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Diagnóstico Médico Fuzzy de Doenças Infantis
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
Mariana Fernandes dos Santos Villela Patrícia Borges dos Santos
[email protected] [email protected]
Rosana Sueli da Motta Jafelice
Introdução A Modelagem Matemática tem como objetivo interpretar e compreender os mais
diversos fenômenos do nosso cotidiano e poder descrevê-los, analisá-los e interpretá-los com
o propósito de gerar discussões reflexivas sobre tais acontecimentos que cercam nosso
cotidiano.
Neste trabalho, a modelagem é realizada através da Teoria dos conjuntos Fuzzy, o qual
tem por objetivo o diagnóstico médico fuzzy de doenças infantis tais como, catapora,
caxumba, coqueluche e meningite. Para isto, foi necessário a colaboração de especialistas,
neste caso pediatras, e a partir de sinais e sintomas apresentado pelos pacientes, simulamos a
atuação do médico no diagnóstico de seus doentes, com o intuito de ajudar este em suas
tomadas de decisões e optar por exames laboratoriais.
Além disso, realizamos o estudo de dois modelos de propagação de doenças
transmissíveis (epidemias) os quais são, SIR (Suscetível Infectado Recuperado) e SIRS
(Suscetível Infectado Recuperado Suscetível) que servem para exemplificar o a propagação de
doenças estudadas no Diagnóstico Médico Fuzzy.
Conjuntos fuzzy
Histórico Em 1965, com uma publicação de Lotfi A. Zadeh ("Fuzzy Sets", Information and
Control, Vol. 8, pp. 338-353) surgiu uma nova teoria de conjuntos. Professor da Universidade
da Califórnia, Berkeley, considerado um grande colaborador do controle moderno, Zadeh
criou uma teoria de conjuntos em que não há descontinuidades, ou seja, não há uma distinção
abrupta entre elementos pertencentes e não pertencentes a um conjunto, os são os Conjuntos
Nebulosos. Começava aí a se desenvolver a Teoria Fuzzy (Nebulosa), para tratar de variáveis
"imprecisas", ou definidas de forma "vaga".
Zadeh percebeu que a modelagem de muitas atividades relacionadas a problemas
industriais, biológicos ou químicos seria complexa demais se implementada da forma
convencional. Os sistemas fuzzy foram utilizados, com sucesso, em algumas aplicações que
se tornaram exemplos clássicos. Destaca-se a primeira aplicação que se tornou pública:
• Em 1974 o professor Mamdani, do Queen Mary College, da Universidade de Londres,
implementou um controle de uma máquina a vapor, baseado em lógica fuzzy. Até
então, não se tinha conseguido automatizar essas máquinas com outras técnicas de
controle, nem mesmo com algoritmo PID.
Com o tempo, outras aplicações foram surgindo. No oriente, onde a cultura fez com que os
conceitos da lógica nebulosa fossem aceitos com maior facilidade do que no mundo oriental,
investiu-se muito em soluções baseadas em modelagem e controle fuzzy, e, além disso,
inúmeras aplicações surgiram principalmente no Japão.
Apesar de os estudos teóricos terem se desenvolvido na Europa e nos Estados Unidos, as
aplicações nunca tiveram lá a mesma ênfase que tiveram no oriente, principalmente no Japão,
que investiu muito no desenvolvimento de tecnologias baseadas na Teoria Fuzzy.
Hoje, empresas como Boeing, General Motors, Allen-Bradley, Chrysler, Eaton e
Whirlpool têm procurado soluções diversas na Teoria Fuzzy. Controle de refrigeradores de
baixa potência, transmissão automotiva, e motores elétricos de alta eficácia fazem parte de
suas linhas de pesquisa.
Nos Estados Unidos, a Agência de Proteção Ambiental estuda o uso de controle Fuzzy em
motores. A NASA tem estudado a aplicação da Teoria Fuzzy na ancoragem automática de
suas naves no espaço. Simulações mostram que um Sistema Fuzzy pode reduzir
significativamente o consumo em motores a combustão [2].
Definição Um subconjunto fuzzy A de U é definido em termos de uma função pertinência u que
a cada elemento x de U associa um número ( )u x , entre zero e um, que é chamado o grau de
pertinência de x em A. Assim o conjunto A é definido da seguinte maneira:
[ ]: 0,1Au U → .
Os valores ( ) 1Au x = e ( ) 0Au x = significam a pertinência e a não pertinência do
elemento x a A.
Operações entre conjuntos fuzzy Sejam A e B subconjuntos clássicos de U representados pelas funções características Au e Bu ,
respectivamente. Os conjuntos
{ ; ou }A B x U x A x B∪ = ∈ ∈ ∈ ,
{ ; e }A B x U x A x B∩ = ∈ ∈ ∈ ,
' { ; }A x U x A= ∈ ∉ .
Definição1: Sejam A e B conjuntos fuzzy. As funções de pertinência que representam os
conjuntos fuzzy união (Figura 1), intersecção (Figura 2) e complementar (Figura 3) de
conjuntos fuzzy são dados por, x U∀ ∈ ,
( ) ( )max{ , }A B A Bu u x u x∪ = ,
( ) ( )min{ , }A B A Bu u x u x∩ = ,
( ) ( )' 1 }.A Au x u x= −
Figura 1: Representa a união dos conjuntos fuzzy.
Figura 2: Representa a intersecção dos conjuntos fuzzy.
Figura 3: Representa o complementar dos conjuntos fuzzy.
Exemplo: Seja U um conjunto universo composto por pacientes de uma clínica, identificados
pelos números 1, 2, 3, 4 e 5. Sejam A e B os conjuntos fuzzy que representam os pacientes
com febre e dor, respectivamente. A Tabela 1, abaixo, representa a união, intersecção e
complemento.
Paciente Febre ( )Au Dor ( )Bu A Bu ∪ A Bu ∩ 'Au 'A Au ∩
1 0.7 0.6 0.7 0.6 0.3 0.3
2 1.0 1.0 1.0 1.0 0.0 0.0
3 0.4 0.2 0.4 0.2 0.6 0.4
4 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
5 1.0 0.2 1.0 0.2 0.0 0.0
Tabela 1: União, intersecção e complementar dos conjuntos A e B.
Normas Triangulares Generalizando os operadores de união e intersecções têm as normas triangulares, que podem
ser definidas da seguinte maneira [1]:
Definição2: Uma co-norma triangular (s-norma) é uma operação binária
[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1s X → satisfazendo:
• Comutatividade: xsy = ysx
• Associatividade: xs(ysz) = (xsy)sz
• Monotonicidade: Se x≤y e w≤ z então xsw≤ysz
• Condições de Fronteira: xs0 = x, xs1=1.
Temos como exemplo de uma s-norma o operador max.
1-União padrão (Figura 4)
[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1s X → com xsy = max(x; y).
00.2
0.40.6
0.81
0
0.5
10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
União padrão
Figura 4: s-norma ‘União Padrão’.
2- Soma Algébrica (Figura 5)
[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1s X → com xsy = x+y-xy.
00.2
0.40.6
0.81
0
0.5
10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Soma algébrica
Figura 5: s-norma ‘Soma Algébrica’.
3- Soma Limitada (Figura 6)
[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1s X → com xsy = min(1; x + y).
00.2
0.40.6
0.81
0
0.5
10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Soma limitada
Figura 6: s-norma ‘Soma Limitada’.
4- União Drástica (Figura 7)
[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1s X → com
se 0
se 0
1 caso contrario
x y
xsy y x
=
=
.
00.2
0.40.6
0.81
0
0.5
10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
União drástica
Figura 4: s-norma ‘União Drástica’.
Definição3: Uma norma triangular (t-norma) é uma operação binária [ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1t X →
satisfazendo:
• Comutatividade: xsy = ysx
• Associatividade: xs(ysz) = (xsy)sz
• Monotonicidade: Se x≤y e w≤ z então xsw≤ysz
• Condições de Fronteira: xs0 = 0, xs1=x.
Temos como exemplo de uma s-norma o operador min.
1- Intersecção Padrão (Figura 8)
[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1t X → com xty = min(x; y).
00.2
0.40.6
0.81
0
0.5
10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Intersecção padrão
Figura 8: t-norma ‘Intersecção Padrão’.
2- Produto Algébrico (Figura 9)
[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1t X → com xty = xy.
00.2
0.40.6
0.81
0
0.5
10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Produto algébrica
Figura 9: t-norma ‘Produto Algébrico’.
3- Diferença Limitada (Figura 10)
[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1t X → com xty = max(0; x + y ; 1).
00.2
0.40.6
0.81
0
0.5
10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Diferença limitada
Figura 10: s-norma ‘Diferença Limitada’.
4- Intersecção Drástica (Figura 11)
[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1t X → com
se 1
se 1
0 caso contrario
x y
xsy y x
=
=
.
rara
00.2
0.40.6
0.81
0
0.5
10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Intersecção drástica
Figura 11: s-norma ‘Intersecção Drástica’.
Relações Fuzzy Estudos de associações, relações ou interações, entre os elementos de diversas classes
é de grande interesse na análise e compreensão de muitos fenômenos do mundo real.
Matematicamente, o conceito de relação é formalizado a partir da teoria de conjuntos. Desta
forma, intuitivamente pode-se dizer que a relação será fuzzy quando optamos pela teoria dos
conjuntos fuzzy e será clássica quando optamos pela teoria clássica de conjuntos para
conceituar a relação em estudo. Qual dos modelos adotar, entre estes dois, depende muito do
fenômeno estudado. Porém, a opção pela teoria de conjuntos fuzzy sempre tem maior
robustez no sentido de que esta inclui a teoria clássica de conjuntos.
Uma relação clássica segue a função característica da lógica clássica. Sendo assim,
uma relação de amizade entre duas pessoas, por exemplo (ver [2]), designadas como “amigos”
considera que nas relações humanas ou alguém é seu amigo ou não o é, o que é uma
simplificação da realidade. Uma relação de amizade fuzzy entre duas pessoas considera o
grau de amizade entre elas, sendo assim dois ou mais indivíduos podem se relacionar com
diferentes graus de amizade, desde 1,0 ( são certamente amigos) até 0,0 ( não são amigos).
Formalmente, uma relação fuzzy R entre duas variáveis, e yx X Y∈ ∈ , é definida por uma
função que mapeia o par ordenado ( ,x y ) no espaço X Y× para o seu grau na relação, ou seja,
[ ]: 0,1R X Y× → . Esta definição é facilmente generalizada para relações de dimensões
superiores. Um exemplo importante de relações fuzzy em sistema de diagnósticos é aquela
que relaciona sintomas a doenças, o qual é o foco do nosso trabalho.
Definição 4: Uma relação fuzzy R, sobre 1 2 ... nU U U× × × , é qualquer subconjunto fuzzy do
produto cartesiano 1 2 ... nU U U× × × . Se o produto cartesiano for formado por apenas dois
conjuntos, 1 2U U× , a relação é chamada de fuzzy binária sobre 1 2U U× . Assim, uma relação
fuzzy é definida por uma função de pertinência [ ]1 2: ... 0,1R nU U Uϕ × × × → .
A principal vantagem na opção pela relação fuzzy é que a relação clássica indica
apenas se há ou não relação entre dois objetos, enquanto uma relação fuzzy além de indicar se
existe ou não relação, indica também o grau desta relação. Uma noção que será muito
importante para o nosso trabalho, é o produto cartesiano entre conjuntos fuzzy.
Definição 5: O produto cartesiano fuzzy 1 2 ... nA A A× × × dos subconjuntos fuzzy 1 2, ,..., nA A A
de 1 2, ,..., nU U U , é a relação fuzzy R cuja função de pertinência é
( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 1 2, ,..., ^ ^ ...^
nR n A A A nu x x x u x u x u x=
onde ^ é a t-norma min.
Composição Relações de Fuzzy Considere R e S duas relações fuzzy binárias em 1 2 ... nU U U× × × , respectivamente.
Definição 6: A composição RoS é uma relação fuzzy binária em 1 3U U× , com função de
pertinência dada por
( ) ( ) ( )( )2 2
1 3 1 2 2 3, max min , , ,RoS R Sx U
u x x u x x u x x∈
= .
Agora , definiremos um caso especial da composição max-min, que utilizamos no
trabalho para elaborar o diagnóstico médico fuzzy.
Definição 7: Sejam 1U e 2U dois conjuntos , F( 1U ) e F( 2U ) as classes dos conjuntos fuzzy de
1U e 2U , respectivamente, e R uma relação binária sobre 1 2U U× . Então a relação R define
um funcional de F( 1U ) em F( 2U ) que a cada elemento 1A ∈ F( 1U ), faz corresponder o
elemento 2A ∈ F( 2U ) a função de pertinência é dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 11
1 1
2 2 1 1 2max min , ,A A RR Ax U
u x u x u x u x x∈
= = .
Diagnóstico Médico O objetivo desta aplicação, e deste trabalho, é propor um sistema fuzzy que imite a
atuação de um médico no diagnóstico de seus pacientes, a partir dos sintomas que estes
apresentam. Com o intuito de ajudar o médico a tomar decisões e optar por exames
laboratoriais mais detalhados.
Para isto, foi preciso a interferência de um especialista na área, que neste caso
consultamos dois pediatras Dr. Georges Ishac Abdallah e Dr. Márcia F. Lopes. O trabalho
trata-se de estabelecer um diagnóstico de doenças infantis. A idéia básica é relacionar os
sintomas ou sinais de pacientes com as possíveis doenças, as quais são cataporas, caxumbas,
coqueluches e meningites. Esta aplicação pode ser resumida da seguinte maneira:
Considere os seguintes conjuntos universais:
• U = conjuntos dos pacientes do médico 1;
• S = conjuntos dos pacientes do médico 2;
• V = conjunto dos sintomas;
• W = conjunto das doenças.
Foram analisadas as informações de dois diferentes médicos, os quais obtivemos
conhecimento de sete pacientes 1 2 3 4 5 6 7, , , , , e P P P P P P P , com sintomas s1, s2, s3 ,s4 ,s5, s6 ,s7
,s8 ,s9 ,s10 ,s11 ,s12 ,s13 ,s14 ,s15 ,s16 ,s17 e s18 que apresentaram os diagnósticos
1 2 3 4, , e d d d d , onde:
s1 = pintas vermelhas no corpo s10 = infecção das glândulas
salivares
s2 = coceira s11 = tosse seca s3 = febre s12 = coriza s4 = cansaço s13 = dor muscular
s5 = cefaléia s14 = fraqueza s6 = perda de apetite s15 = dor ao mastigar ou engolir
s7 = rigidez na nuca s16 = mal estar
s8 = calafrios s17 = vômito
s9 = confusão mental s18 = dor de garganta d1 = catapora d3 = coqueluche d2 = caxumba d4 = meningite
ΕντEntrada
(sintomas)
Base de
conhecimento Saída
(Diagnóstico)
A média das relações fuzzy sintomas X doenças de ambos os médicos é dada pela seguinte
tabela 2:
s
d
s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11 s12 s13 s14 s15 s16 s17 s18
d1 1 1 0.45 0.4 0.5 0.4 0 0.1 0 0 0.2 0.3 0.05 0.2 0 0.1 0 0
d2 0 0 0.3 0.15 0.7 0.5 0 0.25 0 0.8 0.1 0 0.4 0.4 0.9 0.3 0.05 0.75
d3 0 0 0.9 0.45 0.25 0.25 0 0.15 0 0 1 .55 0.1 0.1 0 0.6 0.05 0
d4 0.2 0 0.95 0.5 0.8 0.8 1 0.75 0.4 0 0 0 0.3 0.1 0 0.85 0.8 0
Tabela 2: Relação fuzzy sintomas x doenças.
Médico 1 ( Dr. Georges Ishac Abdallah)
s
P
s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11 s12 s13 s14 s15 s16 s17 s18
P1 0 0 0.7 0.5 0.1 0.2 0 0.5 0 0 1 0.5 0.1 0.5 0 0 0 0
P2 0 0 0.5 0.7 0.9 0.5 0.9 0.3 0.9 0 0.5 0.1 0.6 0.5 0 0.8 0.7 0
P3 0 0 0.5 0.3 0.8 0.7 0 0.2 0 1 0.5 0.2 0.3 0.5 0.9 0.7 0.3 0.8
P4 1 0.8 0.9 0.3 0 0.7 0 0.3 0 0 0 0 0.2 0.3 0 0.1 0 0
P5 1 0.5 0.9 0.2 0 0.1 0 0.5 0 0 0 0.5 0.1 0.2 0 0 0 0
P6 0 0 0.3 0.2 0.1 0.1 0 0.1 0 0 1 0.3 0.1 0.1 0 0.1 0 0
P7 0 0 0.5 0.1 0.1 0.1 0 0.1 0 0 1 0.5 0.1 0.1 0 0.1 0.3 0
Tabela 3: Relação fuzzy pacientes x sintomas.
Por exemplo, o diagnóstico médico do paciente P1, via relação fuzzy R, é facilmente
obtido através da definição 6. Assim, de acordo com os sinais e sintomas apresentados, o
paciente P1 pode ter uma das doenças di, com i = 1, 2, 3 e 4 com os respectivos graus de
possibilidades (pela Tabela 3):
( ) ( ) ( ) ( )( )11
1 11 18max min , , 0.45R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
( ) ( ) ( ) ( )( )11
2 21 18max min , , 0.3R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
( ) ( ) ( ) ( )( )11
3 31 18max min , , 1.0R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
( ) ( ) ( ) ( )( )11
4 41 18max min , , 0.7R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
Assim, de acordo com os sintomas apresentados, o paciente P2 pode ter também uma
das doenças di, com i = 1, 2, 3 e 4 , com os respectivos graus de possibilidades:
( ) ( ) ( ) ( )( )22
1 11 18max min , , 0.5R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
( ) ( ) ( ) ( )( )22
2 21 18max min , , 0.7R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
( ) ( ) ( ) ( )( )22
3 31 18max min , , 0.6R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
( ) ( ) ( ) ( )( )22
4 41 18max min , , 0.9R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
Desta forma, obtêm-se os diagnósticos para todos os pacientes:
( ) ( )1
0.45;0.3;1.0;0.7R P
u =
( ) ( )2
0.5;0.7;0.6;0.9R P
u =
( ) ( )3
0.6;0.9;0.6;0.8R P
u =
( ) ( )4
1.0;0.5;0.9;0.95R P
u =
( ) ( )5
1.0;0.3;0.9;0.9R P
u =
( ) ( )6
0.3;0.3;1.0;0.3R P
u =
( ) ( )7
0.45;0.3;1.0;0.5R P
u =
Portanto, nota-se que o paciente P1, pela teoria aplicada, tem maior possibilidade de
estar com coqueluche, o paciente P2 pode estar com meningite, P3 pode estar com caxumba,
P4 e P5 podem estar com catapora e , P6 e P7 podem estar com coqueluche. Segundo o
especialista os pacientes realmente possuíam as respectivas doenças.
Médico 2 (Dr. Márcia F. Lopes)
s
P 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10s 11s 12s 13s 14s 15s 16s 17s 18s
1P 1.0 0.5 0.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2P 0 0 1.0 0 1.0 0 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0 0
3P 1.0 0.7 1.0 0.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9 0 0 0 0
4P 0 0 1.0 0 0 1.0 0 0 0 0 1.0 0 0 0 0 0 1.0 0
5P 0 0.7 0 0 1.0 1.0 1.0 0 1.0 0 0.9 0 0 0 0 0 1.0 0
6P 1.0 0.5 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 1.0 1.0
7P 1.0 0.9 0.9 0 0.5 0 0.5 0.5 0.3 0 0.4 0.5 0 0.4 0 0.5 0.7 0
Tabela 4: Relação fuzzy pacientes x sintomas.
Por exemplo, o diagnóstico médico do paciente P1, via relação fuzzy R, é facilmente
obtido através da definição 6. Assim, de acordo com os sinais e sintomas apresentados, o
paciente P1 pode ter uma das doenças di, com i = 1, 2, 3 e 4 com os respectivos graus de
possibilidades (Tabela 4):
( ) ( ) ( ) ( )( )11
1 11 18max min , , 1.0R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
( ) ( ) ( ) ( )( )11
2 21 18max min , , 0.3R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
( ) ( ) ( ) ( )( )11
3 31 18max min , , 0.9R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
( ) ( ) ( ) ( )( )11
4 41 18max min , , 0.9R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
Assim, de acordo com os sintomas apresentados, o paciente P2 pode ter também uma
das doenças di, com i = 1, 2, 3 e 4 , com os respectivos graus de possibilidades:
( ) ( ) ( ) ( )( )22
1 11 18max min , , 0.5R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
( ) ( ) ( ) ( )( )22
2 21 18max min , , 0.7R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
( ) ( ) ( ) ( )( )22
3 31 18max min , , 0.9R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
( ) ( ) ( ) ( )( )22
4 41 18max min , , 1.0R i P iR Pi
u d u d s u s≤ ≤
= =
Desta forma, obtêm-se os diagnósticos para todos os pacientes:
( ) ( )1
1.0;0.3;0.9;0.9R P
u =
( ) ( )2
0.5;0.7;0.9;1.0R P
u =
( ) ( )3
1.0;0.4;0.9;0.9R P
u =
( ) ( )4
0.45;0.5;1.0;0.95R P
u =
( ) ( )5
0.7;0.7;0.9;1.0R P
u =
( ) ( )6
1.0;0.75;0.9;0.95R P
u =
( ) ( )7
1.0;0.5;0.9;0.9R P
u =
Portanto, nota-se que o paciente P1, pela teoria aplicada, tem maior possibilidade de
estar com catapora, os pacientes P2 e P5 podem estar com meningite, P3 pode estar com
catapora, P4 pode estar com coqueluche e, P6 e P7 podem estar com catapora. Segundo a
especialista os pacientes realmente possuíam as respectivas doenças.
Note que a resposta da composição é também um conjunto fuzzy, ou seja, a
composição nem sempre responde qual doença o paciente possui, porém fornece a
distribuição de possibilidades do paciente no conjunto de doenças dado que ele apresenta
certa distribuição de possibilidades no conjunto de sintomas. Outra propriedade importante da
relação fuzzy é que após ter diagnósticos de novos pacientes, estes podem ser incluídos na
base de conhecimentos e assim aumentar a capacidade de se obter mais diagnósticos por meio
da relação fuzzy R, tal como faz o médico.
Apresentamos, na próxima seção, alguns sistemas de equações diferenciais
relacionados com as epidemias de doenças.
Modelo SIR (Suscetível Infectado recuperado) de Epidemiologia O estudo da propagação de doenças transmissíveis (epidemias) teve um
desenvolvimento bastante lento até o século XIX, sendo finalmente assumido como pesquisa
científica a partir dos trabalhos desenvolvidos pó Pasteur e Kock.
A partir de 1927, os modelos matemáticos, formulados por Kermack-McKendric, ( ver
[4]), consideram que uma epidemias com microparasitas (vírus e bactérias) ocorre em uma
comunidade fechada através do contato entre pessoas infecciosas e pessoas sadias.
A população hospedeira é subdividida em classes distintas (compartimentos) de
acordo com a sanidade ou infecciosidade de seus elementos:
S = S(t): pessoas sadias, mas suscetíveis à doença, podendo ser infectadas quando em contato
com pessoas doentes;
I = I(t): pessoas portadoras da doença (infecciosas);
R = R(t): indivíduos imunes que já contraíram a doença e se recuperam, ou estão isoladas ou
morreram.
Supor que a comunidade seja fechada implica que a população total se mantém
constante, isto é,
( ) ( ) ( )N S t I t R t= + + não varia com t. Este fato é característico das doenças cujo período de inclusão do parasita é
relativamente pequeno.
Para cada tipo de doenças podemos modelar sua velocidade de propagação através das
interações entre as variáveis S, I e R. O processo epidemiológico pode ser esquematizado pelo
sistema compartimental que resume as taxas de transições entre as três classes:
onde Iβ é a taxa de transmissão da doença (β>0), com β como o coeficiente de
infecciosidade; α é a taxa de remoção (α>0) .
Se considerarmos que:
a- Cada compartimento é composto de indivíduos homogêneos;
b- Cada indivíduo infeccioso tem a mesma probabilidade de se encontrar com um
suscetível;
c- Não ocorre nascimento na comunidade e a morte somente é causada pela doença.
Então o modelo matemático que descreve a epidemias, também chamado SIR ou modelo sem
dinâmica vital, é dado por:
(I)
(II) (1)
(III)
dSSI
dt
dISI I
dt
dRI
dt
β
β α
α
= −
= −
=
I
S
R β α
(I) os suscetíveis decrescem a uma taxa proporcional ao número de encontros com os
infecciosos.
(II) os infectados aumentam do mesmo modo como os sadios diminuem e perdem os
que são curados ou mortos.
(III) a variação dos retirados é proporcional à quantidade dos infectados.
Das doenças estudadas no Diagnóstico médico fuzzy, as que apresentam comportamento
parecido com o modelo SIR são a catapora, caxumba e coqueluche.
Em qualquer situação é fundamental conhecer os valores iniciais So=S(0)=100,
Io=I(0)=10 e Ro=R(0)=10, e para resolução desse sistema, obtivemos os parâmetros do
programa Populus. Temos então:
0.8
0.5
α
β
=
=
Utilizando o Matlab, temos como solução do sistema de equação diferencial ordinária
(1) o seguinte gráfico (Figura 12):
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-20
0
20
40
60
80
100
120
tempo
população
Suscetível
Infectado
Recuperado
Figura12: Resolução do sistema de equações diferenciais (1).
O modelo SIR tem como característica o fato em que se um indivíduo foi infectado e
está recuperado, e este não se torna novamente suscetível a esta doença. Para os parâmetros
considerados a Figura 12 mostra que o número de indivíduos suscetíveis torna-se cada vez
menor até não existir mais pessoas suscetíveis, enquanto que a quantidade de indivíduos
recuperados aumenta isso acontece, pois o sistema é fechado.
Além disso, como o número de indivíduos recuperados aumenta, temos que a
quantidade de pessoas infectadas diminuirá à medida que esse número de recuperados cresce.
A Figura 12 mostra esse processo em um curto período de tempo.
Modelo SIRS (Suscetível Infectado Recuperado Suscetível) de
epidemiologia Um outro modelo de propagação de epidemia foi desenvolvido por Chimara (2003) através de
um autômato celular probabilista que corresponde a um modelo SIRS, representando a
situação em que recuperados são substituídos por suscetíveis, ou porque morreram (e um
suscetível recém-nascido ocupa seu lugar) ou porque perderam a imunidade àquela doença.
Nesse modelo foi considerada uma população de tamanho fixo e, estudando-se a
influência dos parâmetros que representam as probabilidades de infecção, de cura e de morte
causada pela doença.
Das doenças estudadas no Diagnóstico Médico fuzzy, um exemplo que tem
comportamento parecido com o modelo SIRS é a meningite.
O sistema que descreve o modelo SIRS é dado por:
(2)
dSIS R
dt
dIIS I
dt
dRI R
dt
β γ
β α
α γ
= − +
= −
= −
Em qualquer situação é fundamental conhecer os valores iniciais So=S(0)=50,
Io=I(0)=100 e Ro=R(0)=100, e para resolução desse sistema, obtivemos os parâmetros do
programa Populus. Temos então:
0.7
0.1
0.6
α
β
γ
=
=
=
onde, β como o coeficiente de infecciosidade ( 0β > ); α é a taxa de remoção 0α > e γ a
taxa de diminuição de imunidade.
Utilizando o Matlab, temos como solução do sistema de equação diferencial (2),
Figura 13:
I
S
R
γ
β α
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
20
40
60
80
100
120
140
tempo
população
Suscetível
Infectado
Recuperado
Figura 13: Resolução do sistema de equações diferenciais (2).
O modelo SIRS tem como característica o fato de que se um indivíduo foi infectado e
se recupera, e este tornar-se suscetível novamente à doença considerada. Para os parâmetros
considerados a Figura 13 mostra que o número de indivíduos suscetíveis torna-se, até certo
tempo, cada vez menor e depois a quantidade de indivíduos estabiliza. A quantidade de
indivíduos recuperados aumenta isso acontece, pois o sistema é fechado.
Além disso, a medida que o número de indivíduos recuperados aumenta, temos que a
quantidade de pessoas infectadas diminuirá. A Figura 13 mostra esse processo em um curto
período de tempo.
Conclusão O Diagnóstico Médico fuzzy apresentado feito neste trabalho teve por finalidade
imitar a atuação do médico em seus diagnósticos de doenças infantis. Inclusive, tivemos uma
boa aproximação do diagnóstico fuzzy de cada paciente, com o diagnóstico dado pelo médico.
Além disso, apresentamos os modelos SIR e SIRS que se relacionam com as
epidemias das doenças consideradas e com isso obtivemos exemplos de casos de SIR, os
quais as doenças que se encaixam neste modelo são catapora, caxumba e coqueluche. No
segundo modelo SIRS, temos como exemplo a meningite.
Em ambos os casos a solução do sistema de equação diferencial é dado por gráficos,
os quais mostram o comportamento de cada epidemia, sendo a comunidade fechada, nos dois
modelos.
Bibliografia
[1] Jafelice, R.M., L.C.Barros, R.C.Bassanezi, Teoria dos Conjuntos Fuzzy com Aplicações,
Notas em matemática aplicada – SBMAC, editora Plêiade, São Carlos, SP, 2005.
[2] Barros, L.C., R.C.Bassanezi, Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomatemática, Campinas, SP,
2006.
[3] http://www.lps.usp.br/neo/fuzzy/fuzzy_historico.htm
[4] Massad, E., R. X. Menezes, P. S. P., Silveira, N. R. S. Ortega, Métodos quantitativos em
Medicina, Barueri, SP, 2004.