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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
MARIA DE FÁTIMA PEREIRA
CADERNO PEDAGÓGICO:
MODELAGEM MATEMÁTICA NO ESTUDO DE
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E FUNÇÃO EXPONENCIAL
Londrina
2010
MARIA DE FÁTIMA PEREIRA
CADERNO PEDAGÓGICO:
MODELAGEM MATEMÁTICA NO ESTUDO DE
PROGRESSÃO GEOMETRICA E FUNÇÃO EXPONENCIAL
Trabalho apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE
Orientadora:Profª. Dra. Lourdes Maria
Werle de Almeida
Londrina
2010
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................. 3
2 MODELAGEM MATEMÁTICA E SUAS ETAPAS ......................................... 4
3 ALUNOS ....................................................................................................... 6
4 PROFESSOR ................................................................................................ 7
5 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO ..................................................... 8
6 ATIVIDADES ............................................................................................... 9
6. 1 SEGMENTAÇÃO DA CÉLULA ZIGOTO ................................................... 9
6. 2 CONCENTRAÇÃO DE MEDICAMENTO NO ORGANISMO HUMANO ..... 13
6. 3 PARTICIPANTE DE UMA PIRÂMIDE ........................................................ 18
6. 4 EMPRÉSTIMO PESSOAL .......................................................................... 25
REFERÊNCIAS ................................................................................................ 30
3
1 INTRODUÇÃO
Diante de uma sociedade moderna, em consonância com os
projetos político-pedagógicos das escolas, apontamos para a necessidade da
formação de alunos participativos, criativos, reflexivos, críticos, sendo capazes de
assumir responsabilidades.
Neste contexto, os professores de Matemática precisam propiciar
aos alunos um ambiente de aprendizagem que valorize o interesse, a curiosidade, a
criatividade, a troca de idéias, a produção de significados para que o aluno seja um
sujeito ativo na construção do conhecimento, visando, para isso, trabalhar questões
e assuntos do dia-a-dia.
No que refere-se a esse aspecto, os Parâmetros Curriculares
Nacionais colocam:
[...], a matemática pode dar sua contribuição à formação do cidadão ao desenvolver metodologias que enfatizem a construção de estratégias, a comprovação e justificativa de resultados, a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a autonomia advinda da confiança na própria capacidade para enfrentar desafios. (Brasil, MEC/ SEF, 1998, p.27)
Esse Caderno Pedagógico é resultado de um estudo do Programa
de Desenvolvimento Educacional – PDE, vinculado à UEL- Universidade Estadual
de Londrina. A presente produção didática foi elaborada partindo do pressuposto de
que a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica, para as aulas de
Matemática, oportuniza ao aluno relacionar a matemática que aprende na escola
com sua realidade, bem como, viabilizar a relação entre os conteúdos de
Progressão Geométrica e Função Exponencial. Estas atividades foram
desenvolvidas abordando temas pertinentes à realidade dos alunos como:
segmentação da célula zigoto, concentração de medicamento no organismo
humano, desenvolvimento de uma pirâmide (corrente) e empréstimo pessoal. Estas
serão desenvolvidas com os alunos do 2º ano do Ensino Médio.
4
2 MODELAGEM MATEMÁTICA E SUAS ETAPAS
A Modelagem Matemática é uma alternativa de ensino que favorece
ao estudante relacionar a matemática escolar com a realidade.
Segundo Bassanezi (2009 p.16): “A Modelagem Matemática
consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos
e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.”
Para Barbosa (2004 p. 75 ) a modelagem “É um ambiente de
aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por
meio da matemática, situações com referência na realidade.”
Geralmente o desenvolvimento de uma atividade de modelagem
segue alguns procedimentos: compreender a situação problema que se pretende
estudar, organizar as informações obtidas, definir o problema a ser estudado,
levantar as hipóteses e analisá-las, definir as variáveis envolvidas no problema, a
construção do modelo e finalmente resolver e avaliar os resultados. A formulação
do modelo e a resolução são realizadas utilizando conceitos matemáticos, se a
solução encontrada não for satisfatória, respeitando a situação da vida real, o
processo todo ou parte dele precisa ser refeito. (ALMEIDA e DIAS, 2007).
Neste sentido, Bassanezi (2009) coloca que durante o
desenvolvimento de atividade de modelagem na sala de aula, o mais importante
não é chegar a um modelo bem sucedido, mas caminhar seguindo as etapas onde o
conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado.A validação do modelo
caracteriza uma etapa importante uma vez que está relacionada com a avaliação do
modelo obtido e requer uma análise crítica do aluno em relação com contexto social-
cultural.
Partindo da situação real, é preciso identificar o problema que se
pretende estudar, sendo a função do professor estimular o aluno a pensar, a
pesquisar, a levantar hipóteses, pois na construção de um modelo é fundamental a
aproximação da realidade que investiga.
Levando em consideração as práticas escolares, de modo geral, os
alunos estão acostumados com aulas expositivas seguidas de exercícios. Assim, é
importante que as atividades de modelagem sejam inseridas de forma gradativa,
oportunizando aos alunos o envolvimento com estas na sala de aula.
5
De acordo com Almeida e Dias (2004), a inserção das atividades de
modelagem no ambiente de ensino aprendizagem pode atravessar três momentos:
Primeiro momento – o professor apresenta e discute com os alunos
a situação-problema e o problema formulado, juntamente com os dados qualitativos
e quantitativos necessários para a resolução do mesmo, sendo assim, o educador
deve incentivá-los a refletir e a investigar sobre a situação em estudo e os conteúdos
matemáticos que podem ser abordados no desenvolvimento da atividade.
Segundo momento – o professor traz para a sala de aula uma
situação-problema acompanhada por um conjunto de informação. Cabe aos alunos,
em grupo, orientados pelo professor desenvolverem, a formulação do problema, a
formulação das hipóteses, as variáveis, a dedução do modelo, a validação e a
interpretação das respostas encontradas diante da situação inicial.
Terceiro momento – o professor incentiva os alunos a desenvolver
uma atividade de modelagem. Neste momento é sugerido que os alunos trabalhem
em grupos. A escolha do tema e do problema a ser investigado, a coleta de dados, o
levantamento das hipóteses, a dedução do modelo, a resolução do problema e a
solução obtida é responsabilidade dos estudantes, devidamente assessorados pelo
professor, sendo que este dever acompanhar as discussões com os alunos e fazer
interferências quando necessário.
Em todos esses momentos, o professor deve incentivar a
participação dos alunos e fazer da sala de aula um ambiente de discussão de idéias,
orientando e colaborando na construção do conhecimento dos alunos.
6
3 ALUNOS
Os alunos deverão participar interagindo com os colegas,
respeitando suas opiniões e refletindo sobre as mesmas.
Deverão registrar o desenvolvimento da atividade e apresentar na
forma escrita, as conclusões obtidas pelo aluno ou o grupo (quando a atividade for
desenvolvida em grupo).
Para o desenvolvimento das atividades os alunos deverão seguir as etapas da modelagem:
compreender a situação problema que se pretende estudar;
organizar as informações obtidas;
formular o problema;
definir as variáveis;
formular as hipóteses;
deduzir o modelo;
validar o modelo.
7
4 PROFESSOR
O professor tem papel fundamental no desenvolvimento desse
material didático. Da sua postura é que dependerão as interações na sala de aula, a
criatividade, a autonomia, a participação e a segurança dos alunos no
desenvolvimento da atividade para a construção do conhecimento matemático. Para
realizar esse trabalho o professor deve:
conhecer a alternativa pedagógica Modelagem Matemática, para
que possa desenvolver o trabalho, com confiança;
ter objetivos bem definidos para conduzir o trabalho, sabendo
que não pode antecipar totalmente as reações dos alunos;
conduzir o trabalho por meio de questionamento, discussão e
reflexão;
encaminhar as atividades (conversando, levantando as questões,
oportunizando tempo para que eles reflitam a situação em
estudo), de maneira que os alunos consigam enxergar como
estas estão sendo desenvolvidas, seguindo as etapas da
modelagem e chegando ao modelo;
estimular o aluno a se expressar matematicamente durante a
realização da atividade;
dar atenção e valorizar as etapas do desenvolvimento da
atividade, e não apenas ao resultado final (modelo matemático).
Durante o desenvolvimento do trabalho é importante que o professor
circule pela sala, orientando os alunos quando for necessário, esclarecendo dúvidas
que possam surgir, enfim, acompanhando os alunos no desenrolar das atividades.
8
5 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO Tradicionalmente, o aluno está acostumado com aulas expositivas,
de maneira, que o professor apresenta a fórmula na resolução de situações-
problema.
Pretendemos seguir o caminho inverso, partindo de uma situação–
problema, desenvolver a atividade, seguindo as etapas da Modelagem Matemática,
chegando à formulação do modelo.
Em um primeiro momento, essas atividades poderão causar
estranheza aos alunos, por não estarem acostumados a essa alternativa
pedagógica, por isso, é importante que as atividades de modelagem sejam inseridas
de forma gradativa.
Primeiro serão desenvolvidas duas atividades de Modelagem
Matemática. Será apresentada aos alunos uma situação-problema, juntamente com
o problema formulado e as informações necessárias para a resolução do mesmo,
sendo que, as demais etapas da atividade de modelagem serão desenvolvidas
conjuntamente pela professora e os alunos, estabelecendo-se um intervalo entre
elas.
Seguindo a proposta desse trabalho, serão desenvolvidas mais duas
atividades, desta vez, em grupo de dois ou três alunos, referente ao segundo
momento da Modelagem Matemática. A situação-problema, com os dados
qualitativos e quantitativos será apresentada pela professora. A formulação do
problema, o levantamento de hipóteses, a definição das variáveis, a dedução do
modelo, a resolução e a validação do mesmo, serão tarefas dos alunos, cabendo à
professora orientá-los quando for necessário, estipulando um período entre as
atividades.
Ao final de cada atividade é fundamental que o professor oportunize
momentos para que os alunos façam a reflexão sobre o trabalho desenvolvido,
analisem as conclusões obtidas e os resultados encontrados.
Ao término desse trabalho espera-se que os alunos possam
observar e analisar a matemática em situações reais, e que compreendam o
desenvolvimento de uma atividade de modelagem.
9
6 ATIVIDADES
Apresentamos neste trabalho quatro situações-problema, que o
professor pode utilizar para atividades de Modelagem Matemática no estudo de
Progressão Geométrica e sua relação com Função Exponencial.
6.1 SEGMENTAÇÃO DA CÉLULA ZIGOTO
Objetivos
Nesta atividade os alunos devem:
construir uma sequência numérica que corresponde ao período da
segmentação da célula zigoto até a formação da mórula;
relacionar a sequência numérica com o conteúdo de Progressão Geométrica
e Função Exponencial;
representar a Função Exponencial graficamente utilizando o software Excel
(Windows) ou Calc (Linux) .
Situação Problema
O desenvolvimento humano tem início com a fertilização.A
fecundação ocorre na tuba uterina, quando um único espermatozóide penetra no
óvulo formando uma única célula, o óvulo fertilizado ou zigoto. O zigoto contém os
cromossomos e genes derivados do pai e da mãe.
Aproximadamente 30 horas após a fertilização inicia-se o
desenvolvimento da célula zigoto passando por uma série de rápidas divisões
mitóticas chamadas clivagem. Esta divisão ocorre pelo processo de mitose, onde
todas as células terão o mesmo material genético daquelas das quais se originaram.
Primeiro, o zigoto se divide em duas células filhas denominadas
blastômeros, estas então se dividem em quatro blastômeros, oito blastômeros e
10
assim por diante. A clivagem acontece normalmente enquanto o zigoto atravessa a
tuba uterina, rumo ao útero. Essas divisões subsequentes formam blastômeros
progressivamente menores. Ocorre um aumento no número de células sem que
aumente a massa citoplasmática, os blastômeros alinham-se, apertando uns contra
os outros, formando uma esfera compacta de células conhecida como mórula.
O zigoto dividi-se várias vezes para formar um conjunto firmemente unido,
de 16-32 células, semelhante a uma amora, a mórula (palavra derivada do
termo latino de amora). Em cerca de 3-4 dias depois da fertilização, a
mórula deixa a tuba uterina e entra na cavidade uterina.
( ATLAS DO CORPO HUMANO, v.4, p.22, 2008 ).
Problema formulado
A atividade se propõe a descrever matematicamente as sucessivas
divisões da célula zigoto, até a formação do conjunto celular chamado mórula.
Hipóteses (H)
H1 – Há Regularidade na segmentação da célula zigoto, de maneira, que todas as
células blastômeros se dividem até a formação da mórula.
H2 – Para este estudo é considerado uma mórula formada com 32 células.
Variáveis
n – número de células existentes no período
c - período do desenvolvimento da célula zigoto por meio da clivagem
11
Construção do modelo
Tabela1: Clivagem da célula zigoto para formação da mórula.
c n n
início 1 a1 1 = 20
1ª clivagem 2 a2 2 = 21
2ª clivagem 4 a3 4 = 22
3ª clivagem 8 a4 8 = 23
4ª clivagem 16 a5 16 = 24
5ª clivagem 32 a6
32 = 25
A sequência da clivagem da célula zigoto até formação da mórula
( 1, 2, 4, 8, 16, 32) representa uma PG que tem como lei de formação an = a1. qn-1.
O primeiro termo (a1) é a célula zigoto e como as células vão se dividindo, elas vão
se duplicando em relação a anterior caracterizando a razão q = 2. Logo, trata-se de
uma de uma PG crescente, finita de 6 termos.
Esta sequência corresponde a função exponencial f(c) = 2c sendo
que, a base da função é a razão da PG e o expoente c corresponde aos números
naturais de 0 a 5.
A função f(c) = 2c pode ser observada na figura 1.
12
Figura1 : clivagem da célula zigoto
Características da função:
D = [ c / 0 c 5] Im = { n / 1 n 32 }
função exponencial crescente
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
0 1 2 3 4 5 6
c ( período da clivagem)
n (
nú
mero
de c
élu
las)
13
6.2 CONCENTRAÇÃO DE MEDICAMENTO NO ORGANISMO HUMANO
Objetivos
Nesta atividade os alunos devem:
fazer a interpretação da situação-problema e retirar os dados do texto
necessários para a dedução e resolução do modelo;
desenvolver estratégias para calcular como o medicamento vai diminuindo no
sangue do corpo humano;
construir uma sequência numérica para relacionar os dados do problema com
Progressão Geométrica;
estabelecer relação entre Progressão Geométrica e Função Exponencial e
representar esta função no gráfico, utilizando o software Geogebra.
Situação-problema
Podemos caracterizar os remédios como cuidados que devemos ter
para curar ou aliviar os sintomas das doenças, mas o medicamento deve ser
utilizado de forma consciente pelo paciente, utilizando-o de forma correta, de
preferência com prescrição médica.
Existem duas categorias legais dos fármacos: os que precisam de
uma prescrição médica e os que não precisam. Os primeiros são vendidos com uma
receita passada por um profissional da saúde. Os segundos são vendidos
livremente, não é necessária a prescrição do médico, pois a utilização desse
medicamento é considerada segura. Em cada país existe um órgão estatal que
decide quais são os medicamentos que requerem a prescrição médica e os que não
requerem.
De acordo com a Agência Nacional de Vigilância Sanitária (2008),
Medicamentos são considerados remédios. Mas o conceito é ainda maior: são
produtos farmacêuticos com a finalidade de auxiliar na prevenção, diagnóstico e
tratamento das doenças, produzidos com rigoroso controle técnico.
A automedicação é uma forma comum de consumir um produto com
objetivo de tratar ou aliviar sintomas de doenças percebidas, ou até mesmo de
14
promover a saúde, sem prescrição do profissional da área da saúde. Ela é praticada
da seguinte maneira: adquirindo medicamento sem receita, compartilhando
remédios com outras pessoas, utilizando sobras de prescrição e descumprindo a
prescrição médica, prolongando ou interrompendo a dosagem e o período de tempo
indicado na receita.
O crescimento e a difusão da automedicação no mundo são
consequências de fatores econômicos, políticos e culturais. Para os países pobres, o
acesso da população ao serviço de saúde é dificultado.
O paracetamol, por exemplo, é um remédio que pode ser vendido
sem prescrição médica. Atualmente é um dos analgésicos mais utilizados por ser
bastante seguro e não interagir com a maioria dos medicamentos. É utilizado na
forma de tabletes com 500mg e 750 mg ou sob a forma de emulsão líquida, para
crianças. Para uma dose de 1000mg, o pico do nível do paracetamol no sangue é de
20mg/litro, e ocorre entre 30 minutos a 2 horas após a ingestão. O tempo de meia
vida no organismo é de cerca de 2 horas. Este medicamento é indicado para
redução de febre e alívio de dores.
Em relação à quantidade deste medicamento circulando no sangue,
relembrando que este é um líquido vermelho que circula por todo organismo,
transportando diferentes tipos de substâncias. Um indivíduo adulto tem em média, 5
a 6 litros de sangue.
Problema formulado
A partir destas informações, a atividade se propõe a estudar como se
comporta a concentração de paracetamol no sangue de um corpo humano após
atingir o pico do nível desse medicamento, em um adulto que faz uso uma única vez,
de um comprimido na forma de tablete de 500mg.
Variáveis
t = tempo (hora)
Q = quantidade (mg) paracetamol
p = período ( cada 2 horas )
15
Hipóteses (H)
H1 - O adulto tem 5 litros de sangue no corpo.
H2 - Concentração inicial do paracetamol no sangue é 10mg/litro para um
comprimido na forma de tablete de 500mg.
H3 - Concentração inicial do paracetamol no sangue é 50mg, para um indivíduo
adulto de 5 litros de sangue que ingeriu um comprimido de 500mg.
Construção do modelo
Tabela 2 : Quantidade de paracetamol de acordo com período (2 horas).
t = 0 corresponde ao horário que o medicamento atingiu o pico do nível da
concentração do paracetamol no sangue, o que ocorre entre 30 minutos a 2 horas
após a ingestão.
A sequência (50; 25; 12,5; 6,25; 3,125;...) é uma PG decrescente de razão 2
1.
t (hora) p ( 2 horas) Q (quantidade de paracetamol)
Q (quantidade de paracetamol)
0 0 50 mg a 1
Q0= 50(21 ) 0
2 1 25 mg a 2
Q1= 50(21 )1
4 2 12,5 mg a 3
Q2 = 50(21 ) 2
6 3 6,25 mg a 4
Q3 = 50(21 ) 3
8 4 3,125 mg a 5
Q4 = 50(21 ) 4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.p p an = a 1 .(21 )n-1
n-ésimo termo de uma PG
Qp = 50(21 )p
Função Exponencial
16
Progressão Geométrica an = 50 (2
1) n – 1
Função exponencial Qp = 50 (2
1)p , em que p
Observando a expressão que foi deduzida para o termo geral da
Progressão Geométrica (PG) e da Função Exponencial, verificamos que:
a razão da PG é a base da Função Exponencial;
o primeiro termo ( a 1 ) da PG é a constante que multiplica a base da Função
Exponencial.
quando o expoente da Função Exponencial, neste caso p, é formado por
números naturais consecutivos, os valores da função Q formam uma PG.
Esta função pode ser visualizada na figura 2.
Q (p) = 50. (2
1)p
Figura 2 : quantidade de paracetamol (mg) no organismo após o período de uso.
Observação: cada período p corresponde a 2 horas.
17
Características da função:
D = Im = { Q / 0 < Q 50}
função exponencial decrescente
curva passa pelo ponto (0, 50)
De modo geral temos:
Fórmula da Progressão Geométrica
a n = a 1.q n - 1 , sendo
a n = termo geral
a1 =1º termo
n = números de termos
q = razão
Fórmula Função Exponencial
f(x) = c.b x , sendo
c = constante
b = base
x = expoente
se b > 1 é função exponencial crescente
e 0 < b <1 é função exponencial
decrescente.
18
6.3 PARTICIPANTE DE UMA PIRÂMIDE
Objetivos
Nesta atividade os alunos devem:
relacionar a sequência numérica da tabela com o conteúdo matemático
Progressão Geométrica;
fazer a relação entre Progressão Geométrica (soma da PG) e Função
Exponencial;
construir o gráfico da função usando o software Excel (Windows) ou Calc
(Linux);
concluir que as pirâmides (ou correntes) podem ser fraudulentas, atos ilícitos
previsto em lei.
Situação-problema
De vez em quando, circulam na internet mensagens prometendo
ganhar dinheiro fácil.
Essas mensagens, de modo geral, são classificadas em três grupos:
as correntes baseadas na remessa de dinheiro;
as correntes baseadas na navegação;
as mensagens de propaganda, do sistema “trabalhe em casa” .
Os textos enganadores de remessa de dinheiro referem-se a um
sistema de cooperativismo, comprometimento, esforço e honestidade que
certamente lhe renderá ótimos lucros. Utiliza frase como: Espero realmente que
você participe e assim como eu, consiga ganhar um bom dinheiro. O título se refere
a uma máquina de fazer dinheiro ( com prova matemática). De modo geral, aparece
uma lista com n nomes de pessoas e suas respectivas contas bancárias. Você tem
que fazer o seguinte:
1º depositar certa quantia para o primeiro ou os primeiros da lista;
19
2º reescrever a lista colocando o seu nome no final da lista e a sua conta bancária.
As correntes baseadas na navegação web são insidiosas e
enganadoras. Essa mensagem com falsas promessas começa assim: recebi este e-
mail de uma pessoa de extrema confiança, repasso a você, sugerindo que tenha
saído em uma revista conhecida e utilizando nome de empresas famosas.
Se você enviar este e-mail a amigos, a empresa x pode e vai, por
um período determinado, rastrear esse e-mail.
Para cada pessoa que mandar esse e-mail, a empresa x vai pagar
um valor y.
Essas empresas utilizam sistema de pirâmide com objetivo de fazer
marketing de propaganda.
O sistema de marketing de rede ou multinível geralmente funciona
da seguinte maneira: você deve encontrar pessoas a quem vender os produtos e
também recrutar pessoas para revenderem esses produtos, incentivando os novos
vendedores a recrutarem outros vendedores para atuarem na mesma área e vender
os mesmos produtos desta empresa. O curioso é que na formação dos chamados
níveis é que cada participante deve “contratar” novos participantes que se tornarão
seus concorrentes, cada integrante do grupo pagará uma parte de seus ganhos a
quem convidou.
Corrente (ou pirâmide) é um tipo de golpe financeiro que se
aproveita de algumas características humanas como ingenuidade, ignorância e
ganância. É crime criar ou divulgar esse procedimento. Mas as correntes continuam
aparecendo, pois aqueles que iniciam ganham muito dinheiro antes da corrente
quebrar.
O esquema de corrente pode ser usado de maneira legal. Nas
empresas que utiliza o sistema de venda em cascata, os vendedores procuram criar
seus próprios vendedores que vão lhes pagar percentual das vendas. Quem criar os
primeiros grupos de vendedores terá um bom rendimento pela vendas dos colegas.
Quando começar ficar difícil colocar vendedores na cadeia de vendas, os últimos da
20
corrente terão que se conformar em ganhar apenas para vender o produto ou sair da
corrente.
Uma pirâmide pode funcionar da seguinte maneira, como por
exemplo, você tem que convencer 4 pessoas a fazer parte do esquema, e essas 4
pessoas precisam conseguir mais 4 cada uma, e assim sucessivamente,
considerando que você será o primeiro da lista.
Tabela 3 : propagação de uma pirâmide.
Problema formulado
Levando em consideração o exemplo de propagação de uma
pirâmide expresso na tabela 3, a atividade propõe analisar como ocorre o
desenvolvimento de uma pirâmide e quantos participantes ela atinge em
determinado nível.
Variáveis
n = níveis de participantes
a = novos participantes
Sn = total de participantes
Níveis participantes Total de
participantes
1 1 1
2 4 5
3 16 21
4 64 85
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
Construção do modelo matemático
Tabela 4: Total de participantes de uma pirâmide de acordo com os níveis.
Níveis (n) Participantes (a) Total de participantes (Sn )
1 1 a1 1
2 4 a2 5
3 16 a3 21
4 64 a4 85
5 256 a5 341
6 1024 a6 1365
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n an Sn
Considerando a sequência ,
( 1, 4, 16, 64, 256, 1024, .... an )
( a1, a2, a3, a4, a5, a6, ...............an ),
podemos observar que trata se de uma Progressão Geométrica de razão q = 4 e o
primeiro termo a1 = 1, e precisamos da soma dos termos da mesma.
Vamos determinar a soma Sn
Sn = 1 + 4 +16 + 64 + 256 + 1024 ... + an
Para uma PG de n termos que
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 +...+ an ( 1 )
Multiplicamos todos os membros da expressão (1) por q, temos:
qSn = a1.q + a2.q + a3.q + a4. q + a5.q + ...+ an.q
que podemos escrever como:
22
qSn = a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + an + ...+ an.q ( 2 )
Fazendo [ ( 2) – ( 1) ] obtemos:
(qSn - Sn) = ( a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + an +...+ an.q ) - ( a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 +...+ an )
Sn (q – 1) = an..q - a1
Como an = a1q n – 1 , podemos escrever:
Sn(q – 1)= (a1q n – 1). q - a1
Sn(q –1) = a1q n – 1.q1 - a1
Sn(q –1) = a1q n - a1
Sn(q – 1) = a1 ( q n – 1)
Logo:
Sn = 1
)1(1
q
qa n
Assim, considerando-se que em cada nível da pirâmide, cada
participante convida 4 novos participantes, o modelo que descreve o total de
participantes no nível n dessa pirâmide é:
Sn = 14
14.1 n
Sn = 3
14n
Ou seja
Sn = 3
1
3
4n
23
Trata-se de uma função do tipo exponencial cujo gráfico, em
variáveis discretas, está dado na figura 3. .
Figura 3 : níveis da pirâmide x total de participantes
Características da função:
D = 0 Im = { Sn / Sn >0}
função exponencial crescente
De modo geral temos:
Fórmula da soma da PG
Sn = 1
11
q
aqa n
, sendo que
Sn = soma dos n termos da PG
a1 = primeiro termo da PG
q = razão da PG
n = números de termos da PG
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 1 2 3 4 5
Sn (
to
tal d
e p
arti
cip
ante
s )
n ( níveis da pirâmide )
24
Outras situações:
01 – Há empresas que utilizam sistema de pirâmide como marketing de rede, para
contratação de vendedores autônomos para revenda de seus produtos. Se uma
dessas empresas utilizar essa pirâmide para contratar vendedores, quantos
vendedores ela poderá atingir no nível 8 dessa pirâmide, se ela começa com 1
vendedor?
02 - Quantos participantes teria esta pirâmide no nível 10 e no nível 15?
03 - Matematicamente existe a pirâmide. Do ponto de vista da realidade, você acha
possível atingir vários níveis de uma pirâmide com todos participando e se
beneficiando?
Justifique a resposta.
25
6.4 EMPRÉSTIMO PESSOAL
Objetivos
Nesta atividade os alunos devem:
obter um modelo matemático que descreva o valor da dívida adquirida por meio
de um empréstimo.
Situação-problema
A ampliação das modalidades de crédito pessoal, oferecido pelo
mercado brasileiro, está cada vez mais ocupando o espaço no mercado financeiro e
atende principalmente a população mais pobre.
O crédito consignado no país foi regulamentado em setembro de
2003, por meio da lei 10820 e permitiu o desconto em folha de pagamento das
parcelas do empréstimo e financiamentos, referente às operações contratadas com
empregados regidos pela CLT. As parcelas não podem exceder a 30% do salário
liquido do trabalhador.
Em agosto de 2004, por meio da lei 10953, foi regulamentado o
crédito consignado aos aposentados e pensionistas do Instituto Nacional de Seguro
Social – INSS (alvo predileto das instituições financeiras), o qual foi revisado após
denúncia de práticas abusivas de falta de informação sobre as cobranças de taxa de
juros e demais encargos. Foi proibida a contratação por telefone e o prazo de
pagamento foi limitado há 36 meses.
Segundo dados do Banco Central, o crédito consignado soma 45%
de crédito pessoal. O crescimento do uso de crédito consignável, principalmente dos
beneficiários do INSS, tem sido motivo de preocupação dos órgãos de defesa do
consumidor, sendo que a maior parte do crédito consignado dos beneficiários do
INSS foi utilizada por pessoas que ganham até dois salários mínimos.
Diante de tanta publicidade de crédito fácil, a população deve ser
informada e estar consciente, que deve utilizar desse serviço como uma ação
principal do crédito responsável.
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Atualmente as taxas de juros para empréstimo pessoal consignado
aos aposentados e pensionistas do INSS são de 1,5% a 1,6% ao mês.
Problema formulado
Determinar o valor da parcela mensal considerando que a pessoa
pretende quitar o valor do empréstimo em 12 meses.
Hipóteses (H)
H1 – O valor do empréstimo é R$1.000,00; e deve ser quitado em um período de um
ano (12 meses).
H2 – A taxa de juros a ser utilizada é de 1,5% ao mês.
Variáveis
Dn = dívida no final do mês
n = mês
Dados
Do = dívida inicial ou valor do empréstimo R$1.000,00
P = valor da prestação mensal
I = 1,5% = 0,015 taxa mensal de juros
Construção do modelo
Do = 1000
D1 = Do.+ 0,015Do – P
D1 = Do (1 + 0,015) – P
D2 = D1 + 0,015D1 – P
D2 = D1 (1 + 0,015 ) – P
D2 = Do [(1 + 0,015) – P] (1 + 0,015) – P
D2 = Do (1 + 0,015)2 – P (1 + 0,015) – P
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D2 = Do (1 + 0,015)2 – P (1 + 0,015) + 1
D3 = D2 + 0,015D2 – P
D3 = D2 ( 1+ 0,015) – P
D3 = Do [(1 + 0,015 )2 – P (1 + 0,015 ) +1] (1 + 0,015 ) – P
D3 = Do (1 + 0,015 )3 – P [(1 + 0,015 )2 + (1 + 0,015 )] – P
D3 = Do (1 + 0,015 )3 – P [(1 + 0,015 )2 + (1 + 0,015 ) + 1]
.
.
.
Dn = Do (1 + 0,015 )n – P[(1 + 0,015 )n -1 + (1 + 0,015 )n-2 +... +(1,015) + 1]
Logo:
Dn = 1000(1,015)n – P[(1,015)n-1+(1,015)n-2+...+(1,015) + 1]
Podemos observar que o termo:
(1,015 )n -1 + (1,015 )n-2 +... +(1,015) + 1]
Corresponde a soma de n termos de uma PG com a1 = 1 e q = 1,015
Logo, considerando a soma de n termos dessa PG, pode escrever:
Dn = 1000 (1,015)n – P[1015,1
1)015,1( n
]
Como a pessoa pretende quitar a dívida em 12 meses podemos escrever:
Dn = 0 para n = 12 , ou seja :
0 = 1000 (1,015)12 – P [1015,1
1)015,1( 12
]
Portanto:
1000 (1,015)12 = P[1015,1
1)015,1( 12
]
1000 (1,015)12 = 015,0
]1)015,1.[( 12P
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1000 . (1,1956176) = 015,0
]11956176,1.[P
1195,62 = 015,0
1956176,0 P
17,93 = 0,1956176p
P = 1956176,0
9343,17
P = 91,68
Ou seja, o valor da parcela mensal deve ser de R$91,68, para quitar o empréstimo
em 12 meses.
Assim, o modelo que descreve a situação desse empréstimo de R$1000,00 a ser
quitado em 12 meses com parcelas fixas de R$91,68 é:
Dn = 1000 ( 1,015 )n – 91,68 [1015,1
1)015,1( n
],
para n = 0, . . . , 12 com n
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A tabela 5 apresenta o valor da dívida em cada mês.
Tabela 5: validação do modelo.
n Dn
0 1.000,00
1 923,32
2 845,48
3 766,49
4 686,30
5 604,92
6 522,31
7 438,46
8 353,37
9 266,99
10 179,32
11 90,33
12 0,00
Outras situações:
01 – Um aposentado que recebe de benefício um salário mínimo, pode fazer um
empréstimo nas condições dessa atividade?
Justifique a resposta
02 – Na sua opinião, em que situação um cidadão deve utilizar-se de empréstimos?
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REFERÊNCIAS
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Atlas do Corpo Humano. v.4. São Paulo: Abril,2008.ISBN: 978-85-364-0638-t1
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Por que? Como? Veritati, n.4,
p.73-80, 2004.
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