (0,0) é x2 + y2 ≤ r2.
Figura 10.2. Círculo de raio r com centro na origem (0,0).
A função relacionada à semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), paray ≥ 0, ilustrada na figura 10.3, é 22 yry −+= ou simplesmente .22 yry −=
202202202202202 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Figura 10.3. Semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), y ≥≥≥≥≥ 0.
A função relacionada à semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), paray ≤ 0, ilustrada na figura 10.4, é 22 yry −−= .
Figura 10.4. Semicircunferência de raio r com centro na origem (0,0), y ≤≤≤≤≤ 0.
A equação da circunferência de raio r com centro no ponto (a,b), ilustrada na figura10.5, é (x − a)2 + (y − b)2 = r2.
Figura 10.5. Circunferência de raio r com centro no ponto (a,b).
203203203203203Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
Exemplo 10.1. Calcule ��R
xdxdy , sendo R o disco de centro na origem (0,0) e raio 5.
A região R é a área colorida em cinza na figura 10.6. Nessa figura, também estãoindicadas as coordenadas polares que identificam um ponto qualquer pertencente àregião em estudo.
Figura 10.6. Disco de centro na origem e raio 5,incluindo indicação de coordenadores polares.
Observando a figura 10.6, verificamos que, em um disco (círculo) de centro na origem(0,0) e de raio 5, a variável θ varia desde θ = 0 até θ = 2π (ou seja, 360º). A variável ρvaria desde ρ = 0 até ρ = 5.
Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por{ }πθρθρ 2050:),( 2 ≤≤≤≤ℜ∈= eB .
A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).
Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,conforme segue abaixo.
θρθρθ
θθρ
θρ
θρθρθ
θθρ
θρ
cos.)(cos.1.
.)(coscos.1cos.
==∂∂==
∂∂→=
−=−=∂∂==
∂∂→=
yesensenyseny
sensenxexx
204204204204204 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:
ρρθθρθρθρϕ
θθρθθρθρθθρθ
θρ
θρϕ
==+=+=
−−=−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
1.)(coscos.)(
)).(.(cos.cos.cos..cos
)(
2222 sensenJ
sensensen
senyy
xx
J
Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.
Sendo assim,
� ��� ����=
=
=
=���
����
�===
πθ
θ
ρ
ρ
θρρθθρθρθρρθρ2
0
5
0
22 .coscos.cos. ddddddxdxdyB BR
Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ, pensamos que θrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função cosθtambém é interpretada como uma constante. Desse modo, primeiramente, a funçãocosθ.ρ2 é interpretada como uma constante que multiplica ρ elevado ao quadrado.Logo, em relação à variável ρ, a integral indefinida de cosθ.ρ2 é
( ) CCCdd +=+=++
==+
� � 3312
22 cos31
3.cos
12.coscos)(cos ρθρθρθρρθρρθ .
Aplicando os extremos da região de integração e a propriedade I1, que afirma que aintegral do produto da constante por uma função é igual ao produto da constante pelaintegral da função, temos o seguinte:
[ ] θρθθρρθθρρθρπθ
θ
ρρ
πθ
θ
ρ
ρ
dddddxdxdyBR
��� � ���=
=
==
=
=
=
=
=���
����
�==
2
0
50
32
0
5
0
2 cos31.cos.cos.
[ ] �����=
=
=
=
== =−==
ππθ
θ
πθ
θ
ρρ θθθθθρθ
2
0
2
0
332
0
50
3 cos3
125)05(cos31cos
31 dddxdxdy
R
205205205205205Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
Agora, precisamos resolver uma integral simples, em relação à variável θ, feita direta-mente pela tabela. Ou seja,
[ ] 0)00.(3
125)02(3
1253
125cos3
1252
0
2
0
=−=−=== ��� sensensendxdxdyR
πθθθππ
Exemplo 10.2. Calcule ��R
xydxdy , sendo R a região do primeiro quadrante limitada
pelas circunferências x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.
A região R é a área colorida em cinza na figura 10.7. Trata-se da área, no primeiroquadrante, limitada inferiormente pela circunferência de centro (0,0) e raio 2, ou seja, deequação x2 + y2 = 22, e limitada superiormente pela circunferência de centro (0,0) e raio3, ou seja, de equação x2 + y2 = 32.
Figura 10.7. Região do 1o quadrante limitada pelascircunferências x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.
Observando a figura 10.7, verificamos que, na região colorida em cinza, a variável θvaria desde θ = 0 até θ = π/2 (ou seja, 90º). A variável ρ varia desde ρ = 2 até ρ = 3.
Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por{ }2032:),( 2 πθρθρ ≤≤≤≤ℜ∈= eB .
206206206206206 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).
Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,conforme segue abaixo.
θρθρθ
θθρ
θρ
θρθρθ
θθρ
θρ
cos.)(cos.1.
.)(coscos.1cos.
==∂∂==
∂∂→=
−=−=∂∂==
∂∂→=
yesensenyseny
sensenxexx
O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:
ρρθθρϕ
θθρθθρθρθθρθ
θρ
θρϕ
==+=
−−=−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
1.)(cos)(
)).(.(cos.cos.cos..cos
)(
22 senJ
sensensen
senyy
xx
J
Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.
A função a ser integrada é xy = (ρ.cosθ ).(ρ.senθ ) = ρ2.cosθ.senθ .
Sendo assim,
������ ==BBR
ddsenddsenxydxdy θρθθρθρρθθρ .cos...cos. 32
θρρθθπθ
θ
ρ
ρ
ddsenxydxdyR
� ���=
=
=
=���
����
�=
2
0
3
2
3..cos
Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ, pensamosque θ representa, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a fun-ção cosθ.senθ é interpretada como uma constante. Desse modo, primeiramente, afunção cosθ.senθ.ρ3 é interpretada como uma constante que multiplica ρ elevadoao cubo. Ou seja,
207207207207207Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
�� ���=
=
=
=
=
=
=
=�
��
=�
��
����
�=
2
0
3
2
42
0
3
2
3
4.cos..cos
πθ
θ
ρ
ρ
πθ
θ
ρ
ρ
θρθθθρρθθ dsenddsenxydxdyR
[ ] ( ) �����=
=
=
=
=
=
=−=−=2
0
2
0
2
0
44 .cos4651681.cos
41)2()3(.cos
41
πθ
θ
πθ
θ
πθ
θ
θθθθθθθθθ dsendsendsenxydxdyR
Agora, temos de resolver um integral simples, em relação à variável θ, feita pelo méto-do da substituição, conforme descrito no capítulo 6.
Façamos a seguinte substituição:
θθθθ
θ dduddusenu coscos =→=→=
Ou seja,
CsenCsenCuududsendsen +=+=+=== ��� 22)(
2cos..cos
222 θθθθθθθθ
A integral definida fica:
[ ] ( )2101
210
221
21
2.cos 222
02
2
0
22
0
=−=���
��� −==�
��
= =
=
=
=
=
=� sensensensendsen πθθθθθ
πθθ
πθ
θ
πθ
θ
Finalizando:
865
21.
465.cos
465 2
0
=== ���=
=
πθ
θ
θθθ dsenxydxdyR
Exemplo 10.3. Calcule �� −R
dxdyy)6( , sendo R a região do primeiro quadrante limitada
pelas circunferências x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.
A região R é a mesma área colorida em cinza na figura 10.7. Ou seja, trata-se da área, noprimeiro quadrante, limitada inferiormente pela circunferência de centro (0,0) e raio 2,ou seja, de equação x2 + y2 = 22, e limitada superiormente pela circunferência de centro
208208208208208 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
(0,0) e raio 3, ou seja, de equação x2 + y2 = 33. Nessa região colorida em cinza, a variávelq varia desde θ = 0 até θ = π/2 (ou seja, 90º). A variável ρ varia desde ρ = 2 até ρ = 3.
Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por{ }2032:),( 2 πθρθρ ≤≤≤≤ℜ∈= eB .
A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).
Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,conforme segue abaixo.
θρθρθ
θθρ
θρ
θρθρθ
θθρ
θρ
cos.)(cos.1.
.)(coscos.1cos.
==∂∂==
∂∂→=
−=−=∂∂==
∂∂→=
yesensenyseny
sensenxexx
O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:
ρρθθρϕ
θθρθθρθρθθρθ
θρ
θρϕ
==+=
−−=−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
1.)(cos)(
)).(.(cos.cos.cos..cos
)(
22 senJ
sensensen
senyy
xx
J
Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.
A função a ser integrada é (6 − y) = (6 − ρsenθ ).
Sendo assim,
������ −=−=−BBR
ddsenddsendxdyy θρθρρθρρθρ )6().6()6( 2
θρθρρπθ
θ
ρ
ρ
ddsendxdyyR
� ���=
=
=
=���
����
�−=−
2
0
3
2
2 )6()6(
209209209209209Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ, logo pensamos que θrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senθ éinterpretada como uma constante.
Como a derivada da subtração de duas funções é a subtração das derivadas dasfunções, temos a seguinte derivada indefinida relacionada à situação em estudo:
����� −=−=− ρθρρρρθρρρρθρρ dsenddsenddsen 222 66)6(
Na primeira integral, temos de integrar o produto da constante 6 por ρ, em relação àvariável ρ. Como a integral do produto da constante por uma função é o produto daconstante pela integral da função:
� �� == ρρρρρρ ddd 1666
A integral a ser resolvida pode ser feita pelo uso da tabela direto da tabela:
CCCdd +=+=++
== ��+
2211
1 32
611
666 ρρρρρρρ
Na segunda integral, temos de integrar o produto de senθ por ρ2, em relação à variávelρ. Ou seja, consideramos que senq representa, momentaneamente, uma constante.Como a integral do produto da constante por uma função é o produto da constantepela integral da função:
�� = ρρθρθρ dsendsen 22
A integral a ser resolvida pode ser feita pelo uso da tabela direto da tabela:
CsenCsenCsendsendsen +=+=++
==+
�� 3312
22 )(31
312ρθρθρθρρθρθρ
Logo,
Csendsenddsen +−=−=− ��� 3222 )(3136)6( ρθρρθρρρρθρρ
210210210210210 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Voltando à integral dupla:
θρθρθρθρρπθ
θ
ρ
ρ
πθ
θ
ρ
ρ
dsenddsendxdyyR
�� ���=
=
=
=
=
=
=
=���
����
��
�� −=�
��
����
�−=−
2
0
3
2
322
0
3
2
2 )(313)6()6(
θθθπθ
θ
dsensendxdyyR
���=
=���
����
����
��� −−�
��
��� −=−
2
0
3232 2)(312.33)(
313.3)6(
( ) θθθθθθπθ
θ
πθ
θ
dsensendsensendxdyyR
����=
=
=
=
���
��� +−−=��
�
����
����
��� −−−=−
2
0
2
0 3812927
3812927)6(
θθθθπθ
θ
πθ
θ
dsendsendxdyyR
����=
=
=
=
���
��� −=��
�
����
����
��� +−+=−
2
0
2
0 31915
382715)6(
Agora, temos de fazer uma integral simples da variável θ. Vamos resolver, primeiramen-te, a integral indefinida relacionada com a integral definida acima. Começamos aplican-do a propriedade que afirma que “a integral da soma é a soma das integrais”:
��� −=���
��� − θθθθθ dsenddsen
31915
31915
Como a integral do produto da constante por uma função é o produto da constantepela integral da função:
� ���� −=−=���
��� − θθθθθθθθ dsenddsenddsen
31915
31915
31915
As integrais a serem resolvidas podem ser feitas pelo uso da tabela direto da tabela:
( ) CCdsenddsen ++=+−−=−=���
��� − � �� θθθθθθθθθ cos
31915cos
31915
31915
31915
211211211211211Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
Voltando à integral definida:
2
0
2
0
cos3
19153
1915)6(πθ
θ
πθ
θ
θθθθ=
=
=
=�
�� +=�
��
��� −=− ��� dsendxdyy
R
���
��� +−�
��
��� +=�
��
��� +−�
��
��� +=−�� 1.
31900.
319
2150cos
3190.15
2cos
319
215)6( πππ
R
dxdyy
319
215)6( −=−�� π
R
dxdyy
Exemplo 10.4. Calcule �� +R
dxdyyxsen )( 22 , sendo R o semicírculo x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0.
A região R é a área colorida em cinza na figura 10.8. Nessa figura, também estãoindicadas as coordenadas polares que identificam um ponto pertencente à regiãoem estudo.
Figura 10.8. Semicírculo x2 + y2 ≤≤≤≤≤ 1, y ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 0.
Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por{ })010:),( 2 πθρθρ ≤≤≤≤ℜ∈= eB .
A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).
Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,conforme segue abaixo.
θρθρθ
θθρ
θρ
θρθρθ
θθρ
θρ
cos.)(cos.1.
.)(coscos.1cos.
==∂∂==
∂∂→=
−=−=∂∂==
∂∂→=
yesensenyseny
sensenxexx
212212212212212 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:
ρρθθρϕ
θθρθθρθρθθρθ
θρ
θρϕ
==+=
−−=−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
1.)(cos)(
)).(.(cos.cos.cos..cos
)(
22 senJ
sensensen
senyy
xx
J
Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.
A função seno da soma de x ao quadrado com y ao quadrado pode ser escrita daseguinte maneira, em coordenadas polares:
( ) ( )( ) ( )θρθρθρθρ 22222222 .cos..cos.)( sensensensenyxsen +=+=+
( )( ) ( ) 2222222 1.cos)( ρρθθρ sensensensenyxsen ==+=+
Sendo assim,
� ��� ����=
=
=
=���
����
�===+
1
0 0
22222 )()(ρ
ρ
πθ
θ
ρθρρθρρρθρρρ ddsenddsenddsendxdyyxsenB BR
Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável θ, pensamos que ρrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função ρsenρ2
é interpretada como uma constante. Ou seja,
[ ]
ρρρπρπρρ
ρθρρρθρρθρρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
πρ
ρ
πθ
θ
dsendsendxdyyxsen
dsenddsenddsendxdyyxsen
R
BR
����
��� � ���=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=−=+
=���
����
�==+
1
0
21
0
222
1
00
21
0 0
2222
).0()(
.)()(
Agora, temos de resolver uma integral simples, em relação à variável ρ, feita pelométodo da substituição, conforme discutido no capítulo 6.
213213213213213Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
Façamos a seguinte substituição:
ρρρρρρ
ρ dduddudduu =→=→=→=
2222
Ou seja,
( )� �� +−=+−=+−==���
���= CCuCusenududusenudsen 22 cos
21cos
21cos
21
21
2)( ρρρρ
A integral definida fica:
[ ] ( ) ( ) ( )1cos12111cos
210cos1cos
21cos
21)( 221
02
1
0
2 −=−−=−−=−= ==
=
=�
ρρ
ρ
ρ
ρρρρ dsen
Finalizando:
( )1cos12
)(1
0
222 −==+ ���=
=
πρρρπρ
ρ
dsendxdyyxsenR
Exemplo 10.5. Calcule �� +
R
yx dxdye22
, sendo
{ }xyxeyxyxR ≤≤−≤+≤ℜ∈= 161:),( 222 .
A região R é a área colorida em cinza na figura 10.9.
214214214214214 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Figura 10.9. Região { }xyxeyxyxR ≤≤−≤+≤ℜ∈= 161:),( 222 .
Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por{ }4441:),( 2 πθπρθρ ≤≤−≤≤ℜ∈= eB .
A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).
Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,conforme segue abaixo.
θρθρθ
θθρ
θρ
θρθρθ
θθρ
θρ
cos.)(cos.1.
.)(coscos.1cos.
==∂∂==
∂∂→=
−=−=∂∂==
∂∂→=
yesensenyseny
sensenxexx
O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:
ρρθθρϕ
θθρθθρθρθθρθ
θρ
θρϕ
==+=
−−=−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
1.)(cos)(
)).(.(cos.cos.cos..cos
)(
22 senJ
sensensen
senyy
xx
J
215215215215215Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.
A função a ser integrada é
22222222222 1.)(cos.cos. ρρθθρθρθρ eeeee sensenyx ==== +++ .
Sendo assim,
ρθρθρρρ
ρ
πθ
πθ
ρρ ddeddedxdyeBR
yx � �����=
=
=
−=
+
���
�
�
���
�
�==
4
1
4
4
2222
Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável θ, pensamos que ρrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função eρ2ρtambém é interpretada como uma constante. Ou seja,
[ ] ρππρρθρρθρθρρρ
ρ
ρρ
ρ
πθπθ
ρρ
ρ
πθ
πθ
ρρ dededdeddedxdyeBR
yx ��� �����=
=
=
=
=−=
=
=
=
−=
+�
��
���
��� −−�
��
���==
���
�
�
���
�
�==
4
1
4
1
4
4
4
1
4
444
222222
ρρπρπρρππρρ
ρ
ρρ
ρ
ρρ
ρ
ρ dedededxdyeR
yx �����=
=
=
=
=
=
+ =���
���=�
��
��� +=
4
1
4
1
4
1
22222
2244
Agora, temos de resolver um integral simples, em relação à variável ρ, feita pelo méto-do da substituição, conforme discutido no capítulo 6.
Façamos a seguinte substituição:
ρρρρρρ
ρ dduddudduu =→=→=→=
2222
Ou seja,
� �� +=+==���
���= CeCedueduede uuu 22
21
21
21
2ρρ ρρ
A integral definida fica:
[ ] ( ) ( )eeeeede −=−===
=
=
=� 16144
1
4
1 21
21
21 2222 ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ ρρ
216216216216216 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Finalizando:
( ) ( )eeeededxdyeR
yx −=−== ���=
=
+ 16164
1 421.
22222 ππρρπ ρ
ρ
ρ
Exemplo 10.6. Calcule ��+
R
dxdyyx
4
22
, sendo
{ }01)1(:),( 222 ≥≤+−ℜ∈= yeyxyxR .
Se aplicarmos a propriedade I2 (“a integral do produto da constante por uma função éo produto da constante pela integral da função”), podemos escrever:
������ +=+=+
RRR
dxdyyxdxdyyxdxdyyx 2222
22
41
41
4
A inequação (x − 1)2 + y2 ≤ 1 corresponde ao círculo de raio 1 e centro em (1,0). Seadicionarmos a condição y ≥ 0, estamos pensando na parte superior do círculo, ouseja, no semicírculo de inequação (x − 1)2 + y2 ≤ 1 que ocupa o primeiro quadrante,conforme ilustrado na região colorida em cinza na figura 10.10. Nessa figura, tambémestão indicadas as variáveis ρ e θ que serão usadas na mudança de variáveis.
Figura 10.10. Região { }01)1(:),( 222 ≥≤+−ℜ∈= yeyxyxR .
217217217217217Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).
Se aplicarmos a mudança de variável acima para uma circunferência de centro (1,0) eraio igual 1, ou seja, de equação (x − 1)2 + y2 = 1, temos os desenvolvimentos abaixo.
021121121)1( 22222222 =+−→−=+−→=++−→=+− yxxyxxyxxyx
Se x2 − 2x + y2 = 0, então
0).()cos.(2)cos.( 22 =+− θρθρθρ sen .
Ou seja,
0cos.2).(cos0.cos.2cos. 2222222 =−+→=+− θρθθρθρθρθρ sensen
Da trigonometria, sabemos que cos2θ + sen2θ = 1. Logo,
θρρθρρθρθθρ cos.20cos.21.0cos.2).(cos 22222 =→=−→=−+ sen
Podemos escrever: ρ = 2 cosθ.
Ou seja, a variável θ varia desde 0 até π/2 e a variável ρ varia desde 0 até ρ = 2.cosθ.
Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por{ }20cos20:),( 2 πθθρθρ ≤≤≤≤ℜ∈= eB .
Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,conforme segue abaixo.
θρθρθ
θθρ
θρ
θρθρθ
θθρ
θρ
cos.)(cos.1.
.)(coscos.1cos.
==∂∂==
∂∂→=
−=−=∂∂==
∂∂→=
yesensenyseny
sensenxexx
O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:
218218218218218 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
ρρθθρϕ
θθρθθρθρθθρθ
θρ
θρϕ
==+=
−−=−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
1.)(cos)(
)).(.(cos.cos.cos..cos
)(
22 senJ
sensensen
senyy
xx
J
Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.
A função a ser integrada é
( ) ( ) 1.)(cos.cos..cos. 222222222222 ρθθρθρθρθρθρ =+=+=+=+ sensensenyx
ρ=+ 22 yx
Sendo assim,
���������� ==+=+=+
BBRRR
dddddxdyyxdxdyyxdxdyyx θρρθρρρ 22222
22
41.
41
41
41
4
� �����=
=
=
=���
����
�==
+ 2
0
cos2
0
2222
41
41
4
πθ
θ
θρ
ρ
θρρθρρ dddddxdyyx
BR
Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ. Ou seja,
[ ]��� ���=
=
==
=
=
=
=
=
=
=
=
=�
��
=�
��
����
�=
+ 2
0
cos20
32
0
cos2
0
32
0
cos2
0
222
31
41
341
41
4
πθ
θ
θρρ
πθ
θ
θρ
ρ
πθ
θ
θρ
ρ
θρθρθρρ dddddxdyyx
R
[ ] ( ) ( )[ ] �����=
=
=
=
=
=
== =−==
+ 2
0
32
0
332
0
cos20
322
cos81210cos2
121
31.
41
4
πθ
θ
πθ
θ
πθ
θ
θρρ θθθθθρ ddddxdy
yx
R
����=
=
=
=
==+ 2
0
32
0
322
cos32cos8.
121
4
πθ
θ
πθ
θ
θθθθ dddxdyyx
R
Agora, temos de resolver uma integral simples, da função cosseno ao cubo de θ emrelação à variável θ. Para resolvê-la, vamos lembrar que, se cos2θ + sen2θ = 1, entãocos2θ = 1− sen2θ.
219219219219219Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
Escrevendo cosseno ao cubo de θ como o produto (multiplicação) de cosseno de θpelo cosseno ao quadrado de θ e usando a relação trigonométrica acima, temos que
( ) θθθθθθθθ 2223 .coscos1coscos.coscos sensen −=−==
Prosseguindo com a integração:
( )����=
=
=
=
−==+ 2
0
22
0
322
.coscos32cos
32
4
πθ
θ
πθ
θ
θθθθθθ dsenddxdyyx
R
Vamos aplicar a propriedade P1 vista no capítulo 1 para “separarmos” a integral dasubtração de duas funções na subtração das integrais das duas funções:
( )���
�
�
���
�
�−=−=
+�����
=
=
=
=
=
=
2
0
22
0
2
0
222
.coscos32.coscos
32
4
πθ
θ
πθ
θ
πθ
θ
θθθθθθθθθ dsenddsendxdyyx
R
A integral de cosseno de θ em relação à variável θ é direta da tabela. Vejamos:
[ ] 10102
cos 20
2
0
=−=���
��� −== =
=
=
=� sensensend πθθθ
πθθ
πθ
θ
A integral do produto (multiplicação) do cosseno de θ pelo seno ao quadrado de θ,em relação à variável θ, é resolvida pelo método da substituição, conforme visto nocapítulo 6.
Façamos a seguinte substituição:
θθθθ
θ dduddusenu coscos =→=→=
Ou seja,
( ) ( ) CsenCsenCuduudsendsen +=+=+=== � �� 333cos.cos
333222 θθθθθθθθ
220220220220220 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Aplicando os extremos da integral:
[ ] ( )31)0()1(
310
231
31
3.cos 33332
03
2
0
32
0
2 =−=���
��� −==�
��
= =
=
=
=
=
=� sensensensendsen πθθθθθ
πθθ
πθ
θ
πθ
θ
Finalizando:
94
313
32
311
32.coscos
32
4
2
0
22
0
22
=���
��� −=�
��
��� −=
���
�
�
���
�
�−=
+����
=
=
=
=
πθ
θ
πθ
θ
θθθθθ dsenddxdyyx
R
Exemplo 10.7. Calcule ��R
ydxdy , sendo R a região limitada por x2 + y2 − 2x = 0.
A equação x2 + y2 − 2x = 0 corresponde à circunferência de raio 1 e centro em (1,0).Vejamos:
( ) 222222222 11112011202 =+−→=++−→=−+−+→=−+ yxyxxxyxxyx
A região limitada pela circunferência de equação é o círculo de raio 1 e centro em (1,0)indicado na figura 10.11. Nessa figura, também estão indicadas as variáveis ρ e θ queserão usadas na mudança de variáveis.
Figura 10.11. Região R limitada por x2 + y2 −−−−− 2x = 0.
221221221221221Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).
Se x2 + y2 − 2x = 0, então
0).()cos.(2)cos.( 22 =+− θρθρθρ sen .
Ou seja,
0cos.2).(cos0.cos.2cos. 2222222 =−+→=+− θρθθρθρθρθρ sensen
Da trigonometria, sabemos que cos2θ + sen2θ = 1. Logo,
θρρθρρθρθθρ cos.20cos.21.0cos.2).(cos 22222 =→=−→=−+ sen
Podemos escrever: ρ = 2 cosθ.
A variável θ varia desde 2π− até 2
πe a variável ρ varia desde 0 até ρ = 2.cosθ.
Em termos de coordenadas polares, a região em estudo é representada por
���
��� ≤≤−≤≤ℜ∈=
22cos20:),( 2 πθπθρθρ eB .
Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,conforme segue abaixo.
θρθρθ
θθρ
θρ
θρθρθ
θθρ
θρ
cos.)(cos.1.
.)(coscos.1cos.
==∂∂==
∂∂→=
−=−=∂∂==
∂∂→=
yesensenyseny
sensenxexx
O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:
ρρθθρϕ
θθρθθρθρθθρθ
θρ
θρϕ
==+=
−−=−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
1.)(cos)(
)).(.(cos.cos.cos..cos
)(
22 senJ
sensensen
senyy
xx
J
222222222222222 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.
A função a ser integrada é y = ρsen θ.
Sendo assim,
�� �� � ���=
−=
=
=���
����
�===
B BR
ddsenddsenddsenydxdy2
2
cos2
0
22 )()().(πθ
πθ
θρ
ρ
θρρθθρρθθρρθρ
Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ. Ou seja, senθ é inter-pretado, momentaneamente, como uma constante que multiplica a função ρ2, podendoser “colocado para fora da integral”, conforme indicado a seguir, na integral indefinidarelacionada com a integral anterior:
�� +=+=++
==+
CsenCsenCsendsendsen 3312
22 )(31
312)( ρθρθρθρρθρρθ
Retomando a integral dupla:
( ) [ ] θρθθρθθρρθπθ
πθ
θρρ
πθ
πθ
θρ
ρ
πθ
πθ
θρ
ρ
dsendsenddsenydxdyR
��� ���=
−=
==
=
−=
=
=
=
−=
=
=
=�
�� =�
��
����
�=
2
2
cos20
32
2
cos2
0
32
2
cos2
0
2
31
31)(
( )( ) ( )( ) ( ) θθθθθθθθθπθ
πθ
πθ
πθ
πθ
πθ
dsendsendsenydxdyR
�����=
−=
=
−=
=
−=
==−=2
2
32
2
32
2
33 cos38cos8
310cos2
31
A integral do produto (multiplicação) do cosseno ao cubo de θ pelo seno de θ, emrelação à variável θ, é resolvida pelo método da substituição, conforme visto nocapítulo 6.
Façamos a seguinte substituição:
θθθθθθ
θ dsendudsendusendduu =−→−=→−=→= cos
Ou seja,
223223223223223Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
( ) ( )� �� +−=+−=+
+−=−=−=
+
CCuCuduuduudsen4
cos413
)(cos4413
333 θθθθ
CCdsen +−=+−=� θθθθθ 44
3 cos41
4cos)(cos
Aplicando os extremos da integral:
( ) [ ] ���
����
����
��� −−�
��
���−=−=�
��
−= =
−=
=
−=
=
−=� 2
cos2
cos41cos
41
4coscos 442
2
42
2
42
2
3 ππθθθθθπθ
πθ
πθ
πθ
πθ
πθ
dsen
( ) ( ) ( )( ) 00041cos 44
2
2
3 =−−=�=
−=
θθθπθ
πθ
dsen
Finalizando a integral dupla:
( ) 00.38cos
38 2
2
3 === ���=
−=
θθθπθ
πθ
dsenydxdyR
Exemplo 10.8. Calcule �� +R
dxdyyx 22
2, sendo R a região exterior à circunferência de
centro na origem e raio igual a 1 e interior à cardioide ρ = 1 + senθ.
Aplicando a propriedade I2, podemos escrever:
������ +=
+=
+ RRR
dxdyyx
dxdyyx
dxdyyx 222222
121.22
A região exterior à circunferência de centro na origem e raio igual a 1 e interior àcardioide ρ = 1 + senθ está indicada, na cor cinza, na figura 10.12.
224224224224224 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Figura 10.12. Região exterior à circunferência de centro na origeme raio igual a 1 e interior à cardioide ρρρρρ = 1 + senθθθθθ.
A mudança de variáveis a ser feita é tal que (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ).
Observando a figura 10.12, verificamos que a variável θ varia desde θ = 0 atéθ = π e a variável ρ varia desde ρ = 1 até ρ = 1 + senθ. Desse modo, a região emestudo, usando-se mudança de variável para coordenadas polares, é
{ }θρπθθρ seneB +≤≤≤≤ℜ∈= 110:),( 2 .
Podemos determinar as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis ρ e θ,conforme segue abaixo.
θρθρθ
θθρ
θρ
θρθρθ
θθρ
θρ
cos.)(cos.1.
.)(coscos.1cos.
==∂∂==
∂∂→=
−=−=∂∂==
∂∂→=
yesensenyseny
sensenxexx
O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação (x, y) = ϕ(ρ,θ ) = (ρ.cosθ, ρ.senθ ) é:
ρρθθρϕ
θθρθθρθρθθρθ
θρ
θρϕ
==+=
−−=−
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
1.)(cos)(
)).(.(cos.cos.cos..cos
)(
22 senJ
sensensen
senyy
xx
J
Na mudança de variáveis, temos que: dxdy = |J(ϕ)|.dρdθ = ρdρdθ.
225225225225225Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
A função a ser integrada é
( ) ( ) )(cos1
.cos.1
.cos.
1122222222222 θθρθρθρθρθρ sensensenyx +
=+
=+
=+
ρρ1
1.11
222==
+ yx
Sendo assim,
���������� ==+
=+
=+ BBRRR
dddddxdyyx
dxdyyx
dxdyyx
θρθρρρ
2.12121.22222222
θρπθ
θ
θρ
ρ
dddxdyyx
sen
R� ���=
=
+=
=���
����
�=
+ 0
1
122
22
Vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável ρ. Ou seja,
[ ] ( )[ ] θθθρθρπθ
θ
πθ
θ
θρρ
πθ
θ
θρ
ρ
dsenddddxdyyx
sensen
R��� ���=
=
=
=
+==
=
=
+=
=
−+==���
����
�=
+ 00
11
0
1
122
)1(12222
θθπθ
θ
dsendxdyyxR
���=
=
=+ 0
2222
Agora, temos de resolver um integral simples e diretíssima da tabela, da função senode θ em relação à variável θ. Ou seja,
[ ] [ ] ( )0coscos2cos2cos22200
022
−−=−=−==+
==
==
=
=��� πθθθθ πθ
θπθ
θ
πθ
θ
dsendxdyyxR
( ) 4112222
=−−−=+��
R
dxdyyx
226226226226226 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exemplo 10.9. Calcule ( ) ( )�� +−R
dxdyyxsenyx 2, sendo R o paralelogramo de vértices
(2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).
Façamos a seguinte mudança de variáveis:
(x, y) = ϕ(u, v)u = x − yv = x+ y
Ou seja,
22 vuxxvu
yxvyxu
+=→=+
���
+=−=
222222
2222vuyvuvuvuvvuvxvyyxv +−=→+−=−+−=−−=�
��
��� +−=−=→+=
A mudança de variáveis a ser feita é tal que
���
��� +−+==
2,
2),(),( vuvuvuyx ϕ .
Observe que a mudança de variáveis acima não envolve coordenadas polares.
Podemos determinar as derivadas parciais de x em relação às variáveis u e v, conformesegue abaixo.
211.
210.
21
21
21
21
21
21
21
210.
211.
21
21
21
21
21
21
21
21
21
2
=+=∂∂+
∂∂=�
��
���
∂∂+�
��
���
∂∂=�
��
��� +
∂∂=
∂∂
=+=∂∂+
∂∂=�
��
���
∂∂+�
��
���
∂∂=�
��
��� +
∂∂=
∂∂
+=+=
vv
vuv
vu
vvu
vvx
uv
uuv
uu
uvu
uux
vuvux
227227227227227Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
Podemos determinar as derivadas parciais de y em relação às variáveis u e v, conformesegue abaixo.
211.
210.
21
21
21
21
21
21
21
210.
211.
21
21
21
21
21
21
21
21
21
2
=+−=∂∂+
∂∂−=�
��
���
∂∂+�
��
���−
∂∂=�
��
��� +−
∂∂=
∂∂
−=+−=∂∂+
∂∂−=�
��
���
∂∂+�
��
���−
∂∂=�
��
��� +−
∂∂=
∂∂
+−=+−=
vv
vuv
vu
vvu
vvy
uv
uuv
uu
uvu
uuy
vuvuy
O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação
���
��� +−+==
2,
2),(),( vuvuvuyx ϕ é:
21
42
41
41
21.
21
21.
21
21
21
21
21
)( ==+=���
���−−=
−=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
vy
uy
yx
ux
J ϕ
Na mudança de variáveis, temos que: dudvdudvJdxdy21.)( == ϕ .
A função a ser integrada fica assim:
( ) ( ) ���
��� +−+
���
��� −++=�
��
��� +−++
���
��� +−−+=+−
222222
222 vuvusenvuvuvuvusenvuvuyxsenyx
( ) ( ) senvuvsenuyxsenyx 22
2
22
22 =�
��
���
���
���=+−
Em termos das variáveis originais (x,y), a região R de integração é o paralelogramo devértices (2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π) esboçado na figura 10.13.
228228228228228 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Figura 10.13. Região de integração em termos das variáveis originais (x,y).
A semirreta indicada por (I) na figura 10.13 tem equação y = x + π. Como u = x − y, nessaregião temos o seguinte: u = x − (x + π) = x − x − π = −π (ou seja, u é constante e iguala −π ). Como v = x + y, nessa região temos o seguinte: v = x + (x + π) = 2x + π (ou seja,visto que x varia desde x = 0 até x = π, então v varia desde v = π até v = 3π).
A semirreta indicada por (II) na figura 10.13 tem equação y = − x + 3π. Como v = x + y,nessa região temos o seguinte: v = x + (−x + 3π) = x − x + 3π = 3π (ou seja, v éconstante e igual a 3π). Como u = x − y, nessa região temos o seguinte: u = x − (−x + 3π) =x + x − 3π = 2x − 3π (ou seja, visto que x varia desde x = π até x = 2π, então u varia desdeu = −π até u = π).
A semirreta indicada por (III) na figura 10.13 tem equação y = x − π. Como u = x − y, nessaregião temos o seguinte: u = x − (x − π) = x − x + π = π (ou seja, u é constante e igual a π).Como v = x + y, nessa região temos o seguinte: v = x + (x − π) = 2x − π (ou seja, visto quex varia desde x = π até x = 2π, então v varia desde v = π até v = 3π).
A semirreta indicada por (IV) na figura 10.13 tem equação y = − x + π. Como v = x + y,nessa região temos o seguinte: v = x + (− x + π) = x − x + π = π (ou seja, v é constante eigual a π). Como u = x − y, nessa região temos o seguinte: u = x − (−x + 3π) = x + x − 3π= 2x − 3π (ou seja, visto que x varia desde x = π até x = 2π, então u varia desde u = −πaté u = π).
Em termos das variáveis (u,v), a região R de integração é “transformada” no quadradoesboçado na figura 10.14.
229229229229229Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
Figura 10.14. Região de integração em termos das variáveis (u,v).
A região indicada na figura 10.14 pode ser escrita, em termos das variáveis (u,v), como{ }ππππ 3:),( 2 ≤≤≤≤−ℜ∈= veuvuB .
Sendo assim,
( ) ( ) ������ ==+−BBR
dudvsenvududvsenvJudxdyyxsenyx21)( 222 ϕ
A constante ½ que multiplica a função pode ser “colocada para fora da integral”:
( ) ( ) ���� =+−BR
senvdudvudxdyyxsenyx 22
21
Escrevendo os extremos da região de integração B:
( ) ( ) � �����=
=
=
−=���
����
�==+−
π
π
π
π
3222
21
21 v
v
u
uBR
dvsenvduusenvdudvudxdyyxsenyx
( ) ( ) ( )� ���=
=
=
−=���
����
�=+−
π
π
π
π
322
21 v
v
u
uR
dvduusenvdxdyyxsenyx
230230230230230 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável u, pensamos que vrepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senvtambém é interpretada como uma constante. Ou seja,
( ) ( ) ( ) � �� ���=
=
=
−=
=
=
=
−=���
����
�=��
�
����
�=+−
π
π
π
π
π
π
π
π
32
322
21
21 v
v
u
u
v
v
u
uR
dvduusenvdvduusenvdxdyyxsenyx
Vamos resolver, primeiramente, a integral indefinida relacionada com a integral defini-da, na variável u, indicada acima:
CuCuCuduu +=+=++
=�+
3312
2
31
312
Ou seja,
( ) ( ) �� ���=
=
=
−=
=
=
=
−=�
�� =��
�
����
�=+−
π
π
π
π
π
π
π
π
33
322
31
21
21 v
v
u
u
v
v
u
uR
dvusenvdvduusenvdxdyyxsenyx
( ) ( ) [ ] ( ) ( )( )����=
=
=
=
=−= −−==+−
π
π
π
π
ππ ππ
333
332
61
31.
21 v
v
v
v
uu
R
dvsenvdvusenvdxdyyxsenyx
( ) ( ) ( ) ( ) �����=
=
=
=
=
=
==+=+−π
π
π
π
π
π
ππππ3
33
33
332 2612
61
61 v
v
v
v
v
vR
senvdvdvsenvdvsenvdxdyyxsenyx
( ) ( ) ���=
=
=+−π
π
π3
32
31 v
vR
senvdvdxdyyxsenyx
Agora, temos de resolver uma integral simples da variável v, que pode ser resolvidacom o auxílio direto da tabela de integrais:
( ) ( ) [ ] [ ] ππ
ππ
π
π
πππ 33333
32 cos31cos
31
31 =
===
=
=
−=−==+− ��� vv
vv
v
vR
vvsenvdvdxdyyxsenyx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0031)1(1
31cos3cos
31 3332 =−=−−−−=−−=+−�� πππππ
R
dxdyyxsenyx
231231231231231Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
Exemplo 10.10. Calcule ( ) ( )�� −+R
dxdyyxsenyx 3 , sendo R o paralelogramo de vértices
(2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).
A mudança de variáveis a ser feita no exemplo 10.10 é a mesma realizada no exemplo10.9, ou seja,
u = x − yv = x+ y
Vimos que, nesse caso,
���
��� +−+==
2,
2),(),( vuvuvuyx ϕ .
Também já calculamos as derivadas parciais de x e de y em relação às variáveis u e v,conforme segue abaixo.
21
21,
21,
21 =
∂∂−=
∂∂=
∂∂=
∂∂
vye
uy
vx
ux
O determinante jacobiano J(ϕ) da transformação
���
��� +−+==
2,
2),(),( vuvuvuyx ϕ é:
21
42
41
41
21.
21
21.
21
21
21
21
21
)( ==+=���
���−−=
−=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
vy
uy
yx
ux
J ϕ
Na mudança de variáveis, temos que: dudvdudvJdxdy21.)( == ϕ .
( ) ( )�� −+R
dxdyyxsenyx 3
232232232232232 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
A função a ser integrada fica assim:
( ) ( ) ���
��� −++
���
��� +−+=�
��
��� +−−+
���
��� +−++=−+
222222
333 vuvusenvuvuvuvusenvuvuyxsenyx
( ) ( ) senuvusenvyxsenyx 33
3
22
22 =�
��
���
���
���=−+
Em termos das variáveis (u,v), o paralelogramo de vértices (2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π), ouseja a região R de integração, é “transformado” no quadrado esboçado na figura 10.15,ou seja, região B de integração.
Figura 10.15. Região B de integração em termos das variáveis (u,v).
A região indicada na figura 10.15 pode ser escrita, em termos das variáveis (u,v), como{ }ππππ 3:),( 2 ≤≤≤≤−ℜ∈= veuvuB .
Sendo assim,
( ) ( ) ������ ==−+BBR
dudvsenuvdudvsenuJvdxdyyxsenyx21)( 333 ϕ
A constante ½ que multiplica a função pode ser “colocada para fora da integral”:
( ) ( ) ���� =−+BR
senududvvdxdyyxsenyx 33
21
233233233233233Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
Escrevendo os extremos da região de integração B:
( ) ( ) � �����=
−=
=
=���
����
�==−+
π
π
π
π
u
u
v
vBR
dudvvsenusenududvvdxdyyxsenyx3
333 )(21
21
Como vamos resolver, inicialmente, a integral em relação à variável v, pensamos que urepresenta, momentaneamente, uma constante e, consequentemente, a função senutambém é interpretada como uma constante. Ou seja,
( ) ( ) � �� ���=
−=
=
=
=
−=
=
=���
����
�=��
�
����
�=−+
π
π
π
π
π
π
π
π
u
u
v
v
u
u
v
vR
dudvvsenududvvsenudxdyyxsenyx3
33
33
21)(
21
Vamos resolver, primeiramente, a integral indefinida relacionada com a integral defini-da, na variável v, indicada acima:
CvCvCvdvv +=+=++
=�+
4413
3
41
413
Ou seja,
( ) ( ) �� ���=
−=
=
=
=
−=
=
=�
�� =��
�
����
�=−+
π
π
π
π
π
π
π
π
u
u
v
v
u
u
v
vR
duvsenududvvsenudxdyyxsenyx3
43
33
41
21
21
( ) ( ) [ ] ( ) ( )( )����=
−=
=
−=
== −==−+
π
π
π
π
ππ ππ
u
u
u
u
vv
R
dusenuduvsenudxdyyxsenyx 44343 381
41.
21
( ) ( ) ( ) ( ) �����=
−=
=
−=
=
−=
==−=−+π
π
π
π
π
π
ππππu
u
u
u
u
uR
senududusenudusenudxdyyxsenyx8
80808181
81 4
4443
( ) ( ) ���=
−=
=−+π
π
πu
uR
senududxdyyxsenyx 43 10
Agora, temos de resolver uma integral simples da variável u, que pode ser resolvidacom o auxílio direto da tabela de integrais:
( ) ( ) [ ] [ ] ππ
ππ
π
π
πππ =−=
=−=
=
−=
−=−==−+ ��� uu
uu
u
uR
uusenududxdyyxsenyx cos10cos1010 4443
( ) ( ) ( )( ) ( ) 0)1(110coscos10 443 =−−−−=−−−=−+�� ππππR
dxdyyxsenyx
234234234234234 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios ResolvidosComo Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos – Capítulo 10Exercícios Propostos – Capítulo 10Exercícios Propostos – Capítulo 10Exercícios Propostos – Capítulo 10Exercícios Propostos – Capítulo 10
Exercício 10.1.Calcule ��R
dxdyx2
, sendo R o disco de centro na origem (0,0) e raio 4.
Exercício 10.2.Calcule ��R
dxdyxy3
, sendo R a região do segundo quadrante limitada
pelas circunferências x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 9.
Exercício 10.3. Calcule �� −R
dxdyy)5( , sendo R a região do primeiro quadrante e do
segundo quadrante limitada pelas circunferências x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
Exercício 10.4. Calcule �� +R
dxdyyx )cos( 22 , sendo R o semicírculo x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0.
Exercício 10.5. Calcule ��+
R
yx
dxdye2
22
, sendo R x,y x y e x y x= ∈ℜ ≤ + ≤ − ≤ ≤{ }( ) :2 2 29 25 .
Exercício 10.6. Calcule ( )�� +
R
yx dxdye2222 , sendo { }4:),( 222 ≤+ℜ∈= yxyxR .
Exercício 10.7. Calcule ��R
xdxdy3 , sendo R a região limitada por x2 + y2 − 4x = 0.
Exercício 10.8. Calcule �� ++R
dxdyyx 1
122π
, sendo R a região do primeiro quadrante
limitada pelareta y = x, pela circunferência x2 + y2 = 4 e pelo eixo x.
Exercício 10.9. Calcule ( ) ( )�� +−R
dxdyyxyx cos4 , sendo R o paralelogramo de vértices
(2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).
Exercício 10.10. Calcule ( )�� −+R
dxdyyxyx cos , sendo R o paralelogramo de vértices
(2π,π), (π,2π), (π, 0) e (0, π).
235235235235235Capítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de VariávelCapítulo 10 - Integrais Duplas - Mudança de Variável
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10
Exercício 10.1. 0.
Exercício 10.2. − 10/3.
Exercício 10.3. 314
215 −π
Exercício 10.4. 42
senπ .
Exercício 10.5. ( )925
8 ee −π .
Exercício 10.6. π (e8 − 1).
Exercício 10.7. 24π .
Exercício 10.8.4
15 − .
Exercício 10.9. 0.
Exercício 10.10. 0.
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Teoria dos Conjuntos����������� ������������ �������������������������������� ������
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