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CONCENTRAÇÃO MÁXIMA
o Caneta azul ou pretao Calculadorao Lápis o Borrachao Compassoo Régua graduadao Esquadroo Transferidor
Calculadora
Graus (Degrees) D
oExames Nacionais (2006)
oFichas 3, 7, 11, 17, 20, 25, 31, 36 e 37
oTestes de Avaliação
oFichas 21 e 32
C. F. P =
C. P.
Uma caixa tem 4 bolas: duas azuis, uma vermelha e uma rosa.
a) Qual é a probabilidade de ao retirar uma bola ao acaso, ela ser vermelha?
Fracção irredutível:
Dízima:
Percentagem:
14
0,25
25%1
P =4
2P =
12
Uma caixa tem 4 bolas: duas azuis, uma vermelha e uma rosa.
b) Qual é a probabilidade de ao retirar sucessivamente e sem reposição duas bolas ao acaso, elas serem ambas azuis?
- AAAA -
VA VARA RA
AV ARAV AR- VR
RV -
1=
6AA
V
R
A A V R1ª e.2ª e.
1P =
3
Uma caixa tem 4 bolas: duas azuis, uma vermelha e uma rosa.
c) A Ana retira uma bola azul da caixa.Seguidamente o Miguel retira uma bola ao acaso da caixa.Qual é a probabilidade de o Miguel também retirar uma bola azul?
Uma caixa tem 4 bolas: duas azuis, uma vermelha e uma rosa.
Acontecimento impossível: “Tirar uma bola branca” P=0
Acontecimento certo: “Retirar uma bola colorida” P=1=100%
A probabilidade é sempre um número entre 0 e 1.
x+2y=3
y=3x+5
Sem resolver o sistema, verifica que o par ordenado (-1,2) é solução do mesmo.
+2 =3
=3 1 +5
-1 2
2 -
-1+4=3
2=-3+5
3=3
2=2
verdade
verdade
É solução
2x-2=3y
yx+ =5
2
2x-2=3y
2x+y=10
_______
y=10-2x
Qual é o par ordenado que é solução do seguinte sistema de equações:
2x-2=3 10-2x
____________
2x-2=30-6x
____________
8x=32
_____
x=4
y=2 x,y = 4,2
×2 ×2
1º - Parênteses
2º - Denominadores
Graficamente:
O x
y
Sistema impossível Sistema possível e determinado
O x
y
2
1
x,y x,y 2,1
l =3s
l → nº de pacotes de leites → nº de pacotes de sumo
...
s=20
l =60
Compraram-se 20 pacotes de sumo e 60 pacotes de leite.
0,70l+0,60s=54
x+y=20
x → nº de crianças até 10 anosy → nº de crianças com mais 10 anos
...
x=13
y=7
7 crianças tinham mais de 10 anos.
10x+15y=235
3=3
2=2
h
d
8
10
5x
x 5=8 10
80
x=5
diasx=16
h d=80 k=80
80d=
h
Observar o gráfico
2 40=4 20=8 10=16 5=80
12,5
8
20
5
x
y
O
O gráfico é uma recta, que passa pela origem do referencial.
Proporcionalidade directa
1,2,3,...
Conjuntos numéricos
(números naturais)
...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... (números inteiros)
1
-3;0; ;0,7 ; -0,2 3 ;...2
(números racionais)
- ,+ (números reais)
NÚMEROS IRRACIONAIS
Dízimas infinitas não periódicas
;2 ;- 10 ; ...
9 =3 é racional
Abcissa de P
P-3 -2 -1 3210
R : - 5
2 2 2x =2 +1
x= 5x
P =2πr =2 π 5
31,41592654...
X5cm
π =3,14
7
- -2,333...3
-3 -2 -1 0 1 2 3
7-3
R : -2 ; -1;0 ;1; 2
-2- ;+5 ?
-2
- 5 -2,236...
- 5Não
=3,14159...
-2
A = -2 ; 3,141
3,141
=3,14159...
-2
B= - ;
3,141
B B
x 3 x>2
2 ,3S=
2 3
x 3 x>2
S= - ,+
2 3
2
6 2 3
6x 2-4x 3x
+6 6 6
6x+2-4x 3x
6x-4x-3x -2
-x -2
-2
x-1
x 2
S 2 ,+
2ax +bx+c=0 Exemplo 1
2ax +bx=0 Exemplo 2
2ax =b Exemplo 3
2x+x -2x+1=3
2
2
2
x-1
= x-1 x-1
=x -x-x+1
=x -2x+1
2x -x+1-3=0
2x -x-2=0
a=1
b=-1
c=-2
2- -1 ± -1 -4 1 -2
x=2 1
x=-1 x=2 S= -1,2 ...
(forma canónica)
Caso notável ou:
Exemplo 1
22x -8x=0
0x 2x-8
S = 0 ,4
Resolve a equação:
x=0 2x-8=0
8
x=0 x=2
x=0 x=4
Exemplo 2
2l l =0,005
22l 0,005
l =0,05m
Determinar l:
2 0,005l =
2
l 0,0025
l =0,05 l =-0,05
2l
l2A =0,005m
X
2l =0,0025
Exemplo 3
1º - Parênteses
2º - Denominadores
Condições equivalentes são condições que têm o mesmo conjunto solução.
2x10
A décima parte do quadrado de x:
x10
O quadrado da décima parte de x:
2x10
SOHCAHTOA =33º
c.o.=a
h.=10m
asen 33º=
10
a
0,54510
0,545 10 a
a 5,45m
10 ma
33º
a=?
c. o.sen =
h.
SOHCAHTOA
Atenção
20,4=
x
2
x=0,4
x=5
SOHCAHTOA =?
c.o.=2 cm
c.a.=5 cm
2tan =
5
tan =0,4
:Logo -1tan 0,4
CB
A
2 cm
5 cm
BAC =?
Descobrir o ângulo.
unidades22º
DB=100º
DC =60º
CB=100º-60º=40º
, porque a amplitude de um ângulo inscrito numa circunferência é igual a metade do arco compreendido entre os seus lados.
, porque a amplitude de um ângulo ao centro numa circunferência é igual à amplitude do arco compreendido entre os seus lados.
ABC =
t
t é uma recta tangente à circunferência no ponto A. Determina a amplitude dos ângulos ABC e DAB.Justifica a tua resposta.
, um ângulo inscrito numa semicircunferência é recto. 90º
DAC = 90º, qualquer recta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
DAB= 90º-30º=60º , DAB e BAC são ângulos complementares.
º360=72º
5
TSQ 72º×3=216º
216º
TPQ =108º2
72º
72º
72º
º0360
=458
Considera o seguinte octógono regular.
Qual a imagem do ponto B, por meio de uma rotação de centro O e de amplitude -135º ? (Sentido negativo, sentido dos ponteiros do relógio)
º135=3
45º
Ponto E
Considera o seguinte octógono. Qual a imagem do ponto B, após uma rotação de dez voltas e meia?
Ponto F
X
X
prisma piramideV =V +V
prisma bV =A h
prismaV =1,2 1,2 1,7
prismaV =2,448
piramide b
1V = A h
3
piramide
1V = 1,2 1,2 IK
3
1 m
0,6
22 21 =IK +0,6
IK 0,8
piramide
1V = 1,2 1,2 0,8
3
piramideV =0,384
3V =2,448+0,384=2,832m
Observa o prisma pentagonal da figura.Identifica a sua base e a sua altura.Qual a fórmula para calcular o seu volume?
Observa o prisma pentagonal da figura.Identifica a sua base e a sua altura.Qual a fórmula para calcular o seu volume?
base
altura
bV =A h
prisma rectangular prisma triangularV =V -V
prisma rectangular bV =A h
prisma rectangularV 20 2 10
prisma rectangularV =400
prisma triangular bV =A h
101,4
prisma triangular
10×1,4V = 10
2
prisma triangularV =70
3V =400-70=330m São precisos 330 000 litros de água.
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
a) Duas rectas paralelasJ
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
a) Duas rectas paralelas
BG e CH
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
b) Duas rectas concorrentes (secantes)J
I
H
GF
E
D
C
BA
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
b) Duas rectas concorrentes (secantes)
AE e ED
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
c) Duas rectas perpendicularesJ
I
H
GF
E
D
C
BA
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
c) Duas rectas perpendiculares
AB e BC
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
d) Duas rectas complanaresJ
I
H
GF
E
D
C
BA
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
d) Duas rectas complanares
DC eCH
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
d) Duas rectas complanares
DC eCH
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
e) Duas rectas não complanaresJ
I
H
GF
E
D
C
BA
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
e) Duas rectas não complanares
AB eGH
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
f) O plano a colorido
BGH
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
f) O plano a colorido
BGH
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
g) Dois planos paralelosJ
I
H
GF
E
D
C
BA
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
g) Dois planos paralelos
ABC eFGH
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
h) Dois planos concorrentesJ
I
H
GF
E
D
C
BA
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
h) Dois planos concorrentes
DCH eBGH
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
i) Dois planos perpendicularesJ
I
H
GF
E
D
C
BA
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
i) Dois planos perpendiculares
ABC eBGH
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
j) Uma recta paralela ao plano BGHJ
I
H
GF
E
D
C
BA
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
j) Uma recta paralela ao plano BGH
EJ
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
J
I
H
GF
E
D
C
BA
h) Uma recta perpendicular ao plano BGH
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
h) Uma recta perpendicular ao plano BGH
AB
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
J
I
H
GF
E
D
C
BA
i) Uma recta oblíqua ao plano BGH
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
CD
i) Uma recta oblíqua ao plano BGH
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
CD
i) Uma recta oblíqua ao plano BGH
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
Nota:A recta ED e o plano BGH são concorrentes.
J
I
H
GF
E
D
C
BA
J
I
H
GF
E
D
C
BA
Observa o prisma pentagonal da figura.Indica
Nota:A recta ED e o plano BGH são concorrentes.
Onde construir uma antena a 3 km do ponto A?
3 km=300 000 cm
A
Escala 1 : 100 000.
1 100 000
x 300 000
Desenho Realidade
x=3cm Raio
Onde construir uma antena a uma distância menor ou igual a 3 km do ponto A?
ASombrear
Onde construir uma antena a mais de 3 km do ponto A?
A
Onde construir uma antena a 3 km do ponto A?
A
Escala
0 km 4 km
Onde construir uma antena a 3 km do ponto A?
A
Escala
0 km 4 km
Medir
6cm
6cm 4km
Regra de 3 simples
Centro da circunferência
2
metade1
r =
B e C são semelhantes
original
transformado
m.transformador =
m.original
Determinar o valor de a
1,5
2
4,5
a
a 4,5=
2 1,5
4,5 2a=
1,5 a=6m
2,4, 6, 5, 4
2+4+6+5+4=4,2
5Média =
4Moda =
Mediana =
2,4, 4, 5, 6
Mediana =4
dados ordenados
2, 5, 5, 7, 9, 11, 12, 12
Mediana (número de dados par)
Mediana =7+9
=82
dados ordenados
14 5
15 2
16 3
Média das idades
Média = 14 5+15 2+16 3
=14,810
Idade Nº de alunos (frequência)
Cinquenta e seis por cento dos cento e cinquenta alunos de uma escola são rapazes.Quantos são os rapazes?
56 100
x 150
x = 84 rapazes
Rapazes Alunos
o x
y
o x
y
É gráfico de uma função
Não é gráfico de uma função
A cada objecto corresponde uma e uma só imagem
Qualquer recta vertical só pode intersectar o gráfico de uma função num ponto
-22
1 13 = =
3 9
-33
1 12 = =
2 8
-2 22 5 25
= =5 2 4