eBook: Matemática

e.BOOK: QUESTÕES DO ENADE COMENTADAS

Curso: Matemática

Organizador: Duelci Aparecido de Freitas Vaz

SUMÁRIO

Discursiva 1

Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz

Discursiva 2

Autor(a): Maria José Pereira Dantas

Discursiva 3

Autor(a): José Elmo de Menezes

Discursiva 4

Autor(a): Bianka Carneiro Leandro

Discursiva 5

Autor(a): Vanda domingos Vieira

QUESTÃO Nº 09


QUESTÃO Nº 10


QUESTÃO Nº 11


QUESTÃO Nº 12

Autor(a): Valdemar Pereira Lopes

QUESTÃO Nº 13


QUESTÃO Nº 14

Autor(a): Leonardo Antônio Souto.

QUESTÃO Nº 15


QUESTÃO Nº 16

Autor(a): Rosimeyre Gomes da Silva Merib

QUESTÃO Nº 17

Autor(a): Vanda Domingos Vieira

QUESTÃO Nº 18

Autor(a): Vanda Domingos Vieira

QUESTÃO Nº 19


QUESTÃO Nº 20


QUESTÃO Nº 21

Autor(a): Sérgio Reis Fernandes

QUESTÃO Nº 22


QUESTÃO Nº 23


QUESTÃO Nº 24


QUESTÃO Nº 25


QUESTÃO Nº 26

Autor(a): Nelson Carneiro Júnior

QUESTÃO Nº 27

Autor(a): Eliane Silva

QUESTÃO Nº 28


QUESTÃO Nº 29

Autor(a): Rose Mary Almas de Carvalho

QUESTÃO Nº 30

Autor(a): Renato Barros de Almeida

QUESTÃO Nº 31

Autor(a): Alaídes Inácio Stival Ferreira

QUESTÃO Nº 32


QUESTÃO Nº 33

Autor(a): Gabriella Barros Viana Marques

QUESTÃO Nº 34


QUESTÃO Nº 35


QUESTÃO Nº 36

Autor(a): Joelmir Divino Carlos Feliciano

QUESTÃO Nº 37

Autor(a): Samuel Lima Picanço

QUESTÃO Nº 38

Autor(a): Henrique Carvalho Rodrigues

QUESTÃO Nº 39

Autor(a): Wérica Pricylla de O. Valeriano

QUESTÃO Nº 40

Autor(a): Daniel Antônio Mendonça da Silva

QUESTÃO Nº 41

Autor(a): Danillo Flugge

QUESTÃO Nº 42


QUESTÃO Nº 43

Autor(a): Joelmir Divino Carlos Feliciano

QUESTÃO Nº 44

Autor(a): Rayner Ferreira Barbosa da Costa

QUESTÃO Nº 45

Autor(a): Brunna Brito Passarinho

DISCURSIVA 1

A Educação a Distância (EaD) é a modalidade de ensino que permite que a

comunicação e a construção do conhecimento entre os usuários envolvidos possam

acontecer em locais e tempos distintos. São necessárias tecnologias cada vez mais

sofisticadas para essa modalidade de ensino não presencial, com vistas à crescente

necessidade de uma pedagogia que se desenvolva por meio de novas relações de

ensino-aprendizagem.

O Censo da Educação Superior de 2009, realizado pelo MEC/INEP, aponta para o

aumento expressivo do número de matrículas nessa modalidade. Entre 2004 e 2009, a

participação da EaD na Educação Superior passou de 1,4% para 14,1%, totalizando

838 mil matrículas, das quais 50% em cursos de licenciatura. Levantamentos

apontam ainda que 37% dos estudantes de EaD estão na pós-graduação e que 42%

estão fora do seu estado de origem.

Considerando as informações acima, enumere três vantagens de um curso a distância,

justificando brevemente cada uma delas.

Gabarito: questão discursiva

Tipo de questão: Fácil

Conteúdo avaliado: Ensino a Distância


Comentário:

A questão aborda um tema freqüente nos cursos de licenciaturas em todas as suas

modalidades. A resposta esperada pelos avaliadores do MEC é que o estudante seja

capaz de apontar algumas vantagens dentre as seguintes, quanto à modalidade EaD:

(i) flexibilidade de horário e de local, pois o aluno estabelece o seu ritmo de estudo;

(ii) valor do curso, em geral, é mais baixo que do ensino presencial;

(iii) capilaridade ou possibilidade de acesso em locais não atendidos pelo ensino

presencial;

(iv) democratização de acesso à educação, pois atende a um público maior e mais

variado que os cursos presenciais; além de contribuir para o desenvolvimento local e

regional;

(v) troca de experiência e conhecimento entre os participantes, sobretudo quando

dificilmente de forma presencial isso seria possível (exemplo, de pontos geográficos

longínquos);

(vi) incentivo à educação permanente em virtude da significativa diversidade de

cursos e de níveis de ensino;

(vii) inclusão digital, permitindo a familiarização com as mais diversas tecnologias;

(viii) aperfeiçoamento/formação pessoal e profissional de pessoas que, por distintos

motivos, não poderiam frequentar as escolas de ensino regular;

(ix) formação/qualificação/habilitação de professores, suprindo demandas em vastas

áreas do país;

(x) inclusão de pessoas com comprometimento motor reduzindo os deslocamentos

diários.

Referências:

LÉVY, P. Tecnologias da inteligência. O futuro do pensamento na era da

informática. Rio de janeiro: Ed. 34, 1993.

LITTO, F. M.; FORMIGA, M. Educação a distância. O estado da arte. São Paulo:

Pearson, 2009.

MAIA, C. (org.). Ead.br. Experiências inovadoras em Educação a distância no

Brasil. São Paulo: Anhembi Morumbi, 2000.

MARCUSE, H. Algumas implicações sociais da tecnologia moderna. In: Tecnologia,

guerra e facismo. São Paulo: UNESP, 1999. p. 73-104.

MASETTO, M. Mediação Pedagógica e o uso da tecnologia. In: MORAN, J. M. et

al. (orgs). Novas tecnologias e mediação pedagógica. Campinas: Papirus, 2000.

NICOLACI-DA-COSTA, A. M. (org.) Cabeças digitais. O cotidiano na era da

informação. Rio de Janeiro: Ed. PUC-Rio; São Paulo: Loyola, 2006.

QUESTÃO DISCURSIVA 2.

A Síntese de Indicadores Sociais (SIS 2010) utiliza-se da Pesquisa Nacional por

Amostra de Domicílios (PNAD) para apresentar sucinta análise das condições de

vida no Brasil. Quanto ao analfabetismo, a SIS 2010 mostra que os maiores índices se

concentram na população idosa, em camadas de menores rendimentos e

predominantemente na região Nordeste, conforme dados do texto a seguir. A taxa de

analfabetismo referente a pessoas de 15 anos ou mais de idade baixou de 13,3%

em 1999 para 9,7% em 2009. Em números absolutos, o contingente era de 14,1

milhões de pessoas analfabetas. Dessas, 42,6% tinham mais de 60 anos, 52,2%

residiam no Nordeste e 16,4% viviam com ½ salário-mínimo de renda familiar per

capita. Os maiores decréscimos no analfabetismo por grupos etários entre 1999 a

2009 ocorreram na faixa dos 15 a 24 anos. Nesse grupo, as mulheres eram mais

alfabetizadas, mas a população masculina apresentou queda um pouco mais

acentuada dos índices de analfabetismo, que passou de 13,5% para 6,3%, contra 6,9%

para 3,0% para as mulheres.

SIS 2010: Mulheres mais escolarizadas são mães mais tarde e têm menos filhos.

Disponível em: <www.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias>.Acesso em: 25 ago. 2011 (adaptado).

Com base nos dados apresentados, redija um texto dissertativo acerca da importância

de políticas e programas educacionais para a erradicação do analfabetismo e para a

empregabilidade, considerando as disparidades sociais e as dificuldades de obtenção

de emprego provocadas pelo analfabetismo. Em seu texto, apresente uma proposta

para a superação do analfabetismo e para o aumento da empregabilidade. (valor: 10,0

pontos)

Gabarito: questão dissertativa.

Tipo de questão: Média.

Conteúdo avaliado: capacidade do aluno em desenvolver análise crítica das políticas

e programas para erradicação do analfabetismo e empregabilidade, apontando

soluções para o problema.


Comentário

A teoria econômica e a evidência empírica mostram que o aumento da escolaridade

eleva a probabilidade de o trabalhador estar empregado. O texto discute indicadores

que evidenciam o impacto do analfabetismo nas desigualdades sociais (população de

idosos, população com menor renda, população do nordeste). A resposta esperada

pelos avaliadores do MEC é que o estudante deve ser abordar em seu texto:

•identificação e análise das desigualdades sociais acentuadas pelo analfabetismo,

demonstrando capacidade de examinar e interpretar criticamente o quadro atual da

educação com ênfase no analfabetismo;

•abordagem do analfabetismo numa perspectiva crítica, participativa, apontando

agentes sociais e alternativas que viabilizem a realização de esforços para s

ua superação, estabelecendo relação entre o analfabetismo e a dificuldade para

a obtenção de emprego;

•indicação de avanços e deficiências de políticas e de programas de erradicação

do analfabetismo, assinalando iniciativas realizadas ao longo do período tratado e se

os resultados, expressando que estas ações, embora importantes para a eliminação do

analfabetismo, ainda se mostram insuficientes.

PNE 2011-2012.

Art. 214. A lei estabelecerá o plano nacional de educação, de duração decenal, com o

objetivo de articular o sistema Nacional de Educação em regime de colaboração e

definir diretrizes, objetivos, metas e estratégias de implementação, para segurar a

manutenção e desenvolvimento do ensino em seus diversos níveis, etapas e

modalidades, por meio de ações integradas dos Poderes Públicos das diferentes

esferas federativas, que conduzam à:

I – erradicação do analfabetismo;

II – universalização do atendimento escolar;

III – melhoria da qualidade do ensino;

IV – formação para o trabalho;

V – promoção humanística, científica e tecnológica do País;

VI – estabelecimento de meta de aplicação de recursos públicos em educação,

como proporção do produto interno bruto.

Uma proposta que podemos encaminhar como exemplo diz respeito a Educação de

Jovens e Adultos, mas poderia ser pensada em outras categorias da educação

brasileira. Nesta categoria, podemos potencializar esta proposta se a escola se

preparasse melhor para receber este tipo de aluno que na maioria das vezes chega na

escola sem os pré-requisitos mínimos para recomeçar seus estudos. A escola deve,

neste caso, se preparar do ponto de vista material e também do ponto de vista humano,

preparando seus professores para receber e trabalhar este tipo de aluno com

metodologias apropriadas e redirecioná-los para o mercado de trabalho.

Referências:

BRASIL, CONSTITUIÇÃO (1988). Direito constitucional. Fundação de Assistência

ao Estudante, Rio de Janeiro: 2. ed., 1989.

DI PIERRO, Maria Clara; GRACIANO, Mariângela. A educação de jovens e adultos

no Brasil. São Paulo: Ação Educativa, 2003.

BRASIL. MEC. Lei de Diretrizes e Bases da Educação. Disponível em

http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/ldb.pdf . Acesso em: 24 junho de 2014.

_______. Plano Nacional de Educação 2011-2020. Disponível em

http://fne.mec.gov.br/images/pdf/notas_tecnicas_pne_2011_2020.pdf Disponível em:

. Acesso em: 24 de junho de 2014.

SOARES, Magda. Magda. Letramento: um tema em três gêneros. Belo Horizonte:

CEALE/Autêntica, 1998.

QUESTÃO DISCURSIVA Nº 03

Em um prédio de 8 andares, 5 pessoas aguardam o elevador no andar térreo.

Considere que elas entrarão no elevador e sairão, de maneira aleatória, nos andares

de 1 a 8. Com base nessa situação, faça o que se pede nos itens a seguir, apresentando

o procedimento de cálculo utilizado na sua resolução.

a) Calcule a probabilidade de essas pessoas descerem em andares diferentes. (valor:

6,0 pontos).

b) Calcule a probabilidade de duas ou mais pessoas descerem em um mesmo andar.

(valor: 4,0 pontos).

Tipo de questão: fácil.

Conteúdo avaliado: Análise Combinatória e Probabilidade.


Comentário:

Esta questão envolve noções básicas de análise combinatória (arranjo) e

probabilidade clássica.

Para resolver esta questão é necessário conhecimento de propriedades da Análise

Combinatória (arranjo e/ou principio da multiplicação), e de noções básicas do

calculo de probabilidades em um espaço equiprovável. Vejamos algumas definições e

conceitos básicos.

Principio da Multiplicação: “Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneira e se,

uma vez tomada a decisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de y maneira então o

numero de maneiras de se tomarem as decisões da e d2 é x.y”.

Arranjo com repetição: O arranjo com repetição é usado quando a ordem dos

elementos importa e cada elemento pode ser contado mais de uma vez.

,

onde é o total de elementos e o número de elementos escolhidos.

Arranjo simples: Arranjo simples de elementos tomados a , onde 1n

e é um número natural, é qualquer ordenação de elementos dentre

os elementos, em que cada maneira de tomar os elementos se diferenciam pela

ordem e natureza dos elementos. A fórmula para cálculo de arranjo simples é dada

por:

onde é o total de elementos e o número de elementos escolhidos.

Conceito de probabilidade: Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são

igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um

evento A é sempre:

Propriedades Importantes:

1. Se A e A’ são eventos complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1

2. A probabilidade de um evento A é sempre um número entre 0 (probabilidade de

evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).

0 ( ) 1P A

(a) Seja A o evento que representa todas as possíveis configurações em que as

cinco pessoas dessem em andares diferentes e o espaço amostral S é constituído

pelo numero total de configurações. O número de possíveis configurações

determinadas pelas escolhas em que as 5 pessoas saem em andares diferentes (

numero de elementos do evento A) : pelo Princípio Multiplicativo (8.7.6.5.4)

ou, ainda, pode ser calculado considerando uma arranjo n(A)=

8

5

8!8.7.6.5.4 6720

3!A = possibilidades, e o número total de elemento do

espaço amostral S, é obtido pelo principio multiplicativo: n(S)=85=32768

possibilidades. Neste caso a probabilidade das cinco pessoas descerem em

andares diferentes é ( ) 6720 105

( )( ) 32768 512

n AP A

N S .

(b) Seja B o evento que representa todas as configurações onde duas ou mais

pessoas descerem em um mesmo andar. Note que o evento B é o evento

complementar de A (item (a)), então segue pela propriedade 1 de probabilidade

que P(B)=1-P(A) =1-105/512 =407/512.

Referências: 1) Morgado, Augusto César O., e outros, Análise Combinatória e

Probabilidade, 6ª Edição, SBM, Rio de Janeiro, 2001.

QUESTÃO DISCURSIVA Nº 4

Considere a sequência numérica definida por

{

Use o princípio de indução finita e mostre que √ , para todo número natural

e para √ , seguindo os passos indicados nos itens a seguir:

a) Escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demonstrada;

b) Mostre que

, para todo ;

c) Prove que , para todo √ ;

d) Mostre que √ ;

e) Suponha que √ eprove que √ ;

f) Conclua a prova por indução.

Gabarito: questão discursiva, sem gabarito.

Tipo de questão: Médio

Conteúdo avaliado: Princípio de Indução Finita, função crescente e desigualdades


Comentário:

Esta questão envolve a definição de função crescente, o trabalho com desigualdades e

o Princípio de Indução Finita.

Princípio da Indução Finita: Seja um número inteiro e suponhamos que a cada

inteiro , , está associada uma afirmação A(n). Suponha que as condições 1 e

2 abaixo sejam verificadas:

1. A afirmação A(n) é verdadeira para

2. Para cada , se A(k) é verdadeira, então A(k + 1) é também

verdadeira.

Então a afirmação A(n) é verdadeira para cada .

Definição: Uma função , real de variável real, diz-se crescente em , , se e

somente se, para todo , tem-se:

se então .

Para responder à letra a) da questão basta relembrar que hipótese é a suposição de

algo verosímil, fatos que são assumidos como verdade e tese é o fato que se deseja

demonstrar. Nesse caso em questão, a hipótese será

√ ,{

.

E a tese será

√ , para todo .

Para responder à letra b) basta observar que como , consequentemente

e . Logo o quociente

.

Para responder à letra c) basta trabalhar com a hipótese √ e lembrar-se da

definição do quadrado da diferença

.

Assim,

.

Como √ , tem-se e . Donde obtem-se

que

.

Para responder à letra d) deve-se aplicar a definição de função crescente ao fato

demonstrado na letra c). Tem-se que a função √ é crescente em seu domínio

( { | ). Como da letra c) tem-se , então aplicando-se

obtem-se que √ .

Para responder à letra e)faz-se-á a verificação da condição 2. do Princípio de Indução

Finita. Tem-se que √ .Da letra b) como , tem-se . Da letra

c) tem-se . Logo da letra d)obtem-se que

√ .

Para responder à letra f) faz-se-á uso do Princípio de Indução Finita. De tal forma,

tem-se por hipótese que √ , logo √ . Provando-se assim a

veracidade da condição 1. Supondo-se, por hipótese de indução, que √ ,

pela letra e) tem-se

√ , para todo .

Logo pelo Princípio de Indução Finita tem-se √ , para todo .

Referências: 1) Figueiredo, Djairo Guedes de. Análise 1. 2ª edição. Rio de Janeiro.

LTC, 2011.

2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de Cálculo Vol. II. Ed. L.T.C.

3) Lima, Elon Lages. Um curso de análise Vol. 1.Rio de Janeiro. Projeto Euclides,

2002.

Questão Discursiva 5

O Teorema do Valor Intermediário é uma proposição muito importante da análise

matemática, com inúmeras aplicações teóricas e práticas. Uma demonstração analítica

deste teorema foi feita pelo matemático Bernard Bolsano [1781 – 1848]. Neste

contexto, faça o que se pede nos itens a seguir:

a) Enuncie o teorema do valor intermediário para funções reais de uma variável

real;

b) Resolva a seguinte situação problema.

O vencedor da corrida de São Silvestre – 2010 foi o brasileiro Mailson Gomes dos

Santos, que fez o percurso de 15 km em 44min e 7 seg. Prove que, em pelo menos

dois momentos distintos da corrida, a velocidade instantânea de Mailson era de 5

metros por segundo.

c) Descreva uma situação real que pode ser modelada por meio de uma função

contínua f , definida em um intervalo [a, b], relacionando duas grandezas x e y ,

tal que existe k (a, b) com )()( kfxf para todo x (a, b), kx .

Justifique sua resposta.

Discursiva 5

Tipo de questão: média

Conteúdo avaliado: funções e limites e continuidade de uma função de uma variável

Autora: Vanda Domingos Vieira

a) Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se k é um número

real entre f(a) e f(b), então existe pelo menos c em [a, b] tal que f(c) =k.

Comentário:

Esse teorema diz que quando x varia entre a e b, f uma função contínua assume todos

os valores entre f(a) e f(b). Isto significa que para qualquer k tomado entre f(a) e f(b),

a reta horizontal com interseção (0,K) interceptará o gráfico em pelo menos um ponto

P .

b) Mailson faz o percurso de 15 km em 44min e 7 seg. Veja que a velocidade

instantânea é dada em metros por segundo. Convertendo Unidades:

1km = 1000m, logo 15km = 15000 m

1min = 60 seg, logo 44min e 15 seg = 44.60seg + 7 seg = 2640 seg + 7 seg = 2647

seg

A velocidade no percurso da corrida pode ser modelada por uma função contínua v(t),

definida no intervalo fechado [0, 2647].

Por outro lado no inicio e final da corrida a velocidade é nula, ou seja, para t = 0 seg ,

v(0) = 0 e para t = 2647seg, v(2647) = 0.

Mas durante a corrida podemos calcular a velocidade média de percurso:

if

if

mtt

PP

t

Pv

=

2647

15000

02647

015000

= 5,6667

Como v(0)= v( 2647) = 0, existe pelo menos um t [a, b] para o qual a

velocidade é de 5,6667 m/seg.

Se a taxa media da variação da velocidade é de 5,6667m/seg, pelo Teorema do Valor

intermediário existem pelo menos dois instantes t1 e t2 , tais que, a velocidade seja

igual a 5m/seg.

c) O Volume de uma caixa de papelão sem tampa pode ser modelado por uma

função contínua

V(x)= x3 - 2x

2 + x = (x- 1).(x-1).x tomando um intervalo [0, 4]

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se a função está definida num intervalo

[0, 4] existe um valor k entre V(0) e V(4) e c entre a e b tal que V(c) = k

Considerando o intervalo [0, 4] e k =2 temos , O volume da caixa é dado por V(x) =

x3 – 2x

2 +x que é uma função polinomial de grau 3, portanto é contínua em todos os

seus pontos.

Para x = c temos que V(c ) = c3 – 2c

2 + c . Mas como V(c ) = 2 temos que: c

3 – 2c

2

+ c =2, ou seja, c3 – 2c

2 + c – 2 = 0. Para determinar os valores de c, vamos fatorar o

polinômio c2(c -2) + (c-2) = (c – 2).(c

2+1) =0.Temos no intervalo fixado apenas uma

raiz real c = 2 e c = 2 pertence ao intervalo [0, 4]. V( 2) = 23- 2.2

2 +2 = 8 – 8 + 2 =

2, logo V(2) está entre V(0 ) e V(4 ).

Referências:

1) Fleming, Diva Marilia e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A – São Paulo: Person

Prentice Hall, 2006

2) Leithold, Louis – O Cálculo Com Geometria Analítica, 3ª Edição – São Paulo

Editora Harbra LTDA, 1994

3) Stewart, James. Cálculo vol. I, 5ª edição. Editora Pioneira

QUESTÃO Nº 9

Considere o sistema de equações lineares , com equações e incógnitas.

Supondo que a solução do sistema homogêneo correspondente seja única, avalie as

afirmações a seguir.

I. As colunas da matriz são linearmente dependentes.

II. O sistema de equações lineares tem infinitas soluções.

III. Se , então a matriz tem linhas que são combinações lineares de

linhas.

IV. A quantidade de equações do sistema é maior ou igual à quantidade de

incógnitas.

São corretas apenas as afirmações

A)

B)

C)

D)

E)

Gabarito: C


Conteúdo avaliado: Vetores linearmente dependentes e linearmente independentes,

sistemas lineares, produto de matrizes, posto e nulidade


Comentário:

Esta questão envolve teorias de sistemas lineares, com a caracterização de soluções

para estes, definições de vetores linearmente dependentes e independentes, de

produto de matrizes, posto e nulidade.

Para resolver esta questão é necessário conhecimento de sistemas lineares

homogêneos (matriz identicamente nula) e não homogêneos (matriz não

identicamente nula). Necessita-se do conhecimento sobre o comportamento das

soluções de tais sistemas e sobre a matriz dos coeficientes .

Para o julgamento da afirmação I é necessário relembrar a definição de vetores

linearmente dependentes ou linearmente independentes.

Definição:Dados , sendo um espaço vetorial sobre o corpo

escalar , este são ditos vetores linearmente dependentes se

∑

onde , é verificada para algum . Caso contrário são ditos linearmente

independentes.

Como por hipótese o sistema homogêneo correspondente tem única solução, a

trivial , para todo , obtem-se

∑

onde

∑

são as colunas da matriz , com , para todo . Então as colunas da

matriz são linearmente independentes. Mostrando assim que a afirmação I é falsa.

Para o julgamento da afirmação II basta observarmos o seguinte exemplo:

(

) (

) (

)

Neste caso, o sistema homogêneo correspondente tem única solução, que é a trivial

e o sistema também tem única solução, . Desta

forma observa-se que a afirmação II também é falsa.

Para o julgamento da afirmação III é necessário relembrar a definição de posto e

nulidade de uma matriz e um teorema que relaciona posto e caracterização de

soluções para um sistema. Que são:

Definição: Dada uma matriz , seja a matriz reduzida à forma escada

linha equivalente a . O posto de , denotado por , é o número de linhas não nulas

de . A nulidade de é o número .

Teorema:

i. Um sistema de equações e incógnitas admite solução se, e somente se o

posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.

ii. Se as duas matrizes têm o mesmo posto e , a solução será única.

iii. Se as duas matrizes têm o mesmo posto e , pode-se escolher

incógnitas, e as outras incógnitas serão dadas em função destas.

Neste caso verifica-se a veracidade da afirmação III.

Para o julgamento da afirmação IV é necessário relembrar a definição de produtos de

matrizes.

Definição: Só pode-se efetuar o produto de matrizes e se o número de

colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, .

Dessa forma, observa-se a veracidade da afirmação IV, pois caso contrário, se

não poder-se-ia realizar o produto .

Referências: 1) Boldrini, José Luiz, Costa, Sueli I. Rodrigues, Figueiredo, Vera Lúcia

e Wetzler, Henry G..Álgebra Linear – São Paulo: Harper &Row do Brasil, 1980.

2) Lang, Serge. Álgebra Linear- Rio de Janeiro.Ed. Ciência Moderna, 2003.

3) Lima, Elon Lages. Álgebra Linear – Rio de Janeiro. 5ª edição Coleção Matemática

Universitária, 2001.

QUESTÃO Nº 10

Sabe-se que, para todo número inteiro , tem-se

√

√

√

Nesse caso, se

√

então

A)

B)

C)

D)

E)

Gabarito: B

Tipo de questão: médio

Conteúdo avaliado: Limite, função contínua, Regra de L’Hospital e Teorema do

Confronto


Comentário:

Esta questão envolve o estudo de limites, utilizando-se de ferramentas como Regra de

L’Hospital e Teorema do Confronto.

Regra de L’Hospital: Se

tem uma forma indeterminada do tipo ⁄ ou ⁄ , então

Caso o último limite exista. Lembrando que o mesmo vale se for substituído por

, , ou .

Para resolver esta questão é necessário trabalhar a desigualdade fornecida no

enunciado,

√

√

√

Como , pode-se dividir tal expressão por obtendo-se

√

√

√

Agora basta estudar o comportamento dos limites das funções que compõe as

extremidades da expressão acima.

Para o estudo do limite

√

deve-se lembrar as propriedades de limite que garantem que limite do produto é o

produto do limite, se ambos existirem, e que se é uma função contínua então

Assim, como a função exponencial é contínua, obtém-se

√

⁄

⁄

Agora, via Regra de L’Hospital, tem-se o estudo do seguinte limite

⁄

Desta forma, obtém-se o estudo do limite

√

⁄

{

⁄ }

Donde, obtém-se

√

(

) (

√

) (

√

)

Teorema do Confronto:Sejam , e sequências de números reais tais que

Então

Aplicando-se o Teorema do Confronto obtém-se que

√

Donde chega-se ao resultado alternativa B.

Referências: 1) Fleming, Diva Marília e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A – São

Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de Cálculo Vol. I. Ed. L.T.C.

3) Stewart, James. Cálculo vol. I 5ª edição. Editora Pioneira.

QUESTÃO Nº 11

Considere os elementos e (

) e (

) pertencentes ao

grupo das permutações S3 .

Assinale a opção que representa

A ) (

)

B (

)

C (

)

D ) (

)

E (

)

Gabarito: B


Conteúdo avaliado: Grupos de Permutações-Permutação de um conjunto finito


Comentário:

Esta questão envolve conceitos básicos de álgebra abstrata, aplicando a teoria de

grupos de permutações e composições de funções sobre um conjunto finito.

Para resolver esta questão é necessário conhecimento básico de permutação de um

conjunto, cuja definição é a seguinte:

Definição: Seja A um conjunto não vazio. Chama-se Permutação de A toda função

bijetora f de A em A (f:A A).

Se o conjunto A é finito, toda função injetora ou sobrejetora f:A A é bijetora e,

portanto, f é uma permutação de A. Quando A={1, 2, 3,...,n}, uma permutação f de

A indica-se pela notação:

1 2 3

(1) (2) (3) ( )

nf

f f f f n

e neste caso dizemos que f pertence ao grupo das permutações Sn.

A operação de composição de duas permutação f e g em A={1, 2, 3,...,n} é definida

e denotada por:

1 2 3 1 2 3

(1) (2) (3) ( ) (1) (2) (3) ( )

1 2 3

( (1)) ( (2)) ( (3)) ( ( ))

n nfg

f f f f n g g g g n

n

f g f g f g f g n

Na questão proposta, temos que, e são permutações de A={1, 2, 3} e portanto

pertencem ao grupo S3 , cuja composição é dada por:

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 3 2 3 2 1 2 3 1

Segue-se que a alternativa correta é a B.

Referências:

1)Alencar Filho, Edgar. Elementos de Álgebra Abstrata – São Paulo: Nobel, 1978.

2) Domingues, Hygino H., Iezzi, Gelson. Álgebra Moderna- São Paulo, 4ª Edição,

Editora Saraiva, 2003.

3) Garcia, Arnaldo. Álgebra:um curso de introdução, Rio de Janeiro, Instituto de

Matemática Pura e Aplicada,1988, Projeto Euclides.

QUESTÃO Nº 12

O matemático grego Hipócrates de Chios (470 a. C. – 410 a. C.) é

conhecido como um excelente geômetra. Ele calculou a área de várias

regiões do plano conhecidas como lúnulas, que são limitadas por arcos de

circunferência, com centros e raios diferentes. As figuras I e II a seguir

mostram, respectivamente, as lúnulas L1 e L2, limitadas por um arco de

circunferência de centro O e raio r e por semicircunferências cujos

diâmetros são o lado de um hexágono regular e o lado de um quadrado

inscritos na circunferência de raio r e centro O.

Considerando r um número racional, avalie as asserções a seguir. A razão

entre as áreas A1 e A2 das lúnulas L1 e L2 é um número racional.

PORQUE

A1 e A2 podem ser respectivamente, representadas por e ,

em que q1 e q2 são números racionais. A respeito dessas asserções,

assinale a opção correta.

A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma

justificativa correta da primeira.

B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é

Gabarito: E


uma justificativa da primeira.

C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma

proposição falsa.

D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma

proposição verdadeira.

E) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Conteúdo avaliado: Geometria Plana, especificamente cálculo de áreas

planas (áreas do triângulo, setor circular e segmento circular) e

conhecimentos de números reais.


Comentário: Esta questão envolve cálculo de áreas planas e conhecimentos

sobre números racionais e irracionais, uma vez que o raio r é considerado

um número racional e as asserções: “A razão entre as áreas das

lúnulas é um número racional” PORQUE “ podem ser,

respectivamente, representadas por em que são

números racionais”.

Para resolver esta questão e confirmar a resposta correta, foram

utilizados os seguintes procedimentos:

CÁLCULO DE (área da Lúnula ): considere o lado do hexágono

regular inscrito no círculo (circunferência) de raio r e seja o

comprimento do arco do círculo correspondente ao lado do hexágono

regular. Assim, e

Portanto, onde: metade da área do disco de raio

e centro no ponto médio do lado relativo à lúnula , e =

área do segmento circular formado pelo arco do círculo correspondente ao

lado e pelo próprio lado

Desta forma, área do setor circular correspondente ao ângulo

, lados iguais a r e limitado pelo arco de comprimento igual a

menos a área do triângulo eqüilátero de lado igual a r, ou seja:

(

)

,

√

√

, onde

√

é a área do triângulo eqüilátero de

lado r.

Assim,

(

√

) =

√

√

√

( √ )

Desta maneira,

( √ ) não é um número racional (é

irracional), pois √ é irracional, e as alternativas (A), (B) e (C) já

são descartadas, são falsas.

CÁLCULO DE (área da Lúnula ): considere o lado do quadrado e

o comprimento do arco do círculo de raio igual a r correspondente ao

lado . Assim, √ e

. Portanto,

onde: = metade da área do disco de raio

e centro no ponto

médio do lado do quadrado e relativo à lúnula e área do

segmento circular formado pelo arco do círculo correspondente ao lado e

pelo próprio lado

Desta maneira, área do setor circular correspondente ao ângulo

, lados iguais a r e limitado pelo arco de círculo de

comprimento igual a menos a área do triângulo retângulo de catetos

iguais a e hipotenusa igual a ou seja,

(

)

( √ )

,

,

onde

é a área do triângulo retângulo acima

mencionado.

Portanto,

. Desta forma, o valor da área será:

representa

um número racional, mas Logo, a alternativa (D) também é

falsa.

Conclusão: a razão

também não representa número racional, uma

vez que é irracional e racional. A primeira quanto a segunda

asserções são falsas, e a alternativa correta é (E).

Referências: 1) Barbosa, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Coleção

do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática.

2) Marcondes, Oswaldo. GEOMETRIA. Editora do Brasil S/A. São Paulo, 1964.

QUESTÃO Nº 13

O conjunto dos números complexos pode ser representado geometricamente no

plano cartesiano de coordenadas xOy por meio da seguinte identificação: z = x+yi

P =(x,y). Nesse contexto, analise as afirmações a seguir.

I. As soluções da equação z4 = 1 são vértices de um quadrado de lado 1.

II. A representação geométrica dos números complexos z tais que | | é uma

circunferência com centro na origem e raio.

III. A representação geométrica dos números complexos z tais que Re(z) + Im(z) =1

é uma reta que tem coeficiente angular igual

a radianos.

É correto o que se afirma em

A) I, apenas.

B) II, apenas.

C) I e III, apenas.

D) II e III, apenas.

E) I, II e III.

Gabarito: B.

Tipo de questão: fácil

Conteúdo avaliado: Números Complexos


Comentário: A questão explora a representação geométrica dos números complexos,

relacionando álgebra e geometria em diversas situações básicas encontradas nos

livros didáticos. Para resolvê-la o aluno precisa saber conceitos básicos de módulo de

número complexos, parte real e imaginária e como calcular raízes de números

complexos. Também poderá utilizar o teorema fundamental da álgebra que nos diz

que um polinômio de grau n possui n raízes no conjuntos dos números complexos.

O item I é sobre as soluções da equação z4 = 1 e suas representações no plano

Argand-Gauss, objetivando verificar se são vértices de um quadrado de lado 1. Pelo

teorema citado, teremos quatro raízes complexas que podem ser obtidas pela fórmula

de De Moivre:

√

)

, k=0,1,2,...n-1.

No caso, devemos calcular as quatro raízes do número complexo 1. Assim, teremos:

√

)

, k=0,1,2,3,4.

Calculando cada uma das raízes teremos:

)

= cos(0) + i sen(0) = 1

)

= cos

+ i sen

= i.

)

= cos + i sen = -1

)

=cos(

) + i sen(

) = -i.

Representando-os no plano complexo, obtemos o polígono que é um quadrado de

lado √ , uma vez que cada medida dos ângulos internos mede 900, que podem ser

calculados utilizando as funções trigonométricas elementares. Também podemos

utilizar o teorema de Pitágoras, do seguinte modo, constatamos que o segmento wt

mede 2 unidades, cada lado mede √ , assim, pela recíproca do teorema de Pitágoras,

constatamos que em z há um ângulo de 900. Repetindo-se este argumento para os

outros triângulos chegamos à mesma conclusão. Portanto este item é falso.

O item II é sobre a representação geométrica dos números complexos z tais que

| | Esse conjunto de ponto é de fato uma circunferência com centro na origem e

raio. Para ver isso, basta aplicar a definição de módulo de um número complexo

| | √ =1, elevando ao quadrado, obtemos: , que é a

circunferência de centro na origem e raio 1. Portanto este item é verdadeiro.

O item III é sobre a representação geométrica dos números complexos z tais que

Re(z) + Im(z) =1. A equação equivale a x+y=1, ou y = -x +1, que é uma reta que tem

coeficiente angular m = -1 e não igual

a radianos. Portanto este item é falso.

Assim, não há gabarito para esta questão.

QUESTÃO Nº 14

Em um plano de coordenadas cartesianas , representa-se uma praça de área P,

que possui em seu interior um lago de área L, limitado por uma curva C fechada,

suave, orientada no sentido contrário aos ponteiros de um relógio. Considere que,

sobre o lago, atua um campo de forças . Supondo que T

representa o trabalho realizado por para mover uma partícula uma vez ao

longo da curva C e que, comparando-se apenas os valores numéricos das grandezas, a

área não ocupada pelo lago é igual a

, conclui-se que

A)

B)

C)

D)

E)

Gabarito: A.

Tipo de questão: média.

Conteúdo avaliado: Campos Vetoriais, Integrais de Linhas e o Teorema de Green no

Plano.

Autor(a): Leonardo Antônio Souto.

Comentário:

A questão exige do aluno conhecimento básicos de campos vetoriais e integrais de

linha. Além disso, o aluno precisa conhecer o Teorema de Green e aplicá-lo na

resolução da questão.

Definição 1. Seja F uma função com valores vetoriais definida numa região R em

tal que . Então F associa cada ponto da região R a

um vetor, sendo F chamado de campo vetorial.

Exemplo 1: define o campo vetorial sobre que é

tangente a circunferência de centro na origem e raio | |.

Exemplo 2: O gradiente de uma função escalar é um campo vetorial. Se for um

campo escalar e F for o campo vetorial gradiente de , isto é, , então F será

chamado campo vetorial gradiente e ф será chamada função potencial de F.

é chamado campo vetorial conservativo de F.

Definição 2: Seja C curva contida em uma bola do com equação vetorial :

, C é chamada curva suave se forem

contínuas no intervalo e que ambas as derivadas não sejam nulas em cada

ponto de . Se um intervalo I puder ser dividido em um número finito de

subintervalos nos quais C é suave, então C será chamada de suave por partes em I.

Definição 3: Seja C uma curva suave do com equação vetorial :

. Considere o Campo de forças , onde

M e N são funções contínuas. O trabalho realizado por F para deslocar uma partícula

ao longo de C de (f(a),g(a)) até (f(b),g(b)), é definido por

∫

∫

Definição 4: Seja C uma curva suave do com equação vetorial :

. Considere o Campo de forças , onde

M e N são funções contínuas. A integral de linha de F, ao longo de C, que denotamos

por ∮

é definida por

∮

∫

sempre que a integral a direita existe.

Para a integral de linha é comum utilizamos a notação

∮

∮

Agora iremos enunciar o Teorema que expressa uma integral de linha ao longo de

uma curva fechada no plano como uma integral dupla sobre a região limitada por essa

curva, que é chamado Teorema de Green. Antes de enunciar o Teorema, iremos

introduzir algumas definições referentes à curva plana.

Definição 5: Seja C uma curva com equação vetorial : ,

A curva C é fechada se o ponto inicial A (f(a), g(a)) e o ponto final

B(f(b),g(b)) coincidem.

Definição 6: Uma curva C é chamada simples, caso ela não se intercepte. Isto é, se

uma equação vetorial de C for e se A for o ponto inicial (f(a),

g(a)) e B o ponto final (f(b(,g(b)), então C será simples entre A e B se

não for o mesmo ponto que ( ) distintos no intervalo (a,b).

Teorema de Green.

Seja C uma curva fechada simples, suave por partes, orientada no sentido anti-

horário, e R a região fechada delimitada por C. Se é

um campo vetorial, onde M e N são funções de duas variáveis com derivadas parciais

de 1º ordem contínuas em uma bola aberta B que contém R, então

∮ ∬(

)

Para resolver o exercício, temos que o trabalho realizado por F para mover uma

partícula ao longo de uma curva C é dado pela integral de linha

∮

∮

Como , as funções

e possuem derivadas parciais de 1º ordem contínuas. Por

hipótese a curva C é suave, fechada, orientada com sentido positivo e

simples. Portanto, podemos utilizar o Teorema de Green.

∮

∮ ∬

∬

∬ ∬ ∬

Nós usamos o fato que a integral dupla ∬

é igual a área da região L.

Portanto

. Como a área da praça é P e a área complementar do lago é

Logo temos:

Logo a alternativa correta é A.

Referências:

1. FLEMMING, Diva M; GONÇALVES, Mirian B. Cálculo A. São Paulo:

Makron Book, 2006.

2. LEITHOLD, Louis, Cálculo com Geometria Analítica, vol. II. São Paulo:

Harba, 2002.

QUESTÃO Nº 15

Para tentar liquidar o estoque de televisores cujo valor oferecido no crédito, após

acréscimo de 20% sobre o valor da tabela, era de R$ 1 320,00, uma loja lançou uma

nova campanha de vendas que ofereceu as seguintes condições promocionais, com

base no valor da tabela:

I. uma entrada de 25%, e o restante em cinco parcelas iguais mensais; ou

II. uma entrada de 60%, e o restante em oito parcelas iguais mensais.

O cliente que comprar o televisor nessa promoção pagará em cada parcela

A R$ 55,00, se escolher a opção II.

B R$ 66,00, se escolher a opção I.

C R$ 192,50, se escolher a opção II.

D R$ 198,00, se escolher a opção II.

E R$ 275,00, se escolher a opção I.

Gabarito: A

Tipo de questão: Fácil. Exige apenas a aplicação de porcentagens e operações de

adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais.

Conteúdo avaliado: matemática financeira (porcentagens).


Comentário:

A questão aborda um problema simples de matemática financeira. O estudo inicial do

tópico “porcentagem” ocorre no ensino fundamental, dentro do tema “grandezas

proporcionais”. Neste momento são introduzidas algumas ferramentas básicas

utilizadas no mercado, que sem dúvida auxiliam na tomada de decisões. As

porcentagens e parcelamentos aparecem com frequência em anúncios de promoções.

É de suma importância que um cidadão saiba aplicar porcentagens para que possa

tomar decisões e estabelecer uma melhor negociação para aquisição de bens. A

solução será dada utilizando conteúdo básico.

Foi dado no problema que o valor oferecido no crédito para os televisores é de R$

1320,00, o que corresponde ao valor de tabela, que é desconhecido e será

representado por x, com acréscimo de 20%. As condições das vendas para liquidar o

estoque são feitas tomando como base o valor da tabela (x), que deve ser calculado.

Inicialmente calcula-se o valor da tabela (x), que é uma das incógnitas do problema,

através da seguinte equação x+ acréscimo de 20% =1320.

Desenvolvendo o lado esquerdo da equação x+ acréscimo de 20% = x + 0,20. x =

x(1+0,20).

Pode-se escrever, então, que 1,20x = 1320 e tem-se que x = 1320/1,2 = 1100

Portanto, o valor da tabela é de R$ 1100,00.

As condições promocionais foram dadas em função do valor de tabela (x) que é de

R$ 1100,00. Avaliam-se, em seguida, as duas condições promocionais:

I) 25% da entrada e 5 parcelas iguais

Entrada

Calcular 25% de 1100 = 0,25. 1100 = R$ 275,00.

Valor das parcelas (5 parcelas iguais).

(x – Entrada)/5 = (1100 – 275)/5= R$ 165,00

Pode-se, ainda, calcular 75% de 1100 (valor a ser parcelado) e, em seguida,

dividir o valor por 5, para se obter o valor de cada parcela.

75% de 1100 = 825 (valor a ser parcelado)

825/5 = R$ 165 (valor de cada parcela).

II) 60% da entrada e 8 parcelas iguais

Entrada

Calcular 60% de 1100 = 0,60. 1100 = R$ 660,00.

Valor das parcelas (8 parcelas iguais).

(x – Entrada)/5 = (1100 – 660)/8= R$ 55,00

Pode-se, ainda, calcular 40% de 1100 (valor a ser parcelado) e, em seguida,

dividir o valor por 8, para se obter o valor de cada parcela.

40% de 1100 = 440 (valor a ser parcelado)

440/8 = R$ 55 (valor de cada parcela).

Concluindo, o cliente que comprar o televisor nessa promoção pagará em cada

parcela: R$ 165,00, se escolher a opção I e R$ 55,00, se escolher a opção II.

A Resposta correta é A (R$ 55,00, se escolher a opção II).

Referências:

Degenszajn, D.; Hazzan, S.; Iezzi, G. Fundamentos de Matemática Elementar Atual

Editora. Vol. 11 - 2ª Ed. 2013.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio.; Coleção Matemática e

Realidade. São Paulo: Atual Editora, 2009.

IEZZI, Gelson et al.; Coleção Matemática: ciência e aplicações. São Paulo:

Saraiva, 2010.

QUESTÃO Nº 16

Suponha que um instituto de pesquisa de opinião pública realizou um trabalho de

modelagem matemática para mostrar a evolução das intenções de voto nas

campanhas dos candidatos Paulo e Márcia a governador de um Estado, durante 36

quinzenas. Os polinômios que representam, em porcentagem, a intenção dos votos

dos eleitores de Paulo e Márcia na quinzena x são, respectivamente, P(x) = -0,006x2

+ 0,8x + 14 e M(x) = 0,004x2 + 0,9x + 8, em que 0 ≤ x ≤ 36 representa a quinzena,

P(x) e M(x) são dados em porcentagens. De acordo com as pesquisas realizadas, a

ordem de preferência nas intenções de voto em Paulo e Márcia sofreram alterações na

quinzena

A) 6.

B) 12.

C) 20.

D) 22.

E) 30.

Gabarito: Resposta correta: C


Conteúdo avaliado: Função Quadrática

Autor(a): Rosimeyre Gomes da Silva Merib

Comentário:

O ensino da matemática via resolução de problemas é uma estratégia

didática/metodológica importante para o desenvolvimento intelectual do estudante e

para a aprendizagem da matemática, facilitando a contextualização da realidade. Neste

sentido para resolução desta questão é interessante que o estudante conheça do que

trata a modelagem matemática, todavia ele poderia resolvê-la mesmo sem o domínio

deste conceito. Neste contexto, espera-se que o estudante saiba que muitos dos

fenômenos do nosso cotidiano podem ser descritos utilizando-se das funções, em

especial, a quadrática. Consideremos então que o aluno tenha domínio sobre equações

e funções do 2º grau, representação, construção e análise de gráficos das funções

quadráticas como requisito básico para resolução deste item. Segundo o enunciado,

dizer que a ordem de preferência nas intenções de votos sofreu alterações é dizer, por

exemplo, que o segundo (ou o primeiro colocado) mudou de posição. Isto pode

acontecer também com um empate. Realizando uma leitura geométrica das funções

quadráticas, saberemos que o ponto de intersecção entre os dois gráficos (parábolas)

determinará a semana em que irá acontecer o empate. Assim sendo, para as funções

P(x)=-0,006x2 + 0,8x + 14 e M(x) = 0,004x

2 + 0,9x + 8, é importante saber que ao

construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

É importante considerar que toda função quadrática corta o eixo y no ponto de

coordenada (0,y). Substituindo esta informação nas duas funções dadas notamos que

P(0) = -0,006.02+0,8.0+14=14 e M(0) = 0,004.0

2 + 0,9.0 +8=8, isto é, P corta o eixo

y em (0, 14) e M corta o eixo y em (0, 8). Outra informação que o aluno deverá usar é

que P é côncava para baixo enquanto M é côncava para cima, isto indica que

inicialmente, x =0, o candidato Paulo começa com vantagem contando com 14% das

intenções e Maria na desvantagem com 8% das intenções de voto. Assim, existirá um

momento em que elas se encontrarão e que a partir desse momento as intenções de

voto se alternam. Nota-se então, a impossibilidade dos candidatos continuarem

empatados nas semanas posteriores, mostrando que as posições mudarão a partir do

empate. Algebricamente chegaremos à seguinte solução:

P(x) = M(x), ou seja, -0,006x2 + 0,8x + 14 = 0,04x

2 + 0,9x + 8. Igualando a zero e

realizando as devidas operações teremos: -0,01x2 – 0,1x + 6 = 0. É interessante

multiplicarmos a equação por (-100) para termos cálculos mais breves: x2 + 10x –

600 = 0. Utilizando a fórmula de Bháskara: √

, ou seja:

√

x’ = -30 ( Não serve como solução pois 0 ≤x≤ 36). Assim: x” = 20 é a solução

procurada. Geometricamente esta questão pode ser resolvida com a construção dos

gráficos das funções P(x) e M(x) no mesmo plano cartesiano:

Logo, na vigésima semana teremos a referida alteração.

Resposta correta: C

Esta questão é considerada fácil por se tratar de um conteúdo trabalhado tanto

no ensino fundamental quanto no ensino médio.

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Livro do aluno. São Paulo: Ática, 2004. V.1.

PAIVA, Manuel Rodrigues. Matemática. São Paulo: Moderna, 1955.

Questão 17

Considere a função IRIRf : definida por 45)( 24 xxxf , para cada .IRx

A área da região limitada pelo gráfico da função )(xfy , o eixo x0 e as retas

0x e 2x é igual a

A. 15

16 unidades de área.

B. 15


C. 15


D. 15


E. 15

76 unidades de área

Gabarito: D


Conteúdo avaliado: Gráficos de funções; Conceito de área e Integral de função de

uma variável


A área região solicitada no exercício é limitada pela função 45)( 24 xxxfy

e pelas retas 0x e 2x

Para resolver está questão é necessário conhecer o gráfico da função para visualizar a

região correspondente à área que deve ser calculada.

Para isso é importante determinar as interseções com os eixos coordenados fazendo:

1) x = 0 temos y = 4

2) y = 0

Como é um caso particular de equação do quarto grau, fazemos uma mudança de

variável 2xz e transformamos a 045 24 xx na equação de segundo grau

0452 zz , encontrando

x = - 2, x = -1, x = 1 e x = 2

Após encontrar as interseções temos no intervalo de [0,2] os pontos : (0, 4), (1,0)

e (2, 0). Para representar o gráfico achamos necessário encontra mais um ponto

entre (1, 0) e (2, 0) fazendo 2

3x .Assim encontramos o ponto

16

35,

2

3

Para calcular a área dividimos a região, Sendo a primeira região representada pela

integral dxxxAR )45( 2

1

0

4

1 =

0

14

3

5

5

35

x

xx=

15

38

A segunda região representada pela integral dxxxAR )45( 2

2

1

4

2 =

1

24

3

5

5

35

x

xx =

15

22

A área da região pedida será 21 RRR AAA =

15

60

15

22

15

38 em unidades de

área mostrando que letra D é a correta

Referências:

1) Fleming, Diva Marilia e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A – São Paulo: Person

Prentice Hall, 2006

2) Leithold, Louis – O Cálculo Com Geometria Analítica, 3ª Edição – São Paulo

Editora Harbra LTDA, 1994

3) Stewart, James. Cálculo vol. I, 5ª edição. Editora Pioneira

Questão 18

Duas grandezas x e y são ditas comensuráveis se existe um número racional q tal

que a medida de x é igual a q vezes a medida de y.

Com base nesse conceito, são grandezas comensuráveis

A)a aresta de um cubo de volume V e a aresta de um cubo de volume 2V.

B) a área e o perímetro de um círculo, quando o raio é um número racional.

C) a área e o diâmetro de um círculo, quando o raio é um número racional.

D)o comprimento e o diâmetro de uma circunferência .

E)a diagonal de um quadrado.

Gabarito: B


Conteúdo avaliado: conceito de medida, medidas de áreas, medidas de volume,

perímetro de figuras planas e números racionais


Vamos apresentar as soluções de dois itens, para melhor compreender a definição. A

resolução será realizada usando apenas a definição.

Pela definição apresentada temos que x e y são grandezas comensuráveis se x = q.y

ou qy

x

A. Seja x a aresta de um cubo de volume V. Então V = x3 neste caso

3 Vx

Seja y a aresta de um cubo de volume 2V. Então 2V= y3 neste caso

333 .22 VVy .

333

3

2

1

.2

V

V

y

x e temos que yx

3 2

1

No entanto 3 2

1não é um número racional, por isso não são grandezas

comensuráveis.

B. Considerando X = Ac a área do círculo y = Pc o perímetro do círculo

Ac = 2.r Pc = r.2

2.2

. 2 r

r

r

y

x

e temos que y

rx

2

Como r é um número racional, 2

r também é um número racional. Logo são grandezas

comensuráveis. E solução é a letra B.

QUESTÃO Nº 19

Sob certas condições, o número de colônias de bactérias, t horas após ser preparada a

cultura, é dada pela função O tempo mínimo necessário

para esse número ultrapassar 6 colônias é de

A) 1 hora.

B) 2 horas.

C) 3 horas.

D) 4 horas.

E) 6 horas.

Gabarito: A


Conteúdo avaliado: função exponencial e função quadrática


Comentário: A questão é uma aplicação de funções. Para resolvê-la o aluno precisa

estabelecer a desigualdade . O que implica

resolver uma inequação do segundo grau pela transformação:

e fazendo z = , obtendo z2 . Calculando as raízes obtemos: z = 3 ou z

= -1. O gráfico abaixo indica que a solução procurada se dá a partir do momento em z

, ou , o que nos dá t Assim, o menor valor para o qual

é t

Referências:

IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar – geometria analítica. São

Paulo: Atual, 1993.

LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol. 1 e 2, São Paulo: Harbra &

Row do Brasil, 1977.

QUESTÃO Nº 20

Considerando a, b e c pertencentes ao conjunto dos números naturais e representando

por a|b a relação “a divide b”, analise as proposições abaixo.

I. Se a|(b + c), então a|b ou a|c.

II. Se a|bc e mdc(a,b) = 1, então a|c.

III. Se a não é primo e a|bc, então a|b ou a|c.

IV. Se a|b e mdc(b,c) = 1, então mdc(a,c) = 1.

É correto apenas o que se afirma em

A ) I.

B) II.

C) I e III.

D) II e IV.

E) III e IV.

Gabarito: D

Tipo de questão: média.

Conteúdo avaliado: Teoria dos números – Divisibilidades no conjunto dos números

naturais e suas propriedades.


Comentário:

Esta questão envolve conceitos básicos de teoria dos números, aplicando a definição

da divisão exata de números naturais, as propriedades dos números primos na divisão

e as propriedades do máximo divisor comum (MDC).

Definição 1: Diz-se que um número natural a é divisor do número natural b ou que o

número natural b é divisível por a se é possível encontrar um número natural q tal que

aq=b.

Definição 2: Dizemos que uma número natural p( p diferente de 1) é primo, se os

seus únicos divisores naturais são 1 e ele mesmo.

Definição 3 : Dizemos que dois números naturais a e b são primos entre si, se o maior

divisor comum de a e b é 1, ou seja, a e b são primos entre si, se e somente se o

mdc(a,b)=1.

Propriedade: O mdc(a,b)=1 se e somente se existem inteiros x,y tais que ax+by=1.

Para verificar se uma proposição é falsa, basta dar um contra-exemplo, neste caso é

fácil mostrar que as proposições I e III são falsas, pois:

a) 7|(8+6) mas 7 não divide 8 e 7 não divide 6, portanto a proposição I é falsa;

b) O número 4 não é primo, pois 4=2.2 e 4|(2.6), mas 4 não divide 2 e 4 não

divide 6, portanto a proposição III também é falsa.

Para demonstrarmos que as proposições II e IV são verdadeiras, usaremos a seguinte

propriedade:

P1: O mdc(a,b)=1 se e somente se existem inteiros x,y tais que ax+by=1..

Logo com a|bc e mdc(a,b) =1 então, existem x e y tais que ax+by=1(1). Multiplicando

a equação (1) por c, obtemos, acx+bcy=c (2). Como a|bc, temos que existe um

número natural q tal que aq=bc, logo (2) pode ser reescrita na forma:

acx+aqy=a(cx+qy)=c, ou seja c é um múltiplo de a e portanto a|c, conseqüentemente

a proposição II é verdadeira. Da mesma forma, se o mdc(b,c)=1, então existem

inteiros x e y tais que, bx+cy=1 (3), além disso, se a|b então existe um inteiro q, tal

que aq=b (4). Substituindo (4) em (3) obtemos, a(qx)+ cy=1 e portanto pela

propriedade P1, o mdc(a,c)=1e proposição IV é verdadeira.

Desta forma temos que. as proposições I e III são falsas e as proposições II e IV são

verdadeiras, e portanto a alternativa correta é a D.

Referências:

1)Alencar Filho, Edgar. Elementos de Álgebra Abstrata – São Paulo: Nobel, 1978.

2) Domingues, Hygino H., Iezzi, Gelson. Álgebra Moderna- São Paulo, 4ª Edição,

Editora Saraiva, 2003.

QUESTÃO Nº 21

Os analistas financeiros de uma empresa chegaram a um modelo matemático que

permite calcular a arrecadação mensal da empresa ao longo de 24 meses, por meio da

função

Em que é o tempo, em meses, e a arrecadação é dada em milhões

de reais. A arrecadação da empresa começou a decrescer e, depois, retomou o

crescimento, respectivamente, a partir dos meses

e

e

e

e

e

Gabarito: D


Conteúdo avaliado: Derivadas de funções de uma variável real.

Autor(a): Sérgio Reis Fernandes

Comentário:

Esta questão envolve funções de grau 2 e funções de grau 3, ea análise do

comportamento destas funções num intervalo real.

Para resolver esta questão é necessário conhecimento de propriedades do Cálculo

Integral e Diferencial I, tais como: conceito de uma função crescente e decrescente,

regras de derivação de funções de uma variável real, teorema relativo ao crescimento

de uma função.

Uma função definida num intervalo é crescente em , quando para

, sendo e pontos desse intervalo . Uma função definida num

intervalo é decrescente em , quando para , sendo e

pontos desse intervalo . Para determinar os intervalos onde uma função é crescente

ou decrescente, usa-se o seguinte teorema:

Seja uma função contínua em um intervalo fechado e diferenciável no intervalo

aberto .

I. Se para todo valor de em , então é crescente em

II. Se para todo valor de em , então é decrescente em

Para identificar onde a arrecadação da empresa é decrescente e crescente, é

necessário obter a derivada da função , que é uma função polinomial do terceiro

grau, portanto será usada a regra de derivação de uma potência. Logo,

Como a função está definida para , temos que para

implica que e . Para temos

, daí é crescente nos intervalos , e

decrescente no intervalo

Geometricamente, como é uma função quadrática com o coeficiente de é

positivo, sabemos que o gráfico de é uma parábola com concavidade voltada

para cima,

Neste caso, o sinal de é: Positiva nos intervalos , e negativa

nos intervalos . Portanto a arrecadação da empresa começou a decrescer a

partir do mês 9 e voltou a crescer no mês 13 no período de 0 a 24 meses, conclui-se

que a alternativa correta é a D.



2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de cálulo Vol. I. Ed. L.T.C.


QUESTÃO Nº 22

Considere , em que e são funções reais

quaisque, deriváveis até a segunda ordem, com para todo e . Nesse caso,

é igual a

A)

B)

C)

D)

E)

Gabarito: E

Tipo de questão: Fácil

Conteúdo avaliado: Derivadas Sucessivas e Regra da Cadeia


Comentário:

Esta questão envolve os conceitos de derivada da composição de funções de duas

variáveis com funções de uma única variável real, juntamente com a definição de

derivadas sucessivas. Para resolver esta questão é necessário o conhecimento de

Regra da Cadeia, para a derivação de composição de funções e também de derivação

de segunda ordem.

Sendo , dada por e , dada por

, tem-se que , é dada por

. Aplicando-se a Regra da Cadeia para estas composições

obtém-se que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Agora pela teoria das derivadas sucessivas tem-se que

e

. Logo combinando esse fato com a Regra da Cadeia obtém-se

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Como tem-se, por hipótese, que , para todo e , obtem-se que

( ) ( )

( ) ( )

O que confere resposta letra B.

Referências: 1) Fleming, Diva Marília e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo B – São


2)Guidorizzi, Hamilton Luis. Um Curso de Cálculo Vol. II. Ed. L.T.C.

3) Stewart, James. Cálculo vol. II 5ª edição. Editora Pioneira.

QUESTÃO Nº 23

Catedral Metropolitana de Brasília

A construção da Catedral, projeto do arquiteto Oscar Niemeyer, teve início em 12 de

agosto de 1958, em plena construção da nova capital. Em 1959, mesmo antes da

inauguração de Brasília (1960), a sua forma estrutural (pilares de concreto armado, na

forma de um hiperbolóide de revolução) já estava pronta. O fechamento lateral entre

os pilares só ocorreu em 1967, pouco antes de sua consagração, em 12 de outubro do

mesmo ano, ocasião em que recebeu a imagem de Nossa Senhora Aparecida. De 1969

a 1970, o complexo foi concluído com o espelho d´água ao redor da Catedral, o

batistério e o campanário.

PORTO, C. E. Um estudo comparativo da forma estrutural de dois monumentos

religiosos em Brasília: A Catedral e o Estupa Tibetano. Disponível em:

<www.skyscraperlife.com/arquitetura-e-discussoes-urbanas/22122-obrasde-oscar-

niemeyer.html>. Acesso em 30 ago. 2011.

Nesse contexto, considere na figura abaixo os elementos principais da hipérbole

associada aos arcos hiperbólicos da Catedral Metropolitana de Brasília.

Supondo que o eixo real (ou eixo transverso) da hipérbole na figura II mede 30 m e

que a distância focal mede 50 m, analise as seguintes asserções.

Se F1=(-c,0) é o foco da hipérbole, então a diretriz associada a ela é a reta d1: x+9=0

.

PORQUE

A equação reduzida dessa hipérbole é

.

A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa

correta da primeira.

B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma

justificativa da primeira.

C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição

falsa.

D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição

verdadeira.


Gabarito: A


Conteúdo avaliado: Geometria Analítica, especificamente, cônica e quádricas

(hipérbole e hiperbolóide)

Autor(a):Valdemar Pereira Lopes

Comentário: a questão traz um breve histórico sobre o projeto e a construção da Catedral Metropolitana de

Brasília, projeto estampado na figura I e de autoria do arquiteto Oscar Niemeyer. A figura II mostra os principais

elementos da hipérbole associada aos arcos hiperbólicos da Catedral Metropolitana de Brasília.

Para resolver esta questão e confirmar a resposta correta, foram utilizados os seguintes procedimentos:

sendo o eixo transverso (ou eixo real) da hipérbole indicado por e a distância focal por então, e

Daí, e . Sabendo-se que para a hipérbole vale a relação então,

.

Para a hipérbole indicada na figura II, a equação correspondente a ser utilizada é:

.

O centro da hipérbole é o ponto , ou seja, é a origem dos eixos coordenados cartesianos. Assim,

a equação da hipérbole toma a forma

ou

. Desta forma, a segunda asserção

é verdadeira.

O vértice da hipérbole é o ponto

O foco correspondente é o ponto .

Sendo a reta diretriz correspondente ao foco , temos, por definição de

hipérbole, que é uma cônica, que:

onde: é um ponto genérico da hipérbole, é um dos

focos, é um ponto da diretriz tal que é a distância medida do ponto P considerado à diretriz e

é a excentricidade da hipérbole. No caso em estudo,

.

Tomando o ponto coincidindo com o vértice ou seja, fazendo e usando a definição

de hipérbole, temos que

onde é o ponto de interseção da diretriz com o eixo transverso

(ou com o eixo de simetria da hipérbole), que se acha sobre o eixo dos x (abscissas).

Assim, – e | | | |.

Logo,

| |

| | | | | |

| | , uma vez que Portanto, a diretriz correspondente ao foco é a reta

e a primeira asserção é verdadeira.

CONCLUSÃO: as duas asserções são verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

Logo, (A) é a alternativa correta.

Referências: 1) Winterle, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo.

Pearson Makron Books, 2000. 2) LEITHOLD, Louis. “O Cálculo com Geometria

Analítica, volumes I e II.” Editora Harbra. São Paulo. 1982.

QUESTÃO Nº 24

Um instrumento de desenho é constituído de três hastes rígidas AB, AC e BD,

articuladas no ponto A, mas fixas em B. A figura a seguir é um esquema desse

instrumento, em que as hastes foram substituídas por segmentos de reta.

Na extremidade C, foi colocado um grafite que permite desenhar, sobre uma folha

de papel, uma curva γ ao se girar AC em torno de A, mantendo-se fixos AB e BD,

que são lados do ângulo α. Nessa situação, qualquer que seja o ângulo agudo α, a

curva γ interceptará a semirreta de origem B e que passa por D em

A) dois pontos E e F distintos, e os triângulos BAE e BAF são congruentes.

B) dois pontos E e F distintos, e os triângulos BAE e BAF são semelhantes, mas

não congruentes.

C) um único ponto se, e somente se,

.

D) D um único ponto se, e somente se,

.

E) E nenhum ponto se, e somente se,

.

Gabarito: E

Tipo de questão: difícil

Conteúdo avaliado: Geometria Plana, Desenho Geométrico e Trigonometria

Autor: Valdemar Pereira Lopes

Comentário: A questão em pauta torna-se um tanto confusa desde que na sua

resolução não se leve em conta e interprete corretamente a expressão “se, e somente

se”, e também não percebendo que AB e BD são mantidos fixos, lados do ângulo

Para resolver esta questão e confirmar a resposta correta, utilizamos os seguintes

procedimentos:

1). a curva y descrita ao girar a haste , em torno de A, interceptará a semirreta de

origem B contendo D em dois pontos distintos, E e F,se, e somente se, a medida

de for maior do que a distância do ponto C à referida semirreta e, ainda,

Neste caso, o triângulo AEF é isósceles e os triângulos BAE e BAF

não são congruentes, uma vez que e, portanto, (ao

maior ângulo opõe-se o maior lado). No caso contrário, ou seja, se a medida da haste

for maior do que a distância do ponto C à semirreta de origem B contendo D,

então a curva y interceptará a mencionada semirreta em dois pontos distintos, E e F.

Como os triângulos BAE e BAF não são congruentes, então a alternativa (A) é

falsa.

2).Usando o mesmo raciocínio utilizado em 1), conclui-se que os triângulos BAE e

BAF não são congruentes e nem semelhantes, uma vez que dois triângulos são

semelhantes quando tem, respectivamente:

(a) os três ângulos congruentes

(b) os três lados proporcionais.

Como (ângulo comum), ,

então os triângulos BAE e BAF não são semelhantes e nem congruentes. Logo, a

alternativa (B) é falsa.

3). Se a medida da haste é igual a distância de A até a semirreta de origem B

contendo D, então a curva y tangenciará a semirreta em um único ponto C e, neste

caso, o triângulo BAC, com C sobre a semirreta, é retângulo e

.

Portanto, se

então a curva y tangencia a semirreta de origem B

contendo D em um único ponto (ponto de tangência). No entanto, se a medida da

haste for maior do que , a curva y descrita pelo giro da haste

com centro em A, interceptará a semirreta de origem B contendo D em apenas

um único ponto C, também. Mas, neste caso,

Assim, se a curva y descrita pelo giro da haste em torno de A intercepta a

semirreta de origem B, contendo D, em um único ponto, nada garante que

Pode ser que

dependendo se = distância de A

à semirreta ou se . Desta maneira, as alternativas (C) e (D) também são

falsas.

4). No caso da medida da haste ser menor do que a distância do ponto A à

semirreta de origem B contendo D, então, aí, não haverá ponto de interseção da

curva y com essa semirreta e, consequentemente,

. Logo,

distância de A à semirreta de origem B contendo D

A alternativa correta é (E).

Situações possíveis

Referências: 1). Barbosa, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana.

Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática.

2). Marcondes, Oswaldo. GEOMETRIA. Editora do Brasil S/A. São Paulo, 1964.

3). Penteado, José Arruda. curso de desenho. COMPANHIA EDITORA

NACIONAL. São Paulo. 1970 .

QUESTÃO Nº 25

Considere uma função diferenciável e suponha que define

implicitamente funções não nulas e diferenciáveis , e

. Nessa situação, analise as afirmações abaixo.

I.

.

II. Se , então

.

III.

.


A)II apenas

B)III apenas

C)I e II apenas

D)I e III apenas

E)I, II e III

Gabarito: C

Tipo de questão: Médio

Conteúdo avaliado: Derivada parcial e Teorema da Função Implícita


Comentário:

Esta questão envolve a definição de derivada parcial e a aplicação do Teorema da

Função Implícita.

Definição: Seja uma função diferenciável, então a derivada parcial de

com respeito à variável , , é dada por

caso este limite exista.

Teorema da Função Implícita: Seja uma função de classe . Um

ponto do será denotado por , onde e . Suponha que

e

.

Então existe uma bola aberta , contendo e uma vizinhança de , tal

que , para uma única função de classe em e que satisfaça

( ) . Além disso,

.

Para o julgamento da afirmação I basta aplicar a definição de derivada parcial, acima

mencionada, à função . Desta forma, verifica-se a veracidade da

afirmação I.

Para o julgamento da afirmação II basta aplicar o Teorema da Função Implícita,

acima mencionado, à função . Desta forma, verifica-se a veracidade da afirmação II.

Para o julgamento da afirmação III basta aplicar o Teorema da Função Implícita à

função . Donde obtem-se

Se , então

,

se , então

,

se , então

.

Neste caso, obtém- se

.

Donde observa-se que a afirmação III é falsa.

Referências: 1) Fleming, Diva Marília e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo B – São


2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de Cálculo Vol. II e Vol III. Ed. L.T.C.

3) Stewart, James. Cálculo vol. II 5ª edição. Editora Pioneira.

QUESTÃO Nº 26

Na Sociologia da Educação, o currículo é considerado um mecanismo por meio do

qual a escola define o plano educativo para a consecução do projeto global de

educação de uma sociedade, realizando, assim, sua função social. Considerando o

currículo na perspectiva crítica da Educação, avalie as afirmações a seguir.

I. O currículo é um fenômeno escolar que se desdobra em uma prática pedagógica

expressa por determinações do contexto da escola.

II. O currículo reflete uma proposta educacional que inclui o estabelecimento da

relação entre o ensino

e a pesquisa, na perspectiva do desenvolvimento profissional docente.

III. O currículo é uma realidade objetiva que inviabiliza intervenções, uma vez que o

conteúdo é condição lógica do ensino.

IV. O currículo é a expressão da harmonia de valores dominantes inerentes ao

processo educativo.


A) I.

B) II.

C) I e III.

D) II e IV.

E) III e IV.

Gabarito: B

Tipo de questão: múltipla escolha. Grau de dificuldade: média

Conteúdo avaliado: Organização e desenvolvimento do currículo; fatores sociais e

culturais na construção do currículo.

Autor (a): Nelson Carneiro Júnior

Comentário:

A questão proposta realiza uma discussão acerca da formulação dos currículos tendo

como ponto de partida a perspectiva crítica da Educação. É perceptível, nesta visão

crítica, o discurso de que o sistema educativo serve a interesses concretos e eles se

refletem no currículo. Sacristan (2000, p. 20) indica que o currículo “deve ser visto

como uma construção social que preenche a escolaridade de conteúdos e orientações

que nos leva a analisar os contextos concretos que lhe vão dando forma e conteúdo,

antes de passar a ter alguma realidade como experiência de aprendizagem para os

alunos”.

A perspectiva crítica se contrapõe a inúmeras perspectivas que identificava no

currículo apenas como um conjunto de disciplinas que transmitem conteúdos

necessários para a inserção do indivíduo na sociedade. O currículo se revela como um

espaço de luta e conflitos. “A sociologia critica denuncia o papel da escola como

reprodução da estrutura social, sustenta a importância da ação dos sujeitos e as

possibilidades de um currículo crítico centrado na cultura dos oprimidos”.

(LIBÂNEO, 2013, p. 150)

A questão procura inserir o professor nessa discussão, principalmente aquele que já

atua em sala de aula e apresenta uma visão superficial sobre o que é realmente a

função do currículo a ser seguido em uma organização escolar. A primeira alternativa

é descartada logo no início, pois reafirma a idéia de que o currículo é apenas um

fenômeno escolar determinado pelo contexto da escola, não sendo a ideia

compartilhada na visão crítica acerca do currículo.

Para Carvalho e Diogo (1994), o currículo reflete intenções (objetivos) e ações

(conhecimentos), tornadas de realidade pelo trabalho dos professores e sob

determinadas condições providas pela organização escolar, tendo em vista a melhor

qualidade do processo de ensino e aprendizagem. Por isso, a alternativa III está

incorreta, pois não identifica a possibilidade de transformações sociais a partir do

currículo. Outros fatores são importantes para a condição lógica do ensino, como o

processo de mediação a ser construída pelos agentes envolvidos como, por exemplo, o

ensino do aprender a pensar e aprender a aprender.

Sendo espaço de luta e conflito, o currículo não pode ser a expressão da harmonia de

valores dominantes inerentes ao processo educativo, pois ele reafirma exatamente o

contrário, ao revelar os mecanismos de dominação e sustentação ideológica que existe

em um determinado contexto. Por isso, a alternativa IV está incorreta.

Desta forma, afirmativas II (com Gabarito B) é a correta. Masetto (2012) afirma que

para construir um currículo é necessário observar o que está acontecendo na

sociedade, às mudanças que estão se operando, as necessidades atuais da população, e

as representações e os contatos com a realidade. Depois, o professor deveria

reconsiderar suas especialidades, pesquisas e procurar compor com o que sentiram e

perceberam na sociedade a fim de atualizar e apresentar um determinado currículo.

Referências:

CARVALHO A, DIOGO F. Projecto educativo. Porto: Afrontamento, 1994.

LIBÂNEO, J. C.Organização e gestão da escola. 5. ed. Revista e ampliada. Goiânia:

Editora Alternativa, 2004.

MASETTO, M. T. O docente do ensino superior e o currículo de seu curso. In:

Competência pedagógica do professor universitário.São Paulo: Summus Editorial,

2003. p. 75-83.

SACRISTÁN, J. G. O Currículo: uma reflexão sobre a prática. Porto Alegre:

ArtMed, 2000.

QUESTÃO Nº 27

O fazer docente pressupõe a realização de um conjunto de operações didáticas

coordenadas entre si. São o planejamento, a direção do ensino e da aprendizagem e a

avaliação, cada uma delas desdobradas em tarefas ou funções didáticas, mas que

convergem para a realização do ensino propriamente dito.LIBÂNEO, J. C. Didática.

São Paulo: Cortez, 2004, p. 72.

Considerando que, para desenvolver cada operação didática inerente ao ato de

planejar, executar e avaliar,o professor precisa dominar certos conhecimentos

didáticos, avalie quais afirmações abaixo se referem a conhecimentos e domínios

esperados do professor.

I. Conhecimento dos conteúdos da disciplina que leciona, bem como capacidade de

abordá-los de modo contextualizado.

II. Domínio das técnicas de elaboração de provas objetivas, por se configurarem

instrumentos quantitativos precisos e fidedignos.

III. Domínio de diferentes métodos e procedimentos de ensino e capacidade de

escolhê-los conforme a natureza dos temas a serem tratados e as características dos

estudantes.

IV. Domínio do conteúdo do livro didático adotado, que deve conter todos os

conteúdos a serem trabalhados durante o ano letivo.


A I e II.

B I e III.

C II e III.

D II e IV.

E III e IV.

Gabarito: B

Tipo de questão: múltipla escolha. Grau de dificuldade: média

Conteúdo avaliado: O fazer docente: o planejamento, a direção do ensino e da

aprendizagem ea avaliação.

Autor(a): Eliane Silva

Comentário:

A prática pedagógica desenvolve ações docentes básicas para o processo de ensino

que visa à aprendizagem, para tanto deve ser permeada por ações intencionais, quais

sejam: o planejamento, a direção do ensino e da aprendizagem e o processo de

avaliação. Neste sentido, necessariamente, o professor deve ter domínio dos conteúdos

a serem ensinados na disciplina para a qual ministrará aula, trabalhando-os de forma

contextualizada. Em meio às atitudes intencionais planejadas pelo professor

encontram-se os métodos, os procedimentos de ensino e os recursos didáticos que

precisam ser selecionados de acordo com a realidade da turma e a natureza do

conteúdo em estudo.Desta forma, as afirmativas I e II (com Gabarito B) estão

corretas. As afirmativas II e IV não estão corretas porque o professor não deve se ater

ao mero conhecimento de técnicas para assegurar a qualidade do fazer pedagógico,

assim como não deve se limitar apenas ao livro didático adotado, uma vez que nem

sempre ele contempla todo o conteúdo a ser desenvolvido no ano letivo.

Referências:LIBÂNEO, J. C. Didática. São Paulo: Cortez, 2013.

MASETTO, Marcos Tarciso. Didática: a aula como centro. São Paulo: FTD, 2007.

QUESTÃO Nº 28.

Figura. Brasil: Pirâmide Etária Absoluta (2010-2040) Disponível em:

<www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/projecao_da_populacao/piramide/piramide.shtm>.

Acesso em: 23 ago. 2011.

Com base na projeção da população brasileira para o período 2010-2040 apresentada

nos gráficos, avalie as seguintes asserções.

Constata-se a necessidade de construção, em larga escala, em nível nacional, de

escolas especializadas na Educação de Jovens e Adultos, ao longo dos próximos 30

anos.

PORQUE

Haverá, nos próximos 30 anos, aumento populacional na faixa etária de 20 a 60 anos e

decréscimo da população com idade entre 0 e 20 anos.

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

A As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa


B As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma

justificativa da primeira.

C A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição

falsa.

D A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição

verdadeira.

E Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Gabarito: D


Conteúdo avaliado: leitura e análise de gráficos (letramento em estatística).


Comentário:

O letramento estatístico é de suma importância para estudantes de qualquer área de

formação. Tem sido definido como a habilidade do indivíduo interpretar e avaliar de

forma crítica as informações estatísticas (GAL, 2002), considerando os argumentos

relacionados aos dados ou aos fenômenos apresentados e contextualizados. O letrado

estatisticamente necessita também ter habilidade para discutir ou comunicar sua

compreensão diante de tais informações, podendo emitir opiniões sobre suas

implicações e fazer considerações acerca da aceitação das conclusões fornecidas. A

análise dos dados deve se ater ao que foi apresentado, sem subjetividades, sem ir para

além dos dados expostos.

Gráficos apresentados na questão.

Em uma pirâmide etária absoluta, o grupo da base, geralmente surge em maior

número que o grupo seguinte, e este por sua vez, apresenta-se maior que o grupo do

topo, formando o desenho de uma pirâmide (razão de seu nome).

No modelo de pirâmide apresentada, o eixo vertical indica a escala de idades, e o

horizontal a população masculina de um lado e a feminina no outro, representada por

barras, de acordo com o número absoluto.

Análise dos gráficos.

No período de previsão 2010 a 2040, a pirâmide etária se encaminha para uma

pirâmide adulta (a base é ainda larga, mas existe um aumento da classe dos adultos e

dos idosos, significando que a taxa de natalidade está diminuindo e a esperança

média de vida aumentando). Em 2040 o gráfico tende para uma pirâmide

envelhecida (base mais estreita do que a classe dos adultos, significando uma

diminuição da natalidade e um aumento da esperança média de vida – é o tipo de

pirâmide dos países desenvolvidos).

Os gráficos são a base para avaliação das duas asserções apresentadas. É possível

avaliar as alterações ocorridas nos gráficos correspondentes às populações estimadas

nas faixas etárias. Basta traçar alguns elementos auxiliares: linhas horizontais e

verticais em pontos estratégicos, e ainda triângulos equiláteros sobre cada gráfico,

para verificação das alterações mais expressivas.

Observando os gráficos, com a ajuda dos elementos auxiliares, sem detalhar homens

e mulheres, tem-se:

Período de 2010 a 2020: leve diminuição nos nascimentos; aumento da

população de entre 10 e 20 anos; aumento entre 30 e 40 anos; aumento no topo

da pirâmide (população envelhecendo);

Período entre 2020 e 2030: observa que a tendência para o envelhecimento da

http://www.infoescola.com/demografia/piramide-populacional/

população continua.

Período de 2030 a 2040: diminuição na base da pirâmide (quantidade menor de

nascimentos, que se evidencia pela diminuição da população jovem); aumento

expressivo na faixa de 45 a 60 anos; aumento expressivo na população acima

com 60 anos ou mais.

A segunda asserção está diretamente relacionada com os gráficos apresentados, pois

afirma:

“Haverá, nos próximos 30 anos, aumento populacional na faixa etária de 20

a 60 anos e decréscimo da população com idade entre 0 e 20 anos.”

Assim a asserção é uma proposição verdadeira. Nas bases das pirâmides (entre

0 e 20 anos) observa-se, de fato, uma diminuição nas populações de homens e

mulheres. Por outro lado, na faixa intermediária (20 a 60 anos) observa-se um

aumento nas populações de homens e mulheres.

A primeira asserção se relaciona indiretamente com os gráficos apresentados e diz:

“Constata-se a necessidade de construção, em larga escala, em nível

nacional, de escolas especializadas na Educação de Jovens e Adultos, ao

longo dos próximos 30 anos.”

A asserção é uma proposição falsa. O gráfico não é suficiente para se fazer tal

constatação. Os gráficos não apresentam informações sobre outras variáveis,

apenas apresentam o crescimento populacional na faixa de 20 a 60 anos. Isto

não é suficiente para inferir a necessidade de altos investimentos nacionais na

educação de jovens e adultos. Outras variáveis deveriam ser examinadas para

tal constatação.

Referências:

PIMENTEL, Carla. Pirâmides etárias. Disponível em: <http://geo-

geografias.blogspot.com.br/2010/01/piramides-etarias.html>. Acesso em: 24/06/14.

MONTEIRO, Carlos Eduardo Ferreira. Interpretação de gráficos: atividade social e

conteúdo de ensino. Disponível em:

http://www.ufrrj.br/emanped/paginas/conteudo_producoes/docs_22/carlos.pdf.

Acesso em: 24/06/14.

Wallman, K. K. (1993). 'Enhancing Statistical Literacy: Enriching Our Society', as

cited in the Journal of the American Statistical Association, Vol88, No 421.

GAL, I. Adult’s Statistical literacy: Meanings, Components, Responsabilities.

International Statistical Review, n. 70, 2002

http://geo-geografias.blogspot.com.br/2010/01/piramides-etarias.html

http://geo-geografias.blogspot.com.br/2010/01/piramides-etarias.html

QUESTÃO Nº 29

Na escola em que João é professor, existe um laboratório de informática, que é

utilizado para os estudantes trabalharem conteúdos em diferentes disciplinas.

Considere que João quer utilizar o laboratório para favorecer o processo de ensino-

aprendizagem, fazendo uso da abordagem da Pedagogia de Projetos. Nesse caso, seu

planejamento deve

A. ter como eixo temático uma problemática significativa para os estudantes,

considerando as possibilidades tecnológicas existentes no laboratório.

B. relacionar os conteúdos previamente instituídos no início do período letivo e os

que estão no banco de dados disponível nos computadores do laboratório de

informática.

C. definir os conteúdos a serem trabalhados, utilizando a relação dos temas

instituídos no Projeto Pedagógico da escola e o banco de dados disponível nos

computadores do laboratório.

D. listar os conteúdos que deverão ser ministrados durante o semestre, considerando a

sequência apresentada no livro didático e os programas disponíveis nos computadores

do laboratório.

E. propor o estudo dos projetos que foram desenvolvidos pelo governo quanto ao uso

de laboratórios de informática, relacionando o que consta no livro didático com as

tecnologias existentes no laboratório.

Gabarito: A


Conteúdo avaliado: Processo ensino-aprendizagem, abordagem pedagógica -

Pedagogia de Projetos


Comentário:

Considerada como uma postura pedagógica, a abordagem da Pedagogia de

Projetos propõe que os saberes escolares estejam integrados aos saberes sociais.

Possibilita, desse modo, que o aluno estude e aprenda algo que traga sentido e tenha

significado para a sua vida. Essa abordagem pressupõe uma metodologia de trabalho

pedagógico com a participação ativa do aluno e do professor no processo de ensino-

aprendizagem. Exige do aluno uma postura compromissada com o seu processo de

construção do conhecimento que está permeado pelas práticas vivenciadas na busca

de informações e da realidade investigada. Nesse processo, o professor auxilia o

aluno na identificação da situação-problema e nas suas reflexões, incentivando novas

buscas, descobertas, compreensões e reconstruções de conhecimento.

Entre as alternativas apresentadas, a correta é a alternativa A, pois considera o

desenvolvimento de um processo educacional contemplando os saberes escolares e

saberes sociais, tornando a aprendizagem significativa para o aluno, relacionada ao

processo de vida, pressuposto fundamental da abordagem da Pedagogia de Projeto.

As demais alternativas estão incorretas por não considerar no planejamento a

proposição de uma problemática que traga questões vivenciadas pelo aluno no mundo

das relações sociais.

Referências:

PRADO, Maria Elisabette Brisola Brito. Pedagogia de projetos: fundamentos e

implicações. IN: SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (Org.).

Integração das tecnologias na educação. Brasília: Ministério da Educação/SEED/TV

Escola/Salto para o Futuro. Disponível em <

http://portal.mec.gov.br/index.php?catid=111:tv-escola&id=13258:salto-para-o-

futuro&option=com_content&view=article>. Acesso em: 13 de junho de 2014.

QUESTÃO Nº 30

QUINO. Toda a Mafalda. Trad. Andréa Stahel M. da Silva et al. São Paulo: Martins

Fontes, 1993, p. 71.

Muitas vezes, os próprios educadores, por incrível que pareça, também vítimas de

uma formação alienante, nãosabem o porquê daquilo que dão, não sabem o

significado daquilo que ensinam e quando interrogados dão respostasevasivas: “é pré-

requisito para as séries seguintes”, “cai no vestibular”, “hoje você não entende, mas

daqui a dez anosvai entender”. Muitos alunos acabam acreditando que aquilo que se

aprende na escola não é para entender mesmo,que só entenderão quando forem

adultos, ou seja, acabam se conformando com o ensino desprovido de

sentido.VASCONCELLOS, C. S. Construção do conhecimento em sala de aula.

13ª ed. São Paulo: Libertad, 2002, p. 27-8.

Correlacionando a tirinha de Mafalda e o texto de Vasconcellos, avalie as afirmações

a seguir.

I. O processo de conhecimento deve ser refletido e encaminhado a partir da

perspectiva de uma prática social.

II. Saber qual conhecimento deve ser ensinado nas escolas continua sendo uma

questão nuclear para o processo pedagógico.

III. O processo de conhecimento deve possibilitar compreender, usufruir e

transformar a realidade.

IV. A escola deve ensinar os conteúdos previstos na matriz curricular, mesmo que

sejam desprovidos de significado e sentido para professores e alunos.


A I e III.

B I e IV.

C II e IV.

D I, II e III.

E II, III e IV.

Gabarito: D

Tipo de questão: Múltipla escolha. Grau de dificuldade: Fácil

Conteúdo avaliado: O conhecimento a partir da realidade do sujeito.


Comentário:

Tanto a tirinha de Quino com a personagem Mafalda quanto o texto de Vasconcelos

(2002) exploram o distanciamento dos conteúdos trabalhos no contexto escolar e a

realidade dos sujeitos em situação de aprendizagem. Em outras palavras, ambos os

textos exploram o ensino esvaziado de significado que os professores de um modo

geral têm difundido na educação básica. Ao ler as alternativas propostas como

respostas para a correlação entre a tirinha de Mafalda e o texto de Vasconcelos

(2002), pode-se concluir que o item de número IV destoa dos demais itens à medida

que se encontra fora do contexto da questão, entendendo que a escola deve ensinar o

conteúdo mesmo que este seja “desprovido de significado e sentido para professores

e alunos”. Percebe-se assim no contexto da questão que a alternativa IV contempla

um equívoco bem basilar. Dessa forma, as demais alternativas prevalecem corretas, o

que nos leva ao entendimento de que o gabarito de letra D responde corretamente e

de forma mais adequada ao que está proposto.

Referências:

FREIRE, P. A pedagogia da autonomia: Saberes necessários à prática educativa.

São Paulo: Paz e Terra, 1996.

HERNÁNDEZ, Fernando; VENTURA, Montserrat. A organização do currículo

por projetos de trabalho: o conhecimento é um caleidoscópio. Porto Alegre:

Artmed, 1998.

QUESTÃO Nº 31

Ao trabalhar o conteúdo de análise combinatória, o professor propôs que os alunos

calculassem quantos números distintos de três algarismos podem ser formados a

partir de quatro algarismos escolhidos por eles.

A seguir, são destacadas as escolhas dos algarismos e as respostas dadas por quatro

alunos dessa turma: Ana, Luis, Paulo e Roni.

I. Ana escolheu os algarismos 0, 3, 5 e 7. Sua resposta foi 24, por levar em

consideração apenas números com algarismos diferentes entre si.

II. Luis escolheu os algarismos 2, 4, 7 e 8. Sua resposta foi 24, por levar em

consideração apenas números com algarismos diferentes entre si.

III. Paulo escolheu os algarismos 3, 4, 5 e 6. Sua resposta foi 16, por levar em

consideração a possibilidade de haver algarismos repetidos nos números

formados.

IV. Roni escolheu os algarismos 1, 2, 3 e 4. Sua resposta foi 64, por levar em

consideração a possibilidade de haver algarismos repetidos nos números

formados.

O professor verificou que é coerente com as escolhas e a resposta somente o que se

justifica em

A. I.

B. II.

C. I e III.

D. II e IV.

E. III e IV.

Gabarito: D. II e IV.


Conteúdo avaliado: Análise Combinatória, problema de contagem

Autor(a): Alaídes Inácio Stival Ferreira

Comentário:

O Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem diz que:

"Se uma decisão D1 pode ser tomada de p1 modos e, qualquer que seja esta

escolha, a decisão D2 pode ser tomada de p2 modos, então o número de maneiras de

se tomarem consecutivamente as decisões D1 e D2 é igual a p1p2."

Que pode ser estendido para n decisões, resultando que o número de maneiras

de tomarem consecutivamente as decisões D1, D2, ..., Dn é igual a p1p2...pn.

Solução I

Analisando a resposta de cada aluno, temos:

I. Ana escolheu os algarismos 0, 3, 5 e 7, e considerou apenas números com

algarismos diferentes entre si.

Nesta escolha de algarismos devemos considerar ainda que o número

formado, por exemplo, pela sequencia de algarismos 035 é o número 35, que possui 2

algarismos. Com isso, na casa das centenas não podemos considerar o algarismo 0. E

números, como o 355, também não fazem parte desta lista, pois o algarismo 5 repetiu.

Assim temos, na casa das centenas: 3 possibilidades (excluímos o 0); na casa

das dezenas: 3 unidades (não podemos repetir o algarismo usado na casa das

centenas, porém o 0 pode entrar nesta posição); na casa das unidades: 2

possibilidades (não podemos utilizar os algarismos já usados anteriormente).

Portanto, 3 . 3 . 2 = 18 , resultando em 18 maneiras distintas, ou 18 números

distintos.

Logo a resposta de Ana é INCOERENTE.

II. Luis escolheu os algarismos 2, 4, 7 e 8, e considerou apenas números com


Nesta escolha, número como o 447 não poderá ser listado pois o algarismo 4

repetiu.

Temos na casa das centenas: 4 possibilidades; na casa das dezenas: 3

possibilidades (não pode usar o algarismo da casa das centenas); na casa das

unidades: 2 possibilidades (não pode usar os algarismos usados anteriormente).

Portanto, 4 . 3 . 2 = 24, resultando em 24 maneiras distintas, ou 24 números

distintos.

Logo a resposta de Luís é COERENTE.

III. Paulo escolheu os algarismos 3, 4, 5 e 6, e considerou a possibilidade de

haver algarismos repetidos nos números formados; como, por exemplo, os números

553 e 444.

Temos na casa das centenas: 4 possibilidades; na casa das dezenas: 4

possibilidades (o algarismo usado anteriormente pode ser usado novamente); na casa

das unidades: 4 possibilidades (pode-se usar os algarismos já utilizados).

Portanto, 4 . 4 . 4 = 64, resultando em 64 maneiras distintas, ou 64 números

distintos.

Logo a resposta de Paulo é INCOERENTE.

IV. Roni escolheu os algarismos 1, 2, 3 e 4, e considerou a possibilidade de

haver algarismos repetidos nos números formados; como, por exemplo, os números

111 e 313.

É o mesmo raciocínio da resposta de Paulo, resultado em 64 maneiras

distintas, ou 64 números distintos.

Logo a resposta de Roni é COERENTE.

Solução II

Podemos resolver esta questão listando as possibilidades dos números, e

contando-os. Sendo importante um procedimento sistemático para listar todos os

números, sem repeti-los (os números, e não algarismos!)

Devemos identificar as diferentes escolhas (ou decisões em cada uma das

respostas) que devem ser tomadas e distinguir as possibilidades em cada uma delas.

Para cada número vamos considerar que é formado por "gavetas" onde

devemos colocar os algarismos. Assim a primeira "gaveta" é a centena, a segunda

"gaveta" é a dezena, e a terceira "gaveta" é a unidade do número que estamos

examinando.

Vamos examinar cada uma das respostas.

I. Ana escolheu os algarismos 0, 3, 5 e 7, e considerou apenas números com


Com estas escolhas de algarismos, não podemos escolher o 0 para a casa das

centenas (pois assim estaríamos listando números como 057 que é o número 57 de 2

algarismos), restando-nos os algarismos 3, 5 e 7:

Resultando em 18 números distintos, fazendo com que a resposta de Ana seja

INCOERENTE.

II. Luis escolheu os algarismos 2, 4, 7 e 8, e considerou apenas números com


Para cada um destes algarismos a listagem dos números é análoga aos de Ana,

mas como são 4 algarismos possíveis para a casa das centenas e cada um deles nos

resultam em 6 números distintos, temos 4.6 = 24 números, fazendo com que a

resposta de Luis seja COERENTE.

III. Paulo escolheu os algarismos 3, 4, 5 e 6, e considerou a possibilidade de

números com algarismos repetidos.

Podemos listá-los como o esquema abaixo, onde escolhemos o algarismo 3

para ocupar a casa das centenas.

7 3

0

5

0

3

5

5

0

3

5 3

0

7

0

3

7

7

0

3

3 5

0

7

0

5

7

7

0

5

Encontrando 16 possibilidades. E de forma análoga encontramos esta mesma

quantia para números com centena igual a 4, 5 ou 6. Como são 4 algarismos possíveis

para a centena temos 4.16 = 64 números, fazendo com que a resposta de Paulo seja

INCOERENTE.

IV. Roni escolheu os algarismos 1, 2, 3 e 4, e considerou a possibilidade de

números com algarismos repetidos.

Para cada um destes algarismos a listagem dos números é análoga aos de

Paulo, e como são também 4 algarismos possíveis para a casa das centenas temos

4.16 = 64 números, fazendo com que a resposta de Roni seja COERENTE.

Referências:

Coleção Professor de Matemática: Temas e Problemas - E. L. Lima, P. C. P.

Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado - 2a edição - Rio de Janeiro: SBM, 2006.

Coleção Professor de Matemática: A Matemática do Ensino Médio Vol. 2 - E.

L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado - 5a edição - Rio de Janeiro:

3

3

3

4

5

6

4

3

4

5

6

5

3

4

5

6

6

3

4

5

6

SBM, 2004.

QUESTÃO Nº 32

No intuito de proporcionar uma reestruturação dos princípios norteadores da

educação nacional, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei nº

9394/1996) transformou em direito do cidadão e dever do Estado antigos anseios

de diversos movimentos populares, entre eles, a oferta de educação escolar regular

para jovens e adultos, como se vê no trecho destacado a seguir:

Art. 4º O dever do Estado com educação escolar pública será efetivado mediante a

garantia de:

(...)

VII - oferta de educação escolar regular para jovens e adultos, com características e

modalidades adequadas às suas necessidades e disponibilidades, garantindo-se aos

que forem trabalhadores as condições de acesso e permanência na escola.

Considerando a modalidade de ensino de que trata esse fragmento da Lei n.º

9394/1996, e para tornar o ensino de matemática mais significativo para quem

aprende, o professor deve priorizar

I. atividades que promovam um processo de negociação de significados

constituídos com o conteúdo destacado e o sujeito social.

II. atividades que padronizem os procedimentos matemáticos realizados pelos

alunos, pois, dessa forma, promoverá o domínio da notação matemática.

III. atividades que, a partir de situações cotidianas, promovam a percepção da

relevância do conhecimento matemático.

IV. a linguagem simbólica, pois, dessa forma, poderá promover a percepção das

especificidades dessa área de conhecimento.


A. I.

B. II.

C. I e III.

D. II e IV.

E. III e IV.

Gabarito: C

Tipo de questão: médio

Conteúdo avaliado: Política educacional, educação de jovens e adultos e ensino da

matemática.


Comentário:

A contextualização da questão traz a temática da modalidade da Educação de

Jovens e Adultos (EJA), como também, do direito do cidadão à Educação e dever do

Estado em ofertá-la (LDB 9.394/96). Para Paulo Freire, alfabetizar é aprender a ler o

mundo em que se vive, a compreender seu contexto social. A expressão alfabetização é

empregada no sentido amplo, incluindo, portanto a alfabetização na linguagem

matemática e outras linguagens. Desse modo, concebe-se que

o processo de aprendizagem na alfabetização de adultos

está envolvida na prática de ler, de interpretar o que leem,

de escrever, de contar, de aumentar os conhecimentos que

já têm e de conhecer o que ainda não conhecem, para

melhor interpretar o que acontece na nossa realidade

(Freire, 2003, p. 48).

Freire ressalta que

Não é possível respeito aos educandos, à sua dignidade, a

seu ser formando-se, à sua identidade fazendo-se, se não

se levam em consideração às condições em que eles vêm

existindo, se não se reconhece à importância dos

“conhecimentos de experiências feitos” com que chegam à

escola. O respeito devido à dignidade do educando não me

permite subestimar, pior ainda, zombar do saber que ele

traz consigo para a escola (FREIRE, 2000, p.71).

No pensamento do autor evidencia-se a importância de se considerar no

processo educacional o saber do aluno, elaborado no seu processo histórico, a partir das

relações estabelecidas no mundo natural e social. Torna-se de fundamental

importância uma prática pedagógica problematizadora, de caráter reflexivo, que

desvele a realidade a partir de situações cotidianas que resulte uma compreensão crítica

da realidade (FREIRE, 1981, p. 80)

Com base no exposto, as afirmativas corretas são a I e III, pois propõem

atividades que contemplam situações cotidianas problematizadoras, permitindo ao

aluno o desenvolvimento de aprendizagem a partir de significados oriundos do mundo

natural e social. As afirmativas II e IV estão incorretas por propor atividades que

promovam a padronização dos procedimentos matemáticos e não a compreensão desses

procedimentos e a indicação da linguagem simbólica na promoção do conhecimento

matemático, distanciando-se, assim, de uma concepção de aprendizagem baseada na

construção de significados a partir de situações cotidianas que possam promover o

conhecimento da realidade vivida.

Referências:

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa.

São Paulo: Paz e Terra, 2000.

FREIRE, Paulo. Pedagogia do oprimido. Rio de Janeiro, Paz e Terra, 1981.

QUESTÃO Nº 33

Para introduzir conceitos relativos a cilindros, um professor de matemática

do ensino médio pediu a seus alunos que fizessem uma pesquisa sobre

situações práticas que envolvessem essas figuras geométricas. Dois

estudantes trouxeram para a sala de aula as seguintes aplicações:

Situação I

O raio hidráulico é um parâmetro importante no dimensionamento de canais,

tubos, dutos e outros componentes das obras hidráulicas. Ele é definido

como a razão entre a área da seção transversal molhada e o perímetro

molhado. Para a seção semicircular de raio r ilustrada abaixo, qual é o valor

do raio hidráulico?

Situação II

Ao analisar as duas situações como possibilidades de recursos didáticos,

seria correto o professor concluir que

a) a situação I é inadequada porque induz os estudantes à apreensão

equivocada do conceito de cilindro.

b) a situação I é adequada porque permite a discussão de que todas as

interseções do cilindro com planos são semicircunferências.

c) a situação II é inadequada porque induz os estudantes à apreensão

equivocada do conceito de volume do cilindro.

d) a situação II é adequada porque permite mostrar que o volume do

cilindro é igual à quantidade de jabuticabas multiplicada pela média dos

volumes das jabuticabas.

e) as situações I e II são adequadas e permitem que sejam explorados os

conceitos de seção transversal, área da superfície cilíndrica e volume

do cilindro.

Gabarito: E

Tipo de questão: Componente Específico – Licenciatura/Objetivas

Conteúdo avaliado: Cilindros: área, volume e seções transversais

Autor(a): Gabriella B. V. M. Gonçalves

Comentário:

Relembremos alguns conceitos básicos sobre cilindros. Considere um plano

P e seja C um círculo de raio r contido em P. Tomemos um segmento de reta

AB que não seja paralelo e nem esteja contido no plano P. Chamamos de

cilindro circular a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a

AB com uma extremidade no círculo C. Tais segmentos são chamados de

geratrizes e a região circular limitada por C é dita base.

Lembremos que um cilindro é uma superfície no espaço R³. Entretanto, em

várias situações consideramos o cilindro como a região sólida contida dentro

do cilindro. O eixo de um cilindro circular é o segmento de reta cujas

extremidades são os centros dos círculos das bases.

Existem dois tipos de cilindros circulares. Dizemos que o cilindro circular

é reto quando a sua geratriz for perpendicular a sua base. E

será oblíquo quando sua geratriz não for perpendicular a sua base. Veja as

imagens abaixo:

Observe que a neste caso a geratriz coincide com a altura.

Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:

1. Altura (H): A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos

paralelos que contêm as bases do cilindro.

2. Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do cilindro que não

estejam nas bases.

3. Área da base (AB): No caso do cilindro circular, é a área do círculo C.

Isto é,

AB=πr².

4. Área lateral(AB): É a área da superfície lateral do cilindro. Para

calcularmos a sua área lateral, basta multiplicarmos o perímetro da

base pela altura do cilindro, isto é, AL=2πr⋅H.

5. Área total (AT): É a área total do cilindro. Para calcularmos sua área

total devemos somar a área lateral com a área das suas duas bases (a

inferior e a superior). AT= AL +2⋅AB.

6. Seção transversal: É a região determinada pela interseção do cilindro

com um plano paralelo às bases. Todas as seções transversais são

congruentes.

7. Seção meridiana:É a região determinada pela intersecção do cilindro

com um plano que contém o eixo.

8. Volume: Para calcularmos o volume devemos multiplicar a área de sua

base por sua altura. V=AB⋅H

Após esta revisão, voltemos ao exercício.

O item a) é FALSO, pois a situação I se trata de uma seção transversal de

um cilindro circular.

O item b) é FALSO, pois as interseções do cilindro com planos são

circunferências.

O item c) é FALSO, pois podemos fazer uma analogia entre o volume do

cilindro com a quantidade de jabuticabas que cabem dentro do recipiente.

Assim teremos uma aproximação do volume. Esse exemplo cotidiano é

interessante para introduzir a ideia de volume apesar de não retratar o

volume real.

O item d) é FALSO. Como justificado no item anterior, desta maneira

encontramos uma aproximação do volume total real do recipiente cilíndrico.

Por fim, o item e) é VERDADEIRO. Estes exemplos retratam bem vários

conceitos básicos referentes ao cilindro.

Referências:

L. R. Dante, Matemática volume único, Editora Ática, 2009.

O. Dolce e J. N. Pompeo, Fundamentos de Matemática Elementar vol. 10 –

Geometria Espacial, Editora Atual, 2011.

http://www.somatematica.com.br/ (Acessado em 19/06/2014)

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/(Acessado em 19/06/2014)

QUESTÃO Nº 34

No que se refere à organização curricular, avalie as asserções a seguir.

Com relação à organização curricular na área de matemática, as ideias de linearidade

e acumulação têm presenças marcantes em diversas produções didáticas da área, pois

esse processo linear de trabalho pedagógico é fundamental para a apresentação da

conexão e hierarquia das estruturas matemáticas.

PORQUE

Por meio da linearidade, os conteúdos matemáticos são dispostos dos mais simples

para os mais complexos, obedecendo a uma estrutura lógica em que cada novo

assunto pode ser assimilado pelo aluno, o que propicia o desenvolvimento pleno de

sua autonomia acadêmica.

A respeito dessas asserções, assinale a resposta correta.

A. As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa

http://www.somatematica.com.br/

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/


B. As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma


C. A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição

falsa.

D. A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição

verdadeira.

E. Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Gabarito: E

Tipo de questão: Asserção e Razão – Grau de dificuldade: médio

Conteúdo avaliado: Currículo e o ensino de matemática


Comentário:

É uma questão que apresenta duas afirmativas ou asserções que sustentam

proposições falsas a partir dos estudos e pesquisas ligadas às teorias curriculares e à

educação matemática. Cabe ressaltar que, com base nas referências das teorias

curriculares, a organização do Currículo não deve ser linear, hierarquizada, e ainda na

perspectiva de acumulação em uma visão depositária de conteúdo. Desta forma,

pode-se afirmar que ambas, asserção e razão, são proposições falsas, fato que

confirma o gabarito na letra E.

Referências:

LOPES, Alice Casimiro; MACEDO, Elizabeth. Teorias de currículo. São Paulo:

Cortez, 2011.

SACRISTÁN, José Gimeno. O currículo. Uma reflexão sobre a prática. Porto

Alegre: ArtMed, 2000.

QUESTÃO Nº 35

Na perspectiva da matemática, de uma forma geral, o jogo é objeto de estudo no

campo das probabilidades, enquanto, na perspectiva da pedagogia, é analisado como

possibilidade de produção de aprendizagens. A Educação Matemática propõe análises

que permeiam essas duas situações em conjunto, buscando uma interface voltada para

a exploração de conceitos e procedimentos matemáticos, análise de dados e

interpretação de soluções, por meio de atividades lúdicas em que o desenvolvimento

da autonomia do aluno pode ser estimulado. A partir dessas observações, analise as

asserções a seguir.

A interface mencionada no texto é possível, pois tanto a matemática quanto o jogo se

realizam no campo da materialidade.

PORQUE

Sob a perspectiva de atividade matemática, o jogo se encontra no plano

epistemológico da matemática que visa abstrair o real, proporcionando um espaço em

que o aluno pode, de forma criativa, testar, validar e socializar seus esquemas de

ação.

Acerca dessas asserções, assinale a resposta correta.



B) B As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma



falsa.


verdadeira.


Gabarito: D


Conteúdo avaliado: jogos na educação matemática.


Comentário: a primeira afirmativa é falsa. A matemática não se realiza no campo da

materialidade, ela é essencialmente abstrata com possibilidades de ser aplicadas em

diversas ciências. No ensino, entretanto, é aconselhável considerar o suporte da

materialidade em algumas situações. O jogo contém a possibilidade de ser útil na

questão do ensino e aprendizagem da matemática e é parte integrante da Matemática.

O professor de Matemática pode criar atividades pedagógicas que propiciem ao aluno

situações de aprendizagem. Sob a perspectiva de atividade matemática, o jogo se

encontra no plano epistemológico da matemática que visa abstrair o real,

proporcionando um espaço em que o aluno pode, de forma criativa, testar, validar e

socializar seus esquemas de ação.

Referências: FIORENTINI, Dário, MIORIM, Maria A. Uma reflexão sobre o uso de

materiais concretos e jogos no ensino da matemática. Boletim SBEM, São

Paulo, v.4, n.7, 1996.

GRANDO, R. C. O jogo na educação: aspectos didático-metodológicos do

jogo na educação matemática. Unicamp, 2001.

HUIZINGA, Johan. Homo Ludens – O jogo como elemento da cultura. São

Paulo: Perspectiva, 1971.

KAMII, Constance. Desvendando a Aritmética - Implicações da teoria de

Piaget. Campinas, São Paulo: Papirus, 2001.

KISHIMOTO, T. M. (org.). Jogo, brinquedo, brincadeira e a educação. São

Paulo: Cortez, 2001.

LIBANÊO, José Carlos. Didática. São Paulo: Cortez, 1998.

MACEDO, Lino de, PETTY, Ana Lúcia Sicoli, PASSOS, Norimar Christe.

Aprender com jogos e situações problema. Porto Alegre: Artmed, 2000.

QUESTÃO Nº 36

Seja A um conjunto e seja ~ uma relação entre pares de elementos de A. Diz-se que ~

é uma relação de equivalência entre pares de elementos de A, se as seguintes

propriedades são verificadas, para quaisquer elementos a, a’ e a’’ de A:

I. a ~ a;

II. se a ~ a’, então a’ ~ a;

III. se a ~ a’ e a’ ~ a’’, então a ~ a’’.

Uma classe de equivalência do elemento a de A com respeito à relação ~ é o

conjunto {

O conjunto quociente de A pela relação de equivalência ~ é o conjunto de todas as

classes de equivalência relativamente à relação ~, definido e denotado como a seguir:

{

A função é chamada projeção canônica e é definida como

Considerando as definições acima, analise as afirmações a seguir.

I. A relação de equivalência ~ no conjunto A particiona o conjunto A em

subconjuntos disjuntos, as classes de equivalência.

II. A união das classes de equivalência da relação de equivalência ~ no conjunto A

resulta no conjunto das partes de A.

III. Qualquer relação de equivalência no conjunto A é proveniente de sua projeção

canônica.

IV. As três relações seguintes: =, , , são relações de equivalência no

conjunto dos números inteiros .


A I.

B II.

C I e III.

D II e IV.

E III e IV.

Gabarito: C


Conteúdo avaliado: Teoria dos conjuntos, Relação de equivalência.

Autor (a): JOELMIR DIVINO CARLOS FELICIANO

Comentário:

Essa questão está relaciona com a disciplina TEORIA DOS CONJUNTOS vista

por todos os alunos que fazem o curso de MATEMÁTICA

Esse tema é encontrado em todos os livros de ÁLGEBRA OU ÁLGEBRA

MODERNA e estudado com frequência pelos alunos.

Vamos analisar por parte cada item.

O item I. (VERDADEIRO).

Para resolver a questão, é necessário o conhecimento do conceito de relação de

equivalência descrito abaixo.

Definição: (Relação de Equivalência). Uma relação sobre um conjunto

recebe o nome de relação de equivalência sobre se, e somente se, é reflexiva,

simetria e transitiva. Ou seja, deve cumprir as seguintes propriedades:

i. Se então . REFLEXIVA, quando todo elemento de A se relaciona

consigo mesmo;

ii. Se e então . SIMÉTRICA, quando todo elemento de A pode

ser intercambiado entre si;

iii. Se com e , então . TRANSITIVA, quanto x se

relaciona com y, e y se relaciona com z, então x se relaciona com z.

Definição: Um sistema S de conjuntos não vazios é chamado de uma partição de

A se:

a) S e um sistema de conjuntos mutuamente disjuntos, i.e., se ,

então C ∩ D = ∅,

b) A união de S é o todo do conjunto A, i.e.,

Definição: Seja S uma partição de A. A relação em A é definida por

{ existe C S tal que a C e b C}, a e b são relacionados por se e

somente se eles pertencem ao mesmo conjunto da partição S.

Teorema: Seja S uma partição de A, então, é uma equivalência sobre A.

Como o teorema e a definição satisfazem o item I, concluímos que ele é

verdadeiro.

O item II. (FALSO).

A união das classes de equivalência da relação de equivalência ~ no conjunto A

resulta no conjunto A, ou seja ⋃ e não como o diz o texto que diz

que resulta no conjunto das partes de A.

O item III. (VERDADEIRO).

Vem diretamente da teoria dos conjuntos, pois qualquer relação de

equivalência no conjunto A é proveniente de sua projeção canônica.

Definição: Dada uma relação de equivalência ~ em A, o conjunto de todas as

classes de equivalência (módulo ~) é chamado de conjunto quociente.

A projeção canônica leva um elemento a de A até o elemento a’ do conjunto

quociente, uma relação de equivalência ~ em A origina um único conjunto quociente

A/~, portanto a relação é proveniente da projeção canônica.

O item IV. (FALSO).

A igualdade (=) e o satisfazem a definição de equivalência, porém a

desigualdade ( ) não satisfaz a definição por isso é falsa, ou seja.

A relação ( ) não é uma relação de equivalência em 𝓡, pois não é simétrica:

mas 1 não é .

Referências:

1. GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. Projeto Euclides, IMPA. 1979.

2. HALMOS, P. R. Naive Set Theory. Princeton, NJ. Van Nostrand. 1960.

3. HEFEZ, A. Curso de Álgebra, Vol. I. Coleção Matemática Universitária,

IMPA. 1993.

4. LIMA, E. L. Curso de Análise, Vol. I. Projeto Euclides, IMPA. 1976.

5. SIDKI, S. Introdução à Teoria dos Números. 10º Colóquio Brasileiro de

Matemática, IMPA. 1975.

6. SIERPINSKI, W. 250 Problems in Elementary Number Theory. American

Elsevier Publishing Company. 1970.

QUESTÃO Nº 37

Para resolver a equação , utiliza-se a fórmula de Taylor da função .

Considerando essa observação, analise as afirmações a seguir:

I. As raízes dessa equação, obtidas com uma aproximação de segunda ordem

na fórmula de Taylor, são √

.

II. O erro de truncamento de uma aproximação de segunda ordem para é

limitado por | |

.

III. Ao usar aproximações de quarta ordem em vez de aproximações de segunda

ordem para , os erros de truncamento são reduzidos em 25%.

É correto apenas o que se afirma em:

A) I

B) II

C) III

D) I e II

E) II e III

Gabarito: D

Tipo de questão: médio.

Conteúdo avaliado: Polinômio de Taylor. Derivadas de funções de uma variável

Autor: Samuel Lima Picanço

Comentário:

Esta questão envolve funções polinomiais e funções trigonométricas. Para resolvê-la,

o estudante deverá reconhecer o gráfico de funções polinomiais e funções

trigonométricas. Deverá ainda ter conhecimento de Cálculo Diferencial e Integral I,

principalmente nos conceitos e definições referentes ao assunto Polinômio de Taylor.

Vamos inicialmente analisar a primeira alternativa. Para tanto devemos escrever o

polinômio de Taylor de segunda ordem que aproxima .

Necessitamos das derivadas primeira e segunda da função .

e .

Agora, quem será . Este deve ser um número que torne mais conveniente a

solução de nossa equação. Para verificar isto, vamos representar no mesmo plano o

gráfico de e .

Vemos que os valores procurados estão “próximos” do zero. O que nos leva a utilizar

esse número como centro da aproximação do Polinômio de Taylor. Portanto,

podemos escrever:

.

Voltando na equação e substituindo por sua aproximação, temos:

Cuja solução é √

. Logo a primeira afirmação é verdadeira. Com base nisso, já

eliminamos as alternativas B, C e E.

Os valores de da

interseção dos gráficos

são as raízes procuradas.

|

| |

|

Como é no máximo 1, o erro de truncamento será máximo quando isso

acontecer. Portanto, o erro de truncamento não será maior que | |

. Logo a afirmação

é verdadeira.

Como as afirmações I e II são verdadeiras, a única alternativa possível é a D. Mesmo

assim iremos mostrar a falsidade em III.

O erro de truncamento para uma aproximação de ordem 4 é dada por:

|

| |

|

E para uma aproximação de segunda ordem é dada por:

|

| |

|

Calculando a razão entre e temos:

|

| |

| ,

sendo a razão entre os erros de ordem 4 e ordem 2. Efetuando-se as devidas

simplificações:

Esta razão não necessariamente é igual a 0,25. Portanto a afirmação está errada.



2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de cálulo Vol. I. Ed. L.T.C.


QUESTÃO Nº 38

O conjunto {|

| | | } com a operação usual de produto de

matrizes, forma um grupo, em que o elemento neutro é a matriz identidade |

|. Dado

um elemento , defini-se a ordem de como sendo o menor inteiro positivo tal que

, caso exista. Se não existir, diz-se que tem ordem infinita.

Considerando |

| e , |

|avalie as asserções a seguir.

O elemento tem ordem seis.

PORQUE

tem ordem três e tem ordem dois.


A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da

primeira.

B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa


C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa.

D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira.


Gabarito: D


Conteúdo avaliado: Grupos, Multiplicação de Matrizes.

Autor(a): Henrique Carvalho Rodrigues

Comentário:

Para resolver esta questão, são necessários os conhecimentos básicos de Grupos, Domingues

(1982, p. 77) e multiplicação de matrizes, Domingues (1990, p. 20).

Vamos verificar que é um grupo. De acordo com Domingues (1982, p. 77), sejam um

conjunto não vazio e uma lei de composição interna em . Dizemos que é

um grupo em relação a essa lei se, e somente se,

a) isto é, vale a propriedade associativa (a,b,c,d

números inteiros é associativo);

b) existe de maneira que ou seja, existe elemento neutro

(matriz identidade);

c) todo elemento de é simetrizável (toda matriz em G possui inversa, pois |ad-bc|=1) em

relação à lei considerada: |

A questão trata das ordens dos elementos . De acordo com o enunciado, a ordem

de um elemento do grupo é um número tal que . Para determinar a ordem do

elemento , basta observar que , logo sua ordem é igual a 3. Já a ordem do elemento

, tem-se , portanto sua ordem é igual a 2.

A matriz |

| , e é importante observar que , assim tem-se

|

| . Podemos concluir com essas informações, que a alternativa correta

é a letra D, pois a primeira asserção é falsa, e a segunda asserção é verdadeira.

Referências:

1) Domingues, Hygino Hugueros e Iezzi, Gelson. Álgebra moderna. 2. ed. São Paulo: Atual,

1982.

2) Callioli, Carlos A., Domingues, Hygino Hugueros e Costa, Roberto C. F. Álgebra Linear e

aplicações. 6. ed. rev. São Paulo: Atual, 1990.

QUESTÃO Nº 39

O gráfico abaixo representa o traço da curva parametrizada diferenciável plana

( ) para .

A respeito dessa curva, avalie as afirmações a seguir.

I. é injetiva no intervalo .

II. tem curvatura constante.

III. para todo .

IV. tem vetor tangente unitário em , com V. O traço de está contido em um círculo de raio


A. II

B. I e II

C. I e IV

D. III e V

E. III, IV e V

Gabarito: D


Conteúdo avaliado: Geometria Diferencial

Autor(a): Wérica Pricylla de Oliveira Valeriano

Comentário:

Para resolver essa questão é necessário analisar cada uma das afirmações e

verificar quais são verdadeiras e quais são falsas.

I. é injetiva no intervalo

Uma função é injetiva se implica em .

Neste sentido vamos verificar se implica em . Assim,

partimos do pressuposto que

( ) ( )

No entanto, sabemos que

Logo, podemos concluir que se teremos . Logo a

função não é injetiva.

II. tem curvatura constante.

A curvatura de uma curva em um dado ponto é a medida de quão rapidamente a

curva muda de direção no ponto. Podemos calcular a curvatura do seguinte modo:

| |

| |. Mas, neste caso, podemos analisar o gráfico da função para constatar que

sua curvatura não pode ser constante, pois é nítido que nos seus extremos a curvatura é

mais acentuada do que em outros locais.

III. para todo ..

Sabemos que as funções e são periódicas, assim

Para todo .

Daí, temos que

( ( ))( )

( )

Ou seja, . A afirmação é verdadeira.

IV. tem vetor tangente unitário em , com

Teorema: Se ⟨ ⟩ , onde

são diferenciáveis, então ⟨ ⟩ .

O vetor ’ é chamado vetor tangente à curva definida por no ponto P. O

vetor tangente unitário pode ser encontrado da seguinte maneira,

| |.

Assim,

[( ) ] [( ) ]

[( ) ] [( ) ]

√( )

√

√

√

Podemos concluir que o vetor tangente não é unitário. A afirmação é falsa.

V. O traço de está contido em um círculo de raio

Para verificarmos se o traço de está contido em um círculo de raio vamos calcular o módulo de

| | √

| | √

| |

Assim, a afirmação é verdadeira.

Referências: STEWART, James. Cálculo. v.2. São Paulo: Cengage Learning, 2011.

QUESTÃO Nº 40

Considerando E um espaço métrico, A E um conjunto aberto e (xn) E uma

sequência convergente para p A, analise as afirmações abaixo.

I. O complementar de A é fechado em E.

II. Toda vizinhança aberta de p está contida em A.

III. xn A, para todo n suficientemente grande.


(A) I.

(B) II.

(C) III.

(D) I e II.

(E) I e III.

Gabarito: E


Conteúdo avaliado: Topologia

Autor(a): Daniel Antônio Mendonça da Silva.

Comentário:

Para responder a questão 40 vamos definir o que é métrica, espaço métrico, limite de

uma sequência, ponto interior, conjunto aberto e conjunto fechado.

Definição 1: Uma métrica num conjunto E é uma função d: E x E → , que associa a

cada par ordenado de elementos x, y E um número real d(x, y), chamado a

distância de x a y, de modo que sejam satisfeitas as quatros condições abaixo para

quaisquer x, y, z E:

(1) d(x, x) = 0;

(2) Se x ≠ y então d(x, y) > 0;

(3) d(x, y) = d(y, x);

(4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(x, y).

Um espaço métrico é um par (E, d), onde E é um conjunto e d é uma métrica em E.

Na maioria das vezes diremos simplesmente “o espaço métrico E.”

Definição 2: Seja X um subconjunto de um espaço métrico E. Um ponto a X diz-se

um ponto interior a X quando é centro de uma bola aberta contida em X, ou seja,

quando existe r > 0 tal que d(x, a) < r x X. Chama-se o interior de X em E ao

conjunto int X formado pelos pontos interiores a X.

Definição 3: Um subconjunto A de um espaço métrico E diz-se aberto em E quando

todos os seus pontos são interiores, isto é, int(A) = A.

Definição 4: Seja (xn) uma sequência num espaço métrico E. Diz-se que o ponto a

E é limite da sequência (xn) quando, para todo número ε > 0 dado arbitrariamente,

pode-se obter n0 ℕ tal que n > n0 d(xn, a) < ε. E escreve-se então a = limxn.

Quando existe a = limxn E, diz-se que a sequência de pontos xn E é convergente

em E, e converge para a.

Definição 5: Diz-se que um conjunto F E é fechado no espaço métrico E quando

seu complementar E-F é aberto em E.

Definição 6: Seja G é um conjunto aberto contento um ponto p E. G é chamado de

vizinhança aberta do ponto p.

Proposição 7: Seja (xn) uma sequência no espaço métrico E. Dizer que limxn = a E

significa que, dada qualquer bola aberta B, de centro a, tem-se xn B para todo n

suficientemente grande.

I. O complementar de A é fechado em E.

Resposta:

Se A é um conjunto aberto em E, segue da definição 5 que o seu complementar é

um conjunto fechado em E. Logo, está afirmação está correta.

II. Toda vizinhança aberta de p está contida em A.

Resposta:

Vamos mostrar que está afirmação está errada, para isso vamos dar um contra-

exemplo.

Tomemos E = 2, p = (0, 0) e A = {x 2

; d(x, O) < 1}, onde O = (0, 0).

Seja B = {x 2; d(x, O) < 2}. Temos que A é vizinhança aberta de p, B é

vizinhança aberta de p, porém B ⊄ A.

III. xn A, para todo n suficientemente grande.

Resposta:

De limxn = p e da proposição 8 temos que existe uma bola B A tal que xn B,

para todo n suficientemente grande. Logo, xn A, para todo n suficientemente

grande. E a afirmação está demonstrada.

Com isso a resposta certa para a questão 40 é a letra “E”.

Referências:

[1] LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos. 4.ed. Rio de Janeiro: Projeto Euclides,

IMPA, 2009.

[2]LIPSCHUTZ, Seymour.Theory and Problems of General Topology.New

York:Schaum’s Outline, 1965.

QUESTÃO Nº 41

Um peso atado a uma mola move-se verticalmente para cima e para baixo de tal

modo que a equação do movimento é dada por

em que é a deformação da mola no tempo . Sabe-se que e ,

para . Para a função deformação tem-se que quando é

igual a

A)

.

B)

.

C)

.

D)

.

E)

.

Gabarito: E

Tipo de questão: Média

Conteúdo avaliado: Equações Diferenciais

Autor(a): Danillo Flugge de Souza

Comentário:

A equação

é uma equação diferencial ordinária homogênea de ordem 2, com coeficientes

constantes. Ela tem a forma geral dada por

onde são números reais fixados. Que possui solução dada por

onde satisfaz a equação característica . Portanto, pelo Principio

da Superposição, a solução geral da equação (2) é dada por

onde . Cada solução é chamada de solução fundamental. Ou seja, o

determinante Wronskiano

[

]

Com base nisto, temos que para a equação (1), . Daí a equação

característica é logo que resulta em e

. Agora, verificando se . Pela equação (4), temos:

[

]

Ou seja, e são soluções fundamentais de (1). Portanto a solução geral de (1) é

dada por

Mas pela Fórmula de Euler,

reescrevemos = e = , que

substituindo em (5), resulta em

=( ) .

Note que e são soluções para equação (1) e . E

são constantes, portanto a solução geral pode ser escrita como

=

com e são constantes reais.

Uma vez que temos a solução geral da equação (1), iremos atacar o problema de fato.

Como e , para , temos

{

Daí e . Portanto substituindo estes valores da equação (7) obtemos

=

. Para , temos

Gabarito: E

Referências:

ZILL,Dennis G. Equações Diferenciais, volume 1/ Dennis G. Zill, Michael R.

Cullen.São Paulo: Pearson Makron Books,2001.

QUESTÃO Nº 42.

Considere a transformação linear definida por T: R2 →R

2, definida por

T(x,y) = . Com relação a esse operador, analise as asserções a

seguir.

O núcleo de T é um subespaço vetorial de R 2

de dimensão 1.

PORQUE

T é um operador normal.




B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma



falsa.


verdadeira.


Gabarito: D

Tipo de questão: Média

Conteúdo avaliado: operador linear, núcleo de uma transformação linear, operador

normal.


Comentário:

Para resolver a questão, é necessário o conhecimento dos conceitos de

operador linear, núcleo de uma transformação linear e operador linear.

Para avaliação da primeira asserção (O núcleo de é um subespaço vetorial de

R 2

de dimensão 1).

1. O núcleo ou Kernel de uma transformação linear : R2 →R

2 é definido por

ker( )={( , ); ( , )=(0,0)}.

2. O núcleo ou kernel de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu

domínio.

A demonstração é simples:

Ker( ) não é vazio, pois 0V é um elemento de Ker( ), já que (0V) = 0V

Se Ker( ) então ( ) = ( = 0, logo, pela linearidade de ,

( ) = 0 e Ker( )

Se e Ker( temos ( ) = 0, logo ( ( ) = 0 =0, ou

seja, Ker( .

O núcleo de T é um subespaço vetorial de R 2

de dimensão 1 (FALSA).

Deve-se avaliar, então, o núcleo da transformação linear dada.

( , ) = . Ou seja,

Igualando-se as coordenadas, tem-se o sistema dado por:

{

Cuja solução é = 0 e = 0.

A primeira asserção é falsa, pois o núcleo encontrado é um subespaço vetorial

com dimensão zero, pois apenas o vetor nulo faz parte dele.

Para avaliação da segunda asserção:

T é um operador normal (VERDADEIRA)

1. : R2 →R

2 é um caso particular importante de espaços vetoriais - é o espaço

das transformações lineares de um espaço vetorial nele mesmo (operadores

lineares).

2. Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço

tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do

produto de operadores.

3. é um operador normal se o * = *

o , em que * é o operador adjunto

de .

4. Operador adjunto: Seja V um espaço vetorial. O operador adjunto, de um

determinado operador linear : R2 →R

2 é definido pela igualdade:

< u, v>=<u, *v>, V= W = R2, u,v R

2. Vale, também, que

<u, v>= < *u,v>

Sejam = (a,b) e = (c,d) R2.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Composi%C3%A7%C3%A3o_de_fun%C3%A7%C3%B5es

Obtendo o operador adjunto *:

< )>=< (a,b), (c,d)> = (a,b). (2c+6d, 6c+2d) = 2ac+6ad + 6bc+2bd =

=(2a+6b).c + (6a+2b).d= <(2a+6b,6a+2b),(c,d)>=< * , >

Logo, T*u = T

*(a,b) = (2a+6b,6a+2b)

Mostrando a comutatividade dos operadores:

o *= ( *u)) = T(2a+6b,6a+2b) =

= (2(2a+6b)+6(6a+2b), 6(2a+6b)+2(6a+2b)) =

= <(4a+12b+36a+12b),(12a+36b+12a+4b)>=(40a+24b,24a+40b)

o *=(40a+24b,24a+40b)

*o = *

( u))= *(2a+6b,6a+2b)=

= (2(2a+6b)+6(6a+2b), 6(2a+6b)+2(6a+2b))=

= (4a+12b+36a+12b,12a+36b+12a+4b)=(40a+24b, 24a+40b)

T*oT = (40a+24b, 24a+40b)

Assim, T*oT=ToT

*. Isto mostra que T é um operador normal. A segunda asserção é

verdadeira.

Segue-se que a alternativa D é a correta, pois a primeira asserção é falsa e a segunda

é verdadeira.

Referências:

STEINBRUCH, A., WINTERLE, P. Álgebra Linear. Editora Makron Books. 1987.

ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre:

Bookman, 2001.

BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. Harbra. 1984.

QUESTÃO Nº 43

Considerando

√ o campo elétrico criado por uma carga q

localizada na origem, analise as afirmações abaixo.

I. O campo elétrico criado pela carga q é de classe em

II. Independe do raio da superfície esférica o fluxo do campo através de uma

superfície esférica de raio r, centrada na origem, cuja normal aponta para fora

da esfera.

III. É sempre um número maior que 4 o fluxo do campo através de uma

superfície esférica de raio r, centrada na origem, cuja normal aponta para fora

da esfera.


A) II, apenas.

B) III, apenas.

C) I e II, apenas.

D) I e III, apenas.

E) I, II e III.

Gabarito: A


Conteúdo avaliado: Funções de várias variáveis, cálculo de áreas, volume e outros.

Autor (a): JOELMIR DIVINO CARLOS FELICIANO

Comentário:

Essa questão está relacionada com a disciplina CÁLCULO DE VÁRIAS

VARIÁVEIS OU CÁLCULO III, dependendo do nome que se coloca nas disciplinas

vista por todos os alunos que fazem o curso de MATEMÁTICA. Apesar de ser uma

aplicação á FÍSICA, este assunto é comum e fácil de ser encontrado nos livros de

cálculo de várias variáveis.

É uma questão com grau de dificuldade de FÁCIL/MÉDIO, pois o aluno

precisa estar bem preparado quanto à teoria (FLUXO DE UM CAMPO VETORIAL)

para respondê-la, ou seja, ter um razoável conhecimento sobre a LEI DE GAUSS.

A resposta correta é a letra A que contém o item II como verdadeiro.

Vamos analisar a questão por partes.

O item I. (FALSO).

Não existem classes para campo elétrico criado pela carga q.

O item II. (VERDADEIRO).

Para resolver a questão é necessário o conhecimento de fluxo de campo

vetorial e lei de Gauss apresentados como segue.

Definição: Fluxo de um campo vetorial através de uma superfície - resultado

da integral (soma), em toda a superfície, do produto escalar entre o campo vetorial e

o vetor normal (perpendicular) a cada elemento infinitesimal dessa superfície.

Esta definição nos diz que o fluxo de um campo vetorial qualquer (função da

posição), através de uma superfície S, é dado pela seguinte expressão:

∬

, (I), em que; é o chamado elemento infinitesimal da área

orientada. É uma “área vetorial”, isto é, tem uma área (módulo), mas essa área

existe e está orientada no espaço – perpendicularmente ao seu versor (vetor unitário)

normal (figura 1). (II).

Pela definição e pela expressão I, verificamos ser esta noção de fluxo, uma

grandeza escalar, um número, portanto. No nosso caso, o que significará esse

número? Qual a sua grandeza física (e consequente unidade física), quando o campo

vetorial não for um campo qualquer, mas for mesmo o campo elétrico ? Estaremos

então a quantificar o valor do fluxo do campo elétrico através de uma dada

superfície (e que superfície?).

Lei de Gauss

A lei de Gauss (ou lei do fluxo do campo elétrico) é a aplicação da expressão

do fluxo (I), para o campo elétrico , quando a superfície considerada é fechada e

encerra as cargas elétricas no seu interior. Relaciona o fluxo (quantidade de linhas do

campo elétrico) que atravessam a superfície e a quantidade de carga elétrica que

origina esse mesmo fluxo. A relação entre o fluxo e a superfície nos dá também a

noção de densidade de fluxo elétrico (quão próximas estão as linhas do campo

elétrico, entre si).

∬

, (II).

À superfície fechada por onde vamos calcular o fluxo – chamamos

apropriadamente – superfície gaussiana (SG na expressão II). É uma superfície

imaginária (matemática) que concebemos em torno das cargas elétricas. Na prática

equivalerá a um sensor que existe totalmente em torno dos fenômenos que queiramos

estudar.

Mas como resolvemos o problema de saber qual a orientação do versor normal à

superfície infinitesimal? A direção normal à superfície tem sempre dois sentidos.

Qual devemos escolher? No nosso caso particular da aplicação da lei de Gauss isso é

fácil de definir. Como usamos superfícies gaussianas fechadas, consideramos

sempre a normal que aponta de dentro para fora da superfície, portanto o nosso

versor é positivo nessa condição.

A lei de Gauss se refere a qualquer superfície fechada, logo se aplica

também a uma superfície esférica na qual o nosso problema está relacionado e

aponta a alternativa A como verdadeira.

O item III. (FALSO).

É falso pelo simples fato de dizer que é sempre um número maior que 4.

Como vimos na teoria acima em momento nenhum se afirma isso, pois a teoria não

define nenhum valor, logo isso vale para qualquer valor e não para um número maior

que 4.

Referências:

1. Marsden, Jerrold e Tromba, Anthony: Vector Calculus, 2nd Edition, W.H.

Freeman & Company, San Francisco, 1981.

2. Pinto, Diomara e Morgado, Maria Cândido Ferreira: Cálculo Diferencial e

Integral de Funções de Várias Variáveis, Editora UFRJ, Rio de Janeiro, 1997.

3. Stewart, James: Cálculo, Volume 2, 6a edição norte-americana, Editora

Cengage Learning, SP, 2010.

4. Fusaro Pinto, Márcia Maria, Introdução ao Cálculo Integral, Editora UFMG,

Belo Horizonte, 2010.

5. Avritzer, Dan, Geometria Analítica e Álgebra Linear: uma visão geométrica,

Tomo I, Editora UFMG, Belo Horizonte, 2009.

6. Avritzer, Dan, Geometria Analítica e Álgebra Linear: uma visão geométrica,

Tomo II, Editora UFMG, Belo Horizonte, 2009.

7. STEWART, James. Cálculo. v.2. São Paulo: Cengage Learning, 2011.

QUESTÃO Nº 44

Um dos problemas mais antigos da Matemática é encontrar raízes de equações

polinomiais. Quando se fala de variáveis complexas, sabe-se que toda equação

polinomial de grau n possui exatamente n zeros. No entanto, um problema que surge

nesse ponto é que nem sempre conseguimos dizer quem são essas n raízes. Como

Corolário do Princípio do Argumento, um dos principais resultados da Análise

Complexa e particularmente da Teoria dos Resíduos, tem-se o Teorema de Rouché,

que possibilita, em algumas situações, localizar os zeros de equações polinomiais.

Segue abaixo o enunciado desse teorema.

Considere f e gfunções que são meromorfas (holomorfas a menos de um conjunto

discreto de polos) em um subconjunto não vazio, aberto e conexo U do conjunto

dos números complexos e uma curva fechada simples (sem

autointerseções), cujo interior Resteja contido em U. Se não contém polos de f e

nem zeros de g e |f(z)| > |g(z)|, para todo z , então

Z(f + g, R) – P(f + g, R) = Z(f, R) – P(f,R)

Em que Z(h, A) e P(h, A) denotam, respectivamente, o número de zeros e o número

de polos de uma função h em A.

Considerando o teorema acima e a equação z5 -2z

3 + 5 = 0, conclui-se que existem

raízes dessa equação que satisfazem à condição.

A)0 |z| 1.

B)1 |z| 2.

C)2 |z| 3.

D)3 |z| 4.

E) |z| 4.

Gabarito: B


Conteúdo avaliado:Funções de uma Variável Complexa: Funções Holomorfas,

Funções Meromorfas, Singularidades e Teoria de Resíduos.

Autor:Rayner Ferreira Barbosa da Costa

Comentário:

Para solucionar tal questão precisamos de alguns conceitos de Análise Complexa, tais

conceitos estão a seguir.

Definição 1- Uma função f:U é analítica ou holomorfa no ponto z0 se ela é

diferenciável numa vizinhança de z0. Uma função f:U é analítica ou holomorfa

em U, quando ela é holomorfa em todos os pontos de U.

Definição 2 – Singularidade de uma função complexa é um ponto do domínio onde a

função não é analítica. De forma mais precisa, tem-se que z0 e f uma função

complexa, dizemos que ftem uma singularidade isolada em z0, se existe r > 0 tal que

f é analítica no conjunto (z0,r) = {z ; 0 < |z - z0|< r} mas não é analítica em z0.

Caso f tenha uma singularidade isolada em z0, f pode ser representada em (z0,r) por

uma série de Laurent centrada em z0. Dizemos que z0 é uma polo de f se an 0 para

apenas um número finito não nulo de índices n negativos nesta série de Laurent.

A partir deste momento começaremos a resolver nossa questão.

Em primeiro lugar provaremos que as raízes da equação z5 -2z

3 + 5 = 0 não se

encontram na bola aberta centrada na origem e raio um, denotada por B(0,1) = {z

; |z| < 1}. Com efeito, usando o Teorema de Rouché, tome as seguintes funçõesf(z)=

5 e g(z)= z5– 2z

3, a curva = C(0,1) = {z ; |z|=1}. Logo a região interior a

é a B(0,1). Evidentemente temos que as funções f e g são meromorfas, é

uma curva fechada simples, não contém polos de f e nem zeros de g.Temos

também que |f(z)| > |g(z)|, para todo z De fato, |f(z)| = |5| = 5 e |g(z)| = |z5-

2z3| = |z

3(z

2 - 2)| = |z|

3|z

2 - 2| |z|

3(|z|

2 + 2) = 3, pois |z|= 1. De onde |f(z)| > |g(z)|,

para todo z Portanto estamos nas condições impostas pelo Teorema de

Rouché. Logo podemos concluir que Z(f + g, R) – P(f + g, R) = Z(f, R) – P(f,R), ou

equivalentemente tem-se que Z(z5 - 2z

3 + 5, B(0,1)) – P(z

5 - 2z

3 + 5, B(0,1)) = Z(5,

B(0,1)) – P(5,B(0,1)), como P(z5 - 2z

3 + 5, B(0,1)) = P(5,B(0,1)) = 0, pois tais

funções não possuem polos.

Segue-se então que

Z(z5 - 2z

3 + 5, B(0,1)) = Z(5, B(0,1)).

Como f(z)= 5 não possui zeros na B(0,1) segue-se que a equação z5 - 2z

3 + 5 = 0 não

possui raízes na B(0,1).

Agora resta mostrar que as raízes pertencem a B(0,2). O processo é bem semelhante

ao caso anterior. Com efeito, usando o Teorema de Rouché, tome as seguintes

funções f(z) = z5 e g(z) = – 2z

3 + 5, a curva = C(0,2) = {z ; |z|=2}. Logo a

região interior a é a B(0,2). Evidentemente temos que as funções f e g são

meromorfas, é uma curva fechada simples, não contém polos de f e nem

zeros de g. Temos também que |f(z)| > |g(z)|, para todo z De fato,

|f(z)| = | z5| = |z|

5= 2

5 = 32, pois |z| = 2 e |g(z)| = |– 2z

3 + 5| |2z

3| + 5 = 2|z|

3 + 5 =

2.23 + 5 = 21, pois |z| = 2. De onde |f(z)| > |g(z)|, para todo z Portanto estamos

nas condições impostas pelo Teorema de Rouché. Logo podemos concluir que Z(f +

g, R) – P(f + g, R) = Z(f, R) – P(f,R), ou equivalentemente tem-se que Z(z5 - 2z

3

+ 5, B(0,2)) – P(z5 - 2z

3 + 5, B(0,2)) = Z(z

5, B(0,2)) – P(z

5,B(0,2)), como P(z

5 -

2z3 + 5, B(0,2)) = P(z

5,B(0,2)) = 0, pois tais funções não possuem polos. Segue-se

então que Z(z5 - 2z

3 + 5, B(0,2)) = Z(z

5,B(0,2)). Observe que a função f(z) = z

5 tem

um zero em B(0,2) que é o número 0 de multiplicidade 5. Portanto, z5 - 2z

3 + 5 = 0

tem 5 raízes na B(0,2).

O resultado liquido dos dois casos acima diz que a equação z5 - 2z

3 + 5 = 0 possui

suas 5 raízes satisfazendo a condição 1 |z| 2.

Referências:

1) SOUZA, C.F.; COSTA, N.B.J. Introdução às funções de uma variável

complexa. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.

2) ÁVILA, G. S de S. Variáveis complexas e aplicações. 3. Ed. Rio de Janeiro:

LTC, 2000.

3)SHOKRANIAN, S.Variável complexa 1. Brasília: Editora UnB, 2002.

QUESTÃO Nº 45

A aplicação ilustrada na figura abaixo é uma isometria entre a faixa plana

e o cilindro circular reto . A isometria leva o segmento de reta em um arco de

circunferência em e o segmento de reta em um segmento de reta de .

Nessa situação, a imagem do segmento de reta pela isometria é uma

A. Espiral da superfície .

B. Curva plana contida em

C. Geodésica da superfície

D. Linha assintótica da superfície

E. Linha de curvatura da superfície .

Gabarito: C

Tipo de questão: Difícil

Conteúdo avaliado: Geometria diferencial

Autor(a): Brunna Brito Passarinho

Comentário:

Esta é uma questão que diz respeito à Geometria Diferencial, com foco no assunto de

superfícies isométricas, geodésicas e curvaturas normal e principal.

Para conseguir responder a questão o aluno deve saber o que significa duas

superfícies serem isométricas e as consequências deste fato, quando uma curva no

espaço é considerada plana, quais são as geodésicas do plano e do cilindro, assim

como o que são linhas de curvatura e assintóticas de uma superfície.

A seguir faremos um breve resumo sobre os tópicos mencionados acima com o

intuito de justificar a validade de cada uma das alternativas propostas no enunciado

da questão.

Durante o texto utilizaremos e para denotar duas superfícies regulares, não

necessariamente a faixa do plano e o cilindro citados no enunciado da questão,

quando for necessário explicitaremos que estamos utilizando as superfícies citadas no

enunciado.

Def.1: Uma aplicação é uma isometria se é um difeomorfismo e para

todo e todos os pares , temos

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ .

Diz-se então que as superfícies e são isométricas.

Como consequência desta definição temos que a isometria entre superfícies

preserva a primeira forma fundamental de tais superfícies.

No caso da faixa do plano e do cilindro podemos considerar a seguinte

expressão para a isometria ,

e .

Assim, leva as retas horizontais , as verticais e as diagonais

,com ,do plano em paralelos (arcos de circunferências),

meridianos (retas) e hélices passando por do cilindro.

Recorde que uma hélice é uma curva diferenciável parametrizada a qual os vetores

tangentes em diferentes pontos formam um ângulo constante com uma direção fixa.

Por exemplo, a curva tem por traço uma hélice

(veja figura abaixo) contida num cilindro. Quando a hélice não completa o arco de

cilindro, isto é, , dizemos que o traço é um arco de hélice. Enquanto que para

os casos onde o arco de cilindro é coberto, , caracterizamos o traço como

hélice mesmo ou, em algumas literaturas, este traço é denominado como uma espiral

do cilindro.

Passemos agora à definição de geodésica de uma superfície.

Def.2: Uma curva parametrizada, não constante, é

chamada geodésica em se o seu campo de vetores

tangentes é paralelo ao longo de , isto é, se

.

Assim é dita geodésica parametrizada se é geodésica para

todo .

Na definição acima a condição

se refere à derivada covariante de um

campo de vetores ao longo de uma dada direção do plano tangente de uma superfície,

e geometricamente trata da projeção da derivada

sobre o plano tangente à

superfície num determinado ponto. A derivada covariante é um objeto que depende

apenas da primeira forma fundamental da superfície, isto pode ser visto expressando-

a numa parametrização da superfície. Assim esta é preservada por isometrias,

consequentemente as geodésicas também serão preservadas por isometrias, ou seja, a

imagem de uma geodésica de pela isometria será uma geodésica de .

Geometricamente, uma curva regular de uma superfície é uma geodésica se e só se

sua normal principal em cada ponto da curva é paralela à normal da superfície neste

ponto. Lembre-se que: a normal principal de uma curva é a reta que passa por um

ponto desta curva na direção do vetor normal à curva neste ponto e que a normal da

superfície num dado ponto desta é a reta que passa por este ponto e tem a direção do

vetor normal à superfície neste ponto.

Com esta noção geométrica iremos caracterizar as geodésicas do plano e do cilindro.

Considerando então o plano teremos que as geodésicas serão as retas. Pois ao

considerarmos qualquer reta num plano o vetor normal a esta reta será paralelo ao

vetor normal ao plano por este ponto (figura).

No caso do cilindro faremos a caracterização das geodésicas através da isometria

entre a faixa do plano e o cilindro, visto que isometrias preservam geodésicas. Como

mencionado anteriormente as retas horizontais, verticais e diagonais do plano são

levadas em circunferências, segmentos de reta e hélices no cilindro. Assim podemos

afirmar que estas curvas do cilindro são as geodésicas desta superfície. Estas serão

únicas pois as retas são as únicas geodésicas do plano.

Passaremos agora para os conceitos de linhas de curvatura e assintótica. Antes faz-se

necessário recordar mais algumas definições.

Def.3: Seja uma curva regular em passando por um ponto , a curvatura

de em , e ⟨ ⟩, onde é o vetor normal a e é o vetor normal a

em . O número é chamado a curvatura normal de em .

Def.4: Dado um vetor unitário , a curva resultante da interseção de com o

plano contendo e é chamada a seção normal de em segundo , e esta

curva tem vetor normal igual a ou zero.

Fazendo a junção destas duas definições conseguimos uma maneira de obter a

curvatura normal de uma curva, esta será igual em valor absoluto à curvatura da

seção normal de em , segundo .

Desta maneira como num plano as seções normais serão retas cuja curvatura é nula,

conclui-se que todas as curvaturas normais no plano serão nulas. Já no cilindro as

seções normais vão variar de retas, passando por elipses até chegar em círculos

(figura), desta maneira temos que a curvatura normal varia de zero (curvatura de

retas) até (curvatura dos círculos), sendo o raio do cilindro.

Ao ver o exemplo acima, do valor das curvaturas normais no cilindro, surge uma

terminologia para o valores máximo e mínimo da curvatura normal conforme

definição a seguir:

Def.5: O máximo da curvatura normal e o mínimo da curvatura normal , são

chamados curvaturas principais em ; as direções correspondentes a tais valores são

ditas direções principais em , estas direções correspondem aos vetores que foram

utilizados para a construção da seção normal que resultou no valor das curvaturas

normais em questão.

Desta maneira podemos afirmar que no plano todas as direções são principais, visto

que a curvatura normal é sempre constante igual a zero. Enquanto que no cilindro as

direções principais serão os vetores paralelos ao plano coordenado ortogonal ao eixo

do cilindro e também os vetores paralelos ao eixo do cilindro, pois correspondem aos

vetores tangentes às seções normais dadas por retas (mínimo da curvatura normal) e

círculos (máximo da curvatura normal) no cilindro.

Def.6: Se uma curva na superfície é tal que para todo ponto a reta

tangente a é uma direção principal em , então dizemos que é uma linha de

curvatura de .

Def.7: Seja um ponto em . Uma direção assintótica de em é uma direção de

para a qual a curvatura normal é nula. Assim, uma curva assintótica de é

uma curva conexa e regular da superfície tal que para todo ponto desta curva a reta

tangente à curva neste ponto é uma direção assintótica, isto é, para todo vetor

tangente à curva a seção normal neste ponto terá curvatura nula.

Análise das alternativas

A. Espiral da superfície . (ERRADA)

Como o cilindro obtido pela imagem da é incompleto, isto é, está faltando um

meridiano, temos que a imagem não completará um arco de cilindro,

constituindo apenas um arco de hélice, assim como ocorreu com a reta horizontal

cuja imagem é um arco de circunferência. Logo, esta imagem não pode ser

denominada uma espiral do cilindro.

B. Curva plana contida em . (ERRADA)

Por definição uma curva é dita plana quando seu traço (imagem) está contido num

plano. E, por hipótese, a imagem está contida num cilindro, que não é um

plano. Logo não é uma curva plana em .

C. Geodésica da superfície (CORRETA)

Na breve revisão teórica feita anteriormente vimos que as geodésicas do cilindro são

as retas, círculos ou hélices. Enquanto que as geodésicas do plano são as retas. Por

hipótese é um isometria, e como vimos, preserva geodésicas. Assim, como é

uma reta de segue que esta é uma geodésica de então concluímos que

será uma geodésica de .

D. Linha assintótica da superfície . (ERRADA)

Conforme argumento presente no item A. temos que a imagem de é um arco de

hélice, e ao considerarmos a seção normal de por qualquer ponto de teremos

elipses, cuja curvatura é não nula. Assim, com base na definição de linhas

assintóticas, concluímos que não é uma linha assintótica da superfície .

E. Linha de curvatura da superfície .

Novamente, recorde que a imagem de é um arco de hélice, e pelo que vimos na

resenha acima as linhas de curvatura do cilindro são as retas e as circunferências, pois

os vetores tangentes a qualquer uma destas curvas por qualquer ponto serão direções

principais do cilindro. Logo não é uma linha de curvatura da superfície

Referências:

1) Carmo, Manfredo Perdigão do. Geometria diferencial de curvas e superfícies –

4. Ed. – Rio de Janeiro: SBM, 2010.

2) Tenenblat, Keti. Introdução à geometria diferencial – 1ª reimpressão – Brasília:

Editora Universidade de Brasília, 1990.

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eBook: Matemática