DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2007 - Operação de ... · 2. RECURSOS DE INVESTIGAÇÃO ... DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações ... Manoel. Coleção base: Matemática:

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

Produção Didático-Pedagógica 2007

Versão Online ISBN 978-85-8015-038-4Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

IDENTIFICAÇÃO

Autor: Carlos Nicolau

Estabelecimento: Colégio Estadual Humberto de Alencar Castelo Branco

Ensino: Médio

Disciplina: Matemática

Conteúdo Estruturante: Funções

Conteúdo Específico: Função Exponencial

1. RECURSO DE EXPRESSÃO

Problematização do Conteúdo

Título: Como Resolver um Problema envolvendo Função Exponencial

Texto: Quando mostramos aos alunos o conteúdo de Função Exponencial damos

destaque à parte teórica, como sua definição e propriedades, assim como a

construção de gráficos e a resolução de equações e inequações exponenciais, nem

sempre relacionadas a situações problema que podem aparecer na vida do ser

humano, mas objetivando apenas ao desenvolvimento do algoritmo.

Utilizar a Resolução de Problemas, uma das Tendências em Educação

Matemática pode motivar o aluno a desenvolver o conteúdo matemático abordado,

nesse caso, a Função Exponencial.

Esse OAC tem como objetivo colocar algumas sugestões onde a Função

Exponencial pode ser utilizada para a resolução de problemas.

Referências:

LIMA, Elon Lages et al. Coleção do Professor de Matemática: Temas e

Problemas. 3ª ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.

POLYA, George. A arte de resolver problemas: Um novo aspecto do método

matemático. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro:

Interciência, 2006.

2. RECURSOS DE INVESTIGAÇÃO

2.1. Investigação Disciplinar

Título: Onde aplicar Função Exponencial

Texto: Sendo a apresentação de uma situação problema uma das maneiras de

motivar os alunos a desenvolverem o conteúdo abordado, no caso da Função

Exponencial podemos propor, por exemplo, sua utilização para resolução de

problemas envolvendo aplicações financeiras, empréstimos e compras a prazo, visto

que hoje em dia, para toda transação que envolve o aspecto financeiro, utilizamos

juros compostos, ou seja, juros sobre juros, o que nos leva a uma Função

Exponencial.

Também podemos utilizar a Função Exponencial para resolver outras

situações problemas, como a sugerida no livro Temas e Problemas, da Coleção do

Professor de Matemática da SBM, enunciado a seguir:

“Uma piscina tem capacidade para 100 m³ de água. Quando a piscina está

completamente cheia, é colocado 1 kg de cloro na piscina. Água pura (sem cloro)

continua a ser colocada na piscina a uma vazão constante, sendo o excesso de

água eliminado através de um ladrão. Depois de 1 hora, um teste revela que ainda

restam 900 g de cloro na piscina.

a) Que quantidade de cloro restará na piscina 10 horas após sua colocação?

b) E após meia hora da aplicação?

c) E após t horas?

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações – Volume único – Ensino

médio. São Paulo: Ática, 2002.



PAIVA, Manoel. Coleção base: Matemática: Volume único. 1. Ed. São Paulo:

Moderna, 1999.




2.2. Perspectiva Interdisciplinar

Título: A Função Exponencial e suas relações

Texto: Além das relações citadas na investigação, temos a aplicação da Função

Exponencial na área de Biologia, citando como exemplo o crescimento do número

de bactérias de uma cultura, que se dá de forma exponencial. Ainda em Biologia,

sabendo qual o tempo de meia vida de um medicamento, podemos verificar qual a

quantidade do remédio ainda presente no organismo após determinado tempo. Na

Física pode ser utilizada na Lei do Resfriamento de Newton. Na Química para a

determinação da idade dos fósseis, onde se utiliza o teste do carbono 14, cuja meia

vida é conhecida.

Essas são apenas algumas sugestões de perspectiva interdisciplinar do

conteúdo de Função Exponencial que podem ser utilizadas.

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações – Volume único – Ensino

médio. São Paulo: Ática, 2002.



PAIVA, Manoel. Coleção base: Matemática: Volume único. 1. Ed. São Paulo:

Moderna, 1999.




2.3. Contextualização

Título: Como sabemos a idade dos fósseis?

Texto: Quando ouvimos ou lemos uma notícia sobre a descoberta do fóssil de um

ser primitivo que viveu há tantos séculos atrás podemos nos perguntar, como eles

sabem a idade do fóssil?

Para determinar a idade de um determinado fóssil utilizamos o teste de

carbono 14, o qual se sabe de quantos anos é a sua meia vida, assim sendo,

podemos utilizar esse fator para determinar a idade dos fósseis encontrados.

Tomemos um problema para exemplificar.

“A meia vida do isótopo radioativo do carbono (C14) é de 5500 anos. Que

percentual da massa original de C14 restará em uma amostra após 10000 anos?

Solução: A massa de matéria radioativa é dada por m(t) = m0 . at (função

exponencial), onde m0 é a massa no instante inicial. Como a meia vida é 5500 anos,

temos m(5500) = m0 . a5500 = m0 . ½. Logo, a

5500 = ½ e, portanto, a = (½)1/5500. Assim,

a massa de material radioativo que resta após 1000 anos é

M(10000) = m0 . a10000 = m0 . (½)

10000/5500 = m0 . 0,284.

Logo, restam 28,4% do material radioativo original.

Exemplo do livro Temas e Problemas da Coleção do Professor de Matemática

da SBM.

Podemos observar que com o uso da Matemática podemos conhecer um

pouco mais sobre a história do nosso planeta.

Referências:



3. RECURSOS DIDÁTICOS

3.1. Sítios

Título do Sítio: Vídeos IMPA

Disponível em: http://strato.impa.br/

Acessado em: novembro, 2007.

Comentários: Nesse sítio você encontra uma série de vídeos aula com os

Professores Elon Lages Lima, Paulo Cezar, Eduardo Wagner e Augusto César

Morgado do IMPA – Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, referentes ao

Curso de Atualização para Professores do Ensino Médio dentre outros.

3.2. Sons e Vídeos

3.2.1. Vídeo 1

Título: Função Exponencial

Direção: IMPA – Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada

Produtora: IMPA – Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada

Duração (hh:mm): 01:11

Local da Publicação: Rio de Janeiro

Ano: 2007

Disponível em (endereço web): http://strato.impa.br/capem_jan2007.html

Comentário: Esse vídeo apresenta a exposição do conteúdo de Funções

Exponenciais pelo Professor Paulo Cezar do IMPA – Instituto Nacional de

Matemática Pura e Aplicada, com destaque para a resolução do problema da

quantidade de cloro na piscina.

3.2.2. Vídeo 2

Título: Aritmética Población y Energía

Duração (hh:mm): 00:52

Ano: 2007

Disponível em (endereço web):

http://video.google.es/videoplay?docid=8642751995539239050&hl=es

Comentário: Nesse vídeo, o Dr. Albert A. Bartlett, professor emérito de Física da

Universidade do Colorado afirma que: “o maior defeito da raça humana é a falta de

habilidade para compreender a Função Exponencial”. Bartlett procura demonstrar

que o crescimento sustentável é um paradoxo, baseando-se em duas idéias: essa

porcentagem muito pequena do crescimento fornece quantidades enormes em

épocas muito breves; e que os recursos do planeta onde vivemos, por ser uma

esfera e não um plano, são finitos.

Apesar do vídeo estar em espanhol, é compreensível.

3.3. Proposta de Atividades

3.3.1. Atividade I

Título: Resolução de Problema envolvendo Função Exponencial

Texto: Como sabemos, sempre que nos organizamos para efetuar alguma atividade

temos maior chance de êxito. Assim sendo essa atividade terá como intuito a

resolução de um problema seguindo certa organização, um esquema.

Atividade proposta: Resolver o problema a seguir, do livro Temas e Problemas da

Coleção do Professor de Matemática da SBM.

Uma piscina tem capacidade para 100 m³ de água. Quando a piscina está

completamente cheia, é colocado 1 kg de cloro na piscina. Água pura (sem cloro)

continua a ser colocada na piscina a uma vazão constante, sendo o excesso de

água eliminado através de um ladrão. Depois de 1 hora, um teste revela que ainda

restam 900 g de cloro na piscina.

d) Que quantidade de cloro restará na piscina 10 horas após sua colocação?

e) E após meia hora da aplicação?

f) E após t horas?

Antes de propor a atividade para os alunos, preferencialmente assistir ao

vídeo localizado em: http://strato.impa.br/capem_jan2007.html, Função exponencial.

Objetivo: Fazer com que os alunos percebam como a função exponencial poder ser

aplicada na resolução de um problema e a importância da organização na resolução

do mesmo, procurando observar e seguir as etapas determinadas para se atingir o

resultado final.

Desenvolvimento:

- Dividir os alunos em grupos de três ou quatro.

- Propor para eles a resolução do problema seguindo as seguintes etapas:

a) Procurar compreender o problema.

b) Estabelecer um plano para a resolução do problema.

c) Executar o plano elaborado.

d) Fazer o retrospecto da resolução.

- Pedir para que cada grupo faça anotações do que foi realizado em cada

etapa.

- Após a resolução do problema por parte dos grupos, fazer a socialização do

desenvolvimento efetuado por cada grupo. Pode ser proposta a apresentação

de cada grupo, ou uma discussão geral de cada fase.

- Destacar a importância da organização para resolução do problema.

- Dar a solução do problema.

Avaliação: Deve ser avaliado todo o processo executado, como por exemplo: o

desenvolvimento da atividade por parte de cada grupo e dentro do grupo de cada

aluno, as anotações feitas, a socialização da execução dos grupos, a solução do

problema.

Obs.: Dependendo da turma esse processo pode levar mais do que uma aula, sendo

assim, o professor deve adaptar a atividade para mais de uma aula, podendo até

sugerir parte da atividade como tarefa de casa.

Referências:






3.3.2. Atividade II

Título: Gráfico da Função Exponencial

Texto: Utilizar os recursos da planilha eletrônica para a elaboração de gráficos nem

sempre é fácil, mais pelo receio das pessoas do que pela dificuldade apresentada.

Nessa atividade mostraremos como usar esse recurso.

Atividade proposta: Construir na planilha eletrônica o gráfico da função da atividade

I, definida por f(t) = 1000x0,9t, sendo f(t) a quantidade de cloro existente na piscina e

t o tempo decorrido em horas.

Objetivo: Mostrar como se constrói o gráfico da Função Exponencial na planilha

eletrônica.

Desenvolvimento:

A atividade deve ser desenvolvida no laboratório de informática seguindo os

seguintes passos. Serão colocadas as etapas para construção do gráfico tanto no

Microsoft Office Excel como também no BrOffice.org Calc, já que a maioria dos

laboratórios só possui instalado o BrOffice, e também para que os usuários

verifiquem qual software é o melhor para esse tipo de atividade.

No Microsoft Office Excel

- Abrir o Microsoft Excel.

- Na célula A1 digitar: Tempo (t)

- Na célula B1 digitar: Cloro (g)

- Na célula A2 digitar: 0



- ...


Você teria a opção de digitar a célula A2 e A3, selecionar as duas e com o

sinal do mouse no canto inferior direito da célula A3 arrastar até a célula A12 e as

células se completariam automaticamente.

- Na célula B2 digitar: =1000*0,9^A2.

Essa é a fórmula que dará o valor da função f(x) = 1000x0,9t para cada

unidade de tempo t.

- Para copiar a fórmula para as demais células selecionar a célula B2 e com o

sinal do mouse no canto inferior direito da célula B2 arrastar até a célula B12,

a fórmula será copiada automaticamente.

Veja na figura abaixo.

Excel_Figura_Dados

- Selecionar os dados da célula A2 até a célula B12.

- Selecionar no menu “inserir”.

- Clicar na opção “gráfico”.

Aparecerá uma tela com instruções para construção do gráfico composta por

quatro etapas. Seguir as instruções abaixo para cada uma das etapas:

Etapa 1 de 4

- Selecionar no Tipo de gráfico a opção “Dispersão (XY)” e no Subtipo de

gráfico a opção “Dispersão com pontos de dados conectados por linhas

suaves sem marcadores”.

- Clicar em Avançar.

Excel_Figura_Etapa_1_de_4

Etapa 2 de 4

- Clique em avançar.


Etapa 3 de 4: Título

- Selecionar no menu “Título”.

- Digitar no item “Título do gráfico”: Quantidade de Cloro x Tempo

- Digitar no item “Eixo dos valores (X)”: Tempo (h)

- Digitar no item “Eixo dos valores (Y)”: Cloro (g)

Excel_Figura_Etapa_3_de_4_Título

Etapa 3 de 4: Linhas de grade

- Selecionar no menu “Linhas de grade”.

- Desmarcar todos os itens relativos aos eixos X e Y.

Excel_Figura_Etapa_3_de_4_Linhas de grade

Etapa 3 de 4: Legenda

- Selecionar no menu “Linhas de grade”.

- Desmarcar o item “Mostrar legenda”.

- Clicar em “Avançar”.

Excel_Figura_Etapa_3_de_4_Legenda

Etapa 4 de 4

- Selecionar o item “Como nova planilha” e dar nome ao arquivo.

- Clicar em “Concluir”.


- Redimensionar o gráfico para que a visualização seja melhor.

Para redimensionar o gráfico, basta clicar sobre o mesmo para selecioná-lo e

após, com o cursor do mouse em uma das extremidades, arrastar para

aumentar ou diminuir a figura.

- O gráfico está concluído.

Excel_Gráfico_da_Função_Exponencial

No BrOffice.org Calc

- Abrir o BrOffice.org Calc.

- Na célula A1 digitar: Tempo (t)

- Na célula B1 digitar: Cloro (g)




- ...


Você teria a opção de digitar a célula A2 e A3, selecionar as duas e com o

sinal do mouse no canto inferior direito da célula A3 arrastar até a célula A12 e as

células se completariam automaticamente.

- Na célula B2 digitar: =1000*0,9^A2.

Essa é a fórmula que dará o valor da função f(x) = 1000x0,9t para cada

unidade de tempo t.

- Para copiar a fórmula para as demais células selecionar a célula B2 e com o

sinal do mouse no canto inferior direito da célula B2 arrastar até a célula B12,

a fórmula será copiada automaticamente.

BrOffice_Calc_Figura_Dados

- Selecionar os dados da célula A2 até a célula B12.

- Selecionar no menu “inserir”.

- Clicar na opção “gráfico”.

Aparecerá uma tela intitulada de “AutoFormatação de Gráfico” com

informações para construção do mesmo. Completar as informações de acordo

com as instruções abaixo:

1ª Tela

- Marcar a opção “Primeira coluna como rótulo”.

- Em “Resultados do gráfico em planilha” escolher a opção “nova planilha”.

- Clicar em “Próximo”.

BrOffice_Calc_Figura_Tela_1

2ª Tela

- Marcar a opção “Mostrar elementos do texto na visualização” para que sejam

observadas as alterações feitas.

- Em “Escolher um tipo de gráfico” escolher a opção “linhas”, o primeiro tipo.



3ª Tela

- Desmarcar os itens das “Linhas de grade”.



4ª Tela

- Em “Exibir” marcar o item “Título do gráfico” e escrever o título: Quantidade de

Cloro x Tempo.

- Desmarcar o item “Legenda”.

- Em “Títulos dos eixos” marcar o item “Eixo X” e escrever o título do eixo:

Tempo (t).

- Marcar o item “Eixo Y” e escrever o título do eixo: Cloro (g).

- Clicar em “Criar”.


- Redimensionar o gráfico para que a visualização seja melhor.

Para redimensionar o gráfico, basta clicar sobre o mesmo para selecioná-lo e

após, com o cursor do mouse em uma das extremidades, arrastar para

aumentar ou diminuir a figura.

- O gráfico está concluído.

BrOffice_Calc_Gráfico_da_Função_Exponencial

- Pedir para os alunos que construam o mesmo gráfico só que para o

intervalo de tempo de 0 a 20 horas ou mais, para que eles percebam com

maior clareza a curva da função exponencial.

Obs.: Mesmo depois de concluído o gráfico ainda pode ser formatado de acordo com

a preferência do autor.

Avaliação: Como essa é uma atividade para quebrar o receio de utilizar a planilha

eletrônica, a avaliação deve ser feita com base na vontade de acertar dos alunos e

na verificação do gráfico construído e também no gráfico solicitado no último item do

desenvolvimento da atividade.

3.4. Imagens

Todas as imagens a seguir estão colocadas na Atividade II.

Imagem 1: Excel_Figura_Dados

Comentário: Essa imagem faz parte do tutorial para construção do gráfico da Função

Exponencial no Microsoft Office Excel.

Imagem 2: Excel_Figura_Etapa_1_de_4






Imagem 4: Excel_Figura_Etapa_3_de_4_Título



Imagem 5: Excel_Figura_Etapa_3_de_4_Linhas de grade



Imagem 6: Excel_Figura_Etapa_3_de_4_Legenda






Imagem 8: Excel_Gráfico_da_Função_Exponencial



Imagem 9: BrOffice_Calc_Figura_Dados


Exponencial no BrOffice.org Calc.

Imagem 10: BrOffice_Calc_Figura_Tela_1












Imagem 14: BrOffice_Calc_Gráfico_da_Função_Exponencial



4. RECURSO DE INFORMAÇÃO

4.1. Sugestão de Leitura

Livro 1

Título do Livro: Temas e Problemas

Autores: Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto

Cesar Morgado.

Comentários: Esse livro aborda uma série de problemas referentes aos conteúdos

do ensino médio, trazendo exemplos e problemas propostos, todos com suas

respectivas respostas.

Livro 2

Título do Livro: Temas e Problemas Elementares

Autores: Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto

Cesar Morgado.

Comentários: Esse livro aborda uma série de problemas referentes aos conteúdos

do ensino fundamental (7ª e 8ª séries), trazendo exemplos e problemas propostos,

todos com suas respectivas respostas.

Livro 3

Título do Livro: A Arte de Resolver Problemas

Autor: George Polya

Comentários: Esse livro apresenta orientações para resolução de um problema,

citando etapas para a sua resolução e comentando o que fazer em cada uma

dessas etapas. Apresenta também exemplos de problemas e suas soluções.

4.2. Notícias

Notícia 1

Revista de circulação

Título da Notícia: Este é pau para toda obra

Fonte: Revista Super Interessante

Referência: Edição de outubro de 1997, p. 67

Comentários: O autor faz um comentário a respeito do “número e” e mostra que ele

faz parte de uma função exponencial (y = ex). Comenta que a Função Exponencial

ajuda a calcular desde juros até a velocidade de queda do poder radioativo dos

materiais, mostrando assim a importância do seu conhecimento e entendimento.

Notícia 2

Jornal on-line

Título da Notícia: 22ª Feira Catarinense de Matemática realizada em Curitibanos,

encerra premiando alunos participantes.

Referência: Curitibanos Center

http://www.curitibanoscenter.com.br/noticias/20061114-Educacao-

22_Feira_Catarinense_de_Matematica_realizada_em_Curitibanos,_encerra_premia

ndo_

Comentários: Essa notícia traz uma série de informações a respeito da respectiva

feira realizada em Curitibanos, dentre as informações destacam-se a importância da

resolução de problemas como estratégia para motivar o aluno a aprender

matemática e a aplicação da Função Exponencial no cotidiano.

4.3 Destaques

Título: Lei de Moore é modelada por função exponencial

Referências: UOL Vestibular

http://vestibular.uol.com.br/ultnot/resumos/ult2774u41.jhtm

Comentário: Nesse texto de José Luiz Pastore Melo, especial para a Folha de S.

Paulo, comenta-se sobre o que engenheiros da computação chamam de Lei de

Moore. Segundo essa Lei o número de transistores em um "chip" de circuito

integrado dobraria a cada ano e que, se a Lei continuar válida nos próximos 20

anos, uma operação computadorizada que hoje leva um dia inteiro para ser

processada irá levar menos de 9 segundos em 2025.

4.4 PARANÁ

Título: Fósseis Brasileiros no Paraná

Texto: Sabemos que para descobrirmos a idade de um fóssil utilizamos o teste do

Carbono 14, o qual se utiliza da Função Exponencial para seu cálculo. No Paraná já

foram descobertos alguns fósseis de grande importância para a Paleontologia

nacional e mundial. No sítio abaixo podemos ver alguns exemplares de fósseis

descobertos no Paraná, procedentes da Formação Ponta Grossa e da Formação

Irati, ambas na Bacia do Paraná

Referências: http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Campus/7472/fosseis.html

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