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Computação Gráfica – Modelagem Geométrica
Profa. Mercedes Gonzales Márquez
Tópicos
Curvas Superfícies Técnicas principais de Modelagem
Geométrica
Estuda-se dentro do escopo da Modelagem Geométrica. Curvas são a base, tanto da geração de formas simples, como círculos e elipses, quanto na criação de projetos complexos como automóveis, navios, aeronaves ou até mesmo faces e corpos humanos.
Curvas e Superfícies - Introdução
Curvas e superfícies desempenham um papel importante em várias áreas, como criação de objetos e visualização de fenômenos científicos.
Representar uma curva como uma sucessão de linhas retas não é suficiente. O desafio maior é definir uma curva que passe por um determinado conjunto de pontos.
Introdução
Basicamente existem duas formas principais de representar curvas:
(A) Por um conjunto de pontos;(B) Por representação analítica.
Representação de Curvas
(A) Por Conjunto de Pontos– A curva é representada por um conjunto finito de
pontos conectados por pequenos segmentos de retas.
Representação de Curvas
Para ter uma aparência “natural” deve-se usar um conjunto grande de pontos.
Representação de Curvas
A
B
Representação de Curvas
(B) Representação AnalíticaUsa uma ou mais equações. Vantagens:– Maior precisão;– Mais compacta;– Não requer área de armazenamento;– Facilidade de calcular novos pontos (caso necessário);– Facilidade de cálculo de propriedades da curva como
área, inclinação, curvatura;– Maior simplicidade para ser redesenhada quando
sujeita a transformações como escala, rotação, projeções, etc.
A representação analítica de curvas pode usar ou não parâmetros, sendo classificados como B.1. paramétricas B.2. não-paramétricas.
As formas não-paramétricas podem ser, ainda, B.2.1. explícitas B.2.2. implícitas.
Representação de Curvas
B.1 Formas paramétricas– As coordenadas são dadas em termos de um (conjunto)
de parâmetros. Usa-se um parâmetro (t, , etc.) para definir as coordenadas dos pontos da curva.
P(t) = (x(t), y(t))Exemplos:
Representação de Curvas
B.1 Formas paramétricasP(t) = (x(t), y(t))
Exemplos:
Representação de Curvas
B.1. Formas paramétricasP(t) = (x(t), y(t))
Exemplos:
Representação de Curvas
Representação de Curvas
B.2. Formas não-paramétricasNão há parâmetros e uma coordenada da curva é dada em função da outra, ou seja
y = f(x) ou x = f(y)–Exemplos:1) Equação de um semi-círculo de raio 2
2) Equação de uma retay = 2x – 1 ou x = ½ (y + 1)
2222 22 yxouxy
Representação de Curvas
B.2.1 Forma não-paramétrica explícita : É dada por uma equação do tipo y = f(x), ou seja uma das coordenadas é explicitamente dada em função das outras.– Exemplos:1) Equação genérica explícita de uma parábola:
y = ax2 + bx + c2) Equação de uma reta
y = mx + b3) Polinômios:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x1 + a0
Representação de Curvas
Obtém-se um valor de y para cada valor de x dado.
Representação de Curvas
B.2.2. A representação implícitas não tem essa limitação. Nela as coordenadas são relacionadas por uma função. A sua forma é
Representação de Curvas
Exemplo: seções cônicas.
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 Essa expressão representa a variedade de
curvas planas denominadas seções cônicas. Essas curvas (cinco) são obtidas pelo corte de um cone por um plano, resultando em: círculo, elipse, parábola, hipérbole, reta.
Representação de Curvas
Representação de Curvas
Cônica Forma Paramétrica Forma Implícita
Elipse x = a cos y = b sen
Parábola x = at2, y = 2at y2 – 4ax = 0
Hipérbole x = a cosh y = b senh
012
2
2
2
b
y
a
x
012
2
2
2
b
y
a
x
Exercício
Veja programas circle.cpp, parabola.cpp, helix.cpp
É uma técnica de aproximação de curvas. Uma curva de Bézier pode ser gerada por 3, 4, até n + 1
pontos de controle (ajuste para um polinômio de grau n). Geralmente utiliza-se quatro pontos de controle (forma
cúbica). A curva passa pelo primeiro e pelo último ponto de
controle.
Curvas de Bézier
Curvas de Bézier
B0B3
B1
B2
Figura 1
Curvas de Bézier
Onde Bi representa cada um dos n+1 pontos de controle considerados e Jn,i (t) são as funções que combinam a influência de todos os pontos (blending functions).
10),()( ,0
ttJBtP in
n
ii
A curva paramétrica de Bézier é definida como:
Essas funções são descritas pelos polinômios de Bernstein como:
iniin tt
i
ntJ
)1()(,
Curvas de Bézier
(i = 0, 1, ..., n) são os coeficientes binomiais. Essas funções Jn,i (t) devem satisfazer as condições: Jn,i
(t) 0 para todo i entre 0 e 1, isto é 0 ≤ t ≤ 1 e também:
)!(!
!
ini
n
i
n
onde n é o grau dos polinômios e:
10,1)(0
,
ttJn
iin
Curvas de Bézier
Expressões que definem as curvas de Bézier:– Para três pontos de controle polinômios com
grau 2.
P(t) = (1 – t)2 B0 + 2t (1 – t) B1 + t2B2,
onde t inicialmente é 0.
2
1
02
001
022
121
]1[)(
B
B
B
tttP
Curvas de Bézier
Expressões que definem as curvas de Bézier:– Para quatro pontos de controle polinômios com
grau 3.
P(t) = (1 – t)3 B0 + 3t (1 – t)2 B1 + 3t2 (1 – t)B2 + t3B3,
onde t inicialmente é 0.
3
2
1
0
23
0001
0033
3363
1331
1)(
B
B
B
B
ttttP
Material auxiliar para melhor entendimento de curvas e superfícies de Bézier, veja applets java em http://www.dca.fee.unicamp.br/courses/EA978/1s2003/demos/geometry.html
Exercício:Faça um programa que dado um número n, permita o ingresso interativo (pelo cliques do mouse) de n+1 pontos de controle e construa a curva de Bézier correspondente. Preste atenção que as coordenadas da cena diferem ligeiramente das coordenadas da tela onde os cliques serão feitos.
Curvas de Bézier - Algoritmo
1. Falta de controle local : Uma alteração em um ponto no polígono de Bézier acarreta alterações em toda a curva de Bézier. Indesejável quando desejamos fazer ajustes finos.
2. O grau do polinômio cresce com o número de pontos de controle do polígono de controle.
Curvas de Bézier - Problemas
- Generalização da idéia de curva de Bézier. - Sejam Bij, i=0,...,m, j=0,...,n, um conjunto de pontos no R3
de tal forma que sua projeção no plano x0y seja formada pelos vértices de mn retângulos de mesmas dimensões. A superfície de Bézier definida no domínio [0,1]x[0,1] é
Superfícies Bézier
)()(),(00
vKuJBvuQ mjni
m
jij
n
i
Onde Jni e Kmj são os polinômios de Bernstein.
Superfícies Bézier
Outras representações de Superfícies
–
Representação Octree: (estrutura de árvore)
Envolve o objeto por um cubo que em seguida é subdividido em 8 cubos menores. Cada um deles pode ser : Cheio, vazio ou cheio-vazio. Os nós cheios ou vazios são terminais, enquanto os cheio-vazios não são.
Representação Octree: Exemplo
–
Representação Octree: Exemplo
Consiste em construir um objeto a partir da combinação operatória (união, interseção e diferença) de dois ou mas sólidos.
Geometria Sólida Construtiva (CSG)
Geometria Sólida Construtiva (CSG)
Uma superfície é descrita quando uma curva C1 (curva geratriz) é deslocada no espaço, ao longo de uma trajetória dada por uma outra curva C2 (caminho o diretriz).
- Varredura translacional (Extrusão ou superfícies geradas por deslocamento)
Varredura (Sweeping)
– - Varredura rotacional (ou superfícies de revolução)
–
Varredura (Sweeping)
– - Varredura rotacional (ou superfícies de revolução)
–
Varredura (Sweeping)
- Coleções de polígonos (ou faces) que, juntos, formam a “pele” ou “casca” do objeto
– • Forma rápida e prática para representar objetos– Estrutura de Dados– . Lista contígua das coordenadas de todos os vértices
que compõem cada face.- Arestas implícitas
- Faces explícitas
Malha de Polígonos
- Coleções de polígonos (ou faces) que, juntos, formam a “pele” ou “casca” do objeto
– • Forma rápida e prática para representar objetos
Malha de Polígonos
Superfície de Revolução - Tarefa
Material auxiliar para melhor entendimento de curvas e superfícies, veja programa torus.c, superficies.c e o executável swprj.exe
O programa torus.c (disponível no site da disciplina) desenha a superfície chamada torus.
O executável swprj.exe permite desenhar uma curva geratriz que dará origem a uma superfície de revolução
O programa superfícies.c permite desenhar uma curva de Bézier como curva geratriz e a partir dela obter uma superfície de revolução.
Superfície de Revolução - Tarefa
Compare o programa torus.cpp da pasta Code com o programa torus.c disponibilizado no site da disciplina. Para consulta de comandos novos use o livro RedBook disponibilizado também no site da disciplina.
Desenhar um cilindro como superfície de revolução usando um segmento de reta como curva geratriz.
