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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
JANAINA PENA SOARES DE OLIVEIRA
DETERMINAÇÃO DO MOMENTO CRÍTICO DE FLAMBAGEM
LATERAL COM DISTORÇÃO EM VIGAS MISTAS CONTÍNUAS DE
AÇO E CONCRETO COM PERFIS DE ALMA SENOIDAL
VITÓRIA 2014
JANAINA PENA SOARES DE OLIVEIRA
DETERMINAÇÃO DO MOMENTO CRÍTICO DE FLAMBAGEM LATERA L COM
DISTORÇÃO EM VIGAS MISTAS CONTÍNUAS DE AÇO E CONCRE TO COM
PERFIS DE ALMA SENOIDAL
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Centro Tecnológico da Universidade Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil, na área de concentração Estruturas. Orientador: Adenilcia Fernanda Grobério Calenzani.
VITÓRIA 2014
JANAINA PENA SOARES DE OLIVEIRA
DETERMINAÇÃO DO MOMENTO CRÍTICO DE FLAMBAGEM LATERA L COM
DISTORÇÃO EM VIGAS MISTAS CONTÍNUAS DE AÇO E CONCRE TO COM
PERFIS DE ALMA SENOIDAL
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Centro Tecnológico da Universidade Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil, na área de Estruturas.
Aprovada em 09 de Maio de 2014.
COMISSÃO EXAMINADORA
Profa.Dra. Adenilcia Fernanda Grobério Calenzani Universidade Federal do Espírito Santo Orientadora Prof. Dr. Walnório Graça Ferreira Universidade Federal do Espírito Santo Examinador interno Prof. Dr. Ricardo Hallal Fakury Universidade Federal de Minas Gerais Examinador externo
AGRADECIMENTOS
Primeiramente, agradeço a Deus pela força concedida para concretização deste
trabalho.
A professora Adenilcia Fernanda Grobério Calenzani, pelos ensinamentos
transmitidos, pela orientação, pela dedicação, pela confiança, pelo incentivo e,
sobretudo, pela amizade.
Aos meus pais, irmãos e namorado, pelo incentivo, pelo apoio nos momentos mais
difíceis e pela compreensão das minhas ausências.
A todos os professores, funcionários e colegas da área de Estruturas do curso de
Engenharia Civil da Universidade Federal do Espírito Santo, pela agradável
convivência durante a realização deste trabalho.
A FAPES pela bolsa de estudos, ao CNPq e à CAPES pelo apoio para o
desenvolvimento desta pesquisa.
A todos, que direta ou indiretamente contribuíram para realização deste trabalho.
RESUMO
As vigas mistas de aço e concreto estão sendo largamente utilizadas em
construções de edifícios e pontes. Ao se combinar o aço com o concreto obtêm-se
estruturas mais econômicas, uma vez que se tira proveito das melhores
características de cada material. Nas regiões de momento negativo de uma viga
mista contínua, a mesa inferior e parte da alma estão comprimidas, se a alma do
perfil não tiver rigidez suficiente para evitar a flexão lateral, ela distorcerá gerando
um deslocamento lateral e um giro na mesa comprimida, caracterizando um modo
de flambagem denominado flambagem lateral com distorção (FLD). O procedimento
de verificação à FLD da EN 1994-1-1:2004 originou o método de cálculo da ABNT
NBR 8800:2008, entretanto a EN 1994-1-1:2004 não fornece expressão para o
cálculo do momento crítico elástico, enquanto a ABNT NBR 8800:2008 prescreve
uma formulação proposta por Roik, Hanswille e Kina (1990) desenvolvida para vigas
mistas com perfis de alma plana. Embora as normas prescrevam um método de
verificação à FLD para vigas mistas com perfis de alma plana, poucos estudos têm
sido feitos sobre esse estado-limite. Além disso, tanto a ABNT NBR 8800:2008
quanto as normas internacionais não abordam perfis de alma senoidal. Neste
trabalho, foram implementadas análises de flambagem elástica, com auxílio do
software ANSYS 14.0 (2011), em modelos de elementos finitos que retratem o
comportamento à FLD de vigas mistas de aço e concreto com perfis de alma plana e
senoidal. Os modelos numéricos foram constituídos pelo perfil de aço, por uma mola
rotacional que restringe parcialmente o giro da mesa superior e uma restrição ao
deslocamento lateral, ao longo de todo o comprimento da viga. Os resultados
numéricos são comparados com os obtidos pelas formulações de Roik, Hanswille e
Kina (1990) e de Hanswille (2002), adaptadas para levar em consideração a
corrugação da alma do perfil de aço. Para avaliação das formulações supracitadas e
da consistência da modelagem numérica adotada, o momento crítico elástico foi
determinado para vigas mistas com perfis de aço de alma plana. Como resultado,
um método para o cálculo do momento crítico elástico de vigas mistas de alma
senoidal é proposto.
Palavras chaves: Flambagem Lateral com Distorção, Vigas Mistas Contínuas,
Rigidez Rotacional, Momento Crítico Elástico.
ABSTRACT
The composite steel-concrete beams have been widely used in the constructions of
buildings and bridges. The interaction between the steel and concrete leads to
economic structures, because it is possible to take out the best of what each material
can offer. In the negative moment region of continuous composite beams, the bottom
flange and part of the web are compression. If the web of the steel profile doesn’t
have enough stiffness to avoid the lateral flexural, the flange will displaced laterally.
This instability is known as distortional lateral buckling. The procedure for verification
the distortional lateral buckling of EN 1994-1-1:2004 originated the calculation
method of ABNT NBR 8800:2008. But the EN 1994-1-1:2004 do not offer the
expression to determine the elastic critical moment while the ABNT NBR 8800:2008
prescribes a formulation proposed by Roik, Hanswille e Kina (1990) developed for
composite beams with plane web profiles. Even though the standards prescribe the
verification of distortional lateral buckling for the composite beams with plane web
profiles, few studies have been made about this limit state. Moreover, the ABNT NBR
8800:2008 and international standards do not approach about sinusoidal-web
profiles. In this paper, was implemented elastic buckling analysis in finite element
models using the software ANSYS 14.0 (2011). These models describe the behavior
of distortional lateral buckling of composite beams with plane web and sinusoidal-
web profiles. The numeric models were composed by steel profile, rotational spring
and lateral restraint, both applied along the beam span to restrain the steel top
flange. The numerical results are compared with the formulation of Roik, Hanswille e
Kina (1990) and Hanswille (2002), adapted to consider the corrugation of the
sinusoidal-web profile. To evaluate the formulations and consistency of the numerical
model, the elastic critical moment was determined for composite beams with plane
web profile. Finally, a procedure for determining elastic critical moment of composite
beams with sinusoidal-web profile is proposed.
Keywords: Distortional Lateral Buckling, Continuous Composite Beams, Rotational Stiffness, Elastic Critical Moment
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 - Interação aço e concreto nas vigas mistas .............................................. 9
Figura 1.2 - Distribuição de momento de flexão ........................................................ 11
Figura 1.3 - Flambagem lateral com distorção .......................................................... 12
Figura 1.4 - Mecanismo “U” invertido ........................................................................ 13
Figura 1.5 - Rigidez rotacional de uma viga mista para o mecanismo “U” invertido .. 14
Figura 1.6 - Vigas com alma corrugada .................................................................... 15
Figura 1.7 - Dimensões dos perfis e geometria das almas senoidais ....................... 16
Figura 2.1 - Mecanismo “U” contínuo e discreto ........................................................ 21
Figura 2.2 - Viga mista aço e concreto protendida por cabos externos na região de momento negativo ..................................................................................................... 24
Figura 2.3 - Modelo restringido .................................................................................. 26
Figura 2.4 - Flambagem lateral ................................................................................. 29
Figura 2.5 - Deformação típica da mesa inferior na FLD ........................................... 29
Figura 2.6 - Flambagem local (FL) da mesa comprimida .......................................... 30
Figura 2.7 - Flambagem lateral com distorção e flambagem lateral restringida ........ 30
Figura 2.8 - Valor de χdist em função do índice de esbeltez λdist ................................ 32
Figura 2.9 – Determinação das rotações .................................................................. 39
Figura 2.10 - Deformação da mesa superior e da alma de perfis de aço .................. 41
Figura 2.11 – Viga mista com mecanismo “U” contínuo ............................................ 45
Figura 2.12 – Sistema equivalente de Roik, Hanswille e Kina (1990) ....................... 46
Figura 2.13 – Diagrama de momento fletor de viga mista contínua .......................... 51
Figura 2.14 – Diagrama de momento equivalente ..................................................... 51
Figura 2.15 – Enrijecedores ..................................................................................... 51
Figura 2.16 – Deformação da seção transversal ....................................................... 52
Figura 2.17 – Sistema equivalente de Hanswille (2002) ........................................... 54
Figura 2.18 – Carga crítica elástica Ncr e momento crítico elástico Mcr em função de ηk e ηB ....................................................................................................................... 57
Figura 2.19 – Coeficiente de flambagem βB para vigas com momentos de extremidade e carga uniformemente distribuída ....................................................... 58
Figura 2.20 – Coeficiente de flambagem βB para vigas com momentos de extremidade e carga concentrada no meio do vão .................................................... 59
Figura 2.21 – Melhoramento do método da coluna com apoio elástico .................... 62
Figura 2.22 – Momento fletor equivalente para a FLD .............................................. 67
Figura 2.23 – Diagrama de momento fletor para vigas mistas contínuas internas .... 68
Figura 2.24 – Esquema da 2° etapa do método simplificado .................................... 68
Figura 2.25 – Diagrama de momento fletor simétrico para vigas mistas contínuas internas ..................................................................................................................... 68
Figura 2.26 – Diagrama de momento fletor não simétrico para vigas mistas contínuas internas ..................................................................................................................... 69
Figura 3.1 – Curva de flambagem ............................................................................. 71
Figura 3.2 – Modelo numérico simplificado ............................................................... 76
Figura 3.3 – Elementos de casca – Shell 181 ........................................................... 76
Figura 3.4 – Elementos de mola – Combin 14 .......................................................... 77
Figura 3.5 – Momento crítico x número de elementos .............................................. 78
Figura 3.6 – Malha dos modelos com perfis de alma plana ...................................... 78
Figura 3.7 – Malha da mesa dos modelos com perfis de alma senoidal ................... 79
Figura 3.8 – Perfil de alma senoidal com um comprimento de onda igual a 15,5cm. 79
Figura 3.9 – Condições de contorno do modelo numérico ........................................ 81
Figura 3.10 – Diagrama de momento fletor para vão extremo com carga distribuída .................................................................................................................................. 81
Figura 3.11 – Diagrama de momento fletor para vão interno com carga distribuída . 83
Figura 3.12 – Vão com momento fletor linear............................................................ 84
Figura 3.13 – Seção transversal e condição de carregamento ................................. 85
Figura 3.14 – Modelo validação para vão extremo de viga mista contínua ............... 86
Figura 3.15 – Modelo validação para vão com momento fletor constante ................ 87
Figura 3.16 – Modelo validação para vão interno de viga mista contínua ................. 87
Figura 3.17 – Coeficiente β para vão com momento fletor linear .............................. 89
Figura 4.1 – Seção transversal do modelo numérico ................................................ 95
Figura 4.2 – Mcr x ψ para vigas mistas submetidas a momento fletor negativo linear (carregamento - caso 1) .......................................................................................... 100
Figura 4.3 – Mcr x ψ para vigas mistas submetidas a momento fletor linear ........... 100
Figura 4.4 – Mcr x ψ para vão extremo com carga distribuída ................................. 101
Figura 4.5 – Mcr x ψ para vão interno com carga distribuída (carregamento - caso 1) ................................................................................................................................ 102
Figura 4.6 – Mcr x ψ para vão interno com carga distribuída (carregamento - caso 2) ................................................................................................................................ 102
Figura 4.7 – Mcr x ψ para vão interno com carga distribuída (carregamento - caso 3) ................................................................................................................................ 102
Figura 4.8 – Diagramas de momento fletor nas vigas mistas contínuas de vão extremo e vão interno com ψ = 0,5 ......................................................................... 103
Figura 4.9 – Mcr x k1 para vão com momento fletor negativo constante .................. 105
Figura 4.10 – Mcr x k2 para vão com momento fletor negativo constante ................ 105
Figura 4.11 – Mcr x k3 para vão com momento fletor negativo constante ................ 106
Figura 4.12 – Mcr x L para vão com momento fletor negativo constante ................. 106
Figura 4.13 – Mcr x Iaf,y para vão com momento fletor negativo constante............... 107
Figura 4.14 – Mcr x k1 para vão extremo com carga distribuída e ψ = 1,0 ............... 109
Figura 4.15 – Mcr x k2 para vão extremo com carga distribuída e ψ = 1,0 ............... 109
Figura 4.16 – Mcr x k3 para vão extremo com carga distribuída e ψ = 1,0 ............... 110
Figura 4.17 – Mcr x L para vão extremo com carga distribuída e ψ = 1,0 ................ 110
Figura 4.18 – Mcr x Iaf,y para vão extremo com carga distribuída e ψ = 1,0 ............. 110
Figura 4.19 – Mcr,num x Mcr,prop para vãos com momento fletor negativo constante .. 117
Figura 4.20 – Mcr,num x Mcr,prop para vãos extremos com carga distribuída e ψ = 1,0 ................................................................................................................................ 117
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 - Coeficiente Cdist para vigas contínuas com carregamento no comprimento L ........................................................................................................... 33
Tabela 2.2 – Coeficiente Cdist para vigas contínuas e semicontínuas sem carregamento no comprimento L ............................................................................... 34
Tabela 2.3 – Coeficientes de Cdist para vigas semicontínuas submetidas a carregamento uniformemente distribuído no comprimento L .................................... 34
Tabela 2.4 - Valores propostos para a rigidez da conexão, k3, de vigas mistas com perfis de alma senoidal e lajes planas ....................................................................... 42
Tabela 2.5 - Valores propostos para a rigidez da conexão, k3, de vigas mistas com perfis de alma senoidal e lajes mistas ....................................................................... 43
Tabela 2.6 – Valores de Cdist para vãos com cargas transversais ............................. 49
Tabela 2.7 – Valores de Cdist para vãos sem cargas transversais ............................. 49
Tabela 2.8 – Analogia entre a barra comprimida em fundação elástica e o problema da FLD ...................................................................................................................... 56
Tabela 3.1 – Modelos numéricos para validação ...................................................... 88
Tabela 3.2 – Resultados obtidos para validação ....................................................... 88
Tabela 4.1 – Modelos numéricos para análise do parâmetro Cdist ............................ 96
Tabela 4.2 – Modelos numéricos para análise da influência das rigidezes rotacionais, do comprimento da viga e da inércia da mesa do perfil de aço no Mcr de vão com momento fletor constante .......................................................................................... 97
Tabela 4.3 – Modelos numéricos para análise da influência das rigidezes rotacionais, do comprimento da viga e da inércia da mesa do perfil de aço no Mcr de vão extremo com carga distribuída ................................................................................................ 98
Tabela 4.4 – Momento crítico elástico variando o parâmetro Cdist ............................. 99
Tabela 4.5 – Momento crítico elástico para vãos de momento fletor linear constante ................................................................................................................................ 104
Tabela 4.6 – Momento crítico elástico para vãos extremos com carga distribuída e ψ = 1,0 ..................................................................................................................... 108
Tabela 4.7 – Valores de Cdist para vãos com cargas distribuídas ............................ 112
Tabela 4.8 – Valores de Cdist para vãos sem cargas transversais ........................... 112
Tabela 4.9 – Comparação entre o Mcr numérico e proposto para vão com momento fletor constante ........................................................................................................ 115
Tabela 4.10 – Comparação entre o Mcr numérico e proposto para vão extremo com carga distribuída e ψ = 1,0 ...................................................................................... 116
LISTA DE SÍMBOLOS
A - área
bf – largura da mesa
bw – altura total da onda senoidal
Cdist – fator de modificação do diagrama de momento fletor
Cw – constante de empenamento
d, e – distância
E, Ea – módulo de elasticidade do aço
F - força
fy – resistência ao escoamento do aço
fs – resistência ao escoamento da armadura
G – módulo de elasticidade transversal do aço
h - altura
I – momento de inércia
J – constante de torção
k – rigidez rotacional
L – vão
Mcr – momento crítico elástico
M-Rd – momento fletor resistente de cálculo
MSd– momento fletor solicitante de cálculo
q – carga uniformemente distribuída
tf – espessura da mesa
tw – espessura da alma
r – raio de giração
y - distância
w – comprimento da onda senoidal
α – coeficiente
δ - deslocamento
λ – índice de esbeltez
υ – coeficiente de Poisson
χ – fator de redução associado à resistência à compressão
ψ − fator de redução de ações
λ - coeficiente de ponderação
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 9
1.1 Vigas mistas de aço e concreto .................... .............................................. 9
1.2 Vantagens e desvantagens das vigas mistas contínuas de aço e concreto .......................................... ......................................................................... 10
1.3 Flambagem lateral com distorção ................... ......................................... 12
1.4 Mecanismo “U” invertido ........................... ............................................... 13
1.5 Perfis de alma senoidal ........................... .................................................. 14
1.6 Objetivos ......................................... ............................................................ 17
1.6.1 Objetivo geral ............................................................................................... 17
1.6.2 Objetivos específicos ................................................................................... 17
1.7 Justificativa ..................................... ........................................................... 18
1.8 Estrutura da dissertação .......................... ................................................. 19
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................. ........................................... 20
2.1 Introdução ........................................ ........................................................... 20
2.2 Pesquisas sobre o comportamento de vigas mistas con tínuas de aço e concreto na região de momento negativo ............ ................................................ 21
2.3 Flambagem lateral com distorção: conceitos e determ inação do momento fletor resistente ......................... ............................................................. 28
2.4 Rigidez rotacional de vigas mistas com perfis de al ma senoidal .......... 37
2.4.1 Trabalho de Calenzani (2008) e Calenzani e outros (2012) ......................... 37
2.4.1.1 Método proposto para o cálculo da rigidez rotacional ............................... 37
2.4.1.2 Cálculo da rigidez da laje (k1) ................................................................... 39
2.4.1.3 Fórmula proposta para o cálculo da rigidez da alma senoidal (k2) ............ 40
2.4.1.4 Tabelas propostas para o cálculo da rigidez da conexão (k3) ................... 42
2.4.1.5 Rigidez rotacional para vigas mistas (kr) ................................................... 43
2.5 Momento crítico elástico em vigas mistas com perfis de alma plana ... 44
2.5.1 Método por aproximação de energia ............................................................ 44
2.5.1.1 Trabalho de Roik, Hanswille e Kina (1990) ............................................... 44
2.5.1.2 Trabalho de Chen e Ye (2010) .................................................................. 50
2.5.2 Cálculo por analogia com a barra comprimida em fundação elástica .......... 53
2.5.2.1 Trabalho de Hanswille (2002) ................................................................... 54
2.5.3 Método da coluna com apoio elástico .......................................................... 60
2.5.3.1 Trabalho de Ye e Chen (2013) .................................................................. 61
3 DEFINIÇÃO E AFERIÇÃO DA MODELAGEM NUMÉRICA ........ ............... 70
3.1 Considerações gerais .............................. .................................................. 70
3.2 Análise numérica de flambagem...................... ......................................... 71
3.2.1 Análise de flambagem linerarizada (flambagem por autovalor) ................... 72
3.2.2 Análise não linear ......................................................................................... 74
3.3 Modelos numéricos ................................. ................................................... 75
3.3.1 Elementos utilizados .................................................................................... 76
3.3.2 Malha de elementos finitos ........................................................................... 77
3.3.3 Condições de contorno e carregamento aplicado ........................................ 80
3.4 Exemplo utilizado na aferição ..................... .............................................. 85
3.5 Aferição da modelagem numérica .................... ........................................ 88
4 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE VIGAS MISTAS COM PERFIS DE A LMA SENOIDAL .......................................... ...................................................................... 92
4.1 Introdução ........................................ ........................................................... 92
4.2 Definição dos modelos numéricos ................... ........................................ 92
4.3 Proposição para determinação do momento crítico elá stico de vigas mistas contínuas com perfis de alma senoidal ...... .............................................. 99
4.3.1 Avaliação dos resultados numéricos ............................................................ 99
4.3.2 Procedimento para determinação do momento crítico elástico de vigas mistas contínuas com perfis de alma senoidal ........................................................ 111
5 CONCLUSÕES .......................................................................................... 118
5.1.1 Sobre o trabalho realizado ......................................................................... 118
5.1.2 Sugestões para trabalhos futuros .............................................................. 120
6 REFERÊNCIAS ......................................................................................... 122
9
1 INTRODUÇÃO
1.1 Vigas mistas de aço e concreto
De acordo com a ABNT NBR 8800:2008, as vigas mistas de aço e concreto
consistem em um componente de aço simétrico em relação ao plano normal ao de
flexão com uma laje de concreto acima de sua face superior. O componente de aço
pode ser um perfil I, ou outro perfil como caixão ou tubular retangular ou uma treliça.
Entre o componente de aço e a laje deve haver ligação mecânica por meio de
conectores de cisalhamento, de tal forma que ambos trabalhem em conjunto para
resistirem à flexão.
O dimensionamento das vigas mistas depende do grau de interação da ligação entre
o aço e o concreto, podendo haver interação parcial ou total (Figura 1.1). Quando
não existe ligação mecânica entre a laje de concreto e o perfil de aço, ou seja,
interação nula, o escorregamento na interface aço e concreto é permitido, formando
duas linhas neutras. A contribuição da laje na resistência à flexão da viga não pode
ser considerada. Na interação parcial, também ocorre a formação de duas linhas
neutras, devido ao escorregamento relativo entre os dois materiais, porém esse
escorregamento é menor do que no caso anterior. Já no caso de interação total
considera-se que existe uma ligação perfeita entre o aço e o concreto, ocorrendo a
formação de apenas uma linha neutra.
Figura 1.1 - Interação aço e concreto nas vigas mistas
a) Interação nula b) Interação parcial c) Interação total
Fonte: Fabrizzi (2007) Nota: Figura adaptada pelo autor
10
As vigas mistas podem ser biapoiadas, semicontínuas ou contínuas. As biapoiadas
são aquelas em que as ligações nos apoios são consideradas como rótulas, as
semicontínuas possuem ligação de resistência parcial nos apoios internos e as
contínuas são aquelas em que o perfil de aço e a armadura da laje têm continuidade
total nos apoios internos.
1.2 Vantagens e desvantagens das vigas mistas contí nuas de aço e concreto
Conforme Johnson (2004), as vantagens das vigas mistas de aço e concreto
contínuas em relação às simplesmente apoiadas são:
• Podem-se utilizar maiores relações entre vão/altura, para uma dada flecha
admissível;
• A estrutura do pavimento como um todo é menos susceptível à vibração
devido ao movimento causado pelas pessoas;
• Há um melhor controle das fissuras nas superfícies das lajes próximas aos
pilares internos;
• A estrutura é mais robusta, portanto resiste melhor aos efeitos de incêndio e
de explosão.
Adicionalmente, pode-se citar que as vigas mistas contínuas podem compor as
subestruturas de contraventamento, proporcionando estabilidade lateral às
edificações. As principais vantagens citadas decorrem do aumento de rigidez global
da estrutura. Pelo estudo de Dissanayake e Burgess (1998), percebe-se que há uma
redução significativa dos deslocamentos quando se considera as vigas mistas como
parte da subestrutura de contraventamento ao invés de considerá-las como
simplesmente apoiadas.
Segundo Johnson (2004), uma desvantagem das vigas mistas contínuas é o
dimensionamento complexo, uma vez que nas vigas mistas contínuas as ações em
um vão causam efeitos no vão adjacente. Mesmo a seção sendo uniforme, há
variação da rigidez e da resistência à flexão da viga mista ao longo do seu
11
comprimento, pois o momento de fissuração do concreto muda com a largura efetiva
da seção e com a variação da armadura longitudinal.
Uma situação comum em vigas mistas contínuas é a presença de altos esforços
cortantes e momentos fletores atuando simultaneamente nos apoios intermediários.
Ao estudar o comportamento de vigas mistas sujeitas ao efeito combinado desses
esforços, Vasdravellis e outros (2012) obtiveram um modelo de dimensionamento
simplificado que verifica esse tipo de interação. Neste estudo foi possível perceber
que a força de compressão propicia um rápido aparecimento da flambagem local na
região de momento negativo, comprometendo a capacidade de rotação da viga.
De acordo com SSEDTA CD (2001), como as vigas mistas contínuas estão sujeitas
aos fenômenos de flambagem local e flambagem lateral com distorção nas regiões
de momento negativo, o seu dimensionamento é mais complexo do que o das
biapoiadas. Na elaboração do projeto, esta região de momento negativo pode se
estender em todo o vão da viga contínua (Figura 1.2).
Figura 1.2 - Distribuição de momento de flexão
a) Os dois vãos carregados
b) Um vão carregado
Fonte: SSEDTA CD (2001) Nota: Figurada adaptada pelo autor
12
1.3 Flambagem lateral com distorção
Nas regiões próximas aos apoios internos das vigas mistas contínuas e
semicontínuas há momentos negativos. A mesa inferior do perfil de aço recebe
esforços de compressão que fazem com que ela tenha tendência de flambar em
relação ao seu eixo de maior inércia, já que em relação ao eixo de menor inércia a
flambagem é impedida pela alma. A mesa inferior comprimida recebe restrição
lateral apenas através da alma flexível, e a laje impede a torção da viga de aço
como um todo. Se a alma do perfil não tiver rigidez suficiente para evitar a flexão
lateral, ela distorcerá gerando um deslocamento lateral na mesa comprimida
acompanhado de torção, conforme mostrado na Figura 1.3. Esse fenômeno é
conhecido como flambagem lateral com distorção (FLD).
Figura 1.3 - Flambagem lateral com distorção
Fonte: Johnson (2004) Nota: Figura adaptada pelo autor
A ABNT NBR 8800:2008 fornece um procedimento aproximado para verificação da
FLD, similar ao da norma europeia EN 1994-1-1:2004, que consiste na determinação
do momento crítico elástico, Mcr, como passo inicial para obtenção do momento
fletor resistente.
13
1.4 Mecanismo “U” invertido
O cálculo de Mcr é feito tendo como base o comportamento do mecanismo “U”
invertido, formado por duas vigas adjacentes e pela laje na qual os perfis de aço
dessas vigas são fixados (Figura 1.4).
Figura 1.4 - Mecanismo “U” invertido
Fonte: ABNT NBR 8800:2008 Nota: Figurada adaptada por Calenzani (2008)
Considera-se que o mecanismo “U” invertido seja adequado para representar o
comportamento de uma viga mista à FLD, porque consegue retratar de forma
bastante realística as restrições ao deslocamento lateral e à torção impostas à mesa
inferior do perfil de aço pela sua alma, pela laje de concreto e pela conexão de
cisalhamento. Adicionalmente, a consideração desse mecanismo tem grande
relação com a prática, uma vez que, em boa parte das construções, sistemas de
pisos compostos por vigas de aço paralelas e laje de concreto sobreposta são
utilizados.
Uma grandeza fundamental para o valor do momento crítico elástico, Mcr, é a rigidez
rotacional da viga mista, também tratada como rigidez rotacional do mecanismo “U”
invertido. Essa rigidez, aplicada a uma mola de rotação situada na mesa superior de
uma viga, permite reproduzir a influência do mecanismo “U” na resistência à FLD
dessa viga (Figura 1.5). A rigidez rotacional, representada por kr, conforme Johnson
(2004), é obtida por unidade de comprimento da viga, relacionando o momento no
ponto A, situado no centro geométrico da mesa superior, causado por forças de
perturbação F de sentidos opostos aplicadas nas mesas inferiores das vigas
paralelas do mecanismo “U” invertido, com a rotação correspondente θ dessas
mesas.
14
Figura 1.5 - Rigidez rotacional de uma viga mista para o mecanismo “U” invertido
Fonte: EN 1994-1-1:2004 Nota: Figurada adaptada por Calenzani (2008)
1.5 Perfis de alma senoidal
Os perfis I de alma plana são economicamente viáveis para vigas de vãos não muito
elevados. À medida que se aumentam os vãos, é necessário utilizar vigas de maior
altura, que são mais suscetíveis ao estado-limite de flambagem local da alma. A
utilização de vigas com almas mais espessas e enrijecedores transversais soldados
à alma eleva o peso e o custo da estrutura. Como alternativa pode-se empregar
vigas treliçadas, vigas com perfis alveolares ou vigas com perfis de alma corrugada.
Nesta última, as corrugações aumentam a capacidade resistente da alma à
flambagem local por cisalhamento e, consequentemente, permite o uso de chapas
finas na alma sem a utilização de enrijecedores.
Hamada e outros (1984 apud WANG, 2003) apresentaram um estudo mostrando
que as vigas de alma corrugada pesam entre 9% e 13% menos que as vigas de
alma plana. Por causa da alta relação entre resistência e peso próprio, as vigas de
alma corrugada permitem que maiores vãos sejam vencidos, diminuindo o número
de pilares da obra e, consequentemente, de elementos de fundação, proporcionando
maior velocidade e menor custo de montagem.
15
O perfil I de alma corrugada é constituído de mesas em chapas planas grossas e
alma em chapa fina corrugada. A corrugação da chapa da alma pode ser trapezoidal
ou senoidal, conforme Figura 1.6.
Figura 1.6 - Vigas com alma corrugada
a) Corrugação trapezoidal b) Corrugação senoidal
Fonte: PLAIS (2005)
As vigas de alma senoidal possuem alguns aspectos mais favoráveis que as de
alma corrugada trapezoidal, como uma fabricação mais otimizada, menor
susceptibilidade à flambagem local da alma, por não haver partes planas, e uma
melhor aplicabilidade em estruturas sujeitas à fadiga, por não haver arestas.
Os perfis de alma senoidal têm sido usados em diversas aplicações estruturais,
como vigas de coberturas, pontes, passarelas e, em especial, quando a solicitação
por momento fletor é preponderante à solicitação por força normal. O emprego
dessas peças em vigas mistas tem-se limitado apenas a pontes, sendo as vigas
geralmente projetadas como biapoiadas.
Apesar das vantagens, em termos mundiais as peças de alma corrugada ainda
apresentam uso aquém de suas potencialidades, principalmente por não constarem
da maioria das normas de projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço
e concreto, pela falta de programas para o dimensionamento estrutural e de serem
desconhecidas da maioria dos projetistas. No Brasil, somente a partir de 2005, as
peças com alma senoidal começaram a ser utilizadas.
Uma das limitações para a utilização de perfis de alma corrugada está na execução
de ligações. Por exemplo, é necessário substituir, nas ligações onde a alma tenha a
função de transmitir tensões normais, a alma corrugada por uma alma plana nas
extremidades da peça. Uma opção seria efetuar ligações sem a participação da
16
alma, mas isto muitas vezes leva a soluções pouco convencionais. Outra limitação
está no comportamento em situações de incêndio, onde a reduzida espessura da
alma pode causar aquecimento mais rápido da peça. Cita-se ainda o aspecto
estético, que pode desagradar alguns observadores.
As dimensões dos perfis de aço e a geometria das almas senoidais são mostradas
na Figura 1.7, conforme a empresa CODEME (2005), para seu padrão de
fabricação.
Figura 1.7 - Dimensões dos perfis e geometria das almas senoidais
Fonte: CODEME (2005)
A geometria da alma senoidal adotado nesses perfis da CODEME tem um
comprimento de onda w igual a 155mm e uma altura total bw (duas vezes a
amplitude) de 40mm para perfis com espessura da alma (tw) de 2mm ou de bw =
43mm para tw = 3mm. Em decorrência da disponibilidade de produtos no mercado e
dos aspectos econômicos, os aços estruturais USI CIVIL 350 e USI CIVIL 300,
ambos da Usiminas, estão sendo utilizados respectivamente na fabricação das
mesas e da alma. As resistências ao escoamento e à ruptura são, respectivamente,
350 MPa e 500 MPa, para o aço USI CIVIL 350, e 300 MPa e 410 MPa para o aço
USI CIVIL 300.
Comprimento máximo = 16.00 m
tw=2.0mm
tw=3.0mm
bw
155155155
40,43,
155155
w
bf
h
bf
tfi
tfs
X
Y
17
1.6 Objetivos
1.6.1 Objetivo geral
Este trabalho de pesquisa tem como objetivo geral propor um procedimento de
cálculo para a determinação do momento crítico elástico à flambagem lateral com
distorção de vigas mistas contínuas de aço e concreto com perfis de aço de alma
senoidal.
1.6.2 Objetivos específicos
Os objetivos específicos consistem em:
a) Estudar o comportamento estrutural de vigas mistas contínuas de aço com
perfis de alma plana e senoidal na região de momento negativo no que se
refere ao estado-limite de flambagem lateral com distorção;
b) Propor modelos em elementos finitos que representem vigas mistas com
perfis de alma plana sujeitas a momento fletor negativo, para verificar as
formulações analíticas existentes do momento crítico elástico à flambagem
lateral com distorção;
c) Propor modelos em elementos finitos que representem vigas mistas com
perfis de alma senoidal sujeitas a momento fletor negativo, visando à
parametrização desses para avaliação do momento crítico elástico à
flambagem lateral com distorção;
d) Avaliar os parâmetros que influenciam o momento crítico elástico à
flambagem lateral com distorção de vigas mistas de aço e concreto com perfis
de alma senoidal;
e) Propor procedimento, compatível com a ABNT NBR 8800:2008 para vigas
mistas contínuas com perfil de alma plana, que possa ser utilizado na
determinação do momento crítico elástico à flambagem lateral com distorção
com perfis de alma senoidal.
18
1.7 Justificativa
As estruturas mistas de aço e concreto estão sendo largamente utilizadas em
construções de edifícios e pontes. Ao se combinar esses dois materiais obtêm-se
estruturas mais econômicas, uma vez que se tira proveito das melhores
características de cada material. O concreto é mais eficiente na compressão, atua
como proteção contra fogo e corrosão do aço, além de restringir a flambagem do
perfil. Já o aço resiste melhor ao esforço de tração e oferece ductilidade ao concreto.
Ao se comparar as vigas mistas contínuas com as biapoiadas, sob mesmo
carregamento e mesmo vão, obtêm-se momentos fletores positivos menores. Como
a continuidade da viga conduz uma melhor distribuição de momento fletor, é
possível utilizar peças com menores dimensões. Além disso, a utilização de vigas
mistas contínuas com perfis de alma senoidal teria resultados em relação à
economia ainda mais promissores, uma vez que a corrugação proporciona a
utilização de chapas mais finas na alma.
Na região de momentos negativos (apoios internos das vigas mistas contínuas) uma
parte do perfil de aço está sujeita à compressão, portanto o estado-limite de FLD
deve ser verificado. Embora a norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 prescreva um
método de verificação à FLD, poucos estudos têm sido feitos sobre esse estado-
limite tanto no Brasil quanto no exterior. Isso contribui para que o uso de vigas
mistas contínuas tenha seu uso limitado. A ABNT NBR 8800:2008 e as normas
internacionais não abordam perfis de alma senoidal, o que justifica ainda mais a
necessidade de pesquisas sobre o comportamento estrutural destes perfis.
Com base no exposto, conclui-se que este trabalho pode contribuir de forma
expressiva para a consolidação do uso de vigas mistas de aço e concreto mais
leves, uma vez que, alcançados os objetivos, o comportamento estrutural na região
de momentos negativos da viga mista passará a ser mais conhecido, o que também
possibilitará a publicação de artigos científicos sobre esse assunto.
19
1.8 Estrutura da dissertação
O capítulo 1 apresentou uma introdução sobre vigas mistas contínuas de aço e
concreto com perfis de alma plana e alma senoidal abordando conceitos necessários
à apresentação do fenômeno de flambagem lateral com distorção (FLD), além dos
objetivos gerais e específicos e da justificativa (motivação).
O capítulo 2 apresenta uma ampla revisão bibliográfica, com base em artigos
científicos, dissertações de mestrado e teses de doutorado, para a assimilação de
conceitos fundamentais ao entendimento do comportamento de vigas mistas na
região de momento negativo. É apresentado um estado de arte das pesquisas
relacionadas a esse assunto, principalmente as que se refere ao fenômeno da FLD.
O capítulo 3 apresenta a definição e a aferição dos modelos numéricos de vigas
mistas com perfis de alma plana e senoidal, sujeitas a momento negativo. São
apresentadas as condições de contorno, os tipos de elementos, as características
geométricas, as propriedades dos materiais e outras informações pertinentes ao
modelo numérico. Os trabalhos utilizados na validação dos modelos são explicados
em detalhes e seus resultados são confrontados com os resultados numéricos
obtidos neste trabalho.
O capítulo 4 apresenta um estudo paramétrico dos modelos desenvolvidos no
capítulo 3. O intuito é estudar os parâmetros que influenciam o valor do momento
crítico elástico à FLD. Com os resultados dessa análise, é possível propor uma
metodologia para o dimensionamento à FLD de vigas mistas contínuas com perfis
de alma senoidal.
O capitulo 5 apresenta as conclusões do trabalho e sugestões para estudos futuros.
20
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 Introdução
Neste capítulo, no subitem 2.2 são apresentados os estudos recentes e pesquisas
científicas sobre o comportamento das vigas mistas na região de momento negativo,
incluindo os estudos sobre a flambagem lateral com distorção.
No subitem 2.3, o estado-limite de flambagem lateral com distorção é discutido em
detalhes, sendo descritos os procedimentos de determinação do momento fletor
resistente a FLD, do momento crítico elástico e da rigidez rotacional.
Há uma escassez de trabalhos experimentais sobre flambagem lateral com distorção
de vigas mistas, possivelmente porque esse tipo de trabalho é oneroso e de difícil
execução, devido à necessidade de se trabalhar em escala real para obtenção de
resultados mais consistentes. O item 2.4 descreve o trabalho de Calenzani (2008) e
Calenzani e outros (2012), sobre a determinação experimental e numérica da rigidez
rotacional de vigas mistas com perfis de alma senoidal.
No item 2.5 são apresentados os métodos para o cálculo do momento crítico elástico
à flambagem lateral com distorção, todos considerando o mecanismo “U” invertido.
Pelo método por aproximação de energia são descritos o de Roik, Hanswille e Kina
(1990) e o de Chen e Ye (2010), pela analogia com o problema de uma barra
comprimida em fundação elástica é apresentado o de Hanswille (2002) e, por último,
o método da coluna com apoio elástico de Ye e Chen (2013).
Deve-se notar que no subitem 2.5 são tratadas somente vigas mistas de alma plana.
Não foram encontrados na literatura estudos sobre a determinação do momento
crítico elástico à flambagem lateral com distorção de vigas mistas com perfis de alma
senoidal.
21
2.2 Pesquisas sobre o comportamento de vigas mistas contínuas de aço e concreto na região de momento negativo
Nas regiões de momento negativo, a viga mista pode sofrer flambagem local e
flambagem lateral com distorção, uma vez que a parte comprimida do elemento de
aço (parte inferior da seção transversal) não está restringida contra deslocamento
lateral. Além disso, como nessas regiões o concreto está tracionado, pode ocorrer
fissuração neste material, reduzindo a capacidade de rigidez à rotação da laje.
Como citado no item 1.3, a verificação do estado-limite FLD consiste na
determinação do momento crítico (Mcr) baseado no comportamento do mecanismo
“U” invertido. É necessário destacar que na literatura existem dois tipos de
mecanismos “U” invertido sendo usados como modelos para obtenção desse
momento, o mecanismo “U” invertido contínuo e o mecanismo “U” invertido discreto
(Figura 2.1). O mecanismo “U” contínuo é caracterizado por vigas mistas com
enrijecedores verticais e contraventamentos laterais somente nos apoios internos.
Neste tipo de mecanismo, a restrição contínua é fornecida à mesa comprimida
apenas por meio da laje de concreto e da alma dos perfis de aço não enrijecido. Há
o mecanismo “U” discreto nas vigas quando enrijecedores transversais são soldados
à alma na região de momento negativo próximo aos apoios internos. Nesse caso, os
enrijecedores verticais também fornecem restrição à FLD.
Figura 2.1 - Mecanismo “U” contínuo e discreto
a) Mecanismo “U” contínuo com duas vigas
b) Mecanismo “U” discreto com duas vigas
Fonte: Calenzani (2008) Nota: Figurada adaptada pelo autor
22
Para considerar os estados limites últimos já citados, diversas pesquisas foram
realizadas na região dos apoios internos das vigas mistas contínuas, adotando
ambos os tipos de mecanismos “U”. No entanto, para o presente trabalho, apenas o
comportamento do mecanismo “U” contínuo será de interesse, pois não serão
estudadas vigas mistas com enrijecedores.
Fan (1990), em sua tese de doutorado, realizou quatro ensaios com modelos em
escala real: dois deles em vigas mistas de seção transversal “T” e outros dois em
vigas mistas com mecanismo “U” contínuo. Em cada ensaio as vigas foram
construídas com dois vãos e um apoio central. O comprimento dos vãos representou
o comprimento de uma viga mista contínua entre um apoio intermediário e um ponto
de inflexão, sujeito a momento negativo.
Há algumas evidências vindas dos ensaios elaborados por Fan (1990) de que a
flambagem local pode iniciar a flambagem lateral com distorção. No entanto, no
dimensionamento elas são consideradas separadamente e de diferentes maneiras.
Os resultados dos ensaios mostraram que o declínio da resistência à flexão depois
de se alcançar o momento máximo para ambos os modelos foi devido à combinação
da flambagem local da mesa inferior e a flambagem lateral com distorção. Os
resultados também mostraram que os deslocamentos laterais das mesas inferiores
foram uma característica inerente ao comportamento mesmo em níveis baixos de
carga, mas as magnitudes registradas antes da flambagem local provavelmente não
pareceram afetar significativamente a resistência à flexão. Os momentos resistentes
últimos para ambos os modelos foram levemente superiores aos seus momentos
plásticos. A incapacidade das vigas de alcançarem maiores resistências (efeito de
endurecimento) parece ser devida às proporções de suas seções transversais, e não
ao comprimento destravado sujeito a momento negativo.
Chen (1992), em sua tese de doutorado, realizou quatro ensaios com modelos em
escala real: dois deles em vigas mistas com mecanismos “U” contínuo e discreto,
chamados de U4 e U5, respectivamente, e outros dois em estruturas isoladas com
mecanismos “U” discretos, chamados de I-US e I-UD. Primeiramente, a FLD de uma
viga mista com mecanismo “U” contínuo é avaliada no ensaio e, depois, a FLD de
uma viga mista com mecanismo “U” discreto é analisada em outro ensaio.
Finalmente, a resistência e a rigidez de mecanismos “U” discretos são avaliadas com
23
base em uma série de ensaios em modelos “U” isolados com comprimento
longitudinal de 1m e 0,4m.
Pelos resultados dos ensaios, Chen (1992) observou a ocorrência de flambagem
local da alma perto da região dos apoios nas vigas após o início da FLD. Os
resultados também mostraram que houve uma redução das distorções da alma dos
modelos enrijecidos, comparadas com os sem enrijecedores, particularmente nas
regiões afastadas da seção central, consequentemente, os enrijecedores
aumentaram a resistência à flambagem lateral com distorção. Pelas análises dos
modelos “U” em estruturas isoladas, foi constado que não é possível desprezar a
contribuição da conexão de cisalhamento no cálculo da rigidez rotacional (kr) de
vigas mistas com mecanismo “U” discreto.
Nos trabalhos de Chen e outros (2005, 2009, 2010) foram feitas pesquisas sobre a
flambagem lateral com distorção das vigas mistas de aço e concreto contínuas
protendidas externamente por cabos localizados próximos à mesa superior do perfil
de aço (Figura 2.2) por meio da fixação em enrijecedores soldados à alma. Com o
intuito de se estudar os efeitos desses cabos nas vigas, Chen (2005) analisou
experimentalmente quatro grupos de vigas mistas contínuas protendidas por cabos
externos na região de momento negativo. Com as análises foi possível constatar que
a protensão na viga mista aumenta a resistência à fissuração do concreto, entretanto
aumenta a força axial de compressão na viga, o que pode conduzir a uma elevada
compressão na alma do perfil, tornando a viga mais vulnerável à flambagem e
reduzindo a resistência a momento fletor na região de momento negativo.
Chen e outros (2009) compararam, experimentalmente, o comportamento de vigas
mistas contínuas de aço e concreto protendidas e não-protendidas. Foram testadas
quatro vigas mistas contínuas com seções transversais idênticas, sendo duas com
dois vãos e duas com três vãos. Das vigas com dois vãos, uma era convencional
(não protendida) e a outra era protendida por cabos externos na região de
momentos positivo e negativo. Já as vigas com três vãos, uma era convencional e a
outra protendida por cabos externos apenas na região de momento negativo.
24
Figura 2.2 - Viga mista aço e concreto protendida por cabos externos na região de momento negativo
Fonte: Chen e outros (2005, 2009) Nota: Figurada adaptada pelo autor
Observando o gráfico da carga versus deformação obtida dos resultados de Chen e
outros (2009), percebe-se que a viga mista protendida deforma menos que a não
protendida, ou comporta-se de maneira mais rígida. Isso ocorre, porque existe uma
curvatura inicial negativa (para cima) nas vigas protendidas devido à aplicação da
protensão dos cabos. Entretanto, após o escoamento da mesa inferior do perfil de
aço próxima ao apoio interno, ambas as vigas comportam-se de maneira
semelhante. A razão para isso acontecer deve-se ao incremento da força de
protensão, que é pequeno e aumenta linearmente com a força exercida antes do
escoamento do perfil de aço, mas cresce rapidamente após escoar.
As imperfeições geométricas, as tensões residuais, o valor da força de protensão,
assim como a esbeltez da alma, da mesa e da viga influenciam no momento
resistente à flambagem lateral com distorção das vigas mistas protendidas por cabos
externos. Para analisar esses fatores, Chen e Jia (2010) fizeram uma análise não
linear por meio de modelagem numérica em elementos finitos desse tipo de viga.
Com base nos resultados experimentais de Chen (2005), um modelo numérico
25
desenvolvido no software ABAQUS v.6.5 foi aferido. Após a aferição, 200 modelos
numéricos, contemplando os fatores que influenciam a resistência desse tipo de
viga, foram processados.
Pelos resultados de Chen e Jia (2010) concluiu-se que quanto maior a imperfeição
geométrica e a esbeltez da alma do perfil, menor é o momento resistente à
flambagem lateral com distorção. A esbeltez da mesa comprimida dos perfis também
influencia a resistência à flambagem lateral com distorção das vigas mistas. Pelas
análises, o momento último de flambagem lateral com distorção se reduz quando a
esbeltez da mesa comprimida aumenta. Quando se aumenta a força de protensão
na viga, a relação MR,dist/Mpl,R se reduz, sendo MR,dist o momento resistente à
flambagem lateral com distorção e o Mpl,R o momento resistente plástico.
Chen e Xindi (2012) analisaram numericamente o comportamento estrutural de vigas
mistas contínuas com enrijecedores transversais soldados à alma do perfil de aço.
Com auxílio do software Ansys 14.0 (2011), modelos em elementos finitos foram
implementados para estudar o comportamento da região de momento negativo
dessas vigas. Os seguintes parâmetros que podem afetar a capacidade resistente
da viga foram analisados: rigidez à flexão da laje de concreto, rigidez da alma
enrijecida, esbeltez da alma do perfil de aço e razão entre a distância dos
enrijecedores e o vão da viga.
Chen e Xindi (2012) realizaram análises de flambagem (buckling analysis) e análises
não lineares. Para a análise de flambagem foi adotado um modelo constituído por
uma viga de aço soldada simplesmente apoiada, submetida a momento negativo,
com restrição rotacional e lateral aplicada à mesa superior. A restrição rotacional no
modelo foi imposta por molas, conforme representado na Figura 2.3. O perfil e os
enrijecedores transversais foram modelados pelo elemento Shell 163. Para as
molas, utilizou-se o elemento Spring combin 14 distribuído uniformemente na mesa
superior ao longo do vão da viga. O valor da rigidez rotacional (kr) das molas foi
obtido através da formulação proposta pela EN 1994-1-1:2004.
26
Figura 2.3 - Modelo restringido
Fonte: Chen e Xindi (2012) Nota: Figura adaptada pelo autor
Nos estudos paramétricos de Chen e Xindi (2012) comparam-se as vigas de mesma
seção transversal com e sem enrijecedor. Eles constataram que os enrijecedores na
alma do perfil de aço aumentam o momento crítico elástico das vigas mistas e
reduzem o deslocamento lateral da mesa comprimida.
Nguyen e outros (2009) deram ênfase ao estudo da fissuração da laje de concreto
na região de momento negativo. Devido a essa fissuração há uma redução da
rigidez global da estrutura e uma redução do efeito de continuidade. Através da
formulação do método dos elementos finitos, foi realizado um estudo paramétrico
para analisar a influência do comprimento do vão e do grau de interação da conexão
de cisalhamento na rigidez e na ductilidade de vigas mistas contínuas.
Chen e Jia (2008) estudaram a redistribuição do momento negativo nas vigas mistas
contínuas com apoios internos. Esse estudo forneceu uma aproximação de projeto
para avaliar a resistência de vigas mistas com base na capacidade de redistribuição
de momento, que depende da capacidade de rotação ou da razão entre as forças
aplicadas nos vãos, no lugar de um valor fixo proposto para a redistribuição de
momento, tal como na maioria dos casos.
Ng e Ronagh (2004) propuseram um programa computacional, com base no método
dos elementos finitos, para a determinação da flambagem lateral com distorção de
vigas mistas com seção I usando séries de Fourier para as funções dos
deslocamentos. Com esse método é possível determinar a carga de flambagem e as
formas modais de vigas mistas com seção I sujeitas a qualquer tipo de carregamento
e diversas condições de apoio.
27
Vasdravellis e outros (2012) estudaram o comportamento de vigas mistas sujeitas
aos efeitos combinados de momento fletor negativo e compressão. Seis ensaios de
vigas mistas em escala real sujeitas a momento fletor negativo e força de
compressão aplicados simultaneamente foram efetuados. Contraventamentos foram
instalados para impedir a FLD. O estudo também contemplou modelos numéricos
não lineares que foram calibrados com os resultados experimentais. Após um estudo
paramétrico verificou-se que quando uma força de compressão age na viga mista há
uma redução significativa da resistência a momento fletor negativo e a flambagem
local no perfil de aço é mais pronunciada, comprometendo a ductilidade da seção.
Os autores sugerem a colocação de enrijecedores longitudinais na alma do perfil de
aço na região de momento negativo para eliminar a flambagem local da alma.
Calenzani (2008) realizou ensaios experimentais e análises numéricas com o intuito
de propor uma metodologia de cálculo para determinar a rigidez rotacional de vigas
mistas com perfis de alma senoidal. Nos ensaios utilizaram-se quatro protótipos
representativos do mecanismo “U” invertido, sendo dois com lajes de concreto
armado e dois com lajes mistas com fôrma de aço incorporada. A análise numérica
via método de elementos finitos foi aferida com os resultados experimentais e um
estudo paramétrico com sessenta e oito modelos numéricos diferentes foi efetuado.
Calenzani (2008) propôs que a rigidez rotacional da viga mista fosse constituída da
associação em série de três rigidezes: da laje, do perfil de alma senoidal e da
conexão de cisalhamento. Foi proposta formulações para as duas primeiras
rigidezes e elaborada uma tabela que determina a rigidez rotacional da conexão de
cisalhamento.
Embora os resultados sejam essencialmente os mesmos, Pimenta (2008), utilizando
os dados da pesquisa de Calenzani (2008), propôs uma outra formulação para a
obtenção da rigidez rotacional do mecanismo “U” invertido das vigas mistas com
perfil de alma senoidal. Nesse estudo foi determinada uma equação para o cálculo
da rigidez rotacional da conexão, eliminando o uso das tabelas de Calenzani (2008).
Para a verificação da FLD nas vigas mistas com perfis de alma senoidal, Pimenta
(2008) recomenda adotar o mesmo procedimento da ABNT NBR 8800:2008,
desprezando-se a alma do perfil de aço no cálculo das propriedades geométricas.
28
Gizejowski e Khalil (2010) compararam os estudos numéricos e experimentais que
constam na literatura sobre a flambagem lateral com distorção de vigas mistas para
perfis de alma plana, sugerindo melhorias para determinação do momento fletor
resistente à FLD. Neste estudo foi possível comparar os resultados de momento
fletor resistente à flambagem lateral com distorção obtidos pela EN 1994-1-1:2004
usando as expressões para o momento crítico de Johnson (2004) e de Hanswille
(2002), além da formulação proposta por Dekker, Kemp e Trinchero (1995) e dos
resultados das vigas modeladas por elementos finitos no ABAQUS. Todas as
soluções estudadas conduziram a resultados conservadores, uma vez que os
resultados numéricos foram superiores aos obtidos pelas formulações. Gizejowski e
Khalil (2010) também estudaram vigas mistas contínuas com perfis de alma
castelada, propondo uma verificação prática da resistência à flambagem lateral com
distorção dessas vigas.
2.3 Flambagem lateral com distorção: conceitos e de terminação do momento fletor resistente
Existem diversos tipos de modos de flambagem em vigas, como a flambagem lateral
com distorção (FLD), a flambagem lateral com torção (FLT) e a flambagem local
(FL). Na FLT o perfil se desloca lateralmente e gira em torno do eixo longitudinal,
mantendo a forma da seção transversal (Figura 2.4-a). No caso de perfil I, na região
de momento positivo, isso acontece quando não há contenção contra esse tipo de
flambagem. Nas vigas mistas biapoiadas, a FLT não ocorre, pois a mesa superior da
viga de aço está fixa à laje de concreto através de conectores de cisalhamento
impedindo que o perfil se desloque lateralmente.
Já a FLD ocorre nas regiões próximas aos apoios internos das vigas mistas
contínuas e semicontínuas onde há momentos negativos (Figura 1.2). Como a laje
impede o deslocamento lateral da mesa superior, se a alma do perfil não tiver rigidez
suficiente para evitar a flexão lateral, ela distorcerá gerando um deslocamento lateral
acompanhado de um giro na mesa inferior comprimida, conforme mostrado na
Figura 2.4-b.
29
Figura 2.4 - Flambagem lateral
Fonte: Johnson (2004) Nota: Figurada adaptada pelo autor
Na FLD, o deslocamento lateral (δ) e o giro da mesa comprimida (θ) consistem numa
semi-onda em cada lado do apoio interno. Essa semi-onda estende-se por grande
parte da região de momento negativo. Segundo Johnson (2004), essa não é uma
onda senoidal e o deslocamento lateral máximo se localiza, em relação ao apoio, de
duas a três vezes a altura do perfil de aço (Figura 2.5).
Figura 2.5 - Deformação típica da mesa inferior na FLD
Fonte: Johnson (2004) Nota: Figurada adaptada por Calenzani (2008)
A FLD é diferente da FL da mesa comprimida (Figura 2.6), pois nesta última o
deslocamento é essencialmente vertical, não lateral, e ocorre quando a relação entre
a largura da mesa inferior com a espessura da mesa (bf / tf) é alta, tendo o máximo
deslocamento da seção transversal afastado do apoio de uma distância igual à
d
distorção da alma
flexão da laje deformação da conexão
δ
θ
δ o
u θ
apoio interno
distância ao 0
2 a 3 d
apoio externo longo da viga
30
largura da mesa. Contrariamente, a FLD ocorre quando a relação de bf / tf é
pequena.
Figura 2.6 - Flambagem local (FL) da mesa comprimida
Fonte: Calenzani (2008)
Para que haja uma distinção entre a flambagem lateral com distorção de vigas
mistas e a flambagem lateral com distorção de perfis formados a frio, alguns
pesquisadores como, Gizejowski e Khalil (2010), Chen e Ye (2010, 2013) e Kalkan e
Buyukkaragoz (2012), chamam a flambagem lateral com distorção (FLD) das vigas
mistas na região de momento negativo de flambagem lateral restringida (FLR). Na
FLD de perfis formados a frio as mesas superiores e inferiores estão livres para
deslocar lateralmente e girar enquanto a alma inclina para fora do seu plano (Figura
2.7-a) Já na FLR de vigas mistas, uma mesa do perfil I está restringida ao
deslocamento lateral enquanto a outra parte da seção transversal pode deformar
num modo que envolve simultaneamente a distorção da alma e o deslocamento
lateral e o giro da mesa livre. Na prática, a FLR ocorre na região de momento
negativo das vigas mistas contínuas e semicontínuas (Figura 2.7-b).
Figura 2.7 - Flambagem lateral com distorção e flambagem lateral restringida
Fonte: Chen e Ye (2010) Nota: Figurada adaptada pelo autor
t
bf
f
31
A ABNT NBR 8800:2008 apresenta um procedimento para dimensionamento de
vigas mistas contínuas na região de momento negativo, limitado a perfis de aço de
alma plana, similar a da EN 1994-1-1:2004 no que diz respeito à verificação do
estado-limite de FLD. Para ambas as normas, neste procedimento é necessário
determinar o momento resistente à FLD na região de momento negativo.
O momento fletor resistente de cálculo a FLD prescrito pela ABNT NBR 8800:2008 é
dado por:
�����,��� = �������� (2.1)
onde, χdist é o fator de redução para flambagem lateral com distorção da seção
transversal, obtido da curva de resistência à compressão em função do parâmetro
de esbeltez λdist (Figura 2.8) e ���� é o momento fletor resistente de cálculo para
vigas compactas, equação (2.2).
���� = ����� = �� ����� �� + ��� ���� �� + ��� ���� �� (2.2)
onde,
As, fys e γs são, respectivamente, a área, a resistência ao escoamento e o coeficiente
de ponderação da resistência da armadura longitudinal dentro da largura efetiva da
laje;
fy e γa são, respectivamente, a resistência ao escoamento e o coeficiente de
ponderação do aço estrutural;
Aat é a área tracionada da seção do perfil de aço;
Aac é a área comprimida da seção do perfil de aço;
d3 é a distância do centro geométrico da armadura à linha neutra plástica (LNP);
d4 é a distância (braço de alavanca) da força de tração, situada no centro geométrico
da área tracionada da seção do perfil de aço, à LNP;
d5 é a distância (braço de alavanca) da força de compressão, situado no centro
geométrico da área comprimida da seção do perfil de aço, à LNP.
32
Resultados de ensaios mostram que a FLD não reduz o momento fletor resistente da
seção mista se λdist é inferior a 0,4, então se pode adotar χdist =1 quando λdist ≤ 0,4.
O parâmetro de esbeltez λdist é expresso pela seguinte equação:
����� = ������� (2.3)
onde,
M-Rk é o momento fletor resistente característico na região de momentos negativos,
obtido pela equação (2.2), mas tomando todos os coeficientes de ponderação da
resistência iguais a 1,0.
Mcr é o momento crítico elástico na região de momentos negativos.
Figura 2.8 - Valor de χdist em função do índice de esbeltez λdist
Fonte: ABNT NBR 8800:2008 Nota: Figurada adaptada pelo autor
O cálculo do Mcr prescrito pela ABNT NBR 8800:2008 baseia-se em Roik, Hanswille
e Kina (1990). A equação é obtida por aproximação de energia e é feita
considerando a resposta de um mecanismo “U” contínuo à FLD, sendo expressa
por:
�� = �� ������ ��� + ! �"#" $%&�',� (2.4)
em que:
G é o módulo de elasticidade transversal do aço;
33
L é o comprimento da viga entre apoios verticais (exige-se que ambas as mesas do
perfil de aço possuam contenção lateral nesses apoios);
J é a constante de torção do perfil de aço;
Iaf,y é o momento de inércia da mesa inferior do perfil de aço em relação ao eixo y;
Cdist é um coeficiente que depende da distribuição de momentos fletores no
comprimento L;
αg é um fator relacionado à geometria da seção transversal da viga mista;
kr é a rigidez rotacional da viga mista.
O momento crítico é influenciado pela distribuição do momento fletor no vão
considerado. Isso é levado em consideração pelo coeficiente Cdist, determinado por
meio de análises numéricas em elementos finitos. Os valores desse coeficiente para
vigas mistas contínuas e semicontínuas são apresentados na Tabela 2.1, Tabela 2.2
e Tabela 2.3.
Tabela 2.1 - Coeficiente Cdist para vigas contínuas com carregamento no comprimento L
Condições de carregamento
e apoio
Diagrama de momento fletor 1)
Cdist
ψ=0,50 ψ=0,75 ψ=1,00 ψ=1,25 ψ=1,50 ψ=1,75 ψ=2,00 ψ=2,25 ψ=2,50
MoMoψ
41,5 30,2 24,5 21,1 19,0 17,5 16,5 15,7 15,2
M oM oψ 0.50 Mψ o
33,9 22,7 17,3 14,1 13,0 12,0 11,4 10,9 10,6
M oM oψ 0.75 Mψ o
28,2 18,0 13,7 11,7 10,6 10,0 9,5 9,1 8,9
M oMoψ Moψ
21,9 13,9 11,0 9,6 8,8 8,3 8,0 7,8 7,6
ψMoM o
28,4 21,8 18,6 16,7 15,6 14,8 14,2 13,8 13,5
MoMoψMoψ
12,7 9,89 8,6 8,0 7,7 7,4 7,2 7,1 7,0
NOTA: 1) Mo é o momento máximo solicitante de cálculo, considerando o tramo analisado como biapoiado.
Fonte: ABNT NBR 8800:2008
34
Tabela 2.2 – Coeficiente Cdist para vigas contínuas e semicontínuas sem carregamento no comprimento L
Condições de carregamento
e apoio
Diagrama de momento fletor
1)
Cdist
ψ=0,00 ψ=0,25 ψ=0,50 ψ=0,75 ψ=1,00
M ψ M
aceitável
11,1 9,5 8,2 7,1 6,2
M
ψ Maceitável
11,1 12,8 14,6 16,3 18,1
NOTA: 1) M é o maior momento negativo solicitante de cálculo, em módulo, no trecho analisado, sendo que valores de ψ maiores que 1,00 devem ser tomados iguais a 1,00.
Fonte: ABNT NBR 8800:2008
Tabela 2.3 – Coeficientes de Cdist para vigas semicontínuas submetidas a carregamento uniformemente distribuído no comprimento L
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,1
1,00 21,9 24,0 26,7 29,5 32,7 34,2
0,75 26,5 29,0 32,0 35,0 38,0 39,8
0,50 30,5 33,9 37,0 40,4 44,3 45,7
0 32,4 36,5 42,6 47,6 51,8 53,5
a
Rótula plástica Rótula plástica
b a b
Mpd,a
Mpd,a = Mpd,b
Mppd Mppd
Mpd,aMpd,b Mpd,b
Mpd,a < Mpd,b
NOTA: 1) Mppd é o momento plástico positivo resistente; Mpd,a é o menor momento plástico resistente de cálculo, em módulo, nas extremidades do tramo considerado; Mpd,b é o maior momento plástico resistente de cálculo, em módulo, nas extremidades do tramo considerado.
Fonte: ABNT NBR 8800:2008
)1
ppd
b,pd1 M
M=ψ
)1b,pd
a,pd2 M
M=ψ
35
O fator αg da equação (2.4) está relacionado com propriedades geométricas da
seção, conforme descrito nas equações (2.5), para perfis duplamente simétricos, e
na equação (2.6), para perfis monossimétricos.
�� = (ℎ*&+&�+ ,�ℎ*"4 + .&�+ + &��/�� $0 + ℎ*
(2.5)
�� = (ℎ*&+&�+ ,.1' − 1�/" + .&�+ + &��/��0 + 2.1' − 14/
(2.6)
onde,
yc é a distância do centro geométrico do perfil de aço à metade da altura da laje de concreto;
Ix é o momento de inércia da seção mista na região de momento negativo (perfil de aço mais a armadura da laje) com relação ao eixo x;
Iax e Iay são os momentos de inércia da seção de aço com relação a seus eixos baricêntricos;
Aa é a área do perfil de aço;
A é a área da seção mista na região de momento negativo (perfil de aço mais armadura da laje);
ys é a distância do centro geométrico de cisalhamento do perfil de aço, positiva quando o centro de cisalhamento e a mesa comprimida pelo momento negativo estão no mesmo lado do centro geométrico;
sendo,
0 = �&�+��1�5� − ��6 (2.7)
1' = ℎ*&�'�&�� (2.8)
14 = 1� − 7158" + 1"6��2&�+ (2.9)
Quando &�',� > 0,5&�� pode-se tomar:
36
14 = 0,40ℎ* �2 &�',�&�� − 1$ (2.10)
A flexibilidade rotacional (1/kr) é a soma da flexibilidade da laje de concreto (1/k1)
com a flexibilidade da alma do perfil de aço (1/k2), e da flexibilidade da conexão de
cisalhamento (1/k3), considerando-as como molas ligadas em série. Entretanto, em
vigas mistas com perfis de alma plana não enrijecida, a flexibilidade da conexão de
cisalhamento é desprezável. Portanto, a rigidez rotacional kr é tomada como:
! = !=!"!= + !" (2.11)
onde,
k1 é a rigidez à flexão da laje, por unidade de comprimento da viga, equação (2.12).
!= = �5%&6"> (2.12)
k2 é a rigidez à flexão da alma do perfil de aço, por unidade de comprimento da viga, equação (2.13).
!" = %?@�4ℎ*51 − A�"6 (2.13)
Nas expressões de k1 e k2,
α é o coeficiente que depende da posição da viga. Se a viga situa-se na extremidade
da laje, α é igual a 2 e se a viga é interna, α é igual a 3 (para vigas internas com
quatro ou mais vigas similares, pode-se adotar α igual a 4);
(EI)2 é a rigidez à flexão da seção mista homogeneizada da laje, desprezando o
concreto tracionado, por unidade de comprimento da viga, tomada como o menor
valor entre as rigidezes no meio do vão e no apoio interno;
a é a distância entre as vigas paralelas;
tw é a espessura da alma do perfil de aço;
h0 é a distância entre os centros geométricos das mesas do perfil de aço;
υa é o coeficiente de Poisson do aço.
37
2.4 Rigidez rotacional de vigas mistas com perfis d e alma senoidal
2.4.1 Trabalho de Calenzani (2008) e Calenzani e ou tros (2012)
A rigidez rotacional do mecanismo “U” invertido é fundamental para o cálculo do
momento crítico elástico. Calenzani (2008) e Calenzani e outros (2012)
desenvolveram um procedimento para determinação da rigidez rotacional de vigas
mistas com perfis de alma senoidal. Para isso, foi proposta e implementada uma
metodologia experimental utilizando quatro protótipos representativos do mecanismo
“U” invertido: dois deles com lajes de concreto armado maciça, chamados de U1-P e
U2-P e outros dois com laje mista (U1-M e U2-M).
Uma modelagem numérica via método dos elementos finitos dos protótipos foi
desenvolvida, usando na sua aferição os resultados da análise experimental. Com
essa modelagem foram processados sessenta e oito modelos numéricos diferentes
para avaliação dos parâmetros que contribuem para as rigidezes da laje, da alma
senoidal e da conexão de cisalhamento.
2.4.1.1 Método proposto para o cálculo da rigidez r otacional
Para determinação da rigidez rotacional de vigas mistas com perfis de alma
senoidal, a análise numérica parametrizada foi feita em modelos de geometria e
características definidas com base nos parâmetros que influenciam os valores das
rigidezes isoladas, uma vez que a rigidez rotacional é calculada em função dessas.
A variação dos parâmetros levou em consideração as dimensões usuais e os limites
de fabricação de cada um dos componentes da viga mista.
Os parâmetros considerados na avaliação da rigidez à flexão da laje foram: o tipo de
laje (plana ou mista), a altura desse elemento hc, a distância entre vigas paralelas a,
38
a área de aço da armadura tracionada Asinf para as lajes maciças e a espessura da
fôrma de aço incorporada td para a laje mista. Os parâmetros utilizados na avaliação
da rigidez rotacional da alma senoidal foram: a altura hw, tomada como a distância
livre entre as faces internas das mesas, e a espessura tw desse elemento. Já os
parâmetros considerados na rigidez da conexão de cisalhamento foram: o número
de conectores na seção transversal (n=1 para apenas um conector soldado na linha
de centro da mesa superior do perfil de aço ou n=2 para dois conectores soldados
simetricamente à esta linha), o espaçamento longitudinal entre conectores de
cisalhamento s, a largura (bf) e a espessura (tf) da mesa conectada à laje.
As mesas, superior e inferior, do perfil de aço tiveram as mesmas dimensões em
todos os modelos numéricos. A largura das mesas, bf, foi tomada sempre igual ou
superior a ¼ da altura da alma do perfil de aço, o que significa que os resultados
obtidos têm validade somente para perfis que atendam essa proporção. Nas lajes
mistas de todos os modelos foi considerada fôrma trapezoidal com distância entre
nervuras de 274 mm, altura igual a 75 mm, abertura na base de 119 mm e no topo
de 155 mm. Somente foram previstos conectores de cisalhamento do tipo pino com
cabeça de diâmetro de 19 mm e altura de 127 mm, tendo em vista serem esses
conectores os mais utilizados nas vigas mistas. Foram modelados 38 modelos de
laje maciça e 30 de laje mista, totalizando os 68 modelos.
Calenzani (2008) e Calenzani e outros (2012) propuseram fórmulas e procedimentos
para a determinação das rigidezes isoladas e, consequentemente, da rigidez
rotacional de mistas com perfis de alma senoidal. A rigidez rotacional das vigas
mistas de alma senoidal foi calculada pela expressão da rigidez de molas ligadas em
série, considerando as rigidezes isoladas da laje, do perfil de aço e da conexão de
cisalhamento.
A obtenção das rigidezes numéricas isoladas, ou seja, da rigidez da laje, da alma e
da conexão de cisalhamento foi feita a partir da tangente aos respectivos gráficos
momentos versus rotação. O deslocamento na direção global Z dos nós 1 e 2 e a
distância horizontal b1 entre esses nós (Figura 2.9) foram usadas para calcular a
rotação da laje θ1. A rotação da conexão de cisalhamento θ3 foi calculada baseada
na subtração da rotação da laje (θ1) e da rotação do nó central da mesa do perfil de
aço conectada à laje (θ). Finalmente, a rotação da alma θ2 foi calculada pela
39
subtração entre θ e a rotação do nó central da mesa livre do perfil de aço θs
(equivalente à rotação total do mecanismo “U”).
A rigidez rotacional da laje, k1, foi determinada pelo coeficiente angular da reta
tangente à curva momento versus rotação da laje dos pontos posteriores à
fissuração da laje. Já a rigidez da alma senoidal (k2) e da conexão de cisalhamento
(k3) foram tomadas iguais aos coeficientes angulares das retas tangentes ao trecho
inicial das curvas momento versus rotação da alma e da conexão de cisalhamento,
respectivamente.
Figura 2.9 – Determinação das rotações
Fonte: Calenzani (2008)
2.4.1.2 Cálculo da rigidez da laje ( k1)
Calenzani (2008) e Calenzani e outros (2012) propuseram o uso da expressão
prescrita pela ABNT NBR 8800:2008 para determinação da rigidez da laje de vigas
mistas com perfis de alma plana. Essa proposição se justifica porque o uso da
equação (2.12), aqui repetida para maior clareza, apresentou, com apenas quatro
exceções, resultados sempre menores ou no máximo 10 % maiores que os valores
numéricos de rigidez da laje.
!= = �5%&6"> (2.14)
40
2.4.1.3 Fórmula proposta para o cálculo da rigidez da alma senoidal ( k2)
A rigidez da alma senoidal dos perfis de aço por unidade de comprimento,
considerando a alma como uma viga engastada na extremidade ligada à mesa
superior e livre na outra extremidade, pode ser calculada de acordo com a equação
(2.15).
!" = 3Cℎ� (2.15)
onde D é a rigidez à flexão por unidade de comprimento da alma senoidal, conforme
equação (2.16). McFarland (1967) sugeriu a seguinte equação:
C = %�&@+D (2.16)
sendo Ea o módulo de elasticidade do aço e Iwx o momento de inércia de um período
da onda senoidal, w, em relação a seu plano médio, que de acordo com Pasternak e
Kubienie (2010) é igual a seguinte equação:
&@+ = 0,158?@D� (F@D ,",=" (2.17)
onde bw é a altura da corrugação senoidal, igual a duas vezes a amplitude da onda e
tw é a espessura da alma.
Substituindo as equações (2.16) e (2.17) na (2.15), é obtida a rigidez à flexão da
alma senoidal por unidade de comprimento:
!" = 0,474%�?@D"ℎ� (F@D ,",=" (2.18)
Considerando que o comprimento da onda senoidal w tem valor constante nos perfis
atualmente fabricados no Brasil, igual a 155mm, e substituindo a distância entre os
centros geométricos das mesas hs pela altura da alma hw, uma vez que esses dois
valores são muito próximos, de acordo com Calenzani (2008) e Calenzani e outros
(2012), a equação (2.18) pode ser reescrita com um erro desprezável:
!" = 0,4%�F@" ?@ℎ@ (2.19)
Quando Calenzani (2008) e Calenzani e outros (2012) compararam os resultados
obtidos da equação (2.19) com os resultados numéricos de rigidez da alma notaram
41
que essa equação fornece sempre valores superiores aos numéricos. De acordo
com Calenzani e outros (2012) isso ocorre porque a equação (2.19) não considera a
deformação da mesa superior entre a conexão de cisalhamento. Outra influência é a
imperfeição da ligação entre a alma e a mesa superior (Figura 2.10). Essa
imperfeição é causada pela deformação local da alma. Por conta disso, foi proposto
um ajuste na formulação da equação (2.19) por meio de um coeficiente redutor αred
conforme equação (2.20).
!" = � H� 0,4%�F@" ?@)@ (2.20)
Figura 2.10 - Deformação da mesa superior e da alma de perfis de aço
Fonte: Calenzani e outros (2012) Nota: Figura adaptada pelo autor
A equação empírica (2.21) de coeficientes constantes foi proposta para αred, que
possui como variáveis independentes os parâmetros que influenciam no fenômeno,
mostrada na Figura 2.10. Esses parâmetros são a altura e a espessura da alma, hw
e tw, respectivamente e a espessura da mesa superior, tf.
� H� I= 2 I" ?',J�+ 2 ?'?@ 2 I� )@,J�+ 2 )@?@ � I� ?',J�+" 2 ?'"?@" (2.21)
Atendendo aos limites máximos de fabricação, hw,max e tw,max são iguais a 1200 e
19mm e os coeficientes η1, η2, η3 e η4 são iguais a 0,55274571, 0128064, 0,000212
e 0,009255, respectivamente. Estes coeficientes foram calculados por regressão
linear multivariável, pelo método dos mínimos quadrados.
42
2.4.1.4 Tabelas propostas para o cálculo da rigidez da conexão ( k3)
A rigidez das conexões de cisalhamento para vigas mistas com perfis de alma plana
é desprezada tanto pela EN 1994-1-1:2004 quanto pela ABNT NBR 8800:2008. No
entanto, no trabalho de Calenzani (2008) e Calenzani e outros (2012) foi possível
constatar que a rigidez da conexão de cisalhamento não pode ser desprezada na
determinação da rigidez rotacional das vigas mistas de alma senoidal, pois a
flexibilidade rotacional da conexão de cisalhamento contribuiu em até 24% do valor
da flexibilidade rotacional total das vigas mistas.
O estudo de Calenzani (2008) e Calenzani e outros (2012) propôs o uso de duas
tabelas: uma para vigas mistas com lajes planas e outra para vigas mistas com lajes
mistas, Tabela 2.4 e Tabela 2.5, respectivamente, para a determinação da rigidez da
conexão de cisalhamento de vigas mistas com perfis de aço de alma senoidal.
Essas tabelas foram construídas de modo que os valores da rigidez da conexão de
cisalhamento nunca superassem os resultados numéricos. Nota-se que os valores
da rigidez estão dispostos em função da espessura e largura da mesa conectada à
laje, do número de conectores de cisalhamento e do espaçamento longitudinal
entres os conectores.
Tabela 2.4 - Valores propostos para a rigidez da conexão, k3, de vigas mistas com perfis de alma senoidal e lajes planas
LAJE PLANA k3 (kN/rad)
Espessura da mesa em
contato com a laje
tf
(mm)
Largura da mesa em
contato com a laje bf
(mm)
Espaçamento longitudinal entre os
conectores s ≤ 201,5 mm
Espaçamento longitudinal entre os conectores
201,5 mm < s ≤ 403 mm
1 conector por seção transversal
2 ou mais conectores por seção transversal
1 conector por seção transversal
2 ou mais conectores por seção transversal
≥ 16 e ≤ 19 ≥ 250 6000 15600 4000 6300
≥ 16 e ≤ 19 ≥ 125 e < 250 5500 10800 3400 4500
≥ 8 e < 16 ≥ 250 1750 2700 1100 1250
≥ 8 e < 16 ≥ 125 e < 250 1700 2100 1100 1050
≥ 6,3 e < 8 ≥ 125 e < 250 1300 1350 850 650
Fonte: Calenzani (2008)
43
Tabela 2.5 - Valores propostos para a rigidez da conexão, k3, de vigas mistas com perfis de alma senoidal e lajes mistas
LAJE MISTA k3 (kN/rad)
Espessura da mesa em contato com a laje mista
tf
(mm)
Largura da mesa em
contato com a laje mista
bf
(mm)
Conectores em todas as nervuras
Conectores em nervuras intercaladas
1 conector por seção transversal
2 ou mais conectores por seção transversal
1 conector por seção transversal
2 ou mais conectores por seção transversal
≥ 16 e ≤ 19 ≥ 250 4000 8000 2800 3500
≥ 16 e ≤ 19 ≥ 125 e < 250 3200 5200 2100 2800
≥ 8 e < 16 ≥ 250 1200 1800 900 950
≥ 8 e < 16 ≥ 125 e < 250 1050 1300 950 900
≥ 6,3 e < 8 ≥ 125 e < 250 800 850 750 600
Fonte: Calenzani (2008)
2.4.1.5 Rigidez rotacional para vigas mistas ( kr)
A rigidez rotacional, kr é determinada com base na rigidez de molas ligadas em
série, conforme a equação (2.22).
! = !=!" + !=!� + !"!�!= + !" + !� (2.22)
onde, k1, k2 e k3 são respectivamente as rigidezes numéricas da laje, do perfil de aço
e da conexão de cisalhamento.
Pelas comparações feitas por Calenzani (2008) e Calenzani e outros (2012) entre os
resultados numéricos e os obtidos pela formulação proposta, têm-se que os
resultados finais da rigidez rotacional da viga mista no procedimento proposto no
trabalho foram, em sua maioria, conservadores em relação aos da análise numérica.
44
2.5 Momento crítico elástico em vigas mistas com pe rfis de alma plana
A maioria das prescrições normativas de projeto de vigas mistas semicontínuas e
contínuas requer o conhecimento do momento crítico elástico (Mcr) na região de
momento negativo para determinação do momento fletor resistente dessas vigas.
Métodos teóricos simplificados, como o método da coluna com apoio elástico e o
método da energia, são geralmente usados nos estudos da FLD. Na literatura
constam apenas pesquisas sobre a determinação de Mcr para vigas mistas com
perfis de alma plana. Como há similaridade entre o comportamento dessas e o das
vigas mistas com perfil de alma senoidal, três métodos para o cálculo do Mcr para
perfis de alma plana serão apresentados: método por aproximação de energia,
cálculo por analogia com a barra comprimida em fundação elástica e método da
coluna com apoio elástico.
2.5.1 Método por aproximação de energia
Com base no princípio da energia dois estudos teóricos da flambagem lateral com
distorção foram realizados: Roik, Hanswille e Kina (1990) e Chen e Ye (2010). A
seguir são descritos os métodos de cálculo propostos em cada uma dessas
pesquisas.
2.5.1.1 Trabalho de Roik, Hanswille e Kina (1990)
O cálculo do momento crítico elástico por aproximação de energia, dado a seguir,
baseia-se em Roik, Hanswille e Kina (1990). A Figura 2.11 mostra uma viga mista de
vão L sujeita a momentos de extremidade de sentidos opostos, ocasionando,
portanto, um diagrama de momento fletor constante ao longo do vão. O cálculo do
momento crítico elástico, Mcr, ou seja, o momento de bifurcação da posição de
equilíbrio é feito considerando a resposta de um único mecanismo “U” contínuo à
FLD.
45
Figura 2.11 – Viga mista com mecanismo “U” contínuo
Fonte: Calenzani (2008)
Os esforços internos no perfil de aço, força axial de compressão e momento fletor,
Na e Ma, respectivamente, se relacionam com o momento crítico elástico, conforme
as equações:
�� = �� &�+&+ (2.23)
L� = −�� 1M��&+ (2.24)
onde Iax e Ix são os momentos de inércia em relação ao eixo x da seção do perfil de
aço e da seção mista, tomada como a seção do perfil de aço mais a seção da
armadura negativa, respectivamente e y é a distância do centro de gravidade da
seção mista ao centro de gravidade da seção do perfil de aço. A excentricidade da
força axial no perfil de aço, e, pode ser definida como:
0 = ��L� = &�+1M�� (2.25)
Um sistema equivalente ao da Figura 2.11, mostrado na Figura 2.12, é utilizado para
representar o comportamento do mecanismo “U” na flambagem lateral com
distorção. Nesse sistema, a laje de concreto é substituída por um apoio rígido, que
impede o deslocamento lateral da mesa superior ao longo do vão. Um apoio elástico
que impede parcialmente o giro da seção do perfil de aço é aplicado no ponto A da
w
f
f
a
ho
t
t
tc
x
yb
M cr M cr
L
N a M a
N s
y
M cr
46
mesa superior. Esse apoio é contínuo ao longo do vão e sua rigidez é tomada como
a rigidez rotacional do mecanismo “U”, kr.
Figura 2.12 – Sistema equivalente de Roik, Hanswille e Kina (1990)
Fonte: Calenzani (2008)
O método da energia aplicado às condições de contorno mostradas na Figura 2.12
fornece a seguinte expressão para a variação do potencial:
( )( ) dz
yyNryNyM
rMkJGCEyIEL
fSaDfafa
myarawafaya
∫
′′+′++′′−
′++′+′′+=Π
0222
22222
222
1
φφφφφ
φφφφ
(2.26)
onde:
Ea e Ga são os módulos de elasticidade longitudinal e transversal do aço,
respectivamente;
Iay, J e Cw são o momento de inércia em relação ao eixo y, a constante de torção e a
constante de empenamento, relativos à seção do perfil de aço;
yf é a distância entre o centro de rotação (ponto A) e o centro de cisalhamento
(ponto D) da seção do perfil de aço;
L é o comprimento da viga entre apoios verticais (exige-se que ambas as mesas do
perfil de aço possuam contenção lateral nesses apoios);
rD é o raio de giração polar da seção do perfil de aço em relação ao centro de
cisalhamento, 222pDD ryr += ;
47
rp é o raio de giração polar da seção do perfil de aço, ( ) aayaxp A/IIr +=2 ;
Aa é a área da seção do perfil de aço;
kr é a rigidez rotacional da viga mista, dada pela (2.11) do capítulo 2.3;
yS é a distância do centro geométrico ao centro de cisalhamento do perfil de aço,
positiva quando o centro de cisalhamento e a mesa comprimida pelo momento
negativo estão do mesmo lado do centro geométrico;
e rmy é igual a -2 yj, sendo ( )
∫+−= dA
I
yxyyy
axSj 2
22
.
Com a solução
=L
zsen
πφφ 0 e os esforços internos Na e Ma dados pelas equações
(2.23) e (2.24), tem-se:
+
++
=22
22
ππαπ L
kJGL
CEyIEhL
M rawafayao
gcr
(2.27)
onde αg é um fator relacionado à geometria da seção transversal da viga mista, dado
por:
( ) ( )jfpSf
axxog
yye
ryy
I/Ih
−++−
=
222
α
(2.28)
A expressão (Ea Iay 2fy
+ Ea Cw) é a rigidez ao empenamento do perfil de aço em
relação ao centro de rotação. Pode-se denominar Cw,A de constante de
empenamento do perfil de aço em relação ao centro de rotação, sendo seu valor
dado por:
22oy,afayfwA,w hIIyCC =+= (2.29)
onde Iaf,y é o momento de inércia da mesa inferior com relação ao eixo y. Após
algumas operações algébricas, obtém-se:
afyaragdist
cr IEL
kJGL
CM
+=
2
2
πα
(2.30)
48
O coeficiente Cdist considera a influência da forma do diagrama de momento fletor
em função do parâmetro γ, dado por:
22
2
2
LL
kJG
hIE
ra
oy,afa
+
=
π
γ (2.31)
Portanto, o parâmetro γ depende das propriedades geométricas e mecânicas do
perfil de aço. Para diagrama de momento fletor constante, tem-se:
γγπ 12 +=distC
(2.32)
A solução segundo a equação (2.30) pode ser utilizada para outras formas de
diagrama de momento fletor. Casos práticos de vigas mistas solicitadas a momento
fletor variável ao longo do vão foram resolvidos pelo Método dos Elementos Finitos e
pelo processo de Ritz, no qual para o estabelecimento dos deslocamentos foram
usadas funções polinomiais de interpolação de terceira ordem de Hermite. O cálculo
do momento crítico elástico (menor autovalor) foi efetuado com auxílio do método da
bisseção e seguido da iteração da secante.
Foi demonstrado que há apenas uma leve dependência dos valores de Cdist com o
perfil de aço escolhido. Então, conservadoramente, pode-se adotar o valor de Cdist
dado nas Tabela 2.6 e Tabela 2.7, sendo essas tabelas as mesmas adotadas pela
ABNT NBR 8800:2008, como apresentado no item 2.3.
Na equação (2.30) o termo GaJ fornece a contribuição da rigidez à torção uniforme
do perfil de aço. Essa rigidez é pequena quando comparada com krL2/π2, podendo
ser desprezada no cálculo do momento crítico elástico sem perda de precisão
considerável, Johnson (2004). A equação (2.30) torna-se então independente do vão
L:
afyargdist
cr IEkC
Mπ
α= (2.33)
49
Tabela 2.6 – Valores de Cdist para vãos com cargas transversais
Condições de
carregamento e apoio
Diagrama de momento fletor 1)
Cdist
ψ=0,50 ψ=0,75 ψ=1,00 ψ=1,25 ψ=1,50 ψ=1,75 ψ=2,00 ψ=2,25 ψ=2,50
MoMoψ
41,5 30,2 24,5 21,1 19,0 17,5 16,5 15,7 15,2
M oM oψ 0.50 Mψ o
33,9 22,7 17,3 14,1 13,0 12,0 11,4 10,9 10,6
M oM oψ 0.75 Mψ o
28,2 18,0 13,7 11,7 10,6 10,0 9,5 9,1 8,9
M oMoψ Moψ
21,9 13,9 11,0 9,6 8,8 8,3 8,0 7,8 7,6
ψMoM o
28,4 21,8 18,6 16,7 15,6 14,8 14,2 13,8 13,5
MoMoψMoψ
12,7 9,89 8,6 8,0 7,7 7,4 7,2 7,1 7,0
NOTA:
1) Mo é o momento máximo solicitante de cálculo, considerando o tramo analisado como biapoiado.
Fonte: Roik, Hanswille e Kina (1990) Nota: Figura adaptada por Calenzani (2008)
Tabela 2.7 – Valores de Cdist para vãos sem cargas transversais
Condições de carregamento
e apoio
Diagrama de momento fletor
1)
Cdist
ψ=0,00 ψ=0,25 ψ=0,50 ψ=0,75 ψ=1,00
M ψ M
aceitável
11,1 9,5 8,2 7,1 6,2
M
ψ Maceitável
11,1 12,8 14,6 16,3 18,1
NOTA: 1) M é o maior momento negativo solicitante de cálculo, em módulo, no trecho analisado, sendo que valores de ψ maiores que 1,00 devem ser tomados iguais a 1,00.
Fonte: Roik, Hanswille e Kina (1990) Nota: Figura adaptada por Calenzani (2008)
50
Sendo oay
y,aff h
I
Iy = , o cálculo do fator αg pela equação (2.28) pode ser simplificado
para o caso de Iaf,y > 0,5 Iay, já que, nesta condição, o parâmetro yj pode ser tomado
com boa precisão como:
oay
y,afj h
I
I,y
−= 1240
(2.34)
Como yf + yS = yA, a expressão para o fator αg fica:
oay
y,afo
ay
y,afpA
axxog
hI
I,h
I
I
e
ry
I/Ih
−−+
+=
1280222
α
(2.35)
Se a seção do perfil de aço for duplamente simétrica, tem-se 50,II ayy,af = e
yA = 0,5 ho, o que leva a um fator αg dado por:
opo
axxog
he
rh
I/Ih
++
=22 4
α
(2.36)
2.5.1.2 Trabalho de Chen e Ye (2010)
Nos métodos de energia, a energia potencial total da FLD é representada como a
soma da energia da flexo-torção da mesa inferior livre e da energia da distorção
lateral da alma. Na derivação da energia potencial da mesa e da alma, o
deslocamento lateral da mesa é assumido como uma série senoidal, e o
deslocamento lateral da alma é representado como uma curva polinomial de 3° ou 5°
ordem ou tomada a forma de uma deformação de flexão de uma viga em balanço.
Usando o método de Ritz ou o método de Galerkin, o problema de FLD elástica é
transformado num problema de autovalor o qual pode ser resolvido através de
algoritmos numéricos. A maioria dos estudos desse método não considera o caso de
carregamento distribuído por conta da instabilidade das expressões de energia
51
potencial. Através de algumas simplificações, Chen e Ye (2010) deduziram uma
equação para a FLD de vigas mistas contínuas submetidas a cargas distribuídas,
sendo verificada a sua eficiência pelo método dos elementos finitos.
Na Figura 2.13 o comprimento da região do momento negativo entre os apoios é Le.
Chen e Ye (2010) simplificaram os problemas de FLD de vigas mistas contínuas
para uma viga I simplesmente apoiada submetida a um momento negativo
distribuído de forma triangular (Figura 2.14). Não foi levado em consideração o efeito
da armadura longitudinal do concreto na viga. As suposições da simplificação
incluem:
(1) Enrijecedores transversais soldados à alma do perfil de aço na região dos apoios
da viga mista que restringem completamente o deslocamento lateral e a rotação da
seção transversal (Figura 2.15). Como resultado, a deformação da viga é restringida
entre os apoios.
(2) A influência da região de momento positivo na FLD é pequena.
Figura 2.13 – Diagrama de momento fletor de viga mista contínua
Fonte: Chen e Ye (2010)
Figura 2.14 – Diagrama de momento equivalente
Fonte: Chen e Ye (2010)
Figura 2.15 – Enrijecedores
Fonte: Chen e Ye (2010)
52
Com base no método de Ritz, a equação da FLD de vigas mistas contínuas é
resolvida. A deflexão da seção transversal é mostrada na Figura 2.16.
Figura 2.16 – Deformação da seção transversal
Fonte: Chen e Ye (2010) Nota: Figura adaptada pelo autor
O modo de flambagem será:
NO'P'Q = N�=�"Q R0S TS#U� V (2.37)
A energia potencial total da FLD pode ser aproximada por:
Π = 127 %&�'O',XX" �UY* � 127 � 'P',X" �UY
* � 12 ∙ %?@�12 77O@,XX" �1�U
�12 ∙ �?@�3 77O@,X�" �1�U 2 127['X.O',X" � 8" ∙ P',X" /�\
2127.[@XO@,X" � 2]@X�O@,XO@,�/�\ 2 )27['X.P',XO',X � P'O�,UU/�\
27[@X1.P@,XO@,X � P@O@,XX/�\ 2 )"4 7['X.P',X" � P'P',XX/�\
27[@X 1".P@,X" � P@P@,XX/�\ (2.38)
Pelo método de Ritz ^_`ab 0, assim:
c%d=&�' 2 e=�*e"�* 2 %d"&�@e"�* 2 %d"&�@�d� ' 2 e��* c 0 (2.39)
onde:
d= S"#"�" � 13&�@35&�'S"#"�" � ?@�551 � O6)&�' (2.40)
53
d" = 11ℎ210 S"#"�" + ?@�6051 + O6&�@ (2.41)
d� = 1 + 2 @15 ' + %&�@ℎ"105� ' S"#"�" (2.42)
e= = �'ℎ4&+ + ?@ℎ"20&+ (2.43)
e" = ?@ℎ�210&+ (2.44)
e� = &+'ℎ4&+ + ?@ℎ�1680&+ (2.45)
A relação entre M0 e L pode ser obtida resolvendo a equação (2.39), a carga crítica
de FLD fica então determinada.
Através das simplificações apresentadas, Chen e Ye (2010) deduziram uma
equação para a determinação da carga crítica de flambagem lateral com distorção
de vigas mistas contínuas. As simplificações adotadas, assim como a equação
obtida, foram verificadas por meio de análise numérica pelo método dos elementos
finitos. Com os resultados numéricos, pôde-se observar que a equação proposta por
Chen e Ye (2010) é conservador.
Para estudos futuros, algumas melhorias para a equação (2.39) podem ser feitas:
considerar a influência da σwy e a energia de deformação de cisalhamento, usar mais
modos de flambagem, modificar e simplificar a equação da FLD por parâmetros e
análises reais.
2.5.2 Cálculo por analogia com a barra comprimida e m fundação elástica
A analogia entre as equações diferenciais da FLD e as da flambagem lateral de uma
barra comprimida em fundação elástica foi estudada por Hanswille (2002) visando a
obtenção do momento crítico elástico de uma viga mista sujeita a carga vertical e
momento de torção distribuídos ao longo do vão, além de momentos de
extremidade.
54
2.5.2.1 Trabalho de Hanswille (2002)
Assim como o sistema equivalente de Roik, Hanswille e Kila (1990), o sistema
equivalente de Hanswille (2002) mostrado na Figura 2.17, é composto pelo perfil de
aço, um apoio rígido que impede o deslocamento lateral da mesa superior e um
apoio elástico que restringe parcialmente o giro da seção do perfil de aço. A
diferença entre esses sistemas está no carregamento que a viga de aço está sujeita.
Figura 2.17 – Sistema equivalente de Hanswille (2002)
Fonte: Hanswille (2002) Nota: Figura adaptada por Calenzani (2008)
No sistema equivalente mostrado na Figura 2.17, os esforços internos no perfil de
aço, Na e Ma, também podem ser expressos em função do momento crítico elástico
da seção mista Mcr, conforme as equações (2.23) e (2.24).
A equação diferencial de equilíbrio para o problema da Figura 2.17 é dada por:
( )[ ] ( )( )[ ]( )[ ] trfpy
pSfamyfaaA,wa
mkyyP
ryyNryMJGCE
=+−+
+′
′+++−+′′−′′′′
φφφφ 222
(2.46)
onde yp é a posição da carga distribuída em relação ao centro de cisalhamento.
Como já foi exposto no subitem 2.5.1.1, Cw,A é a constante de empenamento do
perfil de aço em relação ao centro de rotação A, dada pela equação (2.29). A
definição das outras variáveis da equação (2.46) é a idêntica à dada no subitem
anterior.
55
Substituindo os esforços, Na e Ma, na equação (2.46) e considerando que yp = yf,
tem-se:
( )[ ] TracryAwa mkJGMkCE =+′′−+′′′′ φφφ, (2.47)
onde ky é dado por
( )x
axmyf
pSfy I
Iry
e
iyyk
−+
++= 2
22
(2.48)
A equação diferencial de equilíbrio dada pela equação (2.47) tem a mesma estrutura
da equação diferencial de equilíbrio do problema da coluna comprimida sobre
fundação elástica, equação (2.49), adicionando uma força de tração H:
( )( )[ ] ysxa pwCwHzNwIE =+′′−+′′′′ (2.49)
A analogia mostrada na Tabela 2.8 pode ser usada para resolver o problema da
FLD. Para força axial constante na barra comprimida em fundação elástica e
momentos de extremidade iguais no caso da FLD, as seguintes equações
diferenciais são derivadas da equação (2.49) e equação (2.47).
02
2
2
=
+′′
+′′′′ wL
wL
w kk ηε 0
2
2
2
=
+′′
+′′′′ φηφεφLL
BB (2.50)
( ) xak IEHNL /−=ε ( ) AwaacryB CEJGMkL ,/−=ε (2.51)
( )xask IELC /4=η ( )A,warB CE/Lk 4=η (2.52)
A carga crítica Ncr da barra comprimida em fundação elástica e o momento crítico
elástico Mcr da viga mista na região de momento negativo resultam da equação
(2.50) com soluções gerais )/()( LznsenCzw π= e )/()( 0 Lznsenz πφφ = ,
respectivamente, onde n é o número de ondas desconhecido:
( ) Hn
nL
IEN kxa
cr +
+=2
2
2 πηπ ( ) JG
nn
L
CE
kM a
BAwa
ycr +
+=2
2
2,1
πηπ
(2.53)
56
Tabela 2.8 – Analogia entre a barra comprimida em fundação elástica e o problema da FLD
Equações diferenciais de equilíbrio
Flambagem lateral de uma barra comprimida em fundação elástica
Flambagem lateral com distorção de uma viga com apoio lateral na mesa superior e restrição elástica a torção
( )( )[ ] ysya pwCwHzNwIE =+′′−+′′′′ ( )[ ] TracryA,wa mkJGMkCE =+′′−+′′′′ φφφ
Deslocamento w Rotação φ
Módulo de fundação Cs Rigidez rotacional da viga mista kr
Força normal H Rigidez à torção uniforme Ga J
Rigidez à flexão Ea Iy Rigidez ao empenamento Ea Cw,A
Força normal N(z) Momento de flexão ky Mcr(z)
Carregamento
Carga uniformemente distribuída py Momento de torção distribuído mT
Carga concentrada Py Momento de torção concentrado MT
Momento de flexão Mx Bimomento Mw
Condições de contorno
Apoio simples w = 0 e 0=′′w φ = 0 e 0=′′φ
Apoio engastado w = 0 e 0=′w Empenamento restringido φ = 0 e 0=′φ
Esforços internos
Momento de flexão wIEM xax ′′−= Bimomento φ ′′−= A,waw CEM
Cortante vertical wIEV xay ′′′−= Momento de torção φ ′′′−= A,wazs CEM
Fonte: Hanswille (2002) Nota: Figura adaptada por Calenzani (2008)
p y
y(w)
EaI xN -H N -H
Cs
mtky M cr
Ga J Ga Jky M cr
Ea Cw,A
y( φ)
kr
57
A Figura 2.18 mostra que o número de ondas n depende do fator de rigidez πη / .
Os valores mínimos de carga e momento críticos podem ser determinados das
seguintes condições:
πη kcr n
dn
dN=⇒= 0
πηBcr n
dn
dM=⇒= 0 (2.54)
Substituindo o número de ondas n de acordo com a equação (2.54) na equação
(2.53) tem-se:
HCIEN sxamin,cr += 2 JGkCEk
M arAway
cr += ,min, 21
(2.55)
Figura 2.18 – Carga crítica elástica Ncr e momento crítico elástico Mcr em função de ηk e ηB
Fonte: Hanswille (2002) Nota: Figura adaptada por Calenzani (2008)
Para o método proposto, um coeficiente de flambagem βB é introduzido para a
flambagem lateral com distorção, que correspondente a um coeficiente de
flambagem βk para a barra comprimida. Esses coeficientes de flambagem se referem
ao momento crítico elástico Mcr ou, na analogia, à carga crítica Ncr, desprezando-se
a rigidez à torção uniforme ou, na analogia, a força de tração H. Comparando-se os
resultados para Mcr e Ncr com a carga de flambagem de Euler de uma coluna
simplesmente apoiada, tem-se:
( )H
L
IEN
k
xacr +=
2
2
βπ
( )
+= JG
L
EC
kM a
B
Aw
ycr 2
,2
1
βπ
(2.56)
58
onde os coeficientes de flambagem são dados pela equação (2.57) e o número de
ondas tomado da Figura 2.18.
2
k
22
k
n
1n
1
+=
πη
π
β 2
B
22
B
n
1n
1
+=
πη
π
β
(2.57)
Com base na analogia descrita acima, o coeficiente de flambagem para FLD, βB,
pode ser calculado com a ajuda de programas de computador para vigas com
diagrama de momento fletor não-uniforme. Coeficientes de flambagem são
mostrados na Figura 2.19 e Figura 2.20 para vigas com cargas distribuída e
concentrada em conjunto com momentos desiguais nas extremidades.
Figura 2.19 – Coeficiente de flambagem βB para vigas com momentos de extremidade e carga uniformemente distribuída
Fonte: Hanswille (2002) Nota: Figura adaptada por Calenzani (2008)
59
Figura 2.20 – Coeficiente de flambagem βB para vigas com momentos de extremidade e carga concentrada no meio do vão
Fonte: Hanswille (2002) Nota: Figura adaptada por Calenzani (2008)
Se a força axial N (na analogia, momento fletor) não é constante ao longo do
comprimento da viga, a força de tração H (na analogia, a rigidez à torção uniforme)
influencia o comprimento de flambagem, que depende da distribuição da força axial,
HxN −)( . Isso pode ser levado em conta pela consideração de uma rigidez à torção
uniforme efetiva (GaJ)ef, que depende da razão entre os momentos de extremidade
ψ e o fator A, dado na Figura 2.19 e Figura 2.20. A equação (2.56) pode ser reescrita
como:
( )
+= efa
B
Awa
ycr JG
L
CE
kM )(
12
,2
βπ
( ) ( ) JGAJG aefa ψ5,05,1 −= (2.58)
O momento crítico elástico de vigas mistas contínuas de alma plana foi calculado
pelo método da analogia da barra comprimida em fundação elástica para vãos
variando entre 10 e 25 vezes a altura do perfil de aço. Momentos críticos
60
correspondentes também foram calculados pela aproximação de energia dada no
subitem 2.5.1.1. Esses valores de momento foram comparados com valores obtidos
pelo M.E.F. A comparação demonstrou que a aproximação de energia pode conduzir
a resultados não conservadores no caso de vigas com momentos de extremidade
desiguais e no caso de vãos extremos de vigas contínuas.
2.5.3 Método da coluna com apoio elástico
Quando comparado com o método de energia, o método da coluna com apoio
elástico é mais atraente devido a sua forma simples e de fácil compreensão.
Pesquisas recentes de Chen e Ye (2010) mostraram que o método da energia não
considera as cargas distribuídas transversais por causa da inadequada expressão
de energia potencial total adotada. Em adição, o autovalor da equação do método de
energia é um pouco complicado, não sendo considerado apropriado para
dimensionamento de projetos.
Uma importante modificação no método da coluna com apoio elástico foi
desenvolvida por Svensson (1985), na qual a variação da tensão axial na mesa livre
foi levada em consideração e soluções para nove casos relevantes na prática foram
apresentadas. Goltermann e Svensson (1988) estendeu o método de Svensson
(1985) adotando o caso de restrição à torção finita com aplicação de um apoio
lateral na mesa.
Embora simples em aplicação, o método de Svensson (1985) usualmente
superdimensiona as soluções porque não leva em consideração a contribuição da
torção de Saint Venant como também desconsidera algumas partes da alma que
provavelmente podem contribuir com a mesa livre para constituir o modelo da
coluna. Assim, Williams e Jemah (1987) sugeriram que a carga crítica de flambagem
na mesa livre seja determinada pelo método de Svensson (1985), enquanto a tensão
crítica da FLD seja obtida adicionando-se 15% da área da alma na área da mesa
livre. Ye e Chen (2013) melhoraram o modelo de Svensson (1985) incluindo a
participação da alma como uma coluna. Eles propuseram um método simplificado
para resolver os problemas de FLD para vigas mistas contínuas.
61
2.5.3.1 Trabalho de Ye e Chen (2013)
No trabalho de Ye e Chen (2013) a FLD é substituída pela flambagem com flexo-
torção da coluna com apoio elástico. Dois tipos de expressões teóricas para
melhorar a coluna com apoio elástico sujeita a força axial variável são derivadas
através da expressão da energia potencial e do equilíbrio das equações diferenciais,
respectivamente.
Considerando a coluna com apoio elástico como mostrado na Figura 2.21, a rigidez
lateral do apoio da coluna, kr, por unidade de comprimento é usualmente tomada
como a rigidez da alma:
! = %?@�451 − g"6ℎ�� (2.59)
onde E é o módulo de Young, υ é o coeficiente de Poisson e ht é a distância entre os
centróides das mesas. Na Figura 2.21, h1 considera a participação da alma na seção
transversal da coluna e se relacionada com a distribuição da tensão e deslocamento
da alma.
Se a laje fornecer uma restrição rotacional (k1) para mesa superior, kr pode ser
representado por:
1! = 1!= + 1!" = 451 − g"6ℎ��%?@� + ℎ�"!= (2.60)
Na Figura 2.21, kϕ é a rigidez rotacional fornecida pela alma através da união entre
ela e a mesa. De acordo com as fórmulas da flambagem com distorção para as
colunas de perfis U formados a frio, kϕ é fornecido por:
!h = 2Cℎ@ (2.61)
onde D é a rigidez a flexão da alma por unidade de largura, D = (Etw³/12(1- υ²)) e hw
é a altura da alma.
62
Para obter o valor da inclinação do momento fletor, o modelo da coluna com apoio
elástico (Figura 2.21) está sujeito a uma força variável P, sendo P expressa por:
i = i*S5j6 → S5j6 = > + Fj + lj" → 0 m j m 1 (2.62)
onde P0 é a força máxima da mesa livre. Por definição, P positivo significa
compressão e os coeficientes a, b, c representam as diferentes condições de
carregamento.
Figura 2.21 – Melhoramento do método da coluna com apoio elástico
Fonte: Ye e Chen (2013) Nota: Figura adaptada pelo autor
2.5.3.1.1 Solução da coluna com apoio elástico com base na expressão da energia
potencial total
A seção transversal da coluna não varia durante a flambagem. Assim, a expressão
da energia potencial da flambagem com flexo-torção para a coluna é dada por:
Π 127 n%&�opp" � � �qp" 2 i5op" � 21*opqp6 2 ir*=qp"s�UY*
�127 ! o"�UY* � 127 !h (q 2 32)� o," �UY
* (2.63)
63
onde, i0 = (I0/A)0,5, I0 é o momento polar da área próxima ao centro de cisalhamento,
e A é a área da seção transversal da coluna; o termo =" t !h Tq − �"uv oV" �UY*
representa o trabalho feito pela mola rotacional e isso pode eliminar a flambagem à
torção da coluna. Assumindo que a distorção da alma na direção “x” possui a forma
de um deslocamento lateral de uma viga em balanço, a torção na mesa livre
induzida pela distorção da alma não resulta na rotação da mola e pode ser expressa
como (3/2 ht)o.
Com base no método de Ritz, a carga crítica de flambagem elástica da coluna pode
ser determinada. Primeiramente, assume-se uma série senoidal para o modo de
flambagem da coluna, isto é:
wxyxzo = {��R0S5r#j6|
�}*q = {C�R0S5r#j6|
�}* (2.64)
Introduzindo quantidades adimensionais, equações (2.65), (2.66) e (2.67), a
flambagem por flexo-torção da coluna em apoio elástico é transformada num
problema de autovalor de ordem 2n x 2n, sendo obtido pela equação (2.68):
e� = �! ��%&� $*,"� (2.65)
�� = �!h��%&� $*,"� (2.66)
~" = � � ��"#"%&�ℎ�"$ (2.67)
|� − ��| = 0 (2.68)
onde, � = ��= �"�� ��� e
��=,44 = 12 ��#� + 12 5e�6� + 98ℎ�" 5��6� → � 1,2,3, … , S�=,4� = 0 → r ≠ �
64
��",44 = − 34ℎ� 5��6� → � 1,2,3, … , S�",4� = 0 → r ≠ �
���,44 = − 1#" 34ℎ� 5��6� → � 1,2,3, … , S��,4� = 0 → r ≠ �
���,44 = 12~"ℎ�"�"#" + 12#" 5��6� → � 1,2,3, … , S��,4� = 0 → r ≠ �
� ��= �"�� ���
wxyxz �=,44 = #�4 �" �2> + F + ( 1�"#" + 23, l� → � 1,2,3, … , S�=,4� = #"r� r" + �"5r" − �"6" n�5−16��4 − 1�F + 25−16��4ls → r ≠ �
wxyxz �",44 = 1* #�4 �" �2> + F + ( 1�"#" + 23, l� → � 1,2,3, … , S�",4� = #"1*r� r" + �"5r" − �"6" n�5−16��4 − 1�F + 25−16��4ls → r ≠ �
wxyxz ��,44 = 1* #�4 �" �2> + F + ( 1�"#" + 23, l� → � 1,2,3, … , S��,4� = 1*r� r" + �"5r" − �"6" n�5−16��4 − 1�F + 25−16��4ls → r ≠ �
wxyxz ��,44 = r*" #�4 �" �2> + F + ( 1�"#" + 23, l� → � 1,2,3, … , S��,4� = r*"r� r" + �"5r" − �"6" n�5−16��4 − 1�F + 2 ∙ 5−16��4ls → r ≠ �
A equação (2.68) pode ser facilmente resolvida por programas computacionais.
Além disso, para propostas de dimensionamento, os valores de λ podem ser
tabelados por três valores não dimensionais, βL, αL, k2. Após isso, a tensão elástica
da FLD para vigas mistas podem ser escritas como:
[� �iH� (2.69)
onde, A = bf tf + h1 tw.
65
O momento crítico elástico da FLD pode ser expresso por:
�� = [� &0,5ℎ + ?' (2.70)
2.5.3.1.2 Solução da coluna com apoio elástico com base no equilíbrio das
equações diferenciais
A estabilidade do problema na Figura 2.21 pode ser resolvida pelo equilíbrio das
equações diferenciais. O equilíbrio de força na direção x pode ser expresso por:
%&� ��o�U� + ��U �i (�o�U + 1* �q�U,� + ! o = 0 (2.71)
Assume-se que a distorção da alma na direção x é similar à deformada de uma viga
em balanço, e o ângulo entre a mesa e a alma não se altera durante a flambagem.
Assim, a relação entre u e ϕ pode ser determinada por ϕ = du / dy e o ângulo ϕ é
expresso por:
q = 32ℎ� o5U6 (2.72)
Sendo e� = (��Y���� ,*,"� e S5j6 = > + Fj + lj".
Obtém-se uma equação de autovalor de ordem n x n:
|� − ��| = 0 (2.73)
onde,
��4 = � 0 → r ≠ �12 ��#� + 12 5e�6� → r �
66
��4 =wxyxz #�4 r" �2> + F + ( 1�"#" + 23, l� ∙ (1 + 31*2ℎ�, → r �#"r� r" � �"5r" 2 �"6" n�5216��4 − 1�F + 25−16��4ls (1 + 31*2ℎ�, → r ≠ �
Assim, a tensão crítica e a carga de FLD das vigas mistas podem ser obtidas
resolvendo as equações (2.73), (2.69) e (2.70).
As equações (2.68) e (2.73) são adequadas para a FLD de vigas mistas submetidas
ao momento uniforme negativo e para FLD de vigas mistas submetidas ao momento
negativo triangular. No entanto, o presente método da coluna com apoio elástico é
inválido para vigas mistas submetidas a condições de carregamento que induzam a
uma distribuição de momento fletor não linear. Assim, a carga variável na coluna
com apoio elástico não pode substituir completamente o momento real da viga
mista.
2.5.3.1.3 Método simplificado para a FLD das vigas mistas contínuas
Como na prática o carregamento geralmente causa momento fletor não linear ao
longo do eixo longitudinal, Ye e Chen (2013) propuseram uma simplificação razoável
para vigas mistas contínuas sujeitas a cargas distribuídas. Para isso, primeiramente,
é introduzido um momento equivalente à FLD.
Se a inclinação do momento for definida como r = M2 / M1, (onde M1 e M2 são os
momentos nas extremidades, e o M1 é o máximo momento negativo da
extremidade), o momento equivalente assumido presume que a FLD elástica para as
vigas mistas com comprimento L e inclinação do momento r é igual à de vigas de
mesma seção com o comprimento Leq sobre a inclinação de momento r = 0, como
mostrado na Figura 2.22.
67
Figura 2.22 – Momento fletor equivalente para a FLD
Fonte: Ye e Chen (2013) Nota: Figura adaptada pelo autor
Teoricamente, Leq é relacionado com a metade do comprimento crítico da onda da
FLD sobre o momento fletor negativo triangular. Mas, essa meia onda é difícil de ser
obtida. Assim, a metade do comprimento crítico da onda da FLD sobre o momento
fletor negativo uniforme, #5%&�/! 6*,"�, é tomada como um parâmetro básico. Com
base na modelagem numérica, a equação (2.74) é proposta para estimar o
comprimento crítico aplicável para a suposição do momento fletor equivalente.
�H� 2,22 (%&�',�! ,*,"� (2.74)
onde, Iaf,y é o momento de inércia da mesa comprimida no eixo y e kr é a rigidez
lateral do apoio por unidade de comprimento (equação (2.59)).
As três etapas de simplificação da FLD para vigas mistas contínuas são:
(1) o diagrama de momento fletor real é simplificado em partes num diagrama de
momento fletor linear (linhas pontilhadas), como mostrado na Figura 2.23. Essa
simplificação é um pouco conservadora, pois causa aumento da região de momento
fletor negativo da viga mista.
68
Figura 2.23 – Diagrama de momento fletor para vigas mistas contínuas internas
Fonte: Ye e Chen (2013)
(2) A FLD em uma viga mista contínua com diagrama de momento fletor linear
(Figura 2.23) pode ser simplificada para o caso de duas vigas simplesmente
apoiadas com comprimentos L1 e L2, respectivamente, como mostrado na Figura
2.24.
Figura 2.24 – Esquema da 2° etapa do método simplificado
Fonte: Ye e Chen (2013)
Quando a viga mista é submetida a um momento fletor simétrico (Figura 2.25), a
FLD deve ocorrer nas duas extremidades, simultaneamente. Com base na
propriedade de simetria, o problema de FLD é simplificado para uma viga
simplesmente apoiada com a metade do vão.
Figura 2.25 – Diagrama de momento fletor simétrico para vigas mistas contínuas internas
Fonte: Ye e Chen (2013)
69
A Figura 2.26 mostra o diagrama de momento fletor não simétrico para vigas mistas
contínuas internas. Nessas circunstâncias, a FLD pode ocorrer primeiramente na
extremidade da direita da viga. As outras partes ((2), (3), (4) na Figura 2.26) podem
ser negligenciadas quando o comprimento da região de momento negativo da
extremidade direita atender a equação (2.74). Caso não atenda a equação (2.74),
apenas a parte esquerda ((3), (4) na Figura 2.26) da viga mista é negligenciada.
Figura 2.26 – Diagrama de momento fletor não simétrico para vigas mistas contínuas internas
Fonte: Ye e Chen (2013)
(3) O problema de FLD é simplificado para a viga simplesmente apoiada submetida
ao momento fletor negativo triangular, com base no diagrama de momento
equivalente. Se for definido que L1 é o comprimento da região de momento negativo
para a viga mista simplesmente apoiada; Leq é o comprimento crítico aplicado para o
momento equivalente estabelecido pela equação (2.74) e L o comprimento da viga
mista simplificada, o terceiro passo da simplificação é descrito a seguir:
- quando L1 ≥ Leq, L é igual a L1. A tensão elástica à FLD é calculada pela equação
(2.68) ou (2.73) considerando o momento negativo triangular.
- Quando L1 < Leq, L é igual a Leq. A tensão elástica à FLD é calculada pela equação
(2.68) ou (2.73) considerando o momento negativo triangular.
Como resultado, o menor valor obtido das duas vigas simplesmente apoiadas é
tomado como a tensão elástica à FLD para o vão interno de viga mista contínua.
Obviamente, o terceiro passo da simplificação é conservador quando L < Leq.
70
3 DEFINIÇÃO E AFERIÇÃO DA MODELAGEM NUMÉRICA
3.1 Considerações gerais
Neste capítulo, modelos numéricos foram definidos para determinação do momento
crítico elástico (Mcr) de vigas mistas contínuas com perfis de almas plana e senoidal
por meio do método dos elementos finitos, utilizando o programa Ansys 14.0 (2011).
Para a aferição dos modelos propostos, utilizou-se o exemplo do trabalho de
Hanswille (2002).
Modelos tridimensionais em elementos finitos foram desenvolvidos para retratar da
forma mais realística possível a instabilidade elástica das vigas mistas contínuas na
região de momento negativo. A escolha por determinado tipo de elemento, pelas
condições de contorno, entre outras variáveis, foi feita de forma adequada para a
obtenção de resultados confiáveis.
No item 3.2 é feita uma breve apresentação sobre a análise numérica de flambagem
realizada nessa pesquisa. No item 3.3, os modelos numéricos são descritos
detalhadamente. Os elementos utilizados e a geração da malha de elementos finitos
estão descritos, respectivamente, nos subitens 3.3.1 e 3.3.2. No subitem 3.3.3, as
condições de contorno e o carregamento aplicado são discutidos.
O item 3.4 descreve o exemplo de Hanswille (2002), utilizado na aferição dos
modelos numéricos. Finalmente, no item 3.5, os resultados numéricos são
confrontados com a formulação de Roik, Hanswille e Kina (1990) e de Hanswille
(2002), e aferição da modelagem numérica é comprovada.
71
3.2 Análise numérica de flambagem
A análise de flambagem é usada para calcular os carregamentos críticos de
flambagem (carregamentos para os quais a estrutura se torna instável) e a
deformada da estrutura flambada. Existem dois tipos de análises usados para prever
o modo de flambagem e a carga crítica de uma estrutura, denominados de análise
de flambagem linearizada e análise não linear.
A análise de flambagem linearizada prevê a carga crítica teórica de uma estrutura
ideal elástica linear (o ponto da bifurcação) por meio da resolução de um problema
de autovalor. Este método corresponde à abordagem encontrada na literatura para
análise de flambagem elástica, por exemplo, os resultados de uma análise de
flambagem linearizada de uma coluna serão os mesmos da solução clássica de
Euler. Entretanto, as imperfeições iniciais geométricas, tensões residuais e outras
não linearidades impedem que a maioria das estruturas reais consiga alcançar a sua
carga crítica elástica teórica (Figura 3.1-b).
De acordo com Ansys 14.0 (2011), a análise não linear é uma aproximação mais
exata e, consequentemente, mais recomendada para o projeto ou avaliação de
estruturas reais. Esta técnica emprega uma análise estática não linear com aumento
gradual da carga até o nível em que a estrutura se torne instável (Figura 3.1-a).
Figura 3.1 – Curva de flambagem
Fonte: Ansys 14.0 (2011) Nota: Figura adaptada pelo autor
Conforme Ansys 14.0 (2011), usando a técnica não linear, o modelo em elementos
finitos pode incluir propriedades como imperfeições iniciais, comportamento plástico,
tensões residuais e grandes deformações. Além disso, usando carregamentos
72
controlados por deslocamento, pode-se obter o desempenho pós-flambagem da
estrutura (útil nos casos onde a estrutura flamba em uma configuração estável).
Entretanto, segundo Bathe (1996), uma solução não linear incremental completa
para o problema de flambagem pode ser onerosa, e em muitos casos uma análise
de flambagem linearizada é de grande importância. A carga crítica de flambagem
calculada na análise de flambagem linearizada pode ser uma boa estimativa da
carga de colapso real (somente quando os deslocamentos iniciais são pequenos) e
o primeiro modo de flambagem obtido é útil na definição das imperfeições iniciais
para a análise não linear. Isto é, se as imperfeições que correspondem ao primeiro
modo de flambagem forem impostas na geometria perfeita do modelo estrutural não
linear, a capacidade resistente pode ser significativamente reduzida e ser mais
representativa da capacidade resistente da estrutura real.
A solução para o momento crítico de vigas mistas, dada pela equação (2.4), para
flambagem lateral com distorção, é válida apenas nos casos de comportamento
totalmente elástico (flambagem elástica linearizada). Essa suposição é razoável para
vigas mais esbeltas, entretanto, para vigas de esbeltez intermediária, o escoamento
pode ocorrer em alguns pontos da viga antes do momento crítico ser alcançado. Se
uma parte da viga está em regime inelástico quando a flambagem começa, esta terá
a sua rigidez reduzida devido à degeneração do módulo de elasticidade do material.
Como resultado o momento crítico será menor; portanto, para vigas de esbeltez
intermediária, a análise de flambagem deverá ser elasto-plástica.
3.2.1 Análise de flambagem linerarizada (flambagem por autovalor)
A determinação da carga crítica de um sistema elástico pode ser simplificada se os
deslocamentos anteriores ao nível da carga crítica forem considerados desprezíveis.
Assim, as equações de equilíbrio não lineares podem ser parcialmente linearizadas,
em um processo que conduz ao problema clássico de autovalor da estabilidade.
A expressão final para o procedimento de análise de estabilidade pelo problema de
autovalor que negligencia os deslocamentos antes da flambagem tem a forma:
73
[ ] [ ]( )[ ] [ ]0=+ iG zKK (3.1)
onde [zi] é o enésimo autovetor, [K] é a matriz de rigidez do material e [KG] a matriz
de rigidez geométrica. Esta última é dada por:
[ ] [ ]SK iG λ= (3.2)
sendo λi o enésimo autovalor e [S] a matriz que representa a tendência da
distribuição de tensões iniciar a flambagem levando em conta as deformações de
segunda ordem.
As equações (3.1) e (3.2) surgem do critério de estabilidade, que determina que na
ocorrência da instabilidade, a matriz de rigidez tangente, dada pela soma entre as
matrizes [K] e [KG], deve ser singular, ou seja:
[ ] [ ] 0det =+= Gt KKKDet (3.3)
No Ansys 14.0 (2011), assim como em outros programas que usam o MEF, a análise
de flambagem linearizada segue as etapas resumidas a seguir:
1) construção do modelo em elementos finitos;
2) resolução do sistema linear estático da equação (3.4) para obtenção da
distribuição das forças internas:
[ ][ ] [ ]fuK = (3.4)
onde [u] é o vetor dos deslocamentos nodais e [f] é um vetor similar ao vetor de
forças nodais [F] do sistema, porém com suas componentes com valor unitário;
3) com a distribuição das forças internas, determina-se a matriz de rigidez
geométrica [KG];
4) resolução do problema de autovalor, reescrito na equação:
[ ] [ ]( )[ ] [ ]0=+ ii zSK λ (3.5)
por meio de extração modal, feita por métodos especiais que tiram vantagem da
dispersão das matrizes [K] e [S], tais como o de iteração por subespaço e o de
Lanczos;
74
5) o autovalor λi mais próximo de zero será o multiplicador da carga crítica e o
autovetor associado zi fornece o correspondente modo de flambagem.
Um ponto importante nesse tipo de análise é que normalmente os carregamentos
unitários são suficientes, ou seja, não é necessário especificar o valor real dos
carregamentos. Os autovalores calculados pela análise de flambagem representam
os fatores multiplicadores para o carregamento de flambagem. Com isso, se um
carregamento unitário for especificado, os fatores multiplicadores irão representar o
próprio valor da carga crítica da flambagem.
3.2.2 Análise não linear
Em uma análise não linear, as equações de equilíbrio são não lineares e sempre
haverá necessidade de iterações de equilíbrio. Geralmente, a aproximação de
Newton-Raphson e suas versões modificadas são utilizadas para resolver as
equações de equilíbrio não lineares. Nesta aproximação, a carga é subdividida em
uma série de incrementos da carga. Os incrementos da carga podem ser aplicados
em diversas etapas de carregamento.
Antes de cada solução, o método de Newton-Raphson avalia o vetor de forças
desbalanceadas, que é a diferença entre as forças internas (que correspondem às
tensões no elemento) e as cargas aplicadas. O programa executa então uma análise
linear usando as forças desbalanceadas e verifica a convergência. Se os critérios de
convergência não forem satisfeitos, o vetor de forças desbalanceadas será
reavaliado, a matriz da rigidez é atualizada, e uma solução nova é obtida. Este
procedimento interativo continua até que o problema convirja.
Um grande número de aceleradores de convergência, tais como line-search,
incremento automático de carga e método da biseção podem ser ativados para
ajudar a convergência. Se a convergência não for atingida, o programa tenta
resolver com um incremento menor de carga. Em algumas análises não lineares,
quando se usa o método do Newton-Raphson sozinho, a matriz de rigidez tangente
pode tornar-se singular, causando dificuldades de convergência. Tais ocorrências
incluem as análises não lineares em que a estrutura entra em colapso
75
completamente. Para tais situações, pode-se ativar um esquema alternativo de
iteração, o método arc-lenght, que evita pontos de bifurcação.
No Ansys 14.0 (2011), assim como em outros programas que usam o MEF, a análise
não linear deve ser precedida de uma análise de flambagem linearizada. A seguir
serão listadas resumidamente, as etapas de uma análise não linear:
1) introdução das imperfeições iniciais por meio do primeiro modo de flambagem
calculado na análise de flambagem linearizada;
2) modelagem optativa de outras não linearidades, como tensões residuais e não
linearidade do material;
3) definição do número de incrementos de carga, método de resolução do sistema
não linear, aceleradores de convergência e outros parâmetros;
4) resolução do sistema não linear para obtenção do diagrama carga versus
deslocamento e, consequentemente, do valor da carga crítica.
3.3 Modelos numéricos
Os modelos numéricos das vigas mistas de aço e concreto possuem a laje de
concreto e os conectores de cisalhamento substituídos por uma mola rotacional e
uma restrição total ao deslocamento lateral, ambas aplicadas à mesa superior, ao
longo de todo o comprimento da viga. Assim, como se pode ver na Figura 3.2, os
modelos são constituídos pelo perfil de aço de alma plana ou senoidal, modelado
com o elemento de casca Shell 181 e pelas molas, modeladas com o elemento
Spring Combin 14. Para os perfis de alma plana, a rigidez rotacional da mola foi
determinada conforme prescrição da ABNT NBR 8800:2008, equação (2.11). Já a
rigidez rotacional das vigas mistas com perfis de alma senoidal foi determinada pela
formulação proposta por Calenzani (2008), conforme explicado no item 2.4.
76
Figura 3.2 – Modelo numérico simplificado
a) Viga mista com mecanismo “U” b) Sistema equivalente
Fonte: Calenzani (2008) Nota: Figura adaptada pelo autor
3.3.1 Elementos utilizados
O elemento Shell181 foi utilizado para representar o perfil de aço. Esse elemento é
usado para estruturas de casca de espessura fina ou moderadamente grossa, sendo
útil em análises lineares, não lineares, com grandes deslocamentos e grandes
deformações, (Ansys 14.0, 2011). Também permite a consideração de plasticidade,
fluência e “stress stiffening”. O elemento Shell 181 é definido por quatro nós e seis
graus de liberdade por nó, as translações nas direções x, y e z e as rotações em
relação aos eixos x, y e z, Figura 3.3.
Figura 3.3 – Elementos de casca – Shell 181
Fonte: Ansys 14.0 (2011) Nota: Figura adaptada pelo autor
O elemento Spring Combin 14 foi utilizado para representar a rigidez da laje e dos
conectores na viga mista de aço e concreto. Esse elemento pode ser utilizado para
restringir de forma parcial tanto a translação quanto a rotação. Para a opção de
rotação ele é definido pela constante de mola (k) e por dois nós com três graus de
liberdade em cada nó: rotação em relação aos eixos x, y e z (Figura 3.4).
77
Figura 3.4 – Elementos de mola – Combin 14
Fonte: Ansys 14.0 (2011) Nota: Figura adaptada pelo autor
3.3.2 Malha de elementos finitos
O Ansys 14.0 (2011) possui duas alternativas para a geração da malha de
elementos finitos, livre ou mapeada. A malha livre é gerada automaticamente pelo
programa enquanto a malha mapeada é definida pelo usuário, que estabelece a
forma e o tamanho dos elementos. Optou-se pela geração mapeada da malha de
elementos finitos.
Para definir o tamanho do elemento do perfil de alma plana foi realizado um estudo
de malhas compostas por elementos de dimensões variando de 2 cm a 50 cm com
passo de 1 cm para malhas com dimensões no intervalo de 2 cm a 10 cm e passo
de 5 cm para malhas com dimensões entre 10 cm e 50 cm, totalizando 17 modelos.
Foi realizado o estudo de malha numa viga mista com perfil de alma plana
submetida a momento fletor linear com comprimento igual a 10 m.
A Figura 3.5 mostra o momento crítico elástico em função do número total de
elementos. A linha horizontal marca a quantidade de elementos correspondente à
densidade de malha.
Visualmente seria possível marcar como número de elementos ótimo aquele que
ocorre ao final do trecho curvo do gráfico, ou seja, malha com um número de
elementos próximo a cinco mil. Conclui-se através desse estudo de malha que
elementos com dimensão de 3 cm geram resposta boa o suficiente (Figura 3.6).
78
Figura 3.5 – Momento crítico x número de elementos
Fonte: autor
Figura 3.6 – Malha dos modelos com perfis de alma plana
Fonte: autor
Como Calenzani (2008) obteve resultados numéricos satisfatórios em suas análises
numéricas, neste trabalho foi adotada a mesma malha para o modelo de viga mista
com perfil de alma senoidal (Figura 3.7). Nesses perfis, os elementos Shell 181
retangulares de quatro nós foram usados no perfil metálico exceto na região de
junção das mesas com a alma onde foram necessários elementos Shell 181
triangulares de três nós. A malha dos elementos da mesa do perfil foi bastante
refinada, tendo o menor elemento dimensões de 0,73 cm x 0,775 cm, devido à
amplitude da onda senoidal ser muito pequena, 2 cm. Para a modelagem das vigas
mistas com perfis de alma senoidal, primeiramente foi modelado um trecho com
2.000,0
2.500,0
3.000,0
3.500,0
4.000,0
4.500,0
5.000,0
5.500,0
6.000,0
0 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000
Mcr
(kN
m)
Número de elementos
79
comprimento igual ao período da onda, 15,5 cm. Para obter o vão desejado na
análise numérica, esse trecho foi copiado n vezes (Figura 3.8).
Figura 3.7 – Malha da mesa dos modelos com perfis de alma senoidal
Fonte: autor
Conforme sugerido pelo Ansys 14.0 (2011), o elemento Combin 14 foi definido por
dois nós coincidentes, ou seja, nós com as mesmas coordenadas em x, y e z. Esse
elemento foi adicionado ao eixo geométrico da mesa superior do perfil de alma plana
e de alma senoidal (Figura 3.6 e Figura 3.8, respectivamente). Para dar estabilidade
ao elemento de mola, o nó não conectado ao elemento Shell 181 foi restringido em
todas as direções (translações e rotações em x, y e z).
Figura 3.8 – Perfil de alma senoidal com um comprimento de onda igual a 15,5cm
Fonte: autor
80
3.3.3 Condições de contorno e carregamento aplicado
Para simular as condições de contorno, no que se refere aos apoios das vigas, em
uma das extremidades, os deslocamentos nas direções globais y e z foram
impedidos na mesa inferior do perfil. Já nas outras extremidades, apenas o
deslocamento na direção global y foi restringido. Para simular o vínculo de garfo e
impedir o giro das seções transversais dos apoios, os deslocamentos na direção x
foram restringidos nos nós extremos das mesas superior e inferior. Enrijecedores
transversais foram modelados nas seções transversais dos apoios, para anular
qualquer influência de deformações locais nessa região (Figura 3.9).
O elemento de mola Combin 14 foi utilizado para fornecer a rigidez rotacional (kr)
aos modelos numéricos. Para os modelos de alma plana, kr assume o valor da
rigidez da laje (k1), pois a rigidez da conexão de cisalhamento é desprezada no
cálculo da rigidez rotacional, conforme visto no item 2.3. A rigidez da alma (k2) já
está considerada no modelo por meio dos elementos de casca Shell 181 que
compõem a alma do perfil de aço.
Para os modelos de alma senoidal, a rigidez rotacional (kr), equação (3.6), é
calculada considerando a rigidez da laje (k1) e a rigidez da conexão (k3), pois nos
perfis de alma senoidal, a rigidez da conexão têm influência significativa no valor de
kr. A rigidez da alma (k2) não é levada em consideração pelo mesmo motivo citado
para os perfis de alma plana. Como a laje na mesa superior do perfil de aço impede
o deslocamento lateral da viga, foi restringido lateralmente, na direção x, o
deslocamento dessa mesa.
! = !=!�!= + !� (3.6)
81
Figura 3.9 – Condições de contorno do modelo numérico
Fonte: autor
Com o intuito de se analisar o parâmetro de modificação de momento fletor (Cdist),
foram estudadas diversas situações de vigas mistas com perfis de alma plana e de
alma senoidal submetidas a cargas uniformemente distribuídas. Para isso, modelos
com dois vãos e com três vãos, simulando, respectivamente, vãos extremos e vãos
internos de vigas mistas contínuas submetidas a cargas uniformemente distribuídas
foram processados (Figura 3.10 e Figura 3.11). Foi analisada também a condição da
viga mista contínua submetida a um momento fletor de variação linear (Figura 3.12).
Figura 3.10 – Diagrama de momento fletor para vão extremo com carga distribuída
Fonte: autor
Para o vão extremo das vigas mistas contínuas, o momento fletor máximo solicitante
de cálculo no meio do vão, considerando o tramo analisado como biapoiado, é M0 e
82
o momento fletor na extremidade da viga é igual a ψM0 (Figura 3.10). Pela equação
dos três momentos, equação (3.7), foi possível obter uma relação entre as cargas
distribuídas q1 e q2 com o coeficienteψ, mantendo constante os vãos da viga (L).
���� + 2(�� + &�&� ��,�� + &�&� ���� = −i����4 − i����4 &�&� (3.7)
sendo,
LA e LB os comprimentos dos vãos da viga;
IA e IB as inércias da seção da viga AB e BC, respectivamente;
MA, MB e MC o momento nos apoios A, B e C, respectivamente;
PA e PB as cargas distribuídas no vão AB e BC, respectivamente.
Considerando LA = LB = L, IA = IB = I, MA = MC = 0, PA = q1 e PA = q2, Figura 3.10,
obtém-se:
25� + �6�� = −�=��4 − �"��4 (3.8)
ou seja,
�� = −5�= + �"6�"16 (3.9)
Como �� = ��* e �* = ��"/8, as cargas distribuídas aplicadas nas vigas de vão
extremo seguiram a seguinte relação:
�= 52� − 16�" (3.10)
�" = 0,01 (kN/cm) (3.11)
Para o vão interno de vigas mistas contínuas foram estudadas três possíveis
situações da relação entre o momento fletor máximo solicitante de cálculo (M0) e o
momento fletor na extremidade das vigas: 0,5ψM0, 0,75ψM0 e ψM0 (Figura 3.11).
Com base na equação dos três momentos, mantendo a carga do vão central igual a
0,01 kN/cm e todos os vãos com comprimentos constantes (L), pode-se obter,
83
similarmente ao vão extremo, o valor das cargas q1 e q3 em função da constante
ψ para os três casos de diagramas de momento fletor. Para o caso 1, têm-se as
seguintes relações:
�= = 52,25� 2 16�" (3.12)
�� 51,5� 2 16�" (3.13)
Para o caso 2, têm-se:
�= 52,375� 2 16�" (3.14)
�� 52� 2 16�" (3.15)
Finalmente, para o caso 3, têm-se:
�= 52,5� 2 16�" (3.16)
�� 52,5� 2 16�" (3.17)
Figura 3.11 – Diagrama de momento fletor para vão interno com carga distribuída
Fonte: autor
84
Para o caso de vãos com momento fletor linear, foram modeladas vigas
simplesmente apoiadas submetidas a cargas horizontais nos nós das mesas
superiores e inferiores das extremidades do perfil de aço, de forma a obter um
momento fletor de valor unitário (M), Figura 3.12. Dois casos de momento fletores
lineares foram analisados, conforme mostrado na Figura 3.12. Para o caso 1, as
cargas aplicadas nos nós das mesas tiveram as seguintes relações:
�= = 1/5ℎ* ∙ S°SóR6 (3.18)
�" 2��= (3.19)
sendo, h0 a distância entre os centros geométricos das mesas do perfil de aço.
Para o caso 2, foram aplicadas as mesmas cargas do caso 1, com exceção da força
F2 que teve o mesmo sentido da força F1, ou seja, F2 = ψF1.
Figura 3.12 – Vão com momento fletor linear
Fonte: autor
85
3.4 Exemplo utilizado na aferição
O exemplo analítico utilizado na aferição do modelo numérico está descrito em
Hanswille (2002). Neste exemplo, Hanswille (2002) comparou o seu resultado do
momento crítico obtido pela analogia com a barra comprimida em fundação elástica
(item 2.5.2.1) com o resultado do momento crítico elástico de Roik, Hanswille e Kina
(1990) obtido pelo método de aproximação de energia (item 2.5.1.1).
O exemplo analisa o vão extremo de uma viga mista com dois vãos de comprimento
igual a 20 m e perfil de aço HE 800 A (hw = 734 mm, bf = 300 mm, tf = 28 mm e tw =
15 mm), Figura 3.13. A resistência ao escoamento dos aços para as chapas das
mesas e da alma do perfil foram tomados iguais a 35 kN/cm². O coeficiente de
Poisson e o módulo de elasticidade desses aços foram iguais a 0,3 e 21000 kN/cm²,
respectivamente. Hanswille (2002) obteve um Mcr igual a 10974 kNm, enquanto
Roik, Hanswille e Kina (1990), obtiveram um valor igual a 15063 kNm. Hanswille
(2002) concluiu que, para o caso de vão extremo de vigas mistas contínuas, a
formulação de Roik, Hanswille e Kina (1990) está 37% contra a segurança.
Figura 3.13 – Seção transversal e condição de carregamento
Fonte: Hanswille (2002)
O modelo numérico deste trabalho, denominado viga V1, utilizou uma mola com
rigidez rotacional igual a 3640 kNm/m, para representar a rigidez da laje (k1), obtido
por Hanswille (2002), equação (3.20).
86
!= = �5%&6"> = 4 ∙ 45505 3640!L / (3.20)
sendo,
α igual a 4, para vigas internas;
(EI)2 rigidez à flexão da seção mista homogeneizada da laje igual a 4550 kNm²/m,
fornecido por Hanswille (2002);
a distância entre as vigas igual a 5m (Figura 3.13).
A rigidez do conector de cisalhamento pode ser desprezada para perfis de alma
plana, conforme visto no item 2.3. Nessa análise, foi considerada uma carga linear
igual a 0,01 kN/cm em ambos os vãos (Figura 3.14). O momento crítico elástico
obtido foi de 9918 kNm, o que confirma o caráter contrário a segurança da
formulação de Roik, Hanswille e Kina (1990) para vãos extremos.
Figura 3.14 – Modelo validação para vão extremo de viga mista contínua
Fonte: autor
Adicionalmente ao trabalho de Hanswille (2002), mas mantendo as mesmas
características geométricas do seu exemplo, foram modeladas outras vigas
contínuas. As vigas V2 e V3 são idênticas à viga V1, porém o comprimento dos vãos
é, respectivamente, 10 e 30m.
As vigas V4 a V6 (Figura 3.15) retratam a condição de momento fletor negativo
constante. Para isso, foi modelado apenas um vão com condições de contorno de
87
uma viga simplesmente apoiada e sujeita a uma carga momento nas extremidades
igual a 1kNcm. O comprimento do vão foi de 10m para a viga V4, 20m para a viga
V5 e 30m para a viga V6.
Figura 3.15 – Modelo validação para vão com momento fletor constante
Fonte: autor
As vigas V7 a V9 (Figura 3.16) foram modeladas para análise de um vão interno de
vigas mistas contínuas. Por isso, o modelo apresenta três vãos de comprimento
iguais. O comprimento dos vãos da viga V7 foi de 10m, o da viga V8 foi de 20m e,
por último, a viga V9 foi modelada com três vãos iguais a 30m de comprimento.
Figura 3.16 – Modelo validação para vão interno de viga mista contínua
Fonte: autor
88
A Tabela 3.1 lista todos os modelos numéricos usados para a validação.
Tabela 3.1 – Modelos numéricos para validação
Fonte: autor
3.5 Aferição da modelagem numérica
Os valores de Mcr calculados pelas equações (2.30) e (2.58), sugeridas por Roik,
Hanswille e Kina (1990) e por Hanswille (2002), respectivamente, são confrontados
com os valores numéricos, conforme Tabela 3.2.
Tabela 3.2 – Resultados obtidos para validação
Fonte: autor
Na Tabela 3.2, a viga V1 apresenta o momento crítico elástico de 9918 kNm
referente a formulação de Hanswille (2002). Entretanto, em seu exemplo, Hanswille
(2002) obteve um valor do Mcr igual a 10974kNm. Acredita-se que um valor errado
V1 20
V2 10
V3 30
V4 10
V5 20
V6 30
V7 10
V8 20
V9 30
vão extremo - momento fletor não uniforme
vão com momento fletor linear
vão interno - momento fletor não uniforme
HE 800 A
Características da viga
Designção Perfil
Modelos
Tipo de viga mista Vão (m)
DesignaçãoV1 15.079 7.866 9.918 192% 66% 126%V2 16.120 8.980 11.696 180% 73% 130%V3 14.879 6.480 8.636 230% 58% 133%V4 4.079 4.899 5.743 83% 141% 117%V5 3.816 3.945 5.026 97% 132% 127%V6 3.765 3.945 4.819 95% 128% 122%V7 9.146 6.999 11.458 131% 125% 164%V8 8.555 7.613 10.040 112% 117% 132%V9 8.441 6.227 8.757 136% 104% 141%
MODELOMcr (kNm)
Roik, Hanswille e
Kina (1990) (M cr,ROIK)
Hanswille (2002) (M cr,HANS )
Numérico (M cr,NUM )
M cr,ROIK / Mcr,HANS
M cr,NUM / M cr,ROIK
M cr,NUM / M cr,HANS
89
para o parâmetro ky, 0,68m, foi assumido por Hanswille (2002). O correto seria
adotar ky igual a 0,72m. O parâmetro β adotado no trabalho de Hanswille (2002) foi
de 0,17, porém, analisando o gráfico da Figura 2.19, observa-se que, para ¡I�/# =2,7, o valor de β é igual a 0,20. Devido essas modificações nos parâmetros do
momento crítico elástico, obteve-se um valor menor para o Mcr, que se aproxima
mais do resultado numérico.
Comparando os valores obtidos analiticamente com os valores numéricos, para a
viga V1, percebe-se que a formulação de Hanswille (2002) está 26% a favor da
segurança, enquanto a formulação de Roik, Hanswille e Kina (1990) está 34% contra
a segurança.
Para vão extremo com carga distribuída (modelos V1 a V3), no cálculo do Mcr pela
formulação de Roik, Hanswille e Kina (1990), adotou-se o coeficiente Cdist igual a
24,5, conforme sugerido na Tabela 2.6. Para a formulação de Hanswille (2002) foi
adotado o valor de β igual a 0,37, 0,20 e 0,15 para os modelos V1, V2 e V3,
respectivamente, obtido pelo gráfico da Figura 2.19, considerando ψ = 0.
Para o vão com momento fletor linear (modelos V4 a V6), adotou-se o coeficiente
Cdist igual a 6,2, conforme sugerido na Tabela 2.7. Para a formulação de Hanswille
(2002) o valor de β adotado foi obtido pelo gráfico da Figura 3.17, considerando ψ =
1, sendo β igual a 0,5, 0,3 e 0,2 para os modelos V4, V5 e V6, respectivamente.
Figura 3.17 – Coeficiente β para vão com momento fletor linear
Fonte: Hanswille, Linder e Münich (1998)
90
Para o vão interno (modelos V7 a V9), adotou-se o coeficiente Cdist igual a 13,9,
conforme sugerido na Tabela 2.6. Para obter um resultado satisfatório para a
formulação de Hanswille (2002), foi necessário interpolar linearmente os valores de
β, a partir dos gráficos da Figura 2.19 (α = 0,5 e α = 1), pois a razão α, entre o
momento nas extremidades da viga e o M0 (momento máximo solicitante de cálculo,
considerando o tramo analisado como biapoiado) é igual a 0,8.
Como o modelo numérico consiste em um perfil de aço e molas na mesa superior do
perfil com rigidez igual a da laje de concreto (kr = k1), o momento crítico elástico
fornecido pelo Ansys 14.0 (2011) refere-se ao momento na seção de aço. Para obter
o momento crítico elástico na seção mista foi utilizada a relação proposta por Roik,
Hanswille e Kina (1990), equação (2.23), ou seja:
�� = �� ∙ &+&�+ (3.21)
sendo,
Mcr = momento crítico elástico;
Ma = momento fletor no perfil de aço (resultado obtido da saída do Ansys 14.0,
2011);
Ix = momento de inércia da seção mista na região de momento negativo;
Iax = momento de inércia do perfil de aço.
Como visto, a equação (2.30), proposta por Roik, Hanswille e Kina (1990), é a
mesma usada pela atual norma brasileira ABNT NBR 8800:2008. Percebe-se que
essa formulação fornece valores de Mcr sempre maiores do que a formulação
proposta por Hanswille (2002) para os casos de vão extremo e vão interno com
carga distribuída. Para os modelos com momento fletor constante, os valores
ficaram muito próximos entre si, tendo uma pequena variação com o aumento do
vão.
Comparando os resultados obtidos pelas formulações de Roik, Hanswille e Kina
(1990) e de Hanswille (2002) com os resultados numéricos, conclui-se que a
formulação de Hanswille (2002) apresenta resultados mais próximos aos numéricos,
estando sempre a favor da segurança (Tabela 3.2). O mesmo não se pode afirmar
91
dos resultados de Roik, Hanswille e Kina (1990), pois apresentaram valores muito
acima dos resultados numéricos para o caso de vão extremo de vigas mistas
contínuas (modelos V1 a V3), tornando essa formulação contra a segurança nesses
casos (Tabela 3.2).
Segundo Jonhson e Anderson (2004), o método de Hanswille (2002) fornece
resultados que concordam com os numéricos para vãos internos e extremos,
enquanto o método de Roik, Hanswille e Kina (1990) é satisfatório para vãos
internos, mas menos precisos para vãos extremos, chegando a fornecer resultados
contra a segurança acima de 30%. É sugerido mais validações para a formulação de
Roik, Hanswille e Kina (1990).
Diante do exposto, pode-se perceber que a modelagem numérica desse trabalho
confirma as observações de Jonhson e Anderson (2004), além de se mostrar
eficiente na determinação do momento crítico elástico à flambagem lateral com
distorção, pois apresenta diferenças percentuais relativamente pequenas em relação
às teorias analíticas analisadas, principalmente em relação ao método proposto por
Hanswille (2002).
Considera-se, então, o modelo numérico apropriado para o estudo paramétrico de
FLD em regime elástico de vigas mistas contínuas com perfis de alma senoidal.
92
4 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE VIGAS MISTAS COM PERFIS DE ALMA
SENOIDAL
4.1 Introdução
Neste capítulo, uma análise numérica parametrizada é implementada para a
obtenção de resultados que ilustrem a influência de diversos parâmetros no valor do
momento crítico elástico, Mcr, de vigas mistas contínuas com perfis de aço de alma
senoidal. Foram processadas oitenta e cinco modelos numéricos, usando o
programa Ansys 14.0 (2011), com a modelagem apresentada e aferida no capítulo 3.
No item 4.2 discutem-se as premissas utilizadas na escolha dos modelos numéricos
e das variáveis que influenciam a FLD. A geometria e as características dos modelos
são dispostas na forma de tabela.
Após a avaliação da influência das diversas variáveis no valor do momento crítico
elástico, Mcr, um método de cálculo é proposto para se determinar esse momento
em vigas mistas contínuas com perfis de alma senoidal, item 4.3.
4.2 Definição dos modelos numéricos
A análise numérica parametrizada foi realizada em modelos de geometria e
características definidas com base nas variáveis que influenciam o valor do Mcr
obtido segundo a ABNT NBR 8800:2008, equação de Roik. Hanswille e Kina (1990),
aqui repetida para maior clareza, equação (4.1), sendo destacadas as variáveis que
foram analisadas:
�� = �� ¢£¤¥¦§ ��� + ¨©§ª#" $%«¬,® (4.1)
93
Diversas situações de carga distribuída e, consequentemente, de diagramas de
momento fletor não uniforme, foram modeladas visando obter valores consistentes
para o fator de modificação de momento fletor (Cdist). Para isso, modelos com dois
vãos e com três vãos, simulando, respectivamente, vãos extremos (Figura 3.10) e
vãos internos (Figura 3.11) de uma viga mista contínua foram processados. Para
simular a condição do diagrama de momento fletor linear foi modelada uma viga
mista biapoiada submetida a momento fletor nas extremidades (Figura 3.12).
Os parâmetros considerados na avaliação da rigidez à flexão da laje (k1) foram: o
tipo de laje (plana ou mista) e a altura desse elemento (hc). Alturas de lajes iguais a
100mm e 150mm foram tomadas para lajes planas e, iguais a 140mm e 200mm para
lajes mistas. No cálculo de k1 foi utilizado um módulo de elasticidade para o concreto
igual a 2380 kN/cm².
Conforme adotado por Calenzani (2008), foi considerado para as lajes planas uma
área de armadura negativa igual a 94mm² e área de armadura positiva igual a
151mm². Nos modelos de lajes mistas, a fôrma de aço incorporada na laje teve
espessura igual a 1,25mm e, para a armadura negativa, adotou-se uma tela de aço
com barras de diâmetro de 4,2mm espaçadas a cada 100mm.
Para analisar a influência da rigidez da alma (k2), foram processados modelos com
alturas de alma iguais a 400, 500, 600, 800, 1000 e 1200mm, dimensões estas
dentro da faixa de fabricação dos perfis com alma senoidal da Codeme.
Os parâmetros considerados na avaliação da rigidez da conexão de cisalhamento
(k3) foram: o espaçamento longitudinal entre os conectores de cisalhamento (s) e o
número de conectores na seção transversal (N), ou seja, conexão composta por
apenas um conector tipo pino com cabeça soldado na linha de centro da mesa
superior do perfil ou por dois conectores soldados simetricamente em relação a essa
linha. Como definido por Calenzani (2008), o espaçamento entre os conectores de
cisalhamento foi de 201,5mm para modelos de laje plana e 263,5mm para modelos
de laje mista. A variação desse parâmetro foi feita para a laje mista dobrando o
espaçamento longitudinal para 527mm. Somente foram previstos conectores tipo
pino com cabeça de 19mm, tendo em vista serem esses conectores os mais
utilizados no Brasil nas vigas mistas.
94
Para estudar a influência da razão entre o vão e a altura do perfil de aço (L/h) no
valor do momento crítico elástico, foram processados modelos com as seguintes
razões: 14, 18, 22, 26 e 30.
Para avaliar a influência da inércia da mesa inferior do perfil de aço (Iaf,y), variou-se a
espessura da mesa do perfil em 8mm, 9,5mm, 12,5mm, 16mm e 19mm. A largura da
mesa (bf) foi tomada sempre igual a 125mm.
Com exceção do parâmetro Cdist, a influência dos parâmetros rigidez da laje (k1),
rigidez da alma (k2), rigidez da conexão de cisalhamento (k3), vão da viga (L) e
inércia da mesa inferior do perfil de aço (Iaf,y) foi estudada em modelos de vigas
mistas contínuas submetidas a um momento fletor negativo constante. Também foi
analisado vão extremo com cargas distribuídas uniformemente, para verificar se com
outras condições de contorno a influência dos parâmetros k1, k2, k3, L e Iaf,y, no valor
do momento crítico elástico se comporta de forma similar.
Em todos os modelos, o módulo de elasticidade do aço foi tomado igual a
20000kN/cm² e o coeficiente de Poisson igual a 0,3. Na análise de flambagem, o
valor das propriedades de resistência dos materiais não interessam, entretanto, na
entrada de dados do Ansys 14.0 (2011) se fez necessário o fornecimento do valor da
resistência ao escoamento do perfil de aço. Conforme Calenzani (2008), foi adotada
uma resistência ao escoamento de 35 kN/cm² para as mesas e de 30 kN/cm² para a
alma.
A Tabela 4.1, apresenta os modelos utilizados na avaliação do parâmetro Cdist.
Foram 45 modelos analisados de seção transversal mostrada na Figura 4.1. Foi
considerado um conector na linha de centro, com distância longitudinal de 263,5mm.
As rigidezes rotacionais da laje (k1) e da conexão de cisalhamento (k3) são iguais a
332 kNcm/cm e 1050 kNcm/cm, respectivamente, de acordo com Calenzani (2008).
O comprimento do vão (L) é de 1116 cm (aproximadamente 22h) e a distância entre
vigas (a) adotada é igual a 200 cm.
95
Figura 4.1 – Seção transversal do modelo numérico
Fonte: autor
A Tabela 4.2, mostra as análises dos parâmetros nas vigas mistas contínuas
submetidas ao momento fletor negativo linear constante, ψ = 1, ou seja, a condição
de carregamento do modelo M5 (Tabela 4.1). Foram 25 modelos analisados de
seção transversal variando conforme descrito na Tabela 4.2. A rigidez rotacional da
laje (k1) e da conexão de cisalhamento (k3) foram calculadas segundo Calenzani
(2008). A distância entre vigas (a) adotada foi de 200 cm.
A Tabela 4.3 mostra as análises dos parâmetros nos modelos de vão extremo,
submetidas à carga distribuída uniformemente nos dois vãos, ψ = 1, ou seja,
condição de carregamento do modelo M12 (Tabela 4.1). Foram 25 modelos
analisados de seção transversal variando conforme descrito na Tabela 4.3. A rigidez
rotacional da laje (k1) e da conexão de cisalhamento (k3) foram calculadas segundo
Calenzani (2008). A distância entre vigas (a) adotada foi de 200cm.
96
Tabela 4.1 – Modelos numéricos para análise do parâmetro Cdist
Fonte: Autor
Caso 1
Caso 2
Caso 1
Caso 2
Caso 3
97 Tabela 4.2 – Modelos numéricos para análise da influência das rigidezes rotacionais, do comprimento da viga e da inércia da mesa
do perfil de aço no Mcr de vão com momento fletor constante
Fonte: Autor
As sup. = 94As inf. = 151As sup. = 94As inf. = 151
M49 PSS 400 x 250 x 16 x 2 400 250 9,5 2 1,25 140 1 263,5M50 PSS 500 x 250 x 16 x 2 500 250 9,5 2 1,25 140 1 263,5M51 PSS 600 x 250 x 16 x 2 600 250 9,5 2 1,25 140 1 263,5M52 PSS 800 x 250 x 16 x 2 800 250 9,5 2 1,25 140 1 263,5M53 PSS 1000 x 250 x 16 x 2 1000 250 9,5 2 1,25 140 1 263,5M54 PSS 1200 x 250 x 16 x 2 1200 250 9,5 2 1,25 140 1 263,5
M55 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2 1,25 140 2 263,5 22h 1300 264
M56 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2 1,25 140 1 527 22h 950 246
M57 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2 1,25 140 2 527 22h 900 243
M58 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2 1,25 140 1 263,5 14hM59 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2 1,25 140 1 263,5 18hM60 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2 1,25 140 1 263,5 26hM61 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2 1,25 140 1 263,5 30hM62 PSS 500 x 125 x 9.5 x 2 500 125 9,5 2 1,25 140 1 263,5 22hM63 PSS 500 x 125 x 12,5 x 2 500 125 12,5 2 1,25 140 1 263,5 22hM64 PSS 500 x 125 x 16 x 2 500 125 16 2 1,25 140 1 263,5 22hM65 PSS 500 x 125 x 19 x 2 500 125 19 2 1,25 140 1 263,5 22h
Rigidez rotacional
k1
(kNcm/cm)k3
(kNcm/cm)kr
(kNcm/cm)
75 1700 72
232 1700 204
637 1050 396
252
301Ι af,y
307
332
332 1050 252
332
332 400030m
2 1,25
332
1050
3200
1 201,5
K3
L/h
22h
K2
22h
M48 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 200 1 263,5
150
100 1 201,5 22h
M47 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2
Parâmetro Analisado
PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2
Laje Maciça
K1
M46
Laje Mista
N° de conectores da seção N
distância long. entre conectores
s (mm)
Área das armaduras As (mm²)
altura da laje hc (mm)
Espessura da forma td (mm)
altura da laje hc (mm)
N° modelo
Parâmetros do perfil de açoParâmetros da
conexão
Vão da viga (L)
Perfil h (mm)
b f
(mm)
t f
(mm)
t w
(mm)
98 Tabela 4.3 – Modelos numéricos para análise da influência das rigidezes rotacionais, do comprimento da viga e da inércia da mesa
do perfil de aço no Mcr de vão extremo com carga distribuída
Fonte: Autor
As sup. = 94As inf. = 151As sup. = 94As inf. = 151
M69 PSS 400 x 250 x 16 x 2 400 250 9,5 2 1,25 140 1 263,5M70 PSS 500 x 250 x 16 x 2 500 250 9,5 2 1,25 140 1 263,5M71 PSS 600 x 250 x 16 x 2 600 250 9,5 2 1,25 140 1 263,5M72 PSS 800 x 250 x 16 x 2 800 250 9,5 2 1,25 140 1 263,5M73 PSS 1000 x 250 x 16 x 2 1000 250 9,5 2 1,25 140 1 263,5M74 PSS 1200 x 250 x 16 x 2 1200 250 9,5 2 1,25 140 1 263,5
M75 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2 1,25 140 2 263,5 22h 1300 264
M76 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2 1,25 140 1 527 22h 950 246
M77 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2 1,25 140 2 527 22h 900 243
M78 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2 1,25 140 1 263,5 14hM79 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2 1,25 140 1 263,5 18hM80 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2 1,25 140 1 263,5 26hM81 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2 1,25 140 1 263,5 30hM82 PSS 500 x 125 x 9.5 x 2 500 125 9,5 2 1,25 140 1 263,5 22hM83 PSS 500 x 125 x 12,5 x 2 500 125 12,5 2 1,25 140 1 263,5 22hM84 PSS 500 x 125 x 16 x 2 500 125 16 2 1,25 140 1 263,5 22hM85 PSS 500 x 125 x 19 x 2 500 125 19 2 1,25 140 1 263,5 22h
332 3200 301
332
332 1050 252
332 1050 252
232 1700 204
637 1050 396
Ι af,y
Rigidez rotacional
k1
(kNcm/cm)k3
(kNcm/cm)kr
(kNcm/cm)
75 1700
K3
L/h
22h
332 4000 30730m
2 1,25 200 1 263,5
150 1 201,5 22h
K2
M68 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8
100500 125 8 2 201,5 22h
M67 PSS 500 x 125 x 8 x 2 500 125 8 2
PSS 500 x 125 x 8 x 2
K1
M66 72
Laje Mista
N° de conectores da seção N
distância long. entre conectores
s (mm)
Área das armaduras As (mm²)
altura da laje hc (mm)
Espessura da forma td (mm)
1
Parâmetros da conexão
Vão da viga (L)
Perfil h (mm)
b f
(mm)
t f
(mm)
t w
(mm)
Laje MaciçaParâmetro Analisado
N° modelo
Parâmetros do perfil de aço
altura da laje hc (mm)
99
4.3 Proposição para determinação do momento crítico elástico de vigas mistas contínuas com perfis de alma senoidal
4.3.1 Avaliação dos resultados numéricos
A Tabela 4.4 mostra os resultados do momento crítico elástico das vigas mistas com
variação do parâmetro Cdist. Os valores calculados para o momento crítico elástico
pelas equações (2.30) e (2.58), sugeridas por Roik, Hanswille e Kina (1990)
(adotada pela ABNT NBR 8800:2008) e por Hanswille (2002), respectivamente, são
dados nessa tabela. Constam, também, os resultados numéricos obtidos no Ansys
14.0 (2011).
Tabela 4.4 – Momento crítico elástico variando o parâmetro Cdist
Fonte: Autor
ABNT NBR8800:2008
(M cr,ABNT )
Hanswille (2002) (M cr,HANS )
Numérico (M cr,NUM )
M cr,NUM / M cr,ABNT M cr,NUM / M cr,HANS
M1 0 676 374 492 73% 132%M2 0,25 578 353 472 82% 134%M3 0,5 499 317 450 90% 142%M4 0,75 432 300 424 98% 141%M5 1 377 285 387 103% 136%M6 0,25 779 396 512 66% 129%M7 0,5 889 447 531 60% 119%M8 0,75 992 476 550 55% 116%M9 1 1.102 508 568 52% 112%
M10 0,5 2.526 727 575 23% 79%M11 0,75 1.839 - 729 40% -M12 1 1.492 448 748 50% 167%M13 1,25 1.285 - 741 58% -M14 1,5 1.157 - 729 63% -M15 1,75 1.065 - 716 67% -M16 2 1.004 - 704 70% -M17 2,25 956 - 694 73% -M18 2,5 925 - 685 74% -M19 0,5 2.064 785 595 29% 76%M20 0,75 1.382 - 756 55% -M21 1 1.053 445 752 71% 169%M22 1,25 858 - 731 85% -M23 1,5 791 - 709 90% -M24 1,75 731 - 690 94% -M25 2 694 - 673 97% -M26 2,25 664 - 658 99% -M27 2,5 645 - 646 100% -M28 0,5 1.717 723 682 40% 94%M29 0,75 1.096 - 763 70% -M30 1 834 418 748 90% 179%M31 1,25 712 - 720 101% -M32 1,5 645 - 694 108% -M33 1,75 609 - 671 110% -M34 2 578 - 651 113% -M35 2,25 554 - 634 114% -M36 2,5 542 - 619 114% -M37 0,5 1.333 668 709 53% 106%M38 0,75 846 - 767 91% -M39 1 670 394 741 111% 188%M40 1,25 584 - 704 121% -M41 1,5 536 - 669 125% -M42 1,75 505 - 639 126% -M43 2 487 - 612 126% -M44 2,25 475 - 590 124% -M45 2,5 463 - 572 124% -
Modelos ψψψψ
M cr (kNm)
100
Como visto, a equação (2.30) proposta por Roik, Hanswille e Kina (1990) é a mesma
usada pela atual norma brasileira ABNT NBR 8800:2008. A equação (2.58),
proposta por Hanswille (2002), foi utilizada na validação do modelo numérico.
Para os modelos com vãos submetidos a momento fletor linear (modelos M1 a M9 -
Tabela 4.4) a formulação da ABNT NBR 8800:2008 apresenta resultados maiores do
que os obtidos numericamente, com exceção do modelo M5. Já formulação de
Hanswille (2002) apresenta resultados abaixo do numérico (Figura 4.2 e Figura 4.3).
Figura 4.2 – Mcr x ψ para vigas mistas submetidas a momento fletor negativo linear (carregamento - caso 1)
Fonte: Autor
Figura 4.3 – Mcr x ψ para vigas mistas submetidas a momento fletor linear positivo e negativo (carregamento – caso 2)
Fonte: Autor
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
0 0,5 1 1,5
Mcr
(k
Nm
)
ψψψψ
ABNT NBR 8800:2008
Hanswille (2002)
ANSYS
300
400
500
600
700
800
900
1.000
1.100
1.200
0 0,5 1 1,5
Mcr
(k
Nm
)
ψψψψ
ABNT NBR 8800:2008
Hanswille (2002)
ANSYS
101
Conforme visto na validação do modelo numérico e afirmado por Jonhson e
Anderson (2004), os resultados numéricos para vãos extremos não concordam com
os propostos por Roik, Hanswille e Kina (1990), mas estão de acordo com os de
Hanswille (2002). Nos modelos de viga mista com perfis de alma senoidal (modelos
M10 a M18 - Tabela 4.4 e Figura 4.4), observa-se essa mesma afirmação no que se
refere à formulação da ABNT NBR 8800:2008. No entanto, a análise da formulação
de Hanswille (2002) não pôde ser feita, pois a sua abrangência é limitada, não
contemplando todos os valores de ψ analisados por Roik, Hanswille e Kina (1990).
Figura 4.4 – Mcr x ψ para vão extremo com carga distribuída
Fonte: Autor
Para vãos internos (modelos M19 a M45 - Tabela 4.4 e Figura 4.5, Figura 4.6, Figura
4.7) observa-se uma maior aproximação dos resultados numéricos com os obtidos
pela formulação da ABNT NBR 8800:2008. Conforme afirmado por Jonhson e
Anderson (2004), a formulação proposta por Roik, Hanswille e Kina (1990) é
satisfatória para vãos internos.
400
900
1.400
1.900
2.400
2.900
0 1 2 3
Mcr
(k
Nm
)
ψψψψ
ABNT NBR 8800:2008
ANSYS
102
Figura 4.5 – Mcr x ψ para vão interno com carga distribuída (carregamento - caso 1)
Fonte: Autor
Figura 4.6 – Mcr x ψ para vão interno com carga distribuída (carregamento - caso 2)
Fonte: Autor
Figura 4.7 – Mcr x ψ para vão interno com carga distribuída (carregamento - caso 3)
Fonte: Autor
400
900
1.400
1.900
2.400
0 1 2 3
Mcr
(k
Nm
)
ψψψψ
ABNT NBR 8800:2008
ANSYS
500
700
900
1.100
1.300
1.500
1.700
1.900
0 1 2 3
Mcr
(k
Nm
)
ψψψψ
ABNT NBR 8800:2008
ANSYS
400
600
800
1.000
1.200
1.400
0 1 2 3
Mcr
(k
Nm
)
ψψψψ
ABNT NBR 8800:2008
ANSYS
103
Quando ψ é igual a 0,5 em vãos extremo e internos (modelos M10, M19, M28 e M37
- Tabela 4.4), os valores do momento crítico elástico obtidos numericamente são
sempre inferiores aos da formulação da ABNT NBR 8800:2008. Há um maior
afastamento no início do gráfico entre o Mcr numérico e o da ABNT NBR 8800:2008
nas Figura 4.4, Figura 4.5, Figura 4.6 e Figura 4.7 (ψ = 0,5). A condição de
carregamento distribuído nas vigas mistas para ψ igual a 0,5 ocasiona uma menor
região de momento fletor negativo no vão analisado. Para cada caso da Figura 4.8
observa-se que o vão adjacente ao analisado está na sua maior parte submetido a
momento fletor negativo, influenciando os resultados obtidos para Mcr. Como Roik,
Hanswille e Kina (1990) analisaram vigas contínuas em modelos de um único vão,
não consideraram a influência do momento negativo do vão adjacente, resultando
em valores maiores para o Mcr.
Figura 4.8 – Diagramas de momento fletor nas vigas mistas contínuas de vão extremo e vão interno com ψ = 0,5
a) vão extremo de uma viga mista
b) vão interno de uma viga mista – carregamento caso 1
c) vão interno de uma viga mista – carregamento caso 2
d) vão interno de uma viga mista – carregamento caso 3
Fonte: Autor
Na Tabela 4.5, são mostrados análises paramétricas em modelos de um único vão
submetidos a momento fletor negativo uniforme, objetivando a análise da influência
104
dos parâmetros da rigidez da laje (k1), rigidez da alma (k2), rigidez da conexão de
cisalhamento (k3), vão da viga (L) e inércia da mesa inferior do perfil de aço (Iaf,y). Os
valores calculados para o momento crítico elástico pelas equações (2.30) e (2.58),
sugeridas por Roik, Hanswille e Kina (1990) (adotada pela ABNT NBR 8800:2008) e
por Hanswille (2002), respectivamente, são dados nessa tabela. Constam, também,
os resultados numéricos obtidos no Ansys 14.0 (2011).
Tabela 4.5 – Momento crítico elástico para vãos de momento fletor linear constante
Fonte: Autor
Em todos os modelos (Tabela 4.5), os resultados da formulação da ABNT NBR
8800:2008 estão próximos dos resultados numéricos, comprovando a eficiência
dessa formulação para esses casos. A equação proposta por Hanswille (2002)
superdimensiona vigas mistas submetidas a momento fletor negativo constante.
Tomando como exemplo o modelo numérico M52 da Tabela 4.5, percebe-se que a
equação (2.58) apresenta resultados afastados dos numéricos (Mcr,NUM / Mcr,HANS =
180%).
ABNT NBR8800:2008
(Mcr,ABNT )
Hanswille (2002) (Mcr,HANS)
Numérico (M cr,NUM )
M cr,NUM / M cr,ABNT M cr,NUM / M cr,HANS
M46 244 250 236 97% 94%M47 349 287 348 100% 122%M5 377 285 387 103% 136%M48 431 397 458 106% 115%M49 1.645 984 1.739 106% 177%M50 1.556 926 1.655 106% 179%M51 1.484 871 1.593 107% 183%M52 1.374 839 1.514 110% 180%M53 1.291 797 1.416 110% 178%M54 1.227 754 1.389 113% 184%
M55 382 285 392 103% 138%M5 377 285 387 103% 136%M56 375 285 384 102% 135%
M57 374 285 383 102% 134%M58 378 331 407 108% 123%M59 378 320 393 104% 123%M5 377 315 387 103% 123%M60 377 310 387 103% 125%M61 377 292 392 104% 134%M5 377 285 387 103% 136%M62 415 339 432 104% 127%M63 479 454 518 108% 114%M64 561 550 646 115% 117%M65 595 625 731 123% 117%
M cr (kNm)
I af,y
ModelosParâmetro analisado
K1
K2
K3
L/h
105
Na Figura 4.9, observa-se que o momento crítico elástico cresce com o aumento da
rigidez rotacional da laje (k1). A formulação da ABNT NBR 8800:2008 aproxima-se
dos resultados numéricos. Já a formulação de Hanswille (2002), para uma rigidez
rotacional maior do que 50 kNm/m apresenta valores mais afastados dos resultados
numéricos.
Figura 4.9 – Mcr x k1 para vão com momento fletor negativo constante
Fonte: Autor
Na análise da rigidez rotacional da alma do perfil de aço (k2) constata-se que o
momento crítico elástico cresce com o aumento dessa rigidez (Figura 4.10). A
formulação da ABNT NBR 8800:2008 apresenta resultados próximos aos numéricos.
A formulação de Hanswille (2002) possui resultados abaixo do numérico, ou seja, a
favor da segurança, entretanto, seus valores encontram-se muito afastados.
Figura 4.10 – Mcr x k2 para vão com momento fletor negativo constante
Fonte: Autor
200
250
300
350
400
450
500
50 250 450 650 850
Mcr
(kN
m)
k1(kNm/m)
ABNT NBR8800:2008
Hanswille (2002)
ANSYS
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
100 150 200 250 300 350
Mcr
(kN
m)
k2 (kNm/m)
ABNT NBR8800:2008
Hanswille (2002)
ANSYS
106
O momento crítico elástico apresenta uma pequena variação com o aumento da
rigidez rotacional da conexão (k3), Figura 4.11. Percebe-se que a formulação da
ABNT NBR 8800:2008 apresenta resultados próximos ao numérico, enquanto a
formulação de Hanswille (2002) possui resultados mais afastados.
Figura 4.11 – Mcr x k3 para vão com momento fletor negativo constante
Fonte: Autor
O aumento do vão da viga (L) reduz o momento crítico elástico numérico, Figura
4.12. O valor do Mcr obtido pela formulação da ABNT NBR 8800:2008 não apresenta
variação com o aumento do vão. Conforme afirmado por Johnson (2004), o termo
GaJ, rigidez à torção uniforme do perfil de aço, é pequeno quando comparado com
krL²/π², podendo ser desprezado no cálculo do momento crítico elástico sem perda
de precisão. Ao desprezar o termo GaJ, o Mcr calculado pela formulação da ABNT
NBR 8800:2008 torna-se independe do vão L.
Figura 4.12 – Mcr x L para vão com momento fletor negativo constante
Fonte: Autor
200
250
300
350
400
450
5 10 15 20
Mcr
(kN
m)
L (m)
ABNT NBR 8800:2008
Hanswille (2002)
ANSYS
107
Na análise da influência do comprimento do vão, L, pôde-se constatar que a
formulação da ABNT NBR 8800:2008 aproxima-se dos resultados numéricos,
enquanto a formulação de Hanswille (2002) apresenta resultados mais afastados
(Figura 4.12).
Com o aumento da espessura da mesa do perfil de aço (tf), aumenta-se o momento
de inércia da mesa inferior do perfil de aço (Iaf,y). Na Figura 4.13, observa-se que
quanto maior o valor de Iaf,y, maior é o momento crítico elástico na viga. As
formulações da ABNT NBR 8800:2008 e de Hanswille (2002) apresentam resultados
próximos ao numérico.
Figura 4.13 – Mcr x Iaf,y para vão com momento fletor negativo constante
Fonte: Autor
Na Tabela 4.6, são mostrados análises paramétricas em modelos de vãos extremos
submetidos à carga distribuída e ψ = 1,0, objetivando a análise da influência dos
parâmetros da rigidez da laje (k1), rigidez da alma (k2), rigidez da conexão de
cisalhamento (k3), vão da viga (L) e inércia da mesa inferior do perfil de aço (Iaf,y). Os
valores calculados para o momento crítico elástico pelas equações (2.30) e (2.58),
sugeridas por Roik, Hanswille e Kina (1990) e por Hanswille (2002),
respectivamente, são dados nessa tabela. Constam, também, os resultados
numéricos obtidos no Ansys 14.0 (2011).
Pela Tabela 4.6, percebe-se que os valores do Mcr para vigas mistas com perfis de
alma senoidal obtidos pela formulação da ABNT NBR 8800:2008 estão acima dos
resultados numéricos. Essa formulação apresenta resultados contra a segurança
para o dimensionamento de vãos extremos de vigas mistas. Já formulação de
100
200
300
400
500
600
700
800
100 200 300 400
Mcr
(kN
m)
Iaf,y (cm4)
ABNT NBR8800:2008
Hanswille (2002)
ANSYS
108
Hanswille (2002) apresenta valores de momento crítico inferiores aos numéricos. Em
alguns casos, a diferença é bem acentuada, por exemplo, no modelo numérico M85
da Tabela 4.6, onde a relação entre o Mcr numérico e o Mcr obtido pela equação
(2.58) é quase o dobro (192%).
Tabela 4.6 – Momento crítico elástico para vãos extremos com carga distribuída e ψ = 1,0
Fonte: Autor
As Figura 4.14, Figura 4.15, Figura 4.16, Figura 4.17 e Figura 4.18, mostram a
variação do Mcr em função dos parâmetros de rigidez rotacional da laje (k1), rigidez
da conexão de cisalhamento (k3), vão da viga (L) e inércia da mesa inferior do perfil
de aço (Iaf,y) no cálculo do momento crítico elástico (Mcr) para modelos de vãos
extremos submetidos carga distribuída e ψ = 1,0. Quando se observa somente a
variação dos momentos críticos numéricos e da ABNT NBR 8800:2008 em função
de cada parâmetro, fica clara a semelhança com a variação observada nos modelos
submetidos a momento fletor constante, excetuando o parâmetro de rigidez da alma
(k2) que não teve influência no modelo de vão extremo.
ABNT NBR8800:2008
(Mcr,ABNT )
Hanswille (2002) (Mcr,HANS)
Numérico (M cr,NUM )
M cr,NUM / M cr,ABNT M cr,NUM / M cr,HANS
M66 962 344 499 52% 145%M67 1.379 439 681 49% 155%M12 1.492 448 748 50% 167%M68 1.705 523 858 50% 164%M69 6.501 2.165 2.783 43% 129%M70 6.150 2.159 2.778 45% 129%M71 5.866 2.129 2.774 47% 130%M72 5.428 1.786 2.767 51% 155%M73 5.101 1.709 2.758 54% 161%M74 4.847 1.624 2.746 57% 169%M12 1.492 448 748 50% 167%M75 1.508 448 756 50% 169%M76 1.483 448 744 50% 166%M77 1.477 448 742 50% 166%M78 1.494 694 908 61% 131%
M79 1.492 524 813 54% 155%
M12 1.492 507 748 50% 147%
M80 1.491 486 682 46% 140%
M81 1.491 430 667 45% 155%
M12 1.492 448 748 50% 167%M82 1.639 475 843 51% 177%M83 1.893 577 1.020 54% 177%M84 2.216 706 1.270 57% 180%M85 2.350 754 1.450 62% 192%
L/h
I af,y
Parâmetro analisado
Modelos
K1
K2
K3
M cr (kNm)
109
Pode-se então afirmar que a viga mista contínua de alma senoidal independe de
suas condições de contorno e obedece, aproximadamente, a equação de Roik,
Hanswille e Kina (1990) no que diz respeito à lei de variação dos parâmetros em
estudo.
Figura 4.14 – Mcr x k1 para vão extremo com carga distribuída e ψ = 1,0
Fonte: Autor
Figura 4.15 – Mcr x k2 para vão extremo com carga distribuída e ψ = 1,0
Fonte: Autor
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
50 250 450 650 850
Mcr
(kN
m)
k1 (kNm/m)
ABNT NBR8800:2008
Hanswille (2002)
ANSYS
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
7.000
100 150 200 250 300 350
Mcr
(kN
m)
k2 (kNm/m)
ABNT NBR8800:2008
Hanswille (2002)
ANSYS
110
Figura 4.16 – Mcr x k3 para vão extremo com carga distribuída e ψ = 1,0
Fonte: Autor
Figura 4.17 – Mcr x L para vão extremo com carga distribuída e ψ = 1,0
Fonte: Autor
Figura 4.18 – Mcr x Iaf,y para vão extremo com carga distribuída e ψ = 1,0
Fonte: Autor
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
800 1000 1200 1400
Mcr
(kN
m)
k3 (kNm/m)
ABNT NBR8800:2008
Hanswille (2002)
ANSYS
200
400
600
800
1.000
1.200
1.400
1.600
5 10 15 20
Mcr
(kN
m)
L (m)
ABNT NBR8800:2008
Hanswille (2002)
ANSYS
100
600
1.100
1.600
2.100
2.600
100 200 300 400
Mcr
(kN
m)
Iaf,y (cm4)
ABNT NBR8800:2008
Hanswille (2002)
ANSYS
111
4.3.2 Procedimento para determinação do momento crí tico elástico de vigas mistas contínuas com perfis de alma senoidal
Neste trabalho propõe-se o uso da expressão da ABNT NBR 8800:2008, equação
(2.30), proposta por Roik, Hanswille e Kina (1990), para o cálculo do momento crítico
elástico de vigas mistas contínuas com perfis de alma senoidal com algumas
modificações. Para maior clareza, a expressão foi aqui repetida, equação (4.2).
afyaragdist
cr IEL
kJGL
CM
+=
2
2
πα
(4.2)
sendo,
L o comprimento da viga entre apoios verticais;
Ga o módulo de elasticidade transversal do aço;
Iafy o momento de inércia da mesa inferior do perfil de aço em relação ao eixo y.
O parâmetro Cdist depende da distribuição de momentos fletor no comprimento L.
Nesse trabalho, propõe-se a utilização do Cdist,num, calculado pela equação (4.3).
�����,|¯J = �� ,|¯J��� °(�� + ! �"#",%�&�'�
(4.3)
onde,
Mcr,num é o valor do momento crítico elástico obtido numericamente.
Os valores de Cdist obtidos numericamente são apresentados na Tabela 4.7 para os
casos de vãos extremos e internos de vigas mistas contínuas com carga distribuída.
Na Tabela 4.8 são apresentados os valores de Cdist numéricos para vãos de vigas
mistas contínuas sem cargas transversais. As Tabela 4.7 e Tabela 4.8 devem ser
utilizadas no lugar das Tabela 2.1 e Tabela 2.2 da ABNT NBR 8800:2008, para vigas
mistas com perfis de alma senoidal.
112
Tabela 4.7 – Valores de Cdist para vãos com cargas distribuídas Condições de carregamento
e apoio
Diagrama de momento fletor 1)
Cdist
ψ=0,50 ψ=0,75 ψ=1,00 ψ=1,25 ψ=1,50 ψ=1,75 ψ=2,00 ψ=2,25 ψ=2,50
MoMoψ
9,4 12,0 12,3 12,2 12,0 11,8 11,6 11,4 11,2
M oM oψ 0.50 Mψ o
9,8 12,4 12,4 12,0 11,7 11,3 11,1 10,8 10,6
M oM oψ 0.75 Mψ o
11,2 12,5 12,3 11,8 11,4 11,0 10,7 10,4 10,2
M oMoψ Moψ
11,6 12,6 12,2 11,6 11,0 10,5 10,1 9,7 9,4
NOTA:
1) Mo é o momento máximo solicitante de cálculo, considerando o tramo analisado como biapoiado.
Fonte: autor
Tabela 4.8 – Valores de Cdist para vãos sem cargas transversais Condições de carregamento
e apoio
Diagrama de momento fletor
1)
Cdist
ψ=0,00 ψ=0,25 ψ=0,50 ψ=0,75 ψ=1,00
M ψ M
aceitável
8,1 7,8 7,4 7,0 6,4
M
ψ Maceitável
8,1 8,4 8,7 9,0 9,3
NOTA: 1) M é o maior momento negativo solicitante de cálculo, em módulo, no trecho analisado, sendo que valores de ψ maiores que 1,00 devem ser tomados iguais a 1,00.
Fonte: autor
O parâmetro αg é um fator relacionado à geometria da seção transversal da viga
mista. Se o perfil de aço for duplamente simétrico, o parâmetro é calculado pela
equação (4.4). Caso seja perfil de aço simétrico em relação ao eixo situado no plano
de flexão, deve ser calculado pela equação (4.5).
113
�� = (ℎ*&+&�+ ,�ℎ*"4 + .&�+ + &��/�� $0 + ℎ*
(4.4)
�� = (ℎ*&+&�+ ,.1' − 1�/" + .&�+ + &��/��0 + 2.1' − 14/
(4.5)
onde,
yc é a distância do centro geométrico do perfil de aço à metade da altura da laje de concreto;
A é a área da seção mista na região de momento negativo (perfil de aço mais armadura da laje);
ys é a distância do centro geométrico de cisalhamento do perfil de aço, positiva quando o centro de cisalhamento e a mesa comprimida pelo momento negativo estão no mesmo lado do centro geométrico;
Ix é o momento de inércia da seção mista na região de momento negativo (perfil de aço mais a armadura da laje) com relação ao eixo x;
Iax e Iay são os momentos de inércia da seção de aço com relação a seus eixos baricêntricos;
Aa é a área do perfil de aço;
sendo,
0 = �&�+��1�5� − ��6 (4.6)
1' = ℎ*&�'�&�� (4.7)
14 = 1� − 7158" + 1"6��2&�+ (4.8)
Quando &�',� > 0,5&�� pode-se tomar:
14 = 0,40ℎ* �2 &�',�&�� − 1$ (4.9)
114
As equações (4.10), (4.11) e (4.12) determinam as propriedades da seção
transversal do perfil de aço de alma senoidal, descrito no catálogo de Zeman & Co
(1999).
&�+ = .F'?'/"2.F'?'/ .ℎ@ + ?'/"
(4.10)
&�� = ?'F'�6 (4.11)
�� = 2F'?' + ℎ@?@ (4.12)
A constante de torção do perfil de aço de alma senoidal (J) é calculada conforme
equação (4.13):
= 23 ∙ F'?'� + 13 ∙ ℎ@?@� (4.13)
Nas expressões acima, bf é a largura da mesa do perfil de aço, tf é a espessura da
mesa, hw e tw são a altura e espessura da alma do perfil, respectivamente.
Para a determinação da rigidez rotacional da viga mista com perfil de alma senoidal
(kr), adotar a proposição de Calenzani (2008), item 2.4.
A Tabela 4.9 e a Tabela 4.10 mostram os valores obtidos para o momento crítico
elástico por meio do procedimento proposto de vigas mistas com perfis de alma
senoidal considerando vão com momento fletor constante e vão extremo com carga
distribuída, respectivamente.
115
Tabela 4.9 – Comparação entre o Mcr numérico e proposto para vão com momento fletor constante
Fonte: autor
Procedimento proposto (M cr,PROP )
Numérico (M cr,NUM )
M cr,NUM /
M cr,PROP
M46 251 236 94%M47 360 348 97%M5 390 387 99%M48 445 458 103%M49 1.698 1.739 102%M50 1.607 1.655 103%M51 1.532 1.593 104%M52 1.418 1.514 107%M53 1.333 1.416 106%M54 1.266 1.389 110%
M55 394 392 100%M5 390 387 99%M56 387 384 99%
M57 386 383 99%M58 390 407 104%M59 390 393 101%M5 390 387 99%M60 389 387 99%M61 389 392 101%M5 390 387 99%
M62 428 432 101%
M63 494 518 105%
M64 579 646 112%
M65 614 731 119%
I af,y
ModelosParâmetro analisado
K1
K2
K3
L/h
M cr (kNm)
116
Tabela 4.10 – Comparação entre o Mcr numérico e proposto para vão extremo com carga distribuída e ψ = 1,0
Fonte: autor
Nas Figura 4.19 e Figura 4.20, são apresentadas saídas gráficas dos valores obtidos
pela fórmula proposta para o cálculo do momento crítico elástico de vigas mistas
contínuas com perfis de alma senoidal, considerando vão com momento fletor
constante e vão extremo com carga distribuída, respectivamente. Essas figuras
ratificam a boa concordância entre os valores do momento crítico elástico obtidos
pela formulação proposta (Mcr,prop) e os valores obtidos numericamente (Mcr,num), pois
a dispersão em relação à linha de ajuste é pequena.
Procedimento proposto (M cr,PROP )
Numérico (M cr,NUM )
M cr,NUM /
M cr,PROP
M66 483 499 103%M67 692 681 98%M12 749 748 100%M68 856 858 100%M69 3.264 2.783 85%M70 3.088 2.778 90%M71 2.945 2.774 94%M72 2.725 2.767 102%M73 2.561 2.758 108%M74 2.433 2.746 113%
M75 757 756 100%M12 749 748 100%M76 744 744 100%M77 742 742 100%M78 750 908 121%M79 749 813 108%M12 749 748 100%M80 748 682 91%M81 748 667 89%M12 749 748 100%M82 823 843 102%M83 950 1.020 107%M84 1.113 1.270 114%M85 1.180 1.450 123%
M cr (kNm)
L/h
I af,y
Parâmetro analisado
Modelos
K1
K2
K3
117
Figura 4.19 – Mcr,num x Mcr,prop para vãos com momento fletor negativo constante
Fonte: autor
Figura 4.20 – Mcr,num x Mcr,prop para vãos extremos com carga distribuída e ψ = 1,0
Fonte: autor
100
300
500
700
900
1.100
1.300
1.500
1.700
1.900
100 600 1.100 1.600 2.100
Mcr
,pro
p (k
N/m
)
Mcr,num (kN/m)
400
900
1.400
1.900
2.400
2.900
3.400
3.900
500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000
Mcr
,pro
p (k
N/m
)
Mcr,num (kN/m)
118
5 CONCLUSÕES
5.1.1 Sobre o trabalho realizado
Neste trabalho, foi desenvolvido e apresentado um procedimento para determinação
do momento crítico elástico de vigas mistas contínuas com perfis de alma senoidal,
com vistas à verificação do estado limite último de flambagem lateral com distorção
(FLD). Para se chegar a esse procedimento, inicialmente, foi desenvolvida uma
modelagem numérica usando o programa Ansys 14.0 (2011), a qual foi aferida
tomando como referência o exemplo numérico de Hanswille (2002) com viga de
alma plana. Em seguida, foram processados oitenta e cinco modelos numéricos
diferentes variando os parâmetros que influem no cálculo do momento crítico
elástico (condições de contorno, rigidezes rotacionais da laje, da alma e da conexão
de cisalhamento, comprimento da viga e esbeltez da mesa do perfil). Finalmente, os
resultados numéricos foram analisados e um procedimento para a determinação do
momento crítico elástico de vigas mistas contínuas com perfis de alma senoidal foi
proposto.
Para o cálculo do momento crítico elástico de vigas mistas contínuas com perfis de
alma senoidal, o procedimento proposto utiliza a expressão prescrita pela ABNT
NBR 8800:2008 para vigas mistas com perfis de alma plana com adaptações nos
valores do parâmetro Cdist e da rigidez rotacional. Com base na análise numérica,
valores de Cdist mais adequados são propostos para vãos extremos e internos de
vigas mistas contínuas sujeita a carregamento distribuído e vigas sem cargas
transversais. Para o cálculo da rigidez rotacional de vigas mistas com perfis de alma
senoidal, propõe-se a utilização do procedimento de Calenzani (2008). As
características geométricas do perfil de aço devem ser obtidas considerando a alma
senoidal.
A adequação do procedimento para a obtenção do momento crítico elástico de vigas
mistas com perfis de alma senoidal foi confirmada pela boa concordância observada
entre os valores propostos e os numéricos, tanto para vigas mistas submetidas a
momento fletor negativo linear quanto para vigas mistas submetidas a carregamento
119
distribuído. O máximo desvio obtido entre o momento crítico obtido numericamente e
o obtido pelo procedimento proposto para menos foi de 11% e para mais de 23%.
Da análise dos resultados numéricos obtêm-se algumas considerações importantes.
Uma delas está relacionada à modelagem numérica das vigas mistas. Foi observada
uma considerável influência se a viga mista contínua é modelada considerando
todos os seus vãos ou se é modelada de forma simplificada, considerando apenas o
vão analisado como biapoiado. Devido à influência do vão adjacente ao vão
analisado, o modelo completo da viga mista possui um valor do momento crítico
elástico menor do que o Mcr do modelo simplificado para ψ = 0,5. Essa observação
induz a uma discussão a respeito da confiabilidade da Tabela 2.6 da ABNT NBR
8800:2008, uma vez que a mesma fornece resultados contrários à segurança para
os casos mostrados de ψ = 0,5.
A formulação proposta por Roik, Hanswille e Kina (1990) para o cálculo do momento
crítico elástico de vigas mistas é bastante precisa para vigas sem cargas
transversais (vigas submetidas a momento fletor linear) e para vãos internos de
vigas mistas submetidas a cargas distribuídas. Mas, necessita de uma melhor
validação para vãos extremos de vigas mistas contínuas. A formulação de Hanswille
(2002) apresenta ser mais confiável para o cálculo do Mcr, entretanto,
subdimensiona em alguns casos o valor desse momento e não abrange todos os
possíveis casos propostos por Roik, Hanswille e Kina (1990), restringido a sua
aplicação.
A flambagem lateral com distorção (FLD) em vigas mistas de aço e concreto
contínuas deve ser verificada nas regiões de momento negativo e, em muitas
situações, constitui-se o estado-limite último predominante. Neste contexto, acredita-
se que os resultados deste trabalho representem uma contribuição fundamental para
o projeto de vigas mistas de alma senoidal, pois permitem a determinação da
capacidade resistente à FLD uma vez que, com o valor do momento crítico elástico
definido, o momento fletor negativo resistente pode ser imediatamente obtido por
uma das aproximações de projeto já mencionadas anteriormente.
120
5.1.2 Sugestões para trabalhos futuros
Considera-se que o presente estudo represente uma contribuição adicional para a
compreensão e caracterização do fenômeno da flambagem lateral com distorção
(FLD) de vigas mistas de aço e concreto. Mas, a principal força deste trabalho
encontra-se no seu lado inédito, que vem da proposição desenvolvida para a
determinação do momento crítico elástico de vigas mistas contínuas com perfis de
aço de alma senoidal.
Procurou-se considerar da forma mais precisa possível todos os fatores envolvidos
na questão da FLD de vigas mistas com perfis de aço de alma senoidal, buscando
assegurar a confiabilidade da proposição desenvolvida e garantir a futuros
interessados o seu uso com segurança. A metodologia utilizada e a sua
implementação se mostraram adequadas, o que possibilitou o entendimento e a
validação dos resultados.
Contudo, alguns itens merecem estudos complementares e existem assuntos
correlatos que podem ser abordados em pesquisas posteriores. Portanto, sugere-se:
- verificar o parâmetro Cdist da formulação do Mcr de Roik, Hanswille e Kina (1990)
utilizando modelos numéricos com dois e três vãos em vigas mistas contínuas com
perfis de alma plana;
- determinar um procedimento similar para a determinação do momento crítico
elástico na região de momento negativo de vigas mistas semicontínuas com perfis
de aço de alma senoidal;
- verificar se as proposições de Chen e Ye (2010) e Ye e Chen (2013) para o cálculo
do momento crítico elástico de vigas mistas com alma plana podem ser adaptadas
para vigas mistas com perfis de alma senoidal;
- analisar e propor um procedimento para verificação de vigas mistas contínuas e
com perfis de alma senoidal submetidas à carga concentrada;
121
- analisar a influência do parâmetro αg (fator relacionado à geometria da seção
transversal da viga mista) no valor do Mcr de vigas mistas contínuas e
semicontínuas;
- desenvolver modelos numéricos que retratem o comportamento não-linear das
vigas mistas com perfis de alma senoidal, incluindo a modelagem das imperfeições
geométricas, tensões residuais e escoamento do aço, para identificação do modo de
colapso e determinação do momento fletor resistente à FLD.
122
6 REFERÊNCIAS
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