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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO EDVONETE SOUZA DE ALENCAR
CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE DE PROFESSORES DO 5.º ANO DE UMA ESCOLA COM BOM DESEMPENHO EM
MATEMÁTICA: O CASO DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS.
SÃO PAULO 2012
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
EDVONETE SOUZA DE ALENCAR
CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE DE PROFESSORES DO 5.º ANO DE UMA ESCOLA COM BOM DESEMPENHO EM
MATEMÁTICA: O CASO DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS. Dissertação apresentada como exigência parcial à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo –Uniban, para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob orientação da professora Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva.
SÃO PAULO 2012
Alencar, Edvonete Souza de Conhecimento Profissional Docente de professores do 5.º ano de
uma escola com bom desempenho em Matemática: o caso das estruturas multiplicativas./ Edvonete Souza de Alencar. São Paulo [s.n.], 2012.
Dissertação de Mestrado para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo.
Orientadora: Profa. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva.
1. Educação Matemática 2. Formação de Professores 3. Campo Multiplicativo
Banca Examinadora
Profa. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva (Presidente – Orientador)
_______________________________________
Profa. Dra. Rute Elizabete de Souza Rosa Borba (1.º titular externo – UFPE)
Profa. Dra. Aparecida Rodrigues Silva Duarte (1.º titular interno – Uniban)
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. Assinatura: _____________________________________ Local e Data: ___________________________________
Dedico
A DEUS, pela força e saúde.
Aos meus PAIS e meus IRMÃOS, companheiros de
vida.
AGRADECIMENTOS
A DEUS, que colocou no momento adequado as pessoas certas no meu
caminho, proporcionando-me perseverança e saúde.
À minha FAMÍLIA, pelo apoio durante todo o percurso de minha vida.
À PROFª. DRª. TÂNIA MARIA MENDONÇA CAMPOS, pelo seu empenho em
proporcionar um ensino de qualidade.
A CAPES – BOLSA PROSUP, pela oportunidade aprimorar meus estudos.
À PROFª. DRA. ANGÉLICA DA FONTOURA GARCIA E SILVA, minha querida
orientadora, pela sua dedicação e ensinamentos durante toda a pesquisa, pois sem
o seu empenho esta realização não seria possível. Muito obrigada!
À PROFª. DRA. RUTE ELIZABETE DE SOUZA ROSA BORBA e à PROFª. DRA.
APARECIDA RODRIGUES SILVA DUARTE, pela colaboração e incentivo aos meus
estudos.
Aos PROFESSORES do PROGRAMA DE MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA, de modo especial aos PROFESSORES DO GRUPO.
À formação de professores e àqueles com quem tive o privilégio de cursar
suas disciplinas: PROF. DR. RUY CÉSAR PIETROPAOLO, PROFª. DRA. MARIA HELENA
PALMA DE OLIVEIRA, PROFª. DRA. ROSANA NOGUEIRA LIMA, PROF. DR. VINCENZO
BONGIOVANNI e PROF. DR. LUIZ GONZAGA XAVIER BARROS.
À ESCOLA, que concedeu permissão para a realização deste estudo, assim
como sua equipe gestora e professores participantes da pesquisa.
Aos meus companheiros de estudo, ETIENNE LAUTENSCHLAGER, GILENO
NASCIMENTO e SANCREY RODRIGUES ALVES, aos quais denominei carinhosamente
“grupo dos nomes estranhos”, amigos que promoveram momentos felizes.
Aos demais colegas presentes nessa etapa, em especial RAQUEL FACTORI
CANOVA, ROSANGELA ANDO, TULA ROCHA, WELLERSON QUINTANEIRO, MAURILIO
VALENTIM, e a tantos outros que direta ou indiretamente me ajudaram nesta
conquista.
A todos, muito obrigada!
O mestre aparece-nos hoje não mais com a sua velha aparência de transmissor de conhecimentos imóveis, mas como um artista e como um homem, criando largamente com tudo que houver de preclaro na sua inteligência, de puro no seu sentimento e nobre na sua atividade. Um conhecimento completo da história da vida, a sensibilidade para os fenômenos de cada época; a compreensão simpática da natureza humana, com todo o seu heroísmo de virtudes e vícios, a capacidade de amar largamente o passado, sem se curvar a ele, de perceber o presente, tanto quanto é possível vê-lo de perto, sem oferecer, no entanto, como uma era definitiva, e, entre um e outro, ter essa alegria no futuro que se espera sempre como um bem maior. Um mestre que se tenha formado de tal modo que nunca palpite nele o temor quando, conscientemente enfrentando a infância, considere que vai tocar no elemento primordial da vida, que vai atuar sobre princípios fundamentais sagrados, “vivos”, que vai tocar a substância mesma da criação. Um mestre que se sinta irmanado às crianças que lhe são entregues como um simples homem, que já foi criança, a uma simples criança, que será um homem. Um mestre que tenha provado o gosto da vida, intensamente; não que esteja existindo, apenas, dentro da função de ensinar, um mestre que transmita dos discípulos não o sabor que os lábios sentiram, mas o desejo comovido e elevado de tocar com sua boca essa bebida e distinguir-lhe o duplo ressabio de eternidade e impermanência (CECÍLIA MEIRELES).
RESUMO
Este estudo tem como objetivo analisar o conhecimento profissional docente de
professores que ensinam Matemática no 5.º ano do Ensino Fundamental, cujos
alunos se destacaram no Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar de São
Paulo (Saresp). Trata-se de pesquisa de campo que envolve um grupo de cinco
professores de uma escola da rede pública de São Paulo. A coleta de dados incluiu
a aplicação de um questionário e entrevistas semiestruturadas com a equipe gestora
e com os professores, além da observação em sala de aula e protocolos das tarefas
realizadas pelos alunos. Teoricamente, esta investigação fundamenta-se tanto em
teorias que discutem questões relacionadas à formação de professores como em
estudos que investigam questões didáticas sobre a multiplicação e divisão de
números naturais. Quanto ao primeiro enfoque, apoiou-se em estudos de Schön
(1987), Shulman (1986) e Tardif e Raymond (2000). Em relação às questões
didáticas, associadas ao objeto matemático, utilizou-se a Teoria dos Campos
Conceituais de Vergnaud (1990). De modo geral, a análise dos dados permitiu
identificar que o grupo de professores da escola investigada trabalha de forma
coletiva. Entretanto, observou-se que não eram frequentes discussões e reflexões
do corpo docente sobre os processos de ensino e aprendizagem da matemática.
Podemos também concluir que as dificuldades relativas à prática docente foram
influenciadas pela falta de domínio dos professores a respeito do conteúdo
matemático. Esta pesquisa indica a necessidade de se rediscutirem as formas de se
tratar o Campo Conceitual Multiplicativo nos cursos de formação inicial e continuada
de professores.
Palavras-chave: Educação Matemática, Formação de Professores, Campo Multiplicativo e Ensino-aprendizagem
ABSTRACT
This study aims to analyze the professional knowledge of teachers who teach Math
in the 5th year of elementary school, whose students stood out in System of
Evaluation of Educational Achievement of São Paulo (Saresp). It is field reserch that
involves a group of five teachers at a public school in São Paulo. Data collection
included a questionnaire and semi structured interviews with the tasks performed by
students. Theoretically, this reserch is based both on theories that discuss issues
related to teacher training and in studies investigating questions about teaching
multiplication and division of natural numbers. The first approach, was based on
studies of Schön (1987), Shulman (1986) and Tardif and Raymond (2000).
Regarding educational issues associated with the mathematical object, we used
the Theory of Conceptual Fields Vergnaud (1990). Overall, the data analysis of
identified that the group of school teachers work collectively invested. However, it
was observed that there were not frequent discussions and considerations of
the faculty on the teaching and learning of Mathematics. We can also conclude
that the difficulties in teaching practice were influenced by the lack of knowledge of
teachers about the mathematical content. This research indicates the need to
revisit the ways to treat the multiplicative conceptual field in initial training course and
continuing education.
Keywords: Mathematics Education, Teacher Training, Field Multiplicative and Teaching-Learning
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 Gráfico teses e dissertações em Educação Matemática ................................ 21
Figura 2 Gráfico dissertações e teses envolvendo Formação de Professores .......... 22
Figura 3 Exemplo I – Atividade do Ler e Escrever – Campo Multiplicativo ................. 37
Figura 4 Exemplo II de Atividade do Ler e Escrever – Campo Multiplicativo ............. 40
Figura 5 Relações entre habilidades, conteúdos e competências ............................... 43
Figura 6 Exemplo de questão múltipla escolha ............................................................... 48
Figura 7 Exemplo de questão aberta do Saresp – Campo Multiplicativo .................... 49
Figura 8 Esquema I do referido problema ........................................................................ 65
Figura 9 Esquema I do referido problema ........................................................................ 66
Figura 10 Diagrama Invariantes Operatórios, Conhecimento Consciente explicitante,
explícito e formalizado .......................................................................................................... 69
Figura 11 Respostas dos alunos ....................................................................................... 70
Figura 12 Exemplo I da triáde S, I, R ............................................................................... 71
Figura 13 Quatro problemas elementares das estruturas multiplicativas................... 74
Figura 14 Resolução dos alunos fictícios exemplo cálculo numérico .......................... 78
Figura 15 Respostas do aluno fictício .............................................................................. 79
Figura 16 Esquema do Cálculo Relacional I .................................................................... 79
Figura 17 Esquema do Cálculo relacional II ...................................................................... 80
Figura 18 Exemplo de atividade do professor B ............................................................ 139
Figura 19 Respostas dos alunos do professor B ........................................................... 140
Figura 20 Exemplo de Atividades do Professor B ......................................................... 141
Figura 21 Respostas dos alunos ...................................................................................... 141
Figura 22 Exemplo de atividade do professor B ........................................................... 142
Figura 23 Respostas dos alunos do professor ............................................................... 142
Figura 24 Exemplo de atividade do professor B ............................................................ 143
Figura 25 Respostas dos alunos do professor B ........................................................... 144
Figura 26 Exemplo de atividade do professor E ............................................................ 145
Figura 27 Resolução do aluno da atividade de porcentagem ..................................... 146
Figura 28 Exemplo de atividade do professor E ............................................................ 146
Figura 29 Respostas dos alunos do professor E ........................................................... 147
Figura 30 Respostas do aluno 1 do professor E ........................................................... 147
Figura 31 Respostas do aluno do professor E ............................................................... 148
Figura 32 Resolução do professor E questão 2.3 ......................................................... 149
Figura 33 Foto da aula anterior aluno1 ........................................................................... 150
Figura 34 Foto da aula anterior aluno 2 .......................................................................... 150
Figura 35 Atividade do Ler e Escrever 15 A Porcentagem .......................................... 152
Figura 36 Atividade do Ler e Escrever 15 B ................................................................... 153
Figura 37 Atividade do Ler e Escrever 15 C ................................................................... 155
Figura 38 Atividade complementar e resposta do aluno 1 ........................................... 157
Figura 39 Atividade complementar e resposta do aluno 2 ........................................... 157
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Competências do Sujeito ................................................................................. 47
Quadro 2- Os saberes dos Professores ............................................................................ 54
Quadro 3 Esquema da primeira e segunda forma .......................................................... 66
Quadro 4 - Proporção - Escola de Altos Estudos - CAPES ........................................... 67
Quadro 5- Exemplos de Problemas do Campo Multiplicativo ....................................... 76
Quadro 6 Exemplo de Teorema em ação ......................................................................... 77
Quadro 7 Esquema de cálculo Relacional I ..................................................................... 79
Quadro 8 Descrição das Etapas da Pesquisa ................................................................. 95
Quadro 9 Questão com situação geral .............................................................................. 96
Quadro 10 Questão envolvendo situação de porcentagem........................................... 98
Quadro 11 Questão envolvendo situação de divisão ..................................................... 99
Quadro 12 Questão envolvendo situação de multiplicação ......................................... 100
Quadro 13 Questão envolvendo situação de proporcionalidade. ............................... 102
Quadro 14 - As respostas dos Questionários - Perfil dos Professores ...................... 107
LISTA DE ABREVIATURAS
DE Diretoria de Ensino
HTPC Horário de Trabalho Pedagógico coletivo
IDESP Índice de Desenvolvimento da Educação do Estado de São Paulo
LDB Lei de Diretrizes e Bases da Educação
OFA Ocupante de Função Atividade
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PC Professor Coordenador
PIC Programa Intensivo de Ciclo
SAEB Sistema de Avaliação e Educação Básica
SARESP Sistema de Avaliação e Rendimento do Estado de São Paulo
SAI Sistema Integrado de Avaliação
SEE/ SP Secretaria do Estado da Educação de São Paulo
TRI Teoria da Resposta ao Item
UE Unidade Escolar
ZDP Zona de Desenvolvimento Proximal
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1
APRESENTAÇÃO: CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA ........................................... 17
1.1 ANTECEDENTES E MOTIVAÇÕES DO ESTUDO ............................................................. 17
1.2 ESCOLHA DO SEGMENTO DE ESTUDO ....................................................................... 20
1.3 QUESTÃO DE PESQUISA .......................................................................................... 24
1.4 METODOLOGIA UTILIZADA ...................................................................................... 24
1.5 SOBRE NOSSA FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA............................................................... 26
1.6 BREVE DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS ........................................................................ 27
CAPÍTULO 2
ENSINAR MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS: NOVAS DEMANDAS ................. 29
2.1 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS (PCN) .................................................... 29
2.2 PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO............................................... 32
2.2.1 Programa Ler e Escrever ........................................................................... 34
2.3 SARESP ................................................................................................................ 41
. ................................................................................................................................. 45
CAPÍTULO 3
REVISÃO DE LITERATURA E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA: FORMAÇÃO DE
PROFESSORES E CAMPO CONCEITUAL MULTIPLICATIVO .............................. 51
3.1FORMAÇÃO DE PROFESSORES E CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE ................ 51
3.1.1 Fundamentação teórica: Formação de Professores e Conhecimento
Profissional Docente ........................................................................................... 51
3.1.2 Estudos anteriores: Conhecimento Profissional docente ........................... 58
3.2 CAMPO CONCEITUAL MULTIPLICATIVO .................................................................... 61
3.2.1 Fundamentação teórica: objeto matemático .............................................. 61
3.2.2.1 Campo conceitual ................................................................................... 73
3.2.2.2 O Campo Conceitual Multiplicativo ......................................................... 73
3.2.3 Cálculo relacional e numérico .................................................................... 76
3.2.1 ESTUDOS ANTERIORES: CAMPO CONCEITUAL MULTIPLICATIVO .............................. 80
CAPÍTULO 4
OS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA .................................. 92
4.1 NOSSA PESQUISA: UM ESTUDO DE CASO ................................................................. 92
4.2 BREVE DESCRIÇÃO DAS ETAPAS DA PESQUISA ....................................................... 94
4.3 INSTRUMENTOS DE COLETA DE DADOS .................................................................... 96
4.3.1 Questionário – Protocolo de Pesquisa ...................................................... 96
4.3.2 Entrevistas semiestruturadas ................................................................... 103
4.3.3 OBSERVAÇÃO DA ESCOLA ................................................................................. 104
4.3.3.1 Nas atividades dos docentes ................................................................ 104
4.3.3.2 Na sala de aula ..................................................................................... 104
CAPÍTULO 5
APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS ........................................................ 106
5.1 PERFIL PROFISSIONAL DOCENTE ........................................................................... 106
5.2 A RELAÇÃO DOS DOCENTES COM A MATEMÁTICA ................................................... 109
5.2.1 A relação dos docentes investigados com a Matemática na Educação
Básica ............................................................................................................... 109
5.2.2 A relação dos docentes investigados com a Matemática na formação inicial
.......................................................................................................................... 111
5.2.3 A relação dos docentes investigados com a Matemática no discurso sobre
a própria pratica ................................................................................................ 112
5.3 CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE .............................................................. 117
5.3.1 Quanto às possíveis recomendações pedagógicas dos professores
envolvidos ......................................................................................................... 118
5.3.2 Quanto à situação-problema envolvendo porcentagem ........................... 120
5.3.3 Quanto às situações envolvendo operações de multiplicação e divisão.. 125
5.3.4 Quanto à situação-problema envolvendo proporcionalidade ................... 129
5.4 QUANTO AO TRABALHO DO GRUPO DA ESCOLA ...................................................... 133
5. 5 QUANTO ÀS ATIVIDADES DESENVOLVIDAS PELOS PROFESSORES ............................. 139
5.6 QUANTO ÀS OBSERVAÇÕES EM SALA DE AULA ....................................................... 149
CONSIDERAÇÕES FINAIS E PERSPECTIVAS FUTURAS ................................... 160
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 165
APÊNDICE A
ROTEIRO PARA ENTREVISTA SEMIESTRUTURADA
COM PROFESSOR ..................................................................................................... I
APÊNDICE B
ROTEIRO PARA ENTREVISTA SEMI ESTRUTURADA
COM DIRETOR ........................................................................................................... II
APÊNDICE C
ROTEIRO PARA ENTREVISTA SEMIESTRUTURADA
COM COORDENADOR PEDAGÓGICO .................................................................. IV
ANEXO A
DADOS DE PROFICIÊNCIA MÉDIA EM MATEMÁTICA DA PROVA SARESP ...... V
ANEXO B
MODELO DE AVALIAÇÃO APLICADA MENSALMENTE ...................................... VI
17
CAPÍTULO 1
APRESENTAÇÃO: CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA
Se, na verdade, não estou no mundo para simplesmente a ele me adaptar, mas para transformá-lo; se não é possível mudá-lo sem um certo sonho ou projeto de mundo, devo usar toda possibilidade que tenha para não apenas falar de minha utopia, mas participar de práticas com ela coerentes (PAULO FREIRE).
Neste capítulo expomos os antecedentes e as motivações que nos levaram à
elaboração deste estudo, apresentamos a justificativa, a questão de pesquisa e os
objetivos, assim como a metodologia utilizada e o resumo dos principais autores
selecionados para a fundamentação teórica e descrição dos capítulos.
O presente estudo insere-se na linha de pesquisa “Formação de Professores
que Ensinam Matemática” do Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo (Uniban).
1.1 Antecedentes e motivações do estudo
Primeiramente, recordo momentos que me fizeram1 percorrer este caminho
e me levaram a dedicar ao ensino e à pesquisa. Começo minhas memórias na ação
de início de meu ofício. Cursei o Ensino Médio no Centro de Formação e
Aperfeiçoamento do Magistério (Cefam), passando pelas disciplinas do currículo
comum nos dois primeiros anos do curso. Observei durante esse curso que o
conhecimento matemático não era aprofundado, e, apesar de essa instituição
dispor de um programa diferenciado com uma proposta considerada inovadora, a
concepção dos professores de Matemática, em especial, tinha como foco os
procedimentos e proposição de lista de exercícios, além de utilizar como principal
método de ensino as aulas expositivas.
Todavia, nos últimos anos de formação para o Magistério, realizei a
disciplina de Metodologia de Matemática. Tal componente curricular nos
proporcionava, como futuros professores, a reflexão sobre novos modos de
1 Vale ressaltar que esse subitem do capítulo será escrito na primeira pessoa do singular por se tratar
de minha experiência pessoal, porém os demais capítulos serão redigidos na terceira pessoa. Tal fato
se deve por considerar que este estudo é realizado em interface com diversos atores e estudos.
18
ensinar e entender os conteúdos matemáticos voltados ao Ensino Fundamental I.2
Eram realizados muitos estudos, e teóricos como Kamii, por exemplo, nos
permitiam espaços de reflexão sobre o pensamento do aluno. Tal material nos
forneceu a possibilidade de experimentar jogos como estratégia de ensino. Lembro
ainda que em algumas aulas experimentávamos na prática o trabalho com as
quatro operações, utilizando fichas ou mesmo material dourado. Assim, em todo o
meu percurso pelo centro de formação continuei a apreciar tudo o que envolvia
esta área de conhecimento, mas minhas experiências até então não eram tão
próximas daquela que Fiorentini (1995) denominava de Construtivista.3
Assim sendo, como professora, iniciei minha carreira no município de Biritiba-
Mirim, uma escola rural com sala multisseriada. Nesse momento, é importante
ressaltar que eu tinha a plena convicção, provavelmente potencializada em minha
formação inicial, de que para ser um bom professor de Matemática era suficiente
saber Matemática. Afinal, como toda formação que obtive até então, partia do
pressuposto de que o ensino de conceitos matemáticos deveria refletir o espírito da
Matemática. Hoje considero que o conhecimento precisa ser mais amplo na
perspectiva dos estudos de Shulman (1986), o qual relata que, para compor o
Conhecimento Profissional Docente, é necessário que o professor tenha não
somente o Conhecimento do Conteúdo, como também o Conhecimento Curricular e
Didático.
Entretanto, a prática foi diferente, pois os alunos que encontrei tinham
múltiplas dificuldades, e, naquele instante, me deparei com a situação no sentido
de adequar todo o conhecimento adquirido naqueles anos de graduação para
ensinar de modo eficiente e proporcionar melhores condições de vida àqueles que
pouco possuíam.
Senti, naquele momento, que, apesar das muitas teorias que aprendi, ainda
me faltava algo que as poucas experiências por mim vivenciadas em sala de aula
não permitiam solucionar. Meus questionamentos sempre me levavam a refletir
2 Segundo dados do Conselho Nacional de Educação, Ensino Fundamental I é a modalidade de
ensino de 1.º ao 5.º ano do Ensino Fundamental, também denominado anos iniciais do Ensino
Fundamental.
3 Para Fiorentini (1995), a Tendência Construtivista tem como concepção o interacionismo que é
influenciado pela epistemologia genética piagetiana.
19
formas de como proporcionar um melhor ensino aos meus alunos. Por
conseguinte, ficou evidente a necessidade de formação permanente. Formação
esta que observo nos estudos de Schön (1987) sobre o processo de reflexão-
ação-reflexão, demonstrando que o professor sempre está a se formar.
Nessa mesma época iniciei um curso de graduação em Pedagogia, no qual
havia somente a disciplina de Metodologia de Matemática, que demonstrava a
aplicabilidade e a didática de atividades para os anos iniciais do Ensino
Fundamental, não abrangendo o conhecimento específico da disciplina. Entretanto,
mesmo em Metodologia, notava a angústia de algumas colegas por não
entenderem o conteúdo, ou mesmo resistirem a aceitar as indicações propostas.
Observei que muitas delas encontravam dificuldades quando eram solicitadas a
elaborar aulas diferenciadas sobre temáticas ligadas à Matemática.
Contudo, analisando minha trajetória, observo que minhas concepções
acerca do currículo de Matemática foram se alterando ao longo do tempo. Assim,
em vez de uma concepção que privilegiava o tecnicismo4 e principalmente o
empírico ativista5 no ensino da Matemática, defendo hoje os pressupostos muito
próximos aos que Piaget em seus estudos denomina de Construtivista.
Quanto ao ensino, trabalhando atualmente como professora em uma
escola do Estado de São Paulo, deparo com reuniões de professores com as
mesmas indagações do tempo quando era estudante do Magistério. Os anos
passaram, porém alguns aspectos não se modificaram, pois vejo ainda a existência
de alunos com muitas dificuldades na disciplina de Matemática, principalmente na
resolução de problemas.
Quanto à aprendizagem, observando os alunos da escola em que trabalho,
eles se acostumaram com o tratamento mais procedimental. Noto, então, certa falta
de autonomia desses alunos, que às vezes até solicitam ao professor que indique
qual a operação que resolverá o problema, apresentando a questão “é de mais ou
menos?”. Percebo ainda que, mesmo com toda a orientação contida nos
4 Para Fiorentini (1995), a tendência tecnicista é fundamentada no funcionalismo, formalismo
moderno e tácnico, cujo objetivo é preparar o aluno para a sociedade.
5 Para Fiorentini (1995), a tendência empírico-ativista tem como concepção uma Matemática com
pedagogia ativa contrária à escola clássica tradicional.
20
documentos oficiais Ler e Escrever,6 muitos dos meus colegas sentem a
necessidade de iniciar cada tema pelos procedimentos para só depois
apresentarem as atividades propostas no Caderno Ler e Escrever.
Hoje observo que existe certa dificuldade na implementação de propostas
para os anos iniciais nas escolas paulistas, e, portanto, considero fundamental
analisar o Conhecimento Profissional Docente dos professores que lecionam para
os primeiros anos do Ensino Fundamental nesse processo de mudança curricular.
Diante dos aspectos explicitados, minha primeira motivação foi de caráter
pessoal, no entanto algumas pesquisas indicam a necessidade e importância de tal
estudo.
1.2 Escolha do segmento de estudo
Escolhemos como segmento de estudo os professores que lecionam para os
anos iniciais porque, segundo Fiorentini, existem poucas pesquisas direcionadas a
este público (2002, p. 143).
Para comprovar o que afirma o autor, analisamos a revista Zetétike com o
intuito de verificar os estudos elaborados na área de Educação Matemática dos anos
de 1998 a 2008. Assim sendo, podemos notar que dos trabalhos publicados apenas
73 das 2.101 dissertações ou teses examinadas referiam-se à pesquisa centrada
nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Tal fato pode ser comprovado no gráfico a
seguir:
6 A nova proposta do Currículo é denominada Ler e Escrever. Ela propõe uma organização nos
conteúdos e planejamento destes de modo construtivo. Compreendendo ações de formação
profissional, acompanhamento institucional e conteúdo didático para professores e alunos de forma
integrada à rede pública estadual de ensino. Dados retirados do Decreto 54.553/2009.
21
TOTAL DE DISSERTAÇÕES E TESES ANALISADAS: 2.101
96,53%
3,47%
TESES E DISSERTAÇÕES EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Educacao Matemática
Educação Matemática naEducação Infantil e nos anosiniciais do Ensino Fundamental
Figura 1: Gráfico teses e dissertações em Educação Matemática Fonte: Revista Zetétike 1998-2008.
Esses dados nos levam a observar que tal relação equivale a 73 do total
das publicações realizadas nos anos de 1998 a 2008, o que vem reafirmar o que
Fiorentini indicava em 2002: “a pesquisa nesta área ainda é pouco explorada” (p.
143).
Para uma melhor compreensão sobre o que vem sendo estudado,
procuramos analisar essas 73 publicações e classificá-las segundo o foco de nossa
investigação. O gráfico seguinte apresenta tais publicações por temática:
22
24
49
Dissertações e Teses envolvendo Formação de Professores
formação de professores
outros temas
Figura 2: Gráfico dissertações e teses envolvendo Formação de Professores
Fonte: Revista Zetétike 1998-2008.
Verificamos também que, desse total, 32,88% se referem à formação de
professores.7 Analisando mais profundamente, observamos ainda que 14 deles
dizem respeito ao Conhecimento Profissional Docente direcionados principalmente
para o 2.º ano e 3.º ano do Ensino Fundamental.
Evidenciamos que seria significativo um estudo que explanasse sobre o
Conhecimento Profissional Docente, em especial que envolvesse as estruturas
multiplicativas, pois concluímos que existem poucos estudos nessa área.
Além disso, na análise dos relatórios do Sistema de Avaliação e Rendimento
do Estado de São Paulo 2008/2009(Saresp), identificamos que as questões com
menor número de acerto pelos alunos são compostas das que envolvem o raciocínio
com as estruturas multiplicativas.
Como nos exames do Saresp os anos iniciais avaliados são os 3.º e 5.º anos,
propusemos estudar os 5.º anos em razão de comporem o ano final desta primeira
7 Classificamos como Formação de Professores trabalhos que trataram de formação inicial, formação
continuada e práticas pedagógicas.
23
modalidade do ensino, além de que os Relatórios do Saresp e do Índice de
Desenvolvimento Escolar do Estado de São Paulo (Idesp) utilizam os resultados
deste respectivo ano.
Para tanto, escolhemos uma escola que tivesse como perfil sair de uma
situação desfavorável no tocante ao desempenho da disciplina de Matemática para
uma situação de excelente desempenho entre as demais dos referidos anos de 2008
e 2009. A escola selecionada refere-se a uma unidade educacional pública e
estadual situada na cidade de Mogi das Cruzes, que atende alunos de 1.º a 5.º ano
– ciclo I, a qual designaremos por Escola A. Esta escola apresentou, no ano de
2008, um índice baixo nos resultados do Saresp e, como consequência, no Idesp.8
Esse índice é obtido em um intervalo de 0 a 10. A Escola A avaliou 151 alunos e
atingiu o índice de 3,1788. Já no ano de 2009 a mesma escola avaliou 159 alunos e
atingiu o índice de 7,4580, que representou o quinto melhor resultado do Estado de
São Paulo.
Escolhemos a quinta melhor escola por tratar-se da unidade escolar que
obteve, entre as demais, melhor índice de desenvolvimento de um ano para o outro.
Portanto, consideramos que se trata de um caso que pode ser investigado,
pois sua pontuação foi maior que o dobro do ano anterior, o que nos estimula a
procurar compreender os fatores que influenciaram tal mudança.
Portanto, esta pesquisa, de cunho qualitativo, caracteriza-se como um estudo
de caso, quando tomamos como suporte teórico as definições de Merriam (1988),
apud André (2008), para o estudo de caso qualitativo: Particularidade, Descrição e
Heurística, que serão descritas detalhadamente no Capítulo 4.
8 Na avaliação de qualidade das escolas feita pelo Idesp consideram-se dois critérios
complementares: o desempenho dos alunos nos exames do Saresp e o fluxo escolar. O Idesp tem o
papel de dialogar com a escola, fornecendo um diagnóstico de sua qualidade, apontando os pontos
em que precisa melhorar e sinalizando sua evolução ano a ano. Seus índices estão em escala 0 a 10
em escala de proficiência a serem atingidas por todas as instituições públicas estaduais (IDESP,
2011).
24
1.3 Questão de pesquisa
Para desenvolver este estudo, tivemos como fundamento a seguinte questão
de pesquisa:
“Quais são os Conhecimentos Profissionais Docentes dos professores
que ensinam Matemática para alunos do 5.º ano do Ensino Fundamental
de uma escola em que os alunos se destacaram na avaliação de
Matemática do Saresp de 2009?”
Como questões secundárias que nos auxiliaram a responder a questão
central temos:
Qual o perfil profissional dos educadores desta instituição?
Qual a relação pessoal dos docentes com a Matemática?
Como foi a Matemática na formação inicial e continuada?
Como é o desenvolvimento da prática docente desses professores?
Quais ações esses professores desenvolveram para o excelente desempenho
do Saresp?
Quais são as atividades e estratégias desenvolvidas por estes professores
para o desenvolvimento da aprendizagem dos alunos?
1.4 Metodologia utilizada
Para alcançar o objetivo desta dissertação, fizemos uma pesquisa de campo,
entrevistas, questionários, estudos de experiências e relatos profissionais com
professores do 5.º ano da respectiva escola selecionada, além de entrevista com
coordenador e diretor da unidade escolar.
Para a coleta de dados, realizamos um questionário, entrevistas com cinco
docentes da unidade escolar, observação da prática de alguns desses professores e
exemplares de atividades elaboradas pelos docentes, além da rotina semanal e
planejamento da escola.
25
Para o questionário elaboramos perguntas que permitissem verificar a análise
de algumas das questões que, segundo relatório de Matemática do Saresp 2009,
foram consideradas difíceis pelos alunos que realizaram a prova. Tais itens foram
apresentados aos docentes como se resolvidos por alunos fictícios do 5.º ano, com a
finalidade de investigar o conhecimento pedagógico do conteúdo.
A segunda proposta para a coleta de dados – a entrevista – permitiu-nos
identificar o perfil docente e retomar as discussões sobre os casos apresentados.
Além disso, para compor uma melhor investigação, propusemos entrevistas
com o diretor e o coordenador pedagógico sobre o funcionamento da escola e
aspectos de formação e ensino aprendizagem dos alunos.
No tocante aos casos apresentados, fundamentamo-nos em Shulman (1986,
p. 207-208, apud Mizukami, 2004, p. 10):
Um caso educativo é uma forma de comunicação que coloca intenção e acaso no contexto de uma experiência vivida e refletida [...] Aprende-se a partir do deliberar reflexivamente sobre as relações entre os elementos de um caso. Assim, um caso educacional combina, pelo menos, quatro atributos ou funções: intenção, possibilidade, julgamento e reflexão. Estas são funções que explicam ou delineiam o poder educativo dos casos para aprendizagem (tradução de MIZUKAMI).
Portanto, acreditamos que a descrição de um caso pode proporcionar espaço
para a reflexão sobre as práticas educativas do grupo de professores investigados,
além de favorecer a discussão sobre o Conhecimento Profissional Docente.
Para alcançar o objetivo pretendido e responder nosso problema de
pesquisa utilizaremos as pesquisas bibliográficas, documental e de campo.
Inicialmente, investigamos os teóricos que poderiam fundamentar este estudo. Na
pesquisa documental analisamos atas de Horário de Trabalho Pedagógico
Coletivo9 (HTPC), planilhas de rotina e portfólios de professores. Na pesquisa de
campo, observamos a rotina da escola, acompanhamos uma aula de alguns dos
professores com o intuito de conseguir mais dados sobre o desenvolvimento do
9 Conforme Comunicado Cenp, s/n, de 29.01.2008, DOE 30.01.2008: A Hora de Trabalho Pedagógico
Coletivo (HTPC) se caracteriza fundamentalmente como espaço de formação continuada dos educadores.
26
processo de ensino e aprendizagem dos alunos, além de solicitar aos docentes o
modelo de atividade utilizado em suas aulas.
1.5 Sobre nossa fundamentação teórica
A fundamentação teórica que forneceu subsídios para nossa análise versa
sobre as temáticas ligadas à formação de professores, em especial sobre o
Conhecimento Profissional Docente. Estudamos autores como Shulman (1986), e
seus estudos discutem sobre os conhecimentos necessários para o exercício da
docência, o processo em que os conhecimentos são aprendidos ao longo dos anos
de formação e exercício docente. O autor pesquisou sobre os aspectos históricos
dos conhecimentos exigidos para esta prática.
Por outro lado, reportarmo-nos às pesquisas de Schön (1991), que estudou
a respeito de um conjunto de competências marcadas pela prática da reflexão em
diferentes níveis de reflexão compondo o Conhecimento na ação, a Reflexão na
ação e a Reflexão sobre a ação. O autor relaciona tais competências ao saber
profissional.
Zeichner (1993) menciona que os professores são considerados como
mediadores e produtores de conhecimento educacional, e acrescenta que os
professores, por vivenciarem situações escolares, oferecem dados importantes para
a produção do conhecimento. Ele cita cinco ações: as que envolvem o
planejamento, reestruturação dos currículos da humanidade, professor pesquisador,
os autoestudos e a pesquisa participativa para a formação de uma sociedade mais
justa e humana.
E, para acrescentar, Ponte (1998) diferencia Desenvolvimento Profissional
Docente de Formação. Este cita, em seus estudos, que o Desenvolvimento
Profissional Docente é a formação que vai além de cursos, atividades e projetos,
envolve ainda trocas de experiências, leitura, reflexões, e por isso ela é formada de
dentro para fora, permitindo o desenvolvimento de potencialidades. Este autor
considera que a teoria e a prática estão interligadas, ou seja, compreende o global
da formação docente.
27
E, complementando, temos Tardif e Raymond (2000), que relatam que os
saberes ligados ao trabalho são temporais, ou seja, são produzidos de acordo com a
vivência profissional. Por meio de suas pesquisas, os autores elaboram um quadro
que relaciona os saberes do profissional com os lugares de atuação do professor,
instrumentos e experiências vividas.
E, para finalizar, Ball e Bass (2003) trazem suas contribuições para a análise
dos nossos dados identificando o que o professor precisa saber para ensinar
Matemática. Dentre as muitas observações feitas pelos autores, pode-se evidenciar
a importante relação entre o conhecimento matemático do professor e os demais
conhecimentos necessários para o exercício da docência.
Quanto ao Campo Conceitual Multiplicativo, apoiamo-nos em Vergnaud
(1991). Seus estudos a respeito da Teoria dos Campos Conceituais nos permitem
observar a relação entre as concepções dos professores sobre o objeto matemático
e o conhecimento pedagógico do conteúdo, ou seja, sobre as concepções que os
alunos trazem para a aprendizagem da temática aqui estudada. Vergnaud defende
que as competências e as concepções dos alunos são desenvolvidas ao longo do
tempo, por meio de situações e experiências vividas no seu cotidiano, e que utilizam
dos conhecimentos já adquiridos para solucionar problemas.
1.6 Breve descrição dos capítulos
Para apresentar esta pesquisa organizamos a dissertação em seis capítulos:
Capítulo 1 – Abordamos os aspectos de apresentação e configuração da
pesquisa, relatando as motivações, a relação da história pessoal com estudo
proposto e a questão de pesquisa, assim como breve comentário sobre a
metodologia utilizada e o embasamento teórico .
Capítulo 2 – Apresentamos os documentos oficiais que envolvem a temática
aspectos do Campo Conceitual Multiplicativo, entre eles: os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN); Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Programa Ler e
Escrever e Saresp.
28
Capítulo 3 – Abordamos a revisão de literatura com a explicação de cada
estudo analisado e dos referenciais teóricos que deram embasamento à pesquisa.
Entre os principais: Shulman (1986), Tardif e Raymond (2000), Vergnaud (1988,
1990, 1991, 2007, 2009, 2010, 2011), entre outros. Este capítulo está organizado em
dois blocos: Conhecimento profissional docente e Objeto Matemático.
Capítulo 4 – Detalhamos a metodologia utilizada na pesquisa, seus
objetivos e suas principais características. Inicialmente abordamos as características
do estudo de caso de acordo por Merriam (1988) e apresentamos as etapas de sua
realização.
Capitulo 5 – Analisamos os dados da pesquisa e seus detalhes de acordo
com os teóricos citados. Este capítulo explanou sobre a apresentação e análise dos
dados da pesquisa e foi organizado em seis blocos: Perfil profissional docente; A
relação dos docentes com a Matemática; Conhecimento profissional docente; O
trabalho do grupo da Escola; A observação em sala de aula dos docentes
pesquisados e as atividades recolhidas.
Ao final da investigação, respondemos nossa questão de pesquisa e
apresentamos nossas considerações finais e futuras para a perspectiva deste
estudo.
29
CAPÍTULO 2
ENSINAR MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS: NOVAS DEMANDAS
Mesmo que a rota da minha vida me conduza a uma estrela, nem por isso fui dispensado de percorrer os caminhos do mundo (JOSÉ SARAMAGO).
Este capítulo relata sobre as orientações contidas nos documentos oficiais
dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), Proposta Curricular do Estado de
São Paulo, Programa Ler e Escrever e Sistema de Avaliação e Rendimento do
Estado de São Paulo (Saresp) acerca do objeto matemático aqui investigado: o
Campo Conceitual Multiplicativo.
2.1 Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN)
Os PCN foram criados em 1997 após a nova Lei de Diretrizes e Bases da
Educação 9.394/1996 (LDB), com o intuito de ser um referencial educacional às
novas exigências previstas em lei, permitindo ao professor:
[...] auxiliá-lo na execução de seu trabalho, compartilhando seu esforço diário de fazer com que as crianças dominem os conhecimentos de que necessitam para crescerem como cidadãos plenamente reconhecidos e conscientes de seu papel em nossa sociedade [...] Nesse sentido, o propósito do Ministério da Educação e do Desporto, ao consolidar os Parâmetros, é apontar metas de qualidade que ajudem o aluno a enfrentar o mundo atual como cidadão participativo, reflexivo e autônomo, conhecedor de seus direitos e deveres (BRASIL, 1997, p. 5).
Esse material foi organizado de acordo com os objetivos gerais do Ensino
Fundamental e as respectivas áreas de ensino. Além disso, o referencial foi
desenvolvido por ciclos de Ensino 1.º ciclo (1.ª e 2.ª séries), 2.º ciclo (3.ª e 4.ª
séries), 3.º ciclo (5.ª e 6.ª séries) e 4.º ciclo (7.ª e 8.ª séries). Por conseguinte,
editaram-se na modalidade estudada dez volumes de 1.ª a 4.ª séries com as
seguintes temáticas: Introdução aos Parâmetros Curriculares Nacionais, Língua
Portuguesa, Matemática, Ciências Naturais, História e Geografia, Arte, Educação
Física, Apresentação dos Temas transversais e Ética, Meio Ambiente e Saúde,
Pluralidade Cultural e Orientação Sexual. Analisaremos aqui os PCN de Matemática
que nos dá subsídios para o 1.º e 2.º ciclos.
Os PCN de Matemática descrevem as finalidades do ensino de Matemática
na Escola Básica e procedem a uma discussão mais aprofundada sobre seu ensino
30
nesse nível de escolarização. O documento visa, fundamentalmente, à construção
da cidadania e tece considerações sobre como a Matemática pode favorecê-la.
Quando se refere ao papel a ser desempenhado pela Matemática no currículo,
destaca, por exemplo, a questão da cidadania e o foco na capacidade dos alunos
na medida em que as aulas deste componente curricular explorem:
[...] metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios (BRASIL, 1997, p. 26).
Portanto, os conteúdos e objetivos a serem direcionados em cada ciclo são
observados segundo tais diretrizes:
Do ponto de vista metodológico, os PCN consideram que os conceitos matemáticos devem ser “abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, o ponto de partida da atividade matemática é a situação-problema e não a definição. Ao colocar o foco na resolução de problemas, o que se defende é uma proposta que poderia ser resumida nos seguintes princípios: o ponto de partida é o problema e não a definição, o problema só é um problema se o aluno for levado a interpretar, aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema, o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido em um campo de problemas, a resolução do problema é uma orientação para a aprendizagem pois proporciona contexto (BRASIL, 1997, p. 32-33).
Esse documento aborda, além do recurso da resolução de problemas,
sobre o recurso da História da Matemática, da Tecnologia da Informação e dos
Jogos para o ensino e aprendizagem de Matemática.
Os PCN orientam ainda que é fundamental que o professor identifique as
principais características, métodos e aplicações da Matemática, assim como leve
em consideração as experiências de vida dos alunos e tenha clareza sobre as suas
concepções da disciplina. É necessário, portanto, que o docente conheça “os
obstáculos envolvidos no processo de construção de conceitos”, pois estes são “de
grande utilidade para que o professor compreenda melhor alguns aspectos da
aprendizagem dos alunos” (p. 30).
Reiteramos que, nesta pesquisa, tomamos como objeto matemático de
estudo o Campo Conceitual Multiplicativo, e por esta razão iremos destacar os
principais conteúdos e explicações contidas nos PCN.
31
O documento nos diz sobre os conteúdos desenvolvidos em cada bloco,
sendo: Números e operações, Espaço e forma, Grandezas e Medidas e Tratamento
da informação. No bloco Números e operações refere-se que:
Com relação às operações, o trabalho a ser realizado se concentrará na compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo reflexivo do cálculo, contemplando diferentes tipos – exato e aproximado, mental e escrito (BRASIL, 1997, p. 39).
Os principais conteúdos que envolvem o Campo multiplicativo nos
diferentes blocos são:
Observação de critérios que define uma classificação de números [...] e de regras usadas em seriações (mais 1, mais 2, dobro, metade). Contagem em escalas ascendentes e descendentes de um em um, de dois em dois, de cinco em cinco, de dez em dez, etc., a partir de qualquer número dado. Utilização de sinais convencionais (+, -, x, : ) para as escritas das operações. Cálculo de multiplicação e divisão por estratégias pessoais. Utilização da decomposição das escritas numéricas para a realização do cálculo mental exato e aproximado. Análise, interpretação, formulação e resolução de situações-problema, compreendendo diferentes significados das operações envolvendo números naturais e racionais. Utilização de estimativas para avaliar a adequação de um resultado e uso a calculadora para desenvolvimento de estratégias de verificação e controle de cálculos. Observação de que os números naturais podem ser expressos na forma fracionária. Relação entre representações fracionaria e decimal de um mesmo número racional. Reconhecimento do uso da porcentagem em contexto diário. Cálculo simples de porcentagem. Ampliação e redução de figuras planas pelo uso de malhas. Utilização do sistema monetário brasileiro em situações-problema. Cálculo de perímetro e de área de figuras desenhadas em malhas quadriculadas e comparação de perímetros e áreas de duas figuras sem uso de fórmulas (BRASIL, 1997, p. 50- 52).
Quanto aos conteúdos atitudinais, o documento divulga como principais: o
incentivo ao estudo da disciplina de Matemática, a curiosidade em questionar,
estudar e buscar diferentes estratégias e a valorização e sensibilidade na resolução
dos problemas cotidianos.
De maneira especial, na resolução de problemas, o conteúdo de
proporcionalidade merece destaque:
Um olhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade de acrescentar a esses conteúdos aqueles que permitam ao cidadão “tratar” as informações que recebe cotidianamente, [...] A proporcionalidade, por exemplo, está presente na resolução de problemas multiplicativos, nos
32
estudos de porcentagem, de semelhança de figuras, na matemática financeira, na análise de tabelas, gráficos e funções. O fato de que vários aspectos do cotidiano funcionam de acordo com leis de proporcionalidade evidencia que o raciocínio proporcional é útil na interpretação de fenômenos do mundo real. Ele está ligado à inferência e à predição e envolve métodos de pensamento qualitativos e quantitativos (Essa resposta faz sentido? Ela deveria ser maior ou menor?). Para raciocinar com proporções é preciso abordar os problemas de vários pontos de vista e também identificar situações em que o que está em jogo é a não proporcionalidade (BRASIL, 1997, p. 38).
Nesse mesmo documento, considera-se que alunos que estão na faixa de
9 ou 10 anos devem, por meio da resolução de problemas, construir novos
conceitos, como o da proporcionalidade.
O referencial dá orientações didáticas aos professores destacando pontos
pertinentes do ensino e aprendizagem. Este relata que os procedimentos ligados ao
ensino da multiplicação estão associados ao uso da adição quando esta ocorre
com parcelas iguais. Portanto, é observada a importância de saber o papel do
multiplicando e do multiplicador para que não ocorram erros de “tomar um pelo
outro” (p. 71). Para que aconteça uma aprendizagem significativa, o PCN assevera
que o professor deve proporcionar a resolução de diferentes situações-problema
que componham multiplicação comparativa, comparação entre razões:
proporcionalidade, configuração retangular e combinatória.
2.2 Proposta Curricular do Estado de São Paulo
A Proposta Curricular do Estado de São Paulo foi criada em 2008 com o
intuito de “contribuir no processo para a melhoria na qualidade do Sistema de
Ensino, principalmente no tocante às metas estabelecidas por esta Secretaria em
agosto de 2007” (p. 3). Metas estas que incluem a Implantação do Programa Ler e
Escrever, com capacitação de supervisores, diretores, professores coordenadores
e do Programa Bolsa Formação Escola Pública Universidade na Escola; elaboração
de guias de planejamento e materiais didáticos; revisão do Sistema de Avaliação
Saresp; e melhoria na escolha dos materiais didáticos e planejamento do ensino.
A Proposta Curricular do Estado de São Paulo prevê que o professor deve
ser o mediador no processo de ensino, e para isso ele deverá possuir uma
concepção do conhecimento matemático como em constante renovação, conhecer
os procedimentos para o ensino e a didática da Matemática formal para a
33
Matemática escolar. O material é composto por objetivos gerais dados ao ciclo e
habilidades direcionadas a cada ano.
Assim, analisando o currículo estadual de São Paulo para o ciclo I,
observamos que ele se orientou no PCN (p.13), focando também a resolução de
problemas e a proporcionalidade, indicando como objetivo:
Resolver situações-problema a partir da interpretação de enunciados orais e escritos, desenvolvendo procedimentos para planejar, executar e checar soluções (formular hipóteses, fazer tentativas ou simulações), para comunicar resultados e compará-los com outros, validando ou não os procedimentos e as soluções encontradas (SÃO PAULO, 2008, p. 24).
Esse mesmo objetivo também está presente nas orientações curriculares
para o Estado de São Paulo descrito pela habilidade: “Resolver problemas que
envolvem o uso da porcentagem no contexto diário, como 10%, 20%, 25%, 50%”
(SÃO PAULO, 2008, p. 27).
Quanto aos demais conteúdos que compõem o campo multiplicativo,
observamos as seguintes habilidades:
1.ª série:
Contar em escalas ascendentes e descendentes de um a um, de dois em dois, de cinco em cinco, de dez em dez etc.
2.ª série:
Contar em escalas ascendentes e descendentes a partir de qualquer número dado.
Interpretar e resolver a situações, compreendendo significados da multiplicação, utilizando estratégias pessoais.
Calcular resultados de multiplicação, por meio de estratégias pessoais.
Construir fatos básicos da multiplicação (por 2, por 3, por 4, por 5) a partir de situações-problema, para constituição de um repertório a ser utilizado no cálculo.
Interpretar e resolver situações-problema, compreendendo significados da divisão, utilizando estratégias pessoais.
3.ª série:
Interpretar e resolver situações-problema, compreendendo diferentes significados das operações envolvendo números naturais.
Construir fatos básicos da multiplicação (por 6, por 7, por 8, por 9) a partir de situações-problema para constituição de um repertório a ser utilizado no cálculo.
Utilizar a decomposição das escritas numéricas para a realização de cálculos que envolvem a multiplicação.
Utilizar a decomposição para escritas numéricas de cálculos que envolvem a divisão.
34
Calcular o resultado de operações com os números naturais por meio de estratégias pessoais e pelo uso de técnicas operatórias convencionais.
Calcular o perímetro e a área das figuras planas.
4.ª série
Explorar diferentes significados das frações em situações-problema: parte-todo, quociente e razão.
Escrever e comparar números racionais de uso frequente, nas representações fracionária e decimal.
Identificar e produzir frações equivalentes.
Compreender diferentes significados das operações envolvendo números naturais.
Resolver multiplicações e divisões com números naturais por meio de estratégias pessoais e do uso de técnicas operatórias convencionais.
Ampliar e reduzir figuras planas.
Calcular área de retângulos ou quadrados.
Utilizar a noção de probabilidade em situações-problema simples (SÃO PAULO, 2008, p. 25-28).
Portanto, nota-se que tais conteúdos são de grande importância para a
formação do aluno, pois permitem que ele compreenda as ações do cotidiano e
consiga resolver problemas de ordem prática, possibilitando que ele adquira mais
autonomia ao tratar de temáticas ligadas à Matemática.
2.2.1 Programa Ler e Escrever
A Secretaria do Governo do Estado de São Paulo, no ano de 2007, criou o
programa Ler e Escrever. Tal ação foi implantada por etapas em todo o Estado de
São Paulo, e se constituiu em um novo programa de currículo em torno de
expectativas de aprendizagem para cada ciclo.10 Esse Programa foi criado com o
objetivo de estabelecer uma organização dos conteúdos, acompanhamento
institucional e formação dos profissionais em todo o Estado (SÃO PAULO, 2007).
Para isso, foram elaborados cadernos de atividades para os alunos e professores
de cada ano-série, além de um grande investimento de acervo literário para todas
as escolas. Segundo dados do relatório do Ler e Escrever – 2010, elaborado pela
Fundação de Desenvolvimento em Educação (FDE), são descritos todos os
10
No governo do Estado de São Paulo os ciclos se dividem em ciclo I (1.ª a 4.ª séries), ciclo II (5.ª a
8.ª séries) e Ciclo III (1.º ao 3.º ano do Ensino Médio), cada ciclo com suas expectativas de
aprendizagem.
35
materiais distribuídos para as escolas estaduais. De acordo com esse relatório,
verifica-se que este programa foi implantado na capital do Estado de São Paulo em
2007, nas cidades da Grande São Paulo em 2008, e em 2009, nas diretorias do
Interior e Litoral.
Ressaltamos que o Programa Ler e Escrever organizou Guias de
Planejamento e Orientações Didáticas, assim como o caderno do aluno para cada
respectivo ano. O Guia de Planejamento e Orientações Didáticas é um referencial
que contém as expectativas de aprendizagem, proporcionando o auxílio de
situações didáticas para favorecimento do ensino de qualidade. Compõe-se de
organização do tempo didático, com projetos e sequências didáticas. O documento
ainda propõe que :
[...] [o] material foi elaborado seguindo a concepção de que ensinar Matemática é criar situações didáticas que contribuem para os alunos colocarem em jogo os conhecimentos adquiridos, descobrindo que esses nem sempre são suficientes para resolver as situações propostas e, portanto, há a necessidade de buscar novas estratégias e ideias com a exposição das suas próprias hipóteses, da escuta de outras opiniões, do encontro de ideias, o que promove um novo patamar de conhecimento (SÃO PAULO, 2008, p. 7).
Verificamos que o professor deve ser o mediador das hipóteses dos
alunos, promovendo intervenções que ampliem o instinto investigativo deles. Para
que isso ocorra, os alunos devem notar a importância e o sentido da atividade, de
modo que é preciso que o discente possa:
Explicar os procedimentos pessoais que utilizaram para solucionar os problemas, de forma que os colegas possam entender.
Desenvolver uma argumentação que justifique suas escolhas (por exemplo, para solucionar um problema, a organização de um número, a representação do deslocamento de uma pessoa ou objeto do espaço etc.).
Saber ouvir a argumentação de um colega e as explicações do professor para manter ou não a sua opinião (SÃO PAULO, 2008, p. 8).
O Guia de Planejamento e Orientações Didáticas foi organizado de acordo
com os blocos de conteúdo: números e operações – resoluções de problemas
(aditivos e multiplicativos), espaço e forma, grandezas e medidas, de modo que seus
conteúdos sejam identificados e contextualizados socialmente. Cada atividade
possui título, objetivos, planejamento, encaminhamento e algumas situações contêm
orientações e sugestões complementares e os pontos mais importantes a serem
36
discutidos. Esse Guia apresenta ainda, no início de cada Material do Professor, as
expectativas de aprendizagem para o ano e ciclo de Língua Portuguesa e
Matemática, orientações quanto a avaliação de aprendizagem e modelos de
sondagens de números e problemas envolvendo os campos aditivos e
multiplicativos, com suas respectivas planilhas de observação para cada sondagem,
e sugestões para organização da rotina semanal. Estas informações estão
disponíveis no Guia de Planejamento e Orientação do 5.º Ano (2010, p. 26-32).
Com o intuito de exemplificar quais são os tipos de atividades propostas
pelo material, selecionamos duas do campo multiplicativo, uma solicitando aos
alunos que completem o problema, criando uma pergunta, e a outra contendo
diferentes técnicas operatórias para resolução de divisões.
37
Figura 3: Exemplo I – Atividade do Ler e Escrever – Campo Multiplicativo Fonte: São Paulo (Estado), Secretaria de Educação (2008).
38
39
40
Figura 4: Exemplo II de Atividade do Ler e Escrever – Campo Multiplicativo
Fonte: São Paulo (Estado), Secretaria de Educação (2008)
41
Notamos ainda que o Material deixa claro que a proposta trata de sugestões
e encaminhamentos didáticos, dando flexibilidade aos professores para
“reorganizarem, recriarem a partir do levantamento do conhecimento do aluno” (p.
9). Ressalta ainda a importância de se trabalharem diferentes blocos de conteúdo na
semana, a fim de que o aluno perceba as relações entre os assuntos abordados na
disciplina.
Nessas considerações, enfatiza-se essencialmente nossa crença sobre a
necessidade de que o processo de formação de professores acompanhe tais
mudanças, segundo a Nova Proposta Curricular, e ofereça condições para a
implementação dos currículos propostos.
O professor deve ter uma formação voltada para a resolução de suas
dúvidas pessoais sobre o conteúdo matemático e a respeito de como desenvolver o
conteúdo com os alunos. É importante observar que o professor necessita identificar
a dificuldade dos alunos, elaborar proposta de intervenção por meio da análise dos
erros e acertos. Por isso, acreditamos ser fundamental o trabalho colaborativo na
escola, em que os professores, em discussões conjuntas, analisem e reflitam sobre
sua prática pedagógica, verificando o que deu certo, o que falhou, o que pode
modificar, pois considera-se que estes espaços poderão favorecer a construção de
conhecimentos essenciais para a prática docente.
2.3 Saresp
Segundo alguns dados11 da Secretaria do Estado da Educação de São Paulo
(SEE/SP), o Saresp foi criado em 1996 com o intuito de ser um sistema de avaliação
do rendimento dos alunos do Ensino Fundamental e Médio. De acordo com essa
mesma secretaria, pretende-se com essa ação reestruturar o currículo, propiciar a
melhoria na formação continuada dos professores e a participação da comunidade
neste processo de transformação. Esse sistema de avaliação é censitário, pois
trabalha com todas as escolas da rede estadual, e não com pequenas amostragens.
Ele utiliza os Parâmetros de Avaliação que indicam os conteúdos e as habilidades a
serem dominadas pelos alunos.
11
Informações obtidas no site da Secretaria do Estado da Educação de São Paulo (SEE/SP)
disponível em: <http://SARESP.fde.sp.gov.br/2009>. Acesso em: maio 2010.
42
Segundo os autores do Projeto:
Houve então a necessidade de se diagnosticar criticamente a existência dos muitos currículos, implícitos ou não, praticados nas escolas da rede estadual, e de se tomar uma firme decisão em favor do estabelecimento de um currículo mínimo e comum a todas as escolas, de forma explícita, para todo o sistema, em cujo contorno e definição deveriam estar configuradas e indicadas as bases dos conhecimentos e das competências e habilidades a serem efetivamente desenvolvidas pelos alunos na escola e, com elas, a indicação das expectativas de aprendizagem para cada série/ano e ciclo, possíveis de serem avaliadas ao fim de cada um deles, com transparência e eficácia (São Paulo, 2008, p. 8).
O Saresp utiliza a mesma escala de proficiência do SAEB e Prova Brasil,12 o
que facilita a comparação entre os resultados, porém a definição dos números dos
pontos de escala é arbitrária e é construída pelo Teoria de Resposta ao Item13 (TRI),
que é a aplicação de um método estatístico da análise dos resultados.
Cabe salientar que a partir de 2008 foram implementadas as questões
abertas na avaliação de Matemática, a fim de observarem as diferentes estruturas e
estratégias dos alunos nas resoluções matemáticas.
Esse sistema de avaliação utiliza matrizes de referências como meio de
organizar as estruturas básicas de conhecimento em cada ano escolar. As matrizes
são instrumentos que, segundo seus elaboradores, devem ser utilizados pelo
professor para acompanhar o desenvolvimento do aluno, pois possuem “poder de
sinalização das estruturas básicas de conhecimentos a serem construídas por
crianças e jovens por meio dos diferentes componentes curriculares em cada etapa
da escolaridade básica” (SÃO PAULO, 2008, p. 11).
Segundo as Matrizes de Referência para a avaliação do Saresp 2008,
“Matrizes de referência para a avaliação”, a prova de Matemática é composta por
três aspectos fundamentais: conteúdos, habilidades e competências, descrita pela
imagem a seguir:
12
Sistema de Avaliação de Educação Básica (SAEB) e Prova Brasil é realizado a cada dois anos no
território nacional. É composta por questões de Língua Portuguesa e Matemática, além de
questionários socioeconômicos aos alunos e comunidade escolar. Informações disponíveis em:
<http://provabrasil.inep.gov.br/>. Acesso em: fev. 2012.
13 Segundo Andrade, Tavares e Valle (2000), a Teoria de Resposta ao Item oferece possibilidades de,
por meio de modelos matemáticos, se observarem traços latentes. Essa metodologia propõe formas
de representar a relação entre a probabilidade de um indivíduo dar uma certa resposta a um item, seu
traço latente e os parâmetros dos itens.
43
Figura 5: Relações entre habilidades, conteúdos e competências
Fonte: São Paulo (Estado), Matrizes de Referência do Saresp (2008).
Assim, os três aspectos fundamentais da matriz referem-se:
[...] a verificação de conteúdos disciplinares, por intermédio da utilização de habilidades, graças às quais se poderá inferir o grau de proficiência das competências cognitivas desenvolvidas pelos alunos em seu processo de escolarização. A avaliação de competências, por intermédio destes dois indicadores (habilidades associadas a conteúdos em uma situação de prova) justifica-se pelo compromisso assumido no currículo, em fase de implementação, das escolas públicas do Estado de São Paulo. Trata-se do propósito de caracterizar a missão da escola, entendida como um lugar e um tempo em que competências fundamentais ao conhecimento humano são aprendidas e valorizadas. Essas competências expressam a função emancipadora da escola, ao assumir que dominar competências é uma forma de garantir que houve aprendizagem efetiva dos alunos (SÃO PAULO, 2008, p. 12).
Quanto às habilidades, o documento “Matrizes de referência para a avaliação”
do Saresp 2008 indica que: “as habilidades possibilitam inferir, pela Escala de
Proficiência adotada, o nível em que os alunos dominam as competências
cognitivas, avaliadas relativamente aos conteúdos das disciplinas” (SÃO PAULO,
2008, p. 13).
O documento aponta que as competências são “modalidades que
representam diferentes formas ou caminhos de se conhecer” (SÃO PAULO, 2008, p.
44
14) uma mesma atividade ou situação-problema. Elas são classificadas em
competências: para observar, realizar e compreender.
As competências para observar, segundo as Matrizes de Referência para a
Avaliação do Saresp 2008, são baseadas nos estudos de Piaget, quanto aos
“esquemas presentativos e representativos”, ou seja, o aluno nesta etapa deverá ser
capaz de ler as informações dadas na avaliação, interpretar e registrar informações,
observar, identificar, descrever, localizar, diferenciar, constatar reconhecer, indicar,
estabelecer correspondência e constatações, e apontar os aspectos solicitados entre
outras habilidades.
As competências para realizar são, segundo as Matrizes de Referência para a
Avaliação do Saresp 2008, “as capacidades de o aluno realizar os procedimentos
necessários às suas tomadas de decisões em relação as questões ou tarefas
propostas na prova” (SÃO PAULO, 2008, p. 18). Portanto, o discente precisará
saber classificar, interpretar, compor, decompor, calcular, fazer antecipações entre
outras habilidades. Com isso, o aluno deverá não somente identificar qual
procedimento deverá ser utilizado na situação-problema, mas fazê-lo de modo
adequado.
As competências para compreender, segundo as Matrizes de Referência da
Avaliação do Saresp, são esquemas operatórios conscientes que permitem o aluno
realizar estratégias diferentes das competências anteriores, o que possibilita a
realização de cálculos mentais avançados, atingindo o raciocínio hipotético dedutivo.
Verificamos que as habilidades dessas competências são: aplicar relações
conhecidas em situações novas, deduzir utilizando a lógica, elaborar hipótese,
criticar, analisar e julgar situações, entre outras.
Apresentaremos a seguir as Matrizes de Referência para a Avaliação do
Saresp de Matemática do 5.º ano do Ensino Fundamental:
COMPETÊNCIAS DO SUJEITO
OBJETOS DO CONHECIMENTO (CONTEÚDOS)
GRUPO I Competências para
observar
GRUPO II Competências para realizar
GRUPO III Competências para
compreender
H01 – Identificar a localização de números naturais na reta numérica.
H02 – Relacionar a escrita numérica às regras do sistema posicional de numeração.
H12 – Resolver problemas que envolvam a adição ou a subtração, em situaçõesrelacionadas
45
Tema 1 – Números,
operações, funções
aos seus diversos significados.
H03 – Escrever um número natural pela sua decomposição em forma polinomial.
H10 – Calcular o resultado de uma adição ou subtração de números naturais.
.
H13 – Resolver problemas que envolvam a multiplicação e a divisão, especialmente em situações relacionadas à comparação entre razões e a configuração retangular.
H04 – Identificar diferentes representações de um mesmo número racional.
H11 – Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais.
H14 – Resolver problemas que utilizam a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro.
H05 – Identificar a localização de números racionais representados na forma decimal da reta numérica.
H15 – Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal que envolvem diferentes significados da adição ou subtração.
H06 – Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados (parte/todo, quociente, razão).
H16 – Resolver problemas que envolvam noções de porcentagem (25%, 50%,100%).
H07 – Identificar a fração decimal correspondente a um número decimal dado e vice-versa. H08 – Identificar sequências numéricas.
H09 – Identificar e localizar na reta números naturais escritos com três e quatro dígitos.
H17 – Descrever a localização e a movimentação de pessoas ou objetos no espaço, em diversas representações gráficas, dando informações sobre pontos de referência e utilizando o vocabulário de posição (direita/esquerda, acima/abaixo, entre, em frente/atrás).
46
Tema 2 – Espaço e
forma
H18 – Identificar formas geométricas tridimensionais como esfera, cone, cilindro, cubo, pirâmide, paralelepípedo ou, formas bidimensionais como: quadrado, triângulo, retângulo e círculo sem o uso obrigatório da terminologia convencional.
H19 – Identificar semelhanças e diferenças entre polígonos, usando critérios como número de lados, número de ângulos, eixos de simetria e rigidez, sem o uso obrigatório da terminologia convencional.
H20 – Identificar a ampliação ou redução de uma dada figura plana.
Tema 3 – Grandezas e
medidas
H21 – Identificar horas e minutos, por meio da leitura de relógios digitais e de ponteiro.
H23 – Estimar a medida de grandezas utilizando unidades de medida convencionais ou não.
H26 – Resolver problemas significativos utilizando unidades de medida padronizadas como Km/m/cm/mm, Kg/g/mg,l/ml.
H22 – Reconhecer unidades de medida usuais de comprimento, de superfície, de capacidade, de tempo e de temperatura.
H24 – Efetuar cálculos que envolvam valores de cédulas e moedas em situações de compra e venda.
H27 – Resolver problemas que envolvam o cálculo do perímetro de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas.
H25 – Estabelecer relações entre unidades de medida de tempo.
H28 – Resolver problemas que envolvam o cálculo ou estimativa de áreas de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas.
Tema 4 – Tratamento da
informação
H29 – Ler e/ou interpretar informações e dados apresentados em tabelas e construir tabelas.
H30 – Ler e/ou interpretar informações e dados apresentados em
47
gráficos e construir gráficos (particularmente gráficos de colunas).
Quadro 1: Competências do Sujeito
Fonte: São Paulo (2008).
Observamos que no 5.º ano são elaborados itens envolvendo 30 habilidades,
divididas em quatro temas: Números, Operações e Funções; Espaço e Forma;
Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação. Além disso, são divididos em
três grupos: competências para observar, para realizar e para compreender. Cabe
evidenciar que, destas habilidades, oito avaliam o Campo Conceitual Multiplicativo.
No tocante à aplicação da avaliação, ela é realizada por professores externos
(de outras unidades escolares estaduais). Para o monitoramento e
acompanhamento, a comissão organizadora da prova propõe que cada escola
indique um fiscal externo e da comunidade escolar (pais de alunos). Para orientar a
divulgação, aplicação e correção são divulgados os seguintes documentos: Agenda
de Trabalho, Manual de Orientação, Manual Aplicação, Manual de redação, Manual
de Operações Logística, Manual do Fiscal e Manual do Sistema Integrado de
Avaliação (SAI).
Segundo dados retirados do site do Saresp, os Instrumentos de Controle14 do
Saresp são: Plano de Aplicação das Provas, Carta de Apresentação do Fiscal, Carta
de Apresentação do Aplicador, Lista de Presença dos Alunos por Turma, Termo de
Compromisso do Aplicador, Formulário de Controle da Aplicação, Formulário do
Fiscal – Verificação das Atividades, Relatório de Observação dos Pais, Planilha de
Controle e Recebimento de Materiais e Relatório de Ocorrências da Aplicação,
elaborados pela Diretoria de Ensino, SAI on-line.
Quanto aos anos iniciais, observa-se que esta avaliação é aplicada nos 3.º
anos e 5.º anos do Ensino Fundamental. Os cadernos de prova do 3.º ano são
compostos por 17 questões abertas de Matemática, com dois cadernos
diferenciados para cada período (Manhã e Tarde). Estes cadernos possuem folha de
resposta, que é preenchida pelos responsáveis da correção desta avaliação.
14
São os elementos que asseguram a fidedignidade dessa avaliação externa.
48
Para os 5.º anos são elaborados 26 tipos diferentes de cadernos com 3
blocos com 8 questões, totalizando 24 questões de múltipla escolha. Para análise
amostral por ano é elaborado um caderno com questões abertas. Cabe ressaltar
que, para os alunos com necessidades especiais, é oferecida a versão da prova em
Braile, por ano e área. Este caderno de questões acompanha folha de resposta,
preenchida pelos alunos.
A correção das questões objetivas e provas abertas de Matemática é
efetuada por instituição contratada. Após a correção, a Secretaria de Educação do
Estado de São Paulo elabora boletins personalizados por escola e relatório com
amostra externa das questões apresentadas na avaliação.
O Saresp elabora ainda um questionário aos pais e alunos, com 40 questões,
que são encaminhadas à escola e respondidas em folha de gabarito, e outro
questionário direcionado aos professores com 122 questões respondidas no sistema
on-line. A prova, assim como os questionários, são confeccionados por empresa
privada contratada pela Instituição Governamental.
Ressaltamos que, para análise do desempenho, somente é considerado o
ano final do ciclo (5.º ano) para o cálculo do índice de proficiência. Com isso, nos
delimitamos a estudar as características deste ano e iremos exemplificar duas
questões do campo multiplicativo que fizeram parte do Saresp 2009 e do Relatório
desta avaliação em 2009 e 2010.
O primeiro exemplo apresentado é uma situação de múltipla escolha.
Figura 6: Exemplo de questão múltipla escolha
Fonte – São Paulo (Estado), Secretaria da Educação (2009).
49
Esta questão envolve a Habilidade 13, que propõe a resolução de uma
situação-problema com comparações entre razões e configuração retangular, e
verifica a competência para compreender. Segundo dados do Relatório do Saresp
2009: “Na resolução do problema proposto o aluno deve demonstrar a compreensão
do conceito de multiplicação no sentido da configuração retangular ou considerar a
disposição descrita e contar os alunos” (p. 87).
Quanto à resolução dos alunos, observamos que 63,5% deles acertaram a
situação dada, porém identificamos um percentual de 28% para o item a,
considerado alto, o que nos indica provavelmente a falta de compreensão da
descrição do problema.
O segundo exemplo a seguir é de uma questão aberta.
Figura 7: Exemplo de questão aberta do Saresp – Campo Multiplicativo
Fonte: São Paulo (Estado), Secretaria de Educação.
50
Percebemos que a questão aberta avalia a Habilidade 16, que concerne à
resolução de problemas envolvendo a noção de porcentagem e verifica a
competência para compreender. Podemos identificar que, para a análise das
respostas, se redigiu um comentário para cada uma delas.
Ressalta-se que as situações apresentadas são apenas uma mera
exemplificação desta avaliação.
51
CAPÍTULO 3
REVISÃO DE LITERATURA E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA:
FORMAÇÃO DE PROFESSORES E CAMPO CONCEITUAL
MULTIPLICATIVO
Mas na profissão, além de amar tem de saber. E o saber leva tempo pra crescer.
As palavras só têm sentido se nos ajudam a ver o mundo melhor. Aprendemos palavras para melhorar os olhos.
Há muitas pessoas de visão perfeita que nada veem [...] O ato de ver não é coisa natural. Precisa ser aprendido! (RUBEM ALVES.)
Neste capítulo apresentamos a revisão de literatura composta de
dissertações, teses e artigos que discutem o tema. Tal pesquisa foi feita com base
no levantamento realizado por Marisol Vieira Melo divulgado na Revista Zetétike e
em outras fontes. Além disso, expomos a fundamentação teórica utilizada para
análise dos dados. Estes estão organizados em duas partes: Conhecimento
Profissional Docente e Campo Multiplicativo.
3.1 Formação de Professores e Conhecimento Profissional Docente
Este tópico apresenta a fundamentação teórica e a revisão de literatura sobre
a formação docente.
3.1.1 Fundamentação teórica: Formação de Professores e Conhecimento
Profissional Docente
Quanto aos aspectos relacionados à Formação de Professores e do
Conhecimento Profissional Docente, fundamentamo-nos inicialmente em Schön
(1987). O autor discute a ideia de reflexão sobre a prática docente e propõe o que se
deve refletir nos contextos ricos e complexos da prática, identificando o que o
profissional já conhece, como e qual a melhor forma de observação e reflexão sobre
a prática docente.
Para o autor, a reflexão vai muito além do que da pratica em sala de aula, as
experiências e tomadas de decisões utilizando a reflexão–ação permitem que se crie
um novo conhecimento e aptidão.
52
Outros autores potencializaram seus estudos sobre as vertentes do
Desenvolvimento Profissional Docente, como estudo de Ponte (1998). O autor,
nessa investigação, diferencia Formação de Desenvolvimento Profissional. Afirma
que a Formação está diretamente ligada a cursos, acontece de fora para dentro, age
sempre no que o professor necessita e é visto de modo fragmentado, partindo da
teoria e que ajuda no enriquecimento curricular do professor, proporcionando o
desenvolvimento profissional. O Desenvolvimento Profissional Docente, por sua vez,
vai muito além do conhecimento desenvolvido por meio da participação em cursos, é
construído mediante as trocas de ideias, leituras, reflexões; o conhecimento
acontece de dentro para fora e visa suas ações nas potencialidades, assumindo
uma visão global do processo de desenvolvimento e fazendo a conexão entre teoria
e prática por intermédio do trabalho no coletivo.
Para o autor, o professor sempre deve estar aprendendo. O docente deve
vivenciar quatro tipos de formação: especialidade, cultural e social, educacional e a
prática. Além disso, ainda segundo o autor, o docente deve saber agir em situações
de grande pressão psicológica, saber colocar-se nas situações de ensino e
aprendizagem, ter identidade profissional, que esta realcionada a cultura
profissional.(PONTE, 1998)Ponte (2008) ainda relata um pouco do histórico das
formações, e afirma que no início dos anos 80, o termo utilizado para a formação de
professores era sinônimo de “reciclagem”. Chama a atenção para o surgimento da
pesquisa do tipo investigação–ação, que surge da dificuldade concreta de investigar
a prática. Ressalta ainda sobre as principais oportunidades de formação para os
professores como: círculos de estudo, oficinas de formação, projetos de
investigação–ação, participação em projetos de investigação, mestrado, doutorado e
estudos de formação individual.
No tocante ao Conhecimento Profissional Docente, não podemos deixar de
utilizar como fundamento Shulman (1986). O autor relata várias categorias de
Conhecimento (específico, pedagógico, currículo, dos alunos e de suas
características, contextos educacionais, fins, valores e propósitos educacionais).
Em sua pesquisa, Shulman (1986) inicialmente apresenta o histórico sobre
as exigências apresentadas em exames de qualificação para o trabalho docente.
53
O autor enfatiza a três Categorias de Conhecimento que os professores
necessitam para serem bons profissionais:
conhecer o conteúdo do qual deveriam ter domínio pleno a fim de
ensinar, que seria o Conhecimento Empírico ou Filosófico;
Conhecimento Pedagógico do Conteúdo que explicita como o
professor transmite os conteúdos e quais estratégias utiliza para que o
aluno aprenda, ou seja, a experiência prática; e o
Conhecimento Curricular, que são as especificações e detalhes
sobre o currículo proposto, ou seja, as razões morais e éticas .
Sobre a necessidade de se considerarem as três vertentes do conteúdo
proposto por Shulman, Mizukami (2004) assevera que “Embora o conhecimento do
conteúdo específico seja necessário ao ensino, o domínio de tal conhecimento, por
si só, não garante que o mesmo seja ensinado e aprendido com sucesso”
(MIZUKAMI, 2004, p.5).
A autora relata, apoiada em Shulman, que o professor deve encontrar
diferentes estratégias para desenvolver os conhecimentos com seus alunos. Para
tanto, é necessário que os docentes conheçam a área a ser ensinada e como fazer
os alunos compreenderem o ensinado. Mizukami (2004) chama atenção para o fato
de que Shulman não evidencia a experiência, que é fator importante para o
processo de raciocínio pedagógico, embora sendo uma condição necessária mas
não suficiente para o conhecimento do professor.
Mizukami (2004) acrescenta ainda o que considerado como pensamento do
professor:“[...]processos tais como percepção, reflexão, resolução de problemas,
tomada de decisão, relacionamentos entre ideias construção de significados”.
(MIZUKAMI, 2004, p. 206).
A autora indica dois pontos em comum: sobre como o conhecimento é
adquirido e usado pelo professor e sobre como o processo de construção desse
conhecimento e das circunstâncias afetam tanto a aquisição quanto o seu uso. Além
disso, ela considera importantes as crenças e teorias pessoais dos professores
(MIZUKAMI, 2004, p. 206).
54
Mizukami (2004, p. 209) observa ainda a importância da pesquisa
colaborativa fundamentada em Clark (1996, p. 194), que faz com que os professores
mudem o pensamento e as ações sobre sua prática. No entanto, este tipo de
incentivo deve ser cauteloso, pois cada teoria da colaboração tem seu foco, metas e
objetivos.
Quanto ao processo de raciocínio pedagógico, fundamentada Wilson;
Shulman; Richert,( 1987); Shulman, (1987) a autora ressalta que existem seis
processos comuns aos processos de ensinar e aprender: compreensão,
transformação, intuição, avaliação, reflexão e nova compreensão (MIZUKAMI, 2004,
p. 8).
Ainda relacionados aos saberes específicos da atividade docente, não
podemos deixar de indicar os estudos de Tardif e Raymond (2000). Os autores
complementam as pesquisas aqui apresentadas, uma vez que, para Tardif e
Raymond (2000), há uma relação importante entre os saberes e o tempo. Para os
autores, os saberes ligados ao trabalho são temporais e produzidos no decorrer da
vida e de acordo com cada ocupação. Tardif e Raymond (2000) apresentam um
quadro de saberes docentes que veremos a seguir. Esse estudo dá a ideia de
pluralismo do saber profissional relacionando-o com lugares de atuação docente,
instrumentos de trabalho e experiência do trabalho.
Quadro 2- Os saberes dos Professores
Fonte: Tardif e Raymond, 2000.
55
Conforme podemos observar, para Tardif e Raymond (2000) parte do que
os profissionais docentes sabem sobre o ensino, sobre o papel do professor e dos
processos de ensinar e aprender está diretamente ligada à história de vida e às
experiências que estes tiveram como alunos.
Para Tardif e Raymond:
Os saberes profissionais dos professores parecem ser, portanto, plurais, compósitos, heterogêneos, pois trazem à tona, no próprio exercício do trabalho, conhecimentos e manifestações do saber – fazer e do saber – ser bastante diversificados, provenientes de fontes variadas, as quais podemos supor que sejam também de natureza diferente (TARDIF e RAYMOND, 2000, p. 206).
Observamos que os saberes são produzidos pela socialização, que estas
relações estruturam a personalidade e as relações com os outros. Assim como a
vida familiar, as experiências escolares influenciam a postura da pessoa em relação
ao ensino, e, ademais, a formação inicial permite identificar os aspectos que
influenciam o ensinar e aprender.
Outro aspecto interessante é que os saberes segundo os autores se formam
nos três a cinco primeiros anos de carreira. Inicialmente, há nesses anos um
“choque com real”, é nesse instante que ocorre o desenvolvimento profissional, ou
seja, “a transição da vida de estudante para a vida mais exigente do trabalho”
(TARDIF e RAYMOND, 2000, p. 206).
Ainda sobre o Conhecimento Profissional Docente, quando o objeto de
estudo é a Matemática, nos reportamos a Ball e Bass (2003). A autora traz suas
contribuições para o entendimento do pensamento matemático e as resoluções dos
alunos, e nos ajuda a compreender a relação entre o conhecimento e as práticas
pedagógicas dos professores.
Ball e Bass (2003) sustenta que é possível avaliar a qualidade do
conhecimento matemático do professor quando lhes damos voz. A autora procura
identificar os conhecimentos do professor sobre o assunto e como o aluno pensa,
como o aluno busca para resolver diferentes situações de raciocínio lógico
matemático e como o professor entende essas diferentes resoluções e faz uso para
a sua prática pedagógica.
56
A autora conclui que o professor precisa saber o que pode realizar com os
alunos e compreender as estratégias de resolução destes para obter uma melhor
prática pedagógica.
Ball e Bass (2003) parte da seguinte questão “Qual Matemática o professor
precisa saber para ensinar efetivamente?”. E em seus estudos verifica que muitos
professores, diante de conteúdos que não conhecem, acabam rejeitando o que não
lhe é familiar. A autora conclui, assim, que o conhecimento do professor afeta
estudantes em suas aprendizagens. A autora relata que é necessário que os
professores saibam conteúdos e atividades que os alunos gostem, identifiquem
quais tópicos as crianças se interessam ou têm dificuldade. Com isso, o professor,
segundo as ideias de Ball e Bass, deve saber antecipar o raciocínio matemático do
aluno, como ele pensa e como este pode fazer para utilizar estratégias para
entendimento do aluno. Por conseguinte, “o professor precisa saber olhar seus
estudantes no horizonte da Matemática” (BALL E BASS, 2003, p. 13).
No tocante à formação de professores em um contexto de reforma
curricular, apoiaremos nossa investigação nos estudos de Zeichner (1993). O autor
considera que os professores são mediadores e produtores de conhecimento
educacional. Portanto, por vivenciarem situações escolares os professores,
oferecem dados importantes para a produção do conhecimento, conhecimento este
que muitas vezes os professores não se dão conta que os têm. O autor cita cinco
ações que envolvem estes conhecimentos: o planejamento, que é o momento de
estruturação das aprendizagens; a reestruturação dos currículos da humanidade;
professor pesquisador; os auto-estudos; e a pesquisa participativa para a formação
de uma sociedade mais justa e humana.
Zeichner (1993) chama a atenção para a relação da prática pedagógica com
a teoria. Para o autor: “A prática de todo professor é o resultado de uma ou outra
teoria, quer ela seja reconhecida quer não. Os professores estão sempre a teorizar”
(ZEICHNER, 1993, p. 21).
Por essa razão, o educador segue sempre uma teoria, mesmo que
inconscientemente, pois envolve aspectos da história de vida, condições de trabalho
e no que acredita.
57
Para isso, iremos utilizar os estudos de Fiorentini (1995) nos quais
caracteriza e descreve tendências educacionais, suas crenças, finalidades e
concepções de ensino e aprendizagem.
Podemos verificar que, segundo Fiorentini, a Tendência Formalista Clássica
tem como concepção matemática um modelo euclidiano em que ocorre a
sistematização lógica do conhecimento matemático, utilizando elementos primitivos,
como: definições, axiomas, postulados, além de teorema e corolários. Quanto à
crença de como se dá o conhecimento matemático, obtenção, produção e
descoberta, vê-se que professores que apresentam essa tendência partem de
elementos primitivos e definições, para depois explicarem os exercícios de
aplicação, o que alguns popularmente chamam de base teórica. Esta tendência
utiliza excessivamente livros e lousa e o ensino é centrado no professor, transmissor
e expositor do conteúdo.
Para Fiorentini (1995), a Tendência Empírico-Ativista tem como concepção
matemática uma pedagogia ativa que é contra a escola clássica tradicional, sendo
importante para esta aprender a aprender. Sua finalidade é desenvolver a
criatividade e as potencialidades, assim como interesses individuais, nos quais os
membros tenham respeito mútuo para com as individualidades. As concepções de
ensino envolvem um currículo organizado a partir dos interesses dos alunos e
atendem ao seu desenvolvimento psicobiológico, atividades em grupo, e utilização
de material concreto. Nesta concepção, acredita-se que os alunos aprendem
fazendo pesquisas, descobertas, estudos, resoluções de problemas e experimentos.
Para o mesmo autor, a Tendência Formalista Moderna tem como
concepção matemática o Movimento da Matemática Moderna, sendo seus principais
propósitos unificar os três campos fundamentais da Matemática, ou seja, dar mais
ênfase aos aspectos estruturais e lógicos da Matemática e refletir o espírito da
Matemática. A finalidade e os valores atribuídos ao ensino são enfatizados com a
dimensão formativa para os diferentes aspectos. No tocante à concepção de ensino,
este é autoritário e centrado no professor que expõe a aula na lousa.
Fiorentini (1995) relata que a Tendência Tecnicista e suas variações têm
como concepção matemática o modelo de racionalização do sistema de produção
capitalista, que é fundamentado no funcionalismo, formalismo moderno e técnica. A
58
finalidade e valores atribuídos ao ensino é preparar e integrar o aluno na sociedade,
tornando-o habilitado ao sistema, desenvolvendo habilidades e atitudes
computacionais e manipulativas, capacitando o aluno para a resolução de exercícios
ou problemas-padrão. A concepção de ensino ocorre por meio de instrução
programada; o ensino é feito mediante planejamento, organização e controle do
processo de ensino – a aprendizagem e os exercícios não são fundamentados.
Para Fiorentini, a Tendência Construtivista é influenciado pela epistemologia
genética piagetiana, que passou a influir e contribuir para o ensino da Matemática. A
finalidade e valores ao ensino são de natureza formativa e os conteúdos são meios
para a construção das estruturas da inteligência. Assim, o aluno aprende a
aprender e desenvolve portanto o pensamento lógico formal. Quanto à concepção
de ensino, esta propõe que o aluno veja, manipule, produza significados, as ações,
faça comparações, desenhe, erre, corrija e construa a partir do erro. A concepção de
aprendizagem é a formação das estruturas de modo interacionista, pela abstração
reflexiva com relação entre os objetos, ações e ideias.
3.1.2 Estudos anteriores: Conhecimento Profissional docente
Selecionamos algumas dissertações e teses que ajudaram a fundamentar a
analise de dados, estas especificamente foram tomadas da pesquisa realizada por
Marisol Vieira Melo publicada na Revista Zetetiké e outros bancos de dados.
Inicialmente, nos apoiamos nas teses que discutiram questões relacionadas à
formação de professores. Selecionamos duas que se apoiaram em Shulman (1986).
Esses estudos - Curi (2004) e Garcia Silva (2007) - analisaram a formação inicial de
professores que lecionavam para os anos iniciais do Ensino Fundamental. As duas
autoras consideram, fundamentadas em Shulman (1986), que o domínio do
conhecimento do conteúdo é de grande importância nos processos de
aprendizagem docente, porém observaram que tal fato não vem ocorrendo.
Curi (2004) pesquisou sobre “Formação de Professores Polivalentes: uma
análise de conhecimentos para ensinar Matemática e de crenças e atitudes que
interferem na constituição desses conhecimentos. O objetivo de seu estudo era
investigar o conhecimento matemático de professores em uma instituição
59
especializada em macro avaliação, no entanto dirigiu-se para uma investigação e
encaminhamento dos conhecimentos para ensinar a disciplina e de quais crenças e
atitudes estes professores possuem. Os procedimentos metodológicos utilizados
foram uma pesquisa documental dos currículos e legislações vigentes, com o
objetivo de investigar como se dava a formação dos professores pesquisados ao
longo de sua história. Além disso, foi realizado a analise de manuais didáticos,
grades e ementas o que permitiu uma observação geral dessas formações. Ao final
realizou-se uma pesquisa de campo com professoras que participavam da formação
universitária do Estado nos anos de 2001 e 2002, no qual desenvolveu-se
entrevistas semiestruturadas com 12 docentes, observou-se o portfólio, as narrativas
sobre o tempo de estudante das mesmas, os relatórios de atividades realizadas
com alunos e as reflexões sobre os textos apresentados. A autora aponta que
grande parte dos professores entrevistados em sua pesquisa sustentou que em sua
formação inicial, para exercer o magistério, não se enfatizou a discussão sobre os
conteúdos matemáticos trabalhados por eles (p. 107). Em seu trabalho, concluiu-se
que houve, nas ultimas duas décadas, muitos estudos que envolviam a temática
formação de professores e esta mudança está relacionada com a mudança de
papeis executados pelo docente. A autora relata que, quanto às características do
professor, acredita-se que seu conhecimento é dinâmico e sofre influencia de sua
formação pré-profissional. Quanto aos conhecimentos do professor, considera-os
essenciais para ensinar a Matemática, entre eles, os objetos de ensino, articulações
e tratamento didático, conhecimento sobre a resolução de habilidade sobre a
resolução de problemas. Quanto às influencias de crenças e concepções e de
atitudes relacionadas ao conhecimento do professor para ensinar Matemática,
observa que eles já vivenciaram muitas experiências que os influenciam
significativamente. Curi (2004) identifica também que as escolas de formação
necessitam trabalhar com as crenças dos futuros profissionais da educação para
que isto não venha a se tornar um obstáculo no desenvolvimento e na qualidade da
formação.
Estes resultados foram confirmados em outras pesquisas, como os de Garcia
Silva (2007), por exemplo. O seu estudo foi intitulado “O desafio do desenvolvimento
profissional docente: Análise da formação continuada de grupo de professores das
series iniciais do Ensino Fundamental tendo como objeto de discurso o processo de
60
ensino e aprendizagem das frações”. Como metodologia realizou-se uma formação
na própria escola investigada com todos os professores que lecionavam frações nos
anos iniciais. Tal formação ocorreu em 16 sessões de 4 horas cada, no qual houve
avaliação diagnostica, desenvolvimento de oficinas utilizando-se de metodologias
diversificadas, elaboração e aplicação sequencia de atividades pelos professores
participantes e, ao término, foram realizadas duas entrevistas uma ao final e outra
após um ano de intervenção. Dessa forma, a autora procurou analisar fatores que
poderiam interferir no desenvolvimento profissional de professores que lecionavam
para os anos iniciais do Ensino Fundamental, analisando os dados coletados, antes,
durante e depois do processo formativo. Garcia Silva (2007) assevera:
A primeira conclusão a que chegamos é que os saberes desenvolvidos na formação inicial dos professores investigados foram insuficientes para que estes se sentissem em condições de garantir a aprendizagem de seus alunos. Parece-nos que esses professores estavam insatisfeitos com o grau de profundidade do trabalho que desenvolveram até então (GARCIA SILVA, 2007, p. 271).
Portanto, notamos que as duas pesquisas abordadas são convergentes,
pois identificaram a necessidade de os docentes terem uma formação adequada
para desenvolver um bom trabalho com seus alunos.
Além disso, outro estudo que nos auxiliou na análise de dados foi o de
Canova (2006) “Crença, concepção e competência dos professores do 1º e 2º ciclos
do ensino fundamental com relação à fração”, o objetivo desta pesquisa foi
identificar e analisar as crenças, concepções e competências dos professores que
atuavam no 1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental com relação ao conceito de
fração. A coleta de dados foi realizada com um instrumento investigativo composto
por 29 questões subdivididas em quatro partes: perfil, crenças, concepções e
competências dos 51 docentes analisados. O estudo realizou-se em três escolas
municipais de Osasco. Em um segundo momento, realizou-se entrevistas com 10%
dos professores participantes. A autora identificou como resultado, que as crenças
dos professores não são influenciadas pela sua prática docente, o que não é
verdade para as concepções. Observou ainda a necessidade de ampliar o campo
conceitual desses professores com relação ao objeto fração. Notou-se nesta
pesquisa que a dificuldade do docente influencia a concepção que os alunos tem
sobre o conteúdo. Concluiu também que, apesar destes educadores possuírem
61
concepções errôneas, elas foram adquiridas pelas suas experiências e acabaram
influenciando em sua competência. Quanto às frações, o significado parte todo foi o
que obteve maior índice de acerto.
3.2 Campo Conceitual Multiplicativo
Neste item relataremos a fundamentação teórica e a revisão de literatura que
envolvem o Campo Conceitual Multiplicativo
3.2.1 Fundamentação teórica: objeto matemático
Para discutir os aspectos relativos ao conceito de proporcionalidade
utilizaremos os estudos de Behr , Lesh e Post (1988), assim como o de Vergnaud
(1988,1990,1991,2007, 2009, 2010, 2011).
Behr, Lesh e Post (1988) discutem conceitos sobre o raciocínio proporcional
relacionando-os diretamente aos conceitos algébricos, pois entendem que estes
auxiliam na resolução de proporção simples e sua importância para o
desenvolvimento e entendimento matemático dos alunos. Os autores definem
raciocínio proporcional como:
[...] uma forma de raciocínio matemático que envolve o sentido de covariância e múltiplas comparações, assim como a aptidão para reunir e processar mentalmente diversos conjuntos de informação. O raciocínio proporcional está relacionado com inferência e predição e envolve o pensamento qualitativo e quantitativo (BEHR et al., 1988, p. 1).
Os autores definem aspectos do objeto proporcionalidade e acrescentam
que tal conceito envolve o pensamento sobre as relações holísticas entre as
expressões racionais, por meio da representação de taxas, razão, quociente e
fração. Portanto, este conteúdo, segundo os autores, tem estreita relação com a
álgebra no tocante às relações de equivalência, variáveis e transformações (BEHR
et al., 1988, p. 1).
Behr, Lesh e Post (1988) argumentam que a ideia de proporcionalidade é
bastante complexa, e que não se trata apenas de aplicação de procedimentos. Os
autores afirmam que alguns alunos, para solucionarem questões de
proporcionalidade, utilizam-se do método cruzado com incógnita x, mas suas
pesquisas apontam que este método não é eficaz para o entendimento dos alunos, o
que proporciona a não resolução da questão matemática proposta. Apontam ainda
que este método, muitas vezes, é utilizado mecanicamente, o que não favorece o
62
desenvolvimento do raciocínio proporcional. Comentam ainda que, para o
desenvolvimento do raciocínio proporcional, é necessário que:
[...] os primeiros estágios do desenvolvimento da compreensão do raciocínio proporcional, as estratégias aditivas serem frequentemente usadas para responder as tarefas em que deveriam ser usadas relações multiplicativas (BEHR et. al., 1988, p. 14).
Sustentam também que a transferência e as relações deste conhecimento
ocorrem de modo natural, e que este é dominado por pequenas classes de
problemas que vão sendo aprimorado e ampliado a uma posição mais complexa.
Acreditamos que idéias como as de Behr et. al. nos permite refletir sobre
como os alunos podem solucionar as situações-problema que envolvem a
proporcionalidade e conhecer quais as relações matemáticas que envolvem esse
conceito.
Quanto a fundamentação das estruturas multiplicativas, nos apoiamos nos
estudos de Vergnaud (1988, 1990, 1991, 2007, 2009, 2010, 2011), do qual
comentamos a seguir os conceitos que envolvem a Teoria dos Campos Conceituais
e especificamos o campo multiplicativo.
Segundo Vergnaud (1990) a Teoria dos Campos Conceituais é cognitivista.
Para o autor seu estudo pretende ser um marco, uma vez que apresenta “[...] alguns
princípios de base para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem de
competências complexas, especialmente as que se referem às ciências e as
técnicas”. (VERGNAUD,1990, p.133)
O autor acrescenta ainda que trata-se de uma teoria fundamentalmente
psicológica:
[...] ou melhor, a conceitualização do real, para localizar e estudar as semelhanças e diferenças entre conhecimentos do ponto de vista do conteúdo conceitual. Esta teoria também pode analisar a relação entre os conceitos quanto ao conhecimento explícito e invariantes operacionais implícitos, na realização do sujeito em uma situação, a teoria também faz a relação explícita entre significante e significado”(VERGNAUD,1990, p.133)
O autor foi aluno de Piaget e relata, em uma palestra realizada no dia 25 de
agosto de 2010 em São Paulo, na Universidade Bandeirante de São Paulo, “que
ficou muito impressionado com o trabalho de Piaget sobre crianças e sobre a
63
análise de suas conquistas, por exemplo no domínio da conservação, as
quantidades discretas e continuas”. Nesta conferência, relata que o seu outro
inspirador foi Vygotsky, pois este discute o papel da linguagem e da forma
simbólica.
Vergnaud, nesse mesmo evento, chamou a atenção do público para o fato de
que normalmente considera-se que as teorias de Piaget e Vygostsky são
antagônicas, todavia ele considera que mesmo havendo alguns pontos de
contradição, tais teorias também são convergentes. Para o autor:
[...] Piaget, sim, interessava-se principalmente pela atividade do sujeito com o mundo material, a interação sujeito-objeto. Enquanto que Vygotsky se interessava principalmente com a interação da criança com o adulto [.,.] (VERGNAUD- Transcrição nossa da palestra realizada no dia 25-08-11)
Entretanto, tais características não são consideradas por Vergnaud (2011) como
uma contradição. Para o autor, elas são complementares, ou seja, as duas teorias
estudam a construção do conhecimento por meio da interação do sujeito. Afirma
ainda que:
[...] o que faltou para todos os dois, então, foi uma análise do desenvolvimento do conhecimento especifico do conteúdo conceitual. Na verdade, a didática da matemática, da física, da biologia, da história. O
conteúdo é muito importante. (VERGNAUD, 2011).
Cabe ressaltar que a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud analisa o
desenvolvimento do conhecimento, com foco específico no conteúdo. O autor, nessa
mesma palestra, discute ainda a importância da Zona de Desenvolvimento Proximal
(ZDP) definida por Vygotsky. Para Vergnaud (2011), esse conceito possibilita refletir
sobre a relação professor-aluno, uma vez que a ZDP permite observar o que “a
criança pode fazer com a ajuda do adulto que não poderia fazer sozinha”.
Para Vergnaud, essa é uma “boa definição”, mas não “é suficiente”. Segundo
o autor “é necessário também ter um plano de conteúdos a serem ensinados”
(VERGNAUD, 2011). Seus estudos apontam para o fato de que a relação entre o
aluno, professor e objeto, no caso, o conhecimento, não é a mesma durante toda a
vida. Segundo Vergnaud (2011) “existe uma variação muito grande [do
conhecimento de crianças com idades] entre os 5 aos 13 anos e poucos
64
pesquisadores se interessaram por estudar este aspecto, nem mesmo Piaget e
Vygostky” (VERGNAUD, 2011).
Vergnaud (1990, 2007, 201015) afirma ainda, com base nos estudos de
Piaget, que suas pesquisas procuram compreender as influências das situações na
formação do conhecimento. O autor reitera, assim como Piaget, que o conhecimento
é uma adaptação e que a análise de como se dá a organização das atividades, a
que o autor denomina esquema, pode nos dar pistas sobre tal adaptação.
Portanto, para esse autor, o desenvolvimento da aprendizagem nas crianças
ocorre com a necessidade de propor atividades que contenham o desafio ideal para
que os estudantes fiquem instigados a resolver o solicitado.
Vergnaud (1990) destaca que o conhecimento deve considerar corretamente
a adaptação, ou seja, a ação do sujeito. Assim, pode-se distinguir classe de
situações dominadas ou em que o aluno possui seu repertório em um dado
momento e classes de situações para o qual o sujeito não dispõe de todos os
subsídios necessários para o conhecimento, exigindo tempo e reflexão.
Assim sendo, observamos, por meio da análise dos estudos de Vergnaud
(1990, 2010, 2011), a importância dada ao esquema. Para o autor é no processo de
adaptação e acomodação para o desenvolvimento do conhecimento que ocorrem os
esquemas. Este é definido como:
[...] a organização invariante da conduta para uma classe de situações dadas. É nos esquemas onde se deve investigar os conhecimentos em ação do sujeito, e decidir , os elementos cognitivos que permitam a ação do sujeito ser operatória (VERGNAUD, 1990, p.134)
O esquema deve, portanto, segundo Vergnaud (2007, p.291), conter uma
totalidade dinâmica funcional, uma função que toma seus valores de entrada e de
saída incorporando tempo e suas dimensões e uma organização invariante para
uma situação. Cabe ressaltar que este é composto por quatro categorias: o objetivo;
como a atividade é gerada; os invariantes operatórios representados pelo teorema
em ação e o conhecimento em ação, as antecipações ou inferências [grifo nosso].
15
Curso de Altos Estudos – CAPES realizado em 05, 06, 11, 12 e 13 de agosto de 2010- na UNIBAN
– SP por Gerard Vergnaud.
65
Além disso, seus estudos afirmam ainda que existe, uma variedade de
registros desses esquemas: perceptivo gestual (esporte, dança etc.), técnicas
intelectuais (utilização de diversos instrumentos, músicas etc.), enunciação do
diálogo ( argumentação, retórica etc.), interação social ( conflito , cooperação etc.) e
pensamento ( sequencia, analógica etc.).
Assim sendo, o esquema têm uma importância central nos estudos do autor.
Vergnaud (2010) esclarece que “o esquema, assim como a adaptação, está em uma
classe de situações, este possui um valor universal para todas pertencentes a
mesma classe”.. O autor retoma ainda aos estudos de Piaget que relaciona o
esquema com o conceito, relatando a necessidade de promover novas situações
aos alunos para que estes desenvolvam novos conhecimentos.
Para exemplificar, indicamos, a seguir, dois exemplos e esquemas
diferenciados para a resolução de situações envolvendo o Campo Conceitual
multiplicativo, foco do nosso estudo:
1º exemplo:
“Tenho 3 pacotes de iogurte . Há 4 iogurtes em cada pacote . Quantos
iogurtes eu tenho?” ( VERGNAUD, 2009, p.239)
Para resolver tal situação o autor apresenta dois esquemas:
Figura 8 - Esquema I do referido problema
Fonte : VERGNAUD (2009,p.239)
66
Figura 09 Esquema I do referido problema Fonte : VERGNAUD (2009,p.239)
Tais esquemas estão, segundo o autor, ligados a duas formulações:
X iogurtes 3 pacotes x iogurtes 4 iogurtes
4 iogurtes 1 pacote 3 pacotes 1 pacote Quadro 3 Esquema da primeira e segunda forma
Fonte VERGNAUD,( 2009, p.245)
2 º exemplo:
Iogurtes /pacotes X4 À quantidade de 3 pacotes
Primeira forma 4 iogurtes
3 X
Segunda forma
Iogurtes /pacotes X 4
4 iogurtes
X 3
X iogurtes 3 iogurtes
Primeira Formulação Segunda Formulação
Fonte
67
“É preciso 120 kg de trigo para produzir 100 kg farinha. Quanto de farinha
podemos produzir com 972 toneladas de trigo?16 ( VERGNAUD, 2010)
1º esquema: escolha da operação divisão de 972.000 dividido por 120.
Vergnaud (2010) explica que o primeiro esquema busca relação entre os
valores, esta solução poderá ser usada para calcular o tanto de farinha, utilizando-
se o teorema em ação : f(k.120) = k.f(120)
2º esquema: execução do algoritmo da divisão
O autor ressalta que no segundo esquema compreende a resolução da
divisão utilizando-se os procedimentos convencionais. Vergnaud (2010)
acrescenta ainda que “a divisão é uma atividade complexa”, pois envolve
todas as operações.
Vergnaud indica ainda um 3º esquema de raciocínio para o mesmo problema,
utilizando-se a quarta proporcional.
120 100 a b
972000 c
1 a⁄c=r bxr
2 b⁄a=r cxk
3 bxc⁄a
Quadro 4 - Proporção - Escola de Altos Estudos - CAPES Fonte : Vergnaud (2010)
Isto posto, observamos, ao analisar os diversos estudos de Vergnaud
(1990,1991, 2007, 2009, 2010 e 2011), que existem várias formas de organização
da atividade para uma dada situação e que algumas destas, contribuem mais para
desenvolvimento do raciocínio do que outros. Cabe ressaltar que essas diferentes
organizações em uma classe de situação é o que Vergnaud chama de
Conceitualização.
16
Exemplo retirado dos slides realizados na Escola de Altos Estudos 2010.
68
Na Escola de altos estudos realizada em 2010 o autor definiu
conceitualização como “a construção, percepção e relação dos objetos e
propriedades que estão no mundo”. Notamos assim, que a conceitualização ocorre
por meio de situação determinada e planejada.
O autor relaciona ainda o conhecimento e a situação. Para Vergnaud (2010)
“o conhecimento se desenvolve quando ocorre uma ação em uma situação”.
Observamos ainda que na conceitualização existe a interferência de expressões
verbais e simbólicas que podem contribuir nesse desenvolvimento.
Quanto à relação entre esquema e situação observamos que desde a década
de 90 o autor destaca a aproximação entre esses dois conceitos. Para Vergnaud
(1990) tal fato permite pensar que a “formação de conceitos matemáticos conduz a
considerar um conceito como um conjunto de invariantes utilizadas na ação” (
Vergnaud, 1990, p.139). O autor relata e identifica o papel da análise do investigador
como de fundamental importância para a compreensão do conceito, uma vez que:
[...] a operacionalidade de um conceito deve ser experimentada por meio de situações variadas, e o investigador deve analisar uma grande variedade de condutas e de esquemas para compreender o que consiste, do ponto de vista cognitivo, tal conceito (VERGNAUD, 1990, p.139)
Para Vergnaud (1990) a definição do conceito considera:“o conjunto de
situações que constituem a referencia de suas propriedades, e o conjunto dos
esquemas postos em jogo para os sujeitos nessas situações “(VERGNAUD, 1990,
p.139)
Sobre a formação do conceito ou conceitualização. Vergnaud reafirma, em
2011,, que é constituído pelo esquema que, por sua vez, é composto por invariantes,
teorema em ação e conceito em ação.
Assim sendo, como um das ideias fundamentais da teoria de Vergnaud é o
conceito de esquema, acreditamos ser de fundamental importância retomá-las. Para
Vergnaud (2007, p. 299) os invariantes operatórios são a evidencia de como os
conhecimentos se formam, utilizando-se os conhecimentos explícitos e um
subconjunto de conhecimentos explicitantes, mas para isso é necessário relações do
objeto com o sujeito. Vergnaud (2007) utiliza a figura a seguir para representar tais
ideias:
69
Figura 10- Diagrama Invariantes Operatórios, Conhecimento Consciente explicitante, explícito
e formalizado
Fonte:VERGNAUD (2007, p.299)
Portanto, o teorema em ação é definido pelo autor como:
[...] relações matemáticas que são levadas em consideração pelos estudantes quando eles escolhem uma operação ou sequencia de operações para resolver um problema. [...] são teoremas no sentido convencional do termo, por que a maioria deles não são explícitos. Eles estão subjacentes aos comportamentos dos estudantes e seu âmbito de validade é normalmente menor que o âmbito dos teoremas. Eles podem mesmo serem errados. Contudo um teorema em ação pode ser considerado como tendo aplicação apenas num conjunto de problemas.(VERGNAUD, 1988, p.144)
Para melhor entendimento utilizaremos o exemplo já relatado anteriormente
sobre a quantidade de farinha citado pelo autor no respectivo evento. O autor
exemplifica que “o teorema em ação é aquele que vai além do conceito em ação”,
pois sabemos que podemos multiplicar o resultado da divisão 972.000 : 120 por 100.
Cabe ressaltar que, como afirma Vergnaud, “o aluno ao solucionar o problema da
Farinha escolhe determinada operação para resolvê-la.” ( VERGNAUD, 2010).
Para ampliar a compreensão da definição do Teorema em Ação
apresentamos alguns exemplos citados pelo autor com resoluções de alunos
fictícios.
70
“Claudia quer comprar 4 carrinhos plásticos. Eles custam 5 doláres cada.
Quanto ela precisa ter para pagar?” (VERGNAUD, 1988, p.144)
Resoluções dos alunos:
ALUNO 1 ALUNO 2
ALUNO 3
Figura 11 - Respostas dos alunos
Fonte: Acervo `Pessoal
Observamos que três alunos fictícios selecionam diferentes meios para
solucionar a situação problema proposta, alguns resolveram utilizando o algoritmo
outro a representação figural. Notamos assim que sua resolução esta diretamente
ligada ao modo como os esquemas de raciocínio do aluno se desenvolvem.
Quanto ao conceito em ação Vergnaud (1990) afirma que:
Estes conceitos são raramente explicitados pelos alunos, ainda que construíram para si na ação: são os conceitos-em-ato, ou categorias em ação. O tipo lógico de conceitos-em-ação é diferente do tipo de lógica do teorema em ação: são funções proposicionais. A relação entre funções proposionais e proposições é uma relação dialética: não há funções proposicionais e proposições não funções proposicionais sem proposições. Da mesma maneira conceito-em-ação e teorema-em-ação se constroem em estreita relação.”(VERGNAUD,1990, 138)
71
Portanto, o conceito em ação se constitui, juntamente com o teorema em
ação, necessitando um do outro mutuamente.
Vergnaud (2011) classifica o conhecimento como estando subdividido pela
forma operatória e pela forma predicativa, a primeira são as ações desencadeadas
em uma dada situação, exemplo, solução das atividades em uma situação problema.
Quanto à segunda forma, o autor relata que se trata da expressão lingüística sendo
expressa pelos enunciados, exemplo, os enunciados das situações-problema.
Todas as reflexões anteriores remete o autor à idéia de que o conceito é
formado pela tríade:
[...] de três conjuntos : C (S,I,R), S : conjunto de situações que dão sentido ao conceito (a referencia), I: Conjunto de invariantes sobre os quais as respostas da operacionalidade dos esquemas (o significado) e R: (conjunto das formas linguísticas e não linguísticas que permitem representar simbolicamente o conceito, suas propriedades, as situações e os procedimentos de tratamento ( o significante). (VERGNAUD, 1990, p.139)
Podemos observar nos dois exemplos a seguir, no qual a situação- problema
apresentada seria S situação da realidade do aluno e o I e o R seriam as
representações dadas ao problema abordado, especificamente significado e
significante. No segundo exemplo apresentamos uma situação específica do Campo
Conceitual Multiplicativo, foco do nosso estudo.
O Exemplo 1, abordado no livro “Repensando a Adição e Subtração:
contribuições das Teorias dos Campos Conceituais” retrata a representação dos
Números Naturais.
. Figura 12 - Exemplo I da triáde S, I, R Fonte: MAGINA, CAMPOS, NUNES E GITIRANA- ( 2008, p.9)
72
As autoras do livro explicam o exemplo relatando que “os dois signos
representam a mesma ideia (um significado) do número cinco” ( MAGINA, CAMPOS,
NUNES E GITIRANA, 2008, p.5) e indicam que o 5 e V como sendo R, o
significante representando o mesmo valor cinco que seria o I – significado e as
cartas representadas seriam o S - situação da realidade: “Quantas cartas estão
representadas abaixo?”.
Um segundo exemplo, agora envolvendo o Campo Conceitual Multiplicativo é
relatado por Vergnaud utilizando a seguinte situação:
“Pedro tem R$ 12,00 e quer comprar pacotes de bala a R$ 4,00 o pacote.
Quantos pacotes ele poderá comprar?” (VERGNAUD, 2009, p.240)
12 reais ou R$ 12
4reais ou R$ 4 4reais ou R$ 4 4reais ou R$ 4
Consideramos que a situação problema apresentada refere-se a S (situações
que dão sentido ao conceito), os algarismos identificando as notas do sistema
monetário referem-se ao R (significante), pois representam os valores apresentados
e as diferentes escritas indicando o sistema monetário “4 reais e R$4” referem-se o I
(significado).
Este exemplo nos permite observar que o funcionamento das operações com
a prática automatizam-se. Vergnaud (1990) acrescenta que :
Automatização é claramente uma das manifestações mais viáveis da personagem invariante da organização da ação. Mas uma serie de decisões conscientes pode também ser objeto de uma organização invariante para uma classe de situações dadas. Além disso, a automação não impede que o sujeito mantenha o controle de condições em que esta operação é apropriada ou não (VERGNAUD, 1990, p.135).
73
Com este exemplo notamos que os esquemas são “algoritmos e objetos dos
mesmos”. Assim, o autor cita que “os esquemas são frequentemente eficazes, mas
nem sempre efetivos”. Observamos que estas situações promovem a mudança e
adaptação dos esquemas utilizados.(1990,p.135)
3.2.2.1 Campo conceitual
Já em 1982, Vergnaud relata em seus estudos que “as crianças constroem
um campo conceitual através da vida diária e na escola” (p.43) e, portanto, o
entendimento deste campo conceitual permite conhecer sobre “quais estruturas e
classes de problemas são mais facilmente entendidos pelos alunos” (p.43)
Segundo Vergnaud os campos conceituais estão fortemente ligados às
situações. Para o autor um campo conceitual é definido por meio de um conjunto de
situações, que segundo seus estudos apresentam uma vantagem, ou seja tal:
“[...] abordagem através de situações permite gerar uma classificação que é baseada no cognitivo, analise de tarefas e procedimentos que podem ser postos em jogo [...] (VERGNAUD, 1990, p.140)
Cabe ressaltar que segundo o autor existem vários campos conceituais: o
aditivo, o multiplicativo, o da eletricidade, o da mecânica, o da lógica das classes, o
da geometria projetiva e euclidiana, dentre outros.
Nesta pesquisa, como já citado anteriormente, estudaremos o campo
conceitual multiplicativo.
3.2.2.2 O Campo Conceitual Multiplicativo
Reiteramos que o campo conceitual é formado por “um conjunto de situações,
cuja apropriação requer o domínio de vários conceitos de naturezas diferentes”
(VERGNAUD, 1988, p.141)
Especificamente, o campo conceitual multiplicativo é formado por situações
que requerem uma multiplicação, uma divisão ou mesmo a combinação de ambas.
Estão entre estas situações os problemas simples e os de múltiplas proporções.
Lembramos que vários conceitos matemáticos necessitam do domínio dessas
74
operações. Ressaltamos que os principais conceitos que envolvem as estruturas
multiplicativas são: magnitude, escalar, relação e proporção, função e variável,
função linear – bilinear e não linear, coeficiente constante, número racional, análises
dimensional, espaço vetorial e combinação linear, dependência e independência.
Note-se que as estruturas aditivas diferem-se das estruturas multiplicativas,
pois “as relações de base mais simples não são ternárias são quaternárias, porque
os problemas mais simples de multiplicação e divisão implicam na proporção simples
de duas variáveis uma em relação à outra” (VERGNAUD , 1990, p.144).
Vergnaud (2010) relata que as estruturas multiplicativas baseiam-se na
“proporcionalidade simples, na proporcionalidade dupla e múltiplas”, nos diz ainda
que situações envolvendo esta estrutura são complexas para os alunos.
Com isso, verificamos a importância de apresentar aos alunos as quatro
classes de problemas elementares do campo multiplicativo
Proporcionalidade Simples
Multiplicação
l a
b ?
Partição Quota
l ? l a
b C ? c
Quarta Proporcional
a c
b ?
Figura 13 - Quatro problemas elementares das estruturas multiplicativas
Fonte : VERGNAUD ( 2007 p. 22)
Neste sentido, Vergnaud (1997) apresenta exemplos desses problemas:
75
Exemplos por Vergnaud (1997)
A multiplicação Josie compra 4 bolos . O preço de um bolo é de 7
francos. Quanto deve pagar?
Bolos Francos
1 7
4 ?
multiplicação
A divisão- partição
(busca de um valor ou
objeto)
Arthur pagou 30 francos para 6 ágatas azul. Qual é
o preço de uma ágata?
ágatas francos
1 ?
6 30
Divisão - partição
A divisão de quotas (o n°
de pesquisas unidade ou
objetos)
Bernard quer comprar ágatas. Ele tem 40 milhões
de francos. O custo por ágata é 5 milhões de reais .
Quanto ele pode comprar?
ágatas Francos
1 5
? 40
Divisão - quotação
O quarto proporcional Marie - Helene pagou 72 francos para 12 ovos de
chocolate. Sua prima Sófhie quer comprar 18.
Quanto será que vai pagar?
76
Ovos de chocolate Francos
12 72
18 ?
Proporção
Quadro 5- Exemplos de Problemas do Campo Multiplicativo
Fonte : VERGNAUD (1997) apud SILVA (2010, p.85)
3.2.3 Cálculo relacional e numérico
Reiteramos que no campo conceitual aditivo, Vergnaud (1990) relata que se
trata do “conjunto de situações que requerem uma adição ou subtração, ou a
combinação das duas operações [...].”(p.139). Em muitos artigos, palestras e textos
sobre esse campo conceitual o autor explana sobre os cálculos: relacional e
numérico. Tentaremos relacionar esses conceitos ao campo conceitual
multiplicativo, já que Vergnaud (1982) considera “essencial distinguir dois tipos de
cálculo – relacional e o numérico, para que possamos interpretar o comportamento
das crianças que se defrontam com problemas aritméticos elementares” (p.43).
No cálculo numérico estão inseridas as quatro operações elementares
(adição, subtração, multiplicação e divisão) e mesmo representações em que os
alunos utilizem para contagem e solução do problema dado, e no cálculo relacional
,estão relacionadas as operações de pensamento para resolver determinada
situação-problema.(VERGNAUD,1982)
Vergnaud (2009, p.32) acrescenta ainda que: “o calculo relacional consiste
em simples constatações que podemos fazer sobre a realidade. Frequentemente
elas também não são constatáveis e devem ser inferidas ou aceitas “. O autor nos
diz que este cálculo se aplica a todos os tipos de relação: binária, ternária,
quaternária.
Além disso, estas relações podem ser apresentadas por teoremas e
inferências, que podem ser consideradas hipóteses observadas no cotidiano que o
auxiliem os alunos na solução da situação problema proposta. Vergnaud (1982 )
nomeia essas hipóteses de teorema em ação.
77
No campo conceitual aditivo possuímos uma variedade de artigos e livros que
exemplificam a diferença entre cálculo relacional e o numérico. Selecionamos o
exemplo dado por Magina et. al. 2008 em seu livro “Repensando a Adição e a
Subtração: contribuições das teorias dos Campos Conceituais de Vergnaud”, p. 24,
representada a seguir:
Problema Diagrama e Cálculo Relacional
Cálculo Numérico
Carlos tinha 7 reais e ganhou de sua avó 4 reais. Quanto ele tem agora?
7
Aplicar uma transformação positiva direta ao estado inicial
ADIÇÃO 7+4=11
Quadro 6 Exemplo de Teorema em ação
Fonte : MAGINA, CAMPOS, NUNES E GITIRANA ( 2008, p.24)
Como nesta pesquisa estamos estudando o Campo Conceitual Multiplicativo,
apresentamos os exemplos anteriores com a finalidade de compreender melhor a
diferença entre o cálculo numérico e relacional. Para exemplificar tais cálculos no
campo multiplicativo, apresentamos alguns exemplos com a resposta de alunos
fictícios:
Uma doceria vende 6 doces por 5 dólares ao invés de 1 dólar por doce. João
quer 24 doces para sua festa. Quanto ele terá que pagar? (VERGNAUD,1988,
p.144).
Podemos encontrar os seguintes cálculos numéricos realizados por alunos
fictício:
+ 4
78
Aluno 1
Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4
Figura 14 Resolução dos alunos fictícios exemplo cálculo numérico
Fonte: Acervo Pessoal
Observamos que na resolução acima o aluno apresenta quatro modos de
resolução. Dois utilizando operações, um utilizando a representação por desenho
com possível esquema de contagem e um utilizando uma tabela.
“Um grupo de 50 pessoas vão passar 28 dias de férias no campo. Eles
precisam comprar uma quantidade de açúcar suficiente. Eles leram que a média de
consumo de açúcar por semana para 10 pessoas é de 3,5 Kg.Quanto de açúcar eles
precisam comprar?”(VERGNAUD, 1988, p.145)
Aluno 1
79
Figura 15- Respostas do aluno fictício
Fonte: Acervo Pessoal
Notamos que para solucionar a situação proposta o aluno deverá ter o
conhecimento temporal ao saber a quantidade de dias da semana e realizar uma
relação com os dados apresentados no problema. Vê-se, portanto, que o aluno para
chegar `a solução do mesmo necessita de várias correlações entre os seus
conhecimentos, demonstrando hipóteses do que poderá ser realizado. Verificamos
estas hipóteses quando o aluno faz a representação em desenho e a partir daí
consolida o cálculo.
Cálculo relacional do 1º exemplo:
Doces Dinheiro
6 5
24 ?
Quadro 7 Esquema de cálculo Relacional I
Fonte : VERGNAUD (1988, p.146)
Figura 16 Esquema do Cálculo Relacional I
6 doces 5 doláres
24 doces
X4 X4
20 doláres
80
Fonte : VERGNAUD (1988, p.146)
Cálculo relacional do 2º exemplo:
Figura 17 Esquema do cálculo relacional II
Fonte: Adaptado de VERGNAUD (1988,p. 147)
Acreditamos que estes exemplos vêm esclarecer o que compõe os
respectivos problemas do campo multiplicativo.
Portanto, com a análise das respostas dos professores juntamente aos
aspectos históricos das tendências educacionais pela qual estes profissionais
vivenciaram e foram de certo modo por eles influenciados será possível identificar e
justificar as suas práticas profissionais.
Depois do relato destas pesquisas e da fundamentação teórica conclui-se e
fundamenta-se a importância de tal estudo para a ampliação dos aspectos do
conhecimento profissional docente, que será verificado no estudo de caso com um
grupo de professores que contribuíram para análise do conhecimento profissional
docente em uma escola bem-sucedida.
3.2.1 Estudos anteriores: Campo Conceitual Multiplicativo
No tocante ao objeto matemático, observamos que há grande diversidade
de direcionamentos, ou seja, encontramos em nossa revisão de literatura desde a
construção do número, geometria, linguagem matemática, frações, campo
10 pessoas 3,5 Kg de açúcar
X 5
50 pessoas
3,5 Kg de açúcar
3,5 kg de açúcar
3,5 Kg de açúcar
3,5 Kg de açúcar
3,5 Kg de açúcar
X 5
17, 5 kg de açúcar
X 4
+
17, 5 kg de açúcar
17, 5 kg de açúcar
17, 5 kg de açúcar
17, 5 kg de açúcar
70 Kg
+
1 semana
2 semanas
7 dias
3 semanas
4 semanas
14 dias
21 dias
28 dias
81
multiplicativo e outros temas. Todavia, vale ressaltar que não deparamos nessas
dissertações ou teses, trabalhos considerando o objeto matemático
“proporcionalidade”. Assim sendo, trataremos de um assunto ainda pouco estudado
na última década (proporcionalidade). No entanto, não podemos deixar de lembrar
que se trata de um tema de fundamental importância para o ensino e aprendizagem
em Matemática.
Dos trabalhos descritos apresentaremos quatro pesquisas, as quais
consideramos ter aderência com o tema proposto neste estudo: Campo Conceitual
Multiplicativo.
Nunrberg (2008) realizou um estudo com a temática “Tabuada: significados
e sentidos produzidos pelos professores das Séries iniciais do Ensino Fundamental”.
Em sua pesquisa procurou “verificar o lugar que a tabuada ocupa na estrutura da
atividade de ensino e aprendizagem, bem como suas implicações no processo de
apropriação conceitual” (NUMBERG, 2008, p. 6). A pesquisadora utilizou-se de
entrevistas semiestruturadas com doze professores da rede publica de Ludgero. Seu
estudo concluiu que a tabuada se manifesta como ação pedagógica, que há um
tempo destinado a seu ensino, que este segue uma sequência escolar, sendo
indispensável seu conhecimento para o procedimento algoritmo da multiplicação e
divisão. Além disso, o estudo aponta que, na maioria das vezes, os procedimentos
realizados pelos professores são recursos didáticos, exercícios escritos e
verbalização.
Analisa, ainda, quais fatores positivos e negativos relativos à tabuada e os
processos de ensino e aprendizagem da Matemática são indicados pelos docentes
analisados. O fator positivo relacionou-se à sua utilização e praticidade. Segundo os
professores, a utilização da tabuada poderia favorecer uma maior agilidade na
resolução das situações-problema. Quanto ao fator negativo, a autora chama a
atenção para as lembranças dos docentes, posto que eram negativas as
experiências destes professores quando eram alunos.
Para ampliação da nossa revisão, selecionamos um estudo sobre a divisão.
Soares (2007) realizou sua pesquisa intitulada “O ensino desenvolvimental e a
aprendizagem de Matemática na 1ª fase do Ensino Fundamental”, cujo objetivo foi
investigar como organizar o ensino de Matemática para que ocorra melhor
82
aprendizagem dos alunos. A metodologia utilizada foi a aplicação da teoria
desenvolvimental aplicada por uma professora à sua classe. A autora identificou as
dificuldades de alunos das 3.ª e 4.ª séries do Ensino Fundamental com a
Matemática, quando desenvolvem a divisão com números naturais. A finalidade
desse estudo foi propor e implementar as etapas de um Ensino Desenvolvimental
para aprendizagem de um objeto de conhecimento da Matemática. Sua base teórica
apoiou-se nos estudos de Davydov, fundamentado no método dialético do ensino
com a mediação do aluno com o objeto de aprendizagem. Concluiu que, com a
utilização do procedimento Desenvolvimental houve uma melhora da aprendizagem,
o aluno entendeu o conceito nuclear da divisão de modo significativo. Verificou
também que as dificuldades não estão ligadas às estruturas físicas, materiais ou
socioeconômicas dos alunos, mas surgem de múltiplos fatores, sendo um deles o
modo como a Matemática vem sendo ensinada aos alunos. Essa pesquisa permitiu,
segundo Soares (2007), que o professor refletisse sobre sua prática pedagógica,
principalmente diante de tantas dificuldades como salas superlotadas, indisciplina
dos alunos, falta de preparo e tempo dos professores para que estudem e se
preparem para a mudança. A autora relata que :“Fica difícil ensinar a pensar
quando não se sabe pensar. Isso ocorre por fatores ligados a própria formação do
professor do professor ele mesmo é fruto de um ensino tradicional”(SOARES, 2007,
p.102)
Outras dissertações colaboram com nosso estudo, como a de Rodrigues
(2006), que pesquisou sobre a resolução de problemas em aulas de Matemática
para alunos de 1.ª a 4.ª séries do Ensino Fundamental e de como atuam seus
professores. Sua pesquisa foi intitulada “Resolução de problemas em aulas de
Matemática para alunos de 1ª a 4ª séries do Ensino Fundamental e atuação dos
professores”. O objetivo desse estudo foi verificar e contribuir para o
aperfeiçoamento de ações de formação de professores, no qual se utilizou da
reflexão sobre a prática docente. A metodologia adotada foi a análise da gravação
dos alunos durante o processo de ensino e aprendizagem, entrevistas com
professores e intervenções em reuniões de HTPC. A finalidade foi possibilitar aos
profissionais envolvidos a reflexão sobre o ensino a fim de constatar se tal ação
favoreceu a modificação das suas concepções sobre as práticas. Nesse processo,
observou-se principalmente se o educador permitia ao aluno explanar suas ideias.
83
O estudo concluiu que as professoras têm suas concepções de ensino e
aprendizagem focadas no aluno, que as reuniões de HTPC (Horário de Trabalho
Pedagógico Coletivo) são um importante espaço de formação continuada, mas não
são a principal causa para que ocorra uma mudança efetiva. Observou-se ainda
que, para que os profissionais mudem sua prática, é preciso proporcionar condições
para tal mudança, fazendo surgir, então, a necessidade de promover momentos de
reflexão sobre a prática docente. Notou-se ainda que, no tocante à resolução de
problemas, os professores acreditavam que para ser resolvida a situação-problema
deveriam ser utilizados os algoritmos, e que estes eram usados para testar a
aprendizagem sobre os conteúdos matemáticos abordados. Assim sendo, concluiu-
se que as situações-problema não eram vistas, pelos professores investigados,
como uma metodologia de ensino. Essa questão sugere um descompasso entre o
discurso e a prática dos sujeitos de pesquisa. Portanto, a autora relata que a
reflexão sobre a pratica, deve ser essencial na formação de professores.
Araújo (2003) investigou “A passagem da 4ª para 5ª série: o que pensam
professores dessas series sobre os conteúdos essenciais de Matemática”. O
objetivo dessa pesquisa foi investigar que conteúdos de Matemática da 4ª serie
consideram essenciais nessa série e por quê? Como os avaliam? E de que modo os
professores da 5ª série no início do ano avalia seus alunos que precisam de reforço
nos conteúdos e que conteúdos são considerados essenciais. A autora pesquisou
dois professores da referida série e coletou os dados em quatro momentos
diferentes, o primeiro conversa com os professores da referida serie sobre quais
conteúdos são essenciais na visão desses participantes, no segundo momento
aplicou uma prova aos alunos no inicio do ano letivo, no terceiro momento
entrevistou a professoras, no quarto momento solicitou que cada professora
elaborasse uma avaliação contendo os conteúdos essenciais, no qual a
pesquisadora aplicou as respectivas provas em cada serie.
Nesse estudo, evidencia-se que os professores diferenciam os valores que
atribuem aos conteúdos matemáticos que ensinam e o modo em que os avaliam.
Conclui-se que o professor de 4.ª série se importa sempre como o aluno pensou e
resolveu a questão. Entretanto, alguns exercícios das avaliações propostas levam o
aluno a responder mecanicamente, o que caracteriza que este profissional valoriza e
dá ênfase à resolução de problemas com foco nas operações. Os testes e as provas
84
continuam sendo o principal instrumento utilizado pelos professores para medir o
conhecimento. Quanto aos conteúdos considerados essenciais pelos professores,
foram citados a resolução com foco nas operações, a composição de formas
geométricas, representação de uma porcentagem em uma figura, entre outros.
Observa-se ainda que a autora percebeu que existe insegurança dos professores no
domínio do conteúdo matemático.
Localizamos em outro banco de dados uma pesquisa desenvolvida em 1997
por Canoas, que nos traz contribuições significativas. Seu estudo foi intitulado “O
campo conceitual multiplicativo na perspectiva do professor das séries iniciais (1ª a
4ª série), cujo objetivo foi investigar quais as representações do professor das séries
iniciais do Ensino Fundamental no campo multiplicativo. A coleta de dados foi
realizada em dois momentos, o primeiro com a aplicação de teste inicial e
desenvolvimento de uma oficina com duração de 4 horas e o segundo momento foi
aplicado testes em três partes a primeira voltada à interpretação de uma situação
problema pré-estabelecida, a segunda na interpretação dos problemas e a terceira
centrada na competência algorítmica. A autora realizou o teste com 44 professores
de escola pública e estudantes no ultimo ano do curso de magistério,sendo que 28
participaram da primeira fase e 16 da segunda fase. Cabe ressaltar que nesse
estudo foi realizada uma pesquisa sobre os livros didáticos mais utilizados e
solicitados no mercado editorial, cujo objetivo foi identificar aspectos que
influenciassem na pratica pedagógica dos professores. A autora analisou ainda
dados do SAEB (Sistema de Avaliação da Educação Básica) de 1993 , verificando
que 63,2% dos professores utilizam os livros didáticos . Houve a indicação de sete
livros, entre eles está o “Mundo Mágico: Matemática”17, da Editora Ática. Ela
classifica os livros em 5 categorias e identifica exemplos que ocorriam. As
categorias na qual a autora classificou foi “Continuidade sim, descontinuidade não”,
“Se divido reparto em partes iguais (associação a ideia equitativa da divisão)”,
“Multiplicar números racionais, o que significa?”, “Divisão de números racionais o
que significa?” e “Problemas com problemas”. Identificou-se que todos os livros
analisados possuíam pequenos erros que de certo modo poderiam influenciar
erroneamente os professores. Porém o importante é a leitura e reflexão sobre os
materiais didáticos utilizados.
17
Este livro foi indicado por um professor na entrevista e será comentado no Capítulo 5
85
Canôas (1997) obteve como resultado de sua pesquisa que as
representações dos professores são referencias para os alunos no desenvolvimento
do conceito matemático. A autora analisou os professores no campo psicológico e
observou que os professores não conseguem dar significado ao resto da divisão,
percebeu-se que os discursos dos docentes estão relacionados com a forma de
como ensinar e não ao que se quer ensinar, possuindo assim dificuldade de
contextualizar um problema, apresentando ainda dificuldade na escrita decimal e
ideias centradas no campo aditivo. Quanto ao conhecimento matemático, em seu
estudo, ela verificou que os educadores possuem imprecisão ao elaborar as
situações-problema e persistem na operação incorreta. Quanto à analise
profissional, houve a utilização dos modelos e exemplos de regras que aparecem
nos livros didáticos. Cabe ressaltar que a principal ferramenta do professor é a
maneira como este interage com o conteúdo, com isso o livro didático é um
complemento do processo de ensino e aprendizagem. Portanto, há a necessidade
do professor dominar o conteúdo para ensinar. Assim a autora acredita que as
formações continuadas devem ser modificadas.
Com o intuito de ampliar nosso conhecimento sobre o conteúdo matemático
proporcionalidade, e por encontrarmos poucas dissertações que a relatassem,
pesquisamos no acervo bibliográfico de outras instituições e descobrimos a
dissertação de Floriani18 (2004) que, apesar de seu estudo ter como público-alvo o
Ensino Fundamental (6.º ao 9.º anos) e o Ensino Médio, traz dados significativos que
nos ajudaram na pesquisa.
Floriani (2004) apresenta as várias estratégias que os alunos do Ensino
Fundamental e Médio adotam para resolver problemas multiplicativos. Sua pesquisa
é intitulada “Resolução de problemas de proporcionalidade: um estudo com alunos
do Ensino Fundamental e Médio”. O autor analisa as estratégias utilizadas pelo
estudante para resolver problemas que envolvem proporcionalidade. O objetivo
desse estudo foi descrever e caracterizar as várias estratégias que estudantes do
ensino fundamental e médio utilizam para resolver problemas multiplicativos que
envolvem conceito de proporcionalidade. O estudo foi realizado com 82 alunos de
uma escola privada, na cidade de Itajaí – SC, com faixa etária de 12 a 17 anos.
18
Esta pesquisa nos forneceu subsídios para o aprofundamento do nosso trabalho.
86
Esses alunos resolveram nove situações-problema envolvendo conceitos
multiplicativos.
O autor utiliza como referenciais teóricos os estudos de Vergnaud sobre os
campos aditivos e multiplicativos, além de Behr, Lesh e Post. Como conclusão, o
autor identificou que, “em vários problemas os alunos muitas vezes não conseguem
reconhecer a proporcionalidade como uma relação multiplicativa, por outro lado,
houve a tentativa no sentido de utilizar relações aditivas para resolver estes
problemas” (FLORIANI, 2004, p. 5).
Continuando nossa revisão de literatura, observamos em outros bancos de
dados que, em 2010, foram defendidos três trabalhos que tratavam de questões
relacionadas ao ensino e aprendizagem do Campo Multiplicativo. Tais estudos
também envolvem o mesmo segmento da nossa investigação, ou seja, os anos
iniciais do Ensino Fundamental. Por se tratar de pesquisas que utilizaremos em
nossa análise, consideramos importante apresentá-las.
Starepravo (2010) pesquisou sobre “A multiplicação na escola fundamental I:
Análise de uma proposta de ensino”. O seu objetivo foi propor uma metodologia de
ensino da multiplicação fundamentada no construtivismo, Segundo as ideias de
Piaget. Como instrumento para coleta de dados, a autora promoveu uma
intervenção durante um semestre, contendo 21 aulas, em uma turma da 3.ª série, no
município de Curitiba. O foco do trabalho foi a multiplicação e divisão. A
multiplicação foi utilizada em problemas de proporcionalidade simples e a divisão em
algumas situações como operação inversa da multiplicação. As aulas foram
gravadas em vídeo e anotações de diário de pesquisa.
A autora fez observações interessantes quanto aos resultados do
desempenho de seus alunos. Segundo Starepravo (2010) houve:
[...] uma interação de qualidade construtiva, uma vez que a intervenção teve efeito de aperfeiçoamento sobre os sujeitos envolvidos. Verificamos a substituição progressiva de estratégias de contagem por estratégias de cálculo, aquisição de competências aritméticas e interações entre as crianças (STAREPRAVO, 2010, p. 9).
Starepravo (2010) aponta também para uma série de mudanças no que se
refere à relação dos estudantes com o conteúdo matemático, ou seja, os alunos
87
mudaram suas atitudes quanto “à relação com a Matemática, forma de tratar os
problemas apresentados, comunicação e expressão em sala de aula”. A autora
ainda chama a atenção para o fato de sua pesquisa mostrar a relevância do erro, e
sua utilização como estratégia didática. Afirma ainda que, em seu estudo, a
avaliação foi essencial nos processos de ensino e de aprendizagem.
Sobre essa temática, a dissertação de Silva (2010) nos apresenta dados
interessantes. A autora estuda as estruturas multiplicativas nos guias e orientações
curriculares no Ler e Escrever, documento-base para o currículo das escolas
estaduais. Silva sustenta que tais orientações apresentam como base a teoria dos
campos conceituais de Vergnaud (1991), relatando sobre a proporcionalidade neste
foco. O objetivo almejado foi realizar um estudo diagnóstico das estruturas
multiplicativas nas séries iniciais da Educação Básica a partir do Programa Ler e
Escrever da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo.
Silva (2010) desenvolveu uma pesquisa com alunos da 3.ª série do Ensino
Fundamental da rede pública do Estado de São Paulo. Realizou uma sondagem
inicial utilizando-se do Guia de Orientações do Programa Ler e Escrever, e
diagnosticou algumas dificuldades dos alunos na resolução de problemas
envolvendo as estruturas multiplicativas. A partir desse diagnóstico foi elaborada
uma sequência de atividades para intervenção, utilizando o software ClicMat. Em
seguida, a autora e a professora da sala fizeram a intervenção. Depois de um mês,
procedeu-se a uma nova sondagem, contendo problemas de Combinatória,
Configuração retangular, Proporcionalidade e Comparação e por meio dessa
interação pôde-se notar que, apesar do desenvolvimento de algumas ideias do
raciocínio multiplicativo, os estudantes ainda demonstravam encontrar muitas
dificuldades quanto à compreensão de situações envolvendo a proporcionalidade e
melhor desempenho nas soluções que envolviam combinatória. Notou-se ainda que
nem todos os alunos indicavam a operação necessária para a resolução do
problema. A autora relatou que, a forma como Gerard Vergnaud descreveu, sobre as
estruturas multiplicativas podem auxiliar na ação pedagógica dos professores, assim
como no desenvolvimento do discurso oral da Matemática, que é uma das
atividades, assim como o calculo mental e a utilização de software multimídia, que
possibilitam conhecer as dificuldades e desenvolver o raciocínio do aluno.
88
Analisamos ainda estudos como os de Miranda (2009) intitulado
“Pensamento proporcional: uma metanálise qualitativa de dissertações”, cujo
objetivo foi fazer uma síntese das investigações que focalizam as expressões
matemáticas geradas (ou reflexos da) manifestação e desenvolvimento do
pensamento proporcional. A coleta de dados foi realizada com um estudo
documental das dissertações de mestrado do estado de São Paulo que visam
melhorar o pensamento proporcional. Foram feitos fichamentos e análise dos
documentos. Em seu estudo, a autora define a proporcionalidade de acordo com a
pesquisa de Behr, Lesh e Post (1988), acrescentando que estes sugerem que
problemas de razões e proporções sejam iniciados pelos alunos utilizando-se a
multiplicação e divisão. Considerando ainda que as ideias referentes à
proporcionalidade são consideradas fundamentais em todas as disciplinas.
A autora relata que, para o conteúdo ser considerado essencial, são
necessários os seguintes aspectos: ter valor de excelência, ou seja, ser importante
para utilizar este conhecimento nas ações escolares e cotidianas, relacionar o
conhecimento prévio dos alunos ao conhecimento matemático e realizar uma
sequência de atividades e ideias matemáticas do decorrer das séries (MIRANDA,
2009, p. 24-25).
Miranda indica ainda uma importante relação presente na
proporcionalidade, ou seja, ela se apresenta como elo entre a aritmética, o
pensamento algébrico e geométrico. Seu estudo chama a atenção para o fato de
que documentos curriculares de orientação federal, como Parâmetros Curriculares
Nacionais – PCN (1997), sugerem o trabalho desta natureza a partir do 2.º ciclo, ou
seja, 3.ª e 4.ª séries ou 4.º e 5.º anos do Ensino Fundamental, no qual relacionam o
ensino de proporcionalidade às ideias de multiplicação e divisão.
No ano de 2011, identificamos o estudo de Rocha, cuja a temática envolve a
“Formação docente e o ensino de problemas combinatórios: diversos olhares,
diferentes conhecimentos”, no qual a autora analisou quais eram os conhecimentos
que os professores do Ensino Fundamental e Médio possuíam sobre a análise
combinatória e quais eram os aspectos de seu ensino. Para realizar a pesquisa,
elaborou-se um estudo piloto que permitiu adequar os tipos de problemas de
combinatória, houve a aplicação de entrevistas semiestruturadas com professores
89
do setor público e privado do Recife, no qual inicialmente pensou-se em um estudo
mais abrangente composto por 24 professores, mas devido a inviabilidade do grande
números de dados, decidiu-se realizar o estudo com 6 professores, sendo 2 dos
anos iniciais do Ensino Fundamental, 2 dos anos finais do Ensino Fundamental e 2
do Ensino Médio. Os professores responderam questões que envolviam o objeto
matemático da análise combinatória, analisaram os procedimentos dos alunos e as
formas de ensino para solucionar as dificuldades. As entrevistas foram gravadas em
áudio identificando o perfil profissional desses docentes como: experiência de
trabalho, tipo de instituição que lecionam e formação inicial e continuada.
Rocha (2011) obteve como resultado que os professores veêm a
necessidade de pré-requisitos para o ensino de combinatória. Identifica ainda que
mesmo diante das formações os professores apresentam dificuldade em diferenciar
os problemas de arranjo e combinação. Expõe que os professores dos anos iniciais
identificam como problema a interpretação do enunciado. Além disso, quanto à
correção das estratégias do aluno, os docentes demonstram falta de conhecimento
dessas diferentes resoluções. Evidencia que as diferentes estratégias são
escolhidas pelos educadores de acordo com o nível de dificuldade do problema e o
ano de escolaridade do aluno. Portanto, a autora indica que neste item é
demonstrada a relação de suas experiências de formação e pratica docente. Conclui
ainda que é preciso maior conhecimento dos professores sobre esse objeto de
ensino, assim como as diferentes estratégias de solução, para que ocorra um melhor
desenvolvimento do raciocínio combinatório.
Para complementar nosso estudo, pesquisamos alguns artigos, e pelo fato de
terem sido utilizados em nossa análise de dados, reputamos essencial apresentá-
los.
Borba, Selva, Luna, Silva e Ferreira (2008), no artigo “Sondando o
conhecimento de professoras sobre o desenvolvimento conceitual multiplicativo”,
relatam sobre uma pesquisa realizada na Rede Pública de Recife com dez
professoras de 3.ª e 4.ª séries, com o intuito de investigar quais eram as concepções
de professores das séries iniciais quanto aos problemas do campo multiplicativo. As
autoras verificaram quais eram as questões, na concepção das professoras,
consideradas mais difíceis e fáceis para resolução dos alunos, investigando os
90
possíveis erros, semelhanças e diferenças entre as questões e possíveis
intervenções.
Borba et al. (2008) ressaltam:
Assim, se as diferenças entre o raciocínio aditivo e multiplicativo, bem como as especificidades de cada um destes campos, forem desconhecidas por parte de professores das séries iniciais e de formadores destes professores, os alunos deste ensino poderão desenvolver concepções equivocadas ou,
no mínimo, limitadas a respeito das operações de multiplicação e divisão (BORBA et al., 2008, p. 2).
Concluiu-se que estudos como este propiciam a reflexão sobre a formação
docente, porque indicam como professores analisam as produções matemáticas dos
alunos. Em seus estudos “as professoras entrevistadas apontaram como mais
difíceis problemas que a literatura da área também aponta como sendo os de maior
dificuldade, o que evidencia que as mesmas reconhecem as estruturas de maior
dificuldade de compreensão.” (p.12).
Portanto, os autores observaram que o estudo dos erros dos alunos podem
ajudar os professores a identificar suas dificuldades e a procurar meios para auxiliá-
los.
Em outro artigo, Leitão, Borba e Monteiro (2008), sob o título “A relevância
do saber matemático na ação cidadã: o campo dos números decimais”, discutem a
importância dos conteúdos matemáticos, em especial, os números decimais. Este
estudo foi elaborado com alunos que frequentavam o EJA ( Educação de Jovens e
Adultos ) por Silva & Monteiro (2000); Fantinato (2004) e Silva & Borba (2006).
Estes autores discutem o vínculo da Matemática com a cidadania, especificamente
quando trata dos números decimais. Enfatizam ainda a necessidade de desenvolver
os conteúdos com os números decimais por lidar com diversos contextos do
cotidiano. Afirmam que “grande parte das noções e habilidades matemáticas que
frequentemente utilizam no dia a dia, já dominam, razoavelmente bem” [...]
(2008,p.2), e chamam a atenção para o fato de os números decimais estarem
presentes nas ações sociais e por isso tendem a ser facilmente aprendidos pelos
estudantes.
Como conclusão, a comunicação aborda a importância de capacitar o
professor para desenvolver os conhecimentos dos educandos, de modo que seja
garantido que os estudantes construam os conhecimentos. Verifica-se que se deve
91
promover nos alunos o desenvolvimento do espírito matemático, registro escrito, a
diversidade de resoluções e representações, a estimativa, o palpite e o
fortalecimento da auto-estima .
Campos (2011) realizou uma Conferência Paralela na XIII Conferência
Interamericana de Educação Matemática – CIAEM. com a temática “Sobre o ensino
e aprendizagem de frações”. A apresentação teve por objetivo analisar o nível de
compreensão dos alunos e a ação dos professores no Ensino Fundamental I quando
consideram situações-problema que envolvam quociente e parte todo, além de
comparar esses resultados com pesquisas realizadas em outros países, promover
tarefas que possam ser desenvolvidas em sala de aula e oferecer aos docentes
elementos para trabalhar o conceito de frações.
A pesquisa foi realizada em 37 alunos do 4º e 5º ano em uma escola publica
da cidade de São Paulo e duas professoras de cada respectivo ano escolar.
Realizou-se uma intervenção de uma hora e meia com as professoras, para
explicação dos objetivos e procedimentos da pesquisa. Nas salas de aula foram
realizadas três sessões para compreender o nível de análise dos alunos nos
problemas propostos. O desenvolvimento da tarefa desse estudo foi embasado na
pesquisa de Vergnaud (1983, 1998, 2001) e em outros estudiosos que realizaram
suas pesquisas direcionadas aos números racionais, entre eles Kieren (1975),
Ohlsson (1988) e outros.
Campos (2011) relata ainda que “as situações de parte-todo, são muito
usadas no ensino de fração no Brasil”. Observamos que as práticas mais utilizadas
em sala de aula pelos professores são de “dividir uma área em partes iguais, a
nomear a fração como o número de partes pintadas sobre o número total de
partes”(p.2).
A autora observou que uma mudança metodológica pode auxiliar os alunos
na compreensão e desenvolvimento do conceito de fração envolvendo o quociente.
Evidenciamos que os teóricos e pesquisas abordados neste capítulo darão
base a este trabalho e esperamos que os aspectos citados tenham ampliado o
repertório e contribuído para o entendimento da pesquisa.
92
CAPÍTULO 4
OS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA
O vento é sempre o mesmo, mas sua resposta é diferente em cada folha. Somente a árvore seca fica imóvel entre borboletas e pássaros. (Cecília Meireles)
Para atender aos objetivos deste trabalho e responder nossa questão de
pesquisa optamos pelo estudo de caso, tendo em vista a singularidade da escola
selecionada em relação à maioria das escolas da Rede Estadual de Ensino de São
Paulo quando considerada a proficiência matemática dos alunos, mas, sobretudo a
evolução dos resultados na avaliação estadual- SARESP.
Nossa finalidade é a identificar quais são os conhecimentos dos professores
que ensinam Matemática para alunos do 5º ano do Ensino Fundamental em uma
escola que os alunos se destacaram na avaliação de Matemática do SARESP de
2009.
4.1 Nossa Pesquisa: um estudo de caso
Após a definição do objeto de pesquisa e do levantamento das perguntas
norteadoras, foi necessário pensar qual seria a escola investigada.
Para a escolha da escola, verificamos os resultados do SARESP de 2009 no
qual procuramos analisar, quais as escolas se destacaram com com maior índice.
Nesse levantamento procuramos quais instituições de ensino haviam superado o
índice de proficiência do ano anterior. Nesse momento, escolhemos a quinta melhor
escola classificada entre todas as escolas estaduais de São Paulo. Os índices de
proficiência em Matemática da escola escolhida em 2008 foi de 3,1788 e em 2009
de 7,4580, em uma escala que vai de 0 a 10.
Portanto, consideramos que esta pesquisa pode ser classificada como um
estudo de caso, pois analisando os aspectos da escola, verificamos que segundo
André (2008) fundamentado em Merriam (1988) há três características que podemos
observar na Unidade Escolar escolhida, ou seja, a:
93
“Particularidade... focaliza uma situação, um programa, um fenômeno particular. O caso em si tem importância, seja pelo que revela sobre o fenômeno, seja pelo que representa. E por esse tipo de estudo adequado para investigar problemas práticos, questões que emergem do dia a dia” (MERRIAM , 1988 p.14-15 apud ANDRE ,2008, p. 17, grifo nosso).
Consideramos um caso particular já que a Escola A, teve uma excelente
média no SARESP de 2009, conseguindo obter mais que o dobro da nota do ano
anterior. Essa instituição escolar foi considerada a quinta melhor escola do Estado
de São Paulo.
Outra característica apontada por André (2008) é a descrição. Segundo a
autora:
“Descrição significa que o produto final de um estudo de caso é descrição densa do fenômeno em estudo... O estudo de caso engloba um grande número de variáveis e retrata suas interações ao longo do tempo”(MERRIAM, 1988 p.14-15 apud ANDRE, 2008, p.18, grifo nosso).
Entre as variáveis analisadas estarão a utilização de recursos pedagógicos
diversificados, a formação continuada do HTPC, a preparação dos professores e
alunos para o SARESP, a metodologia utilizada pelos professores durante o
desenvolvimento de suas aulas, dentre outras.
Outra característica também observada nesse estudo é a Heurística. Segundo
André (2008):
“Heurística significa que os estudos de caso iluminam a compreensão do leitor sobre o fenômeno estudado. Podem revelar a descoberta de novos significados, estender a experiência do leitor ou conferir o já conhecido”.(MERRIAM1988, p.14-15 apud ANDRE, 2008, p 18, grifo nosso)
A pesquisa na Escola A permitiu ampliar e confirmar as descobertas de outros
estudos, assim como contribuir para um maior entendimento da relação entre
Conhecimento Profissional Docente e o bom desempenho dos alunos.
Assim sendo, analisar o Conhecimento Profissional Docente dos professores
da Escola A torna-se relevante, já que consideramos o trabalho do professor de
fundamental importância no processo de ensino e aprendizagem.
.
94
4.2 Breve Descrição das Etapas da Pesquisa
Assim, para atingir os objetivos propostos, desenvolvemos uma investigação
de cunho qualitativo que foi dividida em cinco partes. A primeira foi de pesquisa
bibliográfica, na qual procuramos levantar referências para nosso estudo. A segunda
parte envolveu a análise dos relatórios oficiais do estado de São Paulo para que
efetivássemos a escolha da escola- Escola A. Na terceira parte elaboramos os
instrumentos de coleta de dados para a realização da pesquisa de campo.
Assim sendo, a partir da pesquisa documental, da análise dos níveis de
proficiência em Matemática, escolhemos a escola e desenvolvemos os instrumentos
de investigação para partir para a pesquisa de campo e posterior análise de dados.
A coleta de dados foi feita, como pode ser observado no Quadro 01, pelos
seguintes instrumentos: questionários, entrevistas, recolhimento das atividades de
alunos e observação em sala de aula com anotações no diário de notas da
pesquisadora.
O questionário apresentado neste capítulo foi elaborado com o propósito de
obter prévias informações sobre concepções dos professores que trabalham com os
5º anos da Escola A sobre a Matemática e seu ensino. Nesse questionário
procuramos indagar os docentes como analisam as produções dos alunos e as
estratégias que sugerem para auxiliá-los em suas dificuldades.
Os Roteiros de entrevista, que se encontram nos Apêndice A, B e C (p.I –
IV), tiveram como objetivo caracterizar o perfil dos docentes e da equipe gestora da
escola, assim como investigar a relação desses docentes com a Matemática e seu
Conhecimento Profissional Docente. As atividades de observação complementaram
a pesquisa, para vivenciarmos o cotidiano escolar destes professores.
As duas últimas etapas foram subsidiadas pelos resultados encontrados nas
Etapas 1,2 e 3.
Na Etapa 4, fizemos inicialmente o contato com a escola, expondo os
motivos da pesquisa para a Direção da unidade escolar. Esta solicitou que
pedíssemos a Diretoria de Ensino autorização para realização da mesma. Após
algumas semanas obtivemos resposta positiva.
Com isso, realizamos a pesquisa de campo, na qual, em visitas a escola
aplicamos o questionário, fizemos as entrevistas, observamos as salas de aula e
conversamos com os diversos atores envolvidos neste estudo.
95
Finalizando, a Etapa 5 - análise dos dados- foi desenvolvida por triangulação,
organizadas em o Perfil do Professo;o seu Discurso e a sua Prática.
Assim sendo, a pesquisa dividiu-se em etapas, conforme se pode observar
no quadro, que segue:
Etapa 1 Pesquisa Bibliográficas
Busca de referências para o desenvolvimento da investigação:
análise de estudos que versam sobre o Conhecimento Profissional
Docente.
Etapa 2 Escolha da Escola
Análise dos índices de desempenho na disciplina de Matemática
das escolas da região de Mogi das Cruzes que realizaram a
avaliação do SARESP em 2008 e 2009.
Etapa 3 Preparo da Pesquisa de Campo
a) Criação dos instrumentos de pesquisa.
- Questionário
- Roteiro da entrevista semi-estruturada: Professor, PC e Diretor
(Apêndice A p.I , B p.II e C p.IV)
Etapa 4 Pesquisa de Campo
a) Entrega do questionário
b) Realização das entrevistas
c) Recolhimento das atividades das docentes
d) Observações em sala de aula
Etapa 5 Análise
Discussão dos dados coletados na Etapa 4
Apresentação dos resultados e conclusão da pesquisa.
Quadro 8 Descrição das Etapas da Pesquisa Fonte: Acervo Pessoal
Com isso, verificamos que a organização e preparação das etapas para a
pesquisa proporcionaram uma melhor clareza e desenvolvimento da mesma, para
que pudéssemos atingir o objetivo de identificar quais são os conhecimentos dos
96
professores que ensinam Matemática para alunos do 5º ano do Ensino
Fundamental em uma escola que obteve excelente proficiência nesta disciplina.
4.3 Instrumentos de coleta de dados
Faremos a seguir a descrição dos instrumentos de coleta de dados: o
protocolo do questionário, o roteiro das entrevistas semiestruturadas, e o roteiro de
observação da Escola.
4.3.1 Questionário – Protocolo de Pesquisa
Nosso questionário se estruturou em duas partes: a primeira composta de
uma situação fictícia mais geral. Nela há um relato de uma professora que trabalha
com uma sala com dificuldades de aprendizagem e pede auxílio. A segunda parte é
composta por casos em que simulamos respostas de alunos para situações
envolvendo o Campo Conceitual Multiplicativo.
Quanto à primeira parte, elaboramos uma questão com o objetivo de
identificar quais as estratégias os professores indicariam para solucionar o problema
proposto, no caso uma sala com dificuldades em resolver situações-problema com
números naturais e seus cálculos envolvendo papel e lápis.
1- Leia as reflexões de uma professora e ajude-a com uma solução didática.
“Minha escola na última Reunião de HTPC decidiu fazer uma avaliação unificada
simulando o SARESP. Ficou decidido que seriam elaboradas as questões
utilizando as matrizes de referência do SARESP para 4ª série/ 5º ano Ensino
Fundamental. Fiquei muito preocupada com tal situação, pois a realidade de minha
sala está bem aquém do que será solicitado. Minha sala tem 30 alunos, destes 20
alunos no ano anterior frequentavam a sala do PIC 3ª série e os outros 10 foram
reprovados no ano anterior. Em Língua Portuguesa, apesar das diversas
dificuldades, acredito que o mínimo do solicitado será atendido. Porém em
Matemática as habilidades que envolvem a resolução de problemas e cálculos
envolvendo as quatro operações não estão satisfatórias, segundo as matrizes
solicitadas. Enfim, não sei por onde começar meu trabalho. Quero ajudar meus
alunos à atingir as expectativas propostas para as salas 4ª série /5º ano.”.
Quadro 9 Questão com situação geral
Fonte: Acervo Pessoal
97
Aluno 1
Nesta questão os professores deveriam analisar a situação e dar sugestões
possíveis às atividades e intervenções. Assim sendo, por meio da análise das
estratégias e dos encaminhamentos propostos pelos professores observaríamos
suas estratégias de ensino, pois esperávamos que, por meio dos depoimentos
pudéssemos observar, mesmo que implicitamente, suas atitudes profissionais diante
de uma problemática apresentada.
Na segunda parte foram apresentadas algumas situações em que alunos
fictícios responderam de diferentes maneiras. A ideia para elaborar tal instrumento
de pesquisa partiu da análise dos estudos de Ball e Bass (2003), no qual ela aborda
sobre “Qual Matemática o professor precisa saber para ensinar efetivamente?”. A
autora traz situações-problema que envolvem diferentes estratégias de resolução, e
evidência que o professor deve desenvolver diferentes abordagens em seu trabalho
no ensino de Matemática e deve demonstrar como utiliza essas estratégias para
resolução de problemas no seu ensino. Cabe ressaltarmos que as situações
exploradas são as operações de multiplicação e subtração, além dos polígonos e
números decimais. As questões 2.1, 2.2 e 2.3 foram retiradas do Relatório do
SARESP 2008 e 2009 nas quais os alunos obtiveram maior dificuldade e a questão
2.4 que foi retirada do Guia de Planejamento e Orientação dos Professores do 4º
ano, material da rede pública de ensino.
2- Analise as questões abaixo. Tratam-se de itens do SARESP e apresentamos algumas resoluções de alunos fictícios.
2.1- H16 – resolver problemas envolvendo noções de porcentagem ( 25%, 50%, 75%, 100%)
No período da manhã da escola “Aprendendo Sempre” estudam 400 alunos, dos quais 25% têm menos de 10 anos. O número de alunos dessa escola com
10 ou mais anos de idade é?
98
A) Explicite aspectos que podem indicar o grau de compreensão de cada um deles
sobre a resolução da operação indicada.
B) Dê sugestões para a aprendizagem nos diferentes casos: qual seria sua
intervenção?
Quadro 10 Questão envolvendo situação de porcentagem
Fonte: Acervo Pessoal
Selecionamos a resolução do Aluno1 (divisão) e do Aluno 2 (multiplicação),
por que demonstra duas operações que normalmente são utilizadas para resolução
da porcentagem. Estudos como o de Behr et. al. (1988) apontam que existe uma
supervalorização da determinação do “x” incógnito, o que caracteriza a tendência a
utilizarmos o método cruzado, que é composto por três termos e uma incógnita, no
qual no encontro dos termos se multiplica, isola-se o “x” e divide-se pelo outro termo.
Com isso,o aluno 1 utilizou erroneamente os dados que foram apresentados
pelo problema, utilizando-se de uma divisão para a calcular 25%.19 Podemos
observar ainda que, ao realizar a divisão, o aluno erra, uma vez que efetua a divisão
por 5 ao invés de 25. Relativamente a essa solução, vale observar que ela nos dá
pistas de que o estudante provavelmente domina os procedimentos para efetuar a
divisão com divisor na ordem da unidade.
O aluno 2 também se utiliza dos dados contidos no enunciado, mas para
resolução apresenta a multiplicação que demonstra realizar de forma parcialmente
19 Segundo Behr et al. (1988,p.21) é “uma forma de pensamento matemático que envolve um senso
de covariação e de comparações múltiplas, bem como a capacidade de armazenar e processar mentalmente diversos conjuntos da informação”.
Aluno 2 Aluno 3
99
correta, mostrando apenas equivocar-se na multiplicação de 5 unidades x 4
centenas, que é igual a 20 centenas; neste caso, o aluno pode ter esquecido de
indicar o algarismo 2 ao lado do zero. Esse aluno realiza a segunda parcela da
multiplicação corretamente, mas, como cometeu o erro anterior, erra o resultado,
que lhe promoveria metade da solução. Esse aluno parece que domina a
multiplicação por dezena, mas sua resolução não nos permite inferir se resolveu só
a primeira parte do procedimento.
A escolha da resolução do Aluno 3, decorreu por mostrar uma estratégia diferente.
Inferimos que o aluno sabe que para saber 75% é necessário subtrair 25% de 100%,
no caso, o todo. E assim realiza sucessivamente 4 subtrações porque sabe que 4
vezes 100 é igual a 400.
Questão 2.2
H11- Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais.
O resultado da divisão 9165 ÷ 13 é
A) Explicite aspectos que podem indicar o grau de compreensão de cada um deles
sobre a resolução da operação indicada.
B)Dê sugestões para a aprendizagem nos diferentes casos: qual seria sua
intervenção?
Quadro 11 Questão envolvendo situação de divisão
Fonte : Acervo Pessoal
Escolhemos a primeira estratégia -Aluno1-, por tratar-se de uma resolução em
que o estudante não representa o algarismo zero no quociente da divisão,
Aluno 2 Aluno 1
100
demonstrando dificuldade na compreensão das regras do Sistema de Numeral
Decimal em situação de utilização do algoritmo da divisão.
O aluno 2 acerta a questão e realiza a divisão corretamente utilizando a
resolução procedimental adequada. Este demonstra dominar o algoritmo da divisão
e as regras do Sistema de Numeração Decimal.
Na questão a seguir o objetivo foi o de identificar como o professor avalia a
resolução da operação multiplicação resolvida por dois alunos por meio de um
algoritmo convencional.
2.3 H11 – Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão dos números
naturais.
A professora de Eduardo escreveu no quadro a operação abaixo.
326 x 40
Ele foi o primeiro da turma a resolver e acertar.
Eduardo e seu amigo encontraram como resultado
A) Explicite aspectos que podem indicar o grau de compreensão de cada um deles
sobre a resolução da operação indicada.
B) Dê sugestões para a aprendizagem nos diferentes casos: qual seria sua
intervenção.
Quadro 12 Questão envolvendo situação de multiplicação
Fonte: Acervo Pessoal
Analisando a resolução do aluno 1 observamos que este respondeu de forma
correta. Percebemos o seu domínio da multiplicação e da adição, além de possuir
conhecimento do Sistema de Numeração Decimal.
Aluno 1 Aluno 2
101
Sabendo-se que 4 maças custam RS 2,50. Quanto Julia pagará por 16 maças?
O aluno 2 apresenta domínio da adição, porém, ao realizar a multiplicação
acerta o cálculo da multiplicação com o 0 (zero) na primeira parcela. Ao realizar a
multiplicação com o 4, este o faz corretamente 4 x 6 = 24, deixando o quatro e
passando o 2 para a dezena. Na próxima etapa, 2 x 4 = 8, este soma
adequadamente o 2 dando 10, mas o aluno se esquece de passar 1 para a centena,
no qual ocorre o primeiro erro. Este, ao calcular 3 x 4, novamente erra e acredita ser
11. Deste modo, percebemos que o aluno, apesar de conhecer a adição, ainda está
em processo de construção do campo multiplicativo.
A questão a seguir foi retirada da dissertação “Um estudo das estruturas
multiplicativas nos Guias de Planejamento e Orientações Didática do Programa Ler
e Escrever” da Sandra Regina Firmino da Silva (2010). A autora realizou a pesquisa
da situação problema no Caderno do aluno e Guia de Planejamento do professor
do 4º ano. Silva (2010) destaca a dificuldade dos alunos em realizar operações que
contemplam proporcionalidade simples. Nosso objetivo com a indicação da questão
foi identificar como os professores analisavam as dificuldades dos alunos e como a
utilizavam para realizar suas intervenções, em um problema de proporcionalidade
simples. Procuramos, enfim, observar quais são os conhecimentos dos professores
sobre esse assunto.
2.4. H13- Resolver problemas que envolvam a multiplicação e a divisão,
especialmente em situações relacionadas à comparação entre razões e a
configuração retangular.
Aluno 1 AAAAAAAlu
noallualuno
Aluno 2
102
A) Explicite aspectos que podem indicar o grau de compreensão de cada um deles
sobre a resolução da operação indicada.
B)Dê sugestões para a aprendizagem nos diferentes casos: qual seria sua
intervenção?
Quadro 13 Questão envolvendo situação de proporcionalidade.
Fonte: Acervo Pessoal
Ao analisar a questão acima podemos notar que ela não trata de uma
situação-problema convencional, posto que possui um enunciado que propõe a
relação proporcional de 4 maçãs com o valor de R$ 2,50, o que comumente é
apresentado nos livros didáticos e outras matérias pedagógicas como valor unitário,
ou seja, é dado normalmente o valor de uma maçã para se calcularem as dezesseis.
Para melhor análise das respostas dos professores iremos observar como os
alunos solucionaram a situação-problema.
O aluno 1 erra, pois este acredita que o valor da proporcionalidade inicia-se
na unidade. Assim, este entende que R$2,50 é o valor de uma maçã. Podemos
inferir que este aluno se utiliza de experiências anteriores que propuseram o valor
unitário para solucionar a questão. Entretanto notamos que se pode considerar de
certo modo um avanço quando este usa a multiplicação para resolução, em vez de
solucionar por parcelas iguais, mas este não percebe que o valor da situação-
problema se refere a quatro maçãs, e não a uma.
O aluno 2 acerta a questão proposta e utiliza o algoritmo que, segundo os
estudos de Vergnaud (2001), como operatório realiza a adição por parcelas iguais.
Este fato é relatado por Vergnaud (1988) no “teorema em ação quando o estudante
escolhe uma determinada operação ou sequencia de operações para resolução do
problema”.(p.144) Percebemos que este aluno entendeu que 4 maçãs custam R$
2,50 e por isso juntou quatro grupos de quatro para obter as dezesseis.
Quanto à análise do conteúdo, Vergnaud (1982) distingue dois tipos de
cálculo: o numérico no qual o autor refere-se “as operações comuns de adição,
subtração, multiplicação e divisão” p.(33), e o relacional, que compõem “as
operações do pensamento que são necessárias para que haja a manipulação das
relações envolvidas na situação” (p.33). Notamos que as resoluções de alunos
fictícios apresentadas aos professores, tratam-se de exemplos do cálculo numérico,
103
pois apesar de utilizarem estratégias diferentes, estes utilizam operações para sua
resolução.
4.3.2 Entrevistas semiestruturadas
Depois da escolha da escola passamos a pensar na organização das
entrevistas semiestrututadas e quem seriam nossos entrevistados, se apenas os
professores do 5º ano ou também a equipe técnica. Optamos por organizar o roteiro
para os professores do 5º ano e para o Diretor e Coordenador Pedagógico. A ideia
era que os entrevistados aprofundassem as reflexões observadas em seus
depoimentos. Nossa intenção foi a de permitir, nessa interlocução, a abertura para
novos questionamentos de acordo com o que os docentes fossem relatando.
Portanto, estas foram elaboradas com o intuito de verificar o Perfil do
professor e de aprofundar a discussão dos casos apresentados nas questões 2.1
(porcentagem) e 2.4 (proporcionalidade).
As entrevistas foram compostas por 18 questões para os professores e 14
questões para as entrevistas do diretor e coordenador pedagógico. As principais
questões abordadas na entrevista com o professor foram: qual o tempo de
magistério, qual a formação inicial, curso que realizou, qual série leciona, qual a
jornada de horas de trabalho, se acumula cargos, como foi sua trajetória com o
ensino da Matemática como aluno, como são suas aulas em Matemática e como foi
a preparação da escola para a prova SARESP.
Na entrevista da equipe gestora as principais perguntas foram: há quanto
tempo é diretor ou coordenador na escola, se a equipe estava completa do referido
ano analisado, como é o acompanhamento das atividades, como é atribuição das
salas, quantos professores efetivos e contratados a escola tem, como é o HTPC,
que assuntos são tratados e a que se deu o excelente resultado do SARESP em
2009. O objetivo principal foi observar como é a equipe gestora e qual sua
colaboração para que ocorra um bom desempenho dos alunos na disciplina de
Matemática.
104
4.3.3 Observação da Escola
4.3.3.1 Nas atividades dos docentes
Solicitamos para os professores pesquisados que entregassem algumas
atividades de Matemática que foram apresentadas aos alunos, estas serão
apresentadas e analisadas no Capitulo 5, na página 139 a 149. O objetivo deste
instrumento de pesquisa é analisar qual tipo de atividade é proposta e como os
alunos a solucionam.
Além disso, observamos as rotinas semanais de planejamento dos
professores, no qual são elaboradas de acordo com a proposta do Ler e Escrever.
Notamos que aparecem todos os dias o ensino de Língua Portuguesa e de
Matemática.
Pedimos também ao coordenador, cópia do simulado do SARESP que era
aplicado mensalmente aos alunos de 5º ano desta escola, que está no Anexo B p.
IV. Notamos que este simulado é citado pelos professores em seus depoimentos na
entrevista. Temos com este instrumento o intuito de observarmos como os alunos
eram preparados para avaliação externa.
4.3.3.2 Na sala de aula
Para coleta dos dados, observamos também, duas aulas de Matemática da
referida escola com professores diferentes (A e D). Cabe destacar que estes
docentes foram previamente avisados e a observação da sala de aula ocorreu,
somente nas classes em que o professor autorizou nossa presença. O objetivo de tal
ação foi vivenciar um pouco mais o cotidiano dos sujeitos envolvidos.
A primeira turma observada na qual tem como regente o professor A, a
atividade teve como objeto de conteúdo problemas que envolviam porcentagem.
Inicialmente propôs aos alunos a construção de gráficos da sala, explicando aos
mesmos a função da porcentagem e seu calculo procedimental, depois realizaram
as atividades sugeridas nessa temática no caderno do Ler e Escrever. Para finalizar
o docente distribuiu panfletos e solicitou que cada dupla de alunos escolhessem 3
produtos e dessem desconto de 25 %. Alguns alunos demonstram dificuldade,
porém ficaram interessados no assunto da aula.
105
A segunda turma observada teve como regente o professor D, que escreveu
na lousa algumas operações de multiplicações com os dois fatores envolvendo dois
ou mais algarismos. O professor D inicialmente solicitou que os estudantes
resolvessem as operações no caderno. Após isso o docente pediu aos alunos que
realizassem as operações na lousa. Nesse momento, observou-se que o professor
explicou individualmente às dúvidas apresentadas pelos estudantes.
Com isso, verificamos a importância de tais instrumentos de coleta de dados
para caracterizar, identificar e responder os aspectos e objetivos já citados.
No próximo capítulo, apresentaremos e analisaremos os dados obtidos nesta
pesquisa.
106
CAPÍTULO 5
APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS
A principal meta da educação é criar homens que sejam capazes de fazer
coisas novas, não simplesmente repetir o que outras gerações já fizeram.
Homens que sejam criadores, inventores, descobridores. A segunda meta
da educação é formar mentes que estejam em condições de criticar,
verificar e não aceitar tudo que a elas se propõe (JEAN PIAGET).
Este capítulo apresentará a análise de dados do Questionário, das
entrevistas, atividades recolhidas e nossa observação realizada com cinco docentes
do 5.º ano do Ensino Fundamental e equipe gestora. Os dados relativos ao
questionário e entrevista estão organizados em blocos: Perfil profissional docente, a
relação dos docentes com a Matemática, Conhecimento profissional docente e o
Trabalho do Grupo da Escola. Para o exame da prática docente apresentaremos e
verificaremos as atividades recolhidas e nossas anotações relativas à observação.
5.1 Perfil profissional docente
Para descrever o perfil dos professores, selecionamos os dados apresentados
no quadro a seguir, os quais foram obtidos durante a entrevista concedida por todos
os docentes, bem como as principais informações. Observando os dados,
verificamos que os profissionais pesquisados possuem grande experiência docente.
Entre eles, o professor com menos tempo trabalha há 14 anos no Magistério, e o
com maior tempo de carreira afirmou que leciona há 26 anos.
Assim, observamos que, em média do tempo de serviço, os professores
pesquisados possuem 20,4 anos de Magistério. Constatamos, portanto, que alguns
estão em final de carreira e que possivelmente têm uma diversidade de experiências
pessoais e profissionais, o que, segundo Tardif e Raymond (2000), poderia ser um
fator favorável ao desenvolvimento profissional, posto que, segundo o autor, estes
docentes:
[...] não se limitam a conteúdos bem circunscritos que dependeriam de um conhecimento especializado. Eles abrangem uma grande diversidade de objetos, de questões, de problemas que estão todos relacionados com seu trabalho. Além disso, não correspondem, ou pelo menos muito pouco, aos conhecimentos teóricos obtidos na universidade e produzidos pela pesquisa na área da Educação: para os professores de profissão, a experiência de trabalho parece ser a fonte privilegiada de seu saber-ensinar (TARDIF e RAYMOND, 2000, p. 213).
107
Prof. Tempo
que
leciona.
(anos)
Horário de
trabalho
(h/semanal)
Formação
inicial
Ano Pública Graduação Formação
Continuada
Ano que
lecionou
Cargo Gosta de
Matemáti
ca
Experiê
ncia
quando
aluno
na U
E
ou
tra
UE
20
sim
não
sim
não
cu
rsan
do
sim
não
Qu
ais
Efe
tiva
OF
A21
sim
não
po
sit
iva
neg
ati
va
A 26 34 0 Magistério 1983 X X X Sempre 5.º
ano
X X X
B 25 34 0 Magistério 1984 X X X 4.º e 5.º
anos
X X X
C 17 34 0 Magistério 1983 X X X Oferecido
pela D.E22
Todos os
anos
X X X
D 14 34 0 Magistério 1995 X X X Todos os
anos
X X X
E 20 34 0 Magistério 1988 X X X Artes Todos os
anos,
geralmente
5.º ano
X X X
Quadro 14: As respostas dos questionários – Perfil dos professores
Fonte: Acervo pessoal.
20
UE refere-se à Unidade Escolar.
21 OFA refere-se à Ocupante de Função Atividade.
22 DE refere-se à Diretoria de Ensino.
108
Analisando um pouco mais os resultados, é possível verificar que, quando
perguntamos sobre a primeira formação, em unanimidade, todos os professores
entrevistados informaram que seu primeiro curso foi o Normal em Nível Médio,
antigo Magistério.
Quanto ao local de formação, um docente indicou ter estudado em escola
particular e os outros, em escolas estaduais na mesma cidade em que lecionam. E
todos os professores afirmaram ainda ter ou estar cursando Pedagogia.
No tocante à experiência, observamos que há uma diversidade de vivência
entre os docentes, uma vez que eles disseram que já trabalharam em outras
instituições em anos anteriores. Todas públicas, algumas em escolas estaduais,
outras em redes municipais.
Quanto à formação continuada, somente dois dos cinco professores relataram
ter realizado em sua trajetória docente outros cursos de formação em serviço, um
deles foi promovido pela Secretaria do Governo Estadual de São Paulo e outro
realizado em Universidade privada.
Notamos que dois professores são efetivos na rede estadual e três são
Ocupante de Função Atividade (OFA)23 na mesma rede de ensino. Cabe ressaltar
que, dos três docentes contratados, dois estavam na escola no ano de desempenho
significativo. Além disso, verificamos que todos os professores têm experiência em
todos os anos, pois lecionaram para todos eles, porém três desses professores têm
maior experiência com o 5º ano, dado que, segundo suas informações, lecionam
para esses segmentos há mais tempo.
Quanto à jornada de trabalho, observamos que todos os professores têm
jornada ampliada24 com as horas de reforço. Dois dos professores deixaram claro
23
De acordo com a Lei n.º 500/1974, OFA – Ocupante de Função Atividade são os funcionários públicos admitidos em caráter temporário.
24 Instituída pela Resolução n.º 86, de 19 de dezembro de 2007, art. 3.º. Os docentes, regentes de
classe de 1.ª a 4.ª série do Ciclo I do Ensino Fundamental, envolvidos no Programa, farão jus à atribuição de mais 4 (quatro) horas semanais, destinadas ao trabalho de planejamento e capacitação para os projetos. No caso da nossa pesquisa, a jornada dos professores citados foi ampliada com aulas de reforço.
109
que não gostariam de lecionar para as turmas de reforço, mas se sentiram
pressionados pelos administradores da Unidade Escolar.
5.2 A relação dos docentes com a Matemática
Neste item apresentaremos a relação que os docentes investigados possuem
com a Matemática em sua formação quando estudantes e como profissionais da
educação.
5.2.1 A relação dos docentes investigados com a Matemática na Educação
Básica
Uma das questões pesquisadas durante as entrevistas foi sobre a relação dos
professores participantes da pesquisa com a Matemática. Consideramos tal temática
fundamental, pois concordamos com estudos como os de Tardif e Raymond (2000)
que mostram uma relação muito forte entre a prática docente e toda a história de
vida do professor, em especial, com as primeiras vivências escolares. Os autores
afirmam que na trajetória pré-profissional:
[...] uma boa parte do que os professores sabem sobre o ensino, sobre os papéis do professor e sobre como ensinar provém de sua própria história de vida, principalmente de sua socialização enquanto alunos [...] Essa imersão se expressa em toda uma bagagem de conhecimentos anteriores, de crenças, de representações e de certezas sobre a prática docente. Ora, o que se sabe hoje é que esse legado da socialização escolar permanece forte e estável através do tempo. Na América do Norte, percebe-se que a maioria dos dispositivos de formação inicial dos professores não consegue mudá-los nem abalá-los. Os alunos passam através da formação inicial para o Magistério sem modificar substancialmente suas crenças anteriores sobre o ensino. E, tão logo começam a trabalhar como professores, sobretudo no contexto de urgência e de adaptação intensa que vivem quando começam a ensinar, são essas mesmas crenças e maneiras de fazer que reativam para solucionar seus problemas profissionais (TARDIF e RAYMOND, 2000, p. 217-218).
Os autores chamam a atenção para o fato de que os professores são
influenciados por suas experiências pessoais. Assim, procuramos investigar a
relação que os sujeitos da pesquisa tiveram com a Matemática durante a Educação
Básica. Apresentamos a seguir o relato do professor C:
110
A Matemática ela foi muito tradicional lembro assim pouca coisa mas na época da escola [as atividades eram], continha, arma continha, a parte de divisão era mais difícil para estar entendendo (PROFESSOR C).
Quando solicitamos um relato da relação pessoal de cada docente com a
disciplina Matemática, observamos que somente três professores afirmaram gostar
da disciplina; desses, um chamou a atenção para o fato de sentir necessidade de
melhorar sua prática quando leciona:
A Matemática sinceramente eu não gosto muito não. Eu faço o que dá, a gente ensina, mas não é minha matéria predileta (PROFESSOR A).
[...] da Matemática eu não gostava, eu nunca gostei de Matemática [...] quando era criança nunca gostei nem entendia. Sempre gostei mais de Português, Matemática nunca foi meu forte. Por isso mesmo por não gostar da Matemática [...] eu tinha nota [...] eu estudava sempre tive boas notas, mas não gostava mesmo. Então quando eu comecei dar aula eu peguei e vi que eu não queria para os meus alunos, aquilo que aconteceu comigo. Então eu comecei a dar importância maior para Matemática, mostrando para eles que a Matemática não é esse bicho de sete cabeças (PROFESSOR B).
Eu gosto de Matemática. Gosto, mas ainda sinto que preciso melhorar muito essa parte também (PROFESSOR C).
Eu tinha um pouco de dificuldade, mas foi bom porque eu fui gostando um pouco, não que eu adore Matemática mas [...] gosto, tem que gostar faz parte (PROFESSOR D).
Eu sempre gostei de Matemática, só no Ensino Médio que entrou Física que o professor realmente não ensinava [...] parei até de estudar por causa disso, depois voltei novamente e fiz de novo o primeiro colegial (PROFESSOR E).
Percebemos nos relatos dos professores que dizem não gostar da disciplina,
e mesmo daqueles que gostam, indícios de algumas dificuldades quanto ao
entendimento do conteúdo matemático. Isso nos parece preocupante, uma vez que
estudos como os de Shulman (1986) indicam que o domínio do conteúdo é de
extrema importância para o desenvolvimento das práticas docentes.
111
5.2.2 A relação dos docentes investigados com a Matemática na formação
inicial
Para representar a relação entre a Matemática e a docência, solicitamos
também que os professores relatassem sobre sua formação inicial. Procuramos
investigar como era o ensino da disciplina no nível médio Normal, com o intuito de
identificar quais experiências vivenciaram durante a formação inicial. A seguir,
apresentamos o relato desses professores:
No Magistério a gente não tinha Matemática (PROFESSOR A).
Bom, no Ensino Médio eu fiz o primeiro ano que foi o básico, lá na
[instituição R25
], eu era péssima, era uma coisa assim eu me destacava
tinha ótimas notas em outras matérias e Matemática era aquilo na casca. E
depois que eu fui para o Magistério, que era mais voltado de 1.ª a 4.ª série e
depois para Educação Infantil, então era outra coisa, eram as noções de
Matemática (PROFESSOR B).
A Matemática ela foi [...] muito tradicional [...] No Magistério também a formação durante o Magistério deixou a desejar à parte de Matemática a gente via outras matérias, mais a parte de Matemática era estatística, a gente trabalhava muito com calculadora, mas [...] deixou a desejar. E agora a Pedagogia eu percebo que lendo a gente falha muito na sala de aula com os materiais concretos muitas vezes a gente não tem [...] como trabalhar o material concreto por conta de muitas vezes não ter o material na escola.Muitas vezes tem o material na escola e a gente não tem o tempo de estar manuseando e trocando as experiências com outros que têm outras experiências com os materiais concretos que eu acredito que ajude muito na aprendizagem dos alunos. Então eu acho que a gente começa a estudar, a gente começa a comparar a nossa atitude na sala de aula com aluno junto com a teoria. Eu gosto de Matemática. Gosto, mas ainda sinto que preciso melhorar muito essa parte também (PROFESSOR C).
Quando eu era criança [...] no primário eu tive uma ótima professora de 1.ª a 4.ª [...] depois no ginásio que foi dificultando e já mudou para o Magistério com professor homem [...] pegava mais no pé de algumas matérias, [...] em Matemática algumas partes que para gente era difícil (PROFESSOR D).
Podemos observar que os professores relatam que em suas experiências
escolares o ensino de Matemática foi pouco desenvolvido ou não abordado. Essa
situação fica evidenciada ao analisar os relatos dos professores A, B e D.
Analisando o relato do professor C, observamos que este vivenciou um
ensino tradicional, como mencionado: “continha, arma continha, da parte de divisão
era mais difícil”. Tal depoimento se aproxima do que Fiorentini (1995, p. 5-6) chama
25
Identificamos a instituição que o professor indicou como R para preservar sua identidade.
112
de Tendência Formalista Clássica, no entanto esse professor demonstrou interesse
em aperfeiçoar-se em seus conhecimentos.
Outro aspecto relevante diz respeito à influência de tal vivência com a prática
pedagógica docente. Estudos como de Tardif e Raymond (2000, p. 218) apontam
que muitas vezes as ações pedagógicas vivenciadas pelo professor tendem a ser
praticadas com seus alunos.
Quanto ao Conhecimento Profissional Docente, pesquisas como as de
Shulman (1986, p. 9) apontam a necessidade do conhecimento específico do objeto
de ensino para o desenvolvimento de uma boa prática pedagógica. Assim,
professores como A, B, C e D podem encontrar dificuldades no desenvolvimento de
seu trabalho.
Observamos ainda que estes profissionais, por terem dificuldade quando
alunos de Matemática e no entendimento de alguns conteúdos desta disciplina,
tendem a confrontar-se com alguns obstáculos na elaboração de atividades para
seus alunos.
5.2.3 A relação dos docentes investigados com a Matemática no discurso
sobre a própria pratica
No tocante à relação dos professores com a Matemática no âmbito do
desenvolvimento da atividade docente, observamos uma relação muito forte entre a
sua formação e o meio como desenvolvem o trabalho em sala de aula.
Quando questionamos os professores sobre como encaminhavam suas aulas
de Matemática, obtivemos as seguintes respostas:
Tem coisas que você tem que fazer na prática se não eles não entendem. Eu acho que a criançada hoje em dia vem muito imatura [...] na quarta muito (referindo-se ao quinto ano). Eles chegam na escola com 6 anos que é a idade de uma Emei eles vêm para escola pensando que vão continuar tendo brincadeiras e [...] vão ficar mais tempo em sala de aula. Quando chegam na quarta série [quinto ano], é até complicado, tem criança que tem dificuldade na Matemática, nas quatro operações e fica difícil avançar [referindo-se ao conteúdos]. A gente tenta fazer um tipo de joguinho, alguma coisa dentro da multiplicação, da divisão, o básico mesmo para você tentar fazer alguma coisa porque é difícil (PROFESSOR A).
[...] desde o primeiro dia de aula. Eu acredito que não seja só aqui mas em todas as escolas [...] você já ouve [...] preparação do SARESP e o Ler e
113
Escrever [material de apoio ao professor] que você tem que trabalhar em cima dele, que não é só de Língua Portuguesa, é de Matemática também [...] então desde o primeiro momento, o primeiro dia de aula, e a gente já está focado nisso (PROFESSOR B).
Eu estou trabalhando Ler e Escrever que tem uma parte de Matemática, mas eu trabalho o tradicional. Sou tradicional tento mesclar em alguma coisa assim com geometria. Estão [os alunos] recortando, moldando, montando os planificados na parte de geometria. E tento trabalhar em grupo com eles na hora de fazer os desafios auxiliar com o aluno que sabe mais. O livro didático ele também é tradicional, muito tradicional. Ele não vem com muitas alternativas para gente trabalhar diferente [de modo diferente] (PROFESSOR C).
[...] eu pesquiso [...] estudo o livro procuro ver a sala como é que está [...] Às vezes tem o livro Mundo Mágico [livro didático], um outro livro meu [...] mas é tudo ligado na Matemática na área da atualização (PROFESSOR D).
[...] eu procuro diversificar bastante, principalmente Matemática dou umas aulas que tenham bastantes desafios, com atividades diferentes para que eles pensem [referindo-se aos alunos] (PROFESSOR E).
Diante do relato dos professores verificamos algumas das preocupações
destes profissionais, seja pelo estudo para a preparação das aulas (professor D),
pelo atendimento à demanda (professor B), seja pela diversificação de
procedimentos metodológicos (professores A, C e E). Da preocupação com o
encaminhamento das aulas observamos uma predominância com a participação
ativa do aluno, uma vez que o professor A demonstra refletir sobre a importância da
utilização de materiais manipulativos e afirma adotar jogos como uma estratégia
incentivadora para o ensino. Já o professor C, mesmo se declarando como
“tradicional”, utiliza da geometria como meio de uma perspectiva inovadora, realiza
uma crítica ao livro didático, que para ele não apresenta diversidade de atividades
adequadas à nova proposta, mas acredita no trabalho em grupo .
O professor E expõe uma metodologia centrada na Tendência Construtivista,
como citado por Fiorentini (1995, p. 5-18), que diferencia as práticas metodológicas
de cada tendência, quando diz propor momentos e atividades com desafios para que
os alunos pensem e solucionem o que lhes foi proposto.
Notamos nos relatos dos professores que eles tentam diversificar suas
práticas para promover o desenvolvimento e entendimento do conteúdo pelo aluno,
o que podemos relacionar com as ideias de Vergnaud (1991), ao citar a busca de
situações significativas para formação de um conceito.
114
Todavia, observamos alguns indícios de que a prática docente de alguns
desses profissionais têm como foco o procedimento como o professor E, que afirma
“ser tradicional” e o professor D que se vale de materiais que focam o trabalho
procedimental. Este último, por exemplo, ao relatar que pesquisa muito no
planejamento de suas aulas, indica o livro Mundo mágico de Matemática como o
mais utilizado. Sobre tal obra, estudos como os de Canôas (1997)26 observaram o
foco do material no procedimento e que ele apresenta algumas limitações. Como
exemplo, a autora sustenta que há uma associação à ideia de divisão dos números
naturais de modo equitativo, ou seja, permite reforçar “para o professor que dividir
significa apenas repartir uma dada quantidade em partes iguais” (p. 33). Além disso,
é observado pela autora que o livro didático leva o professor ao entendimento
fragmentado dos números racionais, causando uma dificuldade no entendimento
deste conteúdo em sua totalidade.
Portanto, parece aqui haver indícios do que nos dizem Tardif e Raymond
(2000, p. 218), ou seja, observamos nos relatos dos docentes que alguns deles
vivenciaram metodologias com foco nos procedimentos quando estudantes e como
profissionais tendem a reproduzi-las.
Cabe observar ainda que o depoimento do professor A pode nos exemplificar
o que Zeichner (1993) identificou como “teorizar”:
A prática de todo professor é resultado de uma ou outra teoria, quer ela seja reconhecida quer não. Os professores estão sempre a teorizar, à medida que são confrontados com vários problemas pedagógicos... (ZEICHNER, 1993, p. 21).
Notamos que o docente, ao refletir sobre a necessidade que seus alunos têm
de manipular objetos durante as aulas de Matemática, está “a teorizar” sobre as
dificuldades encontradas pelos estudantes.
Assim, o professor desenvolve sua prática pedagógica sem que se dê conta,
muitas vezes, de que por trás de seu trabalho existe uma pesquisa, e estas ações
envolvem o que ele viveu, condições de trabalho e em que acredita.
26
Canôas (1997) realizou um estudo dos livros didáticos mais solicitados no mercado editorial, com o intuito de identificar os aspectos que influenciam o uso deste material na prática pedagógica do docente.
115
O relato do coordenador pedagógico amplia nossa leitura da prática docente.
Procuramos questioná-lo como realiza o acompanhamento das atividades dos
professores da escola que coordena. O educador afirma que:
[...] se faz de duas maneiras [...] A primeira delas tem envolvido justamente o planejamento em si. Eles têm duas horas junto comigo em que eles planejam as atividades, elaboram a sua rotina passa por mim eu faço algumas orientações, algumas vezes eu até coloco uns bilhetinhos nas rotinas deles e depois disso sempre que possível eu tô em sala de aula [...] Nós fazemos o quadro de rotinas (COORDENADOR PEDAGÓGICO).
Ao observarmos como o coordenador pedagógico acompanha o rendimento
dos alunos da escola, podemos dizer que ele se utiliza dos portfólios, e, quando
perguntado sobre estes, relata que os professores, em geral, o compõem com
atividades e sondagens de Língua Portuguesa. Afirma que somente um dos
professores faz a sondagem de Matemática.
Outro dado que nos poderia fornecer pistas sobre a relação entre os
processos de ensino e de aprendizagem foi quando perguntamos aos professores
quais seriam os conteúdos que os alunos têm mais facilidade e dificuldade. Dos
depoimentos gravados destacamos os seguintes:
Eles gostam de desafios... quando vêm com as alternativas. Eles fazem do ladinho para achar. E quando você dá o desafio [...] vai entrar fora as quatro operações, tem [...] hora, tempo, peso, medida [...] principalmente esses desafios quando você está na preparação do SARESP que todo mês tem prova que a gente faz. [...] seria o que é ruim para mim também, que é os números decimais aqueles que têm 0, [...] transformar em fração... Comparação entre os decimais. (PROFESSOR A). [...] eles gostam muito de divisão. Eles adoram divisão [...] E eles gostam também das situações-problema, aquelas que envolvem trajeto, ou localização [...] combinações eles gostam também. [...] as dificuldades são frações [...] uma parte da fração, porque por exemplo se você pede para eles uma coisa que eles gostam de fração é eles identificarem por exemplo quanto que é
3⁄5 de 30 [...] isso eles gostam,
mas é mais assim nesta parte mesmo. Eles gostavam muito de expressões numéricas, [...] Eu acho que porcentagem é um pouquinho difícil para eles entenderem, mas eu não sei por que eu vou começar agora (PROFESSOR B). Então eu percebo que eles gostam de geometria [...] e eu trabalhei números decimais eles gostaram. Inclusive eu fiquei surpresa porque eu achei que a maioria fosse sofrer mais, mas não foi o contrário. E agora que eu estou começando a trabalhar a porcentagem. [...] vamos dizer assim de tudo um pouquinho. Tem aquele aluno que tem mais dificuldade na leitura então ele tem um certo bloqueio para ta interpretando os problemas (PROFESSOR C).
116
O que os alunos mais gostam: Divisão, tabuada. E que os alunos têm mais dificuldade: Adição, subtração, multiplicação dependendo da sala. (Entrevistador) Isso em uma conta isolada ou numa situação-problema como que funciona? Em situação-problema e às vezes uma conta isolada. Tudo depende da sala. Tem sala que vai que é uma beleza. Têm outras que você pega e a criança tem a dificuldade da tabuada até do dois (PROFESSOR D). O que os alunos mais gostam [...] eu acho que todos porque geralmente envolve todas as operações [...] conforme você vai trabalhando você vai vendo que é uma sala muito boa. O que os alunos têm mais dificuldade: Eu comecei a introduzir geometria porque geralmente eles não têm, então a questão de usar régua, eles não têm costume de usar régua, eles fazem tudo à mão, e agora eu comecei a introduzir a geometria pelo menos as noções para eles saberem como usar (PROFESSOR E).
O professor A em seu relato demonstra que seus alunos encontram
dificuldades quando precisam fazer comparação das frações e decimais. O mesmo
tema foi apontado pelo professor B quando desenvolvido “de modo não
convencional em diferentes situações”, acrescentando ainda que acredita que os
alunos poderão encontrar dificuldade na porcentagem também. Quanto à
aprendizagem, pesquisas recentes desenvolvidas no Brasil (CANOVA, 2006;
GARCIA SILVA, 2007; CAMPOS, 2011; entre outros) mostram que os alunos têm
pouco domínio desse conceito, fato observado em diferentes avaliações de larga
escala.27
O professor C surpreende-se com a facilidade com que os alunos aprenderam
os números decimais. Pesquisadores como Carraher (1988), Silva e Borba (2006),
Leitão et al. (2008) apontam que o sistema de numeração decimal está presente em
diversas situações cotidianas e promovem a facilidade na compreensão e domínio
deste assunto, pois utilizam conhecimentos prévios vivenciados em sua prática.
Quanto ao professor D, a análise de seu depoimento nos leva a crer que o
foco do seu trabalho envolve essencialmente conteúdos procedimentais, visto que
27
No Saresp de 2008, por exemplo, apenas 15% dos alunos concluintes do Ensino Fundamental (alunos de 13 anos) acertaram questões que envolviam o significado de parte-todo da fração. Esse resultado é pouco satisfatório, tendo em vista que este é o significado mais trabalhado em sala de aula. Segundo pesquisa realizada por Campos (2011), resultado semelhante foi observado na mesma avaliação edição Saresp de 2010, em que apenas 17,4% desse mesmo nível de ensino acertou questões que envolviam equivalência de fração.
117
todas as preferências e dificuldades relatadas pelo docente dizem respeito às quatro
operações. Assim, podemos inferir que, nesse aspecto, possivelmente o professor D
sofre influência da Tendência Formalista Clássica, como classifica Fiorentini (1995,
p. 5). Tais indícios aqui observados foram confirmados na entrevista concedida pelo
coordenador pedagógico da escola. Nela, o responsável pela discussão pedagógica
afirma:
[...] os professores, no que se refere ao ensino de Matemática, [...] ainda estão no ensino tradicional, [...] percebemos neste estudo que nós fizemos que ainda hoje os professores estão com uma didática da Matemática no tradicional numerais, o ponto principal é o algoritmo e elas precisam ainda saber trabalhar com os conhecimentos dos alunos sobre a Matemática e sobre os caminhos que eles percorrem para solucionar as situações-problema que elas colocam para eles e entender um pouquinho também o olhar do que é uma situação-problema [...] (COORDENADOR PEDAGÓGICO).
Todavia, há no depoimento do coordenador pedagógico indícios da relação
entre as práticas docentes e a falta de reflexão, o que pode ser um dificultador para
o Desenvolvimento Profissional Docente. O profissional assevera que o foco da
formação em serviço não tem sido a Matemática:
[...] a própria estrutura do programa que o Estado traz é muito voltada para questão da alfabetização, tanto é que nas capacitações nós vemos muito o ensino de língua e linguagem em detrimento do ensino de Matemática. [...] (COORDENADOR PEDAGÓGICO).
5.3 Conhecimento profissional docente
As questões analisadas nesta etapa estão propostas no questionário
destinado aos professores, assim como a retomada de alguns trechos da entrevista
na análise das questões envolvendo ideias gerais sobre os processos de ensino e
aprendizagem, compreendendo as operações com números naturais e os que
versavam a respeito de porcentagem e proporcionalidade. Nossa apresentação e
análise de dados foram organizadas considerando a ordem das questões contidas
no protocolo.
118
5.3.1 Quanto às possíveis recomendações pedagógicas dos professores
envolvidos
A Questão 1 foi apresentada no Capítulo 4 (p. 96). Propusemos aos
professores uma situação-problema para que os docentes analisassem e
indicassem possíveis estratégias de ensino. Apresentamos uma situação hipotética,
na qual os professores em uma reunião de HTPC decidem realizar uma avaliação
unificada contendo as habilidades do Saresp para o 5.º ano do Ensino Fundamental.
A professora fictícia fica muito preocupada, pois seus alunos possuem muitas
dificuldades, principalmente quanto à disciplina de Matemática, e solicita auxílio para
que ela possa ajudar seus alunos a atingirem as expectativas do Saresp.
Os professores investigados apresentaram as seguintes proposições:
Faria uma prova diagnóstica para saber qual o ponto que eu deveria partir. Faria um ditado de numerais. Desafios do campo multiplicativo/aditivo (e) subtração (PROFESSOR A). Usaria os recursos pedagógicos (lúdicos) como: jogos de trilha, ábaco, material dourado, tangram etc. Sempre formando duplas ou grupos, estimulando a cooperação e mesmo a competição (PROFESSOR B). Partir daquilo que o aluno já sabe. Trabalhar com equipes, colocando alunos com mais conhecimento [aprendizagem], com aqueles com dificuldade com atividades diversificadas e materiais concretos (PROFESSOR C). Começaria do zero fazendo uma avaliação com a sala para ver o que eles
sabem, assim eu começaria ver por onde eu iria começar e com recursos
(PROFESSOR D).
Propor atividades para saber o que sabem: Propor desafios com grau que possam pensar e resolver. Analisar com eles as variadas formas de resolução. Estimulá-los a registrar os resultados e refletir no processo de resolução (PROFESSOR E).
Reiteramos que o objetivo desta questão foi identificar quais as estratégias os
professores utilizam para solucionar uma situação em que os alunos demonstram
encontrar dificuldade.
Examinando as respostas dos professores, observamos que quatro deles
verificam a necessidade de realizar uma avaliação diagnóstica para analisar as
dificuldades dos alunos e assim reformular sua prática. Estes sugerem como
atividades: ditado dos numerais, desafios com campo multiplicativo e aditivo,
atividades com material concreto, análise das várias formas de resolução e registro
delas.
119
Percebemos que os professores estão em consonância com o que nos diz
Vergnaud (1990):
[...] a operacionalidade de um conceito deve ser experimentada por meio de situações variadas, e o investigador deve analisar uma grande variedade de condutas e de esquemas para compreender o que consiste, do ponto de vista cognitivo, tal conceito (VERGNAUD, 1990, p. 139).
Esse autor aponta que o conhecimento está organizado em diferentes
situações, conceitos, estruturas que se desenvolvem por meio de diferentes ações
de experiência, maturidade e aprendizagem. No caso, as diferentes estratégias que
os professores declaram como boas foram citadas: ditado numérico, pensar sobre
os vários meios de resoluções e registros, além de desafios para reflexão dos
alunos. O uso do diagnóstico para o desenvolvimento da aprendizagem vem
reafirmar a preocupação dos docentes, assim como nos afirma Vergnaud (1991).
Observamos ainda que os sujeitos investigados sugerem práticas a que estão
acostumados a realizar com seus alunos, visto que a avaliação diagnóstica –
sondagem é uma das atividades propostas pelo Projeto Ler e Escrever, citados no
Guia de Planejamento e Orientação Didática (2010, p. 26-32). Assim, consideramos
ser possível inferir que os professores fazem uso de suas experiências para resolver
outras situações que lhe parecem semelhantes, citado por Tardif e Raymond (2000).
Para essa mesma questão, outro professor declara que modificaria as
estratégias de aprendizagem sem realização de um diagnóstico. Sugere como
atividade jogo da trilha, ábaco, material dourado, tangram, entre outras, e formação
de duplas produtivas. Notamos que, apesar de esta proposta diferenciar-se das
demais por não realizar um diagnóstico, vemos que o professor tem preocupação
com a diversidade de atividades conforme citada pelas pesquisas de Vergnaud
(1991). Indica ainda a formação de duplas produtivas, que é outra estratégia muito
utilizada na alfabetização, que, se bem aplicada, pode trazer grandes benefícios
para a aprendizagem. Evidenciamos neste caso mais uma relação das indicações
apresentadas com as experiências vividas (mesmo que em outras disciplinas) para
auxiliar no ensino e aprendizagem dos alunos. Isso nos reporta novamente aos
estudos de Tardif e Raymond (2000).
120
5.3.2 Quanto à situação-problema envolvendo porcentagem
A Questão 2 apresentada no Capítulo 4 (p. 97-102) é formada por situações
com subitens retirados do Relatório do Saresp 2008-2009 e Guia de Planejamento
do Programa Ler e Escrever, no qual o procedimento elaborado para a coleta dos
dados foi diferenciado. Utilizamos a ideia de que alunos fictícios apresentaram
possíveis resoluções à situação proposta e solicitamos que os sujeitos investigados
as analisassem.
A Questão 2.1 apresentada na p. 97 foi apresentada aos alunos da rede
estadual na prova Saresp 2008, e seu índice de acerto foi de 24%, considerado
muito baixo. Essa foi uma das questões retomadas na entrevista para melhor análise
e compreensão dos dados.
Reiteramos que o objetivo desta questão foi verificar como o professor
analisava os conhecimentos dos alunos em relação à porcentagem, como avaliava,
como entendia o conteúdo e quais estratégias de intervenção indicava.
Esta questão apresenta a habilidade 16 do Saresp, que trabalha uma
situação-problema envolvendo noções de porcentagem. Escolhemos esta questão
pela dificuldade de resolução dos alunos. Assim como indica o relatório do Saresp
(2008, p. 70), este item não contém o enunciado convencional, pois exige uma
compreensão de que o solicitado não é a porcentagem indicada no texto, mas a
porcentagem complementar. A situação apresentada foi:
“No período da manhã da Escola – Aprendendo Sempre estudam 400 alunos, dos
quais 25% são com menos de 10 anos. O número de alunos desta escola com 10 ou
mais anos de idade é?”
Apresentamos três resoluções: duas envolvendo operações consideradas
convencionais para a resolução do problema, uma de divisão e outra de
multiplicação, porém incompletas e com resultado errôneo, e a terceira resposta
contendo uma solução adequada e diferente.
Após a análise da solução dos alunos fictícios os professores apresentaram
as seguintes considerações:
121
Que os alunos não assimilaram o conteúdo e observo que é necessário trabalhar com os passos da divisão para ver de onde vêm essas dificuldades (PROFESSOR A).
Assimilou a 2.ª parte do processo [referindo-se ao aluno 1]. Assimilou a 1.ª parte do processo [referindo-se ao aluno 2]. O terceiro se baseou no termo menos 400-25 (referindo-se ao fato do 3 aluno recorrer a subtração sucessiva) (PROFESSOR B). O que chegou mais próximo foi o 1.º caso [aluno 1], porém não fez corretamente a conta. Não assimilou o conteúdo proposto [referindo-se ao aluno 2 e 3] (PROFESSOR C). O aluno ele já conhece a tabuada para fazer o problema [referindo-se ao aluno1]. O aluno ele já usou a porcentagem 25% para chegar na conta ele não soube fazer a conta [referindo-se ao aluno 2]. Ele (referindo-se ao aluno) tem que dar base nos números decimais jogos dominó e material didático [referindo-se ao aluno 3] (PROFESSOR D). O aluno assimilou a 2.ª parte do processo [referindo-se ao aluno1]. O aluno assimilou a 1.ª parte do processo [referindo-se ao aluno 2]. Ele usou o conceito “menos” para resolver a situação 400-25 [referindo-se ao aluno 3] (PROFESSOR E).
Ao examinar as primeiras respostas dos professores sobre o que os alunos
compreenderam observando a resolução apresentada, constatamos que alguns dos
professores utilizam-se do procedimento convencional28 para resolução da
porcentagem, entretanto a maioria demonstra não compreender plenamente esse
conceito . Percebemos que suas indagações se justificam pelo uso do procedimento
para explicar como o aluno resolve tal situação.
Notamos ainda que outros professores têm dificuldades de analisar as
resoluções dos alunos, o que de certo modo nos faz inferir que estes possuem
dúvidas quanto a outros modos de resolução desta situação-problema. Ressaltamos
que certa dificuldade no conteúdo ou no conhecimento e identificação de outras
soluções impede a reflexão sobre como o aluno resolve suas produções e de como
auxiliá-los no desenvolvimento da aprendizagem. Os estudos de Shulman (1986)
indicam a importância do conhecimento específico do conteúdo, que compõe um
dos itens necessários ao Conhecimento Profissional Docente.
Novamente aqui temos mais alguns indícios de que possivelmente as
respostas destes professores se justificam pelo que aprenderam no decorrer de sua
vida, o que nos remete ao que indicam Tardif e Raymond (2000). Entretanto,
28
Estes professores tendem a utilizar a ideia de parte-todo para calcular o valor de uma porcentagem, ou seja, multiplicar pelo índice e dividir o produto obtido por 100.
122
acreditamos que propostas de análises como esta, inspiradas nos estudos de Ball e
Bass (2003), permitem que o professor reflita sobre como o aluno soluciona as
diferentes situações-problema. Consideramos que esse tipo de análise possibilita ao
profissional uma inserção no mundo da pesquisa. Sobre isso Magina et al. (2008)
comentam:
É nesta hora que percebemos a importância fundamental da atitude de pesquisador que assume o professor. É ele que percebe o teorema ou relações por trás da ação do aluno e, a partir daí, pode propor novas situações problema, possibilitando a expansão do aluno (MAGINA et al., 2008, p. 16).
Para uma melhor compreensão, retomamos a questão na entrevista, e
pedimos aos professores que explicassem como ensinam esse tema, com o objetivo
de perceber quais os conhecimentos dos professores sobre o conteúdo e qual
estratégia eles utilizam para resolução e ensino. Isso permitiria entender melhor as
indicações que os sujeitos entrevistados relatam no questionário.
Podemos analisar abaixo as respostas dos professores:
Eu faço assim, eu pego uma televisão, vamos assim dizer, o que eu consulto ali é o básico mesmo, ou seja, o tradicional, nada de diferente e eles pegaram. Por exemplo eu tenho uma televisão que custa 600 reais e tenho desconto de 20% para quem vai pagar à vista. Então eu disse a eles: vocês vão pegar esses 600 reais multiplicar por 20. É o básico o que a gente aprendeu na escola. O que eu aprendi na escola. E aí o que deu a gente vai estar deduzindo vai fazer uma subtração [...] é o valor que eu vou estar pagando pela TV. Eu coloquei na lousa eles foram lá fizeram. Propus outros exercícios. No meu modo de ver é o mais fácil (PROFESSOR A).
Agora eu nem sei (cochichou) [...] nós multiplicamos [...] Primeiro seria a multiplicação e o segundo a divisão, mas aí agora (PROFESSOR B).
Bom, teria que pegar aqui, trabalhar sempre o 100% no caso [...] Na verdade o 1.º caso e 2.º caso eles chegaram próximo porque trabalhou a divisão e multiplicação. Está mais o último eu desconsiderei porque ele subtraiu. Eu explicaria [...] Pegaria um valor, um valor que ficaria destacado no problema e multiplicaria por 100 e se fosse o caso cortaria o zero e ficaria com o resultado, dividiria por 100, multiplicaria por 100 primeiro, depois dividiria (PROFESSOR C).
[...] eu ia passar um exemplo para ele e a ação como é que faz, passo a passo da porcentagem [...] também tratando que a porcentagem trata de saber a tabuada (PROFESSOR D).
Primeiro antes de entrar na porcentagem acho muito importante eles terem a noção dos termos da operação. Que é muito difícil eles chegarem da quarta série usando esses termos, então eu sempre tento assim, quando eu estou explicando eu já utilizo. Ah! É de mais, não tem outra palavra. A adição. Então os meus alunos eles já estão bem acostumados com estes termos. Agora em relação a porcentagem eu leio o enunciado vou tirando palavras-chave e que eles têm que ler por um processo de partes que eles não podem fazer tudo ao mesmo tempo, que eles têm que ler parte por
123
parte e irem interpretando para depois resolvendo. E a tabela da porcentagem os dois números multiplicados divididos por 100 (PROFESSOR E).
Observamos que o discurso utilizado por alguns professores para justificarem
suas práticas foi inconsistente, e isto reafirma que estes possuem dificuldades no
entendimento do conteúdo e por consequência no ensino deste tema para os
alunos. Shulman (1986, p. 9) relata que o conhecimento específico do conteúdo é
um dos aspectos necessários para o desenvolvimento do conhecimento profissional
docente.
Nesse contexto, foi possível observarmos que o professor A utiliza de
situações cotidianas no ensino de porcentagem ao relatar o exemplo de compra e
juros destas. Podemos verificar que a contextualização dos conteúdos com
situações do dia a dia promove a melhoria da aprendizagem, como nos apontam
outros estudos como o de Carraher (1988), Leitão et al. (2008), entre outros.
Além disso, de modo especial enfatiza-se o depoimento do professor A,
quando este relata que usa os mesmos métodos que aprendeu na escola quando
estudante para ensinar seus alunos; isto novamente nos faz lembrar das ideias de
Tardif e Raymond (2000).
O excerto a seguir mostra tais evidências: “É o básico o que a gente aprendeu
na escola. [relato sobre porcentagem] O que eu aprendi na escola” (PROFESSOR
A).
Outro aspecto evidenciado é a utilização das expressões “passo a passo” da
porcentagem, e “termos da operação”, que nos permite inferir que provavelmente o
foco das suas aulas sobre porcentagem está no algoritmo.
Consideramos que, assim como foi comprovado no estudo de Nürnberg
(2008), o professor D acredita ser necessário o domínio da tabuada para a resolução
da divisão e multiplicação. Nürnberg (2008) analisou um grupo de professores, os
quais também indicaram ser indispensável o conhecimento da tabuada para o
procedimento do algoritmo da multiplicação e divisão.
Notamos ainda que o professor E utilizou-se da interpretação das situações-
problema como meio de intervenção para que os alunos compreendessem o que
124
lhes é solicitado no enunciado da atividade e percebessem qual operação deveriam
utilizar para solucionar o que lhes foi proposto. Estes aspectos também apareceram
no artigo elaborado por Borba et al. (2008).
Percebemos que as respostas dos professores ao item 2.1b, no qual estes
indicam sugestões para a aprendizagem para os diferentes alunos e suas possíveis
intervenções, vêm complementar as primeiras análises acima. A seguir, podemos
observar a questão e as respostas dos professores quando pedimos sugestões de
intervenção para a aprendizagem nos diferentes casos:
É necessário voltar para diagnosticar os problemas (voltar com os passos da Matemática na divisão) (PROFESSOR A). Rever conceitos, trabalhar com duplas produtivas, apresentar informativos de lojas e etc. (PROFESSOR B). Apresentar outras situações com dados de porcentagem (notícias, jornal de supermercado etc.) (PROFESSOR C). Começaria do zero para ver o que o aluno sabe o quê (PROFESSOR D). Retomar os conceitos Trabalhar com duplas produtivas Utilizar de material concreto, jogos, panfletos (PROFESSOR E).
As respostas dos professores confirmam as primeiras análises, uma vez que
alguns docentes indicam como sugestão a retomada de conceitos da operação
divisão, o que mostra que estes utilizam como base suas práticas no procedimento.
Além disso, notamos que dois docentes sugerem novamente as duplas produtivas e
dois professores propõem atividades com material do cotidiano dos alunos como
jornal, revistas, panfleto etc. Este fato remete-nos aos estudos de Vergnaud (1991),
pois os professores buscam diferentes situações para que o aluno desenvolva e
compreenda o conteúdo proposto.
Notamos ainda que os professores buscam compreender as estratégias de
resoluções que os alunos realizam e tentam propor atividades que os estimulem na
construção do conhecimento. Este fato nos lembra o Teorema em ação citado por
Vergnaud (1991), ou seja, o olhar do professor para as correlações matemáticas que
os alunos estabelecem para resolver uma dada situação-problema.
125
Observamos que, apesar das dificuldades apresentadas por alguns dos
professores, eles buscam estratégias para desenvolver um bom ensino aos seus
alunos. Notamos que os professores procuram entender as estratégias de resolução
dos alunos e tentam propor atividades estimulantes ao seu desenvolvimento.
Identificamos que, apesar de as práticas docentes dessa unidade escolar estarem
ligadas ao algoritmo e de estes utilizarem práticas de suas experiências como aluno,
evidenciamos que existe a procura por atividades que se assemelhem ao cotidiano.
Portanto, esses professores procuram estabelecer uma relação entre o conteúdo
procedimental e o uso em seu dia a dia.
5.3.3 Quanto às situações envolvendo operações de multiplicação e divisão
Nas Questões 2.2 e 2.3 apresentamos aos professores problemáticas que
permitissem analisar situações em que fossem avaliados os procedimentos de
cálculo com papel e lápis. Aqui também nossa intenção era avaliar a compreensão
do docente sobre como se dão os processos de ensino e de aprendizagem dos
algoritmos da multiplicação e divisão.
De modo especial, elaboramos a questão e a produção dos alunos de forma
que pudéssemos ver como o professor avaliava a resolução da operação – divisão –
apresentada por dois alunos. Destaca-se que esta questão foi retirada do Relatório
do Saresp 2009 e obteve índice 38% de acerto pelos estudantes.
No item 2.2 do Capítulo 4 p.99 pretendíamos avaliar a habilidade 11 do
Saresp, no qual é proposto o cálculo de um resultado de uma multiplicação ou
divisão de números naturais. Foi apresentada uma questão em que se pedia o
cálculo do quociente 9165 ÷ 13. Solicitamos que o professor explicitasse aspectos
que poderiam indicar o grau de compreensão de dois alunos ao resolver a operação.
Foram apresentadas as respostas de dois alunos fictícios: um contendo a solução
da divisão e da subtração do resto de modo adequado, porém com equívoco na
representação da dezena do quociente, e outro que soluciona o procedimento da
divisão corretamente.
Para essa questão a análise dos professores foi a seguinte:
126
Observa-se que o 1.º aluno não conseguiu absorver o conteúdo – os passos da divisão [referindo-se ao algoritmo da divisão] onde na divisão há necessidade de colocar um 0 no resultado – produto [referindo-se ao quociente] (PROFESSOR A). O segundo entendeu processo da divisão usando o recurso de que quando você abaixa 2 números deve-se lançar o zero no quociente (PROFESSOR B). O aluno 1 não tem conhecimento da tabuada e se perdeu na subtração (PROFESSOR C). O aluno ele teve um raciocínio lógico ele soube a tabuada [referindo-se ao aluno 1]. O aluno ele soube fazer a conta com a tabuada ele também fez a prova real o método para fazer a conta exata [referindo-se ao aluno 2] (PROFESSOR D). Se encontra no processo, porém falta compreender que quando se desce um número e não dá para dividir, acrescenta-se o zero no quociente [referindo-se ao aluno 1]. Compreendeu o processo [referindo-se ao aluno2] (PROFESSOR E).
Observamos que alguns professores dominam o algoritmo da divisão.
Todavia, verificamos que os docentes nem sempre se utilizam corretamente do
vocabulário matemático para justificar os procedimentos dos estudantes, o que nos
remete aos estudos de Shulman (1986) sobre o conhecimento específico do
conteúdo.
Isso nos permite inferir que possivelmente este deve ser um tema mais
explorado por esse grupo de professores. Assim, observamos mais uma indicação
de que as práticas docentes estão próximas ao descrito como as metodologias da
Tendência Formalista Clássica (FIORENTINI, 1995, p. 5), porém identificamos o
interesse desses docentes em entender as estratégias usadas para resolução da
divisão.
Notamos nos depoimentos que esses professores justificam seus relatos do
uso do algoritmo, principalmente quanto ao uso da tabuada. Tal relação também foi
observada nos estudos de Nürnberg (2008). A autora identificou a necessidade do
domínio da tabuada para o ensino das operações da multiplicação e divisão.
Para complementar as análises acima, os professores sugeriram como
possíveis intervenções:
A intervenção seria no campo da observação. O aluno deverá observar se necessário fazer a prova real onde ele verá de imediato o valor [...] chegará a conclusão que é necessário arrumar – desde que ele tenha absorvido todos os passos da divisão (PROFESSOR A).
127
Quanto ao 1.º, ele está caminhando para o entendimento do processo, usou corretamente o recurso da subtração, abaixou os dois números precisos (6 e 5), porém faltou lançar o zero no quociente. Sugestão – utilizar como recurso a prova real, possibilitando assim que o próprio aluno venha a perceber que o resultado foi diferente, fazendo com que ele retorne a operação inicial (PROFESSOR B). Na divisão o aluno poderá fazer a prova real (PROFESSOR C). Mostraria que sem saber a tabuada e prova real sem fazer ele não chegaria no resultado. Fazendo o processo de número por número caminhando para resposta correta de uma divisão (PROFESSOR D). Usar a prova real como recurso, de forma que o aluno, ao verificar a diferença dos resultados, reflita e busque alternativas para solucionar o problema. O professor poderá dar dicas (PROFESSOR E).
Observamos, pelos relatos dos professores, que eles, em unanimidade,
utilizariam a prova real,29 pois acreditam ser uma maneira de o aluno comprovar que
o resultado está correto, usando-se a operação inversa. Isso nos remete, mais uma
vez, à ideia do Teorema em ação de Vergnaud (1991) ao relatar que os alunos
empregam diferentes estratégias para comprovar suas respostas.
Para verificar, confirmar ou refutar as observações acima propusemos aos
sujeitos entrevistados que analisassem uma outra questão muito próxima da
anterior.
No item 2.3 do Capítulo 4 p. 100 pretendíamos avaliar a habilidade 11 do
Saresp, em que se propõe o cálculo de um resultado de uma multiplicação ou
divisão de números naturais. Foi apresentada uma questão em que se solicitava o
cálculo de 326 x 40. Novamente pedimos que os professores explicitassem aspectos
que poderiam indicar o grau de compreensão de dois alunos ao resolver a operação.
Foram expostas as respostas de dois alunos fictícios: uma contendo a solução da
multiplicação correta e outra com erros na resolução procedimental.
O objetivo deste item foi identificar como o professor avaliou a resolução da
operação multiplicação feita por dois alunos.
29
Segundo Affreixo (1871, p. 18), provas são operações feitas de modo diferente das primeiras, nos certificamos dos seus resultados, ou nos advertem de seus erros.
128
Evidenciamos que a questão foi retirada do Relatório do Saresp 2009 e
obteve índice de 53,9% de acerto pelos alunos.
Obtivemos como respostas dos professores as seguintes observações:
O 2.º aluno ainda não consegue resolver desafios no campo multiplicativo. Já o 1.º aluno resolve obtendo o resultado certo, porém ainda não adquiriu o mecanismo/processo correto (PROFESSOR A). O primeiro aluno compreendeu totalmente o processo da multiplicação. Quanto ao segundo, ele não utilizou-se do recurso de subir os números (PROFESSOR B). No primeiro caso o aluno dominou o raciocínio da conta e no 2.º caso, além do aluno não dominar a tabuada, se perdeu na soma dos números (PROFESSOR C). O primeiro compreendeu o processo da conta [referindo-se ao aluno 1]. O aluno desce o zero multiplica o 4 por 6 e a soma o fator incluiu a conta [referindo-se ao aluno2] (PROFESSOR D). O aluno compreende o processo [referindo-se ao aluno 1]. Deduzo que 2.º aluno desce o zero, multiplica o 4 por 6 e pelo 2, porém soma os fatores e inclui na conta (PROFESSOR E).
Cabe ressaltar que a referida questão é comumente encontrada nos
materiais didáticos e nos permite analisar uma situação resolvida no procedimento
de cálculo papel e lápis.
Analisando tais depoimentos, podemos inferir mais uma vez que os
professores envolvidos pareciam mais à vontade ao emitirem opinião sobre o
processo de ensino dos algoritmos. Percebemos o uso de expressões dos
professores como “recurso”, “mecanismo” e “processo”, o que indica sua
familiaridade com os aspectos procedimentais de resolução, familiaridade esta que
compõe os saberes pré-profissionais definidos no quadro de saberes de Tardif
(2000).
Identificamos que estes docentes pareceram instigados a entender as
resoluções dos alunos, o que Ball e Bass (2003) afirmam ser essencial no
desenvolvimento do conhecimento. Além disso, evidenciamos que dominam o
procedimento da multiplicação, o que Shulman (1986) indica sobre o conhecimento
específico.
Para complementar a análise, sugerimos a questão 2.3 B na qual pedimos
aos docentes que dessem sugestões de atividades para as dificuldades
encontradas.
129
Bingo e material confeccionado pelos alunos (PROFESSOR A). Eu explicaria pelo método do “0 para fora” (PROFESSOR B). No primeiro caso eu orientaria o zero fora da conta e no segundo caso faria a conta junto com o aluno passo a passo (PROFESSOR C). Eu usaria a multiplicação por número com zero para fora ou número por número desde unidade, dezena e centena e milhar, todo processo de multiplicação (PROFESSOR D). Explicaria pelo método para fora, ou pela multiplicação por CDU (PROFESSOR E).
Percebemos mais uma vez por parte dos docentes investigados a indicação
de uma diversidade de contextos e situações. Eles sugerem bingos, uso de material
concreto, outros meios de resolução como o “zero para fora”,30 ou seja, inferimos
que estes, em situação de sala de aula, promovem diferentes situações significativas
para que o aluno desenvolva sua compreensão sobre o conteúdo.
Quanto ao “zero para fora”, dois professores acreditam que este
procedimento é apresentado como uma alternativa para facilitar a resolução da
operação.
Identificamos que os docentes buscam diferentes estratégias em situação de
ensino do algoritmo. Além disso, percebemos a falta de entendimento conceitual por
parte dos sujeitos envolvidos neste estudo, visto que não houve a indicação de
atividades que desenvolvessem o valor posicional.
5.3.4 Quanto à situação-problema envolvendo proporcionalidade
Apresentamos em seguida, aos professores, uma questão cuja finalidade era
retomar a reflexão sobre o desenvolvimento do raciocínio do campo multiplicativo e
ampliar nossas análises. Escolhemos uma questão que pertencia ao Guia de
Orientações do Programa Ler e Escrever do 4.º ano.
Este item apresentado no Capítulo 4 na p. 101 -102 envolve uma situação do
cálculo de uma proporcionalidade simples e avalia a habilidade 13 do Saresp, que
propõe o cálculo de multiplicação e divisão em situações de comparação entre
razões e configuração retangular. O enunciado apresentado foi:
30
Trata-se da simplificação procedimental da operação.
130
“Sabendo-se que 4 maçãs custam RS 2,50, quanto Julia pagará por 16 maçãs?”
Propusemos duas resoluções de alunos fictícios: uma contendo resolução por
multiplicação, porém com entendimento equivocado do enunciado, e uma correta
com resolução por meio da adição de parcelas iguais.
Ao examinarmos as respostas dos professores, verificamos que os três
professores consideram correta somente a adição por parcelas iguais:
A primeira criança não conseguiu resolver a questão, pois não conseguiu assimilar o conteúdo – utilizou as propriedades associativas, comutativa etc. (PROFESSOR A). O 2.º chegou ao resultado esperado, não utilizando-se do recurso que seria dividir 2,50 por 4 e multiplicar o resultado por 16. O 1.º não leu com atenção, o que gerou a incompreensão do que foi pedido, ele entendeu que teria que multiplicar 2,50 por 16 (PROFESSOR B). O 1.º caso não obteve o resultado positivo, mas no 2.º caso não usou a multiplicação, porém fez corretamente o resultado – raciocínio lógico (PROFESSOR C). [o primeiro aluno] Não conseguiu compreender a conta. [o segundo aluno] Ele chegou no resultado no objetivo dado a ele (PROFESSOR D). [o primeiro aluno] Embora multiplicasse por 16, não compreendeu que 2,50 era o preço das 4 maçãs juntas. [o segundo aluno] Chegou ao resultado, mesmo não fazendo a divisão, pois seria um recurso desnecessário (PROFESSOR E).
Percebemos nos relatos apresentados pelos professores a tendência de
aceitar melhor a proposta do aluno que considerou o valor de 4 maçãs como
unitário, pois este resolveu por meio da multiplicação.
Notamos ainda que o procedimento utilizado pelo aluno fictício 2 seria o mais
indicado para resolver o problema, visto que descobrir o valor unitário e depois o
total seria muito mais complexo do que a estratégia do cálculo proporcional utilizada
pelo estudante em questão.
Retomamos na entrevista alguns aspectos da questão analisada para
complementar os dados anteriores:
Sim, eu consideraria certo [o aluno 2] mas eu mostraria ao segundo aluno [...] que dependendo de [...] na vida, no dia a dia, muita gente não vai aceitar isso aqui. Por exemplo, [...] quando você vai fazer um concurso, [...] então eles te cobram uma coisa, você vai considerar isso está certo ótimo,
131
só que na hora que o rapaz está fazendo um teste para o concurso ou numa firma consideraria porque ele usou uma outra saída (PROFESSOR A). Ficou constrangida e não respondeu (PROFESSOR B). O segundo aluno aqui eu consideraria certo (PROFESSOR C). O da multiplicação está correto (PROFESSOR D). Ok, Mesmo considerando que o aluno que resolveu pela adição estava com o resultado o correto? (entrevistadora) . É porque aqui ele foi na tabuada, passo a passo e na adição ele foi direto, ele já somou tudo e por o método da multiplicação ele não chegaria no resultado ideal mais no próximo (PROFESSOR D). Eu consideraria o segundo certo porque ele chegou ao resultado. Mas o professor deveria fazer um trabalho para questionar como ele chegou a esse resultado e mostrar a ele outro jeito mais prático (PROFESSOR E).
Pela análise dos depoimentos conclui-se que dois professores demonstram
necessidade de maior intervenção do conceito da multiplicação e um professor não
mostrou preocupação com a exatidão da resposta, mas pelo procedimento utilizado
pelo aluno na resolução.
A fragilidade nos argumentos da resposta do docente em relação ao
conhecimento proporcionalidade pode ser observada pelo fato de o professor D
considerar a resolução por parcelas iguais inadequada. Neste relato, “este daqui foi
direto [...] já somou tudo”, ele julga a resposta da multiplicação adequada às suas
expectativas, mesmo apresentando resultado incorreto.
Outro aspecto a ser ressaltado é o fato de um dos professores ter ficado
constrangido e não ter respondido a questão. Ao que tudo indica, o professor pode
não possuir conhecimento do conteúdo. Isso nos leva a refletir sobre a inter-relação
entre o Conhecimento do Conteúdo e as demais vertentes citadas por Shulman
(1986) para a formação do Conhecimento Profissional Docente (conteúdo didático,
específico e curricular).
Constatamos que três professores aceitam a resposta pela adição de
parcelas iguais, porém dois deles colocam a necessidade de ampliação dos
conceitos para os alunos da multiplicação e da divisão. Podemos inferir pelos relatos
dos professores que, apesar de aceitarem respostas distintas, tendem a centralizar o
ensino nos procedimentos. Encontramos também estes dados em pesquisas
realizadas por Rodrigues (2006) e Araújo (2003), que identificam que, apesar de os
professores reconhecerem as diferentes estratégias de resoluções dos estudantes,
estes tendem a valorizar a resolução de problemas por meio das operações.
132
Percebemos que o professor E contradiz seus depoimentos, e afirma
inicialmente que a divisão seria desnecessária e que o aluno resolveu corretamente.
Todavia, em seguida, sugere que o professor apresente ao aluno um “jeito mais
prático”, sem identificá-lo.
Com base no que foi verificado, entendemos que a história de vida
profissional provavelmente influenciou o docente em suas análises. Nesse sentido,
vemos que estes professores vivenciaram experiências positivas com o uso do
algoritmo, seja como estudantes ou professores, e essas práticas os estimularam a
utilizá-las em suas ações docentes.
Portanto, podemos inferir que esses profissionais, ao utilizarem dessas
práticas focadas no procedimento com seus alunos e obterem estes bons
resultados, são estimulados a retornar a praticar as mesmas ações educativas.
Schön (1983), em seus estudos, relata a importância de oferecer momentos
para reflexão da e sobre a prática, e para isso é preciso colocar situações
desafiadoras para que os professores reflitam e modifiquem suas ações educativas
com os alunos.
Notamos que as questões aqui apresentadas permitiram aos professores o
desafio de entender como são as estratégias dos alunos, os conhecimentos por ele
mobilizados e como fazer para auxiliá-los na aprendizagem.
Quando perguntamos aos professores sobre possibilidades de intervenção,
obtivemos como respostas:
Levar os alunos a terem conhecimento da tabuada/ como bingo/ sorteio (com formação de grupo = quanto é 2 x 9 = sorteio) material todo confeccionado pelo aluno (PROFESSOR A).
Sugestão Leitura e sugestão por etapas (PROFESSOR B).
Trabalharia com material concreto, ou até mesmo desenhos (maçãs) (PROFESSOR C).
1.ª Eu usaria o processo na conta passo a passo todo multiplicação e divisão. Para ele ler reler o enunciado do problema (PROFESSOR D). Reler o enunciado, resolvendo por partes ou no concreto (PROFESSOR E).
A partir das sugestões dadas pelos professores, inferimos que estes tentam,
cada um a seu modo, buscar meios para solucionar as dificuldades dos alunos, o
que, segundo Vergnaud (2001), promove a formação de um conceito, no caso, a
133
proporcionalidade. Notamos que as sugestões dos docentes possuem pouca
precisão específica, e verificamos este fato em dados obtidos em outras pesquisas
anteriores como as de Borba et. al (2008). As autoras consideram que, além de não
ficar clara nas entrevistas a relação das dificuldades com as atividades sugeridas, o
material concreto aparece como:
[...] algo meio “mágico” para resolver as dificuldades em Matemática. Assim, o uso do material, sem análise do tipo de intervenção que vai ser realizada, não parece ser uma resposta que esclareça e mobilize novas propostas de trabalho em sala de aula (BORBA et al., 2008, p. 10).
Observamos que os professores participantes justificam seus discursos nas
escolhas para o processo de ensino e aprendizagem de proporcionalidade de modo
frágil, pois entram em contradição em seus depoimentos. Quanto aos
conhecimentos matemáticos, percebemos dúvidas e dificuldades dos docentes, o
que causa um maior obstáculo no entendimento das produções dos alunos e nas
possíveis atividades para auxiliá-los. Notamos que a relação entre as concepções
reais dos educadores e a prática pedagógica é muito complexa. Cabe destacar que
os docentes têm a preocupação com o ensino procedimental das quatro operações
e que alguns deles aceitam outros modos de resolução. Observamos que há um
grande envolvimento dos participantes da pesquisa com fatos de sua vida escolar.
5.4 Quanto ao trabalho do grupo da escola
Outro ponto a ser considerado é a importância que os professores colocam no
trabalho conjunto realizado na escola, ou ao que eles mesmos chamam de “troca de
experiências”. Tal fato pode ser observado no depoimento dos professores B, C, E:
Então tanto a atividade um professor passando para o outro (PROFESSOR B).
[...] como trabalhar o material concreto por conta de muitas vezes não ter o material na escola ou muitas vezes tem o material na escola e a gente não tem o tempo de estar manuseando e trocando as experiências com outros que têm outras experiências com os materiais concretos que eu acredito que ajude muito na aprendizagem dos alunos (PROFESSOR C).
A Matemática nós começamos a trabalhar sempre uma passando para outra... (PROFESSOR E).
Observamos ainda que o profissional responsável pela gestão da escola
também acredita no trabalho conjunto realizado na escola:
134
No trabalho desenvolvido em equipe pelos professores, e acho que as provas mensais nos mesmos moldes do SARESP e com troca de professores [...] a utilização das aulas ao sábado onde foram as reposições dos dias de suspensão de aula por causa da H1N1 para reforço escolar e a utilização do programa Ler e Escrever (DIRETOR).
Nesse momento, percebemos que há, por parte do grupo, um
comprometimento grande com o trabalho conjunto, e esse aspecto parece ser um
indício de um dos fatores que permitem aos alunos dessa escola se saírem bem nas
avaliações externas. Há um compromisso do grupo de educadores com tal ação
educativa.
Analisando os depoimentos dos professores e equipe gestora, percebemos
que os profissionais valorizam os momentos de interação. Estudos como os de
Zeichner (1993) indicam que a colaboração proporciona aos professores mudança
nos seus pensamentos e ações sobre sua prática. Assim como Clark (1996, p. 194-
195), citado por Mizukami (2004), discute a relevância de momentos de reflexão
coletiva, mencionando que “a colaboração [...] é algo que poderia trazer benefícios
aos professores e pesquisadores”. Os autores afirmam que esta ação permite que
os professores modifiquem suas práticas, porém chama a atenção para o fato de
que a pesquisa colaborativa deve possuir objetivos adequados. Assim, afigura-se-
nos preocupante observar que a rede pública estadual não vem demonstrando
interesse em favorecer a discussão sobre temas ligados aos processos de ensino e
aprendizagem em Matemática.
Como nosso intuito era mapear os espaços destinados à discussão
pedagógica e verificar a proporção em que os temas ligados à Matemática haviam
sido discutidos, solicitamos aos professores que relatassem sobre o Horário de
Tempo Pedagógico Coletivo (HTPC) e se os assuntos nele tratados eram referentes
à disciplina de Matemática.
Verificamos que as respostas foram divergentes; três professores relataram
conter assuntos referentes à disciplina e dois disseram não haver formação quanto à
Matemática, mas assuntos destinados ao ensino da Língua Portuguesa. Reiteramos
os aspectos de formação citados por Ponte (1998, p. 12), o qual discute a
importância de incentivar o estudo para os profissionais docentes. Nesse caso,
135
podemos supor, diante das divergências das respostas dadas pelos professores,
que essa formação destinada ao ensino da Matemática acontece raramente.
Entretanto, o coordenador pedagógico aponta algumas temáticas que,
segundo seu depoimento, foram discutidas nos HTPC:
A maneira de ensinar Matemática as didáticas mais antigas e a didática atual do ensino da Matemática e, além disso, nós usamos alguns temas como por exemplo o ensino da adição trabalhamos também como trabalhar as situações-problema em sala de aula. Foram as duas pautas que nós trabalhamos em HTPC (COORDENADOR PEDAGÓGICO).
Tais observações são confirmadas nos depoimentos dos docentes:
A gente faz tudo na lousa. Faço tudo na lousa. Faço às vezes mimeografada, mas ultimamente eles têm feito na lousa, eles têm copiado (PROFESSOR A). Bom, o livro didático é o que eu menos uso. O que eu uso é o Ler e Escrever que precisa tá dentro dele. Mas é mais o recurso é a lousa e jogos também, nós procuramos então esses são os recursos mais utilizados (PROFESSOR B). O material dourado e algumas situações que eu tiro mimeografada e até mesmo do material dourado. Mas o material dourado foi na verdade mais no primeiro semestre. E as figuras geométricas também que não deixam de ser o material concreto que tem no Livro do Ler e Escrever, para trabalhar tanto nome quanto como face, arestas, para estar explorando esses materiais também por conta até da situação do SARESP (PROFESSOR C). [...] fora o livro, tem joguinho. [...] É tem aqueles material dourado tem passo a passo deles e aí vai. Tem até com letras (PROFESSOR D). Eu trago bastante atividades xerocopiadas com tabelas, com gráficos, com malha, então para eles estarem recortando ontem mesmo nós fizemos, os sólidos que tinha no livro do Ler e Escrever, eu pedi para eles recortarem, deixei eles pintarem, montaram e agora nós vamos trabalhar em cima das vértices, arestas, lados porque eles necessitam também do concreto para trabalhar. Então eles adoram desafio é uma coisa que eles adoram (PROFESSOR E).
Observamos que os docentes, apesar de utilizarem práticas que inicialmente
são vistas como tradicionais, preocupam-se com o ensino e aprendizagem dos
alunos, quando propõem materiais de manipulação para solução e entendimento
das atividades propostas, jogos, uso de tabelas e situações-problema em materiais
xerocopiados, além de proporcionar a construção destes materiais. Essa diversidade
nos remete ao estudo de Vergnaud (1991) quando relata a importância de diferentes
situações significativas para que ocorra a aprendizagem.
136
Concluímos a entrevista com o relato dos professores sobre quais ações
foram realizadas pela equipe escolar para atingirem as metas do Saresp. Em
síntese, os professores relataram aspectos relevantes que proporcionaram uma
excelente proficiência nesta avaliação externa. Segue o depoimento dos
professores:
Então a gente trabalha muito assim... pesquisa muito em cima do que já foi feito, você passa na lousa. Se você pegar o caderno você vai ver tem bastante coisa com questões de opções e todo mês a gente faz provinhas do simulado do Saresp tanto de português como de matemática. A gente chama na lousa. A gente tenta recuperar é que este ano as crianças estão bem defasadas em aprendizagem (PROFESSOR A).
[...] fizemos um levantamento no HTPC, que foi totalmente voltado para o Saresp. Então, tanto a atividade uma professora passando pro outro e nós ficamos bem em cima de tudo isso (PROFESSOR B).
Assim uma coisa boa que tá acontecendo aqui [...] Que todo mês a gente aplica uma prova do Saresp. Todos os meses tanto de Língua Portuguesa quanto de Matemática e é muito bom, porque a gente, a gente revê aquilo que o aluno está errando, mais trabalha com gráfico, com tabela, muita interpretação, a prova do SARESP, ela é todinha interpretação, e isso tá facilitando muito eu percebo que os alunos que têm mais dificuldade tão evoluindo mais na aprendizagem neste ponto. Então está ajudando bastante (PROFESSOR C). [...] pegaram bastante na produção de texto que é o que exige bastante e na multiplicação, na área da porcentagem, divisão, probleminha, desafio (PROFESSOR D). A Matemática nós começamos a trabalhar sempre uma passando para outra, mas nós estamos tentando dar todo conteúdo necessário para que eles possam conhecer, ter a base para poder resolver, por que eu falei para você da outra vez, essa questão que o livro do Ler e Escrever ele entra já com fração, com números decimais e eles vêm para quarta série e é muito difícil eles já terem essa noção. Então é um trabalho contínuo que a gente tem que estar trabalhando conteúdo para poder eles estarem tendo pelo menos o conhecimento para resolver a situação que foi exposta (PROFESSOR E).
Observamos nos professores entrevistados que em suas práticas
pedagógicas estes utilizam uma diversidade de atividades e recursos. Notamos que
as práticas de ensino centram-se na organização de atividades que possibilitem o
treino das habilidades do Saresp. Podemos notar isto nos exemplos de atividades
apresentados nos modelos de avaliações aplicadas mensalmente, que se encontram
no Anexo B (p.VI). Acreditamos que, segundo as entrevistas e questionários
analisados, estas atividades fizeram com que a escola e os alunos obtivessem um
excelente desempenho nessa avaliação externa.
137
Cabe ressaltar que existem nos depoimentos outros aspectos que
proporcionaram um desempenho na avaliação externa acima do observado em
outras instituições do mesmo Estado. Foi observado que os professores da escola
pesquisam nos relatórios e avaliações dos anos anteriores do Saresp, que realizam
recuperação paralela e contínua dos alunos com dificuldade, que trabalham
coletivamente favorecendo a troca de experiências e atividades que obtiveram
sucesso. Procuram ainda retomar questões em que observam as maiores
dificuldades dos estudantes, trabalham com a interpretação do enunciado e com o
procedimento das quatro operações, elaboram atividades preparatórias – o que os
professores chamam de “dar base” para resolução das atividades do Ler e Escrever.
Percebemos também que o uso do material Ler e Escrever pode também ter
favorecido discussões e encaminhamentos diferenciados nas atividades de sala de
aula.
Finalmente, observamos com a análise do perfil profissional dos docentes
participantes de nossa pesquisa que se trata de profissionais que estão em final de
carreira e que, portanto, possuem uma diversidade de experiências como
estudantes e educadores voltadas para as diversas tendências citadas por Fiorentini
(1995). Todavia, podemos inferir que os professores utilizam muitas vezes dessas
experiências para ensinar seus alunos da mesma forma que aprenderam, conforme
citado por Tardif e Raymond (2000), e tendem a procurar meios significativos para
suas aulas. Verificamos que alguns professores demonstram que em seu histórico
de vida não foram estimulados a gostar de Matemática e, portanto, este fato pode
causar certa dificuldade na disciplina, o que nos remete ao estudo de Shulman
(1986) ao relatar a necessidade do domínio de conteúdo para ter uma boa prática
docente.
Quanto à formação, constatamos que os professores possuem como
formação inicial e principal o Magistério e a graduação em Pedagogia. Verificamos
que somente dois dos professores pesquisados realizam formações continuadas
oferecidas pela Secretaria do Governo Estadual de São Paulo e universidade
privada. Percebemos ainda que as formações em HTPC são voltadas para o ensino
de Língua Portuguesa e abrangem pouco o ensino de Matemática. Por conseguinte,
notamos que a formação continuada destes professores é deficitária. No entanto,
inferimos que há uma formação continuada, que não é representada na forma de
138
curso. Trata-se das atividades destes profissionais quando pesquisam, estudam o
Programa Ler e Escrever e as questões da avaliação externa. Destacamos aí a
importância de um material de apoio ao docente bem elaborado. Entretanto, vale
ressaltar que o material por si só não é garantia de um excelente resultado, visto que
um bom conhecimento do conteúdo específico poderia potencializar o seu uso.
Quanto ao conhecimento profissional docente dos sujeitos desta pesquisa
identificamos em relação aos estudos de Shulman (1986) que eles possuem vasta
experiência – conhecimento didático – e identificam os conteúdos e conhecem os
documentos oficiais apropriados para o ano em que lecionam – conhecimento
curricular. Todavia, sabemos que o conhecimento curricular vai muito além dessa
identificação, o que nos parece preocupante, uma vez que é por meio da relação
com o conhecimento do conteúdo que o conhecimento curricular se efetiva.
Notamos a dificuldade demonstrada pelos professores no tocante ao conhecimento
específico do conteúdo – campo conceitual multiplicativo.
Quanto aos estudos de Tardif e Raymond (2000), identificamos que os
professores se utilizam de suas experiências anteriores profissionais e pessoais no
desenvolvimento de suas atividades.
Nesse sentido, Schön (1987) é identificado quando os docentes realizam a
reflexão sobre e na prática. Observamos ainda que estes docentes utilizam uma
diversidade de metodologias e trabalham colaborativamente, o que nos remete à
ideia de Zeichner (1993).
As ideias de Ball e Bass (2003) aparecem quando os docentes buscam
entender as estratégias de resolução dos alunos e tentam auxiliá-los de diversas
maneiras.
Notamos que os professores buscam alternativas para um ensino de
qualidade diversificando conteúdos e atividades. Acreditam ainda no trabalho em
grupo, pois assim realizam trocas de experiências de forma a garantir a
aprendizagem.
139
5. 5 Quanto às atividades desenvolvidas pelos professores
Para complementar nossa investigação, pedimos também aos professores
que apresentassem atividades de alguns alunos. Nosso objetivo era verificar quais
tipos de tarefas os sujeitos investigados propõem aos estudantes, como corrigem e
analisam suas produções matemáticas. Solicitamos a todos os docentes algumas
atividades desenvolvidas em sala. Todavia, somente dois professores (B e E) deram
a devolutiva.
No instrumento apresentado pelo professor B, verificamos quatro situações-
problema envolvendo o campo conceitual aditivo, das quais duas dissertativas e
duas contendo alternativas. Observamos ainda que três destas questões foram
retiradas das avaliações externas do Saresp 2008.
A primeira situação-problema procurava verificar a compreensão dos alunos a
respeito do sistema de numeração decimal e realizar cálculos mentais, a qual
apresentamos a seguir:
Figura 18: Exemplo de atividade do professor B
Notamos que os alunos responderam corretamente, distribuindo as fichas
numéricas em cada caixa por meio dos seguintes registros:
140
Figura 1910: Respostas dos alunos do professor B
A segunda situação-problema envolvia a ideia de encontrar a diferença em
uma situação contextualizada, mas para isso os alunos teriam que realizar uma
adição ou subtração:
141
Figura 20: Exemplo de Atividades do Professor B
Fonte: São Paulo (Estado), Relatório do Saresp (2008).
Trata-se de uma questão apresentada no Relatório do Saresp 2008, cujo
objetivo foi desenvolver a habilidade “H-12 – Resolver problemas envolvendo adição
ou subtração relacionados aos seus diversos significados”, e obteve índice de acerto
de 65% dos alunos nesta avaliação externa.
Analisamos as respostas dos alunos na atividade e verificamos que estes
responderam adequadamente e realizaram a operação, sendo que os quatro alunos
resolveram pela subtração, mas um deles utilizou a adição para confirmar a
resposta, como podemos observar nas imagens a seguir:
Figura 21: Respostas dos alunos
142
A terceira questão pretendia avaliar se o estudante compreende a ideia de
multiplicação utilizando o sistema monetário:
Figura 22: Exemplo de atividade do professor B
Fonte: São Paulo (Estado), Relatório do Saresp (2008).
Esta questão também foi apresentada no Relatório do Saresp de 2008, cujo
objetivo foi desenvolver a habilidade “H14 – Resolver problemas utilizando a escrita
decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro”, e obteve índice de
47% de acerto dos alunos nesta avaliação externa.
Observamos que os alunos responderam corretamente e todos realizaram a
operação da multiplicação para solucionar o que foi proposto:
Figura 23: Respostas dos alunos do professor
Notamos também que todos os alunos resolveram utilizando a operação
multiplicação, o que, analisando os depoimentos anteriores dos professores,
podemos inferir que a prática no ensino do algoritmo é mais acentuada.
143
A quarta situação proposta aborda o conteúdo unidade de medidas e
números decimais. Pretendia avaliar se o aluno resolve problemas do campo aditivo
utilizando o raciocínio lógico dedutivo e como elaborar situações envolvendo essa
mesma ideia:
Figura 24: Exemplo de atividade do professor B
Fonte: São Paulo (Estado), Relatório do Saresp (2008).
Trata-se de uma questão abordada no Relatório do Saresp 2008, cujo
objetivo foi desenvolver a habilidade “H-23 – Estimar a medida de grandezas
utilizando a unidade de medidas convencionais ou não”. Esta situação obteve
índice de 54% de acerto dos alunos na avaliação externa.
Observamos que, apesar de o professor utilizar o mesmo enunciado
apresentado no Saresp, ele modificou a estratégia para o trabalho com os alunos,
solicitando que eles criassem a situação-problema de acordo com os diálogos dados
e respondessem. Houve uma diversidade de enunciados e respostas:
144
Figura 25: Respostas dos alunos do professor B
Identificamos que a proposta de atividade do professor foi significativa, uma
vez que permitiu ao aluno criar, por meio de um contexto, sua própria situação-
problema. Observamos a diversidade de questões elaboradas pelos estudantes.
Este tipo de tarefa também é orientado pelo Guia de Planejamento e Orientação
(2010, p. 271-273). Notamos ainda que os alunos parecem ter o hábito de resolver
questões desse tipo, pois três estudantes elaboraram questões fechadas, como o
que é normalmente proposto pela avaliação externa Saresp.
Quanto à correção, notamos que o professor considera as diferentes
soluções. Observamos que os docentes pesquisam nos relatórios do Saresp
situações interessantes.
Podemos destacar que esta é uma atividade que permite o desenvolvimento
do enunciado do problema, fazendo uso dos dados sugeridos. O docente fornece
uma atividade rica aos alunos, pois estes poderão elaborar o enunciado de
diferentes maneiras e envolvendo diferentes operações.
145
Um outro instrumento foi disponibilizado pelo professor E envolvia duas
situações-problema e vários exercícios de fixação compostos por propostas de
multiplicação e divisão com operações para armar e efetuar.
Quanto à primeira situação-problema, observamos que envolve cálculo de
porcentagem utilizando a representação de uma tabela:
Figura 116: Exemplo de atividade do professor E
Trata-se de uma situação ligada ao cotidiano, cuja resolução é apresentada
em tabela. Notamos que os valores são indicados nos desenhos, assim como o
desconto a ser calculado está proposto na tabela. Observamos ainda que a
resolução do aluno a seguir é feita pela multiplicação e divisão.
146
Figura 27: Resolução do aluno da atividade de porcentagem
A segunda situação-problema trata do conteúdo unidade de medida de
tempo, no qual o aluno terá que calcular a duração da viagem:
Figura 28: Exemplo de atividade do professor E
Notamos que para solucionar o problema eles se utilizam de diferentes
representações: desenho e cálculo numérico. Observamos que o Aluno 1 usa a
imagem a fim de contar a quantidade de horas para realizar a viagem. O aluno 2
efetua a operação de subtração para solucionar o problema. Verificamos nesse
momento o emprego de diferentes representações:
Aluno 1 Aluno 2
147
Figura 29: Respostas dos alunos do professor E
As outras duas atividades apresentadas pelo professor E envolviam
operações de multiplicação e divisão para que o aluno armasse e efetuasse. Os
alunos analisados demonstraram conhecer o procedimento da multiplicação e
divisão:
Aluno 1
Figura 30: Respostas do aluno 1 do professor E
Aluno 2
148
Figura 31: Respostas do aluno do professor E
Identificamos que todos os alunos acertaram todas as operações, com
exceção de um aluno que errou na multiplicação e por consequência na adição final.
Quanto à correção, notamos que este professor considerou diferentes
soluções para a resolução. Percebemos a preocupação do docente de registrar à
caneta os erros cometidos pelo estudante.
Notamos que os professores (B e E) tiveram a preocupação de elaborar
questões e pesquisar em diferentes materiais livros e relatórios do Saresp. Vimos
que eles apresentam aos estudantes uma variedade de atividades, desde as que
envolvem mais os procedimentos até outras que exploram situações-problema
diversificadas.
Se retomarmos os relatos anteriores do professor B, verificaremos que,
apesar de possuir dificuldade no conteúdo, ele apresenta uma preocupação em
propor aos seus alunos situações-problema que envolvem aspectos do cotidiano.
Observamos também indicações de que o professor conhece as orientações
curriculares, uma vez que as atividades propostas (elaboração de enunciados de
problemas) estão presentes do documento de apoio – Guia de Planejamento e
Orientação do 5.º ano (2010, p. 271-273). Portanto, o docente tenta adequar as suas
práticas à utilização do Caderno Ler e Escrever.
149
Ao mesmo tempo, se observarmos os depoimentos do professor E, vemos
que ele apresentou maior número de estratégias de investigação das resoluções dos
alunos. Podemos observar a seguir este fato, quando o docente tenta resolver a
questão 2.3 indicada no Capítulo 5, na p.126:
Entretanto, o professor E propõe aos alunos situações-problema e a fixação
do procedimento das operações. A mesma preocupação aparece também em outros
estudos como os de Nürnberg (2008). Identificamos que os professores neste
estudo acreditavam que deveriam ensinar com as quatro operações para depois
resolver as situações-problemas. Notamos pelas atividades concedidas que os
alunos realizam as diferentes situações dadas, não apresentando dificuldades.
Ressaltamos que as diferentes atividades permitem que os alunos
compreendam as quatro operações e resolvam por diferentes estratégias as
situações-problema.
5.6 Quanto às observações em sala de aula
Observamos três aulas de 50 minutos de Matemática em duas turmas, dos
professores A e D, sendo duas aulas na primeira turma e uma aula na segunda
turma. Reiteramos que estes docentes foram selecionados por consentirem a
realização da observação.
A primeira classe observada foi a do professor A, que realizou uma sequência
de atividades sobre porcentagem, com o intuito de que os alunos compreendessem
aplicações de porcentagem e as possibilidades de cálculo.
Figura 12: Resolução do professor E questão 2.3
150
Inicialmente, observamos os cadernos dos alunos, verificando que na aula
anterior o professor havia começado o assunto porcentagem. Notamos que a
proposta inicial foi utilizar o número de alunos presentes na sala naquele dia, como
contexto para problematização de situações envolvendo o tema porcentagem. O
encaminhamento desta proposta pode ser visto a seguir:
Figura 33: Foto da aula anterior aluno1
Figura 34 - Foto da aula anterior aluno 2
Observamos que o docente se preocupa com a elaboração de atividades
contextualizadas e propõe um contexto de sala de aula na situação dada, o que é
um aspecto positivo para o desenvolvimento do ensino e aprendizagem. No entanto,
o professor equivoca-se na escolha de uma atividade introdutória, pois no seu
151
encaminhamento utilizou-se de um procedimento que não é indicado para alunos
desse nível de ensino. Provavelmente, fez uso do mesmo procedimento que havia
aprendido no final do Ensino Fundamental. O depoimento do professor A, a seguir,
sobre a questão de porcentagem comprova nossa assertiva:
Eu faço assim, eu pego uma televisão vamos assim dizer o que eu consulto ali é o básico mesmo, ou seja, o tradicional, nada de diferente e eles pegaram. Por exemplo, eu tenho uma televisão que custa 600 reais e tenho desconto de 20% para quem vai pagar à vista. Então eu disse a eles vocês vão pegar esses 600 reais multiplicar por 20. E divido por 100. É o básico o que a gente aprendeu na escola. O que eu aprendi na escola. E o que deu a gente vai estar deduzindo, vai fazer uma subtração daí é o valor que eu vou estar pagando pela TV (PROFESSOR A).
Identificamos com o relato do professor o que o estudo de Tardif e Raymond
(2000) relata sobre a utilização de experiências de quando estudante para o
desenvolvimento de suas aulas como educador.
Behr et al. (1988) vêm complementar com seu estudo, relatando que:
Todas as pessoas que resolvem um problema sobre proporções não usam necessariamente o raciocínio proporcional. De fato, podem observar-se relações numéricas simples (se A é três vezes B, X deve ser três vezes D) ou usar um algoritmo como o do produto cruzado. Para resolver proporções do tipo [...], ensina-se frequentemente aos alunos o uso do método do produto cruzado [...] contudo a investigação e a experiência mostraram consistentemente que este método é (a) mal compreendido pelos alunos [...] e é frequentemente usado pelos alunos mais para evitar o raciocínio proporcional do que para o facilitar (BEHR et al., 1988, p. 94).
O autor vem reafirmar que práticas como estas são normalmente realizadas,
porém não são adequadas para o entendimento e aprendizagem das situações que
envolvem o pensamento proporcional.
Quanto ao encaminhamento da aula, percebemos ainda que os alunos
estavam sentados em duplas produtivas. O professor utilizava o sistema de
monitoria com os estudantes com dificuldade, ou seja, eles interagiam com os
alunos monitores que os auxiliavam nas possíveis dúvidas. Na sala de aula não
havia cartazes de números ou mesmo tabuada. Os alunos possuíam tabuadas
individuais no caderno tanto de multiplicação como a tabuada de divisão.
O professor, como continuação da aula do dia anterior, solicitou que os alunos
abrissem o livro nas atividades 15 A. Podemos observar a seguir:
152
Figura 35: Atividade do Ler e Escrever 15 A Porcentagem
Fonte: São Paulo (Estado) Secretaria de Educação (2008).
Nesta atividade foram lidas as diferentes manchetes pelos alunos em voz alta.
Logo em seguida, o professor solicitou que eles identificassem e circulassem o
símbolo de porcentagem. O professor perguntou à sala o que significava o símbolo e
qual era o nome dele. Muitos alunos logo falaram porcentagem, outros lembraram
da aula anterior. Outros alunos disseram que porcentagem “tem a ver com cem”.
Depois disso, o professor leu a atividade 15 B:
153
Figura 36: Atividade do Ler e Escrever 15 B
Fonte: São Paulo (Estado) Secretaria de Educação (2008).
Observamos que o texto explica que a porcentagem se encontra nas diversas
situações do cotidiano e apresenta uma folha quadriculada para que os alunos
calculem uma situação-problema envolvendo essa representação, assim como na
atividade seguinte, que permite que o aluno pense em porcentagem utilizando-se da
representação parte-todo.
A atividade 15 C anuncia algumas situações-problema:
154
155
Figura 37: Atividade do Ler e Escrever 15 C
Fonte: São Paulo (Estado) Secretaria de Educação (2008)
156
O professor leu cada situação e deu alguns minutos para resolução.
Essas situações permitiram que cada aluno calculasse e desenvolvesse a seu
modo.
Ao analisar o Guia de Planejamento e Orientação do Professor, material do
Programa Ler e Escrever do Estado de São Paulo (2010, p. 285-290), obtemos
informações detalhadas da atividade. Segundo tais orientações, essa atividade tem
por objetivo “Resolver problemas que envolvem o uso da porcentagem no contexto
diário” (p. 285), além de indicar como o professor pode planejar, encaminhar a
atividade e organizar a turma, quais questionamentos podem ser feitos aos alunos e
quais temáticas podem ser discutidas na roda de conversa, assim como dá dicas do
que o aluno deve refletir e aprender. No caso,
[...] o objetivo é que os alunos, para chegarem ao cálculo de 25%, estabeleçam a relação com a porcentagem conhecida 50% pois certamente muitos deles têm a informação de que esta corresponde à metade. Portanto, para se encontrar 25% será preciso dividir um dado valor por 4
(SÃO PAULO, 2010, p. 290).
Cabe ressaltar que, se por um lado a introdução dada pelo professor envolve
situações do ambiente escolar, por outro, nos causa preocupação, pois o docente
propôs o uso de um algoritmo que não seria o recomendado para esse nível de
ensino.
O Guia de Orientação e Planejamento orienta que o professor deve ter como
encaminhamento “a discussão com os alunos do conceito de porcentagem para que
eles possam resolver problemas que envolvam este conceito em situações do
contexto diário” (p. 267). As atividades propostas pelo mesmo documento indicam a
necessidade de iniciar o trabalho pela compreensão da ideia de parte de relação a
100. Percebemos que o professor tenta apresentar uma situação envolvendo um
problema real – contexto da sala de aula –, no entanto, para calcular o valor da
porcentagem, não se utiliza de um recurso mais simples, por exemplo, partir do
significado da expressão “por cento”, como indicado em documentos oficiais:
Em relação ao cálculo de porcentagem nos dois primeiros ciclos, alguns recursos mais simples e evidentes para as crianças podem ser explorados, deixando para os ciclos posteriores a apresentação de técnicas convencionais. Partindo de um trabalho em que o aluno compreenda o significado da expressão “dez por cento”, ele pode, por exemplo, calcular
157
35% de 120, achando 10% de 120 (12), 5% de 120 (metade de 12) e adicionando as parcelas: 12 + 12 + 12 + 6 = 42 ( BRASIL, 1997, p. 81).
Para finalizar, o professor distribuiu panfletos de supermercado a cada dupla
de estudantes e solicitou que cada aluno escolhesse três produtos e que desse 25%
de desconto a estes.
Figura 38: Atividade complementar e resposta do aluno 1
Figura 39: Atividade complementar e resposta do aluno 2
158
A sequência de atividades desenvolvida pelo professor tentou proporcionar
aos alunos o que nos estudos de Vergnaud (1990) se apresenta como Teorema –
ação, ou seja, são as relações que o aluno estabelece para escolher uma estratégia
e solucionar o problema.
Consideramos, portanto, que o uso do material Ler e Escrever é um dos
fatores que influenciam o encaminhamento dado pelo professor, assim como a
complementação de atividades contextualizadas que também deve ser considerada
um fator significativo.
Notamos também a presença de diversas estratégias de resolução de
situações propostas.
A segunda turma observada foi a do professor D, que propôs exercícios de
multiplicações com dois algarismos. Verificamos que as operações foram passadas
na lousa para estes realizarem-nas primeiramente no caderno. Notamos que o
professor se sentou e não procedeu a possíveis intervenções. Os alunos não
fizeram perguntas ao professor, resolvendo a atividade cada um em seu lugar.
Passado algum tempo, o suficiente para que os alunos solucionassem os
exercícios no caderno, o professor solicitou que alguns alunos realizassem as
operações na lousa.
Observamos que alguns alunos adoravam colaborar com a atividade e que
outros se sentiam constrangidos ao serem chamados para participar da resolução
das operações dadas inicialmente.
A correção das operações foi feita na lousa, e verificamos que o professor,
quando o aluno errava, chamava outro estudante para resolver a operação, e
solicitava o caderno do aluno que havia cometido algum erro. Em seguida, ele
corrigia e explicava individualmente a resolução da operação. Percebemos que
poucos alunos erravam o procedimento solicitado para resolução.
Diante da atividade proposta por esse professor, notamos que houve
preocupação com a orientação individual dos estudantes, buscando auxiliá-los no
desenvolvimento da aprendizagem.
159
Percebemos que o professor possui a preocupação com os alunos que erram
e com os que estão em desenvolvimento do procedimento das operações dadas.
Em nossa observação, pudemos verificar que ambos os professores, com
diferentes metodologias, obtiveram um número considerável de resultados positivos.
Identificamos também que, apesar do uso de um discurso tradicional, esses
professores buscam, a seu modo, estar em consonância com a nova proposta.
160
CONSIDERAÇÕES FINAIS E PERSPECTIVAS FUTURAS
A educação é a arma mais poderosa que você pode usar para mudar o mundo (NELSON MANDELA).
Chegar a esta etapa do trabalho nos fez relembrar com grande satisfação o
caminho percorrido durante esses dois anos e alguns meses, das emoções, anseios
e boas perspectivas em realizar o presente estudo.
Esta pesquisa foi guiada com o intuito de descobrir: “Quais são os
conhecimentos dos professores que ensinam Matemática para alunos do 5.º ano do
Ensino Fundamental de uma escola em que os alunos se destacaram na avaliação
de matemática do SARESP de 2009?”.
Para realizá-lo pesquisamos inicialmente referências bibliográficas que
fundamentassem nosso estudo e realizamos análise dos relatórios do Saresp do
Estado de São Paulo para selecionar a escola a ser pesquisada. Em seguida,
elaboramos um questionário que foi respondido pelos participantes desta pesquisa e
os protocolos que serviriam para realização das entrevistas com os professores,
coordenador pedagógico e diretor. Além disso, recolhemos atividades dos docentes
aplicadas aos alunos e realizamos a observação de algumas aulas desses docentes.
Pensamos em indagações secundárias para auxiliarem nossa análise, as
quais apresentamos e comentamos a seguir. Para responder a questão principal
procuramos inicialmente analisar o perfil profissional dos educadores da instituição
investigada. Os sujeitos de nossa pesquisa eram profissionais experientes, pois
possuem de 26 a 14 anos de tempo de magistério e formação inicial no Curso
Normal, modalidade no Ensino Médio, antigo Magistério. Destes profissionais, três
possuíam nível Superior no Curso de Pedagogia, e dois estavam cursando a referida
graduação. Verificamos que, quanto ao cargo, dois são efetivos e três contratados.
Ressaltamos que destes, dois estavam no ano de excelente avaliação. Além disso,
todos os professores possuíam jornada completa (34 horas/aula semanais).
161
Procuramos, em seguida, verificar a relação desses docentes com a Matemática na
Educação Básica. Observamos que três professores relataram gostar de
Matemática, e outro docente chamou a atenção para melhorias quanto ao
conhecimento neste aspecto de ensino. Analisando o depoimento dos sujeitos
investigados, verificamos que eles encontravam dificuldades no entendimento do
conteúdo, principalmente quanto a situações que envolvem o campo conceitual
multiplicativo.
Evidenciamos ainda, por meio dos questionários e entrevistas realizados, que
todos os participantes obtiveram experiências negativas em suas histórias pessoais,
mas percebemos que estes não se deixaram abater por esses fatos, tornando-se
profissionais que buscam, a seu modo, as melhores práticas docentes para o
desenvolvimento do conhecimento.
Em seguida, procuramos verificar como foi a relação desses professores com
a Matemática na formação inicial. Quanto aos depoimentos, observamos que os
sujeitos investigados vivenciaram experiências negativas. Todavia, gostam da
disciplina, reconhecem sua importância e procuram buscar estratégias que
beneficiem as aprendizagens dos alunos, por exemplo, no relato do professor B: “Eu
não quero para meu aluno o que aconteceu comigo”. Tal experiência parece que se
tornou um incentivo para as atividades profissionais desse professor.
Uma outra questão importante está relacionada à forma como nossos sujeitos
desenvolviam suas aulas. Nossos dados evidenciaram que os professores focam
seu trabalho nos procedimentos. Deste modo, quando os questionamos sobre as
resoluções efetuadas pelos alunos, não apresentaram explicações consistentes,
preferindo argumentar exclusivamente pelo procedimento utilizado para a resolução
das operações. Portanto, o discurso desses profissionais contrapõe à sua prática,
visto que, analisando os relatos com as atividades propostas e a observação em
sala, estes professores acreditam serem tradicionais. No entanto, demonstram
preocupação com a aprendizagem dos alunos. Por outro lado, observamos uma
grande preocupação com o trabalho nas situações contextualizadas, pesquisas em
diversos materiais, como Guia de Planejamento e Orientação do Ler e Escrever,
utilização de jogos, materiais concretos, panfletos e outros, a fim de realizarem um
ensino de qualidade.
162
Vemos, ainda, a preocupação com o desenvolvimento da aprendizagem com
intuito de desenvolver habilidades que são avaliadas pelo Saresp.
Esses profissionais também consideram as orientações contidas no Programa
Ler e Escrever. Com isso, notamos que as dificuldades encontradas no
entendimento de conteúdos específicos, como foi o caso da porcentagem, podem
prejudicar a compreensão que esses professores têm do material de apoio. Assim, a
falta de conhecimento do conteúdo não permite ao professor compreender as
orientações do material de apoio.
Salientamos que a referida escola poderia ter obtido resultados muito mais
significativos se os professores tivessem um domínio conceitual e pedagógico mais
aprofundado.
Os professores acreditam no trabalho coletivo, pois há relatos de experiência
e ideias de atividades, o que permite uma formação docente. Esses momentos
colaborativos nesta instituição ocorrem nas reuniões de HTPC. Entretanto, há
evidências de que os momentos de formação no âmbito escolar (HTPC) não
preveem muitas discussões e reflexões sobre a Matemática. Vale ressaltar que
observamos, no depoimento do coordenador pedagógico, quase que uma queixa ou
denúncia sobre a falta equilíbrio entre discussões sobre os processos de ensino e
aprendizagem de Língua Portuguesa e Matemática. No entanto, consideramos que o
estudo e pesquisa em diferentes materiais e das questões das avaliações externas
compõem uma modalidade de formação fundamental para o desenvolvimento
profissional dos docentes envolvidos nesta pesquisa.
Uma outra indagação nos perseguiu: Quais são as atividades e estratégias
desenvolvidas pelos sujeitos desta pesquisa? Observamos que os professores da
escola investigada sentem a necessidade de realizar a correção das atividades
propostas, como meio de ajudar aos alunos no processo de ensino e aprendizagem.
Identificamos que os sujeitos da pesquisa justificam-se e tendem a elaborar
atividades que desenvolvam o conteúdo procedimental, porém indicam a
necessidade de relacionar o procedimento com situações contextualizadas. Outro
ponto considerado importante, que possivelmente favorece os bons resultados
alcançados pela escola, foi o uso, por parte dos professores, de duplas produtivas e
de sistema de monitoria como recurso de ensino.
163
Portanto, consideramos que as principais influências que resultaram em um
excelente desempenho na avaliação externa foram as seguintes: os professores
entrevistados reconhecem em seus discursos a importância do trabalho com
situações contextualizadas; procuram situações envolvendo contexto real, todavia a
falta de conhecimento específico sobre o conteúdo limita tal encaminhamento.
Observamos ainda que os docentes valorizam um ensino com práticas pedagógicas
que utilizam uma diversidade recursos e atividades, veem a necessidade de busca
por orientações do Programa Ler e Escrever, trabalham coletivamente trocando
atividades, experiências e realizando com os alunos as duplas produtivas e sistemas
de monitorias, e oferecem ainda a recuperação paralela e contínua dos alunos com
dificuldade.
Diante do exposto, passamos à nossa questão principal, ou seja, “Quais são
os conhecimentos dos professores que ensinam Matemática para alunos do 5.º ano
do Ensino Fundamental de uma escola em que os alunos se destacaram na
avaliação de matemática do Saresp de 2009?”.
Quanto ao conhecimento específico, os professores demonstram dificuldade
ao analisar produções de alunos que envolviam tanto situações problema do campo
conceitual multiplicativo quanto a resolução de operações nesse mesmo campo.
Acreditamos que a causa pode estar ligada a uma formação inicial e continuada
deficitária.
Analisando esse resultado sob o ponto de vista de Shulman (1986) e de Ball e
Bass et al. (2003), a ausência de domínio desse conteúdo específico implicaria igual
ausência de conhecimentos para o seu ensino. Assim sendo, observamos que os
docentes pesquisados desenvolvem recursos metodológicos interessantes. Todavia,
a ausência de conhecimentos sobre o campo conceitual multiplicativo implica
também o desconhecimento de como intervir em situação de ensino da temática.
Além disso, limita as possibilidades de seleção e organização de atividades,
por exemplo, um professor que não conhece as diferentes representações da
porcentagem encontra dificuldades, como observamos nesta pesquisa, em
selecionar ou elaborar atividades que envolvam essa ideia, limitando, assim, as
possibilidades de entendimento dos estudantes, pelo qual o docente é, a nosso ver,
o principal responsável.
164
Assim como Tardif (2000), neste estudo, notamos a relação existente entre os
saberes e o tempo, e como estes são produzidos no decorrer da vida e utilizados em
suas práticas pessoais e docentes.
Cabe salientar que todas as explanações indicadas neste texto nos permitem
responder à questão problema que direcionou este estudo. E todas estas
observações nos fazem refletir sobre a necessidade de modificações tanto na
formação inicial como na continuada desses docentes. Notamos que as pesquisas
educacionais necessitam de mais trabalhos que investiguem possíveis processos
formativos que possibilitem ao professor a construção do conhecimento sobre o
campo conceitual multiplicativo.
Como reflexão desta pesquisa, escolhemos um trecho do livro A criança, a
matemática e o número, escrito por Gerard Vergnaud, a quem nos referenciamos
neste trabalho. Nele, o autor exprime a importância que tem para o ensino o
conhecimento profissional docente considerando sua necessidade para a
compreensão do aluno:
Os conhecimentos que essa criança adquire devem ser construídos por ela em relação direta com as operações que ela, criança, é capaz de fazer sobre a realidade, com as relações que é capaz de discernir, de compor e de transformar com os conceitos que ela progressivamente constrói. Isso não quer dizer de modo algum, que o papel do professor deva ser negligenciado, mas o valor no professor reside justamente na sua capacidade de estimular e utilizar essa atividade da criança. Toda a formação do professor, todo o seu esforço, devem procurar lhe dar um maior conhecimento sobre a criança e permitir-lhe ajustar permanentemente as modalidades de sua ação pedagógica... Esse conhecimento não pode ser um simples conhecimento geral da inteligência e do comportamento da criança. Trata-se de um conhecimento aprofundado do conteúdo a ser ensinado e das relações desse conteúdo com a atividade possível da criança (VERGNAUD, 2009, p. 15).
Finalizando, espera-se que este estudo de caso possa contribuir para a
ampliação do debate em torno de questões que envolvam a formação de
professores, em especial, aqueles relativos ao conhecimento profissional docente.
Indicamos como perspectiva futuros estudos que comparem as escolas que partiram
de desempenhos excelentes em determinado ano e que obtiveram avanço ou não
nas avaliações posteriores, assim como a necessidade de observarmos as práticas
de sala de aula de escolas bem-sucedidas como meio de entendermos o processo
de ensino e aprendizagem.
165
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168
––––––. Decreto 54.553, de 15 de julho de 2009. Institui o Programa de Integração Estado/Município para o desenvolvimento de ações educacionais nas escolas das redes públicas municipais, autorizando a Secretaria da Educação a representar o Estado de São Paulo na celebração de convênios com a Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE e municípios paulistas, tendo por objeto a implementação do aludido programa. São Paulo: [s.n.], 2009a.
––––––. Relatório do Saresp. Governo do Estado de São Paulo. São Paulo, 2009b.
––––––. Relatório do Ler e Escrever. FDE – Fundação e Desenvolvimento Educacional. São Paulo, 2010a.
––––––. Relatório do Saresp. FDE – Fundação de Desenvolvimento Educacional. São Paulo, 2010.
SARESP. Disponível em: <www.edunet.sp.gov.br>. Acesso em: maio 2010.
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––––––. The reflective practitioner: how professionals think in action. Ashgate: [s.n.], 1983, new edition 1991.
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SOARES, F. C. C. O ensino desenvolvimental e a aprendizagem de matemática na primeira fase do ensino fundamental. 2007. Dissertação (Mestrado) – Universidade Católica de Góias, Goiânia.
169
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ZEICHNER, K. Formação reflexiva de professores: ideia e prática. Lisboa: Educa, 1993.
i
APÊNDICE A
ROTEIRO PARA ENTREVISTA SEMIESTRUTURADA
COM PROFESSOR
Sexo:
Tempo de Magistério:
Formação:
Qual sua formação inicial?
Instituição:
Ano de conclusão:
Você fez outros cursos depois da formação inicial?
Já lecionou em outras instituições em anos anteriores?
Quais séries já lecionou?
Qual sua jornada na escola?
Você trabalha em outras escolas?
Conte como foi sua relação com a Matemática no Ensino Fundamental, Ensino
Médio, no Curso do Magistério, Pedagogia ou Cefam.
Comente sua relação profissional com a disciplina Matemática.
Como são suas aulas da disciplina de Matemática?
Qual o conteúdo matemático seus alunos mais gostam? E em que eles encontram
mais dificuldade?
Nos HTPCs são tratados temas que discutam questões relacionadas ao ensino e
aprendizagem da (assuntos de) Matemática? Quais?
Explique como você resolveria tais situações-problema citados no questionário,
como seria sua explicação para o aluno, qual processo seria utilizado. Você
consideraria diferentes respostas?
Quais os recursos você utiliza em suas aulas de Matemática?
Do ponto de vista dos processos de ensino e aprendizagem, tudo o que aconteceu
na escola no último ano (HTPC, sala dos professores, outras reuniões etc.), você
considera que houve algum reflexo no resultado apresentado pela escola?
ii
APÊNDICE B
ROTEIRO PARA ENTREVISTA SEMI ESTRUTURADA
COM DIRETOR
Há quanto tempo você é diretor? E há quanto tempo você está na gestão desta
unidade escolar?
A equipe gestora estava completa em 2009?
Como você faz o acompanhamento das aprendizagens dos alunos de sua escola?
Você acompanha os horários coletivos? Com que periodicidade?
Na escola há quantos professores efetivos? Quantos professores ocupam função
atividade?
Como se dá a escolha das aulas dos quintos anos (antiga quarta série)?
São sempre os mesmos professores que lecionam para quarta série?
A que a senhora atribui o bom desempenho de sua escola na Prova Saresp no ano
de 2009?
Há momentos em que a equipe gestora se reúne para discutir e planejar
acompanhamento das aprendizagens dos alunos? Em caso afirmativo, cite alguns
dos encaminhamentos propostos?
No HTPC são tratados assuntos de Matemática? Quais?
Há preparação para o Saresp Matemática?
Quais a propostas de preparação para o Saresp para professores? E para (com) os
alunos? Como acontece?
Como a equipe gestora auxilia para um bom rendimento no Saresp?
Como foi o dia do Saresp na escola?
a- em 2009
iii
b- em 2010
Do ponto de vista dos processos de ensino e aprendizagem, tudo o que aconteceu
na escola no ano de 2009, último ano (HTPC, sala dos professores, outras reuniões,
etc.), você considera que houve algum reflexo no resultado apresentado pela
escola? E em 2010, quais foram as ações que você considera que pode influenciar
diretamente no resultado do Saresp? Qual será, na sua opinião, o resultado deste
ano? Vocês conseguirão atingir as metas?
iv
APÊNDICE C
ROTEIRO PARA ENTREVISTA SEMIESTRUTURADA
COM COORDENADOR PEDAGÓGICO
Há quanto tempo você é coordenador pedagógico desta escola?
A que você atribui o bom desempenho da escola em 2009 no Saresp de
Matemática? Como?
Você planeja o acompanhamento do trabalho dos professores na sala de aula?
Como é E por quê?
Você acompanha as aprendizagens dos alunos?
Como são elaboradas as pautas para o HTPC? Envolvem quais assuntos?
Há no HTPC tempo destinado a discussão e planejamento das propostas atividades
de Matemática que serão trabalhadas em sala de aula?
Os professores desta escola possuem uma rotina de trabalho com Matemática?
Como se dá o acompanhamento?
Qual a relação entre os conhecimentos matemáticos apresentados pelos alunos e as
mudanças? Há espaço para discussão das mudanças propostas?
O HTPC é de 1 hora diária ou duas?
Você percebe dificuldade dos professores na aplicabilidade ou entendimento de
algum conteúdo matemático? Quais?
Há preparação para o Saresp Matemática com os alunos? Como acontece?
Como a equipe gestora auxilia para um bom rendimento no Saresp?
Como foi o dia do Saresp na escola?
Do ponto de vista dos processos de ensino e aprendizagem, tudo o que aconteceu
na escola no último ano (HTPC, sala dos professores, outras reuniões etc.), você
considera que houve algum reflexo no resultado apresentado pela escola E em
2010, quais foram as ações que você considera que pode influenciar diretamente no
resultado do Saresp? Qual será, na sua opinião, o resultado deste ano, vocês
conseguirão atingir as metas?
v
ANEXO A
DADOS DE PROFICIÊNCIA MÉDIA EM MATEMÁTICA DA
PROVA SARESP
São Paulo, Resultado por escola do Saresp (2009)
vi
ANEXO B
MODELO DE AVALIAÇÃO APLICADA MENSALMENTE
MATEMÁTICA
01. Indique, dentre as opções abaixo, aquela que apresenta todas as afirmações corretas:
(A) 12 é múltiplo de 2, de 3 e de 9. (B) 2, 3 e 7 são divisores de 7. (C) 2, 3 e 6 são divisores de 12. (D) 12 é múltiplo de 24 e de 39. 02. Luís tem uma coleção de bolinhas de gude. Ontem ele ganhou 24 bolinhas
novas de seu primo e ficou com 150 bolinhas. Desse modo, podemos afirmar que, antes de ganhar esse presente do primo, Luís tinha:
(A) 124 bolinhas (B) 125 bolinhas (C) 126 bolinhas (D) 174 bolinhas
03. O resultado de 3 – 1,124 é:
(A) 2,124 (B) 1,876 (C) 2,976 (D) 2,986
04. Assinale a alternativa em que os dois sólidos geométricos representados só têm superfícies planas:
(A) (B)
(C) (D)
05. Vovô Paulo mediu a altura da parede da sala. Indique a alternativa que
mostra um resultado possível dessa medição: (A) 3 metros (B) 50 centímetros (C) 86 metros (D) 99 centímetros
06. Juliana dividirá duas barras de chocolate igualmente entre seus três filhos. A fração da barra de chocolate que cada filho receberá é:
vii
(A) 3/2 (B) 2/3 (C) 1/2 (D) 1/3 07.Todos os anos, desde 1924, no dia 31 de dezembro acontece a tradicional
Corrida de São Silvestre. Seu percurso total é de 15 quilômetros. Um atleta que completar o percurso terá corrido:
(A) 150 m. (B) 1 500 m. (C) 15 000 m. (D) 150 000 m.
08. Renata recebeu uma encomenda de 250 ovos de chocolate. Já fabricou 114.
Para determinar quantos ovos ela precisa fabricar para completar essa
encomenda deve-se fazer a operação:
(A) 250 - 114 (B) 250 + 114 (C) 250 × 114 (D) 250 ÷ 114
09. Marta alugou dois DVDs de 90 minutos cada. Quanto tempo Marta vai levar para assistir aos dois DVDs?
(A) 1 hora e meia. (B) 2 horas. (C) 3 horas. (D) 4 horas e meia.
10. Um jornal de grande circulação publicou um gráfico com resultados de uma pesquisa realizada a cada cinco anos sobre a quantidade de navios que derramaram óleo em cada um desses anos.
viii
O repórter do jornal deu a seguinte notícia: De acordo com esse gráfico, a quantidade total de navios que derramou óleo, provocando desastre ecológico foi de
(A) 140 (B) 110 (C) 85 (D) 40
11. Fazendo a decomposição do número 572, temos:
(A) 5 x 100 + 7 x 10 + 2 (B) 7 x 100 + 5 x 10 + 2
(C) 5 x 10 + 7 + 2 (D) 5 x 1000 + 7 x 100 + 2
12. Em uma parede da cozinha, há 15 fileiras de 10 azulejos e em outra há 13
fileiras de 10 azulejos. Quantos azulejos há nessa cozinha?
(A) 100 (B) 130 (C) 150 (D) 280
13. Uma escola recebeu 150 caixas de lápis de cor. Os alunos que estudam no
período da manhã ficaram com 50% das caixas de lápis de cor recebidos.
Quantas caixas de lápis representa essa porcentagem?
(A) 60 (B) 65 (C) 70 (D) 75
14. Quantos retângulos formam a caixa ao lado?
(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8
15. Uma mamadeira contém 250 ml de leite. Com 1 litro de leite, quantas
mamadeiras podem ser preparadas?
(A) 8 (B) 6 (C) 5 (D) 4
ix
16. Por causa da queda de uma ponte, uma rodovia ficou interditada durante 2
meses. Durante quantas semanas a rodovia ficou interditada?
(A) 4 semanas. (B) 6 semanas. (C) 8 semanas. (D) 10 semanas.
17. Observe a conversa entre estes quatro amigos:
Assinale a alternativa que mostra corretamente as alturas dos quatro amigos.
Luís Frederico João Paulo
(A) 1,59 m 1,42 m 1,52 m 1,39 m (B) 1,45 m 1,56 m 1,39 m 1,28 m
(C) 1,59 m 1,42 m 1,49 m 1,39 m (D) 1,61 m 1,56 m 1,42 m 1,27 m
x
18. Observe a reta a seguir:
O número 537 está localizado no ponto
(A) P. (B) Q. (C) S. (D) T.
19. Uma latinha de refrigerante contém 300 mililitros. Felipe consome
semanalmente 9 latinhas. Desse modo, em uma semana Felipe consome:
(A) 12 litros. (B) 5,4 litros. (C) 3,3 litros. (D) 2,7
20. Bete tem muitas moedas em sua carteira e quer pagar uma compra de R$
15,00 usando moedas. Ela tem oito moedas de R$ 0,25 e vai usá-las para pagar
a compra. Bete ainda precisa de uma quantidade de moedas de R$ 0,50 igual a
(A) 30. (B) 26. (C) 20. (D) 18.
21. A mãe de Tomás deixou um bilhete com os horários que ele deveria
cumprir pela manhã.
xi
Em relação ao bilhete, é correto dizer que Tomás deve
(A) almoçar ao meio dia e quinze.
(B) fazer lição de casa quando faltarem quinze minutos para o meio dia.
(C) tomar banho e arrumar-se às onze horas e quinze minutos.
(D) tomar café da manhã às sete horas.
22.Carlos e Marisa usaram a balança da sala de Educação Física, mas Carlos
se esqueceu de tirar a mochila das costas. Mesmo assim, é possível saber o
seu peso e o de Marisa. Observe o visor da balança em cada caso.
O peso de Marisa é
(A) 29 kg.
(B) 32 kg.
(C) 35 kg.
(D) 37 kg.
23. O número natural que correspondente a 6 unidades de milhar mais 3
centenas mais 5 unidades é:
(A) 60 305. (B) 6 305. (C) 6 035. (D) 635.
xii
24. Ricardo tem dois aquários em seu quarto. Cada um tem 2 peixes vermelhos
e 3 amarelos. O total de peixes que Ricardo tem é
(A) 12. (B) 10. (C) 7. (D) 5.
25. Veja abaixo a planta de uma casa. Considerando que cada quadradinho tem a
mesma medida, o perímetro dessa planta é de
(A) 42 m. (B) 40 m. (C) 36 m. (D) 33 m.
São Paulo, Relatório do Saresp (2007, 2008, 2009)
