Universidade Estadual de Santa Cruz-UESCDepartamento de Ciências Exatas e Tecnológicas-DCET

Programa de Pós-graduação em Física

Danilo Sande Santos

Captura de múons usando PQRPA

Ilhéus, BA, Brasil2012

Danilo Sande Santos

Captura de múons usando PQRPA 3

Dissertação apresentada ao Programa

de Pós-Graduação em Física, Universi-

dade Estadual de Santa Cruz, para a

obtenção do grau de Mestre em Física.

Área de Concentração: Física

Orientador: Prof. Dr. Arturo Rodolfo Samana

Ilhéus-BA, Brasil2012

3Trabalho nanciado pela FAPESB.

S237 Santos, Danilo Sande. Captura de múons usando PQRPA / Danilo Sande Santos . – Ilhéus, BA : UESC, 2012. 54f. : il.

Orientador : Arturo Rodolfo Samana. Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual de Santa Cruz. Programa de Pós-graduação em Física. Referências bibliográficas e apêndices. 1. Múons. 2. Neutrinos. 3. Partículas (Física nuclear). I. Título. CDD 539.72114

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por todas as oportunidades e pela graça da vida.À minha família, em especial à minha mãe e irmã, por todos os momentos, pela

presença, pela união e pelo amor incondicional.À minha namorada Jéssica, pelos inesquecíveis dois anos de carinho e companhia.Aos meus amigos William, Lucas, Flávio, Fabrício, Michel e todos os outros que

tornaram mais felizes esses seis anos de convívio.Aos mestres pelos ensinamentos e conselhos ao longo desses anos.À Fapesb pelo apoio nanceiro.Por m e não menos importante, a Alejandro e Arturo que sempre me ajudaram, me

orientaram, foram mestres presentes e acima de tudo humanos. Nunca conheci uma dupla deargentinos de coração tão nobre quanto esses dois, serei sempre grato.

RESUMO

Neste trabalho foi realizado um estudo sistemático das taxas de captura de múon inclu-sivas para os núcleos 12C, 20Ne, 32Mg, 28Si, 40Ar, 52Cr, 54Cr, 56Fe, e 58Ni utilizando o modelonuclear PQRPA (Projected Quase-particle Random Phase Approximation - aproximação dequase-partículas de fase aleatória projetada). Foi mostrado o formalismo teórico para o cál-culo das taxas de captura, partindo do estudo da interação neutrino-núcleo e sua aplicaçãopara a captura do lépton µ. Um histórico evolutivo, bem como o suporte teórico dos mode-los nucleares, BCS (Barden, Cooper e Schiefer), PBCS (BCS projetado), QRPA e PQRPA,foram apresentados. Todos os cálculos numéricos da captura foram realizados através docódigo QRAP em Fortran 77. Usamos a interação delta, que já foi previamente usada comsucesso em decaimentos beta simples e beta duplo entre outros processos fracos, como inter-ação residual entre as partículas. O espaço de congurações utilizado neste trabalho tinhade 10 até 16 níveis de energia de partícula única, incluindo as camadas de 0~ω até 4~ω dooscilador harmônico.

Os resultados teóricos das taxas de captura obtidos com o PQRPA foram compara-dos com aqueles obtidos em outros trabalhos usando os modelos de RPA+BCS e RQRPA(Relativístico QRPA), o que levou a uma modicação da constante de acoplamento axial degA = 1 para gA = 1.135, e resultando em um melhor acordo com os dados experimentais.Pela primeira vez na literatura, vericou-se a inuência da CVC (Corrente Vetorial Conser-vada) nas taxas de captura para os núcleos apresentados, que se mostrou mais signicativaem núcleos mais leves, ainda mais quando desconsiderado o termo de interação colombianamuón-núcleo.

Uma última comparação foi realizada entre as taxas de captura inclusiva e exclusiva no12C mostrando que o PQRPA não apresentava resultados razoáveis para a captura exclusiva,apenas para a inclusiva. Assim podemos inferir que um bom acordo entre as taxas de cap-tura inclusivas teórica com os dados experimentais não constitui um teste denitivo do bomdesempenho de um modelo nuclear. Nesse sentido, as transições exclusivas são mais robustaspara tal comparação. Portanto, seria necessários mais dados experimentais para as taxas decaptura exclusivas em outros núcleos, além do 12C, para inferir mais adequadamente se ummodelo nuclear é satisfatório.

Palavras chave: interação neutrino-núcleo, captura de múon, PQRPA, QRPA.

ABSTRACT

In this work we performed a systematic study of the inclusive muon capture rates forthe nuclei 12C, 20Ne, 32Mg, 28Si, 40Ar, 52Cr, 54Cr, 56Fe, and 58Ni using the PQRPA (ProjectedRandom Quase-particle Phase Approximation) as nuclear model. The theoretical formalismfor the muon capture rate, beginning from the study of the neutrino-nucleus interaction, wasshown. A chronological description, as well as the theoretical support of the nuclear models,BCS (Barden, Cooper and Schiefer), PBCS (projected BCS), QRPA and PQRPA, had beenpresented. All the numerical calculations were carried through the numerical code QRAP' 'in FORTRAN 77. We used the delta interaction as the residual interaction. This interactionwas previously used successfully to describe single beta decay and double beta decay, amongothers weak processes. The conguration space used in this work have from 10 up to 16 levelsof single particle energy, including the harmonic oscillator shells from 0~ω to 4~ω.

The theoretical results of the capture rates within the PQRPA had been comparedwith those obtained in other works using the models of RPA+BCS and RQRPA (relativisticQRPA). This led to a modication of the axial coupling constant gA = 1 to gA = 1.135,resulting in one better agreement with the experimental data. The inuence of the CVC(Conserved Vector Current) in the muon capture rates for the presented nuclei was explicitlyveried for the rst time in the literature. This showed to be more signicant in lighter nuclei,still more when the Coulomb term of muon-nucleus interaction is disrespected.

A nal comparison was carried through inclusive capture and exclusive muon capturerates in 12C showing that the PQRPA did not present a good experimental agreement forthe exclusive capture, only for the inclusive one. We reckon that the comparison betweentheory and data for the inclusive muon capture is not a fully satisfactory test on the nuclearmodel that is used. The exclusive muon transitions are much more robust for such a purpose.Therefore, it would be necessary more experimental data for the exclusive capture rates inother nuclei, beyond 12C, to test if a nuclear model is satisfactory.

Keywords: Neutrino-nucleus interaction, muon capture, PQRPA, QRPA.

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Apliquei o coração a esquadrinhar e a informar-me com sabedoria de tudoquanto sucede debaixo do céu, este enfadonho trabalho impôs Deus aos lhos doshomens, para nele os aigir. Atentei para todas as obras que se fazem debaixodo sol e eis que tudo era vaidade e correr atrás do vento. Aquilo que é torto nãose pode endireitar e o que falta não se pode calcular. Disse comigo: eis que meengrandeci e sobrepujei em sabedoria a todos os que antes de mim existiram emJerusalém, com efeito, o meu coração tem tido larga experiência da sabedoria e doconhecimento. Apliquei o coração a conhecer a sabedoria e a saber o que é loucurae o que é estultícia e vim a saber que também isto é correr atrás do vento. Porquena muita sabedoria há muito enfado e quem aumenta ciência aumenta tristeza.

Eclesiastes

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SUMÁRIO

Lista de Figuras 6

Lista de Tabelas 7

1 Introdução 81.1 Captura de múon e outros processos fracos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Evolução dos modelos de Estrutura Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Metodologia 152.1 Interação neutrino-núcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Formalismo para a captura de µ por núcleos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Modelos de Estrutura Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 Hamiltoniano de interação nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 Aproximação de BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.3 Aproximação de QRPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.4 Aproximação de BCS projetada no número de partículas: PBCS . . . . 252.3.5 Aproximação de PQRPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.6 Elementos de matriz nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.7 Software: O código QRAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Resultados Numéricos 323.1 Captura µ−56Fe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Cálculo sistemático para núcleos com A ≤ 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Modicação da constante de acoplamento axial-vetorial gA . . . . . . . 373.2.2 Alteração do parâmetro t = 0, uma boa escolha? . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Sobre a importância da conservação da corrente vetorial nas taxas de capturade múons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 Captura inclusiva versus captura exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Conclusões 42

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5 Apêndices 445.1 Uso de um Z efetivo nas taxas de captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2 Regra de Primako . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3 Distribuição multipolar das taxas de captura de múons . . . . . . . . . . . . . 46

LISTA DE FIGURAS

1.1 Processos semileptônicos. P e P' são o momento inicial e o momento nal donúcleo, p é o momento do lepton (onde l=e ou µ), q é o momento do neutrinoe k é o momento transferido na reação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Diagrama de uxo do código QRAP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1 56Fe(µ−, νµ)56Mn (em unidades de 104 s−1); Painel esquerdo: Reações exclusi-

vas, painel direito: Reações inclusivas. As taxas de captura calculadas no BCS,PBCS, QRPA e PQRPA são comparadas. Dados experimentais da Ref. [5] sãotambém apresentados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Taxa de captura de múon parcial 56Fe(µ−, νµ)56Mn para QRPA1 e PQRPA1como função do parâmetro t do canal pp da interação residual. . . . . . . . . . 34

3.3 Amplitudes de Gamow-Teller S(+) 56Fe(ν, e−)56Mn e S(−) 56Fe(ν, e+)56Co. . . 353.4 Esquerda: Energias para os núcleos Z +1 como função de t na QRPA; Direita:

Idem para a PQRPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Quociente calculado/experimental para as taxas de captura de Λinc para: QRPA

e PQRPA com gA = 1 e t = 0; RQRPA [35] com gA = 1.135; e RPA+BCS [14]com gA = 1.26 para todos os operadores multipolares, com exceção do operadorde GT onde foi reduzido ao gA ∼ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.6 Mesmo que o gráco da gura (3.5), exceto para o QRPA e PQRPA onde foiutilizada a constante gA = 1.135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.7 Idem da gura (3.6), exceto para as QRPA e PQRPA onde o parâmetro t foiajustado convenientemente para aprimorar as taxas de captura. . . . . . . . . 40

5.1 Quociente calculado/experimental para as taxas de captura de Λinc para PQRPAcom (PQRPA Z EFETIVO) e sem (PQRPA Z NORMAL) Zeff . . . . . . . . 45

5.2 Quociente calculado/experimental para as taxas de captura de Λinc para BCS,PBCS, QRPA e PQRPA. O valor do parâmetro t = 0 foi adotado no canal pp

da interação residual. O uso de um Zeff foi adotado conforme a literatura. . . 46

7

5.3 Regra de Primako. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.4 Comparação da distribução multipolar das taxa de captura de múon para

PQRPA e RQRPA [35] para 12C,20Ne e 24Mg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.5 Comparação da distribução multipolar das taxa de captura de múon para

PQRPA e RQRPA [35] para 28Si,40Ar e 50Cr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.6 Comparação da distribução multipolar das taxa de captura de múon para

PQRPA e RQRPA [35] para 52Cr e 54Cr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.7 Comparação da distribução multipolar das taxa de captura de múon para

PQRPA e RQRPA [35] para 56Fe,58Ni e 60Ni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

LISTA DE TABELAS

3.1 Energias em unidades de MeV ajustadas para o estado fundamental (g.s.) nosdecaimentos-β± e captura eletrônica ε. O parâmetro t = 0 foi adotado para ocanal pp, e os valores de vph

s = 27 e vpht = 64 (em MeV fm3) para o canal ph da

interação residual δ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Capturas de múon inclusivas, Λinc, calculadas sem a hipótese de (CVC-o);

e com a hipótese de CVC incluindo (CVC-on+) e não (CVC-on) o segundotermo em (2.18). As diferentes Λinc foram calculadas usando o PQRPA com aseguinte parametrização: t = 0 no canal pp, vph

s = 27 e vpht = 64 (em MeV fm3)

no canal ph, e gA = 1.135. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Energias (em unidades de MeV) e taxas de captura de múon exclusivas (em

unidades de 103 s−1) para os estados ligados excitados no 12B. Além do presenteresultado do PQRPA, nós também mostramos um anterior [30], bem comoaqueles calculados dentro do SM [44], e do RPA [45, 46]. . . . . . . . . . . . . 42

1 Introdução

1.1 Captura de múon e outros processos fracos

O múon é uma partícula elementar com spin 1/2, massa mµ = 105.6 MeV e vida médiade τ = 2.2x10−6s. Ele é classicado como um lépton (de massa leve), assim como o elétron(me = 0.5 Mev ), o tau (mτ = 1777 MeV) e os neutrinos (em média mν < 18 KeV para ostrês tipos: eletrônico, muônico e tauônico 1) [1].

Quando um múon (produzidos por exemplo por colisão de raios cósmicos nas camadassuperiores da atmosfera) passa através da matéria, ele pode ser capturado nas mais altasórbitas atômicas. Ele rapidamente sofre um processo de decaimento em cascata podendo irpara uma órbita 1s através do processo Auger 2. Nessa órbita, o múon pode decair com suavida média característica ou ser capturado pelo núcleo, onde o processo nucleônico básico queocorre é [2]:

µ− + p → n + νµ. (1.1)

A captura de ummúon negativo da órbita atômica de um núcleo faz parte dos chamadosprocessos leptônicos, também denominados de processos de interação fraca, que pode seresquematizado por

µ− + (Z,A) → (Z − 1, A) + νµ (1.2)

onde Z corresponde ao número atômico do núcleo de massa A, e νµ é o neutrino associadoa µ. Este processo têm sido estudado ao longo do tempo (ver, por exemplo o trabalho deWalecka [3]). Na reação descrita, o momento transferido é da ordem da massa do múon, ouseja, κ ≈ mµ, onde κ é o momento transferido. De acordo com a conservação de energia, aenergia transferida para o núcleo é limitada inferiormente pela diferença de massa entre osnúcleos nal e inicial, e superiormente pela massa do múon, caso o neutrino nal não tenhaenergia cinética [4].

Pela universalidade das interações fracas, os seguintes processos (ver Figura 1.1):

• Espalhamento de Neutrino (NS-Neutrino scattering)

ν` + (Z, A) → (Z + 1, A) + `−,

1As massas do neutrinos é um dos tópicos abertos e mais pesquisados na chamada Nova Física ou Físicaalém do Modelo Padrão de Partículas Elementares.

2O processo Auger é um efeito rápido em que um átomo com uma vaga eletrônica nas camadas maisinternas se reajusta para car mais estável ejetando um ou mais elétrons e radiação X.

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• Espalhamento de antineutrino (AS-Antineutrino scattering)

ν` + (Z,A) → (Z − 1, A) + `+,

• Captura de lépton

`± + (Z, A) → (Z ± 1, A) + ν`,

onde ` = e, µ; e nalmente temos os dois tipos de decaimento β

• Decaimento β+

(Z, A) → (Z − 1, A) + e+ + ν,

• Decaimento β−

(Z,A) → (Z + 1, A) + e− + ν,

podem ser descritos pelo mesmo hamiltoniano fraco como será mostrado mais na frente.Em particular, a taxa de captura muônica inclusiva (que corresponde a soma das capturasdo estado fundamental mais as correspondentes aos estados excitados) e a seção de choquede reações de antineutrino de corrente carregadas (com troca de carga) estão fortementecorrelacionadas pois ambos processos envolvem o mesmo elemento de matriz nuclear NME(Nuclear Matrix Element) e procedem do mesmo estado inicial para o mesmo estado nal.Por exemplo, para o 12C isto resulta:

µ− +12 C → 12B + νµ,

ν` +12 C → 12B + `+, ` = e, µ.

Do ponto de vista experimental, a taxa de captura muônica total (ou inclusiva) têmsido medida para muitos núcleos estáveis e também em alguns casos a taxa de captura parcialpara estados especícos também têm sido determinada [5, 6, 7]. Uma vez que os dadosexperimentais são bastante precisos e as técnicas teóricas para calcular a resposta nuclear sãobem desenvolvidas, é imperativo que os modelos nucleares teóricos também possam descreveros outros observáveis fracos, por exemplo, o decaimento-β± e espalhamento ν/ν-núcleo. Como

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Figura 1.1: Processos semileptônicos. P e P' são o momento inicial e o momento nal do núcleo, pé o momento do lepton (onde l=e ou µ), q é o momento do neutrino e k é o momento transferido nareação.

será visto adiante, a taxa de captura de múon depende diretamente do NME do hamiltonianode interação, que descreve a interação entre o múon e o núcleo. Nesse NME está imbutidoo modelo nuclear utilizado. Uma vez que com esse modelo resulte taxas de captura em bomacordo com os dados experimentais, podemos supor que o modelo nuclear é apropriado. Assim,ele pode ser utilizado para descrever outros processos fracos, que tem um papel fundamentalem muitos processos astrofísicos, por exemplo, a teoria do colapso estelar através da produçãode neutrinos [8] , entre outros [9], o que justica a importância da captura de múon. Nestetrabalho utilizaremos a hipótese da corrente vetorial conservada-(CVC) no cálculo sistemáticodas taxas de captura de múon inclusivas.

1.2 Evolução dos modelos de Estrutura Nuclear

Nesta seção explicaremos brevemente a evolução e fundamentos físicos dos diferentesmodelos nucleares usados nesta dissertação, ou seja, BCS (Bardeen, Cooper e Schrieer),PBCS (BCS projetada), QRPA (Quaseparticle Random Phase Approximation-aproximaçãode quasepartículas de fases aleatórias) e PQRPA (QRPA projetada).

No trabalho de Y. Nogami [10], temos uma bonita e simples descrição do modelo deBCS. Nas palavras desse autor em relação ao tema: As idéias físicas e técnicas matemáticasdesenvolvidas por Bardeen, Cooper e Schrieer na teoria de supercondutividade [11] tem sidoaplicada ao problema da interação de emparelhamento (pairing no inglês) nos núcleos, con-seguindo explicar os níveis de energia mais baixos em núcleos pesados [12]. De acordo comesta teoria, um sistema de núcleons que possuem correlações de emparelhamento podem serdescritos como um conjunto de quase-partículas que estão conectadas aos núcleons originaisatravés da transformação de Bogoliubov-Valatin. Uma característica deste método é que ohamiltoniano não comuta com o operador número de partículas, núcleons neste caso, e conse-qüentemente a função de onda que resulta deste processo não corresponde a um sistema quepossui um número denido de núcleons. As energias e outras quantidades que são calculadascom esta função de onda são interpretadas como médias das correspondentes quantidadessobre um conjunto de núcleos vizinhos.

Ou seja, a função de |BCS〉 pode, em princípio, ser otimizada para um núcleo par-par, embora as componentes dos núcleos ímpares adjacentes sempre serão envolvidos. Aincerteza relativa do número de partículas ∆N/N decresce quando o valor nominal de N

cresce. Por esse e outros motivos, o modelo de emparelhamento de BCS é melhor paranúcleos pesados que para núcleos leves. Usando a aproximação de BCS, foi introduzida umaforma correta de tratar à interação de emparelhamento. Esta interação residual é responsávelpelo acoplamento a zero do momento angular em núcleos par-par, sendo atrativa e de curtoalcance para prover a correlação desejada e para predizer formas de equilíbrio. Não obstante,a aproximação de BCS não explica porque os valores experimentais do log ft dos decaimentosβ para a maioria das transições Gamow-Teller são grandes. Experimentalmente encontramosque no decaimento β para núcleos com A & 40 a amplitude de Gamow-Teller apresenta umaforte estrutura de ressonância com uma energia de excitação que cresce sistematicamentecom o número de massa do núcleo e é ≈ 15 MeV para núcleos pesados. Esta ressonância sedenomina ressonância gigante de Gamow-Teller (GTGR). No modelo de BCS, a amplitudeabsoluta das transições são da mesma ordem de grandeza que aquelas do modelo de partícula

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simples. Nesse caso, os valores ft calculados são uma ou duas ordem de grandeza menor queos experimentais. Para entender este efeito, não é suciente a interação de emparelhamentocomo interação residual; nós devemos levar em conta a interação residual entre prótons enêutrons. A forma adequada de tratar esta interação residual que introduz as correlaçõesde longo alcance é através da RPA - aproximação de fases aleatórias. Este nome não vemda física nuclear, mas foi introduzido por Bohm e Pines (1953) [13] em conexão com asoscilações de plasma. A RPA às vezes também é denominada de aproximação quase-bosónica.Na RPA, consideramos o fato que excitações duas partículas-dois buracos são misturadasno estado fundamental pela interação residual. Estes tipos de excitações são às de maisbaixa ordem no estado fundamental. Na RPA, somente excitações com uma estrutura muitoespecíca são consideradas, aquelas nas quais cada par partícula-buraco está acoplada aomomento angular que corresponde a multipolaridade do operador de transição que estamosestudando. Estes pares de partícula-buraco são tratados como bósons, ou seja, as regrasde comutação para estados de núcleons são consideradas aproximadamente. Por meio destaaproximação é relativamente simples introduzir excitações de ordem superior. Estas excitaçõessão chamadas de correlações. A RPA trabalha muito bem em descrever as transições GT nosnúcleos de camada fechada, mas aqueles núcleos de camada semifechada ou não mágicos,não é tão simples assim. Uma solução simples e de fácil implementação seria de acoplaras soluções de BCS para a interação de emparelhamento com as equações de RPA para ainteração residual de longo alcance, colocando ad-hoc as probabilidades de ocupação surgidasda equação do gap dentro dos elementos de matriz nuclear. Esta aproximação de RPA+BCSfoi usada por Zinner et al. [14] para descrever sistematicamente a taxa de captura de múonspara um grande conjunto de núcleos. Outro estudo com esta RPA+BCS foi realizado porAuerbach et al. para calcular as seções de espalhamento de neutrinos no 12C, entre outrosobserváveis fracos [15]. Mas, este procedimento de BCS+RPA é muito primitivo e não é auto-consistente, ou seja, uma QRPA. Numa QRPA, as probabilidades de ocupação são obtidasusando as transformações de Bogoliubov-Valatin no canal de emparelhamento da interaçãoresidual resolvendo as equações de BCS. A mesma transformação é usada na parte da interaçãoresidual entre prótons e nêutrons. Esta interação residual tem contribuições de longo alcancedo tipo partícula-partícula e partícula-buraco. Assim, num mesmo espírito da RPA, usando aaproximação quase-bosónica entre os operadores de quase-partículas de prótons ou nêutronscom a função de BCS como o vácuo da QRPA, são resolvidas as chamadas equações demovimento da RPA [16], onde já as probabilidades foram introduzidas naturalmente, obtendoas amplitudes de RPA que serão usadas nos elementos de matriz nucleares.

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O próton-nêutron QRPA (pn-QRPA) foi desenvolvida em 1967 por Hableib e Soren-son [17] para dar conta do mecanismo de quenching das transições β permitidas. Quase 20anos depois quando Vogel e Zirnbauer [18], e também Cha [19] descobriram a importânciada amplitude da interação residual no canal partícula-partícula S = 1, T = 0, assim o QRPAse tornou o mais frequente método de estrutura nuclear usado para o cálculo das taxas doduplo decaimento beta (ββ). Contudo, foi rapidamente observado que uma pequena mu-dança no parâmetro da interação partícula-partícula causava uma grande mudança na vidamédia dos núcleos e uma inconsistência de todo o método, chamado de colapso do QRPA.Várias modicações no QRPA foram propostas para torná-lo mais conável. Uma dessas foio PQRPA (projected QRPA, QRPA projetada no número de partículas) com troca de carga.Esta aproximação foi formulada para evitar as desvantagens inerentes à não conservação donúmero de partículas dentro da aproximação de BCS. O método foi derivado do princípiovariacional dependente do tempo [20]. Porém, a PQRPA não apresentava resultados substan-cialmente diferentes do simples QRPA no decaimento ββ em 76Ge, e não era capaz de evitaro colapso da QRPA. Na realidade, o problema do colapso da QRPA ainda não se resolveu,apesar do enorme esforço investido por muitos físicos nucleares (compare por exemplo a Fig.1 da Ref. [20] com a Fig. 5 do trabalho do Yousef et al. [21]).

Não obstante, a PQRPA acabou sendo muito importante para a descrição de processosfracos em núcleos relativamente leves tais como 12C. Por exemplo, o uso do PQRPA no cálculoda seção de choque inclusiva 12C(νe, e

−)12N, no lugar do CRPA (contínuo RPA), usado pelacolaboração LSND (Liquid Scintillator Neutrino Detector), na análise da oscilação νµ → νe nosdados das amostras de 1993-1995, tem levado ao acréscimo da probabilidade de oscilação [22].A PQRPA foi recentemente usado para calcular a seção de choque 56Fe(νe, e

−)56Co [23]. Umacomparação entre QRPA e PQRPA para a mesma interação empregando o mesmo modelo deespaço mostra que o procedimento de projeção pode ser importante para núcleos de massaleve. Contudo, várias aproximações tais como: i) Modelo Híbrido (HM-Hybrid Model) [24], ii)QRPA com interação de Skyrme [25], iii) QRPA relativístico (RQRPA-relativistic QRPA)[26],e iv) QRPA e PQRPA com força residual tipo δ [23]; produzem resultados diferentes para aseção de choque de neutrino como uma função da energia do neutrino. É uma tarefa difícilencontrar a origem dessas diferenças, principalmente porque esses modelos não usam a mesmainteração e/ou o mesmo espaço de congurações de partícula independente, além de carregardiferentes tipos de correlações.

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1.3 Objetivos

Esse trabalho tem como nalidade calcular as taxas de captura de múons em núcleosleves e médios usando o modelo nuclear PQRPA. Faremos uma comparação entre a QRPAe PQRPA com o intuito de avaliar até, aproximadamente, que massa o procedimento deprojeção é mais adequado. Uma outra comparação será feita entre as capturas de múonutilizando QRPA projetado, RPA+BCS Ref. [14] e próton-nêutron QRPA relativístico [26]para testar qual modelo reproduz com uma melhor precisão os dados experimentais para osnúcleos avaliados. Discutiremos também a implicação da CVC com e sem o termo de Coulombnas taxas de captura de múon inclusiva. Além disso, pretendemos comparar as taxas decaptura de múon inclusiva e exclusiva téoricas com os dados experimentais existentes, paravericar se o PQRPA é adequado para as duas descrições.

2 Metodologia

2.1 Interação neutrino-núcleo

O hamiltoniano do sistema `leptón+núcleo' pode ser escrito como [27]

H = Hν,ν +HNuc +HW . (2.1)

O primeiro termo representa o hamiltoniano livre, que descreve os neutrinos como partículaslivres, o segundo termo representa o hamiltoniano para o núcleo, e o último termo repre-senta a interação neutrino-núcleo, e por seu caráter eletro-fraco pode considerar-se como umapertubação de primeira ordem [2]. O hamiltoniano fraco é expresso na forma [2, 28]

HW (r) =G√2Jαlαe−ir·k, (2.2)

onde G = (3.04545 ± 0.00006)×10−12 é a constante de acoplamento de fermi (em unidadesnaturais), a corrente leptônica lα ≡ l, il∅ é dada pela equação (2.3) na Ref. [29] e o operadorde corrente hadrônica Jα ≡ J, iJ∅ em sua forma não relativística é dada por 1

J∅ = gV + (gA + gP1)σ · k + gA

iσ ·∇M

, (2.3)

J = −gAσ − igWσ × k− gVk + gP2(σ · k)k− gV

i∇M

,

onde k ≡ k/|k|. A quantidade

k = Pi − Pf ≡ k, ik∅ (2.4)

é o momento transferido, M é a massa do nucleon, e Pi e Pf são os momentos iniciais e naisdo nucleon (núcleo). As constantes de acoplamento efetiva vetorial, axial-vetorial, magnética-fraca e pseudoescalar sem dimensões são, respectivamente

gV = 1, gA = 1, gM = κp − κn = 3.70,

gP = gA

2Mm`

k2 + m2π

, (2.5)

1Como na referência [29] nós usamos a notação de Walecka [2] com a métrica Euclidiana para os quadriv-etores, e α = 1, 2, 3, 4. A única diferença é que nós substituímos os índices dele (0, 3) pelos nossos (∅, 0), ondenós usamos o índice ∅ para a componente temporal e o índice 0 para as três componentes esféricas.

16

onde a seguinte curta notação tem sido introduzida:

gV = gVκ

2M; gA = gA

κ

2M; gW = (gV + gM)

κ

2M,

gP1 = gPκ

2M

k∅m`

; gP2 = gPκ

2M

κ

m`

, (2.6)

onde κ ≡ |k|. Para ns de comparação das taxas de captura com os resultados provenientes deoutros modelos nucleares, nesse trabalho foi também utilizado gA = 1.135 como na referência[35]. As estimativas acima para gM e gP vem da hipótese da corrente vetorial conservada (CVC-conserved vector current), e da hipótese da corrente axial-vetorial parcialmente coservada(PCAC- partial conserved axial vector current), respectivamente. A hipótese CVC é análogaà conservação da corrente elétrica. Todas as aplicações da CVC conhecidas são compatíveiscom os experimentos [2]. Este trabalho é pioneiro no uso da CVC aplicado à uma sistemáticanas taxas de captura de múon.

O efeito do tamanho nuclear nito (FNS-Finite Nuclear Size) é incorporado via fatorde forma dipolar com um corte Λ = 850 MeV, ou seja, g → g [Λ2/(Λ2 + k2)]

2. Realizando aexpansão multipolar dos operadores nucleares

Oα ≡ (O, iO∅) = Jαe−ik·r, (2.7)

é conveniente 1) tomar o momento k ao longo do eixo z, ou seja,

e−ik·r =∑

L

i−L√

4π(2L + 1)jL(ρ)YL0(r),

=∑

J

i−J√

4π(2J + 1)jJ(ρ)YJ0(r), (2.8)

onde ρ = κr, e 2) denir os operadores Oα como

Oα =√

4π∑

J

i−J√

2J + 1OαJ. (2.9)

Deste modo nós evitamos o fator problemático i−J. Em coordenadas esféricas (m = −1, 0, +1)

nós temos

J∅ = gV + (gA + gP1)σ0 + igAM−1σ ·∇Jm = −gAσm + mgWσm + δm0[−gV + gP2σ0]

− igV M−1∇m, (2.10)

17

e

O∅J = jJ(ρ)YJ0(r)J∅,

OmJ =∑

L

iJ−LFLJmjL(ρ) [YL(r)⊗ J]J , (2.11)

onde

FLJm ≡ (−)J+m√

2L + 1

L 1 J

0 −m m

= (−)1+m(1,−mJm|L0), (2.12)

é o coeciente de Clebsch-Gordan. 2

Explicitamente, de (2.11)

O∅J = gVMV

J + igAMA

J + i(gA + gP1)MA

0J, (2.13)

OmJ = i(δm0gP2 − gA + mgW)MA

mJ

+ gVMV

mJ − δm0gVMV

J . (2.14)

Os operadores elementares são dados por

MV

J = jJ(ρ)YJ(r),

MA

J = M−1jJ(ρ)YJ(r)(σ ·∇), (2.15)

e

MA

mJ =∑

L≥0

iJ−L−1FLJmjL(ρ) [YL(r)⊗ σ]J ,

MV

mJ = M−1∑

L≥0

iJ−L−1FLJmjL(ρ)[YL(r)⊗∇]J.

(2.16)2Seus valores são:

FJ+1,J,0 = −√

J + 12J + 1

, FJ−1,J,0 =

√J

2J + 1,

FJ+1,J,±1 =

√J

2(2J + 1), FJ,J−1,±1 =

√J + 1

2(2J + 1),

FJ,J,0 = 0, FJ,J,±1 = ∓ 1√2.

18

A CVC relaciona as peças do operador de corrente vetorial (2.7) como (ver Eqs. (10.45)e (9.7) da Ref. [47])

k ·OV ≡ κOV

0 = k∅OV

∅ , (2.17)

com

k∅ ≡ k∅ − S(∆ECoul −∆M), (2.18)

onde

∆ECoul∼= 6e2Z

5R∼= 1.45ZA−1/3 MeV, (2.19)

é a diferença de energia coulombiana entre os núcleos nal e inicial, ∆M = Mn −Mp = 1.29

MeV é a diferença de massa entre nêutrons e prótons, e S = ±1 para espalhamento de neutrinoe antineutrino, respectivamente. A consequência da relação CVC (2.17) é a substituição

gVMV

0J − gVMV

J →k∅κ

gVMV

J , (2.20)

na (2.14), e OmJ se torna

OmJ = i(δm0gP2 − gA + mgW)MA

mJ

+ |m|gVMV

mJ + δm0k∅κ

gVMV

J . (2.21)

O segundo termo na (2.18) vem da violação da CVC pela interação eletromagnética.Embora esse termo seja frequentemente empregado no decaimento β nuclear, o mesmo nuncafoi considerado antes no espalhamento de neutrino-antineutrino. ∆ECoul é igual a 3.8, 9.8, e20.0 MeV para 12C, 56Fe, e 208Pb, respectivamente, e portanto, o termo mencionado pode sersignicativo, especialmente para núcleos pesados.

A amplitude de transição para a reação neutrino-núcleo a um xo valor de κ, do estadoinicial |0+〉 no núcleo (Z,N) para o n-ésimo estado nal |Jπ

n〉 no núcleo (Z± 1, N ∓ 1), é dadopor

TJπn(κ) ≡

∑s`,sν

∣∣〈Jπn|HW (κ)|0+〉

∣∣2 . (2.22)

19

O momento transferido aqui é k = p`−qν , com p` ≡ p`, iE` e qν ≡ qν , iEν, e após algumaálgebra [29], obtemos

TJπn(κ) = 4πG2[

∑

α=∅,0,±1

|〈Jπn||OαJ(κ)||0+〉|2Lα (2.23)

− 2< (〈Jπn||O∅J(κ)||0+〉〈Jπ

n||O0J(κ)||0+〉∗)L∅0],

onde

L∅ = 1 +|p`| cos θ

E`

,

L0 = 1 +2q0p0

E`Eν

− |p`| cos θ

E`

,

L±1 = 1− q0p0

E`Eν

±(

q0

Eν

− p0

E`

)S,

L∅0 =q0

Eν

+p0

E`

, (2.24)

são os traços leptônicos, com θ ≡ qν ·p` sendo o ângulo entre o neutrino incidente e o momentodo lépton ejetado, e

q0 = k · qν =Eν(|p`| cos θ − Eν)

κ,

p0 = k · p` =|p`|(|p`| − Eν cos θ)

κ, (2.25)

são as componentes z do momento do neutrino e do lépton.

2.2 Formalismo para a captura de µ por núcleos

A taxa de captura de múon é dada por (eq. 46.30,[2])

Λ(Jf ) =E2

ν

2π|φ1S|2R(Z)TMC(Jf ), (2.26)

onde φ1S é a função de onda muônica de estado ligado calculada na origem, Eν = mµ− (Mn−Mp)−Eµ

B −Ef + Ei, onde EµB é a energia de ligação do múon na órbita 1S e R(Z) é o fator

de correção de carga efetiva (o apêndice 5.1 faz uma discussão sobre a carga efetiva ondeZeff=ZR(Z)).

Dos resultados obtidos para a amplitude de transição neutrino-núcleo podemos obtera amplitude de transição para a captura muônica, lembrando que: i) os papéis de p e q sãotrocados dentro do elemento de matriz leptônico, o que leva a um sinal negativo no último

20

termo de L±1, ii) o momente transferido agora é dado por k = q− p, e assim as sinais do ladodireito da (2.19) devem ser mudados, e iii) os valores limiares (p → 0 : k → q, k0 → Eν −m`)devem ser usados nos traços leptônicos. Tudo isso resulta em [30]:

L∅ = L∅0 = L0 = 1; L±1 = 1∓ 1.

Finalmente, devemos lembrar que no lugar de somar sobre os spins inicias dos léptons s`,como é feito em (2.17) nós devemos tomar uma média sobre os mesmos números quânticos.

Assim, a amplitude de transição TMC(Jf ) é

TMC(|k|, Jf ) =4πG2

2Ji + 1

∑

J

[|〈Jf ||O∅J − O0J||Ji〉|2

+ 2|〈Jf ||O−1J||Ji〉|2], (2.27)

onde os operadores nucleares são

O∅J − O0J = gVmµ −∆ECoul − Eµ

B

Eν

MV

J ,

O−1J = −(gA + gW)MA,I

−1J + gVMV,R

−1J, (2.28)

para estados de paridade natural (π = (−)J , ou seja, Jπ = 0+, 1−, 2+, 3−, · · · ),

O∅J − O0J = gAMA

J + (gA + gA − gP)MA

0J,

O−1J = −(gA + gW)MA,R

−1J − gVMV,I

−1J, (2.29)

para estados de paridade não natural (π = (−)J+1, ou seja, Jπ = 0−, 1+, 2−, 3+, · · · ), G =

(3.04545± 0.00006)×10−12 é a constante de acoplamento de Fermi (em unidades naturais) eos sub-índices R e I em (2.28) e (2.29) são as partes reais e imaginárias desses operadores.As constantes de acoplamento efetivas g (eq. (2.6)) e os elementos de matriz nuclear MJ sãodados pelas equacões (2.15) e (2.16) (ou na Ref. [29]). Os cálculos numéricos foram realizadoscom o o código QRAP (Quasi-particle RAndom Phase approximation code). Este códigocalcula a taxa de captura de múon usando QRPA e PQRPA.

21

2.3 Modelos de Estrutura Nuclear

2.3.1 Hamiltoniano de interação nuclear

O Hamiltoniano da interação nuclear pode ser escrito como:

HNuc = Hp + Hn + Hpn, (2.30)

onde Hp e Hn descrevem os Hamiltonianos para partículas independentes de prótons e nêutrons,respectivamente, sendo que Hpn representa a interação residual entre prótons e nêutrons.Daqui para frente o hamiltoniano nuclear HNuc será expresso apenas por H. Agora formal-izando a segunda quanticação dos operadores, podemos expressá-los como

Ht =∑

t

(et − λt)a†tat +

1

4

∑

t′s

< t1t2|V |t3t4 >A a†t1a†t2at4at3 , t = p, n, (2.31)

Hpn =∑

pp′nn′< pn|V |p′n′ >A: a†pa

†nan′ap′ : , (2.32)

onde os subíndices p (n) indicam todo o conjunto de números quânticos para um nível 3,ou seja p ≡ np, lp, jp,mp (n ≡ nn, ln, jn,mn), enquanto que os demais termos tem osignicado usual: et é a energia de partícula independente λt é o potencial químico, a†t e (at)são os operadores de criação (aniquilação ) de partículas independente, o símbolo : : indicao produto normal de operadores fermiônicos em relação ao vazio de partículas , e o índice A

indica que os elementos da matriz estão corretamente antisimetrizados, sendo

< t1t2|V |t3t4 >A=< t1t2|V |t3t4 > − < t1t2|V |t4t3 > . (2.33)

2.3.2 Aproximação de BCS

O Hamiltoniano (2.25) pode ser diagonalizado através de uma transformação canônicade quasipartículas [16]

α†t = uta†t − vtat, u2

t + v2t = 1, at = (−1)t+mtat,−mt , (2.34)

3Estes correspondem ao campo médio gerado pelos núcleons que usualmente se simulam mediante umpotêncial de oscilador harmônico de Wood-Saxon.

22

e depois utilizando o teorema de Wick em relação vazio de quasipartículas denido por

|BCS〉 ≡ |0+〉 = |0p〉|0n〉, |0t〉 =∏

t

(ut + vta†ta†t)|〉, t = p, n, (2.35)

onde | 〉 é o vazio de partículas. Assim, pelos efeitos da transformação de Bogoliubov (2.28)temos que o Hamiltoniano (2.25) toma a forma

Ht = H0t + H11

t + H20t , (2.36)

onde

H0t =

∑t

(et − λt)v2t −

1

2utvt∆t,

H11t =

∑t

[(et − λt)(u2t − v2

t ) + 2utvt∆t]α†tαt, (2.37)

H20t =

∑t

[(et − λt)utvt − 1

2(u2

t − v2t )∆t](α

†tα†t + αtαt),

com os gaps de emparelhamento denidos por

∆t = −1

2

∑

t′jt′ j

−1t ut′vt′ < tt; 0|V pair|t′t′; 0 >, (2.38)

onde V pair é a parte da interação residual que descreve o emparelhamento das partículas quese acoplam ao momento angular J = 0. Exigindo que o termo H20

t se anule 4 obtemos achamada equação do gap:

2(et − λt)utvt = (u2t − v2

t )∆t, (2.39)

que junto com as condições de normalização u2t + v2

t = 1 dão como soluções as ocupações

u2t =

1

2

(1 +

et − λt

Et

), v2

t =1

2

(1− et − λt

Et

), (2.40)

com Et =√

(et − λt)2 + ∆2t . A menos de um termo constante que representa a energia do

vazio, o Hamiltoniano (2.30) adopta uma forma diagonal

Ht =∑

t

Etα†tαt, (2.41)

4Outra maneira de obter as equações de gap, consiste em minimizar a energia do estado fundamental dosrespectivos parâmetros ut e vt.

23

onde Et se interpreta como a energia de quasipartícula.Como as equações de BCS foram resolvidas em um núcleo com (Z, N) pares, também

se cumpre a seguinte condição para o valor médio do operador número de partículas (prótonsou nêutrons) N :

〈BCS|N |BCS〉 =∑

t=n(p)

(2jt + 1)v2jt

= N(Z). (2.42)

Finalmente é conveniente denir as energias de quasipartículas relativas ao nível de Fermi

E(±)jk

= ±Ejk+ λk; (k = p, n). (2.43)

para utilizá-las como uma primeira aproximação para as energias de partícula independentenos núcleos vizinhos ímpares.

2.3.3 Aproximação de QRPA

Com a aproximação de BCS estamos incluindo o campo médio em Hp e Hn, e uma partede curto alcance da interação residual, que não é mais que a interação de emparelhamento. Ainteração residual entre prótons e nêutrons será incluida dentro do marco da aproximação defases aleatórias de quasipartículas (pn-QRPA).Aplicando a transformação (2.28) para a interação residual protón-neutrón teremos

Hpn = H22pn + H04

pn + H40pn, (2.44)

com

H22pn =

∑

pp′nn′[< pn|V |p′n′ >A (upunup′un′ + vpvnvp′vn′)

− < pn′|V |p′n >A (upvnup′vn′ + vpunvp′un′)] α†pα

†nαn′αp′ ,

H04pn = H40

pn =∑

pp′nn′< pn|V |p′n′ >A upunvp′vn′α

†pα

†nα

†n′α

†p′ . (2.45)

Dentro da QRPA os estados nucleares excitados |JπαM〉 (α corresponde ao estado α

com spin J e paridade Π, e com projeção M em z) se obtém pela ação dos operadorescom troca de carga Γ†(Jπ

αM) sobre o estado fundamental correlacionado exato |0〉, sendoassim |Jπ

αM〉 = Γ†(JπαM)|0〉. Para chegar as equações de pn-QRPA partimos da equação de

24

movimento [16]

〈0| [δΓ(Jπα), [H, Γ†(Jπ

α)]] |0〉 = ωJπ

α〈0| [δΓ(Jπ

α), Γ†(Jπα)

] |0〉, (2.46)

onde ωJπαé a energia de excitação e δΓ(Jπ

α) representa uma variação arbitrária do operador.Nesta aproximação o operador de excitação na representação de bósons com bom momentoangular está dado por

Γ†(JπαM) =

∑pn

[XJπ

α(pn)A†

JM(pn)− YJπα(pn)AJM(pn)

], (2.47)

na base de operadores

A†JM(pn) = (α†pα

†n)JM , AJM(pn) = (−1)J+MAJ−M(pn). (2.48)

Neste operador de excitação se introduz as correlações de dois corpos para o estado fun-damental mediante: (i) a amplitude YJπ

α(chamada de backward) que contempla que no

estado fundamental podem existir quasipartículas e que um estado excitado pode obter-sepor aniquilação de quasipartículas, e (ii) a amplitude XJπ

α(chamada de forward) que corre-

sponde a criação quasipartículas sobre a componente BCS do estado fundamental.O vazio |0〉 deve ser gerado numa forma autoconsistente aplicando a condição

Γ(JπαM)|0〉 = 0, para todo estado α com momento angular total J e projeção M . Para cal-

cular as matrizes que entram na equação de movimento (2.40) se asume que o vazio exato éaproximadamente idêntica à função de BCS , ou seja, |0〉 ' |BCS〉, conhecida como aproxi-mação quasibosônica. Os operadores AJ±M(pn) se comportam dentro desta aproximação comobósons nos valores esperados dos comutadores

〈0| [AJ±M(pn), AJ±M(p′n′)] |0〉 ' 0,

〈0|[A†

J±M(pn), A†J±M(p′n′)

]|0〉 ' 0, (2.49)

〈0|[AJM(pn), A†

JM(p′n′)]|0〉 ' δpp′δnn′ .

Desta maneira, a equação de movimento (2.46) nos conduz aos coecientes XJπα(pn) e YJπ

α(pn)

e aos autovalores ωJπαcomo uma solução do problema de autovalores

A BB A

X

Y

= ω

X

−Y

, (2.50)

25

com

A(pnp′n′; J) = 〈BCS|[AJ(pn), [H,A†

J(p′n′)]]|BCS〉

= (Ep + En)δpp′δnn′ + (upvnup′vn′ + vpunvp′un′)F (pnp′n′; J)

+ (upunup′un′ + vpvnvp′vn′)G(pnp′n′; J),

B(pnp′n′; J) = −〈BCS| [AJ(pn), [H, AJ(p′n′)]] |BCS〉= (vpunup′vn′ + upvnvp′un′)F (pnp′n′; J)

+ (upunvp′vn′ + vpvnup′un′)G(pnp′n′; J). (2.51)

onde F e G são , respectivamente, os elementos de matriz dos graus de liberdade de partícula-buraco e partícula-partícula para a interação residual denidos como

G(pnp′n′; J) =< pn; J |V |p′n′; J >, F (pnp′n′; J) =< pn−1; J |V |p′n′−1; J > . (2.52)

Observa-se que na aproximação quasibosônica nós não necessitamos conhecer a estrutura doestado fundamental exato. Ainda com a pn-QRPA conseguimos (do mesmo modo que asequações de BCS) o mesmo espectro de energia para os núcleos com igual número de prótonse nêutrons dados por (Z ± 1, N ∓ 1). O problema de autovalores nas equações de pn-QRPAtem a importante propiedade de simetria de obter um conjunto de autovalores ±ω, onde asenergias ω positivas com autofunções (X,Y ) representam o núcleo (Z + 1, N − 1) , enquantoque as energias ω negativas com autofunções (Y ∗, X∗) representam o núcleo (Z − 1, N + 1) ,onde ambas autofunções tem o mesmo valor absoluto da norma pela diferença do sinal [16].Ou seja, é suciente resolver uma só equação de autovalores e estender as soluções vistas nooutro ramo com as considerações mencionadas.

Finalmente, as energias perturbadas na pn-QRPA estão denidas por

Eµ = ω + µ(λp − λn), (2.53)

onde µ = ±1 para o núcleo (Z ± 1, N ∓ 1).

2.3.4 Aproximação de BCS projetada no número de partículas: PBCS

A aproximação de quasipartículas de fases aleatórias projetada no número de partícu-las (projeção -QRPA, PQRPA) para excitações com troca de carga foi desenvolvida pelaprimera vez por F. Krmpoti¢ e A. Mariano[20]. Aqui somente apresentamos alguns detalhes

26

indispensáveis relativos ao formalismo desta.O ponto de partida para a PQRPA, consiste na minimização da energia do estado

fundamental do núcleo par-par em relação aos parâmetros u e v. Aqui, as equações de BCS seresolvem numa forma autoconsistente como um problema de autovalores mantendo-se xo aonúmero de partículas mediante um método de projeção . Obtemos assim as equações de gappara prótons (e de forma similar para nêutrons) na BCS projetada em número de partículas(projeção -BCS, PBCS) como

2epupvp −∆p(u2p − v2

p) = 0, (2.54)

onde

∆p = −1

2j−1p

∑

p′jp′up′vp′G(pp, p′p′; 0)

IZ−2(pp′)IZ

, (2.55)

é a energia de emparelhamento (gap) de protón, e

ep = epIZ−2(p)

IZ+ j−p

∑

p′jp′v

2p′F(pp, p′p′; 0)

IZ−4(pp′)IZ

+1

2j−2p

∑

p′j2p′v

2p′ep′

[νp(p

′)DZ−4(pp′)

IZ− νpD

Z−2(p)IZ−2(p′)(IZ)2

]

+1

8j−2p

∑

p′p′′jp′ jp′′

2v2

p′v2p′′F(p′p′, p′′p′′; 0)

[νp(p

′p′′)DZ−6(pp′p′′)

IZ− νpD

Z−2(p)IZ−4(p′p′′)

(IZ)2

]

+ up′vp′up′′vp′′G(p′p′, p′′p′′; 0)

[νp(p

′p′′)DZ−4(pp′p′′)

IZ− νpD

Z−2(p)IZ−2(p′p′′)

(IZ)2

], (2.56)

é a energia de próton independente (single particle-s.p.) relativa ao nível de Fermi. Esta con-tém as energias nuas s.p. ep , a auto-energia corresponde ao segundo termo da equação (2.50)e o potencial químico está representado pelos termos restantes da (2.50). Nas equações ante-riores também aparecem as relações

DK(p · ·) = IK(p · ·)− IK+2(p · ·)νp(p

′ · ·) = j2p − 2(δpp′ + ··),

σ−1p = u2

p + z2v2p, (2.57)

27

onde

IK(p1p2 · ·pn) =1

2πi

∮dzp

zK+1p

σp1σp2 · ·σpn

∏p

(u2p + z2

pv2p)

jp+1/2, (2.58)

são as integráveis de projeção . As funções F e G são os elementos de matriz próton-buraco epróton-próton respectivamente, denidas anteriormente em (2.46), entre estados de momentoangular. Em particular, para J = 0 resultam

G(pp, p′p′; 0) ≡ 〈pp; J = 0|V pair|p′p′; J = 0〉F (pp, p′p′; 0) ≡ 〈pp; J = 0|V pair|p′p′; J = 0〉

.

2.3.5 Aproximação de PQRPA

O próximo passo consiste em resolver as equações de RPA, que resultam das equações demovimento [16] e são

Aµ B−B† −A∗

−µ

Xµ

Yµ

= Ωµ

Xµ

Yµ

, (2.59)

para os núcleos (Z + µ,N − µ), com µ = ±1. As matrizes de PQRPA se denem como

Aµ(pn, p′n′; J) = EZ−1+µ,N−1−µpn δpn,p′n′ + (Nµ(pn)Nµ(p′n′))−1/2

× [upvnup′vn′I

Z−1+µ(pp′)IN−3+µ(nn′) + vpunvp′un′IZ−3+µ(pp′)IN−1+µ(nn′)]F(pn, p′n′; J)

+ [upunup′un′IZ−1+µ(pp′)IN−1+µ(nn′) + vpvnvp′vn′I

Z−3+µ(pp′)IN−3+µ(nn′)]G(pn, p′n′; J)

,

B(pn, p′n′; J) = (Nµ(pn)N−µ(p′n′))−1/2IZ−2(pp′)IN−2(nn′)

× [(vpunup′vn′ + upvnvp′un′)F(pn, p′n′; J) + (upunvp′vn′ + vpvnup′un′)G(pn, p′n′; J)], (2.60)

onde as energias de 2qp não perturbadas são

EKK′pn = εK

p + εK′n , (2.61)

28

onde

εKp =

RK0 (p) + RK

11(pp)

IK(p)− RK

0

IK, (2.62)

são as energias de quasipartículas projetadas, também

RK0 (p1) =

∑p

j2pv

2pepI

K−2(pp1)

+1

4

∑

pp′jpjp′ [v

2pv

2p′F(pp, p′p′; 0)IK−4(pp′p1) + upvpup′vp′G(pp, p′p′; 0)IK−2(pp′p1)],

RK11(p1p1) = ep1 [u

2p1

Ik(p1p1)− v2p1

Ik−2(p1p1)]

+ j−1p1

∑p

jpv2pF(pp, p1p1; 0)[u2

p1Ik−2(pp1p2)− v2

p1IK−4(pp1p1)]

− upvpup1vp1G(pp, p1p1; 0)IK−2(pp1p2). (2.63)

Para uma posterior análise, é util re-escrever as energias de quasiparticulas projetadas como

E(+)j =

RK0 (j) + RK

11(jj)

IK(j)− RK

0

IK,

E(−)j = −RK−2

0 (j) + RK−211 (jj)

IK−2(j)+

RK−20

IK−2, (2.64)

onde K = N, Z, para um núcleo com N nêutrons e Z prótons.Com as amplitudes resultantes do problema de autovalores, forward Xµ e backward Yµ

do autoestado correspondente a uma energia de excitação Ωµ na PQRPA, podem avaliar-seagora o elemento de matriz nuclear

〈Jπf , N ± µ, Z ∓ µ||Oµ

J(|k|)||0+〉 = N−1/20

×∑pn

[Λµ(pnJ)N1/2µ (pn)X ∗

µ (pn; Jπf ) + Λ−µ(pnJ)N

1/2−µ (pn)Y∗µ(pn; Jπ

f )], (2.65)

para o operador com troca de carga Oµ=±1J (|k|) ≡ OJ(|k|)t±. Aqui

Λµ(pnJ) = −J−1〈p||OJ(|k|)||n〉 ×

upvn para µ = +1

unvp para µ = −1, (2.66)

e onde para OJ(|k|) entendemos os operadores denidos em (2.13) e (2.14). As normas estão

29

denidas como

N0 = IZIN ; Nµ(pn) = IZ−1+µ(p)IN−1−µ(n). (2.67)

É importante notar que os operadores de transição OJ(|k|) = 1 para Jπ = 0+ (chamadade transição de tipo Fermi), e OJ(|k|) = σ para Jπ = 1+ (chamada de transição de tipoGamow-Teller) satisfazem a regra de soma de Ikeda [31]

∑

Eµ=1(αJ)>0

|Λµ(αJ)|2 −∑

Eµ=−1(αJ)>0

|Λ−µ(αJ)|2 = (2J + 1)(N − Z).

As equações de gap usadas na BCS podem obter-se como caso particular da (2.48)mediante os seguintes passos:

(i) substituindo ep,n → ep,n − λp,n , com λp,n (potenciais químicos), e(ii) fazendo o limite IK → 1 nas expressões (2.49) e (2.50). Como o número de

partículas não é mais um bom número quántico, deve se impor a condição adicional (2.36).O mesmo procedimento pode aplicar-se nas equações de PQRPA (2.53) e (2.54), obtendo-sedeste modo a aproximação pn-QRPA usual.

2.3.6 Elementos de matriz nucleares

Quando os estados excitados |Jf〉 no núcleo nal (Z±1, N∓1) são descritos dentro doPQRPA, o elemento de matriz nuclear para os operadores multipolares com troca de cargadenidos nas equações (2.15) e (2.16) (denominados por YJ , etc, e listados na Tabela II daRef. [29]) resulta

〈Jf , Z + µ,N − µ||YJ ||0+〉= 1

(IZIN )1/2

∑pn

[Λµ(pnJ)

(IZ−1+µ(p)IN−1+µ(n))1/2 X∗µ(pnJf )

+ Λ−µ(pnJ)

(IZ−1−µ(p)IN−1−µ(n))1/2 Y∗µ (pnJf )

], (2.68)

com os elementos de matriz de um corpo dados por

Λµ(pnJ) = −〈p||YJ ||n〉√2J + 1

upvn, for µ = +1

unvp, for µ = −1.

(2.69)

30

No caso do QRPA, usando a condição IK → 1, o elemento de matriz nuclear para os operadoresmultipolares com troca de carga YJ , etc, é

〈Jf , Z + µ,N − µ||YJ ||0+〉=

∑pn

[Λµ(pnJ)X∗

µ(pnJf ) + Λ−µ(pnJ)Y ∗µ (pnJf )

],

(2.70)

com os mesmos elementos de matriz de um corpo.

2.3.7 Software: O código QRAP

QRAP (Quasiparticle Random APproximation) é um código numérico escrito emFortran 77 que resolve as equações de movimento para os modelos de estrutura nuclear QRPAe PQRPA, e depois utiliza os NME para calcular diferentes processos semileptônicos dentrode um formalismo de interação neutrino-núcleo adequado. O QRAP utiliza como interaçãoresidual a simples interação δ, que tem sido usada extensivamente na literatura para descrevero decaimento β-simples e o decaimentos β-duplo [20, 32, 33, 34].

Single particle

States,.

1 to 6 ħϖ H.O.

∑=

=+=

=∆+−−

)(

2

22

)()12(|ˆ|

,0))((

pnt

tt

ttttttt

ZNvjBCSNBCS

vuvue λ

Figura 2.1: Diagrama de uxo do código QRAP.

O código QRAP é baseado nas Refs. [22, 29, 30], onde um novo formalismo para o es-palhamento neutrino-núcleo foi desenvolvido. Neste trabalho, o código foi usado para fazer umcálculo sistemático das taxas de captura de múon em núcleos par-par com número de massaA < 60. Na Figura (2.1) mostramos o diagrama de uxo que segue o QRAP. O primeiropasso foi obter o espaço de conguração de núcleos par-par com as energias de partículaindependente para esses núcleos. Esse espaço foi cedido pelo professor Nils Paar, da Universi-

31

dade de Zagreb-Croacia, que obteve estes níveis usando um Hartree-Bolgoliubov relativísticosegundo a Ref. [35]. Outras alternativas para obter este espaço de partículas independentesseria usar as energias resultantes de um potencial de Wood-Saxxon ou do oscilador harmônico.Em seguida, as equações de BCS são resolvidas ajustando as amplitudes de emparelhamento(pairing) para reproduzir o gap experimental como está detalhado na Ref. [36]. Dependendoda opção adotada no arquivo de dados, QRAP resolverá: (i) as equações de PBCS e depoisas equações de PQRPA, ou (ii) resolver direitamente a QRPA. Uma vez resolvido o problemade estrutura nuclear, procede-se a calcular o processo semileptônico de interesse: a capturade múon, o espalhamento de neutrino-núcleo ou o espalhamento de antineutrino-núcleo.

Tanto para a QRPA ou PQRPA, usamos a mesma interação residual. Os parâmetrospara a interação residual tipo δ foram adotados de um estudo sistemático das ressonânciasGamow-Teller tomados da Ref. [37]. Conforme a citada referência, os cálculos da taxa decaptura foram realizados com os canais de partícula-buraco ajustados em vPH

s = 27.0 evPH

t = 64.0, enquanto que para os canais de partícula-partícula foi xado o parâmetro s = 1,deixando livre o parâmetro t (mais informações sobre esses parâmetros são dados na Ref. [36]e serão especicados nos seguintes capítulos).

3 Resultados Numéricos

3.1 Captura µ−56Fe

Iniciamos esse trabalho com 56Fe como um toy-model para testar os modelos nuclearese ajustar alguns parâmetros, esse núcleo foi escolhido devido à sua importância por exemploem astrofísica. Nós trabalhamos dentro de um espaço de conguração de 12 níveis de partículaindependente, incluindo as camadas 2~ω, 3~ω e 4~ω do oscilador. As energias de partículaindependente da camada ativa 3~ω correspondem as energias experimentais do 56Ni, um núcleocom dupla camada fechada. Para as outras camadas, 2~ω e 4~ω, temos usado as energiasdo oscilador harmônico com ~ω/MeV = 45 A1/3 − 25 A2/3. Este espaço já foi utilizado naRef. [23] no cálculo de seções de espalhamento νe−56Fe.

Neste trabalho, a captura de múon foi calculada utilizando o formalismo de inter-ação neutrino-núcleo da Ref. [38], já explicado na Seção (2.2). Foram utilizados os seguintesmodelos nucleares:

• BCS e PBCS. Os parâmetros vpairs (p) e vpair

s (n) foram obtidos com o procedimentoda Ref. [32], ou seja, ajustando as energias de pairing de prótons e nêutrons com ogap experimental, ∆n,p(N, Z) (eq.(2.96) da Ref. [39]), para ∆n,p denido pelas equaçõesusuais de BCS. As equações de BCS e PBCS foram resolvidas no espaço de três camadasdo oscilador.

• QRPA e PQRPA. Ambas aproximações foram calculadas usando a interação residual δ

com o canal de acoplamento de partícula-partícula variável t = vppt /vpair

s . Esta interaçãofoi usada, por exemplo, na Ref. [32] levando a uma boa descrição do simples e duplodecaimento beta. Duas parametrizações do canal de acoplamento de partícula-buracoforam adotadas:

(i) QRPA1 e PQRPA1: vphs = 27 e vph

t = 64 (MeV fm3),

(ii) QRPA2 e PQRPA2: vphs = 55 e vph

t = 92 (MeV fm3).

Esses valores foram ajustados para 48Ca e 100Mo a partir de um estudo sistemático daressonância GT [34] que resultou numa boa descrição do duplo decaimento beta.

A Figura 3.1 mostra no painel esquerdo as taxas de captura de múon exclusivas 1 e,1Aqui, nós chamamos de exclusiva as taxas de transição para o estado fundamental do 56Fe do primeiro

estado 1+ no 56Mn. Usualmente , exclusiva é usada para transições do estado fundamental do núcleo pai parao estado fundamental do núcleo lho.

33

0 0.2 0.4 0.6t

20

24

28

32Λex

c (10

4 s-1)

QRPA1

PQRPA1

QRPA2

PQRPA2

0 0.2 0.4 0.6t

400

500

600

700

Λinc (

104 s-1

)

BCS

PBCS

QRPA1

PQRPA1

QRPA2

PQRPA2

Exp.

Figura 3.1: 56Fe(µ−, νµ)56Mn (em unidades de 104 s−1); Painel esquerdo: Reações exclusivas, paineldireito: Reações inclusivas. As taxas de captura calculadas no BCS, PBCS, QRPA e PQRPA sãocomparadas. Dados experimentais da Ref. [5] são também apresentados.

no lado direito as taxas de captura de múon inclusiva. Essas taxas de captura estão plotadascomo função do parâmetro t, que é amplitude do canal partícula-partícula, para mostrar adependência desse parâmetro. Este parâmetro t é responsável pelo efeito conhecido do colapsoda amplitude no QRPA no duplo decaimento beta, que ocorre especialmente no estado 1+

por depende mais fortemente desse parâmetro.A gura 3.2 mostra a distribuição das taxas de captura de múon de acordo com o grau

de proibição (forbiddenness) dos diferentes multipolos: ALL (ALLowed-permitidos) para osestados Jπ = 0+, 1+, 1F (First forbidden-primeiros proibidos) para os estados Jπ = 0−, 1− e2−; e 2F (Second forbidden-segundos proibidos) para os estados Jπ = 2+, 3+. As taxas decaptura de múon parciais são somente esboçadas como uma função do parâmetro t, o valor daintensidade da interação residual no canal pp, para o QRPA1 e PQRPA1, pois distribuiçõessimilares são obtidas para QRPA2 e PQRPA2. Adicionalmente, a Fig. 3.3 mostra a evoluçãodas amplitudes de GT para β− S(+) e β+ S(−). A regra de soma de IKEDA foi satisfeitapara todo o intervalo de variação do parâmetro t.

Dos resultados apresentados podemos concluir:

• Captura exclusiva (µ−,56 Fe):

1. Depende do parâmetro t mostrando o conhecido colapso do QRPA para altos val-ores desse parâmetro, por isso foi apresentada as taxas de captura até t = 0.6, poisa partir desse valor todo cálculo deixa de ter validade.

2. Decresce com o acréscimo dos parâmetros vphs e vph

t do canal de partícula-buraco.

• Captura inclusiva (µ−,56 Fe):

34

0 0.2 0.4 0.6t

100

200

300

400

500

Λ (1

04s

-1)

QRPATOTAL

ALL

1F

2F

PQRPATOTAL

ALL

1F

2F

Exp.

Figura 3.2: Taxa de captura de múon parcial 56Fe(µ−, νµ)56Mn para QRPA1 e PQRPA1 como funçãodo parâmetro t do canal pp da interação residual.

1. Depende fracamente do parâmetro t, mas fortemente dos parâmetros vphs e vph

t .

2. A principal contribuição vem das primeiras proibidas (1F), essencialmente do es-tado 2−, e das segundas proibidas (2F: 2+ e 3+). Isso acontece pois deve haverpoucas transições single-particles nos estados 0+ e 1+ em comparação com os outrosestados.

• Na média, os valores teóricos (B(GT−) ≡ S(+)) superestimam os valores experimentais(9.9± 2.4 [40]) similarmente ao anterior e mais sosticado cálculo do QRPA para 56Fe(B(GT−) = 18.68 [41]) usando uma interação de Skyrme.

As taxas de captura de múon teóricas se aproximam dos valores experimentais comcada melhoramento do modelo nuclear, ou seja, do BCS para o PBCS, do QRPA para oPQRPA mostrando que o procedimento de projeção é importante para núcleos de massa levecomo foi previsto anteriormente na Ref. [23].

35

0 0.2 0.4 0.6

t pp-strength

5.2

5.6

6

6.4

S(+)/3

QRPA1

PQRPA1

QRPA2

PQRPA2

0 0.2 0.4 0.6

t pp-strength

1.2

1.6

2

2.4

S(−)/3

QRPA1

PQRPA1

QRPA2

PQRPA2

Figura 3.3: Amplitudes de Gamow-Teller S(+) 56Fe(ν, e−)56Mn e S(−) 56Fe(ν, e+)56Co.

3.2 Cálculo sistemático para núcleos com A ≤ 60

Temos mostrado que o procedimento de projeção no número de partículas é importantetanto no processo de captura de múon como na interação neutrino-núcleo em 56Fe [23].

Nosso objetivo aqui foi fazer um estudo sistemático das taxas de captura de múon paranúcleos com massas entre 12 ≤ A ≤ 60 dentro da aproximação de PQRPA porque este é oúnico modelo de RPA que trata o princípio de Pauli corretamente.

Os núcleos selecionados para este estudo, foram os seguintes: 12C, 20Ne, 24Mg, 28Si,40Ar, 52Cr, 54Cr, 56Fe, 58Ni e 60Ni.

Para este conjunto de núcleo foram adotadas as energias de partícula independentegeradas de um cálculo autoconsistente de Hartree-Bogoliobov realizado por Marketin et al.[35]. As equações de BCS ou PBCS foram resolvidas usando o espaço de partículas inde-pendentes, ajustando as amplitudes de emparelhamento vpair

s (p) para prótons e vpairs (n) para

nêutrons seguindo o procedimento da Ref. [32].Os cálculos de QRPA e PQRPA foram realizadas usando uma interação residual δ e

deixando livre o parâmetro do canal partícula-partícula (pp): t = vppt /vpair

s . Os parâmetrospara o canal partícula-buraco (ph) foram xados nos valores vph

s = 27 e vpht = 64 (em MeV

fm3). Estes valores foram obtidos de um cálculo sistemático das ressonâncias GT para 48Ca[34]. Na procura de uma sistemática para descrever as taxas de captura para um conjunto devários núcleos, tentamos um ansatz para o parâmetro t para reproduzir as energias dos estadosfundamentais nos núcleos que possuem uma taxa de captura β+ ou β− nestes níveis. Nessesentido, apresentamos na Tabela (3.1) os resultados obtidos para o os núcleos: 12C, 20Ne,

36

Daughter Parent Decay Jπi Eexp

gs Ethgs

nuclei (f) nuclei (i) type QRPA PQRPA12C 12N β+ 1+ 17.34 19.22 20.59

12B β− 1+ 13.37 12.97 14.0220Ne 20Na β+ 2+ 13.89 16.33 17.65

20F β− 2+ 7.02 8.23 9.6424Mg 24Al β+ 4+ 13.88 15.01 16.0628Si 24P ε 3+ 14.33 17.02 17.15

28Al β− 3+ 4.64 5.06 4.8440Ar 40Cl β− 2− 7.48 10.55 10.4352Cr 52Mn ε 2+ 4.71 10.00 9.75

52V β− 3+ 3.97 1.79 1.7954Cr 54Mn ε 3+ 1.37 2.69 2.45

54V β− 3+ 7.04 5.45 5.5556Fe 56Co ε 4+ 4.56 5.20 4.63

56Mn β− 3+ 3.69 3.48 3.67

Tabela 3.1: Energias em unidades de MeV ajustadas para o estado fundamental (g.s.) nosdecaimentos-β± e captura eletrônica ε. O parâmetro t = 0 foi adotado para o canal pp, e os valoresde vph

s = 27 e vpht = 64 (em MeV fm3) para o canal ph da interação residual δ.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t pp-strength

0

4

8

12

16

20

Egs

(M

eV)

12N, 1+

20Na, 2+

28P, 3+

24Al, 4+

52Mn, 2+

54Mn, 3+

56Co, 4+

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t pp-strength

0

4

8

12

16

20

24

Egs

(M

eV)

12N, 1+

20Na, 2+28P, 3+

24Al, 4+

52Mn, 2+

54Mn, 3+

56Co, 4+

Figura 3.4: Esquerda: Energias para os núcleos Z + 1 como função de t na QRPA; Direita: Idempara a PQRPA

24Mg, 28Si, 40Ar, 52Cr, 54Cr e 56Fe. O melhor valor de t = 0 foi obtido para este conjunto.A gura (3.4) apresenta as energias dos núcleos Z+1, onde Z é o número de prótons no

núcleo par-par dentro dos modelos de QRPA (esquerda) e PQRPA (direita). Como notamos databela e destes grácos a energia do estado fundamental do núcleo ímpar-ímpar depende poucodo valor de t usado, com exceção do 12N que como já sabemos tem a máxima contribuiçãopara a transição GT no estado fundamental.

A gura (3.5) mostra o quociente teórico/experimental das taxas de captura inclusiva,ΛTh./ΛExp., para o conjunto de núcleos utilizados dentro das aproximações de QRPA, PQRPA,RPA+BCS (dados da referência [14]) e RQRPA (obtido em [35]). É perceptível que a maioriadas taxas calculadas dentro do QRPA e PQRPA cam abaixo do valor experimental esperado,

37

o que pode estar sugerindo que uma nova parametrização deve ser realizada. Para os núcleosmais leves apresentados, era esperado que o modelo PQRPA obtivesse os melhores resultados,o que não ocorre. O cálculo do valor de χ2 (quanto menor o valor de χ2, mais se aproximade um o quociente calculado/experimental) [42], que nesse caso mede as dispersões entre astaxas obtidas em relação às esperadas, resultou uma diferença signicativa entre os modelosQRPA e PQRPA. Em nosso caso usamos a χ2 denida na Referência [42]:

χ2 =∑

i

[ΛTh(i)− ΛExp(i)]2

ΛExp(i).

Os valores de χ2 obtidos foram 39,5; 44,6; 4,7 e 7,1 para os modelos QRPA, PQRPA,RPA+BCS e RQRPA respectivamente. Esses resultados quanticam a discrepância das taxascalculadas em relação às experimentais, em especial, nos mostra quão melhores foram os resul-tados com QRPA em relação ao PQRPA, o que não se esperava. Entretanto, é perceptível quepara núcleos com A ≥ 40, existe uma diferença muito pequena entre o QRPA e o PQRPA,o que sugere que a partir de então o procedimento de projeção não faz diferença. Obser-vando os resultados dos outros modelos nucleares, podemos perceber que o RQRPA descrevemelhor os núcleos mais pesados, se aproximando dessa forma do RPA+BCS, que descreverazoavelmente bem a maioria dos núcleos apresentados. Em suma, podemos concluir que sefaz necessária uma nova parametrização do QRPA e PQRPA por três motivos principais: i)O QRPA projetado sobre o número de partículas deveria apresentar melhores resultados dastaxas de captura em relação ao QRPA para núcleos mais leves [23], ii) Os valores das taxas decaptura se apresentaram muito abaixo dos valores experimentais nos dois modelos, e iii) Emb-ora não se possa avaliar os modelos nucleares apenas pela taxa de captura de múon inclusiva,espera-se uma diferença menos signicativa entre os resultados dessas taxas, provenientes dosquatro modelos apresentados.

3.2.1 Modicação da constante de acoplamento axial-vetorial gA

Das equações (2.26) e (2.27) podemos ver que a constante de acoplamente gA imbutidanos operadores nucleares (eqs. (2.28) e (2.29)) inuencia diretamente as taxas de captura demúon. Um acréscimo do valor da constante de acoplamento axial-vetorial implica diretamenteno acréscimo do valor da captura. Esse foi o principal motivo para a utilização de um valormaior que o unitário para gA. Os trabalhos previamente citados que utilizam os modelos deRPA+BCS e RQRPA apresentaram um melhor adequamento dos resultados com os valores

38

10 20 30 40 50 60

A

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

ΛTh./Λ

Exp

.

QRPA

PQRPA

RPA+BCS

RQRPA

EXP

Figura 3.5: Quociente calculado/experimental para as taxas de captura de Λinc para: QRPA ePQRPA com gA = 1 e t = 0; RQRPA [35] com gA = 1.135; e RPA+BCS [14] com gA = 1.26 paratodos os operadores multipolares, com exceção do operador de GT onde foi reduzido ao gA ∼ 1.

experimentais para a taxa de captura de múon inclusiva. O trabalho que utiliza o modeloRPA+BCS, usa gA = 1.26 em todos os multipolos, exceto 1+, enquanto o que utiliza RQRPAoptou por gA = 1.135. Como o modelo RPA+BCS não é autoconsistente e não padronizapara todos os multipolos a constante de acoplamento axial-vetorial, nós escolhemos utilizar aconstante gA = 1.135 para ns de comparação com o RQRPA.

O gráco da Figura (3.6) apresenta as taxas de captura de múon inclusiva dentro dasaproximações de QRPA, PQRPA, RPA+BCS e RQRPA para o mesmo conjunto de núcleosanterior, utilizando gA = 1.135 para todos os multipolos no QRPA e PQRPA. Podemosobservar que houve um acréscimo nas taxas de captura em todos os núcleos. Para núcleosleves com A < 30 em especial, vericamos que o procedimento de projeção é muito maissatisfatório que para núcleos mais pesados, como era de se esperar.

Quando partimos para uma análise do χ2 com essa nova parametrização, percebemosuma melhoria expressiva, uma vez que os valores para o QRPA e PQRPA caíram de 39,5 e44,6 para 24,31 e 20,58 respectivamente. Esses valores já são comparáveis com aqueles obtidoscom o RPA+BCS e RQRPA. Embora nossos modelos não apresentem um excelente acordocom os dados experimentais para esses núcleos, não podemos armar que o outros modelosapresentados são superiores, em especial o RPA+BCS por ser muito rudimentar e não uma

39

10 20 30 40 50 60

A

0.75

1

1.25

Λth/Λ

exp

QRPA

PQRPA

RPA+BCS

RQRPA

EXP

Figura 3.6: Mesmo que o gráco da gura (3.5), exceto para o QRPA e PQRPA onde foi utilizada aconstante gA = 1.135

QRPA autoconsistente, pois a captura inclusiva por si só não é um bom parâmetro para mediradequadamente se um modelo é satisfatório. Para tal m, a captura exclusiva é um parâmetromais robusto, por ser mais no, como será visto na seção 3.2.2

3.2.2 Alteração do parâmetro t = 0, uma boa escolha?

No intuito de adequar ainda mais os resultados teóricos e reduzir o χ2, apresentamostambém outra parametrização: gA = 1.135 e t = 0.5. Esse valor do parâmetro t foi escolhidoapós uma série de testes que o mostrou como o valor mais adequado para que não houvessecolapso do PQRPA e que mais reduzisse o valor de χ2. O gráco da gura (3.7) mostra ainuência do parâmetro t na descrição das taxas de captura com os modelos QRPA e PQRPA.É perceptível que o aumento do valor desse parâmetro reduz signicativamente as taxas decaptura. Com essa modicação, o χ2 reduziu de 24,31 e 20,58 para 12,97 e 10,18 para o QRPAe PQRPA respectivamente. Embora essa nova parametrização pareça um avanço signicativona descrição das taxas de captura inclusiva, devemos tomar cuidado com tal escolha arbitrária,pois com a liberdade de ajuste dos dois parâmetros t e gA poderíamos gerar qualquer guradesejada. Além disso, t = 0 se mostrou mais adequado para descrever as energias do estadofundamental dos núcleos apresentados (tabela 3.1) e algumas taxas de captura exclusivas em

40

10 20 30 40 50 60

A

0.8

0.9

1

1.1

1.2

Λ Th./Λ

Exp

.

QRPA

PQRPA

RPA+BCS

RQRPA

EXP

Figura 3.7: Idem da gura (3.6), exceto para as QRPA e PQRPA onde o parâmetro t foi ajustadoconvenientemente para aprimorar as taxas de captura.

12C (ver g. 5 da Ref. [29]).

3.3 Sobre a importância da conservação da corrente vetorial nas taxas de capturade múons

Nessa seção apresentamos a inuência da hipótese CVC nas taxas de captura inclusiva.Aqui, realizamos os cálculos das taxas de captura sem a CVC (sem a modicação 2.20), coma CVC sem a violação de Coulomb (eq. 2.18 sem o segundo termo) e com a CVC completa,que dá origem à primeira expressão em (2.28). Os resultados obtidos para as taxas de capturasão apresentados na tabela 3.2.

O que podemos concluir desses resultados é que a inuência da CVC sem o termo decoulomb é maior para núcleos mais leves, sendo de 13% para 12C enquanto para os núcleosmais pesados apresentados ca em torno de 2,3%. É interessante comparar os resultados daCVC-on e CVC-on+ pois, como era de se esperar, o efeito do termo de coulomb se faz cadavez mais importante à medida que aumenta a massa nuclear, diminuindo a inuência da CVCnas taxas de captura inclusiva.

41

Tabela 3.2: Capturas de múon inclusivas, Λinc, calculadas sem a hipótese de (CVC-o); e com ahipótese de CVC incluindo (CVC-on+) e não (CVC-on) o segundo termo em (2.18). As diferentesΛinc foram calculadas usando o PQRPA com a seguinte parametrização: t = 0 no canal pp, vph

s = 27e vph

t = 64 (em MeV fm3) no canal ph, e gA = 1.135.

Nuclei CVC-o CVC-on CVC-on+ Exp.12C 3.8 4.3 4.2 3.9

20Ne 20.9 23.0 22.4 20.4

24Mg 42.4 45.1 43.9 48.4

28Si 88.0 93.0 90.5 87.1

40Ar 121.6 125.0 121.0 135.5

52Cr 348.8 354.9 342.0 345.2

54Cr 277.6 284.5 274.0 305.7

56Fe 414.4 422.5 405.5 441.1

58Ni 673.8 689.2 662.9 611.0

60Ni 588.6 604.0 580.9 556.0

3.4 Captura inclusiva versus captura exclusiva

No caso do 12C nós também temos à nossa disposição, os dados experimentais paraas taxas de captura de múons exclusivas para os estados ligados excitados Jπ

n = 1+1 , 2+

1 , 2−1 ,e 1−1 no 12B [6, 7]. Eles foram discutidos anteriormente dentro do PQRPA [30, 29], mas pormotivo de completude nós o mostraremos na Tabela 3.3. O mais relevante para ressaltar nestatabela é que, enquanto ambos cálculos com o PQRPA das taxas de captura de múon inclusivaconcordam muito bem com os dados experimentais, as reações exclusivas correspondentes sãomuito diferentes nos dois cálculos. Em outras palavras, o bom acordo entre teoria e dadosexperimentais para a captura de múon inclusiva não garante que o modelo usado seja bom.

Tabela 3.3: Energias (em unidades de MeV) e taxas de captura de múon exclusivas (em unidades de103 s−1) para os estados ligados excitados no 12B. Além do presente resultado do PQRPA, nós tambémmostramos um anterior [30], bem como aqueles calculados dentro do SM [44], e do RPA [45, 46].

Modelo Jπn 1+

1 2+1 2−1 1−1 Λinc

PQRPA E 0.00 0.43 6.33 6.83

Λ 8.80 0.20 0.60 0.85 37

PQRPA [30] E 0.00 0.50 2.82 3.31

Λ 6.50 0.16 0.18 0.51 40

SM [44] E 0.00 0.76 1.49 1.99

Λ 6.0 0.25 0.22 1.86

RPA [45, 46] Λ 25.4 (22.8) ≤ 10−3 0.04 (0.02) 0.22 (0.74)

Exp. [6, 7] E 0.00 0.95 1.67 2.62

Λ 6.00± 0.40 0.21± 0.10 0.18± 0.10 0.62± 0.20 38± 1

4 Conclusões

Dos cálculos das taxas de captura apresentados podemos concluir que o procedimentode projeção é importante na descrição da taxa de captura inclusiva λinc para núcleos comA < 30. Contudo, quando o PQRPA é comparado com outro modelos, surge a necessidade dealgumas possíveis modicações para o melhor adequamento dos resultados do mesmo, às taxasde captura inclusiva experimentais. Uma possível forma seria a modicação arbitrária do canalde partícula-partícula t. Para uma melhor inferência sobre o valor de t mais adequado, umainvestigação nas taxas de captura exclusiva para outros núcleos, com dados experimentaisdisponíveis, deveria ser empregada. Assim, uma outra forma possível seria mudar o espaçode conguração com as energias de partícula independente. Neste trabalho, todos os cálculossistemáticos das taxas de captura de múon inclusivas foram realizados dentro do espaço cedidopelo professor Nils Paar variando de 12 a 16 níveis. Poderia ser utilizado por exemplo, umespaço cujas energias sejam resultantes do potencial do oscilador harmônico ou Woods-Saxxone refazer a sistemática no intuito de melhorar as taxas de captura. Gostaríamos de pontuarainda que nem sempre os melhores modelos são os que apresentam os melhores resultados, oque ca claro da comparação do RQRPA com o RPA+BCS pois o último modelo é muito maisprimitivo e ainda assim obtém melhores resultados das taxas inclusivas. Sobre a inuênciada CVC nas taxas de captura, observamos uma maior manifestação em núcleos mais leves,enquanto para núcleos mais pesados, o efeito da CVC muito pequeno. Notamos que o termo

43

de coulomb faz diminuir o efeito da CVC nas taxas de captura e dentre os núcleos estudados,o 56Fe é o que apresenta a maior violação de Coulomb 4%. Concluímos ainda que emborapequena, a inuência da CVC deve ser levada em conta por tornar o cálculo mais realista, umavez que essa hipótese é bem aceita e suas aplicações são consistentes experimentalmente [2].Do estudo efetuado nas taxas de captura exclusiva para o caso de 12C podemos inferir queum bom acordo entre as taxas de captura inclusivas teórica com os dados experimentais nãoconstitui um teste denitivo do bom desempenho de um modelo nuclear. Nesse sentido, astransições exclusivas são mais robustas para tal comparação. Portanto, seria necessário maisdados experimentais para as taxas de captura exclusivas em outros núcleos além do 12C, parainferir mais adequadamente se um modelo nuclear é satisfatório.

5 Apêndices

5.1 Uso de um Z efetivo nas taxas de captura

Para corrigir o problema do elevado quociente das taxas de captura calculada/experimental,usamos um procedimento usual presente na literatura, como por exemplo na referência [35].Este procedimento consiste em substituir o valor de Z no cálculo das taxas de captura porum Z efetivo (Zeff ). Uma vez que com o aumento de Z, o múon é puxado para dentro dopotencial coulombiano nuclear, e portanto a magnitude da densidade 1s dentro do núcleo éreduzida em relação à núcleos mais leves [2]. Os valores de Zeff utilizados foram retiradosdas tabelas 3, 4 e 5 da referência [5]. Nesse cálculo sistemático utilizamos o parâmetro t = 0

no canal pp para a QRPA e PQRPA, entanto que no canal ph foram utilizados vphs = 27 e

vpht = 64 (MeV fm3). Com o intuito de observar o impacto da mudança de Z por Zeff nastaxas de captura, representamos na Figura 5.1 os valores das capturas inclusivas dentro daPQRPA com (PQRPA Z EFETIVO) e sem (PQRPA Z NORMAL) o uso do Zeff .

Da Figura 5.1 é possivel observar que a utilização do Zeff efetivo possui uma maiorproximidade das taxas de captura de múon teoricas com as experimentais. Assim, o procedi-mento de utilização de Zeff na PQRPA reduz o valor de χ2 de 3315 para 50,9 o que implicaque esse procedimento é adequado para obter um valor menor na dispersão das taxas teóricasem relação às experimentais.

A Figura 5.2 apresenta o quociente calculado/experimental para as taxas de capturade Λinc para BCS, PBCS, QRPA e PQRPA com o uso do Zeff . Daqui podemos observar queo aprimoramento do quociente acontece nesta seqüencia de aproximações. Podemos observartambém, que as taxas calculadas com os modelos QRPA e PQRPA se aproximam muito dosvalores experimentais, mesmo para os núcleos mais pesados. É perceptível que a maioria dastaxas calculadas cam abaixo do valor experimental esperado. Isto pode estar sugerindo queuma nova parametrização do valor de t deva ser realizada, ou também, uma mudança no valorde gA. Estes estudos foram já efetuados no trabalho e suas consequências foram analisadasna seção (3.1.1). É perceptível que para núcleos com A > 30, existe uma diferença muitopequena entre o QRPA e o PQRPA, o que sugere que a partir de então o procedimento deprojeção sobre o número de partículas poderia ser não mais necessário.

10 20 30 40 50 60

A

0.5

1

1.5

2

2.5

Λ Th./Λ

Exp

.

PQRPA Z NORMAL

PQRPA Z EFETIVO

EXP

Figura 5.1: Quociente calculado/experimental para as taxas de captura de Λinc para PQRPA com(PQRPA Z EFETIVO) e sem (PQRPA Z NORMAL) Zeff .

5.2 Regra de Primako

Outro fenômeno de importância nesse trabalho, é mostrar que acontece uma reduçãodas taxas de captura para um mesmo Z, com o aumento de A. Esse fenômeno, foi estudadopor Primako [43]. Esta tendência está presente em nossos cálculos e mostramos a mesmapara os isótopos de Cromo e Níquel na Figura 5.3. Podemos perceber no gráco da Figura 5.3,a queda do valor da taxa de captura nos isótopos de 52Cr, 54Cr, 58Ni e 60Ni com o aumento damassa. Esse efeito é decorrente do bloqueio natural dos níveis de nêutrons disponíveis com oaumento de A, que como consequência, derruba o valor das taxas de captura. Nossos cálculosteóricos (símbolos vazios) reproduzem razoavelmente bem esse efeito, o que representa umahabilidade de descrição do nosso modelo de estrutura nuclear (PQRPA com Zeff ).

10 20 30 40 50 60

A

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Λ Th

./ΛE

xp.

BCS

PBCS

QRPA

PQRPA

EXP

Figura 5.2: Quociente calculado/experimental para as taxas de captura de Λinc para BCS, PBCS,QRPA e PQRPA. O valor do parâmetro t = 0 foi adotado no canal pp da interação residual. O usode um Zeff foi adotado conforme a literatura.

5.3 Distribuição multipolar das taxas de captura de múons

Com o intuito de analisar e discutir a distribuição multipolar das taxas de capturade múons, apresentamos estas distribuições para o conjunto de núcleos estudados calculadasdentro da PQRPA.

Nas Figuras 5.4 e 5.5 (paineis esquerdo) estão sendo comparadas as distribuições para12C, 20Ne, 24Mg, 28Si e 40Ar. Temos que para os quatro primeiros núcleos que os estados 1−, 1+

e 2− carregam em média aproximadamente 79, 5% da taxa de captura inclusiva Λinc. Somenteno 12C a contribuição principal vem dos estados 1+ (41, 7%) entanto que os estados 1− e 2−

carregam uma importante quantidade, 35, 8% = 22, 9% + 12, 9% respectivamente. Entantoque nos outros núcleos, os estados 1− são os mais `pesados', com uma média de ≈ 30, 4%. Asoma dos estados 1+ e 2− , em média, contribuem com ≈ 47, 2%. Para 40Ar, a contribuiçãodo estado 1+ é mínima (≈ 4, 7%), sendo que os estados 1− e 2− carregam 74, 3% da taxa decaptura inclusiva (45, 5% para 1− e 28, 8% para 2−).

47

52 56 60

A

2

3

4

5

6

7Λ

[106 s

-1]

Cr

Ni

Figura 5.3: Regra de Primako.

Para os núcleos médio-pesados temos que a distribuição se modica, em respeito àscontribições dos multipolos que vinham aparecendo em núcleos leves, como mostram-se nasFiguras 5.6 e 5.7 (paineis esquerdo) para 52Cr, 54Cr, 56Fe, 58Ni, e 60Ni. A partir do 52Craté 60Ni, os estados 1− levam a maior parte da Λinc numa média de 43%, entanto que osestados 2− e 1+ contribuem em média com 19, 4% e 13, 6% respectivamente. A contribuiçãodos estados 0− cresce gradualmente de 5, 3% para 50Cr ao 8, 1% para 60Ni.

Resumindo, as principais contribuições para a Λinc vem dos estados 1+, 1− e 2−. Pode-mos diferenciar duas regiões, uma para A < 40 onde estes estados contribuem em médiacom 79, 6%, e a outra com 40 < A < 60 onde a contribuição é de ≈ 68, 3%. Ou seja, ascontribuições das primeiras proibidas (1F) são as mais importantes para o conjunto estudado,com a excepção do 12C onde as transições permitidas (ALL) (55, 9%) são superiores às 1F(40, 5%).

Podemos também comparar as distribuições de multipolos para Λinc obtidas dentro daPQRPA e RQPRA [35]. Os dados de captura de múons dentro da RQRPA foram fornecidospelo Prof. Nils Paar da Universidade de Zagreb na Croacia. As comparações para o con-

48

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [10

4 s

−1]

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [10

4 s

−1]

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [10

5 s

−1]

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [1

04

s-1

]

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [1

04

s-1

]

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [1

05

s-1

]

Figura 5.4: Comparação da distribução multipolar das taxa de captura de múon para PQRPA eRQRPA [35] para 12C,20Ne e 24Mg.

junto de dados estudados estão sendo apresentadas nas guras 5.4 até 5.7 onde nos paineisesquerdo são os resultados para a PQRPA, entanto que os paines direitos estão aqueles paraa RQRPA. Como no caso da PQRPA, a distribuição de multipolos paraΛinc obtidas dentroda RQPRA está principalmente nos estados 1+, 1− e 2−. Temos duas regiões que apresentamuma mudança no peso destes multipolos. A primeira região começa com o máximo valor de≈ 95% para 12C até ≈ 84% para 40Ar. Acima de 40Ar temos que o valor descrece levementetendo uma média de ≈ 75% para núcleos mais pesados.

Das Figuras 5.4 até 5.7 notamos que as maiores diferenças entre as distribuições decaptura dos multipolos estão presentes para núcleos leves até 40Ar. A partir de 40Ar asdistribuições são muito similares, tendo que os resultados de RQRPA levam mais intensidadenos estados 1+. Isto deve-se a que na RQRPA [35] usam o valor de gA,e = 1.125 para aconstante axial-vetorial a diferença do valor aqui adotado de gA,e = 1.0, assim a intensidadenas taxas de captura para os estados 1+ é levemente mais baixa na PQRPA.

Podemos resumir os resultados para cada núcleo:12C: Em ambas aproximações, a contribuição para Λinc os estados 1+, 1− e 2− são as

49

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [10

5 s

−1]

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [10

5 s

−1]

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [1

05

s-1

]

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [1

05

s-1

]

Figura 5.5: Comparação da distribução multipolar das taxa de captura de múon para PQRPA eRQRPA [35] para 28Si,40Ar e 50Cr.

principais. Na RQRPA a contribuição para as transições permitidas provem exclusivamentedo estado 1+ pois a contribuição dos estados 0+ é nula. Na PQRPA isto não acontece, já queos estados 0+ aportam um valor de 14% para a Λinc. Resumindo, as contribuições ALL+1Fcarregam 98% da Λinc na RQRPA, entanto que na PQRPA este valor é de 82%. Este efeito é oresultado essencialmente dos diferentes cálculos de estrutura nuclear. Reforça este argumentoo fato que anteriormente tínhamos chamado a atenção de que o procedimento de projeção eraimportante para descrever os processos fracos na tríade 12B,12C,12N [29], ainda mostramosque em núcleos leves como no 12C, a PQRPA era o modelo mais conável para descreveras quantidades exclusivas, entanto que a RQRPA dava conta de quantidades inclusivas [38],onde os cálculos nos de estrutura nuclear estão inseridos em média numa quantidade global.

20Ne, 24Mg e 28Si: Para ambas aproximações PQRPA e RQRPA, a contribuição prin-cipal para Λinc provem dos estados 1+, 1− e 2−, mas eles contribuem com pesos diferentes deacordo ao cálculo de estrutura nuclear. Na PQRPA, a tendência mostra que a contribuiçãodos estados 1− é levemente superior à aquela dos estados 1+, e nalmente aparece a perten-cente aos estados 2−, levando um pouco mais da metade de peso que aquela dos estados 1−.

50

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [10

6 s

−1]

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [10

6 s

−1]

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

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0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [1

06

s-1

]

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [1

06

s-1

]

Figura 5.6: Comparação da distribução multipolar das taxa de captura de múon para PQRPA eRQRPA [35] para 52Cr e 54Cr.

Na RQRPA, a tendência mostra que a contribuição dos estados 1+ é a principal, entanto queas contribuições do 1− e 2− são iguais no 20Ne, e decresce lentamente nesse ordem para 24Mge 28Si. Temos que na PQRPA, os estados 0+ levam a quarta contribuição em relação aosestados 1+, 1− e 2− descrecendo de 12% a 6%, entanto que os estados 0− crescem lentamentede 4% a 6% para 20Ne e 28Si respectivamente. Isto não acontece na RQRPA, onde a quartacontribuição está nos estados 0− que também cresce de 20Ne até 28Si, entanto que para osestados 0+ o descréscimo é mais acentuado atingindo zero ou quase nada de contribuiçaõ apartir de 28Si e para núcleos mais pesados.

40Ar, 52Cr, 54Cr, 55Fe,58Ni e 60Ni: No 40Ar, tanto na PQRPA como na RQRPA, ascontribuções principais para Λinc provem dos estados 1− e 2−, nesse ordem e quase com omesmo peso. A contribuição dos estados 1+ está por baixo dos estado 0− em ambas aproxi-mações, e a diferença de peso nestes estados 1+ deve-se ao fato da diferença no valor de gA,e.A partir do 50Cr até 60Ni, a sequência das contribuções para Λinc é dada por 1−, 2− e 1+. NaPQRPA, estes estados contribuem em média com 76%, entanto que na RQRPA este valoré de 78 %. Ou seja, para núcleos mais pesados, tanto a PQRPA como a RQRPA estão em

51

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

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1,6

1,8

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [10

6 s

−1]

0,0

0,5

1,0

1,5

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2,5

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0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [10

6 s

−1]

0,0

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2,5

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [10

6 s

−1]

0,0

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0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [1

06

s-1

]

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Λ [1

06

s-1

]

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3,0

0- 0+ 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4-

Λ [1

06

s-1

]

Figura 5.7: Comparação da distribução multipolar das taxa de captura de múon para PQRPA eRQRPA [35] para 56Fe,58Ni e 60Ni.

um bom acordo na distribuição das contribuições principais. Fazendo uma análise mais na,temos que os estados 2+, 3+ contribuem da mesma forma na PQRPA e RQRPA, sendo maiorpara os estados 2+ até 54Cr e mudando para 3+ desde 56Fe até 60Ni. Os estados 0− e 0+ temquase a mesma média de contribuiçaõ em ambos modelos nucleares, só que para a RQRPA,a contribuição dos estados 0+ é quase nula.

52

Referências Bibliográcas

[1] C.K. Chung,Introdução à Física Nuclear, 2a Ed., Editora UERJ, Rio de Janeiro, (2001).

[2] J.D. Walecka, Theoretical Nuclear and Subnuclear Physics, Oxford University Press, NewYork, (1995).

[3] J. D. Walecka, em Muon Physics II, editado por V. W. Hughes e C. S. Wu (Academic,New York, 1975) p. 113.

[4] E. Kolbe, K. Langanke e P. Vogel, Phys. Rev. C 62, 055502 (2000).

[5] T. Suzuki et al. , Phys. Rev. C 35, 2212 (1987).

[6] D.F. Measday, Phys. Rep. 354, 243 (2001).

[7] T.J. Stocki, D.F. Maesday, E. Gete, M.A. Saliba, e T.P. Gorrinde, Nucl. Phys. A697,55 (2002).

[8] G. Gamow e M. Schoenberg, Phys. Rev. 59, 539(1941).

[9] K. Langanke, Prog. Part. Nucl. Phys. 57, 324 (2006).

[10] Y. Nogami, Physical Review 134, B313 (1964).

[11] J. Bardeen, L.N. Cooper e J. R. Schrieer, Physical Review 108, 1175 (1957); N.N.Bogoliubov, Zh. Eksoerim. I Teor. Fiz. 34,58 (1958) [English transl. : Soviet Phys.-JETP7, 41 (1958)]; J. G. Valatin, Nuovo Cimento 7, 843 (1958).

[12] A. Bohr, B. R. Mottelson, e D. Pines, Phys. Rev. 110, 936 (1958); S. T. Belyaev, Kgl.Danske Videnskab. Selskab, Mat. Fys. Medd. 31, No. 11 (1959);L. S. Kisslinger e R. A.Sorenson, Kgl. Danske Videnskab. Selskab, Mat. Fys. Medd. 32, No. 9 (1960).

[13] D. Bohm e D. Pines, Phys. Rev. 92, 609 (1953).

[14] N.T. Zinner, K. Langanke e P. Vogel, Phys. Rev. C 74, 024326 (2006).

[15] N. Auerbach, N. Van Giai e O.K. Vorov, Phys. Rev. C bf 56, R2368, (1997).

[16] D.J. Rowe, Nuclear Collective Motion: Models and Theory (1970), Methuen and Co. Ltd,London, GB.

53

[17] J.A. Hableib e R.A. Sorensen, Nucl. Phys. A98, 542 (1967).

[18] P. Vogel e M.R. Zirnbauer, Phys. Rev. Lett. 57, 731 (1986).

[19] D. Cha, Phys. Rev. C27, 2269 (1987).

[20] F. Krmpoti¢, A. Mariano, T.T.S. Kuo, e K. Nakayama, Phys. Lett. B319, 393 (1993), ereferências aqui citadas.

[21] M.S. Yousef, V. Rodin, A. Faessler, e F. Simkovic, Phys.Rev. C79, 014314 (2009).

[22] A. Samana, F. Krmpoti¢, A. Mariano e R. Zukanovich Funchal, Phys. Lett. B642, 100(2006).

[23] A. R. Samana e C. A. Bertulani, Phys. Rev. C 78, 024312 (2008).

[24] E. Kolbe, K. Langanke e G. Martínez-Pinedo, Phys. Rev. C 60, 052801(R) (1999).

[25] R. Lazauskas e C. Volpe, Nucl. Phys. A792, 219 (2007).

[26] N. Paar, D. Vretenar, T. Marketin e P. Ring, Phys. Rev. C 77, 024608 (2008).

[27] B. Funke Hass, Tesis de Maestrado, Universidad Federal de Santa Catarina, Florianóplis,Brasil (1997)

[28] R.J. Blin-Stoyle e S.C.K. Nair, Adv. Phys. 15, (1966) 493.

[29] F. Krmpoti¢, A. Mariano e A. Samana, Phys. Rev. C 71, 044319 (2005).

[30] F. Krmpoti¢, A. Mariano e A. Samana, Phys.Lett. B541, 298 (2002).

[31] A.M. Lane e J. Martorrel, Ann. Phys. 129,273 (1980).

[32] J. Hirsch e F. Krmpoti¢, Phys. Rev. C 41, 792 (1990), ibid Phys. Lett. B246, 5 (1990).

[33] F. Krmpoti¢, J. Hirsch e H. Dias, Nucl. Phys. A542, 85 (1992).

[34] F. Krmpoti¢ e Shelly Sharma, Nucl. Phys. A572, 329 (1994).

[35] T. Marketin, N. Paar, T. Nik²i¢ e D. Vretenar, Phys. Rev. C 79, 054323 (2009).

[36] A.R. Samana, F. Krmpoti¢ e C.A. Bertulani, Comp. Phys. Comm. 181, 1123 (2010).

[37] K. Nakayama, A. Pio Galeão e F. Krmpoti¢, Phys. Lett. B114 (1982) 217.

[38] A.R. Samana, F. Krmpoti¢, N. Paar, e C.A. Bertulani, Phys. Rev. C 83, 024303 (2011).

54

[39] A. Bohr e B. R. Mottelson, Nuclear Structure (Benjamin, New York/Amsterdam, 1969),Vol.I.

[40] J. Rappaport et al. , Nucl. Phys. A410, 371 (1983).

[41] P. Sarriguren et al. , Nucl. Phys. A716, 230 (2003).

[42] S. Vieria, Bioestatística Tópicos Avançados, Rio de Janeiro, Elseiver 2004.

[43] H. Primako, Mod. Phys. 31, 802 (1959).

[44] N. Auerbach e B.A. Brown, Phys. Rev. C 65, 024322 (2002).

[45] E. Kolbe, K. Langanke e S. Krewald, Phys. Rev. C 49, 1122 (1994).

[46] E. Kolbe, K. Langanke e P. Vogel, Phys. Rev. C 50, 2576 (1994).

[47] H. Behrens e W. Bühring, Electron Radial Wave Functions and Nuclear Beta Decay(Clarendon, Oxford, 1982).