Control y Vogel

7/27/2019 Control y Vogel

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Modelos de Transporte:Modelos de Transporte:

mmtodo de costo mtodo de costo mnimo ynimo ydedeVogelVogel

M. En C. Eduardo Bustos FarM. En C. Eduardo Bustos Farasas


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2


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3

MMtodo de costo mtodo de costo mnimonimo


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MMtodos de Costo mtodos de Costo mnimo:nimo:

de la matrizde la matriz por columnapor columna por filapor fila


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Costo mCosto mnimo de la matriznimo de la matriz: Consiste en: Consiste enseleccionar en cada etapa aquellaseleccionar en cada etapa aquellavariablevariablexijxij cuyo costo Cij sea el mcuyo costo Cij sea el mnimonimopara todos los i, j.para todos los i, j.

Costo mCosto mnimo por columnanimo por columna::Comenzando con la columna de laComenzando con la columna de la

izquierda, seleccionamos aquellaizquierda, seleccionamos aquellavariable de menor costo.variable de menor costo.

Costo mCosto mnimo por filanimo por fila: Comenzando por: Comenzando por

la primera fila, seleccionamosla primera fila, seleccionamos xijxij comocomola variable correspondiente que tengala variable correspondiente que tengamenor costo.menor costo.


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Este es un procedimiento que aventaja a laEste es un procedimiento que aventaja a laregla de la esquina noroeste en la bregla de la esquina noroeste en la bsquedasquedade la solucide la solucinn ptima.ptima.

AquAquemplearemos la misma templearemos la misma tcnica bcnica bsica desica de

agotar alternativamente ya sea la oferta deagotar alternativamente ya sea la oferta delas flas fbricas o la demanda de los mercados,bricas o la demanda de los mercados,pero modifica el requisito de procederpero modifica el requisito de proceder

geogrgeogrficamente desde la esquina superiorficamente desde la esquina superiorizquierda.izquierda. En lugar de lo anterior, la asignaciEn lugar de lo anterior, la asignacinn

corresponde a la casilla de menor costo de lacorresponde a la casilla de menor costo de latabla de transporte.tabla de transporte.


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Si esta asignaciSi esta asignacin satisface el requisito den satisface el requisito dedemanda de un mercado, se sigue adelantedemanda de un mercado, se sigue adelantecon el costo mcon el costo ms bajo siguiente en el mismos bajo siguiente en el mismorenglrengln y agotando, de ser posible, lasn y agotando, de ser posible, las

existencias de la fabrica en cuestiexistencias de la fabrica en cuestin.n. ElEl procedimiento agota de la misma maneraprocedimiento agota de la misma manera

la oferta de las fla oferta de las fbricas y la demanda de losbricas y la demanda de los

mercados, inspeccionando siempre los costosmercados, inspeccionando siempre los costosa fin de encontrar la casilla siguiente paraa fin de encontrar la casilla siguiente parauna asignaciuna asignacin en el rengln en el rengln o la columna den o la columna deque se trata.que se trata.


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EJEMPLO 1EJEMPLO 1

MMtodo de costo mtodo de costo mnimonimo


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9Se resolver la siguiente tabla de transporte por los 3 mtodos de costo


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Costo mCosto mnimo de la matriznimo de la matriz


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11

2500 0

3500


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12

2500 0

3500

2000 4000

0


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13

2500 0

3500

2000 4000

0

4000

0

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14

2500 0

3500

2500

2000 4000

0

4000

0

10000

1000


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15

2500 0

3500

2500

2000 40002500

0

4000

0

10000

1000

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0


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16

2500 0

3500

25000

2000 400025000

0

4000

0

10000

1000

1500

0

2500


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17

Costo mCosto mnimo por filanimo por fila


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18

4000

0

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19

2000

4000

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1000

0

4000


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20

2000

4000

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0

4000

2500 0

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21

2000

4000

0

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0

4000

2500 0

3500

2500

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22

2000

4000

0

10000

0

40002500

2500 0

3500

2500

1000

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0


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23

2000

4000

0

10000

0

40002500

0

2500 0

3500

25000

1000

1500

0

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Costo mCosto mnimo por columnanimo por columna


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25

2500 0

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26

2500 0

3500

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27

2500 0

3500

4000

0

1000

2000 4000

0


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28

2500 0

3500

4000

0

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2000 40002500

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0


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29

2500 0

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2500

4000

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10000

2000 40002500

0

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30

2500 0

3500

25000

4000

0

10000

2000 400025000

0

1500

0

1000

2500


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CCLCULO DE LOSLCULO DE LOS NDICES DENDICES DEMEJORAMIENTOMEJORAMIENTO

S l iS l i tt ii


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SoluciSolucin con costo mn con costo mnimonimo

de la matrizde la matriz

C l l d lC l l d l di ddi d


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33

Calculo de losCalculo de los ndices dendices de

mejoramiento:mejoramiento:

S d it iSegunda iteraci tn con costo


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Segunda iteraciSegunda iteracin con coston con costo

mmnimo de la matriznimo de la matriz


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35


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EJEMPLO 2EJEMPLO 2

BalanceoBalanceo de unde un problemaproblema dede

transportetransporte



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transportetransporte

SiSi lala ofertaoferta excedeexcede a laa lademandademanda, se, se puedepuede balancearbalancear

elel problemaproblema creandocreando unun puntopuntodede demandademanda ficticiaficticia queque

absorbaabsorba elel excesoexceso dede ofertaoferta..



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transportetransporte SiSi lala demandademanda excedeexcede a laa la ofertaoferta,, parapara queque elel

problemaproblema sese vuelvavuelva factiblefactible sese puedepuede permitirpermitirnono satisfacersatisfacer parteparte de lade la demandademanda pagandopagando

unauna penalidadpenalidad porpor unidadunidad dede demandademandainsatisfechainsatisfecha.. SeSe agregaagrega unun puntopunto dede abastecimientoabastecimiento ficticioficticio

concon unauna capacidadcapacidad igualigual a laa la demandademandainsatisfechainsatisfecha, y, y unauna penalidadpenalidad asociadaasociada aa cadacadapuntopunto demandademanda..


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3952EL PROBLEMA NO ESTBALANCEADO

Agregamos una columna de holgura para lograr el balance.


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40


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Se procede a resolverlo usando elSe procede a resolverlo usando elmmtodo de la esquina noroeste o deltodo de la esquina noroeste o delcosto mcosto mnimo.nimo.

Al obtenerse la SFBI se procede aAl obtenerse la SFBI se procede autilizar losutilizar los ndices de mejoramiento.ndices de mejoramiento.



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transportetransporte TambiTambin se puede presentar el cason se puede presentar el caso

contrario, en el que la demanda totalcontrario, en el que la demanda totalexcede a la oferta de las fexcede a la oferta de las fbricas, enbricas, en

este caso se agregareste caso se agregara a la tabla una a la tabla unrenglrengln de holgura que representase an de holgura que representase auna funa fbrica ficticia que serbrica ficticia que seranan

esencialmente pedidos atrasados.esencialmente pedidos atrasados.


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EL MEL M

TODO DE VOGEL O DETODO DE VOGEL O DE

SANCISANCINN


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MMtodo detodo deVogelVogel Es un mEs un mtodo heurtodo heursticostico

Proporciona una SFBI mejor que los mProporciona una SFBI mejor que los mtodostodosanterioresanteriores

En muchos casos proporciona la soluciEn muchos casos proporciona la solucinn

ptima o una muy cercana aptima o una muy cercana a sta.sta. Se llama de sanciSe llama de sancin por el mn por el mtodo que aplica.todo que aplica.

Por cada renglPor cada rengln y columna de la tabla den y columna de la tabla de

transporte hay una sancitransporte hay una sancin conceptual, enn conceptual, enttrminos de costo, debida al hecho de no elegirrminos de costo, debida al hecho de no elegirla celda mla celda ms baja disponible durante els baja disponible durante elproceso de asignaciproceso de asignacin.n.


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MMtodo detodo deVogelVogel Un mUn mtodo que por lo general supera a lostodo que por lo general supera a los

demdems cuando se trata de encontrar unas cuando se trata de encontrar unasolucisolucinn ptima.ptima. La expresiLa expresin sancin sancin es una indicacin es una indicacin deln del

mmtodo que se aplica.todo que se aplica. Las sanciones calculadas son las diferencias,Las sanciones calculadas son las diferencias,

en relacien relacin con cada rengln con cada rengln y columna,n y columna,entre las rutas de transporte de costo mentre las rutas de transporte de costo mssbajo y de costo mbajo y de costo ms bajo siguiente.s bajo siguiente.


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MMtodo detodo deVogelVogel Por lo tanto, las asignaciones se hacenPor lo tanto, las asignaciones se hacen

primero a aquellas casillas donde lasprimero a aquellas casillas donde lassanciones son mayores, porque esto evita lossanciones son mayores, porque esto evita losincrementos mincrementos ms grandes del costo asociadoss grandes del costo asociados

por las diferentes asignaciones.por las diferentes asignaciones. AsAspues, el mpues, el mtodo de sancitodo de sancin subraya tanton subraya tanto

la eleccila eleccin de las rutas de transporte de bajon de las rutas de transporte de bajo

costo, en un sentidocosto, en un sentido absolutoabsoluto, como la, como laeleccieleccin de las rutas de bajo costo que mejorn de las rutas de bajo costo que mejoreluden las sancioneseluden las sanciones relativasrelativas de costode costo

asociadas con la utilizaciasociadas con la utilizacin de otrasn de otrasposibilidades alternativas.posibilidades alternativas.

Los pasos en que consiste elLos pasos en que consiste el


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Los pasos en que consiste elLos pasos en que consiste el

mmtodo son:todo son:1. Encontrar las diferencias entre los costos m1. Encontrar las diferencias entre los costos ms peques pequeos en losos en los

renglones y las columnasrenglones y las columnas2.2. DeterminarDeterminar el renglel rengln o la columna con la diferencia de costosn o la columna con la diferencia de costos

mmnimos mnimos ms grande, si hay dos o ms grande, si hay dos o ms iguales, seleccionars iguales, seleccionararbitrariamente.arbitrariamente.

3.3.AsignarAsignar tanto como sea posible a la celda que tiene el costo mtanto como sea posible a la celda que tiene el costo mss

pequepequeo tratando de satisfacer la demanda en funcio tratando de satisfacer la demanda en funcin de lan de ladisponibilidad de la oferta e ir disminuyendo la oferta y ladisponibilidad de la oferta e ir disminuyendo la oferta y lademanda correspondiente.demanda correspondiente.

4.4. EliminarEliminar las columnas o los renglones saturados.las columnas o los renglones saturados.

5.5. RegresarRegresar al primer paso y repetir hasta que columnas yal primer paso y repetir hasta que columnas yrenglones queden saturados; si al final solo queda un renglrenglones queden saturados; si al final solo queda un renglnno una columna, por el mo una columna, por el mtodo de costo mtodo de costo mnimo continuamosnimo continuamosasignando a las celdas restantes hasta que todas quedenasignando a las celdas restantes hasta que todas quedensaturadas.saturadas.


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EJEMPLO 1EJEMPLO 1

MMtodo detodo deVogelVogel


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SOLUCISOLUCIN CON WINQSBN CON WINQSB


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EJEMPLO 2EJEMPLO 2



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Tenemos el casoTenemos el caso de una empresa quede una empresa que

debe abastecer tres mercados distintos ( Mdebe abastecer tres mercados distintos ( M--1,1,MM--2 y M2 y M--3) con demandas de 19, 24 y 93) con demandas de 19, 24 y 9unidades, respectivamente; dichounidades, respectivamente; dichoabastecimiento debe hacerse a partir de tresabastecimiento debe hacerse a partir de tresffbricas (Fbricas (F--1, F1, F--2 y F2 y F--3) con ofertas de 18, 153) con ofertas de 18, 15

y 26 unidades, respectivamente.y 26 unidades, respectivamente. Resolver la tabla de transporte usando elResolver la tabla de transporte usando el

mmtodo detodo deVogelVogel..


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SOLUCISOLUCINN


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SANCIONES 2 1 1EN COLUMNA SANCIONES

EN RENGLN

9

0


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SANCIONES 2 1 1EN COLUMNA 2 1 SANCIONES

EN RENGLN

0

9

0

2


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SANCIONES 2 1 1EN COLUMNA 2 1

2SANCIONES

EN RENGLN

0

9

0

2

4

0


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Ahora completamos la tabla usando elAhora completamos la tabla usando elmmtodo del costo mtodo del costo mnimo por matriz.nimo por matriz.


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60


2SANCIONES

EN RENGLN

0

5

0

2

0

0


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2SANCIONES

EN RENGLN

0

0

0

2

0

0


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2SANCIONES

EN RENGLN


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El costo asociado a la soluciEl costo asociado a la solucin anteriorn anteriores:es:

CxCx = (6x4) + (1x9) + (0x5) + (4x15) += (6x4) + (1x9) + (0x5) + (4x15) +

(3x24) + (0x2)(3x24) + (0x2)= $ 165.00= $ 165.00

En las siguientes tablas se muestra elEn las siguientes tablas se muestra elmmtodo detodo deVogelVogel, paso a paso, para, paso a paso, para


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realizar las asignaciones:realizar las asignaciones:RENGLON/COLUMNA

COSTOMENOR

COSTOSIGUIENTE

MENOR

SANCIN ASIGNACINA LA

CASILLAA.INICIO

Fbrica 1 1 5 4 9 a X13

Fbrica 2 2 4 2Fbrica 3 2 3 1

Mercado 1 4 6 2

Mercado 2 2 3 1Mercado 3 1 2 1


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RENGLON/COLUMNA

COSTOMENOR

COSTOSIGUIENTE

MENOR

SANCIN ASIGNACINA LA CASILLA

B. Suprimir elmercado 3

Fbrica 1 5 6 1

Fbrica 2 2 4 2

Fbrica 3 3 7 4 24 a X32Mercado 1 4 6 2

Mercado 2 2 3 1


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RENGLON/

COLUMNA

COSTO

MENOR

COSTO

SIGUIENTEMENOR

SANCIN ASIGNACIN ALA CASILLA

C.Mercados 2y 3suprimidos

Mercado 1 4 6 2 15 a X21


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Habiendo cubierto los mercados 3 y 2 yHabiendo cubierto los mercados 3 y 2 yagotado la fagotado la fbrica 2, se determinan lasbrica 2, se determinan lassiguientes asignaciones:siguientes asignaciones:

Costo mCosto ms bajo para satisfacer el resto de la demanda del mercado 1s bajo para satisfacer el resto de la demanda del mercado 1 4 a X114 a X11Holgura para agotar la oferta restante de la fHolgura para agotar la oferta restante de la fbrica 1 5 a X14brica 1 5 a X14Holgura para agotar la oferta restante de la fHolgura para agotar la oferta restante de la fbrica 3 2 a X34brica 3 2 a X34


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EJEMPLO 3EJEMPLO 3



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Una empresa tiene tres plantas en diferentes zonas,Una empresa tiene tres plantas en diferentes zonas,

productoras de un solo artproductoras de un solo artculo el cual se vende enculo el cual se vende encuatro diferentes centros de distribucicuatro diferentes centros de distribucin.n. Las mLas mximas posibilidades de producciximas posibilidades de produccin de la plantan de la planta

y los requerimientos de cada centro se muestran ay los requerimientos de cada centro se muestran acontinuacicontinuacin.n.

AdemAdems, se proporcionan los costos unitarios des, se proporcionan los costos unitarios detransporte.transporte.

Encontrar el costo mEncontrar el costo mnimo de transporte,nimo de transporte,satisfaciendo las demandas y considerando lassatisfaciendo las demandas y considerando laslimitaciones de oferta, por el mlimitaciones de oferta, por el mtodo detodo deVogelVogel..


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70


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SOLUCISOLUCINN


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El costo (El costo (CxCx) asociado a la soluci) asociado a la solucinnanterior esanterior es

CxCx = (5x20) + (25x5) + (20x5) + (10x17)= (5x20) + (25x5) + (20x5) + (10x17)

+ (5x25) + (15x5)+ (5x25) + (15x5)CxCx = $695.00= $695.00


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EJERCICIO PARA RESOLVEREJERCICIO PARA RESOLVER


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La Red deLa Red deAJaxAJax La planta deLa planta deAjaxAjax se encuentra en Chicago.se encuentra en Chicago. Una compaUna compaa de almacenamiento sea de almacenamiento se

encuentra enencuentra en StSt Louis.Louis. AjaxAjax vende sus computadoras en 8 mercados.vende sus computadoras en 8 mercados. Para satisfacer la demanda de esta semana,Para satisfacer la demanda de esta semana,

el gerente deel gerente deAjaxAjax debe decidir un plan dedebe decidir un plan deembarque de alfas desde su planta hasta laembarque de alfas desde su planta hasta labodega y los mercados.bodega y los mercados.

Los costos de transporte se muestran en laLos costos de transporte se muestran en la

tablatabla


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Costos de transporte $/unidadCostos de transporte $/unidad11ChiChi

22STLSTL

33DetDet

44CinCin

55LOULOU

66INdINd

77MilMil

88MInMIn

ofertaoferta

PlantaPlanta 1414 2424 2121 2020 21.521.5 1919 1717 3030 100100

BodegaBodega2424 1515 2828 2020 18.518.5 19.519.5 2424 2828 4545

demandademanda 2222 1414 1818 1717 1515 1313 1515 2020

Plantear el modelo de red.Plantear el modelo de red.Resolverlo por el mResolverlo por el mtodo de costo mtodo de costo mnimo (por matriz) y por el denimo (por matriz) y por el de VogelVogel

Comparar los costos de la SFBI por ambos mComparar los costos de la SFBI por ambos mtodos.todos.


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77

SOLUCISOLUCINN

Modelo de TransporteModelo de Transporte


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Centros productores Centros de consumo

1

3

2

1

2cij

a2

b1

b2

b3

MINZ=cijXijs.tXij =aiJ

Xij =bji

a1


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79


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80


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Almacenes

PlantaPlanta 11 22 33 44 OfertaOferta


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85

11 464464 513513 654654 867867 7575

22 352352 416416 690690 791791 12512533 995995 682682 388388 685685 100100

DemandaDemanda 8080 6565 7070 8585 300300

Se desea saber cuntos camiones enviar de i a j dados los costosDe transporte de i a j.Plantear el modelo de programaciPlantear el modelo de programacin lineal (sin resolverlo).n lineal (sin resolverlo).

Resolverlo por el mResolverlo por el mtodo de costo mtodo de costo mnimo y por el denimo y por el de VogelVogel..


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86

SOLUCISOLUCINN


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Modelo de programaciModelo de programacin linealn lineal XijXij= No de camiones de la planta i al almac= No de camiones de la planta i al almacn jn j Cij= costo en UM/camiCij= costo en UM/camin de la planta i al almacn de la planta i al almacn jn jMinMin Z=464X11+513X12+654X13+867X14+352X21+Z=464X11+513X12+654X13+867X14+352X21+416X22+690X23+791X24+995X31+682X32+388X33+416X22+690X23+791X24+995X31+682X32+388X33+685X34685X34

s.as.aX11+X12+X13+X14 =75X11+X12+X13+X14 =75X21+X22+X23+X24 =125X21+X22+X23+X24 =125X31+X32+X33+X34 =100X31+X32+X33+X34 =100

X11+X21+X31 =80X11+X21+X31 =80X12+X22+X32 =65X12+X22+X32 =65X13+X23+X33 =70X13+X23+X33 =70

X14+X24+X34 =85X14+X24+X34 =85XIJXIJ 00


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91


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La compaLa compaaaAceros del Norte, S.A.Aceros del Norte, S.A.debe hacer envdebe hacer envos de tresos de tresffbricas a siete bodegas.bricas a siete bodegas.

El costo unitario de las fabricas a cada bodega, los requerimienEl costo unitario de las fabricas a cada bodega, los requerimientos detos delas bodegas, las capacidades de cada fabrica son:las bodegas, las capacidades de cada fabrica son:

Obtener una primera soluciObtener una primera solucin al problema de transporte por la reglan al problema de transporte por la reglade la esquina noroeste.de la esquina noroeste. CuCul es el costo?l es el costo?

Encontrar la soluciEncontrar la solucinn ptima por el mptima por el mtodo de costo mtodo de costo mnimonimo CuCul esl es


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94

Encontrar la soluciEncontrar la solucinn ptima por el mptima por el mtodo de costo mtodo de costo mnimo.nimo. CuCul esl esel costo?el costo?

Encontrar la soluciEncontrar la solucinn ptima por el mptima por el mtodo detodo deVogelVogel.. CuCul es ell es elcosto?costo?

FABRICAS BODEGAS CAPACIDADES

A B C D E F G

1 6 7 5 4 8 6 5 700

2 11 3 4 5 4 3 2 4003 8 5 3 6 5 8 4 1000

DEM. 100 200 450 400 200 350 300


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95

SOLUCISOLUCIN CON TORAN CON TORA


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96

ESQUINANW


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97


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98



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LA EMPRESA MANUFACTURAS INTERNACIONALES,LA EMPRESA MANUFACTURAS INTERNACIONALES,S.A. TIENE TRES FABRICAS Y CINCO BODEGAS AS.A. TIENE TRES FABRICAS Y CINCO BODEGAS APARTIR DE LAS CUALES SATISFACE SU DEMANDA.PARTIR DE LAS CUALES SATISFACE SU DEMANDA.

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100/100

100

B-1 B-2 B-3 B-4 B-5 CAPACIDADDE FBRICA

FABRICA A 5 8 6 6 3 800

FBRICA B 4 7 7 6 5 600FBRICA C 8 4 6 6 4 1100

REQUERIMIENTO DE

BODEGA

400 400 500 400 800

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