Dissertação de Mestradotaurus.unicamp.br/bitstream/REPOSIP/266452/1/... · UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA ÁREA DE CONCENTRAÇÃO DESENVOLVIMENTO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA

ÁREA DE CONCENTRAÇÃO

DESENVOLVIMENTO DE PROCESSOS QUÍMICOS

MMOODDEELLAAGGEEMM EE SSIIMMUULLAAÇÇÃÃOO DDEE UUMM LLEEIITTOO FFLLUUIIDDIIZZAADDOO:: UUMM EESSTTUUDDOO CCOOMMPPAARRAATTIIVVOO

Autor: Maximilian Joachim Hodapp

Orientador: Milton Mori

Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade

de Engenharia Química como parte dos requisitos

exigidos para a obtenção do título de Mestre em

Engenharia Química.

Campinas - São Paulo

Fevereiro de 2009

ii

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA

BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA - BAE - UNICAMP

H66m

Hodapp, Maximilian Joachim

Modelagem e simulação de um leito fluidizado: um

estudo comparativo / Maximilian Joachim Hodapp. --

Campinas, SP: [s.n.], 2009.

Orientador: Milton Mori.

Dissertação de Mestrado - Universidade Estadual de

Campinas, Faculdade de Engenharia Química.

1. Dinâmica dos fluidos. 2. Escoamento multifásico.

3. Metodos de simulação. 4. Método dos volumes

finitos. I. Mori, Milton. II. Universidade Estadual de

Campinas. Faculdade de Engenharia Química. III.

Título.

Título em Inglês: Modeling and simulation of a fluidized bed: a

comparative study

Palavras-chave em Inglês: Computational Fluid Dynamics, Multiphase

flow;, Simulation methods, Finite volume

method

Área de concentração: Desenvolvimento de Processos Químicos

Titulação: Mestre em Engenharia Química

Banca examinadora: Henry França Meier, Maria das Graças Enrique da

Silva

Data da defesa: 16/02/2009

Programa de Pós Graduação: Engenharia Química

v

AGRADECIMENTOS

A realização do presente trabalho só foi possível devido a colaboração de uma série de

pessoas. As menções serão por ordem cronológica, uma vez que cada um teve grande

importância para mim. A começar, pelos professores da FURB pela alta formação que tive

durante minha graduação. Em especial aos professores Henry, Atilano e Chivanga, por

terem aberto seu grupo de pesquisa, incluindo também aos amigos Dirceu, Rodrigo e Vini.

A minha família pelo apoio irrestrito. A orientação do professor Milton, sempre

demonstrando grande interesse e empenho na resolução dos percalços no decorrer da

elaboração desta dissertação. Aos amigos do PQGe, Carol, Daniel, Fabio, Gabi, Graça, Jaci,

Jhon, Leo, Marcela, Marcos e Renato, não somente pelos bons momentos, mas também

pelas grandes discussões sobre CFD e outros assuntos. Ao Mozart, a Karoline e novamente

ao Henry pela grande ajuda nas subrotinas do CFX. Também agradeço a CAPES pelo apoio

financeiro na forma de bolsa e a PETROBRAS por apoiar o projeto no qual esta dissertação

está contida.

DEDICATÓRIA

Dedico esta dissertação a minha família, em especial a minha Mãe e minha Avó.

vi

EPIGRAFE

“I don't exactly know what I mean by that, but I mean it.” J . D. Salinger

“Any explanation or logic that explains everything so easily has a hidden trap in it. I'm

speaking from experience. Somebody once said if it's something a single book can explain,

it's not worth having explained.” H. Murakami

“In dreams begin responsibilities” W. B. Yeats

vii

RESUMO

O objetivo deste trabalho foi o estudo comparativo de duas modelagens para representação

de um escoamento gás-sólido. Na primeira modelagem avaliou-se uma correlação de

arraste apresentada recentemente na literatura, baseada em simulações lattice Boltzmann,

aplicada a escoamentos gás-sólido. Na segunda observou-se o efeito da variação do

coeficiente de especularidade na condição de contorno na parede sobre os perfis de

velocidade da fase particulada. Grande atenção tem sido dada a modelagem matemática de

escoamentos multifásicos, em especial ao gás-sólido, uma vez que vários processos

industriais utilizam-se desta operação. Porém o desenvolvimento de modelos analíticos que

incluam todos os fenômenos de transferência de massa, energia e quantidade de movimento

não encontra-se disponível, devido principalmente a grande complexidade dos fenômenos

envolvidos. Neste aspecto a fluidodinâmica computacional (CFD) tem demonstrado ser

uma boa alternativa para o estudo de sistemas complexos, sendo diversos estudos, não

somente de engenharia, aplicando esta técnica, publicados todos os anos. Como forma de

validar os resultados obtidos por este método numérico, escolheu-se um caso de estudo em

escala de laboratório. Os softwares comerciais ANSYS CFX 10 e FLUENT 6.3 foram

utilizados para a definição e resolução do problema, além do pós-processamento. Os

resultados obtidos foram comparados com os dados numéricos de um trabalho de mestrado

do PQGe, bem como com dados experimentais da literatura. Pode-se perceber que os

resultados, para a primeira abordagem não apresentaram melhoras em relação a outras

modelagens das forças entre e intra-partículas, além do maior tempo computacional

requerido. A segunda abordagem demonstrou valores adequados para o coeficiente

estudado.

Palavras-chave: CFD; Simulação numérica; Correlação arraste; Escoamento multifásico.

viii

ABSTRACT

The aim of this work was a comparative study of two different modeling to represent a gas-

solid flow. The first approach consists of a new drag correlation presented in the literature.

This relation was obtained through lattice Boltzmann simulations of gas-solid flow, thus

not depending on empirical data. The second looked for the effects of the variation of the

specularity coefficient at the wall boundary condition. Multiphase flow modeling is

gathering great attention, especially to gas-solid flows, due to its importance in industrial

processes. However analytical models that take into account the mass, momentum and

energy transfers are not available, mainly because of the complexities evolved in such

systems. Therefore Computational Fluid Dynamics (CFD) has proved to be a viable

alternative, having a large number of scientific works been published in recent years. In

order to validate the results a comparison with other simulations using different modeling,

done by another member of the PQGe laboratory, and with experimental data was carried

out. The commercial softwares ANSYS CFX 10 and FLUENT 6.3 were used to define and

numerically solve the problem, also to post process the results. For the first approach, the

comparison showed that the studied drag correlation gave no improvement upon the other

two models analyzed. Also a longer computational time was required, which can not be

ignored as an important parameter in CFD simulations. As for the second approach, it was

possible to obtain adequate values for the specularity coefficient.

Key words: CFD; Numerical Simulation; Drag correlation; Multiphase flow.

ix

SUMÁRIO

1. Capítulo – Introdução ............................................................................................ 1

1.1 Apresentação ...................................................................................................... 2

1.2 Objetivos ............................................................................................................ 3

1.2.1 Objetivos Específicos.................................................................................... 3

1.3 Organização da Dissertação ................................................................................ 4

2. Capítulo – Fundamentação Teórica ........................................................................ 5

2.1 Fluidização ......................................................................................................... 6

2.2 Classificação de Geldart do Material Particulado ................................................ 9

2.3 Aplicações Industriais de Leitos Fluidizados..................................................... 11

2.3.1 O Processo de Craqueamento Catalítico ...................................................... 12

2.3.1.1 Estudos sobre FCC .............................................................................. 15

2.4 Turbulência ...................................................................................................... 16

2.4.1 Modelos de Turbulência.............................................................................. 18

2.4.1.1 RANS .................................................................................................. 20

2.4.1.1.1 Modelos de Viscosidade Turbulenta ................................................ 21

2.4.1.1.2 Modelos de Tensores de Reynolds ................................................... 22

2.5 Abordagens de Modelagem de Escoamentos Multifásicos ................................ 22

2.6 Modelo de Lattice Boltzmann ........................................................................... 24

2.6.1 Correlação de Força de Arraste ................................................................... 28

x

3. Capítulo – Modelagem Matemática ..................................................................... 30

3.1 Modelagem do Escoamento Multifásico ........................................................... 31

3.1.1 Equações de Transporte .............................................................................. 31

3.1.2 Modelagem da Turbulência ......................................................................... 37

3.1.2.1 Modelo de Turbulência para a Fase Dispersa ....................................... 40

3.1.3 Forças Entre - Fases .................................................................................... 41

3.1.4 Teoria Cinética do Escoamento Granular .................................................... 48

3.1.5 Coeficiente de especularidade ..................................................................... 50

3.2 Método Numérico ............................................................................................. 51

3.2.1 Método dos Volumes Finitos ...................................................................... 52

3.2.2 Esquemas de Interpolação Advectivos ........................................................ 54

3.2.3 Esquemas de Interpolação Transientes ........................................................ 57

4. Capítulo – Metodologia ....................................................................................... 59

4.1 Técnicas CFD ................................................................................................... 60

4.2 Descrição dos Casos de Estudo ......................................................................... 62

4.2.1 Geometria e Malha Numérica ..................................................................... 64

4.2.2 Parâmetros Numéricos ................................................................................ 67

4.3 Condição Inicial e de Contorno ......................................................................... 68

5. Capítulo – Resultados e Discussões ..................................................................... 70

5.1 CASO 1 - Análise Inicial .................................................................................. 71

xi

5.1.1 Velocidade superficial 0,36 m s-1

................................................................ 72


................................................................ 78


................................................................ 84

5.1.4 Comportamento da Correlação de Arraste ................................................... 90

5.1.5 Experimentação Numérica da Modelagem Matemática ............................... 91

5.1.5.1 Modelo de Zero Equação para Turbulência da Fase Dispersa ............... 92

5.1.5.2 Modelo de Viscosidade Nula para Fase Dispersa ................................. 94

5.1.5.3 Modelo de Não-deslizamento para Condição de Contorno na Parede para

Fase Dispersa ....................................................................................................... 97

5.2 CASO 2 – Estudo da condição de contorno na parede ..................................... 100

6. Capítulo – Conclusões e Sugestões .................................................................... 105

Referências Bibliográficas ............................................................................................. 108

xii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Estágios de fluidização segundo KUNII E LEVENSPIEL (1969) ................... 6

Figura 2.2 – Gráfico em escala logarítmica da classificação de Geldart para partículas

fluidizadas com ar em condições ambientais. Reproduzido de BASTOS (2005). ................ 9

Figura 2.3 – Relação esquemática entre forças de corpo e entre partículas. Adaptado de

KNOWLTON (2005). ...................................................................................................... 11

Figura 2.4 – Esquema simplificado de um processo FCC, linhas azuis entradas e saídas de

fluidos e linhas vermelhas ciclo do catalisador, adaptado de BAI et al. (1998). ................. 14

Figura 2.5 – Gráfico ilustrativo das abordagens em modelagem de escoamentos turbulentos.

........................................................................................................................................ 19

Figura 2.6 – Geometria de um lattice (pontos) e vetores de velocidade (linhas) para um

modelo de duas dimensões e nove velocidades D2Q9 a) e um modelo de três dimensões e

dezenove velocidades D3Q19 b). Adaptado de MPIE (2008). ............................................ 25

Figura 2.7 – Abordagem multi-escala da modelagem gás-sólido, adaptado de DEEN et al.

(2006). ............................................................................................................................. 27

Figura 3.1 – Gráfico do coeficiente de arraste pelo número de Reynolds para frações

volumétricas de sólidos de 1%, 20% e 40%. ..................................................................... 48

Figura 3.2 – Representação de um volume finito bidimensional. ...................................... 54

Figura 4.1 – Resumo do procedimento para resolução de um problema qualquer.............. 60

Figura 4.2 – Representação da unidade de CFB a frio utilizada por Samuelsberg et al.

(1996), reproduzido de Marini (2008). ............................................................................. 63

Figura 4.3 – Geometria desenhada para a simulação do Riser. Retirado de MARINI (2008).

........................................................................................................................................ 65

xiii

Figura 4.4 – Detalhes da malha utilizada nas simulações numéricas, retirado de MARINI

(2008). ............................................................................................................................. 66

Figura 5.1 – Gráficos da média temporal da velocidade do particulado para as simulações

com simples e dupla precisão e dados experimentais para velocidade superficial do gás de

0,36 m s-1

em: a) altura de 0,16 m e b) altura de 0,32m. .................................................... 71

Figura 5.2 – Linhas de corrente da média temporal da velocidade do catalisador originadas

a partir da entrada primária. ............................................................................................. 73

Figura 5.3 – Campo da média temporal da velocidade do particulados normal ao plano ZX

na altura de 0,20 m do Riser. ............................................................................................ 74

Figura 5.4 – Linhas de corrente da média temporal da velocidade do catalisador originadas

a partir da entrada secundária, visão geral e detalhe. ......................................................... 75

Figura 5.5 – Campos de fração volumétrica de sólidos: a) escala logarítmica; b) detalhe na

saída; c) detalhe das entradas............................................................................................ 76

Figura 5.6 – Perfis de velocidade da fase particulada para velocidade superficial de 0,36 m

s-1

, para as alturas de a) 0,16 m; b) 0,32 m; c) 0,48 m. ...................................................... 78

Figura 5.7 – Perfil da média temporal da fração volumétrica do particulado em escala

logarítmica. ...................................................................................................................... 79

Figura 5.8 – Linhas de corrente da média temporal da velocidade do particulado partindo

do plano da entrada principal. .......................................................................................... 80

Figura 5.9 – Linhas de corrente da média temporal da velocidade do particulado partindo

do plano da entrada secundária. ........................................................................................ 81

Figura 5.10 – Campo de velocidade do particulado no corte axial do riser........................ 82


s-1


xiv

Figura 5.12 – Perfil da média temporal da fração volumétrica do particulado em escala

logarítmica. ...................................................................................................................... 85

Figura 5.13 – Linhas de corrente da média temporal da velocidade do particulado a partir

do plano da entrada primária. ........................................................................................... 86

Figura 5.14 - Linhas de corrente da média temporal da velocidade do particulado a partir do

plano da entrada secundária.............................................................................................. 87

Figura 5.15 – Velocidade do catalisador com destaque aos valores negativos próximo a

parede. ............................................................................................................................. 88


s-1


Figura 5.17 – Campo de fração volumétrica, coeficiente de arraste e velocidade relativa

gás-sólido, para velocidade de 1.42 m s-1

, no tempo de 15s. ............................................. 91

Figura 5.18 – Perfis de velocidade da fase particulada ao longo do raio para velocidade

superficial do gás de 0,71 m s-1

para 15 s de simulação, alturas de a) 0,16 m; b) 0,32 m; c)

0,48 m. ............................................................................................................................. 93

Figura 5.19 – Média temporal dos campos de fração volumétrica da fase dispersa nas

alturas de: a) 0,16 m; b) 0,32 m; c) 0,48 m. ...................................................................... 94

Figura 5.20 – Perfis de velocidade da fase particulada ao longo do raio para fase particulada

invíscida, na velocidade superficial do gás de 0,71 m s-1

para 15 s de simulação, alturas de

a) 0,16 m; b) 0,32 m; c) 0,48 m. ....................................................................................... 96

Figura 5.21 - Média temporal dos campos de fração volumétrica da fase dispersa nas alturas

de: a) 0,16 m; b) 0,32 m; c) 0,48 m................................................................................... 97

Figura 5.22 – Perfis de velocidade da fase particulada ao longo do raio, comparação das

condições de contorno na parede de não deslizamento e livre deslizamento, na velocidade

xv

superficial do gás de 0,71 m s-1

para 15 s de simulação, alturas de a) 0,16 m; b) 0,32 m; c)

0,48 m. ............................................................................................................................. 99

Figura 5.23 - Média temporal dos campos de fração volumétrica da fase dispersa nas alturas

de: a) 0,16 m; b) 0,32 m; c) 0,48 m................................................................................. 100

Figura 5.24 – Perfis de velocidade da fase particulada para os coeficientes de

especularidade 0,4 e 0,6 para a velocidade de 1,42 m s-1

, para três alturas: a) 0,16 m; b) 0,32

m; c) 0,48 m. .................................................................................................................. 102

Figura 5.25 – Perfis radiais de fração volumétrica da fase particulada para velocidade de

1,42 m s-1

, nas alturas de: a) 0,16 m; b) 0,32 m; c) 0,48 m. ............................................ 104

xvi

SIGLAS

BGK Bhatnagar-Gross-Krook

CFD Computational Fluid Dynamics

CPU Central Processing Unit

DES Detached Eddy Simulation

DNS Direct Numerical Simulation

DPM Discrete Particle Model

FCC Fluid Catalytic Cracking

HKL Hill-Koch-Ladd

KTGF Kinetic Theory of Granular Flow

LBM Lattice Boltzmann Method

LDA Laser Doppler Anemometry

LES Large Eddy Simulation

LGCA Lattice Gas Cellular Automata

NS Navier-Stokes

PQGe Laboratório de Pesquisa em Processos Químicos e Gestão Empresarial

RANS Reynolds-Averaged Navier-Stokes

RMS Root Mean Square

SAS Scale-Adaptive Simulation

TCC Thermofor Catalytic Cracking

TFM Two Fluid Model

xvii

NOMENCLATURA

Letras Latinas

A Área [m2]

Ar Número de Arquimedes [ ]

B Soma das forças de corpo [N m-3

]

C Constantes da equação da turbulência [ ]

Cd Coeficiente de arraste [ ]

d Diâmetro [m]

e Ponto a leste [ ]

f Fração volumétrica de qualquer fase [ ]

F Força de arraste adimensional [ ]

g Gravidade [m s-2

]

G Módulo de elasticidade [N m-2

]

I Tensor unidade [ ]

k Energia cinética turbulenta [m2 s

-2]

n Ponto ao norte [ ]

P Pressão [Pa]

Produção turbulenta [Kg m-1

s-3

]

Re Número de Reynolds [ ]

s Ponto ao sul [ ]

S Termo fonte [Kg m-3

s-1

]

S Tensor taxa deformação [N m-2

]

x Direção x [m]

y Direção y [m]

z Direção z [m]

xviii

t Tempo [s]

u Velocidade direção x [m s-1

]

v Velocidade direção y [m s-1

]

V Volume [m3]

w Velocidade direção z [m s-1

]

w Fator de ponderação (Correlação de Arraste) [ ]

w Ponto a oeste (Método Volumes Finitos) [ ]

Letras Gregas

β Coeficiente de transferência interfásico [Kg m-3

s-1

]

Ângulo [º]

Taxa de dissipação turbulenta [m2 s

-3]

Coeficiente de restituição [ ]

Temperatura granular [m2 s

-2]

Variável genérica (Método Volumes Finitos) [ ]

Coeficiente de especularidade [ ]

Fator de interpolação [ ]

Viscosidade dinâmica [Kg m-1

s-1

]

Massa específica [Kg m-3

]

Número de Prandtl turbulento [ ]

Direção em sistema de coordenadas [ ]

Tensor Tensão [N m-2

]

Vetor velocidade [m s-1, m s

-1, m s

-1]

ω Freqüência de turbulência [s-1

]

xix

Subscritos

c Colisão

ef Efetivo

f Fricção

g Fase gasosa

hkl Hill-Koch-Ladd

mb Mínimo borbulhamento

mf Mínima fluidização

mod Modificado

p Fase particulada

s Fase sólida

sl Slip

t Turbulento

x, y, z Eixos de coordenadas cartesianas

Sobrescritos

corr Velocidade ou pressão corrigida

n Enésimo termo

T Matriz transposta

trans Transição do número de Reynolds

1 CCaappííttuulloo 11 –– IInnttrroodduuççããoo

1. Capítulo 1 – Introdução

Esta dissertação está inserida como uma parte dos trabalhos do grupo de pesquisas

PQGe da Faculdade de Engenharia Química da Universidade Estadual de Campinas. O

grupo tem pesquisado ativamente, através da Fluidodinâmica Computacional (CFD),

diversos casos de escoamentos de interesse científico e tecnológico. Dentre as linhas de

pesquisa, os escoamentos multifásicos têm estado em destaque, principalmente devido à

grande aplicação destes em processos industriais. No atual estado da arte, a representação

matemática destes ainda é desafiadora, havendo vários trabalhos em desenvolvimento na

comunidade científica.

2 DDiisssseerrttaaççããoo ddee MMeessttrraaddoo

1.1 Apresentação

A observação do movimento dos fluidos tem motivado muitos pesquisadores, ao

longo de vários séculos, a se aprofundar neste estudo, em busca da compreensão dos

fenômenos envolvidos. Para essa compreensão é necessário traduzir o que se vê no mundo

físico para uma linguagem abstrata e genérica, a matemática. Isso ocorreu inicialmente

com o desenvolvimento das equações da estática dos fluidos, i.e. fluidos nos quais não há

forças de cisalhamento externas atuando sobre eles. Posteriormente chegou-se à

hidrodinâmica, cujo estudo enfoca o escoamento dos fluidos.

Porém a complexidade dos escoamentos encontrados na natureza faz com que esse

ramo da física clássica seja um dos mais difíceis e desafiadores, sendo que muitas questões

ainda precisam ser investigadas mais a fundo. A turbulência é um exemplo, mesmo sendo o

tipo de escoamento mais comumente observado, seu comportamento aparentemente caótico

tem demandado muita pesquisa científica, tanto teórica como experimental (CARRARA,

2005).

O desenvolvimento da matemática, especialmente com a criação do cálculo

diferencial integral, possibilitou uma descrição mais detalhada do mundo físico. A

representação de um escoamento se tornou possível com as equações gerais desenvolvidas

por Cauchy e, para um caso particular, as equações que levam o nome de Navier-Stokes

(NS). Porém a complexidade destas equações faz com que a resolução analítica destas, que

descrevem o sistema físico, seja apenas possível quando várias hipóteses simplificadoras

são consideradas. Para uma descrição mais acurada de um escoamento, a resolução das

equações precisa ser feita através de um método numérico. Estes apenas se tornaram

viáveis com o advento da computação.

Neste contexto desenvolveu-se a fluidodinâmica computacional, CFD

(Computational Fluid Dynamics), uma nova linha de estudo de fluidos, que procura

resolver numericamente escoamentos em quaisquer geometrias e com condições de

contorno gerais. Esta linha vem sendo cada vez mais utilizada, servindo para descrição de

problemas de engenharia, bem como para fenômenos naturais. Segundo LIMA apud

LÖNER (2001) dentre alguns dos motivos do grande interesse da comunidade científica

pela CFD, pode-se citar a necessidade de se prever o comportamento de um determinado

3 CCaappííttuulloo 11 –– IInnttrroodduuççããoo

produto sob certas condições, o fato de que os experimentos podem ter um custo muito

elevado ou serem proibitivos por questões de segurança, mas principalmente porque a CFD

permite obter uma quantidade muito grande de informações em qualquer ponto de um

determinado escoamento, o que num aparato experimental nem sempre é possível.

Um caso no qual há um grande complicador é a presença de mais de uma fase em

um escoamento, como em leitos fluidizados, nos quais sólidos finamente divididos são

arrastados pela fase fluida e em certas condições eles passam também a se comportar como

fluidos. Vários processos industriais utilizam estes sistemas, uma vez que apresentam

vantagens sobre outras configurações, principalmente pelo aumento dos coeficientes de

transferência de massa e calor entre as fases.

1.2 Objetivos

O objetivo central do presente trabalho foi realizar a modelagem matemática de um

escoamento turbulento gás-sólido em tubo vertical, utilizando para isso técnicas de CFD.

Mais especificamente este trabalho foi dividido em duas modelagens específicas. Através

da primeira desejou-se analisar a capacidade da correlação para a força de arraste,

desenvolvida por Hill, Koch e Ladd e modificada por Benyahia et al. (2006), obtida

através do método de Lattice Boltzmann, para prever tal escoamento. A segunda buscou

analisar os efeitos da variação do coeficiente de especularidade, utilizado para modelar a

condição de contorno na parede, sobre o escoamento. Ambos os casos partiram de um

experimento de leito fluidizado em escala de bancada encontrado na literatura

(SAMUELSBERG et al. 1996), o qual foi reproduzido em CFD, utilizando para tal

softwares comerciais ANSYS CFX versão 10 e FLUENT versão 6.3. Os resultados foram

comparados com os dados experimentais de velocidade da fase particulada. Também foram

feitas comparações com outras metodologias numéricas apresentadas no trabalho de

MARINI (2008).

1.2.1 Objetivos Específicos

Como objetivos específicos deste trabalho, pretendeu-se:


Determinar se a presente correlação de arraste produziria melhores resultados

quando comparados com dados experimentais e com a correlação de Gidaspow;

Identificar diferenças nos resultados das regiões densa (annulus) e diluída (core);

Estudar e aplicar alternativas para a modelagem da fase dispersa;

Avaliar se a correlação de arraste estudada pode ser aplicada para a modelagem da

fluidodinâmica de risers;

Verificar qual a influência da variação do coeficiente de especularidade sobre os

perfis de velocidade da fase particulada, especialmente na região próxima a parede;

Avaliar qual valor do coeficiente de especularidade é mais adequado ao tipo de

escoamento estudado.

1.3 Organização da Dissertação

Esta dissertação é divida em 6 capítulos, sendo que no Capítulo 1 introduz-se o tema

a ser estudado, bem como o objetivo da pesquisa realizada. No Capítulo 2 é apresentada a

fundamentação teórica dos fenômenos estudos, bem como de onde este estudo está inserido

num contexto acadêmico e de sua aplicação a processos industriais. No Capítulo 3 toda a

modelagem matemática do caso de estudo é apresentada, além da técnica utilizada para a

resolução numérica deste. No Capítulo 4 discute-se brevemente a metodologia adotada,

bem como a geometria e malha do caso de estudo. No Capítulo 5 são discutidos os

resultados obtidos através das simulações computacionais para os dois casos estudados. A

comparação com dados experimentais e também com outras simulações é comentada em

detalhes. No Capítulo 6 as conclusões obtidas neste trabalho são apresentadas, bem como

sugestões de trabalhos futuros. Por fim as Referências Bibliográficas utilizadas nesta

dissertação são expostas, para quem deseja se aprofundar e obter detalhes dos assuntos aqui

tratados.

5 CCaappííttuulloo 22 –– FFuunnddaammeennttaaççããoo TTeeóórriiccaa

2. Capítulo 2 – Fundamentação Teórica

Neste capítulo são descritas as bases teóricas dos principais fenômenos envolvidos

em escoamentos multifásicos. Por este tema ser de grande interesse, diversos trabalhos

abordando diversos aspectos têm sido publicados na literatura. Aqui são mencionados os

conceitos e jargões pertinentes ao estudo desenvolvido, as aplicações industriais que

motivaram financeiramente pesquisadores, bem como a teoria que embasou a modelagem

matemática, a qual é apresentada no Capítulo 3.


2.1 Fluidização

A terminologia fluidização provém do fato de um sólido, quando finamente

dividido, se comportar como um fluido quando arrastado por um gás ou um líquido. Porém

este é um fenômeno bastante complexo, podendo ser caracterizado pelo grau de influência

do fluido sobre a fase sólida de um leito. Uma destas classificações foi feita por KUNII e

LEVENSPIEL (1969), que diferenciaram os seguintes regimes de fluidização para uma

coluna, em que um fluido é injetado por um distribuidor sobre o qual está em repouso um

leito de partículas sólidas, Figura 2.1.

Figura 2.1 – Estágios de fluidização segundo KUNII E LEVENSPIEL (1969)


Inicialmente, partindo de uma velocidade nula para o fluido e aumentando esta

gradativamente, nada ocorre ao leito, tem-se apenas a passagem do fluido pelos interstícios

do particulado. Esta condição é chamada de leito fixo (Figura 2.1 a). Com o aumento da

velocidade de entrada do fluido, o espaço entre as partículas aumenta um pouco e algumas

começam a vibrar e a se mover em regiões restritas. A esta etapa denomina-se leito

expandido. Com mais um incremento da velocidade, ocorre a suspensão de todas as

partículas, neste ponto, a velocidade de fluidização mínima do sólido é atingida e há um

equilíbrio das forças de arraste do fluido sobre o sólido e da força peso do sólido. Nesta

condição o regime é denominado de fluidização insipiente ou mínima fluidização

(Figura 2.1 b). Inúmeros estudos visando a obtenção de correlações que determinem

matematicamente a velocidade mínima de fluidização (umf) foram realizados. A maioria

destas têm base puramente empírica, por exemplo através da medição da perda de carga ao

longo do leito com o aumento da velocidade superficial do gás. Uma das equações

desenvolvidas foi a modificação feita por GRACE et al. (1997) sobre a correlação de WEN

e YU (1966).

(2.1)

(2.2)

(2.3)


onde o Re é o número de Reynolds, Ar é o número de Arquimedes, é a massa específica,

μ é a viscosidade, d é o diâmetro e g a aceleração da gravidade.

A partir deste ponto, os sistemas líquido-sólido e gás-sólido se comportam de modo

diferente. No primeiro o aumento da velocidade ocasiona uma suave e progressiva

expansão do leito, sem a presença de bolhas ou não-uniformidades do leito. Este regime é

chamado de fluidização suave ou homogênea (Figura 2.1 c). Já no caso do sistema gás-

sólido, grandes instabilidades e bolhas podem ser observadas quando a velocidade mínima

de fluidização é ultrapassada. Também existe a possibilidade de formação de caminhos

preferenciais. Com vazões ainda maiores, os movimentos do leito se tornam mais caóticos e

a agitação é muito mais intensa, porem o leito não se expande mais. A esta etapa chama-se

leito fluidizado heterogêneo ou borbulhante (Figura 2.1 d).

Os leitos passam a ser borbulhantes quando a velocidade mínima de borbulhamento

é atingida (umb), a qual depende das propriedades das partículas e da viscosidade do gás e

que pode ser estimada pela correlação de Geldart e Abrahamsen 1978.

(2.4)

Num leito profundo e de diâmetro pequeno as bolhas podem ter o tamanho da

coluna, já que estas crescem e se coalescem, movendo-se para cima e assim empurrando o

sólido para cima. Este estado é definido como slugging (Figura 2.1 e). Quando uma bolha

se desintegra, as partículas sustentadas por ela desabam e caem até que a próxima bolha as

eleve novamente, causando um movimento oscilatório do leito (Figura 2.1 f).

Com um próximo aumento da velocidade do gás, a superfície do leito se torna

indefinida, pois a velocidade terminal das partículas foi excedida. Esta situação é denomina

leito fluidizado turbulento (Figura 2.1 g) e é caracterizada pelo movimento caótico do

sólido, agora bem mais disperso, e por espaços vazios de fluido. A partir deste ponto, as

partículas deixam a coluna, sendo necessário um reciclo para manter o leito operante.


Aumentando a velocidade uma última vez, chega-se no que é denominado de fluidização

dispersa com transporte pneumático. Nesta situação todo o sólido é arrastado na direção

principal do fluxo do fluido, sendo levado para fora da coluna (Figura 2.1 h).

2.2 Classificação de Geldart do Material Particulado

A classificação dos sólidos particulados de acordo com características morfológicas

e de escoamento foi proposta por Geldart (1973), (ROSA 2008). A divisão, que é retratada

na Figura 2.2, expressa a diferença entre as massas específicas da fase sólida e da fase

fluida pelo diâmetro médio das partículas.

Figura 2.2 – Gráfico em escala logarítmica da classificação de Geldart para partículas fluidizadas

com ar em condições ambientais. Reproduzido de BASTOS (2005).


Cada uma das letras que aparecem no gráfico refere-se a um grupo de partículas.

Pela ordem em que aparecem no gráfico, ou seja, em ordem crescente de diâmetro,

descreveu-se cada um deles como segue (KNOWLTON, 2005):

Grupo C – Partículas entre 0 e 30 m. São coesas e difíceis de fluidizar, pois

as forças interpartículas (van der Waals) são maiores que aquelas que o fluido pode exercer

sobre elas, de modo que a fluidização geralmente ocorre em blocos de partículas. Há a

ocorrência de caminhos preferenciais ou canalização do fluxo quando baixas velocidades

de gás são empregadas. A mistura das partículas e portanto também a transferência de calor

entre elas e o fluido é muito menor que nos outros grupos. Usualmente pode-se trabalhar

com este grupo com o auxílio de agitadores mecânicos. Entre este grupo e o grupo A existe

uma região de difícil distinção, sendo também denominada de região de transição.

Grupo A – Partículas entre 30 e 100 m. Como principal característica,

apresentam boa fluidização, usualmente com a formação de bolhas, porém não logo acima

da velocidade mínima de fluidização. Inicialmente há uma considerável expansão do leito.

As forças entre partículas ainda são consideráveis. Neste grupo estão inseridas as partículas

de catalisador de FCC, o que as tornaram objeto de várias pesquisas.

Grupo B – Partículas entre 100 e 1000 m. Neste grupo o borbulhamento do

leito ocorre logo após a for superada. As bolhas formadas tendem a subir mais

rapidamente que o gás, o que causa uma forte tendência à coalescência das bolhas. A

expansão do leito é pequena e quando a alimentação é cortada, o leito se desfaz

rapidamente. Exemplos de partículas deste grupo são o sal de cozinha, o polietileno e a

areia.

Grupo D – Partículas maiores que 1000 m. É necessária uma grande vazão

de fluido para fluidizar estas partículas. Além disso, o leito pode tornar-se errático,

produzindo bolhas grandes, canais preferenciais e até mesmo jorros. As bolhas coalescem

mais rapidamente, porém sobem mais lentamente que o gás que percola através do leito.


A Figura 2.3 representa a relação entre as forças interparticulares e de corpo para

cada grupo da classificação de Geldart.

Figura 2.3 – Relação esquemática entre forças de corpo e entre partículas. Adaptado de

KNOWLTON (2005).

2.3 Aplicações Industriais de Leitos Fluidizados

Dentro da indústria química os leitos fluidizados vêm sendo utilizados desde o

início do século XX, tendo sido principalmente utilizados na indústria de petróleo. Segundo

KUNII E LEVENSPIEL (1969), a primeira aplicação de leitos fluidizados em larga escala

foi numa planta de gaseificação de pó de carvão em 1922. Com a utilização cada vez maior

de petróleo e a demanda por tipos específicos de combustíveis, especialmente devido à

guerra na Europa, houve grande interesse em processos que suprissem tais demandas.

Alguns processos que utilizavam leito fixo tornavam a produção em larga escala bastante

cara, já que o catalisador utilizado tinha que ser regenerado, além de dificuldades em

controlar a temperatura. Como uma extensão destes processos surgiu o Thermofor Catalytic

Cracking ou Craqueamento Catalítico Termofor (TCC), que utilizava dois leitos

interligados, sendo um o reator e o outro o regenerador.

Em paralelo foi desenvolvido um sistema que consistia em um circuito completo de

transporte pneumático, consistindo em leitos fluidizados e linhas de transporte, com a

finalidade de craqueamento catalítico de querosene. O desenvolvimento desta tecnologia


ficou conhecido como Fluid Catalytic Cracking ou Craqueamento Catalítico (FCC).

Alguns problemas tiveram que ser superados, como por exemplo, recuperação do

catalisador, a aeração do leito e erosão das linhas de transporte. Assim foi construída a

primeira unidade de FCC comercial em 1942 nos Estados Unidos.

O princípio desenvolvido para sistemas FCC, circulação de sólidos, tem sido

utilizado em outros processos na indústria de petróleo, como nos processos de reforma de

vapor de nafta e para o tratamento de óleos pesados.

Todavia os leitos fluidizados também encontraram utilidade fora da indústria de

petróleo. No final da década de 1940, processos para secagem de pós e processos de

calcinação passaram a utilizar leitos fluidizados.

2.3.1 O Processo de Craqueamento Catalítico

O processo de craqueamento catalítico foi desenvolvido visando o aumento da

produção de compostos derivados do petróleo com maior valor de mercado, sendo que a

maioria destes compostos tem a cadeia molecular curta. O craqueamento catalítico rompe

cadeias complexas de hidrocarbonetos em moléculas mais simples, através do rearranjo da

estrutura das moléculas, de modo a aumentar a quantidade e qualidade dos compostos leves

e reduzir a quantidade de resíduos formados.

Segundo o OSHA TECHNICAL MANUAL (2003) o craqueamento catalítico é

similar ao processo de quebra térmica, sendo que, porém, o uso de catalisador facilita a

conversão, em condições menos severas de operação. Tipicamente um processo destes é

operado a temperaturas entre 727 K e 783 K e pressões entre 69 a 138 kPa. O catalisador

utilizado geralmente é um material sólido, como, por exemplo, zéolitas, hidrosilicato de

alumínio, bauxita, sílica entre outros, podendo ser produzido na forma de pó, pellets, ou

materiais de formas específicas, chamados de extrudados.

Existem três etapas básicas no processo de craqueamento catalítico:

Reação – A mistura de entrada reage na presença do catalisador, formando

os produtos desejados e coque;


Regeneração – O catalisador é reativado pela queima do coque depositado;

Fracionamento – Os hidrocarbonetos craqueados são separados em vários

produtos

Este processo pode ser subdividido em três tipos distintos, o Fluid Catalytic

Cracking (FCC), o Moving-Bed Catalytic Cracking e o Thermofor Catalytic Cracking

(TCC). De modo geral os três processos são bastante flexíveis, sendo os parâmetros de

operação facilmente ajustáveis, podendo atender as variações na demanda de produtos

específicos.

O FCC é o processo mais comumente utilizado. Nele o óleo é craqueado na

presença de um catalisador finamente dividido, mantido em fluidização pela fase contínua.

O craqueamento consiste numa seção catalítica e uma seção fracional, as quais operam em

conjunto como uma unidade de processamento integrada. Uma representação esquemática

simplificada deste processo é mostrada na Figura 2.4. A seção catalítica é composta por um

reator e um regenerador, que em conjunto com o standpipe e o riser formam a unidade

circulatória. O catalisador é continuamente circulado pelo reator e pelo regenerador através

de ar, vapor de óleos ou vapor de água.


Figura 2.4 – Esquema simplificado de um processo FCC, linhas azuis entradas e saídas de fluidos e linhas vermelhas ciclo do catalisador, adaptado de BAI et al. (1998).

O funcionamento de uma destas unidades envolve a mistura da corrente dos

hidrocarbonetos pré-aquecidos com o catalisador aquecido e regenerado enquanto entra no

riser. A mistura começa a subir pelo riser, os hidrocarbonetos são vaporizados devido ao

calor trocado com o catalisador aquecido. À medida que os vapores vão reagindo no

catalisador, a temperatura começa a decrescer devido a reação endotérmica e a entalpia de

vaporização dos hidrocarbonetos. Após certa altura, todos os hidrocarbonetos estão na fase

gasosa, sendo que a queda de temperatura a partir deste ponto é devida apenas a reação. A

densidade da fase gasosa varia durante todo o riser devido, não somente as diferenças de

temperatura, mas também devido a mudança no peso molecular dos produtos formados

quando ocorre o craqueamento (GUPTA et al., 2001).

Nas unidades mais modernas de FCC, o craqueamento ocorre todo no riser e não

mais no reator, sendo que este serve apenas como suporte aos ciclones. O craqueamento


ocorre até o momento em que a fase gasosa é separada do catalisador nos ciclones. O

produto na fase gás é então encaminhado para a coluna de fracionamento, na qual

diferentes produtos são separados e as frações mais pesadas retornam ao riser.

O catalisador consumido, que foi separado pelos ciclones, é regenerado para ser

limpo do coque que foi depositado durante a reação. Para tanto, é realizada uma queima na

base do regenerador, onde o catalisador com o coque depositado em sua superfície é

misturado com ar para então sofrer a reação de combustão.

O processo Moving-Bed Catalytic Cracking é bastante similar ao FCC. O

catalisador em forma de pellets é movido continuamente para o topo da unidade através de

transportadores mecânicos ou pneumáticos para um hopper (depósito), descendo pelo

reator pela força da gravidade e então pelo regenerador, o qual em conjunto com o hopper

são separados do reator através de selos. O produto craqueado é separado em gás de reciclo,

óleo, óleo clarificado, destilados, nafta e gás úmido.

Já no processo TCC típico, a alimentação pré-aquecida escoa por gravidade através

do reator contendo o catalisador. Os vapores são separados do catalisador e mandados para

a torre de fracionamento. O catalisador gasto é regenerado, resfriado e reciclado ao

processo. O produto gasoso resultante do regeneramento é mandado para uma unidade para

recuperação da energia térmica.

2.3.1.1 Estudos sobre FCC

O grupo de pesquisa do laboratório PQGe tem grande experiência na simulação de

escoamentos em equipamentos do processo de FCC. Estudos em CFD sobre os diferentes

equipamentos deste processo, ciclones, regenerador e riser, têm sido realizados pelos

pesquisadores. Alguns dos principais trabalhos desenvolvidos foram resumidamente

descritos.

Nos estudos referentes a ciclones vale citar o trabalho de doutorado de MEIER

(1998) sobre o estudo de três modelos para predição de escoamento em ciclones. Um

modelo monofásico, um modelo bifásico euleriano-euleriano e um modelo que acopla este


último com uma fase lagrangeana. PERES (2002) fez um estudo comparativo de esquemas

de interpolação, cuja influência nos resultados ele avaliou. Já o trabalho de mestrado de

DIAS (2009), além de estudar vários modelos para a representação da turbulência da fase

contínua, também comparou um modelagens para a fase dispersa.

A dissertação de MOREIRA (2002) tratou sobre a cinética da combustão em um

regenerador bidimensional, além do estudo da fluidodinâmica de um caso tridimensional.

Já MARINI (2008) realizou um estudo aprofundado da fluidodinâmica do escoamento

multifásico através da utilização da teoria cinética do escoamento granular e avaliação das

condições de contorno.

No que se refere ao estudo de risers, os trabalhos de ROSA (2002), BASTOS

(2005) e novamente ROSA (2008) foram de grande importância para a compreensão tanto

de diversos aspectos da fluidodinâmica do escoamento, como dos fenômenos de

transferência de calor e massa que ocorrem devido às reações do craqueamento catalítico

neste equipamento.

Todos os trabalhos têm em comum a grande importância dada ao modelamento de

forma adequada da turbulência do escoamento. Uma vez que este é um fenômeno bastante

complexo, foi reservada uma seção específica para a sua descrição.

2.4 Turbulência

Tanto na natureza como nos processos tecnológicos, a grande maioria dos

escoamentos é de natureza turbulenta. Dentre os inúmeros exemplos existentes,

ABRUNHOSA (2003) cita a fumaça lançada por um cigarro com instabilidades tipo

toróides, o escoamento turbulento no interior dos pulmões que maximizam o fenômeno de

transferência de massa entre o ar e o sangue, a mistura turbulenta do combustível com o ar

no interior da câmara de combustão de motores, que torna o processo mais eficiente, além

de fenômenos meteorológicos, como os que podem ser percebidos durante um vôo de

avião.


A turbulência pode ser definida como um fenômeno convectivo não-linear

transiente que ocorre nas três dimensões cartesianas, é uma propriedade intrínseca ao

escoamento e não ao fluido. Ela ocorre nas mais variadas escalas de tempo e comprimento.

A turbulência é um fenômeno difusivo, que, como conseqüência, resulta no aumento das

taxas de transferência de massa, energia e quantidade de movimento.

Os escoamentos de fluidos podem ser classificados em laminares e turbulentos. No

primeiro caso, o fluido se move numa direção de modo suave e ordenado, descrito como

movimento translacional. Quando a energia potencial, geralmente um gradiente de pressão,

que atua sobre um escoamento excede um determinado valor máximo possível para que a

maioria do fluxo permaneça translacional, ocorre a turbulência. Existe porém uma faixa de

transição entre os dois regimes.

O número adimensional de Reynolds (ver Equação (3.33), para escoamento gás-

sólido) caracteriza se as condições do escoamento geram um escoamento laminar ou

turbulento. Em tubulações circulares, para fluidos newtonianos, a faixa entre 2100 a 4000 é

atribuída como divisor entre os regimes laminar (< 2100) e turbulento (> 4000).

Ludwig Prandtl (1875 – 1953) introduziu o conceito de camada limite. Quando há

um sólido em contato com o escoamento (uma parede ou uma partícula, por exemplo),

pode-se dividir o escoamento em duas regiões. Na primeira região, no interior do seio da

fase contínua os efeitos da viscosidade podem ser considerados desprezíveis. Já na segunda

região, próxima ao corpo sólido, os efeitos viscosos passam a ser dominantes, sendo esta

região caracterizada como camada limite (TEIXEIRA et al. 2005).

Em alguns casos particulares, especialmente para escoamentos laminares, é possível

obter uma solução analítica das equações de Navier-Stokes (NS), porém na grande maioria

dos casos práticos, as simplificações necessárias para tanto tornam a solução inconsistente

com o que se observa na realidade. A alta sensibilidade para as condições iniciais e de

contorno tornam os escoamentos irregulares tanto no tempo como no espaço, de tal modo

que uma descrição estatística torna-se necessária. O primeiro pesquisador a propor uma

análise estatística da turbulência foi Andrey Kolmogorov, baseada na idéia de cascatas de

energia, explicada a seguir. Entretanto uma descrição precisa do fenômeno da turbulência

permanece desconhecida à comunidade científica.


A turbulência causa a formação de vórtices em diferentes escalas de comprimento.

A maior parte da energia cinética está contida nas chamadas estruturas de larga escala. A

energia é transmitida às escalas menores num efeito cascata por um mecanismo inercial e

essencialmente invíscido. Este processo continua, formando escalas menores, até que as

estruturas se tornem pequenas o bastante para que os efeitos viscosos tenham influência,

começando então o processo de dissipação viscosa de energia cinética turbulenta, o que

causa o aumento da energia interna. A escala na qual isto ocorre é denominada de escala de

Kolmogorov. Assim sendo para que um escoamento permaneça turbulento, o fornecimento

contínuo de energia cinética turbulenta é necessário, caso contrário o regime de turbulência

entra em decaimento.

Matematicamente, as equações de NS descrevem qualquer escoamento de fluidos

newtonianos, seja laminar ou turbulento, sem a necessidade de qualquer termo adicional.

Porém a modelagem de escoamentos abrange uma ampla faixa de escalas de turbulência e

de tempo, geralmente envolvendo escalas menores que o menor dos elementos ou volumes

de tempo e espaço empregados nas malhas nos métodos numéricos (CFX Ltd., 2005). A

resolução de todas as escalas através de algum método numérico resultaria num problema

muitas ordens de grandeza maior que a atual disponibilidade dos computadores permite

trabalhar em tempos realísticos.

Deste modo, visando possibilitar a resolução numérica dos mais variados

escoamentos turbulentos encontrados em casos de interesse industrial e científico, foram

desenvolvidos algumas abordagens teóricas, que geraram modelos para a turbulência.

2.4.1 Modelos de Turbulência

Os modelos que foram desenvolvidos podem ser classificados em dois grupos

principais e em sub-grupos intermediários. A Figura 2.5 fornece uma idéia mais clara desta

distinção.


Figura 2.5 – Gráfico ilustrativo das abordagens em modelagem de escoamentos turbulentos.

No extremo inferior da supracitada figura, encontra-se a modelagem DNS (Direct

Numerical Simulation) que resolve todas as escalas de comprimento e tempo do

escoamento, tornando o método mais exato para resolução de escoamentos turbulentos. É

também o método mais simples do ponto de vista conceitual, uma vez que nenhuma

equação adicional precisa ser usada. Entretanto isto implica em malhas numéricas muito

refinadas e em tempos computacionais proibitivamente elevados. Apesar das adversidades

para aplicações de interesse industrial, DNS é uma ferramenta útil em pesquisas

fundamentais sobre turbulência, possibilitando a obtenção de informações que não seriam

possíveis através de medidas experimentais. Essas informações podem ser então utilizadas

para o desenvolvimento de modelos de turbulência (FERZIGER 1997).

Já no extremo superior da Figura 2.5 aparecem os modelos RANS (Reynolds-

Avareged Navier Stokes), os quais modelam totalmente a turbulência, resolvendo

quantidades médias no tempo, resultando em baixo consumo computacional. Estes modelos

têm grande importância para pesquisas em CFD, já que permitem a obtenção de resultados

bastante precisos para uma diversidade de problemas de engenharia. Em detalhes este

grupo de modelos pode ser visto na seção 2.4.1.1.


Existe ainda uma outra classe de modelos de turbulência, que mesclam

características das abordagens anteriores. Entre estes, se destaca o modelo LES (Large

Eddy Simulation), o qual resolve as grandes escalas através de DNS e modela as menores

escalas. A dinâmica das grandes escalas são computadas explicitamente, enquanto que a

influência das pequenas escalas é obtida por modelos, de modo que o custo computacional

é reduzido significativamente quando comparado com DNS, porém ainda maior que nos

modelos RANS. Esta abordagem também necessita de uma malha refinada, especialmente

se houverem paredes limitando o escoamento (CFX, Ltd 2005).

Por fim, há modelos híbridos, que utilizam mais de uma destas abordagens. São

exemplos os modelos DES (Detached Eddy Simulation) e SAS (Scale-Adaptive

Simulation). O primeiro é similar ao modelo LES, porém difere no requerimento de

resolução da malha nas regiões próximas a paredes (PERSSON et al., 2006). Já o último é

baseado no uso de uma segunda escala no termo fonte do modelo de turbulência em uso,

permitindo a adaptação à escala de comprimento resolvida localmente para o mesmo

(MENTER et al., 2005).

2.4.1.1 RANS

De modo geral estes modelos buscam aplicar técnicas estatísticas que visam

modificar as equações de NS, introduzindo termos médios para representar as variações dos

elementos de um escoamento turbulento. Entretanto esta técnica gera variáveis adicionais,

denominadas de tensores de Reynolds ou tensores Turbulentos. Estes por sua vez precisam

ser calculados para que o problema tenha solução. As equações utilizadas para fechar o

problema definem o tipo de modelo de turbulência. Dois subgrupos são comumente

estabelecidos, sendo eles os modelos de Viscosidade Turbulenta (Eddy Viscosity) e de

Tensores de Reynolds (Reynolds Stresses), os quais são detalhados a seguir.


2.4.1.1.1 Modelos de Viscosidade Turbulenta

Estes modelos consideram que a turbulência é formada por pequenos vórtices que

continuamente são formados e dissipados. Também consideram que os Tensores de

Reynolds são proporcionais aos gradientes médios de velocidade.

Como parte desta categoria, encontram-se os modelos mais simples, mas também os

mais utilizados em simulações CFD. Os principais modelos são:

Zero Equação (Algébrico) – mais simples de todos os modelos, caracteriza-

se pela ausência de equações adicionais de transporte, sendo que a viscosidade turbulenta é

calculada apenas através de uma relação algébrica empírica envolvendo a escala da

velocidade média e uma escala de comprimento.

Uma Equação – estes modelos utilizam a energia cinética turbulenta para o

cálculo da viscosidade turbulenta. Assim apenas uma equação de transporte é gerada, sendo

a variável transportada a energia cinética turbulenta. A equação de transporte introduzida

faz com que seja necessária outra equação de fechamento para o modelo. O modelo k-L,

por exemplo, utiliza o comprimento característico como variável de fechamento.

Duas Equações – nestes modelos tanto a velocidade como a escala de

comprimento são modeladas através de equações de transporte, garantindo resultados

precisos sem grande comprometimento computacional. Os modelos mais adotados são k-ω

e k- , sendo que aquele utiliza uma equação de transporte para calcular a freqüência de

turbulência (ω) e este a dissipação turbulenta ( ). Estes modelos são muito populares em

simulações CFD, já que apresentam bons resultados com relativamente baixos tempos

computacionais. Dentre alguns autores que utilizaram o modelo k- para simulações de

escoamentos gás-sólido em risers pode citar os trabalhos de ALVES et al. (1998), MEIER

et al. (2000), ZHENG et al. (2001) e BASTOS et al. (2008).

Como o modelo k- foi utilizado na simulação da turbulência neste trabalho, mais

detalhes sobre sua formulação serão mostrados no Capitulo 3, seção 3.1.2.


2.4.1.1.2 Modelos de Tensores de Reynolds

Nestes modelos, todas as componentes do tensor de Reynolds e das taxas de

dissipação são representadas por equações de transporte, resolvidas para cada um dos

componentes do tensor. As equações de transporte podem ser da forma algébrica ou

diferencial, o que caracteriza cada modelo. A modelagem da anisotropia dos tensores fazem

com que estes modelos sejam adequados para escoamentos complexos. Estes modelos

podem ser subdivididos em dois grupos:

Baseados em equações – os principais modelos são LRR e o SSG, sendo

que no primeiro a correlação entre pressão e tensão é linear, enquanto que no segundo é

quadrática.

Baseados em equações ω – dois modelos deste grupo são o tensor de

Reynolds Omega e o Tensor de Reynolds Baseline. A principal vantagem dá-se no

tratamento próximo a paredes com a mudança automática da função de parede para baixos

números de Reynolds.

2.5 Abordagens de Modelagem de Escoamentos Multifásicos

A modelagem matemática de escoamentos compostos por mais de uma fase é

bastante desafiadora, principalmente devido as interações que ocorrem intra e inter-fases.

No caso específico dos escoamentos gás-sólido, objeto de estudo deste trabalho, duas

abordagens são bastante utilizadas, a Euleriana-Euleriana e a Euleriana-Lagrangeana.

A abordagem Euleriana-Euleriana caracteriza-se por considerar a fase dispersa

como um fluido, tornando o sistema composto por duas fases contínuas interpenetrantes.

Isto implica que a fluidodinâmica da fase sólida também é representada pelas equações de

NS, o que gera alguns termos especiais como pressão do sólido e viscosidade do sólido.

Como estes termos não podem ser mensurados fisicamente, são necessários modelos para

representá-los.


Uma simplificação deste problema é a desconsideração destes termos, ou seja,

assumir que o sólido é invíscido e não exerce pressão no sistema. Isto é aceitável em alguns

casos, notadamente quando a fração volumétrica de sólidos é pequena e o escoamento é

regido pela fase gasosa.

Também há a possibilidade de considerar estes valores constantes e não nulos.

Entretanto, estimar um valor, através de um teste de validação numérico, pode ser válido

para um tipo de particulado, mas não para outro. Na literatura existem alguns estudos para a

determinação destas variáveis, mas também possuem restrições. Pode-se citar os modelos

de ENWALD et al. (1996) e EINSTEIN (1950), que consideram que a viscosidade do

particulado é uma função de sua fração e da viscosidade da fase contínua. Para a

determinação da pressão, há a expressão de GIDASPOW (1994), a qual será detalhada no

Capítulo seguinte.

Um dos modelos mais utilizados em leitos fluidizados é a Teoria Cinética do

Escoamento Granular (KTGF). Ela consiste em um conjunto de equações que buscam

representar todas as tensões efetivas da fase sólida. Diversos pesquisadores tem se dedicado

a desenvolver correlações que representem com precisão estas características da fase sólida,

numa abordagem Euleriana, entre eles destacam-se os trabalhos de GIDASPOW (1994),

LUN E SAVAGE (1984), JOHNSON E JACKSON (1987) que desenvolveram equações

para KTGF. Esta abordagem encontrou expressões para os termos de pressão de sólidos e

viscosidade de sólidos, através de uma analogia com teoria cinética dos gases. A principal

vantagem desta abordagem é a rapidez na resolução de problemas grandes, o que o torna

aplicável às simulações de engenharia industrial. Detalhes desta modelagem são descritos

no Capítulo 3.

Já na abordagem Euleriana-Lagrangeana cada partícula da fase sólida é modelada

individualmente, através da segunda lei de Newton, que inclui forças externas, de interação

com o gás, de pressão e também forças partícula-partícula. Portanto a parte Lagrangeana é

responsável pela atualização da velocidade e da posição das partículas enquanto que a parte

Euleriana atualiza a densidade e velocidade do gás. Para a simulação CFD através desta

abordagem, a malha numérica pode ser significativamente maior que o diâmetro médio das

partículas. Segundo HOEF et al. (2004), isto significa que para a interação com a fase

gasosa, as partículas tornam-se pontos de fonte ou sumiço de quantidade de movimento.


Um limitador óbvio desta metodologia consiste na quantidade de partículas que

compõe uma operação industrial, que pode chegar a 1.108, o que demanda grande

capacidade computacional. Mesmo assim, vários estudos computacionais têm sido

realizados, principalmente em equipamentos em escalas de bancada ou piloto (HOEF et al.,

2005; BEETSTRA et al., 2006).

Existe uma outra abordagem de modelamento de escoamento de fluidos e sólidos,

denominada de Lattice Boltzmann. Este modelo é abordado com mais detalhes na seção 2.6

abaixo.

2.6 Modelo de Lattice Boltzmann

Segundo KOCH et al. (2001), o Modelo de lattice Boltzmann (LBM) é um meio

eficiente de simular escoamentos gás-sólido a Reynolds moderados, mesmo com altas

frações volumétricas de sólidos. Assim como métodos explícitos de diferença finita, LBM

utilizam, em sua maioria, malhas fixas e a velocidade do fluido é calculada explicitamente

no tempo. Como é baseado num modelo cinético para o fluido, utiliza a equação discreta de

Boltzmann, ao invés das equações discretizadas de Navier-Stokes.

Segundo HE et al. (1997) o método de lattice Boltzmann foi desenvolvido a partir

do lattice gás cellular automata (LGCA), o qual pode ser considerado como um modelo

molecular fictício, em que a velocidade, o espaço e o tempo são discretos. As partículas

ficam localizadas nos nós das células lattice, movendo-se de um para outro nó de acordo

com sua velocidade. Esta fase é chamada de propagação. Ocasionalmente as partículas

colidem e modificam sua trajetória e velocidade, sendo que esta fase é chamada de colisão.

Regras de colisão devem garantir que a massa (número de partículas), a quantidade de

movimento e a energia se conservem antes e depois das colisões. Uma representação dos

vetores de velocidade em uma célula lattice 2D e 3D é mostrada na Figura 2.6.


Figura 2.6 – Geometria de um lattice (pontos) e vetores de velocidade (linhas) para um modelo de

duas dimensões e nove velocidades D2Q9 a) e um modelo de três dimensões e dezenove velocidades D3Q19 b). Adaptado de MPIE (2008).

A principal diferença entre LBM e LGCA reside no fato do último representar uma

partícula através de uma expressão booleana, enquanto que o primeiro utiliza uma função

de distribuição, representada por um número real. As principais diferenças devem-se as

aproximações que foram aplicadas ao LBM, porém a base teórica reside sobre a abordagem

de Chapman e Enskog do LGCA. Algumas desvantagem deste método estão na dificuldade

de implementá-lo em malhas arbitrárias, bem como na falha em descrever alguns

problemas de termohidrodinâmica. Os autores supracitados descrevem como as equações

de lattice Boltzmann são derivadas a partir da equação de Boltzmann discretizada no tempo

e no espaço.

Diferentemente da técnica usual de CFD, o LBM considera o fluido como sendo

constituído de partículas virtuais, as quais podem sofrer colisões ou propagações na malha

do lattice. A principal simplificação do LBM é aproximar o operador de colisão com o

termo de relaxação de Bhatnagar-Gross-Krook (BGK). Este método tornou o modelo mais

eficiente e permitiu maior flexibilidade dos coeficientes de transporte.

Segundo AMATI et al. (1997) o principal motivo para o desenvolvimento do LBM

foi para sanar problemas de ruídos estatísticos, provocados pelas expressões booleanas, e de

complexidade nas regras que governam a evolução do tempo.


Segundo YU et al. (2003) algumas das principais diferenças entre o LBM e os

métodos baseados nas equações de Navier-Stokes são (a) NS são equações diferenciais

parciais de segunda ordem, enquanto que LBM é constituído por equações diferenciais

parciais de primeira ordem; (b) algoritmos que resolvam numericamente NS precisam tratar

o termo não-linear convectivo, enquanto que o LBM evita totalmente este termo, já que a

convecção deixa de ser não linear; (c) os solvers de códigos CFD baseados em NS precisam

resolver a equação de Poisson para a pressão, envolvendo comunicação de dados globais,

enquanto que no LBM esta comunicação é sempre local e a pressão é obtida por uma

equação de estado; (d) o LBM é inadequado para resolver problemas em estado

estacionário; (e) a equação de Boltzmann tem base cinética, portanto a física associada ao

nível molecular pode ser mais facilmente incorporada ao LBM e assim pode-se aplicá-lo a

problemas de escoamento de fluidos em micro escala.

O trabalho de FILIPPOVA et al. (2001) mostrou que novos métodos que combinam

LBM com técnicas de métodos de diferenças finitas ou volumes finitos buscam viabilizar a

aplicação de lattice Boltzmann a problemas de engenharia, que em sua maioria possuem

geometrias complexas. Porém estas alterações são apenas aplicáveis a baixas variações de

campos de fluxo, já que, caso contrário, haveria problemas de instabilidade numérica. Já

quando ocorrem altos gradientes em pequenas regiões, algumas propostas vêm sendo

pesquisadas, através da utilização de malhas não estruturadas e de malhas “embedded”.

Segundo YU et al. (2003) o LBM tem tido sucesso especialmente em descrever

sistemas nos quais as condições de contorno sejam complicadas e para fluidos complexos,

como fluxos turbulentos sobre geometrias não-triviais, instabilidades entre dois fluidos do

tipo Rayleigh-Taylor, escoamento multi-componente através de meio poroso, fluidização

de sólidos, escoamentos com reação química, combustão, cristalização entre outros estudos.

Tem-se dedicado algum esforço para que LBM possa ser aplicado a altos números

de Reynolds, na expectativa de poder aplicá-lo também a escoamentos aerodinâmicos.

Entretanto, de modo que seja possível aumentar as aplicações deste método, algumas

questões devem ser resolvidas, como o cálculo da força sobre um corpo curvo, tratamento

mais preciso das condições de contorno em regiões curvas, estabilidade numérica, além da

inclusão de modelos de turbulência.


Segundo NOURGALIEV et al. (2003), em Lattice Boltzmann, a modelagem de

sistemas particulados em fluidos incompressíveis é possível através de duas formulações.

Na primeira, o fluido ocupa todo o domínio computacional, sendo que as partículas ocupam

o interior do fluido, eliminando assim a interface fluido-partícula para a conservação de

massa. Esta abordagem pode apenas ser utilizada quando a massa específica do fluido for

menor do que a do sólido. Também é requerido que a escala de tempo baseada na

viscosidade cinemática permaneça pequena e que a contribuição da inércia do fluido seja

relacionada com a inércia das partículas quando esta última for calculada. Já a segunda

abordagem considera as duas fases separadas, podendo ser aplicada para qualquer relação

entre as massas específicas. Para longos períodos de tempo, simulações mostraram gerar

bons resultados no monitoramento da trajetória da fase particulada.

Em sentido inverso, simulações de LBM também estão sendo realizadas com o

objetivo de buscar informações fundamentais relativas a interação entre fases, de modo que

seja possível gerar correlações para equações de fechamento mais precisas, utilizáveis em

simulações de CFD (HOEF et al. 2004). Esta abordagem vem sendo denominada como

modelagem multi-escala (DEEN et al. 2006), a qual pode ser resumida pela Figura 2.7.

Figura 2.7 – Abordagem multi-escala da modelagem gás-sólido, adaptado de DEEN et al. (2006).


Nesta abordagem, cada nível de modelagem aplica-se a um comprimento de escala

correspondente ao fenômeno estudado, de modo que as informações obtidas nos níveis

menores possam ser alimentadas no nível superior. Através desta ideologia, KOCH et al.

(2001) desenvolveram uma correlação para força de arraste gás-sólido baseados em

simulações LBM, que pode ser utilizada nos modelos das categorias que estão acima deste,

na descrição da Figura 2.7.

2.6.1 Correlação de Força de Arraste

A força de arraste pode ser calculada diretamente através das simulações em lattice

Boltzmann. Quando tais cálculos forem repetidos para diferentes valores de números de

Reynolds e para diferentes frações volumétricas de sólidos, uma correlação para força de

arraste pode ser desenvolvida. Deste modo, ao invés das tradicionais correlações obtidas

através de dados empíricos, esta correlação é somente baseada em princípios físicos.

Neste contexto, segundo BENYAHIA et al. (2006), o trabalho de HILL et al. (2001)

possui uma fonte bastante completa de dados numéricos e experimentais, a qual permitiu

gerar uma correlação, que se ajusta muito bem aos dados por eles levantados, válida para

uma ampla faixa de Reynolds e fração volumétrica de sólidos. Porém, esta correlação não é

contínua sobre esta faixa por eles estudada. Para suprir esta deficiência, BENYAHIA et al.

(2006) publicaram em seu trabalho uma modificação das formulas desenvolvidas por HILL

et al. (2001), denominadas de fórmula modificada de Hill-Koch-Ladd (Extended HKL).

Eles tornaram a fórmula de HKL contínua ao longo da faixa de Reynolds e fração

volumétrica de sólidos. Também a extrapolaram, racionalmente segundo eles, para regiões

sem dados disponíveis. Outro cuidado foi tomado para levar a fórmula para o limite

analiticamente conhecido da força de arraste de uma esfera isolada, i. e. 0,44.

Num caso de leito fluidizado bidisperso, estudado por BEESTRA et al. (2007),

algumas correlações de arraste foram utilizadas para prever a segregação do leito. As

expressões utilizadas foram as dos supracitados autores, de Ergun/Wen e Yu e a de Hill et

al.. A estas correlações foram adicionadas uma correção para polidispersidade do sólido,


sendo possível a aplicação a qualquer correlação de arraste. Simulações em DPM foram

realizadas tanto com a correção como sem. Nos resultados os autores avaliaram que as

correlações obtidas por lattice Boltzmann foram as que melhor representaram os dados,

sendo que a correção desenvolvida por eles adequou ainda mais as simulações aos dados

experimentais. Este estudo também levou em consideração a condição de contorno para a

parede, livre deslizamento ou não deslizamento, do fluido. A conclusão a que se chegou

favoreceu a adoção da condição de livre deslizamento, que, apesar de não ser o que

realmente ocorre, produz resultados mais coerentes com os experimentais.

A formulação Extended HKL foi então utilizada como equação de fechamento em

simulação CFD para escoamento gás-sólido. O equacionamento matemático completo desta

correlação foi apresentado na seção 3.1.3.

Este trabalho propôs-se a adotar esta correlação em simulações CFD, uma vez que

na modelagem da transferência de quantidade de movimento entre fases ainda há

necessidade de modelos mais abrangentes. Este estudo busca aumentar a base de

conhecimentos sobre a aplicabilidade da modelagem adotada para escoamentos

multifásicos gás-sólido. Grande atenção também foi estudada a condição de contorno na

parede, a qual foi considerada fundamental para a correta representação do escoamento.


3. Capítulo 3 – Modelagem Matemática

As equações que compõem o modelamento numérico do escoamento em estudo são

descritas no presente capítulo. A partir da escolha do caso de estudo buscaram-se trabalhos

científicos sobre modelos consistentes com os fenômenos encontrados. O critério geral para

escolha deveu-se a modelos cuja validade fosse reconhecida, porém a custos

computacionais razoáveis. Especificamente, como objetivo deste estudo, é estudado um

novo modelo de arraste apresentado na literatura. São também descritos os métodos

numéricos utilizados para resolução dos sistemas de equações que representam os

fenômenos considerados.

31 CCaappííttuulloo 33 –– MMooddeellaaggeemm MMaatteemmááttiiccaa

3.1 Modelagem do Escoamento Multifásico

A modelagem de escoamentos gás-sólido segundo a abordagem euleriana para a

fase gás e euleriana para a fase particulada foi aplicada no modelamento do escoamento.

Assim sendo, as equações de transporte de quantidade de movimento foram similares para

as duas fases. Esta abordagem adota a hipótese do continuum, a qual considera que toda a

matéria é contínua, i.e., não há vazios ou espaços, nem corpos puntiformes como moléculas

ou sólido particulado. Também considera a interpenetrabilidade das fases, ou seja, ambas as

fases podem ocupar o mesmo volume de controle, não tendo porém um espaço definido

para cada uma, sendo que a fração volumétrica é a variável que quantifica cada fase.

A interação entre as fases é calculada unicamente através do termo da força de

arraste. Quando interações entre partículas são consideradas, a Teoria Cinética do

Escoamento Granular (KTGF) é aplicada.

Outras hipóteses e considerações pertinentes ao escoamento estudado:

Escoamento transiente;

Escoamento tridimensional;

Escoamento turbulento;

Fluidos incompressíveis;

Sistema isotérmico;

Fluidos Newtonianos, i. e. viscosos (valor constante);

Força gravitacional;

Variação da pressão devido ao escoamento.

3.1.1 Equações de Transporte

As equações instantâneas que descrevem a conservação de massa no sistema são

descritas pela Equação (3.1) para a fase gasosa e pela Equação (3.2) para a fase particulada.


(3.1)

(3.2)

Onde é a fração volumétrica, representa a massa específica, representa a

velocidade e é o termo fonte de massa para cada fase.

Como não é considerada a transferência de massa entre as fases, os termos fonte são

nulos.

(3.3)

As equações médias de transporte de quantidade de movimento para a fase gasosa,

em coordenadas cartesianas são expressas por:

Na direção x (Equações (3.4) e (3.5)):

(3.4)

Sendo que:


(3.5)

Na direção y (Equações (3.6) e (3.7)):

(3.6)

Sendo que:

(3.7)

Na direção z (Equações (3.8) e (3.9)):

(3.8)

Sendo que:


(3.9)

Onde μ é a viscosidade dinâmica e é o termo fonte de quantidade de movimento

e é o coeficiente de transferência interfásico.

Ou, resumindo, na forma vetorial:

(3.10)

Semelhantes equações médias de transporte de quantidade de movimento para a

fase particulada podem ser escritas. Apenas o termo fonte para a ação das forças de pressão

difere, sendo ajustado de acordo com o módulo de elasticidade.

Na direção x (Equações (3.11) e (3.12)):

(3.11)

Sendo que:


(3.12)

Na direção y (Equações (3.13) e (3.14)):

(3.13)

Sendo que:

(3.14)

Na direção z (Equações (3.15) e (3.16)):

(3.15)

Sendo que:


(3.16)

A forma vetorial da equação da quantidade de movimento é dada por:

(3.17)

Sendo que o tensor tensão é dado pela Equação (3.18).

(3.18)

onde o tensor deformação é expresso por:

(3.19)

O termo (das Equações (3.12), (3.14) e (3.16)) é um modelo para o ajuste da

pressão de sólidos, utilizado para evitar que a fase particulada seja compactada, cujo

significado físico pode ser entendido como uma força de repulsão entre as partículas

visando manter o empacotamento máximo. O termo G representa o modulo de elasticidade,

podendo ser expresso pela seguinte relação:


(3.20)

cujos parâmetros foram determinados no trabalho de Gidaspow e Ettehadieh (1983),

conforme reportado por ENWALD et. al. (1996), com os seguintes valores: = 20; G0 =

1,0 Pa; fsmáx = 0,63.

Quando sólidos particulados são modelados, a fração volumétrica máxima, também

denominada de máximo empacotamento, deve ser definida. Esta refere-se ao máximo

espaço possível que a fase dispersa pode ocupar. Ou seja quanto espaço a fase contínua

ocupa no seio da fase dispersa, devido a forma geométrica desta ultima. Por exemplo, se a

fase dispersa for um fluido, o máximo empacotamento é 1, já que todo o volume será

ocupado pelo fluido. Já para o caso de partículas esféricas de mesmo diâmetro o máximo

empacotamento é 0,74. Tipicamente, para partículas sólidas, este valor pode variar entre 0,5

e 0,74, sendo pratica comum adotar um valor de 0,63 segundo CFX Ltd. (2005).

3.1.2 Modelagem da Turbulência

Dentre as diversas abordagens para o modelamento da turbulência, neste trabalho

utilizou-se o modelo de duas equações k- padrão. A letra latina k representa a energia

cinética turbulenta e é definida como a variação das flutuações da velocidade, com unidade

de (L2T

-2). A segunda letra grega épsilon representa a dissipação dos turbilhões turbulentos,

ou seja a taxa na qual as flutuações da velocidade se dissipam, tendo a dimensão de k por

unidade de tempo (L2T

-3). Neste, a velocidade e a escala do comprimento são resolvidas

através de equações de transporte separadas.

Este modelo baseia-se na hipótese de Boussinesq, ou gradiente difusivo, para

relacionar os tensores de Reynolds aos gradientes de velocidade médios e a viscosidade

turbulenta. Esta última é modelada como o produto da escala da velocidade turbulenta e da

escala do comprimento turbulenta. Nos modelos de duas equações a escala da velocidade


turbulenta é calculada a partir da energia cinética turbulenta, que resulta da sua equação de

transporte. A escala do comprimento turbulenta é, por sua vez, estimada através de duas

propriedades do campo turbulento, geralmente a energia cinética turbulenta e a taxa de

dissipação, sendo que esta última também resulta da sua equação de transporte.

A equação da continuidade permanece a mesma, porém a velocidade agora é

representada através de médias temporais e desvios, ao contrário da Equação (3.21), a qual

a velocidade é instantânea:

(3.21)

A equação da quantidade de movimento da fase gasosa, torna-se:

(3.22)

Onde B é o somatório das forças que atuam no sistema por unidade de volume.

A pressão modificada P’ é dado pela Equação (3.23).

(3.23)


O efeito da turbulência também é modelado através de um incremento na

viscosidade, definida como viscosidade efetiva para as condições de contorno utilizadas

nesta análise. Esta passa a ser dividida em dois termos, um termo laminar e outro

turbulento, conforme Equação (3.24).

(3.24)

A viscosidade turbulenta está associada à energia turbulenta cinética e à dissipação

através da Equação (3.25).

(3.25)

Onde é uma constante de valor 0,09.

Os valores de k e são obtidos através das equações de transporte para energia

cinética (Equação (3.26)) e taxa de dissipação turbulenta (Equação (3.27)).

(3.26)

(3.27)


Os valores das constantes , , e podem ser encontrados na literatura

(CFX Ltd., 2005). é a produção turbulenta devido a viscosidade e a forças de empuxo, a

qual pode ser expressa pela Equação (3.28).

(3.28)

3.1.2.1 Modelo de Turbulência para a Fase Dispersa

O software CFX permite para a modelagem de escoamentos multifásicos a

utilização de um modelo de turbulência por fase. Para a fase dispersa um modelo algébrico

denominado de zero-equation está disponível (CFX Ltd., 2005). Este modelo usa uma

relação algébrica que correlaciona a viscosidade turbulenta da fase dispersa como sendo

proporcional a viscosidade de turbilhões (eddy viscosity) da fase contínua. A Equação

(3.29) denota esta proporcionalidade.

(3.29)

onde o parâmetro é o numero turbulento de Prandtl, cujo valor é a unidade para leitos de

bolhas ou para partículas de pequeno diâmetro. Porém o manual do CFX avisa que este

parâmetro deve ser variado de acordo com o escoamento estudado.


3.1.3 Forças Entre - Fases

O termo do balanço da quantidade de movimento que leva em conta a troca de

energia entre as fases pode ser expressa da seguinte maneira.

O coeficiente de transferência interfásico é definido por:

(3.30)

Onde é a viscosidade, fs é a fração volumétrica de sólidos, F é a força de arraste e é o

diâmetro das partículas de sólido.

Outro modo de definir este coeficiente é em função do coeficiente de arraste, Cd, de

acordo com a Equação (3.31).

(3.31)

Deste modo Cd pode ser expresso conforme Equação (3.32).

(3.32)

Onde é definido conforme HILL et al. (2001) por:


(3.33)

Através da equação para o cálculo do Cd pode-se perceber que é necessário obter

um valor para F. Para tal fim, as equações de arraste Extended HKL apresentadas por

BENYAHIA et al. (2006) foram utilizadas, sendo que os autores acima mencionados

testaram estas equações para uma ampla faixa de valores de numero de Reynolds, bem

como para toda a faixa de fração volumétrica de sólidos, até o valor de máximo

empacotamento 0,641.

Os autores dividiram a correlação em duas faixas de valores de números de

Reynolds, alta e baixa. Para baixos valores do numero de Reynolds, a forma geral da força

de arraste adimensional F é dada por:

(3.34)

A relação que melhor representa a contribuição de Stokes para a força de arraste é

dado pelas Equações (3.35) e (3.36).

Para :

(3.35)


Para :

(3.36)

Onde w é o fator de ponderação (weighting factor) dado por:

(3.37)

Originalmente, foram utilizadas duas fontes para montagem desta relação. Para

valores pequenos de fs a correlação de Koch e Sangani foi utilizada, enquanto que para

valores maiores utilizou-se a correlação de Carman. Porem como esta abordagem não

representa adequadamente bem a expressão para valores intermediários de fração

volumétrica , apenas a primeira correlação foi utilizada. Para valores altos

de fração volumétrica de sólidos, utilizou-se a correlação de Carman, a qual, para que

coincidisse com a outra expressão em sem ser modificada, necessitou do fator de

ponderação w, apresentado na Equação (3.37).

O coeficiente inercial na formulação do arraste pode ser expresso, para baixos

números de Reynolds, pelas Equações (3.38) e (3.39).

Para :


(3.38)

Para :

(3.39)

Para valores muito baixos de fs, menores que 0,01, a Equação (3.34) não pode ser

utilizada, já que ao invés de tender ao valor de arraste para uma partícula isolada, tende a

zero. Assim sendo, os autores propuseram a adoção da expressão desenvolvida por Kaneda,

a qual obedece ao limite da lei de Stokes para partícula única, conforme Equação (3.40).

(3.40)

Já para altos números de Reynolds, uma variação linear deste com a força de arraste

é utilizada, de acordo com Equação (3.41).

(3.41)

O coeficiente pode ser obtido pelas Equações (3.42) e (3.43).


Para :

(3.42)

Para :

(3.43)

As expressões de são similares àquelas de , tanto que alguns autores, ainda

segundo BENYAHIA et al. (2006), utilizaram em seus trabalhos . Porem os autores

argumentam que esta separação se faz necessária, já que há diferenças nos valores destes

coeficientes quando a fração volumétrica de sólidos é baixa.

Para a obtenção do coeficiente foram utilizadas as Equações (3.44) e (3.45).

Para :

(3.44)

Para :


(3.45)

No trabalho original de HILL et al. (2001) simulações em Lattice Boltzmann só

foram realizadas para uma fração volumétrica de sólidos acima de 9,53% para valores altos

de Reynolds. Isto foi devido ao alto custo computacional requerido para realizar simulações

abaixo desta faixa de fs nestas condições. Deste modo, os autores regrediram a expressão

para de acordo com os dados das simulações de HILL et al. (2001) e estenderam sua

aplicação para valores de fração volumétrica de sólidos abaixo de 0,0953, de modo que o

arraste sobre uma partícula isolada, no regime de Newton, fosse alcançado.

Uma vez definidos todos os coeficientes para o cálculo da força de arraste, é

adotado um critério para a transição entre os valores baixos e altos de Reynolds. Para tal

fim, analisam-se onde as Equações (3.34) e (3.41) se interceptam:

(3.46)

Esta equação quadrática tem uma raiz positiva, que fornece o valor do Reynolds

desejado.

(3.47)


De modo similar é encontrado o valor de Reynolds desejado para o caso da fração

volumétrica baixa de sólidos.

(3.48)

Assim sendo, pode-se resumir as equações que compõe o cálculo da força de arraste

adimensional (Equações (3.34), (3.40) e (3.41)).

Onde equivale a Equação (3.48) e (3.47) equivale a Equação.

A variação do coeficiente de arraste, calculado através desta correlação, foi plotado

em relação ao número de Reynolds para três frações volumétricas de sólidos, conforme

Figura 3.1.


Figura 3.1 – Gráfico do coeficiente de arraste pelo número de Reynolds para frações volumétricas

de sólidos de 1%, 20% e 40%.

3.1.4 Teoria Cinética do Escoamento Granular

Esta teoria busca representar as interações entre a fase particulada de um

escoamento multifásico. Ela é baseada na teoria cinética dos gases densos, porém a

temperatura usual é substituída por uma temperatura granular. As outras propriedades da

fase sólida, como a pressão e a viscosidade, são funções desta temperatura granular.

A temperatura granular pode ser expressa como uma medida das flutuações de

velocidade da partícula, conforme Equação (3.49).

(3.49)


Já a pressão da fase sólida pode ser expressa pela Equação (3.50), segundo o

trabalho de DING et al. (1990).

(3.50)

onde é o coeficiente de restituição, cujo valor adotado foi 0,9, enquanto que é a

distribuição radial, dada pela Equação (3.51), de acordo com LUN et al. (1984).

(3.51)

O cálculo da viscosidade de compressão, também segundo LUN et al. (1984), é

dada pela Equação (3.52).

(3.52)

Para o cálculo da viscosidade dinâmica, duas equações foram consideradas. Para o

estudo do coeficiente de especularidade foi utilizada a equação de GIDASPOW (1994),

Equação (3.53), enquanto que MARINI (2008) utilizou a correção de HRENYA e

SINCLAIR (1997), Equação (3.54).


(3.53)

(3.54)

onde os parâmetros e :

(3.55)

(3.56)

3.1.5 Coeficiente de especularidade

Uma forma de modelar a influência de paredes em escoamentos de fluidos é

tradicionalmente determinada pelas condições de não deslizamento ou livre deslizamento.

No entanto existem casos em que nenhuma destas abordagens parece prever corretamente o

que ocorre fisicamente. Neste contexto, JONHSON e JACKSON (1987) desenvolveram

uma modelagem que leva em conta o balanço de forças entre a fase particulada e a parede.

Assim a velocidade de deslizamento (slip velocity) entre as partículas e a parede pode ser

obtida pelo equacionamento da força tangencial por unidade de área exercida sobre a

parede pela correspondente tensão do particulado próximo a esta.


O coeficiente de especularidade é a medida da fração de colisões que transferem

quantidade de movimento para a parede. Seu valor varia entre zero, equivalendo a uma

condição de livre deslizamento, e a unidade, significando colisões perfeitamente difusivas.

Através da soma das contribuições por colisão e por atrito, os supracitados autores

chegaram ao componente do vetor da tensão, Equação (3.57).

(3.57)

Onde é a velocidade slip, dada pela diferença entre a velocidade num ponto em relação

à velocidade próxima a parede, e são as contribuições de colisão e de fricção da

tensão, n é uma unidade normal a parede para dentro do escoamento, é o coeficiente de

especularidade, fs é a fração volumétrica de sólidos, fs0 é o máximo empacotamento, é a

temperatura granular, é o componente normal da tensão pela fricção e é o ângulo de

fricção entre o particulado e a parede.

Neste trabalho utiliza-se esta abordagem em como uma das condições de contorno

avaliadas para descrever a influência da parede no escoamento da fase particulada.

3.2 Método Numérico

A escolha da utilização de um método numérico para resolução matemática de um

problema, ao invés da resolução analítica, deve-se a fatores como a complexidade do

sistema em estudo, as simplificações que podem ser feitas sem que com isso a validade dos

resultados seja prejudicada, bem como a inexistência de uma solução analítica possível do

caso. Métodos numéricos não geram resultados absolutos, porém a aproximação dos


mesmos pode ser limitada a uma tolerância muito pequena, aceitável para a maioria dos

casos de engenharia.

O objetivo da maioria dos métodos numéricos é resolver equações diferenciais

através da substituição das derivadas por expressões algébricas que envolvem a incógnita

em questão. Existe uma série de métodos adequados para diversos sistemas de equações.

Para a resolução de problemas de CFD, o método dos volumes finitos é comumente

utilizado, por razões explicadas por MALISKA (1995).

3.2.1 Método dos Volumes Finitos

Neste trabalho foi utilizado o Método dos Volumes Finitos, o qual é baseado em

Elementos Finitos, empregado pelo software comercial ANSYS CFX 10.0 para resolução

dos sistemas de equações diferencias parciais. Este método foi amplamente descrito por

PATANKAR (1980), FERZIGER e PERIĆ (1996) e MALISKA (1995). O método consiste

na divisão da geometria estudada em pequenos volumes de controle, o que é conhecido

como malha numérica. As equações são obtidas através do balanço de conservação de

massa, quantidade de movimento e energia em cada volume de controle. Similar ao método

das diferenças finitas, os valores são calculados em regiões discretas da geometria. O termo

volume finito corresponde a um volume que cerca cada ponto nodal da malha. Este método

permite a utilização de malhas não-estruturadas, tornando-o bastante flexível para

utilização em geometrias complexas.

As equações de conservação são integradas no volume de controle. Neste método,

as integrais de volume das equações diferenciais que contem termos divergentes são

convertidas em integrais de superfície, utilizando o teorema de Gauss, Equação (3.58).

Estes termos são então computados como fluxos nas faces de cada volume.

(3.58)


onde é uma variável genérica, V é o volume e A a área.

(3.59)

A equação de conservação global é obtida através de uma soma das células, de

modo que as integrais sobre as superfícies internas se cancelam. O fluxo liquido através do

volume de controle é a soma das integrais sobre as faces. A Equação (3.60) e a Equação

(3.61) representam o fluxo convectivo e difusivo, respectivamente.

(3.60)

(3.61)

A resolução das integrais de superfície só é possível se o valor do integrando for

conhecido. Como este não é o caso, já que apenas o valor no centro do volume de controle

é conhecido, esquemas de interpolação devem definir as propriedades nas faces. A Figura

3.2 ilustra como um elemento, aqui representado apenas em duas dimensões, é designado.

As faces recebem o nome dos pontos cardeais, (N – norte, S – sul, W – oeste, E – leste) e o

ponto nodal é representado pela letra P.


Figura 3.2 – Representação de um volume finito bidimensional.

3.2.2 Esquemas de Interpolação Advectivos

O cálculo dos fluxos deve ser realizado nas fronteiras dos volumes de controle,

porém estes são funções dos valores da propriedade nos pontos nodais.

(3.62)

Alguns dos principais esquemas de interpolação foram apresentados a seguir:

Diferenças Centrais (Central Difference Scheme - CDS) – neste esquema, de

modo a determinar os valores de no centro de uma face do volume de controle, é

utilizada interpolação linear entre dois nós adjacentes. No ponto e da malha cartesiana,

é expresso pela Equação (3.63).


(3.63)

onde o fator de interpolação é definido como:

(3.64)

A simplificação da linearização permite uma aproximação mais simples do

gradiente (Equação(3.65)), que é necessário para a avaliação do fluxo difusivo.

(3.65)

Apesar de ser um esquema de segunda ordem este pode sofrer de problemas de

desacoplamento, sendo mais indicado para simulações LES.

Upwind (Upwind Difference Scheme - UDS) – método bastante utilizado,

aproxima o valor de por seu valor a montante da face e, através da Equação(3.66).

(3.66)


O termo difusivo continua sendo aproximado pela mesma relação das Diferenças

Centrais (Equação (3.65)).

Este é um esquema de primeira ordem, comprovadamente robusto, já que tem a

característica intrínseca de não gerar resultados oscilatórios, porém é numericamente

difusivo.

Higher Upwind – visando aumentar a precisão da solução, este esquema

introduz mais um termo, tornando-o um esquema de segunda ordem. Assim pode ser

representado pela Equação (3.67).

(3.67)

QUICK (Quadratic Upwind Differencing) – outro esquema baseado no

upwind, porém utilizando uma expressão de terceira ordem. Neste esquema são

considerados dois pontos anteriores e um posterior a face em questão, Equação (3.68).

(3.68)

CCCT – esquema QUICK modificado, visando a redução e eliminação de

saltos não físicos que podem ocorrer nas soluções. A Equação (3.69) expressa este

esquema, sendo uma variável auxiliar para manter a solução dentro de limites.


(3.69)

3.2.3 Esquemas de Interpolação Transientes

Quando a estabilidade na solução de equações diferenciais parciais é requerida,

métodos tipo backward ou de Euler implícitos são os mais recomendados (FERZIGER

1997). Nestes casos o termo transiente pode ser dividido em dois termos (Equação (3.70)).

(3.70)

Para o caso do esquema de primeira ordem as derivadas temporais podem ser

aproximadas pela Equação (3.71).

(3.71)

De modo que a Equação (3.72) agora pode ser reescrita como:

(3.72)


O método de primeira ordem é o mais robusto, completamente implícito, acoplado e

conservativo no tempo. Pode, porém, induzir a difusão numérica no tempo, similar aquela

ocorrida com os esquemas de interpolação advectivos de primeira ordem.

Já no esquema de interpolação de segunda ordem as derivadas temporais são

representadas conforme Equação (3.73).

(3.73)

Onde o termo representa o campo de solução para o antepenúltimo passo de tempo.

Este esquema também é robusto, implícito e conservativo, reduzindo, além disso, o problema de

difusão numérica experimentado pelo esquema de primeira ordem. Porém, por também não ser

limitado, pode gerar sobre ou sob predições na solução.

59 CCaappííttuulloo 44 –– MMeettooddoollooggiiaa

4. Capítulo 4 – Metodologia

Apesar do pequeno tamanho deste capítulo quando comparado a um trabalho

experimental, é fundamental a descrição não-matemática da metodologia na qual esta

dissertação foi baseada. Como a única ferramenta empregada na sua elaboração são as

técnicas de CFD, o roteiro de trabalho com este foi brevemente descrito.


4.1 Técnicas CFD

A fluidodinâmica computacional tem como principal característica a flexibilidade

que permite a sua aplicação aos mais diversos casos de escoamentos. Esta característica

deve-se ao conceito do método numérico dos volumes finitos, i. e., a divisão de qualquer

geometria, por mais irregular que seja, em pequenos volumes.

Assim, para a passagem de uma operação ou um fenômeno físico para CFD alguns

passos devem ser executados. A Figura 4.1 representa os principais pontos da metodologia

deste processo. Inicialmente deve-se desenhar a geometria de interesse num programa CAD

(Computer Aided Design), de modo que todas as superfícies, regiões que serão as entradas e

saídas estejam definidas para que posteriormente possam ser identificadas como tal. Nesta

etapa já podem ser consideradas possíveis simplificações do problema, principalmente

devido a limitações de informações disponíveis sobre o sistema, possibilidade de

modelagem de certos componentes (como por exemplo um distribuidor que faz com que o

perfil de velocidade possa ser considerado empistonado), além do tempo computacional

esperado para o caso.

Figura 4.1 – Resumo do procedimento para resolução de um problema qualquer.


Após elaborada a geometria, a malha necessária ao método numérico deve ser

gerada. Os volumes finitos podem ter diversos formatos básicos, sendo os principais

hexaédricos e tetraédricos. A malha pode ser estruturada ou não-estruturada, nesta última,

cada volume pode ter um número variável de elementos vizinhos, tornando-a adaptável a

geometrias complexas. Deve-se ainda atentar para parâmetros de qualidade como os

ângulos mínimos dos volumes e determinantes, já que uma malha de qualidade ruim

dificulta a convergência da solução.

O próximo passo consiste na entrada dos dados físicos e químicos, bem como na

definição dos modelos a serem utilizados e as condições de contorno e iniciais para o

problema. Todas estas etapas são realizadas no pré-processador. Quando o problema estiver

definido passa-se ao solver numérico, o qual aplica, no presente caso, o método dos

volumes finitos. É possível acompanhar a evolução da solução através do monitoramento

dos resíduos numéricos das principais variáveis ou através de pontos de monitoramento

para variáveis-chaves, definidos no pré-processamento.

Por fim, na etapa de pós-processamento pode-se verificar o comportamento da

fluidodinâmica do problema em qualquer estágio da solução, mesmo que ainda não

totalmente convergida. Há várias opções para uma melhor visualização das variáveis de

interesse, possibilitando a obtenção de diversas medidas tanto para comparação com dados

experimentais como para ampliar o entendimento do processo. Os dados retirados do pós-

processador podem ser exportados e trabalhados em programas estatísticos como o Origin.

Para as simulações destes casos de estudo foram utilizados alguns softwares

comerciais, sendo que os principais foram o ANSYS ICEM CFD 10.0 para a geração da

geometria e malha e o ANSYS CFX 10.0 e FLUENT 6.3 para as etapas de pré-

processamento, a de resolução numérica e a de pós-processamento. A malha e geometria

foram desenvolvidas por MARINI (2008) em sua dissertação de mestrado.

Já a definição das condições de contorno, iniciais e dos modelos utilizados foi feita

no pré-processador, que permite grande flexibilidade na implementação destas, seja através

de funções criadas no próprio pré-processador ou através de subrotinas em linguagem de

programação FORTRAN.


4.2 Descrição dos Casos de Estudo

Este trabalho foi dividido em dois casos de estudo. Ambos foram modelados a partir

do experimento reportado no trabalho de SAMUELSBERG et al. (1996). O primeiro,

denominado de CASO 1, utilizou a correlação de arraste gás-sólido de BENYAHIA et al.

(2006), a qual foi baseada em simulações lattice Boltzmann. Estes resultados foram

comparados com a correlação de arraste de GIDASPOW (1994) e dados experimentais. Já

para o segundo caso estudado, denominado CASO 2, foi utilizada somente correlação de

arraste de GIDASPOW (1994) em conjunto com a teoria cinética do escoamento granular,

KTGF, conforme trabalhada por MARINI (2008), sendo que a variação de um parâmetro

da condição de contorno na parede, o coeficiente de especularidade, foi analisado. Para

maiores detalhes sobre a KTGF, sugere-se a leitura do capítulo 3.1.4 da dissertação de

mestrado de MARINI (2008).

O equipamento que foi escolhido como base para os casos de estudo foi

desenvolvido por SAMUELSBERG et al. (1996). Um esquema do sistema foi apresentado

na Figura 4.2. Esta opção pareceu coerente, já que a unidade de CFB foi construída em

escala de bancada, sendo mais adequada à finalidade que se desejava, estudar a

fluidodinâmica do escoamento gás-sólido.

Outro fator que foi contado como positivo desta unidade, foi a sua operação a frio,

isto significa que tanto os efeitos devido à transferência de massa e reações químicas, bem

como a transferência de calor puderam ser negligenciados, servindo ao propósito de

considerar apenas a fluidodinâmica do escoamento multifásico. Por fim, outro motivo da

escolha, muito importante para simulações numéricas, foi a suficiente disponibilidade de

dados experimentais para validação dos resultados obtidos, além da clareza das explicações

de como foram obtidos e a apresentação destes no artigo experimental supracitado.


Figura 4.2 – Representação da unidade de CFB a frio utilizada por Samuelsberg et al. (1996), reproduzido de Marini (2008).

O funcionamento do processo, que busca ser o mais semelhante possível com uma

unidade industrial de Leito Fluidizado Circulante (CFB), pode ser descrito do seguinte

modo. O sólido particulado é colocado dentro da coluna, chamada de Riser, até uma altura

de 0,05 m, chamada de altura do leito inicial. Na entrada primária entra apenas ar através de

um distribuidor. Dependendo da velocidade de ar que for mantida na entrada primária,

podem ocorrer as diferentes classes de fluidização. Como o objetivo é alcançar o regime de

transporte pneumático, foram empregadas velocidades superiores ao mínimo necessário

para estar de acordo com este objetivo.

Quando o escoamento com as partículas sólidas alcança a saída do Riser, este entra

em um ciclone que separa as partículas do gás. O sólido desce, sendo realimentado através

da entrada secundária. Para garantir que solido entre novamente no reator, não ficando

preso, aplicou-se uma velocidade constante de ar de 0,05 m s-1

.


O sistema de medição dos perfis radiais de velocidade axial de sólidos empregado

foi o Laser Doppler Anemometry (LDA), que é uma técnica não intrusiva. Três alturas de

medição foram tomadas, a 0,16 m, 0,32 m e a 0,48 m. Os pontos foram tirados a cada dois

milímetros ao longo do diâmetro, sendo os dados publicados uma média de um conjunto de

1000 medições.

4.2.1 Geometria e Malha Numérica

Para a simulação numérica algumas simplificações foram feitas na geometria da

unidade. Como o objetivo era apenas aplicar uma nova modelagem a um escoamento gás-

sólido e tendo também em vista a limitação computacional e temporal, que tornaria inviável

simular o conjunto como um todo, optou-se por desenhar apenas o Riser, de modo que a

recirculação dos sólidos teve de ser modelada no simulador. A geometria desenvolvida foi

apresentada na Figura 4.3. Como simplificações adicionais, o difusor na entrada principal

foi ignorado, sendo modelado posteriormente.


Figura 4.3 – Geometria desenhada para a simulação do Riser. Retirado de MARINI (2008).


A malha desta geometria utilizada para as simulações foi selecionada através de um

teste de malha realizado por MARINI (2008). A malha final contém cerca de 278 mil

volumes de controle. Como parâmetros de qualidade da malha, um ângulo mínimo de 30 º e

um determinante de 0,34 foram aplicados. Nos volumes em contado com a parede da

geometria, um y+

de 11 a 30 foi mantido, faixa a qual é adequada para o modelo de

turbulência utilizado. Na Figura 4.4 foram destacadas partes da malha desenvolvida.

Figura 4.4 – Detalhes da malha utilizada nas simulações numéricas, retirado de MARINI (2008).


4.2.2 Parâmetros Numéricos

Os principais parâmetros do método numérico adotados para as simulações

transientes foram:

CASO 1:

Software utilizado ANSYS CFX 10.0.

Passo de tempo inicial de 10-5

s elevado gradativamente até 10-3

s – a série

de passos de tempo escolhida foi baseada na experiência com trabalhos anteriores

realizados pelo grupo de pesquisa do PQGe. Passos de tempo pequenos tendem a reduzir a

magnitude dos erros, motivo pelo qual o valor de 10 -3

s não foi ultrapassado.

Tempo real simulado de 15 s – tempo considerado suficiente para obtenção

de informações do estado pseudo-estacionário, consistente com os tempos reportados no

artigo de SAMUELSBERG et al. (1996).

Esquema de interpolação espacial Higher Upwind e temporal Euler de

segunda ordem – usados em detrimento dos esquemas de primeira ordem, pela maior

precisão nos resultados.

Número máximo de quatro iterações por passo de tempo – segundo o manual

do CFX (2005) para escoamentos gás-sólido em geral, o valor está dentro da faixa sugerida,

já que muitas iterações podem produzir alterações nos resultados.

Critério de convergência RMS (Root Mean Square) de 10-4

– valor sugerido

para grande parte das simulações, segundo manual do CFX (2005).


CASO 2:

Software utilizado ANSYS FLUENT 6.3.

Passo de tempo inicial de 10-5

s, no modo adaptativo, podendo ser elevado

até 10-3

s – por se tratar do mesmo escoamento a mesma ordem de grandeza do passo de

tempo foi mantida.

Tempo real simulado de 15 s – consistente com a metodologia adotada para

as simulações do CASO 1.

Esquema de interpolação espacial Higher Upwind para as equações de

quantidade de movimento e Upwind para as equações de turbulência e interpolação

temporal Euler de primeira ordem – alguns esquemas de primeira ordem tiveram de ser

mantidos para garantir a convergência das simulações.

Número máximo de vinte iterações por passo de tempo – segundo o manual

do FLUENT (2006) o valor está dentro da faixa sugerida.

Critério de convergência absoluto de 10-3

– valor sugerido para grande parte

das simulações, segundo manual do FLUENT (2006).

4.3 Condição Inicial e de Contorno

As principais condições de contorno e a condição inicial são resumidamente

descritas na Tabela 4.1 para o CASO 1 e na Tabela 4.2 para o CASO 2. As variações de

nomenclatura correspondem àquelas adotadas pelos softwares utilizados.


Tabela 4.1 – Condições de contorno do CASO 1.

Entrada principal Velocidade do gás = 0,36; 0,71; 1,42 m s-1

;

Entrada secundária

Velocidade do gás = 0,05 m s-1

;

Fluxo mássico do particulado igual ao da Saída

Saída Opening = pressão atmosférica

Parede

Particulado = free slip

Gás = no slip

Altura inicial Altura do leito = 0,05 m

Tabela 4.2 – Condições de contorno do CASO 2.

Entrada principal Velocidade do gás = 1,42 m s-1

;

Entrada secundária

Velocidade do gás = 0,05 m s-1

;

Fluxo mássico constante

Saída Pressure outlet = pressão atmosférica

Parede

Particulado = coeficiente de especularidade

Gás = no slip


5. Capítulo 5 – Resultados e Discussões

Dois casos, baseados nos mesmos dados experimentais, são abordados através de

modelagens distintas. O CASO 1 refere-se a modelagem da força de arraste através das

equações de BENYAHIA et al. (2006), enquanto que o CASO 2 refere-se a avaliação do

coeficiente de especularidade baseada na modelagem KTGF. De modo que as simulações

numéricas possam ser avaliadas, os resultados obtidos são comparados com outras

simulações realizadas pelo grupo PQGe e também com dados experimentais da literatura. O

comportamento do escoamento previsto através das abordagens utilizadas neste trabalho é

discutido neste capítulo.

71 CCaappííttuulloo 55 –– RReessuullttaaddooss ee DDiissccuussssõõeess

5.1 CASO 1 - Análise Inicial

As simulações do caso de estudo com as três diferentes velocidades superficiais de

gás, foram realizadas num cluster, o qual consiste numa série de nós, i. e. CPUs, com

processadores trabalhando em paralelo. Em média, para cada simulação seis nós, com um

processador 2,4 GHz e 1GB de memória cada, foram utilizados. O tempo computacional foi

em média de 2 meses para 15 s de tempo real para cada simulação.

Como primeiro passo, foram realizadas duas simulações com a mesma velocidade

superficial de gás de 0,36 m s-1

, já utilizando a modelagem completa do estudo, com o

objetivo de comparar resultados obtidos com precisão simples e dupla. A comparação é

mostrada na Figura 5.1, sendo que os perfis foram obtidos através de médias temporais. O

processamento com dupla precisão deve ser mais preciso, uma vez que considera maior

número de casas decimais nos cálculos, cuja importância para este caso deve-se à valores

da fração volumétrica de sólidos que poderiam ser muito baixos em certas regiões do riser.

Por serem simulações idênticas, exceto pela precisão, os resultados reportados mostraram

variação significativa do perfil da velocidade, inclusive com acentuação da assimetria

destes. Portanto optou-se por simulações com precisão dupla para todos os casos estudados.

Figura 5.1 – Gráficos da média temporal da velocidade do particulado para as simulações com

simples e dupla precisão e dados experimentais para velocidade superficial do gás de 0,36 m s-1

em:

a) altura de 0,16 m e b) altura de 0,32m.

Uma vez decidido que as simulações seriam realizadas com dupla precisão, três

variações da condição de operação deste foram simuladas. Cada uma com uma velocidade


superficial distinta de gás na entrada primária, conforme o artigo experimental de

SAMUELSBERG et al. (1996), sendo estas 0,36 m s-1

, 0,71 m s-1

e 1,42 m s-1

, que foram

descritas em detalhes nos tópicos a seguir.


Para a menor velocidade superficial de gás na entrada primária, a simulação

mostrou a ocorrência de recirculação interna da fase particulada. Tal comportamento

ocorreu com uma intensidade maior do que era previsto pelo artigo experimental. Neste,

corria saída de particulado no topo, também reportado no trabalho de MARINI (2008).

Entretanto no presente caso não houve saída de sólidos pelo topo do riser. A Figura 5.2

demonstra a recirculação interna de sólidos, visualizada pelas linhas de corrente que

preenchem aproximadamente metade do reator, ver também na Figura 5.5 o campo de

fração volumétrica da fase particulada. No ponto mais alto da trajetória, o local onde as

linhas tornam-se azuis, é onde a velocidade é nula, caracterizando um movimento

circulatório, no qual o sólido descende próximo a parede e ascende no centro, conforme

Figura 5.3, na qual é possível identificar a intensidade e sentido da componente vertical (Y)

da velocidade do particulado, num corte da seção transversal do equipamento. A esta forma

de escoamento denomina-se core-annulus, tipicamente encontrada em risers gás-sólido.


Figura 5.2 – Linhas de corrente da média temporal da velocidade do catalisador originadas a partir

da entrada primária.


Figura 5.3 – Campo da média temporal da velocidade do particulados normal ao plano ZX na altura de 0,20 m do Riser.

Já a Figura 5.4 comprova visualmente que praticamente não houve re-entrada de

particulados pela entrada secundária. No corpo do riser não aparecem linhas de corrente,

sendo estas apenas visíveis no detalhe da entrada secundária. Entretanto a fração

volumétrica de sólidos ali presente foi significativa (Figura 5.5). Porem, ainda de acordo

com a Figura 5.4 foi possível perceber que este valor relativamente elevado da fração

volumétrica foi devido à recirculação na seção do tubo da entrada secundária.


Figura 5.4 – Linhas de corrente da média temporal da velocidade do catalisador originadas a partir da entrada secundária, visão geral e detalhe.


Figura 5.5 – Campos de fração volumétrica de sólidos: a) escala logarítmica; b) detalhe na saída; c) detalhe das entradas.

Os valores dos perfis de velocidade de particulado nas três alturas são apresentados

na Figura 5.6. Para as duas primeiras alturas pode-se perceber o perfil core-annulus

esperado, típico de risers. Porém, na terceira altura o perfil estava em desacordo com o

comportamento esperado, o que acreditou-se, foi conseqüência primária da forte

recirculação interna simulada. Entretanto, quando estes resultados foram comparados com

dados de simulações utilizando a correlação de arraste de Gidaspow, percebeu-se que isto

não se repetia naquela.


-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

Experimental

Gidaspow

Extended HKL

a)

-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

Experimental

Gidaspow

Extended HKL

b)


-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Experimental

Gidaspow

Extended HKL

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

c)

Figura 5.6 – Perfis de velocidade da fase particulada para velocidade superficial de 0,36 m s-1

, para

as alturas de a) 0,16 m; b) 0,32 m; c) 0,48 m.


Nesta velocidade superficial do gás o comportamento da fase particulada obtido na

presente simulação foi compatível com as simulações de MARINI (2008). Houve

recirculação externa de sólidos, de modo que o perfil da fração volumétrica ao longo do

reator tornou-se mais homogêneo. A Figura 5.7 mostra a distribuição desta num corte axial.

Ainda assim foi possível observar que na base ocorreu maior concentração da fase

particulada, devido a recirculação interna, definida pelo comportamento core-annulus, o

qual foi novamente observado.


Figura 5.7 – Perfil da média temporal da fração volumétrica do particulado em escala logarítmica.

Linhas de corrente também foram analisadas, as quais corroboraram a expectativa

de que a fase sólida também apresentaria certo grau de recirculação interna, porém,

diferentemente do caso da velocidade de 0,36 m s-1

, neste houve saída de sólidos pelo topo

do riser. A Figura 5.8 e a Figura 5.9 demonstram tal fato, pelas linhas de corrente da média

temporal da velocidade do catalisador.


Figura 5.8 – Linhas de corrente da média temporal da velocidade do particulado partindo do plano da entrada principal.


Figura 5.9 – Linhas de corrente da média temporal da velocidade do particulado partindo do plano

da entrada secundária.

O campo de velocidade do particulado pode ser visualizado na Figura 5.10. A cor

azul foi empregada para denotar as regiões nas quais o fluxo foi descendente (velocidade

negativa). Deste modo pode-se perceber que, em toda extensão do riser, a região próxima a

parede apresentou velocidades negativas. Porém os dados quantitativos demonstraram que

o sólido descendeu numa velocidade superior daquela medida no artigo experimental. Os

dados comparativos foram apresentados sob forma de gráficos de médias temporais de

velocidade do particulado ao longo do diâmetro para diferentes alturas, conforme Figura

5.11.


Figura 5.10 – Campo de velocidade do particulado no corte axial do riser.

Dentre os resultados das simulações, a correlação de arraste utilizada no presente

trabalho não demonstrou melhora expressiva na reprodução dos dados experimentais,

estando bastante próxima à de Gidaspow. Como foi possível perceber, a velocidade prevista

do particulado esteve superior, tanto na seção positiva, quanto na negativa, em relação aos

dados experimentais para as duas correlações de arraste.


-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

Experimental

Gidaspow

Extended HKL

a)

-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

Experimental

Gidaspow

Extended HKL

b)


-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Experimental

Gidaspow

Extended HKL

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

c)


, para



Os dados numéricos medidos para a condição de maior velocidade de entrada do

meio contínuo revelaram o mesmo padrão de escoamento core-annulus. A Figura 5.12

mostra a distribuição da fração volumétrica de sólidos no interior do riser. Novamente, a

porção inferior apresentou maior fração volumétrica de sólidos, já que, conforme esperado,

ocorreu recirculação interna pelas paredes. A Figura 5.13 e a Figura 5.14 mostram tal

comportamento, ainda que a maioria das linhas siga em direção a saída no topo.


Figura 5.12 – Perfil da média temporal da fração volumétrica do particulado em escala logarítmica.


Figura 5.13 – Linhas de corrente da média temporal da velocidade do particulado a partir do plano

da entrada primária.


Figura 5.14 - Linhas de corrente da média temporal da velocidade do particulado a partir do plano

da entrada secundária.

O campo de velocidade próximo a parede apresentou novamente velocidades

negativas, enquanto que no centro estas eram ascendentes. Na Figura 5.15 é mostrado o

campo de velocidade em todo o riser, com destaque para região azul, de velocidades

negativas. Os valores obtidos não previram corretamente a magnitude da velocidade do

particulado, a qual se encontrava muito acima do esperado.


Figura 5.15 – Velocidade do catalisador com destaque aos valores negativos próximo a parede.

Na Figura 5.16 foram apresentados os gráficos comparativos. Neste caso, os valores

obtidos com a modelagem Extended HKL para a primeira altura, de 0,16 m, apresentaram

ótima concordância tanto com os dados experimentais como com as outras simulações

realizadas. O perfil se encaixou mesmo na região crítica, o centro do escoamento, além da

região próxima a parede. Porém nas outras alturas, 0,32 m e 0,48 m os perfis numéricos

novamente previram velocidades de particulado superiores daquelas encontradas pelos

autores do estudo experimental. Apenas próximo as paredes a concordância foi maior em

relação aos resultados com a força de arraste calculada por Gidaspow, o que é um

indicativo da melhor aplicabilidade da correlação Extended HKL em regiões mais densas.


-1 0 1

-1

0

1

2

3

4

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

Experimental

Gidaspow

Extended HKL

a)

-1 0 1

-1

0

1

2

3

4

ve

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ad

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se

só

lida

, m

/s

r/R

Experimental

Gidaspow

Extended HKL

b)


-1 0 1

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0

1

2

3

4

Experimental

Gidaspow

Extended HKL

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

c)


, para


5.1.4 Comportamento da Correlação de Arraste

Como visto no Capitulo 3, sobre a modelagem matemática, a correlação de arraste

estudada é principalmente função da fração volumétrica e é segredada pelo número de

Reynolds. Assim sendo, os planos apresentados na Figura 5.17 comprovam que nas regiões

de baixa concentração de particulado a força de arraste tende ao valor analítico de uma

esfera isolada, enquanto que nas regiões próximas a paredes, onde a fração volumétrica de

sólidos foi maior, o arraste também aumenta. Outra variável pertinente ao arraste, a

velocidade relativa entre a fase gás e a fase sólida (slip velocity) apresentou um

comportamento diretamente proporcional a fração volumétrica de sólidos, ou seja, regiões

onde a quantidade de particulado foi pequena, a tendência da velocidade do sólido foi

acompanhar a velocidade do gás, de modo que a velocidade relativa tendesse a zero.


Figura 5.17 – Campo de fração volumétrica, coeficiente de arraste e velocidade relativa gás-sólido,

para velocidade de 1.42 m s-1

, no tempo de 15s.

5.1.5 Experimentação Numérica da Modelagem Matemática

Como os resultados obtidos não foram totalmente satisfatórios, foram contempladas

outras abordagens para o modelamento matemático da fase particulada. As principais

alterações foram feitas na modelagem da turbulência, da viscosidade e da condição de

contorno na parede. Para cada uma destas, foi rodado um caso separadamente, somente

para a condição de entrada de 0,71 m s-1

, uma vez que o tempo computacional requerido era

um fator limitante, não tendo sido possível realizar simulações para todos os casos

apresentados nas seções anteriores deste capítulo. Porém apenas uma simulação foi


suficiente para identificar e avaliar as alterações nos resultados, os quais foram

apresentados na sequência.

5.1.5.1 Modelo de Zero Equação para Turbulência da Fase Dispersa

Nesta modelagem, as equações de transporte de quantidade de movimento da fase

particulada passaram a contemplar a turbulência, através de um modelo algébrico,

denominado Zero Equation. Todos os outros modelos e as condições de contorno e inicias

permaneceram inalteradas. A Figura 5.18 mostra os perfis de velocidade axial da fase

particulada para três diferentes alturas.

-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

ve

locid

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e fa

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lida

, m

/s

r/R

Experimental

Zero

a)


-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

ve

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ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

Experimental

Zero

b)

-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Experimental

Zero

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

c)

Figura 5.18 – Perfis de velocidade da fase particulada ao longo do raio para velocidade superficial

do gás de 0,71 m s-1

para 15 s de simulação, alturas de a) 0,16 m; b) 0,32 m; c) 0,48 m.

Pode-se perceber que a velocidade da fase dispersa ficou abaixo dos dados

experimentais, exceto na região próxima a parede, onde a velocidade permaneceu positiva.


Os perfis apresentaram certa curvatura, mostrando a tendência principal do escoamento,

porém não o caracterizaram corretamente. A configuração core-annulus do escoamento foi

também observada, conforme Figura 5.19, a qual mostrou os campos de fração volumétrica

da fase particulada em planos transversais ao escoamento.

Figura 5.19 – Média temporal dos campos de fração volumétrica da fase dispersa nas alturas de: a) 0,16 m; b) 0,32 m; c) 0,48 m.

Apesar da distribuição da fase dispersa estar coerente com o tipo de escoamento, a

direção deste, Figura 5.18, indica que não há escoamento descendente desta fase na região

mais densa, próxima a parede, informação esta não corroborada pela descrição dos dados

experimentais do artigo de SAMUELSBERG et al. (1996), nem pelas simulações

numéricas de MARINI (2008).

5.1.5.2 Modelo de Viscosidade Nula para Fase Dispersa

No trabalho de ROSA (2008) foi efetuado semelhante estudo sobre a modelagem da

viscosidade da fase particulada em um escoamento gás-sólido em risers. Naquele trabalho

o autor descreveu que esta modelagem apresentou bons resultados quantitativos,

principalmente na região central, porém ainda assim a abordagem de viscosidade constante


não-nula foi preferida nas simulações por ter produzido melhores resultados. Na Figura

5.20 foram apresentados os gráficos dos perfis de velocidade da fase particulada num corte

radial, para três alturas do riser.

-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

Experimental

Inviscido

a)

-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

Experimental

Inviscido

b)


-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Experimental

Inviscido

ve

locid

ad

efa

se

só

lida

, m

/s

r/R

c)

Figura 5.20 – Perfis de velocidade da fase particulada ao longo do raio para fase particulada

invíscida, na velocidade superficial do gás de 0,71 m s-1

para 15 s de simulação, alturas de a) 0,16

m; b) 0,32 m; c) 0,48 m.

A modelagem da fase particulada com viscosidade nula foi considerada por

acreditar-se que o escoamento na região central, na qual ocorreram os maiores desvios em

relação aos dados experimentais, poderia ser assim melhor representado, uma vez que esta

modelagem é apenas própria para escoamentos diluídos.

Entretanto a curva do perfil de velocidade da fase particulada, conforme Figura

5.20, mostra que esta abordagem não conseguiu prever o comportamento do escoamento.

Velocidades negativas próximas as paredes não foram alcançadas, nem o perfil parabólico

achatado que seria esperado na região central. Acredita-se que os valores de concentração

da fase particulada sejam muito elevados para que esta modelagem possa ser adotada.


Figura 5.21 - Média temporal dos campos de fração volumétrica da fase dispersa nas alturas de: a)

0,16 m; b) 0,32 m; c) 0,48 m.

A Figura 5.21 mostra a distribuição do particulado no interior do riser para três

alturas. Todas elas apresentaram um comportamento ligeiramente diferente do esperado. A

fase particulada concentrou-se no setor acima da entrada secundária (lado direito dos

cortes), enquanto que a região do anel com distribuição de fração volumétrica mais

homogênea seria esperada.

5.1.5.3 Modelo de Não-deslizamento para Condição de Contorno na Parede para

Fase Dispersa

Segundo o trabalho de MARINI (2008) a condição de contorno no-slip para a fase

particulada na parede tornou os perfis de velocidade simulados mais adequados aos dados

experimentais. Deste modo, procurou adotar-se a mesma modificação na modelagem deste

problema. A Figura 5.22 mostra a média temporal dos perfis de velocidade da fase

particulada para este caso, além dos perfis já apresentados com a condição de livre

deslizamento.


-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

Experimental

NoSlip

Free slip

a)

-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

Experimental

NoSlip

Free slip

b)


-1 0 1

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Experimental

NoSlip

Free

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

c)

Figura 5.22 – Perfis de velocidade da fase particulada ao longo do raio, comparação das condições

de contorno na parede de não deslizamento e livre deslizamento, na velocidade superficial do gás de

0,71 m s-1

para 15 s de simulação, alturas de a) 0,16 m; b) 0,32 m; c) 0,48 m.

A variação do perfil em relação ao caso simulado no item 5.1.2 não foi expressiva,

sendo que a tendência do perfil permaneceu similar aquela obtida anteriormente. A

magnitude da velocidade também manteve-se num nível próximo. Os valores no centro do

escoamento sobre-predisseram os dados experimentais, enquanto que na região próxima a

parede estes apresentaram maior concordância.

Na Figura 5.23 é apresentada a média temporal dos campos de fração volumétrica

da fase dispersa. Aqui também não houve mudanças no comportamento do escoamento

gás-sólido, o que pode ser conferido pela maior concentração desta fase na região externa

ao centro do riser.


Figura 5.23 - Média temporal dos campos de fração volumétrica da fase dispersa nas alturas de: a)

0,16 m; b) 0,32 m; c) 0,48 m.

A modificação da condição de contorno na parede para a fase dispersa alterou

insignificativamente os campos de velocidade e fração volumétrica do particulado no

interior do riser. O comportamento do escoamento, ainda assim, não foi melhor

representado.

5.2 CASO 2 – Estudo da condição de contorno na parede

Para o segundo caso estudado foi realizado um estudo sobre o efeito da variação do

coeficiente de especularidade sobre os perfis de velocidade da fase particulada. Este foi

variado em diversos valores, sendo que destes dois apresentaram resultados satisfatórios.

Na Figura 5.24 são apresentados os perfis de para os valores de 0,4 e 0,6.


-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

Experimental

coef 0.4

coef 0.6

KTGF - No Slip

a)

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

Experimental

coef 0.4

coef 0.6

KTGF - No Slip

b)


-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

ve

locid

ad

e fa

se

só

lida

, m

/s

r/R

Experimental

coef 0.4

coef 0.6

KTGF - No Slip

c)

Figura 5.24 – Perfis de velocidade da fase particulada para os coeficientes de especularidade 0,4 e

0,6 para a velocidade de 1,42 m s-1

, para três alturas: a) 0,16 m; b) 0,32 m; c) 0,48 m.

Neste caso, avaliou-se apenas os perfis para a velocidade superficial de entrada de

gás de 1,42 m s-1

, uma vez que o objetivo deste caso não foi avaliar o efeito da variação do

coeficiente sobre diversas condições de entrada, mas sim determinar um valor adequado,

que possa ser utilizado em outras simulações gás-sólido.

Pela Figura 5.24 pode-se perceber que os perfis apresentaram-se mais coerentes

com os dados experimentais, principalmente no centro do escoamento, o que não ocorreu

nos resultados do CASO 1. Já da comparação destes resultados com aqueles obtidos por

MARINI (2008), pode-se perceber que a simples condição de não deslizamento, apesar de

produzir resultados adequados, não representa corretamente o fenômeno fisco. A condição

intermediária pode trazer melhoras, através do coeficiente de especularidade, ao

escoamento da fase sólida.

Não foi possível determinar uma relação entre o valor do coeficiente de

especularidade e a acurácia dos perfis, porém os resultados encontrados parecem sugerir

que valores intermediários deste coeficiente seriam mais adequados.


Na Figura 5.25 são apresentados os perfis de fração volumétrica do particulado, em

três alturas. Os perfis indicaram que o tipo de escoamento core-annulus continuou sendo

representado adequadamente através desta abordagem.

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

fra

çã

o v

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mé

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r/R

coef 0.4

coef 0.6

a)

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

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r/R

coef 0.4

coef 0.6

b)


-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

fra

çã

o v

olu

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a d

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se

só

lida

r/R

coef 0.4

coef 0.6

c)

Figura 5.25 – Perfis radiais de fração volumétrica da fase particulada para velocidade de 1,42 m s-1

,

nas alturas de: a) 0,16 m; b) 0,32 m; c) 0,48 m.

105 CCaappííttuulloo 66 –– CCoonncclluussõõeess ee SSuuggeessttõõeess

6. Capítulo 6 – Conclusões e Sugestões

De posse de todos os dados e considerações apresentados até esta pagina, são

apresentas as conclusões, criteriosas e objetivas, acerca do que foi realizado. Apontar os

próximos desafios e indicar o seguimento do trabalho também foi expresso.


Para o CASO 1 foi possível verificar através dos resultados obtidos nas simulações

que a correlação de arraste estudada conseguiu prever adequadamente o comportamento

core-annulus do escoamento no riser. Também, na maioria dos pontos medidos, a

velocidade do particulado próximo a parede foi predita corretamente. Porém na região

central esta variável teve um valor simulado superior ao observado tanto nos experimentos,

quanto nos outros trabalhos numéricos utilizados como comparação.

De modo geral, a experimentação numérica, na qual foram variadas partes da

modelagem do problema, não produziu melhores resultados para os perfis de velocidade no

interior do riser. Todas as abordagens testadas tiveram certo grau de sucesso em casos

específicos reportados na literatura, porém para o presente trabalho não se mostraram

relevantes na fluidodinâmica do escoamento gás-sólido.

A primeira modelagem alternativa testada, o modelo zero-equation para a

turbulência da fase particulada, não apresentou melhoras nos resultados. Acreditou-se que a

modelagem da turbulência seria um fator importante na correta descrição do escoamento,

porém o modelo de zero equação para a fase dispersa produziu perfis de velocidade

achatados, não condizentes com os perfis de velocidade negativa na parede e positivas no

centro.

Do mesmo modo a modelagem da viscosidade da fase particulada com valor nulo,

ou seja, desconsiderando os termos viscosos da fase dispersa nas equações de transporte,

não reproduziu a distribuição de velocidades no riser coerentemente. O particulado

apresentou um caminho preferencial, acima da entrada secundária, diferente das

distribuições obtidas com as outras modelagens. A análise dos perfis de velocidade

demonstrou a incapacidade deste modelamento em descrever o esperado perfil parabólico.

Velocidades negativas não foram registradas. Assim sendo, foi verificado que a viscosidade

da fase particulada, na abordagem Euleriana-Euleriana, não deveria ser ignorada.

Esta é uma variável, mesmo que sem um significado verdadeiramente físico, já que

apenas fluidos por definição possuem viscosidade, importante para a descrição do

escoamento multifásico, conforme ficou comprovado. Por outro lado, estipular um valor

constante para a viscosidade da fase particulada, a qual, para este estudo, foi obtida a partir

107 CCaappííttuulloo 66 –– CCoonncclluussõõeess ee SSuuggeessttõõeess

de outros trabalhos desenvolvidos no PQGe, também apresenta limitações, uma vez que

não é possível validar este dado experimentalmente.

Finalmente a utilização da condição de contorno de não deslizamento para a fase

particulada na parede resultou em perfis similares aqueles da condição de livre

deslizamento. Apesar de ser esperado que esta condição freasse a fase particulada em

contato com a parede, os perfis continuaram a ter velocidades negativas acentuadas

próximas a esta. A utilização desta condição provou não ter tido influência no modelamento

do problema.

Possibilidades quanto a trabalhos futuros utilizando esta correlação de arraste não

devem ser descartadas, uma vez que para o escoamento estudado ficou comprovada a

correta predição do comportamento do escoamento. As comparações quantitativas também

devem ser tomadas com precaução, já que há variáveis que não foram modeladas e que

podem ter tido relevância nos experimentos, como a ocorrência de eletricidade estática.

Sugere-se ainda a aplicação desta correlação para outros tipos de leitos fluidizados, como

aqueles que operam próximos a mínima fluidização, de modo que uma extensa galeria de

casos possa ser contemplada para que assim possa ser obtido um amplo conhecimento da

aplicabilidade deste modelo matemático.

Quanto ao estudo do CASO 2 foi possível concluir que a utilização de uma

abordagem intermediária para a condição de contorno na parede, entre as condições de livre

deslizamento e não-deslizamento, mostrou ter potencial na adequação dos modelos

aplicados para os dados experimentais, para a modelagem KTGF.

Ainda deverá ser dada continuidade aos estudos sobre condições de contorno na

parede, uma vez que esta região tem demonstrado ser muito difícil de modelar

corretamente. Trabalhos futuros poderão ser desenvolvidos nesta linha de pesquisa, uma

vez que há outros parâmetros a serem investigados.


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Dissertação de Mestradotaurus.unicamp.br/bitstream/REPOSIP/266452/1/... · UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA QUÍMICA ÁREA DE CONCENTRAÇÃO DESENVOLVIMENTO