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Conjunto dos Números Naturais

A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um número do tipo:

ℕ = {0,1,2,3… }

Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não poderíamos imaginar alguém falando: “Tenho 3,4231 livros na minha estante”.

A este conjunto ℕ denominamos conjunto dos números naturais.

Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos com um asterisco sobrescrito à letra N.

𝑁∗ = {1,2,3,4… }

Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos. No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações básicas: adição e multiplicação.

Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?”

A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre possível somar dois números naturais? É claro que sim!!

Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante.

Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à adição.

Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim!!

Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0...

Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à multiplicação.

Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Agora respondemos em alto e bom tom... NÃO!!!

Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto dos números naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um

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número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais NÂO É FECHADO em relação à subtração.

Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma fração que não é um número natural).

Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como soma, adição, multiplicação, produto, etc.

Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos...

Operações com números naturais

Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto dos números naturais: adição e multiplicação.

Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações.

Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8.

O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é chamado de soma.

Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da operação. Soma é o resultado da adição.

Definimos então a operação de adição:

a,b parcelas

c somaa b c

→⎡+ = ⎢ →⎣

No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma.

Vejamos algumas propriedades importantes da adição.

1 Propriedade comutativa

Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma. Em símbolos:

para todos a,b Na b b a+ = + ∈

Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3.

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3

Ex.: 4 5 5 4 9 4 59 5 4

+=+⎭⎬⎫

=+

=+

2 Propriedade associativa A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos parênteses.

5) (3 2 5 3) (2 10 8 2 5) (3 210 5 5 5 3) 2(

++=++⎭⎬⎫

=+=++

=+=++

3 Existência do elemento neutro da adição

Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade.

𝑎 + 0 = 0+ 𝑎 = 𝑎

Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de elemento neutro da adição.

4 Propriedade do fechamento

A soma de dois números naturais é um número natural.

Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número natural!! Não tem como a soma ser um número negativo, um número irracional, etc.

Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte cálculo:

3×4 = 12

Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o × 𝑜𝑢 ∙.

Assim, 3×4 = 3 ∙ 4 = 12.

Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de parêntesis é muito comum não utilizarmos símbolo algum para representar a multiplicação. Assim,

3𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 3 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑎.

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Ou seja, 3𝑎 = 3 ∙ 𝑎 = 3×𝑎.

Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo: 𝑥 + 2 𝑥 − 1 .

Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta expressão significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos parêntesis.

𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 𝑥 + 2 ∙ 𝑥 − 1 = 𝑥 + 2 × 𝑥 − 1

Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos ×𝑒 ∙. Mas não se preocupe... Você pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor esteticamente e utilize... Ok?

Eu, particularmente, não uso × em expressões algébricas.

Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e nomenclaturas.

a,b fatores

c produtoa b c

→⎡× = ⎢ →⎣

Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém observar a diferença entre “multiplicação” e “produto”. Multiplicação é o nome da operação e produto é o resultado da multiplicação.

5 Propriedade comutativa

A ordem dos fatores não altera o produto.

É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o mesmo 12.

Desta forma, podemos afirmar que para todos a,bab ba N= ∈ .

Lembre-se que 𝑎𝑏 significa a vezes b. Ou seja,

𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 = 𝑎×𝑏 = 𝑏×𝑎

2 7 7 2 14 2 714 7 2

⋅=⋅⎭⎬⎫

=⋅

=⋅

6 Propriedade associativa

A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores.

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5

5) (4 3 5 4) (3 60 20 3 5) (4 360 5 12 5 4) 3(

⋅⋅=⋅⋅⎭⎬⎫

=⋅=⋅⋅

=⋅=⋅⋅

7 Existência do elemento neutro da multiplicação

Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade:

𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎

Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4.

Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação.

Isso é muito importante lembrar quando estamos operando com expressões algébricas, por exemplo:

𝑥 − 0,4𝑥

Ora, x é a mesma coisa que 1x, portanto:

𝑥 − 0,4𝑥 = 1𝑥 − 0,4𝑥 = 0,6𝑥

8 Propriedade do fechamento

O produto de dois números naturais é um número natural.

Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo, um número irracional, etc.

Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou simplesmente propriedade distributiva.

9 Propriedade Distributiva

Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, vejamos um exemplo. Efetue 2 ∙ 3+ 5 .

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Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem escritos os parêntesis, no caso, 2 ∙ 3+ 5, deveríamos efetuar primeiramente 2 ∙ 3 = 6 e em seguida adicionar o 5. No caso, 2 ∙ 3+ 5 = 6+ 5 = 11.

Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão dentro dos parêntesis.

2 ∙ 3+ 5 = 2 ∙ 8 = 16

A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar 2 ∙ 3+ 5 podemos multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados.

2 ∙ 3+ 5 = 2 ∙ 3+ 2 ∙ 5 = 6+ 10 = 16

Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”... Por exemplo, a expressão 2 ∙ (𝑥 + 3) pode ser desenvolvida da seguinte maneira:

2 ∙ 𝑥 + 3 = 2 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 3 = 2 ∙ 𝑥 + 6

Ou simplesmente:

2 ∙ 𝑥 + 3 = 2𝑥 + 6

Conjunto dos números inteiros

Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação “subtração” ampliaremos o conjunto dos números naturais.

Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z (inicial de zahl - número em alemão).

Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Dizemos que o número – 𝑥 é o simétrico ou oposto do número 𝑥.

Por exemplo, o número −5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico de −5.

O número 0 (zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é neutro.

Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto (simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma:

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5+ −5 = 0

2+ −2 = 0

−3+ 3 = 0

Podemos então definir a operação “subtração” da seguinte maneira:

𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)

a minuendo b subtraendo

c diferençaa b c

→⎡⎢− = →⎢⎢ →⎣

Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa. Basta olhar, por exemplo, que 5 – 3 = 2 e 3 – 5 = - 2. A subtração também não goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro.

Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros, com certeza o resultado será um número inteiro.

Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros.

Regras dos sinais com números inteiros

( )a a− − =

( ) ( ) ( )a b a b a b ab⋅ − = − ⋅ = − ⋅ = −

( ) ( )a b ab− ⋅ − =

As observações acima são conhecidas como “Regra dos sinais” para a multiplicação (e divisão) de inteiros.

Sinais dos números

Resultado

iguais positivo

diferentes negativo

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Exemplos:

Vejamos como realizar a adição e a subtração com números inteiros.

Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e repetir o sinal.

+2+ 3 = +5

−2− 3 = −5

Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e repetir o sinal do maior.

+5− 2 = +3

−5+ 2 = −3

Mais um exemplo: precisamos realizar a operação –354 + 231. Como proceder?

Estes números possuem sinais opostos, portanto calculamos a diferença entre eles (354 – 231 = 123) e repetimos o sinal do maior, que é negativo.

Portanto, –354+231 =–123.

Lembremos ainda da hierarquia das operações vistas até agora. Se não houver parênteses, devemos realizar primeiro multiplicação e divisão, depois adição e subtração.

Exemplo: −3+ 5×2+ 8÷ 2

Neste caso, fazemos primeiro multiplicação e divisão.

−3+ 𝟓×𝟐+ 𝟖÷ 𝟐 = −3+ 𝟏𝟎+ 𝟒 = 11