Contribuições Conceituais e Estatísticas para a Análise de

Aceleração cósmica:

aspectos fenomenológicos e estatísticos

Émille Eugênia de Oliveira Ishida

Orientador: Ioav Waga

Co-orientador: Ribamar Rondon de Rezende dos Reis

i

UFRJ




Tese de Doutorado apresentada ao Programa

de Pós-graduação em Física, Instituto de

Física, da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos necessários

à obtenção do título de Doutor em Ciências

(Física).


Co-orientador: Ribamar Rondon de Rezende

dos Reis

Rio de Janeiro

Março de 2010

ii

iii

I 79 Ishida, Émille Eugênia de Oliveira

Aceleração cósmica: aspectos fenomenológicos e estatísticos/

Émille Eugênia de Oliveira Ishida - Rio de Janeiro: UFRJ / IF,

2010.

xiii, 121f.: il. ; 29,7cm.



Tese (doutorado) - UFRJ / Instituto de Física / Programa de

Pós-graduação em Física , 2010.

Referências Bibliográficas: f. 115-121.

1. Cosmologia. 2. Energia Escura. 3. Supernovas. 4. Análise

por Componentes Principais I. Waga, Ioav. II. Universidade Federal

do Rio de Janeiro, Instituto de Física, Programa de pós-graduação

em Física. III. Aceleração cósmica: aspectos fenomenológicos e

estatísticos.

Para conseguirmos entender o curso natural das coisas temos que conseguir desaprender

muitos conceitos. Para os podermos desaprender é preciso que antes os tenhamos

aprendido.

Tao Te Ching

v

Resumo






Resumo da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-graduação em Física, doInstituto de Física, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dosrequisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências (Física).

O trabalho apresentado nesta tese utiliza duas abordagens complementares para a análise

da dinâmica global do universo. Sabemos, desde fins do século XX, que o universo entrou

em uma fase de expansão acelerada no passado. Para explicar a aceleração cósmica, as duas

maiores linhas de investigação presentes na literatura sugerem, a presença de um componente

exótico com pressão negativa ou que a Teoria da Relatividade Geral deve ser modificada

em escalas cosmológicas. Em ambas possibilidades admite-se uma determinada teoria de

gravitação e um modelo cosmológico particular.

Um dos objetivos desta tese, é analisar a aceleração cósmica da forma mais geral possível.

Para tanto, utilizamos apenas a definição do parâmetro de desaceleração, q,: uma quantidade

formada a partir do fator de escala da métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker e de

suas derivadas até segunda ordem. Primeiramente propomos uma nova parametrização para

q, composta por quatro parâmetros com significados físicos bastante claros. Utilizamos dados

de supernovas do tipo Ia, medidas de oscilações acústicas de bárions e da distância à superfície

de último espalhamento da radiação cósmica de fundo para encontrar vínculos sobre esses

parâmetros. Nossos resultados mostram, de uma forma bem geral, que houve uma transição

(desaceleração-aceleração) no passado. Realizamos também uma simulação de experimentos

vi

futuros, considerando a melhora nas incertezas que certamente será proporcionada pelos

mesmos.

Em um segundo momento, analisamos também a possibilidade de obter informações sobre

a dinâmica do universo a partir dos dados, sem a necessidade de supor uma forma funcional

para o parâmetro de desaceleração. Para tanto, utilizamos a Análise por Componentes Prin-

cipais (ACP). Este método utiliza o inverso da matriz de covariância (matriz de Fisher) para

reescrever os dados observacionais em uma nova base onde o erro ao longo de uma determi-

nada direção no espaço de parâmetros não tem correlação com os erros nas outras direções.

De posse dessa nova base, reconstruímos q. Nesse processo, a reconstrução é feita utilizando

apenas os componentes ao longo dos quais a variância dos dados é maior, o que nos possibilita

reduzir o espaço de parâmetros e simplificar o problema. Nós apresentamos detalhadamente

os cálculos que levam a uma expressão analítica para a matriz de Fisher, partindo tanto

de dados de supernovas Ia assim como de oscilações acústicas de bárions. Aplicamos esse

procedimento ao mais recente conjunto de dados de observações de supernovas Ia, que nos

fornecem uma reconstrução razoável, mas ainda predominantemente dominada por incer-

tezas. Como uma maneira de verificar a eficácia do método frente aos dados provenientes

de futuros experimentos, realizamos também a mesma análise com base em simulações de

medidas de oscilações acústicas de bárions para um experimento como o Square Kilometre

Array. Mostramos que, no futuro, o uso de ACP pode ser bastante promissor para que se

extraia a forma funcional do parâmetro de desaceleração a partir dos dados observacionais

sem a utilização de uma parametrização específica e praticamente livre de erros numéricos.

Palavras-chave: Cosmologia. Energia escura. Supernovas. Análise por Componentes Prin-

cipais.

Rio de Janeiro

Março de 2010

vii

Abstract

The cosmic acceleration:phenomenological and statistical aspects


Supervisor: Ioav Waga

Second Supervisor: Ribamar Rondon de Rezende dos Reis

Abstract da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-graduação em Física,Instituto de Física, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dosrequisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências (Física).

The work presented in this thesis investigates two complementary approaches used to

study the universe’s global dynamical properties. We know, since the end of the 20th century,

that the universe entered a phase of decelerated expansion in the past. In order to explain this

behavior, the two main paths of investigation found in the literature suggest a new exotic

component with negative pressure or modifications applied to General Relativity Theory

in cosmological scales. In both cases, one must begin with a given gravity theory and

cosmological model and perform the analysis case by case.

One of the main objectives of this work is to analyze cosmic acceleration in the most

general possible way. As a consequence, we make use of the definition of the decelera-

tion parameter, q,: a quantity constructed from the scale factor of the Friedman-Lemaître-

Robertson-Walker metric and its derivatives up to second order. We begin proposing a new

parametrization for q, composed by four parameters with very clear physical meaning. We

use data from type Ia supernova observations, measurements of baryon acoustic oscillations

and the distance to the last scattering surface from the cosmic microwave background radia-

tion in order to find constraints on our parameters. Our results show, in a general way, that

there was a transition (deceleration-acceleration) in the past. We also performed a simula-

viii

tion based on future experiments designs, taking into account the improvement on current

uncertainties that will certainly come from a new generation of observational facilities.

As a second step, we also analyzed the possibility of obtaining information about the

dynamics of the universe based only in the data, without the need of imposing a functional

form for the deceleration parameter. Our tool to achieve this objective is the use of Principal

Component Analysis (PCA). PCA is a statistical method that uses the inverse of the cova-

riance matrix (also called Fisher matrix) in order to rewrite the observational data in a new

base, where the errors associated to a determined direction in the parameter space (principal

component) has no correlation with the errors associated to other directions. Having this

new base, we reconstructed q. The reconstruction is performed using only a few components

which represent the majority of the variance present in the data set, as a consequence, this

procedure allows us to reduce the dimensionality of the parameter space, simplifying the

problem. We present the detailed calculations that lead us to an analytical expression for

the Fisher matrix, based on supernova and baryon acoustic oscillation observations. We

apply this procedure to the most recent supernova data set, which provided a reasonable

reconstruction, but still predominantly driven by uncertainties. In order to verify the ef-

ficiency of the method, once data from future experiments is available, we also used PCA

based on simulated data from baryon acoustic oscillations for an experiments like the Square

Kilometre Array. We show that, in the future, the use of PCA may be use to extract the

functional form of the deceleration parameter from the data set without the use of a specific

parametrization and practically free from numerical errors.

Key-words: Cosmology. Dark energy. Supernovae. Principal Component Analysis.

Rio de Janeiro

Março de 2010

Notações e Convenções

1. Índices gregos variam de 0 a 3;

2. Índices latinos variam de 1 a 3;

3. Derivada parcial: ∂φ∂xα = ∂αφ = φ,α;

4. Símbolo de Christoffel: Γαβγ = 1

2gαµ(∂γgµβ + ∂βgµγ − ∂µgβγ);

5. Derivada covariante: Tβ;α = ∇αTβ = ∂αTβ − ΓλβαTλ;

6. Tensor de Riemann:R µαβλ = ∂βΓ

µαλ − ∂λΓ

µαβ + Γγ

αλΓµγβ − Γγ

αβΓµγλ;

7. Tensores simétricos: T(αβ) ≡ 12(Tαβ + Tβα);

8. Assinatura da métrica: (+,−,−,−);

9. No sistema de unidades utilizado: ~ = c = kb = 1;

10. M¯ corresponde à massa solar ≈ 1.9891× 1030 kg;

11. 1 Mpc ≈ 3× 1022 m ≈ 3× 106 anos-luz.

ix

x

Agradecimentos

Mais uma vez agradeço a Deus por ter colocado tantas pessoas incríveis no meu caminho:

Meu pai, Osvaldo, que apesar da nossa curta convivência continua sendo um exemplo em

muitos aspectos da minha vida;

Minha mãe, Iedes, que sempre acreditou em mim muito mais do que eu mesma, e cujos

esforços foram imprescindíveis para que este trabalho pudesse ser desenvolvido;

Minha irmã e meu cunhado, Myleni e Natan, presentes em todos os momentos desespe-

radores que eu tive nos últimos anos, e sempre compreensivos quanto às minhas ausências

cada vez mais frequentes;

Minha tia, Maria, que além de muitos conselhos me ajudou a adquirir parte dos equipa-

mentos necessários para o desenvolvimento deste trabalho;

Meu amigo, namorado, companheiro, confidente e colaborador, Rafael, que se mostrou

uma surpresa incrível no melhor dos sentidos, e me trouxe não apenas paz de espírito mas

uma companhia para todos os projetos mirabolantes e hobbies exóticos que eu sempre quis

fazer. Além, é claro, de entender minhas piadas e ajudar na revisão desta tese;

Meu colaborador, Alan, que nos ajudou a desenvolver parte do trabalho aqui apresentado;

Meus companheiros de sala, Bruno, Fernando, Marcos, Ramón e Vinícius, ótimas com-

panhias para bater papo sobre o que quer seja, e que nunca demonstraram incômodo em

relação à minha mania de organizar a nossa sala;

Os professores do Instituto de Física da UFRJ, principalmente os integrantes do ARCOS

(Grupo de Astrofísica, Relatividade e COSmologia), que sempre proporcionaram a mim e

aos demais estudantes um ambiente saudável de discussão e crescimento científico;

xi

xii

Meu colaborador, amigo e agora co-orientador, Ribamar, dono de uma paciência sem

tamanho, testada à exaustão ao longo de quatro anos de colaboração, intensas discusões, e

convivência durante minhas primeiras peripécias pelo mundo;

O supervisor do meu estágio no exterior, Ofer, que me ensinou muito sobre as possibili-

dades de internacionalização da minha pesquisa;

Meu mais novo colaborador, Filipe e todos os membros do Grupo de Astrofísica da UCL,

que me receberam de braços abertos e ajudaram a me adaptar ao jeito londrino de ser... na

medida do possível;

Meu anfitrião no IAG-USP durante o segundo semestre de 2008, Opher, que me deu a

oportunidade de participar das atividades do seu grupo de pesquisa nos estágios finais do

meu doutorado;

Meus amigos do Clube do Livro, André, Beatriz, Martin, Miguel e Paula, responsáveis

por grande parte do meu crescimento filosófico ao longo dos últimos quatro anos;

Todos os membros da Congregação Evangélica Luterana Cristo Redentor que me deram

a honra de participar do Projeto Zona Sul, e em especial Cibele, Cíntia, Felipe, Heliete, Luis

e Vera, duas famílias incríveis que me adotaram quando precisei de um teto durante a fase

final de redação deste trabalho;

A família Waga, Sandra e Tamara, que aceitaram me hospedar no Rio em momentos

críticos no desenvolvimento desta tese;

O CNPq e a CAPES, que não são pessoas, mas aos quais agradeço pelo apoio financeiro

no desenvolvimento deste projeto;

E por fim, serei sempre grata por ter tido a oportunidade de desenvolver meu doutorado

sob a orientação do professor Ioav Waga, que antes mesmo de me conhecer fez uma análise

psicológica do meu inocente email de graduanda e decidiu que por algum motivo eu merecia

uma chance. Agradeço imensamente por ter me recebido na UFRJ, ter me ajudado a des-

vendar os mistérios da vida acadêmica e acima de tudo, por proporcionar um ambiente onde

pude desenvolver livremente meu gosto pela pesquisa.

Lista de Figuras

2.1 Velocidade como função do desvio para o vermelho (Hubble, 1929). . . . . . 10

2.2 Distância de diâmetro angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1 Tipos de supernovas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Relação entre a função de correlação e o espectro de potência. . . . . . . . . 36

3.3 Fases do desacoplamento entre fótons e bárions. . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Medidas de dA(z) e H(z) a partir de BAO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Pico acústico na função de correlação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6 Incertezas em medidas de H(z) e dA(z) usadas na simulação. . . . . . . . . . 42

4.1 Influência de zt e τ na forma de q(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Vínculos impostos por dados de SNIa e Sk/Dv. . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Vínculos impostos por dados de SNIa + Sk/Dv. . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Forma de q(z) para melhores ajustes do Gold182 . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5 Forma de q(z) para melhores ajustes do SNLS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.1 Exemplo de dados em função de 2 variáveis correlacionadas. . . . . . . . . . 59

5.2 Exemplo de dados em função dos CPs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3 CPs para dados do SDSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4 CPs para medidas de dA (estágios 1 a 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.5 CPs para medidas de H(z) (estágios 1 a 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.6 Reconstruções de 1 a 3 CPs para dados do SDSS. . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.7 Reconstrução final para dados do SDSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

xiii

xiv LISTA DE FIGURAS

5.8 Reconstruções para medidas de dA (estágio 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . 84



5.11 Reconstruções finais para dA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.12 Reconstruções a partir de medidas de H(z) (estágio 1). . . . . . . . . . . . . 89

5.13 Reconstruções para medidads de H(z) (estágio 2). . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.14 Reconstruções para medidas de H(z) (estágio 3). . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.15 Reconstruções finais para medidas de H(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Lista de Tabelas

5.1 Critério para seleção do número de componentes na reconstrução para dL e dA. 75

5.2 Critério para seleção do número de componentes na reconstrução para H(z). 76

xv

xvi LISTA DE TABELAS

Índice

Resumo v

Abstract vii

Notações e Convenções ix

Agradecimentos xi

Lista de Figuras xiii

Lista de Tabelas xiii

1 Introdução 1

2 Princípios Básicos 5

2.1 Homogeneidade e Isotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 O universo em expansão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Distâncias em Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Distância Comóvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.2 Distância de Diâmetro Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.3 Distância de Luminosidade e o Sistema de Magnitudes . . . . . . . . 16

2.4 O Modelo Padrão da Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Equações de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.2 ΛCDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

xvii

xviii ÍNDICE

3 Dados Observacionais 25

3.1 Supernovas Ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Oscilações Acústicas de Bárions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Um novo olhar sobre o Parâmetro de Desaceleração 43

4.1 Nosso Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Vínculos Observacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Análise por Componentes Principais 57

5.1 A matriz de Fisher... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1.1 ... a partir da Distância de Luminosidade . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1.2 ... a partir da Distância de Diâmetro Angular . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.3 ... a partir do Parâmetro de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Reconstrução do Parâmetro de Desaceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.1 Quantos Componentes Principais? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3.1 Observações de Supernovas Ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3.2 Quando a informação não é suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3.3 Medidas de dA(z) e H(z) a partir de BAO . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 Discussões e Conclusões 93

A Desvio para o Vermelho 97

B Cálculo da Matriz de Fisher... 99

B.1 ... a partir da Distância de Luminosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

B.2 ... a partir da Distância de Diâmetro Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

B.3 ... a partir do Parâmetro de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Capítulo 1

Introdução

A história do nosso conhecimento sobre a dinâmica do universo pode ser dividida em antes

e depois de 1998. Neste ano, dois grupos independentes (Riess et al., 1998; Perlmutter et al.,

1999) trouxeram a público resultados de observações de supernovas Ia (SNIa) que indica-

vam uma fase recente de expansão cósmica acelerada. Posteriormente, medidas de Oscilações

Acústicas de Bárions (BAO, do inglês Baryon Acoustic Oscillations) (Eisenstein et al., 2005)

mostraram que a matéria bariônica somada à matéria escura correspondem à ≈ 27% do con-

teúdo energético do universo. Paralelamente, medidas provenientes da Radiação Cósmica

de Fundo (RCF) favoreciam um universo com curvatura espacial nula (Bennett et al., 2003;

Spergel et al., 2007; Komatsu et al., 2009). Esses resultados, somados aos mais recentes

resultados de SNIa (Kessler et al., 2009) interpretados no contexto da relatividade geral,

parecem apontar a existência de uma componente exótica, de pressão negativa, que atual-

mente domina a expansão do universo. Este componente responsável pela recente aceleração

é denominado Energia Escura (EE).

A idéia de um componente com efeito gravitacional repulsivo esteve presente no cená-

rio cosmológico desde a criação da Relatividade Geral (RG). O próprio Einstein propôs a

existência deste tipo de efeito, que ele denominou Constante Cosmológica (CC), a fim de

compatibilizar os resultados da RG com a crença em um universo estático que predominava

na época. Com a descoberta feita por Hubble em 1929, de que as galáxias estão na verdade

se afastando umas das outras, Einstein abandonou a idéia da CC. A expansão acelerada

1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

presente nos dados de 1998 trouxe novamente a CC ao centro das discussões, como uma

alternativa para explicar a causa da aceleração.

A volta da constante cosmológica ao cenário científico no fim do século passado não foi a

única consequência direta da descoberta da expansão acelerada. Um resultado experimental

em desacordo com a teoria padrão vigente sempre abre um grande e novo leque de discussões.

Primeiramente, questionando a veracidade dos dados apresentados e, posteriormente, caso

os dados sejam comprovadamente verossímeis, propondo modificações à teoria padrão. Neste

caso não foi diferente.

Uma das primeiras hipóteses astrofísicas sugeridas como alternativa à existência da EE

considerava poeira presente na linha de visada, uniformemente distribuída entre a fonte

e o observador. A poeira ocasionaria uma demagnificação sistemática das supernovas mais

distantes, causando um efeito análogo àquele gerado pela expansão acelerada (Aguirre, 1999).

Entretanto, essa hipótese foi descartada logo em seguida, devido à ausência de assinaturas

que deveriam ser observadas na radiação de cósmica de fundo no infravermelho (por exemplo,

Aguirre & Haiman (2000)).

Também foi levantada a possibilidade deste efeito ser devido à nossa localização em

uma região de baixa densidade no universo ("bolha")(Zehavi et al., 1998). Neste contexto,

objetos mais distantes estariam se distanciando ainda mais de nós, de maneira acelerada,

devido ao efeito gravitacional da região de sobredensidade que nos circunda. Entretanto,

estudos preliminares não apóiam esta hipótese, devido à ausência de tal efeito em medidas

da velocidade de aglomerados de galáxias (Giovanelli et al., 1999) e também em estimativas

de velocidade das galáxias hospedeiras em dados de SNIa (Hicken et al., 2009). Análises

deste tipo de comportamento em dados que utilizam SN Ia como velas padrão mostram que

a detecção ou não de uma região de subdensidade local depende fortemente do método de

padronização das curvas de luz utilizado (Conley et al., 2007). Sendo assim, esta hipótese

continua em aberto (para mais detalhes sobre o atual cenário da utilização de SN Ia como

velas padrão, ver capítulo (3)).

Estes são apenas alguns exemplos de tentativas presentes na literatura a fim de eliminar

3

a necessidade de um componente com pressão negativa (para uma revisão, ver Sami (2009)),

entretanto, a existência de algum tipo de energia escura presente como parte dominante da

energia de um universo regido pela RG continua sendo parte do mosaico que compõe o atual

Modelo Padrão da Cosmologia (vide capítulo 2). Dentro deste cenário várias possibilidades

foram traçadas. Estudou-se também a eficácia de diferentes parametrizações onde a relação

entre densidade, ρ, e pressão, p, da EE (p = wρ, onde w é o parâmetro da equação de

estado) depende do desvio para o vermelho (Chevallier & Polarski, 2001; Linder, 2003). Foi

abordada também a hipótese de um fluido que se comportaria como matéria escura no início

do universo e cujo comportamento seria semelhante àquele da energia escura para o universo

atual (Kamenshchik, Moschella, & Pasquier, 2001; Makler, de Oliveira, & Waga, 2003). Em

todos esses casos e muitos outros não citados aqui, a estratégia de investigação proposta

impõe alguma característica à EE e a partir desta, determina-se os valores dos parâmetros

para os quais a concordância com os dados observacionais é máxima. Entretanto, essa

abordagem é bastante restrita, pois oferece resultados apenas para um modelo de fluido, em

um determinado contexto cosmológico.

O trabalho apresentado nesta tese visa diminuir os efeitos do que ainda não sabemos em

relação à EE e à RG, extraindo dos dados informações sobre a dinâmica do universo que

independem dessas hipóteses. Para tanto, baseamos nossa análise no parâmetro de desacele-

ração, q, que representa o comportamento dinâmico global do universo. Como mostraremos

a seguir, a escolha deste parâmetro como base de nossa análise exige que façamos hipóteses

apenas em relação à homogeneidade e isotropia do universo, ou seja, da métrica. Podemos

expressar distâncias em escalas cosmológicas (distância de luminosidade (dL), distância de

diâmetro angular (dA) e distância comóvel (dC)) em função de q, assim como do parâmetro

de Hubble (H) e consequentemente impor vínculos sobre o comportamento de q como fun-

ção do desvio para o vermelho sem especificar o conteúdo material do universo e a teoria de

gravitação subjacente.

Primeiramente propomos uma forma funcional para q dependente de 4 parâmetros, to-

dos com claro significado físico. Além disso, a expressão proposta neste trabalho é capaz de

4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

reproduzir uma grande quantidade de modelos de EE para diferentes valores de seus parâ-

metros. Utilizamos dados de observações de SNIa, BAO e RCF para impor vínculos sobre

três dos quatro parâmetros.

A abordagem descrita no parágrafo anterior apresenta vantagens, já citadas, em relação

a estudos similares focados em w. Entretanto, os resultados ainda são submetidos a um viés

introduzido pela forma funcional específica escolhida (q(z)). A fim de obter resultados ainda

mais abrangentes, onde a dependência com o desvio para o vermelho é construída a partir dos

dados, fazemos uso da Análise por Componentes Principais (ACP). Neste trabalho, reescre-

vemos nossa função de interesse como uma combinação linear dos autovetores da matriz de

Fisher, em uma abordagem que amplia aquela sugerida inicialmente por Shapiro & Turner

(2006). Novamente nos concentramos na análise do parâmetro de desaceleração, o que nos

permitiu obter analiticamente todos os passos necessários ao cálculo da matriz de Fisher.

Como um exemplo de aplicação deste método, submetemos a este procedimento, dados pro-

venientes de observações de SNIa apresentados por Kessler et al. (2009) e dados simulados

para um experimento como o Square Kilometre Array (SKA), de acordo com os resultados

apresentados por por Abdalla, Blake, & Rawlings (2009).

Acreditamos que este trabalho ilustra uma das possibilidades disponíveis para se encon-

trar informações sobre a dinâmica do universo, independentemente de modelo cosmológico

e praticamente livre de erros numéricos.

Capítulo 2

Princípios Básicos

A cosmologia moderna é baseada na hipótese de que o lugar que ocupamos no universo

não é especial. Podemos resumir desta maneira o Princípio Cosmológico, que representa uma

idéia ao mesmo tempo simples e poderosa. Sua influência na história do desenvolvimento

humano se torna clara se levarmos em conta que, durante a maior parte da história da

humanidade, acreditou-se que o homem ocupava um lugar especial no universo (o centro).

Os gregos antigos acreditavam que a Terra se encontrava no centro do universo, idéia

descrita com detalhes no sistema planetário de Ptolomeu. Neste sistema, o Sol e demais

planetas orbitavam ao redor da Terra, e um complicado sistema de epiciclos foi criado a

fim de explicar o movimento retrógrado aparente dos planetas. Por volta de 1500, Nicolau

Copérnico propôs um sistema que facilmente explicava esses movimentos, mas que para isso

retirava a Terra do centro do universo substituindo-a pelo Sol. Famoso por ter derrubado

a visão antropocêntrica de sua época, Copérnico manteve a crença de que o Sol ocupava o

centro do universo.

Nos próximos duzentos anos, ficou claro que as estrelas não estavam distribuídas em

esferas celestes, mas que estas se agrupavam em forma de um disco que atualmente conhe-

cemos como a Via-Láctea. Em 1700, Herschel identificou essa estrutura em forma de disco,

mas suas observações o levaram a concluir erroneamente que o sistema solar se encontrava

no centro da galáxia. No início do século XX, Shapley foi o primeiro a detectar que, na

5

6 CAPÍTULO 2. PRINCÍPIOS BÁSICOS

verdade, nos encontramos bastante afastados do centro. Mesmo assim, ele aparentemente

acreditava que a Via-Láctea se encontrava no centro do universo. Apenas em 1952, Baade

demonstrou que a Via-Láctea é uma galáxia típica, dando forma à visão moderna, conhecida

como Princípio Cosmológico (ou Princípio de Copérnico), segundo a qual o universo parece

sempre o mesmo não importa de que ponto no espaço-tempo o estamos observando (Liddle,

2004).

Obviamente, o Princípio Cosmológico não é exato. A observação do céu noturno nos

mostra que as estrelas ao nosso redor formam a Via Láctea (≈ 30 kpc), o que por si só é uma

evidência clara de anisotropia. Observações astronômicas em uma escala um pouco maior

revelam que a nossa galáxia pertence a um pequeno grupo de galáxias denominado Grupo

Local (≈ 3 Mpc). Em uma escala ainda maior veremos que o Grupo Local encontra-se na

periferia de um superaglomerado de galáxias centrado na constelação de Virgem (≈ 33 Mpc).

Evidentemente a matéria em pequena escala é distribuída de forma altamente irregular,

contudo quando olhamos em escalas cada vez maiores, a distribuição de matéria visível se

torna cada vez mais uniforme.

Atualmente podemos fazer este tipo de afirmação graças aos levantamentos de campo

amplo (observações de grande parte do céu), que desde fins do século XX, vieram adicionar

ao Princípio Cosmológico um importante suporte observacional. De posse de tais dados,

podemos afirmar que o universo ao nosso redor parece o mesmo em todas as direções, pelo

menos em escalas acima de 100 Mpc (Wu, Lahav, & Rees, 1999). A precisão se torna muito

maior se levarmos em conta medidas da RCF, a partir das quais o universo nos parece

isotrópico para uma parte em 105 (Komatsu et al., 2009). Esta radiação está viajando pelo

universo a aproximadamente 14 bilhões de anos, o que nos fornece mais um indício de que o

universo, em escalas suficientemente grandes, é o mesmo em todas as direções.

2.1. HOMOGENEIDADE E ISOTROPIA 7

2.1 Homogeneidade e Isotropia

As evidências observacionais citadas na seção anterior, dão suporte ao Princípio Cosmo-

lógico. Como consequência, acreditamos que o universo como um todo possui duas proprie-

dades importantes: homogeneidade e isotropia. Homogeneidade significa que o universo é o

mesmo em todos os pontos, e isotropia indica que o universo parece o mesmo em todas as di-

reções. Sendo assim, podemos descrevê-lo como uma variedade quadridimensional composto

por uma dimensão temporal e uma seção tridimensional espacial homogênea e isotrópica.

A métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) pode ser obtida partindo

apenas dessas hipóteses. Uma derivação puramente geométrica desta métrica pode ser en-

contrada em Ishida (2006). A forma usualmente encontrada é dada por

ds2 = dt2 − a2(t)

[1

1− kr2dr2 + r2(dθ2 + sen2θdφ2)

], (2.1)

onde a(t) representa o fator de escala da expansão e t representa o tempo cósmico. O valor

do parâmetro k indica a curvatura espacial do universo: k > 0 corresponde a uma curvatura

positiva, k = 0 corresponde a uma curvatura espacial nula (universo plano) e k < 0 representa

um espaço-tempo com curvatura espacial negativa.

2.2 O universo em expansão

No início do século XIX, foram observadas as primeiras linhas espectrais provenientes

de estrelas próximas. Em 1842, Johann Christian Doppler sugeriu que se um observador

recebe radiação proveniente de uma fonte em movimento, o comprimento de onda medido

será deslocado proporcionalmente à velocidade da fonte em relação ao observador (projetada

ao longo da linha de visada), ou seja,

∆λ

λ=

−→v • −→nc

, (2.2)

onde −→v é a velocidade da fonte e −→n é o vetor que liga o observador à fonte.


Em 1868, William Huggins confirmou experimentalmente que as linhas espectrais de

estrelas próximas se apresentavam ligeiramente deslocadas para as partes azuis ou vermelhas

do espectro. Desta forma, era possível determinar a velocidade das estrelas ao longo da linha

de visada, vr, utilizando

z ≡ ∆λ

λ=

vrc, (2.3)

sendo z o desvio para o vermelho (caso a radiação esteja deslocada para o azul, este valor

é negativo - a conexão entre o desvio para o vermelho e o fator de escala da expansão é

apresentada no apêndice (A)).

Com instrumentos cada vez melhores, foi possível medir o desvio espectral dos objetos

mais brilhantes do céu. Os primeiros levantamentos de medidas deste efeito em estrelas

mostravam uma distribuição aparentemente aleatória de desvios para o vermelho e para

o azul. Entretanto, com o aumento no número de dados e maior variedade de objetos

observados, verificou-se uma certa tendência em favor de desvios para o vermelho. Tal

característica era encontrada principalmente em observações de nebulosas, indicando que

em sua maioria, estas estavam se afastando de nós. Este foi o primeiro indício de que o

universo se encontrava em expansão.

A principal questão a se levantar neste ponto é: como compatibilizar o Princípio Cosmoló-

gico com um universo dinâmico? Para tanto, precisamos considerar um campo de velocidades

que obedece a relação linear−→v = H−→r , (2.4)

onde −→v indica a velocidade de um corpo arbitrário na posição −→r e H é uma constante de

proporcionalidade. Um campo regido por esta relação é homogêneo, pois é invariante sob

translação da origem do sistema de coordenadas utilizado. Poderíamos chegar a essa mesma

conclusão através da análise da equação (2.1), onde a dependência temporal é apenas uma

constante multiplicativa à seção espacial. Isto implica que em um universo descrito pela

métrica de FLRW a dinâmica permitida se resume a um grau de liberdade: expansão ou

contração. Logo, um estudo da dinâmica global se resume a uma análise sobre o fator de

2.2. O UNIVERSO EM EXPANSÃO 9

escala da expansão e suas derivadas (Quinet, 2007).

Sendo assim, para que o universo respeite o Princípio Cosmológico, é preciso que a

velocidade das galáxias ao longo da linha de visada, ou seu desvio para o vermelho, seja

proporcional à distância medida a partir do observador. Edwin Hubble tentou verificar

esta relação medindo distâncias através da variação no brilho de cefeidas e desvio para

o vermelho de 18 galáxias. Seus resultados mostravam uma leve correlação linear entre

velocidade e desvio para o vermelho, e foram publicados em 1929 (figura (2.1)). Com base

nessas observações, ele concluiu que o universo se encontrava em uma expansão homogênea

e foi o primeiro a apresentar uma estimativa para a constante de proporcionalidade H, hoje

conhecida como parâmetro de Hubble.

Ao longo deste trabalho, nos referimos ao parâmetro de Hubble através da expressão

H = 100 h km/s/Mpc, (2.5)

onde h é um parâmetro adimensional cujo valor se encontra no intervalo h = 0.74 ± 0.04

km/s/Mpc (Riess et al., 2009).

Vale lembrar que a equação (2.4) é uma aproximação para baixos valores de z e conse-

quentemente velocidades baixas se comparadas com a velocidade da luz. No tratamento de

dados com altos valores de desvio para o vermelho, devemos inserir os efeitos relativísticos.

Entretanto, sabemos que o resultado newtoniano deve ser recuperado para fontes próximas.

Sendo assim, considere t0 o tempo presente e nossa galáxia localizada na origem do sistema

de coordenadas, r = 0. Queremos medir o desvio para o vermelho de uma galáxia próxima

que emitiu a luz que recebemos hoje no instante t0 − dt. No limite de baixos valores de dt,

a distância entre o observador e a fonte, L, é dada por (Liddle, 2004)

L ≈ dl = cdt, (2.6)

utilizando os resultados apresentados no apêndice (A), sabemos que o desvio para o vermelho


Figura 2.1: Diagrama apresentado por Hubble. A escala no eixo horizontal representa 0, 1e 2 Mpc e o eixo vertical indica 0, 500 e 1000 km/s. Hubble estimou a taxa de expansão emtorno de 500 km/s/Mpc. Atualmente, sabemos que o valor correto se encontra em torno de70 km/s/Mpc. Figura retirada de Hubble (1929).

2.2. O UNIVERSO EM EXPANSÃO 11

será

z =a(t0)

a(t0 − dt)− 1 ≈ a(t0)

a(t0)− a(t0)dt− 1 =

1

1− a(t0)a(t0)

− 1 ≈ a(t0)

a(t0)dt, (2.7)

onde o ponto denota a derivada temporal.

Combinando as equações (2.6) e (2.7), temos

z ≈ a(t0)

a(t0)

L

c. (2.8)

Logo, para baixos valores de desvio para o vermelho nós recuperamos a Lei de Hubble e o

papel do parâmetro de Hubble é desempenhado por a(t0)/a(t0).

Durante este trabalho, consideraremos sempre um universo com métrica tipo FLRW, e

neste caso definiremos o parâmetro de Hubble diretamente como

H(t) =a(t)

a(t). (2.9)

É natural que, a partir do momento em que descobrimos que o universo está se expandindo

comecemos a nos questionar também a respeito da taxa desta expansão, ou seja, gostaríamos

de determinar como o H(t) varia com o tempo. Isto pode ser feito através do parâmetro de

desaceleração q(z).

Considere uma expansão de Taylor do fator de escala ao redor do instante atual,

a(t) = a(t0) + a(t0)(t− t0) +1

2a(t0)(t− t0)

2 + .... (2.10)

Dividindo ambos os lados por a(t0), temos

a(t)

a(t0)= 1 +H0(t− t0)− q0

2H2

0 (t− t0)2 + ..., (2.11)

onde q0 é o valor do parâmetro de desaceleração para z = 0. No que segue, generalizamos


esta definição para um instante arbitrário, de modo que

q(t) = − a(t)

a(t)H2(t). (2.12)

É fácil perceber que podemos obter a expressão para o parâmetro de desaceleração a

partir do parâmetro de Hubble,

q(t) =d

dt

(1

H

)− 1. (2.13)

Esta relação entre q e H será importante para o trabalho aqui apresentado. Entretanto,

é mais comum que a mesma seja expressa em função do desvio para o vermelho (z), e não em

função do tempo cósmico. Fazendo uso novamente do resultado do apêndice (A), obtemos

1 + z =1

a⇒ dt = − dz

(1 + z)H, (2.14)

onde utilizamos o fator de escala normalizado em relação ao valor atual, a0 = 1. Substituindo

dt dado pela expressão acima na equação (2.13), podemos reescrever o parâmetro de Hubble

de forma que

H(z) = H0 exp

∫ z

0

1 + q(v)

1 + vdv

. (2.15)

Esta será a expressão básica a que vamos nos referir no restante desta tese.

Na próxima seção, vamos utilizar a forma da métrica dada pela equação (2.1) para cons-

truir as definições de distância. Tais definições serão baseadas no parâmetro de Hubble, o

que nos permitirá realizar uma conexão entre o parâmetro de desaceleração os dados obser-

vacionais.

2.3 Distâncias em Cosmologia

A definição de distâncias em cosmologia requer uma certa reflexão. Consideremos primei-

ramente a distância até uma galáxia remota. Devido ao fato da velocidade da luz ser finita

2.3. DISTÂNCIAS EM COSMOLOGIA 13

(c), a luz que recebemos de tal galáxia foi emitida quando o universo era mais jovem. Logo

quando olhamos para objetos distantes, nós os vemos como eles eram em tempos remotos

no universo. Dado que o universo está se expandindo, isso também implica que no momento

da emissão a distância própria era menor. Assim sendo, precisamos definir o que significa

distância a um determinado objeto.

Na realidade, existem várias maneiras diferentes de definir a distância de uma fonte a

partir da radiação que chega até nós. Apresentamos algumas delas a seguir.

2.3.1 Distância Comóvel

Considere um observador na origem do sistema de coordenadas que recebe hoje (t0), um

sinal emitido por uma fonte em (r, θ, φ) no instante t. A radiação terá percorrido uma

geodésica radial nula com θ e φ constantes. Com essas condições e utilizando a equação

(2.1), obtemos que:

dχ ≡ dt

a(t)= − dr√

1− kr2. (2.16)

Integrando a equação anterior, obtemos:

χ =

∫ t0

t

dt

a(t)=

∫ r

0

dr√1− kr2

=

arcsen(r√k)√

kse k > 0

r se k = 0

arcsenh(r√−k)√−k

se k < 0

.

A distância comóvel, dC , entre a fonte e o observador é definida como χ vezes o valor

atual do fator de escala. É importante ressaltar que da maneira como foi definida, a dC da

fonte não muda com o tempo, mas continua a mesma durante todas as etapas da expansão.

Assim,


dC = a0χ = a0

∫ t0

t

dt

a(t)= a0

∫ t0

t

da

a a, (2.17)

dC =

∫ t

t0

dz

H(z). (2.18)

onde utilizamos a equação (2.14) para obter (2.18).

2.3.2 Distância de Diâmetro Angular

Quando olhamos para um objeto no céu, nós não vemos seu tamanho real, mas seu diâ-

metro angular. Na geometria Euclidiana, o tamanho angular de um objeto, dθ é relacionado

ao seu tamanho real l e à sua distância através da relação

dθ =dl

r. (2.19)

Lembrando que z ≈ v/c e v = Hr, podemos facilmente encontrar a relação entre diâmetro

angular e desvio para o vermelho em um espaço Euclidiano,

dθ =H

c

dl

z. (2.20)

Na RG, partirmos da métrica de FLRW (equação (2.1)) para encontrar a relação entre

o tamanho próprio e o diâmetro angular de um objeto. Para tanto, considere δ o diâmetro

angular observado na origem (r = 0) de uma fonte que possui diâmetro próprio D localizada

em r (coordenada comóvel) e cuja radiação, observada hoje (t = 0), foi emitida no instante

t. Considerando δ ¿ 1 temos,

δ =D

ra(t), (2.21)

em analogia à definição de diâmetro angular na geometria Euclidiana (equação (2.19)), a


distância de diâmetro angular é definida como:

dA ≡ D

δ= a(t)r = a0r(1 + z)−1, (2.22)

onde novamente utilizamos a equação (2.14).

2.3.3 Distância de Luminosidade e o Sistema de Magnitudes

A distância de luminosidade, dL, relaciona o fluxo medido em nosso detector (energia por

unidade de tempo por unidade de área) com a luminosidade (energia total por unidade de

tempo) emitida por uma fonte distante (Misner, Thorne & Wheeler, 1973).

Isto é melhor visualizado se imaginarmos um objeto irradiando no centro de uma esfera,

de raio comóvel r0, com detectores na superfície da esfera. O raio físico da esfera será a0r0, e

a área da superfície total 4πa20r20. Em um espaço estático, o fluxo de radiação recebido será

simplesmente F = L/4πa20r20. Contudo, vivemos em um universo em expansão, o que afeta

os fótons durante seu deslocamento entre a fonte e o observador. Dois efeitos ocorrem neste

contexto:

1. Cada fóton deixa a fonte com energia hν1 e atinge o observador com energia hν0 =

hν1/(1 + z1);

2. O intervalo de tempo entre os dois fótons no momento da emissão era de δt1 e no

momento da detecção este intervalo será δt0 = δt1/(1 + z1).

Combinando os dois efeitos, o fluxo recebido será

F =L

4πa20r20(1 + z)2

, (2.23)

a fim de manter a analogia com o resultado Euclidiano, a distância de luminosidade é definida

como

dL = a0r0(1 + z). (2.24)


Figura 2.2: Representação esquemática dos elementos envolvidos no cálculo da distância dediâmetro angular. Figura retirada de Weinberg (1971).


Assim, usando a equação (2.18) em um universo plano, obtemos finalmente:

dL = (1 + z)dC = (1 + z)

∫ z

0

dz′

H(z′). (2.25)

Uma forma mais antiga de abordar o efeito descrito na definição da distância de lumino-

sidade nos leva à origem do sistema de medida de brilho utilizado atualmente. Muito antes

dos modernos telescópios, os gregos já classificavam as estrelas de acordo com o seu brilho.

Essa primeira classificação deu origem ao chamado sistema de magnitudes que ainda hoje

é utilizado nas definições de distância de experimentos modernos. Neste sistema a magni-

tude aparente bolométrica (em todos os comprimentos de onda observados), m, é definida

com base em uma estrela escolhida como ponto de referência. Atualmente, consideramos

como referência a estrela Vega cuja magnitude aparente é definida como nula. Uma estrela

mais brilhante do que Vega tem magnitude aparente negativa e, analogamente, uma menos

brilhante terá magnitude aparente positiva. Matematicamente, a definição é dada por:

m = −2.5 log10F

Fα

, (2.26)

onde F e Fα representam os fluxos (energia por unidade de tempo por unidade de área

medidos no detector) da estrela em questão e de α-Centauri, respectivamente.

Utilizaremos também a Magnitude Absoluta (M), definida como a magnitude que a fonte

apresenta quando se encontra a uma distância de 10 pc. Neste caso,

F10 =L

4π(10pc)2=

(L

4πd2L

)4πd2L

4π(10pc)2= F

(dL10pc

)2

, (2.27)

consequentemente,


M = −2.5 log10F10

Fα

= −2.5 log10F

Fα

− 2.5 log10

(dL10pc

)2

, (2.28)

M = m− 5 log10dL10pc

. (2.29)

Usualmente, este resultado é escrito na forma:

m = 5 log10dL

cH−10

+ 5 log10cH−1

0

1pc+M − 5, (2.30)

m = 5 log10DL +M. (2.31)

onde a quantidade M é chamada intercept ou magnitude de ponto zero e DL a distância

de luminosidade em unidades de (cH−10 ). A quantidade (M − m) é chamada módulo de

distância. Utilizando a parametrização apresentada na equação (2.5), podemos escrever o

intercept como:

M = 5 log102.9979× 105 × 106

100h+M − 5, (2.32)

M = −5 log10 h+M + 42.3841. (2.33)

Logo, ao observarmos uma determinada fonte podemos obter através da análise da radi-

ação emitida, a magnitude aparente e seu desvio para o vermelho. Se considerarmos apenas

fontes cujas magnitudes absolutas nos sejam conhecidas, a magnitude aparente estará re-

lacionada à distância e consequentemente ao tempo transcorrido desde que a luz deixou a

fonte até hoje, enquanto o desvio para o vermelho trará informações sobre a expansão total

experimentada pelo universo neste intervalo de tempo.

As definições apresentadas até aqui representam boa parte da base teórica necessária

para implementar nossos estudos sobre a dinâmica global do universo. Entretanto, precisa-

2.4. O MODELO PADRÃO DA COSMOLOGIA 19

mos também comparar nossos resultados com aqueles encontrados na literatura. Principal-

mente, precisamos entender quais hipóteses fazem parte do modelo padrão atual. Para tanto,

apresentamos na seção seguinte uma rápida revisão sobre o Modelo Padrão da Cosmologia.

2.4 O Modelo Padrão da Cosmologia

O conhecimento adquirido até o momento em relação ao comportamento global do uni-

verso forma um quadro consistente que chamamos Modelo Padrão da Cosmologia. Este

modelo tem como base algumas hipóteses fundamentais (Quinet, 2007; Peebles, 1993):

• O Princípio Cosmológico é uma boa descrição do universo em grandes escalas;

• As leis da física que experimentamos localmente são válidas em qualquer ponto do

espaço-tempo;

• A RG é adequada para descrever as propriedades do universo em grandes escalas.

A partir destas hipóteses, é possível demonstrar que a geometria do espaço-tempo pode

ser descrita pela métrica de FLRW (equação (2.1)). Um universo homogêneo e isotrópico

implica que o seu conteúdo material pode ser aproximado por um fluido perfeito, cujo tensor

energia-momento é dado por

T µν = (ρ+ p)uµuν − pgµν (2.34)

onde uα = dxα

dτé o quadri-vetor velocidade em coordenadas comóveis, tal que uα = (1, 0, 0, 0)

e uαuα = 1, ρ é a densidade de energia e p a pressão relacionadas ao conteúdo material do

universo (matéria e radiação).


De posse de tais definições, o tensor energia-momento pode ser escrito como

T µν =

ρ 0 0 0

0 −p 0 0

0 0 −p 0

0 0 0 −p

.

A pressão e a densidade podem, em geral, ser relacionadas por uma equação de estado,

p = p(ρ). Sendo que cada componente terá uma equação de estado própria. Para todos os

tipos de constituintes materiais considerados neste trabalho,

pi = wiρi, (2.35)

onde o índice i corresponde aos diferentes componentes do tensor energia-momento e wi

é chamado Parâmetro da Equação de Estado. Para o caso de poeira (bárions ou matéria

escura), wp = 0 e para radiação, wrad = 1/3.

O tensor energia-momento deve obedecer à equação de conservação, ∇νTµν = 0, ou seja,

ρ+ 3a

a(ρ+ p) = 0, (2.36)

onde o ponto representa a derivada em relação ao tempo cósmico.

2.4.1 Equações de Einstein

Estamos agora prontos para relacionar o conteúdo energético do universo ao espaço-

tempo, encontrando leis que regem a interação entre os mesmos. Isso será feito a partir

da aplicação da métrica de FLRW e do tensor energia-momento apropriado às equações de

Einstein, dadas por:

Rµν − 1

2Rgµν = 8πGTµν + Λgµν , (2.37)


onde Rµν é o tensor de Ricci, R o escalar de curvatura e Λ a constante cosmológica.

As componentes do tensor de Ricci são dadas por:

R00 = 3a

a= −4πG(ρ+ p) + Λ (2.38)

R0i = 0 (2.39)

Rij = −gija2

[2k + (aa+ 2a2)] = 4πGgij(p− ρ) + gij Λ, (2.40)

utilizando estas expressões, a métrica de FLRW e a equação (2.34) na equação (2.37), temos:

H2 =

(a

a

)2

=8πG

3ρ− k

a2+

Λ

3(2.41)

a

a= −4πG

3(ρ+ 3p) +

Λ

3. (2.42)

A expressão (2.41) é chamada equação de Friedman e a equação (2.42) é conhecida como

equação da aceleração. Nessas expressões, a densidade e a pressão correspondem a todo o

conteúdo material do universo. Caso este possua mais de uma componente, ρ e p devem ser

substituídos por suas respectivas somatórias sobre os constituintes em questão.

2.4.2 ΛCDM

As equações (2.36), (2.41) e (2.42) formam um conjunto de equações acopladas onde

apenas duas são independentes. A fim de que possamos encontrar uma solução para este

sistema, precisamos de outra expressão que relacione p, ρ e a. Para este fim, usaremos a

equação de estado (equação (2.35)), que deve ser determinada a partir das propriedades de

cada fluido.

É importante, neste momento, definir a densidade crítica, que servirá como base para a

comparação entre as contribuições de cada componente para a densidade de energia total do


universo. Esta é obtida a partir da equação (2.41) dividida por H2 :

1 =8πG

3H2ρ− k

a2H2+

Λ

3H2. (2.43)

A densidade crítica é definida como a densidade total de energia em um universo com

curvatura nula e sem constante cosmológica, logo,

ρcr =3H2

8πG. (2.44)

Dados provenientes de curvas de rotação em galáxias espirais e lentes gravitacionais indi-

cam que matéria não relativística (p = 0), que se aglomera, contribui com aproximadamente

30% da densidade crítica de energia. Por outro lado, a nucleossíntese primordial impõe que

apenas 5% da densidade crítica pode ser constituída por matéria bariônica. É usual em

cosmologia, considerar que os 25% restantes provém de algum tipo de matéria escura (não

relativística) não-bariônica. Estes resultados somados a análises da anisotropia da radia-

ção cósmica de fundo, as quais indicam que o nosso universo possui, em boa aproximação,

curvatura espacial nula, nos levam a concluir que cerca de 70% do conteúdo do universo é

formado por uma componente de natureza desconhecida, uniformemente distribuída e com

pressão negativa, que de acordo com as observações atuais, se comporta como um tipo de

constante cosmológica (Steinhardt, Wang, & Zlatev, 1999). Esse componente é chamado

energia escura.

Logo, o atual modelo cosmológico padrão, considera o universo homogêneo e isotrópico,

constituído basicamente por matéria escura, CDM (do inglês, Cold Dark Matter), matéria

bariônica, fótons, neutrinos e energia escura com w = cte = −1 (Λ). Isso nos permite descre-

ver a história da evolução do universo de acordo com algumas quantidades, ou parâmetros

básicos. São eles:

• o parâmetro de Hubble, H ≡ aa;


• o parâmetro de desaceleração, q ≡ − aaH2 ;

• o parâmetro da equação de estado, wi ≡ piρi;

• o parâmetro de densidade da matéria (bárions + matéria escura), Ωm ≡ ρmρcr

;

• o parâmetro de densidade da radiação (fótons + neutrinos), Ωr ≡ ρrρcr

;

• o parâmetro de densidade associado à curvatura do espaço, Ωk ≡ ka2H2 ;

• o parâmetro de densidade associado à CC, ΩΛ ≡ Λ3H2 .

Utilizando estas definições, a equação (2.43) se torna

Ωm + Ωr + Ωk + ΩΛ = 1. (2.45)

Para que possamos descrever o comportamento de cada um dos componentes do universo,

devemos resolver a equação (2.36) para cada um, separadamente. Logo, em se tratando de

matéria não relativística (bárions e matéria escura), p ≈ 0 → wm = 0, consequente-

mente,ρmρm

= −3a

a. (2.46)

Integrando a expressão acima, obtemos:

ρm(t) = ρm0

(a(t0)

a(t)

)3

, (2.47)


No caso da radiação, pr = 13ρr, ou seja wr = 1/3, logo,

ρr = ρr0

(a0a

)4

. (2.48)

O modelo ΛCDM representa a forma mais simples de energia escura, descrita por w = −1

na equação (2.35). Utilizando este fato na equação (2.36), concluímos que a densidade de

energia da energia escura (ρΛ) não depende do tempo (e consequentemente também não

depende de a).

Utilizando a equação (2.7), a equação (2.41) neste caso é dada por:

H2 =8πG

3(ρm + ρΛ + ρr)− k

a2+

Λ

3,

H(z)2 = H20

[Ωm0(1 + z)3 + Ωr0(1 + z)4 + Ωk0(1 + z)2 + ΩΛ

]. (2.49)

De posse da expressão para o parâmetro de Hubble, podemos enfim definir distâncias

de acordo com as expressões da seção (2.3). Este modelo representa atualmente o melhor

ajuste aos dados observacionais. No que segue, utilizaremos como modelo fiducial em nossas

simulações o modelo ΛCDM plano com Ωm = 0.23.

Capítulo 3

Dados Observacionais

No capítulo anterior descrevemos a base teórica das idéias que serão descritas detalhada-

mente nos capítulos (4) e (5). Neste capítulo, discutimos os observáveis que utilizaremos em

nossas aplicações. Descrevemos brevemente as supernovas como fenômenos astrofísicos, o

uso das mesmas em cosmologia e os conjuntos de dados utilizados nesse trabalho. Da mesma

forma, descrevemos o uso de medidas da BAO e detalhamos a simulação cujos resultados

são apresentados mais adiante.

3.1 Supernovas Ia

Explosões estelares estão entre os eventos mais energéticos e violentos do universo. O

aparecimento de objetos nunca antes observados no céu noturno, ou do latim stellae novae,

são relatados em documentos astronômicos chineses e coreanos de idade milenar 1. A nova

estrela que apareceu em Cassiopéia em 1572 foi observada por Tycho Brahe. Baseado na

ausência de medidas de paralaxe, ele concluiu que a mesma deveria se encontrar além do

sistema solar, e consequentemente não se encaixava na descrição ptolomaica do universo.

Aproximadamente 150 anos depois, Lundmark (1925) foi o primeiro a sugerir a existência

de duas classes de nova, onde a diferença de brilho entre as mesmas seria da ordem de 10

magnitudes. Ele baseou sua teoria, em grande parte, na observação da SN1885A2 que apre-

1Para um relato histórico muito bem escrito sobre a observação de supernovas até fins da década de 80do século passado, assim como para mais detalhes sobre os eventos citados neste texto, ver Marshall (1988).

2De acordo com a convenção atualmente utilizada, supernovas são nomeadas como SNXXXXY, onde

25

26 CAPÍTULO 3. DADOS OBSERVACIONAIS

sentava essa diferença de magnitude em relação a um outro conjunto de aproximadamente

20 outras novae também observadas na galáxia de Andromeda. Acredita-se que ele também

foi o primeiro a sugerir o nome supernova (Lundmark, 1932).

A classificação moderna dos eventos conhecidos como supernovas é baseada em resultados

de observações espectroscópicas ao redor do máximo de emissão (ver Filippenko (1997)). A

presença de linhas de hidrogênio no espectro define uma supernova do tipo II, e a ausência de

tais linhas indicam que a supernova é do tipo I. Existe ainda uma subdivisão das supernovas

do tipo I, aquelas que têm uma linha proeminente de Si II são chamadas supernovas Ia (SNIa)

e aquelas que não apresentam silício são chamadas supernovas Ib/c. A diferença entre os

tipos Ib e Ic se encontra na presença ou ausência de linhas de hélio, respectivamente. Uma

visão esquemática dessa classificação é mostrada na figura (3.1). Esta figura também lista

exemplos típicos de cada subclasse.

O significado físico dessa classificação está diretamente ligado aos sistemas progenitores

de cada evento. SNIa são geradas a partir de explosões termonucleares de objetos que

esgotaram suas reservas de hidrogênio ao longo de sua evolução. Logo, não encontramos

traços desse elemento na explosão. Outros tipos de supernovas vêm de explosão de estrelas

solitárias (core-collapse) e mais jovens, que ainda possuem traços de hidrogênio entre seus

componentes.

O modelo mais aceito para explicar a explosão de uma SNIa considera um sistema pro-

genitor binário, composto por uma anã branca que recebe matéria de uma estrela doadora.

Essa transferência de matéria ocorre até que a anã branca atinja o limite de massa de Chan-

drasekhar. Nesse limite, a pressão gravitacional não é suficiente para balancear a pressão de

radiação e ocorre a explosão, que libera uma imensa quantidade de energia em um intervalo

curto de tempo (∼ 1051ergs/s). O material ejetado nessas explosões muitas vezes leva ao

surgimento de nebulosas. Uma supernova pode aumentar a luminosidade da estrela que

a gerou em até 1010 vezes a luminosidade do sol em alguns dias e após atingir seu brilho

XXXX corresponde ao ano em que foram observadas e Y varia de A a Z para as primeiras 26 supernovasdescobertas naquele ano. A partir da 27a, Y é substituído por letras minúsculas, sendo que para a 27a

Y=aa, para a 28a Y=ab e assim por diante. Um exemplo clássico de como a nomenclatura é empregada é asupernova SN2006ub, que foi a 551a supernova descoberta em 2006.

3.1. SUPERNOVAS IA 27

Figura 3.1: Diagrama da classificação de supernovas, retirado de Leibundgut (2005).


máximo, este decresce em alguns meses.

Este cenário depende exclusivamente de parâmetros internos do sistema progenitor e

teoricamente pode ocorrer em qualquer fase da evolução do universo após a formação das

primeiras estrelas, dando origem à mesma quantidade de energia liberada em cada evento.

Essa independência dos parâmetros cosmológicos nos leva a crer que as supernovas seriam

velas-padrão, a partir das quais seria possível inferir distâncias em escalas cosmológicas.

Apesar da aparente simplicidade com a qual descrevemos a formação de um evento como

as SNIa, precisamos lembrar sempre que esta é apenas uma imagem qualitativa do que

realmente ocorre. Atualmente não possuímos um modelo teórico eficaz capaz de reproduzir

a potência observadas nas explosões, que chegam a ser mais brilhantes do que a própria

galáxia hospedeira.

Além disso, não existe um consenso sobre qual seria a estrela doadora (Branch et al.,

1995; Livio, 2000). De fato, um cenário bastante estudado nos últimos anos considera os

sistema progenitor binário, chamado duplo-degenerado, composto por duas anãs brancas que

colidem formando um envelope único e a partir do qual a explosão termonuclear é deflagrada.

Simulações desse tipo de evento, utilizando anãs brancas com massas da ordem de 0.9M¯, são

o exemplo mais recente de sucesso na modelagem de SNIa (Pakmor et al., 2010). Entretanto,

os autores deste trabalho chamam a atenção para o fato de que apenas foram capazes de gerar

eventos com luminosidade muito baixa (p.e. SN1991bg) em comparação com a luminosidade

média da amostra atualmente disponível.

Talvez como consequência dessa “ignorância” em relação ao sistema progenitor, as curvas

de luz (magnitude como função do tempo) apresentadas pelas SNIa não são tão similares

entre si quanto esperaríamos. Existe uma correlação entre o brilho no máximo da emis-

são e o tempo de decaimento que nos permite “padronizar” as curvas de luz. SNIa mais

brilhantes possuem um tempo de decaimento maior e SNIa menos brilhantes decaem mais

rapidamente. Por esse motivo, as SNIa são ditas “padronizáveis”. Ou seja, existe uma forma

de levar em conta os erros e fatores que contribuem para a dispersão das curvas de luz de

diferentes supernovas, de modo que as mesmas indiquem uma mesma magnitude absoluta

3.1. SUPERNOVAS IA 29

(o que corresponde a uma mesma potência total emitida), e consequentemente possam ser

usadas como velas padrão. De posse do valor do fluxo medido em detectores terrestres e da

radiação total emitida por uma SNIa, podemos inferir a distância a partir da medida de seu

desvio para o vermelho e de um determinado modelo cosmológico.

O método segundo o qual essa padronização deve ser efetuada também não é um con-

senso na comunidade científica. Existem vários trabalhos que tentam propor uma maneira

coerente de se tratar as curvas de luz de modo a obter um valor verossímil para o bri-

lho no máximo da emissão. Os dois métodos mais usados são: Multicolor Light-Curve

Shape (MLCS2k2)(Jha, Riess, & Kirshner, 2007) e Spectral Adaptative Lightcurve Template

(SALT2)(Guy et al., 2007). Ambos apresentam estruturas diferentes e os resultados não

concordam plenamente entre si (Nesseris & Perivolaropoulos, 2005; Kessler et al., 2009), en-

tretanto, os mesmos nos fornecem procedimentos fenomenológicos através dos quais somos

capazes de medir distâncias em escalas cosmológicas.

De posse de diferentes observações e processos de análise de dados e padronização das cur-

vas de luz, em fins da década de 90, Riess et al. (1998) e Perlmutter et al. (1999) anunciaram

pela primeira vez a detecção da expansão acelerada do universo.

Neste trabalho, utilizaremos três conjuntos diferentes de observações de SNIa:

• Gold182

Nós denominamos Gold182 o conjunto de dados compilado por Riess et al. (2007).

Esse conjunto é composto por 182 supernovas, dentre elas 21 observadas com o te-

lescópio espacial Hubble, em 1.0 < z < 1.7. O importante a se destacar aqui é o

processo de padronização utilizado. Mesmo quando apresentam dados da literatura,

os autores refazem o processo de padronização de acordo com o procedimento descrito

em Jha, Riess, & Kirshner (2007) (MLCS2k2). Consequentemente, após o processo de

padronização, a tabela final de dados consiste em valores de desvio para o vermelho,

módulo de distância e os respectivos erros nessas duas quantidades.


• SNLS

Chamamos SNLS, o conjunto de dados compilados por Astier et al. (2006), composto

por 115 SNIa com z < 1.0, observadas como parte do Supernova Legacy Survey. Den-

tre estas, 71 foram observadas com o Canada-France-Hawaii Telescope (CFHT), e o

restante são SNIa presentes também no Gold182. Neste trabalho, a padronização das

curvas de luz foi feita de acordo com o procedimento proposto por Guy et al. (2005)

(SALT). Logo, os dados após a padronização incluem o desvio para o vermelho, a mag-

nitude aparente na banda B (∼ 450 nm) e mais outras duas quantidades, s e c, que

correspondem à correções devido à forma (stretch) e à cor (diferença de magnitudes

em diferentes bandas) da curva de luz, respectivamente.

• SDSS

Por fim, denominamos SDSS o conjunto de dados apresentados por Kessler et al.

(2009), composto por 288 SNIa com z < 1.6. Dentre estas, 108 SNIa foram obser-

vadas como parte do Sloan Digital Sky Supernova Survey (Frieman et al., 2008). As

demais supernovas são uma compilação de dados apresentados em Wood-Vasey et al.

(2007), Astier et al. (2006) e Gold182. Neste caso, os dados são apresentados nas duas

formas: de acordo com MLCS2k2 assim como na forma de SALT2 (uma versão atuali-

zada de SALT proposta por Guy et al. (2007), que gera as mesmas quantidades após

a padronização).

3.2 Oscilações Acústicas de Bárions

Além de velas padrão (papel desempenhado pelas SNIa em cosmologia), outra maneira

utilizada para medir distâncias é a utilização de réguas padrão. O exemplo clássico dessa

aplicação é o fato de que calculamos a nossa distância em relação a um objeto cujo tamanho

conhecemos (uma pessoa, por exemplo) através da comparação entre o seu tamanho real e o

tamanho angular subtendido quando esse objeto se encontra a uma certa distância de nós.

3.2. OSCILAÇÕES ACÚSTICAS DE BÁRIONS 31

Quanto mais distante a pessoa estiver, menor nos parecerá. A mesma idéia pode ser aplicada

em cosmologia, com o agravante de que o espaço pode ser curvo. É como se estivéssemos

observando a pessoa através de uma lente. Neste contexto, não sabemos se a pessoa está

pequena por estar distante ou porque a imagem está sendo distorcida pela lente. Entretanto,

a curvatura do espaço não é o maior problema quando se trata de aplicações cosmológicas

dessas idéias . Nesse caso, o grande problema é que não sabemos qual o tamanho real de

objetos extragalácticos3.

Para que o conceito de régua padrão possa ser utilizado em cosmologia, precisamos de

um objeto cujo tamanho podemos determinar em um certo valor de desvio para o vermelho

ou que dependa do desvio para o vermelho de uma forma conhecida. Esse é o caso das BAO.

Antes da recombinação e desacoplamento, o universo era composto por um plasma quente,

onde fótons e bárions estavam fortemente acoplados formando um único fluido. Considere-

mos uma perturbação esférica neste fluido formado por matéria escura, neutrinos e o fluido

bárions-fótons. Devido à baixa velocidade do som e temperatura, a perturbação na matéria

escura não se propaga. Devido à sua alta velocidade e baixa seção de choque os neutri-

nos rapidamente se desacoplam, e a perturbação nos mesmos tende a diluir-se. No fluido

fótons-bárions, estas oscilações se propagam como uma onda acústica com velocidade

cs =c√

3(1 + 3ρb

ργ

) , (3.1)

onde ρb representa a densidade de bárions e ργ a densidade de fótons, afastando-se da origem

onde existe uma maior concentração de matéria. Na recombinação, quando a temperatura

do universo chega a ≈ 0.3 eV, os bárions formam átomos neutros e os fótons se desacoplam,

formando o que hoje observamos como RCF. Após esse desacoplamento, a pressão de radiação

sobre os bárions desaparece e consequentemente, a velocidade do som se torna desprezível,

ou seja, a perturbação nos bárions é congelada. Através da interação gravitacional entre os

bárions e a matéria escura, ambos tenderão a se aglomerar nesta escala.

3A descrição apresentada nesta seção foi baseada em Bassett & Hlozek (2009)


Podemos medir a escala de aglomeração de estruturas através da função de correlação de

dois pontos, ξ(r), que quantifica o excesso de aglomeração em uma determinada escala em

relação a um fundo homogêneo com a mesma densidade média. Em outras palavras, dada a

posição de uma determinada galáxia, a função de correlação nos dirá qual a probabilidade

de encontrarmos outra galáxia dentro de um raio r0 centrado na galáxia inicial.

Esta função de correlação pode ser descrita aproximadamente por uma lei de potências

(Totsuji & Kihara, 1969),

ξ(r) ∝(r0r

)γ

, (3.2)

onde r0 ≈ 5h−1 Mpc−1.

Uma escala característica de aglomeração de galáxias irá aparecer como um pico ou vale

na função de correlação, caso exista um excesso ou escassez de galáxias em uma determinada

escala, respectivamente. Essa mesma característica também estará presente no espectro de

potência, que é dado pela transformada de Fourier da função de correlação, ou seja,

P (k) =

∫ ∞

−∞ξ(r) exp(−ikr)r2dr. (3.3)

Podemos ver a relação entre essas duas funções na figura (3.2). Uma função δ em uma escala

r∗ na função de correlação (painel esquerdo) resultará em uma série de oscilações no espectro

de potência (painel direito). Essas são as BAO.

Consideremos o caso onde uma galáxia se formou no centro da perturbação inicial, usando

esta galáxia como o ponto de partida para a medida de r0 na equação (3.2), encontraríamos

um bump a uma distância s do centro. Essa escala corresponde à distância percorrida pelas

perturbações no fluido fótons-bárions até o desacoplamento, chamada horizonte acústico, e

depende da densidade de bárions e fótons de acordo com (Eisenstein & White, 2004)

s =

∫ ∞

zrec

csdz

H(z)=

1√ΩmH2

0

2c√3zrecRrec

ln

[√1 +Rrec +

√Rrec +Req

1 +√

Req

], (3.4)

onde R = 3ρb4ργ

∝ Ω2bh/(1+ z) é proporcional à razão bárions-fótons, zeq = Ωm/Ωrad é o desvio


para o vermelho na equipartição entre matéria e radiação e rec se refere à recombinação.

A RCF impõe fortes vínculos sobre a densidade de matéria escura e bárions no desa-

coplamento, o que nos permite calcular o horizonte acústico como s = 146.8 ± 1.8 Mpc

(Komatsu et al., 2009). É importante ressaltar que na realidade, existiram muitas dessas

perturbações, nos concentramos em uma delas a fim de simplificar a descrição. Por outro

lado, como as perturbações são variações pequenas na densidade média do fluido primordial,

o efeito final de várias perturbações será uma combinação linear dos efeitos individuais.

A distância característica que a perturbação no fluido fótons-bárions percorreu até o

desacoplamento, também chamada horizonte acústico, resultará em uma escala de sobre-

densidade na distribuição de bárions. Consequentemente, existe uma probabilidade maior

de uma galáxia se formar na região de sobredensidade distante ≈ 150 Mpc da perturbação

inicial do que, por exemplo, em 130 ou 180 Mpc (Abramo et al., 2009).

Este efeito é melhor visualizado através da figura (3.3)4. Nessa figura, o perfil de massa

(densidade×raio2) está normalizado de modo que curvas da mesma altura indicam per-

turbações igualmente proporcionais nos diferentes fluidos. O eixo horizontal representa o

tamanho da perturbação em coordenadas comóveis. Em valores bastante altos de desvio

para o vermelho (z À 1000), a matéria ordinária estava acoplada em um fluido primordial,

onde fótons, bárions, neutrinos e matéria escura interagiam entre si. Adicionemos agora uma

única perturbação esférica na densidade desse fluido (linha 1-coluna 1).

Esta perturbação se propaga como uma onda sonora no fluido primordial. Conforme o

universo se expande e resfria, os neutrinos são os primeiros a desacoplarem, pois possuem

seção de choque extremamente baixa e não são aprisionados gravitacionalmente. A matéria

escura interage apenas gravitacionalmente e tem velocidade não significativa (é chamada

matéria escura fria porque a temperatura no momento do desacoplamento era muito menor

do que a energia de repouso), logo o perfil de matéria escura é "congelado". A perturbação

tem o papel de uma sobredensidade, que atrai mais matéria escura para seu centro. Os fótons

e bárions estão aprisionados em um plasma ionizado, no qual a perturbação se propaga como

4A descrição a seguir, assim como a figura (3.3), foram extraídas dehttp://cmb.as.arizona.edu/∼eisenste/acousticpeak/acoustic_physics.html


uma onda sonora com velocidade dada pela equação (3.1), afastando-se da origem (figura

(3.3), linha 1-coluna 2).

A perturbação no fluido de neutrinos é a primeira a ser diluída devido à sua característica

relativística e baixa seção de choque, e ao mesmo tempo mais matéria escura continua a ser

agregada ao centro da perturbação, o que faz com que o perfil de massa adquira uma largura

maior (figura (3.3), linha 2-coluna 1). Assim que a temperatura baixa o suficiente para

que os elétrons e prótons possam formar átomos neutros, ou seja, quando a temperatura é

≈ 0.3 eV, os fótons se desacoplam e a perturbação na radiação se separa da perturbação nos

bárions (figura (3.3), linha 2- coluna 2). Assim como os neutrinos fizeram, os fótons agora

podem se propagar livremente pelo universo, o que dá origem à RCF observada atualmente.

Sem a interação com os fótons, a pressão de radiação que existia sobre os bárions desaparece

e a perturbação se mantém estacionada (figura (3.3), linha 3-coluna 1). Nos resta agora

uma sobredensidade de matéria escura ao redor do centro da perturbação inicial e uma

sobredensidade de bárions a um raio de ≈ 150 Mpc. Com o passar do tempo, a interação

gravitacional entre essas duas regiões de sobredensidade faz com que as diferenças entre as

mesmas diminuam: as perturbações começam a se misturar (figura (3.3), linha 3-coluna 2).

Eventualmente, elas tendem ao mesmo perfil, ou seja, a perturbação nos bárions deixa uma

assinatura no perfil da matéria escura. Ao mesmo tempo, como a quantidade de matéria

escura é muito maior do que a quantidade de bárions, o pico da perturbação ao redor do

ponto inicial é mais evidente do que o pico correspondente à flutuação nos bárions (figura

(3.3), linha 4-coluna 1). Entretanto, enfatizamos que até o momento a figura (3.3) mostrou o

perfil de massa. O perfil de densidade é muito mais íngreme. A sobredensidade em 150 Mpc

é de apenas ≈ 1% daquela ao redor da origem (figura (3.3), linha 4-coluna 2). No decorrer

da história de evolução do universo, estruturas em grandes escalas têm maior probabilidade

de serem formadas em regiões que apresentam sobredensidades em bárions e em matéria

escura.

Vale enfatizar que a escala a que nos referimos até o momento corresponde à distância

comóvel percorrida pela perturbação até o desacoplamento. Na realidade, em um levanta-


mento de galáxias cada intervalo de desvio para o vermelho, ∆z, corresponderá a uma escala

característica de aglomeração. A figura (3.4), demonstra esquematicamente este efeito. Sa-

bemos o tamanho comóvel do raio correspondente à escala de aglomeração, logo, podemos

relacionar as medidas de escalas ao longo e transversalmente à linha de visada utilizando as

expressões

H(z) =c∆z

s‖(z), (3.5)

dA(z) =s⊥(z)

∆z(1 + z). (3.6)


Figura 3.2: Figura esquemática que representa o par ξ(r∗), P (k). Um pico estreito nafunção de correlação (painel esquerdo), corresponde a uma série de oscilações em P (k)(painel direito). O pico acústico na função de correlação dos bárions se manifestará comouma série de Oscilações Acústicas de Bárions no espectro de potência. Figura retirada deBassett & Hlozek (2009).


Figura 3.3: Diagrama que descreve o desacoplamento do plasma primordial, composto pormatéria escura (curva preta), bárions (curva azul), fótons (cuva vermelha) e neutrinos (curvaverde). Os painéis descrevem o perfil de densidade de energia de acordo com o desvio para overmelho (proporcional ao resfriamento do conteúdo material do universo). Figura retiradade Eisenstein (2005).


Figura 3.4: O tamanho de um objeto ao longo da linha de visada é dado por cdz/H(z),onde dz é a diferença em desvio para o vermelho entre a parte anterior e posterior doobjeto. O tamanho na direção perpendicular à linha de visada é dado por dA(z)θ, sendoθ seu tamanho angular. Como podemos teoricamente determinar o raio dessa escala deaglomeração através das BAO, podemos então determinar dA(z) e H(z) separadamente.Figura retirada de Bassett & Hlozek (2009).


Sendo assim, através do mapeamento de uma parte grande do céu, podemos verificar

a existência dessa pequena sobredensidade de matéria tanto na direção radial (∝ 1/H(z))

quanto na direção perpendicular à linha de visada (∝ dA(z)). Combinando essas medidas

com resultados da escala da perturbação inicial obtida a partir da RCF, podemos obter as

quantidades H(z) e dA(z) independentemente (Abramo et al., 2009).

O uso de BAO para encontrar vínculos sobre os parâmetros cosmológicos foi primeira-

mente proposto por Eisenstein, Hu & Tegmark (1998). Entretanto, uma análise mais deta-

lhada de como essa sugestão seria aplicada a dados reais foi apresentada em Blake & Glazebrook

(2003), Blake & Glazebrook (2003), entre outros. Entretanto, os primeiros resultados positi-

vos de detecção deste efeito tiveram que esperar experimentos como o SDSS (Eisenstein et al.,

2005) e do 2 Degree Field Galaxy Redshift Survey (2dF)(Cole et al., 2005), que rapidamente

impuseram vínculos fortes sobre a densidade da matéria e curvatura.

Mostramos na figura (3.5), a função de correlação encontrada a partir de dados do SDSS

juntamente com o modelo teórico para Ωmh2 = 0.12, 0.13 e 0.14 (curvas verde, vermelha e

azul, respectivamente). Em todos esses modelos, Ωb = 0.024. A curva rosa representa um

universo sem bárions, Ωb = 0.

Nos próximos capítulos, nós utilizamos medidas de BAO em duas formas diferentes:

• Sk/Dv

No capítulo 4, nós utilizamos medidas de BAO de acordo com a prescrição apresentada

por Percival et al. (2007). Neste trabalho, os autores utilizam a razão entre a distância

à superfície de último espalhamento (Sk(zls = 1098)) e a escala de distância às BAO

(Dv(zBAO)) em zBAO = 0.2 e zBAO = 0.35. Este observável é ideal ao nosso propósito,

pois depende exclusivamente da razão H(z)/H0.

• SKA

No capítulo (5), mostramos resultados baseados em simulações de medidas de H(z)


Figura 3.5: Pico acústico na função de correlação encontrado na amostra de dados do SDSSLuminous Red Galaxy Survey. A altura do pico é sensível à densidade de matéria. As curvasverde, vermelha e azul representam a função de correlação para Ωmh

2 = 0.12, 0.13 e 0.14,respectivamente. Em todos os casos, Ωbh

2 = 0.024. A linha rosa representa o modelo sembárions Ωb = 0. Figura retirada de Eisenstein et al. (2005).


e dA(z), para diferentes estágios de um experimento como o SKA5, de acordo com a

simulação realizada por Abdalla, Blake, & Rawlings (2009).

O SKA é um projeto de um arranjo de rádio telescópios que têm o objetivo de rastrear

a presença de linhas de emissão HI em diferentes partes do céu. Como a maior parte

da matéria no universo se encontra na forma de hidrogênio, esta é uma maneira de se

rastrear os bárions e consequentemente medir BAO. Os diferentes estágios (1 a 3) aos

quais nos referimos nos próximos capítulos correspondem a diferentes frações do campo

de visão total disponíveis em cada estágio (ver Abdalla, Blake, & Rawlings (2009) para

uma definição detalhada do design considerado na simulação). Para o propósito deste

trabalho, é suficiente a divisão dos estágios por faixa de profundidade das observações:

o estágio 1 corresponde a observações em 0.2 < z < 1.0, o estágio 2 corresponde a

0.2 < z < 1.4 e o estágio 3 tem 0.2 < z < 2.2. As incertezas para bins de ∆z = 0.2

podem ser visualizadas na figura (3.6).

De acordo com o atual cronograma do SKA, a parte necessária do SKA para que se

possa obter esse tipo de dados não estará pronta antes de 2020. Entretanto, nós não

nos aventuramos a utilizar resultados de simulações mais simples apresentadas por

Abdalla, Blake, & Rawlings (2009) porque o número de medidas em diferentes valores

de desvio para o vermelho não são suficientes para um estudo de evolução temporal

das mesmas.

5http://www.skatelescope.org/


Figura 3.6: Incertezas nas medidas finais de H(z) (linhas tracejadas) e dA(z) (linhas cheias),para diferentes estágios de um experimento como o SKA. f = 1.0 indica que esses resultadosse referem a um experimento com a mesma área de cobertura do SKA, limite mínimo paradetecção de uma fonte: nσ = 10 e diferentes valores de campo de visão efetivo. Figuraretirada de Abdalla, Blake, & Rawlings (2009).

Capítulo 4

Um novo olhar sobre o Parâmetro de

Desaceleração

Como mencionamos anteriormente, ao longo dos últimos anos várias estratégias de abor-

dagem do problema da aceleração cósmica foram desenvolvidas. Uma dessas alternativas

consiste em realizar uma análise dos vínculos impostos aos parâmetros cosmológicos pelos

dados para um modelo cosmológico específico. Alternativamente, podemos adotar uma pos-

tura fenomenológica, através da utilização de diferentes parametrizações para a equação de

estado (Chevallier & Polarski, 2001; Linder, 2003), o parâmetro de Hubble (Kujat et al.,

2002; Alam et al., 2003; Daly & Djorgovski, 2003; Nesseris & Perivolaropoulos, 2004) ou a

densidade de energia da EE (Wang & Garnavich, 2001; Wang & Freese, 2006). Este pro-

cedimento pode resultar em alguns vínculos interessantes, entretanto as parametrizações

normalmente assumem a existência da matéria e energia escura como substâncias diferentes.

Com poucas exceções, nenhuma interação no setor escuro é considerada e os resultados são

válidos apenas para cenários onde a RG é considerada como teoria de gravitação. Neste ce-

nário, um ponto importante deve ser considerado: quantos parâmetros são necessários para

se conseguir resultados confiáveis. Se utilizarmos muitos parâmetros, a região permitida no

espaço de parâmetros pode ser grande o bastante a ponto de inviabilizar a obtenção de re-

sultados significativos (Linder & Huterer, 2005). Por outro lado, se o número de parâmetros

43

44CAPÍTULO 4. UM NOVO OLHAR SOBRE O PARÂMETRO DE DESACELERAÇÃO

for muito pequeno, o resultado será altamente dependente da parametrização escolhida e os

resultados serão altamente enviesados (Bassett, Corasaniti, & Kunz, 2004). A estratégia que

utilizaremos nesta primeira análise consiste em escolhermos um alto número de parâmetros

(4), para que a generalidade possa ser mantida. No entanto, utilizaremos argumentos físicos

para fixarmos dois deles. Em um segundo momento, nós deixamos três desses parâmetros

livres e apresentamos nossos resultados como uma superfície em um espaço tridimensional.

Nossos resultados foram previamente apresentados em Ishida et al. (2008).

Nesta análise, estamos primeiramente interessados em duas questões: qual o valor do

desvio para o vermelho no qual ocorreu a transição entre a fase desacelerada e a fase acelerada

da expansão? Quão rápida foi esta transição?

Nós estudamos maneiras de responder a tais indagações através de uma nova parame-

trização para o parâmetro de desaceleração, q, que por sua vez depende de 4 parâmetros:

os valores inicial, qi, e final, qf , do parâmetro de desaceleração, o valor do desvio para o

vermelho onde ocorre a transição entre aceleração e desaceleração, zt, e a largura de tal tran-

sição, τ . Nesta formulação, nosso objetivo é responder às questões levantadas anteriormente

fazendo uso de um número mínimo de hipóteses sobre o setor escuro e teoria de gravitação.

4.1 Nosso Modelo

Começamos nossa análise considerando um universo homogêneo e isotrópico, cuja métrica

é dada pela equação (2.1). A partir deste ponto, nos restringiremos ao caso de um universo

plano, o que está em acordo com os últimos resultados provenientes da RCF (Komatsu et al.,

2009).

Propomos então uma nova parametrização fenomenológica para o parâmetro de desace-

leração dada por

q(z) ≡ qf +(qi − qf )

1− qiqf

(1+zt1+z

)1/τ , (4.1)

onde qi e qf correspondem aos valores inicial (z À zt) e final (z = −1) do parâmetro de

desaceleração, respectivamente. O parâmetro zt representa o valor do desvio para o vermelho

4.1. NOSSO MODELO 45

onde ocorre a transição (q(zt) = 0) e τ representa a largura da transição. O parâmetro τ está

relacionado à derivada do parâmetro de desaceleração em relação ao desvio para o vermelho,

em z = zt, através da expressão

τ−1 =

(1

qi− 1

qf

)[dq(z)

d ln(1 + z)

]

z=zt

. (4.2)

A expressão (4.1) é similar àquela apresentada por (Bassett et al., 2002) (veja também

alguns exemplos em Corasaniti & Copeland (2002); Bassett et al. (2003); Corasaniti et al.

(2003); Hannestad & Moörtsell (2004); Linder & Huterer (2005); Bassett, Corasaniti, & Kunz

(2004)), com a diferença de que nós parametrizamos q(z) ao invés de w(z). Uma das vanta-

gens em utilizarmos uma parametrização para q(z) é o fato de que zt assume um claro signifi-

cado físico. Vários aspectos de diferentes parametrizações de q(z) podem ser encontradas em

Turner & Riess (2002); Riess et al. (2004); Shapiro & Turner (2006); Elgarøy & Multamäki

(2006); Gong & Wang (2007); Rapetti et al. (2007); Xu & Liu (2008).

Com as definições acima, podemos integrar a equação (2.15), obtendo

(H(z)

H0

)2

= (1 + z)2(1+qi)

(qi(1+zt1+z

)1/τ − qf

qi (1 + zt)1/τ − qf

)2τ(qi−qf )

. (4.3)

Definimos também o parâmetro de densidade da matéria "efetivo"(Ωm∞), dado por

Ωm∞ ≡ limz→∞

(H(z)

H0

)2

(1 + z)−2(1+qi) . (4.4)

Nos cenários mais simples analisados na literatura, o universo necessariamente passa por

uma fase dominada pela matéria, a fim de que estruturas em largas escalas possam se formar.

Consequentemente, no início da história evolutiva do universo, mas depois da fase dominada

pela radiação, H2 ∝ (1+z)3, o que implica q = 1/2. Com base nestas afirmações, nós fixamos

o valor inicial do parâmetro de desaceleração em qi = 1/2, reduzindo a três o número de

parâmetros livres em nossa análise.

Pode-se argumentar que essa restrição culmina em uma perda de generalidade, mas a


questão na qual devemos nos concentrar é: quanto qi pode se afastar de 1/2 e ainda assim

permitir a formação de estruturas durante a fase dominada pela matéria? No contexto

da RG, em modelos onde o acoplamento entre matéria e energia escura é constante (δ), a

condição qi = 1/2 não é satisfeita. Neste caso, H2 ∝ (1+z)(3+δ) durante a fase dominada pela

matéria. Entretanto, resultados apresentados por Guo, Ohta, & Tsujikawa (2007), mostram

que testes cosmológicos restringem |δ| < 0.1. Se levarmos em consideração perturbações na

densidade de matéria, vínculos mais fortes podem ser encontrados (Fabris, Shapiro, & Solà,

2007). Podemos também considerar modelos onde a matéria possui pressão, nesses casos,

qi 6= 1/2. Entretanto, se as perturbações na densidade de matéria forem adiabáticas, devido

a uma velocidade do som finita, o espectro de potência da matéria apresentará instabilidades,

descartando esse modelos a menos que p = 0 (qi = 1/2) ou muito perto disso. Em princípio,

podemos contornar esse tipo de problema assumindo perturbações de entropia de tal forma

que δp = 0 (Reis et al., 2003; Amendola, Waga, & Finelli, 2005). Entretanto, há indícios de

que nós não estamos deixando de mapear muitos modelos viáveis ao fixarmos qi = 1/2, a

análise de um quadro onde este parâmetro é considerado livre com certeza merece atenção,

mas está fora dos objetivos deste trabalho.

No caso específico onde qi = 1/2, temos

Ωm∞ =

(1− 1

2qf(1 + zt)

1/τ

)−τ(1−2qf )

. (4.5)

Com esta definição, podemos eliminar zt da equação (4.3) e reescrevê-la como

(H(z)

H0

)2

= (1 + z)3(Ω

1τ(1−2qf )

m∞ + (1− Ω1

τ(1−2qf )

m∞ )(1 + z)−1τ

)τ(1−2qf )

. (4.6)

A expressão acima, conectando H(z) com Ωm∞, é bastante útil para que possamos fazer

conexões entre a parametrização proposta neste trabalho e demais modelos presentes na

literatura. Por exemplo, podemos utilizar a equação (4.6) para verificar que a expressão (4.1),

está relacionada ao modelo Cardassiano Politrófico Modificado (CPM) (Gondolo & Freese,

2003; Wang et al., 2003). Este modelo depende de três parâmetros: m (denominado q em


Gondolo & Freese (2003)), n e Ωm0. Neste contexto, o parâmetro de Hubble é dado por

[H(z)

H0

]2

CPM

= (1 + z)3(

Ωobsm0

)p+ [1− (Ωp

m0)p] (1 + z)−3p(1−n)

1/p. (4.7)

Se identificarmos Ωm0 = Ωm∞, m = 1/(τ(1 − 2qf )) e n = 2/3(1 + qf ), os dois modelos

apresentam a mesma cinemática. Chamamos a atenção para o fato de que, no modelo

CPM, Ωm0 representa o valor atual do parâmetro de densidade da matéria, enquanto acima,

Ωm∞ é definido para altos valores de desvio para o vermelho. Essas duas quantidades po-

dem ser diferentes, por exemplo, em modelos onde existe um acoplamento entre a matéria

e a energia escura (Amendola, 2000; Zimdahl & Pavón, 2007). Para ilustrar nosso argu-

mento, considere modelos cujo acoplamento entre matéria e energia escura seja variável,

entretanto, onde a equação de estado da energia escura (wX) seja constante, e que apresen-

tem ρX/ρm = ρX0/ρm0aξ (Dalal et al., 2001). Tais modelos podem ser descritos pela equação

(4.1), se identificarmos Ωm0 = Ω1/τ(1−2qf )m∞ , ξ = 1/τ e wX = −(1− 2qf )/3. Como já dissemos,

nossa abordagem não exige que façamos hipóteses fortes sobre o setor escuro e/ou teoria de

gravitação. No modelo CPM, os componentes do universo são radiação e matéria escura,

não há energia escura. A parametrização (4.1) inclui o modelo CPM (e os modelos com

acoplamento citados anteriormente) como casos especiais.

Podemos obter também o modelo de quartessência de Chaplygin (ver, por exemplo,

Kamenshchik, Moschella, & Pasquier (2001); Bilić, Tupper, & Viollier (2002); Bento et al.

(2002); Makler, de Oliveira, & Waga (2003)) na ausência de bárions (p = −M4(α+1)/ρα),

no caso especial onde qi = 1/2, qf = −1, 1/τ = 3(1 + α) e Ωm∞ = (1 − w0)1/(1+α), onde

w0 = −M4/ρα+10 é o valor atual da equação de estado da energia escura.

Modelos de energia escura com equação de estado constante (wX) podem ser obtidos

se identificarmos Ωm∞ = Ωm0 e impusermos que −3wX = 1/τ = (1 − 2qf ) na equação

(4.1). Em particular, fixando qf = −1 e τ = 1/3, recuperamos o modelo ΛCDM. Neste

modelo, zt = (2(1 − Ωm0)/ Ωm0)1/3 − 1. O fato de podermos identificar o modelo ΛCDM

no espaço de parâmetros é bastante conveniente, uma vez de que este apresenta uma boa


concordância com os dados atuais, e consequentemente espera-se que o verdadeiro modelo

cosmológico não seja muito distante deste. É importante enfatizar que, no contexto da RG

com matéria e energia escuras não interagentes, se τ < 1/3 e qf = −1, a energia escura

possuirá um comportamento tipo phantom (w < −1), que pode já ter iniciado no passado

ou se apresentará no futuro. Modelos com τ > 1/3 serão sempre não-phantom.

É curioso notar que, se aplicarmos a definição dada pela equação (4.2) (com qi = 1/2

e qf = −1) ao modelo DGP plano (Dvali, Gabadadze, & Porrati, 2000), obtemos τ = 1/2

independente do valor atribuído a Ωm0. Logo, modelos do parâmetro de desaceleração onde

zt = (2(1 − Ωm0)2/ Ωm0)

1/3 − 1 (desvio para o vermelho da transição no modelo DGP) e

τ = 1/2 são uma boa aproximação para modelos tipo DGP.


- 1 0 1 2- 1.5

- 1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

- 1 0 1 2 3

q(z)

z z

Figura 4.1: Influência dos parâmetros zt e τ na forma funcional do parâmetro de desacelera-ção para o caso especial onde qi = 1/2 e qf = −1. Painel Esquerdo: q(z) para zt = 1.0 eτ = 0.1 (curva verde-tracejada), 0.3 (curva cheia-preta) e 0.5 (curva azul-ponto tracejada).Painel Direito: q(z) para τ = 0.3 e zt = 0.5 (curva verde-tracejada), 1.0 (curva cheia-preta)e 1.5 (curva azul-ponto tracejada).


4.2 Vínculos Observacionais

Uma das principais questões não resolvidas da cosmologia atual se refere à causa da

aceleração cósmica: ela é causada por um tipo de constante cosmológica ou não? Os dados

indicam que modelos tipo ΛCDM são altamente favorecidos. Em nossa análise, consideramos

primeiramente modelos que possuem uma fase final tipo de Sitter (qf = −1). Neste caso,

o modelo ΛCDM é facilmente identificado no espaço de parâmetros, o que possibilita um

teste simples para o paradigma representado pelo modelo ΛCDM. O caso mais geral, onde

qf 6= −1, será brevemente discutido posteriormente. Considerando qf = −1, temos

q(z) = −1 +3

2 +(1+zt1+z

)1/τ , (4.8)

[H(z)

H0

]2= (1 + z)3

[ (1+zt1+z

)1/τ+ 2

(1 + zt)1/τ + 2

]3τ

, (4.9)

Ω∞ =

[1

2(1 + zt)

1/τ + 1

]−3τ

. (4.10)

Obtivemos então vínculos no espaço de parâmetros formado por zt e τ , a partir de dados

de SNIa e de medidas da razão entre a distância à superfície de último espalhamento Sk(zue =

1098) e a distância característica definida por medidas de BAO, Dv(z), em zBAO = 0.2 e

zBAO = 0.35, como estimado por Percival et al. (2007).

Este observável nos é útil por duas razões. Primeiramente, o mesmo não depende expli-

citamente dos componentes escuros do universo ou da teoria de gravitação, pois é essenci-

almente controlado pela função H(z)H0

. Além disso, seus resultados são complementares aos

dados de supernovas porque ambos obtêm informações a partir de objetos em intervalos dife-

rentes de desvio para o vermelho. Com supernovas, estamos medindo distâncias até z ∼ 1−2,

enquanto Sk depende da distância à superfície de último espalhamento, em z ∼ 1100.

Utilizamos em nossa análise ambos os conjuntos de dados citados no capítulo 3, Gold182

(Riess et al., 2007) e SNLS (Astier et al., 2006). No que segue, apresentamos resultados

baseados em funções de verossimilhança marginalizadas sobre o parâmetro de Hubble, uti-

4.2. VÍNCULOS OBSERVACIONAIS 51

lizando um a priori gaussiano tal que h = 0.72 ± 0.08 (Freedman et al., 2001). Na figura

(4.2)-painel esquerdo, apresentamos os contornos de confiança (68% e 95%) no plano (arctg

zt × τ) construídos a partir de dados de SNIa, no caso particular onde qf = −1. Note que,

para os dois conjuntos de dados, zt < 0 não é permitido mesmo em altos níveis de confiança,

indicando que uma transição ocorreu no passado. Chamamos a atenção para o fato de que

esse resultado é esperado para modelos tipo ΛCDM (ou outros) que possuem um tempo de

transição não-nulo. Entretanto, nossos resultados indicam que zt > 0 inclusive para modelos

onde a transição é instantânea (τ = 0). Mais adiante, mostramos que esse resultado é válido

inclusive para casos onde qf 6= −1.

Além disso, também fica claro pela figura (4.2) - painel esquerdo que os dados atuais

não podem impor vínculos fortes sobre o valor máximo permitido para zt. Esse resultado

reflete o fato de que as SNIa podem ser utilizadas como medida de distância até um valor

de desvio para o vermelho de z ∼ 1− 2. Em um modelo em que a transição é lenta (τ > 1),

mesmo que a transição ocorra em um valor alto de desvio para o vermelho a distância até

um objeto localizado em z . 1, por exemplo, será bastante similar à distância ao mesmo

objeto em um modelo onde zt . 1 mas no qual a transição é mais rápida (menor τ). Isto

explica a forma dos contornos de confiança extraídos de dados de SNIa. Comparando os

contornos obtidos a partir dos diferentes conjuntos de dados, observamos que aqueles pro-

venientes do Gold182 estão deslocados para valores mais baixos de zt em comparação com

os contornos obtidos a partir de dados do SNLS. É importante enfatizar que, mesmo na

região de maior interesse (zt . 1), a diferença entre os resultados de diferentes conjuntos

de dados, apesar de não ser tão severa, existe e é importante. Resultados semelhantes fo-

ram obtidos por Jassal, Bagla, & Padmanabhan (2005); Nesseris & Perivolaropoulos (2005);

Alam, Sahni, & Starobinsky (2007); Nesseris & Perivolaropoulos (2007), tais diferenças po-

dem estar relacionadas a inomogeneidades presentes nos dados do Gold182 e deve ser melhor

investigada.

A fim de obter intervalos de confiança a partir do teste Sk/Dv, utilizamos um teste

estatístico tipo χ2 levando em consideração a matriz de correlação entre as medidas de BAO


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

1

2

3

4

5

6

-0.5 0 0.5 1 1.5-1z

tarctan zt

00

1

2

3

4

5

6

0

τ

Figura 4.2: Painel esquerdo: Vínculos impostos por observações de SNIa. Os contornosrepresentam intervalos de confiança de 68% and 95%. As curvas verde-tracejadas corres-pondem a resultados obtidos a partir dos dados do Gold182 e as curvas azuis-sólidas cor-respondem aos dados do SNLS. Painel direito: Vínculos impostos por medidas de Sk/Dv

(Percival et al., 2007) (níveis de confiança de 68% and 95%) como explicado no texto. Alinha vermelha-sólida em ambos os painéis correspondem ao modelo ΛCDM. Note que, paraestes modelos, valores mais altos de zt correspondem a valores menores de Ωm∞. Nos doispainéis utilizamos qf = −1


e a razão Sk/Dv apresentadas por Percival et al. (2007), ou seja,

χ2Sk/Dv

= XtV−1X, (4.11)

onde

X =

Sk

Dv(0.2)− 19.04

Sk

Dv(0.35)− 10.52

(4.12)

e

V−1 =

3.79198 −2.59919

−2.59919 11.7137

, (4.13)

sendo V−1 a matriz de correlação entre as duas medidas de BAO (Percival et al., 2007).

Como estamos considerando a curvatura espacial nula, podemos escrever

Sk(zt, τ, h) =

∫ 1098

0

dz

He(zt, τ, h, z), (4.14)

e

Dv(zBAO, zt, τ) =

zBAO

(∫ zBAO

0dx

H(zt,τ,x)

)2

H(zt, τ, zBAO)

1/3

. (4.15)

O termo He na equação (4.14) leva em consideração a necessidade de contabilizarmos a

contribuição da radiação para valores de desvio para o vermelho muito altos, que não são ma-

peados pela nossa parametrização (equação (4.1)). Pode-se argumentar que ao introduzirmos

a contribuição da radiação estamos perdendo generalidade. Entretanto, qualquer modifica-

ção ao modelo padrão da cosmologia deve satisfazer a nucleossíntese primordial para z À 1.

Nós sabemos que a radiação existe e sabemos também qual deve ser o comportamento do

parâmetro de Hubble em tempos remotos, onde a dinâmica do universo é dominada por este

componente, de modo a preservar os resultados bem sucedidos da nucleossíntese primordial.

Neste fase, H2 ∝ (1 + z)4 e q = 1. Logo, a fim de levarmos em conta a contribuição da radi-

ação, adicionamos o termo Ωr0(1+ z)4 ao lado direito da equação (4.3), quando a utilizamos


para calcular Sk,

[He(zt, τ, h, z)

H0

]2=

[H(zt, τ, z)

H0

]2+

4.15× 10−5

h2(1 + z)4. (4.16)

Caso não façamos essa correção, poderíamos chegar a um valor de Sk com erro aproximado

de 18%.

Marginalizamos a função de verossimilhança sobre h utilizando o mesmo a priori aplicado

aos dados de SNIa. Na verdade, Sk é praticamente independente de h, uma vez que o mesmo

apenas aparece na contribuição da radiação. Na figura (4.2 - painel direito), apresentamos

níveis de confiança de 68% e 95% no plano zt × τ , obtidos a partir do teste Sk/Dv. É

importante mencionar que a forma destes contornos é bastante similar àqueles calculados

para diferentes valores de Ωm∞, de modo que este teste pode ser considerado uma maneira

de restringir tal quantidade. O mesmo tipo de comportamento pode ser encontrado em

modelos planos onde a equação de estado é considerada constante (Percival et al., 2007).

A partir da figura (4.2), fica clara a complementariedade entre os resultados deste teste e

aqueles encontrados a partir de dados de SNIa.

A fim de obter resultados combinados (SNIa+Sk/Dv), multiplicamos suas respectivas

funções de verossimilhança marginalizadas. Na figura (4.3) apresentamos níveis de confiança

(68% e 95%) obtidos a partir de resultados do teste Sk/Dv combinados com dados do Gold182

(verde-tracejado) e SNLS (azul-ponto tracejado). A linha horizontal vermelha nesta figura

representa o modelo ΛCDM (τ = 1/3). Vemos que este modelo está em bom acordo com

os dados do SNLS+Sk/Dv. Após a marginalização sobre o parâmetro extra (Colistete,

2006), obtemos para Sk/Dv+Gold182 (com nível de confiança de 95.4%), zt = 0.84±0.130.17 e

τ = 0.51±0.230.17, enquanto para Sk/Dv+SNLS encontramos, zt = 0.88±0.12

0.10 e τ = 0.35±0.120.10.

Considerando um modelo onde qf = −1, τ = 0.35 e zt = 0.88, a equação (4.5) nos mostra que

Ωm∞ = 0.23. É fácil mostrar que a idade do universo neste modelo específico, considerando

h = 0.72 é de 14 Ganos e que a aceleração começou a 7.2 Ganos atrás. Note que o modelo

ΛCDM (τ = 1/3) está em bom acordo com os resultados de SNLS+Sk/Dv, mas está excluído


com mais de 68% de confiança para dados do Gold182+Sk/Dv. Essa discrepância revela uma

tensão entre os dados de SNIa e a necessidade eminente de melhores dados e um procedimento

de padronização mais eficaz para que essa questão possa ser esclarecida. Mostramos na

mesma figura (curva preta-sólida) o que devemos esperar de futuros dados de SNIa+Sk/Dv.

Em nossa simulação de Monte Carlo, utilizamos como modelo fiducial ΛCDM Ωm0 = 0.23

(τ = 1/3, zt ' 0.88). Para os dados de SNIa consideramos um levantamento do tipo proposto

para o programa Joint Dark energy Mission (JDEM)1, com a hipótese de que a magnitude

intrínseca das SNIa e o valor do parâmetro de Hubble hoje são plenamente conhecidos.

Para o teste Sk/Dv nós adotamos a postura conservadora (mas em algum nível também

arbitrária) de que, no futuro, os erros em Sk/Dv serão reduzidos em 2/3 sobre os valores

atuais. Consideramos também que os coeficientes de correlação serão os mesmos. A figura

mostra níveis de confiança de 95%.

Nós analizamos também o caso mais geral, onde qf 6= −1. A expressão (4.1) nos permite

escrever o valor do parâmetro de desaceleração hoje (q0) como função de zt, τ e qf . Ape-

sar dos dados atuais não imporem vínculos sobre o valor mínimo de qf , eles restringem q0

(encontramos −1.4 . q0 . −0.3). Apresentamos na figura (4.3, painel direito), níveis de

confiança de 95% no espaço de parâmetros zt × τ × qf para o caso geral onde qf ∈ (−∞, 0),

obtidos a partir de dados do SNLS+Sk/Dv.

Com base nesses resultados podemos afirmar, sem utilizar fortes hipóteses sobre o mo-

delo cosmológico e/ou teoria métrica de gravitação, que houve uma transição entre uma

fase de aceleração e uma fase de desaceleração no passado (zt > 0). Entretanto, os dados

atuais ainda não são capazes de impor fortes vínculos sobre este parâmetro. As simulações

realizadas nos mostram que no futuro, esse tipo de abordagem proporcionará vínculos muito

mais restritivos. Apesar de todas as vantagens citadas anteriormente, o comportamento do

parâmetro de desaceleração como função do desvio para o vermelho (figuras (4.4) e (4.5)) é

restrita às formas permitidas pela parametrização utilizada (figura (4.1)).

A fim de tentar eliminar tal restrição, no próximo capítulo utilizamos um outro proce-

1www.snap.lbl.gov


dimento, onde a forma funcional da quantidade estudada é obtida unicamente a partir dos

dados.


0.40.6

0.81

1.2

0

0.4

0.8

1.2

-1.4

-1

-0.6

-0.2

zt

τ

q0

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.10.2

0.4

0.6

0.8

1.0

z t

τ

Figura 4.3: Painel esquerdo: Níveis de confiança de 68% e 95% impostos pela combinaçãodos dados apresentados na figura (4.2). Os contornos verde-tracejados (azuis-ponto traceja-dos) representam Gold182 (SNLS) + Sk/Dv. O contorno preto-sólido (nível de confiança de95%) foi obtido a partir de dados simulados como explicado no texto. Nesta figura, impomosqf = −1. Painel direito: Nível de confiança de 95% no espaço zt × τ × q0 para o caso geralonde q0 ∈ (−∞, 0), obtido a partir dos dados de SNLS+Sk/Dv.


z t=0.84-0.17+0.13

Τ=0.51-0.17+0.23

q i=0.50

q f=-1.0

LCDM com Wm=0.23

1Σ para dados do Gold182

melhor ajuste

0.0 0.5 1.0 1.5-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

qHzL

Figura 4.4: Reconstrução do parâmetro de desaceleração utilizando os melhores ajustesencontrados para zt e τ a partir de dados do Gold182.

z t=0.88-0.10+0.12

Τ=0.35-0.10+0.12

q i=0.50

q f=-1.0

LCDM com Wm=0.23

1Σ para dados do SNLS

melhor ajuste

0.0 0.5 1.0 1.5-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

qHzL

Figura 4.5: Reconstrução do parâmetro de desaceleração, construída a partir dos melhoresajustes encontrados a partir dos dados do SNLS.

Capítulo 5

Análise por Componentes Principais

Os resultados apresentados no capítulo anterior nos mostraram que a análise do parâ-

metro de desaceleração tem a vantagem de nos proporcionar resultados independentes de

modelo cosmológico ou teoria de gravitação. Entretanto, a imposição de uma forma especí-

fica para q(z) ainda introduz um viés que limita a forma final encontrada àquela permitida

pela forma funcional escolhida. Em geral, a relevância de qualquer parametrização é dire-

tamente proporcional à sua capacidade de reproduzir modelos viáveis em todos os valores

de desvio para o vermelho. Nesse aspecto, a parametrização que propusemos no capítulo

anterior representa uma das mais versáteis parametrizações disponíveis na literatura, vide o

número de modelos que podem ser encontrados para valores especiais de seus parâmetros.

Entretanto, procuramos por um método de análise de dados que permita aos mesmos apon-

tar qualquer valor para o parâmetro de desaceleração, mesmo que estes valores não estejam

previamente mapeados em nenhum modelo cosmológico. Para tanto utilizaremos a Análise

por Componentes Principais (ACP). Os resultados aqui apresentados também podem ser

encontrados em Ishida et al. (2010).

ACP é bastante utilizada para lidar com conjuntos de dados em problemas de muitas

variáveis. O método nos permite encontrar direções de maior concentração dos dados no

espaço de fase formado pelos parâmetros da teoria, a partir dos quais podemos reduzir a di-

mensionalidade do espaço de parâmetros com perda mínima de informação. Historicamente,

59

60 CAPÍTULO 5. ANÁLISE POR COMPONENTES PRINCIPAIS

ACP foi primeiramente aplicada em análise sociais. O argumento matemático por trás dos

testes de inteligência aplicados no início do século XX era baseado em ACP (Gould, 1981).

Em cosmologia, este método é bastante utilizado em problemas que exigem redução do es-

paço de parâmetros, como RCF e lentes gravitacionais, entre outros (Galaz & de Lapparent

(1998), Efstathiou & Bond (1999), Ronen, Aragon-Salamanca, & Lahav (1999), Efstathiou

(2002) Hu & Holder (2003), Dick, Knox, & Chu (2006), Tang, Abdalla, & Weller (2008),

Pogosian et al. (2009), Kitching & Amara (2009)), e para realizar análise de propriedades

da energia escura de modo independente de modelo. Mais recentemente, a aplicação de ACP

na determinação de vínculos sobre os parâmetros cosmológicos vem sendo alvo de muitas

discussões, desde que Albrecht et al. (2009) sugeriu o mesmo como alternativa à figura de

mérito proposta pelo Dark Energy Task Force (DETF)(Albrecht et al., 2006). Entretanto,

existem hipóteses importantes que devem ser observadas para que essa utilização possa ser

feita de maneira coerente, como aponta Kitching & Amara (2009). Analisaremos como tais

hipóteses devem ser tratadas em uma análise de q(z) mais adiante.

A ACP não ignora correlações e covariâncias, mas em um primeiro momento a análise se

concentra na variância (ou grau de dispersão) apresentados pelos dados.

Se dispusermos de um conjunto de dados composto por N pontos xi, cuja média é x =∑N

i=1 xi/N , definimos a variância associada à quantidade x, (var[x]), como

var[x] =N∑i=1

(xi − x)2

N − 1. (5.1)

Considere p um vetor contendo p variáveis aleatórias. Nosso primeiro passo será encontrar

uma função linear dos elementos de p tal que a variância associada à essa combinação linear

seja maximizada. Em seguida, procuramos uma outra função de variância máxima, que

não seja correlacionada à primeira função, e assim por diante. Desta forma, a k-ésima

variável será o k-ésimo componente principal (CP). Ao todo, podemos repetir este processo

até obtermos p CPs, entretanto, na maioria dos casos apenas m CPs, sendo m ¿ p, são

suficientes para englobar a maior parte da variância presente nos dados.

5.1. A MATRIZ DE FISHER... 61

O leitor deve estar atento para a definição de variância que estamos utilizando. Como

apresentado acima, a variância considerada representa a dispersão associada aos dados na

direção definida pelos CPs.

Apresentamos na figura (5.1) um exemplo em 2 dimensões. Esta figura representa 100

pontos em função de duas variáveis altamente correlacionadas x1, x2. Existe uma dispersão

razoável dos dados ao longo dessas duas variáveis (x ∈ −0.3, 0.4 e y ∈ −0.3, 0.4).Entretanto, quando reescrevemos os dados como função do primeiro e segundo componentes,

percebemos que a dispersão na direção definida pelo primeiro CP (CP 1) é maior do que

a dispersão na direção definida pelo segundo CP (CP 2) (CP1 ∈ −0.3, 0.4 e CP2 ∈−0.1, 0.1). Em resumo, se um conjunto formado por p > 2 variáveis possui uma forte

correlação entre as mesmas, os primeiros CPs representarão a maior parte da variância

presente nas variáveis originais. Por outro lado, os últimos CPs identificam direções ao

longo das quais existe pouca variância, ou seja, onde a relação entre as variáveis originais é

praticamente linear.

Neste exemplo, caso desejemos reduzir o espaço de parâmetros, poderíamos expressar

os dados apenas em função de CP1. Obviamente alguma informação seria perdida, mas

o comportamento geral dos dados seria preservado. Em um problema multidimensional

essa característica será de extrema valia para que possamos reduzir a dimensionalidade do

problema e consequentemente as dificuldades numéricas envolvidas.

5.1 A matriz de Fisher...

Na análise utilizada neste trabalho, a forma dos CPs é determinada através da Matriz

de Fisher. A matriz de Fisher, sob algumas hipóteses básicas (para uma dedução detalhada

ver Jollife (2001) - capítulos 1 a 6), é uma boa aproximação para o inverso da matriz de

correlação. Isso nos permite identificar os CPs e as variâncias associadas aos mesmos com

os autovetores e autovalores da matriz de Fisher, respectivamente.

Encontrar os CPs a partir da matriz de Fisher nos proporciona uma forma matemati-


-0.4 -0.2 0.2 0.4x1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

x2

Figura 5.1: Exemplo em duas dimensões, representação de um conjunto de dados formadopor 100 pontos, em termos das variáveis x1 e x2.

-0.4 -0.2 0.2 0.4CP1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

CP2

Figura 5.2: O mesmo conjunto de dados da figura (5.1), desta vez em função dos Compo-nentes Principais.


camente elegante de determiná-los. Entretanto, como em todo problema de diagonalização

de matrizes, precisamos esclarecer dúvidas referentes a dois casos raros quando lidamos com

dados reais, mas que teoricamente podem acontecer: casos que apresentem autovalores iguais

e casos onde existem autovalores nulos. Quando a matriz de Fisher apresenta autovalores

iguais, isso significa que os autovetores correspondentes formam um subconjunto onde os ele-

mentos são ortogonais entre si, mas fora isso arbitrários. Essa situação é melhor visualizada

geometricamente. Por exemplo, suponha o caso bidimensional, onde os dados formam um

círculo no plano de variáveis. Neste caso, não é possível definir um eixo principal de maneira

unívoca, e todos os possíveis pares de eixos ortogonais entre si representam igualmente bem

a dispersão presente nos dados.

Em situações onde a matriz de Fisher apresenta r autovalores nulos, isso indica que na

verdade a dimensionalidade da mesma é (r − q). Autovalores nulos indicam uma relação

linear exata entre duas variáveis, de modo que uma pode ser escrita em função da outra e

consequentemente o espaço de parâmetros pode ser reduzido sem que haja nenhuma perda

de informação. Na maioria dos casos, esse tipo de relação é percebida antes da aplicação de

ACP, e a dimensionalidade inicial é naturalmente corrigida.

Para ilustrar o que foi dito em um exemplo prático, considere que nosso conjunto de

dados é formado por N observações independentes, cada uma delas caracterizada por uma

função densidade de probabilidade fi(xi, σdadosi ; θ). Na notação que utilizaremos daqui em

diante, xi corresponde à i-ésima medida, cujo erro associado é dado por σdadosi e θ é o vetor

formado pelos parâmetros da teoria. Neste caso, a função de verossimilhança é dada por

L(θ) =N∏i=1

[fi(xi, σdadosi ; θ)

], (5.2)

e a matriz de Fisher é definida como

Fkl ≡⟨−∂2 lnL(θ)

∂θk∂θl

⟩. (5.3)

Lembramos que o símbolo <> na equação anterior representa o valor esperado. Para uma


variável qualquer x, cuja função densidade de probabilidade é dada por p(x), o valor esperado

é encontrado a partir da expressão

〈x〉 =∫ ∞

−∞xp(x)dx. (5.4)

No que segue, consideraremos uma distribuição de probabilidade gaussiana para cada

evento,

f(xi, σi; θ) =1

σdadosi

√2π

exp

[−(xi − x(θ))2

2σ2dadosi

]. (5.5)

Sendo assim, podemos combinar as equações (5.2), (5.3) e (5.5), tendo como produto final

os elementos da matriz de Fisher. Na próxima seção, apresentamos as principais etapas dos

cálculos necessários à obtenção de uma expressão analítica para os componentes da matriz de

Fisher, baseados em três tipos diferentes de dados (medidas de distância). Uma apresentação

bem mais detalhada de cada etapa é mostrada no apêndice B.

5.1.1 ... a partir da Distância de Luminosidade

No que segue, consideramos um universo homogêneo e isotrópico, representado pela mé-

trica de FRW (equação (2.1)). Por questão de simplicidade, estudaremos apenas o caso onde

a curvatura é nula (K = 0), o que está em bom acordo com os últimos resultados da RCF

(Komatsu et al., 2009).

Como demonstramos no capítulo 3, a observação de supernovas nos fornece valores de

módulo de distância (Jha, Riess, & Kirshner, 2007) ou magnitude aparente em uma determi-

nada banda (Guy et al., 2007) dependendo do processo de padronização utilizado, e valores

de desvio para o vermelho. Como uma consequência natural das equações (2.15) e (2.24), o

módulo de distância é dada por

µth(z) = m−Mabs = 5 log

(1 + z)

∫ z

0

exp

[−∫ u

0

[q(v) + 1]d ln (1 + v)

]du

+ µ0.

(5.6)


A fim de escrever o parâmetro de desaceleração da forma mais geral possível, nós seguimos

o procedimento utilizado por Shapiro & Turner (2006), expandindo q(z) em funções degrau,

de modo que

q(z) =M∑i=1

βici(z), (5.7)

onde os ci’s são dados por

ci(z) =

1 se (i− 1)∆z < z < i∆z

0 caso contrário,

βi são constantes e nesse caso representarão os parâmetros da nossa teoria, ∆z representa

a largura do bin em desvio para o vermelho e M representa o números de bins utilizados

na expansão. A escolha dessa expansão para expressar o parâmetro de desaceleração tem a

vantagem de que a resolução final na forma dos CPs será limitada apenas por nosso poder

de computação, uma vez que para um número infinito de bins podemos reconstruir com

detalhes qualquer função a partir da expressão (5.7).

A forma final dos elementos de matriz após marginalização sobre H0 será

Fkl =25

ln(10)2

1

C

N∑i=1

[1

DL(zi; β)

∂DL(zi; β)

∂βk

] N∑j=1

[1

σ2j

1

DL(zj; β)

∂DL(zj; β)

∂βl

]+

−N∑i=1

1

σ2i

1

DL(zi; β)2∂DL(zi; β)

∂βk

∂DL(zi; β)

∂βl

,

(5.8)

onde C =∑N

i=1 σ−2i (equação (B.15)) e β é o vetor composto pelos parâmetros βi.

5.1.2 ... a partir da Distância de Diâmetro Angular

Gostaríamos de ressaltar que, o mesmo procedimento utilizado anteriormente para de

dados de SNIa pode ser aplicado a outros observáveis. Por exemplo, de acordo com o


trabalho apresentado em Abdalla, Blake, & Rawlings (2009), observações de BAO podem

nos proporcionar medidas do parâmetro de Hubble (H(z)) e distância de diâmetro angular

(dA(z)) em diferentes valores de desvio para o vermelho.

Para o caso onde possuímos medidas da distância de diâmetro angular, a função de

verossimilhança é dada por

LDA(H0; β) =N∏i=1

1√2π

(σdAdadosi

)2 exp

−

(dAi

− 1H0

DA(zi; β))2

2(σdAdadosi

)2

, (5.9)

onde DA(z; β) a distância de diâmetro angular em unidades de H−10 e dAi

a i-ésima medida

de dA. A forma como a função de verossimilhança depende de H0 não nos permite realizar

a marginalização sobre H0 como feito no caso de dados de SN. Logo, utilizaremos o método

proposto por Albrecht et al. (2009), onde a matriz de Fisher marginalizada, FDAmarg, é dada

por

FDAmarg = F ββ − F βH0

(FH0H0

)−1FH0β. (5.10)

Nesta expressão, F ββ, F βH0 e FH0H0 são submatrizes da matriz de Fisher.

Dado que a distância de diâmetro angular se relaciona de uma maneira simples com a

distância de luminosidade (equações (2.22) e (2.24)),

dA(z) =1

(1 + z)2dL(z) =

1

(1 + z)

∫ z

0

du

H(u), (5.11)

podemos obter os componentes necessários ao cálculo da matriz de Fisher marginalizada

em função das expressões analíticas para distância de diâmetro angular e suas derivadas

apresentadas na seção anterior.


A matriz de Fisher para medidas de distância diâmetro angular será finalmente dada por

F ββkl =

1

H20

N∑i=1

1

((1 + zi)2σdAdadosi

)2∂DL(zi; β)

∂βk

∂DL(zi; β)

∂βl

, (5.12)

F βH0

k1 = FH0β1k =

1

H30

N∑i=1

DL(H0; β)


)2∂DL(zi; β)

∂βk

, (5.13)

FH0H011 =

1

H40

N∑i=1

[DL(zi; β)

(1 + zi)2σdAdadosi

]2

. (5.14)

5.1.3 ... a partir do Parâmetro de Hubble

Em se tratando de medidas para o parâmetro de Hubble, a função de verossimilhança

será

LH(H0; β) =N∏i=1

[1

σHdadosi

√2π

exp

−(hi −H(zi; β)

)2

2(σHdadosi

)2]

. (5.15)

Após a marginalização analítica, os componentes da matriz de Fisher para medidas do pa-

râmetro de Hubble são dados por

FHkl =

⟨−∂2 lnLH(β)

∂βk∂βl

⟩

=1

2M

∂M

∂βk

∂M

∂βl

(1

M+

1

2

)− 1

2

∂2M

∂βkβl

(1 +

1

M

)+

∂2K

∂βk∂βl

. (5.16)

onde

K ≡N∑i=1

hig(zi; β)

σ2dadosi

, (5.17)

M ≡N∑i=1

g(zi; β)2

σ2dadosi

, (5.18)

g(z; β) representa o parâmetro de Hubble em unidades de H0 e hi os dados observacionais.


5.2 Reconstrução do Parâmetro de Desaceleração

De acordo com o que apresentamos anteriormente, os CPs são dados pelos autovetores

da matriz de Fisher (ei) e seus autovalores estão relacionados à variância na direção defi-

nida pelo autovetor correspondente. Os autovetores (ou CPs) serão ordenados seguindo uma

ordem decrescente do autovalor associado. Sendo assim, o primeiro CP será o autovetor

correspondente ao maior autovalor (variância) e assim por diante. O parâmetro de desacele-

ração pode agora ser escrito como uma combinação linear das variáveis descorrelacionadas,

identificadas com os autovetores da matriz de Fisher. Matematicamente temos,

q(z; α) = qfid +M ′∑i=1

αiei(z), (5.19)

onde αi’s são constantes, M ′ representa o número de componentes utilizados na reconstrução

e α é o vetor composto pelos parâmetros αi. qfid representa o modelo que utilizamos como

base para nossa expansão (vide seção 5.2.1). Escolhido um determinado qfid, a ACP irá

simplesmente mapear as características presentes nos dados que desviem desse modelo.

Utilizando as equações (5.6) e (5.19), consideramos os valores de αi como aqueles que

minimizam a expressão

χ2 =N∑i=1

(µi − µth(zi; α))2

σ2reci

. (5.20)

É importante chamar a atenção para o fato de que os parâmetros αi presentes na equa-

ção anterior não são os mesmos definidos por Huterer & Starkman (2003). Esses autores

consideram o conjunto completo de autovetores, o que possibilita encontrar os coeficientes

da expansão linear através de relações de ortogonalidade. No nosso caso, esses parâmetros

são obtidos através de um processo de minimização, e consequentemente possuem um erro

5.2. RECONSTRUÇÃO DO PARÂMETRO DE DESACELERAÇÃO 69

associado. Além disso, se λi é o i-ésimo autovalor da matriz de Fisher, σi =√

λ−1i é uma

medida da dispersão dos dados ao redor do i-ésimo autovetor. Uma simples propagação de

tais erros na função reconstruída resulta em

σ2rec(z) =

M ′∑j=1

(σαj

ej(z))2

+ (αjσj)2 . (5.21)

Nos concentramos agora nos limites dos somatórios presentes nas equações (5.19) e (5.21).

É aqui que a redução de dimensionalidade do espaço de parâmetros que mencionamos an-

teriormente se materializa. Uma reconstrução feita com todos os M ′ = M CPs manteria

toda a informação presente nos dados. Entretanto, como os erros aumentam do primeiro

para o último CP, a propagação de tais erros na reconstrução final resultaria em interva-

los de confiança absurdamente grandes, e nenhuma informação útil à cosmologia poderia

ser obtida. Podemos contornar este problema ao escolhermos reconstruir q utilizando ape-

nas os primeiros M ′ < M CPs. Obviamente haverá alguma perda de informação devido

aos CPs não utilizados. Entretanto, estes correspondem àqueles menos representativos do

comportamento dos dados e os que possuem os maiores erros associados.

5.2.1 Quantos Componentes Principais?

Quantos componentes utilizar na reconstrução é uma questão bastante complicada. Exis-

tem inúmeros métodos utilizados a fim de encontrar uma resposta quantitativa a essa per-

gunta. Entretanto, todos possuem algum grau de subjetividade (ver Jollife (2001), capítulo

6). Se mantivermos muitos CPs na reconstrução final, os intervalos de confiança serão enor-

mes e os resultados perderiam o sentido estatístico. Por outro lado, se considerarmos um

valor muito pequeno para M ′ podemos não perceber características importantes presentes


nos dados. Na verdade, cabe ao pesquisador definir um limite máximo para M ′, baseado em

sua tolerância aos erros e na quantidade de informação que está disposto a sacrificar.

Neste trabalho, utilizaremos o critério mais simples possível, chamado Percentual Cumu-

lativo da Variância Total. Se considerarmos a soma de todos os autovalores como a variância

total, a porcentagem englobada em uma reconstrução com M ′ CPs será

tM ′ = 100

∑M ′i=1 λi∑Mj=1 λj

. (5.22)

Por exemplo, ao escolhermos um limite superior t∗ em algum valor entre 80% e 90%,

mantendoM’ CPs, onde M’ é o menor valor inteiro para o qual tM ′ ≥ t∗, estamos elaborando

uma regra que na prática preserva nos primeirosM’ CPs a maior parte da informação contida

nos dados. Na maioria dos casos, o melhor valor para t∗ será maior quanto maior for número

de observações e/ou o número de bins. É de consenso geral que um bom valor para t∗ muitas

vezes estará entre 80% e 90%, entretanto, esse valor pode ser menor ou maior, dependendo

das peculiaridades do conjunto de dados. Por exemplo, um valor maior do que 90% será

apropriado quando um ou dois CPs apresentarem variância muito maiores do que os demais.

Nesse caso, as estruturas menos óbvias contidas além desses CPs podem ser de interesse e

um valor acima de 90% pode ser necessário para que essas características se manifestem. Por

outro lado, quando o sistema apresenta um número de variáveis p muito grande, um corte

em t∗ = 80% pode resultar em um número impraticável de CPs a ser transferidos para uma

análise futura. Neste caso um valor menor para t∗ deve ser escolhido. Existiram ao longo da

história várias tentativas de atribuir uma distribuição a tM ′ , e consequentemente produzir um

procedimento formal para a escolha de M’ baseado em tM ′ . Mandel (1972) apresenta valores

esperados para tM ′ quando todas as variáveis são independentes, normalmente distribuídas


e com a mesma variância. Os resultados de Mandel são baseados em simulações e, apesar

de resultados exatos terem sido produzidos por alguns autores, eles funcionam apenas para

casos limitados e muito especiais. Sugiyama & Tong (1976) descrevem uma distribuição

aproximada para tM ′ que não assume independência ou variâncias iguais, e que pode ser

usada para decidir se existe alguma estrutura subjacente para a distribuição dos valores de

λ1, λ2, λ3, ..., λM . Entretanto, o teste ainda assume gaussianidade e é apenas aproximado,

logo não é claro quão útil o mesmo é na determinação de um valor para M’.

Além disso, também é importante enfatizar que a forma dos CPs está diretamente relaci-

onada à quantidade medida no conjunto de dados. A forma final dos CPs é consequência da

pergunta que fazemos frente aos dados disponíveis. Neste contexto, medidas de diferentes

quantidades resultam em CPs com comportamentos diferentes, e exigem que o limite mínimo

exigido de tM ′ seja específico para cada caso.

Este comportamento fica evidente nas figuras (5.3), (5.4) e (5.5), que representam os três

primeiros CPs para medidas de distância de luminosidade, distância de diâmetro angular

e parâmetro de Hubble, respectivamente. Os painéis das figuras (5.4) e (5.5) representam

diferentes estágios de um experimento como o SKA, conforme descrito no capítulo (3). Ob-

servando os painéis inferiores dessas figuras, percebemos que CPs obtidos a partir de medidas

do parâmetro de Hubble são significativamente diferentes de zero ao longo de todo o inter-

valo de desvio para o vermelho, o que não acontece para medidas de distância diâmetro

angular (ou distância de luminosidade). Isto é uma consequência direta da estrutura ma-

temática dessas duas quantidades: como escolhemos concentrar nossa análise no parâmetro

de desaceleração, o cálculo da matriz de Fisher no caso de distâncias diâmetro angular (ou

luminosidade) requer uma integral dupla (equação (B.31)), enquanto a expressão para o pa-


râmetro de Hubble necessita de apenas uma integral ao longo dos valores de desvio para o

vermelho (2.15). Logo, dados em baixos valores de desvio para o vermelho serão sempre mais

importantes em um conjunto de medidas de distâncias diâmetro angular ou luminosidade

do que em medidas do parâmetro de Hubble. Essa característica será bastante importante

também na maneira como a variância total é distribuída entre os CPs. Podemos afirmar que

para o tipo de análise desenvolvida neste trabalho, medidas de distâncias diâmetro angular

ou luminosidade são mais aptas a isolar a informação contida nos dados do que medidas do

parâmetro de Hubble. Em outras palavras, um conjunto de dados se mostra mais adequado,

no contexto de ACP, a isolar a informação contida nos mesmos quando um valor menor de

M ′ engloba uma maior percentagem da variância total tM ′ (vide valores de tM ′ apresentados

nas figuras (5.11) e (5.15)).


1o CP2o CP3o CP

14o CP15o CP

dados do SDSS

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

z

ei

,

Figura 5.3: Primeiro (vermelho-sólido), segundo (azul-tracejado), terceiro (verde-pontilhado), décimo quarto (cian-ponto-tracejado) e décimo quinto (amarelo-ponto-tracejado-largo) CPs como função do desvio para o vermelho obtidos a partir de dadosde SNIa do SDSS. Nesta figura mostramos a função de interpolação de primeira ordem. Osdados foram divididos em 15 bins de largura ∆z = 0.1. Os CPs são mostrados de acordocom a convenção ei(z = 0) > 0.


1o CP2o CP3o CP

BAO - dA

estágio 1

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

z

ei

1o CP2o CP3o CP

BAO - dA

estágio 2

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

z

ei

1o CP2o CP3o CP

BAO - dA

estágio 3

0.5 1.0 1.5 2.0-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

z

ei

Figura 5.4: Primeiro (vermelho-sólido), segundo (azul-tracejado) e terceiro (verde-pontilhado) CPs como função do desvio para o vermelho obtidos a partir de dados simuladosde distância de diâmetro angular. Em todos os casos, ∆z = 0.1. Painel superior: simula-ção de um experimento de estágio 1 do SKA, conforme descrito no texto, com 0.2 < z <1.0.Painel central: simulação de um experimento de estágio 2, com 0.2 < z < 1.4. Painelinferior: simulação de um experimento de estágio 3, com 0.2 < z < 2.2.


1o PC2o PC3o PC

BAO - Hubble estágio 1

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

z

ei

1o PC2o PC3o PC


0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

z

ei

1o PC2o PC3o PC


0.5 1.0 1.5 2.0-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

z

ei

Figura 5.5: Análogo à figura (5.4), mas neste caso para simulações de medidas do parâmetrode Hubble.


A fim de lidar com essa diferente distribuição da variância total, definimos dois conjuntos

de limites inferiores para tM ′ (tabelas 5.1 e 5.2), os quais utilizamos para definir o número de

componentes presentes na reconstrução final. No caso de dados reais, o limite para tM ′ foi

definido de maneira a evitar comportamento oscilatório de q(z) (vide figura (5.6)). Apesar de

não impormos nenhuma forma funcional para o parâmetro de desaceleração, consideramos o

mesmo uma função suave do desvio para o vermelho. Quando analisamos resultados baseados

em dados simulados, o limite inferior para tM ′ foi definido de acordo com a concordância

entre a reconstrução e o modelo fiducial. Os estágio mencionados nas tabelas 5.1 e 5.2

correspondem a diferentes estágios de um experimento como foi definido no capítulo (3). O

gradativo aumento no limite definido para tM ′ reflete a melhora no razão entre sinal e ruído

esperada para os diferentes estágios simulados. Conforme a qualidade e quantidade de dados

aumenta, espera-se que possamos incluir uma porcentagem maior da variância total e ainda

assim manter as incertezas na reconstrução final dentro de um limite razoável.

É importante enfatizar que este comportamento varia de acordo com a estrutura de

nosso conjunto de dados. Como apontam Kitching & Amara (2009), diferentes bases de

dados resultarão em CPs diferentes, entretanto os mesmos tendem a um comportamento

assintótico quando a incerteza nos dados diminui e o número de bins e dados aumentam

(compare os painéis inferiores das figuras (5.4) e (5.5)). Neste limite, os CPs serão os

mesmos, independentemente do conjunto de dados utilizados.


Tabela 5.1: Valores mínimos de tM ′ exigidos para determinar o número de CPs a seremutilizados na reconstrução do parâmetro de desaceleração, para dados de distância de lumi-nosidade e distância de diâmetro angular.

Dados tM ′

SDSS ≥ 90, 0%

Simulação BAO - estágio 1 ≥ 95, 0%




Tabela 5.2: Porcentagem mínima da variância total (tM ′) exigido para determinar o númerode componentes utilizados na reconstrução de q com base em medidas do parâmetro deHubble.

Dados tM ′

Simulação - estágio 1 ≥ 92.5%



5.3. APLICAÇÕES 79

5.3 Aplicações

5.3.1 Observações de Supernovas Ia

Como um exemplo prático do procedimento descrito na seção anterior, aplicamos ACP

a dados de SNIa do SDSS (Kessler et al., 2009). Conforme afirmamos no capítulo (3), a fim

de evitar ambiguidades em relação aos parâmetros extras presentes no SALT2, utilizamos

apenas valores de distancia módulo provenientes do sistema de padronização de curvas de luz

MLCS2k2. Uma investigação nos moldes daquela apresentada aqui que inclua um tratamento

coerente do parâmetros extras do SALT2 é certamente um assunto que merece atenção,

entretanto está além dos objetivos deste trabalho.

Seguindo as expressões apresentadas no apêndice (B), fomos capazes de calcular a matriz

de Fisher e seus respectivos autovalores e autovetores. Possuímos alguma liberdade de escolha

em se tratando dos valores atribuídos aos parâmetros βi nesta primeira etapa. Como ACP

procura por direções no espaço de parâmetros onde a informação está concentrada, apesar da

matriz de Fisher ser diferente para diferentes conjuntos de valores β, a forma global dos CPs

e as relações entre os autovalores são mantidas. É preciso apenas enfatizar que as expressões

apresentadas aqui são válidas quando βi 6= 0,∀i.

A figura (5.3) mostra os 3 primeiros CPs obtidos a partir de dados do SDSS. De posse

desses CPs e utilizando os limites para tM ′ definidos na tabela 5.1, chegamos a conclusão de

que a reconstrução final corresponde àquela com 2 CPs, e que engloba 94.8% da variância

total. Mostramos na figura (5.6) as reconstruções a partir de 1 CP (painel superior) , 2

CPs (painel central) e 3 CPs (painel inferior). Para fins de comparação, a figura também

mostra o comportamento de q(z) em um universo com matéria e energia escuras, onde


wEE = cte = −0.76 (linha tracejada-azul). Esse modelo corresponde ao melhor ajuste

encontrado por Kessler et al. (2009) para este conjunto de dados no contexto do MLCS2k2.


dados do SDSS

tM '=1=81.5 %

1PC

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

dados do SDSS

tM '=2=94.8 %

2PC

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

dados do SDSS

tM '=3=98.1 %

3PC

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

Figura 5.6: Reconstrução de q(z) a partir de dados de SNIa do SDSS. A linha sólida (preta)representa o melhor ajuste para a função reconstruída e as linhas pontilhadas (vermelhas)representam níveis de confiança de 68.3%. A linha tracejada (azul) corresponde ao parâmetrode desaceleração em um universo plano, que contem matéria e energia escuras, no qualΩm = 0.30 e w = cte = −0.76 (melhor ajuste encontrado por Kessler et al. (2009) paradados tratados de acordo com MLCS2k2 e a linha tracejada horizontal indica q(z) = 0,∀z.Painel superior: Reconstrução de q(z) com 1 CP, correspondente a tM ′=1 = 81.5% davariância total. Melhor ajuste para o parâmetro da expansão linear é α1CP

1 = −0.38± 0.05.Painel central: Reconstrução feita com 2 CPs, que engloba tM ′=2 = 94.8% da variânciatotal e tem como coeficientes da expansão linear α2PC

1 = −0.38±0.05 e α2PC2 = −0.18±0.13.

Painel inferior: Reconstrução com 3 CPs, cuja percentagem da variância total englobadaé tM ′=3 = 98.1%, α3PC

1 = −0.38± 0.05, α3PC2 = −0.18± 0.13 e α3PC

3 = −0.27± 0.29.


5.3.2 Quando a informação não é suficiente

Neste ponto é importante chamar a atenção para o comportamento em altos valores de

desvio para o vermelho encontrado nas figuras (5.3). Todos os três primeiros componentes

tendem a zero na extremidade do intervalo de z, enquanto os últimos CPs (curvas ponto-

tracejadas) exibem um sinal nesta região. Entretanto, estes são os que possuem maior erro

associado e consequentemente, a forma dos mesmos se resume a um ruído oscilatório cujo

comportamento é dominado pelas grandes incertezas locais. O importante a perceber aqui é

que independentemente dos valores atribuídos aos parâmetros αi, uma combinação linear dos

primeiros CPs sempre tenderá a zero para altos valores de z. Isso é uma reflexão da integral

dupla presente nas expressões para distância de luminosidade, como discutimos anterior-

mente. Entretanto, nos falta argumentar quais serão as consequências desse comportamento

dos CPs na função reconstruída.

Em alguns estudos presentes na literatura (ver figura (20) de Tang, Abdalla, & Weller

(2008) e referências para estudos de ACP focados em w), qfid na equação (5.19) recebe o

valor de que o mesmo teria em um universo descrito pelo modelo padrão. Desta forma,

os CPs mapeariam apenas desvios deste modelo presente nos dados. Em outras palavras,

dado um determinado valor de z, se a informação presente nos dados é relevante a forma da

função reconstruída é direcionada por tal informação. Entretanto, quando esta informação

não existe ou é de pouca relevância, a reconstrução é direcionada para o valor qfid escolhida

na equação (5.19).

Nós evitamos fazer qualquer hipótese sobre o comportamento do universo em uma deter-

minada faixa de desvio para o vermelho. Sendo assim, ao longo deste trabalho consideraremos

qfid = 0, e consequentemente, podemos garantir que qualquer característica da reconstrução


com módulo diferente de zero é proveniente dos dados, e não de algum modelo previamente

escolhido.

Por outro lado, esta escolha implica na necessidade de encontrarmos um método de

avaliar até que valor de z a reconstrução pode ser considerada confiável e a partir de qual

valor de z o comportamento é puramente direcionado pela nossa escolha de qfid. Sendo

assim, nossa função reconstruída será considerada verossímil apenas até o valor de z onde o

comportamento assintótico começa a dominar:

• o valor de corte zcut será definido como o valor de desvio para o vermelho onde a

derivada da função reconstruída é nula, ∂qrec∂z

|zcut= 0, após znull, onde q(znull) = 0,

dentro de um intervalo de confiança de 68.3%.

Para valores de z > zcut, a reconstrução tende a zero. Entretanto, consideramos que

esse comportamento é uma consequência das escolhas relatadas anteriormente, e não de

uma característica presente nos dados. Com base nesse critério, a figura (5.7) mostra a

reconstrução final do parâmetro de desaceleração baseada em dados do SDSS, construída a

partir da combinação linear dos 2 primeiros CPs apenas até o limite zcut = 0.63.


dados do SDSS

tM '=2=94.8 %

zcut =0.63

2PC

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

Figura 5.7: Reconstrução final do parâmetro de desaceleração para dados do SDSS. Valoresdos parâmetros α1 e α2 são os mesmos mostrados na figura (5.6). Valor limite de desvio parao vermelho zcut = 0.63.


5.3.3 Medidas de dA(z) e H(z) a partir de BAO

Aplicamos o mesmo procedimento a dados simulados de medidas de distância de diâ-

metro angular e medidas do parâmetro de Hubble, com base nas incertezas previstas por

Abdalla, Blake, & Rawlings (2009) para diferentes estágios de um experimento como o SKA

(vide capítulo (3)).

Para cada estágio, realizamos 1000 simulações, tendo como modelo fiducial ΛCDM com

Ωm = 0.23, Ωk = 0 bins em desvio para o vermelho de tamanho ∆z = 0.2, onde consideramos

as medidas no valor médio de cada bin. Os três primeiros CPs construídos a partir de medidas

do parâmetro de Hubble são mostrados na figura (5.5). A figura (5.8) mostra reconstruções

com 1, 2 e 3 CPs, de cima para baixo respectivamente. De acordo com o critério definido na

tabela 5.1, a reconstrução mais adequada é aquela com 1 CP que corresponde a 97.4% da

variância total. As reconstruções feitas a partir de simulações de um experimento de estágio

2, feitas com 1 a 4 CPs a partir de medidas de distância de diâmetro angular são encontradas

na figura (5.9). Os critérios descritos indicam que a reconstrução final deve ser representada

por aquela feita com 2 CPs, que corresponde a ≈ 99.7% da variância total. No caso de um

experimento de estágio 3, as reconstruções com 1 a 6 CPs são mostradas na figura (5.10). A

reconstrução final corresponde àquela construída a partir de 3 CPs, englobando ≈ 99.9% da

variância total.

As reconstruções finais para experimentos de estágios 1 a 3 feitas a partir de medidas de

distância de diâmetro angular são colocadas lado a lado na figura (5.11).


BAO - está gio 1

d A

tM '=1=97.4 %

zcut =0.87

1 CP

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 1

d A

tM '=2=99.7 %

zcut =0.89

2 CP

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - stage 1

d A

tM '=2=99.9 %

zcut =0.90

3 CP

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

Figura 5.8: Reconstrução de q(z) a partir de medidas de distância de diâmetro angular paraum experimento de estágio 1. A linha preta corresponde ao melhor ajuste para cada casoe as linhas vermelhas delimitam intervalos de confiança de 68.3%. A linha azul-tracejadacorresponde ao modelo fiducial (ΛCDM com Ωm = 0.23) e a linha horizontal tracejadacorresponde a q(z) = 0,∀z. Painel superior: reconstrução com 1CP, para o qual α1CP

1 =−0.63± 0.03. Painel central: reconstrução com 2 CPs, com α2CP

1 = −0.62± 0.03, α2CP2 =

0.10± 0.18. Painel inferior: reconstrução com 3 CPs, sendo α3CP1 = −0.62± 0.03, α3CP

2 =0.10± 0.18 e α3CP

3 = −0.10± 0.57.


BAO - está gio 2

d A

tM '=1=97.7 %

zcut =1.30

1 CP

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 2

d A

tM '=2=99.7 %

zcut =1.27

2 CP

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 2

d A

tM '=3=99.9 %

zcut =0.82

3 CP

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 2

d A

tM '=4=99.9 %

zcut =0.84

4 CP

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

Figura 5.9: Reconstrução de q(z) para medidas de dA para um experimento de estágio2. O código de cores é o mesmo utilizado na figura (5.8. Painel superior esquerdo:reconstrução com 1 CP, sendo α1CP

1 = −0.63±0.01. Painel superior direito: reconstruçãocom 2 CP, para os quais α2CP

1 = −0.63 ± 0.01 e α2CP2 = −0.04 ± 0.10. Painel inferior

esquerdo: reconstrução com 3 CP, sendo α1CP1 = −0.63 ± 0.01, α3CP

2 = −0.04 ± 0.10 eα3CP3 = 0.16±0.25. Painel inferior direito: reconstrução com 4 CPs: α4CP

1 = −0.63±0.01,α4CP2 = −0.04± 0.10, α4CP

3 = 0.16± 0.26 e α4CP4 = −0.02± 0.46.


BAO - está gio 3

d A

tM '=1=98.7 %

zcut =2.1

1 CP

0.5 1.0 1.5 2.0-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 3

d A

tM '=2=99.8 %

zcut =1.05

2 CP

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 3

d A

3 CP

zcut=1.17

tM'=3=99.9%

0.4 0.6 0.8 1.0-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 3

d A

tM '=4=99.9 %

zcut =1.46

4 CP

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 3

d A

tM '=5=99.9 %

zcut =1.41

5 CP

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 3

d A

tM '=6=99.9 %

zcut =1.3

6 CP

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

Figura 5.10: Reconstrução de q(z) utilizando medidas de dA para um experimento de estágio3. O código de cores é o mesmo utilizado nas figuras (5.8) e (5.9). Painel superioresquerdo: reconstrução com 1CP, tendo α1CP

1 = −0.59± 0.01. Painel superior direito:reconstrução com 2 CPs, sendo α2CP

1 = −0.59±0.01 e α2CP2 = −0.28±0.05. Painel central

esquerdo: reconstrução com 3 CPs, com α3CP1 = −0.59 ± 0.01, α3CP

2 = −0.31 ± 0.05e α3CP

3 = 0.19 ± 0.15. Painel central direito: reconstrução com 4 CPs com valoresα4CP1 = −0.59 ± 0.01, α4CP

2 = −0.32 ± 0.05, α4CP3 = 0.28 ± 0.17 e α4CP

4 = −0.28 ± 0.26.Painel inferior esquerdo: reconstrução com 5 CPs, sendo α5CP

1 = −0.58 ± 0.01, α5CP2 =

−0.32 ± 0.05, α5CP3 = 0.28 ± 0.17, α5CP

4 = −0.33 ± 0.27 e α5CP5 = 0.01 ± 0.23. Painel

inferior direito: reconstrução com 6 CPs, sendo α6CP1 = −0.58±0.01, α6CP

2 = −0.39±0.05,α6CP3 = 0.29± 0.18, α6CP

4 = −0.03± 0.28, α6CP5 = 0.10± 0.23 e α6CP

6 = −0.06± 0.29.


BAO - stage 1

angular diameter distance

1PC

zcut=0.87

t1=97.4 %

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - stage 2


t3=99.3 %

zcut=0.88

2PC

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - stage 3


3PC

zcut=1.08

t3=99.9 %

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

Figura 5.11: Reconstruções finais feitas a partir dados simulados de medidas de distância dediâmetro angular. Painel esquerdo: dados de um experimento de estágio 3. Reconstruçãofeita com 1 CP, que corresponde a ≈ 97.4% da variância total e tem zcut = 0.87. Coefici-ente da expansão linear tem valor α1 = −0.63 ± 0.03. Painel central: simulação de umexperimento de estágio 2. Reconstrução final feita a partir de 2 CPs, que engloba ≈ 99.3%da variância total e tem zcut = 0.88. Expansão linear com coeficientes α1 = −0.63 ± 0.01 eα2 = −0.04±0.10. Painel inferior: simulação de um experimento de estágio 3. Reconstru-ção final com 3 CPs, correspondente a ≈ 99.9% da variância total e com zcut = 1.08. Coefici-entes da expansão linear dados por α1 = −0.59±0.01, α2 = −0.31±0.05 e α3 = 0.19±0.15.


A figura (5.5) mostra os três primeiros CPs obtidos a partir de medidas do parâmetro de

Hubble para experimentos de estágio 1 a 3, de cima para baixo, respectivamente. Na figura

(5.12), mostramos a reconstrução para um experimento de estágio 1, baseada em medidas

do parâmetro de Hubble. Para este caso, a reconstrução final de acordo com os critérios

definidos anteriormente é feita a partir de 2 CPs, que engloba ≈ 95.2% da variância total.

As reconstruções para um experimento de estágio 2 são mostradas na figura (5.13), feitas

a partir de 1 a 4 CPs. Neste caso, a reconstrução final é aquela feita com 3 CPs, que

engloba ≈ 95.6% da variância total. O caso correspondente a um experimento de estágio 3

é mostrado na figura (5.14) para reconstruções com 1 a 6 CPs. Neste caso, a reconstrução

final será aquela com 2 CPs, correspondendo a ≈ 97.5% da variância total. As reconstruções

finais para os 3 estágios são mostradas lado a lado na figura (5.15).


BAO - está gio 2

H -

tM '=1=78.2 %

zcut =0.43

1 CP

0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40 0.42-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 1

H

tM '=2=95.2 %

zcut =0.78

2 CP

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 1

H

tM '=3=98.8 %

zcut =0.63

3 CP

0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

Figura 5.12: Reconstrução do parâmetro de desaceleração para um experimento de estagio 1,a partir de medidas do parâmetro de Hubble. O código de cores é o mesmo utilizado na figura(5.8). Painel superior: reconstrução com 1 CP, parâmetro da expansão linear dado porα1CP1 = −0.75±0.04. Painel central: reconstrução com 2 CPs, sendo α2CP

1 = −0.60±0.06 eα2CP2 = −0.39±0.13. Painel inferior: reconstrução com 3 CPs, sendo α3CP

1 = −0.55±0.07,α3CP2 = −0.30± 0.15 e α3CP

3 = −0.28± 0.24.


BAO - está gio 2

H

tM '=1=68.1 %

zcut =0.7

1 CP

0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 2

H

tM '=2=88.1 %

zcut =0.98

2 CP

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 2

H

tM '=3=95.6 %

zcut =0.97

3 CP

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 2

H

tM '=4=98.6 %

zcut =0.43

4 CP

0.4 0.6 0.8 1.0-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

Figura 5.13: Reconstrução de q(z) para um experimento de estágio 2, utilizando medidasdo parâmetro de Hubble. O código de cores é o mesmo utilizado na figura (5.8). Painelsuperior esquerdo: reconstrução com 1 CP, sendo α1CP

1 = −0.73±0.02. Painel superiordireito: reconstrução com 2 CPs, onde α2CP

1 = −0.26 ± 0.05 e α2CP2 = −0.77 ± 0.07.

Painel inferior esquerdo: reconstrução com 3 CPs, onde α3CP1 = −0.26 ± 0.05, α3CP

2 =−0.73 ± 0.10 e α3CP

3 = −0.08 ± 0.15. Painel inferior direito: reconstrução com 4 CPs,sendo α4CP

1 = −0.20±0.05, α4CP2 = −0.75±0.11, α4CP

3 = 0.06±0.16 e α4CP4 = −0.30±0.14.


BAO - está gio 3

H

tM '=1=93.3 %

zcut =1.85

1 CP

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 3

H

tM '=2=97.4 %

zcut =1.26

2 CP

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 3

H

tM '=3=98.7 %

zcut =1.39

3 CP

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 3

H

tM '=4=99.3 %

zcut =1.5

4 CP

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 3

H

tM '=1=99.6 %

zcut =1.61

5 CP

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - está gio 3

H

tM '=6=99.8 %

zcut =0.96

6 CP

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

Figura 5.14: Reconstrução de q(z) para um experimento de estágio 3, utilizando medidasdo parâmetro de Hubble. O código de cores é o mesmo utilizado na figura (5.8). Painelsuperior esquerdo: reconstrução com 1 CP, onde α1CP

1 = −0.41± 0.01. Painel superiordireito: reconstrução com 2 CPs, sendo α2CP

1 = −0.41±0.01 e α2CP2 = −0.62±0.04. Painel

central esquerdo: reconstrução com 3 CPs e α3CP1 = −0.41 ± 0.01, α3CP

2 = −0.62 ± 0.04e α3CP

3 = 0.24 ± 0.07. Painel central direito: reconstrução com 4 CPs, onde α4CP1 =

−0.42±0.01, α4CP2 = −0.62±0.04, α4CP

3 = 0.25±0.07 e α4CP4 = −0.20±0.08. Painel inferior

esquerdo: reconstrução com 5CPs, onde α5CP1 = −0.41 ± 0.01, α5CP

2 = −0.64 ± 0.04,α5CP3 = 0.23 ± 0.07, α5CP

4 = −0.22 ± 0.08 e α5CP5 = 0.18 ± 0.12. Painel inferior direito:

reconstrução com 6 CPs, sendo α6CP1 = −0.40±0.01, α6CP

2 = −0.67±0.04, α6CP3 = 0.17±0.07,

α6CP4 = −0.64± 0.15, α6CP

5 = 0.42± 0.14 e α6CP6 = −0.41± 0.12.


BAO - stage 1

Hubble parameter

2PC

t2=95.2 %

zcut =0.78

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - stage 2

Hubble parameter

t3=95.6 %

zcut =0.97

3PC

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

BAO - stage 3

Hubble parameter

2PC

t2=97.5 %

zcut =1.27

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

z

q

Figura 5.15: Reconstruções finais para o parâmetro de desaceleração, para medidas de H(z).O código de cores é o mesmo utilizado na figura (5.8). Painel esquerdo: reconstruçãofinal para um experimento de estágio 1, feita com 2 CP, o que corresponde a ≈ 95.2% davariância total e tem desvio para o vermelho máximo zcut = 0.78. Melhores ajustes para oscoeficientes da expansão linear dados por α1 = −0.60 ± 0.06 e α2 = −0.39 ± 0.13. Painelcentral: reconstrução final para um experimento de estágio 2, feita com 3 CP, que engloba≈ 95.6% da variância total e tem zcut = 0.97, α1 = −0.26 ± 0.05, α2 = −0.73 ± 0.10 eα3 = −0.08± 0.15. Painel direito: reconstrução final para um experimento de estágio 3, apartir de 2 CP englobando ≈ 97.5% da variância total e tendo zcut = 1.27, α1 = −0.41±0.01e α2 = −0.62± 0.04.

Capítulo 6

Discussões e Conclusões

Neste trabalho, nosso principal objetivo foi encontrar informações sobre a história da

evolução dinâmica do universo fazendo uso do menor número possível de hipóteses. Para

tanto, focamos nossa análise no parâmetro de desaceleração, o que nos permitiu utilizar

medidas de distâncias sem fazer hipóteses restritivas a cerca do modelo cosmológico ou

teoria métrica de gravitação.

Primeiramente, propusemos uma parametrização formada por 4 parâmetros (qi, qf , zt, τ)

com significados físicos bastante claros. O ponto importante a ser destacado é a versatilidade

presente nesta parametrização, que pode ser interpretada como sua habilidade em reprodu-

zir modelos presentes na literatura para valores específicos de seus parâmetros. Além, é

claro, das vantagens embutidas na escolha da análise do parâmetro de desaceleração citadas

anteriormente.

Considerando que houve uma fase de desaceleração dominada pela matéria e que atual-

mente a expansão é guiada por algo que se parece muito a CC, fixamos qi = 0.5. Aplicamos

então nossa parametrização a dados de SNIa, BAO e medidas da distância à superfície de

último espalhamento. Nossos resultados indicam que, utilizando apenas dados de SNIa, o va-

lor do desvio para o vermelho na transição entre desaceleração/aceleração pode ser bastante

grande (zt > 10). Mostramos também que a combinação Sk/Dv + SNIa formam um par de

observáveis ideal a ser usado no espaço de fase zt × τ , uma vez que os mesmos produzem

contornos de confiança quase ortogonais entre si nesse espaço.

95

96 CAPÍTULO 6. DISCUSSÕES E CONCLUSÕES

Ao aplicarmos esta formulação a diferentes conjuntos de dados, confirmamos a tensão

existente entre os dados do Gold182 e SNLS de uma maneira bem geral. Apresentamos

também uma simulação considerando avanços futuros nas medidas de BAO e SNIa que

mostram o potencial restritivo dos dados frente à nossa parametrização.

Em uma tentativa de determinar o valor atual do parâmetro de desaceleração, apresen-

tamos também níveis de confiança no espaço de parâmetros zt × τ × qf para dados atuais

de Sk/Dv + SNIa. Desta análise, podemos apenas dizer que o parâmetro de desaceleração

atualmente possui um valor negativo, mas os intervalos de confiança ainda são muito largos

para que algo mais possa ser dito. Uma análise mais detalhada do comportamento desta

parametrização para qf 6= −1 ainda se faz necessária. Neste momento, nossa parametrização

não é capaz de reproduzir modelos que atualmente apresentem desaceleração mas que no

futuro voltarão a acelerar (Frieman et al., 1995; Carvalho et al., 2006). Seria interessante

investigar até que ponto nossa parametrização é capaz de reproduzir esse tipo de modelo

para z > 0. O caso mais geral, onde qf 6= −1 também pode ser alvo de investigações futu-

ras. Uma versão mais detalhada e atualizada desse tipo de análise está em desenvolvimento

atualmente por Giostri et al. (2010).

Em um segundo momento, procuramos uma maneira de analisar q(z) sem a necessidade

de determinar previamente uma dependência com o valor do desvio para o vermelho. Para

tanto, utilizamos ACP. Este procedimento é bastante utilizado em cosmologia a fim de obter

contornos de confiança em um determinado espaço de parâmetros. Na análise apresentada

nesta tese, chamamos a atenção para um outro aspecto da ACP: a capacidade de proporcionar

um espaço de parâmetros de dimensão pequena onde os erros são descorrelacionados e no

qual podemos reescrever quantidades cosmológicas.

Escolhemos novamente analisar o parâmetro de desaceleração, e neste caso, descobrimos

que os cálculos necessários à obtenção da matriz de Fisher podem ser resolvidos analitica-

mente. Além disso, como não estamos fazendo nenhum tipo de hipótese sobre o conteúdo

material do universo, evitamos problemas relacionados a parâmetros cosmológicos não rela-

cionados a q, como discutido em Kitching & Amara (2009).

97

Foi necessário também escolher uma base na qual deveríamos expandir q(z). A única

restrição imposta a um potencial conjunto de funções é que o mesmo forme um conjunto

completo ortogonal (Kitching & Amara, 2009). Novamente, nossa decisão foi feita de forma

a preservar a generalidade. Decidimos expandir q(z) em uma soma de funções degrau, de

forma que a resolução de nossos resultados é determinada unicamente pela nossa capaci-

dade de computação, uma vez que qualquer função pode ser exatamente determinada para

um número infinito de bins. É importante enfatizar que essa escolha também tem suas

consequências. Diferentes funções de base iniciais levam a diferentes formas para os CPs,

entretanto, para um número suficientemente grande de bins os CPs tendem ao mesmo com-

portamento.

O fato dos CPs e variâncias associadas serem diferentes para diferentes conjuntos de base

iniciais é bastante importante no uso da matriz de Fisher para a determinação de curvas de

confiança, mas não é tão grave para o caso apresentado aqui. No nosso caso, os CPs são uma

base para a expansão linear e a forma final de q(z) será determinada pelos parâmetros αi.

O mesmo tipo de comportamento é observado no caso onde a base inicial é a mesma, mas

utilizamos observáveis diferentes. Podemos visualizar tal efeito nos resultados apresentados

no capítulo (5). Sabemos que neste caso existem diferenças entre o comportamento dos com-

ponentes ao longo do intervalo de desvio para o vermelho para diferentes observáveis (figura

(5.4) e (5.5)), o que também se reflete na distribuição da percentagem da variância total

entre os CPs (tabelas (5.1) e (5.2)). Apesar disso, diferentes CPs resultarão em diferentes

valores αi, mas a forma de q(z) será sempre guiada pelo comportamento dos dados (compare

os painéis direitos das figuras (5.11) e (5.15)).

Realizamos a reconstrução de q(z) a partir de dados do SDSS. Como era esperado, este

procedimento demanda incertezas muito baixas e os dados atuais não são capazes de propor-

cionar resultados conclusivos. Entretanto, simulações de BAO para um experimento como o

SKA mostram que, no futuro, resultados bastante interessantes podem ser obtidos a partir

deste procedimento.

O ponto crucial aqui é a redução da dimensionalidade do espaço de parâmetros. Por

98 CAPÍTULO 6. DISCUSSÕES E CONCLUSÕES

exemplo, para um experimento de estágio 3, tínhamos inicialmente 10 valores de βi corres-

pondentes a bins de ∆z = 0.2 em um intervalo de desvio para o vermelho de 0.2 < z < 2.2.

Vemos na figura (5.11), painel direito, a reconstrução feita com 3 CPs em excelente acordo

com o modelo fiducial, para 0.2 < z < 1.1.

Nossa escolha da quantidade de CPs a serem usados nas reconstruções e o valor de zcut

escolhido em cada caso reduziram o intervalo de desvio para o vermelho na reconstrução

a aproximadamente metade do intervalo inicial coberto pelos dados. Por outro lado, a

reconstrução obtida nesse intervalo de desvio para o vermelho é muito melhor do que aquela

que seria obtida a partir da soma de funções degrau em bins de ∆z = 0.2, como tínhamos

inicialmente.

Vale lembrar que todos os resultados apresentados nesta tese, em se tratando de ACP,

foram obtidos analítica e numericamente. Até o momento, nós não encontramos na literatura

referências a esse tipo de derivação analítica aplicada à cosmologia. Acreditamos que essa é

uma maneira eficaz de obter informações sobre a evolução dinâmica do universo de maneira

independente de modelo e praticamente livre de erros numéricos.

Apêndice A

Desvio para o Vermelho

Existem várias maneiras de medir distâncias em escalas cosmológicas. Em todos os

métodos nossa única fonte de informação é a radiação emitida pela fonte da qual deseja-se

saber a distância.

Cada fonte (uma estrela, por exemplo) emite radiação em frequências características,

determinadas pelos elementos químicos responsáveis pela radiação emitida. Quando existe

movimento relativo entre a fonte e o observador, dois picos de onda que saíram da fonte

em um intervalo ∆t chegarão ao observador em um intervalo de tempo menor ou maior,

dependendo se a fonte se aproxima ou se afasta de quem a observa. Matematicamente, esta

diferença no período entre os picos pode ser representada em termos do comprimento de onda

emitido, λe, e aquele medido pelo observador, λ0. De acordo com a Relatividade Restrita,

esta razão é dada por:

λ0

λe

=1 + vr√1− v2

=1 + v senθ cosφ√

1− v2, (A.1)

onde vr é a velocidade na direção radial e a segunda igualdade é válida para um observador na

origem de um sistema de coordenadas esférico. Esse efeito é conhecido como Efeito Doppler

e o desvio espectral, z, da radiação emitida, definido como:

z =λ0 − λe

λe

ou 1 + z =λ0

λe

. (A.2)

99

100 APÊNDICE A. DESVIO PARA O VERMELHO

Em um universo em expansão, quando o movimento entre a fonte e o observador se deve

à expansão cósmica, o efeito é designado efeito Doppler Cosmológico e a relação entre o

desvio para o vermelho e o fator de escala pode ser encontrada a partir da equação (2.1).

Considere um observador na origem do sistema de coordenadas e uma onda eletromag-

nética viajando na direção radial. Lembrando que a luz segue geodésicas nulas, temos:

0 = dt2 − a2(t)dr2√1− kr2

. (A.3)

Um sinal luminoso deixa a fonte em (re,θe,φe) no instante te e chega ao observador na

origem em t0. Sendo assim, ∫ t0

te

dt

a(t)=

∫ 0

re

dr√1− kr2

. (A.4)

Note que o lado direito da expressão anterior é independente do tempo. Da mesma forma,

se um outro sinal sai da fonte em te+ δte, será observado na origem em t0+ δt0. Consequen-

temente,

∫ t0+δt0

te+δte

dt

a(t)=

∫ t0

te

dt

a(t), (A.5)

∫ t0

te+δte

dt

a(t)+

∫ t0+δt0

t0

dt

a(t)=

∫ te+δte

te

dt

a(t)+

∫ t0

te+δte

dt

a(t), (A.6)

∫ t0+δt0

t0

dt

a(t)=

∫ te+δte

te

dt

a(t). (A.7)

Como t0 − te = δt ¿ 1, podemos escrever:

δt0a(t0)

=δtea(te)

⇒ νeν0

=a0ae. (A.8)

De acordo com a definição apresentada na equação (A.2), podemos concluir:

1 + z =λ0

λe

=νeν0

=a0ae. (A.9)

Apêndice B

Cálculo da Matriz de Fisher...

Os resultados apresentados no corpo desta tese foram obtidos com base nos cálculos

analíticos apresentados a seguir.

Para calcular a matrix de Fisher, primeiramente consideramos uma função densidade de

probabilidade (PDF) Gaussiana para cada evento,

f(x; σdados; x(θ)) =1

σdados

√2π

exp

[−(x− x(θ))2

2σ2dados

], (B.1)

onde θ é o vetor cujos componentes são os parâmetros do modelo em questão e σdados repre-

senta o erro associado a cada observação. Seja N o número de observações independentes

presentes em nosso conjunto de dados, neste caso, a função de verossimilhança será dada

por:

L(θ) =N∏i=1

[f(xi, σdadosi ; θ)

], (B.2)

e a matriz de Fisher é definida como

Fkl =

⟨−∂2 lnL(θ)

∂θk∂θl

⟩, (B.3)

onde <> representa o valor esperado.

Considerando uma variável x, cuja função densidade de probabilidade é dada por Prob(x),

101

102 APÊNDICE B. CÁLCULO DA MATRIZ DE FISHER...

o valor esperado será

〈x〉 =∫

Ω

xProb(x)dx, (B.4)

onde Ω representa todo o domínio da variável x. É importante lembrar que, por definição,

∫

Ω

Prob(x)dx = 1. (B.5)

B.1 ... a partir da Distância de Luminosidade

Mostraremos abaixo alguns passos já apresentados no capítulo 5 a fim de facilitar o

acompanhamento dos cálculos posteriores.

Como foi discutido no capítulo 3, as duas quantidades resultantes da observação de su-

pernovas quando utilizamos MLCS2k2, são o módulo de distância, µ, e o desvio para o

vermelho (z). Ambos podem ser relacionados à cosmologia através da distância de lumino-

sidade (equação (2.24)),

módulo de distância: µ(z) = m−Mabs = 5 log10 [DL(z)] + µ0, (B.6)

onde: µ0 = 42.38 + 5 log(h),

distância de luminosidade: dL(z) =DL

H0

= (1 + z)

∫ z

0

du

H(u), (B.7)

parâmetro de desaceleração: q(z) = (1 + z)H ′(z)H(z)

− 1, (B.8)

parâmetro de Hubble: H(z) = H0 exp

[∫ z

0

(q(v) + 1)d ln (1 + v)

], (B.9)

ondeMabs representa a magnitude absoluta de uma SNIa, a linha na equação (B.8) representa

B.1. ... A PARTIR DA DISTÂNCIA DE LUMINOSIDADE 103

a derivada em relação ao desvio para o vermelho, H0 = 100 h km/s/Mpc é o valor atual do

parâmetro de Hubble e DL(z) é a distância de luminosidade em unidades de H0.

Agrupando as equações (B.6) à (B.9), temos a expressão para a módulo de distância em

função do parâmetro de desaceleração,

µ(z) = 5 log

[(1 + z)

∫ z

0

exp

[−∫ u

0

[q(v) + 1]d ln (1 + v)

]du

]. (B.10)

De acordo com o método proposto por Shapiro & Turner (2006), dividimos o intervalo

de desvio para o vermelho em M bins de tamanho ∆z, e consideramos o parâmetro de

desaceleração como uma expansão linear de funções degrau. Matematicamente,

q(z, β) =M∑i=1

βici(z), (B.11)

onde βi são constantes e

ci(z) =

1 se (i− 1)∆z < z < i∆z

0 caso contrário.

Agora, podemos utilizar a equação (B.11) na equação (B.10) e obter uma expressão para

a distância de luminosidade, e consequentemente para módulo de distância, a partir do valor

atribuído ao parâmetro de desaceleração em cada bin.

Na análise que segue, βi será o conjunto de parâmetros do nosso modelo. Nosso objetivo

é encontrar o valor de cada β em seu respectivo bin de modo que a concordância com os

dados seja a melhor possível. Logo, precisamos encontrar uma expressão para função de

verossimilhança, e consequentemente da matriz de Fisher, tendo xi(θ) → µ(zi; β) e xi → mi,

LSN(θ) =N∏i=1

[1

σSNdadosi

√2π

exp

[−(mi − µ(zi; β))

2

2(σSNdadosi

)2]]

, (B.12)

onde β é o vetor cujos componentes são os parâmetros βi e σSNdadosi

são as incertezas de cada

observação, obtidas a partir dos dados. Nosso primeiro passo será marginalizar a equação


(B.12) para todos os valores possíveis de µ0 (Goliath et al., 2001). Para tanto, considere

yi = 5 log(DL(zi; β)

), com isso podemos expandir a função de verossimilhança de forma que

LSN(M, β) =N∏j=1

[1

σSNdadosj

√2π

]N∏i=1

exp

[−(mi − yi − µ0)

2

2(σSNdadosi

)2]

=N∏j=1

[1

σSNdadosj

√2π

]exp

[−

N∑i=1

(mi − yi)2 − 2µ0 (mi − yi) + µ2

0

2(σSNdadosi

)2]

=N∏j=1

[1

σSNdadosj

√2π

]exp

[−1

2

N∑i=1

(mi − yi)2

(σSNdadosi

)2]×

× exp

[µ0

N∑i=1

(mi − yi)(σSNdadosi

)2 − µ20

2

N∑i=1

1(σSNdadosi

)2].

Para facilitar a notação, considere

A ≡N∑i=1

(mi − yi)2

(σSNdadosi

)2 , (B.13)

B ≡N∑i=1


)2 , (B.14)

C ≡N∏i=1

1(σSNdadosi

)2 , (B.15)

Dessa forma, a função de verossimilhança se torna

LSN(β, µ0) =C√2π

exp

(−A

2

)exp

(Bµ0 − Cµ2

0

2

). (B.16)

Por definição, C ∈ <+, o que nos permite realizar facilmente a marginalização sobre o

parâmetro µ0, ∫ +∞

−∞exp

[Bµ0 − Cµ2

0

2

]dµ0 =

√π

2Cexp

(B2

2C

). (B.17)

Logo, a função de verossimilhança marginalizada será dada por

LSN(β) =

∫ ∞

−∞L(β, µ0)dµ0 =

√C

2exp

(B2

2C

)exp

(−A

2

). (B.18)


Utilizamos então a equação (B.18) na expressão (B.3) para obter expressões analíticas

para os componentes da matriz de Fisher. Para tanto, é necessário derivar o logaritmo da

equação (B.18) em relação aos parâmetros βi,

ln[LSN(β)

]= ln

(√C

2

)+

B2

2C− A

2(B.19)

∂ ln[LSN(β)

]

∂βl

=B

C

∂B

∂βl

− 1

2

∂A

∂βl

(B.20)

∂2 ln[LSN(β)

]

∂βk∂βl

=1

C

∂B

∂βk

∂B

∂βl

+B

C

∂2B

∂βk∂βl

− 1

2

∂2A

∂βk∂βl

. (B.21)

A partir das definições (B.13 e B.14), temos,

∂A

∂βl

= −N∑i=1

2(mi − yi)(σSNdadosi

)2∂yi∂βl

(B.22)

∂2A

∂βk∂βl

=N∑i=1

2(

σSNdadosi

)2∂yi∂βk

∂yi∂βl

− 2(mi − yi)(σSNdadosi

)2∂2yi

∂βk∂βl

(B.23)

∂B

∂βl

= −N∑i=1

1(σSNdadosi

)2∂yi∂βl

(B.24)

∂2B

∂βk∂βl

= −N∑i=1

1(σSNdadosi

)2∂2yi

∂βk∂βl

, (B.25)

consequentemente,

∂2LSN(β)

∂βk∂βl

=1

C

N∑i=1

(1(

σSNdadosi

)2∂yi∂βk

)N∑j=1

1(

σSNdadosj

)2

∂yj∂βk

+

− 1

C

N∑i=1

[(mi − yi)(σSNdadosi

)2]

N∑j=1

1(σSNdadosj

)2

∂2yj∂βk∂βl

+

−N∑i=1

1(σSNdadosi

)2∂yi∂βk

∂yi∂βl

+N∑i=1


)2∂2yi

∂βk∂βl

. (B.26)

A aplicação do valor esperado na expressão acima nos permite escrever os elementos da


matriz de Fisher como

F SNkl =

⟨−∂2 ln

[L(β)

]

∂βk∂βl

⟩

=1

C

N∑i=1

(1(

σSNdadosi

)2∂yi∂βk

)N∑j=1

1(

σSNdadosj

)2

∂yj∂βk

+

−N∑i=1

1(σSNdadosi

)2∂yi∂βk

∂yi∂βl

. (B.27)

Sendo assim, concluímos que para obtermos uma expressão analítica para a matriz de

Fisher, é preciso saber calcular analiticamente a derivada da módulo de distância em relação

aos parâmetros βi.

Lembrando que∂ loga x

∂x=

1

x ln a, (B.28)

temos∂yi∂βl

=5

DL(zi; β) ln(10)

∂DL(zi; β)

∂βl

. (B.29)

Utilizamos então a equação (B.29) na equação (B.27), obtemos

F SNkl =

25

ln(10)2

N∑i=1

[1

DL(zi; β)

∂DL(zi; β)

∂βk

] N∑j=1

[1

σ2dadosj

1

DL(zj; β)

∂DL(zj; β)

∂βl

]+

−N∑

k=1

1

σ2dadosk

1

D2L(zk; β)

∂DL(zk; β)

∂βk

∂DL(zk; β)

∂βl

. (B.30)

Nosso próximo passo é calcular a derivada da distância de luminosidade em relação aos

parâmetros βi. Para facilitar a notação, dividimos a equação (B.7) em duas integrais:

DL(z; β) = (1 + z)I2(I1(u, β)), (B.31)

onde

I1(u, β) =

∫ u

0

[1 + q(v, β)]d ln (1 + v), (B.32)

I2(z, I1(u; β)) =

∫ z

0

exp [−I1(u)]du, . (B.33)


Começamos por introduzir a equação (B.11) na expressão para I1(u, β),

I1(u, β) =

∫ u

0

[1 + q(v, β)]d ln (1 + v), (B.34)

=

∫ u

0

(1 +

M∑i=1

βici(v)

)d ln (1 + v), (B.35)

=

∫ u

0

d ln (1 + v) +M∑i=1

βi

∫ u

0

ci(v)d ln (1 + v), (B.36)

= ln (1 + u) +M∑i=1

βi

0 if u < (i− 1)∆z∫ ui

ui−1

d ln (1 + v) if u > i∆z∫ u

ui−1

d ln (1 + v) if (i− 1)∆z < u < i∆z

.(B.37)

Podemos simplificar a expressão anterior, considerando algumas definições:

• J → número de bins inteiros entre 0 e o valor de desvio para o vermelho da i-ésima

supernova;

• u0 = 0 (z0 = 0);

• βJ é o parâmetro correspondente ao bin imediatamente anterior àquele onde se encontra

a supernova em questão 1;

• ui (zi) corresponde ao limite superior do i-ésimo bin.

Com isto, podemos escrever:

I1(u, β) = ln(1 + u) +J∑

i=1

βi ln

(1 + ui

1 + ui−1

)+ βJ+1 ln

(1 + u

1 + uJ

). (B.38)

Logo, a expressão para I2 a partir da equação (B.38) é dada por

I2(z, β) =

∫ z

0

1

(1 + u)

J=int( u∆z )∏

i=1

(1 + ui

1 + ui−1

)−βi

(

1 + u

1 + uJ

)−βJ+1

du. (B.39)

1Por exemplo: se ∆z = 0.1 e zi = 0.34 → J = 3 e zi se encontra no quarto bin, cujo parâmetrocorrespondente é β4.


Como o limite do produtório depende da variável de integração, dividimos a integral em

uma soma de J + 1 integrais, de modo que dentro de cada intervalo de integração o índice

do somatório permaneça constante2, ou seja,

I2(z, β) =J∑

k=1

∫ zk

zk−1

1

(1 + u)

[k−1∏i=1

(1 + ui

1 + ui−1

)−βi

](1 + u

1 + uk−1

)−βk

du

+

+

∫ z

zJ

1

(1 + u)

[J∏

i=1

(1 + ui

1 + ui−1

)−βi

](1 + u

1 + uJ

)−βJ+1

du. (B.40)

Dado que o produtório da expressão acima não depende da variável de integração, podemos

escrever

I2(z, β) =J∑

k=1

[k−1∏i=1

(1 + zi1 + zi−1

)−βi](

1

1 + zk−1

)−βk∫ zk

zk−1

(1 + u)−βk−1du

+

+

[J∏

i=1

(1 + zi1 + zi−1

)−βi

](1

1 + zJ

)−βJ+1∫ z

zJ

(1 + u)−βJ+1−1du., (B.41)

e consequentemente, a distância de luminosidade será dada por

DL(z, β) = (1 + z)

J∑

k=1

[[k−1∏i=1

(1 + zi1 + zi−1

)−βi

](1

1 + zk−1

)−βk∫ zk

zk−1

(1 + u)−βk−1du

]+

+J∏

i=1

(1 + zi1 + zi−1

)−βi(

1

1 + zJ

)−βL+1∫ z

zJ

(1 + u)−βJ+1−1du

. (B.42)

Supondo que estamos trabalhando em um caso particular, onde todos os coeficientes β

são diferentes de zero (βi 6= 0, ∀i), podemos efetuar a integral obtendo

DL(z, β) = (1 + z)

J∑

k=1

[[k−1∏i=1

(1 + zi1 + zi−1

)−βi](

1

βk

)[1−

(1 + zk1 + zk−1

)−βk

]]+

+

[J∏

i=1

(1 + zi1 + zi−1

)−βi](

1

βJ+1

)[1−

(1 + z

1 + zJ

)−βJ+1

]. (B.43)

2Lembramos que, por definição,∑0

i=1 i = 0 e, da mesma forma,∏0

i=1 i = 1.


Dividimos então a equação (B.43) de forma que

DL(z; β) = (1 + z) [f1 + f2] , (B.44)

sendo

f1 =J∑

k=1

[k−1∏i=1

(1 + zi1 + zi−1

)−βi

](1

βk

)[1−

(1 + zk1 + zk−1

)−βk

], (B.45)

f2 =

[J∏

i=1

(1 + zi1 + zi−1

)−βi

](1

βJ+1

)[1−

(1 + z

1 + zJ

)−βJ+1

]. (B.46)

Sendo assim, podemos efetuar a derivada dos dois termos separadamente.3 É importante

chamar a atenção para os limites do somatório em f1 e f2. Repare que, quando derivamos

em relação a um determinado parâmetro βl, o produtório produzirá um resultado não nulo

apenas quando k > l, pois caso contrário o termo dependente de βl. Para representar

matematicamente essa característica, definimos

Θ(x) =

1, se x ≥ 0

0, se x < 0.

Podemos então escrever

∂f1∂βl

=J∑

k=1

[k−1∏i=1

(1 + zi1 + zi−1

)−βi]×

×δkl

(1

βk

)[(1 + zk1 + zk−1

)−βk

ln

(1 + zk1 + zk−1

)− 1

βk

(1−

(1 + zk1 + zk−1

)−βk

)]+

−Θ(k − 1− l)

[ln

(1 + zl1 + zl−1

)(1

βk

)[1−

(1 + zk1 + zk−1

)−βk

]],

(B.47)

onde δ representa a função delta de Kronecker4. Da mesma forma, a derivada de f2 será

3Lembre-se que ∂ax

∂x = ax ln a e, analogamente, ∂a−x

∂x = −a−x ln a.4δkl = 0 se k 6= l e δkl = 1 caso contrário.


dada por

∂f2∂βl

=J∏

i=1

(1 + zi1 + zi−1

)−βi

×

×

δ(J)lβJ+1

[(1 + z

1 + zJ

)−βJ+1

ln

(1 + z

1 + zJ

)− 1

βJ+1

[1−

(1 + z

1 + zJ

)−βJ+1

]]+

−[Θ(J − l)

βJ+1

ln

(1 + zl1 + zl−1

)[1−

(1 + z

1 + zJ

)−βJ+1

]]. (B.48)

Dessa forma, podemos utilizar as equações (B.47 e B.48) para compor a expressão ana-

lítica para a derivada da distância de luminosidade,

∂DL(z, β)

∂βl

= (1 + z)

[∂f1(z; β)

∂βl

+∂f2(z; β)

∂βl

], (B.49)

e utilizar esta última na equção (B.30). Assim obtemos uma expressão analítica para o

cálculo dos elementos da matriz de Fisher.

B.2 ... a partir da Distância de Diâmetro Angular

Novamente, consideramos funções densidade de probabilidade gaussianas para cada ob-

servação. Somando a isso que cada ponto observacional deve ser independente dos demais,

temos que a função de verossimilhança terá a forma dada pela equação (5.2). Mais especifi-

camente,

LDA(H0; β) =N∏i=1

1√2π

(σdAdadosi

)2 exp

−

(dAi

− 1H0

DA(zi; β))2

2(σdAdadosi

)2

, (B.50)

onde DA(z; β) é a distância de diâmetro angular em unidades de H−10 e N o número de dados

disponíveis.

Neste caso, a dependência com H0 não nos permite realizar a marginalização sobre H0

como fizemos com µ0 na seção anterior. Sendo assim, utilizaremos o mesmo procedimento

B.2. ... A PARTIR DA DISTÂNCIA DE DIÂMETRO ANGULAR 111

adotado por Albrecht et al. (2009), onde á matriz de Fisher é construída a partir de todos os

parâmetros (q⋃

r), onde q corresponde ao conjunto de parâmetros de interesse e r representa

os parâmetros sob os quais desejamos realizar a marginalização. Neste contexto, a matriz de

Fisher marginalizada (FDAmarg) será dada por

FDAmarg = F ββ − F βH0

(FH0H0

)−1FH0β, (B.51)

onde F ββ, F βH0 e FH0H0 são submatrized da matriz de Fisher. No caso específico que estamos

analisando, tais termos são dados por

F ββkl =

⟨−∂2 lnLDA(H0; β)

∂βk∂βl

⟩=

1

H20

N∑i=1

1(σdAdadosi

)2

∂DA(zi; β)

∂βk

∂DA(zi; β)

∂βl

,(B.52)

F βH0

k1 = F rq1k =

⟨−∂2 lnLDA(zi; β)

∂βk∂H0

⟩=

1

H30

N∑i=1

DA(H0; β)(σdAdadosi

)2

∂DA(zi; β)

∂βk

, (B.53)

FH0H011 =

⟨−∂2 lnLDA(H0; β)

∂H20

⟩=

1

H40

N∑i=1

[DA(zi; β)

σdAdadosi

]2

. (B.54)

Logo, utilizando a relação entre a distância de luminosidade e distância diâmetro angular

(dL(z) = (1 + z)2dA(z)), podemos escrever as expressões necessárias para calcular FDAmarg em

função da distância luminosidade, obtendo

FDAkl =

1

H20

N∑i=1

1


)2∂DL(zi; β)

∂βk

∂DL(zi; β)

∂βl

, (B.55)

FDAkH0

= F rq1k =

1

H30

N∑i=1

DL(H0; β)


)2∂DL(zi; β)

∂βk

, (B.56)

FDAH0H0

=1

H40

N∑i=1

[DL(zi; β)

(1 + zi)2σdAdadosi

]2

. (B.57)

Podemos então utilizar as derivadas apresentadas na seção anterior (equações (B.44) e

(B.49)), juntamente com as equações (B.51) e (B.55) a (B.57) e assim obter uma expressão

analítica para a matriz de Fisher a partir da distância de diâmetro angular.


B.3 ... a partir do Parâmetro de Hubble

Caso tenhamos em mãos dados de medida do parâmetro de Hubble como função do desvio

para o vermelho, a função de verossimilhança para N observações independentes é dada por

LH(H0; β) =N∏i=1

[1

σHdadosi

√2π

exp

−(hi −H(zi; β)

)2

2(σHdadosi

)2]

. (B.58)

Considere g(z; β) a expressão para o parâmetro de Hubble em unidades de H0, e também

K ≡N∑i=1

hig(zi; β)(σHdadosi

)2 , (B.59)

L ≡N∑i=1

h2i(

σHdadosi

)2 , (B.60)

M ≡N∑i=1

g(zi; β)2

(σHdadosi

)2 . (B.61)

Desta forma, a função de verossimilhança é dada por

LH(H0; β) =1√2π

CH exp

(−L

2

)exp

(KH0 − H2

0M

2

). (B.62)

Integrando sobre H0, temos

∫ +∞

−∞exp

[KH0 − H2

0M

2

]dH0 =

√π

2Mexp

(K2

2M

), (B.63)

e consequentemente, podemos escrever a função de verossimilhança como

LH(β) =CH

2√M

exp

(K2

2M

)exp

(−L

2

). (B.64)

B.3. ... A PARTIR DO PARÂMETRO DE HUBBLE 113

É possível calcular diretamente o logaritmo e as derivadas dessa função:

lnLH = ln

(C

2

)− L

2− 1

2ln (M) +

K2

2M, (B.65)

∂ lnLH

∂βl

= − 1

2M

∂M

∂βl

+K

M

∂K

∂βl

− K2

2M2

∂M

∂βl

(B.66)

= − 1

2M

∂M

∂βl

(1 +

K2

M

)+

K

M

∂K

∂βl

, (B.67)

∂2 lnLH

∂βkβl

=1

2M2

∂M

∂βk

∂M

∂βl

(1 +

K2

M

)− 1

2M

∂2M

∂βkβl

(1 +

K2

M

)− K

M2

∂K

∂βk

∂M

∂βl

+

+K2

2M3

∂M

∂βk

∂M

∂βl

+1

M

∂K

∂βk

∂K

∂βl

− K

M2

∂M

∂βk

∂K

∂βl

+K

M

∂2K

∂βk∂βl

. (B.68)

As derivadas necessárias ao cálculo da equação anterior são dadas por

∂K

∂βl

=N∑i=1

hi

σ2dadosHi

∂g(zi; β)

∂βl

(B.69)

∂2K

∂βk∂βl

=N∑i=1

hi(σHdadosi

)2∂2g(zi; β)

∂βk∂βl

, (B.70)

∂M

∂βl

=N∑i=1

2g(zi; β)(σHdadosi

)2∂g(zi; β)

∂βl

(B.71)

∂2M

∂βk∂βl

=N∑i=1

2(σHdadosi

)2[∂g(zi; β)

∂βk

∂g(zi; β)

∂βk

+ g(zi; β)∂2g(zi; β)

∂βk∂βl

]. (B.72)

Logo, precisamos calcular as derivadas de g(z; β) em relação aos parâmetros βi. A partir

das equações (B.37) e (B.38), podemos verificar que

g(z; β) = exp(I1(z; β)

)= (1 + z)

[J∏

i=1

(1 + zi1 + zi−1

)βi](

1 + z

1 + zJ

)βJ+1

, (B.73)

onde J novamente corresponde à parte inteira de z/dz.


Sendo assim, as derivadas serão

∂g(z; β)

∂βl

= (1 + z)

[J∏

i=1

(1 + zi1 + zi−1

)βi

](1 + z

1 + zJ

)βJ+1

×

×Θ(J + 1− l) ln

(1 + zl1 + zl−1

)+ δJ+1,l ln

(1 + z

1 + zJ

), (B.74)

∂2g(z; β)

∂βk∂βl

= (1 + z)

[J∏

i=1

(1 + zi1 + zi−1

)βi

](1 + z

1 + zJ

)βJ+1

×

×Θ(J + 1− k) ln

(1 + zk1 + zk−1

)+ δJ+1,k ln

(1 + z

1 + zJ

)×

×Θ(J + 1− l) ln

(1 + zl1 + zl−1

)+ δJ+1,l ln

(1 + z

1 + zJ

). (B.75)

Temos então todas as ferramentas necessárias para obter uma expressão analítica para a

matriz de Fisher a partir de medidas do parâmetro de Hubble. Após aplicar o valor esperado

à equação (B.68), temos que

FHkl =

⟨−∂2 lnLH(β)

∂βk∂βl

⟩

=1

2M

∂M

∂βk

∂M

∂βl

(1

M+

1

2

)− 1

2

∂2M

∂βkβl

(1 +

1

M

)+

∂2K

∂βk∂βl

. (B.76)

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