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DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE CANAL TRAPEZOIDAL
PELO CRITRIO DE CUSTO GLOBAL
THIAGO BORGES ORTEGA
So Paulo 2012
THIAGO BORGES ORTEGA
DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE CANAL TRAPEZOIDAL
PELO CRITRIO DE CUSTO GLOBAL
Dissertao apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para obteno do ttulo de mestre em Engenharia Civil. rea de Concentrao: Engenharia Hidrulica Orientador: Prof. Dr. Jos Rodolfo Scarati Martins
So Paulo 2012
Este exemplar foi revisado e alterado em relao verso original, sob
responsabilidade nica do autor e com a anuncia de seu orientador.
So Paulo, de agosto de 2012.
Assinatura do autor ____________________________
Assinatura do orientador _______________________
FICHA CATALOGRFICA
Ortega, Thiago Borges
Dimensionamento otimizado de canal trapezoidal pelo crit-
rio de custo global / T.B. Ortega. -- ed.rev. -- So Paulo, 2012.
222 p.
Dissertao (Mestrado) - Escola Politcnica da Universidade
de So Paulo. Departamento de Engenharia Hidrulica e Am-
biental.
1. Otimizao no linear 2. Canais artificiais I. Universidade
de So Paulo. Escola Politcnica. Departamento de Engenharia
Hidrulica e Ambiental II. t.
i
DEDICATRIA
Ao meu pai, Ricardo Chiquito Ortega,
A minha me, Joana Anglica Borges Ortega,
E aos meus irmos, Ricardo Borges Ortega e Leonardo Henrique Borges Ortega.
ii
AGRADECIMENTOS
A Deus, por me fartar o esprito de paz em todos os momentos, em especial aqueles
de maior angstia e desespero, e me dar em abundancia tudo aquilo que precisei
para chegar at aqui.
Ao meu Colega, Professor e Orientador, Dr. Jos Rodolfo Scarati Martins, por
compartilhar seu vasto conhecimento de forma to didtica, e pelo empenho na
elaborao deste trabalho.
A Escola Politcnica da Universidade de So Paulo, a quem eu devo grande parte
do meu conhecimento e amadurecimento.
A todos que torceram de maneira sincera pelo meu sucesso.
iii
RESUMO
Este trabalho apresenta um modelo matemtico de suporte deciso para projeto
de canais com seo trapezoidal, cujo regime de escoamento seja do tipo
unidimensional, fluvial e permanente, para terrenos naturais. A seo otimizada
pelo critrio de custo global, composto pelos custos de implantao (motorizao,
escavao, aterro, revestimento) e manuteno (conservao e operao,
contabilizada atravs da perda de energia). A determinao da seo tima foi feita
por algoritmo de programao no linear.
As variveis analisadas foram o revestimento (custo, espessura, coeficiente de
Manning), a vazo, a declividade de fundo do canal, a vida til, taxa de juros, sees
topogrficas (com horizontes geotcnicos), e o resultado contempla a largura de
fundo e consequentemente a altura da seo.
Palavras-Chave: Canal trapezoidal, otimizao
iv
ABSTRACT
This work presents a decision support mathematical model for design of trapezoidal
sections channel, for the case of one-dimensional, subcritical, steady and open-
channel flow. The section is optimized by the criterion of total cost, composed by the
costs of implementation (engine, excavation, landfill, lining) and maintenance
(conservation and operation, accounted for by the loss of energy). The determination
of optimum section was performed by nonlinear programming algorithm.
The variables analyzed were the lining (cost, thickness, Mannings coefficient), flow,
the channel bottoms slope, the project lifetime, interest rates, topographic sections
(including geotechnical data), and the result includes the width and consequently the
height of the section.
Keywords: Trapezoidal channel, optimization.
v
LISTA DE FIGURAS
Figura 4.1 Seo Mista tima (ABDULRAHMAN, 2007) ....................................... 11 Figura 4.2 Seo Trapezoidal (FLYNN, MARIO, 1987) ....................................... 12 Figura 4.3 Seo Trapezoidal e Suas Variveis (DAS, 2008) ................................ 15 Figura 4.4 Seo Trapezoidal e suas variveis (DAS, 2000) ................................. 17 Figura 4.5 - Definio dos Elementos do Canal (LOGANATHAN, 1991) .................. 20 Figura 4.6 Elementos de Clculo da Seo tima (BHATTACHARJYA, 2007) ..... 23 Figura 4.7 Fluxograma de clculo de seo tima, adaptado a partir de BHATTACHARJYA et al (2007) ................................................................................ 26 Figura 4.8 Tipos de Sistemas de Canais (adaptado de CARRIAGA et al., 2000) .. 30 Figura 4.9 Dimenses Empregadas por SOUZA (s.d.) .......................................... 31 Figura 5.1 Conformao Canal / Terreno ............................................................... 51 Figura 5.2 - rea Escavada na Seo Transversal ................................................... 52 Figura 5.3 - Tenses de Arraste no fundo e taludes de um canal (SIMONS & SENTRK, 1992) ...................................................................................................... 64 Figura 5.4 - Curva de Shields (SIMONS & SENTRK, 1992) ................................... 66 Figura 5.5 - Resultados para m = 0,5 e revestimento em gabio tipo caixa .............. 77 Figura 5.6 - Resultados para m = 0,5 e revestimento em gabio tipo colcho ......... 77 Figura 5.7 - Resultados para m = 0,5 e revestimento em concreto projetado .......... 78 Figura 5.8 - Resultados para m = 0,5 e revestimento com geocomposto ................ 78 Figura 5.9 - Resultados para m = 0,5 em terreno natural .......................................... 79 Figura 5.10 - Resultados para m = 1,0 e revestimento em gabio tipo caixa ........... 79 Figura 5.11 - Resultados para m = 1,0 e revestimento em gabio tipo colcho ....... 80 Figura 5.12 - Resultados para m = 1,0 e revestimento em concreto projetado ........ 80 Figura 5.13 - Resultados para m = 1,0 e revestimento com geocomposto .............. 81 Figura 5.14 - Resultados para m = 1,0 em terreno natural ........................................ 81 Figura 5.15 - Resultados para m = 2,0 e revestimento em gabio tipo caixa ............ 82 Figura 5.16 - Resultados para m = 2,0 e revestimento em gabio tipo colcho ....... 82 Figura 5.17 - Resultados para m = 2,0 e revestimento em concreto projetado ........ 83 Figura 5.18 - Resultados para m = 2,0 e revestimento com geocomposto .............. 83 Figura 5.19 - Resultados para m = 2,0 em terreno natural ........................................ 84 Figura 5.20 - Declividade de fundo igual a 0,0001 m/m ............................................ 88 Figura 5.21 - Declividade de fundo igual a 0,0002 m/m ............................................ 88 Figura 5.22 - Declividade de fundo igual a 0,0005 m/m ............................................ 89 Figura 5.23 - Declividade de fundo igual a 0,0001 m/m ............................................ 89 Figura 5.24 - Declividade de fundo igual a 0,0002 m/m ............................................ 90 Figura 5.25 - Declividade de fundo igual a 0,0005 m/m ............................................ 90 Figura 5.26 - Declividade de fundo igual a 0,0001 m/m ............................................ 91 Figura 5.27 - Declividade de fundo igual a 0,0002 m/m ............................................ 91 Figura 5.28 - Declividade de fundo igual a 0,0005 m/m ............................................ 92 Figura 5.29 - Composio dos elementos de custo para m = 0,5 e i = 0,0001.......... 95 Figura 5.30 - Composio dos elementos de custo para m = 0,5 e i = 0,0002.......... 96 Figura 5.31 - Composio dos elementos de custo para m = 0,5 e i = 0,0005.......... 96 Figura 5.32 - Composio dos elementos de custo para m = 1,0 e i = 0,0001.......... 97 Figura 5.33 - Composio dos elementos de custo para m = 1,0 e i = 0,0002.......... 97 Figura 5.34 - Composio dos elementos de custo para m = 1,0 e i = 0,0005.......... 98 Figura 5.35 - Composio dos elementos de custo para m = 2,0 e i = 0,0001.......... 98 Figura 5.36 - Composio dos elementos de custo para m = 2,0 e i = 0,0002.......... 99
vi
Figura 5.37 - Composio dos elementos de custo para m = 2,0 e i = 0,0005.......... 99
vii
LISTA DE TABELAS
Principais Tipos de Revestimentos ........................................................................... 54 Classes e Subclasses dos Grupos A e B - adaptado de (ANEEL, 2005) .................. 58 Tarifa Social de Baixa Renda (Fonte: AES Eletropaulo, 2010) ................................. 59 Velocidade Mxima Recomendada (adaptado de FORTIER & SCOBEY, 1926) ...... 60 Velocidade Mxima Admissvel (Adaptado de LENCASTRE, 1972) ......................... 62 Reduo na Tenso Cisalhante Limite (adaptado de LANE, 1955) .......................... 65 Preos Unitrios (Data De Referncia: 30/06/2011 Fonte: DER) ........................... 72 Custos para talude lateral igual a 0,5 ........................................................................ 93 Custos para talude lateral igual a 1,0 ........................................................................ 93 Custos para talude lateral igual a 2,0 ........................................................................ 94
viii
LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS
ANA Agncia Nacional de guas
ANEEL Agncia Nacional de Energia Eltrica
ASCE American Society of Civil Engineer
DER Departamento de Estradas de Rodagem
EXCEL Aplicativo desenvolvido por Microsoft
GAMS/MINOS Aplicativo desenvolvido por Gams
IARH Int. Assoc. for Hydro-Environment Engineering and Research
IWPDC International Water Power and Dam Construction
MATLAB Aplicativo desenvolvido por MathWorks
USP Universidade de So Paulo
ix
SUMRIO
1 Introduo ............................................................................................................ 1 2 Objetivos e Mtodo de Trabalho .......................................................................... 3
2.1 Objetivos Gerais ............................................................................................. 3 2.2 Objetivos Especficos ..................................................................................... 5 2.3 Mtodo de Trabalho ....................................................................................... 5
3 Justificativa ........................................................................................................... 7 4 Reviso Bibliogrfica .......................................................................................... 10 5 Desenvolvimento do modelo e Estudo de Caso ................................................. 36
5.1 Elementos de Projeto ................................................................................... 36 5.1.1 Geometria das Sees .......................................................................... 38 5.1.2 Velocidade Mxima Admissvel ............................................................. 41 5.1.3 Tenso de Arraste Crtica ...................................................................... 41 5.1.4 Perda de Carga no Canal ...................................................................... 43 5.1.5 Escavao ............................................................................................. 45 5.1.6 Revestimento ......................................................................................... 46 5.1.7 Custos ................................................................................................... 47
5.2 Formulao do Modelo ................................................................................. 47 5.2.1 Funo Objetivo ..................................................................................... 49 5.2.2 Restries .............................................................................................. 59 5.2.3 Verificaes ........................................................................................... 60
5.3 Execuo do Modelo .................................................................................... 70 5.3.1 Variveis de Entrada ............................................................................. 71 5.3.2 Produtos ................................................................................................ 72 5.3.3 Limitaes ............................................................................................. 73
5.4 Estudo de Caso ............................................................................................ 74 5.4.1 Situaes Estudadas ............................................................................. 75 5.4.2 Verificao do Modelo ........................................................................... 76 5.4.3 Novos Ensaios ....................................................................................... 84 5.4.4 Resultados ............................................................................................. 86
6 Discusso dos Resultados ............................................................................... 101 7 Concluses e recomendaes ......................................................................... 105 8 Referncias Bibliogrficas ................................................................................ 107 ANEXO A Tabela de Tarifas Energticas (AES Eletropaulo) ............................... 109 ANEXO B Resultados dos Clculos de Remanso ................................................ 112 APNDICE A Manuscritos de SOUZA, P. A. (s.d.) .............................................. 217
1
1 INTRODUO
Canalizaes esto relacionadas ao desenvolvimento da civilizao humana: com o
objetivo de melhorar a eficincia agrcola, tribos nmades acabaram fixando-se nas
margens de rios como Nilo, Tigre, Eufrates e Jordo e, como consequncia,
surgiram os primeiros Estados centralizadores, eventualmente militarizados, e j
providos de uma classe de trabalhadores; estes povos conceberam tambm os
primeiros canais de que se tem registro, e haviam laboriosos envolvidos tanto nas
lavouras quanto nas obras de canalizao, dando origem assim s conhecidas
Civilizaes Hidrulicas.
No entanto, apesar de canais serem uma estrutura amplamente usada pela
humanidade h milhares de anos, o estudo de seo tima somente pde se
desenvolver a partir da evoluo da engenharia hidrulica, atravs do conhecimento
das leis que governam o escoamento.
O estudo de otimizao de canais trata da maneira mais eficiente de conduzir a
gua, que um recurso natural de crescente importncia e escassez e como, de
maneira geral, canais apresentam vida til elevada e operao intensa, seu
dimensionamento tem recebido importantes contribuies ao longo dos ltimos 50
anos.
O desenvolvimento de novas ferramentas de clculo tambm influenciou o estudo de
otimizao, pois facilitou a explorao de modelos matemticos, indispensveis em
casos de otimizao no linear, dando agilidade execuo dos clculos.
Dentre os estudos existentes sobre eficincia de seo transversal de canais, um
fato notrio que a maioria destes estudos direcionada a canais cuja funo a
de transportar gua para fins de irrigao.
2
Entretanto, canais podem assumir diversas funes alm da irrigao, como por
exemplo, a navegao, o abastecimento urbano, rural ou industrial, o desvio de gua
de reservatrios para turbinas hidreltricas entre outros; alm disso, h que se
considerar tambm o estudo direcionado recuperao de canais existentes, que
tende a se tornar mais frequente. Para estes casos, a literatura bastante pobre no
que tange a metodologia de otimizao de seo; entretanto, os avanos feitos para
dimensionamento de canais de irrigao podem ser amplamente explorados em
outros tipos de canalizao, devendo-se ajustar os modelos existentes para as
consideraes que devem ser feitas nos casos particulares.
Devido ao fato de no escoamento em canais naturais haver foras cisalhantes entre
o fluido e o leito do canal, alm de turbulncia, h transformao de energia cintica
e potencial do fluido em formas no aproveitveis para esta aplicao
(principalmente calor), gerando ento perda de carga.
Como em canalizaes normalmente a perda de carga pode atingir valores
relevantes, um importante ajuste a ser feito nos modelos de otimizao de canal
existentes, e que permite dimensionar outros tipos de canal, a considerao da
perda de energia, cujo custo indiretamente calculado como sendo funo da perda
de carga.
3
2 OBJETIVOS E MTODO DE TRABALHO
O objetivo principal deste trabalho o de apresentar uma consolidao dos mtodos
e ferramentas disponveis para o dimensionamento otimizado de canais para
conduo de gua explorando o conceito do mnimo custo global atravs de um
estudo comparativo aplicado aos canais trapezoidais. Alm disso, esta dissertao
tem como intento servir de sumrio sobre o estado da arte das tcnicas de
otimizao de seo para canais, abrangendo a literatura disponvel referente a este
tema. So aqui pesquisadas as principais contribuies existentes sobre o assunto e
dado os devidos crditos aos autores.
So avaliados tais mtodos, e feita uma anlise conceitual sobre deles. Por fim,
ser apresentado um modelo matemtico, capaz de dar suporte deciso no clculo
de seo transversal tima para canal de seo trapezoidal, considerando-se uma
dada condio de geometria, custos e outras restries.
2.1 Objetivos Gerais
O estudo de seo tima de um canal deve ser capaz de encontrar a melhor
configurao do mesmo, o que implica se definir o melhor conjunto de dimenses de
base, largura, altura de lmina dgua, inclinao de talude e declividade de fundo.
Tal estudo deve considerar as limitaes hidrulicas representadas pela formulao
universal da resistncia ao escoamento, alm de atender s condies de
estabilidade, representadas pela velocidade mxima permissvel do revestimento e a
tenso de arraste crtica, que objetivam a estabilidade de forma do canal, ou seja, a
no ocorrncia de eroso e/ou assoreamento no fundo do mesmo. Outras restries
4
podem se fazer presentes para casos particulares, como por exemplo largura
mxima do canal, ou altura mxima de lmina dgua, devido limitaes especficas
de um determinado projeto.
Alm de considerar estas restries, um sistema de otimizao de sees deve
apresentar um objetivo bem definido que depende especificamente do que se
pretende com o canal: pode desejar-se a mnima rea de seo transversal do
canal, mitigando assim os impactos da construo, ou ento se pode desejar um
mnimo custo de operao e manuteno, tendo em vista que o canal pode localizar-
se em regio distante. O objetivo mais comum, entretanto, costuma ser o de
minimizao dos custos totais envolvidos na construo e operao do canal para
um dado horizonte de projeto.
A meta de otimizao representada por uma funo matemtica, cujo resultado
pode ser, por exemplo, a rea da seo, ou o custo total do empreendimento,
composto pelas parcelas referentes ao custo de implantao (que engloba a
escavao, o aterro, o revestimento e a motorizao) e ao custo de operao (que
prev os gastos com a conservao do canal e com a perda de energia durante a
operao). As variveis desta funo so as grandezas que definem uma
canalizao, citadas no primeiro pargrafo deste subitem, e a meta minimizar o
resultado desta funo.
Para isso, lana-se mo de diversas ferramentas computacionais e matemticas,
como por exemplo, os solvers MATLAB, EXCEL ou GAMS-MINOS, sendo este
ltimo para resoluo de algoritmos do tipo gentico1, grid search, programao
quadrtica sequencial, GRG2 no linear, de Lagrange, entre outros.
1 Algoritmos que simulam as leis evolucionrias de seres vivos
2 Gradiente reduzido genrico
5
2.2 Objetivos Especficos
Este trabalho tem como objetivo especfico desenvolver um modelo matemtico para
o projeto otimizado de canais, utilizando ferramentas de soluo no linear das
variveis de dimensionamento, para o caso especfico do canal de seo
trapezoidal, por ser a mais utilizada na prtica.
Neste estudo ser levada em considerao tambm a perda de carga na funo
objetivo custo, visto que a energia despendida pelo escoamento, ainda que por
gravidade, representa um componente econmico importante.
esperado que o modelo desenvolvido seja capaz de dar suporte deciso de qual
seo deve ser empregada neste tipo de canal, permitindo a comparao entre
diferentes tipos de revestimentos, vazes e declividades, e que se possa, com os
resultados, determinar qual a melhor opo de canal.
Para uma melhor avaliao da seo econmica, o modelo dever fornecer ao
usurio subsdios para uma anlise de sensibilidade das diferentes alteraes
possveis nas restries de projeto.
2.3 Mtodo de Trabalho
O mtodo de trabalho aplicado nesta dissertao seguiu, em ordem cronolgica, as
seguintes etapas:
Pesquisa: busca bibliogrfica em bibliotecas, entidades como ASCE, IARH, IWPDC, e sites como e , por palavras chave como canal desing, optimal sections, open channel, optimization, cross sections, cost effective,
6
Modelagem: concepo das variveis de entrada, da sequencia de clculo e das variveis de sada, implementao do modelo matemtico e verificaes de coerncia bsicas,
Aplicao: simulao de dois casos, sendo o primeiro destinado verificao do modelo elaborado (por comparao com outro existente) e o segundo uma aplicao prtica,
Resultados: Agrupamento e apresentao dos valores encontrados, de forma a facilitar a observao de comportamentos e tendncias, e a definio de concluses,
Dissertao: Redao do texto contendo as pesquisas bibliogrficas, consideraes do modelo, resultados de ensaios, concluses e sugestes para futuros trabalhos.
7
3 JUSTIFICATIVA
O estudo de otimizao de canais vem recebendo importantes contribuies ao
longo dos ltimos anos, em especial na ltima dcada, reflexo da popularizao do
uso de modelos matemticos. Esses modelos viabilizam a obteno de solues
para complexos sistemas de otimizao, caracterizados por uma funo objetivo a
ser minimizada (ou maximizada), considerando uma ou vrias restries,
frequentemente com muitas variveis, tanto na funo objetivo quanto nas
restries.
Todo este avano tecnolgico contrasta com os conhecimentos no campo da
engenharia hidrulica, que tiveram grande desenvolvimento em meados do sculo
XX e at os dias de hoje continuam atendendo bem s demandas e s
necessidades dos engenheiros de projetos hidrulicos, como o caso do
dimensionamento de canais.
No captulo 4, Reviso Bibliogrfica, apresentado um apanhado dos estudos
publicados sobre seo tima de canais que se tornaram mais influentes e
importantes neste campo.
A otimizao visando mnimo custo de construo, manuteno e operao
explorada por diversos autores, sendo o estudo de CARRIAGA et al (1999) o mais
abrangente sobre os elementos que incidem no valor total de um canal. DAS (2008)
acrescentou na anlise de oramento um estudo de probabilidade de ocorrncia que
bastante til para considerao dos riscos de falha e deve ser usado quando se
deseja uma seo econmica.
Outro fator bastante relevante no projeto de sees econmicas a altura de
freeboard ou borda livre, que a altura adicional acrescentada na seo transversal
8
para diversas finalidades, dentre as quais a acomodao de ondas, recalques e at
mesmo composio paisagstica e segurana hidrolgica. Frequentemente adota-se
uma altura fixa acima da lmina dgua, porm quando se deseja uma seo
otimizada, deve-se estudar o efeito do freeboard tanto em funo da vazo quanto
em funo da profundidade (LOGANATHAN, 1991).
CARRIAGA (2000) tambm acrescentou modelagem de seo otimizada de canal
o estudo de canais com mltiplos trechos que, devido a diferenas de vazo e/ou
revestimentos, devem apresentar diferenas em suas dimenses bsicas, como o
caso da largura, da declividade de fundo, da velocidade de escoamento e da lmina
dgua. Sua importncia se faz presente quando se utiliza uma rede de canais ou
quando um mesmo para um nico canal que, por questes geolgicas, por exemplo,
apresenta trechos com diferentes revestimentos, caracterizando distintos trechos
que devem ser otimizados em separado.
Apesar de os trabalhos acima citados serem individualmente eficientes, ainda no
existe um estudo que agrega todas as ideias num mesmo modelo, tornando-o mais
verstil e abrangente.
Alm disso, outra caracterstica relevante e que no foi encontrada em nenhum
estudo anterior, visto que a maioria dos trabalhos apresentados se destina ao
dimensionamento de canais de irrigao ou drenagem, o custo associado perda
de carga ao longo do canal. Esta imprescindvel na otimizao de canais como
aqueles destinados aduo para usinas hidreltricas, por exemplo, mas tambm
pode ser importante em irrigaes com bombeamento de gua, j que a perda de
carga dever ser compensada pelo aumento da potncia da bomba e do consumo
de energia, que so aspectos importantes no dimensionamento do sistema.
9
Tambm ainda no corrente o uso de modelagem matemtica para escolher o tipo
de revestimento a ser empregado dentre uma determinada quantidade de opes, o
que implica analisar a seo tima para cada um dos revestimentos e os custos
associados a cada um deles, permitindo a melhor escolha.
Tais carncias, portanto, motivam o desenvolvimento do presente estudo.
10
4 REVISO BIBLIOGRFICA
Sees timas de canais vm sendo estudadas ao longo dos ltimos anos, com
diferentes enfoques e contribuies.
ABDULRAHMAN (2007) elaborou um estudo baseado na equao de Manning,
equao esta que permite afirmar que a vazo em um canal mxima se, mantidos
a rea molhada, declividade de fundo e coeficiente de Manning, o permetro
molhado for mnimo. Outra concluso a que se pode chegar, a partir da mesma
equao, a de que, para uma vazo constante, a melhor seo hidrulica a que
apresenta rea mnima.
O objetivo do trabalho foi encontrar qual das sees mistas entre formas
geomtricas simples (retngulo, quadrado, trapzio e tringulo) a mais eficiente.
Desta forma, o autor parametriza rea e permetro em funo das variveis: base,
inclinao do talude e altura da lmina dgua e, derivando-os (rea e permetro) em
funo da altura de lmina dgua, com o auxlio de algumas simplificaes e
substituies matemticas, encontra o valor timo.
O resultado encontrado matematicamente foi que a melhor composio formada
por um trapzio seguido de um retngulo, conforme ilustra a Figura 4.1. A seo
composta tima aquela igual metade de um octgono, que a nica que
consegue circunscrever um semicrculo, assim como ocorre com a seo tima de
canais retangulares (que resulta em um semiquadrado) e canais trapezoidais (que
resulta em um semihexgono). Esta forma a que mais se aproxima de um
semicrculo, o que hidraulicamente mais eficiente.
11
Figura 4.1 Seo Mista tima (ABDULRAHMAN, 2007)
Uma restrio construtiva deste tipo de seo que a considerao de taludes
verticais na parte superior (retangular) do canal pode no ser vivel em muitos casos
reais, quando descartado o emprego de revestimento no canal.
Alm disso, este enfoque de maximizar a vazo / permetro para otimizar a seo
bastante simplificado. Apesar de se afirmar no incio do artigo que a melhor seo
hidrulica a mais eficiente porque requer o mnimo de escavao e revestimento,
no foi feita meno aos custos envolvidos na construo, manuteno e perda de
carga do canal.
Outro estudo de seo tima de canal procura encontrar a seo mais eficiente para
canais trapezoidais (incluindo retangulares e triangulares) e tambm para canais
circulares, parablicos e para a seo otimizada (FLYNN, MARIO, 1987).
Este estudo, em seus exemplos, emprega a mesma concepo de maximizar a rea
para um dado permetro molhado e uma dada declividade, porm com um enfoque
diferente. Nele, emprega-se um parmetro de forma adimensional (Equao 4.1),
que uma relao entre dimenses bsicas da seo, para criar uma funo
restrio que faz parte de um modelo no linear de otimizao, para encontrar a
melhor seo.
12
A
PIP
2
Equao 4.1
Nesta equao, os termos indicados representam:
IP = Parmetro adimensional, P = Permetro molhado, A = rea da seo.
A seo trapezoidal pode ser parametrizada em funo do ngulo de inclinao do
talude () e da largura da superfcie (L), conforme ilustra a Figura 4.2 exibida a
seguir.
Figura 4.2 Seo Trapezoidal (FLYNN, MARIO, 1987)
Sabendo-se que a melhor seo hidrulica atende relao:
sen
dL
2
Equao 4.2
Pode-se parametrizar L em funo de uma varivel K, conforme Equao 4.3, sendo
K cos , de forma que quanto maior for o K, maior o valor de L e, para um dado
valor de , a seo tima apresenta K = 1.
13
sen
KdL
2
Equao 4.3
Assim, obtm-se a rea molhada e o permetro molhado em funo de K, d e . Com
isso, possvel definir o adimensional IP em funo destas grandezas, resultando na
Equao 4.4:
)cos2(
)cos1(4),(
Ksen
KKIP
Equao 4.4
O adimensional IP assume valor mnimo, igual a 2, para uma seo transversal
semicircular, o que permite mensurar o quanto uma seo trapezoidal qualquer est
destoando da tima (semicircular).
A partir do valor de IP, que est associado a um determinado ngulo , e das
constantes n de Manning, vazo e declividade de fundo, pode-se obter todos os
outros parmetros do canal, ou seja, rea, permetro molhado, velocidade, altura da
lmina dgua, largura da base e largura superficial da seo.
Pode-se afirmar que este um estudo mais verstil do que o apresentado por
ABDULRAHMAN (2007) por permitir o clculo de sees circulares e parablicas, e
principalmente por permitir a incluso, na funo objetivo do sistema no-linear, dos
parmetros de custo apesar de no se t-lo feito na publicao. Isso permite
encontrar uma seo tima no s do ponto de vista hidrulico, como foi feito no
artigo, mas tambm sob o aspecto econmico, levando em conta os diversos
parmetros de uma funo objetivo de custo global estendido, podendo ento ser
empregada na otimizao desta funo.
14
Foi produzida tambm uma nota tcnica sobre otimizao de canais trapezoidais em
uma abordagem rara sobre o assunto, considerando no apenas os custos dos
diversos parmetros de construo, mas tambm as suas incertezas e as incertezas
nas caractersticas fsicas do canal rugosidade, dimenses, declividade de fundo e
vazes (DAS, 2008).
Assumiu-se neste trabalho que os parmetros de custos tm distribuio
probabilstica e que as variveis aleatrias dos parmetros da seo seguem
distribuio normal. Foi apresentada ento a Equao 4.5,
2
12
22
211 )(
x
FxkFkxF x Equao 4.5
cujas variveis representam,
k1 = Coeficiente de ponderao, k2 = Coeficiente de ponderao, x = Vetor de todos os parmetros de projeto, xx = Desvio padro de x, F = Custo total esperado, por unidade de comprimento do canal, expresso como
ffff PcPcPcAcF 3423121 Equao 4.6
na qual F = Custo total esperado Af = rea total esperada da seo transversal c1 = Custo esperado por unidade de rea da seo transversal c2 = Custo esperado por unidade de comprimento da seo para o permetro P1f c3 = Custo esperado por unidade de comprimento da seo para o permetro P2f c4 = Custo esperado por unidade de comprimento da seo para o permetro P3f P1f, P2f, P3f = vide Figura 4.3
15
Figura 4.3 Seo Trapezoidal e Suas Variveis (DAS, 2008)
Como condio de contorno admitido que a capacidade de escoamento do canal
deva permanecer maior ou igual a vazo de projeto, com uma especfica
probabilidade de ser excedida, ou seja
33
2
23
35
kQ
Pini
ASoP
Equao 4.7
na qual
k3 = Probabilidade excedente Q = Vazo esperada de projeto So = Declividade de fundo esperada A = rea de escoamento esperada da seo transversal Pi = Permetro molhado esperado da seo transversal ni = Valor esperado do coeficiente de Manning
16
O modelo de otimizao da seo formalmente definido por uma funo objetivo
(Equao 4.5) que deve ser minimizada, maximizando-se k3, e restrito, como
condio de contorno, equao (Equao 4.7).
O artigo no entrou no detalhe de qual software empregou para resolver o sistema,
os limites de iterao, tolerncias etc., mas teria sido interessante t-lo feito.
Outra simplificao deste modelo a de que, na forma como foi conduzido, no h
previso para a considerao de diferentes revestimentos entre as paredes do
canal, e tambm entre o revestimento de fundo.
J o estudo de DAS (2000) trata da otimizao econmica, ou seja, de mnimo
custo, de seo transversal de canais com rugosidades distintas entre cada uma das
margens e o fundo do canal. Esta soluo pode se tornar uma alternativa
interessante, pois os custos de construo para cada tipo de revestimento variam
regionalmente e, alm disso, em situaes particulares, por exemplo, onde no se
podem ter perdas por infiltrao, pode ser necessrio o emprego de diferentes
revestimentos em cada parede do canal.
No mtodo proposto, o valor de n de Manning equivalente da seo parametrizado
em funo da inclinao dos taludes laterais, dos valores de rugosidade de cada
uma das arestas do canal, da altura de lmina dgua e da largura da base do canal,
de acordo com a frmula proposta por Horton (Equao 4.8),
32
5,02
2
5,02
1
5,1
3
5,1
2
5,02
2
5.1
1
5,02
1
*)1(1
***)1(*1
byzz
nbynznzne
Equao 4.8
17
cujos valores de n1, n2, n3, z1, z2, b esto representados na Figura 4.4.
Figura 4.4 Seo Trapezoidal e suas variveis (DAS, 2000)
Empregando-se a parametrizao para o clculo de escoamento uniforme, pode-se
chegar Equao 4.9, exibida a seguir, que emprega como n de Manning o valor
equivalente, exposto na Equao 4.8, e considera as variveis rea molhada e
permetro molhado em funo de b, y, z1 e z2.
32
5,02
2
5,02
1
35
21
5,0
*)1()1(
2/*)(**
1
)( byzz
yzzyb
nes
q
o
Equao 4.9
Para encontrar-se a seo trapezoidal tima deve-se resolver um sistema de
otimizao no linear, cuja funo objetivo a de mitigao do custo por metro linear
de canal, obedecendo-se equao de escoamento uniforme (Equao 4.9),
limitando-se as variveis de projeto a valores positivos, e podendo ser especificada
uma declividade dos taludes laterais mnima, maior que zero.
18
Alm disso, devem ser definidos tambm, a priori, os valores de rugosidade de
Manning, vazo de projeto, declividade longitudinal, e os valores dos elementos de
custo.
DAS (2000) complementou sua nota tcnica com uma metodologia para soluo do
modelo, que pode ser classificado como um problema de otimizao no linear,
cujas variveis so b, y, z1 e z2.
Em seu trabalho, a funo custo foi definida conforme a Equao 4.10, apresentada
a seguir,
45,02235,0212211 )()1()1(2
))(()( bcfyzczc
fyzzfybcC
Equao 4.10
na qual
C = Custo total unitrio c1 = Custo por unidade de rea da seo transversal c2 = Custo por unidade de comprimento da seo lateral 1 c3 = Custo por unidade de comprimento da seo lateral 2 c4 = Custo por unidade de comprimento da largura de fundo
DAS (2000) empregou o algoritmo de Lagrange para obter equaes necessrias
para resolver o modelo de minimizao de custos, que calcula o valor de cada uma
das variveis z1 e z2, sendo que sero encontradas duas razes para cada uma das
variveis citadas. Cabe ao modelo encontrar a menor delas e, a partir do resultado,
encontrar os valores de b e y. No foi computado o custo decorrente da perda de
carga; porm, possvel acrescent-lo como um novo elemento de custo.
19
A seo parablica tima de canal foi estudada em (LOGANATHAN, 1991). Neste
artigo foi apresentada uma soluo do problema em uma abordagem onde houve
inovao em dois aspectos principais, que so descritos a seguir.
O primeiro aspecto diferencial deste trabalho foi que a otimizao da borda livre
(freeboard) foi includa no esquema de seo tima. Normalmente esta grandeza
sequer calculada (adota-se apenas uma folga sobre a linha dgua mxima), mas
para se obter a seo tima, deve-se adotar uma borda livre calculada, por exemplo,
em funo da profundidade normal, ou ento da vazo (neste estudo foram
analisados os dois casos).
O segundo destaque deste trabalho que foram consideradas restries de clculo
quanto s dimenses permitidas no canal de largura, profundidade e velocidade de
escoamento, que se podem fazer necessrias por questes topogrficas, de custo,
etc.
Outro aspecto interessante que, nos estudos de eficincia econmica, ao invs de
se adotar custos absolutos de escavao e revestimento, foi feita uma anlise de
sensibilidade da relao entre estas duas grandezas, eliminando a tarefa de se
adquirir dados de valores absolutos, e facilitando a anlise de custos incremental.
O equacionamento proposto baseia-se na Figura 4.5.
20
Figura 4.5 - Definio dos Elementos do Canal (LOGANATHAN, 1991)
Em um primeiro momento, considerando-se o freeboard F como funo da vazo,
o autor derivou a funo f em z, onde f representa o quadrado da funo rea,
chegando Equao 4.11.
0329
64 2
dz
dyyz
dz
dyzFyyFyzFy
dz
df
Equao 4.11
que pode ser simplificada pela Equao 4.12
032 dz
dyyz
dz
dyzFyyFy
Equao 4.12
na qual
dz
dJzCJzCJ
dz
dy 854381341
4
1
8
5
Equao 4.13
21
83
49,15417,0
oS
nQC
Equao 4.14
22
2 111
ln1
11
2zzzz
zzJ Equao 4.15
2
11
1ln4
zzz
dz
dJ
Equao 4.16
sendo
n = Coeficiente de Manning, Q = Vazo,
= Declividade longitudinal.
Para anlise do freeboard em funo da vazo, LOGANATHAN empregou a
Equao 4.17 proposta por (CHOW, 1959) e (CUENCA, 1989)
yF Equao 4.17
cujos coeficientes
= Varivel de acordo com a vazo,
= 0,5.
Assim, a formulao fundamental aquela apresentada na Equao 4.18
0329
64 2
dz
dF
dz
dyyz
dz
dyzFyyFyzFy
dz
df
Equao 4.18
22
Neste artigo so ento apresentadas anlises de seo tima considerando as
seguintes situaes:
Admitindo-se clculo de freeboard em funo da descarga (para uma descarga dada, o freeboard um valor fixo conhecido), com a funo objetivo de mnima rea (minimizar escavao);
Admitindo-se clculo de freeboard em funo da descarga, considerando-se restries de altura e largura da superfcie da gua na soluo tima;
Admitindo-se clculo de freeboard em funo da lmina dgua (o que implica em uma equao que correlaciona lmina dgua com altura de freeboard);
Admitindo-se clculo de freeboard em funo da lmina dgua, considerando-se restries de altura e largura da superfcie da gua na soluo tima;
Restrio quanto velocidade mxima admissvel de escoamento;
Mitigao de custo, englobando os custos de escavao e revestimento.
Sees trapezoidais econmicas tambm foram estudadas com enfoque na seo
estvel do ponto de vista geotcnico, englobando o custo de construo apenas os
custos de escavao e revestimento, por metro linear de canal (BHATTACHARJYA
et al, 2007). Foi proposta uma nova metodologia, incorporando o critrio de
estabilidade do talude para obter uma seo de canal tima.
A estabilidade de um talude qualquer pode ser determinada calculando-se o fator de
segurana crtico, que funo das caractersticas do solo: coeso, ngulo de atrito,
peso especfico entre outros. Existem diversas teorias de clculo que permitem esta
estimativa, destacando-se o mtodo de fatias proposto por Fellenius em 1936 e o
mtodo modificado, proposto por Bishop em 1955. Em (BHATTACHARJYA et al,
2007), o clculo do fator de segurana do crculo crtico de ruptura foi calculado
usando o mtodo de Fellenius.
No modelo proposto, um algoritmo calcula o fator de segurana do terreno em uma
etapa e o resultado aplicado outra etapa do algoritmo, de clculo de seo tima
as etapas so independentes, porm ligadas externamente.
23
Na primeira etapa, o clculo de estabilidade de talude foi feito por otimizao de
funo objetivo. Nas equaes seguintes apresenta-se a forma usual de notao de
um problema de otimizao, onde se indica a meta da funo objetivo e as restries
aplicveis.
Minimizar:
),,( rqpF
Equao 4.19
Restries: maxmin ppp maxmin qqq
maxmin rrr
Equao 4.20
Na qual as variveis p, q e r esto representadas na Figura 4.6.
Figura 4.6 Elementos de Clculo da Seo tima (BHATTACHARJYA, 2007)
Esta otimizao foi elaborada em ambiente MATLAB empregando algoritmo
gentico, de forma a superar os principais obstculos inerentes das tcnicas de
otimizao clssica: a relevncia de dados iniciais necessrios para a primeira
iterao, que so especificados pelo usurio, e a convergncia para mnimos locais,
que eventualmente podem no ser mnimos globais do sistema, ou seja, a soluo
ideal. Uma simplificao de clculos tambm encontrada no algoritmo gentico
que no necessrio resolver derivadas de funes, permitindo o emprego de
funes objetivo complexas, agregando diversas restries.
24
A segunda etapa do algoritmo, responsvel pelo clculo de seo tima, ocorre
tendo como dado de entrada o resultado da primeira etapa. Neste novo sistema,
outra otimizao no linear foi empregada, tambm em ambiente MATLAB, mas
desta vez o modelo empregado foi o de programao quadrtica sequencial. Este
modelo contempla uma seo trapezoidal conforme indicado na Figura 4.6.
Foi considerada no modelo de otimizao apresentado a possibilidade de emprego
de diferentes revestimentos para as paredes e o fundo da seo, com diferentes
rugosidades (n1, n2 e n3). A rugosidade equivalente, assim como em DAS (2000), foi
calculada atravs do mtodo de ponderao proposto por Horton (Equao 4.8).
Admitiu-se escoamento uniforme e, portanto, vlida a equao de Manning
(Equao 4.21). As outras restries impostas ao modelo so o fator de segurana
maior ou igual quele calculado na 1 etapa (Equao 4.22), e as variveis de
deciso no negativas.
0.
,,,32
35
211 P
A
So
nQzzyb e
Equao 4.21
FpFrczzy u ,,,,,, 212 Equao 4.22
Na qual
1 = Inequao de verificao da restrio de escoamento uniforme,
2 = Inequao de verificao da restrio da estabilidade dos taludes laterais,
c = Coeso do solo,
= ngulo de atrito do solo,
= Peso especfico do solo,
ru = Razo de presso dos poros, F = Fator de segurana do talude lateral do solo, Fp = Fator de segurana permissvel do talude lateral do solo.
25
A funo objetivo a de minimizar a funo custo (Equao 4.23 - $/m), sendo este
considerado apenas o custo de construo (soma dos custos de escavao e
revestimento), levando em conta as seguintes variveis:
( ) Equao 4.23
sendo
c1 = Custo de escavao por unidade de volume do canal ($/m), c2 = Custo de revestimento por unidade de rea para o segmento 1 ($/m), c3 = Custo de revestimento por unidade de rea para o segmento 2 ($/m), c4 = Custo de revestimento por unidade de rea para o segmento 3 ($/m), AT = rea total da seo do canal (m), P1 = Permetro do segmento 1 (m), P2 = Permetro do segmento 2 (m), P3 = Permetro do segmento 3 (m).
Devido grande quantidade de variveis em 2 e, consequentemente, do grau de
complexidade da Equao 4.23, foi feita uma simplificao no modelo, substituindo-
se tal equao pelo seguinte:
mnzz 11 e mnzz 22
Equao 4.24
O modelo pode finalmente ser representado pelo seguinte fluxograma.
26
Figura 4.7 Fluxograma de clculo de seo tima, adaptado a partir de BHATTACHARJYA et
al (2007)
Este modelo hibrido, pois apresenta dois tipos de algoritmos de otimizao
(gentico e programao quadrtica sequencial), e interessante por levar em
considerao o conceito de estabilidade de talude.
O estudo de CARRIAGA et al (1999) foi desenvolvido para otimizao de seo de
canais baseando-se no critrio comumente adotado na fase de projeto e que leva
em conta a estabilidade de fundo atravs dos conceitos de velocidade admissvel e
tenso de arraste crtica.
Tradicionalmente verificam-se, por tentativa e erro, as condies de movimento do
leito e mobilidade do canal acima citadas, em conjunto com a capacidade de
z1mn
= 0
Clculo de seo tima (b*, y*, z1*, z2*): 1. Mnimo custo (Equao 4.23) 2. Restries
a. 1 (Equao 4.21) b. z1z1
mn (Equao 4.24)
c. z2z2mn
(Equao 4.24)
Clculo de F1 e F2
F1 < Fp F2 < Fp
z2mn
= 0
|F-Fp|
FIM
z1mn
=z1mn
+(Fp-F1)*zinc z2
mn=z2
mn+(Fp-F2)*zinc
z1mn
= z1* + zinc z2
mn = z2* + zinc
sim
no
sim
no
27
escoamento. CARRIAGA (1999) prope a incorporao a esta metodologia de um
modelo de otimizao no linear, levando em conta os custos. O modelo proposto
definido pelo sistema composto da funo objetivo e restries impostas, conforme a
Equao 4.25 e Equao 4.26, respectivamente.
N
i
i xucMnC1
,
Equao 4.25
maxmin , pxupp 0, xup
0, xu
Equao 4.26
na qual
ci(u,x) = Componentes de custo inclusos no projeto, p = Requisitos fsicos e hidrulicos do sistema, u = Varivel de deciso, x = Varivel de entrada.
Dentre os componentes de custo ci citou-se, a ttulo de exemplo, a escavao do
canal, outras movimentaes de terra, estruturas hidrulicas de controle da linha
dgua (escadas de drenagem, por exemplo), custos de aquisio de terra para
direito de passagem e para servido de drenagem, revegetao, recuperaes
diversas, mobilizao, engenharia, operao, manuteno e reparo. A lista mostra o
quo verstil o modelo pode ser, contemplando diversos elementos de custo.
Os requisitos fsicos e hidrulicos p do modelo devem englobar a mxima
velocidade permissvel no canal e a tenso de arraste crtica, responsveis pelo
critrio de estabilidade, requisitos de regime do escoamento, requisitos de altura de
degraus das escadas de dissipao, e outras eventuais estruturas hidrulicas
presentes.
28
Para comprovar a sensibilidade do mtodo, fez-se um estudo de caso no qual foi
calculada a seo tima para quatro diferentes situaes, cujas restries impostas
foram:
Velocidade mxima permissvel
Tenso de arraste crtica
Seo econmica
Seo tima
Tais condies foram simuladas empregando-se a ferramenta GAMS-MINOS que,
apesar do significativo esforo gasto na sua formulao e codificao, e da incerteza
a respeito da soluo final - se foi atingida realmente a melhor soluo global ou se
foi encontrado apenas um mnimo local que no de fato a melhor soluo - os
resultados alcanados foram, na opinio do autor, bastante convincentes, pois foi
possvel distinguir com clareza as sensveis diferenas entre os resultados para cada
uma das situaes de funo objetivo.
O modelo implementado tambm presta-se para anlises de sensibilidade em
estudos comparativos para novas restries construtivas ou de alterao de
materiais de revestimento, comuns em projetos de canais otimizados.
CARRIAGA et al (2000) tambm prestaram contribuio ao estudo de otimizao de
canalizaes com o trabalho sobre sistemas de canais, abrangendo desde casos
simples (de trecho nico) at casos complexos (mltiplos trechos organizados de
forma paralela, em srie ou mesmo dentrtica), sendo exclusivo ao tratar da
otimizao de mltiplos trechos de canal.
Este trabalho apresenta procedimentos de clculo de otimizao para um ou mais
trechos de canal atravs de programao no linear, cuja funo objetivo prioriza o
desempenho econmico, e o conjunto de equaes que governam o sistema diz
29
respeito s leis de escoamento, de mobilidade do canal e estabilidade de fundo (o
que engloba os critrios de velocidade mxima permissvel e tenso de arraste
crtica), assim como no trabalho de 1999 (CARRIAGA et al, 1999).
O grande diferencial deste trabalho, que o torna exclusivo, a considerao no s
de trecho simples de canal, mas tambm de trechos com mais de um afluente,
inclusive prev a ocorrncia de drenagens dentrticas, que so aquelas com diversos
afluentes em ramos e, por conseguinte, diversas vazes, cada uma associada a um
trecho, conforme ilustra a Figura 4.8
A teoria empregada para determinao da vazo de projeto em cada trecho de um
sistema complexo, composto por mais de um trecho de canal, foi o emprego da
equao da continuidade: a vazo num determinado trecho com influncia de
montante calculada pela soma das vazes afluentes.
As funes objetivo e restries foram as mesmas empregadas no trabalho de 1999
(CARRIAGA et al., 1999) e a ferramenta de otimizao, que executa as iteraes e
encontra as razes da otimizao, tambm foi o GAMS-MINOS.
O autor elaborou quatro estudos de caso empregando o modelo, um para cada caso
apresentado na Figura 4.8 e obteve grandes variaes nas grandezas largura de
fundo, declividade de fundo do canal, velocidade mxima e altura de lmina dgua
de cada trecho, reflexo das diferentes vazes em cada caso.
O modelo requer, no entanto, descrio especfica para cada caso, discriminando-se
a sequncia de trechos e as vazes individuais daqueles de montante, alm de
eventuais contribuies pontuais.
30
Figura 4.8 Tipos de Sistemas de Canais (adaptado de CARRIAGA et al., 2000)
Uma soluo analtica que leva em conta o critrio de minimizao de custo foi
proposta por Souza, P.A. (s.d.)3, para otimizao de canais de seo trapezoidal,
pelo critrio de custo global. Seu estudo no publicado, e disponibilizado no
Apndice A deste trabalho para fins de documentao acadmica, dado o
brilhantismo da soluo, considerou tanto a escavao quanto revestimento na
3 Podalyro Amaral de Souza, graduado em Engenharia Civil pela Universidade de So Paulo (1971),
mestre (1978) e doutor (1985) em Engenharia Civil pela Universidade de So Paulo Engenheiro do Departamento de guas e Energia Eltrica do Estado de So Paulo, Professor Assistente Doutor da Universidade de So Paulo, Assessor ad-hoc da Fundao de Amparo Pesquisa do Estado de So Paulo (FAPESP) e autor de diversos livros e artigos relativos ao estudo da hidrulica aplicada.
31
funo custo, e o algoritmo de otimizao aplicado foi o de Lagrange, assim como
em DAS (2000). A definio do problema e respectiva formulao do algoritmo de
soluo so apresentadas a seguir.
Inicialmente, a formulao universal da perda de carga no escoamento livre em
canais foi escrita em funo de b e y, cujo resultado deve ser nulo para atender as
premissas do estudo (escoamento uniforme):
( )
( )
Equao 4.27
( )
Equao 4.28
( ) ( )
( )
Equao 4.29
nas quais
A = rea (m), R = Raio Hidrulico (m), Q = Vazo (m/s), m = declividade do talude lateral (1 V : m H), g = acelerao da gravidade (m/s), i = declividade de fundo do canal (m/m), k = coeficiente relacionado a perda de carga do canal, b, y como indicados na Figura 4.9.
Figura 4.9 Dimenses Empregadas por SOUZA (s.d.)
32
A funo objetivo, por sua vez, foi definida como
Equao 4.30
sendo
= Custo total, = Custo do revestimento do talude por unidade de comprimento, = Custo de revestimento da base por unidade de comprimento, = Custo de escavao por unidade de comprimento,
na qual
( ) Equao 4.31
Equao 4.32
[ ( ) ( ) ] Equao 4.33
= Preo do revestimento do talude por unidade de rea = Preo do revestimento da base por unidade de rea = Preo de escavao por unidade de volume = Preo do material do canto por unidade de comprimento
A funo custo ento definida como:
( ) [ ( ) ( ) ] Equao 4.34
Pelo teorema de Lagrange, tem-se:
( ) Equao 4.35
[ ( ) ( )]
[ ( ) ( )]
Equao 4.36
{
[ ]
[ ]
Equao 4.37
33
{
Equao 4.38
Equao 4.39
Sabendo-se que a rea pode ser equacionada por
Equao 4.40 tem-se:
{
Equao 4.41
O permetro molhado, por sua vez, pode ser calculado por:
Equao 4.42
Logo, obtm-se:
{
Equao 4.43
A funo custo definida por:
( ) [ ( ) ( ) ] Equao 4.44
E suas derivadas parciais so:
{
( )
( )
Equao 4.45
34
Desta forma, chega-se equao a ser satisfeita, em funo de b e y, para um
determinado m:
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( )( )]
( )
( )
Equao 4.46
A Equao 4.46 pode ser resolvida atravs da ferramenta Atingir Meta disponvel
no aplicativo de planilha eletrnica Excel, definindo-se que o primeiro termo da
igualdade subtrado pelo segundo termo da igualdade, deve atingir o valor zero,
variando-se o termo b.
Este modelo simplifica a condio de escoamento ao admitir regime uniforme ao
longo do canal, ao invs de regime gradualmente variado, e tambm desconsidera,
no volume de escavao, o volume do prprio revestimento.
Pelo exposto nota-se o quo difundido o uso de sistemas no-lineares na soluo
de problemas de otimizao de canais. Como exemplo, pode-se citar CARRIAGA et
al (1999) como um bom trabalho sobre otimizao de canal visando mnimo custo de
construo, manuteno e operao, e DAS (2008), que acrescentou analise de
custo um estudo de probabilidade de ocorrncia que bastante interessante na
elaborao de projetos econmicos, pois permite ao investidor maximizar seu lucro
em funo do risco a que se esteja disposto a admitir.
Sistemas no lineares tambm foram empregados no estudo de freeboard tanto em
funo da vazo quanto em funo da profundidade por LOGANATHAN (1991),
expandindo o alcance da otimizao de sees, assim como fez CARRIAGA (2000),
35
que acrescentou modelagem de seo otimizada de canal o estudo de canais com
mltiplos trechos.
Todos estes estudos reforam a ideia de emprego de sistemas no lineares na
otimizao de canais.
36
5 DESENVOLVIMENTO DO MODELO E ESTUDO DE CASO
A seguir ser definido o modelo matemtico que tem como objetivo dar suporte a
deciso de qual a melhor configurao de seo transversal (seo tima) de um
canal, considerando parmetros construtivos e operacionais. Isto requer a definio
do problema, com todas as suas variveis, relaes e restries.
Para verificao da validade do modelo, ser feito um estudo de caso comparando
seus resultados com um modelo existente, apresentado na reviso bibliogrfica,
para diversos tipos de revestimento, em diferentes vazes, alterando-se a
declividade de fundo e tambm a inclinao de talude.
Em seguida, para verificao da aplicao do modelo, sero feitas novas
simulaes, considerando o efeito da perda de carga para um perodo de retorno
arbitrrio no custo total do empreendimento, e a partir dos resultados sero
apresentadas consideraes, de forma a se obter subsdios que permitam a escolha
da seo tima de canal.
5.1 Elementos de Projeto
frequente, no projeto de canalizaes, principalmente aqueles de grande
extenso, atribuir-se mais ateno ao traado em planta do que geometria da
seo transversal do canal.
Porm, ainda que menor, a importncia da forma geomtrica, dimenses e
revestimento empregado pode assumir influncia considervel, em valores
absolutos, notadamente em casos que se tenha um canal extenso, ou canal com
revestimento e (ou) seo muito ineficiente em termos energticos.
37
de fundamental importncia, portanto, a otimizao desta estrutura. Entende-se
por seo tima pelo critrio de custo global a seo que no somente minimize
gastos com escavaes e revestimentos, como tambm seja estvel e proporcione
menores perdas de carga (maximize a eficincia hidrulica). A seo tima, portanto,
deve ser aquela que minimiza a funo custo global estendido, funo esta que
engloba os custos de escavao do canal, custos de revestimento, custos de
manuteno e os custos referentes perda de carga, governada pela sua eficincia
hidrulica, visto que interferem diretamente na gerao de energia ao longo de todo
o horizonte de projeto. Tal funo, proposta na Equao 4.1, se assemelha
proposta por BHATTACHARJYA (2007).
HMANREVATRESCCGE F F FF F F Equao 5.1
Os termos desta equao representam:
FCGE = Funo custo global estendido FESC = Funo custo de escavao FATR = Funo custo de aterro FREV = Funo custo de revestimento FMAN = Funo custo de manuteno FH = Funo perdas financeiras causadas pela perda de carga
Isto posto, a seo deve ser escolhida dentre uma gama de possibilidades,
entendendo-se por possveis as sees que sejam viveis tcnica e
economicamente. Tradicionalmente, emprega-se um nmero restrito de tipos de
geometria, a saber: parablica, trapezoidal, retangular, mista (trapezoidal +
retangular). Sees circulares, por exemplo, so sabidamente eficientes do ponto de
vista hidrulico, porm, por serem de difcil execuo, tm uso restrito em situaes
de pequeno porte como, por exemplo, em experimentos de laboratrio.
38
A determinao da seo tima ser atingida atravs do clculo de custos
esperados para cada uma das possibilidades de geometria envolvidas. Para isso,
deve ser levada em conta a elevao do topo rochoso, a(s) rugosidade(s) da
superfcie do canal, os custos de escavao, revestimento e manuteno, o
horizonte de projeto do empreendimento, e o abatimento de talude mximo aceitvel
para o solo da regio, ou para o revestimento empregado no canal. Todos estes
dados devem ser entradas para a anlise da eficincia.
A seguir, sero feitas consideraes a respeito de cada uma das variveis que
interferem no clculo de eficincia do modelo.
5.1.1 Geometria das Sees
A equao universal revela que a melhor seo hidrulica tem uma rea molhada
mnima, para uma determinada descarga. Porm, as melhores sees hidrulicas
para diferentes geometrias no so igualmente eficientes. A forma hidrulica ideal
a semicircular, mas esta forma no fcil de ser construda.
Dentre as sees viveis, pode-se destacar:
5.1.1.1 Seo Retangular
O dimensionamento da seo retangular o mais simples dentre as diferentes
geometrias empregadas usualmente. Suas variveis geomtricas para uma
determinada vazo de projeto so apenas a largura do canal e a profundidade da
lmina dgua, sendo que esta funo direta da largura.
39
Desta forma, o clculo resume-se em iterar entre diversas larguras, encontrando-se
para cada uma delas a profundidade do canal, a perda de carga e os custos de
construo e manuteno associados. Sees mais estreitas implicam em
escavaes mais profundas e sees mais largas implicam em maiores reas de
ocupao.
Esta soluo pode ser empregada em situaes que permitam a existncia de
parede vertical, o que pode ocorrer quando se tem escavao em rocha ou quando
as paredes do canal so estruturas de concreto.
5.1.1.2 Seo Trapezoidal
As sees do tipo trapezoidal so largamente empregadas em diversas aplicaes
de canais porque so de fcil execuo, podendo ser adaptadas a uma grande
diversidade de solos, desde aqueles com elevada resistncia, aplicando-se nas
paredes do canal abatimento reduzido, at solos pouco resistentes, usando-se neste
caso abatimento elevado das paredes do canal ou revestimentos mais delgados.
Alm de solos, quando bem projetada, esta geometria de seo tambm se adapta
perfeitamente a todos os tipos de revestimentos. Assim, a principal forma
geomtrica utilizada para seo transversal de canais, seja de aduo, de irrigao
ou qualquer outra finalidade.
O dimensionamento desta geometria engloba as variveis: largura de fundo,
inclinao das paredes e altura da lmina dgua. Dadas as restries iniciais de
estabilidade dos taludes, devem-se iterar diferentes larguras de fundo com diferentes
40
abatimentos para se obter o par que melhor atenda as demandas de maximizao
de eficincia com minimizao de custo.
Eventualmente, sees profundas podem requerer maior escavao em rocha do
que sees largas, e serem preteridas ainda que sua eficincia hidrulica seja
reduzida. Para definir a seo final, portanto, imprescindvel a contabilizao dos
custos associados.
5.1.1.3 Seo Mista
As sees mistas, caracterizadas por uma forma trapezoidal abaixo de uma seo
retangular, so bastante empregadas, pois conseguem atingir maior eficincia
hidrulica do que apenas um retngulo ou um trapzio isoladamente.
No entanto, elas sofrem a mesma restrio no trecho retangular de uma seo
completamente retangular, ou seja, os taludes admissveis, que so funo exclusiva
do tipo de revestimento e do solo na regio.
Assim, seu emprego depende das condies locais, o que explica porque esta
geometria to difcil de ser encontrada em aplicaes prticas.
5.1.1.4 Seo Parablica
Esta configurao sem dvida a mais complexa de se executar, e a dificuldade
construtiva se reflete, assim como nas sees retangulares e mistas, na frequncia
do seu emprego.
41
Hidraulicamente, no entanto, esta configurao sempre se destaca com eficincia
elevada em relao s demais apresentadas neste subitem, razo pela qual existem
diversos estudos a seu respeito, at mesmo estudos de otimizao de seo, como
o caso de LOGANATHAN (1991).
Portanto, apesar da dificuldade construtiva, a eficincia hidrulica ainda torna este
tipo de geometria vivel, e somente um estudo de otimizao amplo e bem
elaborado pode descartar o seu emprego.
5.1.2 Velocidade Mxima Admissvel
A velocidade mxima admissvel em um canal definida como a velocidade mdia
de escoamento limite que precede a ocorrncia de eroso no canal. A eroso em um
canal tem ocorrncia associada tanto ao tipo de material do leito e das margens,
como profundidade do escoamento e ao traado do leito.
Existem algumas formas de se definir a velocidade mxima admissvel em uma dada
seo de canal: h equacionamentos embasados em conhecimentos cientficos, e
tambm h maneira emprica que permite estimar esta grandeza.
Usualmente, tabelas empricas so de grande simplicidade e eficincia, razo pela
qual so largamente empregadas em situaes reais de projeto.
5.1.3 Tenso de Arraste Crtica
O estudo de tenso de arraste crtica em canais, apesar de receber considerveis
esforos na tentativa de equacion-lo, ainda no completamente dominado no
42
meio cientfico, devido grande complexidade envolvida no processo de iterao
entre o escoamento do fluido e o material de revestimento do canal.
A principal dificuldade est na caracterizao da camada que recobre a superfcie do
canal, que pode apresentar uma enorme diversidade de composies, funo da
litologia no local no caso de canais naturais, e uma infinidade de possveis
distribuies granulomtricas. Tal barreira pode ser evidenciada atravs da simples
observao dos mtodos existentes de estimativa de tenso de arraste crtica, que
se baseiam ora no dimetro caracterstico D35, ora no D50, ou mesmo no D90, sendo
que em alguns casos chegam at a computar o desvio da amostra, na tentativa de
obter uma caracterizao mais fiel do solo.
Dentre os diversos modelos existentes sobre tenso de arraste crtica, um que
recebe aqui destaque daquele proposto por Ackers & White, em 1983, fruto de
uma anlise dimensional das seguintes grandezas:
Tamanho da partcula (D35),
Peso especfico da gua,
Peso especfico do sedimento,
Densidade do sedimento,
Velocidade mdia do escoamento,
Profundidade do escoamento,
Velocidade de atrito,
Viscosidade cinemtica do fludo,
Acelerao da gravidade.
A metodologia proposta por eles tem como principal atrativo o fato de ter sido
amplamente testada, sendo desenvolvida a partir de diversas calibraes, e ser bem
aceita pelo meio tcnico. Em contrapartida, sua maior desvantagem a abrangncia
restrita a casos cujo numero de Froude no supere o valor de 0,8 e cuja distribuio
granulomtrica bastante concentrada (partculas uniformes, com gros entre
0,04 mm e 4,0 mm, ou seja, no coesivas).
43
5.1.4 Perda de Carga no Canal
A anlise de perda de carga no canal deve ser feita a partir do estudo do
escoamento permanente gradualmente variado, considerando as caractersticas
fsicas que influem no escoamento (seo topobatimtrica do canal, rugosidade do
fundo etc.) e a resistncia ao escoamento.
O tratamento do escoamento permanente gradualmente variado vem sendo objeto
de estudo por parte dos pesquisadores por mais de 100 anos, o que revela sua
complexidade e importncia. Esta complexidade origina-se do prprio tratamento
matemtico das equaes que regem o movimento e tambm do grande nmero de
parmetros hidrulicos sujeitos a sensveis variaes ao longo da corrente (PORTO,
2006).
As equaes bsicas do escoamento unidimensional nos canais, tambm
conhecidas como equaes de SAINT-VENANT, expressam a conservao da
massa e da quantidade de movimento, em termos da vazo em escoamento, num
trecho discreto, e da cota do nvel dgua (Equao 5.2). As perdas de energia por
atrito so representadas pelo gradiente energtico do trecho, segundo a expresso
de Chzy (CHOW, 1959).
Equao 5.2
Equao 5.3
qt
A
x
Q
cos2
qvgASx
hgA
A
Q
xt
Qf
44
na qual
A = rea da seo transversal do escoamento, Q = Vazo em escoamento na seo, x = Coordenada longitudinal, t = Tempo, h = Cota do nvel dgua, = Coeficiente de quantidade de movimento, g = Acelerao da gravidade,
= Velocidade da contribuio lateral lquida, = Vazo linear de contribuio lateral no trecho de canal representado, = ngulo da contribuio lateral com o eixo do canal, = Declividade da linha de energia.
O termo C pode ser estimado atravs da expresso de Manning ou ainda atravs de
Darcy-Weissbach, com ajuste proposto por Henderson (1966):
Equao 5.4
(
)
Equao 5.5
na qual
n = Coeficiente de rugosidade de Manning, Rh = Raio hidrulico, k = Rugosidade equivalente hidrulica.
Deve-se ter em conta que nos canais naturais os valores de coeficientes de
rugosidade diferem daqueles normalmente aceitos para condutos regulares. Isto
ocorre porque nos cursos irregulares h a necessidade de se considerar tambm a
rugosidade de forma da seo, que provoca perdas de energia em funo da
turbulncia gerada (SOUZA, P. A.; MARTINS, J. R. S.; FADIGA JUNIOR, F. M.,
1991).
45
Para o escoamento permanente admite-se, por hiptese, que a Equao 5.2
automaticamente satisfeita e que na Equao 5.3 possam ser desprezados os
termos dependentes do tempo. Desta forma, resulta:
Equao 5.6
As equaes apresentadas formam um sistema sem soluo analtica geral, sendo
necessrio lanar mo de alguns artifcios para se resolv-lo. O mtodo numrico
existente mais conhecido atualmente para resoluo do sistema o mtodo das
diferenas finitas.
Este mtodo caracteriza-se por simplificar os diferenciais por diferenas finitas,
permitindo assim uma resoluo numrica por meio de iteraes, razo pela qual
adequado em modelagens unidimensionais e bidimensionais, e tem uso bastante
difundido.
Existem esquemas explcitos e implcitos para se chegar soluo. Os esquemas
explcitos realizam clculos com variveis conhecidas no tempo e espao (por
exemplo, os mtodos McCormack e Difusivo), enquanto os esquemas implcitos
realizam clculos iterativos sem se ter conhecimento das variveis no tempo,
necessitando, por isso, de maiores recursos de clculo (por exemplo, o esquema de
Preissman).
5.1.5 Escavao
012 2 fr gASx
yFgAq
A
Q
46
Uma boa estimativa da escavao de qualquer canal deve considerar,
primeiramente, o material a ser escavado. Materiais mais resistentes requerem
maiores esforos para sua retirada, o que se reflete em maiores custos de
escavao.
Na engenharia civil, comum agrupar os materiais de escavao em trs categorias,
da seguinte forma:
1 Categoria: escavado com equipamentos comuns
2 Categoria: escavado com auxlio de escarificadores e de dimenses mdias
3 Categoria: s podem ser escavados com o uso de explosivos
Alm disso, devem-se avaliar tambm as distncias de transporte, sendo comum a
classificao do transporte entre superior ou inferior a uma ou mais distncias. Tal
classificao existe tendo em vista que transportes para curtas distncias perdem
maior porcentagem do tempo til em mobilizaes de carga e descarga, tendo assim
menor produtividade, e precisam ser recompensados com um maior valor do m
transportado.
5.1.6 Revestimento
A proteo dos cursos dgua pode ser feita com os mais variados materiais e
tcnicas de revestimento, que so definidos em funo das caractersticas do solo,
dos materiais disponveis, da ao das correntes e ondas e dos objetivos a serem
atingidos.
Deve-se definir um tipo de proteo que mais se adapte s condies locais, no
somente quanto resistncia ao do escoamento, mas tambm quanto
resistncia s deformaes do solo de base, e que atenda s condicionantes
47
ambientais, rugosidade resultante, facilidade de execuo, alm do custo final da
obra (MACCAFERRI DO BRASIL, 2009).
Neste estudo existe a possibilidade de emprego de diversos materiais de
revestimentos, porm foge ao escopo do trabalho uma anlise da resistncia, da
eficincia, da durabilidade, enfim, da otimizao do revestimento. Este trabalho se
restringe apenas ao custo do revestimento e a sua resistncia ao escoamento.
5.1.7 Custos
Como critrio de escolha entre as configuraes de cada geometria envolvida neste
estudo e entre as formas geomtricas em anlise, um importante fator ser
associado aos custos envolvidos.
Por tanto, imprescindvel que se tenha custos unitrios devidamente estipulados,
para que o modelo seja capaz de diferenciar as alternativas de seo atendendo
expectativa do usurio.
Quanto aos custos medidos ao longo da vida til do empreendimento, como por
exemplo, o de manuteno do canal e o de perda de carga, necessria a
atualizao destes, corrigindo-os para valor presente.
Tal operao feita a partir dos dados de nmero de perodos a serem
contabilizados (anos ou meses de horizonte de projeto), e da taxa de juros adotado
para cada perodo.
5.2 Formulao do Modelo
48
Este modelo calcula, numericamente, para uma dada situao, o perfil de linha
dgua, e a partir desta define as dimenses do trapzio necessrias para a lmina
dgua dada, admitindo uma folga de freeboard, em cada uma das sees. Em
seguida, faz a conformao deste trapzio com o terreno, calculando os custos que
incorrem da implantao da estrutura numa dada topografia. Estes clculos todos
so feitos em ambiente Microsoft Office Excel 2010.
Devido presena no modelo de muitas variveis e da inter-relao entre elas, o
problema aqui tratado caracterizado como uma tpica aplicao da tcnica de
otimizao no linear. Sua definio requer uma funo objetivo e restries, que
esto descritas ao longo deste captulo.
A ttulo de esclarecimento, cabe dizer que otimizao, na matemtica, a
programao de um dado problema em uma funo objetivo (cujas variveis so
denominadas variveis de deciso) e uma ou mais restries (relaes de
igualdade e/ou desigualdade que envolvem as variveis de deciso). A classificao
linear e no linear diz respeito relao entre as variveis de deciso na funo
objetivo e nas restries da programao, e h ainda classificaes acerca dos
valores passveis de serem assumidos pelas variveis (inteiros, reais, booleanos ou
mistos) e quanto a natureza da funo objetivo (convexa ou cncava).
As etapas de clculo do modelo, que define os valores de custo da perda de carga,
da escavao, do revestimento e de aterro para uma dada condio inicial fornecida
pelo usurio, esto apresentadas a seguir:
1. Leitura dos dados de entrada: sees (X, Y, Progressiva), vazo, declividade do talude (m), condies de contorno (cota de fundo de jusante e nvel dgua de jusante), caractersticas do revestimento (Manning, espessura), declividade de fundo do canal, freeboard, nvel do material de primeira categoria e de segunda categoria em relao cota de fundo do trapzio - VBA;
2. Clculo das distncias relativas entre sees, da distncia do talvegue (X mdio da seo), da cota de fundo do trapzio de cada seo - VBA;
49
3. Interpolao (linear), no terreno, dos pontos da base do trapzio / trapzio revestido - VBA;
4. Clculo, para cada uma das sees, e para cada valor de X, da cota (Y) correspondente tanto do trapzio quanto do trapzio revestido - VBA;
5. Atribuio ao canal / canal revestido dos valores provisrios do trapzio / trapzio revestido - VBA;
6. Inicializao do clculo de linha dgua (atribuio de valores iniciais para a lamina dgua em cada seo) - VBA;
7. Clculo de linha dgua - VBA; 8. Interpolao, em cada seo, dos pontos de interseco da lmina dgua +
freeboard com o trapzio / trapzio revestido - VBA; 9. Definio dos valores finais do canal / canal revestido (encaixe do trapzio /
trapzio revestido com o terreno, respectivamente) - VBA; 10. Clculo dos volumes de escavao, volumes de aterro e reas de
revestimento - VBA; 11. Clculo dos custos, funo das reas e volumes calculados e dos custos
unitrios Planilha Excel. (Nota: VBA significa que a etapa foi elaborada com o uso de programao no Excel Macro -, em linguagem VBA)
A otimizao neste modelo feita empregando-se o Solver do prprio Excel 2010,
que busca o mnimo custo variando o valor da base da seo, restrita a valores
positivos, atravs da modelagem de GRG (Generalized Reduced Gradient) no
linear, utilizada em problemas no lineares uniformes, como este. A funo
desenvolvida em VBA calcula automaticamente os resultados de volumes e, por
conseguinte, o custo total calculado, para cada iterao do solver de base do
trapzio.
5.2.1 Funo Objetivo
Por se tratar de um modelo de otimizao por critrio de custo global, a funo
objetivo, da qual o modelo dever pesquisar o valor mnimo, no poderia ser outra
seno a de custo total do empreendimento. No presente modelo, o custo global do
empreendimento definido por:
50
Equao 5.7
Onde:
= Funo custo global = Funo custo de motorizao = Funo custo de aterro = Funo custo de escavao = Funo custo de revestimento = Funo custo de manuteno
Os custos de implantao, escavao, revestimento e aterro podem ser agrupados
como custo de construo, enquanto o custo de manuteno, neste modelo,
definido pelas perdas que ocorrem durante a vida til do canal.
Motorizao
A funo custo de motorizao relacionada com vazo e com a diferena de nvel
dgua entre jusante e montante do canal e, portanto, depende tambm da perda de
carga. Aplica-se tanto para canais de aduo (custo de unidades geradoras de
aproveitamentos hidreltricos), quanto para canais de irrigao, abastecimento etc
(bombas de recalque).
Aterro
O aterro o depsito de material no terreno para obter uma regularizao do mesmo
em relao a um dado projeto, e o seu custo calculado pelo volume de material
depositado, multiplicado pelo respectivo custo unitrio, sendo que o volume
calculado pela integrao dos aterros que ocorrem entre sees sequentes. Entre
duas sees, este volume o produto da distncia entre elas e a rea mdia
51
aterrada (dada pela diferena entre o canal e o terreno natural, como indicado na
Figura 5.1).
O canal definido da seguinte forma: na seo trapezoidal, compreendida entre a
cota de fundo do trapzio e a elevao correspondente ao nvel dgua mais
freeboard (H + f, na Figura 5.1), o canal acompanha o trapzio. Fora deste intervalo,
o canal definido pela elevao mnima entre o terreno e o trapzio (margem direita)
desde que a elevao no seja inferior ao nvel H+f, caso contrrio, o canal segue a
elevao de H+f (margem esquerda).
Figura 5.1 Conformao Canal / Terreno
Escavao
A funo custo de escavao o resultado da somatria dos custos de escavao
em cada uma das trs categorias tratadas no item 5.1.5. Para o clculo do custo de
escavao de cada uma das categorias, multiplica-se o custo unitrio de escavao
da categoria pelo respectivo volume.
O volume de escavao de uma categoria calculado pela somatria dos volumes
de escavao desta categoria entre sees consecutivas, que igual ao produto da
52
distncia entre elas pela rea mdia de escavao, assim como ocorre no calculo do
aterro, devendo-se englobar na rea escavada a frao pertinente a implantao de
revestimento (vide Figura 5.2).
Figura 5.2 - rea Escavada na Seo Transversal
Logo, o computo do custo de escavao total feito conforme apresentado na
Equao 5.8.
( ( ) ( )
)
( ( ) ( )
)
( ( ) ( )
)
Equao 5.8
sendo que os coeficientes equivalem a:
= Custo total de escavao, A1 = rea escavada para categoria 1, A2 = rea escavada para categoria 2, A3 = rea escavada para categoria 3, C1 = Custo de escavao para categoria 1, C2 = Custo de escavao para categoria 2, C3 = Custo de escavao para categoria 3, n = Nmero total de sees no canal, d(i) = Distncia entre a seo (i) e a seo (i+1).
53
Outra considerao a ser feita sobre o custo de escavao quanto distncia de
transporte ao bota-fora. Esta parcela de custo particular de cada empreendimento,
e no foi considerada neste trabalho, mas deve ser calculada em casos onde o
custo de transporte tenha valores expressivos, principalmente em canais de grande
extenso ou nos casos onde o bota-fora esteja distante das obras e no seja
possvel aplicar o material escavado no empreendimento.
Revestimento
O custo de revestimento funo direta do tipo de revestimento e da rea a ser
protegida. Como principais tipos de revestimento, se pode citar aqueles presentes na
Tabela 5.1.
54
Tabela 5.1 Principais Tipos de Revestimentos
4
Revestim
ento
s (
pro
tees c
ontnu
as)
Fle
xv
eis
enrocamento Lanado
arrumado
colches
gabio manta
elementos de concreto articulados
elementos de madeira
elementos plsticos
enrocamento sinttico
bolsas de concreto
bolsas de solo-cimento
bolsas de argamassa
blocos pr-fabricados
vegetao gramneas
plantas semi-aquticas
gabies caixa
saco
outras pneus usados
troncos de rvore lanados
Rg
idos
concreto
painis armados
gabies revestidos
muros de gravidade
painis pr-moldados
blocos pr-fabricados
paredes diafragma
enrocamento argamassado
com injeo de consolidao
pedra argamassada/alvenaria de pedras
cercas madeira
metlicas
Cada revestimento apresenta diferentes valores de custo unitrio, espessura, e
coeficiente de atrito. Desta forma, a nica forma de se saber as consequncias no
custo global do emprego de um revestimento calculando-se a perda de carga
causada por ele, e os volumes adicionais de escavao e aterro necessrios para
implant-lo. Soma-se a estes custos o valor do prprio revestimento.
Fica claro que a alterao entre diferentes revestimentos implica diretamente na
eficincia econmica final atingida pelo empreendimento, e o modelo aqui
4 Extrado de BRIGHETTI, G., MARTINS, J. R. S., (Universidade de So Paulo) Notas de Aula
Obras Hidrulicas. Departamento de Engenharia Hidrulica e Sanitria, 2001.
55
desenvolvido uma ferramenta de suporte deciso, dentre outras coisas, de qual
revestimento deve ser empregado.
Manuteno
A funo custo de manuteno do canal aquela que prev as perdas financeiras
que ocorrem durante a vida til do canal. Dentre estas perdas esto os custos de
conservao do revestimento (face ao desgaste natural, depredao etc.), custos de
limpeza do canal e o custo associado perda de carga.
O custo de manuteno ser influenciado pelo tipo de revestimento. Um gabio, por
exemplo, pode necessitar de ajustes peridicos da tela que faz a conteno dos
gabies, ou um canal com paredes de concreto pode necessitar de reparo em
trincas excessivas, que estejam sendo alargadas em ritmo acelerado pela infiltrao
da gua.
Uma consequncia da falta de manuteno nas paredes e fundo do canal o
aumento da rugosidade: a perda de carga neste caso aumentaria, interferindo na
gerao de energia, e este custo deve ser computado.
Alm disso, a depender da quantidade de sedimentos que a gua transporta, pode
ser necessria tambm uma dragagem peridica do fundo do canal para retirar
sedimentos que tenham se depositado.
Deve-se ter o cuidado de trazer estes custos durante a vida do empreendimento a
valor presente, permitindo assim a sua comparao com os demais custos de obra.
Tal correo se faz atravs da multiplicao do custo anual pelo fator de correo
apresentado na Equao 5.9.
56
( )
( )
Equao 5.9
na qual
= Fator de correo; = Taxa de juros, por perodo; = Nmero de perodos durante a vida til.
Por simplificao, pode-se admitir o custo de manuteno como sendo a verba anual
fixa de manuteno, incluindo dragagem e inspeo, alm de outra verba relativa
perda de carga do canal, corrigida para valor presente, permitindo assim a sua
comparao com os demais custos da obra.
CPCFIMA FF F F Equao 5.10
cujos coeficientes representam
FMA = Funo custo de manuteno, FFI = Funo custo de manuteno fixo, FPC = Funo custo de perda de carga, FC = Fator de correo (Equao 5.9).
Quanto perda de carga, h que se considerar o uso do canal: em canais de
aduo, a perda de carga deve ser contabilizada pelo custo da gerao que deixou
de ser feita, e eventualmente pode implicar tambm em reduo na dimenso da(s)
unidade(s) geradora(s), e este caso particular deve ser calculado contabilizando-se o
custo de comercializao da energia ao longo do horizonte de projeto (e a variao
no custo de implantao das mquinas, quando pertinente, conforme mencionado
na funo custo de motorizao).
57
Nos demais canais, a forma de se medir o custo da perda de carga atravs do
clculo da perda de energia associada, uma vez que a energia possui custo de
referncia conhecido. A energia consumida em um determinado intervalo de tempo
pela perda de carga calculada da seguinte forma:
gQ h E t Equao 5.11
na qual
E = Energia mdia consumida pela perda de carga (MWh), h = Perda de carga mdia (m), t = Intervalo de tempo de estudo (h), Q = Vazo mdia (m/s), g = Acelerao da gravidade (m/s), = Massa especfica da gua (kg/m),
= Rendimento da bomba, turbina e/ou gerador.
Assim, a funo custo da perda de carga pode ser calculada a partir da energia
consumida encontrada pela Equao 5.11, da seguinte forma
Equao 5.12
sendo
= Funo custo de perda de carga anual, = Energia mdia anual consumida pela perda de carga (Equao 5.11- MWh), = Custo unitrio da energia (R$/MWh).
O custo da energia eltrica definido pela quantidade de energia eltrica consumida
num dado perodo, multiplicada pela tarifa correspondente quele perodo, que
varivel e estabelecida pela Agncia Nacional de Energia Eltrica (ANEEL, 2005).
58
Para definir as tarifas de energia eltrica, a ANEEL considera o consumo de energia
(valor acumulado pelo uso da potncia eltrica disponibilizada ao consumidor
durante o perodo de consumo) e a demanda de potncia (maior potncia eltrica
solicitada pelo consumidor ao longo do perodo de consumo).
Tais componentes so mensurados difere
