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Considerações Gerais• A convecção natural tem lugar quando há movimento de um fluido
resultante de forças de impulsão.
• A impulsão tem lugar num fluido onde há gradientes de densidade e uma força mássica (por exemplo, força gravítica) proporcional à densidade.
• Em transmissão de calor, os gradientes de densidade são devidos a gradientes de temperatura e a força mássica é a força gravítica.
• Gradientes de temperatura estáveis e instáveis
• Escoamentos sem superfície adjacente (esteira, jacto, camada de mistura)
Ocorre num meio (em princípio, infinito), em repouso (velocidade nula longe da origem do escoamento).
Plumas and jactos com impulsão:
• Escoamentos com superfície adjacente (camada limite)
Escoamento de camada limite numa superfície quente ou fria induzido por forças de impulsão.
sT T
Placas verticais• Desenvolvimento da camada limite numa placa vertical aquecida
Escoamento ascendente com velocidade máxima dentro da camada limite e velocidade nula na superfície da placa e na extremidade (y = ).
Quais as diferenças relativamente a convecção forçada?
Quais as diferenças relativamente a uma placa arrefecida (Ts < T) ?
• Equação de balanço de quantidade de movimento na direcção x (escoamento laminar)
2
21
y
ug
x
p
y
uv
x
uu
limitecamadadaforalimitecamadadadentrox
p
x
p
gx
p
2
2
y
ug
y
uv
x
uu
TTTp
11
2
2
y
uTTg
y
uv
x
uu
• Equação de balanço de quantidade de movimento na direcção x (escoamento laminar)
2
2u u uu g T Tx y y
Forças de inércia Força de impulsão Força viscosa
Dado que u (x,y) depende de T (x,y), a solução desta equação tem de ser obtida juntamente com a solução para a equação de camada limite da energia T (x,y).
2
2T T Tux y y
– As soluções estão acopladas.
• Adimensionalização das equações
L
xx *
L
yy *
ou
uu *
ou
vv *
TT
TTT
s
*
2
2
2 *
*
Re
1*
*
**
*
**
y
uT
u
LTTg
y
uv
x
uu
Lo
s
2
2
*
*
PrRe
1
*
**
*
**
y
T
y
Tv
x
Tu
L
2
3
Re
2
2
2
LTTgLu
u
LTTgGr so
o
sL
2
2
2 *
*
Re
1*
Re*
**
*
**
y
uT
Gr
y
uv
x
uu
L
L
viscosasForças
impulsãodeForçasLTTgGr s
L ~2
3
• Parâmetros adimensionais relevantes
Número de Grashof:
Rayleigh Number
3
Pr sL L
g T T LRa Gr
•Gás perfeito: = 1/T (K)
• Líquidos: Tabelas A.5, A.6 de Incropera e de Witt
Coeficiente de expansão térmica da superfície (propriedade termodinâmica do fluido
1pT
L: dimensão característica da superfície
Método integral
• Equação de balanço integral de quantidade de movimento:
0
0
2
0
yy
udyTTgdyu
xd
d
• Equação de balanço integral de energia:
00
yy
TdyuTT
xd
d
• Exemplo de aplicação: placa vertical isotérmica
Vamos assumir um perfil de velocidades cúbico
0)0,( xu 0, xu
0
yy
u
TTgy
us
y
0
2
2
22
2 114
yy
xuyyTTg
u os
e um perfil de temperaturas quadrático
T(x,0)=Ts
T(x,)=T
0
yy
T
Perfis de velocidades e de temperatura
2
1
y
TT
TT
s
Substituindo nas equações de balanço integral e integrando resulta
oso
uTTgu
xd
d 3
1
105
1 2
2
30
1ou
xd
d
Vamos assumir que uo e são funções do tipo
mo xCxu 1 nxCx 2
nmns
nm xC
CxTTg
CxCC
nm
2
12122
21 3105
2
nnm xC
xCCnm
2
121
2
30
daqui resulta
Para as equações estarem dimensionalmente correctas, o expoente de x tem deser o mesmo em todos os termos de cada equação, de onde resulta
nmnnm 12
nnm 1 m=1/2, n=1/4
Logo 21
2
21
1 Pr21
2017.5
TTg
C s
2141
2
41
2 PrPr21
2093.3
TTg
C s
2121 GrPr952.017.5 xo
x
u
414121 GrPr952.0Pr93.3 xx
Obtém-se então
pelo que
4141210 GrPr952.0Pr508.02
Nu xs
yx
x
k
x
TT
yT
k
k
xh
ou, de modo equivalente,41
41
Pr952.0
PrRa508.0Nu
xx
Por sua vez,41
41
Pr952.0
PrRa68.0Nu
LL
k
Lh
• Esta solução está em bom acordo com a solução exacta e com dados experimentais
• Solução de semelhança Usando a seguinte variável de semelhança, a equação de balanço
de quantidade de movimento na direcção x pode ser transformada de uma equação com derivadas parciais (em x e y) numa equação diferencial ordinária expressa exclusivamente em termos de .
1/ 4
4xGry
x
Equações de balanço de quantidade de movimento e energia
23 2 0f ff f T
3Pr 0T fT
1/ 2
2 xs
T Tdf xf Gr u Td T T
A integração numérica das equações conduz aos seguintes resultados para f ’ () e T*:
Espessura da camada limite hidrodinâmica 5 for Pr 0.6
1/ 41/ 4
1/ 4Pr 0.6 : 5 7.074
x
x
Gr xx xGr
Números de Nusselt and :LxNu Nu
1/ 4 1/ 4
0
Pr4 4
x xx
Gr Grhx dTNu gk d
1/ 2
1/ 41/ 2
0.75 PrPr 0 Pr
0.609 1.221 Pr 1.238 Prg
1 43
LL Loh hdx Nu Nu
L
• Transição para regime turbulento
A ampliação de perturbações depende do valor relativo das forças de impulsão e das forças viscosas
A transição ocorre para o seguinte número de Rayleigh crítico:
39
, , Pr 10sx c x c
g T T xRa Gr
• Correlações empíricas (Churchill e Chu)
Escoamento laminar 910 :LRa
1/ 4
4 / 99 /16
0.6700.68
1 0.492 / Pr
LL
RaNu
Todas as condições
2
1/ 6
4 / 99 /16
0.3870.825
1 0.492 / Pr
LL
RaNu
Placas inclinadas• Componente da aceleração gravítica paralela à placa: g cos
Ts < T Ts > T
• Quando o fluido se mantém junto à parede, as correlações de Churchill e Chu podem ser usadas, desde que 0 60º e substituindo g por g cos
• Quando o fluido tem tendência a afastar-se da parede, o coeficiente de convecção aumenta e as correlações apresentadas não são válidas
Placas Horizontais• A força de impulsão é normal às placas
• O escoamento e a transmissão de calor dependem de a placa estar aquecida ou arrefecida e de a troca de calor se dar na face superior ou inferior.
• Face superior de placa aquecida ou Face inferior de placa arrefecida
sT T sT T
1/ 4 4 70.54 10 10L L LNu Ra Ra
1/ 3 7 110.15 10 10L L LNu Ra Ra
• Como é que varia com L quandoh 31LL RaNu
• Face inferior aquecida ou face superior arrefecida
sT T sT T
1/ 4 5 100.27 10 10L L LNu Ra Ra
Por que razão estas condições conduzem a uma menor taxa de transmissão de calor do que as do slide anterior?
Cilindro horizontal• Desenvolvimento da camada limite e variação do número de Nusselt
local para um cilindro aquecido:
• Número de Nusselt médio:
2
1/ 612
8 / 279 /16
0.3870.60 10
1 0.559 / Pr
DD D
RaNu Ra
• Como variam as condições para um cilindro arrefecido?
Esferas
• Número de Nusselt médio:
1/ 4
4 / 99 /16
0.5892
1 0.469 / Pr
DD
RaNu
O que sucede quando RaD 0 ?
Convecção entre placas paralelas
• L/S pequeno: camadas limites não chegam a coalescer e cada placa comporta-se como se estivesse isolada
• L/S elevado: há interacção entre camadas limites
Convecção entre placas paralelas
• Correlações de Elenbaas
a) Placas isotérmicas à mesma temperatura, Ts
43
Ra
35exp1Ra
24
1Nu
LSL
S
sss
k
S
TT
Aq
s
s
Nu
3STTg
Ra ss
No limite de escoamento completamente desenvolvido, S/L 0:
L
Ssfds Ra
24
1Nu ,
b) Uma placa isotérmica à temperatura Ts,1 e a outra isolada; para a placa isotérmica tem-se
L
Ssfds Ra
12
1Nu ,
Convecção entre placas paralelas
c) Placas com fluxo constante e igual nas superfícies:
21*s,, Ra144.0Nu
L
SfdLs
k
S
TT
q
Ls
sLs
,
,Nu
k
Sqg s4
*sRa
d) Uma placa com fluxo fluxo constante e a outra isolada:
21*s,, Ra204.0Nu
L
SfdLs
Convecção entre placas paralelas
• Correlações de Bar.Cohen e Rohsenow:
Caso Condições de fronteira C1 C2 Sopt Smax/Sopt
(i)Placas simétricas isotérmicas, Ts,1=Ts,2
576 2.87 1.71
(ii)Placas com fluxo constante
48 2.51 4.77
(iii) Uma placa isotérmica e uma isolada 144 2.87 1.71
(iv)Uma placa com fluxo constante e uma isolada 24 2.51 4.77 51451.2
LSRas
41371.2
LSRas
514*12.2
LSRas
41315.2
LSRas
2,1, ss qq
21
212
21
RaRaNu
LS
C
LS
C
ss
s
21
522
*s
1
RaRaNu
LS
C
LS
C
s
s
(a) Condições isotérmicas Casos (i) e (iii)
(b) Condições isotérmicas Casos (ii) e (iv)
2
TT
T s
2,
TT
T Ls
• Placas isotérmicas
• S diminui diminui, mas nº placas pode aumentar Logo, existe Sopt que maximiza a taxa de transmissão de calor
• Smax é a distância entre placas que maximiza o calor trocado emcada placa
sNu
• Placas com fluxo constante
• S diminui diminui a taxa de t.c. por unidade de volume; Ts aumenta Como Ts não pode aumentar indefinidamente, existe Sopt que maximiza a taxa de t.c. por unidade de diferença de temperatura Ts(L) - T
• Smax é a distância entre placas que, para um dado fluxo, minimiza a temperatura da superfície
Cavidades
• Cavidades Rectangulares
Paredes opostas a temperaturas diferentes e restantes paredes perfeitamente isoladas
31 2
L
g T T LRa
1 2q h T T
Cavidade horizontal 0, 180deg
Cavidade vertical 90 deg
• Cavidades horizontais Aquecimento na base 0
– , 1708 :L L cRa Ra
Camada de fluido termicamente estável
1LhLNuk
– 4L1708 Ra 5 10 :
Instabilidade térmica provoca correntes de convecção regulares de forma celular
– 5 93 10 7 10 :LRa O escoamento passa a turbulento
1/ 3 0.0740.069 PrL LNu Ra
Aquecimento no topo ( = 180º) – Camada de fluido incondicionalmente estável
1LNu
• Cavidades verticais ( = 90º)
310 :LRa
310 :LRa
– Forma-se uma célula primária, com a velocidade na região central da cavidade cada vez menor, e desenvolvem-se células secundárias junto aos cantos à medida que RaL aumenta
Correlations for Eqs. (9.50) - (9.53).LNu
1LNu
Correlações para ver Eqs. (9.50) – (9.53) do livro de Incropera e de Witt
LNu
• Cavidades inclinadas
Relevante para colectores solares planos
A taxa de transmissão de calor depende do ângulo de inclinação relativamente a um ângulo de inclinação crítico *, cujo valor é função de H/L (Tabela 9.4).
A taxa de transmissão de calor depende também de RaL relativo a um valor crítico
, 1708/ cos .L cRa
Correlações: Eqs. (9.54) – (9.57).
Cavidades anulares
• Cilindros concêntricos
2
1neff
i oo i
kq T T
D D
Numero de Rayleigh crítico:
4
*53 3 / 5 3 / 5
1n /o ic L
i o
D DRa Ra
L D D
/ 2o iL D D
keff: condutibilidade térmica efectiva
* 100 :
/ 1
c
eff
Ra
k k
* 7
1/ 41/ 4*
100 10 :
Pr0.3860.861
c
effc
Ra
kRa
k Pr
• Esferas concêntricas
i oeff i o
D Dq k T T
L
Número de Rayleigh crítico:
*
4 57 / 5 7 / 5/L
s
o i i o
RaLRaD D D D
* 100 : / 1s effRa k k
* 4
1/ 41/ 4*
100 10 :
Pr0.740.861 Pr
s
effs
Ra
kRa
k
• Regime misto convecção forçada – convecção natural
Os efeitos de convecção forçada e natural são ambos importantes se
Correlações para transmissão de calor por convecção em regime misto
n n nFC NCNu Nu Nu
3n
1ORe2 LLGr
1O~Re2LLGr
O efeito de convecção natural é dominante se
O efeito de convecção forçada é dominante se 1ORe2 LLGr
+ : Força de impulsão actua no mesmo sentido ou perpendicularmente ao escoamento
- : Força de impulsão actua no sentido oposto ao do escoamento
