DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 - Operação de … · contemporâneo de Descartes. Em uma carta, escrita em setembro de 1636, ele afirma que suas idéias sobre Geometria analítica

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

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CONTRIBUIÇÕES DO SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO DE

GEOMETRIA ANALÍTICA - ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

Eliana Peres Amador

Material Didático (Unidade Didática) para

Intervenção Pedagógica na Escola,

apresentado à Secretaria Estadual de Educação

do Estado do Paraná, como requisito parcial à

obtenção do título de Professor PDE, sob a

responsabilidade da Universidade Estadual de

Maringá - UEM, tendo como orientador, o

Professor Dr. Marcos Roberto Teixeira Primo.

ALTÔNIA

2009/2010

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SUMÁRIO

1- INTRODUÇÃO ..................................................................................................03

2- UM POUCO DE HISTÓRIA..............................................................................05

3- CONHECENDO O SOFTWARE GEOGEBRA................................................06

4- O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA ..............................................................28

4.1– CÍRCULO OU CIRCUNFERÊNCIA? ......................................................29

4.2- EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA .......................................................36

4.3- EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA .....................................39

5- CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................44

6- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...............................................................45

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1- INTRODUÇÃO

A informática, grande aliada nos dias atuais, vem sendo analisada por estudiosos

e aponta caminhos favoráveis para auxiliar as aulas de matemática, proporcionando um

estímulo para a aprendizagem. É conhecido que pessoas aprendem melhor com aquilo

que elas podem manipular e experimentar, usando seus próprios meios e iniciativas.

Podemos programar aulas utilizando softwares educativos voltados para a Matemática,

já que nossas escolas estão ficando cada vez mais preparadas, contando com

equipamentos modernos para este fim.

Este tema se justifica a partir da necessidade de inserção social e de produção do

conhecimento por meio da utilização de tecnologias que auxiliem a aprendizagem de

matemática. Muitos alunos apresentam-se desmotivados para aprender, e a utilização de

tecnologias pode se mostrar uma ótima ferramenta na mediação entre alunos e

professores, uma vez que através dela se pode promover interação com outros

ambientes, tornando assim uma aprendizagem de forma inclusiva.

Atrelado à matemática nos deparamos com muitos conteúdos difíceis de serem

apresentados aos nossos alunos. Quando vamos iniciar, por exemplo, o conteúdo de

Geometria Analítica, nos estudos sobre a circunferência observa-se um desinteresse

total por esse conteúdo por ele não estar associado diretamente à rotina diária de suas

vidas.

Espera-se através desse estudo uma comparação no processo de ensino-

aprendizagem utilizando o software GEOGEBRA, com o método tradicional de ensino-

aprendizagem, contando apenas com uma participação mais efetiva do professor,

levantando informações junto aos alunos e fazendo um paralelo entre os processos.

Os estudos relacionados à Geometria Analítica datam do início do século XVII.

Descarte, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos

capazes de analisar, através de métodos geométricos, as propriedades do ponto, da reta e

da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e coordenadas de seus

pontos. Uma característica importante da Geometria Analítica se apresenta na definição

de formas geométricas de modo numérico, extraindo dados informativos dessa

representação. Com base nesses estudos a Matemática passa a ser vista como uma

disciplina moderna, capaz de explicar e demonstrar situações relacionadas ao espaço.

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A circunferência possui características não comumente encontradas em outras

figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser girada em torno de

um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura plana simétrica

em relação a um número infinito de eixos, denominados eixos de simetria. A

circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas

Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes

entre outras e também é muito utilizada na Indústria e no cotidiano das pessoas.

Tudo em nossa volta é movido por alguma tecnologia, em casa, no comércio e

agora com mais freqüência na sala de aula. Muitas vezes queremos ficar alheio a tudo

isso, mas as transformações que vão ocorrendo nos apontam esse caminho. Seguirmos

ao lado dos nossos alunos rumo ao novo, ao encantamento de descobrirmos juntos

caminhos menos dolorosos e muito, muito mais atraentes para o processo ensino-

aprendizagem da Matemática.

Precisamos nos apropriar de algo interessante e estimulante, que certamente nos

trará um grande benefício. Borba (2007, p.15) afirma que “muitos advogam o uso do

computador devido à motivação que ele traria à sala de aula. Devido às cores, ao

dinamismo e à importância dada aos computadores do ponto de vista social, o seu uso

na educação poderia ser a solução para a falta de motivação dos alunos”.

Procuramos muitas vezes utilizar novas tecnologias que vão surgindo, mas

infelizmente nos deparamos com “softwares” caros, que nos desanimam de sair do livro

didático. Hoje podemos contar com um vasto campo de tecnologias gratuitas que

podemos usufruir e fazer grande proveito de tudo isso. Os “softwares” livres podem ser

utilizados em sala de aula e nos proporcionar facilidade no acesso às informações e

servir de grande motivação para nossos alunos.

A matemática vista pelos nossos alunos como um bicho de “sete cabeças” e a

falta de estímulo muitas vezes nos desanima a procurar novos métodos e inovarmos o

processo ensino-aprendizagem com a utilização das novas tecnologias que vem

surgindo. Ficamos sem atitude frente a qualquer obstáculo que encontramos, mas

sabemos muito bem que quando utilizamos tecnologias em nossas aulas vemos de

imediato o resultado positivo que ela nos proporciona. Estudos baseados no uso de

“softwares” educativos em aulas de matemática demonstram um aprendizado

significativo com muito mais entusiasmo em aprender sempre mais. Gomes (2004, p.7)

afirma que “a utilização de softwares em aulas de matemática no ensino fundamental

pode atender objetivos diversos: ser fonte de informação, auxiliar o processo de

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construção de conhecimentos, desenvolver a autonomia do raciocínio, da reflexão e da

criação de soluções”.

O “software” livre que vamos utilizar em nosso projeto será o GEOGEBRA, por

ser de fácil manipulação e por já se encontrar instalado nos computadores do laboratório

do Paraná Digital de nossas escolas. O Geogebra é um programa livre de geometria

dinâmica criado por Markus Hohenwarler para ser utilizado em ambiente de sala de

aula. É um programa bastante intuitivo e auto-explicativo, adequado a usuários com

conhecimento avançados em informática ou para iniciantes, sendo que o conhecimento

matemático é o ponto fundamental de sua utilização. Gravina (1998, p.12) destaca sobre

os “softwares” educativos que: “são ferramentas direcionadas para a aprendizagem da

Matemática, e que, por conseguinte procuram oferecer recursos que viabilizem as ações

mentais; são recursos que podem ajudá-los na superação de obstáculos inerentes ao

processo de aprendizagem da Matemática”.

Este material didático possui dois cenários distintos: em uma primeira turma

propomos o uso de computadores com a utilização de “softwares” para auxiliar o

processo ensino-aprendizagem sobre o estudo da circunferência, no caso aqui estaremos

utilizando “software” livre GEOGEBRA. Enquanto que em uma segunda turma

estaremos propondo a utilização da metodologia tradicional, utilizando apenas o livro

didático. Gomes (2004, p.3) afirma que “fica evidente uma diferenciação significativa

do nível de desempenho alcançado pelas turmas que utilizam os computadores, sobre as

turmas que não utilizam este recurso tecnológico”. O espaço de tempo utilizado será o

mesmo para o desenvolvimento das atividades nas duas turmas e, posteriormente

faremos uma análise comparativa dos resultados obtidos com essas duas metodologias

de ensino-aprendizagem.

As atividades que propomos têm como objetivo buscar um aprendizado em

matemática que permita ao aluno a interação entre a informática e o ensino da

matemática.

2- UM POUCO DE HISTÓRIA

René Descartes nasceu em La Haye, França, formou-se em Direito, mas seu

grande interesse foi sempre a Filosofia e a Matemática. Descartes ficou conhecido como

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o “Pai da Filosofia Moderna”, por seu tratado Discurso do Método, escrito em 1637, em

que pregava a universalidade da razão.

Na matemática, Descartes criou a Geometria Cartesiana, que pode ser vista

como a aplicação da Geometria à Álgebra e da Álgebra à Geometria, teoria que deu

origem ao que conhecemos hoje por Geometria Analítica.

A Geometria Analítica pode ser também atribuída a Pierre Fermat,

contemporâneo de Descartes. Em uma carta, escrita em setembro de 1636, ele afirma

que suas idéias sobre Geometria analítica já tinham, a essa altura, sete anos.

De qualquer forma, para que a geometria analítica pudesse assumir sua

apresentação atual, altamente prática, teve de aguardar o desenvolvimento do

simbolismo algébrico. Portanto, seria mais correto concordar com a maioria dos

historiadores, que consideravam as decisivas contribuições do matemático Descartes e

Fermat, no século XVII, como a origem essencial da matéria, pelo menos em seu

espírito moderno. Só depois do impulso desses dois matemáticos encontramos a

Geometria analítica sob a forma como a conhecemos e como vamos estudá-la.

O presente material abrange orientações fundamentais quanto ao uso do software

Geogebra no fazer matemática, iniciando com um mini-curso sobre o software, podendo

assim familiarizar os alunos com os principais comandos desse software e dar condições

básicas para o trabalho com o computador e enriquecer o ambiente de aprendizagem,

auxiliando o aluno no processo de construção do seu conhecimento matemático.

A seguir apresentamos algumas informações básicas sobre a utilização do

software Geogebra e atividades para uma melhor compreensão. Esperamos que através

desse mini-curso os alunos possam desenvolver conceitos de construção geométrica,

familiarizar-se com as ferramentas básicas do software e discutir conceitos trabalhados.

Outras informações poderão ser obtidas no “ajuda” do programa ou nos endereços

eletrônicos citados.

3- CONHECENDO O SOFTWARE GEOGEBRA

Agora iremos conhecer o software que será utilizado em nossas atividades.

Trata-se de um programa livre que auxiliará o aluno que não tem familiaridade no

manuseio destas ferramentas e propor algumas atividades para serem realizadas

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O Geogebra é um software matemático que alia Geometria, Álgebra e Cálculo.

Para tanto, há duas janelas de visualização: a janela algébrica (à esquerda) e a

geométrica (a direita). Cada objeto visualizado na janela geométrica tem sua

representação algébrica mostrada na janela algébrica.

A seguir apresentamos algumas informações básicas sobre a utilização do

software Geogebra e atividades para uma melhor compreensão. Essas informações serão

oferecidas aos alunos das duas turmas em forma de um minicurso e esperamos que

através desse minicurso os alunos possam desenvolver conceitos de construção

geométrica, familiarizar-se com as ferramentas básicas do software e discutir conceitos

trabalhados. Outras informações sobre o Geogebra poderão ser obtidas no “ajuda” do

programa ou nos endereços eletrônicos citados.

Ressaltamos que o minicurso sobre o software Geogebra será oferecido para as

duas turmas podendo assim levar ao conhecimento um número maior de alunos a

utilizar a informática como auxiliadora no processo ensino-aprendizagem.

Então vamos lá!

Ao abrir o software, visualizamos a tela a seguir, faça todos os passos só assim

você irá conhecer melhor esse programa e resolva as atividades propostas ao final.

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Nela podemos observar as duas janelas: a janela algébrica (à esquerda) e a janela

geométrica (à direita). A janela algébrica pode ser fechada, clicando, com o botão

esquerdo do mouse, no x que aparece em seu canto direito superior. Para visualizá-la

novamente, clique em Exibir (no alto da tela) e selecione Janela de álgebra, conforme

mostrado a seguir:

Ainda em Exibir, observe que a opção Eixo está ativada, por isso aparecem os

eixos cartesianos na janela geométrica. Para retirá-los basta desmarcar essa opção. Se

desejar que a janela geométrica fique quadriculada, selecione Malha. Essas alterações

podem ser feitas também clicando com o botão direito do mouse sobre a janela

geométrica. Isso faz abrir uma caixa com algumas opções, conforme figura a seguir.

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Em todos os botões aparece uma seta no canto inferior direito. Esta, ao ser

clicada, permite visualizar as opções existentes.

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No que segue descrevemos cada um dos itens que aparecem na tela acima:

Mover - Neste modo pode mover e situar objetos livres com o mouse. Se

selecionar um objeto clicando nele no modo Mover, pode: apagá-lo, pressionando a

tecla Delete ou move-lo, usando as teclas de movimento.

Girar em torno de um ponto -- Selecione primeiro o ponto que é o centro da

rotação. Depois pode rodar objetos livres em torno dele, movendo-os com o mouse.

Gravar para a planilha de cálculo – Selecione primeiro o objeto que será

rastreado, e, depois altere a construção.

- Clicando na seta do botão ·, visualizamos as seguintes opções:


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Novo ponto - selecionando esta ferramenta e clicando na janela geométrica, com o

botão esquerdo do mouse, cria-se um novo ponto. Quando um ponto é criado, suas

coordenadas aparecem na janela algébrica. Clicando em um segmento, em uma reta ou

em uma seção cônica, cria-se um ponto nesse objeto.

Interseção de dois objetos - o ponto de interseção entre dois objetos pode ser

criado de duas maneiras: selecionando dois objetos: dessa forma todas as interseções

existentes são marcadas (a ordem na qual clicamos nos dois objetos é indiferente);

clicando, com o botão esquerdo do mouse, em uma interseção desses objetos: somente

esse ponto de interseção será marcado.

Ponto médio ou centro – para utilizar essa ferramenta, clique, com o botão

esquerdo do mouse, em: dois pontos para obter seu ponto médio; em um segmento para

obter seu ponto médio; em uma cônica para obter seu centro.

- Clicando na seta do botão , visualizamos as seguintes opções:


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Reta definida por dois pontos – marcando-se dois pontos, traça-se a reta

definida por eles. Na janela algébrica aparece a equação da reta traçada.

Segmento definido por dois pontos – marcando-se dois pontos, determinam-se

as extremidades do segmento a ser traçado. Na janela algébrica é mostrado o

comprimento do segmento traçado.

Segmento com dado comprimento a partir de um ponto – marca-se a origem

do segmento e digita-se a medida desejada para o mesmo, em uma janela que se abre

automaticamente.

Semi-reta definida por dois pontos – traça-se uma semi-reta a partir do primeiro

ponto determinado, contendo o segundo ponto marcado.

Vetor definido por dois pontos – marcando-se dois pontos, traça-se o vetor com

origem no primeiro ponto determinado e ponto final no segundo.

Vetor a partir de um ponto – essa ferramenta permite que, tendo um vetor v já

construído, construa-se um outro representante de v, a partir de um ponto considerado.

Para tanto, marca-se um ponto (que será a origem do outro representante de v),

seleciona-se esta ferramenta, clica-se, com o botão esquerdo do mouse, sobre o vetor v

já construído e, depois, sobre o ponto considerado.

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_ Clicando na seta do botão , visualizamos as seguintes opções:


Reta perpendicular – clicando-se, com o botão esquerdo do mouse, em uma reta

e em um ponto constrói-se uma reta perpendicular à reta considerada, passando pelo

referido ponto. O mesmo pode ser feito considerando-se um segmento de reta, ou semi-

reta. A ordem na qual clicamos nos dois objetos (reta e ponto ou ponto e reta) é

indiferente.

Reta paralela – clicando-se, com o botão esquerdo do mouse, em uma reta e em

um ponto fora dela, constrói-se uma reta paralela à reta considerada, passando pelo

referido ponto. O mesmo pode ser feito considerando-se um segmento de reta ou semi-

reta. A ordem na qual clicamos nos dois objetos é indiferente.

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Mediatriz – clicando-se, com o botão esquerdo do mouse, nas extremidades de

um segmento de reta, constrói-se uma reta perpendicular a este passando pelo seu ponto

médio.

Bissetriz – marcando-se três pontos A, B e C, constrói-se a bissetriz do ângulo

AB̂ C . Clicando-se, com o botão esquerdo do mouse, sobre duas retas concorrentes, já

traçadas, constrói-se as bissetrizes dos ângulos determinados pelas retas.

Tangentes – as tangentes a uma cônica podem ser construídas de duas maneiras:

selecionando-se um ponto A e uma cônica c (nesse caso, são traçadas todas as tangentes

a c por A); selecionando-se uma reta g e uma cônica c (nesse caso, constroem-se todas

as tangentes a c, que são paralelas a g).

Reta polar ou diametral – a reta polar ou diametral a uma cônica pode ser

construída de duas maneiras: selecionando-se um ponto e uma cônica; selecionando-se

uma linha ou um vetor e uma cônica.

Lugar geométrico – com essa ferramenta traça-se o lugar geométrico do ponto B,

que depende do ponto A. O ponto A deve ser um ponto pertencente a um objeto (reta,

segmento, círculo,...).

_ Clicando na seta do botão visualizamos as seguintes opções:

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Polígono – para construir um polígono, marca-se, ao menos, três pontos e clica-se,

com o botão esquerdo do mouse, no primeiro ponto novamente (para “fechar” o

polígono). A janela algébrica mostrará a área do polígono construído.

Polígono regular – para construir um polígono regular de n lados, marcam se 2

vértices do polígono e, na janela que se abrirá após a marcação do segundo ponto,

digita-se o valor de n. A janela algébrica mostrará a área do polígono construído.


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Círculo definido pelo centro e um de seus pontos – marcando-se um ponto A e

um ponto B, traça-se o círculo com centro A, passando por B.

Círculo dados centro e raio – marca-se o centro A e digita-se a medida desejada

para o raio, em uma janela que se abre automaticamente.

Círculo definido por três pontos – marcando-se três pontos não-colineares,

traça-se o círculo que passa por eles.

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Semicírculo dados dois pontos – marcando-se dois pontos A e B , traça-se o

semicírculo de diâmetro AB .

Arco circular dados o centro e dois pontos - marcando-se três pontos A, B e C,

traça-se o arco circular com centro A, começando no ponto B e terminando no ponto C

(obs.: o arco é traçado mesmo que o ponto C seja marcado fora do arco).

Arco circuncircular dados três pontos – essa ferramenta permite traçar um

arco circular por três pontos não colineares.

Setor circular dado o centro e dois pontos - marcando-se três pontos A, B e C,

traça-se o setor circular com centro A, começando no ponto B e terminando no ponto C

(obs.: o arco é traçado mesmo que o ponto C seja marcado fora setor).

Setor circuncircular dados três pontos - marcando-se três pontos não

colineares, traça-se um setor circular por esses pontos.


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Elipse – Selecione dois focos e, depois, um ponto da elipse.

Hipérbole – Selecione dois focos e, depois, um ponto da hipérbole.

Parábola – Selecione primeiro o foco e, depois, a diretriz.

Cônica definida por cinco pontos – marcando-se cinco pontos constrói-se a

cônica que passa por eles (a cônica só será definida se quaisquer quatro dos cinco

pontos não forem colineares).

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Ângulo – com essa ferramenta traçam-se ângulos: entre três pontos; entre dois

segmentos; entre duas retas (ou semi-retas); entre dois vetores; interiores de um

polígono.

Ângulo com amplitude fixa – marcam-se dois pontos e digita-se a medida

desejada para o ângulo, em uma janela que se abre automaticamente.

Distância ou comprimento – essa ferramenta fornece, na janela algébrica, a

distância entre: dois pontos; duas linhas; um ponto e uma linha.

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Área - essa ferramenta fornece a área de um polígono, círculo ou cônica, na

janela geométrica.

Inclinação - essa ferramenta fornece, na janela algébrica, o coeficiente angular da

reta traçada e na janela geométrica destaca o triângulo que possibilita o cálculo do

coeficiente angular.

- Clicando na seta do botão, visualizamos as seguintes opções:


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Reflexão com relação a uma reta - essa ferramenta desenha um objeto refletido

em relação a uma reta. Clique no objeto a ser refletido, com o botão esquerdo do mouse

e, a seguir, clique na reta através da qual ocorrerá a reflexão.

Reflexão com relação a um ponto - essa ferramenta desenha um objeto refletido

em relação a um ponto. Clique, com o botão esquerdo do mouse, no objeto a ser

refletido e, a seguir, clique no ponto através do qual ocorrerá a reflexão.

Inversão - essa ferramenta desenha um ponto refletido em relação a uma

circunferência.

Girar em torno de um ponto por um ângulo- essa ferramenta desenha um

objeto rotacionado em relação a um ponto. Clique, com o botão esquerdo do mouse, no

objeto a ser rotacionado, e, a seguir, clique no ponto que funcionará como centro da

rotação. Aparecerá uma janela na qual você especificará a medida do ângulo de rotação,

em graus.

Transladar por um vetor – essa ferramenta desenha um objeto transladado.

Clique, com o botão esquerdo do mouse, no objeto a ser transladado e, a seguir, clique

no vetor de translação.

Ampliar ou reduzir um objeto a partir de um ponto por um determinado

fator - essa ferramenta desenha o objeto ampliado ou reduzido a partir de um ponto por

um determinado fator. Clique, com o botão esquerdo do mouse, no objeto a ser

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transportado e, a seguir, clique no ponto que funcionará como centro da homotetia.

Abrirá uma janela na qual você especificará o fator da homotetia.

_ Clicando na seta do botão , visualizamos as seguintes

opções:


Seletor- selecionando essa ferramenta e clicando sobre qualquer lugar na janela

geométrica com o botão esquerdo do mouse, você cria um seletor para um número ou

para um ângulo. Aparecerá uma janela na qual você especificará o intervalo [min, max]

do respectivo número ou ângulo e a largura do seletor (em pixel). Um seletor nada mais

é do que uma representação gráfica de um número ou ângulos livres.

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Ativar a caixa para exibir/esconder objeto - essa ferramenta ativa a caixa para

exibir/esconder objeto. Clique na janela geométrica, com o botão esquerdo do mouse,

para criar uma caixa de seleção. Ex.: trace um triângulo qualquer usando a ferramenta

. Selecione a ferramenta e clique com o botão esquerdo do mouse sobre a

janela geométrica. Na janela que se abrirá, digite T para a legenda e selecione o

Triângulo poly1. Isso fará aparecer na área de trabalho um quadradinho com um T do

lado. Clique sobre o T (junto ao quadradinho) com o botão direito do mouse e selecione

Propriedades. Na janela que se abrirá, selecione a aba Avançado e, então, digite uma

condição para aparecer esse quadradinho (e o T) e clique em Fechar. Por exemplo,

digite a condição poly1 < 3. Movimente um dos vértices do Triangulo poly1 de modo a

mudar sua área e observe que o quadradinho é exibido/escondido.

Inserir texto – clicando, com o botão esquerdo do mouse, na área de trabalho, o

texto que você digitar, na janela que será aberta, aparecerá neste local.

Inserir imagem – essa ferramenta permite acrescentar uma imagem numa

construção. O ponto onde você clicar, com o botão esquerdo do mouse, será o vértice

inferior esquerdo da imagem. Após o clique na tela uma caixa de diálogo será aberta na

qual você selecionará a imagem a ser inserida.

Relação entre dois objetos – essa ferramenta informa numa caixa de mensagem

a relação entre dois objetos.

._ Clicando na seta do botão , visualizamos as seguintes opções:

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Deslocar eixos – essa ferramenta permite arrastar a área de trabalho ou os eixos.

Ampliar – ao clicar, com o botão esquerdo do mouse, sobre qualquer lugar da

área de trabalho, essa ferramenta produz um zoom de aproximação.

Reduzir – ao clicar, com o botão esquerdo do mouse, sobre qualquer lugar da área

de trabalho, essa ferramenta produz um zoom de afastamento.

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Exibir/esconder objeto – ao selecionar essa ferramenta e clicar, com o botão

esquerdo do mouse, sobre um objeto ou mais, você o(s) estará selecionando para ser

(em) escondido(s).

Porém, isso só ocorrerá, de fato, quando você selecionar outra ferramenta

qualquer. Você poderá voltar a exibir os objetos ocultos, selecionando novamente a

ferramenta , mas ao mudar de ferramenta os objetos voltarão a ficar ocultos. Caso

deseje exibir, de fato, um objeto, clique com o botão direito do mouse, na janela

algébrica, sobre este objeto e selecione a opção exibir objeto.

Exibir/esconder rótulo – clique, com o botão esquerdo do mouse, no rótulo do

objeto para escondê-lo e no objeto para voltar a exibi-lo.

Copiar estilo visual – essa ferramenta permite copiar as propriedades visuais

como cor, dimensão, estilo de reta, etc., a partir de um objeto, para vários outros

objetos. Escolha o objeto cujas propriedades você quer copiar. A seguir clique em todos

os outros objetos que devem adotar essas propriedades.

Apagar objetos - clique com o botão esquerdo do mouse, sobre qualquer objeto

que ele será apagado.

A Revista do Professor de Matemática ( nº 67, pág.44 e 45) nos aponta algumas

dicas.

No canto direito, existem dois botões para desfazer e refazer ações.

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O software também contém no menu superior a opção “Ajuda” que pode

orientar muito sobre a utilização dos comandos.

Uma vez feita à construção, vêem-se na Janela de Visualização os objetos e na

Janela de Álgebra as informações deles. A cor dos objetos tem significados:

• Azul escuro: são objetos livres de qualquer vínculo. Com a ferramenta

ativada é possível movê-los para qualquer lugar.

• Azul claro: são objetos livres, mas vinculados a outro objeto, como, por

exemplo, um ponto sobre uma curva ou sobre um eixo se move apenas sobre

essa curva ou eixo, respectivamente.

• Preto: são objetos dependentes, ou seja, existem porque outros objetos existem.

Alguns podem ser movidos, outros não. Por exemplo: os ponto de interseção de

uma circunferência com uma reta não podem ser movidos, mas pode-se mover a

circunferência ou a reta. (REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA nº

67, pág. 44 e 45)

Caro professor, o objetivo das seguintes atividades é explorar e fazer uma

retomada, utilizando o Geogebra, de alguns assuntos do Ensino Fundamental e Médio,

apresentando assim algumas possibilidades para aulas de matemática utilizando o

Geogebra..

Atividade 1 – Nesta atividade vamos recordar nossos conhecimentos com relação a

ponto, reta, segmento e interseção de retas.

a) Para essa atividade deixaremos a janela algébrica ativada, desative o eixo e a

malha.

b) Marque dois pontos livres. Movimente-os.

c) Construa uma reta passando pelos dois pontos.

d) Mude a cor da reta e aumente a espessura.

e) Renomeie a reta para r.

f) Apague a reta r e os seus pontos.

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g) Construa mais dois pontos e um segmento de reta com extremidade nestes dois

pontos.

h) Utilizando a ferramenta ponto médio, determine o ponto médio deste segmento.

Renomeie o ponto de M.

i) Construa uma reta que passe pelo segmento construído. Com a opção

intersecção de dois objetos, encontre a intersecção da reta e do segmento. Mude

a cor desse ponto.

j) Observe a janela algébrica e discuta com seu professor e colegas cada item

apresentado e usando a ferramenta inserir texto escreva as suas conclusões.

Atividade 2 – Nesta atividade vamos explorar os conceitos de segmento, ponto médio,

reta perpendicular, reta paralela e mediatriz.

a) Para esta atividade deixe apenas as opções eixo e malha ativada.

b) Construa um segmento com comprimento de 4,5 (lembre que no lugar da vírgula

devemos usar o ponto).

c) Ache o ponto médio desse segmento. Renomeie de M. Mude a cor desse ponto.

d) Construa a reta perpendicular a este segmento passando pelo ponto M. O que

temos? Nomeie essa reta de r.

e) Crie um ponto sobre a reta r nomeie de O. Trace uma reta paralela com esse

ponto e o segmento já criado.

f) Determine a mediatriz entre o ponto M e o ponto O.

g) Ative a janela algébrica. Movimento os pontos do segmento e depois o ponto O

e discuta o que acontece com seu professor e colegas e usando a ferramenta

inserir texto escreva as suas conclusões.

Atividade 3 – Nesta atividade vamos construir triângulos e encontrar a sua bissetriz.

a) Desative todas as janelas.

b) Construa um triângulo qualquer ABC.

c) Construa as três bissetrizes desse triângulo.

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d) Marque a intersecção das bissetrizes. Mude a cor desse ponto de intersecção.

e) Como se chama o ponto de intersecção das bissetrizes dos ângulos de um

triângulo? Discuta com o grupo e usando a ferramenta inserir texto escreva as

suas conclusões.

Atividade 4 – Nesta atividade iremos construir quadriláteros, explorando sua área,

perímetro e ângulos internos.

a) Deixe ativadas as janelas eixo e malha.

b) Construa quatro pontos A, B, C e D.

c) Construa o quadrilátero usando a ferramenta polígono com os pontos acima.

d) Mova o ponto A e observe as modificações da figura. Faça isso com os outros

pontos.

e) Obtenha o perímetro e a área do quadrilátero.

f) Marque o ângulo ABCD.

g) Desloque os pontos. Existe alguma medida que se mantém?

h) Usando a ferramenta reflexão com relação a uma reta, faça um quadrilátero que

tenha uma reta interceptando nos dois quadriláteros. Não se esqueça de traçar a

reta mostrando isso.

i) Mude a cor dos quadriláteros.

j) Mova os pontos ABCD e observe o que acontece. Discuta com os colegas as

suas observações e usando a ferramenta inserir texto escreva as suas conclusões.

4- O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

A Geometria Analítica é uma união da Álgebra e da Geometria. Assim,

problemas de Geometria são resolvidos por processos algébricos, e relações algébricas

são interpretadas geometricamente.

Neste capítulo estamos particularmente interessados no estudo da

Circunferência. Vamos associar cada circunferência a uma equação e, a partir daí,

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utilizando estas equações vamos estudar as propriedades geométricas desta

circunferência.

No nosso cotidiano encontramos muitos objetos usados pelas pessoas com o

formato de uma circunferência. Deparamo-nos com rodas ou o movimento de um

relógio que segue um movimento circular com características que nos lembram a

circunferência.

Segundo Bongiovanni (1997, pág. 223): “A circunferência foi uma das primeiras

figuras geométricas admiradas pelo homem. É a forma da Lua e do Sol que os homens

primitivos não só admiravam, como até adoravam. A Lua e o Sol são sólidos, cujas

formas mais se aproximam de uma esfera.”

4.1- CÍRCULO OU CIRCUNFERÊNCIA?

Os estudos relacionados à Geometria são responsáveis pela análise das formas

encontradas na natureza. Tais estudos formulam expressões matemáticas capazes de

calcular o perímetro, a área, o volume e outras partes dos objetos. Duas formas

importantes são os círculos e as circunferências. Mas qual a diferença entre essas duas

formas?

De acordo com a Geometria Euclidiana, circunferência é o espaço geométrico de

uma região que compreende todos os pontos de um plano, localizados a uma

determinada distância, denominada raio, de um ponto chamado centro. Podemos definir

o círculo como a região interna da circunferência. A circunferência limita o círculo,

observe a ilustração a seguir:

A circunferência e o círculo possuem um elemento denominado diâmetro, que

constitui em um segmento que passa pelo centro da figura e é limitado pela figura.

32

Outro segmento importante pertencente às duas figuras é o raio, que corresponde à

metade do diâmetro. Observe a figura:

Caro professor com a atividade a seguir pode demonstrar ao aluno a diferença

entre círculo e circunferência, podendo assim explorar e revisar o que ele já aprendeu

nas séries anteriores. A atividade será desenvolvida pelas duas turmas.

Vejamos o que LONGEN (2004, pag. 76) nos apresenta.

a) Qual a diferença entre círculo e circunferência?

b) Em relação à circunferência do círculo ao lado, quais as coordenadas do centro e

qual a medida do raio?

33

c) Quais as coordenadas do ponto dessa circunferência de maior ordenada? E o de

maior abscissa?

d) Como podemos saber se um ponto P(x,y), do plano cartesiano pertence à

circunferência? E ao círculo?

Caro professor, agora chegou à vez de o software Geogebra entrar em ação. Com

o auxilio dessa ferramenta iremos construir o plano cartesiano, a circunferência e

definições. Incentivando assim os alunos a um apronfudamento do conteúdo nas

diversas aplicações e utilizações. As atividades a seguir serão trabalhadas no caderno e

no laboratório de informática com o software Geogebra pela primeira turma. A segunda

turma irá resolver todas as atividades somente no caderno.

Atividade 1 – Nesta atividade vamos identificar círculo, ponto, segmento e distância

entre dois pontos.

a) Usando a ferramenta círculo definido pelo centro e um dos seus pontos, construa

uma circunferência.

b) Construa outro ponto sobre a circunferência. Mude a cor desse ponto.

c) Trace segmento definido por dois pontos AB e AC.

d) Medir as distâncias do centro aos pontos.

e) Qual a relação entre esses comprimentos? Por quê? Responda ao lado da figura

usando inserir texto,

f) A distância do centro a qualquer ponto da circunferência denomina-se.........

g) Mova um ponto sobre a circunferência e o que verificamos quanto à distância

dos pontos ao centro.

h) Pode-se concluir que uma circunferência é o lugar geométrico.....

i) Salve a construção feita (salve como atividade1).

Atividade 2 – Nesta atividade vamos localizar pares ordenados, construir circunferência

e identificar o raio.

34

a) Abra um arquivo novo.

b) Deixe ativada apenas a janela eixo e malha.

c) Marque os pontos A (0, -1), B(3,2), C(0,2), D(-3, 2) e E(0,5).

d) Construa uma circunferência utilizando a ferramenta . O centro deve ser o

ponto C.

e) Ative a janela algébrica. Observe o que aparece nessa janela. Qual é as

coordenada do centro? Qual o raio?

f) Mude a cor do ponto C.

g) Mude o ponto C de lugar. Observe o que aconteceu na janela algébrica. Anote

em seu caderno o que você observou.

h) Salve a construção feita (salve como atividade2).

Atividade 3 – Nesta atividade iremos identificar qual a figura geométrica ideal e o seu

raio.

João, o jardineiro, quer plantar algumas árvores de maneira que todas fiquem a

12m do pinheirinho. Que figura geométrica representaria a disposição dessas árvores?

Salve a construção feita (salve como atividade3).

Atividade 4 – Nesta atividade o aluno construirá uma circunferência utilizando um

valor dado para o raio, podendo assim calcular a distância, comprimento e perímetro da

figura.

a) Abrir a tela do GEOGEBRA. Entrar no menu exibir e marcar a opção malha.

b) Clique na ferramenta círculo dados centro e raios. Marque um ponto qualquer e

na janela raio de medida 4.

35

c) Marque um ponto B na extremidade da circunferência.

d) Trace um segmento definido por dois pontos A e B.

e) Clique na opção Distância, comprimento e perímetro, depois clique em cima da

linha do raio.

f) Move o ponto A e observe a circunferência.

g) Move o ponto B e observe as coordenadas.


Atividade 5 – Nesta atividade iremos relacionar as medidas do diâmetro e do raio.

a) Deixe ativadas as janelas eixo e malha.

b) Construa uma circunferência.

c) Faça um segmento com extremidade nos dois pontos já criados. O que significa

esse segmento na circunferência? O ponto A recebe qual nome?

d) Agora faça outra circunferência com raio de 3 cm, utilize a ferramenta circulo

dados centro e raio.

e) Ache a intersecção dessas duas circunferências, marque o arco circular das duas

circunferências e mude a cor dos arcos.

f) Mova o centro de cada circunferência e observe o que acontece na janela

algébrica. Discuta com seus colegas e usando a ferramenta inserir texto escreva

as suas conclusões.

g) Salve a construção feita (salve como atividade5).

Atividade 6 – Nesta atividade vamos determinar o centro, raio e a mediatriz de uma

circunferência.

a) Abra um novo arquivo.

b) Crie uma circunferência C de centro O e uma corda AB qualquer da mesma.

c) Use a ferramenta mediatriz e trace a mediatriz r dessa corda.

d) Para isso tome a ferramenta e clique sobre a corda.

e) Qual a relação entre a mediatriz da corda e o centro O de C?

36

f) A mediatriz parece passar por O?

g) Tome a ferramenta “Relação entre dois objetos”, clique em O e depois em r. O

Geogebra mostrará uma janela com a relação detectada entre esses objetos.

h) Movimente a circunferência e a corda. Utilize a ferramenta “Relação entre dois

objetos” a cada modificação. O centro deixa de pertencer à mediatriz?


Atividade 7 - Nesta atividade vamos reconhecer e representar arcos de uma

circunferência, bem como os pontos que representam as extremidades dos arcos.


b) Utilize a ferramenta “Círculo dados centro e raio” e crie uma circunferência C

com centro O e raio 4, de maneira que seja visível por inteiro em sua tela.

c) Marque dois pontos A e B pertencentes a C.

d) Vamos traçar o arco menor determinado por A e B. O Geogebra possui duas

ferramentas para se traçar arcos de circunferência. Uma delas é a ferramenta

“Arco circular dados o centro e dois pontos”. Tome esta ferramenta, clique

primeiramente sobre o centro O e depois sobre os pontos A e B. Por padrão, o

Geogebra traça o arco no sentido anti-horário.

e) Modifique a espessura do arco menor determinado por A e B para 5 e sua cor

para verde.

f) Arraste o ponto A de maneira a aumentar o arco. O que ocorre com a janela

algébrica desse registro?

g) Aumente gradativamente o arco até que o ponto A esteja coincidindo com B, ou

seja, até que o arco esteja se tornando uma volta completa. O que ocorre com o

valor numérico registrado na janela algébrica? Retorne o arco à posição inicial.

h) Use o campo de entrada e crie uma variável, por exemplo, de nome “m”,

escrevendo a seguinte equação m =c/4.

i) Aumente gradativamente o arco até que esteja coincidindo com uma volta

completa. O que está ocorrendo com o valor numérico de “m”? Agora você

percebe o que expressa o número que acompanha o nome do arco na janela

algébrica?

37

j) Salve a construção feita (salve como atividade7).

Atividade 8 - Nesta atividade iremos relacionar a medida do ângulo central com a

medida do arco correspondente, na unidade graus.


b) Crie uma circunferência C de centro O.

c) Marque dois pontos A e B em C.

d) Marque um ponto V no arco maior M(AB).

e) Crie as semirretas SVA e SVB para ilustrar o ângulo interno AVB.

f) Calcule a medida do ângulo traçado.

g) Crie as semirretas SOA e SOB na cor azul.

h) Calcule a medida do ângulo central AÔB.

i) Modifique a posição dos pontos A e B. O que acontece com as medidas de AVB

e AÔB?

j) Escreva a propriedade dessa atividade com a ferramenta inserir texto.

k) Salve a construção feita (salve como atividade8).

Atividade 9 - Nesta atividade iremos formalizar o conceito de circunferência,

segmentos e quadriláteros inscritos.


b) Crie uma circunferência C de centro O e marque quatro pontos A, B, C e D,

pertencentes a C, nomeando-os no sentido horário.

c) Crie os segmentos AB, BC, CD e DA.

d) Movimente os pontos A, B, C e D. essas construções fornecem exemplos de

quadriláteros ABCD inscritos em uma circunferência.

e) Salve a construção feita (salve como atividade9).

Atividade 10 - Nesta atividade vamos explorar a circunferência, pontos, raio, reta

perpendicular, interseção e quadriláteros circunscritos.

38


b) Crie uma circunferência S com centro O.

c) Crie quatro pontos A, B, C e D pertencentes à S. Nomeie-os no sentido horário.

d) Crie os raios AO, OB, OC, e OD.

e) Trace quatro retas r1, r2, r3 e r4, pelos pontos A, B, C e D que sejam

perpendiculares aos respectivos raios AO, OB, OC e OD. Assim serão criadas

quatro retas tangentes à S.

f) Movimente essas retas para determinar os pontos E, F, G e H, em que E é o

ponto de interseção de r1 e r2, F é o ponto de interseção de r2 e r3, G é o ponto

de interseção de r3 e r4 e H é o ponto de interseção de r4 e r1.

g) Esconda os quatro raios e as quatro retas.

h) Trace segmentos Ef, FG, GH e HE.

i) Movimente os pontos A, B, C, e D. Os quadriláteros EFGH são exemplos de

quadriláteros circunscritos.

j) Enuncie a propriedade dessa atividade com a ferramenta inserir texto.

k) Salve a construção feita (salve como atividade10).

4.2- EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA

A Geometria Analítica, a Álgebra e a Geometria se integram. Assim, problemas

de Geometria são resolvidos por processos algébricos, e relações algébricas são

interpretadas geometricamente.

Vamos associar cada circunferência a uma equação e, a partir daí, estudar as

suas propriedades geométricas. Agora em Geometria Analítica a circunferência vai ser

interpretada como uma equação.

Definição e Equação: Uma circunferência com centro C(a, b) e raio r é o

conjunto de todos os pontos P(x, y) do plano que tem distância r até o centro C.

39

Então, sendo C o centro e P(x,y) um ponto qualquer da circunferência, a

distância de C a P, que iremos denotar por dCP, representa o raio dessa circunferência:

dCP = r.

Em Geometria Analítica, a relação existente entre o centro C(a,b) e um ponto P(x,y) da

circunferência é expressa por:

√(x – a)2 + (y – b)2 = r.

Elevando ambos os elementos ao quadrado e lembrando que o radiciando é positivo,

obtemos que:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2.

Se o centro da circunferência coincide com a origem do sistema cartesiano, então a = 0

e b = 0. Nesse caso, a equação reduzida da circunferência é:

(x – 0)2 + (y – 0)2 = r2

Logo,

x2 + y2 = r2.

Caro professor, a atividade a seguir facilitará a visualização da construção da

circunferência, podendo o aluno identificar o raio, diâmetro e o centro. Com a ajuda da

40

janela algébrica a primeira turma vai identificar o centro e o raio de uma circunferência

a partir de sua equação com apenas um clique, a segunda turma nesse momento estará.

Vamos investigar a definição de Circunferência com o software Geogebra:

Atividade 11


b) Construa uma circunferência utilizando a ferramenta . Deixe ativada a

janela algébrica e a geométrica.

c) Marque um segmento definido por esses dois pontos . Não se esqueça de

exibir o nome de cada ponto e o segmento. Renomeie o centro (O) e o raio (r).

d) Ative a janela algébrica. Observe o que aparece nessa janela. Qual é as

coordenada do centro? Qual o raio? Qual a equação da circunferência?

e) Resolva em seu caderno no método através da fórmula (x – a) 2 + (y – b) 2 = r2 e

compare as respostas? O que aconteceu?

f) Salve a construção feita (salve como atividade11).

Caro professor, a próxima atividade trata-se de um jogo que será desenvolvido

no software Geogebra pela primeira turma também será confeccionado em papel sulfite

e desenvolvido em sala de aula com a segunda turma. O objetivo do jogo é fazer com

que os alunos desenvolvam estimativas e cálculo mental, ampliem a compreensão das

propriedades da circunferência, apropriem-se de sua equação e representem pontos no

plano cartesiano tendo como base um intervalo dado.

Atividade 12

Jogo no Geogebra - Capturando Pontos adaptado de Smole e Diniz (2005).

41

Nº de participantes: 2

Material necessário: uma moeda, software geogebra, lápis e papel.

Regras:

• Cada jogador marca na malha de eixo 8 pontos sem que o seu adversário veja.

Os 8 pontos podem ficar em qualquer posição desde que dentro dos limites da malha, ou

seja, pontos (x,y)com -8≤ x ≤ 8 e -8≤ y ≤ 8 , para separar cada participante coloca os

pontos de uma cor.

• Decidem-se quem começa e os participantes jogam alternadamente.

• Na sua vez, o jogador lança a moeda e diz a equação de uma circunferência da

seguinte forma: “(x – + (y – = , onde r é 1 se a moeda tiver caído em

cara e r é 2 se a moeda tiver caído em coroa”. Os valores do centro (a, b) são escolhidos

pelo jogador.

• O adversário traça então a circunferência correspondente no Geogebra e anuncia

quantos de seus pontos o outro jogador capturou.

• Os pontos serão capturados quando estiverem no interior da circunferência ou

pertencem a ela.

• Vence o jogador que conseguir capturar os primeiros 8 pontos de seu oponente.

4.3- EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA

Uma circunferência de centro (a,b) e raio r, vemos que um ponto P de

coordenadas (x,y) está na circunferência se, e somente, se (x – a) 2 + (y – b) 2 = r2.

Desenvolvendo essa equação obtemos o que se chama de equação geral da

circunferência:

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0,

ou seja,

x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2 )= 0.

42

É muito comum na prática que as circunferências sejam representadas por sua

equação geral, por exemplo, a circunferência x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. Á primeira vista,

essa equação não nos permite identificar nem o centro nem o raio da circunferência em

questão. Precisamos, portanto aprender a obter o raio e o centro de uma circunferência a

partir de sua equação geral.

Caro professor, a atividade a seguir tem como objetivo mostrar ao educando da

primeira turma as opções de trabalhar no software Geogebra, demonstrando a

praticidade que esse software proporciona na resolução de atividades. Para a segunda

turma o professor demonstrará a fórmula e irá trabalhar com os exercícios do livro

didático.

Atividade 13

a) No campo entrada digite a equação x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. O que você pode

observar?

b) Qual seria o centro? E o raio? Para responder essa questão proceda da seguinte

forma:

c) Marque dois pontos, um em cada extremidade , nomeie como A e B.

d) Construa um segmento de reta com extremidades nos pontos criados no item

anterior.

e) O que é essa reta a? Você pode deduzir qual o valor do raio? E a coordenada do

centro?

f) Resolva em seu caderno no método através da fórmula e compare as respostas?

O que aconteceu?

g) Salve a construção feita (salve como atividade13).

Caro professor, em um primeiro momento as duas turmas resolverão as atividades

utilizando a resolução manual em seu caderno e logo após a primeira turma usará o

software Geogebra e fará a comparação e anotando suas conclusões.

43

Atividade 14

a) Clique na ferramenta círculo dados centro e raio. Marque um ponto qualquer e

na janela raio de medida 3.

b) Observe que no canto esquerdo nos objetos independentes aparece uma equação

é a equação reduzida da circunferência.

c) Abra uma nova janela para cada exercício a seguir.

d) No campo entrada digite a equação reduzida (x – 5)2 + (y – 4)2 = 1. O que

acontece. Qual o valor do raio. Quais as coordenadas do centro.

e) Faça o mesmo com as seguintes questões: (para cada circunferência construída

use uma cor diferente)

(x + 2) 2 + (y + 6)2 = 5

(x – 2) 2 + y2 = 4

( x + 3)2 + (y – 1 ) 2 = 16

x2 + (y – 4) 2 = 1

x2 + y2 = 10.


Atividade 15

Verifique entre os pontos A (0, 3), B(7, 2) e C(-1, 3) quais pertencem à circunferência

de equação (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25.


Atividade 16

O centro de uma circunferência é o ponto médio do segmento AB, com A (2, -5) e

B(-2, -3). Se o raio dessa circunferência é 2 , determine a sua equação.

44


Atividade 17

Os pontos A (4, -2) e B(2, 0) são extremidades do diâmetro de uma circunferência de

centro C(a, b) e raio r. determine uma equação dessa circunferência.


Caro professor, as atividades a seguir serão retiradas de DANTE (2004), livro

didático utilizado no Colégio onde o projeto será implementado e será desenvolvida

pelas duas turmas (a primeira turma irá resolver através das fórmulas e depois utilizar o

software Geogebra e a segunda turma irá resolver através das fórmulas no caderno).

Atividade 18

- Determine uma equação da circunferência que tem: (para cada circunferência

construída use uma cor diferente)

a) centro em C(2,5) e raio 3

b) centro em M(-1, -5) e raio 2

c) centro em Q(0, -2) e raio 4

d) centro em D(4, 0) e raio 5

e) Salve a construção feita (salve como atividade18).

45

Atividade 19

- As seguintes equações representam circunferências, determine as coordenadas do

centro e o raio em cada caso: (para cada circunferência construída use uma cor

diferente)

a) x2 + y2 – 4x – 8y + 16 = 0

b) x2 + y2 + 12x – 4y – 9 = 0

c) x2 + y2 + 8x + 11 = 0

d) x2 + y2 – 6x + 8y + 5 = 0

e) x2 + y2 – 4y = 0

f) x2 + y2 – 2x – 2y = 0

g) 2x2 + 2y2 – 8x + 12y – 6 = 0

h) x2 + y2 – 6x – 2y – 6 = 0


Atividade 20

- Verifique quais das equações abaixo representam circunferência: (para cada

circunferência construída use uma cor diferente)

a) x2 + y2 – 8x + 6y + 1 = 0

b) x2 + y2 +xy + 4x + 6y – 3 = 0

c) 2x2 + y2 + 4x – 2y + 1 = 0

d) 3x2 + 3y2 – 12x – 15y – 6 = 0

e) 4x2 - 4y2 = 0

f) (x - 5) 2 + (y – 3) 2 = - 5

g) x2 + x + y2 – y = 0

h) x2 – 10x + 25 + y2= 0


46

Atividade 21

- Verifique se a equação x2 + y2 + 2x + 2y – 2 = 0 representa uma circunferência. m

caso afirmativo, dê as coordenadas do centro e o raio da circunferência.


Atividade 22

- Uma circunferência de centro no ponto Q(2, 0) passa pelo ponto de encontro das retas

r e s de equações x – y – 2 = 0 e x + y – 6 = 0, respectivamente. Qual é a equação dessa

circunferência?


Atividade 23

- Quais são os valores que k pode assumir para que a equação:

x2 + y2 – 2x + 10y + 13k = 0


5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

O material didático apresentado, com o uso do software Geogebra, não testou

ainda nenhuma de suas atividades com os alunos. Será utilizada na “intervenção

pedagógica” estabelecida pelo Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), em

47

2010 no segundo semestre com alunos da 3ª série do Ensino Médio do Colégio Estadual

Malba Tahan em Altônia PR, podendo assim ao longo de sua execução sofrer

alterações.

Esperamos que com esse material a aprendizagem torne-se mais fácil, pois

quando é possível visualizar, modificar e trabalhar em diferentes formas e pode contar

com o auxilio de um software o processo ensino-aprendizagem se torna muito mais

eficaz, pois permite movimentar as construções realizadas o que é impossível com a

utilização apenas da régua e do compasso.

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo

Horizonte: Autêntica, 2007.

BONGIOVANNI, Vincenzo; VISSOTO LEITE, Olímpio Rudinim; LAUREANO,

José Luiz. Matemática e Vida. São Paulo- SP: ed. Ática, 1997.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. São Paulo – SP: ed. Ática,

2008.

GERÔNIMO, João Roberto; BARROS, Rui Marcos de Oliveira; FRANCO Valdeni

Soliani. Geometria Euclidiana plana: um estudo com o software Geogebra.

Maringá: Eduem, 2010.

GOMES, A. S. Computadores ou computação: a noção de ubiqüidade no ensino da

matemática. In: VIII Encontro Nacional de Educação Matemática, 2004, Recife.

Anais do VIII Encontro Nacional de Educação Matemática. Recife : Educandus,

2004. v. 1. p. 1-10.

GRAVINA, M. A. SANTAROSA, L. M. A aprendizagem da matemática em

ambientes informatizados. IN: Anais do IV Congresso RIBIE, 1998.

LONGEN, Adilson. Matemática. Curitiba: Positivo, 2004. v.3. Coleção Nova

Didática.

48

REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA nº 67, 3º quadrimestre de 2008,

pag. 44 e 45.

SMOLE, Kátia Cristina Stocco; DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira. Matemática

– ensino médio – volume 3- 3ª série. 5. Ed. São Paulo: Saraiva, 2005.

Endereços eletrônicos

Aplicações do GeoGebra ao ensino de Matemática. Disponível em

http://cristianopalharini.files.wordpress.com/2009/11/aplicacoes-do-geogebra-ao-

ensino-de-matematica.pdf. Acesso em 11/06/2010.

Software GeoGebra. Disponível em

http://www.es.cefetcampos.br/softmat/projeto_TIC/Softmatoa/Apostilas_de_ativida

des/Apostilageogebra.pdf . Acesso em 12/06/2010.

Geogebra. Aplicações ao Ensino da Matemática. Disponível em

http://www.scribd.com/doc/17380953/GeoGebra-Aplicacoes-ao-Ensino-da-

Matematica. Acesso em 10/06/2010.

GeoGebra 3.0 - Dynamic Mathematics for Schools: Markus Hohenwarter, 2001-

2007. Disponível em http://www.geogebra.org. Acesso em 18 de janeiro de 2010.

Documents

DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 - Operação de … · contemporâneo de Descartes. Em uma carta, escrita em setembro de 1636, ele afirma que suas idéias sobre Geometria analítica