Computação Gráfica – Transformações Geométricas Profa. Mercedes Gonzales Márquez

Computação Gráfica – Transformações Geométricas

Profa. Mercedes Gonzales Márquez

Tópicos

Transformação Geométrica Revisão sobre matrizes e vetores As três transformações geométricas básicas:

Translação, Escala e Rotação.

Transformação Geométrica Transformação que altera algumas características

como posição, orientação, forma ou tamanho das figuras geométricas no espaço.

Apresentamos as três transformações básicas

x

y

ac

b

x

y

ac

b

y

x

Translação Escala Rotação

Revisão de matrizes e vetores

Matrizes em Computação Gráfica– As matrizes são mais fáceis de usar e entender do

que as equações algébricas– As matrizes são parecidas com o modelo

organizacional da memória dos computadores– Matrizes quadradas de 2 x 2 – 2D (x,y)

3 x 3 – 3D (x,y,z)

Aritmética de Vetores e Matrizes Adição : [1 2 3] + [2 0 1] = [3 2 4] Subtração : [1 2 3] – [2 0 1] = [-1 2 2] Multiplicação de uma matriz por um escalar:

401

221802

442

Multiplicação entre matrizes:Multiplicação entre matrizes:

21

1841617

0463547302615271

0567

4321

xxxxxxxx

Multiplicação entre matrizes(exemplos)Multiplicação entre matrizes(exemplos) 43,

21

wv

wv vw

43

,21wv

wv vw Impossível

Possível

Twv Twv Possível

Transposta de um vetor ou matriz: Transposta de um vetor ou matriz: 2121

T

Aritmética de Vetores e MatrizesAritmética de Vetores e Matrizes

Associativa: A.(B.D) = (A.B).D.Distributiva à direita: A.(B + D) = A.B + A.D.Distributiva à esquerda: (A + B).D = A.D + B.D.Existência de elemento neutro: A.I = I.A = A. Uma matriz I de ordem

n é uma matriz identidade, se ijk = 1, quando j = k e os outros elementos são nulos.

Propriedades do Produto de MatrizesPropriedades do Produto de Matrizes

Transformações lineares: Translação

x

y

a =x

y

c

b yx tyytxx ','

x’

y’

Transladar significa movimentar o objeto. Transladamos um objeto transladando todos os seus pontos. Para obter a partir de um ponto (x,y) um novo ponto (x’,y’) no plano adicionamos quantidades às suas coordenadas.

Transformações lineares: Escala

x

y

a =x

y

x´

y´ a =́

Redução (0< sx, sy<1) ,Aumento (sx,sy >1)

c

b

yx

ss

ysxs

yx

y

x

y

x

00

''

y

x

ss0

0S

ysyxsx yx ','

Escalar significa mudar as dimensões de escala. Para isso multiplicamos os valores de suas coordenadas por um fator de escala.

Transformações lineares: Rotação

x´

y´ p' =

x´

y´

r

x´ = x.cos - y.sen y´ = x.sen + y.cos

x

y

p =x

y

r

r

sincoscossinsinsincoscos

rrrr

yx

yx

cossinsincos

''

r

sinsin - coscos )cos(sincos cossin )sin(

)sin()cos(

''

rr

yx

Rotacionar significa girar. Na Figura abaixo mostra-se a rotação de um ponto p em torno da origem (0,0), passando para a posição p’.

Matriz de rotação no plano xy por um ângulo Ө

Resumo - Transformações 2D

tytx

yx

yx

''

yx

ss

yx

y

x

00

''

Translação

yx

yx

cossinsincos

''

Escala

Rotação

Transformações 3D

tztytx

zyx

zyx

'''

zyx

ss

s

zyx

z

y

x

000000

'''

Translação

zyx

zyx

1000cossin0sincos

'''

Escala

Rotação ao redor do eixo z

Rotações 3D

cos0010

0cos:)(

sen

senRy

1000cos0cos

:)(

sensen

Rz

Plano yz

Planoxy

Plano zx x

y

z

cos0cos0

001:)(

sensenRx

Rotação em torno de um ponto que não é a origem

Caso de um objeto não estar definido na origem do sistema de coordenadas- A multiplicação de suas coordenadas por uma matriz de rotação também resulta em um translação.

x

y

(9,2)(5,2)

(7,7)

x

y y

P

x

Em torno da origem

Em torno de P

Para alterar a orientação de um objeto em torno de um certo ponto, é necessário, (1) realizar uma translação para localizar esse ponto na origem do sistema, (2) aplicar a rotação desejada e, (3) Aplicar uma translação inversa


x

y

P

x

y

(1) (2) (3)

y y

P

Objeto original Depois da Translação de Após Rotação Após Translação que P à origem retorna à posição original


Coordenadas homogêneas

Translação não é linear. Como representar em forma de matriz? x’=x+tx y’=y+ty z’=z+tz

Solução: uso de coordenadas homogêneas

Coordenadas Homogêneas

• Adiciona uma terceira coordenada w.

• Um ponto 2D passa a ser um vetor com 3 coordenadas• Uma transformação do sistema homogêneo para o cartesiano se dá pela seguinte relação: (x’,y’)=(x/w,y/w)•W=1 a transformação entre os espaços é direta de modo que, (x,y,1) no sistema homogêneo tem os mesmos valores no espaço cartesiano 2D: (x,y).

Transformações 3D

Transformações 3D

1000010000cos00cos

:)(

sen

sen

Rz

10000cos00cos00001

:)(

sen

senRx

Rotação : glRotatef(angle,x,y,z)

10000cos0001000cos

:)(

sen

sen

Ry

Plano yz

Planoxy

Plano zx x

y

z

Analogia da Câmera (OpenGL)

O processo de transformação para produzir a cena desejada para visualização é análogo a tirar uma foto com uma câmera.

O modelo de visualização em OpenGL, é similar a uma câmera fotográfica!– Tripé: visualização– Modelo: modelagem– Lente: projeção– Papel: viewport

A Câmera OpenGL

Analogia da Câmera (OpenGL)

O processo de transformação para produzir a cena desejada para visualização é análogo a tirar uma foto com uma câmera. Os passos são:– 1. Orientar a câmera em direção da cena (transformação de

visualização) – 2. Posicionar devidamente o(s) objeto(s), a serem

fotografados, no cenário (transformações geométricas estudadas em aula, também chamadas transformações de modelagem).

– 3. Escolher o lente da câmera ou ajustar o zoom (transformação de projeção).

– 4. Determinar o tamanho desejado para a fotografia final (transformação de viewport).

Orientar a câmera em direção da cena (transformação de visualização)

Orientar a câmera em direção da cena (transformação de visualização)

A câmera em OpenGL “por default” tem sua posição na origem de coordenadas (0,0,0) e a sua orientação é com vetor up=(0,1,0). Existem três opções para mudar sua posição e orientação:

(1) Usar glTranslate*() e glRotate*(). Move a camera ou move todos os objetos em relação a uma camera fixa;(2) gluLookAt()

Visualizando devidamente o objeto (Exemplo)

Objeto e câmera na origem

Visualizando devidamente o objeto

Para visualizá-lo tenho duas opções:(a) Mudar a câmera, ou(b) Mudar o objeto

Com a câmera na origem (0,0,0) não posso visualizar devidamente um objeto na posição (0,0,0)

glTranslatef(0.0, 0.0, -5.0);

(b) Mudando o objeto

Usando glTranslate() e glRotate()

Usando gluLookAt

gluLookAt(eyex, eyey, eyez, centerx, centery, centerz,upx, upy, upz)

(a) Mudando a câmera

gluLookAt

A cena é construída na origem e definimos uma posição arbitrária para a câmera

void gluLookAt (eyex, eyey, eyez, centerx, centery, centerz, upx, upy, upz);

– Eye: localização da camera– Center: para onde a camera aponta– Up: vetor de direção de topo da camera

gluLookAt

Exemplo – Cubo (Programa cube.c)

Um cubo é escalado pela transformação de modelagem glScalef (1.0, 2.0, 1.0). A transformação de visualização gluLookAt(), posiciona e orienta a câmera em direção do cubo. As transformações de projeção e viewport são também especificadas.


Example 3-1 : Transformed Cube: cube.c#include <GL/gl.h>#include <GL/glu.h>#include <GL/glut.h>void init(void){glClearColor (0.0, 0.0, 0.0, 0.0);glShadeModel (GL_FLAT);}

Exemplo – Cubo (Programa cube.c)void display(void){glClear (GL_COLOR_BUFFER_BIT);glColor3f (1.0, 1.0, 1.0);glLoadIdentity (); /* clear the matrix *//* viewing transformation */gluLookAt (0.0, 0.0, 5.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0);glScalef (1.0, 2.0, 1.0); /* modeling transformation */glutWireCube (1.0);glFlush ();}


void reshape (int w, int h){glViewport (0, 0, (GLsizei) w, (GLsizei) h);glMatrixMode (GL_PROJECTION);glLoadIdentity ();glFrustum (-1.0, 1.0, -1.0, 1.0, 1.5, 20.0);glMatrixMode (GL_MODELVIEW);}

Exemplo – Cubo (Programa cube.c)int main(int argc, char** argv){glutInit(&argc, argv);glutInitDisplayMode (GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);glutInitWindowSize (500, 500);glutInitWindowPosition (100, 100);glutCreateWindow (argv[0]);init ();glutDisplayFunc(display);glutReshapeFunc(reshape);glutMainLoop();return 0;

}

Matrizes de transformação

glMatrixMode(GL_MODELVIEW);- Define a matriz de transformação de visualização.

Após isso deve-se definir a câmera com gluLookAt ou definir as transformações geométricas glRotate e/ou glTranslate para orientar e posicionar os objetos em relação da câmera.

Pilha de Matrizes – Hierarquia de objetos

As vezes queremos construir objetos hierarquicos nos quais objetos complicados são construidos a partir de objetos mais simples. Por exemplo,(a)Uma mesa ou(b)um automovel com 4 rodas onde cada uma delas é ligada ao carro com cinco parafusos.(c)O corpo humano


Tronco

Coxa

Canela

Pé


Os passos para desenhar um carro serião: -Desenhe o corpo do carro.-Guarde a posição onde estamos e translade à direita a roda da frente. -Desenhe a roda e elimine a última translação talque a posição corrente esteja de volta na origem do carro. -Guarde a posição onde estamos e translade à esquerda a roda da frente ....Assim, para cada roda, desenhamos a roda, guardamos a posição onde estamos, e sucessivamente transladamos a cada uma das posições que os parafusos são desenhados, eliminamos as transformações depois que cada parafuso é desenhado.


glPushMatrix glPopMatrix


Desenhe um automovel asumindo que existem as rotinas que desenham o corpo do carro, a roda e o parafuso.

Example 3-4 : Pushing and Popping the Matrixdraw_wheel_and_bolts(){

long i;draw_wheel();for(i=0;i<5;i++){glPushMatrix();glRotatef(72.0*i,0.0,0.0,1.0);glTranslatef(3.0,0.0,0.0);draw_bolt();glPopMatrix();}}


draw_body_and_wheel_and_bolts(){draw_car_body();glPushMatrix();glTranslatef(40,0,30); /*move to first wheel position*/draw_wheel_and_bolts();glPopMatrix();glPushMatrix();glTranslatef(40,0,-30); /*move to 2nd wheel position*/draw_wheel_and_bolts();glPopMatrix();

... /*draw last two wheels similarly*/}

Formas geométricas tridimensionais

As formas geométricas tridimensionais que mais usaremos e que a Glut fornece são:void glutWireSphere(GLdouble radius, GLint slices, GLint stacks);void glutSolidSphere(GLdouble radius, GLint slices, GLint stacks);void glutWireCube(GLdouble size);void glutSolidCube(GLdouble size);void glutWireTorus(GLdouble innerRadius, GLdouble outerRadius,GLint nsides, GLint rings);void glutSolidTorus(GLdouble innerRadius, GLdouble outerRadius,GLint nsides, GLint rings);

Formas geométricas tridimensionaisvoid glutWireIcosahedron(void);void glutSolidIcosahedron(void);void glutWireOctahedron(void);void glutSolidOctahedron(void);void glutWireTetrahedron(void);void glutSolidTetrahedron(void);void glutWireDodecahedron(GLdouble radius);void glutSolidDodecahedron(GLdouble radius);void glutWireCone(GLdouble radius, GLdouble height, GLint slices,GLint stacks);void glutSolidCone(idem);void glutWireTeapot(GLdouble size);void glutSolidTeapot(GLdouble size);

Exercício(1)Faça um programa C/OpenGL que desenhe uma mesa

retangular, a partir de cubos (glutWireCube) e transformações de modelagem.

(2)Oriente devidamente a câmera, de forma que obtenhamos as seguintes imagens da mesa:

(a) (b)

(c) (d)

Documents

Computação Gráfica – Transformações Geométricas Profa. Mercedes Gonzales Márquez