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UNIVERSIDADE DE LISBOA
FACULDADE DE CIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO
Desenvolvimento do sentido do número e a capacidade de resolver
problemas de adição e subtracção no 2º ano de escolaridade
Elvira da Graça Ferreira
Projecto de Doutoramento Faculdade de Ciências da Universidade
de Lisboa
Dezembro de 2008
Orientadores:
Prof. Doutora MARIA DE LURDES MARQUÊS SERRAZINA - Professora
Coordenadora da Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Lisboa
Prof. Doutor JOÃO PEDRO MENDES DA PONTE - Professor Catedrático da
Universidade de Lisboa
i
Índice
Capítulo 1 - Introdução ……………………………………………………………….1
1.1. Pertinência do estudo……………………………………………………………….2
1.2. Objectivo e questões do estudo …………………………………………………...10
1.3. Organização do estudo ……………………………………………………………12
Capítulo 2 - Sentido do número ……………………………………………………. 14
2.1. Conceito de número e a importância da contagem ……………………………….14
2.2. O que significa ter sentido do número ……………………………………………24
2.2.1. O sentido do número, cálculo mental e estimação ……………………. .31
2.2.2. A importância do sentido do número ………………………………….. 38
2.2.3. O sentido do número e a forma como se desenvolve ………………….. 41
Capítulo 3 - Adição e subtracção ……………………………………………………43
3.1. Sentido das operações de adição e subtracção ………………………………….. 43
3.2. Estruturas conceptuais de adição e subtracção/estratégias………………………. 46
3.2.1. Níveis de desenvolvimento do cálculo ………………………………… 48
3.2.2. Procedimentos de cálculo para a adição e subtracção …………………. 53
3.3. Factos básicos de adição e subtracção …………………………………………… 57
3.4. A importância do contexto na aprendizagem da adição e subtracção …………… 60
3.5. Algoritmo e sentido do número ………………………………………………….. 62
3.6. Organização/estruturação da aprendizagem ……………………………………. . 67
3.6.1. Modelos matemáticos ………………………………………………….. 75
3.6.2. A linha vazia como modelo didáctico …………………………………. 77
3.6.3. Introdução à linha vazia ………………………………………………. 80
Capítulo 4 - Aspectos da aprendizagem …………………………………………… 82
4.1. Ensinar e aprender matemática ………………………………………………….. 82
4.2. O construtivismo ………………………………………………………………… 88
4.2.1. Construtivismo - cognitivista …………………………………………. 92
4.2.2. Construtivismo social/perspectiva Vygotskiana ……………………… 97
ii
4.3. Perspectiva emergente …………………………………………………………. 101
4.3.1. Negociação dos significados matemáticos …………………………. ...105
4.3.2. Normas sociais na sala de aula ……………………………………….. 107
4.3.3. Normas sociomatemáticas ……………………………………………. 108
4.3.4. As práticas matemáticas de sala de aula ……………………………… 114
4.4. Trajectória hipotética de aprendizagem ……………………………………….... 115
4.5. O papel do professor ……………………………………………………………. 120
Capítulo 5 - Unidade de ensino …………………………………………………..... 128
5.1.Unidade de ensino ………………………………………………………………. 128
5.1.1. Princípios Gerais ……………………………………………………… 129
5.1.2. Planificação …………………………………………………………… 132
5.1.3. Tarefas ………………………………………………………………... 139
5.2. A preparação das aulas com a professora Teresa ………………………………. 145
Capítulo 6 - Metodologia ……………………………………………………….. … 148
6.1. Opções metodológicas …………………………………………………………. .149
6.2. Design de investigação/modalidade de investigação …………………………… 153
6.2.1. Critérios de qualidade/Cientificidade ………………………………….155
6.2.2.O papel do investigador ……………………………………………….. 155
6.3. Contexto geral do estudo ……………………………………………………….. 157
6.3.1. Características da turma ………………………………………………. 158
6.3.2. A escolha dos casos ……………………………………………………160
6.3.3. Caracterização dos participantes ……………………………………….161
6.4. Métodos de recolha de dados …………………………………………………… 161
6.4.1. Observação participante ………………………………………………. 162
6.4.2. Entrevista ……………………………………………………………... 164
6.4.3. Documentos ……………………………………………………………165
6.5. Análise dos dados ………………………………………………………………. 166
Capítulo 7 - O caso de Mariana …………………………………………………… 170
7.1. O caso de Mariana ……………………………………………………… 170
7.1.1. Caracterização da Mariana …………………………………………….170
7.1.2. Exploração dos problemas ……………………………………………..171
iii
Capítulo 12 - O desenvolvimento do sentido do número e dos níveis de cálculo na
sala de aula …………………………………………………………………………. 188
Bibliografia ……………………………………………………………………….. 189
Anexos………………………………………………………………………………. 219
iv
Índice de anexos Anexo 1 - Quadro teórico de análise do sentido do número………………………… 220
Anexo 2 - Situações de adição e subtracção (Carpenter & Moser, 1983) ………….. 221
Anexo 3 - Situações de adição e subtracção (Fuso, 1992) ………………………….. 222
Anexo 4 - Sentidos da adição e subtracção seleccionados ………………………….. 224
Anexo 5 - 1ª sessão ………………………………………………………………….. 225
Anexo 6 - 2ª sessão ………………………………………………………………….. 226
Anexo 7 - 3ª sessão ………………………………………………………………….. 227
Anexo 8 - 4ª sessão ………………………………………………………………….. 228
Anexo 9 - 5ª sessão ………………………………………………………………….. 229
Anexo 10 - 6ª sessão ………………………………………………………………… 230
Anexo 11 - 6ª sessão ………………………………………………………………… 231
Anexo 12 - 7ª sessão ………………………………………………………………….232
Anexo 13 - 7ª sessão ………………………………………………………………….233
Anexo 14 - 8ª sessão ………………………………………………………………….234
Anexo 15 - 9ª sessão ………………………………………………………………….235
Anexo 16 - 9ª sessão ………………………………………………………………….236
Anexo 17 - 10ª sessão ………………………………………………………………...237
Anexo 18 - 11ª sessão ………………………………………………………………...238
Anexo 19 - 11ª sessão ………………………………………………………………...242
Anexo 20 - Guião para condução das aulas…………………… ..…………………...244
Anexo 21 - Guião da primeira entrevista à professora da turma ..…………………...245
Anexo 22 - Guião da segunda entrevista à professora da turma ..…………………...247
Anexo 23 - Guião da entrevista à professora Teresa………….. ..…………………...249
Anexo 24 - O problema do autocarro ………………………………………………. 250
Anexo 25 - Um problema de idades ………………………………………………… 251
Anexo 26 - O autocarro ……………………………………………………………... 252
Anexo 27 - Os brinquedos de Carolina ……………………………………………... 253
Anexo 28 - As compras da Carolina ………………………………………………… 254
Anexo 29 - Um problema de selos …………………………………………………...255
Anexo 30 - O dinheiro do mealheiro do Rodrigo …………………………………….256
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Hoje em dia, diversos autores (McIntosh, Reys & Reys, 1992; NCTM, 2007;
Resnick, 1986; Reys, 1994; Sowder, 1992, 1994) consideram que a aprendizagem da
Matemática nos primeiros anos de escolaridade deve visar o desenvolvimento sentido
do número, capacitando os alunos para resolverem problemas, nomeadamente de adição
e subtracção de números naturais. No 1.º ciclo, essencialmente nos 1.º e 2.º anos de
escolaridade, a adição e a subtracção ocupam um lugar importante no currículo e no
trabalho da sala de aula. A minha experiência como professora, tem-me mostrado, no
entanto, que existem dificuldades, por parte dos alunos, na resolução de problemas que
envolvem a compreensão dos conceitos de adição e subtracção, por vezes, devido aos
vários significados destas operações, nomeadamente, em identificar correctamente a
operação em causa. Também a utilização precoce do algoritmo convencional pode
conduzir a um não desenvolvimento de procedimentos e estratégias de cálculo
diversificadas.
As minhas preocupações em relação a estas dificuldades e também o meu desejo
de aprender e de me actualizar, levaram-me a participar no projecto Desenvolvendo o
sentido de número: Perspectivas e exigências curriculares. Este projecto
desenvolveu-se desde 2003/04 até 2007/08 e visou aprofundar o estudo sobre o
desenvolvimento do sentido do número em crianças dos 5 aos 12 anos. O projecto, em
que me envolvi como professora-investigadora, proporcionou-me uma nova visão sobre
o sentido do número, nomeadamente a sua estrutura, as suas relações e a compreensão
das operações.
No que se refere às estratégias de cálculo, o projecto partiu de quatro ideias
fundamentais resultantes de investigações (Carpenter, Franke, Jacobs, Fennema &
Empson, 1997; Fuson, 1992; Gravemeijer, Cobb & Whitenack, 2000; Klein, 1998): (i)
as crianças desenvolvem e utilizam por si sós uma grande variedade de estratégias de
cálculo; (ii) essas estratégias e procedimentos são transformados em diferentes níveis de
abstracção e de aplicação flexível; (iii) este desenvolvimento caminha a par da aquisição
duma certa compreensão dos números, de competências específicas, de relações
2
numéricas e duma certa forma de pensar e raciocinar matematicamente; e (iv) as
aprendizagens escolares influenciam o desenvolvimento e utilização destas estratégias e
procedimentos.
Nos dois primeiros anos, participei activamente no projecto, elaborando tarefas
com os restantes membros da equipa e aplicando-as a alunos no 1.º e 2.º anos de
escolaridade. Nos dois últimos anos, participei na análise dos dados, na escrita dos
casos e na redacção de um texto sobre a adição e subtracção (Ferreira, 2008). Como
professora, a minha preocupação era tentar perceber o desenvolvimento dos processos
dos alunos e criar condições para que estes tivessem oportunidade de desenvolverem o
seu sentido do número, desenvolverem estratégias e procedimentos de cálculo
adequados à resolução de problemas e descobrirem a estrutura dos números (Ferreira,
Mendes & Pratas, 2005).
Esta minha participação no projecto ao longo de dois anos com os alunos fez-me
sentir que as tarefas realizadas levaram os alunos a desenvolver o seu sentido do
número, nos aspectos relacionados com o conhecimento e a destreza com os números e
as operações, não só de adição e subtracção, mas também da multiplicação, sem recurso
ao algoritmo convencional em qualquer das operações. Considero que os alunos,
progressivamente, foram capazes de olhar para os números de modo a estabelecer
relações adequadas e jogar com elas.
Algumas das conclusões do projecto vão ao encontro de aspectos que são
referidos por Fosnot e Dolk (2001). Estes autores são de opinião que para se ser capaz
de calcular, não é suficiente dispor de uma grande quantidade de estratégias e
procedimentos, é preciso também saber olhar para os números envolvidos em cada
situação. Também Beishuizen (2003) aponta outro aspecto importante, realçado também
por este projecto – um trabalho baseado nos números e nas suas relações ajuda mais os
alunos na sua compreensão do que a introdução prematura dos algoritmos.
1.1. Pertinência do estudo
No programa do 1.º ciclo em vigor (ME-DGEBS, 1990) é realçada a resolução
de problemas como eixo organizador de todo o currículo. Apesar do significativo
avanço destes programas em relação aos anteriores, parece existir alguma inconsistência
nas indicações curriculares. Isso é sublinhado por Brocardo e Serrazina (2008), ao
3
considerarem que os tópicos são apresentados de uma forma espartilhada, não tendo em
conta “uma sequência de aprendizagem centrada na construção de conceitos (…) e,
relativamente ao número e operações, continua a ser “um currículo centrado no
conhecimento de factos e na aquisição de técnicas rotineiras” (p. 98).
A publicação do Currículo nacional do ensino básico: Competências essenciais
(ME-DEB, 2001) visa “contribuir para a construção de uma concepção de currículo
mais aberto e abrangente, associada à valorização de práticas de gestão curricular mais
flexíveis” (p. 3). Este documento indica que para a concretização destes objectivos é
importante que os alunos tenham oportunidade de “viver experiências de aprendizagem
adequadas e significativas” (p. 58). Assim, considera que os alunos devem realizar
diversos tipos de tarefa, nomeadamente, resolução de problemas, actividades de
investigação, projectos e jogos. Essencialmente, estas orientações pretendem
desenvolver a competência matemática dos alunos, vista como a integração de
“conhecimentos, capacidades e atitudes e que pode ser entendida como saber em acção
ou em uso” (p. 9).
Brocardo (2006) assinala que este currículo nacional (ME-DEB, 2001) “embora
perspectivando aspectos muito relevantes, constitui um documento de carácter geral que
não concretiza directrizes de desenvolvimento da aprendizagem” (p. 2). Outro aspecto
realçado por esta autora, nomeadamente, no programa do 1.º ciclo (ME-DGEBS, 1990)
e no currículo nacional (ME-DEB, 2001) é que nestes documentos “embora coexistam
indicações gerais e específicas, não se formulam articulações nem directrizes de
desenvolvimento que permitam identificar o que é central, tudo é importante” (p. 3).
Dados da investigação sugerem que ainda persiste nos professores a ideia que o
treino em procedimentos de cálculo deve constituir uma prioridade do ensino nos
primeiros anos. Em Portugal, várias investigações que têm analisado as práticas de sala
de aula em Matemática no 1.º ciclo referem que as aprendizagens têm sido muito
marcadas pela valorização dos aspectos aritméticos mais rotineiros (Ponte, Matos &
Abrantes (1998), que “os exercícios parecem continuar a ter um papel hegemónico nas
práticas lectivas dos professores” (Ponte & Serrazina, 2004, p. 69) e que “o cálculo
contínua a ter grande ênfase nas práticas de ensino, mas, mesmo assim, muitos alunos
continuam longe de evidenciar a desejada capacidade de cálculo” (Ponte, 2008, p. 10).
Este autor considera que não se deve desvalorizar ou mesmo erradicar o cálculo no 1.º
ciclo, mas que é importante “combiná-lo com outros processos de pensamento
4
matemático e integrá-lo em actividades matemáticas significativas como problemas,
explorações e investigações” (p. 10).
Também o relatório do Projecto Matemática 2001 (APM, 1998) menciona que
os exercícios na aula de Matemática “são a situação de trabalho mais frequente em
todos os níveis de ensino” (p. 31). Este facto não é alheio ao papel preponderante que
têm tido os manuais escolares como elementos de trabalho preferencialmente utilizados
pelos professores. No referido relatório salienta-se que “cerca de 90% dos professores
do 1.º ciclo usam sempre o manual nas suas práticas lectivas” (p. 34). No 2.º ano de
escolaridade, em muitos manuais escolares, como propostas de trabalho relativamente à
adição e à subtracção, os exercícios continuam com uma grande incidência, em
detrimento de propostas de resolução de problemas com estas operações (Silva, 2006).
Exercícios que correspondem a algoritmos ou exercícios com lacunas (por exemplo, 24
+ ____ = 32), sem contexto, só para exercitar e mecanizar. Todos estes factores têm, de
algum modo, afectado a aprendizagem matemática dos alunos durante os primeiros
anos.
Um aspecto que devemos dar atenção é proporcionar aos alunos experiências de
aprendizagem diferentes, diversificadas e significativas. O relatório do Projecto
Matemática 2001 (APM, 1998) sugere a necessidade de que a prática pedagógica: (i)
valorize tarefas que promovam o desenvolvimento do pensamento matemático dos
alunos; e (ii) que haja uma maior diversidade nas formas de trabalho na sala de aula,
nomeadamente, criando oportunidades de discussão (p. 42).
Durante as últimas duas décadas, tem havido mudanças importantes nos
conteúdos e nos processos da educação matemática (Cockcroft; 1982; NCTM, 1991;
Simon, 1995; Treffers & De Moor, 1990). De todas estas mudanças, a mais importante
é talvez a mudança de visão da Matemática como um conjunto de conceitos e
capacidades a ser dominados de forma isolada, passiva e sem significado e de
procedimentos fornecidos por outros, para uma visão da aprendizagem como uma
construção activa de conhecimento em que a resolução de problemas tem um lugar
privilegiado (De Corte, Greer & Verschaffel, 1996).
Recentes documentos de cunho curricular (tais como, Australian Education
Council, 1991; ME-DEB, 2001; ME-DGIDC, 2007; NCTM, 1991, 2000, TAL, 1997-
2001) realçam a importância do sentido do número com o argumento de que a sua
compreensão poderá ser muito útil para compreender os números em geral e
5
desenvolver estratégias úteis que envolvam números e operações bem como contribuir
para uma melhoria do conhecimento matemático dos alunos.
O relatório final National Mathematics Advisory Panel (2008) salienta esta
importância do sentido do número considerando que “ter sentido do número interfere
com a aprendizagem dos algoritmos e dos factos numéricos e antecipa o uso de
estratégias para verificar a razoabilidade dos resultados dos problemas” (p. 27).
McIntosh, Reys e Reys (1992) definem sentido do número como “a
compreensão geral do número e operações juntamente com a capacidade e a disposição
para usar esta compreensão de forma flexível, para fazer julgamentos matemáticos e
desenvolver estratégias úteis para manipular números e operações” (p. 3). Sowder
(1992) reforça a importância dos alunos desenvolverem o sentido do número dado que
isso permite aos alunos “relacionar os números e as propriedades das operações e
resolver problemas numéricos de um modo flexível e criativo” (Sowder, 1992, p. 381).
O desenvolvimento do sentido do número está muito associado ao
desenvolvimento da intuição matemática. Esta intuição, na perspectiva de Howden
(1989), desenvolve-se com a exploração de números, com a sua visualização numa
variedade de contextos e nas suas relações. Por outro lado, como refere Resnick (1986)
sabemos que, antes de entrarem para a escola, muitos alunos já desenvolveram
capacidades de resolução de problemas, quer através da contagem, quer através da
modelação informal. Esta autora considera que isso proporciona o desenvolvimento da
sua intuição matemática e contribui assim para que os alunos fiquem mais libertos para
inventarem os seus próprios procedimentos e, deste modo, construírem o seu
conhecimento matemático.
Sowder (1992) afirma que o sentido do número não se ensina directamente,
embora se possa desenvolver a intuição quantitativa. Segundo o autor, um trabalho em
que os alunos tenham de efectuar cálculos na resolução de problemas, neste caso, de
adição e subtracção, pode ser o “motor” para que inventem os seus próprios algoritmos,
desenvolvam a decomposição e recomposição de números e, através de uma sequência
de tarefas organizadas com objectivos concretos, desenvolvam múltiplas resoluções,
discutam-nas e sejam capazes de usar estratégias mais eficazes e mais eficientes tendo
em conta aspectos do sentido do número e das suas relações.
Assim, ao longo dos primeiros anos, os alunos podem aprender os diferentes
tipos de números bem como as suas características. À medida que vão desenvolvendo o
conhecimento dos números e das operações de adição e subtracção, “o ensino deve
6
centrar-se nas estratégias de cálculo com números inteiros, de modo que os alunos
desenvolvam flexibilidade e destreza de cálculo” (NCTM, 2007, p. 37). Segundo o
NCTM, é importante dar atenção aos métodos de cálculo utilizados pelos alunos bem
como a atribuição de significados reais a esses números, ligando-os às suas vivências a
partir de contextos reais. É a partir da contagem pelos dedos que a compreensão dos
factos matemáticos básicos tem início, devendo facilitar-se a transição do cálculo
baseado na contagem para o cálculo estruturado. Para tal, deve proporcionar-se aos
alunos tarefas que lhes permitam decompor números em parte iguais, organizando os
números em grupos de 2, 5, 10 e 20 de forma que, gradualmente, atinjam o cálculo
formal.
Deste modo, e segundo Fosnot e Dolk (2001), é importante que desde a
educação pré-escolar os alunos vão progredindo no desenvolvimento dos níveis de
cálculo – cálculo por contagem, cálculo estruturado e cálculo formal – que se vão
ampliando ao longo dos primeiros anos. Os alunos, ao utilizarem contagens
relacionadas com determinados contextos, vão, simultaneamente, criando as bases
conceptuais da adição e da subtracção. Assim, os alunos podem aprender a resolver
problemas de adição e subtracção identificando a estrutura subjacente a cada operação,
compreendendo os seus vários significados (adição – juntar, acrescentar, início
desconhecido; e na subtracção – retirar, comparar e completar) em vários contextos.
Liedtke (1997) diz que o sentido do número é um requisito importante para que
os alunos se tornem bons resolvedores de problemas e também uma componente chave
da literacia matemática, vista como um conceito mais amplo que o sentido do número e
que envolve vários aspectos. Segundo Serrazina e Oliveira (2005), a literacia
matemática envolve uma “noção dinâmica, integradora e assente no conhecimento em
acção” (p. 37) e, por isso, ter sentido do número envolve a capacidade do indivíduo em
usar e aplicar esse conhecimento e, daí, poder proporcionar o desenvolvimento do
conhecimento matemático.
Também os Princípios e Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2007)
salientam, entre outros, a importância da literacia matemática, entendida como um
“factor que pode ajudar os alunos a tomar decisões que requerem uma certa
competência quantitativa” (p. 4). A definição adoptada pela OCDE em 1999 e 2003
sobre literacia matemática envolve estas ideias ao dizer que se trata da “capacidade de
um indivíduo identificar e compreender o papel que a matemática desempenha no
mundo real, de fazer julgamentos bem fundamentados e de usar e se envolver na
7
resolução matemática das necessidades da sua vida, enquanto cidadão construtivo,
preocupado e reflexivo” (GAVE, 2004, p. 7). A literacia envolve também “uma
capacidade de colocar, formular, resolver e interpretar problemas que utilizam a
matemática numa variedade de situações e contextos” (p. 8).
O Programa de Matemática do ensino básico (ME-DGIDC, 2007) tem
igualmente uma orientação no sentido da literacia matemática. Isso acontece, por
exemplo, quando se enunciam as finalidades do ensino da Matemática:
No seu desenvolvimento criativo, a actividade matemática convoca recursos e capacidades cognitivas diversas como o raciocínio plausível, a imaginação e a intuição necessários à produção de conhecimento matemático. (…) Por isso, certamente também mais do que nunca, se exige da escola uma formação sólida em Matemática para todos os alunos: uma formação que permita aos alunos compreender e utilizar a Matemática, desde logo ao longo do percurso escolar de cada um, nas diferentes disciplinas em que ela é necessária, mas igualmente depois da escolaridade, na profissão e na vida pessoal e em sociedade (p. 2).
O programa introduz alterações significativas em alguns aspectos,
nomeadamente, ao nível dos objectivos gerais, reforçando a importância dos alunos
conhecerem os factos e procedimentos básicos da Matemática e também ao nível dos
temas matemáticos e das capacidades transversais. Relativamente ao tema Números e
Operações menciona que o seu estudo tem por base três ideias fundamentais: (i)
promover a compreensão dos números e operações; (ii) desenvolver o sentido de
número; e (iii) desenvolver a fluência no cálculo (p. 7). As orientações previstas no
ensino dos algoritmos constituem também alterações profundas em relação ao programa
anterior, propondo a passagem do algoritmo convencional da adição e subtracção para o
3.º ano de escolaridade. Privilegia-se, deste modo, o desenvolvimento do cálculo mental
e de outras estratégias de cálculo nos dois primeiros anos.
Este programa visa um trabalho que enfatiza o sentido do número, a
compreensão dos números e das operações bem como a importância de nos primeiros
anos se valorizar o cálculo numérico na representação horizontal, o cálculo mental
apoiado em registos escritos, a utilização das suas estratégias e ser capaz de seleccionar
as mais eficazes.
Segundo McIntosh (2002), a ênfase no desenvolvimento do sentido do número
nos primeiros anos de escolaridade pode colocar vários dilemas aos professores dadas as
8
práticas tradicionais de ensino da Matemática, nomeadamente, o grande relevo dado ao
papel dos algoritmos convencionais no dia a dia escolar. Este autor refere um exemplo
tentando clarificar alguns dos dilemas que se podem colocar: um aluno que para
calcular “27 + 36” esteja habituado a pensar e a raciocinar sobre os números e as suas
relações pode mentalmente adicionar as dezenas (20 + 30), depois adicionar as unidades
(7 + 6) e então adicionar 50 com 13 para dar 63; ou, de forma alternativa, começar com
o 36, o número maior, adicionar mentalmente 20 para dar 56 e, finalmente, adicionar 7
(56 + 4 = 60, + 3= 63). Ambas as estratégias mentais são eficientes e eficazes, que
deviam ser mais desenvolvidas, baseadas na “compreensão «natural» da forma de
adicionar e do trabalho do valor de posição” (p. 2).
É importante o professor construir práticas e compreensões relacionadas com o
cálculo mental de números pequenos que os alunos adquiriram e ajudar os alunos a
desenvolver extensões dessas práticas, envolvendo registos informais e procedimentos
desenvolvidos de forma pessoal. O papel do professor torna-se fundamental nestes
momentos, devendo ser capaz de partir dos registos informais dos alunos na perspectiva
de “chegar” ao formal.
À equipa do projecto Desenvolvendo o sentido de número: Perspectivas e
exigências curriculares, que desenvolveu um trabalho envolvendo a construção,
experimentação de tarefas com grande ênfase no desenvolvimento do sentido do
número nos primeiros anos, também se lhe colocaram alguns dilemas, embora
diferentes dos que foram apontados por (McIntosh, 2002). Após o primeiro ano, em que
se testaram tarefas de acordo com os objectivos, definidos e depois da avaliação do
processo de construção, experimentação e avaliação das propostas implementadas,
também se defrontou com alguns dilemas, essencialmente, tendo em conta o sentido do
número e a progressão da aprendizagem.
Um desses dos dilemas teve a ver com a constatação de que havia o predomínio
dos números naturais. Daí, ter-se alargado o estudo ao ensino e aprendizagem dos
números racionais positivos. Um segundo dilema, corresponde “à própria evolução do
entendimento dos aspectos envolvidos no sentido do número e do modo como se
deveria organizar a aprendizagem” (Brocardo, 2006, p. 7). Assim, o modo de pensar as
tarefas foi evoluindo havendo uma preocupação com o contexto das mesmas para que
esse contexto favorecesse a “conexão entre números/relações e operações” (p. 7). Um
outro dilema teve a ver com as tarefas. Houve uma evolução para que as tarefas
tivessem sugestões para o professor e começar a testar cadeias de tarefas, ou seja, uma
9
sequência de 3 ou 4 tarefas que corresponde a uma trajectória hipotética de
aprendizagem de acordo com alguns temas e relações incluídas no sentido do número.
Vários estudos (Carpenter, Hiebert & Moser, 1981; Carpenter, Fennema, Fuson,
Hiebert, Human, Murray, Olivier & Wearne, 1994; Carpenter et al. 1997) afirmam que a
transição pelos alunos das estratégias de modelação e contagens informais
desenvolvidas fora do ensino formal, para o uso de factos numéricos memorizados e
para a adição e subtracção formal, é uma fase crítica e difícil da aprendizagem
matemática e que isso pode conduzir a dificuldades em Matemática a alguns alunos no
ensino inicial da adição e da subtracção.
No nosso país, embora existam trabalhos de investigação que analisam questões
ligadas às operações elementares, “são conhecidos poucos trabalhos de investigação que
analisem o modo como tem sido encarado o número no currículo” (Brocardo &
Serrazina, 2008), existe também como pouca ou nenhuma investigação sobre o trabalho
com os alunos em adição e subtracção tendo em conta os vários sentidos destas
operações sem recurso ao algoritmo convencional e com grande incidência em
estratégias e procedimentos de cálculo durante a resolução de problemas “olhando” o
sentido do número. Serrazina (1994) refere também que não se conhecem investigações
realizadas nas escolas portuguesas sobre a adição e subtracção e também “sobre
estratégias de contagem e o relembrar de factos matemáticos básicos” (p. 88).
Ponte et al. (1998) assinalam que tem sido dada uma menor atenção no nosso
país às aprendizagens conceptuais envolvendo, por exemplo, o sentido do número, bem
como estudos que “relacionem os aspectos cognitivos com os aspectos sociais” (p. 124).
Relativamente às aprendizagens, estes autores consideram que “se podem obter
mudanças na aprendizagem dos alunos desde que se altere de modo adequado os
processo de ensino e contexto de sala de aula” (p. 163). Sugerem que nos primeiros
anos deve haver uma valorização dos “aspectos complexos” (não rotineiros) e que
devem ser dadas oportunidades aos alunos de explorarem ideias matemáticas de um
modo que vá para além da memorização de procedimentos.
Ponte e Serrazina (2004) consideram que é necessária uma outra abordagem que
coloque o acento tónico não na qualidade da fala do professor, mas na qualidade do
discurso partilhado do professor e alunos e no modo como os significados matemáticos
são interactivamente construídos na sala de aula: “Considera-se importante que os
alunos participem no discurso de aula e que desenvolvam a sua competência para
comunicar ideias matemáticas, oralmente ou por escrito” (p. 58).
10
Em alguns países, nomeadamente, na Holanda, Estados Unidos e Inglaterra tem
havido um número crescente de projectos (Beishuizen, 1999, 2001; 2003; Carpenter et
al., 1994; Carpenter et al., 1997; Fuson, 1992; Hiebert & Carpenter, 1992; Kamii &
Dominick, 1997; Klein, 1998; Thompson, 1999; van Heuvel-Panhuizen, 2001) que
começaram a desenvolver abordagens baseadas na discussão e encorajamento de
estratégias e procedimentos de cálculo flexíveis, alguns deles com resultados
interessantes. Estes estudos têm revelado um desenvolvimento progressivo a partir da
contagem dos objectos para o uso de estratégias e relações de contagem mais
sofisticadas usando factos matemáticos básicos e relações numéricas.
Em síntese, considero que este estudo é pertinente devido à pouca investigação
existente em Portugal sobre questões, como:
• O domínio do sentido do número e as potencialidades que pode proporcionar nos alunos uma maior compreensão dos números, das suas estruturas e das suas relações;
• O conhecimento de estratégias e procedimentos dos alunos e o uso do sentido do número na resolução de problemas nos primeiros anos pode ajudar o desenvolvimento da literacia matemática;
• A identificação de processos de aprendizagem dos alunos nestes tópicos, tendo por base uma organização curricular centrada na trajectória de aprendizagem do aluno;
• A reflexão sobre a discussão das estratégias e procedimentos dos alunos na aula de Matemática e o seu contributo para níveis superiores de aprendizagem e para o desenvolvimento do conhecimento matemático dos alunos.
1.2. Objectivo e questões do estudo
Este estudo tem como suporte uma experiência de ensino realizada numa turma
do 2.º ano de escolaridade ao longo do ano lectivo de 2007/08, no âmbito do tema
Números e Operações. Esta experiência tem por base a realização de um conjunto de
problemas de adição e subtracção envolvendo os vários significados destas operações.
Nos problemas foi tido em atenção tanto o contexto como os números
envolvidos, de modo a que a sua justaposição possa favorecer a conexão entre
números/relações e operações. Por um lado, consideraram-se contextos interessantes e
relacionados com a realidade dos alunos e que os ajudassem a dar significado aos
números envolvidos, mas que também promovessem o uso de modelos que facilitassem
11
a progressão para o uso de estratégias e procedimentos cada vez mais estruturados de
cálculo. Por outro lado, assume-se que os números envolvidos nos problemas podem
facilitar a escolha e o uso de determinadas estruturas mais eficazes, permitindo o
abandono de estratégias e procedimentos mais elementares, criando oportunidades para
o desenvolvimento do sentido do número pelos alunos. Deste modo, usaram-se,
preferencialmente, números com os quais pode ser mais fácil efectuar cálculos, como
por exemplo, a formação de dobros, quase dobros (dobros mais 1 ou menos 1), fazendo
grupos de 5, 10 ou 20, combinando números até 10, utilizando a compensação ou o uso
de factos matemáticos já conhecidos.
Assim, este estudo tem como objectivo compreender como os alunos
desenvolvem o seu sentido do número, evoluindo nos níveis de cálculo, desde o cálculo
por contagem até ao cálculo formal, num contexto de resolução de problemas de adição
e subtracção de números naturais, contemplando os vários significados destas
operações. Em particular, procuro compreender como é que os alunos progridem no
desenvolvimento do seu sentido do número e dos níveis de cálculo, estudando as
estratégias e procedimentos a que recorrem e as dificuldades com que se deparam ao
longo da experiência de ensino.
A partir do objectivo enunciado, delineei as seguintes questões:
• Que estratégias e procedimentos usam os alunos na resolução de problemas de adição e subtracção de números naturais com diferentes tipos de números? Que dificuldades evidenciam? Que evolução se manifesta?
• Que estratégias e procedimentos usam os alunos na resolução de problemas de adição e subtracção de números naturais em diferentes contextos? Que dificuldades evidenciam? Que evolução se manifesta?
• Como é que a experiência de ensino influencia o desenvolvimento do sentido do número, dos níveis de cálculo nos alunos, num contexto de resolução de problemas?
A primeira questão refere-se à importância que é dada durante o estudo às
estratégias e procedimentos que os alunos usam na resolução de problemas de adição e
subtracção procurando compreender com que dificuldades se depararam bem como a
evolução dessas estratégias e procedimentos e sua relação com o desenvolvimento do
sentido do número e os níveis de cálculo tendo em atenção os números envolvidos nos
problemas.
12
Na segunda questão, procura-se perceber, por um lado, as dificuldades ou
facilidades evidenciadas pelos alunos na escolha de estratégias e procedimentos e a sua
relação com os contextos seleccionados para esses problemas. Por outro lado, procura-
se compreender essa relação com o desenvolvimento do sentido do número e a
progressão dos níveis de cálculo.
Na terceira questão, pretende-se compreender a importância desta experiência de
ensino no desenvolvimento do sentido do número e na progressão dos níveis de cálculo
dos alunos num contexto de resolução de problemas de adição e subtracção
contemplando os sentidos seleccionados neste estudo.
Para responder a estas questões recorrerei ao trabalho desenvolvido pelo grupo-
turma do 2.º ano de escolaridade e, em particular, por cinco alunos desta turma que
seleccionei para este estudo.
1.3. Organização do estudo
Este estudo está organizado em treze capítulos. O primeiro capítulo corresponde
à introdução, pertinência do estudo e ao objectivo e questões do mesmo. No segundo,
terceiro e quarto capítulos abordo, respectivamente, os seguintes temas centrais deste
estudo: sentido do número, adição e subtracção e aspectos da aprendizagem. No quinto
capítulo apresento uma unidade de ensino onde descrevo os seus princípios gerais, a
planificação e os problemas desta unidade, justificando as opções tomadas tendo em
atenção as investigações realizadas por alguns autores mencionados nos capítulos
anteriores. No sexto capítulo apresento e justifico as opções metodológicas, o contexto
geral do estudo e os aspectos relativos à turma e à selecção dos partcipantes. Ainda
neste capítulo, descrevo os procedimentos e as técnicas seguidos relativamente à recolha
e análise dos dados.
Nos capítulos sete, oito, nove, dez e onze descrevo e analiso os resultados
relativos aos participantes no estudo. No capítulo 12, refiro o trabalho desenvolvido
com a turma ao longo da experiência de ensino, essencialmente, tendo em conta o
desenvolvimento do sentido do número e a progressão dos níveis de cálculo na sala de
aula.
13
No capítulo treze apresento e discuto os principais resultados do estudo e
algumas recomendações que resultam do trabalho realizado. Por fim, farei uma breve
relexão pessoal sobre todo o percurso.
14
CAPÍTULO 2
SENTIDO DO NÚMERO
2.1. O conceito de número e a importância da contagem
Durante os anos 60 e 70, o tema dominante da investigação na aprendizagem da
Matemática nos primeiros anos foi, sem dúvida, o conceito de número influenciado pela
investigação realizada por Jean Piaget. Para Piaget (1973), o conhecimento do número é
lógico-matemático, constituído pela acção exercida pelo sujeito sobre os objectos e é
formado por um mecanismo designado de abstracção reflexiva. Esta abstracção
reflexiva vai permitir que o sujeito retire informações não directamente das
propriedades dos objectos, mas sim das relações que ele próprio, pela sua acção,
estabelece entre elas. Estas relações vão-se progressivamente complexificando e
equilibrando tornando-se cada vez mais estáveis e menos dependentes de qualquer tipo
de suporte concreto (Morgado, 1988).
Para Piaget, o número resulta da síntese de duas noções lógicas, a classificação e
a seriação, ou seja, que um conjunto de elementos, para que tenha o estatuto de uma
quantidade numérica, deve ser percebido, identificado, tomado em consideração, em
função do número de elementos que o compõem e ser reconhecido como mais pequeno
ou maior que um outro em função deste mesmo critério. Salienta ainda que as crianças
até aos 5/6 anos podem saber contar mas não compreender a ideia essencial do número,
ou seja, que quando ocorre qualquer mudança no arranjo dos conjuntos, o número de
objectos permanece o mesmo. Este aspecto está relacionado com o conhecimento do
valor cardinal do número e com a relação entre a correspondência um a um e a
conservação (Piaget & Szeminska, 1964).
Posteriormente, Gelman e Gallistel (1978) põem em causa alguns destes
aspectos ao considerarem a enumeração como uma questão fundamental dado que é a
partir deste princípio que são construídos os primeiros conceitos numéricos, questão
essa esquecida por Piaget, que viu nesse procedimento uma conduta aprendida
socialmente sem valor para a construção do conceito de número (Morgado, 1988).
Gelman e Gallistel (1978) identificam cinco princípios que o sujeito deveria
progressivamente construir tendo em conta a construção do número: o princípio da
15
correspondência-termo-a termo, contar todos os objectos e contar cada um deles uma
vez e apenas uma vez; o princípio da ordem constante – produzir nomes de números na
mesma ordem, 1, 2, 3, 4, 5 … e não 1, 3, 6, 5, 2, 4; o princípio da cardinalidade – o
número total de objectos corresponde ao último nome do número da contagem; o
princípio da abstracção – os mesmos números podem ser aplicados na enumeração de
objectos diferentes e, neste sentido, não fazer parte integrante daqueles e, finalmente, o
princípio da irrelevância da ordem de contagem – a ordem de enumeração de objectos é
irrelevante em termos da determinação do valor total do conjunto.
Uma das limitações da teoria de Piaget (1973) no desenvolvimento do conceito
de número é que ele subestima a significância de competências quantitativas básicas
como a contagem, estimação e subitizing1. Alguma investigação sugere que o
desenvolvimento do conceito de número envolve cada vez mais a integração ou a
aplicação eficiente de tais competências (Gelman & Gallistel, 1978; Klahr & Wallace,
1973; Carpenter & Moser, 1983).
Klahr e Wallace (1973) propõem um modelo de construção dos números que
contempla três operadores quantitativos que, no seu conjunto, explicam a formação da
noção de número: subitizing - que consiste num processo de percepção directa dos
números até cinco, seis; a contagem - que consiste na enumeração dos elementos do
conjunto através da correspondência estabelecida entre o objecto e o símbolo linguístico
e, por último, a estimação - à qual se recorre quando a contagem não é possível de se
efectuar, devido a um reduzido tempo de exposição para um número de objectos
demasiado grande.
Do mesmo modo, Glasersfeld, Steffe e Richards (1983) também atribuem à
contagem um papel importante no processo de construção do número tal como o
processo de subitizing, como uma competência quantitativa básica importante, embora
não lhe atribuem o protagonisno atribuído por Klahr e Wallace (1973).
Glasersfeld e Richards (1983), Kami (1985) e Piaget (1973) defendem uma ideia
importante para a compreensão da contagem, a ideia de que os números aumentam
exactamente um a um de cada vez e que encaixam uns nos outros também um a um.
Esta ideia matemática fundamental faz apelo à inferência lógica, uma operação sobre o
todo (Fosnot & Dolk, 2001). Se para obter seis se adiciona mais um a cinco, então,
1 O termo subitizing foi utilizado, pela primeira vez, por Kaufnan, Lorde, Reese & Volkmann, em 1949, para descrever a percepção rápida da quantidade de elementos de um determinado conjunto que foi apresentado ao sujeito por um período de tempo muito curto (Morgado, 1988, p. 18)
16
necessariamente, quando um é subtraído a seis, restam cinco. A capacidade de manter a
quantidade total (seis) e compreender como as partes (neste caso cinco e um) se
relacionam com o total implica realizar uma operação matemática.
Esta ideia fundamental da inclusão hierárquica é aprofundada pelas crianças,
resultando numa compreensão mais completa dos números e no desenvolvimento de
mais duas ideias fundamentais: a compensação e a relação parte/todo. Quando as
crianças desenvolvem a compreensão da noção de inclusão hierárquica, elas começam a
compreender que se 6 + 1 = 7 então necessariamente 5 + 2 = 7, uma vez que embora
tenha sido retirado um ao seis, essa unidade foi adicionada ao um – compensação. À
medida que esta ideia de compensação é alargada para gerar outras formas de obter sete,
desenvolve-se uma compreensão mais profunda das partes que compõem o todo.
Fosnot e Dolk (2001) consideram que estratégias como: contar/inventariar
objectos sincronizadamente; «contar a partir de um certo número» (por oposição a
contar a partir do um); e, ideias fundamentais como a correspondência biunívoca, a
cardinalidade, a inclusão hierárquica, a compensação e a relação parte/todo são marcos
importantes no cenário de aprendizagem e contribuem para o desenvolvimento
numérico inicial. Sem a compreensão destes marcos uma criança tem dificuldade, por
exemplo, em determinar quantos biscoitos se obtém no total se uma pessoa trouxer oito
biscoitos e outra pessoa dois.
Uma criança que não compreenda estes marcos contará três vezes o número de
biscoitos: primeiro, usando os dedos ou cubos, contará até oito; depois até dois; e,
finalmente, juntará os dois montantes, recomeçando então a contar a partir do um.
«Contar a partir de um número» é uma estratégia muito difícil para as crianças
desenvolverem, uma vez que elas são quase obrigadas a negar a sua estratégia anterior
de contar a partir do início. Para compreender porque é que a estratégia funciona é
necessário desenvolver o sentido de cardinal e de inclusão hierárquica.
O desenvolvimento de uma ideia fundamental como a inclusão hierárquica altera a
estratégia da criança de «contar a partir do um» para «contar a partir de um certo
número». Noutras ocasiões, o desenvolvimento de uma estratégia como «contar a partir
de um certo número» pode conduzir à compreensão da relação parte/todo. Há, assim,
uma reciprocidade entre as ideias fundamentais e as estratégias. Como afirmam Fosnot
e Dolk (2001) “o sentido do número é um horizonte, mas quanto mais nos aproximamos
dele mais ele se altera e surgem novos marcos” (p. 37).
17
O conhecimento da sequência numérica é fundamental e funciona como ponto de
partida para o raciocínio aritmético informal, bem como para o princípio da inclusão
hierárquica (Nunes & Bryant, 1997; Glasersfel & Richards, 1983). A competência de
contagem permite, às crianças, a aquisição de instrumentos importantes quando
procedem a comparações quantitativas, capacitando-as para resolverem problemas
aritméticos usando estratégias de contagem que modelem o conteúdo do problema.
Todos estes aspectos contribuem para um melhor conhecimento do número e para
a aquisição dos primeiros conceitos numéricos. O Curriculum Focal Points (NCTM,
2006), também nesta perspectiva, recomenda que os alunos desde a Educação Pré-
Escolar desenvolvam uma compreensão do significado dos números inteiros e, para
isso, considera importante que os alunos “reconheçam um número pequeno de objectos
sem contar e também através da contagem - o primeiro e mais básico algoritmo
matemático” (p. 11), salientando também a importância do uso da correspondência
biunívoca, da combinação de conjuntos, comparação de números, a contagem de
números até 10 e para além de 10, a cardinalidade e a ordenação como contributos
importantes para a resolução de problemas.
van Hiele (1973) elaborou uma teoria para o desenvolvimento do conceito de
número que se estrutura em três níveis de pensamento: o nível base – em que os
números estão ligados às quantidades observáveis e às acções envolvendo objectos
físicos; o primeiro nível – é visível quando o aluno já consegue estabelecer relações
entre os números e as quantidades, ou seja,
Enquanto no nível base o conceito de “quatro” pode estar ligado a entidades visíveis, por exemplo, aos vértices de um quadrado, e características como uma palavra na série “ um, dois, três, quatro, cinco …”, no primeiro nível é uma junção no modelo relacional. Nesse nível pode ser dois mais dois, ou duas vezes o dois, ou possivelmente cinco menos um. Em qualquer caso ele próprio já se livrou (desembaraçou) do domínio do concreto. (van Hiele, 1973, p. 182)
O segundo nível – onde as próprias relações entre os números são o objecto de
investigação. Conexões são feitas e levam em conta a construção de um sistema
significativo e lógico.
Nos níveis elaborados por van Hiele (1973) para o desenvolvimento do conceito
de número não deixam de estar implícitos os princípios enunciados anteriormente, por
exemplo, no nível base, a correspondência termo-a-termo e a contagem, no primeiro
18
nível, o princípio da cardinalidade e da inclusão hierárquica e, no segundo nível, algo
que vai para além dos princípios, ou seja, atender às relações entre os números, e a
construção de um sistema significativo e lógico do número. É aqui evidente um
alargamento do conceito de número elaborado na perspectiva de Piaget.
Gravemeijer (1994) refere que, embora esta perspectiva de van Hiele seja a um
nível teórico, o que importa não é o seu uso teórico, por exemplo, numa classificação
nítida dentro dos níveis, mas as suas implicações práticas. Primeiro, a matemática tem
de começar num nível em que os conceitos usados tenham um grau superior de
familiaridade para os alunos e, em segundo lugar, o seu objectivo seja a criação de um
modelo relacional.
Freudenthal (1973) refere cinco significados diferentes de número: referência do
número, contar, cardinal, medir e registar.
Referência do número. O único significado da referência dos números é que
eles são usados como um nome ou forma de referência, como por exemplo referindo-se
a um serviço de autocarro como “autocarro 14”;
Contar. Contar o número indica um processo de contagem; isto é, no controle
verbal sobre uma sequência de palavra de número, incluindo a capacidade para contar
para a frente e para trás. Contar números desenvolve-se separadamente do processo de
contagem que daí resulta. A sequência da palavra do número pode ser aprendida como o
texto de uma canção ou como parte de um jogo de esconde-esconde.
Cardinal. O que Freudenthal chama numerosidade do número é, generalizando,
o equivalente à noção de cardinal do número ou “quantidade”. Contudo, o autor também
se refere ao conceito associado de equipotente. Equipotência não envolve
necessariamente contar, implica a existência de uma correspondência biunívoca entre os
conjuntos. Os alunos mais novos frequentemente são capazes de comparar quantidades
antes de poderem contar;
Medir. Este é o tipo mais frequentemente usado. Usamos muito o aspecto de
medida dos números. Por exemplo, podemos dizer, “Quatro euros por meio quilo de
tomates? É caro”. Esta função de medir é imediatamente óbvia na expressão “meio
quilo (500 g)”, mas medir está também envolvido na expressão “quatro euros”. Esta
expressão não se refere a um número de euros como entidade separada, mas usamos os
euros como uma unidade de medida. Este exemplo mostra que o número como medida
tem uma função especial: é usado para representar proporções. Por isso, usamos
também o termo “número proporcional para indicar a sua propriedade” (p. 25).
19
Registar. Nos livros de aritmética este é um aspecto do número a que se dá mais
atenção. Envolve a capacidade para trabalhar com os números dentro de um sistema de
convenções e regras tais como “na multiplicação podemos mudar os números” (isto é,
16 x 2 = 2 x 16). O conhecimento destes tipos de regras simplifica o trabalho com os
números. O resultado de 16 x 2 pode ser facilmente derivado de 2 x 16 = 16 + 16 = 32.
Contudo, a má compreensão de regras pode levar à confusão: 16 : 2 não é o mesmo
resultado de 2 : 16.
Parece haver alguma evidência de que tanto a proposta de níveis de van Hiele
(1973) como estas distinções feitas por Freudenthal (1973) acerca do significado do
número e a utilização dos números em diferentes contextos são muito idênticas às ideias
defendidas a partir dos anos 90 associadas ao sentido do número.
Na opinião de Turkel e Newman (1993), um dos problemas dos alunos
americanos era a sua incapacidade relativamente à inumeracidade, bem como “a um
conhecimento vago dos números e da maneira como são usados” (p. 31). De algum
modo, esta referência aos americanos pode ser generalizada a muitos outros alunos e,
inclusivamente, aos portugueses. Estes autores defendem que os alunos devem ter
muitas experiências com os números em vários contextos, não só unicamente nos livros
de exercícios de matemática e no cálculo, mas devem, acima de tudo, aprender a
observá-los e a tomar consciência de como são utilizados.
Esta tomada de consciência passa por observar os números em contextos
variados, de localização, ordenação, identificação, medição e estimação. No fundo,
muitos destes contextos estão implícitos nos diferentes conceitos de número referidos
por Freudenthal (1973). Embora Freudenthal não utilize o termo “sentido do número”
que só mais tarde aparece na literatura, a sua teoria aponta para muito do que hoje
designamos de sentido do número.
Dos vários autores referidos neste ponto, todos reforçam a importância da
competência da contagem nas primeiras aprendizagens matemáticas dos alunos,
capacitando-os para resolver problemas aritméticos, permitindo-lhes utilizar mais
facilmente uma variedade de estratégias de contagem na sua resolução.
Fosnot e Dolk (2001) apresentam um modelo, também tendo em conta esta
competência de contagem, segundo o qual as competências básicas das crianças se vão
automatizando permitindo a sua coordenação e combinação, dando origem a
competências mais complexas, criando-se, assim, uma hierarquia de competências.
20
Assim, apresentam três competências numéricas: contagem oral, contagem de objectos e
relações numéricas.
1. Contagem oral — resulta da combinação de outras competências básicas, a
saber: a sequência dos números com um só digito, que o nove indica transição, os
termos da transição para uma nova série e as regras para gerar uma nova série e as
excepções às regras. Advogam a ideia de que as crianças de cinco anos, apesar de
conseguirem contar até nove, dezanove ou vinte e nove, desconhecem, muitas vezes, o
termo para iniciar a nova dezena e ainda não adquiriram confiança no facto de que o
nove inicia uma nova série. Mostram, no entanto, alguma capacidade no que respeita à
inclusão hierárquica (sabem que o oito vem antes do nove e o dezasseis depois do
quinze).
2. Contagem de objectos — engloba outras competências: a sequência da
contagem, que a cada objecto corresponde uma palavra de contagem, como não
esquecer nenhum objecto nem o repetir e a cardinalidade (reconhecer que o último
termo corresponde ao total contado). Estes autores consideram que, aos cinco anos, as
duas primeiras competências estão já adquiridas, ou seja, a sequência dos números e a
inclusão hierárquica. No que respeita à terceira, a cardinalidade, os autores referem
alguma dificuldade na definição de estratégias que evitem saltos ou esquecimentos,
particularmente, em conjuntos muito numerosos e/ou dispostos de forma não ordenada.
Assim, será de proporcionar aos alunos múltiplas e diversificadas experiências
de contagem que lhes permitam desenvolver estratégias de contagem progressivamente
mais eficientes. Estas experiências devem também apresentar materiais já estruturados
que facilitem a contagem ou a leitura da contagem.
Um dos materiais mais acessíveis é a mão com os seus 5 dedos (Figura 1),
permitindo colocar questões ao mostrar alguns dedos das mãos abertos e outros
encolhidos: 1 mão e dois dedos, 2 mãos, 2 mãos e 4 dedos, ou ainda se duas crianças
estenderem as mãos com os dedos abertos quantos dedos devemos contar.
21
4 + 5 + 5 = 4 + 10 = 14 2 + 5 = 7
Figura 1: Utilização das mãos como auxiliar na contagem
Embora a utilização de materiais não estruturados (Figura 2) na contagem seja
importante devem também ser utilizados materiais estruturados em bases de 5 e 10
(Figura 3).
Onze oito
Figura 2: Material não estruturado
Podem-se construir alguns materiais estruturados de apoio a uma eficaz
contagem e que, em simultâneo, permitam visualizar a comparação entre números. Por
exemplo, a construção de enfiamentos em que as somas são introduzidas (por cor) de 5
em 5, ou torres com a mesma característica (Figura 3). Assim, a criança é induzida a
fazer uma contagem a partir de 5, de 5 em 5, ou a partir de 10 e de 10 em 10.
Figura 3: Material estruturado
22
Muitas vezes, a escola utiliza alguns materiais de mercado que estão agrupados
(iogurtes que são vendidos em embalagens de 4 ou 6, caixas de ovos em embalagens de
6 ou 12, paletes de leite escolar em embalagens de 27), no entanto, é preferível utilizar
agrupamentos de 2 ou de 5 uma vez que estes ao serem divisores de 10, facilitam a
posterior construção do sistema decimal.
3. Relações numéricas — para Fosnot e Dolk (2001), estas relações
desenvolvem-se em simultâneo com a capacidade de contagem de objectos. Assim, será
de proporcionar múltiplas e diversificadas experiências com materiais estruturados ou
não que facilitem o estabelecer de relações numéricas e permitam às crianças
desenvolver composições e decomposições numéricas.
O apoio em materiais já estruturados (Figura 4) permitem visualizar e enfatizar
essas relações.
Utilizando as duas mãos:
- indicar 5 dedos — pode ser apresentado como 3 e 2 ou 1 e 4 ou 2 e 3
- indicar um nº igual de dedos em cada mão e perguntar o total
Mostra 5 dedos usando as duas mãos (5=3+2) Mostra 5 dedos usando as duas mãos (5=1+4)
- apresentar pratos de pontos de cor diferente
- o colar de contas de 5 em 5 com cores diferentes
23
Figura 4: Materiais estruturados
Os materiais facilitam a comunicação ao permitir que os alunos falem de
objectos concretos quando explicam os seus raciocínios. “A vivência de experiências,
acompanhadas de discussão, é extremamente importante para que os alunos vão
estabelecendo ligações entre a linguagem oral e os símbolos e vão desenvolvendo a
capacidade e o gosto de raciocinar” (Abrantes, Serrazina & Oliveira, 1999, p. 47).
Vários autores (Piaget, 1973; Glasersfeld & Richards, 1983; Gravemeijer, 1994;
Fosnot & Dolk, 2001) dão relevância a esta importância da manipulação de objectos
como ponto de partida para a aquisição do conceito de número. Contudo, Kamii, Lewis
e Kirkland (2001a) discutem a utilidade da manipulação de materiais concretos em
relação à aquisição do conhecimento lógico-matemático, embora reconheçam que são
úteis para iniciar o pensamento acerca da resolução de problemas de adição e
subtracção. Alertam para o facto do conhecimento lógico-matemático consistir na
construção de relações por meio da abstracção reflexiva, relações essas que não existem
nos objectos, mas na mente dos alunos e elas não são adquiridas pela abstracção
empírica, mas, essencialmente, através da abstracção reflexiva.
Todas estas experiências dando importância ao desenvolvimento das
competências numéricas são contributos importantes para o que hoje se pretende que os
alunos adquiram: sentido do número. Esta ideia será desenvolvida seguidamente.
24
2.2. O que significa ter sentido do número
“Number sence is not a finite entity that a
student either has or does not have but rather a
process that develops and matures with experience
and knowledge”. Reys, 1994
O foco no termo sentido do número no currículo de matemática é bastante
recente e muitos têm direccionado os seus argumentos para os níveis mais elementares
(Hiebert, 1984). Muita da caracterização que tem sido feita sobre o sentido do número
(Greeno, 1991; Howden, 1989; NCTM, 1991; 2007; Reys & Yang, 1994; Reys & Reys,
1998; Sowder, 1992; Sowder & Schappelle, 1994) foca a sua natureza intuitiva, o seu
desenvolvimento gradual e o modo como se manifesta. Para Marcovits e Sowder (1994)
esta manifestação inclui o usar os números de modo flexível quando calcula
mentalmente, estimar, julgar a grandeza dos números e julgar a razoabilidade dos
resultados; saber utilizar diferentes representações dos números; e relacionar números,
símbolos e operações e usá-los para compreender as situações numéricas.
Sowder (1992) salienta que um pré-requisito importante para os alunos poderem
estimar é desenvolver uma intuição quantitativa, ou seja, um sentido para as
quantidades representado por números. Howden (1989) ao descrever o sentido do
número refere esta importância da intuição acerca dos números:
O sentido do número pode ser descrito como uma boa intuição acerca dos números e das suas relações. Desenvolve-se gradualmente como um resultado de exploração de números, visualizando-os numa variedade de contextos, e relacionando-os de maneiras que não estão limitadas pelos algoritmos tradicionais. Dado que os manuais estão limitados às orientações de papel e lápis, eles podem, apenas, sugerir ideias para serem investigadas, não podem substituir “o fazer matemática” que é essencial para o desenvolvimento do sentido do número (p.11).
Resnick (1986) defende a importância do desenvolvimento da intuição matemática
para desenvolver o sentido do número. Caracteriza a intuição matemática de duas
maneiras: é auto evidente para pessoas que a têm e está facilmente acessível porque está
ligada na memória a situações específicas. Ambas as características podem ser
25
encontradas nas respostas com sucesso dos alunos a tarefas como por exemplo,
comparar a cardinalidade de dois números. É importante que o aluno desenvolva esta
intuição matemática desde cedo. Muitos alunos, antes de entrarem para a escola, já
desenvolverem capacidades de resolução de problemas, quer através da contagem, quer
através da modelação informal, o que pode proporcionar o desenvolvimento da intuição
matemática. Segundo esta investigadora, o possuir intuição matemática
proporciona a base para a aplicação flexível e superior de conceitos bem conhecidos, notação e regras transformacionais (…) liberta da confiança excessiva nos algoritmos usuais, permite-lhes inventar procedimentos para os problemas não previamente encontrados e para trabalhar antes do ensino formal na construção do conhecimento matemático” (Resnick, 1986, p. 188).
Esta autora argumenta que o foco da escola na manipulação de símbolos, tem, de
algum modo, impedido um maior desenvolvimento da intuição matemática dos alunos.
Penso que estas ideias dão relevo, por um lado, à importância da intuição, ou seja, algo
que não depende exclusivamente do ensino directo, mas que, por outro lado, apoia
muito do desenvolvimento e construção do conhecimento matemático. Embora a
intuição não seja fruto desse ensino, ela precisa de ser tida em conta para a
aprendizagem da matemática e mais especificamente do sentido do número.
Assim, o papel da compreensão intuitiva dos números e a capacidade individual
para usar a sua compreensão de uma forma criativa e flexível pode proporcionar o
desenvolvimento de estratégias úteis para manipular números e operações e são
aspectos importantes a ter em conta quando falamos do sentido do número. Esta
intuição quantitativa permite e encoraja a invenção de algoritmos, desenvolve a
decomposição e recomposição de números e de como os conceitos de valor de posição
podem ser aplicados (Sowder, 1992).
Nas Normas para o currículo e a avaliação em matemática escolar
(NCTM,1991) é apontada esta ideia de intuição quantitativa em relação ao sentido do
número, “O sentido de número é uma intuição acerca dos números que se forma a partir
dos diversos significados do número” (p. 50). Para o NCTM (1991) o sentido do
número engloba cinco componentes:
1. Desenvolvimento de significados acerca do número. Inclui o carácter cardinal e
ordinal dos números;
26
2. Exploração das relações entre os números, usando materiais manipuláveis. A
composição e a decomposição de conjuntos de objectos ajudam as crianças a
compreender, por exemplo, que 50 são 5 dezenas, duas vezes 25, ou 4 dezenas e
10 unidades.
3. Compreensão da grandeza relativa dos números. Por exemplo, o 31 é grande
quando comparado com o 4, da mesma ordem de grandeza do 27, cerca de
metade de 60 e pequeno quando comparado com 92.
4. Desenvolvimento de intuições acerca dos efeitos relativos das operações com
números. Aqui é realçado o sentido de operação que será tratado mais adiante.
5. Desenvolvimento de padrões de medida de objectos comuns e de situações no
seu ambiente. Por exemplo, perceber que não tem sentido um aluno do 4º ano
medir 316 cm de altura ou pesar 8 kg, um pão custar 6 € e o professor ter 96
anos de idade. O conhecimento de intervalos razoáveis para tais medidas
proporciona uma base de avaliação da plausibilidade de resultados (p. 50).
Greeno (1991) defende que o sentido do número “é um termo que requer uma
análise teórica, em vez de uma definição” (p. 171), e inclui a hipótese de que o sentido
do número é um exemplo de raciocínio conceptual. Não tem sido fácil definir sentido do
número, dado um conjunto de componentes e capacidades a ele ligado. É até mais fácil
verificar a sua ausência quando o aluno é colocado perante determinadas situações. Esta
ideia é também defendida por Hope (1989) quando afirma que “o sentido do número
não pode ser definido com precisão, mas situações onde claramente se nota a sua
ausência podem ser facilmente reconhecidas” (p. 12).
Silver (1989) assinala que sentido do número é também um fenómeno
largamente paralizante que não sabemos muito bem como definir operacionalmente e
que talvez nos devêssemos concentrar nas “peças” do sentido do número, até
compreendermos melhor como é que elas todas se relacionam. De uma forma
semelhante Trafton (1989) escreve sobre o sentido do número como evocando uma
certa abordagem ao ensino em vez de ser uma construção altamente definida e sugere
que perseguir o sentido do número enquanto sentido do número poderá não ser tão útil
como perseguir aqueles aspectos do sentido do número que têm uma relação directa no
modo como os alunos processam os números em situações de cálculo. Isto podia incluir
aspectos como reconhecer a grandeza relativa dos números, ser capaz de descrever uma
27
quantidade em termos de outras quantidades e fazer julgamentos quantitativos razoáveis
quando resolvem problemas ou efectuam cálculos.
Na tentativa de explicar por que é que definir sentido do número é tão difícil,
Resnick (1987) categorizou o sentido do número substituindo o sentido do número por
uma ordem de pensamento superior na sua descrição da competência do pensamento.
Enunciou algumas características do sentido do número:
• [Sentido do número] é não algorítmico. Isto é, o percurso da acção não é
totalmente especificado antecipadamente;
• [Sentido do número] tende a ser complexo. O percurso total não é “visível”
(mentalmente falando) a partir de qualquer ponto particular vantajoso;
• [Sentido do número] frequentemente permite soluções múltiplas, em vez de
soluções únicas, cada uma com os custos e benefícios;
• [Sentido do número] envolve a aplicação de julgamentos progressivos (nuanced)
e interpretações;
• [Sentido do número] envolve a aplicação de múltiplos critérios que, por vezes,
entram em conflito uns com os outros;
• [Sentido do número] frequentemente envolve incerteza. Nem tudo o que está
disponível (à mão) na tarefa é conhecido;
• [Sentido do número] envolve a auto-regulação de processos de pensamento.
[Sentido do número] envolve significados que se impõem para descobrir a
estrutura numa desordem aparente;
• Pensar o [Sentido do número] é trabalhoso. Há um trabalho mental
consideravelmente envolvido nos tipos de elaborações e julgamentos exigidos
(p. 3)
É visível que o sentido do número depende de um conjunto de elementos que se
interligam e que dependem uns dos outros, ou seja, não vive isolado, nem se pode
definir isoladamente de todo um contexto de ensino, e, essencialmente dos alunos.
Nestas características, são evidentes algumas complexidades, daí haver tanta dificuldade
numa definição única. O sentido do número é algo pessoal, por isso, difere muito de
aluno para aluno, requer alguma liberdade de actuação do aluno, na utilização de
soluções múltiplas, na aplicação de múltiplos critérios e no trabalho com alguma
28
incerteza. Todas estas características precisam de ambientes e culturas de sala de aula
que proporcionem oportunidades para pensar em vez de regras e procedimentos iguais
para todos.
Tal como o senso comum, o sentido do número é um termo evasivo, nebuloso
(difícil de compreender) que tem estimulado a discussão entre educadores e
investigadores matemáticos e que McIntosh, Reys, e Reys, (1992) reconhecem que é
muito mais evidente em acção. Estes autores designam sentido do número como:
“a compreensão geral duma pessoa do número e operações juntamente com a capacidade e a disposição (inclination) para usar esta compreensão de forma flexível para fazer julgamentos matemáticos e desenvolver estratégias úteis para manipular números e operações (p. 3).
McIntosh et al., (1992) sugerem um modelo para a caracterização do sentido do
número que é uma tentativa para articular uma estrutura procurando clarificar e inter-
relacionar algumas componentes, identificando-as e organizando-as segundo os temas
comuns. Este modelo está dividido em três blocos, cada um com vários pontos
específicos (Anexo 1). Este modelo diferencia três áreas onde o sentido do número
desempenha um papel chave, nomeadamente, o conhecimento e a destreza com os
números, o conhecimento e a destreza com as operações e aplicações do conhecimento
e a destreza com os números e operações em situações de cálculo.
A Figura 5 ilustra as inter-relações entre as principais componentes. Estas inter-
relações sugerem um processo monitorizado com ligações entre sentido do número e a
metacognição. Uma pessoa com bom sentido do número pensa e reflecte sobre os
números, operações e resultados que estão sendo obtidos. Este pensamento reflexivo
implicará, em algum momento, quaisquer componentes deste modelo.
Número Operações
Sentido de Número
Ambientes
29
Figura 5: Relações entre as principais componentes do sentido do número (McIntosh, et
al., 1992, p. 5).
No bloco Conhecimento e destreza com os números os autores incluem a
compreensão do sentido de regularidade do número, múltiplas representações dos
números, sentido da grandeza absoluta e relativa dos números e sistema de referências.
No bloco Conhecimento e destreza com as operações referem a compreensão do efeito
das operações, a compreensão das propriedades matemáticas e a compreensão das
relações entre as operações. No bloco aplicação do conhecimento e da destreza com os
números e operações a situações de cálculo consideram importante compreender a
relação entre o contexto do problema e os cálculos necessários, a consciencialização da
existência de múltiplas estratégias, a apetência para utilizar uma representação eficiente
e /ou método eficiente e a sensibilidade para rever os dados e resultados.
Este modelo envolve um conjunto de relações que atestam, por um lado, a
complexidade da definição do sentido do número, por outro, reforçam a importância que
todas as componentes têm para a sua definição e para o seu carácter tão abrangente que
se desenvolve ao longo do tempo e perante diversas situações em que a experiência é
um factor determinante. Reys (1994), sobre o sentido do número, observa que “não é
uma entidade finita que um aluno tem ou não tem, mas mais propriamente um processo
que se desenvolve e amadurece com a experiência e conhecimento” (p.114). Esta autora
apresenta cinco características que podem ajudar a compreensão do sentido do número:
1. Olhar para um problema holisticamente antes de confrontar detalhes;
2. Olhar para as relações entre números e operações e considerar o contexto em
que a questão é colocada;
3. Escolher ou inventar um método que favoreça a sua própria compreensão das
relações entre os números e as operações e procurar a representação mais
eficiente para a tarefa dada;
4. Usar um sistema de referências para julgar a grandeza de um número, por
exemplo, 2/5 de 49 é menos do que metade de 49;
5. Reconhecer resultados não razoáveis para o cálculo no processo normal de
reflexão das respostas (p. 115).
O relatório final National Mathematics Advisory Panel (2008) referindo-se ao
sentido do número define-o em duas perspectivas, uma com um sentido mais elementar
30
e outra considerando um tipo mais avançado do sentido do número. Na fase mais
elementar, considera que o sentido do número “envolve uma capacidade para
identificar, de forma imediata, o valor numérico associado a pequenas quantidades,
facilidade com competências de contagem básicas e uma proficiência na aproximação à
grandeza de um pequeno número de objectos e operações numéricas simples” (p. 27).
Numa fase mais avançada do sentido do número, defende que os alunos o devem
adquirir através do ensino formal e que tal “exige uma compreensão do modo de
funcionamento do valor de posição, de como os números inteiros podem ser compostos
e decompostos e do significado das operações básicas de adição, subtracção,
multiplicação e divisão” (p. 27). Refere ainda que é importante a compreensão das
propriedades das operações e o conhecimento de como aplicar estes princípios na
resolução de problemas.
Em síntese, podemos realçar aspectos importantes a ter em consideração na
definição do sentido do número: a importância de observar a regularidade dos números,
as suas múltiplas representações, o seu sentido de grandeza relativa e absoluta, a sua
relação com as operações e a sua influência na resolução de problemas. Outro aspecto
importante é descrito por Reys (1998) e que ajuda nesta síntese, é a visão de que o
sentido do número se refere:
à compreensão genérica que cada pessoa tem dos números e das operações. Esta compreensão inclui não só a capacidade, mas também a tendência que possui para desenvolver estratégias úteis que envolvem números e operações como um meio de comunicação e processamento de informação na resolução de problemas (p. 112).
Ou como diz Sowder (1992) o sentido do número é como “uma rede conceptual bem
organizada que permite relacionar os números e as propriedades das operações e
resolver problemas numéricos de um modo flexível e criativo” (p. 381)
O termo sentido do número pressupõe várias capacidades importantes, mas
difíceis de compreender. Capacidades que têm a ver com o cálculo mental flexível, a
estimação numérica e julgamento quantitativo. O cálculo mental flexível envolve o
reconhecimento de equivalências de modo a reagrupar os números.
A estimação e o cálculo mental não são somente ferramentas úteis na vida de
31
todos os dias, mas também podem conduzir a um melhor sentido do número (Sowder,
1992). Nesta perspectiva, discute-se, de seguida, a importância do cálculo mental e da
estimação no desenvolvimento do sentido do número.
2.2.1. Sentido do número, cálculo mental e estimação
O tema do cálculo mental aparece em alguns países europeus, nomeadamente, na
Holanda nos anos 80, em Inglaterra e em Portugal nos anos 90. Na Holanda, o tema
refere-se à capacidade para adicionar ou subtrair mentalmente qualquer par de números
com dois dígitos. Inicialmente, esta ideia não teve a ênfase merecida, só mais tarde,
quando Treffers e De Moore (1990) propõem uma revisão curricular para a matemática
no 1º ciclo, é que o cálculo mental é proposto, passando a ter um papel central no
desenvolvimento de estratégias flexíveis de cálculo e na resolução de problemas.
Em Inglaterra, surge devido ao fraco desempenho dos alunos nos testes
internacionais na secção dos números. Este foi um factor determinante para o regresso
ao cálculo mental, embora o relatório Cockcroft (1982) já apontasse a sua falta nos
currículos e assinalasse o declínio do trabalho oral e mental dentro das salas de aula de
matemática como causa do fracasso ao reconhecer o lugar central que «fazer na cabeça»
ocupava em todos os tópicos matemáticos. Os ingleses não tinham, inicialmente,
nenhuma palavra equivalente a “mental”. Usavam nos seus documentos dois aspectos
diferentes de cálculo mental “trabalhar na cabeça” (working in the head) e “trabalhar
com a cabeça” Thompson (1999).
Em Portugal, o programa do 1.º ciclo em vigor (ME-DGEBS, 1990) refere
explicitamente num dos seus objectivos gerais que se deve “resolver problemas do dia-
a-dia, aplicando as operações aritméticas (…) utilizando algoritmos e técnicas de
cálculo mental” (p. 128). Embora esta ênfase tenha sido um passo importante em
relação aos programas anteriores, considero que as práticas matemáticas ao nível da sala
de aula não têm tido muitos reflexos destas orientações. O ensino ainda está muito
virado para as operações em detrimento do desenvolvimento do cálculo mental, da
estimativa e da procura de estratégias diferentes para efectuar os cálculos. Por um lado,
o referido programa não dá algumas orientações metodológicas que podiam ajudar os
professores, por outro lado, também os materiais curriculares existentes não tratam estes
tópicos. A falta de formação de professores sobre como desenvolver o cálculo mental,
32
que tipo de trabalho se pode fazer com os alunos tem-se reflectido nas aprendizagens
dos alunos tendo em conta uma quase ausência de ensino sobre estes temas.
Tanto o cálculo mental como a estimativa são dois dos construtos a que se deve
dar ênfase no desenvolvimento matemático dos alunos e que pode levar a um aumento
da “intuição quantitativa ” e que Sowder (1992) chama de sentido do número. Esta
autora define cálculo mental como um “processo de efectuar cálculos aritméticos sem a
ajuda de dispositivos externos” (p. 182).
O cálculo por estimação não tem uma resposta exacta pois o seu objectivo é um
processo de transformação do número exacto ao número aproximado e calcular
mentalmente com esses números para obter uma resposta razoável próximo do resultado
dum cálculo exacto (Sowder, 1992). Reys, Rybolt, Bestgen e Wyatt (1982)
identificaram três processos básicos usados por bons estimadores: (i) reformulação –
que consiste em mudar o número original por outros mais fáceis de manipular
mentalmente; (ii) compensação – em que se fazem ajustamentos quer antes quer depois
da estimação; (iii) translação – tem lugar quando o processo de estimação envolve
mudar a estrutura do problema de modo a que o cálculo mental seja mais fácil.
Sowder (1992) assinala que a estimativa e o cálculo mental são frequentemente
agrupados como tópicos curriculares e que existem boas razões para esta ligação, 1) é
que a estimativa requer uma certa facilidade com o cálculo mental, 2) e ambas têm um
enorme potencial para aumentar a compreensão do sistema numérico dos alunos,
particularmente, quando levam a cabo “procedimentos inventados que são
idiossincráticos mas apropriados para problemas particulares” (p. 380).
Como defendem alguns investigadores, nomeadamente holandeses, (Beishuizen
1999; 2001; Klein, Beishuizen & Treffers, 1998; van Heuvel-Panhuizen, 2001) o
cálculo mental consiste na descoberta e aplicação de estratégias próprias do indivíduo a
um determinado problema, baseado na sua compreensão individual dos factos básicos
do sistema numérico e das operações. O cálculo mental é considerado como “pensar
com a cabeça” em vez de “pensar dentro da cabeça” (Sowder, 1992) ou como diz Klein
(1998) não como fazer as “contas” na cabeça, mas sim usando a cabeça.
Reys (1998) inclui nas características associadas com o sentido do número a
flexibilidade e o desempenho apropriados ao cálculo mental e à estimação. Há algumas
evidências de que a competência no cálculo mental está associada à compreensão da
estrutura do sistema numérico. Hope e Sherril (1987) num estudo que realizaram,
compararam procedimentos de cálculo mental de pessoas com sucesso e insucesso no
33
cálculo mental entre alunos do ensino secundário. O que verificaram foi que os alunos
menos competentes usavam um cálculo mental muito análogo ao algoritmo de papel e
lápis e ignoravam mesmo as propriedades numéricas mais óbvias. Por outro lado, os
alunos competentes no cálculo mental usavam uma variedade de estratégias,
envolvendo principalmente formas diferentes de distribuição e factorização. Os seus
métodos eram consideravelmente mais eficientes que aqueles do cálculo mental menos
competentes.
Esta ideia de competência no cálculo mental e compreensão de número
desenvolvem-se juntas (Marcovits & Sowder, 1994). Estes autores, num estudo que
realizaram com alunos que receberam ensino em cálculo mental durante
aproximadamente três meses concluíram que a exploração de estratégias levou a uma
melhor compreensão do valor de posição, decomposição de números, ordem das
operações e propriedades tanto dos números como das operações. No fundo, uma
relação muito positiva entre o cálculo mental e o sentido do número.
O papel do conhecimento do número na realização do cálculo mental também
foi considerado por Sowder (1992). Ela teorizou que efectuar o cálculo mental chama a
atenção para duas questões fundamentais: (i) como exprimir o número para responder a
questões dos factos básicos? e (ii) como continuar a sequência operacional como um
resultado da maneira como os números são expressos? A primeira questão é resultado
da necessidade para re-exprimir o problema de maneira que o conhecimento anterior das
combinações do número possa ser usado. Responder a esta questão, frequentemente,
exige não só conhecimento dos factos básicos mas também compreensão do valor de
posição, a capacidade para decompor números e a capacidade para operar com
múltiplos e potências de 10.
A segunda questão, também exige a capacidade para trabalhar com potências de
10 além da capacidade para aplicar as propriedades distributiva, associativa e
comutativa. Por exemplo, podemos resolver 83 – 26 mudando para 83 + 3 – 26, usando
o conhecimento da operação porque obtendo 86 – 26 permitirá o uso do facto familiar
que 8 (dezenas) – 2 (dezenas) é 6 (dezenas). Além disso, devemos saber o facto básico 3
+ 3 para formar o 86, o conhecimento do valor de posição que 86 – 26 é (80 – 20) + (6 -
3) e o conhecimento da ordem da operação para efectuar 86 – 26 – 3. As escolhas
podem ser tomadas baseadas na rapidez e facilidade para realizar a operação. A
exploração de alternativas conduz a uma grande flexibilidade no cálculo mental. Nestes
estudos, foi evidente o papel do cálculo mental para uma melhor compreensão do
34
sistema numérico. O cálculo mental também pode ser útil por si próprio, “ No mundo de
todos os dias tanto em aspectos de consumo como de trabalho há mais necessidade para
um cálculo mental razoavelmente exacto ou exacto do que para o cálculo com papel e
lápis” (Hope, 1987, p. 331). Estes dois objectivos não são contraditórios e ambos podem
ser realizados através de ensino adequado.
Hope (1989) identifica três aspectos importantes para a realização de estimativas
e o seu contributo no desenvolvimento do sentido do número: (i) a estimativa envolve a
comparação de quantidades; (ii) as respostas a um cálculo podem ser estimadas de
várias maneiras; (iii) a precisão da estimativa depende do fim a que se destina. Alguns
acreditam que o ensino poderá ser mais eficaz se o integrarmos no trabalho diário no
cálculo em vez de o relegar para 10 minutos por dia como é frequentemente sugerido. A
prática na estimação e no julgamento quantitativo ocorre naturalmente nas conversas
acerca de quantidades que envolvem diferentes níveis de resolução, como quando o
grupo lida com aspectos imprecisos da resolução de problemas do quotidiano (Hope,
1989).
Tanto o cálculo mental como a estimação podem ser meios importantes para
encorajar a invenção de estratégias mais adequadas a cada um. Por exemplo, ao calcular
5 x 96, o aluno pode mudar o problema para 10 x 96:2, outro pode fazer 5 x 8 x 12,
enquanto outro pode usar a propriedade distributiva e calcular (5 x 90) + (5 x 6) ou (5 x
100) – (5 x 4) (Reys, 1994). “O cálculo aproximado ou a estimação é outra ferramenta
importante para encorajar os alunos a usar o que eles já sabem acerca dos números para
perceber novas situações numéricas” (Reys, 1994, p.118). Muitas vezes, esta táctica
significa que os alunos usam os seus sistemas de referência para julgar a razoabilidade
de uma situação (Sowder, 1992).
Em Inglaterra, o National Numeracy Project (1996) tomou várias medidas
relativamente ao ensino da Matemática, e em especial ao cálculo mental. Essas medidas
foram baseadas inicialmente em três princípios chave: (i) implementar aulas de
matemática diariamente; (ii) ensino directo e trabalho oral interactivo com toda a turma
e com grupos; (iii) maior ênfase ao cálculo mental. Este Projecto foi desenvolvido
através da implementação do National Numeracy Strategy (DfEE, 1998) e conseguiu
que o cálculo mental fosse um dos itens matemáticos de maior relevo nas agendas
escolares
Thompson (1999) refere quatro razões para o ensino do cálculo mental:
(i) A maioria dos cálculos é feita mentalmente e não com papel e lápis.
35
(ii) O cálculo mental desenvolve um razoável sentido do número. O cálculo
mental encoraja os alunos a usar e a desenvolver cálculos abreviados, proporcionando
assim o desenvolvimento do sistema numérico;
(iii) O cálculo mental desenvolve a competência de resolução de problemas. O
cálculo mental dá grande ênfase à necessidade de seleccionar uma estratégia de cálculo
apropriado tendo em conta os números e a sequência de passos para executar o cálculo;
(iv) O cálculo mental ajuda os alunos a terem sucesso mais tarde em cálculos
escritos.
No relatório Cockcroft (1982) argumenta-se que a prática de métodos mentais de
cálculo poderá ajudar na compreensão e desenvolvimento dos métodos escritos.
Beishuizen (2001) reforça a ideia de que para desenvolver o cálculo mental não basta
uma actividade mental diária com os alunos tendo em vista a melhoria das suas
aprendizagens, mas importa que os alunos o pratiquem. Uma prática que, por um lado,
tenha em atenção o desenvolvimento de estratégias mentais ao longo do processo de
“invenção”, partindo das suas estratégias para estratégias mais eficientes e, por outro,
desenvolva aspectos gerais do cálculo mental, nomeadamente:
• Tornando os alunos mais consciência do que estão fazendo (sentido de
número)
• Registando passos processuais das operações numéricas;
• Verbalizando e discutindo cálculos mentais alternativos;
• Tornando os alunos mais consciência de estratégias mentais eficientes e
ineficientes através do ensino interactivo;
• Adaptando e desenvolvendo estratégias dirigidas a níveis superiores de
proficiência. (Beishuizen, 2001, p. 128)
É importante uma prática em que os alunos tenham oportunidade de partir das
suas estratégias informais e que gradualmente aumentem o seu grau de eficácia através
de tarefas que tenham em conta contextos reais, com alguma sequência lógica, de modo
a proporcionar estratégias específicas que promovam a progressão da aprendizagem
(Anghileri, 2001 a)
Thompson (1999) propõe um modelo (Fig. 6) baseado em quatro componentes
em que todas contribuem para o desenvolvimento de uma grande variedade individual
36
de estratégias de cálculo. Estas componentes compreendem: factos, compreensões,
competências e atitudes.
Figura 6 : Modelo de cálculo mental (Thompson (1999, p. 152)
Os factos incluem o conhecimento de relações numéricas específicas, incluindo
os dobros e os complementos para 10 e a consciência de factos de adição e subtracção
até 20. Compreensões referem-se a muitas e variadas propriedades do sistema numérico
que se espera que os alunos possuam para ter bom sentido do número e estar
conscientes dele – se não explicitamente, pelo menos implicitamente. Por exemplo,
quando os alunos sabem que podem contar a partir do número maior em vez de contar
desde o número mais pequeno, utilizando, assim, a propriedade comutativa.
Competências. Para ter cálculo mental eficiente, os alunos necessitam ter adquirido
certas competências como contar a partir de, depois de terem desenvolvido o contar
tudo, ou subtraindo 10 de um número sem contar para trás. Também se espera que uma
ênfase no ensino do cálculo mental possa ter efeito na mudança de atitude dos alunos e
adultos em relação à matemática.
Para Buys (2001), o cálculo mental é uma forma de aproximação e abordagem
numérica em que os números são tratados de uma forma flexível e prática e é
caracterizado por:
• Operar com os números e não com dígitos;
• Usar as propriedades e relações numéricas, por exemplo, 16 + 47 = 47 +
16; 62 - 59 = 3 porque 59 + 3 = 62;
Estratégias mentais flexíveis
Factos Competências
Compreensões Atitudes
37
• Ser apoiado por um “feeling” bem desenvolvido para os níumeros e um
um bom conhecimento dos factos numéricos básicos com números até 20
e até 100;
• Usar passos intermédios escritos de acordo com a situação.
Buys (2001) indica ainda que o cálculo mental evolui através de três formas
básicas, vistas do ponto de vista dos processos de aprendizagem em que a sua aquisição
é acompanhada pelo aumento da compreensão dos números e das operações:
• Cálculo mental através de uma estratégia do cálculo em linha, em que os
números são vistos como objectos numa linha numérica e em que as
operações são movimentos ao longo da linha;
• Cálculo mental através de uma estratégia de decomposição em que os
números são vistos como objectos de uma estrutura decimal e as
operações são executadas a partir das decomposições decimais dos
números;
• Cálculo mental usando estratégias variadas, em que os números são
vistos como objectos que podem ser estruturados de diferentes formas e
em que as operações são efectuadas a partir da escolha de uma estrutura
adequada e usando as propriedades aritméticas.
Fosnot e Dolk (2001) sugerem um espaço de aula curto, de dez a quinze
minutos, a que chamam mini-lesson, que são baseadas, essencialmente, nos factos
matemáticos básicos, sendo bastante orientadas e explícitas. São desenvolvidas
especificamente para realçar determinadas estratégias e para desenvolver o cálculo
matemático mental eficiente. É crucial escolher problemas que sejam adequados a
desenvolver determinadas estratégias ou ideias fundamentais que são importantes no
processo de aprendizagem e que sejam problemas estruturados que se relacionem de
modo a desenvolver e a realçar relações entre números e operações. Por exemplo:
1. Dando saltos de dez de uma vez e depois corrigindo - por exemplo, 15 + 9 =
15 + 10- 1
2. Movendo para o dez seguinte - por exemplo, 15 + 9 = 15 + 5 (para obter 20, o
dez mais próximo) + 4
38
3. Usando a compensação, por exemplo, 15 + 9 = 14+10;
4. Desenvolver “séries” como: 15 + 10; 15 + 9; 15 + 19;
5. Trabalhar com os dobros e quase dobros, por exemplo, 5 + 5 e 5 + 6; 25 + 25 ;
25 + 26; 25 + 24;
6. Trabalhar com a decomposição de números, por exemplo, 28 + 44, que pode
ser resolvido ao adicionar 20 + 40, depois 8 + 4, e depois combinando tudo para
fazer 60+10+2.
7. Desenvolver “séries” matemáticas mentais com a subtracção. Por exemplo,
com um problema como 62 - 4, faz mais sentido remover o 4, para trabalhar para
trás do 62. Mas no problema 62 - 54 faz mais sentido adicionar a partir do 54.
Quando os números estão próximos é mais fácil adicionar; quando estão mais
distantes, é mais fácil trabalhar para trás. Se as séries estão estruturadas com essa
ideia em mente, uma conversação rica normalmente demonstra como as duas
estratégias (adicionar e remover) são importantes e podem ser usadas para
resolver problemas de subtracção, e como dependendo dos números, uma ou
outra podem ser uma melhor escolha.
2.2.2. A importância do sentido do número
Embora não sendo um tema novo, o sentido do número é uma perspectiva
diferente de ver a aprendizagem da Matemática, ou seja, aprender a Matemática com
significado. É importante o sentido do número, dado que o seu desenvolvimento poderá
levar o aluno a fazer conexões lógicas entre a nova informação e conhecimentos
previamente adquiridos e é também um processo que pode levar o aluno a considerar
essas conexões uma prioridade (Reys, 1994).
Em muitos países, o sentido do número surge no topo de todos os níveis dos
currículos de matemática. Este lugar não é acidental. É um indicativo do facto que o
sentido do número contribui directamente para desenvolver as capacidades de resolução
de problemas e do pensamento flexível em situações numéricas. Em Portugal, o
Programa de Matemática para o ensino básico (ME-DGIDC, 2007) introduz alterações
significativas em alguns aspectos, nomeadamente, ao nível do tema Números e
Operações que defende que o seu estudo tem por base, entre outras, duas ideias
fundamentais: (i) desenvolver o sentido de número e (ii) desenvolver a fluência no
39
cálculo (p.7). As orientações previstas privilegiam, essencialmente, o desenvolvimento
do cálculo mental e de outras estratégias de cálculo nos dois primeiros anos.
McIntosh et al. (1992) são de opinião que a aquisição do sentido do número é
um processo evolutivo e gradual, começando muito tempo antes do ensino formal
começar. Embora muitos alunos jovens revelem estratégias eficientes e algumas vezes
criativas para operar com números, a atenção ao algoritmo formal pode, de facto,
dissuadir o uso de métodos informais. Ironicamente, à medida que o conhecimento
técnico da matemática dos alunos se desenvolve, a quantidade de estratégias pode-se ir
estreitando.
Os métodos de aprendizagem (os tradicionais algoritmos de papel e lápis)
tornam-se os métodos mais apreciados para alguns alunos dado que podem ser
executados sem terem de pensar. Por exemplo, a reacção dos alunos quando se lhes
pergunta se um cálculo parece razoável é frequente tornarem a calcular (geralmente
usando o mesmo método do cálculo inicial) mais do que reflectir sobre o resultado à luz
do contexto e dos números envolvidos. Há alguma evidência de que enquanto o método
de verificação não é questionado, a falta de raciocínio reflexivo é angustiante.
Vários investigadores referem que o contexto em que os problemas de
matemática estão inseridos influencia o pensamento dos alunos. Silver (1989) confirma
esta posição e chama a atenção para a necessidade de proporcionar aos alunos
actividades ricas em que não só promovam a resolução de problemas mas estimulem
também diferentes componentes do sentido do número. Claramente, o sentido do
número é, de vez em quando, activado pelo contexto que envolve a matemática. Por
exemplo, enquanto um aluno pode ficar satisfeito na escola com a soma de 514 obtido
através do uso do algoritmo aprendido ao calcular 26 + 38, o mesmo aluno numa loja
pode exigir um reexame se lhe disserem para pagar 5,14 por dois produtos de 26
cêntimos e 38 cêntimos.
O sentido do número é muito pessoal e está relacionado com as ideias que têm
sido estabelecidas acerca do número. Os alunos competentes em cálculos de papel e
lápis (frequentemente a medida pela qual o sucesso em matemática é medido) podem ou
não ter desenvolvido o sentido do número. Por exemplo, quando um aluno do 6º ano diz
erradamente que 2/5 + 3/7 = 5/12 ou um aluno do 2º ano resolve erradamente que 40 –
36 = 16, estes alunos estão tentando aplicar um algoritmo aprendido mas não reflectem
o sentido do número. De facto, muita da atenção actual ao desenvolvimento do sentido
40
do número é uma reacção à ênfase exagerada nos procedimentos de cálculo que são os
algoritmos e destituídos de sentido do número como aqui é caracterizado.
O nível do sentido do número necessário para os alunos e adultos hoje é maior
do que no passado. Por exemplo, hoje tanto os alunos como os adultos encontram uma
grande quantidade de números nos mais variados contextos (gráficos, pesquisas)
utilizando novas ferramentas (computadores e calculadoras) como não era o caso de há
uma geração atrás. Na verdade, na idade da tecnologia pode-se dizer que a posse do
sentido do número é um dos maiores atributos que distingue o ser humano dos
computadores. Há muitas razões para acreditar que no século XXI se introduzirão mais
razões adicionais para um foco crescente no desenvolvimento e manutenção do sentido
do número (NCTM, 2007)
Turkel e Newman (1993) defendem que as pessoas que têm sentido do número
têm um bom conhecimento do seu significado, sendo capazes de usar e compreender
como são utilizados à sua volta. Esta ideia revela também o efeito do sentido do número
em acção, que deve ser desenvolvida desde os primeiros anos, quando os alunos estão a
desenvolver ideias fundamentais sobre os números e em que a sua compreensão pode
ganhar mais sentido quando adquirida dentro de uma estrutura de utilização e de
aplicação. Para tal, enumeram um conjunto de situações onde a utilização e a
compreensão dos números pode ser desenvolvida, nomeadamente, através de contextos
de localização, ordenação, identificação, medição e estimação.
Em cada um destes contextos, podemos observar vários usos dos números que
requerem a sua compreensão. Na localização, considerar, por exemplo, o número de
uma sala de aula, 214. O que significa este número? Que informação ele revela? Mais
do que fazer a sua leitura, quer oral, quer escrita, quer por classes, quer por ordens, é
importante conhecer muitos outros factores e relacioná-los, de modo a atribuir
significado a este número, por exemplo, qual o número que indica o andar da sala, de
que lado do corredor fica? Como são numeradas as salas, etc. Na ordenação indicam a
importância para estabelecer uma certa ordem em muitos lugares. Por exemplo, alinhar
10 alunos pela ordem de alturas, ou alinhá-los por ordem alfabética. Em cada uma das
situações a ordenação revela aspectos diferentes.
A identificação refere-se aos diferentes contextos onde podemos encontrar os
números e como eles funcionam, por exemplo, números de identificação de modelos,
televisão, rádio, fogão, números dos autocarros, código postal, números de telefone, etc.
41
A medição tem a ver com a importância dos números para determinar o peso, a altura, a
temperatura, o tamanho da roupa, dos sapatos.
2.2.3. O sentido do número e a forma como se desenvolve
Para Greeno (1991) o desenvolvimento do sentido do número dos alunos resulta,
essencialmente, de todo um conjunto de actividades da educação matemática mais do
que um subconjunto indicado de actividades especialmente projectadas, ou seja, “olhar
o sentido do número mais como um produto de outras aprendizagens do que um
objectivo de ensino directo” (p. 173).
Nesta opinião, há a ideia de que o sentido do número não se desenvolve
isoladamente, como tópico matemático independente dos outros, mas ao contrário, se
desenvolve nesses contextos, influenciando os seus processos de resolução. Os
contextos, as tarefas não devem ser concebidos intencionalmente para o
desenvolvimento do sentido do número, mas antes criando oportunidades para que ele
surja e se evidencie. Cobb e Merkel (1989) também realçam este papel das tarefas, não
como um fim, mas como um meio, “As tarefas não são concebidas para levar os alunos
a “ver” relações específicas… em vez disso, a sua função é dar aos alunos
oportunidades para pensar acerca do que eles estão fazendo quando resolvem problemas
aritméticos (p.72).
Howden (1989) também expressa o ponto de vista de que o sentido do número
“se desenvolve gradualmente como resultado da exploração dos números, da sua
visualização numa variedade de contextos e relacionando-os de maneira que não sejam
limitados pelos algoritmos tradicionais” (p.11). O desenvolvimento do sentido do
número exige um envolvimento que promova a curiosidade e a exploração em todos os
níveis. Este envolvimento deverá corresponder a “fazer matemática” ou um
envolvimento matemático activo que vá para além de sugestões processuais incluídas
em muitos manuais ou em tipos de tarefas semelhantes de papel e lápis.
Verschaffel e De Corte (1996) observam que devido à sua natureza complexa e
multifacetada o desenvolvimento sentido do número não pode ser compartimentado em
capítulos especiais de manuais ou de unidades de ensino, no fundo, um pouco a ideia
defendida por McIntosh, Reys, Reys, Bana e Farrel (1997), de que o seu
desenvolvimento resulta de toda uma variedade de tarefas de educação matemática em
vez de um subconjunto de tarefas especialmente designadas para esse efeito.
42
O conhecimento conceptual e o pensamento que faz parte do sentido do número
pode ser mais favorável num ambiente onde seja feita uma selecção de tarefas
apropriada e faça parte duma cultura de sala de aula onde a discussão e a comunicação
matemática tenham lugar. “As capacidades que associamos ao sentido do número vão
para além do conhecimento de factos e procedimentos; elas envolvem participação nas
actividades” (McIntosh et al. 1997, p.211). Promover o desenvolvimento do sentido do
número exige um foco na selecção e preparação de tarefas e criação de ambientes
apropriados. Como Reys (1989) sugere, os alunos provavelmente estão a desenvolver e
a revelar o seu sentido do número quando estão num ambiente que o valoriza e o conduz
a “vir à superfície do pensamento intelectual” (p.71)
Brocardo, Serrazina e Kraemer (2003) enumeram um conjunto de desafios para
ajudar os alunos a desenvolver o sentido do número. Estes desafios têm por trás um
conjunto de condições que permitem que os alunos desde cedo “desenvolvam
instrumentos que lhes permitam inventar, formalizar e flexibilizar progressivamente
métodos e técnicas de cálculo adequados à resolução de problemas colocados pela vida
de todos os dias” (p. 14). Para que estes desafios se verifiquem referem três condições:
a primeira condição tem a ver com a implementação de actividades com objectos
concretos, que envolvem a exploração de situações da vida diária permitindo as
representações mentais mais primitivas dos números e das operações, base do sentido
do número; a segunda condição, consiste em ligar estruturalmente o desenvolvimento
de métodos e técnicas de cálculo à construção dos números, da sua organização e da sua
estruturação e à reconstrução do sistema de numeração de posição; a terceira condição
deriva das duas primeiras, ou seja, retardar a aprendizagem dos algoritmos dando
possibilidades aos alunos de aperfeiçoar e desenvolver o seu sentido do número.
43
CAPÍTULO 3
ADIÇÃO e SUBTRACÇÃO
3.1. Sentido das operações de adição e subtracção
A adição e subtracção ocupam uma posição central no currículo de Matemática
nos primeiros anos de escolaridade. O conceito da estrutura aditiva, onde a adição e a
subtracção são dos mais elementares exemplos, é a base de uma grande parte da
matemática que se desenvolve durante um longo período de tempo (Vergnaud, 1982). A
resolução de problemas de adição e subtracção recebeu uma atenção relevante nos
últimos 20 anos, embora mais nítida na década de 80, inícios da década de 90. Como
exemplos deste facto, ver, por exemplo, investigações realizadas por Baroody, 1984,
1999; Carpenter e Moser, 1983, 1984; Carpenter, Moser e Bebout, 1988; Fuson, 1984;
1992.
Carpenter e Moser (1983) assinalam na revisão da investigação que realizaram
alguns aspectos que afectam a dificuldade na resolução de problemas de adição e
subtracção, nomeadamente, as variáveis sintácticas, o número de palavras no problema,
a sequência da informação e a presença de palavras que sugerem significativamente
uma operação em particular. Muitas das evidências disponíveis sugerem que a estrutura
semântica do problema é muito mais importante que a sintáctica e determina o processo
que os alunos usam nas suas resoluções (Carpenter, Hiebert & Moser, 1981; Carpenter
& Moser, 1982). Deste modo, muita da investigação sobre problemas de palavras tem-
se focado na estrutura semântica do problema em vez das variáveis sintácticas, dado
que, como referem Carpenter et al. (1988) as diferenças na semântica de diferentes
problemas reflectem-se também na capacidade dos alunos em representar os problemas
através das expressões numéricas.
Carpenter e Moser (1983) referem que a estrutura semântica de problemas de
adição e subtracção tem sido classificada e descrita de muitas maneiras. Uma primeira
abordagem, distingue entre problemas tendo por base se a acção está envolvida no
problema ou não. Uma segunda abordagem, diferencia entre problemas em termos das
44
expressões abertas que os alunos representam. Em ambas as abordagens observaram
diferenças importantes entre certos tipos de problemas.
Alguns investigadores que têm estado empenhados na investigação de
resoluções de problemas de adição e subtracção adoptaram uma estrutura comum para
caracterizar problemas de palavras (Carpenter & Moser, 1983,1984; Fuson, 1992).
Tanto Carpenter e Moser (1983) como Fuson (1992) apontam quatro situações
(categorias) de problemas de adição e subtracção. Carpenter e Moser (1983) falam de
quatro categorias: Mudar, Combinar, Comparar e Tornar Igual (Anexo 2). Fuson
(1992) aponta quatro situações: Mudar Juntando e Mudar Tirando de, Comparar e
Combinar (Anexo 3).
Carpenter e Moser (1983) defendem a existência de dois tipos básicos de
problemas de Mudar, ambos envolvendo acção. Problemas de Mudar Juntar e
problemas de Mudar Separar, o que coincide com as situações de Fuson (1992) Mudar
Juntando e Mudar Tirando de. Dentro de ambas as categorias de Mudar Juntando e
Mudar Separar referidas por Carpenter e Moser (1983) existem três tipos distintos de
problemas, dependendo da quantidade que é desconhecida. Para um tipo, a quantidade
inicial e a grandeza da mudança são dadas e a quantidade resultante é desconhecida.
Para um segundo tipo, a quantidade inicial e o resultado da mudança são dados e o
objectivo é encontrar a grandeza da mudança. No terceiro caso, a quantidade inicial é
desconhecida e conhecidas as restantes.
Também Fuson (1992) apresenta três tipos diferentes para cada situação de
Mudar Juntando e Mudar Tirando de praticamente equivalentes às enunciadas por
Carpenter e Moser (1983), Falta o resto, Falta o que muda e Falta o termo de partida.
No caso de Fuson, estes tipos aparecem com maior evidência assinalando-os na tabela
referente a todas as situações (Anexo 3).
Para Carpenter e Moser (1983) os problemas de Comparar e Combinar
envolvem relações estáticas para as quais não há acção. Fuson (1992), relativamente a
esta situação, afirma que quando existem duas quantidades, Comparar e Combinar
pode-se compará-las ou combiná-las, são operações binárias em que dois números são
operados para obter um terceiro número. Quando existe uma só quantidade, pode-se
juntar a essa quantidade ou tirar dessa quantidade, trata-se de operações unárias nas
quais um número é executado para obter um terceiro número. Quando são usados
objectos para ilustrar cada uma destas situações do mundo real e as operações são
45
efectuadas com esses objectos, a situação inicial desaparece em todas excepto na
situação Comparar.
A distinção entre situações estáticas, em que as quantidades não mudam –
Combinar e Comparar – e as situações activas – em que as quantidades mudam –
Mudar Juntando e Mudar Tirando – tem sido feita em quase todos os sistemas de
categorias, mas a maioria dos sistemas cede esta distinção estática/activa com a
binária/unária, conduzindo apenas às categorias binárias estáticas de Comparar e
Combinar e às categorias unárias activas de Mudar Juntando e Mudar Tirando.
Relativamente aos problemas de Comparar, Carpenter e Moser (1983)
identificam seis tipos de problemas diferentes, o que se verifica também nas situações
de Comparar de Fuson (1992). A categoria de problemas final, Tornar Igual, é
assumido pelos referidos investigadores como um misto de problemas de Comparar e
Mudar em que a diferença entre as duas quantidades é expressa como uma acção unária
Mudar Juntando e Mudar Tirando, em vez de um estado estático como nos problemas
de Comparar. Também se pode propor problemas binários activos na situação de
Combinar em que combinar é dado explicitamente no problema em vez de
implicitamente, usando os termos de inclusão de classes ou conceptualmente com
palavras tal como “todos juntos” como em problemas de Combinar estáticos. Os
procedimentos de solução dos alunos para situações de Combinar mostram tanto um
esquema conceptual estático como activo.
Para Treffers e Buys (2001) a adição surge associada a situações de Juntar e
Acrescentar e a subtracção associada a situações de Retirar e Diferença. Observam
também que devem ser tidas em conta situações que envolvam Comparar e Igualar.
Estes autores salientam a importância da exploração destas operações inseridas em
contextos reais, ou seja, problemas que se relacionem com as experiências e vivências
dos alunos. Sugerem que estas experiências e vivências podem proporcionar o uso dos
seus conhecimentos e métodos informais na sua resolução, atribuindo um significado
muito mais real a estas operações. Nesta investigação, os significados/sentidos da
adição e subtracção definidos foram seleccionadas tento em conta uma síntese da
literatura sobre este tema e suportam a experiência de ensino desenvolvida (Anexo 4).
46
3.2. Estruturas conceptuais de adição e subtracção
A compreensão da adição e subtracção é central para o conhecimento
matemático dos alunos. Esta compreensão resulta, essencialmente, duma visão da
aprendizagem do “fazer sentido”, onde a criança “vê” quando observa os objectos e
dependente da estrutura conceptual utilizada (Fuson et al. 1997). Embora inicialmente
essa estrutura ainda não esteja definida, o que importa é apoiar o aluno de forma a que
ele possa construir estruturas conceptuais ainda não construídas, disponibilizando
objectos, utilizando-os e discutindo o seu uso com os outros alunos na sala de aula. “A
construção de novas estruturas conceptuais com números com um dígito ou com vários
dígitos é um processo prolongado, que ocorre dentro da sala de aula social e estruturas
de actividade que incluem muitos elementos, além dos objectos” (Fuson et al., 1997, p.
133).
Para estes autores, uma estrutura conceptual em funcionamento, reflecte os
aspectos da situação matemática considerados pelo utilizador no momento: apreende
que aspectos são focados e como estes aspectos são interpretados. A compreensão
parece ser essencial para os alunos participarem em tarefas matemáticas, para
desenvolverem os seus próprios procedimentos e para compreenderem os dos outros.
Hiebert e Wearne (1996) defendem que a compreensão conceptual deve ser “um
objectivo de ensino” (p. 281). O ensino deve ajudar os alunos a estabelecer ligações
entre intuições e a linguagem informal e as operações, incluindo a linguagem
matemática e os símbolos associados a cada operação (NCTM, 1991).
A compreensão conceptual permite aos alunos inventar novos procedimentos ou
modificar os velhos para resolver novos problemas. Hiebert e Wearne (1996) definem
compreensão conceptual como “ uma construção interna de conexões ou relações entre
as representações de ideias” (p. 253). Estes investigadores assinalam que compreender
matemática significa ”construir relações entre factos, procedimentos, ideias, etc.”(p.
252). A compreensão conceptual aumenta quando os alunos constroem conexões para si
mesmo entre ideias, acções, factos e procedimentos, bem como entre as suas várias
representações.
Estes autores afirmam que as crianças que possuem compreensão ou estruturas
mentais relevantes estão em boa posição para adquirir o uso de procedimentos mais
eficientes. Os alunos devem adquirir procedimentos através de “(i) inventar novos
procedimentos, quer criando-os ou adaptando novos conhecimentos para resolver novos
47
problemas; e (ii) adoptar procedimentos que são demonstrados por outros” (p. 252). Em
ambos os casos, pode ser defendido que a compreensão conceptual facilita os processos
de aquisição desses procedimentos. Relativamente à invenção de novos procedimentos é
sabido que os alunos inventam os seus próprios processos matemáticos mesmo
pensando que eles são muitas vezes imperfeitos.
É razoável esperar que os alunos que demonstram compreensão conceptual
poderão, provavelmente, estar mais preparados que os seus pares a desenvolverem
novos procedimentos apropriados e adaptar procedimentos aprendidos a novas tarefas.
Estas duas características “alcançam o coração da competência matemática” (Hiebert &
Wearne, 1996, p. 280). Assim, a compreensão conceptual torna possível a construção e
desenvolvimento de procedimentos de solução significativos. Por exemplo, a
compreensão conceptual da adição e subtracção passa pela construção de conexões
entre as ideias chave do sistema de numeração decimal. Essas ideias incluem quantificar
conjuntos de objectos, agrupá-los em 10, por grupos de 10, considerando os grupos
como unidades e relacionando esta estrutura de grupos com a notação escrita (Hiebert &
Wearne, 1996; Steffe & Cobb, 1988).
Para a compreensão do sentido das operações de adição e subtracção, as Normas
para o currículo e a avaliação em Matemática escolar (NCTM, 1991) indicam quatro
componentes para a sua compreensão:
• Compreender uma operação, isto é, reconhecer em situações do mundo
real, as condições que indicam que uma determinada operação é útil
numa determinada situação;
• Percepção dos modelos e das propriedades de uma operação;
• Identificar relações entre as operações;
• Compreensão intuitiva dos efeitos duma operação num par de números.
Estas componentes são fundamentais para o aluno compreender o sentido da
operação e sua relação com o sentido do número, permitindo, por um lado, tomar
decisões acerca da plausibilidade dos resultados e, por outro, proporcionar uma
estrutura para o desenvolvimento conceptual dos procedimentos de cálculo mental e
escrito. Os alunos precisam de uma grande quantidade de experiências informais com
situações problema e com a linguagem antes do ensino explícito e do trabalho com os
símbolos no domínio das operações.
48
3.2.1. Níveis de desenvolvimento do cálculo
Carpenter e Moser (1983, 1984) identificaram três níveis de desenvolvimento da
contagem tendo em conta os procedimentos empregues pelos alunos na resolução de
problemas de adição e subtracção: (i) estratégias baseadas na modelação directa com os
dedos das mãos ou objectos físicos, (ii) estratégias baseadas no uso da sequência de
contagem e (iii) estratégias baseadas na lembrança de factos numéricos.
No primeiro nível, através do procedimento Contar todos - os objectos físicos ou
os dedos são usados para representar cada parcela e depois é contada a união de dois
conjuntos, começando do 1. Uma vez que os dois conjuntos tenham sido construídos, os
objectos podem fisicamente ser juntos movendo-os juntos ou adicionando um conjunto
a outro, ou o total pode ser contado sem juntar fisicamente os conjuntos. Esta distinção
pode ser importante. O primeiro caso poderá representar melhor a acção de problemas
de Mudar-Juntar ao passo que o segundo poderá representar melhor as relações
estáticas implícitas nos problemas de Combinar. Geralmente, os alunos não distinguem
entre duas estratégias de resolução Mudar-Juntar ou Combinar.
No segundo nível, referem os seguintes procedimentos: Contar a partir do
primeiro número – por exemplo, 2 + 3, diz dois, três, quatro, cinco, são cinco e Contar
a partir do número maior – por exemplo, 3 + 2, começar a partir do três. Estas duas
estratégias de contagem são mais eficientes e implicam uma menor aplicação
mecanicista de contagem. Aplicando estas estratégias, uma criança reconhece que não é
necessário reconstruir a sequência de contagem completa (na totalidade). No Contar a
partir do primeiro número, uma criança começa a contar colocando em evidência a
primeira parcela do problema. A estratégia de Contar a partir do número maior é
idêntica excepto que os alunos começam a contar para a frente com a maior das duas
parcelas.
Carpenter e Moser (1983) registaram uma tendência acentuada para as crianças
contarem para a frente todos os subtipos de problemas exigindo subtracção (tendo uma
parcela desconhecida). Também Fuson e Willis (1988) concluíram que muitas crianças
que aprenderam a sequência de contar para a frente para resolver problemas numéricos
de subtracção tal como 14 – 8 contaram para a frente também para resolver diferentes
tipos de problemas de palavras de subtracção, mas modelaram directamente esses
problemas quando lhes foi pedido para resolverem usando objectos.
49
No terceiro nível, usar factos de adição conhecidos, dobros – saber de cor 2 + 2,
3 + 3, 5 + 5 …. E usar factos deduzidos. Estes autores defendem que a aprendizagem de
factos numéricos básicos deve surgir durante algum tempo, para que os alunos resolvam
problemas simples de adição e subtracção lembrando combinações de números mais do
que usando estratégias de modelação ou contagem.
Certas combinações de números são aprendidas mais cedo do que outras, e antes
que os alunos tenham completamente dominado as suas tabelas de adição. Muitos
alunos usam um pequeno conjunto de factos memorizados para obter soluções de
problemas de adição e subtracção envolvendo outras combinações de números. Estas
soluções, usualmente, são baseadas nos dobros ou números que somam 10. Por
exemplo, para resolver um problema representando 6 + 8 =?, uma criança pode
responder que 6 + 6 = 12 e 6 + 8 é justamente 2 a mais que 12. Num exemplo
envolvendo a operação 4 + 7 = ? a solução pode envolver a seguinte análise: 4 + 6 = 10
e 4 + 7 é 1 a mais.
Fuson (1992) apresenta três níveis de desenvolvimento da contagem tendo em
conta os procedimentos empregues pelos alunos ao resolverem problemas de adição e
subtracção que, em certa medida, correspondem aos enunciados por Carpenter e Moser
(1983).
No primeiro nível, unidades perceptuais - a construção pelas crianças das
situações, números e procedimentos de solução constituem um todo que é complexo e
interrelacionado e em que o significado de adição e subtracção é tomado directamente
da situação problema e modelado com entes. Assim, não admira que as crianças
resolvam esses problemas correctamente sem primeiro escreverem uma expressão do
procedimento de solução correcta (por exemplo, 7 – 2), como frequentemente é exigido
na escola. Tais expressões são redundantes e desnecessárias para os problemas
resolvidos pela modelação directa.
Carpenter et al. (1988) consideram que escrever expressões numéricas para
representar os problemas de adição e subtracção com pequenos números pode não ser
necessário, mas que pode também ser importante esse registo na medida em que pode
ser “o primeiro passo na aprendizagem para representar matematicamente os
problemas” (p. 345). Estes autores consideram que os alunos a quem lhes foi ensinado
expressões numéricas de forma standard (a + b = ? e a - b = ? não têm dificuldades em
representar os problemas que descrevem acções de retirar e juntar, mas que revelam
dificuldades em representar muitos outros tipos de problemas. Tal facto, pode ocorrer
50
porque “as representações que lhes ensinaram (a + b e a - b) não correspondem à sua
interpretação do problema” (p. 347).
Há menos informação disponível acerca de procedimentos de subtracção por
modelação directa do que de adição. Em situações de problemas de palavras, as crianças
realizam subtracções através de três procedimentos da parcela desconhecida por
correspondência. No retirar a, as crianças fazem a soma conhecida e depois tiram os
entes da parcela dada da soma, deixando os entes da parcela desconhecida para serem
contados. No adicionar até s, eles modelam a parcela conhecida depois contam um
objecto de cada vez ao conjunto inicial até ser atingida a soma. No separar a, as
crianças modelam a soma dada, contam os entes da parcela conhecida e tiram o resto
para fora, depois, contam o resto para encontrar a parcela desconhecida. Na
correspondência, eles modelam a soma conhecida e a parcela conhecida, modelam estes
dois conjuntos e depois contam-nos fazendo a correspondência um-a-um.
No segundo nível - Procedimentos de contagem abreviada de sequências. Os
procedimentos de sequência, contagem para a frente a partir de e a sequência contagem
para a frente para são abreviaturas do primeiro nível de procedimentos de contagem de
objectos contar todos e adicionar até a. Em ambos os procedimentos, a contagem da
primeira parcela é abreviada para dizer a primeira palavra da parcela, como “8, 9, 10,
11, 12, 13, 14”. Dizendo estas palavras, está a contar a sequência de contagem para a
frente para encontrar a solução de 8 + 6, quando as palavras são acompanhadas por um
método de registar na mente as seis palavras contadas depois do 8. As mesmas palavras
são as da sequência de contagem para a frente para achar 14 – 8 quando é usado um
método para saber quantas palavras foram ditas depois de 8 e até chegar ao 14 (por
exemplo, indicando os dedos)
Todos os três procedimentos contar para a frente para, contar para trás e
contar para trás para podem ser usados para encontrar qualquer resposta para a
subtracção, mas os procedimentos disponíveis para a criança são obviamente
restringidos pelo significado de uma situação de parcela desconhecida. Esta questão tem
ramificações de ensino importantes, dado que há uma considerável evidência que a
contagem para trás é mais difícil e propensa a erros do que contar para a frente
(Baroody, 1984; Carraher, Carraher & Schliemann, 1985; Fuson, 1992). Primeiro,
porque contar para trás é muito mais difícil do que contar para a frente. Segundo, há
dois procedimentos diferentes de contar para trás que os alunos tendem a confundir.
Para resolver 13 – 5, podemos dizer (e pensar) “13, 12, 11, 10, 8 (5 palavras tiradas de
51
treze palavras, 8 (palavras deixadas como resposta)” ou “12 (uma tirada), 11, 10, 9, 8
(cinco tiradas, então 8 é a resposta)”. Os alunos, frequentemente, combinam partes
destes dois procedimentos para obterem uma resposta (Carraher, Carraher &
Schliemann, 1985; Fuson, 1992).
Com problemas de palavras, a relativa facilidade de contar para a frente conduz
muitas crianças a escolhê-la preferindo-a à contagem para trás quando as suas estruturas
conceptuais são suficientes para as libertar da modelação directa. As crianças usam a
contagem para a frente mesmo nos problemas de tirar (Carpenter & Moser, 1984;
Fuson, 1992). Baroody (1984) e Cobb (1985) sugerem que, nos primeiros anos, os
alunos podem aprender a dar ao sinal – o significado de contar para a frente e assim
podem contar para a frente para resolver problemas onde aparece o sinal de subtracção e
que este processo pareceria vantajoso dadas as dificuldades que alguns alunos
apresentam.
No terceiro nível referido por Fuson (1992) - Procedimentos de factos
deduzidos e de factos conhecidos - os procedimentos de sequência abreviados são
decomposições dentro dos procedimentos de factos deduzidos em que os números num
dado problema são decompostos para se tornarem em números cuja soma ou diferença é
já conhecida. Esta autora considera que alunos médios do 2º ano podem aprender factos
deduzidos e que esta aprendizagem não depende de já conhecerem estratégias de
contagem avançadas. Contudo, a aprendizagem de factos deduzidos da subtracção é
consideravelmente mais difícil do que aprender factos deduzidos da adição.
Relembrar factos para alguns números coexiste com outros procedimentos em
todos os níveis. Uma criança pode saber 1 + 1 = 2 ou 2 + 2 = 4 enquanto ainda conta
todos para encontrar a soma de outros pares de números. Segundo Fuson (1992), na
investigação que realizou, alguns estudos mostraram que os dobros (a+a ou 2 a –a) são
mais fáceis de aprender do que muitas outras combinações, que determinadas somas
para parcelas maiores levam mais tempo do que fazer com números mais pequenos e
que as crianças só perto do 3º ano somam e subtraem muitas combinações usando
procedimentos de contagem, mas as crianças em anos mais avançados e principalmente
adultos usam facto relembrados.
Baroody (1984) considera que algumas dificuldades que os alunos revelam em
problemas de subtracção pode ser devido a dificuldades em calcular mentalmente (N-1
ou N+1) dado que a facilidade com este tipo de cálculo é uma componente chave (o 1º
passo) na contagem para trás e também na resolução de problemas com menos dois ou
52
mais dois. Para melhorar as suas competências na contagem para trás, os alunos “devem
não somente ser capazes de contar por ordem decrescente, mas também serem capazes
de o fazer com relativa facilidade” (p. 208).
Devido a uma maior dificuldade dos alunos em resolverem problemas de
subtracção, Kamii, Lewis e Kirkland (2001) afirmam que é importante não enfatizar
tanto a destreza na subtracção nos primeiros anos e enfatizar a adição dada a sua
complexidade. Estes autores acreditam que “se uma criança ser tornar fluente na adição,
ela mais tarde tornar-se-á fluente na subtracção” (p. 41). Dada a dificuldade encontrada
na subtracção encontrada em vários estudos realizados por estes autores, o que acontece
é que muitas vezes os alunos usam a adição para responder a problemas de
“subtracção”.
Os procedimentos descritos por Thompson (1999) relativamente à subtracção
não diferem muito dos enunciados por Carpenter e Moser (1983, 1984) e Fuson (1992).
Utilizando o exemplo 9 – 3, os procedimentos que identificou foram: Tirar ou Retirar,
os alunos contaram 9 dedos, tiraram 3 e depois contaram os restantes; Contar para trás
de, os alunos disseram 9 e contaram para trás, oito, sete, seis … são seis; Contar para
trás para, em que o aluno disse 9 e depois contar para trás até ao três “oito, sete, seis,
cinco, quatro, três”; Contar para a frente, o aluno diz “três” e conta para diante o nome
de mais seis números, quatro, cinco, seis, sete, oito e nove; usar um facto de subtracção
conhecido, usa factos deduzidos como para a adição.
Fazendo uma síntese do desenvolvimento dos níveis de cálculo, podemos referir
as ideias defendidas por Treffers e Buys (2001) que consideram a existência de três
níveis de cálculo que se vão desenvolvendo desde o pré-escolar e que envolvem todas as
operações, o cálculo por contagem, o cálculo por estruturação e o cálculo formal.
• Cálculo por contagem, apoiado em materiais que permitam a contagem;
• Cálculo por estruturação, sem recorrer à contagem e com o apoio de modelos
adequados;
• Cálculo formal, com utilização dos números como objectos mentais para atingir
competências de cálculo inteligentes e flexíveis, sem necessidade de recorrer a
materiais estruturados.
O cálculo por contagem corresponde ao primeiro nível da adição e subtracção.
Inicialmente, os alunos têm uma grande tendência para resolver os problemas
recorrendo à contagem apoiando-se nos dedos das mãos, o que pode ser efectuado de
53
diversas maneiras. Muitos alunos tendem a recorrer à contagem 1 a 1, por vezes,
durante bastante tempo apoiando-se nos dedos das mãos. Este nível é, de algum modo,
coincidente com o primeiro nível, unidades perceptuais encontrado em Fuson (1992) e
na modelação directa encontrado em Carpenter e Moser (1983).
No cálculo por estruturação, os alunos já não recorrem à contagem de um em
um e usam três procedimentos fundamentais: os saltos de dez, os saltos através do dez e
a decomposição das parcelas. Os dois primeiros procedimentos correspondem ao
cálculo em linha e, muitas das vezes, os alunos usam a linha numérica vazia nestas
situações. Também aqui, há algum paralelismo nos níveis encontrados tanto em Fuson
(1992) como em Carpenter e Moser (1983). Em Fuson (1992), este nível de cálculo é
evidente no segundo nível procedimentos de contagem abreviada de sequências e em
Carpenter e Moser (1983, 1984) no nível correspondente à sequência de contagem,
embora em Treffers e Buys (2001) haja uma indicação mais explícita ao recurso aos
modelos, neste caso à linha numérica e à linha vazia.
No cálculo formal, os alunos já não precisam de usar qualquer tipo de ajuda na
visualização da contagem, dado que já conseguem efectuar os cálculos mentalmente, na
sua totalidade, registando apenas os passos intermédios. A passagem do nível
estruturado para o nível formal é feita gradualmente pelos alunos e ao longo do tempo.
São eles que sentem necessidade de desenvolver os seus próprios procedimentos
baseados na estrutura dos números e nas propriedades das operações. Este nível é
referido no terceiro nível em Fuson (1992) como procedimentos de factos deduzidos e
de factos conhecidos e em Carpenter e Moser (1983) por procedimentos baseados na
lembrança de factos numéricos. Em todos eles é muito evidente a referência ao
conhecimento de factos numéricos básicos como uma boa estratégia para calcular.
No estudo que realizei, os níveis de cálculo que tive em atenção foram os que
são enunciados por Treffers e Buys (2001), cálculo por contagem, cálculo por
estruturação e cálculo formal.
3.2.2. Procedimentos de cálculo para a adição e subtracção
Fuson et al. (1997) num estudo que realizaram, identificaram os seguintes
procedimentos de cálculo inventados que os alunos usaram em problemas de adição e
subtracção para resolver a soma 38 + 26 = ? sequencial: “30 mais 20 são 50 e mais 8
54
faz 58. Depois mais 6 é 64”; combinar unidades separadamente: “30 mais 20 são 50 e 8
e mais 6 são 14. Então, o 10 do 14 faz 60, então é 64” e Compensação: “É como 40 com
24, e é 64”.
Os procedimentos observados nessa análise para resolver a subtracção 62 - 28 = ?
foram: sequencial: de 60 retiro 20 são 40. Depois reponho o 2; são 42. Agora retiro 8 do
42. Retiro 2 que são 40 e depois mais 6 que faz 34”; combinar unidades
separadamente: Do 60 retiro 20, são 40. Não posso retirar 8 do 2. Se retirar 2 de 2,
ainda tens mais 6 para retirar. Depois retiras 6 de 40; é 34 e compensação: “Do 62 retiro
30 que são 32, mas temos de retirar 28 então é mais dois. É 34.
Na literatura holandesa, encontramos procedimentos muito similares aos que
foram descritos por Fuson et al., (1997). Por exemplo, Beishuizen (1993, 1997)
identifica também três procedimentos de resolução nos problemas de adição e
subtracção, o método dos saltos uma vez que as dezenas são adicionadas ou subtraídas a
partir do primeiro número em causa. Estes procedimentos são referidos por esta autora
pelos acrónimos N10, N10C e A10; o método da decomposição, uma vez que as
dezenas e as unidades são separadas e tratadas isolada e independentemente. Estes
procedimentos são referidos pelos acrónimos 1010 (pronunciado como dez-dez) e 10s;
método da compensação (Tabela 1).
Tabela 1 - Procedimentos de cálculo mental para a adição e subtracção até 100 (Adaptado de Beishizen, 1997, p. 131)
Adição (com agrupamento): 45 + 39 Sequência dos procedimentos: N10: 45 + 30 = 75; 75 + 5 = 80; 80 + 4 = 84
N10C: 45 + 40 = 85; 85 – 1 = 84
A10: 45 + 5 = 50; 50 + 34 = 84
Procedimentos de decomposição: 1010: 40 + 30 = 70; 5 + 9 = 14; 70 + 14 = 84
10s: 40 + 30 = 70; 70 + 5 = 75; 75 + 9 = 84
Subtracção (com agrupamento): 65 – 49, 51 – 49 Sequência dos procedimentos: N10: 65 – 40 = 25; 25 – 5 = 20; 20 – 4 = 16
N10C: 65 – 50 = 15; 15 + 1 = 16
A10: 65 – 5 = 60; 60 – 40 = 20; 20 – 4 = 16
A10: 49 + 1 = 50; 50 + 10 = 60; 60 + 5 = 65;
resposta: 1 + 10 + 5 = 16 (por meio da adição)
∩*: 51 – 49 = 2 (porque 49 + 2 = 51)
Procedimentos de decomposição: 1010: 60 – 40 = 20; 5 – 9 = 4 (falso inverso)
20 + 4 = 24 (solução falsa)
10s: 60 – 40 = 20; 20 + 5 = 25; 25 – 9 = 16
55
Os procedimentos de cálculo (mental) do tipo 1010 referidos por Beishizen
(1997) são abundantes em diversas publicações norte-americanas, enquanto as do tipo
N10 raramente são mencionados (Fuson, 1992). Tal deve-se, provavelmente, à maior
valorização da aritmética baseada no valor posicional dos números (em coluna) e da
utilização do MAB2, nos programas escolares.
A tabela 1 fornece um resumo dos procedimentos de cálculo mental mais
importantes e suas designações, tal como foram classificados na pesquisa de Beishuizen
et al., 1997). Os métodos N10 e 1010 poderão ser considerados como dois
procedimentos fundamentais; o N10 constitui o procedimento de cálculo mais eficiente,
enquanto o 1010 dá origem a um maior número de erros, sobretudo nos problemas de
subtracção que exigem o reagrupamento (Beishuizen, 1993). O procedimento designado
por 10s poderá ser encarado como uma adaptação do 1010, com o objectivo de
ultrapassar as dificuldades verificadas.
Muitos dos manuais europeus sobre o ensino da matemática nos primeiros anos
(Klein, 1998; Treffers e De Moor, 1990) adoptaram o método N10 como procedimento
preferencial para a adição e a subtracção mental até ao número 100. Isto não significa,
no entanto, que o N10 seja usado com frequência nos primeiros anos de escolaridade.
Como a investigação veio a comprovar, a aquisição inicial do método dos saltos
N10 exige o conhecimento dos números até 100 e a sua aquisição é, desta forma, mais
difícil que a do método 1010 (Beishuizen, 1993). Este último, é de aplicação mais fácil,
devido à sua forte analogia com factos numéricos básicos, previamente conhecidos e já
familiares (40 + 20 = 60, por analogia a 4 + 2 = 6. Talvez esta seja uma das razões para
que o método dos saltos não apareça referenciado nos procedimentos destes autores.
Todos os outros são coincidentes na maioria dos autores analisados, ou seja, Combinar
unidades separadamente que equivale ao método de decomposição, sequencial que
podemos associar ao método dos saltos, embora partam de aspectos diferentes como foi
descrito anteriormente, e depois a compensação que é referida por ambos os autores.
(Beishuizen et al. (1997) referem, num estudo que realizaram, que as turmas do
terceiro ano apresentam uma distribuição equitativa destes dois métodos, decomposição
e método dos saltos com cerca de metade dos alunos a utilizar o 1010 e a outra metade o
2 MAB – Multibase arithmetical blocks
56
N10 verificando-se que apenas uma minoria aplica, de modo flexível, ambas as
estratégias (por exemplo, 1010 na adição e N10 na subtracção).
Beishuizen (1993) salienta que os alunos com mais dificuldades preferem o
1010, enquanto que os mais competentes preferem o N10. Esta autora refere que “o
procedimento 1010 pode ser dito para aprender mais sobre o princípio da cardinalidade
(por exemplo, os blocos e procedimentos de decomposição), enquanto o procedimento
N10 depende mais do princípio da ordenação (por exemplo, o quadrado das centenas e o
método dos saltos)” (p. 319).
Fuson (1992, 1997) faz a mesma distinção entre dois procedimentos principais
utilizadas na adição e na subtracção com números de ordem de grandeza elevada, que
designou por método das “dezenas-separadas” (1010) e método das “sequências de 10”
(N10). Reys et al., (1995) distinguiram entre “fazer grupos de 10s e 1s” (1010) e “fixar
um dos termos” (N10), e também outros procedimentos flexíveis como “N10 com
compensação” e “adição para chegar à dezena mais próxima” (ver N10C e A10 na
tabela 1). No entanto, ao longo da sua pesquisa, estes procedimentos raramente foram
utilizados pelos alunos.
Em resumo, é hoje reconhecida a grande importância no domínio de combinações
numéricas. Uma criança que não possa produzir eficientemente resultados para as
combinações básicas, está em grande desvantagem no cálculo oral e escrito com
números com vários dígitos (Thompson, 1999). Segundo o National Research Council
(2001), nos últimos anos, a investigação disponível proporcionou bastante informação
acerca da proficiência do cálculo com números com um ou mais dígitos e considera que
esta proficiência envolve muito mais do que a memorização rotineira. Essa
investigação, relativamente ao domínio do cálculo com números naturais, evidencia: (i)
como as diferentes componentes das competências de cálculo (procedimentos,
princípios e factos numéricos) contribuem umas para as outras; (ii) como é que os
alunos começam com a compreensão do significado das operações e como é que eles
gradualmente desenvolvem métodos mais eficientes e, (iii) como é que escolhem de
forma adequada entre diferentes procedimentos dependendo dos números envolvidos.
A investigação feita neste domínio e que procurei fazer nesta parte teórica vem de
encontro ao que propõem Verschaffel, Greer e De Corte (2007) que podemos resumir
em três categorias básicas de cálculo mental (as quais parecem estar estritamente ligadas
a diferentes concepções do número):
57
i) Método por saltos - em que os números são vistos principalmente como
objectos na contagem em linha e para a qual as operações são movimentos
ao longo da contagem da linha - para a frente (+) ou para trás (-);
ii) Método de decomposição - em que os números são vistos principalmente
como objectos numa estrutura decimal e em que as operações são efectuadas
por decomposição e processando os números na base dessa estrutura;
iii) Métodos variados, baseados nas propriedades aritméticas em que os números
são vistos como objectos que podem ser estruturados de muitas maneiras e
em que as operações têm lugar através de uma exploração de uma estrutura
conveniente e usando uma propriedade aritmética apropriada.
3.3. Factos básicos de adição e subtracção
Um aspecto importante que devemos ter em conta quando trabalhamos com a
adição e subtracção são os factos numéricos básicos ligados a estas operações. É
importante que nos primeiros anos se privilegie um bom conhecimento dos factos
básicos, não só como um objectivo prático, mas também com o objectivo de poder
contribuir para o cálculo mental escrito eficiente (Verschafell & De Corte, 1996)
Treffers e De Moore (1990) referem que este tipo de conhecimento factual deve
ser adquirido de uma forma que corresponda mais aos processos de aprendizagem e aos
princípios gerais de ensino. Também Gravemeijer (1994), ao referir-se à importância
dos factos numéricos básicos, defende que devem ser introduzidos tão cedo quanto
possível no 1º ano, mesmo antes de serem introduzidos os sinais de operações “+” e “-“.
O ensino não deve apontar para um domínio rápido destes factos básicos através
do treino, de uma forma estereotipada e sem significado. O recurso ao treino antes dos
alunos compreenderem a aritmética simbólica ou antes de terem desenvolvido as suas
próprias formas de calcular pode atrasar o domínio das operações e da sua compreensão
(Verschaffel & De Corte, 1996).
Fosnot e Dolk (2001) referem que houve um exagero inicial nesta abordagem
aos factos básicos de adição e subtracção e que os resultados verificados não foram
satisfatórios. A questão que se pode colocar e que julgo pertinente é se os factos básicos
de adição e subtracção devem ser ou não memorizados. De acordo com estes autores, a
memorização de factos matemáticos básicos designa-se por “decorar o resultado de
58
operações não relacionadas para que o raciocínio seja desnecessário. Situações de
adição e subtracção isoladas são praticadas umas após outras como se não tivessem
relações entre elas; a ênfase está na lembrança das respostas” (p. 98).
Estes autores, consideram ainda que a chave para ensinar a automatizar os factos
matemáticos básicos está no pensamento. A contagem não é suficiente e é necessário
pensar sobre as relações entre os factos, o que não é fácil. Um aluno que pense 9 + 6
como 10 + 5 diz rapidamente a resposta 15, mas pensar, não memorizar, é o mais
importante (embora ao longo do tempo estes factos sejam eventualmente relembrados).
A questão não é se os factos deverão ser memorizados, mas como esta memorização é
conseguida: por treino, pela prática, pela memorização, ou concentrando-se nas
relações.
Pode-se questionar: não é a memorização mais rápida? Fosnot e Dolk (2001)
consideram que não. Por exemplo, Kamii (1994) comparou duas turmas do 2º ano na
mesma escola. Numa, o professor centrava-se nas relações e trabalhava para atingir a
automatização. Na outra, os alunos memorizavam factos com a ajuda do treino de fichas
e de cartões com as operações. Na turma em que o objectivo era a automatização, os
alunos superavam significativamente o ensino tradicional e eram capazes de dizer
respostas correctas a factos básicos de adição em 3 segundos – 76% comparado com
53%. Alguns dos factos mais difíceis para os alunos do ensino tradicional era 8 + 6 ; 5 +
7; 5 + 8; 9 + 5 e 7 + 6. Naturalmente, estes eram resolvidos facilmente pelo outro grupo
que utilizavam estratégias baseadas, por exemplo, na estrutura decimal (como calcular
com base no 5 e no 10 e em múltiplos de 10) e no conceito de dobro.
Quando as relações são o foco, há muito menos factos para recordar, as ideias
fundamentais como a compensação, a inclusão hierárquica e a relação parte/todo entram
em jogo. Também, se uma criança esquece uma resposta, ela tem uma maneira rápida
de a alcançar. Este debate está ligado a um debate mais geral na aprendizagem da
matemática, em que se coloca a compreensão vs memorização, como se se tratasse de
abordagens opostas. Sabemos que compreender é uma parte importante para aprender
matemática.
De facto, muitas vezes, os alunos desenvolvem uma boa compreensão do que
significa adicionar dois números e eles revelam esta compreensão mostrando com os
seus dedos, ou com cubos, os números que eles estão adicionando. Contudo, mesmo
com esta compreensão, os alunos contam três vezes – cada quantidade separadamente, e
depois o total. Por exemplo, para determinar 5 + 6, eles inicialmente podem contar de 1
59
até 5, depois 1 até 6 e depois juntar os conjuntos e começar de novo outra vez para
contar até 11. Mesmo quando eles desenvolvem estratégias de contagem com números
maiores, eles podem ainda confiar na contagem com os seus dedos, dizendo, “sete, oito,
nove, dez, onze”. Será este tipo de contagem suficiente para resolver problemas de
adição e subtracção de forma eficiente? Será que tendo memorizado o facto numérico
básico de 5 + 5 = 10 ajudará o aluno a resolver a situação de 5 + 6 ? E como ajudamos
os alunos a compreender as relações entre os factos (por exemplo, 5 + 6 = 5 + 5 + 1)?
Memorizar factos matemáticos básicos não dá automaticamente nenhuma
compreensão das relações entre eles. O mais importante neste processo é que os alunos
estabeleçam relações entre esses factos e entre a adição e a subtracção em geral. De
outro modo, os factos memorizados não terão qualquer influência no desenvolvimento
de ideias matemáticas ligadas à adição e à subtracção.
Memorizar factos matemáticos através da prática do treino e de fichas repetitivas
não levará ao desenvolvimento das relações entre eles. Há estratégias que convém
desenvolver no sentido delas poderem contribuir para uma maior eficácia na resolução
de problemas de adição e subtracção e mesmo no uso das estratégias informais que os
alunos usam para resolver problemas.
Uma vez que uma criança compreenda as ideias fundamentais envolvidas nas
operações de adição e subtracção, e possa modelar várias situações, é importante que
elas automatizem os factos matemáticos básicos. Em contrapartida à memorização, a
automatização é levada a cabo pelo desenvolvimento das relações entre os factos,
partindo de menos factos para memorizar.
Fosnot e Dolk (2001), descrevem as estratégias que normalmente os alunos mais
utilizam e inventam e que constituem o que é essencial para resolver problemas de
adição e subtracção:
1. Dobros, quase dobros mais 1 ou menos 1 – por exemplo, 6 + 7 = 6 + 6 + 1 (ou
7 + 7 – 1) = 13
2. Trabalhar com a estrutura do 5 - por exemplo, 6 + 7 = 5 + 1 + 5 + 2 = 10 + 3 =
13.
3. Fazer até ao 10 (transformar em dezenas) – por exemplo, 9 + 7 = 9 + 1 + 6 e 10
+ 6 = 16
4. Utilizar a compensação – por exemplo, 6 + 8 =7 + 7 = 14
5. Utilizar factos matemáticos já conhecidos – por exemplo, 6 + 8 = 14, então 7 +
8 deve ser 14 + 1 = 15 (p. 98).
60
Verschaffel e De Corte (1996) defendem que é importante que as estratégias
atrás referidas não sejam elas próprias consideradas como procedimentos treináveis,
susceptíveis de serem ensinados, mas construídos através da compreensão intuitiva de
números e das estratégias informais de contagem dos alunos. A aprendizagem de factos
numéricos básicos pode proporcionar um contexto para os alunos aprenderem como a
adição e a subtracção estão relacionadas. Compreender esta relação pode tornar a
aprendizagem dos factos numéricos mais fácil e robusta (Carpenter et al., 2003). O
processo de aprendizagem tem muitos caminhos; o que caracteriza a viagem é a
compreensão e não a tarefa ou a transmissão. (Fosnot & Dolk, 2001, p. 102).
3.4. A importância do contexto na aprendizagem da adição e subtracção
Desde o início da implementação do Programa de Concepção Realista (PCR) na
Holanda foi dado um grande relevo ao papel dos problemas de contexto. Este facto
insere-se numa perspectiva que o contexto estimula a visualização do raciocínio
matemático como uma actividade de resolução de problemas, constituindo uma
abordagem que difere da que é apresentada nos manuais tradicionais e mecanicistas, que
dá ênfase à prática dos procedimentos.
Pode-se distinguir dois tipos de problemas de contexto, de acordo com a
perspectiva da Educação Matemática Realista: problemas de aplicação e problemas que
funcionam como modelo (por exemplo, como modelo da estratégia de “adicionar até
chegar ao número pretendido”). Do mesmo modo, a EMR atribui importância à
necessidade de estabelecer ligações aos métodos informais de trabalho dos alunos antes
da apresentação de estratégias mais formais. Na perspectiva realista e, como tal,
também no PCR, o ensino deverá ser organizado de forma a encorajar, primeiro, a
flexibilidade na utilização de estratégias (através de diversos tipos de problemas de
contexto e modelos), sendo seguidamente acompanhada de orientação e prática dos
procedimentos das operações numéricas (por exemplo, execução de vários passos de
resolução) (Klein, 1998).
Os problemas realistas, inseridos num contexto, fornecem uma melhor
visualização do problema em si, fazendo uso de um nível mínimo de verbalização. É
provável que um determinado contexto afecte a modelização e estratégias dos alunos em
determinado sentido e é nessa base que foi pensado para a elaboração do currículo
61
matemático nos níveis mais elementares na Holanda (Fosnot & Dolk, 2001). Espera-se
que com o tempo a modelização evolua para uma representação simbólica da
matematização. Estes autores consideram que os contextos deverão ter em conta três
componentes: (i) permitir o uso de modelos; (ii) “fazer sentido para os alunos e (iii)
criarem surpresa e suscitarem questões. Para permitir o uso de modelos é importante
que as tarefas propostas aos alunos tenham subjacente imagens ou situações que os
levem a utilizar um determinado modelo. Fazer sentido para os alunos é outra
característica essencial do contexto, devem ser situações que os alunos sejam capazes de
analisar a razoabilidade dos resultados a que vão chegando e das acções que vão
realizando.
Desenvolver contextos enriquecedores e jogar com os números nos problemas
não é suficiente só por si para levar as crianças a generalizar. Muitas crianças podem
não relacionar os problemas, mesmo depois de justapor os contextos e os números.
Como adultos, com melhor compreensão matemática, vemos imediatamente os modelos
nos problemas e esperamos que as crianças façam o mesmo. Mas é importante ter em
conta que os modelos não estão nos problemas até os matematizarmos como tal. “As
crianças que não conseguem estabelecer estas relações irão matematizar as situações por
referência às suas percepções, às suas estratégias e às suas ideias. Justapor contextos e
jogar com os números pode ajudar as crianças a reflectir sobre as relações” (Fosnot &
Dolk, 2001, p. 95). Enquanto trabalham em problemas de contexto, os alunos podem
desenvolver ferramentas e compreensão matemática (Heuvel-Panhuizen, 2001).
O trabalho em torno de contextos conhecidos dos alunos facilita a sua
aprendizagem e favorecem o desenvolvimento de ideias e procedimentos matemáticos.
Muitas vezes “as estratégias e os procedimentos utilizados pelos alunos dependem tanto
das suas opções pessoais como do contexto que lhes é apresentado” (Brocardo,
Delgado, Mendes, Rocha, Castro, Serrazina & Rodrigues, 2005, p. 9). De acordo com
estas autoras, os contextos funcionam, simultaneamente, como ponto de partida e como
fonte de aprendizagem da matemática. Contextos em que por exemplo é usado o
dinheiro e a sua estruturação em 5, 10, 20, 50, e 100 favorecem a utilização de
estratégias e procedimentos de cálculo mais potentes.
Gravemeijer (1997) afirma que o que é central é o contexto no qual um
problema é situado e experiencialmente real para os alunos, em que eles podem agir
inteligentemente dentro desse contexto. O objectivo é que, eventualmente, a própria
matemática possa constituir contextos reais para os alunos.
62
3.5. Algoritmo e sentido do número
Uma das questões que se deve discutir é o papel do algoritmo convencional na
aprendizagem da adição e subtracção. O que fazer por exemplo, perante a seguinte
adição: 3996 + 42 46 = ….? Tirar papel e lápis? É o algoritmo a melhor estratégia? O
que significa calcular com sentido do número?
Segundo Fosnot e Dolk (2001), “olhar primeiro para o número” (p. 115) e
decidir uma estratégia, por exemplo, 3996 é perto de 4000, retirar 4 de 4246 e então
teremos 4000 + 4242 – o que será fácil de calcular mentalmente.
O programa de Matemática em vigor (ME-DGEBS, 1990) refere o algoritmo da
adição e subtracção a partir do 2º ano de escolaridade, alertando para o facto de que a
“verdadeira aprendizagem é pouco significativa quando o objectivo é apenas o treino de
uma habilidade” (p. 133). Assim, sugere que a aprendizagem do algoritmo deve surgir
sempre “como resultado de um longo trabalho com os números e as operações” (p.
133). De facto, a realidade das nossas salas de aula de matemática nem sempre
reflectem esta perspectiva.
Sabemos que o nosso país tem sido muito influenciado pelo trabalho de sala de
aula em torno do algoritmo (Brocardo et al., 2003). Este tem sido visto mais como “um
objectivo de ensino”. Quando assim é não tem sido um assunto muito questionado,
embora os seus efeitos e os seus resultados na aprendizagem da matemática venha a ser
posto em causa.
Recentemente, O Programa de Matemática do ensino básico (ME-DGIDC,
2007) propõe a introdução dos algoritmos da adição e subtracção para mais tarde, no 3º
ano de escolaridade. Esta mudança de ano de escolaridade não resolve os problemas
relacionados com a utilização do algoritmo se não for acompanhada de uma nova
abordagem das operações e da sua construção algoritmíca.
A nível internacional, vários estudos têm vindo a questionar a importância do
algoritmo na aprendizagem da matemática. Por exemplo, Carraher e Schliemann (1985)
concluíram, após algumas investigações, que os alunos que usaram os seus próprios
processos têm respostas mais correctas do que aqueles que tentaram usar algoritmos
63
convencionais, salientando também que “os algoritmos eram um obstáculo mais do que
uma ajuda” (p. 131).
Também Kamii e Dominick (1998), concluíram que os alunos a quem nunca
tinha sido ensinado qualquer algoritmo e que utilizaram os seus próprios processos, têm
respostas mais correctas e têm melhor conhecimento do valor de posição dos números.
Estes autores reforçam a ideia de que os algoritmos podem encorajar os alunos a desistir
dos seus próprios pensamentos e dos seus próprios processos dado que eles são, muitas
vezes, alicerçados em mecanizações em que, esquecendo um passo, a nada mais podem
recorrer para continuar o trabalho. Por isso, segundo aqueles autores, é importante que
os alunos tenham tempo para criarem confiança nas suas capacidades matemáticas,
desenvolvendo e pondo em acção os seus próprios processos de raciocínio para
poderem, através deles, dar mais sentido à Matemática. Há, de algum modo, a ideia de
que os algoritmos são prejudiciais ao desenvolvimento do raciocínio matemático dos
alunos (Kamii, 1994).
Kamii e Dominick (1997) afirmam que quando os alunos pensam pelas suas
próprias formas eles tornam-se mais confiantes nas suas capacidades matemáticas e
conseguem desenvolver níveis superiores de pensamento que ficam enraizados no seu
próprio pensamento. A forma natural dos alunos é pensar acerca dos números da
esquerda para a direita. “O algoritmo convencional exige aos alunos a desistirem deste
pensamento” (p. 58) e a proceder da direita para esquerda e a considerar cada coluna
como unidades.
Todo este processo, segundo Kamii e Dominick (1997) leva a que os alunos não
desenvolvam dois aspectos fundamentais na aprendizagem da matemática, raciocínio
matemático e um maior sentido de número. Segundo eles, este facto deve-se aos três
tipos de conhecimento que Piaget identificou: conhecimento físico, conhecimento
lógico-matemático e conhecimento social-convencional. O conhecimento físico está nos
objectos. O conhecimento social-convencional está assente em regras sociais e a
principal fonte deste conhecimento é parcialmente convencionado pelas pessoas. O
conhecimento lógico-matemático consiste essencialmente nas relações mentais e nas
acções mentais de cada pessoa. Este facto leva a que quando tentamos ensinar os alunos
a fazer relações entre números (conhecimento lógico-matemático) ensinando-lhes os
algoritmos (conhecimento social-convencional) “redireccionamos a sua atenção
tentando que compreendam os números relembrando-lhes procedimentos mecanizados”
(p. 58).
64
Estes resultados dão credibilidade à ideia que, mais do que memorizar e treinar
um conjunto de factos e procedimentos de cálculo e até um conjunto de conceitos
isolados, o importante é criar nos alunos uma predisposição para a Matemática e
permitir que a aprendizagem se faça não de uma forma passiva e isolada, em dias
determinados, em planos pré-concebidos, mas sim em contextos e oportunidades que
surgem naturalmente (Abrantes et al., 1999).
É hoje reconhecido que o tempo gasto na escola em cálculos complicados de
papel e lápis é muito menos importante fora da escola do que no passado. Este tempo
pode ser melhor usado com outros tópicos matemáticos, nomeadamente, na resolução
de problemas, no cálculo mental, na estimação, na análise de dados etc. (NCTM, 1991).
Hiebert (1984) e Cobb (1995) consideram que deve haver uma mudança no tratamento
dos algoritmos na sala de aula de matemática, para uma abordagem que encoraje os
alunos a usar estratégias e procedimentos muito mais sofisticados de contagem. No
mesmo sentido, Romberg e Collis (1985) referem que era importante reexaminarmos as
relações entre o ensino dos algoritmos e a sua aplicação, “talvez a ênfase nos
procedimentos algorítmicos de papel e lápis seja inapropriado na fase inicial do
desenvolvimento dos alunos” (p. 381) para melhor compreenderem os processos de
adição e subtracção.
Tal como refere Beishuizen (2003) todo um trabalho baseado nos números e nas
suas relações ajuda mais os alunos na sua compreensão do que a introdução prematura
dos algoritmos. De facto, o desenvolvimento do sentido do número pelos alunos está
associado ao desenvolvimento de um conjunto de competências numéricas que inclui o
conhecimento e a destreza com os números, o conhecimento e a destreza com as
operações e ainda a aplicação do conhecimento e da destreza com os números e as
operações em situações de cálculo (McIntosh et al., 1992). O conhecimento e a destreza
com as operações que os alunos devem construir implicam, nomeadamente, que
percebam o efeito das operações, as suas propriedades e as relações entre elas. É
fundamental que os alunos, perante situações de cálculo concretas, sejam capazes de
mobilizar o conhecimento que têm sobre os números e as operações e o apliquem de
uma forma flexível e eficaz, relacionando o contexto com as estratégias e os
procedimentos usados.
Mas, o que é um algoritmo? Thompson (1999) refere uma concepção abrangente
de algoritmo, considerando três categorias de algoritmos escritos: standard e formal,
65
não standard e não formal e não standard e informal. A primeira categoria, diz respeito
aos algoritmos tradicionais/convencionais das operações, caracterizados por uma
representação escrita vertical e por efectuarem cálculos com os dígitos. Esta autora
refere que existem aspectos específicos destes procedimentos escritos standarizados que
causam algumas dificuldades, nomeadamente, o facto de serem simbólicos e abreviados
e pela sua verdadeira natureza envolver a “manipulação pura de símbolos sem
referência a significados particulares, os quais o sistema de valor de posição atribui a
esses símbolos individuais (p. 173). Na segunda categoria, não standard e não formal,
Thompson (1999) inclui as representações verticais em que os procedimentos operam
sobre decomposições dos números. Este método e todos os métodos não standard são
baseados nas ideias que apoiam muitas dos procedimentos mentais informais que os
alunos usam.
Por exemplo, para calcular 358 + 237, opera-se com as decomposições dos
números em centenas, dezenas e unidades do seguinte modo:
3 5 8
+ 2 3 7
500
80
15
595
A vantagem deste algoritmo é que o aluno lida inicialmente com a parte do
número que ele diz primeiro, ou seja, neste caso, 300 + 200; 50 + 30; 8 + 7. Este
algoritmo não envolve a linguagem normalmente associada com ao algoritmo escrito
convencional, onde há uma ênfase forte na manipulação dos símbolos que conduz a
frases tal como “ 5 e 3 são 8” etc, e mesmo frases como “põe o 5 e vai 1” (p. 175).
Na terceira e última categoria, não standard e informal inclui um conjunto de
procedimentos que Thompson (1999) exemplifica da seguinte maneira:
37 + 28 = ? 85 - 37 = ?
30 + 20 = 50 85 - 30 = 55
57 + 3 = 60 55 - 5 = 50
66
60 + 5 = 65 50 - 2 = 48
Uma das características destes exemplos é a extensão do modelo dos métodos
escritos dos procedimentos de cálculo mental dos alunos. Os símbolos escritos no papel
constituem um pouco mais do que uma expressão escrita do pensamento do aluno.
Outros autores, Treffers, Nooteboom e Goeij (2001) referem que os algoritmos
são “receitas” para calcular com números com vários dígitos. Estes autores, um pouco
como é adoptado na matemática realista, apresentam o algoritmo através do cálculo em
coluna. Este cálculo em coluna é caracterizado não tanto pela representação vertical,
mas pelo facto de usar a decomposição decimal (splitting), usando o valor posicional
dos números quando calculam os resultados intermédios, trabalhando do número maior
para o mais pequeno, da esquerda para a direita. Este facto, contrasta com os algoritmos
convencionais, os quais se executam com dígitos, do mais pequeno para o maior, da
direita para a esquerda.
(1) Cálculo em coluna (2) Transição do cálculo por coluna para o algoritmo
(3) Algoritmo
4 6 3 +3 8 2 7 0 0 1 4 0 ____ 5 8 4 5
4 6 3 +3 8 2 5 1 4 0 ___ 7 0 0 8 4 5
1 4 6 3 +3 8 2 8 4 5
Na situação 1), o primeiro passo é usar o procedimento splitting do número
maior para o mais pequeno e depois os resultados intermédios são combinados (700 …
840 … 845). Na situação 2), verifica-se a mudança de ordem de cálculo em que o
procedimento de cálculo é feito da direita para a esquerda. Na situação 3), deixa-se de
operar sobre o valor posicional dos números (400 + 300; 60 + 80) e passa-se a operar
com dígitos individuais.
Para estes autores, o algoritmo é considerado como uma extensão natural e o
passo final do cálculo em coluna e do cálculo mental. É, assim, o resultado da
transformação do cálculo mental por decomposição com números inteiros em cálculo
67
posicional sobre dígitos. Daí, considerarem que o cálculo em coluna (mental) e o
cálculo algorítmico estarem de algum modo relacionados.
Como conclusão, podemos dizer que para Thompson (1999) os processos de
cálculo mental são considerados algoritmos, tal como o uso de procedimentos que se
apoiam no cálculo em linha e no uso de propriedades e relações. O importante é que os
alunos vão desenvolvendo o conhecimento dos números e das operações de adição e
subtracção. É essencial que o ensino se centre nos procedimentos e estratégias de
cálculo com números inteiros, de modo que os alunos desenvolvam flexibilidade e
destreza de cálculo (NCTM, 2007). Assim, deve ser discutida a eficácia dos diversos
procedimentos, tal como a sua possibilidade de generalização.
Em experiências realizadas em aulas centradas no desenvolvimento e discussão
de procedimentos de cálculo, o surgimento de vários processos de cálculo aproximaram-
se muito dos algoritmos tradicionais. O importante é “os alunos irem adquirindo
destreza no cálculo mental, apoiados na compreensão dos números e das operações
(NCTM, 2007, p. 38). “Os algoritmos não devem ser o foco central do currículo e
devem decorrer de um longo trabalho centrado no desenvolvimento do sentido do
número” (Brocardo & Serrazina, 2007, p. 10). Como referem estas autoras, “é
importante que a aprendizagem dos algoritmos possa decorrer deste processo, dando
possibilidades aos alunos de aperfeiçoarem o seu sentido do número no contexto do
cálculo algorítmico (p. 10).
3.6. Organização/estruturação da aprendizagem
Na abordagem da matemática realista (EMR) são definidos alguns princípios
base que conduzem o ensino. Por detrás desses princípios está uma ideia base de todo o
programa desenvolvido, ou seja, ver a matemática não como um conteúdo que tem de
ser transmitido, mas uma ideia da matemática como uma actividade humana. “Uma
matemática que deve estar relacionada com a realidade, permanecer perto dos alunos e
ser relevante para a sociedade” ( Heuvel-Panhuizen, 2001, p. 50). É importante dar aos
alunos a oportunidade para “reiventar” a matemática, partindo dos processos de
resolução informais dos alunos, fazendo-o dentro dum processo de matematização
progressiva. Esta matematização progressiva é um dos princípios chave da EMR
identificados por Gravemeijer (1994 a).
68
Treffers (1991) baseado no princípio da matematização progressiva formulou a
ideia de dois tipos de processo, distinguiu matematização “horizontal” e matematização
“vertical”. Na matematização horizontal, os alunos começam com ferramentas
matemáticas que podem ajudar a organizar e resolver problemas localizados em
situações da vida real, essencialmente, modelando o problema. A matematização
vertical é o processo de reorganização dentro do próprio sistema matemático, que
consiste na construção e expansão do conhecimento e competências. “Os métodos de
resolução informais dos alunos servem de pretexto para alcançar os procedimentos
matemáticos através de um processo gradual de esquematização, abreviação e
generalização” (Treffers, 1991, p. 33). A “matematização horizontal envolve ir do
mundo da vida ao mundo dos símbolos, enquanto a matematização vertical significa
movimento dentro do mundo dos símbolos” (Heuvel-Panhuizen, 2001, p. 50).
Gravemeijer (1997) define a matematização progressiva com cinco
características:
(i) O uso de problemas de contexto – Na EMR os problemas de contexto
não figuram como aplicações finais de uma sequência. Os problemas
de contexto são também explorados como um ponto de partida
significativo através do qual a matemática pode emergir;
(ii) Lançando pontes através de instrumentos verticais. Uma ampla
atenção é dada aos modelos, situações de modelos e esquemas que em
vez de serem oferecidos imediatamente surgem da actividade de
resolução de problemas e consequentemente podem ajudar a
ultrapassar a lacuna entre o nível intuitivo e o nível sistemático do
conteúdo;
(iii) Contribuição dos alunos: o elemento construtivo é visível e tem uma
larga contribuição ao longo do percurso com as construções e
produções dos próprios alunos;
(iv) Interactividade: negociação explícita, intervenção, discussão,
cooperação e avaliação são elementos essenciais na construção do
processo de aprendizagem em que os métodos informais dos alunos
são usados para atingir um nível mais formal;
(v) Encadeamento: implica que a cadeia de aprendizagem não pode ser
tratada como entidade separada, em vez disso, um encadeamento de
cadeias de aprendizagem é explorado na resolução de problemas.
69
Freudenthal (1973) toma como ponto de partida a actividade matemática como
uma actividade de resolução de problemas que é preciso organizar ou matematizar. Esta
actividade de organização é chamada “matematizar” (significa fazer mais matemática).
No ponto de vista do autor, matematizar está relacionado com o nível de
desenvolvimento (level-raising) – num sentido matemático. A ideia de level-raising está
no coração da concepção de aprendizagem matemática (Gravemeijer, 1994a): a
actividade num nível é sujeito a análise no seguinte; a matéria operacional num nível
torna-se uma matéria subjectiva no nível seguinte. Level-raising é obtido quando se
desenvolvem características que caracterizam a matemática, tais como a generalidade,
certeza, exactidão e brevidade. De modo a clarificar o que se entende por matematizar,
Gravemeijer dá um exemplo através das estratégias que se usam para promover as
características matemáticas:
- para generalidade: generalizando (procurar analogias, classificar, estruturar);
- para certeza: reflectir, justificar, provar (usando uma teoria sistemática, elaborar e
testar conjecturas, etc.);
- para exactidão: modelar, simbolizar, definir (limitar interpretações e validade);
- para brevidade: simbolizar e esquematizar (desenvolver procedimentos standards e
notações) (1994a).
Na educação matemática realista, matematizar envolve principalmente
generalizar e formalizar. Formalizar envolve modelar, simbolizar, esquematizar e
definir, e generalizar é para ser compreendido num sentido reflexivo.
Para Freudenthal, a matematização é o processo chave na educação matemática
por duas razões: primeiro, porque matematizar não é só a principal actividade dos
matemáticos, também familiariza os alunos com uma abordagem matemática das
situações da vida quotidiana. Podemo-nos referir à actividade matemática olhando para
os problemas, o que implica uma atitude matemática, abrangendo saber as
possibilidades e as limitações da abordagem matemática, sabendo quando uma
abordagem matemática é apropriada e quando não o é.
A segunda razão para fazer a matematização como foco central no ensino da
matemática relaciona-se com a ideia de reinvenção. Em matemática, a fase final é
formalizar pela forma axiomática. Este ponto final não deve ser o ponto de partida para
a matemática que ensinamos. Freudenthal defende, então, uma educação matemática
organizada como um processo de reinvenção guiada, onde os alunos podem
70
experimentar um processo semelhante ao processo pelo qual a matemática foi
inventada.
Gravemeijer desenvolveu, de uma forma mais profunda, a importância deste
princípio de reinvenção/matematização na abordagem da educação matemática realista.
Para este investigador, na abordagem realista, a ênfase está na matematização, ou seja,
ver a matemática como uma actividade, uma forma de trabalho em que aprender
matemática significa fazer matemática, onde resolver problemas de todos os dias é uma
parte essencial. Podemos visualizar esta abordagem através da figura 9.
Figura 9: Aplicação da matemática formal (Adaptado de Gravemeijer, 1994a, p. 92)
O modelo descreve o processo de resolução de problemas contextuais com a
ajuda do conhecimento matemático formal. Primeiro, o problema é interpretado; isso
tem de ser formulado em termos matemáticos, como um problema matemático. A
seguir, este problema matemático é resolvido com a ajuda de meios matemáticos
disponíveis. Finalmente, a solução matemática é interpretada e volta ao contexto
original.
Pelo contrário, na abordagem da educação matemática realista, ensinar
matemática como uma actividade, a resolução de problemas toma um significado
diferente. O ensino torna-se centrado nos problemas, o que significa que o problema é o
objectivo real, em vez do uso de uma ferramenta matemática. Mesmo se a resolução de
problemas passa através das mesmas três fases do problema contextual descrito,
resolver o problema neste (mais ou menos) nível formal e interpretar a solução voltando
ao contexto, o carácter destas actividades é agora fundamentalmente diferente. Em vez
de ter como objectivo adequar o problema a um sistema pré-definido, tenta-se descrevê-
lo de forma que permita vir a compreendê-lo. Através da esquematização e identificação
das relações centrais na situação problema compreende-se melhor o problema. (Fig. 10);
não necessita ser apresentado em linguagem matemática aceite normalmente.
Conhecimento matemático formal
Problemas de contexto
6 6 6 6 6 6 6
71
…..
Figura 10: descrição de um aluno do número de mesas necessárias para 81 pais
A descrição não responde automaticamente à questão, mas simplifica o
problema descrevendo as relações e distinguindo assuntos de maior ou menor
importância. Resolvendo o problema como é afirmado neste nível mais ou menos
formal difere grandemente da aplicação dum procedimento standard. Interpretar a
solução final não difere muito de interpretar uma solução que é produzida por um
procedimento standard. Mas explicar e interpretar são agora mais fáceis porque os
símbolos são significativos para o resolvedor de problemas, em que cada um dá o seu
significado (Figura 11).
Figura 11: Resolução de problemas realistas na abordagem da matemática
(Adaptado de Gravemeijer, 1994a, p. 93)
Dentro deste tipo de programa de ensino, os alunos aprendem a matematizar
problemas de contexto. A descrição de problemas desenvolve a linguagem informal, a
qual por seu turno envolve uma linguagem standarizada mais formal, devido a um
processo de simplificação e formalização. Isto é também um processo de
matematização, embora alargado durante um longo período de tempo. Algo semelhante
acontece aos procedimentos de resolução. Com o decorrer do tempo, resolver alguns
tipos de problemas pode tornar-se rotineiro, isto é, o procedimento é condensado e
formalizado ao longo do tempo. Algoritmos genuínos podem então tomar forma (Figura
12).
Problemas de contexto
Descrever (describing Representar?
Resolver
72
Figura 12: matematização vertical (Adaptado de Gravemeijer, 1994a, p. 93)
Figura 13: reinvenção (Adaptado de Gravemeijer, 1994a, p. 94)
Este é um processo de aprendizagem pelo qual o próprio conhecimento
matemático formal pode ser (re)construído (figura 13). Segundo Treffers (1991), o
processo posterior – a matematização dum assunto matemático – é chamado
matematização vertical. Isto é distinto de matematização horizontal, a qual é
matematizar problemas de contexto. Freudenthal (1991) caracteriza esta distinção:
Problema de contexto
Descrever
Linguagem matemática
algoritmo
resolver
Problema de contexto
Descrever
resolver
Linguagem matemática algoritmo
Conhecimento matemático formal
Linguagem matemática algoritmo
73
Matematização horizontal conduz-nos do mundo da vida ao mundo dos símbolos. No mundo da vida, cada um vive, age (e sofre); no outro, os símbolos são ajustados, reajustados e manipulados, mecanicamente, compreensivamente, reflectidamente, isto é a matematização vertical. O mundo da vida é o que é experienciado como realidade, o mundo simbólico já tem um olhar para a abstracção (p.41, 42).
Como Freudenthal indica, os limites entre o que é para ser designado como
matematização horizontal e como matematização vertical estão mal definidos. O ponto
crucial é o que é compreendido como realidade.O autor esclarece Realidade - é o que
cada um toma em consideração, não é estático, mas cresce sob a influência do processo
de aprendizagem da pessoa em questão, “a matemática começa em, e fica dentro da
realidade” (Freudenthal, 1991, p, 18) e deve ser compreendida. Este progresso é apoiado
pelos problemas de contexto adequados. Estes problemas podem facilitar certas
interpretações e estratégias conduzindo a processos de matematização horizontal.
Resumindo, na educação matemática realista, uma actividade humana é
principalmente vista como um processo. Ao mesmo tempo, o princípio da reinvenção
significa que esta actividade resulta em matemática como um produto. A matematização
vertical está no núcleo deste processo. O progresso vertical está reflectido na sequência
de processos de solução e simbolizações mais graduais. Seguindo o princípio da
reinvenção, a ideia é que os alunos construam modelos para eles próprios e que esses
modelos sirvam como uma base para desenvolver o conhecimento matemático base.
Inicialmente, os modelos vêm à frente como modelos em contextos específicos.
Os modelos referem-se a situações concretas ou paradigmáticas, que são
experimentalmente reais para os alunos. Neste nível, o modelo deve permitir ir para
estratégias informais que correspondam às estratégias de solução situadas num nível da
situação que está definido no problema contextual. A partir daí, o papel do modelo
começa a mudar. Então, enquanto os alunos ganham mais experiência com problemas
semelhantes, a sua atenção pode mudar em direcção a estratégias e relações
matemáticas. Como uma consequência, o modelo adquire um carácter mais parecido a
um objecto e torna-se mais importante como uma base para o raciocínio matemático, do
que como uma forma de representar um problema contextual.
Desta forma, o modelo começa a tornar-se uma base referencial para o nível da
matemática formal. De início, os modelos ajudam os alunos a organizar a sua
74
actividade, mas gradualmente podem evoluir de um modelo de uma situação para um
modelo para mais generalizado de modo a tornar-se um instrumento de raciocínio.
Garvemeijer (1994, 2005) considera quatro níveis de actividade (Fig. 14):
Figura 14: Níveis de actividade (Adaptado de Gravemeijer, 2005, p. 98)
De acordo com o autor “A mudança de um modelo de para um modelo para
corresponde a uma alteração na forma de pensar do aluno, de pensar acerca da situação
do contexto modelizado para um enfoque nas relações matemáticas” (Gravemeijer,
2005, p. 95). Este é um marco fundamental no desenvolvimento matemático.
Relacionado com este aspecto podemos distinguir dois tipos diferentes de
actividade: (i) actividade ligada a um referencial, em que a acção com o modelo decorre
do significado do contexto de cada situação; (ii) actividade geral, em que a acção com o
modelo decorre do significado das relações matemáticas envolvidas.
Estes dois tipos gerais de actividade podem ser vistos como níveis diferentes de
actividade, que podem ser complementados por outros dois: um ao nível do enunciado
da tarefa e um outro a um nível mais formal de actividade matemática em que os alunos
não precisam dos modelos.
No nível de actividade situacional, a interpretação e as soluções decorrem de
uma acção sobre o contexto.
No nível referencial a actividade geral começa a emergir e os alunos começam a
focar-se nas relações matemáticas envolvidas. O seu raciocínio perde dependência da
imagem específica e usa-se um modelo abstracto da situação – modelo de.
Os modelos mudam gradualmente e tornam-se generalizáveis a outras situações.
O nível geral caracteriza-se pelo uso de modelos que não se aplicam apenas naquela
75
situação particular e que podem ser usados em todas as situações de um certo tipo –
modelo para. Por último, no nível formal não há dependência de modelos que suportam
a actividade matemática. Os alunos raciocinam com base em propriedades e relações
sobre objectos matemáticos (e não sobre coisas).
3.6.1. Modelos matemáticos
Quando a matemática é entendida como actividade de matematização – a acção
humana de organizar e interpretar matematicamente a realidade – em vez de um sistema
fechado de conteúdos a ser transmitido ou descoberto, os modelos matemáticos tornam-
se extremamente importantes. É impossível discutir a matematização sem discutir
simultaneamente os modelos matemáticos.
Os modelos são representações de relações que os matemáticos desenvolveram ao longo do tempo, em resultado de uma reflexão sobre a forma como alguma coisa pode ser transformada noutra e da generalização de ideias, estratégias e representações em diferentes contextos (Fosnot & Dolk, 2001, p. 77).
Segundo Fosnot e Dolk (2001), os modelos são “mapas mentais usados pelos
matemáticos para organizar a sua actividade, resolver problemas ou explorar relações”
(p. 77). Por exemplo, quando os matemáticos pensam em números, eles podem usar
uma linha numérica, pensando na posição dos números nesta linha e imaginando andar
para a frente e para trás ao longo dela. Outro mapa mental útil é o de um modelo
geométrico de números. Por exemplo, podemos imaginar o número 64 transformado
noutro número ao quadrado (8 x 8) ou ao cubo (4 x 4 x 4), e o 27 transformado num
número ao cubo (3 x 3 x 3) e depois analisar a forma como estes números se relacionam
uns com os outros.
Os primeiros modelos feitos pelas crianças são de facto representações das suas
interacções com o objecto, em vez do objecto em si. Por exemplo, é interessante
verificar que em qualquer parte do mundo as crianças tendem a desenhar árvores, flores
ou o Sol de forma semelhante (Fig.15). Estas representações acabam depois por evoluir
para esquemas universais mais generalizados. Estes modelos generalizados transmitem
conhecimentos universais e podem ser usados como instrumento de raciocínio. Tendo
uma imagem mental da categoria árvore e uma palavra para designar essa imagem,
76
pode-se pensar na ideia geral de árvore sem necessidade de lembrar as acções
relativamente a uma árvore específica e pode-se usar a palavra para simbolizar todas as
árvores.
Figura 15: Esquemas universais de arte (Adaptado de Fosnot & Dolk, 2001, p. 80)
O desenvolvimento dos modelos matemáticos segue um percurso semelhante.
Quando as crianças tentam modelizar as situações matematicamente, elas começam
frequentemente por modelizar as acções associadas à situação. Segundo Treffers (1991)
“os modelos agem como intermediários” (p. 33) e desenvolvem uma função de lançar
pontes entre os processos informais e a matemática formal.
À medida que os alunos participam em actividades deste tipo, à medida que são
encorajados e apoiados em situações matemáticas, os seus modelos irão para além de
simples representações das suas acções, evoluindo para modelos mais generalizados de
estratégias. Eles irão evoluir de modelos de pensar para modelos para pensar
(Gravemeijer, 2005): “A mudança de um modelo de para um modelo para corresponde
a uma alteração na forma de pensar do aluno, de pensar acerca da situação do contexto
modelizado para um enfoque nas relações matemáticas” (p. 97). Este é um marco
fundamental no desenvolvimento matemático.
Ao ajudar as crianças a generalizar o modelo a todas as situações de adição e
subtracção, estamos a promover o desenvolvimento de um modelo para muitas
situações diferentes, um modelo que pode vir a ser um instrumento de raciocínio. À
semelhança das estratégias ou ideias fundamentais, os modelos não podem ser
transmitidos. As crianças têm de conseguir compreendê-los. Só se planeia um contexto
a pensar num determinado modelo, e isso não significa que todas as crianças irão
interpretar ou assimilar o contexto dessa forma (Fosnot & Dolk, 2001).
77
3.6.2. A linha vazia como modelo didáctico
A linha vazia foi desenvolvida a partir de uma necessidade de encontrar uma
“nova” ferramenta para ajudar os alunos a resolver problemas de adição e de subtracção.
É, essencialmente, “uma representação visual para registar e partilhar as estratégias de
pensamento dos alunos durante o cálculo mental” (Bobis & Bobis, 2005, p. 67). Surge a
partir da crescente influência da perspectiva da EMR na Holanda, na década de 90, que
chocou com as ideias pré-estruturadas subjacentes ao “quadrado dos 100” e ao uso do
MAB que deixavam pouco espaço à utilização de estratégias informais dos alunos.
Treffers e De Moor (1990), no seu “apelo à reforma” do programa de matemática
holandês do ensino primário, conceberam um novo formato da já conhecida linha
numérica: a linha vazia até 100 (Klein, Beishuizen e&Treffers, 1998)
Gravemeijer (1994) assinala que, durante a década de 70, algumas experiências
envolvendo a linha numérica estruturada haviam falhado, devido à resistência dos alunos
em utilizá-la de uma maneira ampla e flexível. Para justificar este facto, referiu que a
linha numérica era associada a problemas de medição, mantendo uma estrutura fixa,
com distâncias pré-estabelecidas e com a identificação de todos os números. A
utilização da linha numérica estruturada originava comportamentos mecanizados de
contagem e interpretação. Este facto, conduziu Treffers e De Moor (1990) a
reconsiderar a utilização da linha numérica. Optaram, então, por uma linha numérica
“vazia” em que os alunos poderiam fazer as suas próprias marcações. Como modelo
introdutório da linha numérica vazia, propuseram a apresentação de um fio de contas de
estrutura linear (Fig. 17).
A estrutura do fio de contas (com divisões de 5 em 5 ou de 10 em 10 unidades)
ajuda os alunos a identificar um determinado número e familiariza-os com o valor
posicional dos números até 100 e com as quantidades que representam. As dezenas
podem servir como ponto de referência de duas formas: por exemplo, existem 6 dezenas
no número 64 e existem quase 7 dezenas no número 69. Após alguns exercícios com o
fio de contas, a linha numérica sem marcações poderá ser introduzida como modelo do
fio de contas (Fig. 17).
Freudenthal (1973), referiu-se à linha numérica como o modelo mais natural para
a utilização de estratégias informais de contagem por parte dos alunos. Ao usar este
modelo, os alunos podem ampliar e melhorar as suas estratégias de contagem, passando
78
da simples contagem de dezenas e unidades para a contagem em múltiplos de dez. Do
mesmo modo, a linha numérica vazia pode ser considerada como um tipo de
representação linear, necessária à representação da sequência numérica. Esta difere da
representação estática que os materiais manipuláveis, como por exemplo, o Cuisenaire
ou o MAB, ofereciam.
Gravemeijer (1994) defende duas outras razões pelas quais a linha numérica
vazia deveria ser introduzida como ferramenta didáctica para a adição e subtracção com
números até 100. Em primeiro lugar, devido ao seu carácter linear, a linha numérica
vazia revela-se bastante apropriada para tornar explícitos os procedimentos de resolução
informais. Muitas das estratégias informais poderão ser consideradas como formas
sofisticadas de contagem dos números.
Este investigador observou que, em problemas de subtracção envolvendo
números mais elevados, os alunos preferem aplicar a estratégia (mais fácil) de
“adicionar até chegar ao número pretendido”. Concluiu que os alunos do segundo ano
de escolaridade consideram mais difícil a resolução da subtracção 53 – 45 do que a
resolução do mesmo problema, inserido num contexto, no qual lhes é pedido para
calcular quantas pérolas restam, se num jarro estiverem 53 e forem necessárias 45 para
fazer um colar. Gravemeijer explica este facto, referindo que os alunos recorrem a
estratégias informais para a resolução deste problema específico, como, por exemplo,
“contar para a frente” de forma abreviada. Para resolver este problema numérico, os
alunos poderão ter utilizado a estratégia mais tradicional de “contar para trás”. Ambas
podem ser facilmente demonstradas na linha numérica vazia, através da representação de
saltos que simbolizam uma sequência de valores adicionados (Gravemeijer, 1994).
A segunda razão pela qual a introdução da linha vazia é encorajada consiste no
facto de permitir o aumento de nível de actividade dos alunos (Gravemeijer, 1994).
Segundo a perspectiva da EMR, um modelo não deve apenas dar aos alunos a liberdade
de desenvolver os seus próprios procedimentos de resolução: a utilização do modelo
deve também promover o desenvolvimento de procedimentos mais sofisticados. Esta
evolução no sentido de atingir procedimentos mais formais de resolução de problemas é
conhecida como processo de esquematização progressiva e constitui um princípio-
chave da teoria da EMR (Gravemeijer, 1994; Treffers, 1991a).
O uso da linha numérica vazia não só permite que os alunos manifestem e
comuniquem as suas próprias resoluções como também as facilita. A representação dos
diversos passos na linha numérica funciona como uma espécie de andaime: mostra que
79
parte da operação já foi realizada e o que falta para ser concluída. Na figura 17 são
apresentadas, a título de exemplo, diferentes formas de resolver um problema na linha
vazia.
Figura 17: A linha vazia como modelo do fio de contas: o problema 38+25 é resolvido de diferentes formas e a diferentes níveis (Adaptado de Klein, Beishuizen & Treffers, 1998, p.
440).
Também Beishuizen (2001) enumera quatro argumentos sobre a utilização e a
importância da linha vazia:
1. Um suporte para uma actividade mental de um nível mais elevado;
2. Um modelo mais natural e transparente para as operações numéricas:
3. Um modelo aberto a estratégias informais e levando também as crianças a
desenvolver estratégias mais formais e eficientes;
4. Um modelo permitindo a flexibilidade de estratégias mentais, em particular
variações do N10 (esta estratégia foi descrita noutro capítulo e,
essencialmente, é uma estratégia que, no caso da adição, começa a partir da
primeira parcela) (p. 160).
Na perspectiva de Bobis e Bobis (2005), a linha numérica vazia permite “ver”
quais as estratégias mentais que os alunos usam e também onde podem ocorrer erros.
Através desta visão, o professor poderá ajudar os alunos a desenvolver procedimentos
cada vez mais eficientes. Uma outra vantagem apontada por estes autores é que a linha
numérica vazia pode “proporcionar um estímulo para a discussão na sala de aula e a
partilha de procedimentos mentais” (p. 68). Deste modo, a linha numérica vazia pode
tornar-se uma ferramenta poderosa para aumentar a comunicação matemática na sala de
80
aula. Esta perspectiva de utilização da linha numérica vazia não deverá passar pela sua
aplicação rígida, dado que isso poderá limitar as capacidades dos alunos para aplicar
procedimentos mentais de formas fluentes e flexíveis. É importante e necessária uma
variedade de procedimentos e ferramentas representacionais (Bobis & Bobis, 2005).
3.6.3. Introdução à linha vazia
Gravemeijer (1994) salienta que, na Holanda, devido ao carácter abstracto da
linha numérica vazia, a sua apresentação aos alunos, imediatamente a partir do segundo
ano de escolaridade, revelou-se uma tarefa bastante complicada. Por esse motivo,
começaram com a linha numérica com marcações: primeiramente, até ao número 20, e
mais tarde até ao número 100. Nenhum dos dois tipos de recta apresenta todos os
números assinalados, uma vez que essa modalidade provara já não ser tão bem
sucedida.
A linha numérica até 20 encontra-se dividida em intervalos de cinco (Fig. 18),
enquanto que a linha numérica associada ao fio de 100 contas encontra-se dividida
somente em intervalos de dez unidades. De notar que apenas os números 0, 20 e 100,
bem como os intervalos referidos se encontram assinalados. Os alunos podem assinalar
outros números, se isso os ajudar na resolução dos problemas (Klein et al., 1998)
Após um certo período de tempo, os intervalos assinalados foram retirados; o
modelo passou a ser, então, uma linha vazia e eram os próprios alunos que
representavam (mentalmente) os números e os saltos efectuados. A introdução da linha
numérica até 20 é feita a partir de um fio de contas (Fig. 18).
Estes autores defendem que o fio de contas deve ser utilizado, primeiramente,
para demonstrar a estrutura numérica e como representação concreta dos números até 20
e até 100 e, também, para impedir que os alunos procedam à contagem das contas uma a
uma. No entanto, para a explicação dos procedimentos da adição e da subtracção, a sua
utilização não é tão adequada, por exemplo, o sentido da subtracção na linha vazia (Fig.
18). Por este motivo, dificilmente se consegue proceder à adição e à subtracção de
números no fio de contas, mas, preferencialmente, na linha vazia.
81
Figura 18: Representação do problema de subtracção 32 – 14 no fio de contas e numa recta numérica parcialmente dividida até ao número 100. De salientar os sentidos opostos de deslocamento das contas (para a direita) e da representação dos saltos na recta numérica (para a esquerda) (Adpatado de Klein,
Beishuizen & Treffers, 1998)
Yackel (2001) alerta, no entanto, para o facto de que as ferramentas, incluindo
materiais, modelos, diagramas, notações, etc., se poderem tornar gradualmente
proeminentes no ensino da aritmética, e é imperativo que se considere cuidadosa
atenção ao seu uso. Defende, ainda, que é preciso determinar quais as interpretações que
os alunos estão fazendo destas ferramentas. Se não se fizer, pode-se correr o perigo de
substituir regras e procedimentos verbais com regras e procedimentos para usar as
ferramentas.
Fosnot e Dolk (2001) são de opinião que no âmago do processo de modelização
está o sentido dos números – a representação de relações numéricas. À medida que as
crianças constroem mapas mentais destas relações, elas vão desenvolvendo ferramentas
poderosas com as quais podem continuar a matematizar o mundo em que vivem. “O
objectivo dos modelos não é ajustarem-se os dados, mas aguçar as questões” (p. 95)
82
CAPÍTULO 4
ASPECTOS DA APRENDIZAGEM
4.1. Aprender e ensinar matemática na sala de aula
Cada vez mais, a ideia de que o aluno aprende por ouvir o professor explicar
conceitos e apresentar exemplos e praticar a resolução de numerosos exercícios de
aplicação tem vindo a ser posta em causa pela investigação que valoriza o papel do
aluno como sujeito criador do seu próprio saber e o papel das interacções sociais nesse
mesmo processo (Ponte et al., 1998). Esta perspectiva vê, essencialmente, o papel do
aluno na aprendizagem como um construtor activo do seu conhecimento e não uma
perspectiva que vê o aluno como “recipiente” que armazena informação, em que o seu
papel é, quase exclusivamente, o de adquirir factos, princípios e regras para depois
aplicar (Abrantes et al., 1999).
Se os alunos se limitarem a memorizar,
não aprendem a compreender as coisas. Na matemática (…), como na vida em geral, temos de aprender a compreender as coisas (…) o objectivo não é apresentar factos e pôr os alunos a aplicá-los ou a prová-los; assim como não podemos explicar técnicas e fazer com que os alunos se limitem a executá-la (Goldenberg, 1999, p. 37).
César (2001), refere que “aprender é um processo complexo que se desenrola no
tempo e que é influenciado por uma multiplicidade de elementos” (p. 107). Alguns
desses elementos são os conhecimentos informais que os alunos já possuem, o
conhecimento do modo como os alunos aprendem, em particular como aprendem
Matemática, a influência deste conhecimento na concretização do currículo, o ambiente
de sala onde se processa a aprendizagem, a natureza das tarefas propostas pelo
professor e as relações que se estabelecem, quer entre os alunos, quer entre estes e o
professor. Tudo isto influencia decisivamente o processo de ensino-aprendizagem da
Matemática.
83
Investigações realizadas em Portugal, que dedicaram atenção aos processos de
raciocínio dos alunos, mostram que estes manifestam um leque alargado de processos
informais, não reconhecidos pela escola, e, muitas vezes, não aceites pelo professor.
Esta constatação leva Ponte et al., (1998) a afirmarem que:
A identificação e o reconhecimento do valor destes processos por parte do professor é importante no ensino-aprendizagem dado que o conhecimento formalizado dos conceitos e processos matemáticos só se pode construir com segurança a partir do conhecimento informal já possuído pelos alunos (p. 317).
Nas suas experiências diárias, os alunos experienciam informalmente muitos
conceitos matemáticos. É importante que a escola valorize e possa tomar como ponto
de partida esta Matemática informal que pode ser entendida “não só como habilidades e
conhecimentos que as crianças adquiriram fora da escola, como também os conceitos
que desenvolvem na escola sem serem “ensinados”’ (Moreira & Oliveira, 2003, p. 40).
Muitos estudos confirmam que os alunos possuem bastante conhecimento matemático
informal, ao qual, muitas vezes, o currículo em vigor não tem dado o devido uso
(Carpenter & Moser, 1984; Cobb, 1985). Muitos alunos adquirem um conhecimento
matemático considerável antes de entrarem para a escola. Segundo o relatório The
National Mathematics Advisory Panel (2008) este conhecimento que os alunos trazem
para a escola é importante porque está relacionado com a sua aprendizagem matemática
ao longo de toda a sua vida, essencialmente, na vida escolar.
Relativamente à aprendizagem de conceitos e procedimentos, sabemos que a
escola tem desvalorizado o conhecimento informal dos alunos e o partir deste para a
construção de novos conceitos e novas aprendizagens, desenvolvendo então um
conhecimento mais formal. Além disso, a escola não tem dado a devida importância às
estratégias informais usadas pelos alunos na resolução de problemas e na aprendizagem
de conceitos e procedimentos, embora saibamos que “as estratégias informais que os
alunos utilizam não são o objectivo final do ensino, apenas o começo” (Fosnot & Dolk,
2001, p. 23).
Tem havido uma excessiva valorização dos procedimentos matemáticos formais
em detrimento dos processos de raciocínio informais. Ao valorizar-se os
procedimentos, regra geral, valoriza-se uma Matemática baseada na repetição, na
84
mecanização e na memorização de factos e regras. Esta abordagem tem marcado
decisivamente o que se aprende e como se aprende Matemática (Ferreira, 2005).
Em Portugal, há alguma evidência de que, nos níveis de escolaridade mais
baixos, as aprendizagens têm sido muito marcadas por uma valorização dos aspectos
aritméticos mais rotineiros (Ponte et al., 1998). Estes autores sugerem algumas vias para
melhorar a qualidade das aprendizagens:
Uma primeira via prende-se com a busca de propostas pedagógicas propondo o envolvimento dos alunos em tarefas significantes para eles próprios. Uma segunda via deverá ser a criação de contextos para uma efectiva construção social da Matemática na sala de aula. Uma última via deverá apontar para a valorização de aspectos complexos (não rotineiros) principalmente nos níveis mais elementares, ou sejam, oportunidades para realizar tarefas que vão para além da memorização de procedimentos (p. 204).
Um pouco no mesmo sentido, no Relatório Matemática 2001 (APM, 1998),
recomenda-se que “o elemento central da renovação do ensino da Matemática deve ser a
alteração da natureza das tarefas dominantes na sala de aula, na perspectiva de
valorização das actividades de resolução de problemas e de investigação” (p. 5).
É hoje uma ideia consensual que aprender matemática é fazer matemática e que
aprender é sempre produto de uma actividade. Sendo assim, é importante que o aluno se
envolva em actividades matemáticas intencionais porque é através destas e das suas
experiências que poderá consolidar, descobrir ou inventar conhecimento. Será a
experiência matemática de cada aluno que lhe poderá proporcionar a visão sobre o que é
a Matemática e a motivação para se envolver no seu próprio processo de aprendizagem
(Silva et al., 1999).
Como afirmam Abrantes et al., (1999) é importante ter em conta algumas
ideias fundamentais sobre a aprendizagem da matemática, nomeadamente, que a
aprendizagem requer o envolvimento da criança em actividades significativas; que o
aluno se envolva no processo de reflexão sobre essas actividades para assim haver uma
apropriação de novas ideias e novos conceitos, que reconheça a importância de
desenvolver a capacidade de raciocínio e resolução de problemas, bem como o
conhecimento de termos, factos e procedimentos matemáticos. Estes autores referem
também que a aprendizagem matemática é influenciada pelo ambiente que se vive no
85
interior das aulas de matemática. É importante a existência de ambientes que favoreçam
o estabelecimento de “uma cultura de sala de aula” onde se valorizam os processos de
pensamento, o raciocínio e a argumentação lógica.
Para Bauersfeld (1995) aprender é “um processo de formação pessoal, um
processo de adaptação interactiva a uma cultura através da participação activa, mais do
que uma transmissão de normas, saber e itens objectivos” (p. 20), tendo em atenção as
experiências matemáticas socialmente situadas dos alunos, ou seja, experiências em que
os alunos activamente constroem o seu conhecimento matemático e como eles se
empenham para realizar essas experiências na sala de aula (Wood et al., 1995).
Aprender matemática está muito ligado ao que entendemos como matemática
“não algo que exista independente da actividade humana, quer individualmente, quer
colectivamente” (Wood et al., 1995, p. 405), mas sim uma aprendizagem em que a
interacção social e a discussão da interpretação matemática e das resoluções são
essenciais para aprender. Aprender matemática, no sentido de compreender matemática,
não é uma questão de conhecer as regras para de seguida produzir respostas correctas,
compreender matemática é construir e agir sobre os objectos matemáticos tomados-
como-partilhados (Wood et al., 1995). “Aprender matemática com compreensão tem a
capacidade de tornar mais fácil a aprendizagem subsequente. Ideias e conceitos bem
fundamentados e eficazmente relacionados são mais facilmente aplicados a novas
situações” (NCTM, 2007, p. 21).
O ensino da matemática, ou seja, a maneira como a matemática é ensinada
influencia decisivamente a forma como os alunos “vêem a matemática e se encaram a si
próprios como seus aprendizes” (Serrazina, 1995, p. 34). O ensino e a prendizagem da
matemática estão interrrelacionados: um não pode ocorrer sem o outro. “A
aprendizagem genuína não é linear, mas caótica. Ela resulta de muitos caminhos e
caracteriza-se por passos de diferentes tamanhos e mudanças de direcção. Uma vez que
a aprendizagem não é linear, o ensino também não o é” (Fosnot & Dolk, 2001, p. 28).
Duma visão do professor como transmissor de conhecimento, ou seja, uma visão
tradicional do ensino da matemática, em que a aprendizagem acontecia por absorção
passiva e isolada (NCTM, 1991) há hoje muito mais a ideia de que os alunos aprendem
matemática partindo dos conhecimentos prévios, assimilando informações novas e
construindo os seus próprios significados. Esta visão revela diversas
86
perspectivas/teorias de aquisição do conhecimento que têm implicações decisivas na
maneira de ensinar e aprender matemática.
Wood et al., (1995) afirmam que é preciso “reconstruir a matemática na escola
elementar” (p. 408). Por um lado, não só em relação ao que os alunos têm de fazer para
aprender, mas, também em relação à mudança que os professores devem fazer, construir
uma forma de prática que se adeqúe com as formas dos seus alunos aprenderem
matemática. Este ponto é o grande desafio que se coloca aos professores de matemática.
Desafios que passam por novos papéis do professor, pela natureza da actividade de
ensino, por novas formas organizacionais, como a discussão com toda a turma, trabalho
individual ou em pequeno grupo (Wood, 1999).
Muitos dos resultados da investigação têm revelado que mais do que memorizar
e treinar um conjunto de factos e procedimentos de cálculo e até um conjunto de
conceitos isolados, o importante é criar nos alunos uma predisposição para a
Matemática e permitir que a aprendizagem se faça não de uma forma passiva e isolada,
em dias determinados, em planos pré-concebidos, mas sim em contextos e
oportunidades que surgem naturalmente (Abrantes et al., 1999).
Vários autores (Cobb & Yackel, 1996; Cobb, Stephan, McClain & Gravemeijer,
2001; Wood, 1996; Wood et al., 1995; Yackel, 2000) têm vindo a desenvolver projectos
sobre processos de aprendizagem da matemática nos níveis mais elementares. Estes
projectos privilegiam momentos de reflexão através de discussões de sala de aula à
volta dos vários processos de resolução desenvolvidos pelos alunos nas tarefas
matemáticas. Uma das preocupações destes estudos tem a ver com as relações entre o
professor e os alunos e a tarefa matemática. Uma das questões que se tem levantado é à
volta do ambiente de sala de aula que permite a discussão dos significados matemáticos,
o papel da linguagem na aprendizagem e o papel da negociação desses significados.
O ambiente de sala de aula, ou seja, o contexto da aula de matemática influencia
bastante o interesse e a motivação dos alunos para a aprendizagem bem como ambientes
em que os alunos são encorajados a envolverem-se no pensamento autónomo,
resolvendo conflitos no seu raciocínio criando oportunidades para construírem
matemática com significado (Kamii, 1985). Este aspecto reforça a importância de um
ambiente de sala de aula que proporciona diferentes padrões de interacções que
influenciam positivamente a aprendizagem dos alunos e influenciam a natureza do
desenvolvimento cognitivo através das transformações no seu pensamento (Rogoff,
1990).
87
O estudo que pretendo realizar tem como objectivo compreender como os alunos
desenvolvem o seu sentido do número, evoluindo nos níveis de cálculo, desde o cálculo
por contagem até ao cálculo formal, num contexto de resolução de problemas de adição
e subtracção de números naturais, contemplando os vários significados destas
operações. Em particular, procuro compreender como é que os alunos progridem no
desenvolvimento do seu sentido do número e dos níveis de cálculo, estudando as
estratégias e procedimentos a que recorrem e as dificuldades com que se deparam ao
longo da experiência de ensino.
Neste sentido, considerei relevante desenvolver uma orientação teórica que me
permita interpretar e analisar esta complexidade de relações nas aulas de matemática.
Privilegiei uma orientação teórica com base na perspectiva construtivista de
aprendizagem que tem em conta a actividade dos alunos individualmente e em que o
conhecimento não é passivamente recebido mas construído activamente pelo sujeito;
uma perspectiva social em que realço a importância das interacções na sala de aula
como uma perspectiva que me permite estudar os processos colectivos dos alunos na
interacção da sala de aula bem como a sua participação e contribuição para o
desenvolvimento desses processos comuns. Estas perspectivas encaram a aprendizagem
da matemática, simultaneamente, como um processo de construção individual e como
um processo de enculturação.
Bauersfeld (1994) refere a importância desta relação “quer seja feita através da
troca individual e o desenvolvimento na participação na interacção social, quer na
implementação de uma cultura de sala de aula através da troca de regularidades sociais
entre os membros individualmente” (p. 138). Há, nestes aspectos comuns, por um lado,
uma perspectiva individual (psicologia cognitiva, com referência a Piaget) em que a
aprendizagem matemática se vai estruturando pela intenção dos indivíduos em resolver
problemas, em que o sujeito é o actor e o conhecimento matemático é construído por
ele. Por outro, uma perspectiva colectiva (teoria da actividade com referência a
Vygotsky, 1978) em que a aprendizagem consiste na enculturação em estruturas sociais
pré-existentes em que o sujeito é o objecto das práticas culturais e em que o
conhecimento matemático é interiorizado.
Quando estudamos a aprendizagem dos alunos, estas perspectivas enfatizam
tanto os processos individuais de dar sentido, como os processos sociais em que o
desenvolvimento da compreensão pessoal dos indivíduos se faz através da sua
participação na negociação das normas de sala de aula. Embora tenham pretensões
88
epistemológicas comuns, focam-se em diferentes aspectos. Relativamente à perspectiva
construtivista cognitiva, de que Piaget é um dos seus impulsionadores, foca-se nos
processos mentais internos pelos quais os indivíduos constroem conhecimento como
resultado dos seus pensamentos e acções (Piaget, 1985). Assim, para Piaget (1985)
conhecer implica uma construção activa do indivíduo. Na perspectiva social, conhecer é
um produto humano que é culturalmente e socialmente construído (Ernest, 1995).
O objectivo não é fazer a escolha entre as duas interpretações, mas, em vez
disso, realçar a potencial relevância e valor das duas interpretações para os educadores
matemáticos. O construtivismo encontra valores em ambas as perspectivas e considera
que elas são complementares em vez de serem opostas. Nesta perspectiva, é útil ver a
matemática tanto como uma actividade cognitiva influenciada por processos culturais e
sociais e fenómenos socioculturais que são constituídos por uma comunidade de
indivíduos que activamente conhecem e em que os processos cognitivos e sociais são
vistos como complementares (Wood et al., 1995).
Todas estas ideias têm como pano de fundo uma teoria dominante de
desenvolvimento cognitivo, pelo menos dentro da comunidade matemática, ou seja o
construtivismo.
4. 2. Construtivismo
O aparecimento da teoria construtivista deve-se, essencialmente, à constatação
de que os alunos, embora bem treinados a dar respostas correctas a questões standard,
não evidenciavam conhecimento na resolução de problemas nem sequer compreendiam
as relações conceptuais indicadas pelos símbolos nas fórmulas matemáticas decoradas.
Segundo von Glasersfeld (1995) este facto tem a ver com alguns factores, dos
quais ele sugere dois; (i) que os conceitos não podem somente ser transferidos dos
professores para os alunos – eles têm de ser compreendidos – e que não basta o treino
para que esse conhecimento se desenvolva; (ii) tem a ver com a teoria do conhecimento,
uma preocupação na construção do conhecimento conceptual pelos alunos. Central ao
construtivismo é a sua concepção de aprendizagem. von Glasersfeld (1995) considera
que “do ponto de vista da perspectiva construtivista, a aprendizagem não é um
fenómeno de resposta a um estímulo. Exige auto-regulação e a construção de estruturas
conceptuais através da reflexão e abstracção” (p. 14).
89
Podemos considerar o construtivismo como “uma grande teoria” (diSessa e
Cobb, 2004) no que ela é paradigmática para a educação matemática e para uma grande
maioria de decisões consequentes” (p. 306). É uma teoria desenvolvida na educação
matemática que se opõe aos efeitos da teoria behaviorista desenvolvida nas décadas
anteriores. Nasce, sobretudo, “quando os investigadores se interessam pelo raciocínio
dos alunos e em compreender a riqueza das suas estratégias” (Confrey & Kazak, 2006,
p. 306) e que segundo Confrey (1984) procura chamar a tenção para a inflexibilidade e
limitado conhecimento do aluno, conhecimento formal excessivo, isolado da
experiência e da compreensão e com o carácter emocional e intimidativo e alienativo da
matemática.
Sinclair (1987) refere que o construtivismo é “a forma essencial de conhecer o
mundo real, não é directamente através dos nossos sentidos, mas primeiro e
fundamentalmente através das nossas acções “ (p. 28). Acções que são definidas como
“comportamentos que nos levam a uma mudança no mundo à nossa volta ou pelos quais
mudamos a nossa própria situação em relação ao mundo “ (p. 28).
Confrey e Kazak (2006) colocam os caminhos do construtivismo em três
tradições: (i) resolução de problemas; (ii) concepções erradas, barreiras críticas e
osbtáculos epistemológicos; e (iii) teorias do desenvolvimento cognitivo.
Todas estas tradições impulsionaram a educação matemática com o ponto de
vista de algo mais que a lógica da matemática era necessária para explicar, prever e
facilitar a aprendizagem da matemática. Todos eles reconheceram que a dificuldade ou
facilidade da aprendizagem podia não ser bem explicada simplesmente olhando para a
complexidade do material, mas muitos outros factores deveriam ser tidos em conta nos
caminhos percorridos pela aprendizagem e níveis de sucesso ou insucesso.
A terceira tradição foi, talvez, a mais influente e aquela que mais desenvolveu o
construtivismo e foi baseada no trabalho de Piaget sobre as teorias do desenvolvimento
cognitivo. Nesta tradição, para além dos trabalhos de Piaget, foram relevantes outros
trabalhos como os de Ernest, 1991; von Glasersfeld, 1982; Steffe, 1995.
A partir de finais da década de 80 até finais da década de 90, dá-se um grande
debate em volta desta temática com os contributos de Cobb e Steffe, 1983, Richards e
von Glasersfeld, 1980, von Glasersfeld, 1987, 1989.
Richards e von Glasersfeld (1980) foram capazes de diferenciar, com algum
sucesso, o aspecto radical da sua teoria da epistemologia genética de Piaget, à qual von
Glasersfeld (1989) chamou construtivismo trivial - uma forma de construtivismo que
90
afirma que a criança gradualmente constrói as suas estruturas cognitivas enquanto
mantém que as estruturas cognitivas, sendo construídas, são reflexos de uma realidade
ontológica. Para von Glasersfeld (1995), “conhecer é uma actividade adaptativa, isto
significa que cada um pode pensar o conhecimento como “um tipo de conceitos e
acções que cada um encontra para ter sucesso dadas as intenções que cada um tem na
mente” (p. 7)
von Glasersfled (1982) definiu construtivismo como veiculando dois princípios:
(i) o conhecimento é construído activamente pelo sujeito cogniscente e não
passivamente recebido através dos sentidos ou do meio e (ii) conhecer é um processo
adaptativo que organiza o mundo experiencial de cada um, não descobre um mundo
independente, pré-existente fora da mente do sujeito cogniscente. Se se aceitar somente
o 1º princípio do construtivismo enunciado por si, é um construtivista comum e se se
aceitar o 2º princípio juntamente com o 1º é um construtivista radical. O 1º princípio
está de algum modo de acordo com os trabalhos que Piaget desenvolveu relativos à
educação matemática e, por isso, von Glasersfled (1995) afirma que é um
construtivismo comum, trivial, ou seja, o conhecimento da realidade não depende da
descoberta, mas da construção cognitiva individual. Pelo contrário, a aceitação dos dois
princípios rejeita a ideia de que existe uma realidade objectiva independente do sujeito e
que ele possa vir a conhecer.
As contribuições de von Glasersfled (1991) e Steffe e Gale (1995) em relação ao
construtivismo radical foram de grande importância teórica. von Glasersfled (1991)
geralmente tomava uma abordagem filosófica que designou “o construtivismo radical”
em que “conhecimento é o resultado da actividade do aluno em vez da relação passiva
de informação ou ensino e, por essa razão, ele argumentou que conhecer deve ser
concebido como uma função adaptativa [a qual] … significa que os resultados dos
nossos esforços cognitivos têm a intenção de nos ajudar a competir no mundo da nossa
experiência, em vez dos objectivos tradicionais de fornecer representações “objectivas”
do mundo como ele devia “existir” à parte de nós e da nossa experiência” (Confrey e
Kazak, 2006, p. xv).
Para Simon (1995), as perspectivas construtivistas de aprendizagem têm sido
centrais em muitos trabalhos empíricos e teóricos recentes em educação matemática
(Steffe & Gale, 1995; von Glasersfeld, 1991). Esta visão da aprendizagem matemática
como uma actividade construtiva, ou seja, em oposição a uma ideia de aprendizagem
como absorção de conhecimento que é apresentado ou transmitido é muito evidente no
91
primeiro princípio de aprendizagem que influenciou a teoria realista de aprendizagem
(Treffers, 1991) e mesmo ao nível da reforma matemática nos Estados Unidos (NCTM,
1991).
Escrever sobre o construtivismo levaria a escrever sobre muitas variantes desta
teoria, dado que, como afirma Ernest (1995) “existem tantas variedades de
construtivismo como investigadores” (p. 459), trata-se, por isso, de uma missão quase
impossível. Por esse facto, irei restringir a minha abordagem, essencialmente a duas
tendências principais na investigação com base no construtivismo. A primeira, tem a ver
com a teoria cognitiva, ou seja, “de que os alunos constroem activamente as suas formas
de saber à medida que se esforçam por ser eficazes, ao repor coerência no mundo da sua
experiência pessoal” (Cobb, 1999, p. 59). Uma segunda tendência, apoia-se,
fundamentalmente, nas ideias de Vygotsky e que é geralmente denominada de
perspectiva Vigotskiana ou teoria da actividade. Cobb (1999) considera que a actividade
matemática de um indivíduo é “profundamente influenciada pela sua participação em
práticas culturais globais”(p. 60).
Piaget foi, sem dúvida, o investigador mais importante e que mais trabalhos
publicou sobre a teoria construtivista. No entanto, tem sido criticado por não ter
considerado o papel da interacção social na sua teoria do desenvolvimento cognitivo.
von Glasersfeld (1995) refuta esta acusação e considera mesmo que ela é injustificada.
Embora Piaget não tenha entrado em detalhes de como se trabalha a interacção social,
refere nos seus trabalhos que “as ocasiões mais importantes para a acomodação surgem
na interacção social” (p. 11).
Esta segunda tendência, construtivismo social, é, de algum modo defendida
também pela teoria da educação matemática realista (EMR) ao afirmar que “aprender
não é meramente um acto isolado, mas algo que ocorre numa sociedade e é direccionada
e estimulada por esse contexto sócio-cultural, através do ensino interactivo (Treffers,
1991, p. 25),
Segundo Cobb (1999), parece que estas perspectivas cognitivas e socioculturais
estão em conflito, ou seja, parecem disputar a seguinte questão: (i) se a aprendizagem é
basicamente um processo de reorganização cognitiva activa ou um processo de
enculturação numa comunidade de prática; ou (ii) se os processos sociais e culturais têm
primazia sobre os processos individuais ou vice-versa. De acordo com este autor, elas
parecem ser muito mais complementares do que opostas. Lourenço (2002), afirma que
ambas partilham uma perspectiva genética, Piaget ao nível dos processos mentais mais
92
elaborados, como é o caso das operações intelectuais de fazer classificações lógicas e
em Vygotsky, ao nível das operações simbólicas. Partilham também uma abordagem
dialéctica, ou seja, ambos defendem que o desenvolvimento psicológico envolve uma
interacção contínua entre processos distintos, tais como assimilação/acomodação e a
interiorização/exteriorização. É através destes processos que conduzem a formas cada
vez mais elaboradas de raciocínio lógico e de acção mediada. Ambos defendem a
importância da acção na génese das diversas formas de inteligência e de todas as
funções da consciência. Para Piaget, “conhecer não é copiar o real, mas agir sobre ele e
transformá-lo” para Vygotsky, “[n] o princípio está na acção. A acção existe antes da
palavra” (Lourenço, 2002, p. 111). Ambos reforçam a importância dos processos de
desenvolvimento em detrimento dos seus produtos.
Num aspecto, estas perspectivas divergem, ou seja, o papel que os sinais e os
símbolos desempenham no desenvolvimento psicológico. Para os cognitivistas, eles são
um meio através do qual os alunos exprimem e comunicam o seu pensamento, enquanto
para os socioculturais eles são veículos quer de significados estabelecidos quer de uma
herança intelectual da prática (Cobb, 1999).
4.2.1. Construtivismo – cognitivista
Segundo Cobb (1999), a linha orientadora desta teoria remonta à epistemologia
genética de Piaget (1970; 1980), à etnometodologia (Mehan e Wood, 1975) ou ao
interaccionismo simbólico (Blumer, 1969). Através destes autores, podemos observar
duas variantes, uma mais psicológica e outra mais interaccionista. Piaget é
assumidamente cognitivista “dado que se interessou principalmente pela descrição e
compreensão do desenvolvimento cognitivo (interessado em identificar mudanças
cognitivas ao longo da vida” (Lourenço, 2002, p. 155). As mudanças cognitivas
ocorrem, principalmente, devido ao papel atribuído à acção e devido à actividade do
sujeito (mental e sensorial) como motor principal do desenvolvimento cognitivo e que
está na origem e na génese das mudanças cognitivas (Lourenço, 2003).
Na variante psicológica, cujo principal mentor foi Piaget, encontramos,
essencialmente, dois problemas diferentes: o problema do desenvolvimento em geral e o
problema da aprendizagem (Piaget, 1964). Ao nível do desenvolvimento teve uma
preocupação em torno da forma como o aluno constrói o conhecimento, o
desenvolvimento cognitivo, em que para conhecer um objecto, para conhecer um
93
acontecimento, “não é simplesmente olhar para ele e fazer uma cópia mental ou imagem
dele. Para conhecer um objecto é preciso agir sobre ele” (Piaget, 1964, p. 176). O
desenvolvimento cognitivo tem em atenção o modo geral, estrutural e organizado de
pensar e conhecer a realidade e não tanto sobre a aquisição de conhecimento específico,
nomeadamente, a aquisição ou descoberta de determinadas estratégias, regras ou
esquemas para resolver certos problemas e situações (Lourenço, 2002). A realidade, na
abordagem piagetiana, não é um conjunto de dados que o sujeito obtém através da
percepção imediata dos objectos que a constituem, sendo antes o resultado de um
processo de construção que ele protagoniza.
Para Piaget (1964) o desenvolvimento do conhecimento é essencialmente um
processo espontâneo que está ligado ao desenvolvimento do corpo, mas que se preocupa
também com o desenvolvimento do sistema nervoso e o desenvolvimento das funções
mentais. Este desenvolvimento do conhecimento tem por trás a ideia de uma operação,
ou seja, “uma acção interiorizada que modifica o objecto do conhecimento” (p. 176).
Podemos assim dizer que uma operação é então a essência do conhecimento. Nunca é
isolada, está sempre ligada a outras operações e é sempre parte de uma estrutura total.
Por exemplo, um número não existe isoladamente. O que existe é uma série de números
que constituem uma estrutura. Estas estruturas operacionais são o que para muitos
constitui a base do conhecimento. O problema central do desenvolvimento é
compreender a formação, a elaboração, a organização e o funcionamento dessas
estruturas. O conhecimento, na perspectiva de Piaget (1977) não parte do objecto nem
do sujeito, mas da interacção indissociável de ambos, o que pode indicar que o
conhecimento resulta de um processo que se expressa simultaneamente através “de uma
exteriorização objectivante e de uma interiorização reflexiva” (p. 12).
Piaget dedicou grande parte da sua obra ao estudo das estruturas cognitivas
como formas interiorizadas (mas não conscientes) de acções. Acções que, inicialmente,
são sensoriais e motoras (mexer e remexer), depois são acções simbólicas e
representativas e evoluem para acções operatórias (saber que num determinado conjunto
há mais elementos do que noutro) e, finalmente, atinge um nível abstracto e formal
(Lourenço, 2002). Os seus quatro estádios sobre o desenvolvimento cognitivo (sensório-
motor, pré-operatório, operatório concreto, operatório formal) referem-se a ”mudanças
na estrutura ou no modo global de conhecer e pensar, não tanto a aquisição de
conhecimento específico do tipo mais do mesmo” (Lourenço, 2002, p. 75).
94
Segundo Piaget (1964), estas mudanças na estrutura são fundamentalmente
influenciadas por quatro factores: 1º- maturação; 2º - o papel da experiência e dos
efeitos do envolvimento físico sobre as estruturas da inteligência; 3º - transmissão social
(transmissão linguística, transmissão educacional, etc.). Para receber essa informação, a
criança deve ter uma estrutura que lhe permita assimilar esta informação. O 4º factor - e
aquele que Piaget considera o principal - equilibração ou auto-regulação. “Um processo
activo de auto-regulação é fundamental no desenvolvimento e na aquisição do
conhecimento lógico-matemático” (p. 182).
Ao nível do segundo factor, o papel da experiência, Piaget destaca dois tipos de
experiências que são psicologicamente muito diferentes e esta diferença é muito
importante do ponto de vista pedagógico. Por um lado, a experiência física, que consiste
em agir sobre os objectos. Um segundo tipo de experiência refere-se à experiência
lógico-matemática, ou seja, onde o conhecimento não é utilizado pelas acções
efectuadas sobre os objectos. Por exemplo, o aluno descobre a soma dos objectos
independentemente da ordem dos mesmos. Há uma dedução subsequente que consiste
na interiorização dessas acções e depois combiná-las sem necessidade dos objectos. O
aluno pode combinar estas operações simplesmente com os símbolos e o ponto de
partida desta dedução matemática é uma experiência lógico-matemática (Piaget, 1964).
O conhecimento lógico-matemático consiste na construção de relações por meio da
abastracção reflexiva. As relações matemáticas não existem nos objectos, mas na mente
e elas não são adquiridas pela abstracção empírica, mas, essencialemente, através da
abstracção reflexiva (Kamii et al., 2001a)
O 4º factor, a equilibração, foi descrito por Piaget como um processo dinâmico
de comportamento auto-regulado, que balança entre dois comportamentos intrínsecos
opostos, a assimilação e a acomodação. Através da assimilação, focam-se certas
propriedades e ignoram-se outras. Estas propriedades são percebidas através dos
sentidos e somente estes que a pessoa quer para abstrair são seleccionadas e em que “há
uma expansão do conhecimento geral através do enquadramento de novos elementos
dentro duma estrutura cognitiva existente” (Gravemeijer, 1991, p.60).
Por vezes, as novas experiências originam contradições à compreensão actual e,
por isso, perturbam e desequilibram a estrutura, fazendo com que os indivíduos se
acomodem. A acomodação é, assim, constituída “por um comportamento reflexivo e
integrativo que serve para alterar o próprio eu do indivíduo e explicar o objecto de
modo a fazer com que o indivíduo funcione com equilíbrio cognitivo em relação a ele”
95
(Fosnot, 1999, p. 30), ou seja, “a estrutura cognitiva é completamente reorganizada para
dar lugar a novo conhecimento (acomodação)” (Gravemeijer, 1991, p. 61). A
acomodação envolve a relação mental entre objectos, tal como “diferente”,
“semelhante”, “dois” (conhecimento lógico-matemático). As propriedades dos objectos
são abstraídas dos objectos, enquanto as relações são abstraídas das acções mentais
(pensamento) efectuadas sobre os objectos (Dolle, 1997).
A equilibração não é, como vimos, um processo sequencial de assimilação,
seguido de conflito e depois de acomodação. É, em vez disso, “ «uma dança» dinâmica
de equilíbrios progressivos, adaptação e organização, crescimento e mudança” (Fosnot,
1999, p. 31). O processo dialéctico que combina assimilação e acomodação conduz à
equilibração.
Piaget (1978) preocupou-se com a génese da construção do conhecimento pelo
sujeito e com os processos ao longo do seu desenvolvimento. Processos que o sujeito
usa para resolver os seus problemas, através da assimilação, compreensão do problema
em função do nível de desenvolvimento cognitivo em que se encontra, e por
acomodação, modificação desse nível ou estruturas cognitivas prévias em função do
problema exterior que lhe é proposto ou com que se confronta. Ao assimilar assim os
objectos, a acção e o pensamento acomodam-se a eles, ou seja, tentam reajustar-se a
cada variação exterior. Pode-se chamar “adaptação” ao equilíbrio destas assimilações e
acomodações. “O desenvolvimento mental surge, assim, na sua organização
progressiva, como uma adaptação cada vez mais precisa à realidade (Piaget, 1978, p.
18).
A progressão da criança, na perspectiva de Piaget, faz-se através de um processo
que ele denomina de abstracção reflexiva. Para Piaget, existem dois tipos de abstracção,
abstracção simples ou empírica - diz respeito aos objectos exteriores ao sujeito, e
abstracção reflexiva - que se aplica às acções do indivíduo. von Glasersfel (1988) refere
que é através da abstracção reflexiva que os alunos reorganizam a sua actividade
matemática, inicialmente informal, e que os alunos só conseguem interpretar as acções
do professor dentro dum contexto da sua actividade na altura. “A abstracção reflexiva é
utilizada para explicar o processo através do qual as acções são reificadas e se tornam
objectos matemáticos mentais que podem, eles próprios, ser alvo de actuação” (Cobb,
1999, p. 70)
Em termos de estádios de desenvolvimento cognitivo, Piaget (1964) caracterizou
o período de tempo entre os 6-7 e os 10-11 anos como o período das operações
96
concretas, em que a criança se relaciona com o mundo, não apenas através de acções
sensoriais e motoras, nem por meio de acções mentais de tipo reversível, mas também
por meio de acções mentais que vão para além da informação dada em termos
perceptivos (Lourenço, 2002). A este tipo de acções mentais, Piaget chama operações
concretas. Operações que são acções interiorizadas, reversíveis e comportando leis de
totalidade e concretas porque se aplicam a conteúdos concretos, como seja, classificar,
seriar ou quantificar.
Este estádio também é caracterizado por Piaget (1964) como o período da
inteligência operatória, em que o aluno consegue operar, nível cognitivo; argumentar,
nível verbal; cooperar, nível social e participar no jogo das regras, ao nível lúdico. Nesta
fase, pensamento operatório, Piaget considerou a reversibilidade como uma das marcas
mais distintas deste período. Esta reversibilidade “é a marca por excelência do
pensamento lógico, pensamento que entende a subtracção como o inverso ou que anula
a adição” (Lourenço, 2002, p. 346).
Uma das questões que tem levantado algumas dúvidas, tendo em conta a teoria
do desenvolvimento cognitivo de Piaget, é se é possível a aprendizagem de
competências operatórias. Lourenço (2002) considera que “é e não é” ao mesmo tempo
(p. 387). Por um lado, Piaget assumiu que o desenvolvimento impõe limites à
aprendizagem e que as crianças não podem aprender rapidamente conceitos cujo grau de
dificuldade vai muito além do seu nível de maturidade. Em segundo lugar, porque
Piaget subordinou a aprendizagem ao desenvolvimento.
Relativamente ao problema da aprendizagem, este autor refere que ela é
provocada por situações, provocada por experimentações psicológicas, ou por uma
situação externa. Em geral, a aprendizagem é vista como sendo oposta ao espontâneo.
Nesta perspectiva, a aprendizagem é um processo limitado - limitado a um só problema
ou a uma só estrutura. Segundo Piaget (1964) “o desenvolvimento motiva a
aprendizagem e o desenvolvimento não é uma soma das experiências de aprendizagens
distintas” (p. 176). Para este autor, a aprendizagem só é possível quando há assimilação
activa. Piaget distinguiu aprendizagem no sentido estrito, isto é, conhecimento
adquirido devido a uma experiência específica, e no sentido lato, isto é, aprendizagem
como um processo que se confunde com o desenvolvimento.
Na teoria piagetiana, o papel do professor na sala de aula tem uma importância
fundamental, dado que é ele que proporciona o envolvimento e que apoia as construções
97
individuais dos alunos. Encoraja os alunos a tornarem-se construtores do seu próprio
conhecimento (dos seus próprios esquemas) através das suas próprias experiências.
4.2.2. Construtivismo social/perspectiva Vygotskiana
A perspectiva construtivista social faz parte de uma tendência um pouco fora do
foco puramente psicológico e próxima da visão que a actividade matemática é na sua
natureza social e cultural em que as interacções têm um papel importante nos
desempenhos matemáticos dos alunos (César, 2000). Esta perspectiva permite observar
as interpretações matemáticas dos alunos bem como as suas soluções, explicações e
justificações não meramente como actos individuais, mas simultaneamente, como actos
de participação em processo colectivos de sala de aula (Bowers, Cobb & McClain,
1999; Cobb & Yackel, 1996; Simon, 1995). Segundo Werstch e Toma (1995) a
perspectiva teórica de Vygotsky pode ser compreendida em termos de três temas gerais
que se foram desenvolvendo ao longo do seu trabalho: (i) o uso de um método genético
ou de desenvolvimento; (ii) a afirmação de que os aspectos essenciais do funcionamento
da mente no indivíduo emergem da vida social; e (iii) a afirmação que a chave para
compreender a acção humana, tanto no plano social como no plano individual, está na
compreensão das ferramentas e símbolos que a “medeiam” (p. 160).
O método genético, e tal como defendia Piaget, é o que proporciona o mais
adequado, se não o único, fundamento para abordar as principais questões na psicologia.
A principal questão para Vygotsky (1978) foca-se sobre o domínio: “o desenvolvimento
“over the life span” ou ontogénese” (p. 161). Segundo Wertsch (1985) a análise
genética envolve investigar as origens dos processos mentais e as formas como são
levadas a cabo, isto é, a actividade mental humana só pode ser compreendida se se
compreender como e onde o desenvolvimento ocorreu.
De acordo com a origem social das funções mentais superiores (isto é,
unicamente humanas) as funções mentais têm a sua origem em processos sociais e
conserva uma natureza “quase-social”, ou seja, emergem essencialmente do contexto
social. Vygostsky (1978) formulou uma lei genética geral de desenvolvimento cultural
que propõe que as funções mentais, tais como a memória e o pensamento ocorrem tanto
ao nível intrapsicológico como interpsicológico.
A direcção do desenvolvimento intelectual é nitidamente do social para o
indivíduo. No plano social, entre os indivíduos como uma categoria interpsicológica, ao
98
nível do plano psicológico, dentro do indivíduo como uma categoria intrapsicológica
(Wertsch, 1985). Os processos e as estruturas dos dois planos de funcionamento estão
inerentemente ligados através da transformação genética (Wertsch & Toma, 1995). Por
esta razão, Vygostsky (1978) focou muito a sua atenção nas questões da linguagem. A
linguagem é tão importante como o papel da acção para atingir o objectivo: “a criança
não fala somente acerca do que está fazendo, a sua linguagem e acção são parte de uma
e mesma função psicológica complexa, dirigida para a resolução do problema” (p. 25).
Os símbolos e as palavras servem à criança, primeiro e acima de tudo, como um meio
de contacto social com outras pessoas. As funções comunicativas e cognitivas da
linguagem tornam-se a base de novas e superiores formas de actividade na criança que a
distingue dos animais.
Uma criança pode tentar resolver uma tarefa através de formulações verbais e
também apelando ao outro para a ajudar. Muitas vezes, as questões que a criança coloca
indicam que tentou de facto formular um plano para resolver a tarefa, mas foi incapaz
de efectuar todas as operações necessárias. Através deste facto, podemos concluir que
“a criança” resolve tarefas práticas com a ajuda da sua linguagem bem como com os
seus olhos e as suas mãos (p. 26).
A mediação, o terceiro tema na abordagem de Vygostsky, é a afirmação que uma
característica que define uma função mental humana (tanto no plano intrapsicológico
como interpsicológico) é que é mediada por ferramentas e símbolos. Símbolos que
constituem uma ampla categoria de meios de mediação usados para organizar as
próprias acções de cada um e dos outros (Wertsch & Toma, 1995). Por um lado, as
ferramentas técnicas como as calculadoras, o papel gráfico e, por outro, os símbolos que
podem ser consideradas ferramentas psicológicas que incluem a linguagem, símbolos
algébricos etc.
Para Vygotsky (1978) existe uma relação entre ferramentas e símbolos. A
função da ferramenta é servir como condutora da influência humana no objecto da
actividade, sendo externamente orientada e devendo levar a mudanças nesse objecto. O
símbolo não provoca nenhuma alteração no objecto da operação psicológica. É um meio
de actividade interna. O símbolo é orientado internamente. “Os processos externos são
necessariamente sociais, os processos internos reflectem certos aspectos desta
interacção social” (Wertsch, 1985, p. 63). O percurso do objecto à criança e da criança
ao objecto passa através de outra pessoa. Esta estrutura humana complexa é o produto
de um processo de desenvolvimento profundamente enraizado na relação entre a
99
história social e individual. Em vez de invenções de cada indivíduo ou descoberta da
interacção independente dos indivíduos com a natureza, os indivíduos têm acesso a
meios de mediação como parte de um contexto sócio-cultural através do qual os
indivíduos se apropriam deles (Wertsch, 1985).
Para Vygotsky (1978) estes meios de mediação desempenham um papel
importante na influência dos outros e somente mais tarde funcionam para influenciar o
indivíduo. Para Vygotsky, este desenvolvimento consiste num processo de
aprendizagem do uso das ferramentas intelectuais através da interacção social com
outros mais experientes nessas ferramentas, em que a linguagem desempenha um papel
fundamental. “A aprendizagem é mais do que a aquisição da capacidade de pensar; é a
aquisição de muitas capacidades especializadas para pensar acerca de uma variedade de
aspectos” (p. 83). Ao fazer um passo na aprendizagem, uma criança dá dois passos no
desenvolvimento, isto é, “a aprendizagem e desenvolvimento não coincidem” (p. 84).
Este conceito é um aspecto essencial da teoria de Vygotsky que introduziu a noção de
Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) na tentativa de lidar com estas duas
questões. A primeira tem a ver com a relação entre aprendizagem e desenvolvimento e a
segunda com as características específicas desta relação quando a criança atinge a idade
escolar e que se depara com as suas capacidades cognitivas e as práticas de ensino. Esta
noção de ZDP é essencial para explicar como avaliar os processos interpsicológicos e o
seu relacionamento com os seus resultados intrapsicológicos. A ZDP faz como que a
ponte entre o desempenho individual do aluno (nível actual de desenvolvimento) e o
nível que será capaz de fazer com a ajuda dum par mais capaz e que Vygotsky (1978)
acreditava que, deste modo, o aluno mais tarde conseguiria fazer sozinho.
Vygotsky (1978) definiu ZDP como: “A distância entre o nível de
desenvolvimento actual determinado pela resolução independente do problema, e o
nível de desenvolvimento potencial, determinado pela resolução de um problema sob a
orientação de um adulto ou em colaboração com pares mais capazes” (p. 86). A ZDP
define as funções que ainda não amadureceram, mas estão no processo de maturação,
funções que amadurecerão mais tarde, mas que estão correntemente em estado
embrionário.
As implicações práticas deste conceito são da maior importância. O
desenvolvimento intelectual ocorre dentro da ZDP da criança. Esta ponte entre as
resoluções individuais e as resoluções com a ajuda de pares mais experientes só é
possível em contextos de aprendizagem que proporcionam estas dinâmicas e onde a
100
interacção ocorre. Deste modo, a consideração da ZDP pode facilitar “boas
aprendizagens”, ou seja, “aprendizagens que conduzem o aluno a um avanço no
desenvolvimento” (p. 89). Neste sentido, o papel do professor consiste em proporcionar
ao aluno apoio e recursos de modo a que ele seja capaz de aplicar um nível de
conhecimento mais elevado do que lhe seria possível sem ajuda. Podemos assim
depreender, segundo Vygotsky (1978), que não é o ensino propriamente dito, mas sim o
conceito de interacção social, em que não há apenas comunicação entre professor e
aluno, mas também um ambiente em que a comunicação ocorre, o modo como os
alunos interagem com os problemas, os assuntos, as estratégias, a informação. “A
aprendizagem não é desenvolvimento” (p. 90).
Contudo, a aprendizagem organizada resulta no desenvolvimento mental e
coloca em movimento uma variedade de processos de desenvolvimento que poderá ser
impossível colocar à parte da aprendizagem. Deste modo, a aprendizagem é um aspecto
universal e necessário do processo de desenvolvimento das funções psicológicas,
especificamente humanas e culturalmente organizadas. A aprendizagem e a
compreensão são actividades culturais e inerentemente sociais.
Ensinar, na perspectiva de Vygotsky é algo que só existe partilhado, em que
existe uma ligação directa entre os processos colectivos e individuais, em que o
professor é o representante da sociedade que apoia a construção pelos alunos dos
significados aprovados culturalmente. Cobb (1999) refere que a partir das ideias de
Vygotsky se pode inferir que “a aprendizagem matemática consiste num processo de
construção activa que ocorre quando as crianças tomam parte nas práticas matemáticas
da aula, muitas vezes interagindo com outros” (p. 69). Parece também aqui haver um
ponto de encontro com Piaget sobre a teoria do desenvolvimento cognitivo através da
abstracção reflexiva.
Na perspectiva de Confrey (1995) existe o reconhecimento de que as sociedades
exercem uma influência constante sobre o desenvolvimento da matemática e isto é um
insight fundamental e a tendência para negar tal influência é uma característica notável
da disciplina de matemática. Assim, “os alunos chegam ao que eles sabem sobre
matemática principalmente através da participação nas práticas sociais na sala de aula,
em vez de ser através da descoberta da existência das estruturas externas independentes
dos alunos” (p. 216). Para este autor, através da prática social, os alunos participantes
produzem e reproduzem regulações e normas negociadas tomadas-como-partilhadas
para comunicar acerca e agindo sobre uma realização – o que os outros podem chamar
101
objectividade matemática. Como afirmam Wood et al., (1995) é útil ver a matemática
tanto como uma actividade cognitiva influenciada por processos culturais e sociais
como um fenómeno cultural e social que é constituído por uma comunidade de
indivíduos que activamente constroem conhecimento.
4.3. Perspectiva emergente
No estudo que desenvolvi, a perspectiva subjacente é uma perspectiva que tenta
fazer uma ligação entre a teoria construtivista cognitiva e a social, a que é defendida por
Cobb e Yackel (1996) como perspectiva emergente, tentando, deste modo, aumentar a
nossa compreensão da aprendizagem matemática, enfatizando que é um processo tanto
de construção individual como de enculturação às práticas matemáticas de comunidades
de sala de aula particulares (Gravemeijer, 2001). Esta perspectiva é também evidente
em todo o trabalho desenvolvido pela teoria de ensino realista, que vê a aprendizagem
partindo da própria contribuição dos alunos, que se desenvolve ao longo do tempo, e
como uma actividade social (Gravemeijer, 1991).
A relação entre as perspectivas construtivistas cognitivas e sociais é considerada
ser reflexiva. Nesta perspectiva, “a teoria é vista a crescer da prática e para através do
feedback informar e conduzir a prática” (Cobb & Yackel, 1996, p. 210). Uma
perspectiva que tenta basear a teoria na prática sugere uma maior relação colaborativa
entre professores e investigadores em que as suas áreas de especialização são vistas
como completares em vez de hierarquicamente organizadas.
Do ponto de vista da perspectiva emergente, as entrevistas em vez de serem
sessões de ensino individuais, são acontecimentos sociais em que o investigador e os
alunos negoceiam os seus papéis, as suas interpretações das tarefas e a sua compreensão
de como uma solução é legítima e uma explicação adequada. A abordagem emergente é
consistente com a intenção da investigação numa perspectiva de desenvolvimento –
baseada na sala de aula. Esta perspectiva tem alguns pontos em comum com a
perspectiva sociocultural já referida. Ambas reflectem o ponto de vista que a
aprendizagem e a compreensão são actividades culturais e inerentemente sociais.
Ambas dão atenção ao papel dos símbolos e artefactos no desenvolvimento conceptual.
A principal diferença entre as duas é relativa à forma como a actividade é
conceptualizada ou concebida. A análise conduzida no ponto de vista da perspectiva
tipicamente emergente toma como um ponto de referência as práticas da comunidade
102
local tal como são estabelecidas na sala de aula. Pelo contrário, a análise conduzida do
ponto de vista da perspectiva sociocultural vê os indivíduos como participantes nas
práticas socioculturais mais alargadas.
Relativamente ao ensino e à aprendizagem, a perspectiva emergente também
revela algumas diferenças. Na visão da perspectiva emergente, a aprendizagem é um
processo construtivo que ocorre enquanto participando em e contribuindo para as
práticas da comunidade local. Os alunos podem ser vistos a construir activamente as
suas formas de saber quando eles participam nas práticas de sala de aula. Pelo contrário,
a perspectiva Vygotskiana considera a relação entre processos colectivos e processos
individuais como uma ligação directa, as qualidades do pensamento dos alunos são
generalizadas ou deduzidas das características organizacionais das actividades sociais
nas quais eles participam.
Nesta perspectiva, existe mais a ideia de que os alunos imitam práticas
matemáticas culturalmente estabelecidas quando interagem com o professor ou com os
pares mais capazes. Como referem Cobb e Yackel (1996) a ideia de Vygotsky acerca da
teoria que desenvolveu sobre a lei genética geral do desenvolvimento cultural é que
“qualquer função surge duas vezes ou em dois planos - primeiro surge entre pessoas
como uma categoria intermental (interpsicológica) e depois dentro da criança como uma
categoria intramental”(p. 220).
Tendo em conta os contrastes destas duas perspectivas ao nível da
aprendizagem, tal facto também se reflecte no papel do professor. Na perspectiva
sociocultural de Vygotsky, o professor é visto como representante da sociedade que
apoia a reconstrução pelos alunos dos significados aprovados culturalmente, ou seja, em
que o papel da comunicação é muito casual. Na perspectiva emergente, a negociação é
um processo de adaptação mútua que dá origem à mudança de significados quando o
professor e os alunos coordenam as suas actividades individuais no processo de
constituição das práticas da comunidade de sala de aula. A negociação, na perspectiva
social, é um processo de apropriação mútua em que o professor e os alunos
continuamente co-optam ou usam as contribuições uns dos outros. O professor, deste
modo, negoceia com os alunos em ordem a mediar entre o seu significado pessoal e os
significados culturais estabelecidos (Cobb & Yackel, 1996).
Na abordagem emergente é a comunidade de sala de aula em vez de práticas
matemáticas instituídas pela sociedade que é tomada como o ponto de referência. O
professor enquanto negoceia com os alunos apoia tanto as construções individuais dos
103
alunos como a evolução das práticas matemáticas de sala de aula para que os alunos se
tornem capazes de participar eficientemente nas práticas matemáticas da sociedade em
geral. Ao contrário da perspectiva sociocultural que estrutura as questões de ensino em
termos de transmissão de cultura de uma geração à geração seguinte, a perspectiva
emergente vê as estruturas organizadas em termos de emergência dos significados
colectivos e individuais na sala de aula.
Esta comunidade de sala de aula é, também defendida por Fosnot e Dolk (2001)
como uma “comunidade de discurso” (p. 20) onde os alunos falam uns com os outros,
fazem perguntas uns aos outros e comentam as ideias uns dos outros. Os alunos
defendem as suas ideias perante a comunidade e não apenas perante o porfessor. As
ideias são aceites na comunidade na medida em que exista acordo quanto à partilha e
não à reprovação.
A mediação semiótica também é um ponto em que as duas perspectivas diferem.
Embora ambas considerem ser crucial o envolvimento dos alunos no desenvolvimento
conceptual, diferem, essencialmente, na natureza desse envolvimento. Na linha de
Vygotsky, as ferramentas culturais como símbolos convencionais matemáticos são ditos
para ser interiorizados e tornarem-se ferramentas culturais para pensar. Esta abordagem
caracteriza os símbolos como principais veículos de enculturação porque eles servem
como portadores (mensageiros) de significados de uma geração à outra quando os
alunos os usam enquanto envolvidos em actividades culturalmente organizadas.
Bauersfeld (1995) refere que a perspectiva vygotskiana se refere aos símbolos
como ferramentas objectivas. Quando a atenção muda do colectivo para a actividade
individual, os materiais físicos, símbolos e notações que os alunos usam são vistos
como aspectos constituintes da sua actividade em vez de ferramentas externas. Assim, o
uso de símbolos e materiais é considerado influenciar profundamente tanto a natureza
das capacidades matemáticas que os alunos desenvolvem, como os processos pelos
quais eles os desenvolvem.
De acordo com Cobb (1991), e segundo esta perspectiva emergente, as verdades
matemáticas são construídas interactivamente dentro da comunidade de sala de aula.
Deste modo, os alunos têm a obrigação de explicar e justificar as suas ideias e soluções,
têm a obrigação de tentar compreender as ideias e as soluções dos outros e perguntar
para clarificar e desafiá-los se necessário. Para analisar este tipo de ensino (Yackel &
Cobb, 1996; Yackel, Rasmussen e King, 2000) desenvolveram um quadro teórico
representado na figura 7.
104
Perspectiva Social Perspectiva Psicológica
Normas sociais de sala de aula Crenças acerca do seu próprio papel, do papel dos outros, e da natureza geral da actividade matemática na escola
Normas sociomatemáticas Crenças matemáticas e valores
Práticas matemáticas de sala de aula Concepções matemáticas e actividade
Figura 7: Uma estrutura interpretativa para analisar a actividade colectiva e individual
ao nível da sala de aula (Cobb & Yackel, 1996, p. 211).
Este quadro teórico incorpora a perspectiva social e psicológica. A perspectiva
psicológica olha para o indivíduo de um ponto de vista construtivista, a perspectiva
social olha para a sala de aula como uma comunidade social (Gravemeijer, 2001).
Tendo em consideração o que expus acerca dos aspectos da aprendizagem, o
meu estudo, segue, essencialmente, a abordagem emergente defendida por Cobb e
Yackel (1996). Esta abordagem admite o ponto de vista da perspectiva construtivista
sobre a aprendizagem, mas vê-o como ligado ao processo de significados tomados-
como-partilhados em comunidades de sala de aula.
Neste estudo, e ao longo das sessões de sala de aula para implementação dos
problemas, foi dado particular relevo aos processos de resolução dos alunos, tanto
individualmente como em grupo, mas, em particular, individualmente. A grande ênfase
foi na discussão colectiva onde os alunos são vistos a desenvolver compreensões
pessoais, como eles participam na negociação contínua de normas de sala de aula e o
foco é na construção subjectiva do conhecimento através da interacção, em que os
processos culturais e sociais são parte integrante da actividade matemática (Bauersfeld,
1995).
Deste modo, é realçada a importância do discurso na aula de matemática e a sua
relação com o conhecimento matemático. Através do discurso, o tipo de conhecimento
matemático que os alunos desenvolvem depende, em grande parte, das características de
situações de comunicação que se estabelecem e se desenvolvem na sala de aula. A
construção de significado, o carácter convencional (mas não formal) do conhecimento
matemático, ou seja, o consenso sobre um conjunto de assuntos matematicamente
aceitáveis por todos os intervenientes de sala de aula alcança-se por meio da negociação
105
(Bauersfeld, 1995). Os significados, de acordo com Wood (1995) são simplesmente
realçados, alargados ou apagados quando os indivíduos interagem com formas de texto
mais complexas. Para Saxe (1995) os novos significados são construídos na interacção
entre as práticas de uma cultura e o desenvolvimento cognitivo pessoal dos indivíduos,
ou seja, além de uma posição de cognição que é por natureza desenvolvimental, também
inclui influências socioculturais. “Significado que é visto como um produto final da
actividade cognitiva” (Wood, 1995, p. 333).
4.3.1. Negociação dos significados matemáticos
As negociações que têm lugar durante as interacções são vistas como mediações
entre o conhecimento (cognitivo) e a cultura (Bauersfeld, 1988). A negociação é
caracterizada como um processo de adaptação partilhada durante a qual os
intervenientes criam interactivamente responsabilidades pela sua actividade. Somente os
significados matemáticos “tomados-como-partilhados” podem ser obtidos através da
negociação” (Bauersfeld, 1988, p, 174).
A negociação de significados consiste na construção interactiva da
intersubjectividade. Em virtude, muitas vezes, do carácter polissémico das palavras e,
por conseguinte do discurso em situações de ensinar e aprender, em que o professor
atribui significados diferentes aos que são atribuídos pelos alunos, é essencial que haja
negociação de significados por parte de todos os intervenientes neste processo. Todos os
intervenientes têm de negociar o significado de modo que seja compreendido por todos
os membros que fazem parte da cultura de sala de aula. É, assim, através da negociação
de significados que professor e alunos constituem significados tomados-como-
partilhados. O que se observa numa sala de aula é “uma prática social – matematização”
(Bauersfeld, 1995, p. 150), em que professor e alunos juntamente e interactivamente
produzem certas regularidades e normas de falar e agir matematicamente.
Deste modo, compreendemos o desenvolvimento da matematização na sala de
aula “como a constituição interactiva de uma prática social” (p. 150) em que é essencial
partir das experiências diárias dos alunos e do seu modo de falar. Esta prática social de
matematização funciona de forma bastante semelhante com uma cultura viva. Assim, os
resultados ou produtos que, de uma perspectiva psicológica são descritos como
conhecimento matemático, surgem como produtos de uma cultura específica.
106
A construção de significado matemático surge como um tipo de actividade
subjectiva em que somente umas pequenas partes estão sob controlo consciente. Todo o
resto parece estar disponível instantaneamente “à mão” para a pessoa e funciona como
uma orientação para acção. Esta parte principal é processada inconscientemente e inclui
o uso da linguagem simbólica e outros meios (Bauersfeld, 1995). Este autor preferiu
evitar a noção de conhecimento e preferiu falar de conhecer ou formas de conhecer, que
coincide muito com a noção usada por Bourdieu (1984) de habitus, dado que é muito
mais abrangente e relacionada com diferentes conotações sociais (Bauersfeld, 1995). O
habitus matemático escolar dos alunos emerge, assim, através da prática social numa
sala de aula de matemática.
Segundo este autor, os alunos chegam ao que eles sabem acerca da matemática
principalmente através da sua participação em práticas sociais de sala de aula, mais do
que descobrindo estruturas externas que existem independentes dos alunos. Para Wood
(1995), “os alunos criam novos significados reflectindo na sua actividade mental e física
e a sua principal reorganização conceptual tem a génese nas situações de ambientes
problemáticos” (p. 336).
Diversos autores (Duit, 1995; Saxe, 1995) defendem uma perspectiva em que a
aprendizagem ocorre quando os indivíduos participam na construção de significado e
não quando são recipientes passivos do conhecimento transmitido directamente ao
meio. Contudo, os alunos criam as suas próprias interpretações pessoais da situação
quando eles se envolvem em actos matemáticos. Estes autores também acreditam que as
oportunidades para aprender ocorrem durante as interacções sociais nas quais dos
intervenientes é esperado tomarem a perspectiva do outro.
Saxe (1995) afirma que os alunos tentam construir novas compreensões quando
eles interagem dentro do mundo social. Os indivíduos constroem novos significados
quando eles tentam levar a cabo objectivos que surgem das práticas da sociedade aceites
socialmente, bem como das suas experiências anteriores. Através da prática social, os
intervenientes produzem e reproduzem regulações e normas negociadas e tomadas-
como-partilhadas para comunicar e agir sobre uma realização. Esta perspectiva introduz
a ideia de aprendizagem através da participação do indivíduo numa cultura de sala de
aula.
Quando o educador age sob uma perspectiva interaccionista, a aprendizagem é
vista não como resultado dum processo individual ou um processo de enculturação
numa cultura pré-estabelecida, mas em que “a construção individual de significado
107
numa sala de aula tem lugar em interacção com a cultura de turma e ao mesmo tempo
contribui para a constituição desta cultura” (Cobb & Bauersfeld, 1995, p. 9). Assim, a
aprendizagem descreve um processo pessoal de formação, um processo de adaptação
interactivo a uma cultura através da participação activa nessa cultura.
As interacções matemáticas e o conhecimento matemático dos alunos que daí
resulta depende muito das características da comunicação e interacção que se estabelece
na sala de aula e que são determinadas por normativos constituídos na sala de aula, a
respeito das expectativas e obrigações do professor e alunos e são caracterizadas pelos
diferentes padrões de interacção e pelas normas sociais e sociomatemática que se
estabelecem (Wood, 1996; Yackel, 2000; Yackel et al., 2000).
4.3.2. Normas sociais na sala de aula
A importância de se estabelecerem normas sociais na sala de aula resulta da
interacção que aí tem lugar, que além do professor e dos alunos envolve toda a turma e
reflectem uma visão de que a aprendizagem da Matemática é tanto um processo de
construção activa individual como um processo de aculturação das práticas matemáticas
(Yackel & Cobb, 1996). Norma, de acordo com Yackel (2000) “é um construto
sociológico e refere-se à compreensão ou interpretação que se torna normativo ou
tomado-como-partilhado pelo grupo” (p. 7). Não é uma regra que determina a acção
individual, mas uma noção colectiva.
As normas sociais que caracterizam as interacções na sala de aula incluem:
(i) As expectativas de que os alunos desenvolvem pessoalmente soluções
significativas aos problemas
(ii) Explicar e justificar o seu pensamento e soluções;
(iii) Ouvir e tentar compreender as interpretações e soluções dos outros;
(iv) Colocar questões
(v) Colocar desafios em situações de divergência ou concordância;
(vi) Persistir na resolução de problemas desafiantes.
Deste modo, estas formas de agir e de interpretar as acções dos outros tornam-se
tomadas-como-partilhadas (Cobb & Yackel, 1996; Yackel, 2000). Estas normas são
formadas ou constituídas em e através das acções dos participantes, como eles
interagem uns com os outros. Assim, “elas não são constituídas – “estabelecidas” – de
108
uma vez por todas, mas sim continuamente reconstruídas em situações concretas e
influenciam as crenças dos alunos individualmente” (Gravemeijer, 2001, p. 158)
Embora o professor tenha como missão iniciar, conduzir e organizar a
negociação e a renegociação das normas sociais na sala de aula, os alunos também
contribuem para o estabelecimento e evolução dessas normas. Ao fazer essas
contribuições (perspectiva social), (Cobb & Yackel, 1996), os alunos reorganizam as
suas crenças individuais acerca do seu próprio papel, os papéis dos outros e a natureza
geral da actividade matemática (perspectiva psicológica) (Cobb, Stephan, McClain &
Gravemeijer, 2001, p. 123).
As normas sociais defendidas por estes autores são, de algum modo, semelhantes
ao que Brousseau (1990) chamou de “contrato didáctico” que se focava na natureza
normativa da interacção entre o professor e os alunos. Definiu este termo como uma
compreensão mútua e tácita em que o professor sabe o conteúdo e é esperado ajudar o
aluno a aprendê-lo. Através do contrato, o professor é obrigado a ensinar e o aluno é
obrigado a aprender a natureza essencial da situação de ensino e aprendizagem.
4.3.3. Normas sociomatemáticas
As normas sociais discutidas na secção anterior são normas sociais que podem
aplicar-se a qualquer disciplina, não são únicas para a matemática. Os significados
matemáticos que surgem de processos de negociação, de argumentação e contra-
argumentação tendo em vista a apropriação (validação) do conhecimento matemático
(desenvolvimento conceptual da matemática) não podem ser observáveis através das
normas sociais descritas.
Através de processos de interacção com os seus pares, e através de processos de
reconceptualização do conhecimento, a partir das explicações dos outros, os alunos vão
construindo, gradualmente, o seu significado matemático. No entanto, na discussão
matemática que é específica à actividade matemática dos alunos, é necessário atender a
questões específicas, ou como (Cobb e Yackel, 1996; Cobb et al., 2001; Wood, 1996;
Yackel, 2000) definiram como normas sociomatemáticas que analisam o que conta
como uma explicação e justificação matematicamente aceitável, ou seja, standards
estabelecidos pela comunidade de sala de aula para avaliar esses argumentos e contra-
argumentos.
109
A distinção entre uma norma social e uma norma sociomatemática pode ser
exemplificada da seguinte maneira, a compreensão que se espera que os alunos
expliquem as soluções e formas de pensar é uma norma social, enquanto a compreensão
do que é considerado como uma justificação matematicamente aceitável é uma norma
sociomatemática (Yackel & Cobb, 1996). Do mesmo modo, a compreensão de que
quando se discute um problema, os alunos devem apresentar soluções diferentes das já
apresentadas é uma norma social, enquanto que a compreensão do que é considerado
como uma diferença matemática é uma norma sociomatemática.
É nestes processos de interacção que surge o significado matemático, que não é
algo que possa ser delineado previamente para os alunos aplicarem, mas que é formado
em e através das interacções dos participantes (professores e alunos) na sala de aula, daí
serem tomados-como-partilhados, porque se referem ao conhecimento colectivo de uma
comunidade de sala de aula. É através da participação individual dos alunos nas práticas
matemáticas de sala de aula que estes contribuem para o desenvolvimento dos
significados tomados-como-partilhados (Bowers, Cobb & McClain, 1999).
Nas normas sociomatemáticas existe uma preocupação em considerar o que
conta como matemáticamente diferente, matematicamente sofisticado, matematicamente
eficaz e matematicamente elegante. Quem legitima essa diferença matemática e como se
vai constituindo o que é matematicamente aceite é um dos grandes desafios na
discussão de sala de aula, tomando sempre como ponto de partida a actividade cognitiva
do aluno que foi desenvolvida anteriormente. Podemos dizer que as soluções diferentes,
sofisticadas, eficazes e elegantes envolvem um sentido de partilha de quando é
apropriado contribuir para a discussão. A norma sociomatemática que considera uma
explicação e justificação aceitável está relacionada com o próprio processo através do
qual os alunos contribuem (Yackel & Cobb, 1996).
Tal como refere Yackel (2000) é a partir dos processos de resoluções dos alunos,
colocando ênfase nas diferentes resoluções, nas suas explicações e argumentações, e em
que as resoluções são elas próprias objecto de reflexão, onde a interacção serviu para
apoiar as normas sociais e em que houve lugar a uma explicação e justificação
matemática aceitável, norma sociomatemática, que torna possível a interrelação entre
estas normas.
É importante referir que não é suficiente para os alunos aprenderem que eles
tenham uma grande variedade de contribuições matemáticas. É importante
compreenderem o que são contribuições matemáticas e o que constitui uma contribuição
110
matematicamente aceitável. Isto exige que os alunos possam eles próprios julgar o que
se considera como uma resolução matematicamente diferente, uma resolução perpicaz,
uma resolução matemática eficaz e uma explicação aceitável (Cobb & Yackel, 1996).
De acordo com estes autores, o significado da diferença matemática é interactivamente
constituído pelo professor e alunos na sala de aula através da apresentação dos seus
processos de solução. Através dos pedidos pelo professor das diferentes soluções, os
alunos vão-se apercebendo do que é considerado como matematicamente diferente.
Neste processo interactivo, tanto professores como alunos também desenvolvem a
compreensão da diferença matemática.
Estes autores clarificam esta ideia apresentando o seguinte exemplo:
78-53 = ____ (Foi escrito no quadro e proposto como uma actividade de
cálculo mental)
Dennis: Eu disse, ..., 7 e tirando 50, isso é igual a 20. Professor: Certo. Dennis: E então, então eu tirei, eu tirei 3 de 8 e então fiquei com 5. Professor: Ok. E com quantos ficaste? Dennis: 25.... ... Professor: Ella? Ella: Eu disse os 7, os 70, eu disse os 70 menos os 50... eu disse os
20 e 8 mais 3.... Oh, eu somei, eu disse 8 menos os 3, que são 5.
Professor: Certo. Seria então quanto? Ella: E isso é 75... Eu quero dizer 25. Dennis: (Protestando) Sr. K., isso é a mesma coisa que eu disse.
Esta discussão contribuiu para a negociação do significado de diferença
matemática, ou seja, mostra que Dennis entendeu que uma explicação que repete uma
decomposição e recombinação de números não é apropriada e não é aceite como
matematicamente diferente. Evidencia, também, que Dennis comparou as suas soluções
e as de Ella e avaliou-as de modo a considerar as suas semelhanças e diferenças, o que
demonstra uma actividade cognitiva superior. Esta situação também revela que a
actividade matemática dos alunos vai para além de escutar as explicações dos colegas,
procura sim dar sentido às explicações dos outros, contribuindo deste modo para uma
aprendizagem matemática mais significativa.
111
Relativamente a uma solução sofisticada ou uma solução eficaz, os mesmos
autores referem que elas são menos explícitas em situações de sala de aula e, por isso,
mais difíceis de identificar. É muito mais comuns os professores questionarem os alunos
no sentido de considerarem soluções diferentes do que questionarem os alunos no
sentido de alguém ter uma solução mais sofisticada ou mais eficiente. Estas situações
são mais evidentes nas reacções do professor às soluções apresentadas pelos alunos e,
deste modo, poderem ser interpretadas, de modo implícito, do que é mais ou menos
valorizado matematicamente pelo professor.
Uma outra questão importante é compreender como é que o discurso matemático
vai progredindo à medida que o professor e os alunos partilham significados
matemáticos e o que é matematicamente valorizado. Yackel e Cobb (1996) ilustram esta
questão apresentando um exemplo de sala de aula e a forma como se processou a sua
discussão com toda a turma:
Exemplo: A tarefa é calcular quantas rodelas há num quadro de dupla dezena que tem quatro rodelas vermelhas na armação esquerda e seis rodelas verdes na armação direita (ver Figura 8). A imagem foi projectada no ecrã do retroprojector várias vezes e depois tirada enquanto as crianças calculavam as suas soluções. O episódio começa depois de vários alunos já terem dado soluções que envolvem contagens através de unidades.
Travonda: Você poderia dizer, ..., é seis neste lado (apontando para a
armação direita) e leva um daquele lado (apontando para a armação direita) [e] punha no lado vermelho e...
Professor: Escutem-na! Travonda: E [você] teria cinco mais cinco. Professor: Certo! Entendem o que ela [disse]. Eu gosto disso! Ela
disse (apontando para o ecrã) se fossemos tirar um destes verdes e pô-lo aqui com, com as quatro [rodelas vermelhas] teríamos o quê?
Turma: Cinco. Professor: Cinco. E isto deixaria cinco aqui (apontando para a
armação à direita) e vocês podiam dizer 5 mais 5. Isso é bom.
112
Figura 8: Tarefa do quadro de dupla dezena
É visível que o professor realça esta solução e que os alunos, gradualmente, se
vão apercebendo de formas conceptualmente mais avançadas de actividade matemática,
contribuindo, certamente, para a aprendizagem matemática dos alunos. Muitas vezes,
estes feedbacks do professor desafiam os alunos a apresentar soluções cada vez mais
sofisticadas intelectualmente. A continuação do episódio anterior reflecte um pouco
isso:
Chade: Você, você pode pôr as quatro [rodelas vermelhas] naquele [direito] lado e isso faria dez.
Professor: Yeah! Eu gosto disso. Professor: (Para a turma) Chade diz para pôr estas quatro (apontando
para as rodelas vermelhas) aqui (apontando para os espaços em branco da armação direita) e isso faria quantos?
Classe: Dez. Professor: Dez. Certo, isso é bom. Yeah? Greg: Dois mais dois são quatro (apontando para as rodelas
vermelhas) e dois mais dois são quatro (apontando para as quatro rodelas verdes) e isso é oito, e mais dois é dez.
Professor: Certo. Percebem o que ele disse? (O professor repete a solução para a turma.)
John: Você poderia fazer sete mais três e então isso seria dez. Professor: Eu gosto disso.
É notório, em todo este exemplo, a valorização que o professor deu aos
processos de resolução apresentados, à sua preocupação para que todos os alunos
compreendessem esses processos, proporcionando, assim, o desenvolvimento do
pensamento individual dos alunos e também uma progressão do discurso de matemática
de sala de aula. Foi evidente, neste episódio, processos de resolução mais sofisticados,
ou seja, os alunos para além de contarem unidades também se envolveram na
construção de relações numéricas e de modos alternativos de combinar elementos das
duas colecções.
Os alunos ao explicarem as suas soluções têm de, ao mesmo tempo, repensar as
suas ideias para as tornar compreensíveis aos outros. É neste momento que os alunos se
envolvem no que Piaget (1985) chamou pensamento abstracto reflexivo ou
113
competências de ordem superior (Resnick, 1987). Estes momentos podem-se considerar
de aprendizagem, tanto para o aluno que fala como para o aluno que ouve (Wood,
1996).
Yackel e Cobb (1996) acreditam que os alunos constroem crenças e valores
específicos matemáticos que lhes permitem agir como membros autónomos de uma
comunidade matemática de sala de aula quando eles participam na renegociação das
normas sociomatemáticas e que esta renegociação pode aumentar as oportunidades de
aprendizagem para os professores e para os alunos. As discussões com toda a turma são
sempre situações exigentes mas que contribuem para o desenvolvimento nos
professores de noções do que é sofisticado e eficaz para os alunos.
Yackel (2000) refere que “há um ampla evidência que nas salas de aula onde
estas normas sociomatemáticas são tomadas-como-partilhadas, elas permitem o
desenvolvimento de formas sofisticadas de argumentação matemática, de autonomia
intelectual e, por isso, de um maior poder matemático” (p. 16). De acordo com o NCTM
(1991) este poder matemático tem a ver com a capacidade individual do aluno para
explorar, conjecturar, raciocinar e também uma grande capacidade para usar uma
variedade de métodos matemáticos mais eficientes para resolver problemas não
rotineiros.
Para diSessa e Cobb (2004), a autonomia intelectual – antes viam-na como uma
característica particular dos alunos, agora como uma característica de uma forma de
participação dos alunos nas práticas da comunidade de sala de aula. Os alunos que são
intelectualmente autónomos em matemática utilizam as suas próprias capacidades
intelectuais quando tomam decisões e julgamentos matemáticos, quando participam
nessas actividades. “Vimos a construção das normas sociomatemáticas como uma
ferramenta conceptual que pode ser usada para orientar as interpretações contínuas dos
acontecimentos de sala de aula” (diSessa e Cobb, 2004, p. 20).
Estas interpretações, suposições e hipóteses que as suportam têm consequências
reais dado que informam (mas não determinam detalhadamente) o design de ensino e
decisões pedagógicas que são feitas tanto na acção e enquanto reflectem sobre
acontecimentos e planificações anteriores para as sessões de ensino futuras. As normas
sociomatemáticas proporcionam um excelente locus para o refinamento.
Vários investigadores referidos por estes autores identificaram um número de
normas sociomatemáticas bastante maior das que eles tinham identificado. A questão
para diSessa e Cobb (2004) não é a extensão da lista dessas normas, mas investigar
114
detalhadamente quais as normas que parecem ser particularmente relevantes para apoiar
a aprendizagem dos alunos de ideias matemáticas significativas.
4.3.4. As práticas matemáticas de sala de aula
As práticas matemáticas de sala de aula surgem quando o professor e os alunos
discutem resoluções dos problemas e estas práticas envolvem significados de símbolos,
argumentação e validação de tarefas específicas. “Uma análise das práticas de sala de
aula foca-se nas mudanças das formas de agir e raciocinar matematicamente, que se
tornam institucionalizadas e, por isso, estão para além de uma simples justificação”
(Bowers et al., 1999, p. 28)
Estas práticas matemáticas de sala de aula requerem duas unidades de análise:
uma unidade de análise tem em vista a compreensão dos alunos individualmente, a
segunda unidade de análise das práticas matemáticas de sala de aula toma a comunidade
de sala de aula como sua unidade. As construções dos alunos não surgem no vácuo, não
as alcançam sozinhos. Em vez disso, ocorrem quando os alunos participam nas práticas
em grupo. É importante o papel do professor neste contexto de sala de aula, para que
possa de algum modo usar a sua experiência e conhecimento para antecipar as
contribuições dos alunos e antecipar formas de responder a elas e deste modo assegurar-
se da matemática que deve ser aprendida pelos alunos, ou seja, o professor pode e deve,
antecipadamente, formular/projectar uma trajectória hipotética de aprendizagem.
Nestas práticas de sala de aula, a discussão com toda a turma assume um papel
relevante na aprendizagem matemática dos alunos. Esta discussão com toda a turma
pode ser eficiente quando é usada para partilhar e explicar a variedade de soluções que
os alunos executaram individualmente. Este processo permite aos alunos ver muitas
formas de considerar uma situação e a variedade de soluções aceitáveis e apropriadas
(Wood, 1999). Assim, estas práticas podem ajudar a criar um envolvimento em que os
alunos se sentem confortáveis partilhando ideias e discutindo os seus métodos de
raciocínio com os dos seus colegas. Através destas práticas também se espera que os
alunos sejam ouvintes activos que participam na discussão e sintam um sentido de
responsabilidade na compreensão do que os seus colegas expõem (Cobb et al.,1992;
Wood, 1999).
Estes autores consideram que a participação na discussão através destas práticas
de sala de aula pode ser um resumo do trabalho individual em que as ideias chave vêm à
115
superfície através da apresentação e discussão pelos alunos dos seus métodos de
resolução. A discussão com toda a turma pode ser uma prática de ensino eficaz e útil
que tem um lugar importante na aprendizagem matemática tomada-como-partilhada.
Fosnot e Dolk e Treffers e Buys (2001) referem que é através da discussão e reflexão
sobre as suas resoluções das tarefas que os alunos desenvolvem o sentido do número e
das operações. É importante que o aluno apresente aos seus colegas o modo como
resolveu o problema, que seja possível compará-lo como as outras resoluções e também
reflectir sobre semelhanças e diferenças entre vários procedimentos (Mendes &
Delgado, 2008). Deste modo, as práticas de sala de aula que contemplem estes aspectos
podem ajudar os alunos a raciocinar matematicamente, a desenvolver o sentido do
número e das operações e progressivamente progredir nos diferentes níveis de
raciocínio matemático.
Para que estas práticas de sala de aula tenham implicações na aprendizagem
matemática dos alunos é importante que o professor tenha em mente não só os
conteúdos que quer que os alunos dominem, mas também a sua maneira de aprender
matemática e as necessidades de cada um. Nesta perspectiva, torna-se imprescindível
que o professor planifique que conteúdos pretende que os alunos aprendam, que tarefas
seleccionar ou criar e pensar como poderão os alunos atingir os objectivos que o
professor traçou para eles. Assim, é importante que o professor pense antecipadamente
em todo este processo, ou seja, que ele delinie o que Simon (1995) chamou uma
trajectória hipotética de aprendizagem. Este assunto será abordado de seguida.
4.4. Trajectória hipotética de aprendizagem
Uma das preocupações tida nesta investigação foi a planificação de um conjunto
de tarefas com o objectivo de compreender como os alunos desenvolvem o seu sentido
do número, evoluindo nos níveis de cálculo, desde o cálculo por contagem até ao
cálculo formal, num contexto de resolução de problemas de adição e subtracção de
números naturais, contemplando os vários significados destas operações. Teve-se ainda
em atenção que estas tarefas tivessem uma sequência no seu nível de complexidade,
essencialmente, ao nível dos números envolvidos, ou seja, tentámos delinear uma
caminho de aprendizagem onde se inseriam um certo número de tarefas que tinham em
mente o desenvolvimento pelos alunos de ideias e processos matemáticos. Assim, a
116
trajectória hipotética de aprendizagem consistiu numa sequência de tarefas pensada
antecipadamente para apoiar e organizar a emergência de cada prática a partir de
práticas anteriores (Cobb et al., 2001).
Ao planificar as tarefas e, deste modo, também planificar as aprendizagens
tivemos em atenção três aspectos:
(i) determinar o que é que os alunos podem aprender num determinado momento, a
partir daquilo que eles já sabem e já fazem (conteúdos matemáticos a aprender)
(ii) seleccionar e/ou criar actividades e tarefas e encadeá-las umas nas outras de tal
maneira que os alunos possam atingir os objectivos que o professor fixou para
eles;
(iii) explicitar aquilo que os alunos vão descobrir/aprender nestas condições e como
o vão fazer (aspecto teórico e metodológico da planificação) (Kraemer, 2008, p.
5)
Estes aspectos também são considerados por Simon (1995) ao delinear uma
trajectória hipotética de aprendizagem composta por três componentes: a consideração
do objecto de aprendizagem, que define o caminho a seguir; as tarefas de aprendizagem
e os processos hipotéticos de aprendizagem – uma previsão de como poderá evoluírem
o pensamento e a compreensão dos alunos no contexto das tarefas de aprendizagem.
A criação e a modificação contínua da trajectória hipotética de aprendizagem é
uma peça central do modelo. A noção de trajectória hipotética de aprendizagem não
significa sugerir que o professor persiga sempre um objectivo ao longo do tempo ou que
somente considere uma trajectória. Significa, sim, a importância de ter um objectivo
racional para as decisões de ensino que toma e a natureza hipotética de tal pensamento.
É hipotética porque é concebida como uma experiência de ensino e porque não é
possível prever se ela será, de facto, uma via real de aprendizagem.
Simon (1995) chama a tenção para o desenvolvimento de um processo
hipotético de aprendizagem e o desenvolvimento de tarefas de aprendizagem que têm
uma relação simbiótica; a produção de ideias para as tarefas de aprendizagem é
dependente das hipóteses do professor acerca do desenvolvimento do pensamento e
aprendizagem dos alunos; a produção de hipóteses do desenvolvimento conceptual dos
alunos depende da natureza das tarefas antecipadas.
Simon (1995) descreve este processo como “um ciclo de ensino da matemática”
Trajectória hipotética
de aprendizagem
117
Figura 20: Ciclo de ensino da matemática (Simon, 1995, p. 136)
A trajectória é, assim, um percurso que se planeia antecipadamente. A criação de
uma trajectória hipotética de aprendizagem para o ensino na sala de aula é um processo
pelo qual (de acordo com este modelo) o professor desenvolve um plano para a
actividade de sala de aula. Contudo, como o professor interage e observa os alunos, o
professor e os alunos colectivamente realizam uma experiência. “Esta experiência pela
natureza da sua constituição social é diferente daquela que foi antecipada pelo
professor” (Simon, 1995, p. 137).
Ao mesmo tempo, o desenvolvimento das tarefas de sala de aula, e através das
interacções que aí se estabelecem, provoca uma alteração nas ideias e conhecimento do
professor, como é visível na figura 20. A avaliação do pensamento dos alunos pode
provocar adaptações no conhecimento do professor que, por sua vez, conduzirá a novas
ou modificadas trajectórias hipotéticas de aprendizagem.
Objectivo de aprendizagem do professor para os alunos
Plano de actividades do professor para as actividades de aprendizagem
Hipótese do professor sobre os processos de aprendizagem dos
alunos
O conhecimento do professor
Interacção com os alunos
Questionar Constituição Promover a a matemática interactiva assimilação dos alunos das práticas de acomodação sala de aula reflexão 1)
118
Na figura 21, podemos observar as relações entre os vários domínios do
conhecimento do professor, a trajectória hipotética de aprendizagem e as interacções
com os alunos que, deste modo, contribuirão para a identificação dos objectivos de
aprendizagem, para o desenvolvimento de tarefas de aprendizagem e também de
processos hipotéticos de aprendizagem.
Este ciclo de ensino da matemática descrito por Simon (1995) descreve uma
visão do professor que toma decisões relativamente ao conteúdo e tarefas numa
perspectiva construtivista social de aprendizagem, com desafios inerentes da sala de
aula de matemática. Steffe (1991) afirma que os educadores matemáticos tomam muitas
vezes os seus objectivos para a educação matemática como ideias fixas que
permanecem não influenciadas pelas suas experiências de ensino. Nesta perspectiva da
trajectória hipotética de aprendizagem, “os objectivos que são estabelecidos
previamente às experiências são somente pontos de partida e devem ser submetidos à
transformação experiencial e nos episódios de ensino e aprendizagens actuais” (p. 192).
O comentário de Steffe (1991) parece salientar a natureza cíclica deste processo
de ensino. Simon (1995) refere que a literatura na educação matemática é forte sobre a
importância de ouvir os alunos e avaliar a sua compreensão. Contudo, a ênfase na
antecipação dos processos de aprendizagem não tem sido muito desenvolvida por
muitas correntes no ensino da matemática.
Fosnot e Dolk (2001) designa esta perspectiva de Simon por “linhas de
aprendizagem” (p. 17), ou seja, trajectórias hipotéticas abrangendo as ideias
fundamentais, os modelos matemáticos e as estratégias que os alunos constroem ao
longo do percurso, à medida que enfrentam tópicos matemáticos chave (por exemplo,
número, valor de posição, adição e subtracção, etc.) No entanto, estes autores
consideram que o termo linha de aprendizagem é um termo excessivamente linera e
preferem o termo “cenário de aprendizagem” (p. 17). Os alunos não constroem as suas
ideias e estratégias numa sequência ordenada. Muitas vezes, seguem caminhos
completamente diferentes daqueles que o professor pensou, ou seja, “estes cenários de
aprendizagem não são fixos nem lineares, mas algo em constante movimento” (p. 17)
Simon (1995) salienta vários temas que são particularmente importantes na
abordagem às tomadas de decisão representadas no seu modelo:
1) A compreensão e o pensamento dos alunos são tomados seriamente e conduzem
a um lugar central na planificação e implementação do ensino. A compreensão
119
do pensamento dos alunos é um processo contínuo de recolha de dados e criação
de hipóteses;
2) O conhecimento do professor evolui, simultaneamente, com o crescimento do
conhecimento do aluno. Como os alunos estão a aprender matemática, o
professor está a aprender acerca da matemática, da aprendizagem, do ensino e
acerca do pensamento matemático dos seus alunos;
3) Planificar para ensinar é visto como incluindo a criação de trajectórias
hipotéticas de aprendizagem;
4) A mudança contínua do conhecimento do professor cria uma mudança contínua
na trajectória hipotética de aprendizagem do professor (p. 141).
A chave nesta trajectória é, de facto, “a maneira como os alunos se podem
envolver e como eles participam nas tarefas de ensino que o professor teve em mente”
(Gravemeijer, 1997, p. 18). Embora as trajectórias de aprendizagem individuais possam
Avaliação do conhecimento
dos alunos através da interacção com os
alunos
Figura 21: Ciclo de ensino matemático (Simon, 1995, p, 137)
Trajectória hipotética de aprendizagem
Objectivo de aprendizagem do professor para os alunos
Plano de actividades do professor para as actividades de
aprendizagem
Hipótese do professor sobre os processos de aprendizagem dos
alunos
Hipótese do professor do
conhecimento dos alunos
Teorias do professor sobre
o ensino e aprendizagem da matemática
Conhecimento do professor of student aprendizagem de um conteúdo particular
Conhecimento matemático do
professor
Conhecimento pelo professor das actividades e representações matemáticas
120
variar, frequentemente, a aprendizagem progride através de caminhos muito
semelhantes. O professor pode construir uma trajectória hipotética baseado nas
expectativas sobre tais caminhos.
O ciclo descrito por Simon (1995) é, de algum modo, referido por outros
investigadores nos seus trabalhos, nomeadamente, Gravemeijer (1994), Cobb e Yackel
(1996) e Cobb et al., (2001) a que chamaram fases do ciclo de investigação (Fig. 22).
Figura 22: Ciclo de investigação do design de ensino (Cobb et al., (2001).
Cobb (2001) refere que há uma relação entre esta proposta de Simon (1995) e a
que é defendida por Gravemeijer (1994) que este autor refere como a “instructional
design” e clarificou que o designer inicial conduz a uma experimentação antecipada do
pensamento. Há uma antecipação de como a aprendizagem matemática dos alunos pode
prosseguir quando uma sequência de ensino proposta é implementada na sala de aula.
Pensar experimentações deste tipo poderá envolver conjecturas acerca tanto de
trajectórias de aprendizagem possíveis dentro da comunidade de sala de aula, como
meios de apoiar, organizar e conduzir esse desenvolvimento. Em toda a trajectória
hipotética de aprendizagem a importância do papel do professor é fundamental dado que
é ele impulsionador e dinamizador de todo este processo.
4.5. O papel do professor
Desenvolver um trabalho tendo em vista a construção do sentido do número, a
discussão dos métodos de resolução de problemas de adição e subtracção usados pelos
alunos em detrimento dum trabalho rotineiro de repetições e mecanização de
procedimentos, conduz necessariamente a um papel diferente do professor.
Análise baseada na sala de aula
Design de ensino
121
Os professores desempenham um papel importante neste processo, tendo em
atenção “o tipo de ambiente que criam na sala de aula, nas práticas de ensino que
implementam e nas tarefas que seleccionam” (Reys, 1994, p. 115). Na sala de aula, esta
autora refere a importância do uso de um processo de questionamento, dado que ele
pode estimular a discussão de uma ideia e pode conduzir a uma melhor exploração e uso
da linguagem oral para explicar e justificar um pensamento. Considera também que, o
uso de registos escritos para resumir o seu pensamento, pode ajudar os alunos a
estimular o seu sentido do número. Quando eles escrevem, eles podem formular novas
ideias ou questões.
O professor durante as suas aulas deve encorajar os alunos a inventarem os seus
próprios métodos, para que assim possam criar e explorar os seus próprios métodos para
calcular e resolver problemas. O professor assume, neste caso, o seu papel de
moderador em vez de distribuidor de regras e procedimentos. A ênfase muda da solução
para o processo, permitindo aos alunos liberdade para usar estratégias que são
intuitivamente óbvias para eles e os ajuda a sentirem-se mais confortáveis com o
processo de resolução de problemas de modo que a matemática faça mais sentido. O uso
apropriado das ferramentas de cálculo pode ajudar a desenvolver o sentido do número,
promovendo e assegurando que os alunos aprendam a calcular de várias maneiras,
incluindo os métodos electrónicos, o cálculo mental, o cálculo aproximado e escrito.
O desenvolvimento do sentido do número, de problemas de adição e subtracção
e dos seus vários signicados, bem como a progressão de níveis de cálculo exigem não
somente tarefas e actividades apropriadas, mas também um ambiente favorável onde os
alunos tenham oportunidades para falar e fazer matemática (NCTM, 1991). O professor
deve, pois, criar um ambiente que permita o tempo necessário para explorar as ideias
matemáticas e os problemas significativos, facilitando o uso de materiais, valorizando e
respeitando as ideias dos alunos, enfim, proporcionando um ambiente onde o aluno tem
um papel fundamental e activo na aprendizagem (NCTM, 1994). O ambiente que
promove curiosidade e exploração é uma construção social na qual os alunos interagem
com o professor e uns com os outros acerca das quantidades e dos números. Neste tipo
de ambientes, os professores e os alunos então envolvidos em conversas onde eles
desenvolvem e negoceiam significados dos termos, fazem sentido dos números e
quantidades (Silver, 1989) e desenvolvem processos de pensar (Carpenter, 1989).
A investigação sobre a compreensão pelos alunos de problemas de adição e
subtracção indica que os alunos ao entrarem na escola estão prontos a trabalhar este
122
tópico. No pré-escolar, os alunos já trabalham muito com situações de adição e
subtracção e abordam estas situações de forma significativa É, muitas vezes, depois de
se terem exposto ao ensino da escola com a ênfase nos procedimentos rotineiros para a
adição e subtracção que os alunos param de trazer à tona significados nas situações de
adição e subtracção, fazerem erros que podem ser incompreensíveis e que não estão
relacionados com as respostas em que da quais não fazem sentido. Assim, “é importante
criar uma sala de aula em que a subtracção e a adição tenham significado” (Fuson,
1992, p. 32).
Fuson (1992) refere três linhas de argumentos e evidências que convergem numa
visão das salas de aula como lugares onde os alunos constroem significados para os
conceitos, palavras, e efectuam símbolos escritos, justificam procedimentos de solução
para as situações matemáticas. Uma, é uma evidência considerável em que os alunos
constroem significados e possuem uma variedade de procedimentos de solução
diferentes. Segunda, é o futuro para o qual os alunos necessitam estar preparados, um
futuro em que a tecnologia, os recursos de cálculo continuarão a aumentar rapidamente,
criando necessidades matemáticas impossíveis de visionar agora. Esta relação da
tecnologia e o local de trabalho muda e continuará a acelerar. Ambos exigem cidadãos e
trabalhadores que possam atacar e analisar situações complexas e avaliar procedimentos
de solução alternativos antes de se terem realizado. Uma terceira, é uma evidência
empírica, emergindo agora, relativa à competência matemática dos alunos em
determinados países e em ambientes de sala de aula que produzem esta competência.
Esta evidência pode ajudar a clarificar a visão das salas de aula de matemática focadas
no significado.
Esta autora considera que os alunos precisam colocar problemas bem como
resolvê-los. O uso de símbolos matemáticos escritos para as estruturas de adição e
subtracção necessitam sempre de ser acompanhados pela descrição desses significados
dos sinais. Os alunos precisam de ter oportunidades para reflectir nos procedimentos de
solução que usaram para que eles possam mover-se através da progressão do
desenvolvimento das estruturas conceptuais para a adição e subtracção. Estas
oportunidades podem surgir das situações concretas ou da discussão.
Por tudo isto, é importante que os professores resistam à sua natural inclinação
de dizer aos alunos a construção dos seus próprios significados matemáticos. Isto
significa que os professores devem aprender a ensinar de modo a ir contra as suas
tendências naturais. Muitas vezes, as diferenças de aprendizagem têm a ver com os
123
padrões de interacção e discurso proporcionada pelo professor. Wood (1997) propõe
uma ligação entre três aspectos essenciais, expectativas que o professor estabelece, os
padrões de rotina de interacção que surgem e o pensamento reflexivo dos alunos.
Relativamente aos padrões de interacção, esta investigadora refere três níveis de padrões
importantes que o professor deve implementar nas suas aulas:
(i) em que os alunos dizem como resolveram os problemas, em que o professor
questiona o aluno para explicar e descrever o seu pensamento;
(ii) em que os alunos dizem como resolveram o problema, em que é importante
serem questionados acerca do porquê e do como. Neste segundo padrão, os alunos dão
razões para as suas explicações e clarificam o seu pensamento;
(iii) os alunos clarificam os seus significados e em que o professor tem um papel
questionador no sentido de levar o aluno a provar as suas afirmações. Nestes momentos,
há a participação de outros colegas pedindo explicações mais explícitas e
argumentações mais convincentes para que os significados matemáticos sejam tomados-
como-partilhados por toda a turma.
É importante que os professores tenham em atenção que a aprendizagem
conceptual dos alunos ocorre em contextos de confusão e conflito e para isso é
necessário criar ambientes em que esses momentos surjam. Nesses momentos, é preciso
ouvir os alunos, a suas formas de pensamento sobre a matemática. É preciso “deixá-los
pensar por eles” formas que são contrárias à forma “natural” de ensino que é um
processo que não é tão bem percebido pelos educadores matemáticos. (Wood, 1997 p.
43). “Os professores devem ouvir mais, os alunos devem raciocinar mais” (NCTM,
1994, p. 38). Dado que os alunos são diferentes uns dos outros e vão construindo
diferentes imagens e concepções sobre os temas em estudo, o “professor precisa
valorizar as interacções entre os alunos e entre estes e o professor” (Abrantes et al.,
1999, p. 29). O papel da linguagem neste processo é fundamental, por um lado, pode
ajudar os alunos a clarificarem a sua própria compreensão, falando, por outro, através da
reconceptualização da sua própria construção cognitiva, quando eles tentam
compreender as explicações dos seus pares (Wood et al., 1995).
Reconstruir oportunidades para os professores aprenderem é facilitado no
contexto da sua prática, compreendendo que os alunos têm a sua própria forma de
pensar acerca da matemática, reconhecendo que não é a única fonte de conhecimento,
mas um facilitador na construção dos significados matemáticos dos alunos. Facilitador,
“não no sentido errado; não se pretende dizer que o processo se torna “fácil”, mas sim
124
realçar que são os alunos quem aprende e que o professor deve criar as melhores
condições para que isso ocorra” (Abrantes et al., 1999, p. 29).
É nesta perspectiva que os professores terão de mudar o seu papel, de
professores que dão orientações e explicações para o de professores que ajudam os
alunos a “reinventar” a matemática (Gravemeijer, 2005). Uma das consequências é que
o professor não será mais o único a ter autoridade nas respostas correctas: “embora os
professores continuem a ter autoridade na sala de aula, terão um papel diferente,
estabelecendo as regras do que é a matemática e o que significa aprender matemática na
sua sala de aula” (Gravemeijer, 2005, p. 99 e 100). As discussões com toda a turma são
também um aspecto importante, embora sejam situações exigentes para os professores
porque têm que tentar dar sentido a um largo conjunto (diferentes) de soluções
apresentadas pelos alunos (Yackel & Cobb, 1996), mas, ao mesmo tempo, poderão criar
oportunidades de aprendizagem. “Os tipos de experiências que os professores
proporcionam desempenham um papel importante na determinação da extensão e
qualidade da aprendizagem dos alunos” (NCTM, 2007, p. 23).
Os professores, numa perspectiva construtivista da aprendizagem, devem estar
preocupados com o que vai na cabeça do aluno. O professor deve ouvir o aluno,
interpretar o que ele faz e diz e tentar construir um “modelo” das suas estruturas
conceptuais (von Glasersfeld, 1995). Assim, devem proporcionar situações em que os
alunos: (i) ultrapassassem obstáculos quando tentam perceber a situação; (ii) verbalizem
o seu pensamento matemático; (iii) expliquem ou justifiquem uma solução; (iv)
resolvam alguns conflitos de pontos de vista; e (v) desenvolvam um quadro que concilie
métodos de solução alternativos (p. 14).
Deste modo, é importante que os professores construam uma forma de prática
que se adeque à forma de aprender matemática dos seus alunos, ou seja, o que significa
compreender e fazer matemática na escola e o que significa ensinar matemática. A
perspectiva não é que os alunos trabalhem sozinhos ou que os alunos trabalhem em
grupo e deixando-os a resolver problemas. O desafio é “como podem os professores de
matemática promover a construção pelos alunos de ideias matemáticas fundamentais”
(Simon, 1995, p. 118), em que os alunos constroem a sua própria matemática, e em que
o ensino da Matemática se faz principalmente nas interacções entre professor e aluno.
As Normas do NCTM (1991) consideram que:
125
As aulas de Matemática devem ser locais onde problemas interessantes são regularmente explorados e onde os alunos têm oportunidade de participar em experiências variadas que lhes permitam tornarem-se confiantes nas suas próprias capacidades, permitindo-lhes acreditarem no seu próprio pensamento matemático. Desta forma, a matemática escolar ajudará o aluno a compreender que fazer matemática é uma actividade humana comum contribuindo, assim, para que os alunos aprendam a dar valor à matemática (p. 7)
O professor tem um determinado significado matemático para comunicar ao
aluno, que o interpreta e o ajusta aos seus esquemas matemáticos pessoais, construindo,
assim, o seu próprio conhecimento. É importante que o professor tome consciência das
concepções que os alunos têm sobre a Matemática, sobre a natureza da matemática, ou
seja, se os alunos encaram a matemática como a ciência do rigor, da memorização e da
repetição. É também importante que o professor valorize o seu papel como alunos de
Matemática. Todos estes aspectos desempenham um papel crucial na aprendizagem.
Esta perspectiva é realmente muito mais exigente tanto para o professor como para o
aluno “aprender requer esforço e envolvimento pessoal” (Abrantes et al., 1999, p. 29). O
que tem acontecido é que o ensino tem sido feito através de manuais e de materiais que
tendem a produzir uma aceitação passiva da matemática em abstracto, com pequena
participação dos alunos e sem relação com a sua vida real.
Recentes evidências mostram uma superioridade de desempenho matemático
dos alunos no Japão e Taiwan em relação aos alunos americanos. Este desempenho não
é só limitado ao cálculo, mas também nas aplicações ao mundo real, resolução de
problemas e também à matemática como um sistema abstracto e uma variedade de todos
os tópicos do currículo de matemática. Estes estudos também revelaram que, nos
Estados Unidos, os professores incidiam mais em procedimentos rotineiros e as
explicações e as discussões eram muito pouco frequentes. Os japoneses e os tailandeses
usavam problemas do mundo real e objectos manipuláveis e concretos mais do que os
professores nos Estados Unidos.
Os professores japoneses gastavam muito mais tempo na exploração e
explicação das escolhas de cada aluno nos problemas, enfatizavam métodos de solução
alternativos e discutiam os erros feitos pelos alunos numa forma de não ameaça. Os
professores nos Estados Unidos, pelo contrário, colocam muitos problemas para a turma
toda, passando de um tópico para outro sem demonstrarem ou evidenciarem os métodos
usados nem discutindo os erros (Fuson, 1992). Algumas destas evidências,
126
relativamente às práticas de sala de aula, são também apontadas em estudos
portugueses. O Relatório do Projecto Matemática 2001 (APM, 1998) recomenda que,
relativamente aos professores, estes “devem valorizar práticas que promovam o
desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos, nomeadamente, a resolução de
problemas e as actividades de investigação e que diversifiquem as formas de interacção
em aula, criando oportunidades de discussão entre os aluno e o trabalho de grupo” (p.
82)
Os professores necessitarão de criar novas normas de sala de aula para que (i) os
alunos sintam liberdade para fazer e corrigir os seus próprios erros; (ii) sustentem
esforços e progressos e não que o número de problemas completos seja recompensado e
(iii) que os alunos verifiquem as suas próprias soluções e as expliquem em vez de
procurar ou lembrarem-se da resposta “correcta” (Cobb, Yackel, Wood, Wheatley &
Merkel, 1988). Tal mudança positiva afecta a atitude dos alunos em relação à
matemática e na sua confiança acerca da matemática (Cobb et al., 1991).
Professores e alunos devem construir normas sociais que proporcionem a
discussão e a interacção dentro da comunidade de sala de aula, em que os alunos
desenvolvam tanto a autonomia social, como a autonomia intelectual (Cobb et al., 1989;
Wood, et al., 1995). Professores e alunos devem construir normas sociais para o sucesso
da discussão com toda a turma, que passam não só colocando os alunos a cooperarem,
valorizando actividades significativas em vez de respostas correctas, persistir num
problema desafiante em vez de fazer uma grande quantidade de exercícios, mas também
dando mais atenção à actividade individual do aluno.
Através da discussão com toda a turma criam-se oportunidades de aprendizagem
para os professores que são claramente influenciadas quer pelas normas sociais
estabelecidas quer pelas normas sociomatemáticas negociadas na sala de aula. O papel
do professor é central no estabelecimento de um ambiente de sala de aula com qualidade
matemática e no estabelecimento de normas para os aspectos matemáticos da actividade
dos alunos (Yackel & Cobb, 1996)
Compreender a aprendizagem como um processo de construção social e
individual dá ao professor um quadro de referência conceptual com o qual pode
compreender a aprendizagem dos seus alunos. Dando oportunidades aos alunos pode-os
envolver em níveis sofisticados de raciocínio matemático bem como para além do que é
tipicamente pensado na sala de aula do 1º ciclo. Há alguma evidência de que nas salas
de aula onde as normas sociais e normas sociomatemáticas são tomadas-como-
127
partilhadas permitem o desenvolvimento de formas mais sofisticadas de argumentação
matemática, de autonomia intelectual e, por esse motivo, de maior poder matemático
(Yackel, 2000).
Assumir este novo papel, não é uma tarefa fácil. É o professor que decide a
escolha de tarefas a desenvolver com os alunos, que planifica e decide os tópicos para a
discussão, que modera essa discussão com toda a turma, que instiga e reforça uma série
de alterações e mudanças necessárias a um processo de aprendizagem bem sucedido,
que orienta os alunos na reinvenção de diferentes estratégias de resolução de problemas
(Klein et al., 1998). Tal como afirma Simon (1995) “os professores necessitarão de ter
acesso a investigação relevante sobre o pensamento matemático dos alunos, materiais
curriculares inovadores e apoio profissional contínuo de modo a satisfazer a exigência
deste papel” (p. 142). Só assim, poderão mais facilmente ter capacidade para gerar
trajectórias hipotéticas de aprendizagem.
Tudo isto se torna importante quando queremos contribuir para o
desenvolvimento de ideias matemática dos alunos e para a construção da matemática
pretendida, neste caso, no desenvolvimento do sentido do número, na compreensão dos
vários significados da adição e subtracção e na progressão dos níveis de cálculo. Como
afirma Ponte (2008) “a chave para uma melhoria do ensino está nos professores. O
ensino da Matemática não melhorará sem o empenho ciativo e responsável dos
respectivos professores em projectos e iniciativas, envolvendo no seu entusiasmo os
seus próprios alunos “ (p. 12).
O Programa de Matemática para o ensino básico (ME-DGIDC, 2007) introduz
alterações relevantes em relação ao programa anterior (ME-DGEBS, 1990),
nomeadamente em relação às suas finalidades e objectivos, do qual este estudo também
comunga e “torna muito mais exigente o trabalho do professor e requer uma efectiva
mudança educacional” (Nunes & Ponte, 2008, p. 12). Esta mudança educacional
“exige” uma mudança do professor que passa pelo seu sentir que é importante mudar e
que quer mudar, da sua capacidade de querer fazer outras coisas que não fazia antes, da
sua apropriação de muitos dos princípios que norteam as alterações propostas. Como
salienta Day (1999) “a mudança que não for interiorizada provavelemnete não passa de
uma mudança cosmética e é apenas temporária” (p. 97).
128
CAPÍTULO 5
UNIDADE DE ENSINO
5.1. Unidade de ensino
O ensino da matemática na sala de aula no 1.º ciclo tem sido muito influenciado pelo
cálculo, pela memorização e pela prática de resolução de numerosos exercícios. Isto
implicava que primeiro se ensinassem procedimentos e só depois se resolvessem
problemas de aplicação (Serrazina & Oliveira, 2005). Embora, como refere Ponte
(2008), o cálculo faça parte da Matemática, esta não se pode reduzir ao cálculo. A
Matemática “envolve também conceitos, ideias, estratégias, problemas, teorias…”
(p.10). Como afirma este autor:
A memorização do que é essencial em Matemática é muito mais eficaz
se se apoiar na compreensão dos conceitos e das suas relações. Com a memorização de elementos isolados, os alunos conseguem dar respostas «certas» a questões directas, mas não são capazes de responder a questões ligeiramente diferentes e rapidamente esquecem tudo o que pareciam ter aprendido” (p. 10).
Uma aula típica de matemática consistia em revisões efectuadas pelo professor
ou na introdução de um novo procedimento para a utilização regular dos alunos.
Geralmente, os problemas serviam como guias que os alunos tinham de seguir até
conseguirem fazer rapidamente (Wood et al., 1995). Diversas investigações têm
mostrado a importância dos alunos resolverem problemas como contextos para
aprenderem novos conceitos e procedimentos e não apenas como aplicação de
procedimentos aprendidos previamente (Fennema, Levi e Empson, 1999; Ferreira;
2005; Hiebert et al., 1996; Wood et al., 1995). Outros autores realçam também a
importância de criar ambientes nos quais professores e alunos se envolvam em
comunicação interactiva, em que o professor cria oportunidades na sala de aula para os
alunos comunicarem as suas ideias aos outros, questionarem as ideias dos outros, e onde
129
os alunos estão continuamente a aprofundar o seu conhecimento (Cobb & McClain,
1999; Cobb & Yackel, 1996; Cobb et al., 2001; Wood, 1994; Wood et al., 1995; Yackel
& Cobb, 1996).
A unidade de ensino sobre a qual recai este estudo tem por base um conjunto de
orientações curriculares onde a ênfase é colocada no desenvolvimento do sentido do
número e na progressão dos níveis de cálculo num contexto de resolução de problemas
de adição e subtracção, correspondendo aos vários sentidos destas operações. Apresento
a planificação desta unidade de ensino bem como os seus objectivos, o desenrolar das
sessões ao longo do estudo com uma descrição do desenvolvimento das aulas. Abordo
ainda o papel das tarefas nesta experiência, fazendo uma descrição pormenorizada de
todas as sessões e os objectivos dos problemas seleccionados em cada sessão, bem
como as possíveis estratégias e procedimentos dos alunos. O último ponto é relativo à
preparação das aulas com a professora da turma.
5.1.1. Princípios Gerais
Em Portugal, tem havido pouca investigação em educação matemática focada
quer no sentido do número, quer na sua relação com as operações de adição e
subtracção e os seus vários sentidos tendo por base a resolução a problemas em que o
contexto e o tamanho dos números neles envolvidos têm um papel relevante. A
resolução de problemas, embora considerada como eixo organizador de todo o
programa de matemática no 1.º ciclo (ME-DGEBS, 1990), “continua, no que se refere
ao número e às operações, a ser um currículo centrado no conhecimento de factos e na
aquisição de técnicas rotineiras” (Brocardo & Serrazina, 2008, p. 98). Embora existam
trabalhos de investigação que têm focado questões ligadas às operações elementares,
“são conhecidos poucos trabalhos de investigação que analisem o modo como tem sido
encarado o número no currículo” (Brocardo & Serrazina, 2008, p. 97). Em muitos
manuais escolares do 2º ano de escolaridade, relativamente à adição e subtracção, há
uma grande incidência de exercícios (algoritmos) em detrimento da resolução de
problemas. Mesmo em relação aos exercícios, o predomínio é, essencialmente, nos
exercícios de adição. Nos poucos problemas de adição que aparecem, o sentido que
predomina é o de “juntar”. Nos problemas de subtracção, em reduzido número, o
sentido mais predominante é o de “retirar” (Silva, 2006).
Este aspecto vem um pouco de encontro ao que afirma Ponte (2005) sobre o
papel do manual escolar, ou seja, que ele desenvolve uma proposta de percurso de
130
aprendizagem, que muitas vezes não se adequa aos alunos, ou porque tem exemplos ou
porque tem exercícios em excesso. Cabe ao professor “fazer adaptações, saltando por
vezes secções inteiras do manual ou complementando-o com outras tarefas que
considera mais adequadas para a exploração de certos tópicos” (p. 27). Em muitos
manuais escolares, tem havido poucas propostas de trabalho quer para desenvolver o
sentido do número, quer em relação ao desenvolvimento dos níveis de cálculo e o
recurso a problemas de adição e subtracção envolvendo os seus vários sentidos.
O NCTM (1991) realça tópicos a que se deve dar uma maior importância, entre
eles, aparecem o sentido do número, o sentido das operações, o cálculo mental e as
estratégias de raciocínio para as operações elementares. Assinala ainda que é importante
que os alunos “(i) desenvolvam significados para as operações, modelando e discutindo
uma variedade rica de situações problemáticas; (ii) relacionem a linguagem da
matemática e o simbolismo das operações com situações problemáticas e a linguagem
informal; (iii) reconheçam que uma grande variedade de estruturas de problemas podem
ser representadas por uma única operação” (p. 52). Em NCTM (2007) reforçam-se estas
ideias, destacando que é:
Essencial a destreza de cálculo: possuir e utilizar métodos de cálculo eficazes e precisos. Essa destreza poderá manifestar-se através da utilização de uma combinação de estratégias mentais e anotações com papel e lápis, ou através da construção de um algoritmo com papel e lápis quando os números são demasiado elevados (p. 34)
Outro aspecto importante apontado neste documento é que os alunos “deverão
ser capazes de explicar o método utilizado, compreender que existem muitos outros
métodos e ver a utilidade de métodos que são eficazes, precisos e de aplicação
generalizada” (p. 34). Também Abrantes et al. (1999) consideram que “não basta
aprender procedimentos, é necessário transformá-los em instrumentos de pensamento”
(p. 47). Estes autores reconhecem ainda que, por um lado, os algoritmos devem ser
ensinados, mas que é necessário dar uma maior atenção à compreensão das operações e
das relações entre elas.
O Programa de Matemática para o ensino básico (ME-DGIDC, 2007)
relativamente ao tema Números e Operações refere que o seu estudo tem por base três
ideias fundamentais: “(i) promover a compreensão dos números e operações; (ii)
desenvolver o sentido de número e (iii) desenvolver a fluência no cálculo” (p.7). Aponta
como relevante que o propósito principal de ensino ao nível deste tema é “desenvolver
131
nos alunos o sentido de número, a compreensão dos números e operações e a
capacidade de cálculo mental e escrito, bem como a de utilizar estes conhecimentos e
capacidades para resolver problemas em contextos diversos (p. 14).
Sobre os sentidos das operações de adição e subtracção este programa (ME-
DGIDC, 2007) introduz alterações em relação ao programa anterior (ME-DGEBS,
1990), ao referir expressamente nos seus objectivos específicos que os alunos devem
“compreender a adição nos sentidos combinar e acrescentar e ao nível da subtracção
nos sentidos retirar, comparar e completar” (p. 18).
Baseada nestes pressupostos, e tendo em conta todo o enquadramento teórico
referido e o objectivo deste estudo, delineámos uma experiência de ensino, ao longo do
ano lectivo 2007/2008, que incluía um conjunto de problemas que tinham implícitas
situações de adição e subtracção correspondentes aos diferentes sentidos das operações
que seleccionei para este estudo.
Esta experiência de ensino foi realizada numa turma do 2º ano de escolaridade e
envolveu três alunos estagiários (duas mulheres e um homem) do 4º ano da Licenciatura
em Ensino Básico 1º Ciclo da ESE onde eu lecciono no âmbito da disciplina de Prática
Pedagógica. Os três estagiários asseguraram a leccionação de todas as áreas do
programa do 2º ano de escolaridade ao longo de três dias por semana, 2ª, 3ª e 4ª feira,
durante todo o ano lectivo, excluindo o período de férias e de duas semanas referentes
ao período de avaliação da ESE onde estudavam. Cada estagiário leccionava três dias
por semana, de três em três semanas. Como professora orientadora da disciplina de
Prática Pedagógica, apoiava, semanalmente, a planificação das aulas que os alunos
iriam leccionar na semana seguinte.
No contexto do estágio destes alunos, uma aluna estagiária, a Teresa, assumiu o
papel de professora ao longo de todas as aulas onde foram implementados todos os
problemas deste estudo. O facto de ter escolhido a Teresa deveu-se a alguns aspectos
que considero relevantes: (i) ter sido minha aluna de estágio durante o ano lectivo
anterior e reconhecer-lhe gosto pela Matemática, gosto por inovar; (ii) ser uma aluna
com preocupações ao nível da preparação e condução das aulas; (iii) reconhecer na
Teresa uma grande disponibilidade para aprender; (iv) a Teresa ter aceite colaborar
comigo neste projecto após termos discutido algumas ideias sobre o mesmo. A partir
daqui, e sempre que me referir à professora da turma, é à Teresa que me refiro.
Os problemas implementados correspondiam aos vários sentidos da adição e
subtracção dando relevo ao contexto e ao tamanho dos números neles contidos.
132
Relativamente ao contexto, procurou-se que fosse um contexto real e significativo para
os alunos, de modo a permitir-lhes mais facilmente matematizar a situação,
proporcionasse o uso de uma variedade de estratégias e procedimentos e facilitasse o
surgimento de questões matemáticas (Fosnot & Dolk, 2001). Quanto aos números,
procurámos que os mesmos permitissem múltiplas combinações uma vez que é a
estrutura dos números que possibilita ir além do nível do cálculo efectuado por
contagem. Os problemas propostos aos alunos foram seleccionados ou concebidos por
mim, discutidos com a Teresa, reformulados de acordo com as ideias sugeridas pela
Teresa e depois implementados na sala de aula pela Teresa
5.1.2. Planificação
Segundo Kraemer (2008) planificar é uma das tarefas difíceis do professor dado
que “ele sente todos os dias uma tensão entre duas tendências naturais ligadas à sua
função:
- O desejo de transmitir os conteúdos do programa e que os seus alunos
reproduzam e dominem aquilo que lhes foi transmitido;
- O desejo de se deixar guiar por como se aprende, pela necessidade e as
possibilidades da pessoa em causa” (p. 4).
Assim, para este autor, planificar as aprendizagens transforma-se em:
(i) “determinar o que é que os alunos podem aprender num determinado
momento, a partir daquilo que eles já sabem e já fazem (conteúdos
matemáticos a aprender)
(ii) seleccionar e/ou criar actividades e tarefas e encadeá-las umas nas outras de
tal maneira que os alunos possam atingir os objectivos que o professor fixou
para eles;
(iii) explicitar aquilo que os alunos vão descobrir/aprender nestas condições e
como o vão fazer (aspecto teórico e metodológico da planificação)” (p. 5).
O objectivo principal deste estudo é compreender como os alunos desenvolvem
o seu sentido do número, evoluindo nos níveis de cálculo, desde o cálculo por contagem
até ao cálculo formal, num contexto de resolução de problemas de adição e subtracção
de números naturais, contemplando os vários sentidos destas operações. Em particular,
compreender como é que os alunos progridem no desenvolvimento do seu sentido do
número e dos níveis de cálculo, estudando as estratégias e procedimentos a que
133
recorrem e as dificuldades com que se deparam ao longo da experiência de ensino. Mais
especificamente, delineei as seguintes questões; (i) Que estratégias e procedimentos
usam os alunos na resolução de problemas de adição e subtracção de números naturais
com diferentes tipos de números? Que dificuldades evidenciam? Que evolução se
manifesta? (ii) Que estratégias e procedimentos usam os alunos na resolução de
problemas de adição e subtracção de números naturais em diferentes contextos? Que
dificuldades evidenciam? Que evolução se manifesta?; e (iii) Como é que a experiência
de ensino influência o desenvolvimento do sentido do número, dos níveis de cálculo
pelos alunos, num contexto de resolução de problemas?
Atendendo ao objectivo de estudo e às questões enunciadas, tomámos como
ponto de partida problemas de contexto, relacionados com a vida do dia-a-dia dos
alunos, envolvendo os seus nomes e muitos aspectos do seu quotidiano, nomes de
cinemas da localidade, nomes de lojas, etc. Problemas que funcionam como modelo
(por exemplo, como modelo da estratégia de “adicionar até chegar ao número
pretendido, o uso de factos matemáticos básicos…”). É provável que um determinado
contexto afecte a modelização e estratégias dos alunos em determinado sentido e é nessa
base que foram pensados os problemas em todas as sessões ao longo desta experiência
de ensino.
Houve também uma preocupação de criar, seleccionar e adaptar problemas com
contextos enriquecedores e jogar com os números, embora se considere que tal facto
não é suficiente só por si para levar as crianças a generalizar. Muitas crianças podem
não relacionar os problemas, mesmo depois de justapor os contextos e os números. Mas
“justapor contextos e jogar com os números pode ajudar as crianças a reflectir sobre as
relações” (Fosnot & Dolk, 2001, p. 95).
O trabalho em torno de contextos conhecidos dos alunos facilita a sua
aprendizagem e favorece o desenvolvimento de ideias e procedimentos matemáticos. As
estratégias e os procedimentos utilizados pelos alunos dependem muito das suas opções
pessoais e do contexto que lhes é apresentado. Contextos em que, por exemplo, é usado
o dinheiro e a sua estruturação em 5, 10, 20, 50, e 100 favorecem a utilização de
estratégias e procedimentos de cálculo mais potentes.
Gravemeijer (1997) afirma que o que é central é o contexto no qual um
problema é situado e experiencialmente real para os alunos, em que eles podem agir
inteligentemente dentro desse contexto. O objectivo é que, por fim, a própria
matemática possa constituir contextos reais para os alunos.
134
Assim, foi proporcionado aos alunos o recurso a modelos estruturados, neste
caso, a linha numérica, inicialmente graduada até 50, e, posteriormente, a linha vazia.
Neste trabalho também se privilegiou a compreensão e a memorização de factos
numéricos básicos. “Estas relações são estruturantes na compreensão das primeiras
operações aritméticas e, além disso, são pilares para o desenvolvimento do sentido do
número nos seus múltiplos aspectos” (ME-DGIDC, 2007, p. 14).
Após a realização da 1ª e 2ª sessão (Anexos 5 e 6), realizadas nos dias 4 e 29 de
Outubro de 2007, que serviram, essencialmente, como diagnóstico e como selecção dos
alunos envolvidos neste estudo, foram realizadas mais 9 sessões, envolvendo algumas
delas dois momentos, ou seja, feitas em dias diferentes, num dia fazia um problema de
adição e no outro dia um problema de subtracção ou vice-versa. A 3ª, 4ª, 5ª, 8ª e 10ª
sessões foram realizadas num só dia e a 6ª, 7ª e 11ª foram realizadas em dois momentos
diferentes. A realização das sessões em dois momentos deveu-se à duração excessiva da
aula, das 9 até às 12 horas, com intervalo de vinte minutos para lancharem. Os alunos
ficavam muito cansados. Assim, a partir da 6ª sessão, os problemas eram feitos no
horário das 10:30 às 12 horas, após o intervalo, para não haver quebras e dispersão na
discussão final dos problemas.
A tabela 2 mostra as sessões realizadas e os vários momentos. Foram realizadas
sempre com a mesma professora, envolvendo problemas que faziam parte da
investigação (Tabela 3), geralmente, um de adição e outro de subtracção percorrendo
todos os sentidos destas operações definidos previamente para este estudo. Uma última
sessão, a 11ª, ocorreu passado três semanas, nos dias 16 e 17 de Junho de 2008 depois
de se ter realizado a 10ª sessão, onde os alunos resolveram problemas abrangendo todos
os sentidos, quer de adição, quer de subtracção e onde também lhes foi proposto que
inventassem um problema de adição e outro de subtracção tendo em conta uma tabela
previamente dada e que serviu de contexto à maior parte dos problemas dados nesta
sessão.
A Tabela 3 ilustra os diferentes sentidos das operações de adição e subtracção
que foram trabalhados ao longo de todo o estudo. Os problemas propostos em cada
sessão encontram-se em anexo.
135
1ª
sessão
2ª
sessão
3ª
Sessão
4ª
Sessão
5ª
sessão
6ª
sessão
7ª
sessão
8ª
sessão
9ª
sessão
10ª
sessão
11ª
sessão
4 de
Out.
2007
29 de
Out.
2007
21 de
Nov.
2007
11 de
Dez.
2008
13 de
Fev.
2008
3 e 5 de
Março
2008
7 e 8 de
Abril
2008
16 de
Abril
2008
30 de
Abril e
7 de
Maio
26 de
Maio
16 e 17
de
Junho
Tabela 2 - Número de sessões de sala de aula
Sentidos 1ª
sessão
2ª
sessão
3ª
sessão
4ª
sessão
5ª
sessão
6ª
sessão
7ª
sessão
8ª
sessão
9ª
sessão
10ª
sessão
11ª
sessão
Adição Juntar x x x x x Acrescentar x x x Início desconhecido
x x x
Subtracção Retirar x - x X x x Completar x X x x x Comparar - dif. desconhecida
x x - x x x
Comparar - referente desconhecido
x x x (a) x x
Tabela 3: Sentidos das operações trabalhadas nas sessões
Até à 8ª sessão, os alunos resolveram os problemas recorrendo livremente às
suas estratégias e procedimentos. Na 8ª sessão, e dado que no dia anterior, 9 de Abril de
2008, os alunos tinham aprendido o algoritmo da adição, foi feita uma alteração na
implementação do problema. Os alunos primeiro realizaram o problema recorrendo ao
modo habitual, livremente mas sem algoritmo, e, numa outra folha, resolveram o
mesmo problema recorrendo ao algoritmo. A partir desta sessão, foi proposto aos alunos
que resolvessem os problemas como entendessem, ou recorrendo ao algoritmo ou
recorrendo às estratégias e procedimentos habituais. A partir da mesma sessão, houve
(a) problema em grupo
136
um cuidado ainda maior ao nível da escolha da ordem de grandeza e do tipo de números
usados nos problemas de modo a compreender se os alunos recorriam ao algoritmo e
como o resolviam e não recorrendo que estratégias usavam e qual a razão da escolha
dessas estratégias e procedimentos. Alguns dos problemas tinham números que os
alunos tinham de ter em atenção, nomeadamente na subtracção, dado que, se
recorressem ao algoritmo, teriam algumas dificuldades, pois não tinham aprendido o
algoritmo da subtracção com empréstimo.
Ao longo do estudo, e com o desenrolar das aulas, fomos ajustando a
metodologia de trabalho com os alunos tendo em consideração a sua participação, as
suas resoluções, as suas dificuldades, o desenvolvimento matemático de toda a turma e
a análise e reflexão que fazíamos sempre após cada sessão.
A metodologia de trabalho inicial consistia de três fases: 1) apresentação da
tarefa, os alunos liam-na silenciosamente e o professor, após fazer uma leitura oral para
toda a turma, esclarecia dúvidas que surgissem. Geralmente, era pedido a 3 ou 4 alunos
que explicassem o problema oralmente para os outros colegas ou o que tinham
percebido do problema. Não se iniciava a resolução do mesmo se algum aluno ainda
evidenciasse dúvidas. Eram os próprios alunos que esclareciam as dúvidas dos colegas;
2) resolução de problemas pelos alunos, umas vezes individualmente, outras a pares; 3)
depois dos alunos, ou quase todos, terem resolvido o problema havia a discussão com
toda a turma. A professora seleccionava os alunos que tinham procedimentos e
estratégias diferentes encontrados durante a sua observação da aula, fazia o seu registo
no quadro identificando o respectivo aluno. Mesmo algumas resoluções erradas eram
seleccionadas e eram discutidas com toda a turma.
A fase 2 era importante para nós porque ela permitia observar as diferenças
qualitativas do raciocínio matemático dos alunos individualmente e a sua diversidade
antes da fase de discussão com toda a turma. A terceira fase era também um momento
privilegiado porque permitia, através das interpretações e soluções dos alunos, que
quando comparadas e contrastadas, pudessem conduzir à discussão matemática
substantiva (Cobb et al., 2001). Através do raciocínio individual dos alunos, podemos
ver com mais evidência a sua participação nas práticas de sala de aula colectiva.
A investigação cognitiva sugere que a mudança conceptual e a progressão do
pensamento dos alunos resultam de processos mentais envolvidos na resolução de
conflitos e contradições. Estes momentos de confusão e conflito durante a discussão
137
com toda a turma têm um potencial considerável para aumentar a aprendizagem dos
alunos quando devidamente orientados pelo professor (Wood, 1999).
A organização das soluções dos alunos no quadro era de modo a ir da mais
informal à mais formal, ou havendo erradas, começava-se por essas, permitindo que os
alunos conseguissem transformar a sua maneira de pensar numa outra, no nível de
formalização mais próximo (Kraemer, 2008).
Na fase 3, cada aluno explicava e justificava à turma o seu raciocínio. Estes
ouviam atentamente as interpretações e soluções dos colegas, colocavam questões sobre
algo que não tivessem compreendido. Era nesta fase da discussão que era mais evidente
para o professor se era correcta a trajectória hipotética de aprendizagem que tínhamos
delineado previamente (Figura 23).
Figura 23 : Trajectória hipotética de aprendizagem (Simon, 1995)
A partir das resoluções dos alunos e da sua análise e confrontando com o que
tínhamos delineado, podíamos então perceber qual a trajectória de aprendizagem
seguida por cada aluno.
Através da partilha das várias estratégias e procedimentos e da discussão de sala
de aula era nossa intenção que os alunos, através deste processo, compreendessem a
diferença matemática entre as diferentes estratégias e que desenvolvessem,
gradualmente, os seus próprios processos, em especial os alunos com níveis mais
elementares de resolução, ou seja, que ultrapassassem, por exemplo, os níveis de
contagem 1 a 1 e, progressivamente, fossem caminhando para o nível estruturado ou
formal. Acreditávamos que os momentos de discussão das diversas estratégias e
Trajectória hipotética de aprendizagem
Objectivo do professor para os alunos
Plano de actividades do professor para as actividades de aprendizagem
Hipótese do professor sobre como os alunos vão pensar e aprender nestas
condições
138
procedimentos evidentes nas resoluções dos alunos proporcionassem momentos
privilegiados de aprendizagem matemática. Segundo Ponte (2005), a discussão tem uma
característica fundamental e muito marcante que é “pressupor a interacção de diversos
intervenientes que expõem ideias e fazem perguntas uns aos outros (…) a discussão
pressupõe um muito maior equilíbrio de participação entre o professor e os alunos” (p.
25).
Este processo também permitia observar como é que as normas sociais e as
normas sociomatemáticas se desenvolviam nas práticas de sala de aula de matemática e
como os alunos se iam apropriando delas. Estes momentos eram aproveitados pela
professora para esclarecer dúvidas, questionar os alunos acerca da compreensão dos
procedimentos dos colegas, pedir que explicassem o raciocínio aos colegas a fim de se
aperceber como é que os alunos construíam e reconstruíam significados matemáticos,
considerando que “Os momentos de discussão constituem, (...) oportunidades
fundamentais para a negociação de significados matemáticos e construção de novo
conhecimento” (Ponte, 2005, p. 24). Também era nestes momentos, em que surgiam
surpresas de resolução por parte dos alunos, que o conhecimento da professora parecia
evoluir, simultaneamente, com o crescimento do conhecimento dos alunos. “Algumas
soluções dos alunos são muito difíceis de interpretar porque não as esperamos e porque
não as olhamos com os mesmos olhos, não pensamos com os mesmos objectivos
matemáticos e não falamos com as mesmas palavras que o alunos” (Kraemer, 2008, p.
21).
Em todo este trabalho houve a preocupação que os alunos desenvolvessem
sentido crítico, capacidade de cooperação com os colegas, gosto pela Matemática,
autonomia matemática e procedimentos de cálculo cada vez mais eficientes e níveis
superiores de contagem, criando, deste modo, oportunidades para que os alunos
desenvolvessem o seu poder matemático. Acreditando, também, que assim os alunos
tomavam consciência que o seu conhecimento matemático pode ser clarificado e
desenvolvido na companhia de outros (Confrey & Maloney, 2006). Embora não fosse
uma tarefa fácil, esta preocupação esteve sempre presente ao longo do estudo e no final
de cada sessão.
Após esta fase, era pedido aos alunos que registassem, numa outra folha, uma
resolução dum colega diferente da sua e que justificassem com um pequeno texto
porque era diferente. Com esta fase, pretendíamos compreender o que os alunos
entendiam como matematicamente diferente. Wood (1999), através da investigação que
139
realizou com alunos destes níveis de ensino, afirma que o trabalho com toda a turma é
melhor quando as expectativas da discussão são claramente compreendidas. O recurso a
esta fase depois de toda a discussão com toda a turma tinha em vista esta perspectiva, ou
seja, compreender o grau de apropriação pelos alunos das ideias matemáticas discutidas.
5.1.3. As tarefas
Se por um lado sabemos que a tarefa usada na sala de aula pode constituir a base
para a aprendizagem dos alunos (Doyle, 1988), também sabemos que ela por si só não é
garante dessa aprendizagem. Segundo Christiansen e Walther (1986) “aprender não
pode ser assegurado simplesmente pelas tarefas” (p. 253) dado o carácter relacional de
tarefa e actividade. O importante é que as tarefas exijam aos alunos que pensem
conceptualmente e que os estimulem a fazer conexões, podendo assim conduzi-los a um
conjunto diferente de oportunidades para os alunos pensarem (Stein & Smith, 1998).
Segundo as Normas Profissionais para o ensino da Matemática (NCTM, 1994)
é importante que os professores escolham e construam propostas que “promovam nos
alunos o desenvolvimento dos conceitos e dos processos de uma forma que
simultaneamente estimule a capacidade de resolver problemas e de raciocinar e
comunicar matematicamente” (p. 27). É essencial que o professor ao seleccionar,
adaptar e criar as tarefas tenha em atenção três aspectos que o NCTM (1994) considera
importantes: “(i) o conteúdo matemático; (ii) os alunos e (iii) as suas formas de
aprendizagem” (p. 28).
Neste estudo, estes aspectos foram bastantes importantes no decorrer de todo o
trabalho realizado. Por um lado, tendo uma preocupação curricular ao nível do sentido
do número, na progressão dos níveis de cálculo, da resolução de problemas de adição e
subtracção e dos seus vários sentidos e, por outro, a exigência de reflectir sobre o
potencial das tarefas ao longo das várias sessões na perspectiva que elas eram
importantes para a progressão dos alunos nestes domínios. “É preciso que as tarefas, no
seu conjunto, proporcionem um percurso de aprendizagem coerente, que permita aos
alunos a construção dos conceitos fundamentais em jogo, a compreensão dos
procedimentos matemáticos, o domínio das notações e formas de representação
relevantes” (Ponte, 2005, p. 27). O importante é o que os alunos fazem da tarefa e da
sua experiência com ela e isso pode determinar todo o potencial para aprender (Simon,
1995).
140
Outro aspecto importante que tivemos em atenção foi conceber tarefas cujo
contexto permitisse aos alunos utilizar os conhecimentos que dispunham para
matematizar a situação. Para concretizar estas ideias considerámos as três
componentes indicadas por Fosnot e Dolk (2001) para que as situações possam vir a
ser matematizadas pelos alunos: (i) o potencial para modelar a situação está
incorporado; (ii) a situação permite aos alunos perceber o que estão a fazer (fazer
sentido) e (iii) a situação incita os alunos a colocar questões e a identificar padrões.
Como afirma Kraemer (2008) a finalidade de cada tarefa é, essencialmente, alcançar
as construções pessoais dos alunos para explorar um determinado conteúdo
matemático que o professor contextualizou na tarefa que seleccionou. Assim,
considera que a condição chave de uma boa tarefa na tentativa de alcançar o objectivo
a que se propôs é “focar a sua atenção sobre (i) o processo de matematização de cada
aluno; (ii) as ideias matemáticas, procedimentos e modelos que eles utilizam ao
matematizar e (iii) a organização matemática destas construções pessoais no decurso
da reflexão em grande grupo” (p. 20).
Também foi nossa preocupação compreender como os alunos aprendem e, por
isso, a preparação na condução das tarefas na sala de aula, como as explorar, dando
oportunidade para esclarecer dúvidas, proporcionar a discussão e a reflexão sobre todo
o trabalho que se realizava. Dentro da mesma turma, há alunos com características
muito diversas relativamente aos seus conhecimentos matemáticos, interesse pela
Matemática e também a sua grande diversidade. “Tudo isto é importante para se poder
corresponder, de modo equilibrado, às necessidades e interesses de todos” (Ponte,
2005, p. 28).
Existem muitos tipos de tarefas: problemas, exercícios, investigações, projectos
e tarefas de modelação. Neste meu estudo, a opção tomada é ao nível dos problemas
na tentativa de que eles conduzam os alunos a “desenvolver uma vasta gama de
estratégias, de colocarem (formularem) problemas estimulantes e de aprenderem a
analisar e a reflectir sobre as suas próprias ideias” (NCTM, 2007, p. 134). “Problemas
que fizessem emergir determinadas estratégias e propiciar o desenvolvimento de
certas ideias matemáticas” (p. 138).
Ao longo das onze sessões realizadas durante o ano lectivo de 2007/2008 houve
preocupações diferentes em cada uma, quer ao nível da linguagem que se utilizava nos
problemas, quer ao nível dos contextos, quer ao nível do tamanho dos números
envolvidos nesses problemas, do lugar que ocupavam no problema e também uma
141
atenção que nos exigia uma reflexão prévia sobre estratégias e procedimentos
possíveis dos alunos perante os números envolvidos e os contextos. Assim, na 1ª e 2ª
sessão (Anexo 5 e 6) foram implementados oito problemas que tinham a ver com a
adição e subtracção e com os vários sentidos que foi decidido incluir neste estudo.
Essencialmente, tinham como objectivo tentar compreender como os alunos lidavam
com os números, o seu sentido do número, se identificavam as operações envolvidas e
quais os níveis de cálculo que evidenciavam. Foi a partir destas sessões e das
resoluções dos alunos que toda a proposta pedagógica foi pensada, procurando
delinear uma melhor trajectória hipotética de aprendizagem.
Inicialmente, a ideia era que os problemas fossem implementados em dois dias
consecutivos, 4 e 5 de Outubro de 2007, mas, após a 1ª sessão, no dia 4 de Outubro, e
dado os níveis de cálculo e os procedimentos evidenciados pelos alunos na resolução
dos quatro primeiros problemas, resolvemos que os outros quatro problemas seriam
implementados mais tarde, o que aconteceu no dia 29 de Outubro.
Na 1ª sessão, além dos problemas de adição, fizemos dois problemas de
subtracção, o problema 2 e 3 (retirar) “Um problema de idades” e o problema do
“Autocarro”. Pretendíamos verificar se os alunos alteravam as suas estratégias e os
seus procedimentos tendo em conta o tamanho dos números referidos nos problemas,
ou seja, foi pensado que perante a expressão do problema 2 (24- 18) os alunos faziam
através da subtracção directa e resolviam (24 - 10 = 14; 14 - 4 = 10 e 10 - 4 = 6 ou 24
- 20 = 4 e 4 + 2 = 6 ou, resolvendo através da decomposição, 20 - 10 = 10 e 4 - 8?
como procederiam para ultrapassar esta dificuldade) ou se tivessem resolvido através
da adição (18 + ___ = 24, podiam resolver através de vários procedimentos, 18 + 2 =
20 e 20 + 4 = 4; 4 + 2 = 6 ou 18 + 5 = 23 e 23 + 1 = 24). Para nós, a melhor estratégia,
tendo em conta os números, seria a adição. Perante o problema 3 (28-9), pensámos
que os alunos mudariam de estratégia e fariam uma subtracção directa utilizando o
procedimento (N10), por exemplo, 28 - 8 - 1; 28 - 10 +1. A estratégia aditiva, na
perspectiva da trajectória pensada não seria uma boa opção (9 + _____ = 28).
Utilizando esta estratégia, vários procedimentos eram possíveis (9 + 1= 10; 10 + 10 =
20; 20 + 8 = 28. Somando os números do meio 1 + 10 + 8 = 19 daria a resposta ao
problema, ou 9 + 10 = 19; 19 + 1 = 20 e 20 + 8 = 28).
A terceira sessão, realizada no dia 21 de Novembro de 2007, (Anexo 7), tem
dois problemas de subtracção, um cujo sentido é retirar e outro completar. O primeiro
problema (retirar) “A colecção de cromos da Sara” foi pensado para ser resolvido
142
através de duas estratégias com as seguintes expressões (65 - 29 ou 29 + … = 65)
havendo vários procedimentos pensados para a sua resolução. Este problema foi
pensado tendo em conta os números envolvidos, e em que a adição, seria muito mais
eficaz, por exemplo, utilizando o procedimento (N10, 29 + 1 = 30; 30 + 30 = 60 e 60
+ 5 = 65 ou 29 + 10 + 10 + 10 + 1 + 5 etc). A outra hipótese, 65 - 29, seria, à partida
mais complexa, dado que se fizessem através da subtracção directa e usassem o
procedimento de decomposição (1010) podiam errar (5 - 9).
A compensação também seria um procedimento a contemplar, mas nesta altura
do ano ainda era muito difícil, ou seja, 65 - 30 + 1. É importante desenvolver nos
alunos este “olhar” para os números e o saber seleccionar, no fundo, desenvolver o
sentido do número e a sua ligação às operações. O 2º problema (completar) “ O Rui
vai às compras” colocámos a hipótese de os alunos resolverem através da subtracção
(50 - 32 = ?) resolvendo através do método dos saltos (N10, 50 - 10 = 40; 40 - 10; 30;
30 - 10 = 20 e 20 - 2 = 18); da decomposição (50 - 30 = 20 e 0 -2 ?) ou através da
compensação (50 - 30 = 20 e 20 - 2 = 18) ou usando a adição (32 + …. = 50). A
adição parecia-nos, à partida, ser uma estratégia mais eficaz para os alunos e onde
poderíamos ver os vários procedimentos que envolviam o seu sentido do número, ou
seja, (N10, 32 + 3 = 35; 35 + 10 = 45 e 45 + 5 = 50 ou 32 + 10 = 42; 42 + 3 = 45 e 45
+ 5 = 50, adicionando os números do meio daria a resposta ou 32 + 8 = 40 e 40 + 10 =
50; ou 32 + 10 = 43; 42 + 10 = 52 e 52 - 2 = 50, 10 + 10 - 2 = 18).
Na terceira e quarta sessão (Anexo 7 e 8) repetimos um problema de
subtracção (completar), embora com outro contexto e com números maiores, dado que
os alunos já tinham avançado na numeração e também porque evidenciaram algumas
dificuldades em resolver o problema com este sentido na 3ª sessão. Esta dificuldade
surge talvez devido ao sentido da operação envolvido com o qual não estavam
habituados a trabalhar. Daí a importância dos problemas serem seleccionados ou
concebidos depois de cada sessão, após a análise e reflexão da sessão anterior, e
também de acordo com o desenvolvimento do currículo que entretanto foi trabalhado.
Na quarta sessão (Anexo 8) realizada no dia 11 de Dezembro de 2007 - a
trajectória hipotética de aprendizagem delineada teve em conta o contexto e os números
envolvidos nos problemas. Assim, no 1º problema, “Os brinquedos da Carolina”, de
acordo com os números envolvidos, equacionámos que os alunos, relativamente aos
procedimentos, poderiam usar os três métodos já referidos, através da decomposição
(1010, 58 + 25 = ?; 50 + 20 = 70; 8 + 5 = 13; 70 + 10 = 80 e 80 + 3 = 83), ou do
143
método por saltos (N10, 58 + 10 = 68; 68 + 10 = 78; 78 + 5 = 83 (78 + 2 = 80 2 80 + 3
= 83); ou do método de compensação (60 + 25 = 85 e 85 - 2 = 83 ou 60 + 23 = 83).
No segundo problema (subtracção - completar), “As compras da Carolina”
pensámos que os alunos poderiam resolver quer através da subtracção directa (100 - 45)
quer da adição (45 + ____ = 100), mas pareceu-nos que a adição seria a operação mais
eficaz, ou seja, através do método dos saltos (N10) 45 + 5 = 50 e 50 + 50 = 100,
adicionando 50 + 5 daria o resultado. Também pensámos na resolução ao nível de
cálculo formal, ou seja, 100 - 50 = 50 e 50 + 5 = 55. O método por decomposição
(1010) parecia-nos mais demorado e sujeito a erros (0 - 5).
Na quinta sessão, (Anexo 9) - 13 de Fevereiro de 2008, o problema de
subtracção - Um problema de selos (comparar referente desconhecido), pareceu-nos
que, compreendendo o sentido da operação, os alunos poderiam usar tanto uma
estratégia aditiva como subtractiva. No entanto, usando a subtracção, poderiam deparar-
se com uma questão complicada de resolver, caso recorressem ao método da
decomposição (1010, 82 - 35; 80 - 30 = 50 3 2 - 5 = ?). Era importante compreender se
os alunos, ao verificar esta impossibilidade (para eles) mudavam de procedimento e
recorriam ao método dos saltos (N10, 82 - 30 = ?; 82 - 30 = 52 e 52 - 2 = 50 e 50 - 3 =
47, ou tirando de 10 em 10, ou outro número). Essencialmente, queríamos compreender
como “olhavam” os alunos para os números. Recorrendo à adição, poderiam usar os
procedimentos já mencionados e que colocámos todos nas nossas hipóteses,
contemplando saltos maiores, saltos mais pequenos, ou seja, se davam saltos de 10, de
20, 30, 40 … Observar os saltos que eram capazes de dar seria uma boa indicação da
evolução e do desenvolvimento do sentido do número dos alunos.
No segundo problema, o dinheiro no mealheiro do Rodrigo, a ideia principal era
que os números ajudassem os alunos a resolver o problema recorrendo ao nível formal
(50 + 50 = 100 e 50 - 2 = 48), podendo sempre usar estratégias e procedimentos
diferentes e já mencionados.
Na sexta sessão, 3 e 5 de Março, (Anexos 10 e 11) os dois problemas
implementados foram de subtracção e com o mesmo sentido (comparar diferença
desconhecida) embora a pergunta aos problemas fosse enunciada de maneira diferente.
No problema 1, perguntava “Quantos lugares tem a sala do cinema do Entroncamento a
mais do que a sala do cinema do TorreShoping” e no problema 2 perguntava “Quantos
lugares faltam à sala 2 do cinema do TorreShoping para ter tantos como a do cinema do
Entroncamento”. Os números envolvidos também tinham tamanhos diferentes na
144
tentativa de observar se os números envolvidos alteravam as estratégias e os
procedimentos dos alunos e se os ajudava na progressão dos níveis de cálculo.
No problema 1 a adição parecia-nos ser a operação mais eficaz utilizando o
método dos saltos (N10), 98 + 2 = 100; 100 + 100 = 200 e 200 + 15 = 215, adicionando
os números do meio daria 117, a resposta ao problema. Se usassem a subtracção directa
também poderia ser eficaz caso o seu “olhar” para os números funcionasse, ou seja, 215
- 98 = ? (N10, 215 - 100 = 115 e 115 + 2 = 117).
No problema 2, pensámos que seria melhor usar a subtracção directa tendo em
conta os números (215 - 35). É mais eficiente tirar 35 ao 215 do que resolver através da
adição (35 + ___ = 215). Nesta situação, pensámos que os alunos com bom sentido do
número poderiam fazer 215 - 15 = 200 e 200 - 20 = 180. o que seria um método de
resolução muito eficiente.
Tanto na sétima, 7 e 8 de Abril de 2008, (Anexos 12 e 13) como na décima
sessão (Anexo 17) realizada a 26 de Maio de 2008, houve problemas que envolveram a
subtracção (comparar referente desconhecido), sentido que os alunos mostravam
algumas dificuldades. Por isso, nesta sessão, a nossa preocupação tinha mais a ver com
o contexto do problema e verificar se os alunos o compreendiam e identificavam o
sentido da operação envolvida, embora também tivéssemos delineado as estratégias e os
procedimentos possíveis e os mais eficazes tendo em conta os números.
Na oitava sessão, 16 de Abril de 2008, (Anexo 14), e dado que os alunos já
tinha aprendido o algoritmo no dia 9 de Abril, houve uma preocupação inicial de os
alunos resolverem o problema sem recurso ao algoritmo e só posteriormente o poderem
fazer numa outra folha. A partir desta sessão, os alunos resolveram os problemas como
melhor entendessem, com ou sem o recurso ao algoritmo. Tivemos sempre um cuidado
muito grande na escolha dos números e a partir desta sessão ainda mais, dado que a
selecção das estratégias e os procedimentos dos alunos tinham a ver com o tamanho dos
números envolvidos nos problemas e para nós era mais evidente assim observar o seu
sentido do número e os níveis de cálculo. Essa selecção tinha em conta o tamanho dos
números bem como as suas possíveis relações de acordo com a estrutura desses
números.
Na nona sessão realizada a 30 de Abril e 7 de Maio de 2008 (Anexo 15 e 16)
foram implementados um problema de adição e outro de subtracção. No problema de
adição, “Uma viagem de comboio” e dado que já sabiam fazer o algoritmo da adição,
mas apenas com duas parcelas, colocámos três parcelas para ver como reagiam caso
145
utilizassem o algoritmo. No problema de subtracção “O Livro novo do António” com os
números colocados (300 - 148) queríamos observar até que ponto eles eram capazes de
decidir a estratégia adequada tendo em atenção a dificuldade da subtracção com
empréstimo que ainda não tinham aprendido. Também tínhamos como objectivo
verificar se os números contribuíam para a evolução dos níveis de cálculo, neste caso
utilização do nível formal (150 + 150 = 300 e 150 + 2 = 152)
A décima sessão, realizada no dia 26 de Maio (Anexo 17) só teve problemas de
subtracção, embora com sentidos diferentes (comparar diferença desconhecida e
comparar referente desconhecido). Queríamos compreender, por um lado, que
procedimentos usavam os alunos tendo em conta os números envolvidos, por outro
lado, compreender se os sentidos envolvidos dificultavam ou facilitavam a identificação
da operação em causa.
A 11ª sessão, realizada nos dias 16 e 17 de Junho (Anexo 18 e 19), e de acordo
com um projecto desenvolvido na escola sobre obesidade, demos aos alunos duas folhas
A4 com alimentos e as respectivas calorias que se podiam comer ao longo das refeições
diárias. Os números envolvidos eram verdadeiros, de acordo com uma tabela de
nutricionismo, e os problemas englobaram todos os sentidos de adição e subtracção que
constam deste estudo. Também foi proposto aos alunos que formulassem um problema
de adição e outro de subtracção tendo em conta o contexto dado. Queríamos assim
compreender se identificavam a operação e qual o sentido de cada operação que era
mais evidente nos problemas que formulavam. O ter a tabela dos alimentos com as
respectivas calorias era, na nossa perspectiva, um contributo importante para apoiar os
alunos na formulação dos problemas. Nesta sessão, os alunos leram os problemas e
resolveram-nos individualmente sem qualquer intervenção da professora.
5.2. A preparação das aulas com a professora Teresa
As aulas eram preparadas e discutidas com a professora durante o período de
preparação da sua semana de leccionação, facto que acontecia sempre que dava aulas,
de três em três semanas. Na preparação das aulas, os aspectos que discutíamos tinham a
ver com: (i) o que queríamos que os alunos aprendessem; (ii) que problemas
seleccionar; (iii) delinear possíveis estratégias e procedimentos de resolução pelos
alunos. Nesta discussão, também tínhamos em conta a dinâmica da aula e os vários
momentos da mesma, nomeadamente, o modo como as tarefas deviam ser
146
implementadas, construindo um guião para uma melhor condução das aulas e uma
maior “segurança” da Teresa. O guião sintetizava algumas ideias que discutíamos e
incidia, essencialmente, nos diversos momentos da aula. Este guião foi sendo
reformulado de acordo com o que acontecia durante as aulas e após a reflexão das
mesmas (Anexo 20). Esta reformulação teve em conta dois aspectos: (i) o não ser
sempre a professora a seleccionar as estratégias, num problema era a professora que
seleccionava as estratégias, no outro problema eram os alunos que faziam essa selecção;
(ii) o que se poderia avançar em termos da trajectória delineada e à qual os alunos, por
vezes, não chegavam com facilidade, mais visível quando era nossa intenção que os
números envolvidos no problema pudessem proporcionar o avanço para o nível formal
de cálculo.
A partir da 4ª sessão de sala de aula, todas as sessões seguintes tiveram esta
dinâmica, ou seja, num dos problemas era a professora que seleccionava as estratégias e
procedimentos dos alunos, no outro eram os alunos que identificavam as diferenças
matemáticas e se propunham ir ao quadro e explicá-las aos colegas. Somente na última
sessão esta situação não se verificou. Os problemas foram lidos aos alunos pela
professora e estes resolveram-nos individualmente e sem mais qualquer explicação ou
discussão.
Quando discutíamos a preparação dos problemas a implementar, a Teresa ainda
levava para casa os problemas para pensar sobre eles e também para pensar nas
possíveis estratégias e procedimentos que os alunos podiam usar. Penso que este
aspecto proporcionou uma maior apropriação por parte da professora do que podia
acontecer nas aulas em termos de resolução dos alunos. Penso que este processo lhe
proporcionava mais segurança e outra perspectiva de reflexão sobre a aprendizagem dos
alunos quando verificava o que acontecia entre o que tínhamos previsto e o que na
verdade acontecia. Deste modo, também me parecia relevante que a própria
professora participasse na reformulação da trajectória pensada ao ter planeado as
estratégias e procedimentos possíveis e onde se queria que eles chegassem.
Proporcionava que desenvolvesse um outro tipo de aula, ou seja, não ficar só por aquilo
que os alunos tinham feito – sabia-se o que queríamos que os alunos aprendessem.
Antes da aula, no dia anterior, ainda reuníamos e confrontávamos os
procedimentos e estratégias possíveis que cada uma tinha registado. Geralmente, a
Teresa até sugeria alguns passos intermédios, ou seja, ver se os alunos faziam por
147
exemplo, 28 + 7 ? = 28 + 2 = 30 e 30 + 5 = 35 ou se faziam o 28 + 7 = 35 sem
explicarem este passo intermédio.
Por exemplo, na 4ª sessão, previmos procedimentos e estratégias que os alunos
não apresentaram. Ao confrontar-me sobre o que devia fazer, aconselhei-a a começar
por dizer se não havia outra hipótese e eles completassem. No problema do mealheiro,
(5ª sessão) um procedimento que não previu foi o formal – 50 + 50 = 100 e 50 – 2 = 48.
Também não chegou a aparecer, apenas o Rodrigo se aproximou: 50 + 48 = 98. A partir
da resolução deste aluno, a Teresa tentou chegar ao 50 + 50 = 100 e 50 – 2 = 48, mas
não foi uma situação fácil, os alunos compreenderam melhor a resolução do Rodrigo.
Ao nível da trajectória hipotética de aprendizagem havia uma preocupação que
discutimos muito: (i) o que queríamos que os alunos aprendessem; (ii) seleccionar os
problemas de modo a atingir os objectivos pretendidos em cada sessão; (iii) delinear
previamente todas as estratégias e procedimentos possíveis; (iv) discussão das ideias
matemáticas a partir da resolução dos alunos no sentido do desenvolvimento do seu
sentido do número e da sua progressão para níveis superiores de cálculo; (v) confrontar
o que se previu na trajectória hipotética de aprendizagem e perceber qual a trajectória de
aprendizagem seguida por cada aluno.
148
CAPÍTULO 6
METODOLOGIA
Este estudo tem como objectivo compreender como os alunos desenvolvem o
seu sentido do número, evoluindo nos níveis de cálculo, desde o cálculo por contagem
até ao cálculo formal, num contexto de resolução de problemas de adição e subtracção
de números naturais, contemplando os vários significados destas operações. Em
particular, procuro compreender como é que os alunos progridem no desenvolvimento
do seu sentido do número e dos níveis de cálculo, estudando as estratégias e
procedimentos a que recorrem e as dificuldades com que se deparam ao longo da
experiência de ensino.
A partir do objectivo enunciado, delineei as seguintes questões: (i) Que
estratégias e procedimentos usam os alunos na resolução de problemas de adição e
subtracção de números naturais com diferentes tipos de números? Que dificuldades
evidenciam? Que evolução se manifesta? (ii) Que estratégias e procedimentos usam os
alunos na resolução de problemas de adição e subtracção de números naturais em
diferentes contextos? Que dificuldades evidenciam? Que evolução se manifesta?; e (iii)
Como é que a experiência de ensino influência o desenvolvimento do sentido do
número, dos níveis de cálculo pelos alunos, num contexto de resolução de problemas?
Neste capítulo, procurarei, numa primeira parte, justificar as opções
metodológicas do estudo, realçando a importância da perspectiva interpretativa, o
design de investigação, os critérios de cientificidade, o papel da investigadora no
processo e o contexto geral do estudo onde incluo a escolha dos casos e a caracterização
dos participantes. Na segunda parte, são referidos os procedimentos e as técnicas de
recolha e análise de dados que adoptei neste estudo.
149
6.1. Opções metodológicas
Esta investigação enquadra-se numa metodologia qualitativa adoptando, como
paradigma de investigação, o paradigma interpretativo que procura “compreender o
mundo complexo da experiência vivida do ponto de vista daqueles que a vivem”
(Schwandt, 1994, p. 118), ou seja, do ponto de vista dos seus intervenientes.
A perspectiva interpretativa visa, essencialmente, ao nível do pólo teórico, “a
descoberta de esquemas específicos da identidade social de um dado grupo” (Erickson,
1986, p. 132). Assim, para este autor, a tarefa da investigação interpretativa é descobrir
maneiras específicas em que as formas locais e não locais de organização social e
cultural se referem a actividades de pessoas específicas, fazendo coisas e conduzindo
juntos acções sociais. Segundo este autor, ao nível da sala de aula, por exemplo,
professores e alunos na sua interpretação conjunta são capazes de (i) fazer uso do
significado da aprendizagem adquirida e partilhada através de processo de aculturação;
(ii) tem em consideração as acções de outros que estão fora da cena imediata,
percebendo-as como pontos de estrutura à volta do qual eles podem compreender acções
locais; (iii) aprender novos significados partilhados através da interacção face-to-face; e
(iv) criar significados dadas as exigências únicas da acção prática no momento.
O interesse fulcral da perspectiva interpretativa é o significado conferido pelos
«actores» nas acções nas quais se envolvem. Este significado é o produto de um
processo de interpretação que desempenha um papel chave na delimitação do objecto de
estudo. O objecto da perspectiva interpretativa é a “acção e não o comportamento”
(Erickson, 1986, p. 127). Uma acção que abrange «o comportamento» físico e ainda os
significados que lhe atribuem o actor e aqueles que interagem com ele.
Na perspectiva interpretativa o objectivo principal não se situa no plano dos
procedimentos ou das técnicas, mas sim no do próprio objecto de análise e nos
postulados a ele ligados. Esta perspectiva interessa-se, sobretudo, pelo seu ponto de
vista epistemológico e ontológico, já que os aspectos técnicos não surgem senão em
segundo lugar, “Uma técnica de pesquisa não pode constituir um método de
investigação” (Erickson, 1986, p. 120). Um aspecto importante a realçar é a relação
entre o investigador e o papel das teorias no âmbito desta perspectiva, que pode ser feito
através da distinção entre o contexto da prova, em que a actividade de investigação tem
como objectivo principal a verificação de uma dada teoria, independentemente da
150
maneira como esta foi elaborada ou formulada e o contexto da descoberta em que o
investigador foca a formulação de teorias ou de modelos com base num conjunto de
hipóteses que podem surgir quer no decorrer ou no final da investigação. De acordo
com estas perspectivas, podemos dizer que a perspectiva interpretativa privilegia o
contexto da descoberta como contexto de partida de uma investigação (Lessard-Hébert,
Goyette e Boutin, 1994), ao contrário do contexto da prova defendido pelos positivistas.
A tarefa do investigador na investigação interpretativa é, acima de tudo, a de
descobrir “o modo como as organizações sociais e culturais influenciam as opções e as
condutas das pessoas em acção” (Erickson, 1986, p. 129). Segundo este autor, a
investigação de campo na perspectiva interpretativa envolve uma participação a longo-
prazo, intensiva no ambiente de investigação, o registo cuidadoso do que acontece,
escrevendo notas de campo e todos os tipos de evidência e uma grande capacidade de
reflexão analítica tendo por base descrições pormenorizadas, diálogos, citações directas
dos intervenientes e tudo o que possa contribuir para uma melhor compreensão e
identificação da significação da acção nos acontecimentos dos vários pontos de vista
dos próprios actores.
Neste trabalho de campo onde decorre a investigação, os métodos de trabalho
são algumas vezes pensados para serem “radicalmente indutivos” (Erickson, 1986, p.
121), mas, segundo o autor, é uma caracterização enganadora. Se por um lado, podemos
assumir que a categoria específica para a observação não é determinada à priori, ou seja,
antes de entrar no ambiente de investigação, também sabemos que o investigador
identifica algumas questões conceptuais antes de entrar nesse campo. Partindo deste
pressuposto, “no campo da investigação, a indução e a dedução estão em constante
diálogo” (Erickson, 1986, p. 121). Embora à partida possam existir algumas linhas
orientadoras, elas podem ser alteradas, reconstituídas, à medida do decorrer da
investigação e também devido à compreensão dos acontecimentos que entretanto se vão
observando. Como afirma Merriam (1988; Denzin, 1989) a investigação do tipo
interpretativo:
(i) Preocupa-se essencialmente com os processos e as dinâmicas;
(ii) Mais do que qualquer outra, depende de forma decisiva do investigador
ou da equipa de investigação;
(iii) Procede por indução, reformulando os seus objectivos, problemáticas
e instrumentos no curso do seu desenvolvimento;
151
(iv) Baseia-se em descrição grossa, que vai além dos factos e das aparências,
apresentando com grande riqueza de pormenor o contexto, as emoções e
as interacções sociais que ligam os diversos participantes entre si.
Segundo Bogdan e Biklen (1994) a perspectiva interpretativa é, essencialmente,
uma orientação teórica que assenta em duas correntes: a perspectiva fenomenológica e o
interaccionismo simbólico. Na perspectiva fenomenológica, a preocupação é tentar
compreender o significado que os acontecimentos e interacções têm para as pessoas
vulgares, em situações particulares. Aquilo que os fenomenologitas dão mais
importância é o componente subjectivo do comportamento das pessoas.
O interaccionismo simbólico alega que a experiência humana é mediada pela
interpretação. Nem os objectos nem as pessoas, situações ou acontecimentos são
dotados de significado próprio. Pelo contrário, o significado é-lhes atribuído. Outra
alegação do interaccionismo simbólico é que a interpretação é essencial, não é um acto
autónomo, nem é determinado por nenhuma força particular, humana ou não. Os
significados dessa interpretação são, sobretudo, construídos através das interacções que
se estabelecem. Exige que o investigador entre no mundo das pessoas que estão sendo
estudadas de modo a “ver” a situação como é vista pelo actor, observando o que ele
toma em consideração e observando como ele interpreta. Outra componente importante
desta perspectiva é o construto do self. O self é a definição que as pessoas constroem
sobre quem são, resultante duma perspectiva de como os outros a vêem, acabando,
assim, por ser uma construção social fruto de um processo de interacção. Este estudo
identifica-se muito com esta perspectiva, ou seja, preocupa-se com a construção de
significados em que as interacções têm um papel fundamental.
É importante que no decorrer duma investigação de carácter interpretativo haja
uma diversidade de técnicas de observação para se conseguir resultados mais
abrangentes, mais credíveis e rigorosos. A estas abordagens diversificadas, Denzin
(1989) chamou triangulação em que o investigador pode usar vários métodos em
diferentes combinações. Para Denzin (1989) “triangulação é o uso de múltiplos métodos
no estudo do mesmo objecto” (p.236). Embora diferentes tipos (e níveis) de dados
possam revelar aspectos diferentes do objecto de estudo, a questão não é ignorar essas
diferenças, mas tentar essencialmente compreendê-las e interpretá-las.
O conceito de triangulação tem a ver com procedimentos de “validação
instrumental” efectuados por meio de uma confrontação de dados obtidos a partir de
152
várias técnicas (observação participante, entrevistas, gravação vídeo e áudio…). Deste
modo, podemos dizer que a triangulação tem em si associada a ideia de “validade
teórica” (Erickson, 1986). O acesso a estes diferentes tipos de dados e a sua
confrontação permite ao investigador uma forma de minimizar a distorção inerente a
qualquer tipo de recolha de dados.
Uma questão que pode ser levantada na perspectiva interpretativa é a questão da
generalização. Por exemplo, relativamente ao ensino, numa perspectiva positivista, há
uma suposição de que a história se repete a ela própria; o que pode ser aprendido sobre
os acontecimentos passados pode-se generalizar a acontecimentos futuros – no mesmo
ambiente ou em ambientes diferentes. (Erickson, 1986). Esta ideia tem sido posta em
causa e tem colocado algumas dúvidas dada a complexidade das situações educativas e
o “facto delas serem vividas por actores humanos com uma grande variedade de
intenções e significados” (Ponte, 2006, p. 16). Torna-se, pois, pertinente realizar
investigação que tenha à partida outros objectivos, ou seja, que vá a pouco e pouco
acrescentando novos elementos que enriqueçam o nosso conhecimento colectivo acerca
desses problemas e fenómenos (Ponte, 2006).
Por outro lado, do ponto de vista interpretativo, o ensino é visto não como um
conjunto de atributos generalizáveis quer de um professor ou dos alunos, mas, em vez
disso, o ensino é visto como ocorrendo em circunstâncias concretas e particulares de
prática de um professor específico com um conjunto específico de alunos “este ano” ,
“este dia” e “neste momento” (Erickson, 1986, p. 130)
Não quer dizer que a perspectiva interpretativa não esteja interessada na
descoberta de algo universal, mas toma um caminho diferente para a sua descoberta. A
pesquisa não é para aspectos universais abstractos trazidas pelas generalizações
estatísticas de uma amostra para toda uma população, mas “para aspectos universais
concretos trazidos, estudando um caso específico com grande detalhe e depois compará-
lo com outros casos estudados igualmente com grande detalhe. O que interessa
principalmente à perspectiva interpretativa é a sua particularidade, em vez da sua
generalidade” (Erickson, 1986, p. 130).
Tendo como base as referências teóricas e o quadro conceptual apresentado, o
paradigma desta investigação insere-se numa perspectiva interpretativa cuja ideia
central é a de que a actividade humana é fundamentalmente uma experiência social em
que cada um vai constantemente elaborando significado (Ponte, 2006), opondo-se,
153
assim, a um paradigma positivista em que se procuram dados que confirmem uma dada
teoria (Matos & Carreira, 1994).
6.2. Design/Modalidade da investigação
O estudo de caso constitui o design de investigação que optei seguir dado o
objectivo e as características deste estudo procurando compreender em profundidade o
“como” e os “porquês” de uma entidade bem definida – o caso – evidenciando a sua
identidade e características próprias. O estudo de caso é indicado quando o investigador
tem pouco controle sobre os acontecimentos, e “que se debruça sobre uma situação
específica que se supõe ser única ou especial, procurando descobrir o que há nela de
mais essencial e característico e assim contribuir para a compreensão global de um certo
fenómeno de interesse” (Ponte, 2006, p.2).
O estudo de caso é uma modalidade particularmente adequada a situações onde é
impossível separar as variáveis do fenómeno do seu contexto (Yin, 1984) e em que o
investigador está interessado no insight, na descoberta e na interpretação, mais do que
testar hipóteses e produzir resultados generalizáveis (Merriam, 1988; Yin, 1993). Stake
(1994) considera que um estudo de caso é tanto um processo de aprendizagem acerca do
caso como um produto da nossa aprendizagem é “definido pelo interesse em casos
individuais, não pelo método de pesquisa usado” (p. 236). O caso é esperado para ser
algo que funcione, que produza, é algo para ser descrito e interpretado, que acrescente
algo de significativo ao conhecimento existente e seja tanto quanto possível interessante
e iluminativo.
Um estudo de caso é uma abordagem apropriada quando queremos “desenvolver
uma melhor compreensão das dinâmicas de um projecto e quando queremos encontrar
não uma interpretação «verdadeira» ou «correcta» dos factos, mas eliminar situações
erróneas” (Merriam, 1988, p. 30). Não é porque o caso representa outros casos ou
porque ele ilustra um traço ou um problema particular, mas pelas suas particularidades e
em tudo o que este caso tem de comum com outros e que interessa estudar. A finalidade
não é vir a compreender alguma construção abstracta ou fenómeno genérico, nem
construir teoria, mas sim por causa do seu interesse intrínseco. Os investigadores de
casos procuram tanto o que é comum como o que é particular acerca do caso, mas,
normalmente, o resultado final apresenta algo único (Stake, 1994).
154
Stake (1994) aponta três tipos de estudos de caso decorrentes dos diferentes
objectivos que o investigador tem em mente:
- estudo de caso intrínseco é implementado quando queremos compreender
melhor um caso particular que se revela de grande interesse;
- estudo de caso instrumental quando um caso particular é investigado para
proporcionar insight numa questão ou refinamento da teoria. O caso em si tem um
interesse secundário dado que é visto como facilitador da compreensão de outro
fenómeno.
- estudo de casos colectivos são estudos de caso conjuntos de modo a pesquisar
melhor um fenómeno. Não é um estudo de um colectivo, mas um estudo instrumental
alargado a vários casos que podem ser semelhantes ou distintos. Os casos são
escolhidos, essencialmente, porque se acredita que compreendê-los poderá conduzir a
uma melhor compreensão do fenómeno (p.237).
Tendo em atenção as características definidas por Stake (1994), este estudo de
caso insere-se no tipo de estudos de caso colectivos dado que ele tem como objectivo
principal analisar o percurso de 5 alunos, constituídos como casos, para melhor
compreender o fenómeno em estudo no âmbito de uma experiência de ensino.
Algumas características deste tipo de investigação são identificadas por Merriam
(1988) como: particularistas; descritivos, heurísticos e indutivos. Particularistas
quando o estudo se foca numa situação, acontecimento, programa ou fenómeno
particular. Esta importância no foco faz com que o caso seja uma modalidade boa para
problemas práticos, para questões, situações da prática de todos os dias; descritivos
quando o produto final é uma descrição completa, rica do fenómeno em estudo;
heurísticos quando esclarecem a compreensão do fenómeno em estudo e que podem
conduzir à descoberta de novos significados, alargam a experiência do leitor ou
confirmam aquilo que ele já conhecia; indutivos quando se baseiam no raciocínio
indutivo, onde se procura a descoberta de novas compreensões, relações e conceitos,
mais do que a verificação de hipóteses pré-determinadas, focando-se no processo,
compreensão e interpretação, em vez dos resultados ou produtos.
De acordo com as características enunciadas, este estudo insere-se no tipo
descritivo dado que estou interessada em que o produto final deste estudo seja uma
descrição rica e completa de modo a melhor interpretar os significados do fenómeno em
estudo e a sua relação com as questões inicialmente formuladas. Neste tipo de estudo há
também uma preocupação, ou seja, que ele possa contribuir, através do seu produto final
155
para um aumento de conhecimento sobre o tema em estudo, algo que se obtém devido
ao design de investigação que o guiou e que o distingue de outros tipos. Um
conhecimento mais concreto na medida em que se relaciona com a nossa própria
experiência, mais contextual, mais desenvolvido pela interpretação do leitor (Merriam,
1988). Para Stake (1988) o tipo de conhecimento obtido através do estudo de caso é
mais vivido, mais concreto e sensorial do que abstracto.
6.2.1. Critérios de qualidade/cientificidade
Este ponto será redigido posteriormente
6.2.2. Papel da investigadora
O processo de acesso, credibilidade e a legitimidade perante os participantes do
estudo foi bastante facilitado devido às minhas funções, o que tornou fácil a minha
permanência durante um período largo de tempo em interacção com os participantes,
como recomendam Goetz e LeCompte (1984). Todas estas funções podem, de algum
modo, interferir devido à multiplicidade de papéis na condução da investigação. Neste
estudo, os papéis que assumo dizem respeito essencialmente ao investigador como
instrumento, dado que sou um instrumento fundamental na recolha e análise dos dados.
Patton (1987) chama a atenção para este papel atribuindo-lhe um peso decisivo na
validade do estudo qualitativo. Outro papel assumido foi na perspectiva de Yin (1989) o
papel de inquiridor-ouvinte, em que é essencial uma postura inquiridora por parte do
investigador, não só relativo às questões que coloca aos participantes, mas também as
que coloca a si próprio no decorrer do estudo.
Este papel de inquiridora foi determinante para melhor compreender as
estratégias e os procedimentos usados pelos alunos durante a sua actividade matemática,
fazendo perguntas a fim de esclarecer todos os pormenores e registando todas as
respostas que ajudassem a esclarecer o seu pensamento. Ouvinte, dado que, tal como
afirma Merriam (1988) "o investigador tem como missão ouvir e ver em toda a parte"
(p. 40). Tal como afirma a mesma autora, o investigador deve possuir algumas
características neste tipo de estudo: ter tolerância e ambiguidade, ou seja, ser capaz de
reconhecer que a forma “correcta” para proceder nem sempre será óbvia, mudar de
direcção devido a acontecimentos inesperados, ser discreto; possuir sensibilidade, quer
156
relativamente à informação recolhida, quer aos timings da investigação, quer ao
contexto, aos dados e estar consciente da sua influência na investigação; ser um bom
comunicador, fazer boas perguntas e estabelecer uma certa empatia com os
participantes. Comunicar e ouvir atentamente e intensamente.
Dado que este estudo teve um carácter prolongado no terreno, o meu papel de
observadora foi muito importante em todo o processo. Uma observação bastante
participante dado que só assim foi possível uma recolha de dados essenciais,
nomeadamente, os registos de todas as situações observadas, da turma e, em especial,
dos casos que fazem parte deste estudo.
Houve cuidados que foram tidos em conta e tomados em atenção, como os
registos vídeo das conversas e diálogos dos alunos, os registos escritos da actividade
dos alunos referentes aos problemas implementados no estudo, transcrição de todos os
registos vídeo bem como das entrevistas realizadas, tentando, assim, que a escrita
reflicta um alto grau de coerência e plausibilidade em relação ao estudo realizado.
No entanto, como investigadora não prescindi do meu próprio ponto de vista na
análise dos dados. Como afirma Eisenhart (1988)
o investigador deve estar envolvido na actividade como um insider e ser capaz de reflectir sobre ela como um outsider. Conduzir a investigação é um acto de interpretação em dois níveis: as experiências dos participantes devem ser explicitadas e interpretadas em termos das regras da sua cultura e relações sociais, e as experiências do investigador devem ser explicadas e interpretadas em termos do mesmo tipo de regras da comunidade intelectual em que ele ou ela trabalha (p. 9).
Não é fácil lidar com o duplo papel de observador e participante tratando-se de
combinar observação e a participação de tal forma que seja possível interpretar a
situação como alguém que faz parte dela e de a descrever como alguém que está de fora.
Esta é uma situação ambígua, difícil de sustentar e muitas vezes geradora de ansiedade
para o investigador, na medida em que deseja participar no contexto em estudo e ao
mesmo tempo manter-se suficientemente desligado para observar e analisar (Matos &
Carreira, 1994).
157
6.3. Contexto geral do estudo
Este estudo desenvolveu-se numa escola duma cidade do centro do país e onde
existiam 303 alunos. Tinha a funcionar 14 turmas, do 1 , 2º, 3º e 4º anos de
escolaridade. Decorreu durante o ano lectivo de 2007/2008 e foi desenvolvido numa
turma do 2ªano de escolaridade com 24 alunos, sendo 15 rapazes e 9 raparigas. Eu já
conhecia a professora desta turma desde há alguns anos, devido a várias situações
académicas dos nossos percursos e também conhecia esta turma dado ter acompanhado
alunos estagiários do 4º ano da Licenciatura em 1º Ciclo da ESE onde lecciono desde o
ano lectivo 2006/2007. A professora titular da turma era a única professora que tinha
alunos de 2º ano de escolaridade onde poderiam estagiar os alunos do 4º ano para fazer
a sua Prática Pedagógica no âmbito da Licenciatura em 1º ciclo.
Relativamente ao conhecimento que tinha da professora, sabia que tinha adesão
suficiente para o desenvolvimento de todo o projecto, foi favorável às alterações
propostas, nomeadamente, ao retardar a aprendizagem do algoritmo da adição e
subtracção por parte dos alunos para depois da Páscoa, ser uma pessoa que muito tem
acompanhado novas abordagens à matemática na sala de aula, receptiva a novos
desafios e com desejo de aprender. Em todo o estudo, a professora da turma não
interferiu na condução das aulas nem na planificação.
Este estudo teve como base uma experiência de ensino no âmbito do tema
Números e Operações, consistindo na resolução de uma variedade de problemas de
adição e subtracção envolvendo os vários significados destas operações.
A escolha da turma onde poderia implementar este estudo foi uma das minhas
preocupações antes de iniciar esta experiência. Como afirma Merriam (1988) é
importante que o investigador considere antecipadamente onde observar, quando
observar, quem observar e o que observar. Para tal, importa escolher o local onde seja
possível seleccionar casos através dos quais se possa aprender muito relativamente ao
fenómeno em estudo. Os casos, na perspectiva de Stake (1994) são oportunidades para
estudar o fenómeno (p. 243).
Assim, para mim, a escolha teve a ver com duas razões, uma devido a ter
acompanhado com bastante regularidade esta turma no ano lectivo de 2006/2007 dado
ter alunos estagiários do 4º ano da Licenciatura do 1º ciclo, outra ser supervisora das
Práticas Pedagógicas da escola onde lecciono e acompanhar estes alunos assiduamente.
Para um melhor conhecimento geral da turma onde decorreu estudo, apresento de
158
seguida alguns aspectos relativos à turma: percurso escolar anterior dos alunos;
habilitações e categoria sócio-profissional dos pais; …
6.3.1. Características da turma
6.3.1.1. O 1º ano
Os 24 alunos que constituíam a turma no 1º ano eram todos oriundos da área
geográfica da escola, dado que na cidade existem 4 escolas do 1º ciclo e os alunos vão,
na generalidade, para uma escola muito próxima da sua residência. A maioria dos
alunos conhecia-se, dado terem frequentado o mesmo ensino Pré-Escolar que existia no
mesmo pátio da escola do 1º ciclo, embora nem todos pertencentes à mesma sala.
De um modo geral, eram alunos muito alegres, participativos, simpáticos, um
pouco “barulhentos”.
6.3.1.2. O 2º ano
No 2º ano, continuaram os 24 alunos, mas duas alunas foram transferidas, tendo-
se verificado a entrada de dois alunos, um vindo duma escola particular e que
evidenciava algumas dificuldades de aprendizagem, quer ao nível da Língua
Portuguesa, quer ao nível da Matemática e uma aluna que veio transferida duma outra
escola.
Na tabela 7 indica-se a distribuição das idades dos alunos da turma.
Idade 8 7 Total
Raparigas 1 8 9
Rapazes 4 11 15
Tabela 7 - Idade dos alunos da turma no início do ano lectivo 2007/2008
Destes alunos, dois ou três alunos não acompanhavam, na totalidade, o programa do 2º
ano, revelavam dificuldades ou em Língua Portuguesa ou em Matemática.
Relativamente às habilitações escolares dos pais dos alunos e às respectivas
categorias sócio-profissionais, as tabelas seguintes (8 e 9) evidenciam um nível médio
alto de cada uma delas.
159
Habilitações Académicas
Sem Escolaridade obrigatória
Escolaridade obrigatória
Secundário Superior
Pai 3 4 9 7
Mãe 6 2 6 10
Tabela 8: Habilitações académicas dos pais e mães dos alunos
Categoria Sócio - Profissional
Outros Serviços
administrativos
Militar/forças de
segurança
Professor Serviços
Pai 4 4 9 3 -
Mãe 3 5 - 8 8
Tabela 9: Categoria sócio-profissional dos pais e mães dos alunos
Relativamente à estabilidade de emprego, do conjunto dos pais e mães, 75%
tinham trabalhos efectivos, havia uma mãe desempregada, 3 mães tinham contratos a
prazo e 2 pais e uma mãe trabalhavam por conta própria.
Estruturalmente, era também uma turma que revelava agregados familiares com
alguma estabilidade. 90% dos alunos viviam com o pai e com a mãe, apenas 2 alunos
viviam com as respectivas mães e eram alunos em risco social, acompanhados pela
equipa de Protecção de Menores.
De uma forma geral, os pais e as mães participavam nas reuniões convocadas
pela professora da turma, uma antes do início do ano, no final do 1º, 2º e 3º períodos
escolares bem como em algumas reuniões previstas ao longo do ano lectivo. No 1º dia
de aulas, participei na reunião de pais e todos os encarregados de educação se
mostraram receptivos ao desenvolvimento do projecto que pretendia realizar e onde lhes
expliquei sucintamente o objectivo e etapas do mesmo. Nesta reunião, os pais revelaram
ter bastante conhecimento do trabalho desenvolvido na turma na área da Matemática e
estavam confiantes que este projecto poderia melhorar as aprendizagens dos filhos nesta
área. Todos os pais autorizaram os filhos a participar nesta experiência, tendo todos,
posteriormente, assinado essa autorização.
160
Embora não tivessem levantado qualquer objecção ao desenrolar do mesmo, por
vezes, manifestavam à professora da turma alguns receios de até à Páscoa os seus filhos
não aprenderem o algoritmo de qualquer operação.
Ao nível do aproveitamento, a turma era considerada boa, apesar de sempre ter
continuado uma turma algo “barulhenta” e irrequieta. Quase todos os alunos revelavam
gosto pela Matemática, mesmo alguns com algumas dificuldades. Houve mesmo uma
aluna, a Carolina, que aumentou imenso a sua confiança na resolução de problemas à
medida que decorria o estudo. Este facto proporcionou ser uma aluna muito menos
ansiosa, sem tantos choros e muito mais entusiasmada.
6.3.2. A escolha dos casos
Para a selecção dos casos a estudar, delineie uma fase de implementação de
problemas de acordo com os sentidos das operações de adição e subtracção definidos
para este estudo e também tendo em atenção o contexto e os números envolvidos nos
problemas, de modo a proporcionar uma variedade de estratégias e procedimentos de
cálculo.
Dado que todos os alunos (24) poderiam ser casos a estudar, o que tornaria este
estudo algo complexo e difícil de analisar, foi necessário definir alguns critérios que
permitissem seleccionar alguns deles. Depois da primeira e segunda sessão que serviram
de diagnóstico, que tiveram lugar nos dias 4 e 29 de Outubro, analisei todas as
estratégias e procedimentos dos alunos na resolução dos problemas, tendo em atenção
os níveis de desenvolvimento evidenciados, procurando que os casos fossem
diversificados, que evidenciassem características diferentes ao nível dos procedimentos
usados bem como relativamente às estratégias utilizadas.
Inicialmente, estava previsto que a implementação dos problemas relativos às
operações de adição e subtracção decorreria em dois dias consecutivos, o que na
verdade não aconteceu dado os procedimentos e as estratégias evidenciadas na
resolução dos problemas do dia 4 de Outubro serem demasiados elementares, quase
exclusivamente de contagem de 1 em 1. Então, decidimos que, a 2ª parte de
implementação, ou seja, a 2ª sessão, seria posterior, na tentativa de que os dados
pudessem ser mais elucidativos para a escolha dos casos.
Dado que este estudo não foi pensado numa perspectiva de amostragem, foi
importante pensar no número de casos a seleccionar, tendo em conta as características
161
do estudo e que esse número pudesse de algum modo dar resposta às questões em
estudo. Assim, depois de ter em atenção todas as implicações ao nível da recolha e
análise de dados, decidi seleccionar cinco casos correspondentes a cinco alunos.
Na selecção dos casos tive em atenção alguns critérios definidos à priori, outros
definidos aquando da realização dos problemas iniciais. Os critérios definidos à priori
tinham a ver com alunos com aproveitamento escolar diferente e serem de ambos os
sexos. Os outros critérios foram definidos tendo em conta a diversidade de estratégias e
procedimentos na resolução dos problemas bem como uma certa facilidade de
comunicar, tanto oralmente como por escrito. Esta diversidade não teve em vista
qualquer valor representativo, mas sim, essencialmente, terem realizado uma variedade
de procedimentos informais que valeria a pena analisar o seu percurso, ou seja, alguma
especificidade para o tema em estudo. Tal como refere Stake (1994) esta variedade não
é de todo sinónimo de representatividade, mas pode acrescentar algo de significativo e
interessante pelas particularidades que possam surgir.
Na análise das resoluções produzidas pelos alunos, a escolha foi pensada tendo
em conta um bom aluno, um aluno médio e um aluno mais fraco, ou seja, aquele cujos
procedimentos e estratégias me pareceu mais elementar em termos de cálculo e do
sentido do número e tentar assim compreender o seu percurso ao longo da experiência
de ensino tendo em conta o objectivo deste estudo. Assim, foram escolhidos a Mariana,
o Miguel, a Carolina, o Rodrigo e o João Pedro.
6.3.3. Caracterização dos participantes Este ponto será redigido posteriormente
6.4. Métodos de recolha de dados
Neste estudo, utilizei vários métodos de recolha de dados que são
representativos da investigação que segue o paradigma interpretativo e aqueles que
ilustram as características descritas neste estudo: observação participante, gravação
áudio e vídeo, entrevista e documentos (Bogdan & Biklen, 1994; Goetz & LeCompte,
1984; Stake, 1994) – tabela 4. Os dados incluem os elementos necessários e
fundamentais para pensar de forma adequada e profunda acerca do fenómeno que se
pretende estudar (Lessard-Hébert et al., 1994).
162
6.4.1. Observação participante
O conceito de observação significa a relação a que o observador não pode fugir
– tendo de participar de algum modo na experiência e acção daqueles que observa
(Denzin, 1989), é uma estratégia fundamental para ouvir e ver as pessoas no ambiente
natural (Spradley, 1979).
É importante que, durante todo este período, o investigador tome notas
regularmente, registe tudo, mesmo que à primeira vista possa não ter importância, tente
que os registos sejam feitos discretamente e, sempre que possível, analise as notas que
for tirando. “A principal ferramenta da investigação da observação participante é o
investigador” (Ball, 1997, p. 310), um investigador que está “face-to-face” e empenhado
no campo de estudo e que está embutido nas perspectivas daqueles que vivem o mundo
sócio-cultural que está a ser “capturado” e analisado e, essencialmente, na sua
compreensão.
A observação participante permite ao investigador “compreender a realidade do
ponto de vista de alguém «que está dentro» do estudo de caso em vez de estar fora dele”
(Yin, 2003, p, 94). É, acima de tudo, uma perspectiva inestimável na produção de
descrições “precisas” do fenómeno em estudo. Geralmente, os investigadores de estudos
de caso raramente são totalmente participantes ou totalmente observadores, daí que
Merriam (1988) prefira o termo investigador participante “que participa numa situação,
mas está só parcialmente envolvido, para que possa funcionar como um investigador”
(p. 102). O ideal neste tipo de estudos é conseguir a perspectiva dos participantes, a
participação total nem sempre é possível, nem talvez desejável.
Evertson e Green (1986) afirmam que a observação participante pode revestir-se
de uma forma mais activa ou mais passiva consoante o nível de envolvimento do
observador relativamente aos acontecimentos e aos pontos de vista dos indivíduos. Na
sua forma mais activa, o observador deve registar os seus dados após o período de
observação, ao passo que, numa forma mais passiva, os pode registar durante esse
período. Dado o carácter deste estudo, foram adoptadas as duas formas, tanto a mais
activa, em que, após a observação de aulas fazia um registo tipo "diário de bordo".
Nestes "diários de bordo" constam as conversas informais com a professora durante a
preparação de aulas bem como as suas reacções, atitudes e decisões, registo de
episódios de aulas assistidas e ideias e reflexões da investigadora ao longo de toda a
163
recolha de dados. Na forma mais passiva, onde fiz os registos de todo o trabalho dos
alunos durante a sua actividade matemática.
A observação participante permite recolher dois tipos de dados: os dados
registados nas "notas de campo" e aqueles que o investigador regista nos seus "diários
de bordo" (Lessard-Hébert et al., 1994). Nas notas de campo constam todas as
conversas que decorreram durante a observação bem como o registo dos diálogos
travados com os alunos durante a realização das tarefas no sentido de melhor
esclarecimento do seu pensamento. Este tipo de registo procura esclarecer e
compreender o ponto de vista dos alunos.
Spradley (1979) sugere que os observadores observem quatro conjuntos
separados de notas; (i) notas curtas tomadas no momento; (ii) notas alargadas tomadas
imediatamente a seguir a cada sessão e logo que seja possível; (iii) um diário do
trabalho de campo para registar problemas e ideias que surjam durante cada fase do
trabalho de campo; e (iv) um registo rápido e provisório de análise e interpretação.
Necessitam ser num formato que permita ao investigador encontrar a informação
desejada com facilidade. Estas notas de campo incluem: descrições verbais do ambiente,
das pessoas envolvidas, citações directas, comentários do observador, que podem ser
nas margens e identificadas com as iniciais dos intervenientes. Os comentários dos
observadores podem incluir os sentimentos do investigador, reacções, intuições,
interpretações iniciais, etc. (Merriam, 1988).
Os diários de bordo são, essencialmente, úteis para anotar o percurso diário da
investigação e onde menciona as suas reflexões pessoais e a forma como vive a
situação; as suas percepções, as suas expectativas, os seus receios, as suas satisfações,
os seus sentimentos .....
Método de recolha de
dados Descrição
Observação participante
Registo de toda a actividade matemática dos alunos bem como os
respectivos diálogos.
Documentos
Documentos produzidos pelos alunos; tarefas matemática dadas aos
alunos.
Registos de natureza bibliográfica dos alunos envolvidos no estudo.
Diários de bordo
Gravação vídeo
Aulas em que as tarefas matemáticas eram exploradas pelos alunos que
faziam parte do estudo, bem como os diálogos travados entre a
professora e os alunos para explicarem os seus raciocínios.
164
Entrevistas
Semi-estruturadas
- à professora que desenvolveu todas as aulas
- à professora da turma
Tabela 4 - Métodos de recolha de dados e sua descrição
6.4.2. Entrevistas
Uma entrevista consiste numa conversa intencional, geralmente entre duas
pessoas, embora por vezes possa envolver mais pessoas dirigida por uma das pessoas,
com o objectivo de obter informações sobre a outra (Morgan, 1988).
Bogdan e Biklen (1994) afirmam que as entrevistas podem ser utilizadas de duas
formas: podem constituir a estratégia dominante para a recolha de dados ou podem ser
utilizadas em conjunto com a observação participante, análise de documentos e outras
técnicas. No caso do presente estudo, as entrevistas foram utilizadas tendo por base esta
última perspectiva. Com a entrevista, o objectivo do investigador é o de compreender,
com bastante detalhe, o que é que os professores pensam e como é que desenvolveram
os seus quadros de referência (Bogdan e Biklen, 1994). A entrevista visa essencialmente
obter descrições de situações específicas e sequências de acções em vez de opiniões
genéricas; procura de conhecimento qualitativo e visa a compreensão das perspectivas e
significado do outros, revelando o que não é observável, procurando, assim, que
produza aprendizagem (Silverman, 2001).
No início do estudo, foi feita uma primeira entrevista à professora da turma
(Anexo 21). Embora houvesse um conjunto de questões preparadas, elas não eram
rígidas e geraram outras questões possibilitando assim que os dados obtidos tivessem
um carácter mais abrangente. A ordem inicial das questões não foi seguida, variou de
acordo com a pergunta inicial que serviu de contexto à entrevista, sobre o
funcionamento da escola, sobre o grupo do 2º ano e também perguntas relacionadas
com a sala de aula e questões relacionados com os conceitos de adição e subtracção.
Optei, deste modo, por fazer uma entrevista de natureza semi-estruturada, tendo
um guião com alguns tópicos, permitindo, assim, alguma flexibilidade e liberdade e a
possibilidade de algumas questões poderem ser reformuladas no decorrer da entrevista.
Embora as finalidades da investigação orientassem as questões, houve também uma
cuidadosa planificação das mesmas. Houve alguma preocupação da minha parte em
165
seguir o ritmo da entrevistada sem qualquer imposição ou corte brusco, procurando
ajudar a descobrir. Tal como sugere Woods (1986), é importante que a entrevista gire à
volta da confiança, curiosidade e sinceridade, características que considerei importantes
durante a mesma. Como Ball (1983) assinala:
A produção social de uma entrevista envolve o estabelecimento de uma relação assimétrica entre o entrevistador e entrevistado através do uso da linguagem como uma forma de comunicação ... O entrevistado é levado a elaborar, ilustrar, reiterar, definir, resumir, exemplificar e confirmar assuntos dessa conversa de forma que possa ser inaceitável em outras situações de conversa (pp. 93-95)
No final do estudo, foi também realizada uma segunda entrevista à professora da
turma (Anexo 22) bem como uma entrevista à Teresa que deu as aulas em todas as
sessões (Anexo 23).
As entrevistas tiveram a duração aproximada de 2 horas, foram audio-gravadas e
integralmente transcritas. Estas transcrições foram posteriormente entregues à
professora da turma e professora que deu as aulas nesta investigação para que as lessem
e, caso o desejassem, fizessem algumas anotações.
6.4.3. Documentos
O propósito essencial desta recolha foi o recolher de informação, de facilitação
do acesso, de tal forma que pudesse obter o máximo de informação com o máximo de
pertinência. Documentos no sentido que Merriam (1988) refere, ou seja, “uma grande
quantidade de material físico e escrito recolhido pelo investigador” (p. 21). Goetz e
LeCompte (1984) usam o termo artefacto para designar documentos e refere este termo
como “a quantidade de registos simbólicos escritos observados pelos ou nos
participantes num grupo social” (p. 153).
É essencial alguma coerência entre os documentos e o problema de investigação.
Esta coerência está de algum modo ligada com a flexibilidade do investigador na
construção do problema e das questões de investigação relacionadas. Como afirma
Merriam (1988) “os documentos de todos os tipos podem ajudar o investigador a revelar
significado, desenvolver compreensão e a descobrir insights relevantes para o problema
de investigação” (p. 118).
166
Neste estudo, os documentos recolhidos para análise foram essencialmente os
registos da actividade dos alunos, as propostas de trabalho apresentadas, o dossiê do
aluno, bem como registos de natureza bibliográfica relativos aos alunos envolvidos:
habilitações e profissões dos pais, idade dos alunos ....., registos áudio, vídeo …
6.5. Análise de dados
A análise de dados é o processo de busca e de organização de todo o material
que foi sendo acumulado, com o objectivo de aumentar a compreensão desse material e
permitir apresentar aos outros aquilo que se encontrou (Bogdan & Biklen, 1994). É,
acima de tudo, “um processo criativo, onde não há fórmulas como em estatística, mas
um processo que exige rigor intelectual, um trabalho atento e difícil” (Patton, 1987, p.
147). Na perspectiva de Bogdan e Biklen (1994), a análise envolve o trabalho com os
dados, a sua organização, divisão em unidades manipuláveis, síntese, procura de
padrões, descoberta dos aspectos importantes e do que deve ser aprendido e a decisão
sobre o que vai ser transmitido aos outros.
Para Erickson (1986) o conjunto de materiais recolhidos no campo não é, em si
mesmo, um conjunto de dados, mas sim uma fonte de dados. Assim, as notas de campo,
gravações áudio, transcrições de entrevistas, diários de bordo, documentos relativos ao
local do estudo não são considerados dados. Tudo isto é considerado por estes autores
como “material documental a partir do qual os dados devem ser elaborados recorrendo a
meios de análise formal” (p. 149).
Para Lüdke e André (1986) a análise de dados implica dois momentos: (i) a
organização de todo o material, dividido em partes; (ii) a procura de relações entre essas
categorias. Os mesmos autores definem três processos analíticos para a análise de
dados: (i) a análise durante a recolha de dados; (ii) a criação de categorias e (iii) a
construção de teoria. Numa primeira abordagem, estes processos são importantes para
se iniciar a análise, embora considere que há vários níveis intermédios que são
necessários para que análise seja mais profunda de forma a permitir maximizar os dados
tendo
Huberman e Miles (1984, 1994) propõem um modelo interactivo de análise de
dados na investigação interpretativa composto por três componentes, todos eles
167
relacionados e interligados como subprocessos de uma fase inicial que é a recolha de
dados: (i) redução dos dados, em que num primeiro momento os dados são reduzidos de
uma forma antecipatória, são avaliados, codificados, agrupados, descobrindo temas. E
onde se evidencia a selecção e a condensação dos mesmos; (ii) apresentação dos dados
que acontece num segundo momento de análise em que a informação é organizada,
sintetizada e estruturada de modo a permitir a formulação das conclusões e, por último,
(iii) a formulação das conclusões e verificação que envolvem o investigador na
interpretação: extraindo significados através dos dados apresentados, observando
regularidades, relações e possíveis explicações (Figura 24). Todo este processo procura
dar ao estudo uma maior solidez e validade.
Figura 24: Componentes da análise de dados: modelo interactivo (Huberman & Miles, 1994, p.
429, adaptado).
Neste estudo utilizarei um modelo que corresponde de algum modo ao modelo
apresentado por estes autores.
Para analisar os dados nos aspectos relativos ao sentido do número defini um
grupo de categorias de análise para cada aluno participante. O modelo apresentado por
McIntosh et al. (1992), referido anteriormente, constituiu a base para a construção das
categorias que permitem analisar os aspectos sobre o sentido do número:
- conhecimento e destreza com os números
- conhecimento e destreza com as operações
Os dados
Redução de dados
Apresentação de dados
Formulação das conclusões e verificação
168
- aplicação do conhecimento e da destreza com os números e as operações em
situações de cálculo.
Na tabela 5 apresenta-se o quadro teórico sugerido por McIntosh et al. (1992) para
analisar o sentido do número, tendo em conta estes aspectos.
Sentido da regularidade dos números
Múltiplas representações dos números
Sentido da grandeza relativa e absoluta dos números
A. Conhecimento e destreza
com os números
Uso de sistemas de referência que permitem avaliar uma resposta ou arredondar um número para facilitar o cálculo.
Compreensão do efeito das operações
Compreensão das propriedades
B. Conhecimento e destreza
com as operações Compreensão das relações entre as operações.
Compreensão para relacionar o contexto e os cálculos
Consciencialização da existência de múltiplas estratégias
Apetência para usar representações eficazes
C. Aplicação do
conhecimento e da destreza
com os números e as
operações em situações de
cálculo
Sensibilidade para rever os dados e o resultado.
Tabela 5: Quadro teórico de análise do sentido do número (Adaptado de McIntosh, et
al., 1992, p. 4)
Para analisar os procedimentos de cálculo de adição e subtracção utilizadas pelos
alunos durante a realização dos problemas também defini um grupo de categorias de
análise para cada aluno participante (tabela 6). O modelo apresentado por Beishuizen
(1997) constituiu a base para a construção das categorias que permitem analisar esses
aspectos.
Adição (com agrupamento): 45 + 39 Sequência dos procedimentos: N10: 45 + 30 = 75; 75 + 5 = 80; 80 + 4 = 84 N10C: 45 + 40 = 85; 85 – 1 = 84 A10: 45 + 5 = 50; 50 + 34 = 84 Procedimentos de decomposição: 1010: 40 + 30 = 70; 5 + 9 = 14; 70 + 14 = 84 10s: 40 + 30 = 70; 70 + 5 = 75; 75 + 9 = 84
Subtracção (com agrupamento): 65 – 49, 51 – 49 Sequência dos procedimentos: N10: 65 – 40 = 25; 25 – 5 = 20; 20 – 4 = 16 N10C: 65 – 50 = 15; 15 + 1 = 16 A10: 65 – 5 = 60; 60 – 40 = 20; 20 – 4 = 16 Procedimentos de decomposição: 1010: 60 – 40 = 20; 5 – 9 = 4 (falso inverso) 20 + 4 = 24 (solução falsa) 10s: 60 – 40 = 20; 20 + 5 = 25; 25 – 9 = 16
169
Tabela 6 - Procedimentos de cálculo mental (Adaptado de Beishuizen, 1997)
O primeiro grupo de categorias de análise inclui dois tipos de procedimentos:
(i) método dos saltos, uma vez que as dezenas são adicionadas ou
subtraídas a partir do primeiro número em causa. Estes procedimentos
são referidas por Beishuizen (1989, 1993) pelos acrónimos N10, N10C
e A10 (ver exemplos na tabela 1);
(ii) método da decomposição, uma vez que as dezenas e as unidades são
separadas e tratadas isoladamente. Estes procedimentos são referidas
por Beishuizen (1989, 1993) pelos acrónimos 1010 e 10s (ver
exemplos na tabela 1).
(iii) Método da compensação
170
CAPÍTULO 7
OS CASOS
7.1. O caso de Mariana
Tendo em conta as questões deste estudo, de seguida, apresentarei a análise dos
dados de uma aluna, Mariana, relativamente à 1ª questão do estudo: “Que estratégias e
procedimentos usam os alunos na resolução de problemas de adição e subtracção de
números naturais com diferentes tipos de números? Que dificuldades evidenciam? Que
evolução se manifesta?
As aulas analisadas correspondem a momentos diferentes do ano lectivo, sendo
uma delas a primeira sessão de trabalho com esta turma de alunos e as outras
correspondentes à 4ª e 5ª sessão, aulas realizadas respectivamente, em Outubro,
Dezembro e Fevereiro. Todos os problemas foram implementados com toda a turma do
2º ano de escolaridade
7.1.1. Caracterização da Mariana
A Mariana é uma aluna com um ar muito doce, muito meiga e que fala muito
baixinho. Tem os cabelos muito escuros e uns olhos que parecem pedir ternura. Revelou
algumas dificuldades ao nível do 1º ano, nomeadamente, em Matemática, alguma
imaturidade, mas tem vontade de aprender. No início do ano, a Mariana chorava quando
não percebia o que lhe era pedido.
É uma aluna que não se desmotiva, que participa, nem sempre tendo a certeza se
está correcta a sua resposta. Não fica parada. Levanta-se frequentemente do lugar para
vir junto da professora para esclarecer as suas dúvidas, ou para saber se o que fez está
certo. Se acerta, fica muito contente. Faz perguntas e tem muita atenção ao que se passa
à sua volta, conseguindo seguir o raciocínio dos colegas e explicando o que faz e o que
os colegas também vão fazendo. Em contexto de sala de aula, não consegue levantar o
tom de voz, por mais que seja incitada a fazê-lo. No entanto, o facto de não gostar de
falar diante da turma, não a impede de levantar o braço para participar, sempre que
pensa saber o que está a ser perguntado.
171
É uma aluna muito voluntariosa para ajudar nas tarefas rotineiras de sala de aula:
pede frequentemente para distribuir ou recolher folhas, para distribuir ou recolher
tesouras e colas. Não se distrai e não se perde em grandes conversas com os colegas que
estão perto de si na sala de aula.
Na Matemática, a Mariana tem vindo a fazer progressos. Nota-se uma evolução
lenta, embora pareça mais segura e demonstrar compreender aquilo que faz. Parece estar
a adquirir um novo gosto pela Matemática, uma vez que se tem empenhado na
resolução dos problemas e nas explicações que realiza dos mesmos. A discussão com
toda a turma das resoluções encontradas parece entusiasmá-la e parece ter vindo a
motivá-la.
A Mariana tem uma mãe muito presente na escola. É a filha mais nova do casal.
Tem um irmão mais velho, 19 anos e é um pouco “protegida” por todos. A mãe é
vendedora numa livraria/papelaria perto da escola e costuma levá-la todos os dias à
escola. O pai é funcionário público.
7.1.2. Exploração dos problemas
Nas primeiras duas sessões de sala de aula, realizadas nos dias 4 e 29 de
Outubro, foram resolvidos problemas de adição e subtracção de acordo com os sentidos
seleccionados para este estudo (Anexo 4). Nestas duas sessões, o objectivo era
compreender/identificar o que os alunos sabiam e faziam e não que estes problemas
fossem propriciadores de aprendizagens. Foram, essencialmente, sessões de diagnóstico
e de ajuda na selecção dos casos a estudar. Nesta primeira abordagem ao caso de
Mariana, analisarei a 1ª sessão realizada a 4 de Outubro de 2007, a 4ª sessão realizada a
11 de Dezembro de 2007 e a 5ª sessão realizada a 13 de Fevereiro de 2008.
1º sessão - 4 de Outubro de 2007
Nesta sessão, os problemas foram dados aos alunos e após a leitura pela
professora, os alunos resolveram-nos individualmente. Pretendia, nesta sessão, fazer
uma primeira análise das estratégias e procedimentos usados pelos alunos na resolução
dos problemas, tentando compreender o sentido do número e níveis de cálculo
evidenciados e as dificuldades com que se deparavam.
172
Problema 1 (Adição) - Problema do autocarro (Anexo 24) - Dentro de um autocarro que
ia do Entroncamento para Lisboa iam 16 passageiros. Em Torres Novas, entraram mais
17 passageiros. Quantos passageiros seguiram viagem para Lisboa?
Figura 1: Resolução da Mariana
Neste problema, a Mariana utiliza uma estratégia aditiva, (Fig. 1), parecendo
evidenciar ter compreendido o sentido da operação. Os números usados neste problema
foram pensados tendo em atenção as estratégias e os vários procedimentos possíveis.
Assim, à partida pensámos que os alunos podiam recorrer ao método da decomposição
(tipo1010) ou ao método dos saltos (tipo N10) ou ao método da compensação.
Analisando o procedimento utilizado pela Mariana verificamos que a sua
resolução é muito elementar, estando ao nível de cálculo da contagem, contando de 1
em 1 e recorrendo ao desenho para efectuar o cálculo. No entanto, é importante realçar
o facto de que, mesmo utilizando o desenho, tem a preocupação de fazer o registo
matemático, ou seja, representa simbolicamente o problema, revelando assim algum
sentido do número. Quanto ao conhecimento do sentido do número evidenciado através
da sua resolução e tendo em conta as categorias de análise seleccionadas para este
estudo (McIntosh et al., 1992), em relação ao conhecimento e destreza com os números,
a Mariana parece compreender o efeito da operação e até recorre a duas formas de
representação, parecendo evidenciar o conhecimento da propriedade comutativa da
adição.
Na outra componente do sentido do número, aplicação do conhecimento e da
destreza com os números e as operações em situações de cálculo, a Mariana reconhece
a operação apropriada, reconhece a relação entre o contexto e os dados, embora não
revele a existência de múltiplas estratégias de resolução nem a capacidade de
seleccionar a mais eficiente. Também não é evidente o uso de factos matemáticos
173
básicos de acordo com os números envolvidos, o que poderia ter acontecido dada a
preocupação na escolha dos números no problema. Um aspecto positivo em relação a
esta componente é que a Mariana identifica a questão colocada.
Apesar da resolução da Mariana evidenciar níveis de cálculo muito elementares,
ela revela aspectos positivos na resolução deste problema: consegue identificar o
sentido envolvido nesta operação, resolve-o com êxito, o que é um factor importante
para a aluna, no sentido de isso poder proporcionar mais confiança e gosto pela
matemática. No início do 2º ano, é sempre algo a realçar.
Problema 2 (subtracção) - Um problema de idades - O Pedro tem 24 anos. Há 18
anos atrás, que idade tinha o Pedro? (Anexo 25)
Figura 2: Resolução da Mariana
Problema 3 (subtracção) - O autocarro (Anexo 26) - Um autocarro que ia de Torres
Novas para a Golegã levava 28 passageiros. No Entroncamento saíram 9 passageiros.
Sabendo que o autocarro não fez mais nenhuma paragem, quantos passageiros chegaram
à Golegã?
174
Figura 3: Resolução da Mariana
Os números envolvidos nestes problemas tinham em vista proporcionar
estratégias e procedimentos diferentes. Os dois problemas de subtracção, cujo sentido é
o de retirar, foram pensados na tentativa de compreender se a aluna, identificando o
sentido da operação, conseguia usar procedimentos e estratégias diferentes na sua
resolução, dado os números envolvidos serem diferentes. No problema 2, Um problema
de idades, poderia usar uma estratégia aditiva ou subtractiva. No entanto, tendo em
conta os números, uma boa estratégia seria fazer de adição, ou seja 18 + … = 24,
utilizando diversos procedimentos. No caso de usar a subtracção directa poderia
também fazê-lo através de vários procedimentos
No 2º problema, O autocarro, poderia optar por outra estratégia, a subtracção
directa, dado os números envolvidos, ou seja, 28 - 9, cujos procedimentos poderiam ser
mais eficientes e revelar algum sentido do número, caso tivesse recorrido ao método por
saltos (N10, 28 - 8 - 1; 28 - 5 - 4; 28 - 4 - 4 - 1), ou ao método da compensação (28 -10
+ 1). A estratégia aditiva, na perspectiva da trajectória pensada, não era uma boa opção.
Através das resoluções da Mariana (Fig. 2 e 3) a trajectória hipotética de
aprendizagem que tínhamos delineado não se verificou, tendo a aluna usado
exactamente os mesmos procedimentos e as mesmas estratégias nos dois problemas,
independentemente dos números envolvidos. Utiliza a estratégia de subtracção directa
nos dois problemas. Os procedimentos evidenciados para a sua resolução são muito
elementares, estando ao nível do cálculo da contagem, continuando a contar de 1 em 1 e
recorrendo ao desenho para efectuar o cálculo.
No problema 2, recorre apenas ao desenho e escreve o algarismo 6, não tendo
usado nenhuma representação matemática. No problema 3, já representa
matematicamente a resolução do problema.
Quanto ao conhecimento do sentido do número evidenciado através da sua
resolução, a Mariana evidencia um conhecimento e destreza com os números muito
elementar, quer ao nível do sentido da regularidade dos números, quer ao nível das suas
representações. Um dos aspectos que é visível é a representação gráfica e simbólica, o
que de algum modo deixa entender que a aluna revela algum conhecimento dos
números. De outro modo, teria recorrido unicamente à representação gráfica.Quanto ao
175
conhecimento e destreza com as operações, nota-se que compreende o efeito das
operações tanto de adição bem como da subtracção.
Relativamente à aplicação do conhecimento e da destreza com os números e
operações a situações de cálculo, revelou um método pouco eficiente de cálculo. Ainda
não consegue usar os números como representação de uma quantidade e vê-la
globalmente, tendo necessidade de recorrer, em ambos os problemas, à representação
das quantidades. Parece evidente, nestas resoluções, que a Mariana reconhece
apropriadamente as operações e consegue estabelecer relativamente bem a relação entre
o contexto e os dados, embora outros aspectos sejam menos evidentes, tal como a
utilização de várias estratégias e de procedimentos de cálculo. Também foi pouco
evidente o uso de representações eficazes.
Parece que esta aluna, embora reconhecendo apropriadamente a operação
envolvida e o seu sentido, tem procedimentos muito elementares, evidenciados tanto na
adição como na subtracção, recorrendo ao desenho para apoiar essas contagens. No caso
da subtracção, retirando de 1 em 1. O seu sentido do número é ainda muito rudimentar,
ou seja, revela pouca compreensão do efeito dos números nessas operações, que se torna
mais visível no segundo problema.
A Mariana revela aspectos positivos na resolução destes problemas: consegue
identificar as operações envolvidas, quer a adição, quer a subtracção e resolve-os com
êxito, o que é um factor importante para a aluna, no sentido de isso poder continuar a
proporcionar confiança e gosto pela matemática.
4ª sessão - 11 de Dezembro de 2007
Nesta sessão, o objectivo era continuar a desenvolver o sentido do número nos
alunos e como estavam a evoluir relativamente aos níveis de cálculo. Assim, tal como
em todas as sessões, tentámos seleccionar problemas que pudessem proporcionar
estratégias e procedimentos diferentes, que pudessem funcionar, simultaneamente,
como ponto de partida e também como fonte de aprendizagem matemática. Esteve
sempre subjacente, em cada sessão, a ideia de que o desenvolvimento do sentido do
número pelos alunos se alcança a partir de um conjunto de problemas não concebidos
intencionalmente para o desenvolver, mas que esses problemas pudessem criar
oportunidades para que o sentido do número surgisse e se pudesse evidenciar.
176
Essencialmente, ao seleccionar os problemas tínhamos em atenção que eles
propiciassem a criação de oportunidades para os alunos pensarem.
Os dois problemas desta sessão de sala de aula foram implementados no mesmo
dia, das 9 às 12 horas, tendo havido um intervalo das 10:10 às 10:30. No problema 1 -
Um problema de brinquedos (Anexo 26) - a trajectória hipotética de aprendizagem
delineada teve a ver com o contexto e com os números envolvidos nos problemas.
Assim, neste problema e tendo em conta os números envolvidos, equacionámos que os
alunos, relativamente aos procedimentos, poderiam usar os três métodos já referidos na
1º sessão, através da decomposição (1010) do método por saltos (N10) ou do método de
compensação.
Resolução
Após a leitura silenciosa do problema por parte dos alunos, a professora fez a
sua leitura oral. De seguida, pede a vários alunos que expliquem o problema por
palavras suas. A Mariana, ao explicar o problema oralmente, diz: “queremos saber
quanto gasta o João Pedro se comprar os matraquilhos e o xilofone”. Esta explicação
revela alguma interpretação do mesmo, ou seja, parece identificar o sentido da
operação, o que é muito importante para os alunos começarem a resolver os problemas.
Apesar desta fase, e apesar dos alunos terem compreendido o que se pretendia,
há alguma confusão na turma. Alguns alunos preocuparam-se muito em tentar saber,
antecipadamente, que “conta” fazer, “se era de mais”, “se podiam somar 58 + 25”. A
Mariana também estava um pouco baralhada e tomava atenção a tudo o que se dizia e
ouvia na sala. Após esta fase, os alunos iniciaram a sua resolução.
Aproximadamente 20 a 25 minutos depois de trabalho individual, a professora
selecciona as resoluções de 4 alunos, regista-as no quadro, tentando colocá-las da mais
informal para a mais formal, e pede aos alunos que façam as explicações dos mesmos
para toda a turma.
Problema 1 - (adição) - Os brinquedos da Carolina (Anexo 27) - Se a mãe do João
Pedro lhe comprar os matraquilhos e o xilofone, quanto gastará?
177
Figura 4: Resolução da Mariana
Na resolução do problema 1 (Fig. 4), a Mariana usa uma estratégia aditiva e
evidencia compreensão do sentido da operação (juntar). O nível de cálculo evidenciado
já vai para além do nível de contagem, demonstrando um nível de cálculo estruturado,
embora com alguns erros de percurso. Talvez o salto de 20 tivesse sido, nesta altura, um
salto demasiado grande e daí ter afectado este erro. Talvez a partilha de procedimentos e
estratégias que se faziam durante a discussão de sala de aula tenha influenciado esse
salto, o qual ela ainda não se tinha apropriado bem, dado que, geralmente, fazia de 10
em 10.
Relativamente aos procedimentos, usa o método dos saltos (N10), errando o
cálculo quando tenta adicionar o 20, mas consegue fazer correctamente a decomposição
da 2ª parcela. Quanto ao desenvolvimento do sentido do número revela algum domínio
do conhecimento e destreza com os números. Reconhece o valor de posição dos
números. A decomposição do 25 em 20 + 5 é um aspecto relevante deste conhecimento.
Outro aspecto que é de realçar tem a ver com o ter iniciado, no caso do problema de
adição, com o número 58.
No conhecimento e destreza com as operações, a Mariana reconhece a operação
envolvida no problema e revela compreensão do efeito dessa operação. Quanto à
aplicação do conhecimento e da destreza com os números e operações e as operações
em situações de cálculo usa um método eficiente, embora com alguns erros de percurso.
No 2º problema - As compras da Carolina (Anexo 28) - Neste problema, e tendo
em conta os números envolvidos, pensámos que os alunos poderiam usar estratégias e
procedimentos diferentes. Nas estratégias poderiam utilizar a subtracção directa ou a
adição indirecta, embora a adição indirecta nos parecesse, à partida, a mais eficiente.
Nos procedimentos, poderiam usar os três métodos já referidos Com estes números
178
envolvidos nos problemas, o método de decomposição podia tornar-se, à partida, mais
difícil para os alunos. Se os alunos optasssem pela adição poderiam desenvolver uma
grande variedade de procedimentos.
Resolução
Após a fase inicial de esclarecimentos do problema e após a resolução do
problema pelos alunos, individualmente, cerca de 20 minutos, a professora, em vez de
seleccionar as várias resoluções dos alunos, pede aos alunos que venham ao quadro
explicar as suas estratégias e procedimentos, tendo sempre em atenção que tem de haver
uma diferença matemática em relação às dos colegas. A Mariana foi a segunda aluna a
propor-se a ir ao quadro apresentar uma solução diferente, o que demonstrou ter
compreendido bem o que se pretendia e também ter identificado essa diferença.
Problema 2 - (subtracção) - As compras da Carolina - A mãe da Carolina comprou-
lhe a casinha das bonecas e pagou com uma nota de 100€. Quanto recebeu de troco?
Figura 5: Resolução da Mariana
Na resolução deste problema de subtracção (Fig. 5) a Mariana usa uma estratégia
de subtracção directa, e revela um nível de cálculo elementar, mas estruturado, contando
ainda de 1 em 1, usando o modelo da linha numérica, iniciando no 100. Como envolve
números grandes, numa primeira contagem, engana-se, recontando, coloca o 55. No
entanto, é de realçar que a aluna continua a demonstrar conhecimento e destreza com os
números, embora notando-se um procedimento mais elementar. Este facto, na minha
179
perspectiva, pode ter a ver com a operação subtracção, que é uma operação mais
complexa e também porque os números envolvidos são de uma ordem de grandeza
diferente dos da adição.
Julgo que o recurso ao modelo da linha numérica foi bastante útil para a
Mariana, dado que a ajudou a visualizar os números envolvidos e esse facto foi
importante. Ainda precisou de um modelo para a ajudar a lidar com os números. O
conhecimento deste modelo parece ter beneficiado a Mariana neste processo, tanto de
resolução do problema, como no desenvolvimento do conhecimento e destreza com os
números.
A sua explicação no quadro deste problema foi muito morosa, mas julgo que
importante, valorizou-se o ter feito e ter conseguido, apesar de ao fazer a contagem no
quadro se ter enganado, deu-lhe 56. Já não recorreu ao desenho, embora use o cálculo
estruturado, revela ainda passos pequenos na evolução dos seus procedimentos e dos
seus níveis de cálculo. Nesta altura, foi alertada pela Cláudia, que disse: “professora, ela
enganou-se porque contou o 100 e não pode contar”. Este aspecto é importante porque
também demonstra que os alunos estão atentos ao que os colegas fazem e explicam.
Vários alunos se pronunciaram sobre a resolução da Mariana, por exemplo, o Rodrigo
disse: “é muito grande e demora muito tempo. Posso ir mostrar a minha que só tem duas
contas?”
Na componente do sentido do número conhecimento e destreza com as
operações, a Mariana compreende o efeito da operação, subtracção, embora não seja
evidente a compreensão das relações entre as operações de adição e subtracção. O
recurso à adição teria sido muito mais eficaz. Na aplicação do conhecimento e da
destreza com os números e as operações em situações de cálculo há uns aspectos mais
positivos do que outros, nomeadamente, reconhece correctamente a operação
apropriada, identifica a questão colocada, embora tenha apresentado algumas
dificuldades na capacidade de inventar ou criar estratégias mais eficazes e também não
consegue usar factos matemáticos básicos, o que não facilita muito o evoluir nos níveis
de cálculo. A melhoria notada na adição não se verificou na subtracção.
Ao nível da trajectória hipotética de aprendizagem que delineámos e após a
resolução dos problemas pela Mariana nesta sessão, podemos perceber a trajectória de
aprendizagem seguida pela Mariana, em especial no problema 1, que confirmou
algumas das hipóteses que colocámos. O problema 2, foi mais complexo e no confronto
180
com o que tínhamos previsto percebemos que a Mariana não conseguiu atingir o que se
pretendia.
Ao analisar as duas resoluções dos problemas (Fig. 4 e 5) podemos observar que
se notam algumas diferenças entre elas. Na adição tem procedimentos muito mais
eficazes do que na subtracção. Parece evidenciar que a subtracção é muito mais
complexa e que esse facto também se reflecte nos procedimentos de resolução. Outro
facto que me parece poder ter afectado esta diferença está nos números envolvidos na
subtracção. O 100 é um número de grandeza muito superior e talvez não tivesse sido a
melhor opção a sua escolha.
Outro aspecto que me parece de realçar nos procedimentos usados nestes dois
problemas é a evolução dos níveis de cálculo, mais evidente no problema de adição.
Parece haver avanços no desenvolvimento do sentido do número e nos níveis de
cálculo.
Considero que todo o processo de discussão na turma é muito importante para os
alunos. Na última fase deste processo, em que se pede aos alunos para registarem uma
resolução diferente de um dos colegas e explicar porque é que é diferente da sua, a
Mariana parece ter compreendido outras resoluções, embora seja um processo muito
gradual que se vai desenvolvendo ao longo do tempo. A Mariana seleccionou uma
estratégia diferente da sua (Fig. 6):
Figura 6: Resolução seleccionada pela Mariana
E para justificar porque era diferente disse:
181
Esta justificação, parece evidenciar que distinguiu bem a diferença do
procedimento em relação ao seu, embora a explicação “ele fez em números” não seja
suficiente para compreendermos se efectivamente conseguiu “ver” a diferença
matemática.
5ª sessão - 13 de Fevereiro de 2008
Esta sessão de sala de aula, também foi muito demorada, das 9 às 12, com
intervalo das 10:10 às 10:30. No problema 1, tendo em conta os números, os alunos
poderiam resolver o problema através da subtracção directa, embora a utilização do
método de decomposição pudesse dar origem ao erro de cálculo. Queríamos
compreender como é que os alunos, deparando-se com essa situação a resolviam e que
processos utilizavam. O problema 1 - Um problema de selos (Anexo 29) -
equacionámos que os alunos poderiam resolver usando quer estratégias aditivas quer
subtractivas e quanto aos procedimentos poderiam usar os três métodos já referidos nas
sessões anteriores. Caso resolvessem através da subtracção directa o método da
decomposição poderia levá-los a cometer erros (1010 - 82 - 35 = ?; 80 - 30 = 50; 2 - 3?).
O método dos saltos era aquele que parecia ser mais eficiente tendo em conta as
possíveis dificuldades do método de decomposição. Outra hipótese considerada era os
alunos já resolveram utilizando saltos maiores (82 - 20 = 62; 62 - 10 = 52 e 52 + 5 = 47.
Ou ainda (82 - 30 = 52; 52 - 2 = 50 e 50 - 3 = 47). Outra estratégia que poderiam utilizar
seria a adição indirecta (35 + _____ = 82). Caso utilizassem esta estratégia poderiam
utilizar diversas combinações (por exemplo, 35 + 5 = 40; 40 + 40 = 80 e 80 + 2 = 82.
Somando os números do meio, daria o número de selos de Espanha, 47). Muitas outras
hipóteses foram consideradas, dependendo sempre do desenvolvimento do sentido do
número e do nível de cálculo de cada aluno.
Resolução
Após a leitura oral pela professora, esta faz uma pequena explicação do mesmo,
referindo-se, essencialmente, à questão da caixa com duas gavetas, a de Portugal e de
Espanha e do seu conteúdo, selos. Também nesta fase, a professora refere a questão dos
182
selos e para que servem, e o facto de tanto em Portugal como em Espanha o seu custo
ser igual. Aproveita a oportunidade e questiona os alunos sobre o preço de 1 selo, 2, 3 e
4 selos, tentando, deste modo, que os alunos desenvolvam contagens de 30 em 30. Ao
mesmo tempo, vai fazendo os registos no quadro para que os alunos visualizem os
números e para ver como resolviam a situação do preço de 4 selos, ou 120 cêntimos, ou
1,20€. Vários alunos ditam à professora como deve registar esta quantia, o Afonso diz
mesmo: “um vírgula vinte”. Quando a professora pergunta à Mariana quanto custam os
selos, a Mariana vai dizendo:
Mariana: 1 selo - 30 cêntimos 2 selos - 60 cêntimos 3 selos - 90 cêntimos Prof. - E se forem 4 selos? Mariana - não responde Prof. - então, 90 cêntimos mais um selos? Mariana - não consegue responder
A Professora repete todo o processo com a Marina e ela vai dizendo novamente
desde o início até aos 3 selos correctamente. Quando chega ao quarto selo diz: “190
cêntimos”
Depois, a professora pede a uma aluna que ajude a Mariana a fazer toda a
contagem e a perceber a passagem de 90 + 30. Com a ajuda da professora, que foi
fazendo todos os registos no quadro, julgo que a Mariana terá compreendido esta
contagem feita pela colega (90 + 10 são 100, 100 + 10 são 110, e 110 + 10 são 120).
Após esta fase, passou-se ao esclarecimento do contexto do problema. Foi um
processo bastante moroso e complicado para os alunos perceberem o que significava
“Esta caixa tem mais 35 selos do que a caixa dos selos de Espanha”. Julgo que este
facto se deve ao contexto envolvido na operação, (comparar - referente desconhecido).
Nesta fase de alguma confusão, o Rodrigo pergunta: “professora, posso dizer
uma coisa?”
Prof: - Podes. Rodrigo - Aqui no problema está a dizer que Portugal tem mais, logo, a Espanha
tem menos 35 selos”. A partir daqui, os alunos compreenderam o sentido do problema.
Após terem terminado todos os esclarecimentos, os alunos resolveram o
problema individualmente, processo que demorou cerca de 20 minutos.
183
Após quase todos os alunos terem terminado, a professora pede a um aluno que
vá ao quadro apresentar a sua resolução e a explique aos colegas. Todos os alunos
poderiam apresentar a sua resolução desde que apresentassem procedimentos diferentes
dos dos colegas. A Mariana foi a primeira que se ofereceu.
Problema 1 (subtracção) - Um problema de selos - Esta caixa contém selos de
Portugal e Espanha. A caixa de selos de Portugal tem 82 selos. Esta caixa tem mais 35
selos do que a caixa de selos de Espanha. Quantos selos tem a caixa de Espanha?
Figura 7: Resolução da Mariana
Neste problema, quando solicitada a explicar como fez, a Mariana disse:
Mariana: Eu fiz, 82 menos 10, igual a 72. - 72 menos 10 igual a 62 - 62 menos 10 igual a 52 - 52 menos 5 = 47
Prof – Como é que tu tiraste os 5? Mariana – Tirei os 10 e depois para dar pus mais 5 Prof. - Muito bem. Então depois foste aos 52 e tiraste os 5 só de uma vez? Como é que contaste? Mariana - Menos 5 Prof. - De uma vez só? Mariana - se eu tirasse os 10 dava 42 e eu só tirei os 5 (Parece ter feito, 52 - 10 = 42 e depois pôs mais 5
Ao analisar a resolução do problema 1 (Fig. 7), verifica-se que a Mariana usou
uma estratégia de subtracção directa, o que revela ter compreendido o sentido da
operação, talvez a ajuda do Rodrigo tenha sido importante, aliás como para todos os
colegas. Quanto ao procedimento usado, utiliza o método dos saltos (N10), começa no
184
82 e vai subtraindo o 35 através da sua decomposição em 10 + 10 + 10 + 5. O nível de
cálculo evidenciado é um nível estruturado, embora nesta fase, ainda continue com
saltos de 10 em 10. Sente-se mais segura dando passos mais pequenos. Podia ter dado
saltos maiores, mas não deixa de mostrar avanços em relação a resoluções anteriores.
Andar para trás é mais difícil do que adicionar.
Quanto à selecção duma resolução diferente da sua, neste problema, registou
uma solução de um dos seus colegas e explicou porque é que era diferente da sua (Fig.
8)
Figura 8: Selecção de uma resolução diferente da sua e respectiva justificação
A sua explicação parece evidenciar alguma compreensão do sentido do número e
do efeito da utilização de uns números em detrimento de outros, no sentido de usar,
cada vez mais, um método mais eficiente. Parece compreender que poderia ter dado
saltos maiores e que isso era um avanço em relação à sua resolução.
Problema 2 (adição) - O dinheiro do mealheiro do Rodrigo (Anexo 30) - O Rodrigo
tinha algum dinheiro no seu mealheiro, mas não chegava para comprar uma play-
station. A avó, como é sua amiga, deu-lhe 50 € no dia que ele fez anos para ele guardar
no mealheiro. Assim, o Rodrigo ficou com 98€ .
Que dinheiro tinha ele no seu mealheiro antes de lá colocar o dinheiro que a avó lhe
deu?
Para este problema, ao pensar nos números, tivemos em atenção o 98 e o 50.
Não foi por acaso. O 98 está perto de 100 e também sabemos que poderia ser fácil fazer
100 + 50 = 150 e 150 - 2 = 148. Os números pensados tinham este objectivo, e assim
compreender até que ponto os alunos usavam estas relações podendo dar alguma
185
evidência do seu desenvolvimento do sentido do número e dos níveis de cálculo, neste
caso, se seriam capazes de utilizar o cálculo formal. Também delineámos outros
procedimentos tendo em conta os vários métodos de cálculo seleccionados para este
estudo.
Resolução
Após a primeira fase exploratória do problema, leitura silenciosa pelos alunos,
leitura oral pela professora e esclarecimentos sobre o mesmo, passou-se à sua resolução.
A Marina apresentou a seguinte resolução (Fig. 9).
Figura 9: Resolução da Mariana
Neste problema a Mariana revela uma estratégia aditiva, evidenciando ter
compreendido o sentido da operação. O procedimento usado é também o método dos
saltos (N10), mas dá saltos maiores, primeiro adiciona 10, depois 20. Dá um pouco a
ideia de que lhe é mais fácil adicionar 20 ao 60 do que ao 50. Este aspecto parece
evidenciar uma evolução no desenvolvimento do sentido do número, “olhou” para os
números e decidiu quais as relações que para ela eram melhores.
Quanto ao seu desenvolvimento do sentido do número, revela um conhecimento
e destreza com os números razoável, dado que tem a sensibilidade de adicionar 8 ao 90
e não outro número, continuar adicionando 10, dado que ultrapassaria o 98, onde ela
queria chegar, revelando, assim, sentido da grandeza relativo dos números bem como o
efeito da operação de adição.
Relativamente a este problema, seleccionou a seguinte resolução e a sua
explicação (Fig. 10):
186
Figura 10: Selecção e justificação da escolha do problema
A sua explicação parece evidenciar compreensão do efeito dos números na
adição, ou seja, compreende que a do Miguel é diferente da sua, essencialmente, porque
usa números diferentes dos seus e consegue identificá-los, talvez também reconhecendo
o procedimento do Miguel mais eficiente.
Relativamente a estes dois problemas, a Mariana identifica muito bem as
operações de adição e subtracção e os efeitos dessas operações. Quanto ao
desenvolvimento do sentido do número, não deixa de ser evidente, nestes problemas,
um razoável sentido do número em relação ao conhecimento e destreza com os
números, reconhece o valor de posição, identifica e usa formas numéricas equivalentes
através da decomposição do 35 em 10+10+10+5. O seu conhecimento e destreza com as
operações, na subtracção também vai evoluindo muito positivamente, compreendendo o
efeito desta operação tal como na adição. Revela capacidade na selecção de um método
eficiente.
Quanto à aplicação do conhecimento e da destreza com os números e as
operações em situações de cálculo é evidente o seu reconhecimento da operação
apropriada e revela capacidade na selecção de estratégias eficientes, embora ainda não
use factos matemáticos básicos, que poderia ter utilizado no caso do 2º problema. Ainda
nesta componente, identifica a questão colocada e reconhece a razoabilidade da
resposta.
187
Há alguma evidência da consciência da existência de múltiplos procedimentos
em relação à subtracção. Tanto na adição como na subtracção, usa o método dos saltos
(N10), embora não vá além de saltos de 10 na subtracção. A operação subtracção é mais
complexa e saltos maiores de 10 nesta operação revela-se de um grau de maior
dificuldade. Revela um nível de cálculo estruturado.
Em relação à trajectória hipotética de aprendizagem e aquela que efectivamente
aconteceu, considero que no 1º problema ela utiliza a mais eficiente, a que tínhamos
previsto, no 2º problema a Mariana não chega ao que considerámos ser mais eficiente
em termos de nível de cálculo, mas usa um procedimento apropriado e é evidente um
desenvolvimento do sentido do número e de progressão nos níveis de cálculo cada vez
mais significativo.
Nota-se, através das suas resoluções, alguma evolução em relação ao sentido do
número e também em relação aos níveis de cálculo. Embora execute saltos pequenos,
mais evidentes na subtracção, já consegue saltos maiores no caso do 2º problema, onde
dá saltos de 20. Evidencia ainda ter conhecimento da razoabilidade dos números, por
exemplo, no problema 2, após ter adicionado 20, não adiciona novamente 20, mas sim
10, talvez tendo a percepção que ultrapassaria o 98. Após a adição de 10, adiciona 8,
tendo a noção até onde queria chegar e do valor dos números.
Ainda se notaram algumas dificuldades nos saltos das contagens, por exemplo,
90 + 30, embora tal facto se possa atribuir à mudança para uma nova ordem, o que nem
sempre é fácil para os alunos, requer um razoável conhecimento do valor de posição.
Não são evidentes muitas dificuldades, mas sim passos em frente no desenvolvimento
do seu conhecimento matemático.
188
CAPÍTULO 8
O desenvolvimento do sentido do número e dos níveis de cálculo na
sala de aula
189
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219
ANEXOS
220
ANEXO 1
A 1. Sentido da regularidade dos números
A 1.1. Reconhece o valor de posição
A 1.2. Identifica a relação entre números
A.1.3. Ordena números
A 2. Múltiplas representações dos números
A 2.1. Representa os números gráfica e simbolicamente
A 2.2. Identifica formas numéricas equivalentes através da decomposição/recomposição
A 2.3. Compara sistemas de referência
A 3. Sentido da grandeza relativa e absoluta dos números
A 3.1. Reconhece o valor relativo de um número em relação a outro
A 3. 2. Reconhece o valor absoluto de um número
A. Conhecimento e
destreza com os
números
A 4. Uso de sistemas de referência que permitem avaliar uma resposta ou arredondar um número para facilitar o cálculo.
A 4.1. Identifica referências numéricas
A 4. 2. Relaciona referências pessoais
B 1. Compreensão do efeito das operações
B 1.1. Compreende o efeito da operação de adição
B 1.2. Compreende o efeito da operação de subtracção
B 2. Compreensão das propriedades
B 2.1. Comutativa
B 2.2. Associativa
B 2.3. Inversa
B 2.4. Identidade
B. Conhecimento e
destreza com as
operações
B 3. Compreensão das relações entre as operações.
B 3. 1. Adição e subtracção
B 3. 2. Subtracção e adição
(Quadro teórico de análise do sentido do número, McIntosh et al., 1992, p. 4)
221
ANEXO 2
Classificação de problemas de palavras, Carpenter & Moser, 1983, p. 16
______________________________________________________________________
Mudar Juntar Separar
1. Connie tem 5 bolas. Jim dá-lhe 2. Connie tem 13 bolas. Ela deu mais 8 bolas. Quantas bolas 5 bolas ao Jim. Quantas bolas sobraram?
tem Connie ao todo? 3. Connie tem 5 bolas. De quantas 4. Connie tem 13 bolas. Ela deu
precisa para ter 13 bolas? algumas ao Jim e ficou com 8 bolas. Quantas bolas deu Connie ao Jim?
5. Connie tem algumas bolas. Jim deu-lhe 6. Connie tem algumas bolas. Ela mais 5 bolas. Agora ela tem 13. Quantas deu 5 ao Jim. Ela ainda ficou com bolas tinha ela no início? 8 bolas. Quantas bolas tinha ela no início?
Combinar 7. Connie tem 5 bolas vermelhas e 8 bolas 8. Connie tem 13 bolas. 5 são ver- azuis. Quantas bolas tem a Connie ao melhas e o resto são azuis. todo? Quantas bolas azuis tem Connie?
Comparar
9. Connie tem 13 bolas. Jim tem 5 bolas. 10. Connie tem 13 bolas. Jim tem 5 Quantas bolas tem Connie a mais que Jim? bolas. De quantas bolas precisa Jim para ter tantas como a Connie? 11. Jim tem 5 bolas. Connie tem mais 8 do 12. Jim tem cinco bolas. Ele tem que Jim. Quantas bolas tem Connie? menos 8 do que Connie. Quantas bolas tem Connie? 13. Connie tem 13 bolas. Ela tem 5 bolas a 14. Connie tem 13 bolas. Jim tem 5 bolas a A mais do que Jim Quantas bolas tem Jim? menos do que Connie.
Tornar Igual 15. Connie tem 13 bolas. Jim tem 5 bolas. 16. Connie tem 13 bolas. Jim tem 5 bolas. Quantas Quantas bolas deve ganhar Jim para ter bolas tem que perder Connie para ter tantas bolas tantas como a Connie? como o Jim? 17. Jim tem 5 bolas. Se ele ganhar 8 bolas, ele 18. Jim tem cinco bolas. Se Connie perder 8 bolas terá o mesmo número de bolas que Connie. ela terá o mesmo número de bolas que o Jim. Quantas bolas tem Connie? Quantas bolas tem Connie? 19. Connie tem 13 bolas. Se Jim ganhar 5 bolas 20. Connie tem 13 bolas. Se ela perder 5 bolas ela Ele terá o mesmo número de bolas de Connie. terá o mesmo número de bolas que Jim. Quantas Quantas bolas tem Jim? bolas tem Jim? _____________________________________________________________________________________
222
ANEXO 3
Situações aditivas Situações subtractivas
Mudar Juntando Mudar Tirando de Falta o resto Falta o resto
Pedro tem 3 maçãs. Ana deu ao Pedro mais 5 maçãs. Quantas maçãs tem o Pedro agora?
O Joel tem 8 berlindes. Deu 5 berlindes ao Tomás. Com quantos berlindes ficou o Joel?
Falta o que muda Falta o que muda A Cátia tem 5 lápis. Quantos lápis tem ela de comprar para ficar com 7 lápis?
O Fred tem 11 rebuçados. Ele perdeu alguns rebuçados. Agora ele tem 4 rebuçados. Quantos rebuçados perdeu o Fredy?
Falta o termo de partida Falta o termo de partida Betty ganhou 2 chocolates. Agora ele tem 5 chocolates. Quantos chocolates tinha a Betty no início?
Karen tinha alguns cromos. Ela colocou 22 desses cromos em cima da mesa. Ela ainda tem 79 cromos. Quantos cromos ela tinha à partida?
Combinar fisicamente Tornar igual
Juntar a Tirar de
Falta o todo Diferença desconhecida Diferença desconhecida
Sara tem 6 donuts simples e 9 donuts de chocolate. Ela colocou-os todos num prato. Quantos donuts tem ela no prato?
Susana tem 8 berlindes. Fred tem 5 berlindes. Quantos berlindes o Fred tem de ganhar para ter tantos berlindes como a Susana?
Joana tem 7 bonecas. A Ana tem 3 bonecas. Quantas bonecas Joana tem de perder para ter tantas como a Ana?
Falta uma parte
Diferença com palavras chave para a solução
Diferença com palavras chave para a solução
João e Tomás têm 6 berlindes. 3 berlindes são do João. Quantos berlindes tem o Tomás?
Estavam 6 rapazes numa equipa de futebol. Juntaram-se mais 2 rapazes à equipa. Agora há o mesmo número de rapazes e de raparigas. Quantas raparigas estão na equipa?
Estavam 11 copos em cima de uma mesa. Tirei 4 de modo a ficar o mesmo número de copos e de pratos na mesa. Quantos pratos estavam na mesa?
Combinar conceptualmente
Comparar
Falta o todo
Diferença desconhecida Diferença desconhecida
Há 6 rapazes e 6 raparigas na equipa de futebol. Quantas crianças estão na equipa?
João tem 3 balões. A sua irmã Carolina tem 5 balões. Quantos balões tem a Carolina a mais do que o João?
Janine tem 8 pastilhas. Tomás tem 2 pastilhas. Quantas pastilhas tem o Tomás a menos que a Janine?
Falta uma parte
Diferença com palavras chave para a solução
Diferença com palavras chave para a solução
O Bruno tem 14 flores. 8 delas são vermelhas e o resto são amarelas. Quantas flores amarelas tem o Bruno?
Luís tem 6 peixes. Carla tem mais 2 do que o Luís. Quantos peixes tem a Carla?
O padeiro trouxe no sábado 11 pães. Na segunda-feira trouxe menos quatro. Quantos pães trouxe ele na segunda-feira?
Diferença com palavras chave Procedimento de solução pelo
Diferença com palavras chave Procedimento de solução pelo
223
oposto oposto
O Gonçalo tem 9 camisolas. Ele tem mais 5 camisolas do que a Sara. Quantas camisolas tem a Sara?
O José tem 5 berlindes. Ele tem menos 8 do que a Ana. Quantos berlindes tem a Ana?
Problemas de palavras de Adição e Subtracção com números inteiros, Fuson, 1992, p. 246
224
ANEXO 4
Sentidos seleccionados para a investigação
Contexto/Sentidos
Adição - Juntar - Problema 5 – Na turma do 3º ano A do Entroncamento há 21 alunos e na turma do 3º
ano B há 20 alunos. Quantos alunos do 3º ano tem a escola?
- Acrescentar - Problema 1 - Dentro de um autocarro que ia do Entroncamento para Lisboa
iam 16 passageiros. Em Torres Novas, entraram mais 17 passageiros. Quantos passageiros
seguiram viagem para Lisboa?
- Início desconhecido - Problema 4 - O Afonso levou para a escola alguns cromos. Deu 8
cromos que tinha repetidos ao Gonçalo e ainda ficou com 15. Quantos cromos tinha o Afonso levado
para a escola?
Subtracção
- Retirar - Problema 2 - O Pedro tem 24 anos. Há 18 anos atrás, que idade tinha o Pedro?
- Completar - Problema 6 - O David queria comprar uma bola que custava 37 €.
Tem andado a guardar no seu mealheiro o dinheiro que o pai lhe dá quando se porta bem.
Reparou que já tem 18 €.
Quanto dinheiro lhe falta para poder comprar a bola?
- Comparar:
– dif. Desconhecida - Problema 7- O Miguel tem 13 € no seu mealheiro
A Leonor tem 28 €. Quantos euros faltam ao Miguel para ter tantos como a Leonor?
- Referente desconhecido - Problema 8 - O Pedro tem 12 berlindes. Ele tem mais
5 berlindes do que a Beatriz. Quantos berlindes tem a Beatriz?
225
ANEXO 5
1º Sessão - 4 de Outubro de 2007
Contexto/Sentidos
Adição
- Acrescentar - Problema 1 - Dentro de um autocarro que ia do Entroncamento para Lisboa
iam 16 passageiros. Em Torres Novas, entraram mais 17 passageiros. Quantos passageiros
seguiram viagem para Lisboa?
- Início desconhecido - Problema 4 - O Afonso levou para a escola alguns cromos. Deu 8
cromos que tinha repetidos ao Gonçalo e ainda ficou com 15. Quantos cromos tinha o Afonso levado
para a escola?
Subtracção
- Retirar - Problema 2 - O Pedro tem 24 anos. Há 18 anos atrás, que idade tinha o Pedro?
- Problema 3 - Um autocarro que ia de Torres Novas para a Golegã levava 28
passageiros. No Entroncamento saíram 9 passageiros Sabendo que o autocarro não fez mais
nenhuma paragem, quantos passageiros chegaram à Golegã?
226
ANEXO 6
2ª Sessão - 24 de Outubro de 2007
Contexto/Sentidos
Adição - Juntar - Problema 5 – Na turma do 3º ano A do Entroncamento há 21 alunos e na turma do 3º
ano B há 20 alunos. Quantos alunos do 3º ano tem a escola?
Subtracção - Completar - Problema 6 - O David queria comprar uma bola que custava 37 €.
Tem andado a guardar no seu mealheiro o dinheiro que o pai lhe dá quando se porta bem.
Reparou que já tem 18 €.
Quanto dinheiro lhe falta para poder comprar a bola?
- Comparar:
– dif. Desconhecida - Problema 7- O Miguel tem 13 € no seu mealheiro
A Leonor tem 28 €. Quantos euros faltam ao Miguel para ter tantos como a Leonor?
- Referente desconhecido - Problema 8 - O Pedro tem 12 berlindes. Ele tem mais
5 berlindes do que a Beatriz. Quantos berlindes tem a Beatriz?
227
ANEXO 7
3º Sessão - 21 de Novembro de 2007 Problema 1
A colecção de cromos da Sara
A Sara tinha 65 cromos da colecção do Pet Shop
que andava a fazer.
Como é muito amiga da Beatriz, deu-lhe 29 cromos que tinha
repetidos.
Com quantos cromos ficou?
Regista tudo o que pensares e fizeres para resolveres o problema, desenhos, esquemas,
Problema 2
O Rui vai às compras O Rui paga esta camisola (32 €) com uma nota de 50 € .Quanto
recebe de troco?
Contexto/Sentidos
Subtracção
- Retirar - Problema 1 - A Sara tinha 65 cromos da colecção do Pet shop que andava a fazer.
Como é muito amiga da Beatriz, deu-lhe 29 cromos que tinha
repetidos.
Com quantos cromos ficou?
- Completar- Problema 2 – O Rui paga esta camisola (32 €) com uma nota de 50 € Quanto
recebe de troco?
Regista tudo o que pensares e fizeres para resolveres o
problema, desenhos, esquemas, contas ….
228
ANEXO 8
4º Sessão - 11 de Dezembro de 2007
É Natal!
Na montra da loja …. Estavam os seguintes brinquedos:
1. Se a mãe do João Pedro lhe comprar os matraquilhos e o xilofone, quanto gastará?
2. A mãe da Carolina comprou-lhe a casinha das bonecas e pagou com uma nota de 100
€. Quanto recebeu de troco?
Contexto/Sentidos
Adição - Problema 1
- Juntar –- Se a mãe do João Pedro lhe comprar os matraquilhos e o xilofone, quanto gastará?
Subtracção - Problema 2 - Completar- - A mãe da Carolina comprou-lhe a casinha das bonecas e pagou com uma nota
de 100€.
Quanto recebeu de troco?
25 €
19 €
45 €
58 € 38 €
25 €
229
ANEXO 9 5º Sessão - 13 de Fevereiro de 2008
Problema 1
Um problema de selos
Esta caixa contém selos de Portugal e Espanha.
A caixa de selos de Portugal tem 82 selos. Esta caixa tem mais 35 selos do que a
caixa de selos de Espanha. Quantos selos tem a caixa de Espanha?
Problema 2
O dinheiro no mealheiro do Rodrigo
O Rodrigo tinha algum dinheiro no seu mealheiro, mas não
chegava para comprar uma play-station. A avó, como é sua
amiga, deu-lhe 50 € no dia que ele fez anos para ele guardar.
Assim, o Rodrigo ficou com 98 €. Que dinheiro tinha ele no
seu mealheiro antes de lá colocar o dinheiro que a avó lhe deu
Contexto/Sentidos
Subtracção - problema 1
- Comparar – Referente desconhecido
Esta caixa contém selos de Portugal e Espanha.
A caixa de selos de Portugal tem 82 selos. Esta caixa tem mais 35 selos do que a caixa de
selos de Espanha.
Quantos selos tem a caixa de Espanha? Adição – problema 2
Início desconhecido
O Rodrigo tinha algum dinheiro no seu mealheiro, mas não chegava para comprar uma play-station.
A avó, como é sua amiga, deu-lhe 50 € no dia que ele fez anos para ele guardar no mealheiro.
Assim, o Rodrigo ficou com 98€ .
Que dinheiro tinha ele no seu mealheiro antes de lá colocar o dinheiro que a avó lhe deu?
Portugal
82 selos
Espanha
……. selos
Caixa de selos de Portugal e Espanha
230
ANEXO 10
6º Sessão - 3 de Março de 2008
Problema 1 No cinema do Entroncamento,
“O estúdio 121” no Euroshoping,
há lugar para 215 pessoas sentadas.
Na sala 1 do cinema do TorreShoping
há lugar para 98 pessoas sentadas.
Quantos lugares tem a sala do cinema do Entroncamento a mais do que a
sala do cinema do TorreShoping?
Contexto/Sentidos
Subtracção - Problema 1
- Comparar - diferença desconhecida No cinema do Entroncamento, “O estúdio 121” no Euroshoping, há lugar para 215 pessoas sentadas.
Na sala 1 do cinema do TorreShoping há lugar para 98 pessoas sentadas.
Quantos lugares tem sala do cinema do Entroncamento a mais do que a sala do cinema do
TorreShoping?
231
ANEXO 11
6º Sessão - 5 de Março de 2008
Problema 2 No cinema do Entroncamento,
“O estúdio 121” no Euroshoping,
há lugar para 215 pessoas sentadas.
Na sala 2 do cinema do TorreShoping há
lugar para 35 pessoas sentadas.
Quantos lugares faltam à sala 2 do cinema do TorreSoping para ter tantos
como a do cinema do Entroncamento?
Contexto/Sentidos
Subtracção - Problema 2
- Comparar - diferença desconhecida No cinema do Entroncamento, “O estúdio 121” no Euroshoping, há lugar para 215 pessoas sentadas.
Na sala 2 do cinema do TorreShoping há lugar para 35 pessoas sentadas.
Quantos lugares faltam à sala 2 do cinema do TorreSoping para ter tantos como a do cinema do
Entroncamento?
232
ANEXO 12
7º Sessão - 7 de Abril de 2008
Problema 1
O gráfico seguinte representa o número de alunos que almoçaram
na cantina da escola em cada dia da semana.
Número de alunos que almoçaram na cantina durante a última semana
125137
203
154185
0
50
100
150
200
250
2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira
2ª feira3ª feira4ª feira5ª feira6ª feira
1. Quantos alunos almoçaram na escola na 2ª e na 6ª feira?
Adição – Problema 1
- Juntar –
O gráfico seguinte representa o número de alunos que almoçaram na cantina da escola em
cada dia da semana.
Quantos alunos almoçaram na segunda e na sexta-feira? (185 + 125)
233
ANEXO 13
7º Sessão - 8 de Abril de 2008
Problema 2
Número de alunos que almoçaram na cantina durante a última semana
125137
203
154185
0
50
100
150
200
250
2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira
2ª feira3ª feira4ª feira5ª feira6ª feira
2. Na 6ª feira, almoçaram na vossa escola 125 alunos, ou seja,
almoçaram mais 50 alunos do que na escola nº2 do Entroncamento.
Quantos alunos almoçaram na escola nº 2 do Entroncamento?
Contexto/Sentidos
Subtracção - Problema 2
- Comparar – Referente desconhecido
Na 6ª feira, almoçaram na vossa escola 125 alunos, ou seja, almoçaram mais 50
alunos do que na escola nº2 do Entroncamento.
Quantos alunos almoçaram na escola nº 2 do Entroncamento?
234
ANEXO 14
8º Sessão - 16 de Abril de 2008
As funcionárias da biblioteca da tua
escola resolveram limpar o pó de
todas as prateleiras.
Esta manhã, é a vez de limparem a
prateleira dos livros de histórias para
crianças. No computador diz que
existem 298 livros.
Já retiraram 150 desses livros.
Quantos livros ainda estão na prateleira?
Contexto/Sentidos
Subtracção
- Retirar -
As funcionárias da biblioteca da tua escola resolveram limpar o pó de todas as prateleiras.
Esta manhã, é a vez de limparem a prateleira dos livros de histórias para crianças. No
computador diz que existem 298 livros.
Já retiraram 150 desses livros.
Quantos livros ainda estão na prateleira?
235
ANEXO 15
9º Sessão - 30 de Abril de 2008
Problema 1 Viagem de comboio
O comboio inter-cidades que vai do Porto para
Lisboa chegou ao Entroncamento com 152
passageiros.
Aqui entraram 48 passageiros.
Em Santarém entraram mais 29 passageiros.
Sabendo que o comboio não fez mais nenhuma paragem, nem saíram
passageiros, quantos passageiros chegaram a Lisboa (Gare do Oriente)
Gare do Oriente
Adição – Problema 1
- Acrescentar
O comboio inter-cidades que vai do Porto para Lisboa chegou ao Entroncamento com 152
passageiros.
Aqui entraram 48 passageiros.
Em Santarém entraram mais 29 passageiros.
Sabendo que o comboio não fez mais nenhuma paragem, nem saíram passageiros,
quantos passageiros chegaram a Lisboa (Gare do Oriente)
236
ANEXO 16
9º Sessão - 7 de Maio de 2008
Problema 2
O livro novo do António
No dia de anos do António, a mãe deu-lhe um livro de
histórias.
O livro tem 300 páginas.
Na 1ª semana, o António leu 148 páginas.
Quantas páginas lhe faltam para acabar de ler o livro?
Contexto/Sentidos
Subtracção - Problema 2
- Completar
No dia de anos do Rui, a mãe deu-lhe um livro de histórias.
O livro tem 300 páginas.
Na 1ª semana, o Rui leu 148 páginas.
Quantas páginas lhe faltam para acabar de ler o livro?
237
ANEXO 17 10º Sessão - 26 de Maio de 2008
Problema 1 Os cromos Duel Masters
O Afonso, um coleccionador de cromos Duel Masters, tem na sua colecção 202 cromos. O seu amigo Rui Pedro tem 105 cromos da mesma colecção. Como são muito amigos, concordaram em ficar com o mesmo número de cromos. Quantos cromos faltam ao Rui Pedro para ter tantos como o Afonso?
Problema 2 O dia Mundial da Criança
No dia Mundial da Criança, a Câmara Municipal vai oferecer uma ida ao cinema a todos os alunos da escola da Leonor e da escola do João. Da escola da Leonor foram 303 alunos que são mais 45 alunos do que os alunos da escola do João Quantos alunos da escola do João foram ao cinema?
Problema 3 O dia Mundial da Criança
Quantos alunos da escola da Leonor e da escola do João foram ao cinema?
Subtracção - Problema 1
Comparar - Diferença desconhecida
O Afonso, um coleccionador de cromos Duel Masters, tem na sua colecção 202
cromos. O seu amigo Rui Pedro tem 105 cromos da mesma colecção.
Como são muito amigos, concordaram em ficar com o mesmo número de cromos.
Quantos cromos faltam ao Rui Pedro para ter tantos como o Afonso?
Comparar - Referente desconhecido - Problema 2 No dia Mundial da Criança, a Câmara Municipal vai oferecer uma ida ao cinema a todos os
alunos da escola da Leonor e da escola do João.
Da escola da Leonor foram 303 alunos que são mais 45 alunos do que os alunos da escola
do João. Quantos alunos da escola do João foram ao cinema?
Adição - Problema 3
- Juntar -
Quantos alunos da escola da Leonor e da escola do João foram ao cinema?
238
ANEXO 18
11º Sessão - 16 de Junho de 2008 É TEMPO DE TER CUIDADO COM A ALIMENTAÇÃO
Banco de dados
Alimentos Quantidade Calorias
Leite gordo 1 copo 160
Leite meio-gordo 1 copo 154
Leite com chocolate 1 copo 410
Açúcar 1 colher 100
Bolo de chocolate 1 fatia 235
Iogurte natural 1 140
Pão e manteiga 1 90
REFEIÇÕES - almoço/jantar
Sopa de legumes 1 72
Sopa de feijão 1 91
Canja 1 115
Cachorro quente 1 242
Big Mac McDonald’s 1 490
Sandes de paio 1 370
Bife frito 1 330
Hambúrguer 1 212
Salsicha frita 1 269
Pizza Hut 1 270
Tomate 1 25
239
Alimentos Quantidade Calorias Batata cozida 1 145
Batata frita 1 pacote 404
Sobremesa Banana 1 100
Pêssego 1 35
Gelado morango 1 611
Pudim de leite 1 taça 138
Pudim flan 1 taça 154
Pudim flan dieta 1 taça 83
Salada de fruta 1 taça 172
BEBIDAS
Sumo de maçã 1 124
Sumo de morango 1 117
Coca-cola 1 137
Fanta dieta 1 15
240
Problema 1 Problema de almoços
Se ao almoço comeres uma sopa de legumes, um bife frito e um pacote de batatas
fritas, a quantas calorias corresponde?
Problema 2 Problema de almoços
Se depois de teres ingerido essas 806 calorias, bebesses mais
um sumo de maçã, quantas calorias ingerias nessa refeição?
Problema 3 Escolha de alimentos saudáveis
Quantas calorias tem a mais o pacote de leite gordo do que o
pêssego?
Contexto/Sentidos
Adição - Problema 1
- Juntar - Se ao almoço comeres uma sopa de legumes, um bife frito e um pacote de batatas
fritas, a quantas calorias corresponde? (72 + 330 + 404)
Problema 2 - Acrescentar - E se bebesses também um sumo de maçã (124), quantas calorias ingerias nessa
refeição?
Subtracção - Problema 3
- Comparar:
– dif. Desconhecida - Quantas calorias tem a mais um copo de leite gordo (160) do
que um pêssego (35)?
124 cal.
160 cal.
35 cal.
241
Problemas inventados
Observa as fotocópias que tens com os alimentos e as respectivas calorias.
Escolhe alguns alimentos à tua vontade e inventa um problema de adição.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Resolve-o
Problemas inventados
Observa as fotocópias que tens com os alimentos e as respectivas calorias.
Escolhe alguns alimentos à tua vontade e inventa um problema de subtracção.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Resolve-o
242
ANEXO 19
11º Sessão - 17 de Junho de 2008 Problema 1
Prenda da Anos A Cláudia, com o dinheiro que tinha no seu
mealheiro, comprou uma prenda para oferecer à sua
amiga Leonor no seu dia de anos.
Pagou pela prenda 75 € e ainda ficou com
175€. Que dinheiro tinha ela no seu mealheiro?
Problema 2 Problema de saída de alunos
Dos 303 alunos da escola, 83 alunos do 4º ano vão
para o 5º ano. Quantos alunos continuam na escola?
Problema 3
O pequeno-almoço do Rodrigo
Ao pequeno-almoço, o Rodrigo bebeu um copo de leite
com chocolate e açúcar que contém 510 calorias.
Que poderá comer mais para ingerir 745 calorias?
Problema 4
O almoço do Pedro
O Pedro comeu ao almoço um Big Mac que tem 490
calorias e o António comeu uma posta de peixe salmão. O
Big Mac tem mais 295 calorias do que o peixe.Quantas
calorias tem o peixe que o António comeu?
75€
490 cal.
….. cal.
243
Contexto/Sentidos
Adição - Problema 1
- Início desconhecido - A Cláudia, com o dinheiro que tinha no seu mealheiro comprou uma
prenda para oferecer à sua amiga Leonor no seu dia de anos. Pagou a prenda com 75 € e ainda ficou
com 175€. Que dinheiro tinha ela no seu mealheiro?
Subtracção - Problema 2
- Retirar - Dos 303 alunos da tua escola, 83 alunos do 4º ano vão para o 5º ano. Quantos alunos
vão continuar na tua escola?
Problema 3 - Completar - Ao pequeno almoço o Rodrigo bebeu um copo de leite com chocolate e açúcar
que contém 510 calorias. Que poderá comer mais para ingerir 745 calorias?
Problema 4 - Comparar:
- Referente desconhecido - O Pedro comeu ao almoço um Big Mac que tem 490 calorias e o
António comeu uma posta de peixe salmão. O Big Mac tem mais 295 calorias do que o peixe.
Quantas calorias tem o peixe que o António comeu?
244
ANEXO 20
Guião para a condução das aulas
1. Os alunos lêem o problema em silêncio
2. O professor lê o problema
3. O professor pergunta se alguém tem dúvidas
4. O professor pede a 2 ou 3 alunos que expliquem o problema:
- Esclarecer o enunciado e questão colocada
- Ninguém se refere à resposta ao problema
5. Os alunos resolvem o problema – caneta preta
6. O professor regista no quadro os vários procedimentos (mais significativos – 1 –
mais elementar e 2/3 mais estruturados) encontrados com os respectivos nomes
dos alunos
7. O professor pede aos respectivos alunos, cuja resolução está no quadro, que
expliquem as suas resoluções
8. O professor pergunta se os outros alunos estão de acordo – os outros podem
argumentar
9. Após esta discussão, o professor verifica se os alunos perceberam as resoluções
dos colegas – vai perguntando aos alunos para explicarem uma ou outra
estratégia
10. Pergunta a vários alunos qual a estratégia que perceberam melhor
11. O professor pede aos alunos para passarem para uma outra folha de trabalho
uma resolução diferente da sua – com outra cor - e justificarem porque é que
aquela é diferente da sua.
245
ANEXO 21
Guião da 1ª Entrevista à professora da turma
Questões relacionadas com os alunos
1. Como é que costuma fazer para introduzir as operações?
2. Que preocupações tem, por exemplo, ao introduzir a adição com transporte?
3. Que aspectos considera mais importante para os alunos aprenderem relativos à
adição e à subtracção?
4. Durante as aulas, quais são as suas preocupações ao ensinar matemática?
5. Quando alguns alunos têm dificuldades em aprender matemática, para si, a que
se deve essas dificuldades?
6. Quando os alunos têm dificuldades em resolver problemas, o que acha que o
professor deverá fazer?
7. O que acha da utilização dos materiais manipuláveis na aula de matemática?
8. Utiliza materiais? Quando? Com que objectivo?
Questões relacionadas com o contexto
1. Nesta escola costumam fazer reuniões para planificar as aulas?
2. De que constam essas planificações?
3. Que ajuda lhe dão as planificações que faz com as outras colegas do mesmo
ano?
4. Todas ficam com as mesmas planificações?
5. Costuma seguir à risca o que fica determinado?
6. O que acontece com as outras colegas da escola?
7. Alguma coisa dessas determinações colide com o seu trabalho?
8. O que decide fazer então?
9. Costuma trabalhar com alguma colega da escola para preparar aulas de
matemática?
10. cha que os professores da sua escola têm por hábito preparar aulas em conjunto
para além de fazerem as planificações?
246
11. Como lida com a questão das fichas mensais iguais para todas as turmas?
12. O que pensa desse processo de trabalho?
13. Se tivesse que fazer uma proposta para melhorar esta questão da aprendizagem
da Matemática e de um melhor ensino e aprendizagem em matemática, o que
proporia?
14. O que acha que está mal na questão de planificações, trabalho com os alunos em
matemática, preparação dos professores, trabalho colaborativo, troca de fichas e
outros materiais …
15. O que acha da actuação dos estagiários?
- aspectos positivos
- aspectos negativos
247
ANEXO 22
Guião da 2ª Entrevista à professora da turma
1. Tendo por base a sua experiência anterior, qual é a sua opinião sobre este
projecto?
2. A sua visão sobre a aprendizagem da adição e subtracção e a sua relação com o
sentido de número foi alterada? Que diferenças assinala?
3. Depois desta experiência, alterava alguma coisa na planificação se tivesse agora
outro grupo de 2º ano?
a. Dê exemplos
4. O que acha que se poderia ter feito de diferente neste projecto?
5. É capaz de indicar:
a) aspectos positivos
b) aspectos negativos
c) benefícios que trouxe para os alunos ou para si como
professora?
6. O que aprendeu com este projecto?
7. Sentiu alguma pressão ao ter dado os algoritmos tão tarde, em relação às colegas
da escola?
a) Como lidou com essa situação
b) De quem sentiu mais pressão?
c) Como avalia hoje todo o processo?
8. O que se perdeu e ganhou com a maneira (quer em termos de altura que foram
introduzidos quer no modo como o foram) como se lidou com os algoritmos?
248
9. Na sua perspectiva, qual o papel dos algoritmos na aprendizagem da
matemática?
10. O que mais a surpreendeu em todo este projecto?
11. O que acha que os alunos aprenderam em todo este percurso?
249
ANEXO 23
Guião da entrevista à professora Teresa
1. O que aprendeu em todo este projecto?
2. O que acha que os alunos aprenderam em todo este percurso?
3. Como vê agora a aprendizagem da adição e subtracção e a sua relação com o
sentido de número?
4. Quais eram para si os momentos mais difíceis durante as aulas?
5. Que sentido e espaço para o algoritmo na aprendizagem da adição e subtracção?
6. Qual o papel dos algoritmos na aprendizagem da matemática?
7. O que acha da reacção dos alunos quando foram introduzidos os algoritmos?
8. Que comentário ao antes e ao depois dos algoritmos?
9. Futuramente, na sua sala com os seus alunos, o que retirou do trabalho deste
ano para a planificação das suas aulas?
10. O que mais a surpreendeu?
250
ANEXO 24
O problema do autocarro
1. Dentro de um autocarro que ia do
Entroncamento para Lisboa iam 16
passageiros.
Em Torres Novas, entraram mais 17
passageiros.
Quantos passageiros seguiram viagem para Lisboa?
Regista tudo o que pensares e fizeres para resolveres o problema, desenhos, esquemas,
contas ….
R: _________________________________________________________________
Nome - _____________________________________________________________
251
ANEXO 25
Um problema de Idades
O Pedro tem 24 anos. Há 18 anos atrás, que idade tinha o Pedro?
Regista tudo o que pensares e fizeres para resolveres o problema, desenhos, esquemas,
contas ….
R: _________________________________________________________________
Nome - _____________________________________________________________
252
ANEXO 26
O autocarro
Um autocarro que ia de Torres Novas
para a Golegã levava 28 passageiros. No
Entroncamento saíram 9 passageiros.
Sabendo que o autocarro não fez mais nenhuma paragem, quantos
passageiros chegaram à Golegã?
Regista tudo o que pensares e fizeres para resolveres o problema, desenhos, esquemas,
contas ….
R: _________________________________________________________________
Nome - _____________________________________________________________
253
ANEXO 27
Os brinquedos da Carolina
É Natal!
Na montra da loja …. Estavam os seguintes brinquedos:
Se a mãe do João Pedro lhe comprar os matraquilhos e o xilofone, quanto
gastará?
19 €
25 € 45 € 25 €
58 € 38 €
254
ANEXO 28
As compras da Carolina
É Natal!
Na montra da loja …. Estavam os seguintes brinquedos:
A mãe da Carolina comprou-lhe a casinha das bonecas e pagou com uma
nota de 100 €.
Quanto recebeu de troco?
R: _________________________________________________________________
Nome - _____________________________________________________________
19 €
25 €
45 €
25 €
58 € 38 €
255
ANEXO 29
Um problema de selos
Esta caixa contém selos de Portugal e Espanha.
A caixa de selos de Portugal tem 82 selos. Esta caixa tem mais 35
selos do que a caixa de selos de Espanha.
Quantos selos tem a caixa de Espanha?
R: _________________________________________________________________
Nome - _____________________________________________________________
Portugal
82 selos
Espanha
……. selos
Caixa de selos de Portugal e Espanha
256
ANEXO 30
O dinheiro no mealheiro do Rodrigo
O Rodrigo tinha algum dinheiro no seu
mealheiro, mas não chegava para comprar uma
play-station.
A avó, como é sua amiga, deu-lhe 50 € no dia
que ele fez anos para ele guardar.
Assim, o Rodrigo ficou com 98 € .
Que dinheiro tinha ele no seu mealheiro antes de lá colocar o dinheiro que
a avó lhe deu?
R: _________________________________________________________________
Nome - _____________________________________________________________
257
258
