Eduardo

ALEXANDRIA Revista de Educao em Cincia e Tecnologia, v.5, n.3, p.127-148, novembro 2012 ISSN 1982-5153

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O Conceito de Induo Finita na Compreenso de Estudantes

de Um Curso de Matemtica

EDUARDO MACHADO DA SILVA1 e ANGELA MARTA PEREIRA DAS

DORES SAVIOLI2

1 Faculdade de Tecnologia FATEC, Gara/SP, [email protected] 2 Departamento de Matemtica, Centro de Cincias Exatas, Universidade Estadual de Londrina

(UEL), Londrina, Paran, [email protected], [email protected]

Resumo. Considerando trabalhos de Balacheff (1987 e 1988), Hanna (1989) e Palis (2001), abordamos

neste artigo a anlise de registros escritos de estudantes de um curso de Matemtica em questes

envolvendo induo finita. O objetivo foi investigar se esses estudantes compreenderiam a diferena entre

induo emprica e induo finita, bem como esta ltima como demonstrao formal. Desenvolvemos o

trabalho luz da engenharia didtica e, aps o confronto entre a anlise a priori e a anlise a posteriori,

este apontou que alguns estudantes associam a induo finita com a induo emprica. Alm disso, com o

desenvolvimento da sequncia didtica, verificamos que outros estudantes passaram do nvel do

empirismo ingnuo para o nvel do experimento de pensamento, ou seja, se encontram em um momento

de transio entre as provas pragmticas e as provas conceituais, consideradas por Balacheff (1988) e,

realizando provas que provam, segundo Hanna (1989).

Abstract. Considering Balacheff (1987 and 1988), Hanna (1989) and Palis (2001), in this article we

analyze written records of mathematics undergraduate students in matters involving finite induction. The

objective of this study was to investigate whether these students understand the difference between

empirical induction and finite induction, the latter as well as formal demonstration. We developed the

study in the perspective of didactic engineering and after the confrontation between the analyses a priori

and a posteriori analysis, this indicated that some students still associate the finite induction with

empirical induction. Moreover, with the development of didactic sequence, we found that other students

have passed the level of nave empiricism to the level of thought experiment, i.e, they are in a transition

between the pragmatic proves and conceptual proves, considered by Balacheff (1988), and making proofs

that prove.

Palavras-chave: Educao Matemtica, Demonstraes, Induo Finita,Ensino Superio

Keywords: Mathematics Education, Demonstrations, Finite Induction, Higher Education.

Introduo

comum verificar que estudantes de cursos de Matemtica, ao demonstrarem

proposies envolvendo o princpio de induo finita, utilizam como referncia

exemplos e/ou questes propostas e resolvidas em livros didticos ou exerccios

selecionados por professores. Dessa forma, a demonstrao por induo finita seria

caracterizada por um processo automtico de aprendizagem no qual o objetivo do

estudante resolver questes com base em exemplos ou em exerccios resolvidos. Ao

utilizarem deste mtodo, estudantes ressaltam a inexistncia de reflexo sobre o

significado da proposio que esto provando e o interesse apenas em resolver o

problema, fazendo uso dessa tcnica como um algoritmo sem associ-la ao teorema de

EDUARDO MACHADO DA SILVA e ANGELA MARTA PEREIRA DAS DORES SAVIOLI

128

induo finita. Acreditamos ser importante abordar esse tema na formao de

licenciados.

Nessa perspectiva, o objetivo deste trabalho apresentar a anlise dos registros

escritos de estudantes de um curso de Matemtica em questes de induo finita

investigando se compreenderiam a diferena entre induo emprica e induo finita,

bem como esta ltima como demonstrao formal.

Considerando a induo finita como um tipo de demonstrao, buscamos em

Hanna (1989) e Balacheff (1988) aportes a respeito de provas e demonstraes. Para

Balacheff (1988) h dois tipos de prova: as provas pragmticas que consistem em aes

ou mostraes e as provas conceituais que se caracterizam por formulaes de

propriedades e as possveis relaes entre elas. As demonstraes seriam consideradas

um tipo de prova conceitual e segundo esse autor as provas pragmticas seriam

produzidas por pessoas que tomam como base fatos e aes. A comunicao de tais

resultados se d por meio de exemplos onde o sujeito manifesta e apresenta suas ideias.

As provas conceituais precisam de uma mudana de posio da pessoa que a realiza, j

que sua atuao nessa perspectiva passa a ser de um terico. Para elaborao de uma

demonstrao na perspectiva da prova conceitual, o terico precisa ter acesso a uma

linguagem que se constitui como uma ferramenta intelectual, na qual se denomina como

uma linguagem funcional. Nesse caso a linguagem no apenas um meio de descrever

as operaes e aes. Para Balacheff (1987) o que tornam as provas pragmticas e

conceituais diferentes so os tipos de raciocnios subjacentes e a natureza do

conhecimento em questo.

Balacheff (1988) admite a existncia de vrios nveis de provas pragmticas e

provas conceituais que podem ser classificados em:

- Empirismo Ingnuo: consiste em afirmar a verdade de uma proposio aps a

verificao de alguns casos. considerado o primeiro passo no processo de

generalizao;

- Experimento Crucial: consiste em afirmar a verdade de uma proposio aps a

verificao para um caso especial, no familiar;

- Exemplo Genrico: consiste em afirmar a verdade de uma proposio aps a

manipulao de alguns exemplos de modo a deix-los com uma caracterstica que

representa uma classe de objetos;

- Experimento de Pensamento: consiste em afirmar a verdade de uma proposio

de forma genrica, porm baseada no estudo de alguns casos especficos.


129

O autor destaca que as provas pragmticas situam-se no contexto do empirismo

ingnuo e do experimento crucial e as provas conceituais so estabelecidas no plano do

experimento de pensamento. As provas situadas no exemplo genrico caracterizam um

momento de transio entre as provas pragmticas e as provas conceituais.

Hanna (1989) apresenta as provas que provam e as que explicam destacando

uma distino entre as mesmas. As provas que explicam procuram apresentar as ideias

de maneira clara a fim de encadear um encaminhamento lgico para o desenvolvimento

da demonstrao. A autora explicita essa diferena como: Uma demonstrao que

prova mostra apenas que um teorema verdadeiro; uma demonstrao que explica

tambm mostra por que ele verdadeiro. (HANNA, 1989, p. 46) Como consequncia

pedaggica esta autora relata que as provas que explicam esto ao alcance dos

estudantes, pois esto presentes nesse tipo de prova as ideias do cotidiano deles e so

desafiados a encontrar argumentos que justifiquem os resultados.

Procedimentos Metodolgicos e Experimentao

Como procedimento metodolgico, luz da engenharia didtica, adotamos as

seguintes etapas: anlises preliminares, anlises a priori, experimentao e anlise a

posteriori e validao.

Nas anlises preliminares o fenmeno que procuramos identificar foi a

dificuldade que alguns estudantes de cursos de licenciatura em Matemtica possuam

acerca do objeto matemtico induo finita. Palis (2001) observa que os estudantes

apresentam dificuldades em redigir uma demonstrao usando a induo finita: a)

analogia feita a partir do termo induo, apontando a necessidade de distinguir a palavra

induo que est presente tanto na denominao de induo emprica quanto no mtodo

de demonstrao por induo finita; b) necessidade de verificar os dois passos na

induo finita; c) diversidade de ideias que permeiam o conceito de induo finita.

Assim, desenvolver uma sequncia didtica abordando a induo finita e contemplando

atividades envolvendo essas dificuldades, seria oportunizar aos estudantes uma reflexo

a respeito do assunto.

A partir da bibliografia bsica indicada nos planos de ensino das disciplinas

(Elementos de Matemtica, lgebra A e Anlise) que contemplam o contedo induo

finita, do curso de Matemtica ao qual pertencem os sujeitos da pesquisa, dos anos de


130

2006, 2007 e 2008 foi possvel averiguar quais os livros que tratavam da induo finita,

destacando-se entre eles as obras de Domingues e Iezzi (2003) e Gernimo e Franco

(2002). Com relao ao primeiro, a induo finita tratada no captulo sobre os

nmeros inteiros. A abordagem realizada a partir do princpio da boa ordenao sendo

apresentados dois enunciados para o princpio de induo finita e os autores tratam o

assunto induo finita apenas com o termo induo. No segundo livro a induo finita

ocorre na sesso sobre mtodos dedutivos e a introduo se d pela discusso das

proposies 41,:)( 2 nnNnnP primo e 2

)1(...21,:)(

nnnNnnP .

A discusso que tais autores apresentam acerca dessas proposies utilizada com o

intuito de diferenciar o mtodo indutivo do dedutivo.

Construmos a sequncia didtica baseada em problemas de Watanabe (1986),

Lopes (1999), Lima (2006) e Hefez (1993) com algumas adaptaes, e apresentando

[...] a induo finita via axiomas de Peano, pois se acredita que esta forma

facilita a compreenso da mesma e deixa clara para o estudante a estrutura do

mtodo, isto , mostra a importncia das condies a e b para a concluso de

que P(n) verdadeira para qualquer n natural (SAVIOLI, 2007, p. 45).

Considerando N o conjunto dos nmeros naturais, os axiomas de Peano, segundo

Lima (2006), so:

a) existe uma funo N,N: s que associa a cada Nn um elemento

N,)( ns chamado sucessor de n, que significa dizer todo nmero natural possui um

nico sucessor, que tambm um nmero natural;

b) a funo NN: s injetiva, ou seja, nmeros naturais diferentes possuem

sucessores diferentes;

c) existe um nico elemento 0 no conjunto N, tal que )(0 ns para todo N,n isto , 0

o nico nmero natural que no sucessor de nenhum outro;

d) Se um subconjunto X N tal que 0 N e s(X) X (isto , n X s(n) X),

ento X = N. Isso significa dizer que se um conjunto de nmeros naturais contm o

nmero 0 e, alm disso, contm o sucessor de cada um de seus elementos, ento esse

conjunto coincide com N, isto , contm todos os nmeros naturais.

A partir dos axiomas de Peano podemos enunciar o princpio de induo finita:

Princpio de Induo Finita (Teorema): Seja P(n) uma proposio envolvendo um

nmero natural n e suponha que:


131

a) P(0) verdadeira;

b) k N, P(k) verdadeira P(k+1) verdadeira.

Ento P(n) verdadeira para todo n N.

Dem.

Consideremos o seguinte subconjunto de N, A = {n N / P(n) verdadeira}.

Observemos que 0 A, pois P(0) verdadeira e decorre do item a do teorema. Alm

disso, para todo n A, P(n) verdadeira implica P(n+1) verdadeira, que deriva do item

b do teorema, implicando que n+1 A. E, portanto, em decorrncia do axioma d,

conclumos que A = N.

Na anlise a priori, para cada questo, foram realizados comentrios justificando

a escolha da mesma, as possveis solues e as provveis dificuldades que os estudantes

apresentariam.

O experimento foi realizado no primeiro semestre de 2009, em uma turma

composta por 23 estudantes de um curso de licenciatura em Matemtica de uma

universidade estadual paranaense. As atividades da sequncia didtica foram

desenvolvidas nas aulas da disciplina Tpicos de Educao Matemtica II que

oferecida para os estudantes da 3 srie. Esta escolha levou em considerao o fato de

que eles haviam estudado nas disciplinas de Elementos de Matemtica e lgebra A, o

conceito de induo finita. Foram realizadas quatro sesses, no sequenciais, com duas

horas de durao e nem todos os estudantes participaram das etapas da sequncia. Para

anlise escolhemos os registros escritos dos treze estudantes que participaram de todas

as sesses. As atividades foram desenvolvidas em grupos de dois ou trs estudantes,

mas os registros foram individuais e identificados pela sigla E1S2Q3 significando que a

terceira questo da segunda sesso foi realizada pelo primeiro estudante da amostra.

No estudo que deu origem ao artigo explicitamos a anlise a posteriori e a

validao e comparamos com o que foi levantado na anlise a priori, bem como com os

conceitos discutidos por Hanna (1989) e as classificaes apresentadas por Balacheff

(1988). Aqui apresentaremos as questes da sequncia didtica, um resumo das anlises

contemplando as concepes dos tericos que emergiram dos registros dos estudantes e

a sistematizao dos dados obtidos, em cada sesso.


132

1 Sesso

Questo 1 A sentena n N, n < 9.876.543.210 verdadeira? Por qu? Justifique sua resposta.

Questo 2 verdade que n N, 412 nn um nmero primo? Por qu? Explique.

O objetivo dessas questes era de que os estudantes apresentassem um

contraexemplo para mostrar que tais afirmaes eram falsas. Confrontando as anlises,

foi possvel notar que o tipo de prova apresentada por alguns estudantes ocorreu como

previsto na anlise a priori, ou seja, utilizaram um contraexemplo para mostrar que as

proposies eram falsas. Outros alunos justificaram mencionando o fato de N ser

infinito, na primeira questo. Inferimos que esses estudantes utilizaram um experimento

de pensamento que constitui um tipo de prova conceitual. Um estudante afirmou que a

segunda proposio era verdadeira justificando que no encontrou um contraexemplo,

realizando um tipo de prova pragmtica, o empirismo ingnuo.

As provas dos estudantes referentes questo um so provas que explicam,

porque as justificativas contemplam suas explicaes em particular. Na segunda

questo, realizaram uma prova que prova, isto , o intuito deles consistiu em indicar o

contraexemplo que mostrasse que a proposio era falsa. Espervamos que a soluo

fosse apresentada aps algumas tentativas, isto , que a induo emprica seria utilizada

para justificar a soluo dada pelos estudantes.

Figura 1: soluo apresentada pelo estudante E1S1Q1



133

A maioria dos estudantes, como E1 e E5, admitiu a falsidade das questes um e

dois e apresentou contraexemplos, o que no ocorreu com a questo trs.

Questo 3 Ser que n N*, 1991 2 n no um quadrado perfeito? Justifique.

O intuito dessa questo era de que os estudantes realizassem verificaes para

encontrar um contraexemplo e mostrar que falsa. Porm, determinar-lo no era uma

tarefa fcil. Parte deles no recordava a definio de quadrado perfeito e alguns a

confundiram com a de trinmio quadrado perfeito. Os estudantes que responderam ser

uma afirmao verdadeira e justificaram suas respostas substituindo n por alguns

nmeros naturais, como por exemplo, n = 1, n = 2, a fim de testar se a proposio era

verdadeira ou no, realizaram um tipo de prova pragmtica denominada de empirismo

ingnuo. O estudante que respondeu ser falsa a proposio foi guiado pela sua intuio,

isso porque no dispunha de tempo suficiente para realizar todas as suas hipteses e

justificou que, em algum momento, seria possvel determinar a raiz quadrada de um

nmero natural. A seguir temos o registro escrito desse estudante.


Classificamos a resposta desse estudante como um experimento crucial que

tambm um tipo de prova pragmtica. Essa questo era uma tentativa de forar os

estudantes a utilizarem a induo emprica, porm no tivemos sucesso, pois optaram

por seguir outros caminhos nas respostas e nenhum aluno acertou a questo. Temos que

os estudantes esto preocupados em mostrar a validade ou no da proposio e isso

caracteriza suas provas como provas que provam, pois no se preocupam em apresentar

explicaes para indicar os procedimentos adotados.

Questo 4 n N*, a soma dos n primeiros nmeros mpares dada por n2? Por qu? Justifique sua resposta.


134

O objetivo dessa questo era verificar se os estudantes lembrariam e utilizariam

a induo finita para justificarem suas respostas, pois se trata de uma proposio

verdadeira. A partir das anlises notamos que alguns estudantes utilizaram a induo

finita para demonstrar a veracidade da proposio. Dessa forma, esses estudantes

realizaram um experimento de pensamento, um tipo de prova conceitual, como E13.


Os estudantes que justificaram suas respostas a partir de algumas verificaes

como as de E5 apresentaram indcios da utilizao da induo emprica e promoveram

um empirismo ingnuo, tipo de prova pragmtica.

Figura 5: verificaes apresentadas pelo estudante E5S1Q4

Para a resoluo desta questo houve tanto o emprego da induo finita quanto

da induo emprica por parte dos estudantes e essa caracterstica indica que existe uma

confuso em relao ao procedimento que deve ser adotado para encontrar a resposta

desta questo, isso porque os estudantes empregam ambos os processos. A seguir temos

o registro escrito do estudante E9, o qual no explicita alguns elementos caractersticos

da induo, ou seja, que valendo para n = 1, considerando a hiptese de induo e

valendo para n+1, teramos a afirmao verdadeira. Alm disso, ao tentar provar por

induo finita que se tratava de uma afirmao falsa, utilizou a induo finita de

maneira equivocada, caracterizando um experimento crucial.


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Encontramos nas resolues dos estudantes as provas que provam, ou seja, o

interesse dos estudantes consiste em encontrar uma soluo para o problema.

Questo 5 A sentena n N*, 22 n a soma de dois nmeros primos verdadeira? Por qu? Justifique sua resposta.

O objetivo dessa questo era verificar se os estudantes utilizariam a induo

emprica para demonstrar a validade ou no da Conjectura de Goldbach. Confrontando

as anlises temos que tanto os estudantes que responderam ser verdadeira quanto falsa

justificaram a partir de manipulaes de casos especficos. Logo, ocorreu o emprego do

empirismo ingnuo, tipo de prova pragmtica. Alm disso, realizaram provas que

explicam, pois os estudantes que apostaram em alguma justificativa, tentaram explicar

qual foi o procedimento utilizado. Destacamos o registro escrito do estudante E2 que

utilizou a induo emprica.


Questo 6 Para n N*, considere 17 nna . Os resultados obtidos so sempre

divisveis por 3? Por qu? Explique.

O objetivo dessa questo foi verificar se os estudantes utilizariam a induo

finita para demonstrar que a proposio verdadeira. Comparando as anlises temos

que apenas um dos estudantes provou que a afirmao verdadeira por meio da induo

finita, entretanto a demonstrao ficou restrita aplicao de um modelo, um processo

mecnico. Neste caso, o estudante tentou um tipo de prova conceitual, o experimento de

pensamento.


136

Os estudantes que justificaram suas respostas usando a induo emprica, isto ,

que afirmaram se tratar de uma proposio verdadeira a partir de algumas verificaes

realizaram um empirismo ingnuo, que um tipo de prova pragmtica. Novamente os

estudantes confundiram a induo finita com a induo emprica, mostrando que existe

confuso entre os mtodos indutivo e dedutivo.

As provas que provam se encontram presentes, isso porque o interesse dos

estudantes consistiu em apresentar uma soluo para o problema sem se preocupar em

explicar qual(is) procedimentos foram utilizados.

Inferimos que ao final da primeira sesso da sequncia didtica os estudantes

conseguiram diferenciar as caractersticas que permeiam tanto o conceito de induo

finita quanto o da induo emprica, porm continuaram utilizando a induo emprica

como uma prova que pode ser empregada na Matemtica. Como exemplo, temos o

registro escrito do estudante E2.


A seguir apresentamos o Quadro I com a sistematizao da primeira sesso,

destacando quantos estudantes realizaram os nveis e os tipos de prova.


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Quadro I Dados obtidos da anlise da primeira sesso

1 sesso Balacheff Hanna

Q1 Experimento de pensamento (13) Provas que explicam

Q2 Experimento de pensamento (12)

Empirismo ingnuo (1)

Provas que provam

Q3 Empirismo ingnuo (12)

Experimento crucial (1)

Provas que provam

Q4 Experimento de pensamento (10)

Experimento crucial (1)


Provas que provam

Q5 Sem resposta (5)


Provas que explicam

Q6 Sem resposta (4)

Experimento de pensamento (1)


Provas que provam

2 Sesso

Questo 1 Mostre que n N*, a soma dos n primeiros nmeros mpares dada por n

2.

Esta questo tinha como objetivo verificar se os estudantes utilizariam como

estratgia a induo finita para demonstrar a validade da frmula. A maioria dos

estudantes empregou este mtodo, porm, a partir das justificativas apresentadas

encontramos erros de manipulaes de expresses algbricas. Dessa forma, os

estudantes se aproximaram da prova conceitual denominada experimento de

pensamento. Apenas um estudante afirmou que a proposio era verdadeira e justificou

sua resposta apresentando alguns exemplos, realizando um empirismo ingnuo que

considerado um tipo de prova pragmtica.

Os estudantes apresentaram um tipo de prova denominado provas que provam,

porque no foi possvel encontrar explicaes de como procederam para chegar at a

concluso. Como exemplo, temos o registro escrito do estudante E3.


138


Questo 2 Uma Progresso Aritmtica com primeiro termo a1 e razo r uma

sequncia de nmeros cujo primeiro elemento a1 e tal que cada elemento, a partir

do segundo, igual ao anterior mais a razo. Em smbolos, se n 2 ento

raa nn 1 . Prove que o termo geral de uma Progresso Aritmtica dado por

rnaan )1(1 .

Esta questo refere-se frmula do termo geral de uma progresso aritmtica e o

objetivo continua sendo analisar quais as estratgias que os estudantes utilizariam para

provar a afirmao. Alguns justificaram suas respostas para essa questo por meio da

induo emprica, caracterizando um empirismo ingnuo, tipo de prova pragmtica. Os

demais estudantes tentaram aplicar a induo finita para justificar as respostas. Como

neste caso o uso da induo finita ficou caracterizado como um processo mecnico,

desenvolvido a partir de modelos conhecidos por eles, entendemos que tais estudantes

esto prximos de realizarem um experimento de pensamento, um tipo de prova

conceitual.

As respostas dos estudantes apresentaram provas que provam, pois no

encontramos a explicao deles de qual foi o procedimento para encontrarem uma

soluo. A seguir, temos os registros escritos dos estudantes E4 e E12, os quais

resolveram, respectivamente, por induo finita e de forma emprica.

Figura10: soluo apresentada pelo estudante E4S2Q2


139


Questo 3 Aps a criao do mundo, em um mosteiro escondido na ndia, o

Grande Criador colocou uma placa de bronze e nela fixou trs bastes cobertos de

diamantes. Em um dos bastes, em ordem decrescente de tamanho, colocou 64

discos de ouro. E assim disse aos monges: transfiram essa pilha de discos para outro basto, movendo, ininterruptamente, um disco de cada vez e nunca

permitindo que um disco fique acima de um menor. Quando terminarem essa

tarefa e os 64 discos estiverem em outro basto, este templo se reduzir a p e com

um estrondo de troves o mundo acabar. Dizem os sbios que o mundo foi criado a 4 bilhes de anos aproximadamente e os

monges, desde a criao, esto movendo os discos na razo de um disco por

segundo. Ser que o mundo vai acabar?

O problema da Torre de Hani foi proposto pelo matemtico francs Edouard

Lucas (1842 1891) em 1883. O nome Torre de Hani foi inspirado na torre smbolo da cidade de Hani, no Vietn.

1. Utilizando a Torre de Hani verifique quantos movimentos so necessrios para

movimentar 1 disco? E dois discos?

2. Com a Torre de Hani determine quantos movimentos so necessrios para

mover 3 discos?

3. possvel diminuir o nmero de movimentos realizados?

4. Repita os procedimentos anteriores, considerando 4, 5, e 6 discos

respectivamente.

5. Organize uma tabela com o nmero de discos utilizados e o nmero mnimo de

movimentos para transport-los de um basto para outro.

Discos

Movimentos

6. Analisando a tabela que voc organizou, possvel relacionar a quantidade de

discos com o nmero mnimo de movimentos para resolver o problema? Qual

essa relao? Expresse-a por meio de uma frmula.

O objetivo dessa questo era promover uma atividade experimental com os

estudantes, para que na sesso seguinte eles pudessem identificar as diferenas entre a

induo emprica e a induo finita. Consideramos que nesta etapa da atividade os

estudantes realizaram um experimento genrico, que uma etapa de transio entre as

provas pragmticas e as provas conceituais. Alm disso, tivemos as provas que


140

explicam. A seguir temos o Quadro II, explicitando os nveis de prova obtidos nos

registros escritos.

Quadro II Dados obtidos da anlise da segunda sesso




Provas que provam



Provas que provam

Q3 Exemplo genrico Provas que explicam

3 Sesso

Questo1 Em relao ao problema da Torre de Hani possvel construir um

quadro indicando a quantidade de discos e o nmero mnimo de movimentos para

mud-los de basto. Por exemplo:

Discos (n) 1 2 3 4 5

Movimentos

(m)

1 3 7 15 31

Analisando a tabela anterior, possvel concluir que para um nmero n qualquer

de discos temos que a quantidade de movimentos mnimos dada por: 12 nm .

- Mostre que a frmula anterior verdadeira

- Sabendo que, segundo os sbios, o mundo foi criado a 4 bilhes de anos e que h

64 discos na Torre original e ainda que os sbios esto movendo os discos na razo

de um disco por segundo responda: ser que o mundo ir acabar?

O objetivo nesta sesso era analisar qual seria a abordagem dos estudantes com

relao ao objeto de estudo, isto , a induo finita. A comparao entre as anlises a

priori e a posteriori dessa questo apontam que alguns estudantes apresentaram como

justificativa algumas substituies para mostrar que a frmula do nmero mnimo de

movimentos necessrios para passar os discos de um basto para outro da torre de

Hani verdadeira. Assim, esses estudantes se basearam na induo emprica,

promovendo um empirismo ingnuo, tipo de prova pragmtica.

Os estudantes que utilizaram a induo finita para justificarem suas respostas, o

fizeram de modo mecnico, como E1 na figura 12. Conclumos que estes chegaram

prximos a promover um experimento de pensamento, que classificado como um tipo

de prova conceitual.

A partir das respostas dos estudantes temos que eles apresentaram para esta

questo uma prova que prova, isso porque, na anlise, no encontramos explicaes que


141

indicassem quais foram os procedimentos que eles utilizaram afim de chegarem at a

concluso.


A seguir temos o Quadro III referente anlise da terceira sesso.

Quadro III Dados obtidos da anlise da terceira sesso


No resolveram (1)



Provas que provam

4 Sesso

Questo 1 Mostre que proposio 2

)1(321)(

nnnnP verdadeira

para n N*.

Questo 2 Prove que 6

)12)(1(...21 222

nnnn , n N

*.

O objetivo destas questes era verificar se aps a abordagem da induo finita

via axiomas de Peano os estudantes mudariam o tratamento com relao ao objeto de

estudo, a induo finita.

Antes de entregarmos as questes, apresentamos os axiomas de Peano e

demonstramos o princpio de induo finita, concluindo com dois exemplos de como

utilizar a induo finita. Desse modo, nesta etapa da sequncia didtica, mostramos que

certas afirmaes na Matemtica no podem ser consideradas verdadeiras apenas por

meio de observaes e apresentamos algumas ideias que diferenciam a prova por

induo emprica da prova por induo finta.


142

Outro objetivo em discutir os axiomas de Peano e o princpio de induo finita

foi mostrar que a aplicao deste conceito composta por duas etapas onde a primeira

delas chamada de base e a segunda constitui o passo indutivo. Alm disso, o intuito

era deixar claro que para uma afirmao ser demonstrada utilizando a induo finita,

ambas as etapas deveriam ser satisfeitas.

Nos exemplos apresentados destacamos a importncia da verificao das duas

propriedades que compem a demonstrao por induo finita e enfatizamos que ao

final da demonstrao necessrio indicar que tal proposio verdadeira, devido ao

princpio de induo finita. Ao final da apresentao espervamos que os estudantes

comeassem a ver a demonstrao por induo finita como uma prova dedutiva e no

como um mtodo emprico.

As questes um e dois apresentadas ocorrem nos livros didticos analisados e

nos demais livros que utilizamos para a sequncia didtica. Com relao estratgia

adotada pelos estudantes temos que todos utilizaram a induo finita e quanto

apresentao da demonstrao, os estudantes conseguiram desenvolver o raciocnio

especificando quais hipteses estavam sendo verificadas.

Como exemplo, destacamos a soluo apresentada por E8:



143

As anlises a priori e a posteriori dessas questes evidenciaram uma

caracterstica com relao s respostas dos estudantes. Todos resolveram as questes

utilizando a induo finita, porm as justificativas continuaram incompletas, ou seja, as

concluses so dadas da seguinte forma: como valem as propriedades a) e b) temos que

a proposio verdadeira, no explicitando referncia ao princpio de induo finita.

a partir de respostas semelhantes a essa que podemos concluir que os estudantes ainda

utilizam a induo finita como um processo mecnico nas resolues. Contudo no

podemos afirmar que eles esto errados, pois podem ter aprendido desse modo nos

livros didticos ou nas disciplinas anteriores.

Os estudantes mantiveram-se prximos de realizar um experimento de

pensamento e, portanto, um tipo de prova conceitual. Acreditamos que as solues dos

estudantes proporcionaram provas que provam, pois o objetivo deles consistiu em

validar a proposio sem se preocupar em explicar quais os procedimentos adotados.


Questo 3 Uma progresso Geomtrica com primeiro termo a1 e razo q (q 0 e q

1) uma sequncia de nmeros cujo primeiro elemento a1 e tal que, cada elemento, a partir do segundo, igual ao anterior multiplicado pela razo. Em

smbolos, se n 2 qaa nn .1 . Prove que a frmula do termo geral de uma

Progresso Geomtrica 11. nn qaa .

Essa questo pretendia observar a abordagem dos estudantes com relao

induo finita. Sendo esta a ltima atividade da sequncia didtica, acreditvamos que

utilizariam a induo finita para resolver a questo, porm nem todos o fizeram.

As anlises das resolues dessa questo mostraram que alguns estudantes,

como E5, verificaram casos particulares para a frmula da soma do termo geral de uma

progresso geomtrica, caracterizando o empirismo ingnuo, tipo de prova pragmtica.


144

Figura15: soluo apresentada pelo estudante E5S4Q3

Os demais estudantes aplicaram a induo finita e continuaram apresentando as

mesmas caractersticas que j levantamos neste trabalho, isto , a utilizao desse

princpio fica restrita a aplicao de um mtodo. Dessa forma, se aproximaram de uma

prova conceitual chamada de experimento de pensamento.


Os estudantes utilizaram a induo finita com o objetivo de provar uma

proposio e isso caracteriza um tipo de prova denominado prova que prova.

O estudante E6 aplicou a induo emprica, como podemos observar a seguir:



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A seguir apresentamos o Quadro IV com a sistematizao da anlise da sesso

quatro.

Quadro IV Dados obtidos da anlise da quarta sesso


Q1 Experimento de pensamento (13) Provas que provam

Q2 Experimento de pensamento (13) Provas que provam

Q3 No resolveram (2)



Provas que provam

Pelo Quadro IV, a maioria dos estudantes encontra-se em um nvel de

experimento de pensamento, constituindo-se em uma prova conceitual, conferindo certo

amadurecimento. Inferimos que este aconteceu por conta da discusso realizada a

respeito da induo e dos axiomas de Peano entre as sesses trs e quatro. Contudo, o

empirismo ingnuo aparece demasiado nas questes no to familiares aos estudantes

(questes 2, 3, 4, 5 e 6 da primeira sesso-Quadro I).

Os Quadros I, II, III e IV mostram que as provas que explicam, de Hanna,

aparecem somente em S1Q1, S1Q5 e S2Q3, sendo que nesta ltima era esperado. Os

dados apontaram que os sujeitos da pesquisa no estavam interessados nos porqus e

queriam apenas demonstrar, pois as provas que provam aparecem na maioria das

questes.

Ao final da sequncia didtica, como era esperado, os estudantes utilizaram a

induo finita de maneira mecnica. Contudo, aps a realizao da discusso sobre

Peano, refletiram mais a respeito do que escreviam e houve uma mudana de provas

pragmticas para provas conceituais, o que pode ser observado em resolues de

questes semelhantes (como as de p.a. e p.g.) que passaram de empirismo ingnuo em

alguns casos para todos os casos serem de experimento de pensamento. Alm disso,

tivemos exemplo genuno passando para empirismo ingnuo e experimento de

pensamento. Assim, houve uma dada aprendizagem dos estudantes em relao ao

conceito de induo finita.


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Algumas consideraes

O estudo que resultou neste artigo tinha por objetivo verificar se estudantes de

um curso de Matemtica compreenderiam a diferena entre o mtodo de induo

emprica e de induo finita, bem como esta ltima como uma demonstrao formal.

Conclumos, aps as anlises, que a demonstrao de sentenas envolvendo o

princpio de induo finita utilizada como um processo automtico por alguns

estudantes, caracterizado quando o estudante no cita, em momento algum durante a

demonstrao de uma dada proposio, o princpio de induo finita, ou seja, prova as

duas propriedades do teorema sem relacion-las com o mesmo, desenvolvendo-as de

modo independente. No questionam porque realizar aqueles procedimentos garante a

demonstrao da questo. Como estudantes de matemtica e futuros professores,

entendemos que deveriam realizar tais questionamentos.

Outra concluso que as anlises apontaram que os sujeitos associam a induo

finita induo emprica. Cremos que isso se deve ao fato do termo induo pertencer

s duas nomenclaturas e parte dos livros didticos apresentarem o tema induo finita

apenas como induo. A partir das respostas dos estudantes entendemos que a

simplificao de linguagem pode atrapalhar os mesmos, pois alguns apenas notaram a

validade de uma determinada proposio para casos particulares e aps isso

generalizaram para qualquer valor de n.

Quanto s atividades propostas na sequncia didtica temos que, mesmo

expondo aos estudantes os axiomas de Peano e enfatizando que este princpio um

mtodo dedutivo, as atividades realizadas em seguida, ou seja, na quarta sesso,

apresentaram caractersticas semelhantes s verificadas nas atividades anteriores.

Assim, determinados estudantes continuaram a interpretar a induo finita de maneira

equivocada ou utilizando a induo emprica ao invs da induo finita.

No entanto, mesmo mantendo essas caractersticas, houve mudana em relao

apresentao da demonstrao. Isto , alguns estudantes expuseram de maneira mais

organizada suas demonstraes. Portanto, a partir desse panorama conclumos que parte

dos estudantes passou do nvel do empirismo ingnuo para o do exemplo genrico, este

ltimo considerado por Balacheff (1988), um momento de transio entre as provas

pragmticas e as provas conceituais.


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As provas que explicam, de Hanna (1989), aparecem, mas o destaque foi para as

provas que provam, mostrando que os estudantes no procuram questionar as

demonstraes que veem ou que fazem.

Apesar dos resultados apontarem que no existiram muitas mudanas nas

crenas dos estudantes, mesmo aps as atividades da sequncia didtica, cremos que

houve, mesmo que mnima, uma compreenso e um amadurecimento em relao

utilizao de induo finita como mtodo de demonstrao e sua diferenciao em

relao induo emprica.

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EDUARDO MACHADO DA SILVA: Graduado em Licenciatura Plena em

Matemtica pelo Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis - IMESA (2001).

Especialista em Matemtica com nfase Aplicao de Recursos Computacionais pela

Universidade Estadual Paulista UNESP (2003). Mestre em Ensino de Cincias e

Educao Matemtica pela Universidade Estadual de Londrina UEL (2010). Atualmente

professor assistente da Faculdade de Tecnologia de Gara (FATEC) e do Colgio Santa

Clara em Assis.

ANGELA MARTA PEREIRA DAS DORES SAVIOLI: Bacharel em Matemtica

pela Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho (1990), mestre em

Matemtica pela Universidade Estadual de Campinas (1993) e doutora em Matemtica

pela Universidade de So Paulo (2000). professora associada da Universidade

Estadual de Londrina. Tem experincia na rea de Matemtica, com nfase em lgebra

No Comutativa. Atualmente atua no Programa de Mestrado em Ensino de Cincias e

Educao Matemtica da UEL.

Recebido: 03 de abril de 2012

Revisado: 15 de agosto de 2012

Aceito: 28 de agosto de 2012

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