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Aula 00

Estatstica p/ ICMS/RJ (com videoaulas)Professor: Jeronymo Marcondes

Estatstica para ICMS-RJ

Teoria e exerccios comentados

Prof. Jeronymo Marcondes Aula 00

Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 47

AULA 00: Representao de dados

SUMRIO PGINA Conceitos Bsicos 5

Variveis 7 Tabela de frequncia e representao grfica 10

Diagrama de Ramos e Folhas 22 Lista de Exerccios resolvidos em aula 39

Gabarito 47

Ol pessoal! Esto prontos para embarcarmos juntos nesta difcil jornada que leva aprovao em um concurso pblico? Ento vamos l! Bom pessoal, primeiro que gostaria de bater um papinho com vocs.

- 0DVDILQDOGHFRQWDVTXHPpYRFrSURIHVVRU"

Boa pergunta! Meu nome Jeronymo Marcondes Pinto e j tenho uma grande bagagem no que se refere a concursos pblicos. Sou Economista, Mestre e Doutor em Economia Aplicada pela Universidade de So Paulo (USP) e, atualmente, sou Auditor Fiscal do Trabalho (AFT), atuando na rea de planejamento e anlise estatstica da Secretaria de Inspeo do Trabalho (SIT MTE\sede e SRTE\SP). J fiz muitos concursos, tendo sido aprovado em vrios, como Auditor Fiscal do Tesouro Estadual (SEFAZ\RS), Analista de Planejamento, Oramento e Finanas Pblicas (SEFAZ SP), Economista do MPU, Economista da Cmara Municipal de So Paulo, dentre muitos outros. Porm, j fui reprovado em concurso tambm!

- 3URIHVVRUSRUTXHYRFrHVWiQRVFRQWDQGRGHUHSURYDo}HVLVVRQmRWHGLPLQXL"

Muito pelo contrrio! Posso dizer que a maior parte da minha experincia deriva do no sucesso! Aprendi muita coisa ao no ser aprovado, coisas que fizeram com que eu me tornasse um verdadeiro concurseiro! Ao longo do FXUVRHVWDUHLGDQGRGLFDVGHFRQFXUVHLURSDUDYRFrVRTXHRVDMXGDUiQRVVHXVSODQHMDPHQWRVHVWUDWpJLDVetc.





Vamos falar de seu concurso! Auditor Fiscal da Receita Estadual do Estado do Rio de Janeiro.

Concurso excelente! Remunerao de R$ 13.186,76 no para qualquer cargo. Mas, no s isso, a grande vantagem de concursos de fiscal de ICMS a possibilidade de realizar as mais diversas atividades. H possibilidades de atuar em atividades externas, o que te permite fazer seu horrio, bem como atividades internas superinteressantes, tais como planejamento e anlise.

-4XHPDUDYLOKD

Pois , mas voc no a nica pessoa que percebeu isso. Este concurso difcil demais (sempre foi). O concurso de ICMS-RJ famoso por ter provas to difceis que, quem faz o mnimo, costuma entrar. Os concurseiros desta rea se preparam com muita antecedncia e esto entre os melhores do Brasil.

-0DVVHUiTXHHXFRQVLJR"

Claro que consegue! O que a minha experincia me ensinou que quem passa em concurso aquele que realmente sabe o que quer e corre atrs! No desanime de jeito nenhum e estude com todas as suas foras, pois voc vai conseguir. Por enquanto, no temos edital, mas a que est a questo, pois voc deve ir se preparando com antecedncia para um concurso deste calibre.

Pessoal, o meu estilo se caracteriza pelo seguinte: pragmatismo e informalidade.

DICAS DE UM CONCURSEIRO *HQWHR SHUGHGRUQmRpDTXHOHTXHQmRYHQFHPDVDTXHOHTXHno tenta por ter medo de perder! No tenha medo de no ser aprovado, faa o seu melhor! O medo far com que voc desperdice chances que podem mudar a sua vida, alm de fazer com que voc se esforce menos... o que , de longe, o principal para ser aprovado!





Pragmatismo porque costumo tentar ser o mais objetivo possvel, sempre com foco em editais de concurso pblico. Assim, o meu curso no ter um vis acadmico, sendo que o mesmo feito para quem quer passar em concurso pblico, ponto.

Informalidade porque o presente curso no um livro texto. Afinal, quem quiser um livro texto bem formal basta ir livraria e comprar, no acha? O nosso diferencial no Estratgia Concursos ensinar da forma mais didtica possvel, evitando formalismos desnecessrios, como a demonstrao de um teorema, por exemplo. O meu objetivo que qualquer pessoa seja capaz de fazer uma prova de Estatstica tendo meu curso como base.

O que vocs vo estudar comigo a parte de estatstica do ltimo edital:

Parece pouco, no? Mas, no ! Isso porque h muitos conhecimentos de estatstica que so necessrios para estudar todo este tpico. Assim, iremos cobrir todo o contedo necessrio desta forma:

1. Estatstica Descritiva: grficos, tabelas, medidas de posio e de variabilidade. 2. Tcnicas de Contagem e Anlise Combinatria.(...) 4. Combinaes, Arranjos e Permutao. 5. Espao amostral e probabilidades: conceito, axiomas; 6. Distribuies de probabilidades discretas e contnuas (Bernoulli, Binomial, Poisson, Normal, Qui-quadrado, T-Student). 7. Amostragem: amostras casuais e no casuais. 8. Processos de amostragem, incluindo estimativas de parmetros. 9. Inferncia: intervalos de confiana. 10. Testes de hipteses para mdias e propores. 11. Correlao e Regresso Linear simples.





AULA CONTEDO DATA TPICO DO EDITAL

Aula 0 Conceitos Bsicos Disponvel 1

Aula 1 Medidas de Posio e Disperso Disponvel 1

Aula 2 Introduo Anlise Combinatria Disponvel 2 e 4

Aula 2 parte 2 Probabilidade Disponvel 5 Aula 3 Distribuio de Probabilidade Disponvel 6

Aula 4 Variveis Aleatrias Contnuas 27/3 6

Aula 5 Distribuio de Probabilidade Conjunta 7/4 6 Aula 6 Inferncia e Estimao 7/4 7 e 8

Aula 7 Intervalo de Confiana e Teste de Hipteses

14/4 9 e 10

Aula 8 Correlao e Regresso 14/4 11

Aula 9 Simulado 21/4

Tendo isso em mente, chega de bl, bl e bl. Vamos ao que interessa!





1. Conceitos bsicos

-2TXHpHVWDWtVWLFD"

Uma boa definio : a coleo de tcnicas utilizadas para coleta, anlise e interpretao de dados.

Essa cincia pode ser dividida em 2 ramos importantes:

1) Estatstica Descritiva (dedutiva) 2) Estatstica Inferencial (indutiva)

Perdoem-PHDUHGXQGkQFLDPDVDHVWDWtVWLFDGHVFULWLYDGHVFUHYHXPFRQMXQWRGHdados. Por exemplo, neste ramo voc analisa os dados por meio de grficos representativos de sua distribuio, por meio de sua mdia, varincia, mediana, etc. A partir desta anlise voc avalia os resultados e tira concluses.

Viu? A estatstica descritiva a coleta, apresentao, anlise e interpretao dos dados numricos coletados.

-0DVLVVRQmRUHVXPHo conceito"

No! Porque nem sempre conhecemos o comportamento da populao, sendo, muitas vezes, necessrio inferir concluses a partir de uma amostra.

No entendeu? Veja os conceitos:

Populao = conjunto de todos os elementos que possuem determinada caracterstica.

Amostra = parte no nula da populao, mas menor do que esta ltima.





Veja uma pesquisa eleitoral, por exemplo. O ideal seria que todos os eleitores de uma determinada sociedade fossem consultados, mas isso impossvel, seja por custos da pesquisa, seja pelo tempo que seria necessrio para isso.

Assim, os institutos de pesquisa baseiam-se em amostras, ou seja, uma parcela que seria representativa da populao total.

No nosso exemplo, a populao seria composta por todos os eleitores da sociedade, enquanto que a amostra seriam os indivduos entrevistados pelo instituto quanto sua preferncia de voto. Se o instituto observasse 100% dos indivduos da sociedade (toda populao) ele estaria realizando um censo.

Mas, isso levanta diversas questes, tais como:

x Ser que podemos confiar nesta amostra? x Qual o grau de confiabilidade da mesma? x Como obter estimativas consistentes do que buscamos entender da

populao com base na amostra

Essa parte fica para a estatstica inferencial! Assim, com base em uma amostra, a estatstica inferencial ir apresentar, analisar e interpretar os dados coletados.





Entendeu? No nosso curso iremos estudar ambos os ramos da estatstica, sendo que iniciaremos pela estatstica descritiva.

2. Variveis

3R[DYRFrYDLFDQVDUGHRXYLUHVWDYDULiYHODTXHODYDULiYHOHWF0DVDILQDOGHcontas, o que uma varivel?

Ora, quer uma explicao boba? tudo que no constante.

claro que isso foi uma brincadeira, mas com um fundo de verdade. Veja uma definio mais formal:

Varivel toda a realizao de uma caracterstica que pode assumir diferentes valores a cada experimento.

Pense comigo, vamos imaginar que um pesquisador est fazendo um levantamento estatstico para determinar a rea de uma unidade da federao, bem como a temperatura mdia no respectivo territrio.

Pense no territrio do estado de So Paulo nos ltimos 5 (cinco) anos. Provavelmente o valor da rea do estado no mudou neste perodo (se mudou, por favor me avisem...rsrsrs). Este um exemplo de uma constante. Ou seja, independentemente da quantidade de vezes que seja realizado o experimento (leia-se pesquisa), o tamanho do territrio ser o mesmo (leia-se caracterstica constante).

E a temperatura mdia? Com quase toda certeza, a temperatura mdia no estado mudou de ano para ano, oscilando em torno de determinados valores. Este um exemplo de uma varivel! Neste nosso exemplo trata-se de uma varivel quantitativa.





-+iRXWURVWLSRVGHYDULiYHOSURIHVVRU"

Sim! No caso estudado acima, a realizao da varivel sempre um nmero, mas, em alguns casos, a resposta pode ser uma qualidade, tratando-se de uma varivel qualitativa.

Por exemplo, caso um pesquisador realize uma pesquisa com diversos indivduos a fim de determinar a proporo de indivduos que so casados na sociedade, a resposta ser uma varivel qualitativa: casado ou solteiro.

5HJULQKD SHUJXQWH SDUD D YDULiYHO 6H Dresposta for um nmero, a varivel quantitativa, se for uma palavra, varivel TXDOLWDWLYD3RUH[HPSORDYDULiYHOQDFLRQDOLGDGHHPXPDSHVTXLVDpXPDvarivel qualitativa, pois ao questionar qual a nacionalidade do indivduo, a resposta ser uma palavra.

Mas, ateno! Isso s uma dica que serve para facilitar, mas nem sempre isso verdade. Por exemplo, existe o caso das variveis dicotmicas (binrias), que s podem assumir os valores 1 e 0. Este um caso de exceo regrinha acima, pois se trata de varivel qualitativa, que ns iremos discutir mais adiante no nosso curso.

-(QWHQGLSURIHVVRUPDVpVyLVVR"

No! Podemos ainda dividir as variveis conforme grfico abaixo.





As variveis qualitativas podem ser divididas em nominais e ordinais. Ordinais so aquelas que podem ser ordenadas conforme seu resultado, nominais so aquelas FXMD RSHUDomR QmR p SRVVtYHO 3HUFHED TXH TXDQGR HX GLJR RUGHQDU HX HVWRXfalando em classificar, a depender de seu resultado.

3RUH[HPSORDVUHDOL]Do}HVGHXPDSHVTXLVDFRPLQGLYtGXRVQRTXHVLWRQtYHOGHHVFRODULGDGH p SDVVtYHO GH VHU RUGHQDGDSRLV XPD SHVVRD FRP HQVLQR VXSHULRUestudou mais anos do que outra com ensino mdio. Assim, a pessoa com nvel VXSHULRUWHPPDLVHVFRODULGDGHGRTXHDGHHQVLQRPpGLR2PHVPRQmRSRGHVHdizer com relao varivel nacionalidade, pois esta no pode ser ordenada.

-(DVTXDQWLWDWLYDVSURIHVVRU"

Por outro lado, as variveis quantitativas podem ser dividas em discretas e contnuas. Veja, uma varivel contnua aquela que pode assumir infinitos valores.

Por exemplo, a distncia entre os seus olhos e o monitor pode ser de 30 cm, mas pode ser 30,01 cm, 30,0001, e por a vai. Ou seja, h uma quantidade infinita de valores que podem representar esta distncia. Este um caso de varivel contnua.

Agora, se voc for contar a quantidade de garrafas de gua por apartamento em seu prdio, voc s encontrar nmeros inteiros, como uma, ou duas garrafas, por exemplo. Este um caso de varivel discreta.





s vezes difcil usar esta ideia intuitiva da diferena entre variveis contnuas e discretas, assim, h uma definio bastante til para esta diferenciao:

Uma definio possvel e muito til que as variveis quantitativas discretas derivam de uma contagem, enquanto que as contnuas derivam de uma mensurao.

Bom, conhecendo tudo isso, vamos discutir como representar tais variveis. Isso , como podemos sintetizar o que nossos dados esto nos dizendo? Um jeito com grficos e tabela de frequncias.

3. Tabela de frequncia e representao grfica

Primeira pergunta que voc vai fazer ao avaliar uma varivel : quantas vezes uma determinada caracterstica aparece?

Para isso nos utilizamos do conceito de frequncia.

Frequncia o nmero de vezes em que uma varivel assume um determinado valor.

Vamos comear analisando um caso de variveis qualitativas.

Por exemplo, vamos analisar um exemplo hipottico de uma pesquisa sobre ensino em um bairro do Rio de Janeiro:





Ensino Frequncia (quantidade de pessoas) Ensino Fundamental 400

Ensino Mdio 300 Ensino Superior 300

Total 1000

Esta uma forma de representao dos dados chamada, por alguns autores, de agrupamento simples.

Veja, o que a tabela de frequncias est te mostrando quantas vezes a varivel TXDOLWDWLYD HQVLQR DVVXPH determinados valores, isso , quantas pessoas neste bairro tm ensino fundamental, mdio e superior. A tabela est te mostrando a frequncia absoluta.

-3RUTXHDEVROXWDSURIHVVRU"

Pelo fato de esta medida no levar em conta o quanto cada valor assumido pelas variveis representa do total, que o caso da frequncia relativa ou proporo. Vamos continuar no nosso exemplo:

Ensino (quantidade de pessoas) Frequncia Frequncia relativa Ensino Fundamental 400 400/1000 = 40%

Ensino Mdio 300 300/1000 = 30% Ensino Superior 300 300/1000 = 30%

Total 1000 1000/1000 = 100%

A frequncia relativa tem a vantagem de permitir comparaes entre tabelas com diferentes quantidades de dados analisados para uma mesma varivel. Por exemplo, se fizermos esta mesma pesquisa com 2400 indivduos (ao invs de 1000), a comparao das frequncias absolutas entre as duas tabelas no faz sentido, porm isso no verdade no caso das frequncias relativas, pois estaramos comparando dois percentuais.





Entenderam? Ns podemos nos utilizar desta tabela para confeccionar um grfico desta varivel qualitativa a fim de que possamos visualiz-la melhor.

Uma possibilidade so os grficos em colunas RXHPIRUPDGHSL]]D RXJUiILFRHPVHWRUHV. Vamos mostrar com base nos nossos exemplos:

Muitas bancas costumam chamar este grfico com a barra HPSpGHgrfico em colunas, s chamando de grfico em barra quando estas colunas esto na horizontal. Desta forma, o grfico em barras seria:

0

100

200

300

400

500

Ensino Fundamental Ensino Mdio Ensino Superior

Ensino - Grfico em colunas

Ensino

Fundamental

Ensino Mdio

Ensino

Superior

Ensino - Grfico em pizza





Olha pessoal, em termos prticos, no h diferena entre usar um grfico em barra ou em coluna. Portanto, quando eu falar de grficos em barra, entenda que o mesmo vale para os grficos em colunas, ok?

Esta parte tranquila, no pessoal? Vai dar uma volta e tomar uma gua, porque agora iremos estudar a representao das variveis quantitativas, o que complica um pouco. Vamos comear com o caso mais fcil: variveis quantitativas discretas!

Bom, ns podemos utilizar a tabela de frequncias para variveis quantitativas discretas tambm. Um exemplo bem tranquilo seria no caso de variveis discretas, tal como o nmero de casais de um bairro que tem um determinado nmero de filhos:

A quantidade de filhos uma varivel discreta, pois o nmero de filhos de um casal s pode ser um nmero inteiro (ningum tem 2/3 de filhos, por exemplo).

0 100 200 300 400 500

Ensino Fundamental

Ensino Mdio

Ensino Superior

Ensino - Grfico em Barras

Filhos Frequncia (nmero de casais) Frequncia relativa 1 60 60% 2 30 30% 3 10 10%

Total 100 100%





A representao grfica desta tabela muito tranquila e no apresenta muito problemas. Podemos inclusive utilizar os modelos de grficos em barra e em SL]]DWDOFRPRQRFDVRGDVYDULiYHLVTXDOLWDWLYDV3RUH[HPSORQRFDVRGRJUiILFRem barra:

Outro tipo bastante comum o grfico de disperso unidimensional. Ele funciona assim, com base em pontos sobre os grficos, ns iramos visualizar qual a frequncia de uma determinada classe. Vamos retornar ao exemplo:

0

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3

Quantidade de filhos

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Grfico de Disperso - tipo 1





Neste exemplo, cada ponto est relacionando a frequncia em que ocorre uma determinada quantidade de filhos com esta varivel.

O grfico de disperso pode ser modificado de forma que no seja necessrio incluirmos o eixo vertical, tal como:

$OpPGLVVRQyVSRGHPRVHPSLOKDURQ~PHURGHSRQWRVFRUUHVSRQGHQWHVDFDGDquantidade de filho, o que QmRpQDGDSUiWLFR3RUH[HPSORVRERSRQWRKDYHULD60 pontos, o que corresponderiam s 60 famlias com esta quantidade de filhos.

Entendido o caso das variveis quantitativas discretas? Porm, como seria possvel fazer uma tabela e grficos deste tipo para o caso de uma varivel contnua?

Quer um exemplo? O salrio dos empregados de uma grande companhia.

Em uma grande companhia, h infinitos valores possveis para os salrios dos empregados, pois alguns cumprem horas extras, outros esto recebendo gratificaes, etc.

60

30

10

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Grfico de Disperso - tipo 2





Neste caso, no seria possvel fazer uma tabela como a acima descrita, pois haveria a necessidade de infinitas linhas, ou seja, todo nosso objetivo de resumo de dados se perde.

Assim, uma possibilidade de agrupamento em intervalo de classes.

No nosso exemplo:

Veja que a tabela trabalha com intervalos, ou range. Ou seja, nesta empresa h 30 empregados cujo salrio fica entre R$ 700,00 e R$ 999,99, o que representa 15% do total de empregados da empresa. Cada um destes intervalos chamado de classe.

No caso, este um exemplo de classes fechadas esquerda e direita. Isso , o intervalo contem ambos os elementos discriminados, o primeiro e o ltimo. Por exemplo, a primeira classe inclui o trabalhador que ganha R$ 700,00 e o que ganha R$ 999,99. Matematicamente, isso descrito como: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

DTXHOH WUDFLQKR YHUWLFDO TXH LQGLFD VH R LQWHUYDOR p IHFKDGR RX VHMD VHinclui o elemento diante de si.

Assim, fica fcil identificar o que seria algo como: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Salrios Frequncia

(nmero de empregados) Frequncia relativa

De 700,00 a 999,99 30 15% De 1000,00 a 1999,99 140 70%

Mais de 2000,00 30 15% Total 200 100%





Neste caso, o intervalo conteria o valor 700,00, mas no 999,99. Este um caso de intervalo fechado esquerda e aberto direita. Agora fica fcil, no pessoal?

-3{SURIHVVRUDWpDTXLWUDQTXLOR

Claro, mas s estamos comeando. Alm disso, acreditem, muitas questes de estatstica podem ser matadas com estes conhecimentos bsicos, como vocs iro ver.

Retornando!

Ao analisar a tabela de salrios voc percebe que cada classe tem uma amplitude. Essa amplitude dada pela diferena entre o limite superior e inferior de cada classe.

Intervalo Representao formal Fechado esquerda e direita

Aberto esquerda e fechado direita Aberto direita e fechado esquerda

Aberto esquerda e direita

Para uma distribuio com classes de mesma amplitude () h uma IRUPXOD]LQKDSDUDHQFRQWUD-las:

Sendo a amplitude total da distribuio e o nmero de classes.





Vamos a um exemplo.

Exerccio 1

Com base na tabela abaixo, calcule a amplitude das classes.

Resoluo

A amplitude total da tabela de frequncias ? ? ? ? ? ? e h cinco classes. Portanto: ? ? ? ? ?

Retornando!

Bom, como a representao grfica destes agrupamentos com variveis quantitativas contnuas?

Aqueles tipos de grficos que j mostramos podem ser utilizados para tanto. Normalmente, os grficos so feitos de forma que o nmero expresso no grfico corresponda ao ponto mdio de cada classe. Tudo bem, vou explicar melhor!

Pessoal, todo mundo sabe o que mdia, certo? Ns vamos estudar tudo isso com mais profundidade em aulas posteriores, mas vamos simplificar para fins de entendimento: para encontrar o ponto mdio de um intervalo some o limite

Classes Frequncia ? ? ? ? 10 ? ? ? ? 7 ? ? ? ? 8 ? ? ? ? 15 ? ? ? ? 3





inferior de cada classe com o superior e divida o resultado por 2 (dois). Calcule o ponto mdio dos intervalos no nosso exemplo. Voc vai chegar a:

Bom, agora voc pode representar esta tabela graficamente. Olha s!

Viram o que fizemos? Encontramos o ponto mdio de um intervalo e, a partir desta informao, definimos este resultado como se este fosse o valor representativo de toda a classe de valores.

Mas, esta representao faz com que voc perca muitas informaes, pois o ponto mdio quase nunca corresponde a todos os dados da classe. O que fazer?

Uma alternativa o histograma.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

50 60 70 80 90

Exemplo do exerccio 1

Classes Frequncia Ponto Mdio ? ? ? ? 10 50 ? ? ? ? 7 60 ? ? ? ? 8 70 ? ? ? ? 15 80 ? ? ? ? 3 90





O histograma um grfico em barras, mas cuja base do retngulo corresponde amplitude das classes (). Veja como ficaria um histograma do nosso exemplo do exerccio 1:

Se quisermos que a rea de cada retngulo corresponda respectiva frequncia de cada classe ( ), a altura de cada um tem de ter correspondncia com o conceito de densidade de frequncia ( ):

Esta uma possibilidade de escrita do histograma.

Outra, mais comum, que a altura de cada retngulo seja dada pela frequncia absoluta ou relativa do intervalo de dados em questo. No nosso exemplo, com altura dada frequncia absoluta:

0-45 45-55 55-65 65-75 75-85 85-95

Histograma - exemplo do exerccio 1





Beleza pessoal? O histograma simples, basta traar barras cuja altura seja equivalente frequncia (absoluta ou relativa) de cada classe e a sua base correspondente ao intervalo de cada classe.

Se ns passarmos uma linha unindo todos os pontos mdios das laterais superiores dos retngulos dos histogramas encontraremos o famoso polgono de frequncias.

fcil ver que tanto o polgono de frequncias quanto o histograma tratam-se de representaes grficas de uma distribuio de frequncias!

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0-45 45-55 55-65 65-75 75-85 85-95

Histograma - exemplo exerccio 1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

50 60 70 80 90

Polgono de Frequncias





-3URIHVVRURTXHpGLVWULEXLomRGHIUHTXrQFLDV"

Ora, isso que temos nos nossos grficos! Esta dada pela correspondncia dos valores encontrados com sua respectiva frequncia, indicando a forma como estes valores se distribuem ao longo da srie total de dados.

Calma! Vamos estudar mais disso em breve.

Ambos os grficos so muito semelhantes e exibem as distribuies de frequncias da mesma forma.

4. Diagrama de Ramos e Folhas

Pessoal, para encerrarmos a parte terica de nossa aula, temos de discutir um assunto muito cobrado em provas: o diagrama de ramos e folhas. Este diagrama uma forma alternativa de resumir um conjunto de valores e que nos d uma ideia de como se d a distribuio dos mesmos.

A melhor forma de entender este diagrama com um exemplo:

1 0 2 3 4 5 6 3 1 7 4 12 21

Veja, este diagrama est nos dizendo que temos uma srie de dados composta pelos seguintes nmeros: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

-iHQWHQGHX"eLVVRPHVPR3HJXHRQ~PHURGDHVTXHUGDHFRPELQHFRPFDGDcomponente existente na direita. No caso do nmero 1 (hum), s h o nmero 0 do outro lado, portanto, o valor encontrado 10.





Este resultado outra forma de apresentao de dados, conhecida como rol.

Veja, podemos colocar o resultado do diagrama de ramos e folhas desta forma: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Este um caso de rol crescente. Pois, estamos apenas evidenciando a sequncia de nossos nmeros de forma crescente. Apesar de no ser muito comum, tambm podemos ordenar as observaes em um rol decrescente, iniciando no maior valor e terminando no menor.

Portanto, todas as observaes so divididas em duas partes: a primeira parte (ramo) que fica esquerda e uma segunda parte (folha) que fica direita. Ao combinarmos ambas, obtemos os valores que compem a srie de dados.

Algumas vezes o ramo dividido das folhas por uma linha vertical, mas isso nem sempre feito em provas de concurso pblico, assim, acostume-se!

Muitas vezes o diagrama de ramos e folhas feito de forma diferente pelas bancas, o que pode causar uma confuso no candidato. Por exemplo:

1 0 2 3 4 5 2 6 3 1 3 7 4 12 21





Viram? Foi feita uma diviso de ramos de forma que todos os algarismos com valores superiores a 5 (cinco) sejam colocados em ramos diferentes do que os que possuem valores inferiores a este limite. Isso est errado? No! No h regra nica para composio deste diagrama. Entendam a ideia por detrs do mesmo e fiquem atentos.

isso a! Cansaram? Vamos treinar um pouco.

Exerccio 2

(IRB 2005/ESAF) Histograma e polgono de frequncias so:

a) A mesma representao grfica de uma distribuio de frequncias. b) Um texto descritivo e uma representao grfica de uma distribuio de

frequncias. c) Um texto descritivo e uma funo grfica de uma distribuio de

frequncias. d) Duas representaes grficas de uma distribuio de frequncias. e) Duas representaes grficas de uma distribuio de frequncias,

porm com sentidos opostos.

Resoluo

Lembrem-se, trata-se de representaes grficas distintas!

O polgono de frequncias deriva da unio de todos os pontos mdios das partes superiores da barra do histograma.

Alternativa (d).





Exerccio 3

(Gestor Fazendrio MG - 2005/ESAF - modificada) Com base no diagrama de ramos e folhas abaixo, encontre a observaes que divide a srie de dados em duas partes iguais:

9 1 1 9 9 10 0 0 2 2 3 4 10 5 7 7 7 8 11 0 1 3 11 6 6 12 0 0 0 1 2 12 5 5 8 13 0 0 4 13 5 5 5 14 0 14 5

a) 110 b) 120 c) 116 d) 113 e) 111

Resoluo

Pessoal, vamos colocar as observaes em um rol: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?





Olhe, o conceito que vocs esto utilizando aqui chama-se mediana, que consiste na observao que divide uma srie de dados em duas partes iguais. Estudaremos mais na prxima aula.

Mas, voc no precisa saber disso para constatar que, como temos 35 observaes, a observao n 18 ser aquela que dividir a srie em duas partes iguais, a saber, o nmero 116.

Alternativa (c).

Exerccio 4

(IRB 2004/ESAF modificada) Com base no diagrama de ramos e folhas abaixo, encontre a observaes que divide a srie de dados em duas partes iguais:

3 4 3 8 4 2 2 4 5 7 5 1 2 4 5 7 8 8 9 6 0 1 3 6 5 5 6 7 8 9 9 7 0 1 1 2 3 3 4 7 5 5 6 6 7 9 8 1 1 2 3 3 4 4 8 5 7 9 0 1 3 9 7





a) 69 b) 71 c) 70 d) 72 e) 74

Resoluo

Rol, gente: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Assim, temos 49 observaes, sendo que a observao n 25 ser aquela que dividir a srie em duas partes iguais, a saber, 71.

Alternativa (b).

Exerccio 5

(Petrobrs 2005\Cesganrio) Histograma e polgonos de frequncia so duas representaes grficas de distribuies:

a) Uniformes b) De frequncias c) De acumulaes d) No uniformes e) Assimtricas





Resoluo

Simples, no pessoal? Alternativa (b).

Tanto o histograma como os polgonos de frequncias permitem que visualizemos a distribuio de frequncias.

Exerccio 6

(SEFAZ SC 2010\FEPESE\modificada) Das alternativas abaixo, qual a forma grfica mais adequada para representar uma varivel qualitativa:

a) Histograma b) Grfico em setores c) Grfico de disperso d) Diagrama de caixas

Resoluo

Vamos l: a) Esse para variveis quantitativas contnuas b) Perfeito! Este est timo. c) Esse para variveis quantitativas. d) Ns ainda vamos estudar este aqui, mas voc sabe que no este!

Portanto, letra (b).





Exerccio 7

(ARCE 2006\FCC) O processo estatstico que consiste em avaliao direta de um parmetro, utilizando-se todos os componentes da populao chama-se:

a) Amostragem b) Estimao c) Censo d) Parametrizao e) Correlao

Resoluo

Deem uma olhada l em cima! Eu j te expliquei, se voc fizer uma pesquisa com todos os indivduos de uma populao, voc estar realizando um censo.

Alternativa (c).

Exerccio 8

(Elaborada pelo autor) Qual das alternativas abaixo no se refere a uma forma de apresentao de dados estatsticos:

a) Rol b) Agrupamento em classes c) Agrupamento simples d) Diagrama de Ramos e Folhas e) Censo





Resoluo

Censo no uma forma de apresentao de dados estatsticos, trata-se de uma metodologia de pesquisa que consiste em investigar todos os elementos de uma populao. Todos os outros so, portanto, decore.

Alternativa (e).

Exerccio 9

(Prefeitura do Rio de Janeiro 2002\FJG) Os dados de um determinado estudo representam muitas variveis para cada uma das pessoas que se submeteram ao estudo. Uma varivel considerada qualitativa a seguinte:

a) Idade b) Altura c) Sexo d) Peso

Resoluo

Hora da nossa regrinha! Pergunte para a varivel: a nica que vai te dar uma SDODYUDFRPRUHVSRVWDpDYDULiYHOVH[R

Alternativa (c).





Exerccio 10

(SEFAZ AL 2002\CESPE) Julgue a afirmativa.

Em uma distribuio de frequncias para um conjunto de n indivduos, pode-se calcular as frequncias relativas, dividindo-se cada frequncia absoluta pela amplitude da classe ou intervalo.

Resoluo

Errado, n pessoal? A Frequncia relativa pode ser obtida pela diviso da frequncia absoluta pelo total de elementos existentes na classe.

(Elaborado pelo autor baseado em SEFAZ SC\1998) Com base na tabela de frequncias abaixo, julgue as afirmativas.

Salrios Nmero de funcionrios 3000 a 3999 12 4000 a 4999 10 5000 a 5999 20 6000 a 6999 18 7000 a 7999 15 8000 a 8999 10 9000 a 9999 6

10000 a 10999 4

Exerccio 11

A porcentagem de funcionrios que ganha menos do que R$ 7000,00 de 63,1%.





Resoluo

Pessoal, vamos rearranjar a tabela, o que vai facilitar a resoluo das questes a seguir.

Viram? Some os 4 primeiros intervalos (do salrio de R$ 3.000 at R$ 6.999) que voc encontrar 63,16%. Portanto, a alternativa correta!

Exerccio 12

A varivel da tabela de frequncias da varivel acima se refere a uma varivel qualitativa.

Resoluo

Errado! A varivel em questo salrio, portanto, se voc perguntar para a varivel, a resposta ser um nmero, portanto, varivel quantitativa.

Salrios Nmero de funcionrios Frequncia Relativa 3000 a 3999 12 12,63% 4000 a 4999 10 10,53% 5000 a 5999 20 21,05% 6000 a 6999 18 18,95% 7000 a 7999 15 15,79% 8000 a 8999 10 10,53% 9000 a 9999 6 6,32%

10000 a 10999 4 4,21% total 95 100,00%





Exerccio 13

A varivel da tabela de frequncias da varivel acima se refere a uma varivel quantitativa contnua.

Resoluo

Ora pessoal, trata-VHGDYDULiYHO VDOiULRV9RFrQmRWHPFRPRFRQWDURVDOiULRportanto uma varivel quantitativa contnua.Verdadeiro.

Exerccio 14

Uma forma de apresentar graficamente esta tabela seria por meio de um histograma.

Resoluo

Perfeito! O histograma utilizado para variveis quantitativas contnuas, tal como o caso em questo.

Exerccio 15

15% dos funcionrios desta empresa ganham at R$ 4.000.

Resoluo

Errado pessoal! S 12,63% de todos os funcionrios ganham at R$ 4.000.





Exerccio 16

(SEMSA CESGRANRIO/2005) Uma srie estatstica que resume os dados de uma varivel contnua. Esta a definio de: a) distribuio de frequncia. b) amplitude total. c) mdia aritmtica. d) mediana. e) moda

Resoluo

Como ns podemos resumir uma srie de dados contnuos por meio da representao de uma srie? A partir da distribuio de frequncias da mesma.

Alternativa (a)

Faam o prximo exerccio junto comigo e aprendam algo novo!

Exerccio 17

(TRF 1 regio FCC/2009) A tabela abaixo apresenta a distribuio de frequncias das notas obtidas num teste de matemtica, realizado por 50 estudantes.





Se a nota mnima para aprovao no teste 5,8, a porcentagem de aprovao de a) 51% b) 48% c) 45% d) 41% e) 38%

Resoluo

Pessoal, vocs vo ter que usar o raciocnio aqui. Na verdade, o que cobrado nesta questo ser ensinado na prxima aula, mas, com o devido cuidado, vocs conseguem responder. Se vocs no conseguirem acompanhar, no tem problema, pois na prxima aula iremos aprofundar este assunto! S tentem entender a ideia por detrs da resoluo.

Pense comigo, o que vocs esto procurando a frequncia da terceira classe que corresponda a 1,8!

No entendeu? Vamos encontrar as frequncias relativas:

Se ns pensarmos que 32% (24% da segunda classe mais 8% da primeira classe) das pessoas tiraram notas que se situam entre 0 e 4, falta descobrir quantas pessoas esto com notas entre 4 e 5,8, que a mdia.

notas frequencia absoluta frequencia relativa

0 a 2 4 8,00%

2 a 4 12 24,00%

4 a 6 15 30,00%

6 a 8 13 26,00%

8 a 10 6 12,00%

total 50 100,00%





Assim, basta fazer uma regrinha de trs:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2TXHHVWiVHQGRGLWRDTXLp DDPSOLWXGHGDFODVVHHVWiSDUDIUHTXrQFLDUHODWLYDda mesma, tal como o valor procurado no interior da classe est para uma GHWHUPLQDGDIUHTXrQFLDUHODWLYD9DPRVUHVROYHU ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Assim: ? ? ? ? ?

Ou seja, 27% da amostra possui notas entre 4 e 5,8, ou seja, at o nvel de corte para aprovao.

Portanto, o total de no aprovados, ou seja, com nota entre 0 e 5,8 de: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Portanto, o percentual de aprovao de: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Alternativa (d).





Exerccio 18

(TRT 5 regio FCC/2013) A distribuio das medidas em metros (m) dos comprimentos dos cabos no estoque de uma fbrica est representada pelo histograma mostrado abaixo, em que no eixo vertical constam as densidades de frequncias, em , e no eixo horizontal os intervalos de classe. Define-se densidade de frequncia de um intervalo de classe como sendo o resultado da diviso da respectiva frequncia relativa pela correspondente amplitude do intervalo.

Sabendo-se que todos os intervalos de classe so fechados esquerda e abertos direita, ento a porcentagem dos cabos que apresentam uma medida de comprimento de pelo menos igual a 4 m e inferior a 10 m de a) 50%. b) 60%. c) 70%. d) 80%. e) 90%.

Resoluo

Exerccio de fcil resoluo se voc j sabe como funciona um histograma. No eixo vertical temos a densidade de frequncia e no horizontal temos as amplitudes das classes.





No caso estamos interessados em todas as classes que se relacionam a medidas de comprimento entre 4 e 10 metros. Vamos substituir a informao que temos na frmula a fim de encontrarmos as frequncias relativas!

Como todos os intervalos que temos tm a mesma amplitude (2), ento basta multiplicar todas as densidades de frequncias dos intervalos desejados por 2 e somar:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Alternativa (b).





Lista de exerccios resolvidos em aula

Exerccio 2

(IRB 2005/ESAF) Histograma e polgono de frequncias so:

a) A mesma representao grfica de uma distribuio de frequncias. b) Um texto descritivo e uma representao grfica de uma distribuio de

frequncias. c) Um texto descritivo e uma funo grfica de uma distribuio de

frequncias. d) Duas representaes grficas de uma distribuio de frequncias. e) Duas representaes grficas de uma distribuio de frequncias,

porm com sentidos opostos.

Exerccio 3

(Gestor Fazendrio MG - 2005/ESAF - modificada) Com base no diagrama de ramos e folhas abaixo, encontre a observaes que divide a srie de dados em duas partes iguais:

9 1 1 9 9 10 0 0 2 2 3 4 10 5 7 7 7 8 11 0 1 3 11 6 6 12 0 0 0 1 2 12 5 5 8 13 0 0 4 13 5 5 5 14 0 14 5





a) 110 b) 120 c) 116 d) 113 e) 111

Exerccio 4

(IRB 2004/ESAF modificada) Com base no diagrama de ramos e folhas abaixo, encontre a observaes que divide a srie de dados em duas partes iguais:

3 4 3 8 4 2 2 4 5 7 5 1 2 4 5 7 8 8 9 6 0 1 3 6 5 5 6 7 8 9 9 7 0 1 1 2 3 3 4 7 5 5 6 6 7 9 8 1 1 2 3 3 4 4 8 5 7 9 0 1 3 9 7





a) 69 b) 71 c) 70 d) 72 e) 74

Exerccio 5

(Petrobrs 2005\Cesganrio) Histograma e polgonos de frequncia so duas representaes grficas de distribuies:

a) Uniformes b) De frequncias c) De acumulaes d) No uniformes e) Assimtricas

Exerccio 6

(SEFAZ SC 2010\FEPESE\modificada) Das alternativas abaixo, qual a forma grfica mais adequada para representar uma varivel qualitativa:

a) Histograma b) Grfico em setores c) Grfico de disperso d) Diagrama de caixas





Exerccio 7

(ARCE 2006\FCC) O processo estatstico que consiste em avaliao direta de um parmetro, utilizando-se todos os componentes da populao chama-se:

a) Amostragem b) Estimao c) Censo d) Parametrizao e) Correlao

Exerccio 8

(Elaborada pelo autor) Qual das alternativas abaixo no se refere a uma forma de apresentao de dados estatsticos:

a) Rol b) Agrupamento em classes c) Agrupamento simples d) Diagrama de Ramos e Folhas e) Censo

Exerccio 9

(Prefeitura do Rio de Janeiro 2002\FJG) Os dados de um determinado estudo representam muitas variveis para cada uma das pessoas que se submeteram ao estudo. Uma varivel considerada qualitativa a seguinte:

a) Idade b) Altura c) Sexo d) Peso





Exerccio 10

(SEFAZ AL 2002\CESPE) Julgue a afirmativa.

Em uma distribuio de frequncias para um conjunto de n indivduos, pode-se calcular as frequncias relativas, dividindo-se cada frequncia absoluta pela amplitude da classe ou intervalo.

(Elaborado pelo autor baseado em SEFAZ SC\1998) Com base na tabela de frequncias abaixo, julgue as afirmativas.

Salrios Nmero de funcionrios 3000 a 3999 12 4000 a 4999 10 5000 a 5999 20 6000 a 6999 18 7000 a 7999 15 8000 a 8999 10 9000 a 9999 6

10000 a 10999 4

Exerccio 11

A porcentagem de funcionrios que ganha menos do que R$ 7000,00 de 63,1%.

Exerccio 12

A varivel da tabela de frequncias da varivel acima se refere a uma varivel qualitativa.





Exerccio 13

A varivel da tabela de frequncias da varivel acima se refere a uma varivel quantitativa contnua.

Exerccio 14

Uma forma de apresentar graficamente esta tabela seria por meio de um histograma.

Exerccio 15

15% dos funcionrios desta empresa ganham at R$ 4.000.

Exerccio 16

(SEMSA CESGRANRIO/2005) Uma srie estatstica que resume os dados de uma varivel contnua. Esta a definio de: a) distribuio de frequncia. b) amplitude total. c) mdia aritmtica. d) mediana. e) moda





Exerccio 17

(TRF 1 regio FCC/2009) A tabela abaixo apresenta a distribuio de frequncias das notas obtidas num teste de matemtica, realizado por 50 estudantes.

Se a nota mnima para aprovao no teste 5,8, a porcentagem de aprovao de a) 51% b) 48% c) 45% d) 41% e) 38%





Exerccio 18

(TRT 5 regio FCC/2013) A distribuio das medidas em metros (m) dos comprimentos dos cabos no estoque de uma fbrica est representada pelo histograma mostrado abaixo, em que no eixo vertical constam as densidades de frequncias, em , e no eixo horizontal os intervalos de classe. Define-se densidade de frequncia de um intervalo de classe como sendo o resultado da diviso da respectiva frequncia relativa pela correspondente amplitude do intervalo.

Sabendo-se que todos os intervalos de classe so fechados esquerda e abertos direita, ento a porcentagem dos cabos que apresentam uma medida de comprimento de pelo menos igual a 4 m e inferior a 10 m de a) 50%. b) 60%. c) 70%. d) 80%. e) 90%.





2-d 3-c 4-b 5-b 6-b 7-c 8-e 9-c 10-F 11-V 12-F 13-V 14-V 15-F 16-a 17-d 18-b

Boa galera! Encerramos nosso primeiro encontro. S esquentamos os motores, ainda tem muita coisa pela frente! No tivemos questes complexas da FCC, pois s estamos comeando!

Um abrao e mandem dvidas.

[email protected]

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