Comparacao Entre o Dimensionamento de Pilares de Canto

7/23/2019 Comparacao Entre o Dimensionamento de Pilares de Canto

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁCENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL

COMPARAÇÃO ENTRE O DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE CANTO DEACORDO COM A NBR 6118/2003 E A NB-1/78

CARLOS HENRIQUE MARTINS DE LIMA

Fortaleza - Ceará

2009



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CARLOS HENRIQUE MARTINS DE LIMA

COMPARAÇÃO ENTRE O DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE CANTO DEACORDO COM A NBR 6118/2003 E A NB-1/78

Monografia submetida à Coordenação doCurso de Engenharia Civil da UniversidadeFederal do Ceará, como requisito parcial

para obtenção do grau de Engenheiro Civil.

Orientador(a): Prof. (a) Tereza DenysePereira de Araújo

FORTALEZA2009



ii



iii

RESUMO

Nos dias atuais, devido ao desenvolvimento tecnológico, é possível a utilizaçãode conceitos no dimensionamento de pilares que até pouco tempo atrás não era possíveldevido à álgebra envolvida. A utilização destes novos conceitos proporciona o usocorriqueiro de pilares mais esbeltos os quais são mais suscetíveis de sofrerem o fenômenoda instabilidade. A nova NBR 6118/2003 inseriu novos parâmetros e modificações na

metodologia de dimensionamento de pilares em relação à NB-1/78 procurando tornar odimensionamento destes o mais próximo possível da realidade. Diante destas modificaçõesda norma, alguns autores acreditam que a adoção dos procedimentos descritos na novanorma aumenta o consumo de concreto. Com isto, este trabalho busca verificar, através daaplicação de exemplos numéricos, se realmente as modificações inseridas na NBR6118/2003 proporcionam um dimensionamento de pilares de canto mais econômicolevando em consideração a vida útil e a segurança da estrutura. A principal característicadesse tipo de pilar é que está submetido à flexão composta oblíqua.

Palavras-chaves: Pilares, Norma, Flexão composta oblíqua.



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LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Pilares intermediários (Fonte: BASTOS e OLIVEIRA NETO, 2004a) ............ 3Figura 1.2 – Pilares de extremidade. (Fonte: BASTOS e OLIVEIRA NETO, 2004b).......... 4Figura 1.3 – Pilares de canto (Fonte: OLIVEIRA NETO, L e BASTOS P. S. S., 2004)....... 4Figura 2.1 – Comprimento equivalente ( Fonte: SCADELAI, M. A., 2004.) ...................... 12Figura 2.2 – Efeito de segunda ordem localizado (Fonte: NBR 6118/2003) ....................... 12Figura 2.3 – Barra comprimida (Fonte: BORGES, A. C. L., 1999).....................................14Figura 2.4 – Diagrama tensão x deformação de um material não linear (Fonte: BORGES,

A. C. L., 1999)..............................................................................................................15Figura 2.5 – Diagramas tensão x deformação (Fonte: BORGES, A. C. L., 1999)............... 16Figura 2.6 – Excentricidades inicias. Fonte: Silvia e Pinheiro (1982, apud SCADELAI,

2004).............................................................................................................................18Figura 2.7 – Imperfeições geométricas globais (Fonte: NBR 6118/2003)........................... 19Figura 2.8 – Imperfeições geométricas locais (Fonte: NBR 6118/2003)............................. 20Figura 3.1 – Elevação de pilar. (Fonte: Sussekind, J. C., 1985)........................................... 26Figura 3.2 – Seção de pilar. (Fonte: Sussekind, J. C., 1985)................................................ 26Figura 3.3 – Posição deformada do pilar (Fonte: Sussekind, J. C., 1985) ........................... 28Figura 3.4 – Primeiro caso de consideração das excentricidades (Fonte: Sussekind, J. C.,

1985).............................................................................................................................30Figura 3.5 – Segundo caso de consideração das excentricidades (Fonte: Sussekind, J. C.,

1985).............................................................................................................................30Figura 3.6 – Pilar com nós indeslocáveis (Fonte: Sussekind, J. C., 1985)........................... 31

Figura 3.7 – Comprimento de flambagem de um pilar biapoiado (Fonte: Sussekind, J. C.,1985).............................................................................................................................32

Figura 3.8 – Comprimento de flambagem de um pilar apoiado e engastado (Fonte:Sussekind, J. C., 1985) ................................................................................................. 32

Figura 3.9 – Comprimento de flambagem de um pilar livre e engastado (Fonte: Sussekind,J. C., 1985)....................................................................................................................33

Figura 3.10 – Comprimento de flambagem de um pilar biengastado (Fonte: Sussekind, J.C., 1985) ....................................................................................................................... 33

Figura 3.11 – Substituição de excentricidades (Fonte: Malakoski, J., 1998) ....................... 35Figura 4.1 – Utilização dos ábacos. (Fonte: Sussekind, J. C., 1985) ................................... 37Figura 5.1 – Seção do pilar do exemplo 1 ............................................................................ 38

Figura 5.2 – Ábaco adimensional para seção retangular submetida à flexo-compressãooblíqua. ......................................................................................................................... 40

Figura 5.3 – Seção do pilar do exemplo 2 ............................................................................ 41Figura 5.4 – Seção do pilar do exemplo 3 ............................................................................ 42



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LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 – Valores do coeficiente adicional γ n (Fonte: NBR 6118/2003) ........................ 11Tabela 3.1 – Valor de β ......................................................................................................34Tabela 5.1 – Resultados do exemplo 1.................................................................................39Tabela 5.2 – Resultados do exemplo 2.................................................................................42Tabela 5.3 – Resultados do exemplo 3.................................................................................43Tabela 5.4 – Áreas das armaduras segundo as duas normas. ............................................... 44Tabela 5.5 – Momentos fletores na NBR 6118/2003...........................................................44



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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1

1.1 Justificativa ........................................................................................................... 1 1.2 Problema ............................................................................................................... 2 1.3 Classificação dos pilares quanto à posição em projeto ..................................... 3 1.4 Revisão bibliográfica............................................................................................5 1.5 Objetivos................................................................................................................8 1.6 Metodologia...........................................................................................................8 1.7 Divisão do trabalho...............................................................................................9

2 NBR 6118/2003............................................................................................................10 2.1 Classificação quanto ao índice de esbeltez ....................................................... 10 2.2 Dimensões mínimas ............................................................................................ 10 2.3 Comprimento equivalente..................................................................................11

2.4 Efeitos de segunda ordem .................................................................................. 11 2.5 Não linearidades ................................................................................................. 13

2.5.1 Não linearidade geométrica.......................................................................... 142.5.2 Não linearidade física ................................................................................... 15

2.6 Dispensa da analise dos efeitos locais de segunda ordem ............................... 16 2.7 Excentricidade inicial.........................................................................................18 2.8 Imperfeição geométrica......................................................................................19

2.8.1 Imperfeição global........................................................................................ 192.8.2 Imperfeição local .......................................................................................... 202.8.3 Momento mínimo ......................................................................................... 21

2.9 Excentricidade de segunda ordem .................................................................... 21

2.9.1 Método do pilar padrão com curvatura aproximada..................................... 222.9.2 Método do pilar padrão com rigidez κ aproximada....................................232.9.3 Método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N, r 1 ............................ 242.9.4 Método do pilar padrão para pilares de seção retangular submetidos à flexãocomposta oblíqua..........................................................................................................25

3 NB-1/78........................................................................................................................26 3.1 Dimensões mínimas ............................................................................................ 26 3.2 Excentricidade acidental....................................................................................26 3.3 Classificação dos pilares quanto ao índice de esbeltez.................................... 27 3.4 Consideração dos efeitos de segunda ordem....................................................27 3.5 Comprimento de flambagem.............................................................................32

3.6 Pilares submetidos à flexão oblíqua com índice de esbeltez menor que 40... 33 4 ÁBACOS ADIMENSIONAIS ................................................................................... 36

4.1 NB-1/78 ................................................................................................................ 36 5 EXEMPLOS................................................................................................................38

5.1 Exemplo 1............................................................................................................38 5.2 Exemplo 2............................................................................................................41 5.3 Exemplo 3............................................................................................................42 5.4 Apresentação dos resultados ............................................................................. 44

6 CONCLUSÕES...........................................................................................................46 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 48



1

1 INTRODUÇÃO

A NBR 6118/2003 – Projeto de estruturas de concreto – apresenta algumas

modificações em relação a sua versão anterior, a NB-1/78. As principais modificações que

ocorreram foram em relação à durabilidade da estrutura, metodologias de dimensionamento

das peças e em alguns parâmetros de dimensionamento.

Para aumentar a durabilidade das peças, a NBR 6118/2003 prescreve que

devam ser utilizados valores mais rígidos para a qualidade do concreto e a adota

cobrimentos maiores do que os prescritos na NB-1/78. Com isso foi difundido que a

utilização da metodologia descrita na NBR 6118/2003 causaria um maior consumo de

cimento e agregados.

Entretanto, a NBR 6118/2003 inseriu modificações no dimensionamento dos

elementos da estrutura, principalmente em relação aos pilares. Coelho e Banki (2005)

acreditam que essas modificações levam a um dimensionamento de pilares menos

conservadores e mais econômicos em relação à NB-1/78. Essa economia fica mais visível

em relação ao aço utilizado, já que a metodologia descrita na NBR 6118/2003 causa uma

expressiva redução na quantidade de aço necessária.No caso dos pilares as principais modificações impostas pela NBR 6118/2003

foi na determinação das excentricidades acidental e de segunda ordem, na determinação dos

índices de esbeltez limite para a consideração dos efeitos de segunda ordem e um momento

fletor mínimo que em alguns casos pode substituir o efeito da excentricidade acidental.

1.1 Justificativa

A nova versão da NBR 6118/2003 inseriu mudanças significativas na

metodologia de dimensionamento das peças de concreto armado e nos parâmetros que

influem em seu dimensionamento, podendo-se citar como exemplos a classe de

agressividade para a determinação do cobrimento, as imperfeições geométricas locais, a

consideração dos efeitos de 2ª ordem e a consideração da não-linearidade física (COELHO

e BANKI, 2005).



2

A proposta de determinar o cobrimento segundo o meio em que o elemento está

inserido visa aumentar a durabilidade da estrutura (NBR 6118/2003), mesmo acarretando

um maior volume de concreto em relação à antiga norma. No caso das imperfeições

geométricas locais, estas já eram consideradas na antiga NB-1/78 através da excentricidade

acidental.

Em relação aos efeitos locais de 2ª ordem, a nova norma apresenta dois

métodos simplificados para a sua determinação, que são: o método do pilar padrão com

curvatura aproximada e o método do pilar padrão com rigidez κ aproximada. Contudo, o

método do pilar padrão com curvatura aproximada é praticamente igual ao método de

determinação da excentricidade de 2ª ordem mostrado na NB-1/78. Esses métodossimplificados são aplicáveis para pilares que possuem índice de esbeltez maior que 40 e

menor ou igual a 80. Já para pilares com índice de esbeltez maior ou igual a 140 a NBR

6118/2003 determina que seja utilizado o método geral para avaliação dos efeitos de

segunda ordem.

Portanto, a verificação do impacto destas modificações introduzidas na NBR

6118/2003 em relação a sua versão antiga (NB-1/78) é importante.

1.2

Problema

De acordo com Borges (1999), no passado, os materiais empregados nos

projetos de estruturas apresentavam baixa resistência (aço CA-25 e concretos com

resistências de 15 MPa), o que resultava em seções de pilares bem robustas, praticamente

não existindo problemas com instabilidade.

O desenvolvimento tecnológico proporcionou a evolução das características

mecânicas desses materiais tornando possível o uso de parâmetros de projeto maiselevados, como o aço CA-50 e concretos com Fck igual a 30 MPa. Isso resultou em

estruturas mais leves, mais altas e com seções de pilares menores tornando-os assim mais

esbeltos. Com esse aumento de esbeltez dos pilares, o efeito de 2ª ordem passa a ter maior

importância. A melhoria nestas propriedades permite, juntamente com os métodos

adequados, diminuir as simplificações utilizadas no dimensionamento dos elementos

estruturais tornando-o mais próximo possível do real. Acredita-se que a NBR 6118/2003



3

deve proporcionar métodos de dimensionamento que se aproximem desta realidade em

relação aos métodos apresentados na NB-1/78.

1.3 Classificação dos pilares quanto à posição em projeto

Os pilares podem estar submetidos a ações dos mais variados tipos. Devido ao

tipo de carregamento a que estão submetidos, eles são divididos em três grupos, que são: os

pilares intermediários (Figura 1.1), os pilares de extremidade (Figura 1.2), e os pilares de

canto (Figura 1.3).

Figura 1.1 – Pilares intermediários (Fonte: BASTOS e OLIVEIRA NETO, 2004a)

Bastos e Oliveira Neto (2004a) caracterizam estes pilares segundo a forma de

atuação da carga, ou seja, os pilares intermediários (Figura 1.1) são os que estão

submetidos apenas a esforços de compressão admitindo que os momentos fletores sejam

desprezíveis devido ao arranjo estrutural adotado. Portanto, estes pilares estão submetidos

apenas à compressão normal devido à continuidade das vigas e lajes que estão neles

apoiadas.



4

Figura 1.2 – Pilares de extremidade. (Fonte: BASTOS e OLIVEIRA NETO, 2004b)

Figura 1.3 – Pilares de canto (Fonte: OLIVEIRA NETO, L e BASTOS P. S. S., 2004)



5

Os pilares de extremidade (Figura 1.2) são aqueles que estão submetidos à

flexão composta normal, ou seja, o esforço de compressão normal atua juntamente com o

momento fletor cuja ação coincide com o eixo principal do pilar. Estes pilares estão

submetidos à flexão normal composta devido à interrupção da viga sobre o pilar que é

perpendicular a extremidade.

Já os pilares de canto (Figura 1.3) são os que são submetidos à flexão composta

oblíqua, ou seja, ocorre a atuação conjunta de um momento fletor fora dos eixos principais

do pilar mais o esforço de compressão axial. A flexão oblíqua composta nestes pilares

deve-se a interrupção das vigas nas duas direções sobre o pilar.

1.4 Revisão bibliográfica

Para Mendes Neto (2003), o dimensionamento de pilares consiste na obtenção

da área de armadura para que a seção apresente equilíbrio dos esforços aplicados sem que o

limite de resistência seja ultrapassado, sendo que a maioria dos dimensionamentos é feita

no estado limite último como é proposto pela NBR 6118/2003.

No entanto, Mendes Neto e Pimenta (2000) apresentam o método numérico de

Newton-Raphson como sendo uma metodologia eficiente no dimensionamento de seções de

pilares de concreto armado. Porém, o método não considera inicialmente o estado limite

último sendo este verificado após a obtenção do resultado através de verificações

sucessivas.

De acordo com Smaniotto (2005), o dimensionamento de pilares submetido à

flexão oblíqua pode ser dividido em cinco passos, que são: a análise global da estrutura que

consiste na determinação dos esforços em cada pilar e o cálculo de suas combinações; uma

análise local para determinar os momentos fletores atuantes devido às excentricidades daforça normal aplicada; o dimensionamento da armadura longitudinal; o dimensionamento

da armadura transversal; e por fim o detalhamento da armadura de acordo com a NBR

6118/2003.

A NBR 6118/2003 admite que, para o dimensionamento de pilares, sejam

considerados momentos adicionais devido ao efeito de segunda ordem, imperfeições

geométricas e incertezas.



6

Para o cálculo da excentricidade de 2ª ordem em pilares submetidos à flexão

composta oblíqua, vários métodos podem ser utilizados. Estes métodos são o método

simplificado do pilar padrão com curvatura aproximada e o método do pilar padrão com

rigidez κ aproximada, os quais são métodos simplificados e aplicados em pilares

específicos.

Em Fusco (1981 apud SMANIOTTO, 2005) é apresentado o método geral para

o cálculo dos efeitos de 2ª ordem que leva em consideração o cálculo das deformações da

estrutura considerando a não linearidade física do material e a não linearidade geométrica

do sistema. Esse método pode ser utilizado para realizar a análise de qualquer tipo de

estrutura. Também são apresentados métodos simplificados de linearização dos diagramasde interação, o método do equilíbrio com diagramas linearizados e a redução da flexão

oblíqua em duas flexões normais.

Araújo (2007), em seu trabalho, realizou um estudo comparativo dos processos

simplificados da norma para a consideração dos efeitos localizados de segunda ordem em

pilares-paredes. No caso, os resultados obtidos pelos processos da norma foram

comparados com as soluções exatas obtidas pela teoria não-linear de placas e concluiu que

o processo simplificado da NBR 6118/2003 superestima esse efeito e não deve ser

considerado no projeto.

Araújo (2001) analisou os métodos simplificados propostos na NBR 6118/2003

para o dimensionamento de pilares submetidos à flexão normal composta. Seus resultados

são comparados com métodos de dimensionamento mais rigorosos e que levam em

consideração as não-linearidades física e geométrica. Por fim, o autor concluiu que o

método do pilar padrão com curvatura aproximada é contra a segurança em alguns casos,

porém com um erro inferior a 10% em relação ao método rigoroso. Já o método do pilar

padrão com rigidez κ aproximada é bastante preciso com a rigidez recomendada.

Mendes Neto (2003) analisou os pilares de concreto armado submetidos à

flexão normal composta e concluiu que os métodos simplificados sugeridos pela NBR

6118/1978 são inadequados por problemas econômicos ou de segurança.

Araújo (1984) também faz críticas referentes à NB-1/78 em relação ao critério

de classificação de pilares, além de apontar erros que podem ocorrer devido ao critério

sugerido na norma. Ele ainda comenta que ao considerar como pilares curtos os pilares que



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possuem índice de esbeltez inferior a 40, a norma desconsidera os efeitos da não-

linearidade geométrica induzindo a erros que são contra a segurança da estrutura. Comenta

também que na conceituação de pilares curtos deve ser levado em consideração o diagrama

de momentos fletores de 1ª ordem, pois pilares com índice de esbeltez maiores que 40

podem ser classificados como curtos dependendo destes momentos.

Em Buchaim (1979, apud BORGES, 1999) são analisados os conceitos que

influem na consideração dos efeitos de 2ª ordem em pilares de concreto armado submetidos

à flexão oblíqua no método do pilar padrão.

Forni (1980, apud BORGES, 1999) apresenta uma análise ampla do estudo de

seções quaisquer submetidos à flexão composta oblíqua, mas não é levado em conta oefeito da fluência. O estudo resultou num programa que determina a resistência última de

seções de concreto armado.

As modificações da NBR 6118/2003, em relação a sua versão anterior a NBR

6118/87, procuram garantir maior vida útil às estruturas e para isso modifica bastante

alguns de seus parâmetros de dimensionamento tais como o cobrimento mínimo das

armaduras e as novas exigências para o concreto. Como já citado essas modificações

difundiram uma idéia de aumento de consumo de materiais da edificação.

Segundo Oliveira Neto e Bastos (2004), num artigo publicado sobre o estudo

das modificações causadas no dimensionamento de pilares submetidos à flexão composta

oblíqua segundo as duas normas (NBR 6118/78 e NBR 6118/2003), concluíram que mesmo

com as modificações, a nova versão da norma apresenta uma redução na área de armadura

para a mesma área de concreto utilizada. Essa diferença pode atingir o valor de 50%, se

forem utilizados os mesmos cobrimentos, e a valores de 44,5%, se forem utilizados os

cobrimentos mínimos permitidos em cada versão da norma. Nos exemplos que foram

utilizados no artigo, a diferença de armadura varia muito dependendo da situação e dosesforços que estão atuando no pilar.

Coelho e Banki (2005) reforçam o que foi mostrado por Oliveira Neto e Bastos

(2004), sendo que seus valores de redução foram de 55,56% de área de aço, para o

cobrimento mínimo no dimensionamento baseados nas duas versões da norma. Contudo, no

referido trabalho, a comparação não foi realizada utilizando os mesmos cobrimentos no

dimensionamento, para as duas versões da norma. Estes autores também apresentam a



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variação de consumo de aço em cada versão da norma para os pilares de um edifício,

apresentando o valor de 14% menos de consumo de aço da NBR 6118/2003, utilizando os

cobrimentos mínimos para cada versão da norma; e o valor de 25% de variação no

consumo de aço se fosse utilizado o mesmo cobrimento para o dimensionamento nas duas

versões da norma.

Em Graziano (2004, apud COELHO e BANKI, 2005) também é verificado que

as mudanças na NBR 6118/2003 tornaram os pilares mais seguros, modernos, duráveis e

econômicos.

1.5

Objetivos

Segundo Scadelai (2004), os pilares esbeltos são mais fáceis de sofrerem o

fenômeno da instabilidade, portanto, muito projetistas tendem a evitar a utilizá-los.

Assim, um dos objetivos desse trabalho é mostrar que a nova versão da NBR

6118/2003 apresenta uma melhor abordagem sobre o assunto a fim de garantir uma melhor

modelagem do problema. Além disso, as modificações apresentadas na metodologia de

dimensionamento tornam os pilares mais arrojados sendo menos conservadores em relação

ao dimensionamento realizado pela NB-1/78, portanto mais econômico.

Dessa maneira esse trabalho procura mostrar como a utilização dos conceitos

inseridos na nova NBR 6118/2003 para o dimensionamento de pilares submetidos à flexão

composta oblíqua pode aproveitar o máximo da capacidade de resistência dos materiais

levando em consideração a segurança da estrutura permitindo assim a concepção de

estruturas mais esbeltas.

1.6

Metodologia

Com o desenvolvimento tecnológico proporcionado pela utilização de

softwares, o dimensionamento de pilares encontra um meio que torna viáveis análises mais

exatas, evitando assim o uso da forma tabelada que era utilizado nos métodos

simplificados. A utilização de softwares permite o uso de conceitos que, há alguns anos

atrás, não eram possíveis de serem aplicados devido à grande dificuldade algébrica

envolvida (MEDEIROS e MENDES NETO, 2005). Assim, é importante considerar o uso



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dos métodos simplificados, já que eles são propostos pela Norma, e não necessitam de

softwares para sua aplicação fornecendo resultados adequados dentro de limites aceitáveis

desde que sejam respeitadas as condições de aplicabilidade (SCADELAI, 2004).

Para a realização da comparação são apresentados exemplos de

dimensionamento de seções de pilares submetidos à flexão composta oblíqua levando em

consideração os parâmetros recomendados nas duas versões da norma. Neste estudo foram

utilizados exemplos numéricos retirados do trabalho de Oliveira Neto e Bastos (2004),

“Dimensionamento de pilares de canto segundo a NBR 6118/2003”, cujos resultados

segundo a NBR 6118/2003, são utilizados nesse trabalho.

1.7 Divisão do trabalho

Este trabalho está dividido em seis capítulos, onde o primeiro capítulo consiste

nesta introdução que trata da contextualização do problema, da justificativa do estudo em

questão, dos objetivos a serem atingidos ao final do trabalho, de uma breve revisão

bibliográfica sobre o assunto abordado nesse trabalho e da classificação dos pilares quanto

a sua posição em projeto.

O segundo capítulo aborda as considerações que são adotadas pela nova NBR

6118/2003 para o dimensionamento de pilares de canto, tais como as dimensões mínimas

que devem ser respeitadas segundo a norma, o comprimento equivalente dos pilares,

definição dos casos em que os efeitos de segunda ordem devem ser considerados e as

principais excentricidades que atuam no dimensionamento dos pilares.

O terceiro capítulo trata das considerações da antiga NB-1/78 para o

dimensionamento de pilares de canto, como as dimensões mínimas para os pilares, as

excentricidades iniciais, acidentais e de segunda ordem, classificação dos pilares quanto aoíndice de esbeltez e a consideração dos efeitos de segunda ordem.

O quarto capítulo aborda os ábacos adimensionais que são utilizados para a

determinação das armaduras dos pilares referentes à norma NB-1/78. O quinto capítulo

trata dos exemplos numéricos e discussão dos resultados.

O sexto capítulo apresenta as principais conclusões e as sugestões para futuros

trabalhos.



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2 NBR 6118/2003

Neste capítulo são apresentadas as prescrições da atual NBR 6118/2003 para o

dimensionamento de pilares de canto, ou seja, pilares submetidos à flexão composta

oblíqua.

2.1 Classificação quanto ao índice de esbeltez

Segundo Scadelai (2004), os pilares podem ser classificados de acordo com seu

índice de esbeltez nas seguintes faixas:Pilares poucos esbeltos: 1λ λ ≤

Pilares de esbeltez média: 901 ≤< λ λ

Pilares esbeltos: 14090 ≤< λ

Pilares muito esbeltos: 200140 ≤< λ

Sendo o valor de 1λ definido de acordo com o item 2.6.

A NBR 6118/2003 não permite que o pilar tenha um índice de esbeltez superior

a 200.

2.2 Dimensões mínimas

Segundo a NBR 6118/2003, existem certos valores mínimos de dimensões de

pilares que devem ser respeitados de modo a evitar um baixo desempenho nos elementos

estruturais e propiciar boas condições de execução.

Estas dimensões mínimas são descritas no item 13.2.3 da NBR 6118/2003, que

diz que a menor dimensão de um pilar deve ser 19 cm. Porém, ela admite que pode existir

pilares com dimensões menores do que 19 cm, mas não permite que sejam inferiores a 12

cm, desde que sejam majoradas as cargas de acordo com o coeficiente γ n determinado pela

Tabela 2.1.



11

Tabela 2.1 – Valores do coeficiente adicional γ n (Fonte: NBR 6118/2003)

Para pilares cuja maior dimensão exceda em mais de cinco vezes a menor

dimensão devem ser tratados como pilar-parede.

2.3 Comprimento equivalente

Segundo a NBR 6118/2003, em seu item 15.6, o comprimento equivalente, el ,

de um pilar considerado vinculado nas suas extremidades é considerado o menor dos

seguintes valores:

hlle += 0

lle =

(2.1)

onde:

0l é a distância entre as faces internas dos elementos vinculados ao pilar.

h é a altura da seção transversal do pilar

l é a distância entre os eixos dos elementos vinculados ao pilar.

A Figura 2.1 ilustra os comprimentos apresentados na Eq. (2.1).

2.4

Efeitos de segunda ordem

Os efeitos de segunda ordem são os esforços que são somados aos esforços de

primeira ordem quando se considera a posição deformada da estrutura em sua análise. Os

efeitos de segunda ordem podem ser divididos em locais e globais. Os efeitos de segunda

ordem globais são decorrentes do deslocamento horizontal dos nós da estrutura devido aos

esforços verticais e horizontais. Devido a essa movimentação dos nós da estrutura, os eixos



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das barras não se mantêm retilíneos provocando assim os efeitos localizados de segunda

ordem que afetam principalmente a própria barra, conforme é ilustrado na Figura 2.2.

Figura 2.1 – Comprimento equivalente ( Fonte: SCADELAI, M. A., 2004.)

Figura 2.2 – Efeito de segunda ordem localizado (Fonte: NBR 6118/2003)

Os efeitos de segunda ordem são causados pela movimentação dos nós da

estrutura. A princípio todas as estruturas apresentam esse deslocamento, entretanto, para

facilitar os cálculos elas são classificadas em estruturas de nós fixos e nós móveis.



13

As estruturas de nós fixos normalmente apresentam pequenos deslocamentos

horizontais, tornando desprezíveis os efeitos globais de segunda ordem, sendo necessário

apenas considerar os efeitos locais de segunda ordem.

Já nas estruturas de nós móveis, normalmente os deslocamentos horizontais são

consideráveis, tornando importante a análise dos efeitos de segunda ordem globais. De

acordo com a NBR 6118/2003, em geral, os esforços globais de segunda ordem

correspondem a um acréscimo superior de 10% nos esforços de primeira ordem. Nessas

estruturas os efeitos de segunda ordem globais e locais devem ser considerados em sua

análise.

Nas estruturas de nós fixos é permitido considerar de maneira isolada cadaelemento comprimido como uma barra vinculada nas extremidades. De acordo com

Scadelai (2004), o fato de a estrutura ser considerada de nós fixos dispensa apenas sua

análise em relação aos efeitos de segunda ordem globais, mas não em relação a sua análise

como estrutura deslocável. A NBR 6118/2003 em seu item 15.4.4 considera os seguintes

elementos como isolados; elementos estruturais isostáticos, elementos contraventados,

elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos e elementos da subestrutura de

contraventamento de nós móveis desde que os esforços de segunda ordem sejam somados

aos efeitos de primeira ordem nas seções de extremidade.

2.5 Não linearidades

Segundo Borges (1999, apud SCADELAI, 2004), os conceitos de linearidade e

elasticidade são confundidos, entretanto esses dois conceitos são distintos. Por exemplo,

um material é dito elástico quando submetido a um carregamento este sofre uma certa

deformação e, depois de cessado o carregamento, este retorna à sua forma inicial, ou seja,quando a tensão retorna a zero a deformação é zero, não havendo deformação residual ou

permanente no material. Já a linearidade consiste numa relação linear (reta) entre causa e

efeito, ou seja, causa e efeito são proporcionais.

As estruturas em geral podem estar sujeitas a dois tipos de não linearidades, a

saber: a geométrica e a física. Estas não linearidades são explicadas a seguir.



14

2.5.1 Não linearidade geométrica

Na análise de estruturas, a determinação dos esforços normalmente é feita

considerando as peças da estrutura em seu estado indeformado, tal que a relação entre força

e deslocamento é linear. Entretanto, se ocorre variações na geometria da peça (defeitos de

fabricação, por exemplo), essa relação deixa de ser linear, caracterizando assim a não

linearidade geométrica. Esta não linearidade é a responsável pelos efeitos de segunda

ordem nas estruturas.

A não linearidade geométrica deveria ser sempre levada em consideração na

análise estrutural, entretanto, para pequenos deslocamentos, a diferença entre os resultadosobtidos com as teorias de primeira ordem e com a teoria da consideração da não linearidade

geométrica é pequena, não compensando dessa maneira a elaboração de cálculos mais

detalhados.

Contudo, a não linearidade geométrica deve ser levada em consideração nos

casos em que os deslocamentos são significativos e podem afetar a estabilidade da peça.

Como exemplo, pode-se citar o caso da flambagem (Figura 2.3).

Figura 2.3 – Barra comprimida (Fonte: BORGES, A. C. L., 1999).



15

Na Figura 2.3 a coluna está sujeita a uma força de compressão F. Sabe-se que

para baixos valores de F a barra permanece reta, entretanto quando a força F atinge um

valor crítico (Fcr) a barra flexiona. A partir deste valor crítico Fcr, pequenos acréscimos na

força F provoca grandes deformações na coluna.

Segundo Benjamin (1982, apud SCADELAI, 2004), quando os efeitos não-

lineares implicarem em enrijecimento da estrutura, a utilização de uma análise linear pode

conduzir a estruturas mais seguras, porém antieconômicas. Por outro lado, se o

comportamento não-linear implicar em perda de rigidez ou de estabilidade, a utilização de

uma análise linear pode resultar ou induzir a uma falsa noção de segurança estrutural.

2.5.2 Não linearidade física

A diferença básica entre um material linear e um material não linear é que o

material linear obedece a uma certa proporcionalidade entre a tensão aplicada e a

deformação e o material não linear não obedece a essa proporcionalidade.

O conceito de material elástico é esclarecido com o diagrama da Figura 2.4.

Neste caso, quando cessa o carregamento, se o diagrama retroceder pelo caminho não

tracejado, a deformação resultante é nula caracterizando o material como linear. Entretanto,

se o diagrama retroceder pelo caminho tracejado ocorre uma deformação resultante e o

material é dito inelástico ou não linear.

Figura 2.4 – Diagrama tensão x deformação de um material não linear (Fonte: BORGES, A. C. L., 1999).



16

O material é caracterizado como não linear pelo fato do diagrama da Figura 2.4

ser curvo, o que representa que não há uma relação linear entre a deformação e a tensão.

Diferente da não linearidade geométrica, a não linearidade física é uma

propriedade do material e acarreta a não proporcionalidade do mesmo. A Figura 2.5 mostra

dois diagramas tensão-deformação que ilustram o comportamento do material linear e do

não linear.

Figura 2.5 – Diagramas tensão x deformação (Fonte: BORGES, A. C. L., 1999)

2.6 Dispensa da analise dos efeitos locais de segunda ordem

De acordo com a NBR 6118/2003 em seu item 15.8.2, a consideração dosefeitos locais de segunda ordem pode ser desprezado, ou não, quando o índice de esbeltez

(λ ) for menor que o valor do índice de esbeltez limite ( 1λ ). Os valores dos índices de

esbeltez e esbeltez limite são determinados pelas seguintes expressões:

i

le=λ (2.2)

b

h

e

α λ

1

15,1225 +

= sendo, 9035 1 ≤≤ λ (2.3)

onde:

el é o comprimento equivalente conforme definido na Eq. (2.1).

i é o raio de giração.

bα é o coeficiente definido pelas Eq.(2.4), (2.5), (2.6) e (2.7).



17

h

e1 é a excentricidade relativa de primeira ordem.

O coeficiente bα é definido conforme o seguinte:

• Em pilares biapoiados sem cargas transversais o coeficiente é definido

conforme a seguinte expressão:

40,040,060,0 ≥+= A

B

b M

M α (2.4)

Sendo que A M e B M são os momentos de primeira ordem aplicados nosextremos dos pilares, onde

A M será o maior valor absoluto ao longo do pilar e B M será

positivo se tracionar a mesma face que A M , caso o contrário será negativo.

• Em pilares biapoiados com cargas transversais ao longo da altura o

coeficiente será dado pela seguinte expressão:

1=bα (2.5)

• Para pilares em balanço:

A

C

b M

M 20,080,0 +=α 00,185,0 ≤≤ b

α (2.6)

OndeC M é o momento de primeira ordem na seção intermediária do pilar e

A M é o momento no engaste.

• Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o

momento mínimo conforme definido no item 2.8.3.

1=bα (2.7)



18

2.7 Excentricidade inicial

É a excentricidade existente no topo e na base do pilar devido à existência demomentos fletores aplicados nesses pontos. Esses momentos fletores podem ser

substituídos pelas excentricidades iniciais,ie , no ponto de aplicação da carga normal.

Dependendo do carregamento a que esteja submetido o pilar, a excentricidade

pode ser em uma direção principal ou nas duas direções principais, conforme mostra a

Figura 2.6.

Figura 2.6 – Excentricidades inicias. Fonte: Silvia e Pinheiro (1982, apud SCADELAI, 2004).

A expressão que determina os valores dessas excentricidades é:

sd

sd

i N M e = (2.8)

Sendo as respectivas excentricidades nas direções principais definidas como:

sd

xsd

xi N

M e

,

, = (2.9)



19

sd

ysd

i N

M e

y

,

,= (2.10)

2.8 Imperfeição geométrica

De acordo com a NBR 6118/2003 em seu item 11.3.3.4, na verificação do

estado limite último devem ser consideradas as imperfeições geométricas dos elementos

estruturais na estrutura descarregada. A norma divide essas imperfeições geométricas em

imperfeições globais e imperfeições locais.

2.8.1 Imperfeição global

A imperfeição global é a consideração na análise global da estrutura do

desaprumo dos elementos verticais, sejam eles contraventados ou não. A Figura 2.7 ilustra

como esse desaprumo é considerado.

Figura 2.7 – Imperfeições geométricas globais (Fonte: NBR 6118/2003)

A expressão que define o valor do desaprumo é:

2

111

na

+= θ θ

(2.11)

l100

11 =θ (2.12)



20

onde:

n = representa o número de prumadas de pilares.

l = representa a altura total de estrutura em metros.

O valor mínimo de 1θ é de 4001 para estruturas de nós fixos e de 300

1 para

estruturas de nós móveis e imperfeições locais.

De acordo com a norma NBR 6118/2003, o desaprumo mínimo não deve

obrigatoriamente ser somado aos esforços causados pela ação do vento. A recomendação

desta é que se deve considerar o mais desfavorável entre eles.

2.8.2 Imperfeição local

Neste caso, na verificação do lance de um pilar deve ser considerado o efeito do

desaprumo no eixo deste, conforme mostra a Figura 2.8:

Figura 2.8 – Imperfeições geométricas locais (Fonte: NBR 6118/2003)

onde:

ia H e .1θ = para a seção do topo e base do pilar (2.13)

2

1. ia H e θ = para a seção intermediária do pilar (2.14)



21

l100

11 =θ (2.15)

l = representa a altura total da estrutura em metros.

i H = altura do lance considerado.

A norma NBR 6118/2003 em seu item 11.3.3.4.c admite que as excentricidades

acidentais, ae , sejam substituídas pelo momento mínimo em cada direção, conforme a

seguinte citação:

“Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais

esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. No caso depilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado

em cada uma das direções principais, separadamente.”

2.8.3 Momento mínimo

A norma NBR 6118/2003 em seu item 11.3.3.4.c admite que as imperfeições

geométricas locais sejam substituídas pela consideração de um momento mínimo de

primeira ordem determinado pela seguinte expressão:

)03,0015,0(min,1 h N M d d += (2.16)

Onde h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros.

Nos pilares submetidos à flexão composta oblíqua esse momento mínimo deve

ser atendido nas duas direções do pilar. A esse momento mínimo deve ser acrescentado o

momento de segunda ordem devido à excentricidade de segunda ordem.

2.9 Excentricidade de segunda ordem

Os esforços que atuam no elemento em sua posição indeformada podem gerar

deformações. Essas deformações podem aumentar de maneira significativa os esforços

atuantes na peça.



22

Os efeitos de segunda ordem são influenciados principalmente pelo índice de

esbeltez do pilar, força normal e momento fletor atuante na peça.

A norma NBR 6118/2003 considera esses efeitos através de uma excentricidade

adicional que é a excentricidade de segunda ordem, 2e . A norma também comenta os

métodos utilizados para a determinação da excentricidade de segunda ordem, como o

método do pilar padrão com curvatura aproximada, método do pilar padrão com rigidez κ

aproximada e o método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N e r 1 .

2.9.1

Método do pilar padrão com curvatura aproximada

De acordo com a NBR 6118/2003 em seu item 15.8.3.3.2, para a utilização

desse método, o pilar deve ter índice de esbeltez menor ou igual a 90, possuir uma seção

constante e armadura simétrica e constante ao longo do eixo. A não-linearidade geométrica

é considerada de forma aproximada, supondo a deformação da barra senoidal. A não-

linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da curvatura na

seção crítica.

O valor do momento total aplicado no pilar é dado pela seguinte expressão:

Ad

e

Ad btot d M r

l Nd M M ,1,1,

1

10

²≥+=α min,1,1 d Ad M M ≥ (2.17)

O valor da curvatura na seção crítica é definido pela seguinte expressão

aproximada:

hhr

005,0

)5,0(

005,01≤

+=

ν (2.18)

cd c

sd

f A

N =ν (2.19)

onde:

ν é a força normal adimensional



23

h é a altura da seção na direção considerada

min,1d M é o momento mínimo na direção considerada conforme definido no item 2.8.3.

bα é o coeficiente definido pelas Eq. (2.4), (2.5), (2.6) e (2.7).

el é o comprimento equivalente do pilar

2.9.2 Método do pilar padrão com rigidez aproximada

A norma NBR 6118/2003, em seu item 15.8.3.3.3, recomenda que para a

utilização desse método o pilar deve possuir índice de esbeltez igual ou inferior a 90, seção

retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo do eixo. A não linearidade

física é considerada através de uma expressão aproximada da rigidez. A não linearidade

geométrica é considerada de forma aproximada supondo a deformação da barra senoidal.

O momento máximo no pilar é definido pela seguinte expressão:

min,1,1,1

,

120

²1

d Ad

Ad b

tot d M M M

M ≥≥

−

=

ν κ

λ

α

(2.20)

A rigidez adimensional é calculada de maneira aproximada pela seguinte

expressão:

ν κ )51(32 ,

d

tot d

hN

M += (2.21)

onde:

ν é a força normal adimensional

λ é o índice de esbeltez do pilar

h é a altura da seção na direção considerada

bα é o coeficiente definido pelas Eq.(2.4), (2.5), (2.6) e (2.7).

min,1d M é o momento mínimo na direção considerada conforme definido em 2.8.3.



24

Pode ser notada que para determinar o valor da rigidez aproximada κ é

necessário o valor de tot d M , que, por sua vez, necessita do valor da rigidez κ para ter seu

valor determinado. A norma comenta que são suficiente duas ou três iterações quando se

optar por um processo iterativo.

Porém, de acordo com a publicação do IBRACON (2007), substituindo a Eq.

(2.21) na Eq. (2.20) e considerando Ad bd M M ,11 α = , obtém-se o seguinte resultado:

0)()²( ,, =++ C M B M A tot Sd tot Sd (2.22)

Sendo:

d ssd

d s

esd

sd

M h N C

hM l N

hN B

h A

1

1

²

5320

²

5

−=

−−=

=

(2.23)

O momento total máximo é dado de forma iterativa pela seguinte expressão:

A

AC B B M tot sd 2

4²,

−+−= (2.24)

onde:

h é a altura da seção na direção analisada

el é o comprimento equivalente do lance do pilar

sd N a força normal solicitante no seu valor de cálculo

d s M 1 o momento solicitante de 1ª ordem na seção considerada com o seu valor de cálculo.

2.9.3

Método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N, r 1

De acordo com a norma NBR 6118/2003 em seu item 15.8.3.3.4, esse método é

utilizado para determinar os efeitos de segunda ordem em pilares com índice de esbeltez

igual ou inferior a 140. Esse método consiste no método do pilar padrão utilizando para a



25

curvatura da seção crítica valores que são obtidos através de diagramas M, N, r 1

específicos para o caso.

2.9.4 Método do pilar padrão para pilares de seção retangular submetidos à flexão

composta oblíqua.

A norma NBR 6118/2003 em seu item 15.8.3.3.5 define que, para pilares de

seção retangular com índice de esbeltez inferior a 90 nas duas direções principais e que

sejam submetidos à flexão composta oblíqua, pode ser aplicado o método do pilar padrão

com rigidez κ aproximada em cada uma das duas direções principais.Com a distribuição de momentos totais em cada direção, deve ser verificado se,

para cada seção ao longo do eixo, a composição desses momentos fica interna a envoltória

de momentos resistentes para a armadura escolhida. Essa verificação deve ser realizada nas

seções do topo, da base e em uma seção intermediária onde atuam os momentos nas duas

direções.



26

3 NB-1/78

Neste capítulo são apresentadas as prescrições da antiga NB-1/78 para o

dimensionamento de pilares de canto.

3.1 Dimensões mínimas

A NB-1/78 define que para pilares não cintados nenhuma dimensão deve ser

menor que 20 cm (Figura 3.2) ou 251 da altura do pilar (l - Figura 3.1).

Figura 3.1 – Elevação de pilar. (Fonte: Sussekind, J. C., 1985)

Figura 3.2 – Seção de pilar. (Fonte: Sussekind, J. C., 1985)

3.2

Excentricidade acidental

De acordo com Sussekind (1985), a incerteza do ponto de aplicação da força

normal devido a um erro no processo de fabricação da peça que ocasiona um desvio do eixo



27

em relação ao projeto é levada em consideração através da adoção de uma excentricidade

na NB-1/78.

Essa excentricidade é chamada de acidental, ae , e deve ser considerada na

direção mais desfavorável para o pilar, sendo definida pela seguinte expressão:

30

hea = (3.1)

Sendo h a maior dimensão na direção considerada. A excentricidade acidental

tem um valor mínimo 2,00 cm (NB-1/78). Desse modo, segundo Sussekind (1985), nenhumpilar deverá ser dimensionado a compressão centrada e sim submetidos a uma flexo-

compressão.

3.3

Classificação dos pilares quanto ao índice de esbeltez

Os pilares são divididos em três grupos de acordo com o grau de importância

dos efeitos de segunda ordem (SUSSEKIND, 1985). O primeiro grupo é o dos pilares

curtos que apresentam índice de esbeltez inferior ou igual a 40, dispensando os efeitos de

segunda ordem por terem pouco significado nesses casos. O dimensionamento de pilares

curtos é feito para os esforços de primeira ordem somados à excentricidade acidental na

direção mais desfavorável ao pilar, conforme foi definido no item anterior3.2. A NB-1/78

prescreve que os efeitos de segunda ordem para esses casos de pilares podem ser

desprezados.

O segundo grupo são os pilares médios que apresentam índice de esbeltez

maior que 40 e menor ou igual a 80, sendo necessário fazer uma análise dos efeitos desegunda ordem, que segundo a NB-1/78 pode ser feito por métodos simplificados.

O terceiro grupo compreende os pilares que possuem índice de esbeltez

superior a 80, sendo necessário a análise dos efeitos de segunda ordem por métodos mais

precisos.

3.4 Consideração dos efeitos de segunda ordem



28

De acordo com Rocha (1983), a NB-1/78 determina que a consideração da

flambagem deve ser feita levando em consideração a excentricidade de segunda ordem nas

direções cujo índice de esbeltez seja maior do que 40 ( 40>λ ).

Rocha (1983) afirma que, para esse caso, o efeito de segunda ordem deve ser

considerado, e, se o índice de esbeltez for menor que 80 com força normal e seção

constante, a excentricidade de segunda ordem pode ser calculada por métodos

aproximados.

Para os pilares médios, a NB-1/78 permite que os efeitos de segunda ordem

sejam considerados por métodos aproximados. A NB-1/78 admite que para a avaliação

simplificada destes efeitos, o pilar deve estar na posição deformada, conforme mostra aFigura 3.3.

Figura 3.3 – Posição deformada do pilar (Fonte: Sussekind, J. C., 1985)

A curvatura máxima do pilar é definida pela Eq. (3.2) a seguir:

maxmax ²

²)

1( y

lr e

π = (3.2)

De onde resulta a Eq. (3.3):



29

maxmax )1

(10

²

r

l y e= (3.3)

Para a utilização da Eq. (3.3), a NB-1/78 admite que a curvatura seja definida

pela seguinte expressão:

h

E

f

r

s

yd

)5,0(

0035,0

)1

( max+

+

=ν

(3.4)

Sendo:

5,0≥=cd c

d

f A

F v (3.5)

Assim, substituindo a Eq. (3.4) na Eq. (3.3) resulta numa excentricidade de

segunda ordem no plano mais desfavorável de acordo com a equação a seguir:

h

E

f

l ye s

yd

e

)5,0(

)0035,0(

.10

²max2

+

+

==ν

(3.6)

Sendo v definido de acordo com a Eq. (3.5) e h o lado do menor retângulo

circunscrito à seção, paralelo à excentricidade acidental considerada.

Segundo Sussekind (1985), o dimensionamento de um pilar médio é feito

considerando as três excentricidades, a de primeira e de segunda ordem no plano atuante e a

acidental atuando no plano mais desfavorável.

A Figura 3.4 e a Figura 3.5 mostram os casos de dimensionamento que um pilar

pode estar submetido.



30

Figura 3.4 – Primeiro caso de consideração das excentricidades (Fonte: Sussekind, J. C., 1985)

Figura 3.5 – Segundo caso de consideração das excentricidades (Fonte: Sussekind, J. C., 1985)

Em Sussekind (1985), para pilares com extremidades indeslocáveis com um

diagrama linear de momentos fletores atuando ao longo do seu comprimento, o

dimensionamento deve ser verificado para as extremidades e no trecho intermediário.



31

Para as extremidades são consideradas as excentricidades de primeira ordem e a

excentricidade acidental. Não se deve considerar a excentricidade de segunda ordem, pois

as extremidades são indeslocáveis, não apresentando deslocamentos.

Para a seção intermediaria devem ser consideradas três excentricidades: a

acidental, a de segunda ordem e a de primeira ordem. Sendo que a excentricidade de

primeira ordem é definida de acordo com a Eq. (3.7) a seguir:

A B A eeee 4,0)4,06,0(1 ≥+= (3.7)

Sendo Ae sempre positiva e superior a Be . A excentricidade Be terá sinal

negativo se estiver em sentido contrario a Ae , conforme mostra a Figura 3.6.

Figura 3.6 – Pilar com nós indeslocáveis (Fonte: Sussekind, J. C., 1985)

A NB-1/78, com a definição da Eq. (3.7), tem a intenção de definir de maneira

mais prática e a favor da segurança a seção onde ocorrerá a excentricidade máxima ao

longo do pilar, ou seja, a seção onde a soma das três excentricidades atinge seu valor

máximo (SUSSEKIND, 1985).



32

Segundo Rocha (1983), se o pilar não se enquadrar em nenhum dos casos

particulares acima, o cálculo dos efeitos de segunda ordem devem ser calculados pela teoria

geral de segunda ordem.

3.5 Comprimento de flambagem

O comprimento de flambagem de um pilar é dado pela seguinte expressão:

lle ⋅= β (3.8)

Onde l é comprimento do pilar e β é o coeficiente em função dos vínculos do

pilar de acordo com a Figura 3.7, a Figura 3.8, a Figura 3.9 e a Figura 3.10.

Figura 3.7 – Comprimento de flambagem de um pilar biapoiado (Fonte: Sussekind, J. C., 1985)

Figura 3.8 – Comprimento de flambagem de um pilar apoiado e engastado (Fonte: Sussekind, J. C., 1985)



33

Figura 3.9 – Comprimento de flambagem de um pilar livre e engastado (Fonte: Sussekind, J. C., 1985)

Figura 3.10 – Comprimento de flambagem de um pilar biengastado (Fonte: Sussekind, J. C., 1985)

3.6 Pilares submetidos à flexão oblíqua com índice de esbeltez menor que 40

Segundo Rocha (1983), para pilares com índice de esbeltez menor que 40, a

excentricidade de segunda ordem não deve ser considerada.

Para um pilar de seção retangular com armadura igual nos quatro lados, a flexão

oblíqua pode ser substituída por uma flexão normal na direção mais desfavorável, sendo a

direção determinada pelo seguinte modo:

A direção x se:



34

b

hee y x ≥ (3.9)

A direção y se:

h

bee x y ≥ (3.10)

E o valor da excentricidade a ser utilizada no dimensionamento será dado pelas

seguintes expressões:

Na direção x, se esta for a mais desfavorável:

b

heee y x ⋅+= β (3.11)

Na direção y, se esta for a mais desfavorável:

b

heee x y ⋅+= β (3.12)

O valor de β é determinado pela Tabela 3.1 a seguir que é função da taxa de

armadura (ω ) e da força normal adimensional ( γ ).

Tabela 3.1 – Valor de β



35

A Figura 3.11 explica de forma mais clara o que foi exposto anteriormente.

Figura 3.11 – Substituição de excentricidades (Fonte: Malakoski, J., 1998)

Onde xe e ye representam a componente da excentricidade nas direções x e y,

respectivamente, h é a dimensão na direção x e b é a dimensão na direção y.



36

4 ÁBACOS ADIMENSIONAIS

Nesta seção são abordados os ábacos que são utilizados para realizar o

dimensionamento da área de aço para os pilares.

4.1 NB-1/78

Para a determinação da área de aço nas seções, são utilizados os ábacos que

estão em disponíveis em Sussekind (1985). Estes ábacos são uma adaptação dos ábacos do

Comitê Europeu do Concreto (CEB).Os ábacos do CEB foram elaborados de forma que os argumentos de entrada

são proporcionais aos esforços atuantes.

O valor da armadura é então determinado pela seguinte expressão:

yd

cd

ctotal f

f wA A = (4.1)

Entretanto, segundo Sussekind (1985) existe uma divergência dos ábacos para

os aços utilizados no Brasil. Para solucionar o problema, Sussekind (1985) propõe utilizar

um valor fictício de cálculo para a tensão de escoamento de yd f = 002,0−sd

ξ resultando na

seguinte expressão:

002,0−

=sd

cd

ctotal

f wA A

ξ (4.2)

Sendo 002,0−sd ξ o valor da tensão do aço a deformação de 2,00‰. Adotando essa

solução proposta por Sussekind (1985) para os aços CA-50A, que são utilizados neste

trabalho, obtém-se uma redução na faixa contra a segurança e torna o dimensionamento

para a região com deformação do aço maior que 2,00‰ a favor da segurança. O valor

adotado por Sussekind (1985) para 002,0−sd ξ é de 420 MPa.



37

Sussekind (1985) apresentou soluções para alguns casos de seções submetidas à

flexão composta oblíqua e para alguns tipos de disposição da armadura. Os argumentos de

entrada dos ábacos são sempre os mesmos como mostra na Figura 4.1.

Figura 4.1 – Utilização dos ábacos. (Fonte: Sussekind, J. C., 1985)

Os argumentos de entrada para a utilização dos ábacos são:

cd

d

abf

N =ν ;

cd

ad

abf a

M

²= µ ;

cd

bd

b f ab

M

²= µ (4.3)

Sendo o valor da área de aço retirado da Eq. (4.2).



38

5 EXEMPLOS

Neste capítulo são dimensionados alguns pilares segundo as duas versões da

NB1, cujos resultados são comparados. Estes pilares estão submetidos à flexão oblíqua

composta e encontram-se disponíveis em Oliveira Neto e Bastos (2004), cujos resultados,

segundo a NBR 6118/2003, são utilizados neste trabalho. Todos os exemplos consideram o

Fck de 20MPa para o concreto e utiliza o aço CA-50A para a armadura.

5.1 Exemplo 1

O pilar está submetido a um esforço de compressão de 1148,00 kN, com

comprimento equivalente de 2,80 m. Possui um momento fletor em torno do eixo- x no

valor de 20,41 kN·m atuando nas suas extremidades e um momento fletor em torno do

eixo- y de 17,26 kN·m nas duas extremidades. Sua seção transversal é 20 cm x 50 cm.

A Figura 5.1 ilustra a seção do pilar com os momentos fletores aplicados.

Figura 5.1 – Seção do pilar do exemplo 1

O pilar é então dimensionado segundo a NB1/78 (capítulo 3). Neste caso, adireção mais desfavorável é aquela que resulta em maior armadura.

Como dito no item 3.4 deve ser feita a análise das seções de extremidade e

intermediária do pilar. Inicialmente é analisada a seção de extremidade do pilar, a

excentricidade acidental deve ser considerada na direção mais desfavorável do pilar e para

determinar essa direção é calculada a armadura da seção considerando a excentricidade

acidental em uma direção e posteriormente na outra direção, dessa forma a direção mais



39

desfavorável será aquela que resultar em uma maior armadura. Para o exemplo em questão

a direção mais desfavorável é a direção “x”.

Na análise da seção de extremidade não é levado em consideração à

excentricidade de segunda ordem, pois mesmo que o pilar possua índice de esbeltez

superior a 40 na direção considerada o valor da excentricidade acidental na extremidade é

nula.

Para a análise da seção intermediária é determinado o índice de esbeltez do

pilar nas duas direções, obtendo os valores de 48,50 para a direção “x” e de 19,40 para a

direção “y”, sendo, portanto necessária considerar os efeitos de segunda ordem apenas na

direção “x”.Depois de determinar a direção onde atua a excentricidade de segunda ordem

seu valor é determinado obtendo o valor de 1,68 cm na direção “x”.

De posse dos dados anteriores é calculado os adimensionais de entrada do

ábaco para se determinar a taxa de amadura da seção. O ábaco utilizado está mostrado na

Figura 5.2 (SUSSEKIND, 1985).

A Tabela 5.1 a seguir mostra os resultados que foram obtidos utilizando os

métodos descritos.

Tabela 5.1 – Resultados do exemplo 1.

NB-1/78 NBR 6118/2003

Excentricidade de 1ª ordem na direção “x” 2,71 cm 2,10 cm

Excentricidade de 1ª ordem na direção “y” 0 cm 3,00 cm


Armadura 22,30 cm² 16,43 cm²

A excentricidade de primeira ordem na direção “x” na coluna da NB-1/78

representa a soma da excentricidade inicial com a excentricidade acidental.



40

Figura 5.2 – Ábaco adimensional para seção retangular submetida à flexo-compressão oblíqua.



41

5.2 Exemplo 2

O pilar está submetido a um esforço de compressão de 1148,00 KN, comcomprimento equivalente de 4,60 m, possui momento fletor no eixo “x” de 14,23 KN.m nas

suas extremidades e momento fletor em “y” de 15,09 KN.m nas duas extremidades e sua

seção transversal é de 20 cm x 50 cm.

A Figura 5.3 ilustra a seção do pilar.



intermediária do pilar. Primeiramente é analisada a seção de extremidade do pilar, e paradeterminar a direção onde atua a excentricidade acidental é calculada a armadura da seção

considerando a excentricidade acidental em uma direção e posteriormente na outra direção,

sendo a direção mais desfavorável aquela em que resultar uma maior armadura. Para o

exemplo em questão a direção mais desfavorável é a direção “x”.



direção “y”, sendo, portanto necessária considerar os efeitos de segunda ordem apenas na

direção “x”.

Depois de determinar a direção de atuação da excentricidade de segunda ordem

foi calculado seu valor, obtendo o valor de 4,52 cm.


ábaco para se determinar a taxa de amadura da seção. O ábaco utilizado no exemplo 1

também foi utilizado para este exemplo.



42


métodos descritos.


NB-1/78 NBR 6118/2003


Excentricidade de 1ª ordem na direção “y” 0 cm 3,00 cm



A excentricidade de primeira ordem na direção “x” na coluna da NB-1/78

representa a soma da excentricidade inicial com a excentricidade acidental.

5.3 Exemplo 3

O pilar está submetido a um esforço de compressão de 504,00 KN, comcomprimento equivalente de 2,80 m, possui momento fletor no eixo “x” de 26,83 KN.m nas

suas extremidades e momento fletor em “y” de 11,05 KN.m nas duas extremidades e sua

seção transversal é de 20 cm x 30 cm.

A Figura 5.4 ilustra a seção do pilar.




43


intermediária do pilar. Inicialmente é analisada a seção de extremidade do pilar, para

determinar a direção onde a excentricidade acidental é mais desfavorável é calculada a

armadura da seção considerando a excentricidade acidental em uma direção e

posteriormente na outra direção, dessa forma a direção mais desfavorável será aquela que

resultar em uma maior armadura. Para o exemplo em questão a direção mais desfavorável é

a direção “y”.



direção “y”, sendo, portanto necessária considerar os efeitos de segunda ordem apenas nadireção “y”.

Depois de determinar a direção onde atua a excentricidade de segunda ordem

seu valor é determinado obtendo o valor de 2,20 cm na direção “y”. Entretanto a maior taxa

de armadura é obtida na seção de extremidade do pilar.


ábaco para se determinar a taxa de amadura da seção. O ábaco utilizado nos exemplos 1 e 2

também foi utilizado neste exemplo.


métodos descritos.


NB-1/78 NBR 6118/2003


Excentricidade de 1ª ordem na direção “y” 4,19 cm 2,19 cm

Excentricidade de 2ª ordem 0 cm 0 cm


A excentricidade de primeira ordem na direção “y” na coluna da NB-1/78

representa a soma da excentricidade inicial com a excentricidade acidental. Neste caso a

excentricidade de segunda ordem é considerada zero devido se tratar da seção de

extremidade do pilar.



44

5.4

Apresentação dos resultados

A Tabela 5.4 apresenta os resultados que foram obtidos segundo a NB-1/78 e a

NBR 6118/2003 para a área de armadura de cada exemplo.

O cobrimento utilizado para realizar o dimensionamento das peças foi de 2,50

cm para as duas normas.

Tabela 5.4 – Áreas das armaduras segundo as duas normas.

NB-1/78 NBR 6118/2003 Diferença

Exemplo 1 22,30 cm² 16,43 cm² 26,32%

Exemplo 2 30,27 cm² 29,90 cm² 1,22%

Exemplo 3 9,79 cm² 3,94 cm² 59,75%

Tabela 5.5 – Momentos fletores na NBR 6118/2003

Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3

Momento mínimo na direção “x” 24,11 KN.m 24,11 KN.m 12,09 KN.m

Momento mínimo na direção “y” 34, 44 KN.m 34,44 KN.m 10,58 KN.m

Momento aplicado na direção “x” 20,41 KN.m 14,23 KN.m 26,83 KN.m

Momento aplicado na direção “y” 17,26 KN.m 15,09 KN.m 11,05 KN.m

Diferença de armadura 26,32% 1,22% 59,75%

Para o exemplo 1 foi obtida uma redução de 26,32% de área de aço, ou seja,levando em consideração o exposto no exemplo 1 o dimensionamento pela NBR 6118/2003

apresentou uma área de aço 26,32% menor que o dimensionamento realizado pela antiga

NB-1/78. Já no exemplo 2 a redução foi de 1,22% e no exemplo 3 houve uma redução

significativa de 59,75% na armadura.

Segundo Oliveira Neto e Bastos (2004) a causa da grande divergência do

resultado encontrado no exemplo 3 é devido ao fato do momento fletor de primeira ordem



45

ser superior ao momento mínimo, que, de acordo com metodologia da NBR 6118/2003,

não há necessidade de considerar o momento devido à excentricidade acidental. Isto não

ocorre na antiga NB-1/78 que sempre considera nos cálculos a excentricidade acidental.



46

6 CONCLUSÕES

Este trabalho mostrou alguns pontos que influenciam no dimensionamento dos

pilares ao utilizar a NBR 6118/2003 em comparação a antiga NB-1/78.

Foram utilizados alguns exemplos numéricos nos quais ocorreu a redução da

área de aço dos pilares utilizando as mesmas dimensões, cobrimento e esforços atuantes no

pilar. Assim a NBR 6118/2003 mostrou abordar a análise de pilares de maneira mais

elaborada, durável e econômica em relação à NB-1/78.

De posse dos resultados da Tabela 5.5 pode ser observado que quando os

momentos fletores de primeira ordem são inferiores aos momentos mínimos a área de aço

resultante do dimensionamento baseado nas duas normas são próximas, entretanto quando o

momento fletor de primeira ordem é superior ao momento mínimo ocorre uma diferença

mais significativa entre os resultados obtidos.

Segundo Scadelai (2004), em relação à NBR 6118/2003, a excentricidade

inicial não inclui a excentricidade acidental, no entanto, a excentricidade acidental não

altera o resultado quando o momento fletor aplicado no pilar é superior ao momento

mínimo. Essa foi uma das mudanças que ocorreram na norma em relação a sua versãoanterior ao considerar um momento mínimo que é a soma das duas excentricidades.

Entretanto, deve ficar explícito que a excentricidade acidental e inicial são causadas por

mecanismos distintos, a primeira pela ligação monolítica entre as peças da estrutura e a

segunda por imperfeições na execução, sendo, portanto necessário avaliar as

excentricidades de maneira isolada.

Segundo Coelho e Banki (2005), ao se analisar pilares isolados pode-se obter

resultados errados em relação à área de aço. Neste caso, deve-se analisar o consumo total

de aço em uma edificação para obter o comportamento médio de todos os pilares para

realizar uma correta comparação entre as duas normas.

Outro ponto que merece destaque em relação à NBR 6118/2003 é a

consideração em relação ao carregamento devido à ação do vento e a imperfeição global.

Como descrito no item 2.8.1 a NBR 6118/2003 especifica que a ação devido ao desaprumo

não deve ser somada a ação devido ao vento, sendo considerado apenas o mais



47

desfavorável. Entretanto, essas ações podem atuar de forma que possam resultar em uma

combinação desfavorável e ocasionar problemas estruturais.

Pode-se observar a preocupação com a durabilidade das estruturas de concreto

da NBR 6118/2003 em relação à NB-1/78 devido ao aumento dos cobrimentos das

armaduras, resultando em um aumento da vida útil das estruturas de concreto. Scadelai

(2004) afirma que o aumento do cobrimento nos pilares de concreto armado pode torná-lo

menos dúctil, ocasionando uma ruptura frágil, esse fenômeno ocorre devido à diminuição

de área de concreto que está confinada entre os estribos.

O método do pilar padrão com curvatura aproximada proposto na NBR

6118/2003 é um dos mais simples entre os métodos apresentados e possui uma aplicaçãodireta.

Em relação ao que foi abordado anteriormente pode-se verificar que as

mudanças que ocorreram da NB-1/78 para a NBR 6118/2003 incorporam o

desenvolvimento tecnológico, processos e teorias que trazem resultados mais refinados. De

maneira mais ampla as mudanças propostas na NBR 6118/2003 tornam o cálculo de pilares

mais arrojados em comparação a NB-1/78.

Como sugestão para dar continuidade ao trabalho pode-se analisar seções de

pilares utilizando os demais métodos propostos pelas normas com o intuito de comparar os

resultados obtidos e avaliar os métodos utilizados. Sugere-se também a comparação de

resultados para o dimensionamento de outras seções de pilares, tais como seções circulares,

em L e outras.



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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Comparacao Entre o Dimensionamento de Pilares de Canto