Controle passivo de vibração em máquinas rotativas com ...monografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10028690.pdf · s o e vi avel nos casos cuja geometria e simples e o equacionamento

CONTROLE PASSIVO DE VIBRACAO EM MAQUINAS ROTATIVAS COM

ABSORVEDORES DINAMICOS DO TIPO ANEL

Luan da Silva Prado

Projeto de Graduacao apresentado ao Curso

de Engenharia Mecanica da Escola Politecnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessarios a obtencao do

tıtulo de Engenheiro.

Orientador: Thiago Gamboa Ritto

Rio de Janeiro

Janeiro de 2019

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Departamento de Engenharia Mecanica

DEM/POLI/UFRJ



Luan da Silva Prado

PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO

DE ENGENHARIA MECANICA DA ESCOLA POLITECNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECANICO.

Aprovada por:

Prof. Thiago Gamboa Ritto, D.Sc.

Prof. Fernando Pereira Duda, D.Sc.

Prof. Ricardo Eduardo Musafir, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

JANEIRO DE 2019

Prado, Luan da Silva

Controle passivo de vibracao em maquinas rotativas com

absorvedores dinamicos do tipo anel/ Luan da Silva Prado.

– Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politecnica, 2019.

X, 47 p.: il.; 29, 7cm.


Projeto de Graduacao – UFRJ/ Escola Politecnica/

Curso de Engenharia Mecanica, 2019.

Referencias Bibliograficas: p. 40 – 41.

1. Maquinas Rotativas. 2. Metaestruturas. 3. Band

Gap. I. Gamboa Ritto, Thiago. II. Universidade Federal

do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de Engenharia Mecanica.

III. Controle passivo de vibracao em maquinas rotativas

com absorvedores dinamicos do tipo anel.

iii

A minha mae pela mo-

tivacao,sabedoria e confianca

Aos amigos de jornada

iv

Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como

parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico



Luan da Silva Prado

Janeiro/2019


Programa: Engenharia Mecanica

Neste trabalho, desenvolve-se um absorvedor dinamico para maquinas rotativas

e discute-se seu uso para a geracao de um filtro rejeita banda mecanico, chamado

pela literatura de banda proibida. Essa e gerada quando multiplos absorvedores

sintonizados na mesma frequencia sao dispostos ao longo de uma estrutura, de modo

que neutralizem completamente a vibracao. O primeiro passo na criacao da banda

proibida e a escolha do absorvedor, que nesse caso foi uma composicao de dois aneis

de parede fina e quatro vigas flexıveis. Para sintoniza-lo, parametrizaram-se suas

dimensoes em funcao do comprimento do eixo, prescrito, do comprimento da viga

do ressonador e da espessura desse, tambem prescrita. Com isso, tem-se apenas

um parametro para a determinacao da frequencia natural, que e obtida aqui com

o Metodo dos Elementos Finitos. Depois disso, posicionam-se os ressonadores ao

longo da estrutura de modo a garantir que as frequencias crıticas da maquinas

sejam filtradas. Por fim, analisam-se os efeitos dos absorvedores nos mancais para

uma dada faixa de operacao, bem como a influencia do numero de ressonadores

sobre o tamanho da banda.

Palavras-chave: Maquinas Rotativas, Metaestruturas, Band Gap

v

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment

of the requirements for the degree of Mechanical Engineer

PASSIVE VIBRATION CONTROL OF ROTATING MACHINES WITH

RING-TYPE RESONATORS

Luan da Silva Prado

January/2019

Advisor: Thiago Gamboa Ritto

Department: Mechanical Engineering

In this work, it is developed a vibration absorber to rotating machines and

it is discussed its use to generate a mechanical band stop filter, so called by

the literature as band gap. The band gap is generate when multiple absorbers

tuned at the same frequency are placed along a structure, in such a way that

the vibration is completely neutralized. The first step to create a band gap is

by choosing a proper absorber, which, in this case, was a composition of two

thin-walled cylinders and four beams.To tune it properly, one should parametrize

its dimensions in function of the machine shaft, a prescribed parameter, the beam

of the absorber and its thickness, also prescribed. With this, there is only a

parameter to determine the natural frequency, which is obtained here by the means

of Finite Element Method.After this, the resonators are placed along the structure,

in order to ensure that the natural frequencies of the machine will be filtered.

Finally, it is analysed the effects of the absorbers over the bearings for a given op-

erating range, as well the influence of the number of resonators over the band width.

Keywords: Rotating Machines, Metastructures, Band Gap

vi

Sumario

Lista de Figuras ix

1 Introducao 1

1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Organizacao do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Revisao Bibliografica 4

2.1 Fundamentos de absorvedores dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Modelagem de rotores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 A ideia da banda proibida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Absorvedores em maquinas rotativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Projeto do Ressonador 25

3.1 Descricao do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Geometria do Ressonador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Sintonizacao do Ressonador - Procedimento Analıtico . . . . . 29

3.2.2 Sintonizacao do Ressonador - Procedimento Numerico . . . . . 31

4 Resultados e Discussoes 35

4.1 Geracao da Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Relacao entre o comprimento da banda e o numero de ressonadores . 36

5 Conclusoes 39

Referencias Bibliograficas 40

vii

A Codigo Fonte 42

viii

Lista de Figuras

2.1 Efeito da colocacao dos absorvedores.RAO [2] . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Efeito da colocacao de amortecimento nos absorvedores.RAO [2] . . . 5

2.3 Uma cadeia de massa-mola-ressonador.RODRIGUES [5]adaptado . . 6

2.4 Resposta em frequencia para o caso nao amortecido.YAO [4] . . . . . 8

2.5 Resposta em frequencia para a cadeia amortecida. . . . . . . . . . . . 9

2.6 Resposta em frequencia para o resonador amortecido. . . . . . . . . . 9

2.7 Casos tıpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.8 Valores de rigidez. KRAMMER [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.9 Frequencias naturais em funcao da rotacao. KRAMMER[8] . . . . . . 13

2.10 Angulos de desbalanceamento . KRAMMER [8] . . . . . . . . . . . . 15

2.11 Diferentes modelos de viga para o caso contınuo. ISHIDA [9] . . . . . 17

2.12 Mapa de atenuacao. XIAO et al [10] adaptado . . . . . . . . . . . . . 19

2.13 Geracao da banda proibida para estrutura infinita . . . . . . . . . . . 21

2.14 Geracao de banda proibida para estrutura finita . . . . . . . . . . . . 22

2.15 Pendulo centrıfugo. NPTEL [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1 Rotor simplesmente apoiado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Diagrama de Campbell do rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Primeiro modelo de ressonador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Parametros utilizados na definicao do ressonador . . . . . . . . . . . . 29

3.5 Primeiro modo de flexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.6 Segundo modo de flexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.7 Diagrama de Campbell do ressonador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.8 Superfıcie utilizada na sintonizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.9 Pontos da simulacao aproximados pelo decaimento exponencial . . . . 34

ix

4.1 Posicionamento dos absorvedores ao longo do eixo . . . . . . . . . . . 35

4.2 Obtencao da banda proibida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Relacao entre o numero de absorvedores e o tamanho da banda obtida 37

4.4 Relacao entre as forcas no mancal em funcao da rotacao . . . . . . . 38

x

Capıtulo 1

Introducao

Utilizam-se maquinas rotativas em diversos setores da industria, como oleo e gas e

em plantas de potencia. Nesses setores, e necessario um regime de operacao contınuo

e estavel, obtido por meio de um sistema de controle, ativo ou passivo.

Controle ativo e aquele que necessita de um conjunto de sensores e atuadores para

que a resposta desejada seja obtida, e, para tal, surge a necessidade de um com-

parador para verifica-la, alem de um esforco de controle, requerido para alcancar a

resposta de interesse. Quanto maior esse for, maior sera a sensibilidade dos elemen-

tos sensores e menor o tempo de resposta dos atuadores.

Ja por controle passivo, compreende-se todo tipo de controle que nao se enquadra

na primeira descricao, sendo entao considerados como sistemas reativos. Nesse nicho,

encontram-se os absorvedores dinamicos de vibracao, foco deste trabalho.

1.1 Motivacao

Utilizam-se absorvedores dinamicos de vibracao quando a frequencia natural do

sistema e conhecida. Isso geralmente ocorre quando se reduz o sistema a um equi-

valente de um grau de liberdade, com parametros facilmente detectaveis; todavia,

em problemas contınuos, Nao se necessita apenas da frequencia, mas tambem da

posicao onde se colocara o absorvedor. Nesse caso, surgem incertezas que tornam o

resultado aquem do esperado.

1

Para que esses problemas sejam resolvidos, faz-se uso dos absorvedores para gerar

uma banda no espectro que atenue consideravelmente as frequencias indesejadas.

Com isso, acaba-se com os problemas de deteccao de um valor preciso de frequencia

e de um posicionamento eficaz, dado que basta posicionar os absorvedores ao longo

da estrutura e dimensionar a banda de modo que ela seja maior que a incerteza

devido a frequencia.

1.2 Objetivo

O principal objetivo deste trabalho e delimitar um procedimento para geracao

de bandas proibidas, regioes do espectro com baixo nıvel de vibracao, em maquinas

rotativas, de forma a deslocar as frequencias crıticas de rotacao para uma regiao dis-

tante daquela de operacao. Para essa tarefa, desenvolveu-se um absorvedor dinamico

do tipo anel flexıvel, cujo projeto e sintonizacao discutir-se-ao no capıtulo 3.

1.3 Metodologia

A fim de garantir a sintonizacao dos ressonadores, necessita-se primeiramente

das frequencias naturais do rotor e das suas respectivas rotacoes crıticas. Para

tal, dois caminhos sao possıveis: solucao analıtica e solucao numerica. A primeira

so e viavel nos casos cuja geometria e simples e o equacionamento e trivial, ja a

segunda e viavel numa pletora de casos; todavia, tal versatilidade tem como principal

onus o custo computacional. Em casos de custo computacional elevado, pode-se

simplificar o equacionamento e obter solucoes analıticas que norteiam o metodo

numerico aplicado. Aqui, para obter os parametros desejados, utiliza-se o metodo

dos elementos finitos atraves de um software comercial.

Obtidas as informacoes do rotor, da-se inıcio ao projeto do ressonador. Um dos

pontos mais nevralgicos desse processo e a escolha da geometria, que interfere di-

retamente na sintonizacao do mesmo. Por simplicidade, a geometria do ressonador

consiste, basicamente, em uma combinacao de tubos de parede fina com vigas. Tal

arranjo mesmo simplificado resulta num equacionamento cuja solucao analıtica esta

longe do trivial. Logo, faz-se uso do metodo dos elementos finitos para a obtencao

2

das frequencias naturais e rotacoes crıticas; todavia, ha um onus aqui: devido a

ausencia de uma solucao analıtica viavel, a sintonizacao dos parametros tem uma

dificuldade adicional.

De forma a contornar essa dificuldade, parametriza-se a geometria de forma que

os unicos parametros geometricos utilizados sejam o diametro do eixo e o compri-

mento da viga utilizada. Ao prescrever o diametro e a rotacao, obtem-se a frequencia

natural apenas em funcao do comprimento, simplificando assim a obtencao do res-

sonador.

O passo final para a remocao da frequencia crıtica proxima aquela de operacao e

a geracao da banda proibida. Para isso, utilizam-se os procedimentos descritos na

literatura para estimar a banda necessaria. Apos a remocao, verificam-se os esforcos

nos mancais de modo a examinar o impacto dos ressonadores na estrutura.

1.4 Organizacao do trabalho

O capıtulo 2 faz uma breve revisao de absorvedores dinamicos de vibracao, bem

como de dinamica de maquinas rotativas e dos principais absorvedores desenvolvidos.

O capıtulo 3 descreve a metodologia utilizada para obter a banda proibida, que vai

desde o projeto do ressonador e sua sintonizacao ate o dimensionamento da banda.

Os capıtulos 4 e 5 destinam-se aos resultados e a conclusao, respectivamente. Ainda

ha um apendice com um exemplo de implementacao da banda proibida para um

sistema massa simples mola e a macro dos ressonadores, feita no ANSYS-APDL.

3

Capıtulo 2

Revisao Bibliografica

2.1 Fundamentos de absorvedores dinamicos

Geralmente, pensam-se em absorvedores dinamicos para casos simples, como um

sistema de um grau de liberdade em que se deseja um determinado valor de ate-

nuacao. Com o procedimento delimitado por HARTOG[1], obtinha-se o valor do

amortecimento adequado para um par massa-rigidez. Esse era necessario, pois a co-

locacao do absorvedor criava duas frequencias naturais, de alta amplitude, proximas

aquela do sistema inicial:

Figura 2.1: Efeito da colocacao dos absorvedores.RAO [2]

4

Ao passo que o sistema torna-se mais amortecido, ha um aumento da amplitude

na regiao de operacao. Portanto, quanto maior o amortecimento, menor o efeito

atenuante causado pelo absorvedor. Observa-se isso, por exemplo, no caso de amor-

tecimento infinito. Nesse, e como se as massas do absorvedor e do sistema se tornas-

sem uma so, e, como efeito, a frequencia natural do sistema torna-se√

k1m1+m2

,com

m1 sendo a massa da estrutura e m2 a massa do ressonador,deslocando a amplitude

para a esquerda:

Figura 2.2: Efeito da colocacao de amortecimento nos absorvedores.RAO [2]

A medida que o problema adquire mais graus de liberdade, nao so a correta sinto-

nizacao dos parametros do absorvedor e necessaria, mas tambem seu posionamento,

que agora depende do modo de vibracao da estrutura. OZER [3] estendeu a ideia

de HARTOG [1] para multiplos graus de liberdade; todavia, o procedimento era

custoso e refem do modo de vibracao do sistema.

Dado que a definicao dos parametros para multiplos ressonadores nao era pratica,

outros procedimentos logo surgiram para os absorvedores dinamicos, sendo um deles

a geracao da banda proibida por meio desses,como feito por YAO [4]. Essa deno-

minacao e dada a regiao da resposta em frequencia em que a amplitude de vibracao

e reduzida.Para gerar a banda proibida, basta posicionar uma quantidade moderada

de resonadores ao longo da estrutura.

5

Embora produza uma regiao de grande atenuacao, a banda proibida ainda possui

o mesmo inconveniente dos casos anteriores:a presenca de uma frequencia natural

antes da regiao de interesse;entretanto, nesse caso a colocacao de amortecimento nao

reduz significativamente a banda, sendo, pois, um procedimento com menos onus.

De preferencia, coloca-se o amortecimento na estrutura, evitando a reducao do efeito

atenuante dos ressonadores.

Para uma melhor apreciacao dessa ideia, veja o exemplo da figura 2.3.

Figura 2.3: Uma cadeia de massa-mola-ressonador.RODRIGUES [5]adaptado

A figura 2.3 mostra um conjunto de absorvedores colocados em um sistema de

massa-mola de 10 graus de liberdade. Conforme discutido anteriormente, o objetivo

do posicionamento e a geracao de uma banda proibida, que fisicamente e uma com-

binacao de interferencias destrutivas, acionadas quando os absorvedores chegam a

sua frequencia natural.

As equacoes de movimento sao:

mj1

d2uj1dt2

+ k1(2uj1 − u

j−11 − uj+1

1 )− k2(uj2 − uj1) = f j, (2.1)

mj2

d2uj2dt2

+ k2(uj2 − u

j1) = 0, (2.2)

onde k1 e k2 sao rigidezes e f e a forca atuante.Propondo uma solucao do tipo Xnejωt,

com n=1, 2, substituindo-na apenas na equacao (2.2), com n = 2, e inserindo-na

em (2.1), obtem-se a seguinte expressao:(m1 +

m2ω22

ω22 − ω2

)d2uj1dt2

+ k1(2uj1 − u

j−11 − uj+1

1 ) = f j. (2.3)

6

A primeira parcela da equacao (2.3) tem a massa expressa como uma funcao da

frequencia do sistema. A importancia disso deve-se ao fato que o intervalo dos

valores para os quais a funcao e negativa equivale ao trecho atenuado, e o tamanho

desse e apenas funcao das massas para a figura 2.3. O comprimento da banda em

questao e dado por:

∆ω = ω2(2√

1 + µ− 1), (2.4)

em que µ = m2

m1.

O proximo passo e estender o problema para um caso com amortecimento, que

pode estar tanto na estrutura, quanto no ressonador. Para o primeiro caso, (2.1),

fica na forma:

mj1

d2uj1dt2

+ k1(2uj1− u

j−11 − uj+1

1 )− k2(uj2− uj1) + c1(2u

j1− u

j−11 − uj+1

1 ) = 0 (2.5)

Dado que nao se alterou (2.2), a banda proibida para esse caso permanece inalte-

rada. Agora, ao introduzirmos amortecimento nessa equacao, temos:

mj2

d2uj2dt2

+ k2(uj2 − u

j1) + c2(u

j2 − u

j1) (2.6)

Propondo-se um deslocamento,de amplitude Xn, do tipo Xnejωt (n=1, 2) em (2.6)

e inserindo-se o resultado em (2.1), mostra-se que ha uma alteracao na expressao da

massa em funcao da frequencia, que passa a ser:

m(ω) = m1 +m2ω

22 + jω c2

m2

ω22 − ω2 + jω c2

m2

(2.7)

Observando-se da equacao (2.7), constata-se que a banda proibida sofre uma al-

teracao em seus valores, devido a adicao de amortecimento, o que, conforme descrito

anteriormente, reduz o efeito atenuante. A fim de visualizar os efeitos das bandas

proibidas na resposta em frequencia, escreveremos as equacoes na forma matricial:

[M ]x+ [C]x+ [K]x = f (2.8)

Em que, obviamente, nos casos nao amortecidos, [C] e a matriz nula. Ao fazer a

substituicao x = Xejωt, tem-se:

x = (−ω2[M ] + jω[C] + [K])−1f (2.9)

7

Nas posicoes onde ha massa efetiva na cadeia de massa-mola, os termos na matriz

de massa tornam-se funcoes de ω, de acordo com (2.3). Com o uso de (2.9), obtem-se

a transmissibilidade, definida aqui como:

T (ω) = 10 log10

∣∣∣∣xn(ω)

x1(ω)

∣∣∣∣ , (2.10)

em que xn sera o deslocamento da ultima partıcula e x1, da primeira. Com (2.9) e

(2.10) obtem-se os graficos das respostas em frequencia. Os parametros utilizados

foram:m1 = 0.1011 kg, m2 = 0.04647kg, k1 = 117 N/m, k2 = 74N/m, f j = 0.01N,

se j=1 e 0, caso contrario. As Figuras2.4, 2.5 e 2.6 denotam os casos sem amorteci-

mento,com amortecimento no ressonador e com amortecimento na cadeia, respecti-

vamente.

Figura 2.4: Resposta em frequencia para o caso nao amortecido.YAO [4]

8

Figura 2.5: Resposta em frequencia para a cadeia amortecida.

Figura 2.6: Resposta em frequencia para o resonador amortecido.

Repare que ao amortecer a cadeia de massa mola nao houve alteracao no tama-

nho da banda. Isso acontece porque a funcao que a define nao depende do amor-

9

tecimento para esse caso,conforme expresso por (2.4).O efeito do amortecimento na

cadeia resume-se apenas a reducao da amplitude nas regioes de frequencias naturais;

todavia, nao se diz o mesmo quando a insercao de amortecimento e no ressonador,

visto que 0.05 Ns/m ja e o suficiente para reduzir razoavelmente o efeito atenuante.

2.2 Modelagem de rotores

Antes do projeto dos absorvedores,descreve-se brevemente as principais causas da

vibracao em maquinas rotativas,por meio de uma formulacao simples, com progres-

siva sofisticacao.

O rotor mais simples encontrado na literatura consiste de um eixo de massa des-

prezıvel, em cujo centro fixa-se um disco circular rıgido e cujo suporte se da por

mancais rıgidos. O eixo possui uma secao circular com diametro constante por todo

o comprimento. Atribui-se a JEFFCOTT [6] a modelagem desse.

Monta-se o disco em questao com seu plano perpendicular ao eixo do compri-

mento. Aqui, o centro de massa nao coincide com o centro do eixo, possuindo uma

excentricidade ε. Assume-se tambem que o disco move-se apenas em seu proprio

plano.

Com o cenario bem definido, as equacoes de movimento para esse caso sao as

seguintes:

mx+ cx+ kx = mε(φ sin(φ) + φ2 cos(φ)), (2.11)

my + cy + ky = mε(φ2 sin(φ)− φ cos(φ))−mg, (2.12)

Ip + ε(cx+ kx) sin(φ)− e(cy + ky) cos(φ) = T (t), (2.13)

em que m e a massa do disco,c um termo viscoso,k a rigidez do eixo,φ o angulo de

rotacao do eixo,x e y graus de liberdade translacionais.

Mesmo utilizando um modelo discreto, chega-se num sistema de equacoes dife-

rencias ordinarias, com termos nao-lineares. De forma a simplicar mais ainda o

conjunto de equacoes, suporemos que se conhece o angulo φ(t) , o que remove 2.13

do sistema, restando apenas 2.11 e 2.12.

10

Assumindo-se que ha uma relacao entre o angulo φ(t) e a velocidade angular da

maquina , Ω, do tipo φ(t) = Ωt, chega-se em:

mx+ cx+ kx = mεΩ2 cos(Ωt), (2.14)

my + cy + ky = mεΩ2 sin(Ωt)−mg. (2.15)

As equacoes (2.4) e (2.5) sao similares ao caso de forcamento harmonico de um

sistema simples de um grau de liberdade, sendo possıvel refazer toda a analise para

esse. Uma caracterıstica interessante para as equacoes acima e a possibilidade de

analise da orbita do disco para o caso de vibracao livre, isto e, o caso em que o lado

direito de (2.4) e (2.5) e 0.

Sem amortecimento e com a mesma rigidez nas direcoes x e y, tem-se uma tra-

jetoria circular;com rigidezes distintas, encontra-se uma trajetoria elıpitica, e, com

a a adicao de amortecimento, obtem-se uma trajetoria em espiral decrescente, circu-

lar ou elıptica, de acordo com a rigidez em cada direcao. Alem dos casos descritos,

tambem e possıvel a obtencao de trajetorias degeneradas em retas.

O proximo passo e a analise de um sistema de mais graus de liberdade, realizada

em seus primordios por STODOLA [7]. Para tal, definem-se hipoteses adicionais:

consideracao da massa e dos momentos de inercia do disco,sendo esse e o mancal

rıgidos, motor concedendo velocidade angular constante e o giro do disco sendo fora

do plano xy

De modo a manter a generalidade, primeiramente consideraremos as rigidezes

como constantes arbitrarias, e, em seguida, definir-se-ao-nas conforme cada caso.

Ver-se-ao aqui os seguintes:disco entre mancais,na extremidade do eixo apoiado por

mancais,e engastado,conforme exibido em 2.7

11

Figura 2.7: Casos tıpicos

Para os casos exibidos na figura 2.7, mostra-se que as equacoes governantes sao:

mx+ k22x− k23α = 0, (2.16)

my + k22y − k23β = 0, (2.17)

Idβ + IpΩα + k23y + k33β = 0, (2.18)

Idα− IpΩβ − k23x+ k33α = 0, (2.19)

em que α e o angulo entre o plano yz e o disco, β o angulo entre o plano zx e o

disco,Ip o momento polar de inercia,Id o momento de inercia do disco e kij(i,j=2,3)

sao as rigidezes.Os valores das ultimas encontram-se na figura 2.8.

Figura 2.8: Valores de rigidez. KRAMMER [8]

12

Sintetizam-se as equacoes de 2.16 a 2.19 na forma matricial:

[M ]x+ [G]x+ [K]x = 0 (2.20)

Em que:

M = diag(m,m, Id, Id), (2.21)

G = gik, g43 = −g34 = IpΩ, (2.22)

K = kik, i = 2, 3; k = 2, 3. (2.23)

Ao reescrever 2.20 no espaco de estados, obtem-se:

A(Ω) =

0 I

M−1K M−1(G(Ω))

(2.24)

Para uma dada velocidade de rotacao, avalia-se o determinante de 2.24,

encontrando-se um polinomio caracterıstico de 8ograu, cujas raizes, 4 pares de com-

plexos conjugados, sao as frequencias naturais. Ao exibir-se a variacao dessas em

relacao a rotacao, tem-se como resultado a figura 2.9

Figura 2.9: Frequencias naturais em funcao da rotacao. KRAMMER[8]

13

O grafico 2.9 apresenta todos os autovalores do problema em funcao da rotacao;

todavia, ha informacao em excesso, dado que as raızes, como dito anteriormente,

encontram-se em pares conjugados.

De forma a evitar um calculo desnecessario, faz-se um procedimento alternativo:ao

inves de construir 2.24 a partir de 2.16 a 2.19, fazem-se as seguintes substituicoes:

z = x+ yj, (2.25)

γ = α + βj. (2.26)

Utilizando-se (2.25) e (2.26) de (2.16) a (2.19), reduzem-se as quatro equacoes para

apenas duas:

mz + k22z − k23γ = 0, (2.27)

Idγ − jIpΩγ − k23z + k33γ = 0. (2.28)

Com (2.27) e (2.28), ha uma reducao do grau do polinomio caracterıstico,

tendo entao apenas o primeiro quadrante da figura 2.9, que possui agora quatro

frequencias naturais, duas delas crescentes com a rotacao e as outras duas decres-

centes. Consideram-se aquelas que aumentam com a rotacao como precessao direta

e as que diminuem como precessao retrograda.

Para que a maquina rotativa apresente um alto nıvel de vibracao, sua rotacao,

ou algum multiplo dela, excita alguma das frequencias naturais. De forma a vi-

sualizar esse fenomeno, tracam-se retas do tipo ω = nΩ, em que n e uma ordem

do sistema. Em 2.9, essas sao representadas como retas tracejadas, que quando

intersectam as frequencias naturais determinam uma rotacao crıtica. O grafico 2.9

e mais comumente conhecido como Diagrama de Campbell, em homenagem ao seu

criador.

Apos a discussao do caso de vibracao livre para quatro graus de liberdade,

considerar-se-a o caso forcado. Evidentemente, o caso atual herda todas as carac-

terısticas do sistema de apenas dois graus de liberdade, possuindo como novidade os

termos de inercia e o acoplamento giroscopico. Considerando-se agora o forcamento,

as equacoes (2.16) a (2.19) tornam-se:

14

mx+ cx+ k22x− k23α = mεΩ2 cos(Ωt), (2.29)

my + cy + k22y − k23β = mεΩ2 sin(Ωt)−mg, (2.30)

Idβ + Cβ + IpΩα + k23y + k33β = (Id − Ip)ζΩ2 cos(Ωt+ ξ), (2.31)

Idα + Cα− IpΩβ − k23x+ k33α = (Id − Ip)ζΩ2 sin(Ωt+ ξ). (2.32)

As equacoes (2.29) e (2.30), conforme dito anteriormente, sao identicas ao caso

com apenas dois graus de liberdade. A mudanca aqui se da no forcamento angular,

em que surgem novos angulos, advindos de problemas na montagem (figura 2.10) e

tambem devido ao amortecimento, expresso por C.

Figura 2.10: Angulos de desbalanceamento . KRAMMER [8]

Os referidos angulos interferem de forma a alterar a fase, ξ, e os momentos re-

sultantes, ζ, conforme mostrado em 2.31 e 2.32. Analogamente ao caso anterior,

representa-se tambem as equacoes de 2.29 a 2.32 utilizando-se os numeros comple-

xos:

15

mz + cz + k22z − k23γ = mεΩ2ejωt − jmg (2.33)

Idγ + (C − jIpΩ)γ − k23z + k33γ = j(Id − Ip)ζΩ2ejωt+β. (2.34)

Com a reducao das equacoes, obtem-se novamente as frequencias naturais, com

algumas alteracoes no grafico devido a presenca do amortecimento. Novamente, e

posıvel reescrever 2.29 a 2.32 no espaco de estados:

A(Ω) =

0 I

M−1K M−1(C + G(Ω))

(2.35)

Apos considerar o sistema de 4 graus de liberdade, prossegue-se o desenvolvimento

das equacoes de movimento partindo-se para os casos contınuos. Nesse ambito,

existem diversos modelos na literatura, sendo alguns deles encontrados em ISHIDA

[9]. Aqui, mostram-se, graficamente, as diferencas entre os modelos e os resultados

das frequencias crıticas de acordo com o tipo de rotor, definido de acordo com a razao

entre o diametro do eixo e seu comprimento, escrito como a abscissa (slenderness

ratio)

16

Figura 2.11: Diferentes modelos de viga para o caso contınuo. ISHIDA [9]

.

Nos softwares comerciais, utiliza-se mais comumente o modelo de viga de Ti-

moshenko (ver ISHIDA [9]), que da resultados bastante satisfatorios. Para casos

especiais, usa-se tambem o modelo de Eubanks-Eshleman( ver ISHIDA [9]);todavia,

nesse caso, modela-se o problema desde o equacionamento ate a discretizacao, para

somente apos esse passo, gerar a malha para uma dada geometria.

Um fato interessante para o estudo dos rotores e que devido a geometria de re-

volucao, pode-se apenas gerar a malha numa pequena secao e explorar-se exausti-

vamente a simetria. Repare que ate uma razao de esbeltez 0.02, todos os modelos

apresentam basicamente o mesmo resultado. Quando isso ocorre, as boas praticas

indicam o uso do modelo mais simples, devido ao baixo custo computacional

17

2.3 A ideia da banda proibida

Em 2008, YAO et al [4], conseguem, por meio de um experimento um sistema

de massa-mola, comprovar a existencia de uma massa efetiva negativa. Utilizam-

se propriedades efetivas como um artifıcio para simplificar sistemas de equacoes,

expressando-se um parametro do sistema em funcao de uma variavel.

No caso da massa efetiva, expressa-se a massa como funcao da frequencia. Possuir

valores negativos nessa significa que o ressonador move-se com oposicao de fase

em relacao a estrutura principal, causando assim interferencia destrutiva, que e

amplificada consideravalmente quando os ressonadores operam em fase. Tal efeito

causa uma atenuacao da vibracao na estrutura, o que e chamado na literatura de

banda proibida.

Em seguida, XIAO et al [10], em 2013, desenvolvem ressonadores flexıveis para

vigas. Esses nada mais eram do que outras vigas que eram posicionadas sobre a

estrutura principal, obtendo-se uma banda proibida consideravel. Ainda em seu

trabalho, XIAO et al [10] desenvolveram um modelo de parametros concentrados

para seus ressonadores, possibilitando um projeto mais simples e pratico.

Para prever a localizacao da banda proibida, XIAO et al [10] utilizaram o metodo

dos elementos espectrais (ver LEE [11])para um elemento de viga:DLL DLR

DRL DRR

qeL

qeR

=

f eL

f eR

, (2.36)

em que DLL, DLR, DRL, DRR sao matrizes 2x2, q e um vetor que contem os deslo-

camentos e os angulos da viga,e f , contem as forcas e os momentos. Para maiores

detalhes, o leitor pode consultar por exemplo o livro de LEE [11] o artigo de XIAO

et al [10].

Valendo-se do fato que se fez o posicionamento dos ressonadores de forma

periodica, utiliza-se o teorema de Bloch, criando entao os seguintes vınculos:

qeL = eµqeR (2.37)

18

f eL = eµf eR (2.38)

Em que q sao os deslocamentos, f , as forcas e µ a constante de propagacao. Ao

substituir esses termos na matriz do elemento, chega-se num problema de autovalor

em termos de µ, que nesse caso e um numero complexo. De sua analise ao longo de

uma faixa de frequencias conhecidas, infere-se a posicao da banda,atraves do mapa

de dispersao, em que se busca coincidir a frequencia natural,linha tracejada em 2.12,

com o maximo valor da constante de atenuacao, em vermelho, garantindo assim uma

maior atenuacao das vibracoes na viga.

Figura 2.12: Mapa de atenuacao. XIAO et al [10] adaptado

Embora correto, o procedimento de XIAO et al [10] era limitado, posto que esse se

baseou em elementos espectrais, nao muito recomendados para estrutras de geome-

trias complexas. Alem disso, a predicao da banda dependeria tambem das constantes

de propagacao, o que tambem nao e pratico.

19

Para resolver essas questoes, em 2017, ERTURK et al [12], desenvolvem um proce-

dimento geral para estimar a banda proibida em metaestruturas que apresentassem

comportamento linear. Atraves de uma analise modal, mostra-se que o comprimento

da banda proibida e dado por:

∆ω = ω2(2√

1 + µ− 1) (2.39)

Em que µ = m2

m1

(2.39) e uma boa estimativa para o tamanho da banda[12], posto que m2 e facil-

mente medido e m1 e obtido com o calculo da massa na regiao do domınio em que

ha ressonadores. A unica complicacao de (2.39) e a obtencao da frequencia natural,

o que depende diretamente do equacionamento.

Antes do uso de (2.39), testa-se sua validade para o modelo de XIAO et al [10]

com os elementos espectrais e testam-se dois cenarios: o primeiro consiste apenas na

concatenacao de diversos elementos espectrais, supondo-se uma viga infinita, cujo

espacamento mantem-se constante nao importando o numero de ressonadores e o

segundo consiste na colocacao dos mesmos elementos restringindo-se o tamanho da

viga, ate uma quantidade limite desses.

Para tal, utilizaram-se ressonadores cuja frequencia natural era de 777Hz. O

primeiro teste resultou na Figura 2.13

20

Figura 2.13: Geracao da banda proibida para estrutura infinita

Em 2.13, percebe-se que existe uma banda proibida muito bem definida em seu

inıcio e fim. Ademais, o unico efeito da colocacao de ressonadores nesse caso e a

reducao da transmitancia, o que se justifica pelo aumento da interferencia destrutiva

ao longo da viga. Para a viga finita, tem-se a Figura 2.14

21

Figura 2.14: Geracao de banda proibida para estrutura finita

Na figura 2.14, percebe-se que ha um processo de formacao da banda proibida,

que so passa a se manter para um numero de ressonadores superior a 15. A partir

desse valor, estabelece-se o valor de abertura da banda como a frequencia natural

do ressonador;todavia, a frequencia de termino so cresce, o que demonstra que o

comprimento da banda proibida tambem cresce proporcionalmente com o gradual

aumento da massa. Entao, propoe-se uma breve correcao na formula descrita por

Erturk, alterando a razao das massas, que se torna µ = m2

m1+m2. Repare que a nova

definicao recai na anterior para o caso em que m1 m2.

2.4 Absorvedores em maquinas rotativas

Existem diversas formas de vibracao nas maquinas rotativas. As principais

sao:torsional, lateral e axial, sendo possıvel tambem uma combinacao das tres si-

22

multaneamente. O primeiro absorvedor criado foi para atenuar as excitacoes torsi-

onais. A ideia, aplicada primeiramente por E. S Taylor, consistia em aproveitar o

movimento provocado pela torcao para excitar um pendulo, acoplado a maquina,

conforme exibido na Figura 2.15

Figura 2.15: Pendulo centrıfugo. NPTEL [13]

Tem-se a aceleracao do massa do pendulo dada por:

am = [−Rθ2 cos(φ)+Rθ(φ)−r(θ+φ)2 ]i+[Rθ2 sin(φ)+Rθ cos(φ)+r(θ+φ)2]j (2.40)

E o momento:

m[Rθ2 sin(φ) +Rθ cos(φ) + r(θ + φ)2]r = 0 (2.41)

Linearizando as equacoes e utilizando a hipotese de pequenos angulos para 2.41,

tem-se:

φ+

(R

rθ2)φ = −

(R + r

r

)θ (2.42)

Supondo-se o movimento do disco como θ = Ωt+ θ0 sin(ωt), chega-se a:

φ+

(R

rΩ2

)φ = −

(R + r

r

)ω2θ0 sin(ωt) (2.43)

23

De 2.43, percebe-se que a frequencia natural do conjunto e dada por ωn = Ω 2

√Rr,

em que Ω e a rotacao da maquina. A frequencia natural nesse caso tem uma carac-

terıstica muito especial: ela cresce proporcionalmente com a rotacao da maquina e

sua sintonizacao da-se apenas por parametros geometricos.

Embora pareca simples, sintonizar um absorvedor desse tipo nao e pratico nos

extremos do espectro, visto que nas altas frequencias r e ınfimo e nas baixas, e

proibitivo, o que restringe a aplicabilidade de tal absorvedor a casos com excitacoes

moderadas.

Alem desse, ha tambem o absorvedor lateral, utilizado, por exemplo em maquinas

de lavar roupa por NICOLETTI [14]. Esse, no entanto, possui uma sintonizacao bem

mais complexa quando o eixo e flexıvel, visto que dependendo do modo de vibracao

podem existir nos, nos quais o absorvedor nao e acionado. Alem disso, para o

posionamento correto, busca-se a presenca dos pontos de maximo deslocamento, de

forma a garantir o acionamento dos absorvedores.

24

Capıtulo 3

Projeto do Ressonador

3.1 Descricao do sistema

O sistema escolhido para analise foi um disco centrado em um eixo flexıvel. Tal

escolha se deve a simplificacao dada ao projeto do ressonador e tambem a facilidade

de modelagem do conjunto formado por eixo e disco, cujas equacoes encontram-se

amplamente disponıveis na literatura.

Em uma primeira analise, escolhe-se as condicoes de contorno do rotor como

apoio, posto que ha uma amplitude de vibracao maior, e, uma vez que se garante

um baixo nıvel de vibracao nesse caso, faz-se o mesmo para os demais, notadamente

de amplitude menor. O rotor escolhido e mostrado na figura 3.2.

Figura 3.1: Rotor simplesmente apoiado

25

Definido o sistema e suas condicoes de contorno, o proximo passo e a solucao das

equacoes de movimento, escritas aqui na forma geral:

ρu = b +5.σ , (3.1)

Onde ρ e a densidade do material, u e o campo de deslocamentos, b sao as forcas

de corpo e σ e o tensor das tensoes.

A partir de (3.1), chegam-se nas principais equacoes utilizadas pelos softwares

comerciais. Aqui, o sistema e discretizado por meio do Metodo dos Elementos

Finitos(MEF), com o uso de elementos tridimensionais do tipo paralelepıpedo e

tambem com elementos axissimetricos. As funcoes de forma sao dados por COOK

[15] e encontra-se uma explicacao formal do MEF e dada por ZIENKIEWICZ [16].

Da aplicacao do MEF (3.1) se torna uma equacao matricial do tipo:

[M ]u + ([C] + [G])u + [K]u = f, (3.2)

onde [M ] e a matriz de massa, [C] o amortecimento, [G] uma matriz antisimetrica

devido a rotacao e [K] a rigidez. Escrevendo-se 3.2 no domınio da frequencia, tem-se

o seguinte:

u(Ω) = (Ω2M + iΩ(C + G(Ω)) + K)−1f(Ω), (3.3)

em que Ω e a velocidade de rotacao. Reescrevendo-se (3.3) no espaco de estados,

tem-se o seguinte:

A(Ω) =

0 I

M−1K M−1(C + G(Ω)),

. (3.4)

em (3.4), I e a matriz identidade, 0 e o vetor nulo. A partir de (3.4), obtem-

se, para cada velocidade de rotacao, as frequencias naturais do sistema. A partir

do par (Ω, ωn), obtem-se o diagrama de Campbell, que nada mais e do que uma

visualizacao das frequencias naturais em termos da rotacao da maquina. Quando a

funcao ωn(Ω) intersecta-se com ωn = Ω, tem-se uma rotacao crıtica, ou seja, aquela

que excita uma dada frequencia natural do sistema. O diagrama de Campbell para

o rotor e exibido na Figura 3.2.

26

Figura 3.2: Diagrama de Campbell do rotor.

A partir de 3.2, constatam-se 2 frequencias naturais no intervalo de 0 a 30000

RPM, uma em aproximadamente 200 Hz e outra, em 500 Hz.

3.2 Geometria do Ressonador

A primeira caracterıstica necessaria ao ressonador e a axissimetria, o que facilitara

a montagem entre esse e o eixo. Intuitivamente, a primeira geometria que facilmente

satisfaz esse requisito e o cilindro vazado, ao qual referir-se-a aqui, por simplicidade,

como anel.

Apos a definicao da geometria de conexao, o proximo passo e a determinacao do

princıpio de acionamento do ressonador. Para aciona-lo, acoplam-se ao anel vigas

tanto na horizontal quanto na vertical, de forma a garantir excitacoes causadas pelo

eixo em ambos os sentidos.

Alem dos elementos estruturais anteriormente descritos, faz-se necessaria a co-

locacao de um outro anel, acoplado as vigas. Isso se deve ao fato dessas apresentarem

27

dois tipos de flexao quando sujeitas a rotacao, chamadas pela literatura de flapwise

bending e chordwise bending [17]. O primeiro tipo de flexao se da no plano xy e e

desejavel para a ativacao do ressonador, ja o segundo ocorre no plano xz e e bas-

tante problematico, dado que sobrecarrega os mancais. Para evitar esse incomodo,

interliga-se o anel externo as vigas, de modo a dificultar a flexao no plano xz sem

atrapalha-la no plano xy.

Depois dessas consideracoes, o proximo passo e reduzir as concentracoes de tensoes

existentes entre as conexoes, possıvel a partir de um adocamento nessas regioes.

Apos essas modificacoes obtem-se a geometria para o ressonador,exibida na Figura

3.3.

Figura 3.3: Primeiro modelo de ressonador

O proximo estagio do projeto e a definicao dos parametros geometricos do resso-

nador. Esses sao fundamentais para o processo de sintonizacao, visto que quanto

menos parametros utilizados para definir completamente o mesmo, mais simples sera

o procedimento. Escolheu-se como parametros o comprimento da viga, a espessura

do ressonador e o diametro do eixo, sendo os dois ultimos prescritos e o primeiro,

variavel. Inicialmente, considera-se, por simplicidade, a espessura tambem como

prescrita. Todos os parametros do ressonador sao exibidos em 3.4.

28

Figura 3.4: Parametros utilizados na definicao do ressonador

Apos alguns testes, definiram-se todas as variaveis em funcao apenas do compri-

mento efetivo, indicado em 3.4 como L, e do raio do eixo, r1. . Apos a reducao dos

parametros, as relacoes utilizadas sao exibidas em 3.5 e 3.6.

t1 = 0.1r1 , t2 = r1/2 , r2 = r1 + t1 , (3.5)

r3 = r2 + L , r4 = r3 + t1 , r5 = 0.10(1− r1/r3) . (3.6)

3.2.1 Sintonizacao do Ressonador - Procedimento Analıtico

Com os resultados obtidos atraves do diagrama de Campbell e todos os parametros

definidos, delimita-se um procedimento para a sintonizacao do ressonador. Sao

possıveis dois caminhos:determinacao das frequencias naturais analiticamente ou

numericamente. A solucao analıtica permite a completa descricao dos modos em

funcao de todos os parametros do problema; todavia, surgem complicacoes ma-

tematicas na resolucao das equacoes: ao considerar apenas as vigas,com a teoria

29

linear, e necessario resolver um sistema de tres equacoes diferenciais parciais, sendo

duas delas acopladas, que e resolvido por CHUNG [18] por meio do MEF.

A tatica escolhida aqui para sintonizacao dar-se-a por duas vias:atraves de um

modelo analıtico simplificado e computacionalmente. Obtem-se o modelo analıtico

simplificado inicialmente supondo-se que a viga e longa o suficiente para a aplicacao

da teoria de Euler-Bernoulli.

Uma vez feita essa hipotese, definem-se as condicoes de contorno para a viga.

Considerou-se, por hipotese, que a viga encontrava-se simplesmente apoiada, e, com

isso, mostra-se, a partir da resolucao de um problema de autovalor, que a frequencia

natural da viga e do tipo:

ωn =(nπL

)2√EI

ρA(3.7)

Considerando-se o primeiro modo, e sendo ω1 uma frequencia natural devido a

torcao,tem-se:

ω1 =(πL

)2√EI

ρA=

√ktJviga

, (3.8)

donde se obtem:

kt = Jviga

(πL

)4 EIρA

. (3.9)

Como o ressonador e uma composicao de quatro vigas, tem-se ainda uma asso-

ciacao de molas, em paralelo, dado que o angulo para todas as molas e o mesmo.

Entao, escreve-se a rigidez do conjunto dada por:

keq = 4Jviga

(πL

)4 EIρA

(3.10)

Portanto, a frequencia natural dos absorvedor para torcao e dada por:

f =1

2π

√keq

Janel,ext(3.11)

Sob a otica de um absorvedor torcional, tem-se um projeto bem mais versatil que

o descrito na secao 2 deste trabalho, dado que a quantidade de parametros utilizada

nao se restringe apenas a escolha da geometria.

30

Alem do modo torcional, esse ressonador tambem possui modos flexionais. Nesse

caso, a modelagem torna-se bem mais complicada, visto que sao diversas possi-

bilidades de flexao do ressonador, sendo inviavel atribuir uma unica constante de

rigidez ao conjunto inteiro. Para exemplificar, existem, basicamente, dois modos

de vibracao desse absorvedor no plano xy. No primeiro, ha a flexao de todas as

vigas simultaneamente, como expresso na Figura 3.5, enquanto que no segundo, ha

a flexao em pares, Figura 3.6, sendo que nesse caso, ha tambem um carregamento

de compressao. Portanto, obtem-se os demais modos do absorvedor computacional-

mente.

Figura 3.5: Primeiro modo de flexao

Figura 3.6: Segundo modo de flexao

3.2.2 Sintonizacao do Ressonador - Procedimento Numerico

O primeiro passo na resolucao computacional sera o uso de 3.5 e 3.6 definindo-se a

geometria do ressonador, que e apenas funcao de L. Para cada valor de L, obtem-se

31

um diagrama de Campbell:

Figura 3.7: Diagrama de Campbell do ressonador

Com diversos L, obtem-se uma superfıcie, utilizada para a sintonizacao do resso-

nador(figura 3.8)

32

Figura 3.8: Superfıcie utilizada na sintonizacao

Para tal, basta saber a velocidade de rotacao da maquina, Ω e interpola-la com

os dados obtidos na simulacao, obtendo para esse valor uma curva ω(L), a qual e

aproximada por um decaimento exponencial(figura 3.9)

33

Figura 3.9: Pontos da simulacao aproximados pelo decaimento exponencial

A curva mostrada em 3.9 foi obtida atraves do ajuste pela exponencial ω =

4421e−0.04951L. Com a funcao definida, basta escolher a frequencia natural do res-

sonador, que nada mais e do que aquela que indica a abertura da banda proibida.

Aqui, escolheu-se esse valor como ω = 438 Hz, o que resultou num L = 46.6 mm,

aproximado aqui, por praticidade, como L = 50 mm

.

34

Capıtulo 4

Resultados e Discussoes

4.1 Geracao da Banda

Conforme discutido no capıtulo anterior, o ressonador escolhido tera o compri-

mento de L = 50 mm e frequencia natural 438 Hz, inicialmente pensado em aco

. Para que essa seja de fato o valor de abertura da banda, necessita-se de uma

quantidade suficiente de ressonadores para esta tarefa. Como tentativa inicial,

posicionaram-se os ressonadores a = 75 mm entre si, 25 mm distantes do rotor,

e aL = 150 mm das extremidades do eixo Dshaft = 20 mm, cujo disco central tem

t = 20 mm de espessura. Tais parametros sao exibidos na Figura 4.1 e exibe-se a

banda proibida gerada na figura 4.2

Figura 4.1: Posicionamento dos absorvedores ao longo do eixo

35

Figura 4.2: Obtencao da banda proibida

De acordo com (4.2), obtem-se uma banda de, aproximadamente, 125Hz, valor

maior do que aquele obtido pela relacao desenvolvida por ERTURK et al [12]. Ao

utiliza-la, obtem-se um valor de banda de 62Hz,diferente do simulado. Uma justi-

ficativa plausıvel e que modelagem de ERTURK et al [12], a cada regiao do corpo,

associava-se apenas um unico ressonador, cujo comportamento era completamente

conhecido. Aqui, cada regiao possui 4 elementos elasticos associados, cujo compor-

tamento varia de acordo com o modo excitado rotacao do equipamento. Logo, a

expressao de ERTURK et al [12] serve apenas como uma estimativa inicial.

4.2 Relacao entre o comprimento da banda e o

numero de ressonadores

Inicialmente, escolheram-se, arbitrariamente, 8 ressonadores para a criacao da

banda, satisfatoriamente criada; todavia, apenas com a escolha em si nao se conclui

nada a respeito da relacao entre a banda e a quantidade de ressonadores.

36

Visando-se uma analise mais detalhada, variam-se os ressonadores ao longo da

viga, observando se ha de fato uma mudanca significativa entre o numero de ressona-

dores e o comprimento da banda. Para tal, utilizam-se inicialmente 4 ressonadores,

variando-se esse numero de 2 em 2 ate 20. A distancia a entre os ressonadores e

dada por:

a =L− al − arn− 1

, (4.1)

onde L e o comprimento do ressonador, al e a distancia do ultimo ressonador a

extremidade esquerda do eixo, ar a distancia entre o primeiro ressonador e a extre-

midade direita do eixo e n a quantidade de ressonadores. Ao variar a quantidade de

ressonadores, obtem-se a Figura 4.3.

Figura 4.3: Relacao entre o numero de absorvedores e o tamanho da banda obtida

A Figura 4.3 apresenta, em vermelho, as frequencias naturais.O tamanho da banda

e dada pela distancia entre as regioes quentes imediatamente posterior e anterior a

regiao fria central. Infere-se do grafico que a banda aumenta a medida que o numero

de ressonadores tambem o faz.

37

Por mais que o procedimento de criacao de bandas proibidas pareca atraente

para uma dada regiao de operacao, deve-se analisar tambem qual o onus da imple-

mentacao. A analise mais evidente e a carga sobre os apoios, que dara o direcio-

namento para a escolha dos mancais. Analisando-se a forca dos mancais contra a

rotacao do equipamento obtem-se:

Figura 4.4: Relacao entre as forcas no mancal em funcao da rotacao

Da figura 4.4, percebe-se que os ressonadores, de fato, removeram a frequencia

natural que antes era excitada em 30000 RPM; porem, o ressonador trouxe consigo

outras frequencias naturais, sendo a mais preocupante delas proxima a 24000 RPM,

que possui um valor tao alto quanto aquele do caso sem ressonador algum. A fim

de que nao haja problemas, projeta-se o conjunto de forma que a passagem pelas

rotacoes problematicas se deem de maneira rapida; todavia, nao e uma tarefa de

todo facil, visto que se exige mais do motor. De maneira inversa, ao desligar o

equipamento, necessita-se de um freio, evitando a excitacao na desaceleracao.

38

Capıtulo 5

Conclusoes

Neste trabalho, delimitou-se um procedimento para a obtencao de um absorve-

dor dinamico de vibracao para maquina rotativa, de forma que se atenuasse tanto

excitacoes torcionais quanto laterais.

No caso de excitacoes torsionais, a modelagem do absorvedor foi simples e bas-

tante direta, nao sendo necessaria a formulacao pelo MEF; ja para o caso de vibracao

lateral, devido a existencia de diversos modos, carregamentos e parametros repre-

sentativos distintos, optou-se pela formulacao de elementos finitos, que permite a

obtencao direta dos valores de frequencias naturais, mas que complica o procedi-

mento de sintonizacao.

A sintonizacao do absorvedor necessitou de um procedimento extenso, na qual

diversas simulacoes foram necessarias para o levantamento de uma curva de sin-

tonizacao; todavia, uma vez levantada a curva para uma vasta faixa de valores, a

obtencao do ressonador deu-se de maneira bastante direta, tendo apenas um custo

computacional inicial moderado.

A principal dificuldade na concepcao do ressonador foram as possıveis restricoes

geometricas do equipamento em que se deseja instala-lo, o que torna o procedimento

proibitivo para casos em que a tolerancia e muito apertada; todavia, nos casos em

que o nıvel de vibracao e elevado, uma reavaliacao do projeto e bem vinda, de

forma a manter equilibrado o compromisso entre o rendimento da maquina e sua

durabilidade, diretamente ligada a vibracao existente.

39

Referencias Bibliograficas

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41

Apendice A

Codigo Fonte

Codigo em Matlab

1

2 m1 = 0 . 1 0 1 1 ;

3 m2 = 0 .04647 ;

4 f 1 = 0 : 0 . 0 0 1 : 1 2 ;

5 k1 = 117 ;

6 k2 = 74 ;

7 c2 = 0 . 5 ;

8 c1 = 0 ;

9 x1 = ze ro s ( l ength ( f 1 ) ,1 ) ;

10 x2 = ze ro s ( l ength ( f 1 ) ,1 ) ;

11 x3 = ze ro s ( l ength ( f 1 ) ,1 ) ;

12 x4 = ze ro s ( l ength ( f 1 ) ,1 ) ;

13 x10 = ze ro s ( l ength ( f1 ) ,1 ) ;

14 w2 = s q r t ( k2/m2) ;

15 omega = ze ro s ( l ength ( f 1 ) ,1 ) ;

16 Ds = ze ro s ( l ength ( f 1 ) ,1 ) ;

17 T = ze ro s ( l ength ( f1 ) ,1 ) ;

18 K = 2∗k1∗ eye (10 ,10) ;

19 C = 2∗ c1∗ eye (10 ,10) ;

20 M = zero s (10 ,10) ;

42

21 f r = [ 0 . 0 1 ; z e r o s (9 , 1 ) ] ;

22 f o r i = 1 : ( l ength (K( 1 , : ) )−1)

23 K( i , i +1) = −k1 ;

24 K( i +1, i ) = −k1 ;

25 C( i , i +1) = −c1 ;

26 C( i +1, i ) = −c1 ;

27 end

28 f o r i = 1 : l ength ( f 1 )

29 omega ( i , 1 ) = 2∗ pi ∗ f 1 ( i ) ;

30 meff ( i , 1 ) = m1+m2∗(w2ˆ2+ j ∗omega ( i , 1 ) ∗c2/m2) /(w2ˆ2−omega (

i , 1 ) ˆ2+ j ∗omega ( i , 1 ) ∗c2/m2) ;

31 Ds( i , 1 ) = 10∗ l og10 ( abs ( meff ( i , 1 ) ∗omega ( i , 1 ) ˆ2) ) ;

32 M = [m1 ze ro s (1 , 9 ) ;

33 0 meff ( i , 1 ) z e r o s (1 , 8 ) ;

34 0 0 meff ( i , 1 ) z e r o s (1 , 7 ) ;

35 0 0 0 meff ( i , 1 ) z e r o s (1 , 6 ) ;

36 0 0 0 0 meff ( i , 1 ) z e r o s (1 , 5 ) ;

37 z e r o s (1 , 5 ) meff ( i , 1 ) z e r o s (1 , 4 ) ;




41 z e r o s (1 , 9 ) m1 ] ;

42 X = inv (K − omega ( i ) ˆ2∗M +j ∗omega ( i , 1 ) ∗C)∗ f r ;

43 x1 ( i , 1 ) = 10∗ l og10 ( abs (X(1) ) ) ;

44 x10 ( i , 1 ) = 10∗ l og10 ( abs (X(10) ) ) ;

45 T( i , 1 ) = 10∗ l og10 ( abs (X(10) /(X(1) ) ) ) ;

46 end

47

48 f i g u r e (1 )

49 p lo t ( f1 ,T) ;

43

Macro para ANSYS-APDL

1

2 / prep7

3 ∗GET, NP, KP, , NUM, MAX, ,

4 ∗GET,LP, LINE , ,NUM,MAX, ,

5 ∗GET,AP,AREA, ,NUM,MAX, ,

6 pi = acos (−1)

7 r1 = 10e−3

8 t1 = r1 /20 ! 1 . 25 e−3

9 t2 = r1 / 2 . 5 ! r1 /2

10 r2 = r1 +1.25∗ t1

11 L = 50e−3

12 r3 = L+r2

13 r4 = r3 +2.5∗ t1 ! r3 +4.5∗ t1

14 r5 = r3+3∗t1

15 ! cyl4 , 0 , 0 , r4 , , r5 , , t2

16 theta aux = acos ( t1 / r2 )

17 the ta 1 = pi /(2+0.618∗( r3−r2 ) / r3 ) ! p i /2 .25

18 the ta 2 = acos ( r2∗ cos ( the ta 1 ) / r3 )

19 percent = 0.10∗(1− r1 / r3 )

20

21 k ,NP+1 ,0 ,0 ,0

22 k ,NP+2, r3 , 0 , 0

23 k ,NP+3 ,0 , r3 , 0

24

25 l ,NP+1,NP+2

26 l ,NP+1,NP+3

27

28 k ,NP+4, r2∗ cos ( the ta 1 ) , r2∗ s i n ( the ta 1 ) ,0

29 k ,NP+5, r2∗ cos ( theta aux ) , r2∗ s i n ( theta aux )+percent ∗L, 0

30 k ,NP+6, r2∗ cos ( theta aux ) , r2∗ s i n ( theta aux )+(1−percent )∗L, 0

31 k ,NP+7, r3∗ cos ( the ta 2 ) , r3∗ s i n ( the ta 2 ) ,0

44

32 k ,NP+8, r3∗ s i n ( the ta 2 ) , r3∗ cos ( the ta 2 ) ,0

33 k ,NP+9, r2∗ s i n ( theta aux )+(1−percent )∗L , r2∗ cos ( theta aux ) ,0

34 k ,NP+10, r2∗ s i n ( theta aux )+percent ∗L , r2∗ cos ( theta aux ) ,0

35 k ,NP+11, r2∗ s i n ( the ta 1 ) , r2∗ cos ( the ta 1 ) ,0

36

37 l a r c ,NP+11,NP+4,NP+1, r2

38

39 kbetw ,NP+4,NP+5,NP+12,RATI, 0 . 5

40 l ,NP+12,NP+4

41 r f i l l = d i s tkp (NP+5,NP+4)

42 lwplan ,−1 ,LP+4,0

43 csys , 4

44 theta aux2 = acos (1/(2∗(1+ percent ) ) )

45 k ,NP+13,(1+ percent )∗ r f i l l ∗0 .5∗ ( s i n ( theta aux2 )+1) ,0 ,0

46 rad iu s = di s tkp (NP+13,NP+4)

47 LARC,NP+4,NP+5,NP+13, rad iu s

48 csys , 0

49 l ,NP+5,NP+6

50


52 l ,NP+14,NP+6


54 lwplan ,−1 ,LP+7,0

55 csys , 4




59 LARC,NP+7,NP+8,NP+1, r3

60

61


63 l ,NP+16,NP+9

45


65 lwplan ,−1 ,LP+10 ,0

66 k ,NP+17,−(1+ percent )∗ r f i l l ∗0 .5∗ ( s i n ( theta aux2 )+1) ,0 ,0



69 l ,NP+9,NP+10

70

71 csys , 0

72

73 kbetw ,NP+10,NP+11,NP+18, r a t i , 0 . 5

74 l ,NP+18,NP+11


76 lwplan ,−1 ,LP+13 ,0

77 csys , 4




81 AL,LP+3,LP+5,LP+6,LP+8,LP+9,LP+11,LP+12,LP+14

82

83 csys , 0

84 ARSYM,Y,AP+1, , , , 0 ,0

85 ARSYM,X,AP+2, , , , 0 ,0

86 ARSYM,Y,AP+3, , , , 0 ,0

87 !FLST, 3 , 1 , 5 ,ORDE, 1

88 !FITEM, 3 , 1

89 !ARSYM,Y, P51X , , , , 0 ,0

90 !FLST, 3 , 1 , 5 ,ORDE, 1

91 !FITEM, 3 , 2

92 !ARSYM,X, P51X , , , , 0 ,0

93 !FLST, 3 , 1 , 5 ,ORDE, 1

94 !FITEM, 3 , 3

95 !ARSYM,Y, P51X , , , , 0 ,0

46

96

97 WPCSYS,−1 ,0

98 CYL4, 0 , 0 , r1 , ,R4

99

100

101 ASBA,AP+5,ALL

102 !FLST, 3 , 4 , 5 ,ORDE, 2

103 !FITEM, 3 , 1

104 !FITEM,3 ,−4

105 !ASBA, AP+5,P51X

106

107

108

109 VOFFST,AP+6, t2

110 WPCSYS,−1 ,0

111 /EOF

47

Documents

Controle passivo de vibração em máquinas rotativas com ...monografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10028690.pdf · s o e vi avel nos casos cuja geometria e simples e o equacionamento