1º Simulado IME MATEMÁTICA 5/25/2011 http://dadosdedeus.blogspot.com Marcos Valle (IME)

2 Dados de Deus – 1º Simulado IME

2012

1ª QUESTÃO Valor: 1,0

Prove que a soma

,

em que é um inteiro qualquer e é ímpar, é divisível por .

2ª QUESTÃO Valor: 1,0

Dois médicos devem examinar durante uma mesma hora, 6 pacientes, gastando 10 minutos com

cada paciente. Cada um dos 6 pacientes deve ser examinado pelos dois médicos. De quantos

modos pode ser feito um horário compativel?

3ª QUESTÃO Valor: 1,0

Mostre que uma elipse e uma hipérbole homofocais são ortogonais, isto é, as suas tangentes

nos pontos de intersecção são perpendiculares.

Obs.: Duas cônicas são ditas homofocais se têm os mesmos focos.

4ª QUESTÃO Valor: 1,0

O ângulo tem seu vértice no ponto . Em um de seus lados toma-se o ponto , do qual se

levanta uma perpendicular até a intersecção com o outro lado no ponto . Da mesma forma, a

partir do ponto no outro lado levanta-se uma perpendicular até a intersecção com o primeiro

lado em . é o ponto de intersecção das retas e e o ponto de intersecção das retas

e . Determinar , se , .

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3 Dados de Deus – 1º Simulado IME

5ª QUESTÃO Valor: 1,0

Um triângulo retângulo em faz uma revolução completa em torno de uma reta que

tangencia o círculo circunscrito ao triângulo . Determine o ângulo que a hipotenusa deve

fazer com o eixo de rotação para que o volume pedido seja

.

6ª QUESTÃO Valor: 1,0

Sejam e matrizes reais tais que . Prove que .

7ª QUESTÃO Valor: 1,0

Seja tal que

Prove que

.

8ª QUESTÃO Valor: 1,0

Resolva a equação para cada valor de .

9ª QUESTÃO Valor: 1,0

Seja um polinômio com coeficientes inteiros. Suponha que existam quatro inteiros distintos

com . Prove que não existe inteiro tal que .

10ª QUESTÃO Valor: 1,0

Determine todas as soluções reais do sistema

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