Difus~ao da mal aria em Mo˘cambique: …biomat/bio25_art11.pdfDifus~ao da mal aria em Mo˘cambique ... 165 Mo¸cambique termos o oceano Índico, onde consideramos que não há

Biomatematica 25 (2015), 161–184 ISSN 1679-365X

Uma Publicacao do Grupo de Biomatematica IMECC – UNICAMP

Difusao da malaria em Mocambique: modelagem

com simulacoes computacionais

Marta Ma M. Macufa1, Joao F. C. A. Mayer2,

Depto Matematica Aplicada, IMECC – UNICAMP, 13.083-970,

Campinas/SP.

Andre Krindges3,

Depto Matematica, ICET – UFMT, 78.060-900, Cuiaba/MT.

Resumo. Neste trabalho apresentamos um modelo que descreve o espalha-

mento da malaria na regiao de Mocambique. As equacoes que compoem o

modelo sao de Difusao-Adveccao em que interagem duas populacoes: A po-

pulacao de humanos que, por sua vez, subdivide-se em suscetıveis, infectados

e recuperados e para a populacao de mosquitos consideramos mosquitos nao

portadores e mosquitos portadores, (ver abaixo). Na tentativa de encontrar

uma solucao para o modelo apresentado, recorremos ao metodo numerico, uma

vez que nao existem solucoes analıticas para resolver o sistema nao linear de

equacoes diferenciais parciais. Como e nosso caso, utilizaremos o metodo de

elementos finitos, para o qual, para a discretizacao do modelo, apos feita a

formulacao variacional do modelo, utilizamos o metodo de Galerkin para as

variaveis espaciais e o metodo de Crank Nicolson para a variavel temporal.

Palavras-chave: Modelo SIRS, Difusao-Adveccao, epidemiologia, ele-

mentos finitos.

1. Introducao

Mocambique e um paıs que esta localizado na costa oriental da Africa

austral entre os paralelos 1027′ e 2656′ latitude sul e os meridionais 3012′ e

[email protected]@[email protected]

162 Macufa, Meyer & Krindges

4051′ latitude leste. Mocambique limita-se ao norte pela Tanzania, ao noro-

este pela Zambia e Malawi, ao oeste pela Suazilandia e pelo Zimbabwe, ao sul

e oeste pela Africa do sul e a leste pelo canal de Mocambique, (oceano ındico).

A populacao de Mocambique esta estimada em 21 milhoes de habitantes Mi-

nisterio da Saude (2012).

A malaria e uma doenca infecciosa que e transmitida ao ser humano

atraves da picada do mosquito portador, a femea Anopheles. Existem 4 especies

de parasitas: Plasmodium falsiparum, Plasmodium vivax, Plasmodium ovale e

Plasmodium malarie, sendo o P. falsiparum o mais virulento de todos.

As criancas com menos de 5 anos e a mulheres gravidas sao mais sus-

cetıveis a doenca assim como os viajantes que vivem em zonas nao endemicas

podem apresentar as formas mais graves da malaria. Os sintomas mais comuns

da doencas sao: Febres altas, encefaleia, dores abdominais, diarreia, vomito e

dor no corpo, entre outros Macufa (2011).

Mocambique e um paıs no qual a malaria e endemica onde registam-se

cerca de 90% das infeccoes malaricas causadas pelo Plasmodium falsiparum,

visto ser o mais frequente no paıs. Neste paıs, a malaria atinge o seu pico

em epocas chuvosas, podendo eclodir surtos epidemicos Ministerio da Saude

(2012).

2. Objetivos

– O objetivo deste trabalho e analisar o impacto do espalhamento geografico

da epidemia da malaria na regiao de Mocambique.

3. Descricao do modelo matematico

A seguir apresentamos a proposta do modelo evolutivo utilizando equacoes

diferenciais parciais nao lineares, no qual tentamos descrever a situacao da

malaria com espalhamento geografico na regiao de Mocambique, isto e, que

envolva difusao e adveccao ou, para o mosquito dispersao e possıveis processos

de migracao. Este modelo envolve duas populacoes que interagem entre si: A

populacao humana e a de mosquito.

O modelo escolhido para descrever a situacao da malaria emMocambique

recorre as seguintes equacoes diferenciais parciais nao lineares, para (x, y) ∈Ω ⊂ R2, o domınio espacial e t ∈ J = (0, Tf ), o domınio temporal:

Difusao da malaria em Mocambique ... 163

S = S(x, y, t) e a populacao de suscetıveis,

I = I(x, y, t) e a populacao de infectados,

R = R(x, y, t) e a populacao de recuperados,

M = M(x, y, t) e a populacao de mosquitos nao portadores e

P = P (x, y, t) e a populacao de mosquitos portadores,

em que utilizamos os parametros:

• αS e a taxa da dispersao da populacao de humanos suscetıveis.

• αI e a taxa da dispersao da populacao de indivıduos infectados.

• αR e a taxa da dispersao da populacao de recuperados.

• αM e a taxa da dispersao da populacao de mosquitos nao portadores.

• αP e a taxa da dispersao da populacao de mosquitos portadores.

• VS e o transporte advectivo da populacao de suscetıveis.

• VI e o transporte advectivo da populacao de infectados.

• VR e o transporte advectivo da populacao de recuperados.

• WM e o transporte advectivo da populacao de mosquitos nao portadores.

• WP e o transporte advectivo da populacao de mosquitos portadores.

• λH e a taxa intrınseca de crescimento da populacao humana de sus-

cetıveis.

• λM e a taxa intrınseca de crescimento da populacao de mosquitos.

• γH e a taxa com a qual a populacao de recuperados volta a serem sus-

cetıveis.

• µS e a taxa na qual a populacao de indivıduos suscetıveis morrem natu-

ralmente.

• µI e a taxa na qual a populacao de indivıduos infectados morrem pela

doenca.

• µM e a taxa na qual a populacao de mosquito morrem pela acao humana,

atraves da pulverizacao.


• δH e a taxa com a qual a populacao de indivıduos infectados se recuperam

da doenca.

• βH e a taxa com que os suscetıveis contraem a doenca ao serem picados

por mosquitos infectados.

• βM e a taxa com que os mosquitos nao portadores contraem o vırus ao

picarem indivıduos infectados.

∂S

∂t− αS∆S + VS · ∇S + µSS = λH (S + I +R)

(1− S + I +R

K

)− βHSP + γHR,

∂I

∂t− αI∆I + VI · ∇I + µII = βHSP − δHI,

∂R

∂t− αR∆R+ VR · ∇R = δHI − γHR,

∂M

∂t− αM∆M +WM · ∇M + µMM = λM (M + P )

(1− M + P

K

)− βMMI, e

∂P

∂t− αP∆P +WP · ∇P + µMP = βMMI.

(3.1)

com as seguintes condicoes iniciais e de contorno:

S(x, y, 0) = S0 e∂S

∂η= 0.

I(x, y, 0) = I0 e∂I

∂η= 0.

R(x, y, 0) = R0 e∂R

∂η= 0.

M(x, y, 0) = M0 e∂M

∂η= 0.

P (x, y, 0) = P 0 e∂P

∂η= 0. (3.2)

Colocamos as condicoes de contorno de Von Neumann homogenea em

toda a fronteira da regiao de Mocambique, pelo fato de que, no leste de


Mocambique termos o oceano Indico, onde consideramos que nao ha passa-

gem de ambas as populacoes. Na fronteira de Mocambique com outros paıses,

isto e, ao norte, ao sul e ao oeste de Mocambique temos: Tanzania, Malawi,

Zambia, Africa do Sul, Suazilandia e Zimbabwe que tambem sao paıses em

que a malaria e endemica, sendo assim, a populacao na fronteira nao varia e,

portanto, a derivada direcional e igual a zero.

4. Formulacao variacional

Uma alternativa para construir a solucao e a aproximacao numerica e

para a referida solucao, vamos descrever o sistema (3.1) na formulacao variaci-

onal Ciarlet (1979), ou seja, na formulacao fraca.

Seja W =L2([0, Tf ], V )

o espaco das solucoes onde, V = H1(Ω) e o

espaco das funcoes testes e em V definimos o produto interno:

(u, v) =

∫Ω

uvdxdy

(∇u||∇v) =

∫Ω

∇u∇vdµ

onde u ∈ W e v ∈ V .

Multiplicamos as equacoes do sistema (3.1) por v ∈ V e obtemos:


(∂S

∂t|v)− αS (∆S|v) + (VS · ∇S|v) + µS(S|v) =

λH

((S + I +R)

(1− S + I +R

K

)|v)− βH (SP |v) + γH (R|v)

(∂I

∂t|v)− αI (∆I|v) + (VI · ∇I|v) + µI (I|v) = βH (SP |v)− δH (I|v)

(∂R

∂t|v)− αR (∆R|v) + (VR · ∇R|v) = δH (I|v)− γH (R|v)

(∂M

∂t|v)− αM (∆M |v) + (WM · ∇M |v) + µM (M |v) =

λM

((M + P )

(1− M + P

L

)|v)− βM (MI|v)

(∂P

∂t|v)− αP (∆P |v) + (WP · ∇P |v) + µM (P |v) = βM (MI|v)

(4.3)

para todo v ∈ V .

Seja

U = S, I,R,M,P. (4.4)

tal que, U = U(x, y, t), v = v(x, y)

Utilizando as formulas de Green, temos:

−αU (∆U |v) = αU (∇U ||∇v)− αU

(∂U

∂η|v)

Como ∂U∂η = 0 em ∂Ω, entao temos:

−αU (∆U |v) = αU (∇U ||∇v) (4.5)

Substituindo (4.5) em (4.3) e utilizando que V =< VU1, VU2 > e cons-

tante, temos entao a formulacao variacional dada pelas seguintes equacoes:


(∂S

∂t|v)+ αS (∇S||∇v) + VS1

(∂S

∂x|v)+ VS2

(∂S

∂y|v)+ µS(S|v) =

λH

((S + I +R)

(1− S + I +R

K

)|v)− βH (SP |v) + γH (R|v)

(∂I

∂t|v)+ αI (∇I||∇v) + VI1

(∂I

∂x|v)+ VI2

(∂I

∂y|v)+ µI (I|v) =

βH (SP |v)− δH (I|v)

(∂R

∂t|v)+ αR (∇R||∇v) + VR1

(∂R

∂x|v)+ VR2

(∂R

∂y|v)

= δH (I|v)− γH (R|v)

(∂M

∂t|v)+ αM (∇M ||∇v) +WM1

(∂M

∂x|v)+WM2

(∂M

∂y|v)+ µM (M |v) =

λM

((M + P )

(1− M + P

L

)|v)− βM (MI|v)

(∂P

∂t|v)+ αP (∇P ||∇v) +WP1

(∂P

∂x|v)+WP2

(∂P

∂y|v)+ µM (P |v) =

βM (MI|v)(4.6)

para todo v ∈ V .

Como podemos ver, as condicoes de contorno do problema (3.1), ficaram

incluıdas no sistema (4.6).

5. Discretizacao espacial utilizando o metodo de

Galerkin

De posse da formulacao variacional, ou seja da formulacao fraca do nosso

problema, o proximo passo para a construcao da solucao numerica, e a discre-

tizacao do sistema (4.6) utilizando o metodo de Galerkin nas variaveis espaciais

Ciarlet (1979), ja que nao e possıvel apresentar a solucao analıtica do problema.

Temos base na teoria de Lions para esperar existencia e unicidade da solucao

para o qual o metodo proposto deve convergir Lions (1961).

Inicialmente vamos definir o espaco de aproximacao do nosso problema

como espaco de dimensao finita Vh ∈ V , com base ϕ1, ..., ϕn: Temos entao


que encontrar Sh, Ih, Rh, Mh e Ph, tais que:

(∂Sh

∂t|v)+ αS (∇Sh||∇v) + VS1

(∂Sh

∂x|v)+ VS2

(∂Sh

∂y|v)+ µS(Sh|v) =

λH

((Sh + Ih +Rh)

(1− Sh + Ih +Rh

K

)|v)− βH (ShPh|v) + γH (Rh|v)

(∂Ih∂t

|v)+ αI (∇Ih||∇v) + VI1

(∂Ih∂x

|v)+ VI2

(∂Ih∂y

|v)+ µI (Ih|v) =

βH (ShPh|v)− δH (Ih|v)

(∂Rh

∂t|v)+ αR (∇Rh||∇v) + VR1

(∂Rh

∂x|v)+ VR2

(∂Rh

∂y|v)

=

δH (Ih|v)− γH (Rh|v)

(∂Mh

∂t|v)+ αM (∇Mh||∇v) +WM1

(∂Mh

∂x|v)+WM2

(∂Mh

∂y|v)

+µM (Mh|v) = λM

((Mh + Ph)

(1− Mh + Ph

L

)|v)− βM (MhI|vh)

(∂Ph

∂t|v)+ αP (∇Ph||∇v) +WP1

(∂Ph

∂x|v)+WP2

(∂Ph

∂y|v)+ µM (Ph|v) =

βM (MhIh|v)(5.7)

para todo v ∈ V .

Usando a notacao (4.4), iremos proceder a uma separacao de variaveis:

Uh =n∑

j=1

U(t)jϕj(x, y) (5.8)

e a aproximacao da solucao do problema (5.7), onde Uh = Sh, Ih, Rh,Mh, Ph e

as respectivas derivadas temporal e espaciais:

∂Uh

∂t=

n∑j=1

dUj

dtϕj(x, y) (5.9)

∂Uh

∂x=

n∑i=1

Uj∂ϕj

∂x(x, y) (5.10)


∂Uh

∂y=

n∑i=1

Uj∂ϕj

∂y(x, y) (5.11)

Substituindo as equacoes (5.8)-(5.11) em cada uma das equacoes da for-

mulacao variacional (5.7), temos:nn∑j=1

dSj

dt(ϕj |v) + αS

nn∑j=1

Sj(∇ϕj ||∇v)

+ VS1

nn∑j=1

Sj

(∂ϕj

∂x|v)+ VS2

nn∑j=1

Sj

(∂ϕj

∂y|v)+ µS

nn∑j=1

Sj(ϕj |v)

= λH

nn∑j=1

Sj(ϕj |v) + λH

nn∑j=1

Ij(ϕj |v) + λH

nn∑j=1

Rj(ϕj |v)

− λH

K

nn∑j=1

Sj

nn∑k=1

(Sk + Ik +Rk)(ϕjϕk|v)

− λH

K

nn∑j=1

Ij

nn∑k=1

(Sk + Ik +Rk)(ϕjϕk|v)−λH

K

nn∑j=1

Rj

nn∑k=1

(Sk + Ik +Rk)(ϕjϕk|v)

− βH

nn∑j=1

Sj

nn∑k=1

Pk(ϕjϕk|v) + γH

nn∑j=1

Rj(ϕj |v)

nn∑j=1

dIjdt

(ϕj |v) + αI

nn∑j=1

Ij(∇ϕj ||∇v)

+ VI1

nn∑j=1

Ij

(∂ϕj

∂x|v)+ VI2

nn∑j=1

Ij

(∂ϕj

∂y|v)+ µI

nn∑j=1

Ij(ϕj |v)

= βH

nn∑j=1

Sj

nn∑k=1

Pk(ϕjϕk|v)− δH

nn∑j=1

Ij(ϕj |v)

nn∑j=1

dRj

dt(ϕj |v) + αR

nn∑j=1

Rj(∇ϕj ||∇v)

+ VR1

nn∑j=1

Rj

(∂ϕj

∂x|v)+ VR2

nn∑j=1

Rj

(∂ϕj

∂y|v)

= δH

nn∑j=1

Ij(ϕj |v)− γH

nn∑j=1

Rj(ϕj |v)

nn∑j=1

dMj

dt(ϕj |v) + αM

nn∑j=1

Ij(∇ϕj ||∇v)

+WM1

nn∑j=1

Mj

(∂ϕj

∂x|v)+WM2

nn∑j=1

Mj

(∂ϕj

∂y|v)+ µM

nn∑j=1

Mj(ϕj |v)


= λM

nn∑j=1

Mj(ϕj |v) + λM

nn∑j=1

Pj(ϕj |v)

− λM

L

nn∑j=1

Mj

nn∑k=1

Mk + 2nn∑j=1

Mj

nn∑k=1

Pk +nn∑j=1

Pj

nn∑k=1

Pk

(ϕjϕk|v)

− βv

nn∑j=1

Mj

nn∑k=1

Ik(ϕjϕk|v)

nn∑j=1

dPj

dt(ϕj |v) + αP

nn∑j=1

Pj(∇ϕj ||∇v)

+WP1

nn∑j=1

Pj

(∂ϕj

∂x|v)+WP2

nn∑j=1

Pj

(∂ϕj

∂y|v)+ µH

nn∑j=1

Pj(ϕj |v)

= βv

nn∑j=1

Mj

nn∑k=1

(Ik)(ϕjϕk|v)

para todo v ∈ Vh.

E como v ∈ Vh e qualquer, podemos tomar ϕi ∈ Vh.

nn∑j=1

dSj

dt(ϕj |ϕi) + αS

nn∑j=1

Sj(∇ϕj ||∇ϕi)

+VS1

nn∑j=1

Sj

(∂ϕj

∂xϕi

)+ VS2

nn∑j=1

Sj

(∂ϕj

∂y|ϕi

)+ µS

nn∑j=1

Sj(ϕj |ϕi)

= λH

nn∑j=1

Sj(ϕjϕi) + λH

nn∑j=1

Ij(ϕj |ϕi) + λH

nn∑j=1

Rj(ϕj |ϕi)

−λH

K

nn∑j=1

Sj

nn∑k=1

(Sk + Ik +Rk)(ϕjϕk|ϕi)

−λH

K

nn∑j=1

Ij

nn∑k=1

(Sk + Ik +Rk)(ϕjϕk|ϕi)−λH

K

nn∑j=1

Rj

nn∑k=1

(Sk + Ik +Rk)(ϕjϕk|ϕi)

−βH

nn∑j=1

Sj

nn∑k=1

Pk(ϕjϕk|ϕi) + γH

nn∑j=1

Rj(ϕj |ϕi)(5.12)


nn∑j=1

dIjdt

(ϕj |ϕi) + αI

nn∑j=1

Ij(∇ϕj ||∇ϕi)

+VI1

nn∑j=1

Ij

(∂ϕj

∂x|ϕi

)+ VI2

nn∑j=1

Ij

(∂ϕj

∂y|ϕi

)+ µI

nn∑j=1

Ij(ϕj |ϕi)

= βH

nn∑j=1

Sj

nn∑k=1

Pk(ϕjϕk|ϕi)− δH

nn∑j=1

Ij(ϕj |ϕi) (5.13)

nn∑j=1

dRj

dt(ϕj |ϕi) + αR

nn∑j=1

Rj(∇ϕj ||∇ϕi)

+VR1

nn∑j=1

Rj

(∂ϕj

∂x|v)+ VR2

nn∑j=1

Rj

(∂ϕj

∂y|ϕi

)

= δH

nn∑j=1

Ij(ϕj |ϕi)− γH

nn∑j=1

Rj(ϕj |ϕi) (5.14)

nn∑j=1

dMj

dt(ϕj |ϕi) + αM

nn∑j=1

Ij(∇ϕj ||∇ϕi)

+WM1

nn∑j=1

Mj

(∂ϕj

∂x|ϕi

)+WM2

nn∑j=1

Mj

(∂ϕj

∂y|ϕi

)+ µM

nn∑j=1

Mj(ϕj |ϕi)

= λM

nn∑j=1

Mj(ϕj |ϕi) + λM

nn∑j=1

Pj(ϕj |ϕi)

−λM

L

nn∑j=1

Mj

nn∑k=1

Mk + 2nn∑j=1

Mj

nn∑k=1

Pk +nn∑j=1

Pj

nn∑k=1

Pk

(ϕjϕk|ϕi)

−βM

nn∑j=1

Mj

nn∑k=1

Ik(ϕjϕk|ϕi)(5.15)

nn∑j=1

dPj

dt(ϕj |ϕi) + αP

nn∑j=1

Pj(∇ϕj ||∇ϕi)

+WP1

nn∑j=1

Pj

(∂ϕj

∂x|ϕi

)+WP2

nn∑j=1

Pj

(∂ϕj

∂y|ϕi

)+ µH

nn∑j=1

Pj(ϕj |ϕi)

= βM

nn∑j=1

Mj

nn∑k=1

(Ik)(ϕjϕk|ϕi) (5.16)


6. Discretizacao temporal utilizando o metodo de

Cranck-Nicolson

Para a discretizacao da variavel temporal vamos utilizar o metodo de

Crank Nicolson que e um metodo de aproximacao implıcita de segunda ordem

Cunha (1993). Aplicando a diferenca centrada no tempo tn+1/2, obtemos a

seguintes aproximacoes:

Uj

dt(x, y, tn+1/2) ≈

U(n+1)j − U

(n)j

2(6.17)

dUj

dt(x, y, tn+1/2) ≈

U(n+1)j − U

(n)j

∆t(6.18)

Substituindo as equacoes (6.17) e (6.18) nas equacoes (5.12)-(5.16) te-

mos:nn∑j=1

S(n+1)j − S

(n)j

∆t(ϕj |ϕi) + αS

nn∑j=1

S(n+1)j + S

(n)j

2(∇ϕj ||∇ϕi)

+ VS1

nn∑j=1

S(n+1)j + S

(n)j

2

(∂ϕj

∂x|ϕi

)+ VS2

nn∑j=1

S(n+1)j + S

(n)j

2

(∂ϕj

∂y|ϕ)

+ µS

nn∑j=1

S(n+1)j + S

(n)j

2(ϕj |ϕi)

= λH

nn∑j=1

S(n+1)j + S

(n)j

2+

nn∑j=1

I(n+1)j + I

(n)j

2λH

nn∑j=1

R(n+1)j +R

(n)j

2

(ϕj |ϕi)

− λH

K

nn∑j=1

S(n+1)j + S

(n)j

2

nn∑k=1

S(n+1)k + S

(n)k

2

(ϕjϕk|ϕj)

− λH

K

2 nn∑j=1

S(n+1)j + S

(n)j

2

nn∑k=1

I(n+1)k + I

(n)k

2

(ϕjϕk|ϕj)

− λH

K

2 nn∑j=1

S(n+1)j + S

(n)j

2

nn∑k=1

R(n+1)k +R

(n)k

2

(ϕjϕk|ϕj)

− λH

K

2 nn∑j=1

I(n+1)j + I

(n)j

2

nn∑k=1

R(n+1)k +R

(n)k

2

(ϕjϕk|ϕj)

− λH

K

nn∑j=1

I(n+1)j + I

(n)j

2

nn∑k=1

I(n+1)k + I

(n)k

2

(ϕjϕk|ϕj)


− λH

K

nn∑j=1

R(n+1)j +R

(n)j

2

nn∑k=1

R(n+1)k +R

(n)k

2

(ϕjϕk|ϕj)

−βH

nn∑j=1

S(n+1)j + S

(n)j

2

nn∑k=1

P(n+1)k + P

(n)k

2(ϕjϕk|ϕj)+γH

nn∑j=1

R(n+1)j +R

(n)j

2(ϕj |ϕi)

para a populacao de suscetıveis.

De modo analogo, fazemos para as equacoes das populacoes de humanos,

infectados e recuperados e a para mosquitos nao portadores e mosquitos porta-

dores. Multiplicando cada termos por ∆t, reorganizando os termos e colocando

os termos do instante (n+1) do lado esquerdo e do instante (n) do lado direito

para cada equacao, obtemos:

Equacao para a populacao de suscetıveis.nn∑j=1

S(n+1)j

[(1 + (µS − λH)

∆t

2

)(ϕj |ϕi) + αS

∆t

2(∇ϕj ||∇ϕi)

]+

nn∑j=1

S(n+1)j

[VS1

∆t

2

(∂ϕj

∂x|ϕi

)+ VS2

∆t

2

(∂ϕj

∂y|ϕi

)]

+nn∑j=1

S(n+1)j

[nn∑k=1

(βH

∆t

4(P

(n+1)k + P

(n)k )

)(ϕjϕk|ϕi)

]

+nn∑j=1

S(n+1)j

nn∑k=1

[λH

∆t

4kS(n+1)k + S

(n)k

](ϕjϕk|ϕi)

+nn∑j=1

S(n+1)j

nn∑k=1

[2λH

∆t

4k(I

(n+1)k + I

(n)k +R

(n+1)k +R

(n)k )

](ϕjϕk|ϕi)

=nn∑j=1

S(n)j

[(1− (µS − λH)

∆t

2

)(ϕj |ϕi)− αS

∆t

2(∇ϕj ||∇ϕi)

]−

nn∑j=1

S(n)j

[VS1

∆t

2

(∂ϕj

∂x|ϕi

)+ VS2

∆t

2

(∂ϕj

∂y|ϕi

)]

−nn∑j=1

S(n)j

[nn∑k=1

(βH

∆t

4(P

(n+1)k + P

(n)k )

)(ϕjϕk|ϕi)

]

+

nn∑j=1

S(n)j

nn∑k=1

[λH

∆t

4kS(n+1)k + S

(n)k

](ϕjϕk|ϕi)

+nn∑j=1

S(n)j

nn∑k=1

[2λH

∆t

4k(I

(n+1)k + I

(n)k +R

(n+1)k +R

(n)k )

](ϕjϕk|ϕi)

+

λH∆t

2

nn∑j=1

(I(n+1)j + I

(n)j ) + (λH + γH)

nn∑k=1

(R(n+1)k +R

(n)k )

(ϕj |ϕi)


−λH∆t

4K

nn∑j=1

(I(n+1)j + I

(n)j )

(nn∑k=1

(I(n+1)k + I

(n)k ) + 2(R

(n+1)k +R

(n)k )

) (ϕjϕk|ϕi)

− λH∆t

2K

nn∑j=1

(R(n+1)j +R

(n)j )

nn∑k=1

(R(n+1)k +R

(n)k )

(ϕjϕk|ϕi)

Equacao para a populacao de infectadosnn∑j=1

I(n+1)j

[(1 + (δH + µH)

∆t

2

)(ϕj |ϕi) + αI

∆t

2(∇ϕj ||∇ϕi)

]+

nn∑j=1

I(n+1)j

[VI1

∆t

2

(∂ϕj

∂x|ϕi

)+ VI2

∆t

2

(∂ϕj

∂y|ϕi

)]=

nn∑j=1

I(n)j

[(1− (δH + µH)

∆t

2

)(ϕj |ϕi)− αI

∆t

2(∇ϕj ||∇ϕi)

]−

nn∑j=1

I(n)j

[VI1

∆t

2

(∂ϕj

∂x|ϕi

)− VI2

∆t

2

(∂ϕj

∂y|ϕi

)]+ βH

∆t

4

nn∑j=1

nn∑k=1

(S(n+1)j + S

(n)j

)(P

(n+1)k + P

(n)k

)(ϕjϕk|ϕi)

Equacao para a populacao de Recuperadosnn∑j=1

R(n+1)j

[(1 + γH

∆t

2

)(ϕj |ϕi) + αR

∆t

2(∇ϕj ||∇ϕi)

]+

nn∑j=1

R(n+1)j

[VR1

∆t

2

(∂ϕj

∂x|ϕi

)+ VR2

∆t

2

(∂ϕj

∂y|ϕi

)]=

nn∑j=1

R(n)j

[(1− γH

∆t

2

)(ϕj |ϕi)− αR

∆t

2(∇ϕj ||∇ϕi)

]−

nn∑j=1

R(n)j

[VR1

∆t

2

(∂ϕj

∂x|ϕi

)− VR2

∆t

2

(∂ϕj

∂y|ϕi

)]+ δH

∆t

2

nn∑j=1

(I(n+1)j + Ij

)(ϕj |ϕi)

Equacao para Mosquitos nao Portadoresnn∑j=1

M(n+1)j

[(1 + (µM − λM )

∆t

2

)(ϕj |ϕi) + αM

∆t

2(∇ϕj ||∇ϕi)

]+

nn∑j=1

M(n+1)j

[WM1

∆t

2

(∂ϕj

∂x|ϕi

)+WM2

∆t

2

(∂ϕj

∂y|ϕi

)]+ βv

∆t

4

nn∑j=1

M(n+1)j

nn∑k=1

(I(n+1)k + I

(n)k )(ϕjϕk|ϕi)


+

nn∑j=1

M(n+1)j

[λM

∆t

4L

nn∑k=1

(M(n+1)K +M

(n)k ) + λM

∆t

2L

nn∑k=1

(P(n+1)K + P

(n)k )

](ϕjϕk|ϕi)

=nn∑j=1

M(n)j

[(1− (µM − λM )

∆t

2

)(ϕj |ϕi)− αM

∆t

2(∇ϕj ||∇ϕi)

]−

nn∑j=1

M(n)j

[WM1

∆t

2

(∂ϕj

∂x|ϕi

)+WM2

∆t

2

(∂ϕj

∂y|ϕi

)]− βv

∆t

4

nn∑j=1

M(n)j

nn∑k=1

(I(n+1)k + I

(n)k )(ϕjϕk|ϕi)

−nn∑j=1

M(n)j

[λM

∆t

4L

nn∑k=1

(M(n+1)k +M

(n)k ) + λM

∆t

2L

nn∑k=1

(P(n+1)k + P

(n)k )

](ϕjϕk|ϕi)

+ λM∆t

2

nn∑j=1

(P(n+1)j + P

(n)j )(ϕj |ϕi)

− λM∆t

4L

nn∑j=1

(P(n+1)j + P

(n)j )

nn∑k=1

(P(n+1)k + P

(n)k )(ϕjϕk|ϕi)

Equacao para Mosquitos Portadores

nn∑j=1

P(n+1)j

[(1 + µM )

∆t

2(ϕj |ϕi) + αP

∆t

2(∇ϕj ||∇ϕi)

]+

nn∑j=1

P(n+1)j

[WP1

∆t

2

(∂ϕj

∂x|ϕi

)+WP2

∆t

2

(∂ϕj

∂y|ϕi

)]=

nn∑j=1

P(n)j

[(1− µM )

∆t

2(ϕj |ϕi) + αP

∆t

2(∇ϕj ||∇ϕi)

]−

nn∑j=1

P(n)j

[WP1

∆t

2

(∂ϕj

∂x|ϕi

)+WP2

∆t

2

(∂ϕj

∂y|ϕi

)]+ βv

∆t

4

nn∑j=1

nn∑k=1

(M(n+1)j +M

(n)j )(I

(n+1)k + I

(n)k )(ϕjϕk|ϕi)

7. Tratamento das variaveis nao lineares

De uma maneira geral as equacoes anteriores podem ser descritas na

forma matricial, cujo problema e apresentado do seguinte modo: encontrar

S(n), I(n), R(n),M (n), P (n) tais que


AS(·)S(n+1) = BS(·)S(n)

AI(·)I(n+1) = BI(·)I(n)

AR(·)R(n+1) = BR(·)R(n)

AM (·)M (n+1) = BM (·)M (n)

AP (·)P (n+1) = BP (·)P (n)

(7.19)

onde

AS(·) = AS(P(n), S(n), I(n), R(n), P (n+1), S(n+1), I(n+1), R(n+1))

BS(·) = BS(P(n), S(n), I(n), R(n), P (n+1), S(n+1), I(n+1), R(n+1))

AI(·) = AI(c)

BI(·) = BI(S(n), P (n), S(n+1), P (n+1))

AR(·) = AR(c)

BR(·) = BR(I(n), I(n+1))

AM (·) = AM (I(n),M (n), P (n),M(I(n+1),M (n+1), P (n+1))

BM (·) = BM (I(n),M (n), P (n), I(n+1),M (n+1), P (n+1))

AP (·) = AR(c)

BP (·) = BR(I(n),M (n), I(n+1),M (n+1))

Para resolver o sistema (7.19) nos baseamos no metodo do preditor-

corretor estudado pelo autores Douglas e Dupont, Douglas Jr et al. (1979). Este

metodo de resolucao consiste em, a cada passo do tempo, resolver o sistema

nao linear atraves de processos iterativos, Tabares (2012).

A seguir, vamos resolver o sistema (7.19) para n = 0, temos portanto

que resolver o seguinte sistema:


AS(·)S(1) = BS(·)S(0)

AI(·)I(1) = BI(·)I(0)

AR(·)R(1) = BR(·)R(0)

AM (·)M (1) = BM (·)M (0)

AP (·)P (1) = BP (·)P (0)

(7.20)

Dadas S(0), I(0), R(0),M (0), P (0) as condicoes iniciais de cada uma das

populacoes: Para encontrar S(1), I(1), R(1),M (1), P (1) vamos inicialmente efe-

tuar o seguinte processo iterativo Souza (2010), que passamos a descrever:

• calculamos S(∗)

AS(S(0), I(0), P (0), R(0), S(0), I(0), P (0), R(0))S(∗) =

BS(S(0), I(0), P (0), R(0), S(0), I(0), P (0), R(0))S(0)

obtemos o vetor S(∗)

• calculamos I(∗)

AI(c)I(∗) = BI(P

(0), S(∗), S(0), P (0))I(0)

obtemos o vetor I(∗)

• calculamos R(∗)

AR(c)R(∗) = BR(I

(0), I(∗))R(0)

obtemos o vetor R(∗)

• calculamos M (∗)

AM (I(∗),M (0), P (0), I(0),M (0), P (0))M (∗) =

BM (I(∗),M (0), P (0), I(0),M (0), P (0))M (0)

obtemos o vetor M (∗)

• calculamos P (∗)

AP (c)P(∗) = BP (I

(∗),M (∗), I(0),M (0))P (0)

obtemos o vetor P (∗)

Para encontrar S(∗∗), I(∗∗), R(∗∗),M (∗∗), P (∗∗), fazemos o processo analogo

ao anterior, do seguinte modo:


• calculamos S(∗∗)

AS(S(0), I(0), P (0), R(0), S(∗), I(∗), P (∗), R(∗))S(∗∗) =

BS(S(0), I(0), P (0), R(0), S(∗), I(∗), P (∗), R(∗))S(0)

obtemos o vector S(∗∗)

• calculamos I(∗∗)

AI(c)I(∗∗) = BI(P

(0), S(∗∗), S(0), P (∗))I(0)

obtemos o vetor I(∗∗)

• calculamos R(∗∗)

AR(c)R(∗∗) = BR(I

(0), I(∗∗))R(0)

obtemos o vetor R(∗∗)

• calculamos M (∗∗)

AM (I(∗∗),M (∗), P (∗), I(0),M (0), P (0))M (∗∗) =

BM (I(∗∗),M (∗), P (∗), I(0),M (0), P (0))M (0)

obtemos o vetor M (∗∗)

• calculamos P (∗∗)

AP (c)P(∗∗) = BP (I

(∗∗),M (∗∗), I(0),M (0))P (0)

obtemos o vetor P (∗∗)

Continuando sucessivamente este processo ate obtermos:

S(1) = S(5∗), I(1) = I(5∗), R(1) = R(5∗), M (1) = M (5∗) e P (1) =

P (5∗)

8. Resultados e discussao

Como o principal objetivo deste trabalho ao propormos o modelo, e de

analisar o impacto do espalhamento geografico da epidemia da malaria na regiao

de Mocambique, os parametros de difusao ou transporte para as populacoes em

estudo, sao de importancia significante para os testes realizados.

Neste primeiro estudo, as simulacoes numericas foram feitas em uma

malha regular, e posteriormente resolveremos o problema numericamente sobre

a regiao de Mocambique, ou seja, com uma malha irregular. Sendo assim, os


resultados que aqui apresentaremos sao testes em que os parametros utilizados

foram escolhidos de modo que satisfacam as condicoes de Peclet.

A tabela a seguir contem os parametros utilizados nas iteracoes:

Tabela 1: Tabela de Parametrosα V µ β λ δ

Suscetıveis 0.10e-2 0 0.0004 0.01 0.01 -

Infectados 0.10e-3 0 0.03 - - 0.02

Recuperados 0.10e-2 0 - - - -

M.nao portador 0.10e-2 0 0.002 0.01 0.009 -

M. portador 0.10e-2 0 - - - -

Como se observa na Tabela 1, as caracterısticas migratorias ou de trans-

porte advectivo sao consideradas nulas nestes ensaios, permitindo uma analise

qualitativa dos resultados graficos.

E as condicoes iniciais que utilizamos nestes testes sao:

S0 = 50, I0 = 0, R0 = 0, M0 = 100 e P 0 = 1, isto e, colocamos

apenas uma pequena densidade de mosquito infectado no no 525 da nossa

malha regular.


Figura 1: Solucao numerica: Suscetıveis, infectados, recuperados, mosquitos

nao portadores e mosquitos portadores. Solucao gerada apos 40 iteracoes


Pode-se observar nesta Figura 1 que com a introducao de uma baixıssima

densidade de mosquitos infectados num dos pontos do domınio, apos certo

numero de iteracoes observam-se a passagem de suscetıveis a infectados e destes

a recuperados em proporcao bem menor; comportamento identico ocorre com

o mosquitos.


nao portadores e mosquitos portadores

Na Figura 2 esta mesma situacao pode ser observada de outro ponto de

vista.

Apos 1000 interacoes obtivemos os seguintes resultados:




Como podemos observar na Figura 3, o mesmo comportamento e ob-

servado mas de modo qualitativa e numericamente intensificado, tanto para a

populacao humana quanto para os mosquitos.




Aqui de novo podemos ver na Figura 4 que, esta mesma situacao pode

ser observada de outro ponto de vista.

9. Conclusao

Neste trabalho apresentamos um instrumental numerico-computacional

que permita, como ferramenta auxiliar, contribuir para polıticas publicas de

combate a malaria atraves da eliminacao da quantidade de mosquito.

Alem disto, este assim chamado instrumental pode servir de motivacao

e estımulo para trabalhos de ambito transdisciplinar que reuna entomologos,

matematicos, responsaveis por polıticas publicas e cientistas computacionais


para futuros trabalhos em areas afim, tanto como objecto-fim de pesquisa,

como instrumento auxiliar em estudo de maior amplitude.

Agradecimentos

A autora gostaria de expressar os seus agradecimentos a CAPES pelo

recurso financeiro.

Referencias

Ciarlet, P. G. (1979). The Finite Element Method For Elliptic Problems. Nort-

Holland Publishing Compony, Amsterdan, 1a edicao.

Cunha, M. C. C. (1993). Metodos Numericos. Ed.Unicamp, Campinas/SP, 1a

edicao.

Douglas Jr, J., Dupont, T., e Ewing, E. R. (1979). Incomplete iteration for

time-sepping a Galerking method for a quasi-linear parabolic problem. Siam

– J.Numerical Analysis, 16:575–626.

Lions, J. L. (1961). Equations–Differentiells e Problemes aux Limites. Springer

Verlag, Paris.

Macufa, M. M. M. (2011). Modelos epidemiologicos alternativos da malaria.

Dissertacao de Mestrado, IMECC–UNICAMP, Campinas/SP.

Ministerio da Saude (2012). Programa nacional de controle da malaria.

Mocambique, http://www.rollbackmalaria.org/flescountries/ Acesso

em: 15/04/2015.

Souza, J. M. R. (2010). Estudo da dispersao de risco de epizootias em animais:

o caso da influenza aviaria. Dissertacao de Mestrado, IMECC–UNICAMP,

Campinas/SP.

Tabares, P. C. C. (2012). Impacto do sedimento sobre especies que interagem:

modelagem e simulacoes de bentos na Enseada Potter. Tese de Doutorado,

IMECC–UNICAMP, Campinas/SP.

Documents

Difus~ao da mal aria em Mo˘cambique: …biomat/bio25_art11.pdfDifus~ao da mal aria em Mo˘cambique ... 165 Mo¸cambique termos o oceano Índico, onde consideramos que não há