DSP8

Processamento de Sinais 1 Arlei Fonseca Barcelos

Analise de Fourier de Sinais em Tempo Discreto

Serie de Fourier de um sinal contnuoEsta serie e baseada no seguinte teorema diz que: Qualquer forma de onda periodica no tempo podeser representada na forma de somas de senos e cossenos.A equacao geral da serie de Fourier de sinais periodicos e dado por:

f(t) = a0 +n=1

(an. cos(n.o.t) + bn sin(n.o.t)) (1)

onde:

f(t) e a funcao a ser desenvolvida.

ao e o valor medio de f(t).

an e bn sao os coeficientes da serie de fourier.

o e a frequencia angular de f(t)

0.0.1 Calculo dos coeficientes da serie de Fourier

Como visto em disciplinas anteriores do curso de Engenharia os coeficientes da serie de Fourier edada por

ao = 1/T0.

T00

f(t).dt (2)

an = 2/T0.

T00

f(t). cos(n.o.t).dt (3)

bn = 2/T0.

T00

f(t). sin(n.o.t).dt (4)

Aplicando estas expressoes podemos expandir sinais periodicos dados em suas series de Fourier.Dependendo do sinal podemos ter um numero finito de termos ou infinito. Existem algumas pro-priedades que podem simplificar os calculos dos coeficientes, como:

Fato 0.1 Um sinal x sera chamado de par quando x(t) = x(t) e mpar quando x(t) = x(t).

Fato 0.2 Se x(t) e um sinal periodico par entao bk = 0 para todo o k, ou seja, a sua serie de Fouriere composta apenas de cossenos.Se x(t) e um sinal periodico mpar entao ak = 0 para todo o k, ou seja, a sua serie de Fourier ecomposta apenas por senos.

Exemplo 0.1 Calcular a serie de Fourier da forma de onda

AEDB Processamento de Sinais - rev2 30 de agosto de 2012


O termo DC sera dado por

ao = 1/T0.

T00

f(t).dt = 1/T0.

T0/20

sin(0t).dt = 1/pi

A funcao nao e par nem mpar, portanto deve-se calcular os coeficientes an e bn

an = 2/T0.

T00

f(t). cos(n.o.t).dt

= 2/T0.

T0/20

sin(0t). cos(n.o.t).dt

= 2/T0

[ cos((n+ 1)pi)20(n+ 1)

+cos((n 1)pi)20(n 1) +

10(n+ 1)(n 1)

]=

1

pi(n2 1)[(n 1)

2cos((n+ 1)pi) +

(n+ 1)

2cos((n 1)pi) 1

]Quando k = 1 deve-se integrar sin(o.t) cos(o.t) = sin(2o.t)/2, onde o seu resultado sera igual azero. Excluindo este valor pode-s analisa a expressao acima de modo geral.Para valores mpares de n tem-sean = 0Para valores pares de n tem-se

an =2

pi(n2 1)Para os coeficientes dos senos:

bn = 2/T0.

T00

f(t). sin(n.o.t).dt



= 2/T0.

T0/20

sin(0t). sin(n.o.t).dt

= 2/T0(n+ 1) sin((n 1)pi) (n 1) sin((n+ 1)pi)

20(n+ 1)(n 1)=

1

2pi(n2 1)[(n+ 1) sin((kn 1)pi) (n 1) sin((n+ 1)pi)]Para valores pares de n os senos se anulam e bn = 0. Para valores mpares o mesmo raciocnio seaplica, desde que k 6= 1.Para este caso deve-se resolver

bn = 2/T0.

T00

f(t). sin(n.o.t).dt

bn = 2/T0.

T0/20

sin2(o.t).dt = 2/T0pi

20= 1/2

Em resumo:

a0 = A/pi; an =

{0 n mpar2

pi(n21) n parbn =

{1/2 n = 10 n > 1

e a expansao e dada por:

x(t) = 1/pi + 1/2 sin(o.t) 2/3pi cos(2o.t) 2/15pi cos(4o.t) . . .Segue abaixo um programa para calculo dos coeficientes no MATLAB.

Programa Matlab 0.1%Calcula os coeficientes da integral de Fourier

clc;

clear all;

syms t;

n=0;

T0=1;

omega0=2*pi/T0;

ft=sin(omega0*t)

while n~=10000,

n = input(Entre com o valor do numero do harmonico

desejado ou 10000 para sair: );

if n==0

a0=simple(1/T0*int(ft,0,T0/2))

else

an=simple(2/T0*int(ft*cos(n*omega0*t),0,T0/2))

bn=simple(2/T0*int(ft*sin(n*omega0*t),0,T0/2))

end

end;

Exemplo 0.2 Seja a onda triangular para a qual um dos perodos e dado por

x(t) =

{4t/T0 + 1 T0/2 t 04t/T0 + 1 0 t T0/2

seu grafico e:



calcular a sua serie de Fourier: O termo DC e nulo; como o sinal e par bn = 0 e havera apenastermos cossenoidais

an = 2/T0

x(t)cos(n0t)dt

= 2/T0

[ 0T0/2

(4t/T0 + 1)cos(n0t)dt+

T0/20

(4t/T0 + 1)cos(n0t)dt]

= 8/T 20

[ 0T0/2

tcos(n0t)dt T0/20

(tcos(n0t)dt

]

=4

n2pi2[1 cos(npi)] = 8

n2pi2quando n e mpar, e 0 quando n e par.

Logo, a expressao completa sera dada por

x(t) =8

pi2cos(0t) +

8

9pi2cos(30t) +

8

25pi2cos(50t) + . . .

Exerccio 0.1 Trace o grafico da serie do exemplo 0.2 no MATLAB

Exemplo 0.3 Seja onda quadrada descrita no tempo dada por

x(t) =

{1 0 < t < T0/21 T0/2 < t < T0

Calcule a sua serie de Fourier: O termo DC e nulo; como o sinal e mpar an = 0 e havera apenastermos senoidais.

bn = 2/T0

x(t)sin(n0t)dt



= 2/T0

[ T0/20

sin(n0t)dt T0T0/2

(sin(n0t)dt

]

=2

npi[1 cos(npi)] = 4

npiquando n e mpar, e 0 quando n e par.

x(t) =4

pisin(0t) +

4

3pisin(30t) +

4

5pisin(50t) + . . .

Exerccio 0.2 Trace o grafico da serie do exemplo 0.3 no MATLAB.

0.0.2 Serie de Fourier - Forma Cossenoidal

Sabemos da trigonometria que

a cos+ b sin = A cos(+ ) (5)

onde

A =a2 + b2 e tan = b/a (6)

A expansao de um sinal x(t) na forma trigonometrica da serie de Fourier e:

x(t) = a0 + a1 cos(o.t) + a2 cos(20.t) + ...+ b1 sin(o.t) + b2 sin(2o.t) + ... (7)

Usando as relacoes acima descritas podemos reescrever esta serie em forma mais compacta:

x(t) = A0 +k=1

Ak cos(k0.t+ k) (8)

onde

A0 = a0 ; Ak =a2k + b

2k e tan k = bk/ak (9)

A ideia basica permanece a mesma, decompomos um dado sinal em uma soma de sinais elementares.Este formato e considerado mais simples porque envolve apenas cossenos; em compensacao cada umdestes cossenos apresenta fase.

Exemplo 0.4 Para a onda do exemplo 0.3, faca sua representacao em cossenos:

x(t) =4

picos(0t pi/2) + 4

3picos(30t pi/2) + 4

5picos(50t pi/2) + . . .

Exemplo 0.5 Observe que a onda triangular do exemplo 0.2 a serie ja e decomposta apenas decossenos, portanto a sua resposta em cossenos seria a mesma.

Exemplo 0.6 Para a onda senoidal semi-retificada do exemplo 0.1 a serie era decomposta em senose cossenos,

x(t) = 1/pi + 1/2 sin(o.t) 2/3pi cos(2o.t) 2/15pi cos(4o.t) . . .Passando apenas para cossenos obtem-se

x(t) = 1/pi + 1/2cos(o.t) + 2/3pi cos(2o.t pi) + 2/15pi cos(4o.t pi) + . . .



0.0.3 Forma espectral da serie de Fourier

Seja a onda quadrada da exemplo 0.4, como exemplo, decomposta atraves de sua serie de Fourierproposta anteriormente. Devemos mostrar como ficara seu espectro de frequencia.

Exemplo 0.7 Sua expressao decomposta em sua serie de Fourier, ficou da seguinte forma:

x(t) =4

picos(0t pi/2) + 4

3picos(30t pi/2) + 4

5picos(50t pi/2) + . . .

Harmonico Freq.Angular Amplitude Fasen = 0 0 0 0n = 1 0

4pi

pi/2n = 3 30

43pi

pi/2n = 5 50

45pi

pi/2n = 7 70

457pi

pi/2

O tracado do espectro de frequencia ficara da seguinte forma:

Observacao 0.1 : a tabela acima possuira termos que irao ate o infinito, porem ele so mostratermos ate o setimo harmonico.

Programa Matlab 0.2 Programa feito no MATLAB para o tracado do espectro da onda quadrada.

%Espectro de Fourier da onda quadrada

close all

clear all

x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8]



y=[0 4/pi 0 4/(3*pi) 0 4/(5*pi) 0 4/(7*pi) 0]

subplot(1,2,1);stem(x,y);grid;

title(Esp. de amplitude da onda quad. para w0=1);

teta=[0 -pi/2 -pi/2 -pi/2 -pi/2 -pi/2 -pi/2 -pi/2 -pi/2]

subplot(1,2,2);stem(x,teta);grid;

title(Esp. de fase da onda quad.para w0=1);

Exerccio 0.3 Repita o que foi feito no exemplo 0.7 nos sinal do exemplo 0.5.

Exerccio 0.4 Repita o que foi feito no exemplo 0.7 nos sinal do exemplo 0.6.

0.1 Serie de Fourier - Forma exponencial

Pode-se usar a conhecida expressao de Euler

ej = cos+ jsen

para obter a expressao do cos em termos de exponenciais complexas:

ej = cos+ jsenej = cos jsen

}= cos = 1/2ej + 1/2ej

Aplicando a expressao do cosseno geral:

Ancos(n0t+ n) =An2ej(n0t+n) +

An2ej(n0t+n) =

An2ejnejn0t +

An2ejnejn0t

Entao substituindo na serie de Fourier de x(t) tem-se

x(t) = A0 +n=1

+Ancos(n0t+ n) =

= A0 +n=1

[An2ejnejn0t +

An2ejnejn0t

]= . . .+

A22ej2ej20t +

A12ej1ej0t + A0 +

A12ej1ej0t +

A22ej2ej20t + . . .

Temos uma serie de exponenciais complexas, cada uma delas acompanha de um coeficiente complexo;as exponenciais sao associadas a`s frequencias 0,0,20,30, . . . e os coeficientes sao da formaMej onde M esta relacionado com as amplitudes e a fase, observe, com isso, que a serie pode serrepresentada da seguinte forma

x(t) =

n=Dne

jn0t (10)

onde|Dn| = An2 Dn = n n > 0|D0| = A0 D0 = 0 n = 0|Dn| = An2 Dn = n n < 0

Observe que o preco a se pagar por se utilizar a serie de fourier na forma exponencial e o surgimento defrequencias negativas o que se confunde com o mundo real onde nao existe este tipos de frequencias.



O calculo da serie, teoricamente, necessitariam dos parametros Ak e k da forma cossenoidal. Paraevitar o calculo do parametros da serie cossenoidal e utilizado o seguinte artifcio

T00

x(t)ejk0tdt = T00

(

n=Dne

jn0t)ejk0tdt =

n=Dn

T00

ej(nk)0tdt

Observe que T00

ej(nk)0tdt =

{T, k = n[

1j(nk)0 e

j(nk)0]T0, k 6= n

Usando o fato de que

ej(nk)0T = ej(nk)2pi = 1

e dando continuidade a equacao anterior

T00

x(t)ejk0tdt = Dn

T00

dt

logo, finalmente,

Dn =1

T0

T00

x(t)ejk0t

Exerccio 0.5 Onda triangular definida, em um de seus perodos, por:

x(t) =

4AT0t para 0 t T0

2

4AT0

t+ 2A para T02 t T0

Calcule a serie de fourier na forma exponencial

Exerccio 0.6 x(t) = | sin(200.pi.t)| Calcule a serie de fourier na forma exponencial

Exerccio 0.7 1 Determine a serie trigonometrica de Fourier do sinal periodico x(t) mostrado nafigura que segue:

1A solucao para este exerccio pode ser visto nas paginas 533 e 544 no livro Sinais e Sistemas Lineares Lathi Ed.Bookman 2oed.



Programa gerador do grafico anterior

%Calcula os coeficientes da integral de Fourier

clc;

clear all;

t=0:0.001:10;

xt=0.504;

n=1;

while n~=1000,

xt=xt+0.504*((2/(1+16*(n^2)))*(cos(2*n.*t)+4*n*sin(2*n.*t)));



n=n+1;

end

plot(t,xt);

Exerccio 0.8 Repita o exerccio 0.7 na forma cossenoidal.

Exerccio 0.9 Repita o exerccio 0.7 na forma exponencial.

Exerccio 0.10 Determine a serie exponencial de Fourier e trace o espectro correspondente para otrem de impulso T0(t), mostrado na figura que segue

Resposta:

0(t) =1

T0[1 + 2(cos0t+ cos 20t+ cos 30t+ . . .)] 0 =

2pi

T0

na forma exponencial

0(t) =1

T0[1 + ej0t + ej0t + ej20t + ej20t + ej30t + ej30t]

Pode ser observado que quando a serie de Fourier e representada na forma exponencial, tem-sefrequencias negativas do sinal e sua amplitude reduzida pela metade. Isto e mostrado na figura quesegue para os graficos do sinal do exerccio 0.7(T0)



0.2 Teorema de amostragem e espectro de frequencia

Considere o sinal mostrado na figura 1a, o seu espectro e mostrado na figura 1b, com o seu esbocona forma exponencial, isto e, possuindo frequencia positivas e negativas. Quando este sinal e mul-tiplicado por um trem de pulso do tipo que apresentado na figura 1c obtem-se o grafico no temposemelhante ao mostrado na figura 1e que possui como expressao

x(t) = x(t)T (t) =n

x(nT )(t nT )

Como a funcao T (t) e um sinal periodico T, ele pode ser decomposto em um serie de Fourier comofoi mostrado no exerccio 0.10, ou seja,

T (t) =1

T[1 + 2(cosst+ cos 2st+ cos 3st+ . . .)] s =

2pi

T

Logo,

x(t) = x(t)T (t) =1

T[x(t) + 2(x(t) cosst+ x(t) cos 2st+ x(t) cos 3st+ . . .)] s =

2pi

T(11)

Para o calculo de X(), a transformada de Fourier de x(t) deve-se obter a transformada de cadatermo do lado direito da equacao 11. A transformada do 1o termo e X(). A transformada dosdemais termos que estao multiplicados por cossenoides, seguem uma propriedade da transformadade Fourier de deslocamento na frequencia. Isto pode provado da seguinte forma, seja a definicao daintegral da transformada de Fourier, dada por

x(t) =1

2pi

X()ejtd (12)



Figura 1: Sinal amostrado e seu espectro de Fourier



e a sua funcao inversa dada por

X() =

x(t)ejtdt (13)

Esta relacao pode ser resumida atraves da figura Semelhante a transformada de Laplace existemdiversas tabelas de algumas transformadas de Fourier de algumas funcoes no tempo.

0.3 Calculo Numerico da Transformada de Fourier: Trans-

formada de Fourier Discreta(TDF)

Para o calculo de Dn, apresentado na equacao 10, numericamente usando a TDF e necessario que sepossua amostras no tempo do sinal periodico x(t). O intervalo de amostragem e T segundos. Logo,existirao N0 = T0/T amostras em um perodo T0. Para determinar a relacao entre Dn e as amostrasde x(t), considere a equacao 14

Dn =1

T0

T00

x(t)ejk0t = limT0

1

N0T

N01k=0

x(kT )ejn0kTT = limT0

1

N0

N01k=0

x(kT )ejn0k (14)

sendo

N0 =T0T

0 = 0T =2pi

N0(15)

Fazer T 0 nao sera possvel, portanto o erro computacional para T muito pequeno podera serdesprezvel. Portanto, pode-se ignorar o limite de T 0 e a equacao 14 torna-se

Dn =1

N0

N01k=0

x(kT )ejn0k (16)

Fazendo WN = ej0 , obtem-se a seguinte expressao

Dn =1

N0

N01k=0

x(kT )W nkN (17)

A parcela X(n) =N01

k=0 x(n)WnkN e denominada de TDF de um sinal.

O calculo do TDF envolve diversas multiplicacoes e somas, como por exemplo segue o caso de N=8amostras, com amostras temporais dadas por x(0),x(1),. . . ,x(7), assim para

X(n) =

N01k=0

x(n)W nkN (18)

pode ser expandido



0.3.1 A FFT

Pode-se utilizar a eficiente FFT(Transformada Rapida de Fourier) para calcular o lado direito daequacao 17. Os algoritmos de FFT procuram diminuir os numeros de multiplicacoes e adicoes parao calculo de X(n). Isto se deve ao fato de que W possui periodicidade e simetria. Isto pode sercompreendido observando nas figuras que seguem:



Devido a periodicidade de W pode-se verificar que:

Devido a simetria



logo,

Obtem-se



Rearranjando tem-se

Pode ser observado nas equacoes descritas anteriormente que o numero de multiplicacoes para ocalculo da TFD reduziu sensivelmente e, consequentemente, diminuindo o tempo de execucao numprocessador de sinais para o calculo de espectro de frequencia de um sinal. Este algoritmos parareducao dos calculos da-se o nome de FFT.



0.3.2 A FFT no MATLAB

E possvel utilizar o MATLAB para calcular o DFT de amostrar de um sinal x(t) no tempo utilizandoo seu comando FFT. Veja alguns exemplos

%Programa para plotar graficos no MATLAB

%Elaborado por: Arlei 15/02/05

close all

clear all

clc

%######################

t = 0:.0001:.625;

y = sin(2*pi*30*t);

SUBPLOT(3,2,1),plot(t,y,-);

TITLE( y = sin(2*pi*30*t));

axis([0 .0625 -1.5 1.5]);grid

%######################

Y=fft(y,6250);

py=abs(Y)/6250;

f=10000*(-3125:3124)/6250

SUBPLOT(3,2,2),plot(f,fftshift(py(1:6250)));

axis([-100 100 -0.2 0.6]);

TITLE(Espectro de freq. y = sin(2*pi*30*t));grid

%######################

t = 0:.0001:.625;

y = SQUARE(2*pi*30*t);


TITLE(y = SQUARE(2*pi*30*t));

axis([0 .0625 -1.5 1.5]);grid

%######################

Y=fft(y,6250);

py=abs(Y)/6250;

f=10000*(-3125:3124)/6250


axis([-100 100 -0.2 0.6]);

TITLE(Espectro de freq. y = SQUARE(2*pi*30*t));grid

%######################

t = 0:.0001:.625;

y = sawtooth(2*pi*30*t);

SUBPLOT(3,2,5),plot(t,y);

TITLE(y = sawtooth(2*pi*30*t));

axis([0 .0625 -1.5 1.5]);grid

%######################

Y=fft(y,6250);

py=abs(Y)/6250;

f=10000*(-3125:3124)/6250


axis([-100 100 -0.2 0.6]);

TITLE(Espectro de freq. y = sawtooth(2*pi*30*t));grid



O tracado do espectro do FFT ficara da seguinte forma:

Utilizando o FFT de forma parametrizada

%Programa Matlab 1.3

%Programa para plotar graficos no MATLAB

%Elaborado por: Arlei 15/02/05

close all

clear all



clc

a=62.5;

ts=0.0005;

w=500

%######################

t = 0:ts:a-ts;

y = square(2*pi*w*t);


TITLE( y = sin(2*pi*30*t));

axis([0 a -1.5 1.5]);grid

%######################

Y=fft(y,a/ts); py=abs(Y)/(a/ts);

f=(1/ts)*(((-(a/ts)/2)):(((a/ts)/2)-1))/(a/ts);

SUBPLOT(1,2,2),plot(f,fftshift(py(1:(a/ts))));

axis([-10*w 10*w -0.2 0.9]);

TITLE(Espectro de freq. y=sin(2*pi*30*t));grid

%######################

O tracado do espectro do FFT ficara da seguinte forma:


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