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Unidade III – Derivadas
Competência
Aplicar as regras de derivação para as funções algébricas e
transcendentes.
Determinar a equação da reta tangente e da reta normal a uma curva.
Identificar os pontos extremos de uma curva.
Otimizar os modelos matemáticos aplicados.
Objetivos
Conceituar e interpretar a derivada geometricamente.
Interpretar as variações nos modelos funcionais aplicados aos mais
diversos ramos do conhecimento, como Economia, Engenharia,
Física, Biologia, Finanças, Administração e Tecnologias da
Informação.
Aula 01
Um pouco de História
Um dos primeiros desdobramentos da geometria analítica foi o cálculo
diferencial e integral. Criado por Newton e Leibnitz, no século XVII, ele é
utilizado para analisar e prever as variações dos comportamentos de forças ou
de coisas móveis. Permite equacionar e representar graficamente a órbita dos
planetas, a trajetória de uma bomba ou de um corpo em queda, a variação da
intensidade de um som. O cálculo é uma das ferramentas utilizadas por
Newton na sua teoria de Gravitação Universal. O conceito de cálculo se prende
na chamada “convergência para um limite” que nada mais é do que um valor
desconhecido que pode ser medido por aproximações sucessivas e cada vez
menores até aproximar-se de zero. Para fazer esse tipo de medição, Newton e
Leibnitz criaram duas operações: a diferenciação e a integração. A primeira, a
diferenciação, que é o nosso caso, além de outros, se prende na análise e
esboço de gráficos determinando os pontos extremos (máximo ou mínimos)
das funções. Fica evidente, a importância das derivadas, particularmente na
Econometria, onde é fundamental o cálculo do valor máximo de uma função,
bem como, na Estatística onde o método dos mínimos quadrados é utilizado
como condição para que cada erro seja minimizado.
Introdução
Os exemplos acima citados demonstram que o traçado de gráficos e o
estudo de máximos e mínimos são por si próprios, importantes, levando-se em
consideração que quase todas as disciplinas contêm tópicos que se relacionam
com o estudo dos máximos e mínimos e com a habilidade de esboçar e
interpretar gráficos. Para desenvolver a teoria dos máximos e mínimos e para o
traçado de gráficos é conveniente que se tenha um profundo conhecimento
sobre o comportamento gráfico de uma função. A seguir, apresentamos uma
situação que retrata tudo o que foi mencionado acima.
Um fabricante se propõe a fazer caixas abertas a partir de folhas de
papelão retangulares de 8 cm de comprimento e 5 cm de largura. Para tanto,
devem ser cortados quadrados idênticos em cada canto da folha e, sendo que
a parte restante dos lados deve ser dobrada de modo a se obter uma caixa
sem tampa. O nosso problema consiste em determinar as dimensões da caixa
de maior volume que pode ser construída com esta folha e calcular esse
volume.
x xSolução: x x
x x x 5 – 2x x x 8 – 2x
A caixa assim obtida tem formato de um paralelepípedo retângulo, cujo
volume é dado por: V = área da base x altura, onde a base é um retângulo
de área (5 – 2x).(8 - 2x ) e a altura x, então V = (5 – 2x).(8 – 2x).x ou ainda
V = 4x³ - 26x² + 40x, sendo que 0 x .
Derivando, temos:
V’ = 12x² - 52x + 40
E, V’ = 0, para x = ou para x = 1.
Podemos desconsiderar o valor pelo fato de estar fora do domínio
da função. Então, para x = 1, as dimensões da caixa são 1 cm, 3 cm e 6cm, as
quais nos fornecerão um volume máximo de 18 cm³.
No desenvolvimento do assunto , o aluno terá oportunidade de verificar
as diversas aplicações das derivadas.
Definição de Derivada
Definição: Dada a função f , definida em um intervalo
real , chamamos derivada de f à função f ’(x) = , se
existir e for finito este limite.
Notação: A derivada da função f pode ser representada por uma das
seguintes formas:
y ’ = f’(x) = =
Exemplos:
Calcular, pela definição, a derivada das funções abaixo :
Questão 1. f(x) = x²
Solução:
f ’(x) = , onde :
f(x) = x² e f(x + h) = (x + h)² = x² + 2xh + h² , substituindo na definição
temos:
f ’(x) = = = (indet.)
f ’(x) = = 2x + 0 = 2x
Logo , se f(x) = x² f ’(x) = 2x
Questão 2. f(x) =
Solução: f(x) = ; f(x + h) = e f ’(x) = , então:
f ’(x) = = , levantando a indeterminação , temos:
f ’(x) = = = =
Logo , se f(x) = , então f ’(x) = -
Questão 3. Dada f(x) = , calcule f ’( 1 ).
Solução:
Calculando a derivada de f(x)
f ’(x) = = (indeterminação)
f ’(x) = =
f ’(x) = = =
Logo f ’(x) = .
Então f ’( 1 ) = f ’( 1 ) =
Regras de derivação
1. Derivada da constante:
f(x) = k f ’(x) = 0 , para k
Questão 1. f(x) = 5 f ’(x) = 0
Questão 2. f(x) = - f ’(x) = 0
2. Derivada da função f(x) = x
f(x) = x f ’(x) = n . x
Questão 1. f(x) = x³ f ’(x) = 3.x = 3x²
Questão 2. f(x) = x f ’(x) = 10.x = 10x
Questão 3. f(x) = = x f ’(x) = -3.x = - 3 . x
Questão 4. f(x) = = x f ’(x) = -1 . x = - x² = -
Questão 5. f(x) = = x f ’(x) = . x = . x =
Questão 6. f(x) = = x f ’(x) = - . x = - . x
f ’(x) =
3. Derivada da função f(x) = k. g(x)
f(x) = k. g(x) f ’(x) = k . g’(x)
Questão 1. f(x) = 5. x³ f ’(x) = 5 . (x³)’ = 5 . 3x² = 15 x²
Questão 2. f(x) = 9 x f ’(x) = 9 . (x )’ = 9 . 4 .x³ = 36 x³
4. Derivada da função f(x) = a
f(x) = a f ’(x) = a . ln a
Questão 1. f(x) = 2 f ’(x) = 2 . ln 2
Questão 2. f(x) = ( ) f ’(x) = ( ) . ln( )
Questão 3. f(x) = e f ’(x) = e . ln e = e , pois ln e = 1
f(x) = e f ’(x) = e
5. Derivada da função f(x) = ln x
f(x) = ln x f ’(x) =
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Aula 02
Propriedades operatórias das derivadas
Propriedade 1 - Derivada da soma
f(x) = u(x) + v(x) + w(x) f ’(x) = u’(x) + v’(x) + w’(x)
Exemplos:
Derivar:
Questão 1. f(x) = 3x² + 5x + 4 f ’(x) = (3x²)’ + (5x)’ + (4)’
f ’(x) = 6x + 5
Questão 2. f(x) = 2x - + 3x f ’(x) = (2x )’ – ( )’+ (3x)’
f ’(x) = 10 x - + 3
Propriedade 2 - Derivada do produto
f(x) = u(x) . v(x) f ’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x)
Exemplos:
Derivar:
Questão 1. f(x) = x² . e f ’(x) = (x²)’. e + x² . (e )’ = 2x . e + x² . e
f ’(x) = e (2x + x² )
Questão 2. f(x) = x . ln x f ’(x) = (x)’ . ln x + x . (ln x)’ = 1 . ln x + x .
f ’(x) = ln x + 1
Propriedade 3 - Derivada do quociente
f(x) = f ’(x) =
Exemplos:
Derivar:
Questão 1. f (x) = f ’(x) = =
f ’(x) =
Questão 2. f(x) = f ’(x) = =
f ’(x) =
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Aula 03
Regra da Cadeia
A regra da cadeia é aplicada na derivação da função composta.
Seja a função y = x³, sendo que u = x² + 1. Então y = (x² + 1)³ ou y = x
+ 3x + 3x² + 1 onde y’= 6x + 12x³ + 6x. Por outro lado, sabe-se que y’= e
que y’= ou que y’= . Assim se y = x³ e u = x² + 1, vem que =
3u² e = 2x. Substituindo-se na expressão acima temos:
y ’= 3u². 2x = 3(x² + 1).2x = 6x(x +2x² +1) y’= 6x + 12x³ + 6x
A partir da regra da cadeia, as regras de derivação passam a ser:
1. y = u y ’ = m. u . u’
2. y = a y ’ = a . ln a . u’
3. y = ln u y ’ =
Exemplos:
Derivar:
Questão 1. f(x) = ( x - 1 )
Solução: Regra y = u y ’ = m.u . u’ , onde u = x² - 1
Aplicando a regra, temos:
f ’(x) = 3(x² - 1) .(x² - 1) ’ = 3(x² - 1) . 2x
f ’(x) = 6x (x² - 1)
Questão 2. f(x) = ln (x³ - 5x² + 4)
Solução: Regra y = ln u y ’ = , onde u = x³ - 5x² + 4
Então: f ’(x) =
f ’(x) =
Questão 3. f(x) = = (2x )
Solução: Regra y = u y ’= m . u . u ’
f ’(x) = (2x² +5x – 1) . (2x² +5x – 1) ’
f ’(x) = (2x² + 5x – 1) .(4x + 5 ) f ’(x) =
Questão 4. f(x) = 2
Solução: Regra y = a y ’ = a . ln a . u ’
f ’(x) = 2 . ln 2 . (x² - 3) ’ f ’(x) = 2 . ln 2 . (2x)
Questão 5. f(x) =
Solução: Regra y = y ’=
f ’(x) = f ’(x) =
Questão 6. f(x) = e
Solução: Regra y = a y ’= a . ln a . u ’
f ’(x) = e . ln e . x ’ f ’(x) = e
A função f(x) = e é chamada de perpétua, sua derivada é ela mesma.
Se f(x) = e f ’(x) = e
Questão 7. f(x) = e
Solução: Regra y = a y ’= a . ln a . u ’
f ’(x) = e . ln e . (x² - 5x + 4) ’
f ’(x) = e . (2x – 5)
Questão 8. f(x) = (x² +1) . e
Solução : Regra y = u . v y ’= u ’. v + u . v ’
f ’(x) = 2x . e + (x² + 1) . 2x . e
f ’(x) = 2x . e . (x² + 2)
Exemplo:
Questão 1. Dada a função f, calcule x para o qual f ’(x) = 0.
1. f(x) = 3x² - 12x + 6
Solução: f ’(x) = 6x – 12
f ’(x) = 0 6x – 12 = 0
x = 2
2. f(x) = x³ - 9x² + 15x –1
Solução: f ’(x) = 3x² - 18x + 15
f ’(x) = 0 3x² - 18x + 15 = 0
3. f(x) = e . x²
Solução: f ’(x) = (e ) ’. x² + e . (x²) ’ = e . x² + e . 2x
f ’(x) = e ( x² + 2x )
f ’(x) = 0 e ( x² + 2x ) = 0
Como e o, para qualquer x real, então:
x² + 2x = 0
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Aula 04
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA
A derivada de uma função num ponto x é a declividade dessa função
nesse ponto. Sabe-se porém, que a declividade a de uma reta é a tangente do
ângulo que a reta forma com o sentido positivo do eixo X , ou ainda , que é a
taxa de variação da distância vertical relativa à variação da distância horizontal.
Então: .
A diferença é chamada acréscimo ou incremento da variável x
relativa a x0 e a diferença acréscimo ou incremento da função f
relativa a x0. O quociente recebe o nome de taxa média de
variação ou razão incremental de f relativa a x0.
f s f t
Q
P P
Considerando os gráficos acima , podemos notar que ,fazendo o ponto
Q se aproximar do ponto P ,isto é , fazendo h tender a zero , observamos que a
reta s, secante ao gráfico, vai mudando o seu coeficiente angular , se
aproximando de sua posição limite, ou seja , aproximando-se da reta t,
tangente ao gráfico, cujo coeficiente angular é dado por : tg .
Dessa forma podemos dizer que a derivada de uma função f no ponto x
é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x
.Para obtenção dessa reta tangente , fazemos o uso da fórmula da Geometria
Analítica:
y - y = a ( x - x ) , onde a = f’( x ) = e P(x ; y ).
Questão 1. Achar a equação da reta tangente à curva f( x) = x² - 6x + 5 , no
ponto de abscissa
x = 2.
Solução:
x = 2 y = - 3 e P( 2 , - 3 )
f’( x ) = 2 x – 6 a = f’( 2 ) = 2(2) - 6 a = -2 e a equação da reta será: y
+ 3 = - 2 (x – 2 ) y = -2 x + 1
Questão 2. Achar a equação da reta tangente à curva y = x³ - 2 x² + 4 , no
ponto de abscissa
x = - 1.
Solução:
x = - 1 y = 1 e P(- 1 , 1)
f’( x ) = 3x² - 4x f’( - 1) = 7 a = 7.
Equação da reta: y – 1 = 7 ( x + 1) y = 7 x + 8
Variação de uma função
Crescimento e decrescimento de uma função
Teorema: Dada a função a função f , derivável em ]a , b[, então:
*se f’(x)>0 para todo x ]a, b[, então f é crescente em ]a, b[.
*Se f’(x)<0 para todo x ]a, b[, então f é decrescente em ]a, b[.
Desta forma para se estudar a variação de uma função, procedemos da seguinte
maneira:
1. Derivamos a função.
2. Verificamos o sinal da derivada.
3. Fazemos então a variação.
Estudar a variação da função
1. Derivada: f(x) =
2. Sinal da derivada
f’(x) = 0
ou e
3. Variação:
f é crescente nos intervalos:
f é decrescente no intervalo:
Máximos e Mínimos relativos
Teorema
Se f é uma função derivável em um intervalo ]a , b[ tal que f’(x0) = 0, então:
* Se f” (x0) > 0, então x0 é abscissa de ponto de mínimo relativo
* Se f” (x0) < 0, então x0 é abscissa de ponto de máximo relativo
Exemplo:
Determine os pontos de máximo e mínimo relativo, se existir, da função
Solução:
Desta forma podemos dizer que x = 1 é abscissa de ponto máximo e x
= 3 de ponto mínimo
Concavidade – ponto de inflexão
Teorema
Se f”(x)>0 para todo x ]a, b[, então f tem concavidade voltada para cima
(c.v.c.) em ]a, b[.
Se f”(x)<0 para todo x ]a, b[, então f tem concavidade voltada para baixo
(c.v.c.) em ]a, b[.
Se f”(x) tem sinais distintos nos intervalos ]a, c[ e ]c, b[ e se f é contínua em c,
então c é um ponto de inflexão (P.I) da função f.
Exemplo:
Estudar a concavidade e ao ponto de inflexão, da função
Solução
É ponto de máximo relativo
É ponto de mínimo relativo
Representação gráfica das funções utilizando derivadas
Para representar graficamente uma função sugerimos que sejam seguidos os
seguintes tópicos:
1. Domínio da função
2. Interseção com os eixos
3. Comportamento no infinito
4. Derivada
4.1. Sinal da derivada(crescimento e decrescimento)
4.2. Pontos de máximo ou mínimo
5. Segunda derivada(ponto de inflexão)
6. Esboço gráfico
.
Exemplo:
Construir o gráfico de
1) Domínio
2) Interseção com os eixos:
Para x = 0 A(0 , 4)
3) Comportamento no infinito:
quando
quando
4. Derivada
f’(x) = 3x2 – 3
5. Sinal da derivada
5.1. Crescimento e decrescimento
para y’ > 0 ou a função é crescente
para y’ < 0 a função é decrescente
Para x>5/2
Para x<5/2
C.V.B em ]-00, 5/2[C.V.B em ]5/2, +00[P.I em x = 5/2
C D C
5.2.Pontos de máximo e mínimo
6)Segunda derivada
f”(x) = 6x
6.1.Sinal de f”
6.2.Ponto de inflexão
x = 0 ponto de inflexão x = 0 A(0 , 4) ponto de inflexão
7. Esboço gráfico
Acesse a Ferramenta Atividades e realize a Atividade 4.
Ponto máximoPonto mínimo
SÍNTESE DA UNIDADE
Nesta unidade, mostramos as derivadas e algumas de suas múltiplas
aplicações. Pudemos observar a importância da derivada de uma função no
estudo da variação dessa função, e a partir daí tirar conclusões sobre o
comportamento gráfico.
Foi possível perceber também algumas propriedades que associa a
teoria das derivadas, ao crescimento e decrescimento das funções, destacando
principalmente a influência das derivadas na determinação dos pontos de
otimização da função.
REFERÊNCIAS
AVILA, Geraldo. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1988.
GUIDORIZZI, Hamilton Luis. Um Curso de Cálculo. Rio de Janeiro: LTC,
1988.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol. 8. São Paulo:
Atual Editora. 1999.
MEDEIROS, Matemática Básica Para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas.
2002.
MORETTIN, Pedro A. Hazzan, Samuel & BUSSAB, Wilton de O. Cálculo de
funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.
WHIPKEY, Kenneth & WHIPKEY, Mary Nell. Cálculo e suas múltiplas
aplicações. Rio de Janeiro: Campus, 1982.
