Vitor Bruno – Engenharia Civil

Função e Equação do segundo grau

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1

Função do Segundo Grau

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Chama-se função do segundo grau ou função quadrática a função f: R R que associa, a cada número real x, o número real ax² + bx + c, com a, b e c reais e a diferente de zero.

Exemplos:

F(x) = 2x² + 5x + 6, onde a = 2, b = 5, c = 6

F(x) = -x² + x – 1, onde a = -1, b = 1, c = -1

Gráfico da Função Quadrática

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Em um sistema cartesiano ortogonal, o gráfico de uma função quadrática é representado por uma curva, à qual damos o nome de parábola.

Exemplo:

Gráfico da Função Quadrática

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Concavidade da Parábola

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A concavidade de parábola está relacionada com o coeficiente a. De modo que:

Gráfico de uma Função Quadrática

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Posteriormente veremos que pode-se obter o gráfico de uma equação quadrática através da obtenção das raízes, das coordenadas do vértice, a classificação de Y do vértice e a interseção da curva com o eixo Y.

Raízes da Função Quadrática

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Quando fazemos ax² + bx + c = 0, isto é, y = f(x) = 0, podemos encontrar valores de x Є R, aos quais denominamos raízes ou zeros da função. Para isto, usaremos a seguinte equação:

A Importância do Delta (Δ)

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Como já visto anteriormente o delta(Δ) é definido por:

Δ = b² - 4ac

Descobrindo-se o Δ é possível saber quantas raízes reais a equação terá. Vejamos algumas situações:

(I) Para Δ < 0, a equação não tem raiz real;

(II) Para Δ = 0, a equação tem uma raiz real;

(III) Para Δ > 0, a equação tem duas raízes reais;

Raízes da Função Quadrática

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Exemplo 1: Determinar os zeros das funções quadráticas abaixo:

a) y = -x² + 2x + 3

b) y = x² - 2x + 1

c) y = -x² + x – 1

Exemplo 2 : O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás é igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?

Exercícios

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Exemplo 3: Determinar os zeros das funções quadráticas abaixo:

a) y = x² + 2x – 15

b) f(t) = t² - 9

c) y = x² + x – 2

d) y = x² - 2x

Soma e Produto

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Podemos utilizar o método da soma e produto para resolver uma equação do segundo grau e, assim, determinar as raízes de uma função quadrática.

Soma das raízes x’ + x’’ = -b/a

Produto das raízes x’ . x’’ = c/a

Sendo ax² + bx + c = 0, dividindo-se tudo por a, obtemos:

x² + (b/a)x + (c/a) = 0. Logo:

x² - Sx + P = 0

Soma e Produto

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Exemplo 4: Determine a soma e o produto de 6x² - 9x + 3 = 0. Em seguida encontre as raízes usando sistema de equações.

Exercícios

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1. Determine as raízes das equações abaixo através do método soma e produto.

a) x² + x – 2 = 0

b) x² + 3x + 1 = 0

c) x² - 7x + 10 = 0

Vértice da Parábola

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O vértice V é representado pelo ponto de intersecção do eixo de simetria com a própria parábola. Assim sendo, as coordenadas do vértice V são:

Vértice da Parábola

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Exemplo 5: Encontre as coordenadas do vértice para cada função quadrática e classifique o Yv em máximo ou mínimo.

a) y = x² - 4x + 3

b) y = -x² - 10x + 11

Gráfico da Função Quadrática

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Podemos esboçar o gráfico de uma função quadrática através dos seguintes passos:

1. Encontrar as raízes;

2. Encontrar as coordenadas do vértice;

3. Classificar o Yv;

4. Encontrar a intersecção da curva com o eixo Y.

Gráfico da Função Quadrática

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Exemplo 6: Esboce o gráfico das funções abaixo.

a) y = 2x² - 3x + 1

b) y = -x² + x + 6

Comparar gráficos utilizando o GEOGEBRA!

Conjunto Imagem da Função Quadrática

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O conjunto imagem da função quadrática y = ax² + bx + c é determinado a partir da ordenada(Yv) da parábola.

Consideramos dois casos:

Se a > 0 Se a < 0

Apresenta um ponto de Apresenta um ponto de

mínimo, em Yv. Assim: máximo em Yv. Assim:

Conjunto Imagem da Função Quadrática

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Exemplo 7: Determine o conjunto imagem das funções quadráticas.

a) y = x² - 2x + 3

b) y = -x² + 6x + 9

Tópico Complementar

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Esta seção visa abordar as equações biquadradas, posto que estão intimamente relacionadas com as equações do segundo grau.

Equação Biquadrada

Considere a equação:

a𝑥4 + bx² + c = 0, se x² = y, temos ay² + by + c = 0, onde:

Equação Biquadrada

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A resolução de uma equação biquadrada pode ser obtida da seguinte maneira:

1. Substituir 𝑥4 por y² e x² por y;

2. Resolver a equação ay² + by + c = 0

3. Determinar as raízes quadradas de cada uma das raízes da equação ay² + by + c = 0, após isso, substituir e

.

Obs: Cada raiz positiva da equação dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada. Raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz para a biquadrada.

Equação Biquadrada

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Composição da equação biquadrada:

Toda equação biquadrada de raízes x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela seguinte fórmula:

Equação Biquadrada

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Propriedades:

1. A soma das raízes da equação biquadrada é nula:

2. A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a:

3. O produto das raízes reais e não-nulas de uma equação biquadrada é igual a:

Equação Biquadrada

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Exemplos: Resolva as equações biquadradas abaixo:

a) 𝑥4 − 13𝑥2 + 36 = 0

b) 9𝑥4 − 13𝑥2 + 4 = 0

c) 𝑥4 − 5𝑥2 + 6 = 0

Obrigado pela atenção!

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