Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação Departamento de Matemática, Estatística e Informática Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática

Diego Cunha da Silva

O ensino de função afim por atividades: experiência em uma escola pública do Estado do Pará

Belém - PA 2018

Diego Cunha da Silva

O ensino de função afim por atividades:

experiência em uma escola pública do Estado do Pará

Dissertação apresentada como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Ensino de Matemática pelo Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, Universidade do Estado do Pará. Linha de Pesquisa: Metodologia para Ensino de Matemática no Nível Médio. Orientadora: Prof.ª. Drª. Maria de Lourdes Silva Santos. Co-Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.

Belém - PA 2018

Diego Cunha da Silva

O ensino de função afim por atividade

experiência em uma escola pública do Estado do Pará

Dissertação apresentada como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Ensino de Matemática pelo Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, Universidade do Estado do Pará. Linha de Pesquisa: Metodologia para Ensino de Matemática no Nível Médio. Orientadora: Prof.ª. Drª. Maria de Lourdes Silva Santos. Co-Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.

Data da Avaliação: Banca Examinadora ________________________________________ - Orientadora Profª. Dra. Maria de Lourdes Silva Santos Doutora em Educação Universidade do Estado do Pará ________________________________________ - Membro Externo Prof. Dr. João Cláudio Brandemberg Quaresma Doutor em Educação Universidade Federal do Pará _________________________________________ - Membro Interno Prof. Dr. Pedro Franco de Sá Doutor em Educação Universidade do Estado do Pará

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)

Biblioteca do CCSE/UEPA, Belém - PA

Silva, Diego Cunha da

O ensino de função afim por atividade: experiência em uma escola pública do

estado do Pará / Diego Cunha da Silva; orientação de Maria de Lourdes Silva Santos;

co-orientação de Pedro Franco de Sá, 2018.

Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) - Universidade do

Estado do Pará, Belém, 2018.

1. Funções (Matemática). 2. Matemática-Estudo e ensino. 3.Ensino da matemática

por atividade. I. Santos, Maria de Lourdes Silva (orient.). II. Sá, Pedro Franco de. III.

Título.

CDD. 23º ed. 515.7

Dedico este trabalho, a meus avós Nair

Terezinha Abreu do Nascimento, Safira

Ferreira da Silva e Alfredo Ferreira da Silva

que em vida foram exemplos de dignidade,

perseverança e trabalho, e hoje do Céu

celebram esta minha conquista.

AGRADECIMENTOS

A Deus pela oportunidade desta conquista na vida.

A meus pais Sônia Suely Abreu da Cunha e José Carlos Ferreira da

Silva pelos incentivo e total apoio nos meus estudos, e a toda minha família e amigos

que rezam e torcem pela minha vitória hoje e sempre.

A Conceição do Socorro Santos da Cruz e meu primo Rodrigo da Silva

Frazão pela contribuição na escrita deste trabalho.

Na figura de Robério Valente Santos e Marcos Ferreira Pereira agradeço

muitíssimo a ajuda de todos os companheiros da turma.

Aos professores Doutores Maria de Lourdes Silva Santos e Pedro

Franco de Sá pela dedicação e paciência na orientação e na co-orientação deste

trabalho. E também ao professor Dr. João Cláudio Brandemberg Quaresma pela

colaboração no desenvolvimento da pesquisa.

A Universidade do Estado do Pará (UEPA) e a Secretaria Estadual de

Educação (SEDUC) pela oportunidade de cursar este Mestrado Profissional em

Ensino da Matemática. E aos funcionários do Programa de Mestrado Profissional em

Ensino da Matemática que sempre foram atenciosos e solícitos.

RESUMO

SILVA, Diego Cunha da. O Ensino de Função Afim por Atividades: experiência em uma escola pública do Estado do Pará. 2018, 212 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino da Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2018. Este trabalho apresenta os resultados de um estudo que teve como objetivo avaliar os efeitos que uma sequência didática tem sobre os discentes quando da resolução de questões relacionadas a função afim. A pesquisa foi orientada a partir da seguinte questão norteadora: quais os efeitos da aplicação de uma sequência didática, diferente do modelo tradicional, para a resolução de questões envolvendo função afim. Adotamos como metodologia de pesquisa a Engenharia Didática, estando as suas etapas descritas ao longo do trabalho. E como recursos de pesquisa: analise bibliográfica de outros trabalhos que versem de forma direta ou indireta sobre o tema em questão, aplicação de questionários e testes. A sequência didática elaborada neste trabalho ocorreu em seis encontros, e foi aplicada junto à 25 alunos de turma do 1º ano do ensino médio de uma escola pública no município de Belém. As analises a posteriori evidenciaram que a sequência de atividades elaboras aplicadas produziu resultados melhores para a compreensão da conceito de função afim; que os alunos obtiveram avanços progressivos dentro do processo de discussão dos conceitos e definições matemáticas trabalhadas; ao mesmo tempo de ter produzido uma maior participação dos alunos nas aulas. Diante desse exposto e dos resultados na comparação de desempenho no pré e pós-teste podemos concluir que o objetivo deste trabalho foi alcançado. Palavras-chave: Ensino. Ensino de Matemática. Ensino da Matemática por atividade. Ensino da Função Afim.

ABSTRACT

SILVA, Diego Cunha da. O Ensino de Função Afim por Atividades: experiência em uma escola pública do Estado do Pará. 2018, 212 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino da Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2018. This work presents the results of a study that had as objective to evaluate the effects that a didactic sequence has on the students when solving issues related to related function. The research was guided by the following guiding question: what are the effects of the application of a didactic sequence, different from the traditional model, for the resolution of questions involving related function. We adopted the Didactic Engineering as a research methodology, and its stages are described throughout the study. And as research resources: bibliographical analysis of other works that deal directly or indirectly on the subject in question, application of questionnaires and tests. The didactic sequence elaborated in this work occurred in six meetings, and it was applied to the 25 students of the first year of high school in a public school in the city of Belém. A posteriori analysis showed that the sequence of activities elaborated applied produced better results for the understanding of the concept of related function; that the students obtained progressive advances within the process of discussion of the mathematical concepts and definitions worked out; while at the same time having produced a greater participation of the students in the classes. In light of this and the results in the comparison of performance in the pre- and post-test we can conclude that the objective of this work was achieved. Key-words: Teaching. Mathematics Teaching. Teaching mathematics by activity. Teaching the Function.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Tábua Babilônica – Plimpton 322 .................................................................................. 50

Figura 2: Interseção da função afim com o eixo das ordenadas ................................................ 57

Figura 3 - Esquema Processo de aplicação de cada atividade para o ensino de radicais .. 112

Figura 4 - Primeira interrogação: Como você se sente durante as aulas? ............................. 124

Figura 5 - Segunda interrogação: Como você se sente durante as aulas de matemática? . 124

Figura 6 - Terceira interrogação: Como você se sente quando não entende uma explicação?

............................................................................................................................................................. 125

Figura 7 - Exemplos dos pares de conjuntos da atividade 1 ..................................................... 133

Figura 8 - Exemplos dos pares de conjuntos da atividade 1 ..................................................... 134

Figura 9 - Exemplo da atividade 2 ................................................................................................. 136

Figura 10 - Exemplo de gráficos utilizado na atividade 3 ........................................................... 138

Figura 11 - Exemplo de gráfico utilizado na atividade 4 ............................................................. 140

Figura 12: Exemplo de acerto ........................................................................................................ 146

Figura 13 – Erro de representação ................................................................................................ 146

Figura 14 – Erro na representação algébrica .............................................................................. 146

Figura 15 - Erro na resolução de equação .................................................................................. 149

Figura 16 – Erro de generalização ................................................................................................ 151

Figura 17 – Erro de representação ................................................................................................ 151

Figura 18 – Erro na representação de intervalos ........................................................................ 153

Figura 19 – Erro na representação de intervalos ........................................................................ 153

Figura 20 – Erro de substituição e erro numérico ....................................................................... 154

Figura 21 – Erro na substituição do valor cobrado por minuto ................................................. 154

Figura 22 – Erro na resolução de equação .................................................................................. 158

Figura 23 – Erro na resolução de equação .................................................................................. 158

Figura 24 – Erro de representação ................................................................................................ 160

Figura 25 – Erro de representação ................................................................................................ 160

Figura 26 – Erro na representação ................................................................................................ 161

Figura 27 - Erro na resolução de equação .................................................................................. 162

Figura 28 – Erro na operação de divisão por um número decimal ........................................... 163

Figura 29 – Erro na operação de divisão por um número decimal ........................................... 163

Figura 30 - Exemplo de dispersão de correlação negativa ................................................. 167

Figura 31 - Exemplo de dispersão onde ocorre a ausência de correlação ......................... 167

Figura 32 - Exemplo de dispersão onde a correlação é positiva .............................................. 168

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 - Percentual dos alunos divididos em gêneros ............................................................. 64

Gráfico 2 - Percentual dos alunos divididos em faixas etárias .................................................... 65

Gráfico 3 - Percentual da escolaridade do responsável feminino .............................................. 65

Gráfico 4 - Percentual da escolaridade do responsável masculino ........................................... 65

Gráfico 5 - Percentual dos alunos que já ficaram em dependência. .......................................... 66

Gráfico 6 - Percentual das disciplinas em que os alunos que já ficaram em dependência .... 66

Gráfico 7 - Percentual dos alunos em relação ao sentimento com a disciplina ....................... 67

Gráfico 8 - Percentual da frequência com que os alunos estudam fora da escola .................. 68

Gráfico 9 - Percentual de quem ajuda nas tarefas de matemática ............................................ 69

Gráfico 10 - Percentual do modo como os alunos iniciaram o assunto: Função Afim ............ 70

Gráfico 11 - Percentual do modo como os professores costumam fixar o assunto: Função

Afim ....................................................................................................................................................... 71

Gráfico 12 - Percentual a respeito da compreensão por parte dos alunos em relação a

explicação do professor sobre o assunto: Função Afim............................................................... 72

Gráfico 13 - Percentual a respeito de como os alunos consideram o domínio do professor . 72

Gráfico 14 - Percentual a respeito da utilização pelo professor de exemplos e/ou exercícios

interpretativos a partir de situações problemas ............................................................................. 73

Gráfico 15 - Percentual a respeito da capacidade dos alunos fazer relação dos conteúdos

matemáticos dados em sala com seu cotidiano. ........................................................................... 73

Gráfico 16 - Percentual a respeito da percepção de como o ensino da matemática pode

contribuir com o aprendizado de outras disciplinas ...................................................................... 74

Gráfico 17 - Percentual a respeito de como os alunos consideram as explicações do seu

professor de matemática ................................................................................................................... 75

Gráfico 18 - Percentual a respeito de que se as aulas de matemática despertam a atenção

do alunado ........................................................................................................................................... 75

Gráfico 19 - Percentual a respeito dos métodos de avaliação utilizado pelo professor

segundo os discentes ........................................................................................................................ 77

Gráfico 20 - Percentual a respeito do sentimento dos alunos em relação a avaliação de

matemática .......................................................................................................................................... 77

Gráfico 21 – Gênero dos alunos consultados .............................................................................. 114

Gráfico 22 - Você já ficou em dependência em alguma disciplina? ......................................... 116

Gráfico 23 - Em qual disciplina você já ficou em dependência? ............................................... 117

Gráfico 24 - Quem lhe ajuda nas tarefas de matemática? ........................................................ 118

Gráfico 25 - Qual é a escolaridade de seu responsável masculino? ...................................... 119

Gráfico 26 - Qual é a escolaridade de seu responsável feminino? .......................................... 120

Gráfico 27 - Você gosta de matemática? ..................................................................................... 121

Gráfico 28 - Você consegue entender as explicações dadas nas aulas de matemática? .... 122

Gráfico 29- Como você se sente diante de uma avaliação de matemática? .......................... 123

Gráfico 30 - Você costuma estudar matemática fora da escola? ............................................. 126

Gráfico 31 - As aulas de matemática despertam sua atenção em aprender os conteúdos

ministrados? ...................................................................................................................................... 127

Gráfico 32 - Você é capaz de fazer relação dos conteúdos matemáticos dados em sala com

seu cotidiano? ................................................................................................................................... 128

Gráfico 33 - Você acha que o ensino da matemática pode contribuir no aprendizado em

outras disciplinas? ............................................................................................................................ 129

Gráfico 34 - Quando você estudou os conteúdos de matemática, a maioria das aulas: ...... 130

Gráfico 35 - Para fixar os conteúdos de matemática seu professor costumava: ................... 131

Gráfico 36 - Comparação do desempenho por alunos em relação ao número de questões

certas e erradas no pré e pós-teste ............................................................................................... 143

Gráfico 37 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na primeira questão ............ 145

Gráfico 38 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na segunda questão ........... 147

Gráfico 39 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na terceira questão ............. 148

Gráfico 40 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na quarta questão ............... 150

Gráfico 41 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na quinta questão ............... 152

Gráfico 42 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na sexta questão ................. 154

Gráfico 43 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na sétima questão .............. 156

Gráfico 44 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na oitava questão ................ 157

Gráfico 45 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na nona questão ................. 159

Gráfico 46 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na décima questão ............. 162

Gráfico 47 - Dispersão: diferença das notas nos teste e escolaridade do responsável

feminino .............................................................................................................................................. 169

Gráfico 48 - Dispersão: diferença das notas nos teste e escolaridade do responsável

masculino ........................................................................................................................................... 171

Gráfico 49 - Dispersão: diferença das notas nos teste e o gosta de matemática .................. 172

Gráfico 50 - Dispersão: diferença das notas nos teste e as explicações dadas em sala de

aula ..................................................................................................................................................... 173

Gráfico 51 - Dispersão: diferença das notas nos teste e o desperta matemático .................. 175

Gráfico 52 - Dispersão: diferença das notas nos teste e os sentimentos ............................... 176

Gráfico 53 - Dispersão: diferença das notas nos teste e a ajuda recebida nas tarefas ........ 178

Gráfico 54 - Dispersão: diferença das notas nos teste e o hábito de estudos ....................... 179

Gráfico 55 - Tempo utilizado em cada atividade ......................................................................... 181

Gráfico 56 - Curva normal do teste ................................................................................................ 185

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Ações do engenheiro e do pesquisador em didática .......................................... 18

Quadro 2 - Estudo sobre o ensino de função afim ............................................................... 30

Quadro 3 - Categorização dos aspectos relevantes por níveis de complexidade ................. 37

Quadro 4 - Atividades desenvolvidas ................................................................................... 39

Quadro 5 - Quadro sinótico .................................................................................................. 51

Quadro 6- Desempenho dos alunos egressos no teste ........................................................ 79

Quadro 7- Enunciado da primeira questão do teste ............................................................. 80

Quadro 8 -Enunciado da segunda questão do teste ............................................................ 81

Quadro 9 -Enunciado da Terceira questão do teste ............................................................. 82

Quadro 10 -Enunciado da quarta questão do teste .............................................................. 82

Quadro 11 -Enunciado da quinta questão do teste .............................................................. 83

Quadro 12 -Enunciado da sexta questão do teste ............................................................... 84

Quadro 13 -Enunciado da sétima questão do teste ............................................................. 85

Quadro 14 - Enunciado da oitava questão do teste ............................................................. 86

Quadro 15 - Enunciado da nona questão do teste ............................................................... 86

Quadro 16 - Enunciado da décima questão do teste........................................................... 86

Quadro 17 - Descritores x Conteúdos .................................................................................. 88

Quadro 18 -Cronograma e execução de ensino na experimentação .................................. 113

Quadro 19 -Sexo dos alunos consultados .......................................................................... 114

Quadro 20 -Faixa etária dos alunos consultados ............................................................... 114

Quadro 21 - Você já ficou em dependência em alguma disciplina? ................................... 115

Quadro 22 - Em qual disciplina você já ficou em dependência? ........................................ 116

Quadro 23 - Quem lhe ajuda nas tarefas de matemática? ................................................. 118

Quadro 24 - Qual é a escolaridade de seu responsável masculino? .................................. 119

Quadro 25 - Qual é a escolaridade de seu responsável feminino? .................................... 119

Quadro 26 - Você gosta de matemática? ........................................................................... 120

Quadro 27 - Você consegue entender as explicações dadas nas aulas de matemática? .. 122

Quadro 28 - Como você se sente diante de uma avaliação de matemática? ..................... 123

Quadro 29 - Você costuma estudar matemática fora da escola? ....................................... 125

Quadro 30 - As aulas de matemática despertam seu interesse em aprender os conteúdos

ministrados? ...................................................................................................................... 126

Quadro 31 - Você é capaz de fazer relação dos conteúdos matemáticos dados em sala com

seu cotidiano?.................................................................................................................... 127

Quadro 32 - Você acha que o ensino da matemática pode contribuir no aprendizado em

outras disciplinas? ............................................................................................................. 128

Quadro 33 - Quando você estudou os conteúdos de matemática, a maioria das aulas: .... 130

Quadro 34 - Para fixar os conteúdos de matemática seu professor costumava: ................ 131

Quadro 35 - Comparação do desempenho por alunos em relação ao número de questões

certas e erradas no pré e pós-teste ................................................................................... 142

Quadro 36 - Comparação do desempenho por questão no pré e pós-teste ....................... 144

Quadro 37 - Enunciado da primeira questão do pré-teste .................................................. 145

Quadro 38 - Enunciado da segunda questão do pré-teste ................................................. 147

Quadro 39 - Enunciado da terceira questão do pré-teste ................................................... 148

Quadro 40 - Enunciado da quarta questão do pré-teste ..................................................... 150

Quadro 41 - Enunciado da Quinta questão do pré-teste .................................................... 152

Quadro 42 - Enunciado da sexta questão do pré-teste ...................................................... 153

Quadro 43 - Enunciado da sétima questão do pré-teste .................................................... 155

Quadro 44 - Enunciado da oitava questão do pré-teste ..................................................... 157

Quadro 45 - Enunciado da nona questão do pré-teste ....................................................... 159

Quadro 46 - Enunciado da nona questão do teste ............................................................. 161

Quadro 47 - Frequência por alunos nas atividades desenvolvidas..................................... 164

Quadro 48 - Classificação das correlações conforme o valor encontrado .......................... 166

Quadro 49 - Parametrização dos dados - escolaridade do responsável feminino .............. 168

Quadro 50 - Correlação entre a diferença das notas teste e escolaridade do responsável

feminino ............................................................................................................................. 169

Quadro 51 - Parametrização dos dados - escolaridade do responsável masculino ............ 170

Quadro 52 - Correlação entre a diferença das notas teste e escolaridade do responsável

masculino .......................................................................................................................... 170

Quadro 53 - Parametrização dos dados – Gosta de matemática ....................................... 171

Quadro 54 - Correlação entre a diferença das notas teste e o gosta de matemática ......... 171

Quadro 55 - Parametrização dos dados – Você consegue entender as explicações dadas

em sala de aula ................................................................................................................. 172

Quadro 56 - Correlação entre a diferença das notas teste e as explicações dadas em sala de

aula .................................................................................................................................... 173

Quadro 57 - Parametrização dos dados – As aulas de matemática despertam seu interesse

em aprender os conteúdos ministrados ............................................................................. 174

Quadro 58 - Correlação entre a diferença das notas teste e o interesse em aprender

matemática ........................................................................................................................ 174

Quadro 59 - Parametrização dos dados – Sentimentos diante de uma avaliação de

matemática ........................................................................................................................ 175

Quadro 60 - Correlação entre a diferença das notas teste e os sentimentos ..................... 175

Quadro 61 - Parametrização dos dados – Quem lhe ajuda nas tarefas de matemática? ... 177

Quadro 62 - Correlação entre a diferença das notas teste e a ajuda nas tarefas ............... 177

Quadro 63 - Parametrização dos dados – Hábito de estudo fora da escola ....................... 178

Quadro 64 - Correlação entre a diferença das notas teste e os hábitos de estudos ........... 178

Quadro 65 - Correlação linear de Pearson entre as notas individuais no teste e a variável

socioeconômica ................................................................................................................. 180

Quadro 66 - Confronto entre as análises a priori e análise posteriori das atividades para o

ensino de função afim ........................................................................................................ 182

Quadro - 67 - Regras de rejeição da hipótese nula em um teste t unilateral .................... 183

Quadro 68 - Comparação de desempenho no pré e pós-teste e a diferença entre as médias

.......................................................................................................................................... 184

Quadro 69 - Hábitos de estudos fora da escola, ajuda recebida nas tarefas de matemática e

desempenho nos testes ..................................................................................................... 187

Quadro 70 - Gosta de matemática, interesse em aprender matemática e desempenho nos

testes ................................................................................................................................. 188

Quadro 71 - Escolaridade dos responsáveis feminino e masculino o desempenho nos testes

.......................................................................................................................................... 189

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 11

1. A ENGENHARIA DIDÁTICA 18

2. ANÁLISES PRÉVIAS 23

2.1 NOSSO OLHAR SOBRE O ENSINO DA MATEMÁTICA 23

2.2 ESTUDOS SOBRE O ENSINO DE FUNÇÃO AFIM 30

2.2.1 Estudos diagnósticos 32

2.2.2 Estudos experimentais 36

2.2.3 Estudos teóricos 43

2.2.4 Síntese dos trabalhos revisados 47

2.3 ASPECTOS HISTÓRICOS DO CONCEITO DE FUNÇÃO 49

2.4 DEFINIÇÃO ATUAL DE FUNÇÃO 53

2.4.1. Propriedades Operatórias entre funções 59

2.5 O PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM DA FUNÇÃO AFIM SEGUNDO

ESTUDANTES 64

2.5.1 Resultado do teste de alunos egressos 79

3. CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI 88

2.1 ATIVIDADE 1 89

2.2 ATIVIDADE 2 94

2.3 ATIVIDADE 3 100

2.4 ATIVIDADE 4 104

4. EXPERIMENTAÇÃO 111

4.1 A ESCOLA 111

4.2 PRIMEIRA SESSÃO DE ENSINO 113

4.2.1 Perfil dos discentes 113

4.3 SEGUNDA SESSÃO DE ENSINO 132

4.4 TERCEIRA SESSÃO DE ENSINO 135

4.5 QUARTA SESSÃO DE ENSINO 137

3.6 QUINTA SESSÃO DE ENSINO 139

4.7 SEXTA SESSÃO DE ENSINO 141

5. ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO 142

5.1 RESULTADOS E ANÁLISES DO EXPERIMENTO 142

5.2 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON DOS TESTES 166

5.3 TESTE DE HIPÓTESES 182

5. 4 A RELAÇÃO ENTRE FATORES SOCIOECONÔMICOS, A MATEMÁTICA E O

DESEMPENHO NOS TESTES 186

CONSIDERAÇÕES FINAIS 191

REFERÊNCIAS 194

APÊNDICES 199

ANEXOS 209

11

INTRODUÇÃO

A motivação para a realização desse trabalho iniciou a partir de

observações vivenciadas em sala de aula, fato que nos levou a constatação de que

existe uma movimentação no sentido da maneira de se ensinar a matemática. Esta é

cada vez mais pautada e tratada como uma oportunidade de se aplicar novas

tendências metodológicas1 voltadas ao processo de ensino e aprendizagem dos

conteúdos matemáticos que levem a adoção de práticas estimulantes e desafiadoras,

o que certamente pode auxiliar e/ou contribuir positivamente com professores e

alunos, principalmente no que se refere a superação das dificuldades e dos obstáculos

epistemológicos na construção de novos conhecimentos.

Para que o ensino da matemática seja mais eficaz, à juventude do século

XXI, consideramos importante a utilização de metodologias educacionais inovadoras

e estimulantes, que possam romper com práticas mecânicas herdadas do modelo

tradicional2. Tais metodologias podem ser alternativas valiosas, visto que em algumas

delas, o envolvimento dos alunos nas atividades têm produzido resultados

satisfatórios na aprendizagem dos conteúdos matemáticos, em especial no que se

refere à função afim. Ao nosso ver, uma prática de ensino mais interativa e estimulante

por parte dos professores tende a aproximar cada vez mais os interesses dos alunos

em aprender matemática e assim, atingir o foco principal dos processos de ensino:

que é a aquisição significativa do conhecimento pelos alunos.

É importante destacar que o uso de um recurso didático diferente não

precisa ser necessariamente uma prática rotineira em sala de aula. Isso dependerá

do conteúdo matemático que será ensinado. Dessa forma, caso verifique se a

necessidade de se fazer uma aproximação entre o que está sendo ensinado em sala

de aula e o real interesse cognitivo, que pretendemos alcançar para a aprendizagem

dos nossos alunos, então buscaremos uma alternativa metodológica que possa

auxiliar no ensino do conteúdo que está sendo ministrado pelo professor o que

1 Resolução de problemas, Ensino por atividades, Etomatemática, História da matemática, Modelagem matemática, O uso de jogos, Tecnologias educacionais. 2 Silva (1993) caracteriza o ensino tradicional em matemática em termos:

· Epistemológicos: o conhecimento é descoberto por aqueles que “produzem” matemática; · Psicológicos: o aluno aprende vendo e o professor ensina mostrando; · Didáticos: é mais fácil aprender a partir da própria estrutura matemática; · Pedagógicos: aprovasse quem “aprende” o que o professor mostrou; · Políticos: seleciona os que se adaptam a este sistema.

12

consequentemente acarretará em uma maior facilidade de aprendizagem e interesse

por parte dos alunos.

Atualmente, vivemos em uma época em que a vinculação de

conhecimentos e saberes são fundamentais para a emancipação das pessoas, sendo

assim ressalta-se a importância da presença do professor como mediador e

protagonista no processo de (re)construção do conhecimento. Daí a necessidade dele

manter-se constantemente atualizado no que diz respeito aos saberes específicos de

sua área de conhecimento e também de suas práticas pedagógicas, buscando sempre

diversificá-las e dinamizá-las no intuito de que sejam atendidas as necessidades de

aprendizado de todos os jovens e adultos por meio do acesso equitativo a programas

apropriados de aprendizagem.

Por conseguinte, percebesse que a sociedade atual utiliza cada vez mais

as operações e símbolos matemáticos para buscar as soluções dos problemas no

mundo contemporâneo, necessitando o desenvolvimento das habilidades operativa

dessas questões assim como a compreensão das estruturas das ideias e dos métodos

utilizados na sua resolução.

Dessa forma, é preciso desconstruir a ideia de que saber matemática se

limita somente a resolução de cálculos. Tal saber deve estar comprometido, cada vez

mais, com a ideia de se desenvolver habilidades matemáticas nos discentes em vista

do exercício pleno da cidadania uma vez que é necessária a formação de um

educando que possa atuar como um cidadão ativo na sociedade, devendo o mesmo

ser hábil e competente diante de problemas cada vez mais matematizados.

Mesmo com certa mudança de valores na sociedade, ainda precisamos

avançar e refletir de forma significativa nos espaços escolares, pois muitos deles ainda

encontram-se alicerçados em metodologias tradicionais de ensino, o que certamente

não atende aos anseios do momento atual no qual nos encontramos. Vale salientar

que a discussão por novas maneiras de ensinar matemática vem sendo feita há alguns

anos no Brasil, a exemplo de Sá (2009), Lima et al (1997).

Um fato a destacar e de que a utilização de um recurso didático diferente

não precisa ser uma prática rotineira em sala de aula. Isso dependerá do conteúdo

matemático que será ministrado. Dessa forma, caso haja a necessidade de se fazer

uma aproximação entre o que está sendo ensinado em sala de aula e o real interesse

cognitivo que pretendemos alcançar para a aprendizagem dos nossos alunos, então

caberá buscar por uma alternativa metodológica que possa auxiliar no ensino do

13

conteúdo, em vista de uma maior facilidade da aprendizagem e do despertar interesse

por parte dos alunos.

Como docente em matemática, tenho percebido certas

fragilidades/dificuldades no processo de ensino e aprendizagem de alguns conteúdos,

especialmente no conceito de funções e em particular na função afim, que não tem se

desenvolvido de forma plena e eficaz. A afirmação pode ser constatada a partir dos

resultados das pesquisas de Magarinus (2009), Baraldo (2009) e Selingardi (2015)

sobre a temática tratada nesta pesquisa onde as descobertas apontam que há uma

acentuada dificuldade na assimilação da função afim por parte dos alunos.

As pesquisas tem identificado como sendo um dos motivos que enseja essa

dificuldade o de que o aluno não consegue alcançar e/ou compreender as diversas

formas de representação dos aspectos referentes às características e particularidades

da função afim: linguagem materna, linguagem algébrica, linguagem gráfica, raiz,

pontos de interseção aos eixos cartesianos, análise do crescimento ou decrescimento,

entre outros, identificadas nas pesquisas de Santos (2013), e outros.

A problemática da presente dissertação reside justamente em propor um

rol de atividades na busca de sanar e/ou diminuir essas dificuldades, sobretudo

aquelas que estão relacionadas ao estudo da função afim e em assuntos que estejam

relacionados ao seu processo de ensino e aprendizagem.

Em relação aos conteúdos que serão trabalhados nesta pesquisa,

destacamos os seguintes: identificar a expressão algébrica de dados tabelados,

construção do gráfico da função no plano cartesiano, reconhecer a função afim como

sendo crescente ou decrescente, calcular o zero da função e resolver situações

problemas.

Um dos motivos de nossa pesquisa é ajudar aos alunos o desenvolvimento

da capacidade de transitar, fazendo as conversões entre as formas de representação,

para solucionar e analisar quaisquer situações problemas que sejam colocadas. A

partir disso, buscamos pesquisar uma metodologia alternativa, que possa ser capaz

de contribuir e promover uma aprendizagem significativa da função afim, buscando

contemplar, ao máximo, os aspectos cobrados nos documentos oficiais do Ministério

da Educação (MEC). Para tanto, foram realizadas leituras de artigos, monografias,

dissertações e teses, disponíveis em bancos de dados para consultas e pesquisas

com objetivos de conhecermos alguns estudos que anteriormente calcaram-se do

tema função afim.

14

Em Braga (2006, p.15), encontramos uma afirmação a respeito do

conteúdo função que assevera que “talvez, não haja nenhum outro conteúdo, tão

intimamente ligado aos movimentos inovadores do ensino da matemática, quanto

esse”. Temos ainda nas Orientações Curriculares Nacionais que:

O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessárias para expressar a relação entre grandezas a modelar situações problemas, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. Assim, a ênfase do estudo das diferentes funções deve estar no conceito de função e em suas propriedades em relação às operações, na interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções. (BRASIL 2006, p. 121).

Não obstante, é perceptível que atualmente a sociedade faz cada vez mais

o uso das operações e símbolos matemáticos em busca da solução de alguns dos

problemas do mundo contemporâneo. Isso também faz com que se busque o

desenvolvimento de certas habilidades, não somente aquelas que são operativas

dessas questões, mas aquelas relacionadas a compreensão das estruturas, das

ideias e dos métodos utilizados na sua resolução. Tudo isso se deve a expansão

tecnológica que trouxe consigo uma mudança no modo de pensar e agir das pessoas.

No âmbito educacional não seria diferente, os educadores procuram novos pilares que

sustentam o ser da modernidade, sendo necessário então que eles desenvolvam um

pensamento crítico e reflexivo sobre os saberes e as práticas humanas visando

enriquecer a relação entre o homem e o conhecimento, pois somente dessa forma o

educador estará se preparando para proporcionar aos seus alunos um conhecimento

mais aprimorado e os tornando seguros, diante do avanço do mundo.

É importante lembrar que até o final da década de 50 o ensino formalista-

clássico da matemática era comum no Brasil. Nele, o professor detinha o papel central

de transmissor do conhecimento, diga-se, transmitia o conteúdo propriamente dito; já

ao aluno, cabia o papel de aprender de forma mecânica, ou seja, decorativa, e a

reproduzir os mesmos procedimentos adotados pelo professor na resolução dos

problemas apresentados nos livros didáticos. No final da década de 50, os recursos

didáticos eram somente os livros e o quadro negro. Atualmente, os educadores da

ciência matemática consideravam de vultosa gravidade o seguinte:

Na perspectiva tradicional da aprendizagem da matemática não é dada ao aluno qualquer oportunidade de articular suas experiências e conclusões pessoais acerca do conhecimento ensinado ou mesmo cobrados pelo professor, visto que só lhe é permitido exercitar o que foi transmitido na escola. O aluno, portanto, não tem a oportunidade de interagir com o próprio conhecimento, o que transforma a relação educativa em uma via de mão

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única na qual não lhe é dada a chance de rever aspectos implícitos no conhecimento que lhe e transmitido. (MENDES 2001, p. 69).

O modelo acima entra em conflito com o que hoje acreditamos ser a missão

da escola e dos educadores, que é, preparar as novas gerações para o mundo que

terão que enfrentar, possibilitando e proporcionando, dessa forma, aos educandos,

um ensino de qualidade. Nesse sentido a educação matemática deve visar a

construção de um saber para os alunos que os capacite a pensar e refletir sobre a

realidade, assim como agir e transformá-la, para que encontrem a razão e o motivo

para aprender a matemática, é futuramente aprendam a admirar a mesma.

Destacamos que na educação básica e durante o ensino médio, os alunos

são expostos a funções do tipo: Afim, Quadrática, Modular, Exponencial, Logarítmica

e as Trigonométricas. Abrindo certamente a possibilidade da aplicação deste

importante conceito, não somente na Matemática, mas em outras áreas do

conhecimento. A respeito disso, os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino

Médio (PCNEM/2000) indicam que:

O conceito de função desempenha também papel importante para descrever e estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos, o comportamento de certos fenômenos tanto do cotidiano, como de outras áreas do conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia. Cabe, portanto, ao ensino da Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar soluções, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática (BRASIL 2000, p. 43-44).

Desta feita podemos identificar a ocorrência de uma aprendizagem

significativa desse conceito a partir do momento em que aplicá-lo nos diversos

contextos em que o mesmo é utilizado, tornando-os capazes, autonomamente, de

saberem manipular sua aplicabilidade na resolução de problemas. Vejamos alguns

trechos da matriz de referência, adotada pelo Exame Nacional do Ensino Médio em

relação à Matemática e suas tecnologias:

Competência de área 4 - Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. H15 - Identificar a relação de dependência entre grandezas. H16 - Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais. H17 - Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação. H18 - Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas. Competência de área 5 - Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

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H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas. H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas. H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação. H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos. Competência de área 6 - Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação. H24 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências. H25 - Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos. H26 - Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos. (BRASIL, 2011, p.29).

A partir do exposto notamos que o desenvolvimento de boa parte das

habilidades a serem desenvolvidas pelos alunos do Ensino Médio estão associadas

diretamente ao ensino e aprendizagem do conceito de função nas suas diferentes

formas de representação, o que faz com que busquemos desenvolver uma

metodologia que se diferencie do modelo tradicional e vá ao encontro da defendida

por Gomes et al (2015):

Que proporcione uma relação entre o conceito matemático e suas aplicações práticas, visando o desenvolvimento de habilidades e competências que proporcionem ao aluno a relação entre diferentes tipos de representação da função afim: linguagem natural, expressões algébricas, tabelas e gráficos. (GOMES ET AL., 2015, p. 3).

Segundo Duval (2005) aponta no campo matemático que:

A compreensão em matemática implica a capacidade de mudar de registro. Isto porque não se deve jamais confundir um objeto e sua representação (...) os objetos matemáticos não são jamais acessíveis perceptivamente ou instrumentalmente (microscópios, aparelhos de medida, etc.) o acesso aos objetos matemáticos passa necessariamente por representações semióticas (DUVAL, 2005, p. 21).

Assim, segundo Duval as representações diferentes de um mesmo objeto

não possuem o mesmo conteúdo. Nesse sentido a representação não apresenta as

mesmas propriedades e características de um objeto. Não obstante, notamos a

aplicabilidade dos registros de representação semiótica no conteúdo matemático

escolhido para esta pesquisa.

Diante do exposto, consideramos relevante realizar o presente estudo, pois

temos a intenção de desenvolver uma forma de ensino mais eficaz junto aos alunos e

que ao mesmo tempo procure envolver e contemplar algumas das habilidades e

competências dispostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Para tanto

percebemos ser necessário alterar a nossa prática docente de modo que possamos

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iniciar o processo de ensino com exemplos concretos e gradativamente

caminharemos para os conceitos mais abstratos. Dessa maneira, teremos mais

chance de conquistar a atenção do aluno tirando-o da condição de um mero

espectador, para chegar a condição de um aprendiz ativo.

Para o sucesso de nosso projeto, acreditamos na combinação de

metodologias de ensino (ensino por atividades, uso de tecnologias, resolução de

problemas, modelagem matemática) como uma maneira capaz de alcançar o

desenvolvimento cognitivo de grande parte dos alunos, favorecendo maior

participação e interesse pelos conteúdos abordados em sala de aula e

consecutivamente, no melhor rendimento escolar. Sabemos que a compreensão da

dimensão de nosso trabalho de professor, juntamente com mudanças e assimilação

de práticas ativas na forma como ensinamos aos nossos alunos, poderão colaborar

no empoderamento dos jovens e ajudá-los em sua formação e realização pessoal.

avaliar os efeitos que uma sequência didática tem sobre os discentes

quando da resolução de questões relacionadas a função afim. A pesquisa foi orientada

a partir da seguinte questão norteadora: quais os efeitos da aplicação de uma

sequência didática, diferente do modelo tradicional, para a resolução de questões

envolvendo função afim.

A pesquisa tem como objetivo avaliar os efeitos que uma sequência

didática tem sobre os discentes quando da resolução de questões relacionadas a

função afim e partimos da seguinte questão norteadora: “quais os efeitos da

aplicação de uma sequência didática, diferente do modelo tradicional, tem para a

resolução de questões envolvendo função afim.

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1. A ENGENHARIA DIDÁTICA

O nosso trabalho adota como metodologia de pesquisa a Engenharia

Didática, que segundo Artigue. (Apud Almouloud e Silva, 2012)

A Engenharia Didática como metodologia se caracteriza por um esquema experimental baseado nas realizações didáticas em sala de aula, ou seja, sobre a concepção, realização, observação e análise de sequências de ensino, permitindo uma validação interna a partir da confrontação das análises a priori e a posterior. (ibidem, 2012, p. 26).

Vale destacarmos que a Engenharia didática consiste num trabalho de

investigação da didática utilizada durante o processo de ensino e aprendizagem,

comparável ao trabalho do Engenheiro quando planeja e realiza um determinado

projeto. Veja o quadro:

Quadro 1 - Ações do engenheiro e do pesquisador em didática

Ações Engenheiro Pesquisador em didática

Apoia-se nos conhecimentos científicos de seu domínio.

Apoia-se nos conhecimentos oriundos da Engenharia e suas teorias.

Apoia-se nos conhecimentos oriundos da pesquisa em didática e suas teorias.

Submete-se ao controle científico.

É controlado pelas normas legais que estabelecem os procedimentos e exigências para as construções.

É controlado pelas normas estabelecidas pela ética na pesquisa.

Trabalha com objetos complexos.

Desenvolve seu trabalho num ambiente em que a complexidade é inerente as condições do projeto, devido envolver matérias distintos e combinações dos mesmos por seres humanos.

Desenvolver seu trabalho num ambiente em que a complexidade é inerente as condições da sala de aula devido a diversidade de relações envolvidas na atividade pedagógicas e os aspectos cognitivos.

Estuda de forma prática meios de alcançar seu objetivo.

Estuda a situação apresentada buscando procedimentos e matérias que garantam a viabilidade do projeto.

Estuda a situação apresentada buscando procedimentos e matérias que visem superar ou aperfeiçoar a situação didática em questão.

Estuda situações ainda não resolvidas.

A cada projeto tem que estudar as condições ambientais, materiais, de mão de obra, tecnológicas e financeiras disponíveis para com criatividade e técnica propor a sequência de desenvolvimento do projeto.

A cada pesquisa tem que estudar as condições socioambientais, ideológicas, matérias e tecnológicas disponíveis para com criatividade e técnica propor uma alternativa metodológica para a situação em estudo.

Fonte: Sá e Alves, 2011. p. 147

19

Ainda lembramos que em uma pesquisa que utilize a metodologia da

Engenharia Didática perpassa por certas fases ou etapas metodológicas. Vejamos

quais são elas, segundo Almouloud e Silva (2012, p.p.26):

● Análises prévias;

● Concepção e análise a priori das situações didáticas;

● Experimentação;

● Análise a posteriori e validação.

A primeira fase, ou etapa metodológica das análises prévias, consiste na

obtenção dos dados que serão tomados para estudos e análises, na busca de um

referencial teórico para fundamentar as categorias. Desta forma, sugere-se a

identificação das problemáticas do ensino de modo a propor a identificação dos

problemas do mesmo, da aprendizagem do conteúdo estudado, e do delineamento

fundamentado das questões e das escolhas da sequência didática a serem

desenvolvidas na investigação.

Na primeira fase encontramos segundo Almouloud e Silva (2012):

Considerações sobre o quadro teórico didático geral e os conhecimentos já adquiridos sobre o assunto em questão, incluem a análise epistemológica do ensino atual e seus efeitos, das concepções dos alunos, dificuldades e obstáculos, e análise do campo das restrições e exigências no qual vai se situar a efetiva realização didática. (p. 26).

Esta é uma etapa que sempre pode ser retomada ao longo da investigação,

dependendo do objetivo da pesquisa ou das necessidades emergentes, que surgem

durante o processo de desenvolvimento da pesquisa.

Ao iniciar desse pressuposto, bem como da problemática desta pesquisa e

com a finalidade de analisar, previamente, os estudos já existentes sobre o ensino e

aprendizagem da Função Afim, fizemos um levantamento sobre o processo de ensino

e aprendizagem do assunto em pesquisas que constam em bancos de dados

disponíveis para consulta, de universidades do Brasil.

A partir desta busca, em pesquisas realizadas no campo do Ensino da

Função Afim, destacamos o trabalho de Santos (2013), que fora baseada numa

pesquisa de campo, realizada à luz da Engenharia Didática, onde os resultados

apontaram uma evolução dos alunos durante a aplicação da sequência didática no

que diz respeito não somente a apreensão dos conteúdos de função afim e quadrática,

mas também na interação causada entre alunos-alunos e alunos-professor na busca

das respostas e na formulação verbal das conclusões ao final de cada atividade.

20

A segunda fase é a da concepção e análise a priori, momento no qual se

constrói a sequência didática para o conteúdo em questão e se formulam as hipóteses

a partir dos resultados obtidos nas análises prévias. A respeito desta etapa Almouloud

e Silva (2012), nos diz o seguinte:

O pesquisador, orientado pelas análises preliminares, delimita certo número de variáveis pertinentes ao sistema sobre os quais o ensino pode atuar, chamadas de variáveis de comando (microdidáticas ou macrodidáticas). Na análise a priori devem ser levados em consideração os seguintes pontos: 1. Descrever as escolhas feitas no nível local (relacionando-as eventualmente com as seleções globais) e as características da situação adidática desenvolvida; 2. Analisar o que poderia estar em jogo nesta situação para o aluno, em função das possibilidades de ação, seleção, decisão, controle e validação que o aluno terá durante a experimentação; 3. Prever campos de comportamentos possíveis e tentar demonstrar como a análise permite controlar seus significados e assegurar, particularmente, que se tais comportamentos esperados ocorreram, é por consequência do desenvolvimento visado pela aprendizagem. (ALMOULOUD E SILVA, 2012, p. 27).

A importância desta etapa decorre no fato de nela ocorrer a elaboração e a

construção da sequência didática a ser utilizada na pesquisa. Daí, a importância de

analisar e procurar desenvolver atividade, que possam ser transformadas,

efetivamente em proposta de trabalho pedagógico para a sala de aula. Salientamos

estar presente em nossa sequência didática as atividades criadas e outras tomadas

e/ou adaptadas de trabalhos que se propuseram a estudar o mesmo assunto e que

acreditamos demonstrarem ter um potencial necessário para o alcance de resultados

positivos no que concerne aquilo que propomos em nosso estudo.

Ao mesmo tempo, a sequência didática a ser utilizada em nossa pesquisa

foi criada a partir da premissa na qual se coloca o professor no papel de orientador

e/ou mediador, ou seja, aquele que busca a melhor forma possível de se desenvolver

a sequência didática, bem como o agente responsável em promover a formalização

dos conceitos a serem adquiridos, conforme proposto durante o desenvolvimento da

sequência.

Diante do exposto por Almouloud e Silva (2012), nesta etapa da

concepção e análise a priori, temos que analisar e compreender as dimensões

epistemológica, cognitiva e didática. Tais dimensões compreendem respectivamente

as características: do saber, dos discentes e a do sistema de ensino, na qual, eles

estão inseridos.

O fato do nosso trabalho ser baseado no ensino por atividade, escolhemos

analisar a variável de ordem geral e a dimensão de análise didática. A partir disso, foi

21

possível identificar na análise dos questionários preenchidos pelos alunos

participantes, que, o conteúdo função afim vem sendo abordado e/ou trabalhado de

forma expositiva e com a falta de exploração de situações vinculadas à realidade.

Em relação as constatações mencionadas elas vão ao encontro daquilo

que vivenciamos em nossas atividades laborativas, ou seja, de que o ensino dos

conteúdos matemáticos, em especial de função afim, em sua maioria, é ministrado

pelos docentes de forma expositiva e sistemática, e que os docentes se valem de

exemplos de pouco ou nenhum vínculo com a realidade prática, fato evidenciado nas

respostas dos alunos obtidas por meio do questionário.

A fase da Experimentação é a etapa na qual vamos passar a colocar em

funcionamento todo o material elaborado e construído para compor a sequência

didática. Nesta fase, nos será permitido fazer correções se necessário a partir das

análises locais, em decorrência da aplicação e desenvolvimento das atividades

pensadas.

Experimentação: consiste na aplicação da sequência didática, tendo como pressupostos apresentar os objetivos e condições da realização da pesquisa, estabelecer o contrato didático e registrar as observações feitas durante a experimentação. (ALMOULOUD e SILVA, 2012, p. 27).

A experimentação vai iniciar a partir do momento da aplicação das

atividades em sala, independentemente de ser uma atividade diagnóstica, será

finalizada com o desenvolvimento da última atividade elaborada. Esta fase vai ser

desenvolvida com todo o rigor ético exigido em uma pesquisa científica que se propõe

a diminuir e/ou sanar as dificuldades encontradas em relação ao seu objeto, cabendo

a nós, como pesquisadores, a aplicação da sequência didática. Ao mesmo tempo,

realizaremos todos os registros, sem se desvincular do que fora planejado, a priori,

para o desenvolvimento e aplicação da pesquisa. Não obstante, nesta fase se

compreende a especificação dos objetivos e condições que serão necessários para a

realização da pesquisa junto aos discentes que participarão da mesma, onde se

estabelecerá um contrato didático, se explicará a aplicação dos instrumentos do

estudo e se fará o registro das observações que ocorrerão durante as sessões.

A aplicação decorrente da experimentação vai ser estabelecida nas

sessões tendo em vista o seu caráter específico para a pesquisa, ou seja, não são

aulas comuns ou rotineiras de sala de aula. Assim, a sequência didática desenvolvida

durante a segunda fase da engenharia didática de nosso estudo, será aplicada junto

22

a alunos do 1º ano do Ensino Médio de uma escola pública estadual da região

metropolitana de Belém do Pará.

A análise a posteriori e a validação, são as últimas fases da Engenharia

Didática. Nelas ocorrerem o confronto das informações obtidas durante a

experimentação e o resultado esperado das análises a priori.

A análise a posteriori consiste em uma análise de um conjunto de dados colhidos ao longo da experimentação, como por exemplo, produção dos alunos, registros de observadores e registro em vídeo. Nela analise, se faz necessária sua confrontação com a análise a priori para que seja feita a validação ou não das hipóteses formuladas na investigação. (ALMOULOUD e SILVA, 2012, p. 27).

A etapa de validação vai ocorrendo durante o desenvolvimento da

pesquisa. Inicia-se com o processo de elaboração da própria pesquisa em si e vai até

a aplicação e finalização de todas as etapas previstas. Dá-se através da leitura dos

dados obtidos das análises a priori e a posteriori que poderão levar a confirmação ou

não das hipóteses levantadas neste estudo. Portanto, é uma fase que sedimentará o

desenvolvimento do nosso trabalho.

Para que pudéssemos desenvolver uma pesquisa exitosa, buscamos

identificar nos livros didáticos a maneira como o conteúdo de função afim está

organizado, com o intuito de direcionarmos o caminho a ser percorrido por nosso

trabalho. Pois, sabemos que a maneira como os autores expõem os conteúdos

matemáticos influenciam no alcance da aprendizagem e na compreensão de certos

conceitos, dessa forma eles possuem uma responsabilidade sobre os livros didáticos

no que diz respeito à transformação do saber ensinar em saber ensinado. Vejamos o

que diz o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD/2015) afirma:

A sala de aula constitui-se em um cenário no qual se estabelecem inter-relações entre o professor, o aluno, o livro didático e os saberes disciplinares. O livro didático traz para o processo de ensino aprendizagem um personagem, o seu autor, que passar a dialogar com o professor e com o aluno. Nesse diálogo, o livro é portador de escolhas sobre: o saber a ser estudado; os métodos adotados para que o aluno consiga aprendê-lo mais eficazmente; e a organização dos conteúdos ao longo dos anos de escolaridade. (BRASIL, 2015, p. 9)

O fracasso durante o processo de ensino aprendizagem de um

determinado conceito não está simplesmente relacionado em existir ou não

deformidades na utilização de um determinado símbolo ou linguagem na sua

representação. Todavia, a negação das relações existentes entre o sujeito envolvido

no processo de ensino-aprendizagem é impensável dentro da didática da matemática.

23

2. ANÁLISES PRÉVIAS

Nesta seção, realizamos uma revisão e uma análise de algumas literaturas

que abordam de alguma forma o assunto função afim, o seu desenvolvimento histórico

bem como trazemos dados obtidos da aplicação de questionários aplicados à 86

(oitenta e seis) alunos egressos do ensino médio. Os resultados oriundos das

informações das análises servirão para a construção de um referencial teórico, que

vai ajudar na fundamentação do nosso trabalho. Tais resultados também

proporcionaram a identificação dos problemas do ensino em relação ao nosso objeto

de estudo e auxiliaram na delimitação dos assuntos que queremos trabalhar com os

alunos alvos desta pesquisa.

2.1 NOSSO OLHAR SOBRE O ENSINO DA MATEMÁTICA

Atualmente, vivemos em uma sociedade globalizada e marcada pelo

desenvolvimento tecnológico, que não raro, fundamentam-se na matemática aplicada,

que na sociedade capitalista provocou mudanças no processo de produção industrial,

ao permitir entre inúmeras coisas, como por exemplo projetar sólidos geométricos nas

embalagens, eletrodomésticos, eletroeletrônicos, computadores, as ondas

eletromagnéticas, a teoria da relatividade, o uso da estatística nas ciências sociais.

Além disso, permitiu às empresas montarem estratégias para maximizar lucros,

diminuir os prejuízos, contratar funcionários, fazer novos investimentos, etc.

Ainda é verdade que a matemática não é somente a ciência dos números

e dos cálculos. Desde a antiguidade, a humanidade utiliza a matemática para facilitar

e organizar a sociedade. A matemática foi utilizada pelos egípcios nas construções de

pirâmides, diques e nos estudos de astronomia. Os gregos também desenvolveram

vários conceitos matemáticos e ela está presente em áreas do conhecimento como,

por exemplo, na arquitetura, na informática, na física, na química, na biologia, na

geografia, na história, etc.

No campo do conhecimento é inegável a importância da matemática.

Mesmo assim, a maioria dos educandos, ignora que a matemática seja uma coisa viva

e uma importante disciplina do currículo escolar. Infelizmente ela ainda é vista por boa

parte dos alunos como uma materia difícil, desinteressante, incompreensível e sem

aplicabilidade, levando aos discentes a terem um sentimento de aversão à mesma.

24

Temos em Sá (2009) algumas características atuais do ensino da

matemática que corroboram com o exposto acima, quando fala que:

As questões referentes aos efeitos negativos do ensino de Matemática são antigas e localizam em diferentes contextos espaciais e temporais. Todavia, tem sua essência os seguintes aspectos: O ensino e desvinculado da realidade de quem aprende; Os conteúdos/assuntos são apresentados de forma pronta e acabada; A maior ênfase é dada aos cálculos, fórmulas e teoremas em detrimento das ideias e conceitos; Há pouca ou nenhuma ligação com as demais disciplinas; Prioriza-se a memorização mecanizada em detrimento da compreensão dos conceitos. (SÁ, 2009, p 23).

Além disso, segundo os dados divulgados recentemente pelo Sistema

Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB/2017), as médias de proficiência

no Brasil, nos últimos anos mostram uma queda em quase todos os níveis avaliados.

Talvez um dos fatores que tenha contribuído seja a predominância do modelo de

ensino tradicional da matemática, o que prejudica o processo de ensino, não se

atingindo a meta de se fazer com que a matemática seja entendida e compreendida

pelos alunos, pelo contrário, tal modelo acaba tornando a matemática mais distante

da realidade do aluno.

Em relação ao modo como o ensino da matemática pode contribuir na

formação de um cidadão crítico e autônomo, seria necessário:

A participação ativa do estudante no processo ensino-aprendizagem; Compreensão da matemática como um conhecimento humano e que, portanto, deve servir para a melhoria da vida no planeta; A experiência de vida do aluno deve servir de parâmetro para a escolha e desenvolvimento das metodologias de ensino adotadas em sala de aula; A articulação entre compreensão instrumental e compreensão relacional deve implicar na memorização como consequência da construção dos conceitos. (SÁ, 2009, p. 23).

Temos que as críticas acerca do modo de ensinar matemática não são

recentes. Segundo D’Ambrósio (1991):

A matemática que estamos ensinando e de como estamos ensinando é obsoleta, inútil e desinteressante. Ensinar ou deixar de ensinar essa matemática dá no mesmo. Na verdade, deixar de ensiná-la pode até ser um benefício, pois elimina fontes de frustrações! (...). Nossa proposta é ensinar uma matemática viva, uma matemática que vai nascendo com o aluno enquanto ele mesmo vai desenvolvendo seus meios de trabalhar, a realidade na qual ele está agindo. (D’AMBRÓSIO, 1991, p. 2).

Outro fator importante a ressaltar que também têm contribuído para

aversão a matemática, diz respeito ao comportamento autoritário de alguns

professores diante de suas classes. Existe um discurso ainda presente entre os

estudantes que alguns docentes adotam posturas arrogantes, de donos da verdade e

de únicos detentores do saber matemático. Muitos professores dessa disciplina ainda

25

não conseguem envolver os seus alunos no processo de construção do

conhecimento, bem como ainda não entenderam que o modo atual de se ensinar a

matemática, deve ser criativo, vivo e cheio de significado para o aluno, vejamos:

De fato, os objetos matemáticos não estão diretamente acessíveis à percepção ou a experiência intuitiva imediata, como são os objetos comumente ditos ”reais” ou “físicos”. E preciso, portanto, dar representantes. E por outro lado, a possibilidade de efetuar tratamentos sobre os objetos matemáticos depende diretamente do sistema de representação utilizado. (DUVAL, Apud ALKIMIN E PAIVA, 2013, p. 14).

A partir da afirmação, acreditamos ser possível a adoção de atitudes por

parte do professor que sejam orientadas a partir de um contato professor-aluno que

possam estabelecer uma relação de apoio e confiança entre ambos, onde o docente

utilizando da sua experiência possa sempre se engajar no aprimoramento de suas

metodologias, quando necessário, e de forma crítica, indagar sobre sua ação,

retirando dela meios para direcionar o trabalho em sala de aula, algo imprescindível

para que possamos estar (re) construindo um novo olhar por parte dos nossos alunos

em relação ao processo de ensino-aprendizagem dos conteúdos matemáticos.

Despertando desta forma um sentimento de curiosidade, de expectativa, de avaliação,

de pesquisa, de análise, de descoberta, e de intervenção do conhecimento

matemático em sua realidade, tornando compreensível aquilo que se aprende em sala

de aula.

Os conteúdos matemáticos devem despertar nos alunos algo que é

fundamental para a formação pessoal do indivíduo que é a competência de se criticar

a realidade na qual está inserido. Skovsmose (2001) destaca alguns aspectos

importantes a serem levados em consideração quando se tem como proposta o

desenvolvimento de uma competência crítica nos estudantes, o que denomina de

“questões relacionadas a um currículo crítico”. Deve se levar em consideração na

proposta de um tema a ser trabalhado a aplicabilidade do assunto e quais os

interesses estão envolvidos por trás do assunto em questão. Há ainda que se

considerar dois pontos chaves para o êxito da proposta: que se o problema a ser

tratado seja relevante para os alunos e que de fato tenha proximidade com problemas

sociais existentes. De algum modo à medida que se envolve no processo de busca

de soluções para problemas, ao ter contato com informações técnicas e científicas,

amplia sua visão sobre o problema, amadurecendo seu julgamento, compromete-se

pessoalmente e consequentemente estará formando uma base para um engajamento

político e social.

26

Por isso trazer a matemática para mais perto do universo do aluno permite

que ele perceba a sua importância social e ao aprender o conteúdo matemático, de

forma mais concreta, gera confiança em sua capacidade de raciocinar sozinho, o

aluno passa a ter uma autonomia intelectual, moral, social e política. A educação

matemática contribui no sentido de criar condições que favoreçam formas de

envolvimento dos estudantes na sociedade e para que perceba a matemática como

elemento com o qual a sociedade organiza grande parte de suas atividades.

Sobre isso D´Ambrósio nos diz que:

O cotidiano está impregnado dos saberes e fazeres próprios da cultura. A todo instante, os indivíduos estão comparando, classificando, quantificando, medindo, explicando, generalizando, inferindo e, de algum modo, avaliando, usando instrumentos materiais e intelectuais que são próprios a sua cultura. ( D´AMBROSIO, 2002, p. 22).

Segundo Melo (2002), a educação matemática deve ser dotada de

significado criativo, não apenas de maneira formal, para poder assim minimizar e

contribuir para que as pessoas não encontrem na matemática o motivo para aumentar

a exclusão e evasão educacional, contribuindo assim para uma futura exclusão social,

afirmando que o ensino tradicional da matemática ajuda bem pouco a decifrar a

informação disponível na sociedade, o que conduz as pessoas à condição de

excluídas e não cidadãs.

Hoje educar para a cidadania é o maior desafio do professor e da escola,

então ressaltamos a importância da matemática como disciplina que oferece múltiplas

oportunidades para o desenvolvimento de atividades que contribuem para a

construção da cidadania.

Não obstante D´Ambrósio relata que:

Não se pode negar que ao fazer o ensino de disciplina tão peculiar quanto a Matemática, abre-se enorme espaço para considerações específicas de cognição, de organização intelectual e social do conhecimento e de política, enfim, das formas de explicitação, de entendimento e de manejo da realidade (D’AMDRÓSIO, 1993, p. 9).

Conscientes da importância da matemática, nos professores temos quase

como uma obrigação procurar novas metodologias para o ensino da matemática, nos

conscientizando de que precisamos buscar identificar e compreender quais as

dificuldades apresentadas pelos alunos no entendimento de determinado conteúdo

para que possamos intervir diminuindo ou eliminando. Voltamos a insistir na

necessidade de descaracterização das aulas de matemática como aulas onde

27

predominam as atividades transmissoras de conhecimento, que não abre espaço para

discussão e análise crítica dos conteúdos.

Na medida em que as aulas de matemática, ainda, têm as características

preconizadas pelo educador pernambucano Paulo Freire (1982, p. 38):

“... o educando recebe passivamente os conhecimentos, tornando-se um depósito do educador. Educa-se para arquivar o que se deposita. Mas o curioso é que o arquivado é o próprio homem, que perde, assim, seu poder de criar, se faz menos homem, é uma peça. O destino do homem deve ser criar e transformar o mundo, sendo sujeito de sua ação (...). A consciência bancária pensa que ‘quanto mais se dá mais se sabe’. Mas a experiência revela que com este mesmo sistema só se formam indivíduos medíocres, porque não há estímulo para a criação”. (FREIRE, 1982, p. 38).

A característica acima transcrita é típica de uma aula de matemática e

encontra-se presente em todos os níveis de ensino. É um padrão que se revela em

forma de uma aula expositiva onde o professor transcreve para o quadro tudo o que

julga necessário e relevante, ficando ao encargo do aluno transferir para o seu

caderno tudo aquilo que fora exposto pelo docente. Além disso, cabe aos alunos a

resolução de exercícios repetitivos utilizando fórmulas e algoritmos, prática que leva

o educando a acreditar que a matemática se resume á aplicação de regras e que não

é uma ciência passível de questionamento, o que faz com que os mesmos não se

preocupem em compreender o funcionamento dos conceitos matemáticos. Vale

ressaltar que:

Se professor e alunos defrontam-se com sentenças, regras e símbolos matemáticos sem que nenhum deles consiga dar sentido e significado a tal simbologia, então a escola continua a negar ao aluno – especialmente aquele da escola pública – uma das formas essenciais de ler, interpretar e explicar o mundo. (MOYSÉS, 2007, p. 67).

Além do mais, essa postura do professor leva ao aluno, segundo

D’Ambrósio:

O aluno, acreditando e supervalorizando o poder da matemática formal, perde qualquer autoconfiança em sua intuição e em seu bom senso matemática, além de acreditar que a solução de um problema encontrado matematicamente não estará, necessariamente, relacionada com a solução do mesmo problema numa situação real (...). Ao aluno não é dado em nenhum momento à oportunidade de criar nada, nem mesmo uma solução mais interessante. O aluno, assim, passa a acreditar que na aula de matemática o seu papel é passivo e desinteressante. (D’AMBRÓSIO,1989, p. 1-2).

A postura defendida por nós e a de um professor que abandone este papel

de autoritário, de dono da verdade, para se tornar investigador, enquanto ao aluno

cabe ultrapassar o papel de passivo, de escutar, ler, decorar e de repetidor fiel dos

28

ensinamentos do professor diante o processo de ensino, e em parceria professor-

aluno deve buscar um processo de cooperação para facilitar o ensino-aprendizagem.

Essa relação de cooperação professor-aluno, e sustentada pelo relatório

da UNESCO, naquilo que DELORS apresenta para a educação ao longo de toda vida

assentada em quatro pilares: aprender a conhecer; aprender a fazer; aprender a viver

juntos e aprender a ser.

1. Aprender a conhecer:

“Este tipo de aprendizagem que visa não tanto à aquisição de um repertório de saberes codificado, mas antes ao domínio dos próprios instrumentos do conhecimento pode ser considerado, simultaneamente, como meio e como finalidade da vida humana. Meio, porque se pretende que cada um aprenda a compreender o mundo que o rodeia, pelo menos na medida em que isso lhe é necessário para viver dignamente, para desenvolver as suas capacidades profissionais. Finalidade, porque seu fundamento é o prazer de compreender de conhecer, de descobrir. (DELORS, 1996, p. 91.).

O aluno deve compreender a aprendizagem como um processo inacabado.

Aprender significa ter prazer em procurar descobrir, ter curiosidade para poder

investigar, para assim construir seu próprio conhecimento.

2. Aprender a fazer:

“Aprender a fazer não pode, pois, continuar a ter o significado simples de preparar alguém para a tarefa material bem determinada, para fazê-lo participar na fábrica de alguma coisa. Como consequência, as aprendizagens devem evoluir e não podem mais ser consideradas como simples transmissão de práticas mais ou menos rotineiras, embora estas continuem a ter um valor formativo que não é de desprezar”. (ibidem, p. 93).

Não cabe ao aluno o ato de repetir aquilo que lhe ensinado, mas de criar sua

capacidade crítica e de autonomia em relação aos conhecimentos adquiridos,

buscando aplicações em sua realidade.

3. Aprender a viver juntos:

“A educação formal deve, pois reservar tempo e ocasiões suficientes em seus programas para iniciar os jovens em projetos de cooperação, logo desde a infância, no campo das atividades desportivas e culturais, evidentemente, mas também estimulando a suas participações em atividades sociais: renovação de bairros ajuda aos mais desfavorecidos, ações humanitárias, serviços de solidariedade entre gerações”. (ibidem, p. 99).

Os alunos têm de criar a consciência de que precisam aprender a viver

juntos, respeitando as diferenças que há entre os seres humanos, participar de

atividades comuns a todos, participarem de projetos de interesse coletivo.

4. Aprender a ser:

Um princípio fundamental: a educação deve contribuir para desenvolvimento total das pessoas – espírito e corpo, inteligência, sensibilidade, sentido estético, responsabilidade pessoal, espiritual. Todo o ser humano deve ser preparado para elaborar pensamentos autônomos e críticos, e para formular

29

seus próprios juízos de valor, de modo a poder decidir, por si mesmo, como agir nas diferentes circunstâncias da vida. (ibidem, p. 99).

Todo aluno deve ter a liberdade de pensamento, deve descobrir suas

potencialidades para criticar e participar do processo de ensino.

Ao pensar em tudo isso, acreditamos para que ocorra uma melhora

significativa na educação, principalmente na educação matemática, é preciso que os

alunos saibam como aprender, como compreender fatos e resultados obtidos, como

estabelecer suas relações interpessoais, como analisar, refletir e agir sobre os

conteúdos e conceitos matemáticos.

Na medida em que os alunos trazem para a escola conhecimentos, ideias

e intuições, que foram construídas através de suas experiências que vivenciaram em

suas rotinas antes de entrarem para a escola. Todos nós levamos para a escola

algumas ideias básicas de como somar, subtrair, dividir, é claro que utilizamos de

alguns mecanismos que mais tarde, poderão ser ratificados ou não pela escola, visto

que entramos na escola sabendo de alguma maneira ordenar, quantificar e medir.

Além disso, é fundamental para exercermos nossa cidadania saber calcular, medir,

raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente, etc.

O ensino da matemática deve alcançar formar um homem dinâmico e

reflexivo, consciente da sua capacidade de intervenção na realidade que o circunda e

da importância do seu desenvolvimento intelectual para o mundo contemporâneo.

Para tanto e preciso um ensino de matemática que possibilite aos educandos

desenvolver habilidades úteis os ajudando de forma satisfatória a resolverem

problemas cotidianos, sendo assim necessária a utilização de uma metodologia que

valoriza, principalmente, a ação docente, e busque construir uma forma de ensinar,

que parta de uma situação concreta para o abstrato.

Desse modo o aluno passa de mero espectador, mas como participante

desse processo, comece a compreender e questionar o próprio conhecimento. Isso é

possível se for respeitado o desenvolvimento físico e mental do aluno, suas

necessidades e interesses. Sá nos diz:

Esse tipo de abordagem interativa permite ao aluno realizar um grande número de experimentos, interpretá-los para depois discuti-los em classe com o professor e colegas. Outro fator relevante nesse processo é o de que a escola, mas não exclusivamente ela, precisa oferecer condições materiais plenamente desejáveis para que o ensino por atividades ocorra de forma exitosa. O êxito depende muito mais de um bom planejamento das atividades por parte dos professores e do envolvimento dos alunos nas resoluções das atividades. Assim torna-se relevante que o professor queira e acredite que

30

pode melhorar sua forma de ensino, acrescentando a ela qualidade e empregabilidade nos conhecimentos apreendidos. (SÁ, 2009, p. 15).

Ao mesmo tempo Sá destaca que:

Sabemos que, na sociedade do conhecimento, a matemática tem seu lugar de destaque, porém não devemos esquecer que as constantes alterações contemporâneas refletem-se também no ambiente escolar, modificando objetivos de ensino e perfis de alunos. Esses dois fatores tornam-se relevantes para que repensemos nosso papel como professores e, sobretudo, o que e como devemos ensinar matemática para essas novas gerações de alunos cercados por aparatos tecnológicos e dinamismo. Essas questões mostram a necessidade de começarmos a repensar a maneira rotineira como ensinamos a Matemática, e como os alunos podem se apropriar desses conhecimentos de modo a favorecê-los tanto em sua vida acadêmica, quanto profissional. Para que isso ocorra é necessário que o professor de Matemática busque romper com alguns paradigmas que ainda cercam essa área de conhecimento e que tem colaborado para estigmatizar a Matemática como “conhecimento restrito a poucas mentes privilegiadas”. (SÁ, 2009, p. 15).

Os resultados obtidos nos trabalhos de Santos (2013), Selingardi (2013),

Scano (2009) e Duarte (2005) provam a assertiva acima, uma vez que no decorrer de

suas pesquisa os resultados iam apontando para uma significativa melhora dos alunos

durante a realização das atividades propostas, não somente relacionados a

compreensão dos conteúdos a respeito de função afim, mas principalmente na

interação entre os alunos na busca de respostas dos problemas propostos.

2.2 ESTUDOS SOBRE O ENSINO DE FUNÇÃO AFIM

Na fase das Análises Prévias, buscamos examinar trabalhos, com a

pesquisa relacionada ao tema de estudo, o ensino de Função Afim. As pesquisas

analisadas estão disponíveis para consulta em bancos de dados online, em suas

respectivas Instituições, ao mesmo tempo, consultamos trabalhos na Biblioteca “Paulo

Freire”, da Universidade do Estado do Pará, situada na cidade de Belém. Referências

sobre as pesquisas estão dispostos no quadro abaixo.

Quadro 2 - Estudo sobre o ensino de função afim (continua) Natureza do

trabalho Autor (es) Tema Instituição

Tese Magalhães

(2009)

Mapas conceituais digitais como estratégia de ensino para o

desenvolvimento da metacognição no estudo de funções

Pontifícia Universidade Católica/SP

Dissertação Silva (2014) O ensino das funções exponencial e

logarítmica por atividades Universidade do Estado do Pará

31

(continuação)

Dissertação Maciel (2011) A construção do conceito de função

através da história CEFET/RJ

Dissertação Pinto (2014)

Dissertações brasileiras sobre o ensino de função afim, a partir da

implementação de sequências didáticas produzidas no período de

2009 a 2012.

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Dissertação Santos (2013) O Ensino das Funções Afim e

Quadráticas por Atividades

Universidade do Estado do Pará.

Dissertação Selingardi

(2015)

O Estudo de Função Afim no ensino médio por meio de uma atividade

experimental

Universidade Federal de São Carlos/SP.

Dissertação Nascimento

(2009)

O contexto explorados no ensino de função afim nos livros de matemática

do ensino médio

Universidade Federal de Pernambuco.

Dissertação Maggio (2011)

Saberes docentes de uma professora que ensina função e conhece a teoria

dos registros de representação semiótica.

Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul.

Dissertação Magarinus

(2013)

Uma proposta para o ensino de função através da utilização de objetos de

aprendizagem.

Universidade Federal de Santa Maria/ RS

Dissertação Duarte (2005) Resolução de problemas como

proposta para o ensino-aprendizagem de função polinomial do 1º e 2º graus.

Universidade do Extremo Sul

Catarinense/SC.

Dissertação Lopes Junior

(2006)

Função do 1º graus: um estudo sobre seus registros de representação

semiótica por alunos da 1ª série do ensino médio.

Universidade Federal de Mato Grosso do

Sul.

Dissertação Nogueira

Junior (2008)

Elaboração de uma sequência didática para a aprendizagem de valor absoluto

e da função modular, utilizando um currículo em rede.

Pontifícia Universidade Católica/MG

Dissertação Scano (2009) Função afim: uma sequência didática

envolvendo atividades com o geogebra.

Pontifícia Universidade Católica/SP

Monografia Fortes (2011) A taxa de variação na compreensão

da função afim por estudantes do ensino médio

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Monografia Baraldo (2009) Sobre a necessidade de um ensino

dinâmico das funções Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Artigo Garcia (2009) O conhecimento de matemática do

professor: a formação inicial e o conceito de função

Instituto de matemática da

UFRGS

Fonte: Pesquisa bibliográfica (2016)

32

Os trabalhos acima foram estudados e analisados, tendo em vista:

questões norteadoras/motivação, objetivos, metodologia, resultados e/ou conclusão.

Abaixo, estão os resumos dos trabalhos analisados, os quais dividimos em categorias,

para facilitar a compreensão dos mesmos.

Utilizamos as categorias definidas por Silva (2014), que as dividiu em:

estudos diagnósticos, que são aqueles que analisam e identificam algumas

dificuldades dos alunos, durante o processo de ensino e aprendizagem; estudos

experimentais, que são aqueles que se propõem a realizar atividades voltadas ao

ensino de função afim e tem como objetivo diminuir e/ou superar dificuldades e/ou

aumentar a eficácia do processo de ensino e aprendizagem de conteúdos

matemáticos; e estudos teóricos, que são aqueles que apresentam aspectos

conceituais acerca do Ensino de Função Afim.

2.2.1 Estudos diagnósticos

O trabalho de Santos (2013) apresenta como questão norteadora: “Quais

os efeitos de um conjunto de atividades sobre função afim e quadrática no

desempenho de alunos do 1º ano do ensino médio?” O objetivo foi o de investigar as

contribuições de atividades para o processo de compreensão do conteúdo de funções

afim e quadrática.

A autora buscou observar de que modo, um conjunto de atividades pode

ser utilizada como um recurso metodológico para o processo de ensino e

aprendizagem. Para tanto, utilizou uma projeção de atividades onde os alunos foram

inquiridos a observar, inferir, testar e concluir, com relação a aspectos como:

conceitos, propriedades, utilização e aplicação dos conteúdos em questão.

A metodologia de pesquisa utilizada por ela foi baseada na Engenharia

Didática, proposta por Michèle Artigue e para a elaboração das atividades em análises

de situações de ensino, baseadas a partir da perspectiva da didática da matemática,

proposta por Brousseau.

Em Santos (2013) encontramos um trabalho partindo do levantamento

bibliográfico de pesquisas que tratam do processo de ensino e aprendizagem do tema

tratado, pode identificar quais as abordagens metodológicas mais utilizadas, o que

acabou subsidiando a escolha da modelagem matemática e o ensino por atividades,

como metodologia de ensino a ser adotada para a elaboração, aplicação e resolução

33

das atividades desenvolvidas na sequência didática, visando o alcance do objetivo da

pesquisa. A pesquisa foi desenvolvida em uma escola pública, no município de Belém,

com a participação de 30 alunos, de uma turma do 1º Ano do Ensino Médio.

Os resultados da pesquisa, de forma geral, indicam que a intervenção

proposta, gerou resultados qualitativos significativos, ao ter promovido uma melhora

na aprendizagem dos conteúdos matemáticos trabalhados, ao mesmo tempo, permitiu

aos alunos o desenvolvimento de habilidades de observação, de proposição, de

diálogo, de elaboração de texto, de interpretação, de autonomia na busca de

caminhos para a resolução das questões e na construção dos conceitos e noções em

relação aos conteúdos matemáticos tratados.

A autora concluiu, tomando por base as comparações dos resultados de

pré e pós-teste, que houve melhora considerável na aprendizagem por parte de um

número maior de alunos, com o aumento do acerto das questões desenvolvidas

durante as atividades de investigação da pesquisa, em relação ao conteúdo de função

afim e quadrática, ressaltando que a escolha por atividades e modelagem matemática

contribui para o envolvimento dos alunos acarretando um aumento significativo no

nível de aprendizagem sobre os conteúdos abordados.

Fortes (2011) elegeu como questão norteadora: “se o uso do conceito de

taxa de variação, em diferentes registros de representação, propicia aos alunos, uma

melhor compreensão no estudo da função afim”, tendo como objetivo, investigar a

viabilidade do estudo da taxa de variação da função afim no Ensino Médio. A autora

adotou o estudo de caso como método de pesquisa.

As atividades utilizadas pela pesquisadora, serviram para provocar os

debates em sala, gerando momentos de reflexão e em certos instantes, a promoção

de uma autonomia maior na resolução dos problemas. No processo, os alunos

passaram a utilizar de uma linguagem própria, na busca da resposta correta. Além

disso, os discentes foram capazes de identificar a expressão algébrica, quando

solicitado, e também, de compreender que a taxa de variação influência na inclinação

do gráfico da função.

Os resultados obtidos, decorridos da implementação das atividades,

apontam ser possível demonstrar aos alunos o conteúdo da função como um objeto

dinâmico, além de ter possibilitado o reconhecimento do mesmo nas diferentes formas

de representação. Ao mesmo tempo, a autora conclui que, o papel do professor não

é o de dar respostas (solução) para os problemas, mas o de instigar a resolução dos

34

mesmos, formulando perguntas com um caráter discursivo, visando a reflexão e a

formulação, por parte dos alunos, de suas próprias conclusões.

Em Duarte (2005), encontramos os resultados de uma pesquisa com

alunos da 8ª série do Colégio de Aplicação da UNESC, que tinha como objetivo o

desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem do conceito de função

polinomial de 1º e 2º grau, utilizando como metodologia de ensino a Resolução de

Problemas, buscando potencializar nos alunos, o desenvolvimento de atitudes de

investigação na identificação de padrões para a construção do conceito de função, a

identificação e a construção de um esboço do gráfico de funções do 1º e 2º graus, a

compreensão e a valorização da Matemática como instrumento para compreender o

mundo a sua volta.

O autor destacou que a teoria histórico-cultural fundamentou o

desenvolvimento da pesquisa, que metodologicamente foi dividida em: a) discorrer,

inicialmente, sobre ensino-aprendizagem de matemática, através de uma síntese

histórica do desenvolvimento do conceito de função, b) o uso da Resolução de

problema como metodologia de ensino-aprendizagem, c) a elaboração de trabalhos

em grupos para serem apresentados em sala.

Os trabalhos foram direcionados para que os alunos respondessem a

perguntas como: O que é função? Para que servem as funções? O que é função do

1º grau? E sua representação gráfica, o que é função crescente e decrescente? O que

é função constante, linear e afim? O que é uma função do 2º grau? O que é uma

parábola? O que é conjunto domínio, imagem e contradomínio? O que é esboçar o

gráfico de uma função do 2º grau? Demonstrar situações-problema e sequência de

figuras para deduzir fórmulas (leis de formação) bem como demonstrar o que é o ponto

máximo e mínimo de uma função do 2º grau.

Os resultados da pesquisa revelam que os alunos, ao final das atividades,

desenvolveram o entendimento sobre o conceito de função, através da resolução de

problemas, ao dar soluções para as atividades propostas. Além disso, a pesquisa

também apresentou como resultado, que os alunos passaram a perceber o conteúdo

matemático da função surgindo e evoluindo para solucionar, não um problema

cotidiano, mas cientifico. Ao mesmo tempo, o autor identificou que na maioria dos

livros didáticos, utilizados pelos alunos nas pesquisas, o conteúdo de função é

trabalhado inicialmente por meio da representação de conjuntos e o uso de exemplos

de funções, que acaba dificultando o aluno a desenvolver o raciocínio e o pensamento

35

matemático, pois se prestam a apresentar inúmeros problemas, que visam somente o

decorar de fórmulas e a imposição de regras a serem seguidas.

Na concepção do autor, julga ter alcançado o objetivo de seu trabalho,

quanto ao uso da resolução de problemas, pois os alunos apresentaram pouca, ou

quase nenhuma dificuldade, em identificar as grandezas, as variáveis dependentes e

independentes, a lei de formação da função, a esboçar e construir os gráficos da

função do 1º e 2º grau, domínio e imagem. A partir disso, o autor afirma que a

resolução de problemas como metodologia de ensino deveria ser explorada de forma

mais expressiva, desde as séries iniciais, pois se evidencia que esse processo de

ensino-aprendizagem, gerou nos alunos, o aumento na confiança, na capacidade de

analisar e resolver os variados tipos de problemas.

Nogueira (2006), pautou sua motivação na seguinte questão: “que

registros de representação semiótica são mobilizados por alunos do início do Ensino

Médio para o trabalho com o conceito de função do 1º grau? Tendo disponível tais

registros, até que ponto são capazes de realizar transformações (tratamento e

conversões) nesses registros? Apresenta uma pesquisa com o objetivo de

compreender o desenvolvimento cognitivo dos alunos em relação aos conteúdos

matemáticos diante das dificuldades apresentadas, em especial, ao conteúdo de

função do 1º grau.

A pesquisa se desenvolveu metodologicamente por: um levantamento de

aspectos epistemológicos do conceito de função; de um levantamento e análise de

documentos oficiais, que versam sobre o processo de ensino e aprendizagem; de um

levantamento e análise de materiais didáticos que tratam do conteúdo. Por fim, a

elaboração, aplicação e análise de uma sequência didática, construída para explorar

as diversas representações (gráfica, algébrica, tabular e língua natural) da função do

1º grau. Para tanto, apoiou-se na teoria das Representações Semióticas de Raymond

Duval, para explorar situações onde os alunos do 1ª ano devam construir o conceito

de função.

O professor-pesquisador contou com a participação de 16 alunos do 1º ano

do Ensino Médio particular, de Campo Grande/MS, que de forma voluntária, se

dispuseram em resolver as atividades proposta para investigação e análise da

pesquisa. As atividades foram divididas em três grupos (I, II, III).

As atividades do grupo I tinham o objetivo de promover a investigação e

transformação por tratamento e conversão das representações entre os registros

36

simbólicos (da escrita algébrica e numérica), língua natural e gráfico. Já as do grupo

II, que foram realizadas em grupo, tinham a intenção de observar se os alunos eram

capazes de transitar entre essas representações. E as atividades do grupo III, tinham

o objetivo de estabelecer relações entre conteúdo trabalhado e o cotidiano, a partir de

uma situação problema.

Os resultados da pesquisa apontaram que o objetivo de identificar as

dificuldades dos alunos, em relação ao conceito de função do 1º grau, fora alcançado,

portanto, verifica-se que há a necessidade da construção de uma base consistente,

procurando mobilizar os alunos a identificar as diferentes formas de representação

dos objetos matemáticos, para desenvolverem suas habilidades em relação ao

raciocínio, análise e interpretação dos problemas matemáticos.

Os estudos diagnósticos serviram para identificar as dificuldades

relacionadas à aprendizagem dos conteúdos relacionados à Função Afim, a exemplo

da expressão algébrica, que representa uma relação dada; construção e interpretação

do gráfico da função; o zero da função.

2.2.2 Estudos experimentais

Maciel (2011) apresentou em sua pesquisa, a seguinte questão

norteadora: “A utilização da história da matemática, como estratégia de ensino,

facilitará o processo de ensino-aprendizagem do conceito de função”? O objetivo era

o de promover uma aprendizagem significativa, para os alunos do Ensino Médio,

sobre o conceito de função mediado pela história da matemática. A pesquisa consistiu

inicialmente na construção de um vídeo em forma de documentário, com o propósito

de narrar “A história da matemática”, que contou com a participação dos alunos do

Ensino Médio, bolsistas de iniciação tecnológica, do laboratório de história da ciência

do CEFET/RJ. E no segundo momento, elaborou-se um caderno de atividades,

objetivando contribuir para o entendimento, compreensão e fixação do conceito de

função.

A metodologia da pesquisa foi: a) aplicação de uma avaliação inicial,

denominada pré-teste, para mensurar o grau de conhecimento matemático específico;

b) exibição do vídeo e o uso do caderno de atividades; c) realização e análise de uma

avaliação com 10 (dez) questões objetivas, denominada pós- teste. Os resultados

aferidos na pesquisa, levaram o autor a propor a categorização em cinco níveis, não

37

hierarquizados, dos aspectos relevantes para o ensino do conceito de função,

conforme o quadro abaixo.

Quadro 3 - Categorização dos aspectos relevantes por níveis de complexidade

Categorização dos aspectos relevantes por níveis de complexidade

A O conceito de função deve valorizar a dependência entre variáveis.

B O conceito de função deve ser apresentado por suas várias representações.

C O conceito de função deve ser associado com a resolução de problemas contextualizados.

D O conceito de função deve ser utilizado como modelo matemático para as outras ciências.

E O conceito de função deve ser compreendido através do problema da variabilidade.

Fonte: Maciel (2011, p. 48)

Os resultados da análise do pré e pós-teste, mostraram não haver uma

diferença em relação ao desempenho individual e coletivo dos participantes,

evidenciando que, a proposta metodológica empregada não alcançou o objetivo

pretendido para este grupo de participantes. Porém, o autor ressalta que o uso de

questões objetivas para a avaliação do desempenho, se revelou como um obstáculo

a uma melhor compreensão e entendimento do raciocínio matemático, utilizado na

resolução das atividades propostas.

Além disso, o autor procura traçar algumas hipóteses para o baixo nível de

desempenho dos alunos aferidos pelos instrumentos de pré-teste e pós-teste bem

como através o uso do vídeo e do caderno de atividades, onde se destaca o seguinte:

a) os alunos apresentam dificuldades com conceitos e operações matemáticas do

Ensino Fundamental (proporção, operações com inteiros e expressões algébricas); b)

dificuldade em marcar pontos no plano cartesiano; c) a inabilidade em resolver

exercícios em formato de problemas.

O autor concluiu que, a utilização do vídeo como recurso didático, foi um

fator de atração nas aulas. E, antes de se iniciar o processo ensino e aprendizagem

do conceito de função, deve-se buscar identificar os conhecimentos matemáticos

prévios dos alunos, para sanar as dificuldades apresentadas.

Em Selingardi (2015), encontramos um trabalho desenvolvido com 22

alunos de uma turma do 1º ano do Ensino Médio, de uma escola privada no município

de Itapira – SP, com o objetivo de superar certas dificuldades relativas a

aprendizagem do conceito de função, identificadas na atuação docente da autora.

38

Para tal propósito, foi desenvolvida uma atividade experimental e com uma proposta

interdisciplinar, pois, em parceria com a professora de química, se identificou um

assunto onde poderiam ser trabalhados conceitos relativos ao conteúdo de função.

A metodologia de pesquisa adotada foi a Engenharia Didática e como

metodologia de ensino o uso de atividades auxiliadas pelo computador. O experimento

foi dividido em cinco etapas: a) apresentação aos alunos do laboratório de informática

e dos materiais disponíveis para a atividade (balança, pote com uréia, seringa, colher,

béquer e uma tabela a ser preenchida); b) os alunos após serem divididos em grupos

e previamente orientados na execução da tarefa anotam os dados da experiência

proposta; c) construção da expressão algébrica e do gráfico a partir dos dados

coletados relacionando massa de uréia e densidade da mistura; d) o uso do software

Excel para confeccionar (expressão algébrica e gráfica) e comparar ambos os

resultados encontrados anteriormente; e) na reflexão dos dados obtidos por cada

grupo durante a experimentação.

O experimento elaborado pela autora consistia em misturar água e uréia,

devendo manter o volume (V) da mistura constante e igual a 50 ml, e devendo variar

a massa (g) da ureia de 5 a 30 gramas, em variações de 5 em 5 gramas. O objetivo

do experimento era calcular através do conhecimento prévio da disciplina de química

a densidade (d) da mistura. A partir disso, os grupos deveriam preencher os valores

da massa da ureia, massa da mistura, volume da mistura e densidade da mistura em

uma tabela.

Após essa etapa, foi solicitada a identificação de uma expressão algébrica

e gráfica que relacionasse a densidade da mistura e a massa da uréia, que foi depois

trabalhada utilizando o software Excel para a comparação dos resultados

encontrados.

Os resultados da pesquisa apontaram no uso da atividade experimental,

a possibilidade de se estabelecer um diálogo e uma interação maior entre professor-

aluno e aluno-aluno, permitindo também ao professor uma observação mais clara das

dificuldades apresentadas pelos alunos participantes da pesquisa. Ao mesmo tempo,

a autora afirmou que houver uma maior participação e motivação dos alunos durante

as aulas dedicadas a realização das atividades, pois eles conseguiram aplicar de

forma prática os conhecimentos adquiridos.

A autora cita que identificou algumas dificuldades dos estudantes no que

tange a manipulação de números não inteiros; na determinação da expressão

39

algébrica da reta apresentada e em traçar e construir gráficos. Porém, afirma ter

alcançado os objetivos esperados nesta pesquisa, que eram: apresentar o estudo da

função afim através de uma atividade experimental, prática e interdisciplinar.

Magalhães (2009), motivada pela identificação, durante a sua prática

docente das dificuldades apresentadas pelos alunos (inclusive no âmbito do ensino

superior), dificuldades também apresentadas por professores em relação a este

conteúdo matemático denominado função. Tal conteúdo, muito utilizado no Curso de

Ciências da Computação, chamou a atenção da professora que empreendeu um

estudo, cujo objetivo geral foi verificar em quais medidas os mapas conceituais

digitais podem se tornar instrumento para alavancar o desenvolvimento metacognitivo

dos estudantes, quando se debruçam sobre as funções matemáticas. A

metodologia adotada na pesquisa foi pautada na Engenharia Didática de Artigue.

Onde houve, inicialmente, a aplicação de um questionário, com o objetivo de delinear

o perfil dos estudantes, bem como, de diários de campos para o registro, observação,

descrição e relatos por parte do pesquisador. Houve também o uso do software

Cmaptools, como ferramenta para a construção dos mapas conceituais, que são os

mapas a serem construídos pelos estudantes no ambiente computacional, a partir do

conjunto de atividades disponibilizado. Participaram da pesquisa cinco alunos do 1ª

semestre, do Curso de ciências da computação, um professor de pedagogia com

mestrado na área de educação, todos pertencentes a uma Faculdade no município de

Salvador/ BA. As atividades desenvolvidas foram as seguintes:

Quadro 4 - Atividades desenvolvidas

Encontro Atividades

1 -atividades genéricas para a construção de mapas conceituais -atividades genéricas no Geogebra

2 -atividades genéricas para a construção de mapas conceituais -atividades genéricas no Geogebra

3

-questionário inicial -confecção do mapa inicial sobre função -atividades sobre pontos no plano cartesiano -atividades sobre proporcionalidade -elaboração de mapas sobre plano e sobre proporcionalidade

4

-institucionalização - elaboração de mapas sobre plano e sobre proporcionalidade -atividades sobre função afim -elaboração de mapas sobre função afim

5 -institucionalização

40

- elaboração de mapas sobre função afim - atividades sobre funções definidas por várias sentenças -elaboração de mapas sobre funções definidas por várias sentenças

6 -institucionalização -confecção do mapa final sobre função -questionário final

Fonte: Magalhães (2013, p. 105)

Os resultados alcançados pelo pesquisador a partir da análise,

experimentação e das produções dos mapas conceituais pelos participantes, apontam

ter havido o desenvolvimento da metacognição, de forma a influenciar positivamente

no processo de ensino aprendizagem no estudo de função afim.

Scano (2009), motivado pela análise dos dados do SARESP3,

desenvolveu uma pesquisa sobre o ensino de função afim por atividades, auxiliado

pelo software Geogebra, com o objetivo de diminuir déficit de aprendizagem dos

conteúdos de matemática, apresentados por parte dos alunos, quando resolvem

problemas que exigem o desenvolvimento da habilidade em reconhecer e identificar

a equação de uma reta, a partir de um gráfico.

O autor utilizou como metodologia de pesquisa a Engenharia Didática,

bem como, a formulação de uma sequência de ensino a luz da teoria dos registros e

representação semiótica, com elaboração de atividades que visem à aprendizagem

significativa, mediante situações problema, centrado na interdisciplinaridade e

contextualização com o uso de tecnologias.

A conclusão do estudo apontaram que houve uma aprendizagem, quando

do uso do Software Geogebra, para analisar o comportamento do gráfico de função

afim, quando se fazem alterações nos coeficientes da mesma, ao mesmo tempo, se

evidenciou que os alunos internalizam, de várias maneiras, a representação e a

compreensão em relação ao saber matemático, explorado ao tratar de função.

O trabalho de Lopes (2008), foi motivado pelos impactos que o ensino de

função modular podem promover, junto aos alunos, no que tange a concepção geral

de funções, a promoção e a construção de um novo significado, além desencadear

nos educandos uma postura diferente ao lidar com situações problemas onde há a

investigação de novos conceitos. Ele desenvolveu uma pesquisa com objetivo de

3 SARESP- Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo, que é aplicado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo com a finalidade de produzir um diagnóstico da situação da escolaridade básica paulista, visando orientar os gestores do ensino no monitoramento das políticas voltadas para a melhoria da qualidade educacional.

41

elaborar uma sequência didática que envolve atividades investigativas para o ensino

da função modular e do valor absoluto, numa abordagem curricular, em rede, através

da interpretação geométrica na reta numérica e no plano cartesiano, com auxílio do

software Geogebra. Participaram da pesquisa 8 alunos de uma Escola Pública Federal

de Belo Horizonte, que foram agrupados em duplas.

A metodologia da pesquisa desenvolveu-se numa abordagem qualitativa,

onde se buscou, inicialmente, o levantamento de um referencial teórico que

contribuísse para a formação da rede curricular, com ligações interativas entre os

assuntos (encarados como nós=entrelaçados) que compõem o currículo, para a

elaboração de atividades de investigação matemática, a partir do assunto valor

absoluto e função modular.

Posteriormente, aplicaram-se 04 (quatro) atividades investigativas, duas

delas desenvolvidas com o software Geogebra na construção e exploração de

gráficos, bem como, foram feitas anotações, em relação ao desenvolvimento das

atividades, para serem comparadas e analisadas em relação às estratégias de

resolução utilizadas pelas duplas numa discussão final.

As 04 (quatro) atividades desenvolvidas tinham como finalidades explorar:

1- O conceito de módulo e seu significado geométrico;

2- Função modular e sua família de curvas;

3- Estudo de igualdades que envolvem valor absoluto e sua resolução algébrica;

4- Estudo de desigualdades modulares.

Em relação às atividades relacionadas a finalidade (1), os resultados

apontam que os alunos não tiveram grandes dificuldades com relação à atividade que

tratava da definição e interpretação geométrica.

Os resultados, no que concerne ao desenvolvimento das atividades

voltadas para a finalidade (2) - quando tratado o esboço gráfico das funções

modulares, a partir da 𝑓(𝑥) = |𝑥| (denominada função básica), explorando os

princípios da translação de eixos e combinações de funções, auxiliada pelo Geogebra

- a mesma, contribuiu significativamente para facilitar a compreensão das

propriedades estudadas (domínio, imagem, intervalos de crescimento e

decrescimento, raízes, ponto de mínimo/máximo).

Já em relação ao desenvolvimento das atividades para a finalidade (3), o

autor as iniciou partindo da conjugação verbal em relação a expressão do conceito

de distância entre dois números na reta numérica, percebeu que os alunos não

42

apresentaram dificuldades em resolver as igualdades modulares. O mesmo ocorreu

no decorrer das atividades voltadas para a finalidade (4).

O autor conclui que, o uso do software para explorar gráficos, mostrou-se

essencial para uma aprendizagem significativa das propriedades das funções

modulares, além de não permitir concepções equivocadas, a respeito da definição de

valor absoluto de um número e a representação gráfica de função modular.

Maggio (2011,) apresentou uma pesquisa sobre o ensino de Função, com

a seguinte questão norteadora: “Como uma professora de matemática, que conhece

a teoria dos registros de Representação Semiótica, de Duval, ensina e planeja o

conceito de função?” e tinha como objetivo estudar o ensino planejado (organizado) e

vivenciado (conduzido) do conceito de função pela professora em sala de aula na

educação básica da rede estadual no município de Santiago/RS.

A pesquisa apresentou um caráter qualitativo, centrada em um estudo de

caso de uma professora de Matemática, que conhecia os pressupostos teóricos dos

Registros de Representações Semióticas, de Raymond Duval e que atuava no Ensino

Médio. O estudo foi seguido das etapas: entrevistas semi e não estruturadas, com a

presença de algumas perguntas abertas, com caráter discursivo, no intuito de obter,

de forma verbalizada, as percepções da professora colaboradora, em relação ao

modo de conceber o ensino do conceito de função; sessões reflexivas, iniciadas a

partir da leitura de textos da área de Matemática e de Educação Matemática; diários

de campo, utilizado para registrar o passo a passo do desenvolvimento do estudo,

onde se utilizou, principalmente, um gravador de vídeo e observações em sala de

aula, que permitiram a observação de pontos expressivos durante o processo de

ensino.

Os resultados da pesquisa mostraram que, a professora, (colaboradora)

usou as representações semióticas quando trabalhou o conceito de função, em

destaque as representações: gráfica tabular; gráfica cartesiana; linguagem algébrica,

simbólica e língua natural. Tais representações são trabalhadas para desenvolver

noções de variação, dependência, grandeza variável, regularidade e padrão em

sequências numérica, essenciais no campo conceitual de função.

A autora concluiu que não é fácil conduzir atividades visando o tratamento

e conversão das representações, assim como escolher perguntas que conduzam os

alunos a aquisição do conceito de função. Verifica-se também, haver certo nível de

dificuldade, por parte dos docentes, no que concerne a prática pedagógica e também

43

didática do assunto, visto que, mesmo os que o dominam, não conseguem transmiti-

lo de forma clara. Dessa forma, o problema não recai somente nos alunos e na sua

formação de base, mas também, nos próprios professores e na maneira em que os

mesmos se apropriam e transmitem o conhecimento.

Os estudos experimentais serviram para auxiliar na elaboração da

sequência didática que pretendemos desenvolver, no que diz respeito a ensinar o

conteúdo matemático proposto neste trabalho. Ao mesmo tempo, indicam alguns

fatores a serem levados em consideração, quando se pretender ensinar conceitos

matemáticos ligados a função afim.

2.2.3 Estudos teóricos

Em Nascimento (2009), a motivação para realização do trabalho, foi a de

acreditar na ideia de que contextualizar a matemática contribui para o ensino e

aprendizagem da mesma, por parte dos alunos. O autor desenvolveu um estudo sobre

os contextos explorados no ensino de função afim, que estão presentes nos livros

didáticos do 1º ano do Ensino Médio, recomendados pelo Programa Nacional do Livro

para Ensino Médio (PNLEM). A pesquisa teve como objetivo, buscar entender como

a abordagem da contextualização estava sendo tratada nos livros, haja vista, que os

Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM), revelam a

contextualização, como algo que vai além do cotidiano do educando, afinal, não seria

possível avançar no conhecimento, tendo unicamente como pressuposto, o dia a dia

do aluno e o que ele adquire, através do senso comum, sem o devido rigor científico.

Vejamos:

O critério central é o da contextualização e da interdisciplinaridade, ou seja, é o potencial de um permitir conexões entre diversos conceitos matemáticos e entre diferentes formas de pensamento matemático, ou, ainda a relevância cultural do tema, tanto no que diz respeito às suas aplicações dentro ou fora da Matemática, como a sua importância histórica no desenvolvimento da própria ciência (BRASIL, 2000, p. 43).

A metodologia adotada na pesquisa, focou no exame de 11(onze) livros

didáticos, nos quais foram analisadas um total de 440 atividades. Para tal feito, o autor

definiu duas dimensões de análises: tipo do contexto4 (denominados T1, T2, T3, T4,

4 T1- contextos históricos; T2- contextos cotidianos/práticas sociais; T3- contextos de outras áreas do conhecimento escolar/científico, como: física, biologia, artes, etc.; T4- contextos de outros campos matemáticos; T5- contextos da própria função afim.

44

T5) e o papel desempenhado pelo contexto5 (denominados P1, P2, P3, P4, P5, P5,

P6).

Os resultados apontados pela autora, indicam, em relação aos tipos de

contextos, a predominância da presença dos chamados contextos matemáticos (T1,

T4, T5) em 62% das atividades propostas nos livros. Na amostra 28% apresenta o T2,

e 10% desenvolvem-se a partir do T3. Em relação aos papéis desempenhados pelo

contexto, os resultados apontam em 54% o uso de P4. Em 33% o uso de P2. Em 3%

o uso de P3. Em 2% o uso de P1. Em 6% o uso de P5 e 2% o uso de P6.

A autora, de forma geral, no final de seu trabalho, destaca a relevância do

uso dos diversos tipos de contextos, quando se pretende construir, junto aos alunos,

o campo conceitual de função, ao considerar a construção de um determinado

conceito, como um processo gradual e que ocorre em variadas situações e contextos.

Magarinus (2011), identificando, a partir de uma entrevista e da aplicação

de algumas atividades feitas com os alunos do Ensino Médio, no ano de 2002,

inúmeras dificuldades com relação a compreensão e a aprendizagem do conteúdo de

função, teve como motivação a convicção de que o professor deve constantemente

avaliar seu trabalho em sala de aula, para, a partir disso, repensar seus métodos de

ensino; ela resolveu realizar uma pesquisa investigativa, a fim de verificar a

verdadeira compreensão que os alunos têm do conceito matemático, relacionados

com o estudo de função. O objetivo foi apresentar uma proposta didática, que

pudesse auxiliar no ensino dos principais conceitos relacionados à ideia de função

afim e quadrática, ao considerá-los como importantes componentes do currículo

escolar. Para tanto, a autora propõe atividades pautadas na contextualização e

interdisciplinaridade, partindo de problemas reais que pudessem contribuir na

aprendizagem significativa, com o auxílio dos softwares Tracker e Geogebra.

A metodologia adotada pela autora foi desenvolver uma sequência de

atividades que pudessem envolver os alunos e que seriam direcionadas conforme o

conteúdo programado para cada aula. Inicialmente, ela buscou apresentar aos alunos

a ideia intuitiva de função, através da análise de movimentos mecânicos simples,

5 P1- Ilustrar a interconexão de função afim com o contexto da questão; P2- Utilizar o conhecimento de função afim na resolução de problemas proposto; P3- Empregar os conhecimentos advindos do contexto para auxiliar o educando na compreensão da função afim; P4- Explorar os conceitos e propriedades da função afim; P5- Utilizar o conhecimento de função afim na resolução de problemas proposto e ao mesmo tempo empregar os conhecimentos advindos do contexto para auxiliar o aluno na compreensão da função afim; P6- Contribui para a formação da consciência crítica do educando.

45

quando trabalhado a função afim, e a exibição de um vídeo de uma esfera em queda

livre, quando abordado função quadrática. Ressalta-se que todas as atividades foram

desenvolvidas com auxílio do computador.

A partir de uma revisão de estudos, ela concluiu haver a necessidade pela

busca do ensino da matemática, que possibilita uma participação efetiva do aluno com

relação à construção do conhecimento, para torná-lo significativo. Ao escolher o uso

de softwares e a resolução de problemas contextualizados, ela acredita alcançar uma

melhor interação dos sujeitos com os conteúdos ensinados, porém, mesmo sendo

uma proposta metodológica diferenciada não se pode garantir sua plena eficácia, pois

durante o processo de ensino-aprendizagem há diferentes variáveis. Não houve

tempo para a aplicação das atividades a alunos do 1ª Ano do Ensino Médio para quais

fora pensado.

Em Garcia (2009) encontramos o resultado de um trabalho de pesquisa

cujo foco era a formação inicial e o conhecimento matemático desenvolvido pelo

professor neste processo, com objetivos de: investigar os conhecimentos

necessários para o professor ensinar o conteúdo de função, o processo de ensino

aprendizagem deste conteúdo no curso de licenciatura e a sua relação com a

matemática escolar; e a indicação de intervenções na formação para preencher

algumas lacunas deixadas no decorrer deste processo.

A metodologia da pesquisa pautou-se na busca de respostas para as

seguintes perguntas: 1) Quais são os conhecimentos matemáticos a respeito de

função necessários para o professor ensinar? 2) Qual o conhecimento desejável sobre

função para o professor ensinar, do ponto de vista da escola? 3) O que futuros

professores de matemática estão aprendendo a respeito de “função”? Os

conhecimentos de função produzidos no curso de licenciatura dão os conhecimentos

necessários para o professor ensinar? 4) Que intervenções podem ser feitas para

contribuir positivamente para a aprendizagem de função, na licenciatura.

A autora salienta que as pesquisas na área de Educação Matemática

indicam ser fundamental a compreensão daquilo que se ensina, e em relação ao

ensino de função o professor deve ter o conhecimento de suas inúmeras facetas, para

ir do conhecimento operacional a abstração do conceito de função.

Os resultados da pesquisa apontam uma deficiência na formação inicial

do professor, ao identificar o desconhecimento da generalidade e o potencial do

conceito de função. Porém, é possível identificar na seara do ensino escolar básico, e

46

não superior, que há o nível de conhecimento desejável no âmbito da matemática por

parte dos futuros docentes, limitados às funções reais, de uma variável e suas

aplicações. A autora demonstra que o arcabouço teórico matemático adquirido no

decorrer do ensino básico se basta para a educação de base, mas não alcança as

exigências técnicas e científicas do nível superior.

Em Baraldo (2009) encontramos um estudo que tem como objetivo indicar

as razões pelas quais existe a necessidade do ensino do conceito de função bem

como a viabilidade para o ensino e a aprendizagem do mesmo, explorando diferentes

formas de representação. Afinal o autor identificava uma supervalorização deste

conteúdo no ensino e no currículo brasileiro a partir do início do século XX.

A metodologia adotada pelo autor para desenvolver sua pesquisa,

perpassa inicialmente na realização de um estudo histórico do desenvolvimento do

conceito de função, e em especial a contribuição dada por matemáticos entre os

séculos XVII e XX.

Após, fez uma análise de dados obtidos em pesquisas com alunos do

UFRGS matriculados na disciplina de fundamentos da matemática II, onde foi

identificada a dificuldade na compreensão de função como um processo dinâmico de

transformação de quantidades. O pesquisador buscou realizar uma análise da

chamada teoria APÓS6 do conceito de concepções ação e ação de funções.

Por fim, faz um relato e tece comentários sobre trabalhos no âmbito da

Educação Matemática, que trazem propostas para o ensino de função e visam

contribuir para o desenvolvimento do Pensamento Variacional.

Os resultados da pesquisa apontam para a necessidade de uma

mobilização no sentido de ensinar função de maneira a valorizar o pensamento

variacional dos estudantes. Ao mesmo tempo, o autor reconhece uma necessidade

própria de adotar em sua prática docente a realização desse ensino de forma cada

vez mais dinâmica.

A partir da análise das pesquisas acima, tantos as relacionadas aos

estudos diagnósticos, aos teóricos quanto aos experimentais, identifica-se uma série

de problemas enfrentados pelos alunos diante da aprendizagem da função afim. Tais

6 Linha de pesquisa no âmbito da educação matemática seguida por pesquisadores Americanos

inspirada em Piaget. É uma Teoria baseada no pressuposto de que o conhecimento matemático é construído pelo sujeito como um modo individual de lidar com problemas matemáticos , através da ação, processos e objetos mentais que se organizam em esquemas.

47

dificuldades afetam também os professores na hora de fazer a transposição didática

do conteúdo. Vejamos a seguir a síntese de tais problemáticas, encontradas também

na pesquisa de Pinto (2014).

➢ Conversão da língua materna para a linguagem algébrica;

➢ Interpretação de um gráfico de uma função: reconhecer informações da função

afim a partir dessa representação;

➢ Construção do gráfico da função afim: devido a problemas de escala, os pontos

do gráfico dos alunos não se encontram alinhados;

➢ Conversão da linguagem gráfica para a linguagem algébrica;

➢ Compreensão do conceito de proporcionalidade na resolução de problemas.

➢ Confusão entre as noções de função e de equação;

➢ Esboço de gráficos – alunos que limitam o gráfico aos pontos da tabela

numérica, não compreendendo que o gráfico se estende para além desses pontos;

➢ Confusão na representação de pontos no plano cartesiano;

➢ Falta de domínio da simbologia da representação algébrica;

➢ Confusão entre domínio e contradomínio da função;

➢ Não reconhecimento da função constante como um tipo de função;

➢ Dificuldades entre as variadas conversões de representações semióticas que

uma mesma função possui;

➢ Uso da ideia de proporção aliada ao conceito de função;

➢ Para a maioria dos alunos toda função deve estar relacionada a uma lei de

definição;

➢ A construção de um gráfico sempre relacionada a utilização de tabela de

valores.

2.2.4 Síntese dos trabalhos revisados

O processo educacional brasileiro tem indicado a busca dos docentes em

realizar uma forma de ensino para conteúdos matemáticos pautado num planejamento

pedagógico que adote uma metodologia diferente da tradicional para desenvolver

suas atividades laborativas em sala de aula, de modo a direcionar, sempre que

possível, as suas práticas a explorar o conhecimento prévio dos discentes.

Assim sendo, o trabalho contextualizado dos conteúdos, tirando a

matemática da abstração, tornando-os vivos, dinâmicos, possibilitando o aluno a

48

construir o seu conhecimento, relacionando o que aprendeu na sala de aula com as

práticas do seu cotidiano, tende a despertar um maior interesse pela disciplina,

tornando a relação professor-aluno mais prazeroso indo ao encontro do defendido por

Sá (2009), que diz:

Para que o ensino da Matemática alcance seus objetivos, dando ao estudante habilidades e conhecimentos úteis e que os preparem, como homem comum, para resolver os problemas diários, é necessário a utilização de uma metodologia que valorize a ação docente do professor, através de um ensino partindo do concreto para o abstrato. (SÁ, 2009, p.14).

Tendo o avanço da matemática contribuído com a sociedade desde as

antigas civilizações, estando hoje nas mais altas esferas do pensamento científico,

assim como nas mais diversas aplicações tecnológicas, na criptografia, codificação

de sinais, códigos e algoritmos corretores de erro, complexidade computacional,

modelos de algoritmos para a economia, para a medicina, para a física, para a

química, etc. Partindo do ponto de vista de que a matemática nos rodeia e que ela é

constantemente presente em nossas vidas, torna-se essencial observar como este

conhecimento está sendo abordado no contexto de vida dos alunos, optamos pelo

ensino da Matemática por meio de atividades, pois:

O ensino de Matemática por meio de atividades pressupõe muita colaboração entre professores e alunos durante o ato de construção de saber, pois característica essencial desse tipo de abordagem metodológica de ensino está no fato de que os tópicos a serem aprendidos serão descobertos pelo próprio aluno durante o processo de busca, que é conduzido pelo professor até que seja incorporado à estrutura cognitiva do aprendiz. (SÁ, 2009, p.19).

Não obstante, considerando que a matemática nos rodeia e de que ela está

constantemente presente em nossas vidas, torna-se essencial observar como este

conhecimento está sendo abordado no contexto de vida dos alunos, uma vez que a

educação é:

Um processo que cria condições para a pessoa humana desenvolver uma capacidade, construir sua identidade, atingindo a plenitude humana, apropriando-se ao mesmo tempo dos instrumentos que lhe possibilite analisar criticamente sua realidade e, coletivamente decidir, organizar e concretizar ações, ,,,avaliando-as e trabalhando na direção de transformar essa realidade .(...) A educação matemática, dotada de significado não apenas formal, crítico e político, quando bem gerida e reconstruída, pode ajudar no sentido de minimizar a evasão e, em última instância, contribuir para diminuir a exclusão educacional que é uma das facetas da exclusão social. (MELO, 2002).

E para a participação ativa de um cidadão em uma sociedade moderna,

complexa, requer portando, o desenvolvimento de habilidades básicas, através de

uma aprendizagem significativa, utilitária da matemática, que o possibilite conquistar

muitos mais do que o exercício de direitos e deveres. Daí nossa responsabilidade

49

como professor, pois vai além de ensinar a matemática especificamente, uma vez que

o conhecimento está subordinado ao exercício pleno da cidadania, devendo ser

contextualizado pelo momento atual.

O ensino por atividades é encarado por nós como uma metodologia de

ensino capaz de promover uma maior interação entre professor e aluno, onde durante

as aplicações das atividades o professor exerce a função de mediador. Ao mesmo

tempo, que promove um maior dinamismo nas aulas ao promover um ensino

participativo e construtivo. Visto que educar para a cidadania é o maior desafio do

professor e da escola, por isso ressaltamos a importância da matemática como

disciplina que oferece múltiplas oportunidades para o desenvolvimento de atividades

que contribuam para a construção da cidadania de forma efetiva.

Para tanto e preciso que tratemos de problemas relevantes para os alunos

(sociedade) e que de fato tenha proximidade com questões sociais existentes, de

modo a que possa despertar e envolver os mesmos na buscar de soluções. E a partir

desse contato com informações tecnicas e cientificas, esteja ampliando sua visão

sobre determinados embrólios, amadureça seu julgamento, comprometer-se

pessoalmente e consequentemente formar uma base para um engajamento político e

social na busca de uma sociedade mais justa e igualitária.

2.3 ASPECTOS HISTÓRICOS DO CONCEITO DE FUNÇÃO

Nesta seção realizamos um levantamento histórico sobre o

desenvolvimento do conceito de função buscando ampliar informações a respeito do

tema afim de que os conhecimentos adquiridos a partir das leituras e análise nos

auxiliem, tanto em nossos procedimentos docentes, quanto na escolha de questões

que serão utilizadas para a fase de aplicação da sequência didática.

Segundo Youschkevich7 (Apud MACIEL, 2001), as principais etapas do

desenvolvimento do conceito de função se dividem em: Antiguidade, Idade Média e

Idade Moderna. Ao tratar da etapa denominada de Antiguidade, o autor explica que a

noção intuitiva de dependência de valores já sinalizava a noção de função; Na Idade

Média, por sua vez, o autor demonstra que as representações geométricas e

mecânicas já se relacionavam com a noção de função; e na Idade Moderna, o

7

50

pesquisador assevera que se passou a utilizar expressões analíticas a noção de

função.

Temos que é possível identificar que ao longo da evolução histórica da

humanidade, já havia o uso, mesmo que intuitivo, do conceito de função, por exemplo,

na Idade Média, quando o “homem levado pela necessidade, passou a associar uma

pedra a cada animal visando ao controle de seu rebanho, poderíamos encarar essa

relação de dependência entre as pedras e os animais como uma relação funcional”

(SÁ, SOUZA e SILVA, 2003, p. 125).

Noções primitivas de funções também foram encontradas no dia a dia dos

povos antigos, por exemplo, as tábuas de contagem dos babilônios, que consistem

em tabelas insculpidas em argila, é possível identificar que para cada valor da primeira

coluna da tabela, existia um valor correspondente na segunda coluna (SÁ, SOUZA e

SILVA, 2003). Verifica-se que as associações entre os valores eram feitas através dos

resultados de operações matemáticas, tais como, a multiplicação, a divisão, a

potenciação e a radiciação. Os pesquisadores anteriormente mencionados destacam

também a semelhança das tabelas construídas em papiros pelo povo egípcio.

Vejamos:

Figura 1 - Tábua Babilônica – Plimpton 322

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Plimpton_322

Com relação aos gregos, Youschkevich (Apud Maciel 2011) destaca que

as funções matemáticas eram relacionadas a problemas astronômicos, sendo as

mesmas moldadas utilizando-se da interpolação linear. Vale ressaltar que essa época

coincide com a descoberta do cálculo do limite de funções que envolvem valores

51

ínfimos e próximos a zero. Concomitantemente, os gregos debruçaram-se também no

exame de problemas que envolvem a continuidade, infinito e movimento.

Nossa pesquisa aponta que embora possamos encontrar na antiguidade

alguns registros de estudos sobre as diferentes formas de estabelecermos uma

relação de correspondência entre duas grandezas, tais registros ainda não

apresentam de forma específica as ideias de variáveis tampouco de funções. É

somente a partir da Idade Média que se dá o surgimento das noções básicas de

quantidades variáveis, que foram apresentadas pela primeira vez sob formas

cinemáticas ou geométricas.

A partir do final do século XVI, já no período Moderno, as funções passam

a ser representadas por expressões em formas analíticas, geralmente representadas

através da soma de séries infinitas.

Inúmeros estudiosos contribuíram com a evolução dos conhecimentos

matemáticos relacionados ao conceito de função. Vejamos o quadro sinótico que

segue elaborado por Sá, Souza e Silva (2003), que demonstra, em ordem cronológica,

a contribuição de cada estudioso que está diretamente ligado a evolução do conceito

de função e que influenciam até os dias atuais, os livros didáticos.

Quadro 5 - Quadro sinótico (continua)

Autor Ano Contribuição

René Descartes (1596-1650)

- Chegou a definir função como qualquer potência de x, como x²,

x³,.....

Isaac Newton (1643-1727)

- Introduziu o termo “variável independente”.

James Gregory

1667

Na obra Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura, conceituou função sem utilizar a palavra propriamente dita: “Nós chamamos uma quantidade x composta de outras quantidades a,

b,... se x resulta de a, b,.... pelas quatro operações elementares, por extração de raízes ou por qualquer outra operação imaginável”.

Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716)

1694

Empregou a palavra função para designar quantidades geométricas que dependiam de um ponto em uma curva. E na obra História usou a palavra “função” para representar quantidades que dependem de

uma variável.

Jakob Bernoulli (1654-1705)

1694 Empregou a palavra função como sendo: quantidades geométricas

que dependiam de um ponto em uma curva.

Johann Bernoulli 1718 Definiu da seguinte maneira: “função de uma magnitude variável à

quantidade composta de alguma forma por esta magnitude variável e por constantes.

52

(continuação)

Leonhard Euler (1707-1783)

- Introduziu o símbolo f(x).

D’Alembert (1717-1783)

- Equação da onda: 𝜕²𝑦

𝜕𝑡²= 𝑎

𝜕²𝑦

𝜕𝑥²

Daniel Bernoulli (1700-1782)

1753

Tentativa de resposta para o problema da corda vibrante:

𝑦(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑏𝑛

∞

𝑛=1

𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥

𝑙𝑐𝑜𝑠

𝑛𝜋𝑎𝑡

𝑙

Joseph-Louis Lagrange

(1783-1813) 1797

Na obra Théorie des Functions Analytiques, definiu: “Chama-se função de uma ou de várias quantidades a toda expressão de cálculo na qual essas quantidades entrem de alguma maneira, combinadas

ou não com outras quantidades cujos valores são dados e invariáveis, enquanto que as quantidades da função podem receber todos os valores possíveis. Assim, nas funções são consideradas

apenas as quantidades assumidas como variáveis e não as constantes que aparecem combinadas a elas”

Joseph-Louis Lagrange

(1736-1813) 1806

Lecons sur le calcul des functions: “Funções representavam diferentes operações que deviam ser

realizadas em quantidades conhecidas para obterem-se valores de quantidades desconhecidas, e estas quantidades desconhecidas

eram, propriamente, o último resultado do cálculo”.

Jean Baptiste Joseph Fourier

(1768-1830) 1822

Afirmou em La théorie analytique de la chaleur que qualquer função poderia ser expressa por uma série trigonométrica da seguinte

forma:

𝑓(𝑥) =𝑎0

2+ ∑[𝑎𝑛

∞

𝑛=1

𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥

𝑙+ 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛

𝑛𝜋𝑥

𝑙]

Benhard Bolzano (1781-1848)

1817 Publicou Functionlehre onde conceituou continuidade muito próxima

do conceito atual. Demonstrou o teorema do valor médio

Augustin Louis Cauchy

(1789-1857) 1821

Em Cours d’analyse definiu função: “Quando quantidades variáveis estão ligadas entre si de tal forma que, o valor de uma delas sendo

dado, pode-se determinar o valor das demais, diz-se usualmente que estas quantidades são expressas por meio de uma delas, que toma o nome de variável independente; e as outras quantidades expressas por meio da variável independente são o que chamamos de função

dessa variável”. Definiu continuidade através de infinitésimos.

Peter Gustav Lejune Dirichlet

(1805-1859)

Demonstrou que nem todas as funções podem ser descritas pelas serie de Fourier.

Peter Gustav Lejune Dirichlet

(1805-1859) 1837

Definiu função como: “Se uma variável y está relacionada com uma variável x de tal modo

que, sempre que é dado um valor numérico a x, existe uma regra segundo a qual um valor único de y fica determinado, então diz-se

que y é função da variável independente x”.

53

(continuação)

Nikolái Lobatchesvsky

(1792-1856) -

Definiu função: “A concepção geral exige que uma função de x seja chamada de um número que é dado para cada x e que muda gradualmente com x. o valor da função pode ser dado ou por uma expressão analítica, ou

por uma condição que ofereça um meio para testar todos os números e selecionar um deles; ou finalmente, a dependência pode

existir mas permanece desconhecida”

Bernhard Riemann

(1826-1866) -

Esclareceu os critérios de integrabilidade, e deu origem ao conceito de “integral de Riemann”.

Philipp Cantor (1845-1918)

- Desenvolveu a teoria dos conjuntos.

Karl Weierstrass (1815-1897)

- Definiu função como uma série de potência juntamente com todas as

que podem ser obtidas dela por prolongamento analítico.

Giuseppe Peano (1858-1932)

-

Definiu três conceitos primitivos que o zero, o conceito de número (inteiro não-negativo) e a relação de ser sucessor de, os quais, junto

com cinco postulados, forneceram uma construção rigorosa do conjunto dos números naturais.

Nicolas Bourbaki 1968

Em théorie des Ensembles conceituou função de duas maneiras: ”Sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não. Uma relação entre

uma variável x de E e uma variável y de F é dita uma relação funcional em y, ou relação funcional de E em F, se qualquer que seja 𝑥𝑎E, existe um e somente um elemento 𝑦𝑎F que estejam associados

a x na relação considerada. Dá-se o nome de função à operação que desta forma associa a todo

o elemento 𝑥𝑎E o elemento y𝑎F que se encontra ligado a x na relação dada; diz-se que y é o valor da função para o elemento x, e que a função está determinada pela relação funcional considerada.

Duas relações funcionais equivalentes determinam a mesma função.” E

“um certo subconjunto do produto cartesiano AxB”.

Fonte: Sá et al 2003, (p. 136-.139)

O quadro acima demonstra de forma clara que o conceito de função foi

construído ao longo de história, de modo lento e gradual até chegar a sua definição

atual.

2.4 DEFINIÇÃO ATUAL DE FUNÇÃO

A formalização da definição do conceito de função e dita por Delgado

Gómes (2004) como sendo:

Se A e B são conjuntos não vazios, uma função 𝑓de A em B é uma

associação, que a cada elemento 𝑥 do conjunto A faz corresponder exatamente um elemento do conjunto B designado por 𝑓(𝑥) e chamado a

imagem de 𝑥 pela função 𝑓. Nessas condições, o conjunto A é chamado o

domínio da função f(denotado por Dom(f)) e o conjunto B é chamado o

contradomínio da função f. A escrita 𝑓: 𝐴 → 𝐵 significa que 𝑓 é uma função de A em B, ficando entendido que o conjunto A é o domínio e o conjunto B é o contradomínio da função.

54

Às vezes é necessário explicitar o processo da relação funcional. Para isto, escrevemos a imagem 𝑓(𝑥) de um elemento genérico 𝑥 do domínio:

𝑓: 𝐴 → 𝐵

𝑥 → 𝑓(𝑥)

Segundo a definição anterior, se 𝑦 = 𝑓(𝑥) é o elemento de B que é imagem do elemento 𝑥 de A pela função 𝑓: 𝐴 → 𝐵, costumamos dizer que

𝑦 é 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑥. Dizemos também que 𝑦 é 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 e

𝑥 é 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑣𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒, pois o valor (estado) de 𝑦 ∈ 𝐵é obtido mediante a correspondência dada pela função 𝑓a partir do elemento escolhido 𝑥 ∈ 𝐴. Também na escrita 𝑓(𝑥) dizemos que 𝑥 é o argumento da função 𝑓. (DELGADO GÓMES, 2004, p.13).

O fato do conceito de função ter sido construído ao longo do tempo, nos

alerta para a questão de que, talvez, ele não seja um conceito que possa ser

assimilado rapidamente pelos alunos, quando colocados diante de uma problemática

que envolve o mesmo. Assim como devemos estar atento para aquilo que Lima (2004)

chama atenção:

Muitas vezes se diz a “função 𝑓“ em vez de a “função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 ". Neste caso, ficam subentendidas o conjunto A, domínio de 𝑓, e o conjunto B,

contradomínio de 𝑓.

Não se deve confundir 𝑓 com 𝑓(𝑥): 𝑓 é a função, enquanto que 𝑓(𝑥) é o valor

que a função assume num ponto 𝑥 do seu domínio. A natureza da regra que ensina como obter o valor 𝑓(𝑥) ∈ B quando é dado

𝑥 ∈ 𝐴 é inteiramente arbitraria, sendo sujeita apenas a duas condições:

1ª Não deve haver exceções: a fim de que 𝑓 tenha o conjunto A como domínio, a regra deve fornecer 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐴.

2ª Não deve haver ambiguidades: a cada 𝑥 ∈ 𝐴, a regra deve fazer

corresponder um único 𝑓(𝑥) 𝑒𝑚 𝐵. (LIMA, 2004, p.13).

Em relação à definição da função afim temos que:

Uma função 𝑓: ℝ → ℝ 𝑐hama-se afim quando existem constantes 𝑎 e b ∈ ℝ tais que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, para todo 𝑥 ∈ 𝑅. (LIMA et al,1997, p.87).

Os autores citam ainda que a função identidade 𝑓: ℝ → ℝ, definida por

𝑓(𝑥) = 𝑥 para todo 𝑥 ∈ ℝ, é afim. Também são afins as translações 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) =

𝑥 + 𝑏. São ainda casos particulares de funções afins as funções lineares, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 e

as funções constantes 𝑓(𝑥) = 𝑏 (LIMA et al, 1997, p.87).

Outra afirmação feita pelos autores diz a respeito a encontrar a lei de

formação geral da função afim 𝑓: ℝ → ℝ sem que se conheça os coeficientes a e b

explicitamente, pois:

Neste caso, obtém-se 𝑏 como o valor que a função dada assume quando 𝑥 =0 O número 𝑏 = 𝑓(0) às vezes se chama o valor inicial da função 𝑓. Quanto ao coeficiente 𝑎, ele pode ser determinado a partir do conhecimento dos

valores 𝑓(𝑥1) e 𝑓(𝑥2) que a função 𝑓 assume em dois pontos distintos (porém

arbitrários) 𝑥1 e 𝑥2. Com efeito, conhecidos 𝑓(𝑥1) = 𝑎𝑥1 + 𝑏 e 𝑓(𝑥2) = 𝑎𝑥2 +

𝑏, obtemos 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥2) = 𝑎(𝑥2 − 𝑥1), portanto 𝑎 =𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)

𝑥2−𝑥1.(LIMA et al,

1997, p. 88).

55

Um aspecto importante a respeito da função afim também tratado pelos

referidos autores diz respeito a taxa de variação média, quando diz:

Dados 𝑥 𝑒 𝑥 + ℎ números reais, com ℎ ≠ 0, o número 𝑎 =𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ

chama-se taxa de variação média da função 𝑓 no intervalo [𝑥, 𝑥 + ℎ]. (LIMA et al, 1997, p. 88)

Em relação a taxa de variação de uma função afim 𝑓, dada por 𝑓: ℝ → ℝ

definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, é sempre constante para qualquer intervalo do domínio e,

numericamente, é igual ao coeficiente 𝒂. De fato pois, sendo 𝑎 e 𝑏 números reais

Para 𝑥 = 𝑥1, temos 𝑓(𝑥) = 𝑦1 = 𝑎. 𝑥1 + 𝑏.

Para 𝑥 = 𝑥2, temos 𝑓(𝑥) = 𝑦2 = 𝑎. 𝑥2 + 𝑏.

Para 𝑥1 ≠ 𝑥2, temos ∆𝑦

∆𝑥=

𝑎.𝑥1+𝑏−(𝑎.𝑥2+𝑏)

𝑥2−𝑥1=

𝑎.(𝑥2−𝑥1)

𝑥2−𝑥1= 𝑎.

O fato de a taxa de variação de uma função afim ser constante significa que

para acréscimos iguais na variável 𝑥 correspondem acréscimos iguais na variável 𝑦.

Com o que fora exposto acima provar-se a proposição a seguir:

Proposição 1: Dados arbitrariamente (𝑥1 , 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2) ∈ ℝ², com 𝑥1 ≠ 𝑥2 , existe

uma, e somente uma função afim 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥1) = 𝑦1 e 𝑓(𝑥2) = 𝑦2.(LIMA et

al, 1997, p.90)

Demonstração:

Sejam (𝑥1 , 𝑦1) e (𝑥2 , 𝑦2) ∈ ℝ² tais que 𝑓(𝑥1) = 𝑦1 (1) e 𝑓(𝑥2) = 𝑦2 (2).

Sendo 𝑓: ℝ → ℝ uma função afim. Da definição de função afim podemos

concluir que a lei de formação da função afim f e dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 e b ∈ ℝ.

Pelas condições (1) e (2) podemos concluir que:

𝑎𝑥1 + 𝑏 = 𝑦1 e 𝑎𝑥2 + 𝑏 = 𝑦2

Daí, temos o sistema de equações:

{𝑓(𝑥1) = 𝑦1

𝑓(𝑥2) = 𝑦2↔ {

𝑎𝑥1 + 𝑏 = 𝑦1 (1)𝑎𝑥2 + 𝑏 = 𝑦2 (2)

Assim, existe uma única função afim 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥1) = 𝑦1 e 𝑓: (𝑥2) =

𝑦2 se, e somente se, o sistema linear nas variaveis 𝑎 e 𝑏 possui uma única raiz rea.

{𝑎𝑥1 + 𝑏 = 𝑦1

𝑎𝑥2 + 𝑏 = 𝑦2

De (1) temos 𝑏 = 𝑦1 − 𝑎𝑥1.

De (2) temos 𝑏 = 𝑦2 − 𝑎𝑥2.

Logo:

𝑦1 − 𝑎𝑥1 = 𝑦2 − 𝑎𝑥2

56

𝑦1𝑎𝑥2 − 𝑎𝑥1 = 𝑦2 − 𝑦1

𝑎(𝑥2 − 𝑥1) = 𝑦2 − 𝑦1

𝑎 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Então

𝑏 = 𝑦1 − 𝑎𝑥1Substituindo o valor de 𝑎

𝑏 = 𝑦1 −𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1. 𝑥1 calculando o mmc temos

𝑏 =𝑦1. (𝑥2 − 𝑥1)

𝑥2 − 𝑥1−

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1. 𝑥1

𝑏 =𝑥2𝑦1 − 𝑥1𝑦1 + 𝑥1𝑦1 − 𝑥1𝑦2

𝑥2 − 𝑥1

𝑏 =𝑥2𝑦1 − 𝑥1𝑦1 + 𝑥1𝑦1 − 𝑥1𝑦2

𝑥2 − 𝑥1

𝑏 =𝑥2𝑦1 − 𝑥1𝑦2

𝑥2 − 𝑥1

Como 𝑥1 ≠ 𝑥2 entao 𝑥2 − 𝑥1 ≠ 0 logo 𝑎 e 𝑏 existem e são únicos. Portanto

existe uma única função afim que satisfaça as condiçoes dadas.

Outra caracteristica importante discorrida por Lima et al. (1997) e sobre o

seguinte teorema.

Teorema 1: O gráfico de uma função afim 𝒇: 𝒙 → 𝒂𝒙 + 𝒃 é uma reta.

Demonstração:

Para ver isto bastar mostrar que tres pontos quaisquer 𝑃1 = (𝑥1, 𝑎𝑥1 + 𝑏),

𝑃2 = (𝑥2, 𝑎𝑥2 + 𝑏) e 𝑃3 = (𝑥3, 𝑎𝑥3 + 𝑏) desse gáfico são colineares. Para que isto

ocorra, é necessario e suficiente que o maior dos três números 𝑑(𝑃1, 𝑃2), 𝑑(𝑃2, 𝑃3) e

𝑑(𝑃1, 𝑃3) seja igual à soma dos outros dois. Ora, vamos supor que as abscissas 𝑥1 <

𝑥2 < 𝑥3. A fórmula da distância entre dois pontos nos dá:

𝑑(𝑃1, 𝑃2) = √(𝑥2 − 𝑥1)² + 𝑎²(𝑥2 − 𝑥1)²

𝑑(𝑃1, 𝑃2) = √(1 + 𝑎2). (𝑥2 − 𝑥1)2

𝑑(𝑃1, 𝑃2) = √(𝑥2 − 𝑥1)2. √(1 + 𝑎2)

𝑑(𝑃1, 𝑃2) = |(𝑥2 − 𝑥1)|. √(1 + 𝑎2) como 𝑥2 ≠ 𝑥1 temos 𝑥2 − 𝑥1 ≠ 0 e considerando

𝑥2 > 𝑥1 logo |(𝑥2 − 𝑥1)| = 𝑥2 − 𝑥1. Daí

𝑑(𝑃1, 𝑃2) = (𝑥2 − 𝑥1) . √(1 + 𝑎2)

De modo analogo, temos:

57

𝑑(𝑃2, 𝑃3) = √(𝑥3 − 𝑥2)² + 𝑎²(𝑥3 − 𝑥2)² = (𝑥3 − 𝑥2). √1 + 𝑎2

𝑑(𝑃1, 3) = √(𝑥3 − 𝑥1)² + 𝑎²(𝑥3 − 𝑥1)² = (𝑥3 − 𝑥1). √1 + 𝑎2.

Daí segue imediatamente que

𝑑(𝑃1, 𝑃3) = 𝑑(𝑃1, 𝑃2) + 𝑑(𝑃2, 𝑃3)

Do ponto de vista geometrico, 𝑏 é a ordenada do ponto onde 𝑎 reta, que é

o grafico da função 𝑓: 𝑥 → 𝑎𝑥 + 𝑏, intersecta o eixo OY, conformee a figura a seguir.

Figura 2: Interseção da função afim com o eixo das ordenadas

Fonte: Autor (2017)

Ainda Lima (1997, p. 91) discorre a respeito da afirmação de que Toda reta

não vertical 𝒓 é o gráfico de uma função afim.

Proposição 2: Toda reta não vertical r é o gráfico de uma função afim.

Demonstração:

Para provar esta afirmação, tomemos dois pontos distintos 𝑃1 = (𝑥1, 𝑦1) e

𝑃2 = (𝑥2, 𝑦2) na reta 𝑟. Como 𝑟 não é vertical, temos necessariamente 𝑥1 ≠ 𝑥2, logo

existe uma função afim 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥1) = 𝑦1 e 𝑓(𝑥2) = 𝑦2. O gráfico de 𝑓 é

uma reta que passa pelos pontos 𝑃1 e 𝑃2 logo essa reta coincide com 𝑟.

Se 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, diz-se que 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 é a equação da reta 𝑟.

Se a reta 𝑟 é o gráfico da função afim 𝑓, dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, o

coeficiente.

𝑎 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1,

onde (𝑥1, 𝑦1) e (𝑥2, 𝑦2) são dois pontos distintos quaisquer de 𝑟, tem claramente o

significado de taxa de crescimento de 𝑓. A esse numero é dado também o nome de

inclinação ou coeficiente angular da reta 𝑟, pois ele é a tangente trigonométrica do

ângulo do eixo OX com a reta 𝑟.

Estas interpretações nos levam a concluir imediatamente que a equação

da reta que passa pelos pontos (𝑥1, 𝑦1) e (𝑥2, 𝑦2), não situados na mesma vertical é

58

𝑦 = 𝑦1 +𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1. (𝑥 − 𝑥1) ou 𝑦 = 𝑦2 +

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1. (𝑥 − 𝑥2).

De modo análogo, vemos que a equação da reta que passa pelos pontos

(𝑥0, 𝑦0) e tem inclinação 𝑎 é

𝑦 = 𝑦0 + 𝑎(𝑥 − 𝑥0).

Em matemática, uma função entre dois conjuntos

ordenados é monótona quando ela preserva (ou inverte) a relação de ordem. Quando

a função preserva a relação, ela é chamada de função crescente. Quando ela inverte

a relação, ela é chamada de função decrescente.

Em relação a uma função 𝑓: 𝑋 → ℝ com 𝑋 ⊂ ℝ, chamamos-se:

crescente quando 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2);

decrescente quando 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2);

monótona não-decrescente 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2);

monótona não-crescente 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2).

Para a demonstração do próximo teorema e preciso que antes saibamos a

respeito do Teorema Fundamental da proporcionalidade.

Teorema 2 Teorema Fundamental da Proporcionalidade: Seja 𝑓: ℝ+ → ℝ+uma função

com as seguintes propriedades:

1) 𝑥 < 𝑥′ ⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥′);

2) 𝑓(𝑛𝑥) = 𝑛 . 𝑓(𝑥) para todo 𝑛 ∈ ℕ e todo 𝑥 ∈ ℝ+.

Então 𝑓(𝑐𝑥) = 𝑐 . 𝑓(𝑥) para todo 𝑐 ∈ ℝ+e todo 𝑥 ∈ ℝ+.

Consequentemente , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 para todo 𝑥 ∈ ℝ+, com 𝑎 = 𝑓(1).

Demonstração:

Em primeiro lugar, para todo número racional 𝑟 = 𝑚𝑛⁄ , com 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, e

todo 𝑥 ∈ ℝ+ vale

𝑛 . 𝑓(𝑟𝑥) = 𝑓(𝑛 . 𝑥𝑟) = 𝑓(𝑚𝑥) = 𝑚 . 𝑓(𝑥),

por 2), logo 𝑓(𝑟𝑥) = 𝑚𝑛⁄ . 𝑓(𝑥) = 𝑟 . 𝑓(𝑥). Assim, a igualdade 𝑓(𝑐𝑥) = 𝑐 . 𝑓(𝑥) é

válida quando 𝑐 é racional. Suponhamos, por absurdo, que exista 𝑐 > 0 irracional tal

que 𝑓(𝑐𝑥) ≠ 𝑐 . 𝑓(𝑥) para algum 𝑥 ∈ ℝ+. Então ou 𝑓(𝑐𝑥) < 𝑐. 𝑓(𝑥) ou 𝑓(𝑐𝑥) > 𝑐. 𝑓(𝑥).

Consideremos o primeiro caso. Temos então 𝑓(𝑐𝑥)

𝑓(𝑥)< 𝑐. Seja 𝑟 um valor racional

aproximado de 𝑐, de modo que 𝑓(𝑐𝑥)

𝑓(𝑥)< 𝑟 < 𝑐, logo 𝑓(𝑐𝑥) < 𝑟. 𝑓(𝑥) < 𝑐. 𝑓(𝑥). Como 𝑟 é

racional, vale 𝑟. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑟𝑥). Assim, podemos escrever 𝑓(𝑐𝑥) < 𝑓(𝑟𝑥) < 𝑐. 𝑓(𝑥). Em

particular 𝑓(𝑐𝑥) < 𝑓(𝑟𝑥). Mas, como 𝑟 < 𝑐, tem-se 𝑟𝑥 < 𝑐𝑥 e, pela propriedade 1),

59

isso obriga 𝑓(𝑟𝑥) < 𝑓(𝑐𝑥) e não 𝑓(𝑐𝑥) < 𝑓(𝑟𝑥). Esta contradição mostra que não é

possível ter-se 𝑓(𝑐𝑥) < 𝑐. 𝑓(𝑥). De modo inteiramente análogo se vê que

𝑓(𝑐𝑥) > 𝑐. 𝑓(𝑥) é impossível. Portanto deve ser 𝑓(𝑥) = 𝑐. 𝑓(𝑥) para quaisquer 𝑐, 𝑥 ∈

ℝ+.

Temos ainda o teorema da caracterização da função afim.

Teorema 3 (Caracterização da função afim): Seja 𝑓: ℝ → ℝ uma função monótona8

injetiva. Se o acréscimo 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 𝜑(ℎ) depende apenas de ℎ, mas não de 𝑥,

então 𝑓 é uma função afim.

Demonstração:

Suponhamos que a função 𝑓 seja crescente. Então 𝜑: ℝ → ℝ também é

crescente, com 𝜑(0) = 0. Além disso, para quaisquer ℎ, 𝑘 ∈ ℝ temos:

𝜑(ℎ + 𝑘) = 𝑓(𝑥 + ℎ + 𝑘) − 𝑓(𝑥)

𝜑(ℎ + 𝑘) = 𝑓((𝑥 + 𝑘) + ℎ) − 𝑓(𝑥 + 𝑘) + 𝑓(𝑥 + 𝑘) − 𝑓(𝑥)

𝜑(ℎ + 𝑘) = 𝜑(ℎ) + 𝜑(𝑘)

Logo, pelo Teorema Fundamental da Proporcionalidade, pondo-se 𝑎 =

𝜑(1), tem-se 𝜑(ℎ) = 𝑎. ℎ para todo ℎ ∈ ℝ. Isto quer dizer que 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 𝑎. ℎ.

Chamando 𝑓(0) de 𝑏, resulta 𝑓(ℎ) = 𝑎ℎ + 𝑏, ou seja, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 para todo 𝑥 ∈ ℝ.

2.4.1. Propriedades Operatórias entre funções

É importante ressaltar que dadas três funções afins 𝑓, 𝑔 𝑒 ℎ quando

efetuamos as operações de: adição e composição de função e o produto de um

escalar por uma função quando as funções envolvidas forem afins o resultado

continua sendo uma função afim.

Adição de função

Definição: Dadas duas funções f: A → ℝ e g: A → ℝ com A ℝ chamamos de

adição de f e g a função f+g: ℝ → ℝ dada por (f+g)(x) = f(x) + g(x).

Proposição 4: A soma de duas funções afins o resultado é uma função afim.

Demonstração:

8 Em matemática, uma função entre dois conjuntos ordenados é monótona quando ela preserva (ou

inverte) a relação de ordem. Quando a função preserva a relação, ela é chamada de função crescente. Quando ela inverte a relação, ela é chamada de função decrescente.

60

Dadas às funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ funções afins tais que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 +

𝑏 e 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑 da definição de função soma, temos:(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐𝑥 + 𝑑

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑏 + 𝑑

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑎 + 𝑐)𝑥 + (𝑏 + 𝑑)

e como (𝑎 + 𝑐) 𝑒 (𝑏 + 𝑑) ∈ ℝ, chamdo (𝑓 + 𝑔), (𝑎 + 𝑐) 𝑒(𝑏 + 𝑑), respectivamente de

ℎ, 𝑚 𝑒 𝑛 temos a função afim:

ℎ(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛 , com 𝑚 𝑒 𝑛 ∈ ℝ.

Exemplos:

1) Dadas as funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ funções afins tais que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 e

𝑔(𝑥) = 𝑥 − 4, temos que (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 + 1 + 𝑥 − 4 = 3𝑥 − 3.

2) Dadas as funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ funções afins tais que 𝑓(𝑥) = −3𝑥 − 7 e

𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 2, temos que (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = −3𝑥 − 7 + 5𝑥 − 2 = 2𝑥 − 9.

Composição de função

Definição: Dadas duas funções f: A → ℝ e G: ℝ → ℝ chamamos de composição de

f com g a função (g𝑜f): A → ℝ dada por (g f)(x) = g[f(x)].

Proposição 5: A composição de duas funções afins é uma função afim.

Demonstração:

Dadas às funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ funções afins tais que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 +

𝑏 e 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑 da definição de função composta, temos:

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑎𝑥 + 𝑏)

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑑

(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = (𝑐𝑎)𝑥 + (𝑐𝑏 + 𝑑)

e como (𝑐𝑎) 𝑒 (𝑐𝑏 + 𝑑) ∈ ℝ, chamdo (𝑔𝑜𝑓), (𝑐𝑎) 𝑒(𝑐𝑏 + 𝑑), respectivamente de

ℎ, 𝑚 𝑒 𝑛 temos a função afim:

ℎ(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛 , com 𝑚 𝑒 𝑛 ∈ ℝ.

Exemplos:

1) Dadas as funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ funções afins tais que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 e

𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 4 temos que (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 3(2𝑥 − 4) − 2 = 6𝑥 − 12 − 2 = 6𝑥 − 14.

2) Dadas as funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ funções afins tais que 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 2 e

𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 2, temos que (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 5. (−3𝑥 + 2) − 2 = −15𝑥 + 10 − 2 = −15𝑥 + 8.

61

Multiplicação de uma função por um escalar

Definição: Dada uma função f: A→ ℝ e α ∈ ℝ com A ℝ chamamos de multiplicação

de f por α a função f: ℝ → ℝ dada por (αf)(x) = αf(x).

Proposição 6: O produto de um número real 𝐾 por uma função f: ℝ → ℝ função afim

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 o resultado é uma função afim.

Demonstração:

Dada uma função afim f e um número 𝐾 ∈ ℝ, pois da definição temos:

(𝐾𝑓)(𝑥) = 𝐾𝑓(𝑥)

(𝐾𝑓)(𝑥) = 𝐾(𝑎𝑥 + 𝑏)

(𝐾𝑓)(𝑥) = (𝐾𝑎)𝑥 + (𝐾𝑏)

e como (𝐾𝑎) 𝑒 (𝐾𝑏) ∈ ℝ, chamdo (𝐾𝑓), (𝐾𝑎) 𝑒(𝐾𝑏), respectivamente de

ℎ, 𝑚 𝑒 𝑛 temos a função afim:

ℎ(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛, com 𝑚 𝑒 𝑛 ∈ ℝ.

Exemplos:

1) A multiplicação do número real 3 pela função afim f: ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 4𝑥 +

5 e igual a 3𝑓(𝑥) = 3. (4𝑥 + 5) = 8𝑥 + 15.

2) A multiplicação do número real -2 pela função afim f: ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) =

−𝑥 − 3 e igual a −2𝑓(𝑥) = −2. (−𝑥 − 3) = 2𝑥 − 6.

Ao mesmo tempo, que as operações entre as funções afins satisfazem as

propriedades de:

Associatividade

Quaisquer que sejam as funções f: ℝ → ℝ, g: ℝ → ℝ e h: ℝ → ℝ funções

afins dadas por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑒 ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑓, tem-se:

(𝑓 + 𝑔) + ℎ = 𝑓 + (𝑔 + ℎ)

Demonstração:

Consideremos as funções f: ℝ → ℝ, g: ℝ → ℝ e h: ℝ → ℝ funções afins

definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑒 ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑓, daí:

[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] + ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + [𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)]

[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] + ℎ(𝑥) = [(𝑎𝑥 + 𝑏) + (𝑐𝑥 + 𝑑)] + (𝑒𝑥 + 𝑓)

[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] + ℎ(𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏) + [(𝑐𝑥 + 𝑑) + (𝑒𝑥 + 𝑓)]

[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] + ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + [𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)]

62

Comutatividade

Quaisquer que sejam as funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ funções afins

definidas por 𝑓(𝑥)𝑎𝑥 + 𝑏 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑, tem-se:

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑔 + 𝑓)(𝑥)

Demonstração:

Consideremos as funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ funções afins definidas por

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑 afins 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑, daí:

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (𝑎𝑥 + 𝑏) + (𝑐𝑥 + 𝑑)

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (𝑐𝑥 + 𝑑) + (𝑎𝑥 + 𝑏)

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)

A existência da função zero

Dadas as funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ funções afins definidas por 𝑓(𝑥) =

𝑎𝑥 + 𝑏 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑥 + 𝑑 existe uma função afim 𝑔(0) = 0 = 0𝑥 + 0, com 𝑎 = 𝑏 = 0, tal

que 𝑓(𝑥) + 𝑔(0) = 𝑓(𝑥), seja qual for 𝑓(𝑥). A função 𝑔(0) chama-se função neutra.

Demonstração:

Consideremos as funções f: ℝ → ℝ e g: ℝ → ℝ funções afins definidas por

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑒 𝑔(0) = 0𝑥 + 0, daí:𝑓(𝑥) + 𝑔(0) = (𝑎𝑥 + 𝑏) + (0𝑥 + 0)

𝑓(𝑥) + 𝑔(0) = (𝑎𝑥 + 0𝑥) + (𝑏 + 0)

𝑓(𝑥) + 𝑔(0) = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑓(𝑥) + 𝑔(0) = 𝑓(𝑥)

Função simétrica

Dada uma função f: ℝ → ℝ uma função afim definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

existe uma função 𝑓−1: ℝ → ℝ uma função afim definida por 𝑓−1(𝑥) = −𝑎𝑥 − 𝑏,

chamada simétrica tal que:

𝑓 + 𝑓−1 = 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎

Demonstração:

Consideremos as funções f: ℝ → ℝ e 𝑓−1: ℝ → ℝ funções afins definidas

por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑓−1(𝑥) = −𝑎𝑥 − 𝑏 da soma de funções temos:

𝑓𝑓 + 𝑓−1 = (𝑎𝑥 + 𝑏) + (−𝑎𝑥 − 𝑏)

𝑓 + 𝑓−1 = (𝑎𝑥) + (−𝑎𝑥) + (𝑏 − 𝑏)

𝑓 + 𝑓−1 = 0𝑥 + 0

𝑓 + 𝑓−1 = 𝑓(0)

63

Por fim para tratarmos de nossa última proposição a ser tratada neste

trabalho a respeito da função afim se faz necessário os conceitos de:

Função injetora: Dizemos que uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é injetora quando para

quaisquer elementos 𝑋1𝑒 𝑋2 de 𝐴, 𝑓(𝑋1) = 𝑓(𝑋2) implica 𝑋1 = 𝑋2. Em outras palavras,

quando 𝑋1 ≠ 𝑋2 em 𝐴, implica 𝑓(𝑋1) ≠ 𝑓(𝑋2).

Função sobrejetora: Dizemos que uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 sobrejetora

quando para todo 𝑦 ∈ B, existe pelo menos um 𝑥 ∈ A tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦.

Função bijetora: Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 chama-se bijetora (ou bijetiva)

quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Proposição 7: Qualquer uma função f: ℝ → ℝ sendo uma função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 +

𝑏 é bijetora.

Demonstração:

Consideremos a função f: ℝ → ℝ uma função afim definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 +

𝑏. Vamos inicialmente provar que ela e uma função injetora.

De fato, para todos 𝑋1 e 𝑋2 em ℝ, temos 𝑓(𝑋1) = 𝑓(𝑋2)) ⇔ 𝑎𝑋1 + 𝑏 =

𝑎𝑋2 +⇔ 𝑎𝑋1 = 𝑎𝑋2 ⇔𝑎𝑋1 − 𝑎𝑋2 = 0 ⇔ 𝑎(𝑋1 − 𝑋2) = 0. Como 𝑎(𝑋1 − 𝑋2) = 0, com

𝑎 ≠ 0, então 𝑋1 − 𝑋2 = 0 e portanto 𝑋1 = 𝑋2. Logo a função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 e

injetora

Provaremos agora a função f: ℝ → ℝ sendo uma função afim definida por

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ser sobrejetora.

De fato, pois dado 𝑦 ∈ ℝ, exibiremos 𝑥 ∈ ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦. Se 𝑦 ∈ ℝ

então:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑦

𝑎𝑥 = 𝑦 − 𝑏

𝑥 =𝑦 − 𝑏

𝑎

É substituindo 𝑥 temos que:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑓(𝑥) = 𝑎. (𝑦 − 𝑏

𝑎) + 𝑏

𝑓(𝑥) = 𝑦 − 𝑏 + 𝑏

𝑓(𝑥) = 𝑦

Logo a função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 é uma função sobrejetora. Portanto a

função f: ℝ → ℝ sendo uma função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 é bijetora.

64

A partir de todas as características de uma função f: ℝ → ℝ definida como

função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 até aqui expostas neste trabalho juntamente com a leitura

de diversos trabalhos que versam sobre o assunto. Ao mesmo tempo sabendo da

compreensão e importância deste conteúdo matemático trabalhado, na sua maioria,

em turmas do 1º ano do ensino médio, elaboramos uma sequência didática que foi

desenvolvida junto aos alunos de uma turma do 1º ano do ensino médio de uma escola

pública do Pará.

2.5 O PROCESSO DE ENSINO-APRENDIZAGEM DA FUNÇÃO AFIM SEGUNDO ESTUDANTES

Com o intuito de obter e identificar informações sobre o processo de ensino

e aprendizagem, assim como, dificuldades dos alunos em relação ao estudo da função

afim, realizamos um levantamento através da aplicação de questionários contendo

perguntas diversas e dez situações-problema envolvendo a temática função afim.

O material elaborado para esta pesquisa foi aplicado à 86 alunos da

segunda e terceira série do Ensino Médio de uma escola pública estadual, da região

metropolitana de Belém, pelo turno da manhã no mês de fevereiro de 2016. A

sequência didática foi aplicada, junto aos alunos egressos do 1º ano do Ensino Médio,

ou seja, que já estudaram o conteúdo em questão. O termo “egresso” sempre será

designado no texto àqueles sujeitos que já estudaram o assunto, e que atualmente

fazem segundo ou terceiro ano do ensino médio. Com relação ao gênero dos alunos:

Gráfico 1 - Percentual dos alunos divididos em gêneros

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

A maioria dos alunos participantes desta etapa da pesquisa era do sexo

feminino, 52,9%.

52,90%

47,10%

Masculino Feminino

65

Gráfico 2 - Percentual dos alunos divididos em faixas etárias

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Os dados obtidos indicam as idades dos alunos variar entre 14 e 19 anos,

com 4% de alunos de 14 anos, 9% de 15 anos, 42% de 16 anos, 33% de 18 anos e

4% de 19 anos. Daí observamos encontrar alunos em distorção idade-série sugerida

pela Lei de Diretrizes e Base da Educação Nacional (LDB/1996), que prevê o término

do Ensino Médio com 18 anos, caso se siga as etapas de início e término do Ensino

Fundamental de 6 a 14 anos, levando a conclusão do nível médio com 18 anos.

Gráfico 3 - Percentual da escolaridade do responsável feminino

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Gráfico 4 - Percentual da escolaridade do responsável masculino

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

14 anos 15 anos 16anos

17 anos 18 anos 19 anos

4% 9%

42% 33%

8%4%

22,4%

58,8%

18,8%

Ensino Superior Ensino Médio Ensino Fundamental

22,40%

45,80%

31,80%

Ensino Superior Ensino Médio Ensino Fundamental

66

Dos responsáveis femininos e masculinos, respectivamente, 18,8% e

31,8% possuem o ensino fundamental (completo ou incompleto); 58,8% e 45,9% o

ensino médio (completo ou incompleto); e ambos 22,4% o ensino superior (completo

ou incompleto). Em relação aos alunos que já tiveram que fazer dependência, temos:

Gráfico 5 - Percentual dos alunos que já ficaram em dependência.

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Do gráfico 5 percebemos uma boa parcela de estudantes (25,9%) que

tiverem que refazer em algum momento, uma ou outra disciplina, na série anterior a

que estavam cursando.

Gráfico 6 - Percentual das disciplinas em que os alunos que já ficaram em dependência

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Os dados acima expõem a matemática como a disciplina que mais (72,7%)

tem reprovado alunos nas series regulares. Um fato que pode contribuir com o

sentimento de aversão a disciplina, indicado por muitos alunos, uma vez que ouvirmos

com frequência a fala de estudantes admitirem não suportar a matemática, antes

mesmo de iniciar nossas atividades laborativas. Motivo que nos faz sempre realizar

um momento de reflexão com os alunos a respeito da importância da disciplina no

início de cada ano letivo. Isso tem indicado com as turmas nas quais passamos a ter

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Sim Não

25,9%

74,1%

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Matemática

Física

Português

Química

72,80%

4,50%

13,60%

9,10%

67

contato ao longo do ano, partindo da premissa de que matemática não e somente

fazer cálculos aritméticos, haja vista que:

A Matemática tradicionalmente é considerada não apenas como área exata, mas também como disciplina árida. O ensino era mais voltado ao cálculo, à exatidão, aos teoremas, às regras e ao rigor matemático do qual muitos professores não conseguem se desprender(...) o estudante acredita que a “Matemática” consiste em aplicar regras, fórmulas e fazer cálculos, não está preocupado com os aspectos conceituais, com o raciocínio lógico, mas sobrepõe o fazer ao pensamento matemático (ONDER, 2009, p. 3568).

Gráfico 7 - Percentual dos alunos em relação ao sentimento com a disciplina

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Os dados revelaram que 41,2% a maioria, dos alunos pesquisados gostam

um pouco de Matemática; 30,6% apenas a suportam; 14,1% a detestam, assim 14,1%

a adoram. Em relação ao alto índice do sentimento de não gostar da matemática

(apenas suportam e a detestam), causando a meu ver um sentimento de rejeição em

relação a disciplina. Analisando o trabalho de Reis (2005) tal sentimento fica evidente

quando:

É fácil observar na comunidade escolar que a relação entre aluno e Matemática não é das mais amistosas. Muitos são enfáticos quando afirmam não gostarem desta disciplina, até mesmo os alunos que têm bom rendimento declaram sua rejeição, não sentem prazer em resolver problemas de Matemática, declaram ainda que não gostam das aulas, pois são muito chatas. Que não entendem nada do que o professor fala, dentre outras queixas. Este fato pode ser observado desde os primeiros anos de escolarização até os cursos superiores. Sem dúvida a Matemática é rigorosa em suas demonstrações e aplicações e necessita ser assim para ser fiel ao modelo que pretende representar, precisa ser exata ou chegar bem próximo para dar credibilidade ao fenômeno estudado. Talvez por ser tão rígida provoca certo medo aos alunos que a acham difícil criando assim uma relação áspera, às vezes até traumática que pode culminar em dificuldade, falta de interesse e rejeição (REIS, 2005, p. 4).

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Adoro Gosto umpouco

Suporto Detesto

14,1%

41,2%30,6%

14,1%

68

Gráfico 8 - Percentual da frequência com que os alunos estudam fora da escola

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Quanto ao período em que os alunos costumam estudar a disciplina

matemática, 51,8% declararam estudar apenas no período de prova, 22,4% somente

nos finais de semana, 22,4% só na véspera da prova e 3,4% todos os dias. A falta de

tempo destinado aos estudos fora do ambiente escolar talvez esteja contribuindo e

influenciando para o aparecimento de notas abaixo da média estabelecida nas

escolas. Acreditamos que os alunos devam buscar a fixação dos conteúdos através

da resolução de problemas além dos ensinados em sala pelos professores. Reis

aponta dados semelhantes chamando atenção para um viés importante, quando

afirmar que:

A pesquisa aponta que os estudantes, ainda não perceberam a força e importância da Matemática, pois seus hábitos de estudos demonstram que dificilmente conseguirão resultados satisfatórios sequer nas avaliações escolares. Dos respondentes 145 (51%) disseram estudar Matemática menos de uma hora por dia, 96 deles (34%) disseram que não estudam Matemática durante o dia, ou seja, não se dedicam o bastante, nem persevera o suficiente para mudarem esse quadro de dificuldade em que estão. (REIS, 2005, p. 8).

Em relação a se contam com algum tipo de auxílio nas tarefas fora da

escola temos:

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Só no período de prova

Todo dia

Só no fim de semana

Só na véspera da prova

51,80%

3,40%

22,40%

22,40%

69

Gráfico 9 - Percentual de quem ajuda nas tarefas de matemática

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Os dados indicam que a maioria dos alunos, 58,8% não conta com o auxílio

de ninguém para ajudar nas tarefas de matemática, 20% com contribuições de

familiares, 12,9% com a ajuda de amigos, 7,1% com o acompanhamento do professor

particular.

Em relação aos dados acima, nos preocupa pois compartilhamos do

pensamento de que para:

O êxito do processo ensino-aprendizagem depende de vários aspectos, entre eles, da forma como é mediada a construção do conhecimento e também da maneira como os pais se envolvem na ação educativa dos filhos. Para que o trabalho do professor, no processo educativo, tenha bons resultados, é necessária uma ação conjunta com os pais, sempre vigilantes no desenvolvimento do filho, através de correções de tarefas diárias, atenção ao bom comportamento do mesmo dentro da sala de aula e aproximação da família com a escola. O professor deve ter a consciência de que não se deve fazer intervenção nos assuntos da família do aluno, mas conhecer o ambiente de onde ele vem e observar seu comportamento nas relações sociais. Professores e famílias têm suas responsabilidades no processo de educar e não devem transferi-las para os outros (MOREIRA e GABRIEL, 2013, p.1).

Com relação a maneira de como alunos estudaram inicialmente o conteúdo

função afim, apresentamos os resultados no gráfico abaixo:

7,10%

20%

12,90%58,80%

1,20%

Professor particular

Família

Amigos

Nínguem

Outros

70

Gráfico 10 - Percentual do modo como os alunos iniciaram o assunto: Função Afim

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

A pesquisa indica que 100% dos alunos declaram já ter estudado função

afim. Sobre o citado conteúdo, 74,1% dos estudantes declararam que seus

professores costumavam desenvolvê-lo utilizando métodos expositivo tradicionais

iniciando pela definição seguida de exemplos e exercícios; 11,8% iniciavam pelo uso

da história do assunto para depois explorar os conteúdos; 10,6% iniciavam a partir de

uma situação problema para depois introduzir o assunto; 2,5% iniciavam com um

modelo para uma situação e em seguida analisavam o modelo; e 1% iniciaram com o

uso de jogos para depois sistematizar os conceitos. Notamos a predominância de

características do ensino tradicional, fato que nos levar a uma reflexão, visto que:

O modelo tradicional, baseado na transmissão de saberes conceituais estabelecidos, não assegura um uso dinâmico e flexível desses conhecimentos fora da sala de aula e, além disso, gera numerosos problemas e dificuldades dentro dela. Com muita frequência há um notório divórcio entre as metas e os motivos do professor e os dos alunos, fazendo com que estes se sintam desconectados e desinteressados, enquanto o professor se sente cada vez mais frustrado. É comum escutar dos professores que cada vez menos alunos os acompanham, entre outras coisas, porque possivelmente cada vez é menor o número de alunos que entendem para onde vai o professor. (POZO, 2009, p. 251).

Ao mesmo tempo Em relação à maneira de fixar o conteúdo de Função

Afim os discentes declararam que:

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Iniciaram pela definição seguida de exemplos eexercícios

Iniciaram com a história do assunto para depoisexplorar os conceitos

Iniciaram com uma situação problemapara depoisintroduzir o assunto

Iniciaram com um modelo para a situação e emseguida analisando o modelo

Iniciaram com jogos para depoissistematizar osconceitos

74,10%

11,80%

10,60%

2,50%

1%

71

Gráfico 11 - Percentual do modo como os professores costumam fixar o assunto: Função Afim

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Com relação aos dados sobre o método didático utilizado pelos professores

para a fixação do conteúdo função afim 76,5% deles informaram que os professores

apresentavam uma lista de exercícios; 20% solicitava que os alunos resolvessem os

exercícios do livro didático; 2,5% solicitava que os alunos procurassem questões

sobre o assunto para resolver e 1% apresentavam jogos envolvendo o assunto.

Notamos a predominância do uso da lista de exercícios (algo típico no modelo

tradicional de ensino) para o aprofundamento do assunto, algo contrário ao que

pretendemos adotar em nosso trabalho visto que pensamos ser importante realizar o

registro de maneira escrita tanto do envolvimento e desenvolvimento dos alunos

durante a aplicação, a respeito disso acreditamos que:

A linguagem escrita nas aulas de matemática atua como mediadora, integrando as experiências individuais e coletivas na busca da construção e apropriação dos conceitos abstratos estudados. Além disso, cria oportunidades para o resgate da autoestima para alunos, professores e para interações da sala de aula. (SANTOS, 2005, p.129).

Também inferimos a respeito do entendimento das explicações do

professor e o que acham das explicações dadas quando ministraram as aulas de

matemática, tendo o resultado a seguir:

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Apresentar uma lista de exercícios para seremresolvidos

Solicitar que os alunos resolvessem os exercíciosdo livro didático

Solicitava que os alunos procurassem questõessobre o assunto para resolver

Apresentar jogos envolvendo o assunto

76,50%

20%

2,50%

1%

72

Gráfico 12 - Percentual a respeito da compreensão por parte dos alunos em relação a explicação do professor sobre o assunto: Função Afim

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Os resultados indicam que na maioria das vezes o professor de matemática

consegue fazer com que esses alunos entendam as suas explicações quando

ministradas suas aulas, uma vez que somente 5% nunca compreendem as

explicações dadas nas aulas; 44,7% às vezes; 27,1% poucas vezes; 22,4% quase

sempre e 0,8% sempre entendem. Dados que podem ser explicados pelo gráfico

abaixo.

Gráfico 13 - Percentual a respeito de como os alunos consideram o domínio do professor

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Os dados acima nos chamam a atenção, pois, quando questionados sobre

a demonstração do professor em relação ao domínio do conteúdo matemático, os

alunos afirmam na sua maioria (93%) identificar o domínio do professor em relação

ao conteúdo ministrado nas aulas. Assim como o uso de atividades que envolvem

situações problemas de caráter interpretativo.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Ás vezes Poucasvezes

Quasesempre

Sempre Nunca

44,70%

27,10%22,4%

0,80% 5,00%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Sim Não

93,0%

7,0%

73

Gráfico 14 - Percentual a respeito da utilização pelo professor de exemplos e/ou exercícios interpretativos a partir de situações problemas

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Na resposta dos estudantes notamos a preocupação do professor expor

aos alunos problemas que busquem a necessidade de interpretação para poder

resolvê-los, o que certamente permite aos discentes um novo olhar sobre os

problemas matemáticos, demonstrando que os problemas matemáticos não

necessariamente precisam serem apresentados de maneira pronta e acabada.

Por conseguinte os alunos demonstram ter a consciência da importância

do aprendizado dos conteúdos matemáticos, não somente como uma forma de

contribuir no entendimento de outras disciplinas do currículo escolar, mas também

para entender inúmeras informações que se utilizam de símbolos matemáticos e ao

mesmo tempo a possibilidade de se estabelecer certa ligação dos conteúdos dados

em sala com problemas do cotidiano.

Gráfico 15 - Percentual a respeito da capacidade dos alunos fazer relação dos conteúdos matemáticos dados em sala com seu cotidiano.

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

A predominância da resposta às vezes nos preocupa, porém, seja

explicado por Micotti (1999) quando diz:

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Sim Ás vezes Não

55,3%

34,1%

10,6%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Às vezes Não Sim

71,80%

12,90% 15,30%

74

A aplicação dos aprendizados em contextos diferentes daqueles em que foram adquiridos exige muito mais que a simples decoração ou a solução mecânica de exercícios: domínio de conceitos, flexibilidade de raciocínio, capacidade de análise e abstração. Essas capacidades são necessárias em todas as áreas de estudo, mas a falta delas, em Matemática, chama a atenção. (MICOTTI, 1999, p.154).

Gráfico 16 - Percentual a respeito da percepção de como o ensino da matemática pode contribuir com o aprendizado de outras disciplinas

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

O alto índice de alunos (70%) que conseguem perceber a contribuição da

matemática nas outras áreas disciplinas enaltece a importância de conseguir construir

um processo de ensino e aprendizagem do conhecimento matemático com nossos

alunos para que possam atuar como sujeitos ativos na sociedade. Torna-se evidente

a necessidade de um ensino contextualizado a fim de criar um número maior de

possibilidades para a compreensão dos motivos pelos quais estudamos certos

conteúdos matemáticos. Sobre o tema D`Ambrósio (2001) diz:

Contextualizar a Matemática é essencial para todos. Afinal, como deixar de relacionar os Elementos de Euclides com o panorama cultural da Grécia Antiga? Ou a adoção da numeração indo-arábica na Europa como florescimento do mercantilismo nos séculos XIV e XV? E não se pode entender Newton descontextualizado. (...) Alguns dirão que a contextualização não é importante, que o importante é reconhecer a Matemática como a manifestação mais nobre do pensamento e da inteligência humana... e assim justificam sua importância nos currículos (D`AMBROSIO, 2001, p. 44)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Sim Não Ás vezes

69,40%

7,10%

23,50%

75

Gráfico 17 - Percentual a respeito de como os alunos consideram as explicações do seu professor de matemática

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

As perguntas acima foram pensadas decorrente de nossa atividade

laborativa, pois percebemos a necessidade dos educandos se sentirem estimulados

a aprender, de ficar atento nas aulas, e ao mesmo tempo poder contribuir de alguma

forma com o professor e com o conteúdo a eles ensinados, na medida que o processo

de ensino e aprendizagem e uma via de mão dupla, onde ocorre a troca de

experiências e conhecimento. Daí a necessidade do trabalho contextualizado dos

conteúdos, tirando a matemática da abstração, tornando-os vivos, dinâmicos, capazes

de despertar o seu interesse pela disciplina, e contribuir para uma relação professor-

alunos mais prazerosa pois os dados obtidos, na sua maioria, apontam ter um alunado

que não se sente atraído pelas aulas de matemática.

Gráfico 18 - Percentual a respeito de que se as aulas de matemática despertam a atenção do alunado

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Em relação aos entrevistados identificamos que as aulas de matemática

têm despertado o interesse de poucos alunos (15,4%), um pouco de 54,1%, nenhum

pouco de 12,9% e 17,6% muito pouco. Isso talvez seja o reflexo de como comumente

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Boa Ruim Regular ExcelenTe

35,30%43,50%

20,00%

1,20%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Nenhumpouco

Muitopouco

Um pouco Muito

12,90%17,60%

54,10%

15,40%

76

as aulas de matemática são trabalhadas em sala de aula, com a falta do

estabelecimento de um ensino aprendizagem de forma dialogada e estabelecida na

interação entre os envolvidos.

Talvez, exista a necessidade de que as atitudes do professor diante do

aluno a partir do contato seja pautada numa relação de apoio e confiança entre ambos.

Cabendo ao professor utilizar de sua experiência de forma crítica, indagar sobre sua

ação, retirando dela meios para direcionar o seu trabalho em sala de aula, algo

certamente imprescindível para a construção de um novo olhar do aluno diante da

matemática. Além de despertar um sentimento no aluno de curiosidade, expectativa,

de avaliação, pesquisa, descoberta, e intervenção do conhecimento matemático com

a realidade.

Em relação aos dados de nossa pesquisa, nos chama sobre à somente

12,9% dos discentes terem muito interesse pela matemática. Podemos citar alguns

motivos expostos no trabalho de Oliveira e Oliveira (2009), por alunos do ensino

fundamental, e que de algum modo se perpetua no ensino médio como:

❖ A falta de contextualização das atividades e a supervalorização de formulas, fazendo com que os alunos não relacionem a matemática desenvolvida na escola com seu cotidiano. (NAVAZ, Apud OLIVEIRA e OLIVEIRA, 2009, p.. 02) ❖ O hábito de estudo diminui à medida que os alunos avançam de série; ❖ As dificuldades que possuem e não são esclarecidas em sala de aula; O fato de os alunos chegarem à adolescência, outros interesses se fazem presentes e muitos deles não estão vinculados ao estudo; ❖ A falta de interação entre alunos e professores dificulta o processo ensino-aprendizagem; ❖ a sala de aula precisa ser um local de trocas para que o conhecimento seja construído ❖ Falta de atividades que desenvolvam o raciocínio, dificuldade de abstração. (ibidem, 2009, p. 1-9).

De uma forma geral, ela é ensinada sem a preocupação de estabelecer

vínculos com a realidade e o cotidiano dos alunos. Como enfatiza D'Ambrósio (1993),

não encontramos no cotidiano dos povos e de suas culturas atividades que não

envolvam alguma forma de matemática, mas não necessariamente aquela

matemática que está nos currículos escolares e que ensinada em sala de aula.

A partir do ponto de vista de que ela a matemática nos rodeia e que é

constantemente presente em nossas vidas, torna-se essencial observar como este

conhecimento está sendo abordado no contexto de vida dos alunos,

compreendermos que:

A missão dos educadores é, portanto, preparar as novas gerações para o mundo que terão de viver. Isto quer dizer proporcionar-lhes o ensino

77

necessário para que adquiram as destrezas e habilidades que vão necessitar para seu desempenho, com comodidade e eficiência, no seio da sociedade que enfrentarão ao concluir sua escolaridade. (SANTAO, Apud Chagas9).

O fato acima faz com que tenhamos a necessidade como docentes de

transformar as aulas de matemática num momento de interação entre sujeitos, pois

sabemos que os alunos desenvolvem certo conhecimento, a partir de seus interesses

e conveniências, rejeitando o que não lhes interessa e não cabe ao professor tentar

transferir seu conhecimento para seu aluno, mas estimular o aluno a fazer suas

próprias descobertas, tirando suas próprias conclusões, sendo que assim estaríamos

mais próximo de um ensino eficiente, como nos afirmar Melo (2002):

Temos muito a nos beneficiar da ciência e em particular da educação matemática, que pode trazer benefícios incalculáveis. Para isto, faz-se necessário o ataque aos problemas em nível de sua utilização quase imediata, pois, o muito pouco de que se fizer em matemática deve ser transformado em algo que possa representar um verdadeiro progresso no sentido de melhorar a qualidade de vida. A adoção de uma forma de educação mais dinâmica e menos formal, com enfoque reconstrutivista, permitirá atingir objetivos mais adequados à nossa realidade. (Melo. 2002, p.34).

Quanto aos métodos avaliativos o estudo indicou que a predominância

71,8% ainda recai sobre a utilização de provas e simulados, conforme o gráfico a

seguir:

Gráfico 19 - Percentual a respeito dos métodos de avaliação utilizado pelo professor segundo os discentes

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Os dados acima, talvez justifiquem o sentimento de preocupação dos

alunos diante de uma avaliação, conforme o gráfico a seguir.

Gráfico 20 - Percentual a respeito do sentimento dos alunos em relação a avaliação de matemática

9 file:///C:/Users/Usuario/Downloads/944Paiva.PDF acessado dia 23/112/016 as 23:34

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Provas/Simulados

Testes semanais

Pesquisas

Seminários

Projetos

71,80%

16,50%

8,20%

2,50%

1,00%

78

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

Os dados indicam a predominância do sentimento de preocupação (61,2%)

diante da avaliação de matemática, podendo ser reflexo de diversos fatores que não

conseguimos detectar nesta pesquisa. Encontramos ainda os sentimentos de: medo

16,5%;tranquilo 20%; contente e raiva, ambos com menos de 1% cada. Sobre o ato

de avaliar e o que poderia justificar o sentimento de preocupação diante de uma

avaliação em matemática Luckesi (2000) afirma:

A avaliação da aprendizagem não é e não pode continuar sendo a tirana da prática educativa, que ameaça e submete a todos. Chega de confundir avaliação da aprendizagem com exames. A avaliação da aprendizagem, por ser avaliação, é amorosa, inclusiva, dinâmica e construtiva, diversa dos exames, que não são amorosos, são excludentes, não são construtivos, mas classificatórios. A avaliação inclui, traz para dentro; os exames selecionam, excluem, marginalizam. (LUCKESI, 2000, p. 8).

Diante disso ainda notamos o desconhecimento das pessoas em relação à

matemática, tomando para si um sentimento de aversão a ela, pois a vêem com um

verdadeiro pavor, situações que vivencio e testemunho como professor de matemática

da escola pública. Além do que, os dados divulgados recentemente pelo Sistema

Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB), as médias de proficiência em

matemática no Brasil, nos últimos anos, mostram uma queda em quase todos os

níveis avaliados.

Em nosso entendimento um dos fatores que muito tem colaborado para

baixos rendimentos escolares são as metodologias tradicionais adotadas para o

ensino da matemática que pouco ajuda na real aprendizagem da disciplina. Isso vem

atrapalhando o objetivo de que a matemática seja realmente entendida e

compreendida pelos alunos de modo que estes percebam os assuntos dessa

disciplina relacionados ao seu cotidiano.

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Preocupado

Medo

Tranquilo

Raiva

Contente

61,20%

16,50%

20%

1%

1%

79

Ao mesmo tempo Guichard (Apud Chagas, 2002) diz:

Ao despir a matemática de suas longas tradições, para vestir com conjuntos e estruturas, muitos assuntos perderam o encanto a atração. Talvez não tenhamos despejado o bebê juntamente com a água da banheira, ao retirar as matemáticas o conjunto dos assuntos e dos capítulos mais antigos, mas perdemos com certeza o sabão: sabemos como é fácil encontrar estudantes que pensam que as matemáticas cheiram mal. (ibidem, 2002, p. 2).

As atitudes do professor diante do aluno devem partir do contato, e se

orientar por relação de apoio e confiança entre ambos, para tanto o professor deve

utilizar de sua experiência de forma crítica, indagar sobre sua ação, retirar dele meios

para direcionar o seu trabalho em sala de aula, o que se torna imprescindível para a

construção de um novo olhar dos estudantes diante a matemática, despertando um

sentimento no aluno de curiosidade, expectativa, de avaliação, pesquisa, analise, de

descoberta, mas também de intervenção do conhecimento matemático em sua

realidade, para o aluno tornar significativo o que recebe em sala de aula.

A responsabilidade nossa como professor é muito grande, uma vez que o

conhecimento está subordinado ao exercício pleno da cidadania, devendo ser

contextualizado pelo momento atual, e se deve levar em conta que hoje nós

encontramos num mundo marcado pela difusão de novas tecnologias, das quais

muitas se dão e deram com o desenvolvimento da matemática.

2.5.1 Resultado do teste de alunos egressos

O teste aplicado continha dez questões, em nível de dificuldades diferentes

e sobre todos os assuntos relacionados direta ou indiretamente ao aprendizado de

Função Afim. Ressaltamos que todas as questões já foram utilizadas em processos

de seleção, a exemplo do ENEM. Para facilitar a visualização optamos por apresentar

os resultados obtidos junto a amostra dos alunos no quadro a seguir.

Quadro 6- Desempenho dos alunos egressos no teste (continua)

Questão Acerto Parcialmente certo

Errado Em branco

01 A 8% 5% 20% 67%

01 B 25% 0% 20% 28%

80

(continuação)

01 C 51% 1% 20% 28%

02 36% 0% 55% 9%

03 A 48% 5% 16% 31%

03 B 17% 0% 14% 69%

04 3% 3% 22% 71%

05 21% 27% 12% 41%

06 19% 9% 24% 48%

07 0% 1% 20% 79%

08 1% 5% 10% 84%

09 1% 6% 20% 73%

10 0% 0% 26% 74%

Fonte: Pesquisa de campo (2016)

O quadro acima nos permite ter a dimensão das habilidades e dificuldades

que os alunos possam ter em resolver determinados tipos de atividades, à medida que

tentamos abordar os principais conteúdos ensinados quando trabalhado o conteúdo

de função afim. Não obstante passamos a expor e analisar as questões aplicadas,

agora de forma particular por também considerar de enorme relevância.

Quadro 7- Enunciado da primeira questão do teste

A tabela abaixo indica o custo de um determinado produto vendido no mercado:

Unidade(s) compradas. 1 2 3 4 5

Preço a pagar (R$) 1,50 3,00 4,50 6,00 7,50

a) Qual a fórmula matemática que relaciona o Preço a pagar (y) é o número de unidades compradas (x)? b) Qual é o Custo de 50 Unidades? c) Uma pessoa tendo a sua disposição de R$ 90,00, quantas unidades poderiam ser compradas?

Fonte: Questão adaptada (DANTE, 2013)

A questão de número 01 procurou inferir do aluno o reconhecimento de

uma expressão algébrica que represente uma função a partir de dados tabelados.

Havendo apenas 8% de acertos e 67% de respostas deixadas em branco, o que

certamente nos chamou atenção, pois este tipo de questão e comumente introduzida

nos livros didático iniciam o assunto função Afim. Ao mesmo tempo é um tipo de

questão que está diretamente relacionada ao próprio conceito da definição de função,

81

quando relaciona duas grandezas entre si, através de uma correspondência de

dependência uma da outra.

O que também chamou nossa atenção em relação a primeira questão, foi

que a mesma era subdividida em três itens: A, B e C; onde no item A esperava-se a

identificação de uma fórmula matemática relacionando o preço a pagar em função de

uma certa quantidade a ser comprada de determinado produto, e nos demais itens a

ideia era que o aluno utiliza-se da fórmula encontrada na resolução dos outros itens.

Na construção da questão procurou-se não vincular o acerto de uma para

êxito da outra, fato comprovado pelo acerto de 52% da letra B e 51% da letra C,

inclusive por alunos que não conseguiram identificar a fórmula exigida na letra A, mas

identificaram e utilizaram apenas do cálculo aritmético necessário para a resolução

das questões.

Quadro 8 -Enunciado da segunda questão do teste

Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da seguinte maneira: ele ganha

um valor fixo de R$ 750,00, mais uma comissão de R$ 3,00 para cada produto

vendido. Caso ele venda mais de 100 produtos, sua comissão passa a ser de R$

9,00 para cada produto vendido, a partir do 101º produto vendido. Com essas

informações, o gráfico que melhor representa a relação entre salário e o número

de produtos vendidos e:

Fonte: Questão ENEM 2012

Na segunda questão, a única objetiva do teste, onde a partir de uma

informação dada através de um texto dissertativo exigia dos educandos a

identificação, entre os gráficos dados, de qual correspondia a situação descrita no

texto. Tratamos de gráfico, pois acreditamos que:

Nas sociedades modernas, uma boa parte da informação é veiculada em linguagem matemática. Vivemos em um mundo de taxas, percentuais, coeficientes multiplicativos, diagramas, gráficos e tabelas estatísticas, e para decodificar esse tipo de informação, precisa-se principalmente, de instrumentação matemática. (MELO, 2002, p. 60).

82

Os resultados, infelizmente, apontam um número expressivo de alunos que

não foram capazes, nesse momento, de acertar a questão.

Quadro 9 -Enunciado da Terceira questão do teste

Dada a função 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 responda:

a) Qual o valor da imagem da função quando 𝑥 = 5?

b) Qual o valor do domínio da função quando 𝑦 = 12?

Fonte: Questão adaptada. (DANTE, 2013)

Na terceira questão, foi dada uma expressão algébrica relacionada à ideia

de função do 1º Grau, testou-se o entendimento dos educandos em calcular ora a

variável dependente relacionada ao domínio da função, ora a variável independente

relacionada à imagem da função, tendo como resultado 48% e 17% de acertos,

respectivamente, para os itens a e b. Aqui nos chama a atenção o alto índice de

questões deixadas em branco, principalmente, a que era relacionada ao cálculo do

domínio da função sendo dado um valor para a imagem, no caso 69%, assim como

os inúmeros erros aritméticos cometidos por parte dos educandos na resolução do

problema. Erros que provavelmente estão diretamente relacionados à proficiência da

aprendizagem dos conteúdos e habilidades matemáticas adquiridas por parte dos

educandos aferidos nos últimos levantamentos da Prova Brasil e do SAEB, já

discorridos no início.

Quadro 10 -Enunciado da quarta questão do teste

Os mecânicos de um carro de fórmula 1 durante um abastecimento perceberam

que o tanque tinha 8 litros de gasolina. A bomba injeta 3 litros por segundo. O

gráfico abaixo representa esta situação. Determine a expressão algébrica que

representa a função

Fonte: https://jucienebertoldo.files.wordpress.com/2014/08/d24-mat-3c2aa-sc3a9rie.doc

Na quarta questão, foi dado um gráfico de uma função do 1º grau, para que

os alunos a partir de informações nele contida fossem capazes de traduzir para a

linguagem algébrica, encontrando a expressão relacionada a cada gráfico com a

83

simples diferença de que na quarta questão já ficava evidente o gráfico tratar-se de

uma reta,. Em relação ao índice de erro e o número de alunos que deixaram em

branco foi, respectivamente 22% e 71%. Fato também de enorme preocupação para

reflexão enquanto professor, dos motivos que podem estar relacionados ao

rendimento tão aquém do necessário esperado neste assunto.

Quadro 11 -Enunciado da quinta questão do teste

O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as

atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos,

serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos. O

gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB

brasileiro: Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma

queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação

dessa participação, em termos percentuais. Segundo o gráfico, o período de

queda ocorreu entre os anos?

Fonte: ENEM 2011

Na quinta questão, tratamos de forma subjetiva o nível de leitura dos

educandos em relação aos conceitos relacionados a crescimento e decrescimento da

função a partir de uma situação problema. O percentual de acerto foi de 21% dos

alunos acertando de forma satisfatória a questões, índices baixíssimos diante de uma

questão que consideramos de fácil resolução.

Para nós esse dado é preocupante, pois acreditamos ser papel tanto da

escola, quanto dos professores, contribuir na formação de um educando que ele

possa ler e interpretar as informações que recebem de forma crítica e consciente.

84

Infelizmente os dados do estudo relativos a essa questão, apontaram o contrário de

nossa crença.

Por meio dos dados revelados com este estudo é possível afirmar que

dentre a amostra são inúmeros os indivíduos sem habilidade ou competência para ler

e interpretar as informações que recebem através de meios de comunicações, uma

vez que, grande parte das informações hoje veiculadas, dão-se através de símbolos

e linguagem matemática. Em se tratando dos conteúdos matemáticos, destacamos

de acordo com os parâmetros curriculares nacionais, que:

A Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo, que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas. Em seu papel formativo, a Matemática contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da própria Matemática, podendo formar no aluno a capacidade de resolver problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança e desprendimento para analisar e enfrentar situações novas, propiciando a formação de uma visão ampla e científica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia, o desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais. (BRASIL 2006, p. 121).

Quadro 12 -Enunciado da sexta questão do teste

Uma empresa de telefonia fixa anuncia ligações interestaduais a R$ 0,02 por

minuto.

Se 𝑇(𝑥) = 0,02. 𝑥 , onde 𝑇 representa o valor a ser pago, em reais e 𝑥 é o tempo

de ligação em minuto. Uma ligação que dura 1h10min, irá se pagar?

Fonte: https://jucienebertoldo.files.wordpress.com/2014/08/d19-3c2aa-sc3a9rie-mat.doc

Já na sexta questão, foi apresentado um problema matemático a respeito

de uma empresa telefônica que cobrava uma taxa fixa por minuto de ligação,

apresentando aos alunos a expressão algébrica que permite fazer o cálculo de quanto

se paga, em função dos minutos usados, ressaltando que, o problema dava em horas

o tempo utilizado por determinado usuário, isto requer primeiramente dos alunos a

85

transformação do tempo utilizado em horas em minutos para posterior substituição na

fórmula dada para então se obter a resposta correta.

Neste caso, o êxito foi de apenas 19% de acertos, e de 9% de acertos

parciais. Estamos chamando de acertos parciais as questões respondidas de maneira

em que houve a percepção da transformação entre as unidades de tempo. No entanto,

no momento de se efetuar a operação matemática necessária, houve um erro de

procedimento multiplicativo, acarretando em uma resposta diversa do gabarito.

Quadro 13 -Enunciado da sétima questão do teste

Em Janeiro, o Vitor, depois de ter vindo do barbeiro, decidiu estudar o crescimento

do seu cabelo, registrando os meses a sua medida.

O gráfico seguinte representa o crescimento do cabelo do Vitor, desde o mês de

Janeiro (mês 0) até ao mês de junho (mês 5).

A expressão algébrica que representa o comprimento do cabelo do Vitor ao longo

dos primeiros seis meses é?

Fonte:https://www.policiamilitar.mg.gov.br/conteudoportal/uploadFCK/ctpmbarbacena/23102015075906672.pdf

Na sétima ficava ao encargo do educando a identificação do problema

também se tratar de um gráfico de função do 1º Grau a partir da disposição de uma

malha quadriculada e dos pontos ali marcados, que indicava ao aluno estarem sobre

uma mesma reta. Para posteriormente identificar a forma algébrica que estaria

relacionada a tal gráfico.

86

Quadro 14 - Enunciado da oitava questão do teste

Dadas as Funções 𝑄𝑜 = −20 + 4𝑝e 𝑄𝑑 = 46 − 2𝑝, que representam a quantidade

de oferta (𝑄𝑜) e quantidade de demanda (𝑄𝑑). A partir dessas funções, os

economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando Qo e

Qd se igualam. Para tal situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?

Fonte: ENEM 2012

Na oitava questão, se buscava do aluno a compreensão de igualdade entre

duas funções dadas, para que o mesmo encontrasse um valor para o domínio da

função, que estaria relacionado a um mesmo valor da imagem para ambas as funções.

Problemas como este são explorados frequentemente em economia, quando

buscamos encontrar o chamado preço de equilíbrio, quando dada uma função

chamada de demanda e outra de função de oferta. Os resultados aqui foram 1% de

acerto; 5% de acertos parciais; 10% erro e 84% deixaram em branco.

Quadro 15 - Enunciado da nona questão do teste

Construa o gráfico da função 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1.

Fonte: Questão adaptada. (DANTE, 2013)

Com relação à nona questão, foi dada uma função afim definida por {𝑓(𝑥) =

𝑥 + 1}, considerada de grau de complexidade bem simples, para que os alunos

pudessem construir o gráfico da mesma, era facultado ao aluno a escolha e o

procedimento a ser adotado para tal, bem como para escolha de qualquer valor a ser

atribuído à variável X e o número de quantos pontos considerar suficientes para a

construção do gráfico, fato alcançado por somente 1% dos entrevistados, o restante,

distribuíram-se em 6% de erros de procedimentos, 20% de erros totais, e 73%

deixaram a mesma em branco, algo extremamente preocupante, visto que

percebemos alunos incapazes de trabalhar com conceitos de Plano Cartesiano10,

bastante utilizado na localização das coordenadas geográficas, onde associamos o

Plano Cartesiano com a Longitude e a Latitude. Havendo um número significativo de

alunos afirmando não se lembrarem de ter estudado o assunto, ou mesmo, até não

ter julgado como sendo muito difícil sua aprendizagem, deste importante conteúdo

matemático.

Quadro 16 - Enunciado da décima questão do teste

10 O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano foi criado por Renê Descartes com o objetivo de localizar pontos.

87

Um provedor de internet oferece dois planos para os assinantes

Plano A: Assinatura mensal de R$ 40,00, mais R$ 0,03 por cada minuto de conexão durante o mês.

Plano B: Assinatura mensal de R$ 60,00, mais R$ 0,02 por cada minuto de conexão durante o mês.

Quando o plano B e financeiramente melhor que o plano A?

Fonte: Questão adaptada. (DANTE, 2013)

Com relação à décima questão do teste, foi proposta através de problema

a possibilidade da escolha entre dois provedores de internet, que variam em relação

ao preço fixo e o valor pago a cada minuto de conexão, e perguntava-se a partir de

que momento, em tempo de conexão, um plano era financeiramente melhor que o

outro. Esse tipo de questão é frequentemente abordado em provas de seleção, pois

busca resgatar dos educandos de uma forma geral, mais de uma habilidade esperada

na sua resolução, pois se faz necessário o aluno montar a forma algébrica das duas

situações apresentadas e depois estabelecer uma maneira de comparação entre as

opções de serviço oferecidas, e só depois obter a resposta de forma correta de sua

resolução.

Nesse caso é necessário que o aluno monte a forma algébrica das duas

situações apresentadas, para depois estabelecer uma maneira de comparação entre

as opções de serviços oferecidos, e posteriormente obter a resposta de forma correta

de sua resolução, indo ao encontro do desenvolvimento de habilidades como: a

capacidade de resolver problema envolvendo uma função afim; reconhecer a

representação algébrica de um função afim.

Os resultados do teste de forma geral apontam para algumas dificuldades

que os alunos tem em resolver alguns tipos de questões relacionadas a aprendizagem

de conceitos matemáticos ligados a ideia e definição de função, assunto amplamente

exigido em testes de vestibulares e demais provas de seleção, surgindo assim a

necessidade em se buscar uma metodologia para tornar os resultados melhores em

relação ao assunto, especialmente quando tratado de função afim.

88

3. CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI

Nesta seção, temos o objetivo de apresentar uma sequência didática

elaborada pelo autor e Sá (2017) que visava ao ensino e aprendizagem da função

afim, desenvolvida decorrente das análises prévias já apresentadas inicialmente neste

trabalho, juntamente com a análise a priori sobre cada atividade a ser desenvolvida.

Diante da turma, onde iremos desenvolver nossa pesquisa, vamos assumir o papel

de professor mediador e orientador das atividades. Vamos fixar um tempo

determinado para cada atividade. Haja vista de que vamos dispor de aulas de 45

minutos, tempo de duração das aulas nas escolas públicas do Estado do Pará.

Veja no quadro abaixo uma associação entre os descritores matemáticos

para o ensino médio adotado pelo SAEB e os conteúdos que serão abordados neste

trabalho.

Quadro 17 - Descritores x Conteúdos Descritores Conteúdo

D18 – Reconhecer expressão algébrica que representa uma função a partir de uma tabela; D19 – Resolver problema envolvendo uma função de primeiro grau; D20 – Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos; D21 – Identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto; D23 – Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de primeiro grau por meio de seus coeficientes; D24 – Reconhecer a representação algébrica de uma função do primeiro grau, dado o seu gráfico; D34 – Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos

Função afim;

Gráfico da função afim;

Função afim crescente ou decrescente;

Zero da função afim;

Resolução de questões envolvendo função afim.

Fonte: Autor (2017)

A sequência didática contém atividades que foram divididas para serem

realizadas em sessões de aplicação visando abordar diversos assuntos relacionados

ao conteúdo de função afim, e comumente tratado nos livros didáticos, os quais são

muitas vezes o único material pedagógico utilizado por professores e alunos nas aulas

de matemática.

Cada atividade foi organizada e pensada para contribuir no processo de

ensino e aprendizagem de função afim, levando em consideração as dificuldades

encontradas em nossas pesquisas junto a nossa amostra de alunos. A configuração

dos roteiros de atividades são: “Título”; “Objetivo”, “Material” e “Procedimentos”.

Tendo em relação ao objetivo o motivo pela qual a atividade foi elaborada; material os

89

recursos físicos que serão utilizados e procedimentos as etapas de cada atividade.

Todas as atividades foram desenvolvidas e adaptadas, com a estruturação

apresentada. A seguir apresentamos a sequência didática elaborada para a

experimentação, ou seja, as atividades para o ensino de função afim.

2.1 ATIVIDADE 1

Título: Descubra a minha regra

Objetivo: Descobrir uma relação entre dois conjuntos

Material: Quadro I, roteiro da atividade, papel, caneta.

Procedimento: Para cada par de conjuntos:

Observe a associação entre os elementos de A e B no quadro I;

Tente descobrir a expressão do elemento y ∈ B associado a x ∈ A;

Com os dados obtidos preencha o quadro a seguir.

As relações algébricas que relacionam duas variáveis onde a segunda (no nosso

caso y) e o resultado da combinação das operações de adição e/ou multiplicação da

primeira (no nosso caso x) com números reais, onde dizemos que o valor de y está em

função do valor de x, representado por y=f(x) e são do tipo y=mx+b, são exemplos da lei

de formação da função afim que é definida como:

Uma função f: ℝ → ℝ,chama-se afim quando existem constantes m, b ℝ tais que

f(x)=mx+b, para todo x∈ ℝ.

Em decorrência da definição de função temos que y=f(x) é a variável dependente

e o x a variável independente. Chamamos m de taxa de variação e o b de valor inicial.

Par Expressão do elemento y ∈ B associado a x ∈ A Grau do polinômio

1

2

3

4

5

6

7

8

Fonte: Autor e Sá (2017)

Análise a priori da atividade 1

O objetivo da atividade é levar aos educandos a descobrir a relação de

correspondência existente entre os conjuntos de números dados. O desenvolvimento

90

das atividades visa poder auxiliar os discentes a descobrir a expressão algébrica e a

compreensão do conceito de função afim a partir da relação entre variáveis, bem como

o desenvolvimento da capacidade de análise por parte dos alunos com base em dados

de problemas contextualizados de modelos matemáticos que representam as

situações dadas. Consideramos que os alunos venham ter uma dificuldade algébrica

na primeira atividade em identificar a lei de formação, mas, com as nossas

ponderações com base em perguntas para a turma a respeito das operações

matemáticas que possam corresponder na associação entre os valores dados essa

dificuldade será superada.

QUESTÕES DE APROFUNDAMENTO 1

1. (DANTE) Escreva a função afim em cada item sabendo que:

a) a taxa de variação é 3 e o valor inicial é 1

b) a taxa de variação é -2 é 𝑓(2) = 5.

c) para cada unidade aumentada em 𝑥, a função aumenta 2 unidades e o valor inicial

é 10;

d) para cada unidade aumentada em 𝑥, a função diminui 1 unidade e o valor inicial

é 3.

2. (UNICAMP) Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner quebrou o recorde de

velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos

estão expressos de modo aproximado na tabela e no gráfico abaixo.

a) Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da

tabela, encontre o valor da velocidade, em km/h, no 30º segundo.

Tempo (segundos) 0 1 2 3 4

Velocidade (km/h) 0 35 70 105 140

b) Com base no gráfico, determine o valor aproximado da velocidade máxima

atingida e o tempo, em segundos, em que Felix superou a velocidade do som.

Considere a velocidade do som igual a 1.100 km/h.

91

3. (DANTE) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00

mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo 𝑥o número de

unidades produzidas:

a) escreva a lei de formação da função que fornece o custo total de 𝑥peças;

b) indique a taxa de variação dessa função e seu valor inicial;

c) calcule o custo de 100 peças.

4. (UNIOESTE) Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para

seus clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de

R$ 27,00 e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga

uma tarifa fixa de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto

afirmar que, para o cliente,

a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A.

b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A.

c)16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B.

d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos

minutos sejam cobrados.

e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos

minutos seja cobrado.

5. (DANTE) Um tanque estava inicialmente com 100 litros de água. A torneira desse

tanque foi aberta deixando sair a água na razão de 5 litros por segundo.

a) escreva a lei de formação da função que representa a quantidade de água após

t segundos;

b) qual a taxa de variação da função obtida?

c) qual o valor inicial da função obtida?

6. (UPE) Um dos reservatórios d’água de um condomínio empresarial apresentou

um vazamento a uma taxa constante, às 12 h do dia 1º de outubro. Às 12 h dos dias

11 e 19 do mesmo mês, os volumes d´água no reservatório eram, respectivamente,

315 mil litros e 279 mil litros. Dentre as alternativas seguintes, qual delas indica o

dia em que o reservatório esvaziou totalmente?

a) 16 de dezembro b) 17 de dezembro c) 18 de dezembro

d) 19 de dezembro e) 20 de dezembro

7. (FAAP) Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da terra

aumenta, aproximadamente, 3°C a cada 100m de profundidade. Num certo local, a

100m de profundidade, a temperatura é de 25°C. Nessas condições, podemos

afirmar que:

I) A temperatura a 1.500m de profundidade é:

a) 70°C b) 45°C c) 42°C d) 60°C e) 67°C

II) Encontrando-se uma fonte de água mineral a 46°C, a profundidade dela será

igual a: a) 700 m b) 600 m c) 800 m d) 900 m e) 500 m

92

8. (UNESP) Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156kg, recolhe-se a

um SPA onde se anunciam perdas de peso de até 2,5kg por semana. Suponhamos

que isso realmente ocorra. Nessas condições:

a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá

atingir após n semanas.

b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá

permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg de peso.

9. (ENEM) A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma

escola, referente ao mês de junho de 2008.

Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de

dias em atraso, então

a) M(x) = 500 + 0,4x. b) M(x) = 500 + 10x. c) M(x) = 510 + 0,4x.

d) M(x) = 510 + 40x. e) M(x) = 500 + 10,4x.

10. (SAEPE) Carlos e Ricardo estão fazendo uma brincadeira, em que Carlos diz

um número e Ricardo transforma esse número em outro. O resultado das 5 primeiras

rodadas está apresentado no quadro abaixo.

Chamando de x o número dito por Carlos, e de y o resultado encontrado por Ricardo,

qual a expressão que permite encontrar o resultado fornecido por Ricardo?

a) y = x b) y = 3x c) y = x + 2 d) y = x – 4 e) y = 2x – 5

11. (ENEM) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando

canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por

um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura dependente da quantidade

de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está

representada a seguir.

93

Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de

quadrados de cada figura?

a) C= 4Q b) C= 3Q+1 c) C= 4Q+1 d) C= Q+3 e) C= 4Q-2

12. (UNICAMP) Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a

fórmula: C=5(F-32)/9 onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de

graus centígrados.

a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit.

b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit

é o dobro do número de graus centígrados?

13. (ENEM) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o

que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por

uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém

com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro

total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão

LT(q) = FT(q) – CT(q).

Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento

e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para

não ter prejuízo?

a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5

14. (UEPA) Para produzir colares feitos com sementes de açaí, uma artesã teve

uma despesa de R$ 24,00 na aquisição de matéria prima. Sabendo que o preço de

custo por unidade produzida é de R$ 2,00 e que a artesã pretende vender cada colar

por R$ 5,00, analise as afirmativas abaixo:

I. A lei matemática que permite calcular a receita bruta R, a ser obtida com a

venda desses colares, em função da quantidade x de unidades vendidas, é R(x) =

5,00x.

II. A lei matemática que permite calcular o custo total C decorrente dessa

produção, em função da quantidade x de colares produzidos é C(x) = 24,00 + 2,00x.

III. A venda desses produtos só dará lucro se a quantidade de colares vendidos for

superior a 8.

É correto afirmar que:

a) todas as afirmativas são verdadeiras

b) todas as afirmativas são falsas

c) somente as afirmativas II e III são falsas

d) somente as afirmativas I e II são verdadeiras

e) somente as afirmativas I e III são verdadeiras

94

15. (FUVEST) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3%

sobre o valor x de uma mercadoria é:

a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = -3x e) f(x) = 1,03x

16. (CESGRANRIO) O valor de um carro novo é de R$9.000,00 e, com 4 anos de

uso, é de R$4.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha

reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é:

a) R$8.250,00 b) R$8.000,00 c) R$7.750,00 d) R$7.500,00 e) R$7.000,00

17. (UNB) Cada bilhete vendido em um parque de diversões dá direito à utilização

de apenas um brinquedo, uma única vez. Esse parque oferece aos usuários três

opções de pagamento:

I. R$ 2,00 por bilhete;

II. Valor fixo de R$ 10,00 por dia, acrescido de R$ 0,40 por bilhete;

III. Valor fixo de R$ 16,00 por dia, com acesso livre aos brinquedos.

Com base nessa situação, julgue os itens a seguir.

(1) Se uma criança dispõe de R$ 14,00, a opção I é a que lhe permite utilizar o

maior número de brinquedos.

(2) Se x representa o número de vezes que uma pessoa utiliza os brinquedos do

parque, a função f que descreve a despesa diária efetuada, em reais, ao se utilizar

a opção III, é dada por f(x)=16x.

(3) É possível a um usuário utilizar determinado número de brinquedos em um único

dia, de modo que a sua despesa total seja a mesma, independente da opção de

pagamento escolhida.

2.2 ATIVIDADE 2

Título: Construção do gráfico da função afim Objetivo: Descobrir a representação gráfica da função afim. Material: Plano cartesiano, roteiro da atividade, papel, caneta, régua. Procedimento: Para cada função 𝑓: ℝ → ℝ dada determine: a) Os valores da imagem de cada valor de x dado; b) Determine os pares ordenados (x, f(x)); c) Marque os pares ordenados obtidos no plano cartesiano; d) Verifique se é possível traçar uma única reta que ligue todos os pontos marcados; f) A partir das informações obtidas preencha o quadro a seguir.

Função

𝑓: ℝ → ℝ

Valor de 𝑥

Valor

de 𝑓(𝑥)

Par

ordenado (𝑥, 𝑓(𝑥))

A função é afim?

È possível ligar todos os pontos marcados por uma única reta

Sim Não Sim Não

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

𝑥 = −2

𝑥 = −1

𝑥 = 0

95

Fonte: Autor e Sá (2017)

𝑥 = 1

𝑥 = 2

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1

𝑥 = −2

𝑥 = −1

𝑥 = 0

𝑥 = 1

𝑥 = 2

𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2

𝑥 = −2

𝑥 = −1

𝑥 = 0

𝑥 = 1

𝑥 = 2

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1

𝑥 = −2

𝑥 = −1

𝑥 = 0

𝑥 = 1

𝑥 = 2

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1

𝑥 = −2

𝑥 = −1

𝑥 = 0

𝑥 = 1

𝑥 = 2

𝑓(𝑥) = 𝑥4

𝑥 = −2

𝑥 = −1

𝑥 = 0

𝑥 = 1

𝑥 = 2

𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1

𝑥 = −2

𝑥 = −1

𝑥 = 0

𝑥 = 1

𝑥 = 2

Observação:_______________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

Conclusão:_______________________________________________________________________________________

96

Análise a priori da atividade 2

O objetivo da atividade é propiciar aos alunos a construção do gráfico da função afim.

Onde inicialmente os estudantes deverão encontrar determinados valores para a

imagem da função associado a determinados valores do domínio da função.

Posteriormente marcados os pontos encontrados no plano cartesiano para traçar o

gráfico da função. Acreditamos que os alunos não apresentarão grandes dificuldades

para desenvolver a atividade, ao mesmo tempo em que terão a percepção do gráfico

da função afim sendo uma reta.

QUESTÕES DE APROFUNDAMENTO

1. (DANTE) Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com a

fórmula matemática 𝑠 = 2𝑡 − 3, em que s indica a posição do corpo (em metros) no

instante t (em segundos). Construa o gráfico de s em função de t.

2. (DANTE) As retas das funções afins f , g e h determinam um triângulo.

a) Determine os vértices desse triângulo, sabendo que as leis dessas funções são

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3, 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 3 𝑒 ℎ(𝑥) = 3.

b).Construa os três gráficos em um mesmo sistema de eixos.

3. (FGV) A quantidade de cópias vendidas de cada edição de uma revista jurídica é

função linear do número de matérias que abordam julgamentos de casos com ampla

repercussão pública. Uma edição com quatro matérias desse tipo vendeu 33 mil

exemplares, enquanto que outra contendo sete matérias que abordavam aqueles

julgamentos vendeu 57 mil exemplares.

a) Quantos exemplares da revista seriam vendidos, caso fosse publicada uma

edição sem matéria alguma que abordasse julgamento de casos com ampla

repercussão pública?

b) Represente graficamente, no plano cartesiano, a função da quantidade (Y) de

exemplares vendidos por edição, pelo número (X) de matérias que abordem

julgamentos de casos com ampla repercussão pública.

c) Suponha que cada exemplar da revista seja vendido a R$ 20,00. Determine qual

será o faturamento, por edição, em função do número de matérias que abordem

julgamentos de casos com ampla repercussão pública.

97

4. (UFRN) Seja f: IR→ IR a função definida por f(x) = 3x - 5.

a) Esboce o gráfico da função f no plano cartesiano IR×IR e marque nele os pontos

(1,f(1)), (2,f(2)), (3,f(3)) e (4,f(4)).

b) Calcule a soma S=f(1)+f(2)+...+f(199)+f(200).

5. (ENEM) As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser

compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com

a época de produção. Considere que, independente da época ou variação de preço,

certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma.

Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n

quilogramas desse produto é

6. (ENEM) Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos aos seus clientes: no

plano K, o cliente paga R$ 29,90 por 200 minutos mensais e R$ 0,20 por cada

minuto excedente; no plano Z, paga R$ 49,90 por 300 minutos mensais e R$ 0,10

por cada minuto excedente.

O gráfico que representa o valor pago, em reais, nos dois planos em funcao

dos minutos utilizados e

98

7. (FATEC) Na figura a seguir tem-se o gráfico da função f, onde f(x) representa o

preço pago em reais por x cópias de um mesmo original, na Copiadora Reprodux.

De acordo com o gráfico, é verdade que o preço pago nessa Copiadora por:

a) 228 cópias de um mesmo original é R$22,50.

b) 193 cópias de um mesmo original é R$9,65.

c) 120 cópias de um mesmo original é R$7,50.

d) 100 cópias de um mesmo original é R$5,00

e) 75 cópias de um mesmo original é R$8,00.

8. (PUCCAMP) A seguir vê-se parte de um gráfico que mostra o valor y a ser pago

(em reais), pelo uso de um estacionamento por um período de x horas.

99

Suponha que o padrão observado no gráfico não se altere quando x cresce. Nessas

condições, uma pessoa que estacionar o seu carro das 22 horas de certo dia até as

8 horas e 30 minutos do dia seguinte deverá pagar a) R$ 12,50 b) R$ 14,00 c) R$

15,50 d) R$ 17,00 e) R$ 18,50

9. (ENEM) No Brasil há várias operadoras e planos de telefonia celular. Uma pessoa

recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de planos telefônicos. O valor mensal de cada

plano está em função do tempo mensal das chamadas, conforme o gráfico:

Essa pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00 por mês com telefone.

Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais vantajoso, em tempo de

chamada, para o gasto previsto para essa pessoa? a) A b)B c)C d)D

10. (AFA) Luiza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. No gráfico

abaixo, a reta c representa o custo total mensal com a confecção de x bolsas e a

reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a confecção de x bolsas.

100

Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente

se, vender:

a)no mínimo 2 bolsas. b)pelo menos 1 bolsa. c)exatamente 3 bolsas d) no mínimo 4

bolsas.

2.3 ATIVIDADE 3

Título: Crescimento e decrescimento da função afim Objetivo: Descobrir uma maneira pratica de identificar quando a função afim e crescente ou decrescente. Material: Quadro de gráficos I, roteiro da atividade, papel, caneta. Procedimento: Para cada gráfico do quadro de gráficos:

Determine o coeficiente angular da função afim;

Verifique se o gráfico é de uma função afim crescente ou decrescente;

Com os dados obtidos preencha o quadro a seguir.

O Coeficiente angular é? A função afim é?

𝑓: ℝ → ℝ Positivo Negativo Crescente Decrescente

𝑦 = 𝑥 + 1

𝑦 = −𝑥 + 2

𝑦 = −3𝑥 + 2

𝑦 = 2𝑥 + 3

𝑦 = 3𝑥 − 3

𝑦 = −4𝑥 + 2

𝑦 = 0,5𝑥 + 1

𝑦 = −0,5𝑥 + 2

𝑦 = 6𝑥 + 5

𝑦 = −6𝑥 + 3

101

Observação:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Conclusão:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Fonte: Autor e Sá (2017)

Análise a priori da atividade 3

A atividade deverá permitir aos alunos verificarem a influência do coeficiente angular

(m) da função afim no comportamento do seu gráfico. Algo que acreditamos será

alcançado pelos alunos.

QUESTÕES DE APROFUNDAMENTO 3

1. (CESESP) Considere a função afim. Qual dentre as seguintes alternativas é verdadeira? a) se b>0, então a função é crescente; b) se b<0, então a função é decrescente; c) se a>-1, então a função é crescente; d) se a<1, então a função é decrescente; e) se a>0, então a função é crescente. 2. (ENEM) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011.

De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e menor venda absolutas em 2011 foram: a)março/abril b)março/agosto c)agosto/setembro d)junho/setembro e)junho/agosto

102

3. (ENEM) O gráfico abaixo apresenta a evolução da emissão de Dióxido de carbono ao longo dos anos.

Com base nos dados do gráfico, assinale a alternativa correta. a) Ao longo do período, a emissão de dióxido de carbono apresentou crescimento constante. b) Em relação aos anos 80, os anos 90 apresentaram emissão de dióxido de carbono 30% maior. c) O ano de 2009 apresentou menor valor de emissão de dióxido de carbono da primeira década do século XXI. d) De 2000 a 2013, houve crescimento percentual de 11,7% na emissão de dióxido de carbono.

e) Em relação a 2000, o ano de 2013 apresentou emissão de dióxido de carbono aproximadamente 50% maior.

f) 4. (ENEM) O gráfico a seguir apresenta o gasto militar dos Estados Unidos, no período de 1988 a 2006.

103

Com base no gráfico, o gasto militar no início da guerra no Iraque foi de a) U$ 4.174.000,00 b) U$ 41.740.000,00 c)U$ 417.400.000,00 d) U$ 41.740.000.000,00 e)U$ 417.400.000.000,00 5. (UEL) Seja f a função de lR em lR dada por f(x)=(k²-4)x+3k, na qual k é uma constante real. Se f é decrescente e seu gráfico intercepta o eixo das abscissas no ponto (1;0), então um outro ponto do gráfico de f é a)(-3;6) b) (-2;9) c) (-1;1) d) (2;3) e) (0;6)

6. (ENEM) Um cientista trabalha com as espécies I e II de bactérias em um ambiente de cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias da espécie I e 1 250 bactérias da espécie III. O gráfico representa as quantidades de bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma semana.

Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima? a) Terça-feira. b) Quarta-feira. c) Quinta-feira. d) Sexta-feira. d) Domingo.

7. O gráfico mostra que a função y = f(x) representada é crescente para os valores de x tais que:

a) x< –2 e x < 4 b) 2 < x < 4 c) x< 6 d) x > –4 e x < 2 e) 4 < x < 7

8. (ENEM) Uma pesquisa da ONU estima que, já em 2008, pela primeira vez na

história das civilizações, a maioria das pessoas viverá na zona urbana. O gráfico a

seguir mostra o crescimento da população urbana desde 1950, quando essa

população era de 700 milhões de pessoas, e apresenta uma previsão para 2030,

baseada em crescimento linear no período de 2008 a 2030

104

2.4 ATIVIDADE 4

Título: O Zero da função Objetivo: Descobrir as características dos pontos de intersecção da função afim com os eixos coordenados. Material: Quadro de gráficos II, roteiro da atividade, papel, caneta Procedimento: Analise cada situação e responda o solicitado Situação. Para cada gráfico do quadro de gráficos:

Determine as coordenadas do ponto de interseção do gráfico da função afim com o eixo das abscissas;

Determine as coordenadas do ponto de interseção do gráfico da função afim com o eixo das ordenadas;

Com os dados obtidos preencha o quadro a seguir.

9. (ENEM) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo.

Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global em: a) 1995 b) 1998 c) 2000 d) 2005 e) 2007

105

f: ℝ→ℝ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Coordenada do ponto de interseção do gráfico com o eixo das abscissas.

Coordenada do ponto de interseção do gráfico com o eixo das ordenadas.

𝑦 = 𝑥 + 3 ( , ) ( , )

𝑦 = 2𝑥 + 6 ( , ) ( , )

𝑦 = 𝑥 − 2 ( , ) ( , )

𝑦 = −2𝑥 + 3 ( , ) ( , )

𝑦 = −𝑥 − 3 ( , ) ( , )

𝑦 = 3𝑥 + 6 ( , ) ( , )

𝑦 = 2𝑥 − 4 ( , ) ( , )

𝑦 = −2𝑥 + 2 ( , ) ( , )

𝑦 = −𝑥 − 5 ( , ) ( , )

𝑦 = −3𝑥 + 3 ( , ) ( , )

Observação: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Conclusão: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

O valor do domínio da função 𝑓 que tem como imagem zero é denominado de ZERO da função 𝑓, ou seja, o valor de 𝑥 no qual 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 0.

Fonte: Autor e Sá (2017)

Análise a priori da atividade 4

A atividades trabalham a questão da localização geométrica do zero e do coeficiente

linear da função afim, a partir de sua representação gráfica. Acreditamos que os

alunos não terão grandes dificuldades no desenvolvimento e no alcance do objetivo

da atividade.

QUESTÕES DE APROFUNDAMENTO 4

1. (DANTE) Sem construir gráficos, descubra os pontos em que as retas, gráficos

das funções abaixo, cortam o eixo x.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2

b) 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 4

c) 𝑓(𝑥) = −2𝑥

d) 𝑓(𝑥) =1𝑥

2− 1

2. (DANTE) Um motorista percorre uma estrada movimentando-se de acordo com

a função horária 𝑆(𝑡) = 100𝑡 − 50,em que 𝑆(𝑡)representa sua posição (em km) e

106

𝑡representa o tempo (em h). Depois de quanto tempo o motorista passa pelo marco

quilômetro zero (km 0)?

3.(PUC) Para que valores de a, o número –1 será raiz da função f(x)= (1 – a)x + 2?

a) 𝑎 = −1

b) 𝑎 = 1 𝑜𝑢 𝑎 = 00

c) 𝑎 = −2 𝑜𝑢 𝑎 = −1/3

d) 𝑎 = 1/3

e) 𝑎 = 2

4. (DANTE) Dada a função afim 𝑓: 𝑅 → 𝑅, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 5, determine:

a) O zero da função?

b) Para que valores de x a função e positiva?

c) Para que valores de x a função e negativa?

5. (ENEM) Paulo emprestou R$ 5.000,00 a um amigo, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Considere x o número de meses do empréstimo e M(x) o montante a ser devolvido para Paulo no final de x meses. Nessas condições, a representação gráfica correta para M(x) é

6. (SAEB) Luizinho desafia seu irmão mais velho, Pedrão, para uma corrida. Pedrão aceita e permite que o desafiante saia 20 metros a sua frente. Pedrão ultrapassa Luizinho e ganha a corrida.

107

7. (SARESP) A temperatura interna de uma geladeira, ao ser instalada, decresce

com a passagem do tempo, conforme representado no gráfico

A equação algébrica que relaciona a temperatura interna da geladeira (T) ao tempo (t), para o trecho representado no gráfico é a) T = 32 – 2 t b) T = 32 – 0,5 t c) T = 32 – 4 t d) T = 32 – 6 t e) T = 32 + 4 t

8. A equação da reta que passa pelo ponto P(1, – 3) e tem inclinação igual 3 2⁄ é:

a) b) c)

d)

e)

108

9. (UERJ) O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora,

enquanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora.

No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água contida

em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no

eixo x.

Determine o tempo 𝑋0 em horas, indicado no gráfico.

10. (UFRGS) Considere as funções f e g, definidas por f(x) = 4 - 2x e g(x)=2f(x)+2.

Representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, a função f

intercepta o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das abscissas no ponto B,

enquanto a função g intercepta o eixo das ordenadas no ponto D e o eixo das

abscissas no ponto C. A área do polígono ABCD é

a) 4,5. b) 5,5. c) 6,5. d) 7,5. e) 8,5.

11. (UCS) Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600

mil turistas estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão

no Brasil. Em grande parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para

melhor receber os visitantes e atender a uma forte demanda decorrente da

expansão da classe média brasileira.

Fonte: Disponível em <http://www.copa2014.gov.br>. Acesso em: 7 jun. 2012. (adaptado)

O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e

a expectativa/projeção para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS),

segundo dados da lnfraero – Empresa Brasileira de infraestrutura Aeronáutica.

De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano,

quando a demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será,

aproximadamente, igual a

109

a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos.

b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos.

c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil.

d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos.

e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil.

12. (UERJ) A sabedoria egípcia. Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram

que a sombra no chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon

(um tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre

ao meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de tamanho.

Depois de chegar a um comprimento máximo, ela recuava até perto da vareta. As

sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as mais curtas, com dias quentes.

(Adaptado de Revista "Galileu", janeiro de 2001)

Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, utilizando uma

vareta OA de 2 metros de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento

da sombra OB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua experiência,

um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo

das abscissas (x) continham, respectivamente, os segmentos de reta que

representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão.

Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que contém o

segmento AB:

a) y = 8 - 4x b) x = 6 - 3y c) x = 8 - 4y d) y = 6 - 3x

13. Em relação à função f(x) =3x+2, assinale a alternativa INCORRETA:

a) f(4)-f(2) =6

b) O gráfico de f(x) é uma reta.

c) O gráfico de f(x) corta o eixo y no ponto (0, 2)

d) f(x) é uma função crescente.

e) f(f(x)) = x² + 2x + 1

14. (UERJ) O balanço de cálcio é a diferença entre a quantidade de cálcio ingerida

e a quantidade excretada na urina e nas fezes. É usualmente positivo durante o

crescimento e a gravidez e negativo na menopausa, quando pode ocorrer a

osteoporose, uma doença caracterizada pela diminuição da absorção de cálcio pelo

organismo.

A baixa concentração de íon cálcio (𝐶𝑎++) no sangue estimula as glândulas

paratireóides a produzirem hormônio paratireóideo (HP). Nesta situação, o

110

hormônio pode promover a remoção de cálcio dos ossos, aumentar sua absorção

pelo intestino e reduzir sua excreção pelos rins.

(Adaptado de ALBERTS, B. et al., "Urologia Molecular da Célula." Porto Alegre:

Artes Médicas, 1997.)

Admita que, a partir dos cinquenta anos, a perda da massa óssea ocorra de

forma linear conforme mostra o gráfico abaixo.

(Adaptado de "Galileu", janeiro de 1999)

Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, respectivamente, 90% e 70% da

massa óssea que tinham aos 30 anos. O percentual de massa óssea que as

mulheres já perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 30 anos, é igual a:

a) 14 b) 18 c) 22 d) 26

15. (AFA) Na figura abaixo, tem-se representado as funções f, g e h que indicam os

valores pagos, respectivamente, às locadoras de automóveis α , β e γ para x

quilômetros rodados por dia. Uma pessoa pretende alugar um carro e analisa as

três opções.

Após a análise, essa pessoa conclui que optar pela locadora α ao invés das outras

duas locadoras, é mais vantajoso quando x ∈ ]m, + ∞[ , m ∈ IR.

O menor valor possível para m é

a) 60 b) 70 c) 80 d) 90

111

4. EXPERIMENTAÇÃO

Nesta seção apresentamos os resultados oriundos dos registros obtidos na

experimentação da sequência didática, isto é, a reunião dos dados frutos das

observações dos discentes durante as aulas no decorrer das atividades desenvolvidas

em cada sessão, trabalho iniciado no dia 08/08/17 e encerrado no dia 12/09/17,

contando com a participação de 25 (vinte e cinco) alunos de uma turma do 1º ano do

ensino médio de tempo integral de uma escola pública estadual de Belém. Vale

ressaltar que os discentes foram devidamente esclarecidos acerca de como se daria

o desenvolvimento e a participação nas atividades propostas durante a

experimentação deste trabalho.

4.1 A ESCOLA

A experimentação ocorreu em uma escola pública estadual situada na

região metropolitana de Belém no ano de 2017 que ofertava, segundo os dados da

Secretaria Estadual de Educação (SEDUC/PA), turmas de Ensino Médio Acelerado

(Projeto Mundiar) com 225 alunos; Ensino médio educação especial com 7 (sete)

alunos; Ensino médio regular integral com 443 alunos, lecionando neste último 4

(quatro) professores de matemática, onde me incluo. Com relação ao ensino médio

regular integral a escola conta com 16 turmas de ensino médio, sendo 07 (sete) do 1º

ano, 05 (cinco) do 2º ano e 04 (quatro) do 3º ano.

A opção pela escola em questão se deu pelo fato de eu lecionar como

professor de matemática em todas as turmas do 1º e 2º anos de ensino médio, além

da facilidade de acesso à direção da escola, que de imediato teve a compreensão e

aceitação da pesquisa na instituição, da facilidade de acesso a turma, uma vez que

sou professor da mesma. Ressalto que 2017 está sendo meu primeiro ano como

professor da escola.

Os resultados obtidos pela Escola através do Sistema Paraense de

Avaliação (SISPAE), no ano de 2016, demonstraram que 50,3% dos alunos do 1º ano

encontravam-se abaixo do básico no que se refere ao nível de proficiência em

matemática, ou seja, tais resultados demonstram que os alunos possuíam um domínio

insuficiente dos conhecimentos, habilidades e competências desejáveis para o ano

escolar em que se encontram; Além disso, demonstra-se que 44,7% encontravam-se

112

no nível básico, o que evidencia um domínio mínimo dos conhecimentos, habilidades

e competências desejáveis para o ano escolar em que se encontram; Ademais,

constata-se que 5% situam-se no nível adequado, onde os discentes demonstram um

domínio pleno dos conhecimentos, habilidades e competências desejáveis para o ano

escolar em que se encontram; Por fim, 0% dos discentes está no nível avançado, ou

seja, no nível em que demonstrariam o domínio dos conhecimentos, habilidades e

competências acima do requerido na série escolar em que se encontram. Tais

resultados se revelam preocupantes com relação a aprendizagem dos conteúdos

matemáticos.

Os recursos utilizados em nossa experimentação tiveram com técnica de

pesquisa a observação e como instrumentos de pesquisa anotações em diário de

campo, a aplicação de questionário visando à obtenção de algumas informações dos

discentes, que vão desde a sua idade até como ocorriam as aulas de matemática no

ensino fundamental.

Para efeito de analises, tivemos a participação de 25 alunos presentes na

aplicação do pré e pós-teste. Como forma de garantir o anonimato dos participantes,

denominamos de “A1”, “A2”,..., “A25”.

O experimento foi organizado em sessões de aplicação de cada atividade,

adaptando o esquema adotado por Lopes (2015).

Figura 3 - Esquema Processo de aplicação de cada atividade para o ensino de radicais

Fonte: Lopes (2015, p. 136)

A experimentação ocorreu nos meses de agosto e setembro de 2017

segundo o cronograma, presente no quadro a seguir.

113

Quadro 18 -Cronograma e execução de ensino na experimentação

Data Sessão Atividade do dia

08/08/2017 1º Aplicação do questionário e do pré-teste

16/08/2017 2º Atividade 1 - Descubra minha regra e questões de aprofundamento

22/08/2017 3º Atividade 2 - Construção do Gráfico

da função afim e questões de aprofundamento

29/08/2017 4º Atividade 3 - Crescimento e decrescimento da função afim e

questões de aprofundamento

05/09/2017 5º Atividade 4 - Zero da função afim e questões de

aprofundamento

12/09/2017 6º Aplicação do pós-teste Fonte: Pesquisa de campo (2017).

Vejamos a seguir a descrição de cada sessão desenvolvida durante a

sequência didática.

4.2 PRIMEIRA SESSÃO DE ENSINO

No dia 08/08/17 dialogamos com os 25 alunos da turma sobre a forma na

qual iriamos conduzir as aulas durante o desenvolvimento da aplicação da sequência

didática, e que estávamos a partir daquele momento realizando uma pesquisa em

nível de mestrado pela Universidade do Estado do Pará. O intuito foi de ressaltar a

importância da participação deles em responder o questionário bem como instigá-los

a se empenhar na realização de cada atividade que seria proposta durante os

encontros. Também deixamos claro que a efetiva participação nas atividades e o

desempenho no decorrer das atividades iria compor a sua avaliação bimestral. Logo

em seguida, ocorreu a aplicação do questionário que continha questões referentes à

diferentes aspectos e hábitos dos discentes e após, houve a aplicação do pré-teste,

onde verificamos os resultados que serão expostos a seguir.

4.2.1 Perfil dos discentes

O perfil dos discentes participantes desta pesquisa vai ao encontro dos

resultados encontrados em trabalhos de Corrêa (2016), Silva (2016), Lopes (2015) e

Silva (2015), no que tange em especial a falta de ajuda da família nas tarefas de

matemática, a escolaridade dos responsáveis masculino e feminino, o gostar da

matemática, o habito de estudar fora da escola, a maneira de iniciar e fixar os

conteúdos matemáticos nas maiorias das aulas.

114

A partir das respostas dos alunos verificamos que dos 25 participantes,

52% são do gênero masculino e 48% do feminino.

Quadro 19 - Gênero dos alunos consultados

Sexo Número de alunos Percentual

Masculino 13 52%

Feminino 12 48% Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Gráfico 21 – Gênero dos alunos consultados

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Diante dos dados observamos uma pequena diferença em relação aos

alunos do gênero feminino e masculino. Os dados obtidos se aproximam dos

encontrados da pesquisa de Correa (2016) e Gomes (2013), mostrando uma

tendência para a predominância do gênero feminino em relação aos alunos do ensino

médio.

Em relação à faixa etária dos alunos consultados, temos que :

Quadro 20 -Faixa etária dos alunos consultados Idade Número de alunos Percentual

14 2 8%

15 9 36%

16 9 36%

17 5 20%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Masculino Feminino

52%48%

115

Gráfico 22 - Faixa etária dos alunos consultados

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Os dados acima evidenciam a presença de alunos que se encontram em

dissonância com relação à idade-série uma vez que há a presença de 5 alunos com

17 anos que ainda cursam o 1º ano do ensino médio. Segundo a Lei de Diretrizes e

Bases da Educação (1996) espera-se que nessa idade o alunos estejam cursando ou

finalizando o 3º ano do ensino (MEC). Dados semelhante encontramos no trabalho de

Santos (2013) em que 9 alunos a maioria dos alunos (30%) possuía 16 anos de idade

e também tinha a presença de 4 alunos (13,3%) com 14 anos de idade, 11 (36,7%)

com 15 anos de idade , 4 (13,3%) com 17 anos de idade.

Com relação ao ponto do questionário que trata de indagar se o aluno já

ficou em dependência em alguma disciplina escolar até a realização da pesquisa,

temos os seguintes dados.

Quadro 21 - Você já ficou em dependência em alguma disciplina?

Resposta Número de alunos Percentual

Sim 10 40%

Não 15 60%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

14 anos 15 anos 16 anos 17 anos

8%

36% 36%

20%

116

Gráfico 22 - Você já ficou em dependência em alguma disciplina?

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Estes dados indicam haver um número significativo de alunos (40%) que

não desenvolveram suas atividades escolares de forma satisfatória num determinado

ano letivo, ou seja, existem alunos que iniciam um ano letivo subsequente com

dependência(s) em disciplinas do ano anterior. Esse fato obriga os alunos a frequentar

tanto a serie na qual se encontra como a disciplina de dependência num turno

diferente. Isto, demonstra haver educandos em dificuldade de aprender os conteúdos

desenvolvidos ao longo do período letivo, seja em matemática, ciências, português, e

outras. A carretando em nós o exercício da reflexão para procuramos desenvolver

práticas pedagógicas que de alguma maneira possibilitem a diminuição de tais

índices.

Ao questionar os estudantes em relação a(s) qual(is) disciplinas escolares

dentre os que responderam sim a perguntar você já ficou em dependência em alguma

disciplina? Os resultados foram:

Quadro 22 - Em qual disciplina você já ficou em dependência?

Resposta Número de alunos Percentual

Matemática 4 44%

Português 2 22%

Ciências 1 11%

Inglês 1 11%

História 1 11%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Sim Não

40%

60%

117

Gráfico 23 - Em qual disciplina você já ficou em dependência?

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Os dados acima colocam a matemática como sendo a disciplina na qual a

maioria dos alunos tende a ter que repetir em alguma fase do seu percurso escolar, o

que certamente tem contribuído para os níveis indesejáveis em relação a

aprendizagem dos alunos ao final do ensino médio. Recentemente o último índice

divulgado em relação ao desempenho nas avaliações externas indica que os

percentuais relacionados ao nível de proficiência alcançados pelos educandos em

relação a aprendizagens dos conteúdos matemáticos nas avaliações do Sistema de

Avaliação da Educação Básica (SAEB), do ano de 201511 apresentaram os piores

resultados para os alunos do ensino médio que não aprendem de forma adequada os

assuntos esperados ao final da 3º Série do Ensino Médio. Especificamente, no Estado

do Pará, os dados divulgados pelo Sistema Paraense de Avaliação Educacional

(SISPAE) no ano de 2016, apontam que 61% dos alunos da 1ª Série, 64,3% dos

alunos da 2ª Série e 76,1% dos alunos da 3ª Série do Ensino Médio estão em um nível

de insuficiência dos conhecimentos e habilidades desejáveis para o ano escolar em

que se encontram

Talvez os números acima fossem menores caso os alunos pudessem

contar com o auxílio de alguém que lhes ajudassem nas tarefas de matemática, fato

que conforme os dados a seguir, não ocorre, pois a maioria diz não contar com a ajuda

de ninguém em suas tarefas escolares.

11 http://www.brasil.gov.br/educacao/2016/09/inep-apresenta-resultados-da-prova-brasil-2015 acessado dia 21/10/17 às 20h29min.

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Matemática

Português

Ciências

Inglês

História

50%

20%

10%

10%

10%

118

Quadro 23 - Quem lhe ajuda nas tarefas de matemática?

Resposta Número de alunos Percentual

Professor particular 0 0%

Família 7 28%

Amigos 3 12%

Ninguém 15 60%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Gráfico 24 - Quem lhe ajuda nas tarefas de matemática?

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Na análise do Gráfico 24 destacamos que 15 alunos, ou seja a maioria,

que representa um percentual de 60%, responderam que ninguém os ajuda em casa

nas tarefas de matemática, 12% responderam que são ajudados por amigo (a), 28%

disseram que quem lhe ajuda é algum membro da família. Resultados semelhantes

são encontrados nos trabalhos de Santos (2013) e Silva (2014) o que nos preocupa

pois, os estudos divulgados pelo Escritório Regional de Educação da Unesco para a

América Latina e o Caribe já em 2015 apontam na direção da importância do

envolvimento dos responsáveis no desempenho dos estudantes após os resultados

obtidos através do Terceiro Estudo Regional Comparativo e Explicativo (Terce), do

qual participam 15 países (Argentina, Brasil, Chile, Colômbia, Costa Rica, Equador,

Guatemala, Honduras, México, Nicarágua, Panamá, Paraguai, Peru, República

Dominicana e Uruguai), além do estado de Nuevo León (México).

Além do mais os dados a seguir indicam que boa parte dos responsáveis,

tanto do gênero feminino quanto do gênero masculino, apresentam um nível de

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Professorparticular

Família Amigos Nínguem

0%

28%

12%

60%

119

escolaridade, que os habilitaria no auxílio dos seus filhos nas tarefas de casa. Vejamos

as tabelas e gráficos a seguir.

Quadro 24 - Qual é a escolaridade de seu responsável masculino?

Resposta Número de alunos Percentual

Fundamental incompleto 7 28%

Fundamental 2 8%

Médio 9 36%

Superior 7 28%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Gráfico 25 - Qual é a escolaridade de seu responsável masculino?

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Quadro 25 - Qual é a escolaridade de seu responsável feminino?

Resposta Número de alunos Percentual

Fundamental incompleto 4 16%

Fundamental 2 8%

Médio 10 40%

Superior 9 36%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Fundamental incompleto

Fundamental

Médio

Superior

28%

8%

36%

28%

120

Gráfico 26 - Qual é a escolaridade de seu responsável feminino?

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Quando perguntamos sobre o grau de escolaridade do responsável

masculino, percebemos 28% tendo o nível de ensino superior, 36% nível médio, 8%

ensino fundamental e 28% com nível fundamental incompleto. Quanto à escolaridade

do responsável feminino os dados mostra, 36% com nível superior, 40% com nível

médio, 8% com nível fundamental e 16% com fundamental incompleto.

Ao analisar novamente os dados de que a matemática é a matéria onde os

discentes mais realizam a dependência escolar, ou seja, uma considerável parte dos

discentes tem apresentado alguma dificuldade em lograr o êxito da aprovação em

matemática durante as séries do ensino fundamental. Sendo assim os dados

corroboram com aquilo que já destacamos neste trabalho e que diz respeito à um

certo grau de aversão a matemática. Ao mesmo tempo que pode ser um fator a

contribuir para as respostas em relação ao sentimento em relação à matemática

devido ao gosto apresentado pelos alunos em relação a disciplina.

Quadro 26 - Você gosta de matemática?

Resposta Número de alunos Percentual

Adoro 2 8%

Gosto um pouco 16 64%

Suporto 4 16%

Detesto 3 12%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Fundamental incompleto

Fundamental

Médio

Superior

16%

8%

40%

36%

121

Gráfico 27 - Você gosta de matemática?

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Os dados indicam nessa amostra um número relevante de alunos que

demonstram ter algum sentimento de “simpatia” pela matemática, ao passo de 8%

adorarem, 64% gostarem um pouco, 16% suportarem e somente 12% detestarem a

disciplina, algo próximo aos encontrados em Santos (2013).

A esse gosto pela matemática a professora de matemática do Instituto

Superior de Contabilidade e Administração do Porto e na Universidade Portucalense

e autora de vários manuais escolares Maria Augusta Neves, assegura que os

estudantes, quando são bem ensinados, "gostam de Matemática". Ao mesmo tempo

afirmar existir três condições essenciais para o sucesso na aprendizagem da

Matemática: "Ser normal, ser trabalhador e ser persistente", isso faz com que nós

enquanto professores de matemática estejamos repensando nossa forma de ensinar

buscando sempre alcançarmos a compreensão pela maioria dos nossos alunos, pois

todos são capazes de aprender a matemática para quem saber assim gostar da

mesma. Sobre isso temos segundo Tatto e Scapin (2004):

Os professores já têm presente esta situação de dificuldade e procuram, através da ação pedagógica, incentivar, criar métodos novos e diversificar ações no sentido de reverter esta situação. Porém, há uma ideia já pré-concebida de que a Matemática é uma matéria difícil, que exige muito esforço e que poucos realmente aprendem. Há um bloqueio inconsciente no uso do raciocínio mental e, consequentemente, com a Matemática, como ciência que exige raciocínio e reflexão. (TATTO e SCAPIN, 2004, p. 2)

Ainda a esse respeito o sentimento demonstrado em relação a matemática

podem ser reflexos da não compreensão das explicações dadas durante as aulas de

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Adoro Gosto umpouco

Suporto Detesto

8%

64%

16%12%

122

matemática. No momento em que quando questionados sobre isso os alunos

respondem o seguinte:

Quadro 27 - Você consegue entender as explicações dadas nas aulas de matemática?

Resposta Número de alunos Percentual

Ás vezes 17 68%

Quase sempre 6 24%

Sempre 2 8%

Nunca 0 0%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Gráfico 28 - Você consegue entender as explicações dadas nas aulas de matemática?

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Em relação ao entendimento ou não das explicações dadas nas aulas de

matemática 68% afirmam que as vezes entendem, 24% quase sempre, 8% sempre e

0% nunca entendem. Resultados parecidos encontramos no trabalho de Correa

(2016). Tenho a clareza de que aprender e ensinar matemática são processos

indissociáveis a busca de novas maneiras de ensinar e aprender os conceitos

matemáticos devem preocupar nos docentes afim de que possamos superar métodos

tradicionais fortemente presente nos dias atuais conforme as pesquisas de Silva

(2016) e Lopes (2015). A essa falta de entendimento da matemática pode estar

associado a uma falta de motivação inerente ao ser humano em buscar compreender

as coisas, pois:

A motivação para aprender é um fator de grande importância. Quanto mais motivado o aluno, mais disposição terá para aprender e melhores serão seus

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Ás vezes Quase sempre Sempre Nunca

68%

24%

8%

0%

123

resultados. Uma parte importante dessa motivação reside no interesse do aluno naquilo que está aprendendo. Por isso, muitos especialistas em aprendizagem enfatizam a importância do significado e dos conteúdos para o aluno. (TATTO e SCAPIN, 2004, p. 6)

O professor é o elemento fundamental para assegurar um ambiente em que os alunos desenvolvam sua motivação intrínseca. O professor é responsável por conduzir os alunos de maneira que a aula se torne agradável, motivadora, ligada ao dia-a-dia do aluno, etc. Para isso ele deve estar sempre em constante aperfeiçoamento, dominar o conteúdo, gostar realmente do que está fazendo, ser um desafiador, ter uma boa formação, estar sempre aberto ao diálogo, entre outros, pois quando os alunos aprendem devido à sua curiosidade, ao seu interesse, ao desejo de enfrentar novos desafios, eles ficam satisfeitos com o processo educacional e passam a gostar e se interessar mais pela aula, pelo conteúdo e pela matéria. (Ibidem, 2014, p. 6-7)

No mesmo sentido dos dados obtidos anteriormente quanto questionado

ao tipo de sentimento que o estudante possui diante de uma avaliação de matemática,

os resultados são:

Quadro 28 - Como você se sente diante de uma avaliação de matemática?

Resposta Número de alunos Percentual

Preocupado 16 64%

Medo 2 8%

Tranquilo 7 28%

Raiva 0 0%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Gráfico 29- Como você se sente diante de uma avaliação de matemática?

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Os sentimentos apresentados em relação a avaliação de matemática são

muito próximos aos demonstrados também nas aulas de matemática, conforme

constatamos no trabalho de Martins e Neto (2015) intitulado “Emoções e sentimentos:

Uma análise de sua inferência na aprendizagem da matemática” apresentado no VI

COLÓQUIO DE PESQUISA QUALITATIVA EM MOTRICIDADE HUMANA realizado

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Preocupado

Medo

Tranquilo

Raiva

64%

8%

28%

0%

124

no Chile (2015). Neste trabalho os autores se puseram a fazer ao grupo de estudantes

três perguntas: Como você se sente durante as aulas?; Como você se sente durante

as aulas de matemática? e Como você se sente quando não entende uma

explicação?, vejamos, respectivamente os quadros das respostas dadas em cada

pergunta.

Figura 4 - Primeira interrogação: Como você se sente durante as aulas?

Fonte: Martins e Neto (2015, p. 65)

A interrogação feita nos remete a refleti a maneira de como devemos

organizar um espaço educacional para que tais sentimentos (nervosismo,

incompreensão, e outros) possam não mais existir, ou existindo atinja um número

pequeno de alunos.

Figura 5 - Segunda interrogação: Como você se sente durante as aulas de matemática?

Fonte: Martins e Neto. (2015, p. 66)

A segunda interrogação indica justamente a existência de sentimentos

negativos (fracasso, angustia, ansiedade) em relação a disciplina de matemática

125

corroborando com a aversão a matéria. Ao mesmo tempo, indicar a necessidade do

uso de metodologias variadas para o ensino dos conteúdos.

Figura 6 - Terceira interrogação: Como você se sente quando não entende uma explicação?

Fonte: Martins e Neto (2015, p. 66)

A análise das três interrogações nos levam a afirmação de que as aulas,

não somente de matemática, devem ser práticas e interessantes para que não cause

sentimentos prejudiciais ao ensino, mas possam causar motivação a construir o

conhecimento de maneira prazerosa, agradável.

Temos como um fator colaborativo para esse sentimento de preocupação

(gráfico 29) a ausência de uma rotina diária de estudo fora do espaço escolar, algo

que acreditamos ser necessário para um bom rendimento. Apura-se através dos

dados que 44% dos alunos costumam estudar matemática só na véspera da prova;

32% dos alunos só estudam no período de provas; 24% dos alunos só estudam nos

finais de semana; Por fim, 0% dos alunos estudam todos os dias.

Quadro 29 - Você costuma estudar matemática fora da escola?

Resposta Número de alunos Percentual

Só no período de prova 8 32%

Todo dia 0 0%

Só no fim de semana 6 24%

Só na véspera da prova 11 44%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

126

Gráfico 30 - Você costuma estudar matemática fora da escola?

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Não sabemos todos os motivos que levam nossos estudantes a não se

dedicarem a um determinado tempo de estudo fora do ambiente escolar, levando

muitos a rejeitarem a própria matemática. Sabemos em relação ao tempo destinado

ao estudo no Brasil ser 7,8 anos em média inferior a países como Argentina (9,9 anos),

Uruguai (8,6 anos), Paraguai (8,1 anos), Rússia (12 anos) África do Sul (10,2 anos)

segundo o Relatório de Desenvolvimento Humano (RDH) divulgados em março de

2017. Salientamos ser o parâmetro usado pela Organização das Nações Unidas

(ONU) para indicar o Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) colocando o Brasil na

posição de 78º dentre 188º países pesquisados.

Ao mesmo não podemos afirmar, mas a ausência de uma rotina dedicada

ao estudo fora do espaço escolar talvez seja fruto do baixo interesse dos alunos em

relação a aprendizagem dos conteúdos matemáticos, conforme se evidencia no

gráfico a seguir.

Quadro 30 - As aulas de matemática despertam seu interesse em aprender os conteúdos ministrados?

Resposta Número de alunos Percentual

Nenhum pouco 1 4%

Muito pouco 5 20%

Um pouco 15 60%

Muito 4 16%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Só no período de prova

Todos os dias

Só no fim de semana

Só na véspera da prova

32%

0%

24%

44%

127

Gráfico 31 - As aulas de matemática despertam sua atenção em aprender os conteúdos ministrados?

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

O que tenho percebido e que o desinteresse educacional não se reflete

somente na disciplina de matemática, mas em todas as disciplinas escolares. Esse

fato, talvez seja reflexo de que:

Muitos alunos não conseguem projetar para o futuro uma carreira promissora, devido às condições do meio em que vivem e à falta de incentivo dos pais, da sociedade e da própria escola, que muitas vezes fica presa ao conhecimento sistematizado e acaba deixando de trabalhar a realidade do aluno. É preciso motivar o aluno, pois sem interesse não há atenção e quando o interesse existe a atenção fica presa ao que se está fazendo. Mas, para conseguir motivar o aluno, é necessário que o professor também esteja motivado, que tenha amor pela profissão, que respeite o seu aluno da mesma forma como deseja ser respeitado por ele, que demonstre segurança naquilo que está ensinando e que se coloque como um eterno aprendiz, aceitando as críticas e sugestões dos alunos, pois estas podem ajudá-lo a melhorar como professor. (BITTENCOUT e BATISTA, 2011, p. 3)

Os dados acima nos levam a inúmeras hipóteses, em especial, destacamos

as respostas dos alunos com relação à associação ou não dos conteúdos

matemáticos trabalhados em sala com o seu cotidiano.

Quadro 31 - Você é capaz de fazer relação dos conteúdos matemáticos dados em sala com seu cotidiano?

Resposta Número de alunos Percentual

Às vezes 20 80%

Não 1 4%

Sim 4 16%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Nenhum pouco Muito pouco Um pouco Muito

4%

20%

60%

16%

128

Gráfico 32 - Você é capaz de fazer relação dos conteúdos matemáticos dados em sala com seu cotidiano?

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Pelos resultados obtidos percebemos que nem sempre esta associação

dos conteúdos matemáticos com o cotidiano pode ser explorado com facilidade, ao

mesmo tempo temos ciência de haver inúmeros conceitos matemáticos que não estão

presentes no cotidiano dos estudantes, mesmo assim acreditamos que:

A construção do conhecimento se dá à medida que se entende e compreende o que lhe é desconhecido. Portanto, a linguagem que é utilizada para a apresentação do desconhecido é fundamental que seja uma linguagem que proporcione o entendimento, reconhecendo a conhecimentos prévios dos estudantes, o que poderá evitar a constatação de fato tal como os alunos apresentarem maiores dificuldades para assimilar a matemática na escola do que fora dela. O professor deve se posicionar como mediador do conhecimento e, neste sentido a matemática não deve ser trabalhada com uma ênfase exagerada na linguagem matemática até que se tenha conceitos compreendidos. A linguagem matemática deve ser introduzida concomitantemente com a compreensão do que se fala, permitindo que se reconheça e que se crie mentalmente o ente matemático de que se está falando. (RESENDE e MESQUITA, 2013, p. 209)

Em relação a resposta dos alunos quando indagados a respeito da

contribuição da matemática para o aprendizado nas outras disciplinas.

Quadro 32 - Você acha que o ensino da matemática pode contribuir no aprendizado em outras disciplinas?

Resposta Número de alunos Percentual

Sim 15 60%

Não 10 40%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Às vezes Não Sim

80%

4%

16%

129

Gráfico 33 - Você acha que o ensino da matemática pode contribuir no aprendizado em outras disciplinas?

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

A pergunta acima foi feita justamente para identificar se o aluno possui

alguma dimensão a respeito da importância da matemática para as outras áreas do

conhecimento, pois segundo os PCN (1998) deverá ser o aluno capaz de perceber a

matemática como um sistema de códigos e regra capazes de torná-la uma linguagem

de comunicação de ideias permitindo modelar a realidade e interpretá-la.

A Matemática, por sua universalidade de quantificação e expressão, como linguagem portanto, ocupa uma posição singular. No Ensino Médio, quando nas ciências torna-se essencial uma construção abstrata mais elaborada, os instrumentos matemáticos são especialmente importantes. Mas não é só nesse sentido que a Matemática é fundamental. Possivelmente, não existe nenhuma atividade da vida contemporânea, da música à informática, do comércio à meteorologia, da medicina à cartografia, das engenharias às comunicações, em que a Matemática não compareça de maneira insubstituível para codificar, ordenar, quantificar e interpretar compassos, taxas, dosagens, coordenadas, tensões, frequências e quantas outras variáveis houver. A Matemática ciência, com seus processos de construção e validação de conceitos e argumentações e os procedimentos de generalizar, relacionar e concluir que lhe são característicos, permite estabelecer relações e interpretar fenômenos e informações. As formas de pensar dessa ciência possibilitam ir além da descrição da realidade e da elaboração de modelos(...). A pertinente presença da Matemática no desenvolvimento de competências essenciais, envolvendo habilidades de caráter gráfico, geométrico, algébrico, estatístico, probabilístico, é claramente expressa nos objetivos educacionais da Resolução CNE/98. ( BRASIL, 2006, p. 9)

Por fim, perguntamos no questionário aos alunos sobre a maneira como as

aulas de matemática costumavam ser ministradas e de que forma se dava a fixação

dos conteúdos ensinados. Os dados apontam a predominância (72%) de aulas que

se iniciavam pela definição seguida de exemplos e exercícios e quase que a totalidade

(96%) da apresentação de uma lista de exercícios para serem resolvidos como forma

de fixar o que havia sido ensinado.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Sim Não

60%

40%

130

Quadro 33 - Quando você estudou os conteúdos de matemática, a maioria das aulas:

Resposta Número de

alunos Percentual

Iniciaram pela definição seguida de exemplos e

exercícios 18 72%

Iniciaram com a história do assunto para depois

explorar os conceitos 2 8%

Iniciaram com uma situação problema para

depois introduzir o assunto 1 4%

Iniciaram com um modelo para a situação e em

seguida analisando o modelo 4 16%

Iniciaram com jogos para depois sistematizar os

conceitos 0 0%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Gráfico 34 - Quando você estudou os conteúdos de matemática, a maioria das aulas:

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Os dados acima mostram a presença forte do método tradicional de ensino,

e já caracterizado no século XX por Beatriz D`Ambrósio (1989) como sendo:

Sabe-se que a típica aula de matemática a nível de primeiro, segundo ou terceiro graus ainda é uma aula expositiva, em que o professor passa para o quadro negro aquilo que ele julgar importante. O aluno, por sua vez, cópia da lousa para o seu caderno e em seguida procura fazer exercícios de aplicação, que nada mais são do que uma repetição na aplicação de um modelo de solução apresentado pelo professor. Essa prática revela a concepção de que é possível aprender matemática através de um processo de transmissão de

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Iniciaram pela definição seguida de exemplos eexercícios

Iniciaram com a história do assunto paradepois explorar os conceitos

Iniciaram com uma situação problema paradepois introduzir o assunto

Iniciaram com um modelo para a situação e emseguida analisando o modelo

Iniciaram com jogos para depois sistematizaros conceitos

72%

8%

4%

16%

0%

131

conhecimento. Mais ainda, de que a resolução de problemas reduz-se a procedimentos determinados pelo professor. (D’AMBRÓSIO, 1989, p.15).

No tocante a forma de fixação dos conteúdos matemáticos temos os

resultados apresentados a seguir.

Quadro 34 - Para fixar os conteúdos de matemática seu professor costumava:

Resposta Número

de alunos. Percentual

Apresentar uma lista de exercícios para serem

resolvidos 18 72%

Solicitar que os alunos resolvessem os exercícios do

livro didático 2 8%

Solicitava que os alunos procurassem questões

sobre o assunto para resolver 1 4%

Não propunha questões de fixação 4 16%

Apresentar jogos envolvendo o assunto 0 0%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Gráfico 35 - Para fixar os conteúdos de matemática seu professor costumava:

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Dados que mostram a predominância didática de 72% dos professores em

apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos, 8% solicitam que os alunos

resolvam os exercícios do livro didático, 4% solicitam que os alunos procurem

questões sobre o assunto para resolver, 16% não propõem questões de fixação e 0%

apresentam jogos envolvendo o assunto. A respeito disto temos que:

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Apresentar uma lista de exercícios para seremresolvidos

Solicitar que os alunos resolvessem os exercíciosdo livro didático

Solicitava que os alunos procurassem questõessobre o assunto para resolver

Não propunha questões de fixação

Apresentar jogos envolvendo o assunto

72%

8%

4%

16%

0%

132

A metodologia de “ensino tradicional” caracteriza-se pela transmissão de conteúdos matemáticos por meio da apresentação de conceitos, procedimentos e propriedades, seguida de atividades nas quais o aluno deve aplicar o conhecimento que foi exposto. Muitas vezes, essa transmissão de conteúdos é feita com apoio de exercícios resolvidos. Segundo a concepção de aprendizagem que está por trás dessa metodologia, é por meio do treinamento de procedimentos e da repetição de noções que o aluno irá interiorizar o conhecimento matemático. Nesse caso, porém, não há espaço para a autonomia do aluno, para que ele desenvolva estratégias próprias e possa criar e aplicar procedimentos diferentes daqueles já explanados. (PITOMBEIRA, 2010, p. 32)

A partir de uma análise de todos os dados expostos anteriormente fica

evidente a necessidade da realização desta pesquisa como uma ferramenta que

possa contribuir no processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos matemáticos

relacionados a função afim, pois achamos necessário que:

Uma escolha metodológica bem distinta é a que se pauta, essencialmente, na participação do aluno nas resoluções de problemas, os quais devem ser planejados e organizados de forma a favorecer que os conhecimentos visados “aflorem”. Nesse caso, os conhecimentos resultam da construção coletiva ou individual dos alunos, que podem desenvolver formas de registros e estratégias próprias. Estes são validados para, somente depois, serem discutidos e sistematizados, com o auxílio do professor. Ao docente cabe, por fim, ajudar o aluno a aproximar o conhecimento gerado por ele do que é estabelecido na Matemática. (PITOMBEIRA, 2010, p. 32)

4.3 SEGUNDA SESSÃO DE ENSINO

No dia 16/08/17 (terça feira) iniciamos as atividades com os alunos, as

quais seriam desenvolvidas em duas etapas.

Na primeira etapa ocorreu o desenvolvimento da atividade 1 que visava a

introdução do conceito de função afim denominada de descubra minha regra, que

tinha como objetivo que os alunos descobrissem uma expressão algébrica que

relaciona dois conjuntos de valores dados através de um diagrama. Estavam

presentes 23 alunos, que desenvolveram a referida atividade em 50 minutos.

Inicialmente foi entregue aos alunos uma folha com oito pares de conjuntos

(quadro I) e outra com uma tabela (atividade 1) a ser preenchida. Na atividade

procurou-se instigar os alunos a definirem uma expressão algébrica que

relacionassem cada par de conjuntos conforme a combinação de valores entre as

variáveis x e y. Conforme o exemplo a seguir:

133

Figura 7 - Exemplos dos pares de conjuntos da atividade 1

Fonte: Autor e Sá (2017)

Alguns alunos conseguiram de imediato encontrar e desenvolver facilmente

a primeira expressão, outros, pareceram não ter entendido o que fora solicitado,

assim, nos dirigimos ao quadro para sanar todas as dúvidas, momento em que os

mesmos eram instigados a encontrar as respostas e a preenche-lo corretamente a

tabela. Eram feitas as seguintes provocações:

Professor pesquisador: Vamos lá gente, pegue seu quadro de pares ordenados e vamos observar o que está acontecendo caso. Professor pesquisador: Observe no par 1, que quando o valor do x vale 1, está associado ao valor de y? Alunos: “vale 2” Professor pesquisador: Observe agora, que quando o valor do x vale 2, está associado ao valor de y? Alunos: “vale 3” Professor pesquisador: Observe agora, que quando o valor do x vale 3, está associado ao valor de y? Alunos: “vale 4” Professor pesquisador: Observe agora, que quando o valor do x vale 4, está associado ao valor de y? Alunos: “vale 5” Professor pesquisador: Observe agora, que quando o valor do x vale 5, está associado ao valor de y? Alunos: “vale 6” Professor pesquisador: Observe então que existe uma “regra” que está sendo seguida e valendo para todas as associações feitas até agora entre os valore que o x assume e o resultado para o valor de y, né? Alunos: “sim” Professor pesquisador: Qual seria essa regra então? Alunos: “o valor de y e sempre mais 1” Professor pesquisador: Como assim sempre mais 1? Alunos: “vale sempre o valor x mais 1” Professor pesquisador: Isso mesmo gente, como podemos então generalizar quem é y em relação a um valor dado para x? Alunos: “y é igual a x mais 1” Professor pesquisador: Sim, mas como representar isso matematicamente? Alunos: “y=x+1”

134

Professor pesquisador: Perfeito, todos compreenderam agora o que é para ser feito? Alunos: “sim, professor” Professor pesquisador: Então vamos lá tentar descobrir as outras relações.

Com relação aos pares 2, 3, 5 e 6, todos os alunos foram prontamente

capazes de estabelecer a relação de correspondência correta. Contudo mesmo não

aconteceu com os demais pares 4, 7 e 8, pois notamos a dificuldade que os discentes

estavam tendo para chegar às conclusões corretas.

Figura 8 - Exemplos dos pares de conjuntos da atividade 1

Fonte: Autor e Sá (2017)

Neste momento novamente tivemos que ir até ao quadro fazer algumas

indagações a respeito do que estava acontecendo em cada caso.

Professor pesquisador: Então vamos gente. Observe neste momento o par 4, que quando o valor do x vale -1, o valor de y é positivo ou negativo? Alunos: “positivo”. Professor pesquisador: Questiono a turma se houve um aumento ou diminuição de valor? Alunos: “aumentou” Professor pesquisador: Por quê? Alunos: “era negativo e o resultado é positivo” Professor pesquisador: Tudo bem. Então houve um aumento de quanto Alunos: “dois, professor” Professor pesquisador: Mas será que esse aumento vai ser a regra para para todos? Alunos: “Não” Professor pesquisador: Percebesse que a regra aqui então não é a de somar um determinado valor a x para encontrar o valor de y. Daí qual seria a outra forma de eu sair de um número negativo e obter um número positivo? Alunos: (silêncio) Professor pesquisador: Vamos gente, pensem nas outras operações matemáticas que vocês já estudaram e vejam quando o resultado pode nos dar um número positivo? Alunos: “quando multiplicamos né professor?” Professor pesquisador: Isso mesmo gente. Vamos agora pensar qual seria o número negativo que multiplicado pelo menos 1 pode dar como resultado o próprio número 1, só que positivo.

135

Alunos: “ele mesmo, professor” Professor pesquisador: Sendo assim, busquem agora novamente pensar a respeito de como está se associando os valores de x aos de y. Alunos: “multiplicando por ele mesmo professor” (respondem alguns eufóricos) Professor pesquisador: Todos concordam com os colegas que essa e regra? Alunos: “sim, professor” Professor pesquisador: Sim, mas como representar isso matematicamente? Professor pesquisador: Percebo neste momento que muitos alunos escreveram x vezes x. O que me faz intervir novamente. Gente lembram-se de quando vocês estudaram anteriormente as operações com polinômios no ensino fundamental? Alunos: “sim” Professor pesquisador: Pois é, então vejo que muitos escreveram a expressão x.x, mas como podíamos representar esse produto entre letras iguais lá? Alunos: “x ao quadrado professor” Professor pesquisador: Perfeito.

Depois dessa intervenção e do preenchimento da tabela com as devidas

expressões algébricas, institucionalizamos o conceito de função afim, apresentando

ao mesmo tempo a definição do que seria a variável independente e a dependente,

bem como da taxa de variação e valor inicial.

Na segunda etapa da atividade pedimos para que os alunos tentassem

resolver as questões complementares. Após certo tempo fizemos a correção de forma

coletiva das questões. Neste momento, Identificamos que a maioria dos alunos não

tinha apresentavam dificuldades em resolver algumas questões da lista de

aprofundamento. Ressalta-se que ambas as questões que exigia dos alunos uma

interpretação de texto, eram justamente as que mais tinham dificuldades. Contudo,

notamos que os alunos conseguiram alcançar na sua maioria de forma autônoma a

resolução das questões propostas. Encerramos esta sessão às 16h20min.

4.4 TERCEIRA SESSÃO DE ENSINO

No dia 22/08/17 (terça feira) ocorreu o desenvolvimento da segunda

atividade. Neste dia iniciamos a atividade sobre função afim denominada de

construção do gráfico da função afim que tinha como objetivo que os alunos

descobrissem a sua representação gráfica.

A aula iniciou às 13h20min com a presença de 21 alunos e por uma questão

de otimização do tempo iniciamos com a divisão dos alunos em sete grupos (7 grupos

de 3 alunos). Fora dado a cada grupo uma régua, um plano cartesiano (em anexo) e

uma folha que continha uma tabela com sete expressões algébricas de funções

136

matemáticas para ser preenchida. Foi explicitado que eles deveriam substituir os

valores do domínio em cada uma para encontrar suas respectivas imagens, para em

seguida marcar os pontos encontrados no plano cartesiano recebido.

Figura 9 - Exemplo da atividade 2

Fonte: autor e Sá (2017)

Após a realização da atividade, fizemos no quadro a exposição dos dados

obtidos com a resposta de todos os grupos e perguntamos à turma o que eles

observavam a partir do preenchimento do quadro, conforme a descrição a seguir:

Professor pesquisador: Já que todos acabaram vamos preencher com os dados de vocês a tabela que está no quadro. Professor pesquisador: O grupo que ficou responsável com a função 1, eu pergunto a função é afim? Grupo 1: “sim” Professor pesquisador: E em relação a poder ligar todos os pontos marcados por uma única reta Sim ou Não? Grupo 1: “Sim” Professor pesquisador: O grupo que ficou responsável com a função 2, eu pergunto a função é afim? Grupo 2: “Sim” Professor pesquisador: Foi possível também traçar uma única reta por todos os pontos marcados? Grupo 2: “Sim” Professor pesquisador: O grupo que ficou responsável com a função 3, eu pergunto a função é afim? Grupo 3: “Sim” Professor pesquisador: Foi possível também traçar uma única reta por todos os pontos marcados? Grupo 3: “Sim” Professor pesquisador: O grupo que ficou responsável com a função 4, eu pergunto a função é afim? Grupo 4: “Não” Professor pesquisador: Foi possível também traçar uma única reta por todos os pontos marcados? Grupo 4: “Não” Professor pesquisador: O grupo que ficou responsável com a função 5, eu pergunto a função é afim? Grupo 5: “Não” Professor pesquisador: Foi possível também traçar uma única reta por todos os pontos marcados? Grupo 5: “Não”

137

Professor pesquisador: O grupo que ficou responsável com a função 6, eu pergunto a função é afim? Grupo 6: “Não” Professor pesquisador: Foi possível também traçar uma única reta por todos os pontos marcados? Grupo 6: “Não” Professor pesquisador: O grupo que ficou responsável com a função 7, eu pergunto a função é afim? Grupo 7: “Sim” Professor pesquisador: Foi possível também traçar uma única reta por todos os pontos marcados? Grupo 7: “Sim” Professor pesquisador: Diante do preenchimento da tabela, podemos observar algo? Alunos: “sim” Professor pesquisador: Então me digam o que vocês observam? Alunos: “onde a primeira resposta foi sim, na segunda também foi” Professor pesquisador: Matematicamente como podemos encarar isso? Alunos: “que na função afim o gráfico é sempre uma reta né professor” Professor pesquisador: Ok.

Percebemos que esta atividade decorreu com certa facilidade e agilidade

nos grupos, sendo bem acessível para a maioria dos grupos, porém alguns

apresentaram dificuldade no momento de marcar os pontos no plano cartesiano,

marcando o valor de x no lugar do valor y e vice versa.

Os grupos que ficaram responsáveis pelas expressões

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 e 𝑓(𝑥) = 𝑥4 foram os que inicialmente tiveram

dificuldade em esboçar o gráfico no plano cartesiano, uma vez que os alunos tendem

a querer ligar os pontos sempre de forma reta, fato superado posteriormente. Após a

realização da atividade pedimos aos alunos para resolverem as questões de

aprofundamento.

Aparentemente esta foi a atividade que mais agradou aos alunos, devido a

sua rápida execução por parte dos grupos, apesar de ter ocorrido algumas

dificuldades iniciais, eles rapidamente conseguiram atingir os objetivo da atividade, ao

identificar o gráfico de uma função afim como sendo uma reta. Encerramos a atividade

às 15h20min após a resolução das questões de aprofundamento.

4.5 QUARTA SESSÃO DE ENSINO

No dia 29/08/17 (terça feira) ocorreu o desenvolvimento da terceira

atividade. Neste dia iniciamos a tarefa sobre função afim denominada de crescimento

e decrescimento da função afim, que teve como objetivo que os alunos

descobrissem uma maneira prática sem o auxílio do gráfico de identificar quando a

138

função afim é crescente ou decrescente, a partir do seu coeficiente angular ou de sua

análise gráfica.

A aula iniciou às 13h10min com a presença de 23 alunos juntamente com

a distribuição das folhas do roteiro, relembrando que nas aulas anteriores já tínhamos

identificado e definido uma função afim, bem como o seu gráfico como sempre sendo

uma reta e que na atividade em questão iriamos analisar através da comparação, da

representação algébrica com a representação gráfica da função afim em relação,

especificamente, ao valor da taxa de variação (agora por nós chamada de coeficiente

angular).

No início da atividade fizemos uma pequena revisão a respeito da forma

algébrica da função afim com relação aos nomes de cada termo da função afim como:

variável independente; variável dependente; taxa de variação (coeficiente angular) e

valor inicial (coeficiente linear), e em seguida explicitamos o que queríamos que fosse

feito e a forma de preencher a tabela recebida.

Figura 10 - Exemplo de gráficos utilizado na atividade 3

Fonte: Autor e Sá. (2017)

Os alunos que conseguiram realizar rapidamente o preenchimento e logo

nos perguntaram se estava correto. Notamos que ocorreu de alguns alunos

escreverem o valor do coeficiente angular acompanhado da variável independente (x),

fazendo com que tivéssemos que intervir salientando que o coeficiente angular era

(no nosso caso) o número que estava na “frente” da variável independente x, o que

levou aos discentes que haviam errado corrigirem as suas atividades.

Professor pesquisador: Gente notei que alguns aqui estão colocando o coeficiente angular como sendo por exemplo: x, -x, 2x. Isso pode? Alunos: “(silêncio)” Professor pesquisador: Então vamos relembrar o nome de cada coisa na função afim y=mx+b. Quero que vocês me digam o nome de cada um aqui. Vamos lá. Quem é y? Alunos: “a variável dependente” Professor pesquisador: Como chamamos o m?

139

Alunos: “taxa de variação” Professor pesquisador: Que estamos vendo aqui também se chamando de coeficiente angular. Sendo assim minha resposta tem que ser no nosso caso aqui só o valor numérico de m, né? Alunos: “Sim” Professor pesquisador: Perceba que é o valor numérico, sendo assim posso dizer que é x? 2x? o valor do coeficiente angular. Alunos: “Não” Professor pesquisador: vocês devem preencher a tabela agora.

Feita essas ponderações, pedimos para que os alunos observassem cada

gráfico dado com a sua respectiva representação algébrica, analisando o que estava

acontecendo em cada um quando se aumentavam os valores de x o quais os reflexos

nos valores de y. Saliento que em um primeiro momento parece não ter havido a

devida compreensão por parte dos alunos da leitura gráfica, o que foi superado após

uma pequena intervenção. Depois do preenchimento da tabela os alunos conseguiram

compreender e associar ao valor do coeficiente angular da função afim crescente ou

decrescente.

Professor pesquisador: Observando aquilo que vocês preencheram na tabela vocês notam algo em comum? Alunos: “(inicialmente silêncio)” Aluno: “professor seria o fato de quando marcamos positivo a função ser crescente, e isso?” Professor pesquisador: Pergunto e no caso contrário aconteceu o que? Aluno: “ficou negativo e decrescente” Professor pesquisador: Disso podemos concluir que? Alunos: “quando for positivo ficou crescente e quando ficou negativo decrescente”.

Essa atividade foi a que os alunos melhor explanaram suas observações e

conclusões, pois a maioria obteve êxito, rara exceções tiveram dificuldades no

desenvolvimento da atividade. Após o final o trablho pedimos para que os alunos

resolvessem as questões de aprofundamento. Encerramos a atividade as 15h20min

com as correções das questões de aprofundamento.

3.6 QUINTA SESSÃO DE ENSINO

No dia 05/12/17 (terça feira) ocorreu o desenvolvimento da quarta

atividade. Neste dia iniciamos a tarefa sobre função afim denominada de o zero da

função, que tinha como objetivo que os alunos descobrissem as características dos

pontos de intersecção da função afim com os eixos coordenados. A aula iniciou às

13h10min, recordando o que fora já feito anteriormente e em seguida houve a

distribuição das folhas da atividade.

140

Aos 23 alunos presentes foram distribuídas as folhas do roteiro (tabela e

quadro de gráfico) para observando os gráficos completassem a tabela com os valores

da coordenada do ponto de interseção do gráfico com o eixo das abscissas e das

ordenadas em cada situação.

Figura 11 - Exemplo de gráfico utilizado na atividade 4

Fonte: Autor e Sá (2017)

Após as considerações dos discentes realizamos a institucionalização do

saber matemático, perguntando aos alunos o que eles haviam observado, segundo a

descrição do diálogo a seguir.

Professor pesquisador: Olhando o preenchimento da tabela o que vocês observam? Aluno 1: ”na primeira coluna o y sempre é zero e na segunda o x” Aluno 2: “vejo que zero está repetindo na primeira e na segunda coluna” Professor pesquisador: Aí eu te pergunto e para o mesmo valor que ele (zero) está se repetindo? Professor pesquisador: Perceba que na primeira coluna qual é o valor que e zero? e na segunda? Aluno2: “na primeira coluna e zero sempre o y e na segunda o x” Professor pesquisador: Pergunto qual é o título e o objetivo da atividade. Alunos: “O zero da função e a característica dos pontos de intersecção com os eixos coordenados” Professor pesquisador: Defino aos alunos que o Zero ou Raiz da função afim é o valor que o x assume para que a função (f(x)) seja igual a zero, ou seja, f(x)=0.

Após a institucionalização do conceito do zero função, pedimos aos alunos

para que resolvesses as questões complementares. A atividade se encerrou as

15h20min com a correção das questões complementares.

141

4.7 SEXTA SESSÃO DE ENSINO

No dia 12/09/17 (terça feira) ocorreu o desenvolvimento da sexta sessão

da atividade com a aplicação do pós-teste, sendo esta a última etapa do experimento.

O pós-teste continha as mesmas questões do pré-teste e teve a duração de 2 aulas,

ocorrendo de 13h10min às 15h20min, com a participação de 25 alunos e tinha como

objetivo avaliar os conhecimentos adquiridos pelos educandos após todas as etapas

desenvolvidas da sequência didática.

Apresentamos a seguir a análise a posteriori e a validação do experimento,

a partir dos resultados obtidos no desenvolvimento da pesquisa.

142

5. ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO

Nesta seção apresentaremos a analise a posteriori e a validação da

sequência didática aplicada, oriunda dos resultados obtidos a partir do confronto dos

dados levantados durante a realização da experimentação e as concepções a priori,

evidenciando a validação da sequência didática elaborada por nós e aplicada em sala

de aula para o ensino de função afim.

Destacamos que os dados analisados são oriundos das produções dos

educandos durante cada atividade, bem como dos diálogos ocorridos nos encontros

e dos diagnósticos obtidos com os pré e pós-teste.

5.1 RESULTADOS E ANÁLISES DO EXPERIMENTO

Os dados foram analisados a partir do número de acerto, erro e questões

em branco nos pré e pós-teste aplicados aos educandos. Consideramos a questão

como certa, quando sua solução apresenta um resultado correto; errada quando sua

solução apresenta um resultado incorreto; e as questões que não apresentam nenhum

rascunho como deixadas em branco.

Inicialmente vejamos uma comparação entre o número de acertos por

alunos em relação aos pré e pós-teste aplicados.

Quadro 35 - Comparação do desempenho por alunos em relação ao número de questões certas e erradas no pré e pós-teste

Aluno Pré-teste Pós-teste

Certa Errada Em branco Certa Errada Em branco

A1 7 3 3 12 1 0

A2 6 4 3 12 1 0

A3 5 4 4 10 2 0

A4 6 5 2 12 1 0

A5 4 5 4 10 2 0

A6 7 2 4 12 1 0

A7 8 3 2 13 0 0

A8 6 2 5 10 3 0

A9 9 2 2 13 0 0

143

(continuação)

A10 5 6 2 11 2 0

A11 6 0 7 11 2 0

A12 8 3 2 13 0 0

A13 6 2 5 12 1 0

A14 8 1 4 13 0 0

A15 10 3 0 13 0 0

A16 7 2 4 13 0 0

A17 8 4 1 12 1 0

A18 9 4 0 13 0 0

A19 8 2 3 13 0 0

A20 7 3 3 12 1 0

A21 11 0 2 13 0 0

A22 6 2 5 11 2 0

A23 9 2 2 13 0 0

A24 6 2 5 10 3 0

A25 5 3 5 10 3 0

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Gráfico 36 - Comparação do desempenho por alunos em relação ao número de questões certas e erradas no pré e pós-teste

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

7

6

5

6

4

7

8

6

9

5

6

8

6

8

10

7

8

9

8

7

11

6

9

6

5

12 12

10

12

10

12

13

10

13

11 11

13

12

13 13 13

12

13 13

12

13

11

13

10 10

0

2

4

6

8

10

12

14

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A1

0

A1

1

A1

2

A1

3

A1

4

A1

5

A1

6

A1

7

A1

8

A1

9

A2

0

A2

1

A2

2

A2

3

A2

4

A2

5

Acerto (Pré-teste) Acerto (Pós-teste)

144

A partir dos dados acima, podemos identificar uma melhora significativa em

relação ao desempenho individual de cada aluno, haja vista que todos melhoraram

seus rendimentos no pós-teste em relação ao pré-teste. Vejamos agora, o índice de

acertos e erros em relação a cada questão do teste aplicado.

Quadro 36 - Comparação do desempenho por questão no pré e pós-teste

Questão

Certa Errada Em branco

Pré-

teste

Pós-

teste

Pré-

teste

Pós-

teste

Pré-

teste

Pós-

teste

1- a 64% 100% 24% 0% 12% 0%

1- b 100% 100% 0% 0% 0% 0%

1- c 88% 100% 12% 0% 0% 0%

2 56% 92% 44% 8% 0% 0%

3- a 96% 100% 0% 0% 4% 0%

3- b 52% 92% 36% 8% 12% 0%

4 44% 92% 40% 8% 16% 0%

5 76% 100% 24% 0% 0% 0%

6 68% 92% 24% 8% 8% 0%

7 0% 84% 36% 16% 64% 0%

8 24% 80% 4% 20% 72% 0%

9 40% 84% 24% 16% 36% 0%

10 0% 80% 36% 20% 64% 0%

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

De modo geral os dados apresentados mostram que os alunos no geral

inicialmente apresentavam inúmeras dificuldades na resolução de questões de função

afim, principalmente no que tange a transformação entre as linguagens matemáticas

(gráfica e algébrica) cobradas nas questões 4º e 7º, confirmando assim as hipóteses

levantadas na análise a priori. Pois, além de percentual médio de acerto de ficado em

apenas 54% nas questões do pré-teste, notamos um elevado índice de alunos que

deixaram alguma questão em branco. Sendo possível perceber a 5º questão como

aquela onde os discentes apresentaram o maior percentual (76%) de acerto no pré-

teste chegando a 100% no pós-teste.

Destacamos que os erros apresentados no pré-teste estavam relacionados

a diversos fatores cognitivos, ora pela deficiência apresentada na interpretação

145

(leitura) do enunciado da questão, ora pelo uso procedimental dos conhecimentos

matemático (aritméticos e algébricos) equivocados. Salientamos que ficou evidente

no acompanhamento das atividades na turma, quando percorremos a sala no decorrer

das resoluções, a troca de informações entre os educandos, gerando uma boa

interação entre os mesmos, sempre buscando ajudar aqueles que continuavam a

apresentar alguma dificuldade. Comparamos o resultado do pré e pós-teste, bem

como os erros mais comuns cometidos por alguns alunos na resolução de cada

questão.

Faremos nossa análise a partir da comparação do desempenho no pré e

pós-teste em cada questão proposta.

A primeira questão, enunciado quadro 19, visava avaliar a habilidade de

elaborar uma expressão algébrica que represente a relação de proporcionalidade por

meio de uma função afim a partir de dados tabelados.

Quadro 37 - Enunciado da primeira questão do pré-teste A tabela abaixo indica o custo de um determinado produto vendido no mercado:

Unidade (s) compradas 1 2 3 4 5

Preço a pagar (R$) 1,50 3,00 4,50 6,00 7,50

(a) Qual a fórmula matemática que relaciona o Preço a pagar (y) e o número de unidades compradas (x)?

(b) Qual é o Custo de 50 Unidades?

(c) Uma pessoa tendo a sua disposição R$ 90,00, quantas unidades poderiam ser compradas?

Fonte: Pesquisa de campo 2017.

Gráfico 37 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na primeira questão

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Nesta questão 1 percebemos que apesar de ter havido a existência de

alunos que deixaram o item a em branco, houve a tentativa de 100% dos alunos em

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Pré- Pós- Pré- Pós- Pré- Pós-

Acertos Erro Em branco

1-a 1-b 1-c

146

tentar solucionar os itens b e c, uma vez que notamos nos alunos a percepção da não

vinculação da resolução entre os itens propostos. Os exemplos de erros cometidos

aqui estão relacionados aos conhecimentos ensinados em séries anteriores como

adição e multiplicação envolvendo números decimais.

Figura 12: Exemplo de acerto

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

Na resposta dada conforme a figura 11 identificamos um alunos que busca

uma solução de acordo com seus conhecimentos matemáticos que mesmo não

utilizando da fórmula requerida na questão, não deixou de resolve o problema, ou

seja, demonstram certo grau de autonomia da busca de solucionar uma questão.

Figura 13 – Erro de representação

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

Os erros mais comuns apresentados nesta questão no item a foi de

resposta do tipo x =1,50.y, ocorrendo neste caso uma mudança na ordem das

variáveis dependente e independe na expressão algébrica.

Figura 14 – Erro na representação algébrica

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

Outro tipo de “erro” a colocação da solução como sendo y=f(x),ou seja, não

satisfaz a pergunta feita na questão, onde era requerida a explicitação da relação

algébrica existente entre as variáveis x e y.

147

Em relação ao itens b e c identificamos a maioria dos alunos respondendo

de forma correta. E fazendo um levantamento com a turma identificamos que esse

tipo de questão estava sendo trabalhada na disciplina de Física nas equações horárias

do movimento retilíneo uniforme, fato que contribuir para esse resultado. Destaca-se

que os mecanismos utilizados foram variados, havendo a maioria utilizando

corretamente o uso de regra de três na resolução do problema sendo que em alguns

casos houve a utilização da ideia de sequência numérica, em relação a erro

encontrado, especificamente, no item c a sua maior parte foi do tipo procedimental

quando na divisão por número decimal.

A segunda questão, enunciado quadro 20 foi a única de múltipla escolha e

na qual a partir de uma informação apresentada mediante um texto dissertativo,

solicitava-se a identificação de qual gráfico correspondia à situação descrita no texto.

Quadro 38 - Enunciado da segunda questão do pré-teste Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da seguinte maneira: ele ganha um valor fixo de

R$ 750,00, mais uma comissão de R$ 3,00 para cada produto vendido. Caso ele venda mais de

100 produtos, sua comissão passa a ser de R$ 9,00 para cada produto vendido, a partir do 101º

produto vendido. Com essas informações, o gráfico que melhor representa a relação entre salário

e o número de produtos vendidos e:

Fonte: Pesquisa de campo 2017.

Gráfico 38 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na segunda questão

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Pré- Pós- Pré- Pós- Pré- Pós-

Acertos Erro Em branco

56%

92%

44%

8%0% 0%

148

O resultado do desempenho da questão foi 56% de acerto, 44% de erro.

Ressalta-se não ter havido nenhum aluno que deixou a questão em branco por,

provavelmente, tratar-se de uma questão de múltipla escolha. Não obstante, notamos

a dificuldade inicial dos alunos em relacionar a taxa de variação (coeficiente angular)

em relação aos valores dados no problema, fato também posteriormente superado.

Além disso, se faz necessário destacar que dos alunos que erraram a questão 70%

optaram pela alternativa b, e assim sendo evidenciamos ter ocorrido um erro, talvez

meramente, de caráter interpretativo e não pela falta de conhecimento matemático.

A terceira questão, enunciado quadro 21, era uma questão contextualizada

no campo interno da matemática que solicitava a determinação de imagem de um

valor numérico por meio de uma função afim e o valor do domínio correspondente a

uma dada valor da imagem.

Quadro 39 - Enunciado da terceira questão do pré-teste

Dada a função f:ℝ → ℝ com f(x)=3x-2, responda:

(a) Qual a imagem da função para 𝑥 = 5?

(b) Qual o domínio da função para 𝑦 = 22?

Fonte: Pesquisa de campo 2017.

Gráfico 39 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na terceira questão

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

A resolução do item (a) necessitava apenas da determinação do valor

numérico da expressão 3x-2 quando x é igual a 5, o que é supostamente estudado no

ensino fundamental com muita ênfase pelos estudantes. O desempenho da resolução

do item (a) foi de 96% de acerto e do item (b) de 52% de acerto e 36% de erro. O que

indicou um percentual significativo de estudantes que não conseguiram realizar

equação invertendo as operações na igualdade dada, pois a resolução do item (b)

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Pré- Pós- Pré- Pós- Pré- Pós-

Acertos Erro Em branco

96% 100%

0% 0% 4% 0%

52%

92%

36%

8% 12%0%

3- a 3- b

149

necessitava da resolução da equação 3x-2 = 22, o que é também supostamente

estudado no ensino fundamental com facilidade pelos estudantes. O que indicou um

percentual significativo de estudantes que não conseguiram resolver com sucesso o

item, mesmo sendo de relativa facilidade.

Figura 15 - Erro na resolução de equação

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

O erro cometido conforme a figura 14 demonstra um tipo de erro

comumente observado quando na resolução de equação aparece números com sinais

negativos em um dos membros, pois, o aluno tende a utilização da “regra” do jogo de

sinal da operação multiplicação para números reais (conforme a linha 2 da resolução

da figura 14).

A questão em destaque serviu para identificarmos que ainda existe nos

alunos do ensino médio um certo nível de dificuldade em resolver equações

matemáticas, conteúdo desenvolvimento ao longo de quase todo o ensino

fundamental maior. Daí, a necessidade de estar relacionando os conhecimentos

matemáticos como frutos de uma teia, onde um assunto pode ou não estar relacionado

a assuntos anteriormente já estudados.

A quarta questão, enunciado quadro 22, era contextualizada no âmbito do

consumo de combustível durante uma prova da Formula 1 e solicitava a expressão

algébrica da lei de formação de função afim a partir do gráfico da função.

150

Quadro 40 - Enunciado da quarta questão do pré-teste

Os mecânicos de um carro de fórmula 1 durante um abastecimento perceberam que o tanque tinha 8 litros de gasolina. A bomba injetava 3 litros por segundo. O gráfico abaixo representa esta situação. Determine a expressão algébrica que representa a função.

Fonte: Pesquisa de campo 2017.

Gráfico 40 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na quarta questão

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Para resolver a questão é possível utilizar mais de um caminho. Um deles

parte da expressão 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, que a forma geral de uma função afim, seguido da

resolução do sistema de equações lineares {2a + b = 143a + b = 20

, entre outros sistemas

possíveis a partir das informações contidas no gráfico. Como a resolução de sistemas

lineares é um assunto estudado no ensino fundamental que apresenta dificuldade aos

discentes, o resultado obtido no desempenho que foi 44% de acerto, 40 % de erro e

16% de em branco indicou que este tipo de questão para os estudantes consultados

eram de grande dificuldade.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Pré- Pós- Pré- Pós- Pré- Pós-

Acertos Erro Em branco

44%

92%

40%

8%16%

0%

151

Figura 16 – Erro de generalização

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

A figura 15 identifica um aluno que conseguiu compreender a maneira de

como as variáveis estavam se relacionando, conforme os cálculos expostos até o

tempo de 5 segundos e a quantidade de combustível injetado, mas que não foi capaz

de fazer a generalização para um tempo qualquer.

Figura 17 – Erro de representação

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

Nesta questão identificamos erros do tipo v=8t+3, ou seja, novamente erros

na inversão da colocação das variáveis na expressão algébrica da função afim (𝑦 =

𝑚𝑥 + 𝑏) que estava sendo representada no problema. Não obstante, não foi possível

identificarmos dentre os alunos que acertaram tal item, se houve a interpretação

simultânea das duas linguagens (textual e gráfica) presente na questão, ou se houve

o entendimento de somente umas das duas para a elaboração da sentença

matemática correta. Haja vista, que bastava o entendimento de umas das duas

linguagens era suficiente para acertar a questão.

A quinta questão, enunciado no quadro 23, era contextualizada no âmbito

da Economia solicitava a identificação a partir da leitura de um gráfico do intervalo de

decrescimento da imagem da função.

152

Quadro 41 - Enunciado da Quinta questão do pré-teste

O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos. O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro: Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre quais anos?

Fonte: Pesquisa de campo 2017.

Gráfico 41 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na quinta questão

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

O desempenho foi 76% de acerto no pré-teste e 100% no pós-teste mostrou

que os estudantes conseguem desenvolver a habilidade de identificar intervalo de

decrescimento de uma função a partir de seu gráfico.

Por meio dos resultados obtidos sobre o desempenho dos consultados é

possível afirmar que, entre a amostra, são inúmeros os estudantes consultados com

a capacidade para ler e interpretar as informações que recebem através de meios de

comunicações a partir de gráficos simples, algo extremamente relevante, uma vez que

grande parte das informações hoje veiculadas ocorre mediante símbolos e linguagem

matemática. Em se tratando dos conteúdos matemáticos, destacamos de acordo com

os PCN, que:

A Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo, que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas. (BRASIL 2006, p. 121).

Nesta questão, especificamente, salientamos que mesmo com um alto

índice de acerto em relação a compreensão do intervalo de tempo correto, de 2003 a

2006, ao mesmo tempo identificamos um índice significativo de 16% de alunos com

dificuldade na identificação e/ou compreensão deste intervalo de tempo como o

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Pré- Pós- Pré- Pós- Pré- Pós-

Acertos Erro Em branco

76%

100%

24%

0% 0% 0%

153

período correto, pois, nas respostas erradas alguns alunos identificavam como sendo

o intervalo solicitado a ano de 2004 à 2006, fato talvez atribuído ao desconhecimento

de variáveis contínuas.

Figura 18 – Erro na representação de intervalos

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

Figura 19 – Erro na representação de intervalos

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

Ao identificar a resposta dada por 6 alunos (24%) conforme a figura 17 (3

alunos) e 18 (3 alunos) no pré teste identificamos a dificuldade em responder questões

matemáticas que trabalham com o uso de intervalos numéricos. E juntamente com as

respostas dadas como sendo o intervalo 2004 à 2006 percebemos ainda existir uma

parcela de alunos com dificuldades em entender a variável tempo como uma variável

quantitativa e continua.

A sexta questão, enunciado quadro 24, foi contextualizada no ambiente do

consumo de ligações telefônicas. A questão solicitava a determinação da imagem da

função de 0,02.

Quadro 42 - Enunciado da sexta questão do pré-teste

Uma empresa de telefonia fixa anuncia ligações interestaduais a R$ 0,02 por minuto. Se xxT 02,0)( , onde T representa o valor a

ser pago, em reais e x é o tempo de ligação em minuto. Por uma ligação que dura 1h10min, irá se pagar?

Fonte: Pesquisa de campo 2017.

154

Gráfico 42 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na sexta questão

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Como o problema apresentava em horas o tempo utilizado por determinado

usuário, isto requeria, primeiramente, a transformação do tempo utilizado em horas e

minutos para minutos e posterior substituição na fórmula dada a fim de se obter a

resposta correta. Nesta questão o êxito foi de 68% de acertos e 32% de erros.

Figura 20 – Erro de substituição e erro numérico

Fonte: pesquisa de campo. (2017)

Figura 21 – Erro na substituição do valor cobrado por minuto

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Os erros cometidos cometido no pré teste 60% estavam relacionados à

resposta correta a realização da operação 0,02.70 =1,40, pois em muitos casos a

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Pré- Pós- Pré- Pós- Pré- Pós-

Acertos Erro Em branco

68%

92%

32%

8%

32%

0%

155

resposta correta era dada como sendo R$14,00 ou R$0,14 e alguns a mera

substituição na formula de x por 110. A análise dos erros indicou que neste caso a

fonte de resultados equivocados foi fruto de transformação equivocada das unidades

de tempo e do produto de número decimal por número inteiro.

A sétima questão, enunciado quadro 25, a seguir requisitava do aluno a

compreensão textual de dado problema, para que o mesmo encontrasse uma

expressão algébrica que relacionasse a variável comprimento do cabelo (y) em função

da passagem de tempo (x).

Quadro 43 - Enunciado da sétima questão do pré-teste

Em Janeiro, o Vitor, depois de ter vindo do barbeiro, decidiu estudar o crescimento

do seu cabelo, registrando os meses a sua medida. O gráfico seguinte representa

o crescimento do cabelo do Vitor, desde o mês de Janeiro (mês 0) até ao mês de

junho (mês 5).

A expressão algébrica que representa o comprimento do cabelo do Vitor ao longo

dos primeiros seis meses é?

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

156

Gráfico 43 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na sétima questão

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Nesta questão é possível identificar que nenhum aluno a acertou no pré-

teste. Talvez tenha sido a questão em que os alunos apresentaram o maior nível de

dificuldade para sua resolução, salientamos que não nos propusemos neste trabalho

a identificar tais fatores colaborativos para isso, fato que provavelmente seria

importante para pesquisas futuras que se proponham a desenvolver metodologias

diferenciadas para o processo de ensino e aprendizagem, não somente do assunto

tratado nesta pesquisa, mas também em outros conteúdos matemáticos que

requeiram do aluno a compreensão da necessidade em algumas questões de uma

mudança de variável para solucionar de forma correta, ou até mesmo quando o

surgimento de uma dificuldade em questões interpretativos recorrer ao uso e

elaboração de tabelas em questões que relacionem variáveis a partir dos valores

dados no problema.

A partir dos resultados percebe-se um alto índice de alunos com

dificuldades diversas, não somente relacionados a conhecimentos matemáticos, mas

também em relação a interpretação de texto. Lembramos que tais hipóteses já tinham

sido levantadas em nossa análise a priori conforme os resultados apresentados

anteriormente.

Ainda na análise desta questão, acreditamos que a mesma exige um pouco

mais dos discentes por não tratar de uma questão puramente relacionada aos

conhecimentos matemáticos, mas que cobre dos discentes a capacidade de

relacionar um texto com um gráfico matemático para poder fazer a transformação

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Pré- Pós- Pré- Pós- Pré- Pós-

Acertos Erro Em branco

0%

80%

36%

20%

64%

0%

157

dessas linguagens na linguagem algébrica de uma expressão matemática, algo

rotineiramente cobrado nos diversos processos seletivos aplicados no país. Se faz

necessário lembrar que a mesma habilidade estava sendo cobrada na segunda

questão em um nível de dificuldade menor.

A oitava questão, enunciado quadro 26, a seguir requisitava do aluno a

compreensão de igualdade entre duas funções dadas, para que o mesmo encontrasse

um valor para o domínio da função, o qual estaria relacionado a um mesmo valor da

imagem, para ambas as funções.

Quadro 44 - Enunciado da oitava questão do pré-teste Dadas as Funções 𝑄0 = −20 + 4𝑃 e 𝑄𝑝 = 46 − 2𝑃, que representam a quantidade de oferta (𝑄0) e

quantidade de demanda (𝑄𝑝). A partir dessas funções, os economistas encontram o preço de

equilíbrio de mercado, ou seja, quando Qo e Qd se igualam. Para tal situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?

Fonte: Pesquisa de campo 2017.

Gráfico 44 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na oitava questão

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Na oitava questão, também se requeria dos alunos a compreensão do

enunciado para sua resolução, haja vista tratar-se de uma abordagem contextualizada

dos conhecimentos matemáticos. Ressalta-se que para a sua resolução, bastava

igualar as duas expressões e a utilização das técnicas para resolver equações

matemáticas. E como já dito anteriormente, encontramos alguns alunos com

dificuldade para resolver uma equação matemática.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Pré- Pós- Pré- Pós- Pré- Pós-

Acertos Erro Em branco

24%

80%

4%

20%

72%

0%

158

Figura 22 – Erro na resolução de equação

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

O erro identificado na figura 21 está relacionado ao final da resolução da

equação matemática, percebe que o alunos desenvolve até a última linha a questão

de forma correta. No entanto, ao final esquece de isolar a incógnita p retirando

somente o número 6 a sua frente e chegando a igualdade no final.

Figura 23 – Erro na resolução de equação

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

Em relação aos erros cometidos na figura 22 percebe que logo no início o

aluno ao isolar a incógnita em um dos membros da equação não faz o procedimento

correto ao isolar os números sem a presença da incógnita chegando a uma diferença

entre os números 46 e 26, sendo que o certo seria uma soma, com isso chegar a um

resultado que discorre do gabarito. Por outro lado, certamente o aluno teria alcançado

a resposta correta pela forma como organizou sua resolução.

Como o desempenho no pré-teste foi somente de 24% de acerto, chegando

a 80% no pós-teste, inicialmente demonstra que tipos de questões assim devem

serem exploradas por nos professores, uma vez que, questões como estas são

159

cobradas frequentemente em situações econômicas, quando buscamos encontrar o

chamado preço de equilíbrio de um produto para decidir sobre as condições de

equilíbrio entre a demanda e a oferta que tem relação direta com a o custo do produto.

Este resultado indica que os consultados ainda não mostravam a habilidade para

enfrentar com sucesso situações da natureza da apresentada.

A nona questão proposta, enunciado quadro 27, solicitou a construção do

gráfico de uma função afim.

Quadro 45 - Enunciado da nona questão do pré-teste

Construa o gráfico da função afim definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

Fonte: Pesquisa de campo 2017.

Gráfico 45 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na nona questão

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

A solicitação feita na nona questão é considerada de grau de complexidade

simples, mas o desempenho ficou abaixo do esperado. Pois, 40% dos consultados

acertou a questão, 24% erraram e 36 % deixaram a mesma em branco. Um resultado

que indica a possiblidade de grandes dificuldades, se a situação não foi revertida, no

estudo de disciplinas com Física e Química devido à necessidade de construir e

analisar gráficos de fenômenos com comportamento linear.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Pré- Pós- Pré- Pós- Pré- Pós-

Acertos Erro Em branco

0%

80%

36%

20%

64%

0%

160

Figura 24 – Erro de representação

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

O erro identificado na figura 23 diz respeito a não construção do gráfico no

plano cartesiano da função pelo aluno, apesar de que observamos o uso da tabela

para encontra pontos pertencentes ao gráfico preenchida de forma correta.

Figura 25 – Erro de representação

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

Em relação a figura 24 identificamos o preenchimento tanto da tabela

quando da localização dos pontos encontrados no plano cartesiano, mas o erro está

relacionado ao gráfico encontrado que não representa o gráfico da uma função afim

dada, mas sim de uma pequena parte do gráfico, pois o mesmo deve percorrer todos

os números reais do domino da função o que não está sendo representado pelo

desenho exposto. Ao contrário da resposta dada na figura 25, onde o erro persiste na

não representação do gráfico por uma reta, apesar de aluno também ter construído

uma tabela para as escolhas dos valores do domínio de forma correta e construir seu

desenho geométrico percorrendo todos os valores possíveis para a variável x.

161

Figura 26 – Erro na representação

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

Inicialmente existia uma enorme dificuldade dos alunos associarem

(escolhendo) valores arbitrários para o domínio da função com os seus respectivos

valores da imagem, para posteriormente marcarem no plano cartesiano os pontos

encontrados e uni-los através de figura geométrica, neste caso uma reta. Notamos ter

ocorrido a superação destes obstáculos conforme os resultados do pós-teste.

A décima questão proposta, enunciado quadro 28, solicitou a tomada de

decisão para escolher entre dois provedores de internet, que variavam em relação ao

preço fixo e o valor pago a cada minuto de conexão, e perguntava-se a partir de que

momento, em tempo de conexão, um plano era financeiramente melhor que o outro.

Quadro 46 - Enunciado da nona questão do teste Um provedor de internet oferece dois planos para os assinantes

Plano A: Assinatura mensal de R$ 40,00, mais R$ 0,03 por cada minuto de conexão durante o mês.

Plano B: Assinatura mensal de R$ 60,00, mais R$ 0,02 por cada minuto de conexão durante o mês.

Quando o plano B e financeiramente melhor que o plano A?

Fonte: Pesquisa de campo 2017.

162

Gráfico 46 - Comparação do desempenho no Pré e Pós-teste na décima questão

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Os resultados 0% de acerto, 36% erros e 64% de respostas em branco no

pré-teste nos preocupa, pois, esse tipo de questão é frequentemente abordado em

situações econômicas que visam a comparação entre diversos tipos de serviços

oferecidos a todos nós enquanto consumidores. É muito cobrado em provas de

seleção, pois busca resgatar nos educandos, de uma forma geral, mais de uma

habilidade esperada para a sua resolução, pois, faz-se necessário, o aluno montar a

forma algébrica das duas situações apresentadas, a fim de estabelecer uma maneira

de comparação entre as opções de serviço oferecido, para só depois obter a resposta

de forma correta de sua resolução, indo ao encontro do desenvolvimento de

habilidades como: a capacidade de resolver problema, envolvendo uma função afim;

reconhecer a representação algébrica de uma função afim.

Figura 27 - Erro na resolução de equação

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

O erro identificado na figura 26 está relacionado ao final da resolução da

equação matemática, percebe que o aluno desenvolve até a última linha a questão de

forma correta. No entanto, ao final esquece de isolar a incógnita x para chegar a

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Pré- Pós- Pré- Pós- Pré- Pós-

Acertos Erro Em branco

0%

80%

36%

20%

64%

0%

163

resposta do problema. Por outro lado, não podemos afimar se o aluno teria alcançado

a resposta correta apesar de ter organizado sua resolução de forma correta. Haja vista

que o mesmo poderia cometer o mesmo erro da figura 27 e 28.

Figura 28 – Erro na operação de divisão por um número decimal

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

Figura 29 – Erro na operação de divisão por um número decimal

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

Vale destacar a identificação de alguns alunos dando o plano B como

sendo financeiramente o melhor devido ao valor de R$0,02 o valor cobrado por minuto

sem a realização efetiva dos procedimentos matemáticos necessários para encontra

a partir de quantos minutos essa vantagem inicia.

A experimentação perdurou por um período de um mês e meio, aplicamos

um total de 4 atividades em 4 sessões de ensino e outras duas sessões foram

destinadas a aplicação dos testes (pré e pós-teste).

A maneira como as atividades foram aplicadas juntamente com o formato

adotado nas atividades proporcionaram uma maior participação dos estudantes nas

aulas de matemática conforme verificada na presença da maioria dos alunos nas

164

aulas, ao mesmo tempo que eles acabaram por ser envolver na busca das soluções

em relação as atividades desenvolvidas. Daí, percebemos que o uso de atividades

como metodologia para o ensino de matemática, provocou uma maior predisposição

dos estudantes para participar das situações propostas.

As análises do pré-teste e das sessões de intervenção ratificaram as

dificuldades dos discentes no procedimento de elaborar a expressão algébrica que

relacionam duas variáveis, ora dada a partir de dados tabelados, ora dada por um

texto, ora dado por gráfico, por isso houve a necessidade de se propor várias questões

de aprofundamento que trabalhasse especificamente essas dificuldades. De acordo

com nossas observações em sala de aula os alunos conseguiram acertar a maioria

das questões de aprofundamento.

De forma geral, verificamos que a sequência didática desenvolvida nesta

turma demonstrou resultados satisfatórios para o processo de ensino e aprendizagem

de função afim por atividades. Por conseguinte, poderíamos ter resultado ainda

melhores caso tivéssemos mais alunos participantes frequente em todas as atividades

desenvolvidas, o que não ocorreu conforme identificamos na tabela a seguir os alunos

A3, A5, A8 e A25 que apesar de terem aumentados seus números de acertos não

ultrapassaram o acerto de dez questões.

Quadro 47 - Frequência por alunos nas atividades desenvolvidas

AL

UN

O(A

) ACERTOS FREQUÊNCIA

PRÉ- TESTE

PÓS-TESTE

SESSÃO

1º 2º 3º 4º 5º 6º

A1 7 12 P P P P P P

A2 6 12 P P P P P P

A3 5 10 P F P F P P

A4 6 12 P P P P P P

A5 4 10 P P P P F P

A6 7 12 P P P P P P

A7 8 13 P P P P P P

A8 6 10 P P P F P P

A9 9 13 P P P P P P

A10 5 11 P P F P P P

A11 6 11 P P F P P P

A12 8 13 P P P P P P

A13 6 12 P P F P P P

A14 8 13 P P P P P P

A15 10 13 P F P P P P

A16 7 13 P P P P P P

165

A17 8 12 P P P P P P

A18 9 13 P P P P P P

A19 8 13 P P P P P P

A20 7 12 P P P P P P

A21 11 13 P P P P P P

A22 6 11 P P P P P P

A23 9 13 P P P P P P

A24 6 10 P P P P P P

A25 5 10 P P F P F P Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Ao analisar o quadro 29 identificamos que 17 (68%) alunos frequentaram

todas as aulas, que 8 (32%) alunos faltaram pelo menos uma das atividades.

Identificamos ainda que os alunos que obtiveram o maior número de acertos no pós-

teste foram aqueles com 100 % de frequência. É importante ressaltar que dentre os

alunos que tinham faltado uma das sessões foram também aqueles a não acertarem

todas as questões. Mesmo assim, no geral notamos um aumento no número de

acertos em relação a todos os alunos.

Vale destacar também que, notamos uma mudança no comportamento dos

alunos, principalmente no que tange a interação entre eles na busca da solução das

atividades propostas, o que certamente deve ter contribuído na melhora do número

de acerto dos alunos que no pré-teste tinham acertado entorno de somente 50% das

questões. Não obstante, verificamos que desde do início a maioria dos alunos aceitou

e se envolveu nas atividades e passaram a gostar da estratégia de ensino utilizada,

tornando-os mais participativo nas aulas.

Temos ainda que para além dos resultados quantitativos, o

desenvolvimento das atividades promoveu resultados qualitativos que certamente

contribuem consideravelmente para o melhoramento do processo de ensino e

aprendizagem dos conteúdos matemáticos desenvolvidos. Haja vista um aumento na

relação de interação que os alunos estabeleceram entre si e com este professor

pesquisador permitindo o desenvolvimento de habilidades relacionadas a capacidade

de observação, de proposição, diálogo, interpretação de texto e de buscar caminhos

para a resolução das questões.

Diante o exposto acima, consideramos que o desenvolvimento da

sequência didática, revelou-se como uma significativa alternativa metodológica para

o processo de ensino e aprendizagem de função afim, podendo ser utilizada por outros

docentes, a medida em que os resultados apontam para resultados melhores na

perspectiva da Educação Matemática.

166

5.2 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON DOS TESTES

Vamos recorrer neste momento a cálculos estatísticos para examinar

melhor os resultados obtidos na pesquisa. Para isso, usaremos o coeficiente de

Pearson com a finalidade de examinar se os fatores externos a experimentação,

levantados no questionário socioeconômico, interferiram no desempenho dos

discentes durante o pós-teste uma vez que é frequente em pesquisas a verificação da

existência ou não de uma correlação entre duas variáveis, isto é, saber se as

alterações sofridas por uma das variáveis são acompanhadas por alterações nas

outras.

Na estatística, o uso das correlações é usado justamente para designar a

força que mantém unidos dois conjuntos de valores, uma vez que tem como seu o

objeto de estudo a verificação da existência e do grau de relação entre duas variáveis.

Daí, quando identificada esta relação usa-se de funções matemáticas para descrevê-

las, através da regressão para estimar os parâmetros que compõem a função, que

quando colocados seus pares de valores no plano cartesiano é chamado de Diagrama

de dispersão, o qual nos permite uma boa compreensão de como está ocorrendo essa

relação entre as duas variáveis.

O coeficiente de correlação r linear de Pearson é um número puro que

varia de –1 a +1 e sua interpretação dependerá do valor numérico e do sinal, como

segue:

Quadro 48 - Classificação das correlações conforme o valor encontrado

Coeficiente de correlação Correlação

r = 1 Perfeita positiva

0,8 ≤ r < 1 Forte positiva

0,5 ≤ r < 0,8 Moderada positiva

0,1 ≤ r < 0,5 Fraca positiva

0 < r < 0,1 Ínfima positiva

r = 0 Nula

-0,1 < r < 0 Ínfima negativa

-0,5 < r ≤ -0,1 Fraca negativa

-0,8 < r ≤ -0,5 Moderada negativa

-1 < r ≤ -0,8 Forte negativa

r = -1 Perfeita negativa Fonte: http://www.aurea.uac.pt/pdf_MBA/coef_correl_Pearson.pdf

a) Correlação perfeita negativa (r = -1): Quando os pontos estiverem perfeitamente

alinhados, mas em sentido contrário, a correlação é denominada perfeita negativa.

167

Figura 30 - Exemplo de dispersão de correlação negativa

Fonte: http://www.aurea.uac.pt/pdf_MBA/coef_correl_Pearson.pdf

b) Correlação negativa (-1 < r < 0): A correlação é considerada negativa quando

valores crescentes da variável X estiverem associados a valores decrescentes da

variável Y, ou valores decrescentes de X associados a valores crescentes de Y.

c) Correlação nula (r = 0): Quando não houver relação entre as variáveis X e Y, ou

seja, quando os valores de X e Y ocorrerem independentemente, não existe

correlação entre elas.

Figura 31 - Exemplo de dispersão onde ocorre a ausência de correlação

Fonte: http://www.aurea.uac.pt/pdf_MBA/coef_correl_Pearson.pdf

168

d) Correlação positiva (0< r < 1): Será considerada positiva se os valores crescentes

de X estiverem associados a valores crescentes de Y.

e) Correlação perfeita positiva (r = 1): A correlação linear perfeita positiva corresponde

ao caso anterior, só que os pontos (X, Y) estão perfeitamente alinhados.

Figura 32 - Exemplo de dispersão onde a correlação é positiva

Fonte: http://www.aurea.uac.pt/pdf_MBA/coef_correl_Pearson.pdf

f) Correlação espúria: Quando duas variáveis X e Y forem independentes, o

coeficiente de correlação será nulo. Entretanto, algumas vezes, isto não ocorre,

podendo, assim mesmo, o coeficiente apresentar um valor próximo de –1 ou +1. Neste

caso a correlação é espúria.

Como nossas variáveis para analise tomaremos a afinidade com a

matemática, o hábito de estudo fora da escola, a escolaridade dos responsáveis

masculino e feminino, os sentimentos diante de uma avaliação matemática, a forma

de fixação dos conteúdos matemáticos, a maneira de iniciar os conteúdos, a

contribuição da matemática para as outras disciplinas, a ajuda recebida nas tarefas

de matemática, as formas de avaliação, a explicação dada em sala e as diferenças de

notas dos resultados do pré e pós-teste. Tais variáveis serão utilizadas para calcular

as correlações lineares de Pearson.

Iniciamos com a correlação da variável escolaridade do responsável

feminino com a diferença dos resultados dos testes.

Quadro 49 - Parametrização dos dados - escolaridade do responsável feminino

Escolaridade do responsável feminino Parametrização

Superior 4

Médio 3

Fundamental 2

Fundamental incompleto 1

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

169

Quadro 50 - Correlação entre a diferença das notas teste e escolaridade do responsável feminino

ALUNO(A) ACERTOS

DIFERENÇA ESCOLARIDADE

FEMININO PRÉ-

TESTE PÓS-

TESTE

A1 7 12 5 2

A2 6 12 6 2

A3 5 10 5 2

A4 6 12 6 1

A5 4 10 6 1

A6 7 12 5 1

A7 8 13 5 1

A8 6 10 4 2

A9 9 13 4 3

A10 5 11 6 1

A11 6 11 5 2

A12 8 13 5 4

A13 6 12 6 4

A14 8 13 5 3

A15 10 13 3 2

A16 7 13 6 2

A17 8 12 4 2

A18 9 13 4 4

A19 8 13 5 1

A20 7 12 5 2

A21 11 13 2 2

A22 6 11 5 1

A23 9 13 4 1

A24 6 10 4 4

A25 5 10 5 1 Fonte: Pesquisa de Campo (2017)

Gráfico 47 - Dispersão: diferença das notas nos teste e escolaridade do responsável feminino

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

A correlação linear entre as variáveis, diferença das notas nos testes e a

escolaridade do responsável feminino dos alunos, foi de r = -0,19. Esse resultado

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8

170

negativo, classificamos como correlação fraca negativa, pois - 0,5 < r ≤ - 0,1. Daí,

identificamos que o grau de instrução dos responsáveis femininos da amostra tiveram

nesta amostra pouca interferência para os resultados obtidos no teste.

Em relação a correlação entre a escolaridade do responsável masculino

dos alunos os seguintes resultados.

Quadro 51 - Parametrização dos dados - escolaridade do responsável masculino

Escolaridade do responsável feminino Parametrização

Superior 4

Médio 3

Fundamental 2

Fundamental incompleto 1

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Quadro 52 - Correlação entre a diferença das notas teste e escolaridade do responsável masculino

ALUNO(A) ACERTOS

DIFERENÇA ESCOLARIDADE

MASCULINO PRÉ-

TESTE PÓS-

TESTE

A1 7 12 5 2

A2 6 12 6 2

A3 5 10 5 4

A4 6 12 6 1

A5 4 10 6 1

A6 7 12 5 1

A7 8 13 5 1

A8 6 10 4 4

A9 9 13 4 2

A10 5 11 6 1

A11 6 11 5 1

A12 8 13 5 4

A13 6 12 6 4

A14 8 13 5 4

A15 10 13 3 2

A16 7 13 6 2

A17 8 12 4 2

A18 9 13 4 4

A19 8 13 5 1

A20 7 12 5 2

A21 11 13 2 2

A22 6 11 5 2

A23 9 13 4 3

A24 6 10 4 4

A25 5 10 5 3 Fonte: Pesquisa de campo (2017)

171

Gráfico 48 - Dispersão: diferença das notas nos teste e escolaridade do responsável masculino

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Na correlação linear entre a diferença das notas nos testes e a escolaridade

do responsável masculino, o resultado foi r = -0,22. Sendo r também um resultado

negativo e próximo do zero, o classificamos como sendo uma correlação fraca e

negativa, pois -0,5 < r < -0,1. Portanto, assim como na correlação com o responsável

feminino, identificamos que o grau de escolaridade tiveram nesta amostra pouca

interferência nos resultados dos testes obtidos. Vejamos agora a correlação entre as

variáveis afinidade pela matemática e a diferença nos testes.

Quadro 53 - Parametrização dos dados – Gosta de matemática

Gosta de matemática Parametrização

Adoro 4

Gosto um pouco 3

Suporto 2

Detesto 1

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Quadro 54 - Correlação entre a diferença das notas teste e o gosta de matemática

ALUNO(A) ACERTOS

DIFERENÇA GOSTA DE

MATEMÁTICA PRÉ-

TESTE PÓS-

TESTE

A1 7 12 5 1

A2 6 12 6 3

A3 5 10 5 3

A4 6 12 6 3

A5 4 10 6 3

A6 7 12 5 2

A7 8 13 5 2

A8 6 10 4 3

A9 9 13 4 4

A10 5 11 6 3

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 2 4 6 8

172

(continuação)

A11 6 11 5 1

A12 8 13 5 3

A13 6 12 6 2

A14 8 13 5 3

A15 10 13 3 2

A16 7 13 6 3

A17 8 12 4 3

A18 9 13 4 4

A19 8 13 5 3

A20 7 12 5 1

A21 11 13 2 3

A22 6 11 5 3

A23 9 13 4 3

A24 6 10 4 3

A25 5 10 5 3 Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Gráfico 49 - Dispersão: diferença das notas nos teste e o gosta de

matemática

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

O resultado da correlação linear entre a afinidade com a matemática e o

resultado dos testes foi r = -0,14, ou seja, um resultado negativo e próximo do zero, o

classificamos como uma correlação fraca e negativa, pois - 0,5 < r ≤ - 0,1. Com isso,

mesmo verificando que os alunos que gostam de matemática, tiveram nesta amostra

alguma interferência nos resultados dos testes. Vejamos agora o coeficiente de

correlação linear entre as variáveis explicações das aulas de matemática e a diferença

das notas nos testes, a partir da seguinte parametrização.

Quadro 55 - Parametrização dos dados – Você consegue entender as explicações dadas em sala de aula

Entendimento das explicações Parametrização

Às vezes 3

Quase sempre 2

Sempre 1

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8

173

Quadro 56 - Correlação entre a diferença das notas teste e as explicações dadas em sala de aula

ALUNO(A) ACERTOS DIFERENÇA EXPLICAÇÕES PRÉ-

TESTE PÓS-

TESTE

A1 7 12 5 3

A2 6 12 6 3

A3 5 10 5 3

A4 6 12 6 2

A5 4 10 6 3

A6 7 12 5 3

A7 8 13 5 1

A8 6 10 4 3

A9 9 13 4 1

A10 5 11 6 3

A11 6 11 5 3

A12 8 13 5 2

A13 6 12 6 3

A14 8 13 5 2

A15 10 13 3 3

A16 7 13 6 3

A17 8 12 4 2

A18 9 13 4 2

A19 8 13 5 2

A20 7 12 5 3

A21 11 13 2 3

A22 6 11 5 3

A23 9 13 4 3

A24 6 10 4 3

A25 5 10 5 3 Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Gráfico 50 - Dispersão: diferença das notas nos teste e as explicações dadas em sala de aula

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

O valor do coeficiente de correlação linear para a diferença das notas nos

testes e as explicações dadas em sala de aula foi de r = 0,06, indicando uma

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 2 4 6 8

174

correlação ínfima positiva, pois 0 < r < 0,1, ou seja, evidencia que as explicações

dadas nas aulas de matemática tiveram nesta amostra uma leve interferência no

desempenho dos alunos nas melhoras das notas no teste. Com relação à correlação

entre as variáveis o despertar matemático para aprender os conteúdos ministrados e

a diferença das notas nos testes, fizemos a seguinte parametrização:

Quadro 57 - Parametrização dos dados – As aulas de matemática despertam seu interesse em aprender os conteúdos ministrados

Despertar matemático Parametrização

Muito 4

Um pouco 3

Muito pouco 2

Nenhum pouco 1

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Quadro 58 - Correlação entre a diferença das notas teste e o interesse em aprender matemática

ALUNO(A) ACERTOS DIFERENÇA

INTERESSE EM APRENDER

PRÉ-TESTE

PÓS-TESTE

A1 7 12 5 2

A2 6 12 6 4

A3 5 10 5 2

A4 6 12 6 3

A5 4 10 6 3

A6 7 12 5 3

A7 8 13 5 3

A8 6 10 4 3

A9 9 13 4 4

A10 5 11 6 3

A11 6 11 5 2

A12 8 13 5 3

A13 6 12 6 3

A14 8 13 5 3

A15 10 13 3 2

A16 7 13 6 3

A17 8 12 4 1

A18 9 13 4 4

A19 8 13 5 3

A20 7 12 5 2

A21 11 13 2 3

A22 6 11 5 3

A23 9 13 4 3

A24 6 10 4 4

A25 5 10 5 3 Fonte: Pesquisa de campo (2017)

175

Gráfico 51 - Dispersão: diferença das notas nos teste e o desperta matemático

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

O valor do coeficiente de correlação linear para a diferença das notas nos

testes e o despertar do interesse em aprender matemática foi de r = 0,08, indicando

uma correlação ínfima positiva, pois 0 < r < 0,1, ou seja, evidenciar que o despertar

do interesse em aprender os conteúdos ministrados em sala de aula teve nesta

amostra uma leve interferência no desempenho dos alunos nas melhoras das notas

no teste. Vejamos agora a correlação entre as variáveis o sentimento apresentados

diante de uma avaliação de matemática e a diferença das notas nos teste.

Quadro 59 - Parametrização dos dados – Sentimentos diante de uma avaliação de matemática

Sentimentos Parametrização

Preocupado 4

Medo 3

Tranquilo 2

Raiva 1

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Quadro 60 - Correlação entre a diferença das notas teste e os sentimentos

ALUNO(A) ACERTOS DIFERENÇA SENTIMENTOS PRÉ-

TESTE PÓS-

TESTE

A1 7 12 5 4

A2 6 12 6 4

A3 5 10 5 4

A4 6 12 6 3

A5 4 10 6 4

A6 7 12 5 4

A7 8 13 5 2

A8 6 10 4 4

A9 9 13 4 2

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 2 4 6 8

176

(continuação)

A10 5 11 6 2

A11 6 11 5 3

A12 8 13 5 4

A13 6 12 6 4

A14 8 13 5 2

A15 10 13 3 4

A16 7 13 6 4

A17 8 12 4 4

A18 9 13 4 2

A19 8 13 5 2

A20 7 12 5 4

A21 11 13 2 4

A22 6 11 5 2

A23 9 13 4 4

A24 6 10 4 4

A25 5 10 5 4 Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Gráfico 52 - Dispersão: diferença das notas nos teste e os sentimentos

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

O resultado das as variáveis analisadas, sentimentos e as notas nos testes

apresentaram o valor do coeficiente de correlação de r = - 0,10, ou seja, um resultado

negativo e próximo a zero, classificado como sendo uma correlação fraca e negativa.

Daí, mesmo os alunos possuírem um alto nível de preocupação diante de uma

avaliação de matemática teve nesta amostra pouca interferência nos resultados dos

testes.

Vejamos agora o coeficiente de correlação linear entre as variáveis, ajuda

nas tarefas de matemática e a diferença das notas nos testes, a partir da seguinte

parametrização.

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8

177

Quadro 61 - Parametrização dos dados – Quem lhe ajuda nas tarefas de

matemática?

Ajuda Parametrização

Amigos 4

Ninguém 3

Família 2

Professor particular 1

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Quadro 62 - Correlação entre a diferença das notas teste e a ajuda nas tarefas

ALUNO(A) ACERTOS DIFERENÇA AJUDA PRÉ-

TESTE PÓS-

TESTE

A1 7 12 5 3

A2 6 12 6 3

A3 5 10 5 3

A4 6 12 6 3

A5 4 10 6 2

A6 7 12 5 2

A7 8 13 5 3

A8 6 10 4 3

A9 9 13 4 3

A10 5 11 6 2

A11 6 11 5 3

A12 8 13 5 3

A13 6 12 6 3

A14 8 13 5 3

A15 10 13 3 3

A16 7 13 6 2

A17 8 12 4 3

A18 9 13 4 4

A19 8 13 5 4

A20 7 12 5 3

A21 11 13 2 4

A22 6 11 5 2

A23 9 13 4 2

A24 6 10 4 3

A25 5 10 5 2 Fonte: Pesquisa de campo (2017)

178

Gráfico 53 - Dispersão: diferença das notas nos teste e a ajuda recebida nas tarefas

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

O resultado apontou para as variáveis analisadas, contar com a ajuda de

alguém nas tarefas de matemática e a diferença das notas nos teste, um valor do

coeficiente de correlação de r = - 0,45, ou seja, classificada como moderada negativa.

Vejamos agora a correlação entre as variáveis, hábito de estudos fora da escola e a

diferença das notas nos teste. Tomemos a seguinte parametrização para este hábito:

Quadro 63 - Parametrização dos dados – Hábito de estudo fora da escola

Ajuda Parametrização

Só na véspera da prova 4

Só no fim de semana 3

Todo dia 2

Só no período da prova 1

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Quadro 64 - Correlação entre a diferença das notas teste e os hábitos de estudos

ALUNO(A) ACERTOS

DIFERENÇA HÁBITOS DE

ESTUDOS PRÉ-

TESTE PÓS-

TESTE

A1 7 12 5 1

A2 6 12 6 1

A3 5 10 5 3

A4 6 12 6 1

A5 4 10 6 4

A6 7 12 5 1

A7 8 13 5 4

A8 6 10 4 3

A9 9 13 4 1

A10 5 11 6 4

A11 6 11 5 1

A12 8 13 5 4

A13 6 12 6 4

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 2 4 6 8

179

(continuação)

A14 8 13 5 4

A15 10 13 3 3

A16 7 13 6 1

A17 8 12 4 3

A18 9 13 4 4

A19 8 13 5 4

A20 7 12 5 1

A21 11 13 2 3

A22 6 11 5 4

A23 9 13 4 4

A24 6 10 4 3

A25 5 10 5 4 Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Gráfico 54 - Dispersão: diferença das notas nos teste e o hábito de estudos

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

O resultado apontou para as variáveis analisadas, hábitos de estudos e a

diferença das notas nos teste foi um valor do coeficiente de correlação de r = - 0,13,

ou seja, classificada como fraca e negativa, pois - 0,5 < r < - 0,1. Com isso, o fato dos

alunos possuírem os hábitos de estudo só perto ou senão somente na véspera das

provas nesta amostra não interferiu nos resultados dos testes aplicados.

Os valores encontrados para os coeficientes de correlação de Pearson

entre as notas dos alunos no pré e pós-teste e as variáveis socioeconômicas

parametrizadas, bem como os valores para o teste de significância da correlação, são

apresentados no quadro 38 a seguir.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5 6 7

180

Quadro 65 - Correlação linear de Pearson entre as notas individuais no teste e a variável socioeconômica

Variável socioeconômica Correlação de Pearson r

Intensidade e direção de r

Escolaridade do responsável

feminino -0,19 Correlação fraca e

negativa

Escolaridade do responsável masculino -0,22

Correlação fraca e negativa

Gosta de matemática -0,14

Correlação fraca e negativa

Auxilio para realizar as

tarefas escolares -0,45

Correlação fraca e negativa

Habito de estudo fora da

escola -0,13 Correlação fraca e

negativa

Interesse em aprender os conteúdos

matematicos 0,08 Correlação Ínfima e

possitiva

Sentimentos diante de uma avaliação de matemática -0,10

Correlação fraca e negativa

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Diante dos resultados apresentados no que diz respeito a todas as

correlações apresentadas, concluímos que na maioria não houve influência em

relação ao experimento realizado, ou seja, não interferiram para os resultados obtidos

nos testes. Daí, afirmamos que a melhora no desempenho dos alunos do pré-teste

para o pós-teste se deve a metodologia adotada para o ensino e aprendizagem de

função afim. Assim sendo, a sequência didática elaborada e aplicada surtiu um efeito

satisfatório para o qual foi elaborada e utilizada.

Neste sentido, o Ensino de Matemática por Atividades se torna pertinente

pois pressupõe “a possibilidade de conduzir o aprendiz a uma construção constante

das noções matemáticas presentes nos objetivos das atividades” (SÁ, 2009, p. 18).

Tal fato é evidenciado a partir da elaboração da atividade até sua realização e

experimentação, visto que cada etapa serve de apoio para a discussão e elaboração

dos conceitos em construção.

181

Gráfico 55 - Tempo utilizado em cada atividade

Fonte: Pesquisa de campo. (2017)

A linha de tendência no gráfico 30 indica uma redução no tempo de

realização de cada atividade, sendo o ponto mais extremo, isto é, a atividade inicial

na qual os alunos precisaram de maior tempo (50 minutos) para realiza-la, e a última

atividade como sendo a que demorou menos tempo (30 minutos). Essa redução no

tempo corrobora que “A experiência tem mostrado que o educando fica mais rápido à

medida que as atividades são vencidas e deste modo o maior tempo gasto no início é

recompensado posteriormente.” (SÁ, 1999, p. 81).

Ainda em relação ao tempo desprendido na execução das atividades ficaria

próximo ao tempo do qual os professores costumam trabalhar função afim, conforme

os dados obtidos por Santos (2013, p. 74): “Indagamos os professores sobre o tempo

que eles levam para ministrar o conteúdo de função afim em sala de aula e os dados

revelam quea maioria , 23, levam de 2 a 6 horas/aulas, 16 levam de 7 a 11 horas/aulas

e 11 levam de 12 a 16 horas/aulas”, ou seja, como a sequência didática demonstrou

ter um resultado eficiente como metodologia de ensino para função afim, pode ser

perfeitamente adotada por outros professores. Uma vez que, consideramos tratar de

um material de baixo custo financeiro, e que os alunos na sua maioria já possuem

como: caneta, lápis e papel no seu dia-a-dia, ficando a cargo somente do professor

querer se apropriar de forma satisfatória desta proposta de ensino.

Veja agora, um quadro onde confrontamos as análises a priori e a posteriori

de cada atividade desenvolvia para o ensino de função afim.

50

45

40

35

0

10

20

30

40

50

60

Descubra minha regra Descobrir arepresentação gráfica da

função afim

Descobrir uma relação defunção crescente oudecrescente com ocoeficiente angular

Descobrir característicasdos pontos de

intersecção da funçãoafim com os eixos

cartesianos

182

Quadro 66 - Confronto entre as análises a priori e análise posteriori das atividades para o ensino de função afim

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

As validações positivas no confronto da análise a priori e da análise a posteriori,

das atividades para o ensino de função afim, apresentadas no quadro 39, apontam

para resultados satisfatórios quando da utilização de atividades para o ensino de

função afim. Com efeito, pudemos observar que quando os alunos têm a oportunidade

de serem agentes de seu próprio conhecimento, eles podem alcançar ótimos

resultados.

5.3 TESTE DE HIPÓTESES

Neste momento, iremos recorrer a mais um método estatístico para verificar

se os resultados encontrados em nossa pesquisa são satisfatórios, ou seja, se os

efeitos didáticos produzidos pelo uso de uma sequência didática que se diferencie do

modelo tradicional para o ensino de função afim aplicados junto a uma turma do 1º

ano do ensino médio produziram um aumento significativo no processo de ensino e

aprendizagem de conceitos matemáticos relacionados ao assunto proposto.

Atividade Assertivas Validação Descobrindo

minha regra

Análise a priori

Esperamos que os alunos possam estabelecer a relação de correspondência existente entre dois conjuntos de números dados.

Positiva

Análise a posteriori

Identificamos que 72% dos alunos informaram as relações de correspondência de forma corretamente.

Descobrindo a representação

gráfica da função afim

Análise a priori

Esperamos que os alunos possam identificar a representação gráfica da função afim como sendo uma reta. Positiva

Análise a posteriori

Identificamos que 100% dos alunos informaram corretamente como sendo uma reta a representação gráfica da função afim corretamente.

Descobrindo uma

relação entre o coeficiente angular da

função afim com seu

crescimento ou decrescimento

Análise a priori

Esperamos que os alunos possam estar relacionando o valor do coeficiente angular com o crescimento ou decrescimento da função afim.

Positiva

Análise a posteriori

Identificamos que 92% dos alunos perceberam a relação entre o valor do coeficiente angular com a função crescente ou decrescente.

O Zero da

função

Análise a priori

Esperamos que os alunos possam identificar as características dos pontos de intersecção com os eixos cartesianos.

Positiva

Análise a posteriori

Identificamos que 88% dos alunos informaram corretamente as características dos pontos de intersecção com os eixos cartesianos.

183

Para isso, faremos uso do teste de hipótese para comparações de duas

médias de uma mesma amostra em diferentes pontos do tempo, em nosso caso

iremos comparar as médias dos pré-testes e pós-testes que foram realizados

respectivamente antes da aplicação de nossa sequência didática e depois dela.

Segundo Levin e Fox (Apud Silva, 2016, p.216):

O teste t da diferença entre médias para a mesma amostra medida duas vezes supõe, em geral, que os mesmos indivíduos sejam examinados repetidamente, em outras palavras, cada entrevistado é comparado consigo mesmo em outro instante de tempo.

Os autores citados definem este planejamento antes-depois, algo parecido

com o que queremos analisar a partir dos resultados dos pré e pós testes dos alunos.

Sendo assim, nós é permitido a aplicação do teste t afim de verificar estatisticamente

a diferença entre as médias dos teste. Daí, temos a formulação de duas hipóteses

(nula e alternativa) afim de, por meio deste método estatístico, rejeitamos ou

aceitarmos uma delas.

Vamos para o nosso teste, estabelecer as seguintes hipóteses:

Hipótese nula (𝑯𝒐): a média do pré-teste é maior ou igual à do pós-teste.

𝑯𝒐 : 𝝁𝒙 ≥ 𝝁𝒚 ∴ 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 ≥ 𝟎 ∴ �� ≥ 𝝁𝒅

Hipótese alternativa (𝑯𝒂): a média do pré-teste é menor que a do pós à

do pós-teste.

𝑯𝒂 : 𝝁𝒙 < 𝝁𝒚 ∴ 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 < 𝟎 ∴ �� < 𝝁𝒅

A partir do quadro a seguir podemos observar a regra para nossa tomada

de decisão diante da situação.

Quadro - 67 - Regras de rejeição da hipótese nula em um teste t unilateral

Fonte: Silva (2017, p. 217)

E como queremos comprovar que o desempenho dos alunos foi maior

depois da aplicação da sequência didática, portanto, segundo Levin e Fox (Apud Silva

184

2016, p. 216) é necessário que utilizemos o teste unilateral para duas medições da

mesma amostra, para rejeitar nossa hipótese nula e aceitar nossa hipótese alternativa.

Para o t calculado iremos, inicialmente, considerar as notas absolutas dos

alunos nos dois testes. A tabela a seguir apresenta as notas obtidas pelos alunos nos

testes aplicados, onde variam de 0 a 13 de acordo com o número de acertos de cada

um nas treze questões que compunhas os testes.

Quadro 68 - Comparação de desempenho no pré e pós-teste e a diferença entre as médias

ALUNO(A)

ACERTOS

DIFERENÇA PRÉ-TESTE

PÓS-TESTE

A1 7 12 -5 A2 6 12 -6 A3 5 10 -5 A4 6 12 -6 A5 4 10 -6 A6 7 12 -5 A7 8 13 -5 A8 6 10 -4 A9 9 13 -4 A10 5 11 -6 A11 6 11 -5 A12 8 13 -5 A13 6 12 -6 A14 8 13 -5 A15 10 13 -3 A16 7 13 -6 A17 8 12 -4 A18 9 13 -4 A19 8 13 -5 A20 7 12 -5 A21 11 13 -2 A22 6 11 -5 A23 9 13 -4 A24 6 10 -4 A25 5 10 -5

Média 7,08 11,88

-4,80 Desvio 1,71 1,17 1,00

N 25 Fonte: Pesquisa de campo (2017)

A partir da formula:

𝑡 =�� − 𝜇𝑑

𝑆𝑑

√𝑛

185

Onde:

��: e a média das diferenças entre os valores dos dados emparelhados nas

amostras dependentes �� =∑ 𝑑

𝑛

𝜇𝑑: e a Média hipotética das diferenças de dados emparelhados na

população

𝑆𝑑: e o desvio padrão das diferenças entre os valores dos dados

emparelhados nas amostras dependentes, dado por 𝑆𝑑 = √∑(𝑑−��)2

𝑛−1

𝑛: e o número de pares de dados.

𝑑: e a diferença entre os valores em um par de dados.

Assim, com os dados do quadro 41, inicialmente determinamos as médias

tanto do pré teste como para pós teste, assim teremos:

Media do pré-teste → µ𝑥 =∑ 𝑋

𝑛=

177

25= 7,08

Media do pós-teste → µ𝑦 =∑ 𝑌

𝑛=

297

25= 11,88

Desvio padrão das diferenças → 𝑆𝑑 =∑ 𝑌

𝑛=

297

25= 11,88

Temos então que:

𝑡 =�� − 𝜇𝑑

𝑆𝑑

√𝑛

=−4,80

1

√25

≅ −24,00

No gráfico a seguir temos o gráfico que apresenta a localização da região

de rejeição e estatística padronizada t-student (𝑡𝑐).

Gráfico 56 - Curva normal do teste

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

186

E como o criterio de decisão é aceitar 𝑯𝒐 se 𝒕 > 𝒕𝟏−𝜶 ou rejeitar se 𝒕 ≤

𝒕𝟏−𝜶. A hipotese nula esta representada na parte hachurada do gráfico acima. Como

o valor de 𝒕 < 𝒕𝟎,𝟗𝟓 → −𝟐𝟒, 𝟎𝟎 < −𝟏, 𝟕𝟏, devemos rejeitar a hipotese nula e aceitar a

hipotese alternativa, pois o resultado do teste (t) está fora do intervalo de 𝑯𝒐, ou seja,

ele nos fornece parametros suficientes, a um nivel de confiança de 95% (1 − 𝛼 = 1 −

0,05 = 0,95 𝑜𝑢 95%), para aceitarmos a hipótese altenartiva (𝑯𝒂) de que as médias

do pré-teste foram menores do que as médias do pós-teste, ou seja, a metodologia

de ensino adotada para o ensino de função afim possui um efeito de produzir melhores

resultados por parte dos alunos na resolução de questões de função afim.

Dessa forma, a partir desta analises estatistica e juntamentente com todas

verificações de correlações, na sua maioria, fracas e negativas entre os fatores sócio

econômicos e os resultados mostrados pelos alunos nos pós-testes, concluímos que

o bom aproveitamento dos alunos possui como fator determinante a forma como o

professor conduz seu trabalho em sala de aula, em nosso caso, o bom rendimento se

deve ao trabalho de ensino de função afim por atividades.

5. 4 A RELAÇÃO ENTRE FATORES SOCIOECONÔMICOS, A MATEMÁTICA E O

DESEMPENHO NOS TESTES

Nesta parte do trabalho apresentamos as análises das informações

produzidas oriundas da aplicação do questionário socioeconômico utilizado na

experimentação em concomitância ao desempenho dos estudantes nos testes, a fim

de verificar a existência ou não de alguma relação entre tais fatores socioeconômicos

e as questões ligadas a matemática a partir do desempenho dos alunos na resolução

das questões sobre função afim. As informações contidas a seguir referem-se ao

número de acertos de cada aluno nos dois testes (pré e pós-teste), formando uma

terna (aluno, nota no pré-teste, nota no pós-teste), como mostra o exemplo abaixo.

(A x, y, z)

Aluno x

Número de acertos no pré-teste

Número de acertos no pós-teste

187

A apresentação dos dados produzidos com a aplicação do questionário

usado no experimento será iniciada com as variáveis: aos hábitos de estudos fora da

escola, ajuda recebida nas tarefas de casa de matemática e desempenho nos testes.

Quadro 69 - Hábitos de estudos fora da escola, ajuda recebida nas tarefas de matemática e desempenho nos testes

QUEM LHE AJUDA NAS TAREFAS DE MATEMÁTICA

Família Professor Particular

Outros Ninguém

HÁ

BIT

OS

DE

ES

TU

DO

S E

M

MA

TE

MÁ

TIC

A

Só no período de prova (A13, 6, 12) (A19, 8, 13)

(A4, 6, 12) (A6, 7, 12) (A7, 8, 13) (A8, 6, 10) (A9, 9, 13)

Todo dia

Só nos fins de semanas

(A17, 8, 12) (A20, 7, 12) (A22, 6, 11)

(A3, 5, 10) (A5, 4, 10)

Só na véspera da prova

(A15, 10,13) (A16, 7, 13) (A21, 11,13) (A23, 9, 13)

(A10, 5, 11) (A12, 8, 13)

(A1, 7, 12) (A2, 6, 12) (A11 6 11) (A14, 8, 13) (A18, 9, 13) (A24, 6, 10) (A25, 5, 10)

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

De acordo com os dados contidos no quadro acima 24% da amostra tem o

hábito de estudar matemática apenas próximo ao período de prova e recebe auxílio

por parte de um dos membros da família nas tarefas de matemática. O desempenho

desses alunos no pré-teste foi variado, temos os discentes A15, A21 e A23, tendo um

ótimo desempenho, acertaram, respectivamente, 10 , 11 e 9 questões das 13

propostas. E os outros estudantes apresentaram um desempenho mediano, os alunos

A13, A19 e A6 acertaram, respectivamente, 6, 8 e 7 questões. Os alunos A12 e A19

informaram que só estudam matemática no período de prova e os demais só na

véspera da prova.

Os alunos A2, A3, A4, A8, A11, A24 e A25 que informaram não receber ajudar

de ninguém nas tarefas de matemática foram os que acertaram menos da metade das

questões do pré-teste, os mesmos, afirmam não ter o habito de um estudo rotineiro,

estudando somente nos períodos que antecedem as avaliações. Em relação aos

alunos A17, A20 e A12 que acertaram, respectivamente, 8, 7 e 8 questões no pré-teste

afirmam receber auxilio dos amigos nas tarefas de matemática.

Ainda e possível notar no quadro a inexistência de estudantes que

desenvolvam o habito diário de estudo de matemática. Mas, mesmo assim,

188

identificamos a melhorar no desempenho do pós-teste de todos estudantes

participantes da pesquisa, alguns, a exemplo dos alunos A1, A2, A3, A4, A5, A10, A11,

A13, A22, A24 e A25 melhorando seus índices de acertos em, na maioria, acima de 50%

em relação ao pré-teste.

A seguir apresentamos os dados referentes as variáveis interesse em

aprender matemática, gosta de matemática e o desempenho testes.

Quadro 70 - Gosta de matemática, interesse em aprender matemática e desempenho nos testes

INTERESSE EM APRENDER MATEMÁTICA

Nenhum pouco

Muito pouco Um pouco Muito

GO

ST

A D

E M

AT

EM

ÁT

ICA

Detesto (A4, 6, 12)

(A7, 8, 13) (A8, 6, 10)

Suporto (A22, 6, 11) (A3, 5, 10) (A2, 6, 12) (A19, 8, 13) (A24, 6, 10)

Gosto um pouco

(A11 6 11) (A25, 5, 10)

(A1, 7, 12) (A5, 4, 10) (A9, 9, 13) (A10, 5, 11) (A13, 6, 12) (A15, 10,13) (A16, 7, 13) (A18, 9, 13) (A20, 7, 12) (A21, 11,13) (A23, 9, 13)

(A6, 7, 12) (A17, 8, 12)

Adoro (A12, 8, 13)

(A14, 8, 13)

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Os dados acima mostram uma predisposição de 96% dos alunos em querer

aprender a matemática ensinada, variando entre os níveis de muito pouco a muito, o

que certamente já nos deixa felizes. O discente A22 foi o único que informou não sentir

nenhum interesse em aprender o conteúdo matemático ensinado, informando apenas,

suportar a disciplina.

Os alunos A7, A9, A15, A16, A18, A19, A21 e A23 enquadrados dentre aqueles

que gostam de matemática e tem interesse em aprender a disciplina foram os alunos

que tiveram 100% de acerto no pós-teste. Esse fato, acreditamos, de alguma forma

contribuir significativamente para o aumento do desempenho dos alunos nos testes

aplicados.

A seguir apresentamos os dados referentes à escolaridade dos

responsáveis feminino e masculino e o desempenho nos testes.

189

Quadro 71 - Escolaridade dos responsáveis feminino e masculino o desempenho nos testes

ESCOLARIDADE RESPONSAVEL FEMININO

SUPERIOR MÉDIO FUNDA- MENTAL

FUNDA- MENTAL INCOM- PLETO

ANALFA BETO

ES

CO

LA

RID

AD

E R

ES

PO

NS

AV

EL

MA

SC

UL

INO

SUPERIOR

(A9, 9, 13) (A10, 5, 11) (A19, 8, 13) (A21, 11,13) (A23, 9, 13) (A24, 6, 10)

(A4, 6, 12)

MÉDIO

(A15, 10,13)

(A3, 5, 10) (A6, 7, 12) (A7, 8, 13) (A8, 6, 10) (A13, 6,12) (A17, 8,12) (A20, 7,12) (A22, 6,11)

(A11 6 11) (A14, 8,

13)

FUNDA MENTAL

(A16, 7, 13)

(A18, 9,

13)

(A12, 8, 13)

FUNDA MENTAL

INCOMPLETO

(A5, 4, 10) (A25, 5,10)

(A1, 7,12) (A2, 6, 12)

ANALFABETO

Fonte: Pesquisa de campo (2017)

Os dados contidos no quadro acima mostram que apenas um aluno da

amostra, A12, informou que os seu responsável feminino não é escolarizados e seu

responsável masculino possui o ensino fundamental completo. Mesmo assim, seu

desempenho no pré-teste foi muito bom, acertando 8 questões. Os responsáveis dos

estudantes A1 e A2, possuem o nível fundamental incompleto, e ambos, tiveram um

desempenho mediano nas questões do pré-teste, acertando, respectivamente, 7 e 6

questões.

O aluno A18 informou que têm o responsável masculino com o nível

fundamental completo e o feminino com ensino fundamental incompleto. O mesmo,

apresentou um desempenho bom no pré-teste, acertando 9 questões, chegando a 13

no pó-teste.

Os estudantes A5 e A25 informaram que tem seus responsáveis femininos

com nível médio e os masculinos com ensino fundamental incompleto. No pré-teste

esses estudantes apresentaram uma melhora no desempenho nos teste, variando

respectivamente, 4 e 5 acertos no pré-teste indo a 10 acertos no pós-teste.

190

Os estudantes A11 e A14 informaram que tem seus responsáveis femininos

com nível fundamental completo e os masculinos com ensino médio. No pré-teste

esses estudantes apresentaram uma melhora no desempenho nos teste, variando

respectivamente, de 6 e 8 acertos no pré-teste indo a 11 e 13 acertos no pós-teste.

A maioria dos alunos (A3 , A6, A7, A8 , A13, A17, A20 e A22) correspondente a 32%

da amostra, informou que os seus responsáveis feminino e masculino possuem ensino

médio. O desempenho desses alunos foi variado no pré-teste entre 5 a 8 acertos,

alcançando de 10 a 13 acertos no pós-teste, ou seja, todos tiveram seus

desempenhos melhorados entre os testes.

O alunos A4 informou seu responsável feminino ter nível médio e o

masculino superior variou de 6 acertos no pré-teste para 12 no pós-teste. E o aluno

A15 que informou seu responsável feminino possuir nível superior e o masculino médio

variou de 10 acertos no pré-teste a 13 no pós-teste.

Os demais alunos A9, A10, A19, A21, A23 e A24,informaram terem seus

responsáveis feminino e masculino possuindo nível superior. O desempenho desses

alunos entre os dois testes aplicados foi elevado, tendo os alunos A9, A19, A21 e A23

acertando todas as questões do pós-teste.

Os quadros 69, 70 e 71 nos permitiu termos um panorama a respeito das

notas individuais dos alunos no pré e pós-teste cruzando duas variáveis respondidas

no questionário socioeconômico (quem lhe ajuda nas tarefas X hábitos de estudos em

matemática, gosta de matemática X interesse em apender matemática e escolaridade

dos responsável feminino X masculino). Ressaltasse que nosso trabalho indicar não

haver uma relação direta entre as variáveis para uma melhora do número de acertos

das questões dos teste aplicados.

191

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho é oriundo das reflexões a respeito do processo de ensino e

aprendizagem do conceito de função afim. Nossa perspectiva é contribuir, através da

elaboração de uma sequência didática para o processo educacional dos conteúdos

relacionados a função afim em nossa realidade escolar.

Nosso trabalho teve como ponto de partida a avaliação e a investigação

dos efeitos didáticos produzidos pelo uso de atividades como metodologia de ensino,

pois levamos em conta algumas dificuldades apresentadas na resolução de questões

envolvendo função afim conforme o diagnostico realizada com alunos egressos . Daí,

elaboramos e aplicamos uma sequência didática, composta de 4 atividades, visando

melhorar a compreensão dos assuntos abordados.

A partir da análise dos questionários aplicados aos alunos egressos do

ensino médio, que já haviam estudado a função afim, identificamos que a metodologia

de ensino adotada pela maioria dos professores de matemática é a definida como

sendo a tradicional, ou seja, aquela onde o assunto se inicia pela definição e é seguida

de exemplos e exercícios para serem resolvidos, metodologia em que a maioria dos

alunos apresenta um baixo desempenho em questões relacionadas a função afim,

conforme o resultado exposto anteriormente neste trabalho, ao mesmo tempo em que

os discentes consideram alguns tópicos com nível variável de dificuldade que vai

desde regular até difícil.

A partir disto, levantamos a seguinte questão norteadora: quais os efeitos

da aplicação de uma sequência didática, diferente do modelo tradicional, para a

resolução de questões envolvendo função afim. Ao mesmo tempo nossa pesquisa

teve o objetivo de avaliar os efeitos que uma sequência didática tem sobre os

discentes quando da resolução de questões relacionadas a função afim.

Na análise realizada em estudos relacionados ao processo de ensino e

aprendizagem de função afim identificamos propostas de atividades capazes de

melhorar o desempenho dos estudantes.

Diante desse contexto, realizamos uma pesquisa experimental focando na

melhora do processo de ensino e da aprendizagem a partir da aplicação de uma

sequência didática junto a alunos do 1º ano do ensino médio de uma escola pública

da região metropolitana de Belém fundamentada na Engenharia Didática como

metodologia de pesquisa.

192

A respeito do uso de atividades para introduzir o conceito de função afim,

identificação da reta como o gráfico da função, influência do valor numérico do

coeficiente angular para o crescimento ou decrescimento da função e da

institucionalização da definição do zero da função afim a metodologia demonstrou-se

eficaz. Haja vista que, no decorrer da pesquisa os resultados apontaram para uma

melhora dos alunos durante a realização das atividades, não somente relacionados a

compreensão dos conteúdos a respeito de função afim, mas principalmente na

interação que ia se estabelecendo entre os alunos e este pesquisador, na busca de

respostas e na formulações das ideias e conclusões em cada atividade. Além disso,

restaram evidentes avanços no momento da comparação dos resultados do pré e pós-

teste, o que ficou claro após o aumento do número de acertos nas questões,

principalmente nas sétima, oitava, nona e decima questão.

É provável que ocorresse resultados melhores se não fosse algumas

dificuldades dos alunos em relação a conteúdos matemáticos trabalhados nas series

anteriores (multiplicação, divisão, resolução de equações, plano cartesiano), ao

mesmo tempo a falta de exploração de questões interpretativas e contextualizadas,

gerando em alguns casos o excesso de dependência do professor para resolver tais

tipos de questão.

Em relação as atividades, identificamos que o tempo para a realização das

atividades foi diminuindo a medida que os estudantes compreendiam a metodologia

adotada. Os assuntos abordados nas atividades desprenderam-se em 8 horas-aula,

número próximo ao comumente utilizado por nos utilizado o método tradicional.

A avaliação que temos em relação a dinâmica utilizada para a socialização

das conclusões elaboradas nas atividades teve uma enorme relevância para que

pudéssemos desenvolver a institucionalização dos conceitos matemáticos e, ao

mesmo tempo para que os alunos pudessem desenvolver sua escrita e escrevessem

de forma mais condizente utilizando as nomenclaturas matemáticas suas ideias e

considerações. Por conseguinte, a estrutura das atividades contribuiu para um melhor

entendimento por parte dos alunos para encontrar o modelo matemático da questão

proposta, quanto para a associação do conteúdo matemático desenvolvido na

resolução das questões de aprofundamento.

Diante do exposto, consideramos respondida a questão norteadora desta

pesquisa, pois, os resultados apresentados no pós-teste apontam melhoras

significativas de todos os alunos participantes. Consideramos também que as

193

atividades propostas possibilitaram uma melhor compreensão dos conceitos

relacionados a função afim, ao mesmo tempo, a metodologia de pesquisa favoreceu

a investigação da aplicação da sequência didática elaborada. Salientamos que as

questões utilizadas enquadram-se as exigências curriculares nacionais, e dos testes

aplicados aos estudantes, a exemplo do ENEM e SAEB.

Aos docentes que queiram utilizar a sequência didática proposta neste

trabalho para o ensino de função afim talvez exista a necessidade de verificar junto

aos alunos as dificuldades existentes em relação aos conteúdos matemáticos

trabalhados nas series anteriores (as operações fundamentais, números decimais,

localização de pontos no plano cartesiano, e outros). Ao mesmo tempo, poderá o

professor utilizar dos recursos tecnológicos disponíveis para desenvolver as

atividades que versam sobre a construção e leitura do gráfico da função no plano

cartesiano, a exemplo do Geogebra.

194

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199

APÊNDICES

200

APÊNDICE A – Questionário dos alunos egressos UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DA MATEMÁTICA

Prezado(a) aluno (a),

Estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-aprendizagem da Matemática, para o

êxito deste trabalho necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo. Desde já agradecemos

sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.

1- Idade: _____ anos 2- Sexo: □ Masculino □ Feminino 3- Série: ____ ano

4- Tipo de escola que estuda?

□ Municipal □ Estadual □ Privada/Particular □ Conveniada

5- Você já ficou em dependência? □Não □Sim. Em quais disciplinas?__________

6- Você gosta de Matemática? □Detesto □Suporto □Gosto um pouco □Adoro

7- Qual a escolaridade do seu responsável masculino?

□Superior □Médio □Fundamental□ Fundamental incompleto □Analfabeto

8- Qual a escolaridade da sua responsável feminina?

□Superior □Médio □Fundamental □ Fundamental incompleto □Analfabeto

9- Quem lhe ajuda nas tarefas de matemática?

□Professor particular □Família □Ninguém □Outros. Quem?__________________

10- Você consegue entender as explicações dadas nas aulas de matemática?

□Sempre □Quase sempre □Às vezes □Poucas vezes □Nunca

11- Quais formas de atividades e/ou trabalho você costuma ser mais avaliado em matemática?

□Provas/simulado □Testes semanais □Seminários □Pesquisas □Projetos □Outros.

Quais?___________________________

12- Como você se sente quando está diante de uma avaliação em matemática?

□Contente □Tranquilo □Medo □Preocupado □Raiva

13- As aulas de Matemática despertam sua atenção em aprender os conteúdos ministrados?

□Nenhum pouco □Muito pouco □ Um pouco □Muito

14- Você costuma estudar matemática fora da escola?

□Só no período de prova □Todo dia □Só no fim de semana □Só na véspera da prova

15- Você e capaz de fazer relação dos conteúdos matemáticos dados em sala com seu

cotidiano? □Sim □Não □Às vezes

16- Seu professor de matemática demonstra domínio do conteúdo? □Sim □Não

17. Você considera as explicações do professor de matemática?

□Ruim □Regular □Boa □Excelente

18- O professor fez a utilização de exemplos e/ou exercícios interpretativo a partir de situações

problemas? □Sim □Não □Às vezes

19- Você acha que o ensino da matemática pode contribuir com o aprendizado em outras

disciplinas?□Sim □Não □Às vezes

20- Você já estudou função do 1º Grau? □Sim □Não

21- Se você na questão acima respondeu sim, diga em qual série?______

22- Quando você estudou função do 1º Grau, a maioria das aulas:

201

□Iniciaram pela definição seguida de exemplos e exercícios;

□Iniciaram com a história do assunto para depois explorar os conceitos;

□Iniciaram com uma situação problema para depois introduzir o assunto;

□Iniciaram com um modelo para a situação e em seguida analisando o modelo;

□Iniciaram com jogos para depois sistematizar os conceitos.

23- Para fixar o conteúdo de função de 1º Grau seu professor costumava:

□Apresentar uma lista de exercício para serem resolvidos;

□Apresentar jogos envolvendo o assunto;

□Solicitar que os alunos resolvessem os exercícios do livro didático;

□Não propunha questões de fixação;

□Solicitava que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver.

24- Quando você estudou função de 1º foram propostos os conteúdos:

(MF: Muito Fácil; F: Fácil; R: Regular; D: Difícil; MD: Muito difícil)

Conteúdo

Qual Grau de dificuldade que você

teve para aprender?

MF F R D MD

Definição da Função do 1º Grau

Gráfico da Função do 1º Grau

Identificar gráfico da Função do 1º Grau

Construção de gráfico de Função do 1º Grau

Identificar os coeficientes da Função do 1º Grau

Domínio da Função do 1º Grau

Imagem da Função do 1º Grau

Função Crescente do 1º Grau

Função Decrescente do 1º Grau

Determinação da Lei da Função do 1º Grau a partir dos

coeficientes

Determinação da lei da função do 1 grau a partir de dois pontos

da função

Determinação da Lei da Função do 1º Grau a partir do gráfico

Determinação da Lei da Função do 1º Grau a partir de dados

tabelados

Estudo do sinal da Função do 1º Grau

Zero da Função do 1º Grau

Aplicações da Função Afim em situações-problemas

202

APÊNDICE B – Questionário dos alunos participantes da pesquisa

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DA MATEMÁTICA

Prezado(a) aluno (a),

Estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-aprendizagem da Matemática, para o

êxito deste trabalho necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo. Desde já agradecemos

sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.

1- Idade: _____ anos 2- Sexo: □ Masculino □ Feminino 3- Série: ____ ano

4- Tipo de escola que estuda?

□ Municipal □ Estadual □ Privada/Particular □ Conveniada

5- Você já ficou em dependência? □Não □Sim. Em quais disciplinas?__________

6- Você gosta de Matemática? □Detesto □Suporto □Gosto um pouco □Adoro

7- Qual a escolaridade do seu responsável masculino?

□Superior □Médio □Fundamental□ Fundamental incompleto □Analfabeto

8- Qual a escolaridade da sua responsável feminina?

□Superior □Médio □Fundamental □ Fundamental incompleto □Analfabeto

9- Quem lhe ajuda nas tarefas de matemática?

□Professor particular □Família □Ninguém □Outros. Quem?__________________

10- Você consegue entender as explicações dadas nas aulas de matemática?

□Sempre □Quase sempre □Às vezes □Poucas vezes □Nunca

11- Quais formas de atividades e/ou trabalho você costuma ser mais avaliado em matemática?

□Provas/simulado □Testes semanais □Seminários □Pesquisas □Projetos □Outros.

Quais?___________________________

12- Como você se sente quando está diante de uma avaliação em matemática?

□Contente □Tranquilo □Medo □Preocupado □Raiva

13- As aulas de Matemática despertam sua atenção em aprender os conteúdos ministrados?

□Nenhum pouco □Muito pouco □ Um pouco □Muito

14- Você costuma estudar matemática fora da escola?

□Só no período de prova □Todo dia □Só no fim de semana □Só na véspera da prova

15- Você e capaz de fazer relação dos conteúdos matemáticos dados em sala com seu

cotidiano? □Sim □Não □Às vezes

16- Seu professor de matemática demonstra domínio do conteúdo? □Sim □Não

17. Você considera as explicações do professor de matemática?

□Ruim □Regular □Boa □Excelente

203

204

QUADRO DE GRÁFICOS I

205

206

PLANO CARTESIANO

207

QUADRO DE GRÁFICOS II

208

209

ANEXOS

210

ANEXO A – Termo de consentimento livre esclarecido aluno egresso

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Você está sendo convidado (a) para participar da pesquisa intitulada O uso de

atividades para o Ensino de Função do 1º Grau, sob a responsabilidade dos(as)

pesquisadores Maria de Lourdes Silva Santos e Diego Cunha da Silva, vinculados a

Universidade do Estado do Pará.

Nesta pesquisa nós estamos buscando avaliar os efeitos de uma sequência

didática, que se diferencia da tradicional, para o ensino de função afim e a

aprendizagem dos conceitos relacionados ao assunto. A sua colaboração na pesquisa

será preencher o questionário com as perguntas norteadoras para a realização da pesquisa.

Em nenhum momento você será identificado. Os resultados da pesquisa serão

publicados e ainda assim a sua identidade será preservada.

Você não terá nenhum gasto ou ganho financeiro por participar na pesquisa.

Não há riscos. Os benefícios serão de natureza acadêmica com um estudo estatístico

da relação entre metodologia didática e a aprendizagem significativa dos conteúdos

matemáticos.

Você é livre para deixar de participar da pesquisa a qualquer momento sem nenhum

prejuízo ou coação.

Uma via original deste Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ficará com você.

Qualquer dúvida a respeito da pesquisa, você poderá entrar em contato com:

Informar o nome dos pesquisadores com telefones profissionais e endereço da

Instituição a qual estão vinculados. Poderá também entrar em contato com a Direção do

Centro de Ciências Sociais e Educação(CCSE) da Universidade do Estado do Pará(UEPA):

Tv. Djalma Dutra s/n. Telegrafo. Belém-Pará- CEP: 66113-010; fone: 4009-9542.

_________________, ....... de ........de 2017.

__________________________________________

Assinatura dos pesquisadores

Eu,_______________________________________________________ aceito

participar do projeto citado acima, voluntariamente, após ter sido devidamente esclarecido.

________________________________________

Participante da pesquisa

211

ANEXO B – Termo de consentimento livre esclarecido aluno do experimento

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Senhor (a) responsável você está sendo consultado sobre a possibilidade de seu

filho (a), para participar da pesquisa intitulada: O uso de atividades para o Ensino de Função

do 1º Grau, sob a responsabilidade dos pesquisadores Maria de Lourdes Silva Santos e Diego

Cunha da Silva vinculados a Universidade do Estado do Pará.

Nesta pesquisa nós estamos buscando avaliar os efeitos de uma sequência

didática, que se diferencia da tradicional, para o ensino de função afim e a

aprendizagem dos conceitos relacionados ao assunto. A sua colaboração na pesquisa

será preencher o questionário com as perguntas norteadoras para a realização da pesquisa

dentro das dependências da escola sob a supervisão de um docente da mesma.

Em nenhum momento ele será identificado. Os resultados da pesquisa serão

publicados e ainda assim a identidade dele será preservada.

Você nem ele não terão nenhum gasto ou ganho financeiro por participar na

pesquisa.

Não há riscos. Os benefícios serão de natureza acadêmica com um estudo estatístico

da relação entre metodologia didática e a aprendizagem significativa dos conteúdos

matemáticos.

Você é livre para decidir se seu filho(a) colaborará com a pesquisa sem nenhum

prejuízo ou coação.

Uma via original deste Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ficará com você.

Qualquer dúvida a respeito da pesquisa, você poderá entrar em contato com:

Informar o nome dos pesquisadores com telefones profissionais e endereço da

Instituição a qual estão vinculados. Poderá também entrar em contato com a Direção do

Centro de Ciências Sociais e Educação(CCSE) da Universidade do Estado do Pará(UEPA):

TV. Djalma Dutra S/N. Telégrafo. Belém- Pará - CEP: 66113-010; fone: 4009-9542.

____________________, ....... de ........de 2017.

______________________________________________

Assinatura dos pesquisadores

Eu,___________________________________________________ autorizo que

meu/minha filho (a)____________________________________________ a participar do

projeto citado acima, voluntariamente, após ter sido devidamente esclarecido.

________________________________________

Assinatura do responsável

212

Centro de Ciências Sociais e Educação Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática

Tr. Djalma Dutra, s/nº - Telégrafo 660113-010 Belém – PA

www.uepa.br