Universidade Federal do Rio de Janeiro

EEE 335 Eletromagnetismo II

Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima

0 2 4 6 8 10

!0.2

0

0.2

0.4

0.6J0

J1J2 J3

Desafio - Solução Parcial❖ E.D.P que definem o comportamento dos

campos (supondo problema em coordenadas cilíndricas)

Desafio - Solução Parcial❖ E.D.P que definem o comportamento dos

campos (supondo problema em coordenadas polares)

E⇢ = � 1/⇢

� + j!✏

@Hz

@'E� = � 1

� + j!✏

@Hz

@⇢

1

⇢

@(⇢E')

@⇢+

@E⇢

@'

�= �j!µHz

1

⇢

@(⇢H')

@⇢+

@H⇢

@'

�= �(� + j!✏)Ez

H⇢ = � 1/⇢

j!µ

@Ez

@'H' = � 1

j!µ

@Ez

@⇢

Desafio - Solução Parcial❖ Equação que define o campo magnético

@

@⇢

1

⇢

@(⇢H')

@⇢

�+

@2H'

@z2= ⌘2H'

❖ Equação que define o campo elétrico

E⇢ =�

� + j!✏H' j!µH' =

dEz

d⇢+ �E⇢

d(⇢H')

d⇢= (� + j!✏)⇢Ez

Desafio - Solução Parcial❖ Impedâncias dos condutores

❖ impedância interna do primeiro condutor

z1 =

⌘⇢

2⇡R1

I0(⌘R1)

I1(⌘R1)⇡ ⌘⇢

2⇡R1cotanh(0.777⌘R1) +

0.356⇢

⇡R21

⌘ =pj!µ�

⇢ =1

�❖ impedância interna da blindagem vide notas de aula, aqui só a

expressão aproximada

z3 ⇡ ⌘⇢

2⇡R2cotanh(⌘(R3 �R2))�

⇢

2⇡R2(R2 +R3)

❖ impedância externa da blindagem, aqui só a expressão aproximada

z5 ⇡ ⌘⇢

2⇡R3cotanh(⌘(R3 �R2)) +

⇢

2⇡R3(R2 +R3)

Desafio - Solução Parcial❖ Impedâncias dos condutores

⌘ =pj!µ�

⇢ =1

�

❖ impedância mútua da blindagem

z4 ⇡ ⌘⇢

⇡(R2 +R3)cosech(⌘(R3 �R2))

❖ Impedâncias do isolante z2 =j!µ1

2⇡ln

R2

R1

❖ Caso houvesse um isolante com raio R4 após R3

z6 =j!µ2

2⇡ln

R4

R3

Desafio - Solução Parcial❖ Montagem da Matriz de Impedâncias

❖ Montagem da Matriz de Admitâncias POR UNIDADE DE! COMPRIMENTO!!

Y =

y1 �y1�y1 y1 (+y2)

�y1 = g1 + 2⇡j!✏1

1

ln(R2/R1)

y2 = g2 + 2⇡j!✏21

ln(R3/R4)Apenas se houver dielétrico externo a R3

Zi =

z1 + z2 + z3 + z5 + z6 � 2z4 z5 + z6 � z4

z5 + z6 � z4 z5

�

Apenas se houver dielétrico externo a R3

Desafio - Solução Parcial❖ Montagem da Matriz de Impedâncias

"terra"

condutor

central

blindagem

zA

zC

zB

zA = z1 + z2 + z3 � z4

zB = z4

zc = z5 � z4 + (z6 + z7)

se tiver isolante externo à R3 e meio externo com perdas

Desafio - Solução Parcial❖ Montagem da Matriz de Impedâncias

"terra"

condutor

central

blindagem

zA

zC

zB

Fazendo a redução de Kron para termos! apenas dois condutores e supondo isolante !

externo a R3 e meio externo com perdas

Zi =

z1 + z2 + z3 � 2z4 + z5 + z6 + z7 z5 + z6 + z7 � z4

z5 + z6 + z7 � z4 z5 + z6 + z7

�

Desafio - Solução Parcial❖ Supondo dielétrico perfeito e condutores sem perdas

H' = �j!✏

m2

dEz

d⇢

⇢d2Ez

d⇢2+

dEz

d⇢+m2⇢Ez = 0

�2 + !2µ✏ = m2

❖ Se a propagação longitudinal é instantânea

�2 + !2µ✏ = 0 ! � = j!pµ✏

❖ Nesse caso a transferência de potência é apenas longitudinalH' =

I

2⇡⇢exp(��z)

E⇢ =

I

2⇡⇢

rµ

✏exp(��z)

Desafio - Solução Parcial❖ Definição da tensão

V =

Z b

aE⇢d⇢ =

✓1

2⇡

rµ

✏ln

b

a

◆I exp(��z)

❖ Impedância característica

Zc =V

I exp(��z)=

1

2⇡

rµ

✏ln

b

a

❖ Supondo propagação instantânea H' =I

2⇡⇢

@E⇢

@z= �j!µ

2⇡⇢

1

2⇡⇢

@I

@z= �j!✏E⇢

Desafio - Solução Parcial❖ Equações de tensão e corrente

@V

@z= �j!µ

2⇡ln

b

aI

@I

@z= �2⇡j!✏

ln ba

V

Momento de Honestidade

Alguns Exercícios do Livro

Fig. 4.3.b

Fig. 4.3.c

Alguns Exercícios do Livro

Fig. 2.5c

Fig. 2.4b

Alguns Exercícios do Livro

Fig. 4. 10