Curso de Estatística Aplicadapedro.unifei.edu.br/pessoal/Estatistica2012.pdf · Pedro Paulo Balestrassi UNIFEI -Universidade Federal de Itajubá “Pensar estatisticamente será

Pedro Paulo BalestrassiUNIFEI-UniversidadeFederal de Itajubá

“Pensar estatisticamente será um dia, para a eficiente prática da

Curso de Estatística Aplicada

UNIFEI-UniversidadeFederal de Itajubá

IEPG

[email protected]

35-36291161

88776958

eficiente prática da cidadania, tão necessário como a habilidade de ler e escrever.”

H. G. Wells (Escritor Inglês, considerado o pai da moderna Ficção Científica, 1895)

Estatística Aplicada

Fatores Controláveis

...x1 x2 xp

Motivação das empresas para estudo e uso de Estatística:

Foco no Processo: Um dos principais requisitos da ISO 9001:2000

Pedro Paulo Balestrassi - www.pedro.unifei.edu.br2

Processo

Fatores Incontroláveis (ruído)

Entrada Saída

...

...x1 x2 xp

z1 z2 zq

y1

y2

ym

...


X•Pressão de ar air strip•Pressão de ar air bag•Pressão de ar front piston•Pressão Hidráulica•Temperatura•Vazão de óleo Solúvel

Processo Bodymaker de fabricação de latas

Exemplo de Processo

Aplicação: Pense em um problema

Y=f(X)+Z


•Vazão de óleo Solúvel•Pressão do Nitrogênio

Y•Espessura da parede Top Wall•Espessura da Parede Mid Wall•Profundidade do Dome•Altura da Lata•Visualização

Z•Operador•Rede Elétrica•Qualidade da Bobina

em um problema similar em sua área de atuação

É complexo inferir sobre X,Y e Z sem Estatística!


DO THE REAL

THING!

Cone of Learning


Faça anotações! Aplicando os conhecimentos na sua área é a únicaforma de sedimentá-los!


Recursos de Software


Statgame e Statquiz(Interessante para verificar

o conhecimento básico)

O uso de recursos computacionais tornou os cálculos atividades fáceis permitindo uma maior ênfase na compreensão e interpretação dos resultados


Pratique:

• Gere a planilha ao lado e entenda a diferença entre Worksheete Project. Observe o que é Session.

• Calcule as principais Estatísticas Descritivas da planilha

Comandos Básicos

Pedro Paulo Balestrassi - www.pedro.unifei.edu.br

• Calcule as principais Estatísticas Descritivas da planilha gerada.

Siga o caminho: <Stat> <Basic Statistics> <GraphicalSummary>


Pratique:

• Navegue no Statguide


• Navegue no Statguide

• Navegue pelo Tutorial do Minitab

• Cinco ícones importantes: Worksheet, Session, Show Graph Folders e Edit Last Dialog


Pratique:

• Gere uma série de 100 valores aleatórios que poderia simular a variabilidade em Anéis de Pistão


(considerando por exemplo Folga entre Pontas).

Use <Calc> <Random Data> <Normal Distribution> e inclua os parâmetros convenientes.

• Calcule as principais estatísticas descritivas da planilha usando Graphical Summary. Faça outros gráficos.


Pratique:

• Entenda o procedimento <Calc> <Set Base>?


• Entenda o procedimento <Calc> <Set Base>?

• Salve a planilha na Desktop com um nome qualquer.

• Feche o programa minitab e depois abra a planilha que você salvou.


Obtenha domínio sobre o Minitab a

Um bom Material de Apoio


partir do arquivo minitab.pdf.

Estatística Aplicada Um Exemplo de ControleEstatístico da Qualidade

A espessura de uma peça metálica é um importante parâmetro da qualidade para uma empresa. Uma grande quantidade de peças são produzidas diariamente e a cada lote produzido, 5 delas são medidas e colocadas em uma tabela, como

UseSet Base=9


ao lado.

Pergunta-se:a) O Processo está sob Controle?b) O Processo atende as

Especificações (LSL=0.060 e USL=0.066)

c) Qual a solução para o problema?

Set Base=9N(0.0625; 0.0025)Para gerar tal tabela






Problema Prático

Problema Estatístico

Baixo Rendimento

Média fora do alvo


Solução Estatística

Solução Prática

© 1994 Dr. Mikel J. Harry V3.0

Média fora do alvo

Identificar variável Vital

Instalar um controlador


Etapa Descrição FocoDefinir

A Identificar CTQs do ProjetoB Desenvolver Escopo de Atuação da EquipeC Definir Mapa do Processo

Medir1 Selecionar Característica do CTQ Y2 Definir Padrão de Desempenho Y3 Análise do Sistema de Medição e Coleta de Dados Y

Analisar

Six Sigma - DMAIC


Analisar4 Estabelecer a capabilidade do Processo Y5 Definir Objetivo do Desempenho Y6 Identificar Origens de Variação X

Melhorar7 Filtrar Causas Potenciais de Variação X8 Descobrir Relações entre as Variáveis e Propor Sol uções X9 Estabelecer Tolerâncias Operacionais & Solução Pil oto Y,X

Controlar10 Validar Sistema de Medição Y,X11 Determinar a Capabilidade do Processo Y,X12 Implementar Sistema de Controle do Processo X


Uma ótima bibliografia:

Montgomery, D.C., Runger, G.C., Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 2ª ed., LTC Livros Técnicos e Científicos, 2002, 461 p.

Não deixe de ler:


Fora de Série (Outliers) – Malcolm Gladwell – Editora Sextante – Uma boa análise sobre Causa e Efeito em inúmeras situações.

Uma Senhora Toma Chá – David Salsburg – Editora Zahar – Como a estatística revolucionou a ciência no século XX.

O Andar do Bêbado – Leonard Mlodinow– Editora Zahar– Como a aleatoriedade impacta nossas vidas.


SUMÁRIO

1 – Estatística Descritiva

2 – Distribuições de Probabilidade

3 – Estimação e Intervalos de Confiança

4 – Testes de Hipótese


4 – Testes de Hipótese

5– Análise de Variância

6 – Correlação e Regressão


1 - Estatística Descritiva


18

“Deus não joga dados com o universo” (Albert Einstein)

“Os experimentos geralmente não são determinísticos” (Fisher)


A essência da ciência é a observação. Estatística: A ciência que se preocupa com a organização, descrição, análise e interpretação dos dados experimentais. Ramo da Matemática Aplicada. A palavra estatística provêm de Status.

Do que trata a Estatística

Estatística Básica (Anova, TH, Regressão)

Séries Temporais

Simulação / PO

DOE /Taguchi /RSM


Séries Temporais

Data Mining

Six Sigma

Redes Neurais

Controle de Qualidade

Estatística Bayseana

Análise do Sistema de Medição

Estatística Multivariada

Amostragem / Pesquisa

Confiabilidade

Caos

Em 1662, John Graunt publicou os primeiros informes estatísticos. Era sobre nascimento e mortes.


� A População(ou Distribuição) é a coleção de todas as observações potenciais sobre determinado fenômeno.

� O conjunto de dados efetivamente observados, ou extraídos, constitui uma Amostra da população.

População e Amostra


extraídos, constitui uma Amostra da população.

�Um Censo é uma coleção de dados relativos a Todosos elementos de uma população.

�Um Parâmetro está para a População assim como uma Estatísticaestá para a Amostra.


Variável

Qualitativa

Quantitativa

Ordinal

Nominal

Discreta

(Também Dados Categóricos ou de Atributos )

Tipos de Dados


QuantitativaContínua

Ex.: Para uma população de peças produzidas em um determinado processo, poderíamos ter:

Variável Tipo

Estado: Perfeita ou defeituosa Qualitativa Nominal

Qualidade: 1a, 2a ou 3a categoria Qualitativa Ordinal

No de peças defeituosas Quantitativa Discreta

Diâmetro das peças Quantitativa Contínua

(Variáveis)


Aplicação: Gere sequências de valores aleatórios que represente problemas em sua área.

O que significa o procedimento <Calc> <Set Base>?

<Calc> <Random Data> Números Aleatórios


Amostragem:Gere a sequência 1 2 3 ...100.

<Calc> <Make Patterned Data>

Selecione uma amostra com 10 valores a partir das sequências geradas anteriormente.

Use <Calc> Random Data> <Sample from Column>


Aplicação:

Gere uma sequência de dados que represente um processo em sua área e calcule as estatísticas

Ex.:Número de acessos à página do Site da Empresa durante os últimos 100 dias úteis.

<Graphical Summary>


calcule as estatísticas desse conjunto de dados.

Use:

<Random> e

<Graphical Summary>

Estatística Aplicada Medidas de Posição: Média

xx x x

n

x

nn

ii

n

=+ + +

= =∑

1 2 1L

∑==+++=

n

iii

nn

pxpxpxpx

x 12211 L

Aritmética Simples+...+

+...+


∑=

==++++++=

n

ii

i

n

nn

pppp

pxpxpxx

1

1

21

2211

L

L

Aritmética Ponderada+...+

+...+

Um pouco sobre arredondamento de médias:

� Tome uma decimal acima da dos dados: Ex.: 2,4 3,4 e 5,7 => média =3,73

� Em várias operações, arredonde apenas o resultado final


� Chama-se Robert

� Pesa 78 Kg

� Manequim 48

� 85 cm de cintura

Um Cidadão Americano “Médio”


� 85 cm de cintura

� Consome anualmente 8,5 Kg massa, 11,8Kg de bananas, 1,8 Kg de batatas fritas, 8,15Kg de sorvete e 35,8 Kg de carne.

� Vê TV por ano 2567 horas

� Recebe anualmente 585 “coisas” por correio (cartas e outros)

� Diariamente dorme 7,7 horas, gasta 21 minutos para chegar ao trabalho e trabalha 6,1 horas


~xn o

=+

1

2termo ~x

n n

=

+ +

2 21

2

o o

termo termo

{ } ~⇒ =Ex.:

Se n é ímpar: Se n é par:

Medidas de Posição: Mediana


{ }35 36 37 38 40 40 41 43 46 40, , , , , , , , ~⇒ =x

{ }12 14 14 15 16 16 17 2015 16

2155, , , , , , , ~ ,⇒ =

+=x

Ex.:

Mediana é o valor “do meio” de um conjunto de dados dispostos em ordem crescente ou decrescente.

Inconveniente: Não considera todos os valores da amostra!

Estatística AplicadaMédia x Mediana

x = 3457,~x = 300

Ex.: { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 }

Ambas são boas medidas de Tendência Central.

Prefira a média


x

{ 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 }

= 601~x = 300

Devido ao Outlier 2300, a mediana é

melhor estatística que a média.

Estatística Aplicada Medidas de Dispersão

Rode e Entenda o programa Interativo da

PQ Systems


Discuta:

1) Porque os bancos adotam fila única?

2) “Por favor, com quantos dias de antecedência eu devo postar uma carta de aniversário para minha mãe?”


A = { 3, 4, 5, 6, 7 }B = { 1, 3, 5, 7, 9 }C = { 5, 5, 5, 5 }D = { 3, 5, 5, 7 }E = { 3.5, 5, 6.5 }

Uma medida de Posição não é suficiente para descrever um conjunto de dados. Os Conjuntos ao lado mostram isso! Eles possuem mesma média, sendo diferentes.

Variabilidade


E = { 3.5, 5, 6.5 }

Algumas medidas de Variabilidade:

Amplitude (H): Tem o inconveniente de levar em conta apenas os dois valores extremos:

HÁ =7-3=4 Amplitude=Range


Considerando os desviosem relação à média, temos, para A, por exemplo:

A = { 3, 4, 5, 6, 7 } xxi - {-2, -1, 0, 1, 2}

Medidas de Dispersão

0)( ≡−=−=− ∑ ∑∑ xnxnxxxxn nn

Inconveniente:


0)(1 11

≡−=−=− ∑ ∑∑= ==

xnxnxxxxi i

ii

iInconveniente:

Uma opção para analisar os desvios das observações é:considerar o total dos quadrados dos desvios.

( )x xii

− = + + + + ==∑

2

1

5

4 1 0 1 4 10

Estatística AplicadaDesvio Padrão

.

( )x xii

n

−=∑

2

1

Associando ao número de elementos da amostra (n), tem-se:

...que é a Variância( Var(x))S2 =


ni =1 ...que é a Variância( Var(x))S2 =

S S= 2 ...que é o Desvio Padrão(DP(x)), uma medida que é expressa na mesma unidade dos dados originais

Estatística Aplicada Dispersão: Fórmulas Alternativas

( )21

2

1

2

2 xn

x

n

xxn

ii

n

ii

−=−

=∑∑

==σ( )

S

x x

n

ii

n

2

2

1

1=

−

−=∑


Variância Amostraln-1está

Relacionado a um problema de tendenciosidade

Variância Populacional(σ2 ou σn

2 )


Média = 3

X =Soma dos pontos de dados

X54312

X210-2-1

( )X X−41041

( )X X−2

Calcular a Variância e o Desvio Padrão de X

Exemplo


Soma daúltima coluna= 10

Divide a Soma por (n-1):= Variância = S2

= 2,5

X =Número dos pontos de dados

-1 1

Raiz Qadrada da Variância = Desv.Pa. = S= 1,58

S S= 2 S2

Uma Regra Prática para

conjunto de dados típicos:

S=Amplitude/4


N

N=

N

1∑

=iix

µ

N

)(=

N

1

2

2∑ −i=

i µ xσ( )xx

n

ii∑

=

−1

2

n

n

x

x

n

ii∑

== 1

n-1


ns i

∑== 12

( )

11

2

2

−

−=∑

=

n

xx

s

n

ii

Estimador Tendencioso deσ

Estimador Não-Tendencioso σ


( )xx

s

n

ii∑

=

−= 1

2

2 )1( 2σ

n

n−≈

1

23

Simulação (n-1)


ns = n

( ) ( )

1.

)1(1

2

1

2

2

−

−=

−

−=

∑∑==

n

xx

n

xx

n

ns

n

ii

n

ii

4


50%

75%109

104

99

DBP

* Outlier ( fora da distância do Q3 + 1,5D )

Q3=75ª Percentil

Observação Máxima

D=Q3-Q1

Outra Estratégia: Percentis e Boxplot


25%

94

Q1=25ª Percentil

Q2=Mediana (50ª Percentil)

D=Q3-Q1

Interquartil

EDA (Exploratory Data Analysis) e Método dos

Cinco Números

Boxplot é desgastante quando feito sem computador pois supõe a ordenação de dados.


��Valor do meio

Percentis e Boxplot

3.(n+1)/4 0

graficos.mtw


Quartis:

� Q1=Quarta Observação Crescente=71.7

� Q3=Quarta Observação Decrescente=150.6

Outliers: Q3+1.5D=150.6+1.5(150.6-71.7)=268.95

� São outliers valores maiores que 268.95

2.(n+1)/4 0

(n+1)/4 0

Para valores não inteiros dos quartis,

usa-se interpolação

Estatística AplicadaEscores padronizados (z)

zx x

sii=

− x

Ex.: Dois grupos de pessoas acusam os seguintes dados:

xi - considera o afastamento de xi em relação à média.

A divisão por s torna s como unidade ou padrão de medida.


38

Grupo Peso médio Desvio Padrão

A 66.5 kg 6.38 kg

B 72.9 kg 7.75 kg

e 3,238,6

5,662,81 : em =−=AzA 95,1

75,7

9,7288 : em =−=BzB

Nesses grupos há duas pessoas que pesam respectivamente, 81.2 kg e 88.0 kg.

Logo, a pessoa de A revela um maior excesso relativo de peso.


ϕ(z)

σµ−= x

z);(: σµNX

Z: N(0; 1)

Tal fórmula está tabeladae fornece valores acumulados

Distribuição Normal


z

xµ-3σ µ -2σ µ -σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ

-3 -2 -1 0 1 2 3

Distribuião Normal Reduzida ou Padronizada

Qual o formato da curva acumulada?

N(0,1) é a distribuição Benchmark

Estatística AplicadaEscores padronizados (z)

Uma mulher deu à luz um filho 308 dias após a visita de seu marido que serve na marinha dos EUA. Sabendo-se que uma gravidez normal tem média de 268 dias e desvio-padrão de 15 dias, determine se o tempo de gravidez da mulher pode ser considerado comum.

O marido tem razão de se preocupar?


zx x

sii=

−

O marido tem razão de se preocupar?


Escores padronizados (z)

zx x

sii=

−

Regra 68 -- 95 -- 99

� Cerca de 68% dos valores estão a menos de 1 desvio padrão a

Regra 68 -- 95 -- 99


� Cerca de 68% dos valores estão a menos de 1 desvio padrão a contar da média (-1 < z < 1)

� Cerca de 95% dos valores estão a menos de 2 desvios padrão a contar da média (-2 < z < 2)

� Cerca de 99% dos valores estão a menos de 3 desvios padrão a contar da média (-3 < z < 3)


Assimetria (Skewness)

Próximo de 0: Simétrico

Menor que 0: Assimétrico à Esquerda

Maior que 0: Assimétrico à Direita

Skewness and Kurtosis


Achatamento (Kurtosis)

Próximo de 0: Pico Normal

Menor que 0: Mais achatada que o Normal (Uniforme)

Maior que 0: Menos achatada que o normal (Afinada)

Estatística AplicadaSkewness - Assimetria

Positiva

~Nula


Negativa

( )∑=

−−−

=n

ii xx

nn

nAss

1

3

)2)(1(

Estatística AplicadaKurtosis - Achatamento

Normal K~0 Mesocúrtica


LeptocúrticaK>>0

PlaticúrticaK<<0

( ))3)(2(

)1(3

)3)(2)(1(

)1( 2

1

4

−−−−−

−−−+= ∑

= nn

nxx

nnn

nnK

n

ii

Estatística Aplicada Exercício

Encontre todas as estatísticas descritivas para a série da tabela a seguir.

10 23 34 40 58 74

13 24 35 41 58 80


13 24 35 41 58 80

15 25 37 48 63 82

15 25 38 53 64 88

20 30 39 58 70 250

21 32 39 58 70 254


Ex.: População= X=Diâmetro de determinada peça (em mm).Dados brutos:{ 168, 164, 164, 163, 165, 168, 165, 164, 168, 168 }Rol: { 163, 164, 164, 164, 165, 165, 168, 168, 168, 168 }Amplitude (H) = 168 - 163 = 5

Xni

(Frequência Absoluta)

f i(Frequência

Relativa)

Ni(Frequência

Absoluta Acumulada)

F iFrequência

Relativa Acumulada)

Distribuição de Freqüências

n ni

K

1

∑ =

fni=


Acumulada) Acumulada)

163 1 0.1 1 0.1

164 3 0.3 4 0.4

165 2 0.2 6 0.6

168 4 0.4 10 1.0

Σ 10 1

fn

nii=

f ii

K

=∑ =

1

1

FN

nii=


x(Variável)

xi (ponto médio)

ni(frequência absoluta)

f i(frequência

relativa)

f%(frequência percentual)

Ni(AbsolutaAcum.)

F i(RelativaAcum.)

F%(Percentual

Acum.)

10 ├ ─ 20 15 2 0.04 4 2 0.04 4

Classes (ou Categorias)

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS


10 ├ ─ 20 15 2 0.04 4 2 0.04 4

20 ├ ─ 30 25 12 0.24 24 14 0.28 28

30 ├ ─ 40 35 18 0.36 36 32 0.64 64

40 ├ ─ 50 45 13 0.26 26 45 0.9 90

50 ├ ─ 60 55 5 0.1 10 50 1.0 100

Σ 50 1 100


x(Variável)

xi (ponto médio)

ni(frequência absoluta)

(Xi).(ni)

10 ├ ─ 20 15 2 30

Classes (ou Categorias)

EXEMPLO – MÉDIA P/DADOS AGRUPADOS

.1==∑

∑=

n

nxXMédia

n

n

iii


10 ├ ─ 20 15 2 30

20 ├ ─ 30 25 12 300

30 ├ ─ 40 35 18 630

40 ├ ─ 50 45 13 585

50 ├ ─ 60 55 5 275

Σ 50 1820

4,3650

18201

==

∑=

X

ni

i


10

ni

Construção da tabela de distribuição de freqüências a partir do histograma de classes desiguais. Exercício: Complete a tabela.

X ni fi

|--

Histogramas


8

6

4

2

10 20 30 40 60 x

10 |-- 20

20 |-- 30

30 |--40

40 |--60

Σ 1


Processo A

Processo B

Tempo Total (A+B)

?

Soma de Normais


3 7= 3

s = 1X = 7

s = 2X

3 2 1

2.23 5 (2) (1) S S S222

B2ABA

=+≠

==+=+=+

Correto; Some as

variâncias e depois

obtenha o Desvio Padrão

Incorreto;


Linha A

Linha B

Diferença:Linha A – Linha B

?

Diferença de Normais


-10 -5 0 5 10 15

= 3s = 1X = 7

s = 2X

4 - 7 - 3 X -X X BABA ===−

121

2.235(2)(1)SSS222

B2ABA

= −−≠

==+=+=–Correto

Incorreto

Estatística Aplicada Representação Gráfica:Ramo-e-folhas

x

Ramos x x Folhas

x x x x x

x x x

81 113 108 74 79 78 90 93 105 109 93

106 103 100 100 100 101 101 101 95 90 94

90 91 92 93 87 89 78 89 85 94 86

Ex.:

graficos.mtw


11 3

10 8 5 9 6 3 0 0 0 1 1 1

9 0 3 3 5 0 4 0 1 2 3 4

8 1 7 9 9 5 6

7 4 9 8 8

11 3

10+ 8 5 9 6

10- 3 0 0 0 1 1 1

9- 0 3 3 5 0 4 0 1 2 3 4

8 1 7 9 9 5 6

7 4 9 8 8


Stem-and-Leaf Display: folha_ramo

Stem-and-leaf of Ramo N = 33Leaf Unit = 1.0

1 7 44 7 889

Obtendo o seguinte Folha

e Ramo.

Compare os resultados

Ramo-e-folhas


4 7 8895 8 110 8 56799(10) 9 000123334413 9 512 10 00011135 10 56891 11 3

resultados fazendo um Histograma.

O que representa tal

coluna?

Coluna folha_ramo


Exercício no Minitab: Faça o gráfico abaixo a partir dos dados seguintes.

Plot


graficos.mtw


Faça o gráfico bidimensional a partir dos dados a seguir

<Marginal Plot>


graficos.mtw


<Stat> <Quality Tools>

<Run Chart>

•Column=Tempo na fila

•Subgroup Size=1

Runchart


� Os dados representam uma série temporal

� Tal gráfico é útil para ver a estabilidade de um processo.

� Control Chart é Melhor!

runchart.mtw


•Identifica Diversos tipos de variação

•A análise de efeitos é similar em DOE

•Permite identificar interações

•Não é o mesmo que Estatística Multivariada

23,50,5

1,0

TempoSinterUse os

Dados a seguir

Multi-Vari

Sinter.mtw


15 18 21

17,5

18,5

19,5

20,5

21,5

22,5

TipoMetal

For

ça1,0

2,0 Dados a seguir

<Stat>

<Quality Tools>

<Multi-Vari>:

Response: Força (y)

Factor1: TempoSinter (x1)

Factor2: TipoMetal (x2)

Estatística Aplicada Multi-Vari – Monte a Tabela

x1 x2 y x1 x2 y x1 x2 y0,5 15 23 1 15 22 2 15 180,5 15 20 1 15 20 2 15 180,5 15 21 1 15 19 2 15 16

Nível 0,5 Nível 1,0 Nível 2,0


0,5 15 21 1 15 19 2 15 160,5 18 22 1 18 24 2 18 210,5 18 19 1 18 25 2 18 230,5 18 20 1 18 22 2 18 200,5 21 19 1 21 20 2 21 200,5 21 18 1 21 19 2 21 220,5 21 21 1 21 22 2 21 24


2 - DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE



1 - Motivação2 - Distribuições de Probabilidade

Sumário


• Distribuições Contínuas• Distribuição Discretas

Estatística Aplicada Motivação

•O reconhecimento da importância dos processos estocásticos;

•A consideração da “Incerteza” associada aos eventos;

•Exatidão na modelagem matemática;


•Exatidão na modelagem matemática;

•Correta determinação da probabilidade de ocorrência dos fenômenos;

•A otimização de processos industriais e de serviços através de técnicas de SIMULAÇÃO.

Estatística AplicadaDISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE


Estatística AplicadaFormatos de Distribuições



( ) 0≥xf

( ) 1=∫∞

∞−xf

( ) b

f(x) => fdp

Função densidade de probabilidade

Área da curva é unitária

Probabilidade está associada a área

Distribuições Contínuas de Probabilidade


( ) ∫ >=≤≤b

aabdxxfbXaP )( )(

Algumas Distribuições Contínuas:

Normal Uniforme Chi-square Fisher(F) Student(t)

Beta Cauchy Exponential Gamma Laplace Logistic Lognormal Weibull

associada a área


f(x)

a) f x dx( )−∞

∞∫ = 1

b) f(x) ≥ 0

c) lim ( ) lim ( )x x

f x f x→ ∞ → − ∞

= =0 0 e

d) f(µ + x) = f(µ - x)



e) M áx f(x) o co rre em x = µ

f) O s pontos de inflexão são x = µ ± σ

g) E(X) = µ

h) Var(X) = σ 2

xµ µ+σ

( )2

21

2

1)(

−−= σ

µ

πσ

x

exf

Estatística Aplicada Distribuição Normal

Pouca Utilidade Prática

Retorna a probabilidade Acumulada

Retorna a Variável quando é dada a probabilidade

acumulada


Exemplo

X:N(100,5)P(X<=95)=0,1587


µµµµ


);(: σµNX

Se a dimensão de uma peça segue uma distribuição Normal X: N(80,3) qual a Probabiliade de ter uma peça defeituosa de

acordo com a figura?


1σσσσ

T LSE

p(d)

3σσσσUsed With Permission

6 Sigma Academy Inc. 1995


Exercício 1:

Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine a probabilidade de se ter uma medida:

a) Entre 100 e 115

b) Entre 100 e 90

Dica:

Crie uma coluna com

Exercício 2:

Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine


Use: <Calc><Probability Distribution><Normal>


b) Entre 100 e 90

c) Superior a 110

d) Inferior a 95

e) Inferior a 105

f) Superior a 97

g) Entre 105 e 112

h) Entre 89 e 93

i) 98

coluna com os valores 100 115...98 no Minitab

Crie uma coluna com

os valores 0,74...0,05 no

Minitab

Média 100 e Desvio Padrão 5, determine os valores k tais que se tenha a probabilidade:

a) P(X>k)=0,26

b) P(X<k)=0,32

c) P(100-k<100<100+k)=0,47

d) P(x<100-k)+P(x>100+k)=5%

Estatística AplicadaProbabilidades e Escores padronizados (z)

Exemplo

Um cliente temum portfólio de investimentos cuja média é US$500.000 com desvio padrão de US$ 15.000. Determine aprobabilidade de que o valor de seu portfólio esteja entre US$485.000 e US$ 530.000.


σµ−= i

i

xz


Exemplo

Se X temdistribuição normal N(15, 4), encontre aprobabilidade de X ser maior que 18.

Exemplo


Exemplo

Uma companhia produz lâmpadas cuja vida segueuma distribuição normal commédia 1.200 horas edesvio padrão de 250 horas. Escolhendo-sealeatoriamente uma lâmpada, qual é aprobabilidade de sua durabilidade estar entre 900 e1.300 horas?


Exemplo

Um grupo de estudantes obtémnotas que são normalmentedistribuídas commédia 60 e desvio padrão 15. Que proporçãodos estudantes obtiveramnotas entre 85 e 95?


Exemplo

No caso da prova do exercício anterior, determine anota acima da qual estão 10% dos melhores alunosda classe.


Exercício

É sabido que a quantidade anual de dinheiro gasto emlivros poralunos de uma universidade, segue uma distribuição normal commédia $380 e desvio padrão de $50.


Qual é a probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente no campus gaste mais do que $ 360 por ano?

Estatística AplicadaProbabilidades e Produção

Exercício

A demanda antecipada de consumo de umcerto produto érepresentada por uma distribuição normal commédia 1.200unidades e desvio padrão de 100.

a) Qual é a probabilidade de que as vendas


a) Qual é a probabilidade de que as vendas excedam 1.000 unidades?

b) Qual é a probabilidade de que as vendas estejam entre 1.100 e 1300 unidades?

c) A probabilidade de se vender mais do que k unidades é de 10%. Determine k.

Estatística AplicadaProbabilidades e Investimentos

Exercício

Um portfólio de investimentos contémações de umgrande númerode empresas. Ao longo do último ano as taxas de retorno das açõesdessas corporações seguiramdistribuição normal commédia de12,2% e desvio padrão de 7,2%.


a) Para que proporção de empresas o retorno foi maior que 20%?

b) Para que proporção de empresas o retorno foi negativo?

c) Que proporção de empresas tiveram retornos entre 5% e 15%?

Estatística AplicadaProbabilidades e Investimentos

Exercício

Considere dois investimentos. Emambos, a taxa de retorno segueuma distribuição normal, commédia e desvio padrão conhecidosconforme tabela a seguir. Deseja saber qual dos investimentos émais provável de produzir retornos de no mínimo 10%. Queinvestimentodeveriaserescolhido?


investimentodeveriaserescolhido?

Média Desvio

Investimento A 10,4 1,2

Investimento B 11,0 4,0

Estatística AplicadaProbabilidades e Finanças

Exercício

Um portifólio de investimentos contémações de umgrande númerode empresas. Ao longo do último ano as taxas de retorno das açõesdessas corporações seguiramdistribuição normal commédia de12,2% e desvio padrão de 7,2%.


a) Para que proporção de empresas o retorno foi maior que 20%?

b) Para que proporção de empresas o retorno foi negativo?

c) Que proporção de empresas tiveram retornos entre 5% e 15%?

Estatística Aplicada Distribuição Uniforme

F(x)

( ) ∫+∞

∞−

== dxxxfXE )(µ

1)()(.

1

=−===

xfabhbA

A

( ) ( )∫+∞

∞−

−== dxxfxXVar )(22 µσ

1)(xf =


a b

( ) ( ) ( )12

1

2)(

2222 ab

dxab

baxdxxfxXVar

−=

−

+−=−== ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

µσ

( )2

1 badx

abxXE

b

a

+=−

== ∫µ

)(

1)(

abxf

−=


F(x)

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0

Função Exponencial

Distribuição Exponencial

( ) ixexf λλ −= .


x

140120100806040200

0,02

0,01

0,00 0

( ) ( )2

0

222 11

)(λ

λλ

µσ λ =

−=−== ∫∫+∞

−+∞

∞−

dxexdxxfxXVar x

( )λ

λµ λ 1

0

=== ∫∞

− dxexXE x


1,0

0,8

0,6

0

Variable

C7 * Weibull 1 1

C8 * Weibull 3,4 2

C9 * Weibull 4,5 6.2

Weibull

Distribuição Weibull

( )β

δβ

δδβ

−−

=x

ex

xf1


X-Data

Y-Data

1086420

0,6

0,4

0,2

0,0 0

Estatística AplicadaDistribuição Uniforme

Exemplo

A espessura de umcomponente é uma variável aleatóriauniformemente distribuída entre os valores 0,95 a 1,05 cm.

a) Determine a proporção de componentes que excedem a espessura de 1,02 cm.


que excedem a espessura de 1,02 cm.

b) Qual é o valor de espessura que é excedida por 90% dos componentes?

c) Qual é o valor da espessura abaixo da qual estão 75% dos componentes?

Estatística AplicadaDistribuição Uniforme

Exemplo

Suponha que uma variável aleatória seja uniformemente distribuídano intervalo [1.5; 5.5].

a) Determine a probabilidade de x ser menor que 2,5.


que 2,5.

b) Qual é a probabilidade de x ser maior que 3,5?

c) Determine o valor de k, de modo que a probabilidade de x ser maior quek seja de 40%

Estatística AplicadaDistribuição Exponencial

Exemplo

Considere o seguinte conjunto de dados: [26, 22, 21, 19, 8, 4].Ajustando estes dados por distribuição exponencial, determine:

a) A probabilidade de uma v.a. x ser menor


a) A probabilidade de uma v.a. x ser menor que 10.

b) A probabilidade de uma v.a. x ser menor que 5.

c) P(5< x < 10).


Exemplo

Suponha que X temuma distribuição exponencial commédia iguala 10. Determine:

a) A probabilidade de uma v.a. x ser maior


a) A probabilidade de uma v.a. x ser maior que 10.

b) A probabilidade de uma v.a. x ser menor que 20.

c) Encontre k tal que P(X<k)=0,95


Exemplo

O tempo entre as chamadas telefônicas para uma loja desuprimentos é distribuído exponencialmente comum tempo médiode 15 minutos entre as chamadas.Determine:

a) A probabilidade de não haver chamadas por um período de 30 minutos.


período de 30 minutos.

b) A probabilidade de que no mínimo uma chamada chegue dentro do intervalo de 10 minutos.

c) A probabilidade de que a primeira chamada chegue entre 5 e 10 minutos.

d) O intervalo de tempo, tal que exista uma probabilidade de 90% de haver no mínimo uma chamada no intervalo.


Exemplo

O tempo entre as chegadas de ônibus a uma estação rodoviária édistribuído exponencialmente, commédia10 min. Determine:

a) x, tal que a probabilidade de vc esperar mais de x minutos seja de 10%.


b) x, tal que a probabilidade de vc esperar menos de x minutos seja de 90%.

c) x, tal que a probabilidade de vc esperar menos de x minutos seja de 50%.


Exemplo

O tempo entre a chegada dee-mails em seu computador édistribuído exponencialmente commédia igual a duas horas.Determine:

a) Qual a probabilidade de vc não receber uma mensagem durante o período de


uma mensagem durante o período de duas horas?

b) Se vc não tiver recebido uma mensagem na últimas quatro horas, qual será a probabilidade de vc não receber mensagens nas próximas duas horas?


Exemplo

O tempo entre as chamadas para o escritório do CEOde umacorporação é exponencialmente distribuído commédia igual a10minutos. Determine:

a) Qual a probabilidade de não haver


a) Qual a probabilidade de não haver chamadas dentro de meia hora?

b) Se a secretária do CEO se ausentar por 5 minutos, qual será probabilidade dela não atender (e repassar) uma “importante” ligação para o chefe?


( ) 0≥ixf

( ) 11

=∑=

n

iixf

Algumas Distribuições Discretas

A Distribuição Binomial

A Distribuição de Poisson

A Distribuição Geométrica

A soma das frequências é

unitária

Distribuição Discretas de Probabilidade


1=i

( ) ( )ii xfxXP ==A Distribuição Geométrica

A Distribuição de Pascal

A Distribuição Multinomial

A Distribuição Hipergeométrica A probabilidade é a frequência


Use o programa Statdisk

<Analysis>

Distribuição Binomial


<Analysis>

<Probability Distribution>

<Binomial Distribution>

Observe em <Options>os valores acumulados


E(X) = np e Var (X) = npq

( ) ( )valores outrospara

0

,...2,1,0)1(!!

!

=

=−

−== − nxpp

xnx

nxXP xnx



Ex.: A probabilidade de umteste “Burn in / Burn out”queimar umcomponente eletrônico é 0,2 (p). Colocando-setrês (n) componentes sob teste, qual a probabilidade de quepelo menos dois deles (x) se “queime”?


E = { QQQ, QQN, QNQ, NQQ, NNQ, NQN, QNN, NNN}ondeQ eN representam a queima ou não do componente

x

0

1

P(x)

P{ NNN} = P(X = 0) = q3 = (0.8)3

P{ NNQ} + P{ NQN} + P{ QNN} = P(X = 1) = 3pq2 = 3(0.2)(0.8)2

X: Número de Queimas Q



1

2

3

P{ NNQ} + P{ NQN} + P{ QNN} = P(X = 1) = 3pq2 = 3(0.2)(0.8)2

P{ QQN} + P{ QNQ} + P{ NQQ} = P(X = 2) = 3p2q = 3(0.2)2(0.8)

P{ QQQ} = P(X = 3) = p3 = (0.2)3

P(X ≥ 2) = P(X=2) + P(X= 3) = 3p2q + p3 = 0.104 = 10,4%


Exercício:

Suponha que uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0.2de funcionar durante o tempo de garantia. São ensaiadas 20 válvulas.

a) Qual a probabilidade de que delas, exatamentek,funcionemdurante o tempo de garantia (k = 0, 1, 2, ...20)?



20)?b) Qual a probabilidade de que 4 funcionemdurante o

tempo de garantia?c) Qual o número médio e o desvio padrão de válvulas que

irão funcionar durante o tempo de garantia?

X ≡ Número de válvulas que funcionam durante o tempo de garantia.p = 0.2X = 0, 1, 2, ... 20


P(X = x)

com média E(x) = np = 20.(0.2) = 4

e desvio padrão npq = 1788.

E(X) = np e Var (X) = npq

( ) valoresoutros para 0

,2,1,0 )1(

=

=−

== − nxpp

x

nxXP xnx

L



x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18

e desvio padrão npq = 1788.

( ) ( ) kk

kkXP −

208.02.020

=)=(


Exercício: Complete a tabela referente a Distribuição Binomial a seguir:

n p k P(X=k) F(k) P(X>k) P(X<k) E(x)

4 0,2 2

8 0,5 4



8 0,5 4

12 0,7 3

20 0,8 12

100 0,6 63


n p k P(X=k) F(k) left k

P(X>k) right

P(X<k) left k-1

E(x) n.p

4 0,2 2 0,1536 0,97 0,0272 0,8192 0,8

8 0,5 4 0,2734 0,3633 0,0899 4



8 0,5 4 0,2734 0,3633 0,0899 4

12 0,7 3 0,0015 0,0017 0,9983 0,0002 8,4

20 0,8 12 0,0222 0,9679 0,0099 16

100 0,6 63 0,0682 0,2386 0,6932 60

Estatística Aplicada Distribuição Hipergeométrica

Ex.: Pequenos motores elétricos são expedidos emlotes de50unidades. Antes que uma remessa seja aprovada, uminspetorescolhe5 desses motores e os inspeciona. Se nenhumdosmotores inspecionados for defeituoso, o lote é aprovado. Se umou mais foremverificados defeituosos, todos os motores daremessasãoinspecionados. Suponhaqueexistam,de fato, três


remessasãoinspecionados. Suponhaqueexistam,de fato, trêsmotores defeituosos no lote. Qual a probabilidade de que ainspeção 100% seja necessária?

P X P X( ) ( ) .≥ = − = = −

≅1 1 0 1

3

0

47

5

50

5

0 28

Estatística Aplicada Distribuição Hipergeométrica


)0(1)1( =−=≥ XPXP


Ex.: Em uma experiência de laboratório passam, emmédia, porum contador, quatro partículas radioativas por milissegundo.Quala probabilidadedeentraremno contadorseispartículasem

npnp

Xk

ekXP

k

====

===−

µσµλ

λλ

2,1, , L0!

)(

Distribuição de Poisson


Quala probabilidadedeentraremno contadorseispartículasemdeterminado milissegundo?

Utilizando a distribuição de Poisson comλ = 4, então:

1042.0!6

4)6(

64

===−e

XP

No Minitab use: <Calc> <Probability Distribution> <Poisson>


Use o programa Statdisk

<Analysis>



<Analysis>

<Probability Distribution>

<Poisson Distribution>

Observe em <Options>os valores acumulados


Exercício: Complete a tabela referente à Distribuição Poisson:

Média k P(X=k) F(k) P(X>k) P(X<k)

4 2 0,14 0,23 0,76 0,091



8 4

12 3

20 12

100 63


Ex.: Chegam, emmédia, 10 navios-tanque por dia a ummovimentadoporto, que temcapacidade para 15desses navios. Qual a probabilidadede que, emdeterminado dia, umoumaisnaviostanquetenhamdeficar ao



maisnaviostanquetenhamdeficar aolargo, aguardando vaga?

Temos aqui que, paraλ = 10:

0487.09513.01)15(1)15( =−=≤−=> XPXP


Ex.: Uma central telefônica recebe emmédia300 chamadas por hora e pode processar nomáximo 10 ligações por minuto. Estimar aprobabilidade de a capacidade da mesa serultrapassada.



Temos agora:λ = 300/60 = 5 chamadas/minuto emmédia

%4,1014.0986.01)10(1)10( ==−=≤−=> XPXP

Estatística Aplicada Distribuição de Poisson

Aproximação da Distribuição Binomial

P X kn

kp pk n k( ) ( )= =

− −1

Seja X uma v.a.distribuída binomialmente com parâmetro p(baseado em n repetições de um experimento). Isto é,


P X kk

p p( ) ( )= = −1

!)(lim

k

ekXP

k

n

λλ−

∞→==

Admita-se que quando n → ∞, p →0 e np → λ.Nessas condições é possível demonstrar uma importante consideração:


Ex.: A probabilidade de umindivíduo ter reação negativa a certainjeção é de 0,001. Determinar a probabilidade de que de 2.000indivíduos injetados, exatamente 3 tenhamreação negativa.

Usando a distribuição binomial comn = 2.000 ep = 0.001 temos:

2000




19973 )999.0()001.0(3

2000)3(

==XP

O cálculo desses números dá origem a considerável dificuldade. Pela aproximação de Poisson temos:

1804.0!3

2)3(

32

===−e

XP2)001.0)(2000( === npα


Ex.: Consideremos umexperimento binomial comn = 200, p = 0.04emque se pede a probabilidade de, no máximo, 5 sucessos.

O cálculo direto é impraticável, usando a Distribuição Binomial




kk

k kXP −

=∑

=≤ 5

5

0

)96.0()04.0(200

)5(

λ = np= (200) (0.04) = 8

P(X ≤ 5) = 0.1912 Obtido de Tabela (ou micro)


Ex.: A probabilidade de umindivíduo ter reação negativa a certainjeção é de 0,001. Determinar a probabilidade de que de 2.000indivíduos injetados, mais de quatro tenhamreação negativa.


2)001.0)(2000( === npα


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0526.0122

4

6

8

24

161

!0

2

!1

2

!3

2

!4

21

]01234[14

2

0223242

=

++++−=

+++−=

=+=+=+=+=−=>

−

−−−−

e

eeeeXPXPXPXPXPXP

2)001.0)(2000( === npα


3 - Estimação de Parâmetros e Intervalos de Confiança



Idéia Central:Criar e avaliar intervalos de Confiança para dados amostrais.

Estimação de Parâmetros e ICEstimação de Parâmetros e IC


Tópicos abordados:• Inferência Estatística• O Teorema Central do Limite • Intervalos de Confiança• A Distribuição t de Student.


População

Amostragem

Estimação de parâmetros

e escolha da Distribuição

Inferência

Estatística

Ex.: Para a distribuição normal os

parâmetros são

Estimação de Parâmetros -Noções


e escolha da Distribuição

Cálculo de Probabilidades

(Usando a Distribuição acima)

Estatística

Informação para

tomada de decisão

parâmetros são µ e σ2.

Os termos populaçãoe

distribuição são equivalentes.

Estatística AplicadaNomenclatura



“Para uma populaçãonão normal commédiaµ edesvio padrão σ, a distribuição da médiaamostral para amostras de tamanhonsuficientemente grande é aproximadamentenormalcom médiaµ e desviopadrão ,

X

nσ

O Teorema Central do Limite


normalcom médiaµ e desviopadrão ,isto é:

~ N : (0,1)”

nσ

n

X

σµ−=Ζ

Ou seja:

Se X:(µ, σ) então a distribuição amostral de é N(:(µ, ) X nσ


“Para uma população normal com média µ edesvio padrãoσ, a média amostral para amostrasde tamanho n suficientemente grande éaproximadamente normal commédia µ e desviopadrão , isto é:

X

nσ

TCL


~ N : (0,1)”n

X

σµ−=Ζ

Ou seja:

Se X:N(µ, σ) então a média amostral de é N:(µ, ) X nσ

nσErro Padrão = Standard Error=SE=


0.95

Consideremos uma população normal com média µ, desvio padrão σ e uma amostra dessa população.

n

uX

σ−

~ N : (0,1)

Pelos resultados do Teorema do

Fixando α em 0.05, ou seja, 1-α=0.95,

95.0)96.196.1( =<<− ZP

%)95:(µIC= ... para Sigma conhecido


z

X

-1.96 0 1.96

0.0250.025

0.95Pelos resultados do Teorema do Limite Central


População normal com média µ e desvio padrão σ

n

uX

σ−

~ N : (0,1)

Pelos resultados do TCL: α : Nível de significância

1- α: Nível de confiança

95.0)96.196.1( =<<− ZP

Confiança e Significância


nσ

95.096.196.1 =

<−<−

n

XP

σµ

[ ] 95.0)(96.1)(96.1 =+<<− nXnXP σµσ

[ ] ( ) ( )[ ]nXnX σσθθ 96.1; 96.1ˆ;ˆ10 +−= %)95:(µIC=


Ela não significa que aprobabilidade doparâmetroµ cair dentrode um intervalo

[ ] 95.0)(96.1)(96.1 =+<<− nXnXP σµσ

IC - Interpretação


θ

especificado seja igual a0.95. µ sendo oparâmetro, está ou não,dentro do intervalo.

“0.95 é a probabilidade de que um intervalo aleatório contenha µ .”


( ) ( )[ ]nStXnStXIC 22 ; )100)1(:( αααµ +−=−

nS

Xt

)( µ−= ∑=

−−

=n

ii XX

nS

1

22 )(1

1

%)95:(µIC= ... para Sigma Desconhecido


- tα/2 0 tα/2

α/2 α/2

1-α

t

nS

Estatística Aplicada (Distribuição t de Student)

nS

Xt

)( µ−= ∑=

−−

=n

ii XX

nS

1

22 )(1

1

“D istribuição t de Student”, com v

graus de liberdade

v = n - 1Normal


v = n - 1Tal distribuição é

usualmente tabelada para alguns valores de v e α

Normal

hv(t)

t

Estatística AplicadaIntervalos de Confiança para PROPORÇÕES

Exemplo

Uma amostra aleatória de 85 camisas, 10 apresentaramalgumtipode defeito (furos, manchas, costuras soltas etc). Construa umintervalo de confiança de 95% para a proporção populacional dedefeituosos.


( ) ( )n

ppZpp

n

ppZp

ˆ1ˆˆ

ˆ1ˆˆ 22

−+≤≤−− αα

Usando a aproximação pela NORMAL.


ExemploUm candidato político deseja avaliar se as

suas intenções de votos são maiores do que as do concorrente, com uma margem de pelo menos 5%. Possui, na última pesquisa realizada, 35% da preferência

Tamanho de Amostra


pesquisa realizada, 35% da preferência do eleitorado.

Admitindo a = 1% e b = 5%, qual o tamanho de amostra necessária?


Power and Sample Size

selecionar: Stat > Power and Sample Size > 2 Proportions

“Proportion 1 values”: < 0,35 >

“Power values”: < 0,95 >


“Proportion 2”: < 0,30 >

selecionar: Options

marcar “Greater Than”

“Significance level”: < 0,01 >

OK

OK

Teste de Hipóteses

44--Teste Teste de de HipótesesHipóteses

BA µµ =:H0

Pedro Paulo Balestrassi | www.pedro.unifei.edu.br

Rejeita-se H0

P_value<0.05

BA0

A

B

Teste de Hipóteses

A perda em um processo caiu de uma proporção de 10% para 5%.

Dois operadores tem em média tempos de 34 e 40 minutos, respectivamente para desenvolver uma atividade.

São diferenças Estatisticamente Significantes?


respectivamente para desenvolver uma atividade.

Quanto maior o número de horas-extras maior a insatisfação dos trabalhadores (correlaçãode 0.40)

Teste de Hipóteses

• Procedimentos Gerais• Teste de média Z para 1 amostra• Teste de média t para 1 amostra• Teste de variância para 2 amostras

Pedro Paulo Balestrassi | www.pedro.unifei.edu.br 123

• Teste de variância para 2 amostrasA Distribuição de Fisher

• Teste de média t para 2 amostras• Teste de média para Observações

Emparelhadas• Teste de proporções

Teste de Hipóteses

•Na afirmação: “Uma pessoa é considerada inocente até que se prove o contrário pois é um erro maior condenar um inocente do que libertar um culpado.”, defina:

•Erros Tipo I e Tipo II

•Hipóteses Nula e Alternativa

Erros e Hipóteses


•Hipóteses Nula e Alternativa

Situação Real

Ho H1

Ho Correta Erro II

β

Decisão

H1 Erro I

α

Correta

RC

Teste de Hipóteses

H : Dados Normais H: Dados não normais

Paramétricos

Não Paramétricos

Testes Paramétricos e Não Paramétricos


Ho: Dados Normais H1: Dados não normais

P_value

Teste de Hipóteses Algoritmo Básico de Implementação


No Minitab: Análise do p-value !

Teste de Hipóteses

Teste de dois tipos de Amplificadores

Amostra de 25 amplificadores

Exemplo de Algoritmo Básico


Teste de Hipóteses Exemplo de Algoritmo Básico


4º passo: Cálculo da média amostral com base nas 25 amostras

5º passo: Caso a média amostral pertença à região crítica, rejeita-se H0 e aceita-se H1 (Dizemos que os amplificadores são do tipo “Não Americano”). Em caso contrário, aceita-se H0.

Teste de Hipóteses

Ver Programa John Hattie e

Teste_Hipóteses (flash)

Marcianos ou Venusianos?


Teste de Hipóteses

Exemplos:

• Duas linhas de produção supostamente idênticas estão apresentando resultados diferentes. Como confirmar isso?

• A variabilidade de um processo é maior


• A variabilidade de um processo é maior que outro. Temos certeza?

• Os dados estão normalmente distribuídos?

• Como saber estatisticamente se dois funcionários tem o mesmo desempenho?

Teste de Hipóteses

Quick Guide 1/2


Teste de Hipóteses

Quick Guide 2/2


Teste de Hipóteses

Exemplo

A Resistência ao Estufamento das latas para a inspeção final deve ser maior que 90 psi. Tal resistência obedece a uma distribuição normal com desvio padrão de 1 psi. As medidas da

Teste de média Z para 1 amostra

Processo de fabricação de latas


com desvio padrão de 1 psi. As medidas da Resistência para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha Resistência.MTW

Teste a Hipótese de que as medidas da Resistência ao Estufamento estão dentro do limite de especificação. (Prove que as medidas são maiores que 90)

Resistência.MTW

Teste de Hipóteses

H é geralmente o que se

<1-Sample Z>


H1 é geralmente o que se deseja provar

Geralmente nãoé fornecido

Teste de Hipóteses

One-Sample Z: Resistencia

Test of mu = 90 vs mu > 90

The assumed sigma = 1

H0 H1

Valor dentro da Região Crítica

Uma boa regra: Quando P_value< 0,05, rejeita-se Ho

1-Sample Z: Resultados


The assumed sigma = 1

Variable N Mean StDev SE MeanResistencia 15 91,111 0,834 0,258

Variable 95,0% Lower Bound Z PResistencia 90,686 4,30 0,000

Rejeita-se H0Região Crítica

Região Crítica

Teste de Hipóteses

6

5

4

Histogram of Resistencia(with Ho and 95% Z-confidence bound for the mean, and s igma = 1,0000)

A média pertence a região crítica para

rejeição de Ho

1-Sample Z: Histograma


93,092,592,091,591,090,590,089,5

3

2

1

0

Resistencia

Freq

uenc

y

[X_

Ho

Teste de Hipóteses

Exemplo

A especificação da Largura da Flange das latas para a inspeção final é definida como 0.082’’+/- 0.010’’ e obedece a uma distribuição normal. As medidas da Largura da Flange para

Teste de média t para 1 amostra



normal. As medidas da Largura da Flange para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha.

Teste a Hipótese de que as medidas da Largura da Flange estão dentro do limite de especificação. (Prove que os valores são em média maiores que 0,072”e menores que 0,092”) flange.MTW

Teste de Hipóteses

Teste 1

<1-Sample t>


Teste 2

Teste de Hipóteses

One-Sample T: Largura Flange

Test of mu = 0,092 vs mu < 0,092

Variable N Mean StDev SE MeanLargura Flan 15 0,083522 0,003446 0,000890

Variable 95,0% Upper Bound T P

H0 H1

Rejeita-se

1-Sample t: Resultados


Largura Flan 0,085089 -9,53 0,000

One-Sample T: Largura Flange

Test of mu = 0,072 vs mu > 0,072

Variable N Mean StDev SE MeanLargura Flan 15 0,083522 0,003446 0,000890

Variable 95,0% Lower Bound T PLargura Flan 0,081955 12,95 0,000

H0 H1

Rejeita-se H0

Rejeita-se H0

Teste de Hipóteses

5

4

3

2

1

0

Freq

uenc

y

Histogram of Largura Flange(with Ho and 95% t-confidence bound for the mean)

[X_Histogram of Largura Flange

(with Ho and 95% t-confidence bound for the mean)

O Teste t é usado para comparar médias quando o desvio padrão da

população é desconhecido

1-Sample t: Histogramas


0,0910,0890,0870,0850,0830,0810,079

Largura Flange

[

0,0910,0890,0870,0850,0830,0810,079

5

4

3

2

1

0

Largura Flange

Freq

uenc

y

(with Ho and 95% t-confidence bound for the mean)

]X_

Ho

O teste t é usado na maioria dos casos. O termo t deve-se ao

estatístico Gossetque criou a distribuição t de

Student.

Teste de Hipóteses

Exemplo

Dois tipos de Bico de Aplicação de verniz (Tipo I e Tipo II) foram avaliados. Deseja-se investigar o efeito desses dois Bicos com relação ao Peso do Verniz (em mg)

Teste de Variânciapara 2 amostras



medido após o processo. Tais medidas são dadas na planilha ao lado.

As variâncias são iguais? (Teste a Hipótese nula de que os dois bicos produzem um peso de Verniz com mesma variância,ou seja, mesma dispersão).

Peso_Verniz.MTW

Teste de Hipóteses

Usando 2 Variances

<2 Variances>


Obs.: Teste o Procedimento

Stack Columns

Teste de Hipóteses

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

95% Confidence Intervals for Sigmas

F-Test Levene's Test

Factor Levels

Verniz_tipo1

Verniz_tipo2

Test for Equal Variances

Prefira sempre pois independe da distribuição

2 Variances – Levene’s Test


Verniz_tipo2

Verniz_tipo1

110.0 110.5 111.0 111.5 112.0 112.5

Boxplots of Raw Data

F-Test

Test Statistic: 2.738

P-Value : 0.150

Levene's Test


P-Value : 0.236

distribuição dos dados

As variâncias são iguais!

Teste de Hipóteses

Probability Density Function

y=F(x,10,10)

1.125

1.500A Distribuição

F de Fisher

O Teste F testa se duas Variâncias são

2 Variances – Teste F de Fisher


0.000

0.375

0.750

0 1 2 3 4

O Teste F testa se duas Variâncias são iguais. Em caso de Variâncias

idênticas, F=1. Tal distribuição é geralmente utilizada para cálculos

manuais pois é tabelada!

Teste de Hipóteses

USANDO Test for Equal Variances (melhor!!!)

Level1 Verniz_tipo1

Level2 Verniz_tipo2

ConfLvl 95.0000

Bonferroni confidence intervals for standard deviations

Lower Sigma Upper N Factor Levels

<Anova> <test for equal variances>

Esse método é melhor pois pode testar mais que dois conjuntos de dados.

<Anova> <Test for equal variances>


0.358564 0.548160 1.10380 10 Verniz_tipo1

0.216713 0.331303 0.66713 10 Verniz_tipo2

F-Test (normal distribution)


P-Value : 0.150

Levene's Test (any continuous distribution)


P-Value : 0.236 (variâncias iguais)

Teste de Hipóteses

Teste de média t para 2 amostras

Exemplo: Em relação ao problema anterior, teste se as médias são diferentes. (Peso_Verniz.MTW)


Do teste de Levene

Teste de Hipóteses

Two-Sample T-Test and CI: Verniz_tipo1, Verniz_tipo2

Two-sample T for Verniz_tipo1 vs Verniz_tipo2

N Mean StDev SE Mean

Verniz_t 10 110.792 0.548 0.17

Verniz_t 10 112.205 0.331 0.10

<2-Sample t>


Verniz_t 10 112.205 0.331 0.10

Difference = mu Verniz_tipo1 - mu Verniz_tipo2

Estimate for difference: -1.413

95% CI for difference: (-1.838, -0.987)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -6.97 P-Value = 0.000 DF = 18

Both use Pooled StDev = 0.453Médias diferentes

Teste de Hipóteses

112.0

112.5

Boxplots of Verniz_t1 and Verniz_t2

(means are indicated by solid circles)

2-Sample t: Boxplots


Verniz_t Verniz_t

110.0

110.5

111.0

111.5

Teste de Hipóteses

Exemplo

Suspeita-se que dois funcionários estão monitorando o Manômetro do processo de Minster de uma forma desigual. Para

Teste para observações emparelhadas



uma forma desigual. Para diferentes pressões foram lidas (de uma forma emparelhada) os resultados da planilha.

Teste a Hipótese Nula de que os dois operadores tem o mesmo desempenho.

Oper_Pressao.MTW

Teste de Hipóteses <Paired t>


Teste de Hipóteses

Paired T-Test and CI: Operador 1, Operador 2

Paired T for Operador 1 - Operador 2

N Mean StDev SE Mean

Operador 1 10 194 428 135

Operador 2 10 196 428 135

Paired t: Resultados


Difference 10 -2.400 1.075 0.340

95% CI for mean difference: (-3.169, -1.631)

T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = -7.06 P-Value = 0.000

Médias diferentes

Teste de Hipóteses

Boxplot of Differences(with Ho and 95% t-confidence interval for the mean)

Paired t: Boxplot


-4 -3 -2 -1 0

Differences

[ ]

X_

Ho

Teste de Hipóteses

Exemplo: Durante a Inspeção final da lata acabada a especificação define que entre 6 latas (vistas a cada hora em cada linha) 5 não devem apresentar defeitos visuais por palete. As inspeções correspondentes a 24 horas são feitas para dois dias em meses diferentes (admita que a proporção se mantenha constante ao longo dos dois dias). Temos Assim:

Teste para proporçãode 1 amostra


ao longo dos dois dias). Temos Assim:

Dia 1: 12 Defeitos Visuais em 144 Latas Inspecionadas

Dia 2: 23 Defeitos Visuais em 144 Latas Inspecionadas

Teste a Hipótese Nula de que as duas proporções atendem às especificações.

Teste de Hipóteses

Teste 2Teste 1

<1 Proportion>


Uma lata em cada 6 são defeituosas 1/6=0,166667

Teste de Hipóteses

Test and CI for One Proportion

Test of p = 0,166667 vs p > 0,166667

ExactSample X N Sample p 95,0% Lower Bound P-Value1 23 144 0,159722 0,111691 0,623

1 Proportion: Resultados


Test and CI for One Proportion

Test of p = 0,166667 vs p > 0,166667

ExactSample X N Sample p 95,0% Lower Bound P-Value1 12 144 0,083333 0,048788 0,999

Estão dentro da especificação

Teste de Hipóteses <2 Proportions>

Em relação ao exemplo anterior, Teste a Hipótese Nula de que as duas proporções são iguais.


Teste de Hipóteses

Test and CI for Two Proportions

Sample X N Sample p1 12 144 0,0833332 23 144 0,159722

Estimate for p(1) - p(2): -0,0763889

2 Proportions: Resultados


Estimate for p(1) - p(2): -0,076388995% CI for p(1) - p(2): (-0,151343; -0,00143469)Test for p(1) - p(2) = 0 (vs not = 0): Z = -1,98 P-Value = 0,047

São diferentes

Teste de Hipóteses

Suponha que uma amostra com n observações possa serclassificada em uma tabela cruzada, formada por um fator delinha e um de coluna.

Se a hipótese nula puder ser escrita como:

H0: Não há associação entre os dois atributos.

TESTES DE INDEPENDÊNCIA 2χ


H0: Não há associação entre os dois atributos.

Então a freqüência esperada dentro de cada célula será:

n

CRE ji

ij =

Onde: Ri = total da linha i; Cj = total da coluna j

Teste de Hipóteses

A rejeição da hipótese nula se dará se:

( ) 2),1)(1(

1 1

2

2αχχ −−

= =∑∑ >

−= cr

r

i

c

j ij

ijijT E

EO

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1 1= =i j ijE

O teste é baseado na magnitude dadiscrepância entre as quantidadesobservadas e esperadas.

Teste de Hipóteses

Método H M Total

Exemplo: De acordo com os dados da tabela abaixo,avalie se existe relação entre o método de reservade passagens e o sexo do passageiro.


Método H M Total

Agência 256 (233,5) 74 (96,5) 330

Internet 41 (58,7) 42 (24,3) 83

Toll-free 66 (70,8) 34 (29,2) 100

Total: 363 150 513

Teste de Hipóteses

A rejeição da hipótese nula se dará se:

( ) ( ) ( )8,26

2,29

2,2934...

5,96

5,9674

5,233

5,233256 2222 =−++−+−=Tχ

O valor crítico do teste será:


99,5205.0,2

2),1)(1( ==−− χχ αcr

Como o valor de teste é maior que o valor crítico, rejeitaH0. Logo, o tipo de reserva está relacionado ao sexo dopassageiro. O indício da diferença está no maior .

2celχ

Teste de Hipóteses

Gender

Exemplo: Following a presidential debate, peoplewere asked how they might vote in the forth comingelection. Is there any association between one’sgender and choice of a candidate?


GenderTotal

Candidate Male Female

A 150 130 280B 100 120 220

Total 250 250 500

Teste de Hipóteses Análise

Bidimensional

Distribuição Conjunta

A Distribuição Conjunta é usada para o estudo da associabilidade entre variáveis. Ex.: A partir de uma renda familiar podemos estimar a classe social de uma pessoa, pois sabemos da existência de dependência entre essas duas variáveis.


X Y Masculino Feminino Total

Economia 85 35 120

Administração 55 25 80

Total 140 60 200

Distribuição conjunta das freqüências das variáveis X

(Curso) e Y (Sexo)

essas duas variáveis.

Como ver a associação das variáveis na Distribuição Conjunta abaixo?

Teste de Hipóteses Ex.: Independência de Eventos


Economia 85 35 120


Total 140 60 200

Distribuição conjunta das freqüências das variáveis X

(curso) e Y (sexo)

X Y Masculino Feminino Total Distribuição conjunta das proporções



Economia 61% 58% 60%

Administração 39% 42% 40%

Total 100% 100% 100%

Distribuição conjunta das proporções em relação aos totais de cada coluna.Independente do sexo, 60% preferem Economia e 40% preferem

Administração


Economia 71% 29% 100%

Administração 69% 31% 100%

Total 70% 30% 100%

Distribuição conjunta das proporções

em relação aos totais de cada linha.Independente do Curso, 70% é Masculino e 30% é feminino

Teste de Hipóteses <Chi-Square Test>


Economia 85 35 120


Total 140 60 200

Desenvolva a análise de Independência de

Eventos para cada uma das tabelas, usando o Escola A


Minitab (Bidimensional.mtw)

<Stat> <Tables>

<Cross -Tabulation>

<Chi-Square Analysis>


Engenharia 100 20 120

C. Sociais 20 60 80

Total 120 80 200

Escola A

Escola B

Teste de Hipóteses Esperados e Observados

Estado Tipo de Cooperativa

Consumidor Produtor Escola Outros Total

São Paulo 214 (33%) 237 (37%) 78 (12%) 119 (18%) 648 (100%)

Paraná 51 (17%) 102 (34%) 126 (42%) 22 ( 7%) 301 (100%)

Rio G.Sul 111(18%) 304(51%) 139(23%) 48 ( 8%) 602(100%)

Distribuição conjunta das proporçõesem relação aos totais de cada linha.

ijo


Rio G.Sul 111(18%) 304(51%) 139(23%) 48 ( 8%) 602(100%)

Total 376 (24%) 643 (42%) 343 (22%) 189 (12%) 1551 (100%)



São Paulo 156 (24%) 272 (42%) 142 (22%) 78 (12%) 648 (100%)

Paraná 72 (24%) 127 (42%) 66 (22%) 36 (12%) 301 (100%)

Rio G.Sul 144 (24%) 254 (42%) 132 (22%) 72 (12%) 602 (100%)

Total 376 (24%) 643 (42%) 343 (22%) 189 (12%) 1551 (100%)

Distribuição conjunta dos valores esperadosem relação aos totais das linhas

ijo

ije

Teste de Hipóteses


Consumidor Produtor Escola Outros

São Paulo 58 -35 -64 41

Paraná -21 -25 60 -14

Rio G. Sul -33 50 7 -24

n o eij ij ij= −

Chi-Square Test



Consumidor Produtor Escola Outros

São Paulo 21,56 4,50 28,84 21,55

Paraná 6,12 4,92 54,54 5,44

Rio G. Sul 7,56 9,84 0,37 8,00

( )379,17300,812,656,21

2

2 =+++=−

= ∑∑ L

j ij

ijij

i e

eoχ

( )ij

ijijij e

eon

2−=

Qui-Quadrado

Teste de Hipóteses



São Paulo 214 (33%) 237 (37%) 78 (12%) 119 (18%) 648 (100%)

Paraná 51 (17%) 102 (34%) 126 (42%) 22 ( 7%) 301 (100%)

Rio G.Sul 111(18%) 304(51%) 139(23%) 48 ( 8%) 602(100%)

Cross Tabulation


Desenvolva a análise de Independência de Eventos para a tabela, usando o Minitab (Bidimensional.mtw)

<Stat> <Tables> <Cross Tabulation> Stacked

<Stat> <Tables> <Chi-Square> Unstacked

Rio G.Sul 111(18%) 304(51%) 139(23%) 48 ( 8%) 602(100%)

Total 376 (24%) 643 (42%) 343 (22%) 189 (12%) 1551 (100%)


5– ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA)



• As bases da Análise de Variância• Um fator (One-way)• Dois fatores (Two-way)• Análise de Médias (ANOM)

ANOVA

Análise de Variância


• Análise de Médias (ANOM)• Balanced ANOVA

ANOVA é um Teste para Comparar Médias

(O nome é enganoso!)


Entendendo o significado da

ANOVA...

ANOVA - Visualmente



Tratamentos

Resposta

A B C

5 9 10

4 1 5

6 8 8

As médias são realmente diferentesou tudo não passa de casualidade?

As Bases da ANOVA


6 8 8

7 11 7

8 6 10

Somatório 30 35 40

Médias 6 7 8

negadoser vai sinais dos um menos Pelo:

:

1

0

===

H

H CBA µµµ


Passo 1: Cálculo da Variação Total

5 5-7=-2 4

4 4-7=-3 9

iX ii xXX =− 2ix

Como SS>0 é razoável imaginar que ela se compõe de variações que ocorrem Dentro

Média geral

Algoritmo: Variação Total


4 4-7=-3 9

Etc. Etc. Etc

7 0 0

10 3 9

105 0 96∑Variação Total (SS: Sum Squares)

ocorrem Dentro dos Grupos (Within) e Entre os tratamentos (Between)

Foram considerados 15 observações: DF=14


5 5-6=-1 1

4 -2 4

Passo 2: Cálculo da Variação Dentro do Grupo -Within

AA XX − 2)( AA XX −AX 2)( BB XX − 2)( CC XX −

Algoritmo: Variação Within


4 -2 4

6 0 0

7 1 1

8 2 4

10 58 18

VarWithin=SSW=10+58+18=86Foram considerados 5 observações em cada caso: DF=12


6 -1 1

6 -1 1

Passo 3: Cálculo da Variação Entre Tratamentos (Between)

XXA − 2)( XXA −AX 2)( XXB − 2)( XXC −

Algoritmo: Variação Between


6 -1 1

6 -1 1

6 -1 1

6 -1 1

5 0 5

SSB=5+0+5=10Foram considerados 3 observações: DF=2


SS=SSW+SSB ! 96=86+10

Graus de Liberdade (DF):

SS possui (15-1)=14DF

(3 Tratamentos) (5 Observ/Trat)

A B C

5 9 10

4 1 5

Algoritmo: Graus de Liberdade


(3 Tratamentos) (5 Observ/Trat)

SSW possui (5-1)(3)=12DF

(5 Observ/Amostra)(3 Amostras)

SSB possui (3-1)=2 DF

(3 Tratamentos -1)

4 1 5

6 8 8

7 11 7

8 6 10

DFSS=DFSSW+DFSSB ! 14=12+02


SS=SSW+SSB ! 96=86+10

DFSS=DFSSW+DFSSB ! 14=12+02

SSB/DFSSB = 10/2 = 5

Estimativas de Variâncias:

Algoritmo: Teste de Fisher para Médias

<Calc F>


SSW/DFSSW = 86/12 = 7,17

SSB/DFSSB = 10/2 = 5

F0= 5/7,17=0,70

Fcrítico= 3,89 (em função dos DFSSW, DFSSB e alfa=5%

F0<Fcrítico Não s e Rejeita Ho


Fonte de Variação

Própria Variação

DFVariância Estimada

F0

Quadro Resumo Básico

Algoritmo: Quadro resumo


SSB (ou SS Factor)

10 2 10/2=5 5/7,17=0,70

SSW (ou SS Error)

86 12 86/12=7,17

SS 96 14


One-way ANOVA: A; B; C (use unstacked)

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Factor 2 10,00 5,00 0,70 0,517

Error 12 86,00 7,17

Total 14 96,00

Minitab <ANOVA>One-Way Unstacked


Total 14 96,00

Individual 95% CIs For Mean

Based on Pooled StDev

Level N Mean StDev ----+---------+- --------+---------+--

A 5 6,000 1,581 (------------*- -----------)

B 5 7,000 3,808 (--------- ---*------------)

C 5 8,000 2,121 (---- --------*------------)

----+---------+---------+---------+--

Pooled StDev = 2,677 4,0 6,0 8,0 10,0


Exemplo

Na definição do Setup dos fatores para o processo Inside Spray quatro conjuntos de níveis para os parâmetros de Temperatura

One-Way ANOVA

Anova1.mtw


parâmetros de Temperatura foram avaliados. Deseja-se investigar o efeito desses quatro Setups com relação a Distribuição do Verniz interno no fundo para cerveja medidas em mg/pol2 após o processo. Tais medidas são dadas na planilha ao lado.


ANOVA One-Way (Unstacked)

ANOVA One-Way (Unstacked)


Usar o Procedimento Stack Columns para executar o Teste ANOVA One-Way (preferível pois faz a análise de resíduos!!)


As médias são diferentes

ANOVA One-Way: Resultados



7.5

8.5

Boxplots of Setup1 - Setup4(means are indicated by solid circles)

ANOVA One-Way: Boxplots


Set

up1

Set

up2

Set

up3

Set

up4

4.5

5.5

6.5


0.5

1.0

1.5

Residuals Versus the Fitted Values(response is mg)

ANOVA One-Way: Residuals x Fitted


6.0 6.5 7.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

Fitted Value

Res

idua

l


Exemplo

No processo Bodymaker deseja-se investigar a Profundidade do Dome em função de 3 conjuntos de parâmetros (envolvendo pressão, Temperatura Vazão,

Two-Way ANOVA



pressão, Temperatura Vazão, etc...) e também em dois turnos de operação. Foram então colhidas amostras da Profundidade do Dome (em polegadas) para diferentes Turnos e diferentes Conjuntos de Parâmetros. Anova_2.MTW

Estatística AplicadaANOVA Two-Way: Follow along



Diferentes

Iguais

ANOVA Two-Way: Resultados



Exemplo

Foram avaliados três níveis de pressões de ar drawpad (em psi) e também três níveis de pressões de ar blow off (em psi) na influência de

ANOM

Análise de Médias


blow off (em psi) na influência de problemas visuais após o processo Minster. O número de defeitos visuais (Riscos, Abaulamento, orelhas, rebarbas, rugas e ovalização) está mostrado na planilha ao lado. Anova_3.MTW

ANOM: Para identificar qual média é diferente e avaliar a Interação!

Estatística AplicadaANOM


Isso é melhor estudado em DOE!

Estatística AplicadaANOM: Gráficos


Não há interação entre as pressões Blow e Draw. O Efeito de

Blow é significativo!


Draw

Blow

ANOM: Resultados


A Pressão Blow afeta mais a

média

3,0 e 8,83 são valores distantes

de 6,22

Draw


Exemplo

Deseja-se avaliar o tempo gasto (em minutos) por seis funcionários para ajustar o Setup de dois processos (I e II) usando dois diferentes

Balanced Anova



II) usando dois diferentes procedimentos (um novo e um antigo). A planilha seguinte mostra os resultados obtidos.

Anova_5.MTWIsso é a base para

DOE - Delineamento de Experimentos!

Estatística AplicadaBalanced ANOVA


Estatística AplicadaBalanced ANOVA: Resultados


Diferentes

Estatística Aplicada TWO-WAY

Ex.: An engineer suspects thatthe surface finish of metal partsis influenced by paint used andthe drying time.


Using a 5% significancelevel, test the influence ofthese two factors as also itsinteraction.


Drying Time (min)

Paint 20 25 30Total(yi..)

1 74 64 50 188 73 61 44 178 78 85 92 255 621


1 74 64 50 188 73 61 44 178 78 85 92 255 621

2 92 86 68 246 98 73 88 259 66 45 85 196 701

Total:(y.j.)

434 437 4511322(y…)


Ex.: An experiment describes aninvestigation about the effect ofglass type and phosphor type onthe brigtness of a television tube.The response is the current (mA)necessary to obtain a specified


necessary to obtain a specifiedbrightness level.

Using a 5% significancelevel, test the influence ofthese two factors as also itsinteraction.


6 – CORRELAÇÃO E REGRESSÃO



• Correlação• Procedimentos Gerais Y=f(X)• Regressão linear• Ajuste da Regressão• Regressão linear Múltipla

Análise de Regressão


• Regressão linear Múltipla• Best Subsets

�A análise de regressão é uma técnica estatística usada para modelar e investigar a relação entre duas ou mais variáveis. O modelo é freqüentemente usado para previsões .�Regressão é um teste de hipótese Ha: O modelo permite significativamente prever a resposta.

Estatística AplicadaCoeficiente de

Correlação

Ex.: Suponha que o nosso desejo seja o de quantificar a associabilidade entre duas variáveis relacionadas a cinco agentes de uma seguradora. Assim, temos:

≡

70

60nte

s

Diagrama de Dispersão


Assim, temos:X≡ Anos de experiência do agente.Y≡ Número de clientes do agente.

8765432

60

50

ExperiênciaAnos de

Clie

n

Agente x y

A 2 48

B 4 56

C 5 64

D 6 60

E 8 72

(x, y) é um par aleatório – Dados emparelhados


y

x x x−

y y−

x x

sz

xx

−=

yy

zs

yy =−

r=Correlação de Pearson


Série de dados originais (x e y) são valores quantitativos.

O conjunto de pontos é deslocado, tendo agora como centro, os valores médios.

A escala de x e y é agora padronizada. Isso torna os valores independente da sua unidade.

∑=

==n

iyx ii

zzn

YXr1

1),(Corr


Agente x y zx zyzx . zy

A 2 48 -3 -12 -1.5 -1.5 2,25

B 4 56 -1 -4 -0.5 -0.5 0,25

C 5 64 0 4 0 0.5 0

x x− y y−

Coeficiente de Correlação


C 5 64 0 4 0 0.5 0

D 6 60 1 0 0.5 0 0

E 8 72 3 12 1.5 1.5 2,25

Total 25 300 0 0 0 0 4,75

x = 5Sx = 2

y = 60Sy = 8 %9595,0

5

75,4),( ===YXr = Correlação


r X Yn

z zn

x x

s

y y

sx yi

ni

x

i

yi

n

i i= = =

−

−

= =∑ ∑Corr ( , )

1 1

1 1

( )( )r

n

x x y y

s s

X Y

s si i

x y x y

=− −

⋅=

⋅∑1 Covariância ( , ) − ≤ ≤1 1r

P_value p/ Correlação


n s s s sx y x y⋅ ⋅

A correlação apresentada aqui é linear. Existem outros tipos de correlação!

Agente x y

A 2 48

B 4 56

C 5 64

D 6 60

E 8 72

Pearson correlation of Anos Exp and Clientes = 0,950

P-Value = 0,013

Ex.: Cálculo da correlação da tabela ao lado

Forte Correlação pois P-Value <0,05


Faça a análise de Correlação dasvariáveis ao lado na planilhaBidimensional.mtw

Correlação no Minitab

O Coeficiente de Correlação é


Correlação é também chamado de Coeficiente de Pearson.


A) Uma medida de Correlação fornece dois tipos de informações a respeito do relacionamento de duas variáveis. Quais são elas?

B) Qual coeficiente de correlação abaixo indica o mais forte relacionamento?

a) 0.70 b) 0.03 c)-0.77 d) 0.10

C) Se a correlação Rxy=0.45, então Ryx=

D) Qual o valor do coeficiente de correlação melhor descreve os seguintes valores das variáveis X e Y, relacionadas abaixo:

Algumas questões sobre Correlação:


D) Qual o valor do coeficiente de correlação melhor descreve os seguintes valores das variáveis X e Y, relacionadas abaixo:

X: 20 30 40 50 60

Y: 40 30 20 10 0

a) -1.0

b) 0.0

c) 0.5

d) 1.0

E) Qual a correlação do gráfico abaixo?


F) Se um coeficiente de correlação for de +1.4, o que ocorre?

a) O Relacionamento é extremamente forte

b) O Relacionamento é positivo

c) As respostas acima estão corretas

d) Um erro computacional foi cometido

Algumas questões sobre Correlação:


G) Um coeficiente de Pearson de -0.5 entre os valores de Leitura (X) e o número de dias ausentes da escola (Y) indica que:

a) Metade dos valores de Leitura são menos do que o número de dias ausentes da escola

b) Maiores valores de Leitura são associados com menor ausência da escola

c)A soma do produto XY é igual a -0.5

d) Quase não existe relacionamento entre X e Y


Dia Fator 1 Fator 2 Resultado1 Água Whisky Ficou Bêbado2 Água Vodka Ficou Bêbado3 Água Rum Ficou Bêbado4 Água Bourbon Ficou Bêbado

Variável Comum


É comum associar-se um defeito com uma variável que está sempre presente quando ele ocorre (é o caso do operador que é culpado, pois quando ele executa a operação ocorre um defeito – Toda operação geralmente tem um operador).

1995 Six Sigma Academy Inc.

Conclusão: a água embebeda


Se a história servisse de base, os Republicanos deveriam estar vestindo a camisa dos Yankees e dando uma força para o New York vencer o campeonato. Desde a Segunda Guerra Mundial, toda vez que os Yanks venceram em um ano de eleição, o Partido Republicano assumiu a Casa Branca.

Yankees RepublicanosGANHARAM PERDERAM GANHARAM PERDERAM

As “armadilhas”: correlações casuais

Variável ComumVariável ComumVariável ComumVariável Comum


1976

1964

1960

1956

1952

Estatística AplicadaAs “armadilhas”: causa reversa

Um fator “X” tem influência sobre um “Y” quando, na verdade, o que ele está vendo é a conseqüência do “Y” .

Um exemplo deste caso é o do Departamento de Vendas que insatisfeito com as Vendas resolve dar uma série de descontos e faz promoções para atrair os clientes . Só que a verdadeira causa do problema é o Serviço de Atendimento ao Cliente .


Com os novos descontos e a nova promoção fica mais difícilainda administrar o Serviço de Atendimento ao Cliente, ocasionando num aumento da insatisfação do cliente e diminuindo mais ainda as vendas (“o tiro saiu pela culatra”) .

Estatística AplicadaAs “armadilhas”: fatores omitidos

Pesquisas continuamente demonstram que a medida que o tamanho dos hospitais aumenta, a taxa de mortalidade dos pacientes aumenta dramaticamente. Portanto, deveríamos evitar hospitais grandes?

Esta análise é enganadora, pois omite um segundo X2 (fator) importante -- a gravidade da condição do paciente quando é admitido ao hospital. Os casos mais


gravidade da condição do paciente quando é admitido ao hospital. Os casos mais sérios tendem a ser levados aos hospitais maiores!

Fumar cigarros causa câncer? E se eu dissesse que ... (1) Médicos franceses não encontram esta correlação;(2) O tabaco dos EUA geralmente é exposto a pesticidas, fertilizantes e preservativos contendo substâncias conhecidamente cancerígenas, e;(3) O tabaco francês raramente entra em contato com tais substâncias químicas.


Em 1950, um fazendeiro afirmou que suas árvores frutíferas estavam sendo prejudicadas pelas ondas de rádio de uma estação local próxima. Ele colocou uma tela de arame ao redor de algumas das árvores para “protegê-las” destas ondas de rádio e, realmente, as árvores protegidas se recuperaram rapidamente, enquanto que as desprotegidas ainda sofriam.

Na mesma época, muitas árvores cítricas em todo país foram ameaçadas por uma doença chamada de “folha pequena”. Alguns fazendeiros Texanos descobriram que uma solução de sulfato de ferro curava a doença. No entanto, nem sempre funcionava no Texas, e

O Fazendeiro Radiofóbico


sulfato de ferro curava a doença. No entanto, nem sempre funcionava no Texas, e praticamente nunca funcionava na Flórida ou na Califórnia.

O mistério foi desvendado quando o problema verdadeiro foi revelado -- deficiência de zinco no solo. A cerca do fazendeiro Radiofóbico era de tela galvanizada, sendo que traços do zinco da galvanização eram levados da tela para o solo.

O sulfato de ferro nada tinham a ver com a cura, mas sim os baldes de ferro galvanizados usados para espalhar a substância! Em outras regiões, onde outros tipos de baldes eram usados, as árvores continuaram doentes.

Estatística AplicadaAs “armadilhas”: multicolinearidade

É difícil saber o quê causa o quê, quando alguns fatores [X’s] tendem a ocorrer juntos regularmente.

• “Tenho visto uma redução dramática nas perdas desde que comecei a implementar as ferramentas estatísticas na fábrica!” No entanto, foi exatamente na mesma época em que o RH introduziu seu novo sistema


exatamente na mesma época em que o RH introduziu seu novo sistema de recompensa e reconhecimento. O que ocasionou a melhoria?

• Em 1967, um artigo rotulou um determinado tipo de carro como sendo inseguro. O modelo em questão era um carro pequeno esportivo de alto desempenho. Mas que tipo de motorista seria atraído a tal carro? E se eu dissesse que a maioria dos proprietários deste carro tendiam a ser motoristas jovens menores de 25 anos com novas idéias. Esta faixa etária não paga prêmios de seguro mais elevados devido a maior incidência de acidentes?


y

Linha de Regressão A variável X é dita variávelindependente (ou exógena), enquantoY é dita variável dependente (ouendógena).

Y=f(x)


x

•Y=f(x) Simples

•Y=f(x,y,z...) Múltipla


Curvilínea (Um X)

X

Y

Linear Simples (Um X)

X

Y

Múltipla (Dois ou mais Xs)

Y

X 2

X1

Regressão


Variáveis Indicativas (para Xs Discretos)

xx

xx

x

x

x

x

x x

xx

x

xx

Xi

Y

Xa

Xb

Xc

X

Logística (Ys Discretos)1

0

% y

es

X

Curvilínear (Dois ou mais Xs)

Y

X1

X 2


xy βα +=y

,ˆ bxay +=Curva de Resíduos (e)

Resíduos


x x1 x2 x3

Uma importante condição para o uso de regressão simples é que os resíduos (e) sejam independentes de x. Porque?

Resíduos (e)


y

8

7

6

5

eiei2

1 ini e=Σ

bxay +=ˆ

Regressão Linear Simples

iy

y


x

y

757065605550

5

4

3

2

( ) ( )21

21

21 ˆ ii

niii

nii

ni bxayminyyminemin −−Σ=−Σ=Σ ===

iy


21 i

ni e=Σ bxay +=ˆ

( ) ( )21

21

21 ˆ ii

niii

nii

ni bxayminyyminemin −−Σ=−Σ=Σ ===

A matemática da Regressão Linear


.0 e 01

2

1

2 == ∑∑ ==

n

i i

n

i i db

da ∂

∂∂∂

∑∑

=

=

=−−−

=−−−n

i iii

n

i ii

bxayx

bxay

1

1

,0)(2

,0)(2


+==+=

∑ ∑∑∑ ∑

= ==

=n

i

n

i

n

i iii

n

i

n

ii

ixbxayx

i xbnay

1 1

2

1

1,1

Ufa!


−=

=−

−=∑∑

=

=

,

,)(

)(

1

2

1

xbya

S

S

xx

yxxb

xx

xy

n

i i

n

i ii


Exemplo :Obter a equação da reta (chamada de reta dos mínimos quadrados)para os seguintes pontos experimentais:

x 1 2 3 4 5 6 7 8

Exemplo


x 1 2 3 4 5 6 7 8y 0,5 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0

Traçar a reta no diagrama de dispersão. Calcular o coeficiente decorrelação linear.

Qual o valor previsto para x=9?Qual a Tolerância de X para 1<Y<1.5?

Estatística AplicadaRegressão: By Hand


.421622048

)36(204

,1,94,415,508

2,9365,50

2

=−=−=

=−=⋅−=

xx

xy

S

S


.421622048

)36(204

,1,94,415,508

2,9365,50

2

=−=−=

=−=⋅−=

xx

xy

S

S

,217,01,9 ≅==

Sb xy

Regressão: Cálculos


.174,0976,0150,18

36217,0

8

2,9

,217,042

=−=⋅−≅−=

≅==

xbya

Sb

xx

xy

xy 217,0174,0ˆ +=

Estatística AplicadaRegressão: Gráfico

2,00

1,75

1,50

S 0,121335

R-Sq 95,7%

R-Sq(adj) 95,0%

Fitted Line Ploty = 0,1750 + 0,2167 x


x

y

876543210

1,25

1,00

0,75

0,50


98,006,242

1,9

,06,258,1064,128

)2,9(64,12

2

≅⋅

==

∴=−=−=

yyxx

xy

yy

SS

Sr

S

Relembre Correlação!

Regressão: Correlação


yyxx

Estatística AplicadaRegressão:

Teste Hipóteses

Para Teste de Hipóteses, considera-se:

Ho:a=0

,ˆ bxay +=

Ho:b=0


SE Coef (a)= SE Coef (b)=

T=a / SE Coef(a) T=b / SE Coef(b)

Estatística AplicadaRegressão linear simples no Minitab


Previsão

Estatística Aplicada Ajuste da Regressão

Linear �R-quadrado é a porcentagem da variação explicada pelo seu modelo.

�R-quadrado (ajustado) é a porcentagem da variação explicada pelo seu modelo, ajustada para o número de termos em seu modelo e o


termos em seu modelo e o número de pontos de dados.

�O “valor-p” para a regressão é para ver se o modelo de regressão inteiro é significativo.

—Ha: O modelo permite significativamente prever a resposta.


Quadrático

Ajuste Quadrático



Cúbico

Ajuste Cúbico



Intervalos de confiança e de previsão �Uma faixa (ou intervalo) de confiança é uma medida da certeza da forma da linha de regressão ajustada. Em geral, uma faixa de 95% implica em uma chance de 95% de que as linha verdadeira fique dentro da faixa. [Linhas vermelhas]

Ajuste da Regressão


vermelhas]

�Uma faixa (ou intervalo) de previsão é uma medida da certeza da dispersão dos pontos individuais em torno da linha de regressão. Em geral, 95% dos pontos individuais (da população em que a linha de regressão se baseia) estarão contidos dentro da faixa. [Linhas azuis]


CTQ

Estreitando Tolerâncias


CTQ

1

2


CTQ

Estreitando Tolerâncias


CTQ

1 1’

2’ 2

Estatística AplicadaPratique Regressão Linear Simples

Determine a função de transferência entre o Número de Setups e o Tempo de Ciclo para diversas operações em uma certa empresa. Use a planilha cycletime.mtw.

Faça a análise de Resíduos.

Qual a previsão do Tempo de Ciclo para uma operação que


Qual a previsão do Tempo de Ciclo para uma operação que consiste em 10 Setups de equipamento?

A equação final é adequada? Se não for, como melhorá-la?


Uma reação Química foi realizada sob seis pares de diferentes condições de pressão e temperatura. Em cada caso foi medido o tempo necessário para

Regressão Múltipla


medido o tempo necessário para que a reação se completasse. Obter a equação de regressão do tempo em relação a pressão e temperatura.

Regressão.mtw


Menores que 0,05

Regressão Múltipla: Resultados


Maior melhor


92 estudantes americanos participam de um simples experimento. Cada estudante registra o seu peso, altura, gênero, pulso e se é fumante ou não. Todos eles jogam uma moeda e sorteiam se vão dar uma corrida (cara) ou não por

Best Subsets


uma corrida (cara) ou não por um minuto. Após a corrida, todos os alunos registram o seu pulso novamente. Um aluno sugere que seja inserida a seguinte “importante” consideração: Se a pessoa pinta o cabelo ou não.

Deseja-se fazer uma regressão do segundo pulso em relação a todas as outras variáveis.

Regressão.mtw


Equação de regressão inicial. Muito complexa

Best Subsets: Resultados


Correlação muito alta. Quem pinta cabelo é “geralmente” mulher


Melhor ajuste

Best Subsets: Resultados



-1

0

1

2

3Residual

-1

0

1

2

3Residual

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-3

-2

-1

0

1

2

3

X

Residual

10 20 30

-3

-2

-1

0

1

2

3

X

Residual

Bom Ruim

Nos casos ruins tente uma transformação

em X,em Y ou ambos. Use Box-Cox

Transformation

Considere a

Residuals vs Each X

Time Plot of Residuals

Análise de Resíduos


30 40 50

-3

-2

-1

0

1

2

3

Pred. Y

Residual

0 50 100

-3

-2

-1

0

1

2

3

Pred. Y

Residual

0 50 100

-3

-2

Time Order0 50 100

-3

-2

Time Order

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

Residual

Nscore

-1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Residual

Nscore

Considere a possibilidade da

existência de variáveis ocultas que

não foram consideradas no

modelo (Lurking)

Residuals vs Predicted Y (Fits)

Normal Probability Plot of Residuals

Entenda que X e Y não precisam ser normalmente distribuídos. Os resíduos, contudo, deveriam ser.


Regressão Curvilínea

2000

2050

2100

Seal Strength(g/cm2)

Um laboratório está fazendo testes em adesivos em função da temperatura. Quando a temperatura aumenta a força do contato entre duas superfícies


200 250 300 350 400

1900

1950

Temperature

contato entre duas superfícies aumenta Em um determinado ponto, contudo a força desse contato começa a diminuir em função de propriedades térmicas do adesivo. Qual o modelo empírico da força (Seal Strength) em função da temperatura?

Curve.mtw


Termo quadrático

Deve-se criar a variável quadrática e em seguida rodar o modelo em Regression

Termo quadrático da regressão


Observe resíduos

VIF

Armazena resíduos

Função quadrática

Estatística AplicadaRegressão Curvilínea

XX2

The regression equation isSealStrength = 923 + 7.45 Temperature - 0.0125 TempSqrd

Predictor Coef StDev T P VIFConstant 922.98 72.33 12.76 0.000Temperat 7.4469 0.5033 14.80 0.000 132.9TempSqrd -0.0124596 0.0008499 -14.66 0.000 132.9

S = 25.18 R-Sq = 69.4% R-Sq(adj) = 68.7%

X e X2 são fortemente correlacionados. Nenhuma surpresa


Analysis of Variance

Source DF SS MS F PRegression 2 139321 69661 109.87 0.000Residual Error 97 61498 634Total 99 200819

Source DF Seq SSTemperat 1 3051TempSqrd 1 136270

Conclusão: Existe uma curvatura significativa


n PREÇO VENDAS

1 5,5 420

2 6,0 380

3 6,5 350

Exemplo:

De acordo com osdados da tabela aolado, há correlaçãoentre o preço de um


3 6,5 350

4 6,0 400

5 5,0 440

6 6,5 380

7 4,5 450

8 5,0 420

entre o preço de umproduto e o respectivovolume de vendas?


n Price Sales

1 19,2 25,42 20,5 14,73 19,7 18,6

Exemplo:

A liquor wholesaler is interested in assessingthe effect of the price of a whiskey on the quantity


3 19,7 18,64 21,3 12,45 20,8 11,16 19,9 15,77 17,8 29,28 17,2 35,2

whiskey on the quantitysold. The results in tablerepresent the price (US$) and the respective eightweeks of sales. What are your conclusions?


n Dosage Recovery Time

Exemplo:

Doctors are interested in the relationship between the dosageof a medicine and the time required for a patient’s recovery.Based on the following data, verify if the variables arecorrelated.


n Dosage Recovery Time

1 1,2 25

2 1,0 40

3 1,5 10

4 1,2 27

5 1,4 16


n x y

1 3,6 242 3,3 213 2,8 22

Exemplo:

The table shows, for eightvintages of select wine,purchase per buyer (y) andthe wine buyer’s rating in ayear (x).


3 2,8 224 2,6 225 2,7 186 2,9 137 2,0 98 2,6 6

year (x).

Are the variables correlated?

* Vintage: safra de vinho


Exemplo: Determine a correlação entre o tempo deexperiência e o salário anual do funcionário e se existediferença significativa entre os salários dos homens e dasmulheres.

Mulheres


Salário ($) 36730 40650 46820 50149 59679 67360

Experiência 5 7 9 10 14 17

Homens

Salário ($) 51535 62289 72486 75022 93379 105979

Experiência 5 7 9 10 14 17

Documents

Curso de Estatística Aplicadapedro.unifei.edu.br/pessoal/Estatistica2012.pdf · Pedro Paulo Balestrassi UNIFEI -Universidade Federal de Itajubá “Pensar estatisticamente será